第六章 信号的矢量空间分析

6.1 引言

对于信号分析理论的进一步研究表明，信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似。借助信号与矢量之间的类比，不仅可以使一些抽象问题便于理解，而且使我们对于信号的性能、信号分析与处理研究中遇到的问题进入更深的层次。

从数学观点看，通常把赋予某种数学结构的集合称为“空间”。例如，能引入线性运算的矢量集合称为“线性(矢量)空间”；若再引入矢量的长度概念，也即“范数”的概念，则构成“线性赋范空间”；为了研究矢量之间的相互关系，需要借助“内积”运算，于是构成“内积空间”。

信号的能量具有与矢量长度类似的属性，表征信号能量的一些参数可与矢量的范数类比。而信号之间的相关性类似于矢量之间的夹角，可以利用矢量的内积运算来描述。内积空间中的正交性是引出傅里叶级数展开的理论基础，利用内积空间的概念可以给出信号的各种正交函数展开，不仅局限于三角级数。著名的帕塞瓦尔(Parseval)方程(定理)揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质，而从矢量空间角度分析，这是矢量范数不变性（内积不变性）的体现。当今，在信号处理领域内正交变换得到了如此广泛的应用，正是因为这种变换具备上述物理背景和相应的数学本质。

6.2 节给出利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念，以此为基础展开信号正交函数分解的讨论，这里介绍的方法也可称为信号的广义傅里叶级数展开，它是第三章研究方法的推广，正交函数集具有丰富多彩的形式，不仅限于三角函数集。在矢量空间中，可以看到类似的现象，同一矢量可按不同的坐标系统进行分解。作为正交函数分解的典型实例，介绍了沃尔什(Walsh)正交函数集的原理和简单应用。本章讲述的初步概念在第八、九章以及许多后续课程中将得到进一步的应用和广泛深入的研究。

相关函数和卷积的运算有着密切联系，类比学习两种运算方法有助于正确、灵活的理解基本概念。作为第三章信号频谱分析方法的继续，研究信号的相关函数、能量谱和功率谱，这些概念广泛应用于随机信号分析之中，初步学习这些

分析方法将十分有利于本课程与后续课程的密切配合。

“匹配滤波器”是相关函数概念应用于通信、雷达、声呐系统中的一个典型实例，在6.9节介绍构成这种滤波器的原理。6.10节利用本章的有关定理证明了“测不准原理”，这是第五章5.4节的继续。近年来，在通信系统（特别是移动通信系统）中“码分复用”技术日益受到重视，本章介绍的相关、正交概念正是构成码分复用技术的理论基础，在6.11节给出码分复用的基本原理，这是第五章5.11节各种复用方法讨论的延续。最后几节的内容或许能引导读者从抽象的数学推演中逐步感受到利用基本理论解决工程实际问题的乐趣，从而理解学习本课程的目的。

6.2 信号矢量空间的基本概念

（一） 线性空间

粗略讲，线性空间是指这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任一元素与任一数相乘后得到此集合内的另一元素，这里的倍乘系数可以是实数也可是复数。下面举出最常见的线性空间实例。

（1）N 维实数空间 $ R^{N} $ 与复数空间 $ C^{N} $

$ R^{N} $空间的元素x由N个有次序的实数构成

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{x}&=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{N})^{\mathrm{T}},\quad&x_{i}\in\mathbb{R}\\&i=1,2,\cdots,N\end{aligned} $$

与另一元素 $ \boldsymbol{y}=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{N})^{\mathrm{T}} $ 相加以及和数 $ \alpha $ 相乘的运算如通常的加法和乘法按如下定义

$$ x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\cdots,x_{N}+y_{N})^{\mathrm{T}} $$

$$ \alpha\boldsymbol{x}=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\cdots,\alpha x_{N})^{\mathrm{T}} $$

如果上述定义中的实数均改为复数，则构成 N 维复数空间 $ C^{N} $

（2） 连续时间信号空间 L

定义在全部复数（或实数）连续时间信号的集合构成线性空间，这时，各信号逐点相加或逐点倍乘系数 $ \alpha $的运算表达式按如下定义

$$ (x+y)(t)=x(t)+y(t),t\in\mathbb{R} $$

$$ \left(\alpha x\right)\left(t\right)=\alpha x\left(t\right),\qquad t\in\mathbb{R} $$

注意到时间变量 t 为实数。

上述 N 维实数空间 $ R^{N} $ 或复数空间 $ C^{N} $ 都是有限维空间，而这里的连续时间信号空间 L 是无穷维空间。

（3） 离散时间信号空间 l

全部复数（或实数）离散时间信号（序列）的集合构成线性空间，此时，各信号

逐点相加或逐点倍乘系数 $ \alpha $ 的运算表达式按如下定义

$$ (x+y)(n)=x(n)+y(n),n\in\mathbb{Z} $$

$$ \left(\alpha x\right)\left(n\right)=\alpha x\left(n\right),\qquad n\in\mathbb{Z} $$

注意到时间变量 n 为整数。

类似地，离散时间信号空间 l 也属无穷维空间。而 N 维的离散时间信号空间属有限维。

（二） 范数、赋范空间

在线性空间中，利用线性运算可以研究诸如线性相关、线性无关、基、维数等线性结构，但是还没有给出矢量长度的度量方法，为解决这一问题，需要研究“范数”。信号具有的能量与矢量空间的长度可以相类比，在给出范数的定义后，可以看到范数概念对于描述信号能量特性的作用。

线性空间中元素 x 的范数以符号 $ \parallel x \parallel $ 表示，范数满足以下公理：

(1) 正定性 $ \|x\|\geqslant0 $，当且仅当 x=0 时 $ \|x\|=0 $；

(2) 正齐性 对所有数量 $ \alpha $，有 $ \|\alpha x\| = |\alpha| \cdot \|\alpha\| $;

(3) 三角形不等式 $ \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\| $。

下面举例给出各线性空间的范数：

首先考察 $ R^{N} $ 与 $ C^{N} $ 空间的范数。

令 p 为实数， $ 1 \leqslant p \leqslant \infty $，在 $ \mathbb{R}^{N} $ 或 $ \mathbb{C}^{N} $ 空间元素 $ x = (x_1, x_2, \cdots, x_N) $ 的 p 阶范数定义为

$$ \left\|\mathbf{\Sigma}\mathbf{\Sigma}\mathbf{x}\right\|_{p}\underbrace{\mathrm{d e f}}_{\begin{aligned}&\left\{\begin{array}{l}{\left[\sum_{i=1}^{N}\left|x_{i}\right|^{p}\right]^{1/p}\\ \max_{1\leq i\leq N}\left|x_{i}\right|\\ \end{array}\right.}\\ \end{aligned}}\quad\begin{array}{l}{(\mathrm{ 对 于 }1\leqslant p<\infty)}\\ {(\mathrm{ 对 于 }p\rightarrow\infty)}\\ \end{array} $$

最常用的范数为 $ \|\cdot\|_1 $， $ \|\cdot\|_2 $，和 $ \|\cdot\|_\infty $，例如， $ x\in\mathbb{C}^2 $，若给定 $ x=(1,j) $，则其范数为

$$ \begin{aligned}&\left\|x\right\|_{1}=1+1=2\\&\left\|x\right\|_{2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\\&\left\|x\right\|_{\infty}=\max(1,1)=1\end{aligned} $$

在二维或三维实数矢量空间( $ R^{2} $或 $ R^{3} $)之中，二阶范数的物理意义是矢量的长度， $ \parallel x\parallel_{2} $也称为欧氏(Euclidean)范数或欧氏距。

$$ L $$

在连续时间信号空间 L 中，元素 x 的 p 阶范数 $ \|x\|_{p} $ 定义为

$$ \left\|\mathbf{\Sigma}\mathbf{\Sigma}\mathbf{\Sigma}\mathbf{x}\right\|_{p}=\left\{\begin{array}{l l}{\left[\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left|x\left(t\right)\right|^{p}\mathrm{d}t\right]^{1/p}}&{(1\leqslant p<\infty)}\\ {\sup\left|\mathbf{\Sigma}x\left(t\right)\right|}&{(p=\infty)}\\ \end{array}\right. $$

此处，符号 sup 表示信号的上确界（supremum）或称最小上界。对于定义在闭区

间内的信号，sup 表示其幅度值。

类似地可以得到在离散时间信号空间 l 中，元素 $ x(n) $ 的 p 阶范数 $ \|x\|_{p} $ 定义为

$$ \left\|\mathbf{\textit{x}}\right\|_{p}=\left\{\begin{array}{ll}\left(\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid x(n)\mid^{p}\right)^{\frac{1}{p}}&(1\leqslant p<\infty)\\ \sup\mid x(n)\mid&(p=\infty)\end{array}\right. $$

下面给出信号的 1、2 和 $ \infty $ 阶范数的表达式及其物理意义。

$$ \parallel\boldsymbol{x}\parallel_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}\mid x(t)\mid\mathrm{d}t $$

或

$$ \parallel\boldsymbol{x}\parallel_{1}=\sum_{x=-\infty}^{\infty}\mid x(n)\mid $$

可见，一阶范数表示信号作用的强度(大小)。

$$ \left\|\boldsymbol{x}\right\|_{2}=\left[\int_{-\infty}^{\infty}\left|x(t)\right|^{2}\mathrm{d}t\right]^{\frac{1}{2}} 也即 \left\|\boldsymbol{x}\right\|_{2}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\left|x(t)\right|^{2}\mathrm{d}t $$

或

$$ \parallel\boldsymbol{x}\parallel_{2}=\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid x(n)\mid^{2}\right]^{\frac{1}{2}} 也即 \parallel\boldsymbol{x}\parallel_{2}^{2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid x(n)\mid^{2} $$

二阶范数的平方表示信号的能量，若 $ x(t) $ 表示电压或电流，它在单位电阻上产生的能量即为 $ \parallel x \parallel_{2}^{2} $。

$$ \mid x\mid\propto=\sup\mid x(t)\mid $$

或

$$ \parallel x\parallel_{\infty}=\sup\mid x(n)\mid $$

对于定义在闭区间上的 $ x(t) $， $ \|x\|_{\infty} $ 表示信号可测得的峰值，也即信号的幅度。

图 6-1 举例给出信号 x 波形与信号作用强度、能量以及幅度的图解示意。

在信号分析与处理研究领域中，除直接引用上述范数之外，为便于描述信号的物理性能还经常引用以下参数，它们分别是功率、方均根值和平均值。

若信号 x 之能量为无限大，而其平均功率为确定值（例如周期信号），于是可定义连续或离散时间信号的功率，其表达式为在一段时间间隔内 $ \left(从 -\frac{T}{2} 到 \frac{T}{2}\right) $ 的平均功率，并取间隔 $ T \to \infty $ 之极限，即

$$ \lim_{T\rightarrow\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\mid x(t)\mid^{2}\mathrm{d}t\right] $$

或

$$ \lim\left[\frac{1}{N}\sum_{n=-N/2}^{N/2}\mid x(n)\mid^{2}\right] $$

信号功率的开方称为信号的方均根值，写作 rms (root mean square)。信号的平均值（也即直流分量）表达式为

$$ \lim_{T\rightarrow\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\mathrm{d}t\right] $$

或

$$ \lim_{N\to\infty}\left[\frac{1}{N}\sum_{n=-N/2}^{N/2}x\left(n\right)\right] $$

例如，幅度为 a 的正弦波，其平均值为 0，功率为 $ \frac{1}{2}a^{2} $，方均根值是 $ \frac{\sqrt{2}}{2}a $ (也称有效值)。又如图 6-2 所示的连续时间周期性方波，若幅度为 a，其平均值为 $ \frac{a}{2} $，功率为 $ \frac{1}{2}a^{2} $，方均根值为 $ \frac{\sqrt{2}}{2}a $。

给出了范数的概念即可构成线性赋范空间，也称赋范空间。在信号分析理

论研究中，若信号的能量受限，即 $ \|x\|_2 < \infty $，于是可构成如下的赋范空间

$$ L_{2}:=\left\{x\in L\mid\parallel\mathbf{x}\parallel_{2}<\infty\right\} $$

或

$$ l_{2}:=\left\{x\in l\mid\parallel\mathbf{x}\parallel_{2}<\infty\right\} $$

它们分别是能量受限的连续时间信号或离散时间信号的集合。类似地，对于幅度为有限值的连续时间信号或离散时间信号的集合，分别构成如下赋范空间

$$ L_{\infty}:=\left\{x\in L\mid\parallel\textbf{x}\parallel_{\infty}<\infty\right\} $$

或

$$ l_{\infty}:=\left\{x\in l\mid\parallel\mathbf{x}\parallel_{\infty}<\infty\right\} $$

对于信号作用强度为有限值的连续时间信号或离散时间信号的集合，分别构成赋范空间

$$ L_{1}:=\left\{x\in L\mid\parallel x\parallel_{1}<\infty\right\} $$

或

$$ l_{1}:=\left\{x\in l\mid\parallel x\parallel_{1}<\infty\right\} $$

一般情况下，线性空间并未构成赋范空间，例如 L 和 l 空间都不是赋范空间，如果按范数存在三条公理的要求给予约束可分别定义各种形式的赋范空间如上述 $ L_{2}, l_{2}, L_{\infty}, l_{\infty}, L_{1}, l_{1} $ 等。

（三） 内积、内积空间

上面讨论的范数是矢量长度概念的推广，是矢量自身的重要属性。这些概

念对于研究若干矢量之间的相互关系仍然不够，为解决这一问题，需要引入内积的概念。由前文已知，范数与信号自身的能量、强度等特征相对应，而内积运算与若干信号之间的相互关系密切相连，在讨论信号之间的正交、相关等概念时将看到这一点。

为引入内积概念，首先考虑直角坐标平面（二维矢量空间）内两矢量相对位置的关系。

图 6-3 示出直角坐标平面中矢量 x =

$ (x_{1},x_{2}) $ 和 $ y=(y_{1},y_{2}) $，它们与水平轴夹角分别为 $ \phi_{1} $ 和 $ \phi_{2} $，两矢量之间夹角 $ (\phi_{1}-\phi_{2}) $ 的余图 6-3 直角坐标平面中矢量 x 与 y 弦函数表达式为

$$ \begin{aligned}\cos(\phi_{1}-\phi_{2})&=(\cos\phi_{1})\cos\phi_{2}+(\sin\phi_{1})\sin\phi_{2}\\&=\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}\cdot\frac{y_{1}}{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}+\frac{x_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}\cdot\frac{y_{2}}{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}\end{aligned} $$

$$ =\frac{x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}}{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{\frac{1}{2}}(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})^{\frac{1}{2}}} $$

式中分母为两矢量长度的乘积，分子 $ x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} $ 表示两矢量相应坐标值的标量乘积。利用范数符号，将矢量长度分别写作

$$ \parallel\boldsymbol{x}\parallel_{2}=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} $$

$$ \parallel\mathbf{y}\parallel_{2}=(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} $$

于是，标量乘积 $ x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} $ 的表达式为

$$ x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}=\parallel\pmb{x}\parallel_{2}\parallel\pmb{y}\parallel_{2}\mathrm{c o s}(\phi_{1}-\phi_{2}) $$

这表明，对于给定的矢量长度，标量乘积式(6-30)反映了两矢量之间相对位置的“校准”情况。如果标量乘积为零， $ \cos(\phi_{1}-\phi_{2})=0 $，表示两矢量之夹角为 $ 90^{\circ} $；而当 $ \cos(\phi_{1}-\phi_{2})=1 $，也即两矢量夹角为 $ 0^{\circ} $时，标量乘积取得最大值，即两矢量长度之乘积。

对于三维矢量空间，若两矢量分别为 $ \boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) $ 和 $ \boldsymbol{y}=(y_{1},y_{2},y_{3}) $，取标量乘积 $ x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3} $ 也可得出与二维矢量空间类似的几何解释，当此式为 0 时表示两矢量之夹角为 $ 90^{\circ} $；而当两矢量重合（夹角为 $ 0^{\circ} $）时，此式取得最大值。

上述 $ x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} $ 和 $ x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} $ 两表达式分别对应二维和三维矢量空间的内积（也称点积）运算。

设 R 为实线性空间。如果对于 R 中任意两元素 x 和 y，均有一实数与之对应，此实数记为 $ \langle x, y \rangle $，它满足以下公理：

(1) 自内积正定性 $ \langle x, x \rangle \geqslant 0 $，当且仅当 x = 0 时 $ \langle x, x \rangle = 0 $；

(2) 交换律 $ \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle $;

(3) 齐性 $ \langle\lambda x,y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle,\lambda $ 为任意实数；

(4) 分配律 $ \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle, z \in \mathbb{R} $，则 $ \langle x, y \rangle $ 称为 x 和 y 的内积， $ \mathbb{R} $ 称为实内积空间（或欧几里得空间）。

例如，对于 N 维实线性空间，两元素 x 与 y 的内积定义为

$$ \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{x}_{i}\boldsymbol{y}_{i}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{y} $$

其中， $ \boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{N})^{\mathrm{T}} $ 和 $ \boldsymbol{y}=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{N})^{\mathrm{T}} $，这正是式（6-30）的推广。

设 C 为复线性空间。如果对于 C 中任意两元素 x 和 y，均有一复数与之对应，记为 $ \langle x, y \rangle $，它满足以下公理：

（1）自内积正定性 $ \langle x,x\rangle $ 为非负实数， $ \langle x,x\rangle>0 $，当且仅当 x=0 时， $ \langle x,x\rangle=0 $；

(2) 共轭交换性 $ \langle x, y\rangle = \langle y, x\rangle^{*} $;

(3) 齐性 $ \langle\lambda x,y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle,\lambda $ 为任意复数；

（4）分配律 $ \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle, z \in \mathbb{C} $，则称 $ \langle x, y \rangle $ 为 x 与 y 的内积，C 为复内积空间（或称酉空间）。

例如，对于 N 维复线性空间，两元素 x 与 y 的内积定义为

$$ \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\sum_{i=1}^{N}x_{i}y_{i}^{*} $$

不难看出，元素 x 与自身的内积运算必为正实数，而且等于它的二阶范数之平方，即 $ \langle x, x \rangle = \| x \|_{2}^{2} $。

上述内积概念可运用于信号矢量空间。

属于信号空间 L 内的两连续时间信号 x 和 y 之内积定义为

$$ \langle x,y\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)y(t)^{*}\mathrm{d}t $$

属于信号空间 l 内的两离散时间信号 x 和 y 之内积定义为

$$ \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\sum_{n\in\mathbb{Z}}x(n)y(n)^{*} $$

对于 L 空间或 l 空间，信号 x 与其自身的内积运算表达式分别为

$$ \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\left|x(t)\right|^{2}\mathrm{d}t=\left\|\boldsymbol{x}\right\|_{2}^{2} $$

