习题答案与提示

原书第 398 页

习题答案与提示

第一章

习题1-1（第16页）

(1) $ \left[-\frac{2}{3}, +\infty\right) $; (2) $ (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) $;

(3) $ [-1,0) \cup (0,1] $; (4) $ (-2,2) $;

(5) $ [0, +\infty) $; (6) $ \mathbf{R} \setminus \{ ( k + \frac{1}{2} ) \pi - 1 \mid k \in \mathbf{Z} \} $;

(7) [2,4]; (8) $ (-\infty,0) \cup (0,3] $;

(9) $ (-1, +\infty) $; (10) $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $.

略.

$$ \varphi\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\varphi(-2)=0. $$

4—6. 略.

7.（1）偶函数；（2）既非奇函数又非偶函数；（3）偶函数；

（4）奇函数；（5）既非奇函数又非偶函数；（6）偶函数.

8.（1）是周期函数，周期 $ l=2\pi $；（2）是周期函数，周期 $ l=\frac{\pi}{2} $

（3）是周期函数，周期 l=2；（4）不是周期函数；

(5) 是周期函数，周期 $ l = \pi $

(1) $ y = x^{3} - 1 $; (2) $ y = \frac{1 - x}{1 + x} $; (3) $ y = \frac{-dx + b}{cx - a} $;

(4) $ y = \frac{1}{3} \arcsin \frac{x}{2} $; (5) $ y = e^{x-1} - 2 $; (6) $ y = \log_2 \frac{x}{1-x} $.

略.

(1) $ y = \sin^{2} x $, $ y_{1} = \frac{1}{4} $, $ y_{2} = \frac{3}{4} $;

(2) $ y = \sin 2x $, $ y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ y_2 = 1 $;

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原书第 399 页

(3) $ y=\sqrt{1+x^{2}} $, $ y_{1}=\sqrt{2} $, $ y_{2}=\sqrt{5} $;

(4) $ y = e^{x^2} $, $ y_1 = 1 $, $ y_2 = e $;

(5) $ y = e^{2x} $, $ y_1 = e^2 $, $ y_2 = e^{-2} $.

(1) $ [-1,1] $; (2) $ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}[2n\pi,(2n+1)\pi] $; (3) $ [-a,1-a] $;

(4) 若 $ a \in \left(0, \frac{1}{2}\right] $，则 $ D = [a, 1-a] $；若 $ a > \frac{1}{2} $，则 $ D = \varnothing $。

$ f[g(x)] = \begin{cases} 1, & x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x > 0; \end{cases} $ $ g[f(x)] = \begin{cases} e, & |x| < 1, \\ 1, & |x| = 1, \\ e^{-1}, & |x| > 1. \end{cases} $

$ L = \frac{S_0}{h} + \frac{2 - \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} h $, $ h \in (0, \sqrt{S_0 \tan 40^\circ}) $.

$ S(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}t^2, & 0 \leq t \leq 1, \\ -\dfrac{1}{2}t^2 + 2t - 1, & 1 < t \leq 2, \\ 1, & t > 2. \end{cases} $

$ F=1.8C+32 $ 或 $ C=\frac{5}{9}(F-32) $.

(1) $ 90\,^{\circ}\mathrm{F} = 32.2\,^{\circ}\mathrm{C}, -5\,^{\circ}\mathrm{C} = 23\,^{\circ}\mathrm{F} $; (2) $ -40\,^{\circ}\mathrm{F} = -40\,^{\circ}\mathrm{C} $.

$ y=\begin{cases}x^2,&0

在2008年后的第t年，世界人口数为 $ P(t)=6\ 708.2\cdot1.011^{t} $百万，2020年对应 $ t=12,P(12)\approx76 $亿.

习题1-2（第26页）

1.（1）收敛，0；（2）收敛，0；（3）收敛，2；（4）收敛，1；（5）发散；

（6）收敛，0；（7）发散；（8）发散.

2.（1）必要条件；（2）一定发散；

（3）不一定收敛，例如数列 $ \{(-1)^{n}\} $有界，但发散.

3.（1）错误，反例略；（2）错误，反例略；（3）正确，理由略；

（4）正确，理由略.

$ ^{*} $4. $ \lim_{n\to\infty}x_n=0, N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]=1000 $.

$ ^{*}5 $— $ ^{*}8 $. 略.

原书第 400 页

习题1-3（第33页）

1.（1）0；（2）-1；（3）不存在，因为 $ f(0^{+})\neq f(0^{-}) $

2.（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）对；（6）对.

3.（1）对；（2）对；（3）对；（4）错；（5）对；（6）对；（7）对；（8）错.

$ \lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}f(x)=1,\lim_{x\to0}f(x)=1; $

$ \lim_{x\to0^{-}}\varphi(x)=-1,\lim_{x\to0^{+}}\varphi(x)=1,\lim_{x\to0}\varphi(x) $ 不存在.

$ ^{*}5—^{*}6. $ 略.

$ \delta=0.0002 $. 提示: 因为 $ x\to2 $, 所以不妨设 1<x<3.

$ ^{8} $. $ X \geqslant \sqrt{397} $.

$ ^{9-} $12. 略.

习题1-4（第37页）

两个无穷小的商不一定是无穷小，例如： $ \alpha=4x,\beta=2x $，当 $ x\to0 $时都是无穷小，但 $ \frac{\alpha}{\beta} $当 $ x\to0 $时不是无穷小.

$ ^{*}2. $ 略.

$ 0 < |x| < \frac{1}{10^4 + 2} $.

4.（1）2，提示：应用本节定理1；（2）1，提示：应用本节定理1.

略.

$ y = x \cos x $ 在 $ (- \infty, + \infty) $ 上无界，但当 $ x \to \infty $ 时，此函数不是无穷大.

$ ^{*}7. $ 略.

水平渐近线 y=0，铅直渐近线 $ x=-\sqrt{2} $， $ x=\sqrt{2} $.

习题1-5（第45页）

(1) -9; (2) 0; (3) 0; (4) $ \frac{1}{2} $; (5) 2x; (6) 2; (7) $ \frac{1}{2} $;

(8) 0; (9) $ \frac{2}{3} $; (10) 2; (11) 2; (12) $ \frac{1}{2} $; (13) $ \frac{1}{5} $; (14) -1.

(1) $ \infty $; (2) $ \infty $; (3) $ \infty $.

(1) 0; (2) 0.

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原书第 401 页

(1) 错，例如 $ a_n = \frac{1}{n} $, $ b_n = \frac{n}{n+1} $, $ n \in \mathbb{N}_+ $;

（2）错，例如 $ b_n = \frac{n+1}{n} $, $ c_n = n $, $ n \in \mathbb{N}_+ $;

（3）错，例如 $ a_n = \frac{1}{n^2} $, $ c_n = n $, $ n \in \mathbb{N}_+ $;

（4）对，因为，假若 $ \lim_{n\to\infty}\left(b_{n}c_{n}\right) $存在，则 $ \lim_{n\to\infty}c_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(b_{n}c_{n}\right)\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_{n}} $也存在，与已知条件矛盾.

(1) 对，因为，假若 $ \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] $ 存在，则 $ \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] - \lim_{x \to x_0} f(x) $ 也存在，与已知条件矛盾；

(2) 错，例如 $ f(x) = \operatorname{sgn} x, g(x) = -\operatorname{sgn} x $ 当 $ x \to 0 $ 时的极限都不存在，但 $ f(x) + g(\bar{x}) \equiv 0 $ 当 $ x \to 0 $ 时的极限存在；

(3) 错，例如 $ f(x)=x $， $ \lim_{x\to0}f(x)=0 $， $ g(x)=\sin\frac{1}{x} $， $ \lim_{x\to0}g(x) $ 不存在，但 $ \lim_{x\to0}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\to0}(x\sin\frac{1}{x})=0 $.

$ ^{*}6. $ 略.

习题1-6（第52页）

(1) $ \omega $; (2) 3; (3) $ \frac{2}{5} $; (4) 1; (5) 2; (6) x.

(1) $ \frac{1}{e} $; (2) $ e^{2} $; (3) $ e^{2} $; (4) $ e^{-k} $.

$ ^{*} $3. 略

(1) 提示: $ 1 < \sqrt{1 + \frac{1}{n}} < 1 + \frac{1}{n} $;

（2）提示： $ \frac{n}{n+\pi}\leqslant n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n\pi}\right)\leqslant\frac{n^{2}}{n^{2}+\pi} $;

（3）提示： $ x_{n}=\sqrt{2+x_{n-1}} $，数列 $ \{x_{n}\} $单调增加且有界；

(4) 提示: 当 x>0 时, $ 1<\sqrt[n]{1+x}<1+x $,

当 $ -1

(5) 提示: 当 x>0 时, $ 1-x

原书第 402 页

习题1-7（第55页）

当 $ x \to 0 $ 时， $ x^{2} - x^{3} $ 是比 $ 2x - x^{2} $ 高阶的无穷小.

当 $ x \to 0 $ 时， $ (1 - \cos x)^{2} $ 是比 $ \sin^{2}x $ 高阶的无穷小.

3.（1）同阶，不等价；（2）等价无穷小.

略.

(1) $ \frac{3}{2} $; (2) $ 0(mn) $; (3) $ \frac{1}{2} $; (4) -3.

略.

习题1-8（第61页）

x = -1, 0, 1, 2 均为 $ f(x) $ 的间断点，除 x = 0 外它们均为 $ f(x) $ 的可去间断点。补充定义 $ f(-1) = f(2) = 0 $，修改定义，使 $ f(1) = 2 $.

2.（1） $ f(x) $在 $ [0,2] $上连续；

(2) $ f(x) $在 $ (-∞,-1) $与 $ (-1,+∞) $内连续，x=-1为跳跃间断点.

3.（1）x=1为可去间断点，x=2为第二类间断点；

(2) x=0 和 $ x=k\pi+\frac{\pi}{2} $ 为可去间断点, $ x=k\pi $ ( $ k\neq0 $) 为第二类间断点；

（3）x=0 为第二类间断点；

（4）x=1 为第一类间断点.

$ f(x)=\{\begin{aligned}&x,&|x|<1,\\&0,&|x|=1,\\&-x,&|x|>1.\end{aligned}. $ x=1 和 x=-1 为第一类间断点.

(1) 对，因为 $ \left|f(x)\right| - \left|f(a)\right| \leqslant |f(x) - f(a)| $，由此可推出结论；

(2) 错,例如 $ f(x)=\begin{cases}1, & x \in \mathbb{Q}, \\ -1, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q},\end{cases} $ $ \forall a \in \mathbb{R} $.

$ ^{6-} $ $ ^{7} $. 略.

$$ \mathrm{\Phi}^{*}8.\ f(x)=\cot(\pi x)+\cot\frac{\pi}{x}. $$

习题1-9（第65页）

连续区间： $ (-∞, -3) $， $ (-3, 2) $， $ (2, +∞) $；

$$ \lim_{x\to0}f(x)=\frac{1}{2},\quad\lim_{x\to-\frac{8}{3}}f(x)=-\frac{8}{5},\quad\lim_{x\to2}f(x)=\infty. $$

略.

原书第 403 页

(1) $ \sqrt{5} $; (2) 1; (3) 0; (4) $ \frac{1}{2} $; (5) 2; (6) $ \cos \alpha $; (7) 1; (8) $ -\frac{1}{3} $.

(1) $ 1 $; (2) $ 0 $; (3) $ \sqrt{e} $; (4) $ e^{3} $; (5) $ e^{-\frac{3}{2}} $; (6) $ \frac{1}{2} $; (7) $ \frac{1}{e} $; (8) -6.

5.（1）错，例如 $ \varphi(x)=\operatorname{sgn} x, f(x)=\mathrm{e}^{x}, \varphi[f(x)]=1 $ 在 $ \mathbb{R} $ 上处处连续；

(2) 错，例如 $ \varphi(x)=\begin{cases}1, & x \in \mathbb{Q}, \\ -1, & x \in \mathbb{Q}^c\end{cases} $, $ [\varphi(x)]^2 \equiv 1 $ 在 $ \mathbb{R} $ 上处处连续；

（3）对，例如 $ \varphi(x) $ 同（2）， $ f(x)=|x|+1 $， $ f[\varphi(x)]\equiv2 $ 在 R 上处处连续；

（4）对，若 $ F(x)=\frac{\varphi(x)}{f(x)} $ 在 R 上连续，则 $ \varphi(x)=F(x)f(x) $ 也在 R 上连续，与已知条件矛盾.

a=1.

