第五章 傅里叶变换应用于通信系统——滤波、调制与抽样

5.1 引言

傅里叶变换应用于通信系统有着久远的历史和宽阔的范围，现代通信系统的发展处处伴随着傅里叶变换方法的精心运用。本章初步介绍这些应用中最主要的几个方面——滤波、调制和抽样。这是前两章基本内容的继续深入。

为了进一步研究系统的滤波特性，首先要引出傅里叶变换形式的系统函数。在第四章，利用拉氏变换形式的系统函数 $ H(s) $ 使系统激励与响应的关系式由卷积简化为乘法运算

$$ \begin{aligned}&r(t)=h(t)*e(t)\\&R(s)=H(s)E(s)\\ \end{aligned} $$

这种转换关系同样可用于傅里叶变换。

设 $ R(\omega) $, $ H(\omega) $, $ E(\omega) $ 分别表示 $ r(t) $, $ h(t) $, $ e(t) $ 的傅里叶变换，即

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}\left[r(t)\right]=R(\omega)\\&\mathcal{F}\left[h(t)\right]=H(\omega)\\&\mathcal{F}\left[e(t)\right]=E(\omega)\\ \end{aligned} $$

引用傅里叶变换的时域卷积定理即可得出

$$ R\left(\omega\right)=H\left(\omega\right)E\left(\omega\right) $$

这里， $ H(\omega) $ 也称为系统函数，但以傅里叶变换形式给出。

如果把 $ r(t) $, $ h(t) $, $ e(t) $ 的傅里叶变换式改用符号 $ R(j\omega) $, $ H(j\omega) $, $ E(j\omega) $ 表示，就可得到

$$ R\left(\mathrm{j}\omega\right)=H(\mathrm{j}\omega)E(\mathrm{j}\omega) $$

这里的系统函数写作 $ H(j\omega) $。显然，式(5-1)与式(5-2)，只是函数变量表示形式不同。在式(5-1)，把“j”隐含于复函数 R, H, E 之中。为便于与拉氏变换联系，式(5-2)可作如下解释，对于稳定的（不包括临界稳定的）因果系统，将 $ H(s) $ 表示式中的变量 s 以 jω 取代，即可写出 $ H(j\omega) $。

与拉普拉斯变换方法类似，利用式(5-2)给出的傅里叶分析方法同样可以解决求线性系统对激励信号的零状态响应问题。从物理概念来说，如果激励信号的频谱密度函数为 $ E(\mathrm{j}\omega) $，则响应的频谱密度函数便是 $ H(\mathrm{j}\omega)E(\mathrm{j}\omega) $。系统改变了激励信号的频谱。系统的功能是对信号各频率分量进行加权，某些频率分量增强，而另一些分量则相对削弱或不变。而且，每个频率分量在传输过程中都产生各自的相位移。这种改变的规律完全由系统函数 $ H(\mathrm{j}\omega) $ 所决定， $ H(\mathrm{j}\omega) $ 是一个加权函数，把频谱密度为 $ E(\mathrm{j}\omega) $ 的信号改造为 $ R(\mathrm{j}\omega)=H(\mathrm{j}\omega)E(\mathrm{j}\omega) $ 的响应信号。实际上，对于任意激励信号的傅里叶分解可以看作无穷多项 $ \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} $ 信号的叠加（或无穷多项正弦分量的叠加），把这些分量作用于系统所得的响应取和（逆变换的积分式），即可给出完整的响应信号。

这种观点同样可用于解释拉氏变换方法。在那里，信号被分解为复指数函数 $ e^{st} $ 的叠加。

概括讲，在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域、复频域的方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。

从 5.2 节到 5.6 节将利用 $ H(j\omega) $ 建立信号经线性系统传输的一些重要概念，包括无失真传输条件、理想滤波器模型以及系统的物理可实现条件等。着重系统滤波特性的理论分析，关于设计的一些实际问题将在第十章以及后续课程中讨论。

在3.7节，作为傅里叶变换的一个性质曾引出调制的概念，5.7节将从组成通信系统的角度研究调制和解调的原理与实现。5.8节研究带通系统的运用，包括调制信号经带通传输以及频率窗函数两方面的问题，后者具有重要的理论意义。以3.11节抽样定理为基础，5.9节和5.10节研究抽样信号的传输与恢复，初步了解数字通信系统的原理与特点。调制和抽样理论最重要的贡献是运用这些理论构成了频分复用与时分复用通信系统。最后两节着重讨论时分复用和频分复用的原理，初步认识多路复用技术在现代通信系统中占有的重要地位；同时，我们将运用傅里叶变换的基本理论介绍有关综合业务数字网以及信息高速公路的初步知识。

5.2 利用系统函数 $ H(j\omega) $ 求响应

在 4.8 节式 (4-111) 曾利用符号 $ H(j\omega) $ 描述正弦稳态响应的频率特性，在那里 $ \mathcal{L}\left[h\left(t\right)\right]=H(s) $, $ H(s)\big|_{s=j\omega}=H(j\omega) $。现在直接定义符号 $ H(j\omega) $ 为系统冲激响应 $ h(t) $ 的傅里叶变换，即 $ \mathcal{F}\left[h\left(t\right)\right]=H(j\omega) $。根据 4.13 节关于傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较可知，当 $ H(s) $ 在虚轴上及右半平面无极点时以上二种计算结果才相等，这时有

$$ \mathcal{F}\left[h\left(t\right)\right]=H(\mathrm{j}\omega)=H(s)\mid_{s=\mathrm{j}\omega} $$

也即，对于 $ H(s) $ 在虚轴上有极点的系统二者不等，下面给出这种情况的实例。

例 5-1 对于图5-1所示电容模型，

输入为电流源电流，输出为电容两端电压，

求冲激响应 $ h(t) $、系统函数 $ H(s) $， $ H(j\omega) $。

解

令输入信号 $ i(t)=\delta(t) $，求出 $ v(t) $ 即 $ h(t) $:

$$ h\left(t\right)=v\left(t\right)=\frac{1}{C}\int i\left(t\right)\mathrm{d}t=\frac{1}{C}u\left(t\right) $$

$$ H(s)=\mathcal{G}\left[h\left(t\right)\right]=\frac{1}{sC} $$

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\mathcal{F}\left[h\left(t\right)\right]=\frac{1}{C}\left[\frac{1}{\mathrm{j}\omega}+\pi\delta\left(\omega\right)\right] $$

如果利用 $ H(s) $ 求正弦稳态频响，则有

$$ H(\mathrm{j}\omega)=H(s)\bigg|_{s=\mathrm{j}\omega}=\frac{1}{\mathrm{j}\omega C} $$

显然，两种方法求得的结果并不相等。严格讲，这里宜选用二种符号，考虑到 $ H(s) $在虚轴无极点的情况（稳定系统）更为普遍，在许多文献和著作中对以上二种情况都采用同一符号 $ H(j\omega) $表示，本书遵从这一习惯。然而，在求解电路响应时需要针对具体问题考虑 $ H(j\omega) $的确切含义。

下面的例子研究利用 $ H(j\omega)=\mathcal{F}[h(t)] $ 求系统对非周期信号的响应。

例 5-2 图 5-2(a) 所示 RC 低通网络，在输入端 1-1′ 加入矩形脉冲 $ v_{1}(t) $ 如图 5-2(b) 所示，利用傅里叶分析方法求 2-2′ 端电压 $ v_{2}(t) $。

解

利用 $ H(s) $ 或从 $ h(t) $ 容易求得

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{\frac{1}{RC}}{\mathrm{j}\omega+\frac{1}{RC}} $$

引用符号 $ \alpha=\frac{1}{RC} $ 得到

$$ H(j\omega)=\frac{\alpha}{\alpha+j\omega} $$

激励信号 $ v_{1}(t) $ 的傅里叶变换式为

$$ V_{1}(\mathrm{j}\omega)=\frac{E}{\mathrm{j}\omega}(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau})=E\tau\frac{\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}{\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega\tau}{2}} $$

引用式(5-2)求得响应 $ v_{2}(t) $的傅里叶变换

$$ \begin{aligned}V_{2}(\mathrm{j}\omega)&=H(\mathrm{j}\omega)V_{1}(\mathrm{j}\omega)\\&=\frac{\alpha}{\alpha+\mathrm{j}\omega}\left[\frac{E\tau\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}{\frac{\omega\tau}{2}}\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega\tau}{2}}\\&=\mid V_{2}(\mathrm{j}\omega)\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{2}(\omega)}\end{aligned} $$

其中

$$ |V_{2}(\mathrm{j}\omega)|=\frac{2\alpha E\left|\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)\right|}{\omega\sqrt{\alpha^{2}+\omega^{2}}} $$

$$ \varphi_{2}(\omega)=\left\{\begin{aligned}{}&{{}-\left[\frac{\omega\tau}{2}+\operatorname{a r c t a n}\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)\right]}&{\quad}&{{}\left[\frac{4n\pi}{\tau}<|\omega|<\frac{2(2n+1)\pi}{\tau}\right]}\\ {}&{{}-\left[\frac{\omega\tau}{2}+\operatorname{a r c t a n}\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)\right]\mp\pi}&{\quad}&{{}\left[\frac{2(2n+1)\pi}{\tau}<|\omega|<\frac{2(2n+2)\pi}{\tau}\right]}\\ {}&{{}}&{}&{{}(n=0,+1,+2,\cdots)\quad(5-5}\\ \end{aligned}\right. $$

利用式 $ （5-4） $与式 $ （5-5） $可以分别描绘响应的幅度谱与相位谱。

为便于进行逆变换以求得 $ v_{2}(t) $ 波形，把 $ V_{2}(j\omega) $ 表示式写作

$$ \begin{aligned}V_{2}(\mathrm{j}\omega)&=\frac{\alpha}{\alpha+\mathrm{j}\omega}\bullet\frac{E}{\mathrm{j}\omega}(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau})\\&=E\left(\frac{1}{\mathrm{j}\omega}-\frac{1}{\alpha+\mathrm{j}\omega}\right)(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau})\\&=\frac{E}{\mathrm{j}\omega}(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau})-\frac{E}{\alpha+\mathrm{j}\omega}(1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau})\\ \end{aligned} $$

于是有

$$ \begin{align*}\upsilon_{2}(t)&=E\big[u\big(t\big)-u\big(t-\tau\big)\big]-E\big[\mathrm{e}^{-\alpha t}u\big(t\big)-\mathrm{e}^{-\alpha(t-\tau)}u\big(t-\tau\big)\big]\\&=E\big(1-\mathrm{e}^{-\alpha t}\big)u\big(t\big)-E\big[1-\mathrm{e}^{-\alpha(t-\tau)}\big]u\big(t-\tau\big)\end{align*} $$

$ v_2(t) $的波形如图5-2(c)所示。图5-2(d)~(f)则分别绘出了上述各傅里叶变换式的幅频特性曲线 $ |H(\mathrm{j}\omega)| $， $ |V_1(\mathrm{j}\omega)| $， $ |V_2(\mathrm{j}\omega)| $。由图可见，输入信号频谱的高频分量比起低频分量受到较严重的衰减。输出信号的频谱密度函数为 $ H(\mathrm{j}\omega) $与 $ V_1(\mathrm{j}\omega) $的乘积，于是幅度谱为 $ |V_2(\mathrm{j}\omega)|=|H(\mathrm{j}\omega)V_1(\mathrm{j}\omega)| $，即式(5-4)。显然，输出信号的波形与输入相比产生了失真，这表现在输出波形上升和下降特性上。输入信号在 $ t=0 $时刻急剧上升，在 $ t=\tau $时刻急剧下降，这种急速变化意味着有很高的频率分量。由于网络不允许高频分量通过，输出电压不能迅速变化，于是不再表现为矩形脉冲，而是以指数规律逐渐上升和下降。如果减小滤波器的RC时间常数，则此低通带宽增加，允许更多的高频分量通过，响应波形的上升、下降时间就要缩短。当然，系统函数相位特性也要影响到响应波形的变化，但在本例中，主要是幅频特性的影响，这里暂不讨论相位特性，有关相位特性的说明将在5.3节专门研究。

从以上分析可以看出，利用傅里叶变换形式的系统函数 $ H(j\omega) $ 从频谱改变的观点解释了激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求解过程不如拉普拉斯变换方法简便。傅里叶分析求逆变换的过程比较烦琐，此外，在正变换式中可能包含 $ \delta(\omega) $ 项，在运算过程中增加麻烦。因此，在求解一般非周期信号作用于具体电路的响应时，用 $ H(s) $ 更方便，很少利用 $ H(j\omega) $。引出 $ H(j\omega) $ 的重要意义在于研究信号传输的基本特性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义，以下两节研究这方面的问题。这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。

5.3 无失真传输

一般情况下，系统的响应波形与激励波形不相同，信号在传输过程中将产生失真。

线性系统引起的信号失真由两方面因素造成，一是系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应各频率分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真，这正如前节指出。另一是系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化，引起相位失真，这方面的问题前面未作研究，本节将结合实例讨论。

必须指出，线性系统的幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。而对于非线性系统则由于其非线性特性对于所传输信号产生非线性失真，非线性失真可能产生新的频率分量。现在只研究有关线性系统的幅度失真和相位失真问题。

在实际应用中，有时需要有意识地利用系统进行波形变换，这时必然产生失真。然而在某些情况下，则希望传输过程中使信号失真最小。现在研究无失真传输的条件。

所谓无失真是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波形上的变化。设激励信号为 $ e(t) $，响应信号为 $ r(t) $，无失真传输的条件是

$$ r(t)=K e(t-t_{0}) $$

式中 K 是一常数， $ t_{0} $ 为滞后时间。满足此条件时， $ r(t) $ 波形是 $ e(t) $ 波形经 $ t_{0} $ 时间的滞后，虽然，幅度方面有系数 K 倍的变化，但波形形状不变，举例示意于图 5-3。

下面讨论为满足式(5-8)，实现无失真传输，对系统函数 $ H(j\omega) $ 应提出怎样的要求？

设 $ r(t) $ 与 $ e(t) $ 的傅里叶变换式分别为 $ R(j\omega) $ 与 $ E(j\omega) $。借助傅里叶变换的延时定理，从式（5-8）可以写出

$$ R\left(\mathrm{j}\omega\right)=K E\left(\mathrm{j}\omega\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}} $$

此外还有

$$ R(\mathrm{j}\omega)=H(\mathrm{j}\omega)E(\mathrm{j}\omega) $$

所以，为满足无失真传输应有

$$ H(\mathrm{j}\omega)=K\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}} $$

式(5-10)就是对于系统的频率响应特性提出的无失真传输条件。欲使信号在通过线性系统时不产生任何失真，必须在信号的全部频带内，要求系统频率响应的幅度特性是一常数，相位特性是一通过原点的直线。如图5-4所示，图中幅度特性的常数为K，相位特性的斜率为 $ -t_{0} $。

