第4章 习题答案：不定积分
第4章 不定积分
380 答案 $ -\frac{x}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-1}} $ ← 题目
因为 $ f(x)=[\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})]^{\prime}=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}\cdot\left(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} $
故 $ f'(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\right)^{\prime}=-\frac{x}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-1}} $
381 答案 (A). ← 题目
因为 $ \ln(ax)=\ln a+\ln x $，与 $ \ln x(x\gt 0) $差一个常数 $ \ln a $，所以选(A).
评注
本题也可以将4个选项分别求导，导函数是 $ f(x) $的即为所求.
382 答案 $ -\frac{\pi}{2} $ ← 题目
因为 $ \left(\arcsin(2x-1)\right)^{\prime}=\frac{2}{\sqrt{1-(2x-1)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{4x-4x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}} $
$$ \left(2\arcsin\sqrt{x}\right)^{\prime}=2\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}, $$
所以 $ \arcsin(2x-1) $和 $ 2\arcsin\sqrt{x} $都是 $ \frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}} $的原函数.
设它们之间相差常数 $ C $，即 $ \arcsin(2x-1)-2\arcsin\sqrt{x}=C $，令 $ x=0 $，得 $ \arcsin(-1)-2\arcsin0=C $，故 $ C=-\frac{\pi}{2} $。
评注
函数的任何两个原函数之间只相差一个常数，对于不同描述形式的原函数，相差的常数可以通过取特定变量值来得到。
383 答案 不是. ← 题目
因为 $ \lim_{x \to 0^+} F(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^3 + x + 1) = 1 $， $ \lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0 $， $ \lim_{x \to 0} F(x) $ 不存在，所以 $ F(x) $ 在 $ x = 0 $ 处不连续，从而 $ F(x) $ 在 $ x = 0 $ 处不可导，因此 $ F(x) $ 不是 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上的原函数。
原函数与区间相联系。在本题中，因为当x>0时，有 $ F'(x)=f(x) $；当x<0时，有 $ F'(x)=f(x) $；因此， $ F(x) $是 $ f(x) $在 $ (-\infty,0) $上和 $ (0,+\infty) $上的原函数。
384答案 (C). ← 题目
因为 $ F(x) $是 $ f(x) $在 $ (a,b) $上的原函数，所以 $ F'(x)=f(x) $，因此 $ F(x) $在 $ (a,b) $上连续，于是 $ F(x) $在 $ (a,b) $上存在原函数，从而 $ f(x)+F(x) $在 $ (a,b) $上存在原函数。故选(C).
395答案 (D). ← 题目
由于 $ \lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}x^{2}=0 $， $ \lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}\cos x=1 $，
所以 $ \lim_{x\to0}f(x) $不存在，即x=0是 $ f(x) $的第一类跳跃间断点，因此 $ f(x) $在 $ (-\infty,+\infty) $上不存在原函数.
因为 $ \lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0=g(0) $，故 $ g(x) $在x=0处连续，从而 $ g(x) $在 $ (-\infty,+\infty) $上连续． $ g(x) $在 $ (-\infty,+\infty) $上存在原函数．因此选(D).
评注
函数连续是原函数存在的充分条件，而不是必要条件。如果 $ f(x) $ 在区间 I 上有第一类间断点和第二类无穷间断点，则 $ f(x) $ 在区间 I 上不存在原函数；如果函数在区间 I 上仅仅具有第二类振荡间断点，则有可能存在原函数。
386 答案 (B) ← 题目
依题意， $ f'(x) = \sin x $，故 $ f(x) = \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 $，所以
$$ \int f(x)\mathrm{d}x=\int\left(-\cos x+C_{1}\right)\mathrm{d}x=-\sin x+C_{1}x+C_{2}. $$
取 $ C_1=0 $， $ C_2=1 $，得 $ f(x) $ 的一个原函数为 $ 1-\sin x $，从而 $ \int f(x)dx = 1 - \sin x + C $。
387 答案 $ y=\frac{1}{2}\ln^{2}x-\frac{3}{2} $ ← 题目
387 答案 $ y = \frac{1}{2} \ln^{-2} x - \frac{1}{2} $.
设所求曲线的方程为 $ y = f(x) $，则依题意， $ f'(x) = \frac{\ln x}{x} $，即 $ f(x) $ 是 $ \frac{\ln x}{x} $ 的原函数.
由 $ \left(\frac{1}{2}\ln^{2}x\right)^{\prime}=\frac{\ln x}{x} $知， $ \frac{1}{2}\ln^{2}x $是 $ \frac{\ln x}{x} $的一个原函数，因此， $ \frac{\ln x}{x} $的所有原函数为 $ f(x)=\frac{1}{2}\ln^{2}x+C $，即斜率为 $ \frac{\ln x}{x} $的积分曲线簇方程为 $ y=\frac{1}{2}\ln^{2}x+C $.
又因为所求曲线经过点 $ (e,-1) $，故将x=e,y=-1代入方程，得 $ -1=\frac{1}{2}\ln^{2}e+C $，解得 $ C=-\frac{3}{2} $，故所求曲线方程为 $ y=\frac{1}{2}\ln^{2}x-\frac{3}{2} $.
评注
本题是用定义求出的原函数，以后也可以用凑微分法求原函数，读者可以自己试试
388 答案 (D). ← 题目
因为 $ \mathrm{d}\left(\int f'(x)\mathrm{d}x\right) = \mathrm{d}(f(x) + C) = f'(x)\mathrm{d}x $，故应选 (D).
389答案(D). ← 题目
由 $ \mathrm{d}\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)=f(x)\mathrm{d}x $， $ \left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)'=f(x) $， $ \int f'(x)\mathrm{d}x=f(x)+C $，
知，选项 (A)(B)(C) 都不正确，只有 (D) 正确，故选 (D).
390 (D). ← 题目
因为 $ f'(x) = g'(x) $，所以 $ f(x) = g(x) + C $，而 (C) 与 (A) 是一样的，故选项 (A)(B)(C) 都不正确，只有 (D) 正确。
事实上，对等式两边同时积分，得 $ \int f'(x)dx = \int g'(x)dx $，即 $ \int df(x) = \int dg(x) $，因此 (D) 正确。
391 答案 $ f(x)+C $. ← 题目
因为 $ \int \mathrm{d}f(x) = f(x) + C $，所以 $ \mathrm{d}\left[\int \mathrm{d}f(x)\right] = \mathrm{d}\left[f(x) + C\right] = \mathrm{d}f(x) $，于是
$$ \int\mathrm{d}\left[\int\mathrm{d}f(x)\right]=\int\mathrm{d}f(x)=f(x)+C. $$
392 答案 $ -\ln(1-x)-x^{2}+C $ ← 题目
$ f^{\prime}(\sin^{2}x)=\cos2x+\tan^{2}x=1-2\sin^{2}x+\frac{\sin^{2}x}{1-\sin^{2}x} $，令 $ \sin^{2}x=t $，则
$ f'(t)=1-2t+\frac{t}{1-t}=\frac{1}{1-t}-2t $，于是 $ f(t)=\int\left(\frac{1}{1-t}-2t\right)dt=-\ln(1-t)-t^{2}+C $，
故 $ f(x)=-\ln(1-x)-x^{2}+C $
393 答案 $ \frac{1}{2}x^{2}-\ln|x|-3\arcsin x+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{(x^{2}-1)\sqrt{1-x^{2}}-3x}{x\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x=&\int\left(x-\frac{1}{x}-\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\mathrm{d}x\\=&\int x\mathrm{d}x-\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x-3\int\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{x^{2}}}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^{2}-\ln|x|-3\arcsin x+C\;.\end{aligned} $$
394答案 $ -\cot x - \tan x + C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\cos2x}{\sin^{2}x\cos^{2}x}\mathrm{d}x=&\int\frac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin^{2}x\cos^{2}x}\mathrm{d}x=\int(\csc^{2}x-\sec^{2}x)\mathrm{d}x\\=&\int\csc^{2}x\mathrm{d}x-\int\sec^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x-\tan x+C\;.\end{aligned} $$
395 答案 $ -\frac{1}{2}\cot x + \csc x + C $. ← 题目
$$ \begin{align*}\int\frac{1-2\cos x}{1-\cos2x}\mathrm{d}x=&\int\frac{1-2\cos x}{2\sin^{2}x}\mathrm{d}x=\int\left(\frac{1}{2}\csc^{2}x-\csc x\cot x\right)\mathrm{d}x\\=&\frac{1}{2}\int\csc^{2}x\mathrm{d}x-\int\csc x\cot x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\cot x+\csc x+C\;.\end{align*} $$
396 答案 $ \frac{5^{x}e^{-x}}{\ln5-1}+x-e^{x}+C $ ← 题目
$$ \begin{align*}\int\left(\frac{1}{5^{-x}\mathbf{e}^{x}}+\frac{1-\mathbf{e}^{2x}}{1+\mathbf{e}^{x}}\right)\mathrm{d}x=&\int\left[\left(\frac{5}{\mathbf{e}}\right)^{x}+\frac{(1-\mathbf{e}^{x})(1+\mathbf{e}^{x})}{(1+\mathbf{e}^{x})}\right]\mathrm{d}x\\=&\int\left[\left(\frac{5}{\mathbf{e}}\right)^{x}+1-\mathbf{e}^{x}\right]\mathrm{d}x=\int\left(\frac{5}{\mathbf{e}}\right)^{x}\mathrm{d}x+\int1\mathrm{d}x-\int\mathbf{e}^{x}\mathrm{d}x=\frac{5^{x}\mathbf{e}^{-x}}{\ln5-1}+x-\mathbf{e}^{x}+C.\end{align*} $$
397 答案 $ 4x\sqrt{x}+5e^{x}+\frac{1}{2}(x+\sin x)+C $. ← 题目
$$ \begin{align*}\int\left(6\sqrt{x}+5\mathrm{e}^{x}+\cos^{2}\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x&=6\int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x+5\int\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int(1+\cos x)\mathrm{d}x\\&=6\cdot\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+5\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{2}(x+\sin x)+C=4x\sqrt{x}+5\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{2}(x+\sin x)+C\;.\end{align*} $$
398 答案 $ \frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x-2\arcsin x+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\left(\frac{x^{4}}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\mathrm{d}x=&\int\left(\frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)+1}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\mathrm{d}x\\=&\int\left(x^{2}-1+\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x-2\arcsin x+C.\end{aligned} $$
通过简单的恒等变形，将积分转化为用基本积分公式是求不定积分的最基本的技巧
399 答案 (1) $ \sqrt{2x+3}+C $. (2) $ \frac{1}{2}\ln(x^{2}+2x+5)+C $. ← 题目
(3) $ \frac{1}{4}\ln\left|2x+3\right|+\frac{3}{4(2x+3)}+C $
(1)
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2x+3}}=\frac{1}{2}\int\frac{(2x+3)^{\prime}}{\sqrt{2x+3}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(2x+3)}{\sqrt{2x+3}}=\sqrt{2x+3}+C. $$
(2)
$$ \begin{aligned}\int\frac{x+1}{x^{2}+2x+5}\mathrm{d}x=&\frac{1}{2}\int\frac{(x^{2}+2x+5)^{\prime}}{x^{2}+2x+5}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(x^{2}+2x+5)}{x^{2}+2x+5}\\ =&\frac{1}{2}\ln(x^{2}+2x+5)+C\;.\end{aligned} $$
(3)
$$ \begin{aligned}\int\frac{x\mathrm{d}x}{\left(2x+3\right)^{2}}=&\frac{1}{2}\int\frac{(2x+3)-3}{\left(2x+3\right)^{2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{1}{2x+3}\mathrm{d}x-\frac{3}{2}\int\frac{1}{\left(2x+3\right)^{2}}\mathrm{d}x\\ =&\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm{d}(2x+3)}{2x+3}-\frac{3}{4}\int\frac{\mathrm{d}(2x+3)}{\left(2x+3\right)^{2}}=\frac{1}{4}\ln\left|2x+3\right|+\frac{3}{4(2x+3)}+C.\end{aligned} $$
400答案 (1) $ e^{2\sqrt{x}} + C $. (2) $ -2\cos\sqrt{x} + C $. (3) $ 2\arctan\sqrt{x} + C $. ← 题目
(1) $ \int \frac{e^{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx = \int e^{2\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int e^{2\sqrt{x}} (2\sqrt{x})' \, dx $
$ = \int e^{2\sqrt{x}} \, d2\sqrt{x} = e^{2\sqrt{x}} + C $.
(2)
$$ \int\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\int\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\int\sin\sqrt{x}\mathrm{d}\sqrt{x}=-2\cos\sqrt{x}+C. $$
(3)
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{(1+x)\sqrt{x}}=2\int\frac{(\sqrt{x})^{\prime}\mathrm{d}x}{1+(\sqrt{x})^{2}}=2\int\frac{\mathrm{d}\sqrt{x}}{1+(\sqrt{x})^{2}}=2\arctan\sqrt{x}+C. $$
401 答案 (1) $ \frac{1}{3}e^{x^{2}}+C $, (2) $ \frac{1}{2}\arctan x^{2}+C $. ← 题目
(3) $ \frac{1}{6(1-n)(2x^{3}-1)^{n-1}}+C $. (4) $ \frac{1}{4}[f(x^{2})]^{2}+C $.