或

$$ \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mid x(n)\mid^{2}=\parallel\boldsymbol{x}\parallel_{2}^{2} $$

（四） 柯西－施瓦茨不等式

在研究内积特性时，一个很有用的公式称为柯西－施瓦茨（Cauchy－Schwarz）不等式，其表达式为

$$ \left|\left\langle x,y\right\rangle\right|^{2}\leqslant\left\langle x,x\right\rangle\left\langle y,y\right\rangle $$

对于二维矢量空间，利用式 $ (6-30) $容易得到

$$ \frac{\langle x,\mathbf{y}\rangle}{\|\mathbf{x}\|_{2}\|\mathbf{y}\|_{2}}=\cos(\phi_{1}-\phi_{2}) $$

$$ -1\leqslant\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|_{2}\|y\|_{2}}\leqslant+1 $$

$$ \frac{|\langle x,y\rangle|^{2}}{\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle}\leq1 $$

于是，式 $ (6-37) $得证。

对于一般情况，假定 $ \alpha $ 为任意复数，由内积定义可知

$$ \langle x-\alpha y,x-\alpha y\rangle\geqslant0 $$

将此不等式左端展开

$$ \begin{aligned}\langle\boldsymbol{x}-\alpha\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}-\alpha\boldsymbol{y}\rangle&=\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle-\langle\boldsymbol{x},\alpha\boldsymbol{y}\rangle+\langle-\alpha\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\rangle-\langle-\alpha\boldsymbol{y},\alpha\boldsymbol{y}\rangle\\&=\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle-\alpha\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle^{*}-\alpha^{*}\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle+|\alpha|^{2}\langle\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\rangle\end{aligned} $$

在以上推导中引用了复内积空间的公理（包括分配律、共轭交换和齐性），还用到以下约束关系

$$ \langle\boldsymbol{x},\alpha\boldsymbol{y}\rangle=\alpha^{*}\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle $$

式（6-43）可由共轭交换与齐性推证得出（作为练习，请读者自己证明）。

令

$$ \alpha=\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle} $$

代入式(6-42)后得到

$$ \begin{aligned}\langle\boldsymbol{x}-\alpha\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}-\alpha\boldsymbol{y}\rangle&=\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle-\frac{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle^{*}}{\langle\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\rangle}\\&\quad-\frac{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle^{*}\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle}{\langle\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\rangle}+\frac{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle^{*}}{\langle\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\rangle}\end{aligned} $$

化简后代入式 $ (6-41) $得到

$$ \langle x,x\rangle-\frac{|\langle x,y\rangle|^{2}}{\langle y,y\rangle}\geqslant0 $$

于是式 $ (6-37) $得证。

利用式(6-37)可以解释信号内积空间与信号能量受限的对应关系。对于L空间或l空间，任意两元素之内积有可能为无穷大，因此，L空间或l空间都不能构成内积空间。而对于能量受限的信号空间 $ L_{2} $或 $ l_{2} $，其二阶范数均为有限值，由柯西－施瓦茨不等式可知，内积为有限值，所以 $ L_{2} $或 $ l_{2} $构成内积空间。

6.3 信号的正交函数分解

信号分解为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。本节利用二维矢量空间较形象的概念引出正交函数和正交函数集的定义。

（一） 二维空间的正交矢量

考察两个矢量 x 和 y 如图 6-4(a) 所示。若由 x 的端点做直线垂直于矢量 y，则被分割的部分 cy 称为矢量 x 在 y 上的投影或分量。如果将垂线也表示为矢量 v，则三个矢量 x, cy, v 组成矢量三角形，它们之间有下列关系

$$ x-c y=v $$

这表明，若用矢量 cy 来近似地描述矢量 x，两者之间的误差是矢量 v。

在图 6-4(b) 和 (c) 分别示出 x 在 y 上的斜投影 $ c_{1}y $ 和 $ c_{2}y $，显然，这样的斜投影分量可有无穷多个。若用 $ c_{1}y $ 或 $ c_{2}y $ 去表示 x，其误差矢量 $ v_{1} $ 和 $ v_{2} $ 都要大于以垂直投影表示时的误差矢量 v。因此，可得出以下结论，若要用 y 上的矢量近似描述另一矢量 x，为使误差最小，应选取 x 在 y 上的垂直投影 cy 如图 6-4(a) 所示。若矢量 x 与 y 的模（矢量长度）分别以 $ \left\|x\right\|_{2} $ 和 $ \left\|y\right\|_{2} $ 表示，两矢量间夹角为 $ \theta $，容易写出

$$ \begin{aligned}{c\parallel\mathbf{y}\parallel_{2}}&{{}=\parallel\mathbf{x}\parallel_{2}\cos\theta}\\ {}&{{}=\frac{\parallel\mathbf{x}\parallel_{2}\parallel\mathbf{y}\parallel_{2}\cos\theta}{\parallel\mathbf{y}\parallel_{2}}}\\ \end{aligned} $$

利用式 $ （6-48） $关系可求得由内积描述的c表达式

$$ c=\frac{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle}{\langle\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\rangle} $$

系数 c 标志着矢量 x 与 y 相互接近的程度。当 x 与 y 完全重合时， $ \theta=0, c=1 $；随着 $ \theta $ 增大，c 减小；当 $ \theta=90^{\circ} $ 时，c=0。对于最后这种情况，称 x 与 y 相互垂直的矢量为正交矢量，这时，矢量 x 在矢量 y 的方向没有分量（系数 c 等于零）。

根据上述原理，可以将一个平面中的任意矢量在直角坐标中分解为两个正交矢量的组合。为便于研究矢量分解，把相互正交的两个矢量组成一个二维的“正交矢量集”，这样，在此平面上的任意分量都可用二维正交矢量集的分量组合来代表。

将此概念推广，对于一个三维空间中的矢量，可以用一个三维的正交矢量集来表示它。在一般情况下，不能用二维正交矢量集去表示三维空间的矢量，如果这样做必将留有误差。或者说，三维的空间矢量必须分解为三维正交矢量的组合。

上述正交矢量分解的概念，可推广应用于 n 维信号矢量空间。

（二）正交函数

假设，要在区间 $ (t_{1}

$$ f_{1}(t)\approx_{c_{12}}f_{2}(t)\qquad(t_{1}

这里的系数怎样选择才能得到最佳的近似？当然，应选取 $ c_{12} $ 使实际函数与近似函数之间的误差在区间 $ (t_{1}

$$ \overline{\boldsymbol{\varepsilon}^{2}}=\frac{1}{(t_{2}-t_{1})}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[f_{1}(t)-c_{12}f_{2}(t)\right]^{2}\mathrm{d}t $$

为求得使 $ \varepsilon^{2} $最小之 $ c_{12} $值，必须使

$$ \frac{\mathrm{d}\ \overline{\epsilon^{2}}}{\mathrm{d}c_{12}}=0 $$

即

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}c_{12}}\left\{\frac{1}{(t_{2}-t_{1})}\int_{t_{1}}^{t_{2}}[f_{1}(t)-c_{12}f_{2}(t)]^{2}\mathrm{d}t\right\}=0 $$

交换微分与积分次序，得到

$$ \frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left[\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}c_{12}}f_{1}^{2}(t)\mathrm{d}t-2\int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{1}(t)f_{2}(t)\mathrm{d}t+2c_{12}\int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{2}^{2}(t)\mathrm{d}t\right]=0 $$

显然，上式中第一项等于零，于是求出

$$ c_{12}=\frac{\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{1}(t)f_{2}(t)\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{2}^{2}(t)\mathrm{d}t} $$

由式(6-52)可知：函数 $ f_{1}(t) $有 $ f_{2}(t) $的分量，此分量的系数（振幅）是 $ c_{12} $。如果 $ c_{12} $等于零，则 $ f_{1}(t) $不包含 $ f_{2}(t) $的分量，这种情况称为： $ f_{1}(t) $与 $ f_{2}(t) $在区间 $ (t_{1},t_{2}) $内正交。由式(6-52)得出两个函数在区间 $ (t_{1},t_{2}) $内正交的条件是

$$ \int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{1}(t)f_{2}(t)\mathrm{d}t=0 $$

如果试图用与某函数互为正交的函数来作它的近似，那么， $ c_{12} $ 的最佳值是零。这就是说，与其用它的正交函数来近似，不如用零函数 $ f(t)=0 $ 来表示。

利用矢量空间内积运算的概念，在区间 $ (t_{1}

$$ c_{12}=\frac{\langle f_{1}(t),f_{2}(t)\rangle}{\langle f_{2}(t),f_{2}(t)\rangle} $$

显然，在矢量空间内，若两信号之内积为零则构成正交函数。

下面举出求 $ c_{12} $ 的实例。

例 6-1 设矩形脉冲 $ f(t) $ 有如下定义

$$ f(t)=\left\{\begin{array}{l l}+1&\left(0

波形如图6-5所示，试用正弦波 $ \sin t $在区间 $ (0,2\pi) $之内近似表示此函数，使方均误差最小。

解 函数 $ f(t) $ 在区间 $ (0,2\pi) $ 内近

似为

$$ f(t)\approx_{c_{12}}\sin t $$

为使方均误差最小， $ c_{12} $应满足

$$ \begin{aligned}c_{12}&=\frac{\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(t)\sin t\mathrm{~d}t}{\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\mathrm{~d}t}\\&=\frac{1}{\pi}\left[\int_{0}^{\pi}\sin t\mathrm{d}t+\int_{\pi}^{2\pi}(-\sin t)\mathrm{d}t\right]=\frac{4}{\pi}\end{aligned} $$

所以

$$ f(t)\approx\frac{4}{\pi}\sin t $$

近似波形是振幅为 $ \frac{4}{\pi} $的正弦波，如图6-5中虚线所示。

例 6-2 试用正弦函数 $ \sin t $ 在区间 $ (0,2\pi) $ 内来近似表示余弦函数 $ \cos t $。

解 显然，由于

$$ \int_{0}^{2\pi}\cos t\sin t\mathrm{d}t=0 $$

所以

$$ c_{12}=0 $$

也即，余弦信号 $ \cos t $ 不包含正弦信号 $ \sin t $ 分量。或者说 $ \cos t $ 与 $ \sin t $ 两函数正交。

（三）正交函数集

假设有 n 个函数 $ g_{1}(t) $, $ g_{2}(t) $, $ \cdots $, $ g_{n}(t) $ 构成的一个函数集，这些函数在区间 $ (t_{1}, t_{2}) $ 内满足如下的正交特性

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{i}\left(t\right)g_{j}\left(t\right)\mathrm{d}t=0\qquad(i\neq j)}\\ {}&{{}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{i}^{2}(t)\mathrm{d}t=K_{i}}\\ \end{aligned}\right\} $$

或

$$ \begin{aligned}&\left\langle g_{i}\left(t\right),g_{j}\left(t\right)\right\rangle=0\quad\left(i\neq j\right)\\&\left\langle g_{i}\left(t\right),g_{i}\left(t\right)\right\rangle=K_{i}\\ \end{aligned} $$

则此函数集称为正交函数集。

令任一函数 $ f(t) $ 在区间 $ (t_{1}, t_{2}) $ 内由这 n 个互相正交的函数线性组合所近似，表示式为

$$ f(t)\approx_{c_{1}g_{1}(t)+c_{2}g_{2}(t)+\cdots+c_{n}g_{n}(t)} $$

$$ =\sum_{r=1}^{n}c_{r}g_{r}(t) $$

为满足最佳近似的要求，可利用方均误差 $ \epsilon^{2} $ 最小的条件求系数 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} $。方均误差表示式为

$$ \overline{\varepsilon^{2}}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[f(t)-\sum_{r=1}^{n}c_{r}g_{r}(t)\right]^{2}\mathrm{d}t $$

对于第i个系数 $ c_{i} $，要使 $ \varepsilon^{2} $最小应满足

$$ \frac{\partial\overline{{\boldsymbol{\epsilon}^{2}}}}{\partial c_{i}}=0 $$

将 $ \varepsilon^{2} $ 表示式代入此式得到

$$ \frac{\partial}{\partial c_{i}}\left\{\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[f(t)-\sum_{r=1}^{n}c_{r}g_{r}(t)\right]^{2}\mathrm{d}t\right\}=0 $$

展开此被积函数，注意到由正交函数交叉相乘产生的所有各项都为零，而且，所有不包含 $ c_{i} $ 的各项对 $ c_{i} $ 求导也等于零。这样，就使式（6-59）中只剩下两项不为零，如下所示

$$ \frac{\partial}{\partial c_{i}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\big[-2c_{i}f(t)g_{i}(t)+c_{i}^{2}g_{i}^{2}(t)\big]\mathrm{d}t=0 $$

变换微分与积分次序，得到

$$ \int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)g_{i}(t)\mathrm{d}t=c_{i}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{i}^{2}(t)\mathrm{d}t $$

于是求出 $ c_{i} $

$$ \begin{aligned}{c_{i}}&{{}=\frac{\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)g_{i}(t)\mathsf{d}t}{\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{i}^{2}(t)\mathsf{d}t}}\\ {}&{{}=\frac{1}{K_{i}}\int_{t_{i}}^{t_{2}}f(t)g_{i}(t)\mathsf{d}t}\\ \end{aligned} $$

这就是满足最小方均误差条件下，式(6-57)中各系数 $ c_{i} $ 的表示式。

当按式(6-62)选取 $ c_{i} $ 时，将 $ c_{i} $ 代回 $ \varepsilon^{2} $ 表示式可求得最佳近似条件下的方均误差

$$ \begin{align*}\overline{\boldsymbol{\epsilon}^{2}}=&\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\big[f(t)-\sum_{r=1}^{n}c_{r}\boldsymbol{g}_{r}(t)\big]^{2}\mathrm{d}t\\=&\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\Big[\int_{t_{1}}^{t_{2}}f^{2}(t)\mathrm{d}t+\sum_{r=1}^{n}c_{r}^{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\boldsymbol{g}_{r}^{2}(t)\mathrm{d}t\\&-2\sum_{r=1}^{n}c_{r}\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\boldsymbol{g}_{r}(t)\mathrm{d}t\Big]\end{align*} $$

注意到 $ \int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt=K_{r},\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)g_{r}(t)dt=c_{r}K_{r} $ [利用式(6-62)取下标 i=r]得到

$$ \begin{align*}\overline{\varepsilon^{2}}=&\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\bigg[\int_{t_{1}}^{t_{2}}f^{2}(t)\mathrm{d}t+\sum_{r=1}^{n}c_{r}^{2}K_{r}-2\sum_{r=1}^{n}c_{r}^{2}K_{r}\bigg]\\=&\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\bigg[\int_{t_{1}}^{t_{2}}f^{2}(t)\mathrm{d}t-\sum_{r=1}^{n}c_{r}^{2}K_{r}\bigg]\end{align*} $$

利用式 $ （6-64） $可直接求得给定项数 n 条件下的最小方均误差。

如果对某一正交函数集K_{i}=1，也就是

$$ \int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{i}^{2}(t)\mathrm{d}t=1 $$

或

$$ \langle g_{i}(t),g_{i}(t)\rangle=1 $$

那么，称此函数集为“规格化正交函数集”（或“归一化正交函数集”）。

当把函数 $ f(t) $ 近似为规格化正交函数线性组合时，求系数 $ c_{i} $ 与最小方均误差 $ \varepsilon^{\overline{2}} $ 的表示式简化为

$$ c_{i}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)g_{i}(t)\mathrm{d}t $$

$$ \overline{\epsilon^{2}}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left[\int_{t_{1}}^{t_{2}}f^{2}(t)\mathrm{d}t-\sum_{r=1}^{n}c_{r}^{2}\right] $$

（四） 复变函数的正交特性

上述讨论，仅限于考虑实变量的实函数的正交特性。如果所讨论的函数 $ f_{1}(t) $和 $ f_{2}(t) $是实变量t的复变函数，那么有关正交特性的描述如下：

若 $ f_{1}(t) $ 在区间 $ (t_{1},t_{2}) $ 内可以由 $ c_{12}f_{2}(t) $ 来近似

$$ f_{1}(t)\approx_{c_{12}}f_{2}(t) $$

使方均误差幅度为最小的 $ c_{12} $ 之最佳值是

$$ c_{12}=\frac{\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{1}(t)f_{2}^{*}(t)\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{2}(t)f_{2}^{*}(t)\mathrm{d}t} $$

式中 $ f_{2}^{*}(t) $ 是 $ f_{2}(t) $ 的复共轭函数。

两个复变函数 $ f_{1}(t) $ 和 $ f_{2}(t) $ 在区间 $ (t_{1}, t_{2}) $ 内互相正交的条件是

$$ \int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{1}(t)f_{2}^{*}(t)\mathrm{d}t=\int_{t_{1}}^{t_{2}}f_{1}^{*}(t)f_{2}(t)\mathrm{d}t=0 $$

或

$$ \left\langle f_{1}(t),f_{2}(t)\right\rangle=0 $$

如果在区间 $ (t_{1},t_{2}) $内，复变函数集 $ \{g_{r}(t)|(r=1,2,\cdots,n) $满足以下关系

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{i}\left(t\right)g_{j}^{*}\left(t\right)\mathrm{d}t=0\qquad\left(i\neq j\right)}\\ {}&{{}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{i}\left(t\right)g_{i}^{*}\left(t\right)\mathrm{d}t=K_{i}}\\ \end{aligned}\right\} $$

或

$$ \left.\begin{array}{l}\langle g_{i}(t),g_{j}(t)\rangle=0\qquad(i\neq j)\\ \langle g_{i}(t),g_{i}(t)\rangle=K_{i}\end{array}\right\} $$

则此复变函数集为正交函数集。

6.4 完备正交函数集、帕塞瓦尔定理

由式(6-64)可以看到：如果增加 n，用更多项的正交函数来近似表示 $ f(t) $，那么，误差将变小。进一步考虑，当 n 趋于无限大时，级数取和 $ \sum_{r=1}^{\infty}c_{r}^{2}K_{r} $ 能否收敛为 $ \int_{t_{1}}^{t_{2}}f^{2}(t)dt $ 呢？也就是说，方均误差 $ \overline{\varepsilon^{2}} $ 是否可以减小到零呢？为回答此问题，给出完备正交函数集的概念。

“完备正交函数集”有两种定义方式，分述如下。

如果用正交函数集 $ g_{1}(t) $, $ g_{2}(t) $, $ \cdots $, $ g_{n}(t) $ 在区间 $ (t_{1}, t_{2}) $ 近似表示函数 $ f(t) $

$$ f(t)\approx\sum_{r=1}^{n}c_{r}g_{r}(t) $$

方均误差为

$$ \overline{{\varepsilon^{2}}}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[f(t)-\sum_{r=1}^{n}c_{r}g_{r}(t)\right]^{2}\mathrm{d}t $$