式(5-10)或图5-4的要求可以从物理概念上得到直观的解释。由于系统函数的幅度 $ |H(j\omega)| $为常数K，响应中各频率分量幅度的相对大小将与激励信号的情况一样，因而没有幅度失真。要保证没有相位失真，必须使响应中各频率分量与激励中各对应分量滞后同样的时间，这一要求反映到相位特性是一条通过原点的直线。下面举例说明。

设激励信号 $ e(t) $ 波形如图 5-5(a) 所示。它由基波与二次谐波两个频率分量组成，表示式为

$$ e(t)=E_{1}\sin(\omega_{1}t)+E_{2}\sin(2\omega_{1}t) $$

响应 $ r(t) $ 的表示式为

$$ \begin{aligned}\dot{r}(t)&=K E_{1}\sin(\omega_{1}t-\varphi_{1})+K E_{2}\sin(2\omega_{1}t-\varphi_{2})\\&=K E_{1}\sin\left[\omega_{1}\left(t-\frac{\varphi_{1}}{\omega_{1}}\right)\right]+K E_{2}\sin\left[2\omega_{1}\left(t-\frac{\varphi_{2}}{2\omega_{1}}\right)\right]\end{aligned} $$

为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生相位失真，应有

$$ \frac{\varphi_{1}}{\omega_{1}}=\frac{\varphi_{2}}{2\omega_{1}}=t_{0}= 常数 $$

因此，各谐波分量的相移须满足以下关系

$$ \frac{\varphi_{1}}{\varphi_{2}}=\frac{\omega_{1}}{2\omega_{1}} $$

这个关系很容易推广到其他高次谐波频率，于是，可以得出结论：为使信号传输时不产生相位失真，信号通过线性系统时谐波的相移必须与其频率成正比，也即系统的相位特性应该是一条经过原点的直线，写作

$$ \varphi\left(\omega\right)=-\ \omega t_{0} $$

这正是式(5-10)与图5-4所得到的结果。显然，信号通过系统的延迟时间 $ t_{0} $即为相位特性的斜率

$$ \frac{\mathrm{d}\varphi\left(\omega\right)}{\mathrm{d}\omega}=-t_{0} $$

在图5-5(b)中画出了无失真传输的 $ r(t) $波形。而图5-5(c)则是相位失真的情况，可以看到， $ r_{1}(t) $与 $ e(t) $或者 $ r(t) $的波形是不一样的。

对于传输系统相移特性的另一种描述方法是以“群时延”(或称群延时)特性来表示。群时延 $ \tau $的定义为

$$ \tau=-\frac{\mathrm{d}\varphi(\omega)}{\mathrm{d}\omega} $$

也即，群时延定义为系统相频特性对频率的导数并取负号。在满足信号传输不产生相位失真的条件下，其群时延特性应为常数。

对于实际的传输系统 $ \frac{\mathrm{d}\varphi(\omega)}{\mathrm{d}\omega} $ 为负值，因而 $ \tau $ 为正值，通常为简化表达与计算，在一些文献或著作中也定义 $ \tau=\left|\frac{\mathrm{d}\varphi(\omega)}{\mathrm{d}\omega}\right| $，这时 $ \tau $ 取正值。通常利用 $ \Delta\varphi(\omega) $ 与 $ \Delta\omega $ 之比（当 $ \Delta\omega $ 足够小）近似计算或测量 $ \tau $ 值。与直接用 $ \varphi(\omega) $ 描述相位特性相比较，用群时延间接表达相位特性的好处是便于实际测量，而且有助于理解调幅波传输过程的波形变化，在5.8节将结合调幅波通过带通滤波器的失真特性说明引出群时延的意义。

式(5-10)说明了为满足无失真传输对于系统函数 $ H(j\omega) $ 的要求，这是就频域方面提出的。如果用时域特性表示，即对式(5-8)作傅里叶逆变换，可以写出系统的冲激响应

$$ h\left(t\right)=K\delta(t-t_{0}) $$

此结果表明：当信号通过线性系统时，为了不产生失真，冲激响应也应该是冲激函数，而时间延后 $ t_{0} $。这和本节一开始提出的直觉想法完全一致。

在实际应用中，与无失真传输这一要求相反的另一种情况是有意识地利用系

统引起失真来形成某种特定波形，这时，系统传输函数 $ H(j\omega) $ 则应根据所需具体要求来设计。现在说明利用冲激信号作用于系统产生某种特定波形的方法。当希望得到 $ r(t) $ 波形时，若已知 $ r(t) $ 的频谱为 $ R(j\omega) $，那么，使系统函数满足

$$ H(j\omega)=R(j\omega) $$

于是，在系统输入端加入激励函数为冲激信号

$$ e\left(t\right)=\delta\left(t\right) $$

输出端就得到响应 $ H(j\omega) $ 也即 $ R(j\omega) $，它的逆变换就是所需的 $ r(t) $。

例如，当需要产生底宽为 $ \tau $ 的升余弦脉冲时（见图 5-6）。它的表示式为

$$ r\left(t\right)=\left\{\begin{aligned}&\frac{E}{2}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi}{\tau}t\right)\right]&\left(-\frac{\tau}{2}

频谱函数的表示式为

$$ R\left(\mathrm{j}\omega\right)=\frac{E\tau}{2}\cdot\frac{\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}{\frac{\omega\tau}{2}}\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)^{2}} $$

频谱特性曲线示于图5-6。

如果使系统函数 $ H(j\omega) $ 等于升余弦信号的频谱函数

$$ H\left(\mathrm{j}\omega\right)=R\left(\mathrm{j}\omega\right)=\frac{E\tau}{2}\cdot\frac{\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}{\frac{\omega\tau}{2}}\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)^{2}} $$

于是，在冲激信号 $ \delta(t) $ 的作用下，系统响应即为升余弦脉冲。在实际应用中，

$ \delta(t) $函数波形无法实现，只要脉冲足够窄，所得到的输出信号基本上可近似为升余弦函数。此外，实际实现的 $ H(j\omega) $还应包含一定的相移 $ \varphi(\omega) $，这意味着波形 $ r(t) $在时间上滞后。

图 5–7 示意画出用上述方法产生升余弦脉冲的方框图。

5.4 理想低通滤波器

（一） 理想低通的频域特性和冲激响应

我们曾对信号特性理想化，并已经熟悉了诸如冲激函数、阶跃函数这样的理

想模型。这些模型的引入带来许多方便，使我们对一些物理现象的理解进一步深化。

在研究系统特性时同样需要建立一些理想化的系统模型。所谓“理想滤波器”就是将滤波网络的某些特性理想化而定义的滤波网络。理想滤波器可按不同的实际需要从不同角度给予定义。最常用到的是具有矩形幅度特性和线性相移特性的理想低通滤波器。这种低通滤波器将低于某一频率 $ \omega_{c} $ 的所有信号予以传送，而无任何失真，将频率高于 $ \omega_{c} $ 的信号完全衰减[图5-8(a)]， $ \omega_{c} $ 称为截止频率。相移特性是通过原点的直线，也满足无失真传输的要求[图5-8(b)]。网络函数的表示式写作

其中

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $$

$$ \mid H(j\omega)\mid=\left\{\begin{aligned}&1&\left(-\omega_{c}<\omega<\omega_{c}\right)\\ &0&\left(\omega 为其他值 \right)\end{aligned}\right. $$

$$ \varphi\left(\omega\right)=-t_{0}\omega $$

对 $ H(j\omega) $ 进行傅里叶逆变换，不难求得网络的冲激响应

$$ \begin{align*}h\left(t\right)=&\mathcal{F}^{-1}\big[H(\mathrm{j}\omega)\big]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}H(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\\=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_{\mathrm{c}}}^{+\omega_{\mathrm{c}}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega=\frac{1}{2\pi}\left.\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega(t-t_{0})}}{\mathrm{j}(t-t_{0})}\right|_{-\omega_{\mathrm{c}}}^{\omega_{\mathrm{c}}}\\=&\frac{\omega_{\mathrm{c}}}{\pi}\left.\frac{\sin[\omega_{\mathrm{c}}(t-t_{0})]}{\omega_{\mathrm{c}}(t-t_{0})}\right.\end{align*} $$

波形如图5-9所示。这是一个峰值位于 $ t_{0} $时刻的Sa函数，或写作 $ \frac{\omega_{c}}{\pi}\times Sa[\omega_{c}(t-t_{0})] $。

这里，自然会提出这样的问题：按照冲激响应的定义，激励信号 $ \delta(t) $在t=0

时刻加入，然而，响应在 t 为负值时却已经出现，为什么网络可以预测激励函数？似乎它有着“未卜先知”的本领。这个问题的解答是：实际上不可能构成具有这种理想特性的网络。尽管在研究网络问题时理想低通滤波器是十分需要的，但是在实际电路中却不能实现。

然而，有关理想滤波器的研究并不因其无法实现而失去价值，实际滤波器的分析与设计往往需要理想滤波器的理论做指导。

滤波器在物理上可实现与不可实现的条件将在5.5节讨论。

（二） 理想低通的阶跃响应

在图5-2中已经看到，如果具有跃变不连续点的信号通过低通滤波器传输，则不连续点在输出将被圆滑，产生渐变。这是由于信号随时间的急剧改变意味着包含许多高频分量，而较平坦的信号则主要包含低频分量，低通滤波器滤除了一些高频分量。阶跃信号作用于理想低通滤波器时，同样在输出端要呈现逐渐上升的波形，不再像输入信号那样急剧上升。响应的上升时间取决于滤波器的截止频率。下面将要证明：上升时间和滤波器截止频率成反比。截止频率越低，在输出端信号上升越缓慢。

已知理想低通滤波器的网络函数为

$$ H(j\omega)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}&((-\omega_{c}<\omega<\omega_{c})\\0&((\omega 为其他值 )\end{array}\right. $$

阶跃信号的傅里叶变换

$$ E\left(\mathrm{j}\omega\right)=\mathcal{F}\left[u\left(t\right)\right]=\pi\delta\left(\omega\right)+\frac{1}{\mathrm{j}\omega} $$

于是

$$ R\left(\mathrm{j}\omega\right)=H(\mathrm{j}\omega)E(\mathrm{j}\omega)=\left[\pi\delta(\omega)+\frac{1}{\mathrm{j}\omega}\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}\quad\left(-\omega_{\mathrm{c}}<\omega<\omega_{\mathrm{c}}\right) $$

现在，可以利用卷积或直接取逆变换的方法求得阶跃响应，按逆变换定义写出

$$ \begin{aligned}r\left(t\right)&=\mathcal{F}^{-1}\left[R\left(\mathrm{j}\omega\right)\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_{c}}^{\omega_{c}}\left[\pi\delta\left(\omega\right)+\frac{1}{\mathrm{j}\omega}\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_{c}}^{\omega_{c}}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega\left(t-t_{0}\right)}}{\mathrm{j}\omega}\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_{c}}^{\omega_{c}}\frac{\cos\left[\omega\left(t-t_{0}\right)\right]}{\mathrm{j}\omega}\mathrm{d}\omega+\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_{c}}^{\omega_{c}}\frac{\sin\left[\omega\left(t-t_{0}\right)\right]}{\omega}\mathrm{d}\omega\\ \end{aligned} $$

注意到式(5-28)中，前边一项积分的被积函数 $ \frac{\cos\angle\omega(t-t_{0})}{\omega} $是 $ \omega $的奇函数，所以积分为零，后边一项积分的被积函数是 $ \omega $的偶函数，因而有

$$ r\left(t\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\omega_{c}}\frac{\sin\left[\omega\left(t-t_{0}\right)\right]}{\omega}\mathrm{d}\omega=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\omega_{c}\left(t-t_{0}\right)}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x $$

这里，引用了符号 x 置换被积分变量

$$ x=\omega(t-t_{0}) $$

而函数 $ \frac{\sin x}{x} $的积分称为“正弦积分”，在一些数学书中已制成标准表格或曲线，以符号Si(y)表示

$$ \mathrm{Si}(y)=\int_{0}^{y}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x $$

函数 $ \frac{\sin x}{x} $与 $ \mathrm{Si}(y) $曲线同时画于图5-10。可以看到 $ \mathrm{Si}(y) $是y的奇函数，随着y值增加， $ \mathrm{Si}(y) $从0增长，以后围绕 $ \frac{\pi}{2} $起伏，起伏逐渐衰减而趋于 $ \frac{\pi}{2} $，各极值点与 $ \frac{\sin x}{x} $函数的零点对应，例如 $ \mathrm{Si}(y) $第一个峰点就在 $ y=\pi $处出现。

引用以上有关的数学结论，响应 $ r(t) $写作

$$ r\left(t\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\mathrm{S i}\left[\omega_{\mathrm{c}}\left(t-t_{0}\right)\right] $$

把单位阶跃激励 $ u(t) $及其响应 $ r(t) $分别示于图5-11(a)和(b)。由图可见，理想低通滤波器的截止频率 $ \omega_{c} $越低，输出 $ r(t) $上升越缓慢。如果定义输出由最

小值到最大值所需时间为上升时间 $ t_{r} $，则由图5-11可以得到

$$ t_{r}=2\cdot\frac{\pi}{\omega_{c}}=\frac{1}{B} $$

这里， $ B=\frac{\omega_{c}}{2\pi} $，是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。于是得到重要的结论：阶跃响应的上升时间与系统的截止频率（带宽）成反比。

此结论对各种实际的滤波器同样具有指导意义。例如，一个一阶 RC 低通滤波器的阶跃响应为指数上升波形，上升时间与 RC 时间常数成正比，但从频域特性来看，此低通滤波器的带宽却与 RC 乘积值成反比，这里，阶跃响应上升时间与带宽成反比的现象和理想低通滤波器的分析是一致的。

一般讲，滤波器阶跃响应上升时间与带宽不能同时减小，对不同的滤波器二者之乘积取不同的常数值，而且此常数值具有下限，这将由著名的“测不准原理”所决定，将在第六章6.10节研究这一问题。

（三） 理想低通对矩形脉冲的响应

利用上述结果，很容易求得理想低通滤波器对于矩形脉冲的响应。设激励信号——矩形脉冲的表示式为

$$ e_{1}(t)=u(t)-u(t-\tau) $$

波形见图5-12(a)。应用叠加定理，借助式(5-32)可求得网络对 $ e_{1}(t) $的响应 $ r_{1}(t) $

$$ r_{1}(t)=\frac{1}{\pi}\{\mathrm{S i}\big[\omega_{\mathrm{c}}(t-t_{0})\big]-\mathrm{S i}\big[\omega_{\mathrm{c}}(t-t_{0}-\tau)\big]\} $$

