第十章 动态系统的最优控制方法

20 世纪 60 年代初，由于空间技术的迅猛发展和计算机的广泛应用，动态系统的优化理论得到迅速发展，形成了最优控制这一重要的学科分支，并在控制工程、经济管理与决策以及人口控制等领域得到了成功的应用，取得了显著的成效。最优控制在被控对象参数已知的情况下，已经成为设计复杂系统的有效方法之一。本章将介绍动态系统最优控制的基本原理和常用方法，以及若干工程应用。

10 -1 最优控制的一般概念

1. 最优控制的基本概念

最优控制是现代控制理论的核心。最优控制研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极小值(或极大值)。从数学观点来看，最优控制研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴。然而，经典变分理论只能解决控制无约束，即容许控制属于开集的一类最优控制问题，而工程实践中所遇到的多为控制有约束，即容许控制属于闭集的一类最优控制问题。为了满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了现代变分理论，其中最常用的方法是动态规划和极小值原理。

动态规划是美国学者 R.E. 贝尔曼于 1957 年创立的。贝尔曼依据最优性原理，发展了变分学中的哈密顿-雅可比方程，解决了控制有闭集约束的变分问题。极小值原理是前苏联科学院院士 $ \Pi $. C. 庞特里亚金于 1958 年创立的。庞特里亚金在力学哈密顿原理的启发下，推测并证明了极小值原理，同样解决了控制有闭集约束的变分问题。动态规划和极小值原理的提出，极大地丰富了最优控制理论的内涵。

2. 最优控制问题

最优控制是一门工程背景很强的学科分支，其研究的问题都是从具体工程实践中归纳和提炼出来的。例如，1969年美国阿波罗11号实现了人类历史上的首次载人登月飞行，任务要求登月舱在月球表面实现软着陆，即登月舱到达月球表面时的速度为零，并在登月过程中，选择登月舱发动机推力的最优控制律，使燃料消耗最少，以便宇航员完成月球考察任务后，登月舱有足够的燃料离开月球与母船全合，从而安全返回地球。由于登月舱发动机的最大推力是有限的，因而这是一个控制有闭集约束的最小燃耗控制问题。设登月舱软着陆示意图如图10-1所示。图中， $ m(t) $为登月舱质量； $ h(t) $为高度； $ v(t) $为登月舱

垂直速度；g 为月球重力加速度； $ u(t) $为登月舱发动机推力。设登月舱不含燃料时的质量为M，登月舱所载燃料质量为F，登月舱发动机工作的末端时刻为 $ t_{f} $，发动机最大推力为 $ u_{max} $。已知登月舱登月时的初始高度为 $ h_{0} $，初始垂直速度为 $ v_{0} $，登月舱初始质量为 $ m_{0} $，则控制有约束的最小燃耗控制问题可归纳如下：

运动方程

$$ \dot{h}(t)=\nu(t),\qquad\dot{\nu}(t)=\frac{u(t)}{m(t)}-g $$

$$ \dot{m}(t)=-k u(t),\qquad k=\mathrm{const} $$

边界条件

初始条件

$$ h(0)=h_{0},\quad v(0)=v_{0},\quad m(0)=m_{0}=M+F $$

末端条件

$$ h(t_{f})=0,\quad v(t_{f})=0 $$

控制约束

$$ 0\leq u(t)\leq u_{\max} $$

性能指标

$$ J=m(t_{f}) $$

最优控制任务是在满足控制约束条件下，寻求发动机推力的最优变化律 $ u^{*}(t) $，使登月舱由已知初态转移到要求的末态，并使性能指标 $ J=m(t_{f})=\max $，从而使登月过程中燃料消耗量最小。

登月舱的燃耗最优控制表明，任何一个最优控制问题均应包含以下四个方面内容。

(1) 系统数学模型

在集总参数情况下，被控系统的数学模型通常以定义在 $ [t_{0}, t_{f}] $上的状态方程来表示：

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{f}\big[\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{u}(t),t\big],\qquad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $$

式中， $ x(t) \in \mathbb{R}^n $，为状态向量； $ u(t) \in \mathbb{R}^m $，为控制向量，且在 $ [t_0, t_f] $上分段连续； $ f(\cdot) \in \mathbb{R}^n $，为连续向量函数，且对 $ x(t) $ 和 $ t $ 连续可微。

(2) 边界条件与目标集

动态系统的运动过程，是系统从状态空间的一个状态到另一个状态的转移，其运动轨迹在状态空间中形成轨线 $ \boldsymbol{x}(t) $。为了确定要求的轨线 $ \boldsymbol{x}(t) $，需要确定轨线的两点边界值。因此，要求确定初态 $ \boldsymbol{x}(t_0) $ 和末态 $ \boldsymbol{x}(t_f) $，这是求解状态方程(10-1)必需的边界条件。

在最优控制问题中，初始时刻 $ t_{0} $ 和初始状态 $ \boldsymbol{x}(t_{0}) $ 通常是已知的，但是末端时刻 $ t_{f} $ 和末端状态 $ \boldsymbol{x}(t_{f}) $ 则视具体控制问题而异。一般来说，末端时刻 $ t_{f} $ 可以固定，也可以自由；末端状态 $ \boldsymbol{x}(t_{f}) $ 可以固定，也可以自由，或者部分固定、部分自由。对于 $ t_{f} $ 和 $ \boldsymbol{x}(t_{f}) $ 的这种要求，通常用如下目标集加以概括：

$$ \psi\left[x(t_{f}),t_{f}\right]=0 $$

式中， $ \psi(\cdot) \in \mathbb{R}^r $，为连续可微向量函数， $ r \leq n $。

(3) 容许控制

在属于闭集的控制中，控制向量 $ \boldsymbol{u}(t) $ 的取值范围称为控制域，以 $ \Omega $ 标志。由于 $ \boldsymbol{u}(t) $ 可在 $ \Omega $ 的边界上取值，故凡属集合 $ \Omega $ 且分段连续的控制向量，称为容许控制，以 $ \boldsymbol{u}(t) \in \Omega $ 标志。

(4) 性能指标

在状态空间中，可以采用不同的控制向量函数去实现使系统由已知初态到要求的末态(或目标集)的转移。性能指标则是衡量系统在不同控制向量作用下工作优良度的标准。

性能指标的内容与形式，取决于最优控制问题所要完成的任务。不同的最优控制问题，有不同的性能指标，其一般形式可以归纳为

$$ J=\varphi\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}L\left[\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{u}(t),t\right]\mathrm{d}t $$

式中， $ \varphi(\cdot) $ 和 $ L(\cdot) $ 为连续可微的标量函数。 $ \varphi[\boldsymbol{x}(t_f), t_f] $ 称为末值项， $ \int_{t_0}^{t_f} L[\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{u}(t), t]\mathrm{d}t $ 称为过程项，两者均有具体的物理含意。

根据最优控制问题的基本组成部分，可以概括最优控制问题的一般提法：在满足系统方程(10-1)的约束条件下，在容许控制域Ω中确定一个最优控制律 $ u^*(t) $，使系统状态 $ x(t) $从已知初态 $ x_0 $转移到要求的目标集(10-2)，并使性能指标(10-3)达到极值。

通常，最优控制问题可用下列泛函形式表示：

$$ \begin{aligned}\min_{\boldsymbol{u}(t)\in\Omega}&J=\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\Big]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}L\big[\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{u}(t),t\big]\mathrm{d}t\\ s.t.\quad&\textcircled{1}\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{f}\big[\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{u}(t),t\big],\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}\\&\textcircled{2}\psi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\Big]=\boldsymbol{0}\end{aligned} $$

3. 最优控制的应用类型

最优控制在航空、航天及工业过程控制等许多领域得到了广泛应用，因而难以详尽归纳最优控制在工程实践中的应用类型。考虑到最优控制的应用类型与性能指标的形式密切相关，因而可按性能指标的数学形式进行大致的区分。性能指标按其数学形式有如下三类：

(1) 积分型性能指标

数学描述为

$$ J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L\big[x(t),u(t),t\big]\mathrm{d}t $$

积分型性能指标表示在整个控制过程中，系统的状态及控制应该满足的要求。采用积分型性能指标的最优控制系统，又可分为以下几种应用类型：

1）最小时间控制。

$$ J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\mathrm{d}t=t_{f}-t_{0} $$

最小时间控制是最优控制中常见的应用类型之一。它表示要求设计一个快速控制律，使系统在最短时间内由已知初态 $ \boldsymbol{x}(t_{0}) $ 转移到要求的末态 $ \boldsymbol{x}(t_{f}) $ 。例如，导弹拦截器的轨

道转移即属于此类问题。

2 ）最少燃耗控制。

$$ J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\sum_{j=1}^{m}\left|u_{j}(t)\right|\mathrm{d}t $$

式中， $ \sum_{j=1}^{m}\left|u_{j}(t)\right| $表示燃料消耗。这是航天工程中常遇到的重要问题之一。由于航天器所能携带的燃料有限，希望航天器在轨道转移时所消耗的燃料尽可能地少。图10-1所示的登月舱软着陆控制，即属于此类问题。

3 ）最少能量控制。

$$ J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{u}(t)\mathrm{d}t $$

对于一个能量有限的物理系统，如通信卫星上的太阳能电池，为了使系统在有限的能源条件下保证正常工作，就需要对控制过程中消耗的能量进行约束。显然，式(10-7)中的 $ u^{T}u $表示与消耗的功率成正比的控制能量。

(2) 末值型性能指标

数学描述为

$$ J=\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\Big] $$

式中，末端时刻 $ t_{f} $ 可以固定，也可以自由。末值型性能指标表示在控制过程结束后，对系统末态 $ \boldsymbol{x}(t_{f}) $ 的要求，例如要求导弹的脱靶量最小等，而对控制过程中的系统状态和控制不作任何要求。

(3) 复合型性能指标

数学描述如式(10-3)所示。复合型性能指标是最一般的性能指标形式，表示对整个控制过程和末端状态都有要求。采用复合型性能指标的最优控制系统，主要有以下两种应用类型：

1）状态调节器。

$$ \frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t_{f})\boldsymbol{F}\boldsymbol{x}(t_{f})+\frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{R}\boldsymbol{u}(t)\right]\mathrm{d}t $$

式中， $ F = F^{\top} \geq \mathbf{0} $, $ Q = Q^{\top} \geq \mathbf{0} $, $ R = R^{\top} > \mathbf{0} $，称为加权矩阵。为了便于设计，权阵 $ F $， $ Q $ 和 $ R $ 通常取为对角阵。性能指标(10-9)表示对于运行在某一平稳状态的线性控制系统，在系统受扰偏离原平衡状态时，控制律 $ \mathbf{u}^*(t) $ 使系统恢复到原平衡状态附近时所要求的性能。其中， $ \mathbf{x}^{\top}(t) Q \mathbf{x}(t) $ 表示控制过程中的状态偏差； $ \mathbf{u}^{\top}(t) R \mathbf{u}(t) $ 表示控制过程中消耗的控制能量， $ \mathbf{x}^{\top}(t_f) F \mathbf{x}(t_f) $ 表示控制过程结束时的末态偏差，1/2 是为便于进行二次型函数运算而加入的标量因子。采用式(10-9)作为性能指标的线性控制系统有许多种，例如导弹的横滚控制回路以及发电厂的电压调节系统，都属于状态调节器范畴。

$$ \frac{1}{2}\boldsymbol{e}^{\mathrm{T}}(t_{f})\boldsymbol{F}\boldsymbol{e}(t_{f})+\frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\boldsymbol{e}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{Q}\boldsymbol{e}(t)+\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{R}\boldsymbol{u}(t)\right]\mathrm{d}t $$

2 ）输出跟踪系统。

式中， $ e(t) = z(t) - y(t) $ 为跟踪误差； $ z(t) $ 为理想输出向量，与实际输出向量 $ y(t) $ 同维；加权矩阵 $ F $， $ Q $ 和 $ R $ 的要求同式(10-9)。式(10-10)中各组成部分的物理意义与性能指标与式(10-9)类似。许多实际控制系统，例如飞机、导弹及航天器的指令信号跟踪、模型跟踪控制系统中的状态或输出跟踪等，均采用式(10-10)形式的性能指标。

4. 最优控制的研究方法

当系统数学模型、约束条件及性能指标确定后，求解最优控制问题的主要方法有以下三类：

(1) 解析法

解析法适用于性能指标及约束条件有明显解析表达式的情况。一般先用求导方法或变分法求出最优控制的必要条件，得到一组方程式或不等式，然后求解这组方程式或不等式，得到最优控制的解析解。解析法大致又可分成两类：当控制无约束时，采用经典微分法或经典变分法；当控制有约束时，采用极小值原理或动态规划。如果系统是线性的，性能指标是二次型形式的，则可采用状态调节器理论求解。

(2) 数值计算法

若性能指标比较复杂，或无法用变量显函数表示，则可以采用直接搜索法，经过若干次迭代，搜索到最优点。数值计算法又可分为：

1）区间消去法，又称一维搜索法。适用于求解单变量极值问题，主要有裴波那西法、黄金分割法和多项式插值法等。

2）爬山法，又称多维搜索法。适用于求解多变量极值问题，主要有坐标轮换法、步长加速法、方向加速法等。

(3) 梯度型法

这是一种解析与数值计算相结合的方法，其中包括：

1）无约束梯度法。主要有陡降法、拟牛顿法、共轭梯度法和变尺度法等。

2）有约束梯度法。主要有可行方向法和梯度投影法等。

在上述最优控制研究方法中，数值计算法和梯度型法可参考《最优化方法》一书。本书仅介绍最优控制的解析求解方法，包括变分法、极小值原理以及线性二次型最优控制法。

10 -2 最优控制中的变分法

当系统的数学模型由向量微分方程来描述，性能指标由泛函来表示时，确定控制无约束时的最优解问题，就成为在微分方程约束下求泛函的条件极值问题，其数学基础为经典变分理论。

1. 泛函与变分

泛函与变分有如下基本概念。

(1) 泛函与泛函算子

设对于自变量 $ t $，存在一类函数 $ \{x(t)\} $。如果对于每个函数 $ x(t) $，有一个 $ J $ 值与之对应，则变量 $ J $ 称为依赖于函数 $ x(t) $ 的泛函数，简称泛函，记为 $ J[x(t)] $。

由上述泛函定义可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数”，其值由函数的选取而定。例如，函数的定积分是一个泛函。设

$$ J\left[x\right]=\int_{0}^{1}x(t)dt $$

当 $ x(t)=t $时，有 $ J[x]=1/2 $；当 $ x(t)=\cos t $时，有 $ J[x]=\sin 1 $。表明式(10-11)确为泛函。

在最优控制问题中，如果取如下形式的积分型性能指标：

$$ J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L[x(t),\dot{x}(t),t]\mathrm{d}t $$

则 J 的数值取决于 n 维向量函数 x(t)，故式(10-12)为泛函，常称为积分型指标泛函。

指标泛函可以看做是线性赋范空间中的某个子集到实数集的映射算子，其定义如下：设 $ R^n $为n维线性赋范空间，R为实数集，若存在一一对应关系：

$$ \begin{aligned}y&=J[\boldsymbol{x}],\\\forall\boldsymbol{x}&\in\mathbf{R}^{n},\quad y\in\mathbf{R}\end{aligned} $$

则称 $ J[x] $ 为 $ R^n $ 到 $ R $ 的泛函算子，记为 $ J[x] $： $ R^n \to R $。

为了对泛函进行运算，常要求泛函 $ J[x] $ 具有连续性和线性。

(2) 连续泛函与线性泛函

如果式(10-13)满足下列线性条件：

$$ \begin{aligned}&J\big[\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\big]=J\big[\boldsymbol{x}_{1}\big]+J\big[\boldsymbol{x}_{2}\big],\quad\forall\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in\mathbf{R}^{n}\\&J\big[\alpha\boldsymbol{x}\big]=\alpha J\big[\boldsymbol{x}\big],\quad\forall\boldsymbol{x}\in\mathbf{R}^{n}\\ \end{aligned} $$

则称 $ J[x]:\mathbf{R}^n \to \mathbf{R} $ 为线性泛函算子，其中 $ \alpha $ 为标量。

为了讨论泛函 $ J[x] $ 的性质和运算， $ J[x] $ 需为连续的，其定义如下：设 $ J[x] $ 是线性赋范空间 $ R^n $ 中子集 $ D(J) $ 到实数集 $ \mathbb{R} $ 上的泛函算子， $ D(J) $ 为泛函 $ J[x] $ 的定义域。若对于收敛于点 $ x_0 $ 的点列 $ x_n $，其中 $ x_0 $， $ x_n \in D(J) $，均有

$$ \lim_{n\to\infty}J\left[\boldsymbol{x}_{n}\right]=J\left[\boldsymbol{x}_{0}\right] $$

则称泛函 $ J $ 在 $ x_0 $ 处连续；若 $ J[x] $ 在子集 $ D(J) $ 上的每一点都连续，则称 $ J[x] $ 在 $ D(J) $ 中连续。

由于泛函 $ J[x] $ 定义在线性赋范空间上，因此对于线性泛函 $ J[x] $，若

$$ \left\| \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right\|\rightarrow 0(n\rightarrow\infty),\quad 畿 \quad\forall \mathbf{x}_{n},\mathbf{x}\in \mathbf{R}^{n} $$

时，必有

$$ \lim_{n\to\infty}J\left[x_{n}\right]=J\left[x\right] $$

则线性泛函 $ \mathcal{J}[x] $ 是连续的，称 $ \mathcal{J}[x] $ 为线性连续泛函。

在用变分法求解最优控制问题时，要求指标泛函 $ \mathcal{J}[x] $ 为线性连续泛函，以使得 $ \mathcal{J}[x] $ 在任一点上的值均可用该点附近的泛函值任意逼近。应当指出，在有限维线性空间上，任何线性泛函都是连续的。

(3) 泛函的变分

研究泛函的极值问题，需要采用变分法。变分在泛函研究中的作用，如同微分在函数研究中的作用一样。泛函的变分与函数的微分，其定义式几乎完全相当。

为了研究泛函的变分，应先研究宗量的变分。设 $ J[x] $ 为连续泛函， $ x(t) \in \mathbb{R}^n $ 为宗量，则宗量变分可表示为

$$ \delta\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{x}_{0}(t),\qquad\forall\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}_{0}(t)\in\mathbb{R}^{n} $$

宗量变分 $ \delta x $ 表示 $ \mathbf{R}^n $ 中点 $ x(t) $ 与 $ x_0(t) $ 之间的差。由于 $ \delta x $ 存在，必然引起泛函数值的变化，并以 $ J[x + \varepsilon \delta x] $ 表示。其中， $ 0 \leq \varepsilon \leq 1 $ 为参变数。当 $ \varepsilon = 1 $ 时，得增加后的泛函数值 $ J[x + \delta x] $；当 $ \varepsilon = 0 $ 时，得泛函原来的值 $ J[x] $。

1 ）泛函变分的定义。

定义 10-1 设 $ J[x] $ 是线性赋范空间 $ R^n $ 上的连续泛函，若其增量可表示为

$$ \Delta J[x]=J[x+\delta x]-J[x]=L[x,\delta x]+r[x,\delta x] $$

式中， $ L[x,\delta x] $是关于 $ \delta x $的线性连续泛函， $ r[x,\delta x] $是关于 $ \delta x $的高阶无穷小，则

$$ \delta J=L\left[x,\delta x\right] $$

称为泛函 $ J[x] $的变分。

上述定义表明，泛函变分就是泛函增量的线性主部。当一个泛函具有变分时，亦称该泛函可微。如同函数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方法来确定。

2）泛函变分的求法。

定理 10-1 设 $ J[x] $ 是线性赋范空间 $ R^n $ 上的连续泛函，若在 $ x = x_0 $ 处 $ J[x] $ 可微，其中 $ x, x_0 \in \mathbb{R}^n $，则 $ J[x] $ 的变分为

$$ \delta J\left[\boldsymbol{x}_{0},\delta\boldsymbol{x}\right]=\frac{\partial}{\partial\varepsilon}J\left[\boldsymbol{x}_{0}+\varepsilon\delta\boldsymbol{x}\right]\mid_{_{\varepsilon=0}},\qquad0\leq\varepsilon\leq1 $$

证明 因在 $ x_0 $ 处 $ \mathcal{J}[x] $ 可微，故必在 $ x_0 $ 处存在变分。因 $ \mathcal{J}[x] $ 连续，故由式(10-17)知 $ \mathcal{J}[x] $ 的增量为

$$ \Delta J=J\left[\boldsymbol{x}_{0}+\varepsilon\delta\boldsymbol{x}\right]-J\left[\boldsymbol{x}_{0}\right]=L\left[\boldsymbol{x}_{0},\varepsilon\delta\boldsymbol{x}\right]+r\left[\boldsymbol{x}_{0},\varepsilon\delta\boldsymbol{x}\right] $$

由于 $ L[x_0, \varepsilon\delta x] $ 是 $ \varepsilon\delta x $ 的线性连续泛函，故

$$ L\left[x_{0},\varepsilon\delta x\right]=\varepsilon L\left[x_{0},\delta x\right] $$

又因 $ r[x_0, \varepsilon\delta x] $ 是 $ \varepsilon\delta x $ 的高阶无穷小，故

$$ \lim_{\varepsilon\to0}\frac{r[x_{0},\varepsilon\delta x]}{\varepsilon}=0 $$

于是

$$ \begin{aligned}\frac{\partial}{\partial\varepsilon}J\Big[\boldsymbol{x}_{0}+\varepsilon\delta\boldsymbol{x}\Big]\Big|_{\varepsilon=0}=&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{J\Big[\boldsymbol{x}_{0}+\varepsilon\delta\boldsymbol{x}\Big]-J\Big[\boldsymbol{x}_{0}\Big]}{\varepsilon}\\ =&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{1}{\varepsilon}\Big\{L\Big[\boldsymbol{x}_{0},\varepsilon\delta\boldsymbol{x}\Big]+r\Big[\boldsymbol{x}_{0},\varepsilon\delta\boldsymbol{x}\Big]\Big\}=\delta J\Big[\boldsymbol{x}_{0},\delta\boldsymbol{x}\Big]\end{aligned} $$

3）泛函变分的规则。

由变分定义可以看出，泛函的变分是一种线性映射，因而其运算规则类似于函数的线性运算。设 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 是函数 $ x $， $ \dot{x} $ 和 $ t $ 的函数，则有如下变分规则：

① $ \delta(L_{1}+L_{2})=\delta L_{1}+\delta L_{2} $;

② $ \delta(L_{1}L_{2})=L_{1}\delta L_{2}+L_{2}\delta L_{1} $;

③ $ \delta\int_{a}^{b}L[x,\dot{x},t]\mathrm{d}t=\int_{a}^{b}\delta L[x,\dot{x},t]\mathrm{d}t $;

④ $ \delta\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\delta x $

例 10-1 已知连续泛函为

$$ J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L[x,\dot{x},t]\mathrm{d}t $$

式中，x 和 $ \dot{x} $ 为标量函数。试求泛函变分 $ \delta J $。

解 根据定理10-1，可得

$$ \begin{align*}\delta J=&\frac{\partial}{\partial\varepsilon}\int_{t_{0}}^{t_{f}}L\big(x+\varepsilon\delta x,\dot{x}+\varepsilon\delta\dot{x},t\big)\mathrm{d}t\Big|_{\varepsilon=0}\\=&\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\frac{\partial L}{\partial x}\frac{\partial\big(x+\varepsilon\delta x\big)}{\partial\varepsilon}+\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\frac{\partial\big(\dot{x}+\varepsilon\delta\dot{x}\big)}{\partial\varepsilon}\right]\Bigg|_{\varepsilon=0}\mathrm{d}t\\=&\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left(\frac{\partial L}{\partial x}\delta x+\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\delta\dot{x}\right)\mathrm{d}t\end{align*} $$

(4) 泛函的极值与变分预备定理

可以证明，泛函极值与达到极值的条件与函数类同。

1）泛函极值的定义。

定义 10-2 设 $ J[x] $ 是线性赋范空间 $ R^n $ 上某个子集 $ D $ 中的线性连续泛函，点 $ x_0 \in D $，若存在某一正数 $ \sigma $ 以及集合

$$ U(\boldsymbol{x}_{0},\sigma)=\left\{\boldsymbol{x}\mid\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\|<\sigma,\boldsymbol{x}\in\mathbf{R}^{n}\right\} $$

在 $ x\in U(x_0,\sigma)\subset D $时，均有

$$ \Delta J[x]=J[x]-J[x_{0}]\geq0 $$

或者

$$ \Delta J[x]=J[x]-J[x_{0}]\leq0 $$

则称泛函 $ J[x] $ 在 $ x = x_{0} $ 处达到极小值（或极大值）。

2）泛函极值的必要条件。

定理 10-2 设 $ J[x] $ 是在线性赋范空间 $ R^n $ 上某个开子集 $ D $ 中定义的可微泛函，且在 $ x = x_0 $ 处达到极值，则泛函 $ J[x] $ 在 $ x = x_0 $ 处必有

$$ \delta J[x_{0},\delta x]=0 $$

定理表明，泛函一次变分为零，是泛函达到极值的必要条件。

3）变分预备定理。

为了深入研究无约束泛函极值条件和有约束泛函极值条件，以及用变分法求解控制

无约束的最优控制问题，需要应用变分预备定理。

定理 10-3 (变分预备定理) 设 $ \zeta(t) $ 是时间区间 $ [t_0, t_1] $ 上连续的 $ n $ 维向量函数， $ \eta(t) $ 为任意的 $ n $ 维连续向量函数，且有 $ \eta(t_0) = \eta(t_1) = 0 $。若满足

$$ \int_{t_{0}}^{t_{1}}\zeta^{\mathrm{T}}(t)\eta(t)\mathrm{d}t=0 $$

则必有

$$ \zeta(t)\equiv\mathbf{0},\quad\forall t\in\left[t_{0},t_{1}\right] $$

2. 欧拉方程

欧拉方程又称欧拉-拉格朗日方程，是无约束泛函极值及有约束泛函极值的必要条件。在推导欧拉方程的过程中，应用了式(10-21)所示的泛函极值的必要条件，并且为了便于讨论，假定了 $ t_{0} $和 $ t_{f} $给定，且初态 $ \boldsymbol{x}(t_{0}) $和末态 $ \boldsymbol{x}(t_{f}) $为两端固定的情况。

(1) 无约束泛函极值的必要条件

定理 10-4 设有如下泛函极值问题：

$$ \min_{x(t)}J\left[x\right]=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(x,\dot{x},t)dt $$

式中， $ L(x, \dot{x}, t) $ 及 $ x(t) $ 在 $ [t_0, t_f] $ 上连续可微， $ t_0 $ 及 $ t_f $ 给定。已知 $ x(t_0) = x_0 $， $ x(t_f) = x_f $， $ x(t) \in \mathbb{R}^n $，则极值轨线 $ x^*(t) $ 满足如下欧拉方程

$$ \frac{\partial L}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=\mathbf{0} $$

及横截条件

$$ \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\Bigg|_{t_{f}}\delta\boldsymbol{x}\left(t_{f}\right)-\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\Bigg|_{t_{0}}\delta\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=0 $$

证明 设 $ \boldsymbol{x}^{*}(t) $ 是满足边界条件 $ \boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $ 和 $ \boldsymbol{x}(t_{f})=\boldsymbol{x}_{f} $ 的极值轨线， $ \boldsymbol{x}(t) $ 是 $ \boldsymbol{x}^{*}(t) $ 邻域中的一条容许轨线。 $ \boldsymbol{x}(t) $ 与 $ \boldsymbol{x}^{*}(t) $ 之间有下列关系：

$$ x(t)=x^{*}(t)+\delta x(t),\quad\dot{x}(t)=\dot{x}^{*}(t)+\delta\dot{x}(t) $$

以及

$$ \boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}^{*}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\qquad\boldsymbol{x}(t_{f})=\boldsymbol{x}^{*}(t_{f})=\boldsymbol{x}_{f} $$

取泛函增量

$$ \begin{align*}\Delta J\Big[\boldsymbol{x}\Big]=J\Big[\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x}\Big]-J\Big[\boldsymbol{x}^{*}\Big]=&\int_{t_{0}}^{t_{f}}\Big[L(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}},t)-L(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}},t)\Big]\mathrm{d}t\\=&\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\left(\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{x}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\dot{\boldsymbol{x}}+\mathrm{H O T}\right]\mathrm{d}t\end{align*} $$

式中，HOT 代表泰勒展开式中的高阶项。由变分定义知，取上式主部可得

$$ \delta J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\dot{\boldsymbol{x}}}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\dot{\boldsymbol{x}}\right]\mathrm{d}t $$

对上式中的第二项作分部积分，有

$$ \delta J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left(\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)^{\mathrm{T}}\delta x\mathrm{d}t+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)^{\mathrm{T}}\delta x\Bigg|_{t_{0}}^{t_{f}} $$

由定理 10-2，令 $ \delta J = 0 $，再由定理 10-3，考虑到 $ \delta x $ 任意，立即证得本定理的结论式(10-22)和式(10-23)。

在一般情况下，欧拉方程是一个时变二阶非线性微分方程，求解时所需的两点边界值由横截条件式(10-23)提供。由于在两端固定情况下，必有 $ \delta x(t_0) = 0 $ 和 $ \delta x(t_f) = 0 $，因此定理10-4中的横截条件退化为已知边界条件 $ x(t_0) = x_0 $ 和 $ x(t_f) = x_f $。

应当指出，欧拉方程是泛函极值的必要条件，而不是充分必要条件。在处理实际泛函极值问题时，可从实际问题的性质出发，判断泛函极值的存在性，并直接利用欧拉方程求出极值轨线 $ \boldsymbol{x}^{*}(t) $。

例 10-2 设有泛函

$$ J\left[x\right]=\int_{0}^{\pi/2}\left[\dot{x}^{2}(t)-x^{2}(t)\right]\mathrm{d}t $$

已知边界条件为 $ x(0)=0, x(\pi/2)=2 $。求使泛函达到极值的极值轨线 $ x^{*}(t) $。

解 本例 $ L(x, \dot{x}) = \dot{x}^2 - x^2 $，因

$$ \frac{\partial L}{\partial x}=-2x,\quad\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=2\dot{x},\quad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=2\ddot{x} $$

故欧拉方程为

$$ \ddot{x}(t)+x(t)=0 $$

其通解为

$$ x^{*}(t)=c_{1}\cos t+c_{2}\sin t $$

在上式中，分别代入已知边界条件 x(0)=0 和 $ x(\pi/2)=2 $，可求出 $ c_{1}=0 $， $ c_{2}=2 $。于是求出

$$ x^{*}(t)=2\sin t $$

(2) 有等式约束泛函极值的必要条件

在求解实际系统的最优控制问题时，要求使指标泛函取极值的极值轨线同时满足系统的运动微分方程式。因此，控制系统的最优控制问题，要求确定在微分方程等式约束条件下的泛函极值，即条件极值变分问题。

在讨论条件极值的变分问题时，我们仍然先考虑最简单的两端固定情况。利用拉格朗日乘子法，可以将有等式约束的泛函条件极值问题化为无约束泛函极值问题。

定理 10-5 设有如下条件泛函极值问题：

$$ \begin{aligned}&\min_{x(t)}J\big[\boldsymbol{x}\big]=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\boldsymbol{g}\big(\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}},t\big)\mathrm{d}t\\&s.t.\quad\boldsymbol{f}\big(\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}},t\big)=\mathbf{0}\\ \end{aligned} $$

式中， $ f(x, \dot{x}, t) = 0 $ 为系统运动微分方程； $ g(x, \dot{x}, t) $ 及 $ x(t) $ 在 $ [t_0, t_f] $ 上连续可微； $ x, \dot{x}, f(\cdot) \in \mathbb{R}^n $； $ t_0 $ 及 $ t_f $ 给定。已知 $ x(t_0) = x_0 $， $ x(t_f) = x_f $，则极值轨线 $ x^*(t) $ 满足如下欧拉方程及相应的横截条件：

$$ \frac{\partial L}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=\mathbf{0} $$

$$ \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\Bigg|_{t_{f}}\delta\boldsymbol{x}(t_{f})-\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\Bigg|_{t_{0}}\delta\boldsymbol{x}(t_{0})=0 $$

其中

$$ L(x,\dot{x},\lambda,t)=g(x,\dot{x},t)+\lambda^{\mathrm{T}}(t)f(x,\dot{x},t) $$

为拉格朗日函数， $ \lambda(t) \in \mathbb{R}^n $ 为待定拉格朗日乘子。

证明 设 $ \lambda(t) \in \mathbb{R}^n $ 待定，构造广义泛函

$$ J_{a}\left[x\right]=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[g\left(x,\dot{x},t\right)+\lambda^{\mathrm{T}}(t)f(x,\dot{x},t)\right]\mathrm{d}t=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(x,\dot{x},\lambda,t)\mathrm{d}t $$

于是，原性能泛函的条件极值问题，转化为广义泛函的无约束极值问题。根据定理10-4，本定理得证。

与定理 10-4 情况相同，在两端固定情况下，定理 10-5 的横截条件退化为已知的两点边界条件。

例 10-3 设人造地球卫星姿态控制系统的状态方程为

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}\boldsymbol{u}(t) $$

指标泛函取

$$ J=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}u^{2}(t)dt $$

边界条件为

$$ \boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix},\qquad\boldsymbol{x}(2)=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix} $$

试求使指标泛函取极值的极值轨线 $ x^{*}(t) $ 和极值控制 $ u^{*}(t) $。

解 本例为有等式约束泛函极值问题。由题意

$$ \boldsymbol{g}=\frac{1}{2}\boldsymbol{u}^{2},\quad\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&\lambda_{2}\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{f}=\begin{bmatrix}f_{1}\\ f_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_{2}-\dot{x}_{1}\\ u-\dot{x}_{2}\end{bmatrix} $$

故拉格朗日标量函数

$$ L=g+\lambda^{\mathrm{T}}f=\frac{1}{2}u^{2}+\lambda_{1}\left(x_{2}-\dot{x}_{1}\right)+\lambda_{2}\left(u-\dot{x}_{2}\right) $$

欧拉方程

$$ \frac{\partial L}{\partial x_{1}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{1}}=\dot{\lambda}_{1}=0,\quad\lambda_{1}=a $$

$$ \frac{\partial L}{\partial x_{2}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{2}}=\lambda_{1}+\dot{\lambda}_{2}=0,\quad\lambda_{2}=-a t+b $$

$$ \frac{\partial L}{\partial u}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{u}}=u+\lambda_{2}=0,\quad u=a t-b $$

式中，常数 a，b 待定。

由状态约束方程

$$ \dot{x}_{2}=u=a t-b,\quad x_{2}=\frac{1}{2}a t^{2}-b t+c $$

$$ \dot{x}_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}a t^{2}-b t+c,\quad x_{1}=\frac{1}{6}a t^{3}-\frac{1}{2}b t^{2}+c t+d $$

式中，常数 c，d 待定。代入已知边界条件： $ x_{1}(0)=1 $， $ x_{2}(0)=1 $， $ x_{1}(2)=0 $， $ x_{2}(2)=0 $，可求得

$$ a=3,\quad b=3.5,\quad c=d=1 $$

于是极值轨线

$$ x_{1}^{*}(t)=0.5t^{3}-1.75t^{2}+t+1 $$

$$ x_{2}^{*}(t)=1.5t^{2}-3.5t^{2}+1 $$

极值控制

$$ u^{*}(t)=3t-3.5 $$

3. 横截条件

求解欧拉方程，需要由横截条件提供两点边界值。前面研究的两端固定，且初始时刻 $ t_{0} $ 和末端时刻 $ t_{f} $ 同时固定的情况，是一种最简单的情况。在实际工程问题中，初始时刻 $ t_{0} $ 和初始状态 $ \boldsymbol{x}(t_{0}) $ 往往是固定的，但末端时刻 $ t_{f} $ 可以固定，也可以自由；末端状态 $ \boldsymbol{x}(t_{f}) $ 可以固定，可以自由，也可以受约束。下面将讨论 $ t_{f} $ 固定和 $ t_{f} $ 自由时的各种横截条件，同时指出，在不同横截条件情况下，欧拉方程的形式总是不变的。

(1) 末端时刻固定时的横截条件

当 $t_f$ 固定时，由泛函极值的必要条件可知，横截条件的一般表达式为(10-23)。在 $\boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{x}_0$ 固定情况下，因 $\delta \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{0}$，故横截条件及边界条件的一般形式应为

$$ \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\Bigg|_{t_{f}}\delta\boldsymbol{x}(t_{f})=0,\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $$

显然，当末端固定 $ x(t_f)x_f $ 时，末端状态变分 $ \delta x(t_f) = 0 $，横截条件及边界条件式 (10-24) 退化为边界条件 $ x(t_f) = x_f $ 和 $ x(t_0) = x_0 $；当末端状态 $ x(t_f) $ 自由时，末端状态变分 $ \delta x(t_f) \neq 0 $，横截条件及边界条件式 (10-24) 演变为

$$ \frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf{x}}}\bigg|_{t=t_{i}}=\mathbf{0},\qquad\mathbf{x}(t_{0})=\mathbf{x}_{0} $$

(2) 末端时刻自由时的横截条件

$t_f$ 自由且 $\boldsymbol{x}(t_f)$ 自由或受约束情况，属于变动端点情况。在变动端点问题中，可以证明：极值仅在欧拉方程的解 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(t, c_1, c_2)$ 上达到。其中，待定系数 $c_1$ 和 $c_2$ 由横截条件确定。因此，泛函极值由 $\boldsymbol{x}(t, c_1, c_2)$ 一类函数确定。

设 $ t_f $ 自由，起点固定 $ \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{x}_0 $，末端有约束 $ \boldsymbol{x}(t_f) = \boldsymbol{c}(t_f) $ 的变分问题如图 10-2 所示。图中， $ \boldsymbol{x}^*(t) $ 为极值轨线； $ \boldsymbol{x}(t) $ 为 $ \boldsymbol{x}^*(t) $ 邻域内的任一条容许轨线； $ (\boldsymbol{x}_0, t_0) $ 表示起点；点

$ (x_f, t_f) $ 到点 $ (x_f + \delta x_f, t_f + \delta t_f) $ 表示变动端； $ c(t) $ 表示端点约束曲线，要求 $ x(t_f) = c(t_f) $； $ \delta t_f $ 为微变量，表示末端时刻的变分。例如，利用地空导弹截击按程序机构控制飞行轨迹的高空无人侦察机即属于这类问题。其中，导弹轨迹 $ x(t) $ 和无人机轨迹 $ c(t) $ 都随时间而变，但要求有 $ x(t_f) = c(t_f) $。

由图 10-2 可见，在末端受约束时，存在如下近似关系式：

$$ \delta\boldsymbol{x}(t_{f})=\delta\boldsymbol{x}_{f}-\dot{\boldsymbol{x}}(t_{f})\delta t_{f} $$

$$ \delta\boldsymbol{x}_{f}=\dot{\boldsymbol{c}}(t_{f})\delta\boldsymbol{t}_{f} $$

如果末端 $ x(t_{f}) $ 自由，由于约束曲线 $ c(t) $ 不存在，故仅存在关系式(10-26)。

设性能指标泛函为下列连续泛函：

$$ J\left[x\right]=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(x,\dot{x},t)\mathrm{d}t $$

容许轨线 $ x(t) $ 与极值轨线 $ x^{*}(t) $ 之间有如下关系：

$$ \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}^{*}(t)+\boldsymbol{\delta}\boldsymbol{x}(t),\quad\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\dot{\boldsymbol{x}}^{*}(t)+\boldsymbol{\delta}\dot{\boldsymbol{x}}(t) $$

