第二章 连续时间系统的时域分析

2.1 引 言

LTI 系统分析方法包括时间域和变换域两方面的问题（简称时域或变域）。时域分析方法不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，对于系统的分析与计算全部都在时间变量领域内进行。这种方法比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换域方法的基础。

20世纪50年代以前，时域分析方法着重研究微分方程的经典法求解。对于高阶系统或激励信号较复杂的情况，计算过程相当繁复，求解过程很不方便。正是由于这一原因，在相当长的一段时间内，人们的兴趣集中于变换域分析，例如借助拉普拉斯变换求解微分方程。而20世纪60年代以后，由于计算机的广泛应用和各种软件工具的开发，从时域求解微分方程的技术显得比较方便；另一方面，在LTI系统中借助卷积方法求解响应日益受到重视，因而，时域分析的研究与应用又进一步得到发展。

系统数学模型的时域表示有两种形式：端口（输入－输出）描述与状态方程描述。前者写作一元n阶微分方程；而后者以n元联立一阶微分方程的形式给出。本章仅限于研究输入－输出方程的分析与求解，待到第十二章专门研究状态方程的有关问题，包括时间域与变换域、连续与离散。

本章的主要内容包括以下两个方面：从2.2节到2.6节着重讨论LTI系统微分方程的建立与求解以及响应分解特性的研究；而2.7节至2.9节讲授卷积积分的概念、运算、图解分析及其应用。前面几节，在复习数学和电路课已讲授之经典法求解微分方程的基础上，引入系统响应起始值可能发生跳变的概念（从0到0+状态的转换），并研究零输入响应与零状态响应分解特性。在给出系统的冲激响应之后，将冲激响应与激励信号进行卷积积分，从而可以求得系统的零状态响应。卷积积分方法有清楚的物理概念，一般情况下计算过程比较方便，并且能够适应计算机编程求解。此外，卷积原理在变换域方法中同样得到广泛应用，它是连接时间域与变换域两类方法的一条纽带。在LTI系统理论中，卷积概念占有十分重要的地位。我们将要看到，在本书许多章节里都要用到本章讲述的卷积概念和计算方法，读者对此必须熟练掌握。

2.10 节还将介绍微分方程的算子符号表示法，它使微分、积分方程的表示及某些运算简化，同时也是从时域经典法向拉普拉斯变换法的一种过渡，待到第四章将对此方法作进一步的说明。

本章的许多内容可能与先修课有重复，这些重复完全必要，它将为已修课程与本课程之间构建一座桥梁。为了认识清楚这一特征，现将有关衔接问题列于表2-1，以协助读者在学习过程中掌握要点。

| 节号 | 标题（主要内容） | 先修课情况 | 本课程教学目的 | 需要注意的问题 |

| --- | --- | --- | --- | --- |

| 2.2

2.3 | 系统数学模型（微分方程）的建立

用时域经典法求解微分方程 | 数学、物理、电路课中学过

一般应有较好基础 | 复习、归纳并与本课程后续内容衔接 | |

| 2.4 | 起始点的跳变——从0_到0+状态的转换 | 电路课可能有初步了解

基本上是全新内容 | 理解此现象的物理概念

初步认识时域求解方法 | 在学过拉氏变换之后将容易解决

此处注重概念形成不必研究解题技巧 |

| 2.5 | 零输入响应与零状态响应 | 电路课已学过 | 从不同角度认识响应的可分解性

认识零输入线性和零状态线性 | 区分清楚各组名词术语

注重概念 |

| 2.6 | 冲激响应与阶跃响应 | 电路课有初步概念 | 认识时域求解方法

$ h(t) $与 $ g(t) $关系 | 与2.4节联系密切

与2.4节注意问题相同 |

| 2.7

2.8 | 卷积

卷积的性质 | 电路课有初步概念

基本上是全新内容 | 熟悉图解法解题

熟记一些简例（如两矩形脉冲卷积的结果）

熟悉性质的应用 | 是本章重点，也是本课程重点（贯穿全书）

用图解法多做练习题 |

| 2.9 | 利用卷积分析通信系统多径失真的消除方法 | 全新内容 | 这是一个生动的应用实例

对理解卷积概念很有帮助 | 有助于激发读者的学习兴趣

在以后各章中仍有类似方法深入研究 |

| 2.10 | 用算子符号表示微分方程 | 没学过或初步了解 | 是一种表示方法的说明

容易自学 | 本节也可提前到2.2节之后自学

待到第四章4.2节（二）进一步与拉氏变换比较 |

2.2 系统数学模型（微分方程）的建立

为建立 LTI 系统的数学模型，需要列写描述其工作特性的微分方程式。对于电系统，构成此方程式的基本依据是电网络的两类约束特性。其一是元件约束特性，也即表征电路元件模型的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流关系，以及多端元件互感、受控源、运算放大器等输出端口与输入端口之间的电压或电流关系。其二是网络拓扑约束，也即由网络结构决定的各电压、电流之间的约束关系。以基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）给出。下面举例说明电路微分方程的建立过程。

例 2-1 图 2-1 所示 RLC 并联电路，给定激励信号为电流源 $ i_{S}(t) $，求并联电路的端电压 $ v(t) $。建立描述系统的微分方程式。

解 设各支路电流分别为 $ i_{R}(t) $

$ i_{L}(t) $ 和 $ i_{C}(t) $，以 $ v(t) $ 作为待求响应函数，根据元件约束特性有

$$ i_{R}(t)=\frac{1}{R}v(t) $$

$$ i_{L}(t)=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t}v(\tau)\mathrm{d}\tau $$

$$ i_{C}(t)=C\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v(t) $$

根据基尔霍夫定律有

$$ i_{R}(t)+i_{L}(t)+i_{C}(t)=i_{S}(t) $$

也即

$$ C\;\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}v(t)+\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v(t)+\frac{1}{L}v(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}i_{\mathrm{S}}(t) $$

下面考虑一个机械位移系统数学模型的建立。对此类系统的建模依据是各

种作用力与运动速度的关系式以及描述系统受力平衡的基本规律——达朗贝尔原理。

例2-2 图2-2示出二阶质块弹簧阻尼部件构成的机械位移系统，由于外力 $ F_{s}(t) $的作用，检测块相对于左边的支撑结构将产生位移 $ y(t) $，刚体质块的质量为m、弹簧刚度系数为k、而阻碍质块运动的阻尼系数是f。设位移速度 $ v(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y(t) $，试

建立 $ v(t) $ 与 $ F_{s}(t) $ 约束关系的表达式。

解

设弹簧受力为 $ F_{k}(t) $，由胡克定律可知

$$ F_{k}(t)=k y(t)=k\int_{-\infty}^{t}v(\tau)\mathrm{d}\tau $$

阻尼力为 $ F_{f}(t) $，它与移动速度成正比

$$ F_{f}(t)=f v(t) $$

物体运动惯性力以 $ F_{m}(t) $ 表示，按牛顿第二定律有

$$ F_{m}(t)=m\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v(t) $$

根据达朗贝尔原理，系统受力应保持平衡，因而有

$$ m\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v(t)+f v(t)+k\int_{-\infty}^{t}v(\tau)\mathrm{d}\tau=F_{s}(t) $$

等式两端微分得到

$$ m\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t}v(t)+f\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v(t)+k v(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F_{s}(t) $$

此式即为图2-2所示机械位移系统的微分方程表达式。

虽然，以上两例是性质完全不同的两个物理系统，但是对比式（2-4）和式（2-8）可以发现，它们的数学模型却一一对应，或者说这两个微分方程的形式完全相同。表2-2列出两种物理系统参数之对比。左列的力学量与右列的电学量逐项对应。它们的约束规律表现出惊人的相似特征。最后给出的谐振频率和品质因数是描述二阶动态系统性能的重要参量，在学习电路课程时，对此已有初步认识。本书4.9节将进一步说明它们的物理意义和应用。

| 力学量 | 电学量 |

| --- | --- |

| 速度 v | 电压 v |

| 力 F | 电流 i |

| 功率 vF | 功率 vi |

| 阻尼系数 f | 电导 G(电阻 R 与 f 呈倒数对应) |

| 阻尼力 $ F_f = f_v $ | 欧姆定律 $ i = G v $ |

| 弹簧刚度系数 $ k $ (或弹性系数 $ \frac{1}{k} $) | 电感 L(L 与 k 呈倒数对应) |

| 胡克定律 $ F_k = k \int v(t) dt $ | 电磁感应定律 $ i = \frac{1}{L} \int v(t) dt $ |

| 质量 m | 电容 C |

| 力学量 | 电学量 |

| --- | --- |

| 牛顿第二定律 $ F_m = m \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} $ 达朗贝尔原理 $ \sum_{i=1}^{N} F_i = 0 $ $ \sum_{k=1}^{M} v_k = 0 $ 谐振频率 $ \sqrt{\frac{k}{m}} $ 品质因数 $ \frac{1}{f}\sqrt{km} $ 系统数学模型 $ m \frac{\mathrm{d}^2 v(t)}{\mathrm{d}t^2} + f \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} + kv(t) = \frac{\mathrm{d}F_s(t)}{\mathrm{d}t} $ | 电荷传递规律 $ i = C \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} $ 基尔霍夫定律 $ \sum_{k=1}^{N} i_k = 0 $ 谐振频率 $ \frac{1}{\sqrt{LC}} $ 品质因数 $ \frac{1}{G}\sqrt{\frac{C}{L}} $ 系统数学模型 $ C \frac{\mathrm{d}^2 v(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{R} \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{L} v(t) = \frac{\mathrm{d}i_S(t)}{\mathrm{d}t} $ |

表中所列电学量是指图2-1所示RLC并联谐振电路的参数。如果改为RLC串联谐振电路（以电压源作为激励信号，求响应电流信号），也可得到一组与力学量对比的电参数，不过其结果将与上列并联电路参数呈“对偶”关系。这个问题可作为练习，留给读者研究。

借助表2-2很容易将机械系统等效类比为电路系统，考虑到近代电路研究手段日趋成熟，并具有很强的分析功能，因而，可以利用机电类比法分析与设计机械系统。

我们注意到，微电子与系统集成技术的飞速发展不仅使传统电路技术的实现与应用发生了一场革命，而且它的成功理念已经拓展到更为广泛的工程领域。近年来，出现了所谓“微电子机械系统”（Micro Electro Mechanical Systems，简写为MEMS，中文简称微机电系统）。它将机械装置与电子控制电路合并制作在同一芯片上，构成了智能化的传感器和传动器，并且可以完成必要的检测与计算。例如借助电参数的测量来确定机械位移的数值（如速度或加速度）。与传统的机械设备相比较，这类系统具有体积、重量小，功能强，噪声低等诸多优点。已经广泛应用于诸如人体保健、生物工程、导航和汽车系统等各种领域。实际上图2-2所示结构的形成背景即源于测量加速度参量的“微型加速度计”。

用微分方程不仅可以建立描述电路、机械等工程系统的数学模型，而且还可

用于构建生物系统、经济系统、社会系统等各种科学领域。

从本节两例分析可以看出，在建立系统微分方程的推导过程中，往往需要从多个低阶方程构建一元的高阶方程，微分和积分符号频繁出现。为简化表达方式，可利用“算子符号方法”。我们将在本章最后2.10节介绍这种描述工具。类似的思维方式将延伸到第四章中的拉普拉斯变换方法及其应用。

2.3 用时域经典法求解微分方程

系统的微分方程一经建立，如果给定激励信号函数形式以及系统的初始状态（微分方程的初始条件），即可求解所需的响应。

对于一阶或二阶微分方程描述的电路系统，读者已在数学与电路课程中了解其求解方法，下面在先修课程的基础上，将那里的方法引向高阶，给出LTI系统微分方程数学模型的一般求解规律。

如果组成系统的元件都是参数恒定的线性元件，则相应的数学模型是一个线性常系数常微分方程（简称定常系统）。若此系统中各元件起始无储能，则构成一个线性时不变系统。

设系统的激励信号为 $ e(t) $，响应为 $ r(t) $，它的数学模型可利用一高阶微分方程表示

$$ \begin{aligned}&C_{0}\frac{\mathrm{d}^{n}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{n}}+C_{1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+C_{n-1}\frac{\mathrm{d}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+C_{n}r\left(t\right)\\=&E_{0}\frac{\mathrm{d}^{m}e\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{m}}+E_{1}\frac{\mathrm{d}^{m-1}e\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{m-1}}+\cdots+E_{m-1}\frac{\mathrm{d}e\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+E_{m}e\left(t\right)\end{aligned} $$

由微分方程的时域经典求解方法可知，式(2-9)的完全解由两部分组成，即齐次解与特解。此外，还需借助初始条件求出待定系数。下面依次说明求解过程。

（一） 求齐次解 $ r_{h}(t) $

当式 $ (2-9) $中的激励项 $ e(t) $及其各阶导数都为零时，此方程的解即为齐次解，它应满足

$$ C_{0}\frac{\mathrm{d}^{n}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+C_{1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+C_{n-1}\frac{\mathrm{d}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+C_{n}r\left(t\right)=0 $$

此方程也称为式(2-9)的齐次方程。齐次解的形式是形如 $ A\mathrm{e}^{at} $ 函数的线性组合，令 $ r(t)=A\mathrm{e}^{at} $ 代入式(2-10)则有

$$ C_{0}A\alpha^{n}\mathrm{e}^{\alpha t}+C_{1}A\alpha^{n-1}\mathrm{e}^{\alpha t}+\cdots+C_{n-1}A\alpha\mathrm{e}^{\alpha t}+C_{n}A\mathrm{e}^{\alpha t}=0 $$

