自动化学科概论公式

1. 按被控对象的特性可分为线性系统和非线性系统

凡是同时满足叠加性和齐次性的对象称为线性被控对象，针对线性被控对象构成的控制系统通常为线性控制系统。在这里，所谓叠加性是指：当有多个输入信号同时作用于对象时，它的输出等同于每个输入信号单独作用时所产生的输出的叠加；所谓齐次性是指：如果输入信号倍乘一常数时，则对象的输出也倍乘同一常数。如果用算子T表示对象的输出量y与输入量u之间的关系，即叠加： $ T[U_{1}(t)+U_{2}(t)]=T[U_{1}(t)]+T[U_{2}(t)] $ $ y_{i}(t)=T[u_{i}(t)] $ (3.2.1)

那么被控对象的线性必须满足 $ T[kU(t)] = k \cdot T[u(t)] $

$$ \sum_{i=1}^{n}k_{i}\boldsymbol{y}_{i}(t)=T\Big[\sum_{i=1}^{n}k_{i}u_{i}(t)\Big] $$

被控对象各变量之间所满足的物理(化学)定律,列出方程式,经过一定的数学处理和推导,消去中间变量,建立起输入与输出之间的因果关系,形成被控对象的动态模型。

对于前述的水箱液位系统,考虑输入量是进水流量 $ Q_{i} $,被控量是液位高度 H,即控制对象的输出量,如果出水节流阀的出水流量记为 $ Q_{o} $,水箱的水平截面积为 S,在很小的时间段 dt 内,液位高度有 $ \mathrm{d}H $ 的变化,根据物质守恒定律有

$$ S\mathrm{d}H=\left(Q_{\mathrm{i}}-Q_{\mathrm{o}}\right)\mathrm{d}t $$

$$ \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{S}Q_{\mathrm{i}}-\frac{1}{S}Q_{\mathrm{o}} $$

或

式中除对象的输入量 $ Q_{i} $ 、输出量 H 外，还有第三个变量 $ Q_{o} $ ，被称为中间变量，为了消去中间变量，我们利用（假设）节流阀的出水流量与液位的高度平方根（水压力）成正比这一流量规律：

式中， $ \alpha $ 为比例系数，当 $ Q_{0} $ 和 H 值为稳态值时，它为常量；当 $ Q_{0} $、H 值变化不大时，它为近似常量。

$$ Q_{\circ}=\alpha\sqrt{H} $$

将式(3.2.5)代入式(3.2.4)，就消去了中间变量Q。，得到

式(3.2.6)就是水箱的液位 H 和进水流量 $ Q_{1} $ 之间的关系式，它是一个一阶非线性微分方程，是描述水箱液位 H 和进水流量 $ Q_{1} $ 的动态方程。当系统达到平衡态时，水箱液位为 $ H_{0} $，它不再变化，这时进水流量用 $ Q_{10} $ 表示，则可得出系统平衡时的关系式：

$$ \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}+\frac{\alpha}{S}\sqrt{H}=\frac{1}{S}Q, $$

$$ \frac{\alpha}{S}\sqrt{H_{0}}=\frac{1}{S}Q_{10} $$

其中 $ (Q_{10},H_{0}) $称为系统的平衡点，式(3.2.7)就是水箱的静态方程。

虽然在建立水箱动态方程式的过程中，已经作了简化与近似处理（如将 $ \alpha $视为常量），但得到的仍是式(3.2.6)所示的非线性微分方程。对于这样一个非线性微分方程，处理起来很困难，需要较深的数学知识，为此对它作进一步的简化和近似处理。

首先将 $ \sqrt{H} $ 在平衡点液位 $ H_{0} $ 附近展开成泰勒 (Taylor) 级数，有

其中 $ \Delta H = H - H_{0} $ 表示实际液位对平衡点液位 $ H_{0} $ 的增量，泰勒级数只写出了前两项，后面包含的是 $ \Delta H $ 的高次项。假如水箱的实际液位在平衡点液位 $ H_{0} $ 的上下波动范围很小，即 $ \Delta H $ 取值很小，则可以忽略它的高次项不计，用 $ \sqrt{\overline{H}_{0}} + \frac{1}{2\sqrt{\overline{H}_{0}}} \Delta H $ 近似表示 $ \sqrt{\overline{H}} $，并代入式(3.2.6)，得

$$ \sqrt{H}=\sqrt{H_{0}}~+\frac{1}{2\sqrt{H_{0}}}\Delta H~+~...~... $$

$$ \frac{\mathrm{d}(H_{0}+\Delta H)}{\mathrm{d}t}+\frac{\alpha}{S}(\sqrt{H_{0}}+\frac{1}{2\sqrt{H_{0}}}\Delta H)=\frac{1}{S}(Q_{10}+\Delta Q_{1}) $$

