电路

第5版

原著 邱关源

修订 罗先觉

电路

第5版

原著 邱关源

修订 罗先觉

图书在版编目(CIP)数据

电路/邱关源，罗先觉主编.—5版.—北京：高等教育出版社，2006.5

ISBN 7-04-019671-9

Ⅰ. 电… Ⅱ. ①邱…②罗… Ⅲ. 电路-高等学校-教材 Ⅳ. TM13

中国版本图书馆 CIP 数据核字（2006）第 049675 号

策划编辑 刘激扬 责任编辑 曲文利 封面设计 李卫青

责任绘图 朱 静 版式设计 陆瑞红 责任校对 王效珍

责任印制 朱学忠

出版发行 高等教育出版社

社址 北京市西城区德外大街4号

购书热线 010-58581118

邮政编码100011

免费咨询 800-810-0598

总机010-58581000

网址 http://www.hep.edu.cn

http://www.hep.com.cn

经销 蓝色畅想图书发行有限公司

网上订购 http://www.landraco.com

http://www.landraco.com.cn

印刷 河北新华印刷一厂

畅想教育 http://www.widedu.com

版 次 1979年7月第1版

开本 787×960 1/16

2006年5月第5版

印 张 36.75

印次2006年5月第1次印刷

字数 690 000

定 价 37.90 元

本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题，请到所购图书销售部门联系调换。

版权所有 侵权必究

物料号 19671-00

内容简介

本书为普通高等教育“十五”国家级规划教材，是《电路》（第4版）（邱关源主编，高等教育出版社，1999）的修订版，内容符合教育部高等学校电子信息科学与电气信息类基础课程教学指导分委员会2004年颁布的《电路理论基础》和《电路分析基础》的教学基本要求。

全书共分18章，主要内容有：电路模型和电路定律、电阻电路的等效变换、电阻电路的一般分析、电路定理、含有运算放大器的电阻电路、储能元件、一阶电路和二阶电路的时域分析、相量法、正弦稳态电路的分析、含有耦合电感的电路、电路的频率响应、三相电路、非正弦周期电流电路和信号的频谱、线性动态电路的复频域分析、电路方程的矩阵形式、二端口网络、非线性电路、均匀传输线，另有磁路和铁心线圈、PSpice简介和MATLAB简介三个附录。书末附有部分习题答案。

本书可供高等学校电子与电气信息类专业师生作为电路课程的教材使用，也可供有关科技人员参考。

郑重声明

高等教育出版社依法对本书享有专有出版权。任何未经许可的复制、销售行为均违反《中华人民共和国著作权法》，其行为人将承担相应的民事责任和行政责任，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任。为了维护市场秩序，保护读者的合法权益，避免读者误用盗版书造成不良后果，我社将配合行政执法部门和司法机关对违法犯罪的单位和个人给予严厉打击。社会各界人士如发现上述侵权行为，希望及时举报，本社将奖励举报有功人员。

反盗版举报电话：（010）58581897/58581896/58581879

传真：（010）82086060

E - mail: [email protected]

通信地址：北京市西城区德外大街4号

高等教育出版社打击盗版办公室

邮编：100011

购书请拨打电话：（010）58581118

第5版序言

本书的第4版于1999年出版，此次出版的为第5版，主要目标是适应电子与电气信息类专业人才培养方案和教学内容体系的改革以及高等教育迅速发展的形势。全书共有18章和3个附录。

新版继续保持过去重视基本内容、基本概念的特色，明确本课程的主要任务是为电子与电气信息类专业的后续课程和学生未来工作需要准备必要的基础知识；拓宽了适用面，使本教材更能兼顾强电专业和弱电专业的需要，也兼顾了各类高等学校的教学要求，有利于灵活、柔性地组织教学；考虑到现代教育技术的普及应用和读者使用的方便，虽然本课程的总学时有所减少，新版在教材内容上依然保持知识体系的完整性和系统性；另外，与新版配套，将出版《〈电路〉（第5版）学习指导与习题分析》和《〈电路〉（第5版）电子教案》，以方便广大学生学习和教师教学。

与第4版对比，新版在内容上作了一定的调整，进一步理顺了教学内容之间的关系，增加了一些新内容。具体的变动和调整主要有：（1）增加了绪论。（2）将第一章中关于电容元件和电感元件内容作为第六章，并补充了电容、电感的串联和并联的内容。（3）将第六章（一阶电路）和第七章（二阶电路）合并为第七章（一阶电路和二阶电路的时域分析）。（4）将第九章中的谐振部分单独作为第十一章（电路的频率响应），并补充了波特图等内容。（5）在第十章补充了耦合电感的功率的内容。（6）将第十三章（拉普拉斯变换）和第十四章（网络函数）合并为第十四章（线性动态电路的复频域分析）。（7）增加了附录C——MATLAB简介。另外，新版还在电路定理和相量法等内容的阐述上做了进一步优化，有利于学习和组织教学。

书中标有星号(*)及排成小字的内容属于参考内容，可以取舍，不要求讲授。习题中也有少量是标有星号的。

新版保留了第4版的部分习题，补充了一些新习题，使习题类型有所增加，但总的习题数量基本不变。书后给出了部分习题的答案。全部答案和习题分析可参考与本书配套的《〈电路〉(第5版)学习指导与习题分析》。

书末附有索引和参考书目。

本教材的修订由罗先觉主持，参加修订工作的有罗先觉、江慰德、刘正兴、陈燕、刘崇新，全书经罗先觉修改、补充和定稿。本书承清华大学陆文娟教授、王树

民教授和于歆杰副教授仔细审阅并提出宝贵修改意见，谨致以衷心谢意。

这里特别要感谢《电路》（1～4版）的主编邱关源教授为本教材的建设所做出的巨大贡献。邱关源教授还对本次修订工作给予了热情的指导和帮助，在此向《电路》（1～4版）的所有编者，特别是主编邱关源教授，致以衷心的感谢。

最后，还要感谢为打印书稿和绘图付出辛勤劳动的同志们以及所有支持本书出版工作的其他同志。

书中不足和错误之处，希读者予以批评指正。意见请寄西安交通大学电气工程学院（邮编：710049），也可发送电子邮件至[email protected]。

编者

2006年3月于西安

第1版序言

本书系根据1977年11月在合肥召开的全国高等学校工科基础课电工、无线电教材编写会议所通过的编写大纲编写的。

本书内容分为两大部分。第一部分(一至十一章、十八章)包括直流电路、正弦电流电路、非正弦周期电流电路、线性电路的过渡过程(经典法和运算法)、二端口网络以及磁路等，这部分属于电路理论的传统内容。第二部分(十二至十七章)包括多端元件和受控电源、网络图论、状态方程和计算非线性电阻电路的牛顿-拉夫逊法等，还有两章有关数学的内容即矩阵和计算方法，这部分反映了现代网络理论的某些新内容，以计算机辅助分析的基础知识和有源电路的初步分析为主。

书中对传统内容进行了精选，保证了必需的常用基础知识，删去了一些不常用的和陈旧的内容。在体系安排上，第二部分内容全部放在后面，可供选用，以便在使用时具有一定的灵活性。

本书只讨论集中参数电路，分布参数电路移至电磁场（电工原理Ⅱ）。

本书的基本部分为一至十一章，其中个别节如§10-9网络函数和§10-10复频率平面、极点和零点可作为参考内容。十二、十四两章也建议作为基本内容，但§12-6密勒定理可以不讲。十五章一般作为参考内容。十八章带有附录性质，如这部分内容放在有关后续课程中进行较为合适，可以不讲。十三章属于数学内容，但为学习以后几章所必需。十六章的内容是电路的计算机辅助分析所必须具备的基础知识。这两章究竟在哪门课程中讲授为宜，以及如何处理，都尚待进一步研究，本书暂集中为两章且保留在正文中。十七章可灵活处理。

估计总的讲课时数（包括本书全部内容）约110学时。

本书的一至九章和十八章是以我校1973年在校内发行的《电工基础》上、下册的一至十一章为基础进行改写的，参加该书这些部分编写工作的有：邱关源、范丽娟、刘国柱、夏承铨、宁超、肖衍明、周佩白、黄东泉、刘正兴、潘经慧等同志。这些部分的改写以及本书其余部分均由邱关源负责执笔。书稿最后的文字润色工作由黄东泉负责。

本书承哈尔滨工业大学周长源和刘润两位同志初审，提出了宝贵的修改意见，谨致以衷心的谢意。书稿经1978年2月在西安召开的审稿会议讨论通过。参加会议的有二十余单位，其中有哈尔滨工业大学、清华大学、重庆大学、浙江大学、

南京工学院、中国科技大学、上海交通大学、北京工业大学、河北电力学院、成都工学院、吉林电力学院、河北水利水电学院以及其他（包括西安地区）十余所高等院校的代表。会上承兄弟院校的代表们提出宝贵修改意见，谨致以衷心的谢意。

限于我们的水平以及时间仓促，书中不妥和错误之处恐不在少数，希望读者予以批评指正。意见请寄西安交通大学电工原理教研室。

编者

1978年3月

第2版序言

本书系《电路（电工原理I）》的修订本。修订本的内容及其次序的安排，基本上符合电工教材编审委员会于1980年6月审订的高等工业学校四年制电类（不包括无线电技术类）各专业试用的《电路教学大纲（草案）》。全书共有十四章和一个附录，分上、下两册出版。

与原版本对比，修订本加强和充实了基本的和传统的内容，并调整了原版本后半部分的一些内容。变动较大的地方有：（1）电路元件的介绍集中在第一章。（2）受控源的概念提到前面，因此各种分析和计算方法中均包括具有受控源的电路。（3）过渡过程（时域分析）放在第三章，在正弦电流电路稳态分析的前面。但是，只要稍作一些补充，把第三章移到后面（即仍按原版本的次序）讲授也是可行的。有关部分的写法考虑了这种可能性。（4）原版本的第三章（正弦电流电路的基本概念）不再单独作为一章，其中部分内容删去，部分内容放在本书的第一章，而其主要内容则结合在本书的第四章中。（5）原版本的第十五章（状态方程）删去，部分内容分别放在本书的第十章和第十三章。（6）原版本的第十三章（矩阵），十六章（计算方法），十八章（磁路和铁心线圈）均删去；计算方法的某些内容则移在本书的第十四章。（7）非线性电路的大部分内容经过重写。（8）增加了有关均匀传输线的内容，放在附录中。实质上这部分是本书的一章，主要供不设《电磁场》课程的专业选用，也供愿意在《电路》课程中讲授具有分布参数的电路的教师选用。（9）增加了有关计算机辅助分析内容的一章，但全章作为参考内容处理。

本书保留了原版本的部分内容和例题。习题则全部重选，数量上略有减少，但类型则稍有增加。使用本书的教师可以适当地自选一些习题作为补充。

书中排成小字的内容，包括标有星号（*）的整节，以及排成大字的第十四章都属加深加宽的内容，供参考用。在使用本书教学时，这些内容均可根据实际需要和可能而有所取舍。

参加本书修订工作的有：邱关源、范丽娟、刘国柱、江慰德和刘正兴。本书初稿承哈尔滨工业大学周长源、高象贤和刘润同志仔细审阅，并提出宝贵的修改意见，谨致以衷心的谢意。书稿并经高等学校电工教材编审委员会电路理论及信号分析编审小组审查通过。

本书虽然在原版本的基础上，根据各方面的读者提出的建设性意见作了一

些改进，但缺点和错误之处在所难免，希望读者予以批评指正。意见请寄西安交通大学电工原理教研室。

编者

1982年

第3版序言

本书的第1版《电路（电工原理Ⅰ）》和第2版《电路（修订本）》先后于1978年和1982年出版。此次出版的为第3版。新版本内容满足工科电工课程教学指导委员会于1986年制订的高等工业学校电路课程(130～160学时)的教学基本要求。全书共有20章和两个附录，分上、下两册出版。

与第2版对比，主要的变动和调整有：（1）把图论的基本知识前移；补充了建立电路方程的2b法。（2）把运算放大器前移，作为一种基本多端元件来处理，有关内容也随之而加强。（3）非线性电路的部分内容经过改写并稍有充实。这部分移到了上册，目的是为了有利于配合后续课程的需要，不过仍可放在线性电路部分的后面来讲授。（4）增加了电路设计的初步概念。除在个别章节中略有涉及外，专门增加了一章（第十九章），这可能有利于加强工程背景。（5）增加了有关开关电容网络的初步知识（第二十章）。这新增加的两章均作为参考内容列入。（6）个别图形符号和正弦电流电路部分的少量定义参照有关国家标准作了相应的变动。（7）删去了网络的计算机辅助分析的内容。

本版对基本内容、传统内容和新内容的协调予以充分的注意，而以前两者为主。由于电路课程的教学时数不可能增多，除考虑到各部分内容的分量恰当外，删简了一些较繁琐的或过分强调技巧的内容，而力图突出基本概念和基本原理，并采用比较有效和精练的方式把问题交代清楚。这样做可能更有利于培养学生在教师指导下的自学能力。

考虑到一些专业的教学需要，书末增加了有关磁路的内容作为附录。本版本保留了第2版的部分例题和习题，而总的习题数量则有所增加，并增加了少量需要用计算机求解的练习。

书中标有星 $ (*) $号并排成小字的章节均属参考内容，可以根据实际需要和可能有所取舍，不一定都要讲授。

参加本版修订工作的有邱关源、刘正兴、叶金官。本书承哈尔滨工业大学周长源、刘润、高象贤同志仔细审阅并提出宝贵修改意见，谨致以衷心谢意。书稿经高等工业学校电路理论与信号分析课程教学指导小组同意作为教材出版。

本书在某些方面所作的变动和尝试，以及书中的不足和错误之处，均希读者予以批评指正。意见请寄西安交通大学电工原理教研室。

编者

1988年

第4版序言

本书的第3版出版已10年。此次出版的为第4版，主要目标是适应教学内容和课程体系改革以及拓宽专业面的需求。

20世纪80年代后，国内外的一致意见认为本科电路课程的基本内容和范围大体上已趋稳定。新版保持过去重视基本内容、基本概念和慎重处理传统内容的特色；明确本课程主要任务是为后续课程和学生将来工作需要准备必要的基础知识，不强调电路理论学科本身的要求；进一步删简了一些过深内容或过于严谨的叙述；拓宽了适用面，使本教材更能兼顾强电和弱电类专业的需要；作了适当删简以适应学时数的削减。另外，还适度地引入了为学习本书的学生能接受的少量新内容，以开拓他们的眼界和思路。

与第3版对比，具体的变动和调整主要有：（1）删去了“2b法”，第十五章补充了列表法作为参考内容。（2）非线性电路部分移后并作了删简；作为参考内容增加了有关“混沌电路”和“人工神经元电路”的初步知识的内容。（3）删去了第3版第十九章（电路设计）和第二十章（开关电容网络简介）。（4）在附录中增加了“PSPICE简介”，同时把分布参数电路改为本书中的第十八章。

本版保留了第3版的部分习题，补充了一些新习题，使总的习题数量和类型有所增加。书后给出了部分习题的答案。全部答案可参考与本书配套的《〈电路〉(第4版)学习指导书》，该书中还提供了一些解题的思路。

书中标有星 $ (*) $号并排成小字的整节或其他排成小字的内容均属参考内容，可以取舍，不要求讲授。习题中也有少量是标有星号的。

书末附有索引。

参加本版修订工作的有江慰德、刘正兴、陈燕、罗先觉，全书经印关源修改、补充和定稿。本书承天津大学杨山教授和孙雨耕教授仔细审阅并提出宝贵修改意见，谨致以衷心谢意。书稿经教育部“电路、信号系统和电磁场课程教学指导小组”审阅，同意作为教材出版。

书中不足和错误之处，希望读者予以批评指正。意见请寄西安交通大学电气工程学院。

编者

1999年

绪论 ..... 1

第一章 电路模型和电路定律 ..... 7

§1-1 电路和电路模型 ..... 7

§1-2 电流和电压的参考方向 ..... 9

§1-3 电功率和能量 ..... 11

§1-4 电路元件 ..... 12

§1-5 电阻元件 ..... 13

§1-6 电压源和电流源 ..... 16

§1-7 受控电源 ..... 18

§1-8 基尔霍夫定律 ..... 20

习题 ..... 25

第二章 电阻电路的等效变换 ..... 32

§2-1 引言 ..... 32

§2-2 电路的等效变换 ..... 32

§2-3 电阻的串联和并联 ..... 33

§2-4 电阻的Y形联结和△形联结的等效变换 ..... 37

§2-5 电压源、电流源的串联和并联 ..... 41

§2-6 实际电源的两种模型及其等效变换 ..... 42

§2-7 输入电阻 ..... 45

习题 ..... 46

第三章 电阻电路的一般分析 ..... 52

§3-1 电路的图 ..... 52

§3-2 KCL和KVL的独立方程数 ..... 54

§3-3 支路电流法 ..... 58

§3-4 网孔电流法 ..... 60

§3-5 回路电流法 ..... 64

§3-6 结点电压法 ..... 69

习题 ..... 75

第四章 电路定理 ..... 82

§4-1 叠加定理 ..... 82

§4-2 替代定理 ..... 88

§4-3 戴维宁定理和诺顿定理 ..... 90

§4-4 最大功率传输定理 ..... 97

§4-5 特勒根定理 ..... 99

§4-6 互易定理 ..... 102

§4-7 对偶原理 ..... 105

习题 ..... 107

第五章 含有运算放大器的电阻电路 ..... 115

§5-1 运算放大器的电路模型 ..... 115

§5-2 比例电路的分析 ..... 118

§5-3 含有理想运算放大器的电路的分析 ..... 120

习题 ..... 123

第六章 储能元件 ..... 126

§6-1 电容元件 ..... 126

§6-2 电感元件 ..... 129

§6-3 电容、电感元件的串联与并联 ..... 131

习题 ..... 134

第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析 ..... 137

§7-1 动态电路的方程及其初始条件 ..... 137

§7-2 一阶电路的零输入响应 ..... 140

§7-3 一阶电路的零状态响应 ..... 147

§7-4 一阶电路的全响应 ..... 152

§7-5 二阶电路的零输入响应 ..... 156

§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 ..... 164

§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 ..... 168

§7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应 ..... 172

§7-9 卷积积分 ..... 181

§7-10 状态方程 ..... 184

§7-11 动态电路时域分析中的几个问题 ..... 187

习题 ..... 190

第八章 相量法 ..... 202

§8-1 复数 ..... 202

§8-2 正弦量 ..... 205

§8-3 相量法的基础 ..... 208

§8-4 电路定律的相量形式 ..... 211

习题 ..... 217

第九章 正弦稳态电路的分析 ..... 220

§9-1 阻抗和导纳 ..... 220

§9-2 电路的相量图 ..... 226

§9-3 正弦稳态电路的分析 ..... 227

§9-4 正弦稳态电路的功率 ..... 233

§9-5 复功率 ..... 238

§9-6 最大功率传输 ..... 241

习题 ..... 243

第十章 含有耦合电感的电路 ..... 252

§10-1 互感 ..... 252

§10-2 含有耦合电感电路的计算 ..... 257

§10-3 耦合电感的功率 ..... 262

§10-4 变压器原理 ..... 265

§10-5 理想变压器 ..... 268

习题 ..... 271

第十一章 电路的频率响应 ..... 279

§11-1 网络函数 ..... 279

§11-2 RLC 串联电路的谐振 ..... 281

§11-3 RLC 串联电路的频率响应 ..... 285

§11-4 RLC 并联谐振电路 ..... 290

§11-5 波特图 ..... 292

§11-6 滤波器简介 ..... 295

习题 ..... 296

第十二章 三相电路 ..... 301

§12-1 三相电路 ..... 301

§12-2 线电压(电流)与相电压(电流)的关系 ..... 303

§12-3 对称三相电路的计算 ..... 306

§12-4 不对称三相电路的概念 ..... 308

§12-5 三相电路的功率 ..... 310

习题 ..... 312

第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 ..... 317

§ 13-1 非正弦周期信号 ..... 317

§ 13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数 ..... 318

§ 13-3 有效值、平均值和平均功率 ..... 325

§ 13-4 非正弦周期电流电路的计算 ..... 328

§ 13-5 对称三相电路中的高次谐波 ..... 330

§ 13-6 傅里叶级数的指数形式 ..... 333

§ 13-7 傅里叶积分简介 ..... 336

习题 ..... 340

第十四章 线性动态电路的复频域分析 ..... 344

§ 14-1 拉普拉斯变换的定义 ..... 344

§ 14-2 拉普拉斯变换的基本性质 ..... 346

§ 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 ..... 351

§ 14-4 运算电路 ..... 355

§ 14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 ..... 359

§ 14-6 网络函数的定义 ..... 365

§ 14-7 网络函数的极点和零点 ..... 368

§ 14-8 极点、零点与冲激响应 ..... 370

§ 14-9 极点、零点与频率响应 ..... 372

习题 ..... 377

第十五章 电路方程的矩阵形式 ..... 388

§ 15-1 割集 ..... 388

§ 15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 ..... 391

§ 15-3 矩阵 $ A, B, Q_{1} $ 之间的关系 ..... 397

§ 15-4 回路电流方程的矩阵形式 ..... 398

§ 15-5 结点电压方程的矩阵形式 ..... 402

§ 15-6 割集电压方程的矩阵形式 ..... 407

§ 15-7 列表法 ..... 409

习题 ..... 413

第十六章 二端口网络 ..... 418

§ 16-1 二端口网络 ..... 418

§ 16-2 二端口的方程和参数 ..... 419

§ 16-3 二端口的等效电路 ..... 427

§16-4 二端口的转移函数 ..... 429

§16-5 二端口的连接 ..... 432

§16-6 回转器和负阻抗变换器 ..... 435

习题 ..... 437

第十七章 非线性电路 ..... 442

§17-1 非线性电阻 ..... 442

§17-2 非线性电容和非线性电感 ..... 447

§17-3 非线性电路的方程 ..... 449

§17-4 小信号分析法 ..... 451

§17-5 分段线性化方法 ..... 454

§17-6 工作在非线性范围的运算放大器 ..... 458

§17-7 二阶非线性电路的状态平面 ..... 461

§17-8 非线性振荡电路 ..... 463

§17-9 混沌电路简介 ..... 466

§17-10 人工神经元电路 ..... 469

习题 ..... 471

第十八章 均匀传输线 ..... 475

§18-1 分布参数电路 ..... 475

§18-2 均匀传输线及其方程 ..... 478

§18-3 均匀传输线方程的正弦稳态解 ..... 480

§18-4 均匀传输线的原参数和副参数 ..... 487

§18-5 无损耗传输线 ..... 491

§18-6 无损耗方程的通解 ..... 498

§18-7 无损耗线的波过程 ..... 501

习题 ..... 504

附录 A 磁路和铁心线圈 ..... 506

§A-1 磁场和磁场 ..... 506

§A-2 铁磁物质的磁化曲线 ..... 508

§A-3 磁路的基本定律 ..... 510

§A-4 恒定磁通磁路的计算 ..... 512

§A-5 交变磁通磁路简介 ..... 517

§A-6 铁心线圈 ..... 519

习题 ..... 521

附录 B PSpice 简介 ..... 524

§ B-1 电路的计算机辅助分析 …… 524

§ B-2 PSpice …… 527

附录 C MATLAB 简介 …… 536

§ C-1 MATLAB 概述 …… 536

§ C-2 MATLAB 在电路分析中的应用举例 …… 538

部分习题答案 …… 544

索引 …… 562

参考书目 …… 569

一、 课程定位

“电路”课程是高等学校电子与电气信息类专业的重要的基础课，是所有强电专业和弱电专业的必修课。

学习本课程要求学生具备必要的电磁学和数学基础知识。“电路”课程以分析电路中的电磁现象，研究电路的基本规律及电路的分析方法为主要内容。“电路”课程理论严密、逻辑性强，有广阔的工程背景。

通过本课程的学习，对树立学生严肃认真的科学作风和理论联系实际的工程观点，培养学生的科学思维能力、分析计算能力、实验研究能力和科学归纳能力都有重要的作用。

通过本课程的学习，使学生掌握电路的基本理论知识、电路的基本分析方法和初步的实验技能，为进一步学习电路理论打下初步的基础，为学习电子与电气信息类专业的后续课程准备必要的电路知识。因此，“电路”课程在整个电子与电气信息类专业的人才培养方案和课程体系中起着承前启后的重要作用。

将“电路”课程作为必修技术基础课程的普通高等学校的专业（标记 $ ^{*} $者为引导性专业）如下：

（1）电气工程及其自动化。

(2) 自动化。

(3) 计算机科学与技术。

（4）电子科学与技术。

(5) 通信工程。

（6）电子信息工程。

(7) 生物医学工程。

（8）电气工程与自动化 $ ^{*} $。

(9) 信息工程 $ ^{*} $。

二、 电路理论及相关科学技术的发展简史

电路理论是当代电气工程与电子科学技术的重要理论基础之一。电路理论

与电磁学、电子科学与技术、通信、电气工程、自动控制、计算机科学技术等学科相互促进、相互影响。经历了一个多世纪的漫长道路以后，电路理论已经发展成为一门体系完整、逻辑严密、具有强大生命力的学科领域。

人类对电磁现象的认识始于对静电、静磁现象的观察。1729年，英国人S.格雷将材料分为两类——导体和绝缘体。美国科学家富兰克林(B. Franklin，1706—1790)在电的研究方面作了大量实验，并于1749年提出了正电和负电的概念。1785—1789年，法国人库仑(C. A. Coulomb)定量地研究了两个带电体间的相互作用，得出了历史上最早的静电学定律——库仑定律。这是人类在电磁现象认识上的一次飞跃。

19世纪以前，电与磁的应用尚属凤毛麟角。1800年，意大利物理学家伏特（A. Vlota，1745—1827）发明了伏打电池，它能够把化学能不断地转变为电能，维持单一方向的持续电流。这一发明具有划时代的意义，它为人们深入研究电化学、电磁学以及它们的应用打下了物质基础。以后很快发现了电流的化学效应、热效应以及利用电来照明等。

1820年，丹麦物理学家奥斯特(H. C. Oersted，1777—1851)通过实验发现了电流的磁效应，在电与磁之间架起了一座桥梁，打开了近代电磁学的突破口。

1825年，法国科学家安培(A. M. Ampere，1775—1836)提出了著名的安培环路定律。他从1820年开始在测量电流的磁效应中，发现两个载流导线可以互相吸引，又可以相互排斥。这一发现成为研究电学的基本定律，为电动机的发明作了理论上的准备。

1826年，德国人欧姆(G. S. Ohm，1787—1854)在多年实验基础上，提出了著名的欧姆定律：在恒定温度下，导线回路中的电流等于回路中的电动势与电阻之比。欧姆又将这一定律推广于任意一段导线上，并得出导线中的电流等于这一段导线上的电压与电阻之比。

1831年，英国物理学家法拉第（M. Faraday，1791—1867）发现了电磁感应现象。当他继续奥斯特的实验时，他坚信，既然电能产生磁，那么磁也能产生电。他终于发现在磁场中运动的导体会产生感生电动势，并能在闭合导体回路中产生电流。这一发现成为发电机和变压器的基本原理，从而使机械能变为电能成为可能。1832年，亨利提出了表征线圈中自感应作用的自感系数L。1834年俄国人楞次提出感应电流方向的定律，即著名的楞次定律。

1838年，画家出身的美国人莫尔斯(S. F. Morse，1791—1872)发明了电报。1844年，他用电报机从华盛顿向40英里外的巴尔的摩发出电文。

电报的出现，增加了对电路分析和计算的需要。1845年，德国科学家基尔霍夫(G. R. Kirchhoff,1824—1887)在深入研究了欧姆的工作成果之后，提出了电路的两个基本定律——基尔霍夫电流定律(简称KCL)和基尔霍夫电压定律

（简称 KVL）。它是集总参数电路中电压、电流必须服从的规律。

1853年，汤姆逊(W. Thomson，1824—1907，即开尔文勋爵)采用电阻、电感和电容的电路模型，分析了莱顿瓶的放电过程，得出电振荡的频率。同年，亥姆霍兹提出电路中的等效发电机定理。由于国际通信需求的增加，1850—1855年，欧洲建成了英国、法国、意大利、土耳其之间的海底电报电缆。电报信号经过远距离的电缆传送，产生了信号的衰减、延迟、失真等现象。1854年汤姆逊发表了电缆传输理论，分析了这些现象。1857年基尔霍夫考虑到架空传输线与电缆不同，得出了包括自感系数在内的完整的传输线上电压及电流方程式，称之为电报员方程或基尔霍夫方程。至此，包括传输线在内的电路理论就基本建立起来了。

1866年，德国工程师西门子（K. W. Siemens，1823—1883）发现了电动机原理并用在了发电机的改进上。由于电在各方面的应用日益广泛，如照明、电解、电镀、电力拖动等，迫切需要更方便地获取电能，以提高效率、降低成本。1881年，直流高压输电试验成功。但由于直流高压不便于用户直接使用，同年在发明变压器的基础上又实现了远距离交流高压输电。从此，电气化时代开始了。

1869年英国物理学家麦克斯韦(J. C. Maxwell, 1831—1879)总结了当时所发现的种种电磁现象的规律，将它表达为麦克斯韦方程组，预言了电磁波的存在，为电路理论奠定了坚实的基础。1889年，德国物理学家赫兹(H. R. Hertz, 1857—1894)经过艰苦的反复实验，证明麦克斯韦所预言的电磁波确实存在。

1876年，美国科学家贝尔(A. G. Bell，1847—1922)发明了电话。贝尔当时仅是一个聋哑人学校的教师，但凭借对电流作用敏感的认识和不懈的努力，达到了通过导线互相通话的目的。经过不断改进，到1878年，他实现了从波士顿到纽约之间200英里的首次长途通话。

1879年，美国人爱迪生(T. A. Edison，1847—1931)发明了碳丝灯泡。1912年美国人W. D. 库利奇发明了钨丝灯泡，成为最普及的照明用具。电灯的广泛使用，是电能应用的一次大普及，并改变了人们的生活。

1880年，英国人J.霍普金森提出了形式上与欧姆定律相似的计算磁路用的定律。19世纪末，交流电技术的迅速发展，促进交流电路理论的建立。1893年，C.P.施泰因梅茨提出分析交流电路的复数符号法（相量法），采用复数表示正弦式的交流电，简化了交流电路的计算。瑞士数学家J.R.阿尔甘提出的矢量图，也成为分析交流电路的有力工具。这些理论和方法，为此后电路理论的发展奠定了基础。

1894年，意大利人马可尼(G. Marconi，1874—1937)和俄国的波波夫分别发明了无线电。没有受过正规大学教育的20岁的马可尼利用赫兹的火花振荡器作为发射器，通过电键的开、闭产生断续的电磁波信号。1895年，他发射的信

号传送距离为 1 km 以上，1897 年发射的信号可在 20 km 之外接收到，从此开始了无线电通信的时代。

电真空器件的发明使电子工程的发展推进了一大步。英国科学家汤姆逊(J. J. Thomson，1856—1940)在1895—1897年间反复测试，证明了电子确实存在。随后，英国科学家弗莱明(J. A. Fleming)在爱迪生发明的热二极管的基础上发明了实用的真空二极管。它具有单向导电特性，能用来整流或检波。1907年，美国人福斯特(L. D. Forest)发明了真空三极管，它对微弱电信号有放大作用。1914年，福斯特用真空三极管又构成了振荡电路，使无线电通信系统更加先进。

应用的需要导致了大规模发电及输配电的出现和发展。在19世纪末还发生过一场“交、直流之争”。以爱迪生为代表的一方主张应用直流电，而另一方以乔治·西屋为代表，主张应用交流电。直到交流发电机、感应电动机、变压器等发明之后，充分显示了交流制的优点，交流制才得到广泛的应用。到20世纪30年代，电力传输线的电压已达到 $ 22\times10^{4}V $，供电范围达几百公里，形成比较复杂的电力网。

进入20世纪，1911年英国工程师O.亥维赛提出阻抗的概念，还提出了求解电路瞬态过程的运算法。1918年福台克提出的对称分量法，简化了不对称三相电路的分析。这一方法至今仍为分析三相交流电机、电力系统不对称运行的常用方法。1920年，G.A.坎贝尔、K.瓦格纳研究了梯形结构的滤波电路。1924年，R.M.福斯特提出电感电容二端网络的电抗定理。此后便建立了由给定频率特性设计电路的网络综合理论。

1925年，英国人贝尔德(J. L. Baird)首先发明电视。几乎在同时，美国无线电公司(R. C. A)的工程师诺基(V. K. Zworykin)发明了电视显像管。1933年，他利用真空二极管、真空三极管和显像管，最早发明了电视机。1936年，黑白电视机正式问世了。

在电子管被发明后，电子电路的技术迅速发展。1932年瑞典人H.奈奎斯特提出了由反馈电路的开环传递函数的频率特性判断闭环系统稳定性的判据。1945年美国人H.W.伯德出版了《网络分析和反馈放大器》一书，总结了负反馈放大器的原理，由此形成了分析线性电路和控制系统的频域分析方法，并得到广泛的应用。

第二次世界大战中雷达和近代控制技术的出现，对电路理论的发展起到了推进作用。1947年12月24日，贝尔实验室的布拉丁（Walter Brattain）、巴丁（John Bardeen）和肖克利（William Shockley）发明了一种点接触晶体管。这是一种全新的半导体器件，它的体积小，电性能稳定，功耗低。这项发明自从1948年公布于世起，很快就应用于通信、电视、计算机等领域，电子技术进入了半导体

时代。

1958年发明了集成电路，它将构成电子电路的电阻、电容、二极管、晶体管和导线都制造在一块几平方毫米的半导体芯片上，从而使体积大大缩小。现在集成电路已从含几十个晶体管的小规模集成电路发展到含上百万个晶体管的超大规模集成电路，电子技术进入了集成电路时代。

与此同时，电子计算机和各类微处理机也历经数代变迁，1947年应用的电子计算机ENIAC，含18 000个电子管，30 t，功耗50 kW。而今日用集成电路制成的同样功能的电子计算机，不到300 g，功耗仅0.5 W。目前，计算机已广泛应用于生产、国防、科研、管理、教育和医疗卫生等领域。

从20世纪30年代开始，电路理论已形成为一门独立的学科。建立了各种元器件的电路模型。成功地运用电阻、电容、电感、电压源、电流源等几种理想元件，近似地表征成千上万种实际电气装置。到20世纪50年代末，电路理论在学术体系上基本完善，这一发展阶段称为经典电路理论阶段。在20世纪60年代以后，电路理论又经历了一次重大的变革，这一变革的主要起源是新型电路元件的出现和计算机的冲击，电路理论无论在深度和广度方面均得到巨大的发展。因此又称20世纪60年代以后的电路理论为近代电路理论。

近代电路理论的主要特点之一是吉尔曼(Gmellemin)将图论引入电路理论之中。它为应用计算机进行电路分析和集成电路布线与板图设计等研究提供了有力的工具。特点之二是出现大量新的电路元件、有源器件，如使用低电压的MOS电路，摒弃电感元件的电路，进一步摒弃电阻的开关电容电路等。当前，有源电路的综合设计正在迅速发展之中。特点之三是在电路分析和设计中应用计算机后，使得对电路的优化设计和故障诊断成为可能，大大地提高了电子产品的质量并降低了成本。

三、 电路理论的应用

电路理论是高等学校电子与电气信息类专业的技术基础课，为该类专业的后续许多课程提供理论支持，例如模拟电子技术、数字电子技术、信号与系统、电机学、电力系统分析、集成电路设计、自动控制、电力电子技术等课程都用到电路理论。

在科学技术发展中，电路理论与众多学科相互影响和相互促进。例如，电路理论在电力系统中应用，产生了电力系统分析这门学科，并为电力系统运行分析建立了理论体系。而当代电子技术从电子管、半导体晶体管、集成电路到超大规模集成电路，更离不开电路理论的支持和它的发展。当然，电子技术的发展也促进了电路理论的发展。例如新型电子元器件的出现，促使电路模型的多样化和建模理论的发展。

在工程技术实际和生活实际中，电路理论有非常广阔的应用。从简单的照明电路，到复杂的电力系统；从单个的手提电话、收音机、电视机，到卫星通信网络、计算机互联网，都与电路理论有一定的关系。可以说，只要在涉及电能的产生、传输和使用的地方，就有电路理论的应用。而在信息产生、信息传递、信息处理的绝大多数场合，都可见到电路理论应用的例子。电路理论已经与我们的生活密不可分。

四、 电路理论和“电路”课程

电路理论是电气工程和电子科学技术的主要理论基础，是一门研究电路分析和网络综合与设计基本规律的基础工程学科。所谓电路分析是在电路给定、参数已知的条件下，通过求解电路中的电压、电流而了解电网络具有的特性；而网络综合是在给定电路技术指标的情况下，设计出电路并确定元件参数，使电路的性能符合设计要求。因此电路分析是电路理论中最基本的部分，是学习电路理论的入门课程，被列为电类各专业共同需要的技术基础课。

我国从20世纪50年代开始，高等工科学校的电类专业将电路理论与电磁场理论合为一门课程，称为“电工原理”，并列为技术基础课。其中电路理论部分的内容主要介绍线性电路的分析、磁路的计算以及均匀传输线。20世纪70年代末，电路理论单独设课，内容上也增加了电路方程的矩阵形式和计算机辅助分析等内容。由于“电路”课程为电子与电气信息类专业的技术基础课，因此在过去的20多年，其教学内容相对稳定。主要变化在教学内容优化，教学过程组织，教学方法和手段改革，实验教学改革，与“信号与系统”、“自动控制”、“模拟电子技术”等课程的协调等方面。

电路模型和电路定律

内容提要

本章介绍电路模型、电路元件的概念，电压、电流参考方向的概念，元件、电路吸收或发出功率的表达式和计算；还介绍电阻、独立电源和受控电源等电路元件。

电路中的电压、电流之间具有两种约束，一种是由电路元件决定的元件约束；另一种是元件间连接而引入的几何约束 $ ^{①} $，后者由基尔霍夫定律来表达。基尔霍夫定律是集总参数电路的基本定律。

§1-1 电路和电路模型

人们在工作和生活中会遇到很多实际电路。实际电路是为完成某种预期目的而设计、安装、运行（也可以是在非预期情况，例如短路、漏电等），由电路部件（例如电阻器、蓄电池等）和电路器件（例如晶体管、集成电路等）相互连接而成的电流通路装置。实际电路常借助于电压、电流而完成传输电能或信号、处理信号、测量、控制、计算等功能。其中，电能或电信号的发生器称为电源，用电设备称为负载。由于电路中的电压、电流是在电源的作用下产生的，因此电源又称为激励源或激励；由激励而在电路中产生的电压、电流称为响应。有时，根据激励与响应之间的因果关系，把激励称为输入，响应称为输出。

有些实际电路十分复杂，例如，电能的产生、输送和分配是通过发电机、变压器、输电线等完成的，它们形成了一个庞大而复杂的电路或系统。当前，集成电路的应用已渗透到许多领域，集成电路芯片可能小到不大于指甲，但在上面有成千上万个晶体管相互连接成为一个电路或系统。现在，集成电路的集成度越来

越高，就是说在同样大小的芯片上可容纳的部件、器件数目越来越多，可达数百万或更多。前面所述电路，都是比较复杂的，但有些电路非常简单，例如手电筒的电路就是一个十分简单的电路。

本书的主要内容是介绍电路理论的入门知识并为后续课程的学习准备必要的基础。电路理论研究电路中发生的电磁现象，并用电流、电压、电荷、磁通等物理量来描述其中的过程。电路理论主要是计算电路中各部件、器件的端子电流和端子间的电压，一般不涉及内部发生的物理过程。本书讨论的对象不是实际电路而是实际电路的电路模型。实际电路的电路模型由理想电路元件相互连接而成，理想元件是组成电路模型的最小单元，是具有某种确定电磁性质并有精确数学定义的基本结构。在一定的工作条件下，理想电路元件及它们的组合足以模拟实际电路中部件、器件中发生的物理过程。在电路模型中各理想元件的端子是用“理想导线” $ ^{①} $连接起来的。根据元件对外端子的数目，理想电路元件可分为二端、三端、四端元件等。

图1-1(a)所示为一个简单的实际电路，这是一个由干电池和小灯泡用两

根连接导线组成的照明电路。其电路模型如图1-1(b)所示。图中的电阻元件R作为小灯泡的电路模型，反映了将电能转换为热能和光能这一物理现象；干电池用电压源 $ U_{s} $和电阻元件 $ R_{s} $的串联组合作为模型，分别反映了电池内储化学能转换为电能以及电池本身耗能的物理过程。连接导线用理想导线（其中阳设为零）即线

导线用理想导线（其电阻设为零）即线段表示。

用理想电路元件或它们的组合模拟实际器件就是建立其模型，简称建模。建模时必须考虑工作条件，并按不同准确度的要求把给定工作情况下的主要物理现象和功能反映出来。例如，一个线圈的建模：在直流情况下它在电路中仅反映为导线内电流引起的能量消耗，因此，它的模型就是一个电阻元件；在电流变化的情况下（包括交变电流），线圈电流产生的磁场会引起感应电压，故电路模型除电阻元件还应包含一个与之串联的电感元件；当电流变化甚快时（包括高频交流），则还应计及线圈导体表面的电荷作用，即电容效应。所以其模型中还需要包含电容元件。可见，在不同的工作条件下，同一实际器件可能采用不同的模型。模型取得恰当，对电路进行分析计算的结果就与实际情况接近；模型取得不恰当，则会造成很大误差甚至导致错误的结果。如果模型取得太复杂则会造成分析困难，取得太简单则可能无法反映真实的物理现象。建模问题需要专门进

行研究，本书不作介绍。

今后本书所涉及电路均指由理想电路元件构成的电路模型。同时将把理想电路元件简称为电路元件 $ ^{①} $。

通常，电路又称网络 $ ^{②} $，本书中将不加区分地引用。电路理论（或电网络理论）是一门研究网络分析和网络综合或设计 $ ^{③} $的基础工程学科，它与近代系统理论有密切的关系。本书的主要内容是电路分析，探讨电路的基本定律和定理，并讨论各种分析方法，为学习电气工程技术、电子和信息工程技术等建立必要的理论基础。

§1-2 电流和电压的参考方向

电路理论中涉及的物理量主要有电流、电压、电荷和磁通，通常用 I、U、Q 和 $ \Phi $ 分别表示 $ ^{④} $。磁通链用 $ \Psi $ 表示。另外，电功率和电能也是重要的物理量，它们的符号分别为 P 和 W。

在电路分析中，当涉及某个元件或部分电路的电流或电压时，有必要指定电流或电压的参考方向。这是因为电流或电压的实际方向可能是未知的，也可能是随时间变动的。图1-2表示一个电路的一部分，其中的矩形框表示一个二端元件。流过这个元件的电流为i，其实际方向可以是由A到B，或是由B到A。图1-2中在导线上标示的箭头表示电流的参考方向，它不一定就是电流的实际方向。指定参考方向的用意是在于把电流看成代数数量。如果电流i的实际方向是由A到B，如图1-2(a)中虚线箭头所示，它与参考方向一致，则电流为正值，即i>0。在图1-2(b)中，指定的电流参考方向自B到A，如果电流的实际方向是由A到B（见虚线箭头），两者不一致，故电流为负值，即i<0。这样，在指定的电流参考方向下，电流值的正和负就可以反映出电流的实际方向。另一方面，只有规定了参考方向以后，才能写出随时间变化的电流的函数式。电流的参考方向可以任意指定，一般用箭头表示，也可以用双下标表示，例如， $ i_{AB} $表示参考方向是由A到B。

同理，对电路两点之间的电压也可指定参考方向或参考极性。在表达两点

之间的电压时，用正极性（+）表示高电位，负极性（-）表示低电位，而正极指向负极的方向就是电压的参考方向。指定电压的参考方向后，电压就是一个代数量，在图1-3中，电压u的参考方向是由A指向B，也就是假定A点的电位比B点的电位高；如果A点的电位确实高于B点的电位，即电压的实际方向是由A到B，两者的方向一致，则u>0。若实际电位是B点高于A点，则u<0。有时为了图示方便，也可用一个箭头表示电压的参考方向（见图1-3，本书一般不采用此种表示法）。还可以用双下标来表示电压，如 $ u_{AB} $表示A与B之间的电压，其参考方向为A指向B。

一个元件的电流或电压的参考方向可以独立地任意指定。如果指定流过元件的电流的参考方向是从标以电压正极性的一端指向负极性的一端，即两者的参考方向一致，则把电流和电压的这种参考方向称为关联参考方向，如图1-4(a)所示；当两者不一致时，称为非关联参考方向。在图1-4(b)中，N表示电路的一个部分，它有两个端子与外电路连接，电流i的参考方向自电压u的正极性端流入电路，从负极性端流出，两者的参考方向一致，所以是关联参考方向；图1-4(c)所示电流和电压的参考方向是非关联的。

在国际里位制(SI)中，电流的单位为 A(安培，简称安)，电荷的单位为 C(库仑，简称库)，电压的单位为 V(伏特，简称伏)。表1-1列出了SI单位中规定的

用来构成十进倍数或分数的词头。例如： $ 1\ \mu\mathrm{A} $（微安） $ =10^{-6}\ \mathrm{A} $，2 kV（千伏） $ =2\times10^{3}\ \mathrm{V} $，2 GHz（吉赫） $ =2000\ \mathrm{MHz}=2\times10^{9}\ \mathrm{Hz} $ 等。

| 倍率 | 词头名称词 | 词头符号 | 倍率 | 词头名称词 | 词头符号 | | |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| $ 10^{24} $ | 尧[它] | yotta | Y | $ 10^{-1} $ | 分 | deci | d |

| $ 10^{21} $ | 泽[它] | zetta | Z | $ 10^{-2} $ | 厘 | centi | c |

| $ 10^{18} $ | 艾[可萨] | exa | E | $ 10^{-3} $ | 毫 | milli | m |

| $ 10^{15} $ | 拍[它] | peta | P | $ 10^{-6} $ | 微 | micro | $ \mu $ |

| $ 10^{12} $ | 太[拉] | tera | T | $ 10^{-9} $ | 纳[诺] | nano | n |

| $ 10^{9} $ | 吉[咖] | giga | G | $ 10^{-12} $ | 皮[可] | pico | p |

| $ 10^{6} $ | 兆 | mega | M | $ 10^{-15} $ | 飞[母托] | femto | f |

| $ 10^{3} $ | 千 | kilo | k | $ 10^{-18} $ | 阿[托] | atto | a |

| $ 10^{2} $ | 百 | hecto | h | $ 10^{-21} $ | 仄[普托] | zepto | z |

| 10 | 十 | deca | da | $ 10^{-24} $ | 幺[科托] | yoeto | y |

§1-3 电功率和能量

在电路的分析和计算中，能量和功率的计算是十分重要的。这是因为电路在工作状况下总伴随有电能与其他形式能量的相互交换；另一方面，电气设备、电路部件本身都有功率的限制，在使用时要注意其电流值或电压值是否超过额定值，过载会使设备或部件损坏，或是不能正常工作。

电功率与电压和电流密切相关。当正电荷从元件上电压的“+”极经元件运动到电压的“-”极时，与此电压相应的电场力要对电荷作功，这时，元件吸收能量；反之，正电荷从电压的“-”极经元件运动到电压“+”极时，与此电压相应的电场力作负功，元件向外释放电能。

如果在 dt 时间内，有 dq 电荷自元件上电压的“+”极经历电压 u $ ^{①} $ 到达电压的“-”极。根据电压的定义（A、B 两点的电压 u 等于电场力将单位正电荷自 A 点移动至 B 点时所作的功），电场力所作功，也即元件吸收的能量为

$$ \mathrm{d}\pmb{W}=\boldsymbol{u}\mathrm{d}\boldsymbol{q} $$

现在假设 i 在元件上与 u 成关联方向，由 i 的定义 $ i = \mathrm{d}q / \mathrm{d}t $，有 $ \mathrm{d}W = u i \mathrm{d}t $，功

率是能量的导数，故元件的吸收功率为

$$ p=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=ui $$

在 $ t_{0} $ 到 t 的时间内，元件吸收的能量为

$$ W(t)=\int\mathrm{d}W=\int_{q(t_{0})}^{q(t)}u\mathrm{d}q=\int_{t_{0}}^{t}u(\xi)i(\xi)\mathrm{d}\xi $$

由于 u、i 都是代数数量，因此，功率 p 和吸收的能量 W 也都是代数数量。当 p>0，W>0，元件确实吸收功率与能量；当 p<0，W<0 时，元件实际释放电能或发出功率。

当电流单位为 A, 电压的单位为 V 时, 能量的单位为 J (焦耳, 简称焦), 当时间的单位为 s (秒) 时, 功率的单位为 W (瓦特, 简称瓦).

在指定电压和电流的参考方向后，应用式(1-1)求功率p时应当注意：当电压和电流的参考方向为关联参考方向时，乘积“ui”表示元件吸收的功率；当p为正值时，表示该元件确实吸收功率。如果电压和电流的参考方向为非关联参考方向时，乘积“ui”表示元件发出的功率，此时，当p为正值时，该元件确实发出功率。一个元件若吸收功率100W，也可以认为它发出功率-100W，同理，一个元件若发出功率100W，也可以认为它吸收功率-100W。这两种说法是一致的。

在图1-5中，已知某元件两端的电压为5 V，A点电位高于B点电位；电流i的实际方向为自A点到B点，其值为2 A。根据图1-5(a)中指定的参考方向，u和i为关联参考方向，u=5 V，i=2 A。据式(1-1)，p=10 W，为正值，此元件吸收的功率为10 W。如果指定的u和i的参考方向为非关联参考方向，如图1-5(b)所示时，则此时u=-5 V，i=2 A。按式(1-1)，元件发出的功率p=-10 W，为负值。所以此元件实际上还是吸收10 W，与按图1-5(a)求得的结果一致。

§1-4 电路元件

电路元件是电路中最基本的组成单元。电路元件通过其端子与外部连接。元件的特性通过与端子有关的电路物理量描述。每种元件通过端子的两种物理

量反映一种确定的电磁性质。元件的两个端子的电路物理量之间的代数函数关系称为元件的端子特性（亦称元件特性）。集总（参数）元件 $ ^{①} $假定：在任何时刻，流入二端元件的一个端子的电流一定等于从另一端子流出的电流，且两个端子之间的电压为单值量。由集总元件构成的电路称为集总电路，或称具有集总参数的电路。用有限个集总元件及其组合模拟实际的部件和器件以及用集总电路作为实际电路的电路模型是有条件的，本书的第十八章将加以讨论。本书的其余各章只考虑集总电路。

电路物理量有电压 u、电流 i、电荷 q 以及磁通 $ \Phi $（或磁通链 $ \Psi $）等。电阻元件的元件特性是电压与电流的代数关系 $ u = f(i) $；电容元件的元件特性是电荷 q 与电压 u 的代数关系 $ q = h(u) $；电感元件的元件特性是磁通链 $ \Psi $ 与电流 i 的代数关系 $ \Psi = g(i) $。如果表征元件特性的代数关系是一个线性关系，则该元件称为线性元件。如果表征元件特性的代数关系是一个非线性关系，则该元件称为非线性元件。

前已提及，电路元件按与外部连接的端子数目可分为二端、三端、四端元件等。电路元件还可分为线性元件和非线性元件，时不变元件和时变元件，无源元件和有源元件等。

§1-5 电阻元件

电阻器、白炽灯、电炉等在一定条件下可以用二端线性电阻元件作为其模型（以后各章主要讨论二端元件，故将略去“二端”两字）。线性电阻元件是这样的理想元件：在电压和电流取关联参考方向时，在任何时刻其两端的电压和电流服从欧姆定律

$$ u=R i $$

线性电阻元件的图形符号如图1-6(a)所示。上式中R为电阻元件的参数，称为元件的电阻。R是一个正实常数。当电压单位用V，电流单位用A时，电阻的单位为Ω(欧姆，简称欧)。

令 $ G = \frac{1}{R} $，式(1-3)变成

$$ i=G u $$

式中 G 称为电阻元件的电导。电导的单位是 S（西门子，简称西）。R 和 G 都是

电阻元件的参数。

如果电压、电流参考方向取非关联参考方向，则

$$ u=-Ri 或 i=-Gu $$

由于电压和电流的单位是伏和安，因此电阻元件的特性称为伏安特性。图1-6(b)画出线性电阻元件的伏安特性曲线，它是通过原点的一条线。直线的斜率与元件的电阻R有关。如果在作图时，电压坐标的标尺为 $ m_{x}(m_{y} $ 为坐标轴上每单位长度代表的电压值)，电流坐标的标尺为 $ m_{i}(m_{i} $ 为坐标轴上每单位长度代表的电流值)，则有

$$ R=\frac{u}{i}=\frac{m_{u}}{m_{i}}\frac{\overline{O U}}{\overline{O I}}=\frac{m_{u}}{m_{i}}\tan\theta^{\mathrm{I}} $$

$$ \acute{G}=\frac{i}{u}=\frac{m_{i}}{m_{u}}\frac{\overline{{O I}}}{\overline{{O U}}}=\frac{m_{i}}{m_{u}}\tan\alpha $$

式中 $ \overline{OU} $、 $ \overline{OI} $ 分别为电压 u 与电流 i 相应的 u 轴和 i 轴上的线段长度。

当一个线性电阻元件的端电压不论为何值时，流过它的电流恒为零值，就把它称为“开路”。开路的伏安特性曲线在 u-i 平面上与电压轴重合，它相当于 $ R = \infty $ 或 G = 0，如图 1-7(a) 所示。当流过一个线性电阻元件的电流不论为何值时，它的端电压恒为零值，就把它称为“短路”。短路的伏安特性曲线在 u-i 平面上与电流轴重合，它相当于 R = 0 或 G = ∞，如图 1-7(b) 所示。如果电路中的一对端子 1-1′ 之间呈断开状态，如图 1-7(c) 所示，这相当于 1-1′ 之间接有 R = ∞ 的电阻，此时称 1-1′ 处于“开路”。如果把端子 1-1′ 用理想导线（电阻为零）连接起来，称这对端子 1-1′ 被短路，如图 1-7(d) 所示。

当电压 u 和电流 i 取关联参考方向时，电阻元件消耗的功率为

$$ \begin{array}{�}\dot{p}=ui=Ri^{2}=\frac{u^{2}}{R}\\ \quad=Gu^{2}=\frac{i^{2}}{G}\end{array} $$

R 和 G 是正实常数，故功率 p 恒为非负值。所以线性电阻元件是一种无源元件。

电阻元件从 $ t_{0} $ 到 t 的时间内吸收的电能为

$$ \mathbf{W}=\int_{t_{0}}^{t}R i^{2}(\mathbf{\xi})\mathrm{d}\mathbf{\xi} $$

电阻元件一般把吸收的电能转换成热能或其他能量。

由于制作材料的电阻率与温度有关，（实际）电阻器通过电流后因发热会使温度改变，因此，严格说，电阻器带有非线性因素 $ ^{①} $。但是在正常工作条件下，温度变化有限，许多实际部件如金属膜电阻器、线绕电阻器等，它们的伏安特性曲线近似为一条直线。所以用线性电阻元件作为它们的理想模型是合适的。

非线性电阻元件的伏安特性曲线不是一条通过原点的直线。非线性电阻元件的电压电流关系一般可写为

$$ u=f(i)\quad[ 或 i=h(u)] $$

如果一个电阻元件具有以下的电压电流关系：

$$ u\left(t\right)=R\left(t\right)i\left(t\right)\quad\left[ 或 \quad i\left(t\right)=G\left(t\right)u\left(t\right)\right] $$

这里 u 与 i 仍是比例关系，但比例系数 R 是随时间变化的，故称为时变电阻元件。

线性电阻元件的伏安特性曲线位于第一、三象限。如果一个电阻元件的伏安特性曲线位于第二、四象限，则此元件的电阻为负值，即 R < 0。负电阻元件实际上是一个发出电能的元件。如果要获得这种元件，一般需要专门设计。

今后，为了叙述方便，把线性电阻元件简称为电阻，所以本书中“电阻”这个术语以及它的相应符号 R 一方面表示一个电阻元件，另一方面也表示此元件的参数。

§1-6 电压源和电流源

实际电源有电池、发电机、信号源等。电压源和电流源是从实际电源抽象得到的电路模型，它们是二端有源元件。

电压源是一个理想电路元件，它的端电压 $ u(t) $ 为

$$ u(t)=u_{\mathrm{S}}(t)^{\mathrm{①}} $$

式中 $ u_{s}(t) $ 为给定的时间函数，称为电压源的激励电压。电压源电压 $ u(t) $ 与通过元件的电流无关，总保持为给定的时间函数，而电流的大小则由外电路决定。电压源的图形符号如图 1-8(a) 所示。当 $ u_{s}(t) $ 为恒定值时，这种电压源称为恒定电压源或直流电压源，用 $ U_{s} $ 表示。有时用图 1-8(b) 所示蓄电池的图形符号表示直流电压源，其中长线表示电源的“+”端。

图1-9(a)示出电压源接外电路的情况。端子1、2之间的电压 $ u(t) $等于 $ u_{s}(t) $，不受外电路的影响。图1-9(b)示出电压源在 $ t_{1} $时刻的伏安特性曲线，它是一条不通过原点且与电流轴平行的直线。当 $ u_{s}(t) $随时间改变时，这条平行于电流轴的直线也将随之平移其位置。图1-9(c)是直流电压源的伏安特性曲线，它不随时间改变。

在图1-9(a)中，电压源的电压和通过电压源的电流的参考方向取为非关联参考方向，此时，电压源发出的功率为

$$ p(t)=u_{\mathrm{S}}(t)i(t) $$

它也是外电路吸收的功率。

电压源不接外电路时，电流 i 总为零值，这种情况称为“电压源处于开路”。如果一个电压源的电压 $ u_{s}=0 $，则此电压源的伏安特性曲线为 i-u 平面上的电流轴，它相当于短路。把电压源短路是没有意义的，因为短路时端电压 u=0，这与电压源的特性不相容。

电流源是一个理想电路元件。电流源发出的电流 i(t)为

$$ i(t)=i_{\mathrm{S}}(t) $$

式中 $ i_{s}(t) $ 为给定时间函数，称为电流源的激励电流。因而电流源的电流 $ i(t) $ 与元件的端电压无关，并总保持为给定的时间函数。电流源的端电压由外电路决定 $ ^{①} $。电流源的图形符号如图 1-10(a) 所示，图 1-10(b) 示出了电流源接外电路的情况。图 1-10(c) 为电流源在 $ t_{1} $ 时刻的伏安特性曲线，它是一条不通过原点且与电压轴平行的直线。当 $ i_{s}(t) $ 随时间改变时，这条平行于电压轴的直线将随之平移其位置。图 1-10(d) 示出直流电流源的伏安特性曲线，它不随时间改变。

在图1-10(b)中，电流源电流和电压的参考方向为非关联参考方向，所以电流源发出的功率为

$$ p(t)=u(t)i_{\mathrm{s}}(t) $$

它也是外电路吸收的功率。

电流源两端短路时，其端电压 u=0，而 $ i=i_{S} $，短路电流就是激励电流。如果一个电流源的 $ i_{S}=0 $，则此电流源的伏安特性曲线为 u-i 平面上的电压轴，

它相当于开路。令电流源开路是没有意义的，因为开路时的电流 i 必须为零，这与电流源的特性不相容。

当电压源的电压 $ u_{s}(t) $ 或电流源的电流 $ i_{s}(t) $ 随时间作正弦规律变化时，则称为正弦电压源或正弦电流源。以正弦电压源为例，有

$$ \begin{aligned}{u_{\mathrm{s}}(t)}&{{}=U_{\mathrm{m}}\cos\left(\frac{2\pi}{T}t+\phi\right)}\\ {}&{{}=U_{\mathrm{m}}\cos(2\pi f t+\phi)}\\ {}&{{}=U_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\phi)}\\ \end{aligned} $$

式中 $ U_{m} $ 为正弦电压的最大值，T 为正弦函数的周期， $ f=\frac{1}{T} $ 为其频率，单位为 Hz（赫兹，简称赫）， $ \omega=2\pi f $ 为角频率， $ \phi $ 为正弦函数的初相角。正弦电压也可以用 sine 函数表示（见第八章）。

常见实际电源(如发电机、蓄电池等)的工作机理比较接近电压源，其电路模型是电压源与电阻的串联组合。像光电池 $ ^{①} $一类器件，工作时的特性比较接近电流源，其电路模型是电流源与电阻的并联组合。另外，专门设计的电子电路可作为电流源而广泛应用于集成电路之中。

上述电压源和电流源常常被称为“独立”电源，“独立”二字是相对于下一节要介绍的“受控”电源来说的。

§1-7 受控电源

受控(电)源又称“非独立”电源。受控电压源的激励电压或受控电流源的激励电流与独立电压源的激励电压或独立电流源的激励电流有所不同，后者是独立量，前者则受电路中某部分电压或电流控制。