(1)
$$ \int x^{2}\mathrm{e}^{x^{3}}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int\mathrm{e}^{x^{3}}(x^{3})^{\prime}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int\mathrm{e}^{x^{3}}\mathrm{d}x^{3}=\frac{1}{3}\mathrm{e}^{x^{3}}+C. $$
(2)
$$ \int\frac{x\mathrm{d}x}{1+x^{4}}=\frac{1}{2}\int\frac{(x^{2})^{\prime}\mathrm{d}x}{1+(x^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}x^{2}}{1+(x^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\arctan x^{2}+C. $$
(3)
$$ \int\frac{x^{2}\mathrm{d}x}{(2x^{3}-1)^{n}}=\frac{1}{6}\int\frac{(2x^{3}-1)^{\prime}\mathrm{d}x}{(2x^{3}-1)^{n}}=\frac{1}{6}\int\frac{\mathrm{d}(2x^{3}-1)}{(2x^{3}-1)^{n}}=\frac{1}{6(1-n)(2x^{3}-1)^{n-1}}+C. $$
(4)
$$ \int x f(x^{2})f^{\prime}(x^{2})\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int f(x^{2})f^{\prime}(x^{2})\mathrm{d}x^{2}=\frac{1}{2}\int f(x^{2})\mathrm{d}f(x^{2})=\frac{1}{4}[f(x^{2})]^{2}+C. $$
402答案 (1) $ \frac{1}{8}x - \frac{1}{32}\sin 4x + C $. (2) $ -\frac{1}{3}\cos^{3}x + \frac{2}{5}\cos^{5}x - \frac{1}{7}\cos^{7}x + C $. ← 题目
(3) $ -\frac{1}{3}\csc^{3}x + \csc x + C $. (4) $ \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{16}\sin 8x + C $.
(1)
$$ \begin{aligned}(i)\int\sin^{2}x\cos^{2}x\mathrm{d}x&=\int\frac{1-\cos2x}{2}\cdot\frac{1+\cos2x}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\int(1-\cos^{2}2x)\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{4}\int\left(1-\frac{1+\cos4x}{2}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{8}\int\left(1-\cos4x\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\int\cos4x\mathrm{d}4x\\&=\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin4x+C.\end{aligned} $$
(2)
$$ \begin{aligned}0\int\sin^{5}x\cdot\cos^{2}x\mathrm{d}x&=\int\sin^{4}x\cdot\cos^{2}x\cdot\sin x\mathrm{d}x=-\int\left(1-\cos^{2}x\right)^{2}\cdot\cos^{2}x\mathrm{d}\cos x\\&=-\int\left(\cos^{2}x-2\cos^{4}x+\cos^{6}x\right)\mathrm{d}\cos x=-\frac{1}{3}\cos^{3}x+\frac{2}{5}\cos^{5}x-\frac{1}{7}\cos^{7}x+C.\end{aligned} $$
(3)
$$ \begin{aligned}\int\cot^{3}x\csc x\mathrm{d}x=&\int\cot^{2}x\cdot\cot x\csc x\mathrm{d}x=-\int\cot^{2}x\cdot(\csc x)^{\prime}\mathrm{d}x\\=&-\int(\csc^{2}x-1)\mathrm{d}\csc x=-\frac{1}{3}\csc^{3}x+\csc x+C.\end{aligned} $$
(4)
$$ \begin{aligned}(\text{Ⅲ )}\int\sin5x\sin3x\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int(\cos2x-\cos8x)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\int\cos2x\mathrm{d}2x-\frac{1}{16}\int\cos8x\mathrm{d}8x\\&=\frac{1}{4}\sin2x-\frac{1}{16}\sin8x+C.\end{aligned} $$
403 答案 (1) $ \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C $. (2) $ \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C $. ← 题目
(1)
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{a^{2}+x^{2}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{a^{2}\left(1+\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)}=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}\mathrm{d}\frac{x}{a}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C. $$
(2)
$$ \int\frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\int\frac{(a+x)+(a-x)}{(a+x)(a-x)}dx=\frac{1}{2a}\int\left(\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x}\right)dx $$
$$ \begin{aligned}=\frac{1}{2a}\left[\int\frac{\mathrm{d}(a+x)}{a+x}-\int\frac{\mathrm{d}(a-x)}{a-x}\right]=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C.\end{aligned} $$
404 答案 (1) $ e^{\tan x} + C $. (2) $ e^{\frac{x + \frac{1}{x}}{x}} + C $. ← 题目
(1) $ \int e^{\tan x} \sec^2 x \, dx = \int e^{\tan x} (\tan x)' \, dx = \int e^{\tan x} \mathrm{d}\tan x = e^{\tan x} + C $.
(2)
$$ \int\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}}\mathrm{d}x=\int\mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}}\left(x+\frac{1}{x}\right)^{\prime}\mathrm{d}x=\int\mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}}\mathrm{d}\left(x+\frac{1}{x}\right)=\mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}}+C. $$
405 答案 (1) $ \arcsin(\ln x) + C $. (2) $ -\frac{1}{1 + \ln \ln x} + C $. (3) $ \arctan(x \ln x) + C $. ← 题目
(1)
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}}=\int\frac{(\ln x)^{\prime}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-\ln^{2}x}}=\int\frac{\mathrm{d}\ln x}{\sqrt{1-\ln^{2}x}}=\arcsin(\ln x)+C. $$
(2)
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x\left(1+\ln\ln x\right)^{2}}=\int\frac{\left(1+\ln\ln x\right)^{\prime}\mathrm{d}x}{\left(1+\ln\ln x\right)^{2}}=\int\frac{\mathrm{d}(1+\ln\ln x)}{\left(1+\ln\ln x\right)^{2}}=-\frac{1}{1+\ln\ln x}+C. $$
(3)
$$ \int\frac{1+\ln x}{1+x^{2}\ln^{2}x}\mathrm{d}x=\int\frac{(x\ln x)^{\prime}}{1+x^{2}\ln^{2}x}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(x\ln x)}{1+(x\ln x)^{2}}=\arctan(x\ln x)+C. $$
406 答案 (1) $ -\frac{1}{\arcsin x} + C $. (2) $ (\arcsin \sqrt{x})^2 + C $. (3) $ -\frac{1}{2}[\arcsin(1-x)]^2 + C $. ← 题目
(1)
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2}}\left(\arcsin x\right)^{2}}=\int\frac{\mathrm{d}(\arcsin x)}{\left(\arcsin x\right)^{2}}=-\frac{1}{\arcsin x}+C. $$
(2)
$$ \begin{aligned}\int\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x&=\int\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\int\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}}\mathrm{d}\sqrt{x}\\&=2\int\arcsin\sqrt{x}\mathrm{d}(\arcsin\sqrt{x})=(\arcsin\sqrt{x})^{2}+C.\end{aligned} $$
(3)
$$ \begin{aligned}\int\frac{\arcsin(1-x)}{\sqrt{2x-x^{2}}}\mathrm{d}x=&\int\frac{\arcsin(1-x)}{\sqrt{1-(1-x)^{2}}}\mathrm{d}x=-\int\arcsin(1-x)[\arcsin(1-x)]^{\prime}\mathrm{d}x\\=&-\int\arcsin(1-x)\mathrm{d}[\arcsin(1-x)]=-\frac{1}{2}[\arcsin(1-x)]^{2}+C.\end{aligned} $$
107 答案 $ 2\arcsin\sqrt{x}+C $，或者 $ \arcsin(2x-1)+C $。 ← 题目
方法一：直接凑微分.
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^{2}}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}}=\int\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\int\frac{\mathrm{d}\sqrt{x}}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}}=2\arcsin\sqrt{x}+C. $$
方法二：先配方，再凑微分.
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^{2}}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}}=\int\frac{2\mathrm{d}x}{\sqrt{1-\left(2x-1\right)^{2}}}=\int\frac{\mathrm{d}(2x-1)}{\sqrt{1-\left(2x-1\right)^{2}}}=\arcsin\left(2x-1\right)+C. $$
评注
同一个不定积分，用不同的方法凑微分，积分结果可能不同
408 答案 $ \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{\sin x}{3}\right)+C $ ← 题目
$$ \int\frac{\cos x}{9+\sin^{2}x}\mathrm{d}x=\int\frac{(\sin x)^{\prime}}{3^{2}+\sin^{2}x}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(\sin x)}{3^{2}+\sin^{2}x}=\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{\sin x}{3}\right)+C. $$
评注
本题利用了公式 $ \int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C $
409 答案 $ \frac{1}{2}\arcsin\frac{2x}{3}+\frac{1}{4}\sqrt{9-4x^{2}}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{1-x}{\sqrt{9-4x^{2}}}\mathrm{d}x=&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{9-4x^{2}}}-\int\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{9-4x^{2}}}=\frac{1}{2}\arcsin\frac{2x}{3}+\frac{1}{8}\int\frac{\mathrm{d}(9-4x^{2})}{\sqrt{9-4x^{2}}}\\ =&\frac{1}{2}\arcsin\frac{2x}{3}+\frac{1}{4}\sqrt{9-4x^{2}}+C.\end{aligned} $$
评注
本题利用了公式 $ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C $
410 答案 $ \frac{3}{2}\sqrt[3]{(\sin x-\cos x)^{2}}+C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}\mathrm{d}x=&\int\frac{(\sin x-\cos x)^{\prime}}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(\sin x-\cos x)}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}\\=&\frac{3}{2}\sqrt[3]{(\sin x-\cos x)^{2}}+C.\end{aligned} $$
411 答案 $ \ln\left|\cos(\sqrt{1-x^{2}})\right|+C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x\tan(\sqrt{1-x^{2}})}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x=&-\int\tan(\sqrt{1-x^{2}})(\sqrt{1-x^{2}})^{\prime}\mathrm{d}x\\=&-\int\tan(\sqrt{1-x^{2}})\mathrm{d}(\sqrt{1-x^{2}})=\ln\left|\cos(\sqrt{1-x^{2}})\right|+C.\end{aligned} $$
评注
本题利用了公式 $ \int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C $.
