第三章 傅里叶变换

3.1 引言

从本章开始由时域分析转入变换域分析，在变换域分析中，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析。

傅里叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年。1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier，1768—1830)在研究热传导理论时发表了《热的分析理论》，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。其后，泊松(Poisson)、高斯(Gauss)等人把这一成果应用到电学中去。虽然，在电力工程中，伴随着电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具早已得到广泛的应用。但是，在通信系统中普遍应用这些数学工具还经历了一段过程，因为当时要找到简便而实用的方法来产生、传输、分离和变换各种频率的正弦信号还有一定的困难。直到19世纪末，人们才制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。从此，人们逐渐认识到，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频率域（频域）的分析方法较之经典的时间域（时域）方法有许多突出的优点。当今，傅里叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。

20世纪70年代以来，随着计算机、数字集成电路技术的发展，人们对各种二值正交函数（如沃尔什函数）的研究产生了兴趣，它为通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径和手段。虽然，人们认识到傅里叶分析绝不是信息科学与技术领域中惟一的变换域方法，但也不得不承认，在此领域中，傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，是研究其他变换方法的基础。而且由于计算机技术的普遍应用，在傅里叶分析方法中出现了所谓“快速傅里叶变换”（FFT），它为这一数学工具赋予了新的生命力。目前，快速傅里叶变换的研究与应用已相当成熟，而且仍在不断更新与发展。

傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，而且在力学、

光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛而普遍的应用。

本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时可以利用傅里叶级数，也可利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。在3.9节专门研究周期信号的傅里叶变换。3.9节与3.10节将对比研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，这将有利于从连续时间信号分析逐步过渡到离散时间信号分析。作为傅里叶变换的最重要应用之一，在最后一节介绍抽样定理，这一定理奠定了近代数字通信的理论基础，本章给出初步概念，在第五章将继续讨论有关它的实际应用。

3.2 周期信号的傅里叶级数分析

（一） 三角函数形式的傅里叶级数

由数学分析课程已知，按照傅里叶级数的定义，周期函数 $ f(t) $ 可由三角函数的线性组合来表示，若 $ f(t) $ 的周期为 $ T_{1} $，角频率 $ \omega_{1}=\frac{2\pi}{T_{1}} $，频率 $ f_{1}=\frac{1}{T_{1}} $，傅里叶级数展开表达式为

$$ \begin{aligned}f(t)&=a_{0}+a_{1}\mathrm{cos}(\omega_{1}t)+b_{1}\mathrm{sin}(\omega_{1}t)+a_{2}\mathrm{cos}(2\omega_{1}t)+\\&\quad b_{2}\mathrm{sin}(2\omega_{1}t)+\cdots+a_{n}\mathrm{cos}(n\omega_{1}t)+b_{n}\mathrm{sin}(n\omega_{1}t)+\cdots\\&=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\mathrm{cos}(n\omega_{1}t)+b_{n}\mathrm{sin}(n\omega_{1}t)]\end{aligned} $$

式中 n 为正整数，各次谐波成分的幅度值按以下各式计算：

直流分量

$$ \alpha_{0}=\frac{1}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}}f(t)\mathrm{d}t $$

余弦分量的幅度

$$ \alpha_{n}=\frac{2}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}}f(t)\cos(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t $$

正弦分量的幅度

$$ b_{n}=\frac{2}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}}f(t)\sin(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t $$

其中 n=1,2,\cdots。

为方便起见，通常积分区间 $ t_{0}\sim t_{0}+T $ 取为 $ 0\sim T_{1} $ 或 $ -\frac{T_{1}}{2}\sim+\frac{T_{1}}{2} $

三角函数集是一组完备的正交函数集，关于正交函数集的定义、性质以及进一步的应用将在第六章详细讨论。本章着重研究从傅里叶级数引出信号频谱以及傅里叶变换的概念。

必须指出，并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开。被展开的函数 $ f(t) $需要满足如下的一组充分条件，这组条件称为“狄里赫利(Dirichlet)条件”：

（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；

（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；

（3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 $ \int_{t_{0}}^{t_{0}+t_{1}}|f(t)|dt $ 等于有限值 $ (T_{1} $ 为周期 $ ) $

通常我们遇到的周期性信号都能满足狄里赫利条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。

若将式 $ （3-1） $中同频率项加以合并，可以写成另一种形式

$$ f(t)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\cos(n\omega_{1}t+\varphi_{n}) $$

或

$$ f(t)=d_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}d_{n}\sin(n\omega_{1}t+\theta_{n}) $$

比较式 $ （3-1） $和式 $ （3-5） $，可以看出傅里叶级数中各个量之间有如下关系

$$ \left.\begin{aligned}&a_{0}=c_{0}=d_{0}\\ &c_{n}=d_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\\ &a_{n}=c_{n}\cos\varphi_{n}=d_{n}\sin\theta_{n}\\ &b_{n}=-c_{n}\sin\varphi_{n}=d_{n}\cos\theta_{n}\\ &\tan\theta_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}\\ &\tan\varphi_{n}=-\frac{b_{n}}{a_{n}}\\ &\quad(n=1,2,\cdots)\end{aligned}\right\} $$

式(3-1)表明：任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。这些正弦、余弦分量的频率必定是基频 $ f_{1}(f_{1}=1/T_{1}) $ 的整数倍。通常把频率为 $ f_{1} $ 的分量称为基波，频率为 $ 2f_{1},3f_{1},\cdots $ 的分量分别称为二次谐波、三次谐波、…。显然，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。

从式(3-3)至式(3-6)可以看出，各分量的幅度 $ a_{n} $， $ b_{n} $， $ c_{n} $ 及相位 $ \varphi_{n} $ 都是 $ n\omega_{1} $ 的函数。如果把 $ c_{n} $ 对 $ n\omega_{1} $ 的关系绘成如图3-1那样的线图，便可清楚而直

观看地看出各频率分量的相对大小。这种图称为信号的幅度频谱或简称为幅度谱。图中每条线代表某一频率分量的幅度，称为谱线。连接各谱线顶点的曲线[如图3-1(a)中虚线所示]称为包络线，它反映各分量的幅度变化情况。类似地，还可以画出各分量的相位 $ \varphi_{n} $对频率 $ n\omega_{1} $的线图，这种图称为相位频谱或简称相位谱。幅度谱和相位谱的例子如图3-1所示。周期信号的频谱只会出现在 $ 0,\omega_{1},2\omega_{1},\cdots $离散频率点上，这种频谱称为离散谱，它是周期信号频谱的主要特点。

（二） 指数形式的傅里叶级数

周期信号的傅里叶级数展开也可表示为指数形式，已知

$$ f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\cos(n\omega_{1}t)+b_{n}\sin(n\omega_{1}t)] $$

根据欧拉公式

$$ \cos(n\omega_{1}t)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}) $$

$$ \sin(n\omega_{1}t)=\frac{1}{2\mathrm{j}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}) $$

把上式代入式 $ (3-7) $，得到

$$ f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}-\mathrm{j}b_{n}}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}+\frac{a_{n}+\mathrm{j}b_{n}}{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\right) $$

令

$$ F(n\omega_{1})=\frac{1}{2}(a_{n}-\mathrm{j}b_{n})\quad(n=1,2,\cdots) $$

考虑到 $ a_{n} $ 是 n 的偶函数, $ b_{n} $ 是 n 的奇函数 [见式(3-3)、式(3-4)], 由式(3-9)可知

$$ F(-n\omega_{1})=\frac{1}{2}(a_{n}+\mathrm{j}b_{n}) $$

将上述结果代入式 $ (3-8) $，得到

$$ f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[F(n\omega_{1})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}+F(-n\omega_{1})\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}] $$

令 $ F(0) = a_{0} $，考虑到

$$ \sum_{n=1}^{\infty}F(-n\omega_{1})\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}=\sum_{n=-1}^{-\infty}F(n\omega_{1})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t} $$

得到 $ f(t) $ 的指数形式傅里叶级数，它是

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_{1})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t} $$

若将式(3-3)、式(3-4)代入式(3-9)，就可以得到指数形式傅里叶级数的系数 $ F(n\omega_{1}) $（或简写作 $ F_{n} $），它等于

$$ F_{n}=\frac{1}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t $$

其中 n 为从 $ -\infty $ 到 $ +\infty $ 的整数。

从式(3-6)、式(3-9)可以看出， $ F_{n} $与其他系数有如下关系

$$ \left.\begin{array}{l} F_{0}=c_{0}=d_{0}=a_{0} \\ F_{n}=\mid F_{n}\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{n}}=\frac{1}{2}(a_{n}-\mathrm{j}b_{n}) \\ F_{-n}=\mid F_{-n}\mid\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi_{n}}=\frac{1}{2}(a_{n}+\mathrm{j}b_{n}) \\ \mid F_{n}\mid=\mid F_{-n}\mid=\frac{1}{2}c_{n}=\frac{1}{2}d_{n}=\frac{1}{2}\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} \\ \mid F_{n}\mid+\mid F_{-n}\mid=c_{n} \\ F_{n}+F_{-n}=a_{n} \\ b_{n}=\mathrm{j}(F_{n}-F_{-n}) \\ c_{n}^{2}=d_{n}^{2}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}=4F_{n} F_{-n} \end{array}\right\} $$

同样可以画出指数形式表示的信号频谱。因为 $ F_{n} $ 一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。根据 $ F_{n} = |F_{n}| e^{j\varphi_{n}} $，可以画出复数幅度谱 $ \left|F_{n}\right| - \omega $ 与复数相位谱 $ \varphi_{n} - \omega $，如图 3-2(a)、(b) 所示。然而当 $ F_{n} $ 为实数时，可以用 $ F_{n} $ 的正、负表示 $ \varphi_{n} $ 的 0、 $ \pi $，因此经常把幅度谱与相位谱合画在一张图上，如图 3-2(c) 所示。由上可知，图中每条谱线长度 $ \left|F_{n}\right| = \frac{1}{2} c_{n} $。由于在式 (3-10) 中不仅包括正频率项而且含有负频率项，因此这种频谱相对于纵轴是左右对称的。

比较图3-1和图3-2可以看出这两种频谱表示方法实质上是一样的，其不

同之处仅在于图 3-1 中每条谱线代表一个分量的幅度，而图 3-2 中每个分量的幅度一分为二，在正、负频率相对应的位置上各为一半，所以，只有把正、负频率上对应的这两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。应该指出，在复数频谱中出现的负频率是由于将 $ \sin(n\omega_1t) $， $ \cos(n\omega_1t) $ 写成指数形式时，从数学的观点自然分成 $ e^{j n\omega_1t} $ 以及 $ e^{-j n\omega_1t} $ 两项，因而引入了 $ -j n\omega_1t $ 项。所以，负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义，只有把负频率项与相应的正频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。

下面利用傅里叶级数的有关结论研究周期信号的功率特性。为此，把傅里叶级数表示式(3-1)或式(3-10)的两边平方，并在一个周期内进行积分，再利用三角函数及复指数函数的正交性，可以得到周期信号 $ f(t) $的平均功率P与傅里叶系数有下列关系

$$ \begin{aligned}P&=\overline{f^{2}(t)}=\frac{1}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}}f^{2}(t)\mathrm{d}t\\&=a_{0}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})=c_{0}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}^{2}\\&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_{n}|^{2}\\ \end{aligned} $$

此式表明，周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒。式(3-13)称为帕塞瓦尔定理（或方程），在第六章还要讨论与此式有关的问题。

（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系

在要求把已知信号 $ f(t) $ 展为傅里叶级数的时候，如果 $ f(t) $ 是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整周期对称，例如偶函数和奇函数；另一类是对半周期对称，例如奇谐函数。前者决定级数中只可能含有余弦项或正弦项，后者决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。

下面讨论几种对称条件。

（1） 偶函数

若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足

$$ f(t)=f(-t) $$

此时 $ f(t) $ 是偶函数，图3-3给出示例。

这样，式(3-3)、式(3-4)中的 $ f(t)\cos(n\omega_{1}t) $ 为偶函数，而 $ f(t)\sin(n\omega_{1}t) $ 为奇函数，于是级数中的系数等于

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}a_{n}=\frac{4}{T_{1}}{\int_{0}^{\frac{T_{1}}{2}}}f(\mathbf{\mathit{t}})\cos(\mathbf{\mathit{n}}\omega_{1}\mathbf{\mathit{t}})\mathrm{d}\mathbf{\mathit{t}}}\\ {}&{{}b_{n}=\mathbf{0}}\\ \end{aligned}\right\} $$

由式 $ （3-6） $、式 $ （3-12） $可以得到

$$ \begin{aligned}&c_{n}=d_{n}=a_{n}=2F_{n}\\&F_{n}=F_{-n}=\frac{a_{n}}{2}\\&\varphi_{n}=0\\&\theta_{n}=\frac{\pi}{2}\\ \end{aligned} $$

所以，偶函数的 $ F_{n} $ 为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

例如图3-3所示的周期三角信号是偶函数，它的傅里叶级数如下式

$$ f(t)=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^{2}}\bigg[\cos(\omega_{1}t)+\frac{1}{9}\cos(3\omega_{1}t)+\frac{1}{25}\cos(5\omega_{1}t)+\cdots\bigg] $$

(2) 奇函数

若波形相对于纵坐标是反对称的，即满足

$$ f(t)=-f(-t) $$

此时 $ f(t) $ 是奇函数。图3-4给出示例。

由式 $ （3-3） $、式 $ （3-4） $可以看出级数中的系数等于

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}a_{0}=0,a_{n}=0}\\ {}&{{}b_{n}=\frac{4}{T_{1}}\int_{0}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\sin(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t}\\ \end{aligned}\right\} $$

由式 $ （3-6） $、式 $ （3-12） $可以得到

$$ \begin{aligned}&c_{n}=d_{n}=b_{n}=2\mathrm{j}F_{n}\\&F_{n}=-\ F_{-n}=-\frac{1}{2}\mathrm{j}b_{n}\\&\varphi_{n}=-\frac{\pi}{2}\\&\theta_{n}=0\\ \end{aligned} $$

所以，奇函数的 $ F_{n} $ 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能包含正弦项。虽然在奇函数上加以直流成分，它不再是奇函数，但在它的级数中仍然不会含有余弦项。

例如图3-4所示的周期锯齿信号是奇函数，它的傅里叶级数如下式所示。显然，不包含余弦项，只含有正弦项。

$$ f(t)=\frac{E}{\pi}\bigg[\sin(\omega_{1}t)-\frac{1}{2}\sin(2\omega_{1}t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega_{1}t)\;-\cdots\bigg] $$

(3) 奇谐函数

若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足

$$ f(t)=-f\bigg(t\pm\frac{T_{1}}{2}\bigg) $$

这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数，如图3-5(a)所示。

由图3-5(a)可以明显地看出，直流分量 $ a_{0} $必然等于零。为了说明半波对称对傅里叶系数 $ a_{n} $， $ b_{n} $的影响，图3-5(b)，(c)，(d)，(e)中用虚线分别画出了 $ \cos(\omega_{1}t) $， $ \sin(\omega_{1}t) $， $ \cos(2\omega_{1}t) $及 $ \sin(2\omega_{1}t) $的波形，而图中的实线表示半波对称函数 $ f(t) $。从这几幅图可以定性地看出，式(3-3)和式(3-4)中被积函数 $ f(t)\cos(n\omega_{1}t) $， $ f(t)\sin(n\omega_{1}t) $的形状。显然 $ f(t)\cos(\omega_{1}t) $和 $ f(t)\sin(\omega_{1}t) $积分存在，而 $ f(t)\cos(2\omega_{1}t) $和 $ f(t)\sin(2\omega_{1}t) $积分为零。这样可以得到

$$ \alpha_{1}=\frac{4}{T_{1}}\int_{0}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\cos(\omega_{1}t)\mathrm{d}t $$

$$ b_{1}=\frac{4}{T_{1}}\int_{0}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\mathrm{s i n}(\omega_{1}t)\mathrm{d}t $$

$$ \begin{aligned}a_{2}&=0\\b_{2}&=0\end{aligned} $$

依此类推，可以得到

$$ \begin{aligned}&a_{0}=0\\&a_{n}=b_{n}=0\quad(n 为偶数 )\\&a_{n}=\frac{4}{T_{1}}\int_{0}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\cos(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t\quad(n 为奇数 )\\&b_{n}=\frac{4}{T_{1}}\int_{0}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\sin(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t\quad(n 为奇数 )\\ \end{aligned} $$

可见，在半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不会包含偶次谐波项，这也是“奇谐函数”名称的来由。应该注意，不要把奇函数和奇谐函数相混淆，前者只可能包含正弦项，而后者只可能包含奇次谐波的正弦、余弦项。

为查阅方便，把上述几种函数的对称性与傅里叶系数的关系汇总列于表3-1。

由上可见，当波形满足某种对称关系时，在傅里叶级数中某些项将不出现。熟悉傅里叶级数这种性质后，可以对波形应包含哪些谐波成分迅速作出判断，以便简化傅里叶系数的计算。在允许的情况下，可以移动函数的坐标使波形具有某种对称性，以简化运算。

（四） 傅里叶有限级数与最小方均误差

一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显然，选取有限项级数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项级数愈逼近原函数，也就是说，其方均误差愈小。

已知周期函数 $ f(t) $ 的傅里叶级数为

$$ f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\cos(n\omega_{1}t)+b_{n}\sin(n\omega_{1}t)] $$

若取傅里叶级数的前 $ (2N+1) $项来逼近周期函数 $ f(t) $，则有限项傅里叶级数为

$$ S_{N}(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n}\mathrm{c o s}(n\omega_{1}t)+b_{n}\mathrm{s i n}(n\omega_{1}t)\right] $$

这样用 $ S_{N}(t) $ 逼近 $ f(t) $ 引起的误差函数为

$$ \epsilon_{N}(t)=f(t)-S_{N}(t) $$

方均误差等于

$$ E_{N}=\overline{{\varepsilon_{N}^{2}(t)}}=\frac{1}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}}\varepsilon_{N}^{2}(t)\mathrm{d}t $$

| 函数 $f(t)$ | 波形举例 | 直流分量 $a_0, F_0$ | 余弦分量 $a_n (n \neq 0)$ | 正弦分量 $b_n$ | 复指数分量 $F_n$ |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| 偶函数 $f(t) = f(-t)$ | | $\frac{2}{T_1 \int_0^{\frac{T_1}{2}} f(t) dt}$ | $\frac{4}{T_1 \int_0^{\frac{T_1}{2}} f(t) \cos(n\omega_1 t) dt} \quad (n=1,2,\cdots)$ | 0 | $\frac{a_n}{2}$（实数）$ (n=1,2,\cdots) $ |

| 奇函数 $f(t) = -f(-t)$ | | 0 | 0 | $\frac{4}{T_1 \int_0^{\frac{T_1}{2}} f(t) \sin(n\omega_1 t) dt} \quad (n=1,2,\cdots)$ | $- \mathrm{j} \frac{b_n}{2}$（虚数）$ (n=1,2,\cdots) $ |

| 奇谐函数 $f(t) = -f\left(t \pm \frac{T_1}{2}\right)$ | | 0 | $\frac{4}{T_1 \int_0^{\frac{T_1}{2}} f(t) \cos(n\omega_1 t) dt} \quad (n=1,3,\cdots)$ | $\frac{4}{T_1 \int_0^{\frac{T_1}{2}} f(t) \sin(n\omega_1 t) dt} \quad (n=1,3,\cdots)$ | $\frac{a_n - j b_n}{2}$（复数）$ (n=1,3,\cdots) $ |

| （其中 $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}, f(t)$ 为实函数） | | | | | |

将 $ f(t) $, $ S_{N}(t) $ 所表示的级数代入上式，并利用式(3-13)经化简得到

$$ E_{N}=\overline{\varepsilon_{N}^{2}(t)}=\overline{f^{2}(t)}-\left[a_{0}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\right] $$

