第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析

4.1 引言

19世纪末，英国工程师赫维赛德（O. Heaviside，1850—1925）发明了“运算法”（算子法）解决电工程计算中遇到的一些基本问题。他所进行的工作成为拉普拉斯变换方法的先驱。赫维赛德的方法很快地被许多人采用，但是由于缺乏严密的数学论证，曾经受到某些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者（例如卡尔逊、布罗姆维奇等人）坚信这一方法的正确性，继续坚持不懈地深入研究。后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯（P. S. Laplace，1749—1825）的著作中为赫维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换（简称拉氏变换）方法。从此，拉氏变换方法在电学、力学等众多的工程与科学领域中得到广泛应用。尤其是在电路理论的研究中，在相当长的时期内，人们几乎无法把电路理论与拉普拉斯变换分开来讨论。

20世纪70年代以后，电子线路计算机辅助设计（CAD）技术迅速发展，利用CAD程序（例如SPICE程序）可以很方便地求解电路分析问题，因而，拉氏变换在这方面的应用相对减少。此外，离散系统、非线性系统、时变系统的研究与应用日益广泛，而拉氏变换方法在这些方面是无能为力的，于是，它长期占据的传统重要地位正在让给一些新的方法。然而，利用拉氏变换建立的系统函数及其零、极点分析的概念仍在发挥着重要作用，在连续、线性、时不变系统分析中，拉氏变换仍然是不可缺少的强有力工具。此外，还应注意到与拉氏变换类似的概念和方法在离散时间系统的z变换（本书第八章）分析中得到应用。

运用拉氏变换方法，可以把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。从数学角度来看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具，它的优点表现在：

（1）求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和补解（齐次解），而且初始条件自动地包含在变换式里。

（2）拉氏变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法”运算。也即把积分微分方程转换为代数方程。这种变换与初等数学中的对数变换很相

似，在那里，乘、除法被转换为加、减法运算。当然，对数变换所处理的对象是“数”，而拉氏变换所处理的对象是函数。图4-1用运算流程方框图示意表明了对数变换与拉氏变换的比较。

（3）指数函数、超越函数以及有不连续点的函数，经拉氏变换可转换为简单的初等函数。对于某些非周期性的具有不连续点的函数，用古典法求解比较繁琐，而用拉氏变换方法就很简便。

（4）拉氏变换把时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函数的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念，这一重要概念的应用为研究信号经线性系统传输问题提供了许多方便。

（5）利用系统函数零点、极点分布可以简明、直观地表达系统性能的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数零、极点特征表现出来，从系统的观点看，对于输入－输出描述情况，往往不关心组成系统内部的结构和参数，只需从外部特性，从零、极点特性来考察和处理各种问题。

本章前4节给出拉氏变换的基本定义和性质，4.5节、4.6节讨论拉氏变换在电路分析中的应用并导出系统函数 $ H(s) $。4.7节～4.11节研究 $ H(s) $零、极点分布对系统性能的影响。以上各节限于单边拉氏变换，在4.12节专门研究双边拉氏变换的定义与应用。最后，4.13节对傅氏变换与拉氏变换进行了比较，讨论它们之间的区别与联系。

4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域

（一） 从傅里叶变换到拉普拉斯变换

由前章已知，当函数 $ f(t) $ 满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

考虑到在实际问题中遇到的总是因果信号，令信号起始时刻为零，于是在t<0的时间范围内 $ f(t) $等于零，这样，正变换表示式之积分下限可从零开始

$$ F(\omega)=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

但 $ F(\omega) $ 仍包含有一 $ \omega $ 与 $ +\omega $ 两部分分量，因此逆变换式的积分限不改变。

再从狄里赫利条件考虑，在此条件之中，绝对可积的要求限制了某些增长信号如 $ \mathrm{e}^{\alpha t} (a > 0) $ 傅里叶变换的存在，而对于阶跃信号、周期信号虽未受此约束，但其变换式中出现冲激函数 $ \delta(\omega) $，为使更多的函数存在变换，并简化某些变换形式或运算过程，引入一个衰减因子 $ \mathrm{e}^{-\alpha t} $ ( $ \sigma $ 为任意实数) 使它与 $ f(t) $ 相乘，于是 $ \mathrm{e}^{-\alpha t} f(t) $ 得以收敛，绝对可积条件就容易满足。按此原理，写出 $ \mathrm{e}^{-\alpha t} f(t) $ 的傅里叶变换

$$ F_{1}(\omega)=\int_{0}^{\infty}\left[f(t)\mathrm{e}^{-\sigma t}\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-(\sigma+\mathrm{j}\omega)t}\mathrm{d}t $$

将式中 $ (\sigma + j\omega) $用符号s代替，令

$$ s=\sigma+\mathrm{j}\omega $$

式（4-2）遂可写作

$$ F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

下面由傅里叶逆变换表示式求 $ [f(t)\mathrm{e}^{-\sigma t}] $，再寻找由 $ F(s) $求 $ f(t) $的一般表示式

$$ f(t)\mathrm{e}^{-\sigma t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_{1}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

等式两边各乘以 $ e^{\alpha} $，因为它不是 $ \omega $ 的函数，可放到积分号内，于是得到

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F_{1}(\omega)\mathrm{e}^{(\sigma+\mathrm{j}\omega)t}\mathrm{d}\omega $$

已知 $ s = \sigma + j\omega $，所以 $ ds = d\sigma + jd\omega $，若 $ \sigma $ 为选定之常量，则 $ ds = jd\omega $，以此代入式 (4-5)，并相应地改变积分上下限，得到

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\int_{\sigma-\mathrm{j}\infty}^{\sigma+\mathrm{j}\infty}F(s)\mathrm{e}^{s t}\mathrm{d}s $$

式(4-3)和式(4-6)就是一对拉普拉斯变换式(或称拉氏变换对)。两式中的$f(t)$称为“原函数”，$F(s)$称为“象函数”。已知$f(t)$求$F(s)$可由式(4-3)取得拉氏变换。反之，利用式(4-6)由$F(s)$求$f(t)$时称为逆拉氏变换(或拉氏逆变换)。常用记号$\mathcal{L}[f(t)]$表示取拉氏变换，以记号$\mathcal{L}^{-1}[F(s)]$表示取拉氏逆变换。于是，式(4-3)和式(4-6)可分别写作

$$ \mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

$$ \mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\right]=f(t)=\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\int_{\sigma-\mathrm{j}\infty}^{\sigma+\mathrm{j}\infty}F(s)\mathrm{e}^{s t}\mathrm{d}s $$

拉氏变换与傅氏变换定义的表示式形式相似，以后将要讲到它们的性质也有许多相同之处。

拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本差别在于：傅氏变换将时域函数 $ f(t) $ 变换为频域函数 $ F(\omega) $，或作相反变换，时域中的变量 t 和频域中的变量 $ \omega $ 都是实数；而拉氏变换是将时间函数 $ f(t) $ 变换为复变函数 $ F(s) $，或作相反变换，这时，时域变量 t 虽是实数， $ F(s) $ 的变量 s 却是复数，与 $ \omega $ 相比较，变量 s 可称为“复频率”。傅里叶变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换则建立了时域与复频域 (s 域) 间的联系。

在以上讨论中， $ e^{-\sigma t} $ 衰减因子的引入是一个关键问题。从数学观点看，这是将函数 $ f(t) $ 乘以因子 $ e^{-\sigma t} $ 使之满足绝对可积条件；从物理意义看，是将频率 $ \omega $ 变换为复频率 s， $ \omega $ 只能描述振荡的重复频率，而 s 不仅能给出重复频率，还可以表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。

此外，还应指出，在引入衰减因子之前曾把正变换积分下限由 $ -\infty $限制为0，如果不作这一改变，则将出现形式为 $ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt $的正变换定义。为区分以上两种情况，前者称为“单边拉氏变换”，后者称为“双边拉氏变换”。本章4.11节之前仅讨论单边变换，4.12节专门讨论双边变换。

（二） 从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义

在第二章曾初步介绍用算子符号法解微分方程。采用这种方法可将函数 $ f(t) $的微分运算表示为 $ f(t) $与算子p“相乘”的形式。现在设想为函数 $ f(t) $建立某种变换关系，这种变换关系应具有如下特性：如果把t变量的函数 $ f(t) $变换为s变量的函数 $ F(s) $，那么， $ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} $的变换式应为 $ sF(s) $，暂以“ $ \rightarrow $”表示变换，则有

$$ \left.\begin{array}{l}{f(t)\longrightarrow F(s)}\\ {\displaystyle\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\longrightarrow s F(s)}\\ \end{array}\right\} $$

假定，此变换关系可通过下示积分运算来完成

$$ F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)h(t,s)\mathrm{d}t $$

这表明，在所研究的时间范围 0 到 $ \infty $ 之间，对变量 t 积分，即可得到变量 s 的函数。现在的问题是，如何选择一个合适的 $ h(t, s) $，使它满足式 (4-7) 的要求，也即

$$ s F(s)=\int_{0}^{\infty}f^{\prime}(t)h(t,s)\mathrm{d}t $$

利用分部积分展开得到

$$ \int_{0}^{\infty}f^{\prime}(t)h(t,s)d t=f(t)h(t,s)\bigg|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}f(t)h^{\prime}(t,s)d t $$

为确定式中第一项，应代入 t 的初值与终值，要保证 $ f(t) h(t, s) $ 的积分收敛，规定 $ t \to \infty $ 时此项等于零；此外，选择初值为最简单的形式代入，即 $ f(0) = 0 $，至于 $ f(0) $ 为其他任意值的情况，下面还要讨论。按上述条件求得

$$ \begin{aligned}s F(s)=&\int_{0}^{\infty}f^{\prime}(t)h(t,s)\mathrm{d}t=-\int_{0}^{\infty}f(t)h^{\prime}(t,s)\mathrm{d}t\\ s\int_{0}^{\infty}f(t)h(t,s)\mathrm{d}t&=-\int_{0}^{\infty}f(t)h^{\prime}(t,s)\mathrm{d}t\end{aligned} $$

故

$$ \begin{aligned}sh\left(t,s\right)=&-h^{\prime}(t,s)=-\frac{\mathrm{d}h\left(t,s\right)}{\mathrm{d}t}\\&\frac{\mathrm{d}h\left(t,s\right)}{h\left(t,s\right)}=-s\mathrm{d}t\\&\ln[h\left(t,s\right)]=-\ s t\\&h\left(t,s\right)=\mathrm{e}^{-s t}\end{aligned} $$

将找到的 $ h(t,s) $ 函数 $ e^{-st} $ 代入式 (4-8)，写出

$$ F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

显然，这就是拉氏变换的定义式 $ (4-3) $。

下面考虑 $ f(0) \neq 0 $ 的情况，这时，由式(4-10)可写出 $ f^{\prime}(t) $ 的拉氏变换为

$$ \int_{0}^{\infty}f^{\prime}(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=f(t)\mathrm{e}^{-st}\left|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}[\mathrm{-}s f(t)\mathrm{e}^{-st}]\mathrm{d}t=-\left.f(0)+s F(s)\right.\right. $$

此结果表明，当 $ f(0) \neq 0 $ 时， $ \frac{df(t)}{dt} $ 的拉氏变换并非 $ sF(s) $，而是 $ sF(s) - f(0) $。我们回忆起，在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。现在，这里的 s 虽与算子符号 p 处于类似的地位，然而，拉氏变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于把微分方程转换为代数方程，使求解过程简化。

（三）拉氏变换的收敛

从以上讨论可知，当函数 $ f(t) $ 乘以衰减因子 $ \mathrm{e}^{-\alpha t} $ 以后，就有可能满足绝对可积条件。然而，是否一定满足，还要看 $ f(t) $ 的性质与 $ \sigma $ 值的相对关系而定。例如，为使 $ f(t)=\mathrm{e}^{\alpha t} $ 收敛，衰减因子 $ \mathrm{e}^{-\alpha t} $ 中的 $ \sigma $ 必须满足 $ \sigma > a $，否则， $ \mathrm{e}^{\alpha t} \cdot \mathrm{e}^{-\alpha t} $ 在 $ t \to \infty $ 时仍不能收敛。

下面分析关于这一特性的一般规律。

函数 $ f(t) $ 乘以因子 $ \mathrm{e}^{-\alpha t} $ 以后，取时间 $ t \to \infty $ 的极限，若当 $ \sigma > \sigma_{0} $ 时，该极限等于零，则函数 $ f(t) \mathrm{e}^{-\alpha t} $ 在 $ \sigma > \sigma_{0} $ 的全部范围内是收敛的，其积分存在，可以进行拉普拉斯变换。这一关系可表示为

$$ \lim_{t\to\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\sigma t}=\theta\ (\sigma>\sigma_{0}) $$

$ \sigma_{0} $ 与函数 $ f(t) $ 的性质有关，它指出了收敛条件。根据 $ \sigma_{0} $ 的数值，可将 s 平面划分为两个区域，如图 4-2 所示。通过 $ \sigma_{0} $ 的垂直线是收敛区（收敛域）的边界，称为收敛轴， $ \sigma_{0} $ 在 s 平面内称为收敛坐标。凡满足式 (4-13) 的函数称为“指数阶函数”。指数阶函数若具有发散特性可借助于指数函数的衰减压下去，使之成为收敛函数。

凡是有始有终，能量有限的信号，如单个脉冲信号，其收敛坐标落于 $ -\infty $，全部s平面都属于收敛区。也即，有界的非

周期信号的拉氏变换一定存在。

如果信号的幅度既不增长也不衰减而等于稳定值，则其收敛坐标落在原点，s右半平面属于收敛区。也即，对任何周期信号只要稍加衰减就可收敛。

不难证明

$$ \lim_{t\to\infty}t\mathrm{e}^{-\sigma t}=0\quad(\sigma>0) $$

所以任何随时间成正比增长的信号，其收敛坐标落于原点。同样由于

$$ \lim_{t\to\infty}t^{n}\mathrm{e}^{-\sigma t}=0\quad(\sigma>0) $$

故与 $ t^{n} $ 成比例增长之函数，收敛坐标也落在原点。

如果函数按指数规律 $ e^{at} $ 增长，前已述及，只有当 $ \sigma > a $ 时才满足

$$ \lim_{t\to\infty}\mathrm{e}^{at}\mathrm{e}^{-\sigma t}=0\quad(\sigma>a) $$

所以收敛坐标为

$$ \sigma_{0}=a $$

对于一些比指数函数增长得更快的函数，不能找到它们的收敛坐标，因而，不能进行拉氏变换。例如 $ e^{t^{2}} $ 或 $ te^{t^{2}} $（定义域为 $ 0 \leq t \leq \infty $）就不是指数阶函数，但是，若把这种函数限定在有限时间范围之内，还是可以找到收敛坐标，进行拉氏变换的，如

$$ f(t)=\left\{\begin{array}{l l}{\mathrm{e}^{t^{2}}\quad}&{(0\leqslant tT)}\end{array}\right. $$

它的拉氏变换存在。

以上研究了单边拉氏变换的收敛条件，在4.12节将要看到，双边拉氏变换的收敛问题将比较复杂，收敛条件将受到更多限制。由于单边拉氏变换的收敛问题比较简单，一般情况下，求函数单边拉氏变换时不再加注其收敛范围。

（四）一些常用函数的拉氏变换

下面按拉普拉斯变换的定义式 $ (4-3) $来推导几个常用函数的变换式。

（1）阶跃函数

$$ \mathcal{L}\left[u\left(t\right)\right]=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-s t}\mathrm{d}t=-\left.\frac{\mathrm{e}^{-s t}}{s}\right|_{0}^{\infty}=\frac{1}{s} $$

（2）指数函数

$$ \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{-a t}\right]=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-a t}\mathrm{e}^{-s t}\mathrm{d}t=-\left.\frac{\mathrm{e}^{-(a+s)t}}{a+s}\right|_{0}^{\infty}=\frac{1}{a+s}\quad(\sigma>-a) $$

显然，令式 $ (4-15) $中的常数 a 等于零，也可得出式 $ (4-14) $的结果。

（3） $ t^{n} $ (n 是正整数)

$$ \mathcal{L}\left[t^{n}\right]=\int_{0}^{\infty}t^{n}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

用分部积分法，得

$$ \int_{0}^{\infty}t^{n}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=-\left.\frac{t^{n}}{s}\mathrm{e}^{-st}\right|_{0}^{\infty}+\frac{n}{s}\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{n}{s}\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

所以

$$ \mathcal{L}\left[{\mathbf{\textit{t}}}^{n}\right]=\frac{n}{s}\mathcal{L}\left[{\mathbf{\textit{t}}}^{n-1}\right] $$

容易求得，当 n=1 时

$$ \mathcal{L}\left[{\bf\Omega t}\right]=\frac{1}{s^{2}} $$

而 n=2 时

$$ \mathcal{L}\left[t^{2}\right]=\frac{2}{s^{3}} $$

依此类推，得

$$ \mathcal{L}\left[t^{n}\right]=\frac{n!}{s^{n+1}} $$

必须注意到，我们所讨论的单边拉氏变换是从零点开始积分的，因此， $ t<0 $ 区间的函数值与变换结果无关。例如，图4-3中三个函数 $ f_{1}(t) $， $ f_{2}(t) $， $ f_{3}(t) $都具有相同的变换式

$$ F(s)=\frac{1}{s+a} $$

当取式(4-20)的逆变换时，只能给出在 $ t\geqslant0 $时间范围内的函数值

$$ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+a}\right]=\mathrm{e}^{-at}\qquad(t\geqslant0) $$

以后将要看到，单边变换的这一特点，并未给它的应用带来不便，因为在系统分析问题中，往往也是只需求解 $ t \geqslant 0 $ 的系统响应，而 t < 0 的情况由激励接入以前系统的状态所决定。

此外，从图4-3(a)看到，此函数在t=0时产生了跳变，这样，初始条件 $ f(0) $容易发生混淆，为使 $ f(0) $有明确意义，我们仍以 $ f(0_{-}) $与 $ f(0_{+}) $分别表示t从左、右两端趋近于0时所得之 $ f(0) $值，显然，对于图4-3(a)， $ f(0_{-})=0 $， $ f(0_{+})=1 $。当函数 $ f(t) $在0点有跳变时，其导数 $ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} $将出现冲激函数项，为便于研究在t=0点发生的跳变现象，我们规定单边拉氏变换的定义式(4-3)积分下限从0开始

$$ F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

这样定义的好处是把 t=0 处冲激函数的作用考虑在变换之中，当利用拉氏变换方法解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态 $ f(0_- $ ) 而求得全部结果，无需专门计算由 $ 0_- $ 至 $ 0_+ $ 的跳变；否则，若取积分下限从 $ 0_+ $ 开始，对于 t 从 $ 0_- $ 至 $ 0_+ $ 发生的变化还需另行处理（见例 4-13）。以上两种规定分别称为拉氏变换的 $ 0_- $ 系统或拉氏变换的 $ 0_+ $ 系统。本书中在一般情况下采用 $ 0_- $ 系统，今后，未加标注之 t=0，均指 $ t=0_- $。

（4） 冲激函数

由以上规定写出

$$ \mathcal{L}\left[\delta(t)\right]=\int_{0}^{\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=1 $$

如果冲激出现在 $ t=t_{0} $ 时刻 $ (t_{0}>0) $，有

$$ \mathcal{L}\left[\delta(t-t_{0})\right]=\int_{0}^{\infty}\delta(t-t_{0})\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-st_{0}} $$

将上述结果以及其他常用函数的拉氏变换(在下节继续导出)列于表4-1。以后分析电路问题时会经常用到此表。

| 序号 | $ f(t) \quad (t>0) $ | $ F(s) = \mathcal{S}[f(t)] $ |

| --- | --- | --- |

| 1 | 冲激 $ \delta(t) $ | 1 |

| 2 | 阶跃 $ u(t) $ | $ \frac{1}{s} $ |

| 3 | $ e^{-at} $ | $ \frac{1}{s+a} $ |

| 4 | $ t^{n} \quad (n \text{ 是正整数}) $ | $ \frac{n!}{s^{n+1}} $ |

| 5 | $ \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} $ |

| 6 | $ \cos(\omega t) $ | $ \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}} $ |

| 7 | $ e^{-at}\sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega^{2}} $ |

| 8 | $ e^{-at}\cos(\omega t) $ | $ \frac{s+a}{(s+a)^{2}+\omega^{2}} $ |

| 9 | $ te^{-at} $ | $ \frac{1}{(s+a)^{2}} $ |

| 10 | $ t^{n}e^{-at} \quad (n \text{ 是正整数}) $ | $ \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} $ |

| 11 | $ t\sin(\omega t) $ | $ \frac{2\omega s}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}} $ |

| 12 | $ t\cos(\omega t) $ | $ \frac{s^{2}-\omega^{2}}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}} $ |

| 13 | $ \sinh(at) $ | $ \frac{a}{s^{2}-a^{2}} $ |

| 14 | $ \cosh(at) $ | $ \frac{s}{s^{2}-a^{2}} $ |

4.3 拉普拉斯变换的基本性质

虽然，由拉氏变换的定义式(4-3)可以求得一些常用信号的拉氏变换，但是，在实际应用中常常不去作这一积分运算，而是利用拉氏变换的一些基本性质（或称“定理”）得出它们的变换式。这种方法在傅氏变换(第三章)的分析中曾被

采用，下面将要看到，对于拉氏变换，在掌握了一些性质之后，运用有关定理，可以很方便地求得表4-1中所列各变换式。

（一） 线性（叠加）

函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。当函数乘以常数 K 时，其变换式乘以相同的常数 K。

这个性质的数学形式为

若 $ \mathcal{L}[f_{1}(t)]=F_{1}(s),\mathcal{L}[f_{2}(t)]=F_{2}(s),K_{1},K_{2} $ 为常数时，则

$$ \mathcal{L}\left[K_{1}f_{1}(t)+K_{2}f_{2}(t)\right]=K_{1}F_{1}(s)+K_{2}F_{2}(s) $$

证明

$$ \begin{align*}\mathcal{L}\left[K_{1}f_{1}(t)+K_{2}f_{2}(t)\right]=&\int_{0}^{\infty}\left[K_{1}f_{1}(t)+K_{2}f_{2}(t)\right]\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\=&\int_{0}^{\infty}K_{1}f_{1}(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t+\int_{0}^{\infty}K_{2}f_{2}(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\=&K_{1}F_{1}(s)+K_{2}F_{2}(s)\tag{4-}\end{align*} $$

例4-1 求 $ f(t) = \sin(\omega t) $ 的拉氏变换 $ F(s) $ 。

解已知

$$ f(t)=\sin(\omega t)=\frac{1}{2\mathrm{j}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}) $$

$$ \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right]=\frac{1}{s-\mathrm{j}\omega} $$

$$ \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\right]=\frac{1}{s+\mathrm{j}\omega} $$

所以由叠加性可知

$$ \mathcal{L}\left[\sin(\omega t)\right]=\frac{1}{2\mathrm{j}}\left[\frac{1}{s-\mathrm{j}\omega}-\frac{1}{s+\mathrm{j}\omega}\right]=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} $$

用同样方法可求得

$$ \mathcal{L}\left[\cos(\omega t)\right]=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}} $$

（二） 原函数微分

若 $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $，则

$$ \mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]=s F(s)-f(0) $$

其中 $ f(0) $ 是 $ f(t) $ 在 t=0 时的起始值。

本性质已在4.2节给出证明。此处需要指出，当 $ f(t) $在t=0处不连续时， $ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} $在t=0处有冲激 $ \delta(t) $存在，按前节规定，式(4-27)取拉氏变换时，积分下限要从0开始，这时， $ f(0) $应写作 $ f(0_{-}) $，即

$$ \mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]=s F(s)-f(0_{-}) $$

例4-2 已知流经电感的电流 $ i_{L}(t) $ 的拉氏变换为 $ \mathcal{L}\left[i_{L}(t)\right]=I_{L}(s) $，求电感电压 $ v_{L}(t) $ 的拉氏变换。