双极晶体管的集电极电流受基极电流控制，运算放大器的输出电压受输入电压控制，所以这类器件的电路模型中要用到受控源。

受控电压源或受控电流源因控制量是电压或电流可分为电压控制电压源(VCVS)、电压控制电流源(VCCS)、电流控制电压源(CCVS)和电流控制电流源(CCCS) $ ^{①} $。这4种受控源的图形符号如图1-11所示。为了与独立电源相区别，用菱形符号表示其电源部分。图中 $ u_{1} $和 $ i_{1} $分别表示控制电压和控制电流， $ \mu $、r、g和 $ \beta $分别是有关的控制系数，其中 $ \mu $和 $ \beta $是量纲一的量，r和g分别具有电阻和电导的量纲。这些系数为常数时，被控制量和控制量成正比，这种受控源称为线性受控源。本书只考虑线性受控源，故一般将略去“线性”二字。

在图1-11中把受控源表示为具有4个端子的电路模型，其中受控电压源或受控电流源具有一对端子，另一对控制端子则或为开路，或为短路，分别对应于控制量是开路电压或短路电流。这样处理有时会带来方便。所以可以把受控源看作是一种四端元件，但在一般情况下，不一定要在图中专门标出控制量所在处的端子。

独立电源是电路中的“输入”，它表示外界对电路的作用，电路中电压或电流是由于独立电源起的“激励”作用产生的。受控源则不同，它是用来反映电路中

某处的电压或电流能控制另一处的电压或电流的现象，或表示一处的电路变量与另一处电路变量之间的一种耦合关系。在求解具有受控源的电路时，可以把受控电压（电流）源作为电压（电流）源处理，但必须注意其激励电压（电流）是取决于控制量的。

例 1-1 图 1-12 中 $ i_{s}=2 $ A, VCCS 的控制系数 g=2S, 求 u。

解 由图1-12左部先求控制电压 $ u_{1}, u_{1}=5i_{s}=10\ V $; 故 $ u=2gu_{1}=2\times2\times10\ V=40\ V $

§1-8 基尔霍夫定律

集总电路由集总元件相互连接而成。基尔霍夫定律是集总电路的基本定

律。为了说明基尔霍夫定律，先介绍支路、结点和回路的概念。为了简化说明，在本节中把组成电路的每一个二端元件称为一条支路，把支路的连接点称为结点。图1-13为一个具有6条支路、4个结点的电路，各支路和结点的编号如图所示。由支路所构成的闭合路径称为回路，如图中支路(1,3,4,6)。同理，支路(1,2,4,6)、(1,2,5,6)、(1,3,5,6)、(2,3)、(4,5)等也都分别构成回路。关于支路、结点和回路等概念的进一步介绍见§3-1。

如果将电路中各个支路的电流和支路的电压(简称支路电流与支路电压)作为变量来看，这些变量受到两类约束。一类是元件的特性造成的约束。例如，线性电阻元件的电压与电流必须满足 u = Ri 的关系。这种关系称为元件的组成

关系或电压电流关系(VCR) $ ^{①} $，即VCR构成了变量的元件约束。另一类约束是由于元件的相互连接给支路电流之间或支路电压之间带来的约束关系，有时称为“几何”约束或“拓扑” $ ^{②} $约束，这类约束由基尔霍夫定律来体现。

基尔霍夫定律包括电流定律和电压定律。

基尔霍夫电流定律(KCL) $ ^{③} $指出：“在集总电路中，任何时刻，对任一结点，所有流出结点的支路电流的代数和恒等于零”。此处，电流的“代数和”是根据电流是流出结点还是流入结点判断的。若流出结点的电流前面取“+”号，则流入结点的电流前面取“-”号；电流是流出结点还是流入结点，均根据电流的参考方向判断。所以对任一结点有

$$ \textstyle\sum i=0 $$

上式取和是对连接于该结点的所有支路电流进行的。

例如，以图1-14所示电路为例，对结点①应用KCL，有（各支路电流的参考方向见图）

$$ i_{1}+i_{4}-i_{6}=0 $$

$$ i_{1}+i_{4}=i_{6} $$

上式可写为

此式表明，流出结点 $ ^{①} $的支路电流等于流入该结点的支路电流。因此，KCL也可理解为，任何时刻，流出任一结点的支路电流等于流入该结点的支路电流。

KCL 通常用于结点，但对包围几个结点的闭合面也是适用的。对图 1-14 所示电路，用虚线表示的闭合面 S 内有 3 个结点，即结点①、②和③。对这些结点分别有

$$ \begin{aligned}i_{1}+i_{4}-i_{6}&=0\\-i_{2}-i_{4}+i_{5}&=0\\i_{3}-i_{5}+i_{6}&=0\end{aligned} $$

以上 3 式相加后，得对闭合面 S 的电流代数和

$$ i_{1}-i_{2}+i_{3}=0\textcircled{4} $$

其中 $ i_{1} $ 和 $ i_{3} $ 流出闭合面， $ i_{2} $ 流入闭合面。

所以，通过一个闭合面的支路电流的代数和总是等于零；或者说，流出闭合面的电流等于流入同一闭合面的电流。这称为电流连续性。KCL 是电荷守恒的体现。

基尔霍夫电压定律(KVL) $ ^{①} $指出：“在集总电路中，任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零”。

所以，沿任一回路有

$$ \textstyle\sum u=0 $$

上式取和时，需要任意指定一个回路的绕行方向，凡支路电压的参考方向与回路的绕行方向一致者，该电压前面取“+”号，支路电压参考方向与回路绕行方向相反者，前面取“-”号。

以图1-15所示电路为例，对支路(1,2,3,4)构成的回路列写KVL方程时，需要先指定各支路电压的参考方向和回路的绕行方向。绕行方向用虚线上的箭头表示，有关支路电压为 $ u_{1} $、 $ u_{2} $、 $ u_{3} $、 $ u_{4} $，它们的参考方向如图1-15所示。

根据 KVL，对指定的回路有

$$ u_{1}+u_{2}-u_{3}+u_{4}=0 $$

由上式也可得

$$ u_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{4} $$

上式表明，结点③、④之间的电压 $ u_{3} $是单值的，不论沿支路3或沿支路1、2、4构成的路径，此两结点间的电压值是相等的。KVL是电压与路径无关这一性质的反映 $ ^{②} $。

KCL在支路电流之间施加线性约

束关系；KVL则对支路电压施加线性约束关系。这两个定律仅与元件的相互连接有关，而与元件的性质无关。不论元件是线性的还是非线性的，时变的还是时不变的，KCL和KVL总是成立的。KCL和KVL是集总电路的两个公设。

对一个电路应用 KCL 和 KVL 时，应对各结点和支路编号，并指定有关回路的绕行方向，同时指定各支路电流和支路电压的参考方向，一般两者取关联参考方向。

例1-2 图1-16所示电路中，已知 $ u_{1}=u_{3}=1\ V $， $ u_{2}=4\ V $， $ u_{4}=u_{5}= $

2 V, 求电压 $ u_{x} $

解 对回路Ⅰ和Ⅱ分别列出 KVL 方程（支路的参考方向和回路的绕行方向如图1-16所示）

$$ \begin{aligned}&-u_{1}+u_{2}+u_{6}-u_{3}=0\\ &-u_{6}+u_{4}+u_{5}-u_{x}=0\\ \end{aligned} $$

$ u_{6} $ 在方程中出现两次，一次前面为“+”号（与Ⅰ绕行方向相同）、一次为“-”号（与Ⅱ绕行方向相反）。将两个方程相加消去 $ u_{6} $，得

$$ u_{x}=-u_{1}+u_{2}-u_{3}+u_{4}+u_{5}^{ \textcircled{1} }=6\mathrm{~V} $$

例 1-3 图 1-17 所示电路中，电阻 $ R_{1}=1\Omega $， $ R_{2}=2\Omega $， $ R_{3}=10\Omega $， $ U_{S1}=3V $， $ U_{S2}=1V $。求电阻 $ R_{1} $ 两端的电压 $ U_{1} $。

解 求解本题时，须同时应用 KCL、KVL 以及元件的 VCR。各支路电压与电流的参考方向如图 1-17 所示。现将支路电流 $ I_{1} $、 $ I_{2} $ 与 $ I_{3} $ 都以求解的未知量 $ U_{1} $ 来表示。有 $ I_{1} = \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{U_{1}}{1} = U_{1} $；并据Ⅰ、Ⅱ回路由 KVL 可得 $ U_{1} = U_{st} $

$ R_{3}I_{3} $ 与 $ U_{1}=R_{2}I_{2}+U_{S2} $，从而得到

$$ I_{3}=\frac{U_{s1}-U_{1}}{R_{3}}=\frac{3-U_{1}}{10} $$

与

$$ I_{2}=\frac{U_{1}-U_{22}}{R_{2}}=\frac{U_{1}-1}{2} $$

在结点 $ ^{①} $使用KCL，有 $ I_{3}=I_{1}+I_{2} $，即

$$ \frac{3-U_{1}}{10}=U_{1}+\frac{U_{1}-1}{2} $$

从而解得

$$ U_{1}=0.5\mathrm{~V} $$

例 1-4 图 1-18 所示电路中，已知 $ R_{1}=2\ k\Omega $， $ R_{2}=500\ \Omega $， $ R_{3}=200\ \Omega $， $ u_{S}=12\ V $，电流控制电流源的激励电流 $ i_{d}=5i_{1} $ 。求电阻 $ R_{3} $ 两端的电压 $ u_{3} $ 。

解 这是一个有受控源的电路，宜选择控制量 $ i_{1} $ 作为未知量先求解，解得 $ i_{1} $ 后再通过 $ i_{d} $ 求 $ u_{3} $。可分以下步骤进行：

（1）在结点①使用KCL，可知流过 $ R_{2} $的电流 $ i_{2}=i_{1}+i_{d}=i_{1}+5i_{1}=6i_{1} $

（2）在回路Ⅰ中使用KVL，得

$$ u_{\mathrm{S}}=R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}=\left(R_{1}+6R_{2}\right)i_{1} $$

代入 $ u_{s} $、 $ R_{1} $、 $ R_{2} $ 的数值，可得

$$ i_{1}=2.4\mathrm{~m A} $$

（3） $ R_{3} $ 两端的电压 $ u_{3} $ 为

$$ u_{3}=-R_{3}i_{\mathrm{d}}=-R_{3}\times5i_{1}=-2.4\mathrm{~V} $$

以上例题主要是说明 KCL 与 KVL 在求解电路中的应用。如何根据这两个定律和元件的 VCR 列出电路方程而系统地求解，将在第三章中介绍。

——习题——

1-1c 说明题1-1图(a)、(b)中：

(1) u、i 的参考方向是否关联？

(2) ui 乘积表示什么功率？

（3）如果在图(a)中 u>0, i<0，图(b)中 u>0, i>0，元件实际发出还是吸收功率？

1-2 在题1-2图(a)与(b)中，试问对于 $ N_{A} $与 $ N_{B} $，u、i的参考方向是否关联？此时乘积ui对 $ N_{A} $与 $ N_{B} $分别意味着什么功率？

10-3 求解电路以后，校核所得结果的方法之一是核对电路中所有元件的功率平衡，即一部分元件发出的总功率应等于其他元件吸收的总功率。试校核题1-3图中电路所得解答是否正确。

14 在指定的电压 u 和电流 i 的参考方向下，写出题 1-4 图所示各元件的 u 和 i 的约束方程（即 VCR）。

1-5 试求题1-5图中各电路中电压源、电流源及电阻的功率（须说明是吸收还是发出）。

1-6 以电压 U 为纵轴，电流 I 为横轴，取适当的电压、电流标尺，在同一坐标上：画出以下元件及支路的电压、电流关系（仅画第一象限）。

(1) $ U_{s}^{'} = 10\ V $ 的电压源，如题 1-6 图(a)所示；

(2) $ R=5\Omega $ 线性电阻，如题1-6图(b)所示；

（3） $ U_{s} $、R 的串联组合，如题1-6图(c)所示。

1-7 题 1-7 图中各元件的电流 I 均为 2A。

（1）求各图中支路电压；

（2）求各图中电源、电阻及支路的功率，并讨论功率平衡关系。

1-8 试求题1-8图中各电路的电压 U，并分别讨论其功率平衡。

1-9 题 1-9 图中各受控源是否可看为电阻？并求各图中 a、b 端钮的等效电阻。

1-10 电路如题 1-10 图所示，试求：

(1) 图(a)中， $ i_{1} $ 与 $ u_{ab} $; (2) 图(b)中， $ u_{cb} $

1-11 我国自葛洲坝水电站至上海的高压直流输电线示意图如题1-11图。输电线每根对地耐压为500 kV，导线容许电流为1 kA。每根导线电阻为27 Ω(全长1 088 km)。试问当首端线间电压 $ U_{1} $ 为1000 kV时，可传输多少功率到上海？传输效率是多少？

1-12 对题1-12图所示电路，若：

(1) $ R_{1} $、 $ R_{2} $、 $ R_{3} $ 不定；

(2) $ R_{1}=R_{2}=R_{3} $

在以上两种情况下，尽可能多地确定各电阻中的未知电流。

1-13 在题1-13图所示电路中，已知 $ u_{12}=2~V $, $ u_{23}=3~V $, $ u_{25}=5~V $, $ u_{37}=3~V $, $ u_{67}=1~V $, 尽可能多地确定其他各元件的电压。

1-14 对上题所示电路，指定各支路电流的参考方向，然后列出所有结点处的 KCL 方程，并说明这些方程中有几个是独立的。

1-15 电路如题1-15图所示，该电路可列KVL的回路共有7个。试按给定支路电流的参考方向列出这些KVL方程。并找出其中三组独立方程（每组中方程应尽可能多）。

1-16 电路如题 1-16 图所示，试求每个元件发出或吸收的功率。

1-17 利用 KCL 与 KVL 求题 1-17 图中 I（提示：利用 KVL 将 180 V 电源支路电流用 I 来表示，然后在结点①写 KCL 方程求解）。

1-18 （1）已知题1-18图(a)中， $ R=2\Omega, i_{1}=1A $，求电流i；

(2) 已知题 1-18 图(b) 中， $ u_{S}=10\ V $， $ i_{1}=2\ A $， $ R_{1}=4.5\ \Omega $， $ R_{2}=1\ \Omega $，求 $ i_{2} $

1-19 试求题 1-19 图所示电路中控制量 $ I_{1} $ 及电压 $ U_{0} $

1-20 试求题 1-20 图所示电路中控制量 $ u_{1} $ 及电压 u。

电阻电路的等效变换

内容提要

本章介绍电路等效变换的概念。内容包括：电阻的串联、并联与混联，Y形联结与 $ \Delta $形联结；电源的串联与并联，电源的等效变换以及一端口电路输入电阻的计算。

§2-1 引言

由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路，称为时不变线性电路，简称线性电路。本书的大部分内容是线性电路的分析。

如果构成电路的无源元件均为线性电阻，则称该电路为线性电阻性电路（或简称电阻电路）。本书第二、三、四章介绍电阻电路的分析。电路中电压源的电压或电流源的电流，可以是直流，也可以随时间按某种规律变化；当电路中的独立电源都是直流电源时，这类电路简称为直流电路。

本章为简单电阻电路的分析与计算，着重介绍等效变换的概念。

§2-2 电路的等效变换

对电路进行分析和计算时，有时可以把电路中某一部分简化，即用一个较为简单的电路代替该电路。在图2-1(a)中，右方虚线框中由几个电阻构成的电路可以用一个电阻 $ R_{eq} $ [见图2-1(b)]代替，使整个电路得以简化。进行代替的条件是使图2-1(a)、(b)中，端子1-1'以右的部分有相同的伏安特性。电阻 $ R_{eq} $称为等效电阻，其值决定于被代替的原电路中各电阻的值以及它们的连接方式。

另一方面，当图2-1(a)中端子1-1′以右电路被 $ R_{eq} $代替后，1-1′以左部分电路的任何电压和电流都将维持与原电路相同。这就是电路的“等效概念”。更一般地说，当电路中某一部分用其等效电路代替后，未被代替部分的电压和电流均应保持不变。也就是说，用等效电路的方法求解电路时，电压和电流保持不变的部分仅限于等效电路以外，这就是“对外等效”的概念。等效电路是被代替部分的简化或结构变形，因此，内部并不等效。例如，把图2-1(a)所示电路简化后，不难按图2-1(b)求得端子1-1′以左部分的电流i和端子1-1′的电压u，它们分别等于原电路中的电流i和电压u。如果要求图2-1(a)中虚线框内的各电阻的电流，就必须回到原电路，根据已求得的电流i和电压u来求解。可见，“对外等效”也就是其外部特性等效。

§2-3 电阻的串联和并联

图2-2(a)所示电路为 n 个电阻 $ R_{1} $、 $ R_{2} $、…、 $ R_{k} $、…、 $ R_{n} $ 的串联组合，电阻串联时，每个电阻中的电流为同一电流。

应用 KVL，有

$$ u=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots+u_{k}+\cdots+u_{n} $$

由于每个电阻的电流均为 i，有 $ u_{1}=R_{1}i,u_{2}=R_{2}i,u_{3}=R_{3}i,\cdots,u_{k}=R_{k}i,\cdots $ $ u_{n}=R_{n}i $ ，代入上式，得

$$ u=\left(R_{1}+R_{2}+R_{3}+\cdots+R_{k}+\cdots+R_{n}\right)i=R_{eq}i $$

其中

$$ R_{\mathrm{eq}}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\textcircled{1}\frac{u}{i}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\cdots+R_{k}+\cdots+R_{n}=\sum_{k=1}^{n}R_{k} $$

电阻 $ R_{eq} $ 是这些串联电阻的等效电阻。显然，等效电阻必大于任一个串联的电阻。

电阻串联时，各电阻上的电压为

$$ u_{k}=R_{k}i=\frac{R_{k}}{R_{\mathrm{e q}}}u\quad k=1,2,\cdots,n $$

可见，串联的每个电阻，其电压与电阻值成正比。或者说，总电压根据各个串联电阻的值进行分配。式(2-2)称为电压分配公式，或称分压公式。

图2-3(a)示出 n 个电阻的并联组合。电阻并联时，各电阻的电压为同一电压。由于电压相等，总电流 i 可根据 KCL 写作

$$ \begin{aligned}i~&=i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{k}+\cdots+i_{n}\\&=G_{1}u+G_{2}u+\cdots+G_{k}u+\cdots+G_{n}u\\&=\left(G_{1}+G_{2}+\cdots+G_{k}+\cdots+G_{n}\right)u=G_{\mathrm{eq}}u\end{aligned} $$

式中 $ G_{1} $、 $ G_{2} $、 $ \cdots $、 $ G_{k} $、 $ \cdots $、 $ G_{n} $ 为电阻 $ R_{1} $、 $ R_{2} $、 $ \cdots $、 $ R_{k} $、 $ \cdots $、 $ R_{n} $ 的电导，而

$$ G_{\mathrm{eq}}=\frac{i}{u}=G_{1}+G_{2}+\cdots+G_{k}+\cdots+G_{n}=\sum_{k=1}^{n}G_{k} $$

$ G_{eq} $ 是 n 个电阻并联后的等效电导。并联后的等效电阻 $ R_{eq} $ 为

$$ R_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{G_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}G_{k}}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_{k}}} $$

或

$$ \frac{1}{R_{eq}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_{k}} $$

不难看出，等效电阻小于任一个并联的电阻。

电阻并联时，各电阻中的电流为

$$ i_{k}=G_{k}u=\frac{G_{k}}{G_{\mathrm{eq}}}i\quad(k=1,2,\cdots,n) $$

可见，每个并联电阻中的电流与它们各自的电导值成正比。上式称为电流分配公式，或称分流公式。

当 n=2 时，即 2 个电阻的并联，如图 2-4(a) 所示，等效电阻为

$$ R_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} $$

两并联电阻的电流分别为

$$ i_{1}=\frac{G_{1}}{G_{eq}}i=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}i $$

$$ i_{2}=\frac{G_{2}}{G_{\mathrm{eq}}}i=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}i $$

例2-1 图2-5所示电路中， $ I_{S}=16.5~mA $， $ R_{s}=2~k\Omega $， $ R_{1}=40~k\Omega $， $ R_{2}=10~k\Omega $， $ R_{3}=25~k\Omega $，求 $ I_{1} $、 $ I_{2} $和 $ I_{3} $。

解 $ R_{s} $ 不影响 $ R_{1} $、 $ R_{2} $、 $ R_{3} $ 中电流的分配。现在 $ G_{1}=\frac{1}{R_{1}}=0.025\ mS $, $ G_{2}=\frac{1}{R_{2}} $

=0.1 mS, $ G_{3}=\frac{1}{R_{3}}=0.04\ mS $ 。按电流分配公式，有

$$ I_{1}=\frac{G_{1}}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}I_{s}=\frac{0.025}{0.025+0.1+0.04}\times16.5\ mA=2.5\ mA $$

$$ I_{2}=\frac{G_{2}}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}I_{s}=\frac{0.1}{0.025+0.1+0.04}\times16.5\ mA=10\ mA $$

$$ I_{3}=\frac{G_{3}}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}I_{\mathrm{s}}=\frac{0.04}{0.025+0.1+0.04}\times16.5\mathrm{~mA}=4\mathrm{~mA} $$

当电阻的连接中既有串联又有并联时，称为电阻的串、并联，或简称混联。图2-6(a)、(b)所示电路均为混联电路。在图2-6(a)中， $ R_{3} $ 与 $ R_{4} $ 串联后与 $ R_{2} $ 并联，再与 $ R_{1} $ 串联，故有

$$ R_{eq}=R_{1}+\frac{R_{2}(R_{3}+R_{4})}{R_{2}+R_{3}+R_{4}} $$

对于图2-6(b)中电路，读者可自行求得 $ R_{eq}=12\Omega $

除了串联、并联以外，另一种特殊的连接形式是桥形连接。图2-7(a)所示桥形结构电路中电阻既不是串联也不是并联，因此无法根据电阻的串联、并联变换规律将电路结构加以变动。如果在该电路的任一支路中加入一个电压源就可得到图2-7(b)所示电路。该电路又称为惠斯通电桥。其中 $ R_{1} $、 $ R_{2} $、 $ R_{3} $、 $ R_{4} $所在支路称为桥臂， $ R_{5} $支路称为对角线支路。不难证明，当满足条件 $ R_{1}R_{4}=R_{2}R_{3} $时，对角线支路中电流为零，称为电桥处于平衡状态 $ ^{①} $，这一条件也称为电桥的平衡条件。电桥平衡时 $ R_{5} $可看作开路或短路，电路就可按串、并联规律计算 $ ^{②} $。但当电桥不满足平衡条件时，就无法应用串、并联变换，而要应用下一节中电阻的Y- $ \Delta $等效变换。

§2-4 电阻的 Y 形联结和 $ \Delta $ 形联结的等效变换

Y形联结也称为星形(star)联结， $ \Delta(\delta\Delta) $形联结也称为三角形联结。它们都具有3个端子与外部相连。在图2-7所示电桥电路中， $ R_{1} $， $ R_{3} $， $ R_{5} $构成Y形联结 $ (R_{2},R_{4},R_{5} $也构成Y形联结 $ (R_{1},R_{2},R_{5} $构成 $ \Delta $形联结 $ (R_{3},R_{4},R_{5} $也构成 $ \Delta $形联结)。图2-8(a)、(b)分别表示接于端子1、2、3的Y形联结与 $ \Delta $形联结的三个电阻。端子1、2、3与电路的其他部分相连，图中没有画出电路的其他部分。当两种电路的电阻之间满足一定关系时，它们在端子1、2、3上及端子以外的特性可以相同，就是说它们可以互相等效变换。如果在它们的对应端子之间具有相同的电压 $ u_{12} $、 $ u_{23} $和 $ u_{31} $，而流入对应端子的电流分别相等，即 $ i_{1}=i_{1}^{\prime} $， $ i_{2}=i_{2}^{\prime} $， $ i_{3}=i_{3}^{\prime} $，在这种条件下，它们彼此等效。这就是Y- $ \Delta $等效变换的条件。

对于 $ \Delta $形联结电路，各电阻中电流为

$$ i_{12}=\frac{u_{12}}{R_{12}},i_{23}=\frac{u_{23}}{R_{23}},i_{31}=\frac{u_{31}}{R_{31}} $$

根据 KCL, 端子电流分别为

$$ \left.\begin{array}{l l}{{i_{1}^{\prime}=\displaystyle\frac{u_{12}}{R_{12}}-\frac{u_{31}}{R_{31}}}}\\ {{{}}}\\ {{i_{2}^{\prime}=\displaystyle\frac{u_{23}}{R_{23}}-\frac{u_{12}}{R_{12}}}}\\ {{{}}}\\ {{i_{3}^{\prime}=\displaystyle\frac{u_{31}}{R_{31}}-\frac{u_{23}}{R_{23}}}}\\ \end{array}\right\}\quad. $$

对于 Y 形联结电路，应根据 KCL 和 KVL 求出端子电压与电流之间的关系，方程为

$$ \begin{aligned}i_{1}+i_{2}+i_{3}&=0\\R_{1}i_{1}-R_{2}i_{2}&=u_{12}\\R_{2}i_{2}-R_{3}i_{3}&=u_{23}\end{aligned} $$

可以解出电流

$$ \left.\begin{aligned}&i_{1}=\frac{R_{3}u_{12}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}-\frac{R_{2}u_{31}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\ &i_{2}=\frac{R_{1}u_{23}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}-\frac{R_{3}u_{12}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\ &i_{3}=\frac{R_{2}u_{31}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}-\frac{R_{1}u_{23}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\ \end{aligned}\right\} $$

由于不论 $ u_{12} $、 $ u_{23} $、 $ u_{31} $ 为何值，两个等效电路的对应的端子电流均相等，故式 (2-5) 与式 (2-6) 中电压 $ u_{12} $、 $ u_{23} $ 和 $ u_{31} $ 前面的系数应该对应地相等。于是得到

$$ \left.\begin{aligned}R_{12}&=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}\\ R_{23}&=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}\\ R_{31}&=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}\end{aligned}\right\} $$

式 $ (2-7) $就是根据Y形联结的电阻确定 $ \Delta $形联结的电阻的公式。

将式(2-7)中三式相加，并在右方通分可得

$$ R_{12}+R_{23}+R_{31}=\frac{\left(R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}\right)^{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}} $$

代入 $ R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}=R_{12}R_{3}=R_{31}R_{2} $ 就可得到 $ R_{1} $ 的表达式。同理可得 $ R_{2} $ 和 $ R_{3} $。公式分别为

$$ \left.\begin{aligned}{R_{1}}&{{}=\frac{R_{12}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}}\\ {R_{2}}&{{}=\frac{R_{23}R_{12}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}}\\ {R_{3}}&{{}=\frac{R_{31}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}}\\ \end{aligned}\right\} $$

式 $ (2-8) $就是根据 $ \Delta $形联结的电阻确定Y形联结的电阻的公式。

为了便于记忆，以上互换公式可归纳为

$$ Y 形电阻 =\frac{\Delta 形相邻电阻的乘积 }{\Delta 形电阻之和 } $$

$$ \Delta\; 形电阻 =\frac{Y\; 形电阻两两乘积之和 }{Y\; 形不相邻电阻 } $$

注意这些公式的量纲和端子1、2、3的互换性有助于记忆。

若 Y 形联结中 3 个电阻相等，即 $ R_{1}=R_{2}=R_{3}=R_{Y} $，则等效 $ \Delta $ 形联结中 3 个电阻也相等，它们等于

$$ R_{△}=R_{12}=R_{23}=R_{31}=3R_{Y} $$

或

$$ R_{\mathrm{y}}=\frac{1}{3}R_{\Delta} $$

式 $ （2-7） $、 $ （2-8） $也可用电导表示，例如式 $ （2-7） $可写成

$$ \begin{aligned}&G_{12}=\frac{G_{1}G_{2}}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}\\ &G_{23}=\frac{G_{2}G_{3}}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}\\ &G_{31}=\frac{G_{3}G_{1}}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}\\ \end{aligned} $$

例 2-2 求图 2-9(a) 所示桥形电路的总电阻 $ R_{12} $。

解 将结点①、③、④内的 $ \Delta $ 形电路用等效 Y 形电路替代，得到图 2-9(b) 所示电路，其中

$$ \begin{aligned}&R_{2}=\frac{14\times21}{14+14+21}\ \Omega=6\ \Omega\\&R_{3}=\frac{14\times14}{14+14+21}\ \Omega=4\ \Omega\\&R_{4}=\frac{14\times21}{14+14+21}\ \Omega=6\ \Omega\\ \end{aligned} $$

然后用串、并联的方法，得到图2-9(c)、(d)、(e)所示电路，从而求得

$$ R_{12}=15\ \Omega $$

另一种方法是用 $ \Delta $形电路来替代结点①、④、⑤内的Y形电路（以结点③为

Y形联结的内部公共结点)，求解过程如图2-10所示。

§2-5 电压源、电流源的串联和并联

图2-11(a)为 n 个电压源的串联，可以用一个电压源等效替代如图2-11(b)所示，这个等效电压源的激励电压为

$$ u_{\mathrm{S}}=u_{\mathrm{S}1}+u_{\mathrm{S}2}+\cdots+u_{\mathrm{S}n}=\sum_{k=1}^{n}u_{\mathrm{S}k} $$

如果 $ u_{Sk} $ 的参考方向与图 2-11(b) 中 $ u_{S} $ 的参考方向一致时，式中 $ u_{Sk} $ 的前面取“+”号，不一致时取“-”号。

图2-12(a)所示为 n 个电流源的并联，可以用一个电流源等效替代。等效电流源的激励电流为

$$ i_{\mathrm{S}}=i_{\mathrm{S}1}+i_{\mathrm{S}2}+\cdots+i_{\mathrm{S}n}=\sum_{k=1}^{n}i_{\mathrm{S}k} $$

如果 $ i_{Sk} $ 的参考方向与图 2-12(b) 中 $ i_{S} $ 的参考方向一致时，式中 $ i_{Sk} $ 的前面取“+”号，不一致时取“-”号。

只有激励电压相等且极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL。其等效电路为其中任一电压源，但是这个并联组合向外部提供的电流在各个电压源之间如何分配则无法确定。

只有激励电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL。其等效电路为其中任一电流源，但是这个串联组合的总电压如何在各个电流源之间分配则无法确定。

§2-6 实际电源的两种模型及其等效变换

图2-13(a)所示为一个实际直流电源，例如一个电池；图2-13(b)是它的输出电压u与输出电流i的伏安特性曲线。可见电压u随电流i增大而减少，而且不成线性关系。电流i不可超过一定的限值，否则会导致电源损坏。不过在一段范围内电压和电流的关系近似为直线。如果把这一段直线加以延长而作为该电源的外特性，如图2-13(c)所示，可以看出，它在u轴和i轴上各有一个交点，前者相当于i=0时的电压，即开路电压 $ U_{oc} $ $ ^{①} $；后者相当于u=0时的电流，即短路电流 $ I_{oc} $ $ ^{②} $。根据此伏安特性曲线，可以用电压源和电阻的串联组合或电流源和电导的并联组合作为实际电源的电路模型。

图2-14(a)所示为电压源 $ U_{s} $和电阻R的串联组合，在端子1-1'处的电压u与(输出)电流i的关系为

$$ u=U_s-Ri $$

图2-14(c)所示为电流源 $ I_{s} $与电导G的并联组合，在端子1-1'处的电压u与（输出）电流i的关系为

$$ i=I_{\mathrm{s}}-G u $$

如果令

$$ G=\frac{1}{R},I_{\mathrm{s}}=G U_{\mathrm{s}} $$

式(2-9)和(2-10)所示的两个方程将完全相同，也就是在端子1-1′处的u和i的关系将完全相同。式(2-11)就是这两种组合彼此对外等效必须满足的条件（注意 $ U_{s} $和 $ I_{s} $的参考方向， $ I_{s} $的参考方向由 $ U_{s} $的负极指向正极）。

当 i=0 时，端子 1-1' 处的电压为开路电压 $ U_{oc} $，而 $ U_{oc}=U_{S} $。当 u=0 时，i 为把端子 1-1' 短路后的短路电流 $ I_{sc} $，而 $ I_{sc}=I_{S} $。同时有 $ U_{oc}=RI_{sc} $，或 $ I_{sc}=GU_{oc} $。

图2-14(b)和(d)分别示出图2-14(a)和(c)所示电路在i-u平面上的伏安特性曲线，它们都是一条直线。当式(2-11)的条件满足时，它们将是同一条直线。

这种等效变换仅保证端子1-1'外部电路的电压、电流和功率相同（即只是对外部等效），对内部并无等效可言。例如，端子1-1'开路时，两电路对外均不发出功率，但此时电压源发出的功率为零，电流源发出功率为 $ \frac{I_{s}^{2}}{G} $。反之，短路时，电压源发出的功率为 $ \frac{U_{s}^{2}}{R} $，电流源发出的功率为零。

利用 §2-3、§2-5 和本节的等效变换，就可以求解由电压源、电流源和电阻组成的串、并联电路。

例2-3 求图2-15(a)所示电路中电流i。

解 图2-15(a)所示电路可简化为图2-15(d)所示单回路电路。简化过程如图2-15(b)、(c)、(d)、(e)所示。由化简后的电路可求得电流为

$$ i=\frac{5}{3+7}\mathrm{~A}=0.5\mathrm{~A} $$

受控电压源、电阻的串联组合和受控电流源、电导的并联组合也可以用上述方法进行变换。此时可把受控电源当作独立电源处理，但应注意在变换过程中保存控制量所在支路，而不要把它消掉。

例 2-4 图 2-16(a) 所示电路中，已知 $ u_{S}=12\ V, R=2\ \Omega, V_{CCS} $ 的电流 $ i_{c} $ 受电阻 R 上的电压 $ u_{R} $ 控制，且 $ i_{c}=gu_{R}, g=2\ S $ 。求 $ u_{R} $ 。

解 利用等效变换，把电压控制电流源和电导的并联组合变换为电压控制

电压源和电阻的串联组合，如图2-16(b)，其中 $ u_{c}=Ri_{c}=2\times2\times u_{R}=4u_{R} $，而 $ u_{R}=Ri_{c} $。按KVL，有

$$ Ri+Ri+u_{c}=u_{s} $$

$$ 2u_{r}+4u_{r}=u_{\mathrm{s}} $$

$$ u_{R}=\frac{u_{S}}{6}=2\mathrm{~V} $$

§2-7 输入电阻

电路或网络的一个端口是它向外引出的一对端子，这对端子可以与外部电源或其他电路相联结。对一个端口来说，从它的一个端子流入的电流一定等于从另一个端子流出的电流。这种具有向外引出一对端子的电路或网络称为一端口（网络）或二端网络。图2-17(a)所示是一个一端口的图形表示。

如果一个一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和 $ Y-\Delta $ 变换等方法，可以求得它的等效电阻。如果一端口内部除电阻以外还含有受控源，但不含任何独立电源，可以证明（见 §4-3），不论内部如何复杂，端口电压与端口电流 [见图2-17(a)] 成正比，因此，定义此一端口的输入电阻 $ R_{i} $ 为

$$ R_{i}\mathop{=}\limits^{def}\frac{u}{i} $$

端口的输入电阻也就是端口的等效电阻，但两者的含意有区别。求端口输入电阻的一般方法称为电压、电流法，即在端口加以电压源 $ u_{s} $，然后求出端口电流 i；或在端口加以电流源 $ i_{s} $，然后求出端口电压 u。根据式(2-12)， $ R_{i}=\frac{u_{s}}{i}=\frac{u}{i_{s}} $。测量一个电阻器的电阻就可以采用这种方法。

图2-17(b)中一端口的输入电阻可通过电阻串、并联化简求得，图2-17

(c)所示电路具有桥形结构，应用 $ Y-\Delta $变换后才能简化。也可以用电压、电流法求此两图的输入电阻，如图2-17(b)、(c)所示。

例 2−5 求图 2−18(a) 所示一端口的输入电阻。

解 在端口1-1处加电压 $ u_{s} $，求出i，再由式(2-12)求输入电阻 $ R_{i} $。

将 CCCS 和电阻 $ R_{2} $ 的并联组合等效变换为 CCVS 和电阻的串联组合，如图 2-18(b) 所示。根据 KVL，有

$$ u_{s}=-R_{2}\alpha i+\left(R_{2}+R_{3}\right)i_{1} $$

$$ u_{\mathrm{s}}=R_{1}i_{2} $$

再由 KCL, $ i = i_{1} + i_{2} $，可得 $ i_{1} = i - i_{2} = i - \frac{u_{S}}{R_{1}} $，代入(1)式，整理后，有

$$ R_{\mathrm{i}}=\frac{u_{\mathrm{S}}}{i}=\frac{R_{1}R_{3}+\left(1-\alpha\right)R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} $$

上式分子中有负号出现，因此，当存在受控源时，在一定的参数条件下， $ R_{i} $ 有可能是零，也有可能是负值。例如，当 $ R_{1}=R_{2}=1 $ Ω， $ R_{3}=2 $ Ω， $ \alpha=5 $ 时， $ R_{i}=-0.5 $ Ω。§1—5 中曾指出负电阻元件实际是一个发出功率的元件。本例中一端口向外发出功率是由于受控源发出功率。

___ 习 题 ___

2-1 电路如题2-1图所示，已知 $ u_{S}=100\ V, R_{1}=2\ k\Omega, R_{2}=8\ k\Omega $。试求以下3种情况下的电压 $ u_{2} $和电流 $ i_{2}, i_{3} $:

(1) $ R_3 = 8\ k\Omega $;

(2) $ R_{3}=\infty(R_{3} $处开路 $ ) $;

(3) $ R_{3}=0(R_{3} $处短路)。

2-2 电路如题2-2图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。求：

（1）电压 $ u_{2} $ 和电流 $ i_{2} $;

(2) 若电阻 $ R_{1} $ 增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？

2-3 题2-3图中 $ u_{s}=50\ V,R_{1}=2\ k\Omega,R_{2}=8\ k\Omega $ 。现欲测量电压 $ u_{0} $，所用电压表量程为50V，灵敏度为1000Ω/V（即每伏量程电压表相当为1000Ω的电阻），问：

(1) 测量得 $ u_{0} $ 为多少？

(2) $ u_{0} $ 的真值 $ u_{0} $ 为多少？

(3) 如果测量误差以下式表示：

$$ \delta(\%)=\frac{u_{o}-u_{ot}}{u_{ot}}\times100 $$

问此时测量误差是多少？

2-4 求题2-4图所示各电路的等效电阻 $ R_{ab} $，其中 $ R_{1}=R_{2}=1\ \Omega, R_{3}=R_{4}=2\ \Omega, R_{s}=4\ \Omega, G_{1}=G_{s}=1\ S, R=2\ \Omega $

2-S 用 $ \Delta-Y $ 等效变换法求题 2-5 图中 a、b 端的等效电阻：

(1) 将结点①、②、③之间的三个 $ 9\Omega $ 电阻构成的 $ \Delta $ 形变换为 Y 形；

(2) 将结点①、③、④与作为内部公共结点的②之间的三个9Ω电阻构成的Y形变换为△形。

2-6 利用 Y- $ \Delta $ 等效变换求题 2-6 图中 a、b 端的等效电阻。

2-7 在题2-7图(a)所示电路中， $ u_{S1}=24\ V $， $ u_{S2}=6\ V $， $ R_{1}=12\ k\Omega $， $ R_{2}=6\ k\Omega $， $ R_{3}=2\ k\Omega $。题2-7图(b)为经电源变换后的等效电路。

(1) 求等效电路的 $ i_{s} $ 和 R;

（2）根据等效电路求 $ R_{3} $ 中电流和消耗功率；

（3）分别在题2-7图(a)、(b)中求出 $ R_{1} $、 $ R_{2} $及 $ R_{3} $，消耗的功率；

（4）试问 $ u_{S1} $、 $ u_{S2} $ 发出的功率是否等于 $ i_{S} $ 发出的功率？ $ R_{1} $、 $ R_{2} $ 消耗的功率是否等于 R 消耗的功率？为什么？

2-8 求题2-8图所示电路中对角线电压U及总电压 $ U_{ab} $

2-9 题 2-9 图所示为由桥 T 电路构成的衰减器。

（1）试证明当 $ R_{2}=R_{1}=R_{L} $ 时， $ R_{ab}=R_{L} $，且有 $ \frac{u_{0}}{u_{i}}=0.5 $；

（2）试证明当 $ R_{2}=\frac{2R_{1}R_{L}^{2}}{3R_{1}^{2}-R_{L}^{2}} $ 时， $ R_{sb}=R_{L} $，并求此时电压比 $ \frac{u_{0}}{u_{i}} $。

210 在题2-10图(a)中， $ u_{S1}=45\ V $， $ u_{S2}=20\ V $， $ u_{S4}=20\ V $， $ u_{S5}=50\ V $； $ R_{1}=R_{3}=15\ \Omega $， $ R_{2}=20\ \Omega $， $ R_{4}=50\ \Omega $， $ R_{5}=8\ \Omega $；在题2-10图(b)中 $ u_{S1}=20\ V $， $ u_{S5}=30\ V $， $ i_{S2}=8\ A $， $ i_{S4}=17\ A $， $ R_{1}=5\ \Omega $， $ R_{3}=10\ \Omega $， $ R_{5}=10\ \Omega $。利用电源的等效变换求题2-10图(a)、(b)中的电压 $ u_{sh} $。

211 利用电源的等效变换，求题2-11图所示电路的电流 i。

212 利用电源的等效变换，求题2-12图所示电路中电压比 $ \frac{u_{0}}{u_{S}} $。已知 $ R_{1}=R_{2}=2\Omega,R_{3}=R_{4}=1\Omega $。

2-13 题2-13图所示电路中 $ R_{1}=R_{3}=R_{4}, R_{2}=2R_{1} $，CCVS的电压 $ u_{c}=4R_{1}i_{1} $，利用电源的等效变换求电压 $ u_{10} $。

2-14 试求题 2-14 图(a)、(b)的输入电阻 $ R_{ab} $

2-15 试求题 2-15 图(a)、(b) 的输入电阻 $ R_{i} $

2-16 题2-16图所示电路中全部电阻均为 $ 1\Omega $，求输入电阻 $ R_{1} $。

第三章

电阻电路的一般分析

内容提要

本章介绍线性电阻电路方程的建立方法。内容包括：电路图论的初步概念、支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。要求通过本章的学习后，会列出电路方程。

§3-1 电路的图

对于结构较为简单的电路，应用第二章介绍的等效变换的方法来求解通常是有效的。但对于结构较为复杂的电路（例如有多个独立电源），等效法的应用不太有效，有时反而使问题复杂化。本章介绍电路的系统求解法。这种方法的特点是不改变电路的结构，而是选择一组合适的电路变量（电流和/或电压），根据KCL和KVL以及元件的VCR建立该组变量的独立方程组，通过求解电路方程，从而得到所需的响应。所建立的方程称为电路方程，对于线性电阻电路，它是一组线性代数方程。在第15章中将介绍利用计算机建立、求解各类方程的辅助方法。电路方程的建立及求解还将推广应用于交流电路、非线性电路，时域、频域分析等领域之中。

在电路分析中，将以图论 $ ^{①} $为数学工具来选择电路独立变量，列出与之相应的独立方程。图论在电路中的应用也称为“网络图论 $ ^{②} $”。网络图论为电路分析建立严密的数学基础并提供系统化的表达方法，更为利用计算机分析、计算、设计大规模电路问题奠定了基础。

在本节中，介绍一些图论的初步知识。图论的研究对象是“图 $ ^{①} $”。图是由点和连接这些点的边构成的。如果把电路图中各支路的内容忽略不计，代之以线段，电路图就成为它的“图”。因此，在电路分析中，用图论的研究方法来讨论电路的连接性质是十分有效的。

一个图 G 是具有给定连接关系的结点和支路的集合。支路的端点必须是结点，但结点则允许是孤立结点。这点和电路图中支路和结点的概念是有差别的，在电路图中，支路是实体，结点则是支路的连接点，结点是由支路形成的，没有了支路也不存在结点。但在图论中，孤立结点允许存在，它表示一个与外界不发生联系的“事物”。

图3-1(a)中画出一个具有6个电阻和2个独立电源的电路。如果认为每一个二端元件构成电路的一条支路，则图3-1(b)就是该电路的“图”，它共有5个结点和8条支路。有时为了需要，可以把元件的串联组合作为一条支路处理，并以此为根据画出电路的图。例如，图3-1(a)中电压源 $ u_{S1} $和电阻 $ R_{1} $的串联组合可以作为一条支路，这个电路的图将如图3-1(c)所示。它共有4个结点和7条支路。如果再把元件的并联组合也作为一条支路 $ ^{②} $，例如，电流源 $ i_{S2} $和电阻 $ R_{2} $的并联组合。这样，图3-1(c)将成为图3-1(d)，它共有4个结点和6条

支路。所以，当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路的图以及它的结点数和支路数将随之不同。

在电路中通常指定每一条支路中的电流参考方向，电压一般取关联参考方向。电路的图的每一条支路也可以指定一个方向，此方向即该支路电流（和电压）的参考方向。赋予支路方向的图称为“有向图”，未赋予支路方向的图称为“无向图”。图3-1(b)、(c)为无向图，图3-1(d)为有向图。

KCL 和 KVL 与支路的元件性质无关，因此可以利用电路的图讨论如何列出 KCL 和 KVL 方程，并讨论它们的独立性。

§3-2 KCL 和 KVL 的独立方程数

图3-2 示出一个电路的图, 它的结点和支路都已分别编号, 并给出了支路

的方向，该方向也即支路电流和与之关联的支路电压的参考方向。

对结点 $ ① $、 $ ② $、 $ ③ $、 $ ④ $分别列出KCL方程，有

$$ \begin{aligned}i_{1}-i_{4}-i_{6}&=0\\-i_{1}-i_{2}+i_{3}&=0\\i_{2}+i_{5}+i_{6}&=0\\-i_{3}+i_{4}-i_{5}&=0\end{aligned} $$

支路无例外地与2个结点相连，且每个支路电流必然从其中一个结点流入，从另一个结点流出。因此，在所有KCL方程中，每个支路电流必然出现2次；一次为正，另一次为负（指每项前面的“+”或“-”）。若把以上4个方程相加，必然得出等号两边为零的结果。这就是说，这4个方程不是相互独立的，但上列4个方程中的任意3个是独立的。可以证明 $ ^{①} $，对于具有n个结点的电路，在任意 $ (n-1) $个结点上可以得出 $ (n-1) $个独立的KCL方程。相应的 $ (n-1) $个结点称为独立结点。

讨论关于 KVL 独立方程数时要用到独立回路的概念。回路和独立回路的概念与支路的方向无关，因此可以用无向图的概念叙述。

从一个图 G 的某一结点出发，沿着一些支路移动而到达另一结点（或回到原出发点），这样的一系列支路构成图 G 的一条路径。一条支路本身也算为路径。当图 G 的任意两个结点之间至少存在一条路径时，图 G 就称为连通图 $ ^{②} $。

例如，图3-2所示是连通图。如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点不出现重复，这条闭合路径就构成图G的一个回路。例如，对图3-3所示图G，支路(1,5,8),(2,5,6),(1,2,3,4),(1,2,6,8)等都是回路；其他还有支路(4,7,8),(3,6,7),(1,5,7,4),(3,4,8,6),(2,3,7,5),(1,2,6,7,4),(1,2,3,7,8),(2,3,4,8,5),(1,5,6,3,4)等构成的9个回路；总共有13个不同的回路。但是独立回路数远少于总的回路数。

对每个回路可以应用 KVL 列出有关支路电压的方程。例如，对图 3-3 所

如图 G，如果按支路(1,5,8)和支路(2,5,6)分别构成2个回路列出2个KVL方程，不论支路电压和绕行方向怎样指定，支路5的电压将在这2个方程中出现，因为该支路是这2个回路的共有支路。把这2个方程相加或相减总可以把支路5的电压消去，而得到按支路(1,2,6,8)构成回路的KVL方程。可见这3个回路(方程)是相互不独立的，因为其中任何一个回路(方程)可以由其他2个回路(方程)导出。因此，这3个回路中只有2个是独立的。

一个图的回路数很多，如何确定它的一组独立回路有时不太容易。利用“树”的概念有助于寻找一个图的独立回路组，从而得到独立的KVL方程组。

连通图 G 的树 T 定义为：包含图 G 的全部结点且不包含任何回路的连通子图。

对于图3-3所示图G，符合上述定义的树有很多，图3-4(a)、(b)、(c)绘出其中的3个。图3-4(d)、(e)不是该图的树，因为图(d)中包含了回路；图(e)则是非连通的。树中包含的支路称为该树的树支，而其他支路则称为对应于该树的连支。例如图3-4(a)所示树，它具有树支(5,6,7,8)；相应的连支为(1,2,3,4)。对图3-4(b)所示树，其树支为(1,3,5,6)；相应的连支为(2,4,7,8)。树支和连支一起构成图G的全部支路。

图3-3所示图G有5个结点，图3-4(a)、(b)、(c)所示图G的每一个树具有4条支路；图3-4(d)有5条支路，它不是树，图3-4(e)只有3条支路，它也不是树。这个图G有许多不同的树 $ ^{①} $，但不论是哪一个树，树支数总是4。可以证明，任一个具有n个结点的连通图，它的任何一个树的树支数为 $ (n-1) $^{②}。

由于连通图 G 的树支连接所有结点又不形成回路，因此，对于图 G 的任意一个树，加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外均由树

支组成，这种回路称为单连支回路或基本回路。对于图3-5(a)所示图G，取支路(1,4,5)为树，在图3-5(b)中以实线表示，相应的连支为(2,3,6)。对应于这一树的基本回路是(1,3,5)，(1,2,4,5)和(4,5,6)。每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支并不出现在其他基本回路中。由连支形成的全部基本回路构成基本回路组，基本回路的个数显然等于连支数。如果对基本回路组列写KVL方程，由于每个连支只在一个回路中出现，因此这些KVL方程必构成独立方程组。换言之，根据基本回路所列出的KVL方程组是独立方程。对一个具有b条支路和n个结点的电路，连支数 $ l=b-n+1 $，这也就是一个图的独立回路的数目。选择不同的树，就可以得到不同的基本回路组。图3-5(c)、(d)、(e)是以支路(1,4,5)为树相对应的基本回路组。

如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图，否则称为非平面图。图3-6(a)是一个平面图，图3-6(b)则是典型的非平面图。对于一个平面图，可以引入网孔的概念。平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔”，它限定的区域内不再有支路。对图3-6(a)所示的平面图，支路(1,3,5),(2,3,7),(4,5,6),(4,7,8),(6,8,9)都构成网孔 $ ^{①} $；支路(1,2,8,6),(2,3,4,8)等不构成网孔。平面图的全部网孔是一组独立回路 $ ^{②} $，所以平面图的网孔数也就是独立回路数。图3-6(a)所示平面图有5个结点，9

条支路，独立回路数 l = b - n + 1 = 5，而它的网孔数正好也是 5 个。

一个电路的 KVL 独立方程数等于它的独立回路数。以图 3-7(a) 所示电路的图为例，如果取支路(1,4,5)为树，则 3 个基本回路示于图 3-7(b)。按图中的电压和电流的参考方向及回路绕行方向，计及支路及回路的编号，可以列出 KVL 方程如下：

$$ u_{1}+u_{3}+u_{5}=0 $$

$$ u_{1}-u_{2}+u_{4}+u_{5}=0 $$

$$ -u_{4}-u_{5}+u_{6}=0 $$

这是一组独立方程。

§3-3 支路电流法

对一个具有 b 条支路和 n 个结点的电路，当以支路电压和支路电流为电路变量列写方程时，总计有 2b 个未知量。根据 KCL 可以列出 $ (n-1) $ 个独立方程、根据 KVL 可以列出 $ (b-n+1) $ 个独立方程；根据元件的 VCR 又可列出 b 个方程。总计方程数为 2b，与未知量数目相等。因此，可由 2b 个方程解出 2b 个支路电压和支路电流。这种方法称为 2b 法。

为了减少求解的方程数，可以利用元件的 VCR 将各支路电压以支路电流表示，然后代入 KVL 方程，这样，就得到以 b 个支路电流为未知量的 b 个 KCL 和 KVL 方程。方程数从 2b 减少至 b。这种方法称为支路电流法。

现在以图 3-8(a) 所示电路为例说明支路电流法。把电压源 $ u_{SI} $ 和电阻 $ R_{1} $ 的串联组合作为一条支路；把电流源 $ i_{SS} $ 和电阻 $ R_{5} $ 的并联组合作为一条支路，这样电路的图就如图 3-8(b) 所示，其结点数 n=4，支路数 b=6，各支路的方向和编号也示于图中。求解变量为 $ i_{1} $、 $ i_{2} $、 $ \cdots $、 $ i_{6} $。先利用元件的 VCR，将支路电压 $ u_{1} $、 $ u_{2} $、 $ \cdots $、 $ u_{6} $ 以支路电流 $ i_{1} $、 $ i_{2} $、 $ \cdots $、 $ i_{6} $ 表示。图 3-8(c)、(d) 给出支路 1 和支路 5 的结构，有

$$ \left.\begin{aligned}{u_{1}}&{{}=-u_{\mathrm{S}1}+R_{1}i_{1}}\\ {u_{2}}&{{}=R_{2}i_{2}}\\ {u_{3}}&{{}=R_{3}i_{3}}\\ {u_{4}}&{{}=R_{4}i_{4}}\\ {u_{5}}&{{}=R_{5}i_{5}+R_{5}i_{\mathrm{S}5}}\\ {u_{6}}&{{}=R_{6}i_{6}}\\ \end{aligned}\right\} $$

选择网孔作为独立回路，按图3-8(b)所示回路绕行方向列出KVL方程

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}u_{1}+u_{2}+u_{3}=0}\\ {}&{{}-u_{3}+u_{4}+u_{5}=0}\\ {}&{{}-u_{2}-u_{4}+u_{6}=0}\\ \end{aligned}\right\} $$

将式(3-1)代入式(3-2)，得

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}-u_{S1}+R_{1}\dot{i}_{1}+R_{2}\dot{i}_{2}+R_{3}\dot{i}_{3}=0}\\ {}&{{}-R_{3}\dot{i}_{3}+R_{4}\dot{i}_{4}+R_{5}\dot{i}_{5}+R_{5}\dot{i}_{S5}=0}\\ {}&{{}-R_{2}\dot{i}_{2}-R_{4}\dot{i}_{4}+R_{6}\dot{i}_{6}=0}\\ \end{aligned}\right\} $$

把上式中的 $ u_{S1} $ 和 $ R_{5}i_{S5} $ 项移到方程的右边后，与在独立结点①、②、③处列出的 KCL 方程联列，就组成了支路电流法的全部方程

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}-i_{1}+i_{2}+i_{6}=0}\\ {}&{{}-i_{2}+i_{3}+i_{4}=0}\\ {}&{{}-i_{4}+i_{5}-i_{6}=0}\\ {}&{{}R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}+R_{3}i_{3}=u_{\mathrm{S}1}}\\ {}&{{}-R_{3}i_{3}+R_{4}i_{4}+R_{5}i_{5}=-R_{5}i_{\mathrm{S}5}}\\ {}&{{}-R_{2}i_{2}-R_{4}i_{4}+R_{6}i_{6}=0}\\ \end{aligned}\right\} $$

式(3-4)中的 KVL 方程可归纳为

$$ \textstyle\sum R_{k}i_{k}=\sum u_{\mathrm{S}k} $$

此式须对所有的独立回路写出。式中 $ R_{k}i_{k} $ 是回路中第 k 个支路中电阻上的电

压，当 $ i_{k} $ 的参考方向与回路的方向一致时，该项在和式中取“+”号；不一致时，则取“-”号；式中右方 $ u_{Sk} $ 是回路中第 k 个支路的电源电压，电源电压包括电压源的激励电压，也包括由电流源引起的电压。例如在支路 5 中并无电压源，仅为电流源与电阻的并联组合，但可将其等效变换为电压源与电阻的串联组合，其等效电压源为 $ u_{S5} = R_{5} i_{S5} $，在取代数和时，当 $ u_{Sk} $ 与回路方向一致时前面取“-”号（因移在等号另一侧）， $ u_{Sk} $ 与回路方向不一致时，前面取“+”号。此式实际上是 KVL 的另一种表达式，即任一回路中，电阻电压的代数和等于电压源电压的代数和。

列出支路电流法的电路方程的步骤如下：

（1）选定各支路电流的参考方向。

(2) 对 $ (n-1) $ 个独立结点列出 KCL 方程。

（3）选取 $ (b-n+1) $个独立回路，指定回路的绕行方向，按照式（3-5）列出KVL方程。

支路电流法要求 b 个支路电压均能以支路电流表示，即存在式(3-1)形式的关系。当一条支路仅含电流源而不存在与之并联的电阻时，就无法将支路电压以支路电流表示。这种无并联电阻的电流源称为无伴电流源。当电路中存在这类支路时，必须加以处理后才能应用支路电流法 $ ^{①} $。

如果将支路电流用支路电压表示，然后代入 KCL 方程，连同支路电压的 KVL 方程，可得到以支路电压为变量的 b 个方程。这就是支路电压法。

§3-4 网孔电流法

在网孔电流法中，以网孔电流作为电路的独立变量，它仅适用于平面电路。以下通过图3-9(a)所示电路说明。图3-9(b)是此电路的图，该电路共有3条支路，给定的支路编号和参考方向如图所示。

在结点 $ ^{①} $应用KCL，有

$$ -i_{1}+i_{2}+i_{3}=0 $$

或

$$ i_{2}=i_{1}-i_{3} $$

可见 $ i_{2} $ 不是独立的，它由 $ i_{1} $、 $ i_{3} $ 决定。 $ i_{2} $ 分为两部分，即图3-9(b)中向下方向的 $ i_{1} $ 以及向上方向的 $ i_{3} $。这两个电流可以看成是支路1与支路3中的电流 $ i_{1} $ 与 $ i_{3} $ 各自经过结点①后的延续，也就是将图中所有的电流归结为由两个沿网孔

连续流动的假想电流 $ i_{1} $ 与 $ i_{3} $ 所产生，这两个假想的电流称之为网孔电流 $ i_{m1} $ 与 $ i_{m2} $ ①。根据网孔电流和支路电流参考方向的给定，可以得出其间的关系：支路1只有电流 $ i_{m1} $ 流过，支路电流 $ i_{1}=i_{m1} $；支路3只有电流 $ i_{m2} $ 流过，支路电流 $ i_{3}=i_{m2} $；但是支路2有2个网孔电流同时流过，在给定的参考方向下[见图3-9(a)]支路电流将是网孔电流的代数和，即 $ i_{2}=i_{m1}-i_{m2} $。

由于网孔电流已经体现了电流连续即 KCL 的制约关系（换言之，根据网孔电流而计算的支路电流一定满足 KCL 方程，或称为自动满足 KCL），所以用网孔电流作为电路变量求解时只需列出 KVL 方程。全部网孔是一组独立回路，因而对应的 KVL 方程将是独立的，且独立方程个数与电路变量数均为全部网孔数，足以解出网孔电流。这种方法称为网孔电流法。

现以图3-9(a)所示电路为例，对网孔1与2列出KVL方程。列方程时，以各自的网孔电流方向为绕行方向，逐段写出电阻以及电源上的电压。对于网孔1，从结点 $ ^{①} $出发可得到

$$ R_{2}(i_{\mathrm{m1}}-i_{\mathrm{m2}})+u_{\mathrm{S2}}-u_{\mathrm{S1}}+R_{1}i_{\mathrm{m1}}=0 $$

对网孔2则有

$$ R_{3}\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}2}+\boldsymbol{u}_{\mathrm{s}3}-\boldsymbol{u}_{\mathrm{s}2}+R_{2}\left(\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}2}-\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}1}\right)=0 $$

式中沿网孔1绕行方向列方程时， $ R_{2} $ 上的电压为 $ R_{2}(i_{m1}-i_{m2}) $，其中 $ i_{m2} $ 前的负号是因为电流 $ i_{m2} $ 在 $ R_{2} $ 上的流动方向与 $ i_{m1} $ 相反之结果；同理，在网孔2的方程中，沿着网孔2绕行方向， $ R_{2} $ 上的电压则为 $ R_{2}(i_{m2}-i_{m1}) $，经整理后，有

$$ \left.\begin{aligned}&\left(\boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{2}\right)\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}1}-\boldsymbol{R}_{2}\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}2}=\boldsymbol{u}_{\mathrm{S}1}-\boldsymbol{u}_{\mathrm{S}2}\\ &-\boldsymbol{R}_{2}\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}1}+\left(\boldsymbol{R}_{2}+\boldsymbol{R}_{3}\right)\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}2}=\boldsymbol{u}_{\mathrm{S}2}-\boldsymbol{u}_{\mathrm{S}3}\end{aligned}\right\} $$

式 $ （3-6） $即是以网孔电流为求解对象的网孔电流方程。

现在用 $ R_{11} $ 和 $ R_{22} $ 分别代表网孔 1 和网孔 2 的自阻，它们分别是网孔 1 和网孔 2 中所有电阻之和，即 $ R_{11}=R_{1}+R_{2} $， $ R_{22}=R_{2}+R_{3} $；用 $ R_{12} $ 和 $ R_{21} $ 代表网孔 1 和网孔 2 的互阻，即两个网孔的共有电阻，本例中 $ R_{12}=R_{21}=-R_{2} $。上式可改写为

$$ \left.\begin{array}{l}R_{11}i_{\mathrm{m}1}+R_{12}i_{\mathrm{m}2}=u_{\mathrm{S}1}-u_{\mathrm{S}2}\\ R_{21}i_{\mathrm{m}1}+R_{22}i_{\mathrm{m}2}=u_{\mathrm{S}2}-u_{\mathrm{S}3}\end{array}\right\} $$