下面以图3-6(a)所示的对称方波为例，说明取不同的项数时有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。这样可以比较直观地了解傅里叶级数的含义，并观察到级数中各种频率分量对波形的影响。

由图3-6(a)可见， $ f(t) $既是偶函数，又是奇谐函数。因此，在它的傅里叶级数中只可能含有奇次谐波的余弦项。由式(3-3)可得

$$ a_{n}=\frac{2E}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) $$

于是

$$ f(t)=\frac{2E}{\pi}\bigg[\cos(\omega_{1}t)-\frac{1}{3}\cos(3\omega_{1}t)+\frac{1}{5}\cos(5\omega_{1}t)-\cdots\bigg] $$

图3-6示出对称方波 $ f(t) $ 的傅里叶级数在取有限项时的波形，其中图3-6(b)是只取基波分量一项时的波形，即 $ S_{1}=\frac{2E}{\pi}\cos(\omega_{1}t) $ 的波形；图3-6(c)是取基波和三次谐波两项时的波形，即 $ S_{2}=\frac{2E}{\pi}\left[\cos(\omega_{1}t)-\frac{1}{3}\cos(3\omega_{1}t)\right] $ 的波形；图3-6(d)是取基波、三次和五次谐波这三项时的波形，即 $ S_{3}=\frac{2E}{\pi}\left[\cos(\omega_{1}t)-\frac{1}{3}\cos(3\omega_{1}t)+\frac{1}{5}\cos(5\omega_{1}t)\right] $ 的波形。

用有限级数 $ S_{1}, S_{2}, S_{3} $ 去逼近 $ f(t) $ 所引起的方均误差分别为

$$ \begin{aligned}E_{1}&=\overline{\epsilon_{1}^{2}}=\overline{f^{2}(t)}-\frac{1}{2}\alpha_{1}^{2}\\&=\left(\frac{E}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{2E}{\pi}\right)^{2}\\&\approx0.05E^{2}\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}{E_{3}}&{{}=\overline{{\epsilon_{3}^{2}}}=\overline{{f^{2}(t)}}-\frac{1}{2}(a_{1}^{2}+a_{3}^{2})}\\ {}&{{}=\bigg(\frac{E}{2}\bigg)^{2}-\frac{1}{2}\bigg(\frac{2E}{\pi}\bigg)^{2}-\frac{1}{2}\bigg(\frac{2E}{3\pi}\bigg)^{2}}\\ {}&{{}\approx0.02E^{2}}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}E_{5}&=\overline{\epsilon_{5}^{2}}=\overline{f^{2}(t)}-\frac{1}{2}(a_{1}^{2}+a_{3}^{2}+a_{5}^{2})\\&=\left(\frac{E}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{2E}{\pi}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{2E}{3\pi}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{2E}{5\pi}\right)^{2}\\&\approx0.015E^{2}\\ \end{aligned} $$

从图3-6可以看出：(1)傅里叶级数所取项数 $ n(n=N) $愈多，相加后波形愈逼近原信号 $ f(t) $，两者的方均误差愈小。显然，当 $ N\to\infty $， $ S_{N} $波形必然等于 $ f(t) $；(2)当信号 $ f(t) $是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部。所以， $ f(t) $波形变化愈剧烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰富；(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。

从图3-6还可以看出这样一种现象：当选取傅里叶有限级数的项数愈多，

在所合成的波形 $ S_{N} $ 中出现的峰起愈靠近 $ f(t) $ 的不连续点。在第五章中将会证明，当所选取的项数 N 很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的 9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象通常称为吉布斯 (Gibbs) 现象。在图 3-7 中画出了矩形波和锯齿波所呈现的吉布斯现象。

3.3 典型周期信号的傅里叶级数

周期信号的频谱分析可利用傅里叶级数，也可借助傅里叶变换。本节以傅里叶级数展开形式研究典型周期信号的频谱，第3.9节利用傅里叶变换研究周期信号频谱。

（一） 周期矩形脉冲信号

设周期矩形脉冲信号 $ f(t) $ 的脉冲宽度为 $ \tau $，脉冲幅度为 E，重复周期为 $ T_{1} $ （显然，角频率 $ \omega_{1}=2\pi f_{1}=2\pi/T_{1} $），如图 3-8 所示。

此信号在一个周期内 $ \left(-\frac{T_{1}}{2}\leqslant t\leqslant\frac{T_{1}}{2}\right) $的表示式为

$$ f(t)=E\left[u\left(t+\frac{\tau}{2}\right)-u\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\right] $$

利用式 $ （3-1} $，可以把周期矩形信号 $ f(t) $展成三角形式傅里叶级数

$$ f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\cos(n\omega_{1}t)+b_{n}\sin(n\omega_{1}t)] $$

根据式 $ （3-3） $、式 $ （3-4） $可以求出各系数，其中直流分量

$$ \alpha_{0}=\frac{1}{T_{1}}\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{T_{1}}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}E\mathrm{d}t=\frac{E\tau}{T_{1}} $$

余弦分量的幅度为

$$ \begin{aligned}a_{n}&=\frac{2}{T_{1}}\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\cos(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t\\&=\frac{2}{T_{1}}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}E\cos\left(n\ \frac{2\pi}{T_{1}}t\right)\mathrm{d}t\\&=\frac{2E}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi\tau}{T_{1}}\right)\\ \end{aligned} $$

或写作

$$ \begin{aligned}a_{n}&=\frac{2E\tau}{T_{1}}\mathrm{Sa}\biggl(\frac{n\pi\tau}{T_{1}}\biggr)\\&=\frac{E\tau\omega_{1}}{\pi}\mathrm{Sa}\biggl(\frac{n\omega_{1}\tau}{2}\biggr)\end{aligned} $$

其中 Sa 为抽样函数，它等于

$$ \mathrm{S a}\left(\frac{n\pi\tau}{T_{1}}\right)=\frac{\sin\left(\frac{n\pi\tau}{T_{1}}\right)}{\frac{n\pi\tau}{T_{1}}} $$

由于 $ f(t) $ 是偶函数，由式(3-4)可知

$$ b_{n}=0 $$

这样，周期矩形信号的三角形式傅里叶级数为

$$ f(t)=\frac{E\tau}{T_{1}}+\frac{2E\tau}{T_{1}}\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_{1}}\right)\cos(n\omega_{1}t) $$

或

$$ f(t)=\frac{E\tau}{T_{1}}+\frac{E\tau\omega_{1}}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_{1}\tau}{2}\right)\cos(n\omega_{1}t) $$

若将 $ f(t) $ 展开指数形式的傅里叶级数，由式(3-11)可得

$$ \begin{aligned}F_{n}&=\frac{1}{T_{1}}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}E\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t\\&=\frac{E\tau}{T_{1}}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_{1}\tau}{2}\right)\end{aligned} $$

所以

$$ \begin{aligned}{f(t)}&{{}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}}\\ {}&{{}=\frac{E\tau}{T_{1}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\operatorname{S a}\biggl(\frac{n\omega_{1}\tau}{2}\biggr)\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}}\\ \end{aligned} $$

对式(3-19)而言，若给定 $ \tau $， $ T_{1} $（或 $ \omega_{1} $），E 就可以求出直流分量、基波与各次谐波分量的幅度，它们等于

$$ c_{n}=a_{n}=\frac{2E\tau}{T_{1}}\mathrm{S a}\left(\frac{n\pi\tau}{T_{1}}\right) $$

$$ c_{0}=a_{0}=\frac{E\tau}{T_{1}} $$

图3-9(a)和(b)分别示出幅度谱 $ \left|c_{n}\right| $和相位谱 $ \varphi_{n} $的图形，考虑到这里 $ c_{n} $是实数，因此一般把幅度谱 $ c_{n} $、相位谱 $ \varphi_{n} $合画在一幅图上，如图3-9(c)所示，同样，也可画出复数频谱 $ F_{n} $，如图3-9(d)所示。

从以上分析可以看出：

（1）周期矩形脉冲如同一般的周期信号那样，它的频谱是离散的，两谱线的间隔为 $ \omega_{1}(=2\pi/T_{1}) $，当脉冲重复周期愈大，谱线愈靠近。

(2) 直流分量、基波及各谐波分量的大小正比于脉幅 E 和脉宽 $ \tau $，反比于周期 $ T_{1} $。各谱线的幅度按 $ \mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_{1}}\right) $ 包络线的规律而变化。譬如，n=1 时，基波幅度为 $ \frac{2E}{\pi}\sin\left(\frac{\pi\tau}{T_{1}}\right) $；n=2 时，二次谐波的幅度为 $ \frac{E}{\pi}\sin\left(\frac{2\pi\tau}{T_{1}}\right) $。当 $ \omega=\frac{2m\pi}{\tau}(m=1,2,\cdots) $ 时，谱线的包络线经过零点。当 $ \omega $ 位于 0,2.86 $ \frac{\pi}{\tau}\left(\approx3\frac{\pi}{\tau}\right) $，4.92 $ \frac{\pi}{\tau}\left(\approx5\frac{\pi}{\tau}\right) $， $ \cdots $ 时，谱线的包络线为极值，极值的大小分别为 $ \frac{2E\tau}{T_{1}} $ 及 -0.217 $ \times\left(\frac{2E\tau}{T_{1}}\right) $，0.128 $ \left(\frac{2E\tau}{T_{1}}\right) $， $ \cdots $，如图 3-10 所示。

（3）周期矩形信号包含无穷多条谱线，也就是说它可以分解成无穷多个频率分量。但其主要能量集中在第一个零点以内，实际上，在允许一定失真的条件下，可以要求一个通信系统只把 $ \omega \leq \frac{2\pi}{\tau} $ 频率范围内的各个频谱分量传送过去，而舍弃 $ \omega > \frac{2\pi}{\tau} $ 的分量。这样，常常把 $ \omega = 0 \sim \frac{2\pi}{\tau} $ 这段频率范围称为矩形信号的频带宽度，记作 B，于是

$$ B_{\omega}=\frac{2\pi}{\tau} $$

或

$$ B_{f}=\frac{1}{\tau} $$

显然，频带宽度 B 只与脉宽 $ \tau $ 有关，而且成反比关系。

为了说明在不同脉宽 $ \tau $ 和不同周期 $ T_{1} $ 的情况下周期矩形信号频谱的变化规

律，图3-11画出了当 $ \tau $保持不变，而 $ T_{1}=5\tau $和 $ T_{1}=10\tau $两种情况时的频谱；图3-12画出了当 $ T_{1} $保持不变，而 $ \tau=\frac{T_{1}}{5} $与 $ \tau=\frac{T_{1}}{10} $两种情况时的频谱。

$$ T_{1}=5\tau $$

上一节图3-6所讨论的对称方波信号是矩形信号的一种特殊情况，两者相比较，对称方波信号有两个特点：

（1）它是正负交替的信号，其直流分量 $ (a_{0}) $等于零。

（2）它的脉宽恰等于周期的一半，即 $ \tau=\frac{T_{1}}{2} $

这样，由周期矩形信号的傅里叶级数式(3-19)可以直接得到对称方波的傅里叶级数，它是

$$ \begin{align*}f(t)&=\frac{2E}{\pi}\bigg[\cos(\omega_{1}t)-\frac{1}{3}\cos(3\omega_{1}t)+\frac{1}{5}\cos(5\omega_{1}t)-\cdots\bigg]\\&=\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\bigg(\frac{n\pi}{2}\bigg)\cos(n\omega_{1}t)\end{align*} $$

或者写作

$$ \tau=\frac{T_{1}}{5} $$

$$ f(t)=\frac{2E}{\pi}\bigg[\cos(\omega_{1}t)+\frac{1}{3}\cos(3\omega_{1}t+\pi)+\frac{1}{5}\cos(5\omega_{1}t)+\cdots\bigg] $$

其波形与频谱如图3-13所示。

由于对称方波的偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波。上一节已经指出，该信号既是偶函数，同时又是奇谐函数，因此在它的频谱中只会包含基波和奇次谐波的余弦分量。

由式(3-19)、式(3-21)还可以看到，在周期矩形信号及对称方波信号的频谱中，谐波的幅度以 $ \frac{1}{n} $规律收敛。

（二） 周期锯齿脉冲信号

周期锯齿脉冲信号如图3-14所示。显然它是奇函数，因而 $ a_{n}=0 $，并由式(3-4)可以求出傅里叶级数的系数 $ b_{n} $。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数为

$$ \begin{align*}f(t)=&\frac{E}{\pi}\bigg[\sin(\omega_{1}t)-\frac{1}{2}\sin(2\omega_{1}t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega_{1}t)-\frac{1}{4}\sin(4\omega_{1}t)+\cdots\bigg]\\=&\frac{E}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\sin(n\omega_{1}t)\tag{3-}\end{align*} $$

周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以 $ \frac{1}{n} $的规律收敛。

（三） 周期三角脉冲信号

周期三角脉冲信号如图3-15所示。显然它是偶函数，因而 $ b_{n}=0 $，由式(3-2)、式(3-3)可以求出傅里叶级数的系数 $ a_{0},a_{n} $。这样，便可得到该信号的傅里叶级数

$$ f(t)=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^{2}}\left[\cos(\omega_{1}t)+\frac{1}{3^{2}}\cos(3\omega_{1}t)+\frac{1}{5^{2}}\cos(5\omega_{1}t)+\cdots\right] $$

$$ =\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\sin^{2}\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_{1}t) $$

周期三角脉冲的频谱只包含直流、基波及奇次谐波频率分量，谐波的幅度以 $ \frac{1}{n^{2}} $的规律收敛。

（四） 周期半波余弦信号

周期半波余弦信号如图3-16所示。显然它是偶函数，因而 $ b_{n}=0 $，由式(3-2)、式(3-3)可以求出傅里叶级数的系数 $ a_{0},a_{n} $。这样便可得到该信号的傅里叶级数

$$ \begin{align*}f(t)&=\frac{E}{\pi}+\frac{E}{2}\bigg[\cos(\omega_{1}t)+\frac{4}{3\pi}\cos(2\omega_{1}t)-\frac{4}{15\pi}\cos(4\omega_{1}t)+\cdots\bigg]\\&=\frac{E}{\pi}-\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n^{2}-1)}\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}\bigg)\cos(n\omega_{1}t)\end{align*} $$

其中

$$ \omega_{1}=\frac{2\pi}{T_{1}} $$

周期半波余弦信号的频谱只含有直流、基波和偶次谐波频率分量。谐波的幅度以 $ \frac{1}{n^{2}} $ 规律收敛。

（五） 周期全波余弦信号

令余弦信号为

$$ f_{1}(t)=E\cos(\omega_{0}t) $$

其中

$$ \omega_{0}=\frac{2\pi}{T_{0}} $$

此时，全波余弦信号 $ f(t) $ 为

$$ f(t)=\mid f_{1}(t)\mid=E\mid\cos(\omega_{0}t)\mid $$

由图3-17可见， $ f(t) $的周期T是 $ f_{1}(t) $的一半，即 $ T_{1}=T=\frac{T_{0}}{2} $，而频率 $ \omega_{1}=\frac{2\pi}{T_{1}}=2\omega_{0} $。因为 $ f(t) $是偶函数，所以 $ b_{n}=0 $。由式(3-2)、式(3-3)可以求出傅里叶级数的系数 $ a_{0},a_{n} $。这样便可得到周期全波余弦信号的傅里叶级数

$$ f(t)=\frac{2E}{\pi}+\frac{4E}{3\pi}\mathrm{c o s}(\omega_{1}t)-\frac{4E}{15\pi}\mathrm{c o s}(2\omega_{1}t)+\frac{4E}{35\pi}\mathrm{c o s}(3\omega_{1}t)-\cdots. $$

$$ \begin{align*}&=\frac{2E}{\pi}+\frac{4E}{\pi}\left[\frac{1}{3}\cos(2\omega_{0}t)-\frac{1}{15}\cos(4\omega_{0}t)+\frac{1}{35}\cos(6\omega_{0}t)-\cdots\right]\\&=\frac{2E}{\pi}+\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{(4n^{2}-1)}\cos(2n\omega_{0}t)\tag{1}\end{align*} $$

可见，周期全波余弦信号的频谱包含直流分量及 $ \omega_{1} $ 的基波和各次谐波分量，或者说，只包含直流分量及 $ \omega_{0} $ 的偶次谐波分量。谐波的幅度以 $ \frac{1}{n^{2}} $ 规律收敛。

一些常用周期信号的傅里叶级数列于附录二的表格中。

3.4 傅里叶变换

在前两节已经讨论了周期信号的傅里叶级数，并得到了它的离散频谱。本节把上述傅里叶分析方法推广到非周期信号中去，导出傅里叶变换。

仍以周期矩形信号为例，由图3-18可见，当周期 $ T_{1} $无限增大时，则周期信号就转化为非周期性的单脉冲信号。所以可以把非周期信号看成是周期 $ T_{1} $趋于无限大的周期信号。上一节已经指出，当周期信号的周期 $ T_{1} $增大时，谱线的间隔 $ \omega_{1}\left(=\frac{2\pi}{T_{1}}\right) $变小，若周期 $ T_{1} $趋于无限大，则谱线的间隔趋于无限小，这样，离散频谱就变成连续频谱了。同时，由式(3-11)可知，由于周期 $ T_{1} $趋于无限大，谱线的长度 $ F(n\omega_{1}) $趋于零。这就是说，按3.2节所表示的频谱将化为乌有，失去应有的意义。但是，从物理概念上考虑，既然成为一个信号，必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其所含能量是不变的。所以不管周期增大到什么程度，频谱的分布依然存在。或者从数学角度看，在极限情况下，无限多的无穷小量之和，仍可等于一有限值，此有限值的大小取决于信号的能量。

基于上述原因，对非周期信号不能再采用3.2节那种频谱的表示方法，而必须引入一个新的量——称为“频谱密度函数”。下面由周期信号的傅里叶级数推导出傅里叶变换，并说明频谱密度函数的意义。

设有一周期信号 $ f(t) $ 及其复数频谱 $ F(n\omega_{1}) $ 如图 3-18 所示，将 $ f(t) $ 展成

指数形式的傅里叶级数，它是

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_{1})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t} $$

其频谱

$$ F(n\omega_{1})=\frac{1}{T_{1}}\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t $$

两边乘以 $ T_{1} $，得到

$$ F(n\omega_{1})T_{1}=\frac{2\pi F(n\omega_{1})}{\omega_{1}}=\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t $$

对于非周期信号，重复周期 $ T_{1}\rightarrow\infty $，重复频率 $ \omega_{1}\rightarrow0 $，谱线间隔 $ \Delta(n\omega_{1})\rightarrow\mathrm{d}\omega $，而离散频率 $ n\omega_{1} $ 变成连续频率 $ \omega $。在这种极限情况下， $ F(n\omega_{1})\rightarrow0 $，但量 $ 2\pi\frac{F(n\omega_{1})}{\omega_{1}} $ 可望不趋于零，而趋近于有限值，且变成一个连续函数，通常记作 $ F(\omega) $ 或 $ F(j\omega) $，即

$$ F(\omega)=\lim_{\omega_{1}\to0}\frac{2\pi F(n\omega_{1})}{\omega_{1}}=\lim_{T_{1}\to\infty}F(n\omega_{1})T_{1} $$

在此式中 $ \frac{F(n\omega_{1})}{\omega_{1}} $ 表示单位频带的频谱值——即频谱密度的概念。因此 $ F(\omega) $ 称为原函数 $ f(t) $ 的频谱密度函数，或简称为频谱函数。若以 $ \frac{F(n\omega_{1})}{\omega_{1}} $ 的幅度为高，以间隔 $ \omega_{1} $ 为宽画一个小矩形 [如图 3-18(c) 所示]，则该小矩形的面积等于 $ \omega = n\omega_{1} $ 频率处的频谱值 $ F(n\omega_{1}) $。