412 答案 $ \frac{2}{3}\left[\ln(x+\sqrt{1+x^2})+1\right]^{\frac{3}{2}}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\sqrt{\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})+1}{1+x^{2}}}\mathrm{d}x&=\int\sqrt{\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})+1}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\mathrm{d}x\\&=\int\sqrt{\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})+1}\left[\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})+1\right]^{\prime}\mathrm{d}x\\&=\int\sqrt{\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})+1}\mathrm{d}\left[\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})+1\right]=\frac{2}{3}\left[\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})+1\right]^{\frac{3}{2}}+C.\end{aligned} $$
413 答案 $ 2e^{\sqrt{1+\sin x}}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{1+\sin x}}\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}\mathrm{d}x&=\int\mathrm{e}^{\sqrt{1+\sin x}}\cdot\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}\mathrm{d}x=2\int\mathrm{e}^{\sqrt{1+\sin x}}(\sqrt{1+\sin x})^{\prime}\mathrm{d}x\\&=2\int\mathrm{e}^{\sqrt{1+\sin x}}\mathrm{d}\sqrt{1+\sin x}=2\mathrm{e}^{\sqrt{1+\sin x}}+C.\end{aligned} $$
414 答案 $ \frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+\frac{1}{3}(\arctan x)^{3}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x+(\arctan x)^{2}}{1+x^{2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x+\int\frac{(\arctan x)^{2}}{1+x^{2}}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(1+x^{2})}{1+x^{2}}+\int(\arctan x)^{2}\mathrm{d}(\arctan x)=\frac{1}{2}\ln\left(1+x^{2}\right)+\frac{1}{3}(\arctan x)^{3}+C.\end{aligned} $$
415 答案 $ -\frac{1}{2}\cos^{2}x + \frac{1}{2}\ln(1 + \cos^{2}x) + C $. ← 题目
$$ \begin{align*}\int\frac{\sin x\cos^{3}x}{1+\cos^{2}x}\mathrm{d}x=&\int\frac{\cos^{2}x\cdot\sin x\cos x}{1+\cos^{2}x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\int\frac{\cos^{2}x}{1+\cos^{2}x}\mathrm{d}(\cos^{2}x)\\=&-\frac{1}{2}\int\left(1-\frac{1}{1+\cos^{2}x}\right)\mathrm{d}(\cos^{2}x)=-\frac{1}{2}\cos^{2}x+\frac{1}{2}\ln(1+\cos^{2}x)+C.\end{align*} $$
416 答案 $ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sin^{2}x+2\cos^{2}x}=&\int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^{2}x(\tan^{2}x+2)}=\int\frac{\sec^{2}x\mathrm{d}x}{\tan^{2}x+2}\\ =&\int\frac{\mathrm{d}\tan x}{\tan^{2}x+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C\;.\end{aligned} $$
评注
本题用了公式 $ \int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C $
417 答案 $ x - \ln(1 + e^x) + C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{1+\mathrm{e}^{x}}=&\int\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x}\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}=\int\frac{\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x}{1+\mathrm{e}^{-x}}=-\int\frac{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)\mathrm{d}x}{1+\mathrm{e}^{-x}}=-\int\frac{\mathrm{d}(1+\mathrm{e}^{-x})}{1+\mathrm{e}^{-x}}\\=&-\ln\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)+C=-\ln\frac{1+\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}}+C=x-\ln(1+\mathrm{e}^{x})+C\;.\end{aligned} $$
418 答案 $ -\frac{1}{2}\ln^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\ln(x+1)-\ln x}{x(x+1)}\mathrm{d}x=&\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)[\ln(x+1)-\ln x]\mathrm{d}x\\=&-\int[\ln(x+1)-\ln x]\mathrm{d}[\ln(x+1)-\ln x]=-\frac{1}{2}[\ln(x+1)-\ln x]^{2}+C\end{aligned} $$
$$ =-\frac{1}{2}\ln^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)+C. $$
419 答案 $ \ln x - \arctan(\ln x) + C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\ln^{2}x}{x(1+\ln^{2}x)}\mathrm{d}x=&\int\frac{\ln^{2}x}{1+\ln^{2}x}\mathrm{d}\ln x=\int\frac{1+\ln^{2}x-1}{1+\ln^{2}x}\mathrm{d}\ln x\\=&\int\left(1-\frac{1}{1+\ln^{2}x}\right)\mathrm{d}\ln x=\ln x-\int\frac{\mathrm{d}\ln x}{1+\ln^{2}x}=\ln x-\arctan(\ln x)+C.\end{aligned} $$
420 答案 $ \frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{3}(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-1}+C $. ← 题目
$$ \begin{align*}\int\frac{x\mathrm{d}x}{x-\sqrt{x^{2}-1}}=&\int\frac{x(x+\sqrt{x^{2}-1})}{(x-\sqrt{x^{2}-1})(x+\sqrt{x^{2}-1})}\mathrm{d}x=\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\sqrt{x^{2}-1}\mathrm{d}x\\=&\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}\int\sqrt{x^{2}-1}\mathrm{d}(x^{2}-1)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{3}(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-1}+C\;.\end{align*} $$
421 答案 $ -\frac{1}{4}e^{\sin 2x - 2x} + C $. ← 题目
$$ (\sin2x-2x)^{\prime}=2\cos2x-2=-2(1-\cos2x)=-4\sin^{2}x $$
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{e}^{\sin2x}\sin^{2}x}{\mathrm{e}^{2x}}\mathrm{d}x=&\int\mathrm{e}^{\sin2x-2x}\sin^{2}x\mathrm{d}x=-\frac{1}{4}\int\mathrm{e}^{\sin2x-2x}\cdot(\sin2x-2x)^{\prime}\mathrm{d}x\\=&-\frac{1}{4}\int\mathrm{e}^{\sin2x-2x}\cdot\mathrm{d}(\sin2x-2x)=-\frac{1}{4}\mathrm{e}^{\sin2x-2x}+C\;.\end{aligned} $$
422 答案 $ \frac{1}{4}(\text{Intanx})^{2} + C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\ln\tan x}{\sin2x}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int\frac{\ln\tan x}{\sin x\cos x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{\ln\tan x}{\tan x}\frac{1}{\cos^{2}x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{\ln\tan x}{\tan x}\mathrm{d}\tan x\\&=\frac{1}{2}\int\ln\tan x\mathrm{d}(\ln\tan x)=\frac{1}{4}\left(\ln\tan x\right)^{2}+C.\end{aligned} $$
423 答案 $ \frac{1}{1-x\tan x}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x+\sin x\cos x}{(\cos x-x\sin x)^{2}}\mathrm{d}x=&\int\frac{x+\tan x\cos^{2}x}{\cos^{2}x(1-x\tan x)^{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{x\sec^{2}x+\tan x}{(1-x\tan x)^{2}}\mathrm{d}x\\=&\int\frac{\mathrm{d}(x\tan x)}{(1-x\tan x)^{2}}=-\int\frac{\mathrm{d}(1-x\tan x)}{(1-x\tan x)^{2}}=\frac{1}{1-x\tan x}+C\;.\end{aligned} $$
424 答案 $ \ln\left|\frac{e^{\sin x}\cos x}{1+e^{\sin x}\cos x}\right|+C $ ← 题目
因为 $ \left(\mathrm{e}^{\sin x}\cos x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{\sin x}\cdot\cos x\cos x+\mathrm{e}^{\sin x}(-\sin x)=\mathrm{e}^{\sin x}\left(\cos^{2}x-\sin x\right) $，
$$ \begin{aligned} 所以 \int\frac{\cos^{2}x-\sin x}{\cos x(1+\mathrm{e}^{\sin x}\cos x)}\mathrm{d}x=&\int\frac{\mathrm{e}^{\sin x}(\cos^{2}x-\sin x)}{\mathrm{e}^{\sin x}\cos x(1+\mathrm{e}^{\sin x}\cos x)}\mathrm{d}x\\=&\int\frac{(\mathrm{e}^{\sin x}\cos x)^{\prime}}{\mathrm{e}^{\sin x}\cos x(1+\mathrm{e}^{\sin x}\cos x)}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(\mathrm{e}^{\sin x}\cos x)}{\mathrm{e}^{\sin x}\cos x(1+\mathrm{e}^{\sin x}\cos x)}\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}\xlongequal{\mathrm{e}^{\sin x}\cos x=t}\int\frac{1}{t(1+t)}\mathrm{d}t=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right)\mathrm{d}t=\ln\left|\frac{t}{1+t}\right|+C\xlongequal{t=\mathrm{e}^{\sin x}\cos x}\ln\left|\frac{\mathrm{e}^{\sin x}\cos x}{1+\mathrm{e}^{\sin x}\cos x}\right|+C.\end{aligned} $$
425 答案 $ \frac{e^{x}\sin x}{1+\cos x}+C $ ← 题目
因为 $ \left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)^{\prime}=\frac{\cos x\cdot(1+\cos x)-\sin x\cdot(-\sin x)}{(1+\cos x)^{2}}=\frac{1}{1+\cos x} $
$$ \begin{aligned}\int\frac{(1+\sin x)\mathrm{e}^{x}}{1+\cos x}\mathrm{d}x=&\int\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{1+\cos x}\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{d}x\\=&\int\left[\frac{\sin x}{1+\cos x}(\mathrm{e}^{x})^{\prime}+\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)^{\prime}\mathrm{e}^{x}\right]\mathrm{d}x=\int\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{e}^{x}\sin x}{1+\cos x}+C.\end{aligned} $$
426 答案 $ -\frac{1}{2}\ln\sin(1-x^{2})+C $ ← 题目
$$ \int x f(1-x^{2})\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int f(1-x^{2})\mathrm{d}x^{2}=-\frac{1}{2}\int f(1-x^{2})\mathrm{d}(1-x^{2}) $$
$$ \xlongequal{1-x^{2}=u}-\frac{1}{2}\int f(u)d u=-\frac{1}{2}\ln\sin u+C\xlongequal{u=1-x^{2}}-\frac{1}{2}\ln\sin(1-x^{2})+C. $$
427 证明 因为 $ \left(\frac{f(x)}{x}\right)^{\prime}=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}=\frac{f^{\prime}(x)}{x}-\frac{f(x)}{x^{2}} $ ← 题目
$$ \begin{aligned} 所以 \int\frac{xf^{\prime}(x)-(1+x)f(x)}{x^{2}\mathrm{e}^{x}}\mathrm{d}x&=\int\left(\frac{f^{\prime}(x)}{x}-\frac{f(x)}{x^{2}}-\frac{f(x)}{x}\right)\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x\\&=\int\left[\left(\frac{f(x)}{x}\right)^{\prime}\mathrm{e}^{-x}+\frac{f(x)}{x}(\mathrm{e}^{-x})^{\prime}\right]\mathrm{d}x=\int\left(\frac{f(x)}{x}\mathrm{e}^{-x}\right)^{\prime}\mathrm{d}x=\frac{f(x)}{x}\overline{\mathrm{e}}^{-x}+C.\end{aligned} $$
428 答案 $ \frac{1}{5}(\sqrt{4-x^{2}})^{5}-\frac{4}{3}(\sqrt{4-x^{2}})^{3}+C $ ← 题目
令 $ x=2\sin t $， $ -\frac{\pi}{2}\lt t\lt \frac{\pi}{2} $，则 $ \sqrt{4-x^{2}}=2\cos t $， $ dx=2\cos tdt $，428 题 - 图
$$ \begin{aligned}\int x^{3}\sqrt{4-x^{2}}\mathrm{d}x&=\int8\sin^{3}t\cdot2\cos t\cdot2\cos t\mathrm{d}t=32\int\sin^{2}t\cos^{2}t\cdot\sin t\mathrm{d}t\\&=32\int(\cos^{2}t-1)\cos^{2}t\mathrm{d}\cos t=32\int(\cos^{4}t-\cos^{2}t)\mathrm{d}\cos t=\frac{32}{5}\cos^{5}t-\frac{32}{3}\cos^{3}t+C\\&=\frac{1}{5}(\sqrt{4-x^{2}})^{5}-\frac{4}{3}(\sqrt{4-x^{2}})^{3}+C.\end{aligned} $$
评注
(1) 本题也可以作余弦代换 $ x=2\cos t $，或者凑微分.
(2) 在求出关于 $ t $ 的积分后，可根据所作变换 $ x = 2\sin t $ 作辅助直角三角形：以 $ t $ 为锐角，对边为 $ x $，斜边为 2，则邻边为 $ \sqrt{4 - x^2} $，由此求得 $ \cos t = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} $。
429 答案 $ \ln\left|\sqrt{x^{2}+1}+x\right|-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+C $ ← 题目
令 $ x = \tan t $， $ -\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2} $，则 $ \sqrt{x^2 + 1} = \sec t $， $ \mathrm{d}x = \sec^2 t \, \mathrm{d}t $，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{x^{2}\mathrm{d}x}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)^{3}}}&=\int\frac{\tan^{2}t\cdot\sec^{2}t\mathrm{d}t}{\sec^{3}t}=\int\frac{\tan^{2}t}{\sec t}\mathrm{d}t=\int\frac{\sec^{2}t-1}{\sec t}\mathrm{d}t\\&=\int\left(\sec t-\cos t\right)\mathrm{d}t=\ln|\sec t+\tan t|-\sin t+C\\&=\ln\left|\sqrt{x^{2}+1}+x\right|-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+C.\end{aligned} $$
429题-图
430 答案 $ \ln\left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}+C $ ← 题目
令 $ x = a \sec t $， $ 0 \lt t \lt \frac{\pi}{2} $，则 $ \sqrt{x^2 - a^2} = a \tan t $， $ \mathrm{d}x = a \sec t \tan t \mathrm{d}t $，
$$ \begin{aligned}\int\frac{x^{2}\mathrm{d}x}{\sqrt{(x^{2}-a^{2})^{3}}}&=\int\frac{a^{2}\sec^{2}t\cdot a\sec t\tan t}{a^{3}\tan^{3}t}\mathrm{d}t=\int\frac{\sec^{3}t}{\tan^{2}t}\mathrm{d}t=\int\frac{1}{\sin^{2}t\cos t}\mathrm{d}t\\&=\int\frac{\sin^{2}t+\cos^{2}t}{\sin^{2}t\cos t}\mathrm{d}t=\int\frac{1}{\cos t}\mathrm{d}t+\int\frac{\cos t}{\sin^{2}t}\mathrm{d}t=\int\sec t\mathrm{d}t+\int\frac{\mathrm{d}\sin t}{\sin^{2}t}\\&=\ln|\sec t+\tan t|-\frac{1}{\sin t}+C_{1}=\ln\left|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right|-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}+C_{1}\\&=\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}+C\ ,\ 其中 \ C=C_{1}-\ln a\ .\end{aligned} $$
430题-图
431 答案 $ \frac{3}{2}\left(\sqrt[3]{(x+1)^2}-2\sqrt[3]{x+1}+2\ln|1+\sqrt[3]{x+1}|\right)+C $. ← 题目
令 $ \sqrt[3]{x+1}=t $，则 $ x=t^3-1 $， $ dx=3t^2dt $，于是
$$ \begin{align*}\int\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt[3]{x+1}}=&\int\frac{3t^{2}\mathrm{d}t}{1+t}=3\int\frac{(t^{2}-1)+1}{1+t}\mathrm{d}t=3\int\left(t-1+\frac{1}{1+t}\right)\mathrm{d}t\\=&3\left(\frac{1}{2}t^{2}-t+\ln|1+t|\right)+C=\frac{3}{2}\Big(\sqrt[3]{(x+1)^{2}}-2\sqrt[3]{x+1}+2\ln|1+\sqrt[3]{x+1}|\Big)+C\;.\end{align*} $$
432 答案 $ 3\sqrt[3]{x}-6\sqrt[6]{x}+6\ln\left|1+\sqrt[6]{x}\right|+C $. ← 题目
令 $ \sqrt[6]{x}=t(t\gt 0) $，则 $ x=t^{6} $， $ \mathrm{d}x=6t^{5}\mathrm{d}t $，于是
$$ \begin{align*}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^{2}}}&=\int\frac{6t^{5}}{t^{3}+t^{4}}\mathrm{d}t=6\int\frac{t^{2}}{1+t}\mathrm{d}t=6\int\frac{(t^{2}-1)+1}{1+t}\mathrm{d}t\\&=6\int\left(t-1+\frac{1}{1+t}\right)\mathrm{d}t=6\left(\frac{1}{2}t^{2}-t+\ln|1+t|\right)+C=3\sqrt[3]{x}-6\sqrt[6]{x}+6\ln|1+\sqrt[5]{x}|+C.\end{align*} $$
433 答案 $ \ln\left|\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}}{\sqrt{x-1}-\sqrt{5-x}}\right|-2\arctan\sqrt{\frac{5-x}{x-1}}+C $ ← 题目
令 $ \sqrt{\frac{5-x}{x-1}}=t(t\gt 0) $，则 $ x=1+\frac{4}{1+t^{2}} $， $ \mathrm{d}x=-\frac{8t}{(1+t^{2})^{2}}\mathrm{d}t $，于是
$ \int\frac{1}{3-x}\sqrt{\frac{5-x}{x-1}}\mathrm{d}x=\int\frac{1+t^{2}}{2(t^{2}-1)}\cdot t\cdot\frac{-8t}{(t^{2}+1)^{2}}\mathrm{d}t=4\int\frac{t^{2}}{(1-t^{2})(1+t^{2})}\mathrm{d}t $
$ =2\int\left(\frac{1}{1-t^{2}}-\frac{1}{1+t^{2}}\right)\mathrm{d}t=\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|-2\arctan t+C=\ln\left|\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}}{\sqrt{x-1}-\sqrt{5-x}}\right|-2\arctan\sqrt{\frac{5-x}{x-1}}+C. $
评注
本题用到了 $ \int\frac{1}{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C $
434 答案 $ \ln(1+e^x)-e^{-x}-x+C $. ← 题目
令 $ e^x = t $，则 $ x = \ln t $， $ dx = \frac{1}{t} dt $，于是
$$ \begin{align*}\int\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2x}}=&\int\frac{1}{t+t^{2}}\cdot\frac{1}{t}\mathrm{d}t=\int\frac{t^{2}+(1-t^{2})}{t^{2}(1+t)}\mathrm{d}t=\int\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t}\right)\mathrm{d}t\\=&\ln(1+t)-\frac{1}{t}-\ln t+C=\ln(1+\mathrm{e}^{x})-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}-\ln\mathrm{e}^{x}+C=\ln(1+\mathrm{e}^{x})-\mathrm{e}^{-x}-x+C\;.\end{align*} $$
435 答案 $ \ln\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}+C $ ← 题目
令 $ \sqrt{e^x + 1} = t $，则 $ x = \ln(t^2 - 1) $， $ \mathrm{d}x = \frac{2t}{t^2 - 1} \mathrm{d}t $，于是
$$ \int\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\sqrt{\mathbf{e}^{x}+1}}=\int\frac{1}{t}\cdot\frac{2t}{t^{2}-1}\mathrm{d}t=2\int\frac{1}{t^{2}-1}\mathrm{d}t=\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\ln\frac{\sqrt{\mathbf{e}^{x}+1}-1}{\sqrt{\mathbf{e}^{x}+1}+1}+C. $$
评注
本题用到了 $ \int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C $
436 答案: $ \ln |x| - \frac{1}{6}\ln(x^6 + 1) + C $. ← 题目
令 $ \frac{1}{x}=t $，则 $ x=\frac{1}{t} $， $ \mathrm{d}x=-\frac{1}{t^{2}}\mathrm{d}t $，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{x(x^{6}+1)}=&\int\frac{t}{\frac{1}{t^{6}}+1}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)\mathrm{d}t=-\int\frac{t^{3}}{1+t^{6}}\mathrm{~d}t=-\frac{1}{6}\int\frac{\mathrm{d}(1+t^{6})}{1+t^{6}}\\=&-\frac{1}{6}\ln|1+t^{6}|+C=-\frac{1}{6}\ln|1+\frac{1}{x^{6}}|+C=\ln|x|-\frac{1}{6}\ln(x^{6}+1)+C.\end{aligned} $$
评注
本题也可以用凑微分法.