此方程可理解为： $ R_{11}i_{m1} $ 项代表网孔电流 $ i_{m1} $ 在网孔 1 内各电阻上引起的电压之和， $ R_{22}i_{m2} $ 项代表网孔电流 $ i_{m2} $ 在网孔 2 内各电阻上引起的电压之和。由于网孔绕行方向和网孔电流方向取为一致，故 $ R_{11} $ 和 $ R_{22} $ 分为正值。 $ R_{12}i_{m2} $ 项代表网孔电流 $ i_{m2} $ 在网孔 1 中引起的电压，而 $ R_{21}i_{m1} $ 项代表网孔电流 $ i_{m1} $ 在网孔 2 中引起的电压。当两个网孔电流在共有电阻上的参考方向相同时， $ i_{m2}(i_{m1}) $ 引起的电压与网孔 1(2)的绕行方向一致，应当为正；反之为负。为了使方程形式整齐，把这类电压前的“+”号或“-”号包括在有关的互阻中。这样，当通过网孔 1 和网孔 2 的共有电阻上的两个网孔电流的参考方向相同时，互阻 $ (R_{12}, R_{21}) $ 取正；反之则取负。故在本例中 $ R_{12} = R_{21} = -R_{2} $。

对具有 m 个网孔的平面电路，网孔电流方程的一般形式可以由式(3-7)推广而得，即有

$$ \left.\begin{aligned}{R_{11}i_{\mathrm{m}1}+R_{12}i_{\mathrm{m}2}+R_{13}i_{\mathrm{m}3}+\cdots+R_{1m}i_{\mathrm{m}m}}&{{}=u_{\mathrm{S}11}}\\ {R_{21}i_{\mathrm{m}1}+R_{22}i_{\mathrm{m}2}+R_{23}i_{\mathrm{m}3}+\cdots+R_{2m}i_{\mathrm{m}m}}&{{}=u_{\mathrm{S}22}}\\ {\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots}\\ {R_{m1}i_{\mathrm{m}1}+R_{m2}i_{\mathrm{m}2}+R_{m3}i_{\mathrm{m}3}+\cdots+R_{m m}i_{\mathrm{m}m}}&{{}=u_{\mathrm{S}m m}}\\ \end{aligned}\right\} $$

式中具有相同双下标的电阻 $ R_{11} $、 $ R_{22} $、 $ R_{33} $ 等是各网孔的自阻；有不同下标的电阻 $ R_{12} $、 $ R_{13} $、 $ R_{23} $ 等是网孔间的互阻。自阻总是正的，互阻的正、负则视两网孔电流在共有支路上参考方向是否相同而定。方向相同时为正，方向相反时为负。显然，如果两个网孔之间没有共有支路，或者有共有支路但其电阻为零（例如共有支路间仅有电压源），则互阻为零。如果将所有网孔电流都取为顺（或逆）时钟方向，则所有互阻总是负的。在不含受控源的电阻电路的情况下， $ R_{ik} = R_{ki} $。方程右方 $ u_{S11} $、 $ u_{S22} $、…分别为网孔 1、网孔 2、…中所有电压源电压的代数和，各电压源的方向与网孔电流一致时，前面取“-”号，反之取“+”号。

例3-1 在图3-10所示直流电路中，电阻和电压源均为已知，试用网孔电流法求各支路电流。

解 电路为平面电路，共有3个网孔。

（1）选取网孔电流 $ I_{1} $ 、 $ I_{2} $ 、 $ I_{3} $，如图3-10所示。

（2）列网孔电流方程。

由

$$ R_{11}=\left(60+20\right)\ \Omega=80\ \Omega $$

$$ R_{22}=\left(20+40\right)\ \Omega=60\ \Omega $$

$$ R_{33}=(40+40)\ \Omega=80\ \Omega $$

$$ R_{12}=R_{21}=-20\ \Omega $$

$$ R_{13}=R_{31}=0 $$

$$ R_{23}=R_{32}=-40\ \Omega $$

$$ U_{Si1}=\left(180-70\right)V=110V $$

$$ U_{22}=70\mathrm{~V} $$

$$ U_{33}=-20\mathrm{~V} $$

故网孔电流方程为

$$ \begin{aligned}&80I_{1}-20I_{2}=110\\ &-20I_{1}+60I_{2}-40I_{3}=70\\ &-40I_{2}+80I_{3}=-20\\ \end{aligned} $$

（3）用消去法或行列式法，解得

$$ \begin{aligned}&I_{1}=2\mathrm{~A}\\&I_{2}=2.5\mathrm{~A}\\&I_{3}=1\mathrm{~A}\\ \end{aligned} $$

（4）指定各支路电流如图3-10所示，有

$$ I_{a}=I_{1}=2\ A $$

$$ I_{\mathrm{b}}=-\ I_{1}+\ I_{2}=0.5\mathrm{~A} $$

$$ I_{c}=I_{2}-I_{3}=1.5\mathrm{~A} $$

$$ I_{d}=-I_{3}=-1\mathrm{~A~} $$

（5）校验。

取一个未用过的回路，例如取由 $ 60\ \Omega $、40\ $ \Omega $电阻及180 V、20 V电压源构成的外网孔，沿顺时针绕行方向写KVL方程，有

$$ 60I_{\mathrm{a}}-40I_{\mathrm{d}}=180-20 $$

把 $ I_{a} $、 $ I_{d} $ 值代入 160=160，故答案正确。

当电路中存在电流源和电阻的并联组合时，可将它等效变换成电压源和电阻的串联组合，再按上述方法进行分析。对于存在无伴电流源或受控源的情况，请参见 §3-5。

§3-5 回路电流法

网孔电流法仅适用于平面电路，回路电流法则无此限制，它适用于平面或非平面电路。回路电流法是一种适用性较强并获得广泛应用的分析方法。

网孔电流是在网孔中连续流动的假想电流，对于一个具有 b 个支路，n 个结点的电路，b 个支路电流受 $ (n-1) $ 个 KCL 独立方程所制约，因此，独立的支路电流只有 $ (b-n+1) $ 个，等于网孔电流数。回路电流也是在回路中连续流动的假想电流。但是与网孔不同，回路的取法很多，选取的回路应是一组独立回路，且回路的个数（也即回路电流的个数）也应等于 $ (b-n+1) $ 个。选定一树以后形成的基本回路显然满足上述要求。这就是说，基本回路电流可以作为电路的独立变量来求解。

以图3-11所示电路(的图)为例，如果选支路(4,5,6)为树(在图中用粗线画出)，可以得到以支路(1,2,3)为单连支的3个基本回路，它们是独立回路。把连支电流 $ i_{1} $、 $ i_{2} $、 $ i_{3} $分别作为在各自单连支回路中流动的假想回路电流 $ i_{11}^{①} $， $ i_{12} $， $ i_{13} $。支路4为回路1和2所共有，而其方向与回路1的绕行方向相反，与回路2的绕行方向相同，所以有

$$ i_{4}=-i_{11}+i_{12} $$

同理，可以得出支路5和支路6的电流 $ i_{5} $和 $ i_{6} $为

$$ \begin{aligned}&i_{5}=-i_{11}-i_{13}\\&i_{6}=-i_{11}+i_{12}-i_{13}\\ \end{aligned} $$

从以上3式可见，树支电流可以通过连支电流或回路电流表达，即全部支路电流可以通过回路电流表达。

列方程时，因回路电路已满足KCL方程，也只需按KVL列方程。对于b

个支路、n个结点的电路，回路电流数 $ l=(b-n+1) $。以下，将以例3-2所示电路介绍列出回路电流方程的方法。

例 3-2 给定直流电路如图 3-12(a) 所示，其中 $ R_{1}=R_{2}=R_{3}=1\Omega, R_{4}=R_{5}=R_{6}=2\Omega, u_{S1}=4V, u_{S5}=2V $ 。试选择一组独立回路，并列出回路电流方程。

解 电路的图如图3-12(b)所示，选择支路4、5、6为树，3个独立回路（基本回路）绘于图中。连支电流 $ I_{1} $、 $ I_{2} $、 $ I_{3} $即为回路电流 $ I_{11} $、 $ I_{12} $、 $ I_{13} $。在三个基本回路列出以回路电流 $ I_{11} $、 $ I_{12} $、 $ I_{13} $为变量的KVL方程分别为

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}R_{1}I_{11}+u_{\mathrm{S}1}+R_{6}\left(I_{11}-I_{13}\right)+R_{5}\left(I_{11}+I_{12}-I_{13}\right)-u_{\mathrm{S}6}+R_{4}\left(I_{11}+I_{12}\right)=0}\\ {}&{{}R_{2}I_{12}+R_{5}\left(I_{12}+I_{11}-I_{13}\right)-u_{\mathrm{S}6}+R_{4}\left(I_{11}+I_{12}\right)=0}\\ {}&{{}R_{6}\left(I_{13}-I_{11}\right)+R_{3}I_{13}+u_{\mathrm{S}6}+R_{5}\left(I_{13}-I_{11}-I_{12}\right)=0}\\ \end{aligned}\right\} $$

代入数字，并经整理后，可得

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}7I_{11}+4I_{12}-4\dot{I}_{13}=-2}\\ {}&{{}4I_{11}+5I_{12}-2\dot{I}_{13}=2}\\ {}&{{}-4I_{11}-2I_{12}+5\dot{I}_{13}=-2}\\ \end{aligned}\right\} $$

解出 $ I_{11} $、 $ I_{12} $、 $ I_{13} $ 后，可根据以下各式计算支路电流

$$ \begin{aligned}I_{1}&=I_{11}\\I_{2}&=I_{12}\\I_{3}&=I_{13}\\I_{4}&=I_{11}-I_{12}\\I_{4}=I_{11}+I_{12}-I_{13}\\I_{6}=&-I_{11}+I_{13}\end{aligned} $$

回路电流方程式(3-10)是KVL方程，其中左方各项是各个回路电流在回路中电阻上引起的电压。与网孔电流方程式(3-8)相似，对具有1个独立回路的电路可写出回路电流方程的一般形式

$$ \left.\begin{aligned}{R_{11}i_{11}+R_{12}i_{12}+R_{13}i_{13}+\cdots+R_{1l}i_{1l}}&{{}=u_{\mathtt{S}11}}\\ {R_{21}i_{11}+R_{22}i_{12}+R_{23}i_{13}+\cdots+R_{2l}i_{1l}}&{{}=u_{\mathtt{S}22}}\\ {\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots}\\ {R_{i1}i_{11}+R_{i2}i_{12}+R_{i3}i_{13}+\cdots+R_{i l}i_{1l}}&{{}=u_{\mathtt{S}i l}}\\ \end{aligned}\right\} $$

式中有相同下标的电阻 $ R_{11} $、 $ R_{22} $、 $ R_{33} $ 等是各回路的自阻，有不同下标的电阻 $ R_{12} $、 $ R_{13} $、 $ R_{23} $ 等是回路间的互阻。自阻总是正的，互阻取正还是取负，则由相关两个回路共有支路上两回路电流的方向是否相同而决定，相同时取正，相反时取负。显然，若两个回路间无共有电阻，则相应的互阻为零。方程右方的 $ u_{S11} $、 $ u_{S22} $、…分别为各回路1、2、…中所有电压源的代数和，取和时，与回路电流方向一致的电压源前应取“-”号，否则取“+”号。

如果电路中有电流源和电阻的并联组合，可经等效变换成为电压源和电阻的串联组合后再列回路电流方程。但当电路中存在无伴电流源时，就无法进行等效变换。此时可采用下述方法处理。除回路电流外，将无伴电流源两端的电压作为一个求解变量列入方程。这样，虽然多了一个变量，但是无伴电流源所在支路的电流为已知，故增加了一个回路电流的附加方程，这样，独立方程数与独

立变量数仍然相同。

例 3-3 图 3-13 所示电路中 $ U_{S1}=50~V $, $ U_{S3}=20~V $, $ I_{S2}=1~A $, 此电流源为无伴电流源。试用回路法列出电路的方程。

解 把电流源两端的电压 U 作为附加变量。该电路有 3 个独立回路，假设回路电流 $ ^{①} $， $ I_{11} $， $ I_{12} $， $ I_{13} $ 如图 3-14 所示。沿各自回路的 KVL 方程 $ ^{②} $为

$$ \left.\begin{aligned}&\left(20+15+10\right)I_{11}-10I_{12}-15I_{13}=0\\ &-10I_{11}+\left(10+30\right)I_{12}+U=50\\ &-15I_{11}-U+\left(40+15\right)I_{13}=-20\end{aligned}\right\} $$

无伴电流源所在支路有 $ I_{12} $ 和 $ I_{13} $ 通过，故附加方程为

$$ I_{\mathrm{B}}-I_{\mathrm{B}}=1 $$

方程数和未知变量数相等。

当电路中含有受控电压源时，把它作为电压源暂时列于 KVL 方程的右边，同时把控制量用回路电流表示，然后将用回路电流表示的受控源电压项移到方程的左边。当受控源是受控电流源时，可参照前面处理独立电流源的方法进行（见下例）。

例3-4 图3-15所示电路中有无伴电流源 $ i_{S1} $，无伴电流控制电流源 $ i_{c}=\beta i_{2} $，电压控制电压源 $ u_{c}=\alpha u_{2} $，电压源 $ u_{S2} $。列出回路电流方程。

解 取独立回路如图3-15所示，使无伴电流源和无伴受控电流源都只有一个回路电流流过，前者为 $ i_{11} $、后者为 $ i_{13} $，这样就可不再列回路1和回路3的KVL方程。把控制量用有关

回路电流表示，有

$$ i_{2}=i_{ 记 } $$

$$ u_{2}=R_{2}(i_{11}-i_{12}) $$

直接应用一般公式(3-11)列出回路2和回路4的KVL方程比较困难，可以沿绕行方向逐段写出有关电压，有

回路2： $ -u_{2}-u_{S2}+R_{3}(i_{12}+i_{13}-i_{14})+u_{S3}=0 $

回路4： $ -u_{S3}+R_{3}(i_{14}-i_{12}-i_{13})+R_{4}i_{14}+u_{c}=0 $

代入 $ u_{2}=R_{2}(i_{11}-i_{12}) $, $ u_{e}=\dot{\alpha}u_{2} $，有

$$ -R_{2}(i_{11}-i_{12})+R_{3}(i_{12}+i_{13}-i_{14})=u_{\mathrm{S}2}-u_{\mathrm{S}3} $$

$$ R_{3}(i_{14}-i_{12}-i_{13})+R_{4}i_{14}+\alpha R_{2}(i_{11}-i_{12})=u_{\mathrm{S}3} $$

经整理后，得

$$ \begin{aligned}&-R_{2}i_{11}+\left(R_{2}+R_{3}\right)\dot{i}_{12}+R_{\dot{3}}i_{13}-R_{3}i_{14}=u_{\mathrm{S}2}-u_{\mathrm{S}3}\\&a R_{2}i_{11}-\left(\alpha R_{2}+R_{3}\right)i_{12}-R_{3}i_{13}+\left(R_{3}+R_{4}\right)i_{14}=u_{\mathrm{S}3}\end{aligned} $$

附加方程为

$$ i_{\mathrm{l l}}=i_{\mathrm{s l}} $$

$$ i_{13}=\beta i_{12} $$

如果把 $ i_{11} $、 $ i_{13} $代入前2个方程，可得到仅含 $ i_{12} $、 $ i_{14} $的两个方程。

回路电流法的步骤可归纳如下：

（1）根据给定的电路，通过选择一个树确定一组基本回路，并指定各回路电流（即连支电流）的参考方向。

(2) 按一般公式(3-11)列出回路电流方程，注意自阻总是正的，互阻的正、负由相关的两个回路电流通过共有电阻时，两者的参考方向是否相同而定。并注意该式右边项取代数和时各有关电压源前面的“+”、“-”号。

（3）当电路中有受控源或无伴电流源时，需另行处理。

（4）对于平面电路可用网孔电流法。

§3-6 结点电压法

在电路中任意选择某一结点为参考结点，其他结点为独立结点，这些结点与此参考结点之间的电压称为结点电压，结点电压的参考极性是以参考结点为负，其余独立结点为正。由于任一支路都连接在两个结点上，根据KVL，不难断定支路电压就是两个结点电压之差。如果每一个支路电流都可由支路电压来表示，那么它一定也可以用结点电压来表示。在具有n个结点的电路中写出其中 $ (n-1) $个独立结点的KCL方程，就得到变量为 $ (n-1) $个结点电压的共 $ (n-1) $个独立方程，称为结点电压方程，最后由这些方程解出结点电压，从而求出所需的电压、电流。这就是结点电压法。

例如，对于图3-16所示电路及其图，结点的编号和支路的编号及参考方向均示于图中。电路的结点数为4，支路数为6。以结点①为参考，并规定结点①、②、③的结点电压分别用 $ u_{n1} $、 $ u_{n2} $、 $ u_{n3} $表示。支路电压分别用 $ u_{1} $、 $ u_{2} $、 $ u_{3} $、 $ u_{4} $、 $ u_{5} $与 $ u_{6} $来表示。根据KVL，不难求出 $ u_{1}=u_{n1} $， $ u_{2}=u_{n2} $， $ u_{3}=u_{n3} $， $ u_{4}=u_{n1}-u_{n2} $， $ u_{5}=u_{n2}-u_{n3} $以及 $ u_{6}=u_{n1}-u_{n3} $。

在结点 $ ^{①} $、 $ ^{②} $、 $ ^{③} $的KCL方程为

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}i_{1}+i_{4}+i_{6}=0}\\ {}&{{}i_{2}-i_{4}+i_{5}=0}\\ {}&{{}i_{3}-i_{5}-i_{6}=0}\\ \end{aligned}\right\} $$

根据各支路的 VCR 及支路电压与结点电压的关系，式 $ (3-14) $成为

$$ \left.\begin{aligned}&\left(\frac{u_{\mathrm{n}1}}{R_{1}}-i_{\mathrm{S}1}\right)+\left(\frac{u_{\mathrm{n}1}-u_{\mathrm{n}2}}{R_{4}}\right)+\left(\frac{u_{\mathrm{n}1}-u_{\mathrm{n}3}}{R_{6}}+i_{\mathrm{S}6}\right)=0\\ &\left(\frac{u_{\mathrm{n}2}}{R_{2}}\right)-\left(\frac{u_{\mathrm{n}1}-u_{\mathrm{n}2}}{R_{4}}\right)+\left(\frac{u_{\mathrm{n}2}-u_{\mathrm{n}3}}{R_{5}}\right)=0\\ &\left(\frac{u_{\mathrm{n}3}-u_{\mathrm{S}3}}{R_{3}}\right)-\left(\frac{u_{\mathrm{n}2}-u_{\mathrm{n}3}}{R_{5}}\right)-\left(\frac{u_{\mathrm{n}1}-u_{\mathrm{n}3}}{R_{6}}+i_{\mathrm{S}6}\right)=0\end{aligned}\right\} $$

经整理，就可得到以结点电压为独立变量的方程

$$ \left.\begin{aligned}&\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{4}}+\frac{1}{R_{6}}\right)u_{\mathrm{n}1}-\frac{1}{R_{4}}u_{\mathrm{n}2}-\frac{1}{R_{6}}u_{\mathrm{n}3}=i_{\mathrm{S}1}-i_{\mathrm{S}6}\\ &-\frac{1}{R_{4}}u_{\mathrm{n}1}+\left(\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{4}}+\frac{1}{R_{5}}\right)u_{\mathrm{n}2}-\frac{1}{R_{5}}u_{\mathrm{n}3}=0\\ &-\frac{1}{R_{6}}u_{\mathrm{n}1}-\frac{1}{R_{5}}u_{\mathrm{n}2}+\left(\frac{1}{R_{3}}+\frac{1}{R_{5}}+\frac{1}{R_{6}}\right)u_{\mathrm{n}3}=i_{\mathrm{S}6}+\frac{u_{\mathrm{S}3}}{R_{3}}\end{aligned}\right\} $$

式(3-16)可写为

$$ \left.\begin{aligned}&\left(G_{1}+G_{4}+G_{6}\right)u_{\mathrm{n}1}-G_{4}u_{\mathrm{n}2}-G_{6}u_{\mathrm{n}3}=i_{\mathrm{S}1}-i_{\mathrm{S}6}\\ &-G_{4}u_{\mathrm{n}1}+\left(G_{2}+G_{4}+G_{5}\right)u_{\mathrm{n}2}-G_{5}u_{\mathrm{n}3}=0\\ &-G_{6}u_{\mathrm{n}1}-G_{5}u_{\mathrm{n}2}+\left(G_{3}+G_{5}+G_{6}\right)u_{\mathrm{n}3}=i_{\mathrm{S}6}+G_{3}u_{\mathrm{S}3}\end{aligned}\right\} $$

式中 $ G_{1} $、 $ G_{2} $、…、 $ G_{6} $ 为支路 1、2、…、6 的电导。列结点电压方程时，可以根据观察按 KCL 直接写出式 (3-16) 或式 (3-17)，不必按照前述步骤进行。为归纳出更为一般的结点电压方程，可令 $ G_{11} = G_{1} + G_{4} + G_{6} $， $ G_{22} = G_{2} + G_{4} + G_{5} $， $ G_{33} = G_{3} + G_{5} + G_{6} $，分别为结点①、②、③的自导，自导总是正的，它等于连于各结点支路电导之和；令 $ G_{12} = G_{21} = -G_{4} $， $ G_{13} = G_{31} = -G_{6} $， $ G_{23} = G_{32} = -G_{5} $，分别为①、②，①、③和②、③这 3 对结点间的互导。互导总是负的，它们等于连接于两结点间支路电导的负值。方程右方写为 $ i_{S11} $、 $ i_{S22} $、 $ i_{S33} $，分别表示结点①、②、③的注入电流。注入电流等于流向结点的电流源的代数和，流入结点者前面取“+”号，流出结点者前面取“-”号。注入电流源还应包括电压源和电阻串联组合经等效变换形成的电流源。在上例中，结点③除了有 $ i_{S6} $ 流入外，还有电压源 $ u_{S3} $ 形成的等效电流源 $ \frac{u_{S3}}{R_{1}} $。3 个独立结点的结点电压方程为

$$ \left.\begin{aligned}&G_{11}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}1}+G_{12}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}2}+G_{13}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}3}=\boldsymbol{i}_{\mathrm{S}11}\\ &G_{21}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}1}+G_{22}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}2}+G_{23}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}3}=\boldsymbol{i}_{\mathrm{S}22}\\ &G_{31}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}1}+G_{32}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}2}+G_{33}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}3}=\boldsymbol{i}_{\mathrm{S}33}\\ \end{aligned}\right\} $$

式 $ (3-18) $不难推广到具有 $ (n-1) $个独立结点的电路，有

$$ \left.\begin{aligned}&G_{11}u_{n1}+G_{12}u_{n2}+G_{13}u_{n3}+\cdots+G_{1(n-1)}u_{n(n-1)}=i_{S11}\\&G_{21}u_{n1}+G_{22}u_{n2}+G_{23}u_{n3}+\cdots+G_{2(n-1)}u_{n(n-1)}=i_{S22}\\&\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\&G_{(n-1)1}u_{n1}+G_{(n-1)2}u_{n2}+G_{(n-1)3}u_{n3}+\cdots+G_{(n-1)(n-1)}u_{n(n-1)}=i_{S(n-1)(n-1)}\end{aligned}\right\} $$

求得各结点电压后，可根据VCR求出各支路电流。列结点电压方程时，不需要事先指定支路电流的参考方向。结点电压方程本身已包含了KVL，而以KCL的形式写出，故如要检验答案，应按支路电流用KCL进行。

例 3-5 列出图 3-17 所示电路的结点电压方程。

解 指定参考结点，并对其他结点编号，设结点电压为 $ u_{n1} $， $ u_{n2} $， $ u_{n3} $ 与 $ u_{n4} $。

图中各电阻以电阻值给出，因此，各支路电导为支路电阻的倒数。此处应注意： $ G_{1}=\frac{1}{R_{1a}+R_{1b}} $，以及 $ R_{9} $不在方程中出现。

$$ \left\{\begin{aligned}&\left(\frac{1}{R_{1a}+R_{1b}}+\frac{1}{R_{4}}+\frac{1}{R_{8}}\right)u_{n1}-\frac{1}{R_{1a}+R_{1b}}u_{n2}-\frac{1}{R_{4}}u_{n4}=i_{S4}-i_{S9}\\ &-\frac{1}{R_{1a}+R_{1b}}u_{n1}+\left(\frac{1}{R_{1a}+R_{1b}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{5}}\right)u_{n2}-\frac{1}{R_{2}}u_{n3}=0\\ &-\frac{1}{R_{2}}u_{n2}+\left(\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}+\frac{1}{R_{6}}\right)u_{n3}-\frac{1}{R_{3}}u_{n4}=i_{S9}-\frac{u_{S3}}{R_{3}}\\ &-\frac{1}{R_{4}}u_{n1}-\frac{1}{R_{3}}u_{n3}+\left(\frac{1}{R_{3}}+\frac{1}{R_{4}}+\frac{1}{R_{7}}\right)u_{n4}=-i_{S4}+\frac{u_{S7}}{R_{7}}+\frac{u_{S3}}{R_{3}}\end{aligned}\right\} $$

例 3-6 电路如图 3-18 所示，用结点电压法求各支路电流及输出电压

$ U_{0} $

解 取参考结点如图 3-18 所示，其他 3 个结点的结点电压分别为 $ U_{n1} $、 $ U_{n2} $、 $ U_{n3} $。结点电压方程为

$$ \left.\begin{aligned}&\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\right)U_{\mathrm{n}1}-\frac{1}{10}U_{\mathrm{n}2}=1-\frac{30}{10}\\ &-\frac{1}{10}U_{\mathrm{n}1}+\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{20}\right)U_{\mathrm{n}2}-\frac{1}{20}U_{\mathrm{n}3}=7+\frac{30}{10}\\ &-\frac{1}{20}U_{\mathrm{n}2}+\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{20}\right)U_{\mathrm{n}3}=-2\end{aligned}\right\} $$

整理得

$$ \begin{aligned}&0.2\;U_{n1}-0.1\;U_{n2}=-2\\&-0.1\;U_{n1}+0.15U_{n2}-0.05U_{n3}=10\\&-0.05U_{n2}+0.15U_{n3}=-2\\ \end{aligned} $$

可解得

$$ \begin{aligned}&U_{\mathrm{n1}}=40\mathrm{~V}\\&U_{\mathrm{n2}}=100\mathrm{~V}\\&U_{\mathrm{n3}}=20\mathrm{~V}\\ \end{aligned} $$

假定各支路电流为 $ I_{1} $、 $ I_{2} $、 $ I_{3} $、 $ I_{4} $，参考方向如图3-18所示，有

$$ I_{1}=\frac{U_{n1}}{10}=4\mathrm{~A} $$

$$ I_{2}=\frac{U_{n1}-U_{n2}+30}{10}=-3\mathrm{~A} $$

$$ I_{3}=\frac{U_{n2}-U_{n3}}{20}=4\mathrm{~A} $$

$$ I_{4}=\frac{U_{n3}}{10}=2\mathrm{~A} $$

输出电压 $ U_{o}=U_{n2}-U_{n3}=80\ V $

各支路电流在参考点满足 KCL，求解正确。

无电阻与之串联的电压源称为无伴电压源。当无伴电压源作为一条支路连接于两个结点之间时，该支路的电阻为零，即电导等于无限大，支路电流不能通过支路电压表示，结点电压方程的列写就遇到困难。当电路中存在这类支路时，有几种方法可以处理。第一种方法是把无伴电压源的电流作为附加变量列入KCL方程，每引入这样的一个变量，同时也增加了一个结点电压与无伴电压源电压之间的一个约束关系。把这些约束关系和结点电压方程合并成一组联立方程，其方程数仍将与变量数相同。另一种方法是将连接无伴电压源的两个结点的结点电压方程合为一个 $ ^{①} $，即取一个包含这两结点的封闭面的KCL，可避免附加电流变量的出现。同时还应添加结点电压与无伴电压源的约束关系。

例 3-7 图 3-19 所示电路中， $ u_{s1} $ 为无伴电压源的电压。试列出此电路的结点电压方程。

解 设无伴电压源支路的电流为 i，电路

的结点电压方程为

$$ \begin{aligned}&\left(\boldsymbol{G}_{1}+\boldsymbol{G}_{3}\right)\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}1}-\boldsymbol{i}-\boldsymbol{G}_{3}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}2}=0\\&-\boldsymbol{G}_{3}\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}1}+\left(\boldsymbol{G}_{2}+\boldsymbol{G}_{3}\right)\boldsymbol{u}_{\mathrm{n}2}=\boldsymbol{i}_{\leq2}\end{aligned} $$

补充的约束关系为

$$ u_{\mathrm{n1}}=u_{\mathrm{S1}} $$

由上列3个方程，可以联立解得 $ u_{n1} $， $ u_{n2} $ 和 i。

这种方法实际上采用了混合变量，除了结点电压外，还把无伴电压源支路的电流作为变量。在回路电流法中，处理无伴电流源时也采用了混合变量（见例3-3）。如果应用第二种处理方法，则舍弃上列3个方程中的第一个方程，可联立求解 $ u_{n2} $。

若电路中存在受控电流源，在建立结点电压方程时，先把控制量用结点电压表示，并暂时把它当作独立电流源，按上述方法列出结点电压方程，然后把用结点电压表示的受控电流源电流项移到方程的左边。当电路中存在有伴受控电压源时，把控制量用有关结点电压表示并变换为等效受控电流源。如果存在无伴受控电压源，可参照无伴独立电压源的处理方法。

例 3-8 图 3-20 电路中独立源与 CCVS 都是无伴电压源。试列出其结点电压方程。

解 选择参考结点及标明独立结点，结点电压分别为 $ U_{n1} $、 $ U_{n2} $、 $ U_{n3} $。独立电压源一端为参考结点，故结点①不列方程；对 CCVS 两端作包含结点②与③的封闭面 S，对 S 列 KCL 方程为

$$ \frac{U_{\mathrm{n}2}-U_{\mathrm{n}1}}{R_{\mathrm{1}}}+\frac{U_{\mathrm{n}2}}{R_{2}}-g_{\mathrm{m}}U+\frac{U_{\mathrm{n}3}}{R_{3}}=0 $$

附加方程

$$ U_{\mathrm{n1}}=U_{\mathrm{S}} $$

$$ U_{n2}-U_{n3}=R_{m}I_{1} $$

其中控制量 U 与 $ I_{1} $ 可以结点电压来表示，即

$$ U=U_{n2} $$

$$ I_{1}=\frac{U_{n1}-U_{n2}}{R_{1}}. $$

经整理可得3变量方程组

$$ \begin{aligned}&-\frac{1}{R_{1}}U_{\mathrm{n}1}+\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}-g_{\mathrm{m}}\right)U_{\mathrm{n}2}+\frac{1}{R_{3}}U_{\mathrm{n}3}=0\\&U_{\mathrm{n}1}=U_{\mathrm{S}}\\&-\frac{R_{\mathrm{m}}}{R_{1}}U_{\mathrm{n}1}+\left(1+\frac{R_{\mathrm{m}}}{R_{1}}\right)U_{\mathrm{n}2}-U_{\mathrm{n}3}=0\\ \end{aligned} $$

结点电压法的步骤可以归纳如下：

（1）指定参考结点，其余结点对参考结点之间的电压就是结点电压。通常以参考结点为各结点电压的负极性。

（2）按一般公式（3-19）列出结点电压方程，注意自导总是正的，互导总是负的；并注意各结点注入电流前面的“+”，“-”号。

（3）当电路中有受控源或无伴电压源时需另行处理。

本章介绍了分析线性电阻电路的支路电流法、回路电流法（含网孔电流法）和结点电压法。并提到了2b法和支路电压法。就方程数目说，2b法为支路数b的2倍；支路电流（电压）法为支路数b；结点电压法为独立结点数 $ (n-1)(n $为结点数)；回路电流法为独立回路数 $ (b-n+1) $；其中以2b法为最多。支路电流法要求每个支路电压都能以支路电流表示，这就使该方法的应用受到一定的限制，例如对于无伴电流源就需要另行处理。结点电压法也有类似问题存在，它

要求每个支路电流都能以支路电压表示，对于无伴电压源就需要另行处理 $ ^{①} $。2b法就比较灵活，因为只要求写出每个支路的VCR，对任何元件都不难做到。回路电流法存在与支路电流法类似的限制。结点电压法的优点是结点电压容易选择，不存在选取独立回路的问题。用网孔电流法时，选取独立回路简便、直观，但仅适用于平面电路。

自电子计算机普及后，高阶代数方程的求解已不是难事，本书第十五章和附录B将简要介绍应用计算机辅助电路分析的基本知识。此时，考虑问题的出发点与手列方程时并不相同。

线性电阻电路方程是一组线性代数方程。无论用以上哪一种方法，都可以获得一组未知数和方程数相等的代数方程。从数学上说，只要方程的系数行列式不等于零，方程就有解且是唯一解。线性电阻电路方程一般总是有解的，但是在某些特定条件以及特殊情况下，线性电阻电路方程可能无解，也可能存在多解。

——习题——

3-1 在以下两种情况下，画出题3-1图所示电路的图，并说明其结点数和支路数：

（1）每个元件作为一条支路处理；

(2) 电压源(独立或受控)和电阻的串联组合, 电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。

指出题3-1中两种情况下，KCL、KVL独立方程各为多少？

对题 3-3 图(a)、(b)，各画出 4 个不同的树，树支数各为多少？

3-4 题3-4图所示桥形电路共可画出16个不同的树，试一一列出（由于结点数

为4，故树支数为3，可按支路号递增的穷举方法列出所有可能的组合，如123，124，⋯，126，134，135，⋯，从中选出树）。

35 对题3-3图所示的 $ G_{1} $和 $ G_{2} $，任选一树并确定其基本回路组，同时指出独立回路数和网孔数各为多少？

3-6 对题3-6图所示非平面图，设：

（1）选择支路（1，2，3，4）为树；

（2）选择支路（5，6，7，8）为树。

问独立回路各有多少？求其基本回路组。

3-7 题3-7图所示电路中 $ R_{1}=R_{2}=10\ \Omega, R_{3}=4\ \Omega, R_{4}=R_{5}=8\ \Omega, R_{6}=2\ \Omega, u_{S3}=20\ V, u_{S6}=40\ V $，用支路电流法求解电流 $ i_{e} $

38 用网孔电流法求解题 3-7 图中电流 $ i_{5} $

3-9 用回路电流法求解题 3-7 图中电流 $ i_{3} $

3-10 用回路电流法求解题 3-10 图所示中 $ 5 \, \Omega $ 电阻中的电流 i。

3-11 用回路电流法求解题 3-11 图所示电路中电流 I。

3-12 用回路电流法求解题 3-12 图所示电路中电流 $ I_{a} $ 及电压 $ U_{0} $

3-13 用回路电流法求解：

(1) 题 3-13 图(a) 中的 $ U_{x} $;

(2) 题 3−13 图(b) 中的 I。

3-14 用回路法求解题 3-14 图所示电路中 $ I_{x} $ 以及 CCVS 的功率。

3-15 列出题3-15图(a)、(b)所示电路的结点电压方程。

3-16 列出题3-16图(a)、(b)所示电路的结点电压方程。

3-17 题3-17图所示为由电压源和电阻组成的一个独立结点的电路，用结点电压法证明其结点电压为

$$ u_{\mathrm{n l}}=\frac{\sum G_{k}u_{\mathrm{S k}}}{\sum G_{k}} $$

此式又称为弥尔曼定理。

3-18 列出题3-18图(a)、(b)所示电路的结点电压方程。

3-19 用结点电压法求解题 3-19 图所示电路中各支路电流。

20 题 3−20 图所示电路中电源为无伴电压源，用结点电压法求解电流 $ I_{s} $ 和 $ I_{0} $

3-21 用结点电压法求解题 3-21 图所示电路中电压 U。

3-22 用结点电压法求解题 3-13。

3-23 用结点电压法求解题 3-14。

3-24 用结点电压法求解题3-24图所示电路后，求各元件的功率并检验功率是否平衡。

3-25 用结点电压法求解题 3-25 图所示电路中 $ u_{n1} $ 和 $ u_{n2} $，你对此题有什么看法？

3-26 列出题3-26图所示电路的结点电压方程。如果 $ R_{s}=0 $，则方程又如何？(提示：为避免引入过多附加电流变量，对连有无伴电压源的结点部分，可在包含无伴电压源的封闭面S上写出KCL方程。)

电路定理

内容提要

本章介绍一些重要的电路定理，包括叠加定理（含齐性定理）、替代定理、戴维宁定理、诺顿定理、最大功率传输定理、特勒根定理、互易定理，并扼要介绍有关对偶原理的概念。

§4-1 叠加定理

作为线性系统(包含线性电路)最基本的性质——线性性质，它包含可加性与齐次性两方面。叠加定理就是可加性的反映，它是线性电路的一个重要定理。可加性的概念可以说是贯穿于电路分析之中，并在叠加定理中得到直接应用。

图 4-1(a) 所示电路中有两个独立电源，为电路中的激励，现在要求解作为电路中响应的电流 $ i_{2} $ 与电压 $ u_{1} $。

根据 KCL、KVL 与 VCR 可列出以 $ i_{2} $ 为未知量的方程 $ u_{S}=R_{1}(i_{2}-i_{S})+R_{2}i_{2} $，从而解得

$$ \left.\begin{aligned}i_{2}&=\frac{u_{\mathrm{S}}}{R_{1}+R_{2}}+\frac{R_{1}i_{\mathrm{S}}}{R_{1}+R_{2}}\\ u_{1}&=\frac{R_{1}u_{\mathrm{S}}}{R_{1}+R_{2}}-\frac{R_{1}R_{2}i_{\mathrm{S}}}{R_{1}+R_{2}}\end{aligned}\right\} $$

式(4-1)中， $ i_{2} $、 $ u_{1} $ 都分别是 $ u_{s} $ 和 $ i_{s} $ 的线性组合。可将其改写为

$$ \left.\begin{array}{l}i_{2}=i_{2}^{^{\prime}}+i_{2}^{^{\prime \prime}}\\ u_{1}=u_{1}^{^{\prime}}+u_{1}^{^{\prime \prime}}\end{array}\right\} $$

其中

$$ i_{2}^{^{\prime}}=\frac{u_{\mathrm{S}}}{R_{1}+R_{2}}=i_{2}\bigg|_{i_{\mathrm{S}}=0},i_{2}^{^{\prime \prime}}=\frac{R_{1}i_{\mathrm{S}}}{R_{1}+R_{2}}=i_{2}\bigg|_{u_{\mathrm{S}}=0} $$

$$ u_{1}^{^{\prime}}=\frac{R_{1}u_{S}}{R_{1}+R_{2}}=u_{1}\bigg|_{i_{S}=0},u_{1}^{^{\prime \prime}}=-\frac{R_{1}R_{2}i_{S}}{R_{1}+R_{2}}=u_{1}\bigg|_{u_{S}=0} $$

式中 $ i_{2}^{\prime} $ 与 $ u_{1}^{\prime} $ 为将原电路中电流源 $ i_{S} $ 置零时的响应，即由 $ u_{S} $ 单独作用的分电路中所产生的电流、电压分响应，如图4-1(b)所示； $ i_{2}^{\prime\prime} $ 与 $ u_{1}^{\prime\prime} $ 为将原电路中电压源 $ u_{S} $ 置零后由 $ i_{S} $ 单独作用的分电路中所产生的电流、电压分响应，如图4-1(c)所示。原电路的响应则为相应分电路中分响应的和。这就是叠加定理。可以证明如下：

对于一个具有 b 条支路、n 个结点的电路，可以用回路电流或结点电压作为变量列出电路方程，此种方程具有以下形式：

$$ \left.\begin{array}{r}{a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1N}x_{N}=b_{11}}\\ {a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2N}x_{N}=b_{22}}\\ {\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots}\\ {a_{N1}x_{1}+a_{N2}x_{2}+\cdots+a_{N N}x_{N}=b_{N N}}\end{array}\right\} $$

式中求解变量以 $ x_{k}(k=1,2,\cdots,N) $ 表示，右方系数 $ b_{kk}(k=1,2,\cdots,N) $ 是电路中激励的线性组合。当此方程是回路电流方程时， $ x_{k} $ 是回路电流 $ i_{lk} $，系数 $ a_{kj}(k=1,2,\cdots,N,j=1,2,\cdots,N) $ 是自阻或互阻， $ b_{kk} $ 则是回路中电压源电压和由电流源等效变换所得电压源电压的线性组合。当此方程是结点电压方程时， $ x_{k} $ 是结点电压 $ u_{nk} $，系数 $ a_{kj} $ 是自导或互导， $ b_{kk} $ 是结点上的电流源的注入电流和电压

源等效变换所得电流源的注入电流的线性组合。式 $ (4-3) $的解的一般形式为

$$ x_{k}=\frac{\Delta_{1k}}{\Delta}b_{11}+\frac{\Delta_{2k}}{\Delta}b_{22}+\cdots+\frac{\Delta_{Nk}}{\Delta}b_{NN} $$

式中， $ \Delta $ 为 $ a_{kj} $ 系数构成的行列式， $ \Delta_{jk} $ 是 $ \Delta $ 的第 j 行第 k 列的余因式。由于 $ b_{11} $、 $ b_{22} $、 $ \cdots $ 都是电路中激励的线性组合，而每个解答 $ x_{k} $ 又是 $ b_{11} $、 $ b_{22} $、 $ \cdots $ 的线性组合，故任意一个解（电压或电流）都是电路中所有激励的线性组合。当电路中有 g 个电压源和 h 个电流源时，任意一处电压 $ u_{f} $ 或电流 $ i_{f} $ 都可以写为以下形式

$$ \left.\begin{array}{r l}{u_{f}}&{=k_{f1}u_{\mathrm{S}1}+k_{f2}u_{\mathrm{S}2}+\cdots+k_{f g}u_{\mathrm{S}g}+K_{f1}i_{\mathrm{S}1}+K_{f2}i_{\mathrm{S}2}+\cdots+K_{f h}i_{\mathrm{S}h}}\\ {}&{=\displaystyle\sum_{m=1}^{g}k_{f m}u_{\mathrm{S}m}+\displaystyle\sum_{m=1}^{h}K_{f m}i_{\mathrm{S}m}}\\ {}&{\quad\cdots\cdots\cdots\cdots}\\ {i_{f}}&{=k_{f1}^{^{\prime}}u_{\mathrm{S}1}+k_{f2}^{^{\prime}}u_{\mathrm{S}2}+\cdots+k_{f g}^{^{\prime}}u_{\mathrm{S}g}+K_{f1}^{^{\prime}}i_{\mathrm{S}1}+K_{f2}^{^{\prime}}i_{\mathrm{S}2}+\cdots+K_{f h}^{^{\prime}}i_{\mathrm{S}h}}\\ {}&{=\displaystyle\sum_{m=1}^{g}k_{f m}^{^{\prime}}u_{\mathrm{S}m}+\displaystyle\sum_{m=1}^{h}K_{f m}^{^{\prime}}i_{\mathrm{S}m}}\\ \end{array}\right\} $$

叠加定理可表述为：在线性电阻电路中，某处电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处分别产生的电压或电流的叠加。

叠加定理在线性电路的分析中起着重要的作用，它是分析线性电路的基础。线性电路中很多定理都与叠加定理有关。直接应用叠加定理计算和分析电路时，可将电源分成几组，按组计算以后再叠加，有时可简化计算。

当电路中存在受控源时，叠加定理仍然适用。受控源的作用反映在回路电流或结点电压方程中的自阻和互阻或自导和互导中，所以任一处的电流或电压仍可按照各独立电源作用时在该处产生的电流或电压的叠加计算。所以对含有受控源的电路应用叠加定理，在进行各分电路计算时，应把受控源保留在各分电路之中 $ ^{①} $。

使用叠加定理时应注意以下几点：

（1）叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路。

（2）在叠加的各分电路中，不作用的电压源置零，在电压源处用短路代替；不作用的电流源置零，在电流源处用开路代替。电路中所有电阻都不予更动，受控源则保留在各分电路中。

（3）叠加时各分电路中的电压和电流的参考方向可以取为与原电路中的相同。取代数和时，应注意各分量前的“+”、“-”号。

（4）原电路的功率不等于按各分电路计算所得功率的叠加，这是因为功率是电压和电流的乘积，与激励不成线性关系。

例 4-1 试用叠加定理计算图 4-2(a) 所示电路中的 $ U_{1} $ 与 $ I_{2} $

解 画出电压源与电流源分别作用时的分电路如图 4-2(b) 与图 4-2(c) 所示。对图 4-2(b) 有

$$ U_{1}^{\prime}=\left(\frac{20}{20+20}\times20-\frac{30}{20+30}\times20\right)\mathrm{V}=-2\mathrm{V} $$

$$ I_{2}^{\prime}=\frac{20}{20+20}A=0.5A $$

对图4-2(c)有

$$ \begin{aligned}U^{\prime \prime}_{1}&=\left(\frac{20\times20}{20+20}+\frac{20\times30}{20+30}\right)\times0.5\mathrm{V}=11\mathrm{V}\\&\quad I^{\prime \prime}_{2}=\frac{20}{20+20}\times0.5\mathrm{A}=0.25\mathrm{A}\end{aligned} $$

原电路的总响应为

$$ U_{1}=U_{1}^{\prime}+U_{1}^{\prime\prime}=(-2+11)\mathrm{V}=9\mathrm{V} $$

$$ I_{2}=I_{2}^{\prime}+I_{2}^{\prime\prime}=(0.5+0.25)A=0.75A $$

显然，由于使用了叠加定理，本题的求解得以简化。

例 4-2 电路如图 4-3(a) 所示，其中 CCVS 的电压受流过 6 Ω 电阻的电流控制。求电压 $ u_{3} $。

解 按叠加定理，作出 $ 10 \, V $ 电压源和 $ 4 \, A $ 电流源分别作用的分电路，如图

4-3(b)和图4-3(c)所示。受控源均保留在分电路中。在图(b)中有

$$ i_{1}^{^{\prime}}=i_{2}^{^{\prime}}=\frac{10}{6+4}\mathrm{~A}=1\mathrm{~A} $$

$$ u_{3}^{\prime}=-10i_{1}^{\prime}+4i_{2}^{\prime}=(-10+4)\mathrm{V}=-6\mathrm{~V} $$

在图(c)中有

$$ i_{1}^{\prime\prime}=-\frac{4}{6+4}\times4\mathrm{~A}=-1.6\mathrm{~A} $$

$$ i_{2}^{^{\prime \prime}}=4+i_{1}^{^{\prime \prime}}=2.4\mathrm{~A} $$

$$ u_{3}^{^{\prime \prime}}=-10i_{1}^{^{\prime \prime}}+4i_{2}^{^{\prime \prime}}=25.6\mathrm{~V} $$

所以

$$ u_{3}=u_{3}^{\prime}+u_{3}^{\prime\prime}=19.6\mathrm{~V} $$

例 4-3 在图 4-3(a) 所示电路中的电阻 $ R_{2} $ 处再串接一个 6V 电压源，如图 4-4(a) 所示，重求 $ u_{3} $。

解 应用叠加定理，把 10 V 电压源和 4 A 电流源合为一组激励，其分响应在例 4-2 中已求得；所加 6 V 电压源看为另一组激励。分电路分别如图 4-4 (b) 与图 4-4(c) 所示。利用上例结果，图(b) 的分响应为

$$ u_{3}^{\prime}=19.6\mathrm{~V} $$

而在图(c)中

$$ i_{1}^{^{\prime \prime}}=i_{2}^{^{\prime \prime}}=\frac{-6}{6+4}\mathrm{~A}=-0.6\mathrm{~A} $$

$$ u_{3}^{^{\prime \prime}}=-10i_{1}^{^{\prime \prime}}+4i_{2}^{^{\prime \prime}}+6=9.6\mathrm{~V} $$

所以

$$ u_{3}=u_{3}^{\prime}+u_{3}^{\prime\prime}=29.2\mathrm{~V} $$

在线性电路中，当所有激励（电压源和电流源）都同时增大或缩小 K 倍（K 为实常数）时，响应（电压和电流）也将同样增大或缩小 K 倍。这就是线性电路的齐性定理，它不难从叠加定理推得。应注意，这里的激励是指独立电源，并且必须全部激励同时增大或缩小 K 倍，否则将导致错误的结果。显然，当电路中只有一个激励时，响应必与该激励成正比。

如果例4-3中电压源由6 V增至8 V，则根据齐性定理，8 V电压源单独作用产生的 $ u_{3}^{\prime\prime\prime} $为

$$ u_{3}^{\prime\prime}=\frac{9.6\times8}{6}\mathrm{~V}=12.8\mathrm{~V} $$

故此时应有

$$ \begin{aligned}u_{3}&=u_{3}^{^{\prime}}+u_{3}^{^{\prime \prime \prime}}\\&=\left(19.6+12.8\right)\mathrm{V}=32.4\mathrm{~V}\end{aligned} $$

用齐性定理分析梯形电路特别有效。

例 4-4 求图 4-5 所示梯形电路中各支路电流。

解 设 $ i_{5}=i_{5}^{\prime}=1 $ A，则

$$ u_{\mathrm{B C}}^{\prime}=\left(R_{5}+R_{6}\right)i_{5}^{\prime}=22\mathrm{~V} $$

$$ i_{4}^{^{\prime}}=\frac{u_{BC}^{^{\prime}}}{R_{4}}=1.1\mathrm{~A} $$

$$ i_{3}^{\prime}=i_{4}^{\prime}+i_{5}^{\prime}=2.1\mathrm{~A} $$

$$ u_{\mathrm{A D}}^{\prime}=R_{3}i_{3}^{\prime}+u_{\mathrm{B C}}^{\prime}=26.2\mathrm{~V} $$

$$ i_{2}^{^{\prime}}=\frac{u_{AD}^{^{\prime}}}{R_{2}}=1.31\ A $$

$$ i_{1}^{\prime}=i_{2}^{\prime}+i_{3}^{\prime}=3.41\mathrm{~A~} $$

$$ u_{\mathrm{s}}^{\prime}=R_{1}i_{1}^{\prime}+u_{\mathrm{A D}}^{\prime}=33.02\mathrm{~V} $$

现给定 $ u_{s}=120\ V $，相当于将以上激励 $ u_{s}^{\prime} $ 增至 $ \frac{120}{33.02} $ 倍，即 $ K=\frac{120}{33.02}=3.63 $，故各支路电流应同时增至3.63倍，即

$$ i_{1}=K i_{1}^{^{\prime}}=12.38\mathrm{~A} $$

$$ i_{2}=K i_{2}^{\prime}=4.76\mathrm{~A~} $$

$$ i_{3}=K i_{3}^{\prime}=7.62\mathrm{~A~} $$

$$ i_{4}=K i_{4}^{\prime}=3.99\mathrm{~A} $$

$$ i_{s}=K i_{s}^{\prime}=3.63\mathrm{~A} $$

本例计算是先从梯形电路最远离电源的一端开始，倒退至激励处。这种计算方法称为“倒退法”。先对某个电压或电流设一便于计算的值，如本例设 $ i_{5}^{\prime}=1 $ A，最后再按齐性定理予以修正。

§4-2 替代定理

替代定理是一个应用范围颇为广泛的定理，它不仅适用于线性电路，也适用于非线性电路。它时常用来对电路进行简化，从而使电路易于分析或计算。

替代定理的内容可叙述如下：在电路中如已求得 $ N_{A} $ 与 $ N_{B} $ 两个一端口网络连接端口的电压 $ u_{p} $ 与电流 $ i_{p} $，那么就可用一个 $ u_{S}=u_{p} $ 的电压源或一个 $ i_{S}=i_{p} $ 的电流源来替代其中的一个网络，而使另一个网络的内部电压、电流均维持不变。图4-6(a)是原电路，图4-6(b)是将 $ N_{B} $ 替代为一个电压源 $ u_{S} $；图4-6(c)是将 $ N_{B} $ 替代为一个电流源 $ i_{S} $，而(a)、(b)、(c)三图中， $ N_{A} $ 中的电压、电流都是相同的。

图4-6(d)示出替代定理的证明过程[它仅给出图4-6(b)所示的电压源替

代 $ N_{B} $ 的证明]。先在 $ N_{B} $ 的端子 a、c 间串接两个电压方向相反，但激励电压均为 $ u_{S} $ 的电压源，这不会影响 $ N_{A} $ 及 $ N_{B} $ 内的各电压、电流。令 $ u_{S}=u_{p} $，可见 b、d 之间的电压 $ u_{bd}=0 $，用一条短路线将 b、d 两点短接就可得到与图 4-6(b) 相同的电路，即把 $ N_{B} $ 替代为一个 $ u_{S}=u_{p} $ 的电压源。图 4-6(c) 所示的电流源替代 $ N_{B} $ 的证明，可在 a、d 端子间并接两个电流方向相反，但激励电流值相同的电流源而得到证明。

如果在 $ N_{B} $ 中有 $ N_{A} $ 中受控源的控制量， $ N_{B} $ 被替代后将无法表达这种控制关系，这时， $ N_{B} $ 就不可以被替代。

图4-7示出替代定理应用的实例。图4-7(a)中，可求得 $ u_{3}=8\ V $, $ i_{3}= $

1 A。现将支路3分别以 $ u_{S}=u_{3}=8 $ V 的电压源或 $ i_{S}=i_{3}=1 $ A 的电流源替代，如图4-7(b)或图4-7(c)所示，不难看出，在图4-7(a)、(b)、(c)中，其他部分的电压和电流均保持不变，即 $ i_{1}=2 $ A， $ i_{2}=1 $ A。

顺便指出，支路3也可用一个电阻来替代，其值为 $ R_{s}=\frac{u_{s}}{i_{s}}=\frac{8}{1}\Omega=8\Omega $，此时，其他部分的电压和电流亦保持不变。

§4-3 戴维宁定理和诺顿定理 $ ^{①} $

根据齐性定理，一个不含独立电源、仅含线性电阻和受控源的一端口网络，其端口输入电压与端口输入电流成比例关系，这个比值就定义为该一端口的输入电阻（见§2-7）或等效电阻。所以这类一端口可以用一个电阻等效置换而加以简化。对于一个既含线性电阻、受控源又含独立电源的一端口，应如何加以简化，或者说它的等效电路是什么？本节介绍的戴维宁定理和诺顿定理将回答这个问题。为了叙述方便，将上述这类一端口简称为“含源一端口”，这里“含源”是指含独立电源。

从等效的简化电路与原来的一端口必须具有相同的端口外特性出发，图4-8(a)是一个含源一端口，为了求其端口的伏安特性，可以设想在端口1-1'处加一个电压源 $ U^{②} $，然后求解端口电流I，从而得出U和I的函数关系。利用结点电压法，可以得到结点电压方程

$$ U_{ao}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\right)=\frac{25}{5}+3+\frac{U}{4} $$

可解得 $ U_{x0}=16+\frac{U}{2} $，由 $ I=\frac{U_{x0}-U}{4} $

可得到

$$ U=32-8I $$

或

$$ I=4-\frac{U}{8} $$

与此两方程相应的等效含源支路如图4-8(b)、(c)所示。这一结果带有普遍性，即任意含源一端口，其端口的电压U和电流I呈现线性函数关系，可以等效变换（简化）为带内阻的电压源或电流源，前者称为戴维宁等效电路；后者称为诺顿等效电路。

图4-9示出含源一端口[图4-9(a)]的两种等效电路 $ ^{①} $，其中图4-9(b)为戴维宁等效电路；图4-9(c)为诺顿等效电路。由于图4-9(b)、(c)电路与图4-9(a)电路在一切情况下等效，所以图4-9(b)中 $ u_{oc} $即为图4-9(a)中1-1'开路时端口的开路电压；同理图4-9(c)中 $ i_{sc} $即为图4-9(a)中1-1'短路时端口的短路电流。将图4-9(b)中1-1'短路或将图4-9(c)中1-1'开路，均可得到 $ u_{oc} $、 $ i_{sc} $与 $ R_{eq} $的一个重要关系，即

$$ u_{oc}=R_{eq}i_{sc} $$

$ R_{eq} $ 称为等效电路的等效电阻， $ R_{eq} $ 也可直接从图 4-9(a) 来求得。将 N 中所有独立电源置零，即电压源处用短路代替，电流源处用开路代替。置零后的 N 以 $ N_{0} $ 表示。 $ N_{0} $ 的戴维宁等效电路和诺顿等效电路中，由于 $ N_{0} $ 中无独立电源，故必然 $ u_{oc}=0, i_{sc}=0 $，从图 4-9(b) 或图 4-9(c) 的端口 1-1' 看入的输入电阻均为 $ R_{eq} $，它就等于图 4-9(d) 中 $ N_{0} $ 在端口 1-1' 的输入电阻。

戴维宁定理指出：“一个含独立电源、线性电阻和受控源 $ ^{②} $的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效置换，此电压源的激励电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口内全部独立电源置零后的输入电阻”。

诺顿定理指出：“一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合等效置换，电流源的激励电流等于一端

口的短路电流，电阻等于一端口中全部独立源置零后的输入电阻”。

戴维宁定理可以完整地证明如下：图4-10(a)中N为含源一端口，设外电路仅为电阻 $ R_{e} $（主要为了简化讨论），根据替代定理，用 $ i_{S}=i $的电流源替代电阻 $ R_{e} $，替代后的电路如图4-10(b)所示。应用叠加定理，所得分电路如图4-10(c)和图4-10(d)所示。在图4-10(c)中，当电流源不作用而N中全部电源作用时， $ u^{\prime}=u_{oc} $；在图4-10(d)中，当i作用而N中全部独立电源置零时，N成为 $ N_{0} $（受控源仍保留在 $ N_{0} $中）。此时，有 $ u^{\prime\prime}=-R_{eq}i $，其中 $ R_{eq} $为从 $ N_{0} $端口看入的等效电阻。按叠加定理，端口1-1'间的电压u应为

$$ u=u^{\prime}+u^{\prime \prime}=u_{\mathrm{oc}}-R_{\mathrm{eq}}i $$

故一端口的等效电路如图4-10(e)所示，戴维宁定理得证 $ ^{①} $。

当一端口用戴维宁等效电路或诺顿等效电路置换后，端口以外的电路（称为外电路）中的电压、电流均保持不变。这种等效称为对外等效。

应用戴维宁定理或诺顿定理来等效含源一端口时，可先求出该一端口的开路电压、短路电流和等效电阻三个参数中的任意两个（可视给定电路的具体情况，选择容易求得的参数先求解），如果需要求出第三个参数，可根据式（4-5）计算。

戴维宁定理和诺顿定理指出：一个含源一端口网络可以按照其端口的伏安特性 $ (u-i $ 坐标图上的一条直线 $等效为电压源与电阻的串联组合或电流源与电阻的并联组合。当此一端口网络与外电路连接后，其端口处就有确定的电压 $ u_{p} $与电流 $ i_{p} $，也就是一端口网络工作于伏安特性曲线上的一点 $ p(u_{p},i_{p}) $。替代定理说明了在这种情况下可将一端口网络用一个电压源或电流源置换的替代关系，也可以说是在伏安特性曲线上特定的一点上的等效置换。这和戴维宁定理及诺顿定理中整个伏安特性曲线上的等效置换是不同的。

例 4-5 图 4-11 所示电路中，已知 $ u_{S1}=40\ V $, $ u_{S2}=40\ V $, $ R_{1}=4\ \Omega $, $ R_{2}=2\ \Omega $, $ R_{3}=5\ \Omega $, $ R_{4}=10\ \Omega $, $ R_{5}=8\ \Omega $, $ R_{6}=2\ \Omega $, 求通过 $ R_{3} $ 的电流 $ i_{3} $。

解 将 $ R_{3} $ 的左、右两部分的电路都看为一端口而加以简化。左侧是一个含源一端口[见图4-12(a)]，求开路电压

及等效电阻较为方便。它的等效电路如图4-12(b)所示，其中

$$ R=R_{eq}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=1.33\ \Omega $$

$$ u_{\mathrm{S}}=u_{_{\infty}}=R_{2}i+u_{_{\mathrm{S2}}}=\frac{u_{_{\mathrm{S1}}}-u_{_{\mathrm{S2}}}}{R_{1}+R_{2}}R_{2}+u_{_{\mathrm{S2}}}=40\mathrm{~V} $$

再求右侧无源一端口的等效电阻

$$ R_{\mathrm{e d}}=\frac{R_{4}\left(R_{5}+R_{6}\right)}{R_{4}+R_{5}+R_{6}}=5\ \Omega $$

图4-11可以简化为图4-12(c)所示电路。通过 $ R_{3} $的电流为

$$ i_{3}=\frac{u_{\mathrm{s}}}{R+R_{3}+R_{\mathrm{cd}}}=3.53\mathrm{~A} $$

例 4-6 求图 4-13(a) 所示一端口电路的等效发电机。

解 由图4-13(a)可知，求 $ i_{sc} $ 和 $ R_{eq} $ 比较容易。当1-1'短路时，有

$$ i_{\mathrm{sc}}=\left(3-\frac{60}{20}+\frac{40}{40}-\frac{40}{20}\right)\mathrm{A}=-1\mathrm{A} $$

把一端口内部独立电源置零后，可以求得 $ R_{eq} $，它等于3个电阻的并联，即有

$$ R_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{\frac{1}{20}+\frac{1}{40}+\frac{1}{20}}\ \Omega=8\ \Omega $$