式中， $ \Delta Q_{1} $ 表示进水流量对平衡点流量 $ Q_{10} $ 的增量。

由平衡点时的静态方程 $ \frac{\alpha}{S}\sqrt{H_{0}}=\frac{1}{S}Q_{10} $，式(3.2.9)可以写为

$$ \frac{\mathrm{d}\Delta H}{\mathrm{d}t}+\frac{\alpha}{S}\frac{1}{2\sqrt{H_{0}}}\Delta H=\frac{1}{S}\Delta Q, $$

它是一个描述水箱液位增量与进水流量增量之间关系的方程式，称为增量方程式。如果把H和 $ Q_{1} $理解为在平衡点 $ H_{0} $、 $ Q_{10} $附近变化的液位和进水流量（相当于上式的 $ \Delta H $和 $ \Delta Q_{1} $），则式(3.2.10)可写为

$$ \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}+\frac{\alpha}{S}\frac{1}{2\sqrt{H_{0}}}H=\frac{1}{S}Q_{1} $$

就是一个线性化处理后的水箱动态方程。如果用标准的一阶线性微分方程

$$ a\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}+b y(t)=r(t) $$

表示，则有 $ a=S, b=\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{0}}} $，它们都是已知的常数。方程式中， $ y(t) $ 为输出量，对应了水箱液位 $ H; r(t) $ 为输入量，对应了水箱的进水流量 $ Q_{1} $。在 $ r(t) $ 已知的前提下，可以求出方程式 (3.2.12) 的解 $ y(t) $，它就表示了水箱液位的变化情况。但是求解微分方程不是件容易的事情，求解高阶微分方程更困难。为此通过引入 s 算子（替换微分运算），获得被称为拉普拉斯变换的工程数学处理方法，可将微分方程变换为代数方程，即式 (3.2.12) 变为

$$ a s Y(s)+b Y(s)=R(s) $$

写成输出与输入相比的形式

$$ \frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{as+b}\triangleq G(s) $$

这里定义 G(s) 为对象（环节）的传递函数，它对应着对象环节相对于输入 R(s) 作用下，输出 Y(s) 的特性传递（响应）关系，如图 3.2.1 所示。传递函数是一个代数式，它同样描述了对象的动态特性，但比直接讨论微分方程要方便得多，从相互作用的传递角度更容易理解，因而是经典控制理论重点讨论的模型。

下面再来分析复杂一点的如图3.2.2所示的双水箱液位系统。设水箱1的截面积 $ S_{1} $，稳态液位 $ H_{10} $，被控的进水流量 $ Q_{1} $，通过节流阀1流向水箱2的流量 $ Q_{1} $，水箱2的截面积 $ S_{2} $，稳态液位 $ H_{20} $，通过节流阀2流出系统的流量 $ Q_{0} $。按照前面单水箱液位系统的讨论，对于水箱1有关系式：

$$ \frac{\mathrm{d}H_{1}}{\mathrm{d}t}+\frac{\alpha}{S_{1}}\frac{1}{2\sqrt{H_{10}}}H_{1}=\frac{1}{S_{1}}Q_{1} $$

对于水箱2有关系式：

$$ \frac{\mathrm{d}H_{2}}{\mathrm{d}t}+\frac{\alpha}{S_{2}}\frac{1}{2\sqrt{H_{20}}}H_{2}=\frac{1}{S_{2}}Q_{1} $$

根据水箱1液位变化的规律 $ \frac{dH_{1}}{dt}=\frac{Q_{1}-Q_{1}}{S_{1}} $（即式(3.2.4)），可以得到 $ Q_{1} $的表达式为

$$ Q_{1}=Q_{i}-S_{1}\frac{\mathrm{d}H_{1}}{\mathrm{d}t} $$

$$ \frac{\mathrm{d}H_{2}}{\mathrm{d}t}+\frac{\alpha}{S_{2}}\frac{1}{2\sqrt{H_{20}}}H_{2}=\frac{1}{S_{2}}Q_{i}-\frac{S_{1}}{S_{2}}\frac{\mathrm{d}H_{1}}{\mathrm{d}t} $$

代入式(3.2.16)得

又由式(3.2.15)，有

$$ Q_{i}-S_{1}\frac{\mathrm{d}H_{1}}{\mathrm{d}t}=\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{10}}}H_{1} $$