437 答案 $ \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}-\frac{1}{3x^{3}}\sqrt{(1+x^{2})^{3}}+C $ ← 题目
令 $ \frac{1}{x}=t $，则 $ x=\frac{1}{t} $， $ dx=-\frac{1}{t^{2}}dt $，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{x^{4}\sqrt{x^{2}+1}}=&\int\frac{t^{4}}{\sqrt{\frac{1}{t^{2}}+1}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)\mathrm{d}t=-\int\frac{t^{3}}{\sqrt{1+t^{2}}}\mathrm{d}t=-\frac{1}{2}\int\frac{t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}\mathrm{d}t^{2}\\=&-\frac{1}{2}\int\frac{1+t^{2}-1}{\sqrt{1+t^{2}}}\mathrm{d}t^{2}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}-\sqrt{1+t^{2}}\right)\mathrm{d}(1+t^{2})\\=&\sqrt{1+t^{2}}-\frac{1}{3}\sqrt{(1+t^{2})^{3}}+C=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}-\frac{1}{3x^{3}}\sqrt{(1+x^{2})^{3}}+C.\end{aligned} $$
评注
本题也可以作三角代换
438 答案 $ \ln|x + \ln x| + C $ ← 题目
令 $ \ln x = t $，则 $ x = e^t $， $ \mathrm{d}x = e^t \mathrm{d}t $，于是
$$ \int\frac{1+x}{x^{2}+x\ln x}\mathrm{d}x=\int\frac{1+\mathfrak{e}^{t}}{\mathfrak{e}^{2t}+t\mathfrak{e}^{t}}\mathfrak{e}^{t}\mathrm{d}t=\int\frac{1+\mathfrak{e}^{t}}{\mathfrak{e}^{t}+t}\mathrm{d}t=\int\frac{\mathrm{d}(\mathfrak{e}^{t}+t)}{\mathfrak{e}^{t}+t}=\ln|\mathfrak{e}^{t}+t|+C=\ln|x+\ln x|+C. $$
439 答案 $ \frac{1}{2}\left[\arcsin(x-1)+(x-1)\sqrt{2x-x^{2}}\right]+C $ ← 题目
令 $ x-1=\sin t $，则 $ \sqrt{2x-x^{2}}=\cos t $， $ dx=\cos tdt $，则
$$ \begin{aligned}\int\sqrt{2x-x^{2}}\mathrm{d}x&=\int\sqrt{1-(x-1)^{2}}\mathrm{d}x=\int\cos^{2}t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int(1+\cos2t)\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin2t+C=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sin t\cos t+C\\&=\frac{1}{2}\Big[\arcsin(x-1)+(x-1)\sqrt{2x-x^{2}}\Big]+C\;.\end{aligned} $$
439题-图
440 答案 $ -\ln|\sqrt{1+e^{-2x}}+e^{-x}|+C $. ← 题目
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2x}}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x}\sqrt{1+\mathrm{e}^{-2x}}}=-\int\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{1+(\mathrm{e}^{-x})^{2}}} $$
令 $ e^{-x} = \tan t $，则 $ \sqrt{1 + (e^{-x})^2} = \sec t $， $ de^{-x} = d\tan t = sec^2 tdt $，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2x}}}&=-\int\frac{\sec^{2}t\mathrm{d}t}{\sec t}=-\int\sec t\mathrm{d}t=-\ln|\sec t+\tan t|+C\\&=-\ln|\sqrt{1+\mathrm{e}^{-2x}}+\mathrm{e}^{-x}|+C.\end{aligned} $$
441 答案 $ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)+C $ ← 题目
令 $ x = \sin t $， $ -\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2} $，则 $ \sqrt{1 - x^2} = \cos t $， $ dx = \cos t dt $，则
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{\left(1+x^{2}\right)\sqrt{1-x^{2}}}=&\int\frac{\cos t\mathrm{d}t}{\left(1+\sin^{2}t\right)\cos t}=\int\frac{\mathrm{d}t}{1+\sin^{2}t}=\int\frac{\sec^{2}t\mathrm{d}t}{\sec^{2}t+\tan^{2}t}=\int\frac{\mathrm{d t}\tan t}{1+2\tan^{2}t}\\ =&\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\mathrm{d}(\sqrt{2}\mathrm{t}\mathrm{a n t})}{1+(\sqrt{2}\tan t)^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}\mathrm{t}\mathrm{a n t}\right)+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)+C.\end{aligned} $$
442 答案 (1) $ \frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+C $ . (2) $ x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C $ ← 题目
(3) $ (-x^{2}+x+2)\cos x+(2x-1)\sin x+C $
(1)
$$ \int x\mathrm{e}^{2x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int x\mathrm{d}(\mathrm{e}^{2x})=\frac{1}{2}(x\mathrm{e}^{2x}-\int\mathrm{e}^{2x}\mathrm{d}x)=\frac{1}{2}x\mathrm{e}^{2x}-\frac{1}{4}\mathrm{e}^{2x}+C. $$
(2)
$$ \begin{aligned}\int x^{2}\cos x\mathrm{d}x&=\int x^{2}\mathrm{d}(\sin x)=x^{2}\sin x-2\int x\sin x\mathrm{d}x=x^{2}\sin x+2\int x\mathrm{d}(\cos x)\\&=x^{2}\sin x+2x\cos x-2\int\cos x\mathrm{d}x=x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C.\end{aligned} $$
(3)
$$ \begin{aligned}\int(x^{2}-x)\sin x\mathrm{d}x&=-\int(x^{2}-x)\mathrm{d}\cos x=-(x^{2}-x)\cos x+\int(2x-1)\cos x\mathrm{d}x\\&=-(x^{2}-x)\cos x+\int(2x-1)\mathrm{d}\sin x=-(x^{2}-x)\cos x+(2x-1)\sin x-\int2\sin x\mathrm{d}x\\&=(-x^{2}+x+2)\cos x+(2x-1)\sin x+C.\end{aligned} $$
443 答案 (1) $ -x\cot x + \ln|\sin x| + C $. (2) $ x\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) - \sqrt{x^2 + 1} + C $. ← 题目
$$ (3)x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C. $$
(1)
$$ \begin{aligned}\int\frac{x}{\sin^{2}x}\mathrm{d}x=&\int x\csc^{2}x\mathrm{d}x=-\int x\mathrm{d}\cot x=-x\cot x+\int\cot x\mathrm{d}x\\=&-x\cot x+\ln|\sin x|+C.\end{aligned} $$
(2)
$$ \begin{aligned}\int\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\mathrm{d}x&=x\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})-\int x\cdot\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\cdot\left(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\right)\mathrm{d}x\\&=x\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})-\int\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}+1}}=x\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(x^{2}+1)}{\sqrt{x^{2}+1}}\\&=x\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})-\sqrt{x^{2}+1}+C.\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}(3)\ \int\arctan x\mathrm{d}x&=x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x=x\arctan x-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(1+x^{2})}{1+x^{2}}\\&=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C.\end{aligned} $$
44答案 (1) $ \frac{1}{2}(\sin x - \cos x)e^{-x} + C $. (2) $ -x\cot x + \ln|\sin x| - \frac{1}{2}x^2 + C $. ← 题目
$$ x\cos x\ln x+\sin x-(1+\sin x)\ln x+C_{1} $$
(1)
$$ \begin{aligned}\int\mathrm{e}^{-x}\cos x\mathrm{d}x&=-\int\cos x\mathrm{d}\mathrm{e}^{-x}=-\mathrm{e}^{-x}\cos x+\int\mathrm{e}^{-x}(-\sin x)\mathrm{d}x\\&=-\mathrm{e}^{-x}\cos x+\int\sin x\mathrm{d}\mathrm{e}^{-x}=-\mathrm{e}^{-x}\cos x+\mathrm{e}^{-x}\sin x-\int\mathrm{e}^{-x}\cos x\mathrm{d}x\text{,}\end{aligned} $$
$$ \int\mathrm{e}^{-x}\cos x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)\mathrm{e}^{-x}+C. $$
(2)
$$ \begin{align*}\int x\cot^{2}x\mathrm{d}x=&\int x(\csc^{2}x-1)\mathrm{d}x=\int x\csc^{2}x\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x=-\int x\mathrm{d}\cot x-\frac{1}{2}x^{2}\\=&-x\cot x+\int\cot x\mathrm{d}x-\frac{1}{2}x^{2}=-x\cot x+\ln|\sin x|-\frac{1}{2}x^{2}+C\;.\end{align*} $$
(3) 依题意， $ f(x)=\left[(1+\sin x)\ln x+C\right]^{\prime}=\cos x\ln x+\frac{1+\sin x}{x} $，故
$$ \int x f^{\prime}(x)\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}f(x)=x f(x)-\int f(x)\mathrm{d}x=x\cos x\ln x+\sin x-(1+\sin x)\ln x+C_{1}, $$
其中 $ C_{1}=1-C $
445 答案 $ \frac{1}{2}x^{2}\ln(x+1)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C $ ← 题目
$$ \begin{align*}\int x\ln(x+1)\mathrm{d}x=&\int\ln(x+1)\mathrm{d}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{x^{2}}{2}\ln(x+1)-\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}}{x+1}\mathrm{d}x\\=&\frac{x^{2}}{2}\ln(x+1)-\frac{1}{2}\int\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^{2}\ln(x+1)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C.\end{align*} $$
446 答案 $ (x+1)\arcsin(x+1)+\sqrt{-x^{2}-2x}+C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\arcsin(x+1)\mathrm{d}x&\xlongequal{x+1=t}\int\arcsin t\mathrm{d}t=t\arcsin t-\int t\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\mathrm{d}t\\&=t\arcsin t+\int\frac{\mathrm{d}(1-t^{2})}{2\sqrt{1-t^{2}}}=t\arcsin t+\sqrt{1-t^{2}}+C\\&\xlongequal{t=x+1}(x+1)\arcsin(x+1)+\sqrt{-x^{2}-2x}+C.\end{aligned} $$
447 答案 $ -\frac{1}{2}x\cot^{2}x - \frac{1}{2}\cot x - \frac{1}{2}x + C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x\cot x}{\sin^{2}x}\mathrm{d}x=&\int x\cot x\csc^{2}x\mathrm{d}x=-\int x\cot x\mathrm{d}\cot x=-\frac{1}{2}\int x\mathrm{d}\cot^{2}x\\=&-\frac{1}{2}x\cot^{2}x+\frac{1}{2}\int\cot^{2}x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}x\cot^{2}x+\frac{1}{2}\int(\csc^{2}x-1)\mathrm{d}x\\=&-\frac{1}{2}x\cot^{2}x-\frac{1}{2}\cot x-\frac{1}{2}x+C\;.\end{aligned} $$
448 答案 $ -\frac{x}{8}\csc^{2}\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\cot\frac{x}{2}+C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x\cos^{4}\frac{x}{2}}{\sin^{3}x}\mathrm{d}x&=\int\frac{x\cos^{4}\frac{x}{2}}{\left(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right)^{3}}\mathrm{d}x=\int\frac{x\cos\frac{x}{2}}{8\sin^{3}\frac{x}{2}}\mathrm{d}x=-\frac{1}{8}\int x\mathrm{d}\frac{1}{\sin^{2}\frac{x}{2}}\\&=-\frac{x}{8}\frac{1}{\sin^{2}\frac{x}{2}}+\frac{1}{8}\int\frac{1}{\sin^{2}\frac{x}{2}}\mathrm{d}x=-\frac{x}{8}\csc^{2}\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\int\csc^{2}\frac{x}{2}\mathrm{d}\frac{x}{2}=-\frac{x}{8}\csc^{2}\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\cot\frac{x}{2}+C.\end{aligned} $$
449 答案 $ -\ln(\sin x) \cdot \cot x - \cot x - x + C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\ln(\sin x)}{\sin^{2}x}\mathrm{d}x&=\int\ln(\sin x)\cdot\csc^{2}x\mathrm{d}x=-\int\ln(\sin x)\mathrm{d}\cot x\\&=-\ln(\sin x)\cdot\cot x+\int\cot x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}\mathrm{d}x=-\ln(\sin x)\cdot\cot x+\int\cot^{2}x\mathrm{d}x\\&=-\ln(\sin x)\cdot\cot x+\int(\csc^{2}x-1)\mathrm{d}x=-\ln(\sin x)\cdot\cot x-\cot x-x+C.\end{aligned} $$