诺顿等效电路将如图4-13(b)所示。

例 4-7 求图 4-14(a) 所示含源一端口的戴维宁等效电路和诺顿等效电路。一端口内部有电流控制电流源， $ i_{c}=0.75i_{1} $

解 先求开路电压 $ u_{\infty} $ 。在图 4-14(a) 中，当端口 1-1′ 开路时，有

$$ i_{2}=i_{1}+i_{c}=1.75i_{1} $$

对网孔1列KVL方程，得

$$ 5\times10^{3}\times i_{1}+20\times10^{3}\times i_{2}=40 $$

代入 $ i_{2}=1.75i_{1} $，可以求得 $ i_{1}=10\ mA $ 。而开路电压

$$ u_{\infty}=20\times10^{3}\times i_{2}=35\mathrm{~V} $$

当1-1′短路时，可求得短路电流 $ i_{sc} $ [见图4-14(b)]。此时

$$ i_{1}=\frac{40}{5\times10^{3}}\mathrm{~A}=8\mathrm{~mA} $$

$$ i_{\mathrm{s c}}=i_{1}+i_{\mathrm{c}}=1.75i_{1}=14\mathrm{~m A} $$

故得

$$ R_{\mathrm{e q}}=\frac{u_{\mathrm{o c}}}{\dot{i}_{\mathrm{s c}}}=2.5~\mathrm{k}\Omega $$

对应的戴维宁等效电路和诺顿等效电路分别如图4-14(c)和图4-14(d)所示。

当含源一端口内部含受控源时，在它的内部独立电源置零后，输入电阻有可能为零或无限大。如果 $ R_{eq}=0 $ 而开路电压 $ u_{oc} $ 为有限值，此时含源一端口存在戴维宁等效电路且仅为一个无伴电压源（即 $ u_{oc} $），而无电阻与之串联，但因 $ G_{eq} $ 与 $ i_{sc} $ 均趋向无限大，故不存在诸顿等效电路。如果求得 $ R_{eq} $ 为无限大（或 $ G_{eq}=0 $）而短路电流 $ i_{sc} $ 为有限值，此时含源一端口存在诸顿等效电路且仅为一个无伴电流源（即 $ i_{sc} $），而无电阻与之并联，但因 $ R_{eq} $ 与 $ u_{oc} $ 均趋于无限大，故不存在戴维宁等效电路。通常情况下，两种等效电路是都存在的。

戴维宁定理和诺顿定理在电路分析中应用广泛。在一个复杂的电路中，如

如果对某些一端口其内部的电压、电流无求解需要，就可应用这两个定理将这些一端口简化 $ ^{①} $。特别是仅对电路的某一元件感兴趣时，这两个定理尤为适用。

例 4-8 图 4-15 是一个惠斯通电桥，其中 G 为检流计，其电阻为 $ R_{G} $。当 $ R_{3} $ 为 500 Ω 时，电桥平衡，G 中无电流 $ ^{②} $。求当 $ R_{3}=501 $ Ω，即电桥不平衡时， $ R_{G} $ 为 50 Ω、100 Ω、200 Ω 与 500 Ω 时，G 中的电流 $ I_{G} $。

解 由于要求电路中 $ R_{G} $ 发生变化，而其他部分不变情况下的多个解，可将 G 以外的 1-1' 看为一个含源一端口。1-1' 的开路电压

$$ u_{\mathrm{oc}}=\left(\frac{501}{100+501}-\frac{5000}{1000+5000}\right)\times5\mathrm{~V}=1.386\mathrm{~mV} $$

从1-1'看入的等效电阻

$$ R_{\mathrm{e q}}=\left(\frac{501\times100}{501+100}+\frac{5000\times1000}{5000+1000}\right)\Omega=916.7\Omega $$

戴维宁等效电路如图4-15(b)所示，从而

$$ I_{G}=\frac{1.386\times10^{-3}}{916.7+R_{G}} $$

可求得当 $ R_{G} $ 为 50 Ω、100 Ω、200 Ω 与 500 Ω 时， $ I_{G} $ 分别为 1.434 μA，1.363 μA，1.241 μA 与 0.978 μA。

例 4-9 对图 4-16 所示电路，如果用具有内电阻 $ R_{v} $ 的直流电压表分别在端子 a、b 和 b、c 处测量电压，试分析电压表内电阻引起的测量误差。

解 当用电压表测量端子 b、c 的电压时，电压的真值是图 4-16(a)中该处的开路电压。为了求得由于电压表内电阻 $ R_{v} $ 引起的误差，需要求得实际的测量值。把图 4-16(a)中 b、c 左边的电路用戴维宁等效电路置换，设 $ U_{oc} $ 为 b、c

端子的开路电压， $ R_{eq} $ 为从 b、c 端看的输入电阻 [见图 4-16(b)]。令 U 为实际测量所得的电压，它等于电阻 $ R_{v} $ 两端的电压，即

$$ U=\frac{R_{\mathrm{v}}}{R_{\mathrm{v}}+R_{\mathrm{eq}}}U_{\infty} $$

相对测量误差

$$ \begin{aligned}\delta\left(\%\right)&=\frac{U-U_{\mathrm{oc}}}{\bar{U}_{\mathrm{oc}}}\times100\%=\left(\frac{R_{\mathrm{V}}}{R_{\mathrm{V}}+R_{\mathrm{eq}}}-1\right)\times100\%\\&=-\frac{R_{\mathrm{eq}}}{R_{\mathrm{V}}+R_{\mathrm{eq}}}\times100\%\end{aligned} $$

例如，当 $ R_{1}=20\ k\Omega, R_{2}=30\ k\Omega, R_{v}=500\ k\Omega $ 时， $ \delta=-2.34\% $

不难看出，如果在 a、b 端测量电压，则由于 $ R_{eq} $ 相同，故相对测量误差不变。当测量某支路电流，对接入内电阻 $ R_{A} $ 不为零的电流表所引起的测量误差，读者可利用诺顿定理自行分析。

§4-4 最大功率传输定理

在分析计算从电源向负载传输功率时，会遇到两种不同类型的问题。第一类型的问题着重于传输功率的效率问题。典型的例子就是交、直流电力传输网络，传输的电功率巨大使得传输引起的损耗、传输效率问题成为首要考虑的问题。另一类型的问题则着重于传输功率的大小问题，例如在通信系统和测量系统中，首要问题是如何从给定的信号源（产生通信信号或测量信号的“源”）取得尽可能大的信号功率。由于此时传输的功率不大，因此效率问题并不是第一位考虑的问题。

下面从图4-17所示电路来讨论最大功率传输问题。图4-17(a)中 $ U_{s} $为电压源的电压、 $ R_{s} $为电源的内阻， $ R_{L} $是负载。该电路可代表电源通过两条传

输线向负载传输功率，此时， $ R_{s} $ 就是两根传输线的电阻。

负载 $ R_{L} $ 所获得的功率 $ P_{L} $ 为

$$ \begin{aligned}P_{\mathrm{L}}&=I_{\mathrm{L}}^{2}R_{\mathrm{L}}=\left(\frac{U_{\mathrm{s}}}{R_{\mathrm{s}}+R_{\mathrm{L}}}\right)^{2}R_{\mathrm{L}}=\frac{U_{\mathrm{s}}^{2}}{R_{\mathrm{s}}+R_{\mathrm{L}}}\bullet\frac{R_{\mathrm{L}}}{R_{\mathrm{s}}+R_{\mathrm{L}}}\\&=P_{\mathrm{s}}\eta\end{aligned} $$

式中 $ P_{s}=\frac{U_{s}^{2}}{R_{s}+R_{L}} $ 为电源发出的功率， $ \eta=\frac{R_{L}}{R_{s}+R_{L}} $ 为传输效率。将 $ R_{L} $ 看为变量， $ P_{L} $ 将随 $ R_{L} $ 而变，最大功率发生在 $ \frac{dP_{L}}{dR_{L}}=0 $ 的条件下，即

$$ \frac{\mathrm{d}P_{\mathrm{L}}}{\mathrm{d}R_{\mathrm{L}}}=U_{\mathrm{S}}^{2}\left[\frac{\left(R_{\mathrm{S}}+R_{\mathrm{L}}\right)^{2}-R_{\mathrm{L}}\times2\left(R_{\mathrm{S}}+R_{\mathrm{L}}\right)}{\left(R_{\mathrm{S}}+R_{\mathrm{L}}\right)^{4}}\right]=0 $$

求解上式得

$$ R_{L}=R_{s} $$

$ R_{L} $ 所获得的最大功率

$$ P_{\mathrm{Lmax}}=\frac{U_{\mathrm{s}}^{2}R_{\mathrm{s}}}{\left(2R_{\mathrm{s}}\right)^{2}}=\frac{U_{\mathrm{s}}^{2}}{4R_{\mathrm{s}}} $$

可见，当负载电阻 $ R_{L}=R_{s} $ 时，负载可以获得最大功率，此种情况称为 $ R_{L} $ 与 $ R_{s} $ 匹配。

最大功率问题可推广至可变化的负载 $ R_{L} $ 从含源一端口获得功率的情况。将含源一端口[如图4-17(b)所示]用戴维宁等效电路来代替，其参数为 $ U_{oc} $ 与 $ R_{m} $，当满足 $ R_{1}=R_{m} $ 时， $ R_{1} $ 将获得最大功率

$$ P_{\mathrm{Lmax}}=\frac{U_{\mathrm{oc}}^{2}}{4R_{\mathrm{eq}}} $$

此时，称负载 $ R_{L} $ 与含源一端口的输入电阻匹配。

例 4-10 在图 4-18(a) 所示电路中，问 $ R_{L} $ 为何值时，它可取得最大功率，并求此最大功率。由电源发出的功率有多少百分比传输给 $ R_{L} $?

解 先求出 $ R_{L} $ 左边含源一端口的戴维宁等效电路，可得 $ U_{oc}=10\ V, R_{eq}=2.5\ \Omega $，其等效电路如图4-18(b)所示。故知当 $ R_{L}=R_{eq}=2.5\ \Omega $ 时，可得最大功率 $ P_{L_{max}}=\frac{10^{2}}{4\times2.5}\ W=10\ W $。为求20 V电源所发出的功率，必须返回至原电路图4-18(a)，由于 $ R_{L} $ 中电流为 $ \frac{10}{2.5+2.5}\ A=2\ A $，故与之并联的5Ω电阻中电流为1 A，而20 V电源中电流为3 A，20 V电压源发出功率为 $ P_{S}=20\times3\ W=60\ W $。此时，仅有1/6的功率，即16.67%的功率传输至 $ R_{L} $ 中。

§4-5 特勒根定理 $ ^{①} $

特勒根定理是电路理论中对集总电路普遍适用的基本定理；就这个意义上，它与基尔霍夫定律等价。

特勒根定理有两种形式。

特勒根定理 1：“对于一个具有 n 个结点和 b 条支路的电路，假设各支路电

流和支路电压取关联参考方向，并令 $ (i_{1},i_{2},\cdots,i_{b}) $、 $ (u_{1},u_{2},\cdots,u_{b}) $分别为b条支路的电流和电压，则对任何时间t，有

$$ \sum_{k=1}^{b}u_{k}i_{k}\;=\;0 $$

此定理可通过图4-19所示电路的图证明如下：令 $ u_{n1} $、 $ u_{n2} $、 $ u_{n3} $分别表示结点①、②、③的结点电压，按KVL可得出各支路电压与结点电压之间的关系为

$$ \left.\begin{array}{l}{u_{1}=u_{\mathrm{n}1}}\\ {u_{2}=u_{\mathrm{n}1}-u_{\mathrm{n}2}}\\ {u_{3}=u_{\mathrm{n}2}-u_{\mathrm{n}3}}\\ {u_{4}=-u_{\mathrm{n}1}+u_{\mathrm{n}3}}\\ {u_{5}=u_{\mathrm{n}2}}\\ {u_{6}=u_{\mathrm{n}3}}\end{array}\right\} $$

对结点 $ ^{①} $、 $ ^{②} $、 $ ^{③} $应用KCL，得

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}i_{1}+i_{2}-i_{4}=0}\\ {}&{{}-i_{2}+i_{3}+i_{5}=0}\\ {}&{{}-i_{3}+i_{4}+i_{6}=0}\\ \end{aligned}\right\} $$

而

$$ \sum_{k=1}^{6}u_{k}i_{k}~=~u_{1}~i_{1}~+~u_{2}~i_{2}~+~u_{3}~i_{3}~+~u_{4}~i_{4}~+~u_{5}~i_{5}~+~u_{6}~i_{6} $$

把支路电压用结点电压表示后，代入此式可得

$$ \begin{aligned}\sum_{k=1}^{6}u_{k}i_{k}\;=\;u_{\mathrm{n}1}i_{1}\;+\;(\;u_{\mathrm{n}1}\;-\;u_{\mathrm{n}2}\;)\;i_{2}\;+\;(\;u_{\mathrm{n}2}\;-\;u_{\mathrm{n}3}\;)\;i_{3}\;+\\ \left(-\;u_{\mathrm{n}1}\;+\;u_{\mathrm{n}3}\right)i_{4}\;+\;u_{\mathrm{n}2}i_{5}\;+\;u_{\mathrm{n}3}i_{6}\end{aligned} $$

上式经整理得

$$ \sum_{k=1}^{\mathfrak{s}}u_{k}i_{k}~=~u_{\mathfrak{n}1}\left(i_{1}~+~i_{2}~-~i_{4}\right)~+~u_{\mathfrak{n}2}\left(-~i_{2}~+~i_{3}~+~i_{5}\right)~+~u_{\mathfrak{n}3}\left(-~i_{3}~+~i_{4}~+~i_{6}\right) $$

式中括号内的电流分别为结点①、②、③处电流的代数和，故引用式(4-8)，即有

$$ \sum_{k=1}^{6}u_{k}i_{k}=0 $$

上述证明可推广至任何具有 n 个结点和 b 条支路的电路 $ ^{①} $，即有

$$ \sum_{k=1}^{6}u_{k}i_{k}=0 $$

注意在证明过程中，只根据电路的拓扑性质应用了基尔霍夫定律，并不涉及支路的内容，因此特勒根定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用。这个定理实质上是功率守恒的数学表达式，它表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。

特勒根定理2：“如果有两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成。假设各支路电流和电压都取关联参考方向，并分别用 $ (i_{1},i_{2},\cdots,i_{b}) $、 $ (u_{1},u_{2},\cdots,u_{b}) $和 $ (\hat{i}_{1},\hat{i}_{2},\cdots,\hat{i}_{b}) $、 $ (\hat{u}_{1},\hat{u}_{2},\cdots,\hat{u}_{b}) $表示

两电路中 b 条支路的电流和电压，则在任何时间 t，有

$$ \sum_{k=1}^{b}u_{k}\stackrel{\wedge}{i}_{k}=0 $$

$$ \sum_{k=1}^{b}\hat{u}_{k}i_{k}\;=\;0 $$

对式(4-10)的证明如下:设两个电路的图如图4-19所示。对电路1,用KVL可写出式(4-7);对电路2应用KCL,有

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\hat{i}_{1}+\hat{i}_{2}-\hat{i}_{4}=0}\\ {}&{{}-\hat{i}_{2}+\hat{i}_{3}+\hat{i}_{5}=0}\\ {}&{{}-\hat{i}_{3}+\hat{i}_{4}+\hat{i}_{6}=0}\\ \end{aligned}\right\} $$

利用式 $ （4-7） $可得出

$$ \begin{align*}\sum_{k=1}^{6}u_{k}\stackrel{\wedge}{i}_{k}&=u_{\mathrm{n}1}\left(\stackrel{\wedge}{i}_{1}+\stackrel{\wedge}{i}_{2}-\stackrel{\wedge}{i}_{4}\right)+u_{\mathrm{n}2}\left(-\stackrel{\wedge}{i}_{2}+\stackrel{\wedge}{i}_{3}+\stackrel{\wedge}{i}_{5}\right)+\\&\quad u_{\mathrm{n}3}\left(-\stackrel{\wedge}{i}_{3}+\stackrel{\wedge}{i}_{4}+\stackrel{\wedge}{i}_{6}\right)\end{align*} $$

再引用式 $ （4-12） $，即可得出

$$ \sum_{k=1}^{6}u_{k}\stackrel{\wedge}{i}_{k}=0 $$

此证明可推广到任何具有 n 个结点和 b 条支路的两个电路，只要它们具有相同的图。

定理的第二部分即式 $ （4-11） $可用类似方法证明。

值得注意的是，定理2不能用功率守恒解释，它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流，或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路电压和支路电流必须遵循的数学关系。由于它仍具有功率之和的形式，所以有时又称为“拟功率定理”。应当指出，定理2同样对支路内容没有任何限制，这也是此定理普遍适用的特点。

例如，对图4-20所示两个不同的电路，其支路内容可以完全不同。表4-1列出了两个电路在某一瞬间的支路电流和电压值，这些电流和电压分别满足各电路本身的KCL和KVL。不难验证

$$ \sum_{k=1}^{6}u_{k}i_{k}=-15+3+4-4-2+14=0 $$

$$ \sum_{k=1}^{6}\hat{u}_{k}i_{k}\;=-\;21+2+10-6-1+16=0 $$

$$ \sum_{k=1}^{6}u_{k}\stackrel{\wedge}{i}_{k}=10+6+2+4+6-28=0 $$

$$ \sum_{k=1}^{6}\stackrel{\wedge}{u}_{k}\stackrel{\wedge}{i}_{k}=14+4+5+6+3-32=0 $$

| 支路u, i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| $ u_k $/V | 5 | 3 | 2 | 4 | -2 | 7 |

| $ i_k $/A | -3 | 1 | 2 | -1 | 1 | 2 |

| $ \hat{u}_k $/V | 7 | 2 | 5 | 6 | -1 | 8 |

| $ \hat{i}_k $/A | 2 | 2 | 1 | 1 | -3 | -4 |

$ ^{*} $§4-6 互易定理

互易定理指出，对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路，在保持电路将独立电源置零后电路拓扑结构不变的条件下，激励和响应互换位置后，响应与激励的比值保持不变。上述互换后拓扑结构不变有三种可能，这就构成了互易定理的三种形式。

图4-21(a)、(b)示出第一种激励与响应互换位置的形式，图4-21(c)为把图4-21(a)与图4-21(b)中的独立源置零后的拓扑结构。这就是互易定理的第一种形式。图4-21(b)中，互换位置后的网络及变量均冠以“^”号，根据互易定理，应有

$$ \frac{i_{2}}{u_{\mathrm{s}}}=\frac{\stackrel{\wedge}{i}_{1}}{\stackrel{\wedge}{u}_{\mathrm{s}}} $$

当 $ \hat{u}_{s}=u_{s} $时，就有 $ \hat{i}_{1}=i_{2} $

现在利用特勒根定理来证明上述结果。对于图4-21(a)、(b)，据特勒根定理的第二形式，有

$$ u_{1}\hat{\boldsymbol{i}}_{1}+u_{2}\hat{\boldsymbol{i}}_{2}+\sum_{k=3}^{b}u_{k}\hat{\boldsymbol{i}}_{k}=0 $$

$$ \hat{\vec{u}}_{1}i_{1}+\hat{\vec{u}}_{2}i_{2}+\sum_{k=3}^{b}\hat{\vec{u}}_{k}i_{k}\;=\;0 $$

式中 b 为电路的支路数，取和号遍及方框内的所有支路。并规定所有支路中电流和电压都取关联参考方向。

由于方框内各支路均由线性电阻构成，应有 $ u_{k} = R_{k} i_{k} $， $ \hat{u}_{k} = R_{k} \hat{i}_{k} $，k = 3, …, b。将它们分别代入两式后有

$$ \begin{aligned}{u_{1}\hat{i}_{1}+u_{2}\hat{i}_{2}+\sum_{k=3}^{b}R_{k}i_{k}\hat{i}_{k}=0}\\ {\hat{u}_{1}i_{1}+\hat{u}_{2}i_{2}+\sum_{k=3}^{b}R_{k}\hat{i}_{k}i_{k}=0}\\ \end{aligned} $$

比较两式，得到

$$ u_{1}\hat{i}_{1}+u_{2}\hat{i}_{2}=\hat{\boldsymbol{u}}_{1}\boldsymbol{i}_{1}+\hat{\boldsymbol{u}}_{2}\boldsymbol{i}_{2} $$

对图 4-21(a) 来说， $ u_{1}=u_{S} $， $ u_{2}=0 $；对图 4-21(b) 来说， $ \hat{u}_{1}=0 $， $ \hat{u}_{2}=\hat{u}_{S} $ 代入上式便得

$$ u_{\mathrm{s}}\hat{i}_{1}=\hat{u}_{\mathrm{s}}i_{1} $$

于是得证。

激励和响应互换位置的第二种形式如图4-22(a)、(b)所示，图4-22(c)为其将独立源置零后的拓扑结构。这就是互易定理的第二种形式。其中激励是电流源，响应是开路电压，互易前后激励、响应所在支路在将独立源置零后都是开路。

根据特勒根定理，对图4-22(a)、(b)来说有

$$ u_{1}\hat{i}_{1}+u_{2}\hat{i}_{2}=\hat{\boldsymbol{u}}_{1}\boldsymbol{i}_{1}+\hat{\boldsymbol{u}}_{2}\boldsymbol{i}_{2} $$

代入 $ i_{1} = -i_{S}, i_{2} = 0; \hat{i}_{1} = 0, \hat{i}_{2} = -\hat{i}_{S} $，有

$$ u_{2}\overset{\wedge}{i}_{\mathrm{s}}=\overset{\wedge}{u}_{1}i_{\mathrm{s}} $$

即

$$ \frac{u_{2}}{i_{\mathrm{s}}}=\frac{\hat{u}_{2}}{\hat{i}_{\mathrm{s}}} $$

可见，响应与激励的比值不变，如果 $ \hat{i}_{s}=i_{s} $，则 $ \hat{u}_{1}=u_{2} $。

激励与响应互换位置的第三种形式是激励由电流源换为电压源，响应由短路电流换为开路电压。这样，在激励与响应互换位置后，将独立源置零后的电路的拓扑结构维持不变，即 $ 1-1' $支路始终为开路而 $ 2-2' $支路始终为短路[见图4-23(c)]。图4-23(a)、(b)就是互易定理的第三种形式。

对图4-23(a)、(b)应用特勒根定理，可以得到

$$ u_{1}\hat{i}_{1}+u_{2}\hat{i}_{2}=\hat{\boldsymbol{u}}_{1}i_{1}+\hat{\boldsymbol{u}}_{2}i_{2} $$

代入 $ i_{1} = -i_{S} $, $ u_{2} = 0 $; $ \hat{i}_{1} = 0 $, $ \hat{u}_{2} = \hat{u}_{S} $, 便可得

$$ -\hat{\boldsymbol{u}}_{1}\boldsymbol{i}_{\mathrm{S}}+\hat{\boldsymbol{u}}_{\mathrm{S}}\boldsymbol{i}_{2}=\boldsymbol{0} $$

即

$$ \frac{i_{2}}{i_{\mathrm{S}}}=\frac{\hat{u}_{1}}{\hat{u}_{\mathrm{S}}} $$

响应与激励之比值不变。如果在数值上 $ \hat{u}_{S}=i_{S} $，则 $ \hat{u}_{1}=i_{2}(i_{1} $ 与 $ i_{S} $、 $ \hat{u}_{1} $ 与 $ \hat{u}_{S} $ 均分别取同一单位)。

最后要强调指出，为使互易定理得以应用，方框内部 N 的 $ (b-2) $ 条支路的电压、电流必须满足下列关系

$$ \sum_{k=3}^{b}\boldsymbol{u}_{k}\stackrel{\wedge}{i}_{k}\;=\;\sum_{k=3}^{b}\boldsymbol{\hat{u}}_{k}\boldsymbol{i}_{k} $$

这一关系是判断网络是否可互易的条件。凡能满足此关系的网络称为可互易网络，其元件称为可互易元件，反之称为非互易网络和非互易元件。受控源的控制是有方向性的，所以受控源就不是可互易元件，具有受控源的电路也不是可互易网络。

§4-7 对偶原理

对偶原理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结。现以示例来说明这种相似联系。

图4-24(a)为 n 个电阻的串联电路，图4-24(b)为 n 个电导的并联电路，分别以 N 与 $ \overline{N} $ 表示。在 N 与 $ \overline{N} $ 的若干公式之间，存在着以下相似

在 N 中

$$ \begin{aligned}& 总电导 &R&=\sum_{k=1}^{n}R_{k}\\& 电流 &i&=\frac{u}{R}\\& 分压公式 &u_{k}&=\frac{R_{k}}{R}u\end{aligned} $$

对 $ \bar{N} $有

$$ \begin{aligned}& 总电导 \quad&G&=\sum_{k=1}^{n}G_{k}\\& 电压 \quad&u&=\frac{i}{G}\\& 分流公式 \quad&i_{k}&=\frac{G_{k}}{G}i\end{aligned} $$

可见，在以上这些关系式中，如果将电压 u 与 i 互换，电阻 R 与电导 G 互换，那么在 N 中的公式就成为 $ \overline{N} $ 中的公式。反之亦然。将这种对应关系称为对偶关系，这些互换元素称为对偶元素。串联与并联；电压与电流；电阻 R 与电导 G 都是对偶元素。而 N 与 $ \overline{N} $ 则称为对偶网络。图 4-25(a) 与图 4-25(b) 所示两个平面电路 N 与 $ \overline{N} $，在给定网孔电流与结点电压的参考方向下，N 的网孔方程与 $ \overline{N} $ 的结点电压方程分别为

$$ \left.\begin{aligned}&\left(\boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{2}\right)\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}1}-\boldsymbol{R}_{2}\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}2}=\boldsymbol{u}_{\mathrm{S}1}\\ &-\boldsymbol{R}_{2}\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}1}+\left(\boldsymbol{R}_{2}+\boldsymbol{R}_{3}\right)\boldsymbol{i}_{\mathrm{m}2}=\boldsymbol{u}_{\mathrm{S}2}\\ &\left(\overline{\boldsymbol{G}}_{1}+\overline{\boldsymbol{G}}_{2}\right)\overline{\boldsymbol{u}}_{\mathrm{n}1}-\overline{\boldsymbol{G}}_{2}\overline{\boldsymbol{u}}_{\mathrm{n}2}=\overline{\boldsymbol{i}}_{\mathrm{S}1}\\ &-\overline{\boldsymbol{G}}_{2}\overline{\boldsymbol{u}}_{\mathrm{n}1}+\left(\overline{\boldsymbol{G}}_{2}+\overline{\boldsymbol{G}}_{3}\right)\overline{\boldsymbol{u}}_{\mathrm{n}2}=\overline{\boldsymbol{i}}_{\mathrm{S}2}\end{aligned}\right\} $$

如果把 R 和 $ \overline{G} $， $ u_{S} $ 和 $ \overline{i}_{S} $，网孔电流 $ i_{m} $ 和结点电压 $ \overline{u}_{n} $ 等对应元素互换，则上面两个方程也可以彼此转换。所以“网孔电流”和“结点电压”是对偶元素，这两个平面电路称为对偶电路。

对偶原理指出，在对偶电路中，某些元素之间的关系（或方程）可以通过对偶元素的互换而相互转换。根据对偶原理，如果在某电路中导出某一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论。可以利用这一点来记忆公式和作推断。对偶的内容包括：电路的拓扑结构、电路变量、电路元件、一些电路的公式（或方程）甚至定理。例如戴维宁定理与诺顿定理就互为对偶，

电路定律 KCL 与 KVL 也是互为对偶的。对偶的概念不仅局限于电阻电路，还可在以后其他章节的学习过程中看到有新的对偶关系。还应注意：“对偶”和“等效”是两个不同的概念，不可混淆。

4-1 应用叠加定理求题 4-1 图所示电路中电压 $ u_{sb} $

4-2 应用叠加定理求题 4-2 图所示电路中电压 u。

4-3 应用叠加定理求题 4-3 图所示电路中电流 I。

4-4 应用叠加定理求：

（1）题4-4图(a)中电压 $ u_{2} $;

(2) 题 4-4 图(b) 中电压 U。

4-5 应用叠加定理，按下列步骤求解题4-5图中 $ I_{a} $

（1）将受控源参与叠加，画出三个分电路，第三分电路中受控源电压为 $ I_{a} $， $ I_{a} $ 并非分响应，而为未知总响应；

(2) 求出三个分电路的分响应 $ I_{a}^{\prime} $、 $ I_{a}^{\prime\prime} $ 与 $ I_{a}^{\prime\prime\prime} $， $ I_{a}^{\prime\prime\prime} $ 中包含未知量 $ I_{a} $；

（3）利用 $ I_{a}=I_{a}^{\prime}+I_{a}^{\prime\prime}+I_{a}^{\prime\prime\prime} $ 解出 $ I_{a} $

4-6 试求题 4-6 图所示梯形电路中各支路电流、结点电压和 $ \frac{u_{0}}{u_{s}} $ 。其中 $ u_{s}=10\ V $ 。

4-7 题 4-7 图所示电路中，当电流源 $ i_{S1} $ 和电压源 $ u_{S1} $ 反向时 ( $ u_{S2} $ 不变)，电压 $ u_{ab} $ 是原来 0.5 倍；当 $ i_{S1} $ 和 $ u_{S2} $ 反向时 ( $ u_{S1} $ 不变)，电压 $ u_{ab} $ 是原来的 0.3 倍。问：仅 $ i_{S1} $ 反向 ( $ u_{S1} $、 $ u_{S2} $ 均不变) 时，电压 $ u_{ab} $ 应为原来的几倍？

4-8 题 4-8 图所示电路中 $ U_{Si}=10\ V $, $ U_{S2}=15\ V $, 当开关 S 在位置 1 时, 毫安表的读数为 $ I'=40\ mA $; 当开关 S 合向位置 2 时, 毫安表的读数为 $ I''=-60\ mA $。如果把开关 S 合向位置 3, 则毫安表的读数为多少?

4-9 求题4-9图所示电路的戴维宁或诺顿等效电路。

4-10 求题4-10图中各电路在ab端口的戴维宁等效电路或诺顿等效电路。

4-11 题 4-11 图(a)所示含源一端口的外特性曲线画于题 4-11 图(b)中，求其等效电源。

4–12 求题 4−12 图所示各电路的等效戴维宁电路或诺顿电路。

4-13 求题 4-13 图所示两个一端口的戴维宁或诺顿等效电路，并解释所得结果。

4-14 (1) 题 4-14 图(a) 中，电压表测量 a、b 的电压 $ U_{abm} = 25 \, V $。问电压表的内阻 $ R_{v} $ 是多少？如果要控制测量相对误差 $ \left|\delta\left(\%\right)\right| < 1\% $，则 $ R_{v} $ 的最小值为多少？

（2）题4-14图(b)中，在12Ω电阻支路中串接内阻 $ R_{A}=3.2\Omega $的电流表测量 $ I_{a} $，求测量相对误差 $ \delta(\%) $。

4-15 在题4-15图所示电路中，当 $ R_{L} $取0Ω、2Ω、4Ω、6Ω、10Ω、18Ω、24Ω、42Ω、90Ω和186Ω时，求 $ R_{L} $的电压 $ U_{L} $、电流 $ I_{L} $和 $ R_{L} $消耗的功率。

4-16 在题 4−16 图所示电路中，试问：

（1）R 为多大时，它吸收的功率最大？求此最大功率。

（2）当 $ R_{L} $取得最大功率时，两个50 V电压源发出的功率共为多少？

（3）若 R = 80 Ω，欲使 R 中电流为零，则 a、b 间应并联什么元件？其参数为多少？画出电路图。

4-17 题4-17图所示电路的负载电阻 $ R_{L} $ 可变，试问 $ R_{L} $ 等于何值时可吸收最大功率？求此功率。

4-18 题4-18图所示电路中N（方框内部）仅由电阻组成。对不同的输入直流电压 $ U_{s} $及不同的 $ R_{1}, R_{2} $值进行了两次测量，得下列数据： $ R_{1}=R_{2}=2\Omega $时， $ U_{s}=8V, I_{1}=2A, U_{2}=2V; R_{1}=1.4\Omega, R_{2}=0.8\Omega $时， $ \hat{U}_{s}=9V, \hat{I}_{1}=3A $，求 $ \hat{U}_{2} $的值。

4~19 在题 4-19 图(a)中，已知 $ U_{2}=6~V $，求图题 4-19(b)中 $ U_{1}^{\prime} $（网络 N 仅由电阻组成）。

4-20 题 4-20 图中网络 N 仅由电阻组成。根据图(a)和图(b)的已知情况，求图(c)中电流 $ I_{1} $ 和 $ I_{2} $。

4-21 已知题 4-21 图中 N 为电阻网络，在图 (a) 中 $ U_{1}=30\ V $, $ U_{2}=20\ V $ 。求图 (b) 电路中 $ \hat{U}_{1} $ 为多少？

4-22 题4-22图中N为电阻网络。已知图(a)中各电压、电流。求图(b)中电流I。

4-23 题 4-23 图所示电路中 N 由电阻组成，图(a) 中， $ I_{2}=0.5\ A $，求图(b) 中电压 $ U_{1} $。

4-24 题4-24图所示电路中N仅由电阻组成。已知图(a)中电压 $ U_{1}=1\ V $，电流 $ I_{2}=0.5\ A $，求图(b)中 $ \hat{I}_{1} $。

4-25 题 4-25 图所示网络 N 仅由电阻组成，端口电压和电流之间的关系可由下式表示：

$$ i_{1}=G_{11}u_{1}+G_{12}u_{2} $$

$$ i_{2}=G_{21}u_{1}+G_{22}u_{2} $$

试证明 $ G_{12}=G_{21} $ 。如果 N 内部含独立电源或受控源，上述结论是否成立？为什么？

含有运算放大器的电阻电路

内容提要___

运算放大器是电路中一种重要的多端器件，它的应用十分广泛。本章介绍运算放大器的电路模型，运算放大器在理想化条件下的外部特性，以及含有运算放大器的电阻电路的分析。另外介绍一些典型电路。

§5-1 运算放大器的电路模型

运算放大器(简称运放)是一种包含许多晶体管的集成电路，它是目前获得广泛应用的一种多端器件。一般放大器的作用是把输入电压放大一定倍数后再输送出去，其输出电压与输入电压的比值称为电压放大倍数或电压增益。运放是一种高增益(可达几万倍甚至更高)、高输入电阻、低输出电阻的放大器。由于它能完成加法、积分、微分等数学运算而被称为运算放大器，然而它的应用远远超出上述范围。

虽然运放有多种型号，其内部结构也各不相同，但从电路分析的角度出发，感兴趣的仅仅是运放的外部特性及其电路模型。图5-1(a)给出了运放的电路图形符号，其中“三角形”符号表示“放大器”（实际运放外部端子比图示的可能还要多）。运放有两个输入端a、b和一个输出端o。电源端子 $ E^{+} $和 $ E^{-} $连接直流偏置电压，以维持运放内部晶体管正常工作。 $ E^{+} $端接正电压， $ E^{-} $端接负电压，这里电压的正、负是对“地”或公共端 $ ^{①} $而言的。在分析运放的放大作用时可以不考虑偏置电源，这时采用图5-1(b)所示电路符号，但应记得偏置电源是存在的。a端称为倒向输入端（也称反相输入端）。当输入电压 $ u^{-} $加在a端与公共

端之间，且其实际方向从 a 端指向公共端时，输出电压 $ u_{0} $ 的实际方向则自公共端指向 o 端，即两者的方向正好相反。b 端称为非倒向输入端（也称为同相输入端）。当输入电压 $ u^{+} $加在 b 端与公共端之间， $ u_{0} $ 与 $ u^{+} $两者的实际方向相对公共端恰好相同。为了区别起见，a 端和 b 端分别用“-”号和“+”号标出，如图 5-1 所示，但不要将它们误认为电压参考方向的正、负极性。电压的正、负极性应另外标出或用箭头表示。

如果在 a 端和 b 端分别同时加输入电压 $ u^{-} $ 和 $ u^{+} $，则有

$$ u_{o}=A\left(u^{+}-u^{-}\right)=Au_{d} $$

其中 $ u_{d}=u^{+}-u^{-} $，A 为运放的电压放大倍数（或电压增益的绝对值）。运放的这种输入情况称为差分输入，而 $ u_{d} $ 称为差分输入电压。在实际应用中经常把非倒向端与公共端连接起来（接地），而只在倒向端加输入电压，则有

$$ u_{。}=-Au^{-} $$

上式右边的负号说明输出电压 u。与输入电压 $ u^{-} $相对公共端是反向的。反之，若把倒向端与公共端连接起来，而在非倒向端加输入电压 $ u^{+} $，这时有

$$ u_{。}=A u^{\dagger} $$

有时，为了简化起见，在画运放的电路符号时[见图5-1(b)]，可将接地的连接线省略掉，而用图5-1(c)所示的电路符号表示 $ ^{①} $。但在进行电路分析时，

应当注意到这个接地线的存在。运放可以看作是一种多端元件。

运放的输出电压 $ u_{0} $ 与差分输入电压 $ u_{d} $ 之间的关系可以用图 5-2 近似地描述。在 $ -\varepsilon \leq u_{d} \leq \varepsilon $ ( $ \varepsilon $ 是很小的) 范围内， $ u_{0} $ 与 $ u_{d} $ 的关系用通过原点的一段直线描述，其斜率等于放大倍数 A。由于 A 值很大，所以这段直线很陡。当 $ |u_{d}| > \varepsilon $ 时，输出电压 $ u_{0} $ 趋于饱和，图中用 $ \pm U_{sat} $ 表示，此饱和电压值略低于直流偏置电压值。这个关系曲线称为运放的外特性。

图5-3 示出运放的电路模型，其中电压控制电压源的电压为 $ A(u^{+}-u^{-}) $， $ R_{i} $ 为运放的输入电阻， $ R_{o} $ 为输出电阻。实际运放的 $ R_{i} $ 都比较高，而 $ R_{o} $ 则较低。它们的具体值根据运放的制造工艺有所不同，但可以认为 $ R_{i} \gg R_{o} $。本章中把运放的工作范围限制在线性段，即设 $ -U_{sat}

在理想化情况下，设流入运放两个输入端的电流均为零，等于将输入电阻 $ R_{i} $设为无限大；而将输出电阻 $ R_{0} $设为零，将放大倍数A设为无限大。于是从式(5-1)可知， $ u_{d}=u^{+}-u^{-}=0 $。这是因为 $ u_{0} $为有限值，所以差分输入电压 $ u_{d} $被强制为零，或者说 $ u^{+} $和 $ u^{-} $将相等。如果不是差分输入的情况，而是把非倒向端（或倒向端）接地，即有 $ u^{+}=0 $（或 $ u^{-}=0 $），则在倒向端的电压 $ u^{-} $（或非倒向端的电压 $ u^{+} $）就将强制为零值。

归纳以上论述，在 $ -U_{sat}

形符号中加“ $ \infty $”以资说明，否则用“A”表示。

实际运放的工作情况比以上介绍的要复杂一些。例如，放大倍数 A 不仅为有限值，而且随着频率的增高而下降。通常，图 5-3 所示运放电路模型在输入电压频率较低时是足够精确的。为了简化分析，一般将假设运放在理想化条件下工作的，这样做在许多场合下不会造成很大的误差。

§5-2 比例电路的分析

图5-4(a)表示一个由运放和电阻构成的电路，称为倒向比例器。运放的输出电压通过电阻 $ R_{2} $反馈到输入回路中。显然，由于电阻 $ R_{1} $的存在，电路的输入电压 $ u_{i} $与运放的倒向输入端电压 $ u^{-} $不同。

参照图5-3所示运放电路模型，图5-4(a)所示电路可用图5-4(b)表示。设输入电压用一个电压为 $ u_{i} $的电压源表示，对结点①、②列出结点电压方程，有

$$ \begin{aligned}&\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{i}}+\frac{1}{R_{2}}\right)u_{\mathrm{n}1}-\frac{1}{R_{2}}u_{\mathrm{n}2}=\frac{u_{\mathrm{i}}}{R_{1}}\\&-\frac{1}{R_{2}}u_{\mathrm{n}1}+\left(\frac{1}{R_{\mathrm{o}}}+\frac{1}{R_{2}}\right)u_{\mathrm{n}2}=-\frac{A u^{-}}{R_{\mathrm{o}}}\end{aligned} $$

由于 $ u_{n1} = u^{-} $, $ u_{n2} = u_{0} $，改写上列方程，得

$$ \begin{aligned}&\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{\mathrm{i}}}+\frac{1}{R_{2}}\right)\boldsymbol{u}^{-}-\frac{1}{R_{2}}\boldsymbol{u}_{\circ}=\frac{\boldsymbol{u}_{\mathrm{i}}}{R_{1}}\\&\left(-\frac{1}{R_{2}}+\frac{A}{R_{\mathrm{o}}}\right)\boldsymbol{u}^{-}+\left(\frac{1}{R_{\mathrm{o}}}+\frac{1}{R_{2}}\right)\boldsymbol{u}_{\circ}=0\end{aligned} $$

联立求解上列方程，求得

$$ u_{o}=\frac{-\left(\frac{A}{R_{o}}-\frac{1}{R_{2}}\right)\frac{u_{i}}{R_{1}}}{\left(\frac{1}{R_{o}}+\frac{1}{R_{2}}\right)\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{i}}+\frac{1}{R_{2}}\right)+\frac{1}{R_{2}}\left(\frac{A}{R_{o}}-\frac{1}{R_{2}}\right)} $$

所以

$$ \frac{u_{\circ}}{u_{\mathrm{i}}}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}\frac{1}{1+\frac{\left(1+\frac{R_{\circ}}{R_{2}}\right)\left(1+\frac{R_{2}}{R_{1}}+\frac{R_{2}}{R_{\mathrm{i}}}\right)}{A-\frac{R_{\circ}}{R_{2}}}} $$

从上式可见，由于 A 很大， $ R_{0} $ 很小， $ R_{i} $ 很大，再选择适当的 $ R_{1} $ 和 $ R_{2} $，则有

$$ \frac{u_{o}}{u_{i}}\approx-\frac{R_{2}}{R_{1}} $$

例如，设 A = 50 000, $ R_{i} = 1 M\Omega $, $ R_{o} = 100\Omega $，而 $ R_{2} = 100 k\Omega $, $ R_{1} = 10 k\Omega $，则

$$ \frac{u_{o}}{u_{i}}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}\cdot\frac{1}{1.00022} $$

可见用式(5-3)计算 $ \frac{u_{0}}{u_{i}} $足够精确。

上述结果是很有意义的。利用图5-4(a)所示电路可使输出电压与输入电压之比按 $ \frac{R_{2}}{R_{1}} $确定，而不会由于运放的性能稍有改变就使 $ \frac{u_{o}}{u_{i}} $的值受到影响。显然，选择不同的 $ R_{2} $和 $ R_{1} $值，就可获得不同的 $ \frac{u_{o}}{u_{i}} $值，所以有比例器的作用。通常又把这个电路称为倒向放大器。

如果把图5-4(a)所示运放当作理想运放，则由于 $ A=\infty,R_{i}=\infty,R_{o}=0 $，从式(5-2)可直接求得

$$ \frac{u_{o}}{u_{i}}=-\frac{R_{2}}{R_{1}} $$

另外，也可以直接利用理想运放的性质，对图5-4(a)所示电路求解。由于 $ R_{i}=\infty $， $ R_{o}=0 $及 $ A=\infty $，则 $ i_{1}=i_{2} $，从而得

$$ \frac{u_{i}-u^{-}}{R_{1}}=\frac{u^{-}-u_{0}}{R_{2}} $$

又由于 $ \frac{u_{0}}{u^{-}}=-A $，故 $ u^{-}=0 $，所以

$$ \frac{u_{i}}{R_{1}}=-\frac{u_{o}}{R_{2}} $$

这样也可以求得

$$ \frac{u_{\circ}}{u_{i}}=-\frac{R_{2}}{R_{1}} $$

与上述结果相同。

§5-3 含有理想运算放大器的电路的分析

含有理想运放的电路的分析有一些特点，按§5-1介绍的有关理想运放的性质，可以得到以下两条规则：

（1）倒向端和非倒向端的输入电流均为零[可称之为“虚断（路）”]；

（2）对于公共端（地），倒向输入端的电压与非倒向输入端的电压相等 $ ^{①} $ [可称之为“虚短（路）”]。

合理地运用这两条规则，并与结点电压法相结合，将使这类电路的分析大为简化。下面举例加以说明。

例 5-1 图 5-5 所示电路称为非倒向放大器（比例器）。试求输出电压 u。与输入电压 $ u_{i} $ 之间的关系。

解 用上述两条规则。按规则(1)，有 $ i_{1}= $

$ i_{2}=0 $，故有

$$ u_{2}=\frac{u_{o}R_{1}}{R_{1}+R_{2}} $$

按规则(2)，有 $ u_{i}=u^{+}=u^{-}=u_{2} $，所以

$$ u_{i}=\frac{u_{o}R_{1}}{R_{1}+R_{2}} $$

即

$$ \frac{u_{\mathrm{o}}}{u_{\mathrm{i}}}=1+\frac{R_{2}}{R_{1}} $$

选择不同的 $ R_{1} $ 和 $ R_{2} $，可以获得不同的 $ \frac{u_{0}}{u_{i}} $ 值，而比值一定大于1，同时又是正的，即输出是非倒向的。

将图5-5中电阻 $ R_{1} $改为开路，把电阻 $ R_{2} $改为短路，则得到图5-6所示电路。不难看出 $ u_{0}=u_{i} $，同时有 $ i_{i}=0 $，就是说输入电阻 $ R_{i} $为无限大。此电路

的输出电压完全“重复”输入电压，故称为电压跟随器。由于 $ R_{i} $ 为无限大，所以它又起“隔离作用”。例如，图5-7(a)所示由电阻 $ R_{1} $ 和 $ R_{2} $ 构成的分压电路，其中电压 $ u_{2}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}u_{1} $。如果把负载 $ R_{L} $ 直接接到此分压器，则电阻 $ R_{L} $ 的接入将会影响电压 $ u_{2} $ 的大小。但是如果通过图5-6所示电压跟随器

把 $ R_{L} $ 接入 [见图 5-7(b)]，则 $ u_{2} $ 值仍将等于 $ \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}u_{1} $ 。所以，负载电阻的作用被“隔离”了。

例 5-2 图 5-8 所示电路为加法器。试说明其工作原理。

解 用规则(1)， $ i^{-}=0 $，得 $ i=i_{1}+i_{2}+i_{3} $，故

$$ -\frac{u_{0}-u}{R_{1}}=\frac{u_{1}-u}{R_{1}}+\frac{u_{2}-u}{R_{2}}+\frac{u_{3}-u}{R_{3}} $$

用规则(2)，得 $ u^{-}=0 $，所以

$$ -\frac{u_{0}}{R_{f}}=\frac{u_{1}}{R_{1}}+\frac{u_{2}}{R_{2}}+\frac{u_{3}}{R_{3}} $$

$$ u_{o}=-R_{1}\left(\frac{u_{1}}{R_{1}}+\frac{u_{2}}{R_{2}}+\frac{u_{3}}{R_{3}}\right) $$

如令 $ R_{1}=R_{2}=R_{3}=R_{f} $，则

$$ u_{。}=-\left(u_{1}+u_{2}+u_{3}\right) $$

式中负号说明输出电压和输入电压反向。

如果直接对结点①列写结点电压方程（注意 $ u_{n1}=0, i^{-}=0 $），得

$$ -\frac{u_{1}}{R_{1}}-\frac{u_{2}}{R_{2}}-\frac{u_{3}}{R_{3}}-\frac{u_{\mathrm{o}}}{R_{\mathrm{f}}}=0 $$

所得结果将与上面一致。

例 5-3 图 5-9 所示电路含有 2 个运放，设 $ R_{5}=R_{6} $。试求 $ \frac{u_{0}}{u_{1}} $。

解 对结点①和结点②列出结点电压方程，并注意到规则(1)和规则(2) $ (u_{n1}=u_{n2}=0) $，可得：

$$ \begin{aligned}&-\frac{u_{\mathrm{i}}}{R_{1}}-\frac{u_{\mathrm{o}}^{^{\prime}}}{R_{6}}-\frac{u_{\mathrm{o}}}{R_{4}}=0\\&-\frac{u_{\mathrm{i}}}{R_{2}}-\frac{u_{\mathrm{o}}^{^{\prime}}}{R_{5}}-\frac{u_{\mathrm{o}}}{R_{3}}=0\end{aligned} $$

从以上两个方程中消去 $ u_{0}^{\prime} $，得

$$ \frac{u_{\mathrm{i}}}{R_{1}}-\frac{u_{\mathrm{i}}}{R_{2}}=\frac{u_{\mathrm{o}}}{R_{3}}-\frac{u_{\mathrm{o}}}{R_{4}} $$

所以

$$ \frac{u_{o}}{u_{i}}=\frac{G_{1}-G_{2}}{G_{3}-G_{4}} $$

在应用以上方法时，由于运放输出端的电流事先无法确定，因此不宜对该结点列方程，可以认为这是把运放理想化处理所带有的特点。

___ 习 题 ___

5-1 设题 5-1 图所示电路的输出 u。为

$$ u_{o}=-3u_{1}-0.2u_{2} $$

已知 $ R_{3}=10\ k\Omega $，求 $ R_{1} $ 和 $ R_{2} $

5-2 题5-2图所示电路起减法作用，求输出电压u。和输入电压 $ u_{1} $、 $ u_{2} $之间的关系。

5-3 求题 5-2 图所示电路的输出电压与输入电压之比 $ \frac{u_{2}}{u_{1}} $。

5-4 求题 5-4 图所示电路的电压比值 $ \frac{u_{0}}{u_{1}} $

5-6 试证明题5-6图所示电路若满足 $ R_{1}R_{4}=R_{2}R_{3} $，则电流 $ i_{L} $ 仅决定于 $ u_{1} $ 而与负载电阻 $ R_{L} $ 无关。

5-7 求题 5-7 图所示电路的 $ u_{0} $ 与 $ u_{S1} $、 $ u_{S2} $ 之间的关系。

5-8 电路如题5-8图所示，设 $ R_{f}=16\ R $，验证该电路的输出 $ u_{0} $。与输入 $ u_{1}\sim u_{4} $之间的关系为 $ u_{0}=-(8u_{1}+4u_{2}+2u_{3}+u_{4}) $。[注：该电路为4位数字-模拟转换器，常用在信息处理、自动控制领域。该电路可将一个4位二进制数字信号转换成模拟信号。例如当数字信号为1101时，令 $ u_{1}=u_{2}=u_{4}=1,u_{3}=0 $，则由关系式 $ u_{0}=-(8u_{1}+4u_{2}+2u_{3}+u_{4}) $得模拟信号 $ u_{0}=-(8+4+0+1)=-13 $。]

储能元件

内容提要

本章介绍电容、电感两种储能元件，讨论其在电路中的VCR及功率、能量表达式。也讨论了电容、电感在作串、并联时的等效参数。

§6-1 电容元件

在工程技术中，电容器的应用极为广泛。电容器虽然品种、规格各异，但就其构成原理来说，电容器都是由间隔以不同介质（如云母、绝缘纸、空气等）的两块金属板组成。当在两极板上加上电压后，两极板上分别聚集起等量的正、负电荷，并在介质中建立电场而具有电场能量。将电源移去后，电荷可继续聚集在极板上，电场继续存在。所以电容器是一种能储存电荷或者说储存电场能量的部件。电容元件就是反映这种物理现象的电路模型。

电容元件的元件特性是电路物理量电荷 q 与电压 u 的代数关系。线性电容元件的图形符号如图 6-1(a) 所示，当电压参考极性与极板储存电荷的极性一致时，线性电容元件的元件特性为

$$ q=C u $$

式中 C 是电容元件的参数，称为电容，它是一个正实常数。在国际单位制（SI）中，当电荷和电压的单位分别为 C 和 V 时，电容的单位为 F（法拉，简称法）。图6-1（b）中，以 q 和 u 为坐标轴画出电容元件的库伏特性曲线。线性电容元件的库伏特性曲线是一条通过原点的直线。

如果电容元件的电流 i 和电压 u 取关联参考方向，如图 6-1(a) 所示，则得到电容元件的电压电流关系(VCR)为

$$ i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(Cu)}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} $$

表明电流和电压的变化率成正比。当电容上电压发生剧变(即 $ \frac{du}{dt} $很大)时，电流很大。当电压不随时间变化时，电流为零。故电容在直流情况下其两端电压恒定，相当于开路，或者说电容有隔断直流(简称隔直)的作用。

式（6-2）的逆关系为

$$ q\;=\int i\mathrm{d}t $$

这是一个不定积分，可写成定积分的表达式

$$ q\;=\;\int_{-\infty}^{t}i\mathrm{d}\xi\;=\;\int_{-\infty}^{t_{0}}i\mathrm{d}\xi+\int_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi\;=\;q\left(t_{0}\right)\;+\;\int_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi $$

式中 $ q(t_{0}) $ 为 $ t_{0} $ 时刻电容所带电荷。上式的物理意义是：t 时刻具有的电荷等于 $ t_{0} $ 时的电荷加以 $ t_{0} $ 到 t 时间间隔内增加的电荷。如果指定 $ t_{0} $ 为时间的起点并设为零，式(6-4)可写为

$$ q(t)=q(0)+\int_{0}^{t}i\mathrm{d}\xi $$

对于电压与电流的关系，由于 $ u=\frac{q}{C} $，因此有

$$ u\left(t\right)=\left.u(t_{0})+\frac{1}{C}{\int}_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi\right. $$

或

$$ u(t)=u(0)+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i\mathrm{d}\xi $$

将式(6-2)与式(1-3)比较可知，电容元件的电压 u 与电流 i 具有动态关系，因此，电容元件是一个动态元件。从式(6-7)可见，电容电压除与 0 到 t 的电流值有关外，还与 u(0) 值有关，因此，电容元件是一种有“记忆”的元件。与之相比，电阻元件的电压仅与该瞬间的电流值有关，是无记忆的元件。

在电压和电流的关联参考方向下，线性电容元件吸收的功率为

$$ p=ui=Cu\frac{du}{dt} $$

从 t = - $ \infty $ 到 t 时刻，电容元件吸收的能量为

$$ \begin{align*}W_{C}&=\int_{-\infty}^{t}u\left(\xi\right)i\left(\xi\right)\mathrm{d}\xi=\int_{-\infty}^{t}Cu\left(\xi\right)\frac{\mathrm{d}u\left(\xi\right)}{\mathrm{d}\xi}d\xi\\&=C\int_{u\left(-\infty\right)}^{u\left(t\right)}u\left(\xi\right)\mathrm{d}u\left(\xi\right)\\&=\frac{1}{2}Cu^{2}\left(t\right)-\frac{1}{2}Cu^{2}\left(-\infty\right)\end{align*} $$

电容元件吸收的能量以电场能量的形式储存在元件的电场中。可以认为在 $ t=-\infty $时， $ u(-\infty)=0 $，其电场能量也为零。这样，电容元件在任何时刻t储存的电场能量 $ W_{c}(t) $将等于它吸收的能量，可写为

$$ W_{C}(t)=\frac{1}{2}C u^{2}(t) $$

从时间 $ t_{1} $ 到 $ t_{2} $，电容元件吸收的能量

$$ \begin{aligned}W_{C}&=C\int_{u(t_{1})}^{u(t_{2})}u\mathrm{d}u=\frac{1}{2}Cu^{2}(t_{2})-\frac{1}{2}Cu^{2}(t_{1})\\&=W_{C}(t_{2})-W_{C}(t_{1})\end{aligned} $$

电容元件充电时， $ |u(t_2)| > |u(t_1)| $， $ W_C(t_2) > W_C(t_1) $，故在此时间内元件吸收能量；电容元件放电时， $ W_C(t_2) < W_C(t_1) $，元件释放电能。元件在充电时吸收并储存起来的能量一定在放电完毕时全部释放，它不消耗能量。所以，电容元件是一种储能元件。同时，电容元件也不会释放出多于它吸收或储存的能量，所以它又是一种无源元件。

如果电容元件的库伏特性曲线在 u-q 平面上不是通过原点的直线，此元件称为非线性电容元件，晶体二极管中的变容二极管就是一种非线性电容，其电容随所加电压而变。

一般的电容器除有储能作用外，也会消耗一部分电能，这时，非理想电容器的模型就必须是电容元件和电阻元件的组合。由于电容器消耗的电功率与所加电压直接相关，因此其模型宜是两者的并联组合。

电容器是为了获得一定大小的电容特意制成的。但是，电容的效应在许多别的场合也存在，这就是分布电容和杂散电容。从理论上说，电位不相等的导体之间就会有电场，因此就有电荷聚集并有电场能量，即有电容效应存在。例如，在两根架空输电线之间，每一根输电线与地之间都有分布电容。在晶体三极管或二极管的电极之间，甚至一个线圈的线匝之间也存在着杂散电容。至于是否要在模型中计入这些电容，必须视工作条件下它们所起作用而定，当工作频率很高时，一般不应忽略其作用，而应以适当的方式在模型中反映出来。

为了叙述方便，把线性电容元件简称为电容，所以本书中“电容”这个术语以及与它相应的符号 C，一方面表示一个电容元件，另一方面也表示这个元件的参数。

§6-2 电感元件

在工程中广泛应用导线绕制的线圈，例如，在电子电路中常用的空心或带有铁心的高频线圈，电磁铁或变压器中含有在铁心上绕制的线圈等。当一个线圈通以电流后产生的磁场随时间变化时，在线圈中就产生感应电压。

图6-2 示出一个线圈，其中的电流 i 产生的磁通 $ \Phi_{L} $ 与 N 匝线圈交链，则磁通链 $ \Psi_{L}=N\Phi_{L} $。由于磁通 $ \Phi_{L} $ 和磁通链 $ \Psi_{L} $ 都是由线圈本身的电流 i 产生的，所以称为自感磁通和自感磁通链。 $ \Phi_{L} $ 和 $ \Psi_{L} $ 的方向 $ ^{①} $ 与 i 的参考方向成右手螺旋关系，如图6-2中所示。当磁通链 $ \Psi_{L} $ 随时间变化时，在线圈的端子间产生感应电压。如果感应电压 u 的参考方向与 $ \Psi_{L} $ 成右手螺旋关系（即从端子 A 沿导线到端子 B 的方向与 $ \Psi_{L} $ 成右手螺旋关系），则根据电磁感应定律，有

$$ u=\frac{\mathrm{d}\Psi_{L}}{\mathrm{d}t} $$

(6-9)

由该式确定感应电压的真实方向时，与楞次定律 $ ^{②} $的结果是一致的。

电感元件是实际线圈的一种理想化模型，它反映了电流产生磁通和磁场能量储存这一物理现象，其元件特性是磁通链 $ \Psi_{L} $ 与电

流 i 的代数关系。线性电感元件的图形符号如图 6-3(a) 所示，一般在图中不必也难以画出 $ \Psi_{L}(\Phi_{L}) $ 的参考方向，但规定 $ \Psi_{L} $ 与电流 i 的参考方向满足右手螺旋关系。对于线性电感元件，其元件特性为

$$ \Psi=L i $$

其中 L 为电感元件的参数，称为自感系数或电感，它是一个正实常数。

在国际单位制(SI)中，磁通和磁通链的单位是Wb(韦伯，简称韦)，当电流单位为A时，电感的单位是H(亨利，简称亨)。

线性电感元件的韦安特性是 $ \Psi_{L}-i $ 平面上通过原点的一条直线，见图 6-3(b)。

把 $ \Psi_{L}=Li $ 代入式(6-9)，可以得到电感元件的电压电流关系(VCR)。

$$ u=L\ \frac{d i}{d t} $$

式中 u 与 $ \Psi_{L} $ 成右手螺旋关系，与 i 为关联参考方向。

上式的逆关系为

$$ i\;=\;\frac{1}{L}\int u\mathrm{d}t $$

写成定积分形式为

$$ i\;=\;\frac{1}{L}{\int_{-\infty}^{t}}u\mathrm{d}\xi\;=\;\frac{1}{L}{\int_{-\infty}^{t_{0}}}u\mathrm{d}\xi\;+\;\frac{1}{L}{\int_{t_{0}}^{t}}u\mathrm{d}\xi\;=\;i{\left(t_{0}\right)}+\frac{1}{L}{\int_{t_{0}}^{t}}u\mathrm{d}\xi\left(6-13\right) $$

或

$$ \Psi_{L}\;=\;\Psi_{L}(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}u\mathrm{d}\xi $$

可以看出，电感元件是动态元件，也是记忆元件。

在电压和电流的关联参考方向下，线性电感元件吸收的功率为

$$ p=ui=Li\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} $$

如果在 $ t = -\infty $ 时， $ i(-\infty) = 0 $，电感元件无磁场能量。因此，从 - $ \infty $ 到 t 的时间段内电感吸收的磁场能量

$$ \begin{align*}W_{L}\left(t\right)&=\int_{-\infty}^{t}p\mathrm{d}\xi=\int_{-\infty}^{t}Li\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}\xi}\mathrm{d}\xi=\int_{0}^{i\left(t\right)}Li\mathrm{d}i\\&=\frac{1}{2}Li^{2}\left(t\right)=\frac{1}{2}\frac{\Psi_{L}^{2}\left(t\right)}{L}\end{align*} $$