当末端由 $ (x_{f},t_{f}) $位置移动到 $ (x_{f}+\delta x_{f},t_{f}+\delta t_{f}) $位置时，产生如下泛函增量：

$$ \begin{align*}\Delta J=&\int_{t_{0}}^{t_{f}+\delta t_{f}}L(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}},t)\mathrm{d}t-\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t)\mathrm{d}t\\=&\int_{t_{0}}^{t_{f}+\delta t_{f}}L(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}},t)\mathrm{d}t\\&+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\Big[L(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}},t)-L(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t)\Big]\mathrm{d}t\end{align*} $$

对于式(10-30)右端第一项，根据积分中值定理可得

$$ \int_{t_{0}}^{t_{f}+\delta t_{f}}L(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}},t)\mathrm{d}t=L(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}},t)\bigg|_{t=t_{f}+\theta\delta t_{f}}\delta t_{f} $$

式中， $ 0 < \theta < 1 $。由于函数 $ L(\cdot) $ 是连续的，因而

$$ L(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}},t)\big|_{t=t_{f}+\theta\delta t_{f}}=L(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t)\big|_{t_{f}}+\varepsilon_{1} $$

式中 $ \varepsilon_{1} \rightarrow 0 $ ，故有

$$ \int_{t_{f}}^{t_{f}+\delta t_{f}}L(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}},t)\mathrm{d}t=L(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t)\bigg|_{t_{f}}\delta t_{f}+\varepsilon_{1}\delta t_{f} $$

对于式(10-30)右端第二项，将被积函数在极值轨线处展成泰勒级数，有

$$ \begin{aligned}&\int_{t_{0}}^{t_{f}}\Big[L(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}},t)-L(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t)\Big]\mathrm{d}t\\&=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\left(\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{x}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\dot{\boldsymbol{x}}+\mathrm{H O T}\right]\mathrm{d}t\\ \end{aligned} $$

取上式右端中第二项进行分部积分，得

$$ \int_{t_{0}}^{t_{f}}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\dot{\boldsymbol{x}}\mathrm{d}t=\left[\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}\right]_{t_{0}}^{t_{f}}-\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}\mathrm{d}t $$

将式(10-33)代入式(10-32)，所得结果代入式(10-30)，同时将式(10-31)也代入式(10-30)，然后对式(10-30)表示的泛函增量取线性主部，即得泛函变分

$$ \delta J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left(\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{x}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}\mathrm{d}t+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}\bigg|_{t_{0}}^{t_{f}}+L\left(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t\right)\bigg|_{t_{f}}\delta t_{f} $$

令式(10-34)表示的 $ \delta J = 0 $，同时考虑到 $ \delta \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{0} $，立即得到 $ t_f $ 自由、末端变动时泛函极值的必要条件：欧拉方程

$$ \frac{\partial L}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=\mathbf{0} $$

横截条件及边界条件

$$ \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\Bigg|_{t_{f}}\delta\boldsymbol{x}\big(t_{f}\big)+L\big(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t\big)\Big|_{t_{f}}\delta t_{f}=0,\quad\boldsymbol{x}\big(t_{0}\big)=\boldsymbol{x}_{0} $$

由式(10-35)、式(10-36)的推导过程和推导结果，可见：

1） $ t_{f} $ 自由、末端变动时的欧拉方程(10-35)的形式，与 $ t_{f} $ 固定、末端固定时的欧拉方程(10-22)完全相同，这一结论同样适用于有等式约束的泛函数值问题。

2） $ t_{f} $ 自由、末端变动时的横截条件及边界条件通式(10-36)，包含了 $ t_{f} $ 固定、末端固定时的横截条件及边界条件通式(10-24)，因为在 $ t_{f} $ 固定的情况下必有 $ \delta t_{f}=0 $。

(3) 末端时刻自由、末端状态变动时的横截条件

1) 末端自由时的横截条件。当末端 $ x(t_{f}) $ 自由时，关系式(10-26)成立：

$$ \delta\boldsymbol{x}\left(t_{f}\right)=\delta\boldsymbol{x}_{f}-\dot{\boldsymbol{x}}\left(t_{f}\right)\delta t_{f} $$

将上式代入式(10-36)，整理得

$$ \begin{aligned}&\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)^{\mathrm{T}}\Bigg|_{t_{f}}\delta\boldsymbol{x}_{f}+\left[L(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t)-\dot{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}(t)\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right]\Bigg|_{t_{f}}\delta t_{f}=0\\&\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}\\ \end{aligned} $$

因为 $ \delta x_{f} $ 和 $ \delta t_{f} $ 均任意，故 $ t_{f} $ 自由、 $ x(t_{f}) $ 自由时的横截条件和边界条件为

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}\\&\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right)_{t_{f}}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{0}\\&\left[L(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t)-\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right]_{t_{f}}=0\\ \end{aligned} $$

2）末端受约束时的横截条件。设末端约束方程为

$$ x(t_{f})=c(t_{f}) $$

此时， $ \delta x_{f} $ 不能任意。由式(10-27)知

$$ \delta\boldsymbol{x}_{f}=\dot{\boldsymbol{c}}(t_{f})\delta\boldsymbol{t}_{f} $$

将上式代入式(10-37)，整理得

$$ \begin{align*}\boldsymbol{x}(t_{0})&=\boldsymbol{x}_{0}\\\left[L(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t)+(\dot{c}-\dot{x})^{\mathrm{T}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right]_{t_{f}}\delta t_{f}&=0\end{align*} $$

因为 $ \delta t_{f} $任意，故 $ t_{f} $自由、 $ x(t_{f}) $受约束时的横截条件和边界条件为

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}\\&\boldsymbol{x}(t_{f})=\boldsymbol{c}(t_{f})\\&\left[\boldsymbol{L}(\boldsymbol{x}^{*},\dot{\boldsymbol{x}}^{*},t)+\left(\dot{\boldsymbol{c}}-\dot{\boldsymbol{x}}\right)^{\mathrm{T}}\frac{\partial\boldsymbol{L}}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\right]\bigg|_{t_{f}}=0\end{aligned} $$

在初始时刻 $ t_{0} $ 及初始状态 $ x(t_{0}) = x_{0} $ 固定的情况下，不同末端时刻和不同末端边界所对应的横截条件与边界条件，如表 10-1 所示。

| $ J[x]=\int_{t}^{t_{f}}L(x,\dot{x},t)dt $ | 横截条件与边界条件 | |

| --- | --- | --- |

| $ t_{f} $ 固定\n( $ x(t_{0}) $ 固定) | $ x(t_{f}) $ 固定 | $ x(t_{0})=x_{0}, \quad x(t_{f})=x_{f} $ |

| $ x(t_{f}) $ 自由 | $ x(t_{0})=x_{0}, \quad \left|\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right|_{t_{f}}=0 $ | |

| $ t_{f} $ 自由\n( $ x(t_{0}) $ 固定) | $ x(t_{f}) $ 自由 | $ x(t_{0})=x_{0}, \quad \left|\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right|_{t_{f}}=0 $\n $ \left[L-\dot{x}^{\top}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right]_{t_{f}}=0 $ |

| $ x(t_{f}) $ 约束 | $ x(t_{0}0=x_{0}, \quad x(t_{f})=c(t_{f}) $\n $ \left[L+(\dot{c}-\dot{x})^{\top}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right]_{t_{f}}=0 $ | |

例 10-4 设性能指标泛函

$$ J=\int_{0}^{t_{r}}(1+\dot{x}^{2})^{1/2}\mathrm{d}t $$

式中，末端时刻 $ t_{f} $未给定。已知 $ x(0)=1 $，要求

$$ x(t_{f})=c(t_{f})=2-t_{f} $$

求使泛函为极值的最优轨线 $ x^{*}(t) $ 及相应的 $ t_{f}^{*} $ 和 $ J^{*} $。

解 本例为起点固定、 $ t_{f} $ 自由、末端受约束的泛函极值问题。显然，所给出的指标泛函就是 $ x(t) $ 的弧长，约束方程 $ c(t)=2-t $ 为平面上的斜直线，如图 10-3 所示。本例问题的实质是求从 $ x(0) $ 到直线 $ c(t) $ 并使弧长最短的曲线 $ x^{*}(t) $。图中， $ x(t) $ 为一条任意的容许轨线。

由题意

$$ L(x,\dot{x},t)=(1+\dot{x}^{2})^{1/2} $$

其偏导数为

$$ \frac{\partial L}{\partial x}=0,\qquad\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=\frac{\dot{x}}{\left(1+\dot{x}^{2}\right)^{1/2}} $$

根据欧拉方程

$$ \frac{\partial L}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\dot{x}}{\sqrt{1+\dot{x}^{2}}}\right]=0 $$

求得

$$ \frac{\dot{x}}{\sqrt{1+\dot{x}^{2}}}=c,\quad\dot{x}^{2}=\frac{c^{2}}{1-c^{2}}=a^{2} $$

式中，c 为积分常数，a 为待定常数。因而

$$ \dot{x}(t)=a,\qquad x(t)=a t+b $$

其中 b 也是待定常数。

由 $ x(0)=1 $，求出b=1；由横截条件

$$ \left[L+(\dot{c}-\dot{x})^{\mathrm{T}}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right]\Bigg|_{t_{f}}=\left[\sqrt{1+\dot{x}^{2}}+(-1-\dot{x})\frac{\dot{x}}{\sqrt{1+\dot{x}^{2}}}\right]\Bigg|_{t_{f}}=0 $$

解得 $ \dot{x}(t_{f})=1 $。因为 $ \dot{x}(t)=a $，所以有 a=1。从而最优轨线为

$$ x^{*}(t)=t+1 $$

当 $ t=t_{f} $时， $ x(t_{f})=c(t_{f}) $，即

$$ t_{f}+1=2-t_{f} $$

求出最优末端时刻 $ t_{f}^{*}=0.5 $。将 $ x^{*}(t) $及 $ t_{f}^{*} $代入指标泛函，可得最优性能指标 $ J^{*}=0.707 $。

4. 变分法解最优控制问题

在控制向量不受约束，且是时间的连续函数情况下，可用变分法导出最优控制解的必要条件。在变分法问题中，以复合型指标泛函、末端受约束的情况最有代表性。

设系统状态方程为

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t),\qquad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $$

性能指标泛函为

$$ J=\varphi\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)\mathrm{d}t $$

式中， $ x \in \mathbb{R}^n; u \in \mathbb{R}^m $，无约束，且在 $ [t_0, t_f] $上连续；在 $ [t_0, t_f] $上，向量函数 $ f(\cdot) $、标量函数 $ \varphi(\cdot) $和 $ L(\cdot) $连续且可微；末端时刻 $ t_f $可以固定，也可以自由；末端状态 $ x(t_f) $受约束，其要求的目标集为

$$ \psi\left[x(t_{f}),t_{f}\right]=0 $$

其中 $ \psi \in \mathbb{R}^r $， $ r \leq n $。最优控制问题是：确定最优控制 $ u^*(t) $ 和最优轨线 $ x^*(t) $，使系统(10-40) 由已知初态 $ x_0 $ 转移到要求的目标集(10-42)，并使给定的指标泛函(10-41)达到极值。

显然，上述问题是一个有等式约束的泛函极值问题，可以采用拉格朗日乘子法，把有约束泛函极值问题化为无约束泛函极值问题。构造哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\lambda,t)=\boldsymbol{L}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t) $$

式中， $ \lambda \in \mathbb{R}^n $ 为拉格朗日乘子向量。则最优解的必要条件可以分别讨论如下。

(1) 末端时刻固定时的最优解

当$t_f$固定时，引入拉格朗日乘子向量：$\lambda(t)\in\mathbb{R}^n$，$\gamma\in\mathbb{R}^r$，构造如下广义泛函：

$$ \begin{align*}J_{a}&=\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]+\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\psi}\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\Big\{L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\big[f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)-\dot{\boldsymbol{x}}(t)\big]\Big\}\mathrm{d}t\\&=\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]+\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\psi}\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\Big[H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda},t)-\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\dot{\boldsymbol{x}}(t)\Big]\mathrm{d}t\end{align*} $$

由于分部积分

$$ -\int_{t_{0}}^{t_{f}}\lambda^{\mathrm{T}}(t)\dot{x}(t)\mathrm{d}t=-\lambda^{\mathrm{T}}(t)\dot{x}(t)\Big|_{t_{0}}^{t_{f}}+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\dot{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\dot{x}(t)\mathrm{d}t $$

故广义泛函可表示为

$$ \begin{align*}J_{a}=&\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]+\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\psi}\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]-\dot{\boldsymbol{\lambda}}^{\mathrm{T}}(t_{f})\boldsymbol{x}(t_{f})+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t_{0})\boldsymbol{x}(t_{0})\\&+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\Big[H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda},t)+\dot{\boldsymbol{\lambda}}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{x}(t)\Big]\mathrm{d}t\end{align*} $$

对广义泛函式(10-44)取一次变分，注意到待定乘子向量 $ \lambda(t) $ 和 $ \gamma $ 不变分，以及 $ \delta x(t_0) = 0 $，可得

$$ \delta J_{a}=\delta\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t_{f})\left[\frac{\partial\boldsymbol{\varphi}}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})}+\frac{\partial\boldsymbol{\psi}^{\mathrm{T}}}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})}\boldsymbol{\gamma}-\boldsymbol{\lambda}(t_{f})\right]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\left(\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{x}}+\dot{\boldsymbol{\lambda}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}+\left(\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{u}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{u}\right]\mathrm{d}t $$

根据泛函极值的必要条件，令式(10-45)为零，考虑到宗量变分 $ \delta x $， $ \delta u $ 和 $ \delta x(t_f) $ 的任意性，及变分预备定理，得如下广义泛函取极值的必要条件：欧拉方程

$$ \dot{\lambda}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x} $$

$$ \frac{\partial H}{\partial\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{0} $$

横截条件

$$ \lambda(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial x(t_{f})}+\frac{\partial\psi^{\mathrm{T}}}{\partial x(t_{f})}\gamma $$

由于引进哈密顿函数形式(10-43)，使得

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\lambda}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t) $$

上式与式(10-46)形成正则形式，其右端都是哈密顿函数的适当偏导数，故将式(10-49)和式(10-46)称为正则方程。因为式(10-49)是众知的状态方程，故称式(10-46)为协态方程，相应的乘子向量 $ \lambda(t) $称为协态向量。

正则方程(10-49)和方程(10-46)是 $ 2n $ 个一阶微分方程组，初始条件 $ \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{x}_0 $ 和横截条件(10-48)正好为正则方程提供 $ 2n $ 个边界条件，根据对 $ f(\cdot) $， $ L(\cdot) $ 和 $ \varphi(\cdot) $ 的连续性和可微性假设，正则方程可以唯一确定状态向量 $ \boldsymbol{x}(t) $ 和协态向量 $ \boldsymbol{\lambda}(t) $。

对于确定的 $ \boldsymbol{x}(t) $ 和 $ \boldsymbol{\lambda}(t) $，哈密顿函数 $ H(\cdot) $ 是控制向量 $ \boldsymbol{u}(t) $ 的函数。式(10-47)表明，最优控制 $ \boldsymbol{u}^{*}(t) $ 使哈密顿函数 $ H(\cdot) $ 取驻值，因此式(10-47)通常称为极值条件或控制方程。由极值条件(10-47)，可以确定最优控制 $ \boldsymbol{u}^{*}(t) $ 与最优轨线 $ \boldsymbol{x}^{*}(t) $ 和协态向量 $ \boldsymbol{\lambda}^{*}(t) $ 之间的关系。

应当指出，正则方程(10-49)、(10-46)与极值条件(10-47)，形成变量间相互耦合的方程组，其边界条件由初始条件、横截条件(10-48)和目标集(10-42)提供，其中目标集条件(10-42)用于联合确定待定的拉格朗日乘子向量 $ \gamma $。

上述讨论，可以归纳为如下定理。(为便于书写，今后凡不致混淆之处，均省略“*”号)。

定理 10-6 对于如下最优控制问题：

$$ \begin{aligned}\min_{u(t)}J&=\varphi\big[\boldsymbol{x}(t)\big]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}L\big(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t\big)\mathrm{d}t\\ s.t.\quad&\quad\textcircled{1}\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{f}\big(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t\big),\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}\\&\quad\textcircled{2}\psi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]=\mathbf{0}\end{aligned} $$

式中， $ x \in \mathbb{R}^n; u \in \mathbb{R}^m $，无约束且在 $ [t_0, t_f] $上连续； $ \psi \in \mathbb{R}^r $， $ r \leq n $；在 $ [t_0, t_f] $上， $ f(\cdot) $， $ \psi(\cdot) $， $ \varphi(\cdot) $和 $ L(\cdot) $连续且可微； $ t_f $固定。最优解的必要条件为

1) $ x(t) $ 和 $ \lambda(t) $ 满足正则方程

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{\lambda}},\qquad\dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{x}} $$

式中

$$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\lambda,t)=\boldsymbol{L}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t) $$

2）边界条件与横截条件

$$ \boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\qquad\psi\left[\boldsymbol{x}(t_{f})\right]=\mathbf{0} $$

$$ \lambda(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial x(t_{f})}+\frac{\partial\psi^{\mathrm{T}}}{\partial x(t_{f})}\gamma $$

3 ）极值条件

$$ \frac{\partial H}{\partial\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{0} $$

定理 10-6 是 $ t_{f} $ 固定、末端 $ x(t_{f}) $ 受约束时泛函极值的必要条件，通过适当修改，其结论可以移植到末端自由和末端固定时的情况。

当末端时刻 $ t_f $ 固定、末端 $ \boldsymbol{x}(t_f) $ 自由时，由于不存在目标集条件 (10-42)，因此在定理 10-6 的结论中，删除向量 $ \boldsymbol{\psi}[\boldsymbol{x}(t_f)] $，即为 $ t_f $ 固定、 $ \boldsymbol{x}(t_f) $ 自由时泛函极值的必要条件。这一结论，通过定理 10-6 的推导过程明显可见。

当末端时刻 $ t_f $ 固定、末端 $ \boldsymbol{x}(t_f) = \boldsymbol{x}_f $ 固定时，由于 $ \delta \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{0} $ 以及 $ \delta \boldsymbol{x}(t_f) = \boldsymbol{0} $，广义泛函 $ J_a $ 的一次变分 (10-45) 变成

$$ \delta J_{a}=\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\left(\frac{\partial H}{\partial x}+\dot{\lambda}\right)^{\mathrm{T}}\delta x+\left(\frac{\partial H}{\partial u}\right)^{\mathrm{T}}\delta u\right]\mathrm{d}t $$

式中， $ \delta x $ 是任意的，但容许控制变分 $ \delta u $ 不再是完全任意的，必须满足某些限制条件。卡尔曼曾经论证：若系统完全可控，同样可以导出 $ \partial H / \partial u = 0 $ 的极值条件。因此，在系统可控条件下，令式(10-50)为零，由变分预备定理得

$$ \dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{x}},\qquad\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{0} $$

应当特别注意的是，因为 $ \delta \boldsymbol{x}(t_f) = \boldsymbol{0} $，所以横截条件式(10-48)不成立，也不可能是 $ \boldsymbol{\lambda}(t_f) = \partial \varphi / \partial \boldsymbol{x}(t_f) $；当 $ \varphi(\cdot) = 0 $ 时， $ \lambda(t_f) = \boldsymbol{0} $ 也不能成立。此时，已知的 $ \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{x}_0 $ 和 $ \boldsymbol{x}(t_f) = \boldsymbol{x}_f $，就是求解正则方程的两端边界条件。

例 10-5 设系统方程为

$$ \begin{aligned}&\dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t)\\&\dot{x}_{2}(t)=u(t)\\ \end{aligned} $$

求从已知初态 $ x_{0}(0)=0 $ 和 $ x_{2}(0)=0 $，在 $ t_{f}=1 $ 时转移到目标集（末端约束）

$$ x_{1}(1)+x_{2}(1)=1 $$

且使性能指标

$$ J=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{2}(t)\mathrm{d}t $$

为最小的最优控制 $ u^{*}(t) $ 和相应的最优轨线 $ x^{*}(t) $

解 本例控制无约束，可用变分法求解，属积分型性能指标、 $ t_{f} $ 固定、末端受约束的泛函极值问题。由题意：

$$ \begin{aligned}&\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]=0,\qquad L(\cdot)=\frac{1}{2}u^{2}\\&\psi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]=x_{1}(1)+x_{2}(1)-1\\ \end{aligned} $$

构造哈密顿函数

$$ H=\frac{1}{2}u^{2}+\lambda_{1}x_{2}+\lambda_{2}u $$

由协态方程

$$ \dot{\lambda}_{1}=-\frac{\partial H}{\partial x_{1}}=0,\quad\lambda_{1}(t)=c_{1} $$

$$ \dot{\lambda}_{2}=-\frac{\partial H}{\partial x_{2}}=-\lambda_{1},\quad\lambda_{2}(t)=-c_{1}t+c_{2} $$

由极值条件

$$ \frac{\partial H}{\partial u}=u+\lambda_{2}=0,\qquad u(t)=-\lambda_{2}(t)=c_{1}t-c_{2} $$

由状态方程

$$ \dot{x}_{2}=u=c_{1}t-c_{2},\quad x_{2}(t)=\frac{1}{2}c_{1}t^{2}-c_{2}t+c_{3} $$

$$ \dot{x}_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}c_{1}t^{2}-c_{2}t+c_{3},\quad x_{1}(t)=\frac{1}{6}c_{1}t^{3}-\frac{1}{2}c_{2}t^{2}+c_{3}t+c_{4} $$

根据已知初态 $ x_{1}(0)=x_{2}(0)=0 $，求出

$$ c_{3}=c_{4}=0 $$

再由目标集条件 $ x_{1}(1)+x_{2}(1)-1=0 $，求得

$$ 4c_{1}-9c_{2}=6 $$

根据横截条件

$$ \lambda_{1}(1)=\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}(1)}\gamma=\gamma,\quad\lambda_{2}(1)=\frac{\partial\psi}{\partial x_{2}(1)}\gamma=\gamma $$

得到 $ \lambda_{1}(1)=\lambda_{2}(1) $，故有 $ c_{1}=\frac{1}{2}c_{2} $。于是解出

$$ c_{1}=-\frac{3}{7},\qquad c_{2}=-\frac{6}{7} $$

$$ u^{*}(t)=-\frac{3}{7}(t-2) $$

从而，本例最优解为

$$ x_{1}^{*}(t)=-\frac{1}{14}t^{2}(t-6) $$

$$ x_{2}^{*}(t)=-\frac{3}{14}t(t-4) $$

(2) 末端时刻自由时的最优解

当 $ t_{f} $自由时，末端状态又可区分为受约束、自由和固定等三种情况。其中，以复合型性能指标、末端受约束的泛函数值问题最具一般性，所得到的结果可以方便地推广到末端自由和末端固定情况。末端时刻自由时所讨论的问题，除 $ t_{f} $自由外，其余与末端时刻固定时所讨论的内容相同。

定理 10-7 对于如下最优控制问题：

$$ \min_{u(t)}J=\varphi\left[x(t_{f}),t_{f}\right]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(x,u,t)\mathrm{d}t $$

$$ \mathrm{s.t.}\quad\textcircled{1}\dot{x}(t)=f(x,u,t),x(t_{0})=x_{0} $$

$$ \textcircled{2}\psi\Big[{\boldsymbol x}(t_{f}),t_{f}\Big]=\mathbf{0} $$

式中， $ t_{f} $ 自由，其余假设同定理 10-6，则最优解的必要条件为

1) $ x(t) $ 和 $ \lambda(t) $ 满足正则方程

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{\lambda}},\qquad\dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{x}} $$

其中

$$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\lambda,t)=\boldsymbol{L}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t) $$

2）边界条件与横截条件

$$ \boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\qquad\quad\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=\mathbf{0} $$

$$ \lambda(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial x(t_{f})}+\frac{\partial\psi^{\mathrm{T}}}{\partial x(t_{f})}\gamma $$

3）极值条件

$$ \frac{\partial H}{\partial\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{0} $$

4）在最优轨线末端哈密顿函数变化律

$$ H(t_{f})=-\frac{\partial\varphi}{\partial t_{f}}-\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial t_{f}} $$

证明 引入拉格朗日乘子向量 $ \lambda(t) \in \mathbb{R}^n $ 和 $ \gamma \in \mathbb{R}^r $，构造广义泛函

$$ \boldsymbol{J}_{a}=\boldsymbol{\varphi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]+\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda},t)-\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\dot{\boldsymbol{x}}(t)\right]\mathrm{d}t $$

式中，哈密顿函数 $ H(x,u,\lambda,t) $ 定义同式(10-43)

当末端位置由 $ (x_{f},t_{f}) $移动到 $ (x_{f}+\delta x_{f},t_{f}+\delta t_{f}) $时，产生如下广义泛函增量：

$$ \begin{aligned}\Delta J_{a}=&\varphi\Big[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f})+\delta\boldsymbol{x}_{f},t_{f}+\delta t_{f}\Big]-\varphi\Big[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f}),t_{f}\Big]\\&+\gamma^{\mathrm{T}}\Big\{\boldsymbol{\psi}\Big[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f})+\delta\boldsymbol{x}_{t},t_{f}+\delta t_{f}\Big]-\boldsymbol{\psi}\Big[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f}),t_{f}\Big]\Big\}\\&+\int_{t_{f}}^{t_{f}+\delta t_{f}}\Big\{H(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}^{*}+\delta\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda},t)-\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\Big[\dot{\boldsymbol{x}}^{*}+\delta\dot{\boldsymbol{x}}\Big]\Big\}\mathrm{d}t\\&+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\Big[H(\boldsymbol{x}^{*}+\delta\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}^{*}+\delta\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda},t)-H(\boldsymbol{x}^{*},\boldsymbol{u}^{*},\boldsymbol{\lambda},t)-\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\delta\dot{\boldsymbol{x}}\Big]\mathrm{d}t\end{aligned} $$

将上式展成泰勒级数并取主部，以及应用积分中值定理并考虑到 $ \delta x(t_0) = 0 $，可得广义泛函变分表达式

$$ \begin{aligned}\delta\boldsymbol{J}_{a}=&\Biggl[\frac{\partial\boldsymbol{\varphi}}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})}\Biggr]^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}_{f}+\frac{\partial\boldsymbol{\varphi}}{\partial t_{f}}+\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\Biggl\{\Biggl[\frac{\partial\boldsymbol{\psi}^{\mathrm{T}}}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})}\Biggr]^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}_{f}+\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial t_{f}}\delta t_{f}\Biggr\}+(\boldsymbol{H}-\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\dot{\boldsymbol{x}})\Biggl|_{t_{f}}\delta t_{f}\\&+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\Biggl[\left(\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{x}}+\dot{\boldsymbol{\lambda}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}+\left(\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{u}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{u}\Biggr]\mathrm{d}t-(\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x})\Biggl|_{t_{f}}\end{aligned} $$

由式(10-26)知，如下关系式成立：

$$ \delta\boldsymbol{x}(t_{f})=\delta\boldsymbol{x}_{f}-\dot{\boldsymbol{x}}(t_{f})\delta t_{f} $$

将式(10-26)代入式(10-51)，整理得

$$ \begin{aligned}\delta\boldsymbol{J}_{a}=&\left[\frac{\partial\varphi}{\partial t_{f}}+\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial t_{f}}+\boldsymbol{H}(t_{f})\right]\delta\boldsymbol{t}_{f}+\left[\frac{\partial\varphi}{\partial\mathbf{x}(t_{f})}+\frac{\partial\boldsymbol{\psi}^{\mathrm{T}}}{\partial\mathbf{x}(t_{f})}\boldsymbol{\gamma}-\boldsymbol{\lambda}(t_{f})\right]^{\mathrm{T}}\delta\mathbf{x}_{f}\\&+\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\left(\frac{\partial H}{\partial\mathbf{x}}+\dot{\boldsymbol{\lambda}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\mathbf{x}+\left(\frac{\partial H}{\partial\mathbf{u}}\right)^{\mathrm{T}}\delta\mathbf{u}\right]\mathrm{d}t\end{aligned} $$

令上式 $ \delta J_a = 0 $，考虑到式中各微变量 $ \delta t_f $、 $ \delta x_f $、 $ \delta x $ 和 $ \delta u $ 均是任意的，由变分预备定理立即证得本定理的各项结论。

定理 10-7 的结论同样可方便地推广至末端自由和末端固定的情况，其注意事项与末端时刻固定时最优解的情况相同。不同末端状态边界条件下求最优解的必要条件列于表 10-2，以供使用时参考。

| $ \min_{u(t)}J = \varphi(\cdot) + \int_{t_i}^{t_f} L(x,u,t)dt $\ns.t. $ \dot{x}(t) = f(x,u,t) $\n $ x(t_0) = x_0 $\n $ \psi[\mathbf{x}(t_f), t_f] = 0 $\n $ H = L(x,u,t) + \lambda^T f(x,u,t) $ | 正则方程 | 极值条件 | 边界条件与横截面条件 | H变化律 | |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| $ t_f $ 固定 | 末端约束 | $ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial \lambda} $\n $ \dot{\lambda} = -\frac{\partial H}{\partial x} $ | $ \frac{\partial H}{\partial u} = 0 $ | $ x(t_0) = x_0, \psi[\mathbf{x}(t_f)] = 0 $\n $ \lambda(t_f) = \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{x}(t_f)} + \frac{\partial \psi^\top}{\partial \mathbf{x}(t_f)} \gamma $ | $ H(t_f) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t_f} - \gamma^\top \frac{\partial \psi}{\partial t_f} $ |

| 末端自由 | $ x(t_0) = x_0 $\n $ \lambda(t_f) = \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{x}(t_f)} $ | | | | |

| 末端固定\n(系统可控) | $ x(t_0) = x_0 $\n $ \lambda(t_f) = x_f $ | | | | |

| $ x(t_0) = x_0 $\n $ \psi[\mathbf{x}(t_f), t_f] = 0 $\n $ \lambda(t_f) = \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{x}(t_f)} + \frac{\partial \psi^\top}{\partial \mathbf{x}(t_f)} \gamma $ | $ H(t_f) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t_f} - \gamma^\top \frac{\partial \psi}{\partial t_f} $ | | | | |

| $ \min_{u(t)}J=\varphi(\cdot)+\int_{t_0}^{t_f}L(x,u,t)dt $

s.t. $ \dot{x}(t)=f(x,u,t) $

$ x(t_0)=x_0 $

$ \psi[\mathbf{x}(t_f),t_f]=0 $

$ H=L(x,u,t)+\lambda^T f(x,u,t) $ | 正则方程 | 极值条件 | 边界条件与横截面条件 | H变化律 | |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| $ t_f $ 自由 | 末端约束 | $ \dot{x}=\frac{\partial H}{\partial \lambda} $ | $ \frac{\partial H}{\partial u}=0 $ | $ \mathbf{x}(t_0)=x_0 $

$ \lambda(t_f)=\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{x}(t_f)} $ | $ H(t_f)=-\frac{\partial \varphi}{\partial t_f} $ |

| 末端自由 | | | | | |

| 末端固定（系统可控） | $ \mathbf{x}(t_0)=x_0 $

$ \lambda(t_f)=x_f $ | $ H(t_f)=-\frac{\partial \varphi}{\partial t_f} $ | | | |

$$ \dot{x}(t)=u(t) $$

已知 $ x(0)=1 $，要求 $ x(t_{f})=0 $，试求使性能指标

$$ J=t_{f}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t_{f}}u^{2}(t)dt $$

为极小的最优控制 $ u^{*}(t) $，以及相应的最优轨线 $ x^{*}(t) $、最优末端时刻 $ t_{f}^{*} $、最小指标 $ J^{*} $。其中，末端时刻 $ t_{f} $ 未给定。

解 本例为复合型性能指标、 $ t_{f} $ 自由、末端固定、控制无约束的泛函极值问题。

由已知的系统方程知，系统是可控的。令

$$ H=\frac{1}{2}u^{2}+\lambda u $$

因 $ \dot{\lambda}(t) = -\frac{\partial H}{\partial x} = 0 $，故 $ \lambda(t) = a = \text{const} $。再由

$$ \frac{\partial H}{\partial u}=u+\lambda=0,\qquad\frac{\partial^{2}H}{\partial u^{2}}=1>0 $$

$$ u^{*}(t)=-\lambda(t)=-a $$

可使 $ H = \min $。由状态方程

$$ \dot{x}(t)=u=-a,\qquad\int_{x(0)}^{x(t)}\mathrm{d}x=-\int_{0}^{t}a\mathrm{d}t $$

代入 $ x(0)=1 $，解出

$$ x^{*}(t)=1-at $$

利用已知的末态条件

$$ x(t_{f})=1-at_{f}=0,\qquad t_{f}=1/a $$

最后，根据 H 变化律条件

$$ H(t_{f})=-\frac{\partial\varphi}{\partial t_{f}}=-1,\qquad\frac{1}{2}u^{2}(t_{f})+\lambda(t_{f})u(t_{f})=-1 $$

求得

$$ \frac{1}{2}a^{2}-a^{2}=-1,\qquad a=\sqrt{2} $$

于是，本例最优解如下：

$$ u^{*}=-\sqrt{2},\qquad x^{*}(t)=1-\sqrt{2}t $$

$$ t_{f}^{*}=\sqrt{2}/2,\quad J^{*}=\sqrt{2} $$

10 -3 极小值原理及其应用

应用经典变分法求解最优控制问题，要求控制向量不受任何约束，而且要求哈密顿函数对控制向量连续可微。但是，在实际工程问题中，控制变量往往受到一定的限制。例如，高性能飞机的舵偏角一般不超过 $ \pm5^\circ $；又如，采用空气舵的地-空战术导弹，容许的最大偏舵角一般不超过 $ \pm20^\circ $。这就使得飞机和导弹的控制力矩受到一定的限制，容许控制集合形成一个有界闭集，在容许控制集合边界上，控制变分 $ \delta u $不能任意，最优控制的必要条件 $ \partial H/\partial u=0 $亦不满足。

为了解决控制有约束的变分问题，庞特里亚金提出并证明了极小值原理，其结论与经典变分法的结论有许多相似之处，能够应用于控制变量受边界限制的情况，并且不要求哈密顿函数对控制向量连续可微，因此获得了广泛应用。

1. 连续系统的极小值原理

为方便阐述，先研究定常系统、末值型性能指标、末端自由时的极小值原理，然后将所得结果加以推广。

(1) 末端自由时的极小值原理

定理 10-8 对于如下定常系统、末值型性能指标、末端自由、控制受约束的最优控制问题

$$ \min_{u(t)\in\Omega}J(u)=\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big] $$

$$ s.t.\quad\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right),\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $$

式中， $ x(t) \in \mathbb{R}^n; u(t) \in \Omega \subset \mathbb{R}^m $，为任意分段连续函数， $ \Omega $ 为容许控制域；末端状态 $ x(t_f) $ 自由；末端时刻 $ t_f $ 固定或自由。假设：

1) 向量函数 $ f(x,u) $ 和标量函数 $ \varphi(x) $ 都是其自变量的连续可微函数。

2）在有界集上，函数 $ f(x,u) $ 对变量 x 满足利普希茨条件。

$$ \left|f(x^{1},u)-f(x^{2},u)\right|\leq a\left|x^{1}-x^{2}\right|,\qquad a>0 $$

则对于最优解 $ u^*(t) $， $ t_f^* $，和 $ x^*(t) $，必存在非零的 $ \lambda(t) \in \mathbb{R}^n $，使下列必要条件成立：

1）正则方程

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\lambda},\qquad\dot{\boldsymbol{\lambda}}=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{x}} $$

式中，哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda}\right)=\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right) $$

2）边界条件与横截条件

$$ \boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\qquad\boldsymbol{\lambda}(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})} $$

3）极小值条件

$$ H(x^{*},u^{*},\lambda)=\min_{u\in\Omega}H(x^{*},u,\lambda) $$

4) 沿最优轨线哈密顿函数变化律 ( $ t_{f} $ 自由时用)

$$ \boldsymbol{H}\left[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{u}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{\lambda}(t_{f}^{*})\right]=0 $$

应当指出，定理10-8中的必要条件3)又可表示为

$$ \begin{array}{r}{H\Big[\boldsymbol{x}^{*}(t),\boldsymbol{u}^{*}(t),\boldsymbol{\lambda}(t)\Big]\leqslant\underset{u(t)\in\Omega}{H}\Big[\boldsymbol{x}^{*}(t),\boldsymbol{u}(t),\boldsymbol{\lambda}(t)\Big]}\end{array} $$

上式表示，对所有 $ t \in [t_0, t_f] $， $ u(t) $ 遍取 $ \Omega $ 中所有点，使 $ H $ 为绝对极小值的 $ u(t) = u^*(t) $。因而庞特里亚金原理一般称为极小值原理。

与经典变分法相比，极小值原理的重要意义有如下几方面：

1）容许控制条件放宽了。极小值条件对通常的控制约束均适用。

2) 最优控制使哈密顿函数取全局极小值。当满足经典变分法的应用条件时，其极值条件 $ \partial H / \partial \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} $ 极小值原理中极小值条件 $ H^* = \min_{H} H $ 的一种特例。

3）极小值原理不要求哈密顿函数对控制向量的可微性，因而扩大了应用范围。

4）极小值原理给出的是最优解的必要而非充分条件。如果由实际工程问题的物理意义可以判定解是存在的，而由极小值原理求出的控制又是唯一的，则该控制为要求的最优控制。实际遇到的工程问题往往属于这种情况。

例 10-7 设系统方程及初始条件为

$$ \begin{aligned}&\dot{x}_{1}(t)=-x_{1}(t)+u(t),\quad&x_{1}(0)=1\\&\dot{x}_{2}(t)=x_{1}(t),\quad&x_{2}(0)=0\\ \end{aligned} $$

式中， $ |u(t)| \leq 1 $。若系统末态 $ x(t_f) $ 自由，试求 $ u^*(t) $ 使性能指标

$$ J=x_{2}(1)=\min $$

解 本例为定常系统、末值型性能指标、末端自由、 $ t_{f} $ 固定、控制受约束的最优控制问题。由题意

$$ \begin{aligned}\varphi&\big[\boldsymbol{x}(t_{f})\big]=x_{2}(1),\qquad t_{f}=1\\H(\boldsymbol{x},u,\boldsymbol{\lambda})&=\lambda_{1}(-x_{1}+u)+\lambda_{2}x_{1}\end{aligned} $$

令

由协态方程

$$ \dot{\boldsymbol{\lambda}}_{2}=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial x_{2}}=0,\quad\boldsymbol{\lambda}_{2}(t)=\boldsymbol{c}_{2} $$

$$ \dot{\lambda}_{1}=-\frac{\partial H}{\partial x_{1}}=\lambda_{1}-\lambda_{2},\quad\lambda_{1}(t)=c_{1}\mathbf{e}^{t}+c_{2} $$

式中， $ c_{1} $ 和 $ c_{2} $ 为待定常数。

由横截条件

$$ \lambda_{1}(1)=\frac{\partial\varphi}{\partial x_{1}(1)}=0,\qquad\lambda_{2}(1)=\frac{\partial\varphi}{\partial x_{2}(1)}=1 $$

解出 $ c_1 = -e^{-1} $， $ c_2 = 1 $。故有 $ \lambda_1(t) = 1 - e^{t-1} $。

由极小值条件

$$ u^{*}(t)=-\mathrm{sgn}(\lambda_{1})=\left\{\begin{aligned}&-1,\quad&\lambda_{1}>0\\ &1,\quad&\lambda_{1}<0\end{aligned}\right. $$

易知

$$ \lambda_{1}(t)=1-\mathrm{e}^{t-1}>0,\qquad\forall t\in[0,1) $$

$$ \lambda_{1}(t)=0,\quad 絶詩 t=1 $$

故所求最优控制

$$ u^{*}(t)=\left\{\begin{aligned}&-1,&\quad\forall t\in\left[0,1\right)\\ &0,&\quad t=1\end{aligned}\right. $$