所以式(3.2.18)可写为

$$ \frac{\mathrm{d}H_{2}}{\mathrm{d}t}+\frac{\alpha}{S_{2}}\frac{1}{2\sqrt{H_{20}}}H_{2}=\frac{\alpha}{S_{2}}\frac{1}{2\sqrt{H_{10}}}H_{1} $$

$$ \left[\begin{matrix}{\displaystyle\frac{\mathrm{d}H_{1}}{\mathrm{d}t}}\\ {\displaystyle\frac{\mathrm{d}H_{2}}{\mathrm{d}t}}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{-\displaystyle\frac{\alpha}{S_{1}}\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{H_{10}}}}&{0}\\ {}&{}\\ {\displaystyle\frac{\alpha}{S_{2}}\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{H_{10}}}}&{-\displaystyle\frac{\alpha}{S_{2}}\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{H_{20}}}}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{H_{1}}\\ {H_{2}}\\ \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}{\displaystyle\frac{1}{S_{1}}}\\ {0}\\ \end{matrix}\right]Q_{1} $$

将式(3.2.15)和式(3.2.20)整理后写成向量微分方程的形式，有

将 $ H_{1} $、 $ H_{2} $ 视为系统的两个状态变量，反映系统的基本状态，记为 $ x_{1} $、 $ x_{2} $； $ Q_{1} $ 视为系统的输入变量，记为 u，式(3.2.21)就可写成状态方程的标准形式：

$$ \dot{X}=A X+B u $$

其中 $ X=\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}H_{1}\\ H_{2}\end{bmatrix} $ 称为系统的状态向量， $ u=Q_{1} $ 称为系统的输入向量，

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\left[\begin{array}{cc}-\frac{\alpha}{S_{1}}\frac{1}{2\sqrt{H_{10}}}&0\\\frac{\alpha}{S_{2}}\frac{1}{2\sqrt{H_{10}}}&-\frac{\alpha}{S_{2}}\frac{1}{2\sqrt{H_{20}}}\end{array}\right]&\text{、}\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{S_{1}}\\\\0\end{array}\right]\end{aligned} 分别称为系统矩阵和输入矩 $$

阵，它们的元素由系统的结构参数决定。如果我们关心的是两个水箱的液位，把它们视为系统输出，用输出向量 $ \boldsymbol{Y}=\left[\begin{array}{c}y_{1}\\ y_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}H_{1}\\ H_{2}\end{array}\right] $ 表示，则有

$$ Y=C X $$

其中 $ C=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix} $ 称为系统的输出矩阵，也由系统的结构参数决定，式(3.2.23)

称为系统的输出方程。

状态方程和输出方程共同描述了一个系统，称为系统的状态空间描述。这是系统数学模型的另一种形式，其中状态方程是状态向量的一阶微分方程组，用于描述系统的动态，系统中状态变量的个数就是系统的维数；输出方程是输出向量与状态向量（有时还可包含输入向量，这时输出方程应写为 $ Y=CX+Du $）的代数方程，用来描述系统的输出。系统的状态空间描述形式既可以描述线性系统（状态方程是线性方程），也可以描述非线性系统（即状态方程是非线性方程）；既可以描述定常系统（矩阵A、B、C的元素全是常数），也可以描述时变系统（即矩阵A、B、C中有元素是时间的函数）。状态空间描述的系统模型是现代控制理论研究和讨论的基础。

我们把根据对象(或系统)运动的物理、化学等机理建立的数学模型称为对象(或系统)的机理模型，这种建立数学模型的方法就是解析法。关于输入-输出变量关系的微分方程、传递函数或状态空间描述就是我们希望得到的对象模型。

并非所有的被控对象(或系统)都像上述水箱的液位运动有明确的物理或其他定律可遵循，有的对象虽然机理是清楚的，但却不能显式地写出数学表达式，或机理建模过于复杂，难以用一般数学关系描述表达，这时对象(或系统)的模型则可以通过实验法来构建。

所谓 $ \underline{\text{实验法建模}} $，就是把需建模的对象看成为“黑箱”，通过对它施加的 $ \underline{\text{输入激励信号以及由此所产生的输出响应来确定它的数学模型}} $，即 $ \underline{\text{用一个最能接近它的输入-输出关系的数学式子来近似地描述它的动态行为}} $。如