简化为

$$ C_{0}\alpha^{n}+C_{1}\alpha^{n-1}+\cdots+C_{n-1}\alpha+C_{n}=0 $$

如果 $ \alpha_{k} $ 是式(2-11)的根，则 $ r(t)=Ae^{\alpha_{k}t} $ 将满足式(2-10)。称式(2-11)为微分方程式(2-9)的特征方程，对应的 n 个根 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 称为微分方程的特征根。

在特征根各不相同（无重根）的情况下，微分方程的齐次解为

$$ r_{\mathrm{h}}(t)=A_{1}\mathrm{e}^{\alpha_{1}t}+A_{2}\mathrm{e}^{\alpha_{2}t}+\cdots+A_{n}\mathrm{e}^{\alpha_{n}t}=\sum_{i=1}^{n}A_{i}\mathrm{e}^{\alpha_{i}t} $$

其中常数 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $ 由初始条件决定。

若特征方程 $ (2-11) $有重根，例如 $ \alpha_{1} $是方程 $ (2-11) $的k阶重根，即

$$ C_{0}\alpha^{n}+C_{1}\alpha^{n-1}+\cdots+C_{n-1}\alpha+C_{n}=C_{0}(\alpha-\alpha_{1})^{k}\prod_{i=2}^{n-k+1}(\alpha-\alpha_{i}) $$

则相应于 $ \alpha_{1} $ 的重根部分将有 k 项，形如

$$ \left(A_{1}t^{k-1}+A_{2}t^{k-2}+\cdots+A_{k-1}t+A_{k}\right)\mathrm{e}^{\alpha_{1}t}=\left(\sum_{i=1}^{k}A_{i}t^{k-i}\right)\mathrm{e}^{\alpha_{1}t} $$

不难证明其中的每一项都满足式 $ （2-10） $的齐次方程。

例 2-3 求微分方程 $ \frac{\mathrm{d}^{3}}{\mathrm{d}t^{3}}r(t)+7\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}r(t)+16\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t)+12r(t)=e(t) $ 的齐次解。

解 系统的特征方程为

$$ \alpha^{3}+7\alpha^{2}+16\alpha+12=0 $$

$$ (\alpha+2)^{2}(\alpha+3)=0 $$

特征根

$$ \alpha_{1}=-2( 重根 ),\alpha_{2}=-3 $$

因而对应的齐次解为

$$ r_{\mathrm{h}}(t)=\left(A_{1}t+A_{2}\right)\mathrm{e}^{-2t}+A_{3}\mathrm{e}^{-3t} $$

（二） 求特解 $ r_{p}(t) $

微分方程特解 $ r_{p}(t) $ 的函数形式与激励函数形式有关。将激励 $ e(t) $ 代入方程式 (2-9) 的右端，化简后右端函数式称为“自由项”。通常由观察自由项试选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，即可给出特解 $ r_{p}(t) $。几种典型激励函数对应的特解函数式列于表 2-3，求解方程时可以参考。

| 激励函数 $ e(t) $ | 响应函数 $ r(t) $ 的特解 |

| --- | --- |

| E(常数) | B |

| $ t^p $ | $ B_1t^p + B_2t^{p-1} + \cdots + B_{p}t + B_{p+1} $ |

| $ e^{at} $ | $ B e^{at} $ |

| $ \cos(\omega t) $ | $ B_1\cos(\omega t) + B_2\sin(\omega t) $ |

| $ \sin(\omega t) $ | |

续表

| 激励函数 $ e(t) $ | 响应函数 $ r(t) $ 的特解 |

| --- | --- |

| $ t^p e^{at} \cos(\omega t) $ | $ (B_1 t^p + \cdots + B_p t + B_{p+1}) e^{at} \cos(\omega t) + $ |

| $ t^p e^{at} \sin(\omega t) $ | $ (D_1 t^p + \cdots + D_p t + D_{p+1}) e^{at} \sin(\omega t) $ |

注：(1) 表中 B、D 是待定系数。

(2) 若 $ e(t) $ 由几种激励函数组合，则特解也为其相应的组合。

(3) 若表中所列特解与齐次解重复，如激励函数 $ e(t) = e^{at} $，齐次解也为 $ e^{at} $，则其特解为 $ B_{0}t e^{at} $。若特征根为二重根，即齐次解呈现 $ t e^{at} $ 形式时，则特解为 $ B_{0}t^{2} e^{at} $。高阶依此类推。

例2-4 给定微分方程式

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}r(t)}{\mathrm{d}t^{2}}+2\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}+3r(t)=\frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}+e(t) $$

如果已知: (1) $ e(t) = t^{2} $; (2) $ e(t) = e^{t} $，分别求两种情况下此方程的特解。

解

(1) 将 $ e(t) = t^{2} $ 代入方程右端，得到 $ t^{2} + 2t $，为使等式两端平衡，试选特解函数式

$$ r_{\mathrm{p}}(t)=B_{1}t^{2}+B_{2}t+B_{3} $$

这里， $ B_{1} $， $ B_{2} $， $ B_{3} $ 为待定系数。将此式代入方程得到

$$ 3B_{1}t^{2}+\left(4B_{1}+3B_{2}\right)t+\left(2B_{1}+2B_{2}+3B_{3}\right)=t^{2}+2t $$

等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有

$$ \left\{\begin{array}{l}3B_{1}=1\\ \\4B_{1}+3B_{2}=2\\ \\2B_{1}+2B_{2}+3B_{3}=0\end{array}\right. $$

$$ B_{1}=\frac{1}{3},B_{2}=\frac{2}{9},B_{3}=-\frac{10}{27} $$

联解得到

所以，特解为

$$ r_{\mathrm{p}}(t)=\frac{1}{3}t^{2}+\frac{2}{9}t-\frac{10}{27} $$

（2）当 $ e(t)=e^{t} $时，很明显，可选 $ r(t)=Be^{t} $。这里，B是待定系数。代入方程后有

$$ \mathrm{B e}^{\prime}+2\mathrm{B e}^{\prime}+3\mathrm{B e}^{\prime}=\mathrm{e}^{\prime}+\mathrm{e}^{\prime} $$

$$ B=\frac{1}{3} $$

于是，特解为 $ \frac{1}{3}\mathrm{e}^{t} $。

上面两部分求出的齐次解 $ r_{h}(t) $ 和特解 $ r_{p}(t) $ 相加即得方程的完全解

$$ r(t)\;=\;\sum_{i=1}^{n}\;A_{i}\mathrm{e}^{\alpha_{i}t}+r_{\mathrm{p}}(t) $$

（三） 借助初始条件求待定系数 A

给定微分方程和激励信号 $ e(t) $，为使方程有惟一解还必须给出一组求解区间内的边界条件，用以确定式（2-15）中的常数 $ A_{i}(i=1,2,\cdots,n) $。对于 n 阶微分方程，若 $ e(t) $ 是 t=0 时刻加入，则把求解区间定为 $ 0 \leq t < \infty $，一组边界条件可以给定为此区间内任一时刻 $ t_{0} $，要求解满足 $ r(t_{0}), \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} r(t_{0}), \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}} r(t_{0}), \cdots, \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}t^{n-1}} r(t_{0}) $ 的各值。通常取 $ t_{0}=0 $，这样对应的一组条件就称为初始条件，记为 $ r^{(k)}(0)(k=0,1,\cdots,n-1) $。把 $ r^{(k)}(0) $ 代入式（2-15），有

$$ \left\{\begin{array}{l}r(0)=A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{n}+r_{\mathrm{p}}(0)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(0)=A_{1}\alpha_{1}+A_{2}\alpha_{2}+\cdots+A_{n}\alpha_{n}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r_{\mathrm{p}}(0)\\ \quad\vdots\\ \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}t^{n-1}}r(0)=A_{1}\alpha_{1}^{n-1}+A_{2}\alpha_{2}^{n-1}+\cdots+A_{n}+\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}t^{n-1}}r_{\mathrm{p}}(0)\end{array}\right. $$

由此可以求出要求的常数 $ A_{i}(i=1,2,\cdots,n) $。用矩阵形式表示为

$$ \left[\begin{array}{c}{r(0)-r_{\mathrm{p}}(0)}\\ {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(0)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r_{\mathrm{p}}(0)}\\ {\vdots}\\ {\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}t^{n-1}}r(0)-\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}t^{n-1}}r_{\mathrm{p}}(0)}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c c}{1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {\alpha_{1}}&{\alpha_{2}}&{\cdots}&{\alpha_{n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {\alpha_{1}^{n-1}}&{\alpha_{2}^{n-1}}&{\cdots}&{\alpha_{n}^{n-1}}\\ \end{array}\right]\left[\begin{matrix}{A_{1}}\\ {A_{2}}\\ {\vdots}\\ {A_{n-}}\end{matrix}\right] $$

其中由各 $ \alpha $ 值构成的矩阵称为范德蒙德矩阵 (Vandermonde Matrix)。由于 $ \alpha_{i} $ 值各不相同，因而它的逆矩阵存在，这样就可以惟一地确定常数 $ A_{i}(i=1,2,\cdots,n) $。

以上简单回顾了线性常系数微分方程的经典解法。从系统分析的角度，称线性常系数微分方程描述的系统为时不变系统。式(2-9)中齐次解表示系统的自由响应。由式(2-11)表示系统特性的特征方程根 $ \alpha_{i}(i=1,2,\cdots,n) $ 称为系统的“固有频率”(或“自由频率”、“自然频率”)，它决定了系统自由响应的全部形式。完全解中的特解称为系统的强迫响应，可见强迫响应只与激励函数的形式有关。整个系统的完全响应是由系统自身特性决定的自由响应 $ r_{h}(t) $ 和与外加激励信号 $ e(t) $ 有关的强迫响应 $ r_{p}(t) $ 两部分组成，即式(2-15)。在2.5节我们

将进一步讨论有关系统响应分解的问题。

为了说明上述方法的综合应用，下面给出一个借助时域经典法求解电路问题的实例。

例 2-5 图 2-3 所示电路, 已知激励信号 $ e(t)=\sin(2t)u(t) $, 初始时刻, 电容端电压均为零, 求输出信号 $ v_{2}(t) $ 的表示式。

解（1）列写微分方程式为

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}v_{2}(t)}{\mathrm{d}t^{2}}+7\frac{\mathrm{d}v_{2}(t)}{\mathrm{d}t}+6v_{2}(t)=6\sin(2t)\quad(t\geqslant0) $$

（2）为求齐次解，写出特征方程

$$ \alpha^{2}+7\alpha+6=0 $$

特征根为

$$ \alpha_{1}=-1,\alpha_{2}=-6 $$

齐次解为

$$ A_{1}\mathrm{e}^{-t}+A_{2}\mathrm{e}^{-6t} $$

（3）查表2-3知特解为

$$ B_{1}\mathrm{s i n}(2t)+B_{2}\mathrm{c o s}(2t) $$

代入原方程求系数 B

$$ \begin{aligned}&-4B_{1}\mathrm{sin}(2t)-4B_{2}\mathrm{cos}(2t)+14B_{1}\mathrm{cos}(2t)-14B_{2}\mathrm{sin}(2t)+\\ &6B_{1}\mathrm{sin}(2t)+6B_{2}\mathrm{cos}(2t)=6\mathrm{sin}(2t)\\ \end{aligned} $$

简化为

$$ (2B_{1}-14B_{2}-6)\sin(2t)+(14B_{1}+2B_{2})\cos(2t)=0 $$

因此

$$ \left.\begin{aligned}&2B_{1}-14B_{2}-6=0\\ &14B_{1}+2B_{2}=0\end{aligned}\right\} $$

解得

$$ B_{1}=\frac{3}{50},\quad B_{2}=-\frac{21}{50} $$

求出特解为

$$ \frac{3}{50}\mathrm{s i n}(2t)-\frac{21}{50}\mathrm{c o s}(2t) $$

（4）完全解为

$$ v_{2}(t)=A_{1}\mathrm{e}^{-t}+A_{2}\mathrm{e}^{-6t}+\frac{3}{50}\mathrm{s i n}(2t)-\frac{21}{50}\mathrm{c o s}(2t) $$

由于已知电容 $ C_{2} $ 初始端电压为零，因为 $ v_{2}(0)=0 $，又因为电容 $ C_{1} $ 初始端电压也为零，于是流过 $ R_{2} $、 $ C_{2} $ 的初始电流也为零，即 $ \frac{dv_{2}(0)}{dt}=0 $。借助这两个初始条

件，可以写出

$$ 0=A_{1}+A_{2}-\frac{21}{50} $$

$$ 0=-\left.A_{1}-6A_{2}+\frac{3}{25}\right\} $$

由此解得

$$ A_{1}=\frac{12}{25},A_{2}=-\frac{3}{50} $$

完全解为

$$ v_{2}(t)=\frac{12}{25}\mathrm{e}^{-t}-\frac{3}{50}\mathrm{e}^{-6t}+\frac{3}{50}\mathrm{s i n}(2t)-\frac{21}{50}\mathrm{c o s}(2t)\qquad(t\geqslant0) $$

以上讨论的求解线性、常系数微分方程之过程可用流程图示意于图2-4。

以上扼要复习了时域经典法求解线性常微分方程的分析方法。很明显，这种方法的不足之处是求解过程比较麻烦，然而，对于表明和理解系统产生响应的物理概念比较清楚。待到第四章学习拉普拉斯变换方法之后可以认识到用该方法求解上述同类问题所需过程明显得以简化，但是物理概念被冲淡。由此看出，学习这两类方法的侧重点应有所不同。本章注重理解物理概念，而第四章注重常见电路的具体分析与计算。另外，对于比较复杂的信号或电路，完全可借助计

算机软件工具求解，无需再用书面的手写计算（例如用 SPICE 程序或 MATLAB 程序）。

还需指出，下面的2.4节将进一步研究确定初始条件的有关问题，读者还会感受到时域经典法的繁琐之处，然而，认识有关现象将有助于理解系统中产生突变现象的物理本质。

2.4 起始点的跳变——从0_到 $ 0_{+} $状态的转换

作为一个数学问题，往往把微分方程的初始条件设定为一组已知的数据，利用这组数据可以确定方程解中的系数 A。对于实际的系统模型，初始条件要根据激励信号接入瞬时系统所处的状态决定。在某些情况下，此状态可能发生跳变，这将使确定初始条件的工作复杂化。