这样，式 $ （3-27） $在非周期信号的情况下将变成

$$ F(\omega)=\lim_{T_{1}\to\infty}\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t $$

即

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

同样，傅里叶级数

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_{1})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t} $$

考虑到谱线间隔 $ \Delta(n\omega_{1})=\omega_{1} $，上式可改写为

$$ f(t)=\sum_{n\omega_{1}=-\infty}^{\infty}\frac{F(n\omega_{1})}{\omega_{1}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}\Delta(n\omega_{1}) $$

在前述极限的情况下，上式中各量应作如下改变

$$ \begin{aligned}n\omega_{1}&\rightarrow\omega\\\Delta(n\omega_{1})&\rightarrow\mathrm{d}\omega\\\frac{F(n\omega_{1})}{\omega_{1}}&\rightarrow\frac{F(\omega)}{2\pi}\\\sum_{n\omega_{1}=-\infty}^{\infty}&\rightarrow\int_{-\infty}^{\infty}\end{aligned} $$

于是，傅里叶级数变成积分形式，它等于

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

式 $ (3-29) $、式 $ (3-30) $是用周期信号的傅里叶级数通过极限的方法导出的非周期信号频谱的表示式，称为傅里叶变换。通常式 $ (3-29) $称为傅里叶正变换，式 $ (3-30) $称为傅里叶逆变换。为书写方便，习惯上采用如下符号：

傅里叶正变换

$$ F(\omega)=\mathcal{F}\left[f(t)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

傅里叶逆变换

$$ f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

式中 $ F(\omega) $ 是 $ f(t) $ 的频谱函数，它一般是复函数，可以写作

$$ F(\omega)=\mid F(\omega)\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $$

其中 $ \left|F(\omega)\right| $是 $ F(\omega) $的模，它代表信号中各频率分量的相对大小。 $ \varphi(\omega) $是 $ F(\omega) $的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系。为了与周期信号的频谱相一致，在这里人们习惯上也把 $ \left|F(\omega)\right|-\omega $与 $ \varphi(\omega)-\omega $曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱。由图3-18可以看出，它们都是频率 $ \omega $的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。

与周期信号相类似，也可以将式 $ （3-30） $改写为三角函数形式，即

$$ \begin{align*}f(t)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}[\omega t+\varphi(\omega^{\prime})]}\mathrm{d}\omega\\=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid\cos[\omega t+\varphi(\omega)]\mathrm{d}\omega+\\&\frac{\mathrm{j}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid\sin[\omega t+\varphi(\omega)]\mathrm{d}\omega\end{align*} $$

若 $ f(t) $ 是实函数，由式(3-29)可知 $ \left|F\left(\omega\right)\right| $ 和 $ \varphi\left(\omega\right) $ 分别是频率 $ \omega $ 的偶函数与奇函数。这样，上式化简为

$$ \begin{align*}f(t)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid\cos[\omega t+\varphi(\omega)]\mathrm{d}\omega\\=&\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\mid F(\omega)\mid\cos[\omega t+\varphi(\omega)]\mathrm{d}\omega\end{align*} $$

可见，非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。所不同的是，由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。同时，由于周期趋于无限大，因此，对任一能量有限的信号（如单脉冲信号），在各频率点的分量幅度 $ \frac{|F(\omega)|d\omega}{\pi} $趋于无限小。所以频谱不能再用幅度表示，而改用密度函数来表示。

在上面的讨论中，利用周期信号取极限变成非周期信号的方法，由周期信号的傅里叶级数导出傅里叶变换，从离散谱演变为连续谱。在3.9节和3.10节将要看到，这一过程还可以反过来进行，亦即由非周期信号演变成周期信号，从连续谱引出离散谱。这表明周期信号与非周期信号，傅里叶级数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。

必须指出，在前面推导傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。从理论上讲，傅里叶变换也应该满足一定的条件才能存在。这种条件类似于傅里叶级数的狄里赫利条件，不同之处仅仅在于时间范围由一个周期变成无限的区间。傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内满足绝对可积条件，即要求

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\mid f(t)\mid\mathrm{d}t<\infty $$

必须指出，借助奇异函数（如冲激函数）的概念，可使许多不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号、符号函数等存在傅里叶变换，在3.5节、3.6节和3.9节详细讨论这一问题。

3.5 典型非周期信号的傅里叶变换

本节利用傅里叶变换求几种典型非周期信号的频谱。

（一） 单边指数信号

已知单边指数信号的表示式为

$$ f(t)=\left\{\begin{array}{l l}{\mathrm{e}^{-a t}\quad}&{(\iota\underset{}{t}{\geqslant}0)}\\ {0}&{(t<0)}\end{array}\right. $$

其中 a 为正实数。

因

$$ \begin{aligned}{F(\omega)=}&{{}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t}\\ {=}&{{}\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-a t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t}\\ {=}&{{}\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-(a+\mathrm{j}\omega)t}\mathrm{d}t}\\ \end{aligned} $$

得

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}F(\omega)=\frac{1}{a+\mathrm{j}\omega}}\\ {}&{{}\left|F(\omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+\omega^{2}}}}\\ {}&{{}\varphi(\omega)=-\operatorname{a r c t a n}\left(\frac{\omega}{a}\right)}\\ \end{aligned}\right\} $$

单边指数信号的波形 $ f(t) $、幅度谱 $ \left|F(\omega)\right| $ 和相位谱 $ \varphi(\omega) $ 如图 3-19 所示。

（二） 双边指数信号

已知双边指数信号的表示式为

$$ f(t)=\mathrm{e}^{-a\mid t\mid}\quad(-\infty

其中 a 为正实数。

因

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-a\mid t\mid}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

得

$$ \begin{aligned}&F(\omega)=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}\\ &\left|F(\omega)\right|=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}\\ &\varphi(\omega)=0\\ \end{aligned} $$

双边指数信号的波形 $ f(t) $、幅度谱 $ \left|F(\omega)\right| $ 如图 3-20 所示。

（三） 矩形脉冲信号

已知矩形脉冲信号的表示式为

$$ f(t)=E\left[u\left(t+\frac{\tau}{2}\right)-u\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\right] $$

其中 E 为脉冲幅度， $ \tau $ 为脉冲宽度。

因

$$ \begin{align*}F\big(\omega\big)=&\int_{-\infty}^{\infty}f\big(t\big)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\=&\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}E\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\end{align*} $$

得

$$ \begin{aligned}F(\omega)&=\frac{2E}{\omega}\mathrm{s i n}\biggl(\frac{\omega\tau}{2}\biggr)\\&=E\tau\left[\frac{\mathrm{s i n}\biggl(\frac{\omega\tau}{2}\biggr)}{\frac{\omega\tau}{2}}\right]\end{aligned} $$

因为

$$ \frac{\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}{\frac{\omega\tau}{2}}=\mathrm{Sa}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $$

所以

$$ F(\omega)=E\tau\cdot\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $$

这样，矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱分别为

$$ |F(\omega)|=\mathrm{E}\tau\left|\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)\right| $$

$$ \begin{aligned}{\varphi\left(\omega\right)=\left\{\begin{array}{l l}{0}&{\quad\left[\frac{4n\pi}{\tau}<\mid\omega\mid<\frac{2(2n+1)\pi}{\tau}\right]}\\ {\pi}&{\quad\left[\frac{2(2n+1)\pi}{\tau}<\mid\omega\mid<\frac{4(n+1)\pi}{\tau}\right]}\\ {}&{\quad(n=0,1,2,\cdots)}\\ \end{array}\right.}\\ \end{aligned} $$

因为 $ F(\omega) $ 在这里是实函数，通常用一条 $ F(\omega) $ 曲线同时表示幅度谱 $ \left|F(\omega)\right| $ 和相位谱 $ \varphi(\omega) $，如图 3-21 所示。

由上可见，虽然矩形脉冲信号在时域集中于有限的范围内，然而它的频谱却以 $ \mathrm{Sa}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $ 的规律变化，分布在无限宽的频率范围上，但是其主要的信号能量处于 $ f=0\sim\frac{1}{\tau} $ 范围。因而，通常认为这种信号占有频率范围（频带）B 近似为 $ \frac{1}{\tau} $，即

$$ B\approx\frac{1}{\tau} $$

（四）钟形脉冲信号

钟形脉冲亦即高斯脉冲，它的表示式为

$$ f(t)=E\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\tau}\right)^{2}}\quad(-\infty

因

$$ \begin{aligned}F(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=\int_{-\infty}^{\infty}E\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\tau}\right)^{2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=E\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\tau}\right)^{2}}[\cos(\omega t)-\mathrm{j}\sin(\omega t)]\mathrm{d}t\\&=2E\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\tau}\right)^{2}}\cos(\omega t)\mathrm{d}t\\ \end{aligned} $$

积分后可得

$$ F(\omega)=\sqrt{\pi}E\tau\cdot\mathrm{e}^{-\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)^{2}} $$

它是一个正实函数，所以钟形脉冲信号的相位谱为零。图3-22画出了该信号的波形和频谱。

钟形脉冲信号的波形和频谱具有相同的形状，均为钟形。

（五）符号函数

符号函数(或称正负号函数)以符号 sgn 记，其表示式为

$$ f(t)=\operatorname{sgn}(t)=\left\{\begin{aligned}&+1&\quad(t>0)\\ &0&\quad(t=0)\\ &-1&\quad(t<0)\end{aligned}\right. $$

显然，这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。可以借助于符号函数与双边指数衰减函数相乘，先求得此乘积信号 $ f_{1}(t) $的频谱，然后取极限，从而得出符号函数 $ f(t) $的频谱。

下面先求乘积信号 $ f_{1}(t) $ 的频谱 $ F_{1}(\omega) $

因为

$$ F_{1}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

$$ F_{1}(\omega)=\int_{-\infty}^{0}(-e^{at})e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-at}\cdot e^{-j\omega t}dt $$

其中a>0。

积分并化简，可得

$$ \begin{aligned}&F_{1}(\omega)=\frac{-2\mathrm{j}\omega}{a^{2}+\omega^{2}}\\ &\left|F_{1}(\omega)\right|=\frac{2\mid\omega\mid}{a^{2}+\omega^{2}}\\ &\varphi_{1}(\omega)=\left\{\begin{aligned}&+\frac{\pi}{2}&(\omega<0)\\&-\frac{\pi}{2}&(\omega>0)\end{aligned}\right\}\\ \end{aligned} $$

其波形和幅度谱如图3-23所示。

符号函数 $ \mathrm{sgn}(t) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 为

$$ \begin{aligned}F(\omega)&=\lim_{a\rightarrow0}F_{1}(\omega)\\&=\lim_{a\rightarrow0}\left(\frac{-2\mathrm{j}\omega}{a^{2}+\omega^{2}}\right)\end{aligned} $$

所以

$$ \begin{aligned}&F(\omega)=\frac{2}{\mathrm{j}\omega}\\ &\left|F(\omega)\right|=\frac{2}{\left|\omega\right|}\\ &\varphi(\omega)=\left\{\begin{aligned}&-\frac{\pi}{2}&\left(\omega>0\right)\\ &+\frac{\pi}{2}&\left(\omega<0\right)\end{aligned}\right\}\\ \end{aligned} $$

其波形和频谱如图3-24所示。

（六）升余弦脉冲信号

升余弦脉冲信号的表示式为

$$ f(t)=\frac{E}{2}\Big[1+\cos\left(\frac{\pi t}{\tau}\right)\Big]\qquad(0\leqslant|t|\leqslant\tau) $$

其波形如图3-25所示。

因为

$$ \begin{aligned}F(\omega)=&\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\ =&\int_{-\tau}^{\tau}\frac{E}{2}\Big[1+\cos\Big(\frac{\pi t}{\tau}\Big)\Big]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\ =&\frac{E}{2}\int_{-\tau}^{\tau}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t+\frac{E}{4}\int_{-\tau}^{\tau}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{\pi t}{\tau}}\bullet\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t+\\ &\frac{E}{4}\int_{-\tau}^{\tau}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\pi t}{\tau}}\bullet\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\ =&E\tau\mathrm{Sa}(\omega\tau)+\frac{E\tau}{2}\mathrm{Sa}\Big[\bigg(\omega-\frac{\pi}{\tau}\bigg)\tau\Big]+\\ &\frac{E\tau}{2}\mathrm{Sa}\Big[\bigg(\omega+\frac{\pi}{\tau}\bigg)\tau\Big]\end{aligned} $$

显然 $ F(\omega) $ 是由三项构成，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了 $ \omega = \frac{\pi}{\tau} $。把上式化简，则可以得到

$$ F(\omega)=\frac{E\sin(\omega\tau)}{\omega\left[1-\left(\frac{\omega\tau}{\pi}\right)^{2}\right]}=\frac{E\tau\mathrm{Sa}(\omega\tau)}{1-\left(\frac{\omega\tau}{\pi}\right)^{2}} $$

其频谱如图3-26所示。

由上可见，升余弦脉冲信号的频谱比矩形脉冲的频谱更加集中。对于半幅度宽度为 $ \tau $ 的升余弦脉冲信号，它的绝大部分能量集中在 $ \omega = 0 \sim \frac{2\pi}{\tau} $（即 $ f = 0 \sim \frac{1}{\tau} $）范围内。

3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

通过前章讨论，我们已经认识到奇异函数在信号与系统的时域分析中所起的重要作用，这涉及冲激响应、阶跃响应及卷积等许多基本概念。在变换域分析中，奇异函数仍然扮演着重要角色，要了解它们的种种巧妙应用，首先需要研究冲激函数与阶跃函数的傅里叶变换。

（一） 冲激函数的傅里叶变换

（1）冲激函数的傅里叶变换

单位冲激函数 $ \delta(t) $ 的傅里叶变换 $ F(\omega) $ 是

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

由冲激函数的抽样性质可知上式右边的积分是1，所以

$$ F\left(\omega\right)=\mathcal{F}\left[\delta\left(t\right)\right]=1 $$

上述结果也可由矩形脉冲取极限得到，当脉宽 $ \tau $ 逐渐变窄时，其频谱必然展宽。可以想象，若 $ \tau \to 0 $，而 $ E\tau = 1 $，这时矩形脉冲就变成了 $ \delta(t) $，其相应频谱

$ F(\omega) $ 必等于常数 1。

可见，单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀分布的。显然，在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱”或“白色谱”，如图3-27所示。

(2) 冲激函数的傅里叶逆变换

前文已述，冲激函数的频谱等于常数，反过来，怎样的函数其频谱为冲激函数呢？也就是需要求 $ \delta(\omega) $ 的傅里叶逆变换。由逆变换定义容易求得

$$ \mathcal{F}^{-1}\left[\delta(\omega)\right]=\frac{1}{2\pi} $$

此结果表明，直流信号的傅里叶变换是冲激函数。

这一结果也可由宽度为 $ \tau $ 的矩形脉冲取 $ \tau \rightarrow \infty $ 的极限而求得，参看图3-28 来推证此结论。

当 $ \tau \rightarrow \infty $ 时，矩形脉冲成为直流信号 E，此时有

$$ \mathcal{F}\left[E\right]=\lim_{\tau\to\infty}E\tau\cdot\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $$

由第一章冲激函数的定义可知

$$ \delta(\omega)=\lim_{k\to\infty}\frac{k}{\pi}\mathrm{S a}(k\omega) $$

若令 $ k = \frac{\tau}{2} $，比较上两式则可以得到

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}\left(E\right)=2\pi E\delta\left(\omega\right)\\&\mathcal{F}\left(1\right)=2\pi\delta\left(\omega\right)\\ \end{aligned} $$

可见，直流信号的傅里叶变换是位于 $ \omega=0 $ 的冲激函数。

（二） 冲激偶的傅里叶变换

因为

$$ \begin{aligned}\mathcal{F}\left[\delta(t)\right]&=1\\\delta(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\end{aligned} $$

将上式两边求导

$$ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[\delta\big(t\big)\big]&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\big(\mathrm{j}\omega\big)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\\ &\mathcal{F}\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta\big(t\big)\right]=\mathrm{j}\omega\end{aligned} $$

得

同理可得

$$ \left.\begin{array}{l}{\displaystyle\mathcal{F}\left[\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}}\delta(t)\right]=(\mathrm{j}\omega)^{n}}\\ {\displaystyle\left.\mathcal{F}\left(t^{n}\right)=2\pi(\mathrm{j})^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}\omega^{n}}[\delta(\omega)]\right.}\\ \end{array}\right\} $$

也可按傅里叶变换定义和冲激偶的性质直接求得式 $ (3-47) $，此时有

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\delta^{\prime}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=-\left(-\mathrm{j}\omega\right)=\mathrm{j}\omega $$

（三） 阶跃函数的傅里叶变换

从波形中容易看出阶跃函数 $ u(t) $ 不满足绝对可积条件，即使如此，它仍存在傅里叶变换。

因为

$$ u\left(t\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{s g n}(t) $$

两边进行傅里叶变换

$$ \mathcal{F}\left[u\left(t\right)\right]=\mathcal{F}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\mathcal{F}\left[\operatorname{s g n}(t)\right] $$

由式 $ (3-46) $、式 $ (3-39) $可得 u(t)的傅里叶变换为

$$ \mathcal{F}\left[u\left(t\right)\right]=\pi\delta\left(\omega\right)+\frac{1}{\mathrm{j}\omega} $$

单位阶跃函数 $ u(t) $ 的频谱如图 3-29 所示。

可见，单位阶跃函数 $ u(t) $ 的频谱在 $ \omega = 0 $ 点存在一个冲激函数，因 $ u(t) $ 含有直流分量，这是在预料之中的。此外，由于 $ u(t) $ 不是纯直流信号，它在 t = 0 点有跳变，因此在频谱中还出现其他频率分量。

这一结果的导出还可以采用其他多种方法。如果读者有兴趣可查阅参考书目[2]《信号与系统》（第二版）第122页第3行，或者参考书目[4]《教与写的记忆——信号与系统评注》第80页的3.3-4小节：阶跃信号傅里叶变换 $ \mathcal{F}[u(t)] $的多种求解方法。

3.7 傅里叶变换的基本性质

式(3-29)和式(3-30)表示的傅里叶变换建立了时间函数 $ f(t) $与频谱函数 $ F(\omega) $之间的对应关系。其中，一个函数确定之后，另一函数随之被惟一地确定。在信号分析的理论研究与实际设计工作中，经常需要了解当信号在时域进行某种运算后在频域发生何种变化，或者反过来，从频域的运算推测时域的变动。这时，可以利用式(3-29)与式(3-30)求积分计算，也可以借助傅里叶变换的基本性质给出结果。后一种方法计算过程比较简便，而且物理概念清楚。因此，熟悉傅里叶变换的一些基本性质成为信号分析研究工作中最重要的内容之一。本节和下节讨论这些基本性质。

（一） 对称性

若 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] $，则

$$ \mathcal{F}\left[F(t)\right]=2\pi f(-\omega) $$

证明

因为

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega $$

显然

$$ f(-t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

将变量 t 与 $ \omega $ 互换，可以得到

$$ \begin{aligned}2\pi f(-\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}F(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\\mathcal{F}[F(t)]&=2\pi f(-\omega)\end{aligned} $$

所以

若 $ f(t) $ 是偶函数，式（3-50）变成

$$ \mathcal{F}\left[F(t)\right]=2\pi f(\omega) $$

从式(3-50)看出，在一般情况下，若 $ f(t) $ 的频谱为 $ F(\omega) $，为求得 $ F(t) $ 之频谱可利用 $ f(-\omega) $ 给出。当 $ f(t) $ 为偶函数时，由式(3-51)可知，这种对称关系得到简化，即 $ f(t) $ 的频谱为 $ F(\omega) $，那么形状为 $ F(t) $ 的波形，其频谱必为 $ f(\omega) $。显然，矩形脉冲的频谱为 Sa 函数，而 Sa 形脉冲的频谱必然为矩形函数。同样，直流信号的频谱为冲激函数，而冲激函数的频谱必然为常数，等等，如图3-30和图3-31所示。