若令 n 趋于无限大， $ \varepsilon^{2} $ 的极限等于零

$$ \lim_{n\to\infty}\overline{\varepsilon^{2}}=0 $$

则此函数集称为完备正交函数集。

很明显， $ \varepsilon^{2}=0 $ 也就意味着 $ f(t) $ 可以由无穷级数来表示

$$ f(t)=c_{1}g_{1}(t)+c_{2}g_{2}(t)+\cdots+c_{r}g_{r}(t)+\cdots $$

等式(6-78)右端的无穷级数收敛于 $ f(t) $。也即，用级数表示 $ f(t) $ 的式(6-78)不是近似式，而是等式。

另一种定义方法如下：

如果在正交函数集 $ g_{1}(t) $, $ g_{2}(t) $, $ \cdots $, $ g_{n}(t) $ 之外，不存在函数 $ x(t) $

$$ 0<\int_{t_{1}}^{t_{2}}x^{2}(t)\mathrm{d}t<\infty $$

满足等式

$$ \begin{aligned}&\int_{t_{1}}^{t_{2}}x\left(t\right)g_{i}\left(t\right)\mathrm{d}t=0\\ &\quad\left(i 为任意正整数 \right)\\ \end{aligned} $$

则此函数集称为完备正交函数集。

如果能找到一个函数 $ x(t) $，使得式(6-80)成立——积分为零，即可说明， $ x(t) $ 与函数集 $ \{g_{n}(t)\} $ 的每个函数是正交的，因而它本身就应属于此函数集。显然，不包含 $ x(t) $，此函数集就不完备。

注意到前节讨论矢量分析时曾指出，在三维空间的物理世界中，用三维正交矢量集可以无误差地表示任意矢量，而用二维的正交矢量集则不能。现在以完备正交的观点来说明此问题。在矢量分析中，对于三维空间，只有三维的正交矢量集是完备的正交矢量集，而二维的正交矢量集则不是完备正交矢量集。

从式(6-64)或式(6-68)可以看出，如果 $ \varepsilon^{2}=0 $，应满足以下关系

$$ \int_{t_{1}}^{t_{2}}f^{2}(t)\mathrm{d}t=\sum_{r=1}^{\infty}c_{r}^{2}K_{r} $$

或

$$ \int_{t_{1}}^{t_{2}}f^{2}(t)\mathrm{d}t=\sum_{r=1}^{\infty}c_{r}^{2} $$

式(6-82)与式(6-81)称为“帕塞瓦尔方程”。对于完备正交函数与规格化完备正交函数应满足帕塞瓦尔方程，这一约束规律称为帕塞瓦尔定理。

我们用帕塞瓦尔定理来说明完备正交的物理意义。帕塞瓦尔定理告诉我们，一信号(电压或电流)所含有的功率恒等于此信号在完备正交函数集中各分量功率之和。与此情况相反，如果信号在正交函数集中各分量的功率总和不等于信号本身的功率，于是，式(6-81)的能量平衡关系就不成立，该正交函数集不完备。

从数学意义讲，帕塞瓦尔方程体现了矢量空间信号正交变换的范数不变性（内积不变性）。若将正交函数展开各系数写作矢量 $ c = [c_1, c_2, \cdots, c_r, \cdots] $，式(6-82)可写作范数（内积）表达式

$$ \left\langle f(t),f(t)\right\rangle=\left\langle c,c\right\rangle $$

对于某一函数，可以利用它在完备正交函数集中各分量的线性组合来表示，这种表示方法称为函数的广义傅里叶级数展开。三角函数集是应用最广的一种完备正交函数集，通常，可将一周期信号展开为各三角函数分量的叠加。然而，完备正交函数集有许多种，不仅限于三角函数集。同一被展开的函数可以用不同形式的正交函数来表示。在矢量分析中可以看到与此类似的现象，对于三维

空间的同一矢量，可以按不同的三维坐标系统进行分解。对于同一信号，无论用何种形式的完备正交函数表示，都必须遵循帕塞瓦尔定理的规律，保持其能量不变或范数不变的物理与数学本质。

下面给出几种正交函数的实例。

（一） 三角函数集

（二） 复指数函数集

在第三、五章已经详细研究了这两种正交函数集的性质及其应用，它们都是完备的。这两种函数集有着密切的联系，一种系数可由另一级数的系数求得。本章后面几节，还要进一步介绍它们的应用。

（三） 勒让德多项式

勒让德(Legendre)多项式的定义为

$$ \begin{aligned}P_{n}(t)&=\frac{1}{2^{n} n!}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}}(t^{2}-1)^{n}\\&(n=0,1,2,\cdots)\end{aligned} $$

由此写出

$$ \begin{aligned}&P_{0}(t)=1\\&P_{1}(t)=t\\&P_{2}(t)=\left(\frac{3}{2}t^{2}-\frac{1}{2}\right)\\&P_{3}(t)=\left(\frac{5}{2}t^{3}-\frac{3}{2}t\right)\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \end{aligned} $$

一组勒让德多项式 $ \{P_{n}(t)\} $ (n=0,1,2, $ \cdots $)在区间 $ (-1

此外，还有一些多项式也可构成正交函数集，如雅可比(Jacobi)多项式，切比雪夫(Chebyshev)多项式等。

（四） 拉德马赫（Rademacher）函数集

假如被展开的函数 $ f(t) $ 是矩形脉冲，那么，设想利用一组相互正交的矩形脉冲函数来表示 $ f(t) $ 可能更方便。图6-6示出由一组矩形脉冲组成的正交函数集，称为拉德马赫函数集，图中只给出了前4个序号的函数波形。这组正交函数是不完备的。但是，利用它可以表示其他的完备正交函数。

（五） 沃尔什（Walsh）函数集

沃尔什函数也是只取+1和-1两个可能的数值，波形也呈矩形脉冲。沃尔什函数集是完备的正交函数集。目前，沃尔什函数集已有不少应用，在信号传输与处理方面，沃尔什变换是一种重要的正交变换方法。下一节将介绍沃尔什函数。

6.5 沃尔什函数

以正弦－余弦函数为基础的傅里叶变换方法是目前信号与系统分析中的主要工具，然而，在电信技术发展史上，非正弦信号的研究与应用也曾受到重视。19世纪传输电报信号就是利用矩形脉冲，由电键产生电流脉冲信号，用继电器放大和检测。当时，正弦－余弦函数以及傅里叶分析等数学基础虽已成熟，但是因为没有找到简便、实用的方法产生、传输和变换正弦信号，所以还不能将这些理论知识广泛应用于电信工程实际之中。从19世纪末到20世纪初，制作电感、电容以及滤波器、振荡器的问题逐步得到解决，于是在无线电技术中，正弦－余弦函数以及傅里叶变换方法才得到广泛应用和进一步发展。

20世纪60年代末至70年代初，数字技术与计算机科学迅速发展，利用开关元件产生和处理数字信号十分简便易行，不但体积小、重量轻，而且可靠性高。

于是，人们对于使用非正弦信号的问题又重新重视起来，企图在这方面寻求新的工具和分析方法，以适应数字技术与计算机科学的新发展。

在各种非正弦函数的研究之中，沃尔什(Walsh)函数、哈尔(Haar)函数、拉德马赫(Rademacher)函数等等引起人们的注意。它们的主要特点是只取两个数值，这与数字逻辑电路只取两个状态的特点一致，同时，它们也具有一些与正弦-余弦函数类似的特性，如正交特性。

从历史发展来看，哈尔函数是1910年由匈牙利数学家哈尔(A. Haar)首先提出的，它是一组完备的正交函数。1923年美国数学家沃尔什(J. L. Walsh)提出沃尔什函数，这也是一组完备的正交函数集。几乎同时，约在1922年德国数学家拉德马赫(H. Rademacher)提出另一组只取两个数值的正交函数，称为拉德马赫函数，它是不完备的正交函数集，然而可以间接用来给出沃尔什函数的表示方法。以上几种非正弦的正交函数各有不同特点，相互之间有着密切联系，其中，以沃尔什函数应用较多。早在20世纪30年代左右，这几种函数的数学基础已经成熟，但是，它们的广泛应用直到20世纪70年代才得以实现。沃尔什函数被搁置了近50年，又得到了进一步的发展。

下面介绍沃尔什函数的定义、性质以及沃尔什级数的简单应用。有关沃尔什函数的进一步应用见第九章9.9节以及参考书目 $ ^{[1]} $第十章。

（一）定义

沃尔什函数可从不同的途径推导出来，每种方法都有它的特点，这里只介绍用三角函数定义的沃尔什函数表示方法，表达式如下

$$ \mathrm{W a l}(k,t)=\prod_{r=0}^{p-1}\mathrm{s g n}\left[\cos(k_{r}2^{r}\pi t)\right]\quad(0\leqslant t<1) $$

式中，k——沃尔什函数编号，为非负整数。k 的二进制表示式为

$$ k=\sum_{r=0}^{p-1}k_{r}2^{r} $$

k_{r} 为 0 或 1——k 的二进制表示式中各位二进数字的值。

p——k 的二进制表示式的位数。

sgn 表示“符号函数”。

在式(6-85)中，沃尔什函数 $ \mathrm{Wal}(k,t) $ 定义于区间 $ 0 \leqslant t < 1 $ 。对于确定的沃尔什函数编号 k， $ \mathrm{Wal}(k,t) $ 是变量 t 的函数。

按式（6-85）定义画出的前8个沃尔什函数波形如图6-7所示。

在定义区间 $ 0 \leq t < 1 $ 之外，将原波形周期性地重复，就使定义延拓到整个 t 轴上。这样 $ \mathrm{Wal}(k, t) $ 就是以 1 为周期的函数，即

$$ \mathrm{W a l}(k,t\pm1)=\mathrm{W a l}(k,t) $$

例如，为写出 $ \mathrm{Wal}(5,t) $ 的定义式，首先需写出 k=5 时 k 的二进制表示式，

以便决定 $ k_{r} $。因为

$$ 5=1\times2^{2}+0\times2^{1}+1\times2^{0} $$

所以知道

$$ k_{2}=1,k_{1}=0,k_{0}=1 $$

而且可以看出，5 的二进制表示式位数是 3 位，所以 p=3。

将以上数值代入式(6-85)得出

$$ \begin{aligned}\operatorname{Wal}(5,t)&=\prod_{r=0}^{2}\operatorname{sgn}[\cos(k_{r}2^{r}\pi t)]\\&=\operatorname{sgn}[\cos(k_{2}2^{2}\pi t)]\cdot\operatorname{sgn}[\cos(k_{1}2^{1}\pi t)]\cdot\operatorname{sgn}[\cos(k_{0}2^{0}\pi t)]\\&=\operatorname{sgn}[\cos(4\pi t)]\cdot\operatorname{sgn}[\cos(\pi t)]\end{aligned} $$

式(6-88)表明，将 $ \cos(4\pi t) $ 与 $ \cos(\pi t) $ 分别取符号再相乘，就可得到 $ \mathrm{Wal}(5,t) $

下面，以同样方法写出与图6-7对应的前8个沃尔什函数表示式

$$ \mathrm{W a l}(0,t)=\operatorname{s g n}\left[\cos(0t)\right]=1 $$

$$ \mathrm{W a l}(1,t)=\operatorname{s g n}[\cos(\pi t)]\cdot\operatorname{s g n}[\cos(0t)]=\operatorname{s g n}[\cos(\pi t)] $$

$$ \operatorname{W a l}(2,t)=\operatorname{s g n}[\cos(2\pi t)]\cdot\operatorname{s g n}[\cos(0t)]=\operatorname{s g n}[\cos(2\pi t)] $$

$$ \operatorname{W a l}(3,t)=\operatorname{s g n}\left[\cos(2\pi t)\right]\cdot\operatorname{s g n}\left[\cos(\pi t)\right]=\operatorname{W a l}(2,t)\cdot\operatorname{W a l}(1,t) $$

$$ \mathrm{W a l}(4,t)=\mathrm{s g n}\left[\cos(4\pi t)\right] $$

$$ \mathrm{W a l}(5,t)=\operatorname{s g n}\left[\cos(4\pi t)\right]\cdot\operatorname{s g n}\left[\cos(\pi t)\right]=\mathrm{W a l}(4,t)\cdot\mathrm{W a l}(1,t) $$

$$ \mathrm{W a l}(6,t)=\operatorname{s g n}[\cos(4\pi t)]\cdot\operatorname{s g n}[\cos(2\pi t)]=\mathrm{W a l}(4,t)\cdot\mathrm{W a l}(2,t) $$

$$ \begin{aligned}\operatorname{Wal}(7,t)&=\operatorname{sgn}[\cos(4\pi t)]\cdot\operatorname{sgn}[\cos(2\pi t)]\cdot\operatorname{sgn}[\cos(\pi t)]\\&=\operatorname{Wal}(4,t)\cdot\operatorname{Wal}(2,t)\cdot\operatorname{Wal}(1,t)\\&=\operatorname{Wal}(6,t)\cdot\operatorname{Wal}(1,t)\end{aligned} $$

由式(6-85)还可看出，$\mathrm{Wal}(k,t)$ 等于若干因子 $\mathrm{sgn}[\cos(k,2^{\prime}\pi t)]$ 之连乘积。这些因子除 $\mathrm{sgn}[\cos(\pi t)]$ 之外，其他因子对于 $t=\frac{1}{2}$ 都是偶对称的。当 $k$ 为奇数时，$k_{0}=1$，$\mathrm{sgn}[\cos(\pi t)]$ 项存在；而当 $k$ 为偶数时，$k_{0}=0$，连乘积中不包含 $\mathrm{sgn}[\cos(\pi t)]$ 项。因此，若 $k$ 为奇数，则 $\mathrm{Wal}(k,t)$ 对于 $t=\frac{1}{2}$ 点是奇函数；而 $k$ 为偶数时，$\mathrm{Wal}(k,t)$ 对于 $t=\frac{1}{2}$ 点是偶函数。

当按式 $ (6-85) $将 $ \mathrm{Wal}(k,t) $延拓到全部t轴时，这种对称性对于t=0点依然成立。也即，当k为奇数时， $ \mathrm{Wal}(k,t) $对原点是奇函数；当k为偶数时， $ \mathrm{Wal}(k,t) $对原点是偶函数。这一性质类似于正弦函数和余弦函数。为便于和三角函数比较，可将 $ \mathrm{Wal}(k,t) $再分为两类，表示如下

$$ Wal(k,t)=\left\{\begin{aligned}sal(m,t)\quad&( 当 k=2m-1,m=1,2,3,\cdots)\\ cal(m,t)\quad&( 当 k=2m,m=0,1,2,\cdots)\end{aligned}\right. $$

此处，sal 类似于 sin，为奇函数；cal 则与 cos 类似，是偶函数。在图 6-7 中也标注了这种名称。

对于三角函数，我们曾用每秒内的周期数定义频率。对于沃尔什函数，因为在时基 $ 0 \leq t < 1 $ 之内不一定呈周期重复，因此，不能作简单的类比。但是，可以用单位时间内波形过零的次数来进行比较。从三角函数来看，如果将 $ \sin(n2\pi t) $ 和 $ \cos(n2\pi t) $ 在 $ 0 \leq t < 1 $ 内的过零点次数除以 2，即等于 n（也就是当基波频率等于 1 时的 n 次谐波频率）。同理，对于沃尔什函数，在单位时间内（时基为 1）， $ \text{sal}(m,t) $ 和 $ \text{cal}(m,t) $ 过零点数之半也等于 m。这里，将 m 称为“序率”（或“列率”， $ frequency $）。序率的单位目前尚无统一规定，可以记作 zps (zero per second，每秒过零次数)，也有人建议以哈姆（Harm）为单位，记作 Hm。

为便于与熟知的频域法相区别，有时把根据沃尔什函数所诱导出来的分析

方法称为“序域法”，序域法的建立使系统分析中变换域方法的内容更加丰富。

需要指出，上面讨论中把 $ \mathrm{Wal}(k,t) $ 当做时间变量的函数看待，实际上，t 不一定代表时间，这里仅仅是一个自变量的符号，它也可作为其他变量。例如，在处理图像信号时就可以用距离（位置）作变量。

（二）性质

（1）相乘关系

$$ \mathbf{W a l}(h,t)\cdot\mathbf{W a l}(k,t)=\mathbf{W a l}(h\textcircled{+}k,t) $$

式中 $ ^{⊕} $为模2（不进位）加法运算，例如

$$ \begin{aligned}\operatorname{Wal}(3,t)\cdot\operatorname{Wal}(6,t)&=\operatorname{Wal}(3\textcircled{+}6,t)=\operatorname{Wal}(5,t)\ $ 3)_{10 进 }&=(0\quad1\quad1)_{2 进 }\\ \text{（6）}_{10 进 }&=(1\quad1\quad0)_{2 进 }\ $ 5)_{10 进 }&=(1\quad0\quad1)_{2 进 }\end{aligned} $$

下面研究 h, k 为任意值时，式(6-89)的正确性，设

$$ \begin{aligned}&h=\sum_{r=0}^{p-1}h_{r}2^{r}\\&k=\sum_{r=0}^{l-1}k_{r}2^{r}\\ \end{aligned} $$

这里，h，k都是二进制表示式， $ h_{r} $与 $ k_{r} $只取0或1。根据沃尔什函数的定义式（6-85）可以看出：当 $ h_{r} $与 $ k_{r} $相同时（都为0或都为1），式（6-89）左方对应的两个因子相乘等于1

$$ \operatorname{s g n}[\cos(h_{r}2^{r}\pi t)]\cdot\operatorname{s g n}[\cos(k_{r}2^{r}\pi t)]=1 $$

因此，式(6-89)左方的乘积只由 $ h_{r} \neq k_{r} $ 的符号函数乘积所决定，这些乘积与 $ \mathrm{Wal}(h \oplus k, t) $ 的乘积因子一致，所以式(6-89)的结论成立。

由此性质可得到以下推论

$$ [\operatorname{W a l}(k,t)]^{2}=1 $$

$$ \operatorname{cal}(i,t)\cdot\operatorname{cal}(j,t)=\operatorname{cal}(i\oplus j,t) $$

$$ \operatorname{sal}(i,t)\cdot\operatorname{sal}(j,t)=\operatorname{cal}[(i-1)\oplus(j-1),t] $$

$$ \operatorname{sal}(i,t)\cdot\operatorname{cal}(j,t)=\operatorname{sal}\left\{(i-1)\oplus j\right\}+1,t\leq $$

