目录

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第七章 多元函数微分学 ..... (1)

第一节 多元函数 ..... (1)

一、平面点集 ..... (1)

二、多元函数的概念 ..... (3)

三、多元函数的极限 ..... (6)

四、多元函数的连续性 ..... (8)

习题7-1 ..... (9)

第二节 偏导数 ..... (10)

一、偏导数的定义及其计算方法 ..... (10)

二、高阶偏导数 ..... (14)

习题7-2 ..... (17)

第三节 全微分及其应用 ..... (18)

一、全微分定义 ..... (19)

二、全微分存在的条件 ..... (20)

三、全微分在近似计算中的应用 ..... (25)

习题7-3 ..... (26)

第四节 多元复合函数的求导法则 ..... (27)

一、多元复合函数求导的链式法则 ..... (27)

二、复合函数的高阶偏导数 ..... (32)

三、一阶全微分形式的不变性 ..... (33)

习题7-4 ..... (35)

第五节 隐函数求导法 ..... (36)

一、一个方程的情形 ..... (36)

二、方程组的情形 ..... (39)

习题7-5 ..... (42)

第六节 方向导数与梯度 ..... (44)

一、方向导数 ..... (44)

二、梯度 ..... (47)

习题7-6 ..... (50)

第七节 偏导数的几何应用 ..... (51)

一、空间曲线的切线与法平面 ..... (51)

二、曲面的切平面与法线 ..... (55)

习题7-7 ..... (59)

第八节 多元函数的极值 ..... (60)

一、多元函数的极值 ..... (61)

二、条件极值、拉格朗日乘数法 ..... (64)

三、有界闭区域上函数的最值 ..... (69)

习题7-8 ..... (72)

第九节 二元函数的泰勒公式 ..... (73)

一、二元函数的泰勒公式 ..... (73)

二、极值充分条件的说明 ..... (76)

习题7-9 ..... (77)

总练习题七 ..... (77)

第八章 重积分 ..... (79)

第一节 二重积分的概念与性质 ..... (79)

一、引例 ..... (79)

二、二重积分的定义 ..... (81)

三、二重积分的性质 ..... (83)

习题8-1 ..... (84)

第二节 二重积分的计算 ..... (85)

一、在直角坐标系下计算二重积分 ..... (85)

二、在极坐标系下计算二重积分 ..... (94)

三、二重积分的换元法 ..... (98)

习题8-2 ..... (100)

第三节 三重积分的概念与计算 ..... (102)

一、三重积分的概念 ..... (102)

二、在直角坐标系下计算三重积分 ..... (103)

三、在柱面坐标系下计算三重积分 ..... (108)

四、在球面坐标系下计算三重积分 ..... (113)

五、三重积分的换元法 ..... (116)

习题8-3 ..... (117)

第四节 重积分的应用 ..... (119)

一、曲面面积的计算 ..... (119)

二、重积分的统一定义 ..... (122)

三、重积分的物理应用 ..... (122)

习题8-4 ..... (127)

总练习题八 ..... (128)

第九章 曲线积分与曲面积分 ..... (130)

第一节 对弧长的曲线积分 ..... (130)

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 ..... (130)

二、对弧长曲线积分的计算法 ..... (133)

习题9-1 ..... (137)

第二节 对坐标的曲线积分 ..... (137)

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 ..... (137)

二、对坐标的曲线积分的计算法 ..... (140)

三、两类曲线积分的联系 ..... (146)

习题9-2 ..... (147)

第三节 格林公式及其应用 ..... (148)

一、格林公式 ..... (148)

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 ..... (154)

三、二元函数的全微分求积 ..... (158)

习题9-3 ..... (162)

第四节 对面积的曲面积分 ..... (164)

一、对面积曲面积分的概念与性质 ..... (164)

二、第一型曲面积分的计算 ..... (165)

习题9-4 ..... (170)

第五节 对坐标的曲面积分 ..... (170)

一、有向曲面 ..... (170)

二、对坐标的曲面积分的概念与性质 ..... (171)

三、对坐标的曲面积分的计算法 ..... (174)

四、两类曲面积分的关系 ..... (179)

习题9-5 ..... (181)

第六节 高斯公式和斯托克斯公式 ..... (182)

一、高斯公式 ..... (182)

二、斯托克斯公式 ..... (186)

习题9-6 ..... (191)

第七节 场论初步 ..... (192)

一、场的概念 ..... (192)

二、数量场的等值面与梯度 ..... (192)

三、向量场的通量与散度 ..... (193)

四、向量场的环流量与旋度 ..... (195)

五、保守场与势函数 ..... (197)

习题9-7 ..... (198)

总练习题九 ..... (198)

第十章 微分方程 ..... (201)

第一节 微分方程的基本概念 ..... (201)

一、引例 ..... (201)

二、微分方程的基本概念 ..... (202)

习题10-1 ..... (204)

第二节 可分离变量的微分方程 ..... (205)

习题10-2 ..... (208)

第三节 齐次方程 ..... (209)

习题10-3 ..... (213)

第四节 一阶线性微分方程 ..... (214)

习题10-4 ..... (219)

第五节 全微分方程 ..... (219)

习题10-5 ..... (222)

第六节 可降阶的高阶微分方程 ..... (222)

一、 $ y^{(n)}=f(x) $型 ..... (222)

二、 $ y''=f(x,y') $型 ..... (223)

三、 $ y''=f(y,y') $型 ..... (225)

习题10-6 ..... (227)

第七节 线性微分方程解的结构 ..... (228)

习题10-7 ..... (231)

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 ..... (231)

习题10-8 ..... (236)

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 ..... (237)

习题10-9 ..... (245)

总练习题十 ..... (246)

第十一章 无穷级数 ..... (248)

第一节 常数项级数的概念和性质 ..... (248)

一、引言 ..... (248)

二、基本概念 ..... (249)

三、基本性质 ..... (250)

习题11-1 ..... (254)

第二节 常数项级数的收敛性及其判别法 ..... (254)

一、正项级数及其收敛判别法 ..... (255)

二、交错级数及其收敛判别法 ..... (260)

三、绝对收敛与条件收敛 ..... (262)

习题11-2 ..... (263)

第三节 幂级数的概念、性质与求和 ..... (264)

一、函数项级数的一般概念 ..... (265)

二、幂级数及其收敛半径 ..... (265)

三、关于一致收敛的级数及其分析性质 ..... (270)

四、幂级数的分析性质与幂级数的求和 ..... (274)

习题11-3 ..... (276)

第四节 函数展开成幂级数 ..... (277)

一、 $ f(x) $的泰勒级数 ..... (277)

二、 $ f(x) $展开成泰勒级数的条件 ..... (279)

三、 $ f(x) $展开成泰勒级数的方法 ..... (280)

四、幂级数展开式的应用举例 ..... (284)

习题11-4 ..... (287)

第五节 傅里叶级数 ..... (288)

一、问题的提出 ..... (288)

二、预备知识 ..... (289)

三、傅里叶级数与傅里叶系数 ..... (290)

四、傅里叶级数的收敛定理 ..... (292)

五、正弦级数与余弦级数 ..... (298)

习题11-5 ..... (299)

第六节 一般周期函数的傅里叶级数 ..... (300)

一、周期为2i的周期函数的傅里叶级数 ..... (300)

二、傅里叶级数的复数形式 ..... (303)

习题11-6 ..... (304)

总练习题十一 ..... (305)

习题答案与提示 ..... (307)