习题1-10（第70页）

1—4. 略.

提示： $ m \leqslant \frac{f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots + f(x_{n})}{n} \leqslant M $，其中 m、M 分别为 $ f(x) $ 在 $ [x_{1}, x_{n}] $ 上的最小值及最大值.

提示：证明 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续.

$ ^{*}7 $. 略.

若 $ f(a^{+}) $ 及 $ f(b^{-}) $ 存在，则 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 内一致连续.

总习题一（第70页）

1.（1）必要，充分；（2）必要，充分；（3）必要，充分；（4）充分必要.

3.（1）（B）；（2）（B）.

(1) $ (-\infty,0] $; (2) $ [1,e] $; (3) $ [0,\tan 1] $; (4) $ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\left[2n\pi-\frac{\pi}{2},2n\pi+\frac{\pi}{2}\right] $.

$ f[f(x)] = f(x), g[g(x)] = 0, f[g(x)] = 0, g[f(x)] = g(x). $

略.

$ V = \frac{R^{3}}{24\pi^{2}}(2\pi - \alpha)^{2} \sqrt{4\pi\alpha - \alpha^{2}} $ $ (0 < \alpha < 2\pi) $.

$ ^{*}8. $ 略.

(1) $ \infty $; (2) $ \frac{1}{2} $; (3) e; (4) $ \frac{1}{2} $; (5) $ \sqrt[3]{abc} $; (6) 1; (7) $ \frac{1}{a} $; (8) -2.

原书第 404 页

a=0.

x=1 是第一类间断点.

12—13. 略.

14.（1）略；（2） $ y=2x+1 $

第二章

习题2-1（第83页）

$ \frac{d\theta}{dt}\bigg|_{t=t_0} $

$ \frac{dT}{dt} $

3.（1） $ C'(100)=80 $（元/件）；

(2) $ C(101) - C(100) = 79.9 $ (元) $ \approx 80 $ (元)，边际成本 $ C'(x) $ 近似于产量达到 x 单位时再增加 1 个单位产品所需的成本.

-20.

略.

(1) $ -f'(x_0) $; (2) $ f'(0) $; (3) $ 2f'(x_0) $.

(B).

(A).

(1) $ 4x^{3} $; (2) $ \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} $; (3) $ 1.6x^{0.6} $; (4) $ -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} $; (5) $ -\frac{2}{x^{3}} $; (6) $ \frac{16}{5}x^{\frac{11}{5}} $; (7) $ \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} $.

12 m/s.

略.

$ k_1 = y' \mid_{x=\frac{2}{3}\pi} = -\frac{1}{2} $, $ k_2 = y' \mid_{x=\pi} = -1 $.

切线方程为 $ \frac{\sqrt{3}}{2}x + y - \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\pi\right) = 0 $;

法线方程为 $ \frac{2\sqrt{3}}{3}x - y + \frac{1}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{9}\pi = 0 $.

$ x - y + 1 = 0 $

(2,4).

原书第 405 页

16.（1）在 x=0 处连续，不可导；（2）在 x=0 处连续且可导.

a=2, b=-1.

$ f_{+}^{\prime}(0)=0,f_{-}^{\prime}(0)=-1,f^{\prime}(0) $ 不存在.

$ f'(x) = \{ \begin{array}{ll} \cos x, & x < 0, \\ 1, & x \geq 0. \end{array} . $

略.

习题2-2（第94页）

略.

(1) $ 3x^2 - \frac{28}{x^5} + \frac{2}{x^2} $; (2) $ 15x^2 - 2^x \ln 2 + 3e^x $; (3) $ \sec x (2\sec x + \tan x) $;

(4) $ \cos 2x $; (5) $ x (2\ln x + 1) $; (6) $ 3e^x (\cos x - \sin x) $;

(7) $ \frac{1 - \ln x}{x^2} $; (8) $ \frac{e^x (x - 2)}{x^3} $;

(9) $ 2x \ln x \cos x + x \cos x - x^2 \ln x \sin x $; (10) $ \frac{1 + \sin t + \cos t}{(1 + \cos t)^2} $.

(1) $ y'|_{x=\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} $, $ y'|_{x=\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2} $; (2) $ \frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+\frac{\pi}{2}\right) $;

(3) $ f'(0) = \frac{3}{25} $, $ f'(2) = \frac{17}{15} $.

(1) $ v(t) = v_0 - gt $; (2) $ t = \frac{v_0}{g} $.

切线方程为 $ 2x - y = 0 $，法线方程为 $ x + 2y = 0 $。

(1) $ 8(2x + 5)^3 $; (2) $ 3\sin(4 - 3x) $; (3) $ -6xe^{-3x^2} $; (4) $ \frac{2x}{1 + x^2} $;

(5) $ \sin 2x $; (6) $ -\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} $; (7) $ 2x\sec^2(x^2) $; (8) $ \frac{e^x}{1 + e^{2x}} $;

(9) $ \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} $; (10) $ -\tan x $.

(1) $ -\frac{1}{\sqrt{x - x^2}} $; (2) $ \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}} $;

(3) $ -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}(\cos 3x + 6\sin 3x) $; (4) $ \frac{|x|}{x^2\sqrt{x^2 - 1}} $;

(5) $ -\frac{2}{x(1 + \ln x)^2} $; (6) $ \frac{2x\cos 2x - \sin 2x}{x^2} $;

原书第 406 页

(7) $ \frac{1}{2\sqrt{x-x^{2}}} $;

(8) $ \frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} $;

(9) $ \sec x $;

(10) $ \csc x $.

(1) $ \frac{2\arcsin\frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^{2}}} $;

(2) $ \csc x $;

(3) $ \frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln^{2}x}} $;

(4) $ \frac{e^{\arctan\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(1+x)} $;

(5) $ n\sin^{n-1}x\cos(n+1)x $;

(6) $ -\frac{1}{1+x^{2}}; $

(7) $ \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}}(\arccos x)^2 $;

(8) $ \frac{1}{x\ln x\cdot\ln(\ln x)}; $

(9) $ \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}+1-x^{2}}; $

(10) $ -\frac{1}{(1+x)\sqrt{2x(1-x)}}. $

$ \frac{f(x)f'(x)+g(x)g'(x)}{\sqrt{f^2(x)+g^2(x)}}. $

(1) $ 2xf'(x^{2}) $;

(2) $ \sin 2x[f'(sin^{2}x) - f'(cos^{2}x)] $.

(1) $ \mathrm{e}^{-x}(-x^{2}+4x-5) $;

(2) $ \sin 2x\sin(x^2)+2x\sin^2x\cos(x^2) $;

(3) $ \frac{4}{4+x^{2}}\arctan\frac{x}{2}; $

(4) $ \frac{1-n\ln x}{x^{n+1}} $;

(5) $ \frac{4}{e^{2t}+e^{-2t}+2} $或 $ \frac{1}{ch^{2}t} $;

(6) $ \frac{1}{x^{2}}\tan\frac{1}{x}; $

(7) $ \frac{1}{x^{2}}\sin\frac{2}{x}\cdot e^{-\sin^{2}\frac{1}{x}} $;

(8) $ \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}} $;

(9) $ \arcsin\frac{x}{2} $;

(10) $ y' = \begin{cases} \dfrac{2}{1+t^2}, & |t|<1, \\ -\dfrac{2}{1+t^2}, & |t|>1. \end{cases} $

$ ^{*}12.\ (1)\ \mathrm{sh}(\mathrm{sh}\,x)\cdot\mathrm{ch}\,x; $

(2) $ \mathrm{e}^{\mathrm{ch}x}(\mathrm{ch}x + \mathrm{sh}^{2}x) $;

(3) $ \frac{1}{xch^{2}(\ln x)}; $

(4) (3sh $x+2$)sh $x$ch $x$;

(5) $ -\frac{2x}{\mathrm{ch}^{2}(1-x^{2})}; $

(6) $ \frac{2x}{\sqrt{x^{4}+2x^{2}+2}} $;

(7) $ \frac{2e^{2x}}{\sqrt{e^{4x}-1}} $;

公众号：考研讲课 $ \frac{1}{1+2sh^{2}x} $;

原书第 407 页

(9) $ th^{3}x $; (10) $ \frac{2}{(x+1)^{2}} $sh $ \left(2\cdot\frac{x-1}{x+1}\right) $.

$ f(x)g(x) $ 在 $ x_{0} $ 处可导，其导数为 $ f'(x_{0})g(x_{0}) $.

略.

习题2-3（第100页）

(1) $ 4 - \frac{1}{x^{2}} $;

(2) $ 4e^{2x-1} $;

(3) $ -2\sin x - x\cos x $;

(4) $ -2e^{-t}\cos t; $

(5) $ -\frac{a^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{3/2}}; $

(6) $ -\frac{2(1+x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}; $

(7) $ 2\sec^{2}x\tan x $;

(8) $ \frac{6x(2x^{3}-1)}{(x^{3}+1)^{3}}; $

(9) $ 2\arctan x + \frac{2x}{1+x^{2}} $;

(10) $ \frac{e^{x}(x^{2}-2x+2)}{x^{3}} $;

(11) $ 2x e^{x^2}(3 + 2x^2) $;

(12) $ -\frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{3/2}}. $

$ f''(2) = 207360 $.

(1) $ 2f'(x^2) + 4x^2f''(x^2) $; (2) $ \frac{f''(x)f(x) - [f'(x)]^2}{[f(x)]^2} $.

略.

$ \frac{d^{2}s}{dt^{2}} = -A\omega^{2}\sin\omega t. $

略.

$ \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}=f(x)f'(x) $.

8—9. 略.

(1) $ -4e^{x}\cos x $; (2) $ 2^{50}(-x^{2}\sin 2x+50x\cos 2x+\frac{1\cdot225}{2}\sin 2x) $

$ ^{*} $11. (1) n!;

(2) $ 2^{n-1}\sin\left[2x+(n-1)\frac{\pi}{2}\right] $;

(3) $ (-1)^{n}\frac{(n-2)!}{x^{n-1}} $ (n≥2); (4) $ \mathrm{e}^{x}(x+n) $.

$ ^{*}12.\ (-1)^{n-1}\frac{n!}{n-2}(n\geqslant3). $

原书第 408 页

习题2-4（第108页）

(1) $ \frac{y}{y-x} $; (2) $ \frac{ay-x^{2}}{y^{2}-ax} $; (3) $ \frac{e^{x+y}-y}{x-e^{x+y}} $; (4) $ -\frac{e^{y}}{1+xe^{y}} $.

切线方程为 $ x + y - \frac{\sqrt{2}}{2}a = 0 $，法线方程为 x - y = 0.

(1) $ -\frac{1}{y^3} $; (2) $ -\frac{b^4}{a^2 y^3} $; (3) $ -2\csc^2(x+y)\cot^3(x+y) $;

(4) $ \frac{e^{2y}(3-y)}{(2-y)^3} $.

(1) $ \left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}\left(\ln\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}\right) $;

(2）$\frac{1}{5}\sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^{2}+2}}}\left[\frac{1}{x-5}-\frac{2x}{5\left(x^{2}+2\right)}\right]$;

(3) $ \frac{\sqrt{x+2}(3-x)^{4}}{(x+1)^{5}}\left[\frac{1}{2(x+2)}-\frac{4}{3-x}-\frac{5}{x+1}\right] $;

(4) $ \frac{1}{2}\sqrt{x\sin x\sqrt{1-\mathrm{e}^{x}}}\left[\frac{1}{x}+\cot x-\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\left(1-\mathrm{e}^{x}\right)}\right] $.

(1) $ \frac{3b}{2a}t $; (2) $ \frac{\cos\theta-\theta\sin\theta}{1-\sin\theta-\theta\cos\theta} $

$ \sqrt{3}-2 $

7.（1）切线方程为 $ 2\sqrt{2}x+y-2=0 $，法线方程为 $ \sqrt{2}x-4y-1=0 $；

（2）切线方程为 $ 4x+3y-12a=0 $，法线方程为 $ 3x-4y+6a=0 $。

(1) $ \frac{1}{t^3} $; (2) $ -\frac{b}{a^2\sin^3t} $; (3) $ \frac{4}{9}e^{3t} $; (4) $ \frac{1}{f''(t)} $.