解 因为

$$ v_{L}(t)=L\ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t} $$

所以

$$ V_{L}(s)=\mathcal{L}\left[v_{L}(t)\right]=\mathcal{L}\left[L\ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}\right]=s L I_{L}(s)-L i_{L}(0) $$

这里 $ i_{L}(0) $ 是电流 $ i_{L}(t) $ 的起始值。如果 $ i_{L}(0)=0 $，得到

$$ V_{L}(s)=s L I_{L}(s) $$

这个结论和正弦稳态分析中的相量法形式相似，在那里，电感的电压相量与电流相量的关系为

$$ \dot{V}_{L}=\mathrm{j}\omega L\dot{I}_{L} $$

在拉氏变换式中的“s”对应相量法中的“jω”。拉氏变换把微分运算变为乘法。

上述对一阶导数的微分定理可推广到高阶导数。类似地，对 $ \frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}} $的拉氏变换以分部积分展开得到

$$ \begin{aligned}\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}^{2}f(t)}{\mathrm{d}t^{2}}\right]&=\mathrm{e}^{-s t}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\bigg|_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-s t}\mathrm{d}t\\&=-\ f^{\prime}(0)+s\big[s F(s)-f(0)\big]\\&=s^{2}F(s)-s f(0)-f^{\prime}(0)\end{aligned} $$

式中 $ f^{\prime}(0) $ 是 $ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} $ 在 0 时刻的取值。

重复以上过程，可导出一般公式如下

$$ \mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}^{n}f(t)}{\mathrm{d}t^{n}}\right]=s^{n}F(s)-\sum_{r=0}^{n-1}s^{n-r-1}f^{(r)}(0) $$

式中 $ f^{(r)}(0) $ 是 r 阶导数 $ \frac{\mathrm{d}^{r}f(t)}{\mathrm{d}t^{r}} $ 在 0 时刻的取值。

（三） 原函数的积分

若 $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $，则

$$ \mathcal{L}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0)}{s} $$

式中 $ f^{(-1)}(0)=\int_{-\infty}^{0}f(\tau)d\tau $ 是 $ f(t) $ 积分式在 t=0 的取值。与前类似，考虑积分式在 t=0 处可能有跳变，取 0_值，即 $ f^{(-1)}(0_{-}) $。

证明

由于 $ \mathcal{L}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\mathcal{L}\left[\int_{-\infty}^{0}f(\tau)\mathrm{d}\tau+\int_{0}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right] $，而其中第一项为常量，即 $ \int_{-\infty}^{0}f(\tau)\mathrm{d}\tau=f^{(-1)}(0) $，所以

$$ \mathcal{L}\left[\int_{-\infty}^{0}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\frac{f^{(-1)}(0)}{s} $$

第二项可借助分部积分求得

$$ \begin{align*}\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=&\int_{0}^{\infty}\left[\int_{0}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\=&\left[-\frac{\mathrm{e}^{-st}}{s}\int_{0}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{1}{s}F(s)\end{align*} $$

所以

$$ \mathcal{L}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0)}{s} $$

例4-3 已知流经电容的电流 $ i_{C}(t) $ 的拉氏变换为 $ \mathcal{L}\left[i_{C}(t)\right]=I_{C}(s) $，求电容电压 $ v_{C}(t) $ 的变换式。

解

因为

$$ v_{C}(t)=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i_{C}(\tau)\mathrm{d}\tau $$

所以

$$ \begin{aligned}{V_{C}(s)}&{{}=\mathcal{L}\left[\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i_{C}(\tau)\mathsf{d}\tau\right]}\\ {}&{{}=\frac{I_{C}(s)}{C s}+\frac{i_{C}^{(-1)}(0)}{C s}=\frac{I_{C}(s)}{C s}+\frac{v_{C}(0)}{s}}\\ \end{aligned} $$

$$ i_{C}^{(-1)}(0)=\int_{-\infty}^{0}i_{C}(\tau)\mathrm{d}\tau $$

式中

它的物理意义是电容两端的起始电荷量。而 $ v_{C}(0) $ 是起始电压。

如果 $ i_{C}^{(-1)}(0)=0 $ (电容初始无电荷)，得到

$$ V_{C}(s)=\frac{I_{C}(s)}{sC} $$

把这个结果也和相量形式的运算规律相比较，在那里，电容的电压电流关系式为

$$ \dot{V}_{C}=\frac{\dot{I}_{C}}{\mathrm{j}\omega C} $$

仍有“s”与“jω”相对应之规律。

下面说明如何用拉氏变换的方法求解微分方程。

例4-4 图4-4所示电路在 t=0 时开关 S 闭合，求输出信号 $ v_{C}(t) $

（1）列写微分方程

$$ Ri(t)+v_{C}(t)=Eu(t) $$

$$ v_{C}(t)\mid_{t=0}=0 $$

将此式改写为只含有一个未知函数 $ v_{C}(t) $ 的形式

$$ R C\frac{\mathrm{d}v_{C}(t)}{\mathrm{d}t}+v_{C}(t)=E u(t) $$

（2）再将上式中各项取拉氏变换得到

$$ R C s V_{C}(s)+V_{C}(s)=\frac{E}{s} $$

解此代数方程，求得

$$ V_{C}(s)=\frac{E}{s(1+RCs)}=\frac{E}{RCs\left(s+\frac{1}{RC}\right)} $$

(3) 求 $ V_{C}(s) $ 的逆变换，将 $ V_{C}(s) $ 表示式分解为以下形式

$$ V_{C}(s)=E\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}\right) $$

$$ v_{C}(t)=\mathcal{L}^{-1}\big[V_{C}(s)\big]=E\big(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}\big)\quad(t\geqslant0) $$

（四）延时（时域平移）

若 $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $，则

$$ \mathcal{L}\left[f(t-t_{0})u(t-t_{0})\right]=\mathrm{e}^{-st_{0}}F(s) $$

证明

$$ \begin{aligned}\mathcal{L}\left[f(t-t_{0})u(t-t_{0})\right]&=\int_{0}^{\infty}\left[f(t-t_{0})u(t-t_{0})\right]\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\int_{t_{0}}^{\infty}f(t-t_{0})\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\ 令 \quad&\tau&=t-t_{0}\end{aligned} $$

则有 $ t = \tau + t_{0} $，代入上式得

$$ \mathcal{D}\left[f(t-t_{0})u(t-t_{0})\right]=\int_{0}^{\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-st_{0}}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}\tau=\mathrm{e}^{-st_{0}}F(s) $$

此性质表明：若波形延迟 $ t_{0} $，则它的拉氏变换应乘以 $ e^{-st_{0}} $。例如延迟 $ t_{0} $ 时间的单位阶跃函数 $ u(t-t_{0}) $，其变换式为 $ \frac{e^{-st_{0}}}{e} $。

例4-5 求图4-5(a)所示矩形脉冲的拉氏变换。矩形脉冲 $ f(t) $ 的宽度为 $ t_{0} $，幅度为 E，它可以分解为阶跃信号 $ Eu(t) $ 与延迟阶跃信号 $ Eu(t - t_{0}) $ 之差，如图4-5(b)和(c)所示。

解已知

$$ f(t)=Eu(t)-Eu(t-t_{0}) $$

$$ \mathcal{L}\left[E u\left(t\right)\right]=\frac{E}{s} $$

由延时定理

$$ \mathcal{I}\left[E u\left(t-t_{0}\right)\right]=\mathrm{e}^{-s t_{0}}\frac{E}{s} $$

所以

$$ \begin{aligned}{\mathcal{L}\left[f({t})\right]}&{{}=\mathcal{L}\left[E u({t})-E u({t}-{t}_{0})\right]}\\ {}&{{}=\frac{E}{s}(1-\mathrm{e}^{-s{t}_{0}})}\\ \end{aligned} $$

（五）s 域平移

若 $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $，则

$$ \mathcal{L}\left[f(t)\mathbf{e}^{-at}\right]=F(s+a) $$

$$ \mathcal{L}\left[f(t)\mathrm{e}^{-at}\right]=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-(s+a)t}\mathrm{d}t=F(s+a) $$

证明

此性质表明，时间函数乘以 $ e^{-at} $，相当于

变换式在 s 域内平移 a。

例4-6 求 $ e^{-at}\sin(\omega t) $ 和 $ e^{-at}\cos(\omega t) $ 的拉氏变换。

解已知

$$ \mathcal{L}\left[\sin(\omega t)\right]=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} $$

由 s 域平移定理

$$ \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{-a t}\sin(\omega t)\right]=\frac{\omega}{\left(s+a\right)^{2}+\omega^{2}} $$

同理，因

$$ \mathcal{L}\left[\cos(\omega t)\right]=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}} $$

故有

$$ \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{-a t}\cos(\omega t)\right]=\frac{s+a}{\left(s+a\right)^{2}+\omega^{2}} $$

（六）尺度变换

若 $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $，则

$$ \mathcal{L}\left[f(a t)\right]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\quad(a>0) $$

证明

$$ \mathcal{L}\left[f(a t)\right]=\int_{0}^{\infty}f(a t)\mathrm{e}^{-s t}\mathrm{d}t $$

令 $ \tau=at $，则上式变成

$$ \mathcal{L}\left[f(at)\right]=\int_{0}^{\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-\left(\frac{s}{a}\right)\tau}\mathrm{d}\left(\frac{\tau}{a}\right)=\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-\left(\frac{s}{a}\right)\tau}\mathrm{d}\tau=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) $$

例4-7 已知 $ \mathcal{L}[f(t)] = F(s) $，若 a > 0, b > 0，求 $ \mathcal{L}[f(at - b)u(at - b)] $。

解 此问题既要用到尺度变换定理，也要引用延时定理。

先由延时定理求得

$$ \mathcal{L}\left[f(t-b)u(t-b)\right]=F(s)\mathrm{e}^{-bs} $$

再借助尺度变换定理即可求出所需结果

$$ \mathcal{L}\left[f(a t-b)u(a t-b)\right]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\mathrm{e}^{-s\frac{b}{a}} $$

另一种作法是先引用尺度变换定理，再借助延时定理。这时首先得到

$$ \mathcal{L}\left[f(a t)u(a t)\right]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) $$

然后由延时定理求出

$$ \mathcal{L}\left\{f\left[a\left(t-\frac{b}{a}\right)\right]u\left[a\left(t-\frac{b}{a}\right)\right]\right\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\mathrm{e}^{-s\frac{b}{a}} $$

也即

$$ \mathcal{L}\left[f(a t-b)u(a t-b)\right]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\mathrm{e}^{-s\frac{b}{a}} $$

两种方法结果一致。

（七）初值

若函数 $ f(t) $ 及其导数 $ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} $ 可以进行拉氏变换， $ f(t) $ 的变换式为 $ F(s) $，则

$$ \lim_{t\to0_{+}}f(t)=f(0_{+})=\lim_{s\to\infty}s F(s) $$

证明

由原函数微分定理可知

$$ \begin{align*}sF(s)-f(0_{-})&=\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]\\&=\int_{0_{-}}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\&=\int_{0_{-}}^{0_{+}}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t+\int_{0_{+}}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\&=f(0_{+})-f(0_{-})+\int_{0_{+}}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\end{align*} $$

所以

$$ s F(s)=f(0_{+})+\int_{0_{+}}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-s t}\mathrm{d}t $$

当 $ s \rightarrow \infty $ 时，上式右端第二项的极限为

$$ \lim_{s\to\infty}\biggl[\int_{0_{+}}^{\infty}\frac{\mathop{}\mathrm{d}f(t)}{\mathop{}\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-s t}\mathop{}\mathrm{d}t\biggr]=\int_{0_{+}}^{\infty}\frac{\mathop{}\mathrm{d}f(t)}{\mathop{}\mathrm{d}t}\bigl[\lim_{s\to\infty}\mathrm{e}^{-s t}\bigr]\mathrm{d}t=0 $$

因此，对式 $ (4-36) $取 $ s \to \infty $的极限，有

$$ \lim_{s\to\infty}s F(s)=f(0_{+}) $$

式 $ (4-35) $得证。

若 $ f(t) $ 包含冲激函数 $ k\delta(t) $，则上述定理需作修改，此时 $ \mathcal{I}[f(t)] = F(s) = k + F_{1}(s) $，式中 $ F_{1}(s) $ 为真分式，在导出式 (4-36) 时，等式右端还应包含 ks 项，初值定理应表示为

$$ f(0_{+})=\lim_{s\to\infty}[s F(s)-k s] $$

或

$$ f(0_{+})=\lim_{s\to\infty}s F_{1}(s) $$

（八） 终值

若 $ f(t) $及其导数 $ \frac{df(t)}{dt} $可以进行拉氏变换， $ f(t) $的变换式为 $ F(s) $，而且 $ \lim_{t\to\infty}f(t) $存在，则

$$ \lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}s F(s) $$

证明

利用式 $ (4-36) $，取 $ s \to 0 $ 之极限，有

$$ \lim_{s\to0}s F(s)=f(0_{+})+\lim_{s\to0}\int_{0_{+}}^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=f(0_{+})+\lim_{t\to\infty}f(t)-f(0_{+}) $$

于是得到

$$ \lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}s F(s) $$

初值定理告诉我们，只要知道变换式 $ F(s) $，就可直接求得 $ f(0_{+}) $ 值；而借助终值定理，可从 $ F(s) $ 来求 $ t \to \infty $ 时的 $ f(t) $ 值。

关于终值定理的应用条件限制还需作些说明， $ \lim_{t\to\infty}f(t) $ 是否存在，可从 s 域作出判断，也即：仅当 $ SF(s) $ 在 s 平面的虚轴上及其右边都为解析时（原点除外），终值定理才可应用。例如 $ \mathcal{L}\left[\sin(\omega t)\right]=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} $ 变换式分母的根在虚轴上 $ \pm j\omega $ 处，不能应用此定理，显然 $ \sin(\omega t) $ 振荡不止，当 $ t\to\infty $ 时极限不存在。而 $ \mathcal{L}\left[e^{at}\right]=\frac{1}{s-a} $ 分母多项式的根是在右半平面实轴 a 点上，此定理也不能用。在

4.7 节引入“零点”、“极点”的概念以后，这种关系的说明将更为方便。

当电路较为复杂时，初值与终值定理的方便之处将显得突出，因为它不需要作逆变换，即可直接求出原函数的初值和终值。对于某些反馈系统的研究，例如锁相环路系统的稳定性分析，就是这样。

假如以符号 s 与算子 $ j\omega $ 相对照，关于上述两定理的物理概念可作如下解释： $ s \rightarrow 0 (j\omega \rightarrow 0) $，相当于直流状态，因而得到电路稳定的终值 $ f(\infty) $；而 $ s \rightarrow \infty $

$ (j\omega\rightarrow\infty) $，相当于接入信号的突变（高频分量），它可以给出相应的初值 $ f(0_{+}) $

（九） 卷积

此定理与第三章讲述的傅里叶变换卷积定理的形式类似。拉氏变换卷积定理指出

若 $ \mathcal{L}[f_{1}(t)] = F_{1}(s), \mathcal{L}[f_{2}(t)] = F_{2}(s) $，则有

$$ \mathcal{L}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]=F_{1}(s)F_{2}(s) $$

可见，两原函数卷积的拉氏变换等于两函数拉氏变换之乘积。对于单边变换，考虑到 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 均为有始信号，即 $ f_{1}(t)=f_{1}(t)u(t) $， $ f_{2}(t)=f_{2}(t)u(t) $，由卷积定义写出

$$ \mathcal{L}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}f_{1}(\tau)u(\tau)f_{2}(t-\tau)u(t-\tau)\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

交换积分次序并引入符号 x=t- $ \tau $，得到

$$ \begin{align*}\mathcal{L}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]=&\int_{0}^{\infty}f_{1}(\tau)\left[\int_{0}^{\infty}f_{2}(t-\tau)u(t-\tau)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\tau\\=&\int_{0}^{\infty}f_{1}(\tau)\left[\mathrm{e}^{-s\tau}\int_{0}^{\infty}f_{2}(x)\mathrm{e}^{-s x}\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}\tau\\=&F_{1}(s)F_{2}(s)\end{align*} $$

式 $ (4-40) $得证。此式为时域卷积定理，同理可得s域卷积定理（也可称为时域相乘定理）为

$$ \mathcal{L}\left[f_{1}(t)f_{2}(t)\right]=\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\left[F_{1}(s)*F_{2}(s)\right]=\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\int_{\sigma-\mathrm{j}\infty}^{\sigma+\mathrm{j}\infty}F_{1}(p)F_{2}(s-p)\mathrm{d}p $$

在4.6节将进一步讨论卷积定理在电路分析中的应用，并借助卷积定理建立系统函数的概念。

最后，在表4-2中给出拉氏变换主要性质（定理）的有关结论。表中，关于对s微分和对s积分两性质未曾证明，留作练习。

$$ \mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s),\mathcal{L}\left[f_{1}(t)\right]=F_{1}(s),\mathcal{L}\left[f_{2}(t)\right]=F_{2}(s) $$

| 序号 | 名称 | 结论 |

| --- | --- | --- |

| 1 | 线性(叠加) | $ \mathcal{L}[K_1f_1(t)+K_2f_2(t)]=K_1F_1(s)+K_2F_2(s) $ |

| 2 | 对 t 微分 | $ \mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]=sF(s)-f(0) $\n $ \mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}^n f(t)}{\mathrm{d}t}\right]=s^nF(s)-\sum_{r=0}^{n-1}s^{n-r-1}f^{(r)}(0) $ |

| 3 | 对 t 积分 | $ \mathcal{L}\left[\int_{-\infty}^{\tau} f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0)}{s} $\n $ \mathcal{L}\left[f(t-t_0)u(t-t_0)\right]=e^{-s t_0}F(s) $ |

| 4 | 延时(时域平移) | |

| 序号 | 名称 | 结论 |

| --- | --- | --- |

| 5 | s 域平移 | $ \mathcal{L}[f(t)e^{-at}]=F(s+a) $ |

| 6 | 尺度变换 | $ \mathcal{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) $ |

| 7 | 初 值 | $ \lim_{t\to0}f(t)=\lim_{s\to\infty}sF(s) $ |

| 8 | 终 值 | $ \lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s) $ |

| 9 | 卷 积 | $ \mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right]=F_{1}(s)F_{2}(s) $ |

| 10 | 相 乘 | $ \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F_{1}(p)F_{2}(s-p)\mathrm{d}p=\mathcal{L}\left[f_{1}(t)f_{2}(t)\right] $ |

| 11 | 对 s 微分 | $ \mathcal{L}\left[-tf(t)\right]=\frac{\mathrm{d}F(s)}{\mathrm{d}s} $ |

| 12 | 对 s 积分 | $ \mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int_{s}^{\infty}F(s)\mathrm{d}s $ |

4.4 拉普拉斯逆变换

由例4-4已经看到，利用拉氏变换方法分析电路问题时，最后需要求象函数的逆变换。由拉氏变换定义可知，欲求 $ F(s) $之逆变换可按定义式(4-6)进行复变函数积分（用留数定理）求得。实际上，往往可借助一些代数运算将 $ F(s) $表达式分解，分解后各项s函数式的逆变换可从表4-1查出，使求解过程大大简化，无需进行积分运算。这种分解方法称为部分分式分解（或部分分式展开）。

（一） 部分分式分解

由4.3节已经知道，微分算子的变换式要出现s，而积分算子包含 $ \frac{1}{s} $，因此，含有高阶导数的线性、常系数微分（或积分）方程式将变换成s的多项式，或变换成两个s的多项式之比。它们称为s的有理分式。一般具有如下形式

$$ F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}=\frac{a_{m}s^{m}+a_{m-1}s^{m-1}+\cdots+a_{0}}{b_{n}s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_{0}} $$

式中，系数 $ a_{i} $ 和 $ b_{i} $ 都为实数，m 和 n 是正整数。

为便于分解，将 $ F(s) $ 的分母 B(s) 写作以下形式

$$ \boldsymbol{B}(s)=\boldsymbol{b}_{n}(s-\boldsymbol{p}_{1})(s-\boldsymbol{p}_{2})\cdots(s-\boldsymbol{p}_{n}) $$

式中 $ p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} $ 为 $ B(s) = 0 $ 方程式的根，也即，当 s 等于任一根值时， $ B(s) $ 等

于零， $ F(s) $ 等于无限大。 $ p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} $ 称为 $ F(s) $ 的“极点”。

同理， $ A(s) $也可改写为

$$ A\left(s\right)=a_{m}\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right)\cdots\left(s-z_{m}\right) $$

式中 $ z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{m} $ 称为 $ F(s) $ 的“零点”，它们是 $ A(s) = 0 $ 方程式的根。

按照极点之不同特点，部分分式分解方法有以下几种情况。

（1） 极点为实数，无重根

假定 $ p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} $ 均为实数，且无重根，例如，考虑如下的变换式求其逆变换

$$ F(s)=\frac{A(s)}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})} $$

式中 $ p_{1}, p_{2}, p_{3} $ 是不相等的实数。先来分析 m < n 的情况，也即分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次。这时， $ F(s) $ 可分解为以下形式

$$ F(s)=\frac{K_{1}}{s-p_{1}}+\frac{K_{2}}{s-p_{2}}+\frac{K_{3}}{s-p_{3}} $$

显然，查表4-1可求得逆变换

$$ \begin{aligned}{f(t)}&{{}=\mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{K_{1}}{s-p_{1}}\bigg]+\mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{K_{2}}{s-p_{2}}\bigg]+\mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{K_{3}}{s-p_{3}}\bigg]}\\ {}&{{}=K_{1}\mathrm{e}^{p_{1}t}+K_{2}\mathrm{e}^{p_{2}t}+K_{3}\mathrm{e}^{p_{3}t}}\\ \end{aligned} $$

我们的任务是要找到各系数 $ K_{1}, K_{2}, K_{3} $ 之值。为求得 $ K_{1} $，以 $ (s - p_{1}) $ 乘式 (4-46) 两端

$$ \left(s-p_{1}\right)F(s)=K_{1}+\frac{\left(s-p_{1}\right)K_{2}}{s-p_{2}}+\frac{\left(s-p_{1}\right)K_{3}}{s-p_{3}} $$

令 $ s = p_{1} $ 代入式 (4-48) 得到

$$ K_{1}=\left(s-p_{1}\right)F(s)\mid_{s=p_{1}} $$

同理可以求得对任意极点 $ p_{i} $ 所对应的系数 $ K_{i} $

$$ K_{i}=\left(s-p_{i}\right)F(s)\mid_{s=p_{i}} $$

例4-8 求下示函数的逆变换

$$ F(s)=\frac{10(s+2)(s+5)}{s(s+1)(s+3)} $$

解 将 $ F(s) $ 写成部分分式展开形式

$$ F(s)=\frac{K_{1}}{s}+\frac{K_{2}}{s+1}+\frac{K_{3}}{s+3} $$

分别求 $ K_{1}, K_{2}, K_{3} $

$$ K_{1}=sF(s)\mid_{s=0}=\frac{10\times2\times5}{1\times3}=\frac{100}{3} $$

$$ K_{2}=\left(s+1\right)F(s)\mid_{s=-1}=\frac{10(-1+2)(-1+5)}{(-1)(-1+3)}=-20 $$

$$ K_{3}=\left(s+3\right)F(s)\mid_{s=-3}=\frac{10(-3+2)(-3+5)}{(-3)(-3+1)}=-\frac{10}{3} $$

$$ F(s)=\frac{100}{3s}-\frac{20}{s+1}-\frac{10}{3(s+3)} $$

$$ f(t)=\frac{100}{3}-20\mathrm{e}^{-t}-\frac{10}{3}\mathrm{e}^{-3t}\quad(t\geqslant0) $$

