第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分.

本章中，我们主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。至于导数的应用，将在第三章讨论。

第一节 导数概念

一、 引例

为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切线问题。这两个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系。

1. 直线运动的速度

设某质点沿直线运动. 在直线上规定了原点、正方向和单位长度, 使直线成为数轴. 此外, 再取定一个时刻作为测量时间的零点. 设质点于时刻 t 在直线上的位置的坐标为 s (简称位置 s). 这样, 该质点的运动完全由某个函数

$$ s=f(t) $$

所确定. 此函数对运动过程中所出现的 t 值有定义, 称为 $ \uwave{\text{位置函数}} $. 在最简单的情形, 该质点所经过的路程与所花的时间成正比. 就是说, 无论取哪一段时间间隔, 比值

$$ \frac{ 经过的路程 }{ 所花的时间 } $$

总是相同的. 这个比值就称为该质点的 $ \uwave{\text{速度}} $，并说该质点做 $ \uwave{\text{匀速运动}} $. 如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值(1-1)会有不同的值. 这样，把比值(1-1)笼统地称为该质点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑. 那么，这种非匀速运动的质点在某一时刻(设为 $ t_{0} $)的速度应如何理解而又如何求得呢？

首先取从时刻 $ t_{0} $ 到 t 这样一个时间间隔，在这段时间内，质点从位置 $ s_{0}=f(t_{0}) $ 移动到 $ s=f(t) $. 这时由(1-1)式算得的比值

$$ \frac{s-s_{0}}{t-t_{0}}=\frac{f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}} $$

可认为是质点在上述时间间隔内的 $ \uwave{\text{平均速度}} $. 如果时间间隔选得较短, 这个比值(1-2)在实践中也可用来说明质点在时刻 $ t_{0} $的速度. 但对于质点在时刻 $ t_{0} $的速度的精确概念来说, 这样做是不够的, 而更确切地应当这样: 令 $ t\to t_{0} $, 取(1-2)式的极限, 如果这个极限存在, 设为v, 即

$$ v=\lim_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}, $$

这时就把这个极限值 v 称为质点在时刻 $ t_{0} $ 的（瞬时）速度.

2. 切线问题

$ \uwave{\text{圆的切线}} $可定义为“与曲线只有一个交点的直线”.但是对于其他曲线,用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如,对于抛物线 $ y=x^{2} $,在原点O处两个坐标轴都符合上述定义,但实际上只有x轴是该抛物线在点O处的切线.下面给出切线的定义.

设有曲线 C 及 C 上的一点 M（图 2-1），在点 M 外另取 C 上一点 N，作割线 MN. 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT，直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线. 这里极限位置的含义是：只要弦长 MN 趋于零， $ \angle NMT $ 也趋于零.

现在就曲线 C 为函数 $ y=f(x) $ 的图形的情形来讨论切线问题. 设 $ M(x_{0},y_{0}) $ 是曲线 C 上的一个点（图 2-2），则 $ y_{0}=f(x_{0}) $. 根据上述定义要定出曲线 C 在点 M 处的切线，只要定出切线的斜率就行了. 为此，在点 M 外另取 C 上的一点 $ N(x,y) $，于是割线 MN 的斜率为

$$ \tan\varphi=\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}, $$

其中 $ \varphi $ 为割线 MN 的倾角. 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时, $ x \to x_{0} $. 如果当 $ x \to x_{0} $ 时, 上式的极限存在, 设为 k, 即

$$ k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$

存在，那么此极限 k 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里 $ k = \tan \alpha $，其中 $ \alpha $ 是切线 MT 的倾角。于是，通过点 $ M(x_{0}, f(x_{0})) $ 且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线。事实上，由 $ \angle NMT = \varphi - \alpha $ 以及 $ x \to x_{0} $ 时 $ \varphi \to \alpha $，可见 $ x \to x_{0} $ 时（这时 $ |MN| \to 0 $）， $ \angle NMT \to 0 $。因此直线 MT 确为曲线 C 在点 M 处的切线。

二、 导数的定义

1. 函数在一点处的导数与导函数

从上面所讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限：

$$ \lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$

这里 $ x-x_{0} $ 和 $ f(x)-f(x_{0}) $ 分别是函数 $ y=f(x) $ 的自变量的增量 $ \Delta x $ 和函数的增量 $ \Delta y $:

$$ \Delta x=x-x_{0}\;, $$

$$ \Delta y=f(x)-f(x_{0})=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}). $$

因 $ x \to x_{0} $ 相当于 $ \Delta x \to 0 $ ，故（1-3）式也可写成

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\quad 或 \quad\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} $$

在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，例如电流强度、角速度、线密度等，都可归结为形如(1-3)式的数学形式。我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数概念。

定义 设函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 $ x_{0} $ 处取得增量 $ \Delta x $（点 $ x_{0}+\Delta x $ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 $ \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) $；如果 $ \Delta y $ 与 $ \Delta x $ 之比当 $ \Delta x\to0 $ 时的极限存在，那么称函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处 $ \uwave{\text{可导}} $，并称这个极限为函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处的 $ \uwave{\text{导数}} $，记为 $ f'(x_{0}) $，即

$$ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}, $$

也可记作 $ y^{\prime} \mid_{x=x_{0}} $， $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_{0}} $ 或 $ \left.\frac{df(x)}{dx}\right|_{x=x_{0}} $

函数 $ f(x) $在点 $ x_{0} $处可导有时也说成 $ f(x) $在点 $ x_{0} $具有导数或导数存在.导数的定义式(1-4)也可取不同的形式,常见的有

$$ f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} $$

和

$$ f^{\prime}(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}. $$

(1-5)式中的 h 即自变量的增量 $ \Delta x $

在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓 $ \uwave{\text{函数的变化率问题}} $。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述。它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} $是因变量y在以 $ x_{0} $和 $ x_{0}+\Delta x $为端点的区间上的平均变化率，而导数 $ f'(x_{0}) $则是因变量y在点 $ x_{0} $处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

如果极限(1-4)不存在，就说函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处不可导。如果不可导的原因是由于 $ \Delta x \to 0 $ 时，比式 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} \to \infty $，为了方便起见，也往往说函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处的导数为无穷大。

上面讲的是函数在一点处可导. 如果函数 $ y=f(x) $ 在开区间 I 内的每点处都可导, 那么就称函数 $ f(x) $ 在开区间 I 内可导. 这时, 对于任一 $ x \in I $, 都对应着 $ f(x) $ 的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数 $ y=f(x) $ 的 $ \uwave{\text{导函数}} $, 记作 $ y', f'(x) $, $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} $ 或 $ \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} $.

在(1-4)式或(1-5)式中把 $ x_{0} $换成x，即得导函数的定义式

$$ y^{\prime}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

或

$$ f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

注意 在以上两式中，虽然 x 可以取区间 I 内的任何数值，但在极限过程中，x 是常量， $ \Delta x $ 或 h 是变量.

显然，函数 $ f(x) $在点 $ x_{0} $处的导数 $ f^{\prime}(x_{0}) $就是导函数 $ f^{\prime}(x) $在点 $ x=x_{0} $处的函数值，即

$$ f^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x)\mid_{x=x_{0}}. $$

导函数 $ f'(x) $ 简称导数，而 $ f'(x_0) $ 是 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处的导数或导数 $ f'(x) $ 在 $ x_0 $ 处的值.

2. 求导数举例

下面根据导数定义求一些简单函数的导数

例1 求函数 $ f(x)=C(C $为常数 $ ) $的导数.

解 $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{C - C}{h} = 0 $,

即

$$ (C)^{\prime}=0. $$

这就是说，常数的导数等于零.

例2 求函数 $ f(x)=x^n $（ $ n\in\mathbb{N}_+ $）的导数.

解 当 n=1 时， $ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=1 $；

当n>1时，

$$ \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\\&=\lim_{h\to0}\left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}\right]=nx^{n-1}.\end{aligned} $$

即

$$ (x^{n})^{\prime}=\{\begin{matrix}1,&\quad n=1,\\nx^{n-1},&\quad n>1.\end{matrix}. $$

例 3 求幂函数 $ f(x) = x^{\mu} (\mu \in \mathbb{R}) $ 的导数.

解 幂函数的定义域与常数 $ \mu $ 有关，以下设 x 在幂函数 $ x^{\mu} $ 的定义域内且 $ x \neq 0 $，则

$$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^{\mu}-x^{\mu}}{h}=x^{\mu-1}\cdot\frac{(1+\frac{h}{x})^{\mu}-1}{\frac{h}{x}}. $$

利用第一章第九节例7的结果，便得

$$ f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\mu x^{\mu-1} $$

即

$$ (x^{\mu})^{\prime}=\mu x^{\mu-1}. $$

这就是幂函数的导数公式 $ ^{①} $.

利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：

当 $ \mu=\frac{1}{2} $ 时， $ y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} $ (x>0) 的导数为

$$ \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}, $$

即

$$ (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{x}}; $$

当 $ \mu=-1 $时, $ y=x^{-1}=\frac{1}{x}(x\neq0) $的导数为

$$ \left(x^{-1}\right)^{\prime}=\left(-1\right)x^{-1-1}=-x^{-2}, $$

即

$$ \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}. $$

例4 求函数 $ f(x)=\sin x $ 的导数.

解

$$ \begin{align*}f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}\\&=\lim_{h\to0}\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=\cos x,\end{align*} $$

即

$$ \left(\sin x\right)^{\prime}=\cos x. $$

这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。

用类似的方法，可求得

$$ \left(\cos x\right)^{\prime}=-\sin x, $$

就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数.

例5 求函数 $ f(x)=a^{x} $ (a>0, $ a\neq1 $) 的导数.

$$ f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}=a^{x}\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}. $$

利用第一章第九节例6的结果得

$$ f^{\prime}(x)=a^{x}\ln a, $$

即

$$ \left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x}\ln a. $$

这就是指数函数的导数公式. 特殊地, 当 a=e 时, 因 $ \ln e=1 $, 故有

$$ \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x}. $$

上式表明，以 e 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以 e 为底的指数函

数的一个重要特性.

例6 求函数 $ f(x)=\log_{a}x $（ $ a>0,a\neq1 $）的导数.

解

$$ \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\log_{a}\frac{x+h}{x}=\lim_{h\to0}\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{h}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)\\&=\frac{1}{x}\lim_{h\to0}\frac{\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}.\end{aligned} $$

作代换 $ u=\frac{h}{x} $ 并利用第一章第九节例 5 的结果得

$$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{x\ln a}, $$

即

$$ \left(\log_{a}x\right)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}. $$

这就是对数函数的导数公式. 特殊地, 当 a=e 时, 由上式得自然对数函数的导数公式

$$ \left(\ln x\right)^{\prime}=\frac{1}{x}. $$

例7 求函数 $ f(x)=|x| $在x=0处的导数.

解 $ \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h} $

当 h<0 时， $ \frac{|h|}{h}=-1 $，故 $ \lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}=-1 $；

当 $ h>0 $ 时， $ \frac{|h|}{h}=1 $，故 $ \lim_{h\to0^{+}}\frac{|h|}{h}=1 $。

所以, $ \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} $不存在，即函数 $ f(x)=|x| $在x=0处不可导.

1. 单侧导数

根据函数 $ f(x) $在点 $ x_{0} $处的导数 $ f^{\prime}(x_{0}) $的定义，导数

$$ f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} $$

是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此 $ f'(x_{0}) $存在即 $ f(x) $在点 $ x_{0} $处可导的充分必要条件是左、右极限

$$ \lim_{h\to0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\overset{f(x_{0})}{=}\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} $$

都存在且相等. 这两个极限分别称为函数 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处的 $ \uwave{\text{左导数}} $ 和 $ \uwave{\text{右导数}} $，记作 $ f_{-}^{\prime}(x_{0}) $ 及 $ f_{+}^{\prime}(x_{0}) $，即

$$ f_{-}^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}, $$

$$ f_{+}^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}. $$

现在可以说，函数 $ f(x) $在点 $ x_{0} $处可导的充分必要条件是左导数 $ f_{-}^{\prime}(x_{0}) $和右导数 $ f_{+}^{\prime}(x_{0}) $都存在且相等.

函数 $ f(x)=|x| $在x=0处的左导数 $ f^{\prime}_{-}(0)=-1 $及右导数 $ f^{\prime}_{+}(0)=1 $虽然都存在，但不相等，故 $ f(x)=|x| $在x=0处不可导.

左导数和右导数统称为 $ \uwave{\text{单侧导数}} $.

如果函数 $ f(x) $在开区间 $ (a,b) $内可导，且 $ f_{+}^{\prime}(a) $及 $ f_{-}^{\prime}(b) $都存在，那么就说 $ f(x) $在 $ \uwave{\text{闭区间[a,b]上可导}} $.

三、 导数的几何意义

由第一目中切线问题的讨论以及第二目中导数的定义可知：函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处的导数 $ f^{\prime}(x_{0}) $ 在几何上表示曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ M(x_{0},f(x_{0})) $ 处的切线的斜率，即

$$ f^{\prime}(x_{0})=\tan\alpha, $$

其中 $ \alpha $ 是切线的倾角 (图 2-3).

如果 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处的导数为无穷大，那么这时曲线 $ y=f(x) $ 的割线以垂直于 x 轴的直线 $ x=x_{0} $ 为极限位置，即曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ M(x_{0}, f(x_{0})) $ 处具有垂直于 x 轴的切线 $ x=x_{0} $ （参看后面例 10）.