证明过程请读者做练习（习题6-14）。

将上述结论与正弦－余弦函数的相乘定理作比较，可以看出有以下重要区别：正弦－余弦函数相乘给出正弦－余弦函数相加的表示式，从频谱变换的观点来看，经调制以后要得到两个新的频率分量；而沃尔什函数相乘则仅产生一个而不是两个沃尔什函数，也即只得到一个序率分量。由此可以推想，正弦－余弦调幅，得到双边带（上、下边带）信号；而沃尔什函数进行调幅则仅产生一个边带。

(2) 对称关系

$$ \mathrm{W a l}(2^{q}k,t)=\mathrm{W a l}(k,2^{q}t) $$

证明如下：

设

$$ k=\sum_{r=0}^{p-1}k_{r}2^{r} $$

则

$$ 2^{q}k=2^{q}\sum_{r=0}^{p-1}k_{r}2^{r}=\sum_{r=0}^{p-1}k_{r}2^{r+q} $$

$$ \begin{aligned}\operatorname{Wal}(2^{q}k,t)&=\prod_{r=0}^{p-1}\operatorname{sgn}[\cos(k_{r}2^{r+q}\pi t)]\\&=\prod_{r=0}^{p-1}\operatorname{sgn}\{\cos[k_{r}2^{r}\pi(2^{q}t)]\}\\&=\operatorname{Wal}(k,2^{q}t)\end{aligned} $$

此结果表明，有一沃尔什函数，当序数 k 增到 $ 2^{q} $ 倍时，相当于序数保持不变，将时间变量增到 $ 2^{q} $ 倍。

（3） 倒转关系

Wal $ (k,t) $ 以 t=0 为轴转动 $ 180^{\circ} $，也即用 -t 代替 t，则

$$ \operatorname{W a l}(k,-t)=(-1)^{k}\operatorname{W a l}(k,t) $$

当 k 为偶数时， $ \mathrm{Wal}(k,-t)=\mathrm{Wal}(k,t) $

当 k 为奇数时， $ \mathrm{Wal}(k,-t)=-\mathrm{Wal}(k,t) $

显然，此性质可从沃尔什函数的奇、偶特性得出。

（4） 完备正交性

沃尔什函数系 {Wal}(k, t), k = 0, 1, 2, …} 在 $ 0 \leqslant t < 1 $ 之内是一完备正交函数集，正交关系表示如下

$$ \begin{aligned}&\int_{0}^{t}\mathbf{W a l}(h,t)\bullet\mathbf{W a l}(k,t)\mathrm{d}t\\ &=\left\{\begin{array}{l l}0&\quad( 当 h\neq k)\\ 1&\quad( 当 h=k)\end{array}\right.\end{aligned} $$

如果利用沃尔什函数集中各分量的线性组合来表示某一信号时，与傅里叶级数展开类似，也应满足帕塞瓦尔定理，下面讨论这一问题。

（三） 沃尔什级数及其应用

设 $ x(t) $ 为周期性函数，周期为 T，满足狄里赫利条件，于是可给出傅里叶级数展开式

$$ x(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos(n\omega_{1}t)+b_{n}\sin(n\omega_{1}t)\right] $$

式中

$$ \omega_{1}=\frac{2\pi}{T} $$

$$ a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\cos(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t $$

$$ b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x\left(t\right)\sin(\left.n\omega_{1}t\right)\mathrm{d}t $$

与此相仿，应用沃尔什函数的正交展开式可以写成

$$ x\left(t\right)=c_{0}+\sum_{m=1}^{\infty}\left[c_{m}\mathrm{cal}\left(m,t\right)+s_{m}\mathrm{sal}\left(m,t\right)\right] $$

式中

$$ c_{0}=\int_{0}^{1}x\left(t\right)\mathrm{c a l}\left(0,t\right)\mathrm{d}t=\int_{0}^{1}x\left(t\right)\mathrm{d}t $$

$$ c_{m}=\int_{0}^{1}x(t)\mathrm{d}(m,t)\mathrm{d}t $$

$$ s_{m}\simeq\int_{0}^{1}x(t)\mathrm{s a l}(m,t)\mathrm{d}t $$

或合并为

$$ a_{k}=\int_{0}^{1}x(t)\mathrm{W a l}(k,t)\mathrm{d}t $$

式(6-99)称为沃尔什-傅里叶级数，简称为沃尔什级数。应用傅里叶级数，可将一个周期性信号分解为许多正弦-余弦信号之和。同理，应用沃尔什级数，可将一周期性信号分解为许多沃尔什函数之和。

必须指出，在应用式(6-98)展开傅里叶级数时， $ x(t) $ 的周期为 T；而应用式(6-99)展开沃尔什级数时， $ x(t) $ 的周期应等于1，如果它的周期不是1而是 T，则应取 $ \tau/T $ 代换 t，将时间归一化，即得相应的沃尔什-傅里叶级数展开式及系数公式。

沃尔什级数与傅里叶级数相似，都可以根据线性叠加定理进行复杂波形综合。一般而言，所取项数愈多，近似的程度愈好。

现在对函数 $ x(t)=\sin(2\pi t) $ 进行沃尔什级数分解，将要看到用几个沃尔什函数逼近正弦波的情况。由式(6-99)可得

$$ \begin{aligned}x\left(t\right)&=\sin(2\pi t)\\&=c_{0}+\sum_{m=1}^{\infty}\left[c_{m}\mathrm{cal}(m,t)+s_{m}\mathrm{sal}(m,t)\right]\end{aligned} $$

对此正弦函数容易求得 $ c_{0}=0, c_{m}=0 $ ，而 $ s_{m} $ 各项系数由以下积分式计算

$$ s_{1}=\int_{0}^{1}\sin(2\pi t)\mathrm{s a l}(1,t)\mathrm{d}t $$

$$ \begin{aligned}=&\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sin(2\pi t)\mathrm{d}t-\int_{\frac{1}{2}}^{1}\sin(2\pi t)\mathrm{d}t\\=&\frac{2}{\pi}=0.64\end{aligned} $$

$$ s_{2}=0 $$

$$ \begin{array}{rl}s_{3}=&\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(2\pi t)\mathrm{sal}(3,t)\mathrm{d}t\\=&\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{8}}\sin(2\pi t)\mathrm{d}t-\int_{\frac{1}{8}}^{\frac{3}{8}}\sin(2\pi t)\mathrm{d}t+\\&\displaystyle\int_{\frac{3}{8}}^{\frac{1}{2}}\sin(2\pi t)\mathrm{d}t-\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{5}{8}}\sin(2\pi t)\mathrm{d}t+\\&\displaystyle\int_{\frac{5}{8}}^{\frac{7}{8}}\sin(2\pi t)\mathrm{d}t-\int_{\frac{7}{8}}^{1}\sin(2\pi t)\mathrm{d}t\\=&-0.27\end{array} $$

用同样方法，依次得到

$$ \begin{aligned}&s_{4}=0\\&s_{5}=-0.051\\&s_{6}=0\\&s_{7}=-0.13\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \end{aligned} $$

将系数代回式(6-100)则

$$ \begin{aligned}x\left(t\right)&=\sin(2\pi t)\\&=0.64sal(1,t)-0.27sal(3,t)-\\&\quad0.051sal(5,t)-0.13sal(7,t)+\cdots\end{aligned} $$

将以上结果画出波形如图6-8所示，可以看出，用序数m为1,3,5,7的sal函数（也即序数k为1,3,5,9,13的Wal函数）综合所得的波形已相当接近正弦信号。如要得到更精确的近似，可再增加高序数的沃尔什函数分量。

当逼近项数趋于 $ \infty $时，应满足帕塞瓦尔定理，此时有

$$ \int_{0}^{1}x^{2}(t)dt=\int_{0}^{1}\left[\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\operatorname{W a l}(k,t)\right]^{2}dt $$

$$ \int_{0}^{1}x^{2}(t)\mathrm{d}t=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}^{2} $$

无论对沃尔什级数展开或傅里叶级数展开都满足帕塞瓦尔定理，保持能量守恒或范数不变性。

显然，同一函数，既可展开傅里叶级数，又可展开沃尔什级数。一般讲，原波

形如果是平滑的连续波，用沃尔什函数逼近所需的分量数目要比用傅里叶级数逼近的分量数目多，才能达到同样的近似效果。相反的，如果波形近于矩形波时，所需的沃尔什级数的项数可能要比傅里叶级数的项数少。

沃尔什级数的应用包括波形分析与波形综合两个方面。关于波形分析的一个实例是频谱分析仪，可以将波形分解为沃尔什级数，然后再对每个沃尔什分量计算其傅里叶系数，取全部计算之和即可得到待分解波形的各频谱分量。由于沃尔什函数的特点，便于集成化，这样做成的频谱仪体积小、重量轻，可以进一步降低成本。在波形综合方面，应用沃尔什函数可以合成正弦波或其他波形，电路

不复杂，合成的正弦波谐波较小，而且具有确定的相位，可按需要给出正弦或余弦波形。采用这种方法的实例如电子乐器。此外，在6.11节还要看到利用沃尔什函数构成码分复用系统的应用实例。

6.6 相关

通常相关的概念是从研究随机信号的统计特性而引入的。考虑本课程的研究范围，从确定性信号的相似性引出相关系数与相关函数的概念，为学习后续课程做好准备。

相关函数与卷积运算有着密切联系，我们将在对比中认识并正确运用这两种数学工具。

从数学本质来看，相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。从物理本质看，相关与信号能量特征有着密切联系，为便于研究，首先从信号能量特征给出能量信号与功率信号的定义。

（一） 能量信号与功率信号

信号 $ f(t) $ 的归一化能量（或简称信号的能量）定义为信号电压（或电流）加到 $ 1 \Omega $ 电阻上所消耗的能量，以 E 表示。这样

$$ E=\int_{-\infty}^{\infty}\mid f(t)\mid^{2}\mathrm{d}t $$

若 $ f(t) $ 为实函数，则

$$ E=\int_{-\infty}^{\infty}f^{2}(t)\mathrm{d}t $$

通常把能量为有限值的信号称为能量有限信号或简称为能量信号。在实际应用中，一般的非周期信号属于能量有限信号。然而，对于像周期信号、阶跃函数、符号函数这类的信号，显然上式的积分是无穷大。在这种情况下，一般不再研究信号的能量而研究信号的平均功率。

信号的平均功率定义为信号电压(或电流)在 $ 1\Omega $电阻上所消耗的功率， $ f(t) $在区间 $ [T_{1},T_{2}] $上的平均功率表达式为

$$ P=\frac{1}{T_{2}-T_{1}}\int_{T_{1}}^{T_{2}}\mid f(t)\mid^{2}\mathrm{d}t $$

在6.2节式(6-17)已经给出在整个时间轴 $ [-\infty,\infty] $上的平均功率为

$$ P=\lim_{T\rightarrow\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mid f(t)\mid^{2}\mathrm{d}t\right] $$

通常，所谓 $ f(t) $ 的平均功率（或简称功率）即指此式。

如果信号的功率是有限值，则称这类信号是功率有限信号或简称为功率信

号。图6-9举例示出这两类信号的波形，在图6-9(b)中的T值表示从 $ f(t) $截取的时间区间，当 $ T\to\infty $时得到式(6-106)。有些信号既不属于能量有限信号也不属于功率有限信号，例如 $ f(t)=\mathrm{e}^{t} $。

（二） 相关系数与相关函数

在信号分析问题中，有时要求比较两个信号波形是否相似，希望给出二者相似程度的统一描述。例如，对于图 6-10(a) 中的两个波形，从直观上很难说明它们的相似程度，它们在任何瞬间的取值似乎都是彼此不相关的。图 6-10(b) 则是一对完全相似的波形，它们或是形状完全一致，或是两变化规律相同而幅度呈某一倍数关系的波形。图 6-10(c) 的两个波形极性相反，二者幅度呈负系数倍乘关系（如 -1）。对于这些不同组合的波形如何定量衡量它们之间的相关性，需要引出相关系数的概念。假定 $ f_1(t) $ 和 $ f_2(t) $ 是能量有限的实信号，选择适当的系数 $ c_{12} $ 使 $ c_{12}f_2(t) $ 去逼近 $ f_1(t) $，利用方均误差（能量误差） $ \overline{\epsilon}^2 $ 来说明二者的相似程度，这种方法与 6.3 节讨论正交函数时采用的方法类似。令

$$ \overline{\boldsymbol{\varepsilon}^{2}}=\int_{-\infty}^{\infty}\left[f_{1}(t)-c_{12}f_{2}(t)\right]^{2}\mathrm{d}t $$

选择 $ c_{12} $ 使误差 $ \varepsilon^{2} $ 最小，即要求

$$ \frac{\mathrm{d}\overline{\boldsymbol{\varepsilon}^{2}}}{\mathrm{d}c_{12}}=0 $$

于是求得

$$ c_{12}=\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}(t)\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}^{2}(t)\mathrm{d}t} $$

此时，能量误差为

$$ \overline{\varepsilon^{2}}=\int_{-\infty}^{\infty}\left[f_{1}(t)-f_{2}(t)\frac{\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}(t)dt}{\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}^{2}(t)dt}\right]^{2}\mathrm{d}t $$

将被积函数展开并化简，得到

$$ \overline{\varepsilon^{2}}=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}^{2}(t)\mathrm{d}t-\frac{\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}(t)\mathrm{d}t\right]^{2}}{\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}^{2}(t)\mathrm{d}t} $$

令相对能量误差为

$$ \frac{\overline{\varepsilon^{2}}}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}^{2}(t)\mathrm{d}t}=1-\rho_{12}^{2} $$

式中

$$ \rho_{12}=\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}(t)\mathrm{d}t}{\left[\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}^{2}(t)\mathrm{d}t\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}^{2}(t)\mathrm{d}t\right]^{\frac{1}{2}}} $$

通常把 $ \rho_{12} $ 称为 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 的相关系数。不难发现借助柯西－施瓦茨不等式 (6-37) 可以求得

$$ \left|\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}(t)dt\right|\leqslant\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}^{2}(t)dt\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}^{2}(t)dt\right]^{\frac{1}{2}} $$

$$ |\rho_{12}|\leqslant1 $$

由式(6-112)、式(6-113)可以看出，对于两个能量有限信号，相关系数 $ \rho_{12} $的大小由两信号的内积所决定。

$$ \begin{aligned}\rho_{12}&=\frac{\langle f_{1}(t),f_{2}(t)\rangle}{[\langle f_{1}(t),f_{1}(t)\rangle\langle f_{2}(t),f_{2}(t)\rangle]^{1/2}}\\&=\frac{\langle f_{1}(t),f_{2}(t)\rangle}{\|f_{1}(t)\|_{2}\|f_{2}(t)\|_{2}}\end{aligned} $$

对于图6-10(b)和(c)所示的两个相同或相反的波形，由于它们的形状完全一致，内积的绝对值最大， $ \rho_{12} $ 分别等于+1或-1，此时 $ \overline{\varepsilon}^{2} $ 等于零。一般情况下 $ \rho_{12} $ 取值在-1到+1之间。当 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 为正交函数时 $ \rho_{12}=0 $，此时 $ \overline{\varepsilon}^{2} $ 最大。相关系数 $ \rho_{12} $ 从信号之间能量误差的角度描述了它们的相关特性，利用矢量空间的内积运算给出了定量说明。

上面对两个固定信号波形的相关性进行了研究，然而经常会遇到更复杂的情况，信号 $ f_{1}(t) $和 $ f_{2}(t) $由于某种原因产生了时差，例如雷达站接收到两个不同距离目标的反射信号，这就需要专门研究两信号在时移过程中的相关性，为此需引出相关函数的概念。

如果 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 是能量有限信号且为实函数，它们之间的相关函数定义为

$$ \begin{aligned}R_{12}(\tau)=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}t\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t+\tau)f_{2}(t)\mathrm{d}t\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}R_{21}(\tau)=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t-\tau)f_{2}(t)\mathrm{d}t\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}(t+\tau)\mathrm{d}t\end{aligned} $$

显然，相关函数 $ R(\tau) $ 是两信号之间时差的函数，注意式（6-116）和式（6-117）中下标1与2的顺序不能互换，一般情况下 $ R_{12}(\tau) \neq R_{21}(\tau) $。不难证明

$$ R_{12}(\tau)=R_{21}(-\tau) $$

若 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 是同一信号，即 $ f_{1}(t)=f_{2}(t)=f(t) $，此时相关函数无需加注下标，以 $ R(\tau) $ 表示，称为自相关函数或自关函数

$$ \begin{aligned}R\left(\tau\right)=&\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(t-\tau)\mathrm{d}t\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f(t+\tau)f(t)\mathrm{d}t\end{aligned} $$

与自关函数相对照，一般的两信号之间的相关函数也称为互相关函数或互关函数。显然，对自关函数有如下性质

$$ R\left(\tau\right)=R\left(-\tau\right) $$

可见，实函数的自相关函数是时移 $ \tau $的偶函数。

若 $ f_{1}(t) $ 和 $ f_{2}(t) $ 是功率有限信号，式(6-116)与式(6-117)的定义失去意义，此时相关函数的定义为

$$ R_{12}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\bigg[\frac{1}{T}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}}f_{1}(t)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}t\bigg] $$

$$ R_{21}(\mathbf{\tau})=\lim_{T\to\infty}\bigg[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{2}(t)f_{1}(t-\mathbf{\tau})\mathrm{d}t\bigg] $$

以及

$$ R\left(\tau\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)f(t-\tau)\mathrm{d}t\right] $$

若 $ f_{1}(t) $ 和 $ f_{2}(t) $ 为复函数且为能量有限信号，相关函数的定义为

$$ \begin{aligned}{R_{12}(\mathbf{\tau})=}&{{}\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}^{*}\left(t-\tau\right)\mathrm{d}t}\\ {=}&{{}\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}^{*}\left(t\right)f_{1}(t+\tau)\mathrm{d}t}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}R_{21}(\tau)=&\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}(t)f_{1}^{*}\left(t-\tau\right)\mathrm{d}t\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}^{*}\left(t\right)f_{2}(t+\tau)\mathrm{d}t\end{aligned} $$

以及

$$ \begin{aligned}R\left(\tau\right)=&\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f^{*}(t-\tau)\mathrm{d}t\\=&\int_{-\infty}^{\infty}f^{*}(t)f(t+\tau)\mathrm{d}t\end{aligned} $$

同时具有如下性质

$$ R_{12}(\tau)=R_{21}^{*}(-\tau) $$

$$ R\left(\tau\right)=R^{*}(-\tau) $$

对于复函数的功率有限信号，可仿照式(6-121)至式(6-123)给出相关函数的定义

$$ R_{12}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{1}(t)f_{2}^{*}\left(t-\tau\right)\mathrm{d}t\right] $$

$$ R_{21}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{2}(t)f_{1}^{*}(t-\tau)\mathrm{d}t\right] $$

$$ R\left(\tau\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)f^{*}\left(t-\tau\right)\mathrm{d}t\right] $$