定理 10-8 是适用于定常系统、末值型性能指标、末端自由时的极小值原理，但许多常见的最优控制问题都可以化为这种形式，例如可推广于时变系统。

定理 10-9 对于如下时变系统、末值型性能指标、末端自由、控制受约束的最优控制问题

$$ \begin{aligned}&\min_{u(t)\in\Omega}J(\boldsymbol{u})=\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\Big]\\&s.t.\quad\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t),\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{\varpi}_{0}\end{aligned} $$

式中， $ t_{f} $ 固定或自由，假设同定理 10-8。则最优解的必要条件如下：

1）正则方程

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\lambda},\qquad\dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{x}} $$

其中哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\lambda,t)=\lambda^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t) $$

2）边界条件与横截条件

$$ \boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\qquad\boldsymbol{\lambda}(t_{f})=\frac{\partial\boldsymbol{\varphi}}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})} $$

3）极小值条件

$$ H(x^{*},u^{*},\lambda,t)=\min_{u(t)\in\Omega}H(x^{*},u,\lambda,t) $$

4）沿最优轨线哈密顿函数变化律 $ (t_{f} $自由时用 $

$$ \boldsymbol{H}\left[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{u}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{\lambda}(t_{f}^{*}),t_{f}^{*}\right]=-\frac{\partial\varphi\left[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f}^{*}),t_{f}^{*}\right]}{\partial t_{f}} $$

证明 令辅助变量 $ X_{n+1}(t)=t $，则有

$$ \dot{x}_{n+1}(t)=1,\qquad x_{n+1}(t_{0})=t_{0},\qquad x_{n+1}(t_{f})=t_{f} $$

构造增广向量

$$ \overline{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)\\ \boldsymbol{x}_{n+1}(t)\end{bmatrix},\quad\overline{\boldsymbol{f}}(\overline{\boldsymbol{x}},\boldsymbol{u})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)\\ 1\end{bmatrix},\quad\overline{\boldsymbol{x}}_{0}(t_{0})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_{0}\\ t_{0}\end{bmatrix}=\overline{\boldsymbol{x}}_{0} $$

于是，该时变问题转化为如下定常问题：

$$ \begin{aligned}&\min_{u(t)\in\varOmega}J=\varphi\Big[\overline{\boldsymbol{x}}(t_{f})\Big]=\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f}),\boldsymbol{x}_{n+1}(t_{f})\Big]\\&s.t.\quad\dot{\overline{\boldsymbol{x}}}(t)=\overline{\boldsymbol{f}}\big[\overline{\boldsymbol{x}}(t),\boldsymbol{u}(t)\big],\quad\overline{\boldsymbol{x}}(t_{0})=\overline{\boldsymbol{x}}_{0}\\ \end{aligned} $$

令辅助协态变量为 $ \lambda_{n+1}(t) $，构造增广协态向量

$$ \overline{\boldsymbol{\lambda}}(t)=\left[\begin{array}{c}\lambda(t)\\ \lambda_{n+1}(t)\end{array}\right] $$

哈密顿函数

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{H}}(\overline{\boldsymbol{x}},\boldsymbol{u},\overline{\boldsymbol{\lambda}})&=\overline{\boldsymbol{\lambda}}^{\mathrm{T}}(t)\overline{\boldsymbol{f}}(\overline{\boldsymbol{x}},\boldsymbol{u})=\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)+\boldsymbol{\lambda}_{n+1}(t)\\&=\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda},t)+\boldsymbol{\lambda}_{n+1}(t)\end{aligned} $$

其中

$$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\lambda,t)=\lambda^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t) $$

由定理10-8，协态方程为

$$ \dot{\bar{\lambda}}(t)=-\frac{\partial\bar{H}}{\partial\bar{x}} $$

代入式(10-53)和式(10-54)，得

$$ \dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\frac{\partial H}{\partial\boldsymbol{x}},\quad\dot{\lambda}_{n+1}(t)=-\frac{\partial H}{\partial t} $$

由式(10-55)，下式显然成立

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\lambda}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t) $$

从而证明了本定理的结论1)。

根据定理10-8，横截条件

$$ \bar{\lambda}(t_{f})=\frac{\partial\varphi\Big[\overline{\boldsymbol{x}}(t_{f})\Big]}{\partial\overline{\boldsymbol{x}}(t_{f})} $$

代入 $ \bar{\lambda}(t_{f}) $ 和 $ \bar{x}(t_{f}) $ 表达式，易得

$$ \lambda(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial\mathbf{x}(t_{f})},\qquad\lambda_{n+1}(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial t_{f}} $$

于是，证明了本定理的结论2)。

由定理10-8，极小值条件为

$$ \bar{H}(\overline{x}^{*},u^{*},\overline{\lambda})=\min_{u\in\Omega}\bar{H}(\overline{x}^{*},u,\overline{\lambda}) $$

代入式(10-54)，上式可写为

$$ H(x^{*},u^{*},\lambda,t)+\lambda_{n+1}(t)=\min_{u\in\Omega}H(x^{*},u,\lambda,t)+\lambda_{n+1}(t) $$

立即证得本定理的结论3)。

根据定理10-8中的沿最优轨线哈密顿函数变化律以及式(10-54)，有

$$ \begin{aligned}&\quad\bar{H}\Big[\overline{\boldsymbol{x}}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{u}^{*}(t_{f}^{*}),\overline{\boldsymbol{\lambda}}(t_{f}^{*})\Big]\\&=H\Big[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{u}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{\lambda}(t_{f}^{*}),t_{f}^{*}\Big]+\lambda_{n+1}(t_{f}^{*})=0\end{aligned} $$

代入式(10-57)，证得本定理结论4):

$$ H^{*}(t_{f}^{*})=-\frac{\partial\varphi}{\partial t_{f}} $$

比较定理 10-9 与定理 10-8 可见，时变性并不影响极小值原理中的正则方程、横截条件和极小值条件，但却改变了哈密顿函数沿最优轨线的变化律。

定理 10-8 的形式还可推广于积分型性能指标的问题。

定理 10-10 对于如下定常系统、积分型性能指标、末端自由、控制受约束的最优控制问题

$$ \begin{aligned}&\min_{u(t)\in\varOmega}J(\boldsymbol{u})=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u})\mathrm{d}t\\&s.t.\quad\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right),\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}\end{aligned} $$

式中， $ t_{f} $ 固定或自由，假设同定理 10-8。则最优解的必要条件如下：

1）正则方程

$$ \dot{x}(t)=\frac{\partial H}{\partial\lambda},\qquad\dot{\lambda}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x} $$

其中哈密顿函数

$$ H(x,u,\lambda)=L(x,u)+\lambda^{\mathrm{T}}(t)f(x,u) $$

2）边界条件与横截条件

$$ \boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\qquad\boldsymbol{\lambda}(t_{f})=\boldsymbol{0} $$

3）极小值条件

$$ H(x^{*},u^{*},\lambda)=\min_{u\in\Omega}H(x^{*},u,\lambda) $$

4）沿最优轨线哈密顿函数变化律( $ t_{f} $ 自由时用)

$$ \boldsymbol{H}\left[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{u}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{\lambda}(t_{f}^{*})\right]=0 $$

证明 令辅助变量 $ x_0(t) = \int_{t_0}^{t} L(x, u) \, dt $，则有

$$ \dot{x}_{0}(t)=L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}),\qquad x_{0}(t_{0})=0 $$

$$ x_{0}(t_{f})=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(x,u)\mathrm{d}t=J(u) $$

构造增广向量

$$ \overline{{\boldsymbol{x}}}(t)=\left[\begin{matrix}{x_{0}(t)}\\ {\boldsymbol{x}(t)}\\ \end{matrix}\right],\qquad\overline{{\boldsymbol{f}}}(\overline{{\boldsymbol{x}}},\boldsymbol{u})=\left[\begin{matrix}{L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u})}\\ {f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u})}\\ \end{matrix}\right],\qquad\overline{{\boldsymbol{x}}}(t_{0})=\left[\begin{matrix}{0}\\ {\boldsymbol{x}_{0}}\\ \end{matrix}\right]=\overline{{\boldsymbol{x}}}_{0} $$

于是，积分型性能指标问题转化为如下末值型性能指标问题：

$$ \begin{aligned}&\min_{u(t)\in\varOmega}J\big(\boldsymbol{u}\big)=x_{0}(t_{f})\triangleq\varphi\Big[\overline{\boldsymbol{x}}(t_{f})\Big]\\&s.t.\quad\dot{\overline{\boldsymbol{x}}}(t)=\overline{\boldsymbol{f}}\big[\overline{\boldsymbol{x}},\boldsymbol{u}\big],\quad\overline{\boldsymbol{x}}(t_{0})=\overline{\boldsymbol{x}}_{0}\\ \end{aligned} $$

令 $ \lambda_{0}(t) $ 为辅助协态变量，构造增广协态向量

$$ \overline{\boldsymbol{\lambda}}(t)=\left[\begin{array}{c}\lambda_{0}(t)\\ \lambda(t)\end{array}\right] $$

及哈密顿函数

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{H}}(\overline{\boldsymbol{x}},\boldsymbol{u},\overline{\boldsymbol{\lambda}})&=\overline{\boldsymbol{\lambda}}^{\mathrm{T}}(t)\overline{\boldsymbol{f}}(\overline{\boldsymbol{x}},\boldsymbol{u})=\lambda_{0}\boldsymbol{L}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u})+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u})\\&=\boldsymbol{H}_{0}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda})+\lambda_{0}\boldsymbol{L}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u})\end{aligned} $$

由定理10-8，协态方程为

$$ \dot{\bar{\lambda}}(t)=\frac{\partial\bar{H}}{\partial\overline{x}} $$

代入式(10-58)及式(10-59)，得

$$ \left[\begin{aligned}\dot{\lambda}_{0}(t)\\ \dot{\lambda}(t)\end{aligned}\right]=-\left[\begin{aligned}\frac{\partial\overline{H}}{\partial x_{0}}\\ \frac{\partial\overline{H}}{\partial\mathbf{x}}\end{aligned}\right]=-\left[\begin{aligned}0\\ \frac{\partial\overline{H}}{\partial\mathbf{x}}\end{aligned}\right] $$

因而有

$$ \lambda_{0}(t)=\mathrm{const} $$

$$ \lambda(t)=-\frac{\partial\bar{H}}{\partial x} $$

再由定理10-8的横截条件可得

$$ \bar{\pmb{\lambda}}(t_{f})=\frac{\partial\varphi\Big[\overline{\pmb{x}}(t_{f})\Big]}{\partial\overline{\pmb{x}}(t_{f})} $$

因 $ \varphi[\overline{\mathbf{x}}(t_{f})]=x_{0}(t_{f}) $，故上式可表示为

$$ \left[\begin{aligned}\lambda_{0}(t_{f})\\ \lambda(t_{f})\end{aligned}\right]=\left[\begin{aligned}\frac{\partial\varphi}{\partial x_{0}(t_{f})}\\ \frac{\partial\varphi}{\partial\mathbf{x}(t_{f})}\end{aligned}\right]=\left[\begin{aligned}1\\ \mathbf{0}\end{aligned}\right] $$

从而

$$ \lambda(t_{f})=\mathbf{0},\qquad\lambda_{0}(t)=\lambda_{0}(t_{f})=1 $$

哈密顿函数

$$ \bar{H}(\overline{x},u,\overline{\lambda})=L(x,u)+\lambda^{\mathrm{T}}f(x,u)=H(x,u,\lambda) $$

由定理10-8，其状态方程为

$$ \dot{\bar{x}}(t)=\frac{\partial\bar{H}}{\partial\bar{\lambda}}=\frac{\partial H}{\partial\bar{\lambda}} $$

代入 $ \bar{x}(t) $ 和 $ \bar{\lambda}(t) $ 的增广形式，证得

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\lambda},\qquad\dot{\boldsymbol{x}}_{0}(t)=\boldsymbol{L}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}) $$

再将式(10-62)代入式(10-61)，有

$$ \lambda(t)=-\frac{\partial H}{\partial x} $$

由定理10-8，其极小值条件为

$$ \bar{H}(\overline{x}^{*},u^{*},\bar{\lambda})=\min_{u\in\Omega}\bar{H}(\overline{x}^{*},u,\bar{\lambda}) $$

已证 $ \overline{H}(\overline{x}^{*}, u, \overline{\lambda}) = H(x, u, \lambda) $，立即证得

$$ H(x^{*},u^{*},\lambda)=\min_{u\in\Omega}H(x^{*},u,\lambda) $$

由定理10-8，在最优轨线末端有

$$ \bar{H}\left[\overline{\boldsymbol{x}}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{u}^{*}(t_{f}^{*}),\overline{\boldsymbol{\lambda}}(t_{f}^{*})\right]=0 $$

代入式(10-62)，立即证得 $ H^{*}(t_{f}^{*})=0 $。

比较定理 10-10、定理 10-8 可见，积分型性能指标改变了哈密顿函数的形式，也影响了横截条件表达式。应当指出，不论是复合型性能指标，还是积分型性能指标，抑或是末值型性能指标，其哈密顿函数的统一形式应为

$$ H(x,u,\lambda)=L(x,u)+\lambda^{\mathrm{T}}(t)f(x,u) $$

这一规定，对时变系统同样适用。

例 10-8 设一阶系统方程为

$$ \dot{x}(t)=x(t)-u(t),\qquad x(0)=5 $$

其中控制约束： $ 0.5 \leq u(t) \leq 1 $。试求使性能指标

$$ J=\int_{0}^{1}\left[x(t)+u(t)\right]\mathrm{d}t $$

为极小值的最优控制 $ u^{*}(t) $ 及最优轨线 $ x^{*}(t) $。

解 本例为定常系统、积分型性能指标、 $ t_{f} $ 固定、末端自由、控制受约束的最优控制问题。令哈密顿函数

$$ H=x+u+\lambda(x-u)=x(1+\lambda)+u(1-\lambda) $$

由于 H 是 u 的线性函数，根据极小值原理知，使 H 绝对极小就相当于使性能指标极小，因此要求 $ u(1-\lambda) $ 极小。因 u 的取值上限为 1，下限为 0.5，故应取

$$ u^{*}(t)=\left\{\begin{aligned}&1,\quad&\lambda>1\\ &0.5,\quad&\lambda<1\end{aligned}\right. $$

由协态方程

$$ \dot{\lambda}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x}=-(1+\lambda) $$

其解为 $ \lambda(t)=ce^{-t}-1 $，其中常数 c 待定。

由横截条件

$$ \lambda(1)=c\mathbf{e}^{-1}-1=0 $$

求出 $ c=e_{0} $ 。于是

$$ \lambda(t)=\mathrm{e}^{1-t}-1 $$

显然，当 $ \lambda(t_{s})=1 $ 时， $ u^{*}(t) $ 产生切换，其中 $ t_{s} $ 为切换时间。令 $ \lambda(t_{s})=\mathrm{e}^{1-t_{s}}-1=1 $ 得 $ t_{s}=0.307 $，故最优控制

$$ u^{*}(t)=\left\{\begin{aligned}&1,&\quad&0\leq t<0.307\\ &0.5,&\quad&0.307\leq t\leq1\end{aligned}\right. $$

将 $ u^{*}(t) $代入状态方程，有

$$ \dot{x}(t)=\left\{\begin{aligned}&x(t)-1,&\quad0\leq t<0.307\\ &x(t)-0.5,&\quad0.307\leq t\leq1\end{aligned}\right. $$

解得

$$ x(t)=\left\{\begin{aligned}&c_{1}\mathrm{e}^{t}+1,&\quad0\leq t<0.307\\ &c_{2}\mathrm{e}^{t}+0.5,&\quad0.307\leq t\leq1\end{aligned}\right. $$

代入 $ x(0)=5 $ ，求出 $ c_{1}=4 $ ，因而

$$ x^{*}(t)=4\mathrm{e}^{t}+1,\quad0\leqslant t<0.307 $$

在上式中，令 t=0.307，可以求出 $ 0.307 \leq t \leq 1 $ 时 $ x(t) $ 的初态 $ x(0.307) = 6.44 $，从而求得 $ c_2 = 4.37 $。于是，最优轨线为

$$ x^{*}(t)=\left\{\begin{aligned}&4\mathrm{e}^{t}+1,&0\leq t<0.307\\ &4.37\mathrm{e}^{t}+0.5,&0.307\leq t\leq1\end{aligned}\right. $$

本例最优解曲线如图10-4所示。

(2) 末端约束时的极小值原理

对于具有目标集约束条件的最优控制问题，需要把极小值原理的原始形式推广到末端受约束时的最优控制问题。

定理 10-11 对于如下定常系统、末值型性能指标、末端受约束、控制也受约束的最优控制问题

$$ \begin{aligned}&\min_{\boldsymbol{u}(t)\in\Omega}J(\boldsymbol{u})=\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]\\&s.t.\textcircled{1} \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}),\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}\\&\quad\textcircled{2}\psi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f})\Big]=\mathbf{0}\end{aligned} $$

式中， $ t_f $ 固定或自由； $ \psi(\cdot) \in \mathbb{R}^r $， $ r \leq n $，在 $ [t_0, t_f] $上连续可微；其余假设同定理10-8。则必存在非零常向量 $ \gamma \in \mathbb{R}^r $和 $ \lambda(t) \in \mathbb{R}^n $，使最优解满足如下必要条件：

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\lambda},\quad\dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{x}} $$

1) 正则方程

其中哈密顿函数

$$ H(x,u,\lambda)=\lambda^{\mathrm{T}}(t)f(x,u) $$

2) 边界条件与横截条件

$$ \boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\quad\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f})\right]=\mathbf{0},\quad\boldsymbol{\lambda}(t_{f})=\frac{\partial\boldsymbol{\varphi}}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})}+\frac{\partial\boldsymbol{\psi}^{\mathrm{T}}}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})}\boldsymbol{\gamma} $$

3) 极小值条件

$$ H(x^{*},u^{*},\lambda)=\min_{u\in\Omega}H(x^{*},u,\lambda) $$

4) 沿最优轨线哈密顿函数变化律 ( $ t_{f} $ 自由时用)

$$ \boldsymbol{H}\left[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{u}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{\lambda}(t_{f}^{*})\right]=0 $$

证明 引入拉格朗日乘子向量 $ \lambda(t) \in \mathbb{R}^n $ 和 $ \gamma \in \mathbb{R}^r $，构造等价末值型性能指标

$$ \tilde{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{u})=\tilde{\boldsymbol{\varphi}}\left[\boldsymbol{x}(t_{f})\right]=\boldsymbol{\varphi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f})\right]+\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f})\right] $$

则最优控制问题等同于定理10-8。

根据定理 10-8，横截条件为

$$ \lambda(t_{f})=\frac{\partial\tilde{\varphi}}{\partial x(t_{f})}=\frac{\partial\varphi}{\partial x(t_{f})}+\frac{\partial\psi^{\mathrm{T}}}{\partial x(t_{f})} $$

其余结论同定理10-8，故本定理得证。

不难证明，上述定理可以推广到时变情况。

定理 10-12 对于如下时变系统、末值型性能指标、末端受约束、控制也受约束的最优控制问题

$$ \begin{aligned}&\min_{\boldsymbol{u}(t)\in\Omega}J(\boldsymbol{u})=\varphi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\Big]\\&s.t.\quad\textcircled{1}\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t),\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}\\&\quad\textcircled{2}\psi\Big[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\Big]=\mathbf{0}\end{aligned} $$

式中， $ t_{f} $ 固定或自由，假设条件同定理 10-11。则必存 r 维非零常向量 $ \gamma $ 和 n 维向量 $ \lambda(t) $，使最优解满足如下必要条件：

1）正则方程

$$ \dot{x}(t)=\frac{\partial H}{\partial\lambda},\quad\dot{\lambda}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x} $$

其中哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\lambda,t)=\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t) $$

2）边界条件与横截条件

$$ \boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\quad\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=\mathbf{0},\quad\boldsymbol{\lambda}(t_{f})=\frac{\partial\boldsymbol{\varphi}}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})}+\frac{\partial\boldsymbol{\psi}^{\mathrm{T}}}{\partial\boldsymbol{x}(t_{f})}\boldsymbol{\gamma} $$

3）极小值条件

$$ H(x^{*},u^{*},\lambda,t)=\min_{u\in\Omega}H(x^{*},u,\lambda,t) $$

4）沿最优轨线哈密顿函数变化律( $ t_{f} $ 自由时用)

$$ H\left[\boldsymbol{x}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{u}^{*}(t_{f}^{*}),\boldsymbol{\lambda}(t_{f}^{*}),t_{f}^{*}\right]=-\frac{\partial\varphi}{\partial t_{f}}-\gamma^{\mathrm{T}}\frac{\partial\psi}{\partial t_{f}} $$

证明 引入拉格朗日乘子 $ \lambda(t) \in \mathbb{R}^n $ 和 $ \gamma \in \mathbb{R}^r $，构造等价末值型性能指标

$$ \tilde{J}(\boldsymbol{u})=\tilde{\varphi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=\varphi\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]+\gamma^{\mathrm{T}}\psi\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right] $$

则最优控制问题等同于定理10-9。

根据定理10-9，横截条件为

$$ \lambda(t_{f})=\frac{\partial\tilde{\varphi}}{\partial x(t_{f})}=\frac{\partial\varphi}{\partial x(t_{f})}+\frac{\partial\psi^{\mathrm{T}}}{\partial x(t_{f})} $$

沿最优轨线哈密顿函数变化律为

$$ \boldsymbol{H}\left[\boldsymbol{x}^{*}\left(t_{f}^{*}\right),\boldsymbol{u}^{*}\left(t_{f}^{*}\right),\boldsymbol{\lambda}\left(t_{f}^{*}\right),t_{f}^{*}\right]=-\frac{\partial\tilde{\varphi}}{\partial t_{f}}=-\frac{\partial\varphi}{\partial t_{f}}-\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial t_{f}} $$

最优解必要条件中其余的结论与 $ \tilde{\phi}[x(t_{f}),t_{f}] $ 无关，等同于定理 10-9。于是，本定理得证。

利用扩充变量法，还可以导出其他各种情况下的极小值原理形式。表10-3分别给出了各种具体最优控制问题的极小值原理结论，以供查阅。

| 末端时刻 | 性能指标 | 末端状态 | 正则方程 | 极小值条件 | 边界条件与横截条件 | H变化律 |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| $t_{f}$ 自由 | $J=\varphi\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)\mathrm{d}t$ | 末端约束 | $\dot{\boldsymbol{x}}=\frac{\partial H}{\partial\lambda}\quad\dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial x}$其中$H=L+\lambda^{T}f$ | $H^{*}=\min\limits_{H\in D}H$ | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=0$$\lambda(t_{f})=\left[\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\frac{\partial\psi^{T}}{\partial x}\boldsymbol{\gamma}\right]_{t_{f}}$ | $H^{*}(t_{f}^{*})=\left[-\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\boldsymbol{\gamma}^{T}\frac{\partial\psi}{\partial t}\right]_{t_{f}}$ |

| 末端自由 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}$$\lambda(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial x(t_{f})}$ | $H^{*}(t_{f}^{*})=-\frac{\partial\varphi}{\partial t_{f}}$ | | | | |

| $J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)\mathrm{d}t$ | 末端约束 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=0$$\lambda(t_{f})=\frac{\partial\psi^{T}}{\partial x(t_{f})}\boldsymbol{\gamma}$ | $H^{*}(t_{f}^{*})=-\boldsymbol{\gamma}^{T}\frac{\partial\psi}{\partial t_{f}}$ | | | |

| 末端自由 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{\lambda}(t_{f})=0$ | $H^{*}(t_{f}^{*})=0$ | | | | |

| 末端固定 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{x}(t_{f})=\boldsymbol{x}_{f}$ | $H^{*}(t_{f}^{*})=0$ | | | | |

| $J=\varphi\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]$ | 末端约束 | $\dot{\boldsymbol{x}}=\frac{\partial H}{\partial\lambda}\quad\dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial x}$其中$H=\lambda^{T}f$ | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=0$$\lambda(t_{f})=\left[\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\frac{\partial\psi^{T}}{\partial x}\boldsymbol{\gamma}\right]_{t_{f}}$ | $H^{*}(t_{f}^{*})=\left[-\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\boldsymbol{\gamma}^{T}\frac{\partial\psi}{\partial t}\right]_{t_{f}}$ | | |

| 末端自由 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}$$\lambda(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial x(t_{f})}$ | $H^{*}(t_{f}^{*})=-\frac{\partial\varphi}{\partial t_{f}}$ | | | | |

| $t_{f}$ 固定 | $J=\varphi\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]+\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)\mathrm{d}t$ | 末端约束 | $\dot{\boldsymbol{x}}=\frac{\partial H}{\partial\lambda}\quad\dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial x}$其中$H=L+\lambda^{T}f$ | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=0$$\lambda(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial x(t_{f})}$ | | |

| $J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},t)\mathrm{d}t$ | 末端约束 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=0$$\lambda(t_{f})=\frac{\partial\psi^{T}}{\partial x(t_{f})}$ | | | | |

| 末端自由 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}$$\lambda(t_{f})=\mathbf{x}_{f}$ | | | | | |

| 末端固定 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=0$$\lambda(t_{f})=\mathbf{x}_{f}$ | | | | | |

| $J=\varphi\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]$ | 末端约束 | $\dot{\boldsymbol{x}}=\frac{\partial H}{\partial\lambda}\quad\dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial x}$其中$H=\lambda^{T}f$ | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=0$$\lambda(t_{f})=\mathbf{x}_{f}$ | | | |

| 末端自由 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}$$\lambda(t_{f})=\mathbf{x}_{f}$ | | | | | |

| 末端固定 | $\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(t_{f}),t_{f}\right]=0$$\lambda(t_{f})=\mathbf{x}_{f}$ | | | | | |

$$ t_{ 消 } $$

例 10-9 设宇宙飞船登月舱的质量为 $ m(t) $，高度为 $ h(t) $，垂直速度为 $ v(t) $，发动机推力为 $ u(t) $，月球表面重力加速度为常数 g，不含燃料时登月舱质量为 M，初始燃料的总质量为 F。已知登月舱的状态方程为

$$ \dot{h}(t)=v(t),\quad h(0)=h_{0} $$

$$ \dot{\nu}(t)=\frac{u(t)}{m(t)}-g,\quad\nu(0)=\nu_{0} $$

$$ \dot{m}(t)=-k u(t),\qquad m(0)=M+F $$

要求登月舱在月球表面实现软着陆，即目标集为

$$ \psi_{1}=h(t_{f})=0,\qquad\psi_{2}=v(t_{f})=0 $$

发动机推力 $ u(t) $ 的约束为

$$ u(t)\in\varOmega,\qquad\varOmega=\left\{u(t)\middle|0\leqslant u(t)\leqslant\alpha\right\},\qquad\forall t\in\left[0,t_{f}\right] $$

试确定最优控制 $ u^{*}(t) $，使登月舱由已知初态转移到要求的目标集，并使登月舱燃料消耗

$$ J=-m(t_{f})=\min $$

解 本例为时变系统、末值型性能指标、 $ t_{f} $ 自由、末端约束、控制受约束的最优控制问题。构造哈密顿函数

$$ H=\lambda_{1}v+\lambda_{2}\left(\frac{u}{m}-g\right)-\lambda_{3}ku $$

式中， $ \lambda_{1}(t) $， $ \lambda_{2}(t) $ 和 $ \lambda_{3}(t) $ 为待定的拉格朗日乘子。根据题意

$$ \varphi=-m(t_{f}) $$

由协态方程

$$ \dot{\lambda}_{1}(t)=-\frac{\partial H}{\partial h}=0 $$

$$ \dot{\lambda}_{2}(t)=-\frac{\partial H}{\partial v}=-\lambda_{1}(t) $$

$$ \dot{\lambda}_{3}(t)=-\frac{\partial H}{\partial m}=\frac{\lambda_{2}(t)u(t)}{m^{2}(t)} $$

由横截条件

$$ \lambda_{1}(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial h(t_{f})}+\frac{\partial\psi_{1}}{\partial h(t_{f})}\gamma_{1}=\gamma_{1} $$

$$ \lambda_{2}(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial v(t_{f})}+\frac{\partial\psi_{2}}{\partial v(t_{f})}\gamma_{2}=\gamma_{2} $$

$$ \lambda_{3}(t_{f})=\frac{\partial\varphi}{\partial m(t_{f})}=-1 $$

式中， $ \gamma_{1} $ 和 $ \gamma_{2} $ 为待定的拉格朗日乘子。

将哈密顿函数整理成

$$ H=(\lambda_{1}v-\lambda_{2}g)+\left(\frac{\lambda_{2}}{m}-k\lambda_{3}\right)u $$

由极小值条件，H 相对 $ u^{*}(t) $ 取绝对极小值。因此，最优控制

$$ u^{*}(t)=\left\{\begin{aligned}&\alpha,&\quad\frac{\lambda_{2}}{m}-k\lambda_{3}<0\\ &0,&\quad\frac{\lambda_{2}}{m}-k\lambda_{3}>0\end{aligned}\right. $$

上述结果表明，只有登月舱发动机推力在其最大值和零值之间进行开关控制，才有可能在软着陆的同时，保证登月舱的燃料消耗最少。

2. 离散系统的极小值原理

随着数字计算机的日益普及，计算机控制系统日益增多，离散系统最优控制问题的研究亦显得十分重要。其原因是多方面的：例如，许多实际问题本身就是离散的，这类问题有经济与资源系统的优化问题、交通管制问题、河流污染控制问题等；又例如，对有约束的连续系统最优控制问题，需要采用计算机求数值解，使得连续最优控制中难以求解的两点边界值问题，化为易于用计算机求解的离散化两点边界值问题。

离散系统极小值原理的普遍论述比较复杂，证明过程也十分冗长。为简单起见，仅讨论控制向量序列不受约束、末端时刻(数据窗口长度)固定、末端自由或受约束情况下的离散极小值原理，然后不加证明地推广到控制向量序列受约束的情况。

(1) 末端约束时的离散极小值原理

定理 10-13 设离散系统状态差分方程为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{x}(k+1)&=\boldsymbol{f}\big[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\big],\quad\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{0}\\&\quad(k=0,1,\cdots,N-1)\end{aligned} $$

$$ J=\varphi\left[\boldsymbol{x}(N)\right]+\sum_{k=0}^{N-1}L\left[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\right] $$

性能指标

式中， $ N $ 固定； $ f(\cdot) $、 $ \varphi(\cdot) $ 和 $ L(\cdot) $ 都是其自变量的连续可微函数； $ x(k) \in \mathbb{R}^n; u(k) \in \mathbb{R}^m $，其约束 $ u(k) \in \Omega $， $ \Omega $ 为容许控制域。末端状态受下列目标集约束：

$$ \psi\left[x(N)\right]=0 $$

式中， $ \psi(\cdot) \in \mathbb{R}^r $ 且连续可微， $ r \leq n $。

若 $ u^*(k) $ 是使性能指标(10-65)为最小的最优控制序列 $ x^*(k) $ 是相应的最优轨线序列，则必存在 $ r $ 维非零常向量 $ \gamma $ 和 $ n $ 维向量序列 $ \lambda(k) $，使得最优解满足如下必要条件：

1) $ x(k) $ 和 $ \lambda(k) $ 满足差分方程

$$ \boldsymbol{x}(k+1)=\frac{\partial H(k)}{\partial\lambda(k+1)} $$

$$ \lambda(k)=\frac{\partial H(k)}{\partial x(k)} $$

式中，离散哈密顿函数

$$ \begin{align*}H(k)&\triangleq H\big[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),\boldsymbol{\lambda}(k),k\big]\\&=L\big[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\big]+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(k+1)f\big[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\big]\end{align*} $$

2）边界条件与横截条件

$$ \boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{0},\qquad\psi\left[\boldsymbol{x}(N)\right]=\mathbf{0} $$

$$ \lambda(N)=\frac{\partial\varphi}{\partial x(N)}+\frac{\partial\psi^{\mathrm{T}}}{\partial x(N)}\gamma $$

3）离散哈密顿函数对最优控制序列取极小值

$$ H^{*}(k)=\min_{u(k)\in\Omega}H(k) $$

若 $ u(k) $无约束，则极值条件为

$$ \frac{\partial H(k)}{\partial\boldsymbol{u}(k)}=\boldsymbol{0} $$

证明 引入拉格朗日乘子 $ \lambda(k) $ 和 $ \gamma $，构造离散广义泛函

$$ \begin{align*}J_{a}=\varphi\big[\boldsymbol{x}(N)\big]+\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\psi}\big[\boldsymbol{x}(N)\big]+\sum_{k=0}^{N-1}\big\{L\big[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\big]\\+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(k+1)\big[\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k)-\boldsymbol{x}(k+1)\big]\big\}\end{align*} $$

令离散哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}(k)=\boldsymbol{L}\left[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\right]+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(k+1)\boldsymbol{f}\left[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\right] $$

则式(10-73)可表示为

$$ J_{a}=\varphi\left[\boldsymbol{x}(N)\right]+\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(N)\right]+\sum_{k=0}^{N-1}\left[H(k)-\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(k+1)\boldsymbol{x}(k+1)\right] $$

因为“离散分部积分”

$$ \begin{align*}\sum_{k=0}^{N-1}\mathcal{A}^{\mathrm{T}}(k+1)\boldsymbol{x}(k+1)=&\sum_{m=1}^{N}\mathcal{A}^{\mathrm{T}}(m)\boldsymbol{x}(m)=\sum_{m=0}^{N-1}\mathcal{A}^{\mathrm{T}}(m)\boldsymbol{x}(m)-\mathcal{A}^{\mathrm{T}}(0)\boldsymbol{x}(0)+\mathcal{A}^{\mathrm{T}}(N)\boldsymbol{x}(N)\\=&\sum_{k=0}^{N-1}\mathcal{A}^{\mathrm{T}}(k)\boldsymbol{x}(k)-\mathcal{A}^{\mathrm{T}}(0)\boldsymbol{x}(0)+\mathcal{A}^{\mathrm{T}}(N)\boldsymbol{x}(N)\end{align*} $$

所以，离散广义泛函可写为

$$ J_{a}=\varphi\left[\boldsymbol{x}(N)\right]+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\psi}\left[\boldsymbol{x}(N)\right]+\sum_{k=0}^{N-1}\left[H(k)-\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(k)\boldsymbol{x}(k)\right]+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(0)\boldsymbol{x}(0)-\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(N)\boldsymbol{x}(N) $$

对上式取一次变分，考虑到 $ \delta x(0)=0 $，可得

$$ \begin{aligned}\delta\boldsymbol{J}_{a}=&\left[\frac{\partial\boldsymbol{\varphi}}{\partial\boldsymbol{x}(N)}+\frac{\partial\boldsymbol{\psi}^{\mathrm{T}}}{\partial\boldsymbol{x}(N)}\boldsymbol{\gamma}-\boldsymbol{\lambda}(N)\right]^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}(N)\\&+\sum_{k=0}^{N-1}\left\{\left[\frac{\partial H(k)}{\partial\boldsymbol{x}(k)}-\boldsymbol{\lambda}(k)\right]^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{x}(k)+\left[\frac{\partial H(k)}{\partial\boldsymbol{u}(k)}\right]^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{u}(k)\right\}\end{aligned} $$

令 $ \delta J_{a}=0 $ ，考虑到变分 $ \delta x(k) $ 和 $ \delta x(N) $ 是任意的，可得

$$ \lambda(k)=\frac{\partial H(k)}{\partial\boldsymbol{x}(k)},\qquad\lambda(N)=\frac{\partial\varphi}{\partial\boldsymbol{x}(N)}+\frac{\partial\boldsymbol{\psi}^{\mathrm{T}}}{\partial\boldsymbol{x}(N)}\boldsymbol{\gamma} $$

对于

$$ \sum_{k=0}^{N-1}\left[\frac{\partial H(k)}{\partial\boldsymbol{u}(k)}\right]^{\mathrm{T}}\delta\boldsymbol{u}(k)=0 $$

当 $ u(k) $不受约束时， $ \delta u(k) $是任意的，故必有

$$ \frac{\partial H(k)}{\partial\boldsymbol{u}(k)}=\boldsymbol{0} $$

当 $ u(k) \in \Omega $时，不加证明得

$$ H^{*}(k)=\min_{u(k)\in\Omega}H(k) $$

(2) 末端自由时的离散极小值原理

如果离散系统末端自由，则离散极小值原理的形式如下，其证明过程类似于定理10-13。读者不妨自行推证。

定理 10-14 设离散系统状态差分方程为

$$ \boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{f}\left[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\right],\quad\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{0}(k=0,1,\cdots,N-1) $$

性能指标

$$ J=\varphi\big[\boldsymbol{x}(N)\big]+\sum_{k=0}^{N-1}L\big[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\big] $$

式中，N固定，末端状态x(N)自由，其余假设同定理10-13。

若 $ u^*(k) $ 是使性能指标为极小的最优控制序列， $ x^*(k) $ 为相应的最优轨线序列，则必存在 n 维向量序列 $ \lambda(k) $，使得最优解满足如下必要条件：

1) $ x(k) $ 和 $ \lambda(k) $ 满足下列差分方程：

$$ \boldsymbol{x}(k+1)=\frac{\partial H(k)}{\partial\boldsymbol{\lambda}(k+1)},\qquad\boldsymbol{\lambda}(k)=\frac{\partial H(k)}{\partial\boldsymbol{x}(k)} $$

式中，离散哈密顿函数

$$ \begin{align*}H(k)&\triangleq H\big[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),\boldsymbol{\lambda}(k),k\big]\\&=L\big[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\big]+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(k+1)f\big[\boldsymbol{x}(k),\boldsymbol{u}(k),k\big]\end{align*} $$

2）边界条件与横截条件

$$ \boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{0},\qquad\boldsymbol{\lambda}(N)=\frac{\partial\varphi}{\partial\boldsymbol{x}(N)} $$

3）离散哈密顿函数对最优控制序列取极小值

$$ H^{*}(k)=\min_{u(k)\in\Omega}H(k) $$

若控制变量不受约束，则极值条件为

$$ \frac{\partial H(k)}{\partial\boldsymbol{u}(k)}=\boldsymbol{0} $$

上述定理 10-13 及定理 10-14 表明，离散系统最优化问题归结为求解一个离散两点边值问题，且使离散性能指标泛函为极小与使离散哈密顿函数为极小是等价的。

例 10-10 设离散系统状态方程为

$$ \boldsymbol{x}(k+1)=\begin{bmatrix}1&0.1\\ 0&1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(k)+\begin{bmatrix}0\\ 0.1\end{bmatrix}\boldsymbol{u}(k) $$

已知边界条件

$$ \boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix},\qquad\boldsymbol{x}(2)=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix} $$

试用离散极小值原理求最优控制序列，使性能指标

$$ J=0.05\sum_{k=0}^{1}u^{2}(k) $$

取极小值，并求出最优轨线序列。

解 本例为控制无约束，N 固定，末端固定的离散最优控制问题。构造离散哈密顿函数

$$ H(k)=0.05u^{2}(k)+\lambda_{1}(k+1)[x_{1}(k)+0.1x_{2}(k)]+\lambda_{2}(k+1)[x_{2}(k)+0.1u(k)] $$

式中， $ \lambda_{1}(k+1) $ 和 $ \lambda_{2}(k+1) $ 为待定拉格朗日乘子序列。

由协态方程，有

$$ \lambda_{1}(k)=\frac{\partial H(k)}{\partial x_{1}(k)}=\lambda_{1}(k+1) $$

$$ \lambda_{2}(k)=\frac{\partial H(k)}{\partial x_{2}(k)}=0.1\lambda_{1}(k+1)+\lambda_{2}(k+1) $$