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ M(x_{0}, y_{0}) $ 处的切线方程为

$$ \begin{array}{l}y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right).\end{array} $$

过切点 $ M(x_{0}, y_{0}) $ 且与切线垂直的直线叫做曲线 $ y = f(x) $ 在点 M 处的法线。如果 $ f'(x_{0}) \neq 0 $，法线的斜率为 $ -\frac{1}{f'(x_{0})} $，从而法线方程为

$$ y-y_{0}=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}\left(x-x_{0}\right). $$

公众号：考研讲课

例8 求等边双曲线 $ y=\frac{1}{x} $ 在点 $ \left(\frac{1}{2},2\right) $ 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.

解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

$$ k_{1}=y^{\prime}\mid_{x=\frac{1}{2}}. $$

由于 $ y'=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}} $，于是

$$ k_{1}=-\frac{1}{x^{2}}\bigg|_{x=\frac{1}{2}}=-4. $$

从而所求切线方程为

$$ y-2=-4\left(x-\frac{1}{2}\right), $$

即

$$ 4x+y-4=0. $$

所求法线的斜率为

$$ k_{2}=-\frac{1}{k_{1}}=\frac{1}{4}, $$

于是所求法线方程为

$$ y-2=\frac{1}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right), $$

$$ 2x-8y+15=0. $$

即

例9 求曲线 $ y=x^{\frac{3}{2}} $ 的通过点 (0,-4) 的切线方程.

解 设切点为 $ (x_{0},y_{0}) $，则切线的斜率为

$$ f^{\prime}(x_{0})=\frac{3}{2}\sqrt{x}\bigg|_{x=x_{0}}=\frac{3}{2}\sqrt{x_{0}}. $$

于是所求切线方程可设为

$$ y-y_{0}=\frac{3}{2}\sqrt{x_{0}}\left(x-x_{0}\right). $$

因切点 $ (x_{0},y_{0}) $在曲线 $ y=x^{\frac{3}{2}} $上，故有

$$ y_{0}=x_{0}^{\frac{3}{2}}, $$

由已知切线 $ (1-7) $通过点 $ (0,-4) $，故有

$$ -4-y_{0}=\frac{3}{2}\sqrt{x_{0}}\left(0-x_{0}\right). $$

求得方程(1-8)及(1-9)组成的方程组的解为 $ x_{0}=4, y_{0}=8 $，代入(1-7)式并

化简，即得所求切线方程为

$$ 3x-y-4=0. $$

四、 函数可导性与连续性的关系

设函数 $ y=f(x) $ 在点 x 处可导，即

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(x) $$

存在. 由具有极限的函数与无穷小的关系知道,

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(x)+\alpha, $$

其中 $ \alpha $ 为当 $ \Delta x \to 0 $ 时的无穷小. 上式两边同乘 $ \Delta x $, 得

$$ \Delta y=f^{\prime}\left(x\right)\Delta x+\alpha\Delta x. $$

由此可见，当 $ \Delta x \to 0 $ 时， $ \Delta y \to 0 $。这就是说，函数 $ y = f(x) $ 在点 x 处是连续的。所以，如果函数 $ y = f(x) $ 在点 x 处可导，那么函数在该点必须连续。

另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导.举例说明如下：

例10 函数 $ y=f(x)=\sqrt[3]{x} $ 在区间 $ (-∞,+∞) $ 内连续，但在点 x=0 处不可导。这是因为在点 x=0 处有

$$ \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}=\frac{1}{h^{2/3}}, $$

因而, $ \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1}{h^{2/3}}=+\infty $，即导数为无穷大（注意，导数不存在）.这事实在图形中表现为曲线 $ y=\sqrt[3]{x} $在原点O具有垂直于x轴的切线x=0（图2-4）.

例11 函数 $ y=\sqrt{x^{2}} $ （即 $ y=|x| $）在 $ (-\infty,+\infty) $ 内连续，但在例7中已经看到，这函数在 x=0 处不可导。曲线 $ y=\sqrt{x^{2}} $ 在原点 O 没有切线（图2-5）。

由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件.

习题2-1

1. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔 $ [0, t] $ 上转过角度 $ \theta $，从而转角 $ \theta $ 是 t 的函数： $ \theta = \theta(t) $。如果旋转是匀速的，那么称 $ \omega = \frac{\theta}{t} $ 为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻 $ t_{0} $ 的角速度？

1. 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却。若物体的温度 T 与时间 t 的函数关系为 $ T = T(t) $，应怎样确定该物体在时刻 t 的冷却速度？

1. 设某工厂生产 x 件产品的成本为

$$ C(x)=2000+100x-0.1x^{2}(元) $$

这函数 $ C(x) $ 称为成本函数，成本函数 $ C(x) $ 的导数 $ C'(x) $ 在经济学中称为边际成本。试求

（1）当生产100件产品时的边际成本；

（2）生产第101件产品的成本，并与(1)中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.

1. 设 $ f(x)=10x^{2} $，试按定义求 $ f'(-1) $.

1. 证明 $ (\cos x)^{\prime}=-\sin x $.

1. 下列各题中均假定 $ f'(x_{0}) $ 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么：

(1) $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = A $;

(2) $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A $，其中 $ f(0) = 0 $，且 $ f'(0) $ 存在；

(3) $ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=A $

以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：

1. 设

$$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{2}{3}x^{3},x\leqslant1,\\&x^{2},\quad x>1,\end{aligned}. $$

则 $ f(x) $在x=1处的().

(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在

(C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在

1. 设 $ f(x) $ 可导, $ F(x) = f(x)(1 + \ln x + 1) $, 则 $ f(0) = 0 $ 是 $ F(x) $ 在 x = 0 处可导的 ( ).

(A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件

(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件

1. 求下列函数的导数：

(1) $ y = x^4 $; (2) $ y = \sqrt[3]{x^2} $; (3) $ y = x^{1.6} $;

(4) $ y = \frac{1}{\sqrt{x}} $; (5) $ y = \frac{1}{x^2} $; (6) $ y = x^3\sqrt[5]{x} $;

(7) $ y=\frac{x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{x^{5}}} $

1. 已知物体的运动规律为 $ s=t^{3} $ m，求这物体在 t=2 s 时的速度.

1. 如果 $ f(x) $ 为偶函数，且 $ f^{\prime}(0) $ 存在，证明 $ f^{\prime}(0)=0 $.

1. 求曲线 $ y = \sin x $ 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率：

$$ x=\frac{2}{3}\pi,\qquad x=\pi. $$

1. 求曲线 $ y = \cos x $ 上点 $ \left( \frac{\pi}{3}, \frac{1}{2} \right) $ 处的切线方程和法线方程.

1. 求曲线 $ y=e^{x} $ 在点 (0,1) 处的切线方程.

1. 在抛物线 $ y=x^{2} $ 上取横坐标为 $ x_{1}=1 $ 及 $ x_{2}=3 $ 的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

1. 讨论下列函数在 x=0 处的连续性与可导性：

(1) $ y = |\sin x| $;

(2) $ y = \{ \begin{aligned} & x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ & 0, & x = 0. \end{aligned} . $

1. 设函数

$$ f(x)=\{\begin{aligned}&x^{2},&x\leqslant1,\\ &ax+b,&x>1.\end{aligned}. $$

为了使函数 $ f(x) $在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？

1. 已知 $ f(x)=\begin{cases}-x, & x<0, \\ x^2, & x\geq0,\end{cases} $ 求 $ f'(0) $ 及 $ f'_{-}(0) $，又 $ f'(0) $ 是否存在？

1. 已知 $ f(x)=\begin{cases}\sin x, & x<0, \\ x, & x\geq0,\end{cases} $ 求 $ f'(x) $.

1. 证明：双曲线 $ xy = a^{2} $ 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $ 2a^{2} $.

第二节 函数的求导法则

在本节中，将介绍求导数的几个基本法则以及前一节中未讨论过的几个基本初等函数的导数公式。借助于这些法则和基本初等函数的导数公式，就能比较方便地求出常见的初等函数的导数：

一、 函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 如果函数 $ u = u(x) $ 及 $ v = v(x) $ 都在点 x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点 x 具有导数，且

(1) $ [u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x) $;

(2) $ [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) $;

(3)

$$ \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}(v(x)\neq0). $$

证

$$ \begin{aligned}(1)\ &[u(x)\pm v(x)]^{\prime}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{[u(x+\Delta x)\pm v(x+\Delta x)]-[u(x)\pm v(x)]}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\pm\lim_{\Delta x\to0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\&=u^{\prime}(x)\pm v^{\prime}(x).\end{aligned} $$

于是法则(1)获得证明. 法则(1)可简单地表示为

$$ \left(\begin{matrix}{u\pm v}\\ \end{matrix}\right)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}. $$

$$ \begin{aligned}&(2)\left[u(x)v(x)\right]^{\prime}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\left[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\cdot\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\right]\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\cdot\lim_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)+u(x)\cdot\lim_{\Delta x\to0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\&=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x).\end{aligned} $$

其中 $ \lim_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)=v(x) $是由于 $ v'(x) $存在，故 $ v(x) $在点x连续。于是法则（2）获得证明。法则（2）可简单地表示为

$$ (u v)^{\prime}=u^{\prime}v+u v^{\prime}. $$

(3)

$$ \begin{aligned}\left[\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\right]^{\prime}&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{u\left(x+\Delta x\right)}{v\left(x+\Delta x\right)}-\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u\left(x+\Delta x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v\left(x+\Delta x\right)}{v\left(x+\Delta x\right)v\left(x\right)\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\left[u\left(x+\Delta x\right)-u\left(x\right)\right]v\left(x\right)-u\left(x\right)\left[v\left(x+\Delta x\right)-v\left(x\right)\right]}{v\left(x+\Delta x\right)v\left(x\right)\Delta x}\end{aligned} $$

$$ \begin{align*}&\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x)-u(x)\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}{v(x+\Delta x)v(x)}\\&=\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}.\end{align*} $$

于是法则(3)获得证明. 法则(3)可简单地表示为

$$ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}. $$

定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形.例如，设 $ u=u(x) $， $ v=v(x) $， $ w=w(x) $均可导，则有

$$ (u+v-w)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}-w^{\prime}, $$

$$ \left(uvw\right)^{\prime}=\left[\left(uv\right)w\right]^{\prime}=\left(uv\right)^{\prime}w+\left(uv\right)w^{\prime}=\left(u^{\prime}v+uv^{\prime}\right)w+uvw^{\prime}, $$

即

$$ \left(\begin{matrix}{u v w}\\ \end{matrix}\right)^{\prime}=u^{\prime}v w+u v^{\prime}w+u v w^{\prime}. $$

在法则(2)中，当 $ v(x)=C $（C为常数）时，有

$$ \left(C u\right)^{\prime}=C u^{\prime}. $$

例1 $ y=2x^{3}-5x^{2}+3x-7 $, 求 $ y' $.

解

$$ \begin{aligned}y^{\prime}&=\left(2x^{3}-5x^{2}+3x-7\right)^{\prime}=\left(2x^{3}\right)^{\prime}-\left(5x^{2}\right)^{\prime}+\left(3x\right)^{\prime}-\left(7\right)^{\prime}\\&=2\cdot3x^{2}-5\cdot2x+3-0=6x^{2}-10x+3.\end{aligned} $$

例2 $ f(x)=x^{3}+4\cos x-\sin\frac{\pi}{2} $，求 $ f'(x) $及 $ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) $

解 $ f'(x) = 3x^{2} - 4\sin x $,

$$ f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{4}\pi^{2}-4. $$

例3 $ y=e^{x}(\sin x+\cos x) $，求 $ y' $.

解 $ y' = \left( e^{x} \right)' \left( \sin x + \cos x \right) + e^{x} \left( \sin x + \cos x \right)' $

$ = e^{x} (\sin x + \cos x) + e^{x} (\cos x - \sin x) = 2 e^{x} \cos x. $

例4 $ y=\tan x $，求 $ y' $.

解

$$ \begin{aligned}y^{\prime}&=\left(\tan x\right)^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{\left(\sin x\right)^{\prime}\cos x-\sin x\left(\cos x\right)^{\prime}}{\cos^{2}x}\\&=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x,\end{aligned} $$

即

$$ \left(\tan x\right)^{\prime}=\sec^{2}x. $$

这就是正切函数的导数公式.

公众号：考研讲课

例5 $ y=\sec x $, 求 $ y' $.

解

$$ \begin{aligned}y^{\prime}&=\left(\sec x\right)^{\prime}=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{\left(1\right)^{\prime}\cos x-1\cdot\left(\cos x\right)^{\prime}}{\cos^{2}x}\\&=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\sec x\tan x,\end{aligned} $$

即

$$ \left(\sec x\right)^{\prime}=\sec x\tan x. $$

这就是正割函数的导数公式.

用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式

$$ \left(\cot x\right)^{\prime}=-\csc^{2}x, $$

$$ \left(\csc x\right)^{\prime}=-\csc x\cot x. $$

二、 反函数的求导法则

定理2 如果函数 $ x=f(y) $ 在区间 $ I_{y} $ 内单调、可导且 $ f'(y) \neq 0 $，那么它的反函数 $ y=f^{-1}(x) $ 在区间 $ I_{x}=\{x \mid x=f(y), y \in I_{y}\} $ 内也可导，且

$$ \left[f^{-1}(x)\right]^{\prime}=\frac{1}{f^{\prime}(y)}\quad 或 \quad\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}. $$

证 由于 $ x=f(y) $ 在 $ I_{y} $ 内单调、可导（从而连续），由第一章第九节定理2知道， $ x=f(y) $ 的反函数 $ y=f^{-1}(x) $ 存在，且 $ f^{-1}(x) $ 在 $ I_{x} $ 内也单调、连续.