$ ^{*}9.\ (1) -\frac{3}{8t^{5}}(1+t^{2});\ (2)\ \frac{t^{4}-1}{8t^{3}}. $

$ 144\pi \, m^{2}/s $.

$ \frac{16}{25\pi} \approx 0.204 \, \text{m/min} $.

0.64 cm/min.

习题2-5（第120页）

当 $ \Delta x=1 $ 时, $ \Delta y=18 $, dy=11; 当 $ \Delta x=0.1 $ 时, $ \Delta y=1.161 $, dy=1.1; 当 $ \Delta x=0.01 $ 时, $ \Delta y=0.110601 $, dy=0.11.

原书第 409 页

(a) $ \Delta y > 0 $, dy > 0, $ \Delta y - dy > 0 $;

(b) $ \Delta y > 0 $, $ \mathrm{d}y > 0 $, $ \Delta y - \mathrm{d}y < 0 $;

(e) $ \Delta y < 0 $, $ \mathrm{d}y < 0 $, $ \Delta y - \mathrm{d}y < 0 $;

(d) $ \Delta y < 0 $, dy < 0, $ \Delta y - dy > 0 $.

(1) $ \left(-\frac{1}{x^{2}}+\frac{\sqrt{x}}{x}\right)dx $; (2) $ (\sin 2x+2x\cos 2x)dx $;

(3) $ (x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}}dx $; (4) $ \frac{2\ln(1-x)}{x-1}dx $;

(5) $ 2x(1+x)e^{2x}dx $; (6) $ e^{-x}[\sin(3-x)-\cos(3-x)]dx $;

(7) $ \mathrm{d}y=\{\begin{aligned}&\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2}}},-1

(8) $ 8x\tan(1+2x^2)\sec^2(1+2x^2) $ dx;

(9) $ -\frac{2x}{1+x^4}dx $; (10) $ A\omega\cos(\omega t+\varphi)dt $.

(1) $ 2x + C $; (2) $ \frac{3}{2}x^2 + C $; (3) $ \sin t + C $; (4) $ -\frac{1}{\omega} \cos \omega x + C $;

(5) $ \ln(1 + x) + C $; (6) $ -\frac{1}{2} e^{-2x} + C $; (7) $ 2\sqrt{x} + C $; (8) $ \frac{1}{3} \tan 3x + C $

约为 $ \frac{8f}{3l}\Delta f $.

约减少 $ 43.63 \, cm^{2} $，约增加 $ 104.72 \, cm^{2} $.

7.（1）0.87475；（2）-0.96509.

(1) $ 30^{\circ}47' $; (2) $ 60^{\circ}2' $.

$ \tan 45^{\prime} \approx 0.01309 $, $ \ln 1.002 \approx 0.002 $

10.（1）9.9867；（2）2.0052.

$ ^{*}11.0.667\% $.

$ ^{*}12.\ \delta_{\alpha}=0.000\ 56\ rad=1^{\prime}55^{\prime\prime}. $

提示：先求出圆心角 $ \alpha $ 与弦长 l 的函数关系式.

总习题二（第122页）

1.（1）充分，必要；（2）充分必要；（3）充分必要.

3.（D）.

原书第 410 页

$ \frac{dm}{dx}\bigg|_{x=x_0} $

$ -\frac{1}{x^{2}} $

(1) $ f_{-}^{\prime}(0)=f_{+}^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)=1 $;

(2) $ f^{\prime}_{-}(0)=1,f^{\prime}_{+}(0)=0,f^{\prime}(0) $不存在.

在 x=0 处连续，不可导.

(1) $ \frac{\cos x}{|\cos x|} $; (2) $ \frac{1}{1+x^2} $; (3) $ \sin x \cdot \ln \tan x $; (4) $ \frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}} $;

(5) $ x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln x) $.

(1) $ -2\cos 2x \cdot \ln x - \frac{2\sin 2x}{x} - \frac{\cos^2 x}{x^2} $; (2) $ \frac{3x}{(1 - x^2)^{5/2}} $.

*10. (1) $ \frac{1}{m}\left(\frac{1}{m}-1\right)\cdots\left(\frac{1}{m}-n+1\right)(1+x)^{\frac{1}{m}-n} $; (2) $ (-1)^{n}\frac{2\cdot n!}{(1+x)^{n+1}} $.

$ y''(0) = \frac{1}{e^2} $

(1) $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\tan\theta $, $ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{1}{3a}\sec^4\theta\csc\theta $;

(2) $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{t} $, $ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = -\frac{1 + t^2}{t^3} $.

切线方程为 $ x+2y-4=0 $，法线方程为 2x-y-3=0.

切线方程为 y=2x-12.

提示：先求 $ f(1) $, $ f'(1) $，再利用周期性，求 $ f(6) $, $ f'(6) $.

$ y = H \left[ 2 \left( \frac{x}{L} \right)^{3} + 3 \left( \frac{x}{L} \right)^{2} \right] $.

-2.8 km/h.

1.007.

约需加长2.23 cm.

第三章

习题3-1（第132页）

1—4. 略.

公众号：考研讲课

原书第 411 页

有分别位于区间(1,2),(2,3)及(3,4)内的三个根.

6— $ ^{*}13 $. 略.

提示：令 $ \varphi(x)=f(x)\mathrm{e}^{-x} $，先证明 $ \varphi(x) $ 为常数.

略.

习题3-2（第137页）

(1) 1; (2) 2; (3) 2; (4) $ -\frac{3}{5} $; (5) $ -\frac{1}{8} $; (6) $ \frac{m}{n}a^{m-n} $;

(7) 1; (8) 3; (9) 1; (10) 1; (11) $ \frac{1}{2} $; (12) $ \infty $;

(13) $ -\frac{1}{2} $; (14) $ e^{a} $; (15) 1; (16) 1.

2—3. 略.

$ ^{*} $4. 连续.

习题3-3（第143页）

$$ f(x)=-56+21(x-4)+37(x-4)^{2}+11(x-4)^{3}+(x-4)^{4}. $$

$ f(x) = x^6 - 9x^5 + 30x^4 - 45x^3 + 30x^2 - 9x + 1 $.

$ \sqrt{x} = 2 + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac{1}{512}(x-4)^3 - \frac{15(x-4)^4}{4! 16[4+\theta(x-4)]^{\frac{7}{2}}}\,(0<\theta<1) $.

$ \ln x = \ln 2 + \frac{1}{2}(x-2) - \frac{1}{2^3}(x-2)^2 + \frac{1}{3\cdot2^3}(x-2)^3 - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{1}{n\cdot2^n}(x-2)^n + o((x-2)^n) $.

$ \frac{1}{x} = -\left[1 + (x+1) + (x+1)^2 + \cdots + (x+1)^n\right] + (-1)^{n+1} \frac{(x+1)^{n+1}}{[-1+\theta(x+1)]^{n+2}} (0 < \theta < 1). $

$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^{3} + o\left(x^{3}\right) $.

$ x e^{x} = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n}}{(n-1)!} + o(x^{n}) $

$ \sqrt{e} \approx 1.645 $.

(1) $ \sqrt[3]{30} \approx 3.107 $ 24, $ |R_3| < 1.88 \times 10^{-5} $

原书第 412 页

(2) $ \sin 18^\circ \approx 0.309\ 0 $, $ |R_3| < 1.3 \times 10^{-4} $.

$ ^{*}10.\ (1)\ \frac{3}{2};\quad(2)\ \frac{1}{6};\quad(3)\ -\frac{1}{12};\quad(4)\ \frac{1}{2}. $

习题3-4（第150页）

单调减少.

单调增加.

3.（1）在 $ (-∞, -1] $、 $ [3, +∞) $内单调增加，在 $ [-1, 3] $上单调减少；

(2) 在 $ (0,2] $内单调减少，在 $ [2,+\infty) $内单调增加；

(3) 在 $ (-∞,0) $， $ \left(0,\frac{1}{2}\right] $， $ [1,+∞) $内单调减少，在 $ \left[\frac{1}{2},1\right] $上单调增加；

(4) 在 $ (-∞,+∞) $内单调增加；

(5) 在 $ \left(-\infty, \frac{1}{2}\right] $ 内单调减少，在 $ \left[\frac{1}{2}, +\infty\right) $ 内单调增加；

(6) 在 $ \left(-\infty, \frac{2}{3}a\right], [a, +\infty) $内单调增加，在 $ \left[\frac{2}{3}a, a\right] $上单调减少；

(7) 在 $ [0,n] $ 上单调增加，在 $ [n,+\infty) $ 内单调减少；

(8) 在 $ \left[\frac{k\pi}{2},\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right] $ 上单调增加，在 $ \left[\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3},\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right] $ 上单调减少 $ (k\in\mathbf{Z}) $.

4.（D）.

略.

当 $ a > \frac{1}{e} $ 时没有实根，当 $ 0 < a < \frac{1}{e} $ 时有两个实根，当 $ a = \frac{1}{e} $ 时只有 x = e 一个实根.

不一定. $ f(x)=x+\sin x $ 在 $ (-\infty,+\infty) $ 内单调，但 $ f'(x) $ 在 $ (-\infty,+\infty) $ 内不单调.

略.

9.（1）是凸的；

(2) 在 $ (-∞,0] $内是凸的，在 $ [0,+∞) $内是凹的；

（3）是凹的；（4）是凹的.

(1) 拐点 $ \left(\frac{5}{3},\frac{20}{27}\right) $，在 $ \left(-\infty,\frac{5}{3}\right] $内是凸的，在 $ \left[\frac{5}{3},+\infty\right) $内是凹的；

(2) 拐点 $ \left(2,\frac{2}{\mathrm{e}^{2}}\right) $，在 $ (-\infty,2] $内是凸的，在 $ [2,+\infty) $内是凹的；

（3）没有拐点，处处是凹的；

原书第 413 页

（4）拐点 $ (-1,\ln2) $， $ (1,\ln2) $，在 $ (-∞,-1] $， $ [1,+∞) $内是凸的，在 $ [-1,1] $上是凹的；

(5) 拐点 $ \left(\frac{1}{2}, e^{\arctan\frac{1}{2}}\right) $，在 $ \left(-\infty, \frac{1}{2}\right] $内是凹的，在 $ \left[\frac{1}{2}, +\infty\right) $内是凸的；

(6) 拐点 $ (1,-7) $，在 $ (0,1] $内是凸的，在 $ [1,+\infty) $内是凹的.

略.

*12. 拐点： $ (-1,-1) $， $ \left(2-\sqrt{3},\frac{1-\sqrt{3}}{4(2-\sqrt{3})}\right) $， $ \left(2+\sqrt{3},\frac{1+\sqrt{3}}{4(2+\sqrt{3})}\right) $.

$ a = -\frac{3}{2}, b = \frac{9}{2} $.

a=1, b=-3, c=-24, d=16.

$ k = \pm \frac{\sqrt{2}}{8} $.

$ ^{*} $16. $ (x_{0},f(x_{0})) $为拐点.

习题3-5（第161页）

1.（1）极大值 $ f(-1)=17 $，极小值 $ f(3)=-47 $；

(2) 极小值 $ f(0)=0 $;

（3）极大值 $ f(\pm1)=1 $，极小值 $ f(0)=0 $；

（4）极大值 $ f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{5}{4} $;

(5) 极大值 $ f\left(\frac{12}{5}\right)=\frac{1}{10}\sqrt{205} $;

(6) 极大值 $ f(0)=4 $ ，极小值 $ f(-2)=\frac{8}{3} $ ；

(7) 极大值 $ f\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{\pi}{4}+2k\pi} $，极小值 $ f\left(\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi}(k\in\mathbf{Z}) $；

（8）极大值 $ f(e)=e^{\frac{1}{e}} $；（9）没有极值；（10）没有极值.

略.

$ a=2 $, $ f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} $ 为极大值.

略.

极小值 $ f(0)=4 $.