故

在以上讨论中，假定 $ F(s)=\frac{A(s)}{B(s)} $ 表示式中 $ A(s) $ 的阶次低于 $ B(s) $ 的阶次，也即 m<n，如果不满足此条件，式(4-46)将不成立。对于 $ m \geqslant n $ 的情况，可用长除法将分子中的高次项提出，余下的部分满足 m<n，仍按以上方法分析，下面给出实例。

例4-9 求下示函数的逆变换

$$ F(s)=\frac{s^{3}+5s^{2}+9s+7}{(s+1)(s+2)} $$

解

用分子除以分母（长除法）得到

$$ F(s)=s+2+\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} $$

现在式中最后一项满足 m<n 的要求，可按前述部分分式展开方法分解得到

$$ F(s)=s+2+\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2} $$

$$ f(t)=\delta^{\prime}(t)+2\delta(t)+2\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-2t}\quad(t\geqslant0) $$

这里， $ \delta^{\prime}(t) $是冲激函数 $ \delta(t) $的导数。

（2） 包含共轭复数极点

这种情况仍可采用上述实数极点求解系数的方法，当然，计算要麻烦些，但根据共轭复数的特点可以有一些取巧的方法。

例如，考虑下示函数的分解

$$ F(s)=\frac{A(s)}{D(s)\left[(s+\alpha)^{2}+\beta^{2}\right]}=\frac{A(s)}{D(s)(s+\alpha-j\beta)(s+\alpha+j\beta)} $$

式中，共轭极点出现在 $ -\alpha \pm j\beta $ 处； $ D(s) $ 表示分母多项式中的其余部分，引入符号 $ F_{1}(s) = \frac{A(s)}{D(s)} $，则式 (4-47) 改写为

$$ F(s)=\frac{F_{1}(s)}{(s+\alpha-\mathrm{j}\beta)(s+\alpha+\mathrm{j}\beta)}=\frac{K_{1}}{s+\alpha-\mathrm{j}\beta}+\frac{K_{2}}{s+\alpha+\mathrm{j}\beta}+\cdots $$

引用式(4-50)求得 $ K_{1}, K_{2} $

$$ K_{1}=\left(s+\alpha-\mathrm{j}\beta\right)F(s)\mid_{s=-\alpha+\mathrm{j}\beta}=\frac{F_{1}(-\alpha+\mathrm{j}\beta)}{2\mathrm{j}\beta} $$

$$ K_{2}=\left(s+\alpha+\mathrm{j}\beta\right)F(s)\mid_{s=-\alpha-\mathrm{j}\beta}=\frac{F_{1}(-\alpha-\mathrm{j}\beta)}{-2\mathrm{j}\beta} $$

不难看出， $ K_{1} $ 与 $ K_{2} $ 呈共轭关系，假定

$$ K_{1}=A+\mathrm{j}B $$

则

$$ K_{2}=\boldsymbol{A}-\mathrm{j}\boldsymbol{B}=K_{1}^{*} $$

如果把(4-52)式中共轭复数极点有关部分的逆变换以 $ f_{C}(t) $表示，则

$$ \begin{aligned}f_{\mathrm{C}}(t)&=\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{K_{1}}{s+\alpha-\mathrm{j}\beta}+\frac{K_{2}}{s+\alpha+\mathrm{j}\beta}\Big]=\mathrm{e}^{-\alpha t}\left(K_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\beta t}+K_{1}^{*}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta t}\right)\\&=2\mathrm{e}^{-\alpha t}\left[A\cos(\beta t)-B\sin(\beta t)\right]\end{aligned} $$

例4-10 求下示函数的逆变换

$$ F(s)=\frac{s^{2}+3}{(s^{2}+2s+5)(s+2)} $$

解

$$ \begin{aligned}F(s)&=\frac{s^{2}+3}{(s+1+\mathrm{j}2)(s+1-\mathrm{j}2)(s+2)}\\&=\frac{K_{0}}{s+2}+\frac{K_{1}}{s+1-\mathrm{j}2}+\frac{K_{2}}{s+1+\mathrm{j}2}\end{aligned} $$

分别求系数 $ K_{0}, K_{1}, K_{2} $

$$ K_{0}=\left(s+2\right)F(s)\mid_{s=-2}=\frac{7}{5} $$

$$ K_{1}=\frac{s^{2}+3}{\left(s+1+\mathrm{j}2\right)\left(s+2\right)}\bigg|_{s=-1+\mathrm{j}2}=\frac{-1+\mathrm{j}2}{5} $$

也即 $ A = -\frac{1}{5} $, $ B = \frac{2}{5} $，借助式(4-57)得到 $ F(s) $ 的逆变换式

$$ f(t)=\frac{7}{5}\mathrm{e}^{-2t}-2\mathrm{e}^{-t}\left[\frac{1}{5}\mathrm{c o s}(2t)+\frac{2}{5}\mathrm{s i n}(2t)\right]\quad(t\geqslant0) $$

例4-11 求下示函数的逆变换

$$ F(s)=\frac{s+\gamma}{\left(s+\alpha\right)^{2}+\beta^{2}} $$

解 显然，此函数式具有共轭复数极点，不必用部分分式展开求系数的方法，将 $ F(s) $ 改写为

$$ F(s)=\frac{s+\gamma}{(s+\alpha)^{2}+\beta^{2}}=\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\beta^{2}}-\frac{\alpha-\gamma}{\beta}\cdot\frac{\beta}{(s+\alpha)^{2}+\beta^{2}} $$

对照表4-1容易得到

$$ f(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos(\beta t)-\frac{\alpha-\gamma}{\beta}\mathrm{e}^{-\alpha t}\sin(\beta t)\quad(t\geqslant0) $$

（3） 有多重极点

考虑下示函数的分解

$$ F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}=\frac{A(s)}{(s-p_{1})^{k}D(s)} $$

式中在 $ s=p_{1} $ 处，分母多项式 $ B(s) $ 有 k 重根，也即 k 阶极点。将 $ F(s) $ 写成展开式

$$ F(s)=\frac{K_{11}}{(s-p_{1})^{k}}+\frac{K_{12}}{(s-p_{1})^{k-1}}+\cdots+\frac{K_{1k}}{s-p_{1}}+\frac{E(s)}{D(s)} $$

这里， $ \frac{E(s)}{D(s)} $ 表示展开式中与极点 $ p_{1} $ 无关的其余部分。为求出 $ K_{11} $，可借助式 (4-59)

$$ K_{11}=\left(s-\left.p_{1}\right)^{k}\right.F(s)\big|_{s=p_{1}} $$

然而，要求得 $ K_{12}, K_{13}, \cdots, K_{1k} $ 等系数，不能再采用类似求 $ K_{11} $ 的方法，因为这样做将导致分母中出现“0”值，而得不出结果。为解决这一矛盾，引入符号

$$ \boldsymbol{F}_{1}(\boldsymbol{s})=(\boldsymbol{s}-\boldsymbol{p}_{1})^{k}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{s}) $$

于是

$$ F_{1}(s)=K_{11}+K_{12}(s-p_{1})+\cdots+K_{1k}(s-p_{1})^{k-1}+\frac{E(s)}{D(s)}(s-p_{1})^{k} $$

对式(4-62)微分得到

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}F_{1}(s)=K_{12}+2K_{13}(s-p_{1})+\cdots+K_{1k}(k-1)(s-p_{1})^{k-2}+\cdots $$

很明显，可以给出

$$ K_{12}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}F_{1}(s)\bigg|_{s=p_{1}} $$

$$ K_{13}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}s^{2}}F_{1}(s)\bigg|_{s=p_{1}} $$

一般形式为

$$ K_{1i}=\frac{1}{(i-1)!}\cdot\frac{\mathrm{d}^{i-1}}{\mathrm{d}s^{i-1}}F_{1}(s)\bigg|_{s=p_{1}} $$

其中

$$ i=1,2,\cdots,k $$

例4-12 求下示函数的逆变换

$$ F(s)=\frac{s-2}{s(s+1)^{3}} $$

解 将 $ F(s) $ 写成展开式

$$ F(s)=\frac{K_{11}}{(s+1)^{3}}+\frac{K_{12}}{(s+1)^{2}}+\frac{K_{13}}{s+1}+\frac{K_{2}}{s} $$

容易求得

$$ K_{2}=s F(s)\mid_{s=0}=-2 $$

为求出与重根有关的各系数，令

$$ F_{1}(s)=\left(s+1\right)^{3}F(s)=\frac{s-2}{s} $$

引用式(4-60)和式(4-64)、式(4-65)得到

$$ K_{11}=\frac{s-2}{s}\bigg|_{s=-1}=3 $$

$$ K_{12}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{s-2}{s}\right)\bigg|_{s=-1}=2 $$

$$ K_{13}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}s^{2}}\left(\frac{s-2}{s}\right)\bigg|_{s=-1}=2 $$

于是有

$$ F(s)=\frac{3}{\left(s+1\right)^{3}}+\frac{2}{\left(s+1\right)^{2}}+\frac{2}{s+1}-\frac{2}{s} $$

逆变换为

$$ f(t)=\frac{3}{2}t^{2}\mathrm{e}^{-t}+2t\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{-t}-2\quad(t\geqslant0) $$

（二） 用留数定理求逆变换

现在讨论如何从式(4-6)按复变函数积分求拉普拉斯逆变换。将该式重新写于此处

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\int_{\sigma-\mathrm{j}\infty}^{\sigma+\mathrm{j}\infty}F(s)\mathrm{e}^{s t}\mathrm{d}s\quad(t\geqslant0) $$

为求出此积分，可从积分限 $ \sigma_{1}-j\infty $ 到 $ \sigma_{1}+j\infty $ 补足一条积分路径以构成一团合围线。现取积分路径是半径为无限大的圆弧，如图4-6所示。这样，就可以应用留数定理，式(4-6)积分式等于围线中被积函数 $ F(s)e^{st} $ 所有极点的留数之和，可表示为

$ \mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\sum_{极点}[F(s)\mathrm{e}^{st}的留数] $

设在极点 $ s = p_{i} $ 处的留数为 $ r_{i} $，并设 $ F(s) \cdot e^{st} $ 在围线中共有 n 个极点，则

$$ \mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\right]=\sum_{i=1}^{n}r_{i}\quad(4-67) $$

若 $ p_{i} $ 为一阶极点，则

$$ r_{i}=\left[\left(s-p_{i}\right)F(s)\mathrm{e}^{s t}\right]\big|_{s=p_{i}} $$

若 $ p_{i} $为k阶极点，则

$$ r_{i}=\frac{1}{(k-1)!}\left[\frac{\mathrm{d}^{k-1}}{\mathrm{d}s^{k-1}}(s-p_{i})^{k}F(s)\mathrm{e}^{s t}\right]\bigg|_{s=p.} $$

将以上结果与部分分式展开相比较，不难看出，两种方法所得结果是一样的。具体说，对一阶极点而言，部分分式的系数与留数的差别仅在于因子 $ e^{st} $ 的有无，经逆变换后的部分分式就与留数相同了。对高阶极点而言，由于留数公式中含有因子 $ e^{st} $，在取其导数时，所得不止一项，遂与部分分式展开法结果相同。

从以上分析可以看出，当 $ F(s) $ 为有理分式时，可利用部分分式分解和查表的方法求得逆变换，无需引用留数定理。如果 $ F(s) $ 表达式为有理分式与 $ e^{-st} $ 相乘时，可再借助延时定理得出逆变换。当 $ F(s) $ 为无理函数时，需利用留数定理求逆变换，然而，这种情况在电路分析问题中几乎不会遇到。

4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型

首先研究例题，仿照例4-4的方法用拉氏变换分析电路，然后给出s域元件模型的概念和应用实例，使这种分析方法进一步简化。

例4-13 图4-7所示电路，当t<0时，开关位于“1”端，电路的状态已经稳定，t=0时开关从“1”端打到“2”端，分别求 $ v_{C}(t) $与 $ v_{R}(t) $波形。

解

首先求 $ v_{C}(t) $，这里遵循与例4-4相同的步骤。

（1）列写微分方程

$$ RC\ \frac{\mathrm{d}v_{C}}{\mathrm{d}t}+v_{C}=E $$

由于 t=0 时，电容已充有电压 -E，从 0 到 $ 0_{+} $ 电容电压没有变化。

$$ \upsilon_{C}(0_{+})=\upsilon_{C}(0_{-})=-E $$

（2）取拉氏变换

$$ R C\left[s V_{C}(s)-v_{C}(0)\right]+V_{C}(s)=\frac{E}{s} $$

$$ V_{C}(s)=\frac{\frac{E}{s}-R C E}{1+R C s}=\frac{E\left(\frac{1}{R C}-s\right)}{s\left(s+\frac{1}{R C}\right)} $$

(3) 求 $ V_{C}(s) $ 之逆变换

$$ V_{C}(s)=E\left(\frac{1}{s}-\frac{2}{s+\frac{1}{RC}}\right) $$

$$ v_{C}(t)=E-2E\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}\quad(t\geqslant0) $$

画出波形如图4-8(a)所示。

下面求 $ v_{R}(t) $，请注意，这里遇到待求函数从0到 $ 0_{+} $发生跳变的情况。

(1) $ \frac{1}{RC}\int v_{R}(t)dt + v_{R}(t) = v_{1}(t) $

$$ \begin{aligned}&\frac{1}{RC}v_{R}(t)+\frac{\mathrm{d}v_{R}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v_{1}(t)}{\mathrm{d}t}\\&v_{R}(0_{-})=0,v_{R}(0_{+})=2E\\ \end{aligned} $$

按0_条件进行分析，这时有

$$ \frac{\mathrm{d}v_{1}(t)}{\mathrm{d}t}=2E\delta(t) $$

(2) $ \frac{1}{RC}V_{R}(s)+sV_{R}(s)=2E $

$$ V_{R}(s)=\frac{2E}{s+\frac{1}{RC}} $$

(3) $ v_{R}(t)=2E\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}\cdot u(t) $

画出波形如图4-8(b)所示。

如果按 $ 0_{+} $ 条件代入，当取拉氏变换时，在等式左端 $ sV_{R}(s) $ 项之后应出现 -2E，与此同时，对 $ v_{1}(t) $ 之求导也从 $ 0_{+} $ 计算，于是有 $ \frac{dv_{1}(t)}{dt}=0 $，这时可得到同样结果。由于在一般电路分析问题中， $ 0_{-} $ 条件往往已给定，选用 0 系统中系统将使分析过程简化。

例4-14 图4-9所示电路起始状态为0, t=0时开关S闭合，接入直流电源E，求电流 $ i(t) $波形。

解

(1)

$$ L\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri+\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t=Eu\left(t\right) $$

$$ i\left(0\right)=0,\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t\bigg|_{t=0}=0 $$

(2)

$$ L s I(s)+R I(s)+\frac{1}{C s}I(s)=\frac{E}{s} $$

$$ I\left(s\right)=\frac{E}{s\left(Ls+R+\frac{1}{sC}\right)}=\frac{E}{L}\frac{1}{\left(s^{2}+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}\right)} $$

为进一步简化，求 $ s^{2}+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0 $ 方程的根 $ p_{1}, p_{2} $

$$ p_{1}=-\frac{R}{2L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}} $$

$$ p_{2}=-\frac{R}{2L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}} $$

故

$$ \begin{aligned}I(s)&=\frac{E}{L}\bullet\frac{1}{(s-p_{1})(s-p_{2})}\\&=\frac{E}{L}\bullet\left[\frac{1}{(p_{1}-p_{2})(s-p_{1})}+\frac{1}{(p_{2}-p_{1})(s-p_{2})}\right]\\&=\frac{E}{L}\bullet\frac{1}{(p_{1}-p_{2})}\left(\frac{1}{s-p_{1}}-\frac{1}{s-p_{2}}\right)\\ \end{aligned} $$

（3）求逆变换

$$ i(t)=\frac{E}{L(p_{1}-p_{2})}(\mathrm{e}^{p_{1}t}-\mathrm{e}^{p_{2}t}) $$

至此，虽已得到 $ i(t) $，但式中 $ p_{1}, p_{2} $ 还需用 R, L, C 代入，为讨论方便，引用符号

$$ \alpha=\frac{R}{2L},\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$

则

$$ p_{1}=-\alpha+\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}},p_{2}=-\alpha-\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}} $$

由于所给 R, L, C 参数相对不同， $ p_{1}, p_{2} $ 式中根号项可能为实数或虚数，以致 i(t) 波形也不一样，还要分成以下四种情况说明：

第一种情况 $ \alpha=0 $ (即 R=0, 无损耗的 LC 回路)

$$ \begin{aligned}p_{1}&=\mathrm{j}\omega_{0}\\p_{2}&=-\mathrm{j}\omega_{0}\\i\left(t\right)=\frac{E}{L}\bullet\frac{1}{2\mathrm{j}\omega_{0}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{0}t})\\=E\sqrt{\frac{C}{L}}\bullet\sin(\omega_{0}t)\end{aligned} $$

这时，阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡，如图4-10(a)所示。

第二种情况 $ \alpha<\omega_{0} $（即 R 较小，高 Q 的 LC 回路， $ Q=\frac{\omega_{0}}{2\alpha} $）

这时，由于 $ \alpha<\omega_{0} $， $ p_{1} $ 与 $ p_{2} $ 表示式中根号部分是虚数。再引入符号

$$ \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}} $$

所以

$$ \begin{aligned}\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}&=\mathrm{j}\omega_{\mathrm{d}}\\p_{1}&=-\alpha+\mathrm{j}\omega_{\mathrm{d}}\\p_{2}&=-\alpha-\mathrm{j}\omega_{\mathrm{d}}\end{aligned} $$

$$ i\left(t\right)=\frac{E}{L}\bullet\frac{1}{2\mathrm{j}\omega_{\mathrm{d}}}\left[\mathrm{e}^{\left(-\alpha+\mathrm{j}\omega_{\mathrm{d}}\right)t}-\mathrm{e}^{\left(-\alpha-\mathrm{j}\omega_{\mathrm{d}}\right)t}\right] $$

$$ =\frac{E}{L\omega_{d}}\cdot e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t) $$

得到衰减振荡如图4-10(b)所示，R越小， $ \alpha $就越小，衰减越慢，R大则衰减快。

第三种情况 $ \alpha = \omega_{0} $

$$ \frac{R}{2L}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$

$$ p_{1}=p_{2}=-\alpha $$

这是有重根的情况， $ I(s) $ 表示式为

$$ I(s)=\frac{E}{L}\cdot\frac{1}{(s-p_{1})(s-p_{2})}=\frac{E}{L}\cdot\frac{1}{(s+\alpha)^{2}} $$

于是可得

$$ i(t)=\frac{E}{L}\bullet t\mathrm{e}^{-at}=\frac{E}{L}\bullet t\mathrm{e}^{-\frac{R}{2L}t} $$

这时，由于 R 较大，阻尼大而不能产生振荡，是临界情况，如图 4-10(c) 所示波形。

第四种情况 $ \alpha > \omega_{0} $ (R 较大、低 Q，不能振荡)

$$ \begin{aligned}i\left(t\right)&=\frac{E}{L}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}}\cdot\mathrm{e}^{-\alpha t}\left(\mathrm{e}^{\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}t}-\mathrm{e}^{-\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}t}\right)\\&=\frac{E}{L}\cdot\frac{1}{\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}}\mathrm{e}^{-\alpha t}\cdot\mathrm{s i n h}(\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}t)\end{aligned} $$

这时 $ i(t) $ 波形是双曲线函数，如图 4-10(d) 所示。

从以上各例可以看出，用列写微分方程取拉氏变换的方法分析电路虽然比较方便，但是当网络结构复杂时（支路和结点较多），列写微分方程这一步就显得烦琐，可考虑简化。模仿正弦稳态分析（交流电路）中相量法，先对元件和支路进行变换，再把变换后的s域电压与电流用KVL和KCL联系起来，这样可使分析过程简化。为此，给出s域元件模型。

L, L, C 元件的时域关系为

$$ v_{R}(t)=R i_{R}(t) $$

$$ v_{L}(t)=L\frac{\mathrm{d}i_{L}(t)}{\mathrm{d}t} $$

$$ v_{C}(t)=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i_{C}(\tau)\mathrm{d}\tau $$

将以上三式分别进行拉氏变换，得到

$$ V_{R}(s)=RI_{R}(s) $$

$$ V_{L}(s)=s L I_{L}(s)-L i_{L}(0) $$

$$ V_{C}(s)=\frac{1}{sC}I_{C}(s)+\frac{1}{s}v_{C}(0) $$

经过变换以后的方程式可以直接用来处理 s 域中 $ V(s) $ 与 $ I(s) $ 之间的关系，对

每个关系式都可构成一个 s 域网络模型，如图 4-11 所示，元件符号是 s 域中广义欧姆定律的符号，也就是说，电阻符号表示下列关系

$$ V_{R}(s)=RI_{R}(s) $$

而电感与电容的符号分别表示（不考虑起始条件）

$$ V_{L}(s)=s L I_{L}(s) $$

$$ V_{C}(s)=\frac{1}{sC}I_{C}(s) $$

式(4-74)和式(4-75)中起始状态引起的附加项，在图4-11中用串联的电压源来表示。这样做的实质是把KVL和KCL直接用于s域，就像把它用于时域以及用于相量运算一样。

然而，图4-11的模型并非惟一的，将式(4-73)至式(4-75)对电流求解，得到

$$ I_{R}(s)=\frac{1}{R}V_{R}(s) $$

$$ I_{L}(s)=\frac{1}{s L}V_{L}(s)+\frac{1}{s}i_{L}(0) $$

$$ I_{C}(s)=s C V_{C}(s)-C v_{C}(0) $$

与此对应的 s 域网络模型如图 4-12。在列写结点方程式时用图 4-12 的模型方便，而列写回路方程时则宜采用图 4-11。不难看出，把戴维宁定理与诺顿定理直接用于 s 域也是可以的，图 4-11 中的电压源变换为图 4-12 的电流源正好说明了这一点。

把网络中每个元件都用它的 s 域模型来代替，把信号源直接写作变换式，这样就得到全部网络的 s 域模型图，对此电路模型采用 KVL 和 KCL 分析即可找到所需求解的变换式，这时，所进行的数学运算是代数关系，它与电阻性网络的分析方法一样。

例4-15 用 s 域模型的方法求解图4-7（例4-13）电路的 $ v_{C}(t) $。

解 画出 s 域网络模型如图 4-13 所示。根据图 4-13 可以写出

$$ \left(R+\frac{1}{sC}\right)I(s)=\frac{E}{s}+\frac{E}{s} $$

求出 $ I(s) $

$$ I(s)=\frac{2E}{s\left(R+\frac{1}{s C}\right)} $$

再求得 $ V_{C}(s) $

$$ \begin{aligned}V_{C}(s)&=\frac{I(s)}{sC}-\frac{E}{s}=\frac{2E}{s(sCR+1)}-\frac{E}{s}\\&=\frac{E\left(\frac{1}{RC}-s\right)}{s\left(s+\frac{1}{RC}\right)}\end{aligned} $$