任取 $ x \in I_x $，给 $ x $ 以增量 $ \Delta x $（ $ \Delta x \neq 0, x + \Delta x \in I_x $），由 $ y = f^{-1}(x) $ 的单调性可知

$$ \Delta y=f^{-1}(x+\Delta x)-f^{-1}(x)\neq0, $$

于是有

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}. $$

因 $ y=f^{-1}(x) $ 连续，故

$$ \lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0 $$

从而

$$ \left[f^{-1}(x)\right]^{\prime}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta y\to0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{f^{\prime}(y)}. $$

上述结论可简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。下面用上述结论来求反三角函数及对数函数的导数。

例6 设 $ x = \sin y, y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ 为直接函数，则 $ y = \arcsin x $ 是它的反函数。

函数 $ x = \sin y $ 在开区间 $ I_{y} = \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ 内单调、可导，且

$$ \left(\sin y\right)^{\prime}=\cos y>0. $$

因此，由公式 $ (2-1) $，在对应区间 $ I_{x}=(-1,1) $内有

$$ \left(\arcsin x\right)^{\prime}=\frac{1}{\left(\sin y\right)^{\prime}}=\frac{1}{\cos y}. $$

但 $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $（因为当 $ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} $ 时， $ \cos y > 0 $，所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式

$$ \left(\arcsin x\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. $$

用类似的方法可得反余弦函数的导数公式

$$ \left(\operatorname{arccos}x\right)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. $$

例7 设 $ x = \tan y $ 是直接函数, $ y \in I_y = \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, 则 $ y = \arctan x $ 是它的反函数. 函数 $ x = \tan y $ 在 $ I_y = \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ 内单调、可导, 且

$$ \left(\tan y\right)^{\prime}=\sec^{2}y\neq0. $$

因此，由公式(2-1)，在对应区间 $ I_{x}=(-\infty,+\infty) $内有

$$ \left(\arctan x\right)^{\prime}=\frac{1}{\left(\tan y\right)^{\prime}}=\frac{1}{\sec^{2}y} $$

但 $ \sec^{2}y=1+\tan^{2}y=1+x^{2} $，从而得反正切函数的导数公式

$$ \left(\arctan x\right)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}. $$

用类似的方法可得反余切函数的导数公式

$$ \left(\operatorname{arccot} x\right)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}} $$

如果利用三角学中的公式

$$ \arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\quad 和 \quad\operatorname{arccot} x=\frac{\pi}{2}-\arctan x, $$

那么从公式(2-2)和(2-4)，也立刻可得公式(2-3)和(2-5).

例8 设 $ x = a^{y} $ ( $ a > 0, a \neq 1 $) 为直接函数，则 $ y = \log_{a}x $ 是它的反函数。函数 $ x = a^{y} $ 在区间 $ I_{y} = (-\infty, +\infty) $ 内单调、可导，且考研讲课

$$ \left(a^{y}\right)^{\prime}=a^{y}\ln a\neq0. $$

因此，由公式(2-1)，在对应区间 $ I_{x}=(0,+\infty) $内有

$$ \left(\log_{a}x\right)^{\prime}=\frac{1}{\left(a^{y}\right)^{\prime}}=\frac{1}{a^{y}\ln a} $$

但 $ a^{y}=x $ ，从而得到第一节例6中已求得的对数函数的导数公式

$$ \left(\log_{a}x\right)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}. $$

三、 复合函数的求导法则

到目前为止，对于

$$ \ln\tan x,\quad\mathrm{e}^{x^{3}},\quad\sin\frac{2x}{1+x^{2}} $$

那样的函数，我们还不知道它们是否可导，可导的话如何求它们的导数。这些问题借助于下面的重要法则可以得到解决，从而使可以求得导数的函数的范围得到很大扩充。

定理3 如果 $ u = g(x) $ 在点 x 可导，而 $ y = f(u) $ 在点 $ u = g(x) $ 可导，那么复合函数 $ y = f[g(x)] $ 在点 x 可导，且其导数为

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime}(u)\cdot g^{\prime}(x)\quad 或 \quad\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}. $$

证 由于 $ y=f(u) $ 在点 u 可导，因此

$$ \lim_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}=f^{\prime}(u) $$

存在，于是根据极限与无穷小的关系有

$$ \frac{\Delta y}{\Delta u}=f^{\prime}(u)+\alpha(\Delta u), $$

其中 $ \alpha(\Delta u) $ 是 $ \Delta u\to0 $ 时的无穷小. 上式中 $ \Delta u\neq0 $, 用 $ \Delta u $ 乘上式两边, 得

$$ \Delta y=f^{\prime}\left(u\right)\Delta u+\alpha\left(\Delta u\right)\cdot\Delta u. $$

当 $ \Delta u=0 $时，规定 $ \alpha(\Delta u)=0^{\textcircled{1}} $，这时因 $ \Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)=0 $，而（2-7）式右端亦为零，故（2-7）式对 $ \Delta u=0 $也成立。用 $ \Delta x\neq0 $除（2-7）式两边，得

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(u\right)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha\left(\Delta u\right)\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}, $$

① 这时, $ \alpha(\Delta u)=\{\begin{aligned}&\frac{\Delta y}{\Delta u}-f'(u),&\Delta u\neq0,\\&0,&\Delta u=0.\end{aligned}. $ 函数 $ \alpha(\Delta u) $在 $ \Delta u=0 $处连续,即 $ \lim_{\Delta u\to0}\alpha(\Delta u)=0=\alpha(0) $.

于是

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\left[f^{\prime}(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha(\Delta u)\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\right]. $$

根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当 $ \Delta x\to0 $时， $ \Delta u\to0 $，从而可以推知

$$ \lim_{\Delta x\to0}\alpha(\Delta u)=\lim_{\Delta u\to0}\alpha(\Delta u)=0. $$

又因 $ u=g(x) $ 在点 x 处可导，有

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=g^{\prime}(x), $$

故

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(u)\cdot\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}, $$

即

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime}(u)\cdot g^{\prime}(x). $$

这就是公式(2-6).

例9 设 $ y = e^{x^{3}} $，求 $ \frac{dy}{dx} $.

解 $ y=e^{x^{3}} $ 可看作由 $ y=e^{u}, u=x^{3} $ 复合而成，因此

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\mathrm{e}^{u}\cdot3x^{2}=3x^{2}\mathrm{e}^{x^{3}}. $$

例10 设 $ y = \sin \frac{2x}{1 + x^{2}} $，求 $ \frac{dy}{dx} $.

解 $ y=\sin\frac{2x}{1+x^{2}} $ 可看作由 $ y=\sin u, u=\frac{2x}{1+x^{2}} $ 复合而成. 因

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}=\cos u, $$

$$ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{2\left(1+x^{2}\right)-\left(2x\right)^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=\frac{2\left(1-x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} $$

所以

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cos u\cdot\frac{2\left(1-x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=\frac{2\left(1-x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\cdot\cos\frac{2x}{1+x^{2}}. $$

从以上例子看出，应用复合函数求导法则时，首先要分析所给函数可看作由哪些函数复合而成，或者说，所给函数能分解成哪些函数的复合。如果所给函数能分解成比较简单的函数的复合，而这些简单函数的导数我们已经会求，那么应用复合函数求导法则就可以求所给函数的导数。

对复合函数的分解比较熟练后,就不必再写出中间变量,而可以采用下列例题的方式来计算.

例11 设 $ y = \ln \sin x $，求 $ \frac{dy}{dx} $.

解 $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(\ln\sin x)^{\prime}=\frac{1}{\sin x}(\sin x)^{\prime}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x. $

例12 设 $ y=\sqrt[3]{1-2x^{2}} $ , 求 $ \frac{dy}{dx} $

解

$$ \begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\left[\left(1-2x^{2}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\prime}=\frac{1}{3}\left(1-2x^{2}\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot\left(1-2x^{2}\right)^{\prime}\\=\frac{-4x}{3\sqrt[3]{\left(1-2x^{2}\right)^{2}}}.\end{array} $$

复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 我们以两个中间变量为例, 设 $ y = f(u) $, $ u = \varphi(v) $, $ v = \psi(x) $, 则

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}, $$

而 $ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} $，故复合函数 $ y=f\{\varphi[\psi(x)]\} $ 的导数为

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}. $$

当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在。

例13 设 $ y = \ln \cos(e^{x}) $，求 $ \frac{dy}{dx} $.

解　所给函数可分解为 $ y = \ln u $, $ u = \cos v $, $ v = e^{x} $. 因 $ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u} $, $ \frac{du}{dv} = -\sin v $, $ \frac{dv}{dx} = e^{x} $, 故

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{u}\cdot\left(-\sin v\right)\cdot\mathrm{e}^{x}=-\frac{\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\cdot\mathrm{e}^{x}=-\mathrm{e}^{x}\tan\left(\mathrm{e}^{x}\right). $$

不写出中间变量，此例可这样写：

$$ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\left[\ln\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]^{\prime}=\frac{1}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]^{\prime}\\&=\frac{-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=-\mathrm{e}^{x}\tan\left(\mathrm{e}^{x}\right).\end{aligned} $$

例14 设 $ y = e^{\sin\frac{1}{x}} $ ，求 $ y' $.

解 $ y' = (\mathrm{e}^{\sin\frac{1}{x}})^{\prime} = \mathrm{e}^{\sin\frac{1}{x}}\left(\sin\frac{1}{x}\right)^{\prime} $ 考研讲课

$$ =e^{\sin\frac{1}{x}}\cdot\cos\frac{1}{x}\cdot\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}e^{\sin\frac{1}{x}}\cdot\cos\frac{1}{x}. $$

四、 基本求导法则与导数公式

基本初等函数的导数公式与本节中所讨论的求导法则，在初等函数的求导运算中起着重要的作用，我们必须熟练地掌握它们.为了便于查阅，现在把这些导数公式和求导法则归纳如下：

1. 常数和基本初等函数的导数公式

(1)

$$ (C)^{\prime}=0, $$

(2) $ (x^{\mu})^{\prime}=\mu x^{\mu-1} $,

(3) $ (\sin x)' = \cos x $,

(4) $ (\cos x)' = -\sin x $,

(5) $ (\tan x)' = \sec^2 x $,

(6) $ (\cot x)' = -\csc^{2}x $,

(7) $ (\sec x)' = \sec x \tan x $,

(8) $ (\csc x)' = -\csc x \cot x $,

(9) $ (a^{x})'=a^{x}\ln a $ (a>0, a≠1),

(10) $ \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x} $

(11) $ (\log_{a}x)' = \frac{1}{x \ln a} $ (a > 0, $ a \neq 1 $).

$$ \left(\ln x\right)^{\prime}=\frac{1}{x} $$

(13) $ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $,

(14) $ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $,

(15) $ (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} $,

(16) $ (\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1 + x^2} $.

2. 函数的和、差、积、商的求导法则

设 $ u = u(x) $, $ v = v(x) $ 都可导, 则

(1) $ (u \pm v)' = u' \pm v' $, (2) $ (Cu)' = Cu'(C $ 是常数 $ ) $,

(3) $ (uv)' = u'v + uv' $, (4) $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}(v \neq 0) $.

3. 反函数的求导法则

设 $ x=f(y) $ 在区间 $ I_{y} $ 内单调、可导且 $ f^{\prime}(y) \neq 0 $，则它的反函数 $ y=f^{-1}(x) $ 在 $ I_{x}=f(I_{y}) $ 内也可导，且

$$ \left[f^{-1}(x)\right]^{\prime}=\frac{1}{f^{\prime}(y)}\quad 或 \quad\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}. $$

4. 复合函数的求导法则

设 $ y=f(u) $，而 $ u=g(x) $ 且 $ f(u) $ 及 $ g(x) $ 都可导，则复合函数 $ y=f[g(x)] $ 的导数为

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\quad\text{ 或 }\quad y^{\prime}(x)=f^{\prime}(u)\cdot g^{\prime}(x). $$

下面再举两个综合运用这些法则和导数公式的例子.

例 15 设 $ y = \sin nx \cdot \sin^n x $ （n 为常数），求 $ y' $.