原书第 414 页

(1) 最大值 $ f(4)=80 $ , 最小值 $ f(-1)=-5 $ ;

(2) 最大值 $ f(3)=11 $ ，最小值 $ f(2)=-14 $ ；

(3) 最大值 $ f\left(\frac{3}{4}\right)=1.25 $，最小值 $ f(-5)=-5+\sqrt{6} $.

当 x=1 时函数有最大值-29.

当 x = -3 时函数有最小值 27.

当 x=1 时函数有最大值 $ \frac{1}{2} $.

长为 $ 10 \, m $，宽为 $ 5 \, m $.

$ r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} $, $ h = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} $; $ d : h = 1 : 1 $.

底宽为 $ \sqrt{\frac{40}{4+\pi}}=2.367 $ (m).

当 $ \alpha = \arctan \mu = \arctan 0.25 \approx 14^{\circ}2' $ 时，可使力 F 最小.

杆长为1.4 m.

$ \varphi = \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi $.

当 $ \varphi=54^{\circ}13' $ 时，屋架可吊到最大高度 7.506 m，而柱子高只有 6 m，所以能吊得上去.

提示：设吊臂对地面的倾角为 $ \varphi $ 时，屋架吊起的高度为 h，建立 h 与 $ \varphi $ 间的函数关系式，然后求出 h 的最大值.

17.7 200元.

60 元.

习题3-6（第167页）

在 $ (-∞, -2] $内单调减少，在 $ [-2, +∞) $内单调增加；在 $ (-∞, -1] $， $ [1, +∞) $内是凹的，在 $ [-1, 1] $上是凸的；拐点 $ \left(-1, -\frac{6}{5}\right) $， $ (1, 2) $。

对称于原点；在 $ (-∞,-1] $， $ [1,+∞) $内单调减少，在 $ [-1,1] $上单调增加；在 $ (-∞,-\sqrt{3}] $， $ [0,\sqrt{3}] $上是凸的，在 $ [-√3,0] $， $ [\sqrt{3},+∞) $内是凹的；拐点 $ \left(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) $， $ (0,0) $， $ \left(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{4}\right) $；水平渐近线y=0.

在 $ (-∞,1] $内单调增加，在 $ [1,+∞) $内单调减少；在 $ \left(-∞,1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right] $

原书第 415 页

$ \left[1+\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty\right) $ 内是凹的，在 $ \left[1-\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right] $ 上是凸的；拐点 $ \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{\sqrt{e}}\right) $， $ \left(1+\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{\sqrt{e}}\right) $；水平渐近线 y=0.

在 $ (-∞,0) $， $ \left(0,\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right] $内单调减少，在 $ \left[\frac{\sqrt[3]{4}}{2},+∞\right) $内单调增加；在 $ (-∞,-1] $， $ (0,+∞) $内是凹的，在 $ [-1,0) $内是凸的；拐点 $ (-1,0) $；铅直渐近线x=0.

定义域为 $ x \neq \left( \frac{k}{2} + \frac{1}{4} \right) \pi $ ( $ k \in \mathbf{Z} $); 周期为 $ 2\pi $; 图形对称于 y 轴; 在 $ [0, \pi] $ 部分: 在 $ [0, \frac{\pi}{4}) $, $ \left( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right) $, $ \left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right] $ 内单调增加; 在 $ [0, \frac{\pi}{4}) $ 内是凹的, 在 $ \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right] $ 内是凸的, 在 $ \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} \right] $ 内是凹的, 在 $ \left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right] $ 内是凸的; 拐点 $ \left( \frac{\pi}{2}, 0 \right) $; 铅直渐近线 $ x = \frac{\pi}{4} $, $ x = \frac{3\pi}{4} $.

习题3-7（第176页）

K=2.

$ K = |\cos x|, \rho = |\sec x| $.

$ K=2, \rho=\frac{1}{2} $

$ K = \left| \frac{2}{3a\sin 2t_0} \right| $

$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\ln 2}{2}\right) $ 处曲率半径有最小值 $ \frac{3\sqrt{3}}{2} $

$ ^{*}6. $ 略.

约 1 246 N.

提示:沿曲线运动的物体所受的向心力为 $ F=\frac{mv^{2}}{\rho} $，这里 m 为物体的质量，v 为它的速率， $ \rho $ 为运动轨迹的曲率半径.

约 45 400 N.

参看上题提示.

$ ^{*}9.\ (\xi-3)^2+(\eta+2)^2=8. $

*10. $ \left(\xi-\frac{\pi-10}{4}\right)^2+\left(\eta-\frac{9}{4}\right)^2=\frac{125}{16} $.

原书第 416 页

*11.$\{\begin{aligned}&\alpha=\frac{3y^{2}}{2p}+p,\\ &\beta=-\frac{y^{3}}{p^{2}}\end{aligned}.$ 或 $27p\beta^{2}=8(\alpha-p)^{3}$

习题3-8（第181页）

0.18 < $ \xi $ < 0.19.

-0.20<ξ<-0.19.

0.32 < $ \xi $ < 0.33.

2.50<ξ<2.51.

总习题三（第181页）

2.（1）（B）；（2）（D）.

$ f(x) = |x| $, $ x \in [-1, 1] $.

5—9. 略.

(1) 2; (2) $ \frac{1}{2} $; (3) $ e^{-\frac{2}{\pi}} $; (4) $ a_{1}a_{2}\cdots a_{n} $.

(1) $ x^3 \ln x = (x-1) + \frac{5}{2!}(x-1)^2 + \frac{11}{3!}(x-1)^3 + \frac{6}{4!}(x-1)^4 - \frac{6}{5!}\xi^2(x-1)^5 $，其中 $ \xi $ 介于 1 与 $ x $ 之间；

(2) $ \arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4}) $;

(3) $ \mathrm{e}^{\sin x}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+o\left(x^{3}\right) $;

(4) $ \ln \cos x = -\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{12}x^{4} - \frac{1}{45}x^{6} + o(x^{6}) $.

略.

$ a = e^{e} $，最小值 $ 1 - \frac{1}{e} $

(1,2) 和 (-1,-2).

$ \sqrt[3]{3} $.

$ \left(\frac{\pi}{2},1\right) $处曲率半径有最小值.1.考研讲课

原书第 417 页

2.414< $ \xi $<2.415.

$ ^{*} $18. 提示：可以先用一次洛必达法则.

提示：记 $ x_{0}=(1-t)x_{1}+tx_{2} $，先证

$$ f(x)\geqslant f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) $$

然后在上式中分别令 $ x=x_{1} $ 及 $ x=x_{2} $，可得两个不等式，由此推出结论.

$ a = \frac{4}{3}, b = -\frac{1}{3} $.

第四章

习题4-1（第192页）

略.

(1) $ -\frac{1}{x} + C $;

(2）$\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C$;

(3) $ 2\sqrt{x} + C $;

(4) $ \frac{3}{10}x^{\frac{10}{3}}+C $;

(5) $ -\frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}}+C $;

(6) $ \frac{m}{m+n}x^{\frac{m+n}{m}}+C $;

(7) $ \frac{5}{4}x^{4}+C $;

(8) $ \frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{2}x^{2}+2x+C $;

(9) $ \sqrt{\frac{2h}{g}} + C $;

(10) $ \frac{x^{5}}{5}+\frac{2}{3}x^{3}+x+C $;

(11) $ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - x + C $;

(12) $ 2\sqrt{x}-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C; $

(13) $ 2e^x + 3\ln|x| + C $;

(14) $ 3 \arctan x - 2 \arcsin x + C $;

(15) $ e^x - 2\sqrt{x} + C $;

(16) $ \frac{3^{x}e^{x}}{\ln3+1}+C; $

(17) $ 2x - \frac{5\left(\frac{2}{3}\right)^x}{\ln 2 - \ln 3} + C $;

(18) $ \tan x - \sec x + C $;

(19) $ \frac{x+\sin x}{2}+C $;

(20) $ \frac{1}{2}\tan x+C $;

(21) $ \sin x - \cos x + C $;

(22) $ -\left(\cot x + \tan x\right) + C $

(23) $ -\cot x - x + C $;

(24) $ -\cos\theta + \theta + C $;

(25) $ x - \arctan x + C $; 公众号: $ 26 $ $ x - x + \arctan x + C $.

原书第 418 页

$$ (22)\ln|\tan x|+C; $$

$$ -\frac{1}{x\ln x}+C; $$

$$ \left(\arctan\sqrt{x}\right)^{2}+C; $$

$$ (19) \quad -\ln|\cos\sqrt{1+x^{2}}|+C; $$

$$ -\frac{10^{2\arccos x}}{2\ln10}+C; $$

$$ -\frac{1}{\arcsin x}+C; $$

$$ (16)\ln|\ln x|+C; $$

$$ (15)\ \frac{1}{11}\tan^{11}x+C; $$

$$ (14)\frac{3}{2}\sqrt[3]{(\sin x-\cos x)^{2}}+C; $$

$$ \frac{1}{2\cos^{2}x}+C; $$

$$ (12)-\frac{1}{3\omega}\cos^{3}(\omega t+\varphi)+C; $$

$$ (11)\frac{1}{2}\ln(x^{2}+2x+5)+C; $$

$$ (10)-\frac{3}{4}\ln\left|1-x^{4}\right|+C; $$

$$ -\frac{1}{3}(2-3x^{2})^{\frac{1}{2}}+C; $$

$$ (8)\frac{1}{2}\sin(x^{2})+C; $$

$$ (7)\quad-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x^{2}}+C; $$

$$ (6)\ -2\cos\sqrt{t}+C; $$

$$ -\frac{1}{a}\cos ax-b e^{\frac{x}{b}}+C; $$

$$ (4)-\frac{1}{2}(2-3x)^{\frac{2}{3}}+C; $$

$$ (3)\quad-\frac{1}{2}\ln|1-2x|+C; $$

$$ (2)-\frac{1}{8}(3-2x)^{4}+C; $$

$$ 2.\quad(1)\quad\frac{1}{5}\mathrm{e}^{5t}+C; $$

$$ (14)\;-1. $$

$$ (8)-2;\quad(9)-\frac{2}{3};\quad(10)\frac{1}{5};\quad(11)-\frac{1}{5};\quad(12)\frac{1}{3};\quad(13)-1; $$

$$ 1.\quad(1)\quad\frac{1}{a};\quad(2)\quad\frac{1}{7};\quad(3)\quad\frac{1}{2};\quad(4)\quad\frac{1}{10};\quad(5)\quad-\frac{1}{2};\quad(6)\quad\frac{1}{12};\quad(7)\quad\frac{1}{2}; $$

习题4-2（第207页）

$$ 7.\ 略 . $$

$$ 6.(1)27m;(2)\sqrt[3]{360}\approx7.11(s). $$

$$ 5.y=\ln x+1. $$

答:刹车加速度为 $ -4\ m/s^{2} $

$$ 4.\quad(1)\ s=20t-\frac{1}{2}kt^{2};\qquad(2)\ t=\frac{20}{k},s=\frac{200}{k};\qquad(3)\ k=4. $$

$$ 3.\quad(1)\quad y=\frac{1}{3}\left(x^{3}-6x^{2}+12x-8\right);\quad(2)\quad x=\frac{1}{t}+2t-2. $$

公众号：考研讲课

原书第 419 页

(23) $ \frac{1}{2}(\ln \tan x)^2 + C $; (24) $ \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C $;

(25) $ \frac{t}{2} + \frac{1}{4\omega} \sin 2(\omega t + \varphi) + C $; (26) $ \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{10} \cos 5x + C $;

(27) $ \frac{1}{3} \sin \frac{3x}{2} + \sin \frac{x}{2} + C $; (28) $ \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{24} \sin 12x + C $;

(29) $ \frac{1}{3} \sec^3 x - \sec x + C $; (30) $ \arctan e^x + C $;

(31) $ \frac{1}{2} \arcsin \frac{2x}{3} + \frac{1}{4} \sqrt{9 - 4x^2} + C $;

(32) $ \frac{x^2}{2} - \frac{9}{2} \ln (x^2 + 9) + C $; (33) $ \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln \left| \frac{\sqrt{2} x - 1}{\sqrt{2} x + 1} \right| + C $;

(34) $ \frac{1}{3} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 1} \right| + C $; (35) $ \frac{2}{3} \ln |x - 2| + \frac{1}{3} \ln |x + 1| + C $

(36) $ \frac{a^2}{2} \left( \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x}{a^2} \sqrt{a^2 - x^2} \right) + C $;

(37) $ \arccos \frac{1}{|x|} + C $; (38) $ \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} + C $;

(39) $ \sqrt{x^2 - 9} - 3 \arccos \frac{3}{|x|} + C $; (40) $ \sqrt{2x} - \ln (1 + \sqrt{2x}) + C $;

(41) $ \arcsin x - \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} + C $;

(42) $ \frac{1}{2} (\arcsin x + \ln |x + \sqrt{1 - x^2}|) + C $;

(43) $ \frac{1}{2} \ln (x^2 + 2x + 3) - \sqrt{2} \arctan \frac{x + 1}{\sqrt{2}} + C $;

(44) $ \frac{1}{2} \left( \frac{x + 1}{x^2 + 1} + \ln (x^2 + 1) + \arctan x \right) + C $.