为研究这一问题，首先初步介绍系统状态的概念。系统在 $ t=t_{0} $ 时刻的状态是一组必须知道的最少量数据，根据这组数据、系统数学模型以及 $ t>t_{0} $ 接入的激励信号，就能够完全确定 $ t_{0} $ 以后任意时刻系统的响应 $ ^{①} $。对于 n 阶系统，这组数据由 n 个独立条件给定，这 n 个独立条件可以是系统响应的各阶导数值。

由于激励信号的作用，响应 $ r(t) $ 及其各阶导数有可能在 t=0 时刻发生跳变，为区分跳变前后的状态，我们以 0 表示激励接入之前的瞬时，以 $ 0_{+} $ 表示激励接入以后的瞬时。与此对应，给出 0 时刻和 $ 0_{+} $ 时刻的两组状态，即

$$ r^{(k)}(0_{-})=\left[r(0_{-}),\frac{\mathrm{d}r(0_{-})}{\mathrm{d}t},\cdots,\frac{\mathrm{d}^{n-1}r(0_{-})}{\mathrm{d}t^{n-1}}\right] $$

我们称这组状态为“0_状态”或“起始状态”。它包含了为计算未来响应所需要的过去全部信息。另一组状态是

$$ r^{(k)}(0_{+})=\left[r(0_{+}),\frac{\mathrm{d}r(0_{+})}{\mathrm{d}t},\cdots,\frac{\mathrm{d}^{n-1}r(0_{+})}{\mathrm{d}t^{n-1}}\right] $$

这组状态被称为“0+状态”或“初始状态”，也可称为“导出的起始状态”。

一般情况下，用时域经典法求得微分方程的解答应限于 $ 0_{+} < t < \infty $ 的时间范围。因而不能以 0 状态作为初始条件，而应当利用 $ 0_{+} $ 状态作为初始条件。也即将 $ 0_{+} $ 状态的数据代入式 (2-16) 或式 (2-17)，以求得系数 $ A_{i} $。

对于实际的电网络系统，为决定其数学模型的初始条件，可以利用系统内部储能的连续性，这包括电容储存电荷的连续性以及电感储存磁链的连续性。具体表现规律为：在没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容的条件下，电容两端电压 $ v_{C}(t) $ 不发生跳变；在没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感的条

条件下，流经电感的电流 $ i_{L}(t) $ 不发生跳变。这时有

$$ v_{C}(0_{+})=v_{C}(0_{-}) $$

$$ i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-}) $$

然后根据元件特性约束和网络拓扑约束求出 $ 0_{+} $时刻其他电流或电压值。

对于简单的电路，按上述原则容易判断待求函数及其导数起始值发生的跳变，读者在先修课程中已有初步认识。下面举出两个例子，复习有关求解方法，并对起始值跳变的物理概念及其与数学方程的联系给出说明。

例2-6 图2-5(a)示出RC一阶电路，电路

中无储能，起始电压和电流都为0，激励信号 $ e(t)= $

$ u(t) $，求 t>0 系统的响应——电阻两端电压

$ v_{R}(t) $。

解 根据 KVL 和元件特性写出微分方程式

$$ e\left(t\right)=\frac{1}{R C}\int_{-\infty}^{t}v_{R}\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau+v_{R}\left(t\right)\left(2-20\right) $$

$$ \frac{\mathrm{d}v_{R}(t)}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{RC}v_{R}(t)=\frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t} $$

也即

很明显，当 RC << 1 时，这是一个近似微分电路，或从频域观察是一个高通滤波器。已知 $ v_{R}(0_{-})=0 $，当输入端激励信号发生跳变时，电容二端电压应保持连续值，仍等于 0，而电阻两端电压将产生跳变，即 $ v_{R}(0_{+})=1 $。至此，可依经典法求得齐次解等于 $ A e^{-\frac{t}{RC}} $，A 为待定系数；由于式 (2-21) 右端在 $ t>0_{+} $ 以后等于零，故特解为 0。写出完全

$$ v_{R}(t)=A\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} $$

将 $ 0_{+} $条件代入求出A=1，最终给出本题解答

$$ v_{R}(t)=\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}( 当 t\geqslant0) $$

画出波形如图2-5(b)所示。

在以上分析过程中，利用了电容两端电压连续性这一物理概念求得 $ v_{R}(0_{+}) $值。实际上，也可以不考虑物理意义，从微分方程的数学规律求得这一结果。为说明这一分析方法，将 $ e(t)=u(t) $代入式(2-21)右端，可以得到

$$ \frac{\mathrm{d}v_{R}(t)}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{RC}v_{R}(t)=\delta(t) $$

为保持方程左、右两端各阶奇异函数平衡，可以判断，等式左端最高阶项应包含 $ \delta(t) $，由此推出 $ v_{R}(t) $应包含单位跳变值，也即 $ v_{R}(0_{+})=v_{R}(0_{-})+1=1 $。

这种方法可推广至二阶或高阶电路。

例 2-7 电路如图2-6所示，在激励信号电流源 $ i_{S}(t)=\delta(t) $ 的作用下，求电感支路电流 $ i_{L}(t) $。激励信号接入之前系统中无储能，各支路电流 $ i_{R}(0_{-}) $、 $ i_{C}(0_{-}) $ 和 $ i_{L}(0_{-}) $ 都为零。

解 根据 KCL 和电路元件约束特性列出方程式

$$ L C\frac{\mathrm{d}^{2}i_{L}\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{L}{R}\frac{\mathrm{d}i_{L}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+i_{L}\left(t\right)=i_{\mathrm{S}}\left(t\right) $$

整理后得

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}i_{L}(t)}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{1}{RC}\frac{\mathrm{d}i_{L}(t)}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{LC}i_{L}(t)=\frac{1}{LC}\delta(t) $$

首先，判断 $ i_{L}(0_{+}) $ 和 $ \frac{\mathrm{d}i_{L}(0_{+})}{\mathrm{d}t} $ 值。根据方程式左、右两端奇异函数平衡原理可知，左端二阶导数项应含有冲激项 $ \frac{1}{LC}\delta(t) $ 以保持与右端对应，因而一阶导数项将产生跳变值 $ \frac{1}{LC} $；而一阶导数项不含 $ \delta(t) $，因而 $ i_{L}(t) $ 在零点没有跳变 [若一阶导数项含 $ \delta(t) $，则二阶项要出现 $ \delta'(t) $，破坏了左、右端平衡]。由此写出

$$ \begin{aligned}i_{L}(0_{+})&=i_{L}(0_{-})+0=0\\\frac{\mathrm{d}i_{L}(0_{+})}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}i_{L}(0_{-})}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{LC}=\frac{1}{LC}\end{aligned} $$

相应的物理意义解释如下: 在激励作用瞬间, 电感支路电流 $ i_{L}(t) $ 没有发生跳变, 而它的电压 L $ \frac{di_{L}(t)}{dt} $ 出现了 $ \frac{1}{C} $ 的跳变值, 当然这也是电容两端电压的跳变值。

写出系统的特征方程为

$$ \alpha^{2}+\frac{1}{RC}\alpha+\frac{1}{LC}=0 $$

齐次解表达式为

$$ i_{L}(t)=A_{1}\mathrm{e}^{\alpha_{1}t}+A_{2}\mathrm{e}^{\alpha_{2}t} $$

式中的 $ A_{1} $、 $ A_{2} $ 为两个待定系数， $ \alpha_{1} $、 $ \alpha_{2} $ 是特征方程的两个根，它们分别等于

$$ \alpha_{1,2}=-\frac{1}{2RC}\pm\sqrt{\frac{1}{(2RC)^{2}}-\frac{1}{LC}} $$

由于方程式右端在 $ t>0_{+} $ 时刻之后为零，因而特解等于零，齐次解即为完全解。利用初始条件代入齐次解表达式可求得系数 $ A_{1}, A_{2} $

$$ \begin{aligned}&i_{L}(\mathbf{\Theta}0_{+})=A_{1}+A_{2}=0\\&\frac{\mathrm{d}i_{L}(\mathbf{\Theta}0_{+})}{\mathrm{d}t}=\alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}=\frac{1}{LC}\\ \end{aligned} $$

由此解得

$$ A_{1}=\frac{1}{L C}\cdot\frac{1}{\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)},A_{2}=-\frac{1}{L C}\frac{1}{\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)} $$

为简化以下推导，引入符号

$$ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$

$$ \omega_{\mathrm{d}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{(2RC)^{2}}}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{1}{(2RC)^{2}}} $$

于是有

$$ \alpha_{1,2}=-\frac{1}{2RC}\pm\sqrt{\frac{1}{(2RC)^{2}}-\omega_{0}^{2}}=-\frac{1}{2RC}\pm\mathrm{j}\omega_{\mathrm{d}} $$

将 $ \alpha_{1,2} $ 和 $ A_{1,2} $ 分别代入式 (2-27) 可求得最终结果。下面考虑电路耗能与储能的不同相对条件，分成几种情况给出 $ i_{L}(t) $ 表达式。

(1) 电阻 $ R \rightarrow \infty $

$$ \begin{aligned}\alpha_{1,2}&=\pm\mathrm{j}\omega_{0}\\i_{L}(t)&=\omega_{0}\mathrm{s i n}(\omega_{0}t)\end{aligned} $$

由于并联电阻为无限大，没有损耗，电路中只有 L 与 C 的储能交换，因而形成等幅正弦振荡。

(2)

$$ \frac{1}{2RC}<\omega_{0} $$

$$ i_{L}(t)=\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{\mathrm{d}}}\mathrm{e}^{-\frac{t}{2R C}}\sin(\omega_{\mathrm{d}}t) $$

电阻虽有一些损耗，但仍可产生衰减振荡。电阻 R 越大衰减越慢，而当 R 较小时，衰减很快，以致过渡到因阻尼过大而不能产生振荡，即以下两种情况。

(3)

$$ \begin{array}{c c}{\displaystyle\frac{1}{2R C}=\omega_{0}}&{\quad\alpha_{1}=\alpha_{2}=\frac{1}{2R C}}\\ {}&{}\\ {}&{i_{L}\left(t\right)=t\mathrm{e}^{-\frac{t}{2R C}}}\\ \end{array} $$

(4)

$$ \frac{1}{2RC}>\omega_{0} $$

$$ i_{L}(t)=\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{\mathrm{d}}}\mathrm{e}^{-\frac{t}{2RC}}\sinh(\omega_{\mathrm{d}}t) $$

建议读者作为练习画出以上四种情况响应的波形，可以看到随着电路耗能的增大，从等幅振荡、衰减振荡到阻尼衰减的各种不同结果。在第四章我们还要利用拉氏变换方法分析 RLC 二阶电路的特性（见例4-14以及4.9节）。

给出本例的目的是进一步认识系统响应在起始点产生跳变的现象，并练习对简单电路从0状态导出0+状态的方法。不难发现，随着系统阶次的升高，无论从电路物理概念或借助方程左、右端奇异函数平衡的方法都将使求解过程更加麻烦。

参考书目[1]研究了利用 $ \delta $ 函数平衡原则求解初始状态的数学推证方法 $ ^{①} $。这种研究方法最早源于美国伊利诺伊大学 Urbana-Champaign 分校 C. L. Liu 和 Jane W. S. Liu 教授所著教材 $ ^{②} $。后来在一些教科书中或多或少都引用了这种方法。实际上，利用拉普拉斯变换方法可以比较简便地绕过求解 $ 0_{+} $ 状态的过程，直接利用 0_{-} 状态导出微分方程的完全解。在 4.5 节将介绍这种解法。另外，稍后在 2.6 节我们还将看到利用 $ \delta $ 函数平衡原理按经典法直接求完全解中的待定系数，同样可绕过从 0_{-} 求 $ 0_{+} $ 状态的过程，使推演步骤略有简化。

综上分析可以看出，研究本节的主要目的是从时域观察系统初始值产生跳变的物理现象，初步认识它与数学模型的对应，无需关注解题技巧。

2.5 零输入响应与零状态响应

将信号从不同角度进行分解，往往给LTI系统响应的研究带来许多方便。在第一章1.5节我们初步建立起信号分析的一些基本概念。在2.3节我们把微分方程的完全解分为两个部分——齐次解和特解，同样体现了信号分解的研究思想。

齐次解的函数特性仅依赖于系统本身，与激励信号的函数形式无关，因而称为系统的自由响应（或固有响应）。但应注意，齐次解的系数 A 仍与激励信号有关。特解的形式完全由激励函数决定，因而称为系统的强迫响应（或受迫响应）。

把完全解分成齐次解与特解的组合仅仅是可能分解的形式之一。按照分析计算的方便或适应不同要求的物理解释，还可采取其他形式的分解。另一种广泛应用的重要形式是分解为“零输入响应”与“零状态响应”。

零输入响应的定义为：没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。以 $ r_{zi}(t) $ 表示。

零状态响应的定义为：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统外加激励信号所产生的响应。以 $ r_{zs}(t) $ 表示。

按照上述定义， $ r_{zi}(t) $ 必然满足方程

$$ C_{0}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}}r_{\mathrm{zi}}(t)+C_{1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}t^{n-1}}r_{\mathrm{zi}}(t)+\cdots+C_{n-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r_{\mathrm{zi}}(t)+C_{n}r_{\mathrm{zi}}(t)=0 $$