（三） 相关与卷积的比较

函数 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 的卷积表达式为

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau $$

为便于和相关函数表达式相比较，把式(6-116)中的变量 t 与 $ \tau $ 互换，这样，实函数的互相关函数表达式可写作

$$ R_{12}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(\tau-t)\mathrm{d}\tau $$

借助变量置换方法容易求得

$$ R_{12}(t)=f_{1}(t)*f_{2}(-t) $$

可见，将 $ f_{2}(t) $ 反褶（变量取负号）后与 $ f_{1}(t) $ 卷积即得 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 的相关函数 $ R_{12}(t) $。

和卷积类似，也可利用图解方法说明相关函数的意义，在图6-11中同时画出了信号 $ f_{1}(t) $与 $ f_{2}(t) $求卷积和求相关函数的图解过程。这两种运算都包含移位、相乘和积分三个步骤，其差别在于卷积运算开始时需要对 $ f_{2}(t) $进行反褶而相关运算不需要反褶。由图6-11和式(6-133)还可以看出，若 $ f_{1}(t) $与 $ f_{2}(t) $为实偶函数时，则卷积与相关完全相同。

例 6-3 求周期余弦信号 $ f(t)=E\cos(\omega_{1}t) $ 的自相关函数。

解

对此功率有限信号，借助式(6-123)可求出

$$ \begin{align*}R\big(\tau\big)&=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\big(t\big)f\big(t-\tau\big)\mathrm{d}t\right]\\&=\lim_{T\to\infty}\frac{E^{2}}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos\big(\omega_{1}t\big)\cdot\cos\big[\omega_{1}\big(t-\tau\big)\big]\mathrm{d}t\end{align*} $$

$$ \begin{aligned}=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{E^{2}}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos(\omega_{1}t)\left[\cos(\omega_{1}t)\bullet\cos(\omega_{1}\tau)+\right.\\ \left.\sin(\omega_{1}t)\bullet\sin(\omega_{1}\tau)\right]\mathrm{d}t\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&=\lim_{T\to\infty}\frac{E^{2}}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^{2}(\omega_{1}t)\cdot\cos(\omega_{1}\tau)\mathrm{d}t\\&=\lim_{T\to\infty}\frac{E^{2}}{T}\cos(\omega_{1}\tau)\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^{2}(\omega_{1}t)\mathrm{d}t\\&=\frac{E^{2}}{2}\cos(\omega_{1}\tau)\end{aligned} $$

可见，周期信号的自相关函数仍为周期函数，而且周期相同，此外， $ \tau=0 $ 点是自相关函数的一个最大值点，如图6-12所示。

（四）相关定理

在第三章已经讨论了傅里叶变换的12个性质(见表3-2)，这里，作为第13个性质介绍相关定理。

若已知

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}\left[f_{1}(t)\right]=F_{1}(\omega)\\&\mathcal{F}\left[f_{2}(t)\right]=F_{2}(\omega)\\ \end{aligned} $$

$$ \mathcal{F}\left[R_{12}(\tau)\right]=F_{1}(\omega)\cdot F_{2}^{*}(\omega) $$

则

证明

$$ R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}^{*}(t-\tau)\mathrm{d}t $$

由相关函数定义可知

取傅里叶变换

$$ \begin{aligned}\mathcal{F}\left[R_{12}(\tau)\right]=&\int_{-\infty}^{\infty}R_{12}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)f_{2}^{*}(t-\tau)\mathrm{d}t\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)\left[\int_{-\infty}^{\infty}f_{2}^{*}(t-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{d}t\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)F_{2}^{*}(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\end{aligned} $$

$$ \mathcal{F}\left[R_{12}(\tau)\right]=F_{1}(\omega)\cdot F_{2}^{*}(\omega) $$

同理可得

$$ \mathcal{F}\left[R_{21}(\tau)\right]=F_{1}^{*}(\omega)\cdot F_{2}(\omega) $$

若 $ f_{1}(t)=f_{2}(t)=f(t) $， $ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega) $，则自相关函数为

$$ \mathcal{F}\left[R\left(\tau\right)\right]=\mid F\left(\omega\right)\mid^{2} $$

可见，两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭二者之乘积，这就是相关定理。若 $ f_{2}(t) $ 是实偶函数，由式(6-135)可知它的傅里叶变换 $ F_{2}(\omega) $ 是实函数，此时相关定理与卷积定理具有相同的结果。作为一种特定情况，对于自相关函数，它的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。

6.7 能量谱和功率谱

在第三章3.2节、3.4节已经研究了周期信号和非周期信号的频谱。频谱（幅度谱与相位谱）是在频域中描述信号特征的方法之一，它反映了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。除此之外，也可以用能量谱（简称能谱）或功率谱来描述信号。能谱和功率谱是表示信号的能量或功率密度在频域中随频率的变化情况，它对研究信号的能量（或功率）的分布，决定信号所占有的频带等问题有着重要的作用。特别对于随机信号，无法用确定的时间函数表示，也就不能用频谱来表示。在这种情况下，往往用功率谱来描述它的频域特性。

（一）能谱

因为能量有限信号 $ f(t) $ 的自相关函数是

$$ R\left(\tau\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f^{*}(t-\tau)\mathrm{d}t $$

所以

$$ R\left(0\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\mid f(t)\mid^{2}\mathrm{d}t $$

已知

$$ \mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega) $$

由相关定理知

$$ \begin{aligned}\mathcal{F}\left[R(\tau)\right]&=\mid F(\omega)\mid^{2}\\R(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid^{2}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\omega\\R(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega\end{aligned} $$

所以

这样得到下列关系

$$ \begin{align*}R\left(0\right)=&\int_{-\infty}^{\infty}\mid f(t)\mid^{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega\\=&\int_{-\infty}^{\infty}\mid F_{1}(f)\mid^{2}\mathrm{d}f\end{align*} $$

若 $ f(t) $ 为实函数，式（6-140）可写成

$$ R\left(0\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f^{2}\left(t\right)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F\left(\omega\right)\mid^{2}\mathrm{d}\omega $$

$$ =\int_{-\infty}^{\infty}\mid F_{1}(f)\mid^{2}\mathrm{d}f $$

式(6-141)即为帕塞瓦尔方程，它表明：对能量有限信号，时域内 $ f^{2}(t) $ 曲线所覆盖的面积等于频域内 $ \left|F_{1}(f)\right|^{2} $ 覆盖的面积，且等于在原点的自相关函数值 $ R(0) $。也就是说，时域内信号的能量等于频域内信号的能量，即信号经傅里叶变换，其总能量保持不变，这是符合能量守恒定律的。

因为信号能量 E 等于

$$ E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega=\int_{-\infty}^{\infty}\mid F_{1}(f)\mid^{2}\mathrm{d}f $$

所以 $ \left|F\left(\omega\right)\right|^{2} $ 反映了信号的能量在频域的分布情况，把 $ \left|F\left(\omega\right)\right|^{2} $ 称为能量谱密度（简称能谱）。它表示单位带宽的能量，通常把 $ f(t) $ 的能谱记作 $ \mathcal{E}(\omega) $。

$$ \mathcal{E}(\omega)=\mid F(\omega)\mid^{2} $$

这样

因为

$$ E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{E}(\omega)\mathrm{d}\omega=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{E}_{1}(f)\mathrm{d}f $$

所以，信号的能量在数值上等于 $ \varepsilon_{1}(f) $ 曲线下所覆盖的面积， $ \varepsilon_{1}(f) $ 的单位是 J/H。因为它是频率的实偶函数，因此

$$ E=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\mathcal{E}(\omega)\mathrm{d}\omega=2\int_{0}^{\infty}\mathcal{E}_{1}(f)\mathrm{d}f $$

图 6−13 画出了矩形脉冲信号的能谱。

由式(6-139)、式(6-143)知

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\mathcal{E}(\mathbf{\omega})=\mathcal{F}\left[R\left(\mathbf{\tau}\right)\right]}\\ {}&{{}R\left(\mathbf{\tau}\right)=\mathcal{F}^{-1}\left[\mathcal{E}(\mathbf{\omega})\right]}\\ \end{aligned}\right\} $$

所以，能谱函数 $ \mathcal{E}(\omega) $ 与自相关函数 $ R(\tau) $ 是一对傅里叶变换。

（二）功率谱

若 $ f(t) $ 是功率有限信号，从 $ f(t) $

中截取 $ \left|t\right|\leqslant\frac{T}{2} $ 的一段，得到一个截尾函数 $ f_{T}(t) $，它可以表示为

$$ f_{T}(t)=\left\{\begin{array}{l}f(t)\left(\mid t\mid\leqslant\frac{T}{2}\right)\\ 0\quad\left(\mid t\mid>\frac{T}{2}\right)\end{array}(6-146)\right. $$

如果 T 是有限值，则 $ f_{T}(t) $ 的能量也是有限的。如图 6-14 所示。

令

$$ \mathcal{F}\left[f_{T}(t)\right]=F_{T}(\omega) $$

此时 $ f_{T}(t) $ 的能量 $ E_{T} $ 可表示为

$$ E_{T}=\int_{-\infty}^{\infty}f_{T}^{2}(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F_{T}(\omega)|^{2}\mathrm{d}\omega $$

因为 $ \int_{-\infty}^{\infty} f_{T}^{2}(t) dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f^{2}(t) dt $

所以 $ f(t) $ 的平均功率为

$$ \begin{align*}P&=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f^{2}(t)\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{T\to\infty}\frac{\mid F_{T}(\omega)\mid^{2}}{T}\mathrm{d}\omega\end{align*} $$

当 T 增加时， $ f_{T}(t) $ 的能量增加， $ \left|F_{T}(\omega)\right|^{2} $ 也增加。当 $ T \to \infty $ 时 $ f_{T}(t) \to f(t) $，此时量 $ \frac{|F_{T}(\omega)|^{2}}{T} $ 可能趋近于极限。假若此极限存在，定义它是 $ f(t) $ 的功率密度函数，或简称功率谱，记作 $ \mathcal{P}(\omega) $。这样便得到 $ f(t) $ 的功率谱为

$$ \mathcal{P}\left(\omega\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{\mid F_{T}\left(\omega\right)\mid^{2}}{T} $$

将上式代到式(6-148)，则得到

$$ P=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{P}\left(\omega\right)\mathrm{d}\omega $$

由上式可见，功率谱 $ \mathcal{P}(\omega) $ 表示单位频带内信号功率随频率的变化情况，也就是说它反映了信号功率在频域的分布状况。显然，功率谱曲线 $ \mathcal{P}(\omega) $ 所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率。从式(6-149)还可以看出， $ \mathcal{P}(\omega) $ 是频率 $ \omega $ 的偶函数，它保留了频谱 $ F_{T}(\omega) $ 的幅度信息而丢掉了相位信息，因此，凡是具有同样幅度谱而相位谱不同的信号都有相同的功率谱。

下面讨论一个重要的关系——信号的功率谱函数与自相关函数的关系。

注意到 $ f(t) $ 的自相关函数是

$$ R\left(\tau\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)f^{*}\left(t-\tau\right)\mathrm{d}t $$

利用相关定理，对式 $ (6-139) $两端乘以 $ \frac{1}{T} $并取 $ T \to \infty $之极限，可以得到

$$ \left.\begin{aligned}{R\left(\mathbf{\tau}\right)}&{{}=\frac{1}{2\pi}{\int_{-\infty}^{\infty}}\mathcal{P}\left(\mathbf{\omega}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\mathbf{\omega}}\\ {\mathcal{P}\left(\mathbf{\omega}\right)}&{{}={\int_{-\infty}^{\infty}}R\left(\mathbf{\tau}\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}\\ \end{aligned}\right\} $$

也可以简写成

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\mathcal{P}\left(\mathbf{\omega}\right)=\mathcal{F}\left[R\left(\tau\right)\right]}\\ {}&{{}R\left(\tau\right)=\mathcal{F}^{-1}\left[\mathcal{P}\left(\mathbf{\omega}\right)\right]}\\ \end{aligned}\right\} $$

可见功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换，式(6-150)称为维纳-欣钦(Wiener-Khintchine)关系。对 $ R(\tau) $, $ \mathcal{P}(\omega) $ 来说，有关傅里叶变换的性质在这里同样适用。在实际中，有些信号无法求它的傅里叶变换，但可用求自相关函数的方法，通过式(6-150)达到求功率谱的目的。

例 6-4 已知周期性余弦信号 $ f(t) = E \cos(\omega_{1} t) $，且由例 6-3 可知 $ f(t) $ 的

自相关函数为 $ R(\tau) = \frac{E^{2}}{2} \cdot \cos(\omega_{1}\tau) $，

求 $ f(t) $的功率谱。

解

由维纳－欣钦关系可求出功率谱为

$$ \begin{align*}\mathcal{P}\left(\omega\right)=&\int_{-\infty}^{\infty}R\left(\tau\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\\=&\frac{E^{2}\pi}{2}\big[\delta\big(\omega-\omega_{1}\big)+\delta\big(\omega+\omega_{1}\big)\big]\end{align*} $$

波形如图6-15所示。

为了进一步理解功率谱与自相关函数的概念，给出一种随机信号的例子。在各类噪声信号中白噪声是一种典型信号。白噪声对于所有的频率其功率谱密度都为常数，这一特征与白色光谱包含了所有可见光频率的概念类似，因而取名时借用了“白”字。按此定义可写出白噪声的功率谱密度表达式 $ \mathcal{P}_{N}(\omega)=N, -\infty<\omega<\infty $ （6-152）

利用维纳-欣钦关系式，求 $ \mathcal{P}_{N}(\omega) $ 的傅里叶逆变换可得自相关函数

$$ R_{N}(\tau)=N\delta(\tau) $$

可见，白噪声信号的自相关函数为冲激信号，这表明白噪声信号在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性，因而对于 $ \tau\neq0 $ 的所有时刻 $ R_{N}(\tau) $ 都取零值，仅在 $ \tau=0 $ 时为强度等于 N 的冲激。

白噪声是一种理想化的模型，实际情况不可能存在。若将式(6-152)的谱密度从频率为 $ -\infty $到 $ \infty $取积分可得到无限大的功率，这在物理上是不能接受的。然而，只要噪声信号保持常数功率谱的带宽远大于线性系统的通频带，那么即可将此噪声视为白噪声，在下一节例6-5中将看到计算实例。实际上，由电阻中电子的随机热运动而产生的电阻热噪声其特征与白噪声的理想化模型相当接近，因而，通常认为电阻的热噪声即为白噪声信号。

6.8 信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析

到目前为止，已经从时域、频域、s域就激励、响应与系统三者之间的联系进行了多方面的研究。在此基础之上，考察激励与响应能量特性的对应关系，也即从激励和响应的自相关函数、能量谱、功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。

因为有

$$ r(t)=h(t)*e(t) $$

$$ R\left(\mathrm{j}\omega\right)=H\left(\mathrm{j}\omega\right)\cdot E\left(\mathrm{j}\omega\right) $$

若激励函数 $ e(t) $ 为能量有限信号，并假定 $ e(t) $ 与 $ r(t) $ 的能谱函数分别为 $ \xi_{c}(\omega) $ 和 $ \xi_{r}(\omega) $，由式(6-143)知

$$ \mathcal{C}_{\mathrm{e}}(\omega)=\mid E(\mathrm{j}\omega)\mid^{2} $$

$$ \mathcal{E}_{\mathrm{r}}(\omega)=\mid R(\mathrm{j}\omega)\mid^{2} $$

显然

$$ \mid R(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}=\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mid E(\mathrm{j}\omega)\mid^{2} $$

所以

$$ \ell_{\mathrm{r}}(\omega)=\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathcal{E}_{\mathrm{e}}(\omega) $$

这表明响应的能谱等于激励的能谱与 $ \left|H(j\omega)\right|^{2} $ 的乘积。同样，对功率有限激励函数 $ e(t) $，响应函数为 $ r(t) $，按照前节的方法，将 $ e(t) $， $ r(t) $ 截取 $ \left|t\right| \leqslant \frac{T}{2} $ 一段，分别以 $ e_{T}(t) $， $ r_{T}(t) $ 表示，其傅里叶变换为 $ E_{T}(j\omega) $ 和 $ R_{T}(j\omega) $，取 $ T \to \infty $ 之极限可给出下式

$$ \lim_{T\to\infty}R_{T}(\mathrm{j}\omega)=H(\mathrm{j}\omega)\lim_{T\to\infty}E_{T}(\mathrm{j}\omega) $$

根据功率谱的定义，激励信号的功率谱： $ P_{c}(\omega) $ 和响应的功率谱： $ P_{r}(\omega) $ 分别为

$$ \mathcal{P}_{\mathrm{e}}(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\mid E_{T}(\mathrm{j}\omega)\mid^{2} $$

$$ \mathcal{P}_{r}(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\mid R_{T}(\mathrm{j}\omega)\mid^{2} $$

由式(6-158)导出

$$ \begin{aligned}{\mathcal{P}_{\mathbf{r}}(\omega)}&{{}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\mid R_{T}(\mathbf{j}\omega)\mid^{2}}\\ {}&{{}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\mid H(\mathbf{j}\omega)\mid^{2}\bullet\mid E_{T}(\mathbf{j}\omega)\mid^{2}}\\ \end{aligned} $$

$$ =|H(\mathrm{j}\omega)|^{2}\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}|E_{T}(\mathrm{j}\omega)|^{2} $$

也即

$$ \mathcal{P}_{\mathrm{r}}(\omega)=\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathcal{P}_{\mathrm{e}}(\omega) $$

可见响应的功率谱等于激励的功率谱与 $ \left|H(j\omega)\right|^{2} $ 的乘积。

式(6-157)、式(6-162)表明了线性系统的激励与响应能量谱或功率谱之间的关系。下面进一步研究系统特性对于激励信号自相关函数产生怎样的影响。令激励和响应的自相关函数分别为 $ R_{c}(\tau) $ 和 $ R_{r}(\tau) $。把式(6-157)、式(6-162)改写为

$$ \begin{aligned}&\mathcal{E}_{\mathrm{r}}(\omega)=H(\mathrm{j}\omega)H^{*}(\mathrm{j}\omega)\mathcal{E}_{\mathrm{e}}(\omega)\\&\mathcal{P}_{\mathrm{r}}(\omega)=H(\mathrm{j}\omega)H^{*}(\mathrm{j}\omega)\mathcal{P}_{\mathrm{e}}(\omega)\\ \end{aligned} $$

此外，由 $ H(j\omega) $定义可知

$$ \begin{aligned}\mathcal{F}\left[h\left(t\right)\right]&=H(\mathrm{j}\omega)\\\mathcal{F}\left[h^{*}(-t)\right]&=H^{*}(\mathrm{j}\omega)\end{aligned} $$