$ \frac{1}{3}(x^{2}-2)\sqrt{1+x^{2}}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}\mathrm{d}x=&\int x^{2}\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\mathrm{d}x=\int x^{2}\mathrm{d}\sqrt{1+x^{2}}=x^{2}\sqrt{1+x^{2}}-\int\sqrt{1+x^{2}}\mathrm{d}x^{2}\\ &=x^{2}\sqrt{1+x^{2}}-\int\sqrt{1+x^{2}}\mathrm{d}(1+x^{2})=x^{2}\sqrt{1+x^{2}}-\frac{2}{3}(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}+C\\ &=\frac{1}{3}(x^{2}-2)\sqrt{1+x^{2}}+C.\end{aligned} $$
评注
本题也可以用三角代换方法解答
451 答案 $ \frac{1}{13}(2\sin 3x - 3\cos 3x)e^{2x} + C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\mathrm{e}^{2x}\sin3x\mathrm{d}x=&\frac{1}{2}\int\sin3x\mathrm{d}\mathrm{e}^{2x}=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\sin3x-\frac{3}{2}\int\mathrm{e}^{2x}\cos3x\mathrm{d}x\\=&\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\sin3x-\frac{3}{4}\int\cos3x\mathrm{d}\mathrm{e}^{2x}=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\sin3x-\frac{3}{4}\mathrm{e}^{2x}\cos3x-\frac{9}{4}\int\mathrm{e}^{2x}\sin3x\mathrm{d}x\;,\end{aligned} $$
故 $ \int e^{2x} \sin 3x \, dx = \frac{1}{13} (2 \sin 3x - 3 \cos 3x) e^{2x} + C $.
452答案 $ \frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{1}{2}a^{2}\ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}})+C $ ← 题目
$$ \begin{align*}\int\sqrt{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x&=x\sqrt{x^{2}+a^{2}}-\int x\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\mathrm{d}x\\&=x\sqrt{x^{2}+a^{2}}-\int\frac{x^{2}+a^{2}-a^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\mathrm{d}x=x\sqrt{x^{2}+a^{2}}-\int\sqrt{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x+a^{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\mathrm{d}x,\end{align*} $$
$$ \begin{aligned}\int\sqrt{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{1}{2}a^{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{1}{2}a^{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right|+C.\end{aligned} $$
评注
本题用到公式 $ \int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx=\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+C $。同样，也可以用三角代换解答。
453 答案 $ \frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{1}{2}a^{2}\arcsin\frac{x}{a}+C $ ← 题目
$$ \begin{align*}\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}\mathrm{d}x&=x\sqrt{a^{2}-x^{2}}-\int x\frac{-x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\mathrm{d}x\\&=x\sqrt{a^{2}-x^{2}}-\int\frac{a^{2}-x^{2}-a^{2}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\mathrm{d}x=x\sqrt{a^{2}-x^{2}}-\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}\mathrm{d}x+a^{2}\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\mathrm{d}x,\end{align*} $$
$$ 故 \int\sqrt{a^{2}-x^{2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{1}{2}a^{2}\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{1}{2}a^{2}\arcsin\frac{x}{a}+C. $$
评注
注 本题用到公式 $ \int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C $。同样，也可以用三角代换解答。
454 答案 $ \frac{1}{4}(2x^{2}-1)\arcsin x+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^{2}}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int x\arcsin x\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int\arcsin x\mathrm{d}x^{2}=\frac{1}{2}x^{2}\arcsin x-\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}x^{2}\arcsin x+\frac{1}{4}\int\frac{x\mathrm{d}(1-x^{2})}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1}{2}x^{2}\arcsin x+\frac{1}{2}\int x\mathrm{d}\sqrt{1-x^{2}}\\&=\frac{1}{2}x^{2}\arcsin x+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{2}\int\sqrt{1-x^{2}}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}x^{2}\arcsin x+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2}\arcsin x\right)+C\\&=\frac{1}{4}(2x^{2}-1)\arcsin x+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^{2}}+C\;.\end{aligned} $$
评注
本题用到结果 $ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2}\arcsin x+C $
455 答案 $ \frac{1}{2}\ln\frac{x^{2}}{1+x^{2}}-\frac{1}{x}\arctan x+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{1}{x^{2}}\arctan x\mathrm{d}x=&\int\arctan x\mathrm{d}\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}\arctan x+\int\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x\\=&-\frac{1}{x}\arctan x+\int\frac{1+x^{2}-x^{2}}{x(1+x^{2})}\mathrm{d}x=-\frac{1}{x}\arctan x+\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x-\int\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x\\=&-\frac{1}{x}\arctan x+\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C=\frac{1}{2}\ln\frac{x^{2}}{1+x^{2}}-\frac{1}{x}\arctan x+C.\end{aligned} $$
456 答案 $ \frac{(1+x)\ln(1+x)}{3(2-x)}+\frac{1}{3}\ln|x-2|+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\ln(1+x)}{(2-x)^{2}}\mathrm{d}x&=\int\ln(1+x)\mathrm{d}\frac{1}{2-x}=\ln(1+x)\cdot\frac{1}{2-x}-\int\frac{1}{2-x}\cdot\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x\\&=\frac{\ln(1+x)}{2-x}-\frac{1}{3}\int\left(\frac{1}{2-x}+\frac{1}{1+x}\right)\mathrm{d}x=\frac{\ln(1+x)}{2-x}+\frac{1}{3}\int\frac{1}{x-2}\mathrm{d}(x-2)-\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}\mathrm{d}(1+x)\\&=\frac{\ln(1+x)}{2-x}+\frac{1}{3}\ln|x-2|-\frac{1}{3}\ln(1+x)+C=\frac{(1+x)\ln(1+x)}{3(2-x)}+\frac{1}{3}\ln|x-2|+C.\end{aligned} $$
457 答案 $ 2(x-2)\sqrt{e^x-1}+4\arctan\sqrt{e^x-1}+C $. ← 题目
令 $ \sqrt{e^x - 1} = t $，则 $ x = \ln(t^2 + 1) $， $ \mathrm{d}x = \frac{2t}{t^2 + 1} \mathrm{d}t $，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{x\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}\mathrm{d}x=&\int\frac{(t^{2}+1)\ln(t^{2}+1)}{t}\cdot\frac{2t}{t^{2}+1}\mathrm{d}t=2\int\ln(t^{2}+1)\mathrm{d}t\\=&2t\ln(t^{2}+1)-2\int t\cdot\frac{2t}{t^{2}+1}\mathrm{d}t=2t\ln(t^{2}+1)-4\int\left(1-\frac{1}{t^{2}+1}\right)\mathrm{d}t\\=&2t\ln(t^{2}+1)-4t+4\arctan t+C=2(x-2)\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}+4\arctan\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}\end{aligned} $$
458 答案 $ 2(\ln x - 2)\sqrt{1 + x} - 2\ln\left|\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sqrt{1 + x} + 1}\right| + C $. ← 题目
令 $ \sqrt{1+x}=t $，则 $ x=t^{2}-1 $，dx=2tdt，于是
$$ \begin{align*}\int\frac{\ln x}{\sqrt{1+x}}\mathrm{d}x&=\int\frac{\ln(t^{2}-1)}{t}\cdot2t\mathrm{d}t=2\int\ln(t^{2}-1)\mathrm{d}t=2t\ln(t^{2}-1)-2\int t\cdot\frac{2t}{t^{2}-1}\mathrm{d}t\\&=2t\ln(t^{2}-1)-4\int\left(1+\frac{1}{t^{2}-1}\right)\mathrm{d}t=2t\ln(t^{2}-1)-4t-2\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C\\&=2(\ln x-2)\sqrt{1+x}-2\ln\left|\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}\right|+C.\end{align*} $$
459 答案 $ (x+1)\arctan\sqrt{x}-\sqrt{x}+C $ ← 题目
令 $ \sqrt{x}=t $，则 $ x=t^{2} $，于是
$$ \begin{aligned}\int\arctan\sqrt{x}\mathrm{d}x&=\int\arctan t\mathrm{d}t^{2}=t^{2}\arctan t-\int t^{2}\frac{1}{1+t^{2}}\mathrm{d}t=t^{2}\arctan t-\int\left(1-\frac{1}{1+t^{2}}\right)\mathrm{d}t\\&=t^{2}\arctan t-t+\arctan t+C=(t^{2}+1)\arctan t-t+C=(x+1)\arctan\sqrt{x}-\sqrt{x}+C.\end{aligned} $$
460 答案 $ \frac{x-2}{x+2}e^{x}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x^{2}\mathbf{e}^{x}}{(x+2)^{2}}\mathrm{d}x&=-\int x^{2}\mathbf{e}^{x}\mathrm{d}\frac{1}{x+2}=-\frac{x^{2}\mathbf{e}^{x}}{x+2}+\int\frac{1}{x+2}(x+2)x\mathbf{e}^{x}\mathrm{d}x\\&=-\frac{x^{2}\mathbf{e}^{x}}{x+2}+\int x\mathbf{e}^{x}\mathrm{d}x=-\frac{x^{2}\mathbf{e}^{x}}{x+2}+\int x\mathrm{d}\mathbf{e}^{x}=-\frac{x^{2}\mathbf{e}^{x}}{x+2}+x\mathbf{e}^{x}-\int\mathbf{e}^{x}\mathrm{d}x\\&=-\frac{x^{2}\mathbf{e}^{x}}{x+2}+x\mathbf{e}^{x}-\mathbf{e}^{x}+C=\frac{x-2}{x+2}\mathbf{e}^{x}+C\;.\end{aligned} $$
461 答案 $ -\frac{\cos x}{1+x}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{(1+x)\sin x+\cos x}{(1+x)^{2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sin x}{1+x}\mathrm{d}x+\int\frac{\cos x}{(1+x)^{2}}\mathrm{d}x\\=\int\frac{\sin x}{1+x}\mathrm{d}x-\int\cos x\mathrm{d}\frac{1}{1+x}&=\int\frac{\sin x}{1+x}\mathrm{d}x-\frac{\cos x}{1+x}-\int\frac{\sin x}{1+x}\mathrm{d}x=-\frac{\cos x}{1+x}+C.\end{aligned} $$
462 答案 $ \frac{x}{2}[\cos(\ln x)+\sin(\ln x)]+C $ ← 题目
令 $ e^x = t $，则 $ x = \ln t $， $ f'(t) = \cos(\ln t) $，从而
$$ \begin{align*}f(t)&=\int\cos(\ln t)\ \mathrm{d}t=t\cos(\ln t)+\int t\sin(\ln t)\cdot\frac{1}{t}\mathrm{d}t=t\cos(\ln t)+\int\sin(\ln t)\ \mathrm{d}t\\&=t\cos(\ln t)+t\sin(\ln t)-\int t\cos(\ln t)\cdot\frac{1}{t}\mathrm{d}t=t\cos(\ln t)+t\sin(\ln t)-\int\cos(\ln t)\ \mathrm{d}t\ ,\end{align*} $$
于是 $ f(t)=\frac{t}{2}[(\cos(\ln t)+\sin(\ln t)]+C $，即 $ f(x)=\frac{x}{2}[\cos(\ln x)+\sin(\ln x)]+C $。
$$ \begin{aligned}463\ 证明 \quad I_{n}&=\int\sec^{n}x\mathrm{d}x=\int\sec^{n-2}x\cdot\sec^{2}x\mathrm{d}x=\int\sec^{n-2}x\mathrm{d}\tan x\\&=\sec^{n-2}x\tan x-\int\tan x\cdot(n-2)\sec^{n-3}x\cdot\sec x\tan x\mathrm{d}x\\&=\sec^{n-2}x\tan x-(n-2)\int\tan^{2}x\cdot\sec^{n-2}x\mathrm{d}x\\&=\sec^{n-2}x\tan x-(n-2)\int\left(\sec^{2}x-1\right)\cdot\sec^{n-2}x\mathrm{d}x\end{aligned} $$ ← 题目
$$ \begin{align*}&=\sec^{n-2}x\tan x-(n-2)\int\sec^{n}x\mathrm{d}x+(n-2)\int\sec^{n-2}x\mathrm{d}x\\&=\sec^{n-2}x\tan x-(n-2)I_{n}+(n-2)I_{n-2},\end{align*} $$
移项，解得 $ I_{n}=\frac{\sin x}{(n-1)\cos^{n-1}x}+\frac{n-2}{n-1}I_{n-2} $