解　首先应用积的求导法则得

$$ y^{\prime}=\left(\begin{array}{c}{\sin n x}\\ \end{array}\right)^{\prime}\sin^{n}x+\sin n x\cdot\left(\begin{array}{c}{\sin^{n}x}\\ \end{array}\right)^{\prime}. $$

在计算 $ \left(\sin n x\right)^{\prime} $与 $ \left(\sin^{n}x\right)^{\prime} $时，都要应用复合函数求导法则，由此得

$$ \begin{aligned}y^{\prime}&=n\cos nx\cdot\sin^{n}x+\sin nx\cdot n\sin^{n-1}x\cdot\cos x\\&=n\sin^{n-1}x(\cos nx\cdot\sin x+\sin nx\cdot\cos x)\\&=n\sin^{n-1}x\cdot\sin(n+1)x.\\ \end{aligned} $$

$ ^{*} $例16 证明下列双曲函数及反双曲函数的导数公式：

$$ (\mathrm{~s h~}x)^{\prime}=\mathrm{c h}x,\mathrm{~(~c h~}x)^{\prime}=\mathrm{s h}x,\mathrm{~(~t h~}x)^{\prime}=\frac{1}{\mathrm{c h}^{2}x}, $$

$$ \left(\operatorname{arsh} x\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}},\quad\left(\operatorname{arch} x\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}},\quad\left(\operatorname{arth} x\right)^{\prime}=\frac{1}{1-x^{2}}. $$

证 由定理1(1)、(2)，有

$$ \left(\mathrm{~s h~}x\right)^{\prime}=\left(\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}\right)^{\prime}=\frac{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}-\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{\prime}}{2}, $$

再利用 $ \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x} $及定理3，得 $ \left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{\prime}=-\mathrm{e}^{-x} $。于是

$$ \left(\mathrm{~sh~}x\right)^{\prime}=\frac{\left(\mathrm{~e}^{x}\right)^{\prime}-\left(\mathrm{~e}^{-x}\right)^{\prime}}{2}=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}=\mathrm{ch}x. $$

同理可得

$$ \left(\mathrm{ch}x\right)^{\prime}=\left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}\right)^{\prime}=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}=\mathrm{sh}x. $$

由定理1(3)及上述结果，有

$$ \begin{aligned}\left(\mathrm{~th~}x\right)^{\prime}=&\left(\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}\right)^{\prime}=\frac{\left(\mathrm{~sh}x\right)^{\prime}\mathrm{ch}x-\mathrm{sh}x\left(\mathrm{ch}x\right)^{\prime}}{\mathrm{ch}^{2}x}\\ =&\frac{\mathrm{ch}^{2}x-\mathrm{sh}^{2}x}{\mathrm{ch}^{2}x}=\frac{1}{\mathrm{ch}^{2}x}.\end{aligned} $$

由 $ \operatorname{arsh} x = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) $，应用复合函数求导法则及定理1(1)，有

$$ \begin{array}{l}\left(\operatorname{arsh} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\prime}\\=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.\end{array} $$

由 $ \operatorname{arch} x = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right) $，同理可得

$$ \left(\operatorname{arch}x\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x_{0}^{2}-1}},x\in(1,+\infty). $$

由 $ \operatorname{artanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x} $，可得

$$ \left(\operatorname{arth} x\right)^{\prime}=\frac{1}{1-x^{2}},x\in(-1,1). $$

习题2-2

1. 推导余切函数及余割函数的导数公式：

$$ \left(\cot x\right)^{\prime}=-\csc^{2}x,\qquad\left(\csc x\right)^{\prime}=-\csc x\cot x. $$

1. 求下列函数的导数：

$$ y=x^{3}+\frac{7}{x^{4}}-\frac{2}{x}+12 $$

(2) $ y = 5x^{3} - 2^{x} + 3e^{x} $;

(3) $ y = 2 \tan x + \sec x - 1 $

$$ y=\sin x\cdot\cos x; $$

(5) $ y = x^{2} \ln x $;

$$ y=3\mathrm{e}^{x}\cos x; $$

(7) $ y=\frac{\ln x}{x}; $

(8) $ y = \frac{e^x}{x^2} + \ln 3 $;

(9) $ y = x^2 \ln x \cos x $; (10) $ s = \frac{1 + \sin t}{1 + \cos t} $.

1. 求下列函数在给定点处的导数：

(1) $ y = \sin x - \cos x $，求 $ y' $ 和 $ y' $

(2) $ \rho = \theta \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta $, 求 $ \frac{d\rho}{d\theta}\bigg|_{\theta = \frac{\pi}{4}} $;

(3) $ f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^{2}}{5} $，求 $ f'(0) $ 和 $ f'(2) $.

1. 以初速度 $ v_{0} $ 竖直上抛的物体，其上升高度 s 与时间 t 的关系是 $ s = v_{0}t - \frac{1}{2}gt^{2} $. 求：

（1）该物体的速度 $ v(t) $; （2）该物体达到最高点的时刻.

1. 求曲线 $ y=2\sin x+x^{2} $ 上横坐标为 x=0 的点处的切线方程和法线方程.

1. 求下列函数的导数：

(1) $ y = (2x + 5)^4 $;

(2) $ y = \cos(4 - 3x) $;

(3) $ y = e^{-3x^2} $;

(4) $ y = \ln(1 + x^2) $;

(5) $ y = \sin^{2} x $;

(6) $ y = \sqrt{a^{2} - x^{2}} $;

(7) $ y = \tan x^{2} $;

(8) $ y = \arctan(e^x) $;

(9) $ y = (\arcsin x)^2 $; (10) $ y = \ln \cos x $.

1. 求下列函数的导数：

(1) $ y = \arcsin(1 - 2x) $;

$$ y=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{x}{x^{2}}}} $$

一般地，可得

$$ \gamma^{(n)}=\sin\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)~, $$

即

$$ \left(\sin x\right)^{(n)}=\sin\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right). $$

用类似方法，可得

$$ \left(\cos x\right)^{(n)}=\cos\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right). $$

例6 求函数 $ \ln(1+x) $ 的 n 阶导数.

解 $ y=\ln(1+x) $， $ y'=\frac{1}{1+x} $，

$$ y^{\prime \prime}=-\frac{1}{\left(1+x\right)^{2}},\quad y^{\prime \prime \prime}=\frac{1\cdot2}{\left(1+x\right)^{3}},\quad y^{\left(4\right)}=-\frac{1\cdot2\cdot3}{\left(1+x\right)^{4}}, $$

一般地，可得

$$ y^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^{n}}, $$

即

$$ \left[\ln(1+x)\right]^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^{n}} $$

通常规定0! =1，所以这个公式当n=1时也成立.

例7 求幂函数的 n 阶导数公式.

解 设 $ y=x^{\mu} $ ( $ \mu $ 是任意常数)，那么

$$ y^{\prime}=\mu x^{\mu-1}, $$

$$ y^{\prime \prime}=\mu(\mu-1)\,x^{\mu-2} $$

$$ y^{\prime \prime}=\mu(\mu-1)(\mu-2)x^{\mu-3}, $$

$$ \gamma^{(4)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3)x^{\mu-4}, $$

一般地，可得

$$ \gamma^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots(\mu-n+1)x^{\mu-n}, $$

即

$$ \left(x^{\mu}\right)^{(n)}=\mu\left(\mu-1\right)\left(\mu-2\right)\cdots\left(\mu-n+1\right)x^{\mu-n}. $$

当 $ \mu=n $时，得到

$$ \left(x^{n}\right)^{(n)}=n(n-1)(n-2)\cdot\cdots\cdot3\cdot2\cdot1=n!, $$

而

$$ \left(x^{n}\right)^{(n+k)}=0\quad\left(k=1,2,\cdots\right). $$

如果函数 $ u = u(x) $ 及 $ v = v(x) $ 都在点 x 处具有 n 阶导数，那么显然 $ u(x) + v(x) $ 及 $ u(x) - v(x) $ 也在点 x 处具有 n 阶导数，且

要求函数的高阶导数公式，则需要在逐次求导过程中，善于寻求它的某种规律.

例1 $ y=ax+b $, 求 $ y'' $.

解 $ y'=a,y''=0 $.

例2 $ s = \sin \omega t $，求 $ s' $.

解 $ s' = \omega \cos \omega t, s'' = -\omega^2 \sin \omega t. $

例3 证明：函数 $ y=\sqrt{2x-x^{2}} $ 满足关系式

$$ y^{3}y^{\prime \prime}+1=0. $$

证 将 $ y=\sqrt{2x-x^{2}} $ 求导，得

$$ \begin{aligned}y^{\prime}&=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^{2}}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^{2}}},\\y^{\prime \prime}&=\frac{-\sqrt{2x-x^{2}}-(1-x)\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^{2}}}}{2x-x^{2}}\\&=\frac{-2x+x^{2}-(1-x)^{2}}{(2x-x^{2})\sqrt{2x-x^{2}}}=-\frac{1}{(2x-x^{2})^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{y^{3}}.\end{aligned} $$

于是

$$ y^{3}y^{\prime \prime}+1=0. $$

下面介绍几个初等函数的 n 阶导数.

例4 求指数函数 $ y=e^{x} $ 的 n 阶导数.

解 $ y' = e^x $, $ y'' = e^x $, $ y''' = e^x $, $ y^{(4)} = e^x $.

一般地，可得

$$ y^{(n)}=\mathrm{e}^{x}, $$

即

$$ \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{(n)}=\mathrm{e}^{x}. $$

例5 求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数.

解 $ y = \sin x $,

$$ y^{\prime}=\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) $$

$$ y^{\prime\prime}=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+2\cdot\frac{\pi}{2}\right) $$

$$ y^{\prime \prime \prime}=\cos\left(x+2\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+3\cdot\frac{\pi}{2}\right) $$

$$ y^{(4)}=\cos\left(x+3\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+4\cdot\frac{\pi}{2}\right) $$

公众号：考研讲课

(1) $ f(x+y) = f(x) \cdot f(y) $，对一切 $ x, y \in \mathbb{R} $;

(2) $ f(x)=1+xg(x) $，而 $ \lim_{x\to0}g(x)=1 $.

试证明 $ f(x) $ 在 R 上处处可导，且 $ f'(x) = f(x) $.

第三节 高阶导数

我们知道，变速直线运动的速度 $ v(t) $ 是位置函数 $ s(t) $ 对时间 t 的导数，即

$$ v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\quad 或 \quad v=s^{\prime}, $$

而加速度 a 又是速度 v 对时间 t 的变化率，即速度 v 对时间 t 的导数：

$$ a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)\quad 或 \quad a=\left(s^{\prime}\right)^{\prime}. $$

这种导数的导数 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right) $或 $ (s') $叫做s对t的 $ \uwave{\text{二阶导数}} $，记作

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\quad 或 \quad s^{\prime \prime}(t). $$

所以，直线运动的加速度就是位置函数 s 对时间 t 的二阶导数.

一般地，函数 $ y=f(x) $ 的导数 $ y'=f'(x) $ 仍然是 x 的函数。我们把 $ y'=f'(x) $ 的导数叫做函数 $ y=f(x) $ 的 $ \uwave{\text{二阶导数}} $，记作 $ y'' $ 或 $ \frac{d^2y}{dx^2} $，即

$$ y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}\quad 或 \quad\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right). $$

相应地，把 $ y=f(x) $ 的导数 $ f'(x) $ 叫做函数 $ y=f(x) $ 的 $ \uwave{\text{一阶导数}} $.

类似地，二阶导数的导数，叫做 $ \uwave{\text{三阶导数}} $，三阶导数的导数叫做 $ \uwave{\text{四阶导数}} $……一般地， $ (n-1) $阶导数的导数叫做 $ \uwave{\text{n阶导数}} $，分别记作

$$ y^{m},\ y^{(4)},\ \cdots,\ y^{(n)} $$

或

$$ \frac{\mathrm{d}^{3}y}{\mathrm{d}x^{3}},\frac{\mathrm{d}^{4}y}{\mathrm{d}x^{4}},\cdots,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}}. $$

函数 $ y=f(x) $ 具有 n 阶导数，也常说成函数 $ f(x) $ 为 $ \uwave{\text{n 阶可导}} $. 如果函数 $ f(x) $ 在点 x 处具有 n 阶导数，那么 $ f(x) $ 在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称 $ \uwave{\text{高阶导数}} $.

由此可见，求高阶导数就是按前面学过的求导法则多次接连地求导数，若需

$$ y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\cos3x $$

(4) $ y = \arccos \frac{1}{x} $;

(5) $ y = \frac{1 - \ln x}{1 + \ln x} $;

(6) $ y = \frac{\sin 2x}{x} $;

(7) $ y = \arcsin \sqrt{x} $;

(8) $ y = \ln(x + \sqrt{a^2 + x^2}) $;

(9) $ y = \ln(\sec x + \tan x) $;

(10) $ y = \ln(\csc x - \cot x) $.

1. 求下列函数的导数：

(1) $ y = \left( \arcsin \frac{x}{2} \right)^2 $;

(2) $ y = \ln \tan \frac{x}{2} $;

(3) $ y = \sqrt{1 + \ln^{2} x} $;

(4) $ y = e^{\arctan\sqrt{x}} $;

(5) $ y = \sin^n x \cos n x $;

(6) $ y = \arctan \frac{x+1}{x-1} $;

(7) $ y = \frac{\arcsin x}{\arccos x} $;

(8) $ y = \ln \ln \ln x $;

(9) $ y = \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} $; (10) $ y = \arcsin \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} $.

1. 设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 可导，且 $ f^{2}(x) + g^{2}(x) \neq 0 $，试求函数 $ y = \sqrt{f^{2}(x) + g^{2}(x)} $ 的导数.

1. 设 $ f(x) $ 可导，求下列函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $

(1) $ y = f(x^{2}) $;

(2) $ y = f(\sin^{2} x) + f(\cos^{2} x) $.

1. 求下列函数的导数：

(1) $ y = e^{-x} (x^2 - 2x + 3) $;

(2) $ y = \sin^{2} x \cdot \sin(x^{2}) $;

(3) $ y = \left( \arctan \frac{x}{2} \right)^2 $;

(4) $ y = \frac{\ln x}{x^n} $;

(5) $ y = \frac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}} $;

(6) $ y = \ln \cos \frac{1}{x} $;

(7) $ y = e^{-\sin^2 \frac{1}{x}} $;

(8) $ y = \sqrt{x + \sqrt{x}} $;

(9) $ y = x \arcsin \frac{x}{2} + \sqrt{4 - x^2} $;

$$ y=\arcsin\frac{2t}{1+t^{2}} $$

1. 求下列函数的导数：

(1) $ y = \text{ch}(\text{sh } x) $;

(2) $ y = sh \times e^{\text{ch } x} $;

(3) $ y = \text{th} (\ln x) $;

(4) $ y = sh^3x + ch^2x $;

(5) $ y = \text{th}(1 - x^2) $;

(6) $ y = \operatorname{arsh}(x^2 + 1) $;

(7) $ y = \text{arch}(e^{2x}) $;

(8) $ y = \arctan(\text{th } x) $;

(9) $ y = \ln \mathrm{ch} x + \frac{1}{2 \mathrm{ch}^2 x} $; (10) $ y = \mathrm{ch}^2 \left( \frac{x-1}{x+1} \right) $.