此响应的波形示于图5-12(b)。必须注意，这里画出的是 $ \frac{2\pi}{\omega_{c}} \ll \tau $的情形。如果 $ \frac{2\pi}{\omega_{c}} $与 $ \tau $接近或大于 $ \tau $， $ r_{1}(t) $波形失真将更加严重，有些像正弦波。这意味着，矩形脉冲经理想低通传输时，必须使脉宽 $ \tau $与滤波器的截止频率相适应 $ \left(\tau \gg \frac{2\pi}{\omega_{c}}\right) $，才能得到大体上为矩形的响应脉冲，如果 $ \tau $过窄（或 $ \omega_{c} $过小）则响应波形上升与下降时间连在一起，完全丢失了激励信号的脉冲形象。

借助理想低通滤波器阶跃响应的有关结论，可以解释吉布斯现象。在第三章3.2节曾讲到，周期信号波形经傅里叶级数分解以后，取有限项级数相加可以逼近原信号，所谓吉布斯现象是指，对于具有不连续点（跳变点）的波形，所取级数项数越多，近似波形的方均误差虽可减少，但在跳变点处的峰起（上冲）值不能减小，此峰起随项数增多向跳变点靠近，而峰起值趋近于跳变值的9%。

参看图5-10不难发现类似的现象。经计算 $ \mathrm{Si}(y) $ 的第一个峰起值，可以知道在 $ y=\pi $ 点， $ \mathrm{Si}(\pi)=1.8514 $，代入式(5-32)可求得相应的阶跃响应峰值

$$ r\left(t\right)\Big|_{\max}=\frac{1}{2}+\frac{1.8514}{\pi}\approx1.0895 $$

也即，第一个峰起上冲约为跳变值的8.95%，近似为9%。如果增大理想低通滤波器的带宽 $ \omega_{c} $，能够使阶跃响应的上升时间减小，但却不能改变9%上冲的强度。

显然，理想低通对于矩形脉冲的响应同样会出现此现象。图5-13中图(a)所示矩形脉冲的傅里叶变换如图(b)所示，将此信号通过频域特性如图(d)所示的理想低通，其响应波形示于图(c)，当加大此低通网络的带宽 $ \omega_{c} $如图(f)所示时，允许激励信号的更多高频成分通过网络，于是，响应波形改善，见图(e)，但在跳变点的上冲逼近9%。

对于周期性矩形脉冲，其频谱分布虽变成离散型，但是，仍可利用上述原理解释吉布斯现象。

当把图5-13中图(a)的矩形脉冲接到理想低通滤波器时，从频域角度观察，相当于利用图(d)的矩形频率特性为图(b)的频谱“开窗”，在矩形“窗口”内只看到图(b)的一部分频率分量，这时，可以把图(d)所示的频率函数称为“窗函数”。利用矩形窗函数读取信号频谱时，在时域的不连续点要出现上冲。理论研究表明，改用其他形式的“窗函数”有可能消除上冲，例如选用升余弦类型的窗函数。在5.8节以及第十章10.7节还要介绍这方面的问题。

5.5 系统的物理可实现性、佩利－维纳准则

前文已述，理想低通滤波器在物理上是不可实现的，然而，传输特性接近理想特性的网络却不难构成。下面举一实例。

一个简单的低通滤波器电路如图 5-14 所示。设元件参数间满足 R = $ \sqrt{\frac{L}{C}} $。网络转移函数为

$$ \begin{aligned}H(\mathrm{j}\omega)&=\frac{V_{2}(\mathrm{j}\omega)}{V_{1}(\mathrm{j}\omega)}\\&=\frac{\frac{1}{\frac{1}{R}+\mathrm{j}\omega C}}{\mathrm{j}\omega L+\frac{1}{\frac{1}{R}+\mathrm{j}\omega C}}\\&=\frac{1}{1-\omega^{2}LC+\mathrm{j}\omega\frac{L}{R}}\end{aligned} $$

注意到 $ R=\sqrt{\frac{L}{C}} $，并引入符号 $ \omega_{c}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $，于是式(5-37)改写作

$$ 网络 \left(R=\sqrt{\frac{L}{C}}\right) $$

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{1-\left(\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{c}}}\right)^{2}+\mathrm{j}\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{c}}}}=\left|H(\mathrm{j}\omega)\right|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $$

其中

$$ |H(\mathrm{j}\omega)|=\frac{1}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{c}}}\right)^{2}\right]^{2}+\left(\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{c}}}\right)^{2}}} $$

$$ \varphi\left(\omega\right)=-\arctan\left[\frac{\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{c}}}}{1-\left(\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{c}}}\right)^{2}}\right] $$

画出幅度特性与相位特性如图5-15所示。

为便于求得 $ H(j\omega) $ 之逆变换，把式（5-38）写成以下形式

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{2\omega_{\mathrm{c}}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\omega_{\mathrm{c}}}{\left(\frac{\omega_{\mathrm{c}}}{2}+\mathrm{j}\omega\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\omega_{\mathrm{c}}\right)^{2}} $$

由此求得冲激响应

$$ h\left(t\right)=\mathcal{F}^{-1}\left[H(\mathrm{j}\omega)\right]=\frac{2\omega_{\mathrm{c}}}{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{-\frac{\omega_{\mathrm{c}}t}{2}}\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\omega_{\mathrm{c}}t\right) $$

画出波形如图5-16所示。

现在，可以看到图5-14所示电路的幅度特性、相位特性与理想低通滤波器有些相似，冲激响应也有相近之处，然而，区别仍很明显，在这里幅度特性不可能

出现零值，冲激响应的起始时刻在 t=0 处。

通过以上比较，读者会提出这样的问题：究竟怎样的系统数学模型可以在物理上实现？怎样的情况又是不可实现的呢？我们希望找到区分可实现特性与不可实现特性的标准。

就时间域特性而言，一个物理可实现网络的冲激响应 h(t) 在 t<0 时必须为零。或者说冲激响应 h(t) 波形的出现必须是有起因的，不能在冲激作用之前就产生响应，有时把这一要求称为“因果条件”。

从频率特性来看，如果 $ \left|H(j\omega)\right| $满足平方可积条件，即

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\mid H(j\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega<\infty $$

佩利(Paley)和维纳(Wiener)证明了对于幅度函数 $ |H(j\omega)| $物理可实现的必要条件是

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\left|\ln\right|H(\mathrm{j}\omega)\left|\right|}{1+\omega^{2}}\mathrm{d}\omega<\infty $$

式 $ (5-42) $称为佩利-维纳准则。不满足此准则的幅度函数，该网络的冲激响应就是无起因的，即响应先于冲激激励出现。

如果系统函数幅度特性在某一限定的频带内为零，也即 $ |H(j\omega)| = 0 $，这时 $ |\ln|H(j\omega)| $ $ \to\infty $，于是，式 (5-42) 的积分不收敛，违反了佩利－维纳准则，系统是非因果的。对于物理可实现系统，可以允许 $ |H(j\omega)| $ 特性在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。按此原理，理想低通、理想高通、理想带通（习题 5-10）、理想带阻等理想滤波器都是不可实现的。

下面研究具有高斯函数(钟形)幅度特性的网络函数的物理可实现性。这时有

$$ |H(j\omega)|=e^{-\omega^{2}} $$

由第三章3.5节可知，频谱为钟形的时间信号也呈钟形，在 $ t=-\infty $处已开

始出现，因而，此系统是非因果性的，可用佩利－维纳准则来检验这一结论。由式(5-42)求出

$$ \begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\left|\ln\right|H(\mathrm{j}\omega)\left|\right|}{1+\omega^{2}}\mathrm{d}\omega=&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\left|\ln\left(\mathrm{e}^{-\omega^{2}}\right)\right|}{1+\omega^{2}}\mathrm{d}\omega\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\omega^{2}}{1+\omega^{2}}\mathrm{d}\omega=\int_{-\infty}^{\infty}\left(1-\frac{1}{1+\omega^{2}}\right)\mathrm{d}\omega\\ =&\lim_{B\rightarrow\infty}(\omega-\arctan\omega)\left|_{-B}^{B}=\lim_{B\rightarrow\infty}2(B-\arctan B)\right.\\ =&2\left(\lim_{B\rightarrow\infty}B-\frac{\pi}{2}\right)\end{aligned} $$

显然，此积分不收敛，因而证实了前面作出的结论，幅度特性呈高斯函数的网络是不可实现的。

可以证明，对于有理多项式函数构成的幅度特性，能够满足式(5-42)的条件。这表明，佩利－维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速。在第十章将讨论以有理多项式构成的实际滤波网络函数。

总之，佩利－维纳准则既不允许网络特性在一频带内为零，也限制了幅度特性的衰减速度。

佩利－维纳准则只从幅度特性提出要求，而在相位特性方面却没有给出约束。假定，某一 $ H(j\omega) $ 相应于一个因果系统，这时， $ |H(j\omega)| $ 应满足式 (5-42)，而冲激响应 $ h(t) $ 在 t > 0 才可出现。然而，若将此冲激响应波形沿 t 轴向左平移，使它进入 t < 0 的时间范围，就构成了一个非因果系统。显然，这里两个系统的幅度特性是相同的，都符合式 (5-42) 的要求，但相位特性却不相同。因此，可以说，佩利－维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。如果 $ |H(j\omega)| $ 已被检验满足此准则，于是，就可找到适当的相位函数 $ \varphi(\omega) $ 与 $ |H(j\omega)| $ 一起构成一个物理可实现的系统函数。

5.6 利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性

由 5.5 节的讨论可知，系统可实现性的实质是具有因果性。本节将要证明，由于因果性的限制，系统函数的实部与虚部或模与辐角之间将具备某种相互制约的特性，这种特性以希尔伯特(Hilbert)变换的形式表现出来。

对于因果系统，其冲激响应 $ h(t) $ 在 t<0 时等于 0，仅在 t>0 时存在，因此

$$ h\left(t\right)=h\left(t\right)u\left(t\right) $$

设 $ h(t) $ 的傅里叶变换即系统函数 $ H(j\omega) $ 可分解为实部 $ R(\omega) $ 和虚部 $ \mathrm{j}X(\omega) $ 之和

$$ \begin{array}{r}{H(\mathrm{j}\omega)=\mathcal{F}\left[h\left(t\right)\right]=R\left(\omega\right)+\mathrm{j}X\left(\omega\right)}\end{array} $$

对式（5-43）运用傅里叶变换的频域卷积定理得到

$$ \mathcal{F}\left[h\left(t\right)\right]=\frac{1}{2\pi}\left\{\mathcal{F}\left[h\left(t\right)\right]\ast\mathcal{F}\left[u\left(t\right)\right]\right\} $$

于是有

$$ \begin{aligned}R\left(\omega\right)+\mathrm{j}X\left(\omega\right)&=\frac{1}{2\pi}\Biggl\{\left[R\left(\omega\right)+\mathrm{j}X\left(\omega\right)\right]*\left[\pi\delta\left(\omega\right)+\frac{1}{\mathrm{j}\omega}\right]\Biggr\}\\&=\frac{1}{2\pi}\Biggl\{R\left(\omega\right)*\pi\delta\left(\omega\right)+X\left(\omega\right)*\frac{1}{\omega}\Biggr\}+\\&\quad\frac{\mathrm{j}}{2\pi}\Biggl\{X\left(\omega\right)*\pi\delta\left(\omega\right)-R\left(\omega\right)*\frac{1}{\omega}\Biggr\}\\&=\Biggl\{\frac{R\left(\omega\right)}{2}+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{X\left(\lambda\right)}{\omega-\lambda}\mathrm{d}\lambda\Biggr\}+\mathrm{j}\left\{\frac{X\left(\omega\right)}{2}-\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{R\left(\lambda\right)}{\omega-\lambda}\mathrm{d}\lambda\right\}\\ \end{aligned} $$

解得

$$ R\left(\omega\right)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{X\left(\lambda\right)}{\omega-\lambda}\mathrm{d}\lambda $$

$$ X\left(\omega\right)=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{R\left(\lambda\right)}{\omega-\lambda}\mathrm{d}\lambda $$

式(5-47)与式(5-48)称为希尔伯特变换对。它说明了具有因果性的系统函数 $ H(j\omega) $的一个重要特性：实部 $ R(\omega) $被已知的虚部 $ X(\omega) $惟一地确定，反过来也一样。

从以上推证过程可以看出，傅氏变换实部与虚部构成希尔伯特变换对的特性，不只限于具有因果性的系统函数，对于任意因果函数，其傅氏变换的这种特性都是成立的。也即，若函数 $ f(t) $ 满足

$$ f(t)=f(t)u(t) $$

且 $ f(t) $ 的傅里叶变换为

$$ F(\omega)=R(\omega)+\mathrm{j}X(\omega) $$

则 $ R(\omega) $ 与 $ X(\omega) $ 之间构成希尔伯特变换对 [满足式(5-47) 与式(5-48) 的互换关系]。

例 5-3 已知系统冲激响应 $ h(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}u(t) $，求系统函数，并验证其实部与虚部之间满足希尔伯特变换关系。

解 容易求得

$$ \begin{aligned}H(\mathrm{j}\omega)&=\mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-\alpha t}u\left(t\right)\right]\\&=\frac{1}{\alpha+\mathrm{j}\omega}=\frac{\alpha}{\alpha^{2}+\omega^{2}}-\mathrm{j}\frac{\omega}{\alpha^{2}+\omega^{2}}\\&=R\left(\omega\right)+\mathrm{j}X\left(\omega\right)\\ \end{aligned} $$

其中

$$ R\left(\omega\right)=\frac{\alpha}{\alpha^{2}+\omega^{2}} $$

$$ X(\omega)=-\frac{\omega}{\alpha^{2}+\omega^{2}} $$

引用式(5-47)，由 $ X(\omega) $来求 $ R(\omega) $

$$ \begin{aligned}\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\ \frac{X(\lambda)}{\omega-\lambda}\mathrm{d}\lambda&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\ \frac{-\lambda}{\left(\alpha^{2}+\lambda^{2}\right)\left(\omega-\lambda\right)}\mathrm{d}\lambda\\&=\frac{1}{\pi(\alpha^{2}+\omega^{2})}\int_{-\infty}^{\infty}\left(-\frac{\omega}{\alpha^{2}+\lambda^{2}}+\frac{\alpha^{2}}{\alpha^{2}+\lambda^{2}}-\frac{\omega}{\omega-\lambda}\right)\mathrm{d}\lambda\\&=\frac{1}{\pi\left(\alpha^{2}+\omega^{2}\right)}\Big[-\frac{\omega}{2}\ln(\alpha^{2}+\lambda^{2})+\alpha\arctan\Big(\frac{\lambda}{\alpha}\Big)-\omega\ln(\omega-\lambda)\Big]\Bigg|_{-\infty}^{\infty}\\&=\frac{\alpha}{\alpha^{2}+\omega^{2}}=R\left(\omega\right)\\ \end{aligned} $$