为了直观地了解反馈控制的作用，按“方框图（传递函数）”的形式重新画出液位自动控制系统如图3.3.5所示，其中 $ G_{k}(s) $为控制器， $ G(s) $为被控对象（包括水箱、电动阀门）， $ H(s) $为测量装置（环节）传递函数。根据图中的信号关系，有

$$ \Delta y=y_{\mathrm{r}}-y $$

$ \Delta y $ 即为液位偏差信号，假设 $ H(s)=1 $ (通常称为单位反馈系统，是工程应用系统的常见形式)，则系统输出 y 为

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{G}(\boldsymbol{s})\mathrm{~\boldmath~\cdot~}\boldsymbol{G}_{\mathrm{k}}(\boldsymbol{s})\mathrm{~\boldmath~\cdot~}\Delta\boldsymbol{y}}\end{array} $$

最后可得

$$ \frac{y}{y_{_{\mathrm{r}}}}=\frac{G(s)\cdot G_{_{\mathrm{k}}}(s)}{1+G(s)\cdot G_{_{\mathrm{k}}}(s)}=\varphi(s) $$

$ \varphi(s) $ 表示了整个系统输出与输入之间的作用传递关系，称为系统的“闭环传递函数”，而把 $ G(s) \cdot G_{k}(s) $ 称为系统的“开环传递函数”。

考虑控制器最简单的情况，即为比例环节

$$ G_{k}(s)=k $$

有

$$ \frac{y}{y_{r}}=\frac{kG(s)}{1+kG(s)} $$

由式(3.3.5)可知，当 k 值取得很大时，有 $ y \rightarrow y_{r} $，因此直观上可知闭环系统的确能通过设计合适的控制器，达到克服偏差的目的。当然，要满足控制系统

蒸汽压不同这一性质，汽相、液相对流混合，液相中的轻组分转移到汽相中，而汽相中的重组分转移到液相中，从而实现分离的目的。精馏塔装置与二元精馏塔控制流程图如图3.3.11所示，F为待分离料液，D为塔顶馏出轻质组分产品，B为塔釜重质组分产出，L是回流量，V是加热量。

典型的二元精馏塔的控制结构如图3.3.12所示，需要同时控制塔顶温度和塔釜温度两个间接参数并形成两个控制回路，保证采出挥发组分与非挥发组分纯度的控制。显然，两个控制回路通过通道 $ G_{21} $和 $ G_{12} $产生交叉（耦合）作用：

也就是说，回流量的变化既影响塔顶温度，也影响塔釜温度，反之再沸器加热量也一样。因此，塔顶温度和塔釜温度两个控制回路存在着耦合作用，互为扰动，甚至由于闭环控制的存在会产生持续振荡过程。

为了避免两个控制回路的耦合作用，需要增加解耦环节 F，实现高性能（或节能）控制，如图 3.3.13 所示。 $ F_{1} $ 和 $ F_{2} $ 是按单变量（回路）设计的控制环节，如果 $ G_{11} $、 $ G_{22} $、 $ G_{21} $、 $ G_{12} $ 已知，构造 $ 2 \times 2 $ 解耦控制系统，实现解耦全补偿（也就是抵消）的条件是去耦补偿环节 $ F_{3} $ 和 $ F_{4} $ 满足条件：

$$ F_{4}*G_{11}+F_{2}*G_{12}=0 $$

$$ F_{3}*G_{22}+F_{1}*G_{21}=0 $$

与此对应，现代控制理论中往往采用状态空间方法描述，可以更准确地反映多变量控制系统的内部状态和输入-输出特性。图3.2.2介绍的双水箱液位控制系统有两个输出量（两个水箱的液位 $ H_{1} $、 $ H_{2} $），所以是多变量控制系统。图3.3.14所示的混合槽液位控制系统具有两个控制输入量（两种不同溶液的输入液流 $ Q_{11} $、 $ Q_{12} $），也是多变量控制系统。导弹等飞行器的控制、炼油等许多生产过程的控制都是多变量控制。

常用控制规则的作用和功能如下：对控制量

(1) 比例(P)控制 它将偏差信号按比例 $ K(K_{p}) $ 放大，即式(3.3.5)。直观地说，偏差信号大，说明被控量的实际值离期望值大，需要加大控制量，反之亦然。比例是基本的控制作用。 $ u(t)=|k_{p}e(t)| $

(2) 比例+积分(PI)控制 对于比例控制，只有当偏差不为零时控制量才不为零，即仅当偏差不为零时才有控制作用。这样的系统被控量不能精确地达到期望值，是有差系统。解决的办法是在控制器中引入“积分”作用，组成比例+积分控制。积分控制根据偏差进行关于时间的积分，于是，在控制量中既包含了现时的偏差，又包含了历史上所产生的偏差的积累，这样即使偏差趋于零时，控制器仍会输出一定的控制量，维持住偏差为零的状态，使控制系统成为无静差系统。可见，积分控制的作用在于消除控制系统的静差，改善控制系统的静态特性。 $ u(t) = k_{p} e(t) + k(t) \int_{0}^{t} e(t) dt $