1. 设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 均在点 $ x_{0} $ 的某一邻域内有定义, $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处可导, $ f(x_{0}) = 0 $, $ g(x) $ 在 $ x_{0} $ 处连续, 试讨论 $ f(x)g(x) $ 在 $ x_{0} $ 处的可导性.

1. 设函数 $ f(x) $ 满足下列条件：

$$ \left(u\pm v\right)^{\left(n\right)}=u^{\left(n\right)}\pm v^{\left(n\right)}. $$

但乘积 $ u(x) \cdot v(x) $ 的 n 阶导数并不简单. 由

$$ \left(u v\right)^{\prime}=u^{\prime}v+u v^{\prime} $$

首先得出

$$ (u v)=u^{\prime \prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+u v^{\prime \prime}, $$

$$ (u v)^{\prime \prime \prime}=u^{\prime \prime \prime}v+3u^{\prime \prime}v^{\prime}+3u^{\prime}v^{\prime \prime}+u v^{\prime \prime \prime}. $$

用数学归纳法可以证明

$$ \begin{align*}\left(uv\right)^{\left(n\right)}&=u^{\left(n\right)}v+nu^{\left(n-1\right)}v^{\prime}+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}u^{\left(n-2\right)}v^{\prime \prime}+\cdots+\\&\quad\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}u^{\left(n-k\right)}v^{\left(k\right)}+\cdots+uv^{\left(n\right)}.\end{align*} $$

上式称为 $ \uwave{\text{莱布尼茨}} $(Leibniz) $ \uwave{\text{公式}} $. 这公式可以这样记忆:把 $ (u+v)^{n} $按二项式定理展开写成

$$ \left(u+v\right)^{n}=u^{n}v^{0}+n u^{n-1}v^{1}+\frac{n(n-1)}{2!}u^{n-2}v^{2}+\cdots+u^{0}v^{n}, $$

即

$$ \left(u+v\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{n-k}v^{k}\textcircled{1}\;, $$

然后把 k 次幂换成 k 阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的 $ u+v $ 换成 uv，这样就得到莱布尼茨公式

$$ \left(uv\right)^{\left(n\right)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{\left(n-k\right)}v^{\left(k\right)}. $$

例8 $ y=x^{2}e^{2x} $，求 $ y^{(20)} $

解 设 $ u=e^{2x} $, $ v=x^{2} $，则

$$ u^{(k)}=2^{k}\mathrm{e}^{2x}\left(k=1,2,\cdots,20\right), $$

$$ v^{\prime}=2x\;,\quad v^{\prime \prime}=2\;,\quad v^{(k)}=0\;\;\left(k=3,4,\cdots,20\right)\;, $$

代入莱布尼茨公式，得

$$ \begin{aligned}\gamma^{(20)}&=\left(x^{2}\mathrm{e}^{2x}\right)^{(20)}=2^{20}\mathrm{e}^{2x}\cdot x^{2}+20\cdot2^{19}\mathrm{e}^{2x}\cdot2x+\frac{20\cdot19}{2!}2^{18}\mathrm{e}^{2x}\cdot2\\&=2^{20}\mathrm{e}^{2x}\left(x^{2}+20x+95\right).\end{aligned} $$

习题2-3

1. 求下列函数的二阶导数：

(1) $ y = 2x^{2} + \ln x $;

(2) $ y = e^{2x-1} $;

(3) $ y = x \cos x $;

(4) $ y = e^{-t} \sin t $;

(5) $ y = \sqrt{a^2 - x^2} $;

(6) $ y = \ln(1 - x^2) $;

(7) $ y = \tan x $;

(8) $ y = \frac{1}{x^{3} + 1} $;

(9) $ y = (1 + x^2) \arctan x $;

(10) $ y = \frac{e^x}{x} $;

(11) $ y = xe^{x^2} $; (12) $ y = \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) $.

1. 设 $ f(x) = (x+10)^{6} $，求 $ f'''(2) $.

1. 设 $ f''(x) $ 存在，求下列函数的二阶导数 $ \frac{d^2y}{dx^2} $

(1) $ y = f(x^2) $; (2) $ y = \ln[f(x)] $.

1. 试从 $ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{y'} $导出：

(1) $ \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}y^{2}}=-\frac{y''}{\left(y'\right)^{3}}; $

(2) $ \frac{\mathrm{d}^{3}x}{\mathrm{d}y^{3}}=\frac{3\left(y''\right)^{2}-y'y''}{(y')^{5}}. $

1. 已知物体的运动规律为 $ s = A \sin \omega t $ （ $ A, \omega $ 是常数），求物体运动的加速度，并验证：

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega^{2}s=0. $$

1. 密度大的陨星进入大气层时，当它离地心为 s km 时的速度与 $ \sqrt{s} $ 成反比. 试证陨星的加速度与 $ s^{2} $ 成反比.

1. 假设质点沿 x 轴运动的速度为 $ \frac{dx}{dt} = f(x) $，试求质点运动的加速度.

1. 验证函数 $ y = C_{1} e^{\lambda x} + C_{2} e^{-\lambda x} $ ( $ \lambda, C_{1}, C_{2} $ 是常数) 满足关系式

$$ y^{\prime \prime}-\lambda^{2}y=0. $$

1. 验证函数 $ y = e^{x} \sin x $ 满足关系式

$$ y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+2y=0. $$

1. 求下列函数所指定的阶的导数：

(1) $ y = e^{x} \cos x $，求 $ y^{(4)} $; (2) $ y = x^{2} \sin 2x $，求 $ y^{(50)} $.

1. 求下列函数的 n 阶导数的一般表达式：

(1) $ y = x^{n} + a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}x + a_{n} $ （ $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $ 都是常数）；

(2) $ y = \sin^2 x $; (3) $ y = x \ln x $; (4) $ y = x e^x $.

*12. 求函数 $ f(x) = x^{2} \ln(1+x) $ 在 x=0 处的 n 阶导数 (0) ( $ n \geqslant 3 $)

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、 隐函数的导数

函数 $ y=f(x) $ 表示两个变量 y 与 x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如 $ y=\sin x $， $ y=\ln x+\sqrt{1-x^{2}} $ 等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程

$$ x+y^{3}-1=0 $$

表示一个函数，因为当变量 x 在 $ (-∞,+∞) $ 内取值时，变量 y 有确定的值与之对应。例如，当 x=0 时，y=1；当 x=-1 时， $ y=\sqrt[3]{2} $，等等。这样的函数称为隐函数。

一般地，如果变量 x 和 y 满足一个方程 $ F(x, y) = 0 $，在一定条件下，当 x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 $ F(x, y) = 0 $ 在该区间内确定了一个隐函数.

把一个隐函数化成显函数，叫做 $ \uwave{\text{隐函数的显化}} $。例如从方程 $ x+y^{3}-1=0 $解出 $ y=\sqrt[3]{1-x} $，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。

例1 求由方程 $ e^{y} + xy - e = 0 $ 所确定的隐函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $.

解 我们把方程两边分别对 x 求导数 $ ^{①} $，注意 $ y = y(x) $。方程左边对 x 求导得

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathbf{e}^{y}+xy-\mathbf{e})=\mathbf{e}^{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, $$

方程右边对 x 求导得

$$ (0)^{\prime}=0. $$

由于等式两边对 x 的导数相等，所以

$$ \mathrm{e}^{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0, $$

从而

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{y}{x+\mathrm{e}^{y}}\quad(x+\mathrm{e}^{y}\neq0). $$

在这个结果中，分式中的 $ y=y(x) $ 是由方程 $ e^{y}+xy-e=0 $ 所确定的隐函数.

例2 求由方程 $ y^{5}+2y-x-3x^{7}=0 $ 所确定的隐函数在 x=0 处的导数 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} $

解 把方程两边分别对 x 求导，由于方程两边的导数相等，所以

$$ 5y^{4}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1-21x^{6}=0. $$

由此得

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+21x^{6}}{5y^{4}+2} $$

因为当 x=0 时，从原方程得 y=0，所以

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x=0}=\frac{1}{2}. $$

例3 求椭圆 $ \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 $在点 $ (2,\frac{3}{2}\sqrt{3}) $处的切线方程(图2-6).

解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

$$ k=y^{\prime}\left|\begin{array}{c}\end{array}\right|_{x=2}. $$

椭圆方程的两边分别对 x 求导，有

$$ \frac{x}{8}+\frac{2}{9}y\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0. $$

从而

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{9x}{16y}. $$

当 x=2 时， $ y=\frac{3}{2}\sqrt{3} $，代入上式得

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x=2}=-\frac{\sqrt{3}}{4}. $$

于是所求的切线方程为

$$ y-\frac{3}{2}\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x-2), $$

即

$$ \sqrt{3}x+4y-8\sqrt{3}=0. $$

例4 求由方程 $ x - y + \frac{1}{2} \sin y = 0 $ 所确定的隐函数的二阶导数 $ \frac{d^2 y}{dx^2} $.

解 应用隐函数的求导方法,得

$$ 1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{1}{2}\cos y\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0, $$

于是

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2}{2-\cos y}. $$

上式两边再对 x 求导，得

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{-2\sin y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{\left(2-\cos y\right)^{2}}=\frac{-4\sin y}{\left(2-\cos y\right)^{3}} $$

上式右端分式中的 $ y=y(x) $ 是由方程 $ x-y+\frac{1}{2}\sin y=0 $ 所确定的隐函数.

在某些场合，利用所谓 $ \uwave{\text{对数求导法}} $求导数比用通常的方法简便些. 这种方法是先在 $ y=f(x) $的两边取对数，然后再求出y的导数. 我们通过下面的例子来说明这种方法.

例5 求 $ y = x^{\sin x} $ (x > 0) 的导数.

解 这函数是幂指函数. 为了求这函数的导数,可以先在等式两边取对数,得

$$ \ln y=\sin x\cdot\ln x. $$

上式两边对 x 求导，注意到 $ y = y(x) $，得

$$ \frac{1}{y}y^{\prime}=\cos x\cdot\ln x+\sin x\cdot\frac{1}{x}, $$

于是

$$ y^{\prime}=y\left(\cos x\cdot\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)=x^{\sin x}\left(\cos x\cdot\ln x+\frac{\sin x}{x}\right). $$

对于一般形式的幂指函数

$$ y=u^{v}(u>0), $$

如果 $ u = u(x) $, $ v = v(x) $ 都可导，则可像例 5 那样利用对数求导法求出幂指函数 (4-1) 的导数，也可把幂指函数 (4-1) 表示为

$$ y=\mathrm{e}^{\mathrm{r l n}u}. $$

这样，便可直接求得

$$ y^{\prime}=\mathrm{e}^{v\ln u}\left(v^{\prime}\cdot\ln u+v\cdot\frac{u^{\prime}}{u}\right)=u^{v}\left(v^{\prime}\cdot\ln u+\frac{v u^{\prime}}{u}\right). $$

例6 求 $ y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} $ 的导数.

解 先在等式两边取对数（假定 x>4），得

$$ \ln y=\frac{1}{2}\left[\ln(x-1)+\ln(x-2)-\ln(x-3)-\ln(x-4)\right] $$

上式两边对 x 求导，注意到 $ y = y(x) $，得

$$ \frac{1}{y}y^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right) $$

于是

$$ y^{\prime}=\frac{y}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right) $$

当 x<1 时， $ y=\sqrt{\frac{(1-x)(2-x)}{(3-x)(4-x)}} $ ；

当 2<x<3 时， $ y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(3-x)(4-x)}} $ ；

用同样的方法可得与上面相同的结果.

二、 由参数方程所确定的函数的导数

研究物体运动的轨迹时，常遇到参数方程。例如，研究抛射体的运动问题时，如果空气阻力忽略不计，那么抛射体的运动轨迹可表示为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=v_{1}t,}\\ {}&{{}y=v_{2}t-\frac{1}{2}g t^{2},}\\ \end{aligned}. $$

其中 $ v_{1} $、 $ v_{2} $ 分别是抛射体初速度的水平、铅直分量，g 是重力加速度，t 是飞行时间，x 和 y 分别是飞行中抛射体在铅直平面上的位置的横坐标和纵坐标（图在(4-2)式中，x、y 都与 t 存在函数关系。如果把对应于同一个 t 值的 y 与 x 的值看做是对应的，那么这样就得到 y 与 x 之间的函数关系。消去(4-2)中的参数 h 有：

$$ y=\frac{v_{2}}{v_{1}}x-\frac{g}{2{v_{1}^{2}}}{x^{2}}. $$

这是因变量 y 与自变量 x 直接联系的式子，也是参数方程(4-2)所确定的函数的显式表示.

一般地，若参数方程

$$ \{\begin{aligned}{x=\varphi(t),}\\ {y=\psi(t)}\end{aligned}. $$

确定 y 与 x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(4-3)所确定的函数.