类似地，利用式 $ (5-48) $也可由 $ R(\omega) $来求 $ X(\omega) $，这时的积分计算关系为

$$ -\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\alpha}{\left(\alpha^{2}+\lambda^{2}\right)\left(\omega-\lambda\right)}\mathrm{d}\lambda=\frac{\omega}{\alpha^{2}+\omega^{2}} $$

至此，完成了本例要求的证明。

用类似的方法还可以研究可实现系统函数的模与相位函数之间的约束关系。若 $ H(j\omega) $ 的模为 $ |H(j\omega)| $，相位以 $ \varphi(\omega) $ 表示，则

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $$

$$ \ln~H(\mathrm{j}\omega)=\ln~\left|~H(\mathrm{j}\omega)~\right|+\mathrm{j}\varphi(\omega) $$

可以证明，对于最小相移函数， $ \ln|H(j\omega)| $ 与 $ \varphi(\omega) $ 之间也存在一定的约束关系（构成一个变换对），关于这一问题的研究，详见有关参考书，此处不再论证。这种约束关系表明，对于可实现系统的系统函数，若给定 $ \ln|H(j\omega)| $，则 $ \varphi(\omega) $ 被惟一地确定，它们构成一个最小相移函数。

本节利用希尔伯特变换论证了可实现系统 $ H(j\omega) $ 的实部与虚部相互约束关系。希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统或数字信号处理系统中的应用相当广泛，将在后续课程中看到那些应用实例。

5.7 调制与解调

在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往需要进行调制和解调。

无线电通信系统是通过空间辐射方式传送信号的，由电磁波理论可以知道，天线尺寸为被辐射信号波长的十分之一或更大些，信号才能有效地被辐射。对于语音信号来说，相应的天线尺寸要在几十公里以上，实际上不可能制造这样的

天线。调制过程将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围，这就容易以电磁波形式辐射出去。

从另一方面讲，如果不进行调制而是把被传送的信号直接辐射出去，那么各电台所发出的信号频率就会相同，它们混在一起，收信者将无法选择所要接收的信号。调制作用的实质是把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围，也即信号分别托附于不同频率的载波上，接收机就可以分离出所需频率的信号，不致互相干扰。此问题的解决为在一个信道中传输多对通话提供了依据，这就是利用调制原理实现“多路复用”。在简单的通信系统中，每个电台只允许有一对通话者使用，而“多路复用”技术可以用同一部电台将各路信号的频谱分别搬移到不同的频率区段，从而完成在一个信道内传送多路信号的“多路通信”。近代通信系统，无论是有线传输或无线电通信，都广泛采用多路复用技术。

下面应用傅里叶变换的某些性质说明搬移信号频谱的原理。设载波信号为 $ \cos(\omega_{0}t) $，它的傅里叶变换是

$$ \mathcal{F}\left[\cos(\omega_{0}t)\right]=\pi\left[\delta(\omega+\omega_{0})+\delta(\omega-\omega_{0})\right] $$

调制信号 $ g(t) $ 也称为基带信号，若 $ g(t) $ 的频谱为 $ G(\omega) $，占据 $ -\omega_{m} $ 至 $ \omega_{m} $ 的有限频带，见图5-17(b)，将 $ g(t) $ 与 $ \cos(\omega_{0}t) $ 进行时域相乘 [图5-17(a)] 即可得到已调信号 $ f(t) $，根据卷积定理，容易求得已调信号的频谱 $ F(\omega) $

$$ f(t)=g(t)\cos(\omega_{0}t) $$

$$ \begin{align*}\mathcal{F}\left[f(t)\right]&=F(\omega)=\frac{1}{2\pi}G(\omega)*\left[\pi\delta(\omega+\omega_{0})+\pi\delta(\omega-\omega_{0})\right]\\&=\frac{1}{2}\big[G(\omega+\omega_{0})+G(\omega-\omega_{0})\big]\end{align*} $$

可见，信号的频谱被搬移到载频 $ \omega_{0} $ 附近。在第三章3.7节曾利用频移定理得到同样结论。

由已调信号 $ f(t) $ 恢复基带信号 $ g(t) $ 的过程称为解调。图 5-18(a) 示出实现解调的一种原理方框图，这里， $ \cos(\omega_{0}t) $ 信号是接收端的本地载波信号，它与发送端的载波同频同相。 $ f(t) $ 与 $ \cos(\omega_{0}t) $ 相乘的结果使频谱 $ F(\omega) $ 向左、右分别移动 $ \pm\omega_{0}\left(\text{并乘以系数}\frac{1}{2}\right) $，得到如图 5-18(b) 所示的频谱 $ G_{0}(\omega) $，此图形也可从时域的相乘关系得到解释

$$ \begin{aligned}{g_{0}(t)}&{{}=\left[g(t)\cos(\omega_{0}t)\right]\cos(\omega_{0}t)}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}g(t)\big[1+\cos(2\omega_{0}t)\big]}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}g(t)+\frac{1}{2}g(t)\cos(2\omega_{0}t)}\\ \end{aligned} $$

$$ \mathcal{F}\left[g_{0}(t)\right]=G_{0}(\omega)=\frac{1}{2}G(\omega)+\frac{1}{4}\big[G(\omega+2\omega_{0})+G(\omega-2\omega_{0})\big] $$

再利用一个低通滤波器（带宽大于 $ \omega_{m} $，小于 $ 2\omega_{0}-\omega_{m} $），滤除在频率为 $ 2\omega_{0} $ 附近的分量，即可取出 g(t)，完成解调，详见图 5-18(b)。

这种解调器称为乘积解调(或同步解调)，需要在接收端产生与发送端频率相同的本地载波，这将使接收机复杂化。为了在接收端省去本地载波，可采用如下方法。在发射信号中加入一定强度的载波信号 $ A\cos(\omega_{0}t) $，这时，发送端的合成信号为 $ [A+g(t)]\cos(\omega_{0}t) $，如果 $ A $ 足够大，对于全部 $ t $，有 $ A+g(t)>0 $，于是，已调信号的包络就是 $ A+g(t) $ (见图 5-19)。这时，利用简单的包络检波器

（由二极管、电阻、电容组成）即可从图5-19相应的波形中提取包络，恢复 $ g(t) $，不需要本地载波。此方法常用于民用通信设备（例如广播接收机），在那里需要降低接收机的成本，但付出的代价是要使用价格昂贵的发射机，因为需提供足够强的信号 $ A\cos(\omega_{0}t) $之附加功率。显然，这是合算的，对于大批接收机只有一个发射机。由图5-19波形不难发现，在这种调制方法中，载波的振幅随信号 $ g(t) $成比例地改变，因而称为“振幅调制”或“调幅”（AM）；前述不传送载波的方案则称为“抑制载波振幅调制”（AM-SC）。此外，还有“单边带调制”（SSB）（见习题5-17）、“残留边带调制”（VSB）等等。

也可以控制载波的频率或相位，使它们随信号 g(t) 成比例地变化，这两种调制方法分别称为“频率调制”或“调频”(FM)与“相位调制”或“调相”(PM)。它们的原理也是使 g(t) 的频谱 G(ω) 搬移，但搬移以后的频谱不再与原始频谱相似。

调制理论的详细研究将是通信原理课程的主题，而各种调制电路的分析要在高频电路（通信电路）课程中学习。

5.8 带通滤波系统的运用

本节研究两个问题，首先讨论调制信号经带通滤波器传输的性能分析，这是通信系统中经常遇到的实际问题；第二部分研究一个理论问题，这就是用带通滤波构成频率窗函数以改善信号局部特性的分辨率，这是信号处理技术中一些新方法的重要理论基础。

（一） 调幅信号作用于带通系统

为完成调幅信号的传输，往往要遇到调幅信号作用于带通滤波器而求其响应的问题，下面举例说明这种情况下响应信号的特点。

例 5−4 已知带通滤波器转移函数为

$$ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)}=\frac{2s}{(s+1)^{2}+100^{2}} $$

激励信号为 $ v_{1}(t)=(1+\cos t)\cos(100t) $，求稳态响应 $ v_{2}(t) $。

解

激励信号 $ v_{1}(t) $ 表示式可展开写作

$$ v_{1}(t)=\cos(100t)+\frac{1}{2}\cos(101t)+\frac{1}{2}\cos(99t) $$

显然，可以分别求此三个余弦信号的稳态响应，然后叠加。为此，由 $ H(s) $ 写出频响特性

$$ H(j\omega)=\frac{2j\omega}{(j\omega+1)^2+100^2} $$

$$ \begin{aligned}&\approx\frac{2\mathrm{j}\omega}{(\mathrm{j}\omega)^{2}+2\mathrm{j}\omega+100^{2}}\\ &=\frac{2}{2+\mathrm{j}\frac{(\omega+100)(\omega-100)}{\omega}}\\ \end{aligned} $$

考虑到所研究的频率范围仅在 $ \omega=100 $ 附近，取近似条件 $ \omega+100\approx2\omega $ ，于是有

$$ H(\mathrm{j}\omega)\approx\frac{1}{1+\mathrm{j}\left(\omega-100\right)} $$

利用此式分别求系统对 $ \cos(100t) $， $ \frac{1}{2}\cos(101t) $， $ \frac{1}{2}\cos(99t) $ 三个信号的响应，为此写出

$$ H(j100)=1 $$

$$ H(j101)=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-j45^{\circ}} $$

$$ H(\mathrm{j}99)=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{j}45^{\circ}} $$

于是写出响应 $ v_{2}(t) $ 表示式为

$$ \begin{aligned}v_{2}(t)&=\cos(100t)+\frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(101t-45^{\circ})+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(99t+45^{\circ})\right]\\&=\cos(100t)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(100t)\cdot\cos(t-45^{\circ})\\&=\left[1+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(t-45^{\circ})\right]\cos(100t)\\ \end{aligned} $$

图 5-20(a) 示出，由于频响特性 $ H(j\omega) $ 的影响使信号频谱产生的变化，可以看到，此带通系统幅频特性在通带内不是常数，因而，响应信号的两个边频分量 $ \cos(99t) $ 与 $ \cos(101t) $ 相对于载频分量 $ \cos(100t) $ 有所削弱。此外，它们还分别产生了 $ \pm45^{\circ} $ 的相移，而载波点相移等于零。

图5-20(b)是根据 $ v_{1}(t) $, $ v_{2}(t) $表示式画出的波形，不难发现，经此带通系统以后，调幅波包络的相对强度减小（也即“调幅深度”减小），而且包络产生时延，延迟时间 $ \tau $可由相移差值与频率差值之比求得 $ \tau=\frac{\Delta\varphi}{\Delta\omega}=\frac{\pi}{4} $s（相应的周期是 $ 2\pi\ s $）。注意到此处的 $ \tau $就是式（5-17）定义的群时延，群时延描述了调幅信号包络波形的延时。

在本例中，带通系统的实际背景可以是一个 LC 并联谐振电路，它具有与本例 $ H(j\omega) $ 类似的传输特性，通带内 $ |H(j\omega)| $ 不是常数，相频特性也不是直线，这可能引起包络波形的失真。由于本例中的调制信号仅仅是单一频率余弦波 $ \cos t $（即调制信号频率等于 1），未涉及包络波形失真的问题。如果调制信号具有多个频率分量，为保证传输波形的包络不失真，要求带通系统的幅频特性在通带内

为常数，相频特性应为通过载频 $ \omega_{0} $ 点的直线，这样的系统称为理想带通滤波器（见习题 5−10）。

在利用带通系统传输调幅波的过程中，只关心包络波形是否产生失真，并不注意载波相位如何变化，因为在接收端经解调后得到所需的包络信号，载波本身并未传递信息。通常，带通滤波器中心点 $ \omega_{0} $ 与载波频率对应，其相频特性为零，以 $ \omega_{0} $ 为中心取 $ \Delta\varphi $ 和 $ \Delta\omega $ 之比计算群时延即包络时延，而载波时延等于零。

（二） 频率窗函数的运用

到此为止，在研究信号的傅里叶变换时总是认为对时间域或频率域都是从 $ -\infty $到 $ +\infty $范围内给出的完整结果，从正、逆傅里叶变换公式的积分限可以清楚地看到这一点。然而，在许多实际问题中往往需要研究信号在某一时间间隔或某一频率间隔内的特性，或者说希望观察信号在时域或频域的局部性能。这时

可利用“窗函数”对信号开窗。在时间域称为时域（时间）窗函数，在频率域称为频域（频率）窗函数。前面5.4节图5-13曾利用频域窗函数的概念说明理想低通截断信号频谱产生吉布斯现象的原理，实际上更需要带通滤波的概念对信号频谱开窗，而且希望这种带通的窗口有一定可调节功能，下面举一简单例子说明此类作用。

例 5-5 若信号 $ f(t) $ 通过某线性时不变系统产生输出信号为

$$ \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)w\left(\frac{\tau-t}{a}\right)\mathrm{d}\tau $$

(1) 求此系统的系统函数 $ H_{a}(\omega) $;

(2) 若 $ w(t) = \frac{\sin(\pi t)\cos(\pi t)}{\sqrt{\pi}\pi t} $，求 $ H_{a}(\omega) $ 表达式，并画出 $ H_{a}(\omega) - \omega $ 图形；

（3）说明此系统具有何种功能？

（4）当参变量 a 改变时， $ H_{a}(\omega)-\omega $ 图形变化有何规律？

（1）由所给表达式，按卷积关系可求出系统的单位冲激响应为 $ h_{a}(t)=\frac{1}{\sqrt{a}}w\left(-\frac{t}{a}\right) $。若函数 $ w(t) $ 的傅里叶变换为 $ W(\omega) $，借助尺度变换特性可求得

$$ \mathcal{F}\left[h_{a}(t)\right]=H_{a}(\omega)=\sqrt{a}W(-a\omega) $$

(2) 由 $ w(t)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\cos(3\pi t) $ 求出其傅里叶变换式

$$ \begin{aligned}W\left(\omega\right)&=\frac{1}{2\pi}\bullet\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left\{\left[u\left(\omega+\pi\right)-u\left(\omega-\pi\right)\right]*\pi\left[\delta\left(\omega+3\pi\right)+\delta\left(\omega-3\pi\right)\right]\right\}\\&=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\left\{\left[u\left(\omega+4\pi\right)-u\left(\omega+2\pi\right)\right]+\left[u\left(\omega-2\pi\right)-u\left(\omega-4\pi\right)\right]\right\}\end{aligned} $$

或写作

$$ W\left(\omega\right)=\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{2\sqrt{\pi}}&( 当 2\pi\leqslant|\omega|\leqslant4\pi)\\ &0&(|\omega| 为其他值 )\end{aligned}\right. $$