至此，已看出与例4-13结果完全一致。

例4−16 图4−14所示电路，t<0时开关S位于“1”端，电路的状态已经稳定，t=0时S从“1”端接到“2”端，求 $ i_{L}(t) $。

解 由题意求得电流起始值

$$ i_{L}(0)=-\frac{E_{1}}{R_{1}} $$

画出 s 域模型如图 4-15 所示，这里，为便于求解，将 $ E_{2}, R_{2} $ 等效为电流源与电阻并联。

假定流过 sL 的电流为 $ I_{L0}(s) $，不难写出

$$ \begin{aligned}I_{L0}(s)&=\frac{\frac{E_{1}}{sR_{1}}+\frac{E_{2}}{sR_{2}}}{\frac{1}{R_{0}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{sL}}\bullet\frac{1}{sL}\\&=\frac{\frac{1}{s}\left(\frac{E_{1}}{R_{1}}+\frac{E_{2}}{R_{2}}\right)}{\frac{sL\left(R_{0}+R_{2}\right)}{R_{0}R_{2}}+1}\end{aligned} $$

引用符号

$$ \tau=\frac{L\left(R_{0}+R_{2}\right)}{R_{0}R_{2}} $$

则

$$ \begin{aligned}I_{L0}(s)&=\frac{\frac{E_{1}}{R_{1}}+\frac{E_{2}}{R_{2}}}{s(s\tau+1)}\\&=\left(\frac{E_{1}}{R_{1}}+\frac{E_{2}}{R_{2}}\right)\left\{\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}\right\}\end{aligned} $$

由结点电流关系求得

$$ \begin{aligned}I_{L}(s)&=I_{L0}(s)-\frac{E_{1}}{sR_{1}}\\&=\frac{E_{2}}{sR_{2}}-\left(\frac{E_{1}}{R_{1}}+\frac{E_{2}}{R_{2}}\right)\bullet-\frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}\end{aligned} $$

显然，逆变换为

$$ i_{L}(t)=\frac{E_{2}}{R_{2}}-\left(\frac{E_{1}}{R_{1}}+\frac{E_{2}}{R_{2}}\right)\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\quad(t\geqslant0) $$

波形如图4-16所示。

当所分析的网络具有较多结点或回路

时，s 域模型的方法比列写微分方程再取变换的方法要明显简化。

4.6 系统函数(网络函数) $ H(s) $

在起始条件为零的情况下，s 域元件模型可以得到简化，这时，描述动态元件 $ (L,C) $起始状态的电压源或电流源将不存在，各元件方程式都可写作以下的简单形式

$$ V(s)=Z(s)I(s) $$

或

$$ I(s)=Y(s)V(s) $$

式中 $ Z(s) $ 称为 s 域阻抗， $ Y(s) $ 是 s 域导纳。在此情况下，网络任意端口激励信号的变换式与任意端口响应信号的变换式之比仅由网络元件的阻抗、导纳特性

决定，可用“系统函数”或“网络函数”来描述这一特性。它的定义如下：

系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为“系统函数”（或网络函数），以 $ H(s) $表示。

例4-17 图4-17所示电路在 t=0 时开关 S

闭合，接入信号源 $ e(t)=V_{m}\sin(\omega t) $，电感起始电流等于零，求电流 i(t)。

解

假定输入信号的变换式写作

$$ E(s)=\mathcal{L}\left[V_{\mathrm{m}}\mathrm{s i n}(\omega t)\right] $$

那么，可以将 $ I(s) $表示为

$$ I(s)=\frac{1}{Ls+R}\cdot E(s) $$

下一步需要求逆变换，用卷积定理找出 $ I(s) $ 的原函数 $ i(t) $，为此引用

$$ \frac{1}{L s+R}=\mathcal{L}\left[\frac{1}{L}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}\right] $$

于是由卷积定理可知

$$ \begin{aligned}i\left(t\right)&=\frac{1}{L}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}*V_{\mathrm{m}}\mathrm{sin}\left(\omega t\right)\\&=\int_{0}^{t}V_{\mathrm{m}}\mathrm{sin}\left(\omega\tau\right)\bullet\frac{1}{L}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}\left(t-\tau\right)}\mathrm{d}\tau\\&=\frac{V_{\mathrm{m}}}{L}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}\int_{0}^{t}\mathrm{sin}\left(\omega\tau\right)\mathrm{e}^{\frac{R}{L}\tau}\mathrm{d}\tau\\&=\frac{V_{\mathrm{m}}}{L}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}\bullet\frac{1}{\omega^{2}+\left(\frac{R}{L}\right)^{2}}\left\{\mathrm{e}^{\frac{R}{L}\tau}\left[\frac{R}{L}\mathrm{sin}\left(\omega\tau\right)-\omega\cos\left(\omega\tau\right)\right]\right\}\Bigg|_{0}^{t}\\&=\frac{V_{\mathrm{m}}}{L}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}\bullet\frac{1}{\omega^{2}+\left(\frac{R}{L}\right)^{2}}\left\{\mathrm{e}^{\frac{R}{L}t}\left[\frac{R}{L}\mathrm{sin}\left(\omega t\right)-\omega\cos\left(\omega t\right)\right]+\omega\right\}\\&=\frac{V_{\mathrm{m}}}{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}\left\{\left[\left(R\sin\left(\omega t\right)-\omega L\cos\left(\omega t\right)\right)\right]+\omega L\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}\right\}\\&=\frac{V_{\mathrm{m}}}{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}\left[\omega L\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}+\sqrt{R^{2}+\omega^{2}L^{2}}\sin\left(\omega t-\varphi\right)\right]\\ \end{aligned} $$

其中

$$ \varphi=\arctan\left({\frac{\omega L}{R}}\right) $$

波形如图4-18所示。

在本例中，系统函数 $ H(s) $ 为

$$ \frac{I(s)}{E(s)}=H(s)=\frac{1}{Ls+R} $$

在求解过程中借助了卷积定理，当然也可不用卷积，将 $ I(s) $表达式展开

$$ \begin{aligned}I\left(s\right)&=\frac{1}{Ls+R}\bullet\frac{V_{\mathrm{m}}\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\\&=\frac{V_{\mathrm{m}}\omega}{L}\left\{\frac{K_{0}}{s+\frac{R}{L}}+\frac{K_{1}}{s-\mathrm{j}\omega}+\frac{K_{2}}{s+\mathrm{j}\omega}\right\}\end{aligned} $$

其中

$$ K_{0}=\frac{1}{s^{2}+\omega^{2}}\bigg|_{s=-\frac{R}{L}}=\frac{1}{\omega^{2}+\left(\frac{R}{L}\right)^{2}} $$

$$ \begin{aligned}K_{1}&=\left(\frac{1}{s+\frac{R}{L}}\right)\left(\frac{1}{s+\mathrm{j}\omega}\right)\Big|_{s=+\mathrm{j}\omega}\\&=\frac{1}{2\left[\omega^{2}+\left(\frac{R}{L}\right)^{2}\right]}\Big(-1-\mathrm{j}\frac{R}{\omega L}\Big)\end{aligned} $$

而 $ K_{2} $ 与 $ K_{1} $ 共轭，参照表4-1求逆变换即可得到 $ i(t) $，与前面方法得到的结果相同。

下面进一步研究在上例求解过程中引用卷积的实质。一般情况下，若线

性时不变系统的激励、零状态响应和冲激响应分别为 $ e(t) $, $ r(t) $, $ h(t) $, 它们的拉氏变换分别为 $ E(s) $, $ R(s) $, $ H(s) $, 由时域分析可知

$$ r(t)=h(t)*e(t) $$

借助卷积定理可得

$$ \boldsymbol{R}(s)=\boldsymbol{H}(s)\boldsymbol{E}(s) $$

或

$$ H(s)=\frac{R(s)}{E(s)} $$

而冲激响应 $ h(t) $ 与系统函数 $ H(s) $ 构成变换对，即

$$ H(s)=\mathcal{L}\left[h\left(t\right)\right] $$

$ h(t) $ 和 $ H(s) $ 分别从时域和 s 域表征了系统的特性。

例 4-17 中的 $ H(s) $ 是电流与电压之比，也即导纳。一般在网络分析中，由于激励与响应既可以是电压，也可能是电流，因此网络函数可以是阻抗（电压比电流），或为导纳（电流比电压），也可以是数值比（电流比电流或电压比电压）。此外，若激励与响应是同一端口，则网络函数称为“策动点函数”（或“驱动点函数”），如图 4-19 中的 $ V_{i}(s) $ 与 $ I_{i}(s) $；若激励与响应不在同一端口，就称为“转

移函数”(或“传输函数”),如图4-19中的 $ V_{i}(s) $[或 $ I_{i}(s) $]与 $ V_{j}(s) $[或 $ I_{j}(s) $]。显然，策动点函数只可能是阻抗或导纳；而转移函数可以是阻抗、导纳或比值。例如式(4-82)，它是策动点导纳函数。

将上述不同条件下网络函数的特定名称列于表4-3。在一般的系统分析中，对于这些名称往往不加区分，统称为系统函数或转移函数。

当利用 $ H(s) $ 求解网络响应时，首先需求出 $ H(s) $，然后有两种解法，一种方法是取 $ H(s) $ 逆变换得到 $ h(t) $，由 $ h(t) $ 与 $ e(t) $ 之卷积求得 $ r(t) $，另一种方法是将 $ R(s)=H(s)E(s) $ 用部分分式法展开，逐项求出逆变换即得 $ r(t) $。无论用哪种方法，求 $ H(s) $ 是关键的一步。下面讨论在网络分析中求 $ H(s) $ 的一般方法。

求 $ H(s) $ 的方法是：将待求解之网络作出 s 域元件模型图，按照元件约束特性和拓扑约束（KCL, KVL）特性，写出响应函数 $ R(s) $ 与激励函数 $ E(s) $ 之比，此即 $ H(s) $ 表示式。通常，这种方法具体表现为利用电路元件的串、并联简化或分压、分流等概念求解电路，必要时可借助戴维宁定理、诺顿定理、叠加定理以及 $ Y - \Delta $ 转换等间接方法。列写网络的回路电压方程式或结点电流方程式，可以给出求 $ H(s) $ 的一般表示式，现以回路方程为例说明这种方法，设待求解网络有 l 个回路，可列出 l 个方程式

$$ \left.\begin{aligned}Z_{11}(s)I_{1}(s)+Z_{12}(s)I_{2}(s)+\cdots+Z_{1l}(s)I_{l}(s)&=V_{1}(s)\\ Z_{21}(s)I_{1}(s)+Z_{22}(s)I_{2}(s)+\cdots+Z_{2l}(s)I_{l}(s)&=V_{2}(s)\\ \vdots\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\\ Z_{l1}(s)I_{1}(s)+Z_{l2}(s)I_{2}(s)+\cdots+Z_{ll}(s)I_{l}(s)&=V_{l}(s)\end{aligned}\right\} $$

式中包含 l 个电流 $ I(s) $ 和 l 个电压 $ V(s) $，而 $ Z(s) $ 为各回路的 s 域互阻抗或自阻抗，写作矩阵形式为

$$ \mathbf{V}=\mathbf{Z}\mathbf{I} $$

$$ \mathbf{I}=\mathbf{Z}^{-1}\mathbf{V} $$

这里，V 和 I 分别为列向量，Z 是方阵。

可以解出，第 k 个回路电流 $ I_{k} $ 表示式为

$$ I_{k}(s)=\frac{\Delta_{1k}}{\Delta}\quad V_{1}(s)+\frac{\Delta_{2k}}{\Delta}\quad V_{2}(s)+\cdots+\frac{\Delta_{lk}}{\Delta}\quad V_{l}(s) $$

式中 $ \Delta $ 为 Z 方阵的行列式，称为网络的回路分析行列式（或特征方程式），而 $ \Delta_{jk} $ 是行列式 $ \Delta $ 中元素 $ Z_{jk} $ 的代数补式或称代数余子式[在 $ \Delta $ 行列式中，去掉第 j 行 k 列，乘以 $ (-1)^{j+k} $] $ 。注意，对于互易网络，因方阵 Z 为对称矩阵，因而 $ \Delta_{jk} = \Delta_{kj} $ 。

如果在所研究之问题中，仅 $ V_{j}(s) \neq 0 $，其余 $ V(s) $ 都等于零（其他回路没有激励信号接入），则可求出

$$ I_{k}(s)=\frac{\Delta_{j k}}{\Delta}\ V_{j}(s) $$

即，网络函数 $ H(s) $为

$$ Y_{k j}(s)=\frac{I_{k}(s)}{V_{j}(s)}=\frac{\Delta_{j k}}{\Delta} $$

当 $ k \neq j $ 时，此网络函数为转移导纳函数，当 k = j 时是策动点导纳函数。

类似地，可由列写结点方程找到式(4-91)的对偶形式，求转移阻抗或策动点阻抗。

以上结果表明，网络行列式(特征方程) $ \Delta $反映了 $ H(s) $的特性，实际上，常常利用特征方程的根来描述系统的有关性能，稍后几节将介绍利用特征方程的根进行系统分析的某些研究方法。

例4-18 图4-20所示电路中电容均为1F，电阻均为1Ω，试求电路的

转移导纳函数 $ Y_{21}(s)=\frac{I_{2}(s)}{V_{1}(s)} $

解

在图4-27中标注各回路电流 $ I_{1}(s) $， $ I_{2}(s) $， $ I_{3}(s) $，依此列写回路方程式如下

$$ \left(\frac{1}{s}+1\right)I_{1}(s)+I_{2}(s)-\frac{1}{s}I_{3}(s)=V_{1}(s) $$

$$ \left.\begin{array}{l l}{{I_{1}(s)+\left(\frac{1}{s}+2\right)I_{2}(s)+\frac{1}{s}I_{3}(s)=0}}\\ {{-\frac{1}{s}I_{1}(s)+\frac{1}{s}I_{2}(s)+\left(\frac{2}{s}+1\right)I_{3}(s)=0}}\end{array}\right\} $$

为求得 $ Y_{21}(s)=\frac{I_{2}(s)}{V_{1}(s)} $，分别写出

$$ \Delta=\left|\begin{array}{c c c}\frac{1}{s}+1&1&-\frac{1}{s}\\1&\frac{1}{s}+2&\frac{1}{s}\\-\frac{1}{s}&\frac{1}{s}&\frac{2}{s}+1\end{array}\right|=\frac{s^{2}+5s+2}{s^{2}} $$

$$ \Delta_{12}=-\left|\begin{array}{cc}1&\frac{1}{s}\\ -\frac{1}{s}&\frac{2}{s}+1\end{array}\right|=-\frac{s^{2}+2s+1}{s^{2}} $$

于是得到

$$ Y_{21}(s)=\frac{\Delta_{12}}{\Delta}=-\frac{s^{2}+2s+1}{s^{2}+5s+2} $$

需要指出，系统函数 $ H(s) $ 的形式与传输算子 $ H(p) $ 类似，但是它们之间存在着概念上的区别。 $ H(p) $ 是一个算子，p 不是变量。而 $ H(s) $ 是变量 s 的函数。在 $ H(s) $ 中，分子和分母的公共因子可以消去，而在 $ H(p) $ 表示式中则不准相消。只有当 $ H(p) $ 的分母与分子没有公因子的条件下， $ H(p) $ 与 $ H(s) $ 的形式才完全对应相同。 $ H(p) $ 即可用来说明零状态特性，又可说明零输入特性。而 $ H(s) $ 只能用来说明零状态特性。

4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性

拉普拉斯变换将时域函数 $ f(t) $ 变换为 s 域函数 $ F(s) $; 反之，拉普拉斯逆变换将 $ F(s) $ 变换为相应的 $ f(t) $。由于 $ f(t) $ 与 $ F(s) $ 之间存在一定的对应关系，故可以从函数 $ F(s) $ 的典型形式透视出 $ f(t) $ 的内在性质。当 $ F(s) $ 为有理函数时，其分子多项式和分母多项式皆可分解为因子形式，各项因子指明了 $ F(s) $ 零点和极点的位置，显然，从这些零点与极点的分布情况，便可确定原函数的性质。

（一） $ H(s) $ 零、极点分布与 $ h(t) $ 波形特征的对应

系统函数 $ H(s) $ 零、极点的定义与一般象函数 $ F(s) $ 零、极点定义相同（见4.4节），也即， $ H(s) $ 分母多项式之根构成极点，分子多项式的根是零点。还可按以下方式定义：若 $ \lim_{s \to p_1} H(s) = \infty $，但 $ \left[(s - p_1)H(s)\right]_{s = p_1} $ 等于有限值，则 $ s = p_1 $ 处有一阶极点。若 $ \left[(s - p_1)^K H(s)\right]_{s = p_1} $ 直到 K = n 时才等于有限值，则 $ H(s) $ 在 $ s = p_1 $ 处有 n 阶极点。

$ \frac{1}{H(s)} $ 的极点即 $ H(s) $ 的零点，当 $ \frac{1}{H(s)} $ 有 n 阶极点时，即 $ H(s) $ 有 n 阶零点。

例如，若

$$ \begin{aligned}H(s)&=\frac{s\left[(s-1)^{2}+1\right]}{(s+1)^{2}(s^{2}+4)}\\&=\frac{s(s-1+\mathrm{j}1)(s-1-\mathrm{j}1)}{(s+1)^{2}(s+\mathrm{j}2)(s-\mathrm{j}2)}\end{aligned} $$

那么，它的极点位于

$$ \left\{\begin{aligned}s&=-1\quad( 二阶 )\\ s&=-j2\quad( 一阶 )\\ s&=+j2\quad( 一阶 )\end{aligned}\right. $$

而其零点位于

$$ \left\{\begin{aligned}&s=0&( 一阶 )\\ &s=1+j1&( 一阶 )\\ &s=1-j1&( 一阶 )\\ &s=\infty&( 一阶 )\end{aligned}\right. $$

将此系统函数的零、极点图绘于图4-21中的s平面内，用符号圆圈“○”表示零点，“×”表示极点。在同一位置画两个

相同的符号表示二阶，例如 s = -1 处有

二阶极点。

由于系统函数 $ H(s) $ 与冲激响应 $ h(t) $ 是一对拉普拉斯变换式，因此，只要知道 $ H(s) $ 在 s 平面中零、极点的分布情况，就可预言该系统在时域方面 $ h(t) $ 波形的特性。

对于集总参数线性时不变系统，其系统函数 $ H(s) $可表示为两个多项式之比，具有以下形式

$$ H(s)=\frac{K\prod\limits_{j=1}^{m}(s-z_{j})}{\displaystyle\prod\limits_{i=1}^{n}(s-p_{i})} $$

其中， $ z_{j} $ 表示第 j 个零点的位置， $ p_{i} $ 表示第 i 个极点的位置。零点有 m 个，极点有 n 个。K 是一个系数。

如果把 $ H(s) $ 展开部分分式，那么， $ H(s) $ 每个极点将决定一项对应的时间

函数。具有一阶极点 $ p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} $ 的系统函数其冲激响应形式如下

$$ \begin{aligned}{h\left(t\right)}&{{}=\mathcal{L}^{-1}\big[H(s)\big]=\mathcal{L}^{-1}\bigg[\sum_{i=1}^{n}\frac{K_{i}}{s-p_{i}}\bigg]}\\ {}&{{}=\mathcal{L}^{-1}\big[\sum_{i=1}^{n}H_{i}(s)\big]=\sum_{i=1}^{n}h_{i}(t)=\sum_{i=1}^{n}K_{i}\mathbf{e}^{p_{i}t}}\\ \end{aligned} $$

这里， $ p_{i} $ 可以是实数，但一般情况下， $ p_{i} $ 以成对的共轭复数形式出现。各项相应的幅值由系数 $ K_{i} $ 决定，而 $ K_{i} $ 则与零点分布情况有关。

下面研究几种典型情况的极点分布与原函数波形的对应关系。

（1）若极点位于 s 平面坐标原点， $ H_{i}(s)=\frac{1}{s} $，那么，冲激响应就为阶跃函数， $ h_{i}(t)=u(t) $。

（2）若极点位于 s 平面的实轴上，则冲激响应具有指数函数形式。如 $ H_{i}(s)=\frac{1}{s+a} $，则 $ h_{i}(t)=\mathrm{e}^{-at} $，此时，极点为负实数 $ (p_{i}=-a<0) $，冲激响应是指数衰减（单调减幅）形式；如果 $ H_{i}(s)=\frac{1}{s-a} $，则 $ h_{i}(t)=\mathrm{e}^{at} $，这时，极点是正实数 $ (p_{i}=a>0) $，对应的冲激响应是指数增长（单调增幅）形式。

（3）虚轴上的共轭极点给出等幅振荡。显然 $ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\right]=\sin(\omega t) $，它的两个极点位于 $ p_{1}=+j\omega $ 和 $ p_{2}=-j\omega $。

（4）落于s左半平面内的共轭极点对应于衰减振荡。例如

$$ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\omega}{\left(s+a\right)^{2}+\omega^{2}}\right]=\mathrm{e}^{-at}\sin(\omega t) $$

它的两个极点位于 $ p_{1} = -a + \mathrm{j}\omega $, $ p_{2} = -a - \mathrm{j}\omega $, 这里 -a < 0。与此相反，落于 s 右半平面内的共轭极点对应于增幅振荡。例如 $ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2}\right] = \mathrm{e}^{at} \sin(\omega t) $ 的极点是 $ p_{1} = a + \mathrm{j}\omega $, $ p_{2} = a - \mathrm{j}\omega $, 这里, a > 0。

将以上结果整理如表4-4所示。这里都是一阶极点的情况。

| $ H(s) $ | s平面上的零、极点 | t平面上的波形 | $ h(t)(t\geqslant0) $ |

| --- | --- | --- | --- |

| $ \frac{1}{s} $ | | | u(t) |

| 续表 | | | |

| --- | --- | --- | --- |

| H(s) | s 平面上的零、极点 | t 平面上的波形 | h(t)(t≥0) |

| $ \frac{1}{s+a} $ | | | $ e^{-at} $ |

| $ \frac{1}{s-a} $ | | | $ e^{at} $ |

| $ \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} $ | | | $ \sin(\omega t) $ |

| $ \frac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega^{2}} $ | | | $ e^{-at}\sin(\omega t) $ |

| $ \frac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}} $ | | | $ e^{at}\sin(\omega t) $ |

若 $ H(s) $ 具有多重极点，那么，部分分式展开式各项所对应的时间函数可能具有 $ t, t^{2}, t^{3}, \cdots $ 与指数函数相乘的形式，t 的幂次由极点阶次决定。几种典型情况如下：

（1）位于s平面坐标原点的二阶或三阶极点分别给出时间函数为t或 $ t^{2}/2 $。

（2）实轴上的二阶极点给出 t 与指数函数的乘积。如

$$ \mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{1}{(s+\alpha)^{2}}\bigg]=t\mathrm{e}^{-at} $$

（3）对于虚轴上的二阶共轭极点情况。如 $ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2\omega s}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}\right]=t\sin(\omega t) $。这是幅度按线性增长的正弦振荡。

将这里讨论的几种多阶极点分布与原函数的对应关系列于表4-5。

| $ H(s) $ | s 平面上的零、极点 | t 平面上的波形 | $ h(t)(t \ge 0) $ |

| --- | --- | --- | --- |

| $ \frac{1}{s^2} $ | | | t |

| $ \frac{1}{(s+a)^2} $ | | | $ t e^{-at} $ |

| $ \frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2} $ | | | $ t \sin(\omega t) $ |

由表4-4与表4-5可以看出，若 $ H(s) $极点落于左半平面，则 $ h(t) $波形为衰减形式；若 $ H(s) $极点落在右半平面，则 $ h(t) $增长；落于虚轴上的一阶极点对