并符合起始状态 $ r^{(k)}(0_{-}) $ 的约束。它是齐次解中的一部分，可以写出

$$ r_{z i}(t)=\sum_{k=1}^{n}A_{z i k}\mathrm{e}^{\alpha_{k}t} $$

由于从 t<0 到 t>0 都没有激励的作用，而且系统内部结构不会发生改变，因而系统的状态在零点不会发生变化，也即 $ r^{(k)}(0_{+}) = r^{(k)}(0_{-}) $。常系数 $ A_{zik} $ 可由 $ r^{(k)}(0_{-}) $ 决定。

而 $ r_{zs}(t) $ 应满足方程

$$ \begin{aligned}&C_{0}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}}r_{\mathrm{zs}}(t)+C_{1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}t^{n-1}}r_{\mathrm{zs}}(t)+\cdots+C_{n-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r_{\mathrm{zs}}(t)+C_{n}r_{\mathrm{zs}}(t)\\=&E_{0}\frac{\mathrm{d}^{m}}{\mathrm{d}t^{m}}e(t)+E_{1}\frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}t^{m-1}}e(t)+\cdots+E_{m-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e(t)+E_{m}e(t)\end{aligned} $$

并符合 $ r^{(k)}(0_{-})=0 $ 的约束。 $ ^{①} $ 其表达式为

$$ r_{\mathrm{z s}}(t)=\sum_{k=1}^{n}A_{\mathrm{z s}k}\mathrm{e}^{a_{k}t}+B(t) $$

其中 $ B(t) $ 是特解。可见，在激励信号作用下，零状态响应包括两个部分，即自由响应的一部分与强迫响应之和。

归纳上述分析结果，可写出以下表达式

$$ \begin{aligned}r\left(t\right)&=r_{zi}(t)+r_{zs}(t)\\&=\underbrace{\sum_{k=1}^{n}A_{zik}\mathrm{e}^{\alpha_{k}t}}_{ 零输入响应 }+\underbrace{\sum_{k=1}^{n}A_{zsk}\mathrm{e}^{\alpha_{k}(t)}+B(t)}_{ 零状态响应 }\\&=\underbrace{\sum_{k=1}^{n}A_{k}\mathrm{e}^{\alpha_{k}t}}_{ 自由响应 }+\underbrace{B(t)}_{ 强迫响应 }\end{aligned} $$

同时给出以下重要结论：

（1）自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解。

（2）然而，它们的系数完全不同。零输入响应的 $ A_{zik} $仅由起始储能情况决定，而自由响应的 $ A_{k} $要同时依从于起始状态和激励信号。

（3）自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决定。二者都与系统自身参数密切关联。

（4）若系统起始无储能，即0_状态为零，则零输入响应为零，但自由响应可以不为零，由激励信号与系统参数共同决定。

（5）零输入响应由0时刻到0时刻不跳变，此时刻若发生跳变可能出现在零状态响应分量之中。

下面给出一个简单的例题。通过一些具体数字的计算可以理解上述一般分析。

例2-8 已知系统方程式

$$ \frac{\mathrm{d}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+3r\left(t\right)=3e\left(t\right) $$

若起始状态为 $ r(0)=\frac{3}{2} $，激励信号 $ e(t)=u(t) $，求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应以及完全响应。

解 （1）由方程式求出特征根 $ \alpha = -3 $，齐次解是 $ Ae^{-3t} $，由激励信号 $ u(t) $ 求出特解是 1。完全响应表达式为

$$ r(t)=A\mathrm{e}^{-3t}+1 $$

由方程式两端奇异函数平衡条件易判断， $ r(t) $ 在起始点无跳变， $ r(0_{+})=r(0_{-})=\frac{3}{2} $。利用此条件解出系数 $ A=\frac{1}{2} $，所以完全解为

$$ r(t)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-3t}+1 $$

式中，第一项 $ \frac{1}{2}e^{-3t} $为自由响应，第二项1为强迫响应。

(2) 求零输入响应。此时，特解为零。由初始条件求出系数 $ A = \frac{3}{2} $，于是有

$$ r_{z i}(t)=\frac{3}{2}\mathrm{e}^{-3t} $$

再求零状态响应。此时令 $ r(0_{+})=0 $，解出相应的系数 A=-1，于是有

$$ r_{z s}(t)=-e^{-3t}+1 $$

将以上二者合成为完全响应，并与第(1)步结果比较可以写出

$$ r\left(t\right)=\overset{\underbrace{\text{ 自由 }}_{\substack{ 响应 \\ 2}}}\underbrace{\frac{3}{2}\mathrm{e}^{-3t}-\mathrm{e}^{-3t}}_{ 零输入响应 }\underbrace{+\overset{\underbrace{\text{ 强迫 }}{\text{ 响应 }}}{\overset{1}{\mathrm{ 1}}}}}_{ 零状态响应 } $$

对于 L11 系统响应的分解，除按以上两种方式划分之外，另一种情况是将完全响应分解为“瞬态（暂态）响应”和“稳态响应”的组合。当 $ t \to \infty $ 时，响应趋近于零的分量称为瞬态响应；而当 $ t \to \infty $ 时，保留下来的分量称为稳态响应。例如在例 2-8 中 $ \frac{1}{2}e^{-3t} $ 是瞬态响应，而稳态响应是 1。关于这对名词的进一步讨

论将在4.7节给出。

基于观察问题的不同角度，形成了上述三种系统响应的分解方式。其中，自由响应与强迫响应分量的构成是沿袭经典法求解微分方程的传统概念，将完全响应划分为与系统特征对应以及和激励信号对应的两个部分。而零输入响应与零状态响应则是依据引起系统响应的原因来划分，前者是由系统内部储能引起的，而后者是外加激励信号产生的输出。至于瞬态与稳态响应的组合，只注重分析响应的结果，将长时间稳定之后的表现与短时间的过渡状态区分开来。

在当代 LTI 系统研究领域中，零状态响应的概念具有突出的重要意义，这是由于：

（1）大量的通信与电子系统实际问题只需研究零状态响应。

（2）为求解零状态响应，可以不再采用比较繁琐的经典法，而是利用卷积方法求解（见2.7节至2.9节），这样可使问题简化并且便于和各种变换域方法沟通。

（3）按零输入响应与零状态响应分解有助于理解线性系统叠加性和齐次性的特征。最后，就此问题做些说明。

前文已指出(2.3节开始)，若系统起始状态为零（内部无储能），则由常系数线性微分方程描述的系统是线性时不变系统，应满足叠加性与均匀性。例如，在上述例2-8中，如果我们保持起始状态仍为原值，将激励信号倍乘系数C，那么，零状态响应也要倍乘C，由于零输入响应没有变化，系统的完全响应与激励信号之间不能满足线性倍乘的规律，因此不能认为系统是线性的。然而，若初始无储能，即零输入响应等于零，那么，激励信号的倍乘必将引起零状态响应（也即完全响应）的倍乘，当然系统是线性的。反过来，若将起始状态的作用也视为对系统施加的激励，当零状态响应为零（也即不加激励）时，起始状态的数值与零输入响应之间同样满足线性倍乘规律。

综上所述，得出以下结论。由常系数线性微分方程描述的系统在下述意义上是线性的：

（1）零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。

（2）零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。

（3）把激励信号与起始状态都视为系统的外施作用，则系统的完全响应对两种外施作用也呈线性。

2.6 冲激响应与阶跃响应

以单位冲激信号 $ \delta(t) $ 作激励，系统产生的零状态响应称为“单位冲激响应”或简称“冲激响应”。以 $ h(t) $ 表示。

以单位阶跃信号 u(t) 作激励，系统产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”或简称“阶跃响应”。以 g(t) 表示。

冲激函数与阶跃函数代表了两种典型信号，求它们引起的零状态响应是线性系统分析中常见的典型问题，这是我们对此两种响应感兴趣的原因之一。另一方面，在1.5节我们曾讨论到，信号分解的一种重要方式是把待研究的信号分解为许多冲激信号的基本单元之和，或阶跃信号之和。当我们要计算某种激励信号对于系统产生的零状态响应时，可先分别计算系统对其被分解的冲激信号或阶跃信号的零状态响应，然后叠加即得所需之结果。这就是用卷积求零状态响应的基本原理。因此，本节的研究，正是为卷积分析做准备。

若已知描述系统的方程式仍如式(2-9)，为便于讨论，将它抄写如下

$$ \begin{aligned}&C_{0}\frac{\mathrm{d}^{n}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{n}}+C_{1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+C_{n-1}\frac{\mathrm{d}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+C_{n}r\left(t\right)\\=&E_{0}\frac{\mathrm{d}^{m}e\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{m}}+E_{1}\frac{\mathrm{d}^{m-1}e\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{m-1}}+\cdots+E_{m-1}\frac{\mathrm{d}e\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+E_{m}e\left(t\right)\end{aligned} $$

在给定 $ e(t) $ 为单位冲激信号的条件下，我们来求 $ r(t) $，即冲激响应 $ h(t) $。很明显，将 $ e(t) = \delta(t) $ 代入方程，则等式右端就出现了冲激函数和它的逐次导数，即各阶的奇异函数。待求的 $ h(t) $ 函数式应保证式 (2-9) 左、右两端奇异函数相平衡。 $ h(t) $ 的形式将与 m 和 n 的相对大小有着密切关系。一般情况下有 n > m，我们着重讨论这种情况。此时，方程式左端的 $ \frac{d^n r(t)}{dt^n} $ 项应包含冲激函数的 m 阶导数 $ \frac{d^m \delta(t)}{dt^m} $，以便与右端相匹配，依次有 $ \frac{d^{n-1} r(t)}{dt^{n-1}} $ 项对应有 $ \frac{d^{m-1} \delta(t)}{dt^{m-1}} $，…。若 n = m + 1，则 $ \frac{dr(t)}{dt} $ 项要对应有 $ \delta(t) $，而 $ r(t) $ 项将不包含 $ \delta(t) $ 及其各阶导数项。这表明，在 n > m 的条件下，冲激响应 $ h(t) $ 函数式中将不包含 $ \delta(t) $ 及其各阶导数项。

根据定义， $ \delta(t) $及其各阶导数在 t>0 时都等于零。于是，式(2-9)的右端在 t>0 时恒等于零，因此，冲激响应 $ h(t) $ 应与齐次解的形式相同，如果特征根包括 n 个非重根，则

$$ h\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}A_{k}\mathrm{e}^{\alpha_{k}t} $$

此结果表明， $ \delta(t) $信号的加入，在t=0时刻引起了系统的能量储存，而在t=0，以后，系统的外加激励不复存在，只有由冲激引入的能量储存作用，这样，就把冲激信号源转换（等效）为非零的起始条件，响应形式必然与零输入响应相同（相当于求齐次解）。

余下的问题是如何确定式(2-42)中的系数 $ A_{k} $。回顾在例2-7中我们已经求解了RLC并联电路在电流源 $ \delta(t) $ 作用下产生的冲激响应（而例2-6是求阶跃响应）。在那里，按照经典法的严格步骤从0_值求得0+值，再由0+状态解出系数 $ A_{k} $。在下面的例子中，我们将改变求解方法，利用方程式两端奇异函数系数匹配直接求出系数 $ A_{k} $，这样可以省去求0+状态的过程，使问题简化。

例2-9 设描述系统的微分方程式为

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}r(t)}{\mathrm{d}t^{2}}+4\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}+3r(t)=\frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}+2e(t) $$

试求其冲激响应 $ h(t) $。

解

首先求其特征根为

$$ \alpha_{1}=-1,\alpha_{2}=-3 $$

于是有

$$ h\left(t\right)=\left(A_{1}\mathrm{e}^{-t}+A_{2}\mathrm{e}^{-3t}\right)u\left(t\right) $$

对 $ h(t) $ 逐次求导得到

$$ \frac{\mathrm{d}h\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=\left(A_{1}+A_{2}\right)\delta(t)+\left(-A_{1}\mathrm{e}^{-t}-3A_{2}\mathrm{e}^{-3t}\right)u(t) $$

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}h\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{2}}=\left(A_{1}+A_{2}\right)\delta^{\prime}(t)+\left(-A_{1}-3A_{2}\right)\delta(t)+ $$

$$ \left(A_{1}\mathrm{e}^{-t}+9A_{2}\mathrm{e}^{-3t}\right)u(t) $$

将 $ r(t)=h(t), e(t)=\delta(t) $ 代入给定之微分方程，其左端前两项得到

$$ (A_{1}+A_{2})\delta^{\prime}(t)+(3A_{1}+A_{2})\delta(t) $$

与其对应的右端为

$$ \delta^{\prime}(t)+2\delta(t) $$

令左、右两端 $ \delta^{\prime}(t) $ 的系数以及 $ \delta(t) $ 系数对应相等，得到

$$ \left\{\begin{aligned}&A_{1}+A_{2}=1\\ &3A_{1}+A_{2}=2\end{aligned}\right. $$

解得

$$ A_{1}=\frac{1}{2},A_{2}=\frac{1}{2} $$

冲激响应的表示式为

$$ h\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{-3t}\right)u\left(t\right) $$

注意，这里的方法与例2-7采用的方法不同，在本例中，我们绕过了求 $ h(0_{+}) $与 $ h'(0_{+}) $的问题，将 $ h(t) $表示式代入方程，利用奇异函数项平衡的原理，直接求出系数A。

如果把这里的方法用于求解例2-7，可以得到完全相同的答案，为便于讨论，将那里的系统模型表达式抄录如下

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}i_{L}\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{1}{RC}\frac{\mathrm{d}i_{L}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{LC}i_{L}\left(t\right)=\frac{1}{LC}\delta\left(t\right) $$