考虑到能量谱或功率谱的傅里叶逆变换为自相关函数，因此根据卷积定理，式(6-163)可以写成

$$ R_{r}(\tau)=R_{c}(\tau)*h(t)*h^{*}(-t) $$

其中 $ h(t)*h^{*}(-t)=R_{h}(\tau) $ 为系统冲激响应的自相关函数（这里，将变量 t 改以 $ \tau $ 表示），因此得到

$$ R_{r}(\tau)=R_{c}(\tau)*R_{h}(\tau) $$

将以上有关结论全部示意于图6-16。

例 6-5 功率谱密度为 N 的白噪声通过图6-17 所示 RC 低通网络，求输

出的功率谱 $ \mathcal{P}_{r}(\omega) $ 及自相关函数 $ R_{r}(\tau) $，并求输出的平均功率 $ P_{r} $

解 已知激励 $ e(t) $ 的功率谱为

$$ \mathcal{P}_{\mathrm{e}}(\omega)=N $$

因为系统函数 $ H(j\omega) $ 为

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{\frac{1}{RC}}{\frac{1}{RC}+\mathrm{j}\omega}=\frac{1}{1+\mathrm{j}\omega RC} $$

冲激响应

$$ \begin{aligned}{h\left(t\right)}&{{}=\mathcal{F}^{-1}\left[H(\mathrm{j}\omega)\right]}\\ {}&{{}=\frac{1}{R C}\mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}t}u\left(t\right)}\\ \end{aligned} $$

所以，响应 $ r(t) $的功率谱为

$$ \begin{aligned}\mathcal{P}_{\mathrm{r}}(\omega)&=\mathcal{P}_{\mathrm{e}}(\omega)\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\\&=N\frac{1}{1+(\omega RC)^{2}}\end{aligned} $$

如图 6-18 所示。

现在来求自相关函数。因为

$$ \begin{array}{r}{R_{\mathrm{e}}(\tau)=\mathcal{F}^{-1}\left[\mathcal{P}_{\mathrm{e}}(\omega)\right]=\mathcal{F}^{-1}\left[N\right]=N\delta(\tau)}\end{array} $$

由式(6-164)知响应 $ r(t) $的自相关函数

$$ \begin{aligned}R_{\mathrm{r}}(\tau)&=R_{\mathrm{e}}(\tau)*h\left(t\right)*h^{*}(-t)\\&=N\delta(\tau)*\frac{1}{R C}\mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}t}u(t)*\frac{1}{R C}\mathrm{e}^{\frac{1}{R C}t}u(-t)\\&=\frac{N}{(R C)^{2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}t}u(t)*\mathrm{e}^{\frac{1}{R C}t}u(-t)\\&=\frac{N}{2R C}\mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}|t|}\\ \end{aligned} $$

或者根据 $ \mathcal{P}_{r}(\omega) $ 的逆变换求 $ R_{r}(\tau) $，即

$$ R_{\mathrm{r}}(\tau)=\mathcal{F}^{-1}\big[\mathcal{P}_{\mathrm{r}}(\omega)\big]=\mathcal{F}^{-1}\bigg[\frac{1}{1+(\omega R C)^{2}}\bigg] $$

考虑到

$$ \mathcal{F}\left[e^{-\alpha|t|}\right]=\frac{2\alpha}{\alpha^{2}+\omega^{2}} $$

同样可以求得

$$ R_{r}(\tau)=\frac{N}{2R C}\mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}|t|} $$

这些结果也示于图6-18。

最后求输出的平均功率 $ P_{r} $

$$ \begin{aligned}P_{\mathrm{r}}&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{P}_{\mathrm{r}}(\omega)\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\mathcal{P}_{\mathrm{r}}(\omega)\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{N}{1+(\omega RC)^{2}}\mathrm{d}\omega\\&=\frac{N}{\pi RC}\left.\arctan(R\omega C)\right|_{0}^{\infty}\\&=\frac{N}{2RC}\end{aligned} $$

例 6−6 已知激励函数的功率谱为

$$ \mathcal{P}_{\mathrm{e}}(\omega)=\pi\big[\delta\big(\omega-1\big)+\delta\big(\omega+1\big)\big] $$

它作用于 R=1 $ \Omega $, C=1F 的 RC 低通网络（仍见图 6-17）。求输出的功率谱、平均功率。

解 因为

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{1+\mathrm{j}\omega} $$

$$ |H(j\omega)|^{2}=\frac{1}{1+\omega^{2}} $$

所以

$$ \begin{align*}\mathcal{P}_{\mathrm{r}}(\omega)&=\mathcal{P}_{\mathrm{c}}(\omega)\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\\&=\frac{\pi}{1+\omega^{2}}\big[\delta\big(\omega-1\big)+\delta\big(\omega+1\big)\big]\end{align*} $$

可参看图6-19。

输出平均功率 $ P_{r} $ 为

$$ \begin{align*}P_{\mathrm{r}}=&\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\mathcal{P}_{\mathrm{r}}(\omega)\mathrm{d}\omega\\=&\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^{2}}\big[\delta\big(\omega-1\big)+\delta\big(\omega+1\big)\big]\mathrm{d}\omega=\frac{1}{2}\end{align*} $$

至此已经从几个方面建立了线性系统激励与响应之间的关系式，这包括时域或频域、电压、电流或能量、功率。为便于对比和查用，把这些公式汇总列于表6-1。

| 函数形式 | 系统特性 | 激励与响应的关系 |

| --- | --- | --- |

| 时间函数\n电压或电流 | $ h(t) $ | $ r(t) = h(t) \times e(t) $ |

| 频谱密度 | $ H(\mathrm{j}\omega) $ | $ R(\mathrm{j}\omega) = H(\mathrm{j}\omega)E(\mathrm{j}\omega) $ |

| 功率谱密度 | $ |H(\mathrm{j}\omega)|^{2} $ | $ \mathcal{P}_{r}(\omega) = |H(\mathrm{j}\omega)|^{2}\mathcal{P}_{c}(\omega) $ |

| 能量谱密度 | $ =H(\mathrm{j}\omega)H^{*}(\mathrm{j}\omega) $ | $ \mathcal{E}_{r}(\omega) = |H(\mathrm{j}\omega)|^{2}\mathcal{E}_{c}(\omega) $ |

| 自相关函数 | $ R_{h}(\tau) = h(\tau)h^{*}(-\tau) $ | $ R_{r}(\tau) = R_{h}(\tau) \times R_{c}(\tau) $ |

6.9 匹配滤波器

在数字通信中，消息依靠一些标准符号的有无来传送，例如，二进制的编码信号，其中一个符号是某种标准的脉冲波形 s(t)，表示“1”码，另一个符号则由脉冲的空位（没有信号）来表示“0”码。典型的 s(t) 波形如矩形脉冲、升余弦脉冲等。在这个问题中，检测波形的完整复原并不重要，波形是早已知道的，我们感兴趣的是判别脉冲 s(t) 的有无。设 s(t) 的持续时间和空位的持续时间均为 T，那么，接收机必须考察每个 T 内输入信号的内容，判别脉冲有无。在雷达系统中也有类似的情况，对于回波信号，我们关心它出现的时刻，而无需恢复它的全部波形。我们需要设计一种“最佳检测器”，它协助增强信号抵抗噪声的能力，保证在判别信号出现时具有最低的错误概率。

为此需要寻求这样一种滤波器，它使有用信号 $ s(t) $ 增强，同时对噪声 $ n(t) $ 具有抑制作用。当信号与噪声同时进入滤波器时，它使信号成分在某一瞬时出现峰值，而噪声成分受到抑制。如果在某段时刻内信号 $ s(t) $ 存在，那么此滤波器的输出在相应的瞬间呈现强大的峰值，如果没有信号 $ s(t) $，那么将不会出现峰值。这种装置使我们能以最低的错误概率判决脉冲 $ s(t) $ 的有无，能完成此功能的滤波器称之为“匹配滤波器”。所谓匹配是指滤波器的性能与信号 $ s(t) $ 的特性取得某种一致，使滤波器输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率之比值为最大。在实际问题中，根据信号 $ s(t) $ 的要求设计与其对应的匹配滤波器。此滤波器的作用在于增强信号分量而同时减弱噪声分量，以满足在某一瞬间使输出端信号幅度与噪声幅度之比增至最大。

考虑到直接描述噪声信号波形的困难，我们借助功率谱的概念，以信号幅度平方与噪声功率进行比较，设计此滤波器使信号平方与噪声功率之比达到最大值，由此求出建立匹配滤波器的约束条件。

设滤波器的输入信号为 $ s(t) + n(t) $，其中 $ s(t) $ 是有用信号脉冲， $ n(t) $ 是信道噪声；滤波器的输出信号为 $ s_0(t) + n_0(t) $，其中 $ s_0(t) $ 是有用信号分量， $ n_0(t) $ 是噪声分量，如图 6-20 所示。设滤波器的转移函数为 $ H(\mathrm{j}\omega) $。希望在某一时刻，将（进行判决瞬间）使信噪比为最大值

$ t=t_{m} $（进行判决瞬间）使信噪比为最大，取 $ s_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}}) $与 $ n_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}}) $之比以 $ \rho $表示

$$ \rho=\frac{s_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}})}{n_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}})} $$

若 $ s(t) $ 的傅里叶变换为 $ S(j\omega)=\mathcal{F}[s(t)] $，则 $ s_{0}(t) $ 可由下式给出

$$ \begin{align*}s_{o}(t)&=\mathcal{F}^{-1}[\mathrm{S}(\mathrm{j}\omega)H(\mathrm{j}\omega)]\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}H(\mathrm{j}\omega)\mathrm{S}(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\end{align*} $$

在 $ t_{m} $时刻

$$ s_{\mathrm{o}}(t_{\mathrm{m}})=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}H(\mathrm{j}\omega)S(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t_{\mathrm{m}}}\mathrm{d}\omega $$

若 $ n(t) $ 为白噪声，其功率谱为常数 N，输出噪声 $ n_{0}(t) $ 的功率谱为 $ \left|H(j\omega)\right|^{2} \cdot N $，由此求出 $ \overline{n_{0}^{2}(t)} $

$$ \overline{n_{o}^{2}(t)}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}N|H(j\omega)|^{2}\mathrm{d}\omega $$

因无法确知 $ n_{0}^{2}(t) $，以 $ \overline{n_{0}^{2}(t)} $ 取代 $ n_{0}^{2}(t) $，得到

$$ \overline{n_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}})}=\frac{N}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left|H(j\omega)\right|^{2}\mathrm{d}\omega $$

将式(6-168)与式(6-170)代入式(6-166)求出

$$ \rho=\frac{s_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}})}{\overline{n_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}})}}=\frac{\left|\int_{-\infty}^{\infty}H(\mathrm{j}\omega)S(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t_{\mathrm{m}}}\mathrm{d}\omega\right|^{2}}{2\pi N\int_{-\infty}^{\infty}\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega} $$

注意到式中 $ s_{0}(t) $ 是实数，所以 $ s_{0}^{2}(t)=|s_{0}(t)|^{2} $

这里，需要用到6.2节给出的重要公式——柯西－施瓦茨不等式(6-37)，借助此式可以给出

$$ \left|\int_{-\infty}^{\infty}H(\mathrm{j}\omega)S(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t_{\mathrm{m}}}\mathrm{d}\omega\right|^{2}\leqslant\int_{-\infty}^{\infty}\left|H(\mathrm{j}\omega)\right|^{2}\mathrm{d}\omega\int_{-\infty}^{\infty}\left|S(\mathrm{j}\omega)\right|^{2}\mathrm{d}\omega $$

式中的等号仅在满足以下条件时成立

$$ H(\mathrm{j}\omega)=k\left[S(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t_{\mathrm{m}}}\right]^{*} $$

式中 k 为任意常数。将式 (6-172) 代入式 (6-171) 得到

$$ \rho=\frac{s_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}})}{\overline{n_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}})}}\leqslant\frac{1}{2\pi N}\int_{-\infty}^{\infty}\mid S(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega $$

滤波器输出端信噪比的最大可能值为

$$ \rho_{\mathrm{m a x}}=\frac{s_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}})}{n_{\mathrm{o}}^{2}(t_{\mathrm{m}})}\Bigg|_{\mathrm{m a x}}=\frac{1}{2\pi N}\int_{-\infty}^{\infty}\mid S(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega $$

为取得此最大值， $ H(j\omega) $ 与 $ S(j\omega) $ 之间需满足不等式（6-172）中等号成立的条件，也即式（6-173）的约束关系，将此式改写为

$$ H(\mathrm{j}\omega)=kS(-\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{m}} $$

至此求出匹配滤波器的冲激响应 $ h(t) $ 为

$$ \begin{aligned}{h\left(t\right)}&{{}=\mathcal{F}^{-1}\big[H(\mathrm{j}\omega)\big]}\\ {}&{{}=\mathcal{F}^{-1}\big[k S(-\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{\mathrm{m}}}\big]}\\ \end{aligned} $$

注意到 $ S(-j\omega) $ 的傅里叶逆变换是 $ s(-t) $，而 $ e^{-j\omega t} $ 项表示 $ t_{m} $ 的时移，因此

$$ h(t)=k s(t_{\mathrm{m}}-t) $$

前文已述，有用信号 $ s(t) $ 的持续时间是受限的。设 $ s(t) $ 在区间 $ (0, T) $ 之外为零，如图 6-21(a) 所示。 $ s(t_{m}-t) $ 可由 $ s(t) $ 沿垂直轴反褶并向右平移 $ t_{m} $ 得

到，图6-21(b)～(e)分别示出 $ s(-t) $以及 $ s(t_{m}-t) $的三种情况，即 $ t_{m}T $。注意到图6-21(c)的波形具有非因果特性，为使匹配滤波器可以物理实现，应选取图6-21(d)或(e)的 $ h(t) $波形。我们希望观察时间 $ t_{m} $尽可能小，以使判决迅速，因而取 $ t_{m}=T $比 $ t_{m}>T $更合适。按此要求改写式(6-178)同时取系数k=1

$$ h\left(t\right)=s\left(T-t\right) $$

至此得出结论：匹配滤波器的冲激响应是所需信号 $ s(t) $对垂直轴镜像并向右平移T。这样的线性系统称为匹配滤波器或匹配接收机。从改善系统输出端信噪比的角度考虑，匹配滤波器是线性系统的最佳滤波器。所谓“最佳”仅限于线性系统。

当输入端只加入有用信号 $ s(t) $ 时，匹配滤波器输出信号可由下式求出

$$ \begin{aligned}s_{o}(t)&=s(t)*h(t)\\&=s(t)*s(T-t)\\&=\int_{-\infty}^{\infty}s(t-\tau)s(T-\tau)\mathrm{d}\tau\\&=R_{ss}(t-T)\\ \end{aligned} $$

式中 $ R_{ss}(t) $ 为 $ s(t) $ 的自相关函数。可见，匹配滤波器的功能相当于对 $ s(t) $ 进行自相关运算，在 t=T 时刻取得自相关函数的峰值，而噪声通过滤波器所完成的互相关运算相对于有用信号受到明显抑制。由于上述工作机理，匹配滤波器也称为相关接收机。

将式(6-176)代入式(6-168)可求得在 $ t=t_{m}=T $ 时刻输出信号的峰值（取系数 k=1）

$$ s_{\mathrm{o}}(t_{\mathrm{m}})=s_{\mathrm{o}}(T)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid S(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega $$

也可利用式 $ （6-180 $）求得

$$ s_{o}(T)=\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}(t)\mathrm{d}t $$

这一结果与帕塞瓦尔方程完全一致，也即式(6-181)和式(6-182)都等于信号s(t)的能量E

$$ \begin{align*}s_{o}(T)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid S(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega\\&=\int_{-\infty}^{\infty}s^{2}(t)\mathrm{d}t=E\end{align*} $$

这表明，匹配滤波器输出信号的最大值出现在 t=T 时刻，其大小等于信号 $ s(t) $ 的能量 E。最大值与 $ s(t) $ 的波形形状无关，仅与其能量有关。

例 6-7 在测距系统中，发送信号 $ s(t) $，以匹配滤波器接收回波信号，利用

滤波器输出信号峰值出现的时间折算目标距离。如果有两种可供选择的 $ s(t) $信号，分别为图6-22(a)中的 $ s_{1}(t) $和图6-22(b)中的 $ s_{2}(t) $。求：

（1）分别画出 $ s_{1}(t) $ 和 $ s_{2}(t) $ 自相关函数波形 $ R_{11}(t) $ 和 $ R_{22}(t) $。

(2) 为改善测距精度，你认为应选用 $ s_{1}(t) $ 或 $ s_{2}(t) $ 两种脉冲的哪一种信号？

解 （1）由自相关函数定义可求得 $ s_{1}(t) $ 和 $ s_{2}(t) $ 的自相关函数波形 $ R_{11}(t) $ 和 $ R_{22}(t) $ 分别如图 6-23(a) 和 (b) 所示。

(2) 考虑到匹配滤波器输出信号波形即 $ s(t) $ 自相关函数波形的延迟，为使峰值检测时间精确，宜选用相关函数形状尖锐的波形，因而选择 $ s_{2}(t) $ 信号有利于改善测距精度。

为使上例讨论更接近工程实际，我们考察引入噪声信号的波形变化，参看图6-24即可对此问题进一步加深理解。图6-24(a)表示上例中待检测信号为 $ s_{2}(t) $的运算关系，从上至下给出了 $ s_{2}(t) $、匹配滤波器冲激响应 $ h(t) $以及匹配滤波器对 $ s_{2}(t) $的响应（注意它的时间尺度与图6-23不同，这不影响我们的分析）。可以看出尖锋出现在t=1处（当未考虑系统延迟时）。图6-24(b)表示当 $ s_{2}(t) $与噪声信号同时接入时匹配滤波器的输出，我们注意到这时仍可在t=

1处呈现尖锋(借助MATLAB程序模拟)。正如本节开始时所述，我们在此给出的匹配滤波器具有很好的抵抗噪声之能力。

6.10 测不准（不定度）原理及其证明

本节是5.4节的继续，在那里讨论了理想低通阶跃响应上升时间与系统带宽的约束关系，现在引出“测不准原理”进一步说明这种约束的实质。为证明测不准原理所需的依据就是本章给出并反复运用的柯西－施瓦茨不等式和帕塞瓦尔定理（方程）。这些矢量空间属性相对应的物理概念仍然是能量受限或能量守恒。

由式(5-33)可以看出，理想低通阶跃响应的上升时间 $ t_{r} $与带宽B之乘积 $ t_{r}B=1 $，这表明系统在时域的分辨能力与频域的分辨能力相互制约，要减小 $ t_{r} $