（3）比例+微分(PD)控制 由于被控对象及关联环节(执行环节、测量环节等)存在惯性或滞后，致使采用纯比例控制的系统也产生振荡甚至失稳，即偏差已经到零，但被控量还要维持变化过程一段时间，形成(正向和/或反向)超调(即过调)。如此不断地正反调节，正反超调，就产生了振荡。如果比例K值取得不合适，会使振荡幅度越来越大，导致失稳。可见纯比例控制的系统的动态特性差。解决的办法是既考虑偏差信号本身，同时还考虑偏差信号的变化(微分)情况，这就是比例+微分控制。微分控制具有“超前”的控制作用，能有效地提高自动控制系统的平稳性。 $ U(t)=K_{p}a(t)+K_{b}c $

（4）比例+积分+微分（PID）控制事实上，在实际的自动控制系统中，为保持系统具有良好的动态特性和静态特性，可能需要使控制器同时具有比例、微分、积分控制作用，构成比例+积分+微分控制，称为PID（三作用）控制器。通过选择合适的比例、积分和微分系数，可以较好地满足绝大多数工程应用系统的需要。典型的过程控制PID算式及其拉普拉斯变换见式（3.3.8）和式（3.3.9），习惯上用积分时间常数 $ T_{i} $和微分时间常数 $ T_{d} $来表达积分作用（相当于 $ K_{i}=K_{p}/T_{i} $， $ K_{d}=K_{p}\cdot T_{d} $）， $ mv(MV,ManipulationVariable) $作为输出操作量，具有更明确的物理意义。

$$ m v(t)=K_{\mathrm{p}}\{e(t).+\frac{1}{T_{\mathrm{i}}}\int e(t)\mathrm{d}t.+T_{\mathrm{d}}\frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}\} $$

$$ M V(s)=K_{\mathrm{p}}\bigg\{1+\frac{1}{T_{\mathrm{i}}s}+T_{\mathrm{d}}s\bigg\}E(s) $$

相应的控制器传递函数为

$$ C_{\mathbf{k}}(s)=K_{\mathrm{p}}+K_{\mathrm{i}}\frac{1}{s}+K_{\mathrm{d}}s $$

度)型算式如式(3.4.2)所示，输入、输出与记忆变量结构如图3.4.1所示。

\[\begin{aligned}MV(n)&=K_{p}\Biggl\{e(n)+\frac{T_{c}}{T_{i}}\sum_{k=1}^{n}e(k)+T_{d}\frac{e(n)-e(n-1)}{T_{c}}\Biggr\}\\&\quad\quad\quad\quad

$$ \begin{array}{r l}{\Delta M V(n)=}&{M V(n)\mathrm{\Large~-~}M V(n-1)}\\ {=}&{K_{\mathrm{p}}\bigg\{e(n)\mathrm{\Large~-~}e(n-1)\mathrm{\Large~+~}\frac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{i}}}e(n)\mathrm{\Large~+~}T_{\mathrm{d}}\cdot\frac{e(n)\mathrm{\Large~+~}e(n-2)\mathrm{\Large~-~}2e(n-1)}{T_{\mathrm{c}}}\bigg\}}\end{array} $$

全量(位置)型计算的实现,每个控制周期 $ T_{c} $, 即 $ t = nT_{c} $ 时刻按全量计算式(3.4.1)计算一次, 得到输出量 $ MV(n) $。算法需要递推记忆变量单元 $ Me(n-1) = e(n) $, $ M\sum e(n) = M\sum e(n-1) + \frac{T_{c}}{T_{i}} \cdot e(n) $, 即需要记忆 $ e(n-1) $ 和历史积分量, 分别用变量单元 $ Me(n-1) $ 和 $ M\sum e(n-1) $ 表示。

与全量计算相同，增量计算实现每个控制周期 $ T_{0} $，按式(3.4.2)计算一次，获得 $ \Delta MV(n) $，并递推记忆变量单元： $ MV(n-1)=MV(n) $， $ Me(n-2)= $

$ Me(n-1) $, $ Me(n-1) = e(n) $。再根据需要计算输出： $ MV(n) = MV(n-1) + \Delta MV(n) $。需要记忆 $ e(n-1) $、 $ e(n-2) $ 和 $ MV(n-1) $，分别用变量单元 $ Me(n-1) $、 $ Me(n-2) $ 和 $ MV(n-1) $ 表示。