待求函数 $ i_{L}(t) $ 即冲激响应 $ h(t) $，设特征根为 $ \alpha_{1} $ 和 $ \alpha_{2} $，可以写出

$$ h\left(t\right)=\left(A_{1}\mathrm{e}^{a_{1}t}+A_{2}\mathrm{e}^{a_{2}t}\right)u\left(t\right) $$

$$ \frac{\mathrm{d}h\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=\left(A_{1}+A_{2}\right)\delta\left(t\right)+\left(\alpha_{1}A_{1}\mathrm{e}^{\alpha_{1}t}+\alpha_{2}A_{2}\mathrm{e}^{\alpha_{2}t}\right)u\left(t\right) $$

$$ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}^{2}h\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=&\left(\boldsymbol{A}_{1}+\boldsymbol{A}_{2}\right)\delta^{\prime}\left(t\right)+\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}\boldsymbol{A}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\boldsymbol{A}_{2}\right)\delta\left(t\right)+\\&\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{2}\boldsymbol{A}_{1}\mathrm{e}^{\alpha_{1}t}+\alpha_{2}^{2}\boldsymbol{A}_{2}\mathrm{e}^{\alpha_{2}t}\right)\boldsymbol{u}\left(t\right)\end{aligned} $$

将此结果代入给定的微分方程，其左端前两项得到

$$ \left(\boldsymbol{A}_{1}+\boldsymbol{A}_{2}\right)\delta^{\prime}(t)+\left[\frac{1}{R C}(\boldsymbol{A}_{1}+\boldsymbol{A}_{2})+\alpha_{1}\boldsymbol{A}_{1}+\alpha_{2}\boldsymbol{A}_{2}\right]\delta(t) $$

右端对应的 $ \delta^{\prime}(t) $ 项为零，而 $ \delta(t) $ 项等于 $ \frac{1}{LC} $，于是给出

$$ \left\{\begin{aligned}&A_{1}+A_{2}=0\\ &\frac{1}{RC}(A_{1}+A_{2})+\alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}=\frac{1}{LC}\end{aligned}\right. $$

也即

$$ \left\{\begin{aligned}&A_{1}+A_{2}=0\\ &\alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}=\frac{1}{LC}\end{aligned}\right. $$

至此，已经得到与前文例2-7中求解系数 $ A_{1} $、 $ A_{2} $的代数方程完全一致的结果。当然，以下全部答案也都一样。在此推导过程中也是绕过了求 $ h(0_{+}) $和 $ h'(0_{+}) $的步骤，直接找到了 $ A_{1} $和 $ A_{2} $。

以上讨论了 n > m 的情况。如果 n = m，冲激响应 $ h(t) $ 将包含一个 $ \delta(t) $ 项。而 n < m 时， $ h(t) $ 还要包含 $ \delta(t) $ 的导数项。各奇异函数项系数的求法仍由方程式两边系数平衡而得到。

用以上方法求得一些一阶、二阶系统的冲激响应，列于表2-4备查。

| 系统方程式 | 冲激响应 h(t) | |

| --- | --- | --- |

| 一阶（特征根 $ \alpha = -C $） | $ \frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + Cr(t) = Ee(t) $ | $ Ee^{\alpha t}u(t) $ |

| $ \frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + Cr(t) = E \frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t} $ | $ E\delta(t) + Ea e^{\alpha t}u(t) $ | |

| 二阶（特征根 $ \alpha_1, \alpha_2 = -\frac{C_1 \pm \sqrt{C_1^2 - 4C_2}}{2} $） | $ \frac{\mathrm{d}^2r(t)}{\mathrm{d}t^2} + C_1 \frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + C_2 r(t) = Ee(t) $ | $ \frac{E}{\alpha_1 - \alpha_2} (e^{\alpha_1 t} - e^{\alpha_2 t}) u(t) $ |

| $ \frac{\mathrm{d}r^2(t)}{\mathrm{d}t^2} + C_1 \frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t} + C_2 r(t) = E \frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t} $ | $ \frac{E}{\alpha_1 - \alpha_2} (\alpha_1 e^{\alpha_1 t} - \alpha_2 e^{\alpha_2 t}) u(t) $ | |

当系统受阶跃信号激励时，方程式右端可能包括阶跃函数、冲激函数及其导数。这时，求阶跃响应的方法与求冲激响应的方法类似，但应注意，由于方程右端阶跃函数的出现，在阶跃响应的表示式中除齐次解之外还应增加特解项(阶跃函数项)。

求冲激响应与阶跃响应的另一种方法是拉普拉斯变换法，将在第四章研究。本章介绍的方法着重说明这两种响应的基本概念，而拉普拉斯变换方法更简便、实用。以后，我们将看到，在信号与系统分析中，时域方法往往与变换域方法相互补充、配合运用。

冲激响应与阶跃响应完全由系统本身决定，与外界因素无关。这两种响应之间有一定的依从关系，当已求得其中之一，则另一响应即可确定。由第一章1.7节LTI系统的基本特性可知，若系统的输入由原激励信号改为其导数时，输出也由原响应函数变成其导数。显然，此结论也适用于激励信号由阶跃经求导而成为冲激的这一特殊情况。因此，若已知系统的阶跃响应为 $ g(t) $，其冲激响应 $ h(t) $可由下式求得

$$ h\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}g\left(t\right) $$

反之，若已知冲激响应 $ h(t) $，也可求出 $ g(t) $

$$ g(t)=\int_{0}^{t}h(\tau)\mathrm{d}\tau $$

在系统理论研究中，常利用冲激响应或阶跃响应表征系统的某些基本性能，例如，因果系统的充分必要条件可表示为：当 t<0 时，冲激响应（或阶跃响应）等于零，即

$$ h\left(t\right)=0\qquad\left(t<0\right) $$

或

$$ g(t)=0\qquad(t<0) $$

此外，还可利用 h(t) 说明系统的稳定性，将在第五章研究。

2.7 卷 积

如果将施加于线性系统的信号分解，而且对于每个分量作用于系统产生之响应易于求得，那么，根据叠加定理，将这些响应取和即可得到原激励信号引起的响应。这种分解可表示为诸如冲激函数、阶跃函数或三角函数、指数函数这样一些基本函数之组合。卷积(convolution)方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，从而求解系统对任意激励信号的零状态响应。（将信号分解为三角函数或指数函数组合的研究将在第三章给出。）

卷积方法最早的研究可追溯至19世纪初期的数学家欧拉(Euler)、泊松(Poisson)等人，以后许多科学家对此问题陆续做了大量工作，其中，最值得记起的是杜阿美尔(Duhamel，1833)。

随着信号与系统理论研究的深入以及计算机技术的发展，卷积方法得到日益广泛的应用。在现代信号处理技术的多种领域，如通信系统、地震勘探、超声诊断、光学成像、系统辨识等方面都在借助卷积或解卷积（反卷积——卷积的逆运算）解决问题。许多有待深入开发研究的新课题也都依赖卷积方法。我们将要看到，卷积原理的应用几乎贯穿于本书的每一章。

（一） 借助冲激响应与叠加定理求系统零状态响应

设激励信号 $ e(t) $ 可表示成如图 2-7(a) 所示的曲线。我们把它分解为许多相邻的窄脉冲。以 $ t = t_1 $ 处的脉冲为例，设此脉冲的持续时间等于 $ \Delta t_1 $。 $ \Delta t_1 $ 取得越小，则脉冲幅值与函数值越为逼近。仿照第一章 1.5 节图 1-37(a) 的近似分析，当 $ \Delta t_1 \to 0 $ 时， $ e(t) $ 可表示为 $ \sum e(t_1)\delta(t-t_1)\Delta t_1 $ [参看式 (1-58)]。设此系统对单位冲激 $ \delta(t) $ 的响应为 $ h(t) $，那么，根据线性时不变系统的基本特性可

求得，对于 $ t=t_{1} $ 处的冲激信号 $ \left[e\left(t_{1}\right)\Delta t_{1}\right]\delta\left(t-t_{1}\right) $ 的响应必然等于 $ \left[e\left(t_{1}\right)\Delta t_{1}\right]\cdot h\left(t-t_{1}\right) $，如图2-7(b)所示。

如果要求得到 $ t=t_{2} $ 时刻的响应 $ r(t_{2}) $，只要将 $ t_{2} $ 时刻以前所有冲激响应相加即得，图2-7(c)示出了相加的过程和结果。将此结果写成数学表示式应为

$$ r\left(t_{2}\right)=\lim_{\Delta t_{1}\rightarrow0}\sum_{t_{1}=0}^{t_{2}}e\left(t_{1}\right)h\left(t_{2}-t_{1}\right)\Delta t_{1} $$

或写为积分形式

$$ r\left(t_{2}\right)=\int_{0}^{t_{2}}e\left(t_{1}\right)h\left(t_{2}-t_{1}\right)\mathrm{d}t_{1} $$

如将上式中 $ t_{2} $ 改写为 t，把 $ t_{1} $ 以 $ \tau $ 代替，于是得到

$$ r\left(t\right)=\int_{0}^{t}e\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)\mathrm{d}\tau $$

此结果表明，如果已知系统的冲激响应 $ h(t) $以及激励信号 $ e(t) $，欲求系统的零状态响应 $ r(t) $，可将 $ h(t) $与 $ e(t) $函数的自变量t分别改写作 $ t-\tau $和 $ \tau $，取积分限为 $ 0\sim t $，计算 $ e(\tau) $与 $ h(t-\tau) $相乘函数对变量 $ \tau $的积分，即得所需响应 $ r(t) $。注意，这里积分变量虽为 $ \tau $，但经定积分运算，代入积分限以后，所得结果仍为t的函数。此积分运算即为卷积积分。

上述导出过程也可用表2-5概括。很明显，这是在线性时不变(LTI)系统条件下得到的结果。

| 激励信号 | 响应信号 | 理论依据 |

| --- | --- | --- |

| $ \delta(t) $ | $ h(t) $ | 定义 |

| $ \delta(t-\tau) $ | $ h(t-\tau) $ | 时不变特性 |

| $ [e(\tau)\Delta\tau]\delta(t-\tau) $ | $ [e(\tau)\Delta\tau]h(t-\tau) $ | 齐次性(均匀性) $ ^{1} $ 线性叠加性 |

| $ \sum_{\tau=0}^{t}e(\tau)\delta(t-\tau)\Delta\tau $ | $ \sum_{\tau=0}^{t}e(\tau)h(t-\tau)\Delta\tau $ | |

| $ \int_{0}^{t}e(\tau)\delta(t-\tau)d\tau $ | $ \int_{0}^{t}e(\tau)h(t-\tau)d\tau $ | $ \Delta\tau\rightarrow0 $ 求和 $ \rightarrow $积分 |

例 2−10 图2-8所示 RL 电路，激励信号为电压源 $ e(t) $，响应是电流 $ i(t) $。求冲激响应 $ h(t) $，并利用卷积积分求系统对 $ e(t)=u(t)-u(t-t_{0}) $ 的响应。

解

(1) 求 $ h(t) $。为此，写出微分方程

$$ L\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri=e(t) $$

特征根

$$ \alpha=-\frac{R}{L} $$

查表2-4（或利用方程式两端奇异函数平衡关系）容易求得系统的冲激响应为

$$ h\left(t\right)=\frac{1}{L}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}u\left(t\right) $$

(2) 若 $ e(t)=u(t)-u(t-t_{0}) $，利用卷积积分求 $ i(t) $，即

$$ \begin{aligned}{i\left(t\right)}&{{}=\int_{0}^{t}\left[u\left(\tau\right)-u\left(\tau-t_{0}\right)\right]\bullet\frac{1}{L}\mathbf{e}^{-\frac{R}{L}\left(t-\tau\right)}\mathsf{d}\tau}\\ {}&{{}=\int_{0}^{t}\frac{1}{L}\bullet\mathbf{e}^{-\frac{R}{L}\left(t-\tau\right)}\mathsf{d}\tau\bullet u\left(t\right)-}\\ {}&{{}\quad\int_{t_{0}}^{t}\frac{1}{L}\bullet\mathbf{e}^{-\frac{R}{L}\left(t-\tau\right)}\mathsf{d}\tau\bullet u\left(t-t_{0}\right)}\\ {}&{{}=\frac{1}{R}\mathbf{e}^{-\frac{R}{L}\left(t-\tau\right)}\left|_{0}^{t}\ast u\left(t\right)-\right.}\\ {}&{{}\quad\left.\frac{1}{R}\mathbf{e}^{-\frac{R}{L}\left(t-\tau\right)}\bigg|_{t_{0}}^{t}\ast u\left(t-t_{0}\right)\right.}\\ {}&{{}=\frac{1}{R}\left(1-\mathbf{e}^{-\frac{R}{L}t}\right)u\left(t\right)-}\\ {}&{{}\quad\frac{1}{R}\left[1-\mathbf{e}^{-\frac{R}{L}\left(t-t_{0}\right)}\right]u\left(t-t_{0}\right)}\\ \end{aligned} $$

卷积的方法借助于系统的冲激响应。与此方法对照，还可以利用系统的阶跃响应求系统对任意信号的零状态响应，这时，应把激励信号分解为许多阶跃信号之和，分别求其响应然后再叠加，这种方法称为杜阿美尔积分，其原理与卷积类似，此处不再讨论（见习题2-22）。

在以上讨论中，我们把卷积积分的应用限于线性时不变系统。对于非线性系统，由于违反叠加定理，因而不能应用；而对于线性时变系统，仍可借助卷积求零状态响应。但应注意，由于系统的时变特性，冲激响应是两个变量的函数，这两个参量是：冲激加入时间 $ \tau $、响应观测时间 t，冲激响应的表示式为 $ h(t,\tau) $。求零状态响应的卷积积分写为

$$ r\left(t\right)=\int_{0}^{t}h\left(t,\tau\right)e\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau $$

前面研究的时不变系统仅仅是时变系统的一个特例，对于时不变系统，冲激响应由观测时刻与激励接入时刻的差值决定，于是式 $ (2-54) $中的 $ h(t,\tau) $简化为 $ h(t-\tau) $，这就是前面式 $ (2-49) $的结果。