（二） 线性（叠加性）

若 $ \mathcal{F}[f_{i}(t)] = F_{i}(\omega)(i=1,2,\cdots,n) $，则

$$ \mathcal{F}\left[\sum_{i=1}^{n}a_{i}f_{i}(t)\right]=\sum_{i=1}^{n}a_{i}F_{i}(\omega) $$

其中 $ a_{i} $ 为常数，n 为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明上述结论。显然傅里叶变换是一种线性运算，它满足叠加定理。所以，相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。

（三） 奇偶虚实性

为便于下面的讨论，我们把 $ f(t) $ 的傅里叶变换式重写如下

$$ F(\omega)=\mathcal{F}\left[f(t)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

在一般的情况下， $ F(\omega) $是复函数，因而可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即

$$ F(\omega)=|F(\omega)|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)}=R(\omega)+\mathrm{j}X(\omega) $$

显然

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\mid F(\omega)\mid=\sqrt{R^{2}(\omega)+X^{2}(\omega)}}\\ {}&{{}\varphi(\omega)=\operatorname{a r c t a n}\left[\frac{X(\omega)}{R(\omega)}\right]}\\ \end{aligned}\right\} $$

下面讨论两种特定情况。

1. $ f(t) $ 是实函数

因为

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

\[\mathrm{d}f(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mathrm{d}f(t)-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mathrm{d}f(t)-\

在这种情况下，显然

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}R\left(\mathbf{\omega}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)\mathop{\mathrm{d}}t}\\ {}&{{}X(\omega)=-\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)\mathop{\mathrm{d}}t}\\ \end{aligned}\right\} $$

R( $ \omega $)为偶函数，X( $ \omega $)为奇函数，即满足下列关系

$$ \begin{aligned}&R\left(\omega\right)=R\left(-\omega\right)\\&X(\omega)=-X(-\omega)\\&F(-\omega)=F^{*}(\omega)\\ \end{aligned} $$

由于 $ R(\omega) $ 是偶函数， $ X(\omega) $ 是奇函数，利用式 (3-53) 可证得 $ \left|F(\omega)\right| $ 是偶函数， $ \varphi(\omega) $ 是奇函数。我们可以检查已求得的各种实函数的频谱都应满足这一结论，即实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数。这一特性在信号分析中得到广泛应用。

当 $ f(t) $ 在积分区间内为实偶函数，上述结论可进一步简化，此时

$$ f(t)=f(-t) $$

式 $ （3-54） $成为

$$ X(\omega)=0 $$

此时

$$ F(\omega)=R(\omega)=2\int_{0}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)\mathrm{d}t $$

可见，若 $ f(t) $ 是实偶函数， $ F(\omega) $ 必为 $ \omega $ 的实偶函数。

若 $ f(t) $ 为实奇函数，即

$$ f(-t)=-f(t) $$

那么，由式 $ (3-54) $求得

$$ R\left(\omega\right)=0 $$

此时

$$ F(\omega)=\mathrm{j}X(\omega)=-2\mathrm{j}\int_{0}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)\mathrm{d}t $$

可见，若 $ f(t) $ 是实奇函数，则 $ F(\omega) $ 必为 $ \omega $ 的虚奇函数。

2. $ f(t) $ 是虚函数

令 $ f(t) = \mathrm{jg}(t) $，则

$$ R\left(\omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left(t\right)\sin\left(\omega t\right)\mathrm{d}t $$

$$ X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\cos(\omega t)\mathrm{d}t $$

在这种情况下， $ R(\omega) $为奇函数， $ X(\omega) $为偶函数，即满足

$$ R\left(\omega\right)=-R\left(-\omega\right) $$

$$ X(\omega)=X(-\omega) $$

此外，无论 $ f(t) $ 为实函数或复函数，都具有以下性质

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\mathcal{F}\left[f(-t)\right]=F(-\omega)}\\ {}&{{}\mathcal{F}\left[f^{*}(t)\right]=F^{*}(-\omega)}\\ {}&{{}\mathcal{F}\left[f^{*}(-t)\right]=F^{*}(\omega)}\\ \end{aligned}\right\} $$

证明过程留给读者作为练习。

例3-1 已知

$$ f(t)=\left\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{-at}&\quad&(t>0)\\ &-\mathrm{e}^{at}&\quad&(t<0)\end{aligned}\right. $$

式中 a 为正实数。求该奇函数的频谱。

解

$$ \begin{align*}F(\omega)=&\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\=&-\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^{at}\bullet\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t+\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-at}\bullet\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\end{align*} $$

显然，此积分结果即式 $ （3-38） $，为便于讨论，重复写在下面

$$ \begin{aligned}F(\omega)&=\frac{-2\mathrm{j}\omega}{a^{2}+\omega^{2}}\\|F(\omega)|&=\frac{2|\omega|}{a^{2}+\omega^{2}}\end{aligned} $$

$$ \varphi\left(\omega\right)=\left\{\begin{aligned}&-\frac{\pi}{2}&\quad(\omega>0)\\ &+\frac{\pi}{2}&\quad(\omega<0)\end{aligned}\right. $$

波形和幅度谱如图3-32所示。显然，实奇函数的频谱必然是虚奇函数。

（四）尺度变换特性

若 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，则

$$ \mathcal{F}\left[f(at)\right]=\frac{1}{\left|a\right|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\quad(a\ 为非零的实常数 ) $$

证明

因为

$$ \mathcal{F}\left[f(a t)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f(a t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

令

当 a>0

$$ x=at $$

$$ \begin{align*}\mathcal{F}\left[f(at)\right]&=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\frac{x}{a}}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{a}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\end{align*} $$

当 a<0

$$ \begin{align*}\mathcal{F}\left[f(at)\right]&=\frac{1}{a}\int_{+\infty}^{-\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\frac{x}{a}}\mathrm{d}x\\&=\frac{-1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\frac{x}{a}}\mathrm{d}x\\&=\frac{-1}{a}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\end{align*} $$

综合上述两种情况，便可得到尺度变换特性表示式为

$$ \mathcal{F}\left[f(a t)\right]=\frac{1}{\left|a\right|}F\left(\frac{\omega}{a}\right) $$

对于 a = -1 这种特殊情况，式(3-57)变成

$$ \mathcal{F}\left[f(-t)\right]=F(-\omega) $$

为了说明尺度变换特性，在图3-33中画出了矩形脉冲的几种情况。

由上可见，信号在时域中压缩 $ (a>1) $等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展 $ (a<1) $则等效于在频域中压缩。对于a=-1的情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。上述结论是不难理解的，因为信号的波形压缩a倍，信号随时间变化加快a倍，所以它所包含的频率分量增加a倍，也就是说频谱展宽a倍。根据能量守恒定律，各频率分量的大小必然减小a倍。

下面从另一角度来说明尺度变换特性。对任意形状的 $ f(t) $ 和 $ F(\omega) $ [假设 $ t \to \infty $, $ \omega \to \infty $ 时, $ f(t) $, $ F(\omega) $ 趋近于零]，因为

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

$$ F(0)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{d}t $$

所以

同样，因为

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

所以

$$ f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{d}\omega $$

式(3-58)、式(3-59)分别说明 $ f(t) $ 与 $ F(\omega) $ 所覆盖的面积等于 $ F(\omega) $ 与 $ 2\pi f(t) $ 在零点的数值 $ F(0) $ 与 $ 2\pi f(0) $。

如果 $ f(0) $ 与 $ F(0) $ 各自等于 $ f(t) $ 与 $ F(\omega) $ 曲线的最大值，如图 3-34 所示。这时，定义 $ \tau $ 和 B 分别为 $ f(t) $ 和 $ F(\omega) $ 的等效宽度，可写出以下关系式

$$ \begin{aligned}&f(0)\tau=F(0)\\&F(0)B=2\pi f(0)\\ \end{aligned} $$

由此求得

$$ B=\frac{2\pi}{\tau} $$

从式(3-60)可以看出：信号的等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比，若要压缩信号的持续时间，则不得不以展宽频带作代价。所以在通信系统中，通信速度和占用频带宽度是一对矛盾。

（五）时移特性

若 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，则

$$ \mathcal{F}\left[f(t-t_{0})\right]=F(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}} $$

证明

因

$$ \mathcal{F}\left[f(t-t_{0})\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-t_{0})\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

令

$$ x=t-t_{0} $$

那么

$$ \begin{align*}\mathcal{F}\left[f(t-t_{0})\right]=&\mathcal{F}\left[f(x)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega(x+t_{0})}\mathrm{d}x\\=&\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega x}\mathrm{d}x\end{align*} $$

所以

$$ \mathcal{F}\left[f(t-t_{0})\right]=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}\cdot F(\omega) $$

同理可得

$$ \mathcal{F}\left[f(t+t_{0})\right]=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t_{0}}\cdot F(\omega) $$

从式(3-61)可以看出，信号 $ f(t) $ 在时域中沿时间轴右移（延时） $ t_0 $ 等效于在频域中频谱乘以因子 $ e^{-j\omega t_0} $，也就是说信号右移后，其幅度谱不变，而相位谱产生附加变化 $ (-\omega t_0) $。

不难证明

$$ \mathcal{F}\left[f(a t-t_{0})\right]=\frac{1}{\mid a\mid}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega t_{0}}{a}} $$

$$ \mathcal{F}\left[f(t_{0}-at)\right]=\frac{1}{\left|a\right|}F\left(-\frac{\omega}{a}\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega t_{0}}{a}} $$

显然尺度变换特性和时移特性是上式的两种特殊情况，即 $ t_{0}=0 $ 和 $ a=\pm1 $ 的情况。

例3-2 求图3-35所示三脉冲信号的频谱。

解

令 $ f_{0}(t) $ 表示矩形单脉冲信号，由式(3-33)知 $ f_{0}(t) $ 的频谱函数 $ F_{0}(\omega) $ 为

$$ F_{0}(\omega)=E\tau\cdot\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $$

因为

$$ f(t)=f_{0}(t)+f_{0}(t+T)+f_{0}(t-T) $$

由时移特性知 $ f(t) $ 的频谱函数 $ F(\omega) $ 为

$$ \begin{aligned}{F(\omega)}&{{}=F_{0}(\omega)\big(1+\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega T}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega T}\big)}\\ {}&{{}=E\tau^{\bullet}\mathrm{S a}\bigg(\frac{\omega\tau}{2}\bigg)\big[1+2\mathrm{c o s}(\omega T)\big]}\\ \end{aligned} $$

其频谱如图3-36所示。

例3-3 已知双Sa信号

$$ f(t)=\frac{\omega_{\mathrm{c}}}{\pi}\{\mathrm{S a}(\omega_{\mathrm{c}}t)-\mathrm{S a}[\omega_{\mathrm{c}}(t-2\tau)]\} $$

试求其频谱。

解令

$$ f_{0}(t)=\frac{\omega_{\mathrm{c}}}{\pi}\mathrm{S a}(\omega_{\mathrm{c}}t) $$

因 $ f_{0}(t) $ 为 Sa 波形，其频谱 $ F_{0}(\omega) $ 为矩形。 $ f_{0}(t) $ 和 $ f(t) $ 的波形如图 3-37 所示。

已知

$$ \mathcal{F}\left[f_{0}(t)\right]=\left\{\begin{array}{l l}{1}&{\quad(\mid\omega\mid<\omega_{c})}\\ {0}&{\quad(\mid\omega\mid>\omega_{c})}\end{array}\right. $$

由时移特性得到

$$ \mathcal{F}\left[f_{0}(t-2\tau)\right]=\left\{\begin{array}{l l}{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\omega\tau}\quad}&{(\mid\omega\mid<\omega_{\mathrm{c}})}\\ {0\quad}&{(\mid\omega\mid>\omega_{\mathrm{c}})}\end{array}\right. $$

因此 $ f(t) $ 的频谱等于

$$ \begin{aligned}{F(\omega)=}&{{}\mathcal{F}\left[f_{0}(t)\right]-\mathcal{F}\left[f_{0}(t-2\tau)\right]}\\ {=}&{{}\left\{\begin{array}{l l}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\omega\tau}}&{(\mid\omega\mid<\omega_{\mathrm{c}})}\\ {0}&{(\mid\omega\mid>\omega_{\mathrm{c}})}\\ \end{array}\right.}\\ \end{aligned} $$

从中可以得到幅度谱为

$$ \mid F(\omega)\mid=\left\{\begin{array}{l l}{2\mid\sin(\omega\tau)\mid}&{\quad(\mid\omega\mid<\omega_{c})}\\ {0}&{\quad(\mid\omega\mid>\omega_{c})}\end{array}\right. $$

在实际中往往选 $ \tau=\frac{\pi}{\omega} $，此时式(3-63)变成

$$ \mid F(\omega)\mid=\left\{\begin{array}{l l}{2\left|\sin\left(\frac{\pi\omega}{\omega_{\mathrm{c}}}\right)\right|\quad}&{(\mid\omega\mid<\omega_{\mathrm{c}})}\\ {0\quad}&{(\mid\omega\mid>\omega_{\mathrm{c}})}\end{array}\right. $$

双 Sa 信号的波形和频谱如图 3-37 所示。

由图3-37可见，虽然单Sa信号 $ f_{0}(t) $的频谱最为集中（为矩形谱），但是它含有直流分量，使得它在实际传输过程中带来不便。而双Sa信号的频谱仍然限制在 $ |\omega|<\omega_{c} $范围内，却消去了直流分量。

（六） 频移特性

若 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，则

$$ \mathcal{F}\left[f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}\right]=F(\omega-\omega_{0}) $$

证明

因为

$$ \begin{align*}\mathcal{F}\left[f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}\right]=&\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}\bullet\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\omega-\omega_{0})t}\mathrm{d}t\end{align*} $$

所以

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}\left[f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}\right]=F(\omega-\omega_{0})\\ &\\ &\mathcal{F}\left[f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{0}t}\right]=F(\omega+\omega_{0})\\ \end{aligned} $$

同理

其中 $ \omega_{0} $ 为实常数。

可见，若时间信号 $ f(t) $ 乘以 $ e^{j\omega_{0}t} $，等效于 $ f(t) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 沿频率轴右移 $ \omega_{0} $，或者说在频域中将频谱沿频率轴右移 $ \omega_{0} $ 等效于在时域中信号乘以因子 $ e^{j\omega_{0}t} $。

频谱搬移技术在通信系统中得到广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移的实现原理是将信号 $ f(t) $ 乘以所谓载频信号 $ \cos(\omega_{0}t) $ 或 $ \sin(\omega_{0}t) $。下面分析这种相乘作用引起的频谱搬移。

因为

$$ \begin{aligned}&\cos(\omega_{0}t)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{0}t})\\&\sin(\omega_{0}t)=\frac{1}{2\mathrm{j}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{0}t})\\ \end{aligned} $$

那么，可以导出

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}\big[f(t)\mathrm{c o s}(\omega_{0}t)\big]=\frac{1}{2}\big[F(\omega+\omega_{0})+F(\omega-\omega_{0})\big]\\&\mathcal{F}\big[f(t)\mathrm{s i n}(\omega_{0}t)\big]=\frac{\mathrm{j}}{2}\big[F(\omega+\omega_{0})-F(\omega-\omega_{0})\big]\\ \end{aligned} $$

所以，若时间信号 $ f(t) $ 乘以 $ \cos(\omega_{0}t) $ 或 $ \sin(\omega_{0}t) $，等效于 $ f(t) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 一分为二，沿频率轴向左和向右各平移 $ \omega_{0} $。

例3-4 已知矩形调幅信号

$$ f(t)=G(t)\cos\left(\omega_{0}t\right) $$

其中 $ G(t) $ 为矩形脉冲，脉幅为 E，脉宽为 $ \tau $，如图 3-38 中虚线所示。试求其频谱函数。

解

由式(3-33)知矩形脉冲 G(t) 的频谱 G( $ \omega $) 为

$$ G(\omega)=E\tau\cdot\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $$

因为

$$ f(t)=\frac{1}{2}G(t)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{0}t}\right) $$

根据频移特性，可得 $ f(t) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 为

$$ \begin{align*}F\big(\omega\big)&=\frac{1}{2}G\big(\omega-\omega_{0}\big)+\frac{1}{2}G\big(\omega+\omega_{0}\big)\\&=\frac{E\tau}{2}\mathrm{Sa}\bigg[\big(\omega-\omega_{0}\big)\frac{\tau}{2}\bigg]+\frac{E\tau}{2}\mathrm{Sa}\bigg[\big(\omega+\omega_{0}\big)\frac{\tau}{2}\bigg]\end{align*} $$

可见，调幅信号的频谱等于将包络线的频谱一分为二，各向左、右移载频

$ \omega_{0} $。矩形调幅信号的频谱 $ F(\omega) $ 如图 3-39 所示。

例3-5 已知 $ f(t)=\cos(\omega_{0}t) $，利用频移定理求余弦信号的频谱。

已知直流信号的频谱是位于 $ \omega = 0 $ 点的冲激函数，也即

$$ \mathcal{F}\left[1\right]=2\pi\delta\left(\omega\right) $$

利用频移定理，根据式 $ （3-65） $容易求得

$$ \mathcal{F}\left[\cos(\omega_{0}t)\right]=\pi\big[\delta\big(\omega+\omega_{0}\big)+\delta\big(\omega-\omega_{0}\big)\big] $$

可见，周期余弦信号的傅里叶变换完全集中于 $ \pm\omega_{0} $点，是位于 $ \pm\omega_{0} $点的冲激函数，频谱中不包含任何其他成分。这与直观感觉一致。

在3.9节将专门讨论周期信号的傅里叶变换，包括余弦信号、正弦信号和一般的周期性信号。

（七）微分特性

若 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，则

$$ \mathcal{F}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]=\mathrm{j}\omega F(\omega) $$

$$ \mathcal{F}\left[\frac{\mathrm{d}^{n}f(t)}{\mathrm{d}t^{n}}\right]=\left(\mathrm{j}\omega\right)^{n}F(\omega) $$

证明

因为

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

两边对 t 求导数，得

$$ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\mathrm{j}\omega F(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

所以

$$ \mathcal{F}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]=\mathrm{j}\omega F(\omega) $$

同理，可推出

$$ \mathcal{F}\left[\frac{\mathrm{d}^{n}f(t)}{\mathrm{d}t^{n}}\right]=\left(\mathrm{j}\omega\right)^{n}F(\omega) $$

式(3-68)、式(3-69)表示时域的微分特性，它说明在时域中 $ f(t) $ 对 t 取 n 阶导数等效于在频域中 $ f(t) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 乘以 $ (\mathrm{j}\omega)^{n} $。

同理，可以导出频域的微分特性如下：

若 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，则

$$ \mathcal{F}^{-1}\left[\frac{\mathrm{d}F(\omega)}{\mathrm{d}\omega}\right]=(-\mathrm{j}t)f(t) $$

$$ \mathcal{F}^{-1}\left[\frac{\mathrm{d}^{n}F\left(\omega\right)}{\mathrm{d}\omega^{n}}\right]=(-j t)^{n}f(t) $$

对于时域微分定理，容易举出简单的应用例子。若已知单位阶跃信号 $ u(t) $的傅里叶变换，可利用此定理求出 $ \delta(t) $和 $ \delta'(t) $的变换式

$$ \begin{aligned}{}&{{}\mathcal{F}\left[{u}\left(t\right)\right]=\frac{1}{\operatorname{j}\omega}+\pi\delta\left(\omega\right)}\\ {}&{{}\mathcal{F}\left[\delta\left(t\right)\right]=\operatorname{j}\omega\left[\frac{1}{\operatorname{j}\omega}+\pi\delta\left(\omega\right)\right]=1}\\ {}&{{}\mathcal{F}\left[\delta^{\prime}(t)\right]=\operatorname{j}\omega}\\ \end{aligned} $$