所以

$$ \lambda_{1}(0)=\lambda_{1}(1),\quad\lambda_{2}(0)=0.1\lambda_{1}(1)+\lambda_{2}(1) $$

$$ \lambda_{1}(1)=\lambda_{1}(2),\quad\lambda_{2}(1)=0.1\lambda_{1}(2)+\lambda_{2}(2) $$

由极值条件

$$ \frac{\partial H(k)}{\partial u(k)}=0.1u(k)+0.1\lambda_{2}(k+1)=0 $$

$$ \frac{\partial^{2}H(k)}{\partial u^{2}(k)}=0.1>0 $$

故

$$ u^{*}(k)=-\lambda_{2}(k+1) $$

可使 $ H(k)=\min $。令k=0和k=1，得

$$ u^{*}(0)=-\lambda_{2}(1),\quad u^{*}(1)=-\lambda_{2}(2) $$

将 $ u^{*}(k) $表达式代入状态方程，可得

$$ x_{1}(k+1)=x_{1}(k)+0.1x_{2}(k) $$

$$ x_{2}(k+1)=x_{2}(k)-0.1\lambda_{2}(k+1) $$

令 k 分别等于 0 和 1，有

$$ x_{1}(1)=x_{1}(0)+0.1x_{2}(0),\quad x_{2}(1)=x_{2}(0)-0.1\lambda_{2}(1) $$

$$ x_{1}(2)=x_{1}(1)+0.1x_{2}(1),\quad x_{2}(2)=x_{2}(1)-0.1\lambda_{2}(2) $$

由已知边界条件

$$ x_{1}(0)=1,\qquad x_{2}(0)=0 $$

$$ x_{1}(2)=0,\quad x_{2}(2)=0 $$

不难解出最优解

$$ u^{*}(0)=-100,\qquad u^{*}(1)=100 $$

$$ \boldsymbol{x}^{*}(0)=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix},\qquad\boldsymbol{x}^{*}(1)=\begin{bmatrix}1\\ -10\end{bmatrix},\qquad\boldsymbol{x}^{*}(2)=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix} $$

$$ \lambda(0)=\begin{bmatrix}2000\\ 300\end{bmatrix},\quad\lambda(1)=\begin{bmatrix}2000\\ 100\end{bmatrix},\quad\lambda(2)=\begin{bmatrix}2000\\ -100\end{bmatrix} $$

3. 最小时控制

最小时间控制，是可用极小值原理求最优解的一种控制类型。最小时间控制问题，又称时间最优控制问题，它要求在容许控制范围内寻求最优控制，使系统以最短的时间从任意初始状态转移到要求的目标集。一般来说，求非线性系统和任意目标集的时间最优控制的解析解十分困难，这里仅考虑线性定常系统且目标集为状态空间原点，即末端固定时的时间最优控制问题。

(1) 最小时间控制问题

问题 10-1 设线性定常系统

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t) $$

是完全可控的， $ x(t) \in \mathbb{R}^n $， $ u(t) \in \mathbb{R}^m $， $ A $， $ B $ 为维数适当的常阵。求满足下列不等式约束的容许控制：

$$ \left|u_{j}(t)\right|\leq1;\qquad j=1,2,\cdots,m $$

使系统(10-74)从已知初态 $ x(0) = x_{0} $ 转移到 $ x(t_{f}) = 0 $，并使性能指标

$$ J=\int_{0}^{t_{f}}\mathrm{d}t $$

极小，其中 $ t_{f} $自由。

求解问题 10-1 之前，应首先判断该问题是否可用极小值原理求解？可以证明，只有

当系统(10-74)正常时，才能应用极小值原理求得最优解。

(2) 正常情况与奇异情况

对于问题 10-1，构造哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda})=1+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{u} $$

根据极小值条件 $ H^{*}=\min_{u\in O}H $，有

$$ 1+\lambda^{\mathrm{T}}Ax^{*}(t)+\lambda^{\mathrm{T}}(t)Bu^{*}(t)=\min_{|u|\leq1}\left\{1+\lambda^{\mathrm{T}}(t)Ax^{*}(t)+\lambda^{\mathrm{T}}(t)Bu(t)\right\} $$

上式又可表示为

$$ \lambda^{\mathrm{T}}(t)Bu^{*}(t)=\min_{|u_{j}|<1}\left\{\lambda^{\mathrm{T}}(t)Bu(t)\right\} $$

设

$$ \boldsymbol{B}=\left[b_{1}\quad b_{2}\quad\cdots\quad b_{m}\right] $$

$$ \boldsymbol{g}_{j}(t)=\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{b}_{j} $$

式中， $ b_j \in \mathbb{R}^n $， $ j=1,2,\cdots,m $，则式(10-76)可用下列符号函数表示：

$$ u_{j}^{*}(t)=-\operatorname{sgn}\left\{g_{j}(t)\right\}=\left\{\begin{aligned}&+1,&\quad&g_{j}(t)<0\\ &-1,&\quad&g_{j}(t)>0\\ & 不定 ,&\quad&g_{j}(t)=0\end{aligned}\right. $$

显见，若 $ g_j(t) \neq 0 $， $ \forall t \in [0, t_f] $，则可用极小值原理确定 $ u_j^*(t) $， $ j=1, 2, \cdots, m $。这种情况称为正常(平凡)情况，相应的系统(10-74)称为正常系统。

若 $ g_j(t) = 0 $， $ \forall t \in [t_1, t_2] \subset [0, t_f] $，则因 $ u_j^*(t) $ 不定，无法应用极小值原理确定 $ u_j^*(t) $，只能取满足约束条件 $ \left|u_j(t)\right| \leq 1 $ 的任意值。这种情况称为奇异(非平凡)情况，相应的系统(10-74)称为奇异系统。

(3) 奇异性的充分必要条件

定理 10-15 对于问题 10-1，设矩阵

$$ \boldsymbol{G}_{j}=\left[\boldsymbol{b}_{j}\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{j}\cdots\boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{b}_{j}\right];\qquad j=1,2,\cdots,m $$

式中， $ b_j \in \mathbb{R}^n $，为矩阵 $ B $ 的列向量。当且仅当 $ m $ 个 $ G_j $ 矩阵中至少有一个 $ G_j $ 是奇异矩阵，问题 10-1 是奇异的。

证明 构造哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda})=1+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\left[\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t)\right] $$

由极小值原理知，应有 $ H^{*}(t_{f}^{*})=0 $，所以在式(10-80)中，必有

$$ \lambda(t)\neq\mathbf{0},\qquad\forall t\in\left[0,t_{f}\right] $$

由协态方程

$$ \dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\mathbf{x}}=-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\lambda}(t) $$

其解为

$$ \lambda(t)=\mathrm{e}^{-A^{\top}t}\lambda(0),\quad\lambda(0)\neq\mathbf{0} $$

因而

$$ g_{j}(t)=\lambda^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{b}_{j}=\lambda^{\mathrm{T}}(0)\mathrm{e}^{-At}\boldsymbol{b}_{j} $$

设存在奇异区间 $ [t_1, t_2] \subset [0, t_f] $，使得

$$ \boldsymbol{g}_{j}(t)=\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(0)\mathrm{e}^{-A t}\boldsymbol{\boldsymbol{b}}_{j}=0,\qquad\forall t\in\left[t_{1},t_{2}\right] $$

对上式求导 n-1 次，并根据矩阵指数性质，有

$$ (-1)^{n-1}g_{j}^{(n-1)}(t)=\lambda^{\mathrm{T}}(0)\mathrm{e}^{-At}A^{n-1}\boldsymbol{b}_{j}=0 $$

将 $ g_{j}(t) $各次导数表达式写为矩阵形式，有

$$ \lambda^{\mathrm{T}}(0)\left[\mathrm{e}^{-At}b_{j}\quad\mathrm{e}^{-At}Ab_{j}\quad\cdots\quad\mathrm{e}^{-At}A^{n-1}b_{j}\right]=0 $$

由矩阵论知，向量 $ \lambda(0) $ 有非零解的充分必要条件为系数矩阵奇异，因此式(10-82)成立的充分必要条件为

$$ \begin{aligned}&\det\left[\mathrm{e}^{-A t}\boldsymbol{b}_{j}\quad\mathrm{e}^{-A t}A\boldsymbol{b}_{j}\quad\cdots\quad\mathrm{e}^{-A t}A^{n-1}\boldsymbol{b}_{j}\right]\\=&\det\mathrm{e}^{-A t}\det\left[\boldsymbol{b}_{j}\quad A\boldsymbol{b}_{j}\quad\cdots\quad A^{n-1}\boldsymbol{b}_{j}\right]=0\end{aligned} $$

因为 $ e^{-A t} $为状态转移矩阵，是非奇异的，故式(10-83)成立的充分必要条件为

$$ \det\boldsymbol{G}_{j}=\det\left[\boldsymbol{b}_{j}\quad\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{j}\quad\cdots\quad\boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{b}_{j}\right]=0,\qquad\forall j=1,2,\cdots,m $$

由上述定理，立即可得问题10-1正常的充分必要条件。

定理 10-16 问题 10-1 是正常的，当且仅当

$$ \mathrm{rank}\boldsymbol{G}_{j}=n,\qquad\forall j=1,2,\cdots,m $$

式中， $ b_i \in \mathbb{R}^n $，由式(10-77)定义； $ G_j $为 $ n \times n $ 矩阵，由式(10-79)定义。

事实上，正常系统与可控系统存在包含关系。在矩阵 $ G_{j} $ 中，若增加一些线性无关的列，则 $ G_{j} $ 的行秩不变。因此，式(10-84)可写为

$$ \begin{aligned}&\operatorname{rank}\left[\boldsymbol{b}_{j}\quad A\boldsymbol{b}_{j}\quad\cdots\quad A^{n-1}\boldsymbol{b}_{j}\right]\\=&\operatorname{rank}\left[\boldsymbol{b}_{1}\quad A\boldsymbol{b}_{1}\quad\cdots\quad A^{n-1}\boldsymbol{b}_{1}\mid\cdots\mid\boldsymbol{b}_{m}\quad A\boldsymbol{b}_{m}\quad\cdots\quad A^{n-1}\boldsymbol{b}_{m}\right]=n\end{aligned} $$

对式(10-85)进行列初等变换，并考虑到式(10-77)，则式(10-85)又可写为

$$ \mathrm{rank}\left[\boldsymbol{B}\quad\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\quad\cdots\quad\boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{B}\right]=n $$

上式正好是系统(10-74)完全可控的充分必要条件。因此，正常子空间包含于可控子空间。这种包含关系表明，系统可控是系统正常的前提条件。因此，在问题10-1中提出了可控要求。显然，对于单输入系统，j=1，系统正常与系统可控彼此等价。

(4) Bang-Bang 控制原理

对于线性定常系统，若系统正常，则可应用极小值原理求解时间最优控制问题，其最优控制在容许控制域内，从一个边界值来回切换到另一个边界值，形成Bang-Bang控制特色。其主要结果可以归纳为如下定理。

定理 10-17 对于问题 10-1，若系统(10-74)正常，则最优解的必要条件为

1）正则方程

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\lambda}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t) $$

$$ \dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\mathbf{x}}=-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\lambda}(t) $$

式中，哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u},\boldsymbol{\lambda})=1+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}(t)\left[\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t)\right] $$

2) 边界条件

$$ \boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{0},\quad\boldsymbol{x}(t_{f})=\boldsymbol{0} $$

3）极小值条件

$$ \boldsymbol{u}_{j}^{*}(t)=-\mathrm{sgn}(\boldsymbol{b}_{j}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\lambda})=\left\{\begin{aligned}&+1,&\boldsymbol{b}_{j}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\lambda}<0\\ &-1,&\boldsymbol{b}_{j}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\lambda}>0\end{aligned}\right.\quad(j=1,2,\cdots,m) $$

式中， $ b_j \in \mathbb{R}^n $，为矩阵 $ B $ 的列向量。

4) 沿最优轨线 H 变化律

$$ H^{*}(t_{f}^{*})=0 $$

例 10-11 设系统状态方程为

$$ \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t),\qquad\quad\dot{x}_{2}(t)=u(t) $$

边界条件为

$$ x_{1}(0)=x_{10},\quad x_{2}(0)=x_{20},\quad x_{1}(t_{f})=x_{2}(t_{f})=0 $$

控制变量的不等式约束为 $ |u(t)| \leq 1 $，性能指标

$$ \boldsymbol{J}=\int_{0}^{t_{f}}\mathrm{d}t=t_{f} $$

求最优控制 $ u^{*}(t) $，使J极小。

本例为二次积分模型的最小时间控制问题。不难验证，系统可控，因而正常，故时间最优控制必为 Bang-Bang 控制，可用极小值原理求解。构造哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}=1+\lambda_{1}x_{2}+\lambda_{2}\boldsymbol{u} $$

由定理 10-17 知，最优控制

$$ u^{*}(t)=-\operatorname{sgn}\left\{\lambda_{2}(t)\right\}=\left\{\begin{aligned}&+1,&\quad\lambda_{2}(t)<0\\ &-1,&\quad\lambda_{2}(t)>0\end{aligned}\right. $$

由协态方程

$$ \lambda_{1}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x_{1}}=0,\quad\lambda_{1}(t)=c_{1} $$

$$ \lambda_{2}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x_{2}}=-\lambda_{1}(t),\qquad\lambda_{2}(t)=-c_{1}t+c_{2} $$

式中， $ c_{1} $ 和 $ c_{2} $ 为待定常数。

若令 $ u^{*}=1 $，状态方程的解为

$$ \begin{aligned}&\dot{x}_{2}(t)=1,&\quad&x_{2}(t)=t+x_{20}\\&\dot{x}_{1}(t)=t+x_{20},&\quad&x_{1}(t)=\frac{1}{2}t^{2}+x_{20}t+x_{10}\end{aligned} $$

在解 $ \left\{x_{1}(t),x_{2}(t)\right\} $ 中，消去 t，求得相应的最优轨线方程

$$ x_{1}=\frac{1}{2}x_{2}^{2}+\left(x_{10}-\frac{1}{2}x_{20}\right) $$

上式表示一簇抛物线，如图10-5中实线所示。图中曲线上的箭头表示时间t的增加方向，由于 $ x_{2}(t)=t+x_{20} $，故 $ x_{2}(t) $随t的增加而增大。显然，满足末态要求的最优轨线为 $ \widehat{AO} $，表示为

$$ \gamma_{+}=\left\{(x_{1},x_{2})\middle|x_{1}=\frac{1}{2}x_{2}^{2},\ x_{2}\leq0\right\} $$

若令 $ u^{*}=-1 $，状态方程的解为

$$ \begin{aligned}&\dot{x}_{2}(t)=-1,&\quad&x_{2}(t)=-t+x_{20}\\&\dot{x}_{1}(t)=-t+x_{20},&\quad&x_{1}(t)=-\frac{1}{2}t^{2}+x_{20}t+x_{10}\end{aligned} $$

相应的最优轨线方程为

$$ x_{1}=-\frac{1}{2}x_{2}^{2}+\left(x_{10}+\frac{1}{2}x_{20}\right) $$

上式也描绘了一簇抛物线，如图10-5中虚线所示。显然满足末态要求的最优轨线为 $ \widehat{BO} $，可以表示为

$$ \gamma_{-}=\left\{(x_{1},x_{2})\middle|x_{1}=-\frac{1}{2}x_{2}^{2},\quad x_{2}\geqslant0\right\} $$

曲线 $ \gamma_{+} $ 和 $ \gamma_{-} $ 在相平面上组合成曲线 $ \gamma $，称为开关曲线，如图 10-6 中 $ \widehat{BOA} $ 所示。其表达式可由式(10-87)和式(10-88)导出为

$$ \gamma=\gamma_{+}\bigcup\gamma_{-}=\left\{(x_{1},x_{2})\big|x_{1}=-\frac{1}{2}x_{2}\big|x_{2}\big|\right\} $$

由图10-6可见，曲线y将相平面分割为 $ R_{+} $和 $ R_{-} $两个区域，作为状态的集合，可以表示如下：

$$ R_{+}=\left\{(x_{1},x_{2})\big|x_{1}<-\frac{1}{2}x_{2}\big|x_{2}\right\} $$

$$ R_{-}=\left\{(x_{1},x_{2})\big|x_{1}>-\frac{1}{2}x_{2}\big|x_{2}\right\} $$

当初始状态 $ (x_{10},x_{20}) $为不同情况时，系统的最优控制和运动轨线可以讨论如下：

1) 若 $ (x_{10}, x_{20}) $ 位于 $ \gamma_{-} $ 上，则在 u = -1 作用下，沿 BO 运动至要求的原点，此时最优控制为 $ u^{*}(t) = -1, t \in [0, t_{f}] $。

2) 若 $ (x_{10}, x_{20}) $ 位于 $ \gamma_{+} $ 上，则在 u = +1 作用下，沿 $ \overline{AO} $ 运动至要求的原点，此时最优控制为 $ u^{*}(t) = +1, t \in [0, t_{f}] $。

3) 若 $ (x_{10}, x_{20}) $ 位于 $ R_{+} $ 区域，则状态转移分两段进行。首先，在 $ u = +1 $ 作用下，沿 $ u = +1 $ 的某一条抛物线转移至 $ \widehat{BO} $ 上的某点，然后在交点处控制改变为 $ u = -1 $ 沿 $ \gamma $ 转移至原点。此时，最优控制 $ u^*(t) = \{+1, -1\} $。控制作用在 $ \nu $ 曲线的交点处产生一次切换。

4）若 $ (x_{10},x_{20}) $位于 $ R_{-} $区域，则在u=-1作用下，沿u=-1的某一条抛物线转移至 $ \gamma_{+} $曲线上的某一点，然后在交点处控制改变为 $ u=+1 $，沿 $ \gamma_{+} $转移至原点。此时，最优控制 $ u^{*}=\{-1,+1\} $，控制作用在 $ \gamma_{+} $曲线的交点处产生一次切换。

由上述讨论可见，不论初始状态位于 $ R_+ $ 区域或 $ R_- $ 区域，将状态由已知初态向要求末态 $ \boldsymbol{x}(t_f) = \boldsymbol{0} $ 转移时，都必须在 $ \gamma $ 曲线上改变控制的符号，产生控制切换，故式(10-89)表示的 $ \gamma $ 曲线称为开关曲线。于是，本例的时间最优控制为

$$ u^{*}(t)=\left\{\begin{aligned}&+1,\quad&\forall(x_{1},x_{2})\in\mathcal{Y}_{+}\bigcup R_{+}\\ &-1,\quad&\forall(x_{1},x_{2})\in\mathcal{Y}_{-}\bigcup R_{-}\end{aligned}\right. $$

10 -4 线性二次型问题的最优控制

如果所研究的系统是线性的，且性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数，则最优控制问题称为线性二次型问题。由于线性二次型问题的最优解具有统一的解析表达式，且可导致一个简单的线性状态反馈控制律，易于构成闭环最优反馈控制，便于工程实现，因而在实际工程问题中得到了广泛应用。

1. 线性二次型问题

设线性时变系统的动态方程为

$$ \begin{aligned}&\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{u}(t),\qquad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}\\&\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}(t)\boldsymbol{x}(t)\\ \end{aligned} $$

性能指标为

$$ \frac{1}{2}\boldsymbol{e}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{t}_{f})\boldsymbol{F}\boldsymbol{e}(\boldsymbol{t}_{f})+\frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\boldsymbol{e}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{t})\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{t})\boldsymbol{e}(\boldsymbol{t})+\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{t})\boldsymbol{R}(\boldsymbol{t})\boldsymbol{u}(\boldsymbol{t})\right]\mathrm{d}\boldsymbol{t} $$

式中， $ x(t) \in \mathbb{R}^n $； $ u(t) \in \mathbb{R}^m $，无约束； $ y(t) \in \mathbb{R}^l $， $ 0 < l \leq m \leq n $；输出误差向量 $ e(t) = z(t) - y(t) $； $ z(t) \in \mathbb{R}^l $，为理想输出向量； $ A(t) $， $ B(t) $， $ C(t) $为维数适当的时变矩阵，其各元连续且有界；权阵 $ F = F^\top \geq 0 $， $ Q(t) = Q^\top(t) \geq 0 $， $ R(t) = R^\top(t) > 0 $； $ t_0 $及 $ t_f $固定。要求确定最优控制 $ u^*(t) $，使性能指标(10-93)极小。

在今后讨论中，若非特别指出，以上假设始终满足。为了便于工程应用，式(10-93)中的权阵 F， $ Q(t) $ 和 $ R(t) $ 多取为对角阵，则其对称性自然满足。

在二次型指标(10-93)中，其各项都有明确的物理含意，可分述如下：

1) 末值项 $ \frac{1}{2}e^{\mathrm{T}}(t_{f})Fe(t_{f}) $。若取 $ F = \mathrm{diag}(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{l}) $，则有

$$ \frac{1}{2}\boldsymbol{e}^{\mathrm{T}}(t_{f})\boldsymbol{F}\boldsymbol{e}(t_{f})=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{I}f_{i}\boldsymbol{e}_{i}^{2}(t_{f}) $$

上式表明，末值项是末态跟踪误差向量 $ \boldsymbol{e}(t_f) $ 与希望的零向量之间的距离加权平方和。式中，系数 1/2 是为了便于运算， $ e_i(t_f) $ 为 $ \boldsymbol{e}(t_f) $ 的变量。

由此可见，末值项的物理含意是表示在控制过程结束后，对系统末态跟踪误差的要求。

2) 积分项 $ \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_f} e^\mathrm{T}(t)Q(t)e(t)\mathrm{d}t $。若取 $ Q(t)=\mathrm{diag}\{q_1'(t), q_2(t), \cdots q_l(t)\} $，则有

$$ \frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t_{f}}\boldsymbol{e}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{Q}(t)\boldsymbol{e}(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t_{f}}\sum_{i=1}^{l}q_{i}(t)e_{i}^{2}(t)\mathrm{d}t $$

上式表明，该积分项表示在系统控制过程中，对系统动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在控制过程中动态跟踪误差的总度量，几何上以面积大小表示。该积分项与末值项反映了系统的控制效果。

3) 积分项 $ \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_f}\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{R}(t)\boldsymbol{u}(t)\mathrm{d}t $。若取 $ \boldsymbol{R}(t)=\mathrm{diag}\{r_1(t), r_2(t), \cdots, r_m(t)\} $，则有

$$ \frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t_{f}}\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{R}(t)\boldsymbol{u}(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t_{f}}\sum_{i=1}^{m}r_{i}(t)\boldsymbol{u}_{i}^{2}(t)\mathrm{d}t $$

因为控制信号的大小往往正比于作用力或力矩，所以上式表明，该积分项定量地刻画了在整个控制过程中所消耗的控制能量。

上述分析表明，使二次型指标(10-93)极小的物理意义是：使系统在整个控制过程中的动态跟踪误差与控制能量消耗，以及控制过程结束时的末端跟踪偏差综合最优。

从性能指标的物理意义可知，式(10-93)中权矩阵 $ F $, $ \underline{Q}(t) $ $ R(t) $ 都必须至少取为非负矩阵，不能取为负定矩阵，否则性能指标(10-93)的数学描述就会违背物理现实和最优控制问题的本质。至于要求权矩阵 $ R(t) $ 正定，那是由于最优控制律的需要，以保证最优解的存在。

线性二次型最优控制问题有如下几种类型：

(1) 状态调节器问题

在系统方程(10-92)和二次型性能指标(10-93)中，如果 $ C(t) = I $， $ z(t) = 0 $，则有

$$ e(t)=-y(t)=-x(t) $$

从而性能指标(10-93)演变为

$$ \frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t_{f})\boldsymbol{F}\boldsymbol{x}(t_{f})+\frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{Q}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{R}(t)\boldsymbol{u}(t)\right]\mathrm{d}t $$

这时，线性二次型最优控制问题为：当系统(10-92)受扰偏离原零平衡状态时，要求产生一控制向量，使系统状态 $ \boldsymbol{x}(t) $恢复到原平衡状态附近，并使性能指标(10-94)极小。因而，称为状态调节器问题。

(2) 输出调节器问题

对于系统方程(10-92)和性能指标(10-93)，如果理想输出向量 $ z(t) = \mathbf{0} $，则有 $ e(t) = -\mathbf{y}(t) $。从而，性能指标(10-93)演变为

$$ \frac{1}{2}\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}(t_{f})\boldsymbol{F}\boldsymbol{y}(t_{f})+\frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t_{f}}\left[\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{Q}(t)\boldsymbol{y}(t)+\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{R}(t)\boldsymbol{u}(t)\right]\mathrm{d}t $$

这时，线性二次型最优控制问题为：当系统(10-92)受扰偏离原输出平衡状态时，要求产生一控制向量，使系统输出 $ y(t) $ 保持在原零平衡状态附近，并使性能指标(10-95)极小。因而，称为输出调节器问题。

(3) 输出跟踪系统问题

对于系统方程(10-92)和性能指标(10-93)，其中 $ C(t) \neq I $， $ z(t) \neq 0 $，则线性二次型最优控制问题归结为：当理想输出向量 $ z(t) $ 作用于系统时，要求系统产生一控制向量，使系统实际输出向量 $ y(t) $ 始终跟踪 $ z(t) $ 的变化，并使性能指标(10-93)极小。因而，这一类线性二次型最优控制问题称为输出跟踪系统问题。

此外，根据不同的出发点，线性二次型最优控制问题还有其他的分类方法。例如，根据末端时刻 $ t_{f} $是有限或无限，可以分为有限时间线性二次型问题和无限时间线性二次型问题；根据被控系统是连续的还是离散的，可以分为线性连续系统二次型最优控制问题和线性离散系统二次型最优控制问题。

由于线性离散二次型最优控制方法原则上是线性连续二次型最优控制方法的平行推广，因此我们仅讨论连续系统的线性二次型最优控制问题。

2. 有限时间时变状态调节器

当末端时刻 $ t_{f} $有限时，有限时间时变状态调节器问题可以描述如下：

问题 10-2 设线性时变系统状态方程为

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{u}(t),\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $$

式中， $ \boldsymbol{x}(t) \in \mathbb{R}^n $； $ \boldsymbol{u}(t) \in \mathbb{R}^m $，无约束；矩阵 $ A(t) $ 与 $ B(t) $ 维数适当，其各元在 $ [t_0, t_f] $ 上连续且有界。要求确定最优控制 $ \boldsymbol{u}^*(t) $，使性能指标 (10-94) 极小。其中，权阵 $ F = F^\top \geq \boldsymbol{0} $， $ \boldsymbol{Q}(t) = \boldsymbol{Q}^\top(t) \geq \boldsymbol{0} $， $ R(t) = R^\top(t) > 0 $，其各元在 $ [t_0, t_f] $ 上均连续且有界；末端状态 $ \boldsymbol{x}(t_f) $ 自由；末端时刻 $ t_f $ 给定且有限。

(1) 最优解的充分必要条件

定理 10-18 对于问题 10-2，其最优控制的充分必要条件为

$$ \boldsymbol{u}^{*}(t)=-\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{x}(t) $$

最优性能指标

$$ \boldsymbol{J}^{*}=\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t_{0})\boldsymbol{P}(t_{0})\boldsymbol{x}(t_{0}) $$

式中， $ P(t) $ 为 $ n \times n $ 对称非负矩阵，满足下列里卡蒂矩阵微分方程：

$$ \dot{\boldsymbol{P}}(t)=\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{A}(t)+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)-\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)+\boldsymbol{Q}(t) $$

其边界条件

$$ \boldsymbol{P}(t_{f})=\boldsymbol{F} $$

而最优轨线 $ x^{*}(t) $，则是下列线性向量微分方程的解：

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\left[\boldsymbol{A}(t)-\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\right]\boldsymbol{x}(t),\quad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $$

证明 必要性：若 $ u^{*}(t) $ 为最优控制，可证式(10-97)成立。

因 $ \boldsymbol{u}^{*}(t) $ 最优，故必满足极小值原理。构造哈密顿函数

$$ \boldsymbol{H}=\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}+\frac{1}{2}\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{R}\boldsymbol{u}+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{u} $$

由极值条件

$$ \frac{\partial H}{\partial\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{R}\boldsymbol{u}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0},\qquad\frac{\partial^{2}H}{\partial\boldsymbol{u}^{2}}=\boldsymbol{R}>\boldsymbol{0} $$

故

$$ \boldsymbol{u}^{*}(t)=-\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\lambda}(t) $$

可使哈密顿函数极小。再由正则方程

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\lambda}\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{\lambda}(t) $$

$$ \dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\frac{\partial\boldsymbol{H}}{\partial\boldsymbol{x}}=-\boldsymbol{Q}(t)\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{\lambda}(t) $$

因末态 $ x(t_{f}) $自由，所以横截条件为

$$ \lambda(t_{f})=\frac{\partial}{\partial x(t_{f})}\left[\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t_{f})\boldsymbol{F}\boldsymbol{x}(t_{f})\right]=\boldsymbol{F}\boldsymbol{x}(t_{f}) $$

由于在式(10-105)中， $ \lambda(t_{f}) $ 与 $ x(t_{f}) $ 存在线性关系，且正则方程又是线性的，因此可以假设

$$ \lambda(t)=\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{x}(t),\qquad\forall t\in\left[t_{0},t_{f}\right] $$

式中矩阵 $ P(t) $ 待定。对上式求导，得

$$ \dot{\lambda}(t)=\dot{P}(t)x(t)+P(t)\dot{x}(t) $$

将式(10-103)和式(10-106)代入式(10-107)，有

$$ \dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=\left[\dot{\boldsymbol{P}}(t)+\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{A}(t)-\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\right]\boldsymbol{x}(t) $$

将式(10-106)代入式(10-104)，则又有

$$ \dot{\boldsymbol{\lambda}}(t)=-\left[\boldsymbol{Q}(t)+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\right]\boldsymbol{x}(t) $$

比较式(10-108)和式(10-109)，立即证得里卡蒂方程(10-99)成立。

在式(10-106)中，令 $ t=t_{f} $，有

$$ \lambda(t_{f})=\boldsymbol{P}(t_{f})\boldsymbol{x}(t_{f}) $$

上式与横截条件式(10-105)比较，证得里卡蒂方程的边界条件式(10-100)成立。

因 $ P(t) $ 可解，将式(10-106)代入式(10-102)，证得 $ \boldsymbol{u}^{*}(t) $ 表达式(10-97)。

显然，将式(10-97)代入式(10-96)，得式(10-101)最优闭环系统方程，其解必为最优轨线 $ x^{*}(t) $。

充分性：若式(10-97)成立，可证 $ u^{*}(t) $必为最优控制。

根据连续动态规划法，可以方便地证明最优控制的充分性及最优性能指标(10-98)成立。其证明过程略。

在上述定理的证明过程中，应用了里卡蒂方程解的有关性质，需要加以说明。

(2) 里卡蒂方程解的若干性质

在式(10-97)中，令反馈增益矩阵

$$ \boldsymbol{K}(t)=\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t) $$

则最优控制可表示为

$$ \boldsymbol{u}^{*}(t)=-K(t)\boldsymbol{x}(t) $$

将上式代入式(10-96)，得最优闭环系统方程

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\left[\boldsymbol{A}(t)-\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{K}(t)\right]\boldsymbol{x}(t),\qquad\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $$

因为矩阵 $ A(t) $， $ B(t) $ 及 $ R(t) $ 已知，故闭环系统的性质与 $ K(t) $ 密切相关，而 $ K(t) $ 的性质又取决于里卡蒂方程(10-99)在边界条件(10-100)下的解 $ P(t) $。

1) $ P(t) $ 是唯一的。矩阵 $ P(t) $ 是里卡蒂方程 (10-99) 在边界条件 (10-100) 下的解。而方程 (10-99) 实质上是 $ n(n+1)/2 $ 个非线性标量微分方程组，当矩阵 $ A(t) $， $ B(t) $， $ R(t) $ 和 $ Q(t) $ 满足问题 10-2 的假设条件时，根据微分方程理论中解的存在性与唯一性定理知，在区间 $ [t_{0}, t_{f}] $ 上， $ P(t) $ 唯一存在。

2) $ P(t) $ 是对称的。

命题 10-1 若矩阵 $ P(t) $ 是里卡蒂方程(10-99)及其边界条件(10-100)的唯一解，则

$$ \boldsymbol{P}(t)=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t) $$

证明 对里卡蒂方程(10-99)及其边界条件(10-100)取转置，可得

$$ \dot{\boldsymbol{P}}^{\mathrm{T}}(t)=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t)+\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{A}(t)-\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{R}^{\mathrm{-T}}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t)+\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}(t) $$

以及

$$ \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t_{f})=\boldsymbol{F}^{\mathrm{T}} $$

因为 $ R(t) = R^{\mathrm{T}}(t) $， $ Q(t) = Q^{\mathrm{T}}(t) $， $ F = F^{\mathrm{T}} $，于是式(10-114)及式(10-115)可写为

$$ \dot{\boldsymbol{P}}^{\mathrm{T}}(t)=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{A}(t)+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t)-\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t)+\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}(t) $$

$$ \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}(t_{f})=\boldsymbol{F} $$

比较式(10-99)、式(10-100)与式(10-116)、式(10-117)可见， $ P(t) $与 $ P^{\mathrm{T}}(t) $是在同一边界条件下的同一矩阵微分方程的解。因为 $ P(t) $是唯一的，故式(10-113)必然成立。

3) $ P(t) $ 是非负的。

命题 10-2 对于性能指标(10-94), 如果在区间 $ [t_0, t_f] $ 上, 有 $ F \geq \emptyset $、 $ Q(t) \geq \emptyset $、 $ R(t) > \emptyset $，则对于任意的 $ u(t) $ 和相应的 $ x(t) $，总有 $ J[x(t), u(t), t] \geq 0 $。

证明 由命题假设，二次型函数

$$ \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t_{f})\boldsymbol{F}\boldsymbol{x}(t_{f})\geq0,\qquad\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{Q}(t)\boldsymbol{x}(t)\geq0,\qquad\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{R}(t)\boldsymbol{u}(t)>0 $$

从而，对任意的 $ u(t) $ 和相应的 $ x(t) $，由式(10-94)描述的性能指标，总有

$$ J\big[\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{u}(t),t\big]\geq0,\qquad\forall t\in\left[t_{0},t_{f}\right] $$

命题 10-3 若矩阵 $ P(t) $ 是里卡蒂方程(10-99)及其边界条件(10-100)的唯一解，则

$$ P(t)\geq\mathbf{0},\qquad\forall t\in\left[t_{0},t_{f}\right] $$

证明 由命题 10-2，对任意的 $ u(t) $ 和相应的 $ x(t) $，有

$$ J\big[\pmb{x}(t),\pmb{u}(t),t\big]\geqslant0,\qquad\forall t\in\Big[t_{0},t_{f}\Big] $$

取 $ \boldsymbol{u}(t)=\boldsymbol{u}^{*}(t) $，命题 10-2 仍然成立。由定理 10-18 知，最优性能指标

$$ J^{*}\left[\boldsymbol{x}(t),t\right]=\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{x}(t)\geq0,\qquad\forall t\in\left[t_{0},t_{f}\right] $$

则由二次型函数性质知，命题成立。

(3) 最优控制解的存在与唯一性

若问题10-2有最优控制解，该解必满足定理10-18的结论。可以证明，该解是存在且唯一的。

定理 10-19 在定理 10-18 中，最优控制解

$$ \boldsymbol{u}(t)=-\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{x}(t) $$

存在且唯一。

证明 先证存在性：因 $ P(t) $ 存在且唯一，故 $ \boldsymbol{u}^{*}(t) $ 存在。再证唯一性：反设 $ \boldsymbol{u}^{*}(t) $ 不唯一，不失一般性，令 $ \boldsymbol{u}_{1}^{*}(t) $ 和 $ \boldsymbol{u}_{2}^{*}(t) $ 均为最优控制解，则由 $ P(t) $ 的唯一性可知

$$ \boldsymbol{u}_{1}^{*}(t)=-\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{x}_{1}(t),\quad\boldsymbol{u}_{2}^{*}(t)=-\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{x}_{2}(t) $$

相应的闭环系统方程(10-101)为

$$ \dot{\boldsymbol{x}}_{1}^{*}(t)=\left[\boldsymbol{A}(t)-\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\right]\boldsymbol{x}_{1}^{*}(t),\quad\boldsymbol{x}_{1}^{*}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $$

$$ \dot{\boldsymbol{x}}_{2}^{*}(t)=\left[\boldsymbol{A}(t)-\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{R}^{-1}(t)\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{P}(t)\right]\boldsymbol{x}_{2}^{*}(t),\quad\boldsymbol{x}_{2}^{*}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0} $$

可见，最优轨线 $ x_{1}^{*}(t) $ 和 $ x_{2}^{*}(t) $ 是同一向量微分方程且具有同样初始条件下的解。根据微分方程对初值问题解的唯一性，显然有

$$ \boldsymbol{x}_{1}^{*}(t)=\boldsymbol{x}_{2}^{*}(t),\qquad\forall t\in\left[t_{0},t_{f}\right] $$

$$ \boldsymbol{u}_{1}^{*}(t)=\boldsymbol{u}_{2}^{*}(t),\qquad\forall t\in\left[t_{0},t_{f}\right] $$

唯一性得证。

例 10-12 设系统状态方程为

$$ \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t),\qquad\dot{x}_{2}(t)=u(t) $$

初始条件为： $ x_{1}(0)=1 $， $ x_{2}(0)=0 $。性能指标

$$ J=\frac{1}{2}\int_{0}^{t_{f}}\left[x_{1}^{2}(t)+u^{2}(t)\right]\mathrm{d}t $$

式中， $ t_{f} $ 为某一给定值。试求最优控制 $ u^{*}(t) $，使 $ J = \min $。

解 本例为有限时间状态调节器问题。由题意：

$$ \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{F}=\mathbf{0},\quad\boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&0\end{bmatrix},\quad r=1 $$

由里卡蒂方程

$$ \dot{\boldsymbol{P}}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}\boldsymbol{b}\boldsymbol{r}^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{Q},\qquad\boldsymbol{P}(t_{f})=\boldsymbol{F} $$

代入相应的 A, b, Q, r, F, 并令矩阵

$$ \boldsymbol{P}(t)=\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\ P_{12}&P_{22}\end{bmatrix} $$

可得下列微分方程组及相应的边界条件：

$$ \dot{P}_{11}(t)=-1+P_{12}^{2}(t),\quad P_{11}(t_{f})=0 $$

$$ \dot{P}_{12}(t)=-P_{11}(t)+P_{12}(t)P_{22}(t),\qquad P_{12}(t_{f})=0 $$

$$ \dot{P}_{22}(t)=-2P_{12}(t)+P_{22}^{2}(t),\quad P_{22}(t_{f})=0 $$

利用计算机逆时间方向求解上述微分方程组，可以得到 $ P(t), t \in [0, t_f] $。

最优控制

$$ \boldsymbol{u}^{*}(t)=-r^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}(t)=-P_{12}x_{1}(t)-P_{22}x_{2}(t) $$

式中， $ P_{12} $ 和 $ P_{22} $ 随时间变化曲线如图 10-7 所示。由于反馈系数 $ P_{12} $ 和 $ P_{22} $ 都是时变的，在设计系统时，需离线算出 $ P_{12} $ 和 $ P_{22} $ 的值，并存储于计算机内，以便实现控制时调用。

最优控制系统的结构图如图10-8所示。

对于上述结论及例题求解过程，需要作如下几点说明：

1）最优控制律(10-97)是一个线性状态反馈控制律，便于实现闭环最优控制。

2）里卡蒂方程(10-99)为非线性矩阵微分方程，通常只能采用计算机逆时间方向求数值解。由于里卡蒂方程与状态及控制变量无关，因而在定常系统情况下，可以离线算出 $ P(t) $。

3）只要时间区间 $ [t_{0},t_{f}] $是有限的，里卡蒂方程的解 $ P(t) $就是时变的，最优反馈系统将成为线性时变系统，即使矩阵A、B、Q和R都是常值矩阵，求出的 $ P(t) $仍然是时变的。