这就是线性电感元件在任何时刻的磁场能量表达式。

从时间 $ t_{1} $ 到 $ t_{2} $ 内，线性电感元件吸收的磁场能量

$$ \begin{align*}W_{L}&=L\int_{i(t_{1})}^{i(t_{2})}i\mathrm{d}i=\frac{1}{2}Li^{2}(t_{2})-\frac{1}{2}Li^{2}(t_{1})\\&=W_{L}(t_{2})-W_{L}(t_{1})\end{align*} $$

当电流 $ \left|i\right| $增加时， $ W_{L}>0 $，元件吸收能量；当电流 $ \left|i\right| $减小时， $ W_{L}<0 $，元件释放能量。可见电感元件不把吸收的能量消耗掉，而是以磁场能量的形式储存在磁场中。所以电感元件是一种储能元件，同时，它也不会释放出多于它吸收或储存的能量，因此它又是一种无源元件。

空心线圈是以线性电感元件为模型的典型例子。当线圈导线电阻的损耗不可忽略时，就需要用线性电感元件和电阻元件的串联组合作为其模型。

如果电感元件的韦安特性不是通过 $ \Psi_{L}-i $ 平面上原点的一条直线，它就是非线性电感元件。非线性电感元件的韦安特性可以用下列公式表示：

$$ \Psi_{L}=f(i) $$

或

$$ i=h\left(\Psi_{L}\right) $$

带铁心的电感线圈是以非线性电感元件为模型的典型例子。但如线圈在铁磁材料的非饱和状态下工作，那么 $ \Psi_{L} $ 与 i 仍近似于线性关系，在这种情况下，铁心线圈仍可以当作线性电感元件处理。

为了叙述方便，把线性电感元件简称为电感，所以本书中的“电感”这个术语以及与它相应的符号 L，一方面表示一个电感元件，另一方面也表示这个元件的参数。

当电感元件端钮短路时，就有 $ \frac{\mathrm{d}\Psi_{L}}{\mathrm{d}t}=0 $，故 $ \Psi_{L}= $常数，意味着磁通链不会发生变化。如果有外磁场企图使磁场变化，在电感所形成的超导回路中就会感应出电流，其产生的磁场足以抵消磁场的变化。利用这一原理可制成磁悬浮。列车上的磁极被铁轨上的超导线圈产生磁场所推斥，悬浮于铁轨之上，使磁悬浮列车得以高速行驶。

§6-3 电容、电感元件的串联与并联

当电容、电感元件为串联或并联组合时，它们也可用一个等效电容或等效电感来替代。先讨论电容串联的情况。图6-4(a)为n个电容的串联，对于每一个电容，具有相同的电流，故VCR为

$$ u_{1}\;=\;u_{1}(t_{0})+\frac{1}{C_{1}}{\int_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi} $$

$$ u_{2}=u_{2}(t_{0})+\frac{1}{C_{2}}\int_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi $$

$$ u_{n}\;=\;u_{n}(t_{0})\;+\;\frac{1}{C_{n}}\int_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi $$

根据 KVL, 总电压

$$ \begin{align*}u~&=~u_{1}~+~u_{2}~+~\cdots~+~u_{n}~=~u_{1}\big(t_{0}\big)~+~\frac{1}{C_{1}}\int_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi~+~\cdots~+~u_{n}\big(t_{0}\big)~+~\frac{1}{C_{n}}\int_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi\\&=~u_{1}\big(t_{0}\big)~+~u_{2}\big(t_{0}\big)~+~\cdots~+~u_{n}\big(t_{0}\big)~+~\left(\frac{1}{C_{1}}~+\frac{1}{C_{2}}~+\cdots~+\frac{1}{C_{n}}\right)\int_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi\\&=~u\big(t_{0}\big)~+~\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}\int_{t_{0}}^{t}i\mathrm{d}\xi\end{align*} $$

式中 $ C_{eq} $ 为等效电容，其值由下式决定，即

$$ \frac{1}{C_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\cdots+\frac{1}{C_{n}} $$

$ u(t_{0}) $ 为 n 个串联电容的等效初始条件。其值为

$$ u\left(t_{0}\right)=u_{1}\left(t_{0}\right)+u_{2}\left(t_{0}\right)+\cdots+u_{n}\left(t_{0}\right) $$

如果将 $ t_{0} $ 取为 $ -\infty $，则各初始电压均为零，此时 $ u(t_{0})=0 $。

图 6-5(a) 示出 n 个电容并联的情况，并且 $ u_{1}(t_{0}) = u_{2}(t_{0}) = \cdots = u_{n}(t_{0}) = u(t_{0}) $，由于各电容电压相等，根据 KCL，有

$$ \begin{aligned}i&=i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{n}=C_{1}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+C_{2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\cdots+C_{n}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\\&=C_{\mathrm{eq}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\end{aligned} $$

式中 $ C_{eq} $ 为并联的等效电容，其值为

$$ C_{eq}=C_{1}+C_{2}+\cdots+C_{n} $$

具有初始电压 $ u(t_{0}) $

图 6-6(a) 为 n 个具有相同初始电流的电感的串联。即有 $ i_{1}(t_{0}) = i_{2}(t_{0}) = \cdots = i_{n}(t_{0}) = i(t_{0}) $。由于各电感中电流相等，根据 KVL，总电压

式中，等效电感

$$ L_{eq}=L_{1}+L_{2}+\cdots+L_{n} $$

且具有初始电流 $ i(t_{0}) $

对于具有初始电流分别为 $ i_{1}(t_{0}) $、 $ i_{2}(t_{0}) $、…、 $ i_{n}(t_{0}) $ 的 n 个电感 $ L_{1} $、 $ L_{2} $、…、 $ L_{n} $ 作并联组合时（见图 6-7），读者不难根据 KCL 自行证得并联后的等效电感和初始电流分别为

$$ \frac{1}{L_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}+\cdots+\frac{1}{L_{n}} $$

$$ i\left(t_{0}\right)=i_{1}\left(t_{0}\right)+i_{2}\left(t_{0}\right)+\cdots+i_{n}\left(t_{0}\right) $$

___ 习 题 ___

6-1 电容元件与电感元件中电压、电流参考方向如题 6-1 图所示，且知 $ u_{c}(0)=0, i_{L}(0)=0 $

（1）写出电压用电流表示的约束方程：

(2) 写出电流用电压表示的约束方程。

6-2 $ 2\mu F $ 的电容上所加电压 u 的波形如题 6-2 图所示。求：

（1）电容电流 i；

（2）电容电荷 q;

（3）电容吸收的功率 p。

6-3 题 6-3 图(a)中电容中电流 i 的波形如题 6-3 图(b)所示，现已知 u(0)=0，试求 t=1s, t=2s 和 t=4s 时电容电压 u。

6-4 题 6-4 图(a)中 L=4H，且 i(0)=0，电压的波形如题 6-4 图(b)所示。试求当 t=1s, t=2s, t=3s 和 t=4s 时电感电流 i。

6-5 若已知显像管行偏转线圈中的周期性行扫描电流如题6-5图所示，现已知线圈电感为0.01H，电阻略而不计，试求电感线圈所加电压的波形。

6~6 电路如题6-6图所示，其中 $ R=2\Omega,L=1\mathrm{H},C=0.01\mathrm{F},u_{C}(0)=0 $。若电路的输入电流为

(1) $ i = 2 \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) A $;

(2) $ i = e^{-t} A_{0} $

试求两种情况下，当 t>0 时的 $ u_{R} $、 $ u_{L} $ 和 $ u_{C} $ 值。

67 电路如题 6-7 图所示，其中 L = 1H, $ C_{2} = 1 ~F $ 。设 $ u_{s}(t) = U_{m} \cos(\omega t) $， $ i_{s}(t) = I e^{-\omega t} $，试求 $ u_{L}(t) $ 和 $ i_{C_{2}}(t) $。

6-8 求题6-8图所示电路中a、b端的等效电容与等效电感。

6-9 题 6-9 图中 $ C_{1}=2\mu F, C_{2}=8\mu F; u_{C_{1}}(0)=u_{C_{2}}(0)=-5V $ 。现已知 i= $ 120e^{-5t}\mu A $ ，求

（1）等效电容 C 及 $ u_{c} $ 表达式：

(2) 分别求 $ u_{C_{1}} $ 与 $ u_{C_{2}} $，并核对 KVL。

6-10 题 6-10 图中 $ L_{1}=6~H, i_{1}(0)=2~A; L_{2}=1.5~H, i_{2}(0)=-2~A, u=6e^{-2t}~V, $ 求

（1）等效电感 L 及 i 的表达式：

(2) 分别求出 $ i_{1} $ 与 $ i_{2} $，并核对 KCL。

一阶电路和二阶电路的时域分析

内容提要___

本章讨论用微分方程描述的电路，首先讨论可用一阶微分方程描述的电路，主要是RC和RL电路，介绍分析一阶电路过渡过程的经典法及一阶电路时间常数的概念。在一阶电路的基础上用经典法分析二阶电路的过渡过程。本章还介绍了零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量、阶跃响应、冲激响应等重要概念。

§7-1 动态电路的方程及其初始条件

第六章介绍了电容元件和电感元件，这两种元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的，所以称为动态元件，又称为储能元件。当电路中含有电容元件和电感元件时，根据KCL和KVL以及元件的VCR建立的电路方程是以电流和电压为变量的微分方程或微分-积分方程，微分方程的阶数取决于动态元件的个数和电路的结构。

在一般情况下，当电路中仅含一个动态元件，动态元件以外的线性电阻电路可用戴维宁定理或诺顿定理置换为电压源和电阻的串联组合，或电流源和电阻的并联组合，对于这样的电路，所建立的电路方程将是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电路。当电路中含有二个或 n 个动态元件时，建立的方程为二阶微分方程或 n 阶微分方程。

含有动态元件的电路又称为动态电路。动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发生变化时(例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等)，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态 $ ^{①} $，这种

转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。

上述电路结构或参数变化引起的电路变化统称为“换路”，并认为换路是在t=0时刻进行的。为了叙述方便，把换路前的最终时刻记为t=0，把换路后的最初时刻记为 $ t=0_{+} $，换路经历的时间为0到0_{+}。

分析动态电路的过渡过程的方法之一是：根据 KCL、KVL 和支路的 VCR 建立描述电路的方程，这类方程是以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量（电压或电流）。此方法称为经典法，它是一种在时间域中进行的分析方法。

用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。设描述电路动态过程的微分方程为 n 阶，所谓初始条件就是指电路中所求变量（电压或电流）及其 1 阶至 $ (n-1) $ 阶导数在 $ t=0_{+} $ 时的值，也称初始值。电容电压 $ u_{C}(0_{+}) $ 和电感电流 $ i_{L}(0_{+}) $ 称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件。

对于线性电容，在任意时刻 t 时，它的电荷、电压与电流的关系为：

$$ q(t)=q(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}i_{C}(\xi)\mathrm{d}\xi $$

$$ u_{C}(t)\;=\;u_{C}(t_{0})\;+\;\frac{1}{C}{\int_{t_{0}}^{t}i_{C}}(\;\xi)\mathrm{d}\xi $$

式中 q、 $ u_{C} $ 和 $ i_{C} $ 分别为电容的电荷、电压和电流。令 $ t_{0}=0_{-} $， $ t=0_{+} $，则得

$$ q(0_{+})=q(0_{-})+\int_{0_{-}}^{0_{+}}i_{C}\mathrm{d}t $$

$$ u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-})+\frac{1}{C}{\int_{0_{-}}^{0_{+}}}i_{C}\mathrm{d}t $$

从式 $ (7-1a) $和式 $ (7-1b) $可以看出，如果在换路前后，即0到0的瞬间，电流 $ i_{C}(t) $为有限值，则式 $ (7-1a) $和式 $ (7-1b) $中右方的积分项将为零，此时电容上的电荷和电压就不发生跃变，即

$$ q\left(\mathbf{0}_{+}\right)=q\left(\mathbf{0}_{-}\right) $$

$$ u_{c}(0_{+})=u_{c}(0_{-}) $$

对于一个t=0_ 储存电何 $ q(0_-)_ $，电压为 $ u_C(0_-)=U_0 $ 的电容，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有 $ u_C(0_+)=u_C(0_-)=U_0 $，可见在换路的瞬间，电容可视为一个电压值为 $ U_0 $ 的电压源。同理，对于一个在 t=0_ 不带电荷的电容，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有 $ u_C(0_+)=u_C(0_-)=0 $，在换路瞬间电容相当于短路。

线性电感的磁通链、电流与电压的关系为

$$ \Psi_{L}\left(t\right)\;=\;{\Psi}_{L}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t}u_{L}\left(\xi\right)\mathrm{d}\xi $$

$$ i_{L}(t)\;=\;i_{L}(t_{0})\;+\;\frac{1}{L}{\int_{t_{0}}}^{t}u_{L}(\xi)\mathrm{d}\xi $$

令 $ t_{0}=0_{-} $，t=0_{+} $有

$$ \Psi_{L}\left(0_{+}\right)=\Psi_{L}\left(0_{-}\right)+\int_{0_{-}}^{0_{+}}u_{L}\mathrm{d}t $$

$$ i_{L}\left(0_{+}\right)=i_{L}\left(0_{-}\right)+\frac{1}{L}{\int_{0_{-}}^{0_{+}}}u_{L}\mathrm{d}t $$

如果从0到 $ 0_{+} $瞬间，电压 $ u_{L}(t) $为有限值，式中右方的积分项将为零，此时电感中的磁通链和电流不发生跃变，即

$$ \Psi_{L}\left(0_{+}\right)=\Psi_{L}\left(0_{-}\right) $$

$$ i_{L}\left(0_{+}\right)=i_{L}\left(0_{-}\right) $$

对于 $ t=0 $ 时电流为 $ I_{0} $ 的电感，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有 $ i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-})=I_{0} $，此电感在换路瞬间可视为一个电流值为 $ I_{0} $ 的电流源。同理，对于 $ t=0 $ 时电流为零的电感，在换路瞬间不发生跃变的情况下有 $ i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-})=0 $，此电感在换路瞬间相当于开路。

式 $ (7-2a) $、 $ (7-2b) $和式 $ (7-4a) $、 $ (7-4b) $分别说明在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。上述关系又称为换路定则。

一个动态电路的独立初始条件为电容电压 $ u_{C}(0_{+}) $ 和电感电流 $ i_{L}(0_{+}) $，一般可以根据它们在 t=0 时的值（即电路发生换路前的状态） $ u_{C}(0_{-}) $ 和 $ i_{L}(0_{-}) $ 确定。该电路的非独立初始条件，即电阻的电压和电流、电容电流、电感电压等则需通过已知的独立初始条件求得。

例 7-1 图 7-1(a) 所示电路中直流电压源的电压为 $ U_{0} $。当电路中的电压和电流恒定不变时打开开关 S。试求 $ u_{C}(0_{+}) $、 $ i_{L}(0_{+}) $、 $ i_{C}(0_{+}) $、 $ u_{L}(0_{+}) $ 和

$ u_{R_2}(0_+)\circ $

解 可以根据 t=0 时刻的电路状态计算 $ u_{C}(0-) $ 和 $ i_{L}(0_{-}) $。由于开关打开前，电路中的电压和电流已恒定不变，故有：

$$ \left(\frac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}\right)_{0}=0,\left(\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}\right)_{0}=0 $$

所以电容电流和电感电压均为零 $ \left(i_{C}=C\frac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t},u_{L}=L\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}\right) $，即此时刻的电容相当于开路，电感相当于短路。所以

$$ u_{c}(0_{-})=\frac{U_{0}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} $$

$$ i_{L}\left(0_{-}\right)=\frac{U_{0}}{R_{1}+R_{2}} $$

该电路在换路时， $ i_{L} $ 和 $ u_{C} $ 都不会跃变，所以有 $ u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-}) $， $ i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-}) $。为了求得 $ t=0_{+} $ 时刻的其他初始值，可以把已知的 $ u_{C}(0_{+}) $ 和 $ i_{L}(0_{+}) $ 分别以电压源和电流源替代，得到 $ t=0_{+} $ 时的等效电路如图 7-1(b) 所示。可以求出

$$ i_{C}\left(\boldsymbol{0}_{+}\right)=\frac{-\boldsymbol{U}_{0}}{\boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{2}}=-\boldsymbol{i}_{L}\left(\boldsymbol{0}_{+}\right) $$

$$ u_{R_{2}}\left(0_{+}\right)=R_{2}i_{L}\left(0_{+}\right)=\frac{U_{0}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} $$

$$ u_{L}\left(0_{+}\right)=0 $$

由上例可以看出，确定初始条件的步骤为：

（1）根据换路前的电路，确定 $ u_{C}(0_{-}) $、 $ i_{L}(0_{-}) $。

（2）依据换路定则确定 $ u_{C}(0_{+}) $、 $ i_{L}(0_{+}) $。

(3) 根据已知 $ u_{C}(0_{+}) $ 和 $ i_{L}(0_{+}) $，画出 $ t=0_{+} $ 时的等效电路亦称为初始值等效电路，即根据替代定理将电容所在处用电压等于 $ u_{C}(0_{+}) $ 的电压源替代，电感所在处用电流等于 $ i_{L}(0_{+}) $ 的电流源替代。若 $ u_{C}(0_{+})=0, i_{L}(0_{+})=0 $，则电容所在处用开路替代。激励源则用 $ u_{S}(0_{+}) $ 与 $ i_{S}(0_{+}) $ 的直流电源替代，这样处理后的 $ 0_{+} $ 等效电路是一个直流电阻网络，可以确定其他非独立初始条件。

§7-2 一阶电路的零输入响应

动态电路中无外施激励电源，仅由动态元件初始储能所产生的响应，称为动态电路的零输入响应。

首先讨论 RC 电路的零输入响应。在图 7-2 所示 RC 电路中，开关 S 闭合前，电容 C 已充电，其电压 $ u_{C} = U_{0} $。开关闭合后，电容储存的能量将通过电阻以热能形式释放出来。现把开关动作时刻取为计时起点 $ (t = 0) $。开关闭合后，即 $ t \geqslant 0_{+} $ 时，根据 KVL 可得

$$ u_{R}\mathrm{~-~}u_{C}=0 $$

将 $ u_{R}=Ri,i=-C\frac{du_{C}}{dt} $ 代入上述方程，有

$$ R C\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}+u_{c}=0 $$

这是一阶齐次微分方程，初始条件 $ u_{C}(0_{+}) = u_{C}(0_{-}) = U_{0} $，令此方程的通解 $ u_{C} = A e^{pt} $，代入上式后有

$$ (R C p+1)A\mathrm{e}^{p t}=0 $$

相应的特征方程为

$$ RCp+1=0 $$

特征根为

$$ p=-\frac{1}{RC} $$

根据 $ u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-})=U_{0} $，以此代入 $ u_{C}=Ae^{pt} $，则可求得积分常数 $ A=u_{C}(0_{+})=U_{0} $。

这样，求得满足初始值的微分方程的解为

$$ u_{C}=u_{C}(0_{+})\mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}t}=U_{0}\mathrm{e}^{-\frac{1}{R C}t} $$

这就是放电过程中电容电压 $ u_{c} $ 的表达式。

电路中的电流为

$$ \begin{align*}i&=-C\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}=-C\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(U_{0}\mathrm{e}^{-\frac{1}{RC^{\prime}}})\\&=-C\bigg(-\frac{1}{RC}\bigg)U_{0}\mathrm{e}^{-\frac{1}{RC^{\prime}}}=\frac{U_{0}}{R}\mathrm{e}^{-\frac{1}{RC^{\prime}}}\end{align*} $$

电阻上的电压

$$ u_{R}=u_{C}=U_{0}\mathrm{e}^{-\frac{1}{RC}t} $$

从以上表达式可以看出，电压 $ u_{C} $、 $ u_{R} $ 及电流 i 都是按照同样的指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中 $ \frac{1}{RC} $ 的大小。由于 $ p = -\frac{1}{RC} $，这是电路特征方程的特征根，仅取决于电路的结构和元件的参数。当电阻的单位为 $ \Omega $，电容的单位为 F 时，乘积 RC 的单位为 s，它称为 RC 电路的时间常数，用 $ \tau $ 表示。引入 $ \tau $ 后，电容电压 $ u_{C} $ 和电流 i 可以分别表示为

$$ u_{c}=U_{0}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

$$ i=\frac{U_{0}}{R}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

$ \tau $ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，它是反应过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得

$$ t=0\mathrm{~ 时 },u_{C}\left(0\right)=U_{0}\mathrm{e}^{0}=U_{0} $$

$$ t=\tau\text{ 时 },u_{C}\left(\tau\right)=U_{0}\mathrm{e}^{-1}=0.368\ U_{0} $$

零输入响应在任一时刻 $ t_{0} $ 的值，经过一个时间常数 $ \tau $ 可以表示为

$$ \begin{aligned}{u_{C}(t_{0}+\tau)}&{{}=U_{0}\mathrm{e}^{-\frac{t_{0}+\tau}{\tau}}}\\ {}&{{}=U_{0}\mathrm{e}^{-1}\mathrm{e}^{-\frac{t_{0}}{\tau}}}\\ {}&{{}=\mathrm{e}^{-1}u_{C}(t_{0})}\\ {}&{{}=0.368u_{C}(t_{0})}\\ \end{aligned} $$

即经过一个时间常数 $ \tau $后，衰减了63.2%，或为原值的36.8%。 $ t=2\tau,t=3\tau $， $ t=4\tau,\cdots $时刻的电容电压值列于表7-1中。

| t | 0 | $ \tau $ | $ 2\tau $ | $ 3\tau $ | $ 4\tau $ | $ 5\tau $ | ... | $ \infty $ |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| $ u_c(t) $ | $ U_0 $ | $ 0.368U_0 $ | $ 0.135U_0 $ | $ 0.05U_0 $ | $ 0.018U_0 $ | $ 0.0067U_0 $ | ... | 0 |

从上表可见，在理论上要经过无限长的时间 $ u_{c} $ 才能衰减为零值。但工程上一般认为换路后，经过 $ 3\tau \sim 5\tau $ 时间过渡过程即告结束。

图 7-3(a)、(b) 所示曲线为 $ u_{C} $、 $ u_{R} $ 和 i 随时间变化的曲线。时间常数 $ \tau $ 的大小，还可以从 $ u_{C} $ 或 $ i_{C} $ 的曲线上用几何方法求得。在图 7-4 中，取电容电压 $ u_{C} $ 的曲线上任意一点 A，通过 A 点作切线 AC，则图中的次切距

$$ BC=\frac{AB}{\tan\alpha}=\frac{u_{C}(t)}{-\left.\frac{du_{C}}{dt}\right|_{t=t_{0}}}=\frac{U_{0}e^{-\frac{t_{0}}{\tau}}}{\frac{1}{\tau}U_{0}e^{-\frac{t_{0}}{\tau}}}=\tau $$

即在时间坐标上次切距的长度等于时间常数 $ \tau $。这说明曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，经过 $ \tau $ 时间为零值。

在放电过程中，电容不断放出能量并为电阻所消耗；最后，原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。即

$$ \begin{aligned}W_{R}&=\int_{0}^{\infty}i^{2}(t)R\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{U_{0}}{R}\mathrm{e}^{-\frac{1}{RC}t}\right)^{2}R\mathrm{d}t\\&=\left.\frac{U_{0}^{2}}{R}\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\frac{2t}{RC}}\mathrm{d}t=-\left.\frac{1}{2}CU_{0}^{2}(\mathrm{e}^{-\frac{2}{RC}t})\right|_{0}^{\infty}\right.\\&=\frac{1}{2}CU_{0}^{2}\\ \end{aligned} $$

现在讨论 RL 电路的零输入响应。图 7-5(a) 所示电路在开关 S 动作之前电压和电流已恒定不变，电感中有电流 $ I_{0} = \frac{U_{0}}{R_{0}} = i(0_{-}) $。在 t = 0 时开关由 1 合到 2，具有初始电流 $ I_{0} $ 的电感 L 和电阻 R 相连接，构成一个闭合回路，如图 7-5(b) 所示。在 t > 0 时，根据 KVL，有

$$ u_{R}+u_{L}=0 $$

而 $ u_{R}=Ri,u_{L}=L\frac{di}{dt} $，电路的微分方程为

$$ L\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri=0 $$

这也是一个一阶齐次微分方程。令方程的通解 $ i = A e^{pt} $，可以得到相应的特征方程为

$$ L\boldsymbol{p}+\boldsymbol{R}=\boldsymbol{0} $$

其特征根为

$$ p=-\frac{R}{L} $$

故电流为

$$ i=A\mathrm{e}^{-\frac{R}{L^{t}}} $$

根据 $ i(0_{+})=i(0_{-})=I_{0} $，代入上式可求得 $ A=i(0_{+})=I_{0} $，从而

$$ i=i\left(\mathbf{0}_{+}\right)\mathbf{e}^{-\frac{R}{L^{\prime}}}=I_{0}\mathbf{e}^{-\frac{R}{L^{\prime}}} $$

电阻和电感上电压分别为

$$ u_{R}=R i=R I_{0}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L^{t}}} $$

$$ u_{L}=L~\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=-RI_{0}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L^{\prime}}} $$

与 RC 电路类似，令 $ \tau = \frac{L}{R} $，称为 RL 电路的时间常数，则上述各式可写为

$$ i=I_{0}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

$$ u_{R}=R I_{0}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

$$ u_{L}=-R I_{0}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

图 7–6 所示曲线分别为 i、 $ u_{L} $ 和 $ u_{R} $ 随时间变化的曲线。

例 7-2 图 7-7 所示是一台 300 kW 汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻 $ R = 0.189 \, \Omega $，电感 $ L = 0.398 \, H $，直流电压 $ U = 35 \, V $。电压表的量程为 50 V，内阻 $ R_{v} = 5 \, k\Omega $。开关未断开时，电路中电流已经恒定不变。在 t = 0 时，断开开关。求：

（1）电阻、电感回路的时间常数；

（2）电流 i 的初始值和开关断开后电流 i 的最终值；

（3）电流 i 和电压表处的电压 $ u_{v} $;

（4）开关刚断开时，电压表处的电压。

解（1）时间常数为

$$ \tau=\frac{L}{R+R_{\mathrm{v}}}=\frac{0.398}{0.189+5\times10^{3}}\mathrm{~s}=79.6\mu\mathrm{s} $$

（2）开关断开前，由于电流已恒定不变，电感L两端电压为零，故

$$ i\left(0_{-}\right)=\frac{U}{R}=\frac{35}{0.189}\mathrm{~A}=185.2\mathrm{~A} $$

由于电感中电流不能跃变，电流的初始值 $ i(0_{+}) $

$ =i(0_{-})=185.2\ A $

（3）按 $ i=i(0_{+})e^{-\frac{t}{\tau}} $，可得

$$ i=185.2\mathrm{~e}^{-12\,560t}\mathrm{~A} $$

电压表处的电压为

$$ u_{\mathrm{v}}=-\mathrm{R}_{\mathrm{v}}i=-5\times10^{3}\times185.2\mathrm{e}^{-12.560t}\mathrm{~V}=-926\mathrm{e}^{-12.560t}\mathrm{~kV} $$

（4）开关刚断开时，电压表处的电压为

$$ u_{\mathrm{v}}(0_{+})=-926\mathrm{k V} $$

在这个时刻电压表要承受很高的电压，其绝对值将远大于直流电源的电压 U，而且初始瞬间的电流也很大，可能损坏电压表。由此可见，切断电感电流时必须考虑磁场能量的释放。如果磁场能量较大，而又必须在短时间内完成电流的切断，则必须考虑如何熄灭因此而出现的电弧（一般出现在开关处）的问题。

例 7-3 图 7-8(a) 所示电路，开关 S 合在位置 1 时电路已达稳态，t=0 时开关由位置 1 合向位置 2，试求 $ t \geqslant 0 $，时的电流 i(t)。

解 由开关合在位置1时电路已达稳态可以求得 $ u_{C}(0_{-})=6\ V $，则 $ u_{C}(0_{+})=6\ V $，换路后电路的响应为零输入响应。

电容以外电路为含有受控源的电阻电路，其等效电阻 $ R_{eq} $ 可用外施电源法求得，如图7-8(b)所示。图中

$$ u=6i_{2}+2i $$

$$ i_{2}=-\left(i_{1}+i\right)=-\left(\frac{u}{2}+i\right). $$

将 $ i_{2} $ 代入 $ u=6i_{2}+2i $，经整理可得等效电阻为

$$ R_{\mathrm{e q}}=-\frac{u}{i}=1\ \Omega $$

时间常数

$$ \tau=R_{eq}C=1\times0.25\ s=0.25\ s $$

所以

$$ u_{C}=u_{C}(0_{+})\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}=6\mathrm{e}^{-4t}\mathrm{V} $$

$$ i(t)=C\,\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}=0.25\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(6\mathrm{e}^{-4t})\;\mathrm{A}=-6\mathrm{e}^{-4t}\;\mathrm{A} $$

电流 $ i(t) $ 也可以通过如下方法求得：求出 $ u_{C}(0_{+})=6\ V $ 后，画出 $ t=0_{+} $ 时的等效电路如图 7-9 所示。由图可知， $ i_{1}(0_{+})=\frac{6}{2}\ A=3\ A $, $ i_{2}(0_{+})=-[i(0_{+})+3] $，沿图中回路的 KVL 方程为

$$ 6i,(0_{+})+2i(0_{+})-u_{C}(0_{+})=-6\times\left[i(0_{+})+3\right]+2(0_{+})-6=0 $$

求解上式可得

$$ i\left(\mathbf{0}_{+}\right)=-6\mathrm{~A} $$

再用与前解法相同的方法求出电容以外电路的等效电阻 $ R_{eq} $ 和电路的时间常数

$ \tau $，即可得

$$ i(t)=i(0_{+})\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}=-6\mathrm{e}^{-4t}\mathrm{~A} $$

§7-3 一阶电路的零状态响应

零状态响应就是电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应。

图7-10 所示 RC 串联电路，开关 S 闭合前电路处于零初始状态，即 $ u_{C}(0_{-})=0 $。在 t=0 时刻，开关 S 闭合，电路接入直流电压源 $ U_{s} $。根据 KVL，有

$$ u_{r}+u_{c}=U_{s} $$

将 $ u_{R}=Ri $, i=C $ \frac{du_{C}}{dt} $ 代入，得电路的微分方程

$$ RC\ \frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}+u_{c}=U_{s} $$

此方程为一阶线性非齐次方程。方程的解由非齐次方程的特解 $ u_{c}^{\prime} $ 和对应的齐次方程的通解 $ u_{c}^{\prime\prime} $ 两个分量组成，即

$$ u_{c}=u_{c}^{^{\prime}}+u_{c}^{^{\prime \prime}} $$

不难求得特解为

$$ u_{c}^{^{\prime}}=U_{s} $$

而齐次方程 $ RC\frac{du_{c}}{dt}+u_{c}=0 $ 的通解为

$$ u_{c}^{^{\prime \prime}}=A\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

其中 $ \tau = RC $ 。因此

$$ u_{c}=U_{s}+A\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

代入初始值，可求得

$$ A=-U_{\mathrm{s}} $$

而

$$ u_{c}=U_{s}-U_{s}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}=U_{s}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right) $$

$$ i=C\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}=\frac{U_{\mathrm{s}}}{R}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

$ u_{C} $ 和 i 的波形如图 7-11 所示。电压 $ u_{C} $ 的两个分量 $ u_{C}^{\prime} $ 和 $ u_{C}^{\prime\prime} $ 也示于该图中。

$ u_{c} $ 以指数形式趋近于它的最终恒定值 $ U_{s} $，到达该值后，电压和电流不再变化，电容相当于开路，电流为零。此时电路达到稳定状态（简称稳态），所以在这种情况下，特解 $ u_{c}^{\prime}(=U_{s}) $ 称为稳态分量。同时可以看出 $ u_{c}^{\prime} $ 与外施激励的变化规律有关，所以又称为强制分量。齐次方程的通解 $ u_{c}^{\prime\prime} $ 则由于其变化规律取决于特征根而与外施激励无关，所以称为自由分量。自由分量按指数规律衰减，最终趋于零，所以又称为瞬态分量。对电流 i 可作类似解释。

RC电路接通直流电压源的过程也即是电源通过电阻对电容充电的过程。在充电过程中，电源供给的能量一部分转换成电场能量储存于电容中，一部分被电阻转变为热能消耗，电阻消耗的电能为

$$ \begin{aligned}W_{R}&=\int_{0}^{\infty}i^{2}R\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{U_{\mathrm{S}}}{R}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)^{2}R\mathrm{d}t\\&=\left.\frac{U_{\mathrm{S}}^{2}}{R}\right(-\left.\frac{R C}{2}\right)\mathrm{e}^{-\frac{2}{R C}t}\bigg|_{0}^{\infty}\\&=\frac{1}{2}C U_{\mathrm{S}}^{2}\\ \end{aligned} $$

从上式可见，不论电路中电容 C 和电阻 R 的数值为多少，在充电过程中，电源提供的能量只有一半转变成电场能量储存于电容中，另一半则为电阻所消耗；也就是说，充电效率只有 50%。

图7-12所示为RL电路，直流电流源的电流为 $ I_{s} $，在开关打开前电感中的电流为零。开关打开后 $ i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-})=0 $，电路的响应为零状态响应。注意到换路后 $ R_{s} $与 $ I_{s} $串联的等效电路仍为 $ I_{s} $，则电路的微分方程为

$$ \frac{L}{R}\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}+i_{L}=I_{\mathrm{s}} $$

初始条件为 $ i_{L}(0_{+})=0 $ 。电流 $ i_{L} $ 的通解为

$$ \begin{array}{l}i_{L}=i_{L}^{\prime}+A\mathrm{e}^{-\frac{R}{L^{\prime}}}\\ \quad=i_{L}^{\prime}+A\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\end{array} $$

式中 $ \tau=\frac{L}{R} $ 为时间常数。

特解 $ i_{L}^{\prime}=I_{S} $，积分常数 $ A=-i_{L}^{\prime}(0_{+})=-I_{S} $ 所以

$$ i_{L}=I_{\mathrm{s}}(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}) $$

下面以 RL 电路为例，讨论在正弦电压激励下的零状态响应。

图 7-13(a) 所示为 RL 串联电路，外施激励为正弦电压 $ u_{S}=U_{m}\cos(\omega t+\phi_{u}) $，其中 $ \phi_{u} $ 为接通电路时外施电压的初相角，它决定于电路的接通时刻，所以又称为接入相位角或合闸角。接通后电路方程为

$$ L\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri=U_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\phi_{u}) $$

其通解 $ i=i^{\prime}+i^{\prime\prime} $，其中自由分量 $ i^{\prime\prime}=Ae^{-\frac{t}{\tau}} $， $ \tau=\frac{L}{R} $ 为时间常数。 $ i^{\prime} $ 应为上述微分方程的特解 $ ^{①} $。为了求得此特解，设特解为

$$ i^{\prime}=I_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\theta) $$

把它代入上述微分方程，有

$$ R I_{\mathrm{m}}\cos\left(\omega t+\theta\right)-\omega L I_{\mathrm{m}}\sin\left(\omega t+\theta\right)=U_{\mathrm{m}}\cos\left(\omega t+\phi_{u}\right) $$

可以用待定系数法确定 $ I_{m} $ 和 $ \theta $。引入 $ \tan\varphi=\frac{\omega L}{R} $，有

$$ \sin\varphi=\frac{\omega L}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}} $$

$$ \cos\varphi=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}} $$

再令 $ \left|Z\right|=\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}} $，上式左方可写为

$$ \begin{aligned}{}&{{}\quad I_{\mathrm{m}}\big[R\operatorname{c o s}{(\omega t+\theta)}-\omega L\operatorname{s i n}{(\omega t+\theta)}\big]}\\ {}&{{}=I_{\mathrm{m}}\mid Z\mid\bigg[\operatorname{c o s}(\omega t+\theta)\frac{R}{\mid Z\mid}-\operatorname{s i n}(\omega t+\theta)\frac{\omega L}{\mid Z\mid}\bigg]}\\ {}&{{}=I_{\mathrm{m}}\mid Z\mid\big[\operatorname{c o s}(\omega t+\theta)\operatorname{c o s}\varphi-\operatorname{s i n}(\omega t+\theta)\operatorname{s i n}\varphi\big]}\\ {}&{{}=I_{\mathrm{m}}\mid Z\mid\operatorname{c o s}(\omega t+\theta+\varphi)}\\ \end{aligned} $$

于是，得

$$ I_{\mathrm{m}}\mid Z\mid\cos(\omega t+\theta+\varphi)=U_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\phi_{u}) $$

因此可求得待定常数

$$ I_{\mathrm{m}}\mid Z\mid=U_{\mathrm{m}} $$

$$ \theta+\varphi=\phi_{u} $$

或

$$ I_{m}=\frac{U_{m}}{\left|Z\right|}=\frac{U_{m}}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}} $$

$$ \theta=\phi_{u}-\varphi $$

所以，特解 $ i' $为

$$ i^{^{\prime}}=\frac{U_{\mathrm{m}}}{\left|Z\right|}\cos(\omega t+\phi_{u}-\varphi) $$

方程的通解为

$$ i=\frac{U_{\mathrm{m}}}{\left|Z\right|}\cos(\omega t+\phi_{u}-\varphi)+A\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

代入初始条件，由于 $ i(0_{+})=i(0_{-})=0 $，有

$$ 0=\frac{U_{\mathrm{m}}}{\left|Z\right|}\cos(\phi_{x}-\varphi)+A $$

于是

$$ A=-\frac{U_{m}}{|Z|}\cos(\phi_{u}-\varphi) $$

因而电流 i 为

$$ i=\frac{U_{m}}{|Z|}\cos(\omega t+\phi_{u}-\varphi)-\frac{U_{m}}{|Z|}\cos(\phi_{u}-\varphi)e^{-\frac{t}{\tau}} $$

电阻上的电压为

$$ u_{R}=R i=\frac{R U_{m}}{|Z|}\cos(\omega t+\phi_{u}-\varphi)-\frac{R U_{m}}{|Z|}\cos(\phi_{u}-\varphi)e^{-\frac{t}{\tau}} $$

电感上的电压为

$$ u_{L}=L\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=U_{\mathrm{m}}\ \frac{\omega L}{\left|\boldsymbol{Z}\right|}\cos\left(\omega t+\phi_{u}-\varphi+\frac{\pi}{2}\right)+U_{\mathrm{m}}\ \frac{R}{\left|\boldsymbol{Z}\right|}\cos(\phi_{u}-\varphi)\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

由以上可见，方程的特解或强制分量与外施正弦激励按同频率的正弦规律变化，自由分量则随时间增长趋于零。最终只剩下强制分量。所以说这种电路需经历一个过渡过程，然后达到稳定状态。自由分量与开关闭合的时刻有关。

当开关闭合时，若有 $ \phi_{u}=\varphi-\frac{\pi}{2} $，则

$$ A=-\frac{U_{\mathrm{m}}}{\left|Z\right|}\cos(\phi_{u}-\varphi)=0 $$

所以

$$ i=i^{\prime}=\frac{U_{\mathrm{m}}}{\left|Z\right|}\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) $$

故开关闭合后，电路中不发生过渡过程而立即进入稳定状态，i 的波形如图 7-13(b) 所示。

如果开关闭合时，有 $ \phi_{u}=\varphi $，则有

$$ \begin{align*}A&=-\frac{U_{\mathrm{m}}}{|Z|}\cos(\phi_{u}-\varphi)\\&=-\frac{U_{\mathrm{m}}}{|Z|}.\end{align*} $$

即

$$ i^{\prime \prime}=-\frac{U_{\mathrm{m}}}{\left|Z\right|}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

$$ i=\frac{U_{\mathrm{m}}}{\left|Z\right|}\cos(\omega t)-\frac{U_{\mathrm{m}}}{\left|Z\right|}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

电流 i 的波形如图 7-13(c) 所示。从上式和波形图中可以看出，若电路的时间常数很大，则 i"衰减极其缓慢。这种情况下接通电路后，大约经过半个周期的时间，电流的最大瞬时值的绝对值将接近稳态电流振幅的两倍。

RC串联电路与正弦电源接通，用相同的分析方法分析可得到相对偶的结果，即当 $ \phi_{u}=\varphi $ 时换路后不发生过渡过程立即进入稳定状态，当 $ \phi_{u}=\varphi\pm\frac{\pi}{2} $ 时，在电路时间常数很大的情况下，电路换路后大约经过半个周期的时间电容电压的最大瞬时值的绝对值接近稳态电压振幅的两倍。

可见，RC 串联电路或 RL 串联电路与正弦电源接通后，在初始值一定的条件下，电路的过渡过程与开关的动作时刻有关。

§7-4 一阶电路的全响应

当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为一阶电路的全响应。

图7-14所示电路为已充电的电容经过电阻接到直流电压源 $ U_{s} $。设电容原有电压 $ u_{C}=U_{0} $，开关S闭合后，根据KVL有

$$ RC\ \frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}+u_{c}=U_{s} $$

初始条件

$$ u_{c}(\mathbf{0}_{+})=u_{c}(\mathbf{0}_{-})=U_{0} $$

方程的通解

$$ u_{c}=u_{c}^{^{\prime}}+u_{c}^{^{\prime \prime}} $$

取换路后达到稳定状态的电容电压为特解，则

$$ u_{c}^{^{\prime}}=U_{\mathrm{s}} $$

$ u_{c}^{\prime\prime} $ 为上述微分方程对应的齐次方程的通解

$$ u_{c}^{^{\prime \prime}}=A\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

其中 $ \tau = RC $ 为电路的时间常数，所以有

$$ u_{c}=U_{\mathrm{s}}+A\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

根据初始条件 $ u_{C}(0_{+}) = u_{C}(0_{-}) = U_{0} $，得积分常数为

$$ A=U_{0}-U_{s} $$

所以电容电压

$$ u_{c}=U_{\mathrm{s}}+(U_{0}-U_{\mathrm{s}})\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

这就是电容电压在 $ t \geqslant 0 $ 时的全响应。

把式(7-5)改写成

$$ u_{c}=U_{0}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}+U_{\mathrm{s}}(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}) $$

可以看出，上式右边的第一项是电路的零输入响应，右边的第二项则是电路的零状态响应，这说明全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，即

$$ 全响应 =( 零输入响应 )+( 零状态响应 ) $$

从式(7-5)还可以看出，右边的第一项是电路微分方程的特解，其变化规律与电路施加的激励相同，所以称为强制分量，式(7-5)右边第二项对应的是微分方程的通解，它的变化规律取决于电路参数而与外施激励无关，所以称之为自由分量。因此，全响应又可以用强制分量和自由分量表示，即

$$ 全响应 =( 强制分量 )+( 自由分量 ) $$

在直流或正弦激励的一阶电路中，常取换路后达到新的稳态的解作为特解，而自由分量随着时间的增长按指数规律逐渐衰减为零，所以又常将全响应看作是稳态分量和瞬态分量的叠加，即

$$ 全响应 =( 稳态分量 )+( 瞬态分量 ) $$

无论是把全响应分解为零状态响应和零输入响应，还是分解为瞬态分量和稳态分量，都不过是从不同角度去分析全响应的。而全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。在直流电源激励下，若初始值为 $ f(0_{+}) $，特解为稳态解 $ f(\infty) $，时间常数为 $ \tau $，则全响应 $ f(t) $ 可写为

$$ f(t)=f(\infty)+\left[f(0_{+})-f(\infty)\right]\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

只要知道 $ f(0_{+}) $、 $ f(\infty) $ 和 $ \tau $ 这三个要素，就可以根据式(7-6)直接写出直流激励下一阶电路的全响应，这种方法称为三要素法。

一阶电路在正弦电源激励下，由于电路的特解 $ f'(t) $ 是时间的正弦函数，则上述公式可写为

$$ f(t)=f^{\prime}(t)+\left[f(0_{+})-f^{\prime}(0_{+})\right]\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} $$

其中 $ f^{\prime}(t) $ 是特解为稳态响应， $ f^{\prime}(0_{+}) $ 是 $ t=0_{+} $ 时稳态响应的初始值， $ f(0_{+}) $ 与 $ \tau $ 的含义与前述相同。

前已指出，如果电路中仅含一个储能元件(L或C)，电路的其他部分由电阻和独立电源或受控源连接而成，这种电路仍是一阶电路。在求解这类电路时，可以把储能元件以外的部分，应用戴维宁定理或诺顿定理进行等效变换，然后求得

储能元件上的电压和电流。如果还要求其他支路的电压和电流，则可以按照变换前的原电路进行。

例 7-4 图 7-15(a) 所示电路中 $ U_{s}=10~V, I_{s}=2~A, R=2~\Omega, L=4~H $

试求 S 闭合后电路中的电流 $ i_{L} $ 和 i。

解 戴维宁等效电路如图 7-15(b) 所示，其中

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{U}_{\mathrm{oc}}=\boldsymbol{U}_{\mathrm{S}}-\boldsymbol{R}\boldsymbol{I}_{\mathrm{S}}&=\left(10-2\times2\right)\mathrm{V}=6\mathrm{~V}\\\boldsymbol{R}_{\mathrm{eq}}&=\boldsymbol{R}=2\mathrm{~\Omega}\\i_{L}\left(0_{+}\right)&=i_{L}\left(0_{-}\right)=-2\mathrm{~A}\end{aligned} $$

特解

$$ i_{L}^{\prime}=\frac{6}{2}\mathrm{~A}=3\mathrm{~A} $$

$$ \tau=\frac{L}{R_{\mathrm{eq}}}=2\mathrm{~s} $$

按式 $ （7-6） $解得

$$ \begin{aligned}i_{L}&=\left[3+(-2-3)\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t}\right]\mathrm{A}\\ &=(3-5\mathrm{e}^{-0.5t})\mathrm{A}\end{aligned} $$

$ i_{L} $ 随时间变化的曲线如图 7-15(c) 所示。电流 i 可以根据 KCL 求得为

$$ i=I_{\mathrm{s}}+i_{L}=\left(5-5\mathrm{e}^{-0.5t}\right)\mathrm{A} $$

例 7-5 图 7-16 所示电路中，开关 S 闭合前电路已达稳定状态，t=0 时 S 闭合，求 $ t \geqslant 0 $ 时电容电压 $ u_{c} $ 的零状态响应、零输入响应和全响应，并定性给出波形图。

解 求 $ u_{C}(0_{-}) $ 的电路如图 7-17(a) 所示，因开关 S 闭合前电路已达稳态，电容相当于开路，有

$$ \frac{u_{1}}{2}-1.5\ u_{1}=1 $$

$$ u_{1}=-1\mathrm{~V} $$

$$ u_{C}(0_{-})=4\times1.5u_{1}+u_{1}=7u_{1}=-7\mathrm{~V} $$

开关 S 闭合后求电容以外电路的戴维宁等效电路中的电源 $ u_{s} $ 和等效电阻的电路如图 7-17(b)、(c) 所示，求得

$$ u_{\mathrm{S}}=u_{\infty}=1.5u_{1}\times4+u_{1}=7u_{1} $$

而

$$ u_{1}=0.5V $$

所以

$$ u_{_{\infty}}=3.5\mathrm{~V} $$

用外施电流源法求 $ R_{eq} $，在端口施加电流源 i，将 0.5 V 电压源置零，所以 $ u_{1}=0 $，受控源所在处开路。

$$ u=4i $$

$$ R_{\mathrm{e q}}=4\ \Omega $$

零状态响应

$$ \tau=R_{\mathrm{eq}}C=(4\times0.5)\mathrm{~s}=2\mathrm{~s} $$

$$ u_{c}^{(1)}(t)=3.5(1-\mathrm{e}^{-0.5t})\mathrm{V} $$

零输入响应

$$ u_{c}^{(2)}(t)=-7\mathrm{e}^{-0.5t}\mathrm{~V} $$

全响应

$$ \begin{aligned}u_{C}(t)&=u_{C}^{(1)}(t)+u_{C}^{(2)}(t)\\&=\left[3.5(1-\mathrm{e}^{-0.5t})-7\mathrm{e}^{-0.5t}\right]\mathrm{V}\\&=\left(3.5-10.5\mathrm{e}^{-0.5t}\right)\mathrm{V}\\ \end{aligned} $$

全响应亦可用按式 $ （7-6） $求得，即

$$ \begin{aligned}u_{C}(t)&=u_{C}(\infty)+\left[u_{C}(0_{+})-u_{C}(\infty)\right]\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\\&=\left[3.5+(-7-3.5)\mathrm{e}^{-0.5t}\right]\mathrm{V}\\&=\left(3.5-10.5\mathrm{~e}^{-0.5t}\right)\mathrm{V}\end{aligned} $$

响应的波形如图7-17(d)所示。

§7-5 二阶电路的零输入响应

用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件的初始值决定。RLC 串联电路和 GLC 并联电路是最简单的二阶电路。

图 7-18 所示为 RLC 串联电路，假设电容原已充电，其电压 $ u_{C} = U_{0} $，电感

中的初始电流为 $ I_{0} $。t=0 时，开关 S 闭合，此电路的放电过程即是二阶电路的零输入响应。在指定的电压、电流参考方向下，根据 KVL 可得

$$ \mathbf{\nabla}^{-}u_{C}+u_{R}+u_{L}=0 $$

$ i = -C \frac{du_C}{dt} $，电压 $ u_R = Ri = -RC \frac{du_C}{dt} $， $ u_L = $

$ L\frac{di}{dt}=-LC\frac{d^{2}u_{C}}{dt^{2}} $。把它们代入上式，得

$$ LC\frac{\mathrm{d}^{2}u_{c}}{\mathrm{d}t^{2}}+RC\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}+u_{c}=0 $$

式(7-8)是以 $ u_{c} $ 为未知量的 RLC 串联电路放电过程的微分方程。这是一个线性常系数二阶齐次微分方程。求解这类方程时，仍然先设 $ u_{c} = A e^{pt} $，然后再确定其中的 p 和 A。

将 $ u_{C}=Ae^{pt} $ 代入式(7-8)，得特征方程

$$ LC\not{p}^{2}+RC\not{p}+1=0 $$

解出特征根为

$$ p=-\frac{R}{2L}\pm\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}} $$

根号前有正、负两个符号，所以 p 有两个值。为了兼顾这两个值，电压 $ u_{c} $ 可写成

$$ u_{c}=A_{1}\mathrm{e}^{p_{1}\prime}+A_{2}\mathrm{e}^{p_{2}\prime} $$

其中

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\dot{p}_{1}=-\frac{R}{2L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{L C}}}\\ {}&{{}\dot{p}_{2}=-\frac{R}{2L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{L C}}}\\ \end{aligned}\right\} $$

从式(7-10)可见，特征根 $ p_{1} $ 和 $ p_{2} $ 仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。

现在给定的初始条件为 $ u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-})=U_{0} $ 和 $ i(0_{+})=i(0_{-})=I_{0} $。由于 $ i=-C\frac{du_{C}}{dt} $，因此有 $ \frac{du_{C}}{dt}=-\frac{I_{0}}{C} $，根据这两个初始条件和式(7-9)，得

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}A_{1}+A_{2}=U_{0}}\\ {}&{{}p_{1}A_{1}+p_{2}A_{2}=-\frac{I_{0}}{C}}\\ \end{aligned}\right\} $$

联立求解式(7-11)就可求得常数 $ A_{1} $ 和 $ A_{2} $ 。下面讨论 $ U_{0} \neq 0 $ 而 $ I_{0} = 0 $ 的情况，即已充电的电容通过 R、L 放电的情况。此时，可解得

$$ \begin{aligned}A_{1}&=\frac{\dot{p}_{2}U_{0}}{\dot{p}_{2}-\dot{p}_{1}}\\A_{2}&=-\frac{\dot{p}_{1}U_{0}}{\dot{p}_{2}-\dot{p}_{1}}\end{aligned} $$

将解得的 $ A_{1} $、 $ A_{2} $ 代入式(7-9)就可以得到 RLC 串联电路零输入响应的表

达式。

由于电路中 R、L、C 的参数不同，特征根可能是：(a) 两个不等的负实根；(b) 一对实部为负的共轭复根；(c) 一对相等的负实根。下面将对这 3 种情况加以讨论。

1. $ R > 2\sqrt{\frac{L}{C}} $，非振荡放电过程

在这种情况下，特征根 $ p_{1} $ 和 $ p_{2} $ 是两个不等的负实数，电容上的电压为

$$ u_{C}=\frac{U_{0}}{p_{2}-p_{1}}(p_{2}\mathrm{e}^{p_{1}t}-p_{1}\mathrm{e}^{p_{2}t}) $$

电流

$$ i=-C\frac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}=-\frac{C U_{0}p_{1}p_{2}}{p_{2}-p_{1}}(\mathrm{e}^{p_{1}t}-\mathrm{e}^{p_{2}t})=-\frac{U_{0}}{L(p_{2}-p_{1})}(\mathrm{e}^{p_{1}t}-\mathrm{e}^{p_{2}t}) $$

上式中利用了 $ p_{1}p_{2}=\frac{1}{LC} $ 的关系。

电感电压

$$ u_{L}=L\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=-\frac{U_{0}}{p_{2}-p_{1}}(p_{1}\mathrm{e}^{p_{1}t}-p_{2}\mathrm{e}^{p_{2}t}) $$

图 7-19 画出了 $ u_{C}, i, u_{L} $ 随时间变化的曲线。从图中可以看出， $ u_{C}, i $ 始终不改变方向，而且有 $ u_{C} \geqslant 0, i \geqslant 0 $，表明电容在整个过程中一直释放储存的电能，因此称为非振荡放电，又称为过阻尼放电。当 $ t = 0_{+} $ 时， $ i(0_{+}) = 0 $，当 $ t \to \infty $ 时放电过程结束， $ i(\infty) = 0 $，所以在放电过程中电流必然要经历从小到大再趋于

i 随时间变化的曲线

零的变化。电流达最大值的时刻 $ t_{m} $ 可由 $ \frac{di}{dt}=0 $ 决定

$$ t_{m}=\frac{\ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{p_{1}-p_{2}} $$

$ t < t_{m} $ 时，电感吸收能量，建立磁场；当 $ t > t_{m} $ 时，电感释放能量，磁场逐渐衰减，趋向消失。当 $ t = t_{m} $ 时，正是电感电压过零点。

例 7-6 在图 7-20 所示的电路中，已知 $ U_{S}=10\ V $, $ C=1\ \mu F $, R=4 k $ \Omega $, L=1 H, 开关 S 原来闭合在位置 1 处，在 t=0 时，开关 S 由位置 1 接至位置 2 处。求：(1) $ u_{C} $、 $ u_{R} $、i 和 $ u_{L} $; (2) $ i_{max} $。

解 （1）今已知 $ R=4~k\Omega $，而 $ 2\sqrt{\frac{L}{C}}=2\sqrt{\frac{1}{10^{-6}}}~\Omega=2~k\Omega $，所以 $ R>2\sqrt{\frac{L}{C}} $，放电过程是非振荡的。且 $ u_{C}(0_{+})=U_{0}=U_{S} $。

特征根

$$ p_{1}=-\frac{R}{2L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{L C}}=-268 $$

$$ p_{2}\doteq-\frac{R}{2L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}}=-3\ 732 $$

根据公式 $ （7-12） $、 $ （7-13） $和 $ （7-14） $，可得电容电压

$$ u_{C}=\left(10.77\mathrm{~e}^{-268t}-0.773\mathrm{e}^{-3732t}\right)\mathrm{V} $$

电流

$$ i=2.89(\mathrm{e}^{-268t}-\mathrm{e}^{-3732t})\mathrm{~mA} $$

电阻电压

$$ u_{R}=R i=11.56(\mathrm{e}^{-268t}-\mathrm{e}^{-3\ 732t})\mathrm{V} $$

电感电压

$$ u_{L}=L~\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\left(10.77\mathrm{e}^{-3.732t}-0.773\mathrm{e}^{-268t}\right)~\mathrm{V} $$

（2）电流最大值发生在 $ t_{m} $时刻，即

$$ \begin{aligned}&t_{\mathrm{m}}=\frac{\ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{p_{1}-p_{2}}=7.60\times10^{-4}\mathrm{~s}=760\mu\mathrm{s}\\i_{\max}=2.89(\mathrm{e}^{-268\times7.60\times10^{-4}}-\mathrm{e}^{-3732\times7.60\times10^{-4}})\mathrm{~A}\\&=21.9\times10^{-4}\mathrm{~A}\\&=2.19\mathrm{~mA}\\ \end{aligned} $$

2. $ R < 2\sqrt{\frac{L}{C}} $，振荡放电过程

在这种情况下，特征根 $ p_{1} $ 和 $ p_{2} $ 是一对共轭复数。若令

$$ \delta=\frac{R}{2L};\omega^{2}=\frac{1}{L C}-\left(\frac{R}{2L}\right)^{2} $$

则

$$ \sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{L C}}=\sqrt{-\omega^{2}}=\mathrm{j}\omega\qquad\mathrm{(j=\sqrt{-1})} $$

于是有

$$ p_{1}=-\delta+\mathrm{j}\omega,p_{2}=-\delta-\mathrm{j}\omega $$

令 $ \omega_{0}=\sqrt{\delta^{2}+\omega^{2}} $, $ \beta=\arctan\left(\frac{\omega}{\delta}\right) $ (如图 7-21 所示), 则有 $ \delta=\omega_{0}\cos\beta $, $ \omega=\omega_{0}\sin\beta $, 根据 $ \mathrm{e}^{\mathrm{j}\beta}=\cos\beta+\mathrm{j}\sin\beta $, $ \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta}=\cos\beta-\mathrm{j}\sin\beta $, 可求得

$$ p_{1}=-\omega_{0}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta},p_{2}=-\omega_{0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\beta} $$

这样

$$ \begin{align*}u_{C}&=\frac{U_{0}}{p_{2}-p_{1}}(p_{2}\mathrm{e}^{p_{1}\prime}-p_{1}\mathrm{e}^{p_{2}\prime})\\&=\frac{U_{0}}{-\mathrm{j}2\omega}[-\omega_{0}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\beta}\mathrm{e}^{(-\delta+\mathrm{j}\omega)t}+\omega_{0}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta}\mathrm{e}^{(-\delta-\mathrm{j}\omega)t}]\\&=\frac{U_{0}\omega_{0}}{\omega}\mathrm{e}^{-\delta t}\left[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\beta)}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\omega t+\beta)}}{\mathrm{j}2}\right]\\&=\frac{U_{0}\omega_{0}}{\omega}\mathrm{e}^{-\delta t}\sin{(\omega t+\beta)}\end{align*} $$

根据 $ i = -C \frac{du_{C}}{dt} $，或者利用式（7-13）可求得 i

为

$$ i=\frac{U_{0}}{\omega L}\mathrm{e}^{-\delta t}\sin\left(\omega t\right) $$

而电感电压

$$ u_{L}=-\frac{U_{0}\omega_{0}}{\omega}\mathrm{e}^{-\delta t}\sin(\omega t-\beta) $$

从上述 $ u_{C} $ 、i 和 $ u_{L} $ 的表达式可以看出，它们的波形将呈现衰减振荡的状态，在整个过程中，它们将周期性地改变方向，储能元件也将周期性地交换能量。 $ u_{C} $ 、i 和 $ u_{L} $ 的波形如图 7-22 所示，根据上述各式，还可以得出

(1) $ \omega t = k\pi, k = 0, 1, 2, 3, \cdots $ 为电流 i 的过零点，即 $ u_{C} $ 的极值点。

(2) $ \omega t=k\pi+\beta,k=0,1,2,3,\cdots $为电感电压 $ u_{L} $的过零点，也即电流i的极

值点。

(3) $ \omega t = k\pi - \beta, k = 0, 1, 2, 3, \cdots $ 为电容电压 $ u_{c} $ 的过零点。

根据上述零点划分的时域可以看出元件之间能量转换、吸收的概况，见表7-2。

| | 0 &lt; $ \omega t $ &lt; $ \beta $ | $ \beta $ &lt; $ \omega t $ &lt; $ \pi $ - $ \beta $ | $ \pi $ - $ \beta $ &lt; $ \omega t $ &lt; $ \pi $ |

| --- | --- | --- | --- |

| 电感 | 吸收 | 释放 | 释放 |

| 电容 | 释放 | 释放 | 吸收 |

| 电阻 | 消耗 | 消耗 | 消耗 |

例 7-7 在受控热核研究中，需要强大的脉冲磁场，它是靠强大的脉冲电流产生的。这种强大的脉冲电流可以由 RLC 放电电路产生。若已知 $ U_{0}=15\ kV $，C=1 700 $ \mu F $， $ R=6\times10^{-4}\Omega $， $ L=6\times10^{-9} $ H，试问：

(1) $ i(t) $ 为多少？

(2) $ i(t) $在何时达到极大值？求出 $ i_{max} $

解 根据已知参数有

$$ \delta=\frac{R}{2L}=5\times10^{4}~\mathrm{s}^{-1} $$

$$ \omega=\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}}=j3.09\times10^{5}rad/s $$

$$ \beta=\arctan\left(\frac{\omega}{\delta}\right)=1.41\mathrm{rad} $$

即特征根为共轭复数，属于振荡放电情况。所以有

（1）电流 i 为

$$ \begin{aligned}i&=\frac{U_{0}}{\omega L}\mathrm{e}^{-\delta t}\sin\left(\omega t\right)\\&=8.09\times10^{6}\mathrm{e}^{-5\times10^{4}t}\sin(3.09\times10^{5}t)\mathrm{A}\end{aligned} $$