（八） 积分特性

若 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，则

$$ \mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\frac{F(\omega)}{\mathrm{j}\omega}+\pi F(0)\delta(\omega) $$

证明

$$ \begin{aligned}{\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathsf{d}\tau\right]=}&{{}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathsf{d}\tau\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathsf{d}t}\\ {=}&{{}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)u(t-\tau)\mathsf{d}\tau\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathsf{d}t}\\ \end{aligned} $$

此处，将被积函数 $ f(\tau) $ 乘以 $ u(t-\tau) $，同时将积分上限 t 改写为 $ \infty $，结果不变。交换积分次序，并引用延时阶跃信号的傅里叶变换关系式

$$ \mathcal{F}\left[u\left(t-\tau\right)\right]=\left[\pi\delta\left(\omega\right)+\frac{1}{\mathrm{j}\omega}\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau} $$

则式 $ (3-73) $成为

$$ \begin{aligned}&\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}u(t-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\tau\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\pi\delta(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau+\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}}{\mathrm{j}\omega}\mathrm{d}\tau\\ =&\pi F(0)\delta(\omega)+\frac{F(\omega)}{\mathrm{j}\omega}\end{aligned} $$

如果 $ F(0)=0 $ ，式(3-74)简化为

$$ \mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\frac{F(\omega)}{\mathrm{j}\omega} $$

$$ f(t)=\left\{\begin{array}{ll}E\left(1-\frac{2}{\tau}\mid t\mid\right)&\quad\left(\mid t\mid<\frac{\tau}{2}\right)\\ 0&\quad\left(\mid t\mid>\frac{\tau}{2}\right)\end{array}\right. $$

如图3-40所示，求其频谱 $ F(\omega) $

解 将 $ f(t) $ 取一阶与二阶导数，得到

$$ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=\left\{\begin{aligned}&\frac{2E}{\tau}&\left(-\frac{\tau}{2}\frac{\tau}{2}\right)\end{aligned}\right. $$

及

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}f(t)}{\mathrm{d}t^{2}}=\frac{2E}{\tau}\left[\delta\left(t+\frac{\tau}{2}\right)+\delta\left(t-\frac{\tau}{2}\right)-2\delta(t)\right] $$

它们的形状如图3-40所示。

以 $ F(\omega) $, $ F_{1}(\omega) $ 和 $ F_{2}(\omega) $ 分别表示 $ f(t) $ 及其一、二阶导数的傅里叶变换，先求得 $ F_{2}(\omega) $ 如下

$$ \begin{align*}F_{2}(\omega)=&\mathcal{F}\bigg[\frac{\mathrm{d}^{2}f(t)}{\mathrm{d}t^{2}}\bigg]=\frac{2E}{\tau}(\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\frac{\tau}{2}}+\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega\frac{\tau}{2}}-2)\\=&\frac{2E}{\tau}\bigg[2\cos\bigg(\frac{\omega\tau}{2}\bigg)-2\bigg]=-\frac{8E}{\tau}\sin^{2}\bigg(\frac{\omega\tau}{4}\bigg)\end{align*} $$

利用积分定理容易求得

$$ \begin{align*}F_{1}(\omega)&=\mathcal{F}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]\\&=\left(\frac{1}{\mathrm{j}\omega}\right)\left[-\frac{8E}{\tau}\sin^{2}\left(\frac{\omega\tau}{4}\right)\right]+\pi F_{2}(0)\delta(\omega)\end{align*} $$

$$ \begin{aligned}{F(\omega)}&{{}=\mathcal{F}\left[f(t)\right]}\\ {}&{{}=\frac{1}{(\mathrm{j}\omega)^{2}}\bigg[-\frac{8E}{\tau}\mathrm{s i n}^{2}\bigg(\frac{\omega\tau}{4}\bigg)\bigg]+\pi F_{1}(0)\delta(\omega)}\\ {}&{{}=\frac{E\tau}{2}\bullet\frac{\mathrm{s i n}^{2}\bigg(\frac{\omega\tau}{4}\bigg)}{\left(\frac{\omega\tau}{4}\right)^{2}}=\frac{E\tau}{2}\mathrm{S a}^{2}\bigg(\frac{\omega\tau}{4}\bigg)}\\ \end{aligned} $$

在以上两式中 $ F_{2}(0) $ 和 $ F_{1}(0) $ 都等于零。

例3-7 求下列截平斜变信号的频谱（见图3-41）

$$ y(t)=\left\{\begin{array}{ll}0&\quad(t<0)\\ \displaystyle\frac{t}{t_{0}}&\quad(0\leqslant t\leqslant t_{0})\\ 1&\quad(t>t_{0})\end{array}\right. $$

解

利用积分特性求 $ y(t) $ 的频谱 $ Y(\omega) $。把 $ y(t) $ 看成脉幅为 $ 1/t_{0} $，脉宽为 $ t_{0} $

的矩形脉冲 $ f(\tau) $ 的积分，即

$$ y(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau $$

由于

$$ f(\tau)=\left\{\begin{array}{l l}{0}&{\quad(\tau<0)}\\ {1/t_{0}}&{\quad(0<\taut_{0})}\end{array}\right. $$

根据矩形脉冲的频谱及时移特性，

可得 $ f(\tau) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 为

$$ F(\omega)=\mathrm{S a}\biggl(\frac{\omega t_{0}}{2}\biggr)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\frac{t_{0}}{2}} $$

注意到

$$ F(0)=1\neq0 $$

求得

$$ \begin{aligned}{Y(\omega)}&{{}=\mathcal{F}\left[y(t)\right]}\\ {}&{{}=\frac{1}{\mathrm{j}\omega}F(\omega)+\pi F(0)\delta(\omega)}\\ {}&{{}=\frac{1}{\mathrm{j}\omega}\mathrm{S a}\bigg(\frac{\omega t_{0}}{2}\bigg)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega t_{0}}{2}}+\pi\delta(\omega)}\\ \end{aligned} $$

显然，当 $ t_{0}\to0,y(t)\to u(t),f(\tau)\to\delta(\tau) $，此时式(3-78)变成

$$ \mathcal{F}\left[u\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{j}\omega}+\pi\delta\left(\omega\right) $$

与式 $ （3-49） $的结果完全相同。

此外，还可导出频域积分特性如下：

若 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，则

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}^{-1}\left[\int_{-\infty}^{\omega}F(\Omega)\mathrm{d}\Omega\right]\\ &=-\frac{f(t)}{\mathrm{j}t}+\pi f(0)\delta(t)\\ \end{aligned} $$

由于此特性应用较少，此处不再讨论。

到此为止介绍了傅里叶变换的八个基本性质，下一节和以后的章节还要讨论其他性质。

3.8 卷积特性（卷积定理）

这是在通信系统和信号处理研究领域中应用最广的傅里叶变换性质之一，

在以后各章节中将认识到这一点。

（一） 时域卷积定理

若给定两个时间函数 $ f_{1}(t) $, $ f_{2}(t) $, 已知

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}\left[f_{1}(t)\right]=F_{1}(\omega)\\&\mathcal{F}\left[f_{2}(t)\right]=F_{2}(\omega)\\&\mathcal{F}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]=F_{1}(\omega)F_{2}(\omega)\\ \end{aligned} $$

则

证明

根据第二章中卷积的定义，已知

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau $$

因此

$$ \begin{align*}\mathcal{F}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]=&\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}(t-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\tau\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)F_{2}(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\tau\\=&F_{2}(\omega)\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\tau\end{align*} $$

$$ \mathcal{F}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]=F_{1}(\omega)F_{2}(\omega) $$

所以

式 $ (3-80) $称为时域卷积定理，它说明两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘。

（二） 频域卷积定理

类似于时域卷积定理，由频域卷积定理可知，若

$$ \begin{aligned}{\mathcal{F}\left[f_{1}(t)\right]}&{{}=F_{1}(\omega)}\\ {\mathcal{F}\left[f_{2}(t)\right]}&{{}=F_{2}(\omega)}\\ {\mathcal{F}\left[f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)\right]}&{{}=\frac{1}{2\pi}F_{1}(\omega)*F_{2}(\omega)}\\ \end{aligned} $$

则

其中

$$ F_{1}(\omega)*F_{2}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}F_{1}(u)F_{2}(\omega-u)\mathrm{d}u $$

证明方法同时域卷积定理，读者可自行证明，这里不再重复。

式(3-81)称为频域卷积定理，它说明两时间函数频谱的卷积等效于两函数的乘积。或者说，两时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱的卷积乘以 $ \frac{1}{2\pi} $。显然时域与频域卷积定理是对称的，这由傅里叶变换的对称性所决定。

下面举例说明如何利用卷积定理求信号频谱。

例3-8 已知

$$ f(t)=\left\{\begin{array}{ll}E\cos\left(\frac{\pi t}{\tau}\right)&\quad\left(|t|\leqslant\frac{\tau}{2}\right)\\0&\quad\left(|t|>\frac{\tau}{2}\right)\end{array}\right. $$

利用卷积定理求余弦脉冲的频谱。

解

把余弦脉冲 $ f(t) $ 看成矩形脉冲 G(t) 与无穷长余弦函数 $ \cos\left(\frac{\pi t}{\tau}\right) $ 的乘积，如图 3-42 所示，其表达式为

$$ f(t)=G(t)\cos\left(\frac{\pi t}{\tau}\right) $$

由式 $ （3-33） $知矩形脉冲的频谱为

$$ G\left(\omega\right)=\mathcal{F}\left[G\left(t\right)\right]=E\tau\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $$

由式 $ （3-65） $知

$$ \mathcal{F}\left[\cos\left(\frac{\pi t}{\tau}\right)\right]=\pi\delta\left(\omega+\frac{\pi}{\tau}\right)+\pi\delta\left(\omega-\frac{\pi}{\tau}\right) $$

根据频域卷积定理,可以得到 $ f(t) $的频谱为

$$ \begin{aligned}F(\omega)&=\mathcal{F}\bigg[G(t)\cos\bigg(\frac{\pi t}{\tau}\bigg)\bigg]\\&=\frac{1}{2\pi}E\tau\mathrm{Sa}\bigg(\frac{\omega\tau}{2}\bigg)*\pi\bigg[\delta\bigg(\omega+\frac{\pi}{\tau}\bigg)+\delta\bigg(\omega-\frac{\pi}{\tau}\bigg)\bigg]\\&=\frac{E\tau}{2}\mathrm{Sa}\bigg[\bigg(\omega+\frac{\pi}{\tau}\bigg)\frac{\tau}{2}\bigg]+\frac{E\tau}{2}\mathrm{Sa}\bigg[\bigg(\omega-\frac{\pi}{\tau}\bigg)\frac{\tau}{2}\bigg]\\ \end{aligned} $$

上式化简后得到余弦脉冲的频谱为

$$ F\left(\omega\right)=\frac{2E\tau}{\pi}\frac{\cos\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}{\left[1-\left(\frac{\omega\tau}{\pi}\right)^{2}\right]} $$

如图3-42所示。

例3-9 已知

$$ f(t)=\left\{\begin{aligned}&E\left(1-\frac{2\mid t\mid}{\tau}\right)&\quad&\left(\mid t\mid\leqslant\frac{\tau}{2}\right)\\ &0&\quad&\left(\mid t\mid>\frac{\tau}{2}\right)\end{aligned}\right. $$

利用卷积定理求三角脉冲的频谱。

解 可以把图3-43所示的三角脉冲看成是两个同样的矩形脉冲的卷积，而矩形脉冲的幅度、宽度可以由卷积的定义直接看出，分别为 $ \sqrt{\frac{2E}{\tau}} $及 $ \frac{\tau}{2} $。根据时域卷积定理，可以很简单地求出三角脉冲的频谱 $ F(\omega) $。

因为

$$ f(t)=G(t)*G(t) $$

$$ G\left(\omega\right)=\sqrt{\frac{2E}{\tau}}\cdot\frac{\tau}{2}\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{4}\right) $$

所以

$$ \begin{aligned}F(\omega)&=\left[\sqrt{\frac{2E}{\tau}}\cdot\frac{\tau}{2}\cdot\mathrm{Sa}\left(\frac{\omega\tau}{4}\right)\right]^{2}\\&=\frac{E\tau}{2}\mathrm{Sa}^{2}\left(\frac{\omega\tau}{4}\right)\end{aligned} $$

如图3-43所示。

频域卷积定理的典型应用实例是通信系统中的调制与解调，这将是5.7节的主要内容。

最后，将本节与上节讨论的傅里叶变换基本性质列于表3-2，表中最后的几个性质将在3.10节和6.6节讨论。

| 性质 | 时域 $ f(t) $ | 频域 $ F(\omega) $ | 时域频域对应关系 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1. 线性 | $ \sum_{i=1}^{n} a_{i} f_{i}(t) $ | $ \sum_{i=1}^{n} a_{i} F_{i}(\omega) $ | 线性叠加 |

| 2. 对称性 | $ F(t) $ | $ 2\pi f(-\omega) $ | 对称 |

| 3. 尺度变换 | $ f(at) $ | $ \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right) $ | 压缩与扩展 |

| $ f(-t) $ | $ F(-\omega) $ | 反褶 | |

| 4. 时移 | $ f(t-t_0) $ | $ F(\omega) e^{-j\omega t_0} $ | 时移与相移 |

| $ f(at-t_0) $ | $ \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right) e^{-j\frac{\omega t_0}{a}} $ | | |

| 5. 频移 | $ f(t) e^{j\omega_0 t} $ | $ F(\omega - \omega_0) $ | 调制与频移 |

| $ f(t) \cos(\omega_0 t) $ | $ \frac{1}{2}[F(\omega + \omega_0) + F(\omega - \omega_0)] $ | | |

| $ f(t) \sin(\omega_0 t) $ | $ \frac{j}{2}[F(\omega + \omega_0) - F(\omega - \omega_0)] $ | | |

| 6. 时域微分 | $ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} $ | $ j\omega F(\omega) $ | |

| $ \frac{\mathrm{d}^{n} f(t)}{\mathrm{d}t^{n}} $ | $ (j\omega)^{n} F(\omega) $ | | |

| 性质 | 时域 $ f(t) $ | 频域 $ F(\omega) $ | 时域频域对应关系 |

| --- | --- | --- | --- |

| 7. 频域微分 | $ -jtf(t) $ | $ \frac{\mathrm{d}F(\omega)}{\mathrm{d}\omega} $ | |

| $ (-jt)f(t) $ | $ \frac{\mathrm{d}^{n}F(\omega)}{\mathrm{d}\omega^{n}} $ | | |

| 8. 时域积分 | $ \int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau $ | $ \frac{1}{j\omega}F(\omega) + \pi F(0)\delta(\omega) $ | |

| 9. 时域卷积 | $ f_{1}(t) \times f_{2}(t) $ | $ F_{1}(\omega)F_{2}(\omega) $ | 乘积与卷积 |

| 10. 频域卷积 | $ f_{1}(t)f_{2}(t) $ | $ \frac{1}{2\pi}F_{1}(\omega) \times F_{2}(\omega) $ | |

| 11. 时域抽样 | $ \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-nT_{s}) $ | $ \frac{1}{T_{s}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F\left(\omega-\frac{2\pi n}{T_{s}}\right) $ | 抽样与重复 |

| 12. 频域抽样 | $ \frac{1}{\omega_{s}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(t-\frac{2\pi n}{\omega_{s}}\right) $ | $ \sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega)\delta(\omega-n\omega_{s}) $ | |

| 13. 相关 | $ R_{12}(\tau) $\n $ R_{21}(\tau) $ | $ F_{1}(\omega)F_{2}^{*}(\omega) $\n $ F_{1}^{*}(\omega)F_{2}(\omega) $ | |

| 14. 自相关 | $ R(\tau) $ | $ |F(\omega)|^{2} $ | |

3.9 周期信号的傅里叶变换

以上几节讨论了周期信号的傅里叶级数，以及非周期信号的傅里叶变换问题。在推导傅里叶变换时，令周期信号的周期趋近无穷大，这样，将周期信号变成非周期信号，将傅里叶级数演变成傅里叶变换，由周期信号的离散谱过渡成连续谱。现在研究周期信号傅里叶变换的特点以及它与傅里叶级数之间的联系，目的是力图把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换这一工具得到更广泛的应用，使我们对它的理解更加深入、全面。前已指出，虽然周期信号不满足绝对可积条件，但是在允许冲激函数存在并认为它是有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制了，在这种意义上说周期信号的傅里叶变换是存在的。在3.7节频移定理的应用举例中（例3-5）已给出余弦信号的傅里叶变换。现在，仍借助频移定理导出指数、余弦、正弦信号的频谱函数，然后研究一般周期信号的傅里叶变换。

（一） 正弦、余弦信号的傅里叶变换

若

$$ \mathcal{F}\left[f_{0}(t)\right]=F_{0}(\omega) $$

由频移特性[式(3-64)]知

$$ \mathcal{F}\left[f_{0}(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{1}t}\right]=F_{0}(\omega-\omega_{1}) $$

在上式中，令

$$ f_{0}(t)=1 $$

由式 $ （3-46 $）知 $ f_{0}(t) $的傅里叶变换为

$$ F_{0}(\omega)=\mathcal{F}\left[1\right]=2\pi\delta(\omega) $$

这样，式 $ (3-84) $变成

$$ \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{1}t}\right]=2\pi\delta(\omega-\omega_{1}) $$

同理

$$ \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{1}t}\right]=2\pi\delta\left(\omega+\omega_{1}\right) $$

由式 $ （3-85} $）、式 $ （3-86） $及欧拉公式，可以得到

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\mathcal{F}\left[\cos(\omega_{1}t)\right]=\pi\big[\delta\big(\omega+\omega_{1}\big)+\delta\big(\omega-\omega_{1}\big)\big]}\\ {}&{{}\mathcal{F}\left[\sin(\omega_{1}t)\right]=\mathrm{j}\pi\big[\delta\big(\omega+\omega_{1}\big)-\delta\big(\omega-\omega_{1}\big)\big]}\\ \end{aligned}\right\} $$

式(3-85)、式(3-87)表示指数、余弦和正弦函数的傅里叶变换。这类信号的频谱只包含位于 $ \pm\omega_{1} $处的冲激函数，如图3-44所示。

另外，还可以用极限的方法求正弦信号 $ \sin(\omega_{1}t) $、余弦信号 $ \cos(\omega_{1}t) $ 及指数信号 $ e^{j\omega_{1}t} $ 的傅里叶变换。

先令 $ f_{0}(t) $ 为有限长的余弦信号，它只存在于 $ -\frac{\tau}{2} \sim +\frac{\tau}{2} $ 的区间，即把有限长的余弦信号看成矩形脉冲 G(t) 与余弦信号 $ \cos(\omega_{1}t) $ 的乘积。

这样

$$ f_{0}(t)=G(t)\cos(\omega_{1}t) $$

因为

$$ \begin{aligned}{G\left(\omega\right)}&{{}=\mathcal{F}\left[G\left(t\right)\right]}\\ {}&{{}=\tau\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}\\ \end{aligned} $$

根据频移特性，可知 $ f_{0}(t) $ 的频谱为

$$ \begin{aligned}F_{0}(\omega)&=\frac{1}{2}\big[G\big(\omega+\omega_{1}\big)+G\big(\omega-\omega_{1}\big)\big]\\&=\frac{\tau}{2}\mathrm{Sa}\bigg[\big(\omega+\omega_{1}\big)\frac{\tau}{2}\bigg]+\frac{\tau}{2}\mathrm{Sa}\bigg[\big(\omega-\omega_{1}\big)\frac{\tau}{2}\bigg]\end{aligned} $$