应的 $ h(t) $ 成等幅振荡或阶跃；而虚轴上的二阶极点将使 $ h(t) $ 呈增长形式。在系统理论研究中，按照 $ h(t) $ 呈现衰减或增长的两种情况将系统划分为稳定系统与非稳定系统两大类型，显然，根据 $ H(s) $ 极点出现于左半或右半平面即可判断系统是否稳定。在 4.11 节和第十一章将进一步研究系统的稳定性。

以上分析了 $ H(s) $ 极点分布与时域函数的对应关系。至于 $ H(s) $ 零点分布的情况则只影响到时域函数的幅度和相位；s 平面中零点变动对于 t 平面波形的形式没有影响。例如，图 4-22 所示 $ H(s) $ 零、极点分布以及 $ h(t) $ 波形，其表示式可以写作

$$ \mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{(s+a)}{(s+a)^{2}+\omega^{2}}\bigg]=\mathrm{e}^{-at}\cos(\omega t) $$

假定保持极点不变，只移动零点 a 的位置，那么 $ h(t) $ 波形将仍呈衰减振荡形式，振荡频率也不改变，只是幅度和相位有变化。譬如，将零点移至原点则有

$$ \mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{s}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}}\bigg]=\mathrm{e}^{-at}\bigg[\cos(\omega t)-\frac{a}{\omega}\sin(\omega t)\bigg] $$

请读者绘出波形进行比较。

（二） $ H(s) $、 $ E(s) $极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应

第二章曾就系统时域特性讨论了完全响应中的自由分量、强迫分量概念。现从 s 域的观点，即从 $ E(s) $ 与 $ H(s) $ 的极点分布特性来研究这一问题。

在 s 域中，系统响应 $ R(s) $ 与激励信号 $ E(s) $、系统函数 $ H(s) $ 满足式 (4-84)

$$ R\left(s\right)=H\left(s\right)E\left(s\right) $$

系统响应的时域特性

$$ r(t)=\mathcal{L}^{-1}[R(s)] $$

显然， $ R(s) $ 的零、极点由 $ H(s) $ 与 $ E(s) $ 的零、极点所决定。在式（4-84）中，

$ H(s) $ 和 $ E(s) $ 可以分别写作以下形式

$$ H(s)=\frac{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(s-z_{j})}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(s-p_{i})} $$

$$ E\left(s\right)=\frac{\displaystyle\prod_{l=1}^{u}\left(s-z_{l}\right)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{v}\left(s-p_{k}\right)} $$

式中， $ z_{j} $ 和 $ z_{l} $ 分别表示 $ H(s) $ 和 $ E(s) $ 的第 j 个或第 l 个零点，零点数目为 m 个与 u 个； $ p_{i} $ 和 $ p_{k} $ 分别表示 $ H(s) $ 和 $ E(s) $ 的第 i 个或第 k 个极点，极点数目为 n 个与 v 个。此外，为讨论方便还假定了 $ H(s) $ 与 $ E(s) $ 两式前面的系数等于1。

如果在 $ R(s) $ 函数式中不含有多重极点，而且， $ H(s) $ 与 $ E(s) $ 没有相同的极点，那么，将 $ R(s) $ 用部分分式展开后即可得到

$$ R\left(s\right)=\sum_{i=1}^{n}\frac{K_{i}}{s-p_{i}}+\sum_{k=1}^{v}\frac{K_{k}}{s-p_{k}} $$

$ K_{i} $ 和 $ K_{k} $ 分别表示部分分式展开各项的系数。

不难看出， $ R(s) $ 的极点来自两方面，一是系统函数的极点 $ p_{i} $，另一是激励信号的极点 $ p_{k} $。取 $ R(s) $ 逆变换，写出响应函数的时域表示式为

$$ r(t)=\sum_{i=1}^{n}K_{i}\mathrm{e}^{p_{i}^{I}}+\sum_{k=1}^{v}K_{k}\mathrm{e}^{p_{k}^{I}} $$

响应函数 $ r(t) $ 由两部分组成，前面一部分是由系统函数的极点所形成，称为“自由响应”；后一部分则由激励函数的极点所形成，称为“强迫响应”。而自由响应中的极点 $ p_{i} $ 只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关。然而，系数 $ K_{i} $ 则与 $ H(s) $ 和 $ E(s) $ 都有关系，同样，系数 $ K_{k} $ 也不仅由 $ E(s) $ 决定，还与 $ H(s) $ 有关。即，自由响应时间函数的形式仅由 $ H(s) $ 决定，但它的幅度和相位却受 $ H(s) $ 与 $ E(s) $ 两方面的影响；同样，强迫响应时间函数的形式只取决于激励函数 $ E(s) $，而其幅度与相位却与 $ E(s) $ 和 $ H(s) $ 都有关系。另外，对于有多重极点的情况可以得到与此类似的结果。

为便于表征系统特性，定义系统行列式（特征方程）的根为系统的“固有频率”（或称“自由频率”、“自然频率”）。由前节式（4-92）可看出，行列式 $ \Delta $位于 $ H(s) $之分母，因而 $ H(s) $的极点 $ p_{i} $都是系统的固有频率，可以说，自由响应的函数形式应由系统的固有频率决定。必须注意，当把系统行列式作为分母写出 $ H(s) $时，有可能出现 $ H(s) $的极点与零点因子相消的现象，这时，被消去的固有频率在 $ H(s) $极点中将不再出现。这一现象再次说明，系统函数 $ H(s) $只能用于

研究系统的零状态响应， $ H(s) $包含了系统为零状态响应提供的全部信息。但是，它不包含零输入响应的全部信息，这是因为当 $ H(s) $的零、极点相消时，某些固有频率要丢失，而在零输入响应中要求表现出全部固有频率的作用（见习题4-31）。

例4-19 电路如图4-23所示，输入信号 $ v_{1}(t)=10\cos(4t)u(t) $，求输出电压 $ v_{2}(t) $，并指出 $ v_{2}(t) $ 中的自由响应与强迫响应。

解

写出网络函数的表示式如下

$$ \begin{array}{l}\displaystyle H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)}=\frac{\frac{1}{Cs}}{R+\frac{1}{Cs}}\\ \qquad\displaystyle=\frac{1}{1+RCs}=\frac{1}{s+1}\end{array} $$

$ v_{1}(t) $的变换式为

$$ V_{1}(s)=\mathcal{L}\left[10\mathrm{c o s}(4t)\right]=\frac{10s}{s^{2}+16} $$

输出信号的变换式为

$$ V_{2}(s)=H(s)V_{1}(s)=\frac{10s}{(s^{2}+16)(s+1)} $$

将 $ V_{2}(s) $ 作部分分式展开得

$$ V_{2}(s)=\frac{As+B}{s^{2}+16}+\frac{C}{s+1} $$

分别求系数 A, B, C

$$ C=\left(s+1\right)V_{2}(s)\bigg|_{s=-1}=\frac{10s}{s^{2}+16}\bigg|_{s=-1}=\frac{-10}{17} $$

将所得 C 代回原式，经整理后得

$$ \begin{aligned}10s&=(As+B)(s+1)-\frac{10}{17}(s^{2}+16)\\&=As^{2}+Bs+As+B-\frac{10}{17}s^{2}-\frac{160}{17}\end{aligned} $$

取等式两端同样方次 s 系数相等得

$$ \left\{\begin{array}{l}A-\frac{10}{17}=0\\ \\ B-\frac{160}{17}=0\end{array}\right. $$

于是

$$ \left\{\begin{array}{l}A=\frac{10}{17}\\ B=\frac{160}{17}\end{array}\right. $$

所以

$$ V_{2}(s)=\frac{\frac{10}{17}s+\frac{160}{17}}{s^{2}+16}-\frac{\frac{10}{17}}{s+1} $$

取逆变换得到

$$ \begin{aligned}v_{2}(t)&=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-\frac{10}{17}}{s+1}+\frac{\frac{10}{17}s}{s^{2}+16}+\frac{\frac{160}{17}}{s^{2}+16}\right]\\&=-\frac{10}{17}e^{-t}+\frac{10}{17}\cos(4t)+\frac{40}{17}\sin(4t)\\&=-\underbrace{\frac{10}{17}e^{-t}}_{ 自由响应 }+\underbrace{\frac{10}{\sqrt{17}}\cos(4t-76^{\circ})}_{ 强迫响应 }\end{aligned} $$

如果把正弦稳态分析中的相量法用于本题，所得结果将与这里的强迫响应函数一致，请读者验证。

与自由响应分量和强迫响应分量有着密切联系而且又容易发生混淆的另一对名词是：瞬态响应分量与稳态响应分量。

瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着时间 t 增大，它将消失。由完全响应中减去瞬态响应分量即得稳态响应分量。

一般情况下，对于稳定系统， $ H(s) $ 极点的实部都小于零，即 $ \mathrm{Re}[p_i] < 0 $（极点在左半平面），故自由响应函数呈衰减形式，在此情况下，自由响应就是瞬态响应。若 $ E(s) $ 极点的实部大于或等于零，即 $ \mathrm{Re}[p_k] \geqslant 0 $，则强迫响应就是稳态响应，通常如正弦激励信号，它的 $ \mathrm{Re}[p_k] = 0 $，我们所说的正弦稳态响应即正弦信号作用下的强迫响应。典型的实例如刚刚给出的例 4-19 和前节的例 4-17。若激励是非正弦周期信号，仍属 $ \mathrm{Re}[p_k] = 0 $ 的情况，用拉氏变换求解电路的过程将相当繁琐（习题 4-34），然而极点特征与响应分量的对应规律仍然成立。此时，可借助电子线路 CAD 程序（如 SPICE）利用计算机求得详细结果。

下面一些情况在实际问题中很少遇到，但从 $ H(s) $ 或 $ E(s) $ 极点的不同类型来看还是有可能出现。

如果激励信号本身为衰减函数，即 $ \mathrm{Re}[p_{k}]<0 $，例如 $ e^{-at} $， $ e^{-at}\sin(\omega t) $ 等，在时间 t 趋于无限大以后，强迫响应也等于零，这时，强迫响应与自由响应一起组成瞬态响应，而系统的稳态响应等于零。

当 $ \mathrm{Re}[p_{i}]=0 $ 时，其自由响应就是无休止的等幅振荡（如无损 LC 谐振电

路），于是，自由响应也成为稳态响应，这是一种特例（称为边界稳定系统）。

若 $ \mathrm{Re}[p_{i}]>0 $，则自由响应是增幅振荡，这属于不稳定系统。

还有一种值得说明的情况，这就是 $ H(s) $ 的零点与 $ E(s) $ 的极点相同（出现 $ z_{j}=p_{k} $），此时对应因子相消，与 $ p_{k} $ 相应的稳态响应不复存在（习题4-32）。

4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性

所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。这包括幅度随频率的响应以及相位随频率的响应两个方面。

在电路分析课程中已经熟悉了正弦稳态分析，在那里，采用的方法是相量法。现在从系统函数的观点来考察系统的正弦稳态响应，并借助零、极点分布图来研究频响特性。

设系统函数以 $ H(s) $ 表示，正弦激励源 $ e(t) $ 的函数式写作

$$ e(t)=E_{\mathrm{m}}\sin(\omega_{0}t) $$

其变换式为

$$ E(s)=\frac{E_{\mathrm{m}}\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} $$

于是，系统响应的变换式 $ R(s) $ 可写作

$$ \begin{aligned}R\left(s\right)&=\frac{E_{\mathrm{m}}\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\cdot H(s)\\&=\frac{K_{-\mathrm{j}\omega_{0}}}{s+\mathrm{j}\omega_{0}}+\frac{K_{\mathrm{j}\omega_{0}}}{s-\mathrm{j}\omega_{0}}+\frac{K_{1}}{s-p_{1}}+\frac{K_{2}}{s-p_{2}}+\cdots-\frac{K_{n}}{s-p_{n}}\end{aligned} $$

式中， $ p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} $ 是 $ H(s) $ 的极点， $ K_{1}, K_{2}, \cdots, K_{n} $ 为部分分式分解各项的系数，而

$$ \begin{align*}K_{-\mathrm{j}\omega_{0}}=&\left(\left.s+\mathrm{j}\omega_{0}\right)R\left(\left.s\right)\right|_{s=-\mathrm{j}\omega_{0}}\right.\\=&\frac{E_{\mathrm{m}}\omega_{0}H(-\mathrm{j}\omega_{0})}{-2\mathrm{j}\omega_{0}}=\frac{E_{\mathrm{m}}H_{0}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi_{0}}}{-2\mathrm{j}}\end{align*} $$

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{K}_{\mathrm{j}\omega_{0}}&=\left(\boldsymbol{s}-\mathrm{j}\omega_{0}\right)\boldsymbol{R}\left(\boldsymbol{s}\right)\mid_{\boldsymbol{s}=\mathrm{j}\omega_{0}}\\&=\frac{\boldsymbol{E}_{\mathrm{m}}\omega_{0}\boldsymbol{H}(\mathrm{j}\omega_{0})}{2\mathrm{j}\omega_{0}}=\frac{\boldsymbol{E}_{\mathrm{m}}\boldsymbol{H}_{0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{0}}}{2\mathrm{j}}\end{aligned} $$

这里引用了符号

$$ H(\mathrm{j}\omega_{0})=H_{0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{0}} $$

$$ H(-j\omega_{0})=H_{0}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi_{0}} $$

至此可以求得

$$ \frac{K_{-\mathrm{j}\omega_{0}}}{s+\mathrm{j}\omega_{0}}+\frac{K_{\mathrm{j}\omega_{0}}}{s-\mathrm{j}\omega_{0}}=\frac{E_{\mathrm{m}}H_{0}}{2\mathrm{j}}\left(-\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi_{0}}}{s+\mathrm{j}\omega_{0}}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{0}}}{s-\mathrm{j}\omega_{0}}\right) $$

式（4-105）前两项的逆变换为

$$ \begin{aligned}{\mathcal{L}^{-1}}&{{}\bigg[\frac{K_{-\mathrm{j}\omega_{0}}}{s+\mathrm{j}\omega_{0}}+\frac{K_{\mathrm{j}\omega_{0}}}{s-\mathrm{j}\omega_{0}}\bigg]}\\ {}&{{}=\frac{E_{\mathrm{m}}H_{0}}{2\mathrm{j}}(-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi_{0}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{0}t}+\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{0}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t})}\\ {}&{{}=E_{\mathrm{m}}H_{0}\operatorname{s i n}(\omega_{0}t+\varphi_{0})}\\ \end{aligned} $$

系统的完全响应是

$$ \begin{aligned}r(t)&=\mathcal{L}^{-1}[R(s)]\\&=E_{\mathrm{m}}H_{0}\mathrm{s i n}(\omega_{0}t+\varphi_{0})+K_{1}\mathrm{e}^{p_{1}t}+K_{2}\mathrm{e}^{p_{2}t}+\cdots+K_{n}\mathrm{e}^{p_{n}t}\end{aligned} $$

对于稳定系统，其固有频率 $ p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} $ 的实部必小于零，式（4-108）中各指数项均为指数衰减函数，当 $ t \to \infty $，它们都趋于零，所以稳态响应 $ r_{ss}(t) $ 就是式中的第一项

$$ r_{\mathrm{s s}}(t)=E_{\mathrm{m}}H_{0}\sin(\omega_{0}t+\varphi_{0}) $$

可见，在频率为 $ \omega_{0} $ 的正弦激励信号作用之下，系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号，但幅度乘以系数 $ H_{0} $，相位移动 $ \varphi_{0} $， $ H_{0} $ 和 $ \varphi_{0} $ 由系统函数在 $ j\omega_{0} $ 处的取值所决定

$$ H(s)|_{s=\mathrm{j}\omega_{0}}=H(\mathrm{j}\omega_{0})=H_{0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{0}} $$

当正弦激励信号的频率 $ \omega $ 改变时，将变量 $ \omega $ 代入 $ H(s) $ 之中，即可得到频率响应特性

$$ \left.H(s)\right|_{s=\mathrm{j}\omega}=H(\mathrm{j}\omega)=\left|H(\mathrm{j}\omega)\right|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $$

式中， $ |H(\mathrm{j}\omega)| $ 是幅频响应特性， $ \varphi $ 是相频响应特性（或相移特性）。为便于分析，常将式（4-111）的结果绘制成频响曲线，这时横坐标是变量 $ \omega $，纵坐标分别为 $ |H(\mathrm{j}\omega)| $ 或 $ \varphi $。

在通信、控制以及电力系统中，一种重要的组成部件是滤波网络，而滤波网络的研究需要从它的频响特性入手分析。

按照滤波网络幅频特性形式的不同，可以把它们划分为低通、高通、带通、带阻等几种类型，相应的 $ |H(j\omega)| $ 曲线分别绘于图 4-24(a)~(d)。图中，虚线表示理想的滤波特性，实线示例给出可能实现的某种实际特性。

低通滤波网络的幅频特性。当 $ \omega < \omega_{c} $ 时， $ |H(j\omega)| $ 取得相对较大的数值，网络允许信号通过，而在 $ \omega > \omega_{c} $ 以后， $ |H(j\omega)| $ 的数值相对减小，以致非常微弱，网络不允许信号通过，将这些频率的信号滤除。这里， $ \omega_{c} $ 称为截止频率。 $ \omega < \omega_{c} $ 的频率范围称为通带， $ \omega > \omega_{c} $ 则称为阻带。对于高通滤波网络，其通带、阻带的范围则与低通的情况相反。带通滤波网络的通带范围是在 $ \omega_{c1} $ 与 $ \omega_{c2} $ 之

间，如图4-24(c)所示；带阻滤波网络则与之相反。图4-24中用斜线（阴影部分）表示了各种滤波特性的通带范围。

对于滤波网络的特性分析，有时要从它的相频响应特性研究，还可能从时域特性着手。广义讲，滤波网络的作用及其类型应涉及滤波、时延、均衡、形成等许多方面。

从本章开始将涉及与滤波器有关的问题(第五章和第十章将作进一步介绍)，包括理想化模型、实现和构成原理、性能分析以及各种类型的应用。而系统的频响特性分析是研究这些问题的基础。

根据系统函数 $ H(s) $ 在 s 平面的零、极点分布可以绘制频响特性曲线，包括幅频特性 $ \left|H(j\omega)\right| $ 曲线和相频特性 $ \varphi(\omega) $ 曲线。下面介绍这种方法的原理。

假定，系统函数 $ H(s) $ 的表示式为

$$ H(s)=\frac{K\prod_{j=1}^{m}(s-z_{j})}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(s-p_{i})} $$

取 $ s=j\omega $，也即，在 s 平面中 s 沿虚轴移动，得到

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{K\prod_{j=1}^{m}(\mathrm{j}\omega-z_{j})}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(\mathrm{j}\omega-p_{i})} $$

容易看出，频率特性取决于零、极点的分布，即取决于 $ z_{j} $、 $ p_{i} $的位置，而式（4-113）中的K是系数，对于频率特性的研究无关紧要。分母中任一因子 $ \left(\mathrm{j}\omega-p_{i}\right) $相

当于由极点 $ p_i $ 引向虚轴上某点 $ j\omega $ 的一个矢量；分子中任一因子 $ (j\omega - z_j) $ 相当于由零点 $ z_i $ 引至虚轴上某点 $ j\omega $ 的一

当于由极点 $ p_i $ 引向虚轴上某点 $ j\omega $

由零点 $ z_j $ 引至虚轴上某点 $ j\omega $ 的一

个矢量。在图 4-25 示意画出由

零点 $ z_1 $ 和极点 $ p_1 $ 与 $ j\omega $ 点连接构

成的两个矢量，图中 $ N_1 $、 $ M_1 $ 分别

表示矢量的模， $ \psi_1 $、 $ \theta_1 $ 分别表示矢

量的辐角。

对于任意零点 $ z_{j} $ 、极点 $ p_{i} $，相应的复数因子（矢量）都可表示为

$$ \mathrm{j}\omega-z_{j}=N_{j}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\psi_{j}}\qquad(4-114) $$

$$ \mathrm{j}\omega-p_{i}=M_{i}\mathrm{~e}^{\mathrm{j}\theta_{i}}\qquad(4-115) $$

这里， $ N_{j} $， $ M_{i} $ 分别表示两矢量的模， $ \psi_{j} $， $ \theta_{i} $ 则分别表示它们的辐角。

于是，式 $ (4-113) $可以改写为

$$ \begin{aligned}H(\mathrm{j}\omega)&=K\frac{N_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\psi_{1}}N_{2}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\psi_{2}}\cdots N_{m}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\psi_{m}}}{M_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{1}}M_{2}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{2}}\cdots M_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{n}}}\\&=K\frac{N_{1}N_{2}\cdots N_{m}}{M_{1}M_{2}\cdots M_{n}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}[(\psi_{1}+\psi_{2}+\cdots+\psi_{m})-(\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{n})]}\\&=\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)}\end{aligned} $$

式中

$$ |H(\mathrm{j}\omega)|=K\frac{N_{1}N_{2}\cdots N_{m}}{M_{1}M_{2}\cdots M_{n}} $$

$$ \varphi(\omega)=(\psi_{1}+\psi_{2}+\cdots+\psi_{m})-(\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{n}) $$

当 $ \omega $ 沿虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。这种方法也称为 s 平面几何分析。

先讨论 $ H(s) $ 极点位于 s 平面实轴的情况，包括一阶与二阶系统。下一节专门研究极点为共轭复数的情况。

一阶系统只含有一个储能元件（或将几个同类储能元件简化等效为一个储能元件）。系统转移函数只有一个极点，且位于实轴上。系统转移函数（电压比或电流比）的一般形式为 $ K \frac{s - z_{1}}{s - p_{1}} $，其中 $ z_{1}, p_{1} $ 分别为它的零点与极点，如果零点位于原点，则函数形式为 $ K \frac{s}{s - p_{1}} $，也可能除 $ s = \infty $ 处有零点之外，在 s 平面其他位置均无零点，于是函数形式呈 $ \frac{K}{s - p_{1}} $。现以简单的 RC 网络为例，分析一阶低通、高通滤波网络。

例 4-20 研究图4-26 所示 RC 高通滤波网络的频响特性。

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{V_{2}(\mathrm{j}\omega)}{V_{1}(\mathrm{j}\omega)} $$

解 写出网络转移函数表示式

$$ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)}=\frac{R}{R+\frac{1}{s C}}=\frac{s}{s+\frac{1}{R C}} $$

它有一个零点在坐标原点，而极点位于 $ -\frac{1}{RC} $处，也即 $ z_{1}=0,p_{1}=-\frac{1}{RC} $，零、极点在s平面分布如图4-27所示。将 $ H(s)|_{s=j\omega}=H(j\omega) $以矢量因子 $ N_{1}e^{j\psi_{1}},M_{1}e^{j\theta_{1}} $表示

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{N_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{1}}}{M_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{1}}}=\frac{V_{2}}{V_{1}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $$

$$ \begin{aligned}&\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{1}}{M_{1}}\\ &\varphi=\psi_{1}-\theta_{1}\\ \end{aligned} $$

式中

现在分析当 $ \omega $ 从零沿虚轴向 $ \infty $ 增长时， $ H(j\omega) $ 如何随之改变。当 $ \omega=0 $， $ N_{1}=0 $， $ M_{1}=\frac{1}{RC} $，所以 $ \frac{N_{1}}{M_{1}}=0 $，也即 $ \frac{V_{2}}{V_{1}}=0 $；又因为 $ \theta_{1}=0 $， $ \phi_{1}=90^{\circ} $，所以 $ \varphi=90^{\circ} $。当 $ \omega=\frac{1}{RC} $ 时， $ N_{1}=\frac{1}{RC} $， $ \theta_{1}=45^{\circ} $，所以 $ \varphi=45^{\circ} $，而且 $ M_{1}=\frac{\sqrt{2}}{RC} $，于是 $ \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{1}}{M_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}} $，此点为高通滤波网络的截止频率点。最后，当 $ \omega $ 趋于 $ \infty $ 时， $ N_{1}/M_{1} $ 趋于 1，也即 $ V_{2}/V_{1}=1 $， $ \theta_{1}\rightarrow90^{\circ} $，所以 $ \varphi\rightarrow0^{\circ} $。按照上述分析绘出幅频特性与相频特性曲线如图 4-28 所示。

