习题参考答案

习题参考答案

第 一 章

1.1. 答案不唯一. 如 (1) $ \Omega_{1} = \{(i, j), i = 1, 2, \cdots, 6, j = 1, 2, \cdots, 6\} $.

(2) $ \Omega_2 = \{0,1,2,\cdots\} $. (3) $ \Omega_3 = [0,+\infty) $. (4) $ \Omega_4 = [a,b] \times [a,b] $.

1.2. $ \Omega = \{1,2,\cdots,12\} $, $ A = \{1,3,5,7,9,11\} $, $ B = \{1,2,3,4,5,6,7,8\} $, $ C = \{3,6,9,12\} $.

1.3. (1) $ A\bar{B}\bar{C} $. (2) $ A \cup B \cup C $. (3) $ AB\bar{C} \cup A\bar{B}C \cup \bar{A}BC $.

1.4. (1) $ \bigcup A_i = \bigcup B_i $. (2) $ B_0 $与 $ \bigcup A_i $互为逆事件.

(3) $ A_1A_2\bar{A}_3A_4\bar{A}_5 \subset B_2 $. (4) $ B_1 $ 与 $ B_2 $ 互不相容.

1.5. (1) $ \{\omega_2, \omega_4, \omega_8\} $. (2) $ \{\omega_2, \omega_4\} $. 1.6. (1) $ B - A $. (2) $ \bar{B} $.

1.7.3/7.1.8.6/91.1.9.5/36.1.10.0.2.

1.11. 13/21. 1.12. 1/8. 1.13. $ \frac{1+\ln2}{2} $. 1.14. 3/20.

1.15. $ \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}. $ 1.17. 1/3. 1.18. (1) 1/16. (2) 7/16. 1.19. 0.5.

1.20. $ \bar{0.45} $. 1.21. $ P(A\bar{B}) = p $, $ P(\bar{A}\bar{B}) = 1 - p - q $. 1.23. 0.3.

1.24.7/8. 1.25.0.5. 1.26.1/3. 1.27.2/3.

1.28. 1/90. 1.29. (1) 1/7. (2) 2/7. (3) 4/7.

1.30. (1) 0.3. (2) 0.6. (3) 0.5. 1.31. 0.645. 1.32. (1) 4/9. (2) 3/8.

1.33. 0.5. 1.34. 0.5. 1.36. $ \frac{a+d}{a+b+c+d} $.

1.37. (1) $ e^{-2} - e^{-5} $. (2) $ \frac{9}{2(e^{3} - 1)} $.

1.39. (1) 36/125. (2) 98/125.

1.40. (1) $ \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} p^{3}(1 - p)^{7} $. (2) $ \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix} p^{3}(1 - p)^{7} $.

1.41.0.91.1.42.应诊断患有疾病 $ d_{1} $

第二章

2.1.

2.2.

2.3. $ P(X=k)=\frac{3}{4^k} $, $ k=1,2,\cdots $.

2.4. $ F(x)=\{\begin{array}{ll}0,&\quad x\lt 0\\\frac{x}{2},&\quad0\leqslant x\lt 1\\1,&\quad x\geqslant1\end{array}. $

2.5. (1) $ a=b=\frac{1}{3} $. (2) $ \frac{2}{3} $.

$$ 1-\frac{\mathrm{e}^{-8}}{2}. $$

$$ \frac{9}{2}\mathrm{e}^{-3}. $$

$$ F(x)=\{\begin{aligned}&0&&x\lt 1,\\ &0.2&&1\leqslant x\lt 2,\\ &0.5&&2\leqslant x\lt 3,\\ &1&&x\geqslant3.\end{aligned}.. $$

2.9.

2.10.0.9054.

2.11. $ P(X = k) = 0.9^k \times 0.1 $, $ k = 0, 1, 2, \cdots $.

$$ F(x)=\{\begin{array}{cl}0,&x\lt 0,\\\displaystyle\frac{x}{3},&0\leqslant x\lt 1,\\\displaystyle\frac{1}{3},&1\leqslant x\lt 3,\\\displaystyle\frac{2x-3}{9},&3\leqslant x\lt 6,\\1,&x\geqslant6.\end{array}. $$

2.13. (1) $ F(x) = \{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2} e^x, & x \lt 0, \\ 1 - \frac{1}{2} e^{-x}, & x \geq 0. \end{array} . $ (2) $ 1 - e^{-5} $.

2.14. (1) $ \frac{1}{4} $. (2) $ f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2}, & 0 \lt x \lt 2, \\ 0, & \text{其他}.\end{array}. $ (3) 0.3.

2.15.0.0486. 2.16. (1) 7/8. (2) 63/64.

2.17.97.98吨. 2.18.(1)0.0228.(2)0.49865.(3)0.8413.

2.19.

2.21. $ F_{Y}(y)=\{\begin{aligned}&0,&y\lt 1,\\ &\frac{\sqrt{y-1}}{2},&1\leqslant y\lt 5,\\ &1,&y\geqslant5.\end{aligned}.\quad f_{Y}(y)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{4\sqrt{y-1}},&1\lt y\lt 5,\\ &0,& 其他.\end{aligned}. $

第 三 章

3.1.