如图3-45所示。

显然，余弦信号 $ \cos(\omega_{1}t) $ 的傅里叶变换为 $ \tau\to\infty $ 时 $ F_{0}(\omega) $ 的极限，即

$$ \begin{aligned}\mathcal{F}\left[\cos(\omega_{1}t)\right]&=\lim_{\tau\rightarrow\infty}F_{0}(\omega)\\&=\lim_{\tau\rightarrow\infty}\left\{\frac{\tau}{2}\mathrm{Sa}\left[\left(\omega+\omega_{1}\right)\frac{\tau}{2}\right]+\frac{\tau}{2}\mathrm{Sa}\left[\left(\omega-\omega_{1}\right)\frac{\tau}{2}\right]\right\}\end{aligned} $$

由式(1-35)

$$ \delta(\omega)=\lim_{k\to\infty}\frac{k}{\pi}\mathrm{S a}(k\omega) $$

可知余弦信号的傅里叶变换为

$$ \mathcal{F}\left[\cos(\omega_{1}t)\right]=\pi\big[\delta\big(\omega+\omega_{1}\big)+\delta\big(\omega-\omega_{1}\big)\big] $$

同理可求得 $ \sin(\omega_{1}t) $， $ e^{j\omega_{1}t} $ 的频谱，结果与式(3-87)、式(3-85)完全一致。

对上述结果可做如下解释，当有限长余弦信号 $ f_{0}(t) $ 的宽度 $ \tau $ 增大时，频谱 $ F_{0}(\omega) $ 越来越集中到 $ \pm\omega_{1} $ 的附近，当 $ \tau\to\infty $，有限长余弦信号就变成无穷长余弦信号，此时频谱在 $ \pm\omega_{1} $ 处成为无穷大，而在其他频率处均为零。也就是说， $ F_{0}(\omega) $ 由抽样函数变成位于 $ \pm\omega_{1} $ 的两个冲激函数。

（二） 一般周期信号的傅里叶变换

令周期信号 $ f(t) $ 的周期为 $ T_{1} $，角频率为 $ \omega_{1}\left(2\pi f_{1}=\frac{2\pi}{T_{1}}\right) $，可以将 $ f(t) $ 展

成傅里叶级数，它是

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t} $$

将上式两边取傅里叶变换

$$ \begin{aligned}{\mathcal{F}\left[f(t)\right]}&{{}=\mathcal{F}\sum_{n^{\pi}=\infty}^{\infty}F_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}}\\ {}&{{}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}\mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}\right]}\\ \end{aligned} $$

由式 $ （3-85） $知

$$ \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t}\right]=2\pi\delta\left(\omega-n\omega_{1}\right) $$

把它代入式 $ (3-88) $，便可得到周期信号 $ f(t) $的傅里叶变换为

$$ \mathcal{F}\left[f(t)\right]=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}\delta(\omega-n\omega_{1}) $$

其中 $ F_{n} $ 是 $ f(t) $ 的傅里叶级数的系数，已经知道它等于

$$ F_{n}=\frac{1}{T_{1}}\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t $$

式(3-89)表明：周期信号 $ f(t) $ 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频 $ (0, \pm \omega_{1}, \pm 2\omega_{1}, \cdots) $ 处，每个冲激的强度等于 $ f(t) $ 的傅里叶级数相应系数 $ F_{n} $ 的 $ 2\pi $ 倍。显然，周期信号的频谱是离散的，这一点与3.2节的结论一致。然而，由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于傅里叶级数，这里不是有限值，而是冲激函数，它表明在无穷小的频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值。

下面再来讨论周期性脉冲序列的傅里叶级数与单脉冲的傅里叶变换的关系。已知周期信号 $ f(t) $ 的傅里叶级数是

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t} $$

其中，傅里叶系数

$$ F_{n}=\frac{1}{T_{1}}\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t $$

从周期性脉冲序列 $ f(t) $ 中截取一个周期，得到所谓单脉冲信号。它的傅里叶变换 $ F_{0}(\omega) $ 等于

$$ F_{0}(\omega)=\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

比较式 $ (3-91) $和式 $ (3-92) $，显然可以得到

$$ F_{n}=\frac{1}{T_{1}}F_{0}(\omega)\bigg|_{\omega=n\omega_{1}} $$

或写作

$$ F_{n}=\frac{1}{T_{1}}\left[\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\bigg|_{\omega=n\omega_{1}} $$

式(3-93)表明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数 $ F_{n} $ 等于单脉冲的傅里叶变换 $ F_{0}(\omega) $ 在 $ n\omega_{1} $ 频率点的值乘以 $ \frac{1}{T_{1}} $。利用单脉冲的傅里叶变换式可以很方便地求出周期性脉冲序列的傅里叶系数。

例3-10 若单位冲激函数的间隔为 $ T_{1} $，用符号 $ \delta_{T}(t) $ 表示周期单位冲激序列，即

$$ \delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_{1}) $$

如图 3-46 所示。求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。

解 因为 $ \delta_{T}(t) $ 是周期函数，所以可以把它展成傅里叶级数

$$ \delta_{\mathrm{T}}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{\mathrm{i}}t} $$

其中

$$ \omega_{1}=\frac{2\pi}{T_{1}} $$

$$ \begin{aligned}{F_{n}}&{{}=\frac{1}{T_{1}}\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}\delta_{T}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t}\\ {}&{{}=\frac{1}{T_{1}}\int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}}\delta(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{1}t}\mathrm{d}t}\\ {}&{{}=\frac{1}{T_{1}}}\\ \end{aligned} $$

这样，得到

$$ \delta_{T}(t)=\frac{1}{T_{1}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t} $$

可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于 $ \omega=0,\pm\omega_{1},\pm2\omega_{1},\cdots,\pm n\omega_{1},\cdots $ 的频率分量，每个频率分量的大小是相等的，均等于 $ 1/T_{1} $。

下面求 $ \delta_{T}(t) $ 的傅里叶变换。

由式 $ （3-89） $，知

$$ \mathcal{F}\left[f(t)\right]=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}\delta(\omega-n\omega_{1}) $$

因 $ F_{n}=\frac{1}{T_{1}} $，所以， $ \delta_{T}(t) $ 的傅里叶变换为

$$ F(\omega)=\mathcal{F}\left[\delta_{T}(t)\right]=\omega_{1}\sum_{n^{\mathrm{~T~}}=\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{1}) $$

可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中，同样，也只包含位于 $ \omega=0 $， $ \pm\omega_{1} $， $ \pm2\omega_{1} $， $ \cdots $， $ \pm n\omega_{1} $，…频率处的冲激函数，其强度是相等的，均等于 $ \omega_{1} $，如图3-46所示。

例3-11 已知周期矩形脉冲信号 $ f(t) $ 的幅度为 E，脉宽为 $ \tau $，周期为 $ T_{1} $，角频率为 $ \omega_{1}=2\pi/T_{1} $，如图3-47所示。求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数与傅里叶变换。

解

利用本节所给出的方法可以很方便地求出傅里叶级数与傅里叶变换。在此从熟悉的单脉冲入手，已知矩形脉冲 $ f_{0}(t) $ 的傅里叶变换 $ F_{0}(\omega) $ 等于

$$ F_{0}(\omega)=E\tau\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $$

由式 $ （3-93） $可以求出周期矩形脉冲信号的傅里叶系数 $ F_{n} $

$$ F_{n}=\frac{1}{T_{1}}F_{0}(\omega)\Bigg|_{\omega=n\omega_{*}}=\frac{E\tau}{T_{1}}\mathrm{S a}\left(\frac{n\omega_{1}\tau}{2}\right) $$

这样， $ f(t) $ 的傅里叶级数为

$$ f(t)=\frac{E\tau}{T_{1}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_{1}\tau}{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{1}t} $$

再由式(3-89)便可得到 $ f(t) $ 的傅里叶变换 $ F(\omega) $，它是

$$ \begin{aligned}{F(\omega)}&{{}=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}\delta(\omega-n\omega_{1})}\\ {}&{{}=E\tau\omega_{1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\operatorname{S a}\biggl(\frac{n\omega_{1}\tau}{2}\biggr)\delta(\omega-n\omega_{1})}\\ \end{aligned} $$

如图3-47所示。

从此例也可以看出，单脉冲的频谱是连续函数，而周期信号的频谱是离散函数。对于 $ F(\omega) $ 来说，它包含间隔为 $ \omega_{1} $ 的冲激序列，其强度的包络线的形状与单脉冲频谱的形状相同。上述结论也可以由例 3-2 定性地看出来，在图 3-36 中已经画出了三脉冲信号的频谱，显然，当脉冲数目增多时，频谱更加向 $ n\omega_{1}\left(\omega_{1}=\frac{2\pi}{T_{1}}\right) $ 处聚集；当脉冲数目为无限多时，它将变成周期脉冲信号，此时频谱在 $ n\omega_{1} $ 处聚集成冲激函数。

3.10 抽样信号的傅里叶变换

所谓“抽样”就是利用抽样脉冲序列 $ p(t) $ 从连续信号 $ f(t) $ 中“抽取”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“抽样信号”，以 $ f_{s}(t) $ 表示，如图3-48所示。

必须指出，在信号分析与处理

研究领域中，习惯上把 $ \mathrm{Sa}(t)=\frac{\sin t}{t} $

称为“抽样函数”，与这里所指的“抽样”或“抽样信号”具有完全不同的含义。此外，这里的抽样也称为“采样”或“取样”。

图 3-49 示出实现抽样的原理方框图。由图可见，连续信号经抽样作用变成抽样信号以后，往往需要再经量化、编码变成数字信号。这种数字信号经传输，然后进行上述过程的逆变换就可恢复出原连续信号。基于这种原理所构成的数字通信系统在很多性能上都要比模拟通信系统优越。随着数字技术与计算机的迅速发展，这种通信方式已

经得到了广泛的应用。本节只研究信号经抽样后频谱的变化规律。量化和编码的概念将在第五章5.10节介绍。

摆在我们面前的两个问题是: (1) 抽样信号 $ f_{s}(t) $ 的傅里叶变换是什么样子？它和未经抽样的原连续信号 $ f(t) $ 的傅里叶变换有什么联系？(2) 连续信号被抽样后，它是否保留了原信号 $ f(t) $ 的全部信息，也即，在什么条件下，可从抽样信号 $ f_{s}(t) $ 中无失真地恢复出原连续信号 $ f(t) $？我们把第(2)个问题留待下

节专门研究，本节只解决第(1)个问题。与时域抽样相对应，在本节也要研究频域抽样——频谱函数在 $ \omega $ 轴上被抽样脉冲抽取离散值的原理。通过本节与下节的讨论，将把傅里叶分析的方法从连续信号与系统推广到离散信号与系统，为第七至十二章以及数字信号处理课程的研究作一初步准备。

（一） 时域抽样

令连续信号 $ f(t) $ 的傅里叶变换为 $ F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)] $;

$$ 抽样脉冲序列 p(t) 的傅里叶变换为 \qquad P(\omega)=\mathcal{F}[p(t)]； $$

$$ 抽样后信号 f_{s}(t) 的傅里叶变换为 \qquad F_{s}(\omega)=\mathcal{F}\left[f_{s}(t)\right]。 $$

若采用均匀抽样，抽样周期为 $ T_{s} $，抽样频率为

$$ \omega_{\mathrm{s}}=2\pi f_{\mathrm{s}}=\frac{2\pi}{T_{\mathrm{s}}} $$

在一般情况下，抽样过程是通过抽样脉冲序列 $ p(t) $ 与连续信号 $ f(t) $ 相乘来完成，即满足

$$ f_{s}(t)=f(t)p(t) $$

因为 $ p(t) $ 是周期信号，那么由式(3-89)可以知道 $ p(t) $ 的傅里叶变换等于

$$ P(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}P_{n}\delta(\omega-n\omega_{\mathrm{s}}) $$

其中

$$ P_{n}=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}}\int_{-\frac{T_{\mathrm{s}}}{2}}^{\frac{T_{\mathrm{s}}}{2}}p(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{\mathrm{s}}t}\mathrm{d}t $$

它是 $ p(t) $ 的傅里叶级数的系数。

根据频域卷积定理可知

$$ F_{s}(\omega)=\frac{1}{2\pi}F(\omega)*P(\omega) $$

将式(3-97)代入上式，化简后得到抽样信号 $ f_{s}(t) $ 的傅里叶变换为

$$ F_{s}(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}P_{n}F(\omega-n\omega_{s}) $$

式(3-99)表明：信号在时域被抽样后，它的频谱 $ F_{s}(\omega) $ 是连续信号频谱 $ F(\omega) $ 的形状以抽样频率 $ \omega_{s} $ 为间隔周期地重复而得到，在重复的过程中幅度被 $ p(t) $ 的傅里叶系数 $ P_{n} $ 所加权。因为 $ P_{n} $ 只是 $ n $（而不是 $ \omega $）的函数，所以 $ F(\omega) $ 在重复过程中不会使形状发生变化。

式 $ （3-99） $中加权系数 $ P_{n} $ 取决于抽样脉冲序列的形状，下面讨论两种典型的情况。

（1） 矩形脉冲抽样

在这种情况下，抽样脉冲 p(t) 是矩形，令它的脉冲幅度为 E，脉宽为 $ \tau $，抽样角频率为 $ \omega_{s} $（抽样间隔为 $ T_{s} $）。由于 $ f_{s}(t)=f(t)p(t) $，所以抽样信号

$ f_{s}(t) $ 在抽样期间的脉冲顶部不是平的，而是随 $ f(t) $ 而变化，如图 3-50 所示。这种抽样称为“自然抽样”。现在只讨论自然抽样的情况，在抽样期间脉冲为平顶的情况将在 5.9 节讨论。对于自然抽样，由式(3-98)可求出

$$ \begin{aligned}{P_{n}}&{{}=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T_{s}}{2}}p\left(t\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{\mathrm{s}}t}\mathrm{d}t}\\ {}&{{}=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}E\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{\mathrm{s}}t}\mathrm{d}t}\\ \end{aligned} $$

积分后得到

$$ P_{n}=\frac{E\tau}{T_{\mathrm{s}}}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_{\mathrm{s}}\tau}{2}\right) $$

这个结果是早已熟悉的，若将它代入式 $ (3-99) $，便可得到矩形抽样信号的频谱为

$$ F_{\mathrm{s}}(\omega)=\frac{E\tau}{T_{\mathrm{s}}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_{\mathrm{s}}\tau}{2}\right)F(\omega-n\omega_{\mathrm{s}}) $$

显然，在这种情况下， $ F(\omega) $ 在以 $ \omega_{s} $ 为周期的重复过程中幅度以 $ \mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_{s}\tau}{2}\right) $ 的规律变化，如图 3-50 所示。

（2） 冲激抽样

若抽样脉冲 p(t) 是冲激序列，这种抽样则称为“冲激抽样”或“理想抽样”。因为

$$ \begin{array}{c}{p\left(t\right)=\delta_{T}(t)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n T_{\mathrm{s}})}\\ {f_{\mathrm{s}}(t)=f(t)\delta_{T}(t)}\\ \end{array} $$

所以，在这种情况下抽样信号 $ f_{s}(t) $ 是由一系列冲激函数构成，每个冲激的间隔为 $ T_{s} $ 而强度等于连续信号的抽样值 $ f(nT_{s}) $，如图3-51所示。

由式(3-98)可以求出 $ \delta_{T}(t) $ 的傅里叶系数

$$ \begin{aligned}{P_{n}}&{{}=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}}\int_{-\frac{T_{\mathrm{s}}}{2}}^{\frac{T_{\mathrm{s}}}{2}}\delta_{T}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{\mathrm{s}}t}\mathrm{d}t}\\ {}&{{}=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}}\int_{-\frac{T_{\mathrm{s}}}{2}}^{\frac{T_{\mathrm{s}}}{2}}\delta(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{\mathrm{s}}t}\mathrm{d}t}\\ {}&{{}=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}}}\\ \end{aligned} $$

把它代入到式 $ （3-99 $），将得到冲激抽样信号的频谱为

$$ F_{s}(\omega)\simeq\frac{1}{T}\sum_{s_{n=-\infty}}^{\infty}F(\omega-n\omega_{s}) $$

式(3-102)表明：由于冲激序列的傅里叶系数 $ P_{n} $ 为常数，所以 $ F(\omega) $ 以 $ \omega_{s} $ 为周期等幅地重复，如图3-51所示。

显然冲激抽样和矩形脉冲抽样是式(3-99)的两种特定情况，而前者又是后者的一种极限情况(脉宽 $ \tau\to0 $ )。在实际中通常采用矩形脉冲抽样，但是为了便于问题的分析，当脉宽 $ \tau $ 相对较窄时，往往近似为冲激抽样。

（二） 频域抽样

已知连续频谱函数 $ F(\omega) $，对应的时间函数为 $ f(t) $。若 $ F(\omega) $ 在频域中被间隔为 $ \omega_{1} $ 的冲激序列 $ \delta_{\omega}(\omega) $ 抽样，那么抽样后的频谱函数 $ F_{1}(\omega) $ 所对应的时间函数 $ f_{1}(t) $ 与 $ f(t) $ 具有什么样的关系？

已知

$$ F(\mathbf{\omega})=\mathcal{F}\left[f(t)\right] $$

若频域抽样过程满足

$$ \begin{aligned}F_{1}(\omega)&=F(\omega)\delta_{\omega}(\omega)\\\delta_{\omega}(\omega)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{1})\end{aligned} $$

其中

由式 $ （3-95） $知

$$ \begin{aligned}{\widetilde{\mathcal{P}}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-n T_{1}\right)\right]}&{{}=\omega_{1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(\omega-n\omega_{1}\right)}\\ {}&{{}\left(\omega_{1}=\frac{2\pi}{T_{1}}\right)}\\ \end{aligned}. $$

于是上式可写为逆变换形式

$$ \begin{aligned}{\mathcal{\widehat{F}}^{-1}\big[\delta_{\omega}(\omega)\big]}&{{}=\mathcal{\widehat{F}}^{-1}\Big[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{1})\Big]}\\ {}&{{}=\frac{1}{\omega_{1}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n T_{1})=\frac{1}{\omega_{1}}\delta_{T}(t)}\\ \end{aligned} $$

由式 $ （3-103） $、式 $ （3-104） $，根据时域卷积定理，可知

$$ \begin{align*}\mathcal{F}^{-1}\big[F_{1}(\omega)\big]&=\mathcal{F}^{-1}\big[F(\omega)\big]*\mathcal{F}^{-1}\big[\delta_{\omega}(\omega)\big]\\f_{1}(t)&=f(t)*\frac{1}{\omega_{1}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_{1})\end{align*} $$

即

这样，便可得到 $ F(\omega) $ 被抽样后 $ F_{1}(\omega) $ 所对应的时间函数

$$ f_{1}(t)=\frac{1}{\omega_{1}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t-nT_{1}) $$

式(3-105)表明：若 $ f(t) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 被间隔为 $ \omega_{1} $ 的冲激序列在频域中抽样，则在时域中等效于 $ f(t) $ 以 $ T_{1}\left(=\frac{2\pi}{\omega_{1}}\right) $ 为周期而重复（如图3-52所示）。也

就是说，周期信号的频谱是离散的，显然与3.2节、3.9节的结论一致。

通过上面时域与频域的抽样特性讨论，得到了傅里叶变换的又一条重要性质，即信号的时域与频域呈抽样(离散)与周期(重复)对应关系。表3-3给出了这一结论的要点。此性质也在表3-2中列出(第11、12项)。

| 时 域 | 频 域 |

| --- | --- |

| 周期信号

周期为 $ T_{1} $ | 离散频谱

离散间隔 $ \omega_{1} = \frac{2\pi}{T_{1}} $ |

| 抽样信号(离散)