464 答案 $ \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C $ ← 题目
$$ \begin{align*}\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\mathrm{d}x=&\int\frac{x(x^{2}+1)-x}{x^{2}+1}\mathrm{d}x=\int\left(x-\frac{x}{x^{2}+1}\right)\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}x-\int\frac{x}{x^{2}+1}\mathrm{d}x\\=&\int x\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(x^{2}+1)}{x^{2}+1}=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C\;.\end{align*} $$
465 答案 $ \frac{14}{5}\ln|x+4|+\frac{1}{5}\ln|x-1|+C $ ← 题目
设 $ \frac{3x-2}{x^{2}+3x-4}=\frac{3x-2}{(x+4)(x-1)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-1} $，则
$$ 3x-2=A(x-1)+B(x+4)=(A+B)x+(4B-A) $$
故 $ \{\begin{aligned}&A+B=3\\&4B-A=-2\end{aligned}. $，解得 $ A=\frac{14}{5} $， $ B=\frac{1}{5} $，于是
$$ \int\frac{3x-2}{x^{2}+3x-4}\mathrm{d}x=\frac{14}{5}\int\frac{1}{x+4}\mathrm{d}x+\frac{1}{5}\int\frac{1}{x-1}\mathrm{d}x=\frac{14}{5}\ln|x+4|+\frac{1}{5}\ln|x-1|+C. $$
466 答案 $ -\ln|x+1|+\frac{4}{5}\ln|x-3|+\frac{11}{5}\ln|x+2|+C $. ← 题目
设 $ \frac{2x^{2}-x+1}{(x+1)(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x+2} $，则
$$ 2x^{2}-x+1=A(x-3)(x+2)+B(x+1)(x+2)+C(x+1)(x-3) $$
分别令 x = -1, -2, 3，可求得 A = -1， $ C = \frac{11}{5} $， $ B = \frac{4}{5} $。于是
$$ \begin{aligned}&\int\frac{2x^{2}-x+1}{(x+1)(x-3)(x+2)}\mathrm{d}x=-\int\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x+\frac{4}{5}\int\frac{1}{x-3}\mathrm{d}x+\frac{11}{5}\int\frac{1}{x+2}\mathrm{d}x\\ &=-\ln|x+1|+\frac{4}{5}\ln|x-3|+\frac{11}{5}\ln|x+2|+C.\\ \end{aligned} $$
467 答案 $ \ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}+C $ ← 题目
设 $ \frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} $，则 $ 1=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx $，
分别令x=1，0，2，可求得C=1，A=1，B=-1．于是
$$ \int\frac{1}{x(x-1)^{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x-\int\frac{1}{x-1}\mathrm{d}x+\int\frac{1}{(x-1)^{2}}\mathrm{d}x=\ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}+C\;. $$
468 答案 $ \frac{1}{2}\ln|x^{2}-1|+\frac{1}{x+1}+C $ ← 题目
设 $ \frac{x^{2}+1}{(x+1)(x^{2}-1)}=\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x+1)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}} $，则 $ x^{2}+1=A(x+1)^{2}+B(x-1)(x+1)+C(x-1) $，
令x=-1，1，0，得C=-1， $ A=\frac{1}{2} $， $ B=\frac{1}{2} $，于是
$$ \int\frac{x^{2}+1}{\left(x+1\right)^{2}\left(x-1\right)}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x-\int\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln\left|x^{2}-1\right|+\frac{1}{x+1}+C. $$
469 答案 $ \frac{2}{5}\ln|1+2x|-\frac{1}{5}\ln(1+x^{2})+\frac{1}{5}\arctan x+C $ ← 题目
设 $ \frac{1}{(x^{2}+1)(1+2x)}=\frac{A}{1+2x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1} $，则
$$ 1=A(x^{2}+1)+(Bx+C)(1+2x)=(A+2B)x^{2}+(B+2C)x+A+C, $$
故 $ \{\begin{aligned}&A+2B=0\\&B+2C=0\\&A+C=1\end{aligned}. $，解得 $ A=\frac{4}{5} $， $ B=-\frac{2}{5} $， $ C=\frac{1}{5} $，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{(x^{2}+1)(1+2x)}=&\frac{4}{5}\int\frac{\mathrm{d}x}{1+2x}+\frac{1}{5}\int\frac{-2x+1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x=\frac{2}{5}\int\frac{\mathrm{d}(1+2x)}{1+2x}-\frac{1}{5}\int\frac{\mathrm{d}(1+x^{2})}{1+x^{2}}+\frac{1}{5}\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^{2}}\\=&\frac{2}{5}\ln|1+2x|-\frac{1}{5}\ln(1+x^{2})+\frac{1}{5}\arctan x+C\;.\end{aligned} $$
470 答案 $ \frac{3}{2}\ln(x^{2}+2x+5)-\arctan\frac{x+1}{2}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{3x+1}{x^{2}+2x+5}\mathrm{d}x&=\int\frac{\frac{3}{2}(2x+2)-2}{x^{2}+2x+5}\mathrm{d}x=\frac{3}{2}\int\frac{\mathrm{d}(x^{2}+2x+5)}{x^{2}+2x+5}-2\int\frac{\mathrm{d}x}{4+(x+1)^{2}}\\&=\frac{3}{2}\ln(x^{2}+2x+5)-\int\frac{\mathrm{d}\frac{x+1}{2}}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2}}=\frac{3}{2}\ln(x^{2}+2x+5)-\arctan\frac{x+1}{2}+C.\end{aligned} $$
471 答案 $ \frac{1}{16}\arctan\frac{x+1}{2}+\frac{x+1}{8(x^{2}+2x+5)}+C $ ← 题目
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\left(x^{2}+2x+5\right)^{2}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\left[\left(x+1\right)^{2}+4\right]^{2}}=\frac{1}{8}\int\frac{1}{\left[1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2}\right]^{2}}\mathrm{d}\frac{x+1}{2} $$
$$ \frac{\frac{x+1}{2}-\tan t}{8}\frac{1}{8}\int\frac{\sec^{2}t}{\sec^{4}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{8}\int\cos^{2}t\mathrm{d}t=\frac{1}{16}\int(1+\cos2t)\mathrm{d}t=\frac{1}{16}\left(t+\frac{1}{2}\sin2t\right)+C $$
$$ \begin{aligned}=&\frac{1}{16}\Biggl(t+\frac{\tan t}{\sec^{2}t}\Biggr)+C\xlongequal{t=\arctan\frac{x+1}{2}}\frac{1}{16}\left(\arctan\frac{x+1}{2}+\frac{-\frac{x+1}{2}}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2}}\right)+C\\=&\frac{1}{16}\arctan\frac{x+1}{2}+\frac{x+1}{8(x^{2}+2x+5)}+C.\end{aligned} $$
472 答案 $ \frac{1}{2}\ln\left|x^{4}+5x^{2}+4\right|+\arctan x+\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{2x^{3}+2x^{2}+5x+5}{x^{4}+5x^{2}+4}\mathrm{d}x&=\int\frac{2x^{3}+5x}{x^{4}+5x^{2}+4}\mathrm{d}x+\int\frac{2x^{2}+5}{x^{4}+5x^{2}+4}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(x^{4}+5x^{2}+5)}{x^{4}+5x^{2}+4}+\int\frac{(x^{2}+1)+(x^{2}+4)}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\ln\left|x^{4}+5x^{2}+4\right|+\int\frac{1}{x^{2}+1}\mathrm{d}x+\int\frac{1}{x^{2}+4}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\ln\left|x^{4}+5x^{2}+4\right|+\arctan x+\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}+C.\end{aligned} $$
评注
将有理函数分解为部分分式进行积分，有时比较繁琐，可根据被积函数的结构寻求简便方法。
473 答案 $ \arctan(x+1)+\frac{1}{x^{2}+2x+2}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x^{2}}{(x^{2}+2x+2)^{2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{(x^{2}+2x+2)-(2x+2)}{(x^{2}+2x+2)^{2}}\mathrm{d}x\\&=\int\frac{1}{x^{2}+2x+2}\mathrm{d}x-\int\frac{2x+2}{(x^{2}+2x+2)^{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(x+1)}{(x+1)^{2}+1}-\int\frac{\mathrm{d}(x^{2}+2x+2)}{(x^{2}+2x+2)^{2}}\\&=\arctan(x+1)+\frac{1}{x^{2}+2x+2}+C.\end{aligned} $$
474 答案 $ \arctan x + \frac{1}{3}\arctan x^{3} + C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x^{4}+1}{1+x^{6}}\mathrm{d}x=&\int\frac{(x^{4}-x^{2}+1)+x^{2}}{(1+x^{2})(x^{4}-x^{2}+1)}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x+\int\frac{x^{2}}{1+x^{6}}\mathrm{d}x\\=&\arctan x+\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}x^{3}}{1+(x^{3})^{2}}=\arctan x+\frac{1}{3}\arctan x^{3}+C.\end{aligned} $$
475 答案 $ -\frac{1}{3x^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + C $. ← 题目
$$ \begin{align*}\int\frac{\mathrm{d}x}{x^{4}-x^{6}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{x^{4}\left(1-x^{2}\right)}=&\int\frac{(1-x^{2})+x^{2}}{x^{4}\left(1-x^{2}\right)}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{x^{4}}\mathrm{d}x+\int\frac{1}{x^{2}\left(1-x^{2}\right)}\mathrm{d}x\\=&-\frac{1}{3x^{3}}+\int\frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int\frac{1}{1-x^{2}}\mathrm{d}x=-\frac{1}{3x^{3}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C.\end{align*} $$
476 答案 $ -\frac{1}{2x^{2}}-\frac{1}{4}\arctan x^{2}+\frac{x^{2}}{4(1+x^{4})}+C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{1+2x^{4}}{x^{3}(1+x^{4})^{2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{(1+x^{4})+x^{4}}{x^{3}(1+x^{4})^{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{x^{3}(1+x^{4})}\mathrm{d}x+\int\frac{x}{(1+x^{4})^{2}}\mathrm{d}x\\&=\int\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x-\int\frac{x}{1+x^{4}}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{[1+(x^{2})^{2}]^{2}}\mathrm{d}x^{2}=-\frac{1}{2x^{2}}-\frac{1}{2}\arctan x^{2}+\frac{1}{2}\int\frac{1}{[1+(x^{2})^{2}]^{2}}\mathrm{d}x^{2},\end{aligned} $$
$$ x^{2}=\tan t $$
$$ \begin{aligned}&\frac{1}{2}\int\frac{1}{\left[1+(x^{2})^{2}\right]^{2}}\mathrm{d}x^{2}=\frac{1}{2}\int\frac{\sec^{2}t}{\sec^{4}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\cos^{2}t\mathrm{d}t=\frac{1}{4}\int(1+\cos2t)\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{4}\left(t+\frac{1}{2}\sin2t\right)+C=\frac{1}{4}\left(t+\frac{\tan t}{\sec^{2}t}\right)+C=\frac{1}{4}\left(\arctan x^{2}+\frac{x^{2}}{1+x^{4}}\right)+C\\ \end{aligned} $$
$$ \begin{align*}\int\frac{1+2x^{4}}{x^{3}(1+x^{4})^{2}}\mathrm{d}x&=-\frac{1}{2x^{2}}-\frac{1}{2}\arctan x^{2}+\frac{1}{4}\Bigg(\arctan x^{2}+\frac{x^{2}}{1+x^{4}}\Bigg)+C\\&=-\frac{1}{2x^{2}}-\frac{1}{4}\arctan x^{2}+\frac{x^{2}}{4(1+x^{4})}+C\;.\end{align*} $$
477 答案 $ \frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2}x}-\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x^{2}-\sqrt{2}x+1}{x^{2}+\sqrt{2}x+1}\right|+C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{x^{4}+1}=&\frac{1}{2}\int\frac{(x^{2}+1)-(x^{2}-1)}{x^{4}+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}-1}{x^{4}+1}\mathrm{d}x\\=&\frac{1}{2}\int\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}+2}-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2}\\=&\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2}x}-\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x^{2}-\sqrt{2}x+1}{x^{2}+\sqrt{2}x+1}\right|+C\;.\end{aligned} $$
478 答案 (D). ← 题目
选项(A)，因为一切初等函数在其定义区间内都连续，故都存在原函数，选项(A)正确.