必须以加大 B 为代价，反之，若要减小 B 需牺牲 $ t_{r} $。现在的问题是能否找到一种系统使它的 $ t_{r} $ 与 B 之乘积无限减小，使我们用很窄的带宽得到很短的响应时间，也即在时域和频域两方面的分辨能力都尽可能得到改善。要回答这一问题需引用著名的“测不准原理”（也称不定度原理或不确定性原理，Uncertainty Principle）。该原理告诉我们，对于实信号波形，系统的阶跃响应上升时间与带宽之乘积受到限制，这两个参量不可能同时达到任意小的数值。当然，理想低通特性也符合这一规律。

为推证上述原理，首先将系统阶跃响应 $ g(t) $ 上升时间的计算转化为冲激响应 $ h(t) $ 持续时间的计算，因为 $ g(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\tau) \, \mathrm{d}\tau $，以理想低通特性为例，由图6-25可以看出，在 $ h(t) $ 持续时间内由于积分值的增长，恰好对应 $ g(t) $ 的上升时间。在下面的推证中，求阶跃响应上升时间与带宽乘积的问题也可用冲激响应持续时间与带宽的乘积来计算。

这里将要遇到的困难是各种时域波形与频谱图很难用统一的方式规定上升时间与带宽的定义标准。在实际电路分析中一种常用的定义方法是：上升时间为阶跃响应由终值的10%到90%所经历的时间（或按其他百分比规定）。此方法使计算繁琐，且难以反映波形的不同特点。在频域也存在类似的问题，例如，具有多次起伏型的频谱函数（如Sa函数），通常按两个第一零点间的距离定义带宽，这种方法相当粗糙，且难以与其他类型的谱图统一要求。显然，上述方法都不宜作为理论分析的统一定义标准。

从能量分布的观点给出上述定义是一种比较合理的方法。假定 $ h(t) $ 的中心值位于 $ t_{0} $，信号的能量主要集中于 $ t_{0} \pm \Delta t $ 的范围之内，可以规定从 $ t_{0} - \Delta t $ 至 $ t_{0} + \Delta t $ 为持续时间。同理，若 $ H(j\omega) = \mathcal{F}[h(t)] $ 的中心值位于 $ \omega_{0} $，信号的能量主要集中于 $ \omega_{0} \pm \Delta \omega $ 的范围之内，可以规定从 $ \omega_{0} - \Delta \omega $ 至 $ \omega_{0} + \Delta \omega $ 为带宽。

借助二阶矩的概念表达信号能量的分布，于是规定

$$ \Delta t=\left[\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(t-t_{0})^{2}h^{2}(t)\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}h^{2}(t)\mathrm{d}t}\right]^{\frac{1}{2}} $$

$$ \Delta\omega=\left[\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(\omega-\omega_{0})^{2}\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega}\right]^{\frac{1}{2}} $$

以上两式中，分子表示信号能量分布的方差，分母的作用是归一化。为简化以下推证，不失一般性，可令 $ t_{0}=0, \omega_{0}=0 $，这时对应理想低通的冲激响应没有时延的情况。

$$ \Delta t=\left[\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}t^{2}h^{2}(t)\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}h^{2}(t)\mathrm{d}t}\right]^{\frac{1}{2}} $$

$$ \Delta\omega=\left[\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\omega^{2}\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega}\right]^{\frac{1}{2}} $$

由傅里叶变换的微分特性可得

$$ \widetilde{\mathcal{F}}\left[-\mathrm{j}h^{\prime}(t)\right]=\omega H(\mathrm{j}\omega) $$

借助帕塞瓦尔定理可从能量守恒的观点将时域和频域表达式统一起来

$$ \int_{-\infty}^{\infty}h^{2}(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega $$

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\mid-\mathrm{j}h^{\prime}(t)\mid^{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\omega^{2}\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega $$

将式(6-189)与式(6-190)代入式(6-186)，并求 $ \Delta t $与 $ \Delta\omega $之乘积

$$ \Delta t\Delta\omega=\left[\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}t^{2}h^{2}(t)\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}h^{2}(t)\mathrm{d}t}\right]^{\frac{1}{2}}\left[\frac{2\pi\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mid h^{\prime}(t)\mid^{2}\mathrm{d}t}{2\pi\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}h^{2}(t)\mathrm{d}t}\right]^{\frac{1}{2}} $$

利用柯西－施瓦茨不等式可求出上式下限

$$ \Delta t\Delta\omega\geqslant\left|\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}t h\left(t\right)h^{\prime}(t)\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}h^{2}(t)\mathrm{d}t}\right| $$

$$ \begin{aligned}&=\left|\frac{\int_{-\infty}^{\infty}t\mathrm{d}h^{2}(t)}{2\int_{-\infty}^{\infty}h^{2}(t)\mathrm{d}t}\right|\\&=\left|\frac{h^{2}(t)t\left|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}h^{2}(t)\mathrm{d}t\right.}{2\int_{-\infty}^{\infty}h^{2}(t)\mathrm{d}t}\right|\\&=\frac{1}{2}.\end{aligned} $$

这里，利用了以下关系：当 $ t \to \pm \infty $ 时 $ th^{2}(t) \to 0 $。可见 $ \Delta t \Delta \omega $ 之下限为 $ \frac{1}{2} $，注意此处 $ \Delta t $ 和 $ \Delta \omega $ 都是相对于中心值 $ t_{0} $ 和 $ \omega_{0} $ 单边的增量值，如果对持续时间和带宽都考虑双边差值此下限应为“2”，若将角频率更换为频率值，此下限对单边、双边情况分别为 $ \frac{1}{4\pi} $ 或 $ \frac{1}{\pi} $。

上述测不准原理也称为加博(Gabor)关系式。类似的规律在当代物理学、生物学中占有同样重要的地位。20世纪初，物理科学进入微观世界的研究，在观察和测量一些物理量时遇到一些不可逾越的限制。例如，微观粒子的位置与动量、方位角与动量矩、时间与能量等各组成对量之间存在不定度关系。其中，海森堡(Heisenberg)提出粒子位置与动量之乘积等于普朗克常数，这就是著名的“测不准原理”。上述成对量之间，其中一个量测量越精确，另一个量的误差就越大。值得注意的现象是脊椎动物视觉系统的功能也具有类似的不确定性，如果把动物的感觉系统理解为有机体对周围环境的观察与测量系统，那么它也服从测不准原理。

6.11 码分复用、码分多址(CDMA)通信

在第五章5.11节已经介绍了频分复用和时分复用技术在通信系统中的应用。本节简要说明码分复用技术的构成原理。所谓码分是指利用一组正交码序列来区分各路信号，它们占用的频带和时间都可重叠。实现码分复用的理论依据是利用自相关函数抑制互相关函数的特性来选取正交信号码组中的所需信号，因此，码分复用也称为正交复用。

为说明它的基本原理，首先给出一个两路正交复用模拟通信系统的例子。在图6-26中，两路待传输信号 $ g_{1}(t) $和 $ g_{2}(t) $分别由相互正交的两路载波信号 $ \cos(\omega_{0}t) $与 $ \sin(\omega_{0}t) $调制，然后相加并传送到接收端。在接收端，利用与发送端对应的两路载波信号 $ \cos(\omega_{0}t) $和 $ \sin(\omega_{0}t) $对接收信号进行同步解调，经相乘、低通滤波之后即可分离出信号 $ g_{1}(t) $和 $ g_{2}(t) $。下面利用时域关系式导出分离信号的结果。

在接收端，与 $ \cos(\omega_{0}t) $ 相应的一路解调系统相乘器之输出信号为

$$ \begin{align*}&\left[g_{1}(t)\cos(\omega_{0}t)+g_{2}(t)\sin(\omega_{0}t)\right]\cos(\omega_{0}t)\\=&\frac{1}{2}g_{1}(t)\left[1+\cos(2\omega_{0}t)\right]+\frac{1}{2}g_{2}(t)\sin(2\omega_{0}t)\end{align*} $$

经低通滤波后滤除 $ 2\omega_{0} $ 附近的高频信号，只留下 $ g_{1}(t) $ 信号输出。同理，与 $ \sin(\omega_{0}t) $ 相应的一路解调系统相乘器之输出信号为

$$ \begin{align*}&\left[g_{1}(t)\cos(\omega_{0}t)+g_{2}(t)\sin(\omega_{0}t)\right]\sin(\omega_{0}t)\\=&\frac{1}{2}g_{1}(t)\sin(2\omega_{0}t)+\frac{1}{2}g_{2}(t)\left[1-\cos(2\omega_{0}t)\right]\end{align*} $$

经低通滤波后滤除 $ 2\omega_{0} $ 附近的高频信号，只留下 $ g_{2}(t) $ 信号输出。

如果利用信号的频域表达式(取以上各信号的傅里叶变换)也可导出同样的结果(习题6-23)。

在上述复用合路与分路过程中，没有看到两路信号在占用频带和时间方面的区别，其工作原理完全不同于频分复用或时分复用。这里的同步解调过程从本质上讲是利用了相关运算，求相关系数的运算包含相乘和积分，而图6-26中的低通相当于实现积分功能。由于 $ \cos(\omega_{0}t) $和 $ \sin(\omega_{0}t) $相互正交，经上述运算后在输出端相互抑制，从而区分出各路信号。在彩色电视传输系统中，就是借助上述正交复用的原理完成了色差信号的合成与分离，在接收机中可以看到类似于图6-26右端的同步解调电路。

目前，码分复用技术的典型应用实例是移动通信系统中点对多点（多址）信号传输，这时，也称为码分多址通信，码分多址的英文缩写为 CDMA（Code Division Multiple Access），通常称为 CDMA 通信系统。我们在日常使用手机时所说的 3G（3rd Generation）也即第三代移动通信，其关键技术正是利用 CDMA 系统，以实现无线宽带移动通信。与图 6-26 的系统相比较，CDMA 系统的构成原理非常复杂，然而它的核心部分仍然是利用正交码组序列进行相关运算来区分信

号，下面对此作简要介绍。

假设在移动通信系统的小区范围内有 k 个用户与基站同时通信，其中，第 k 个用户的发射机简化原理框图如图 6-27 所示。在此系统中，需要经过两次调制来实现发送功能。信号源 $ a_{k}(t) $ 是二进制的数字序列码（例如，可以是矩形脉冲序列），它与载波信号 $ \cos(\omega_{0}t) $ 相乘完成第一次调制，对于各用户此载波频率 $ \omega_{0} $ 完全相同。 $ c_{k}(t) $ 称为地址码，在设计此系统时使各用户的地址码相互正交，每个 $ c_{k}(t) $ 码与各自的用户相对应。通常， $ c_{k}(t) $ 也是二进制数字序列，它的码位间隔周期 $ T_{c} $ 远小于信源码位间隔周期 $ T_{\Omega} $，也即 $ c_{k}(t) $ 信号的频带远大于信源 $ a_{k}(t) $ 的频带。地址码码组具有如下的相关特性

$$ \begin{aligned}R_{k,i}(\tau)=\int_{0}^{T}c_{k}(t-\tau)c_{i}(t)\mathrm{d}t=T\\ ( 当 k=i, 且 \tau=0)\end{aligned} $$

$$ R_{k,i}(\tau)=\int_{0}^{T}c_{k}(t-\tau)c_{i}(t)\mathrm{d}t\ll T $$

(当 $ k \neq i $ , 或 $ \tau \neq 0 $)

$ a_{k}(t) $ 与 $ \cos(\omega_{0}t) $ 相乘之后再与 $ c_{k}(t) $ 相乘，完成第二次调制，发射信号 $ s_{k}(t) $ 经无线信道传送到接收端。在接收端与发送端相对应需完成两次解调才可恢复信号 $ a_{k}(t) $。接收机的简化原理框图如图 6-28 所示。接收信号 $ r(t) $ 与本地地址码 $ c_{i}(t-\tau_{i1}) $ 进行相关运算完成第一次解调，由式 (6-195) 和式 (6-196) 可知，只有发送信号地址码与接收机本地地址码完全一致时才可获得足够强度的解调信号，所谓完全一致包括码型相同和码位对准。如果 $ c_{i}(t) $ 与 $ c_{k}(t) $ 相等即可保证码型相同，考虑到接收信号 $ r(t) $ 与发射信号 $ s(t) $ 之间要产生延时，因而在本地地址码中引入了 $ \tau_{i1} $ 项，以保证码位对准。如果接收信号 $ r(t) $ 携带的地址码与本地地址码不同 $ (k \neq i) $ 或码位未对准 $ (\tau \neq 0) $，相关运算的输出信号取较小值或趋近于零，这些干扰信号将受到抑制。最后，再与 $ \cos[\omega_{0}(t-\tau_{i1})] $ 相乘即可恢复 $ a_{k}(t) $ 信号。

从以上分析可以看出，设计 CDMA 系统的关键问题之一就是要选好一组相互正交的地址码，它们的自相关函数在零点具有尖锐的峰值，而互相关函数取值很小。目前，可供选用的地址码组实例如 m 序列伪随机码或沃尔什正交函数集

码组等，类型很多。

m 序列是最大长度线性移位寄存器序列的简称，它由 m 级具有反馈逻辑的线性移位寄存器产生。m 级移位寄存器可产生长度为 $ (2^{m}-1) $ 的码序列，增大 m 值可以给出更多的 m 序列码组。（关于 m 序列的详细原理可参看有关数字系统、逻辑设计或差错控制编码等方面的著作，此处不再讨论。）

6.5 节介绍的沃尔什正交函数集码组满足式(6-195)与式(6-196)的要求，适合用作 CDMA 系统的地址码序列。例如，在一些实际的 CDMA 移动通信系统中已经采用了沃尔什函数码组提供 64 个地址码序列，利用它们的正交特性可以较好地实现码分复用。

上面介绍的 CDMA 系统属于扩频通信方式的一种，所谓扩频是扩展频谱的简称。若图 6-27 中的信源 $ a_{k}(t) $ 码位间隔周期为 $ T_{0} $，可粗略认为信号带宽 $ B_{0}=\frac{1}{T_{0}} $，地址码 $ c_{k}(t) $ 的码位间隔周期为 $ T_{c} $，它的带宽大约是 $ B_{c}=\frac{1}{T_{c}} $。通常， $ T_{c}\ll T_{0} $，因而 $ B_{c}\gg B_{0} $，由于利用地址码进行第二次调制的结果，使发送信号频谱的带宽较信号源带宽扩展许多倍，例如，取 $ T_{c}=\frac{T_{0}}{511} $，则 $ B_{c}=511B_{0} $。令 $ N=\frac{B_{c}}{B_{0}} $，在扩频通信系统中称 N 为扩频处理增益。地址码也称为扩频码，经扩频码调制的发送信号称为扩频信号，接收机相关运算输出的信号称为解扩信号。

至此已经学习了频分复用、时分复用和码分复用的基本原理。与前二种复用方法相比较，码分复用具有抗干扰性能好、复用系统容量灵活、保密性好、接收设备易于简化等许多优点，目前，在无线移动通信系统中具有很好的应用前景。

作为本章的结束，本节以码分复用为例进一步表明了信号正交特性和相关特性在当代通信系统应用中的重要地位，复习和巩固了正交与相关的基本概念，而码分复用技术的许多实际问题并未涉及，这些丰富而生动的内容有待后续课程专门讨论，或在研究工作中探讨。

习题

6-1 试证明在区间 $ (0,2\pi) $，图6-5的矩形波与信号 $ \cos t,\cos(2t),\cdots,\cos(nt) $正交（n为整数），也即此函数没有波形 $ \cos(nt) $的分量。

6-2 试证明 $ \cos t, \cos(2t), \cdots, \cos(nt) $ (n 为整数) 是在区间 $ (0, 2\pi) $ 中的正交函数集。

6-3 上题中的函数集是否是在区间 $ \left(0,\frac{\pi}{2}\right) $中的正交函数集。

6-4 1, $ x $, $ x^{2} $, $ x^{3} $是否是区间(0,1)的正交函数集。

6-5 试证明 $ \cos t, \cos(2t), \cdots, \cos(nt) $ (n 为整数) 不是区间 $ (0, 2\pi) $ 内的完备正交函数集。

6－6 将图6－5中的矩形波用正弦函数的有限项级数来近似

$$ f(t)\approx c_{1}\sin\mathrm{\;t}+c_{2}\sin(2t)+\cdots+c_{n}\sin(n t) $$

分别求 n=1,2,3,4 四种情况下的方均误差 $ \overline{\varepsilon^{2}} $ 。

6-7 试证明前四个勒让德多项式在 $ (-1,1) $内是正交函数集。它是否规格化？

6-8 一矩形波如题图6-8所示，将此函数用勒让德（傅里叶）级数表示

$$ f(t)=c_{0}p_{0}(t)+c_{1}p_{1}(t)+\cdots+c_{n}p_{n}(t) $$

试求系数 $ c_{0}, c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4} $

6-9 用二次方程 $ at^{2} + bt + c $ 来近似表示函数 $ e^{t} $，区间在 $ (-1,1) $，使方均误差最小，求系数 a, b 和 c。

6－10 试讨论图6－6所示拉德马赫函数集是否为完备的正交函数集。

6−11 若信号 $ f_{1}(t)=\cos(\omega t) $, $ f_{2}(t)=\sin(\omega t) $，试证明当两信号同时作用于单位电阻时所产生的能量等于 $ f_{1}(t) $ 和 $ f_{2}(t) $ 分别作用时产生的能量之和。如果改为 $ f_{1}(t)=\cos(\omega t) $, $ f_{2}(t)=\cos(\omega t+45^{\circ}) $，上述结论是否成立？

6－12 以三角函数形式的定义写出序号 k 从 7 至 15 的沃尔什函数表示式，并画出它们的波形。

6-13 画出 $ \mathrm{sal}(6,t) $ 和 $ \mathrm{cal}(7,t) $ 的波形。

6－14 试证明

$$ \operatorname{sal}(i,t)\operatorname{sal}(j,t)=\operatorname{cal}[(i-1)\oplus(j-1),t] $$

$$ \mathrm{sal}(i,t)\mathrm{cal}(j,t)=\mathrm{sal}\left\{[(i-1)\oplus j]+1,t\right\} $$

6-15 求题图6-15所示周期性三角波的沃尔什级数展开系数 $ c_{0}, c_{1}, c_{2}, c_{3} $ 和 $ s_{1}, s_{2}, s_{3} $ 各等于多少？画出以上述结果综合逼近此三角波的图形。

6-16 求下列信号的自相关函数：

(1) $ f(t) = \mathrm{e}^{-at} u(t) (a > 0) $;

(2) $ f(t) = E \cos(\omega_{0} t) u(t) $.