抽样间隔 $ T_{s} = \frac{2\pi}{\omega_{s}} $ | 重复频谱(周期)

重复周期为 $ \omega_{s} $ |

例3-12 大致画出图3-53所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。

已知周期性矩形脉冲为 $ f_{1}(t) $，它的脉幅为 E，脉宽为 $ \tau $，周期为 $ T_{1} $，其傅里叶变换以 $ F_{1}(\omega) $ 表示。

若 $ f_{1}(t) $ 被间隔为 $ T_{s} $ 的冲激序列所抽样，令抽样后的信号为 $ f_{s}(t) $，其傅里

叶变换为 $ F_{s}(\omega) $

解 仍从单脉冲入手并利用傅里叶变换的抽样特性来解答本题。

如图3-53所示，已知矩形单脉冲 $ f_{0}(t) $的傅里叶变换为

$$ F_{0}(\omega)=E\tau\mathrm{S a}\bigg(\frac{\omega\tau}{2}\bigg) $$

若 $ f_{0}(t) $ 以 $ T_{1} $ 为周期进行重复便构成周期信号 $ f_{1}(t) $，即

$$ f_{1}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f_{0}(t-nT_{1}) $$

根据频域抽样特性可知 $ f_{1}(t) $ 的傅里叶变换 $ F_{1}(\omega) $ 是由 $ F_{0}(\omega) $ 经过间隔为 $ \omega_{1}\left(=\frac{2\pi}{T_{1}}\right) $ 冲激抽样而得到。由式(3-103)、式(3-105)知

$$ \begin{aligned}F_{1}(\omega)&=\omega_{1}F_{0}(\omega)\delta_{\omega}(\omega)\\&=\omega_{1}E\tau\mathrm{Sa}\biggl(\frac{\omega\tau}{2}\biggr)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{1})\\&=\omega_{1}E\tau\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathrm{Sa}\biggl(\frac{n\omega_{1}\tau}{2}\biggr)\delta(\omega-n\omega_{1})\\ \end{aligned} $$

若 $ f_{1}(t) $ 被间隔为 $ T_{s} $ 的冲激序列所抽样，便构成周期矩形抽样信号 $ f_{s}(t) $，即

$$ f_{s}(t)=f_{1}(t)\delta_{T}(t) $$

根据时域抽样特性可知 $ f_{s}(t) $ 的傅里叶变换 $ F_{s}(\omega) $ 是 $ F_{1}(\omega) $ 以 $ \omega_{s}\left(=\frac{2\pi}{T_{s}}\right) $ 为间隔重复而得到。由式(3-102)知

$$ \begin{align*}F_{\mathrm{s}}(\omega)&=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}F_{1}(\omega-m\omega_{\mathrm{s}})\\&=\frac{\omega_{1}E\tau}{T_{\mathrm{s}}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathrm{Sa}\biggl(\frac{n\omega_{1}\tau}{2}\biggr)\delta(\omega-m\omega_{\mathrm{s}}-n\omega_{1})\end{align*} $$

如图3-53所示。

3.11 抽样定理

本节讨论前节提出的第(2)个问题，即如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用。

著名的“抽样定理”对此作出了明确而精辟的回答。抽样定理在通信系统、信息传输理论方面占有十分重要的地位，许多近代通信方式（如数字通信系统）都以此定理作为理论基础。在第五章5.9节和5.10节将初步介绍它的有关应用，在这里只讨论抽样定理的内容以及借助此定理回答恢复连续信号的问题。

（一） 时域抽样定理

时域抽样定理说明：一个频谱受限的信号 $ f(t) $，如果频谱只占据 $ -\omega_{m} \sim + \omega_{m} $ 的范围，则信号 $ f(t) $ 可以用等间隔的抽样值惟一地表示。而抽样间隔必须不大于 $ \frac{1}{2f_{m}} $（其中 $ \omega_{m} = 2\pi f_{m} $），或者说，最低抽样频率为 $ 2f_{m} $。

参看图3-54来证明此定理。从上一节可以看出，假定信号 $ f(t) $的频谱 $ F(\omega) $限制在 $ -\omega_{m}\sim+\omega_{m} $范围内，若以间隔 $ T_{s} $（或重复频率 $ \omega_{s}=\frac{2\pi}{T_{s}} $）对 $ f(t) $进行抽样，抽样后信号 $ f_{s}(t) $的频谱 $ F_{s}(\omega) $是 $ F(\omega) $以 $ \omega_{s} $为周期重复。若抽样过程满足式(3-96)（如冲激抽样），则 $ F(\omega) $频谱在重复过程中是不产生失真的。在此情况下，只有满足 $ \omega_{s}\geqslant2\omega_{m} $条件， $ F_{s}(\omega) $才不会产生频谱的混叠。这样，抽样信号 $ f_{s}(t) $保留了原连续信号 $ f(t) $的全部信息，完全可以用 $ f_{s}(t) $惟一地表示 $ f(t) $，或者说，完全可以由 $ f_{s}(t) $恢复出 $ f(t) $。图3-54画出了当抽样率 $ \omega_{s}>2\omega_{m} $（不混叠时）及 $ \omega_{s}<2\omega_{m} $（混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。

对于抽样定理，可以从物理概念上做如下解释。由于一个频带受限的信号波形绝不可能在很短的时间内产生独立的、实质的变化，它的最高变化速度受最

高频率分量 $ \omega_{m} $ 的限制。因此为了保留这一频率分量的全部信息，一个周期的间隔内至少抽样两次，即必须满足 $ \omega_{s} \geqslant 2\omega_{m} $ 或 $ f_{s} \geqslant 2f_{m} $

通常把最低允许的抽样率 $ f_{s}=2f_{m} $ 称为“奈奎斯特(Nyquist)频率”，把最大允许的抽样间隔 $ T_{s}=\frac{\pi}{\omega_{m}}=\frac{1}{2f_{m}} $ 称为“奈奎斯特间隔”。

从图3-54可以看出，在满足抽样定理的条件下，为了从频谱 $ F_{s}(\omega) $中无失真地选出 $ F(\omega) $，可以用如下的矩形函数 $ H(\omega) $与 $ F_{s}(\omega) $相乘，即

$$ F(\omega)=F_{\mathrm{s}}(\omega)H(\omega) $$

其中

$$ H(\omega)=\left\{\begin{array}{l l}{T_{\mathrm{s}}\quad}&{|\mathrm{\omega}|<\omega_{\mathrm{m}}}\\ {0}&{|\mathrm{\omega}|>\omega_{\mathrm{m}}}\end{array}\right. $$

学习 5.4 节之后就会知道，实现 $ F_{s}(\omega) $ 与 $ H(\omega) $ 相乘的方法就是将抽样信号 $ f_{s}(t) $ 施加于“理想低通滤波器”[此滤波器的传输函数为 $ H(\omega) $]，这样，在滤波器的输出端可以得到频谱为 $ F(\omega) $ 的连续信号 $ f(t) $。这相当于从图 3-54 无重叠情况下的 $ F_{s}(\omega) $ 频谱中只取出 $ |\omega| < \omega_{m} $ 的成分，当然，这就恢复了 $ F(\omega) $，也即恢复了 $ f(t) $。

以上从频域解释了由抽样信号的频谱恢复连续信号频谱的原理，也可以从时域直接说明由 $ f_{s}(t) $ 经理想低通滤波器产生 $ f(t) $ 的原理，这也是第五章 5.9 节将要讨论的内容。

（二） 频域抽样定理

根据时域与频域的对称性，可以由时域抽样定理直接推论出频域抽样定理。频域抽样定理的内容是：若信号 $ f(t) $ 是时间受限信号，它集中在 $ -t_{m} \sim +t_{m} $ 的时间范围内，若在频域中以不大于 $ \frac{1}{2t_{m}} $ 的频率间隔对 $ f(t) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 进行抽样，则抽样后的频谱 $ F_{1}(\omega) $ 可以惟一地表示原信号。

从物理概念上不难理解，因为在频域中对 $ F(\omega) $ 进行抽样，等效于 $ f(t) $ 在时域中重复形成周期信号 $ f_{1}(t) $。只要抽样间隔不大于 $ \frac{1}{2t_{m}} $，则在时域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号从周期信号 $ f_{1}(t) $ 中选出单个脉冲就可以无失真地恢复出原信号 $ f(t) $。

本章从傅里叶级数引出了傅里叶变换的基本概念，初步介绍了傅里叶变换的性质。以此为基础，在本书以后的许多章节里将进一步讨论傅里叶变换的各种应用。今后还要看到，作为信息科学研究领域中广泛应用的有力工具，傅里叶变换在很多后续课程以及研究工作中将不断地发挥至关重要的作用。

3.12 雷达测距原理、雷达信号的频谱

本课程的工程应用背景着重通信和信号处理。而通信技术的发展范围十分宽阔，广义讲，它不仅包含语音、数据传输以及广播、电视等日常生活广泛接触的各类应用，还涉及雷达、声呐、遥感、航天等更为宽广的技术领域。

关于傅里叶变换在一般通信系统中的应用实例将在第五、六两章有较多讨论。这里简要介绍雷达测距的构成原理，并给出雷达信号频谱的计算实例。

雷达的主要应用是探寻并测量目标物体的位置（雷达一词源于英文Radio detecting and ranging简称Radar），例如战争中搜索敌方飞机的出现并准确攻击。早期的雷达产生于20世纪30年代（美国海军实验室的L.C.杨和R.M.佩奇等人研制）。而雷达的主要进展是在第二次世界大战前夕和大战期间。此时，许多国家都制作了付诸实际应用的雷达，在战争中发挥了重要作用。二战结束后，美国麻省理工学院（MIT）出版了一部雷达丛书共28卷，该书对当时的电子学、信号与系统理论、微波天线技术进行了全面、系统的论述，广为流传。在我国，雷达的研究与生产曾相当落后，近年来这种局面已经产生了重大变化。国庆60周年阅兵式上我们看到了一些我国自行设计制作的雷达战车，它们正在逐步接近国际先进水平。

雷达搜索目标的过程依赖于电磁波的传播及其反射。电磁波的传播速度是 $ 3 \times 10^8 $ m/s，也即 $ 300 $ m/ $ \mu $s。如果反射目标距雷达发射站为 $ 300 $ m，则发射信号与回波传播时间共需 $ 2 $ $ \mu $s，在接收机显示器上可以看到发、收两信号之间的延时，由此计算出目标距离（稍后给出一般计算公式），而目标所处之方位要依靠天线波束辐射之方向角决定。

图 3-55 示出雷达测距系统的简化方框图。相应的主要波形示意于图 3-56。脉冲信号产生器给出的矩形周期性信号对高频振荡进行调制，由此形成微波（射频）脉冲序列。微波频率约在几百兆赫到几十吉赫，例如，一个雷达的实际频率值为 10 GHz，其波长为 3 cm，此频率值处于所谓 x 波段。矩形脉冲信号的宽度（图 3-56 中的 $ T_0 $）约在 $ \mu s $ 至 ms 量级。脉冲波形占空比（图 3-56 中的 $ T_1 $ 与 $ T_0 $ 之比）约为 1 000 倍。如果微波脉冲的峰值发射功率为 100 kW，那么发射机的平均发射功率为 100 W。微波信号经天线辐射到达目标物形成反射波，经天线再送回到接收机。对微波信号检波、放大之后得到一个大体上仍为矩形的延时脉冲。测量两信号的延迟时间（图 3-55 和图 3-56 标注的 $ \tau $）即可折算出目标距离。

注意到在图3-55中雷达测距系统的发射机和接收机可以共用一个天线。借助天线自动转换的收、发开关（简称T/R单元）控制发射或接收信号与天线接

通。T/R单元可以保护接收机输入电路不致为强大的发射功率所损坏。为了准确测定目标位置，雷达天线应具有很好的方向性，辐射波束很窄，而且能够自动旋转调整方向（借助机械或电信号控制方式）。针对雷达各种功能类型，可选用不同形式的天线。例如，在方位角上非常窄而在仰角上很宽的波束（犹如扇

子，可称为扇形波束)服务于搜索雷达(预警雷达)，它可指示出某一确定方位但抑角不同的所有目标；而对于跟踪雷达或炮瞄雷达则天线波束在所有方向上都应尽可能狭窄(可称为针状波束)。

由于目标反射特性各异以及电磁辐射空间可能引入噪声干扰，在图3-56中的回波接收信号与发射信号波形之间可能产生失真。图3-56所示只是一种简化的理想情况，没有考虑这种失真。而抵抗或消除噪声的方法是雷达系统实际研究工作中的重要内容（我们将在第六章6.9节简介这种技术的原理）。下面暂以图3-56中的波形给出雷达测距信号延迟与目标距离关系的计算公式。仍如前文规定，射频脉冲持续时间为 $ T_{0} $、发送信号周期为 $ T_{1} $，目标与雷达之间距离为 $ d $（以m为单位），光速 $ c=3\times10^{8} $ m/s， $ \tau $代表往返时间，容易写出

$$ \tau=\frac{2d}{c} $$

为了考察测距精度质量给出以下两个指标数据：

（1）距离分辨力：雷达能够可靠测量的两目标距离最小间隔 $ \Delta d $ 将受 $ T_{0} $ 所限 $ \Delta d = \frac{cT_{0}}{2} $ 。也即邻近目标回波信号应在脉冲持续时间 $ T_{0} $ 结束之后到达，不得过早。

（2）距离模糊性：雷达能够测量的最大不混淆目标距离 $ d_{max} $ 将受 $ T_{1} $ 所限， $ d_{max}=\frac{cT_{1}}{2} $。这表明回波信号必须在发射下一个脉冲之前回到雷达接收机。

在图3-55中示意给出的回波指示系统称为A型显示器，它需要借助延时折算距离。很明显，这种方法还不够直观，另一种回波指示设备称为“平面位置显示器（PPI）”。它利用阴极射线管屏幕中心表示雷达站位置，每次扫描开始都自屏幕中心产生一个亮点，此亮点以恒速沿半径向外扫描（称为距离扫描）并随天线方位变化同步旋转（称为方位扫描）。扫描的指向对应着天线的方位角，若天线指向正北方向时，扫描线设定为垂直向上。反射回波信号可以控制屏幕在各个位置产生加强亮点，如果加强亮点离屏幕中心越远，表示目标物体与雷达站距离越远。利用长余辉显示屏幕可以使天线旋转一周时亮点强度保持不变，从而形成受回波反射信号全面控制的二维图像。我们在电视天气预报中看到的乌云反射构成之平面图形就是这类系统的应用实例。

综上所述可以看出，雷达测距系统是一个涉及多种技术领域的综合性系统。它包含微波通信、天线、自动控制、信号处理、计算机、网络传输、光学等许多学科门类。在此，我们仅关注雷达信号频谱之特征，给出计算例题。

例 3-13 假设图 3-56 所示波形中的基本参数如下：

高频振荡（载波、射频）频率 $ f_{c}=200\ MHz $

矩形脉冲（调制信号）宽度 $ T_{0}=100~ns $

矩形脉冲重复周期 $ T_{1}=100\ \mu s $

求(1)高频振荡受单个矩形脉冲调制时发射信号之频谱；

（2）高频振荡受周期重复之矩形脉冲调制时发射信号之频谱。指出它与（1）问之联系；

（3）上列数据与实际雷达采用之数据尚有差距，若改选比较符合实际情况之参数令 $ f_{c}=3\ 000\ MHz $, $ T_{0}=1\ \mu s $, $ T_{1}=2\ 500\ \mu s $ 重复以上（1）、（2）所问，试讨论 $ F(\omega) $ 图形将有何改变。

解 （1）写出高频振荡信号的时域表达式，令 $ \omega_{c}=2\pi f_{c} $

$$ f_{c}(t)=\cos\left(\omega_{c}t\right) $$

单个矩形脉冲信号的时域表达式为

$$ g(t)=u\left(t+\frac{T_{0}}{2}\right)-u\left(t-\frac{T_{0}}{2}\right) $$

二者相乘即可求得单脉冲发射信号的时域表达式

$$ \begin{aligned}f(t)&=g(t)f_{\mathrm{c}}(t)\\&=\left[u\left(t+\frac{T_{0}}{2}\right)-u\left(t-\frac{T_{0}}{2}\right)\right]\cos(\omega_{\mathrm{c}}t)\end{aligned} $$

$f(t)$的傅里叶变换式 $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]$可以利用 $g(t)$与 $f_c(t)$频谱之卷积求得（根据频域卷积定理）。也可借助频移定理（参看例3-4）直接写出

$$ F(\omega)=\frac{T_{0}}{2}\mathrm{Sa}\left[(\omega-\omega_{\mathrm{c}})\frac{T_{0}}{2}\right]+\frac{T_{0}}{2}\mathrm{Sa}\left[(\omega+\omega_{\mathrm{c}})\frac{T_{0}}{2}\right] $$

可见，此图形相当于把位于零点两侧的 Sa 函数搬移到 $ \pm\omega_{c} $ 两侧（参看图3-39），而 Sa 函数各过零点之间距为 $ \frac{2\pi}{T_{0}} $（在 $ \omega_{c} $ 两旁过零间距为 $ \frac{4\pi}{T_{0}} $），按本题数据画出 $ \omega $ 取正值的幅度谱如图3-57所示。

（2）周期重复矩形脉冲之时域表达式为

$$ g_{\mathrm{T}}(t)=\Sigma\big[u\left(t+T_{0}-n T_{1}\right)-u\left(t-T_{0}-n T_{1}\right)\big] $$

将此 $ g_{T}(t) $ 与载波 $ f_{c}(t) $ 相乘即得此时周期性发射信号之时域表达式。仿照(1)之解法借助卷积定理或频移定理即可求出它的频谱。其结果与前问所得 $ F(\omega) $ 图形包络（轮廓）完全相同，只是由于其周期性，致使连续谱变为离散谱，即在频率间隔为 $ \frac{2\pi}{T_{1}} $、 $ 2\left(\frac{2\pi}{T_{1}}\right) $、 $ 3\left(\frac{2\pi}{T_{1}}\right) $、 $ \cdots $、 $ n\left(\frac{2\pi}{T_{1}}\right) $ 各点出现谱线，其傅里叶变换呈 $ \delta $ 函数，即 $ \delta\left(\omega-\frac{2\pi}{T_{1}}\right) $、 $ \delta\left(\omega-\frac{4\pi}{T_{1}}\right) $、 $ \delta\left(\omega-\frac{6\pi}{T_{1}}\right) $、 $ \cdots $、 $ \delta\left(\omega-\frac{2n\pi}{T_{1}}\right) $ 等，而这些 $ \delta $ 函数之强度按前问所得之 Sa 包络取值。如果改用傅里叶级数表示，则在这些点呈现

离散谱线。由于 $ \omega_{c} $ 值为 $ \frac{2\pi}{T_{1}} $ 的 20 000 倍，因而在图 3-57 中这些离散谱线相距太近，很难按比例画出。最后可以写出周期矩形脉冲 $ g_{T}(t) $ 对载波 $ f_{c}(t) $ 进行调制时（二者时域相乘）发射信号的频谱为

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}[g_{\mathrm{T}}(t)f_{\mathrm{c}}(t)]\\ &=\frac{\pi T_{0}}{T_{1}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{\mathrm{Sa}\Big[\left(\omega-\omega_{\mathrm{c}}\right)\frac{T_{0}}{2}\Big]+\mathrm{Sa}\Big[\left(\omega+\omega_{\mathrm{c}}\right)\frac{T_{0}}{2}\Big]\right\}\cdot\delta\left(\omega-\frac{2n\pi}{T_{1}}\right)\\ &=\frac{\pi T_{0}}{T_{1}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{\mathrm{Sa}\Big[\left(\frac{2n\pi}{T_{1}}-\omega_{\mathrm{c}}\right)\frac{T_{0}}{2}\Big]+\mathrm{Sa}\Big[\left(\frac{2n\pi}{T_{1}}+\omega_{\mathrm{c}}\right)\frac{T_{0}}{2}\Big]\right\}\cdot\\ &\quad\delta\left(\omega-\frac{2n\pi}{T_{1}}\right)\\ \end{aligned} $$