在实际问题中，需要计算由参数方程(4-3)所确定的函数的导数。但从(4-3)中消去参数t有时会有困难。因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程(4-3)算出它所确定的函数的导数来。下面就来讨论由参数方程(4-3)所确定的函数的求导方法。

在(4-3)式中，如果函数 $ x=\varphi(t) $ 具有单调连续反函数 $ t=\varphi^{-1}(x) $，且此反函数能与函数 $ y=\psi(t) $ 构成复合函数，那么由参数方程(4-3)所确定的函数可以看成是由函数 $ y=\psi(t) $、 $ t=\varphi^{-1}(x) $ 复合而成的函数 $ y=\psi[\varphi^{-1}(x)] $。现在，要计算这个复合函数的导数。为此再假定函数 $ x=\varphi(t) $、 $ y=\psi(t) $ 都可导，而且 $ \varphi'(t) \neq 0 $。于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}, $$

即

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}. $$

上式也可写成

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}. $$

(4-4)式就是由参数方程(4-3)所确定的x的函数的导数公式 $ ^{①} $.

①作为x的函数, $ \frac{dy}{dx} $应表示为

$$ \{\begin{aligned}{x=\varphi(t),}\\ {\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=}&{{}\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)},}\\ \end{aligned}. $$

但为了方便起见，通常把 $ x=\varphi(t) $ 省去。后面的公式(4-5)也作类似的理解。

如果 $ x=\varphi(t) $, $ y=\psi(t) $ 还是二阶可导的, 那么从 (4-4) 式又可得到函数的二阶导数公式

$$ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}^{2}\mathcal{Y}}{\mathrm{d}x^{2}}=&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigg(\frac{\mathrm{d}\mathcal{Y}}{\mathrm{d}x}\bigg)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}\bigg)\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\=&\frac{\psi^{\prime \prime}(t)\varphi^{\prime}(t)-\psi^{\prime}(t)\varphi^{\prime \prime}(t)}{\varph{i^{\prime}}^{2}(t)}\cdot\frac{1}{\varphi^{\prime}(t)},\end{aligned} $$

即

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\psi^{\prime\prime}(t)\varphi^{\prime}(t)-\psi^{\prime}(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{\varphi^{\prime3}(t)}. $$

例7 已知椭圆的参数方程为

$$ \{\begin{aligned}x&=a\cos t,\\ y&=b\sin t,\end{aligned}. $$

求椭圆在 $ t=\frac{\pi}{4} $ 相应的点处的切线方程（图2-8）.

解 当 $ t=\frac{\pi}{4} $ 时，椭圆上的相应点 $ M_{0} $ 的坐标是

$$ x_{0}=a\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}a}{2}, $$

$$ y_{0}=b\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}b}{2}. $$

曲线在点 $ M_{0} $的切线斜率为

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\left(b\sin t\right)^{\prime}}{\left(a\cos t\right)^{\prime}}=\frac{b\cos t}{a\sin t}=-\frac{b}{a} $$

代入点斜式方程，即得椭圆在点 $ M_{0} $处的切线方程

$$ \gamma-\frac{\sqrt{2}\,b}{2}=-\frac{b}{a}\left(x-\frac{\sqrt{2}\,a}{2}\right). $$

化简后得

$$ bx+ay-\sqrt{2}ab=0. $$

例8 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=v_{1}t,}\\ {}&{{}y=v_{2}t-\frac{1}{2}g t^{2},}\\ \end{aligned}. $$

求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向。

解 先求速度的大小.

由于速度的水平分量为

$$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_{1}, $$

铅直分量为

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=v_{2}-gt, $$

所以抛射体运动速度的大小为

$$ v=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2}}=\sqrt{v_{1}^{2}+\left(v_{2}-gt\right)^{2}}. $$

再求速度的方向，也就是轨迹的切线方向。

设 $ \alpha $ 是切线的倾角，则根据导数的几何意义，得

$$ \tan\alpha=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{v_{2}-gt}{v_{1}} $$

在抛射体刚射出（即 t=0）时，

$$ \tan\alpha=\left|\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\t=0\end{array}\right|_{t=0}=\frac{v_{2}}{v_{1}}; $$

当 $ t=\frac{v_{2}}{g} $ 时，

$$ \tan\alpha\bigg|_{v_{2}\atop v_{2}=g}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg|_{v_{2}=g}=0, $$

这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点（图2-7）.

例9 计算由摆线(图2-9)的参数

方程

$$ \{\begin{aligned}{x}&{{}=a(t-\sint),}\\ {y}&{{}=a(1-\cost)}\end{aligned}. $$

所确定的函数 $ y=y(x) $ 的二阶导数.

解

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\cot\frac{t}{2}(t\neq2n\pi,n\in\mathbf{Z}). $$

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\cot\frac{t}{2}\right)\cdot\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=-\frac{1}{2\sin^{2}\frac{t}{2}}\cdot\frac{1}{a(1-\cos t)} $$

$$ =-\frac{1}{a\left(1-\cos t\right)^{2}}\left(t\neq2n\pi,n\in\mathbb{Z}\right). $$

三、 相关变化率

设 $ x = x(t) $ 及 $ y = y(t) $ 都是可导函数，而变量 x 与 y 间存在某种关系，从而变化率 $ \frac{dx}{dt} $ 与 $ \frac{dy}{dt} $ 间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为 $ \uwave{\text{相关变化率}} $。相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率。

例10 一气球从离开观察员500 m处离地面铅直上升，当气球高度为500 m时，其速率为140 m/min(分). 求此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？

解 设气球上升 $ t \, \text{s} $ (秒) 后，其高度为 h，观察员视线的仰角为 $ \alpha $，则

$$ \tan\alpha=\frac{h}{500}, $$

其中 $ \alpha $ 及 h 都与 t 存在可导的函数关系. 上式两边对 t 求导, 得

$$ \sec^{2}\alpha\cdot\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{500}\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}. $$

由已知条件，存在 $ t_{0} $，使 $ h\big|_{t=t_{0}}=500\ m $， $ \frac{dh}{dt}\bigg|_{t=t_{0}}=140\ m/min $。又 $ \tan\alpha\big|_{t=t_{0}}=1 $， $ \sec^{2}\alpha\big|_{t=t_{0}}=2 $。代入上式得

$$ 2\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=t_{0}}=\frac{1}{500}\cdot140, $$

所以

$$ \frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=t_{0}}=\frac{70}{500}=0.14\quad(\mathrm{rad}( 弧度)/\mathrm{min}). $$

即时观察员视线的仰角增加的速率是 $ 0.14 \, rad/min $.

习题2-4

1. 求由下列方程所确定的隐函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $

(1)

$$ y^{2}-2xy+9=0 $$

(2)

$ x^{3}+y^{3}-3axy=0 $

公众号：考研讲课

(3) $ xy = e^{x+y} $; (4) $ y = 1 - xe^y $.

1. 求曲线 $ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} $ 在点 $ \left(\frac{\sqrt{2}}{4}a, \frac{\sqrt{2}}{4}a\right) $ 处的切线方程和法线方程.

1. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 $ \frac{d^2y}{dx^2} $;

(1) $ x^2 - y^2 = 1 $;

(2) $ b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 $;

(3) $ y = \tan(x + y) $;

(4) $ y = 1 + xe^y $.

1. 用对数求导法求下列函数的导数：

1. 用对数求导法求下列图数的导数：

(1) $ y = \left( \frac{x}{1+x} \right)^x $; (2) $ y = \sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^2+2}}} $;

(3) $ y = \frac{\sqrt{x+2}(3-x)^4}{(x+1)^5} $; (4) $ y = \sqrt{x \sin x \sqrt{1-e^x}} $.

1. 求下列参数方程所确定的函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $:

(1) $ \{\begin{aligned} x &= at^2, \\ y &= bt^3 \end{aligned}. $

(2) $ \{\begin{aligned} x &= \theta (1 - \sin \theta), \\ y &= \theta \cos \theta. \end{aligned}. $

1. 已知 $ \{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{t}\sin t,\\y=\mathrm{e}^{t}\cos t,\end{array}. $求当 $ t=\frac{\pi}{3} $时 $ \frac{dy}{dx} $的值.

1. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程：

(1) $ \{\begin{aligned}x&=\sin t,\\ y&=\cos 2t,\end{aligned}. $ 在 $ t=\frac{\pi}{4} $ 处；(2) $ \{\begin{aligned}x&=\frac{3at}{1+t^{2}},\\ y&=\frac{3at^{2}}{1+t^{2}},\end{aligned}. $ 在 t=2 处.

1. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 $ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} $:

(1) $ \begin{cases} x = \frac{t^2}{2}, \\ y = 1 - t; \end{cases} $

(2) $ \begin{cases} x = a \cos t, \\ y = b \sin t; \end{cases} $

(3) $ \begin{cases} x = 3e^{-t}, \\ y = 2e^t; \end{cases} $

(4) $ \begin{cases} x = f'(t), \\ y = tf'(t) - f(t), \end{cases} $ 设 $ f''(t) $存在且不为

1. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数 $ \frac{d^3y}{dx^3} $:

(1) $ \begin{cases} x=1-t^2, \\ y=t-t^3; \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x=\ln(1+t^2), \\ y=t-\arctan t. \end{cases} $

1. 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是 $ 6 \, m/s $，问在 $ 2 \, s $ 末扰动水面面积增大的速率为多少？

1. 注水入深8 m、上顶直径8 m的正圆锥形容器中，其速率为 $ 4\ m^{3}/min $。当水深为5 m

时，其表面上升的速率为多少？

1. 溶液自深18 cm顶直径12 cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10 cm的圆柱形筒中. 开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12 cm时, 其表面下降的速率为1 cm/min. 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

第五节 函数的微分

一、 微分的定义

先分析一个具体问题. 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由 $ x_{0} $ 变到 $ x_{0} + \Delta x $ (图 2-10), 问此薄片的面积改变了多少?

设此薄片的边长为 x，面积为 A，则 A 与 x 存在函数关系： $ A=x^{2} $。薄片受温度变化的影响时面积的改变量可以看成是当自变量 x 自 $ x_{0} $ 取得增量 $ \Delta x $ 时，函数 $ A=x^{2} $ 相应的增量 $ \Delta A $，即

$$ \Delta A=\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}-x_{0}^{2}=2x_{0}\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2}. $$

从上式可以看出， $ \Delta A $ 分成两部分，第一部分 $ 2x_{0}\Delta x $ 是 $ \Delta x $ 的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分 $ (\Delta x)^{2} $ 在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当 $ \Delta x\to0 $ 时，第二部分 $ (\Delta x)^{2} $ 是比 $ \Delta x $ 高阶的无穷小，即 $ (\Delta x)^{2}=o(\Delta x) $。由此可见，如果边长改变很微小，即 $ |\Delta x| $ 很小时，面积的改变量 $ \Delta A $ 可近似地用第一部分来代替。

一般地，如果函数 $ y=f(x) $ 满足一定条件，那么增量 $ \Delta y $ 可表示为

$$ \Delta y=A\Delta x+o\left(\Delta x\right), $$

其中 A 是不依赖于 $ \Delta x $ 的常数，因此 $ A\Delta x $ 是 $ \Delta x $ 的线性函数，且 $ \Delta y $ 与它的差

$$ \Delta y-A\Delta x=o\left(\Delta x\right) $$

是比 $ \Delta x $ 高阶的无穷小. 所以, 当 $ A \neq 0 $, 且 $ |\Delta x| $ 很小时, 我们就可以用 $ \Delta x $ 的线性函数 $ A\Delta x $ 来近似代替 $ \Delta y $.

定义 设函数 $ y = f(x) $ 在某区间内有定义 $ x_{0} $ 及 $ x_{0} + \Delta x $ 在这区间内，如果函

数的增量

$$ \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) $$

可表示为

$$ \Delta\dot{y}=A\Delta x+o\left(\Delta x\right), $$

其中 A 是不依赖于 $ \Delta x $ 的常数，那么称函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 是 $ \uwave{\text{可微}} $ 的，而 $ A\Delta x $ 叫做函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 相应于自变量增量 $ \Delta x $ 的 $ \uwave{\text{微分}} $，记作 dy，即

$$ \mathrm{d}y=A\Delta x. $$

下面讨论函数可微的条件. 设函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 可微，则按定义有 (5-1) 式成立. (5-1) 式两边除以 $ \Delta x $，得

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o\left(\Delta x\right)}{\Delta x}. $$

于是，当 $ \Delta x \to 0 $ 时，由上式就得到

$$ A=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_{0}\right). $$

因此，如果函数 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 可微，那么 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 也一定可导（即 $ f'(x_{0}) $ 存在），且 $ A = f'(x_{0}) $.

反之，如果 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 可导，即

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_{0}\right) $$

存在，根据极限与无穷小的关系（第一章第四节定理1），上式可写成

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(x_{0})+\alpha, $$

其中 $ \alpha\to0 $ (当 $ \Delta x\to0 $) 。由此又有

$$ \Delta y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\Delta x+\alpha\Delta x. $$

因 $ \alpha\Delta x=o(\Delta x) $，且 $ f^{\prime}(x_{0}) $ 不依赖于 $ \Delta x $，故上式相当于（5-1）式，所以 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 也是可微的.