6－17 试确定下列信号的功率，并画出它们的功率谱：

(1) $ A\cos(2\,000\pi t) + B\sin(200\pi t) $;

(2) $ [A + \sin(200\pi t)]\cos(2\,000\pi t) $;

(3) $ A\cos(200\pi t)\cos(2\,000\pi t) $;

(4) $ A\sin(200\pi t)\cos(2\,000\pi t) $;

(5) $ A\sin(300\pi t)\cos(2\,000\pi t) $;

(6) $ A\sin^{2}(200\pi t)\cos(2\,000\pi t) $.

6-18 若信号 $ f(t) $ 的功率谱为 $ \mathcal{P}_{f}(\omega) $，试证明 $ \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} $ 信号的功率谱为 $ \omega^{2}\mathcal{P}_{f}(\omega) $。

6-19 信号 $ e(t)=2e^{-t}u(t) $ 通过截止频率 $ \omega_{c}=1 $ 的理想低通滤波器，试求响应的能量谱密度，以图形示出。

6-20 题图6-20(a)所示周期信号 $ f(t) $ 通过系统函数为 $ H(j\omega) $ 的系统 [ 见题图 6-20(b) ]，

试求输出信号的功率谱和功率(方均值)。设 T 为以下两种情况：

(1) $ T = \frac{\pi}{3} $; (2) $ T = \frac{\pi}{6} $

6-21 若匹配滤波器输入信号为 $ f(t) $，冲激响应为 $ h(t)=s(T-t) $，求：

(1) 给出描述输出信号 $ r(t) $ 的表达式；

(2) 求 t = T 时刻的输出 $ r(t) = r(T) $;

(3) 由以上结果证明，可利用题图 6-21 所示框图来实现匹配滤波器之功能。

6-22 题图6-22 示出信号 $ x_{0}(t) $ 和 $ x_{1}(t) $ 波形，若 $ M_{0} $ 表示对 $ x_{0}(t) $ 的匹配滤波器， $ M_{1} $ 表示对 $ x_{1}(t) $ 的匹配滤波器，求：

（1）分别画出 $ M_{0} $ 和 $ M_{1} $ 的冲激响应 $ h_{0}(t) $ 和 $ h_{1}(t) $ 的波形；

(2) 分别粗略画出 $ M_{0} $ 对 $ x_{0}(t) $ 和 $ x_{1}(t) $ 的响应波形以及 $ M_{1} $ 对 $ x_{0}(t) $ 和 $ x_{1}(t) $ 的响应波形；

(3) 比较这些响应在 t=4 时的值，若保持 $ x_{1}(t) $ 不变，如何修改 $ x_{0}(t) $ 使接收机更容易区分 $ x_{0}(t) $ 和 $ x_{1}(t) $，也即使 $ M_{0} $ 对 $ x_{1}(t) $ 的响应和 $ M_{1} $ 对 $ x_{0}(t) $ 的响应在 t=4 时为零值。

6－23 利用信号的频域表达式（取各信号的傅里叶变换）分析图6－25系统码分复用的工作原理。

6-24 以图6-7所示 k=1,2,3 的三个沃尔什函数作为 CDMA 系统的地址码， $ c_{1}(t)= $

$ \mathrm{Wal}(1,t),c_{2}(t)=\mathrm{Wal}(2,t),c_{3}(t)=\mathrm{Wal}(3,t) $。分别求它们的自相关函数 $ R_{11}(\tau) $， $ R_{22}(\tau) $， $ R_{33}(\tau) $以及互相关函数 $ R_{12}(\tau) $， $ R_{21}(\tau) $， $ R_{13}(\tau) $， $ R_{31}(\tau) $， $ R_{23}(\tau) $， $ R_{32}(\tau) $

（粗略画图形即可）。由所得结果讨论此码组是否能用作地址码。

6-25 待传输标准信号表达式为 $ e(t)=\left[\cos(\omega_{c}t)+\sin(\omega_{c}t)\right]\left[u(t)-u(t-T)\right] $，其中 $ T=\frac{8\pi}{\omega_{c}} $，试证明以下结论：

(1) 相应的匹配滤波器之冲激响应 $ h(t) = [\cos(\omega_{c} t) - \sin(\omega_{c} t)][u(t) - u(t - T)] $

(2) 在匹配条件下加入 $ e(t) $，可求得输出信号 $ r(t)=t\cos(\omega_{c}t)[u(t)-u(t-T)] $ $ -(t-2T)\cos(\omega_{c}t)[u(t-T)-u(t-2T)] $

（提示：本题有多种求证方法，如果借助傅里叶变换求证建议参看第三章习题3-33。）

附录一

| 序号 | $ f_1(t) $ | $ f_2(t) $ | $ f_1(t) \times f_2(t) $ |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | $ f(t) $ | $ \delta(t) $ | $ f(t) $ |

| 2 | $ f(t) $ | $ u(t) $ | $ \int_{-\infty}^{t} f(\lambda) d\lambda $ |

| 3 | $ f(t) $ | $ \delta'(t) $ | $ f'(t) $ |

| 4 | $ u(t) $ | $ u(t) $ | $ tu(t) $ |

| 5 | $ u(t) - u(t - t_1) $ | $ u(t) $ | $ tu(t) - (t - t_1) u(t - t_1) $ |

| 6 | $ u(t) - u(t - t_1) $ | $ u(t) - u(t - t_2) $ | $ tu(t) - (t - t_1) u(t - t_1) - (t - t_2) u(t - t_2) + (t - t_1 - t_2) \cdot u(t - t_1 - t_2) $ |

| 7 | $ e^{at}u(t) $ | $ u(t) $ | $ -\frac{1}{\alpha}(1 - e^{at}) u(t) $ |

| 8 | $ e^{at}u(t) $ | $ u(t) - u(t - t_1) $ | $ -\frac{1}{\alpha}(1 - e^{at}) [u(t) - u(t - t_1)] - \frac{1}{\alpha} (e^{-at_1} - 1) e^{at} u(t - t_1) $ |

| 9 | $ e^{at}u(t) $ | $ e^{at}u(t) $ | $ te^{at}u(t) $ |

| 10 | $ e^{a_1}u(t) $ | $ e^{a_2}u(t) $ | $ \frac{1}{\alpha_1 - \alpha_2} (e^{a_1t} - e^{a_2t}) u(t) \quad \alpha_1 \neq \alpha_2 $ |

| 11 | $ e^{at}u(t) $ | $ t^n u(t) $ | $ \frac{n!}{a^{n+1}} e^{at} u(t) - \sum_{j=0}^{n} \frac{n!}{a^{j+1}(n-j)!} t^{n-j} u(t) $ |

| 12 | $ t^m u(t) $ | $ t^n u(t) $ | $ \frac{m!}{m + n + 1} n! t^{m + n + 1} u(t) $ |

| 13 | $ t^m e^{a_1} u(t) $ | $ t^n e^{a_2} u(t) $ | $ \sum_{j=0}^{m} \frac{(-1)^j m!}{(m + j)!} (n + j)! t^{m-j} e^{a_1} u(t) $ |

| $ + \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k} n!}{(n - k)!} (m + k)! t^{n-k} e^{a_2} u(t) \quad \alpha_1 \neq \alpha_2 $ | | | |

| 14 | $ e^{-at} \cos(\beta t + \theta) u(t) $ | $ e^{at} u(t) $ | $ \left[ \frac{\cos(\theta - \varphi)}{\sqrt{(\alpha + \lambda)^2 + \beta^2}} e^{\lambda t} - \frac{e^{-at} \cos(\beta t + \theta - \varphi)}{\sqrt{(\alpha + \lambda)^2 + \beta^2}} \right] u(t) $\n其中 $ \varphi = \arctan \left( \frac{-\beta}{\alpha + \lambda} \right) $ |

附录

	周期信号 f(t)
信号名称	波形	特点
		对称性	冲激出现在
一般周期信号
周期矩形信号		偶函数	f'(t)
周期对称方波信号		偶函数，奇谱函数	f'(t)
		奇函数，奇谱函数	f'(t)
周期锯齿信号		奇函数	f'(t)

二

| 傅里叶级数 $ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)] $, (n=1,2,…) | | | | |

| --- | --- | --- | --- | --- |

| $ a_0 $ | $ a_n $ | $ b_n $ | 特 点 | |

| 包含的频率分量 | 谐波幅度收敛速率 | | | |

| $ \frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)dt $ | $ \frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\cdot\cos(n\omega_1t)dt $ | $ \frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\cdot\sin(n\omega_1t)dt $ | $ n\omega_1 $ | |

| $ \frac{E\tau}{T_1} $ | $ \frac{2E}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right) $ | 0 | $ 0,n\omega_1 $ | $ \frac{1}{n} $ |

| $ \frac{E\tau\omega_1}{\pi}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_1\tau}{2}\right) $ | | | | |

| 0 | $ \frac{2E}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) $ | 0 | 基波和奇次谐波的余弦分量 | $ \frac{1}{n} $ |

| 0 | 0 | $ \frac{2E}{n\pi}\sin^2\left(\frac{n\pi}{2}\right) $ | 基波和奇次谐波的正弦分量 | $ \frac{1}{n} $ |

| 0 | 0 | $ (-1)^{n+1}\cdot\frac{E}{n\pi} $ | 正弦分量 | $ \frac{1}{n} $ |

	周期信号 f(t)
信号名称	波 形	特 点
		对称性	冲激出现在
周期锯齿信号		去直流后为奇函数	f'(t)
周期三角信号		偶函数,去直流后为奇谐函数	f''(t)
		奇函数,奇谐函数	f''(t)
周期半波余弦信号		偶函数
周期全波余弦信号		偶函数

| 傅里叶级数 $ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)\right],(n=1,2,\cdots) $ | | | | |

| --- | --- | --- | --- | --- |

| $ a_0 $ | $ a_n $ | $ b_n $ | 特 点 | |

| 包含的频率分量 | 谐波幅度收敛速率 | | | |

| $ \frac{E}{2} $ | 0 | $ \frac{E}{n\pi} $ | 直流和正弦分量 | $ \frac{1}{n} $ |

| $ \frac{E}{2} $ | $ \frac{4E}{(n\pi)^2\sin^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)} $ | 0 | 直流和基波、奇次谐波的余弦分量 | $ \frac{1}{n^2} $ |

| 0 | 0 | $ \frac{4E}{(n\pi)^2\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)} $ | 基波和奇次谐波的正弦分量 | $ \frac{1}{n^2} $ |

| $ \frac{E}{\pi} $ | $ \frac{2E}{(1-n^2)\pi\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)} $ | 0 | 直流和基波、偶次谐波的余弦分量 | $ \frac{1}{n^2} $ |

| $ \frac{2E}{\pi} $ | $ (-1)^{n+1}\frac{4E}{(4n^2-1)\pi} $ | 0 | 直流和基波以及各次谐波的余弦分量 | $ \frac{1}{n^2} $ |

附录

常用信号的

| 序号 | 信号名称 | 时间函数 $ f(t) $ | 波形图 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 单边指数脉冲 | $ Ee^{-at}u(t) $ $ (a>0) $ | |

| 2 | 双边指数脉冲 | $ Ee^{-at|t|} $ $ (a>0) $ | |

| 3 | 矩形脉冲 | $ \begin{cases} E(t) & |t| < \frac{\tau}{2} \\ 0 & |t| \geq \frac{\tau}{2} \end{cases} $ | |

| 4 | 钟形脉冲 | $ E \cdot e^{-\left(\frac{t}{\tau}\right)^2} $ | |

| 5 | 余弦脉冲 | $ \begin{cases} E\cos\left(\frac{\pi t}{\tau}\right) & (|t| < \frac{\tau}{2}) \\ 0 & |t| \geq \frac{\tau}{2} \end{cases} $ | |

三

傅里叶变换表

| 频谱函数 $ F(\omega) = |F(\omega)| e^{j\varphi(\omega)} $ | 频谱图 |

| --- | --- |

| $ \frac{E}{a + j\omega} $ | |

| $ \frac{2aE}{a^{2} + \omega^{2}} $ | |

| $ E\tau S_a \left(\frac{\omega\tau}{2}\right) = \frac{2E}{\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) $ | |

| $ \sqrt{\pi}E\tau \cdot e^{-\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)^{2}} $ | |

| $ \frac{2E\tau}{\pi}, \frac{\cos\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}{\left[1 - \left(\frac{\omega\tau}{\pi}\right)^{2}\right]} $ | |

| 序号 | 信号名称 | 时间函数 $ f(t) $ | 波形图 |

| --- | --- | --- | --- |

| 6 | 升余弦脉冲 | $ \begin{cases}\frac{E}{2}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi t}{\tau}\right)\right] & \left(|t|<\frac{\tau}{2}\right)\\0 & \left(|t|\geqslant\frac{\tau}{2}\right)\end{cases} $ | |

| 7 | 三角脉冲 | $ \begin{cases}E\left(1-\frac{2|t|}{\tau}\right) & \left(|t|<\frac{\tau}{2}\right)\\0 & \left(|t|\geqslant\frac{\tau}{2}\right)\end{cases} $ | |

| 8 | 锯齿脉冲 | $ \begin{cases}\frac{E}{a}(t+a) & (-a<t<0)\\0 & \text{(其他)}\end{cases} $ | |

| 9 | 梯形脉冲 | $ \begin{cases}\frac{2E}{\tau-\tau_1}\left(t+\frac{\tau}{2}\right) & \left(-\frac{\tau}{2}<t<-\frac{\tau_1}{2}\right)\\E & \left(-\frac{\tau_1}{2}<t<\frac{\tau_1}{2}\right)\\\frac{2E}{\tau-\tau_1}\left(\frac{\tau}{2}-t\right) & \left(\frac{\tau_1}{2}<t<\frac{\tau}{2}\right)\\0 & \text{(其他)}\end{cases} $ | |

| 10 | 抽样脉冲 | $ \text{Sa}(\omega_c t) = \frac{\sin(\omega_c t)}{\omega_c t} $ | |

| 频谱函数 $ F(\omega)=|F(\omega)|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\omega)} $ | 频谱图 |

| --- | --- |

| $ \frac{E\tau}{2}\cdot\frac{Sa\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}{1-\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)^{2}} $ | |

| $ \frac{E\tau}{2}Sa^{2}\left(\frac{\omega\tau}{4}\right)=\frac{8E}{\omega^{2}\tau}\sin^{2}\left(\frac{\omega\tau}{4}\right) $ | |

| $ \frac{E}{a\omega^{2}}(1+\mathrm{j}\omega a-\mathrm{e}^{+\mathrm{j}w a}) $ | |

| $ \frac{8E}{(\tau-\tau_{1})\omega^{2}}\sin\left[\frac{\omega(\tau+\tau_{1})}{4}\right]\sin\left[\frac{\omega(\tau-\tau_{1})}{4}\right] $ | |

| $ \left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{\omega_{c}}(|\omega|<\omega_{c})\\ 0(|\omega|>\omega_{c})\end{array}\right. $ | |

| 序号 | 信号名称 | - 时间函数 $ f(t) $ | 波形图 |

| --- | --- | --- | --- |

| 11 | 指数脉冲 | $ t e^{-a t} u(t) \quad (a>0) $ | |

| 12 | 冲激函数 | $ E\delta(t) $ | |

| 13 | 阶跃函数 | $ E u(t) $ | |

| 14 | 符号函数 | $ E \text{sgn}(t) $ | |

| 15 | 直流信号 | E | |

| 16 | 冲激序列 | $ \delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT_1) $ | |

| 频谱函数 $ F(\omega)=|F(\omega)|e^{j\varphi(\omega)} $ | 频谱图 |

| --- | --- |

| $ \frac{1}{(a+j\omega)^{2}} $ | |

| E | |

| $ \frac{E}{j\omega}+\pi E\delta(\omega) $ | |

| $ \frac{2E}{j\omega} $ | |

| $ 2\pi E\delta(\omega) $ | |

| $ \omega_{1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{1}) $ | |

| 序号 | 信号名称 | 时间函数 $ f(t) $ | 波形图 |

| --- | --- | --- | --- |

| 17 | 余弦信号 | $ E\cos(\omega_{0}t) $ | |

| 18 | 正弦信号 | $ E\sin(\omega_{0}t) $ | |

| 19 | 单边余弦信号 | $ E\cos(\omega_{0}t)u(t) $ | |

| 20 | 单边正弦信号 | $ E\sin(\omega_{0}t)u(t) $ | |

| 21 | 复指数信号 | $ Ee^{j\omega_{0}t} $ | |

| 频谱函数 $ F(\omega) = |F(\omega)| \mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $ | 频谱图 |

| --- | --- |

| $ E\pi[\delta(\omega + \omega_{0}) + \delta(\omega - \omega_{0})] $ | |

| $ \mathrm{j}\pi E[\delta(\omega + \omega_{0}) - \delta(\omega - \omega_{0})] $ | |

| $ \frac{E\pi}{2}[\delta(\omega + \omega_{0}) + \delta(\omega - \omega_{0})] + \frac{\mathrm{j}\omega E}{\omega_{0}^{2} - \omega^{2}} $ | |

| $ \frac{E\pi}{2\mathrm{j}}[\delta(\omega - \omega_{0}) - \delta(\omega + \omega_{0})] + \frac{\omega_{0}E}{\omega_{0}^{2} - \omega^{2}} $ | |

| $ 2\pi E\delta(\omega - \omega_{0}) $ | |

| 序号 | 信号名称 | 时间函数 $ f(t) $ | 波形图 |

| --- | --- | --- | --- |

| 22 | 单边减幅正弦信号 | $ e^{-u t}\sin(\omega_{0}t)u(t) $ $ (a>0) $ | |

| 23 | 单边减幅余弦信号 | $ e^{-u t}\cos(\omega_{0}t)u(t) $ $ (a>0) $ | |

| 24 | 单边衰减信号 | $ \frac{1}{\beta-a}(e^{-u t}-e^{-\beta t})u(t) $ $ (a\neq\beta) $ | |

| 25 | 斜变信号 | $ t u(t) $ | |

| 26 | 矩形调幅信号 | $ [u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})]\cos(\omega_{0}t) $ | |

| 频谱函数 $ F(\omega) = |F(\omega)| e^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} $ | 频谱图 |

| --- | --- |

| $ \frac{\omega_0}{(a + \mathrm{j}\omega)^2 + \omega_0^2} $ | |

| $ \frac{a + \mathrm{j}\omega}{(a + \mathrm{j}\omega)^2 + \omega_0^2} $ | |

| $ \frac{1}{(\mathrm{j}\omega + \alpha)(\mathrm{j}\omega + \beta)} $ | |

| $ \mathrm{j}\pi\delta'(\omega) - \frac{1}{\omega^2} $ | |

| $ \left[S_a \frac{(\omega + \omega_0)\tau}{2} + S_a \frac{(\omega - \omega_0)\tau}{2}\right] \frac{\tau}{2} $ | |

习题答案