（二） 卷积积分及其积分限的确定

我们暂且离开利用卷积求线性系统零状态响应的物理问题，而从数学意义上给出卷积积分运算的定义，并研究其积分限的确定。

设函数 $ f_{1}(t) $ 与函数 $ f_{2}(t) $ 具有相同的变量 t，将 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 经以下的积分可得到第三个相同变量的函数 s(t)

$$ s\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau $$

此积分称为卷积积分，常用简写符号“*”（或“⊗”）表示 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 的卷积运算，于是，式(2-55)写为

$$ s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau=f_{1}(t)*f_{2}(t) $$

式(2-55)规定的变量置换、相乘、积分的运算规律与前面式(2-49)完全一致，只是积分限有所不同。下面说明，当 $ f_{1}(t) $与 $ f_{2}(t) $受到某种限制时，可以得到与前面相同的积分限。

如果对于 t<0, $ f_{1}(t)=0 $ ,那么，在式(2-55)中的 $ f_{1}(\tau) $ 可表示为 $ f_{1}(\tau) \cdot u(\tau) $，因此积分下限应从零开始，于是有

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{0}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau $$

相反，若 $ f_{1}(t) $ 不受此限，而当 t<0 时 $ f_{2}(t)=0 $ ，那么，在式（2-55）中的函数 $ f_{2}(t-\tau) $ 对于 $ t-\tau<0 $ 的时间范围（即 $ \tau>t $ 范围）应等于零，因此积分上限取 t，于是有

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau $$

若 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 在 t<0 时都等于零，就会得到

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=\left\{\begin{aligned}&0&(t<0)\\ \int_{0}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau&(t\geqslant0)\end{aligned}\right. $$

现在，可以回到式(2-49)，在那里，由于激励信号 $ e(t) $在t=0时刻接入，也即在t<0时 $ e(t) $等于零，而且对于因果系统，其冲激响应 $ h(t) $在t<0时也等于零，因此，卷积积分的积分限应与式(2-59)一致，也是 $ 0\sim t $。借助卷积的图形解释，可以把积分限的关系看得更清楚。

（三） 卷积的图形解释

卷积积分的图解说明可以帮助我们理解卷积的概念，把一些抽象的关系形象化，便于分段计算。

设系统的激励信号为 $ e(t) $，如图2-9(a)所示，冲激响应为 $ h(t) $，如图2-9(b)所示。利用卷积求零状态响应的一般表达式为

$$ r\left(t\right)=e\left(t\right)*h\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)\mathrm{d}\tau $$

可以看出，式中积分变量为 $ \tau $，而 $ h(t-\tau) $ 表示在 $ \tau $ 的坐标系中 $ h(\tau) $ 需要进行反褶和移位，分别如图2-9(c)、(d) 所示，然后将 $ e(\tau) $ 与 $ h(t-\tau) $ 的重叠部分相乘做积分。按照上述理解可将卷积运算分解为以下五个步骤：

（1）改换图形横坐标自变量，波形仍保持原状，将 t 改写为 $ \tau $，如图2-9(a)、(b)中所注。

（2）把其中的一个信号反褶[如图2-9(c)所示]。

（3）把反褶后的信号移位，移位量是 t，这样 t 是一个参变量。在 $ \tau $ 坐标系中，t>0 图形右移；t<0 图形左移[如图2-9(d)所示]。

（4）两信号重叠部分相乘 $ e(\tau)h(t-\tau) $

（5）完成相乘后图形的积分。

按上述步骤完成的卷积积分结果如下：

(1) $ -\infty < t < -\frac{1}{2} $，如图2-10(a)所示。

$$ e\left(t\right)*h\left(t\right)=0 $$

(2) $ -\frac{1}{2}\leqslant t<1 $，如图2-10(b)所示。

$$ \begin{aligned}e\left(t\right)*h\left(t\right)=&\int_{-\frac{1}{2}}^{t}1\times\frac{1}{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau\\=&\frac{t^{2}}{4}+\frac{t}{4}+\frac{1}{16}\end{aligned} $$

(3) $ 1\leq t<\frac{3}{2} $，如图2-10(c)所示。

$$ \begin{aligned}e\left(t\right)*h\left(t\right)=&\int_{-\frac{1}{2}}^{1}1\times\frac{1}{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau\\=&\frac{3}{4}t-\frac{3}{16}\end{aligned} $$

(4) $ \frac{3}{2}\leqslant t<3 $,如图2-10(d)所示。

$$ \begin{aligned}e\left(t\right)*h\left(t\right)=&\int_{t-2}^{1}1\times\frac{1}{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau\\=&-\frac{t^{2}}{4}+\frac{t}{2}+\frac{3}{4}\end{aligned} $$

(5) $ 3\leq t<\infty $，如图2-10(e)所示。

$$ e(t)*h(t)=0 $$

以上各图中的阴影面积，即为相乘积分的结果。最后，若以 t 为横坐标，将与 t 对应的积分值描成曲线，就是卷积积分 $ e(t) \times h(t) $ 的函数图像，如图 2-11 所示。

从以上图解分析可以看出，卷积中积分限的确定取决于两个图形交叠部分的范围。卷积结果所占有的时宽等于两个函数各自时宽的总和。

也可以把 $ e(t) $ 反褶、移位计算，得到的结果相同，读者可自行完成。其理论依据是卷积运算的交换律，详见2.8节。

对于一些简单信号的卷积运算，可借助图解分析方法较快地看到运算结果。例如，两个波形完全相同的矩形脉冲，若宽度都为 T，则二者卷积后将得到底宽为 2T 的三角形脉冲。读者可练习画图研究这一过程，并注意观察当矩形脉冲出现时间改变时，相应的三角形产生的位置也将随之移动。这个题目虽然很简单，却十分重要。在本书以后各章和后续课程中可能经常遇到，建议熟记有关结论。

另外，两个时间宽度不同的矩形脉冲经卷积运算后应得到梯形脉冲波形。请读者继续做此练习。

2.8 卷积的性质

作为一种数学运算，卷积运算具有某些特殊性质，这些性质在信号与系统分析中有重要作用。利用这些性质还可以使卷积运算简化。

（一） 卷积代数

通常乘法运算中的某些代数定律也适用于卷积运算。

（1）交换律

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=f_{2}(t)*f_{1}(t) $$

把积分变量 $ \tau $ 改换为 $ (t-\lambda) $，即可证明此定律

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau=\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}(\lambda)f_{1}(t-\lambda)\mathrm{d}\lambda=f_{2}(t)*f_{1}(t) $$

这意味着两函数在卷积积分中的次序是可以交换的。

(2) 分配律

$$ f_{1}(t)*[f_{2}(t)+f_{3}(t)]=f_{1}(t)*f_{2}(t)+f_{1}(t)*f_{3}(t) $$

分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各

子系统冲激响应之和，如图2-12所示。

（3）结合律

$$ [f_{1}(t)*f_{2}(t)]*f_{3}(t)=f_{1}(t)*[f_{2}(t)*f_{3}(t)] $$

这里包含两次卷积运算，是一个二重积分，只要改换积分次序即可证明此定律

$$ \begin{align*}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]*f_{3}(t)=&\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\lambda)f_{2}(\tau-\lambda)\mathrm{d}\lambda\right]f_{3}(t-\tau)\mathrm{d}\tau\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\lambda)\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}(\tau-\lambda)f_{3}(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{d}\lambda\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\lambda)\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}(\tau)f_{3}(t-\tau-\lambda)\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{d}\lambda\\=&f_{1}(t)*\left[f_{2}(t)*f_{3}(t)\right]\end{align*} $$

结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积，如图2-13所示。

（二） 卷积的微分与积分

上述卷积代数定律与乘法运算的性质类似，但是卷积的微分或积分却与两函数相乘的微分或积分性质不同。

两个函数卷积后的导数等于其中一函数的导数与另一函数的卷积，其表示式为

$$ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[f_{1}(t)*f_{2}(t)]&=f_{1}(t)*\frac{\mathrm{d}f_{2}(t)}{\mathrm{d}t}\\&=\frac{\mathrm{d}f_{1}(t)}{\mathrm{d}t}*f_{2}(t)\end{aligned} $$

由卷积定义可证明此关系式

$$ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[f_{1}(t)*f_{2}(t)]=&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)\frac{\mathrm{d}f_{2}(t-\tau)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}\tau\\ =&f_{1}(t)*\frac{\mathrm{d}f_{2}(t)}{\mathrm{d}t}\end{aligned} $$

同样可以证得

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[f_{2}(t)*f_{1}(t)\right]=f_{2}(t)*\frac{\mathrm{d}f_{1}(t)}{\mathrm{d}t} $$

显然， $ f_{2}(t)\cdot f_{1}(t) $ 也即 $ f_{1}(t)\cdot f_{2}(t) $，故式(2-66)成立。

两函数卷积后的积分等于其中一函数之积分与另一函数之卷积。其表示式为

$$ \begin{aligned}\int_{-\infty}^{t}[f_{1}(\lambda)*f_{2}(\lambda)]\mathrm{d}\lambda&=f_{1}(t)*\int_{-\infty}^{t}f_{2}(\lambda)\mathrm{d}\lambda\\&=f_{2}(t)*\int_{-\infty}^{t}f_{1}(\lambda)\mathrm{d}\lambda\end{aligned} $$

证明如下

$$ \begin{aligned}&\int_{-\infty}^{t}\left[f_{1}(\lambda)*f_{2}(\lambda)\right]\mathrm{d}\lambda\\=&\int_{-\infty}^{t}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(\lambda-\tau)\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{d}\lambda\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)\left[\int_{-\infty}^{t}f_{2}(\lambda-\tau)\mathrm{d}\lambda\right]\mathrm{d}\tau\\=&f_{1}(t)*\int_{-\infty}^{t}f_{2}(\lambda)\mathrm{d}\lambda\end{aligned} $$

借助卷积交换律同样可求得 $ f_{2}(t) $ 与 $ f_{1}(t) $ 之积分相卷积的形式，于是式 (2-67) 全部得到证明。

应用类似的推演可以导出卷积的高阶导数或多重积分之运算规律。

设 $ s(t)=\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right] $，则有

$$ s^{(i)}(t)=f_{1}^{(j)}(t)*f_{2}^{(i-j)}(t) $$

此处，当 i, j 取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数。读者可自行证明。一个简单的例子是

$$ \frac{\mathrm{d}f_{1}(t)}{\mathrm{d}t}*\int_{-\infty}^{t}f_{2}(\lambda)\mathrm{d}\lambda=f_{1}(t)*f_{2}(t) $$

在运用式(2-70)求解时必须注意 $ f_{1}(t) $ 和 $ f_{2}(t) $ 应满足时间受限条件，当 $ t \to -\infty $ 时函数值应等于零。试做习题 2-19(b) 即可理解这一结论。

（三） 与冲激函数或阶跃函数的卷积

函数 $ f(t) $ 与单位冲激函数 $ \delta(t) $ 卷积的结果仍然是函数 $ f(t) $ 本身。根据卷积定义以及冲激函数的特性 [第一章 1.4 节式 (1-39)] 容易证明

$$ \begin{aligned}{f(t)*\delta(t)=}&{{}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)\mathrm{d}\tau}\\ {=}&{{}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(\tau-t)\mathrm{d}\tau}\\ {=}&{{}f(t)}\\ \end{aligned} $$

这里用到 $ \delta(x)=\delta(-x) $，因此 $ \delta(t-\tau)=\delta(\tau-t) $。

此结论对我们并不陌生，在1.5节将信号分解为冲激函数之叠加时，曾导出与此类似的式(1-60)。今后将要看到，在信号与系统分析中，此性质应用广泛。

进一步有

$$ \begin{aligned}{f(t)*\delta(t-t_{0})=}&{{}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-t_{0}-\tau)\mathrm{d}\tau}\\ {=}&{{}f(t-t_{0})}\\ \end{aligned} $$

这表明，与 $ \delta(t-t_{0}) $ 信号相卷积的结果，相当于把函数本身延迟 $ t_{0} $。

利用卷积的微分、积分特性、不难得到以下一系列结论。

对于冲激偶 $ \delta^{\prime}(t) $，有

$$ f(t)*\delta^{\prime}(t)=f^{\prime}(t) $$

对于单位阶跃函数 $ u(t) $，可以求得

$$ f(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\lambda)\mathrm{d}\lambda $$

推广到一般情况可得

$$ f(t)*\delta^{(k)}(t)=f^{(k)}(t) $$

$$ f(t)*\delta^{(k)}(t-t_{0})=f^{(k)}(t-t_{0}) $$

式中 k 表示求导或取重积分的次数，当 k 取正整数时表示导数阶次，k 取负整数时为重积分的次数，例如 $ \delta^{(-1)}(t) $ 即 $ \delta(t) $ 的积分——单位阶跃函数 $ u(t) $， $ u(t) $ 与 $ f(t) $ 之卷积得到 $ f^{(-1)}(t) $，即 $ f(t) $ 的一次积分式，这就是式 (2-74)。

一些常用函数卷积积分的结果制成表格见附录一，备需用时参考。

卷积的性质可以用来简化卷积运算，以图2-9的两函数卷积运算为例，利用式(2-70)的关系，可得

$$ r\left(t\right)=e\left(t\right)*h\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e\left(t\right)*\int_{-\infty}^{t}h\left(\lambda\right)\mathrm{d}\lambda $$

其中

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e(t)=\delta\left(t+\frac{1}{2}\right)-\delta(t-1) $$