（3）对于本题给出的两组参数，其频谱表达式形式完全相同，因而 $ F(\omega) $ 仍然是位于 $ f_{c} $ 两侧的 Sa 函数包络。令 $ T_{c}=\frac{1}{f_{c}} $，对于第二组参数，由于 $ \frac{T_{0}}{T_{c}} $ 以及 $ \frac{T_{1}}{T_{0}} $ 都很大，致使按比例画出的旁瓣将非常拥挤、密集，实际上看不清楚图形，因此我们只利用第一组数据绘图。当然，这并不妨碍对频谱结构特征的认识和理解。

虽然雷达测距技术的发明与应用已有七十余年之历史，然而，当今对这一领域的兴趣依然强烈而广泛，许多实际困难和新理论吸引着人们进一步研究和实践，创新潜力巨大。例如，为了解决探寻隐身目标、反击辐射导弹、应对低空突

防、抵御电子干扰等实际问题，迫切需要研究雷达优化配置与组网、信息压缩及其传输、信息融合与决策、雷达目标的大规模综合显示以及人工智能技术的应用等新概念和新理论，并建立全新的数字化、软件化、全自动化的防空雷达网。

一种称为“超宽带/短脉冲（Ultra Wideband/Short Pulse 简写作 UWB/SP）电磁学”的新技术正在雷达、通信与信号处理领域得到广泛应用。对于一个持续时间极短的脉冲（SP）信号，其频谱从近于直流到数百吉赫，具有很大的相对带宽（即信号频带与载波频率之比值）。以此构成辐射源的雷达系统称为超宽带雷达（UWBR）。它的突出优点是：高分辨力测距、探寻隐形目标、穿透树叶、地面和墙壁、抑制杂波与干扰、抵御电子对抗，等等。目前，这种技术方兴未艾，我国和美、英、俄、日等国都已投入了相当可观的人力物力，开展大量研究。

关于雷达测距的简要原理讨论至此。在第六章6.9节和第七章7.7节将继续研究有关雷达信号分析的其他问题。

习题

3-1 求题图3-1所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。

3-2 周期矩形信号如题图3-2所示。

若：重复频率 $ f = 5 \, kHz $

脉宽 $ \tau = 20 \, \mu s $

幅度 $ E=10 \, V $

求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。

3-3 若周期矩形信号 $ f_{1}(t) $ 和 $ f_{2}(t) $ 波形如题图 3-2 所示， $ f_{1}(t) $ 的参数为 $ \tau = 0.5\ \mu s $，

T=1 $ \mu $s, E=1 V; $ f_{2}(t) $ 的参数为 $ \tau=1.5 $ $ \mu $s, T=3 $ \mu $s, E=3 V, 分别求：

(1) $ f_{1}(t) $的谱线间隔和带宽(第一零点位置),频率单位以kHz表示;

(2) $ f_{2}(t) $的谱线间隔和带宽；

(3) $ f_{1}(t) $与 $ f_{2}(t) $的基波幅度之比；

(4) $ f_{1}(t) $基波与 $ f_{2}(t) $三次谐波幅度之比。

3-4 求题图3-4所示周期三角信号的傅里叶级数并画出频谱图。

3-5 求题图3-5所示半波余弦信号的傅里叶级数。若 $ E=10\ V, f=10\ kHz $，大致画出幅度谱。

3-6 求题图3-6所示周期锯齿信号的指数形式傅里叶级数，并大致画出频谱图。

3-8 求题图3-8中两种周期信号的傅里叶级数。

3-9 求题图3-9所示周期余弦切顶脉冲波的傅里叶级数，并求直流分量 $ I_{0} $ 以及基波和 k 次谐波的幅度 ( $ I_{1} $ 和 $ I_{k} $)。

(1) $ \theta= $任意值；

(2) $ \theta = 60^{\circ} $;

(3) $ \theta = 90^{\circ} $

提示： $ i(t)=I_{m}\frac{\cos(\omega_{1}t)-\cos\theta}{1-\cos\theta} $， $ \omega_{1} $为 $ i(t) $的重复角频率。

3-10 已知周期函数 $ f(t) $ 前四分之一周期的波形如题图 3-10 所示。根据下列各种情况的要求画出 $ f(t) $ 在一个周期 $ (0 < t < T) $ 内的波形。

(1) $ f(t) $是偶函数，只含有偶次谐波；

(2) $ f(t) $是偶函数，只含有奇次谐波；

(3) $ f(t) $是偶函数，含有偶次和奇次谐波；

(4) $ f(t) $是奇函数，只含有偶次谐波；

(5) $ f(t) $是奇函数，只含有奇次谐波；

(6) $ f(t) $是奇函数，含有偶次和奇次谐波。

3-11 求题图3-11所示周期信号的傅里叶级数的系数。图(a)求 $ a_{n},b_{n} $; 图(b)求 $ F_{n} $。

3-12 如题图3-12所示周期信号 $ v_{i}(t) $ 加到 RC 低通滤波电路。已知 $ v_{i}(t) $ 的重复频率 $ f_{1}=\frac{1}{T}=1 $ kHz，电压幅度 $ E=1 $ V， $ R=1 $ kΩ， $ C=0.1 $ μF。分别求：

（1）稳态时电容两端电压之直流分量、基波和五次谐波之幅度；

(2) 求上述各分量与 $ v_{i}(t) $ 相应分量的比值，讨论此电路对各频率分量响应的特点。

（提示：利用电路课所学正弦稳态交流电路的计算方法分别求各频率分量之响应。）

3-13 学习电路课时已知，LC 谐振电路具有选择频率的作用，当输入正弦信号频率与 LC 电路的谐振频率一致时，将产生较强的输出响应，而当输入信号频率适当偏离时，输出响应相对值很弱，几乎为零（相当于窄带通滤波器）。利用这一原理可从非正弦周期信号中选择所需的正弦频率成分。题图 3-13 所示 RLC 并联电路和电流源 $ i_{1}(t) $ 都是理想模型。已知电路的谐振频率为 $ f_{0}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=100\ \text{kHz}, R=100\ \text{k}\Omega $，谐振电路品质因数 Q 足够高（可滤除邻近频率成分）。 $ i_{1}(t) $ 为周期矩形波，幅度为 1 mA。当 $ i_{1}(t) $ 的参数 $ (\tau, T) $ 为下列情况时，粗略地画出输出电压 $ v_{2}(t) $ 的波形，并注明幅度值。

(1) $ \tau = 5\ \mu\text{s} $, $ T = 10\ \mu\text{s} $;

(2) $ \tau = 10\ \mu\text{s} $, $ T = 20\ \mu\text{s} $;

(3) $ \tau = 15\ \mu\text{s} $, $ T = 30\ \mu\text{s} $.

3-14 若信号波形和电路结构仍如题图3-13所示，波形参数为 $ \tau=5\ \mu s $, $ T=10\ \mu s $。

（1）适当设计电路参数，能否分别从矩形波中选出以下频率分量的正弦信号：

50 kHz, 100 kHz, 150 kHz, 200 kHz, 300 kHz, 400 kHz?

（2）对于那些不能选出的频率成分，试分别利用其他电路（示意表明）获得所需频率分量的信号。（提示：需用到电路、模拟电路、数字电路等课程的综合知识，可行

方案可能不止一种。)

3-15 求题图3-15所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。

3-16 求题图3-16所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换。

3-17 题图3-17所示各波形的傅里叶变换可在本章正文或附录中找到，利用这些结果给出各波形频谱所占带宽 $ B_{f} $ (频谱图或频谱包络图的第一零点值)，注意图中的时间单位都为 $ \mu s $。

3-18 “升余弦滚降信号”的波形如图3-18(a)所示，它在 $ t_{2} $到 $ t_{3} $的时间范围内以升余弦的函数规律滚降变化。

设 $ t_{3}-\frac{\tau}{2}=\frac{\tau}{2}-t_{2}=t_{0} $，升余弦脉冲信号的表示式可以写成

$$ f(t)=\left\{\begin{aligned}{}&{{}E}&{\quad}&{{}\quad\Big(|t|<\frac{\tau}{2}-t_{0}\Big)}\\ {}&{{}\frac{E}{2}\left[1+\cos\frac{\pi\Big(t-\frac{\tau}{2}+t_{0}\Big)}{2t_{0}}\right]}&{\quad}&{{}\quad\Big(\frac{\tau}{2}-t_{0}\leqslant|t|\leqslant\frac{\tau}{2}+t_{0}\Big)}\\ \end{aligned}\right. $$

或写作

$$ f(t)=\left\{\begin{aligned}{}&{{}E}&{\quad}&{{}\Big(|t|<\frac{\tau}{2}-t_{0}\Big)}\\ {}&{{}\frac{E}{2}\left[1-\sin\frac{\pi\Big(|t|-\frac{\tau}{2}\Big)}{k\tau}\right]}&{\quad}&{{}\Big(\frac{\tau}{2}-t_{0}\leqslant|t|\leqslant\frac{\tau}{2}+t_{0}\Big)}\\ \end{aligned}\right. $$

其中，滚降系数

$$ k=\frac{t_{0}}{\frac{\tau}{2}}=\frac{2t_{0}}{\tau} $$

求此信号的傅里叶变换式，并画频谱图。讨论 k=0 和 k=1 两种特殊情况的结果。

[提示：将 $ f(t) $ 分解为 $ f_{1}(t) $ 和 $ f_{2}(t) $ 之和，见题图 3-18(b)，分别求傅里叶变换再相加。]

3-19 求题图3-19所示 $ F(\omega) $ 的傅里叶逆变换 $ f(t) $ 。

3-20 函数 $ f(t) $ 可以表示成偶函数 $ f_{e}(t) $ 与奇函数 $ f_{0}(t) $ 之和，试证明：

（1）若 $ f(t) $ 是实函数，且 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，则

$$ \mathcal{F}[f_{\mathrm{e}}(t)]=\mathrm{R e}[F(\omega)] $$

$$ \mathcal{F}\left[f_{o}(t)\right]=\mathrm{j}\mathrm{I m}\left[F(\omega)\right] $$

(2) 若 $ f(t) $ 是复函数，可表示为

$$ f(t)=f_{r}(t)+\mathrm{j}f_{i}(t) $$

且

$$ \mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega) $$

则

$$ \mathcal{F}\left[f_{\mathrm{r}}(t)\right]=\frac{1}{2}\left[F(\omega)+F^{*}\left(-\omega\right)\right] $$

$$ \mathcal{F}\left[f_{\mathrm{i}}(t)\right]=\frac{1}{2\mathrm{j}}\left[F(\omega)-F^{*}\left(-\omega\right)\right] $$

其中

$$ F^{*}\left(-\mathbf{\omega}\right)=\mathcal{F}\left[f^{*}\left(t\right)\right] $$

3-21 对题图3-21所示波形，若已知 $ \mathcal{F}[f_{1}(t)] = F_{1}(\omega) $，利用傅里叶变换的性质求 $ f_{1}(t) $ 以 $ \frac{t_{0}}{2} $ 为轴反褶后所得 $ f_{2}(t) $ 的傅里叶变换。

3-22 利用时域与频域的对称性，求下列傅里叶变换的时间函数。

(1) $ F(\omega) = \delta(\omega - \omega_0) $

(2) $ F(\omega) = u(\omega + \omega_0) - u(\omega - \omega_0) $

(3) $ F(\omega) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\omega_{0}}{\pi} & (|\omega| \leqslant \omega_{0}) \\ 0 & \text{(其他)} \end{array} \right. $

3-23 若已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求题图3-23所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱。

3-24 求题图3-24所示三角形调幅信号的频谱。

3-25 题图3-25 所示信号 $ f(t) $，已知其傅里叶变换式 $ \mathcal{F}[f(t)] = F(\omega) = |F(\omega)| e^{j\varphi(\omega)} $，利用傅里叶变换的性质（不作积分运算），求：

(1) $ \varphi(\omega) $;

(2) $ F(0) $;

(3) $ \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \, \mathrm{d}\omega $;

(4) $ \mathcal{F}^{-1}\{\mathrm{Re}[F(\omega)]\} $ 之图形。

3-26 利用微分定理求题图3-26所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出 $ \tau=2\tau_{1} $ 情况下该脉冲的频谱图。

3-27 利用微分定理求题图3-27所示半波正弦脉冲 $ f(t) $ 及其二阶导数 $ \frac{\mathrm{d}^{2}f(t)}{\mathrm{d}t^{2}} $ 的频谱。

3-28 （1）已知 $ \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-at}u(t)\right]=\frac{1}{a+j\omega} $，求 $ f(t)=t\mathrm{e}^{-at}u(t) $ 的傅里叶变换；

(2) 证明 $ tu(t) $ 的傅里叶变换为 $ \mathrm{j}\pi\delta'(\omega) + \frac{1}{(\mathrm{j}\omega)^2} $

（提示：利用频域微分定理。）

3-29 若已知 $ \mathcal{F}[f(t)] = F(\omega) $，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换。

(1) $ tf(2t) $

(2) $ (t-2)f(t) $

(3) $ (t-2)f(-2t) $

(4) t $ \frac{df(t)}{dt} $

(5) $ f(1-t) $

(6) $ (1 - t)f(1 - t) $

(7) $ f(2t-5) $

3 -30 试分别利用下列几种方法证明

$$ \mathcal{F}\left[u\left(t\right)\right]=\pi\delta\left(\omega\right)+\frac{1}{\mathrm{j}\omega} $$

（1）利用符号函数 $ \left[u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)\right] $;

(2) 利用矩形脉冲取极限 ( $ \tau \to \infty $);

(3) 利用积分定理 $ \left[u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau\right] $;

（4）利用单边指数函数取极限 $ [u(t)=\lim_{a\to0}\mathrm{e}^{-at},t\geqslant0] $。

3-31 已知题图3-31中两矩形脉冲 $ f_{1}(t) $及 $ f_{2}(t) $，且

$$ \mathcal{F}\left[f_{1}(t)\right]=E_{1}\tau_{1}\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau_{1}}{2}\right) $$

$$ \mathcal{F}[f_{2}(t)]=E_{2}\tau_{2}\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau_{2}}{2}\right) $$

（1）画出 $ f_{1}(t)\cdot f_{2}(t) $ 的图形；

(2) 求 $ f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) $ 的频谱，并与习题 3-26 所用的方法进行比较。

3-32 已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅里叶变换：

$$ \mathcal{F}\left[u\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{j}\omega}+\pi\delta\left(\omega\right) $$

$$ \mathcal{F}\left[\cos(\omega_{0}t)\right]=\pi\big[\delta(\omega+\omega_{0})+\delta(\omega-\omega_{0})\big] $$

$$ \mathcal{F}\left[\sin(\omega_{0}t)\right]=\mathrm{j}\pi\big[\delta(\omega+\omega_{0})-\delta(\omega-\omega_{0})\big] $$

求单边正弦函数和单边余弦函数的傅里叶变换。

3-33 已知三角脉冲 $ f_{1}(t) $ 的傅里叶变换为

$$ F_{1}(\omega)=\frac{E\tau}{2}\mathrm{S a}^{2}\left(\frac{\omega\tau}{4}\right) $$

试利用有关定理求 $ f_{2}(t)=f_{1}\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\cos(\omega_{0}t) $ 的傅里叶变换 $ F_{2}(\omega) $。 $ f_{1}(t) $， $ f_{2}(t) $ 的波形如题图3-33所示。

3-34 若 $ f(t) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 如题图 3-34 所示，利用卷积定理粗略画出 $ f(t)\cos(\omega_{0}t) $， $ f(t)e^{j\omega_{0}t} $， $ f(t)\cos(\omega_{1}t) $ 的频谱（注明频谱的边界频率）。

3-35 求题图3-35所示信号的频谱（包络为三角脉冲，载波为对称方波）。并说明与题图3-24所示信号频谱的区别。

3-36 已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅里叶变换（见附录三），求题图3-36所示周

期梯形信号和周期全波余弦信号的傅里叶级数和傅里叶变换。并示意画出它们的频谱图。

3-37 已知矩形脉冲和余弦脉冲信号的傅里叶变换（见附录三），根据傅里叶变换的定义和性质，利用三种以上的方法计算题图3-37所示各脉冲信号的傅里叶变换，并比较三种方法。

3-38 已知三角形、升余弦脉冲的频谱（见附录三）。大致画出题图3-38中各脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为 $ T_{s} $，令 $ T_{s}=\frac{\tau}{8} $）。

3-39 确定下列信号的最低抽样率与奈奎斯特间隔。

(1) Sa(100t)

(2) $ Sa^{2}(100t) $

(3) $ \mathrm{Sa}(100t) + \mathrm{Sa}(50t) $

(4) $ \mathrm{Sa}(100t) + \mathrm{Sa}^{2}(60t) $

3-40 若 $ \mathcal{F}[f(t)] = F(\omega), p(t) $ 是周期信号，基波频率为 $ \omega_{0}, p(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_{n} e^{j n\omega_{0}t} $

(1) 令 $ f_{p}(t)=f(t)p(t) $，求相乘信号的傅里叶变换表达式 $ F_{p}(\omega)=\mathcal{F}[f_{p}(t)] $;

(2) 若 $ F(\omega) $ 的图形如题图 3-40 所示，当 $ p(t) $ 的函数表达式为 $ p(t) = \cos\left(\frac{t}{2}\right) $ 或以下各小题时，分别求 $ F_{p}(\omega) $ 的表达式并画出频谱图；

(3) $ p(t) = \cos t $;

(4) $ p(t) = \cos(2t) $;

(5) $ p(t) = (\sin t) \sin(2t) $;

(6) $ p(t) = \cos(2t) - \cos t $;

(7) $ p(t) = \sum_{\pi = -\infty}^{\infty} \delta(t - \pi n) $;

(8) $ p(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \delta(t - 2\pi n) $;

(9) $ p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - 2\pi n) - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - \pi n) $;

(10) $ p(t) $是题图3-2所示周期矩形波，其

参数为 $ T=\pi, \tau=\frac{T}{3}=\frac{\pi}{3}, E=1 $。

3-41 系统如图 3-41 所示， $ f_{1}(t)=\mathrm{Sa}(1\ 000\pi t) $， $ f_{2}(t)=\mathrm{Sa}(2\ 000\pi t) $， $ p(t)=\sum_{i=1}^{\infty}\delta(t-nT) $， $ f(t)=f_{1}(t)f_{2}(t) $， $ f_{s}(t)=f(t)p(t) $。

（1）为从 $ f_{s}(t) $ 无失真恢复 $ f(t) $，求最大抽样间隔 $ T_{max} $;

(2) 当 $ T = T_{max} $ 时，画出 $ f_{s}(t) $ 的幅度谱 $ \left|F_{s}(\omega)\right| $。

3-42 若连续信号 $ f(t) $ 的频谱 $ F(\omega) $ 是带状的 $ (\omega_{1} - \omega_{2}) $，如题图 3-42 所示。

（1）利用卷积定理说明当 $ \omega_{2}=2\omega_{1} $ 时，最低抽样率只要等于 $ \omega_{2} $ 就可以使抽样信号不产生频谱混叠；

（2）证明带通抽样定理，该定理要求最低抽样率 $ \omega_{s} $ 满足下列关系

$$ \omega_{\mathrm{s}}=\frac{2\omega_{2}}{m} $$

其中 m 为不超过 $ \frac{\omega_{2}}{\omega_{2}-\omega_{1}} $ 的最大整数。