选项(B)，如函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x},&x\neq0\\ &0,&x=0\end{aligned}. $ 在 x=0 处不连续，但 $ F(x)=\{\begin{aligned}&x^{2}\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\ &0,&x=0\end{aligned}. $
是 $ f(x) $在 $ (-∞,+∞) $上的原函数，选项(B)正确.
选项(C)，设 $ f(x) $ 是奇函数，用定积分的知识可证明其原函数 $ F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt $ 为偶函数，选项(C)正确.
选项(D)，显然 $ f(x)=x^{2} $ 是偶函数，其原函数 $ F(x)=\frac{1}{3}x^{3}+1 $ 不是奇函数，选项(D)不正确，故应选(D).
因为区间上的连续函数一定存在原函数，故选项(B)正确；选项(A)，连续不一定可导，如函数 $ f(x)=|x|,x\in(-1,1) $；选项(C)，闭区间上的连续函数有最大值或最小值，开区间上不一定成立，如函数 $ f(x)=x,x\in(0,1) $；选项(D)，函数不一定有极值，如函数 $ f(x)=x,x\in(0,1) $；因此选(B). ← 题目
480 答案 (D) ← 题目
因为 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的原函数，所以 $ F(x)=\int f(x)dx $.
当x<1时， $ F(x)=\int2(x-1)dx=(x-1)^{2}+C_{1} $
当 $ x\geqslant1 $时， $ F(x)=\int\ln x\mathrm{d}x=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\mathrm{d}x=x(\ln x-1)+C_{2} $
又因 $ F'(x) = f(x) $，即 $ F(x) $ 可导， $ F(x) $ 必连续。因此，在 x=1 处有 $ F(1) = \lim_{x \to 1^-} F(x) = \lim_{x \to 1^+} F(x) $。
即 $ \lim_{x\to1}[(x-1)^2+C_1]=\lim_{x\to1}[x(\ln x-1)+C_2] $，亦即 $ C_1=C_2-1 $，于是
$ F(x)=\{\begin{aligned}&(x-1)^{2}+C_{1},&x\lt 1\\ &x(\ln x-1)+C_{1}+1,x\geqslant1\end{aligned}. $，其中 $ C_{1} $为任意实数.令 $ C_{1}=0 $，则
$ F(x)=\{\begin{aligned}&(x-1)^{2},&x\lt 1\\ &x(\ln x-1)+1,x\geqslant1\end{aligned}. $ 因此，选(D).
481 答案 $ -\frac{1}{2}e^{-2x} \arctan e^x - \frac{1}{2e^x} - \frac{1}{2} \arctan e^x + C $. ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\arctan\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}\mathrm{d}x&=-\frac{1}{2}\int\arctan\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}\mathrm{e}^{-2x}=-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\arctan\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}(1+\mathrm{e}^{2x})}\\&=-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\arctan\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{2}\Biggl[\int\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}-\int\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2x}}\Biggr]\\&=-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\arctan\mathrm{e}^{x}-\frac{1}{2\mathrm{e}^{x}}-\frac{1}{2}\arctan\mathrm{e}^{x}+C.\end{aligned} $$
482 答案 $ -\frac{\arctan x}{x}-\frac{1}{2}(\arctan x)^2+\frac{1}{2}\ln\frac{x^2}{1+x^2}+C $. ← 题目
$$ \begin{align*}\int\frac{\arctan x}{x^{2}(1+x^{2})}\mathrm{d}x=&\int\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}\right)\arctan x\mathrm{d}x=\int\frac{\arctan x}{x^{2}}\mathrm{d}x-\int\frac{\arctan x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x\\=&-\int\arctan x\mathrm{d}\frac{1}{x}-\int\arctan x\mathrm{d}\arctan x=-\frac{\arctan x}{x}+\int\frac{1}{x(1+x^{2})}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\big(\arctan x\big)^{2},\end{align*} $$
因为 $ \int\frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx=\int\frac{x}{x^{2}(1+x^{2})}\,dx=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}\right)dx^{2}=\frac{1}{2}\ln\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+C $
$$ \int\frac{\arctan x}{x^{2}(1+x^{2})}\mathrm{d}x=-\frac{\arctan x}{x}-\frac{1}{2}\left(\arctan x\right)^{2}+\frac{1}{2}\ln\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+C. $$
483 答案 $ \ln\left|\frac{xe^{x}}{1+xe^{x}}\right|+C $ ← 题目
$$ \begin{align*}\int\frac{1+x}{x(1+x\mathrm{e}^{x})}\mathrm{d}x=&\int\frac{(1+x)\cdot\mathrm{e}^{x}}{x(1+x\mathrm{e}^{x})\cdot\mathrm{e}^{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(x\mathrm{e}^{x})}{x\mathrm{e}^{x}(1+x\mathrm{e}^{x})}\xlongequal{x\mathrm{e}^{x}=t}\int\frac{\mathrm{d}t}{t(1+t)}\\=&\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right)\mathrm{d}t=\ln\left|\frac{t}{1+t}\right|+C\xlongequal{t=x\mathrm{e}^{x}}\ln\left|\frac{x\mathrm{e}^{x}}{1+x\mathrm{e}^{x}}\right|+C\;.\end{align*} $$
484答案 $ \frac{x}{x-\ln x}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{1-\ln x}{\left(x-\ln x\right)^{2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{\left(1-\ln x\right)/x^{2}}{\left(x-\ln x\right)^{2}/x^{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)^{2}}\mathrm{d}\left(\frac{\ln x}{x}\right)\\&=-\int\frac{1}{\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)^{2}}\mathrm{d}\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)=\frac{1}{1-\frac{\ln x}{x}}+C=\frac{x}{x-\ln x}+C.\end{aligned} $$
485 答案 $ \frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^{x}-1}-\frac{1}{6}(e^{x}+2)\sqrt{e^{x}-1}+C $ ← 题目
令 $ \sqrt{e^x - 1} = t $，则 $ e^x = 1 + t^2 $， $ x = \ln(1 + t^2) $， $ \mathrm{d}x = \frac{2t}{1 + t^2} \mathrm{d}t $，于是
$$ \begin{aligned}\int\mathrm{e}^{2x}&\arctan\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d}x=\int(1+t^{2})^{2}\arctan t\cdot\frac{2t}{1+t^{2}}\mathrm{d}t\\&=\int2t(1+t^{2})\arctan t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\arctan t\mathrm{d}(1+t^{2})^{2}\\&=\frac{1}{2}(1+t^{2})^{2}\arctan t-\frac{1}{2}\int(1+t^{2})^{2}\cdot\frac{1}{1+t^{2}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}(1+t^{2})^{2}\arctan t-\frac{1}{2}\int(1+t^{2})\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{2}(1+t^{2})^{2}\arctan t-\frac{1}{2}\left(t+\frac{t^{3}}{3}\right)+C=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\arctan\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{6}(\mathrm{e}^{x}+2)\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}+C.\end{aligned} $$
486 答案 $ \frac{x\sin x}{x\sin x+\cos x}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x+\sin x\cos x}{\left(x\sin x+\cos x\right)^{2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{x(\sin^{2}x+\cos^{2}x)+\sin x\cos x}{\left(x\sin x+\cos x\right)^{2}}\mathrm{d}x\\&=\int\frac{\sin x(x\sin x+\cos x)+x\cos^{2}x}{\left(x\sin x+\cos x\right)^{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{\sin x}{x\sin x+\cos x}\mathrm{d}x+\int\frac{x\cos^{2}x}{\left(x\sin x+\cos x\right)^{2}}\mathrm{d}x\\&=\int\frac{\sin x}{x\sin x+\cos x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}\frac{\sin x}{x\sin x+\cos x}\\&=\int\frac{\sin x}{x\sin x+\cos x}\mathrm{d}x+\frac{x\sin x}{x\sin x+\cos x}-\int\frac{\sin x}{x\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=\frac{x\sin x}{x\sin x+\cos x}+C.\end{aligned} $$
487 答案 $ \frac{1}{4}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+\frac{1}{8}\tan^{2}\frac{x}{2}+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sin2x+2\sin x}=&\int\frac{\mathrm{d}x}{2\sin x(\cos x+1)}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm{d}\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}\cos^{3}\frac{x}{2}}\\=&\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm{d}\tan\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}\cos^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1}{4}\int\frac{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}}\mathrm{d}\tan\frac{x}{2}=\frac{1}{4}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+\frac{1}{8}\tan^{2}\frac{x}{2}+C.\end{aligned} $$
488 答案 $ \ln\left|\tan\frac{x}{2}+1\right|+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{1}{1+\sin x+\cos x}\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+2\cos^{2}\frac{x}{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{\sec^{2}\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}+1}\mathrm{d}\frac{x}{2}\\&=\int\frac{1}{\tan\frac{x}{2}+1}\mathrm{d}\left(\tan\frac{x}{2}+1\right)=\ln\left|\tan\frac{x}{2}+1\right|+C.\end{aligned} $$
489 答案 $ \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\tan\frac{x}{2}\right)+C $ ← 题目
$$ \begin{align*}\int\frac{1}{2+\cos x}\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{1+(1+\cos x)}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{1+2\cos^{2}\frac{x}{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{\sec^{2}\frac{x}{2}}{1+\frac{1}{2}\sec^{2}\frac{x}{2}}\mathrm{d}\frac{x}{2}\\&=\int\frac{1}{1+\frac{1}{2}(1+\tan^{2}\frac{x}{2})}\mathrm{d}\tan\frac{x}{2}=\int\frac{2}{3+\tan^{2}\frac{x}{2}}\mathrm{d}\tan\frac{x}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\tan\frac{x}{2}\right)+C.\end{align*} $$
490 答案 $ x + 2\ln|\cos x + \sin x| + C $. ← 题目
令 $ 3\cos x - \sin x = A(\cos x + \sin x) + B(\cos x + \sin x)^{\prime} $，则
$$ 3\cos x-\sin x=A(\cos x+\sin x)+B(-\sin x+\cos x)=(A+B)\cos x+(A-B)\sin x $$
比较系数，得 $ A+B=3, A-B=-1 $ ，解得 A=1, B=2 ，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{3\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x&=\int\frac{(\cos x+\sin x)+2(\cos x+\sin x)^{\prime}}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x=\int\mathrm{d}x+2\int\frac{\mathrm{d}(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}\\&=x+2\ln|\cos x+\sin x|+C.\end{aligned} $$
评注
被积函数的分子和分母是 $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 的线性组合的不定积分，即形如 $ \int\frac{a\cos x + b\sin x}{c\cos x + d\sin x}dx $ 的不定积分，可作如下变换：
$$ a\cos x+b\sin x=A(c\cos x+d\sin x)+B(c\cos x+d\sin x)^{\prime}. $$
491 答案 $ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\ln|1 + \sin 2x| + C $. ← 题目
方法一：令 $ \sin x = A (\sin x + \cos x) + B (\sin x + \cos x)^{\prime} $，则
$$ \sin x=A(\sin x+\cos x)+B(\cos x-\sin x)=(A-B)\sin x+(A+B)\cos x, $$
比较系数，得 A - B = 1, A + B = 0，解得 $ A = \frac{1}{2} $, $ B = -\frac{1}{2} $，于是
$$ \begin{align*}\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int\frac{(\sin x+\cos x)-(\sin x+\cos x)^{\prime}}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|\sin x+\cos x|+C\;.\end{align*} $$
方法二：
$$ \begin{aligned}\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sin x(\cos x-\sin x)}{\cos^{2}x-\sin^{2}x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{\sin2x-(1-\cos2x)}{\cos2x}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\int\tan2x\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int(\sec2x-1)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\int\tan2x\mathrm{d}2x-\frac{1}{4}\int\sec2x\mathrm{d}2x+\frac{1}{2}x\\&=-\frac{1}{4}\ln|\cos2x|-\frac{1}{4}\ln|\sec2x+\tan2x|+\frac{1}{2}x+C=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\ln|1+\sin2x|+C.\end{aligned} $$
492 答案 $ \frac{1}{5}\arcsin x + \frac{2}{5}\ln\left|2x + \sqrt{1-x^{2}}\right| + C $ ← 题目
令 $ x = \sin t $，则 $ \sqrt{1 - x^2} = \cos t $， $ dx = \cos t dt $，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{1}{2x+\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x&=\int\frac{\cos t}{2\sin t+\cos t}\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{5}\int\frac{(2\sin t+\cos t)+2(2\sin t+\cos t)^{\prime}}{2\sin t+\cos t}\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{5}t+\frac{2}{5}\int\frac{\mathrm{d}(2\sin t+\cos t)}{2\sin t+\cos t}=\frac{1}{5}t+\frac{2}{5}\ln\left|2\sin t+\cos t\right|+C\\&=\frac{1}{5}\arcsin x+\frac{2}{5}\ln\left|2x+\sqrt{1-x^{2}}\right|+C.\end{aligned} $$
493 答案 $ \frac{1}{2}\left[\ln(1+x^{2})+\frac{x+1}{1+x^{2}}+\arctan x\right]+C $ ← 题目