画出 $ W(\omega) - \omega $ 特性如图 5-21(a) 所示。

由此可求出

$$ h_{a}(t)=\frac{\sqrt{a}\sin\left(\frac{\pi t}{a}\right)\cos\left(\frac{3\pi t}{a}\right)}{\sqrt{\pi}\pi t} $$

$$ H_{a}(\omega)=\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a}{\pi}}&\left( 当 \frac{2\pi}{a}\leqslant|\omega|\leqslant\frac{4\pi}{a}\right)\\ &0&( 当 \omega 为其他值 )\end{aligned}\right. $$

画出 $ H_{a}(\omega) - \omega $ 特性如图 5-21(b) 所示。

（3）由 $ H_{a}(\omega) $图形可见，此系统功能是理想带通滤波，中心频率 $ \omega_{0}=\frac{3\pi}{a} $，带宽 $ B_{\omega}=\frac{2\pi}{a} $。

变，即 $ \frac{B_{\omega}}{\omega_{0}}=\frac{2}{3} $。

(4) 当参变量 a 改变时，可调节此带通滤波器的中心频率与带宽。增大 a 则中心频率降低、带宽变窄；减小 a 则中心频率移至高端，带宽加宽。但在变化过程中，这一系列的带通滤波器之带宽与中心频率之比保持不

由上例分析可以看出，这里构作了一个性能可调整的频率窗函数，从频域观察， $ W(a\omega) $ 对 $ f(t) $ 的频谱开窗，改变 a 可调整开窗位置和窗口宽度，当 a 较大时，窗口位于频率较低处，带宽的绝对数值也较小，随着 a 的减小，窗口向高频段移动，且宽度的绝对数值增大。若从时域来看 $ w\left(-\frac{t}{a}\right) $ 与 $ f(t) $ 卷积，当 a 较大时对应 w 函数较宽，随着 a 的减小 w 函数变窄。这表明对应低频段检测带宽较窄而时间较长，与此相反，在高频段带宽加宽而时间较短。这种自动调整尺度和位置的功能可适应检测不同频段频谱成分特征的需要，便于研究信号的局部性能。例如，图像信号边缘轮廓的提取、生物医学工程中脑电图、心电图的特征检测以及地震信号识别等。

在第三章初步建立信号频谱的概念时，严格区分了时域与频域表达式和分析方法，而在上例讨论中，利用w函数将信号的时域分析与频域分析结合起来，可以获得更全面、完整的观察和分析。

频率窗函数或时间窗函数的概念在信号处理与通信领域中得到广泛应用。其中，最具代表性、影响最深远的是小波（或称子波，wavelet）变换（参看习题5-22）。此外，在语音信号处理中的短时傅里叶变换（参看习题5-23，这是时间窗函数的例子）、子带编码，在图像处理中的金字塔式压缩编码，在计算机视觉技术中的多分辨率分析等，这些方法都是对频域或时域窗函数概念灵活运用的产物。

5.9 从抽样信号恢复连续时间信号

在前几节已经研究了傅里叶变换应用于通信系统的两个重要方面，这就是滤波与调制，本节开始讨论另一个方面——抽样。这是第三章3.11节的继续，在以后几节将看到，抽样定理是构成数字通信系统的理论依据。本节介绍从抽样信号恢复连续时间信号的几个基本问题。

（一） 从冲激抽样信号恢复连续时间信号的时域分析

利用图3-54曾说明冲激抽样信号的恢复原理，若带限信号 $ f(t) $的傅里叶变换为 $ F(\omega) $，经冲激序列抽样之后 $ f_{s}(t) $的傅里叶变换为 $ F_{s}(\omega) $，在满足抽样定理的条件下 $ F_{s}(\omega) $的图形是 $ F(\omega) $的周期重复，而且不会产生混叠。利用理想低通滤波器取出 $ F_{s}(\omega) $在 $ \omega=0 $两侧的频率分量即可恢复 $ F(\omega) $，从而无失真地复原 $ f(t) $。这种频域分析方法简捷直观，但是如何从时域角度解释这一过程尚需进一步分析。假定，理想低通滤波器的频域特性为

$$ H(j\omega)=\left\{\begin{array}{ll}T_{s}&( 当 |\omega|<\omega_{c})\\ 0&( 当 |\omega|>\omega_{c})\end{array}\right. $$

式中 $ \omega_{c} $ 是滤波器的截止频率，为以下分析方便，取相位特性为零， $ T_{s} $ 是冲激抽样序列的周期。

滤波器冲激响应 $ h(t) $表达式为

$$ h\left(t\right)=T_{s}\bullet\frac{\omega_{c}}{\pi}\mathrm{S a}\left(\omega_{c}t\right) $$

若冲激序列抽样信号 $ f_{s}(t) $ 为

$$ f_{\mathrm{s}}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT_{\mathrm{s}})\delta(t-nT_{\mathrm{s}}) $$

利用时域卷积关系可求得输出信号，即原连续时间信号 $ f(t) $

$$ \begin{aligned}f(t)&=f_{\mathrm{s}}(t)*h(t)\\&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT_{\mathrm{s}})\delta(t-nT_{\mathrm{s}})*T_{\mathrm{s}}\bullet\frac{\omega_{\mathrm{c}}}{\pi}\mathrm{Sa}(\omega_{\mathrm{c}}t)\\&=T_{\mathrm{s}}\bullet\frac{\omega_{\mathrm{c}}}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT_{\mathrm{s}})\mathrm{Sa}[\omega_{\mathrm{c}}(t-nT_{\mathrm{s}})]\\ \end{aligned} $$

参看图5-22说明上述结果，图中对照给出从时域和频域恢复 $ f(t) $和 $ F(\omega) $的过程。式(5-59)表明，连续信号 $ f(t) $可展开成Sa函数的无穷级数，级数的系数等于抽样值 $ f(nT_{s}) $。也可以说在抽样信号 $ f_{s}(t) $的每个抽样值上画一个峰值为 $ f(nT_{s}) $的Sa函数波形，由此合成的信号就是 $ f(t) $，如图5-22左下端波形。按照线性系统的叠加性，当 $ f_{s}(t) $通过理想低通滤波器时，抽样序列

的每个冲激信号产生一个响应，将这些响应叠加就可得出 $ f(t) $，从而达到由 $ f_{s}(t) $ 恢复 $ f(t) $ 的目的。

在图5-22中满足 $ \omega_{s}=2\omega_{m},\omega_{c}=\omega_{m} $，这里 $ \omega_{s} $ 是冲激序列的重复角频率 $ \omega_{s}=\frac{2\pi}{T_{s}},\omega_{m} $ 是 $ f(t) $ 带宽的角频率值，此时刚好满足奈奎斯特间隔（抽样定理的边界条件）， $ T_{s}=\frac{\pi}{\omega_{m}}=\frac{\pi}{\omega_{c}} $，式（5-59）中的系数 $ T_{s}\cdot\frac{\omega_{c}}{\pi}=1 $，于是式（5-59）简化为

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT_{\mathrm{s}})\mathrm{Sa}[\omega_{\mathrm{c}}(t-nT_{\mathrm{s}})] $$

此时，抽样序列的各个冲激响应零点恰好落在抽样时刻上。就抽样点叠加的数值而言，各冲激响应互相不产生“串扰”，图5-22所示正是这种情况。当 $ \omega_{s}>2\omega_{m} $时，只要选择 $ \omega_{m}<\omega_{c}<\omega_{s}-\omega_{m} $即可正确恢复 $ f(t) $波形。当 $ \omega_{s}<2\omega_{m} $时，不满足抽样定理， $ f_{s}(t) $的频谱出现混叠，在时域图形中，因 $ T_{s} $过大使冲激响应Sa函数的各波形在时间轴上相隔较远，无论如何选择 $ \omega_{c} $都不可能使叠加后的波形恢复 $ f(t) $。

（二） 零阶抽样保持

在以上分析中，假定抽样脉冲是冲激序列。然而，在实际电路与系统中，要

产生和传输接近 $ \delta $ 函数的时宽窄且幅度大的脉冲信号比较困难。为此，在数字通信系统中经常采用其他抽样方式，最常见的一种方式称为零阶抽样保持（或零阶保持抽样，也简称为抽样保持），图5-23和图5-24分别示出产生这种抽样信号的框图和波形。应注意，在这里并不是简单地将信号 $ f(t) $ 与抽样信号 $ p(t) $ 相乘。在抽样瞬间，脉冲序列 $ p(t) $ 对 $ f(t) $ 抽样，保持这一样本值直到下一个抽样瞬时为止，由此得到的输出信号 $ f_{s0}(t) $ 具有阶梯形状。

实际的抽样保持电路有多种形式，图5-25

示出在大规模集成电路芯片中可以采用的一种

电路实例，图中，MOS 管 $ T_{1} $ 和 $ T_{2} $ 作为开关运

用，当窄脉冲 $ p_{1}(t) $ （注意不是冲激序列）到来

时， $ T_{1} $， $ T_{2} $ 导通将 $ f(t) $ 抽样值引到电容 C 两端，

此后，电容两端电压即保持这一样本值到下一个

此后，电容两端电压即保持这一样本值到下一个

抽样脉冲到来，依此重复即可由 $ f(t) $ 产生 $ f_{s0}(t) $ 波形。

$ f_{s0}(t) $ 经传输到接收端后需要恢复 $ f(t) $ 信号，为分析如何恢复，借助冲激序列抽样信号的时域与频域特性，假定

$$ f_{\mathrm{s}}(t)=f(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n T_{\mathrm{s}}) $$

$$ F_{\mathrm{s}}(\omega)=\frac{1}{T_{\mathrm{s}}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_{\mathrm{s}}) $$

式中 $ T_{s} $ 为抽样周期， $ \omega_{s}=\frac{2\pi}{T} $ 是重复角频率， $ F(\omega) $ 是 $ f(t) $ 的频谱。

为求得 $ f_{s0}(t) $ 的频谱，构作一个线性时不变系统，它具有如下的冲激响应（参看图5-26）

$$ h_{0}(t)=u(t)-u(t-T_{\mathrm{s}}) $$

显然，令 $ f_{s}(t) $ 通过此系统即可在输出端产生 $ f_{s0}(t) $ 波形，因此可以给出

$$ f_{\mathrm{s}0}(t)=f_{\mathrm{s}}(t)*h_{0}(t) $$

式中 $ h_{0}(t) $ 的傅里叶变换式为

$$ \mathcal{F}\left[h_{0}(t)\right]=T_{\mathrm{s}}\mathrm{S a}\bigg(\frac{\omega T_{\mathrm{s}}}{2}\bigg)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega T_{\mathrm{s}}}{2}} $$

由频域关系式

$$ \begin{aligned}{F_{\mathrm{s0}}(\mathbf{\omega})}&{{}=\mathcal{F}\left[f_{\mathrm{s0}}(t)\right]}\\ {F_{\mathrm{s0}}(\mathbf{\omega})}&{{}=F_{\mathrm{s}}(\mathbf{\omega})\bullet\mathcal{F}\left[h_{0}(t)\right]}\\ {=}&{{}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\mathbf{\omega}-n\omega_{\mathrm{s}})\mathrm{S a}\bigg(\frac{\omega T_{\mathrm{s}}}{2}\bigg)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega T_{\mathrm{s}}}{2}}}\\ \end{aligned} $$

可以看出，零阶抽样保持信号 $ f_{s0}(t) $ 的频谱的基本特征仍然是 $ F(\omega) $ 频谱以 $ \omega_{s} $ 周期重复，但是要乘上 $ \mathrm{Sa}\left(\frac{\omega T_{s}}{2}\right) $ 函数，此外还附加了延时因子项 $ e^{-\mathrm{j}\frac{\omega T_{s}}{2}} $。当 $ F(\omega) $ 频带受限且满足抽样定理时，为复原 $ F(\omega) $ 频谱，在接收端不应利用理想低通滤波器，而是需要引入具有如下补偿特性的低通滤波器

$$ H_{0\mathrm{r}}(\mathrm{j}\omega)=\left\{\begin{aligned}&\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{\omega T_{\mathrm{s}}}{2}}}{\mathrm{Sa}\left(\frac{\omega T_{\mathrm{s}}}{2}\right)}&\quad&\left(|\omega|\leqslant\frac{\omega_{\mathrm{s}}}{2}\right)\\ &0&\quad&\left(|\omega|>\frac{\omega_{\mathrm{s}}}{2}\right)\end{aligned}\right. $$

它的幅频特性 $ \left|H_{0r}(j\omega)\right| $ 和相频特性 $ \varphi(\omega) $ 曲线如图 5-27 所示。当 $ f_{s0}(t) $ 通过此补偿滤波器后，即可复原信号 $ f(t) $。从频域解释，将 $ F_{s0}(\omega) $ 与 $ H_{0r}(j\omega) $ 相乘，得到 $ F(\omega) $。注意到此处相频特性斜率为正，而实际的滤波器相频特性斜率为负值。一般情况下，在通信系统中，只要求幅频特性尽可能满足补偿要求，而相频特性无需满足式 (5-67)，当然，应具有线性相频特性。例如，若 $ H_{0r}(j\omega) $ 为 $ \frac{1}{\mathrm{Sa}\left(\frac{\omega T_{s}}{2}\right)} $ 函数，则所恢复之 $ f(t) $ 波形形状无失真，仅在时间轴上滞后 $ T_{s}/2 $。

实际上，也可认为 $ f_{s0}(t) $ 波形是对 $ f(t) $ 的近似表示，在要求不很严格的问题中，补偿滤波器的 $ \left|H_{0r}(j\omega)\right| $ 曲线只要大致接近式（5-67）即可满足要求，甚至可以不加补偿。

（三） 一阶抽样保持

如果将连续函数 $ f(t) $ 各样本值用直线连接就可构成折线形状的波形如图5-28中的 $ f_{sl}(t) $，这种信号称为 $ f(t) $ 的一阶抽样保持信号。

为了分析 $ f_{s1}(t) $ 的频谱并导出由此恢复 $ f(t) $ 的方法，构作一个线性时不变系统，它具有三角波形的冲激响应特性 $ h_{1}(t) $，如图 5-28 所示，表达式如下

$$ h_{1}(t)=\left\{\begin{aligned}{1-\frac{\mid t\mid}{T_{s}}}&{{}}&{(~|t|

当冲激抽样序列 $ f_{s}(t) $ 通过此系统时，即可在输出端产生 $ f_{sl}(t) $ 波形，如图5-28所示，这里每个 $ \delta $ 函数产生一个三角波形的响应如图5-28中的虚线，全部虚线叠加构成折线图形 $ f_{sl}(t) $。不难求得 $ h_{1}(t) $ 的频谱

$$ \mathcal{F}\left[h_{1}(t)\right]=T_{\mathrm{s}}\mathrm{S a}^{2}\left(\frac{\omega T_{\mathrm{s}}}{2}\right) $$