其图形如图2-14(a)所示。

$$ \begin{align*}h^{(-1)}(t)&=\int_{-\infty}^{t}h\left(\lambda\right)\mathrm{d}\lambda=\int_{-\infty}^{t}\frac{1}{2}\lambda\left[u\left(\lambda\right)-u\left(\lambda-2\right)\right]\mathrm{d}\lambda\\&=\left(\int_{0}^{t}\frac{1}{2}\lambda\mathrm{~d}\lambda\right)u\left(t\right)-\left(\int_{2}^{t}\frac{1}{2}\lambda\mathrm{~d}\lambda\right)u\left(t-2\right)\\&=\frac{1}{4}t^{2}u\left(t\right)-\frac{1}{4}\left(t^{2}-4\right)u\left(t-2\right)\\&=\frac{1}{4}t^{2}\left[u\left(t\right)-u\left(t-2\right)\right]+u\left(t-2\right)\end{align*} $$

其图形如图2-14(b)所示。

$$ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e\left(t\right)*\int_{-\infty}^{t}h\left(\lambda\right)\mathrm{d}\lambda=&\frac{1}{4}\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}\left[u\left(t+\frac{1}{2}\right)-u\left(t-\frac{3}{2}\right)\right]+u\left(t-\frac{3}{2}\right)-\\&\left\{\frac{1}{4}\left(t-1\right)^{2}\left[u\left(t-1\right)-u\left(t-3\right)\right]+u\left(t-3\right)\right\}\\=&\left\{\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}&-\frac{1}{2}\leqslant&t<1\\\frac{1}{4}\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\left(t-1\right)^{2}=\frac{3}{4}\left(t-\frac{1}{4}\right)&1\leqslant&t<\frac{3}{2}\\1-\frac{1}{4}\left(t-1\right)^{2}&\frac{3}{2}\leqslant&t<3\end{matrix}\right.\end{aligned} $$

如图2-14(c)和(d)所示，与前面图2-9的结果一致。从以上讨论可以看出如果对某一信号微分后出现冲激信号，则卷积最终结果是另一信号对应积分后平移叠加结果。

卷积积分的工程近似计算是把信号按需要进行抽样离散化形成序列，积分运算用求和代替，因而问题化为两序列的卷积和，得出的结果再适当进行内插，求出最终结果。关于离散信号卷积和将在第七章讨论。

2.9 利用卷积分析通信系统多径失真的消除方法

至此，我们已经介绍了卷积的基本定义、性质、计算和图解分析方法。在本书以后的许多章节中将不断地应用这些概念。

在结束本章之前，我们给出一个借助卷积研究实际应用问题的例子，即通信信号传输过程中多径失真的消除。在无线通信系统中，当接收机从正常途径收到发射信号时，可能还有其他寄生的传输路径，例如从发射机经某些建筑物反射到达接收端，产生所谓“回波”（回声）现象（参看图2-15）；又如，当我们需要完成室内录音时，除了直接进入麦克风的正常信号之外，经墙壁反射的信号也可能被采集录入，这也是一种“回声”现象。为这种多径传输现象建立数学模型的简单方法就是定义一个接收信号 $ r(t) $，它包括正常传输信号 $ e(t) $与回波分量 $ ae(t-T) $二者之和，即

$$ r(t)=e(t)+a e(t-T) $$

此处，T 表示回波路径引入的传输延时，而系数 a<1，表示回波路径对信号强度产生衰减。若 $ e(t) $ 是一个声音信号，当 T 为 100 ms 量级时，人耳能够感觉到一个可区分的回声。如果传输环境有更多的附加路径，那么这一数学模型可表示为

$$ r(t)=\sum_{m=0}^{N}a_{m}e(t-T_{m}) $$

下角 m 表示每条路径的序号，共有 $ N+1 $ 条。而 $ T_{m} $ 和 $ a_{m} $ 分别表示各条路径的延迟时间和衰减系数。实际上，我们把这种情况称为“混响”。而当 T 较短且 a 也很小时，人耳感觉的声音效果类似于“空洞”回声。

根据以上分析容易写出回波系统的冲激响应表达式为

$$ h\left(t\right)=\delta(t)+a\delta(t-T) $$

或对多个回声有

$$ h\left(t\right)=\sum_{m=0}^{N}a_{m}\delta\left(t-T_{m}\right) $$

一般在信号 $ e(t) $ 激励情况下产生的响应 $ r(t) $ 可借助卷积关系表示为

$$ r(t)=h(t)*e(t) $$

为了从含有干扰信号的回波系统中取出正常信号，需要设计一个“逆系统”进行补偿，如图2-16所示。可以写出最终恢复信号应为 $ e(t) $，逆系统的冲激响应以 $ h_{i}(t) $表示，则

$$ \begin{aligned}{e\left(t\right)}&{{}=r\left(t\right)*h_{\mathrm{i}}\left(t\right)}\\ {}&{{}=\left[e\left(t\right)*h\left(t\right)\right]*h_{\mathrm{i}}\left(t\right)}\\ {}&{{}=e\left(t\right)*\left[h\left(t\right)*h_{\mathrm{i}}\left(t\right)\right]}\\ \end{aligned} $$

显然，必须满足

$$ h\left(t\right)*h_{i}(t)=\delta(t) $$

即可保证两系统级联后的输出为原激励信号

$$ e(t)=e(t)*\delta(t) $$

还可写出

$$ \begin{aligned}\delta(t)&=h(t)*h_{\mathrm{i}}(t)\\&=\left[\delta(t)+a\delta(t-T)\right]*h_{\mathrm{i}}(t)\end{aligned} $$

接下来的工作是要从上式求出 $ h_{i}(t) $，注意到我们已知等式左端的卷积结果和等式右端的第一个函数，而右端第二个函数是待求结果，这样的问题称为“解卷积”或“反卷积”。对于连续时间信号与系统，解卷积的问题不能导出一般的求解公式，而对于离散时间信号与系统可以给出求“解卷积”的一般计算方法，这将在7.7节研究。对于式(2-85)的求解问题，我们可以用直观的屡试方法寻求答案，下面从概念分析逐步给出。

先假定逆系统冲激响应的可能结果为 $ h_{i1}(t) $，然后经逐步修正找到最终的 $ h_{i}(t) $，可以写出

$$ h_{\mathrm{i l}}(t)=\delta(t)-a\delta(t-T) $$

上式右端的 $ \delta(t) $ 可以保证经卷积计算后保留 $ \delta(t) $ 项，而 $ -a\delta(t-T) $ 的引入是为了抵消 $ a\delta(t-T) $ 这个回波。将 $ h_{i1}(t) $ 与 $ h(t) $ 卷积后得到

$$ \begin{align*}h\left(t\right)*h_{\mathrm{i1}}(t)&=\left[\delta(t)+a\delta(t-T)\right]*\left[\delta(t)-a\delta(t-T)\right]\\&=\delta(t)-a^{2}\delta(t-2T)\end{align*} $$

很遗憾，这种假设虽然可以消除 $ a\delta\left(t-T\right) $ 项，但是又多出了一个 $ -a^{2} $ $ \delta\left(t-2T\right) $ 项。由于 a<1，这个回波较 $ a\delta\left(t-T\right) $ 的强度有所衰减，而且延迟到 2T 出现。虽然，这里没有能够完全消除回声，然而，已经使干扰的影响明显削弱。按此思路修改逆系统的冲激响应，有望进一步减少回声。为此，再假设待求 $ h_{i}(t) $ 为 $ h_{i2}(t) $，即

$$ h_{i2}(t)=\delta(t)-a\delta(t-T)+a^{2}\delta(t-2T) $$

增补的一项刚好可以抵消式 $ (2-87) $中的多余项 $ -a^{2}\delta(t-2T) $。可以求得

$$ h\left(t\right)*h_{i2}(t)=\delta(t)+a^{3}\delta(t-3T) $$

与前类似，当满足 a<1 时，多余的回波将更小，而且出现的时刻延迟到 3T。依此递推，可以导出 $ h_{i}(t) $ 的最终结果

$$ h_{i}(t)=\sum_{k=0}^{\infty}(-a)^{k}\delta(t-kT) $$

可见，当逆系统的 $ h_{i}(t) $ 选择上式时，可使回波强度趋近于零（当 a<1），且出现时间推迟到 $ \infty $。实际上构成 $ h_{i}(t) $ 的延迟补偿并不需要无穷多项，可以根据具体环境要求，将 k 值取若干有限项即可满足消除回声之要求。

以上我们用直观的屡试方法求出了逆系统的冲激响应，待到研究离散时间信号与系统时，可以给出求逆系统的严格计算方法，详见本书下册7.7节（解卷积）。另外，利用变换域方法（拉普拉斯变换或傅里叶变换）也可以比较简便地求得逆系统的冲激响应（或系统函数），我们将在第四章习题4-51和第五章习题5-27分别看到。

2.10 用算子符号表示微分方程

这是一种简化微分、积分方程式表达（书写）的方法。先给出算子符号法的一些基本规则和运算规律，然后通过实例分析说明这种方法带来的方便。

（一） 算子符号的基本规则

我们把微分、积分方程中不断出现的微分与积分符号用下列算子表示

$$ p=\frac{d}{dt} $$

$$ \frac{1}{p}=\int_{-\infty}^{t}\left(\bullet\right)\mathrm{d}\tau $$

$$ p x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x $$

$$ p^{n}x=\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}}x $$

$$ \frac{1}{p}x=\int_{-\infty}^{t}x\mathrm{d}\tau $$

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{2}}+5\frac{\mathrm{d}r\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+6r\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}e\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+3e\left(t\right) $$

例如，按此规定我们可以把下列方程

用算子符号写作

$$ p^{2}r+5p r+6r=p e+3e $$

$$ \left(p^{2}+5p+6\right)r=\left(p+3\right)e $$

即

必须注意，式(2-98)表示的不是代数方程，而是微分方程。 $ (p^{2}+5p+6)r $ 并非指 $ (p^{2}+5p+6) $去乘以 $ r(t) $函数，而是表示对 $ r(t) $按规定进行相应的微分

运算。而代数方程中的运算规则在算子方程式中并非都适用，下面说明。

(1) p 多项式可以进行类似于代数运算的因式分解或因式相乘展开，例如

$$ \begin{aligned}(\ p^{2}+5p+6)x&=(\ p+3)(p+2)x\\&=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}+3\right)\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+2x\right)\\&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x+2x\right]+3\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x+2x\right]\\&=\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}x+5\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x+6x\end{aligned} $$

写作一般形式有

$$ \left(p+a\right)\left(p+b\right)x=\left[p^{2}+\left(a+b\right)p+ab\right]x $$

（2）等式两端的符号 p 不可任意消去。

如果

$$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} $$

两端积分后可得

$$ x=y+c $$

这里，c 是积分常数。由此可见，对于算子方程式

$$ p x=p y $$

其左右两端的算子符号 p 不能消去。

（3）微分与积分的顺序不得倒换，也即

$$ p\cdot\frac{1}{p}x\neq\frac{1}{p}\cdot px $$

这是因为

$$ p\cdot\frac{1}{p}x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{-\infty}^{t}x\mathrm{d}\tau=x $$

而

$$ \begin{aligned}\frac{1}{p}\bullet px&=\int_{-\infty}^{t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x\mathrm{d}\tau\\&=x(t)-x(-\infty)\neq x\end{aligned} $$

这表明“先乘后除”的算子运算(对应先微分后积分)不能相消，而“先除后乘”(先积分后微分)则可以相消。显然，算子乘、除的顺序(微分、积分的先后)不可随意颠倒。

（二） 用算子符号建立微分方程

用算子符号表示微分方程不仅书写简便，而且在建立系统数学模型时也很方便。电感、电容的等效算子符号分别为：

$$ v_{L}(t)=L\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}i_{L}(t)=L p i_{L}(t) $$

对电感

对电容

$$ \upsilon_{C}(t)=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i_{C}(\tau)\mathrm{d}\tau=\frac{1}{C p}i_{C}(t) $$

$ L_{p} $ 和 $ \frac{1}{C_{p}} $ 分别是用算子符号表示的等效电感或等效电容的阻抗值。

现用算子符号来建立图2-17(a)所示系统的微分方程。首先画出包含用算子符号表示的电感和电容电路图，如图2-17(b)所示。

列写电路的回路方程

$$ \left\{\begin{aligned}&\Big(R_{1}+\frac{1}{C\dot{p}}\Big)i\big(t\big)-\frac{1}{C\dot{p}}i_{L}\big(t\big)=e\big(t\big)\\ &-\frac{1}{C\dot{p}}i\big(t\big)+\Big(L\dot{p}+R_{2}+\frac{1}{C\dot{p}}\Big)i_{L}\big(t\big)=0\end{aligned}\right. $$

应用克拉默(Cramer)法则解此方程

$$ \begin{aligned}i\left(t\right)&=\frac{\left|\begin{array}{cc}e\left(t\right)&-\frac{1}{Cp}\\0&Lp+R_{2}+\frac{1}{Cp}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}R_{1}+\frac{1}{Cp}&-\frac{1}{Cp}\\-\frac{1}{Cp}&Lp+R_{2}+\frac{1}{Cp}\end{array}\right|}\\&=\frac{\left(\frac{1}{R_{1}}p+\frac{R_{2}}{R_{1}L}+\frac{1}{R_{1}LCp}\right)e\left(t\right)}{p+\left(\frac{R_{2}}{L}+\frac{1}{R_{1}C}\right)+\left(\frac{1}{LC}+\frac{R_{2}}{R_{1}LC}\right)\frac{1}{p}}\end{aligned} $$

为化解成微分方程表示，分子、分母同乘以 p，这相当于先积分后微分，符合前述规则，因而可以消去 $ \frac{1}{p} $，得

$$ i\left(t\right)=\frac{\left(\frac{1}{R_{1}}p^{2}+\frac{R_{2}}{R_{1}L}p+\frac{1}{R_{1}LC}\right)}{p^{2}+\left(\frac{R_{2}}{L}+\frac{1}{R_{1}C}\right)p+\left(\frac{1}{LC}+\frac{R_{2}}{R_{1}LC}\right)}e\left(t\right) $$