习题4-3（第212页）

$ -x\cos x + \sin x + C $

$ x(\ln x-1)+C $

$ x\arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} + C $.

$ -e^{-x}(x+1)+C $

$ \frac{1}{3}x^{3}\ln x - \frac{1}{9}x^{3} + C. $

原书第 420 页

$$ 1.\frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+9x-27\ln|x+3|+C. $$

习题4-4（第218页）

$$ \begin{aligned}&6.\ \frac{\mathrm{e}^{-x}}{2}(\sin x-\cos x)+C.\\ &7.\ -\frac{2}{17}\mathrm{e}^{-2x}\left(\cos\frac{x}{2}+4\sin\frac{x}{2}\right)+C.\\ &8.\ 2x\sin\frac{x}{2}+4\cos\frac{x}{2}+C.\\ &9.\ \frac{1}{3}x^{3}\arctan x-\frac{1}{6}x^{2}+\frac{1}{6}\ln(1+x^{2})+C.\\ &10.\ -\frac{1}{2}x^{2}+x\tan x+\ln\ln\cos x\mid+C.\\ &11.\ x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C.\\ &12.\ -\frac{\mathrm{e}^{-2t}}{2}\left(t+\frac{1}{2}\right)+C.\\ &13.\ x\ln^{2}x-2x\ln x+2x+C.\\ &14.\ -\frac{1}{4}x\cos2x+\frac{1}{8}\sin2x+C.\\ &15.\ \frac{x^{3}}{6}+\frac{1}{2}x^{2}\sin x+x\cos x-\sin x+C.\\ &16.\ \frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)\ln(x-1)-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+C.\\ &17.\ -\frac{1}{2}\left(x^{2}-\frac{3}{2}\right)\cos2x+\frac{x}{2}\sin2x+C.\\ &18.\ -\frac{1}{x}(\ln^{3}x+3\ln^{2}x+6\ln x+6)+C.\\ &19.\ 3\mathrm{e}^{3\sqrt{x}}(\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+2)+C.\\ &20.\ \frac{x}{2}(\cos\ln x+\sin\ln x)+C.\\ &21.\ x(\arcsin x)^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x-2x+C\\ &22.\ \frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}-\frac{1}{5}\mathrm{e}^{x}\sin2x-\frac{1}{10}\mathrm{e}^{x}\cos2x+C.\\ &23.\ \frac{1}{2}x^{2}\left(\ln^{2}x-\ln x+\frac{1}{2}\right)+C.\\ &24.\ \frac{2}{3}(\sqrt{3x+9}-1)\mathrm{e}^{\sqrt{3x+9}}+C.\\ \end{aligned} $$

原书第 421 页

$ \ln|x-2|+\ln|x+5|+C $

$ \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-2x+5\right)+\arctan\frac{x-1}{2}+C. $

$ \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C $.

$ \ln|x+1|-\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-x+1\right)+\sqrt{3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C. $

$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln |x^2 - 1| + C $.

$ 2\ln|x+2|-\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{3}{2}\ln|x+3|+C. $

$$ \frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+x+8\ln\left|x\right|-4\ln\left|x+1\right|-3\ln\left|x-1\right|+C. $$

$ \ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x+1| - \frac{1}{4}\ln\left(x^2 + 1\right) - \frac{1}{2}\arctan x + C $.

$ \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{1}{2}\arctan x+C. $

$ -\frac{1}{2}\ln\frac{x^{2}+1}{x^{2}+x+1}+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C. $

$ \arctan x - \frac{1}{x^{2} + 1} + C $.

$ -\frac{x+1}{x^{2}+x+1}-\frac{4}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C. $

$$ \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan\frac{2\tan x}{\sqrt{3}}+C. $$

$ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{2}}+C. $

$ \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt{3}}+C. $

$ \ln\left|1 + \tan\frac{x}{2}\right| + C $

$ \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\frac{3\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt{5}}+C. $

原书第 422 页

$$ \frac{3}{2}\sqrt[3]{\left(1+x\right)^{2}}-3\sqrt[3]{x+1}+3\ln\left|1+\sqrt[3]{1+x}\right|+C. $$

$ \frac{1}{2}x^{2}-\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+x-4\sqrt{x}+4\ln(\sqrt{x}+1)+C. $

$ x - 4\sqrt{x + 1} + 4\ln(\sqrt{1 + x} + 1) + C $

$ 2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln\left(\sqrt[4]{x} + 1\right) + C. $

$ \ln\left|\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}\right|+2\arctan\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+C $ 或 $ \ln\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{|x|}-\arcsin x+C $

$ -\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+C. $

习题4-5（第221页）

$ \frac{1}{2}\ln|2x+\sqrt{4x^{2}-9}|+C. $

$ \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2}+C. $

$ \ln\left[(x-2)+\sqrt{5-4x+x^{2}}\right]+C. $

$ \frac{x}{2}\sqrt{2x^{2}+9}+\frac{9\sqrt{2}}{4}\ln(\sqrt{2}x+\sqrt{2x^{2}+9})+C. $

$ \frac{x}{2}\sqrt{3x^{2}-2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\ln|\sqrt{3}x+\sqrt{3x^{2}-2}|+C. $

$ \frac{e^{2x}}{5}(\sin x+2\cos x)+C. $

$ \left(\frac{x^{2}}{2}-1\right)\arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{4}\sqrt{4-x^{2}}+C. $

$ \frac{x}{18(9+x^{2})}+\frac{1}{54}\arctan\frac{x}{3}+C. $

$ -\frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\ln|\tan\frac{x}{2}| + C. $

$ -\frac{e^{-2x}}{13}(2\sin 3x+3\cos 3x)+C. $

$ -\frac{\sin 8x}{16} + \frac{\sin 2x}{4} + C. $

$ x\ln^{3}x - 3x\ln^{2}x + 6x\ln x - 6x + C $

$ -\frac{1}{x}-\ln\left|\frac{1-x}{x}\right|+C. $ 公众号：考研讲课

原书第 423 页

$ 2\sqrt{x-1}-2\arctan\sqrt{x-1}+C. $

$ \frac{x}{2(1+x^{2})}+\frac{1}{2}\arctan x+C. $

$ \arccos\frac{1}{\left|x\right|}+C $

$ \frac{1}{9}\left(\ln|2+3x|+\frac{2}{2+3x}\right)+C. $

$ \frac{\cos^{5}x\sin x}{6}+\frac{5\cos^{3}x\sin x}{24}+\frac{5}{32}(2x+\sin2x)+C. $

$ \frac{x(x^2-1)\sqrt{x^2-2}}{4}-\frac{1}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-2}|+C. $

$ \frac{1}{\sqrt{21}}\ln\left|\frac{\sqrt{3}\tan\frac{x}{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{3}\tan\frac{x}{2}-\sqrt{7}}\right|+C. $

$ \frac{\sqrt{2x-1}}{x} + 2\arctan\sqrt{2x-1} + C. $

$ \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} + C $.

$ \frac{1}{2}\ln|x^2-2x-1|+\frac{3}{\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x-1-\sqrt{2}}{x-1+\sqrt{2}}\right|+C. $

$ -\sqrt{1+x-x^{2}}+\frac{1}{2}\arcsin\frac{2x-1}{\sqrt{5}}+C. $

$ \frac{1}{12}x^{3}-\frac{25}{16}x+\frac{125}{32}\arctan\frac{2x}{5}+C. $

总习题四（第222页）

(1) $ (x^{3}-3x^{2}+6x-6)e^{x^{2}}+C;\quad(2)\frac{1}{2}\ln(x^{2}-6x+13)+4\arctan\frac{x-3}{2}+C $

2.（1）（B）；（2）（C）.

$ x^{2}\cos x - 4x\sin x - 6\cos x + C $

(1) $ \frac{1}{2}\ln\frac{|\mathrm{e}^{x}-1|}{\mathrm{e}^{x}+1}+C $;

(2) $ \frac{1}{2(1-x)^{2}}-\frac{1}{1-x}+C $;

(3) $ \frac{1}{6a^{3}}\ln\left|\frac{a^{3}+x^{3}}{a^{3}-x^{3}}\right|+C $;

原书第 424 页

$$ \frac{x^{4}}{8\left(1+x^{8}\right)}+\frac{1}{8}\arctan x^{4}+C; $$

$$ \sqrt{2}\ln\left(\left|\csc\frac{x}{2}\right|-\left|\cot\frac{x}{2}\right|\right)+C; $$

$$ (x+1)\arctan\sqrt{x}-\sqrt{x}+C; $$

$$ \frac{\sin x}{2\cos^{2}x}-\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C; $$

$$ (19)x\ln(1+x^{2})-2x+2\arctan x+C; $$

$$ (4-2x)\cos\sqrt{x}+4\sqrt{x}\sin\sqrt{x}+C; $$

$$ -\frac{\sqrt{(1+x^{2})^{3}}}{3x^{3}}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}+C; $$

$$ \frac{1}{3a^{4}}\left[\frac{3x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}+\frac{x^{3}}{\sqrt{(a^{2}-x^{2})^{3}}}\right]+C; $$

$$ \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C; $$

$$ (14)\ln\frac{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}-1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}+1}+C; $$

$$ \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\mathrm{e}^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C; $$

$$ (12)\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{4}\sin2x+\frac{1}{8}\cos2x+C; $$

$$ \ln\left|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x(x+1)}\right|+C; $$

$$ a\arcsin\frac{x}{a}-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C; $$

$$ \frac{1}{4}\ln|x|-\frac{1}{24}\ln\left(x^{6}+4\right)+C; $$

$$ \frac{1}{8}\left(\frac{1}{3}\cos6x-\frac{1}{2}\cos4x-\cos2x\right)+C; $$

$$ (7)\frac{1}{3}\tan^{3}x-\tan x+C; $$

$$ \frac{1}{2}\arctan\sin^{2}x+C; $$

$$ (5)\ln x(\ln\ln x-1)+C; $$

$$ 代众号：考研讲课 \quad(4)\ \ln|x+\sin x|+C； $$

原书第 425 页

$$ (40)\left.\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)-\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\tan(x/2)-1+\sqrt{2}}{\tan(x/2)-1-\sqrt{2}}\right|\right.+C. $$

$$ (39)\frac{1}{3}\ln(2+\cos x)-\frac{1}{2}\ln(1+\cos x)+\frac{1}{6}\ln(1-\cos x)+C; $$

$$ (38)\ln|\tan x|-\frac{1}{2\sin^{2}x}+C; $$

$$ (37)~\operatorname{-l n}\operatorname{l c s c}x+1\operatorname{|}+C; $$

$$ (36)\quad-\frac{1}{3}\sqrt{1-x^{2}}\left(x^{2}+2\right)\operatorname{arccos} x-\frac{1}{9}x\left(x^{2}+6\right)+C; $$

$$ (35)\frac{1}{4}(\arcsin x)^{2}+\frac{x}{2}\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x-\frac{x^{2}}{4}+C; $$

$$ (34)\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^{2}}}-\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})+C; $$

$$ (33)x\ln^{2}(x+\sqrt{1+x^{2}})-2\sqrt{1+x^{2}}\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})+2x+C; $$

$$ \frac{x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}-\ln(1+\mathrm{e}^{x})+C; $$

$$ (31)\ \arctan(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x})+C; $$

$$ \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}+\ln\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}+C; $$

$$ \ln\frac{x}{\left(\sqrt[6]{x}+1\right)^{6}}+C; $$

$$ (28)\mathrm{~e}^{\sin x}(x-\sec x)+C; $$

$$ (27)x\tan\frac{x}{2}+C； $$

$$ \frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}}+x+C\ 或 \ \sec x+x-\tan x+C； $$

$$ (25)\left.\frac{1}{32}\ln\left|\frac{2+x}{2-x}\right|+\frac{1}{16}\arctan\frac{x}{2}+C\right. $$

$$ (24)\quad\frac{x^{4}}{4}+\ln\frac{\sqrt[4]{x^{4}+1}}{x^{4}+2}+C； $$

原书第 426 页

习题5-1（第236页）

$ 1. \frac{1}{3}(b^{3}-a^{3})+b-a. $

$ ^{*}2.\ (1)\ \frac{1}{2}(b^{2}-a^{2});\ (2)\ e-1. $

略.