3. 无限时间定常状态调节器

若系统受扰偏离原零平衡状态后，希望系统能最优地恢复到原平衡状态，不产生稳态误差，则必须采用无限时间状态调节器；若同时要求最优闭环系统渐近稳定，则应采用无限时间定常状态调节器，其最优状态反馈矩阵为常阵，可以离线计算，便于实时控制。

(1) 问题描述

问题 10-3 设线性定常系统状态方程

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t),\qquad\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{0} $$

性能指标

$$ \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left[x^{\mathrm{T}}(t)Qx(t)+u^{\mathrm{T}}(t)R(t)\right]\mathrm{d}t $$

式中， $ x(t) \in \mathbb{R}^n $； $ u(t) \in \mathbb{R}^m $，无约束； $ A, B, Q $ 和 $ R $ 为维数适当的常值矩阵；权阵 $ Q = Q^T \geq 0 $， $ R = R^T > 0 $。要求确定最优控制 $ u^*(t) $，使性能指标(10-120)极小。

(2) 最优解结果

定理 10-20 在问题 10-3 中，若对于任意矩阵 $ D $，有 $ DD^{\mathrm{T}} = Q $，且 $ \overline{P} $ 是里卡蒂矩阵代数方程

$$ \bar{P}A+A^{\mathrm{T}}\bar{P}-\bar{P}BR^{-1}B^{\mathrm{T}}\bar{P}+Q=0 $$

的解，则阵对$\{A,D\}$ 完全可观的充分必要条件是$\bar{P}$ 为对称正定矩阵。

定理 10-21 对于问题 10-3，若阵对 $\{A, B\}$ 完全可控，阵对 $\{A, D\}$ 完全可观，其中 $DD^{\mathrm{T}} = Q$，且 $D$ 任意，则存在唯一的最优控制

$$ \boldsymbol{u}^{*}(t)=-\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{x}(x) $$

最优性能指标为

$$ \boldsymbol{J}^{*}=\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(0)\boldsymbol{\bar{P}}\boldsymbol{x}(0) $$

式中， $ \overrightarrow{P} $ 为对称正定常阵，是里卡蒂矩阵代数方程

$$ \overline{{\boldsymbol{P}}}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}}-\overline{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}}+\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{0} $$

的唯一解。

(3) 最优闭环系统的渐近稳定性

定理 10-22 对于问题 10-3，由定理 10-21 得到的最优闭环系统

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}})\boldsymbol{x}(t),\qquad\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{0} $$

必定是渐近稳定的。

取二次型函数

$$ \boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\overline{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{x}(t) $$

上式仅当 $ x(t)=0 $ 时，才有 $ V(x)=0 $；对于非零 $ x(t) $，由于 $ \overline{P} $ 为对称正定常值矩阵，必有 $ V(x)=0 $；而且

$$ \lim_{\|x\|\to\infty}V(x)=\lim_{\|x\|\to\infty}x^{\mathrm{T}}(t)\overline{P}x(t)\to\infty $$

故式(10-125)表示的 $ V(x) $是一个李雅普诺夫函数。

取式(10-125)对时间 t 的导数，得

$$ \dot{V}(\boldsymbol{x})=\dot{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}(t)\overline{P}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\overline{P}\dot{\boldsymbol{x}}(t) $$

将式(10-119)及式(10-123)代入上式，可得

$$ \begin{aligned}\dot{V}(\boldsymbol{x})&=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\Big[\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}}\right)^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}}+\overline{\boldsymbol{P}}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}})\Big]\boldsymbol{x}(t)\\&=-\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)(\boldsymbol{Q}+\overline{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}})\boldsymbol{x}(t)\end{aligned} $$

因 $ Q\geq0 $，R>0，故有

$$ \dot{V}(x)\leq0 $$

显然，仅在 $ \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}_{0}=\boldsymbol{0} $ 的原平衡状态时，才有 $ \dot{V}(\boldsymbol{x})=0 $，此外 $ \dot{V}(\boldsymbol{x})\neq0 $。反设对于非零 $ \boldsymbol{x}_{0} $ 有 $ \dot{V}(\boldsymbol{x})=0 $，则由式(10-126)知，应有

$$ \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}(t)=0 $$

$$ \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\overline{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{x}(t)=0 $$

将 $ \boldsymbol{u}^{*}(t) = -\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}(t) $ 代入式(10-128)，得

$$ \boldsymbol{u}^{*\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{R}\boldsymbol{u}^{*}(t)=0 $$

由于 $ R > 0 $，故应有 $ u^*(t) = 0 $，此时系统(10-119)只有零输入响应

$$ \boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{A t}\boldsymbol{x}_{0},\qquad\forall\boldsymbol{x}_{0}\neq\mathbf{0} $$

将式(10-129)代入式(10-127)，可得

$$ \boldsymbol{x}_{0}^{\mathrm{T}}\mathrm{e}^{A^{\mathrm{T}}t}\boldsymbol{D}\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}}\mathrm{e}^{A t}\boldsymbol{x}_{0}=0 $$

式中， $ DD^{T}=Q $。上式表明

$$ \begin{array}{c c c}{D^{\mathrm{T}}\mathrm{e}^{A t}x_{0}=\mathbf{0},}&{\quad}&{\forall x_{0}\neq\mathbf{0}}\\ \end{array} $$

故 $ D^{T}e^{A t} $ 列相关，这与 $ \{A,D\} $ 完全可观矛盾，反设不成立。

根据李雅普诺夫稳定性定理，系统(10-124)大范围渐近稳定。

对于以上主要结论，需作如下几点说明：

1）在定理10-21中，对系统(10-119)提出的可控性要求，是为了保证最优解的存在。

在有限时间调节器问题中，对系统并无可控性要求，因为式(10-120)的积分上限 $ t_{f} $ 有限，无论系统可控与否，性能指标 J 不会趋于无穷。但在 $ t_{f} \rightarrow \infty $ 时，当不可控状态不稳定，且又包含于性能指标 J 之中时，便会使 $ J \rightarrow \infty $，从而使最优解不存在。

例 10-13 设系统状态方程及初始条件为

$$ \dot{x}_{1}(t)=x_{1}(t),\quad x_{1}(0)=1 $$

$$ \dot{x}_{2}(t)=x_{2}(t)+u(t),\qquad x_{2}(0)=0 $$

性能指标

$$ \boldsymbol{J}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left[\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{u}^{2}(t)\right]\mathrm{d}t $$

试求最优控制 $ u^{*}(t) $ 及最优性能指标 $ J^{*} $ 。

解 本例为无限时间定常状态调节器问题。由题意，状态 $ x_{1}(t) $ 显然不可控。因为系统矩阵及状态转移矩阵为

$$ \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix},\qquad\mathrm{e}^{A t}=\mathcal{S}^{-1}\Big[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\Big]=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{t}&0\\ 0&\mathrm{e}^{t}\end{bmatrix} $$

故系统的零输入响应

$$ \begin{bmatrix}x_{1}(t)\\ x_{2}(t)\end{bmatrix}=\mathrm{e}^{At}\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{t}\\ 0\end{bmatrix} $$

显然

$$ \lim_{t\to\infty}x_{1}(t)=\lim_{t\to\infty}e^{t}\to\infty $$

性能指标 $ J=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left[\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{u}^{2}(t)\right]\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left[x_{1}^{2}(t)+x_{2}^{2}(t)+u^{2}(t)\right]\mathrm{d}t\rightarrow\infty $

因而本例不存在最优解。

2) 在定理 10-21 中，要求阵对 $ \{A,D\} $ 完全可观，是为了保证最优闭环系统(10-124)渐近稳定性。如果强化性能指标中权阵 $ Q $ 的条件，要求 $ Q = Q^T > 0 $，则可去掉 $ \{A,D\} $ 可观的要求。至于 $ \overline{P} $ 矩阵的正定性，卡尔曼曾经指出：系统可控的假设和取权阵 $ F=0 $，意味着 $ t_f \to \infty $ 时， $ \overline{P} $ 为正定矩阵。

3) 对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑终点指标，取权阵 $ F=0 $，其原因有二：一是希望 $ t_f \to \infty $ 时， $ x(t_f) = 0 $，即要求稳态误差为零，因而在性能指标中不必加入体现终点指标的末值项；二是工程上仅考虑系统在有限时间内的响应，因而 $ t_f \to \infty $ 时的终点指标将失去工程意义。

例 10-14 设系统状态方程及初始条件为

$$ \dot{x}_{1}(t)=u(t),\qquad\quad x_{1}(0)=0 $$

$$ \dot{x}_{2}(t)=x_{1}(t),\qquad x_{2}(0)=1 $$

性能指标

$$ J=\int_{0}^{\infty}\left[x_{2}^{2}(t)+\frac{1}{4}u^{2}(t)\right]\mathrm{d}t $$

试求最优控制 $ u^{*}(t) $ 和最优性能指标 $ J^{*} $

解 本例为无限时间状态调节器问题。因

$$ J=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left(2x_{2}^{2}+\frac{1}{2}u^{2}\right)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left\{\left[x_{1},x_{2}\right]\left[0\quad0\right]\left[x_{1}\right]\left[x_{2}\right]+\frac{1}{2}u^{2}\right\}\mathrm{d}t $$

故由题意

$$ \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&0\\ 1&0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&2\end{bmatrix},\quad r=\frac{1}{2},\quad\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}0&\sqrt{2}\end{bmatrix} $$

检验可控性与可观性：

$$ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{b}&\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}=2 $$

$$ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}}\\\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}0&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&0\end{bmatrix}=2 $$

故 $ u^{*}(t) $存在且最优闭环系统渐近稳定。

解里卡蒂方程：令

$$ \overline{\boldsymbol{P}}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{P}_{11}&\boldsymbol{P}_{12}\\ \boldsymbol{P}_{12}&\boldsymbol{P}_{22}\end{bmatrix} $$

由

$$ \bar{P}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\bar{P}-\bar{P}\boldsymbol{b}\boldsymbol{r}^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\bar{P}+\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{0} $$

得代数方程组

$$ 2P_{12}-2P_{11}^{2}=0 $$

$$ P_{22}-2P_{11}P_{12}=0 $$

$$ -2P_{12}^{2}+2=0 $$

联立求解，得

$$ \overline{\boldsymbol{P}}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}\end{bmatrix}>0 $$

求最优解：

$$ u^{*}(t)=-r^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\overline{P}\boldsymbol{x}(t)=-2x_{1}(t)-2x_{2}(t) $$

$$ \boldsymbol{J}^{*}=\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(0)\overline{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{x}(0)=1 $$

检验闭环系统的稳定性：

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{b}\boldsymbol{r}^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\overline{\boldsymbol{P}})\boldsymbol{x}(t)=\begin{bmatrix}-2&-2\\ 1&0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)=\dot{\overline{\boldsymbol{A}}}\boldsymbol{x}(t) $$

其特征方程为

$$ \begin{aligned}\det(\lambda\boldsymbol{I}-\overline{\boldsymbol{A}})&=\det\begin{bmatrix}{{{\lambda+2}}}&{{{2}}} \\{{{-1}}}&{{{\lambda}}}\end{bmatrix}\\&=\lambda^{2}+2\lambda+2=0\end{aligned} $$

求出特征值为 $ \lambda_{1}=-1+j $， $ \lambda_{2}=-1-j $。由特征值判据知，闭环系统渐近稳定。

4. 无限时间定常输出跟踪系统

对于无限时间输出跟踪系统问题，目前还没有严格的一般性求解方法。当理想输出为常值向量时，无限时间定常输出最优跟踪系统问题，有如下工程上可以应用的近似结果。

定理 10-23 设线性定常系统的动态方程为

$$ \begin{aligned}&\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t),\qquad\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{0}\\&\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}(t)\\ \end{aligned} $$

式中， $ x(t) \in \mathbb{R}^n $； $ u(t) \in \mathbb{R}^m $，无约束； $ y(t) \in \mathbb{R}^l $， $ 0 < l \leq m \leq n $； $ A $， $ B $， $ C $ 为维数适当的常值矩阵。

设 $ \hat{z} \in \mathbb{R}^l $ 为理想输出常向量， $ e(t) $ 为输出误差向量，由

$$ e(t)=\hat{z}-y(t) $$

定义性能指标

$$ \mathrm{J}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left[e^{\mathrm{T}}(t)Q e(t)+u^{\mathrm{T}}(t)R u(t)\right]\mathrm{d}t $$

式中，权阵 Q 和 R 均为对称正定常值矩阵，维数适当。

若阵对 $ \{A,B\} $ 完全可控，阵对 $ \{A,C\} $ 完全可观，则使性能指标(10-132)极小的近似最优控制

$$ \hat{\boldsymbol{u}}^{*}(t)=-\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\hat{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\hat{\boldsymbol{g}} $$

式中， $ \hat{P} $ 为对称正定常阵，满足下列里卡蒂矩阵代数方程：

$$ \hat{P}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\hat{\boldsymbol{P}}-\hat{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\hat{\boldsymbol{P}}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{0} $$

常值伴随向量

$$ \hat{g}=\left[\hat{P}BR^{-1}B^{\mathrm{T}}-A^{\mathrm{T}}\right]^{-1}C^{\mathrm{T}}Q\hat{z} $$

闭环系统方程

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\hat{\boldsymbol{P}})\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\hat{\boldsymbol{g}},\quad\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{0} $$

的解，为近似最优轨线 $ \hat{x}^{*}(t) $。

应当指出，定理 10-23 并没有论证闭环系统的稳定性，因此在实际应用时，需对闭

环系统的渐近稳定性加以检验。

例 10-15 有一理想化轮船操纵系统，其从激励信号 $ u(t) $ 到实际航向 $ y(t) $ 的传递函数为 $ 4/s^{2} $，试设计近似最优激励信号 $ \hat{u}^{*}(t) $，使性能指标

$$ J=\int_{0}^{\infty}\left\{\left[\hat{z}-y(t)\right]^{2}+u^{2}(t)\right\}\mathrm{d}t $$

极小。式中， $ \hat{z}=1(t) $为理想输出。

解 本例为无限时间定常输出跟踪系统问题，可按如下步骤求解：

1）系统状态空间建模。由于传递函数

$$ G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{4}{s^{2}} $$

可得

$$ \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t),\quad\dot{x}_{2}(t)=4u(t),\quad y(t)=x_{1}(t) $$

于是

$$ \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}0\\ 4\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix} $$

检验

$$ G(s)=c(sI-A)^{-1}\boldsymbol{b}=\frac{4}{s^{2}} $$

2）检验可控性与可观性。性能指标又可表示为

$$ \mathrm{J}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left\{2\left[\hat{z}-y(t)\right]^{2}+2u^{2}(t)\right\}\mathrm{d}t $$

故有

$$ r=q=2,\quad\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}q\boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}2&0\\ 0&0\end{bmatrix} $$

$$ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}b&Ab\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}0&4\\ 4&0\end{bmatrix}=2 $$

因为

$$ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}{{{\boldsymbol{c}}}} \\{{{\boldsymbol{c}\boldsymbol{A}}}}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}=2 $$

故 $ \{A,b\} $可控， $ \{A,c\} $可观。

3) 解里卡蒂方程。令 $ \hat{P} = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{12} & P_{22} \end{bmatrix} $，由式(10-134)得

$$ \begin{aligned}&-8P_{12}^{2}+2=0\\&P_{11}-8P_{12}P_{22}=0\\&2P_{12}-8P_{22}^{2}=0\\ \end{aligned} $$

联立解出

$$ \hat{\boldsymbol{P}}=\begin{bmatrix}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{4}\end{bmatrix}>\mathbf{0} $$

4）求伴随常向量。

$$ \hat{\boldsymbol{g}}=(\hat{P}\boldsymbol{b}\boldsymbol{r}^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{-1}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{q}\hat{\boldsymbol{z}}=\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right] $$

5）确定近似最优控制。

$$ \begin{aligned}\hat{\boldsymbol{u}}^{*}(t)&=-\boldsymbol{r}^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\hat{\boldsymbol{P}}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{r}^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\hat{\boldsymbol{g}}\\&=-\boldsymbol{x}_{1}(t)-\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{x}_{2}(t)+1=-\boldsymbol{y}(t)-\frac{\sqrt{2}}{2}\dot{\boldsymbol{y}}(t)+1\end{aligned} $$

6）检验闭环输出跟踪系统的稳定性。闭环系统的系统矩阵为

$$ \overline{\boldsymbol{A}}=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{b}r^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\hat{\boldsymbol{P}})=\begin{bmatrix}0&1\\ -4&-2\sqrt{2}\end{bmatrix} $$

特征方程

$$ \det(\lambda\boldsymbol{I}-\overline{\boldsymbol{A}})=\lambda^{2}+2\sqrt{2}\lambda+4=0 $$

解得特征值

$$ \lambda_{1}=-\sqrt{2}+\mathrm{j}\sqrt{2},\qquad\lambda_{2}=-\sqrt{2}-\mathrm{j}\sqrt{2} $$

故闭环输出跟踪系统渐近稳定。

10 -5 控制系统优化设计

工程系统的优化设计方法有多种，除线性二次型优化法以外，ITAE 优化方法也是一种常用的方法。

例 10-16 PID 控制系统的优化设计。

在优化控制系统设计中，一种合适的性能指标是时间与绝对误差的乘积积分，称为ITAE性能指标，表示如下：

$$ \mathrm{ITAE}=\int_{0}^{t_{f}}t\left|e(t)\right|\mathrm{d}t $$

选择 ITAE 指标，是为了减小较大的初始误差对性能指标取值的影响，同时也是为了强调最近的响应的影响。

当所选的性能指标达到极小值时，控制系统称为是最优的。如果稳定系统的闭环传递函数具有如下的一般形式：

$$ \Phi(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}} $$

式中， $ a_0=b_0 $，则可以确定 $ \Phi(s) $的最优系数，使系统对阶跃响应的 ITAE 性能指标极小。式(10-138)传递函数有 $ n $ 个极点，没有零点，而且系统对阶跃响应的稳态误差为零。

在高阶线性系统中，ITAE 最优性能指标的几何意义是误差的广义面积极小，它也是多维相空间曲面上的一个极值，它的维数就是该方程所描述系统的状态数。显然，用解析法很难得到该极值，一般采用实验的方法来确定 $ \Phi(s) $ 的最优系数。

为了减少计算的复杂程度，不妨可以采用标准化微分方程形式，这样可以把 n 维空

间降低为 n-1 维。例如，对于标准化时间 $ \omega_{n}t $，标准二阶系统 $ \Phi(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+\beta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}} $ 就只取决于参数 $ \beta=2\zeta $，标准三阶系统 $ \Phi(s)=\frac{\omega_{n}^{3}}{s^{3}+\beta_{2}\omega_{n}s^{2}+\beta_{1}\omega_{n}^{2}s+\omega_{n}^{3}} $ 就只取决于 $ \beta_{1} $ 和 $ \beta_{2} $ 两个系数，依此类推。这里仅以三阶标准化微分方程所描述的系统在单位阶跃输入作用下的 ITAE 最优系数的确定方法为例，说明其基本实验原理。

不妨取 $ \omega_{n}=1 $，则标准三阶系统的微分方程为

$$ \ddot{y}+\beta_{2}\ddot{y}+\beta_{1}\dot{y}+y=1 $$

写成可控标准型形式

$$ \begin{aligned}\begin{bmatrix}{{{\dot{x}_{1}}}} \\{{{\dot{x}_{2}}}} \\{{{\dot{x}_{3}}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{-\beta_{1}}}}&{{{-\beta_{2}}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{x_{1}}}} \\{{{x_{2}}}} \\{{{x_{3}}}}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{{{0}}} \\{{{0}}} \\{{{1}}}\end{bmatrix}u\end{aligned} $$

$$ y=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix} $$

其对应的状态变量图如图10-9中虚框所示。

建立 ITAE 最优性能指标

$$ \mathrm{ITAE}=\int_{0}^{t_{f}}t\left|e(t)\right|\mathrm{d}t $$

需要从图10-9中引出误差信号 $ e(t) $。显然

$$ e(t)=1-y(t)=\ddot{y}+\beta_{2}\ddot{y}+\beta_{1}\dot{y} $$

将 $ e(t) $ 取绝对值后与和 t 一起输入乘法器，相乘结果累加就可得到 ITAE 积分泛函值 J，如图 10-9 所示。

在实验中，每当给定一系数 $ \beta_{2} = \text{const} $ (或 $ \beta_{1} $) 后，每次再改变另一系数 $ \beta_{1} $ (或 $ \beta_{2} $)，就可以得到一个相应的 $ J = f(\beta_{1}, \beta_{2}) $ 值，将这些 J 值连成光滑曲线，可以得到图 10-10 所示

的曲线簇。这些曲线簇实际上是 $ J - \beta_1 - \beta_2 $三维空间中同一个曲面在不同 $ \beta_2 = \text{const} $值下的切面。给定不同的 $ \beta_2 $值可得到不同的曲线簇。再根据这些切面的曲面簇可以得到它在 $ J - \beta_1 - \beta_2 $三维空间中的曲面，如图10-11所示，它的最佳系数就落在曲面的最底部。对于标准三阶系统，当 $ \beta_1 = 2.15 $， $ \beta_2 = 1.75 $时， $ J = \text{ITAE} = \int_0^{t_f} t |e(t)| \, \text{d}t = \min $。

对于三阶以上的高阶系统，其实验原理基本一致，只是确定最佳系数的曲面为一超曲面。对阶跃响应的基于ITAE指标的最优系数，如表10-4所示。

当系统 $ \Phi(s) $ 具有表 10-4 所示的最优系数时，系统的阶跃响应如图 10-12 所示，其中时间尺度为标准化时间 $ \omega_{n}t $。

对于斜坡输入，当闭环稳定系统传递函数具有如下标准形式：

$$ \varPhi(s)=\frac{b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}} $$

式中， $ a_{0}=b_{0} $， $ a_{1}=b_{1} $，则可由表10-5确定使ITAE指标极小化的最优系数。式(10-139)传递函数对斜坡输入的稳态误差为零。显然，系统相应的开环传递函数 $ G(s) $应至少有两个纯积分环节。

$$ \begin{aligned}&s^{2}+3.2\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}\\ &\\ s^{3}+1.75\omega_{n}s^{2}+3.25\omega_{n}^{2}s+\omega_{n}^{3}\\ &\\ s^{4}+2.41\omega_{n}s^{3}+4.93\omega_{n}^{2}s^{2}+5.14\omega_{n}^{3}s+\omega_{n}^{4}\\ &\\ s^{5}+2.19\omega_{n}s^{4}+6.50\omega_{n}^{2}s^{3}+6.30\omega_{n}^{3}s^{2}+5.24\omega_{n}^{4}s+\omega_{n}^{5}\\ \end{aligned} $$

采用 ITAE 性能指标，以及表 10-4 或表 10-5 给出的最优系数，可以确定常用的 PID 控制器

$$ G_{c}(s)=K_{1}+\frac{K_{2}}{s}+K_{3}s=\frac{K_{3}s^{2}+K_{1}s+K_{2}}{s} $$

的参数 $ K_{1} $， $ K_{2} $ 和 $ K_{3} $，使系统的 ITAE 性能指标达到最小，且对阶跃输入或斜坡输入的动态响应极好。采用 ITAE 方法时，PID 控制器的设计过程可以归纳如下：

1）根据对调节时间的要求，确定闭环系统的自然频率 $ \omega_{n} $。

2）根据选定的闭环最优系数（参见表10-4或表10-5）以及上一步给出的 $ \omega_{n} $，确定PID 控制器式(10-140)的三个参数 $ K_{1} $， $ K_{2} $和 $ K_{3} $，从而得到 $ G_{c}(s) $。

3）确定合适的前置滤波器 $ G_{p}(s) $，使得闭环传递函数的零点符合式(10-138)或式(10-139)的要求。

设控制系统如图 10-13 所示，其中被控对象的传递函数为

$$ G_{0}(s)=\frac{40}{\left(s+1\right)^{2}} $$

当 $ G_{c}(s)=1 $时，系统为0型系统，静态位置误差系数K_{p}=40，在单位阶跃函数作用

下，其稳态误差

$$ e_{ss}(\infty)=\frac{1}{1+K_{p}}=2.4\% $$

再由相应的闭环传递函数

$$ \Phi_{1}(s)=\frac{40}{s^{2}+2s+41}=\frac{40}{s^{2}+2\zeta\omega_{n} s+\omega_{n}^{2}} $$

知， $ \omega_{n}=6.4 $， $ \zeta=0.156 $，因而超调量及调节时间 $ (\Delta=2\%) $分别为

$$ \sigma ^ { \mathrm { 0 } } \% = 100 \mathrm { e } ^ { - \pi \zeta / \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } \% = 60.9 \%, \quad t _ { s } = \frac { 4.4 } { \zeta \omega _ { n } } = 4.4 s $$

现要求系统的阶跃响应具有最优的 ITAE 性能，且调节时间 ( $ \Delta=2\% $) 小于 0.8s，试设计最优 PID 控制器 $ G_{c}(s) $ 及前置滤波器 $ G_{p}(s) $。

解 令 $ G_{p}(s)=1 $，由于

$$ G_{c}(s)=\frac{K_{3}s^{2}+K_{1}s+K_{2}}{s} $$

闭环传递函数为

$$ \Phi_{2}(s)=\frac{G_{c}(s)G_{0}(s)}{1+G_{c}(s)G_{0}(s)}=\frac{40(K_{3}s^{2}+K_{1}s+K_{2})}{s^{3}+(2+40K_{3})s^{2}+(1+40K_{1})s+40K_{2}} $$

当采用 ITAE 指标时，由表 10-4 可知，最优特征多项式为

$$ D^{*}(s)=s^{3}+1.75\omega_{n}s^{2}+2.15\omega_{n}^{2}s+\omega_{n}^{3} $$

为了满足调节时间的设计要求，需要选取 $ \omega_n $ 的合适值。由于 $ t_s = 4.4 / (\zeta \omega_n) \leq 0.8 $，可选 $ \omega_n = 10 $，则最优特征多项式为

$$ D^{*}(s)=s^{3}+1.75s^{2}+215s+1000 $$

将上式与式(10-141)的分母多项式相比，应有

$$ \begin{aligned}&2+40K_{3}=17.5\\&1+40K_{1}=215\\&40K_{2}=1000\\ \end{aligned} $$

可得， $ K_{1}=5.35 $，K_{2}=25，K_{3}=0.3875。于是，式(10-141)可以写成

$$ \Phi_{2}(s)=\frac{15.5s^{2}+214s+1000}{s^{3}+17.5s^{2}+215s+1000}=\frac{15.5(s^{2}+13.8s+64.5)}{s^{3}+17.5s^{2}+215s+1000} $$

此时，系统性能如表10-6所示，其阶跃响应的超调量高达34%。系统在单位阶跃输入及单位阶跃扰动作用下的时间响应，分别如图10-14(a)、(b)所示。

| 系统性能\n控制器 | $ G_c(s) = 1 $ | PID 和 $ G_p(s) = 1 $ | 带前置滤波器 $ G_p(s) $ 的 PID |

| --- | --- | --- | --- |

| 超调量 | 60.9% | 34% | 1.9% |

| 调节时间/s | 4.2 | 0.62 | 0.75 |

| 稳态误差 | 2.4% | 0.0% | 0.0% |

| $ \left|y_n(t)\right| $_{\text{max}} | 1.57% | 0.165 | 0.165 |

为了进一步改善系统性能，在系统输入端接入前置滤波器 $ G_{p}(s) $，使系统闭环传递函数具有式(10-138)的形式，从而具有预期的最优 ITAE 指标。引入 $ G_{p}(s) $ 后，系统的闭环传递函数应变为

$$ \varPhi(s)=\frac{G_{p}(s)G_{c}(s)G_{0}(s)}{1+G_{c}(s)G_{0}(s)}=\frac{1000}{s^{3}+17.5s^{2}+215s+1000} $$

由此求得

$$ G_{p}(s)=\frac{64.5}{s^{2}+13.8s+64.5} $$

表10-6中的第四列给出了这时系统的阶跃响应指标。由表可见，经过优化后的系统，只有1.9%的超调量，调节时间小于0.8s，稳态误差为零。此外，由单位阶跃扰动 $ N(s)=1/s $引起的最大输出为0.165。有前置滤波器时，系统的时间响应如图10-15所示。仿真结果表明，本例的设计结果是较为满意的。

MATLAB 文本：

K1=5.35;

K2=25;

K3=0.3875;

G0=zpk([], [-1 -1], 40);

Gc=tf([K3 K1 K2], [1 0]);

Gp=tf([64.5], [1 13.8 64.5]);

sys0=feedback(Gc*G0,1);

%无前置滤波器时闭环系统

sysn=feedback(G0,Gc);

$ ^{*} $扰动端传递函数

sys=series(sys0,Gp);

加入前置滤波器后的闭环系统

figure(1)

subplot(2,1,1);step(sys0);grid;

subplot(2,1,2);step(sysn);%绘制无前置滤波器的单位阶跃输入响应曲线%绘制无前置滤波器的单位阶跃扰动响应曲线

axis([0,1.2,0,1.5]);grid;

figure(2)

subplot(2,1,1);step(sys);grid;

subplot(2,1,2);step(sysn);%绘制带前置滤波器的单位阶跃输入响应曲线%绘制带前置滤波器的单位阶跃扰动响应曲线

axis([0,0.8,0,1.5]);grid;

例 10-17 鲁棒最优系统设计。

设控制系统如图 10-13 所示，其中被控对象的传递函数为

$$ G_{0}(s)=\frac{K}{(Ts+1)^{2}} $$

其参数变化范围为： $ 0.5 \leq T \leq 1 $， $ 1 \leq K \leq 2 $。要求设计一个带前置滤波器的 ITAE 最优鲁棒控制系统，使得在给定的参数变化范围内，系统的阶跃响应性能始终保持 $ \sigma\% < 4\% $， $ t_s < 2s(\Delta = 2\%) $。

解 令前置滤波器 $ G_{p}(s)=1 $，取 T=1 和 K=1 为标称值，设计 ITAE 最优系统。

采用 PID 控制器

$$ G_{c}(s)=\frac{K_{3}s^{2}+K_{1}s+K_{2}}{s} $$

则相应闭环系统

$$ \Phi_{2}(s)=\frac{K_{3}s^{2}+K_{1}s+K_{2}}{s^{3}+(2+K_{3})s^{2}+(1+K_{1})s+K_{2}} $$

由表10-4知，最优特征多项式为

$$ D^{*}(s)=s^{3}+1.75\omega_{n}s^{2}+2.15\omega_{n}^{2}s+\omega_{n}^{3} $$

根据对系统阶跃响应的调节时间要求

$$ t_{s}=\frac{4.4}{\zeta\omega_{n}}<2 $$

可初选 $ \omega_{n}=8 $，相应 $ \zeta>0.28 $，则最优特征多项式为

$$ D^{*}(s)=s^{3}+14s^{2}+137.6s+512 $$

与 $ \Phi_{2}(s) $的分母多项式相比，根据对应项系数相等，可求得PID控制器参数为

$$ K_{3}=12,\qquad K_{1}=136.6,\qquad K_{2}=512 $$

于是

$$ \Phi_{2}(s)=\frac{12(s^{2}+11.38s+42.67)}{s^{3}+14s^{2}+137.6s+512} $$

故前置滤波器应取为

$$ G_{p}(s)=\frac{42.67}{s^{2}+11.38s+42.67} $$

由此得 ITAE 意义下的最优闭环传递函数

$$ \Phi(s)=\frac{512}{s^{3}+14s^{2}+137.6s+512} $$

系统的阶跃响应性能如表 10-7 中第二列所示： $ \sigma\% = 2\% $， $ t_s = 0.94s $，表明标称系统的性能满足设计指标要求， $ \omega_n = 8 $ 的选择是合适的。

为了考察系统对参数变化的鲁棒性，保持 $ G_{c}(s) $和 $ G_{p}(s) $不变，分别取T=0.5，K=1；T=1，K=2以及T=0.5，K=2，测得系统的阶跃响应性能，如表10-7中第三至第五列所示。由表可以看出，这是一个鲁棒性很强的系统。系统参数变化时的系统时间响应如图10-16～图10-19所示。

MALTAB 文本：

$$ \begin{array}{l}\mathrm{K}=2;\mathrm{T}=0.5;\mathrm{K}3=12;\mathrm{K}1=136.6;\mathrm{K}2=512;\end{array} $$

$$ \mathrm{G0=t f(K,[T^{2}2,2*T,1]);} $$

%定义开环传递函数

$$ Gc=\operatorname{t f}([\operatorname{K}3,\operatorname{K}1,\operatorname{K}2],[0,1,0]); $$

%定义 PID 控制器传递函数

$$ \mathrm{G=s e r i e s(G0,G c);} $$

$$ Gp=tf(42.67,[1,11.38,42.67]); $$

$$ sys0=feedback(G,1); $$

$$ sys=series(sys0,Gp); $$

step(sys);axis([0,1,0,1.3]);grid;

需要指出，实际的被控对象不容许有过大的输入量，因而图 10-13 系统中控制器 $ G_{c}(s) $ 的输出 $ u(t) $ 有最大允许值的限制，这样，系统自然频率 $ \omega_{n} $ 的可选值将会受到约束。

通常，当 $ e(t) $ 的最大值为 1 时， $ u(t) $ 的数值将不得大于 100。为了说明 $ u(t) $ 对 $ \omega_{n} $ 的影响，以图 10-13 系统为例，并假设

$$ G_{0}(s)=\frac{1}{s(s+1)} $$

在进行 ITAE 最优设计时，可参考表 10-8 中给出的 $ \omega_{n} $ 分别取 10，20 和 40 时的 PID 控制器参数、前置滤波器和最优闭环传递函数。

| $ \omega_n $ | PID | $ G_p(s) $ | $ \Phi(s) $ | | |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| $ K_3 $ | $ K_1 $ | $ K_2 $ | | | |

| 10 | 16.5 | 215 | 1000 | $ \frac{60.6}{s^2+13.03s+60.6} $ | $ \frac{1000}{s^3+17.5s^2+215s+1000} $ |

| 20 | 34 | 860 | 8000 | $ \frac{235.29}{s^2+25.29s+235.29} $ | $ \frac{8000}{s^3+35s^2+860s+8000} $ |

| 40 | 69 | 3440 | 64000 | $ \frac{927.54}{s^2+49.86s+927.54} $ | $ \frac{64000}{s^3+70s^2+3440s+64000} $ |

| $ \omega_{{n}} $ | 10 | 20 | 40 |

| --- | --- | --- | --- |

| 当输入为 $ R(s)=1/s $ 时， $ u(t) $ 的最大值 | 35 | 135 | 550 |

| 调节时间/s | 0.8 | 0.4 | 0.2 |

根据表 10-8 中给出的结果，表 10-9 给出了 $ \omega_{n} $ 分别等于 10，20 和 40 时允许的 $ u(t) $ 最大值。从中可以推知，如果 $ u(t) $ 的最大允许值为 100，系统自然频率 $ \omega_{n} $ 就不能大于 16。显然，限制 $ \omega_{n} $ 的取值范围，也就限制了系统能达到的最小调节时间。

当取 $ \omega_{n}=10 $ 时，系统的单位阶跃响应 $ y(t) $ 及被控对象输入响应 $ u(t) $ 分别如图 10-20 及图 10-21 所示。

MATLAB 文本：

G0=tf(1,[1,1,0]);

Gc=tf([16.5,215,1000],[0,1,0]);

Gp=tf(60.6,[1,13.03,60.6]);

sys1=tf(1000,[1,17.5,215,1000]); %定义闭环系统传递函数

%定义期望输入到被控对象输入之间的传递函数

sys2=Gc*Gp/(1+Gc*G0);

figure(1)

step(sys1);

axis([0,1,0,1.4]);

grid;

figure(2)

step(sys2);

grid:

习题

10-1 求通过 $ x(0)=1 $, $ x(1)=2 $，使下列性能指标为极值的曲线 $ x^{*}(t) $：

$$ J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}(\dot{x}^{2}+1)\mathrm{d}t $$

10-2 设 $ x=x(t) $， $ 0 \leq t \leq 1 $，求从 $ x(0)=0 $ 到 $ x(1)=1 $ 间的最短曲线。

10-3 求性能指标

$$ J=\int_{0}^{1}(\dot{x}^{2}+1)\mathrm{d}t $$

在边界条件 $ x(0)=0 $, $ x(1) $ 是自由情况下的极值曲线。

10-4 求性能指标

$$ J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}+2x_{1}x_{2})\mathrm{d}t $$

在边界条件 $ x_{1}(0)=x_{2}(0)=0 $， $ x_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right)=x_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 $ 下的极值曲线。

10-5 已知性能指标函数为

$$ J=\int_{0}^{1}\left[x^{2}(t)+tx(t)\right]\mathrm{d}t $$

试求：(1) $ \delta J $ 的表达式；

(2)当 $ x(t)=t^{2} $， $ \delta x=0.1t $和 $ \delta x=0.2t $时的变分 $ \delta J $的值。

10-6 试求下列性能指标的变分 $ \delta J $

$$ J=\int_{t_{0}}^{t_{f}}(t^{2}+x^{2}+\dot{x}^{2})\mathrm{d}t $$

10-7 已知性能指标为

$$ J=\int_{0}^{R}\sqrt{1+\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}}\mathrm{d}t $$

求 $J$ 在约束条件 $t^2 + x_1^2 = R^2$ 和边界条件 $x_1(0) = -R$，$x_2(0) = 0$；$x_1(R) = 0$，$x_2(R) = \pi$ 下的极值。

10-8 已知系统的状态方程为

$$ \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t),\quad\dot{x}_{2}(t)=u(t) $$

边界条件为 $ x_{1}(0)=x_{2}(0)=1 $， $ x_{1}(3)=x_{2}(3)=0 $，试求使性能指标

$$ J=\int_{0}^{3}\frac{1}{2}u^{2}(t)dt $$

取极小值的最优控制 $ u^{*}(t) $ 以及最优轨线 $ x^{*}(t) $。

10-9 已知系统状态方程及初始条件为

$$ \dot{x}=u,\quad x(0)=1 $$

试确定最优控制使下列性能指标取极小值

$$ J=\int_{0}^{1}(x^{2}+u^{2})\mathrm{e}^{2t}\mathrm{d}t $$

10-10 求使系统

$$ \dot{x}_{1}=x_{2},\quad\dot{x}_{2}=u $$

由初始状态 $ x_{1}(0)=x_{2}(0)=0 $ 出发，在 $ t_{f}=1 $ 时转移到目标集 $ x_{1}(1)+x_{2}(1)=1 $，并使性能指标

$$ J=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{2}(t)dt $$

为最小值的最优控制 $ u^{*}(t) $ 及相应的最优轨线 $ x^{*}(t) $。

10-11 已知一阶系统

$$ \dot{x}(t)=-x(t)+u(t),\qquad x(0)=3 $$

(1) 试确定最优控制 $ u^{*}(t) $，使系统在 $ t_{f}=2 $ 时转移到 $ x(2)=0 $，并使性能泛函

$$ J=\int_{0}^{2}(1+u^{2})\mathrm{d}t=\min $$

(2) 如果使系统转移到 $ x(t_{f})=0 $ 的终端时间 $ t_{f} $ 自由，问 $ u^{*}(t) $ 应如何确定？

10-12 设系统状态方程及初始条件为

$$ \dot{x}(t)=u(t),\qquad x(0)=1 $$

试确定最优控制 $ u^{*}(t) $，使性能指标

$$ J=t_{f}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t_{f}}u^{2}\mathrm{d}t $$