(2) 当 $ \omega t = \beta $，即当 $ t = \frac{\beta}{\omega} = 4.56 \, \mu\text{s} $ 时，电流 i 达到极大值

$$ \begin{aligned}i_{\max}&=8.09\times10^{6}\mathrm{e}^{-5\times10^{4}\times4.56\times10^{-6}}\sin(3.09\times10^{5}\times4.56\times10^{-6})\mathrm{A}\\&=6.36\times10^{6}\mathrm{~A}\end{aligned} $$

可见，最大放电电流可达 $ 6.36 \times 10^{6} $ A，这是一个比较可观的数值。

在 R=0 时， $ \delta=0 $，则 $ \omega=\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $， $ \beta=\frac{\pi}{2} $，所以这时 $ u_{C} $、i、 $ u_{L} $ 的表达式为

$$ u_{c}=U_{0}\sin\left(\omega_{0}t+\frac{\pi}{2}\right) $$

$$ i=\frac{U_{0}}{\omega_{0}L}\mathrm{s i n}(\omega_{0}t)=\frac{U_{0}}{\sqrt{\frac{L}{C}}}\mathrm{s i n}(\omega_{0}t) $$

$$ u_{L}=-U_{0}\sin\left(\omega_{0}t-\frac{\pi}{2}\right)=U_{0}\sin\left(\omega_{0}t+\frac{\pi}{2}\right)=u_{C} $$

这时 $ u_{C} $、i、 $ u_{L} $ 各量都是正弦函数，它们的振幅并不衰减，是一种等幅振荡的放电过程。

尽管实际的振荡电路都是有损耗的，但若仅关心在很短的时间间隔内发生的过程时，则按等幅振荡处理不会带来显著的误差。

例 7-8 为了试验油开关熄灭电弧的能力，需要在开关中通以数十千安，频率为 50 Hz 的正弦电流。工程中往往采用 LC 放电电路作为试验电源，如图 7-23 所示。其工作情况大致如下：首先打开开关 $ S_{2} $，接通开关 $ S_{1} $，使电容器充电至所需电压 $ U_{0} $；然后打开开关 $ S_{1} $，接通开关 $ S_{2} $，于是电容器就开始对电感线圈放电。选择电路参数 L 和 C 的大小以及充电电压 $ U_{0} $ 的数值，就可得到试验所需正弦电流。在开关闭合后的适当时间，借助于自动装置把被试开关的触头 A 拉开，便可以试验高压开关的灭弧能力。

在本例题中，已知 C = 3 800 $ \mu $F， $ U_{0} = 14.14 $ kV，若线圈用很粗的导线绕制，则在近似估算中可以把它的电阻忽略不计，试求：

(1) 为了产生试验所需 $ 50 \, Hz $ 电流，线圈电感 L 等于多少？

(2) 振荡电路的电流 i(t) 以及电容电压 $ u_{c}(t) $

解 （1）试验所需电流的频率为 50 Hz，即 $ \omega_{0}=2\pi f=314 rad/s $，根据 $ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $，可以求出电感 L 的大小

$$ L=\frac{1}{\omega_{0}^{2}C}=2.67\times10^{-3}H=2.67mH $$

（2）根据

$$ i=\frac{U_{0}}{\sqrt{\frac{L}{C}}}\sin\left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right) $$

可以得出电流 $ i(t) $ 为

$$ i(t)=16.9\times10^{3}~\mathrm{s i n}(314~t)~\mathrm{A} $$

可见，放电电流的峰值可达16.9 kA。

电容电压为

$$ u_{C}=u_{L}=U_{0}\sin\left(\omega_{0}t+\frac{\pi}{2}\right)=10\sqrt{2}\times10^{3}\sin\left(314t+\frac{\pi}{2}\right)\mathrm{V} $$

3. $ R = 2\sqrt{\frac{L}{C}} $，临界情况

在 $ R=2\sqrt{\frac{L}{C}} $ 的条件下，这时特征方程具有重根

$$ p_{1}=p_{2}=-\frac{R}{2L}=-\delta $$

微分方程式(7-8)的通解为

$$ u_{c}=\left(A_{1}+A_{2}t\right)\mathrm{e}^{-\delta t} $$

根据初始条件可得

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}_{1}&=\boldsymbol{U}_{0}\\\boldsymbol{A}_{2}&=\delta\boldsymbol{U}_{0}\end{aligned} $$

所以

$$ u_{c}=U_{0}(1+\delta t)\mathrm{e}^{-\delta t} $$

$$ i=-C\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}=\frac{U_{0}}{L}t\mathrm{e}^{-\delta t} $$

$$ u_{L}=L\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=U_{0}\mathrm{e}^{-\delta t}\left(1-\delta t\right) $$

从以上各式显然可以看出 $ u_{C} $、i、 $ u_{L} $ 不作振荡变化，即具有非振荡的性质，其波形与图7-19所示相似。然而，这种过程是振荡与非振荡过程的分界线，所以 $ R=2\sqrt{\frac{L}{C}} $ 时的过渡过程称为临界非振荡过程，这时的电阻称为临界电阻，并称电阻大于临界电阻的电路为过阻尼电路，小于临界电阻的电路为欠阻尼电路。

还可指出，临界情况下过渡过程的计算公式，可通过前两种非临界情况下的公式取极限导出。

§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应

二阶电路的初始储能为零（即电容两端的电压和电感中的电流都为零），仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。

图7-24所示为GCL并联电路， $ u_{C}(0_{-})=0,i_{L}(0_{-})=0,t=0 $时，开关S打开。根据KVL有

$$ i_{C}+i_{G}+i_{L}=i_{\mathrm{S}} $$

以 $ i_{L} $为待求变量，可得

$$ LC\ \frac{\mathrm{d}^{2}\ i_{L}}{\mathrm{d}t^{2}}+GL\ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}+i_{L}=i_{s} $$

这是二阶线性非齐次方程，它的解答由特解和对应的齐次方程的通解组成。如果 $ i_{s} $为直流激励或正弦激励，则取稳态解 $ i^{\prime} $为特解，而通解 $ i^{\prime\prime} $与零输入响应形式相同，再根据初始条件确定积分常数，从而得到全解。

如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为全响应。全响应是输入响应和零状态响应的叠加，可以通过求解二阶非齐次方程的方法求得全响应。

例 7-9 图 7-24 所示电路中， $ u_{C}(0_{-})=0 $, $ i_{L}(0_{-})=0 $, $ G=2\times10^{-3}S $, C=1 $ \mu $F, L=1 H, $ i_{s}=1 $ A, 当 t=0 时把开关 S 打开。试求响应 $ i_{L} $、 $ u_{C} $ 和 $ i_{C} $。

解 列出开关 S 打开后的电路微分方程为

$$ LC\ \frac{\mathrm{d}^{2}\ i_{L}}{\mathrm{d}t^{2}}+GL\ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}+i_{L}=i_{s} $$

特征方程为

$$ \boldsymbol{p}^{2}+\frac{G}{C}\boldsymbol{p}+\frac{1}{L C}=0 $$

代入数据后可求得特征根为

$$ p_{1}=p_{2}=p=-10^{3} $$

由于 $ p_{1} $、 $ p_{2} $ 是重根，为临界阻尼情况，其解答为

$$ i_{L}=i_{L}^{^{\prime}}+i_{L}^{^{\prime \prime}} $$

式中 $ i_{L}^{\prime} $ 为特解（强制分量）

$$ i_{L}^{\prime}=1\mathrm{~A~} $$

$ i_{L}^{\prime\prime} $ 为对应的齐次方程的解

$$ i_{L}^{^{\prime \prime}}=\left(A_{1}+A_{2}t\right)\mathrm{e}^{p t} $$

所以通解为

$$ i_{L}=\left[1+\left(A_{1}+A_{2}t\right)\mathrm{e}^{-10^{3}t}\right] $$

$ t_{i}=0 $ 时的初始值为

$$ i_{L}\left(0_{+}\right)=i_{L}\left(0_{-}\right)=0 $$

$$ \begin{aligned}\left(\frac{\mathrm{d}i_{_{L}}}{\mathrm{d}t}\right)_{0_{+}}&=\frac{1}{L}u_{_{L}}\left(0_{_{+}}\right)=\frac{1}{L}u_{_{C}}\left(0_{_{+}}\right)\\&=\frac{1}{L}u_{_{C}}\left(0_{_{-}}\right)=0\end{aligned} $$

代入初始条件可求得

$$ \begin{aligned}&1+A_{1}+0=0\\-10^{3}A_{1}+A_{2}=0\end{aligned} $$

解得

$$ \begin{aligned}A_{1}&=-1\\A_{2}&=-10^{3}\end{aligned} $$

所以求得的零状态响应为

$$ i_{L}=\left[1-(1+10^{3}t)\mathrm{e}^{-10^{3}t}\right]\mathrm{A} $$

$$ u_{C}=u_{L}=L\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}=10^{6}t\mathrm{e}^{-10^{3}t}\mathrm{V} $$

$$ i_{c}=C\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}=(1-10^{3}t)\mathrm{e}^{-10^{3}t}\mathrm{A} $$

过渡过程是临界阻尼情况，属非振荡性质， $ i_{L} $、 $ i_{C} $、 $ u_{C} $ 随时间变化的波形如图7-25所示。

例 7-10 图 7-26 所示电路，开关在 t=0 时闭合，已知 $ u_{C}(0_{-})=0 $， $ i_{L}(0_{-})=2 $ A，求开关闭合后电感中的电流 $ i_{L}(t) $。

解 从题目所给条件可以看出，电路原有初始电流 $ i_{L}(0_{-})=2 $ A，开关闭合后又接入了电压源，所以开关闭合后的响应为全响应。

（1）列出开关闭合后的电路微分方程，对结点①应用KCL有

$$ \frac{50-L\ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}}{R}=i_{L}+LC\ \frac{\mathrm{d}i_{L}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}} $$

整理得

$$ RLC\frac{\mathrm{d}^{2}i_{L}}{\mathrm{d}t^{2}}+L\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}+Ri_{L}=50 $$

代入已知参数得

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}i_{L}}{\mathrm{d}t^{2}}+200\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}+20000i_{L}=20000 $$

设全响应为 $ i_{L}(t) = i_{L}^{\prime} + i_{L}^{\prime\prime} $

（2）特解为

$$ i_{L}^{\prime}=\frac{50}{50}=1\mathrm{~A} $$

(3) 求通解，二阶微分方程的特征方程为

$$ p^{2}+200p+20000=0 $$

特征根

$$ p=-100\pm\mathrm{j}100 $$

由于特征根为共轭复根，所以换路后过渡过程的性质为欠阻尼性质，即

$$ i_{L}^{^{\prime \prime}}=A\mathrm{e}^{-100t}\sin(100t+\beta) $$

（4）全响应为

$$ \begin{aligned}i_{L}(t)&=i_{L}^{^{\prime}}+i_{L}^{^{\prime \prime}}\\&=1+A\mathrm{e}^{-100t}\sin(100t+\beta)\end{aligned} $$

已知初始条件为

$$ i_{L}\left(\mathbf{0}_{+}\right)=i_{L}\left(\mathbf{0}_{-}\right)=2\mathrm{~A~} $$

$$ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}\bigg|_{0_{+}}=\frac{u_{C}\left(\mathbf{0}_{+}\right)}{L}=0 $$

所以有

$$ 1+A\sin\beta=2 $$

$$ 100A\cos\beta-100A\sin\beta=0 $$

解得：

$$ A=\sqrt{2} $$

$$ \beta=45^{\circ} $$

所以电流 $ i_{L} $ 的全响应为

$$ i_{L}(t)=\left[1+\sqrt{2}\mathrm{e}^{-100t}\sin(100t+45^{\circ})\right]A $$

§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应

电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应称为单位阶跃响应。单位阶跃函数是一种奇异函数，见图7-27(a)，可定义为

$$ \epsilon(t)=\left\{\begin{aligned}&0&\quad&t<0\\ &1&\quad&t>0\end{aligned}\right. $$

值得注意的是，单位阶跃函数在 t=0 这一点是不连续的，它可以用来描述图7-27(b)所示开关动作，它表示在 t=0 时把电路接到单位直流电压源上。阶跃函数可以作为开关的数学模型，所以有时也称为开关函数。

定义任一时刻 $ t_{0} $ 起始的阶跃函数为

$$ \epsilon(t-t_{0})=\left\{\begin{aligned}{}&{{}0}&{tt_{0}}\\ \end{aligned}\right. $$

$ \varepsilon(t-t_{0}) $ 可看作是 $ \varepsilon(t) $ 在时间轴上移动 $ t_{0} $ 后的结果，如图 7-28 所示，所以它是延迟的单位阶跃函数。

假设把电路在 $ t = t_{0} $ 时接通到一个电流为 2 A 的直流电流源，则此外施电流就可写为 $ 2\varepsilon(t - t_{0})A $。

单位阶跃函数还可用来“起始”任意一个 $ f(t) $。设 $ f(t) $ 是对所有 t 都有定义的一个任意函数，则

$$ f(t)\varepsilon(t-t_{0})=\left\{\begin{aligned}&f(t)&\quad&t>t_{0}\\ &0&\quad&t

它的波形如图7-29所示。

对于一个如图 7-30(a) 所示幅度为 1 的矩形脉冲，可以把它看作由两个阶跃函数组成的，如图 7-30(b) 所示，即

$$ f(t)=\epsilon(t)-\epsilon(t-t_{0}) $$

同理，对于一个如图7-30(c)所示矩形脉冲，则可写为

$$ f(t)=\varepsilon(t-\tau_{1})-\varepsilon(t-\tau_{2}) $$

当电路的激励为单位阶跃 $ \epsilon(t) $ V 或 $ \epsilon(t) $ A 时，相当于将电路在 t=0 时接通电压值为 1 V 的直流电压源或电流值为 1 A 的直流电流源。因此单位阶跃响应与直流激励响应相同。用 $ s(t) $ 表示单位阶跃响应。已知电路的 $ s(t) $，如果该电路的恒定激励为 $ u_{S}(t)=U_{0}\epsilon(t) $ [或 $ i_{S}(t)=I_{0}\epsilon(t) $]，则电路的零状态响应为 $ U_{0}s(t) $ [或 $ I_{0}s(t) $]。

例 7-11 图 7-31 所示电路，开关 S 合在位置 1 时电路已达稳定状态。t=0 时，开关由位置 1 合向位置 2，在 $ t=\tau=RC $ 时又由位置 2 合向位置 1，求 $ t \geqslant 0 $ 时的电容电压 $ u_{r}(t) $。

解 此题可用两种方法求解。

（1）将电路的工作过程分段求解

在 $ 0 \leqslant t \leqslant \tau $ 区间为 RC 电路的零状态响应

$$ u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-})=0 $$

$$ u_{c}(t)=U_{s}(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}),\quad\tau=R C $$

在 $ \tau \leqslant t < \infty $ 区间为 RC 电路的零输入响应

$$ u\left(\tau\right)=U_{\mathrm{s}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{\tau}{\tau}}\right)=0.632U_{\mathrm{s}} $$

$$ u_{c}(t)=0.632U_{s}\mathrm{e}^{-\frac{t-\tau}{\tau}} $$

(2) 用阶跃函数表示激励，求阶跃响应

根据开关的动作，电路的激励 $ u_{s}(t) $ 可以用图7-32(a)所示的矩形脉冲表示，按图7-32

(b)可写为

$$ u_{\mathrm{s}}(t)=U_{\mathrm{s}}\boldsymbol{\epsilon}(t)-U_{\mathrm{s}}\boldsymbol{\epsilon}(t-\tau) $$

RC电路的单位阶跃响应为

$$ s(t)=(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}})\varepsilon(t) $$

故

$$ u_{c}(t)=U_{\mathrm{s}}(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}})\mathfrak{e}(t)-U_{\mathrm{s}}[1-\mathrm{e}^{\frac{-(t-\tau)}{\tau}}]\mathfrak{e}(t-\tau) $$

其中第一项为阶跃响应，第二项为延迟的阶跃响应。 $ u_{c}(t) $的波形如图7-32(c)所示。

例 7-12 图 7-33 所示电路中，已知 $ u_{C}(0_{-})=0, i_{L}(0_{-})=0, R=0.2\ \Omega $, L=0.25 H, C=2F, $ i_{e}(t)=\varepsilon(t) $ A. 试求单位阶跃响应 $ i_{r}(t) $

解 对电路应用 KCL 列结点电流方程有

$$ i_{R}+i_{C}+i_{L}-0.5i_{C}=i_{\mathrm{S}} $$

$$ i_{R}+0.5i_{C}+i_{L}=\epsilon(t) $$

其中

$$ i_{R}=\frac{u_{R}}{R}=\frac{L}{R}\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t} $$

$$ i_{C}=C\frac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}=LC\frac{\mathrm{d}^{2}i_{L}}{\mathrm{d}t^{2}} $$

代人已知参数并整理得

$$ 0.25~\frac{{\mathrm{d}}i_{L}^{2}}{{\mathrm{d}}t^{2}}+1.25~\frac{{\mathrm{d}}i_{L}}{{\mathrm{d}}t}+i_{L}=\varepsilon(t) $$

即

$$ \frac{\mathrm{d}i_{L}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}+5\ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}+4i_{L}=4\upvarepsilon(t) $$

这是一个关于 $ i_{L} $ 的二阶线性非齐次方程，其解为

$$ i_{L}=i^{\prime}+i^{\prime \prime} $$

其中特解

$$ i^{\prime}=1 $$

通解

$$ i^{^{\prime \prime}}=A_{1}\mathrm{e}^{p_{1}t}+A_{2}\mathrm{e}^{p_{2}t} $$

特征方程为

$$ p^{2}+5p+4=0 $$

解得特征根

$$ p_{1}=-1,p_{2}=-4 $$

所以

$$ i_{L}=1+A_{1}\mathrm{e}^{-t}+A_{2}\mathrm{e}^{-4t} $$

将初始条件 $ i_{L}(0_{+}) = i_{L}(0_{-}) = 0 $, $ u_{C}(0_{+}) = u_{C}(0_{-}) = 0 $。代入上式有

$$ \left\{\begin{aligned}1+A_{1}+A_{2}&=0\\ -A_{1}-4A_{2}&=0\end{aligned}\right. $$

解得

$$ A_{1}=-\frac{4}{3},A_{2}=\frac{1}{3} $$

所以阶跃响应 $ i_{L}(t) $ 为

$$ i_{L}\left(t\right)=s\left(t\right)=\left(1-\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-t}+\frac{1}{3}\mathrm{e}^{-4t}\right)\varepsilon(t)A $$

电路的动态过程是过阻尼性质的。

§7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应

电路对于单位冲激函数激励的零状态响应称为单位冲激响应。单位冲激函数也是一种奇异函数，可定义为

$$ \left\{\begin{aligned}&\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\mathrm{d}t=1\\ &\delta(t)=0\quad&( 当 t\neq0)\end{aligned}\right. $$

单位冲激函数又称为δ函数。它在 $ t\neq0 $处为零，但在t=0处为奇异的。

单位冲激函数 $ \delta(t) $ 可以看作是单位脉冲函数的极限情况。图 7-34(a) 为一个单位矩形脉冲函数 $ p(t) $ 的波形。它的高为 $ \frac{1}{\Delta} $，宽为 $ \Delta $，在保持矩形面积 $ \Delta \cdot \frac{1}{\Delta} = 1 $ 不变的情况下，它的宽度越来越窄时，它的高度越来越大。当脉冲宽度 $ \Delta \rightarrow 0 $ 时，脉冲高度 $ \frac{1}{\Delta} \rightarrow \infty $，在此极限情况下，可以得到一个宽度趋于零，幅度趋于无限大的面积仍为 1 的脉冲，这就是单位冲激函数 $ \delta(t) $，可记为

$$ \lim_{\Delta\to0}p(t)=\delta(t) $$

单位冲激函数的波形如图7-34(b)所示，有时在箭头旁边注明“1”。强度为K的冲激函数可用图7-34(c)表示，此时箭头旁边应注明“K”。

同在时间上延迟出现的单位阶跃函数一样，可以把发生在 $ t=t_{0} $时的单位冲激函数写为 $ \delta(t-t_{0}) $，还可以用 $ K\delta(t-t_{0}) $表示一个强度为K，发生在 $ t_{0} $时刻的冲激函数。

冲激函数有如下两个主要性质：

（1）单位冲激函数 $ \delta(t) $ 对时间的积分等于单位阶跃函数 $ \varepsilon(t) $，即

$$ \int_{-\infty}^{t}\delta(\xi)\mathrm{d}\xi=\epsilon(t) $$

反之，阶跃函数 $ \varepsilon(t) $ 对时间的一阶导数等于冲激函数 $ \delta(t) $，即

$$ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}\left(\boldsymbol{t}\right)}{\mathrm{d}t}=\delta\left(\boldsymbol{t}\right) $$

（2）单位冲激函数的“筛分”性质

由于当 $ t \neq 0 $ 时， $ \delta(t) = 0 $，所以对任意在 t = 0 时连续的函数 $ f(t) $，将有

$$ f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t) $$

因此

$$ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)\mathrm{d}t=f(0)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\mathrm{d}t=f(0) $$

同理，对于任意一个在 $ t = t_{0} $ 时连续的函数 $ f(t) $，有

$$ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_{0})\mathrm{d}t=f(t_{0}) $$

这就是说，冲激函数有把一个函数在某一时刻的值“筛”出来的本领，所以称为“筛分”性质，又称取样性质。

当把一个单位冲激电流 $ \delta_{i}(t) $ (其单位为 A) 加到初始电压为零且 C = 1F 的电容，电容电压 $ u_{C} $ 为

$$ u_{c}=\frac{1}{C}{\int_{0}^{0_{+}}}\delta_{i}(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{C}=1\mathrm{~V} $$

这相当于单位冲激电流瞬时把电荷转移到电容上，使电容电压从零跃变到 $ 1~V $。

同理，如果把1个单位冲激电压 $ \delta_{u}(t) $（其单位为V）加到初始电流为零且L=1H的电感上，则电感电流

$$ i_{L}\;=\;\frac{1}{L}{\int_{0_{-}}^{0_{+}}}\delta_{u}(t)\mathrm{d}t\;=\;\frac{1}{L}\;=\;1\mathrm{~A~} $$

所以单位冲激电压瞬时在电感内建立了1 A 的电流，即电感电流从零值跃变到1 A。

当冲激函数作用于零状态的一阶 RC 或 RL 电路，在 $ t=0_{-} $ 到 $ 0_{+} $ 的区间内它使电容电压或电感电流发生跃变。 $ t\geqslant0_{+} $ 时，冲激函数为零，但 $ u_{C}(0_{+}) $ 或 $ i_{L}(0_{+}) $ 不为零，电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。所以，一阶电路冲激响应的求解，关键在于计算在冲激函数作用下的 $ u_{C}(0_{+}) $ 或 $ i_{L}(0_{+}) $ 的值。

图7-35(a)为一个在单位冲激电流 $ \delta_{i}(t) $激励下的RC电路。可以用下述方法求得该电路的零状态响应。根据KCL有

$$ C\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}+\frac{u_{c}}{R}=\delta_{i}\left(t\right),t\geqslant0\text{。} $$

而 $ u_{C}(0_{-}) = 0 $

为了求 $ u_{c}(0_{+}) $ 的值，把上式在 0 至 0，时间间隔内积分，得

$$ \int_{0_{-}}^{0_{+}}C\frac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t+\int_{0_{-}}^{0_{+}}\frac{u_{C}}{R}\mathrm{d}t=\int_{0_{-}}^{0_{+}}\delta_{i}\left(t\right)\mathrm{d}t $$

上式左方第二个积分仅在 $ u_{C} $ 为冲激函数时才不为零。但是如果 $ u_{C} $ 是冲激函数，则 $ i_{R} $ 亦为冲激函数 $ \left(i_{R}=\frac{u_{C}}{R}\right) $，而 $ i_{C}=C\frac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t} $ 将为冲激函数的一阶导数；这样就不能满足 KCL，即上式将不能成立，因此 $ u_{C} $ 不可能是冲激函数。于是方程左方的第二个积分应为零，从而得

$$ C[u_{C}(\mathbf{0}_{+})-u_{C}(\mathbf{0}_{-})]=1 $$

或

$$ u_{C}\left(0_{+}\right)=\frac{1}{C} $$

当 $ t \geqslant 0 $ 时，冲激电流源相当于开路，所以可以用图 7-35(b) 求得 $ t \geqslant 0 $ 时的电容电压为

$$ u_{C}=u_{C}(0_{+})\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}=\frac{1}{C}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\varepsilon(t) $$

式中 $ \tau = RC $，为给定 RC 电路的时间常数。

用相同的分析方法，可求得图7-36所示RL电路在单位冲激电压 $ \delta_{u}(t) $激励下的零状态响应 $ i_{L} $为

$$ i_{L}=\frac{1}{L}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{t}) $$

式中 $ \tau=\frac{L}{R} $ 为时间常数。

电感电流发生了跃变，而电压 $ u_{L} $ 为

$$ u_{L}=\delta_{u}(t)-\frac{R}{L}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\varepsilon(t) $$

$ i_{L} $、 $ u_{L} $ 的波形如图 7-37(a)、(b) 所示，注意 t=0 到 $ 0_{+} $ 的冲激和跃变情况。

零状态的二阶电路在冲激函数激励下的响应就是二阶电路的冲激响应。

图7-38 是一个零状态的 RLC 串联电路，在 t=0 时与冲激电压 $ \delta(t) $ 接通。若以 $ u_{c} $ 为变量，根据 KVL 可得电路方程 R L

$$ \begin{aligned}&LC\ \frac{\mathrm{d}^{2}\ u_{c}}{\mathrm{d}t^{2}}+RC\ \frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}+u_{c}=\delta(t)\Biggr\}{}_{t\geqslant0_{-}}\\&u_{c}(0_{-})=0,i_{L}(0_{-})=0\\ \end{aligned} $$

由于 $ \delta(t) $ 在 $ t\neq0 $ 时为零，而在 t=0 时电路受冲激电压激励而获得了一定能量，在 $ t>0_{+} $ 时放电，即在 $ t>0_{+} $ 时，有

$$ LC\frac{\mathrm{d}^{2}u_{c}}{\mathrm{d}t^{2}}+RC\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}+u_{c}=0 $$

关键在于求出与初始能量对应的初始条件 $ u_{C}(0_{+}) $ 和 $ i(0_{+}) $。把式(7-16)在0至0，时间间隔内积分，得

$$ L C\left[\left.\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0_{+}}-\left.\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0_{-}}\right]+R C\left[u_{c}(0_{+})-u_{c}(0_{-})\right]+\int_{0_{-}}^{0_{+}}u_{c}\mathrm{d}t=1 $$

根据零状态条件，有 $ u_{C}(0_{-})=0, i(0_{-})=0 $，故 $ \left.\frac{d u_{C}}{d t}\right|_{t=0_{-}}=0 $。由于 $ u_{C} $ 不可能是阶跃函数或冲激函数，否则式(7-16)不能成立，就是说 $ u_{C} $ 不可能跃变，仅

$ \frac{du_{c}}{dt} $才可能发生跃变。这样就有

$$ LC\left.\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0_{+}}=1 $$

即

$$ \frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=0_{+}}=\frac{1}{L C} $$

该式的意义是冲激电压源在 t=0 间隔内使电感电流跃变，跃变后 $ i(0_{+})=C\left.\frac{du_{C}}{dt}\right|_{t=0_{+}}=\frac{1}{L} $，电感中储存一定的磁场能量，而冲激响应就是由此磁场能量引起的变化过程。

$ t \geqslant 0 $ 时为零输入解，其过渡过程的分析和解答与 S7-5 相同，即

$$ u_{c}=A_{1}\mathrm{e}^{p_{1}t}+A_{2}\mathrm{e}^{p_{2}t} $$

初始条件为

$$ u_{C}(0_{+})=A_{1}+A_{2}=0 $$

$$ \frac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=0_{+}}=p_{1}A_{1}+p_{2}A_{2}=\frac{1}{L C} $$

有

$$ A_{1}=-A_{2}=\frac{-\frac{1}{LC}}{p_{2}-p_{1}} $$

$$ u_{c}=-\frac{1}{L C(p_{2}-p_{1})}(\mathrm{e}^{p_{1}t}-\mathrm{e}^{p_{2}t}) $$

如果 $ R < 2\sqrt{\frac{L}{C}} $，即振荡放电情况，冲激响应为

$$ u_{c}=\frac{1}{\omega L C}\mathrm{e}^{-\delta t}\sin\left(\omega t\right) $$

由于阶跃函数和冲激函数之间满足式 $ (7-15) $的关系，因此，线性电路中阶跃响应与冲激响应之间也具有一个重要关系。如果以 $ s(t) $ 表示某一电路的阶跃响应，而 $ h(t) $ 为同一电路的冲激响应，则两者之间存在下列数学关系：

$$ \begin{aligned}h\left(t\right)&=\frac{\mathrm{d}s\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\\s\left(t\right)&=\int h\left(t\right)\mathrm{d}t\end{aligned} $$

下面证明这一关系。

按冲激函数的定义，有

$$ \int_{-\infty}^{t}\delta(\xi)\mathrm{d}\xi=\varepsilon(t) $$

$$ \delta(t)=\frac{\mathrm{d}\varepsilon(t)}{\mathrm{d}t} $$

对于一个线性电路，描述电路性状的微分方程为线性常系数方程。对于这种电路，如设激励 $ e(t) $ 时的响应为 $ r(t) $，则当所加激励换为 $ e(t) $ 的导数或积分时，所得响应必相应地为 $ r(t) $ 的导数或积分。冲激激励是阶跃激励的一阶导数，因此冲激响应可以按阶跃响应的一阶导数求得。

对于图7-35(a)、图7-36(a)所示电路，如按阶跃响应的一阶导数求冲激响应，可得到与上述相同的结果。

例 7-13 图 7-39 所示电路中， $ u_{C}(0_{-})=0 $, $ R_{1}=3\ k\Omega $, $ R_{2}=6\ k\Omega $, C=2.5 μF, 试求电路的冲激响应 $ i_{C} $, $ i_{1} $ 和 $ u_{C} $。

解 应用戴维宁定理把原电路等效为图 7-39(b) 所示的电路。其中

$$ u_{\mathrm{oc}}=\frac{R_{2}\delta(t)}{R_{1}+R_{2}}=\frac{2}{3}\delta(t)\mathrm{~V} $$

$$ R_{eq}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=2\mathrm{~k}\Omega $$

解法一 根据 KVL，图 7-39(b) 所示电路的方程为

$$ R_{\mathrm{e q}}i+u_{c}=u_{\mathrm{o c}} $$

即

$$ R_{e q}C\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}+u_{c}=\frac{2}{3}\delta(t)\quad t>0_{-} $$

把上式在0至0，时间域积分，应用 $ \delta(t) $的“筛分”性质，得

$$ \int_{0_{-}}^{0_{+}}R_{\mathrm{e q}}C\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t+\int_{0_{-}}^{0_{+}}u_{c}\mathrm{d}t=\frac{2}{3}\int_{0_{-}}^{0_{+}}\delta(t)\mathrm{d}t=\frac{2}{3} $$

由于 $ u_{C}(t) $ 不是冲激函数，有 $ \int_{0}^{0_{+}} u_{C} dt = 0 $，上式积分为

$$ R_{eq}C\left[u_{C}\left(0_{+}\right)-u_{C}\left(0_{-}\right)\right]=\frac{2}{3} $$

把 $ u_{c}(0_{-}) = 0 $ 代入，得

$$ u_{\mathrm{C}}(0_{+})=\frac{2}{3}\times\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}C}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2\times10^{3}\times2.5\times10^{-6}}\mathrm{~V}=\frac{400}{3}\mathrm{~V} $$

当 $ t \geqslant 0 $ 时， $ \delta(t)=0 $，即 $ u_{oc} $ 相当于短路，电容电压为

$$ u_{C}(t)=u_{C}(0_{+})\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}=\frac{400}{3}\mathrm{e}^{-\frac{t}{R_{\mathrm{e q}}C}}=133.33\mathrm{e}^{-200t}\mathrm{V} $$

图7-39(a)中的电流为

$$ i_{1}(t)=\frac{u_{C}(t)}{R_{2}}=\frac{400}{3\times6\times10^{3}}\mathrm{e}^{-200t}\mathrm{A}=22.22\times10^{-3}\mathrm{e}^{-200t}\mathrm{A} $$

$$ \begin{aligned}i\left(t\right)&=\frac{\delta(t)-u_{c}(t)}{R_{1}}=\left(\frac{1}{3}\times10^{-3}\delta(t)-\frac{0.4}{9}\mathrm{e}^{-200t}\right)\mathrm{A}\\&=\left[0.333\delta(t)-44.44\mathrm{e}^{-200t}\right]\mathrm{mA}\end{aligned} $$

$$ i_{C}(t)=i-i_{1}=\left[0.333\delta(t)-66.66\mathrm{e}^{-200t}\right]\mathrm{m A} $$

电容电流也可用下列方式求得：

$$ \begin{aligned}i_{\mathrm{c}}(t)&=C\frac{\mathrm{d}u_{c}(t)}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{400}{3}\mathrm{e}^{-200t}\boldsymbol{\varepsilon}(t)\right]\\&=\left[0.333\delta(t)-66.66\mathrm{e}^{-200t}\boldsymbol{\varepsilon}(t)\right]\mathrm{m A}\qquad t>0\end{aligned} $$

解法二 利用阶跃响应求冲激响应。

设图 7-39(b) 所示电路的电压源 $ u_{\infty}=\frac{2}{3}\varepsilon(t) $，其阶跃响应为

$$ s_{u_{C}}(t)=\frac{2}{3}(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{R_{\mathrm{eq}}C}})\varepsilon(t)=\frac{2}{3}(1-\mathrm{e}^{-200t})\varepsilon(t)\mathrm{V} $$

则冲激响应为

$$ u_{C}(t)=\frac{\mathrm{d}s_{u_{C}}(t)}{\mathrm{d}t}=-\frac{2}{3}\mathrm{e}^{-200t}\times(-200)\varepsilon(t)=\frac{400}{3}\mathrm{e}^{-200t}\varepsilon(t)\mathrm{V} $$

进一步求出的 $ i_{1} $ 和 $ i_{C} $ 均与解法一求得的结果相同。

例 7-14 若例 7-12 中电流源为冲激电流源，即 $ i_{S}=\delta(t) $ A，试求单位冲激响应 $ i_{L}(t) $。

解 电路如图 7-40 所示，根据 KCL 列出的电路方程为

$$ 0.25~\frac{\mathrm{d}i_{L}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}+1.25~\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}+i_{L}=\delta(t) $$

已知电路 $ u_{C}(0_{-})=0, i_{L}(0_{-})=0, t=0 $ 时电路受冲激电流源作用而获得了能

量，为求出与初始能量对应的初始条件 $ u_{C}(0_{+}), i_{L}(0_{+}) $，把上式从 t=0 到 $ 0_{+} $ 区间积分有

$$ \int_{0}^{0_{+}}0.25\frac{\mathrm{d}i_{L}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\mathrm{d}t+\int_{0}^{0_{+}}1.25\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t+\int_{0}^{0_{+}}i_{L}\mathrm{d}t=\int_{0}^{0_{+}}\delta(t) $$

由于 $ i_{L} $ 不可能是阶跃函数或冲激函数，否则电路方程不成立，所以 $ i_{L} $ 不可能跃变，仅 $ \frac{di_{L}}{dt} $ 才可能发生跃变。这样就有

$$ 0.25\left(\left.\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}\right|_{0_{+}}-\left.\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}\right|_{0_{-}}\right)=1 $$

而

$$ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}\bigg|_{0_{-}}=\frac{u_{C}\left(0_{-}\right)}{L}=0 $$

所以

$$ \left\{\begin{aligned}&\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}\bigg|_{0_{+}}=\frac{1}{0.25}=4\\ &i_{L}\left(0_{+}\right)=i_{L}\left(0_{-}\right)=0\end{aligned}\right. $$

上式说明冲激电流源在 t=0_ 到 $ 0_{+} $ 区间使电容电压发生了跃变， $ L\left.\frac{di_{L}}{dt}\right|_{0_{+}}=u_{C}(0_{+})=1V $ 。 $ t\geqslant0 $ 后为零输入响应

$$ i_{L}\left(t\right)=A_{1}\mathrm{e}^{p_{1}t}+A_{2}\mathrm{e}^{p_{2}t} $$

已在例7-12中求得， $ p_{1}=-1, p_{2}=-4 $。代入已求得的初始值有

$$ \left\{\begin{aligned}&\boldsymbol{A}_{1}+\boldsymbol{A}_{2}=\mathbf{0}\\ &-\boldsymbol{A}_{1}-4\boldsymbol{A}_{2}=4\end{aligned}\right. $$

解得

$$ A_{1}=\frac{4}{3},A_{2}=-\frac{4}{3} $$

因此，冲激响应

$$ i_{L}\left(t\right)=h\left(t\right)=\left(\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-t}-\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-4t}\right)\varepsilon(t)\mathrm{A} $$

若根据阶跃响应与冲激响应的关系，则根据例7-12所求得的阶跃响应

$$ i_{L}\left(t\right)=s\left(t\right)=\left(1-\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-t}+\frac{1}{3}\mathrm{e}^{-4t}\right)\varepsilon(t)\mathrm{A} $$

可求得冲激响应为

$$ i_{L}(t)=h(t)=\frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}=\left[\delta(t)\left(1-\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-t}+\frac{1}{3}\mathrm{e}^{-4t}\right)+\left(\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-t}-\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-4t}\right)\varepsilon(t)\right]\mathrm{A} $$

结果中的第一项由于 $ \delta(t) $ 在 $ t \geqslant 0 $ 时为零，所以冲激响应在 $ t \geqslant 0 $ 时

$$ h\left(t\right)=\left(\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-t}-\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-4t}\right)\boldsymbol{\epsilon}\left(t\right)\mathrm{A} $$

由此可见，这两种求冲激响应的方法所得的结果是相同的。

$ ^{*} $§7-9 卷积积分

这一节介绍时域分析中的一个重要概念——卷积积分。设有两个时间函数 $ f_{1}(t) $和 $ f_{2}(t) $（在t<0时均为零），则 $ f_{1}(t) $和 $ f_{2}(t) $的卷积通常用 $ f_{1}(t)*f_{2}(t) $表示，并由下列积分式来定义：

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{0}^{t}f_{1}(t-\xi)f_{2}(\xi)\mathrm{d}\xi^{\textcircled{1}} $$

如果令 $ \tau = t - \xi $，则 $ d\tau = -d\xi $，于是

$$ \begin{aligned}\int_{0}^{t}f_{1}\left(t-\xi\right)f_{2}\left(\xi\right)\mathrm{d}\xi&=-\int_{t}^{0}f_{1}\left(\tau\right)f_{2}\left(t-\tau\right)\mathrm{d}\tau\\&=\int_{0}^{t}f_{2}\left(t-\tau\right)f_{1}\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau=f_{2}\left(t\right)*f_{1}\left(t\right)\end{aligned} $$

所以

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=f_{2}(t)*f_{1}(t) $$

若 $ f_{1}(t) $ 为电路的冲激响应 $ h(t) $, $ f_{2}(t) $ 为电路的任意输入激励 $ e(t) $, 则该电路对任意激励的零状态响应 $ r(t) $, 就可以通过 $ h(t) $ 与 $ e(t) $ 的卷积积分求得, 这就是研究卷积积分的重要意义之所在。

设电路激励 $ e(t) $ 的波形如图 7-41 所示，并定义于时间区间 $ (t_{0}, t) $，而 $ \xi $ 表示在 $ t_{0} $ 和 t 之间的任意时刻。现在用一系列具有相同宽度的矩形脉冲来近似地表示 $ e(\xi) $。把时间区间 $ (t_{0}, t) $ 分成相等的 n 段，如图 7-41 所示，每一段的宽度为 $ \Delta $，即 $ t_{1} - t_{0} = t_{2} - t_{1} = \cdots = t_{k+1} - t_{k} = \cdots = \Delta $。于是 $ e(\xi) $ 可以用图

示的阶梯曲线来逼近，而后者又可以看作是一系列矩形脉冲之合成。这一系列矩形脉冲可以通过单位脉冲函数和延迟的单位脉冲函数，即 $ p_{\Delta}(\xi) $ 和 $ p_{\Delta}(\xi - t_{k}) $ 来表示。这样，当把激励 $ e(\xi) $ 用上述矩形脉冲表示时，得

$$ \begin{aligned}{e_{\Delta}(\mathbf{\xi})}&{{}=e\big(t_{0}\big)p_{\Delta}(\mathbf{\xi}-t_{0})\Delta+e\big(t_{1}\big)p_{\Delta}(\mathbf{\xi}-t_{1})\Delta+}\\ {}&{{}\quad e\big(t_{2}\big)p_{\Delta}(\mathbf{\xi}-t_{2})\Delta+\cdots+e\big(t_{k}\big)p_{\Delta}(\mathbf{\xi}-t_{k})\Delta+\cdots+}\\ {}&{{}\quad e\big(t_{n-1}\big)p_{\Delta}(\mathbf{\xi}-t_{n-1})\Delta}\\ {}&{{}=\sum_{k=0}^{n-1}e\big(t_{k}\big)p_{\Delta}(\mathbf{\xi}-t_{k})\Delta\quad(7}\\ \end{aligned} $$

设电路在单位矩形脉冲 $ p_{\Delta}(\xi) $ 激励下的零状态响应为 $ h_{\Delta}(\xi) $，对每一延迟的矩形脉冲 $ p_{\Delta}(\xi-t_{k}) $，在时刻 t 观察到的相应的响应将为 $ h_{\Delta}(t-t_{k}) $。根据线性电路的齐性定理，对 $ e(t_{k})p_{\Delta}(\xi-t_{k})\Delta $ 的响应将是 $ e(t_{k})h(t-t_{k})\Delta $。因此按照叠加定理，式(7-18)的激励所产生的响应为

$$ r_{\Delta}(t)\;=\;\sum_{k=0}^{n-1}e_{\Delta}(t_{k})h_{\Delta}(t-t_{k})\Delta $$

现在令 $ t_{0} $ 到 t 区间内的脉冲数 n 不断地增加，由于 $ t - t_{0} = n\Delta $，所以 $ \Delta $ 将越来越小。当 $ n \to \infty $ 时， $ \Delta \to 0 $，每一单位矩形脉冲变成了冲激函数， $ h_{\Delta} $ 变成了冲激响应 h， $ e_{\Delta} $ 变成了原来的激励 e(t)，响应 $ r_{\Delta}(t) $ 则将变成电路对原激励的零状态响应 r(t)，同时上式的求和也变成了积分，而 $ t_{k} $ 变成了连续变量 $ \xi $， $ \Delta $ 则变成了 d $ \xi $。这样就有

$$ r\left(t\right)=\int_{t_{0}}^{t}e\left(\xi\right)h\left(t-\xi\right)\mathrm{d}\xi\qquad t\geqslant t_{0} $$

式中 $ t_{0} $ 为激励施加的时刻，t 为待求响应所对应的时刻。如 $ t_{0}=0 $，则有

$$ r\left(t\right)=\int_{0}^{t}e\left(\xi\right)h\left(t-\xi\right)\mathrm{d}\xi\qquad t\geqslant0 $$

上式还可以改写为

$$ r\left(t\right)=\int_{0}^{t}e\left(t-\xi\right)h\left(\xi\right)\mathrm{d}\xi $$

式(7-19)或式(7-20)所示积分称为卷积积分。只要知道电路的冲激响应，给定任何激励函数 $ e(t) $，根据卷积积分就可以求出该电路的零状态响应。如果电路是非零状态，只要在上述积分的结果上按叠加定理加上相应的零输入响应即可。

例 7-15 图 7-42 所示 RC 并联电路，其中 $ R = 500 \, k\Omega, C = 1 \, \mu F $，电流源电流 $ i_s = 2 e^{-t} \varepsilon (t) \, \mu A $。设电容 C 上原来没有电压，试求 $ u_c(t) $。

解 电路的冲激响应（这里指 $ u_{c}(t) $）参阅图7-35已求得为（见§7-8）

$$ h\left(t\right)=\frac{1}{C}\mathrm{e}^{-\frac{1}{RC}t}=\frac{1}{1\times10^{-6}}\mathrm{e}^{-2t}\mathrm{V}=10^{6}\mathrm{e}^{-2t}\varepsilon(t)\mathrm{V} $$

应用式(7-20)可求得

$$ \begin{array}{l}u_{\mathrm{C}}(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}i_{\mathrm{S}}(t-\xi)h(\xi)\mathrm{d}\xi\\ \quad=\displaystyle\int_{0}^{t}2\times10^{-6}\mathrm{e}^{-(t-\xi)}\times10^{6}\mathrm{e}^{-2\xi}\mathrm{d}\xi\\ \quad=\displaystyle2\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{-(t+\xi)}\mathrm{d}\xi=2\mathrm{e}^{-t}\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{-\xi}\mathrm{d}\xi\\ \quad=2(\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-2t})\epsilon(t)\mathrm{V}\end{array} $$

例 7-16 设上题中的 $ i_{s} $ 为图 7-43 所示的矩形脉冲，即 $ i_{s} = [\varepsilon(t) - \varepsilon(t-1)]\mu A $，试求 $ u_{C}(t) $。

解 应用式 $ (7-19) $

$$ u_{C}(t)\;=\;\int_{0}^{t}h(t-\xi)i_{\mathrm{S}}(\xi)\mathrm{d}\xi $$

由于 $ i_{s}(t) $ 在 $ t \geqslant 1 $ 时为零，所以分两种情况来取积分限。

对 $ 0 \leqslant t < 1 $ ，由于 $ i_{S}(t) = 10^{-6} ~A $ ，因此有

$$ \begin{array}{l}{\displaystyle u_{C}(t)=\int_{0}^{t}10^{-6}\times10^{6}\mathrm{e}^{-2(t-\xi)}\mathrm{d}\xi=\int_{0}^{t}1\times\mathrm{e}^{-2(t-\xi)}\mathrm{d}\xi}\\ {\displaystyle\quad=\frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2t})\mathrm{V}}\\ \end{array} $$

对 $ 1 \leqslant t $ ，由于 $ i_{S}(t)=0 $ ，只需要积分到 t=1 为止。于是

$$ \begin{aligned}u_{C}(t)&=\int_{0}^{1}1\times\mathrm{e}^{-2(t-\xi)}\mathrm{d}\xi=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{2}-1)\mathrm{e}^{-2t}\mathrm{~V}\\&=3.19\mathrm{e}^{-2t}\mathrm{~V}=0.432\mathrm{e}^{-2(t-1)}\mathrm{~V}\end{aligned} $$

所以 $ u_{c}(t) $ 可写为

$$ u_{C}(t)=\left\{\frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2t})\left[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-1)\right]+0.432\mathrm{e}^{-2(t-1)}\varepsilon(t-1)\right\}\mathrm{V} $$

$ ^{*} $§7-10 状态方程

“状态”是系统理论中的一个基本概念，在电路理论中，状态是指在某给定时刻电路必须具备的最少量的信息，它们和从该时刻开始的任意输入一起就足以完全确定今后该电路在任何时刻的性状。状态变量就是电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态。电容上的电压 $ u_{C} $（或电荷 $ q_{C} $）和电感中的电流 $ i_{L} $（或磁通链 $ \Psi_{L} $）就是电路的状态变量。对状态变量列出的一阶微分方程称为状态方程。因此，如果已知状态变量在 $ t_{0} $ 时的值，而且已知自 $ t_{0} $ 开始的外施激励，就能唯一地确定 $ t > t_{0} $ 后电路的全部性状。

图 7-44 所示的 RLC 串联电路，其以电容电压为待求变量的微分方程为

$$ LC\frac{d^{2}u_{c}}{\mathrm{d}t^{2}}+RC\frac{du_{c}}{\mathrm{d}t}+u_{c}=u_{\mathrm{s}} $$

这是一个二阶线性微分方程。用来确定积分常数的初始条件是电容上的电压和电感中的电流在 $ t = t_{0} $ 时的初始值。

如果以电容电压 $ u_{c} $ 和电感电流 $ i_{L} $ 作为变量列上述方程，则有

$$ C\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}=i_{L} $$

$$ L\ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}=u_{\mathrm{S}}-Ri_{L}-u_{C} $$

再把这两个方程的形式做些改变，可得

$$ \left.\begin{aligned}&\frac{\mathrm{d}u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d}t}=0+\frac{1}{C}i_{L}+0\\&\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{L}u_{C}-\frac{R}{L}i_{L}+\frac{1}{L}u_{\mathrm{S}}\end{aligned}\right\} $$

这是一组以 $ u_{C} $ 和 $ i_{L} $ 为变量的一阶微分方程，而 $ u_{C}(t_{0+}) $ 和 $ i_{L}(t_{0+}) $ 提供了用来确定积分常数的初始值，式(7-21)就是描述电路动态过程的状态方程。

如果用矩阵形式列写方程式(7-21)，则有

$$ \left[\begin{matrix}{\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}}\\ {\displaystyle\frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{0}&{\displaystyle\frac{1}{C}}\\ {\displaystyle-\frac{1}{L}}&{\displaystyle-\frac{R}{L}}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{u_{c}}\\ {i_{L}}\\ \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}{0}\\ {\displaystyle\frac{1}{L}}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{u_{s}}\\ \end{matrix}\right] $$

若令 $ x_{1}=u_{C}, x_{2}=i_{L}, \dot{x}_{1}=\frac{du_{C}}{dt}, \dot{x}_{2}=\frac{di_{L}}{dt} $，则有

$$ \begin{bmatrix}\dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\end{bmatrix}=\mathbf{A}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix}+\mathbf{B}\begin{bmatrix}u_{\mathrm{S}}\end{bmatrix} $$

式中 $ A = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{C} \\ -\dfrac{1}{L} & -\dfrac{R}{L} \end{bmatrix} $, $ B = \begin{bmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{L} \end{bmatrix} $

如果令

$$ \dot{\boldsymbol{x}}=[\dot{x}_{1}\quad\dot{x}_{2}]^{\mathrm{T}},\boldsymbol{x}=[\boldsymbol{x}_{1}\quad\boldsymbol{x}_{2}]^{\mathrm{T}},\boldsymbol{v}=[\boldsymbol{u}_{\mathrm{S}}] $$

则有

$$ \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{v} $$

式(7-22)称为状态方程的标准形式。x称为状态向量，v称为输入向量，上列方程有时称为向量微分方程。

从对上述电路列写状态方程的过程不难看出，要列出包括 $ \frac{\mathrm{du}_{C}}{\mathrm{d}t} $项的方程，必须对只接有一个电容的结点写出KCL方程，而要列出包含 $ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t} $项的方程，必须对只包含一个电感的回路列写KVL方程。对于不太复杂的电路，可以用直观编写法。

例 7—17 电路如图 7—45 所示，试列出该电路的状态方程。

解 对结点 $ ^{①} $列出KCL方程

$$ C\;\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}=i_{L_{1}}-i_{L_{2}} $$

再分别对回路1和回路2列出KVL方程

$$ \left\{\begin{aligned}{}&{{}L_{1}\frac{\mathrm{d}i_{L_{1}}}{\mathrm{d}t}=-u_{C}-R_{1}i_{L_{1}}+u_{\mathrm{S}}}\\ {}&{{}L_{2}\frac{\mathrm{d}i_{L_{2}}}{\mathrm{d}t}=u_{C}-R_{2}(i_{L_{2}}+i_{\mathrm{S}})}\\ \end{aligned}\right. $$

整理以上方程并整理成矩阵形式有

$$ \left[\begin{aligned}&\frac{\mathrm{d}u_{c}}{\mathrm{d}t}\\&\frac{\mathrm{d}i_{L_{1}}}{\mathrm{d}t}\\&\frac{\mathrm{d}i_{L_{2}}}{\mathrm{d}t}\end{aligned}\right]=\left[\begin{matrix}0&\frac{1}{C}&-\frac{1}{C}\\-\frac{1}{L_{1}}&-\frac{R_{1}}{L_{1}}&0\\\frac{1}{L_{2}}&0&-\frac{R_{2}}{L_{2}}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}u_{c}\\i_{1}\\i_{2}\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}0&0&\\\frac{1}{L_{1}}&0&\\0&-\frac{R_{2}}{L_{2}}&\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}u_{s}\\i_{s}\end{matrix}\right] $$

在列写包含 $ \frac{du_{C}}{dt} $或 $ \frac{di_{L}}{dt} $的方程时，有时可能出现非状态变量，如例7-20中电阻 $ R_{1} $、 $ R_{2} $上的电压，这需要用状态变量表示它们，这个过程称为消去非状态变量的过程。

在实际应用中，如果需要以结点电压为输出，这就要导出结点电压与状态变量之间的关系。在线性电路中，结点电压可表示为状态变量与输入激励的线性组合，如上例中，若要以结点①、②的电压作为输出，则有

$$ \begin{aligned}{u_{\mathrm{n l}}}&{{}=u_{C}}\\ {u_{\mathrm{n2}}=}&{{}\left(i_{L_{2}}+i_{\mathrm{S}}\right)R_{2}}\\ \end{aligned} $$

整理并写成矩阵形式有

$$ \left[\begin{matrix}{u_{\mathsf{n}1}}\\ {u_{\mathsf{n}2}}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{1}&{0}\\ {0}&{R_{2}}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{u_{C}}\\ {i_{L_{2}}}\\ \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}{0}&{0}\\ {0}&{R_{2}}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{u_{S}}\\ {i_{S}}\\ \end{matrix}\right] $$

这种联系电路中某些感兴趣的量（此例中为结点电压）与状态变量和输入量之间的关系式称为电路的输出方程。输出方程的一般形式为

$$ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{D}\boldsymbol{v} $$

式中 y 为输出向量，x 为状态变量，v 为输入向量，C 和 D 为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵。

通过上例可以看出，对于不太复杂的电路可以用直观的方法来写出其状态方程，但如果电路比较复杂，则必须借助网络图论的知识，用系统的编写方法编写状态方程。至于状态方程的求解可参阅有关系统理论的书籍，这里不再介绍了。

$ ^{*} $§7-11 动态电路时域分析中的几个问题

1. 动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系

在§7-1曾提到，在一般情况下，电路微分方程的阶数与电路动态元件的个数相等，严格讲应是电路微分方程的阶数与该电路中所包含的独立动态元件的个数相等。所谓独立动态元件，就是指各电容的电压不能根据KVL用其他电容电压和电压源表示出来；各电感的电流不能根据KCL用其他电感的电流和电流源表示出来。如图7-46(a)中电容C与电压源构成了回路， $ u_{c}=u_{s}(t) $，图7-46(b)中电感与电流源串联， $ i_{L}=i_{s}(t) $。同样图7-47(a)中有由 $ C_{1} $， $ C_{2} $， $ C_{3} $与电压源 $ u_{s} $构成的回路，图7-47(b)中有由 $ L_{1} $， $ L_{2} $与电流源构成的结点。因此相应的动态元件中必有非独立动态元件。

一般来说，把由纯电容元件或电容与电压源构成的回路称为纯电容回路，每个纯电容回路必有一个非独立电容；把由纯电感元件或电感与电流源构成的结点（或第十五章中的割集），称为纯电感结点（或割集），每个纯电感结点（或割集）中必有一个非独立电感。正因为如此，图7-46(a)、(b)所示电路并非一阶电路而是零阶电路，图7-47(a)所示电路是三阶电路，图7-47(b)所示电路为一阶电路。

如果电路参数间有一定关系时，电路微分方程的阶数也可以比参数间没有一定关系时要低。

从对微分方程阶数与动态元件个数之间关系的分析中还可以进一步理解微分方程特征根(电路固有频率)与动态元件个数及参数之间的关系。

2. 动态电路中初始值的计算

§7-1 中已介绍过，对于通常遇到的电路，初始值由下面两个简单关系确定：

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{u}_{C}\left(\boldsymbol{0}_{+}\right)&=\boldsymbol{u}_{C}\left(\boldsymbol{0}_{-}\right)\\i_{L}\left(\boldsymbol{0}_{+}\right)&=i_{L}\left(\boldsymbol{0}_{-}\right)\end{aligned} $$

但在某些情况下， $ u_{C}(0_{+}) \neq u_{C}(0_{-}) $， $ i_{L}(0_{+}) \neq i_{L}(0_{-)} $，例如§7-8叙述的电路中有冲激激励时，电容电压或电感电流会发生跃变。另外，把未充过电的电容与独立电压源骤然接通，电容上电压必然要跃变；把原先未具有磁场能量的电感与独立电流源骤然接通，电感中电流也必然要跃变。这时电容中电场能量和电感中磁场能量也将跃变，电容和电感所吸收的功率都将无限大，而独立电压源和独立电流源都是理想元件，设想它们可以发出无限大的功率，因此并不矛盾。可以证明，仅当电容上电压值 $ u_{C}(0_{-}) $ 和电感中电流值 $ i_{L}(0_{-}) $ 不满足换路后的电路方程时，才有 $ u_{C}(0_{+}) \neq u_{C}(0_{-}) $， $ i_{L}(0_{+}) \neq i_{L}(0_{-}) $。有两种不相容的情况：(1) 换路后的电路有纯电容构成的回路，或有由电容和独立电压源构成的回路，且回路中各电容上电压值 $ u_{Ck}(0_{-}) $ 与各电压源电压的初始值的代数和不等于零，即电容上的电压如不跃变，在 $ t=0_{+} $ 时刻，该回路的电压将不能满足 KVL；(2) 换路后的电路有纯电感构成的结点（或割集）或有由电感和独立电流源构成的结点（或割集），且结点处各电感的电流值 $ i_{Lk}(0_{-}) $ 与电流源电流的初始值的代数和不等于零，即电感中的电流如不跃变，在 $ t=0_{+} $ 时刻，该结点（或割集）处的电流将不能满足 KCL。在上述两种情况下，要想求得初始值，必须遵循换路前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即

$$ \begin{array}{r}{\sum q_{k}\left(\mathbf{0}_{+}\right)=\sum q_{k}\left(\mathbf{0}_{-}\right)}\end{array} $$

或

$$ \begin{array}{r}{\sum C_{k}u_{C k}\left(\mathbf{0}_{+}\right)=\sum C_{k}u_{C k}\left(\mathbf{0}_{-}\right)}\end{array} $$

$$ \textstyle\sum\Psi_{k}\left(0_{+}\right)=\sum\Psi_{k}\left(0_{-}\right) $$

或

$$ \begin{array}{r}{\sum L_{k}i_{l,k}\left(\mathbf{0}_{+}\right)=\sum L_{k}i_{l,k}\left(\mathbf{0}_{-}\right)}\end{array} $$

例 7-18 （1）计算图 7-48(a) 所示电路中各电容在开关闭合后电压的初始值；（2）计算图 7-48(b) 所示的电路中各电感在开关断开后电流的初始值。

解（1）开关闭合前

$$ u_{C_{1}}\left(0_{-}\right)=u_{C_{2}}\left(0_{-}\right)=0 $$

开关闭合后，t=0，时，根据KVL应有

$$ u_{C_{1}}\left(0_{+}\right)+u_{C_{2}}\left(0_{+}\right)=U_{\mathrm{s}} $$

故 $ t=0 $ 时电容上电压值不满足换路后的电路方程，因而电容上电压应跃变。由于式(7-23b)相应于KCL，电容上电荷重新分配引起的电流应遵循KCL方程中关于正负号的规定。所以，在图7-48(a)所示电容电压参考方向下，根据换路前后瞬间电容上电荷守恒有

$$ C_{1}u_{C_{1}}(0_{+})-C_{2}u_{C_{2}}(0_{+})=C_{1}u_{C_{1}}(0_{-})-C_{2}u_{C_{2}}(0_{-}) $$

与上述的 $ u_{C_{1}}(0_{+}) + u_{C_{2}}(0_{+}) = U_{S} $ 联立，则可解得

$$ \begin{aligned}{u_{C_{1}}\left(0_{+}\right)}&{{}=\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}U_{\mathrm{S}}}\\ {u_{C_{2}}\left(0_{+}\right)}&{{}=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}U_{\mathrm{S}}}\\ \end{aligned} $$

（2）在开关断开前

$$ i_{L_{1}}\left(0_{+}\right)=0\quad i_{L_{2}}\left(0_{-}\right)=\frac{U_{\mathrm{s}}}{R_{2}} $$

换路后应有 $ i_{L_{1}}(0_{+})=i_{L_{2}}(0_{+}) $，故电感中电流应跃变。由于式(7-24b)相应于

KVL，电感中电流变化引起的电压应遵循KVL方程中关于正负号的规定。所以，在图7-48(b)所示电感电流参考方向下，根据换路前后瞬间电感中磁通链守恒有

$$ L_{1}i_{L_{1}}\left(\mathbf{0}_{+}\right)+L_{2}i_{L_{2}}\left(\mathbf{0}_{+}\right)=L_{1}i_{L_{1}}\left(\mathbf{0}_{-}\right)+L_{2}i_{L_{2}}\left(\mathbf{0}_{-}\right)=L_{2}\bullet\frac{U_{\mathrm{s}}}{R_{2}} $$

与上述 $ i_{L_{1}}(0_{+})=i_{L_{2}}(0_{+}) $联立，解得

$$ i_{L_{1}}\left(\mathbf{0}_{+}\right)=i_{L_{2}}\left(\mathbf{0}_{+}\right)=\frac{L_{2}}{L_{1}+L_{2}}\cdot\frac{U_{\mathrm{s}}}{R_{2}} $$

3. 非齐次微分方程特解的计算

在本章中已重点研究了直流激励的一阶电路和二阶电路，其特解取 $ t \to \infty $ 时的稳态解。在一般情况下，如何计算特解呢？

由于特解具有任意性，它只要满足电路对应的非齐次方程即可。因此，从数学角度看，可根据激励函数的特点，假定一个形式与激励函数形式相同的特解，将其代入方程，经过比较方程两边的对应项系数，即可得到所需特解。例如，激励为阶跃函数，特解可假定为一常数；若激励为指数函数，特解可假定为一个指数函数；若激励为正弦函数，特解可假定为一个与激励同频率的正弦函数（用第九章介绍的相量法求正弦稳态解做特解更为简单方便）；若激励是一个关于 t 的多项式形式，则特解可假定为一个同阶的 t 的多项式，等等。

以上是关于动态电路用经典法求解时通常会遇到的几个问题。而当电路结构复杂，激励形式不仅是直流时，采用经典法从数学计算角度看就有些繁难。因此，采用第十四章介绍的拉普拉斯变换法求解线性动态电路将是一个重要而有效的方法。学习时将这两章内容有机地结合起来，会进一步加深对问题的理解。

——习题——

7-1 题 7-1 图(a)、(b)所示电路中开关 S 在 t=0 时动作，试求电路在 $ t=0_{+} $ 时刻电压、电流的初始值。

7-2 题 7-2 图所示各电路中开关 S 在 t=0 时动作，试求各电路在 $ t=0_{+} $ 时刻的电压、电流。已知题 7-2 图(d) 中的 $ e(t)=100\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{3}\right)\mathrm{V}, u_{C}(0_{-})=20\mathrm{~V} $

7-3 电路如题7-3图所示，开关未动作前电路已达稳态，t=0时开关S打开。求 $ u_{C}(0_{+}) $、 $ i_{L}(0_{+}) $、 $ \frac{du_{C}}{dt}\bigg|_{0_{+}} $、 $ \frac{di_{L}}{dt}\bigg|_{0_{+}} $、 $ \frac{di_{R}}{dt}\bigg|_{0_{+}} $。

7-4 电路如题7-4图所示，开关S原在位置1已久，t=0时合向位置2，求 $ u_{C}(t) $ 和 $ i(t) $。

7-5 题 7-5 图中开关 S 在位置 1 已久，t=0 时合向位置 2，求换路后的 $ i(t) $ 和

$ u_{L}(t)_{0} $

7-7 题7-7图所示电路中，已知电容电压 $ u_{c}(0_{-})=10\ V $, t=0 时开关 S 闭合，求 $ t \geqslant 0 $ 时电流 $ i(t) $。

78 题 7-8 图所示电路开关原合在位置 1, t=0 时开关由位置 1 合向位置 2, 求 $ t \geqslant 0 $ 时电感电压 $ u_{L}(t) $。

7-9 题 7-9 图所示电路中，若 t=0 时开关 S 打开，求 $ u_{C} $ 和电流源发出的功率。

7 10 题 7−10 图所示电路中开关 S 闭合前，电容电压 $ u_{c} $ 为零。在 t=0 时 S 闭

合，求 t>0 时的 $ u_{C}(t) $ 和 $ i_{C}(t) $。

7-11 题 7-11 图所示电路中开关 S 打开前已处稳定状态。t=0 开关 S 打开，求 $ t \geqslant 0 $ 时的 $ u_{L}(t) $ 和电压源发出的功率。

7 12 题 7-12 图所示电路中开关闭合前电容无初始储能, t=0 时开关 S 闭合, 求 $ t \geqslant 0 $ 时的电容电压 $ u_{C}(t) $。

7 13 题 7-13 图所示电路, 已知 $ u_{C}(0_{-})=0 $, t=0 时开关闭合, 求 $ t \geqslant 0 $ 时的电压 $ u_{C}(t) $ 和电流 $ i_{C}(t) $。

7-14 题 7-14 图所示电路, 已知 $ i_{L}(0_-) = 0 $, t = 0 时开关闭合, 求 $ t \geq 0 $ 时的电流 $ i_L(t) $ 和电压 $ u_L(t) $。

7-15 题 7-15 图所示电路中 $ e(t)=\sqrt{2}\,220\cos\left(314t+30^{\circ}\right)\,\mathrm{V}, t=0 $ 时合上开关 S。求：

(1) $ u_{c} $;

(2) $ u_{C}(0_{-}) $为何值时，瞬态分量为零？

7-16 题 7-16 图所示电路中直流电压源的电压为 24 V，且电路原已达稳态，t=0 时合上开关 S，求：

（1）电感电流 $ i_{L} $

(2) 直流电压源发出的功率。

7-17 题 7-17 图所示电路中开关打开以前电路已达稳态, t=0 时开关 S 打开。求 $ t \geqslant 0 $ 时的 $ i_{C}(t) $，并求 t=2ms 时电容的能量。

7-18 题 7-18 图所示电路中各参数已给定，开关 S 打开前电路为稳态。t=0 时开关 S 打开，求开关打开后电压 u(t)。

7-19 题 7-19 图所示电路开关原合在位置 1，已达稳态。t=0 时开关由位置 1 合向位置 2，求 $ t \geqslant 0 $ 时电容电压 $ u_{C}(t) $。

7-20 题 7-20 图所示电路，开关合在位置 1 时已达稳定状态，t=0 时开关由位置

1 合向位置 2，求 $ t \geqslant 0 $ 时的电压 $ u_{L} $

7-21 题 7-21 图所示电路中，电容原先已充电， $ u_{C}(0_{-})=6\ V, R=2.5\ \Omega, L=0.25\ H, C=0.25\ F $ 。试求：

(1) 开关闭合后的 $ u_{C}(t) $、 $ i(t) $;

（2）使电路在临界阻尼下放电，当 L 和 C 不变时，电阻 R 应为何值？

7 22 题 7−22 图所示电路中开关 S 闭合已久，t=0 时 S 打开。求 $ u_{C} $、 $ i_{L} $。

7-23 题 7-23 图所示电路在开关 S 打开之前已达稳态；t=0 时，开关 S 打开，求 t>0 时的 $ u_{C} $ 。

7-24 电路如题7-24图所示，t=0时开关S闭合，设 $ u_{C}(0_{-})=0,i(0_{-})=0,L=1\mathrm{~H},C=1\mu\mathrm{F},U=100\mathrm{~V} $。若(1)电阻 $ R=3\mathrm{~k}\Omega $;(2) $ R=2\mathrm{~k}\Omega $;(3) $ R=200\Omega $，试分别求在上述电阻值时电路中的电流i和电压 $ u_{C} $。

7-25 题 7-25 图所示电路中 $ R = 3 \, \Omega, L = 6 \, \text{mH}, C = 1 \, \mu\text{F}, U_0 = 12 \, \text{V} $，电路已处稳态。设开关 S 在 t = 0 时打开，试求 $ u_L(t) $。

7-26 题 7-26 图所示电路在开关 S 动作前已达稳态；t=0 时 S 由 1 接至 2，求 t>0 时的 $ i_{L} $

7-27 题 7-27 图所示电路中，已知 $ i_{S}=10\varepsilon(t) $ A, $ R_{1}=1 $ Ω, $ R_{2}=2 $ Ω, C=1 μF, $ u_{C}(0_{-})=2 $ V, g=0.25 s。求全响应 $ i_{1}(t) $、 $ i_{C}(t) $、 $ u_{C}(t) $。

7-28 题 7-28 图(a)所示电路中的电压 u(t) 的波形如题 7-28 图(b)所示，试求电流 i(t)。

7-29 RC 电路中电容 C 原未充电，所加 u(t) 的波形如题 7-29 图所示，其中 R = 1000 Ω, C = 10 μF。求电容电压 $ u_{C} $，并把 $ u_{C} $

(1) 用分段形式写出：

（2）用一个表达式写出。

7-30 题 7-30 图所示电路中， $ u_{C}(0_{-})=0 $, $ R_{1}=3\ k\Omega $, $ R_{2}=6\ k\Omega $, C=2.5 μF, 试求电路的冲激响应 $ i_{C} $、 $ i_{1} $ 和 $ u_{C} $。

7-31 题 7-31 图所示电路中 $ i_{L}(0_{-})=0, R_{1}=6\ \Omega, R_{2}=4\ \Omega, L=100\ mH $ 。求冲激响应 $ i_{L} $ 和 $ u_{L} $ 。

7-32 题 7-32 图所示电路中电容原未充电，求当 $ i_{S} $ 给定为下列情况时的 $ u_{C} $ 和

$$ i_{C} $$

(1) $ i_s = 25\varepsilon(t) $ mA;

(2) $ i_{S} = \delta(t) $ mA.