$$ \int\frac{x^{3}+1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\mathrm{d}x+\int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\mathrm{d}x=I_{1}+I_{2}, $$
$$ \begin{aligned}I_{1}=&\int\frac{x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\mathrm{d}x^{2}=\frac{1}{2}\int\frac{1+x^{2}-1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\mathrm{d}x^{2}\\ =&\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\right)\mathrm{d}\left(1+x^{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(1+x^{2}\right)+\frac{1}{2\left(1+x^{2}\right)}+C_{1},\end{aligned} $$
令 $ x = \tan t $，则 $ 1 + x^{2} = 1 + \tan^{2}t = \sec^{2}t $， $ dx = \sec^{2}t \, dt $，于是
$$ \begin{aligned}I_{2}=&\int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\mathrm{d}x=\int\frac{\sec^{2}t}{\sec^{4}t}\mathrm{d}t=\int\cos^{2}t\mathrm{d}t=\int\frac{1+\cos2t}{2}\mathrm{d}t\\=&\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin2t=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sin t\cos t=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+C_{2}.\end{aligned} $$
因此， $ \int\frac{x^{3}+1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\left[\ln\left(1+x^{2}\right)+\frac{x+1}{1+x^{2}}+\arctan x\right]+C $，其中 $ C=C_{1}+C_{2} $
494 答案 $ \frac{(x-1)e^{\arctan x}}{2\sqrt{1+x^2}}+C $ ← 题目
令 $ \arctan x = t $，则 $ x = \tan t $， $ 1 + x^2 = \sec^2 t $， $ \mathrm{d}x = \sec^2 t\mathrm{d}t $，
$$ \begin{aligned}\int\frac{x\mathrm{e}^{\arctan x}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x&=\int\frac{\tan t\cdot\mathrm{e}^{t}}{\sec^{3}t}\sec^{2}t\mathrm{d}t=\int\mathrm{e}^{t}\sin t\mathrm{d}t=\int\sin t\mathrm{d}\mathrm{e}^{t}\\&=\mathrm{e}^{t}\sin t-\int\cos t\mathrm{d}\mathrm{e}^{t}=\mathrm{e}^{t}\sin t-\mathrm{e}^{t}\cos t-\int\mathrm{e}^{t}\sin t\mathrm{d}t\ ,\end{aligned} $$
494题-图
故 $ \int e^{\prime}\sin t dt=\frac{1}{2}e^{\prime}(\sin t-\cos t)+C $，从而
$$ \int\frac{x\mathrm{e}^{\arctan x}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\arctan x}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)+C=\frac{(x-1)\mathrm{e}^{\arctan x}}{2\sqrt{1+x^{2}}}+C. $$
495 答案 $ x-3\ln(e^{\frac{5}{6}}+1)-\frac{3}{2}\ln(e^{\frac{4}{3}}+1)-3\arctan e^{\frac{5}{6}}+C $ ← 题目
$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{1+\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}+\mathrm{e}^{\frac{x}{3}}+\mathrm{e}^{\frac{x}{6}}}\xlongequal{\mathrm{e}^{\frac{x}{6}}=t}\int\frac{6\mathrm{d}t}{(1+t^{3}+t^{2}+t)t}=\int\frac{6\mathrm{d}t}{t(t+1)(t^{2}+1)}, $$
设 $ \frac{6}{t(t+1)(t^{2}+1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct+D}{t^{2}+1} $，解得A=6,B=C=D=-3，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{1+\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}+\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}+\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}}=&\int\left(\frac{6}{t}-\frac{3}{t+1}-\frac{3t+3}{t^{2}+1}\right)\mathrm{d}t=6\int\frac{\mathrm{d}t}{t}-3\int\frac{\mathrm{d}(t+1)}{t+1}-\frac{3}{2}\int\frac{\mathrm{d}(t^{2}+1)}{t^{2}+1}-3\int\frac{\mathrm{d}t}{t^{2}+1}\\ =&6\ln\left|t\right|-3\ln\left|t+1\right|-\frac{3}{2}\ln(t^{2}+1)-3\arctan t+C\\ =&x-3\ln(\mathrm{e}^{\frac{x}{4}}+1)-\frac{3}{2}\ln(\mathrm{e}^{\frac{x}{4}}+1)-3\arctan\mathrm{e}^{\frac{x}{4}}+C.\end{aligned} $$
496 答案 $ \frac{1}{3}\ln(\cos x+2)-\frac{1}{2}\ln(\cos x+1)+\frac{1}{6}\ln(1-\cos x)+C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{1}{(2+\cos x)\sin x}\mathrm{d}x=&\int\frac{\sin x}{(2+\cos x)\sin^{2}x}\mathrm{d}x=-\int\frac{\mathrm{d}\cos x}{(2+\cos x)(1-\cos^{2}x)}\\ &\xlongequal{\cos x=t}-\int\frac{\mathrm{d}t}{(2+t)(1-t^{2})}=\int\frac{\mathrm{d}t}{(2+t)(t+1)(t-1)}\ ,\\ \end{aligned} $$
设 $ \frac{1}{(2+t)(t+1)(t-1)}=\frac{A}{2+t}+\frac{B}{t+1}+\frac{C}{t-1} $，解得 $ A=\frac{1}{3} $， $ B=-\frac{1}{2} $， $ C=\frac{1}{6} $，
$$ \begin{aligned}\int\frac{1}{(2+\cos x)\sin x}\mathrm{d}x=&\int\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2+t}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t+1}+\frac{1}{6}\frac{1}{t-1}\right)\mathrm{d}t\\=&\frac{1}{3}\ln\left|t+2\right|-\frac{1}{2}\ln\left|t+1\right|+\frac{1}{6}\ln\left|t-1\right|+C\\\overset{t=\cos x}{=}&\frac{1}{3}\ln(\cos x+2)-\frac{1}{2}\ln(\cos x+1)+\frac{1}{6}\ln(1-\cos x)+C.\end{aligned} $$
497 答案 $ \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}x^{3} - \frac{1}{3}(x^{2} + 2)\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin x + C $ ← 题目
$$ \begin{aligned}\int\frac{x^{3}\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x=&\int x^{2}\arcsin x\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x=-\int x^{2}\arcsin x\mathrm{d}\sqrt{1-x^{2}}\\=&-x^{2}\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x+\int\sqrt{1-x^{2}}\left(2x\arcsin x+\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\mathrm{d}x\\=&-x^{2}\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x+\frac{1}{3}x^{3}+\int2x\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x\mathrm{d}x\;,\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}I_{1}=&\int2x\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}\int\arcsin x\mathrm{d}(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}\\=&-\frac{2}{3}(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}\arcsin x+\frac{2}{3}\int(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x\\=&-\frac{2}{3}(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}\arcsin x+\frac{2}{3}\int(1-x^{2})\mathrm{d}x\\=&-\frac{2}{3}(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x+\frac{2}{3}x-\frac{2}{9}x^{3}+C,\end{aligned} $$
所以 $ \int\frac{x^{3}\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}x^{3}-\frac{1}{3}(x^{2}+2)\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x+C $
498 答案 $ \frac{1}{2}\ln|(x-y)^{2}-1|+C $. ← 题目
令x-y=t，则y=x-t，代入 $ y(x-y)^{2}=x $，得 $ (x-t)t^{2}=x $，
解得 $ x=\frac{t^{3}}{t^{2}-1} $， $ \mathrm{d}x=\frac{t^{2}(t^{2}-3)}{(t^{2}-1)^{2}}\mathrm{d}t $， $ y=\frac{t}{t^{2}-1} $，于是
$$ \begin{align*}\int\frac{1}{x-3y}\mathrm{d}x=&\int\frac{1}{\frac{t^{3}}{t^{2}-1}-\frac{3t}{t^{2}-1}}\frac{t^{2}(t^{2}-3)}{(t^{2}-1)^{2}}\mathrm{d}t=\int\frac{t}{t^{2}-1}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(t^{2}-1)}{t^{2}-1}\\=&\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}-1\right|+C=\frac{1}{2}\ln\left|(x-y)^{2}-1\right|+C\;.\end{align*} $$
499 答案 $ -2\sqrt{1-x}\arcsin\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C $. ← 题目
由 $ \sqrt{x}\geqslant0,\sqrt{1-x}\gt 0,\sin x\neq0 $ ,得0<x<1 ,故 $ \sin x\gt 0 $
令 $ \sin^{2}x=t $，则 $ \sin x=\sqrt{t} $， $ x=\arcsin\sqrt{t} $， $ f(t)=\frac{\arcsin\sqrt{t}}{\sqrt{t}} $，于是
$$ \begin{aligned}\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)\mathrm{d}x&=\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x=-2\int\arcsin\sqrt{x}\mathrm{d}\sqrt{1-x}\\&=-2\sqrt{1-x}\arcsin\sqrt{x}+2\int\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}}\mathrm{d}\sqrt{x}\\&=-2\sqrt{1-x}\arcsin\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C.\end{aligned} $$
500答案 $ 4x^{3}e^{x^{3}}+C $ ← 题目
$$ \int x f^{\prime \prime}(x)\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}f^{\prime}(x)=x f^{\prime}(x)-\int f^{\prime}(x)\mathrm{d}x=x f^{\prime}(x)-f(x)+C, $$
由 $ \int f(x)dx = e^{x^2} + C $，知 $ f(x) = (e^{x^2} + C)' = 2xe^{x^2} $， $ f'(x) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} $，
于是， $ \int x f''(x) \, \mathrm{d}x = x (2 \mathrm{e}^{x^2} + 4x^2 \mathrm{e}^{x^2}) - 2 x \mathrm{e}^{x^3} + C = 4 x^3 \mathrm{e}^{x^2} + C $.
501 答案 $ \ln\left|\frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}\right|+C $ ← 题目
由 $ \int xf(x)dx=\arcsin x+C $，知 $ xf(x)=(\arcsin x+C)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
所以 $ f(x)=\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} $， $ \int f(x)\mathrm{d}x=\int\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x $，
令 $ x = \sin t $，则 $ \sqrt{1 - x^2} = \cos t $， $ dx = \cos t dt $，于是
$$ \begin{align*}\int f(x)\mathrm{d}x=&\int\frac{1}{\sin t\cos t}\cos t\mathrm{d}t=\int\csc t\mathrm{d}t=\ln|\csc t-\cot t|+C\\=&\ln\left|\frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}\right|+C\;.\end{align*} $$
502 答案 $ f(x)=\frac{1}{2}\ln^{2}x $ ← 题目
由 $ \left(\int f'(e^x) \, \mathrm{d}x\right)' = [-(1+x)e^{-x} + C]' $，得 $ f'(e^x) = xe^{-x} $，令 $ e^x = t $，则 $ x = \ln t $， $ f'(t) = \frac{\ln t}{t} $，即 $ f'(x) = \frac{\ln x}{x} $，积分得
$$ f(x)=\int\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=\int\ln x\mathrm{d}\ln x=\frac{1}{2}\ln^{2}x+C, $$
由 $ f(1)=0 $ ，得 C=0 ，故 $ f(x)=\frac{1}{2}\ln^{2}x $
503 证明 ← 题目
方法一：本题有两种方法.
$$ \begin{aligned} 左边 =&\int\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\mathrm{d}x-\int\frac{f^{2}(x)\mathrm{d}f^{\prime}(x)}{\left(f^{\prime}(x)\right)^{3}}=\int\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int f^{2}(x)\mathrm{d}\frac{1}{\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}\\=&\int\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\Biggl(\frac{f^{2}(x)}{\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}-\int\frac{2f(x)f^{\prime}(x)}{\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}\mathrm{d}x\Biggr)=\frac{1}{2}\Biggl(\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\Biggr)^{2}+C\;.\end{aligned} $$
方法二：
$$ \begin{aligned} 左边 =&\int\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\frac{(f^{\prime}(x))^{2}-f(x)f^{\prime \prime}(x)}{(f^{\prime}(x))^{2}}\mathrm{d}x\\=&\int\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\Biggl(\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\Biggr)^{\prime}\mathrm{d}x=\int\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\mathrm{d}\left(\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\right)^{2}+C． 证毕 .\end{aligned} $$
504 证明 ← 题目
$$ (a\sin x+b\cos x)^{2}=(a^{2}+b^{2})\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos x\right)^{2} $$
$ =(a^{2}+b^{2})\sin^{2}(x+\varphi) $，其中 $ \cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $，于是
$$ \cos(x+\varphi)=\cos x\cos\varphi-\sin x\sin\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos x-\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin x $$
从而
$$ \begin{aligned}\mathrm{i}&\int\frac{1}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\int\frac{1}{\sin^{2}(x+\varphi)}\mathrm{d}(x+\varphi)\\&=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\int\csc^{2}(x+\varphi)\mathrm{d}(x+\varphi)=-\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\cot(x+\varphi)+C\\&=-\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\frac{\cos(x+\varphi)}{\sin(x+\varphi)}+C=-\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\frac{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos x-\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin x}{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos x}+C\\&=-\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}+C\;.\end{aligned} $$