为极小，其中终端时间 $ t_{f} $ 未定， $ x(t_{f})=0 $。

10-13 设二次积分模型为

$$ \dot{\theta}(t)=\omega(t),\quad\dot{\omega}(t)=u(t) $$

性能指标为

$$ J=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{2}(t)dt $$

已知 $ \theta(0)=\omega(0)=1 $， $ \theta(1)=0 $， $ \omega(1) $ 自由，试求最优控制 $ u^{*}(t) $ 和最优轨线 $ \theta^{*}(t) $， $ \omega^{*}(t) $。

10-14 设系统状态方程及初始条件为

$$ \begin{aligned}&\dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t),\quad&x_{1}(0)=2\\&\dot{x}_{2}(t)=u(t),\quad&x_{2}(0)=1\\ \end{aligned} $$

性能指标为

$$ J=\frac{1}{2}\int_{0}^{t_{f}}u^{2}\mathrm{d}t $$

要求达到 $ x(t_{f})=0 $，试求：

(1) $ t_{f}=5 $ 时的最优控制 $ u^{*}(t) $;

(2) $ t_{f} $ 自由时的最优控制 $ u^{*}(t) $

10-15 设一阶系统方程

$$ \dot{x}(t)=u(t),\qquad x(0)=1 $$

性能指标

$$ \int_{0}^{1}(x^{2}+u^{2})\mathrm{d}t $$

已知 $ x(1)=0 $，某工程师认为从工程观点出发可取最优控制函数 $ u^{*}(t)=-1 $，试分析他的意见是否正确，并说明理由。

10-16 给定二阶系统

$$ \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t)+\frac{1}{4},\quad x_{1}(0)=-\frac{1}{4} $$

$$ \dot{x}_{2}(t)=u(t),\quad x_{2}(0)=-\frac{1}{4} $$

控制约束为 $ \left|u(t)\right| \leqslant \frac{1}{2} $，要求最优控制 $ u^*(t) $，使系统在 $ t = t_f $ 时转移到 $ x(t_f) = 0 $，并使

$$ J=\int_{0}^{t_{f}}u^{2}(t)dt=\min $$

式中， $ t_{f} $ 自由。

10-17 设一阶系统方程为

$$ \dot{x}(t)=x(t)-u(t),\qquad x(0)=5 $$

控制约束 $ 0.5 \leq u(t) \leq 1 $，性能指标为

$$ J=\int_{0}^{1}(x+u)\mathrm{d}t $$

终端状态自由，试求 $ u^{*}(t) $， $ x^{*}(t) $和 $ J^{*} $。

10-18 设二阶系统

$$ \begin{aligned}&\dot{x}_{1}(t)=-x_{1}(t)+u(t),\quad&x_{1}(0)=1\\&\dot{x}_{2}(t)=x_{1}(t),\quad&x_{2}(0)=0\\ \end{aligned} $$

控制约束 $ \left|u(t)\right| \leqslant 1 $，当系统终端自由时，求最优控制 $ u^*(t) $，使性能指标

$$ J=2x_{1}(1)+x_{2}(1) $$

取极小值，并求最优轨线 $ x^{*}(t) $。

10-19 已知二阶系统

$$ \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t),\quad\dot{x}_{2}(t)=u(t) $$

控制约束 $ \left|u(t)\right| \leqslant 1 $，试确定最小时间控制 $ u^*(t) $，使系统由任意初态最快地转移到终端状态 $ x_1(t_f) = 2 $， $ x_2(t_f) = 1 $，要求写出开关曲线方程 $ \gamma $ 并画出 $ \gamma $ 曲线的图形。

10-20 已知一阶系统

$$ \dot{x}(t)=-\frac{1}{2}x(t)+u(t) $$

性能指标

$$ \frac{1}{2}\left[10x^{2}(1)\right]+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(2x^{2}+u^{2})\mathrm{d}t $$

求最优控制 $ u^{*}(t) $。

10-21 已知二阶系统

$$ \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t),\quad\dot{x}_{2}(t)=u(t) $$

试确定最优控制 $ u^{*}(t) $，使下列性能指标取极小值：

$$ \frac{1}{2}\left[x_{1}^{2}(3)+2x_{2}^{2}(3)\right]+\frac{1}{2}\int_{0}^{3}\left[2x_{1}^{2}(t)+4x_{2}^{2}(t)+2x_{1}(t)x_{2}(t)+\frac{1}{2}u^{2}(t)\right]\mathrm{d}t $$

10-22 设控制系统如图 10-13 所示，其中被控对象

$$ G_{0}(s)=\frac{60}{(s+2)(s+3)} $$

试设计最优 PID 控制器 $ G_c(s) $ 及前置滤波器 $ G_p(s) $，使系统具有最优的 ITAE 性能，且调节时间小于 $ 0.8\mathrm{s}(\Delta = 2\%) $。

10-23 设被控对象为

$$ G_{0}(s)=\frac{10}{s^{2}} $$

试设计一个带有PID控制器和前置滤波器的单位负反馈控制系统，使系统的阶跃响应具有最优的ITAE指标，峰值时间为0.8s左右，并给出系统的单位阶跃响应曲线。

10-24 在太阳黑子活动的高峰期，NASA 会把γ射线图像设备(GRID)系于高空飞行的气球上，以从事长时间的观测实验。GRID 设备能拍摄更准确的X射线的强度图，也可以拍摄γ射线强度图。这些信息有利于在下一次太阳活动高峰期，对太阳中的高能现象进行研究。装配在气球上的 GRID 如图10-22(a)所示，其主要组成部分是：直径为5.2m的吊舱，GRID有效载荷，高空气球和连接气球与吊舱的缆绳。GRID设备指向控制系统如图10-22(b)所示。其中，扭矩电机负责驱动圆桶式吊舱装置。要求设计PID控制器 $ G_{c}(s) $及前置滤波器 $ G_{p}(s) $，使系统在阶跃输入作用下的稳态跟踪误差为零，并具有ITAE优化性能。

10-25 图 10-23 的模型描述了人类站立时的平衡调节机制。对于丧失自主站立能力的下身残疾的伤残人士，需要安装图 10-23 所示的站立和腿关节人工控制系统。设计要求：

(1) 若肌肉-神经系统的参数标称值为 K=10, a=12, b=100, 试用 ITAE 优化法设计 PI 控制器 $ G_c(s) $ 和前置滤波器 $ G_p(s) $，使人工控制系统阶跃响应的 $ \sigma\% < 10\% $, $ e_{ss}(\infty) < 5\% $, $ t_s < 2s(\Delta = 2\%) $;

(2) 当人疲乏时，肌肉-神经系统的参数变化为 K=15，a=8，b=144，试沿用在(1)中得到的 PI 控制器和前置滤波器，检验系统的鲁棒性能，绘出系统参数变化前后的单位阶跃响应曲线。

10-26 空间机器人的机械臂及其控制框图如图 10-24 所示。已知电机与机械臂构成的手臂传递函数为

$$ G_{0}(s)=\frac{10}{s(s+10)} $$

设计要求：

(1) 当 $ G_{c}(s)=K $ 时，确定 K 的合适取值，使系统阶跃响应的超调量 $ \sigma\%=4.5\% $;

(2) 采用 ITAE 优化方法，并选取 $ \omega_{n}=10 $，设计合适的 PD 控制器 $ G_{c}(s) $，确定对应的前置滤波器 $ G_{p}(s) $；

(3) 采用 ITAE 优化方法，设计合适的 PI 控制器 $ G_{c}(s) $ 和相应的前置滤波器 $ G_{p}(s) $;

(4) 采用 ITAE 优化方法和 $ \omega_{n}=10 $，设计合适的 PID 控制器 $ G_{c}(s) $ 和前置滤波器 $ G_{p}(s) $；

(5) 对上述各种设计效果，列表比较系统对单位阶跃输入响应的 $ \sigma\% $， $ t_p $， $ t_s (\Delta = 2\%) $，以及由单位阶跃扰动引起的输出 $ y(t) $ 的最大值和稳态值。

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附录 A 傅里叶变换和拉普拉斯变换

傅里叶变换(简称傅氏变换)和拉普拉斯变换(简称拉氏变换)，是工程实践中用来求解线性常微分方程的简便工具，同时也是建立系统在复数域和频率域的数学模型——传递函数和频率特性——的数学基础。

傅氏变换和拉氏变换有其内在的联系。但一般来说，对一个函数进行傅氏变换，要求它满足的条件较高，因此有些函数就不能进行傅氏变换，而拉氏变换就比傅氏变换易于实现，所以拉氏变换的应用更为广泛。

1. 傅里叶级数

周期函数的傅里叶级数(简称傅氏级数)是由正弦和余弦项组成的三角级数。

周期为 T 的任一周期函数 $ f(t) $，若满足下列狄利克雷条件：

1）在一个周期内只有有限个不连续点；

2）在一个周期内只有有限个极大和极小值；

3）积分 $ \int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|\mathrm{d}t $存在。

则 $ f(t) $ 可展开为如下的傅氏级数：

$$ f(t)=\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t) $$

式中，系数 $ a_{n} $ 和 $ b_{n} $ 由下式给出：

$$ a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos n\omega t\mathrm{d}t;\qquad n=0,1,2,\cdots,\infty $$

$$ b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin n\omega t\mathrm{d}t;\qquad n=1,2,\cdots,\infty $$

式中， $ \omega=2\pi/T $ 称为角频率。

周期函数 $ f(t) $ 的傅氏级数还可以写为复数形式(或指数形式):

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t} $$

式中

$$ \alpha_{n}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t}\mathrm{d}t $$

如果周期函数 $ f(t) $ 具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有奇次或偶次谐波，则傅氏级数中的某些项为零，系数公式可以简化。表A-1列出了具有几种对称性质的周期函数 $ f(t) $ 的傅氏级数简化结果。

例 A-1 试求图 A-1 所示周期方波的傅氏级

数展开式。

首先写出方波在一个周期内的数学表达式

$$ \begin{aligned}&f(t)=\left\{\begin{aligned}\\ &0,&\quad-\frac{T}{2}

| | 对称性 | 傅氏级数特点 | $ a_n $ | $ b_n $ |

| --- | --- | --- | --- | --- |

| $ f_1(t) $ | 偶函数 $ f_1(t)=f_1(-t) $ | 只有余弦项 | $ \frac{4}{T}\int_0^{T/2}f_1(t)\cos n\omega tdt $ | 0 |

| $ f_2(t) $ | 奇函数 $ f_2(t)=-f_2(-t) $ | 只有正弦项 | 0 | $ \frac{4}{T}\int_0^{T/2}f_2(t)\sin n\omega tdt $ |

| $ f_3(t) $ | 只有偶次谐波 $ f_3(t\pm\frac{T}{2})=f_3(t) $ | 只有偶数 n | $ \frac{4}{T}\int_0^{T/2}f_3(t)\cos n\omega tdt $ | $ \frac{4}{T}\int_0^{T/2}f_3(t)\sin n\omega tdt $ |

| $ f_4(t) $ | 只有奇次谐波 $ f_4(t\pm\frac{T}{2})=-f_4(t) $ | 只有奇数 n | $ \frac{4}{T}\int_0^{T/2}f_4(t)\cos n\omega tdt $ | $ \frac{4}{T}\int_0^{T/2}f_4(t)\sin n\omega tdt $ |

因为 $ f(t)=f(-t) $，为偶函数，故只需计算系数 $ a_{n} $。由表 A-1 有

$$ a_{n}=\frac{4}{T}\int_{0}^{T/4}f(t)\cos n\omega tdt=\frac{4}{T}\int_{0}^{T/4}A\cos n\omega tdt=\frac{2A}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) $$

依次取 n=0, 1, 2, 3, … 计算，得 $ a_{0}=A $, $ a_{1}=2A/\pi $, $ a_{2}=0 $, $ a_{3}=-2A/(3\pi) $, $ a_{4}=0 $, $ a_{5}=2A/(5\pi) $, … 其中 $ a_{0} $ 是应用洛必达法则求得的。由式(A-1)可求出方波的傅氏级数展开式

$$ f(t)=\frac{A}{2}+\frac{2A}{\pi}\left(\cos\omega t-\frac{1}{3}\cos3\omega t+\frac{1}{5}\cos5\omega t-\cdots\right) $$

上式表明，方波可以分解为各种频率的谐波分量。换句话说，用不同频率的谐波合成可以得到方波。

2. 傅里叶积分和傅里叶变换

任一周期函数，只要满足狄利克雷条件，便可以展开为傅氏级数。对于非周期函数，因为其周期 T 趋于无穷大，不能直接用傅氏级数展开式，而要做某些修改，这样就引出了傅里叶积分式。

若 $ f(t) $ 为非周期函数，则可视其为周期 T 趋于无穷大，角频率 $ (\omega_{0}=2\pi/T) $ 趋于零的周期函数。这时，在傅氏级数展开式 (A-1)～式 (A-5) 中，各个相邻的谐波频率之差 $ \Delta\omega=(n+1)\omega_{0}-n\omega_{0}=\omega_{0} $ 便很小，谐波频率 $ n\omega_{0} $ 须用一个变量 $ \omega $ 代替[注意，此处 $ \omega $ 不同于式 (A-1) 中的角频率]。这样，式 (A-4) 和式 (A-5) 可改写为

$$ f(t)=\sum_{\omega=-\infty}^{\infty}\alpha_{\omega}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} $$

$$ \alpha_{\omega}=\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

将式(A-7)代入式(A-6)，得

$$ f(t)=\sum_{\omega=-\infty}^{\infty}\left[\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}=\frac{1}{2\pi}\sum_{\omega=-\infty}^{\infty}\left[\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\Delta\omega $$

当 $ T \to \infty $时， $ \Delta \omega \to d\omega $，求和式变为积分式，上式可写为

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

式(A-8)是非周期函数 $ f(t) $ 的傅里叶积分形式之一。

在式(A-8)中，若令

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

则式(A-8)可写为

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega $$

式(A-9)和式(A-10)给出的两个积分式称为傅里叶(简称傅氏)变换对， $ F(\omega) $称为 $ f(t) $的傅氏变换，记为 $ F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)] $，而 $ f(t) $称为 $ F(\omega) $的傅氏反变换，记为 $ f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] $。

非周期函数 $ f(t) $ 必须满足狄利克雷条件才可进行傅氏变换，而且狄利克雷的第三条件这时应修改为积分 $ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\,\mathrm{d}t $ 存在。

例 A-2 求图 A-2 方波的傅氏变换。

解 图 A-2 方波可用下式表示：

$$ f(t)=\left\{\begin{aligned}&A,&-aa,t<-a\end{aligned}\right. $$

显然， $ f(t) $不是周期函数。由式(A-9)得

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-a}^{a}A e^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{2A}{\omega}\sin a\omega $$

频谱函数 $ F(\omega) $ 的模 $ \left|F(\omega)\right| $ 称为频谱，方波的频谱 $ \left|F(\omega)\right|=2A\left|\sin a\omega/\omega\right| $，它与频率 $ \omega $

的关系曲线如图 A-3 所示。

工程技术上常用傅里叶方法分析线性系统，因为任何周期函数都可展开为含有许多正弦分量或余弦分量的傅氏级数，而任何非周期函数都可表示为傅氏积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数。在我们研究输入为非正弦函数的线性系统时，应用傅氏级数和傅氏变换的这个性质，可以通过系统对各种频率正弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入的响应特性。研究自动控制系统的频率域方法，就是建立在这个基础之上的。

3. 拉普拉斯变换

工程实践中常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不能满足傅氏变换的条件，如果对这种函数稍加处理，一般都能进行傅氏变换，于是就引入了拉普拉斯变换。例如，对于单位阶跃函数 $ f(t)=1(t) $ 的傅氏变换，由式(A-9)可求得为

$$ F(\omega)=\mathcal{F}\left[f(t)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\omega}(\sin\omega t+\cos\omega t)\bigg|_{0}^{\infty} $$

显然， $ F(\omega) $无法计算出来，这是因为单位阶跃函数不满足狄利克雷的第三条件，即 $ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\mathrm{d}t $不存在。

为了解决这个困难,我们用指数衰减函数 $ e^{-\sigma t} $1(t)代替1(t),因为当 $ \sigma\to0 $时, $ e^{-\sigma t} $1(t)趋于1(t)。 $ e^{-\sigma t} $1(t)可用下式表示为

$$ \mathrm{e}^{-\sigma t}1(t)=\left\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{-\sigma t},&\quad t>0(\sigma>0)\\ &0,&\quad t<0\end{aligned}\right. $$

用这个函数代入式(A-9)，求得它的傅氏变换为

$$ F_{\sigma}(\omega)=\mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-\sigma t}1(t)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\sigma t}1(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\sigma t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\sigma+\mathrm{j}\omega} $$

上式说明，单位阶跃函数乘以因子 $ e^{-\sigma t} $ 后，便可以进行傅氏变换，这时，由于进行变换的函数已经过处理，而且只考虑 t > 0 的时间区间，因此称之为单边广义傅里叶变换。

对于任意函数 $ f(t) $，如果不满足狄利克雷第三条件，一般是因为当 $ t \to \infty $ 时， $ f(t) $ 衰减太慢。仿照单位阶跃函数的处理方法，也用因子 $ \mathrm{e}^{-\sigma t} (\sigma > 0) $ 乘以 $ f(t) $，则当 $ t \to \infty $ 时，衰减就快得多。通常把 $ \mathrm{e}^{-\sigma t} $ 叫做收敛因子。但由于它在 $ t \to -\infty $ 时起相反作用，为此，假设 $ t < 0 $ 时， $ f(t) = 0 $。这个假设在实际上是可以做到的，因为我们总可以把外作用加到系统上的开始瞬间选为 $ t = 0 $，而 $ t < 0 $ 时的行为，即外作用加到系统之前的行为，可以在初始条件内考虑。这样，我们对函数 $ f(t) $ 的研究，就变为在时间 $ t = 0 \to \infty $ 区间对函数 $ f(t) \mathrm{e}^{-\sigma t} $ 的研究，并称之为 $ f(t) $ 的广义函数，它的傅里叶变换为单边傅氏变换，即

$$ F_{\sigma}(\omega)=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\sigma t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-(\sigma+\mathrm{j}\omega)t}\mathrm{d}t $$

若令 $ s = \sigma + j\omega $，则上式可写为

$$ F_{\sigma}\left(\frac{s-\sigma}{j}\right)=F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

而 $ F_{\sigma}(\omega) $的傅氏反变换则由式(A-10)有

$$ f(t)\mathrm{e}^{-\sigma t}=\mathcal{F}^{-1}\left[F_{\sigma}(\omega)\right]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_{\sigma}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

等式两边同乘以 $ e^{\sigma t} $，得

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_{\sigma}(\omega)\mathrm{e}^{(\sigma+\mathrm{j}\omega)t}\mathrm{d}\omega $$

以 $ s=\sigma+j\omega $代之，可得

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\int_{\sigma-\mathrm{j}\infty}^{\sigma+\mathrm{j}\infty}F(s)\mathrm{e}^{s t}\mathrm{d}s $$

在式(A-11)和式(A-12)中， $ s = \sigma + j\omega $ 是复数，只要其实部 $ \sigma > 0 $ 足够大，式(A-12)的积分就存在。式(A-11)和式(A-12)的两个积分式称为拉氏变换对。 $ F(s) $ 叫做 $ f(t) $ 的拉氏变换，也称象函数，记为 $ F(s) = \mathcal{L}[f(t)] $； $ f(t) $ 叫做 $ F(s) $ 的拉氏反变换，也称原函数，记为 $ f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] $。

例 A-3 求正弦函数 $ f(t)=\sin \omega t $ 的拉氏变换。

解 由欧拉公式

$$ \sin\omega t=\frac{1}{2\mathrm{j}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}) $$

计及式(A-12)可得

$$ \begin{aligned}F(s)&=\mathcal{S}\left[\sin\omega t\right]=\int_{0}^{\infty}\sin\omega t\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2\mathrm{j}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t})\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{2\mathrm{j}}\left[\frac{1}{s-\mathrm{j}\omega}-\frac{1}{s+\mathrm{j}\omega}\right]=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\end{aligned} $$

例 A-4 求单位脉冲函数 $ \delta(t) $ 的拉氏变换。

解 将 $ f(t)=\delta(t)=\lim_{t_0\to0}[1(t)-1(t-t_0)]/t_0 $ 代入式(A-11)，可得

$$ \begin{align*}\mathcal{S}\big[\delta(t)\big]=&\int_{0}^{\infty}\lim_{t_{0}\to0}\frac{1}{t_{0}}\big[1(t)-1(t-t_{0})\big]\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\=&\lim_{t_{0}\to0}\frac{1}{t_{0}}\int_{0}^{\infty}\big[1(t)-1(t-t_{0})\big]\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\=&\lim_{t_{0}\to0}\frac{1}{t_{0}s}(1-\mathrm{e}^{-t_{0}s})=\lim_{t_{0}\to0}\frac{\mathrm{d}(1-\mathrm{e}^{-t_{0}s})\;/\;\mathrm{d}t_{0}}{\mathrm{d}t_{0}s\;/\;\mathrm{d}t_{0}}=1\end{align*} $$

因此，单位脉冲函数 $ \delta(t) $ 的拉氏变换为 1。显然，强度为 $ A $ 的脉冲函数 $ A\delta(t) $ 的拉氏变换就等于它的强度 $ A $，即 $ \mathcal{S}[A\delta(t)] = A $。

4. 拉普拉斯变换的积分下限

拉氏变换定义式中，积分下限为零，但有0的右极限 $ 0_{+} $和0的左极限0-之分。对于

在 t=0 处连续或只有第一类间断点的函数，0+型和0-型的拉氏变换是相同的；对于在 t=0 处有无穷跳跃的函数，例如单位脉冲函数( $ \delta $函数)，两种变换的结果并不一致。

δ函数是脉冲面积为1，在t=0瞬时出现无穷跳跃的特殊函数，其数学表达式为

$$ \delta(t)=\left\{\begin{aligned}&0,&\quad t\neq0\\ &\infty,&\quad t=0\end{aligned}\right. $$

且有

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\mathrm{d}t=1 $$

取 $ \delta(t) $的 $ 0_{+} $型拉氏变换

$$ \int_{0}^{\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=0 $$

而 $ \delta(t) $的0-型拉氏变换

$$ \int_{0}^{\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\int_{0}^{0_{+}}\delta(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t+\int_{0_{+}}^{\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=1 $$

实质上，0+型拉氏变换并没有反映出δ函数在[0_，0_+]区间内的跳跃特性，而0-型拉氏变换则包含了这一区间。因此，0-型拉氏变换反映了客观实际情况。在拉氏变换过程中，若不特别指出是0+或0-，均认是0-型变换。

5. 拉普拉斯变换定理

常用的拉氏变换定理汇总如下，以供查阅。

(1) 线性性质

设 $ F_1(s) = \mathcal{L} [f_1(t)] $， $ F_2(s) = \mathcal{L} [f_2(t)] $， $ a $ 和 $ b $ 为常数，则有

$$ \mathcal{L}\left[a f_{1}(t)+b f_{2}(t)\right]=a\mathcal{L}\left[f_{1}(t)\right]+b\mathcal{L}\left[f_{2}(t)\right]=a F_{1}(s)+b F_{2}(s) $$

(2) 微分定理

设 $ F(s)=\mathcal{L}[f(t)] $，则有

$$ \mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]=sF(s)-f(0) $$

式中， $ f(0) $ 是函数 $ f(t) $ 在 t=0 时的值。

证明 由式(A-11)有

$$ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

用分部积分法，令 $ u = e^{-st} $， $ \mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t $，则

$$ \mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]=\left[\left.\mathrm{e}^{-st}f(t)\right]\right|_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=sF(s)-f(0) $$

同理，函数 $ f(t) $ 的高阶导数的拉氏变换为

$$ \mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}^{n}f(t)}{\mathrm{d}t^{n}}\right]=s^{n}F(s)-\left[s^{n-1}f(0)+s^{n-2}\dot{f}(0)+\cdots+f^{(n-1)}(0)\right] $$

式中， $ f(0) $， $ \dot{f}(0) $， $ \ddot{f}(0) $， $ \cdots $， $ f^{(n-1)}(0) $为 $ f(t) $及其各阶导数在t=0时的值。

显然，如果原函数 $ f(t) $ 及其各阶导数的初始值都等于零，则原函数 $ f(t) $ 的 n 阶导数的拉氏变换就等于其象函数 $ F(s) $ 乘以 $ s^{n} $，即

$$ \mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}^{n}f(t)}{\mathrm{d}t^{n}}\right]=s^{n}F(s) $$

(3) 积分定理

设 $ F(s)=\mathcal{L}[f(t)] $，则有

$$ \mathcal{L}\left[\int f(t)\mathrm{d}t\right]=\frac{1}{s}F(s)+\frac{1}{s}f^{(-1)}(0) $$

式中， $ f^{(-1)}(0) $ 是 $ \int f(t)dt $ 在 t=0 时的值。

证明 由式(A-11)有

$$ \mathcal{L}\left[\int f(t)\mathrm{d}t\right]=\int_{0}^{\infty}\left[\int f(t)\mathrm{d}t\right]\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

用分部积分法，令 $ u = \int f(t)dt, dv = e^{-st}dt $，则有

$$ \mathcal{L}\left[\int f(t)\mathrm{d}t\right]=\left[-\frac{1}{s}\mathrm{e}^{-st}\int f(t)\mathrm{d}t\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{1}{s}f^{(-1)}(0)+\frac{1}{s}F(s) $$

同理，对于 $ f(t) $ 的多重积分的拉氏变换，有

$$ \mathcal{L}\left[\underbrace{\int\cdots\int}_{n}f(t)(\mathrm{d}t)^{n}\right]=\frac{1}{s^{n}}F(s)+\frac{1}{s^{n}}f^{(-1)}(0)+\cdots+\frac{1}{s}f^{(-n)}(0) $$

式中， $ f^{(-1)}(0) $， $ f^{(-2)}(0) $， $ \cdots $， $ f^{(-n)}(0) $ 为 $ f(t) $ 的各重积分在 t=0 时的值。如果 $ f^{(-1)}(0)=f^{(-2)}(0)=\cdots=f^{(-n)}(0)=0 $，则有

$$ \mathcal{L}\left[\underset{n}{\underbrace{\int\cdots\int}}f(t)(\mathrm{d}t)^{n}\right]=\frac{1}{s^{n}}F(s) $$

即原函数 $ f(t) $ 的 n 重积分的拉氏变换等于其象函数 $ F(s) $ 除以 $ s^{n} $ 。

(4) 初值定理

若函数 $ f(t) $ 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 $ f(t) $ 的初值为

$$ f(0_{+})=\lim_{t\to0_{+}}f(t)=\lim_{s\to\infty}s F(s) $$

即原函数 $ f(t) $ 在自变量趋于零(从正向趋于零)时的极限值，取决于其象函数 $ F(s) $ 在自变量趋于无穷大时的极限值。

证明 由微分定理，有

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=sF(s)-f(0) $$

令 $ s \to \infty $，对等式两边取极限，得

$$ \lim_{s\to\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\lim_{s\to\infty}\left[sF(s)-f(0)\right] $$

在 $ 0_{+}

$$ \lim_{s\to\infty}\int_{0_s}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\int_{0_s}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\lim_{s\to\infty}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=0 $$

于是

$$ \lim_{s\to\infty}\left[s F(s)-f(0_{+})\right]=0 $$

即

$$ f(0_{+})=\lim_{t\to0_{+}}f(t)=\lim_{s\to\infty}s F(s) $$

式中 $ f(0_{+}) $ 表示 $ f(t) $ 在 t=0 右极限时的值。

(5) 终值定理

若函数 $ f(t) $ 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 $ f(t) $ 的终值为

$$ \lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to\infty}s F(s) $$

即原函数 $ f(t) $ 在自变量 t 趋于无穷大时的极限值，取决于象函数 $ F(s) $ 在自变量 s 趋于零时的极限值。

证明 由微分定理，有

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=sF(s)-f(0) $$

令 $ s\to0 $，对等式两边取极限，得

$$ \lim_{s\to0}\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\lim_{s\to0}\left[sF(s)-f(0)\right] $$

等式左边为

$$ \begin{aligned}\lim_{s\to0}\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=&\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\lim_{s\to0}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\=&\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}f(t)=\lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}\mathrm{d}f(t)=\lim_{t\to\infty}\left[f(t)-f(0)\right]\end{aligned} $$

于是

$$ \lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}s F(s) $$

注意，当 $ f(t) $ 是周期函数，如正弦函数 $ \sin \omega t $ 时，由于它没有终值，故终值定理不适用。

(6) 位移定理

设 $ F(s)=\mathcal{L}[f(t)] $，则有

$$ \begin{aligned}\mathcal{L}\left[f(t-\tau_{0})\right]&=\mathrm{e}^{-\tau_{0}s}F(s)\\\mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{\alpha t}f(t)\right]&=F(s-\alpha)\end{aligned} $$

它们分别表示实域中的位移定理和复域中的位移定理。

由式(A-11)得

$$ \mathcal{L}\left[f(t-\tau_{0})\right]=\int_{0}^{\infty}f(t-\tau_{0})\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

令 $ t-\tau_{0}=\tau $，则有

$$ \mathcal{L}\left[f(t-\tau_{0})\right]=\int_{-\tau_{0}}^{\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-s(\tau+\tau_{0})}\mathrm{d}\tau=\mathrm{e}^{-\tau_{0}s}\int_{-\tau_{0}}^{\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-\tau s}\mathrm{d}\tau=\mathrm{e}^{-\tau_{0}s}F(s) $$

上式表示实域中的位移定理，即当原函数 $ f(t) $ 沿时间轴平移 $ \tau_{0} $ 时，相应于其象函数 $ F(s) $ 乘以 $ e^{-\tau_{0}s} $。

同样，由式(A-11)，有

$$ \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{\alpha t}f(t)\right]=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{\alpha t}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-(s-\alpha)t}\mathrm{d}t=F(s-\alpha) $$

上式表示复域中的位移定理，即当象函数 $ F(s) $ 的自变量 s 位移 $ \alpha $ 时，相应于其原函数 $ f(t) $ 乘以 $ e^{\alpha t} $。

位移定理在工程上很有用，可方便地求一些复杂函数的拉氏变换，例如由

$$ \mathcal{L}\left[\sin\omega t\right]=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} $$

可直接求得

$$ \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{-\alpha t}\sin\omega t\right]=\frac{\omega}{\left(s+\alpha\right)^{2}+\omega^{2}} $$

(7) 相似定理

设 $ F(s)=\mathcal{L}[f(t)] $，则有

$$ \mathcal{L}\left[f\left(\frac{t}{a}\right)\right]=a F(as) $$

式中，a为实常数。

上式表示，原函数 $ f(t) $ 自变量 t 的比例尺改变时(见图 A-4)，其象函数 $ F(s) $ 具有类似的形式。

证明 由式(A-11)，有

$$ \mathcal{L}\left[f\left(\frac{t}{a}\right)\right]=\int_{0}^{\infty}f\left(\frac{t}{a}\right)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

令 $ t/a=\tau $，则有

$$ \mathcal{L}\left[f\left(\frac{t}{a}\right)\right]=a\int_{0}^{\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-a\tau}\mathrm{d}\tau=aF(as) $$

(8) 卷积定理

设 $ F_1(s) = \mathcal{L}[f_1(t)] $， $ F_2(s) = \mathcal{L}[f_2(t)] $，则有

$$ F_{1}(s)F_{2}(s)=\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f_{1}(t-\tau)f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau\right] $$

式中， $ \int_{0}^{t}f_{1}(t-\tau)f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau $ 叫做 $ f_{1}(t) $ 和 $ f_{2}(t) $ 的卷积，可写为 $ f_{1}(t)*f_{2}(t) $。因此，上式表示，两个原函数的卷积相应于它们象函数的乘积。

证明 由式(A-11)，有

$$ \mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f_{1}(t-\tau)f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\int_{0}^{\infty}\left[\int_{0}^{t}f_{1}(t-\tau)f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

为了变积分限为 0 到 $ \infty $，引入单位阶跃函数 $ 1(t-\tau) $，即有

$$ f_{1}(t-\tau)\mathrm{l}(t-\tau)=\left\{\begin{aligned}&0,&\quad t<\tau\\ &f_{1}(t-\tau),&\quad t>\tau\end{aligned}\right. $$

因此

$$ \int_{0}^{t}f_{1}(t-\tau)f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau=\int_{0}^{\infty}f_{1}(t-\tau)1(t-\tau)f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau $$

所以

$$ \begin{align*}\mathcal{L}\Biggl[\int_{0}^{t}f_{1}(t-\tau)f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau\Biggr]=&\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}f_{1}(t-\tau)\mathrm{l}(t-\tau)f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\=&\int_{0}^{\infty}f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau\int_{0}^{\infty}f_{1}(t-\tau)\mathrm{l}(t-\tau)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\=&\int_{0}^{\infty}f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau\int_{\tau}^{\infty}f_{1}(t-\tau)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\end{align*} $$

令 $ t-\tau=\lambda $，可得

$$ \begin{align*}\mathcal{L}\Bigg[\int_{0}^{t}f_{1}(t-\tau)f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau\Bigg]=&\int_{0}^{\infty}f_{2}(\tau)\mathrm{d}\tau\int_{0}^{\infty}f_{1}(\lambda)\mathrm{e}^{-s\lambda}\mathrm{e}^{-s\tau}\mathrm{d}\lambda\\=&\int_{0}^{\infty}f_{2}(\tau)\mathrm{e}^{-s\tau}\mathrm{d}\tau\int_{0}^{\infty}f_{1}(\lambda)\mathrm{e}^{-s\lambda}\mathrm{d}\lambda=F_{2}(s)F_{1}(s)\end{align*} $$

表 A-2 简要列出拉氏变换的基本特性，表 A-3 列出常用函数的拉氏变换式，可供查用。

| 序号 | 基本运算 | $ f(t) $ | $ F(s) = \mathcal{L}[f(t)] $ |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 拉氏变换定义 | $ f(t) $ | $ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt $ |

| 2 | 位移(时间域) | $ f_{1}(t-\tau_{0})1(t-\tau_{0}) $ | $ e^{-t\tau} F(s), \tau_{0} > 0 $ |

| 3 | 相似性 | $ f(at) $ | $ \frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right), a > 0 $ |

续表

| 序号 | 基本运算 | $ f(t) $ | $ F(s) = \mathcal{L}[f(t)] $ |

| --- | --- | --- | --- |

| 4 | 一阶导数 | $ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} $ | $ sF(s) - f(0) $ |

| 5 | $ n $阶导数 | $ \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}}f(t) $ | $ s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0) $ |

| 6 | 不定积分 | $ \int f(t)\mathrm{d}t $ | $ \frac{1}{s}\left[F(s) + f^{(-1)}(0)\right] $ |

| 7 | 定积分 | $ \int_{0}^{t}f(t)\mathrm{d}t $ | $ \frac{1}{s}F(s) $ |

| 8 | 函数乘以 $ t $ | $ tf(t) $ | $ -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}F(s) $ |

| 9 | 函数除以 $ t $ | $ \frac{1}{t}f(t) $ | $ \int_{s}^{\infty}F(s)\mathrm{d}s $ |

| 10 | 位移( $ s $域) | $ e^{-\alpha t}f(t) $ | $ F(s+a) $ |

| 11 | 初始值 | $ \lim_{t \to 0} f(t) $ | $ \lim_{s \to \infty} sF(s) $ |

| 12 | 终值 | $ \lim_{s \to \infty} f(t) $ | $ \lim_{s \to 0} sF(s) $ |

| 13 | 卷积 | $ f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) = \int_{0}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau $ | $ F_{1}(s)F_{2}(s) $ |

6. 拉普拉斯反变换

由象函数 $ F(s) $ 求原函数 $ f(t) $，可根据式(A-12)拉氏反变换公式计算。对于简单的象函数，可直接应用拉氏变换对照表 A-3，查出相应的原函数。工程实践中，求复杂象函数的原函数时，通常先用部分分式展开法（也称海维赛德展开定理）将复杂函数展成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表。

| 序号 | 象函数 $ F(s) $ | 原函数 $ f(t) $ |

| --- | --- | --- |

| 1 | 1 | $ \delta(t) $ |

| 2 | $ \frac{1}{s} $ | $ 1(t) $ |

| 3 | $ \frac{1}{s^{2}} $ | t |

| 4 | $ \frac{1}{s^{n}} $ | $ \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} $ |

| 5 | $ \frac{1}{s+a} $ | $ e^{-at} $ |

| 6 | $ \frac{1}{(s+a)(s+b)} $ | $ \frac{1}{(b-a)}(e^{-at}-e^{-bx}) $ |

| 序号 | 象函数 $ F(s) $ | 原函数 $ f(t) $ |

| --- | --- | --- |

| 7 | $ \frac{s + a_0}{(s + a)(s + b)} $ | $ \frac{1}{(b - a)}[(a_0 - a)e^{-at} - (a_0 - b)e^{-bt}] $ |

| 8 | $ \frac{1}{s(s + a)(s + b)} $ | $ \frac{1}{ab} + \frac{1}{ab(a - b)}(be^{-at} - ae^{-bt}) $ |

| 9 | $ \frac{s + a_0}{s(s + a)(s + b)} $ | $ \frac{a_0}{ab} + \frac{a_0 - a}{a(a - b)}e^{-at} + \frac{a_0 - b}{b(b - a)}e^{-bt} $ |

| 10 | $ \frac{s^2 + a_1s + a_0}{s(s + a)(s + b)} $ | $ \frac{a_0}{ab} + \frac{a^2 - a_1a + a_0}{a(a - b)}e^{-at} - \frac{b^2 - a_1b - a_0}{b(a - b)}e^{-bt} $ |

| 11 | $ \frac{1}{(s + a)(s + b)(s + c)} $ | $ \frac{e^{-at}}{(b - a)(c - a)} + \frac{e^{-bt}}{(a - b)(c - b)} + \frac{e^{-ct}}{(a - c)(b - c)} $ |

| 12 | $ \frac{s + a_0}{(s + a)(s + b)(s + c)} $ | $ \frac{a_0 - a}{(b - a)(c - a)}e^{-at} + \frac{a_0 - b}{(a - b)(c - b)}e^{-bt} + \frac{a_0 - c}{(a - c)(b - c)}e^{-ct} $ |

| 13 | $ \frac{s^2 + a_1s + a_0}{(s + a)(s + b)(s + c)} $ | $ \frac{a^2 - a_1a + a_0}{b - a}(e^{-at} + \frac{b^2 - a_1b + a_0}{a - b})(c - b)e^{-bt} + \frac{c^2 - a_1c + a_0}{a - c}(b - c)e^{-ct} $ |

| 14 | $ \frac{1}{s^2 + \omega^2} $ | $ \frac{1}{\omega} \sin \omega t $ |

| 15 | $ \frac{s}{s^2 + \omega^2} $ | $ \cos \omega t $ |

| 16 | $ \frac{s + a_0}{s^2 + \omega^2} $ | $ \frac{1}{\omega}(a_0^2 + \omega^2)^{1/2} \sin(\omega t + \varphi), \quad \varphi \triangleq \arctan \frac{\omega}{a_0} $ |

| 17 | $ \frac{1}{s(s^2 + \omega^2)} $ | $ \frac{1}{\omega^2}(1 - \cos \omega t) $ |

| 18 | $ \frac{s + a_0}{s(s^2 + \omega^2)} $ | $ \frac{a_0}{\omega^2} - \frac{(a_0^2 + \omega^2)^{1/2}}{\omega^2} \cos(\omega t + \varphi), \quad \varphi \triangleq \arctan \frac{\omega}{a_0} $ |

| 19 | $ \frac{s + a_0}{(s + a)(s^2 + \omega^2)} $ | $ \frac{a_0 - a}{a^2 + \omega^2}e^{-at} + \frac{1}{\omega}\left[\frac{a_0^2 + \omega^2}{a^2 + \omega^2}\right]^{1/2} \sin(\omega t + \varphi) $ |

| 20 | $ \frac{1}{(s + a)^2 + \omega^2} $ | $ \frac{1}{\omega}e^{-at} \sin \omega t $ |

| 21 | $ \frac{s + a_0}{(s + a)^2 + \omega^2} $ | $ \frac{1}{\omega}\left[(a_0 - a)^2 + \omega^2\right]^{1/2}e^{-at} \sin(\omega t + \varphi) $ |

| 22 | $ \frac{s + a}{(s + a)^2 + \omega^2} $ | $ \varphi \triangleq \arctan \frac{\omega}{a_0 - a} $ |

| 23 | $ \frac{1}{s\left[(s + a)^2 + \omega^2\right]} $ | $ \frac{1}{a^2 + \omega^2} + \frac{1}{(a^2 + \omega^2)^{1/2}}e^{-at} \sin(\omega t - \varphi) $ |