(1) $ \frac{1}{2}t^{2} $; (2) 21; (3) $ \frac{5}{2} $; (4) $ \frac{9\pi}{2} $.

a=0, b=1.

$ \ln 2 \approx 0.6931 $

(1) 6; (2) -2; (3) -3; (4) 5.

88.2 kN.

略.

(1) $ 6 \leqslant \int_{1}^{4} (x^{2} + 1) \, dx \leqslant 51 $; (2) $ \pi \leqslant \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi} (1 + \sin^{2}x) \, dx \leqslant 2\pi $;

(3) $ \frac{\pi}{9} \leqslant \int_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^{\sqrt{3}} x \arctan x \, dx \leqslant \frac{2}{3}\pi $; (4) $ -2e^{2} \leqslant \int_{2}^{0} e^{x^{2} - x} \, dx \leqslant -2e^{-\frac{1}{4}} $.

提示：设 $ \int_{0}^{1}f(x)dx=a $，有 $ \int_{0}^{1}\left[f(x)-a\right]^{2}dx\geqslant0 $.

略.

(1) $ \int_{0}^{1} x^{2} dx $ 较大；（2） $ \int_{1}^{2} x^{3} dx $ 较大；（3） $ \int_{1}^{2} \ln x dx $ 较大；

(4) $ \int_{0}^{1}x dx $较大；(5) $ \int_{0}^{1}e^{x}dx $较大.

习题5-2（第244页）

$ 0, \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cot t $.

$ \frac{\cos x}{\sin x-1} $

当 x=0 时.

原书第 427 页

$$ \begin{align*}&\text{(1)0;};\quad(2)\frac{51}{512};\quad(3)\frac{1}{4};\quad(4)\pi-\frac{4}{3};\\&\text{(5)\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}};\quad(6)\frac{\pi}{2};\quad(7)\sqrt{2}(\pi+2);\quad(8)1-\frac{\pi}{4};\\&\text{(9)\frac{\pi}{16}a^{4}};\quad(10)\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3};\quad(11)\frac{1}{6};\quad(12)2+2\ln\frac{2}{3};\\&\text{(13)1-2\ln2};\quad(14)\left(\sqrt{3}-1\right)a;\quad(15)1-e^{-\frac{1}{2}};\quad(16)2(\sqrt{3}-1);\end{align*} $$

习题5-3（第254页）

$$ 16,1. $$

$$ 15.1. $$

$$ 14.\ 略 . $$

$$ 13.\ \Phi(x)=\{\begin{aligned}&0,&x<0,\\ &\frac{1}{2}(1-\cos x),&0\leqslant x\leqslant\pi,\\ &1,&x>\pi.\end{aligned}. $$

$$ (0,2) $$

$$ 12.\ \Phi(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}x^{3},&\quad x\in[0,1),\\\end{array}. $$

$$ ^{11.}(1)1;\quad(2)2. $$

$$ (12)\frac{8}{3}. $$

$$ (6)~\frac{\pi}{3a};\quad(7)~\frac{\pi}{6};\quad(8)~\frac{\pi}{4}+1;\quad(9)-1;\quad(10)~1-\frac{\pi}{4};\quad(11)4; $$

$$ 8.\quad(1)\quad a\left(a^{2}-\frac{a}{2}+1\right);\quad(2)\quad\frac{21}{8};\quad(3)\quad\frac{271}{6};\quad(4)\quad\frac{\pi}{6};\quad(5)\quad\frac{\pi}{3}; $$

$$ 6.\ \frac{1}{\sqrt{2}}. $$

$$ (3)\quad(\sin x-\cos x)\cdot\cos(\pi\sin^{2}x). $$

$$ 5.\quad(1)2x\sqrt{1+x^{4}};\quad(2)\frac{3x^{2}}{1+x^{12}}-\frac{2x}{\sqrt{1+x^{8}}}; $$

原书第 428 页

(17) $ \frac{\pi}{2} $; (18) $ \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} $; (19)0; (20) $ \frac{3}{2}\pi $; (21) $ \frac{\pi^{3}}{324} $;

(22) 0; (23) $ \frac{2}{3} $; (24) $ \frac{4}{3} $; (25) $ 2\sqrt{2} $; (26) 4.

2—6. 略.

(1) $ 1 - \frac{2}{\mathrm{e}} $; (2) $ \frac{1}{4}(\mathrm{e}^{2} + 1) $; (3) $ -\frac{2\pi}{\omega^{2}} $; (4) $ \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{9}\right)\pi + \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} $;

(5) $ 4(2\ln 2-1) $; (6) $ \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} $; (7) $ \frac{1}{5}(e^{\pi}-2) $; (8) $ 2-\frac{3}{4\ln 2} $;

(9) $ \frac{\pi^{3}}{6}-\frac{\pi}{4} $; (10) $ \frac{1}{2} $ (e $ \sin 1-e \cos 1+1 $); (11) $ 2\left(1-\frac{1}{e}\right) $;

(12) $ \{\begin{array}{l}\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot m}{2\cdot4\cdot6\cdot\cdots\cdot(m+1)}\cdot\frac{\pi}{2},\quad m\text{为奇数},\\\frac{2\cdot4\cdot6\cdot\cdots\cdot m}{1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot(m+1)},\quad m\text{为偶数};\end{array}. $

(13) $ J_m = \begin{cases} \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (m-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot m} \cdot \dfrac{\pi^2}{2}, & m \text{ 为偶数}, \\ \dfrac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (m-1)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot m}\pi, & m \text{ 为大于 } 1 \text{ 的奇数}, \end{cases} $

$ J_1 = \pi $.

习题5-4（第262页）

(1) $ \frac{1}{3} $; (2)发散；(3) $ \frac{1}{a} $; (4) $ \frac{\pi}{4} $; (5) $ \frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}} $;

(6) $ \pi $; (7)1; (8)发散；(9) $ \frac{8}{3} $; (10) $ \frac{\pi}{2} $.

当 k>1 时收敛于 $ \frac{1}{(k-1)(\ln 2)^{k-1}} $; 当 k≤1 时发散; 当 $ k=1-\frac{1}{\ln \ln 2} $ 时取得最小值.

习题5-5（第270页）

1.（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散；

（5）收敛；（6）发散；（7）收敛；（8）收敛

略.

原书第 429 页

(1) $ \frac{1}{n}\Gamma\left(\frac{1}{n}\right), n>0 $; (2) $ \Gamma(p+1), p>-1 $;

(3) $ \frac{1}{|n|} \Gamma\left(\frac{m+1}{n}\right), \frac{m+1}{n} > 0 $.

4 —5. 略

总习题五（第270页）

1.（1）必要，充分；（2）充分必要；（3）收敛；（4）不一定；

(5) $ xf(-x^{2}) $

2.（1）（B）；（2）（A）.

3.（1）表示曲线 $ y=f(x) $、 $ y=g(x) $ 和直线 x=a、x=b 所围图形的面积；

(2) 表示曲线 $ y=f(x) $ 和直线 y=0, x=a, x=b 所围曲边梯形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积；

（3）表示 $ [t_{1},t_{2}] $这段时间内流入水池的水量；

（4）表示 $ [T_{1},T_{2}] $这段时期内该国人口增加的数量；

（5）表示该公司经营该种产品自第1001件至第2000件所得利润.

$ 4.\ (1)\ \frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1);\ (2)\ \frac{1}{p+1}. $

(1) $ af(a) $; (2) $ \frac{\pi^{2}}{4} $.

6 —7. 略

提示： $ 1-x^{p}<\frac{1}{1+x^{p}}<1 $.

提示: (1) 对任意实数 t,

$$ \int_{a}^{b}f^{2}(x)dx+2t\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx+t^{2}\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx\geqslant0; $$

(2) 利用柯西-施瓦茨不等式.

提示：利用柯西-施瓦茨不等式.

(1) $ \frac{\pi}{2} $; (2) $ \frac{\pi}{8}\ln 2 $, 提示: 令 $ x = \frac{\pi}{4} - u $; (3) $ \frac{\pi}{4} $; (4) $ 2(\sqrt{2} - 1) $

(5) $ \frac{\pi}{2\sqrt{2}} $; (6) $ \frac{\pi}{2} $; (7) $ \frac{\pi^{2}}{2} + 2\pi - 4 $; (8) $ \mathrm{e}^{-2}\left(\frac{\pi}{2} - \arctan\mathrm{e}^{-1}\right) $;

原书第 430 页

(9) $ \frac{\pi}{2} + \ln(2 + \sqrt{3}) $; (10) $ \begin{cases} \frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}, & \text{当 } x < -1, \\ x, & \text{当 } -1 \leq x \leq 1, \\ \frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{4}, & \text{当 } x > 1. \end{cases} $

12—13. 略.

$ 1 + \ln(1 + e^{-1}) $.

15—16. 略.

$ ^{*} $17.（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛，提示：先分部积分，再判别；

(4) 收敛.

(1) $ -\frac{\pi}{2}\ln 2 $, 提示: $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln \cos x \, dx $;

(2) $ \frac{\pi}{4} $，提示：令 $ x=\frac{1}{t} $

第六章

习题6-2（第286页）

(1) $ \frac{1}{6} $; (2) 1; (3) $ \frac{32}{3} $; (4) $ \frac{32}{3} $.

(1) $ 2\pi + \frac{4}{3} $, $ 6\pi - \frac{4}{3} $; (2) $ \frac{3}{2} - \ln 2 $; (3) $ e + \frac{1}{e} - 2 $; (4) b - a.

$ \frac{9}{4} $

$ \frac{16}{3}p^{2} $

(1) $ \pi a^{2} $; (2) $ \frac{3}{8}\pi a^{2} $; (3) $ 18\pi a^{2} $.

$ 3\pi a^{2} $

$ \frac{a^{2}}{4}(e^{2\pi}-e^{-2\pi}) $.

(1) $ \frac{5}{4}\pi $; (2) $ \frac{\pi}{6}+\frac{1-\sqrt{3}}{2} $.

$ \frac{e}{2} $

原书第 431 页

$$ 29.~\ln\frac{3}{2}+\frac{5}{12}. $$

$$ 28.\ \frac{\sqrt{1+a^{2}}}{a}(\mathrm{e}^{a\varphi}-1). $$

$$ 27.\ \left(\left(\frac{2}{3}\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a,\frac{3}{2}a\right). $$

$$ 26.\ \tfrac{a}{2}\pi^{2}. $$

$$ 25.~6a. $$

$$ \begin{aligned}&22.1+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}.\\ &23.\frac{8}{9}\left[\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-1\right].\\ &24.\frac{y}{2p}\sqrt{p^{2}+y^{2}}+\frac{p}{2}\ln\frac{y+\sqrt{p^{2}+y^{2}}}{p}.\\ \end{aligned} $$

(2) 当 a=1 时， $ V_{1}+V_{2} $ 取得最大值 $ \frac{129}{5}\pi $.

$$ 21.\quad(1)\quad V_{1}=\frac{4\pi}{5}(32-a^{5}),V_{2}=\pi a^{4}; $$

$$ 20.2\pi^{2}. $$

$$ 19.\ 略 . $$

$$ 18.~{\frac{4{\sqrt{3}}}{3}}R^{3}. $$

$$ 17.\ \frac{1}{6}\pi h\left[2\left(ab+AB\right)+aB+bA\right]. $$

$$ 16.2\pi^{7}a^{7}b. $$

$$ 15.\quad(1)\quad\frac{3}{10}\pi;\quad(2)\quad\frac{\pi^{3}}{4}-2\pi;\quad(3)\quad160\pi^{2};\quad(4)\quad7\pi^{2}a^{3}. $$

$$ 13.\ \frac{32}{105}\pi a^{3}. $$

$$ 12.\ \frac{128}{7}\pi,\frac{64}{5}\pi. $$

$$ 11.\ 当 \ p=-\frac{4}{5}\ ,q=3\ 时 ,A\ 达到最大值 \frac{225}{32}. $$

$$ 10.\frac{8}{3}a^{2}. $$

原书第 432 页

习题6-3（第293页）

0.18k J.