由此可见，函数 $ f(x) $在点 $ x_{0} $可微的充分必要条件是函数 $ f(x) $在点 $ x_{0} $可导，且当 $ f(x) $在点 $ x_{0} $可微时，其微分一定是

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\Delta x. $$

当 $ f'(x_{0})\neq0 $时，有

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\mathrm{d}y}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)\Delta x}=\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=1. $$

从而，当 $ \Delta x \to 0 $ 时， $ \Delta y $ 与 dy 是等价无穷小，于是由第一章第七节定理1可知，这时有

$$ \Delta y=dy+o(dx), 公众号： 讲解抓深 , $$

即 dy 是 $ \Delta y $ 的主部 $ ^{①} $. 又由于 $ dy = f'(x_{0})\Delta x $ 是 $ \Delta x $ 的线性函数, 所以在 $ f'(x_{0}) \neq 0 $ 的条件下, 我们说 dy 是 $ \Delta y $ 的线性主部(当 $ \Delta x \to 0 $). 于是我们得到结论: 在 $ f'(x_{0}) \neq 0 $ 的条件下, 以微分 $ dy = f'(x_{0})\Delta x $ 近似代替增量 $ \Delta y = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) $ 时, 其误差为 $ o(dy) $. 因此, 在 $ \Delta x $ 1 很小时, 有近似等式

$$ \Delta y\approx\mathrm{d}y. $$

例1 求函数 $ y=x^{2} $ 在 x=1 和 x=3 处的微分.

解 函数 $ y=x^{2} $ 在 x=1 处的微分为

$$ \mathrm{d}y=\left(x^{2}\right)^{\prime}\mid_{x=1}\Delta x=2\Delta x, $$

在 x=3 处的微分为

$$ \mathrm{d}y=\left(x^{2}\right)^{\prime}\mid_{x=3}\Delta x=6\Delta x. $$

函数 $ y=f(x) $ 在任意点 x 的微分，称为 $ \uwave{\text{函数的微分}} $，记作 dy 或 df(x)，即

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}(x)\Delta x. $$

例如，函数 $ y = \cos x $ 的微分为

$$ \mathrm{d}y=\left(\cos x\right)^{\prime}\Delta x=-\sin x\Delta x, $$

函数 $ y=e^{x} $ 的微分为

$$ \mathrm{d}y=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}\Delta x=\mathrm{e}^{x}\Delta x. $$

显然，函数的微分 $ \mathrm{d}y = f'(x) \Delta x $ 与 x 和 $ \Delta x $ 有关.

例2 求函数 $ y=x^{3} $ 当 x=2, $ \Delta x=0.02 $ 时的微分.

解 先求函数在任意点 x 的微分

$$ \mathrm{d}y=\left(x^{3}\right)^{\prime}\Delta x=3x^{2}\Delta x. $$

再求函数当 x=2, $ \Delta x=0.02 $ 时的微分

$$ \mathrm{d}y\bigg|_{\substack{x=2\\ \Delta x=0.02}}=(3x^{2}\Delta x)\bigg|_{\substack{x=2\\ \Delta x=0.02}}=3\cdot2^{2}\cdot0.02=0.24. $$

通常把自变量 x 的增量 $ \Delta x $ 称为 $ \uwave{\text{自变量的微分}} $，记作 dx，即 dx = $ \Delta x $。于是函数 y = f(x) 的微分又可记作

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}(x)\mathrm{d}x. $$

从而有

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime}(x). $$

这就是说，函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“ $ \uwave{\text{微商}} $”。

二、 微分的几何意义

为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义.

在直角坐标系中，函数 $ y=f(x) $ 的图形是一条曲线。对于某一固定的 $ x_{0} $ 值，曲线上有一个确定点 $ M(x_{0},y_{0}) $，当自变量 x 有微小增量 $ \Delta x $ 时，就得到曲线上另一点 $ N(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y) $。从图 2-11 可知：

$$ M Q=\Delta x\:, $$

$$ Q N=\Delta y. $$

过点 M 作曲线的切线 MT, 它的倾角为 $ \alpha $, 则

$$ Q P=M Q\cdot\tan\alpha=\Delta x\cdot f^{\prime}\left(x_{0}\right), $$

即

$$ \mathrm{d}y=Q P. $$

由此可见，对于可微函数 $ y=f(x) $ 而言，当 $ \Delta y $ 是曲线 $ y=f(x) $ 上的点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当 $ |\Delta x| $ 很小时， $ |\Delta y-dy| $ 比 $ |\Delta x| $ 小得多。因此在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一。这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中是经常采用的。

三、 基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分的表达式

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}(x)\mathrm{d}x $$

可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分。因此，可得如下的微分公式和微分运算法则。

1. 基本初等函数的微分公式

由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式。为了便于对照，列表于下：

2. 函数和、差、积、商的微分法则

由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则。为了便于对照，列成下表(表中 $ u=u(x) $, $ v=v(x) $都可导).

现在我们以乘积的微分法则为例加以证明.

根据函数微分的表达式，有

$$ \mathrm{d}\left(u v\right)=\left(u v\right)^{\prime}\mathrm{d}x. $$

再根据乘积的求导法则，有

$$ (u v)^{\prime}=u^{\prime}v+u v^{\prime}. $$

于是

$$ \mathrm{d}\left(uv\right)=\left(u^{\prime}v+uv^{\prime}\right)\mathrm{d}x=u^{\prime}v\mathrm{d}x+uv^{\prime}\mathrm{d}x. $$

由于

$$ u^{\prime}\mathrm{d}x=\mathrm{d}u,\ v^{\prime}\mathrm{d}x=\mathrm{d}v, $$

所以

$$ \mathrm{d}\left(u v\right)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v. $$

其他法则都可以用类似方法证明.

3. 复合函数的微分法则

与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：

设 $ y=f(u) $ 及 $ u=g(x) $ 都可导，则复合函数 $ y=f[g(x)] $ 的微分为

$$ \mathrm{d}y=y^{\prime}{}_{x}\mathrm{d}x=f^{\prime}\left(u\right)g^{\prime}\left(x\right)\mathrm{d}x. $$

由于 $ g'(x) \mathrm{d}x = \mathrm{d}u $，所以，复合函数 $ y = f[g(x)] $ 的微分公式也可以写成

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}(u)\mathrm{d}u\quad\text{ 或 }\quad\mathrm{d}y=y_{u}^{\prime}\mathrm{d}u. $$

由此可见，无论 u 是自变量还是中间变量，微分形式 $ \mathrm{d}y = f'(u)\mathrm{d}u $ 保持不变。这一性质称为 $ \uwave{\text{微分形式不变性}} $。这性质表示，当变换自变量时，微分形式 $ \mathrm{d}y = f'(u)\mathrm{d}u $ 并不改变。

例3 $ y=\sin(2x+1) $，求 dy.

解 把 $ 2x+1 $ 看成中间变量 u，则

$$ \begin{aligned}\mathrm{d}y&=\mathrm{d}(\sin u)=\cos u\mathrm{d}u=\cos(2x+1)\mathrm{d}(2x+1)\\&=\cos(2x+1)\cdot2\mathrm{d}x=2\cos(2x+1)\mathrm{d}x.\end{aligned} $$

在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量。在求复合函数的微分时，类似地也可以不写出中间变量。下面我们用这种方法来求函数的微分。

例4 $ y = \ln(1 + e^{x^2}) $，求 dy.

解

$$ \begin{align*}\mathrm{d}y&=\mathrm{d}(\ln(1+\mathrm{e}^{x^2}))=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x^2}}\mathrm{d}(1+\mathrm{e}^{x^2})=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x^2}}\cdot\mathrm{e}^{x^2}\mathrm{d}(x^2)\\&=\frac{\mathrm{e}^{x^2}}{1+\mathrm{e}^{x^2}}\cdot2x\mathrm{d}x=\frac{2x\mathrm{e}^{x^2}}{1+\mathrm{e}^{x^2}}\mathrm{d}x.\end{align*} $$

例5 $ y=e^{1-3x}\cos x $，求 $ \mathrm{d}y $。公众号：考研讲课

解 应用积的微分法则，得

$$ \begin{aligned}\mathrm{d}y&=\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{^{1-3x}}\cos x\right)=\cos x\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{^{1-3x}}\right)+\mathrm{e}^{^{1-3x}}\mathrm{d}\left(\cos x\right)\\&=\left(\cos x\right)\mathrm{e}^{^{1-3x}}\left(-3\mathrm{d}x\right)+\mathrm{e}^{^{1-3x}}\left(-\sin x\mathrm{d}x\right)\\&=-\mathrm{e}^{^{1-3x}}\left(3\cos x+\sin x\right)\mathrm{d}x.\\ \end{aligned} $$

例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立.

(1) d() = xdx;

(2)

$$ \mathrm{~d(~~})=\cos\omega t\mathrm{d}t\mathrm{~(~}\omega\neq0\mathrm{~)} $$

解（1）我们知道，

$$ \mathrm{d}(x^{2})=2x\mathrm{d}x. $$

可见

$$ x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}\left(x^{2}\right)=\mathrm{d}\left(\frac{x^{2}}{2}\right) $$

即

$$ \mathrm{d}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=x\mathrm{d}x. $$

一般地，有

$ \mathrm{d}\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=x\mathrm{d}x $（C为任意常数）.

（2）因为

$$ \mathrm{d}\left(\sin\omega t\right)=\omega\cos\omega t\mathrm{d}t, $$

可见

$$ \cos\omega t\mathrm{d}t=\frac{1}{\omega}\mathrm{d}\left(\sin\omega t\right)=\mathrm{d}\left(\frac{1}{\omega}\sin\omega t\right), $$

即

$$ \mathrm{d}\bigg(\frac{1}{\omega}\sin\omega t\bigg)=\cos\omega t\mathrm{d}t. $$

一般地，有

$$ \mathrm{d}\left(\frac{1}{\omega}\sin\omega t+C\right)=\cos\omega t\mathrm{d}t\quad(C 为任意常数 ,\omega\neq0). $$

四、 微分在近似计算中的应用

1. 函数的近似计算

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式。如果直接用这些公式进行

计算,那是很费力的.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替.

前面说过，如果 $ y = f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处的导数 $ f'(x_{0}) \neq 0 $，且 $ \left|\Delta x\right| $ 很小时，我们有

$$ \Delta y\approx\mathrm{d}y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\Delta x. $$

这个式子也可以写为

$$ \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx f^{\prime}(x_{0})\Delta x, $$

或

$$ f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\Delta x. $$

在 $ (5-5) $式中令 $ x = x_{0} + \Delta x $，即 $ \Delta x = x - x_{0} $，那么（5-5）式可改写为

$$ f(x)\approx f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}). $$

如果 $ f(x_0) $ 与 $ f'(x_0) $ 都容易计算，那么可利用 (5-4) 式来近似计算 $ \Delta y $，利用 (5-5) 式来近似计算 $ f(x_0 + \Delta x) $，或利用 (5-6) 式来近似计算 $ f(x) $。这种近似计算的实质就是用 x 的线性函数 $ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $ 来近似表达函数 $ f(x) $。从导数的几何意义可知，这也就是用曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0, f(x_0)) $ 处的切线来近似代替该曲线（就切点邻近部分来说）。

例7 有一批半径为1 cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01 cm. 估计一下每只球需用铜多少克（铜的密度是8.9 $ g/cm^{3} $）？

解 先求出镀层的体积，再乘密度就得到每只球需用铜的质量.

因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积 $ V=\frac{4}{3}\pi R^{3} $ 当 $ R $ 自 $ R_{0} $ 取得增量 $ \Delta R $ 时的增量 $ \Delta V $。我们求 $ V $ 对 $ R $ 的导数

$$ V^{\prime}\bigg|_{R=R_{0}}=\left(\frac{4}{3}\pi R^{3}\right)^{\prime}\bigg|_{R=R_{0}}=4\pi R_{0}^{2}, $$

由 $ （5-4） $式得

$$ \Delta V\approx4\pi R_{0}^{2}\Delta R. $$

将 $ R_{0}=1,\Delta R=0.01 $代入上式，得

$$ \Delta V\approx4\times3.14\times1^{2}\times0.01\approx0.13\left(\mathrm{c m}^{3}\right), $$

于是镀每只球需用的铜约为

$$ 0.13\times8.9\approx1.16(g) $$

例8 利用微分计算 $ \sin 30^{\circ}30' $ 的近似值.

解 把 $ 30^{\circ}30' $ 化为弧度，得

$$ 30^{\circ}30^{\prime}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{360}. $$

由于所求的是正弦函数的值，故设 $ f(x)=\sin x $。此时 $ f'(x)=\cos x $。如果取 $ x_{0} $

= $ \frac{\pi}{6} $，那么 $ f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} $与 $ f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} $都容易计算，并且 $ \Delta x=\frac{\pi}{360} $比较小.应用（5-5）式便得

$$ \begin{aligned}\sin30^{\circ}30^{\prime}=&\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{360}\right)\approx\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{6}\cdot\frac{\pi}{360}\\=&\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\pi}{360}\approx0.500\ 0+0.007\ 6=0.507\ 6.\end{aligned} $$

下面我们来推导一些常用的近似公式. 为此, 在(5-6)式中取 $ x_{0}=0 $, 于是得 $ f(x) \approx f(0) + f'(0)x $. (5-7)

应用(5-7)式可以推得以下几个在工程上常用的近似公式(下面都假定 $ |x| $是较小的数值):

(i) $ (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x $ ( $ \alpha \in \mathbf{R} $);

（ii） $ \sin x \approx x $ （x用弧度作单位来表达）；

（iii） $ \tan x \approx x $ （x用弧度作单位来表达）；

(iv) $ e^x \approx 1 + x $;

(v) $ \ln(1+x) \approx x $.