由频域关系式

$$ \begin{aligned}{F_{\mathbf{s l}}(\mathbf{\omega})}&{{}=\mathcal{F}\left[f_{\mathbf{s l}}(t)\right]}\\ {F_{\mathbf{s l}}(\mathbf{\omega})}&{{}=F_{\mathbf{s}}(\mathbf{\omega})\cdot\mathcal{F}\left[h_{1}(t)\right]}\\ {}&{{}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\mathbf{\omega}-n\mathbf{\omega_{s}})\mathrm{S a}^{2}\bigg(\frac{\mathbf{\omega}T_{\mathbf{s}}}{2}\bigg)}\\ \end{aligned} $$

可以看出，一阶抽样保持信号 $ f_{sl}(t) $ 的频谱基本特征仍然是 $ F(\omega) $ 频谱以 $ \omega_{s} $ 周期重复，倍乘函数为 $ \mathrm{Sa}^{2}\left(\frac{\omega T_{s}}{2}\right) $。当 $ F(\omega) $ 频带受限且满足抽样定理时，为重建 $ F(\omega) $ 频谱，需要引入具有如下补偿特性的低通滤波器

$$ H_{\mathrm{1r}}(\mathrm{j}\omega)=\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{\mathrm{Sa}^{2}\left(\frac{\omega T_{\mathrm{s}}}{2}\right)}&\quad&\left(|\omega|\leqslant\frac{\omega_{\mathrm{s}}}{2}\right)\\ &0&\quad&\left(|\omega|>\frac{\omega_{\mathrm{s}}}{2}\right)\end{aligned}\right. $$

在以上讨论中，没有考虑信号产生、传输、恢复过程中引入的延时， $ F_{sl}(\omega) $ 相对于 $ F_{s}(\omega) $ 未引入相移， $ H_{lr}(\omega) $ 的相移特性也为零，冲激响应为 $ h_{1}(t) $ 的系统是非因果系统（三角波形在 t<0 时即出现）。这使以上分析过程的表达式得以简化。如果引入时延特性，在线性相移的条件下，最终仍可无失真重建 $ f(t) $，只是在时间轴上相对于原信号有一定延时。

本节讨论了三种由抽样信号恢复原连续时间信号的方法，这类问题的本质可归结为由样本值重建某一函数。从样本重建信号的过程也称为“内插”。内插可以是近似的也可以是完全精确的。在图5-22中，由冲激抽样信号产生Sa函数实现内插，完成了 $ f(t) $信号的精确恢复。这种重建过程也称带限内插。此时， $ f(t) $的频带必须受限，且要满足抽样定理的要求。由于要产生接近冲激序列的信号和接近理想低通的系统都相当困难，因而这种方法在实际问题中很少采用。从内插的观点考虑，零阶抽样保持信号 $ f_{s0}(t) $和一阶抽样保持信号

$ f_{sl}(t) $都是对信号 $ f(t) $的逼近，分别用阶梯信号和折线信号近似表示连续的函数曲线，后者也称为线性内插。这些近似比较粗糙，如果在样本点之间用高阶多项式或其他数学函数进行拟合，可以得到更为精确的逼近函数。

目前，在数字通信系统中广泛采用零阶抽样保持来产生和传输信号，在接收端利用补偿滤波器（大致如图5-27特性）恢复连续时间信号。

5.10 脉冲编码调制(PCM)

利用脉冲序列对连续信号进行抽样产生的信号称为脉冲幅度调制(PAM)信号，这一过程的实质是把连续信号转换为脉冲序列，而每个脉冲的幅度与各抽样点信号的幅度成正比（例如图3-50中的 $ f_{s}(t) $称为自然抽样PAM信号，而图5-24中的 $ f_{s0}(t) $称为平顶抽样或零阶保持PAM信号）。在实际的数字通信系统中，除直接传送PAM信号之外，还有多种传输方式，其中目前应用最为广泛的一种调制方式称为脉冲编码调制（PCM）。在PCM通信系统中，把连续信号转换成数字（编码）信号进行传输或处理，在转换过程中需要利用PAM信号。

图 5-29 示出 PCM 通信系统的简化框图，在发送端主要由抽样、量化与编码三部分组成，其中，量化与编码共同完成模拟 - 数字转换 (A/D 转换) 功能。信源 $ f(t) $ 经脉冲序列 $ p(t) $ 抽样产生零阶抽样保持信号 $ f_{s0}(t) $，它是 PAM 信号，具有离散时间连续幅度 (如阶梯形信号)。量化的过程是将此信号转换成离散时间离散幅度的多电平数字信号。从数学角度理解，量化是把一个连续幅度值的无限数集合映射到一个离散幅度值的有限数集合。这里，规定一组量化电平，抽样值按最接近的一个电平取整数，图 5-30(a) 给出连续幅度值取为离散幅度值的数字实例。此例中，量化电平为 16 个 (0 至 1.5 的 16 个数字)。这些数字经编码产生二进制的数字序列见图 5-30(b)，由于量化电平为 16，相应的编码脉冲位数取 $ 4(2^4 = 16) $。编码后的 PCM 信号 $ f_D(t) $ 经数字信道传输到达接

收端。信号 $ f_{D}(t) $包括 $ f_{D}(t) $与信道引入的噪声。为简化分析，假定 $ \hat{f}_{D}(t) $即 $ f_{D}(t) $，经数字-模拟转换(D/A转换)后恢复PAM信号 $ f_{s0}(t) $，再经 $ \frac{1}{\mathrm{Sa}(x)} $低通补偿滤波器(如图5-27所示特性)即可重建 $ f(t) $。

早在1926年美国人M.雷尼就提出了脉冲编码调制的研究专利。此后，法国人A.H.热维斯进一步给出语音通信PCM电路的专利研究报告。1946年美国贝尔实验室试制成功第一台PCM数字通信设备。人们对这种数字通信方式的研究兴趣与日俱增。20世纪70年代后期，超大规模集成电路和计算机技术的飞速发展推动了PCM通信系统的实用化，目前，PCM在数字微波通信、光纤通信、卫星通信、程控交换以及遥测、遥控等各类通信系统中得到了广泛应用。PCM技术已经成为现代通信系统中的基本问题之一。

在远距离通信系统中，需要在一定距离间隔上接入中继器（转发器）把信号放大，否则因传输损耗将使信号消失。在传输过程中引入的噪声也被放大。在模拟通信系统中，当信号经多级中继器转发之后，噪声累积的影响可能造成严重的信号失真。当传输脉冲编码信号时，情况就大不相同。这时，中继器也作为再生器使用，在每个脉冲的持续期间判决脉冲的有无，根据判决的结果确定1码、0码的存在，或产生一个新的脉冲，或不发脉冲。在此过程中弱噪声的影响已被消除，仅当噪声大到足以使判决发生错误时，才会影响此系统。这表明，在数字通信系统中，当数字信号经多级中继器转发之后，噪声不会累积。根据目前实际设备可达到的信噪比，合理设计中继器间距，不难把噪声影响压低到相当满意的水平。与直接传送模拟信号相比较，这是PCM通信系统的突出优点。

在模拟信号的量化与重建过程中也将引入误差，由此产生的噪声称为量化噪声。长期以来对量化噪声规律的研究已相当成熟，合理设计 A/D 和 D/A 转换器可将量化噪声限制在相当微弱的范围之内，保证 PCM 系统具有足够满意的传输质量。

PCM 的另一优点是当组合多种信源传输时具有很好的灵活性。无论语音信号、图像信号、数据信号经脉冲编码调制之后都可成为统一形式的二进制数字码流，它们可以灵活地交织在一起通过同一系统进行传输。在下一节将要看到，利用时分多路复用设备容易实现这种灵活的组合。

脉冲编码信号便于实现各种数字信号处理功能，例如数字滤波、数据压缩等。也容易完成各种形式的加密和解密，在保密通信中已获得广泛应用。

与直接传送模拟信号相比较，将模拟信号转换为 PCM 信号传输时占用频带要明显加宽。例如，语音通信路信号的频率范围大约在 300～3400 Hz，通常可认为每个话路带宽约 4 kHz。在进行抽样时取抽样频率为 8 kHz，以保证满足抽样定理的要求。每个抽样点若按 8 位脉冲编码传送一个话路的脉冲信号速率为 8×

8 kHz = 64 kbit/s 显然，它所占有的频带远大于直接传送一路语音（模拟）信号所需的频带。下一节将进一步研究脉冲编码信号传输速率与所占频带的关系。

利用频带压缩技术可使传输数字信号占据频带较宽的矛盾适当缓解，然而，这种技术只能在信号具有某些特征 $ \frac{1}{2} $ ，且有可能引起通信质量下降。

5.11 频分复用、时分复用、码速与带宽

将若干路信号以某种方式汇合，统一在同一信道中传输称为多路复用。在近代通信系统中普遍采用多路复用技术。本节介绍频分复用与时分复用的原理和特点，在6.11节还要介绍码分复用。

（一） 频分复用与时分复用

频分复用的原理在5.7节已初步说明。这种设备在发送端将各路信号频谱搬移到各不相同的频率范围，使它们互不重叠，这样就可复用同一信道传输。在接收端利用若干滤波器将各路信号分离，再经解调即可还原为各路原始信号，图5-31示出频分复用原理方框图。通常，相加信号 $ f(t) $还要进行第二次调制，

在接收端将此信号解调后再经带通滤波分路解调。

时分复用的理论依据是抽样定理。在第三章已经证明，频带受限于 $ -f_{m}\sim+f_{m} $的信号，可由间隔为 $ \frac{1}{2f_{m}} $的抽样值惟一地确定。从这些瞬时抽样值可以正确恢复原始的连续信号。因此，允许只传送这些抽样值，信道仅在抽样瞬间被占用，其余的空闲时间可供传送第二路、第三路……各路抽样信号使用。将各路信号的抽样值有序地排列起来就可实现时分复用，在接收端，这些抽样值由适当的同步检测器分离。当然，实际传送的信号并非冲激抽样，可以占有一段时间。图5-32示出两路抽样信号有序地排列经同一信道传输（时分复用）的波形。

对于频分复用系统，每个信号在所有时间里都存在于信道中并混杂在一起。但是，每一信号占据着有限的不同频率区间，此区间不被其他信号占用。在时分复用系统中，每一信号占据着不同的时间区间，此区间不被其他信号占用，但是所有信号的频谱可以具有同一频率区间的任何分量。从本质上讲，频分复用信号保留了频谱的个性，而在时分复用信号中保留了波形的个性。由于信号完全由其时间域特性或完全由其频率域特性所规定，因此，在接收机里总是可以在相应的域内应用适当的技术将复用信号分离。

从电路实现来看，时分复用系统优于频分复用系统。在频分复用系统中各路信号需要产生不同的载波，各自占据不同的频带，因而需要设计不同的带通滤波器。而在时分复用系统中，产生与恢复各路信号的电路结构相同，而且以数字电路为主，比频分复用系统中的电路更容易实现超大规模集成，电路类型统一，设计、调试简单。

时分复用系统的另一优点体现在各路信号之间的干扰（串话）性能方面。在频分复用系统中，各种放大器的非线性产生谐波失真，出现多项频率倍乘成分，引起各路信号之间的串话。为减少这种干扰的影响，在设计与制作放大器时，对它们的非线性指标要求比传送单路信号时严格得多，有时难以实现。对于时分复用系统不存在这种困难。当然，由于设计不当相邻脉冲信号之间可能出现码间串扰，这一问题容易得到控制，使其影响很小，下面将说明防止码间串扰的

方法。

实际的时分复用系统很少直接传输图5-32所示的离散时间连续幅度信号（如PAM信号），而是传送脉冲编码调制（PCM）信号。因此，上节讨论的传输PCM信号具备的各种优点在时分复用系统中都得以体现。

在 PCM 系统中，由于对每个抽样点要进行多位编码，因而使脉冲信号传输速率增高、占用频带加宽，这是时分复用系统显示许多优点而付出的代价。有时，可利用频带压缩技术改善信号所占带宽。

（二） 码速与带宽

码速与带宽的关系是各种数字通信系统设计中需要考虑的一个重要问题。合理设计脉码波形可使频带得到充分利用并且防止码间串扰。下面结合图5-33讨论几种典型波形的码速与带宽关系。若时钟信号(CP)周期为T，见图5-33(a)，并假设待传输的数字信号是01011010。当选择矩形脉冲传输时，脉冲宽度 $ \tau $应满足 $ \tau \leq T $。对于 $ \tau < T $的情况见图5-33(b)，这种码型称为归零码(Regress Zero，简写RZ)， $ \tau $的最大可能是 $ \tau = T $，见图5-33(c)，称为不归零码(NRZ)。通常，可粗略认为矩形脉冲信号的频率分量集中在频谱函数第一个零点之内，也即频带宽度 $ B = \frac{1}{\tau}\left(\text{或角频率}B_{\omega} = \frac{2\pi}{\tau}\right) $。显然，为节省频带最好选用不归零码，令 $ \tau = T $，此时 $ B = \frac{1}{T} $。由时钟周期T可求得脉码传输速率 $ f = \frac{1}{T} $（单位为比特/秒，写作bit/s或bps）。 $ ^{①} $可以看出，此时带宽与码速数值相等， $ B = f = \frac{1}{T} $（注意，带宽单位为Hz）。在以上分析中，由于忽略了矩形波频谱第一零点以外的高频成分，所得结果存在误差。当按照 $ \frac{1}{T} $的带宽传输矩形脉冲信号时，在接收端波形要产生失真，它将畸变为具有上升、下降延迟的形状，而且可能出现拖尾振荡。当此失真较小时，在接收端对应抽样点不会产生误判，可正确恢复1码或0码。当失真较严重时，可能出现误判，引起各路信号之内的串扰。

为有效地解决这一问题，可不选用矩形码，而是选用主要频率成分集中于带宽之内，高频分量相对更小的波形，例如升余弦码。在3.4节式(3-40)和式(3-41)曾给出升余弦脉冲的表达式和频谱特性。此处，选升余弦脉冲信号底宽为2T，见图5-33(d)。其频谱函数第一个零点，也即带宽为 $ \frac{1}{T} $，与图5-33(b)矩形码所占带宽相同。然而，升余弦频谱在带宽以外的高频分量相对非常微弱，按 $ \frac{1}{T} $带宽传输波形时基本上不会产生失真，有效地避免了码间串扰。在接收端