7-33 电路如题 7-33 图所示，当：(1) $ i_{S} = \delta(t)A $, $ u_{C}(0_{-}) = 0 $; (2) $ i_{S} = \delta(t)A $, $ u_{C}(0_{-}) = 1\ V $; (3) $ i_{S} = 3\delta(t-2)A $, $ u_{C}(0_{-}) = 2\ V $ 时，试求响应 $ u_{C}(t) $。

734 题 7-34 图所示电路中， $ u_{S1}=\varepsilon(t)\mathrm{V} $， $ u_{S2}=5\varepsilon(t)\mathrm{V} $，试求电路响应 $ i_{L}(t) $。

7-35 题 7-35 图所示电路中，电源 $ u_{S} = [50\varepsilon(t) + 2\delta(t)]V $，求 t > 0 时电感支路的电流 $ i(t) $。

7-36 题 7-36 图所示电路中，G=5 S, L=0.25 H, C=1 F。

求： $ (1) $ $ i_{S}(t)=\varepsilon(t) $ A 时，电路的阶跃响应 $ i_{L}(t) $;

(2) $ i_{S}(t)=\delta(t) $ A时，电路的冲激响应 $ u_{C}(t) $。

7-37 当 $ u_{s}(t) $ 为下列情况时，求题 7-37 图所示电路的响应 $ u_{c} $

(1) $ u_S(t) = 10\epsilon(t) $ V;

(2) $ u_{S}(t)=10\delta(t) $ V.

7 38 已知题 7-38 图(a)电路中， $ u_{S}(t)=\varepsilon(t)\mathrm{V} $，C=2F，其零状态响应为

$$ u_{2}(t)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\mathrm{e}^{-0.25t}\right)\epsilon(t)\mathrm{V} $$

如果用 L=2H 的电感代替电容 C，如题 7-38 图(b) 所示，试求零状态响应 $ u_{2}(t) $。

7年39 题7-39图所示电路中含有理想运算放大器，试求零状态响应 $ u_{C}(t) $，已知 $ u_{i}=5\varepsilon(t)\mathrm{V} $

7-40 题 7-40 图所示电路中含理想运算放大器，且电容的初始电压为零，试分别求：(1) $ u_{i}=U\varepsilon(t)\mathrm{V} $; (2) $ u_{i}=\delta_{u}(t)\mathrm{V} $ 时电路的输出电压 $ u_{o} $

7-41 题 7-41 图所示电路中电感的初始电流为零，设 $ u_{S}(t)=U_{0}e^{-\alpha}\varepsilon(t) $，试用卷积积分求 $ u_{L}(t) $。

7-42 列出题 7-42 图所示电路的状态方程。

若选结点 $ ^{①} $和 $ ^{②} $的结点电压为输出量，写出输出方程。

7-43 电路如题 7-43 图所示，试写出状态方程。

相量法

内容提要___

本章介绍相量法。相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简单易行的方法。主要内容有：复数、正弦量、相量法的基础、电路定律的相量形式。

§8-1 复数

复数及其运算是应用相量法的数学基础。本节仅作简要的介绍。

一个复数有多种表示形式。复数 F 的代数形式为

$$ \boldsymbol{F}=\boldsymbol{a}+j\boldsymbol{b} $$

式中 $ j=\sqrt{-1} $ 为虚单位。a 称为复数 F 的实部，b 称为复数 F 的虚部。复数 F 在复平面上是一个坐标点，常用原点至该点的向量表示，如图 8-1 所示。

根据图8-1，可得复数 F 的三角形式

$$ \boldsymbol{F}=\left|\boldsymbol{F}\right|\left(\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta\right) $$

而复数 F 的指数形式或极坐标形式为

$$ F=\mid F\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}\quad F=\mid F\mid\big/\underline{\theta} $$

式中 $ \left|F\right| $ 为复数的模（值）， $ \theta $ 为复数的辐角，即 $ \theta = \arg F $。 $ \theta $ 可以用弧度或度表示。 $ \left|F\right| $ 和 $ \theta $ 与 a 和 b 之间的关系为

$$ \left|F\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $$

$$ \theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right) $$

$$ a=|F|\cos\theta,b=|F|\sin\theta $$

本书还常用到如下一些复数的概念， $ \mathrm{Re}[F] $ 表示取复数 F 的实部，即

$$ \mathrm{R e}[F]=a $$

Im[F]表示取复数 F 的虚部，即

$$ Im[F]=b $$

$ F^{*} $ 表示复数 F 的共轭复数，即

$$ \boldsymbol{F}^{*}=a-\mathrm{j}b\quad 或 \quad\boldsymbol{F}^{*}=\boldsymbol{F}\angle-\theta $$

下面介绍复数的运算。复数的相加和相减必须用代数形式进行。例如，设

$$ \boldsymbol{F}_{1}=\boldsymbol{a}_{1}+\mathrm{j}\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{F}_{2}=\boldsymbol{a}_{2}+\mathrm{j}\boldsymbol{b}_{2} $$

则

$$ \begin{aligned}F_{1}&\pm F_{2}=(a_{1}+\mathrm{j}b_{1})\pm(a_{2}+\mathrm{j}b_{2})\\&=\left(a_{1}\pm a_{2}\right)+\mathrm{j}(b_{1}\pm b_{2})\end{aligned} $$

复数的相加和相减的运算也可以按平行四边形法在复平面上用向量的相加和相减求得，如图8-2所示。

复数相乘用指数形式比较方便，即

$$ \begin{aligned}{F_{1}F_{2}}&{{}=\mid F_{1}\mid e^{\mathrm{j}\theta_{1}}\mid F_{2}\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta_{2}}}\\ {}&{{}=\mid F_{1}\mid\mid F_{2}\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\theta_{1}+\theta_{2})}}\\ \end{aligned} $$

所以

$$ \left|F_{1}F_{2}\right|=\left|F_{1}\right|\left|F_{2}\right| $$

$$ \arg(F_{1}F_{2})=\arg(F_{1})+\arg(F_{2}) $$

两个复数的相乘，用代数形式有

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{F}_{1}\boldsymbol{F}_{2}&=(\boldsymbol{a}_{1}+\mathrm{j}\boldsymbol{b}_{1})(\boldsymbol{a}_{2}+\mathrm{j}\boldsymbol{b}_{2})\\&=(\boldsymbol{a}_{1}\dot{\boldsymbol{a}_{2}}-\boldsymbol{b}_{1}\boldsymbol{b}_{2})+\mathrm{j}(\boldsymbol{a}_{1}\boldsymbol{b}_{2}+\boldsymbol{a}_{2}\boldsymbol{b}_{1})\end{aligned} $$

复数相除的运算为

$$ \frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{\left|F_{1}\right|\left|\underline{\theta}_{1}\right.}{\left|F_{2}\right|\left|\underline{\theta}_{2}\right.}=\frac{\left|F_{1}\right|}{\left|F_{2}\right|}\frac{\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{\left|\theta_{1}-\theta_{2}\right|} $$

所以

$$ \left|\frac{F_{1}}{F_{2}}\right|=\frac{\left|F_{1}\right|}{\left|F_{2}\right|} $$

$$ \arg\left(\frac{F_{1}}{F_{2}}\right)=\arg(F_{1})-\arg(F_{2}) $$

如用代数形式有

$$ \begin{aligned}\frac{F_{1}}{F_{2}}&=\frac{a_{1}+\mathrm{j}b_{1}}{a_{2}+\mathrm{j}b_{2}}=\frac{\left(a_{1}+\mathrm{j}b_{1}\right)\left(a_{2}-\mathrm{j}b_{2}\right)}{\left(a_{2}+\mathrm{j}b_{2}\right)\left(a_{2}-\mathrm{j}b_{2}\right)}\\&=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{\left(a_{2}\right)^{2}+\left(b_{2}\right)^{2}}+\mathrm{j}\frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{\left(a_{2}\right)^{2}+\left(b_{2}\right)^{2}}\end{aligned} $$

式中 $ a_{2}-jb_{2} $ 为 $ F_{2} $ 的共轭复数 $ F_{2}^{*} $ 。 $ F_{2}F_{2}^{*} $ 的结果为实数，称为有理化运算。

图8-3(a)、(b)为复数乘、除的图解表示，从图上可以看出：复数乘、除表示为模的放大或缩小，辐角表示为逆时针旋转或顺时针旋转。

复数 $ e^{i\theta}=1\left/\theta\right. $ 是一个模等于1，辐角为 $ \theta $ 的复数。任意复数 $ A=\left|A\right|e^{i\theta} $ 乘以 $ e^{i\theta} $ 等于把复数 A 逆时针旋转一个角度 $ \theta $，而 A 的模值不变，所以 $ e^{i\theta} $ 称为旋转因子。

根据欧拉公式，不难得出 $ e^{\frac{j\pi}{2}} = j $， $ e^{-j\frac{\pi}{2}} = -j $， $ e^{j\pi} = -1 $。因此“ $ \pm j $”和“-1”都可以看成旋转因子。例如一个复数乘以 j，等于把该复数在复平面上逆时针旋转 $ \frac{\pi}{2} $；一个复数除以 j，等于该复数乘以 -j，因此等于把它顺时针旋转 $ \frac{\pi}{2} $。

在复数运算中常有两个复数相等的运算。两个复数相等必须满足两个条件，如 $ F_{1}=F_{2} $ 必须有

$$ \mathrm{R e}\left[\mathrm{\ensuremath{F}_{1}}\right]=\mathrm{R e}\left[\mathrm{\ensuremath{F}_{2}}\right]\quad\mathrm{I m}\left[\mathrm{\ensuremath{F}_{1}}\right]=\mathrm{I m}\left[\mathrm{\ensuremath{F}_{2}}\right] $$

或者有

$$ \mid F_{1}\mid=\mid F_{2}\mid\quad\arg(F_{1})=\arg(F_{2}) $$

一个复数方程可以分解为两个实数方程。

例 8-1 设 $ F_{1}=3-j4, F_{2}=10 \angle 135^{\circ} $ 。求 $ F_{1}+F_{2} $ 和 $ \frac{F_{1}}{F_{2}} $

解 求复数的代数和用代数形式

$$ \begin{aligned}F_{2}&=10\ \underline{\/135^{\circ}}=10(\cos\ 135^{\circ}+\mathrm{j}\sin\ 135^{\circ})\\&=-7.07+\mathrm{j}7.07\end{aligned} $$

$$ F_{1}+F_{2}=\left(3-\mathrm{j}4\right)+\left(-7.07+\mathrm{j}7.07\right)=-4.07+\mathrm{j}3.07 $$

转换为指数形式有

$$ \arg(F_{1}+F_{2})=\arctan\left(\frac{3.07}{-4.07}\right)=143^{\circ} $$

$$ \left|F_{1}+F_{2}\right|=\frac{-4.07}{\cos143^{\circ}}=\frac{3.07}{\sin143^{\circ}}=5.1 $$

即有

$$ F_{1}+F_{2}=5.1\left/\underline{143}\right.^{\circ} $$

$$ \frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{3-\mathrm{j}4}{-7.07+\mathrm{j}7.07}=\frac{(3-\mathrm{j}4)(-7.07-\mathrm{j}7.07)}{(-7.07+\mathrm{j}7.07)(-7.07-\mathrm{j}7.07)}=-0.495+\mathrm{j}0.071 $$

或者

$$ \frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{3-\mathrm{j}4}{10\ \mathrm{\overline{135}}^{\circ}}=\frac{5\ \mathrm{\overline{135.1}}^{\circ}}{10\ \mathrm{\overline{135}}^{\circ}}=0.5\ \mathrm{\overline{135.1}}^{\circ}=0.5\ \mathrm{\overline{135.1}}^{\circ} $$

§8-2 正弦量

电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。对正弦量的数学描述，可以采用 $ \sin e $ 函数，也可以用 cosine 函数。本书采用 cosine 函数。

图8-4表示一段电路中有正弦电流i，在图示参考方向下，其数学表达式定义如下：

$$ i=I_m\cos(~\omega t+\phi_i)~~~~~~~(8-1) $$

式中的3个常数 $ I_{m} $、 $ \omega $和 $ \phi_{i} $称为正弦量的三要素。

$ I_{m} $称为正弦量的振幅，它是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值，即 $ \cos(\omega t+\phi_{i})=1 $时，有

$$ i_{\mathrm{m a x}}=I_{\mathrm{m}} $$

这也是正弦量的极大值。当 $ \cos\left(\omega t+\phi_{i}\right)=-1 $ 时，将有最小值（也是极小值） $ i_{\min}=-I_{m} $。 $ i_{\max}-i_{\min}=2I_{m} $ 称为正弦量的峰—峰值。

随时间变化的角度 $ \left(\omega t+\phi_{i}\right) $称为正弦量的相位，或称相角。 $ \omega $称为正弦量的角频率，它是正弦量的相位随时间变化的角速度，即

$$ \omega=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\omega t+\phi_{i}) $$

单位为 rad/s（弧度/秒）。它与正弦量的周期 T 和频率 f 之间的关系为

$$ \omega T=2\pi,\omega=2\pi f,f=\frac{1}{T} $$

频率 f 的单位为 1/s(1/秒)，称为 Hz(赫兹，简称赫)。我国工业化生产的电能为正弦电压源，其频率为 50 Hz。工程中还常以频率区分电路，如音频电路、高频电路、甚高频电路等。

$ \phi_{1} $ 是正弦量在 t=0 时刻的相位，称为正弦量的初相位（角），简称初相，即

$$ \left(\omega t+\phi_{i}\right)\big|_{t=0}=\phi_{i} $$

初相的单位用弧度或度表示，通常在主值范围内取值，即 $ \left|\phi_{i}\right| \leqslant 180^{\circ} $。初相与计时零点的选择有关。对任一正弦量，初相是允许任意指定的，但对于同一电路系统中的许多相关的正弦量，只能相对于一个共同的计时零点确定各自的相位。

正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。

正弦量随时间变化的图形称为正弦波。图8-5是正弦电流i的波形图 $ (\phi_{i}>0) $。横轴可以用时间t，也可以用 $ \omega t $ (rad)表示。

正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量。正弦量的这个性质十分重要。

工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为等效的直流量，以衡量和比较周期电流或电压的效应，这一等效的直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表示。如周期量 i 的有效值 I 定义如下：

$$ I\xlongequal{\mathrm{def}}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}\mathrm{d}t} $$

上式表示：周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值的平方根，因此有效值又称为均方根值 $ ^{①} $。上式的定义是周期量有效值普遍适用的公式。当电流i是正弦量时，可以推出正弦量的有效值与正弦量的振幅之间的特殊关系。此时有

$$ I=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}I_{\mathrm{m}}^{2}\cos^{2}(\omega t+\phi_{i})\mathrm{d}t} $$

由于 $ \cos^{2}(\omega t+\phi_{i})=\frac{1+\cos[2(\omega t+\phi_{i})]}{2} $，代入上式后得

$$ I=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}\doteq0.707I_{m} $$

所以正弦量的有效值与其最大值之间有 $ \sqrt{2} $关系，根据这一关系常将正弦量 i 改写成如下的形式：

$$ i=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi_{i}) $$

上式中 $ I, \omega, \phi $ 也可用来表示正弦量的三要素。正弦量的有效值与正弦量的频率和初相无关。工程中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流、电压的数值，交流电压表、电流表显示的数字都是有效值。

电路中常引用“相位差”的概念描述两个同频正弦量之间的相位关系。例如，设两个同频正弦量电流 $ i_{1} $ 、电压 $ u_{2} $ 分别为

$$ i_{1}=\sqrt{2}I_{1}\cos(\omega t+\phi_{i1}) $$

$$ u_{2}=\sqrt{2}U_{2}\cos(\omega t+\phi_{2}) $$

两个同频正弦量的相位差等于它们相位相减的结果。如设 $ \varphi_{12} $ 表示电流 $ i_{1} $ 与电压 $ u_{2} $ 之间的相位差，则有

$$ \varphi_{12}=\left(\omega t+\phi_{_{i1}}\right)-\left(\omega t+\phi_{_{u2}}\right)=\phi_{_{i1}}-\phi_{_{u2}} $$

相位差也是在主值范围内取值。上述结果表明：同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，为一个与时间无关的常数。电路常采用“超(越)前”和“滞(落)后”等概念来说明两个同频正弦量相位比较的结果。

当 $ \varphi_{12}>0 $ 时，称为 $ i_{1} $ 超前 $ u_{2} $; 当 $ \varphi_{12}<0 $ 时，称为 $ i_{1} $ 滞后 $ u_{2} $; 当 $ \varphi_{12}=0 $ 时，称为 $ i_{1} $ 和 $ u_{2} $ 同相；当 $ \left|\varphi_{12}\right|=\frac{\pi}{2} $，称为 $ i_{1} $ 与 $ u_{2} $ 正交；当 $ \left|\varphi_{12}\right|=\pi $，称为 $ i_{1} $、 $ u_{2} $ 彼此反相。

相位差可以通过观察波形来确定，如图8-6所示。在同一个周期内两个波形与横坐标轴的两个交点（正斜率过零点或负斜率过零点）之间的坐标值即为两

者的相位差，先到达零点的为超前波。图中所示为 $ i_{1} $滞后 $ u_{2} $。相位差与计时零点的选取、改变无关。

由于正弦量的初相与设定的参考方向有关，当改设某一正弦量的参考方向时，则该正弦量的初相将改变 $ \pi $，它与其他正弦量的相位差也将相应地改变 $ \pi $。

§8-3 相量法的基础

相量法是分析研究正弦电流电路稳定状态的一种简单易行的方法。它是在数学理论和电路理论的基础上建立起来的一种系统方法。

根据电路的基本定律 VCR、KCL 和 KVL，编写含有储能元件的线性非时变电路的电路方程时，将获得一组常微（积）分方程。现以图 8-7 所示的 RLC 串联电路为例，电路的 KVL 方程为

$$ u_{R}+u_{L}+u_{C}=u_{\mathrm{S}} $$

其中

$$ u_{R}=R i\quad u_{L}=L\;\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\quad u_{C}=\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t $$

将上述元件的 VCR 代入 KVL 方程有

$$ R i+L~\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t=u_{\mathrm{s}} $$

由数学理论可知，当 $ u_{s} $（激励）为正弦量时，上述微分方程中的电流变量 i 的特解（响应的强制分量）也一定是与 $ u_{s} $ 同一频率的正弦量，反之亦然。这一重要结论具有普遍意义，即线性非时变电路在正弦电源激励下，各支路电压、电流的特解都是与激励同频率的正弦量，当电路中存在有多个同频率的正弦激励时，该结

论也成立。工程上将电路的这一特解状态称为正弦电流电路的稳定状态，简称正弦稳态。电路处于正弦稳态时，同频率的各正弦量之间，仅在有效值（或振幅）、初相上存在“差异和联系”，这种“差异和联系”正是正弦稳态分析求解中的关键问题。现以式（8-3）的求解为例，从理论上说明相量法的基础。

若已知式(8-3)中的正弦电源 $ u_{s} $ 为

$$ u_{\mathrm{s}}=\sqrt{2}U_{\mathrm{s}}\cos\left(\omega t+\phi_{u}\right) $$

则电流 i 的特解将是与 $ u_{s} $ 同一频率的正弦量，因此，可设为

$$ i=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi_{i}) $$

式中 $ I,\phi_{i} $ 为待求量。将上述正弦量代入式(8-3)后，则可将微分方程式(8-3)变换为

$$ \begin{aligned}R\sqrt{2}I\cos(\omega t+\phi_{i})-\omega L\sqrt{2}I\sin(\omega t+\phi_{i})+\frac{1}{\omega C}\sqrt{2}I\sin(\omega t+\phi_{i})\\=\sqrt{2}U_{s}\cos(\omega t+\phi_{u})\end{aligned} $$

上述方程说明，正弦稳态电路方程是一组同频正弦函数描述的代数方程，电路基本定律所涉及的正弦电流、电压的运算，不会改变电压、电流同频正弦量的性质，即正弦量乘常数（Ri），正弦量的微分（ $ u_{L} $）、正弦量的积分（ $ u_{C} $）和同频正弦量的代数和（KCL、KVL）等运算，其结果仍是同频的正弦量，这就验证了前述的结论。可以看出，各同频正弦电压、电流之间，在有效值（振幅）、初相上的“差异和联系”寓于正弦函数描述的电压、电流表达式及电路方程中。无疑，求解和分析同频正弦函数所描述的电路方程，将能获得正确的结果或结论，但这一方法对于复杂电路将显得非常繁琐，使分析求解相当困难。根据欧拉公式，可将正弦函数用复指数函数表示，如前所述的正弦量 $ u_{S} $ 和 i 可表示为

$$ \begin{aligned}{u_{\mathrm{s}}}&{{}=\frac{1}{2}\big[\;U_{\mathrm{s m}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\omega t+\phi_{_{u}}\right)}+U_{\mathrm{s m}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(\omega t+\phi_{_{u}}\right)}\;\big]}\\ {i}&{{}=\frac{1}{2}\big[\;I_{\mathrm{m}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\omega t+\phi_{_{i}}\right)}+I_{\mathrm{m}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(\omega t+\phi_{_{i}}\right)}\;\big]}\\ \end{aligned} $$

上述变换表明，一个正弦量可以分解为一对共轭的复指数函数。根据叠加定理和数学理论，只要对其中一个分量进行分析求解，就能写出全部结果。如取分量 $ U_{\mathrm{sm}} \mathrm{e}^{(\omega t + \phi_{u})} (\text{激励}) $，则对应的响应分量为 $ I_{\mathrm{m}} \mathrm{e}^{(\omega t + \phi_{i})} $，代入式(8-3)，注意到 $ I_{m} = \sqrt{2} I $ 和 $ U_{sm} = \sqrt{2} U_{s} $，经整理后有

$$ R I\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{i}}+\mathrm{j}\omega L I\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{i}}-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}I\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{i}}=U_{\mathrm{s}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{u}} $$

由上述代数方程求得

$$ I\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{i}}=\frac{U_{s}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{u}}}{R+\mathrm{j}\omega L-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}} $$

该结果用复数形式表述了正弦量 i 除频率 $ \omega $ 外的另两个要素 I（有效值）和 $ \phi_{i} $（初相），因此，根据正弦量的 3 个要素就可以直接写出正弦量 i 的表达式。这表明方程式（8-5）在理论上和实际上已足以满足正弦稳态分析的需要，不需要再求解另一分量的结果按欧拉公式写出正弦量 i。

上述变换只是数学形式的变换，与式(8-4)相比，并无实质性的区别，但在形式上实现了非常有益的转换，它将与时间有关的同频的正弦函数的电路方程转换为与时间无关的复代数形式的电路方程。更重要的是，它将正弦稳态中全部同频的正弦电压、电流转换为由各正弦量的有效值和初相组合成的复数表示，如 $ I e^{i\phi_{1}} $、 $ U_{s} e^{i\phi_{2}} $，使同频的各正弦量在有效值、初相上的“差异和联系”，在电路方程中表述得更清晰、更直观和更简单，这将大大简化对正弦稳态的表述和分析求解的过程。

电路理论中将式(8-5)中与正弦量 $ u_{s} $、i 关联的复数 $ U_{s}e^{j\phi_{x}} $ 和 $ I e^{j\phi_{y}} $ 定义为正弦量 $ u_{s} $、i 对应的相量，并用对应的带“·”（点）符号的大写字母表示，如上述的正弦电压 $ u_{s} $ 和正弦电流 i 对应的相量表示分别为

$$ \begin{aligned}\dot{U}_{\mathrm{s}}&\xlongequal{\mathrm{def}}U_{\mathrm{s}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{u}}=U_{\mathrm{s}}\underline{\left/\phi_{u}\right.}\\ \dot{I}&\xlongequal{\mathrm{def}}I\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{i}}=I\underline{\left/\phi_{i}\right.}\end{aligned} $$

即正弦量的对应相量是一个复数，它的模为正弦量的有效值，它的辐角为正弦量的初相。式中 $ \dot{U}_{s} $、 $ \dot{I} $ 中的“·”（点）号，既表示这一复数与正弦量关联的特殊身份，以区别于一般的复数，同时也表示区别于正弦量的有效值。正弦量对应的相量可直接根据上述定义写出。相量在复平面上表示的图形称为相量图，如图8-8所示为正弦电压 $ u_{s} $ 对应的相量 $ \dot{U}_{s} $ 的相量图。

电路中有时也用正弦量的振幅表示相量的模，称为振幅相量，如有

$$ \begin{aligned}\dot{U}_{\mathrm{sm}}&\xlongequal{\mathrm{def}}U_{\mathrm{sm}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{u}}=U_{\mathrm{sm}}\underline{\left/\phi_{u}\right.}\\ \dot{I}_{\mathrm{m}}&\xlongequal{\mathrm{def}}I_{\mathrm{m}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{i}}=I_{\mathrm{m}}\underline{\left/\phi_{i}\right.}\end{aligned} $$

学习时要注意两者的区别。

本节的论述，仅从理论上向读者展示相量法的“来龙去脉”，以利于学习掌握。下一节将在此基础上加以归纳总结，系统构建电路基本定律的

相量形式，可不经变换直接获得所需要的相量（复数）形式的电路方程。

例8-2 写出下列正弦电流对应的相量

$$ i_{1}=14.14\mathrm{c o s}(314t+30^{\circ})\mathrm{A} $$

$$ i_{2}=-14.14\mathrm{s i n}(10^{3}t-60^{\circ})\mathrm{A} $$

解 本书根据国家标准，统一用 cosine 函数表示正弦量。因此，电流 $ i_{2} $ 的表达式应改写为

$$ \begin{aligned}i_{2}&=-14.14\mathrm{cos}(10^{3}t-60^{\circ}-90^{\circ})\mathrm{A}\\&=-14.14\mathrm{cos}(10^{3}t-150^{\circ})\mathrm{A}\end{aligned} $$

电流相量可按定义直接写出

$$ \dot{I}_{1}=\frac{14.14}{\sqrt{2}}\underline{/30^{\circ}}\mathrm{A}=10\ \underline{/30^{\circ}}\mathrm{A} $$

$$ \dot{I}_{2}=\frac{-14.14}{\sqrt{2}}\underline{/-150^{\circ}}\mathrm{A}=10\underline{/30^{\circ}}\mathrm{A} $$

相量与正弦量之间不是相等的关系，因此，下面的写法是错误的

$$ i_{1}=14.14\cos(314t+30^{\circ})\mathrm{A}=10\angle30^{\circ}\mathrm{A} $$

相量与频率无关。由相量反求正弦量的表达式时必须知道 $ \omega $ 才能写出。本例中 $ \dot{I}_{1} = \dot{I}_{2} $ 没有实际意义，因为相量之间所表示的运算关系只能在同频的正弦量中使用。

例 8-3 求例 8-2 中正弦电流 $ i_{1}, i_{2} $ 的微分及其相量。

解 正弦电流 $ i_{1}, i_{2} $ 微分的时域形式的结果为

$$ y_{1}=\frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}=-10\sqrt{2}\times314\mathrm{s i n}(314t+30^{\circ})=10\sqrt{2}\times314\mathrm{c o s}(314t+30^{\circ}+90^{\circ}) $$

$$ y_{1}=\frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}=-10\sqrt{2}\times10^{3}\cos(10^{3}t-60^{\circ})=10\sqrt{2}\times10^{3}\cos(10^{3}t-60^{\circ}+180^{\circ}) $$

微分结果是与原函数同频的正弦量，直接根据正弦量表达式写出其相量，但正弦量必须转换为 cosine 函数表示。 $ y_{1} $、 $ y_{2} $ 对应的有效值相量分别为

$$ \dot{Y}_{1}=3\ 140\ \underline{\backslash120^{\circ}}=\mathrm{j}\omega_{1}\ \dot{I}_{1} $$

$$ \dot{Y}_{2}=10^{4}\;\underline{{/120^{\circ}}}=\mathrm{j}\omega_{2}\dot{I}_{2} $$

本例表明，正弦量的微分是与原正弦量同频率的，其对应的相量等于原正弦量 $ i_{1} $（或 $ i_{2} $）对应的相量 $ \dot{I}_{1} $（或 $ \dot{I}_{2} $）乘以 $ j\omega_{1} $（或 $ j\omega_{2} $）。

8 -4 电路定律的相量形式

在上一节的理论叙述中，已经得到一个重要的结论，即在线性非时变的正弦稳态电路中，全部电压、电流都是同一频率的正弦量。本节将在此基础上，直接用相量通过复数形式的电路方程描述电路的基本定律VCR、KCL和KVL，称为电路定律的相量形式。

KCL 的相量形式：

对电路中任一结点有

$$ i_{1}+i_{2}+i_{3}+\cdots+i_{k}+\cdots=0\qquad 或 \textstyle\sum i=0 $$

当式中的电流全部都是同频率的正弦量时，则可变换为相量形式为

$$ \dot{I}_{1}+\dot{I}_{2}+\dot{I}_{3}+\cdots+\dot{I}_{k}+\cdots=0\qquad 或 \textstyle\sum\dot{I}=0 $$

即任一结点上同频的正弦电流的对应相量的代数和为零。

KVL 的相量形式：

对电路中任一回路有

$$ u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots+u_{k}+\cdots=0\qquad 或 \textstyle\sum u=0 $$

当式中的电压全都是同频的正弦量时，可变换成相量形式为

$$ \dot{U}_{1}+\dot{U}_{2}+\dot{U}_{3}+\cdots+\dot{U}_{k}+\cdots=0\quad 或 \sum\dot{U}=0 $$

即任一回路中同频的正弦电压的对应相量的代数和为零。

电阻、电感和电容元件的 VCR 的相量形式：

对于图8-9(a)所示电阻R，当有正弦电流 $ i_{R}=\sqrt{2}I_{R}\cos(\omega t+\phi_{i}) $通过时，根据欧姆定律，电压-电流的时域关系为

$$ u_{R}=R i_{R}=\sqrt{2}R I_{R}\cos(\omega t+\phi_{i}) $$

说明电阻上的电压、电流都是同频的正弦量。令电压相量为 $ \dot{U}_{R}=U_{R}\frac{\dot{\phi}_{u}}{\dot{\phi}_{u}} $，则相量形式有

$$ \begin{aligned}\dot{U}_{R}&=RI_{R}\underline{\big/}\phi_{i}=R\dot{I}_{R}\quad&( 或 \dot{I}_{R}=G\dot{U}_{R})\\&\ddot{U}_{R}=RI_{R}\quad&( 或 I_{R}=GU_{R})\\&&\phi_{u}=\phi_{i}\end{aligned} $$

它们的有效值仍符合欧姆定律，而辐角相等，即电压、电流同相。图8-9(b)为电阻的相量模型，图8-9(c)是其电压、电流的相量图，它们在同一个方向的直线上(相位差为零)。

对于图8-10(a)所示的电感L中，当有正弦电流 $ i_{L}=\sqrt{2}I_{L}\cos(\omega t+\phi_{i}) $通过时，根据电感的电压-电流的时域关系有

$$ \begin{aligned}u_{L}=L\ \frac{\mathrm{d}i_{L}}{\mathrm{d}t}=-\sqrt{2}\omega LI_{L}\sin(\omega t+\phi_{i})\\=\sqrt{2}\omega LI_{L}\cos(\omega t+\phi_{i}+90^{\circ})\end{aligned} $$

说明电感 L 上的电压、电流为同频正弦量。令电压相量为 $ \dot{U}_{L}=U_{L}\frac{\dot{\phi}_{u}}{\rho} $， $ u_{L} $ 的表达式变换后的相量形式为

$$ \dot{U}_{L}=j\omega L\dot{I}_{L} $$

$$ U_{L}=\omega LI_{L} $$

$$ \phi_{u}=\phi_{i}+90^{\circ} $$

电压、电流有效值之间的关系类似于欧姆定律，但与角频率 $ \omega $ 有关，其中与频率成正比的 $ \omega L $ 具有与电阻相同的量纲 $ [\Omega] $，称为感抗，这样命名表示它与电阻有本质上的差别， $ -\frac{1}{\omega L} $ 称为感纳，电感 L 上的电压将跟随频率变化，当 $ \omega = 0 $ 时（直流）， $ \omega L = 0 $， $ u_L = 0 $，电感相当于短路。当 $ \omega = \infty $ 时， $ \omega L \to \infty $，i = 0，电感相当于开路，在相位上电压超前电流 $ 90^\circ $。图 8-10（b）是电感的相量模型，图 8-10（c）是电感电压、电流的相量图。

对于图8-11(a)所示的电容C，它的电压、电流关系的相量形式与电感L 类似。当有正弦电流 $ i_{C}=\sqrt{2}I_{C}\cos(\omega t+\phi_{i}) $通过时，其时域形式的关系为

$$ u_{c}=\frac{1}{C}\int i_{c}\mathrm{d}t=\sqrt{2}\frac{1}{\omega C}I_{c}\sin(\omega t+\phi_{i}) $$

说明电容上的电压、电流为同频的正弦量，电压、电流关系的相量形式为

$$ \begin{aligned}\dot{U}_{c}&=-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}\dot{I}_{c}\\U_{c}&=\frac{1}{\omega C}I_{c}\end{aligned} $$

$$ \phi_{u}=\phi_{i}-90^{\circ} $$

电压、电流有效值之间的关系类似于欧姆定律，但与频率 $ \omega $ 有关，式中与频率成反比的 $ -\frac{1}{\omega C} $ 具有与电阻相同的量纲 $ [\Omega] $，称为容抗， $ \omega C $ 称为容纳。电容电压将随频率变化而变化，当 $ \omega = 0 $（直流）时， $ \frac{1}{\omega C} = \infty $， $ i_C = 0 $，电容相当于开路。当 $ \omega = \infty $ 时， $ \frac{1}{\omega C} \to 0 $， $ u_C = 0 $，电容相当于短路。在相位上，电流超前电压 $ 90^\circ $。图 8-11(b)、(c) 分别是电容的相量模型和电压、电流的相量图。

如果(线性)受控源的控制电压或电流是正弦量，则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。现以图8-12(a)的VCCS为例说明，此时有

相量形式为

$$ i_{j}=g u_{k} $$

$$ \dot{I}_{j}=g\dot{U}_{k} $$

图8-12(b)为其相量形式的电路图（其他形式的受控源与其类似）。

用复数代数方程描述电路定律的相量形式(略去变换过程)是相量法体系的基础，其中VCR的相量形式对正确应用相量法十分重要，不仅要用到电阻、感

抗和容抗，或者电导、感纳和容纳等概念，而且要特别注意电压、电流之间的相位差。

例 8-4 图 8-13(a) 所示电路中， $ i_{S}=5\sqrt{2}\cos(10^{3}t+30^{\circ})A,R=30\Omega $ $ L=0.12\ H,C=12.5\ \mu F $，求电压 $ u_{ad} $ 和 $ u_{bd} $

解 为了帮助理解和避免错误，可根据原电路图画出对应的相量模型，它是将时域中的正弦电压、电流用相量标记，电路中的电感、电容元件根据 VCR 的相量形式分别用复数形式的感抗 $ \mathrm{j}\omega L $ 和容抗 $ \frac{1}{\mathrm{j}\omega C} $ 标记，而其他与原电路图相同。根据相量形式的电路图就可以直接写出相量形式的电路方程。

图 8-13(a) 所示电路相对应的相量形式的电路图如图 8-13(b) 所示。图中 $ \dot{I}_{s}=5\ \frac{30^{\circ}}{} $A, $ \mathrm{j}\omega L=j120\Omega $, $ -\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}=-\mathrm{j}80\Omega $。

根据元件的 VCR 的相量形式有

$$ \dot{U}_{R}=R\ \dot{I}=150\ \frac{}{}\underline{30^{\circ}}\mathrm{V}\quad( 与 \ \dot{I}_{s} 相同 ) $$

$$ \dot{U}_{L}=j\omega L\ I=600\ \frac{\sqrt{120^{\circ}}}{\mathrm{V}}\mathrm{V}\quad( 超前 \ I_{s}90^{\circ}) $$

$$ \dot{U}_{c}=-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}\dot{I}=400\mathrm{\angle-60^{\circ}}\mathrm{V}\quad( 滞后 \;\dot{I}_{s}90^{\circ}) $$

根据 KVL, 有

$$ \dot{U}_{\mathrm{bd}}=\dot{U}_{L}+\dot{U}_{C}=(600\ \underline{120^{\circ}}+400\ \underline{-60^{\circ}})\mathrm{V}=200\ \underline{120^{\circ}}\mathrm{V} $$

$$ \dot{U}_{\mathrm{ad}}=\dot{U}_{R}+\dot{U}_{\mathrm{bd}}=(150~\underline{{30^{\circ}}}+200~\underline{{120^{\circ}}})\mathrm{V}=250~\underline{{83.13^{\circ}}}\,\mathrm{V} $$

所以

$$ u_{\mathrm{b d}}=200\sqrt{2}\mathrm{c o s}(10^{3}t+120^{\circ})\mathrm{V} $$

$$ u_{a d}=250\sqrt{2}\cos(10^{3}t+83.13^{\circ})\mathrm{V} $$

应用相量法分析正弦稳态电路时，其电路方程的相量形式与电阻电路相似，因此，线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析，差别仅在于所得电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而计算则为复数运算。

通过例8-4可以看出，当串联电路中同时有电感、电容时，其结果与电阻电路相比，存在明显的差异，这是因为感抗和容抗不仅与频率的关系彼此相反，而且在串联时有互相抵消的作用。在一定的条件下，电感、电容的电压可能会出现高于总电压的现象，如本例中 $ U_{C} $、 $ U_{L} $都比总电压 $ U_{ad} $高很多，这些现象在电阻串联电路中是不可能出现的。这些特点在学习中要特别注意分析。

图8-13(b)所示的电路相量模型已集数学理论和电路定律于一体，直接用它对电路的正弦稳态响应进行分析研究，自然要方便快捷，而且在方法上完全可以仿照电阻电路。

例8-5 图8-14所示电路中的仪表为交流电流表，其仪表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表 $ A_{1} $的读数为5A，电流表 $ A_{2} $的读数为20A，电流表 $ A_{3} $的读数为25A。求电流表A和 $ A_{4} $的读数。

解 图中各交流电流表的读数就是仪表所在支路的电流相量的模(有效值)，但初相未知。

显然，如果设并联支路的电压相量为参考相量，即令 $ \dot{U}_{s}=U_{s}\angle0^{\circ} $ V 作为参考相量，则根据元件的 VCR 相对 $ \dot{U}_{s} $ 就能很方便地确定这些并联支路中电流的初相。它们分别为

$$ \begin{aligned}&\dot{I}_{1}=5\angle\overline{0^{\circ}}A( 与 \dot{U}_{s} 同相 )\\&\dot{I}_{2}=-j20A( 滞后 \dot{U}_{s}90^{\circ})\\&\dot{I}_{3}=j25A( 超前 \dot{U}_{s}90^{\circ})\\ \end{aligned} $$

根据 KCL，有

$$ \dot{I}=\dot{I}_{1}+\dot{I}_{2}+\dot{I}_{3}=(5+\mathrm{j}5)\mathrm{A}=7.07\angle45^{\circ}\mathrm{A} $$

$$ \dot{I}_{4}=\dot{I}_{2}+\dot{I}_{3}=\mathrm{j}5\mathrm{A}=5\mathrm{~\angle{90}^{\circ}A} $$

所求电流表的读数为

表A:7.07 A; 表A_{4}:5 A

___ 习 题 ___

8-1 将下列复数化为极坐标形式：

(1) $ F_1 = -5 - j5 $; (2) $ F_2 = -4 + j3 $; (3) $ F_3 = 20 + j40 $; (4) $ F_4 = j10 $; (5) $ F_5 = -3 $; (6) $ F_6 = 2.78 - j9.20 $.

82 将下列复数化为代数形式：

(1) $ F_{1} = 10 \angle -73^{\circ} $; (2) $ F_{2} = 15 \angle 112.6^{\circ} $; (3) $ F_{3} = 1.2 \angle 52^{\circ} $; (4) $ F_{4} = 10 \angle -90^{\circ} $; (5) $ F_{5} \approx 5 \angle -180^{\circ} $; (6) $ F_{6} = 10 \angle -135^{\circ} $.

8-3 若 $ 100\angle0^{\circ}+A\angle60^{\circ}=175\angle\varphi $，求 A 和 $ \varphi $。

84 求题8-1中的 $ F_{2}\cdot F_{6} $ 和 $ \frac{F_{2}}{F_{6}} $

8-5 求题 8-2 中的 $ F_{1} + F_{5} $ 和 $ -F_{1} + F_{5} $

8-6 已知 $ F_{1}=|F_{1}|\left/\underline{60}\right., F_{2}=-7.07-j7.07 $ 。求 $ \left|F_{1}+F_{2}\right| $ 最小时的 $ F_{1} $ 。

8-7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为 $ \dot{U}_{1}=50\ \frac{30^{\circ}}{} $ V, $ \dot{U}_{2}=-100\ \frac{-150^{\circ}}{} $ V, 其频率 f=100 Hz。求：

(1) $ u_{1} $、 $ u_{2} $的时域形式；

(2) $ u_{1} $ 与 $ u_{2} $ 的相位差。

8-8 已知一段电路的电压、电流为

$$ u=10\mathrm{s i n}(10^{3}t-20^{\circ})\mathrm{V} $$

$$ i=2\mathrm{c o s}(10^{3}t-50^{\circ})\mathrm{~A~} $$

（1）画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率 f 和周期 T；

（2）写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差；

（3）如把电压 u 的参考方向反向，重新回答(1)、(2)。

8-9 已知题8-9图所示3个电压源的电压分别为

$$ u_{s}=220\sqrt{2}\mathrm{c o s}(\omega t+10^{\circ})\mathrm{V} $$

$$ u_{\mathrm{b}}=220\sqrt{2}\cos(\omega t-110^{\circ})\mathrm{~V~} $$

$$ u_{c}=220\sqrt{2}\mathrm{c o s}(\omega t+130^{\circ})\mathrm{V} $$

求：(1)3个电压的和；(2) $ u_{ab} $， $ u_{bc} $；(3)画出它们的相量图。

8-10 已知题8-10图(a)中电压表读数为 $ V_{1} $:30V, $ V_{2} $:60V;题8-10图(b)中的 $ V_{1} $:15V, $ V_{2} $:80V, $ V_{3} $:100V(电压表的读数为正弦电压的有效值)。求图中电压 $ u_{s} $ 的有效值 $ U_{s} $。

8-11 如果维持例8-5图8-14所示电路中 $ A_{1} $的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A的读数。

8~12 对 RC 并联电路作如下 2 次测量: (1) 端口加 120 V 直流电压 ( $ \omega = 0 $) 时，输入电流为 3 A; (2) 端口加频率为 50 Hz, 有效值为 120 V 的正弦电压时，输入电流有效值为 5 A。求 R 和 C 的值。

8-13 某一元件的电压、电流(关联方向)分别为下述4种情况时，它可能是什么元件？

(1) $ \begin{cases} u = 10\cos(10t + 45^\circ) \, \text{V} \\ i = 2\sin(10t + 135^\circ) \, \text{A} \end{cases} $; (3) $ \begin{cases} u = -10\cos t \, \text{V} \\ i = -\sin t \, \text{A} \end{cases} $;

(2) $ \begin{cases} u = 10\sin(100t) \, \text{V} \\ i = 2\cos(100t) \, \text{A} \end{cases} $; (4) $ \begin{cases} u = 10\cos(314t + 45^\circ) \, \text{V} \\ i = 2\cos(314t) \, \text{A} \end{cases} $.

8-14 电路由电压源 $ u_{s}=100\cos(10^{3}t) $ V 及 R 和 L=0.025H 串联组成，电感端电压的有效值为 25 V。求 R 值和电流的表达式。

8-15 已知题 8-15 图所示电路中 $ I_{1}=I_{2}=10\ A $ 。求 i 和 $ \dot{U}_{s} $ 。

8-16 题 8-16 图所示电路中 $ \dot{I}_{s}=2\angle0^{\circ} $ A。求电压 $ \dot{U} $

8-17 电路如题8-17图所示。已知 $ C = 1 \, \mu\text{F}, L = 1 \, \mu\text{H}, u_S = 1.414 \cos(10^6 t + \phi_u) \, \text{V} $。当电路稳态时，在 $ t = t_1 $ 时刻打开开关，有 $ i_L(t_1) = 0.678 \, \text{A} $，求 $ t \geqslant t_1 $ 时的电流 $ i_L $。

8 18 已知题 8−18 图中 $ U_{S}=10\ V $（直流）， $ L=1\ \mu H $， $ R_{1}=1\ \Omega $， $ i_{S}=2\cos(10^{6}t+45^{\circ}) $ A。用叠加定理求电压 $ u_{C} $ 和电流 $ i_{L} $。

8-19 求题8-19图中所示的电流 $ \dot{I} $ (分三种情况: $ \beta>1,\beta<1 $ 和 $ \beta=1 $)。

S 20 已知题 8-20 图中 $ u_{s}=25\sqrt{2}\cos\left(10^{6}t-126.87^{\circ}\right) $ V, $ R=3\Omega $, $ C=0.2\mu F $, $ u_{c}=20\sqrt{2}\cos\left(10^{6}t-90^{\circ}\right) $ V。求：

（1）各支路电流；

(2) 支路 1 可能是什么元件？

本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。首先，引入阻抗、导纳的概念和电路的相量图。其次，将通过实例介绍电路方程的相量形式和线性电路定理的相量描述和应用，最后，介绍正弦电流电路的瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率和复功率，以及最大功率的传输问题。

§9-1 阻抗和导纳

阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。图9-1(a)所示为一个不含独立源的一端口 $ N_{0} $，当它在角频率为 $ \omega $的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电流、电压都是同频率的正弦量，其相量分别设为 $ \dot{U}=U/\phi_{u} $和 $ \dot{I}=I/\phi_{i} $。在相量法中，可以通过一端口的电压相量、电流相量，用两种不同类型的等效参数来表述一端口 $ N_{0} $的对外特性。这与电阻一端口电路类似（既可以用等效电阻，也可以用等效电导来表述其特性），现分述如下。

一端口 $ N_{0} $ 的端电压相量 $ \dot{U} $ 与电流相量 $ \dot{I} $ 的比值定义为一端口 $ N_{0} $ 的（复）阻抗 Z，即有

$$ Z\xlongequal{\mathrm{def}}\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U}{I}\left\lfloor\left(\phi_{u}-\phi_{i}\right)\right\rfloor=|Z|\left\lfloor\varphi_{z}\right\rfloor $$

或

$$ \dot{U}=Z\,i $$

上式是用阻抗 Z 表示的欧姆定律的相量形式。Z 不是正弦量，而是一个复数，称为复阻抗，其模 $ |Z| = \frac{U}{I} $ 称为阻抗模（经常将 $ Z $、 $ |Z| $ 简称为阻抗），辐角 $ \varphi_{Z} = \phi_{u} - \phi_{i} $ 称为阻抗角。Z 的单位为 $ \Omega $，其电路符号与电阻相同，如图 9-1(b) 所示。Z 的代数形式为

$$ Z=R+\mathrm{j}X $$

式中 R 为等效电阻分量，X 为等效电抗分量，X>0 时 Z 称为感性阻抗，X<0 时称为容性阻抗。Z 在复平面上用直角三角形表示，如图 9-2(a) 所示（图中设 X>0），称为阻抗三角形。

根据阻抗表示的欧姆定律有

$$ \dot{U}=\left(R+\mathrm{j}X\right)\dot{I} $$

上式表明通过电阻和电抗的是同一电流，等效电路要用两个电路元件串联表示，一为电阻元件 R（表示实部），另一元件为储能元件（电感或电容），但要根据电抗的性质来定，当 $ X > 0 (\varphi_{2} > 0) $ 时，X 称为感性电抗，可用等效电感 $ L_{eq} $ 的感抗替代，即

$$ \omega L_{\mathrm{e q}}=X\quad L_{\mathrm{e q}}=\frac{X}{\omega} $$

当 $ X<0(\varphi_{2}<0) $ 时，X 称为容性电抗，可用等效电容 $ C_{eq} $ 的容抗替代，即

$$ \frac{1}{\omega C_{\mathrm{e q}}}=\mid X\mid\qquad C_{\mathrm{e q}}=\frac{1}{\omega\mid X\mid} $$

串联等效电路如图9-2(b)所示，等效电路将端电压 $ \dot{U} $分解为两个分量， $ \dot{U}_{R}=R\dot{I} $和 $ \dot{U}_{x}=jX\dot{I} $，根据KVL，3个电压相量在复平面上组成一个与阻抗三角形相似的直角三角形（将阻抗三角形乘以 $ \dot{I} $获得），称为电压三角形，如图9-2(c)

所示。

一端口 $ N_{0} $ 的电流相量 $ \dot{I} $ 与端电压相量 $ \dot{U} $ 的比值定义为一端口 $ N_{0} $ 的（复）导纳 Y，它是表述一端口 $ N_{0} $ 对外特性的另一种参数，即有

$$ Y\xlongequal{\mathrm{def}}\frac{\dot{I}}{\dot{U}}=\frac{I}{U}\left\lfloor\left(\phi_{i}-\phi_{u}\right)\right\rfloor=|Y|\left\lfloor\varphi_{Y}\right\rfloor $$

或

$$ \dot{I}=Y\dot{U} $$

上式是用导纳 Y 表示的欧姆定律的相量形式。Y 是一个复数，称为复导纳，模值 $ \left|Y\right|=\frac{I}{U} $ 称为导纳模（经常将 Y， $ \left|Y\right| $ 简称为导纳），辐角 $ \varphi_{Y}=\phi_{i}-\phi_{u} $ 称为导纳角，Y 的单位为 S（西门子），其电路符号与电导相同。Y 的代数形式为

$$ Y=G+\mathrm{j}B $$

G 为等效电导(分量)，B 为等效电纳(分量)。B>0 时 Y 称为容性导纳，B<0 时称为感性导纳，Y 在复平面上是一个直角三角形，如图 9-3(a) 所示(图中设 B<0)，称为导纳三角形。

用导纳表示的欧姆定律有

$$ \dot{I}=\left(G+\mathrm{j}B\right)\dot{U} $$

等效电路要用等效电导与等效电感 $ L_{eq} $ 或等效电容 $ C_{eq} $ 的并联形式表示，并有

$$ C_{eq}=\frac{B}{\omega}\quad(B>0,容性电纳 )\quad L_{eq}=\frac{1}{\left|B\right|\omega}\quad(B<0,感性电纳 ) $$

并联等效电路如图9-3(b)所示，电流i被分解为两个分量， $ \dot{I}_{G}=\dot{U}G $ 和 $ \dot{I}_{B}=jB\dot{U} $，根据KCL，三个电流相量在复平面上组成一个与导纳三角形相似的电流三角形，如图9-3(c)所示。

当 X=0 或 B=0 (G=0 或 R=0)，等效电路就变成为一个参数和一种形式。

用 Z 或 Y 表示的欧姆定律是一种普遍形式，第八章 §8-4 中表述的 VCR 的相量形式实质上是欧姆定律的特例，是单一元件的欧姆定律，所以也可以写成阻抗或导纳的形式表示，即有

$$ Z_{R}=R $$

$$ Y_{G}=G=\frac{1}{R} $$

$$ (\varphi_{2}=0) $$

$$ \left(\varphi_{Y}=0\right) $$

$$ Z_{L}=j\omega L $$

$$ Y_{L}=-\mathrm{j}\frac{1}{\omega L} $$

$$ (\varphi_{2}=90^{\circ}) $$

$$ \left(\varphi_{Y}=-90^{\circ}\right) $$

$$ Z_{c}=-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C} $$

$$ Y_{c}=j\omega C $$

$$ (\varphi_{2}=-90^{\circ}) $$

$$ (\varphi_{Y}=90^{\circ}) $$

感抗和容抗也常用电抗的符号表示，即 $ X_{L}=\omega L $， $ X_{C}=-\frac{1}{\omega C} $。单一元件的阻抗和导纳是阻抗、导纳的基础。

最后需要指出如下几点：

（1）一端口 $ N_{0} $ 的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率、参数的函数，随频率、参数而变。

（2）一端口 $ N_{0} $ 中如不含受控源，则有 $ \left|\varphi_{z}\right|\leqslant90^{\circ} $ 或 $ \left|\varphi_{Y}\right|\leqslant90^{\circ} $，但有受控源时，可能会出现 $ \left|\varphi_{z}\right|>90^{\circ} $ 或 $ \left|\varphi_{Y}\right|>90^{\circ} $，其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部。