3.2. (1) 4. (2) 0.16. 3.3. 0.7.

3.4.

3.5. (1) 3. (2) $ F(x, y) = \{ \begin{array}{ll} 1 - e^{-3x} - e^{-4x} + e^{-12x}, & x \gt 0, y \gt 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{array} . $

3.8. (1) 独立. (2) 不独立. $ 3.9.\alpha=\frac{1}{18},\beta=\frac{2}{9} $

3.10. (1) $ P(Y = 0 \mid X = 1) = 0.6 $, $ P(Y = 1 \mid X = 1) = 0.4 $.

(2) $ F(y|1)=\{\begin{array}{ll}0,&y\lt 0,\\0.6,&0\leqslant y\lt 1,\\1,&y\geqslant1.\end{array}. $

3.11. 当 0 < x < 1 时，有

$$ f_{Y\mid X}(y\vert x)=\{\begin{aligned}&\frac{3y^{2}}{x^{3}},&&0\lt y\lt x,\\ &0,&& 其他 .\end{aligned}. $$

3.12. (1) $ f(x,y)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{a(a-x)}&0\lt x\lt y\lt a,\\ &0,& 其他.\end{aligned}. $

(2) $ f_{Y}(y) = \{ \begin{aligned} & \frac{1}{a} \ln \frac{a}{a - y}, & 0 \lt y \lt a, \\ & 0, & \text{其他}. \end{aligned} . $

3.13. (1) $ f_{Y\mid X}(y\mid x=\frac{1}{3})=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2},&\frac{1}{3}\lt y\lt 1,\\0&\text{其他}.\end{array}. $

(2) 1/4.

3.14. (1) $ f_{X}(x)=\{\begin{aligned}&2x,&0\lt x\lt 1,\\ &0,& 其他.\end{aligned}. $ $ f_{Y}(y)=\{\begin{aligned}&1-|y|,&-1\lt y\lt 1,\\ &0,& 其他.\end{aligned}. $

(2) 当 0 < x < 1 时，有 $ f_{X \mid Y}(x \mid y) = \{ \begin{aligned} & \frac{1}{1 - |y|}, & -1 \lt y \lt 1, \\ & 0, & \text{其他}. \end{aligned} . $

(3) X 与 Y 不独立.

3.15.

3.16.

3.17.

$$ f_{X+Y}(z)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{2}(1-e^{-(z+1)}),&-1\lt z\lt 1,\\&\frac{e-e^{-1}}{2}e^{-z},&z\gt 1,\\&0,& 其他 .\end{aligned}. $$

3.18.(2)

$$ g_{1}(x)=\frac{1}{5\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x+3)^{2}}{8}}+\frac{3}{5\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-8)^{2}}{2}}, $$

$$ g_{2}(y)=\frac{2}{15\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(y-2)^{2}}{18}}+\frac{3}{10\sqrt{3\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(y-2)^{2}}{12}}. $$

$$ F(z)=\{\begin{aligned}&0,&z\lt 0\\ &1-(1-z)\mathrm{e}^{-z},&0\leqslant z\lt 1\\ &1,&z\geqslant1\end{aligned}.\quad f_{(\cdot z)}=\{\begin{aligned}&(2-z)\mathrm{e}^{-z},&0\lt z\lt 1\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$

$$ f(z)=\{\begin{aligned}&2e^{-\frac{2}{3}z}-2e^{-z},&z\gt 0,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$

第 四 章

4.1.

$$ E[X]=\frac{2}{5},E[Y]=\frac{12}{25}. $$

$$ E[X]=\frac{3}{2}. $$

4.3.5.20896.

4.4. $ \frac{\lambda-1+\mathrm{e}^{-\lambda}}{\lambda} $. 4.5. (1) 1. (2) 2. (3) 3. 4.6.

4.7. 4.96. 4.8. 1/18. 4.9. (1) 4/3, 2/9, $ \sqrt{2} $

4.10. (1) a = 0.13, b = 0.13. (2) 0.7051. (3) -0.46. 4.11

4.12. $ -5/3 $. 4.13. 25. 4.14. (2) X 与 Y 不独立.

4.15. 8/3. 4.16. $ E[Z] = -17 $, $ \mathrm{Var}[Z] = 35 + 6\sqrt{6} $.

4.17. (1) a = 0.2, b = 0.3. (2) -0.04.

4.18. (1) 0.6. (2) 0. (3) X 与 Y 不独立.

4.19. -6/625. 4.20. 1. 4.21. 7/9.

4.22.- $ \sqrt{\frac{p_1p_2}{(1-p_1)(1-p_2)}}. $ 4.23. (1) 1. (2) 700.

第五章

5.1.7/36. 5.3.15/2. 5.4. $ \{X_{n}\} $ 服从大数定律.

5.5.14. 5.6.0.5. 5.7.0.087. 5.8.25.

5.9.0.9971. 5.10.0.8413. 5.11.24分钟.