对应抽样点如图5-33(d)中的 $ t_{1} $或 $ t_{0} $可以正确恢复1码或0码。

利用 Sa 函数波形也可避免码间串扰。设 Sa 函数第一零点值为 T，其波形主瓣底宽为 2T，那么在 T 的整数倍各时刻其函数值均为零，因而接收端以此处为抽样判决点，保证不会出现误判。图 5-34 示例给出 10110 Sa 函数码型，图中，波形的某些部分有重叠，没有画出重叠相加的结果，但是，可以清楚地看出在各抽样点处不会产生串扰，例如，在时刻 $ t_1 $ 为 1 码，在时刻 $ t_0 $ 为 0 码，没有串扰。若脉码速率 $ f = \frac{1}{T} $，相应的单个 Sa 脉冲波形表达式为 $ \mathrm{Sa}\left(\frac{\pi}{T}t\right) $，它的频谱函数为矩形，所占带宽是 $ B_{\omega} = \frac{\pi}{T} $， $ B = \frac{1}{2T} $。可见，在码速相同的条件下，Sa 脉冲所占带宽为前述二种波形（矩形、升余弦）带宽之半，节省了频带，这是 Sa 信号的另一优点。但是，Sa 函数的产生比较困难，在实际电路中往往利用窄脉冲波形的叠加产生阶梯波，近似形成 Sa 函数，如图 5-35 所示（参看习题 5-26）。这时，上述结论将出现误差，然而占据频带减半、码间串扰很小的优点仍可适当体现。

对于时分复用通信系统，国际上已建立起一些技术标准。按这些标准规定先把一定路数的电话语音复合成一个标准数据流，称为基群。然后，再把若干组基群汇合成更高速的数字信号。我国和欧洲的基群标准是30路用户和同步、控制信号组合共32路。按前节给出的每路PCM信号速率为64 kbit/s，基群信号速率就是 $ 32\times64\ kbit/s=2.048\ Mbit/s $。这是PCM通信系统基群的标准时钟

速率。在实际应用中，时分复用数据流的组成不只包含语音信号，也可以是语音、数据、图像多种信源产生的数字信号码流之汇合。

总结上文关于码速与带宽的分析，容易联想到如下问题：“傅里叶变换究竟带给我们什么帮助？”“傅里叶变换的魅力在哪里？”“为什么要研究信号的频谱？”另一方面，结合日常生活中可能遇到的疑问建议进一步思考：“什么是高速网络？”“什么是宽带网络？”“高速网与宽带网有什么联系？”我们相信读者对此一定很有兴趣。进一步的研究可查阅参考书目[4]的3.5-8节。

5.12 对当代电信网络的初步认识

（一） 通信系统的构成

本课程理论分析的应用背景着重针对通信系统与控制系统。本章从滤波、调制、抽样三个角度介绍了关于傅里叶变换的重要应用实例。最后在本节就通信系统的一些应用原理作粗浅介绍。而有关控制系统的进一步说明和应用举例将在第十一和十二章给出。

图5-36绘出通信系统的简化原理框图。作为通信系统的一般模型它应包括三个基本部分：即发送设备、接收设备和传输信道。通常，发送设备和接收设备可分置两处，而传输信道是将二者联系在一起的物理媒体。发送设备的作用是将信息源产生的消息转换成适合于在特定信道中传输的电信号，而待传送的信息源可能是语音、图像或数据等。信道的构成可以是有线传输、无线（利用电磁波）或光波传播，稍后我们将举出一些常见信道的实例。接收设备的功能是将接收到的信号恢复为原始消息传送给受信者，使其听到声音、看到图像或收到数据。由于信道的某些物理特性可能使信号在传输过程中引入干扰或噪声，因而最终恢复的信号与原始信号会有差异。在设计通信系统时应当根据环境条件和实际需要采用某些信号处理技术，尽可能改善信息传输的可靠性与有效性。

早期的通信设备都是模拟通信系统，以传输连续时间信号为主，例如语音通信。近代通信系统大多已实现数字化。由数字系统或数字－模拟混合系统构成。为了利用数字系统传输连续时间信号，可以借助各种方法来实现。其中，最常见、最基本的方法是构成PCM通信系统，如5.10节所述。这时需要对连续时间信号进行抽样、量化与编码转换为数字信号，在接收端进行译码恢复。

在实际应用中，通信系统的发、收两端可构成点对点的直接传输，也可进入网络系统经路由选择转接沟通。前者的简单实例如无线对讲机，又如航天系统中在星际或与飞行物之间传输信号的通信系统；而组网传输是更为普遍的一般情况，如市话电信网络、移动通信网络、计算机网络（因特网）等。通常，我们大量

使用的电话或计算机数据的传输都要进入网络转接。还有一种通信模式称为“广播”，由一部发送设备将信号传送给大量接收设备，这种通信模式可以点对点传播，也可经网络传送给用户。

（二） 电信网络简介

下面以电信网络为例，粗浅介绍日常生活中经常遇到的一些通信方式构成原理。我们将要看到，一切问题的核心都围绕着信号的频谱分析与系统传输特性之间的相互适应。各种实际通信设备的构成几乎都不会离开滤波、调制、抽样等傅里叶变换性质的基本应用（这些原理正是本课程的研究重点），有时，还需借助较为复杂的各种信号处理技术。

图5-37示意给出了电信网络以及其他通信或计算机网络的简化原理图。

我们着重介绍电信网络中信号的传输过程。左上半部分是电信网，包括市话局直至远程电信传输。下半部分表明了用户终端的各种有线接入模式。

我们对有线接入部分从右到左说明各模块的功能特色。首先说明普通电话的入网过程。

（1） 普通电话

在各种通信业务中，电话是最基本、用户最普遍的业务，通常可简写为POTS（Plain Ordinary Telephone Service）即普通电话服务。20世纪50年代以前的电话网大都是模拟信号传输系统。每个话路的带宽为300～3400 Hz（或更窄些），此带宽是针对语音信号的主要频谱范围而设计的（兼顾传统的传真机）。用户发出的语音信号经电话机输出的双绞铜线进入市话局，借助交换机以模拟传输方式（频分复用）传送给其他用户。一对双绞线同时可完成发送、接收的功能，也即具有二线－四线转换作用（其原理可参看参考书目[2]第166页）。到20世纪60年代以后，数字通信系统付诸实用，人们试图将遍布全世界每个城市的模拟传输电话网改造为数字－模拟混合的网络，这种变革首先从公共交换机的更新开始。当传统的交换机改换为程控数字交换机之后，通信与计算机技术的密切结合使得电话服务的性能质量得到全面改善。为了使各用户的普通电话机与程控交换机互连，当每个电话终端进入市话网络之后都要经过一个“模拟用户线接入电路”转接板（简称ALC）。它的功能包括馈电、保护、振铃、监视、二线－四线转换、编译码、测试等。很明显，首要任务当属编译码的实现（简称CODEC），它把接入的模拟信号转换为64 kbit/s的PCM数字序列，再进入公共交换机，同时也可将接收到的PCM数字信号复原为模拟信号传送给用户。

(2) 数据话路 MODEM

与普通电话相邻的第二个模块是“数据话路调制解调器”（MODEM）或称“数据话路MODEM”、“数据-语音频带转换MODEM”。它的功能是把计算机给出的数字信号经调制作用转换为适应话路带宽（300～3 400 Hz）的信号，从而顺利进入电信网，再经专门设置的“网关”转送到因特网。同时，它还接收来自因特网并由电信网转接的信号，经解调复原成为进入计算机的数字信号。在因特网建立的初期，许多用户还没有铺设因特网的接入端口，利用上述模块可借助电信网进入并使用因特网。在购买计算机时可增设这种配置，即附加一块MODEM卡，以实现上述功能。

(3) ISDN 适配器

第三种模块是 ISDN 适配器。ISDN 是“综合业务数字网”的英文缩写（Integrated Services Digital Network）。顾名思义，它与前面两种模块的重要区别是业务的综合性和用户环路的数字化。按照电信网络的传统习惯，把电话之外的业务统称非话业务，如用户电报、图文传真、低速数据等也都可以送入普通电话

端口，借助话路传输。然而，这种传输是相互独立的，也即每个话路（每对双绞线）只能传送一种信号、仅仅完成一项业务功能。随着信息科学技术的发展，用户迫切需要传送速率较高的计算机数据、可视电话、高清晰度电视等多种新型非话业务。如果针对这些业务重新建网必将使投资耗费大、建设周期长、利用率低、管理不方便。显然，人们很自然地提出新设想：尽可能利用现有网络、用户只需一个标准化接口即可与其他用户相互传送电话以及非话业务，而且要将信号数字化并适当增加带宽。这种通信体制就是要实现ISDN。它的主要特点是业务综合化与信号传输的数字化。由此进入市话网的信号都要经过一个“数字用户线接入电路”转接板（简称DLC），很明显，它不同于ALC，不需要CODEC功能。在我国，ISDN的一种俗称叫做“一线通”。ISDN规定了若干标准化的通路。根据带宽的不同可划分为窄带（N-ISDN）和宽带（B-ISDN）两大类型。N-ISDN一般可承载两路标准的PCM语音编码速率的信号，码率为 $ 2\times64\ kbit/s $，另附一通路传送信令与控制信息，码率为16 kbit/s，总计码率为144 kbit/s。通常，把这种体制简称为2B+D，其中B代表64 kbit/s速率的信号，而D代表后者。B-ISDN的码率一般在155 Mbit/s以上，可传送高清晰度电视等各种宽带信息。

早在20世纪80年代N-ISDN已在一些国家和地区投入商业使用，随后，B-ISDN也逐步走向实用化。然而，当代信息科学技术的飞速发展往往难以预期、令人惊叹！又一种新型的用户接入模式正在逐步取代上述ISDN体制。这就是下文要介绍的第四种模块。

(4) ADSL MODEM

ADSL MODEM，它的英文全称为 Asymmetrical Digital Subscriber Line，而中译名叫做“非对称数字用户环路调制解调器”。先解释 DSL 的含意，稍后再说明 A 的作用。从本质上讲 ISDN 与 DSL 系列都是要追求用户标准接口业务的综合化与数字化，但是后者工作速率进一步提高，而且采用了多种数字信号处理新技术，使得有限频率范围的利用率大大提高，并且具有较好的抗干扰特性。在多种 DSL 模式中，ADSL 是最常用的一种方式，所谓“非对称(A)”是指从用户到电信网（简称“上行”）相对于从电信网到用户（简称“下行”）所占用的带宽（传送速率）有明显差异，二者不对称。这种环境比较符合信号传输的实际需要。例如，上行信号只传送控制信令与低速数据，而下行可适用于多种宽带（高速）业务，如视频点播、远程教学等。目前通用的 ADSL 信号传输速率下行为 1～8 Mbit/s，而上行仅需 100～800 kbit/s。新一代的 ADSL 标准还可以进一步扩展。在我国，ADSL 的一种俗称叫做“超级一线通”。

除了众多家庭用户按上述各种方式分别接入电信网络(市话网)之外，还可通过专用小型交换机(简称PBX英文全称是Private Branch Exchange)入网。(见图5-37左下角)这种情况多用于集团用户(如商用)。通常，它可同时接入

30路用户以及2路同步、控制信号共32路的数字电话信号，每路速率为64 kbit/s，总计速率为2.048 Mbit/s，如5.11节最后所述称为“基群”信号（以符号E1标志）。

以上各种入网信号经公共交换机汇总，按照用户拨号的要求选择正确路由传送到各自的接收端，同时接收来自对端的发送信号。交换机输出信号的传输途径可能有多种方式，如图5-37左上端所示。最常见的情况包括电缆、微波、卫星、光缆等多种形式。它们分别承担市区内或远程（长途）的传输任务。在此，为了把信号频谱搬移到适当位置，往往还要利用各种调制、解调技术。

必须指出，光缆的应用是电信网络传输技术中的一场革命。光缆由光纤组合而成。与传统的各种无线、有线传输媒介相比较，光纤的主要优点是：频带宽也即传输速率高、远距离传输衰耗小、抗电磁干扰能力强因而误码率低，以及体积小、重量轻等。为说明宽带、高速的特点，这里举出数字实例：目前，实际应用的光缆速率可达 $ 273 \times 40 $ Gbit/s，若以此值除以 64 kbit/s，即可估算出它能够容纳大约 $ 170 \times 10^{6} $ 个标准数字话路。这样高的传输速率（或带宽）是其他各类传输媒介都无法比拟的。

（三） 从三网融合到信息高速公路

有时，呼叫信号需要经过因特网（Internet）继续传输。那么，市话网可能以各种方式将信号送入因特网，再与对端用户接通。例如，前文所述第二种模块（数据话路 MODEM）以及我们日常使用的 IP 电话（借助因特网传送的长途电话）。图 5-37 右上部示意表明了电信网与因特网的相互依存。实际上还有大量的电信业务已经或即将广泛利用因特网完成，另一方面，因特网的构成除了庞大的计算机网络体系之外，也需借助大量的电信网络传输信号。关于这种交叉融合的发展前景稍后再做说明。

与市话网密切联系的另一种网络是移动通信网。大量的手机分别经各自邻近的“基站”以无线方式进入网络，再由基站汇总送到移动交换中心（Mobile Switching Center，简称 MSC），按需要传输到其他网络或者在移动通信网络内部继续传输。必须指出，由于无线通信技术的飞速发展，“无线”与“移动”的许多新方法、新概念密不可分，各种新型的通信方式丰富多彩，为用户提供了更多方便。限于本书范围和篇幅，不再讨论。

最后，还会想到，我们日常生活中广泛接触的另一种通信网络是有线电视网（见图5-37右下部）。很明显，这样多种网络的独立运行将使网络体系日趋复杂。如果把它们的工作环境统一安排、相互融合，必将为通信与计算机网络的使用、管理带来很大方便，使有限而宝贵的信息与信道资源得到共享，避免大量低水平的重复建设。因而，从发展前景来看，倡导并实施“三网融合”已经势在必行。所谓三网是指电信网（含移动通信网）、因特网和有线电视网。其中，因特网

的发展前景令人注目。“下一代因特网”(Next Generation Internet,简称NGI)其功能和传输质量将有更加惊人的进步和发展。

在我国，三网融合的工程实现已经提到议事日程。2010年1月13日温家宝总理主持召开了国务院常务会议，决定加快推进三网融合建设，近三年开始试点，此后几年将逐步推广。

如果把三网融合的具体目标概括为人类的一种宏观愿望，也可以说我们正在期盼所谓“信息高速公路”的早日建设成功。

信息高速公路也称为“国家信息基础设施”（National Information Infrastructure，简称NII）或“全球（Globe）信息基础设施”（GII）。在我国称为“中国信息基础设施”（CNI）。对于这一名词目前还没有严格统一的定义。但是人们公认，实现信息高速公路的大致目标是：建设全球一体化、大容量、宽带、交互信息传输的智能化综合业务网络，并提供足够丰富的信息资源。具体讲，要广泛运用各种先进的信息传输手段，特别是充分利用光纤网络连接各种通信系统、计算机数据库和电信服务设施，此网络可传输语音、数据、图像等各种类型的电信业务信息。为此，需要实现光纤到楼（乃至光纤到户），也即先把光纤铺设到马路边，再连接到用户终端。信息高速公路把政府机构、企业、大学、研究机构、医院、图书馆以及各种服务机构（如银行、邮局）直到每个家庭全部组网连通，相互之间高速传输信息。全世界将形成一种崭新的信息流通网络。信息高速公路的建设将加快整个社会经济、文化、教育的全面发展，它标志着人类历史正在从农业社会、工业社会步入信息社会。