续表

| 序号 | 象函数 $ F(s) $ | 原函数 $ f(t) $ |

| --- | --- | --- |

| 24 | $ \frac{s + a_0}{s \left[ (s + a)^2 + \omega^2 \right]} $ | $ \frac{a_0}{a^2 + \omega^2} + \frac{\left[(a_0 - a)^2 + \omega^2\right]^{1/2}}{\omega(a^2 + \omega^2)^{1/2}} - e^{-\omega t} \sin(\omega t + \varphi) $ $ \varphi \triangleq \arctan \frac{\omega}{a_0 - a} - \arctan \frac{\omega}{-a} $ |

| 25 | $ \frac{s^2 + a_1 s + a_0}{s \left[ (s + a)^2 + \omega^2 \right]} $ | $ \frac{a_0}{a^2 + \omega^2} + \frac{\left[(a^2 - \omega^2 - a_1 a + a_0)^2 + \omega^2 (a_1 - 2a)^2\right]^{1/2}}{\omega (\omega^2 + a^2)^{1/2}} e^{-\omega t} \sin(\omega t + \varphi) $ $ \varphi \triangleq \arctan \frac{\omega (a_1 - 2a)}{a^2 - \omega^2 - a_1 a + a_0} - \arctan \frac{\omega}{-a} $ |

| 26 | $ \frac{1}{(s + c) \left[ (s + a)^2 + \omega^2 \right]} $ | $ \frac{e^{-ct}}{(c - a)^2 + \omega^2} + \frac{e^{-at}}{\omega \left[ (c - a)^2 + \omega^2 \right]^{1/2}} \sin(\omega t - \varphi) $ $ \varphi \triangleq \arctan \frac{\omega}{c - a} $ |

| 27 | $ \frac{s + a_0}{(s + c) \left[ (s + a)^2 + \omega^2 \right]} $ | $ \frac{a_0 - c}{(a - c)^2 + \omega^2} e^{-ct} + \frac{1}{\omega} \left[ \frac{(a_0 - a)^2 + \omega^2}{(c - a)^2 + \omega^2} \right]^{1/2} e^{-\omega t} \sin(\omega t + \varphi) $ $ \varphi \triangleq \arctan \frac{\omega}{a_0 - a} - \arctan \frac{\omega}{c - a} $ |

| 28 | $ \frac{1}{s(s + c) \left[ (s + a)^2 + \omega^2 \right]} $ | $ \frac{1}{c(a^2 + \omega^2)} - \frac{e^{-ct}}{c \left[ (a - c)^2 + \omega^2 \right]} + \frac{e^{-at}}{\omega (a^2 + \omega^2)^{1/2} \left[ (c - a)^2 + \omega^2 \right]^{1/2}} \sin(\omega t - \varphi) $ $ \varphi \triangleq \arctan \frac{\omega}{-a} + \arctan \frac{\omega}{c - a} $ |

| 29 | $ \frac{s + a_0}{s(s + c) \left[ (s + a)^2 + \omega^2 \right]} $ | $ \frac{a_0}{c(a^2 + \omega^2)} + \frac{(c - a_0)e^{-ct}}{c \left[ (a - c)^2 + \omega^2 \right]} + \frac{e^{-at}}{\omega (a^2 + \omega^2)^{1/2}} \left[ \frac{(a_0 - a)^2 + \omega^2}{(c - a)^2 + \omega^2} \right]^{1/2} \sin(\omega t - \varphi) $ $ \varphi \triangleq \arctan \frac{\omega}{a_0 - a} - \arctan \frac{\omega}{c - a} - \arctan \frac{\omega}{-a} $ |

| 30 | $ \frac{1}{s^2(s + a)} $ | $ \frac{e^{-at} + at -1}{a^2} $ |

| 31 | $ \frac{s + a_0}{s^2(s + a)} $ | $ \frac{a_0 - a}{a^2} e^{-at} + \frac{a_0}{a} t + \frac{a - a_0}{a^2} $ |

| 32 | $ \frac{s^2 + a_1 s + a_0}{s^2(s + a)} $ | $ \frac{a^2 - a_1 a + a_0}{a^2} e^{-at} + \frac{a_0}{a} t + \frac{a_1 a - a_0}{a^2} $ |

| 33 | $ \frac{s + a_0}{(s + a)^2} $ | $ \left[(a_0 - a)t + 1\right] e^{-at} $ |

| 34 | $ \frac{1}{(s + a)^n} $ | $ \frac{1}{(n - 1)!} t^{n-1} e^{-at} $ |

| 35 | $ \frac{1}{s(s + a)^2} $ | $ \frac{1 - (1 + at)e^{-at}}{a^2} $ |

| 36 | $ \frac{s + a_0}{s(s + a)^2} $ | $ \frac{a_0}{a^2} + \left( \frac{a - a_0}{a} t - \frac{a_0}{a^2} \right) e^{-at} $ |

| 37 | $ \frac{s^2 + a_1 s + a_0}{s(s + a)^2} $ | $ \frac{a_0}{a^2} + \left( \frac{a_1 a - a_0 - a^2}{a} t + \frac{a^2 - a_0}{a^2} \right) e^{-at} $ |

| 序号 | 象函数 $ F(s) $ | 原函数 $ f(t) $ |

| --- | --- | --- |

| 38 | $ \frac{1}{s(s+a)} $ | $ \frac{1}{a}(1-e^{-at}) $ |

| 39 | $ \frac{s+a_0}{s(s+a)} $ | $ \frac{1}{a}\left[a_0-(a_0-a)e^{-at}\right] $ |

| 40 | $ \frac{s}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} $ | $ \frac{-1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}t-\varphi) $, $ \varphi=\arctan(\sqrt{1-\zeta^2}/\zeta) $ |

| 41 | $ \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} $ | $ \frac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}t) $ |

| 42 | $ \frac{\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)} $ | $ 1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}t+\varphi) $, $ \varphi=\arctan(\sqrt{1-\zeta^2}/\zeta) $ |

一般，象函数 $ F(s) $ 是复变数 s 的有理代数分式，即 $ F(s) $ 可表示为如下两个 s 多项式比的形式：

$$ F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\cdots+b_{m-1}s+b_{m}}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_{n}} $$

式中，系数 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{m} $ 都是实常数；m、n 是正整数，通常 m<n。为了将 $ F(s) $ 写为部分分式形式，首先把 $ F(s) $ 的分母因式分解，则有

$$ F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\cdots+b_{m-1}s+b_{m}}{(s-s_{1})(s-s_{2})\cdots(s-s_{n})} $$

式中， $ s_{1} $， $ s_{2} $，‥， $ s_{n} $ 是 $ A(s)=0 $ 的根，称为 $ F(s) $ 的极点。按照这些根的性质，分以下两种情况研究。

(1) $ A(s)=0 $ 无重根

这时， $ F(s) $ 可展开为 n 个简单的部分分式之和，每个部分分式都以 $ A(s) $ 的一个因式作为其分母，即

$$ F(s)=\frac{c_{1}}{s-s_{1}}+\frac{c_{2}}{s-s_{2}}+\cdots+\frac{c_{i}}{s-s_{i}}+\cdots+\frac{c_{n}}{s-s_{n}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{c_{i}}{s-s_{i}} $$

式中， $ c_{i} $ 为待定常数，称为 $ F(s) $ 在极点 $ s_{i} $ 处的留数，可按下式计算：

$$ c_{i}=\lim_{s\to s_{i}}\left[(s-s_{i})F(s)\right] $$

或

$$ c_{i}=\frac{B(s)}{\dot{A}(s)}\bigg|_{s=s_{i}} $$

式中， $ \dot{A}(s) $ 为 $ A(s) $ 对 s 求一阶导数。

根据拉氏变换的线性性质，从式(A-13)可求得原函数

$$ f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\sum_{i=1}^{n}\frac{c_{i}}{s-s_{i}}\right]=\sum_{i=1}^{n}c_{i}\mathbf{e}^{s,t} $$

上述表明，有理代数分式函数的拉氏反变换，可表示为若干指数项之和。

例 A-5 求 $ F(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4s+3} $ 的原函数 $ f(t) $。

解 将 $ F(s) $ 的分母因式分解为

$$ s^{2}+4s+3=(s+1)(s+3) $$

则

$$ F(s)=\frac{s^{2}+2}{s^{2}+4s+3}=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}=\frac{c_{1}}{s+1}+\frac{c_{2}}{s+3} $$

按式(A-14)计算，得

$$ c_{1}=\lim_{s\to-1}\left[(s+1)F(s)\right]=\lim_{s\to-1}\frac{s+2}{s+3}=\frac{1}{2} $$

$$ c_{2}=\lim_{s\to-3}\left[(s+3)F(s)\right]=\lim_{s\to-3}\frac{s+2}{s+1}=\frac{1}{2} $$

因此，由式(A-16)可求得原函数

$$ f(t)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{-3t}) $$

例 A-6 求 $ F(s)=\frac{s-3}{s^{2}+2s+2} $ 的原函数 $ f(t) $。

解 将 $ F(s) $ 的分母因式分解为

$$ s^{2}+2s+2=(s+1-\mathrm{j})(s+1+\mathrm{j}) $$

本例 $ F(s) $ 的极点为一对共轭复数，仍可用式(A-16)求原函数。因此， $ F(s) $ 可写为

$$ F(s)=\frac{s-3}{s^{2}+2s+2}=\frac{s-3}{(s+1-\mathrm{j})(s+1+\mathrm{j})}=\frac{c_{1}}{s+1-\mathrm{j}}+\frac{c_{2}}{s+1+\mathrm{j}} $$

式中

$$ c_{1}=\lim_{s\to-1+j}\left[(s+1-j)F(s)\right]=\lim_{s\to-1+j}\frac{s-3}{s+1+j}=\frac{-4+j}{2j} $$

$$ c_{2}=\lim_{s\to-1-j}\left[(s+1+j)F(s)\right]=\lim_{s\to-1-j}\frac{s-3}{s+1-j}=-\frac{-4-j}{2j} $$

所以，原函数

$$ f(t)=C_{1}\mathrm{e}^{(-1+\mathrm{j})t}+C_{2}\mathrm{e}^{(-1-\mathrm{j})t}=\mathrm{e}^{-t}\left(\cos t-4\sin t\right) $$

如果函数 $ F(s) $ 的分母是 s 的二次多项式，可将分母配成二项平方和的形式，并作为一个整体来求原函数。本例的 $ F(s) $ 可写为

$$ F(s)=\frac{s-3}{s^{2}+2s+2}=\frac{s-3}{\left(s+1\right)^{2}+1}=\frac{s+1}{\left(s+1\right)^{2}+1}-\frac{4}{\left(s+1\right)^{2}+1} $$

应用位移定理并查拉氏变换对照表 A-3，原函数求得为

$$ f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s+1}{(s+1)^2+1}-\frac{4}{(s+1)^2+1}\right]=\mathrm{e}^{-t}(\cos t-4\sin t) $$

(2) $ A(s)=0 $ 有重根

设 $ A(s)=0 $ 有 r 个重根 $ s_{1} $，则 $ F(s) $ 可写为

$$ \begin{aligned}F(s)&=\frac{B(s)}{(s-s_{_{1}})^{r}(s-s_{_{r+1}})\cdots(s-s_{_{n}})}\\&=\frac{c_{_{r}}}{(s-s_{_{1}})^{r}}+\frac{c_{_{r-1}}}{(s-s_{_{1}})^{r-1}}+\cdots+\frac{c_{_{1}}}{s-s_{_{1}}}+\frac{c_{_{r+1}}}{s-s_{_{r+1}}}+\cdots+\frac{c_{_{n}}}{s-s_{_{n}}}\end{aligned} $$

式中， $ s_1 $ 为 $ F(s) $ 的重极点， $ s_{r+1} $， $ \cdots $， $ s_n $ 为 $ F(s) $ 的 $ n-r $ 个非重极点； $ c_r $， $ c_{r-1} $， $ \cdots $， $ c_1 $， $ c_{r+1} $， $ \cdots $， $ c_n $ 为待定常数，其中， $ c_{r+1} $， $ \cdots $， $ c_n $ 按式(A-14)或式(A-15)计算，但 $ c_r $， $ c_{r-1} $， $ \cdots $， $ c_1 $ 应按下式计算：

$$ \begin{aligned}c_{r}=&\lim_{s\to s_{1}}(s-s_{1})^{r}F(s)\\c_{r-1}=&\lim_{s\to s_{1}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[(s-s_{1})^{r}F(s)]\\&\vdots\\c_{r-j}=&\frac{1}{j!}\lim_{s\to s_{1}}\frac{\mathrm{d}^{(j)}}{\mathrm{d}s^{j}}\Big[(s-s_{1})^{r}F(s)\Big]\\&\vdots\\c_{1}=&\frac{1}{(r-1)!}\lim_{s\to s_{1}}\frac{\mathrm{d}^{(r-1)}}{\mathrm{d}s^{r-1}}\Big[(s-s_{1})^{r}F(s)\Big]-\end{aligned} $$

因此，原函数 $ f(t) $ 为

$$ \begin{aligned}f(t)&=\mathcal{L}^{-1}\big[F(s)\big]\\&=\mathcal{L}^{-1}\Bigg[\frac{c_{r}}{\left(s-s_{1}\right)^{r}}+\frac{c_{r-1}}{\left(s-s_{1}\right)^{r-1}}+\cdots+\frac{c_{1}}{s-s_{1}}+\frac{c_{r+1}}{s-s_{r+1}}+\cdots+\frac{c_{n}}{s-s_{n}}\Bigg]\\&=\Bigg[\frac{c_{r}}{(r-1)!}t^{r-1}+\frac{c_{r-1}}{(r-2)!}t^{r-2}+\cdots+c_{2}t+c_{1}\Bigg]\mathrm{e}^{s,t}+\sum_{i=r+1}^{n}c_{i}\mathrm{e}^{s,t}\\ \end{aligned} $$

例 A-7 求 $ F(s)=\frac{s+2}{s(s+1)^{2}(s+3)} $ 的原函数 $ f(t) $。

解 分母 $ A(s)=0 $ 有四个根，即二重根 $ s_{1}=s_{2}=-1 $； $ s_{3}=0 $； $ s_{4}=-3 $。将 $ F(s) $ 展为部分分分式，则有

$$ F(s)=\frac{s+2}{s(s+1)^{2}(s+3)}=\frac{c_{2}}{(s+1)^{2}}+\frac{c_{1}}{s+1}+\frac{c_{3}}{s}+\frac{c_{4}}{s+3} $$

按式(A-17)计算得

$$ \begin{aligned}&c_{2}=\lim_{s\to-1}\left[(s+1)^{2}\frac{s+2}{s(s+1)^{2}(s+3)}\right]=-\frac{1}{2}\\ &c_{1}=\lim_{s\to-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left[(s+1)^{2}\frac{s+2}{s(s+1)^{2}(s+3)}\right]=-\frac{3}{4}\\ \end{aligned} $$

按式(A-14)计算得

$$ c_{3}=\lim_{s\to0}\left[s\frac{s+2}{s(s+1)^{2}(s+3)}\right]=\frac{2}{3} $$

$$ c_{4}=\lim_{s\to-3}\left[(s+3)\frac{s+2}{s(s+1)^{2}(s+3)}\right]=\frac{1}{12} $$

最后由式(A-18)写出原函数为

$$ f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s+2}{s(s+1)^{2}(s+3)}\right]=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-t}\left(t+\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{12}\mathrm{e}^{-3t} $$

附录 B MATLAB 辅助分析与设计方法

目前 MATLAB 软件已经成为控制领域最流行的设计和计算工具之一。本附录将介绍运用 MATLAB 进行控制系统分析与设计的全过程，并结合具体实例作详细深入的探讨。本附录涉及的命令都是基于 MATLAB6.5 版本，其命令索引见表 B-1。在学习本部分内容之前，读者最好已掌握基本的 MATLAB 使用方法。

1. 控制系统建模

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。在 MATLAB 中，常用的系统建模方法有传递函数模型、零极点模型以及状态空间模型等。下面结合图 B-1，介绍这些建模方法。

(1) 控制系统模型描述

1）系统传递函数模型描述。

命令格式：sys = tf(num, den, Ts)

其中，num，den 分别为分子、分母多项式降幂排列的系数向量；Ts 表示采样时间，缺省时描述的是连续传递函数。图 B-1 中的 $ G_1(s) $ 可描述为 $ G_1 = \mathrm{tf}([1],[110]) $。

若传递函数的分子、分母为因式连乘形式，如图 B-1 中 $ G_2(s) $，则可以考虑采用 conv 命令进行多项式相乘，得到展开后的分子、分母多项式降幂排列的系数向量，再用 tf 命令建模。如 $ G_2(s) $ 可描述为 num=1:den=conv([0.1 11, [1 3]):G2=tf(num.den)。

2 ）系统零极点模型描述。

命令格式：sys = zpk(z, p, k, Ts)

其中，z，p，k 分别表示系统的零点、极点及增益，若无零、极点，则用[ ]表示；Ts 表示采样时间，缺省时描述的是连续系统。图 B-1 中的 $ G_3(s) $ 可描述为 $ G_3 = \text{zpk}([-2],[0-1],1) $。

3）系统状态空间模型描述。该方法将在控制系统状态空间分析这一部分结合实例介绍。

(2) 模型转换

由于在控制系统分析与设计中有时会要求模型有特定的描述形式，为此 MATLAB 提供了传递函数模型与零极点模型之间的转换命令。

命令格式：[num, den]=zp2tf(z, p, k)

$$ [z,\mathrm{~p~},\mathrm{k}]=\mathrm{t f}2z\mathrm{p}(\mathrm{n u m},\mathrm{d e n}) $$

其中，zp2tf 可以将零极点模型转换成传递函数模型，而 tf2zp 可以将传递函数模型转换成零极点模型。图 B-1 中的 $ G_1(s) $ 转换成零极点模型为 $ [z, p, k] = tf2zp([1], [1\ 1\ 0]) $， $ G_3(s) $ 转换成传递函数模型为 $ [num, den] = zp2tf([-2], [0\ -1], 1) $。

(3) 系统连接

一个控制系统通常由多个子系统相互连接而成，而最基本的三种连接方式为图 B-1 中所示的串联、并联和反馈连接形式。

1 ）两个系统的并联连接。

命令格式：sys = parallel(sys1, sys2)

对于 SISO 系统，parallel 命令相当于符号 “+”。对于图 B-1 中由 $ G_{1}(s) $ 和 $ G_{2}(s) $ 并联组成的子系统 $ G_{12}(s) $，可描述为 G12 = parallel(G1,G2)。

2 ）两个系统的串联连接。

命令格式：sys = series(sys1, sys2)

对于 SISO 系统，series 命令相当于符号 “*”。对于图 B-1 中由 $ G_{12}(s) $ 和 $ G_{3}(s) $ 串联组成的开环传递函数，可描述为 $ G = \text{series}(G12, G3) $。

3 ）两个系统的反馈连接。

命令格式：sys = feedback(sys1, sys2, sign)

其中，sign 用于说明反馈性质(正、负)。sign 缺省时，为负，即 sign=-1。由于图 B-1 系统为单位负反馈系统，所以系统的闭环传递函数可描述为 sys=feedback(G,1,-1)。其中 G 表示开环传递函数，“1”表示是单位反馈，“-1”表示是负反馈，可缺省。

(4) 综合应用：结构图化简及其闭环传递函数的求取

例 B-1 已知多回路反馈系统的结构图如图 B-2 所示，求闭环系统的传递函数 $ C(s)/R(s) $。

其中， $ G_1(s)=\frac{1}{s+10} $， $ G_2(s)=\frac{1}{s+1} $， $ G_3(s)=\frac{s^2+1}{s^2+4s+4} $， $ G_4(s)=\frac{s+1}{s+6} $， $ H_1(s)=\frac{s+1}{s+2} $， $ H_2(s)=2 $， $ H_3(s)=1 $。

解 MATLAB 程序：example1.m

G1=tf([1],[1,10]);

G2=tf([1],[1 1 1]);

G3=tf([1 0 1],[1 4 4]);

numg4=[1 1];deng4=[1 6];G4=tf(numg4,deng4);

H1=zpk([-1],[-2],1);

numh2=[2];denh2=[1];H3=1; %建立各个方块子系统模型

nh2=conv(numh2,deng4);dh2=conv(denh2,numg4);

H2=tf(nh2,dh2); %先将 $ H_{2} $ 移至 $ G_{4} $ 之后

sys1=series(G3,G4);

sys2=feedback(sys1,H1,+1); %计算由 $ G_{3} $、 $ G_{4} $ 和 $ H_{1} $ 回路组成的子系统模型

sys3=series(G2,sys2);

sys4=feedback(sys3,H2); %计算由 $ H_{2} $ 构成反馈回路的子系统模型

sys5=series(G1,sys4);

sys=feedback(sys5,H3) %计算由 $ H_{3} $ 构成反馈主回路的系统闭环传递函数

在 MATLAB 中运行 M 文件 example1 后，求得系统的闭环传递函数为 Zero/pole/gain:

$$ \frac{0.083333(s+1)^{\wedge}2(s+2)(s^{\wedge}2+1)}{(s+10.12)(s+2.44)(s+2.349)(s+1)(s^{\wedge}2+1.176s+1.023)} $$

式中，“^”表示乘方运算。

2. 控制系统时域分析

(1) 稳定性分析

稳定是控制系统的重要性能，也是系统设计过程中的首要问题。线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。在 MATLAB 中可以调用 roots 命令求取特征根，进而判别系统的稳定性。

命令格式：p=roots(den)

其中，den 为特征多项式降幂排列的系数向量；p 为特征根。

(2) 动态性能分析

1）单位脉冲响应。

命令格式：y=impulse(sys, t)

当不带输出变量 y 时，impulse 命令可直接绘制脉冲响应曲线；t 用于设定仿真时间，可缺省。

2）单位阶跃响应。

命令格式：y=step(sys, t)

当不带输出变量 y 时，step 命令可直接绘制阶跃响应曲线；t 用于设定仿真时间，可缺省。

3 ）任意输入响应。

命令格式：y=lsim(sys, u, t, x0)

当不带输出变量 y 时，lsim 命令可直接绘制响应曲线。其中 u 表示输入，x0 用于设定初始状态，缺省时为 0，t 用于设定仿真时间，可缺省。

4 ）零输入响应。

命令格式：y=initial(sys, x0, t)

initial 命令要求系统 sys 为状态空间模型。当不带输出变量 y 时，initial 命令可直接绘制

响应曲线。其中 x0 用于设定初始状态，缺省时为 0；t 用于设定仿真时间，可缺省。

(3) 综合应用(系统时域动态性能分析)

例 B-2 已知系统的闭环传递函数为 $ \Phi(s)=\frac{16}{s^{2}+8\zeta s+16} $，其中 $ \zeta=0.707 $。求二阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应和单位斜坡响应。

解 MATLAB 程序：example2.m

zeta=0.707;

num=[16];den=[1 8*zeta 16];

sys=tf(num, den); %建立闭环传递函数模型

p=roots(den) %计算系统特征根判断系统稳定性

t=0:0.01:3; %设定仿真时间为3s

figure(1)

impulse(sys, t);grid %求取系统的单位脉冲响应

xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulse response');

figure(2)

step(sys,t);grid %求取系统的单位阶跃响应

xlabel('t');ylabel('c(t)');title('step response');

figure(3)

u=t; %定义输入为斜坡信号

lsim(sys,u,t,0);grid %求取系统的单位斜坡响应

xlabel('t');ylabel('c(t)');title('ramp response');

在 MATLAB 中运行 M 文件 example2 后，得系统特征根为 $ -2.8280 \pm j2.8289 $，系统稳定。系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应分别如图 B-3，图 B-4 和图 B-5 所示。在图 B-4 中，点击鼠标右键可得系统超调量 $ \sigma = 4.33\% $，上升时间 $ t_r = 0.537s $，调节时间 $ t_s = 1.49s(\Delta = 2\%) $。若例题中 $ \zeta = 0.5 $，系统性能又将如何变化，读者不妨一试。

3. 线性系统的根轨迹

(1) 绘制零、极点分布图

命令格式：[p, z] = pzmap(sys)

当不带输出变量时，pzmap 命令可直接在复平面内标出传递函数的零、极点。在图中，极点用“×”表示，零点用“o”表示。

(2) 绘制根轨迹图

利用 MATLAB 绘制根轨迹的一般步骤如下：

1) 先将特征方程写成下列形式 $ 1+K\frac{p(s)}{q(s)}=0 $，其中 K 为所研究的变化参数，得到等效开环传递函数 $ G=\frac{p(s)}{q(s)} $。

2）调用 rlocus 命令绘制根轨迹。

命令格式：rlocus(G)

(3) 综合应用(系统性能复域分析)

例 B-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

$$ G(s)=\frac{20}{(s+4)(s+K)} $$

试画出 K 从零变化到无穷时的根轨迹图，并求出系统临界阻尼时对应的 K 值及其闭环极点。

解由题意，系统闭环特征多项式为

$$ D(s)=s^{2}+4s+Ks+4K+20=s^{2}+4s+20+K(s+4)=0 $$

等效开环传递函数

$$ G^{*}(s)=\frac{k(s+4)}{s^{2}+4s+20} $$

下面调用 rlocus 命令绘制根轨迹，M 文件 example3 如下：

%建立等效开环传递函数模型

G=tf([1 4],[1 4 20]);

figure(1)

pzmap(G); %绘制零、极点分布图

figure(2)

rlocus(G); %绘制根轨迹

图 B-6，图 B-7 分别为 example3.m 执行后得到的零、极点分布图和根轨迹图。

为了计算系统临界阻尼时对应的 K 值和相应的闭环极点，可在上述 M 文件执行之后，在 MATLAB 命令窗口中键入下列命令：

执行 rlocfind 命令后，MATLAB 将在根轨迹图上出现“+”提示符，通过鼠标将提示移到根轨迹上相应的位置，然后按回车键，于是所选闭环极点及其对应的参数 K 就会在命令行中显示。其结果为

$$ K=12.9443,\quad s=-8.47 $$

4. 控制系统的频域分析

(1) 伯德图

命令格式：[mag, phase, w] = bode(sys)

当缺省输出变量时，bode 命令可直接绘制伯德图；否则，将只计算幅值和相角，并将结果分别存放在向量 mag 和 phase 中。另外，margin 命令也可以绘制伯德图，并直接得出幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率。其命令格式如下：

命令格式：[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys)

当缺省输出变量时，margin 命令可直接绘制伯德图，并且将幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率标注在图形标题端。

(2) 尼柯尔斯图

命令格式：[mag, phase, w] = nichols(sys)

当缺省输出变量时，nichols 命令可直接绘制尼柯尔斯图。

(3) 奈奎斯特图

命令格式：[re, im, w] = nyquist(sys)

当缺省输出变量时，nyquist 命令可直接绘制奈奎斯特图。

(4) 综合运用(系统稳定性的频域分析)

例 B-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

$$ G(s)=\frac{1280s+640}{s^{4}+24.2s^{3}+1604.81s^{2}+320.24s+16} $$

试绘制其伯德图，尼柯尔斯图和奈奎斯特图，并判别闭环系统的稳定性。

解 MATLAB 程序：example4.m

G=tf([1280 640],[1 24.2 1604.81 320.24 16]); %建立开环系统模型

figure(1)

margin(G);

%绘制伯德图，计算幅值裕度、相角裕度

%及其对应的截止频率、穿越频率

figure(2)

nichols(G);

%绘制尼柯尔斯图

ngrid;axis([-270 0 -40 40]);

%设定尼柯尔斯图坐标范围，并绘制网格

figure(3)

nyquist(G);

%绘制奈奎斯特图

axis equal

在 MATLAB 中运行 M 文件 example4 后，得系统伯德图、尼柯尔斯图和奈奎斯特图分别如图 B-8，图 B-9 和图 B-10 所示，其中 “+” 号表示 $ (-1, j0) $ 点所在的位置。

由于系统无右半平面的开环极点，从图 B-10 可以看出，奈奎斯特曲线不包围(-1,j0)点，系统稳定。另外，由图 B-8 可得系统的幅值裕度 $ h=29.5\text{dB} $、相角裕度 $ \gamma=72.9^\circ $，相应的截止频率 $ \omega_c=0.904\text{rad/s} $、穿越频率 $ \omega_x=39.9\text{rad/s} $。由奈氏判据知，系统闭环稳定。

5. 控制系统的校正

借助于 MATLAB 强大的计算功能，可以进一步讨论控制系统校正网络的设计问题，以获得满意的系统性能。下面结合实例，说明 MATLAB 在控制系统校正中的具体应用。

(1) 综合运用(串联校正)

例 B-5 设单位负反馈系统的开环传递函数为

$$ G(s)=\frac{K}{s(s+1)} $$

若要求系统在单位斜坡输入信号作用时，位置输出稳态误差 $ e_{ss}(\infty) \leq 0.1\text{rad} $，开环系统截止频率 $ \omega_c'' \geq 4.4\text{rad/s} $，相角裕度 $ \gamma'' \geq 45^\circ $，幅值裕度 $ h'' \text{dB} \geq 10\text{dB} $，试设计串联无源超前网络。

本题利用频域法设计无源超前网络的设计步骤如下：

1）根据稳态误差要求，确定开环增益K；

2）利用已确定的开环增益，计算待校正系统的幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率；

3）根据截止频率 $ \omega_{c} $的要求，计算超前网络参数a和T。为保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性，可选择最大超前角频率等于截止频率，即 $ \omega_{m}=\omega_{c} $。其中a由

$$ -L^{\prime}(\omega_{c}^{\prime \prime})=L_{c}(\omega_{m})=10\lg a $$

确定，然后再由

$$ T=\frac{1}{\omega_{n}\sqrt{a}} $$

确定T值。

4）确定无源超前网络和最大超前角 $ \varphi_{m} $。

$$ a G_{c}(s)=\frac{1+a T s}{1+T s},\quad\varphi_{m}=\arcsin\frac{a-1}{a+1} $$

5）验算已校正系统的幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率。若验算结果不满足指标要求，需重新选择 $ \omega_{m}(=\omega_{c}^{\prime\prime}) $，然后重复以上设计步骤。

MATLAB 程序：example5.m

K=1/0.1; %由稳态误差要求计算开环增益

G0=zpk([], [0 -1], K); %建立开环系统模型

[h0,r, wx, wc]=margin(G0) %计算校正前系统的幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率

wm=4.4; %试取校正系统的截止频率

L=bode(G0,wm);

Lwc=20*log10(L)

a=10^(-0.1*Lwc) %确定超前校正网络参数 a

T=1/(wm*sqrt(a)); %确定超前校正网络参数 T

phi=asin((a-1)/(a+1)) %phi 表示最大超前角 φm

Gc=(1/a)*tf([a*T 1],[T 1]); %确定超前网络传递函数

Gc=a*Gc; %补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器增益提高 a 倍

G=Gc*G0; %计算已校正系统的开环传递函数

bode(G,r',G0,'b-');grid; %绘制系统校正前后的伯德图

[h,r,wx,wc]=margin(G) %计算已校正系统的幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、

容载频率

在MATLAB中运行M文件example5，得系统校正前的截止频率为 $ \omega'_c = 3.0849\text{rad/s} $，相角裕度 $ \gamma' = 17.9642^\circ $，而二阶系统的幅值裕度必为 $ +\infty\text{dB} $。由于截止频率和相角裕度均低于指标要求，故采用串联超前校正是合适的。

校正后系统截止频率 $\omega_c'' = 4.4\text{rad/s}$，相角裕度 $\gamma'' = 49.3369^\circ \geq 45^\circ$，而二阶系统的幅值裕度仍为 $+\infty\text{dB}$，全部满足设计指标要求。因此，超前网络传递函数为

$$ 3.9417G_{c}(s)=\frac{1+0.4512s}{1+0.1145s} $$

图 B-11 中虚线部分为系统校正前的对数幅频特性曲线，实线部分为系统校正后的对数幅频特性曲线。若不满足设计指标要求，可重新选取截止频率 $ \omega_c'' $，直到满意为止。读者不妨重选 $ \omega_c'' = 5\text{rad/s} $，可得 $ \gamma'' = 58.4765^\circ \geq 45^\circ $，幅值裕度为 $ \pm\infty\text{dB} $，仍然满足设计指标要求。

(2) 综合运用(复合校正)

例 B-6 设系统结构图如图 B-12 所示。

1) 当 $ r(t)=0 $, $ n(t)=0.1\sin t $ 时, 试分析扰动信号对系统输出的影响;

2）试设计校正环节 $ G_{n}(s) $，使系统输出不受扰动 n(t)的影响，并讨论校正环节的物理实现性。

解 由图 B-12 可知，扰动作用下的系统传递函数为

$$ \varPhi_{n}(s)=\frac{G_{2}(s)\left[1+G_{1}(s)G_{n}(s)\right]}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)} $$

若选择前馈补偿装置的传递函数

$$ G_{n}(s)=-\frac{1}{G_{1}(s)} $$

必有 $ C(s)=E(s)=0 $, $ G_{n}(s) $ 实现了对扰动误差的全补偿。然而，由于 $ G_{1}(s) $ 的分母多项式次数一般总是大于或等于分子多项式次数， $ G_{n}(s) $ 在物理上往往无法准确实现。因此在实际应用时，多在主要频段内采用近似全补偿，或者采用稳态全补偿。

MATLAB 程序：example6.m

G1=tf([1],[2.91]);

G2=tf([12],[12.4]);

Gn=0;sysn0=(G2*(1+G1*Gn))/(1+G1*G2)

t=0:01:20;

u=0.1*sin(t);

figure(1)

lsim(sysn0,u,t,0);grid

xlabel('t');ylabel('c(t');

Gn=-1/G1;

sysn1=(G2*(1+G1*Gn))/(1+G1*G2);

Gc=[t][1],[0.011];Gn=-Gc/G1;

sysn2=(G2*(1+G1*Gn))/(1+G1*G2);

figure(2)

lsim(sysn2,u,t,0);grid;

xlabel('t');ylabel('c(t');

%建立系统框图模型

%校正前的 $ \Phi_{n}(s) $

%设定仿真时间为 20s

%扰动输入 $ n(t)=0.1\sin t $

%绘制校正前扰动作用下的输出曲线

%添加坐标说明

%全补偿校正后的 $ \Phi_{n}(s) $

%构造近似补偿环节

%近似补偿校正后的 $ \Phi_{n}(s) $

%绘制近似补偿后扰动作用下的输出曲线

%添加坐标说明

在 MATLAB 中运行 M 文件 example6 后，结果如下：

1) 当扰动信号 $ n(t)=0.1\mathrm{s}\mathrm{int} $ 单独作用时，系统稳态输出为图 B-13 所示的正弦信号，其最大振幅 $ A_{m}=0.263 $，对系统输出影响较大。

2）当采用对扰动的误差全补偿时，补偿环节 $ G_{n}(s)=-2.9s-1 $ 。由于 $ G_{n}(s) $ 的分子次数高于分母次数，故不便于物理实现。可以考虑在主要频段内采用近似全补偿

$$ G_{n}(s)=-\frac{T_{1}s+1}{T_{2}s+1},\qquad T_{1}\gg T_{2} $$

若取 $ G_{n}(s) = -\frac{2.9s + 1}{0.01s + 1} $，扰动信号 $ n(t) = 0.1\sin t $ 单独作用时的系统稳态输出如图 B-14 所示，由图可见，输出信号振幅被抑制到了相当小的范围，而且兼顾了物理实现性。

6. 线性离散系统的分析

(1) 连续系统的离散化

用 c2d 命令和 d2c 命令可以实现连续系统模型和离散系统模型之间的转换。c2d 命令用于将连续系统模型转换成离散系统模型，d2c 命令用于将离散系统模型转换为连续系统模型。

命令格式：sysd = c2d(sys, Ts, 'zoh')

$$ sys=d2c(sysd,^{\prime}zoh^{\prime}) $$

其中，sys 表示连续系统模型；sysd 表示离散系统模型；Ts 表示离散化采样时间；'zoh' 表示采用零阶保持器，可缺省。

(2) 离散系统模型描述

离散系统的一般描述方法参见第一部分“控制系统建模”。

(3) 离散系统时域分析

impulse 命令、step 命令、lsim 命令和 initial 命令可以用来仿真计算离散系统的响应。

有关说明参见第二部分“系统时域分析”。这些命令的使用与连续系统的相关仿真没有本质差异，只是它们用于离散系统时输出为 $ y(kT) $，而且具有阶梯函数的形式。

(4) 综合运用(最小拍系统设计)

例 B-7 设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器的传递函数分别为

$$ G_{0}(s)=\frac{1}{s(s+1)},\quad G_{h}(s)=\frac{1-\mathrm{e}^{-sT}}{s} $$

式中，采样周期 T=1s。若要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制，试求数字控制器脉冲传递函数 $ D(z) $。

本题最小拍系统的设计步骤：

1）确定有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 G(z)。

2）由于 $ r(t)=t $，由表7-7查出最小拍系统应具有的闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数为

$$ \Phi(z)=2z^{-1}(1-0.5z^{-1}),\Phi_{e}(z)=(1-z^{-1})^{2} $$

3 ）确定数字脉冲传递函数

$$ D(z)=\frac{\varPhi(z)}{G(z)\varPhi_{e}(z)} $$

MATLAB 程序：example7.m

G=zpk([], [0-1], 1); %建立开环连续系统模型

Gd=c2d(G,1, 'zoh'); %开环连续系统的离散化模型 G(z)

z=tf([1 0], [1], 1);

phil=(1-1/z)^2; %phi1 表示最小拍系统的误差脉冲传递函数 $ \Phi_e(z) $

phi=2/z-(1/z)^2; %phi 表示最小拍系统的闭环传递函数 $ \Phi(z) $

D=phi/(Gd*phi1); %计算数字控制器脉冲传递函数 D(z)

sys0=feedback(Gd,1); %校正前系统的闭环传递函数

sys=feedback(Gd*D, 1); %校正后系统的闭环传递函数

t=0:1:5;u=t; %设定仿真时间为 5s，输入为斜坡信号

figure(1)

lsim(sys0,u,t,0); grid %绘制校正前系统的单位斜坡响应曲线

xlabel('t'); ylabel('c(t)'); title('ramp response');

figure(2)

lsim(sys,u,t,0); grid %绘制校正后系统的单位斜坡响应曲线

xlabel('t'); ylabel('c(t)'); title('ramp response');

在 MATLAB 中运行 M 文件 example7 后，得数字控制器脉冲传递函数

$$ D(z)=\frac{5.4366(1-0.5z^{-1})(1-0.3679z^{-1})}{(1+0.7183z^{-1})(1-z^{-1})} $$

系统校正前、后的单位斜坡响应分别如图 B-15，图 B-16 所示。由图可见，系统响应在第二拍跟踪上单位斜坡信号，满足设计要求。若要求系统在单位阶跃输入时实现最少拍控制，读者不妨设计一试。

7. 非线性控制系统分析

非线性系统的分析以解决稳定性问题为中心，一般采用描述函数法和相平面法来进行分析。下面首先介绍 MATLAB 中常用的求解微分方程的命令 ode45，再结合具体实例说明其在非线性控制系统分析中的应用。