例 4－21 研究图4－29 所示 RC 低通滤波网络的频响特性

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{V_{2}(\mathrm{j}\omega)}{V_{1}(\mathrm{j}\omega)} $$

解 写出网络转移函数表示式

$$ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)}=\frac{1}{RC}\bullet\frac{1}{\left(s+\frac{1}{RC}\right)} $$

极点位于 $ p_{1} = -\frac{1}{RC} $ 处，在图 4-30 中已示出。 $ H(j\omega) $ 表示式写作

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{RC}\frac{1}{M_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{1}}}=\frac{V_{2}}{V_{1}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $$

式中

$$ \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{1}{RC}\frac{1}{M_{1}} $$

$$ \varphi=-\theta_{1} $$

仿照例4-20的分析，容易得出频响曲线如图4-31所示，这是一个低通网络，截止频率位于 $ \omega=\frac{1}{RC} $处。

对于一阶系统，经常遇到的电路还有简单的 RL 电路以及含有多个电阻而仅含有一个储能元件的 RC，RL 电路。对于它们都可采用类似的方法进行分析。只要系

统函数的零、极点分布相同，就会具有一致的时域、频域特性。从系统的观点来看，要抓住系统特性的一般规律，必须从零、极点分布的观点入手研究。

由同一类型储能元件构成的二阶系统（如含有两个电容或两个电感），它们的两个极点都落在实轴上，即不出现共轭复数极点，是非谐振系统。系统转移函数（电压比或电流比）的一般形式为 $ K \frac{(s - z_{1})(s - z_{2})}{(s - p_{1})(s - p_{2})} $，式中 $ z_{1}, z_{2} $ 是两个零点， $ p_{1}, p_{2} $ 是两个极点。也可出现 $ K \frac{s - z_{1}}{(s - p_{1})(s - p_{2})} $ 或 $ K \frac{1}{(s - p_{1})(s - p_{2})} $ 等形式。由于

零点数目以及零点、极点位置的不同，它们可以分别构成低通、高通、带通、带阻等滤波特性。就其 s 平面几何分析方法来看，与一阶系统的方法类似，不需建立新概念，读者可通过练习[习题4-39(a)、(b)]熟悉其性能，此处仅举一例。

例 4-22 由 s 平面几何研究图 4-32 所示二阶 RC 系统的频响特性 $ H(j\omega)=\frac{V_{2}(j\omega)}{V_{1}(j\omega)} $。注意，图中 $ kv_{3} $ 是受控电压源。且 $ R_{1}C_{1}\ll R_{2}C_{2} $。

解

容易写出其转移函数为

$$ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)}=\frac{k}{R_{1}C_{1}}\cdot\frac{s}{\left(s+\frac{1}{R_{1}C_{1}}\right)\left(s+\frac{1}{R_{2}C_{2}}\right)} $$

它的极点位于 $ p_{1}=-\frac{1}{R_{1}C_{1}} $, $ p_{2}=-\frac{1}{R_{2}C_{2}} $，只有一个零点在原点。将它们标于图4-33中，这里注意到题意给定的条件 $ R_{1}C_{1}\ll R_{2}C_{2} $，故 $ -\frac{1}{R_{2}C_{2}} $ 靠近原点，而 $ -\frac{1}{R_{1}C_{1}} $ 则离开较远。以 jω 代入 $ H(s) $ 写作矢量因子形式

$$ \begin{align*}H(\mathrm{j}\omega)&=\frac{k}{R_{1}C_{1}}\cdot\frac{N_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\psi_{1}}}{M_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{1}}M_{2}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{2}}}\\&=\frac{k}{R_{1}C_{1}}\cdot\frac{N_{1}}{M_{1}M_{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\psi_{1}-\theta_{1}-\theta_{2})}\\&=\frac{V_{2}}{V_{1}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)}\end{align*} $$

由图4-33看出，当 $ \omega $较低时， $ M_{1}\approx\frac{1}{R_{1}C_{1}} $， $ \theta_{1}\approx0 $，几乎都不随频率而变，这时， $ M_{2} $， $ \theta_{2} $， $ N_{1} $， $ \psi_{1} $的作用（即极点 $ p_{2} $与零点 $ z_{1} $的作用）与一阶RC高通系统相同，构成如图4-34中 $ \omega $低端的高通特性。当 $ \omega $较高时， $ M_{2}\approx N_{1} $， $ \theta_{2}\approx\psi_{1} $，也可近似认为它们不随 $ \omega $而改变，于是， $ M_{1} $， $ \theta_{1} $的作用（即极点 $ p_{1} $的作用）与一

阶 RC 低通系统一致，构成如图 4-34 中 $ \omega $ 高端的低通特性。当 $ \omega $ 位于中间频率范围时，同时满足 $ M_{1} \approx \frac{1}{R_{1}C_{1}} $, $ \theta_{1} \approx 0 $, $ M_{2} \approx N_{1} = |j\omega| $, $ \theta_{2} \approx \psi_{1} = 90^{\circ} $，那么 $ H(j\omega) $ 可近似写作

$$ H\left(\mathrm{j}\omega\right)\bigg|\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}}<\omega<\frac{1}{R_{1}C_{1}}\right)\approx\frac{k}{R_{1}C_{1}}\cdot\frac{\mathrm{j}\omega}{\frac{1}{R_{1}C_{1}}\cdot\mathrm{j}\omega}=k $$

这时的频响特性近于常数。

从物理概念上讲，在低频端，主要是 $ R_{2}C_{2} $ 的高通特性起作用；在高频端，则是 $ R_{1}C_{1} $ 的低通特性起主要作用；在中频段， $ C_{1} $ 相当于开路、 $ C_{2} $ 相当于短路，它们都不起作用，信号 $ v_{1} $ 经受控源的 k 倍相乘而送往输出端，给出 $ v_{2} $。可见此系统相当于低通与高通级联构成的带通系统。

4.9 二阶谐振系统的 s 平面分析

含有电容、电感两类储能元件的二阶系统可以具有谐振特性，在无线电技术中，常利用它们的这一性能构成带通、带阻滤波网络。

图4-35(a)和(b)给出两个谐振电路的基本模型：RLC串联谐振电路与GCL并联谐振电路。由于它们相互之间具有对偶关系，在此可只研究其中一种，所得结论可借助对偶方法去解释另一电路。这里，只讨论并联谐振电路。

我们的目的是要研究在激励信号——电流源 $ i_{1} $ 的作用下，并联回路端电压 $ v_{2} $ 的频率特性。写出网络函数（此处即阻抗函数）的表示式为

$$ \begin{array}{l}Z(s)=\frac{V_{2}(s)}{I_{1}(s)}=\frac{1}{G+sC+\frac{1}{sL}}\\=\frac{1}{C}\cdot\frac{s}{\left(s^{2}+\frac{G}{C}s+\frac{1}{LC}\right)}\\=\frac{1}{C}\cdot\frac{s}{(s-p_{1})(s-p_{2})}\end{array} $$

其中，极点位置是

$$ p_{1,2}=-\frac{G}{2C}\pm\sqrt{\left(\frac{G}{2C}\right)^{2}-\frac{1}{LC}} $$

引用符号

$$ \left.\begin{array}{l}{\alpha=\displaystyle\frac{G}{2C}}\\ {\omega_{0}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{L C}}}\\ {\omega_{\mathrm{d}}=\displaystyle\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}}\end{array}\right\} $$

得到

$$ p_{1,2}=-\alpha\pm\mathrm{j}\omega_{\mathrm{d}} $$

这几个参数的物理意义并不陌生。 $ \omega_{0} $ 是谐振频率（下面将要讲到如何从 s 平面的几何关系解释谐振现象的产生条件）。 $ \alpha $ 是衰减因数， $ \alpha $ 愈大表示电路的能量损耗愈大。在实际应用中，对于谐振电路损耗情况的另一种描述方法是引用品质因数 Q 作为参数，Q 的定义是

$$ Q=\frac{\omega_{0}C}{G} $$

Q 愈高表示电路的损耗愈小。显然， $ \alpha $ 与 Q 之间的对应关系为

$$ \alpha=\frac{\omega_{0}}{2Q} $$

下面描绘在 s 平面中， $ Z(s) $ 的零、极点分布。先从 $ \alpha < \omega_{0} $ 的情况开始讨论，这时电路损耗较小，是实际应用中多见的情况。它的零、极点分布示于图4-36。

零点位于 s 平面坐标原点，一对共轭极点距虚轴为 $ \alpha $，与实轴距 $ \omega_{d} $，由式 (4-121) 得

$$ \omega_{0}^{2}=\omega_{\mathrm{d}}^{2}+\alpha^{2} $$

在图4-36中， $ \omega_{d} $ 和 $ \alpha $ 分别作为直角三角形的两个直角边，从坐标原点到极点 $ p_{1} $（或 $ p_{2} $）的连线就是此直角三角形的斜边，它的长度应等于 $ \omega_{0} $。这表明在 $ \alpha<\omega_{0} $ 的范围内，如果保持 $ \omega_{0} $ 值不变，那么无论电路参数如何选取，共轭极点 $ p_{1},p_{2} $ 总是落在以坐标原点为圆心，以 $ \omega_{0} $ 为半径的左半圆弧上。

在没有损耗的情况，也即 $ G=0,\alpha=0 $，共轭极点将落在虚轴上，见图4-37(a)， $ p_{1}=\mathrm{j}\omega_{0} $， $ p_{2}=-\mathrm{j}\omega_{0} $，随着损耗增加，即 $ \alpha $ 加大，两极点沿半圆向负实轴靠拢，见图4-37(b)。当 $ \alpha $ 增长到 $ \alpha=\omega_{0} $ 时，两极点位置重合，落在负实轴上，成为二阶极点，见图4-37(c)。继续增大 $ \alpha $，这时将有 $ \alpha>\omega_{0} $，重合的极点又分开为两个极点，沿负实轴向左、右两侧移动，见图4-37(d)，当 $ \alpha $ 趋于无限大时，两极点位置则分别趋于零和负无限大。

现在让 $ \omega $ 沿虚轴移动，观察 $ Z(s) $ 函数分子、分母中各因子 $ (j\omega - z_{i}) $ 与 $ (j\omega - p_{i}) $ 在 s 平面相应矢量的变化规律，分析 $ Z(s) $ 稳态频率响应特性。为此，

令 $ Z(s) $中的变量 $ s=j\omega $，写出

$$ \begin{aligned}Z(\mathrm{j}\omega)&=\frac{1}{C}\ \frac{\mathrm{j}\omega}{\left(\mathrm{j}\omega-p_{1}\right)\left(\mathrm{j}\omega-p_{2}\right)}\\&=\frac{1}{C}\ \frac{N_{1}}{M_{1}M_{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\psi_{1}-\theta_{1}-\theta_{2}\right)}\\&=\left|Z(\mathrm{j}\omega)\right|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}\\ \end{aligned} $$

图4-38示出 $ \alpha<\omega_{0} $ 条件下， $ \omega $ 从零向 $ +∞ $ 移动时，相应的四幅 s 平面矢量图。

当 $ \omega=0 $ 时， $ N_{1}=0 $， $ M_{1}=M_{2}=\omega_{0} $， $ \theta_{1}=-\theta_{2} $， $ \psi_{1}=90^{\circ} $，于是得到 $ \left|Z(j\omega)\right|=0 $， $ \varphi=+90^{\circ} $。这是图 4-38(a) 的情况。随着 $ \omega $ 增长， $ N_{1} $ 增加， $ \theta_{1} $ 的绝对值减小， $ \theta_{2} $ 加大，于是频率特性的幅值 $ \left|Z(j\omega)\right| $ 增加，辐角 $ \varphi $ 从 $ 90^{\circ} $ 减小，这种情况示于图 4-38(b)，此时，频率值 $ \omega $ 已移至 $ \omega_{L} $ 点。 $ \omega $ 继续沿虚轴上移至与圆弧交界 $ \omega_{0} $ 点，见图 4-38(c)，此时，到达谐振点，借助图中辅助虚线容易证明角 $ \theta_{2} $ 与 $ \theta_{2} $ 相等，而且 $ \theta_{1}+\theta_{2}^{\prime}=90^{\circ} $，所以 $ \theta_{1}+\theta_{2}=90^{\circ} $，于是

$$ \begin{aligned}\varphi&=\psi_{1}-\theta_{1}-\theta_{2}\\&=90^{\circ}-90^{\circ}=0^{\circ}\end{aligned} $$

同时， $ \left|Z(j\omega)\right| $ 取得最大值，可由式(4-119)直接求得 $ ^{①} $

$$ \mid Z(j\omega_{0})\mid=\frac{1}{G} $$

此后，再增加 $ \omega $ 则由于 $ M_{1}, M_{2} $ 显著增长，而 $ N_{1} $ 变化平缓，所以 $ |Z(j\omega)| $ 逐渐减小，最后 $ M_{1}, M_{2}, N_{1} $ 都趋于无限大，所以 $ |Z(j\omega)| $ 趋于零；又因为 $ \theta_{1} + \theta_{2} $ 继续增大，而且 $ \theta_{1} + \theta_{2} > 90^{\circ} $，所以 $ \varphi $ 角的负值加大，当 $ \theta_{1} + \theta_{2} $ 趋向 $ 180^{\circ} $ 时， $ \varphi $ 趋于 $ -90^{\circ} $。图 4-38(d) 示出 $ \omega $ 变动至 $ \omega_{H} $ 点 $ (\omega_{H} > \omega_{0}) $ 的 s 平面矢量图。按上述过程描绘出谐振电路的幅度频率特性和相位频率特性曲线分别如图 4-39(a) 和 (b) 所示，请注意图中各频率值与图 4-38 的对应。

实际应用中较多遇到高 Q 情况，例如，若 Q>10，则 $ \alpha<\frac{\omega_{0}}{20} $，于是两共轭极点 $ p_{1}, p_{2} $ 将非常靠近虚轴，如图4-40所示。研究这种高 Q 电路 $ \omega $ 在 $ \omega_{0} $ 附近变动的频率特性时，可以取

$$ \begin{aligned}N_{1}&\approx\omega_{0},\psi_{1}=90^{\circ}\\M_{2}&\approx2\omega_{0},\theta_{2}\approx90^{\circ}\\M_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{1}}&=\alpha+\mathrm{j}(\omega-\omega_{\mathrm{d}})\end{aligned} $$

注意到这时 $ \omega_{d} $ 几乎与 $ \omega_{0} $ 重合 $ (\omega_{d} \approx \omega_{0}) $，所以式（4-129）又近似为

$$ M_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{1}}\approx\alpha+\mathrm{j}\left(\omega-\omega_{0}\right) $$

于是得到

$$ \begin{aligned}Z(\mathrm{j}\omega)&\approx\frac{1}{C}\cdot\frac{\omega_{0}}{2\omega_{0}\left[\alpha+\mathrm{j}\left(\omega-\omega_{0}\right)\right]}\\&=\frac{1}{2C\alpha}\frac{1}{\left[1+\mathrm{j}\frac{\left(\omega-\omega_{0}\right)}{\alpha}\right]}\\&=\frac{1}{G}\cdot\frac{1}{\left[1+\mathrm{j}\frac{\left(\omega-\omega_{0}\right)}{\alpha}\right]}\end{aligned} $$

所以

$$ \mid Z(\mathrm{j}\omega)\mid\approx\frac{1}{G\sqrt{1+\left(\frac{\omega-\omega_{0}}{\alpha}\right)^{2}}} $$

$$ \varphi\approx-\arctan\left(\frac{\omega-\omega_{0}}{\alpha}\right) $$

利用式(4-132)很容易求得高 Q 谐振电路幅频特性曲线各点数值。现在由它来求通带边界频率和通带宽度。在谐振点 $ \left|Z\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)\right|=\frac{1}{G} $，通带边界频率 $ \omega_{1} $（或 $ \omega_{2} $）处应有

$$ \mid Z(\mathrm{j}\omega_{1})\mid=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{G}=\mid Z(\mathrm{j}\omega_{2})\mid $$

由式 $ （4-132） $看出，必须满足

$$ \frac{\omega_{1}-\omega_{0}}{\alpha}=-1 $$

或

$$ \frac{\omega_{2}-\omega_{0}}{\alpha}=+1 $$

相应的还有

$$ \begin{array}{l}\varphi_{1}=+45^{\circ}\\ \varphi_{2}=-45^{\circ}\end{array} $$

由式 $ （4-134} $与式 $ （4-135） $分别解得

$$ \omega_{1}=\omega_{0}-\alpha $$

$$ \omega_{2}=\omega_{0}+\alpha $$

两频率之差，即通带宽度

$$ \omega_{2}-\omega_{1}=2\alpha=\frac{\omega_{0}}{Q} $$

将角频率改写为频率，用 B 表示通带宽度

$$ B=f_{2}-f_{1}=\frac{f_{0}}{Q} $$

上述并联谐振电路阻抗函数的特点是具有一对靠近虚轴的共轭极点。下面再举出网络函数同时具有共轭极点和共轭零点的系统实例，求图4-41电路的阻抗函数频率特性。此电路有三个独立的电抗元件，阻抗函数 $ Z(s) $零、极点的数目要比图4-35电路模型增多。此外，它是无损电路。

为分析频率特性，首先写出 $ Z(s) $ 表示式

$$ \begin{aligned}Z(s)=&\frac{V_{2}(s)}{I_{1}(s)}=\frac{\frac{1}{sC_{1}}\left(sL+\frac{1}{sC_{2}}\right)}{\frac{1}{sC_{1}}+\left(sL+\frac{1}{sC_{2}}\right)}=\frac{1}{C_{1}}\cdot\frac{\left(s^{2}+\frac{1}{LC_{2}}\right)}{s\left(s^{2}+\frac{C_{1}+C_{2}}{LC_{1}C_{2}}\right)}\\=&\frac{1}{C_{1}}\cdot\frac{s^{2}+\omega_{1}^{2}}{s\left(s^{2}+\omega_{2}^{2}\right)}\tag{4-1a}\end{aligned} $$

这里

$$ \omega_{1}=\frac{1}{\sqrt{LC_{2}}},\omega_{2}=\frac{1}{\sqrt{L\cdot\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}} $$

显然， $ \omega_{1} $ 与 $ \omega_{2} $ 之间应满足

$$ \omega_{1}<\omega_{2} $$

画出 $ Z(s) $ 的 s 平面零、极点分布图如图 4-42。它有一对共轭极点 $ \pm j\omega_{2} $ 和一对共轭零点 $ \pm j\omega_{1} $，此外，在坐标原点也有一个极点。利用 $ Z(j\omega) $ 表示式

$$ Z(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{C_{1}}\bullet\frac{(\mathrm{j}\omega+\mathrm{j}\omega_{1})(\mathrm{j}\omega-\mathrm{j}\omega_{1})}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}\omega+\mathrm{j}\omega_{2})(\mathrm{j}\omega-\mathrm{j}\omega_{2})}=|Z(\mathrm{j}\omega)|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $$

将式中各复数因子(矢量)作图容易求得：当 $ \omega $ 沿虚轴移动时，在 $ \omega=0 $ 和 $ \omega=\omega_{2} $ 两极点处 $ \left|Z\left(\mathrm{j}\omega\right)\right| $ 为 $ \infty $，而在 $ \omega=\omega_{1} $ 零点处 $ \left|Z\left(\mathrm{j}\omega\right)\right|=0 $。相位变化则是在 $ 0<\omega<\omega_{1} $ 范围内 $ \varphi=-90^{\circ} $，当 $ \omega_{1}<\omega<\omega_{2} $ 时 $ \varphi=+90^{\circ} $，而 $ \omega>\omega_{2} $ 以后又有 $ \varphi=-90^{\circ} $。所得结果画成曲线如图 4-43 所示。

虽然，这是一个无损谐振电路，但有些结论也可延用于一些有损高 Q 电路，这些电路的零、极点虽未落于虚轴，却相当靠近虚轴。

一般情况下，可以认为，若网络函数有一对非常靠近 $ j\omega $ 轴的极点

$$ p=-\sigma_{i}\pm\mathrm{j}\omega_{i}\qquad\quad(\sigma_{i}\ll\omega_{i}) $$

则在 $ \omega=\omega_{i} $ 附近处，幅频响应特性出现峰点，相频响应迅速减小，如图 4-44(a) 所示。又若网络函数有一对非常靠近 $ j\omega $ 轴的零点

$$ p=-\sigma_{j}\pm\mathrm{j}\omega_{j}\qquad\quad(\sigma_{j}\ll\omega_{j}) $$

则在 $ \omega = \omega_{i} $ 附近处，幅频响应特性下陷，相频响应特性迅速上升，如图 4-44(b) 所示。

若零点与极点离开 $ j\omega $ 轴很远（即它们的实部远大于虚部），那么，这些零点和极点对于幅频响应曲线和相频响应曲线的形状影响很小。它们的作用只是使总的振幅和相位的相对大小有所增减。

4.10 全通函数与最小相移函数的零、极点分布

如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于 $ j\omega $ 轴互为镜像，那么，这种系统函数称为全通函数，此系统则称全通系统或全通网络。所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。

下面分析具有这种零、极点分布的系统为什么表现出“全通”特性。

图4-45举例示出全通网络s平面零、极点分布。在此图中零点 $ z_{1},z_{2},z_{3} $分别与极点 $ p_{1},p_{2},p_{3} $以jω轴互为镜像关系。因此，相应的矢量长度对应相等，即

$$ M_{1}=N_{1} $$

$$ M_{2}=N_{2} $$

$$ M_{3}=N_{3} $$

网络频率特性的表示式为

$$ \begin{aligned}H(\mathrm{j}\omega)&=K\frac{N_{1}N_{2}N_{3}}{M_{1}M_{2}M_{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}[(\psi_{1}+\psi_{2}+\psi_{3})-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3})]}\\&=K\mathrm{e}^{\mathrm{j}[(\psi_{1}+\psi_{2}+\psi_{3})-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3})]}\end{aligned} $$

显然，由于 $ N_{1}N_{2}N_{3} $ 与 $ M_{1}M_{2}M_{3} $ 相消，幅频特性等于常数 K，即

$$ \left|H(j\omega)\right|=K $$

因而具有全通特性。再看相频特性，当 $ \omega=0 $ 时， $ \theta_{1}=-\theta_{2} $， $ \phi_{1}=-\phi_{2} $， $ \theta_{3}=0 $， $ \phi_{3}=180^{\circ} $，所以 $ \varphi=180^{\circ} $；当 $ \omega $ 沿 j $ \omega $ 轴向上移动时， $ \theta_{2} $， $ \theta_{3} $ 增加， $ \phi_{2} $， $ \phi_{3} $ 减小，而且 $ \theta_{1} $ 由负变正， $ \phi_{1} $ 更加变负，于是 $ \varphi $ 下降；而当 $ \omega\to\infty $ 时， $ \theta_{1}=\theta_{2}=\theta_{3}=90^{\circ} $， $ \phi_{1}=-270^{\circ} $， $ \phi_{2}=\phi_{3}=90^{\circ} $，因而 $ \varphi=-360^{\circ} $； $ \varphi $ 角变化的全部过程是从 +180° 下降，经零点、最终趋于 -360°。此网络的幅频特性与相频特性曲线分别绘于图 4-46(a) 和 (b)。