习题

5-1 已知系统函数 $ H(j\omega)=\frac{1}{j\omega+2} $，激励信号 $ e(t)=\mathrm{e}^{-3t}u(t) $，试利用傅里叶分析法求响应 $ r(t) $。

5-2 若系统函数 $ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{\mathrm{j}\omega+1} $，激励为周期信号 $ e(t)=\sin t+\sin(3t) $，试求响应 $ r(t) $，画出 $ e(t) $， $ r(t) $ 波形，讨论经传输是否引起失真。

5-3 无损 LC 谐振电路如题图 5-3 所示，设 $ \omega_{0}= $

$ \frac{1}{\sqrt{LC}} $，激励信号为电流源 $ i(t) $，响应为输出电压

$ v(t) $，若 $ \mathcal{F}[i(t)]=I(\mathrm{j}\omega) $， $ \mathcal{F}[v(t)]=V(\mathrm{j}\omega) $，求：

(1) $ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{V(\mathrm{j}\omega)}{I(\mathrm{j}\omega)} $, $ h(t)=\mathcal{F}^{-1}[H(\mathrm{j}\omega)] $;

(2) 讨论本题结果与例 5-1 的结果有何共同特点。

5-4 电路如题图 5-4 所示，写出电压转移函数

$ H(s)=\frac{V_{2}(s)}{V_{1}(s)} $，为得到无失真传输，元件参数 $ R_{1},R_{2},C_{1},C_{2} $应满足什么关系？

5-5 电路如题图5-5所示，在电流源激励作用下，得到输出电压。写出联系 $ i_{1}(t) $与 $ v_{1}(t) $的网络函数 $ H(s)=\frac{V_{1}(s)}{I_{1}(s)} $，要使 $ v_{1}(t) $与 $ i_{1}(t) $波形一样（无失真），确定 $ R_{1} $和 $ R_{2} $（设给定 $ L=1\ H,C=1\ F $）。传输过程有无时间延迟？

5-6 一个理想低通滤波器的网络函数如式(5-23)，幅度响应与相移响应特性如图5-8所示。证明此滤波器对于 $ \frac{\pi}{\omega_{c}}\delta(t) $和 $ \frac{\sin\left(\omega_{c}t\right)}{\omega_{c}t} $的响应是一样的。

5-7 一个理想低通滤波器的系统函数仍如上题(习题5-6)，求此滤波器对于 $ \frac{\sin(\omega_{0}t)}{\omega_{0}t} $信号的响应。假定 $ \omega_{0}<\omega_{c},\omega_{c} $为滤波器截止频率。

5-8 已知系统冲激响应 $ h(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\sin(\omega_{\mathrm{c}}t)}{\pi t}\right] $，系统函数 $ H(\mathrm{j}\omega)=\mathcal{F}\left[h(t)\right]=\left|H(\mathrm{j}\omega)\right|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $，试画出 $ \left|H(\mathrm{j}\omega)\right| $ 和 $ \varphi(\omega) $ 图形。

5-9 已知理想低通的系统函数表示式为

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\left\{\begin{array}{ll}1&\quad\left(|\omega|<\frac{2\pi}{\tau}\right)\\0&\quad\left(|\omega|>\frac{2\pi}{\tau}\right)\end{array}\right. $$

而激励信号的傅氏变换式为

$$ E\left(\mathrm{j}\omega\right)=\tau\mathrm{S a}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $$

利用时域卷积定理求响应的时间函数表示式 $ r(t) $。

5－10 一个理想带通滤波器的幅度特性与相位特性如题图5－10所示。求它的冲激响应，画响应波形，说明此滤波器是否是物理可实现的？

5-11 题图5-11 所示系统， $ H_{i}(j\omega) $ 为理想低通特性

$$ H_{\mathrm{i}}(\mathrm{j}\omega)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}&|\omega|\leqslant1\\0&|\omega|>1\end{array}\right. $$

若：(1) $ v_{1}(t) $为单位阶跃信号 $ u(t) $，写出 $ v_{2}(t) $表示式；

(2) $ v_{1}(t) = \frac{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}{t} $，写出 $ v_{2}(t) $ 表示式。

5-12 写出题图5-12所示系统的系统函数 $ H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} $ 以持续时间为 $ \tau $ 的矩形脉冲作激励 $ x(t) $，求 $ \tau \gg T, \tau \ll T, \tau = T $ 三种情况下的输出信号 $ y(t) $ (从时域直接求或以拉氏变换方法求，讨论所得结果)。

5-13 某低通滤波器具有升余弦幅度传输特性，其相频特性为理想特性。若 $ H(j\omega) $ 表示式为

$$ H(\mathrm{j}\omega)=H_{\mathrm{i}}(\mathrm{j}\omega)\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{\omega_{\mathrm{c}}}\omega\right)\right] $$

其中 $ H_{i}(j\omega) $ 为理想低通传输特性

$$ H_{i}(\mathrm{j}\omega)=\left\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}&\quad(&|\omega|<\omega_{\mathrm{c}})\\ &0&\quad&(\omega 为其他值 )\end{aligned}\right. $$

试求此系统的冲激响应，并与理想低通滤波器之冲激响应相比较。

5-14 某低通滤波器具有非线性相移特性，而幅频响应为理想特性。若 $ H(j\omega) $ 表示式为

$$ H(\mathrm{j}\omega)=H_{\mathrm{i}}(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Delta\varphi(\omega)} $$

其中 $ H_{i}(j\omega) $ 为理想低通传输特性（见上题）， $ \Delta\varphi(\omega)\ll1 $，并可展开为

$$ \Delta\varphi(\omega)=a_{1}\sin\left(\frac{\omega}{\omega_{1}}\right)+a_{2}\sin\left(\frac{2\omega}{\omega_{1}}\right)+\cdots+a_{m}\sin\left(\frac{m\omega}{\omega_{1}}\right) $$

试求此系统的冲激响应，并与理想低通滤波器的冲激响应相比较。

5-15 试利用另一种方法证明因果系统的 $ R(\omega) $ 与 $ X(\omega) $ 被希尔伯特变换相互约束。

(1) 已知 $ h(t) = h(t)u(t) $, $ h_{c}(t) $ 和 $ h_{0}(t) $ 分别为 $ h(t) $ 的偶分量和奇分量, $ h(t) = h_{e}(t) + h_{0}(t) $, 证明

$$ h_{\mathrm{e}}(t)=h_{\mathrm{o}}(t)\mathrm{sgn}(t) $$

$$ h_{\mathrm{o}}(t)=h_{\mathrm{e}}(t)\mathrm{sgn}(t) $$

(2) 由傅氏变换的奇偶虚实关系已知

$$ H(\mathrm{j}\omega)=R\left(\omega\right)+\mathrm{j}X\left(\omega\right) $$

$$ \mathcal{F}\left[f_{\mathrm{e}}(t)\right]=R(\omega) $$

$$ \mathcal{F}\left[f_{o}(t)\right]=\mathrm{j}X(\omega) $$

利用上述关系证明 $ R(\omega) $ 与 $ X(\omega) $ 之间满足希尔伯特变换关系。

5-16 若 $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，令 $ Z(\omega)=2F(\omega)U(\omega) $ (只取单边的频谱)。试证明

$$ z(t)=\mathcal{F}^{-1}\big[Z(\omega)\big]=f(t)+\hat{f}(t) $$

其中

$$ \hat{f}(t)=\frac{\mathrm{j}}{\pi}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(\tau)}{t-\tau}\mathrm{d}\tau\right] $$

5-17 对于图5-18所示抑制载波调幅信号的频谱，由于 $ G(\omega) $的偶对称性，使 $ F(\omega) $在 $ \omega_{0} $和 $ -\omega_{0} $左右对称，利用此特点，可以只发送频谱如题图5-17所示的信号，称为单边带信号，以节省频带。试证明在接收端用同步解调可以恢复原信号 $ G(\omega) $。

5-18 试证明题图5-18所示之系统可以产生单边带信号。图中，信号 $ g(t) $的频谱 $ G(\omega) $受限于 $ -\omega_{m}\sim+\omega_{m} $之间， $ \dot{\omega}_{0}\gg\omega_{m} $; $ H(j\omega)=-jsgn\omega $。设 $ v(t) $的频谱为 $ V(\omega) $，写出 $ V(\omega) $表示式，并画出图形。

5-19 已知 $ g(t) = \frac{\sin(\omega_{c}t)}{\omega_{c}t} $, $ s(t) = \cos(\omega_{0}t) $，设 $ \omega_{0} \gg \omega_{c} $，将它们相乘得到 $ f(t) = g(t)s(t) $，若 $ f(t) $ 通过一个特性如题图 5-10 所示的理想带通滤波器，求输出信号 $ f_{1}(t) $ 的表示式。

5-20 在题图5-20所示系统中 $ \cos(\omega_{0}t) $ 是自激振荡器，理想低通滤波器的转移函数为

$$ H_{\mathrm{i}}(\mathrm{j}\omega)=\left[u\left(\omega+2\Omega\right)-u\left(\omega-2\Omega\right)\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}} $$

且 $ \omega_{0} \gg \Omega $

(1) 求虚框内系统的冲激响应 $ h(t) $;

(2) 若输入信号为 $ e(t)=\left[\frac{\sin(\Omega t)}{\Omega t}\right]^{2}\cos(\omega_{0}t) $，求系统输出信号 $ r(t) $;

(3) 若输入信号为 $ e(t)=\left[\frac{\sin(\Omega t)}{\Omega t}\right]^{2}\sin(\omega_{0}t) $，求系统输出信号 $ r(t) $;

（4）虚框内系统是否线性时不变系统？

5-21 模拟电话话路的频带宽度为300～3 400 Hz，若要利用此信道传送二进制的数据信号需要接入调制解调器（MODEM）以适应信道通带要求，问 MODEM 在此完成了何种功能？请你试想一种可能实现 MODEM 系统的方案，画出简要的原理框图。（假定数据信号的速率为1 200 bit/s，波形为不归零矩形脉冲。）

5-22 若 $ x(t) $、 $ \psi(t) $ 都为实函数，连续函数小波变换的定义可简写为

$$ W T_{x}(a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{d}t $$

(1) 若 $ \mathcal{F}[x(t)] = X(\psi), \mathcal{F}[\psi(t)] = \Psi(\omega) $，试证明以上定义式也可用下式给出

$$ W T_{x}(a,b)=\frac{\sqrt{a}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\Psi(-a\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega b}\mathrm{d}\omega $$

(2) 讨论定义式中 a, b 参量的含义（参看例 5-5）。

5-23 在信号处理技术中应用的“短时傅里叶变换”有两种定义方式，假定信号源为 $ x(t) $，时域窗函数为 $ g(t) $，第一种定义方式为

$$ X_{1}(\tau,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)g(t-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

第二种定义方式为

$$ X_{2}(\tau,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau)g(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

试从物理概念说明参变量 $ \tau $的含义，比较二种定义结果有何联系与区别。

5-24 若 $ x(t)=\cos(\omega_{m}t) $, $ \delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) $, $ T=\frac{2\pi}{\omega_{s}} $, 分别画出以下情况 $ x(t)\cdot\delta_{T}(t) $ 波形及其频谱 $ \mathcal{F}[x(t)\delta_{T}(t)] $ 图形。讨论从 $ x(t)\delta_{T}(t) $ 能否恢复 $ x(t) $。注意比较(1)和(4)的结果。(建议画波形时保持 T 不变)。

(1)

$$ \omega_{m}=\frac{\omega_{s}}{8}=\frac{\pi}{4T} $$

(2)

$$ \omega_{m}=\frac{\omega_{s}}{4}=\frac{\pi}{2T} $$

(3)

$$ \omega_{\mathrm{m}}=\frac{\omega_{\mathrm{s}}}{2}=\frac{\pi}{T} $$

(4)

$$ \omega_{\mathrm{m}}=\frac{9}{8}\omega_{\mathrm{s}}=\frac{9\pi}{4T} $$

5-25 题图5-25 所示抽样系统 $ x(t)=A+B\cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right) $, $ p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[t-n(T+\Delta)] $, $ T\gg\Delta $, 理想低通系统函数表达式为

$$ H(j\omega)=\left\{\begin{aligned}&1,\quad& 当 |\omega|<\frac{1}{2(T+\Delta)}\\ &0,\quad& 当 \omega 为其他 \end{aligned}\right. $$

输出端可得到 $ y(t)=kx(at) $，其中 a<1，k 为实系数。求：

(1) 画 $ \mathcal{F}[p(t)x(t)] $ 图形；

（2）为实现上述要求给出 $ \Delta $取值范围：

(3) 求 a, 求 k;

（4）此系统在电子测量技术中可构成抽样（采样）示波器，试说明此种示波器的功能特点。

5-26 试设计一个系统使它可以产生图5-35所示的阶梯近似Sa函数波形(利用数字电路等课程知识)。近似函数宽度截取8T(中心向左右对称)，矩形窄脉冲宽度 $ \frac{T}{8} $。每当一个“1”码到来时（由速率为 $ \frac{2\pi}{T} $的窄脉冲控制）即出现Sa码波形(峰值延后4T)。

（1）画出此系统逻辑框图和主要波形；

(2) 考虑此系统是否容易实现；

（3）在得到上述信号之后，若要去除波形中的小阶梯，产生更接近连续 Sa 函数的波形需采取什么办法？

5-27 本题继续讨论通信系统消除多径失真的原理。在2.9节和第四章习题4-51已经分别采用时域和s域研究这个问题，此处，再从频域导出相同的结果。仍引用式(2-77)，已知

$$ r(t)=e(t)+a e(t-T) $$

（1）对上式取傅里叶变换，求回波系统的系统函数 $ H(j\omega) $

(2) 令 $ H(j\omega)H_{i}(j\omega)=1 $，设计一个逆系统，先求它的系统函数 $ H_{i}(j\omega) $;

(3) 再取 $ H_{i}(j\omega) $ 的逆变换得到此逆系统的冲激响应 $ h_{i}(t) $，它应当与前两种方法求得的结果完全一致。

还需指出，在第七章7.7节的最后例7-17我们将再次引用第四种方法——解卷积之方法研究这个问题，当然，可以求得同样的结果。很明显，本课程的一个重要特色是对于同一问题可有多种求解方法。我们相信，读者一定能够在这种反复思考与研讨之中感受无穷的乐趣！