$ 800\pi\ln2 $ J.

3.（1）略；（2） $ 9.72 \times 10^{5} $ kJ.

$ \frac{27}{7}kc^{\frac{2}{3}}a^{\frac{7}{3}} $（其中 k 为比例常数）.

$ (\sqrt{2}-1) $ cm.

57 697.5 kJ.

205.8 kN.

17.3 kN.

14 373 kN.

1.65 N.

取 y 轴通过细直棒，则

$$ F_{y}=G m\mu\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+l^{2}}}\right),F_{x}=-\frac{G m\mu l}{a\sqrt{a^{2}+l^{2}}}. $$

引力的大小为 $ \frac{2Gm\mu}{R}\sin\frac{\varphi}{2} $，方向为M指向圆弧的中点.

总习题六（第294页）

(1) $ \frac{37}{12} $; (2) $ 2\sqrt{3}-\frac{4}{3} $.

2.（1）（A）；（2）（D）.

$ \frac{5}{4} $ m.

$ \frac{\pi-1}{4}a^{2} $

$ x = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{y}{2}} $ 或 $ y = \frac{32}{9} x^{2} (x \geq 0) $.

$ a = -\frac{5}{3}, b = 2, c = 0. $

(1) $ \frac{1}{2}e-1 $; (2) $ \frac{\pi}{6}(5e^{2}-12e+3) $

原书第 433 页

$ \frac{512}{7}\pi. $

$$ 4\pi^{2}. $$

$ \sqrt{6} + \ln(\sqrt{2} + \sqrt{3}) $.

$ \frac{4}{3}\pi r^{4}g $.

$ \frac{1}{2}\rho gab(2h+bsin\alpha) $.

$ F_{x}=\frac{3}{5}Ga^{2}, F_{y}=\frac{3}{5}Ga^{2}. $

(1) $ \sqrt{1+r+r^{2}}a\ m $; (2) $ \frac{1}{\sqrt{1-r}}a\ m $.

第七章

习题7-1（第301页）

1.（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶。

2.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）是.

略.

(1) $ y^2 - x^2 = 25 $; (2) $ y = x e^{2x} $; (3) $ y = -\cos x $.

(1) $ y' = x^{2} $; (2) $ yy' + 2x = 0 $.

$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=k\frac{p}{T^{2}} $，k 为比例系数.

6 小时.

习题7-2（第308页）

(1) $ y = e^{cx} $; (2) $ y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{5}x^3 + C $;

(3) $ \arcsin y = \arcsin x + C $; (4) $ \frac{1}{y} = a\ln |x + a - 1| + C $;

(5) $ \tan x \tan y = C $; (6) $ 10^{-y} + 10^{x} = C $;

(7) $ (\mathrm{e}^{x}+1)(\mathrm{e}^{y}-1)=C;\quad(8)\sin x\sin y=C; $

(9) $ 3x^{4} + 4(y + 1)^{3} = C $; (10) $ \because (x - 4)y = Cx $.

原书第 434 页

(1) $ \mathrm{e}^{y} = \frac{1}{2} (\mathrm{e}^{2x} + 1) $; (2) $ \cos x - \sqrt{2} \cos y = 0 $;

(3) $ \ln y = \tan \frac{x}{2} $; (4) $ (1 + e^x) \sec y = 2\sqrt{2} $; (5) $ x^2 y = 4 $.

t = -0.0305 h^{\frac{5}{2}} + 9.64, 水流完所需的时间约为 10 s.

$ v=\sqrt{72\ 500}\approx269.3\ (cm/s) $.

$ R = R_{0} e^{-0.000433 t} $，时间以年为单位.

xy=6.

取 O 为原点，河岸朝顺水方向为 x 轴，y 轴指向对岸，则所求航线为

$$ x=\frac{k}{a}\left(\frac{h}{2}y^{2}-\frac{1}{3}y^{3}\right). $$

习题7-3（第314页）

(1) $ y + \sqrt{y^{2} - x^{2}} = C x^{2} $ (x > 0), $ y - \sqrt{y^{2} - x^{2}} = C $ (x < 0);

(2) $ \ln \frac{y}{x} = Cx + 1 $;

(3) $ y^{2}=x^{2}(2\ln|x|+C) $; (4) $ x^{3}-2y^{3}=Cx $;

(5) $ x^{2} = C\sin^{3}\frac{y}{x} $; (6) $ x + 2ye^{\frac{x}{y}} = C $.

(1) $ y^{3}=y^{2}-x^{2} $; (2) $ y^{2}=2x^{2}(\ln x+2) $; (3) $ \frac{x+y}{x^{2}+\gamma^{2}}=1 $.

$ y = x (1 - 4 \ln x) $.

$ ^{*}4. $ (1) $ (4y-x-3)(y+2x-3)^{2}=C $;

(2) $ \ln\left[4y^{2}+(x-1)^{2}\right]+\arctan\frac{2y}{x-1}=C $;

(3) $ (y-x+1)^{2}(y+x-1)^{5}=C $;

(4) $ x + 3y + 2\ln|x + y - 2| = C $.

习题7-4（第320页）

(1) $ y = e^{-x} (x + C) $

(2） $ y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{3}{2}x+2+\frac{C}{x}; $

(3) $ y = (x + C) e^{-\sin x} $;

(4) $ y = C \cos x - 2 \cos^{2} x $;

(5) $ y = \frac{\sin x + C}{x^{2} - 1} $;

(6) $ 3\rho = 2 + Ce^{-3\theta} $;

(7) $ y = 2 + Ce^{-x^2} $; (8) $ 2x \ln y = \ln^2 y + C $;

(9) $ y = (x - 2)^{3} + C(x - 2) $; 若(10)误 $ x = C y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} $.

原书第 435 页

$$ (10)y=\arcsin\left(C_{2}\mathrm{e}^{x}\right)+C_{1}. $$

$$ x+C_{2}=\pm\left[\frac{2}{3}\left(\sqrt{y}+C_{1}\right)^{\frac{3}{2}}-2C_{1}\sqrt{y}+C_{1}\right] $$

$$ \left(8\right)C_{1}y^{2}-1=\left(C_{1}x+C_{2}\right)^{2}； $$

$$ (7)\ y^{3}=C_{1}x+C_{2}； $$

$$ (6)\ y=C_{1}\ln|x|+C_{2}； $$

$$ y=C_{1}\mathrm{e}^{x}-\frac{1}{2}x^{2}-x+C_{2}; $$

$$ (4)\ \gamma=-\ln|\cos\ \left(x+C_{1}\right)|+C_{2}; $$

$$ y=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C_{1}x+C_{2}; $$

$$ (2)\ y=\left(x-3\right)\mathrm{e}^{x}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}； $$

$$ y=\frac{1}{6}x^{3}-\sin x+C_{1}x+C_{2}; $$

习题7-5（第328页）

$$ \left(5\right)\frac{x^{2}}{y^{2}}=-\frac{2}{3}x^{3}\left(\frac{2}{3}+\ln x\right)+C. $$

$$ (4)\frac{1}{y^{4}}=-x+\frac{1}{4}+C\mathrm{e}^{-4x}； $$

$$ (3)\ \frac{1}{y^{3}}=C\mathrm{e}^{x}-1-2x； $$

$$ (2)\frac{3}{2}x^{2}+\ln\left|1+\frac{3}{y}\right|=C; $$

$$ 8.\quad(1)\quad\frac{1}{y}=-\sin x+Ce^{x}; $$

$$ 2x^{2}y^{2}\ln|y|-2xy-1=Cx^{2}y^{2}. $$

$$ y=1-\sin x-\frac{1}{x+C}; $$

$$ y=\frac{1}{x}\mathrm{e}^{c_{x}}; $$

$$ (2)\left(x-y\right)^{2}=-2x+C； $$

$$ 7.\quad(1)\quad y=-x+\tan\left(x+C\right); $$

$ \ln|x| + \int\frac{g(v)dv}{v[f(v) - g(v)]} = C $，求出后将 v = xy 代回，得通解.

$$ 5.~~i=\mathrm{e}^{-5t}+\sqrt{2}\sin\left(5t-\frac{\pi}{4}\right)~~\mathrm{A}. $$

$$ \begin{aligned}3.\quad&y=2\left(\mathrm{e}^{x}-x-1\right).\\4.\quad&v=\frac{k_{1}}{k_{2}}t-\frac{k_{1}m}{k_{2}^{2}}(1-\mathrm{e}^{-\frac{k_{2}}{m}t}).\end{aligned} $$

$$ (5)~2y=x^{3}-x^{3}\mathrm{e}^{x-2-1}. $$

$$ (3)y\sin x+5\mathrm{e}^{\cos x}=1;\quad(4)y=\frac{2}{3}(4-\mathrm{e}^{-3x}); $$

$$ y=\frac{\pi-1-\cos x}{x}; $$

$$ 2.\quad(1)\quad y=\frac{x}{\cos x}; $$

原书第 436 页

(1) $ y = \sqrt{2x - x^{2}} $; (2) $ y = -\frac{1}{a} \ln(ax + 1) $;

(3) $ y = \frac{1}{a^{3}} e^{ax} - \frac{e^{a}}{2a} x^{2} + \frac{e^{a}}{a^{2}} (a - 1) x + \frac{e^{a}}{2a^{3}} (2a - a^{2} - 2) $;

(4) $ y = \ln \sec x $; (5) $ y = \left( \frac{1}{2}x + 1 \right)^4 $; (6) $ y = \ln \left( e^x + e^{-x} \right) - \ln 2 $.

$ y=\frac{x^{3}}{6}+\frac{x}{2}+1. $

$ s = \frac{mg}{c} \left( t + \frac{m}{c} e^{-\frac{c}{m} t} - \frac{m}{c} \right) $.

习题7-6（第337页）

1.（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性相关；

（4）线性无关；（5）线性无关；（6）线性无关；

(7) 线性相关； (8) 线性无关； (9) 线性无关；

（10）线性无关.

$ y = C_{1} \cos \omega x + C_{2} \sin \omega x $

$ y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x^{2}} $

略.

$ ^{*}5.\ y = C_{1}e^{x} + C_{2}(2x+1). $

$ ^{6} $. $ y = C_{1}x + C_{2}x^{2} + x^{3} $

$ ^{*} $7. $ y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + x\sin x + \cos x\ln|\cos x| $.

$ ^{*} $8. $ y = C_1x + C_2x\ln|x| + \frac{1}{2}x\ln^2|x|. $

习题7-7（第346页）

(1) $ y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-2x} $;

(3) $ y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x $; (4) $ y = e^{-3x}(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x) $;

(5) $ x = (C_1 + C_2 t) e^{\frac{5}{2} t} $; (6) $ y = e^{2x} (C_1 \cos x + C_2 \sin x) $;

(7) $ y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x $;

(8) $ y = (C_{1} + C_{2} x) \cos x + (C_{3} + C_{4} x) \sin x $;

(9) $ y = C_{1} + C_{2}x + \left(C_{3} + C_{4}x\right)e^{x} $;

(10) $ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + C_3 \cos 3x + C_4 \sin 3x $.

(1) $ y = 4e^x + 2e^{3x} $; (2) $ y = (2 + x)e^{-\frac{x}{2}} $; (3) $ y = e^{-x} - e^{4x} $;

(4) $ y = 3e^{-2x} \sin 5x $; (5) $ y = 2\cos 5x + \sin 5x $; (6) $ y = e^{2x} \sin 3x $.