(1) 微分方程高阶数值解法

命令格式：[t, x]=ode45('fun',t,x0)

其中，fun为调用函数；t为设定的仿真时间；x0为系统的初始状态。

(2) 综合运用(非线性系统的稳定性分析)

例 B-8 设系统如图 B-17 所示。试分别用描述函数法和相平面法判断系统的稳定性，并画出系统 $ c(0)=-3 $， $ \dot{c}(0)=0 $ 的相轨迹和相应的时间响应曲线。

解 1) 描述函数法。非线性环节的描述函数为

$$ N(A)=\frac{2}{\pi}\left[\arcsin\frac{2}{A}+\frac{2}{A}\sqrt{1-\left(\frac{2}{A}\right)^{2}}\right],\qquad A\geq2 $$

在复平面内分别绘制线性环节的 $ \Gamma_{G} $ 曲线和负倒描述函数 -1/N(A) 曲线，由于 G(s) 为线性环节

$$ G(s)=-\frac{1}{N(A)} $$

利用频域奈氏判据可知，若 $ \Gamma_{G} $ 曲线不包围 $ -1/N(A) $ 曲线，则非线性系统稳定；反之，则非线性系统不稳定。

MATLAB 程序：example8a.m

G=zpk([],[0-1],1); %建立线性环节模型

nyquist(G); hold on %绘制线性环节奈奎斯特曲线$\Gamma_{G}$, 图形保持

A=2:0.01:60; %设定非线性环节输入信号振幅范围

x=real(-1./((2*(asin(2./A)+(2./A).*sqrt(1-(2./A).^2)))/pi+j*0)); %计算负倒描述函数实部

y=imag(-1./((2*(asin(2./A)+(2./A).*sqrt(1-(2./A).^2)))/pi+j*0)); %计算负倒描述函数虚部

plot(x,y); %绘制非线性环节的负倒描述函数

axis([-1.5 0 -1 1]); hold off %重新设置图形坐标，取消图形保持

在 MATLAB 中运行 M 文件 example8a，作 $ \Gamma_{G} $ 曲线和负倒描述函数 -1/N(A) 曲线如图 B-18 所示。图中 $ \Gamma_{G} $ 曲线不包围 -1/N(A) 曲线。根据非线性稳定判据，该非线性系统稳定。

2 ）相平面法。

$$ \ddot{c}+\dot{c}=\left\{\begin{aligned}&2,&\quad&c<-2\\ &-c,&\quad&|c|<2\\ &-2,&\quad&c>2\end{aligned}\right. $$

描述该系统的微分方程为

在相平面上精确绘制 $ c-c $ 曲线，需要首先确定上述系统微分方程在一定初始条件下的解，完成这一求解步骤一般十分困难。但借助于 MATLAB 软件，求解过程可以大大简

化。进而通过分析相轨迹的运动形式，可直观地判断非线性系统的稳定性。

MATLAB 程序：example8b.m

t=0:0.01:30;

c0=[-3 0]';

[t,c]=ode45('fun',t,c0);

figure(1)

plot(c(:,1),c(:,2)); grid

figure(2)

plot(t,c(:,1)); grid;

xlabel('t(s)'); ylabel('c(t)')

调用函数 fun.m

function dc=fun(t,c)

dc1=c(2);

%设定仿真时间为 30s

%给定初始条件 c(0)=-3, $ \dot{c}(0)=0 $

%求解初始条件下的系统微分方程

%绘制相平面图，其中 c(:,1) 为 c(t) 值，c(:,2) 为 $ \dot{c}(t) $ 值

%绘制系统时间响应曲线

%添加坐标说明

%描述系统的微分方程

%c1 表示 c(t), c(2) 表示 $ \dot{c}(t) $, d 表示一阶导数

if (c(1)<-2)

dc2=2-c(2); %当 c<-2 时， $ \ddot{c}=2-\dot{c} $

elseif (abs(c(1))<2)

dc2=-c(1)-c(2); %当 |c|<2 时， $ \ddot{c}=-c-\dot{c} $

else dc2=-2-c(2); %否则当 c>2 时， $ \ddot{c}=-2-\dot{c} $

end

dc=[dc1 dc2];

在 MATLAB 中运行 M 文件 example8b 后，得系统相轨迹和相应的时间响应曲线分别如图 B-19 和图 B-20 所示。由图可见，系统振荡收敛。系统的奇点为稳定焦点。

需指出的是，对于带高阶线性环节的非线性系统，借助于 MATLAB，分段求解微分方程可以将高阶系统的运动过程转化为包括位置、速度和加速度等变量的多维空间上的广义相轨迹，从而能直观、准确地反映系统的特性。

8. 控制系统状态空间分析

(1) 控制系统状态空间模型描述

设有 n 个状态、m 个输入和 p 个输出的线性定常系统的状态空间模型为

$$ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) $$

$$ y(t)=Cx(t)+Du(t) $$

在 MATLAB 中，利用 ss 命令来建立状态空间模型。

命令格式：sys = ss(A, B, C, D, Ts)

其中，A、B、C、D 表示状态空间模型的系数矩阵；Ts 表示采样时间，缺省时描述的是连续系统。

(2) 系统模型转换

由于传递函数模型描述的是系统的外部特性，而状态空间模型描述的是系统的内部

特性，它们之间存在着内在的等效关系。利用 MATLAB 中的 tf2ss 命令可以实现传递函数模型到状态空间模型的转换，ss2tf 命令实现状态空间模型到传递函数模型的转换，ss2ss 实现状态空间模型之间的相似变换。相似变换后的系统状态空间模型矩阵与原模型矩阵关系为

$$ \overline{A}=TAT^{-1},\quad\overline{B}=TB,\quad\overline{C}=CT^{-1} $$

式中，T 为非奇异变换矩阵；A，B，C 为原模型系数矩阵； $ \overline{A} $， $ \overline{B} $， $ \overline{C} $ 为变换后模型的系数矩阵。

命令格式：[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

$$ \begin{aligned}&\left[num,den\right]=ss2tf(A,B,C,D)\\&sysT=ss2ss(sys,T)\\ \end{aligned} $$

其中，num、den 分别为分子分母多项式降幂排列的系数向量；T 表示相似变换矩阵。

(3) 系统可控、可观测性分析

1）可控、可观测性判断。系统的可控、可观测性是线性系统分析中的重要问题。考虑线性定常连续系统

$$ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t) $$

若系统完全可控，则

$$ \mathrm{rank}\left[\boldsymbol{B}\quad\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\quad\cdots\quad\boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{B}\right]=n $$

式中，n 为矩阵 A 的维数； $ S = \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix} $ 为系统的可控性矩阵。

若系统完全可观测，则

$$ rank\left[\begin{aligned}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{aligned}\right]=n $$

式中，n 为矩阵 A 的维数； $ V = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} $ 为系统的可观测性矩阵。

在 MATLAB 中可分别使用 ctrb 和 obsv 命令求取系统的可控性矩阵和可观测性矩阵，再用 rank 命令求取矩阵的秩，与 n 比较后判断系统的可控、可观测性。

命令格式：S=ctrb(A,B)

$$ V=obsv(A,C) $$

式中，S 为可控性矩阵；V 为可观测性矩阵。

2）可控、可观测性分解。选取合适的线性变换，可以对系统进行结构分解，从而更明显地揭示出系统的结构特性和传递特性。MATLAB 中的 ctrbf 和 obsvf 命令可以直接用来对系统进行可控、可观测性分解。

MATLAB 缺省的可控性分解结构为

$$ \begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol{x}}_{\overline{c}}\\ \dot{\boldsymbol{x}}_{c}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overline{\boldsymbol{A}}_{11}&\mathbf{0}\\ \overline{\boldsymbol{A}}_{21}&\overline{\boldsymbol{A}}_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_{\overline{c}}\\ \boldsymbol{x}_{c}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\mathbf{0}\\ \overline{\boldsymbol{B}}_{2}\end{bmatrix}\boldsymbol{u},\quad\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}\overline{\boldsymbol{C}}_{1}&\overline{\boldsymbol{C}}_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_{\overline{c}}\\ \boldsymbol{x}_{c}\end{bmatrix} $$

式中，可控子系统动态方程为

$$ \dot{x}_{c}=\overline{A}_{21}x_{\overline{c}}+\overline{A}_{22}x_{c}+\overline{B}_{2}u,\quad y_{2}=\overline{C}_{2}x_{c} $$

不可控子系统动态方程为

$$ \dot{x}_{\overline{c}}=\overline{A}_{11}x_{\overline{c}},\quad y_{1}=\overline{C}_{1}x_{\overline{c}} $$

MATLAB 缺省的可观测性分解结构为

$$ \begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol{x}}_{\overline{o}}\\ \dot{\boldsymbol{x}}_{o}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overline{\boldsymbol{A}}_{11}&\overline{\boldsymbol{A}}_{12}\\ \mathbf{0}&\overline{\boldsymbol{A}}_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_{\overline{o}}\\ \boldsymbol{x}_{o}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\overline{\boldsymbol{B}}_{1}\\ \overline{\boldsymbol{B}}_{2}\end{bmatrix}\boldsymbol{u},\quad\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}\overline{\boldsymbol{C}}_{1}&\mathbf{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_{\overline{o}}\\ \boldsymbol{x}_{o}\end{bmatrix} $$

式中，可观测子系统动态方程为

$$ \dot{x}_{o}=\overline{A}_{22}x_{o}+\overline{B}_{2}u,y_{2}=0 $$

不可观测子系统动态方程为

$$ \dot{x}_{\overline{o}}=\overline{A}_{11}x_{\overline{o}}+\overline{A}_{12}x_{o}+\overline{B}_{1}u,y_{1}=\overline{C}_{1}x_{\overline{o}}=y $$

命令格式：[Ac,Bc,Cc,T]=ctrbf(A,B,C)

$$ [A o,B o,C o,T]=o b s v f(A,B,C) $$

其中，Ac、Bc、Cc 为可控性分解后的系数矩阵；Ao、Bo、Co 为可观测性分解后的系数矩阵；T 为变换矩阵。

(4) 最小实现

对于不可控又不可观测的线性定常系统，其传递函数矩阵只能描述系统中可控且可观测的那一部分，是对系统结构的一种不完全描述。从状态空间角度，系统规范分解后的可控、可观测子系统为原系统的最小实现。而从传递函数角度，将系统传递函数零、极点对消后，所得的模型为最小实现形式。MATLAB 中的 minreal 命令可用来直接求取系统的最小实现。

命令格式：sysr = minreal(sys)

(5) 李雅普诺夫稳定性分析

1）李雅普诺夫第一法(间接法)。

李雅普诺夫第一法是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。系统的唯一平衡状态 $ x_{e}=0 $ 渐近稳定的充分必要条件是：A 的所有特征根均具有负实部。在 MATLAB 中，求取矩阵的特征根可以采用 eig 命令。

命令格式：e=eig(A)

2）李雅普诺夫第二法(直接法)。

李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。线性定常系统 $ \dot{x}=Ax $ 的原点平衡状态 $ x_{e}=0 $ 渐近稳定的充分必要条件是：对于任意给定的一个正定对称矩阵 Q，有唯一的正定对称矩阵 P 使

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{Q} $$

成立。在 MATLAB 中可以调用 lyap 函数直接求解对称矩阵 P，判断系统稳定性。

命令格式：P=lyap(A',Q)

其中，Q为选择的正定或半正定矩阵；A'为矩阵A的转置；P为李雅普诺夫方程的解。

(6) 系统极点配置

命令格式：K=acker(A,b,P)

$$ K=place(A,B,P) $$

其中，K 为状态反馈矩阵；P 为希望配置的极点位置。acker 命令用于 SISO 系统，而 place 命令用于 MIMO 系统。

(7) 综合应用

例 B-9 设系统状态方程为

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}{{{-2}}}&{{{2}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-4}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix}{{{0}}} \\{{{1}}} \\{{{1}}}\end{bmatrix}\boldsymbol{u}(t),\boldsymbol{y}(t)=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}{{{1}}} \\{{{-2}}} \\{{{3}}}\end{bmatrix} $$

要求：

1）判断系统的稳定性，并绘制系统的零输入状态响应曲线；

2）求系统传递函数，并绘制系统在初始状态作用下的输出响应曲线；

3）判断系统的可控性，如有可能，将系统状态方程化为可控标准型；

4）判断系统的可观测性，对系统进行可观测性分解，并求出系统的最小实现。

解 1) 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性。选定 Q 为单位阵，求解李雅普诺夫方程，得对称矩阵 P。若 P 正定，即 P 的全部特征根均为负数，系统稳定。

2）系统的传递函数 $ G(s) = c(sI - A)^{-1}b $。

3）系统的可控标准型实现可按如下步骤求解：

① 计算系统的可控性矩阵 S，并利用秩判据判断系统的可控性；

② 若系统可控，计算可控性矩阵的逆阵 $ S^{-1} $;

③ 取出 $ S^{-1} $ 的最后一行构成 $ p_{1} $ 行向量；

④ 构造 T 阵

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{T}=\begin{bmatrix}\\ &p_{1}\\&p_{1}\boldsymbol{A}\\&\vdots\\&p_{1}\boldsymbol{A}^{n-1}\\ &\end{bmatrix}\\ \end{aligned} $$

⑤ 利用相似变换矩阵 T 将非标准型可控系统化为可控标准型。

4）计算系统的可观测性矩阵 V，利用秩判据判断系统的可观测性，并对系统进行可观测性分解，其中的可控、可观测子系统即为系统的最小实现。

MATLAB 程序：example9.m

A=[-2 2 -1;0 -2 0;1 -4 0]; b=[0 1 1]; c=[1 0 1]; d=0;

N=size(A); n=N(1);

Q=eye(3); %选定 Q 为单位阵

P=lyap(A',Q) %求对称阵 P

e=eig(P) %利用特征值判断对称阵 P 是否正定

sys=ss(A,b,c,d);

%建立系统的状态空间模型

[y,t,x]=initial(sys,[1-2-3]);

%计算系统的零输入响应

figure(1)

plot(t,x); grid

%绘制系统零输入响应状态曲线

xlabel('t(s');ylabel('x(t');title('initial response');

figure(2)

plot(t,y); grid

%绘制系统零输入响应输出曲线

xlabel('t(s');ylabel('y(t');title('initial response');

[num,den]=ss2tf(A,b,c,d)

%将系统状态空间模型转换成传递函数模型

S=ctrb(A,b);

%计算可控性矩阵S

f=rank(S)

if f==n

disp('system is controlled')

else

disp('system is no controlled')

end

V=obsv(A,c);

%计算观测性矩阵V

m=rank(V)

if m==n

disp('system is observable')

else

disp('system is no observable')

end

S1=inv(S);

%通过 inv 命令求矩阵的逆 $ S^1 $

T=[S1(3,:);S1(3,:)*A;S1(3,:)*A^2];

%求变换矩阵T

sys1=ss2ss(sys,T)

%通过相似变换矩阵T将系统化为可控标准型

[A1,b1,c1,T1]=obsvf(A,b,c)

%系统可观测性分解

sysr=minreal(sys);

%求系统的最小实现

在 MATLAB 中运行 M 文件 example9 后，结果如下：

1) 由于对称矩阵 $ P = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.7778 & 0.5 \\ -0.7778 & 3.6944 & -2.1111 \\ 0.5 & -2.111 & 1.5 \end{bmatrix} $ 正定，可知系统稳定。当然 M 文件 example9 的第 2～5 行命令完全可以替换成如下命令：

$ e=e_{ig}(A) $ \%计算系统的特征根

得结果为 $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=-1 $ ， $ \lambda_{3}=-2 $ ，全部为负，也可得出系统稳定的结论。

2 ）系统的传递函数

$$ \varPhi(s)=\frac{s^{2}+s}{s^{3}+4s^{2}+5s+2} $$

系统零输入响应的状态曲线和输出曲线分别如图 B-21 和图 B-22 所示。

3）由于可控性矩阵满秩，所以系统完全可控。利用变换矩阵 T 得系统的可控标准型为

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ -2&-5&-4\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}u(t),\quad y(t)=\begin{bmatrix}0&1&1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t) $$

4）由于可观测性矩阵的秩为2，非满秩，系统状态不完全可观测。观测性分解结果为

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}{{{-1}}}&{{{-4.2426}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-1.4142}}}&{{{-4}}}\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix}{{{-0.7071}}} \\{{{-1}}} \\{{{-0.7071}}}\end{bmatrix}\boldsymbol{u}(t) $$

$$ y(t)=\begin{bmatrix}0&0&-1.4142\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t) $$

系统最小实现为

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}-1&-1.414\\ 0&-2\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix}-0.7071\\ -1\end{bmatrix}u(t),\quad y(t)=\begin{bmatrix}-1.414&0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t) $$

例 B-10 设线性定常系统的状态方程为

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}-2&-2.5&-0.5\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t)+\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}u(t),\quad y(t)=\begin{bmatrix}1&4&3.5\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t) $$

$$ \boldsymbol{x}(0)=\left[\begin{array}{c}1\\ -0.75\\ 0.4\end{array}\right] $$

试问：

1）能否通过状态反馈将系统的闭环极点配置在-1、-2和-3处？如有可能，求出上

述极点配置的反馈增益向量 k;

2）当系统的状态不可直接测量时，能否通过状态观测器来获取状态变量？如有可能，试设计一个极点位于-3、-5和-7的全维状态观测器。

本题设计步骤如下：

1）检查系统的可控、可观测性。若被控系统可控可观测，则满足分离定理，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。

2) 对于系统 $ \dot{x} = Ax + bu $，选择状态反馈控制律 $ u = -kx + v $，使得通过反馈构成的闭环系统极点，即 $ (A - bk) $ 的特征根配置在期望极点处。

3) 构造全维状态观测器 $ \hat{x} = A\hat{x} + bu - hc(\hat{x} - x) = (A - hc)\hat{x} + bu + hy $，设计观测器输出反馈阵 h，使得观测器极点，即 $ (A - hc) $ 的特征根位于期望极点处。

4）利用分离定理分别设计上述状态反馈控制律和观测器，得复合系统动态方程为

$$ \begin{bmatrix}\dot{x}\\\dot{\hat{x}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&-bk\\hc&A-bk-hc\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\\hat{x}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b\\b\end{bmatrix}\nu $$

$$ y=\begin{bmatrix}c&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ \hat{x}\end{bmatrix} $$

MATLAB 程序：example10.m

A=[-2-2 5-0 5;100;010];b=[100];

c=[143 5];d=0;

N=size(A);n=N(1);

sys0=ss(A,b,c,d);

S=ctrb(A,b)

f=rank(S);

if f==n

disp('system is controlled')

else

disp('system is no controlled')

end

V=obsv(A,c)

m=rank(V);

if m==n

disp('system is observable')

else

disp('system is no observable')

end

P-s=[-1-2-3];

k=acker(A,b,P-s)

P-o=[-3-5-7]

h=(acker(A,c,P-o))'

A1=[A-b*k;h*c A-b*k-h*c];b1=[b;b];c1=[c zeros(1,3)];

d1=0;

x0=[1-0 750 4]';x10=[0 0 0]';

xlabel('t(s글'); ylabel('e(t)')';

在 MATLAB 中运行 M 文件 example10 后，结果如下：

1) 由于系统可控，满足极点配置条件，得反馈增益向量 $ k=[4\ 8.5\ 5.5] $。

2）由于系统可观测，满足观测器极点配置条件，得观测器输出反馈向量

$$ h=[35.2324-19.816916.2958]^{T} $$

设初始观测状态 $ \hat{\boldsymbol{x}}(0)=[0\ 0\ 0]^{\mathrm{T}} $，那么系统零输入响应的系统状态曲线、观测状态曲线和状态误差曲线分别如图 B-23，图 B-24 和图 B-25 所示。本题在 MATLAB 的 Simulink 环境下也可以方便地得到下列曲线，此方法将在 Simulink 建模与仿真这一部分中介绍。

9. 控制系统的最优控制

(1) 里卡蒂方程的求解

在系统最优控制的设计过程中，经常会需要求解里卡蒂方程，MATLAB的控制工具箱提供了专门的命令函数来求解。

命令格式：[P,l,g]=care(A,B,Q,R)

其中，P 就是里卡蒂方程

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{Q}=0 $$

的解。

(2) 最优调节器设计

MATLAB 的控制工具箱提供了专门的最优状态调节器设计命令 lqr 和最优输出调节器设计命令 lqry，可以大大减小设计过程中的计算量。

命令格式：[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)

$$ [\mathrm{K},\mathrm{P},\mathrm{e}]=l q\mathrm{r}\mathrm{y}(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{Q},\mathrm{R}) $$

其中，K 表示状态反馈矩阵；P 表示里卡蒂方程的解；e 表示最优闭环系统的特征根。

下面结合具体实例说明上述命令的具体应用。

(3) 综合运用(无限时间最优调节器设计)

例 B-11 设系统状态方程

$$ \dot{x}_{1}(t)=u(t),x_{1}(0)=0 $$

$$ \dot{x}_{2}(t)=x_{1}(t),x_{2}(0)=1 $$

性能指标

$$ J=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left[x_{2}^{2}(t)+\frac{1}{4}u^{2}(t)\right]\mathrm{d}t $$

试求最优控制 $ u^*(t) $ 和最优指标 $ J^{*} $ 。

解 本例为无限时间最优调节器问题。由题意

$$ A=\begin{bmatrix}0&0\\ 1&0\end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix},\quad Q=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&1\end{bmatrix},\quad r=\frac{1}{4} $$

令 $ D^{T}D=Q $，得 $ D^{T}=\left[0\ 1\right] $。

下面进行如下步骤计算：

1）检验 $ \{A, b\} $的可控性和 $ \{A, D\} $的可观测性。若系统完全可控可观测，则最优控制 $ u^{*}(t) $存在且最优闭环系统渐近稳定。

2）求解里卡蒂方程

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{P}\boldsymbol{b}\boldsymbol{r}^{-1}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{Q}=0 $$

得到对称矩阵P。

3）由矩阵P确定最优控制 $ u^{*}(t) $，其中

$$ u^{*}(t)=-\frac{1}{r}\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}(t) $$

4) 计算最优指标 $ J^{*} $，其中

$$ \boldsymbol{J}^{*}=\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(0)\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}(0) $$

MATLAB 程序：example11.m

A=[0 0; 1 0]; b=[1;0]; Q=[0 0;0 1]; r=1/4;

x0=[0;1]; D=[0 1];

N=size(A); n=N(1);

control-matrix=ctrb(A,b); %求{A,b}可控性矩阵的秩

f=rank(control-matrix); %判断系统的可控性

if f==n

disp('system is controlled')

else

disp('system is no controlled')

end

observer-matrix=obsv(A,D); %求{A,D}可观测性矩阵的秩

m=rank(observer-matrix); %判断{A,D}的可观测性

if m==n

disp('system is observable')

else

disp('system is no observable')

end

[P,1,g]=care(A,b,Q,r); %求解里卡蒂方程，得矩阵P

k=(1/r)*b*P; %计算状态反馈向量

J=(1/2)*(x0)*P*x0 %计算最优指标J*

在 MATLAB 中运行 M 文件 example11 后，得 $ P = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \end{bmatrix} $，最优控制为 $ u^*(t) = -2x_1(t) - 2x_2(t) $，最优指标 $ J^* = 0.5 $。最优闭环系统的特征根 $ \lambda_1 = -1 + j, \lambda_2 = -1 - j $，由特征值判据可知，闭环系统渐近稳定。

当然 M 文件 example11 中的倒数第 2、3 行完全可以利用 lqr 命令替换为

$$ \left[\mathrm{K},\mathrm{P},\mathrm{e}\right]=\mathrm{lqr}(\mathrm{A},\mathrm{b},\mathrm{Q},\mathrm{r}) $$

10. Simulink 建模与仿真

结果完全一致，读者不妨一试。

Simulink 是 MATLAB 提供的一种框图式建模、分析和仿真的交互环境。通过 Simulink 提供的功能模块，可以迅速地在模型窗口创建系统模型，然后利用其强大的数据计算功能对系统进行仿真和定性分析，其最大的优点体现在进行复杂系统的分析时，不需要编程，建模、仿真过程简便直观。

下面结合实例，重点介绍 Simulink 的基本操作及其在控制系统仿真中的部分应用。

(1) 综合运用(延迟系统的仿真)

例 B-12 设系统如图 B-26 所示，试绘制该系统的单位阶跃响应曲线。

本题属于连续延迟系统的仿真问题，可以考虑在 Simulink 环境中按下列步骤进行：

1）建立模型。

① 新建模型编辑窗口。在 MATLAB 的命令窗口中键入 simulink 命令，或用鼠标点击 MATLAB 主界面的图标，打开系统模型库，如图 B-

27 所示。这一模型库包含了 Continuous(连续环节)，Discontinuities (非线性环节)，Discrete(离散环节)，Math Operations(数学运算环节)，Sinks(输出方式)，Sources(输入源)等控制系统分析与设计过程中常用的子模型库。

利用系统模型库界面的 File|New|Model 菜单项或 图标新建一个空白的模型编辑窗口，如图 B-28 所示。

② 建立开环系统模型。对于本题，点击 Continuous(连续环节)子模型库，选择其模型库中的 Transfer Fcn(传递函数)模块 $ \frac{1}{s+1} $，并将其拖到模型窗口中，再释放鼠标。该模块传递函数的初始形式为 $ 1/(s+1) $，若要改变其形式，双击该图标，出现如图 B-29

所示的模块参数对话框，分别在 Numerator(分子)和 Denominator(分母)引导的编辑框中填写系统传递函数降幂排列的分子、分母多项式系数向量[0.5]和[1 2 2 0]，然后选择 OK 按钮，即可建立无延迟系统的开环传递函数。

由于本题系统存在延迟环节，因此，同样在 Continuous(连续环节)子模型库中选择 Transport Delay(传递函数延迟环节)模块 $ \boxed{0} $，也将其拖到模型窗口中，双击图标，然后在如图 B-30 所示的模块参数对话框 Time delay(延迟时间)引导的编辑框中输入 0.5，选择 OK 按钮即完成设置。

③ 确立负反馈信号输入。对于负反馈系统，可首先在 Math Operations(数学运算环节)子模型库中选择 Sum(综合)模块 $ ^{+} $，将其拖入模型窗口中。双击该图标得到如图 B-31 所示对话框，在 List of sign(符号列表)引导的编辑框中键入+-符号(缺省为++)，符号数目表示综合模块输入个数(缺省为2输入)，然后选择 OK 按钮，完成反馈属性的(正、负)修正。另外在 Icon shape 引导框中可选择综合模块的样式(圆形或方形，缺省为圆形)。

另外，由于反馈增益为2，同样可在 Math Operations(数学运算环节)子模型库中选择

Gain(增益)模块 $ ^1 $，将其拖入模型窗口后双击该图标，在 Gain(增益)引导的编辑框中输入2，然后选择OK按钮，完成增益设置。为使下面模型连接方便，用鼠标右键单击该图标，选择Format|Flip Block菜单项，可实现模块180°翻转。

④ 确定输入信号。在 Sources(输入源)子模型库中包含了 Step(阶跃输入信号)，Ramp(斜坡输入信号)和 Sine Wave(正弦输入信号)等。本题需要将 Sources(输入源)子模型库中的 Step(阶跃输入信号)模块 ⬆ 拖入模型窗口。由于 Simulink 缺省的阶跃输入模块的跳跃时间是在 1s，而经常使用的是在 0 时刻，完成这一步骤需要双击该模块图标，在如图 B-32 所示对话框的 Step time(阶跃时刻)编辑框中输入 0。当然用户还可以修改 Initial value(初始值)和 Final value(终止值)引导的编辑框来重新定义阶跃信号。

⑤ 确定仿真输出方式。输出模块是在 Sinks(输出方式)子模型库中给出的。从中选择 Scope(示波器)模块□，将其拖到模型窗口即可，用户还可以根据自己的需要设定横、纵坐标的范围。

当然，用户也可以利用 Sinks(输出方式)子模型库中的 To Workspace 模块 $ \underline{\text{simout}} $ 和 Sources(输入源)子模型库中的 Clock(时钟)模块，将仿真结果和仿真时间存到 MATLAB 的工作空间。双击 To Workspace 模块的图标，在如图 B-33 所示对话框 Variable name(变量名)引导的编辑框中分别输入自定义变量名 t，c，并将 Save format(数据存储形式)框选为 Array(列向量形式)，再利用前面介绍的命令 plot(t,c)绘制图形，可对结果做进一步的处理。

⑥ 模块连接。各个模块参数设定以后，用鼠标先点一下起点模块的输出端(三角符号)，然后拖动鼠标，这时就会出现一条带箭头的直线，将箭头拉到终点模块的输入端再释放鼠标，两个模块就连接了起来。依此次操作，建立系统模型如图 B-34 所示。

2）系统仿真。建立起系统模型以后，选择 Simulation|Simulation parameters 菜单，设定仿真控制参数。在其对话框的 Stop time(结束时间)编辑框中输入 20，即本题设定仿真时间为 20s，选择 OK 按钮完成仿真设定。然后选择 Simulation|Start 菜单选项或 ▶ 图标启动仿真，得到系统单位阶跃响应曲线如图 B-35 所示。

(2) 综合运用(复杂系统仿真)

考虑控制系统状态空间分析部分的例 B-10。由于 Simulink 的 Continuous(连续环节)子模型库中含有一个 State-Space(状态空间)模块 $ \begin{bmatrix} x = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{bmatrix} $，利用该模块及设计结果，建立的复合系统模型如图 B-36 所示，并以 .mdl 格式保存。

若把状态空间表达式分解成状态变量方程组，也可按照例 B-12 的方法建立由各个子系统组成的复合系统模型，如图 B-37 所示。由图可见，对于本题，第二种方法搭建的过程十分烦琐，而实现的功能完全一致。因此下面仅介绍图 B-36 中各模块的参数设定方法。

双击图 B-36 上方的状态空间模块，在图 B-38 所示参数对话框 A，B，C 和 D 引导的编辑框中分别输入 $ [-2\quad-2.5\quad-0.5;1\quad0\quad0;0\quad1\quad0] $， $ [1\quad0;\quad0] $，eye(3) 和 [0;0;0]。注意，矩阵要维数匹配，这样该模块输出的就是状态变量。另外由

于 $ \boldsymbol{x}(0)=[1-0.75\quad0.4]^{\mathrm{T}} $，可在 Initial conditions 引导的编辑框中输入 $ [1-0.75\quad0.4] $，选择 OK 按钮，即完成设置。

系统输出 y = cx，利用上述状态空间模块的输出，双击图 B-36 上方的增益模块，得

到如图 B-39 所示的对话框，在 Gain 引导的编辑框中输入[1 4 3.5]，并在 Multiplication 引导的框中选择 Matrix(K*u)(矩阵乘方式，缺省为点乘)，最后选择 OK 按钮，即完成设置。

由于观测器状态方程 $ \dot{x} = (A - hc)\hat{x} + bu + hy $，根据例 B-10 的设计结果， $ h = [35.2324 \quad -19.8169 \quad 16.2958]^T $，双击图 B-36 下方的状态空间模块，得到的对话框如图 B-40 所示，在 A，B，C 和 D 引导的编辑框中分别输入 $ [-2 \quad -2.5 \quad -0.5; 1 \quad 0 \quad 0; 0 $

1 0]–[35.2324; -19.8169; 16.2958]*[1 4 3.5], [35.2324; -19.8169; 16.2958], eye(3) 和[0; 0; 0]。因 $ \dot{x} = 0 $，这样该模块输出的就是观测状态。再利用观测状态，根据设计结果 $ v = u - k \dot{x} = u - [4\ 8.5\ 5.5]\hat{x} $，在图 B-36 下方增益模块 Gain 引导的编辑框中输入[4 8.5 5.5]，并选择矩阵乘方式，最后选择 OK 按钮即完成该设置。

运行上述仿真，得系统状态响应曲线、观测器状态响应曲线和状态误差响应曲线，与图 B-23，图 B-24 和图 B-25 分析结果基本相同。此处不再列出，读者可以一试。

(3) 综合运用(离散系统仿真)

考虑例 B-7 系统在 Simulink 环境下的仿真。由于该系统含有零阶保持器，单击 Discrete(离散环节)子模型库，选择其模型库中的 Zero-Order Hold(零阶保持)模块，然后与其他模块连接，如图 B-41 所示，其中输出端的零阶保持器是为了使连续信号离散采样输出。

由于采样时间 T=1s，双击零阶保持模块，在如图 B-42 所示对话框的 Sample time(采样时间)编辑框中输入1，选择 OK 按钮便完成其设定。

当然，也可以考虑用 Discrete(离散环节)子模型库中的 Discrete Zero-Pole(零、极点形式的离散系统)模块 $ \frac{(z-1)}{z(z-0.5)} $ 来替代图 B-41 中的开环系统模型，如图 B-43 所示。

根据例 B-7 的求解，离散开环系统传递函数为

$$ G(z)=\frac{0.368(z+0.717)}{(z-1)(z-0.368)} $$

双击 Discrete Zero-Pole 模块，在和 Gain(增益)引导的编辑框中分别输入 $ [-0.717] $， $ [10.368] $和 $ [0.368] $，选择 OK 按钮便完成其设置。

对图 B-41 或图 B-43 启动仿真，要求各个模块采样时间及其仿真采样时间一致，得到的系统单位斜坡响应曲线与图 B-15 一致，此处不再列出。读者可以试着在图 B-43 的基础上加入数字控制器 $ D(z) $，实现最小拍控制。

MATLAB 在控制系统分析与设计中的应用中应用还远不止本附录中所介绍的内容，这里仅仅起到引导的作用。至于更多更好的方法，读者可以

自行摸索或参阅 MATLAB 专著。现将常用的 MATLAB 命令列于表 B-1 中。

续表

| 函数名 | 功能说明 | 函数名 | 功能说明 |

| --- | --- | --- | --- |

| asin | 计算反正弦 | exp | 计算以e为底的指数函数 |

| atan | 计算反正切 | expm | 计算以e为底的矩阵指数函数 |

| axis | 设定坐标轴的范围 | eye | 生成单位矩阵 |

| bode | 生成Bode频率响应图 | feedback | 两个系统的反馈连接 |

| break | 中断循环执行语句 | figure | 创建图形窗口 |

| c2d | 将连续系统变换成离散系统 | filter | 一维数字滤波器 |

| care | 求解代数里卡蒂方程 | for | 循环控制语句 |

| clc | 清除命令窗口显示 | format | 设置输出格式 |

| clear | 删除内存中的变量和函数 | global | 定义全局变量 |

| clf | 清除当前图形窗口 | gram | 求可控和可观测的Gram矩阵 |

| collect | 符号计算中同类项合并 | grid | 在图形上加网格线 |

| conj | 求共轭复数 | gtext | 在鼠标指定的位置添加说明 |

| conv | 多项式相乘或卷积 | help | 打开帮助主题的清单 |

| corrcoef | 计算相关系数 | hold off | 取消当前图形保持,与hold on相对应 |

| cos | 计算余弦 | hold on | 当前图形保持,与hold off相对应 |

| cov | 计算协方差矩阵 | i | $ \sqrt{-1} $ |

| ctrb | 计算可控性矩阵 | if | 条件转移语句 |

| ctrbf | 对系统进行可控性分解 | ilaplace | 拉普拉斯反变换,与laplace相对应 |

| d2c | 将离散系统变换成连续系统 | imag | 计算复数虚部 |

| deconv | 多项式相除或逆卷积 | impulse | 计算系统的单位脉冲响应 |

| det | 计算矩阵的行列式 | initial | 计算系统的零输入响应 |

| diag | 建立对角矩阵或获取对角元素 | inline | 构造内联函数对象 |

| diff | 差分函数或近似微分 | inv | 求矩阵的逆 |

| dlqr | 离散系统的线性二次型调节器设计 | iztrans | z反变换,与ztrans相对应 |

| dlyap | 求解离散系统的李雅普诺夫方程 | j | 虚数单位 |

| eig | 计算矩阵的特征值和特征向量 | Jordan | 求约当标准型 |

| else | 与if一起使用的转移语句 | laplace | 拉普拉斯变换,与laplace相对应 |

| elseif | 条件转移语句 | limit | 计算极限值 |

| end | 结束控制语句 | log | 求自然对数 |

续表

| 函数名 | 功能说明 | 函数名 | 功能说明 |

| --- | --- | --- | --- |

| log10 | 求常用对数 | ployvalm | 多项式矩阵求值 |

| lqe | 线性二次估计器设计 | prod | 对向量中各元素求积 |

| lqr | 连续系统的线性二次型调节器设计 | pzmap | 绘制线性系统的零、极点图 |

| lsim | 计算系统在任意输入和初始条件下的时间响应 | quad | 低阶法计算数值积分 |

| lyap | 求解连续系统的李雅普诺夫方程 | quad8 | 高阶法计算数值积分 |

| margin | 从频率响应中求幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率 | rank | 求矩阵的秩 |

| max | 求向量中的最大元素 | real | 计算复数实部 |

| mean | 求向量元素均值 | residue | 部分分式展开 |

| mesh | 三维网格图形绘制 | rlocfind | 由根轨迹的一组根确定相应的增益 |

| min | 求向量中的最小元素 | rlocus | 计算根轨迹 |

| minreal | 求系统的最小实现或零、极点对消后的传递函数 | roots | 求多项式的根 |

| NaN | 不定式表示 | semilogx | 绘制x轴半对数坐标图形 |

| ngrid | 在尼柯尔斯图中绘制网格 | semilogy | 绘制y轴半对数坐标图形 |

| nichols | 绘制尼柯尔斯频率响应图 | series | 两个系统的串联连接 |

| norm | 计算矩阵的范数 | sign | 符号函数 |

| nyquist | 绘制奈奎斯特图 | sin | 计算正弦 |

| obsv | 计算可观测性矩阵 | size | 查询矩阵的维数 |

| obsvf | 对系统进行可观测性分解 | solve | 求解代数方程 |

| ode23 | 微分方程低阶数值解法 | sqrt | 计算平方根 |

| ode45 | 微分方程高阶数值解法 | ss | 系统的状态空间描述 |

| ones | 生成元素全部为1的矩阵 | ss2ss | 状态空间的相似变换 |

| parallel | 两个系统的并联连接 | ss2tf | 将状态空间形式转变为传递函数形式 |

| pi | 圆周率 $ \pi $ | step | 计算系统的单位阶跃响应 |

| place | MIMO系统的极点配置 | subplot | 将图形窗口分割为若干子窗口 |

| plot | 绘制线性坐标图形 | sum | 对向量中各元素求和 |

| ploy | 求矩阵的特征多项式 | syms | 创建符号对象 |

| ployval | 多项式求值 | tan | 计算正切 |

续表

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胡寿松

1937年生于南京，1960年毕业于北京航空航天大学自动控制系，长期致力于控制理论与应用的研究和教学。曾任南京航空航天大学首席教授、博士生导师、中国自动化学会理事、江苏省自动化学会副理事长。此外，曾兼任多所高校的兼职教授、客座教授和特聘教授。主持国家自然科学基金重点项目等6项，省部级重点科研项目等8项，发表学术论文300多篇；自1961年起担任“自动控制原理”课程主讲，该课程被评为“2003年国家精品课程”，1978年起先后主讲“最优控制”“最优滤波”“系统辨识”“大系统理论”等8门本科及研究生课程；出版《自动控制原理》《最优控制理论与系统》《应用最优估计》《粗糙决策理论与应用》等教材、专著和译著26部。曾获国家级教学成果奖3项，全国高等学校优秀教材奖1项；省部级教学成果特等奖、优秀教材一等奖、科技进步二等奖、红杉树园丁奖金奖等8项；航空工业十佳优秀教师、省教学名师、省先进科技工作者等荣誉称号。2003年荣获首届国家级教学名师奖，1993年起享受国务院特殊津贴。

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