从以上分析不难看出，全通网络函数的幅频特性虽为常数，而相频特性却不受什么约束，因而，全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。

例 4-23 图4-47 所示为格形网络，参数间满足 $ \frac{L}{C}=R^{2} $，写出网络传输函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $，判别它是否为全通网络。

解

引用符号

$$ Z_{1}=sL\ ,Z_{2}=\frac{1}{sC} $$

于是有

$$ Z_{1}Z_{2}=R^{2} $$

为写出 $ H(s) $，从2-2'端向左应用戴维宁定理，求得内阻为 $ \frac{2Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}} $，等效电源为 $ V_{1}(s) $ $ \frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} $，如图4-48所示。容易求得

$$ \begin{aligned}H(s)&=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)}=\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}\cdot\frac{R}{R+\frac{2Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\\&=\frac{(Z_{2}-Z_{1})R}{(Z_{2}+Z_{1})R+2Z_{2}Z_{1}}=\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}+2\sqrt{Z_{2}Z_{1}}}\\&=\frac{\sqrt{Z_{2}}-\sqrt{Z_{1}}}{\sqrt{Z_{2}}+\sqrt{Z_{1}}}=\frac{R-Z_{1}}{R+Z_{1}}\\ \end{aligned} $$

将 $ Z_{1}=sL $代入得到

$$ H(s)=\frac{R-sL}{R+sL}=-\frac{s-\frac{R}{L}}{s+\frac{R}{L}} $$

它的零、极点分布互为镜像，如图4-49所示，因此是一个全通网络。将s以jω置换，求得转移函数频率特性

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{R-\mathrm{j}\omega L}{R+\mathrm{j}\omega L}=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $$

其中

$$ \varphi(\omega)=-2\arctan\left(\frac{\omega L}{R}\right) $$

在 4.7 节曾讲到，为使网络稳定，必须限制网络函数的极点位于左半平面，至于它的零点落于 s 平面右半或左半平面对于网络特性又有什么影响呢？现来研究这方面的问题。

考察图 4-50(a) 和 (b) 的 s 平面零、极点分布可以看出，它们有相同的极点 $ p_{1,2} = p_{3,4} = -2 \pm j2 $；而二者的零点却以 $ j\omega $ 轴成镜像关系， $ z_{1,2} = -1 \pm j1 $， $ z_{3,4} = +1 \pm j1 $。不难看出，对于这两种分布情况，它们的幅频响应特性是相同的，这是由于， $ H(j\omega) $ 函数的各复数因子构成的矢量长度都对应相等。再看相位情况，对于零点位于右半平面的图形，各矢量构成的辐角有较大的绝对值，而零点位于左半平面者辐角的绝对值比前者小。作出图 4-50(a) 与 (b) 对应的相频响应曲线如图 4-51 所示。显然，就相移的绝对值而言，图 4-50(a) 具有较小的相移。

根据上述分析，引出以下定义。零点仅位于左半平面或 $ j\omega $ 轴的网络函数称为“最小相移函数”，该网络称为“最小相移网络”。如果网络函数在右半平面有一个或多个零点，那么，就称为“非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。

非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积。也即，非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。例如，图4-52(a)的函数可表示为图4-52(b)与(c)之乘积。下面推导有关的函数表示式。

设非最小相移函数在右半平面的零点位于

$$ z_{1,2}=\sigma_{j}\pm\mathrm{j}\omega_{j} $$

它在网络函数 $ H(s) $ 分子中的复数因子为

$$ [\left.s-(\sigma_{j}+\mathrm{j}\omega_{j})\right]\left[s-(\sigma_{j}-\mathrm{j}\omega_{j})\right]=(s-\sigma_{j})^{2}+\omega_{j}^{2} $$

于是 $ H(s) $ 可写为

$$ H(s)=H_{\min}(s)\left[(s-\sigma_{j})^{2}+\omega_{j}^{2}\right] $$

由于在 $ H(s) $ 中提出了式 (4-145) 这一项，余下的 $ H_{\min}(s) $ 必然是最小相移函数，再为式 (4-146) 提供左半平面零点的因子项 $ \left[(s + \sigma_{j})^{2} + \omega_{j}^{2}\right] $ 最后得到

$$ \underbrace{H(s)}_{ 非最小相移函数 }=\underbrace{\{H_{\min}(s)[(s+\sigma_{j})^{2}+\omega_{j}^{2}]\}}_{ 最小相移函数 }\underbrace{\frac{(s-\sigma_{j})^{2}+\omega_{j}^{2}}{(s+\sigma_{j})^{2}+\omega_{j}^{2}}}_{ 全通函数 } $$

4.11 线性系统的稳定性

4.7 节到 4.10 节讨论了 $ H(s) $ 零、极点分布与系统时域特性、频响特性的关系，作为 $ H(s) $ 零、极点分析的另一重要应用是借助它来研究线性系统的稳定性。

按照研究问题的不同类型和不同角度，系统稳定性的定义有不同形式，涉及的内容相当丰富，本节只作初步的简单介绍，在第十一、十二章以及后续课程（如控制理论）中将作进一步研究。

稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。

系统的冲激响应 $ h(t) $ 或系统函数 $ H(s) $ 集中表征了系统的本性，当然，它们也反映了系统是否稳定。判断系统是否稳定，可从时域或 s 域两方面进行。对于因果系统观察在时间 t 趋于无限大时， $ h(t) $ 是增长、还是趋于有限值或者消失，这样可以确定系统的稳定性。研究 $ H(s) $ 在 s 平面中极点分布的位置，也可很方便地给出有关稳定性的结论。从稳定性考虑，因果系统可划分为稳定系统、不稳定系统、临界稳定（边界稳定）系统三种情况。

（1）稳定系统：如果 H(s) 全部极点落于 s 左半平面（不包括虚轴），则可以满足

$$ \lim_{t\to\infty}\left[h\left(t\right)\right]=0 $$

系统是稳定的（参看表4-4、表4-5）。

（2）不稳定系统：如果 H(s) 的极点落于 s 右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则在足够长时间以后， $ h(t) $ 仍继续增长，系统是不稳定的。

（3）临界稳定系统：如果 $ H(s) $ 的极点落于 s 平面虚轴上，且只有一阶，则在

足够长时间以后，h(t)趋于一个非零的数值或形成一个等幅振荡。这处于上述两种类型的临界情况。

稳定系统的另一种定义方式如下：若系统对任意的有界输入其零状态响应也是有界的，则称此系统为稳定系统。也可称为有界输入有界输出(BIBO)稳定系统。上述定义可由以下数学表达式说明：

对所有的激励信号 $ e(t) $

$$ |e(t)|\leqslant M_{e} $$

其响应 $ r(t) $ 满足

$$ \left|r\left(t\right)\right|\leqslant M_{r} $$

则称该系统是稳定的。式中， $ M_{e} $， $ M_{r} $ 为有界正值。按此定义，对各种可能的 $ e(t) $，逐个检验式(4-149)与式(4-150)来判断系统稳定性将过于繁琐，也是不现实的，为此导出稳定系统的充分必要条件是

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\left|h\left(t\right)\right|\mathrm{d}t\leqslant M $$

式中 M 为有界正值。或者说，若冲激响应 $ h(t) $ 绝对可积，则系统是稳定的。下面对此条件给出证明。

对任意有界输入 $ e(t) $，系统的零状态响应为

$$ r\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}h\left(\tau\right)e\left(t-\tau\right)\mathrm{d}\tau $$

$$ \left|r\left(t\right)\right|\leqslant\int_{-\infty}^{\infty}\left|h\left(\tau\right)\right|\cdot\left|e\left(t-\tau\right)\right|\mathrm{d}\tau $$

代入式(4-149)的条件得到

$$ \mid r(t)\mid\leqslant M_{\mathrm{e}}\int_{-\infty}^{\infty}\mid h(\tau)\mid\mathrm{d}\tau $$

如果 $ h(t) $ 满足式(4-151)，也即 $ h(t) $ 绝对可积，则

$$ \left|r(t)\right|\leqslant M_{e}M $$

取 $ M_{e}M=M_{r} $ 这就是式(4-150)。至此，条件式(4-151)的充分性得到证明。下面研究它的必要性。

如果 $ \int_{-\infty}^{\infty}\left|h(t)\right|\mathrm{d}t $无界，则至少有一个有界的 $ e(t) $产生无界的 $ r(t) $。试选具有如下特性的激励信号 $ e(t) $

$$ e\left(-\ t\right)=\operatorname{sgn}\left[h\left(t\right)\right]=\left\{\begin{array}{r}-1,\quad 当 \ h\left(t\right)<0\\0,\quad 当 \ h\left(t\right)=0\\1,\quad 当 \ h\left(t\right)>0\\\end{array}\right. $$

这表明 $ e(-t)h(t)=|h(t)| $，响应 $ r(t) $ 的表达式为

$$ r\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}h\left(\tau\right)e\left(t-\tau\right)\mathrm{d}\tau $$

$$ \begin{aligned}r\left(0\right)=&\int_{-\infty}^{\infty}h\left(\tau\right)e\left(-\tau\right)\mathrm{d}\tau\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\left|h\left(\tau\right)\right|\mathrm{d}\tau\end{aligned} $$

此式表明，若 $ \int_{-\infty}^{\infty}\left|h(\tau)\right|\mathrm{d}\tau $ 无界，则 $ r(0) $也无界，即式(4-151)的必要性得证。

在以上分析中并未涉及系统的因果性，这表明无论因果稳定系统或非因果稳定系统都要满足式(4-151)的条件。对于因果系统，式(4-151)可改写为

$$ \int_{0}^{\infty}\left|h\left(t\right)\right|\mathrm{d}t\leqslant M $$

对于因果系统，从 BIBO 稳定性定义考虑与考察 $ H(s) $ 极点分布来判断稳定性具有统一的结果，仅在类型划分方面略有差异。当 $ H(s) $ 极点位于左半平面时， $ h(t) $ 绝对可积，系统稳定，而当 $ H(s) $ 极点位于右半平面或在虚轴具有二阶以上极点时， $ h(t) $ 不满足绝对可积条件，系统不稳定。当 $ H(s) $ 极点位于虚轴且只有一阶时称为临界稳定系统， $ h(t) $ 处于不满足绝对可积的临界状况，从 BIBO 稳定性划分来看，由于未规定临界稳定类型，因而这种情况可属不稳定范围。

例 4-24 已知两因果系统的系统函数 $ H_{1}(s)=\frac{1}{s} $, $ H_{2}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} $, 激励信号分别为 $ e_{1}(t)=u(t) $, $ e_{2}(t)=\sin(\omega_{0}t)u(t) $, 求两种情况的响应 $ r_{1}(t) $ 和 $ r_{2}(t) $, 并讨论系统稳定性。

解

容易求得激励信号的拉氏变换分别为 $ \frac{1}{s} $和 $ \frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} $，响应的拉氏变换分别为

$$ R_{1}(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}} $$

$$ R_{2}(s)=\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\cdot\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} $$

对应时域表达式

$$ r_{1}(t)=t u(t) $$

$$ r_{2}(t)=\frac{1}{2}t\mathrm{s i n}(\omega_{0}t)u(t) $$

在本例中，激励信号 $ u(t) $ 和 $ \sin(\omega_{0}t)u(t) $ 都是有界信号，却都产生无界信号的输出，因而，从 BIBO 稳定性判据可知，两种情况都属不稳定系统。当然，也可检验 $ h_{1}(t)=u(t) $ 和 $ h_{2}(t)=\cos(\omega_{0}t)u(t) $ 都未能满足绝对可积，于是得出同样结论。若从系统函数极点分布来看， $ H_{1}(s) $ 和 $ H_{2}(s) $ 都具有虚轴上的一阶极点，属临界稳定类型。

对应电路分析的实际问题，通常不含受控源的 RLC 电路构成稳定系统。不含受

控源也不含电阻 R（无损耗），只由 LC 元件构成的电路会出现 $ H(s) $ 极点位于虚轴的情况， $ h(t) $ 呈等幅振荡。从物理概念上讲，上述两种情况都是无源网络，它们不能对外部供给能量，响应函数幅度是有限的，属稳定或临界稳定系统。含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定几种情况，实际上由于电子器件的非线性作用，电路往往可从不稳定状态逐步调整至临界稳定状态，利用此特点产生自激振荡。关于反馈系统的稳定性问题，此处仅举出两个简单例题，详细分析可参看第十一、十二章以及有关控制理论的教材。

例4-25 假定图4-53所示

放大器的输入阻抗等于无限大。

输出信号 $ V_{o}(s) $ 与差分输入信号

$ V_{1}(s) $ 和 $ V_{2}(s) $ 之间满足关系式

$ V_{o}(s)=A\left[V_{2}(s)-V_{1}(s)\right] $，试求：

（1）系统函数 $ H(s)=\frac{V_{o}(s)}{V_{1}(s)} $;

(2) 由 $ H(s) $ 极点分布判断 A 满足怎样的条件时，系统是稳定的？解

$$ \begin{aligned}&\frac{V_{2}(s)}{V_{\mathrm{o}}(s)}=\frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}\\V_{\mathrm{o}}(s)&=A\left[V_{2}(s)-V_{1}(s)\right]\\&=\frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}AV_{\mathrm{o}}(s)-AV_{1}(s)\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}{H(s)}&{{}=\frac{V_{\mathrm{o}}(s)}{V_{1}(s)}=\frac{A}{1-\frac{\frac{A}{s C}}{R+\frac{1}{s C}}}}\\ {}&{{}=-\frac{\bigg(s+\frac{1}{R C}\bigg)A}{s+\frac{1-A}{R C}}}\\ \end{aligned} $$

为使此系统稳定， $ H(s) $ 之极点应落于 s 平面之左半平面，故应有

$$ \frac{1-A}{RC}>0 $$

即 A<1 系统稳定。若 $ A \geqslant 1 $ 则为临界稳定或不稳定系统。

例 4-26 图4-54 所示线性反馈系统，讨论当 K 从 0 增长时，系统稳定性的变化。

解

$$ V_{2}(s)=\left[V_{1}(s)-K V_{2}(s)\right]G(s) $$

$$ \begin{aligned}\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)}&=\frac{G(s)}{1+KG(s)}\approx\frac{\frac{1}{(s-1)(s+2)}}{1+\frac{K}{(s-1)(s+2)}}\\&=\frac{1}{(s-1)(s+2)+K}=\frac{1}{s^{2}+s-2+K}\\&=\frac{1}{(s-p_{1})(s-p_{2})}\end{aligned} $$

求得极点位置

$$ \begin{.T}p_{1}\atop p_{2}\}=\frac{-1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-K}\\\begin{aligned}K=0,p_{1}=-2,p_{2}=+1\\K=2,p_{1}=-1,p_{2}=0\\K=\frac{9}{4},p_{1}=p_{2}=-\frac{1}{2}\\K>\frac{9}{4}, 有共轭复根 , 在左二 \end{aligned} $$

因此，K>2 系统稳定，K=2 为临界稳定，K<2 系统不稳定。K 增长时，极点在 s 平面之移动过程示意于图 4-55。

在线性时不变系统（包括连续与离散）分析中，系统函数方法占据重要地位。以上各节研究了利用 $ H(s) $ 求解电路以及由 $ H(s) $ 零、极点分布决定系统的时域、频域特性和稳定性等各类问题。在本书以后许多章节中还要看到系统函数的广泛应用，从多种角度理解和认识它的作用。然而，必须注意到应用这一概念的局限性。系统函数只能针对零状态响应描述系统的外特性，不能反映系统内部性能。在第九章状态变量分析中将进一步说明这一问题。此外，对于相当多的工程实际问题，难以建立确切的系统函数模型。对高阶线性系统求出严格的系统函数过于烦琐，对于非线性系统、时变系统以及许多模糊现象则不能采用系统函数的方法。近年来，人工神经网络和模糊控制等方法的出现为解决这类问

题开辟了新的途径。这些新方法在构成原理和处理问题的出发点等方面与本章给出的系统函数方法有着重大区别，将在后续课程中看到。

4.12 双边拉普拉斯变换

在导出单边拉氏变换式(4-3)时，曾将傅里叶积分的下限取0值，这样做的理由是注意到一般情况下的实际信号都是从t=0开始的；另一方面，这样做便于引入衰减因子 $ e^{-\sigma t} $，否则，若将积分下限从 $ -\infty $开始，在t<0范围内， $ e^{-\sigma t} $成为增长因子，不但不起收敛作用，反而可能使积分发散。例如

$$ \operatorname*{l i m}_{t\to\infty}t\mathrm{e}^{-\sigma t}=0\quad\mathrm{\boldmath~\left(~\sigma>0~\right)~} $$

$$ \operatorname*{l i m}_{t\to-\infty}t\mathrm{e}^{-\sigma t}=-\infty\qquad(\sigma>0) $$

故积分式 $ \int_{-\infty}^{\infty}te^{-st}dt $不收敛。

但是，也有一些函数，当 $ \sigma $选在一定范围内，积分式

$$ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t $$

为有限值(见例4-27)。这表明，按照式(4-156)求积分也可得到函数 $ f(t) $的一种变换式，这就是双边拉氏变换(也称为指数变换或广义傅里叶变换)。为与单边变换符号 $ F(s) $相区别，可以用 $ F_{B}(s) $表示双边拉氏变换。

下面讨论双边拉氏变换的收敛问题。

例4-27 设已知函数

$$ f(t)=u(t)+\mathrm{e}^{t}u(-t) $$

其波形如图4-56(a)所示。试确定 $ f(t) $双边拉氏变换的收敛区。

解（1）讨论收敛区

取积分

$$ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\sigma t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^{(1-\sigma)t}\mathrm{d}t+\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\sigma t}\mathrm{d}t $$

此式右侧第一项积分当 $ \sigma<1 $ 时是收敛的，第二项积分当 $ \sigma>0 $ 时是收敛的。所以在 $ 0<\sigma<1 $ 的范围内， $ f(t)\mathrm{e}^{-\sigma t} $ 满足收敛条件，对其他 $ \sigma $ 值而言，双边拉氏变换是不存在的。将函数 $ f(t) $ 分解为两部分，见图 4-56(b) 和 (c)，分别示出了它们相应的收敛区如图 4-56(d)~(f) 所示。

（2）求双边拉氏变换

$$ \begin{aligned}F_{\mathrm{B}}(s)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\&=\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^{(1-s)t}\mathrm{d}t+\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{1-s}+\frac{1}{s}\quad(0<\sigma<1)\end{aligned} $$

不难看出，双边拉氏变换的问题可分解为两个类似单边拉氏变换的问题来处理。双边拉氏变换的收敛区一般讲有两个边界，一个边界决定于 t > 0 的函数，是收敛区的左边界，以 $ \sigma_{1} $ 表示；另一个边界决定于 t < 0 的函数，是收敛区的右边界，以 $ \sigma_{2} $ 表示。若 $ \sigma_{1} < \sigma_{2} $，则 t > 0 与 t < 0 的两个函数有共同的收敛区，双边拉氏变换存在；如果 $ \sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} $，无共同收敛区，双边拉氏变换就不存在。设有函数

$$ f(t)=\mathrm{e}^{at}u(t)+\mathrm{e}^{bt}u(-t) $$

则其收敛边界为

$$ \sigma_{1}=a,\sigma_{2}=b $$

也即收敛区落于 $ a < \sigma < b $ 的范围之内。如果 b > a，则有收敛区，双边拉氏变换存在；若 $ b \leq a $，则无收敛区，双边拉氏变换不存在。

从例4-27的结果还可以看出，在给出某函数的双边拉氏变换式 $ F_{B}(s) $时，必须注明其收敛区，如不注明收敛区，在取其逆变换求 $ f(t) $时将出现混淆。例如，若已知双边拉氏变换为

$$ F_{B}(s)=\frac{1}{1-s}+\frac{1}{s} $$

则对应三种不同可能的收敛区，其逆变换将出现三种可能的函数：

若收敛区为 $ 0 < \sigma < 1 $

$$ f_{1}(t)=u(t)+\mathrm{e}^{t}u(-t) $$

这就是图4-56(a)和(d)给出的波形与收敛域。

若收敛区为 $ \sigma>1 $

$$ f_{2}(t)=\left(1-\mathrm{e}^{t}\right)u(t) $$

其波形与收敛域见图4-57(a)。

若收敛区为 $ \sigma<0 $

$$ f_{3}(t)=(\mathrm{e}^{t}-1)u(-t) $$

波形与收敛域见图4-57(b)。

这表明，不同的函数在各不相同的收敛域条件之下可能得到同样的双边拉氏变换。

下面考虑用双边拉氏变换求解电路的一个实例。

例 4-28 图4-58 所示 RC 电路， $ -\infty

t=0 时，S从“1”端转至“2”端，求 $ v_{C}(t) $ 波形。

解

很明显，可将 t<0 时所加直流电源 E 的作用转换为电路中的起始状态，利用单边拉氏变换求解。现在改用双边拉氏变换进行分析，为此将图4-58所示电路改画为图4-59(a)，其中激励信号

$ e(t) $的波形如图4-59(b)所示，其表示式为

$$ e(t)=Eu(-t) $$

取其双边拉氏变换，注明收敛域

$$ E\left(s\right)=-\frac{E}{s}\qquad\left(\sigma<0\right) $$

借助网络函数关系，容易写出 $ v_{C}(t) $ 的双边拉氏变换表示式

$$ \begin{aligned}V_{C}(s)&=E(s)\bullet\frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}\\&=-\frac{E}{s}+\frac{E}{s+\frac{1}{RC}}&\quad\left(-\frac{1}{RC}<\sigma<0\right)\end{aligned} $$

于是求得

$$ v_{C}(t)=E u(-t)+E\mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}}u(t)\qquad\left(-\frac{1}{R C}<\sigma<0\right) $$

画出波形如图4-59(b)所示。

必须注意，在以上分析过程的每一步都应写明变换式的收敛域，否则将导致错误的结果，例如，对于 $ V_{C}(s) $ 表示式，如果将收敛域理解为 $ -\frac{1}{RC}<\sigma $，则其逆变换成为

$$ v_{C}(t)=-E u(t)+E\mathrm{e}^{-\frac{t}{R C}}u(t) $$

这是不确切的。

由于双边拉氏变换在收敛域方面必须考虑一些限制，因而使逆变换的求解比较麻烦，这是它的缺点。双边拉氏变换的优点在于：信号不必限制在 $ t>0 $的范围内，在某些情况下，把所研究的问题从时间为 $ -\infty $到 $ +\infty $做统一考虑，可使概念更清楚；此外，双边拉氏变换与傅里叶变换的联系更紧密，为全面理解傅氏变换、拉氏变换以及第八章将要学习的z变换之间的区别和联系，有必要对双边拉氏变换的原理有所了解。

4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

在本章一开始，从傅里叶变换的基本原理引出了拉普拉斯变换的概念。现在，作为这章结束，讨论从拉普拉斯变换求得傅里叶变换的方法。

读者可能会想到这样的问题：能否利用已知某信号的拉氏变换式以“jω”置换“s”而求得其傅氏变换呢？欲对此作出回答，先来讨论傅里叶变换、双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换三者之间的关系。请参看图4-60的示意说明。双边拉氏变换的积分限是取 $ t $从 $ -\infty $到 $ + \infty $，而 $ f(t) $所乘因子为复指数 $ e^{-st} $， $ s = \sigma + j\omega $，它涉及全部 $ s $平面。如果不改变积分限，而是将复指数的 $ \sigma $取零值， $ s = j\omega $，也即局限于 $ s $平面的虚轴，则得到傅里叶变换。双边拉氏变换为广义的傅里叶变换。如果不改变双边拉氏变换式中的复指数因子 $ e^{-st} $，仍取 $ s = \sigma + j\omega $，但将积分限制于 $ 0 $到 $ + \infty $就得到单边拉氏变换。在取傅里叶变换时，若当 $ t < 0 $满足函数