原书第 437 页

坐标系，弹道曲线为

取炮口为原点，炮弹前进的水平方向为 x 轴，铅直向上为 y 轴建立直角

$$ y=\frac{11}{16}+\frac{5}{16}e^{4x}-\frac{5}{4}x. $$

$$ (4)\ y=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}(x^{2}-x)； $$

$$ (3)\ y=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{9x}+\mathrm{e}^{x}\right)-\frac{1}{7}\mathrm{e}^{2x}； $$

$$ (2)\ y=-5\mathrm{e}^{x}+\frac{7}{2}\mathrm{e}^{2x}+\frac{5}{2}； $$

$$ 2.\quad(1)\quad y=-\cos x-\frac{1}{3}\sin x+\frac{1}{3}\sin2x; $$

$$ y=C_{1}\mathrm{e}^{x}+C_{2}\mathrm{e}^{-x}-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\cos2x $$

$$ y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+\frac{e^{x}}{2}+\frac{x}{2}\sin x; $$

$$ y=C_{1}\cos2x+C_{2}\sin2x+\frac{1}{3}x\cos x+\frac{2}{9}\sin x; $$

$$ (7)\ y=C_{1}\mathrm{e}^{-x}+C_{2}\mathrm{e}^{-4x}+\frac{11}{8}-\frac{1}{2}x； $$

$$ (6)\ y=(C_{1}+C_{2}x)\ \mathrm{e}^{3x}+\frac{x^{2}}{2}\bigg(\frac{1}{3}x+1\bigg)\ \mathrm{e}^{3x}； $$

$$ (5)\quad y=\mathrm{e}^{x}(C_{1}\cos2x+C_{2}\sin2x)-\frac{1}{4}x\mathrm{e}^{x}\cos2x; $$

$$ (4)\ y=C_{1}\mathrm{e}^{-x}+C_{2}\mathrm{e}^{-2x}+\left(\frac{3}{2}x^{2}-3x\right)\mathrm{e}^{-x}； $$

$$ y=C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{-\frac{5}{2}x}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{5}x^{2}+\frac{7}{25}x; $$

$$ y=C_{1}\cos ax+C_{2}\sin ax+\frac{e^{x}}{1+a^{2}} $$

$$ 1.\quad(1)\quad y=C_{1}\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}+C_{2}\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}； $$

习题7-8（第354页）

195 kg.

$$ 4.~u_{c}(t)=\frac{10}{9}(19\mathrm{e}^{-10^{3}t}-\mathrm{e}^{-1.9\times10^{4}t})~\mathrm{V};\quad i(t)=\frac{19}{18}\times10^{-2}(-\mathrm{e}^{-10^{3}t}+\mathrm{e}^{-1.9\times10^{4}t})~\mathrm{A}. $$

$$ x=\frac{v_{0}}{\sqrt{k_{2}^{2}+4k_{1}}}\left(1-\mathrm{e}^{-\sqrt{k_{2}^{2}+4k_{1}}t}\right)\mathrm{e}^{-\left(-\frac{k_{2}}{2}+\frac{\sqrt{k_{2}^{2}+4k_{1}}}{2}\right)t}. $$

公众号：考研讲课

习题答案与提示

原书第 438 页

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=v_{0}\cos\alpha\cdot t,}\\ {}&{{}y=v_{0}\sin\alpha\cdot t-\frac{1}{2}g t^{2}.}\\ \end{aligned}. $$

$$ u_{c}(t)=20-20\mathrm{e}^{-5\times10^{3}t}\left[\cos(5\times10^{3}t)+\sin(5\times10^{3}t)\right]\mathrm{V}; $$

$ i(t)=4\times10^{-2}\mathrm{e}^{-5\times10^{3}t}\sin(5\times10^{3}t)\,\mathrm{A}, $

提示：电路方程参见第六节例2.

(1) $ t = \sqrt{\frac{10}{g}} \ln(5 + 2\sqrt{6}) $ s; (2) $ t = \sqrt{\frac{10}{g}} \ln\left(\frac{19 + 4\sqrt{22}}{3}\right) $ s.

$ \varphi(x)=\frac{1}{2}(\cos x+\sin x+\mathrm{e}^{x}) $.

$ ^{*} $习题7-9（第356页）

$ y = C_{1}x + \frac{C_{2}}{x} $

$ y = x \left( C_{1} + C_{2} \ln |x| \right) + x \ln^{2} |x| $.

$ y = C_1 x + C_2 x \ln |x| + C_3 x^{-2} $.

$$ y=C_{1}x+C_{2}x^{2}+\frac{1}{2}\left(\ln^{2}x+\ln x\right)+\frac{1}{4}. $$

$ y = C_{1}x^{2} + C_{2}x^{-2} + \frac{1}{5}x^{3} $

$$ y=x\left[C_{1}\cos\left(\sqrt{3}\ln x\right)+C_{2}\sin\left(\sqrt{3}\ln x\right)\right]+\frac{1}{2}x\sin\left(\ln x\right). $$

$ y = C_{1}x^{2} + C_{2}x^{2}\ln x + x + \frac{1}{6}x^{2}\ln^{3}x. $

$$ y=C_{1}x+x\left[C_{2}\cos\left(\ln x\right)+C_{3}\sin\left(\ln x\right)\right]+\frac{1}{2}x^{2}\left(\ln x-2\right)+3x\ln x. $$

$ ^{*} $习题7-10（第359页）

$$ \{\begin{aligned}{y=}&{{}C_{1}\mathrm{e}^{x}+C_{2}\mathrm{e}^{-x},}\\ {z=}&{{}C_{1}\mathrm{e}^{x}-C_{2}\mathrm{e}^{-x};}\\ \end{aligned}. $$

(2)

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=C_{1}\mathrm{e}^{t}+C_{2}\mathrm{e}^{-t}+C_{3}\cost+C_{4}\sint,}\\ {}&{{}y=C_{1}\mathrm{e}^{t}+C_{2}\mathrm{e}^{-t}-C_{3}\cost-C_{4}\sint;}\\ \end{aligned}. $$

(3)

$$ \{\begin{aligned}{x=3+C_{1}\cost+}&{{}C_{2}\sint,}\\ {y=-\bar{C}_{1}\sint+}&{{}C_{2}\cost;}\\ \end{aligned}. $$

原书第 439 页

(4)

$$ \{\begin{array}{l}x=C_{1}\mathrm{e}^{(-1+\sqrt{15})t}+C_{2}\mathrm{e}^{(-1-\sqrt{15})t}+\frac{2}{11}\mathrm{e}^{t}+\frac{1}{6}\mathrm{e}^{2t},\\ y=(-4-\sqrt{15})C_{1}\mathrm{e}^{(-1+\sqrt{15})t}-(4-\sqrt{15})C_{2}\mathrm{e}^{(-1-\sqrt{15})t}-\frac{\mathrm{e}^{t}}{11}-\frac{7}{6}\mathrm{e}^{2t};\end{array}. $$

(5)

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=\frac{C_{1}-3C_{2}}{5}\sint-\frac{3C_{1}+C_{2}}{5}\cost{t}^{2}+t+3\;,}\\ {}&{{}y=C_{1}\cost+C_{2}\sint+2t^{2}-3t-4\;;}\\ \end{aligned}. $$

(6)

$$ \{\begin{aligned}x&=C_{1}\mathrm{e}^{-5t}+C_{2}\mathrm{e}^{-\frac{t}{3}}+\frac{8\sin t+\cos t}{65},\\ y&=-\frac{4}{3}C_{1}\mathrm{e}^{-5t}+C_{2}\mathrm{e}^{-\frac{t}{3}}+\frac{61\sin t-33\cos t}{130}.\end{aligned}. $$

(1) $ \begin{cases} x = \sin t, \\ y = \cos t; \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x = \cos t, \\ y = \sin t; \end{cases} $ (3) $ \begin{cases} x = e^t, \\ y = 4e^t; \end{cases} $

(4) $ \begin{cases} x=2\cos t-4\sin t-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t}, \\ y=14\sin t-2\cos t+2\mathrm{e}^{t}; \end{cases} $

(5) $ \{\begin{array}{l}x=4\cos t+3\sin t-2\mathrm{e}^{-2t}-2\mathrm{e}^{-t}\sin t,\\y=\sin t-2\cos t+2\mathrm{e}^{-t}\cos t;\end{array}. $

(6)

$$ \{\begin{aligned}x=&\frac{12}{17}\mathrm{e}^{-\frac{7}{5}t}+\frac{5}{17}\mathrm{e}^{2t}+\frac{3}{7}t-\frac{1}{49},\\ y=&\frac{18}{17}\mathrm{e}^{-\frac{7}{5}t}-\frac{1}{17}\mathrm{e}^{2t}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-t}+\frac{1}{7}t-\frac{26}{49}.\end{aligned}. $$

总习题七（第360页）

(1) 3; (2) $ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) \, e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) $;

(3) $ y' = f(x, y) $, $ y \big|_{x=x_0} = 0 $; (4) $ y = C_1(x-1) + C_2(x^2-1) + 1 $.

2.（1）（B）；（2）（B）.

(1) $ y^2(y'^2 + 1) = 1 $; (2) $ y'' - 3y' + 2y = 0 $.

(1) $ x - \sqrt{xy} = C $; (2) $ y = ax + \frac{C}{\ln x} $;

(3) $ x = C y^{-2} + \ln y - \frac{1}{2} $;

$ ^{*} $ (4) $ y^{-2} = C e^{x^2} + x^2 + 1 $;

(5) $ y = \ln | \cos(x + C_1) | + C_2 $; (6) $ y = \frac{1}{e^{C_1 x + C_2} + e^{-C_1 x - C_2}} $;

原书第 440 页

$$ (2)\{\begin{aligned}x&=C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{-t}+C_{3}\mathrm{e}^{-2t}-\frac{1}{6}\mathrm{e}^{t},\\ y&=C_{4}\mathrm{e}^{-t}-C_{1}+C_{3}\mathrm{e}^{-2t}+\frac{1}{3}\mathrm{e}^{t}.\end{aligned}. $$

$$ \begin{aligned}&\text{☆}12.\quad(1)\{\begin{aligned}&x=(C_{1}+C_{2}t)\mathrm{e}^{-t}+\frac{1}{2}t,\\&y=-(C_{1}+C_{2}+C_{2}t)\mathrm{e}^{-t}-\frac{1}{2};\end{aligned}.\end{aligned} $$

$$ 11.\quad(1)\quad y=\frac{1}{x}(C_{1}+C_{2}\ln|x|)\quad(2)\quad y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3}+\frac{1}{2}x. $$

略.

$$ \begin{aligned}&6.\ y=x-x\ln x.\\ &7.\ 约 250m^{3}.\\ &8.\ \varphi(x)=\cos x+\sin x.\\ &9.\ \varphi(x)=\sqrt{\mathrm{e}^{2x}-1}-\arctan\sqrt{\mathrm{e}^{2x}-1}.\\ \end{aligned} $$

$$ (3)\ y=2\arctan\mathrm{e}^{x};\quad(4)\ y=x\mathrm{e}^{-x}+\frac{1}{2}\sin x. $$

$$ 5.\left(1\right)x\left(1+2\ln|y|\right)-y^{2}=0;\quad\left(2\right)y=-\frac{1}{a}\ln\left(ax+1\right); $$

$$ \left(9\right)x^{2}=C y^{6}+y^{4};\qquad\qquad\qquad(10)\sqrt{\left(x^{2}+y\right)^{3}}=x^{3}+\frac{3}{2}x y+C. $$

$$ (8)\ y=C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{x}+C_{3}\mathrm{e}^{-2x}+\left(\frac{1}{6}x^{2}-\frac{4}{9}x\right)\mathrm{e}^{x}-x^{2}-x； $$

$$ y=\mathrm{e}^{-x}(C_{1}\cos2x+C_{2}\sin2x)-\frac{4}{17}\cos2x+\frac{1}{17}\sin2x; $$

$$ \underline{ 公众号：} 考研讲课 $$

原书第 441 页

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原书第 442 页

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