系统的微分方程表示为

$$ \bigg[\dot{p}^{2}+\bigg(\frac{R_{2}}{L}+\frac{1}{R_{1}C}\bigg)\dot{p}+\bigg(\frac{1}{L C}+\frac{R_{2}}{R_{1}L C}\bigg)\bigg]i\big(t\big)=\bigg(\frac{1}{R_{1}}\dot{p}^{2}+\frac{R_{2}}{R_{1}L}\dot{p}+\frac{1}{R_{1}L C}\bigg)e\big(t\big) $$

代入具体元件值有

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}i\left(t\right)+7\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}i\left(t\right)+10i\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}e\left(t\right)+6\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e\left(t\right)+4e\left(t\right) $$

从上例可以看出，用算子符号法建立电路微分方程可以给我们带来方便，但是在列写过程中一定要注意遵守算子运算的基本规则。

（三） 传输算子 $ H(p) $

下面给出借助算子符号表示微分方程的一般形式。对于2.3节的高阶微分方程式 $ (2-9) $可以表示为

$$ \begin{align*}C_{0}p^{n}r\left(t\right)+C_{1}p^{n-1}r\left(t\right)+\cdots+C_{n-1}p r\left(t\right)+C_{n}r\left(t\right)\\=E_{0}p^{m}e\left(t\right)+E_{1}p^{m-1}e\left(t\right)+\cdots+E_{m-1}p e\left(t\right)+E_{m}e\left(t\right)\end{align*} $$

或简化为

$$ \left(C_{0}\dot{p}^{n}+C_{1}\dot{p}^{n-1}+\cdots+C_{n-1}\dot{p}+C_{n}\right)r(t)=\left(E_{0}\dot{p}^{m}+E_{1}\dot{p}^{m-1}+\cdots+E_{m-1}\dot{p}+E_{m}\right)e(t) $$

若进一步令

$$ \left\{\begin{aligned}D(\boldsymbol{p})&=C_{0}\boldsymbol{p}^{n}+C_{1}\boldsymbol{p}^{n-1}+\cdots+C_{n-1}\boldsymbol{p}+C_{n}\\ N(\boldsymbol{p})&=E_{0}\boldsymbol{p}^{m}+E_{1}\boldsymbol{p}^{m-1}+\cdots+E_{m-1}\boldsymbol{p}+E_{m}\end{aligned}\right. $$

分别表示两个算子多项式，则式 $ (2-113) $可以简化为

$$ D(p)[r(t)]=N(p)[e(t)] $$

把响应 $ r(t) $ 与激励 $ e(t) $ 之间关系表示成显式形式

$$ r(t)=\frac{N(p)}{D(p)}e(t) $$

则 $ H(p)=\frac{N(p)}{D(p)} $ 定义为系统传输算子。此传输算子完整地建立了描述系统的数学模型，一些有用的系统特性可以通过对 $ H(p) $ 分析而得出。

不难看出，对于前文图2-17所示电路的分析，根据式(2-109)可以导出其传输算子表达式为

$$ H(p)=\frac{\left(\frac{1}{R_{1}}p^{2}+\frac{R_{2}}{R_{1}L}p+\frac{1}{R_{1}LC}\right)}{\dot{p}^{2}+\left(\frac{R_{2}}{L}+\frac{1}{R_{1}C}\right)\dot{p}+\left(\frac{1}{LC}+\frac{R_{2}}{R_{1}LC}\right)} $$

在时域分析中，算子符号提供了简单易行的辅助分析手段，但本质上仍与经典法分析系统相同。待到第四章我们将要看到拉普拉斯变换法与算子符号法在表达形式上十分相似。拉氏变换法彻底改变了经典法的求解过程，使问题得以简化(见4.2节)。

习题

2-1 对题图2-1所示电路图分别列写求电压 $ v_{0}(t) $ 的微分方程表示。

2-2 题图2-2所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 $ m_{1} $，荷载舱质量为 $ m_{2} $，两者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分别为 $ f_{1} $ 和 $ f_{2} $。求火箭推进力 $ e(t) $ 与荷载舱运动速度 $ v_{2}(t) $ 之间的微分方程表示。

2-3 题图2-3是汽车底盘缓冲装置模型图，汽车底盘的高度 $ z(t)=y(t)+y_{0} $，其中 $ y_{0} $ 是弹簧不受任何力时的位置。缓冲器等效为弹簧与减震器并联组成，刚度系数和阻尼系数分别为 k 和 f。由于路面的凹凸不平[表示为 $ x(t) $ 的起伏]通过缓冲器间接作用到汽车底盘，使汽车震动减弱。求汽车底盘的位移量 $ y(t) $ 和路面不平度 $ x(t) $ 之间的微分方程。

2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的0，状态条件，求系统的零输入响应。

(1) $ \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}r(t)+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t)+2r(t)=0 $

给定： $ r(0_{+})=1, r^{\prime}(0_{+})=2 $

(2) $ \frac{d^{2}}{dt^{2}}r(t)+2\frac{d}{dt}r(t)+r(t)=0 $

给定： $ r(0_{+})=1, r^{\prime}(0_{+})=2 $

(3) $ \frac{\mathrm{d}^{3}}{\mathrm{d}t^{3}}r(t)+2\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}r(t)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t)=0 $

给定： $ r(0_{+})=r'(0_{+})=0,r''(0_{+})=1 $

2－5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下两种情况：

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t)+2r(t)=e(t),r(0_{-})=0,e(t)=u(t) $$

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t)+2r(t)=3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e(t),r(0_{-})=0,e(t)=u(t) $$

试判断在起始点是否发生跳变，据此对(1)、(2)分别写出其 $ r(0_{+}) $值。

2 -6 给定系统微分方程

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}r\left(t\right)+3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r\left(t\right)+2r\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e\left(t\right)+3e\left(t\right) $$

若激励信号和起始状态为

$$ e\left(t\right)=u\left(t\right),r\left(0_{-}\right)=1,r^{\prime}\left(0_{-}\right)=2 $$

试求它的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。

提示：将 $ e(t) $ 代入方程后可见右端最高阶次奇异函数为 $ \delta(t) $，故左端最高阶次也为 $ \delta(t) $，因而， $ r(t) $ 项无跳变，而 $ r'(t) $ 项跳变值应为 1，由此导出 $ r(0_{+}) $ 和 $ r'(0_{+}) $。

2-7 电路如题图2-7所示，t=0 以前开关位于“1”，已进入稳态，t=0 时刻， $ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 同时自“1”转至“2”，求输出电压 $ v_{0}(t) $ 的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各响应分量（E 和 $ I_{S} $ 各为常量）。

2-8 题图2-8 所示电路，t<0 时，开关位于“1”且已达到稳态，t=0 时刻，开关自“1”转至“2”。

(1)试从物理概念判断 $ i(0_{-}) $, $ i'(0_{-}) $ 和 $ i(0_{+}) $, $ i'(0_{+}) $;

(2) 写出 $ t \geqslant 0 $ 时间内描述系统的微分方程表示，求 $ i(t) $ 的完全响应。

2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应 $ h(t) $ 和阶跃响应 $ g(t) $。

(1) $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t)+3r(t)=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e(t) $

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}r(t)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t)+r(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e(t)+e(t) $$

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t)+2r(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}e(t)+3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e(t)+3e(t) $$

2－10 一因果性的 LTI 系统，其输入、输出用下列微分－积分方程表示：

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r(t)+5r(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e(\tau)f(t-\tau)\mathrm{d}\tau-e(t) $$

其中 $ f(t)=\mathrm{e}^{-t}u(t)+3\delta(t) $，求该系统的单位冲激响应 $ h(t) $。

2－11 设系统的微分方程表示为

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}r\left(t\right)+5\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}r\left(t\right)+6r\left(t\right)=\mathrm{e}^{-t}u\left(t\right) $$

求使完全响应为 $ r(t) = Ce^{-t}u(t) $ 时的系统起始状态 $ r(0_{-}) $ 和 $ r'(0_{-}) $，并确定常数 C 值。

2-12 有一系统对激励为 $ e_{1}(t)=u(t) $ 时的完全响应为 $ r_{1}(t)=2e^{-t}u(t) $，对激励为 $ e_{2}(t)=\delta(t) $ 时的完全响应为 $ r_{2}(t)=\delta(t) $。

(1) 求该系统的零输入响应 $ r_{zi}(t) $;

(2)系统的起始状态保持不变，求其对于激励为 $ e_{3}(t)=\mathrm{e}^{-t}u(t) $ 的完全响应 $ r_{3}(t) $

2-13 求下列各函数 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 的卷积 $ f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) $

(1) $ f_{1}(t)=u(t) $, $ f_{2}(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}u(t) $

(2) $ f_{1}(t)=\delta(t) $, $ f_{2}(t)=\cos(\omega t+45^{\circ}) $

(3) $ f_{1}(t)=(1+t)\left[u(t)-u(t-1)\right],f_{2}(t)=u(t-1)-u(t-2) $

(4) $ f_{1}(t)=\cos(\omega t) $, $ f_{2}(t)=\delta(t+1)-\delta(t-1) $

(5) $ f_{1}(t)=\mathrm{e}^{-at}u(t) $, $ f_{2}(t)=(\sin t) $ $ u(t) $

2－14 求下列两组卷积，并注意相互间的区别。

(1) $ f(t)=u(t)-u(t-1) $，求 $ s(t)=f(t)\cdot f(t) $;

(2) $ f(t)=u(t-1)-u(t-2) $，求 $ s(t)=f(t)*f(t) $。

2-15 已知 $ f_{1}(t)=u(t+1)-u(t-1) $, $ f_{2}(t)=\delta(t+5)+\delta(t-5) $, $ f_{3}(t)=\delta\left(t+\frac{1}{2}\right)+\delta\left(t-\frac{1}{2}\right) $, 画出下列各卷积波形。

(1) $ s_{1}(t)=f_{1}(t)\times f_{2}(t) $

(2) $ s_{2}(t)=f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)\cdot f_{2}(t) $

(3) $ s_{3}(t)=\left\{\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]\left[u(t+5)-u(t-5)\right]\mid*f_{2}(t)\right. $

(4) $ s_{4}(t)=f_{1}(t)\cdot f_{3}(t) $

2-16 设 $ r(t)=\mathrm{e}^{-t}u(t)*\sum_{i=0}^{\infty}\delta(t-3k) $，证明 $ r(t)=Ae^{-t},0\leqslant t\leqslant3 $，并求出 A 值。

2-17 已知某一 LTI 系统对输入激励 $ e(t) $ 的零状态响应

$$ r_{z s}(t)=\int_{t-2}^{\infty}\mathrm{e}^{t-\tau}e\left(\tau-1\right)\mathrm{d}\tau $$

求该系统的单位冲激响应。

2-18 某 LTI 系统，输入信号 $ e(t)=2\mathrm{e}^{-3t}u(t-1) $，在该输入下的响应为 $ r(t) $，即 $ r(t)=H[e(t)] $，又已知

$$ H\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e\left(t\right)\right]=-3r\left(t\right)+\mathrm{e}^{-2t}u\left(t\right) $$

求该系统的单位冲激响应 $ h(t) $

(a)

(b)

2-19 对题图2-19所示的各组函数，用图解的方法粗略画出 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 卷积的波形，并计算卷积积分 $ f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) $。

2－20 题图2－20所示系统由几个“子系统”组成，各子系统的冲激响应分别为

$ h_{1}(t)=u(t) $ （积分器）

$ h_{2}(t)=\delta(t-1) $ （单位延时）

$$ h_{3}(t)=-\delta(t)\quad( 倒相器 ) $$

试求总的系统的冲激响应 $ h(t) $

2-21 已知系统的冲激响应 $ h(t)=\mathrm{e}^{-2t}u(t) $

（1）若激励信号为

$$ e\left(t\right)=\mathrm{e}^{-\tau}\left[u\left(t\right)-u\left(t-2\right)\right]+\beta\delta\left(t-2\right) $$

式中 $ \beta $ 为常数，试决定响应 $ r(t) $;

（2）若激励信号表示为

$$ e(t)=x(t)\left[u(t)-u(t-2)\right]+\beta\delta(t-2) $$

式中 $ x(t) $ 为任意 t 函数，若要求系统在 t>2 的响应为零，试确定 $ \beta $ 值应等于多少。

2-22 如果把施加于系统的激励信号 e(t) 按题图 2-22 那样分解为许多阶跃信号的叠加，设阶跃响应为 $ g(t) $， $ e(t) $ 的初始值为 $ e(0_{+}) $，在 $ t_{1} $ 时刻阶跃信号的幅度为 $ \Delta e(t_{1}) $。试写出以阶跃响应的叠加取和而得到的系统响应近似式；证明，当取 $ \Delta t_{1} \to 0 $ 的极限时，响应 r(t) 的表示式为

$$ r\left(t\right)=e\left(0_{+}\right)g\left(t\right)+\int_{0_{+}}^{t}\frac{\mathrm{d}e\left(\tau\right)}{\mathrm{d}\tau}g\left(t-\tau\right)\mathrm{d}\tau $$

[此式称为杜阿美尔积分，参看第一章式(1-63)以及2.7节（一）。]

2-23 若一个LTI系统的冲激响应为 $ h(t) $，激励信号是 $ e(t) $，响应是 $ r(t) $。试证明此系统可以用题图2-23所示的方框图近似模拟。

2-24 若线性系统的响应 $ r(t) $ 分别用以下各算子符号式表达，且系统起始状态为零，写出各问的时域表达式。

(1)

$$ \frac{A}{p+\alpha}\delta(t) $$

(2)

$$ \frac{A}{\left(p+\alpha\right)^{2}}\delta(t) $$

(3)

$$ \frac{A}{(p+\alpha)(p+\beta)}\delta(t) $$

2-25 设 $ H(p) $ 是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明

$$ [H(p)\delta(t)]\mathrm{e}^{-a t}=H(p+\alpha)\delta(t) $$