$ f(t)=0 $，并将 $ f(t) $ 乘以衰减因子 $ \mathrm{e}^{-\sigma t} $ 也就成为单边拉氏变换。

如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应判明函数 $ f(t) $ 为有始信号，即当 t<0 时 $ f(t)=0 $，然后根据收敛边界的不同，按以下三种情况分别对待。

(1) $ \sigma_{0}>0 $（收敛边界落于s平面右半边）

这对应于一些增长函数的情况，例如

$$ f(t)=e^{at}u(t) $$

其单边拉氏变换为

$$ \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{a t}u\left(t\right)\right]=\frac{1}{s-a}\qquad\left( 收敛域 \sigma>a\right) $$

函数波形和 s 平面收敛域分别如图 4-61(a) 和 (b) 所示。对于这种情况，依靠 $ e^{-\sigma t} $ 因子使增长信号衰减下来得到拉氏变换。显然，它的傅氏变换是不存在的，因而不能盲目地由拉氏变换寻求其傅氏变换。

(2) $ \sigma_{0}<0 $（收敛边界落于s平面左半边）

例如

$$ \begin{aligned}f(t)&=\mathrm{e}^{-at}u(t)\\\mathcal{L}\left[f(t)\right]&=\frac{1}{s+a}\quad( 收敛域 \sigma>-a)\end{aligned} $$

图4-62(a)和(b)分别示出了 $ f(t) $波形以及在s平面的收敛域。

这种情况对应衰减函数，它的傅氏变换存在。令其拉氏变换中的 $ s=j\omega $ 就可求得它的傅氏变换。例如对于式(4-158)

$$ \begin{array}{l}\mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{-a t}u\left(t\right)\right]=\frac{1}{s+a}\\ {\mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-a t}u\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{j}\omega+a}}\end{array} $$

又如

$$ \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{-\alpha t}\sin(\omega_{0}t)u(t)\right]=\frac{\omega_{0}}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{0}^{2}} $$

$$ \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-\alpha t}\sin(\omega_{0}t)u(t)\right]=\frac{\omega_{0}}{\left(\mathrm{j}\omega+\alpha\right)^{2}+\omega_{0}^{2}} $$

(3) $ \sigma_{0}=0 $（收敛边界位于虚轴）

在这种情况下，函数具有拉氏变换，而其傅氏变换也可以存在，但不能简单地将拉氏变换中的 s 代以 $ j\omega $ 来求傅氏变换。在它的傅氏变换中将包括奇异函数项。例如，对于单位阶跃函数有

$$ \begin{aligned}&\mathcal{L}\left[\;u\left(t\right)\right]=\frac{1}{s}\quad\left(\sigma>0\right)\\ &\mathcal{F}\left[\;u\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{j}\omega}+\pi\delta\left(\omega\right)\\ \end{aligned} $$

下面导出收敛边界位于虚轴时拉氏变换与傅氏变换联系的一般关系式，若 $ f(t) $的拉氏变换式为

$$ F(s)=F_{a}(s)+\sum_{n=1}^{N}\frac{K_{n}}{s-\mathrm{j}\omega_{n}} $$

式中 $ F_{a}(s) $ 的极点位于 s 平面左半边， $ \omega_{n} $ 为虚轴上的极点，共有 N 个， $ K_{n} $ 为部分分式分解的系数。容易求得式 (4-160) 的逆变换为

$$ f(t)=f_{a}(t)+\sum_{n=1}^{N}K_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{n}t}u(t) $$

式中 $ f_{a}(t) $ 是对应 $ F_{a}(s) $ 之逆变换。求式 (4-161) 的傅氏变换可得

$$ \begin{aligned}\mathcal{F}\left[f(t)\right]&=F_{a}(\mathrm{j}\omega)+\mathcal{F}\bigg[\sum_{n=1}^{N}K_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{n}t}u\left(t\right)\bigg]\\&=F_{a}(\mathrm{j}\omega)+\sum_{n=1}^{N}K_{n}\left\{\delta\left(\omega-\omega_{n}\right)*\left[\pi\delta\left(\omega\right)+\frac{1}{\mathrm{j}\omega}\right]\right\}\\&=F_{a}(\mathrm{j}\omega)+\sum_{n=1}^{N}\frac{K_{n}}{\mathrm{j}\left(\omega-\omega_{n}\right)}+\sum_{n=1}^{N}K_{n}\pi\delta\left(\omega-\omega_{n}\right)\\&=F(s)\bigg|_{s=\mathrm{j}\omega}+\sum_{n=1}^{N}K_{n}\pi\delta\left(\omega-\omega_{n}\right)\\ \end{aligned} $$

利用式(4-162)即可由 $ F(s) $求得傅氏变换。式中包括两部分，第一部分是将 $ F(s) $中的s以 $ j\omega $代入，第二部分为一系列冲激函数之和。

例 4-29 求 $ f(t)=\sin(\omega_{0}t)u(t) $ 的傅氏变换和拉氏变换。

解

由表4-1容易求出

$$ \mathcal{L}\left[\sin(\omega_{0}t)u(t)\right]=\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} $$

利用式 $ （4-162） $可求出

$$ \mathcal{F}\left[\sin\left(\omega_{0}t\right)u\left(t\right)\right]=\frac{\omega_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}+\mathrm{j}\frac{\pi}{2}\left[\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)-\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)\right] $$

如果 $ F(s) $ 具有 $ j\omega $ 轴上的多重极点，对应的傅氏变换式还可能出现冲激函数的各阶导数项。例如，若

$$ F(s)=F_{a}(s)+\frac{K_{0}}{(s-\mathrm{j}\omega_{0})^{k}} $$

式中 $ F_{a}(s) $ 的极点位于 s 平面左半边，在虚轴上有 k 重 $ \omega_{0} $ 的极点， $ K_{0} $ 为系数。此时，可求得

$$ \mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(s)\bigg|_{s=\mathrm{j}\omega}+\frac{K_{0}\pi\mathrm{j}^{k-1}}{(k-1)!}\delta^{(k-1)}(\omega-\omega_{0}) $$

式中 $ \delta(\omega-\omega_{0}) $ 的上角为求 $ (k-1) $ 阶导数。

例 4-30 求 $ f(t)=tu(t) $ 的傅氏变换和拉氏变换。

解

由表4-1查到

$$ F(s)=\frac{1}{s^{2}} $$

利用式(4-163)求出

$$ \mathcal{F}\left[f(t)\right]=-\frac{1}{\omega^{2}}+\mathrm{j}\pi\delta^{\prime}(\omega) $$

此结果即本书附录二中第25号波形的傅氏变换式。

习题

4-1 求下列函数的拉氏变换。

(1) $ 1-e^{-at} $

(2) $ \sin t + 2\cos t $

(3) $ te^{-2t} $

(4) $ e^{-t}\sin(2t) $

(5) $ (1+2t)e^{-t} $

(6) $ [1 - \cos(\alpha t)] e^{-\beta t} $

(7) $ t^{2}+2t $

(8) $ 2\delta(t) - 3e^{-7t} $

(9) $ \mathrm{e}^{-at} \sinh(\beta t) $

(10) $ \cos^{2}(\Omega t) $

(11) $ \frac{1}{\beta - \alpha} (\mathrm{e}^{-a t} - \mathrm{e}^{-\beta t}) $

(12) $ \mathrm{e}^{-(t+a)}\cos(\omega t) $

(13) $ te^{-(t-2)}u(t-1) $

(14) $ \mathrm{e}^{-\frac{t}{a}}f\left(\frac{t}{a}\right) $

设已知 $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $

(15) $ e^{-at}f\left(\frac{t}{a}\right) $

(16) $ t \cos^{3}(3t) $

设已知 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(s) $

(17) $ t^{2}\cos(2t) $

(18) $ \frac{1}{t}(1 - e^{-at}) $

(19) $ \frac{e^{-3t}-e^{-5t}}{t} $

(20) $ \frac{\sin(at)}{t} $

4-2 求下列函数的拉氏变换，考虑能否借助于延时定理。

(1) $ f(t)=\left\{\begin{aligned}&\sin(\omega t)&\left(\text{当 }0

$ T=\frac{2\pi}{\omega} $

(2) $ f(t) = \sin(\omega t + \varphi) $

4-3 求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。

(1) $ f(t) = \mathrm{e}^{-t} u(t - 2) $

(2) $ f(t) = \mathrm{e}^{-(t-2)} u(t-2) $

(3) $ f(t) = \mathrm{e}^{-(t-2)} u(t) $

(4) $ f(t) = \sin(2t) \cdot u(t - 1) $

(5) $ f(t)=(t-1)[u(t-1)-u(t-2)] $

4-4 求下列函数的拉普拉斯逆变换。

(1) $ \frac{1}{s+1} $

(2) $ \frac{4}{2s+3} $

(3) $ \frac{4}{s(2s+3)} $

(4) $ \frac{1}{s(s^{2}+5)} $

(5) $ \frac{3}{(s+4)(s+2)} $

(6) $ \frac{3s}{(s+4)(s+2)} $

(7) $ \frac{1}{s^{2}+1}+1 $

(8) $ \frac{1}{s^{2}-3s+2} $

(9) $ \frac{1}{s(RCs+1)} $

(10) $ \frac{1-RCs}{s(1+RCs)} $

(11) $ \frac{\omega}{\left(s^{2}+\omega^{2}\right)}\cdot\frac{1}{\left(RCs+1\right)} $

(12) $ \frac{4s+5}{s^{2}+5s+6} $

(13) $ \frac{100(s+50)}{(s^{2}+201s+200)} $

(14) $ \frac{(s+3)}{(s+1)^{3}(s+2)} $

(15) $ \frac{A}{s^{2}+K^{2}} $

(16) $ \frac{1}{\left(s^{2}+3\right)^{2}} $

(17) $ \frac{s}{(s + a)[(s + \alpha)^2 + \beta^2]} $

(18) $ \frac{s}{(s^{2}+\omega^{2})[(s+\alpha)^{2}+\beta^{2}]} $

(19) $ \frac{e^{-s}}{4s(s^{2}+1)} $

(20) $ \ln\left(\frac{s}{s+9}\right) $

4 -5 分别求下列函数的逆变换的初值与终值。

(1) $ \frac{(s+6)}{(s+2)(s+5)} $ (2) $ \frac{(s+3)}{(s+1)^2(s+2)} $

4-6 题图4-6所示电路，t=0 以前，开关 S 闭合，已进入稳定状态；t=0 时，开关打开，求 $ v_{r}(t) $ 并讨论 R 对波形的影响。

4-7 题图4-7所示电路，t=0 时，开关 S 闭合，求 $ v_{C}(t) $

4-8 题图4-8所示 RC 分压器, t=0 时, 开关 S 闭合, 接入直流电压 E, 求 $ v_{2}(t) $ 并讨论以下三种情况的结果。

(1) $ R_{1}C_{1}=R_{2}C_{2} $

(2) $ R_1C_1 > R_2C_2 $

(3) $ R_{1}C_{1}

4-9 题图4-9所示 RLC 电路 t=0 时开关 S 闭合，求电流 $ i(t) $ 。（已知 $ \frac{1}{2RC} < \frac{1}{\sqrt{LC}} $ 。）

4-10 求题图4-10所示电路的系统函数 $ H(s) $和冲激响应 $ h(t) $，设激励信号为电压 $ e(t) $、响应信号为电压 $ r(t) $。

4-11 电路如题图4-11所示，t=0 以前开关位于“1”，电路已进入稳定状态，t=0 时开关从“1”倒向“2”，求电流 i(t) 的表示式。

4-12 电路如题图 4-12 所示，t=0 以前电路元件无储能，t=0 时开关闭合，求电压 $ v_{2}(t) $ 的表示式和波形。

4-13 分别写出题图4-13(a)~(c)所示电路的系统函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $

4-14 试求题图4-14所示互感电路的输出信号 $ v_{R}(t) $。假设输入信号 e(t) 分别为以下两种情况：

(1) 冲激信号 $ e(t) = \delta(t) $;

(2) 阶跃信号 $ e(t)=u(t) $

4-15 激励信号 $ e(t) $ 波形如图 4-15(a) 所示，电路如图 4-15(b) 所示，起始时刻 L 中无储能，求 $ v_{2}(t) $ 的表示式和波形。

4-16 电路如题图4-16所示，注意图中 $ kv_{2}(t) $是受控源，试求：

（1）系统函数 $ H(s)=\frac{V_{3}(s)}{V_{1}(s)} $;

（2）若 k=2，求冲激响应。

4-17 在题图4-17所示电路中， $ C_{1}=1~F, C_{2}=2~F, R=2~\Omega $，起始条件 $ v_{C1}(0_{-})=E $，方向如图示，t=0 时开关闭合，求：

（1）电流 $ i_{1}(t) $;

（2）讨论t=0 与 $ t=0_{+} $ 瞬间，电容 $ C_{2} $ 两端电荷发生的变化。

4-18 题图4-18所示电路中有三个受控源，求系统函数 $ H(s)=\frac{E_{v}(s)}{E_{i}(s)} $

4-19 因果周期信号 $ f(t) = f(t)u(t) $，周期为 T，若第一周期时间信号为 $ f_{1}(t) = f(t) \cdot [u(t) - u(t - T)] $，它的拉氏变换为 $ f[f_{1}(t)] = F_{1}(s) $，求 $ f[f(t)] = F(s) $ 表达式。

(提示: 可借助级数性质 $ \sum_{n=0}^{\infty}a^{n}=\frac{1}{1-a} $ 化简。)

4-20 求题图4-20所示周期矩形脉冲和正弦全波整流脉冲的拉氏变换（利用上题结果）。

4-21 将连续信号 $ f(t) $ 以时间间隔 T 进行冲激抽样得到 $ f_{s}(t) = f(t) \delta_{T}(t) $, $ \delta_{T}(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - nT) $, 求：

（1）抽样信号的拉氏变换 $ f[f_{s}(t)] $;

(2) 若 $ f(t)=\mathrm{e}^{-ut}u(t) $ 求 $ f\left[f_{s}(t)\right] $

4-22 当 $ F(s) $ 极点（一阶）落于题图 4-22 所示 s 平面图中各方框所处位置时，画出对应的 $ f(t) $ 波形（填入方框中）。图中给出了示例，此例极点实部为正，波形是增长振荡。

4-23 求题图4-23所示各网络的策动点阻抗函数，在s平面示出其零、极点分布。若激励电压为冲激函数 $ \delta(t) $，求其响应电流的波形。

4-24 求题图4-24所示各网络的电压转移函数 $ H(s)=\frac{v_{2}(s)}{V_{1}(s)} $，在 s 平面示出其零、极点分布，若激励信号 $ v_{1}(t) $ 为冲激函数 $ \delta(t) $，求响应 $ v_{2}(t) $ 的波形。

4-25 写出题图4-25所示梯形网络的策动点阻抗函数 $ Z(s)=\frac{V_{1}(s)}{I_{1}(s)} $，图中串臂（横接）的符号 Z 表示其阻抗，并臂（纵接）的符号 Y 表示其导纳。

4-26 写出题图4-26所示各梯形网络的电压转移函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $，在 s 平面示出其零、极点分布。

4-27 已知激励信号为 $ e(t) = e^{-t} $，零状态响应为 $ r(t) = \frac{1}{2} e^{-t} - e^{-2t} + 2 e^{3t} $，求此系统的冲激响应 $ h(t) $。

4-28 已知系统阶跃响应为 $ g(t) = 1 - e^{-2t} $，为使其响应为 $ r(t) = 1 - e^{-2t} - t e^{-2t} $，求激励信号 $ e(t) $。

4-29 题图4-29 所示网络中，L=2H, C=0.1F, R=10 $ \Omega $。

(1) 写出电压转移函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{E(s)} $;

（2）画出s平面零、极点分布；

（3）求冲激响应、阶跃响应。

4-30 若在题图4-30所示电路中，接入 $ e(t)=40(\sin t)u(t) $，求 $ v_{2}(t) $，指出其中的自由响应与强迫响应。

4-31 如题图4-31所示电路：

（1）若初始无储能，信号源为 $ i(t) $，为求 $ i_{1}(t) $ (零状态响应)，列写转移函数 $ H(s) $;

(2) 若初始状态以 $ i_{1}(0) $, $ v_{2}(0) $ 表示（都不等于零），但 $ i(t)=0 $ (开路)，求 $ i_{1}(t) $ (零输入响应)。

4-32 如题图4-32所示电路：

(1) 写出电压转移函数 $ H(s)=\frac{V_{o}(s)}{E(s)} $;

(2) 若激励信号 $ e(t)=\cos(2t)\cdot u(t) $，为使响应中不存在正弦稳态分量，求 LC 约束；

（3）若 $ R=1\Omega, L=1H $，按第(2)问条件，求 $ v_{0}(t) $

4-33 题图4-33 所示电路, 若激励信号 $ e(t) = (3\mathrm{e}^{-2t} + 2\mathrm{e}^{-3t})u(t) $, 求响应 $ v_{2}(t) $ 并指出响应中的强迫分量、自由分量、瞬态分量与稳态分量。

4-34 若激励信号 $ e(t) $ 为题图 4-34(a) 所示周期矩形脉冲， $ e(t) $ 施加于题图 4-34(b) 所示电路，研究响应 $ v_{0}(t) $ 之特点。已求得 $ v_{0}(t) $ 由瞬态响应 $ v_{ot}(t) $ 和稳态响应 $ v_{os}(t) $ 两部分组成，其表达式分别为

$$ v_{\mathrm{o t}}(t)=-\frac{E(1-\mathrm{e}^{-\alpha t})}{1-\mathrm{e}^{\alpha T}}\cdot\mathrm{e}^{-\alpha t} $$

$$ v_{\mathrm{o s}}(t)=\sum_{n=0}^{\infty}v_{\mathrm{o s l}}(t-n T)\left\{\begin{array}{c}u\left(t-n T\right)-u\left[t-\left(n+1\right)T\right]\\ \end{array}\right\} $$

其中 $ v_{os1}(t) $ 为 $ v_{os}(t) $ 第一周期的信号

$$ v_{\mathrm{o s l}}\left(t\right)=E\left[1-\frac{1-\mathrm{e}^{-a\left(T-\tau\right)}}{1-\mathrm{e}^{-a T}}\mathrm{e}^{-a t}\right]u\left(t\right)-E\left[1-\mathrm{e}^{-a\left(t-\tau\right)}\right]u\left(t-\tau\right) $$

（1）画出 $ v_{0}(t) $波形，从物理概念讨论波形特点；

（2）试用拉氏变换方法求出上述结果；

（3）系统函数极点分布和激励信号极点分布对响应结果特点有何影响？

4-35 已知网络函数的零、极点分布如题图 4-35 所示，此外 $ H(\infty)=5 $，写出网络函数表示式 $ H(s) $。

4-36 已知网络函数 $ H(s) $ 的极点位于 s = -3 处，零点在 s = -a，且 $ H(\infty) = 1 $。此网络的阶跃响应中，包含一项为 $ K_{1}e^{-3t} $。若 a 从 0 变到 5，讨论相应的 $ K_{1} $ 如何随之改变。

4-37 已知题图4-37(a)所示网络的入端阻抗 $ Z(s) $ 表示式为

$$ Z(s)=\frac{K(s-z_{1})}{(s-p_{1})(s-p_{2})} $$

(1) 写出以元件参数 R, L, C 表示的零、极点 $ z_{1}, p_{1}, p_{2} $ 的位置。

(2) 若 $ Z(s) $ 零、极点分布如题图 4-37(b) 所示，且 $ Z(j0)=1 $，求 R, L, C 值。

4-38 给定 $ H(s) $ 的零、极点分布如题图 4-38 所示，令 s 沿 jω 轴移动，由矢量因子的变化分析频响特性，粗略绘出幅频与相频曲线。

4-39 若 $ H(s) $ 零、极点分布如题图 4-39 所示，试讨论它们分别是哪种滤波网络（低通、高通、带通、带阻）。

4-40 写出题图4-40所示网络的电压转移函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $，讨论其幅频响应特性可能为何种类型。

4-41 题图4-41所示格形网络，写出它的电压转移函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $，画出 s 平面零、极

点分布图，讨论它是否为全通网络。

4-42 题图4-42所示几幅s平面零、极点分布图，分别指出它们是否为最小相移网络函数。如果不是，应由零、极点如何分布的最小相移网络和全通网络来组合？

4−43 题图4−43所示电路，虚框中是1:1:1的理想变压器，激励信号为 $ v_{1}(t) $，响应取 $ v_{2}(t) $，写出电压转移函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $，画出零、极点分布图，指出是否为全通网络。

4-44 题图4-44 所示格形网络，写出电压转移函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $。设 $ C_{1}R_{1}

平面示出 $ H(s) $ 零、极点分布，指出是否为全通网络。在网络参数满足什么条件下才能构成全通网络？

4-45 题图4-45所示反馈系统，回答下列各问：

(1) 写出 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $;

（2）K 满足什么条件时系统稳定？

（3）在临界稳定条件下，求系统冲激响应 $ h(t) $

-46 题图4-46 所示反馈电路，其中 $ Kv_{2}(t) $ 是受控源。

(1) 求电压转移函数 $ H(s)=\frac{V_{o}(s)}{V_{1}(s)} $;

(2) K 满足什么条件时系统稳定？

4-47 题图4-47所示反馈系统，其中 $ K=\frac{\beta Z(s)}{R_{i}} $ 。 $ \beta, R_{i} $ 以及 F 都为常数

$$ Z(s)=\frac{s}{C\left(s^{2}+\frac{G}{C}s+\frac{1}{LC}\right)} $$

写出系统函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $，求极点的实部等于零的条件（产生自激振荡）。讨论系统出现稳定、不稳定以及临界稳定的条件，在 s 平面示意给出这三种情况下极点分布图。

4-48 电路如题图4-48所示，为保证稳定工作，求放大器放大系数A的变化范围。设放大器输入阻抗为无限大，输出阻抗等于零。

4-49 题图4-49 示出互感电路；激励信号为 $ v_{1}(t) $，响应为 $ v_{2}(t) $。

（1）从物理概念说明此系统是否稳定？

(2) 写出系统转移函数 $ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $;

（3）求 $ H(s) $ 极点，电路参数满足什么条件才能使极点落在左半平面？此条件实际上

是否能满足？

4 -50 已知信号表示式为

$$ f(t)=\mathrm{e}^{at}u(-t)+\mathrm{e}^{-at}u(t) $$

式中 a>0，试求 $ f(t) $ 的双边拉氏变换，给出收敛域。

4-51 在2.9节利用时域卷积方法分析了通信系统多径失真的消除原理，在此，借助拉氏变换方法研究同一个问题。从以下分析可以看出利用系统函数 $ H(s) $的概念可以比较直观、简便地求得同样的结果。按2.9节式(2-77)已知

$$ r(t)=e(t)+ae(t-T) $$

（1）对上式取拉氏变换，求回波系统的系统函数 $ H(s) $

(2) 令 $ H(s)H_{i}(s)=1 $，设计一个逆系统，先求它的系统函数 $ H_{i}(s) $;

(3) 再取 $ H_{i}(s) $ 的逆变换得到此逆系统的冲激响应 $ h_{i}(t) $，它应当与第二章2.9节的结果一致。