证（i）在第一章第九节例7中我们已经知道 $ (1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x\quad(x\to0) $，从而得出这个近似公式。在这里，我们利用微分证明。取 $ f(x)=(1+x)^{\alpha} $，那么 $ f(0)=1,f'(0)=\alpha(1+x)^{\alpha-1}\bigg|_{x=0}=\alpha $，代入（5-7）式便得

$$ \left(1+x\right)^{\alpha}\approx1+\alpha x. $$

证 （ii）取 $ f(x)=\sin x $ ，那么 $ f(0)=0, f'(0)=\cos x $ $ \left|\begin{array}{c}1 \\ x=0\end{array}\right|=1 $ ，代入（5-7）式便得

$$ \sin x\approx x. $$

其他几个近似公式可用类似方法证明，这里从略了.

例9 计算 $ \sqrt{1.05} $的近似值.

解

$$ \sqrt{1.05}=\sqrt{1+0.05}, $$

这里 x=0.05，其值较小，利用近似公式(i) $ \alpha=\frac{1}{2} $ 的情形，便得

$$ \sqrt{1.05}\approx1+\frac{1}{2}(0.05)=1.025. $$

如果直接开方，可得

$$ \sqrt{1.05}=1.02470. $$

将两个结果比较一下，可以看出，用 $ L_{025} $作为 $ \sqrt{1.05} $的近似值，其误差不超过

0.001，这样的近似值在一般应用上已够精确了。如果开方次数较高，就更能体现出用微分进行近似计算的优越性。

2. 误差估计

在生产实践中,经常要测量各种数据.但是有的数据不易直接测量,这时我们就通过测量其他有关数据后,根据某种公式算出所要的数据.例如,要计算圆钢的截面积A,可先用卡尺测量圆钢截面的直径D,然后根据公式 $ A=\frac{\pi}{4}D^{2} $ 算出A.

由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.

下面就讨论怎样利用微分来估计间接测量误差.

先说明绝对误差、相对误差的概念.

如果某个量的精确值为A,它的近似值为a,那么|A-a|叫做a的 $ \uwave{\text{绝对误差}} $,而绝对误差与|a|的比值 $ \frac{|A-a|}{|a|} $叫做a的 $ \uwave{\text{相对误差}} $.

在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得。但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内。如果某个量的精确值是 A，测得它的近似值是 a，又知道它的误差不超过 $ \delta_{A} $，即

$$ \left|A-a\right|\leqslant\delta_{A}, $$

那么 $ \delta_{A} $ 叫做测量 A 的 $ \uwave{\text{绝对误差限}} $，而 $ \frac{\delta_{A}}{|a|} $ 叫做测量 A 的 $ \uwave{\text{相对误差限}} $.

例 10 设测得圆钢截面的直径 D = 60.03 mm，测量 D 的绝对误差限 $ \delta_{v} = 0.05 $ mm. 利用公式

$$ A=\frac{\pi}{4}D^{2} $$

计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差.

解 如果我们把测量 D 时所产生的误差当作自变量 D 的增量 $ \Delta D $，那么，利用公式 $ A=\frac{\pi}{4}D^{2} $ 来计算 A 时所产生的误差就是函数 A 的对应增量 $ \Delta A $。当 $ |\Delta D| $ 很小时，可以利用微分 $ \mathrm{d}A $ 近似地代替增量 $ \Delta A $，即

$$ \begin{array}{c}\Delta A\approx\mathrm{d}A=A^{\prime}\cdot\Delta D= 缨 \\\text{ 公众号：} 考研拼译 \text{② } \end{array}D\cdot\Delta D. $$

由于 D 的绝对误差限为 $ \delta_{D}=0.05 $ mm，所以

$$ \left|\Delta D\right|\leqslant\delta_{_{D}}=0.05, $$

而

$$ \left|\Delta A\right|\approx\left|\mathrm{d}A\right|=\frac{\pi}{2}D\cdot\left|\Delta D\right|\leqslant\frac{\pi}{2}D\cdot\delta_{D}, $$

因此得出 A 的绝对误差限约为

$$ \delta_{A}=\frac{\pi}{2}D\cdot\delta_{D}=\frac{\pi}{2}\times60.03\times0.05\approx4.712\left(\mathrm{m m}^{2}\right); $$

A 的相对误差限约为

$$ \frac{\delta_{A}}{A}=\frac{\frac{\pi}{2}D\cdot\delta_{D}}{\frac{\pi}{4}D^{2}}=2\frac{\delta_{D}}{D}=2\times\frac{0.05}{60.03}\approx0.17\% $$

一般地，根据直接测量的 x 值按公式 $ y = f(x) $ 计算 y 值时，如果已知测量 x 的绝对误差限是 $ \delta_{x} $，即

$$ \left|\Delta x\right|\leqslant\delta_{x}, $$

那么，当 $ y^{\prime}\neq0 $时，y的绝对误差

$$ \mid\Delta y\mid\approx\mid\mathrm{d}y\mid=\mid y^{\prime}\mid\mid\cdot\mid\Delta x\mid\leqslant\mid y^{\prime}\mid\mid\cdot\delta_{x}, $$

即 y 的绝对误差限约为

$$ \delta_{y}=|y^{\prime}|\cdot\delta_{x}; $$

$$ \frac{\delta_{y}}{|y|}=\left|\frac{y^{\prime}}{y}\right|\cdot\delta_{x}. $$

y 的相对误差限约为

以后常把绝对误差限与相对误差限简称为 $ \uwave{\text{绝对误差}} $与 $ \uwave{\text{相对误差}} $.

习题2-5

1. 已知 $ y=x^{3}-x $，计算在 x=2 处当 $ \Delta x $ 分别等于 1,0.1,0.01 时的 $ \Delta y $ 及 dy.

1. 设函数 $ y=f(x) $ 的图形如图 2-12，试在图 2-12(a)、(b)、(c)、(d) 中分别标出在点 $ x_{0} $ 的 dy、 $ \Delta y $ 及 $ \Delta y-dy $，并说明其正负.

1. 求下列函数的微分：

(1)

$$ y=\frac{1}{x}+2\sqrt{x}; $$

(2)

$$ y=x\sin2x; $$

(3)

$$ y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}; $$

(4)

(5)

$$ y=x^{2}\mathrm{e}^{2x}； $$

$$ \gamma=\mathrm{e}^{-x}\cos\left(3-x\right) $$

（7）

$$ y=\arcsin\sqrt{1-x^{2}} $$

$$ y=\tan^{2}(1+2x^{2}) $$

(10) $ s = A \sin(\omega t + \varphi) $ (A、 $ \omega $、 $ \varphi $ 是常数).

$$ y=\arctan\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}; $$

1. 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：

(1)

$$ \mathrm{d}(\quad)=2\mathrm{d}x； $$

(2)

$$ \mathrm{d}(\quad)=3x\mathrm{d}x； $$

$$ \mathrm{~d(~}\quad)=\cos~t\mathrm{d}t; $$

$$ \mathrm{~d(~}\quad)=\sin\omega x\mathrm{d}x\quad(\omega\neq0) $$

(5)

$$ \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x; $$

$$ \mathrm{d}(\quad)=\mathrm{e}^{-2x}\mathrm{d}x; $$

(7)

$$ \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x; $$

$$ \mathrm{d}(\quad)=\sec^{2}3x\mathrm{d}x. $$

1. 如图2-13所示的电缆 $ \widehat{AOB} $的长为s，跨度为2l，电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离

离为f，则电缆长可按下面公式计算

$$ s=2l\left(1+\frac{2f^{2}}{3l^{2}}\right) $$

当f变化了 $ \Delta f $时，电缆长的变化约为多少？

1. 设扇形的圆心角 $ \alpha = 60^{\circ} $，半径 R = 100 cm （图2-14）。如果 R 不变， $ \alpha $ 减少 $ 30' $，问扇形面积大约改变了多少？又如果 $ \alpha $ 不变，R 增加 1 cm，问扇形面积大约改变了多少？

1. 计算下列三角函数值的近似值：

(1) $ \cos 29^{\circ} $; (2) $ \tan 136^{\circ} $.

1. 计算下列反三角函数值的近似值：

(1) $ \arcsin 0.5002 $; (2) $ \operatorname{arccos} 0.4995 $.

1. 当 $ \left|x\right| $较小时，证明下列近似公式：

(1) $ \tan x \approx x $ (x 是角的弧度值); (2) $ \ln(1+x) \approx x $;

(3) $ \sqrt[n]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{n}x $; (4) $ e^{x} \approx 1 + x $.

并计算 $ \tan45^{\prime} $ 和 $ \ln1.002 $ 的近似值.

1. 计算下列各根式的近似值：

(1) $ \sqrt[3]{996} $; (2) $ \sqrt[6]{65} $.

$ ^{*} $11. 计算球体体积时，要求精确度在2%以内。问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？

1. 某厂生产如图2-15所示的扇形板，半径 $ R=200\ mm $，要求中心角 $ \alpha $为 $ 55^{\circ} $。产品检验时，一般用测量弦长 $ l $的办法来间接测量中心角 $ \alpha $。如果测量弦长 $ l $时的误差 $ \delta_{l}=0.1\ mm $，问由此而引起的中心角测量误差 $ \delta_{\alpha} $是多少？

总习题二

1. 在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：

(1) $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 可导是 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 连续的 ___ 条件. $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 连续是 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 可导的 ___ 条件.

(2) $ f(x) $在点 $ x_{0} $的左导数 $ f^{\prime}_{-}(x_{0}) $及右导数 $ f^{\prime}_{+}(x_{0}) $都存在且相等是 $ f(x) $在点 $ x_{0} $可导的___条件.

(3) $ f(x) $在点 $ x_{0} $可导是 $ f(x) $在点 $ x_{0} $可微的___条件.

1. 设 $ f(x) = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n) $ ( $ n \geqslant 2 $)，则 $ f'(0) = $ ___.

1. 下述题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：

设 $ f(x) $在 x=a 的某个邻域内有定义，则 $ f(x) $在 x=a 处可导的一个充分条件是

( ).

(A) $ \lim_{h\to+\infty}h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right] $ 存在

(B) $ \lim_{h\to0}\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h} $ 存在

(C) $ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} $ 存在

(D) $ \lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h} $ 存在

1. 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为 x，于是分布在区间 $ [0, x] $ 上细棒的质量 m 与 x 存在函数关系 $ m = m(x) $. 应怎样确定细棒在点 $ x_{0} $ 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）？

1. 根据导数的定义，求 $ f(x)=\frac{1}{x} $ 的导数.

1. 求下列函数 $ f(x) $ 的 $ f'_{-}(0) $ 及 $ f'_{+}(0) $，又 $ f'(0) $ 是否存在：

(1) $ f(x)=\begin{cases}\sin x, & x<0, \\ \ln(1+x), & x\geq0;\end{cases} $

(2) $ f(x)=\begin{cases}\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}},& x\neq0,\\0,& x=0.\end{cases} $

1. 讨论函数

$$ f(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin\frac{1}{x},&\quad x\neq0,\\0,&\quad x=0\end{array}. $$

在 x=0 处的连续性与可导性.

1. 求下列函数的导数：

$$ \gamma=\arcsin(\sin x) $$

(2) $ y = \arctan \frac{1 + x}{1 - x} $;

(3) $ y = \ln \tan \frac{x}{2} - \cos x \cdot \ln \tan x $; (4) $ y = \ln \left( e^x + \sqrt{1 + e^{2x}} \right) $;

(5) $ y = x^{\frac{1}{x}}(x > 0) $.

1. 求下列函数的二阶导数：

(1)

$$ y=\cos^{2}x\cdot\ln x; $$

$$ y=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}. $$

1. 求下列函数的 n 阶导数：

(1) $ y = \sqrt[m]{1+x} $; (2) $ y = \frac{1-x}{1+x} $.

1. 设函数 $ y = y(x) $ 由方程 $ e^{y} + xy = e $ 所确定，求 $ y''(0) $.

1. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 $ \frac{dy}{dx} $及二阶导数 $ \frac{d^2y}{dx^2} $

(1) $ \{\begin{array}{l}x=a\cos^{3}\theta,\\y=a\sin^{3}\theta;\end{array}. $

(2) $ \{\begin{array}{l}x=\ln\sqrt{1+t^{2}},\\y=\arctan t.\end{array}. $

1. 求曲线 $ \{\begin{aligned}x&=2e^{t}\\ y&=e^{-t}\end{aligned}. $，在 t=0 相应的点处的切线方程及法线方程.

1. 已知 $ f(x) $ 是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式

$$ f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+o(x), $$

且 $ f(x) $在x=1处可导，求曲线 $ y=f(x) $在点 $ (6,f(6)) $处的切线方程.

1. 当正在高度 H 水平飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图 2-16 所示从飞机到机

场的水平地面距离为 L. 假设飞机下降的路径为三次函数 $ y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d $ 的图形，其中 $ y|_{x=-L}=H, y|_{x=0}=0 $. 试确定飞机的降落路径.

1. 甲船以6 km/h的速率向东行驶，乙船以8 km/h的速率向南行驶。在中午十二点整，乙船位于甲船之北16 km处。问下午一点整两船相离的速率为多少？

1. 利用函数的微分代替函数的增量求 $ \sqrt[3]{1.02} $ 的近似值.

1. 已知单摆的振动周期 $ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $，其中 $ g=980\ cm/s^{2} $，l 为摆长（单位为 cm）。设原摆长为 20 cm，为使周期 T 增大 0.05 s，摆长约需加长多少？