第 六 章

6.1. (1) $ T_{1} $, $ T_{4} $ 是统计量. (2) $ T_{1} $ 是统计量.

6.2. $ a = \frac{1}{4} $, $ b = \frac{1}{52} $, $ c = \frac{1}{68} $.

6.3. c = 3，服从 $ \bar{F}(2,2) $ 分布.

6.4. $ c = \sqrt{2} $，服从 $ t(3) $ 分布.

6.5. $ t(8) $. 6.6. $ \chi^{2}(2) $. 6.7. $ F(8,4) $.

$$ \begin{aligned}f_{Y_{1}}(x)=\{\begin{aligned}&2\lambda\mathrm{e}^{-2\lambda x},&x\gt 0,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}.\quad f_{Y_{2}}(x)=\{\begin{aligned}&2\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}-2\lambda\mathrm{e}^{-2\lambda x},&x\gt 0,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}.\end{aligned} $$

$$ \frac{1}{2\lambda},\frac{3}{2\lambda}. $$

6.9. (1) $ px_{(3)}(x)=\{\begin{aligned}&6x^{5},&0\lt x\lt 1,\\ &0,& 其他.\end{aligned}. $ (2)

$$ \frac{3}{196} $$

6.10. (1) $ \frac{4}{3} $. (2) $ \frac{73}{9} $.

6.12. (1) m p, $ \frac{m p(1-p)}{n} $, (2) $ \frac{m(n-1)p(1-p)}{n} $.

6.13. (1) $ p, \frac{p(1-p)}{n} $, (2) $ \frac{(n-1)p(1-p)}{n} $.

6.14. (1) $ \mu^{2} + \frac{\sigma^{2}}{n} $. (2) $ \frac{n-1}{n}\left(\mu^{2}\sigma^{2} + \frac{\sigma^{4}}{n}\right) $.

6.15. (1) -1.645. (2) 2.306 0. (3) -1.833 1. (4) 12.833. (5) $ \frac{1}{5.99} $.

6.16. (1) 0.6026. (2) 0.5948.

6.17.0.02872. 6.18.0.94. 6.19.0.25, 0.75.

第七章

7.1.

$$ \hat{\theta}=\frac{2\overline{X}}{1-\overline{\overline{X}}}. $$

$$ \hat{\lambda}=\frac{17}{12}. $$

$$ \hat{\theta}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|X_{i}|. $$

$$ \hat{\theta}=\overline{X}-1. $$

$$ \hat{\theta}=\frac{13}{32}. $$

$$ \hat{p}_{M}=\frac{\overline{{X}}}{m},\;\hat{p}_{L}=\frac{\overline{{X}}}{m}. $$

7.7. $ \hat{\theta}_{M} = \frac{2}{3}\overline{X}, \hat{\theta}_{L} = \frac{X_{(n)}}{2}. $ 7.8. $ \hat{\lambda}_{M} = 0.0008, \hat{\lambda}_{L} = 0.0008. $

7.9. $ \hat{\alpha}_M = \overrightarrow{X} - S_n, \hat{\beta}_M = S_n; \hat{\alpha}_L = X_{(1)}, \hat{\beta}_M = \overrightarrow{X} - X_{(1)}. $

7.10. $ e^{-1.2717} $. 7.11. (1) 答案不唯一，如 $ \overline{X} - S_{n}^{*2} $.

7.12. $ \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}. $ 7.13. (2) $ T_{1} $ 更有效. 7.14. $ \hat{\theta}_{L}=\frac{X_{(n)}}{2} $

7.16. (1) $ \frac{x}{10} $. 7.17. 0.9, 44. 7.18. [7.6, 22].

7.19. (1) [998.577 1, 1 001.922 9], (2) [1.865 1, 4.470 2].

7.20. [29.8284 135.4216]. 7.21. [0.2215, 3.5977].

第八章

$$ \mathrm{e}^{-2}, $$

$$ 1-\mathrm{e}^{-1} $$

$$ \sigma_{0}^{2}\chi_{0.95}^{2}(2) $$

8.4. 拒绝 $ H_{0} $. 8.5. 拒绝 $ \mu = 2.15 $ 这一原假设.

8.6. 拒绝金属棒长度的标准差 $ \sigma = 0.15 $ 的假设.

8.7. 接受电阻的标准差比起规定的显著的偏大的原假设.

8.8. (1) 拒绝 $ H_{0} $. (2) 接受 $ H_{0} $. 8.9. 接受 $ H_{0} $.

8.10. 拒绝该地正常成年人的细胞平均数与性别无关的假设.

8.11. 拒绝 $ H_{0} $. 8.12. (1) 接受 $ H_{0} $. (2) 接受 $ H_{0} $.

8.13. 拒绝该药物对降低舒张压无显著疗效的原假设.

8.14. 接受处理前后含脂率的方差无显著差的原假设.

8.15. 接受乙车床产品的方差不大于甲车床产品的方差这一原假设.

8.16. 两个品种的产量不服从相同的分布.

8.17. 接受事故与星期几无关的原假设.

8.18. 接受该总体密度函数为 $ p_{0}(x) $ 的原假设.