（3）一端口 $ N_{0} $ 的两种参数 Z 和 Y 具有同等效用，彼此可以等效互换，即有

$$ Z Y=1 $$

Z 和 Y 互为倒数，其极坐标形式表示的互换条件为

$$ \left|Z\right|\mid Y\mid=1\quad\varphi_{Z}+\varphi_{Y}=0 $$

等效互换常用代数形式。阻抗 Z 变换为等效导纳 Y 为

$$ Y=G+\mathrm{j}B=\frac{1}{R+\mathrm{j}X} $$

Y 的实部、虚部分别为

$$ G=\frac{R}{\left|Z\right|^{2}}\quad B=-\frac{X}{\left|Z\right|^{2}} $$

串联等效电路就变换为相应的并联等效电路。同理，导纳 Y 变换为等效阻抗 Z 为

$$ Z=R+\mathrm{j}X=\frac{1}{G+\mathrm{j}B} $$

$$ R=\frac{G}{\left|Y\right|^{2}}\quad X=-\frac{B}{\left|Y\right|^{2}} $$

并联等效电路就变换为相应的串联等效电路。显然，等效变换不会改变阻抗（或导纳）原来的感性或容性性质。

（4）对阻抗或导纳的串、并联电路的分析计算，三角形和星形之间的互换，完全可以采纳电阻电路中的方法及相关的公式。

例 9-1 RLC 串联电路如图 9-4(a) 所示，其中 $ R = 15 \, \Omega, L = 12 \, mH $， $ C = 5 \, \mu F $，端电压 $ u_s = 100\sqrt{2}\cos(5000t) \, V $。试求：(1) 电路中的电流 i（瞬时表达式）和各元件的电压相量；(2) 电路的等效导纳和并联等效电路。

解 （1）用相量法求解时，可先写出已知相量和设定待求相量，本例已知 $ \dot{U}_{s}=100\ \frac{0^{\circ}}{V} $，而 $ \dot{I} $、 $ \dot{U}_{R} $、 $ \dot{U}_{L} $ 和 $ \dot{U}_{C} $ 为待求相量，如图 9-4(a) 所示。然后计算各部分阻抗为：

$$ Z_{r}=15\ \Omega $$

$$ Z_{L}=\mathrm{j}\omega L=\mathrm{j}60~\Omega $$

$$ Z_{c}=-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}=-\mathrm{j}40\ \Omega $$

$$ \begin{aligned}Z_{eq}&=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=\left(15+j20\right)\ \Omega\\&=25\ \frac{\left/53.13\right.^{\circ}}\Omega( 感性阻抗 ).\end{aligned} $$

电流相量为

$$ \dot{I}=\frac{\dot{U}_{s}}{Z_{eq}}=\frac{100/0^{\circ}}{25/53.13^{\circ}}\mathrm{~A}=4\frac{1}{53.13^{\circ}}\mathrm{~A} $$

正弦电流 i 为

$$ i=4\sqrt{2}\cos(5\ 000t-53.13^\circ)\mathrm{~A~} $$

各元件电压相量为

$$ \dot{U}_{R}=R\dot{I}=60\underline{\mathrm{/-53.13^{\circ}}}\mathrm{V} $$

$$ \dot{U}_{L}=\mathrm{j}\omega L\ \dot{I}=240\ \mathrm{\Omega/36.87^{\circ}}\mathrm{V} $$

$$ \dot{U}_{c}=-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}\dot{I}=160\mathrm{\underline{\quad}-}143.13^{\circ}\mathrm{~V~} $$

(2) 电路的等效导纳 $ Y_{eq} $ 为

$$ Y_{eq}=\frac{1}{Z_{eq}}=\frac{1}{25}\underline{\backslash-53.13^{\circ}}S=(0.024-j0.032)S( 感性 ) $$

等效电导 $ G = 0.024 \, \text{S} $ (或 $ R = 41.67 \, \Omega $)，等效电感 $ L_{eq} = \frac{1}{|B| \omega} = 6.25 \, \text{mH} $。

等效电路如图9-4(b)所示。由读者思考并完成下列问题：(1)将本例的电路改为RLC并联电路，求各支路电流和串联等效电路；(2)如果电源的角频率改为 $ \omega=2\ 500\ rad/s $，其等效电路将发生怎样的变化？

例 9-2 图9-5(a)所示电路中 $ Z=(10+j157)\Omega, Z_{1}=1\ 000\ \Omega, Z_{2}=-j318.47\ \Omega,\ U_{s}=100\ V, \omega=314\ rad/s $ 求：(1) 各支路电流和电压 $ \dot{U}_{10} $; (2) 并联等效电路。

解 （1）令 $ \dot{U}_{s}=100\ \mathrm{/0^{\circ}}\mathrm{V} $ （参考相量），设各支路电流相量为 $ \dot{I}_{1} $ 和 $ \dot{I}_{2} $，如图 9-5(a) 所示。计算方法和步骤完全与电阻串并联电路相同。 $ Z_{1} $ 与 $ Z_{2} $ 的并联等效阻抗为 $ Z_{12} $，有

$$ \begin{aligned}Z_{12}&=\frac{Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}=\frac{1\ 000(-j318.47)}{1\ 000-j318.47}\ \Omega=303.45\ \underline{-72.33^{\circ}}\ \Omega\\&=(92.11-j289.13)\ \Omega( 容性 )\end{aligned} $$

总的输入阻抗 $ Z_{eq} $ 为

$$ Z_{eq}=Z_{12}+Z=\left(102.11-j132.13\right)\Omega=166.99\ \pm\left.-52.30^{\circ}\right.\Omega( 容性 ) $$

各支路电流和电压 $ \dot{U}_{10} $ 计算如下：

$$ \dot{I}=\frac{\dot{U}_{s}}{Z_{eq}}=0.60\ \mathrm{\frac{~{}52.30^{\circ}~}{~}}A $$

$$ \dot{U}_{10}=Z_{12}\dot{I}=182.07\mathrm{\underline{{/}}-20.03^{\circ}V} $$

$$ \dot{I}_{1}=\frac{\dot{U}_{10}}{Z_{1}}=0.18\quad\underline{\quad-20.03^{\circ}}\quad\mathrm{A} $$

$$ \dot{I}_{2}=\frac{\dot{U}_{10}}{Z_{2}}=0.57\left/\frac{69.96^{\circ}}{}\right.\mathrm{A} $$

也可以用分流公式计算 $ i_{1}, i_{2} $，即有

$$ \dot{I}_{1}=\dot{I}\frac{Z_{2}}{Z_{12}}\quad\dot{I}_{2}=\dot{I}\frac{Z_{1}}{Z_{12}}( 或 \quad\dot{I}_{2}=\dot{I}-\dot{I}_{1}) $$

(2) 电路的等效导纳 $ Y_{eq} $ 为

$$ \begin{aligned}Y_{eq}&=\frac{1}{Z_{eq}}=5.99\times10^{-3}\angle\frac{52.30^{\circ}}{S}\\&=(3.66\times10^{-3}+j4.74\times10^{-3})S( 容性 )\end{aligned} $$

并联等效电路的等效电导和等效电容为

$$ G=3.66\times10^{-3}S( 或 R=273.22\Omega) $$

$$ C_{eq}=\frac{4.74\times10^{-3}}{314}F=15.09\ \mu F $$

等效电路如图9-5(b)所示。

§9-2 电路的相量图

在分析阻抗（导纳）串、并联电路时，可以利用相关的电压和电流相量在复平面上组成的电路的相量图。相量图可以直观地显示各相量之间的关系，并可用来辅助电路的分析计算。在相量图上，除了按比例反映各相量的模（有效值）以外，最重要的是相对地确定各相量在图上的位置（方位）。一般的做法是：相对于电路并联部分的电压相量，根据支路的VCR确定各并联支路的电流相量与电压相量之间的夹角；然后，再根据结点上的KCL方程，用相量平移求和法则，画出结点上各支路电流相量组成的多边形；相对于电路串联部分的电流相量，根据VCR确定串联部分有关电压相量与电流相量之间的夹角，再根据回路上的KVL方程，用相量平移求和的法则，画出回路上各电压相量所组成的多边形。

例 9-3 画出例 9-1 电路 [图 9-4(a) 所示] 的相量图。

解 该电路为串联电路,可以相对于电流相量 i 确定各串联元件的电压相量在相量图中的位置,根据 $ \dot{U}_{s} = \dot{U}_{R} + \dot{U}_{L} + \dot{U}_{C} $ 画出电压相量组成的多边形。画法如下。

在复平面上先画出电流相量 $ \dot{I} $，然后，从原点 O 起，相对于电流相量 $ \dot{I} $，按平移求和法则，逐一画出 KVL 方程右边各电压相量。例如，画出 $ \dot{U}_{R}=R\dot{I} $（与 $ \dot{I} $ 同相），然后，再从 $ \dot{U}_{R} $ 的末端画出下一个电压相量，例如， $ \dot{U}_{L}=\mathrm{j}\omega L\dot{I} $（超前 $ \dot{I} $

90°)，依次类推。最后，从原点 O 至最后一个电压相量的末端的相量就是上述 KVL 方程左边的电压相量 $ \dot{U}_{s} $，如图 9-6(a) 所示。KVL 方程在相量图上表示为一个封闭的多边形，本例为四边形。根据 KVL 方程求和时，与电压相量的次序无关，所以，图 9-6(b) 也是该电路的相量图。（本例也可以先设电流相量的相位为零画出，最后将整个图形顺时针旋转 53.13°。）

例 9-4 画出例 9-2 电路 [图 9-5(a) 所示] 的相量图。

解 先画出并联部分的电压的相量 $ \dot{U}_{10}=U_{10}/-20.03^{\circ} $，然后相对于电压 $ \dot{U}_{10} $ 画出描述 $ \dot{I}=\dot{I}_{1}+\dot{I}_{2} $ 的电流相量组成的三角形，注意， $ \dot{I}_{1} $ 与 $ \dot{U}_{10} $ 同相， $ \dot{I}_{2} $ 超前 $ \dot{U}_{10} $ 的角度为 $ 90^{\circ} $；然后，相对于已画出的电流相量 $ \dot{I} $，画出描述 $ \dot{U}_{s}=\dot{U}_{10}+\dot{U}_{z}=\dot{U}_{10}+Z\dot{I} $ 的电压相量组成的多边形。如图 9-7 所示即为该电路的相量图。

上述两个例子的相量图都是根据电路的求解结果画出，有时候也可以根据电路的参数和结构定性地画出相量图，以辅助电路的求解。

§9-3 正弦稳态电路的分析

对线性电路的正弦稳态分析，无论在实际应用上，还是在理论上都极为重要。电力工程中遇到的大多数问题都可以按正弦稳态电路分析来解决。许多电气、电子设备的设计和性能指标也往往是按正弦稳态考虑的。电工技术和电子技术中的非正弦周期信号可以分解为频率成整数倍的正弦函数的无穷级数，这类问题也可以应用正弦稳态分析方法处理。

在前面的章节中 $ \underset{\cdot}{已} $为相量法奠定了理论基础，获得了电路基本定律的相量形式，即

$$ \begin{aligned}&KCL\quad&\sum\dot{I}&=0\\&KVL\quad&\sum\dot{U}&=0\\&VCR\quad&\dot{U}=Z\dot{I}\quad& 或 \quad\dot{I}=Y\dot{U}\end{aligned} $$

并通过一些实例，初步展示了相量法的应用。这些都说明，相量法与线性电阻电路中的分析方法相比，不仅在表述的形式上十分相似，而且在分析方法上也完全一样。因此，用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析，差别仅在于所得电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而计算则为复数运算。本节将通过举例，较为全面、深入地展示相量法在正弦稳态分析中的应用。

例 9-5 图 9-8(a)中已知 $ u_{s}=200\sqrt{2}\cos(314t+\frac{\pi}{3}) $ V，电流表 A 的读数为 2 A，电压表 $ V_{1} $、 $ V_{2} $ 的读数均为 200 V。求参数 R、L、C，并作出该电路的相量图。

解 电路的基本定律和电路方程乃是解题的根本途径。根据题意可设： $ \dot{U}_{s}=200\ \frac{60^{\circ}}{} $ V(已知)， $ \dot{U}_{1}=200\ \frac{\phi_{1}}{} $ V， $ \dot{U}_{2}=200\ \frac{\phi_{2}}{} $ V， $ \dot{I}=2\ \frac{\phi_{i}}{} $ A。根据图9-8(a)电路可列写如下电压、电流关系和电路方程：

$$ \begin{array}{c}200\angle60^{\circ}=200\angle\phi_{1}+200\angle\phi_{2}\quad(\mathrm{KVL})\\-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}=\frac{\dot{U}_{2}}{\dot{I}}=100\angle\left(\phi_{2}-\phi_{i}\right)\end{array} $$

$$ Z_{i}=\frac{\dot{U}_{1}}{\dot{I}}=R+\mathrm{j}\omega L=100\ \mathrm{\underline{{/}}}\left(\phi_{1}-\phi_{i}\right) $$

依次求解上列方程，取一组合理解答为

$$ \phi_{1}=120^{\circ} $$

$$ \phi_{2}=0^{\circ} $$

$$ \phi_{i}=90^{\circ} $$

$$ C=31.85~\mu\mathrm{F} $$

$$ R=86.60\ \Omega $$

$$ L=0.159\mathrm{~H~} $$

读者可查验上述结果。对串、并联电路常常采用相量图来启发解题思路和方法。本例可先根据 KVL 作电路的电压相量图，如图 9—8(b) 所示（两种可能的封闭的正三角形），很容易根据该图求得 $ \phi_1 $ 和 $ \phi_2 $（有两种可能的解答）。也可作本题的阻抗三角形： $ Z = 100 / \varphi_Z $, $ Z_1 = 100 / \varphi_{Z_1} $, $ Z_C = -j100 $, 有

$$ 100\angle\varphi_{z}=100\angle\phi_{z1}-j100 $$

如图 9-8(c) 所示，根据该图可得

$$ \begin{aligned}Z&=100\overline{/-30^{\circ}}\Omega\\Z_{1}&=100\overline{/30^{\circ}}\Omega\end{aligned} $$

当出现多解的情况时，必须判断其合理性。本例中有另一组解 $ \phi_{1}=0^{\circ},\phi_{2}=120^{\circ} $ 是不合理的。（请读者思考为什么。）

例 9-6 图 9-9 所示电路中 R 可变。在什么条件下 i 可保持不变？

解 根据题意，电阻 R 是从其左侧的一端口 1-1' 获得电流，所以，一端口 1-1' 的诺顿等效电路应为理想电流源，其等效导纳应为零，则有

$$ Y_{\mathrm{e q}}=\mathrm{j}\omega C-\mathrm{j}\frac{1}{\omega L}=0 $$

$$ \dot{I}=j\omega C\dot{U}_{s}(短路电流) $$

应当满足的条件为

$$ \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$

解题时要用多种方法试探，启发思维，达到举一反三的目的。以下提供其他的求解方法，由读者分析完成。

根据电路的结点方程

$$ \left(\mathrm{j}\omega C-\mathrm{j}\frac{1}{\omega L}\right)\dot{U}_{11^{\prime}}+\dot{I}=\mathrm{j}\omega C\dot{U}_{s} $$

根据网孔法(顺时针)解得电流i

$$ \dot{I}=\frac{\mathrm{j}\omega L\dot{U}_{\mathrm{s}}}{(\mathrm{j}\omega L-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C})(R+\mathrm{j}\omega L)-(\mathrm{j}\omega L)^{2}} $$

当 $ R=\infty $ (开路)时，开路电压的模 $ U_{11^{\prime}oc}=\infty $，而 $ \dot{U}_{11^{\prime}oc} $ 为

$$ \dot{U}_{11^{\prime}\infty}=\frac{\mathrm{j}\omega L\dot{U}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{j}\omega L-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}} $$

例 9-7 求图 9-10(a) 所示一端口的戴维宁等效电路。

解 戴维宁等效电路的开路电压 $ \dot{U}_{oc} $ 和戴维宁等效阻抗 $ Z_{eq} $ 的求解方法与电阻电路相同。

先求 $ \dot{U}_{\infty} $，将 1-1' 开路，由图 9-10(a) 可知

$$ \dot{U}_{o c}=-r\dot{I}_{2}+\dot{U}_{s0} $$

又有

$$ \left(Y_{1}+Y_{2}\right)\dot{U}_{s0}=Y_{1}\dot{U}_{s1}-\dot{I}_{s3} $$

解得

$$ \begin{aligned}{\dot{I}_{2}}&{{}=Y_{2}\dot{U}_{{s0}}}\\ {\dot{U}_{\infty}=\frac{(1-r Y_{2})({Y_{1}}\dot{U}_{{s1}}-\dot{I}_{{s3}})}{Y_{1}+Y_{2}}}&{{}}\\ \end{aligned} $$

可按图 9-10(b)求解等效阻抗 $ Z_{eq} $。在端口 1-1' 置一电压源 $ \dot{U}_{0} $ (与独立电源同频率)，求得 $ \dot{I}_{0} $ 后有

$$ Z_{\mathrm{e q}}=\frac{\dot{U}_{0}}{\dot{I}_{0}} $$

可以设 $ \dot{I}_{2}^{\prime} $ 为已知，然后求出 $ \dot{U}_{0}, \dot{I}_{0} $ 。由图9-10(b) 得

$$ \dot{I}_{0}=\dot{I}_{2}^{\prime}+Z_{2}Y_{1}\dot{I}_{2}^{\prime} $$

$$ \dot{U}_{0}=Z_{2}\dot{I_{2}^{\prime}}-r\dot{I_{2}^{\prime}} $$

解得

$$ Z_{\mathrm{e q}}=\frac{\left(Z_{2}-r\right)\dot{I}_{2}^{\prime}}{\left(1+Z_{2}Y_{1}\right)\dot{I}_{2}^{\prime}}=\frac{Z_{2}-r}{1+Z_{2}Y_{1}}=\frac{1-r Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}} $$

从求得的 $ \dot{U}_{oc} $ 和 $ Z_{eq} $ 的表达式可知，应有 $ r \neq Z_{2} $ 成立。

也可求解端口1-1的短路电流 $ \dot{I}_{sc} $，用 $ Z_{eq}=\frac{\dot{U}_{oc}}{\dot{I}_{sc}} $求得等效电抗。本例有

$$ \dot{I}_{\mathrm{s c}}=Y_{1}\dot{U}_{\mathrm{s1}}-\dot{I}_{\mathrm{s3}} $$

当电路中有受控源时，上述方法要对电路进行两次求解，如用一步法可能要方便些。具体做法为：在端口1-1'置一电流源$\dot{I}$替代一端口的输出电流$\dot{I}$，如图9-10(c)中虚线所示，求端电压$\dot{U}_{11}$与$\dot{I}$的电压电流关系，即$\dot{U}_{11}=f(\dot{I})$（外特性），如本例有电路方程

$$ \left(Y_{1}+Y_{2}\right)\dot{U}_{s0}=Y_{1}\dot{U}_{s1}-\dot{I}_{s3}-\dot{I} $$

$$ \dot{U}_{11}=-r\dot{I}_{2}+Z_{2}\dot{I}_{2} $$

$$ \dot{I}_{2}=\dot{U}_{s0}Y_{2} $$

最后解得

$$ \dot{U}_{11^{\prime}}=\frac{1-r Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}(Y_{1}\dot{U}_{\mathrm{s i}}-\dot{I}_{\mathrm{s}3})-\frac{1-r Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}\dot{I} $$

根据上述方程就能获得戴维宁等效电路的两个参数。

例 9-8 求图 9-11 所示电路中的电流 $ i_{L} $。图中电压源 $ u_{S}=10.39\sqrt{2}\sin\left(2t+60^{\circ}\right) $ V，电流源 $ i_{S}=3\sqrt{2}\cos\left(2t-30^{\circ}\right) $ A。

解 电路中的电源为同一频率，则有

$$ \dot{U}_{\mathrm{s}}=10.39\ \mathrm{\Delta/-30^{\circ}~V},\qquad\dot{I}_{\mathrm{s}}=3\ \mathrm{\Delta/-30^{\circ}~A},\qquad\frac{1}{\omega C}=1\ \Omega,\quad\omega L=1\ \Omega $$

本例将仿照电阻电路用不同方法编写电路方程求解。

（1）用结点法求解，列方程为

$$ \begin{aligned}&\left(2\mathrm{j}-\mathrm{j}\right)\dot{U}_{10}-\left(-\mathrm{j}\right)\dot{U}_{20}=\mathrm{j}\dot{U}_{\mathrm{s}}\\&-\left(-\mathrm{j}\right)\dot{U}_{10}+\left(\mathrm{j}-\mathrm{j}\right)\dot{U}_{20}=-\dot{I}_{\mathrm{s}}\end{aligned} $$

$$ \dot{I}_{L}=\frac{\dot{U}_{10}-\dot{U}_{2\mathfrak{Q}}}{\mathfrak{j}} $$

可解得 $ \dot{U}_{10} = j\dot{I}_{s} $ $ \dot{U}_{20} = \dot{U}_{s} - j\dot{I}_{s} $ $ \dot{I}_{L} = -j(\dot{U}_{10} - \dot{U}_{20}) = j\dot{U}_{s} + 2\dot{I}_{s} $

(2) 用网孔法(顺时针方向)求解，设网孔电流为 $ \dot{I}_{1} $， $ \dot{I}_{2} $ 和 $ \dot{I}_{s} $ (自左至右)

$$ \begin{aligned}-\mathrm{j}2\dot{I}_{1}-\left(-\mathrm{j}\right)\dot{I}_{2}&=\dot{U}_{\mathrm{s}}\\-\left(-\mathrm{j}\right)\dot{I}_{1}+\left(\mathrm{j}-\mathrm{j}2\right)\dot{I}_{2}-\left(-\mathrm{j}\right)\dot{I}_{\mathrm{s}}&=0\end{aligned} $$

（右网孔方程省列）

$$ \dot{I}_{L}=\dot{I}_{2} $$

(3) 用叠加定理求解。

$$ \dot{I}^{\prime}_{L}=j\dot{U}_{s}\qquad( Ḋ U_{s} 单独作用 ) $$

$$ \boldsymbol{I}^{\prime \prime}_{L}=\dot{\boldsymbol{I}}_{s}\frac{-\dot{\mathrm{j}}}{-\mathrm{j}0.5}=2\dot{\boldsymbol{I}}_{s}\qquad(\dot{\boldsymbol{I}}_{s} 单独作用 ) $$

$$ \dot{I}_{L}=\dot{I}^{\prime}{}_{L}+\dot{I}^{\prime\prime}{}_{L} $$

（4）用戴维宁等效电路求解。

端口1-2的开路电压 $ \dot{U}_{0} $为

$$ \dot{U}_{\mathrm{o c}}=\frac{1}{2}\dot{U}_{\mathrm{s}}-\mathrm{j}\dot{I}_{\mathrm{s}} $$

端口1-2的等效阻抗 $ Z_{eq} $为

$$ Z_{\mathrm{e q}}=\left(\frac{1}{\mathrm{j}2}-\mathrm{j}\right)\mathrm{\boldmath~\Omega~}=-\mathrm{j}1.5\mathrm{\boldmath~\Omega~} $$

解得

$$ \dot{I}_{L}=\dot{I}_{2}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{oc}}}{\mathrm{j}-\mathrm{j}1.5}=\mathrm{j}\dot{U}_{\mathrm{s}}+2\dot{I}_{\mathrm{s}}=10\mathrm{\angle30^{\circ}}\mathrm{A} $$

$$ i_{L}=10\sqrt{2}\mathrm{c o s}(2t+30^{\circ})\mathrm{~A~} $$

读者可思考，当电路中的电阻 R 变化时，将对电路产生哪些影响？

§9-4 正弦稳态电路的功率

设图 9-12(a) 所示一端口 N 吸收的瞬时功率 p 等于电压 u 和电流 i 的乘积

当一端口 N 处于正弦稳态时，端口的电压、电流是同频正弦量，瞬时功率是两个同频正弦量的乘积，是一个随时间作周期变化的非正弦周期量。工程上计量的功率，家用电器标记的功率都是周期量的平均功率，如电热水器的功率为 1500 W，日光灯的功率为 40 W 等，都是指平均功率。周期量的平均功率 P 定义为

$$ P\xrightarrow{\mathrm{d e f}}\frac{1}{T}{\int_{0}^{T}}p\mathrm{d}t\;=\;\frac{1}{T}{\int_{0}^{T}}u i\mathrm{d}t $$

下面将以 RLC 串联电路作为不含独立源的一端口的例子，来研究在正弦稳态下，这些元件在能量转换过程中的作用。电路可参阅图 9-4(a) 所示，设正弦电流为 $ i = I_{m} \cos(\omega t) $，各元件吸收的瞬时功率分述如下：

电阻 R 吸收的瞬时功率 $ p_{R} $ 为

$$ \begin{aligned}{p_{R}\;}&{{}=R i^{2}=R I_{m}^{2}\operatorname{c o s}^{2}\left({\omega}t\right)}\\ {}&{{}=R I^{2}\left[1+\operatorname{c o s}(2\omega t)\right]}\\ \end{aligned} $$

它是一个频率为正弦电流(或电压)频率2倍的非正弦周期量，始终有 $ p_{R}\geqslant0 $，表明电阻的耗能特性，其吸收的平均功率 $ P_{R} $为

$$ P_{R}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}R I^{2}\left[1+\cos(2\omega t)\right]\mathrm{d}t=R I^{2} $$

电感 L 吸收的瞬时功率 $ p_{L} $ 为

$$ \begin{align*}p_{L}&=iL\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=-\ \omega LI_{m}^{2}\cos(\ \omega t\ )\sin(\ \omega t\ )\\&=-\ \omega LI^{2}\sin(2\omega t)\end{align*} $$

它是一个频率为正弦电流(或电压)频率2倍的正弦量，在正弦电流的一个周期内正负交替变化2次，即吸收(储存)-释放能量2次。其吸收的平均功率 $ P_{L} $为

$$ P_{L}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}-\omega L I^{2}\sin(2\omega t)\mathrm{d}t=0 $$

这反映了电感的非耗能的储能特性。

电容 C 吸收的瞬时功率 $ p_{c} $ 为

$$ \begin{align*}p_{C}&=i\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t=\frac{1}{\omega C}I_{\mathrm{m}}^{2}\mathrm{cos}(\omega t)\sin(\omega t)\\&=\frac{1}{\omega C}I^{2}\sin(2\omega t)\end{align*} $$

它也是一个频率为正弦电流(或电压)频率2倍的正弦量，在正弦电流的一个周期内，吸收(储存)-释放能量2次，其吸收的平均功率 $ P_{c} $为

$$ P_{c}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1}{\omega C}I^{2}\sin(2\omega t)dt=0 $$

这反映了电容的非耗能的储能特性。

整个 RLC 串联电路吸收的瞬时功率为上述三项之和，即

$$ \begin{align*}p&=p_{R}+p_{L}+p_{C}\\&=RI^{2}\left[1+\cos(2\omega t)\right]-(\omega L-\frac{1}{\omega C})I^{2}\sin(2\omega t)\end{align*} $$

它是一个频率为正弦电流(或电压)频率2倍的非正弦周期量。第一项始终大于

或等于零，是瞬时功率的不可逆部分，为电路所吸收的功率（此处为电阻所吸收的功率），不再返回外部电路。第二项表明，电感和电容的瞬时功率反相，在能量交换过程中，彼此互补，即电感吸收（或释放）能量时，恰好是电容释放（或吸收）能量，彼此互补后的不足部分由外部电路补充（供给），这第二项就是 L、C 之间功率互补后不足部分与外电路往复交换的瞬时功率，这是瞬时功率的可逆部分。当 $ \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 $ 时，L、C 之间完全互补，第二项可逆部分将不存在，但 L、C 之间吸收 - 释放能量的交换过程仍按原周期进行，并未消失。如果只含有一种储能元件，将不存在功率的互补情况，如果电路中不存在储能元件，则电路与外部往复交换的瞬时功率（第二项）将不会发生。

根据一端口的阻抗三角形可作如下变换：

$$ R=\mid Z\mid\cos\varphi_{z}\qquad(\omega L-\frac{1}{\omega\bar{C}})=\mid Z\mid\sin\varphi_{z}\qquad U=\mid Z\mid I $$

代入后有

$$ p=U I\mathrm{c o s}\varphi_{Z}\left[1+\mathrm{c o s}(2\omega t)\right]-U I\mathrm{s i n}\varphi_{Z}\mathrm{s i n}(2\omega t) $$

图 9-12(b)为正弦稳态电路瞬时功率的波形图 ( $ \varphi_{z}>0 $ 呈感性)。从该图形可以看出，在正弦电流的一个周期内有两个时区 $ p\leq0 $ (图中斜线所示部分)，当一端口为感性阻抗时，在此时区内有 $ i\geq0 $ (或 $ i\leq0 $)，但 $ |i| $ 在下降，表明电感在释放能量，而此时电容电压 $ u_{c} $ 在增加 (滞后电流 $ 90^{\circ} $)，表明电容在吸收能量，因此，电感将释放的能量除了供给电阻和电容外，将多余的能量返回外电路。

上述关于正弦稳态电路瞬时功率的描述，反映了一端口电路（或元件）在能量转换过程中的状态，并为工程测量和全面反映正弦稳态电路的功率提供了理论依据。可以通过一端口的 U、I 和 $ \varphi_{2} $ 从如下几个方面反映正弦稳态电路的功率状态。

1. 有功功率 P（即平均功率）定义为

$$ P\xlongequal{\mathrm{d e f}}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}p\mathrm{d}t=U I\cos\varphi_{z} $$

它是瞬时功率不可逆部分的恒定分量，也是其变动部分的振幅，它是衡量一端口实际所吸收的功率，其单位用 W（瓦）表示。

2. 无功功率 Q 定义为

$$ Q\xlongequal{\mathrm{def}}UI\sin\varphi_{z} $$

它是瞬时功率可逆部分的振幅，是衡量由储能元件引起的与外部电路交换的功率，这里“无功”的意思是指这部分能量在往复交换的过程中，没有“消耗”掉。其单位用 var（乏）表示。

3. 视在功率 S 定义为

$$ S\xlongequal{\mathrm{def}}UI $$

它是满足一端口电路有功功率和无功功率两者的需要时，要求外部提供的功率容量，显然有 $ S \geqslant P $ 和 $ S \geqslant Q, P, Q $ 及 S 三者的关系为

$$ P=S\cos\ \varphi_{z}\quad Q=S\sin\ \varphi_{z}\quad S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}} $$

这是一个直角三角形关系(S是斜边)。工程上常用视在功率衡量电气设备在额定的电压、电流条件下最大的负荷能力，或承载能力（指对外输出有功功率的最大能力）。视在功率的单位常用V·A（伏安）表示。

上面所用单位 W、var 和 V·A，其量纲相同，目的是区分三种不同的功率。

工程中通常用到功率因数 $ \lambda $的概念，其定义为

$$ \lambda=\cos\varphi_{z}\leqslant1. $$

$ \varphi_{z} $ 称为功率因数角（不含独立源的一端口的阻抗角）。它是衡量传输电能效果的一个非常重要的指标，表示传输系统有功功率所占的比例，即

$$ \lambda=\frac{P}{S} $$

实际电网非常庞大，延伸数千公里，人们当然不希望电能的往复传输，这样会增加系统电能的消耗和增大系统设备的容量，所以，理想状态为 $ \lambda=1, Q=0 $。

上述关于正弦稳态功率的论述，虽然是通过 RLC 串联电路获得的，但它适用于任何一端口电路，具有普遍意义。

对于不含独立源的一端口，可以用等效阻抗 $ Z = R + jX = |Z|\frac{f\varphi_{Z}}{} $（串联形式的等效电路）替代，端电压 $ \dot{U} $ 被分解为两个分量 $ \dot{U}_{R} $ 和 $ \dot{U}_{X} $（参阅图9-2），其中 $ \dot{U}_{R} $ 产生有功功率 P， $ \dot{U}_{X} $ 产生无功功率 Q，即为

$$ \begin{aligned}&P=UI\cos\varphi_{Z}=IU_{R}=I^{2}R\\&Q=UI\sin\varphi_{Z}=IU_{X}=I^{2}X\\ \end{aligned} $$

式中 $ U_{R}=U\cos\varphi_{z} $ 称为电压 U 的有功分量， $ U_{x}=U\sin\varphi_{z} $ 称为电压 U 的无功分量。

如用等效导纳 $ Y = G + jB $ (并联等效电路) 替代，则输入电流 i 被分解为两个分量 $ \dot{I}_{G} $ 和 $ \dot{I}_{B} $，(参阅图9-3)，其中 $ \dot{I}_{G} $ 产生有功功率， $ \dot{I}_{B} $ 产生无功功率；由于 $ \varphi_{Z} = -\varphi_{Y} $，则

$$ \begin{aligned}P&=U I\cos\varphi_{\mathrm{Y}}=U I_{G}=U^{2}G\\Q&=-\ U I\sin\varphi_{\mathrm{Y}}=-\ U I_{B}=-U^{2}B\end{aligned} $$

式中 $ I_{G} = I \cos \varphi_{Y} $ 称为 I 的有功分量， $ I_{B} = I \sin \varphi_{Y} $ 称为 I 的无功分量。

对于单一的 R、L、C 元件，可以认为是不含独立源的一端口的特例，也适用上述有关功率的定义。

对于电阻 R，由于 $ \varphi_{z}=0,\lambda=1 $，它的有功功率和无功功率分别为

$$ P_{r}=S\cos\ \varphi_{z}=S=UI=RI^{2}=GU^{2} $$

$$ Q_{r}=S\mathrm{s i n}\varphi_{z}=0 $$

对于电感 L，由于 $ \varphi_{Z}=90^{\circ},\lambda=0 $ ，故

$$ P_{_{L}}=S\cos\ \varphi_{z}=0 $$

$$ Q_{L}=S\mathrm{s i n}\varphi_{Z}=S=U I=\omega L I^{2}=\frac{U^{2}}{\omega L} $$

对于电容 C，由于 $ \varphi_{z} = -90^{\circ}, \lambda = 0 $，故

$$ P_{c}=S\cos\ \varphi_{z}=0 $$

$$ Q_{c}=S\mathrm{s i n}\ \varphi_{z}=-S=-UI=-\frac{1}{\omega C}I^{2}=-\ \omega CU^{2} $$

在电路系统中，电感和电容的无功功率有互补作用，工程上认为电感吸收无功功率，而认为电容发出无功功率，将两者加以区别。

对于含有独立源的一端口电路，由于电源参与有功功率、无功功率的交换，使问题变得较为复杂，但上述有关三个功率的定义，仍然适用于含源一端口，可通过端口的电压、电流的计算获得，但功率因数将失去实际意义。设含源一端口的电压、电流分别为（关联参考方向）

$$ \begin{aligned}&i=I_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\phi_{i})\\u=U_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\phi_{i}+\varphi)\\ \end{aligned} $$

式中 $ \varphi=\phi_{u}-\phi_{i} $，由于有

$$ U_{\mathrm{m}}\mathrm{c o s}(\omega t+\phi_{i}+\varphi)=U_{\mathrm{m}}\mathrm{c o s}\varphi\mathrm{c o s}(\omega t+\phi_{i})-U_{\mathrm{m}}\mathrm{s i n}\varphi\mathrm{s i n}(\omega t+\phi_{i}) $$

则

$$ \begin{aligned}{p=u i=U I\operatorname{c o s}\varphi[1+\operatorname{c o s}(2\omega t+2\phi_{i})]-}\\ {U I\operatorname{s i n}\varphi\operatorname{s i n}(2\omega t+2\phi_{i})}\\ \end{aligned} $$

瞬时功率仍然由两部分组成：不可逆部分(式中第一项)和可逆部分(式中第二项)。通过 U、I 和 $ \varphi $ 表示的三个功率为

$$ P=U I\cos~\varphi\quad Q=U I\sin~\varphi\quad S=U I $$

此外 $ \varphi=\phi_{u}-\phi_{i} $，对不含独立源的一端口它就是阻抗角 $ \varphi_{z} $，始终有 $ \left|\varphi_{z}\right|\leqslant90^{\circ} $。对含源一端口，它不是阻抗角（对仅含受控源的一端口仍可称为阻抗角），有可能出现 $ \left|\varphi\right|>90^{\circ} $，此时一端口发出有功功率。

整个电路遵守功率守恒原理，有

$$ \begin{array}{r l}{\sum P=0}&{{}\quad\sum Q=0}\end{array} $$

一般情况下不存在 $ \sum S=0 $。

例 9-9 求图 9-5(a) 所示电路中电源发出的有功功率 P、无功功率 Q、视

在功率 S 和电路的功率因数 $ \lambda $。

解 求功率必先解电路，求得各部分的电压、电流就能求得各种功率。图中电源发出的功率可根据 $ \dot{U}_{s} $ 和 i 求得，其结果如下：

视在功率 $ S_{s} $为

$$ S_{s}=U_{s}I=100\times0.6\mathrm{~V}\cdot\mathrm{A}=60\mathrm{~V}\cdot\mathrm{A} $$

$ \dot{U}_{s} $ 与 $ \dot{I} $ 的相位差 $ \varphi $ 和功率因数 $ \lambda $ 分别为

$$ \varphi=0^{\circ}-52.30^{\circ}=-52.30^{\circ}\quad( 容性 ) $$

$$ \lambda=\cos\ \varphi=0.612 $$

有功功率 P 为

$$ P=S_{s}\lambda=60\times0.612\mathrm{~W}=36.72\mathrm{~W} $$

无功功率 Q 为

$$ Q=S_{s}\sin~\varphi=-47.47~\mathrm{v a r} $$

§9-5 复功率

由上一节可知，正弦电流电路的瞬时功率等于两个同频率正弦量的乘积，其结果是一个非正弦周期量，同时它的频率也不同于电压或电流的频率，所以不能用相量法讨论。但是正弦电流电路的有功功率、无功功率和视在功率三者之间是一个直角三角形的关系，可以通过“复功率”表述。

设一端口的电压 $ \underset{\cdot}{相} $量为 $ \dot{U} $，电流相量为 $ \dot{I} $，复功率 $ \overline{S} $定义为

$$ \begin{array}{l}\overline{S}\xlongequal{\mathrm{d e f}}\dot{U}\dot{I}^{*}=U I\ \underline{\left/\left(\phi_{u}-\phi_{i}\right)\right.}\\ \\ =U I\cos\ \varphi+\mathrm{j}U I\sin\varphi\\ \\ =P+\mathrm{j}Q\end{array} $$

式中 $ i^{*} $ 是 i 的共轭复数 $ ^{①} $。复功率的吸收或发出同样根据端口电压和电流的参考方向来判断。复功率是一个辅助计算功率的复数，它将正弦稳态电路的 3 种功率和功率因数统一为一个公式表示，是一个“四归一”公式。只要计算出电路中的电压和电流相量，各种功率就可以很方便地计算出来。例如求图 9-5(a) 所示电源发出的复功率 $ \overline{S}_{s} $ 为

$$ \overline{S}_{s}=\dot{U}_{s}\dot{I}^{*}=100\times0.6\underline{-52.30}V\cdot A=(36.69-j47.47)V\cdot A $$

显然，复功率将一端口的功率表述得非常简单。复功率的单位用 $ V \cdot A_{0} $

最后，应当注意，复功率 $ \overline{S} $不代表正弦量，乘积 $ \dot{U}\dot{I} $是没有意义的。复功率的概念显然适用于单个电路元件或任何一端口电路。

对于不含独立源的一端口可以用等效阻抗 Z 或等效导纳 Y 替代，则复功率 $ \overline{S} $ 又可表示为

$$ \overline{S}=\dot{U}\dot{I}^{*}=(\dot{I}Z)\dot{I}^{*}=I^{2}Z $$

$$ \overline{S}=\dot{U}\dot{I}^{*}=U(Y\dot{U})^{*}=U^{2}Y^{*} $$

由 $ \overline{S} $、P、Q 形成的三角形是一个与阻抗三角形相似的直角三角形。上式中 $ Y = G + jB $， $ Y^* = G - jB $。

可以证明，对整个电路复功率守恒，即有

$$ \begin{array}{r l r l r}{\sum\overline{{S}}=0}&{{}}&{\quad\sum P=0}&{{}}&{\quad\sum Q=0}\end{array} $$

例 9−10 图 9−13(a) 所示电路外加 50 Hz、380 V 的正弦电压，感性负载吸收的功率 $ P_{1}=20\ kW $，功率因数 $ \lambda_{1}=0.6 $。若要使电路的功率因数提高到 $ \lambda=0.9 $，求在负载的两端并接的电容值（图中虚线所示）。

解 工程上常利用电感、电容无功功率的互补特性，通过在感性的负载端并联电容来提高电路的功率因数。接入电容后，不会改变原负载的工作状态，而利用电容发出的无功功率，部分（或全部）补偿感性负载所吸收的无功功率，从而减轻了电源和传输系统的无功功率的负担。

解法一：根据复功率守恒原理求解。

接入电容 C 后，根据复功率守恒原理有

$$ \overline{S}=\overline{S}_{1}+\overline{S}_{c} $$

$ \overline{S} $ 为并联电容 C 后电源发出的复功率，设阻抗角为 $ \varphi_{Z} $， $ \overline{S}_{1} $ 为支路 1 吸收的复功率，设其阻抗角为 $ \varphi_{Z1} $，而 $ \overline{S}_{C} = -j\omega CU^{2} $ 为电容吸收的复功率，这些复功率组成了功率三角形，如图 9-13(b) 所示，上式复功率方程分列为

$$ S\cos\ \varphi_{z}=S_{1}\cos\ \varphi_{z1}=P_{1}\quad( 有功功率 ) $$

$$ S\mathrm{s i n}\varphi_{z}=S_{1}\mathrm{s i n}\varphi_{z1}-\omega C U^{2} $$

从以上两式解得

$$ C=\frac{P_{1}}{\omega U^{2}}(\tan\varphi_{Z1}-\tan\varphi_{Z}) $$

式中

$$ \varphi_{z}=\arccos\lambda=25.84^{\circ}\quad( 感性 ) $$

$$ \varphi_{z1}=\arccos\lambda_{1}=53.13^{\circ}\quad( 感性 ) $$

最后有

$$ C=374.51~\mu\mathrm{F} $$

解法二：根据 KCL 电流方程求解。

并入电容 C 后，根据 KCL 有

$$ \dot{I}=\dot{I}_{1}+\dot{I}_{2} $$

令 $ \dot{U}=380\ \frac{0^{\circ}}{V} $ (参考相量)， $ \dot{I}=I\ \frac{\phi_{i}}{} $ A (并联电容后)， $ \dot{I}_{1}=I_{1}\ \frac{\phi_{i1}}{} $ A 和 $ \dot{I}_{2}= $ $ \mathrm{j}\omega C\dot{U} $，电流三角形如图 9-13(c)中实线所示，则电流方程可分列为

$$ I\cos\ \phi_{_{i}}=I_{_{1}}\cos\ \phi_{_{i1}}\quad( 有功分量 ) $$

$$ I\sin\ \phi_{i}=I_{1}\sin\ \phi_{i1}+\omega CU\quad( 无功分量 ) $$

并有

$$ UI_{_{1}}\cos\phi_{_{i1}}=P_{_{1}} $$

则解得

$$ C=\frac{P_{1}}{\omega U^{2}}(\tan\phi_{i}-\tan\phi_{i1}) $$

式中， $ \phi_{i}=-\varphi_{Z} $， $ \phi_{i1}=-\varphi_{Z1} $，这里 $ \varphi_{Z} $和 $ \varphi_{Z1} $分别为并联电容后的阻抗角和支路1的阻抗角，所以

$$ \phi_{i}=-\arccos\lambda=-25.84^{\circ}\quad( 感性 ) $$

$$ \phi_{i1}=-\arccos\lambda_{1}=-53.13^{\circ}\quad( 感性 ) $$

可求得同样结果。表明，并联电容后，容性和感性的无功电流分量有互补作用。

解法三：根据等效导纳求解。

并接入电容 C 后有

$$ Y=Y_{1}+Y_{c} $$

设 $ Y = |Y| \left| \frac{\varphi_Y}{\varphi_X} \right| $（并联电容后）， $ Y_1 = |Y_1| \left| \frac{\varphi_{Y1}}{\varphi_{X}} \right| $（支路1），而 $ Y_C = j\omega C $，导纳三角

形如图9-13(d)所示，则导纳方程可分列为

$$ \begin{array}{c} \left|Y\right|\cos\phi_{Y}=\left|Y_{1}\right|\cos\varphi_{Y1}\quad( 实部 )\\ \left|Y\right|\sin\phi_{Y}=\left|Y_{1}\right|\sin\varphi_{Y1}+\omega C\quad( 虚部 )\end{array} $$

又由于

$$ \left|Y_{1}\right|\cos\varphi_{Y1}\quad U^{2}=P_{1}, 则解得 $$

$$ C=\frac{P_{1}}{\omega U^{2}}(\tan\varphi_{Y}-\tan\varphi_{Y1}) $$

式中

$$ \begin{aligned}\varphi_{Y}&=\arccos\lambda=-25.84^{\circ}\quad( 感性 )\\\varphi_{Y1}&=\arccos\lambda_{1}=-53.13^{\circ}\quad( 感性 )\end{aligned} $$

图9-13(c)中虚线所示是符合要求的另一解答，功率因数角 $ \varphi_{z}=-25.84^{\circ} $（容性），需要更大的电容量，经济上不可取。

通过这个例子可以看出功率因数提高的经济意义。并联电容后 $ \overline{S}<\overline{S}_{1}, I

读者可思考：能否采用串联电容或串联电阻的方法提高功率因数？

§9-6 最大功率传输

图9-14(a)所示电路为含源一端口 $ N_{s} $向终端负载Z传输功率，当传输的功率较小（如通信系统，电子电路中），而不必计较传输效率时，常常要研究使负载获得最大功率（有功）的条件。根据戴维宁定理，该问题可以简化为图9-14(b)所示等效电路进行研究。

设 $ Z_{eq}=R_{eq}+jX_{eq}, Z=R+jX $，则负载吸收的有功功率为

$$ P=I^{2}R=\frac{U_{\mathrm{oc}}^{2}R}{\left(R+R_{\mathrm{eq}}\right)^{2}+\left(X_{\mathrm{eq}}+X\right)^{2}} $$

从上式可以看出，负载端获得的功率与一端口的等效参数（内部）和负载的参数（外部）有关，在内部不便变动的情况下（且 $ U_{oc} \neq 0 $），则负载 Z 必须根据 $ Z_{eq} $ 进行配置（匹配），才可能获得最大功率。配置条件不同，获得的最大功率也不同。如果 R 和 X 可以任意变动，而其他参数不变时，则获得最大功率的条件为

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{X}+\boldsymbol{X}_{\mathrm{eq}}=\boldsymbol{0}\\&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R}\left[\frac{\boldsymbol{R}}{\left(\boldsymbol{R}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{eq}}\right)^{2}}\right]=0\end{aligned} $$

解得

$$ \begin{aligned}\left.\begin{array}{l}X=-\boldsymbol{X}_{eq}\\R=\boldsymbol{R}_{eq}\end{array}\right\}\end{aligned} $$

即有

$$ Z=R_{eq}-jX_{eq}=Z_{eq}^{*} $$

此时获得的最大功率为

$$ P_{\mathrm{m a x}}=\frac{U_{\mathrm{o c}}^{2}}{4R_{\mathrm{e q}}} $$

当用诺顿等效电路时，获最大功率的条件可表示为

$$ Y=Y_{eq}^{*} $$

上述获最大功率的条件称为最佳匹配(共轭匹配)。工程上还可以根据其他的匹配条件求解最大功率。在此不一一列举。

例 9-11 图 9-15 所示电路中的正弦电源 $ \dot{U}_s = 10 / -\frac{45^\circ}{} $ V，负载 $ Z_L $ 可任意变动。求 $ Z_L $ 可能获得的最大功率（分 3 种情况： $ g = 0.5 $ S，-0.5 S 和 1 S）。

解 求一端口 $ 1-1^{\prime} $ 的戴维宁等效电路。用电流源 i 替代 $ Z_{L} $ 后，结点方程为

$$ \begin{aligned}&\left(\frac{1}{1-\mathrm{j}}+\frac{1}{\mathrm{j}}+\frac{1}{2}\right)\dot{U}_{10}-\frac{1}{2}\dot{U}_{20}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{s}}}{1-\mathrm{j}}\\&\quad-\frac{1}{2}\dot{U}_{10}+\frac{1}{2}\dot{U}_{20}-g\dot{U}_{10}=-\dot{I}\end{aligned} $$

解得

$$ \dot{U}_{20}=\dot{U}_{11^{\prime}}=\frac{1+2g}{-g+\mathrm{j}(g-1)}\dot{U}_{\mathrm{s}}-\frac{1-\mathrm{j}3}{-g+\mathrm{j}(g-1)}\dot{I} $$

戴维宁等效电路的参数为

$$ \dot{U}_{\mathrm{e x}}=\frac{1+2\mathbf{g}}{-\mathbf{g}+\mathrm{j}(g-1)}\dot{U}_{\mathrm{s}}\qquad Z_{\mathrm{e q}}=\frac{1-\mathrm{j}3}{-\mathbf{g}+\mathrm{j}(g-1)} $$

（1）当 g=0.5S 时，有

$$ \dot{U}_{\mathrm{oc}}=20\sqrt{2}\underline{{/90^{\circ}}}\mathrm{~V~}\qquad Z_{\mathrm{eq}}=(2+\mathrm{j}4)\Omega $$

当 $ Z_{L}=Z_{eq}^{*}=(2-j4)\Omega $ 时， $ Z_{L} $ 可获最大功率为

$$ P_{max}=\frac{U_{oc}^{2}}{2\times4}=100\ W $$

(2) 当 g = -0.5 S 时，有

$$ \dot{U}_{\mathrm{~e c}}=0\quad Z_{\mathrm{e q}}=2\Omega $$

得最佳匹配，但一端口无功率输出。

（3）当 g=1 S 时，

$$ \dot{U}_{\mathrm{o c}}=30~\underline{{/135^\circ}}~\mathrm{V}\quad Z_{\mathrm{e q}}=(-1+\mathrm{j}3)~\Omega $$

该情况留给读者分析、讨论。

——习题——

9-1 试求题 9-1 图所示各电路的输入阻抗 Z 和导纳 Y。

9-2 将题9-2图所示三角形[图(a)]和星形[图(b)]联结的电路转换为等效星形和三角形联结的电路。

93 题9-3图中N为不含独立源的一端口，端口电压u、电流i分别如下列各式所示。试求每一种情况下的输入阻抗Z和导纳Y，并给出等效电路图（包括元件的参数值）。

(1)

$$ \left\{\begin{array}{l}u=200\cos(314t)\mathrm{~V}\\ i=10\cos(314t)\mathrm{~A}\end{array}\right.; $$

(2)

$$ \left\{\begin{array}{l}u=10\mathrm{c o s}\left(10t+45^{\circ}\right)\mathrm{~V}\\ i=2\mathrm{c o s}\left(10t-90^{\circ}\right)\mathrm{~A}\end{array}\right.; $$

(3)

$$ \left\{\begin{array}{l}u=100\cos(2t+60^{\circ})\mathrm{~V}\\ i=5\cos(2t-30^{\circ})\mathrm{~A}\end{array}\right.; $$

(4)

$$ \left\{\begin{aligned}{}&{{}u=40\operatorname{c o s}\left(100t+17^{\circ}\right)\mathrm{~V~}}\\ {}&{{}i=8\operatorname{s i n}\left(100t+\frac{\pi}{2}\right)\mathrm{~A~}^{\circ}}\\ \end{aligned}\right. $$

9-4 已知题 9-4 图所示电路中 $ u_{S}=16\sqrt{2}\sin(\omega t+30^{\circ}) $ V，电流表 A 的读数为 5 A。 $ \omega L=4 $ $ \Omega $，求电流表 $ A_{1} $、 $ A_{2} $ 的读数。

9-5 题 9-5 图所示电路中， $ I_{2}=10\ A $， $ U_{s}=\frac{10}{\sqrt{2}}\ V $，求电流 i 和电压 $ \dot{U}_{s} $，并画出电路的相量图。

9-6 题 9-6 图中 $ i_S = 14\sqrt{2}\cos(\omega t + \phi) $ mA，调节电容，使电压 $ \dot{U} = U/\phi $，电流表 $ A_1 $ 的读数为 50 mA。求电流表 $ A_2 $ 的读数。

9-7 题 9-7 图中 $ Z_1 = (10 + j50)\ \Omega $, $ Z_2 = (400 + j1\ 000)\ \Omega $, 如果要使 $ \dot{I}_2 $ 和 $ \dot{U}_s $ 的相位差为 $ 90^\circ $ (正交), $ \beta $ 应等于多少？如果把图中 CCCS 换为可变电容 $ C $, 求 $ \omega C $。

9-8 已知题 9-8 图所示电路中 $ U=8\ V, Z=(1-j0.5)\ \Omega, Z_{1}=(1+j1)\ \Omega, Z_{2}=(3-j1)\ \Omega $。求各支路电流和电路的输入导纳、画出电路的相量图。

9-9 已知题 9-9 图所示电路中， $ U=100\ V $， $ U_{c}=100\sqrt{3}\ V $， $ X_{c}=-100\sqrt{3}\ \Omega $，阻抗 $ Z_{x} $ 的阻抗角 $ \left|\varphi_{x}\right|=60^{\circ} $。求 $ Z_{x} $ 和电路的输入阻抗。

9-10 题9-10图所示电路中，当S闭合时，各表读数如下：V为220 V、A为10 A、W为1000 W；当S打开时，各表读数依次为220 V、12 A和1600 W。求阻抗 $ Z_{1} $和 $ Z_{2} $，设 $ Z_{1} $为感性（图中表W称为功率表，其读数= $ \mathrm{Re}[\dot{U}I^{*} $]， $ \dot{U} $为表W跨接的电压相量， $ \dot{I} $为从*端流进表W的电流相量）。

9-11 已知题9-11图所示电路中，各交流电表的读数分别为 $ V:100\ V; V_{1}:171\ V; $ $ V_{2}:240\ V $。 $ I=4\ A, P_{1}=240\ W(Z_{1}\text{吸收}) $，求阻抗 $ Z_{1} $ 和 $ Z_{2} $。

9-12 如果题9-12图所示电路中R改变时电流I保持不变，L、C应满足什么条件？

9-13 题 9-13 图所示电路在任意频率下都有 $ U_{cd} = U_{s} $。试求：

（1）满足上述要求的条件：

（2） $ U_{cd} $ 相位的可变范围。

9-14 已知题 9-14 图所示电路中的电压源为正弦量, $ L = 1 \, mH $, $ R_{0} = 1 \, k\Omega $, $ Z = (3 + j5)\Omega $ 试求：

（1）当 $ i_{0}=0 $时，C值为多少？

(2) 当条件(1)满足时，试证明输入阻抗为 $ R_{0} $

9-15 在题9-15图所示电路中，已知 $ U=100\ V, R_{2}=6.5\ \Omega, R=20\ \Omega $，当调节触点c使 $ R_{sc}=4\ \Omega $ 时，电压表的读数最小，其值为30 V。求阻抗 Z。

9-16 已知题9-16图所示电路中，当 $ Z=0 $时， $ \dot{U}_{11}=\dot{U}_{0} $; 当 $ Z=\infty $时， $ \dot{U}_{11^{\prime}}=\dot{U}_{k} $。端口2-2的输入阻抗为 $ Z_{A} $。试证明Z为任意值时有

$$ \dot{U}_{11^{\prime}}=\dot{U}_{\mathbf{k}}+\frac{(\dot{U}_{0}-\dot{U}_{\mathbf{k}})Z_{\mathrm{A}}}{Z+Z_{\mathrm{A}}} $$

9-17 列出题9-17图所示电路的回路电流方程和结点电压方程。已知 $ u_{s}=14.14\cos(2t) $ V, $ i_{s}=1.414\cos(2t+30^{\circ}) $ A。

9+18 已知题9-18图所示电路中， $ I_{s}=10\ A,\omega=5\ 000\ rad/s,R_{1}=R_{2}=10\ \Omega,C=10\ \mu F,\mu=0.5 $ 。求电源发出的复功率。

9-19 题9-19图所示电路中R可变动， $ \dot{U}_{s}=200\ \frac{0^{\circ}}{V} $ 。试求R为何值时，电源 $ \dot{U}_{s} $ 发出的功率最大（有功功率）？

9-20 求题 9-3(2)、(4) 电路吸收的复功率。

9-21 题9-21图所示电路中，已知 $ I_{s}=0.6\ A $， $ R=1\ k\Omega $， $ C=1\ \mu F $。如果电流源的角频率可变，问在什么频率时，RC串联部分获最大功率？

9-22 题9-22图所示电路中 $ R_{1}=R_{2}=10\ \Omega $，电压表的读数为20 V，功率表的读数为120 W。试求 $ \frac{\dot{U}_{2}}{\dot{U}_{1}} $和电源发出的复功率 $ \overline{S}(L=0.25\ H,C=10^{-3}\ F) $。

9-23 题9-23图中 $ R_{1}=R_{2}=100\Omega,L_{1}=L_{2}=1\mathrm{~H},C=100\mu\mathrm{F},\dot{U}_{s}=100\angle0^{\circ}\mathrm{~V},\omega=100\mathrm{~rad}/\mathrm{s} $。求 $ Z_{L} $能获得的最大功率。

9-24 题9-24图中的独立电源为同频正弦量，当S打开时，电压表的读数为25V。电路中的阻抗为 $ Z_{1}=(6+j12)\Omega,Z_{2}=2Z_{1} $。求S闭合后 $ -j\frac{1}{\omega C} $为何值时， $ Z_{1} $获最大功率？并求此时电压表V的读数。

9-25 把3个负载并联接到220 V正弦电源上，各负载取用的功率和电流分别为： $ P_{1}=4.4\ kW $， $ I_{1}=44.7\ A $（感性）； $ P_{2}=8.8\ kW $， $ I_{2}=50\ A $（感性）； $ P_{3}=6.6\ kW $， $ I_{3}=60\ A $（容性）。求题9-25图中表A、W的读数和电路的功率因数。

9-26 已知题9-26图中

$$ u\left(t\right)=20\cos\left(10^{3}t+75^{\circ}\right)\mathrm{V} $$

$$ i(t)=\sqrt{2}\sin\left(10^{3}t+120^{\circ}\right)A $$

$ N_{0} $中无独立源。求 $ N_{0} $吸收的复功率和输入阻抗 $ Z_{i} $

9-27 已知题 9-27 图中 $ \dot{U}_s = 100\ \frac{90^\circ}{\sqrt{0}} \, \text{V}, \dot{I}_s = 5\ \frac{0^\circ}{\sqrt{0}} \, \text{A} $。求当 $ Z_L $ 获最大功率时各独立源发出的复功率。

含有耦合电感的电路

内容提要

耦合电感在工程中有着广泛的应用。本章主要介绍耦合电感中的磁耦合现象、互感和耦合因数、耦合电感的同名端和耦合电感的磁通链方程、电压电流关系；还介绍含有耦合电感电路的分析计算及变压器、理想变压器的初步概念。

§10-1 互感

载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。图10-1(a)为两个有耦合的载流线圈（即电感 $ L_1 $ 和 $ L_2 $），载流线圈中的电流 $ i_1 $ 和 $ i_2 $ 称为施感电流，线圈的匝数分别为 $ N_1 $ 和 $ N_2 $。根据两个线圈的绕向、施感电流的参考方向，按右手螺旋法则确定施感电流产生的磁通方向和彼此交链的情况。线圈1中的电流 $ i_1 $ 产生的磁通设为 $ \Phi_{11} $ ①，方向如图所示，在交链自身的线圈时产生的磁通链设为 $ \Psi_{11} $，此磁通链称为自感磁通链； $ \Phi_{11} $ 中的一部分或全部交链线圈2时产生的磁通链设为 $ \Psi_{21} $，称为互感磁通链。同样，线圈2中的电流 $ i_2 $ 也产生自感磁通链 $ \Psi_{22} $ 和互感磁通链 $ \Psi_{12} $（图中未画出），这就是彼此耦合的情况。工程上称这对耦合线圈为耦合电感（元件）。

当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种磁通链都与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链

$$ \Psi_{11}=L_{1}i_{1}\qquad\quad\Psi_{22}=L_{2}i_{2} $$

互感磁通链

$$ \Psi_{12}=M_{12}\mathbf{\nabla}i_{2}\quad\Psi_{21}=M_{21}\mathbf{\nabla}i_{1} $$

上式中 $ M_{12} $ 和 $ M_{21} $ 称为互感系数，简称互感。单位为 H（亨）。可以证明， $ M_{12}=M_{21} $，所以当只有两个线圈（电感）有耦合时，可以略去 M 的下标，即可令 $ M=M_{12}=M_{21} $。耦合电感中的磁通链等于自感磁通链和互感磁通链两部分的代数和，如线圈 1 和 2 中的磁通链分别设为 $ \Psi_{1} $（与 $ \Psi_{11} $ 同向）和 $ \Psi_{2} $（与 $ \Psi_{22} $ 同向）。

$$ \begin{aligned}\Psi_{1}&=\Psi_{11}\pm\Psi_{12}=L_{1}i_{1}\pm Mi_{2}\\\Psi_{2}&=\Psi_{21}+\Psi_{22}=\pm Mi_{1}+L_{2}i_{2}\end{aligned} $$

上式表明，耦合线圈中的磁通链与施感电流成线性关系，是各施感电流独立产生的磁通链叠加的结果。M 前的“±”号是说明磁耦合中，互感作用的两种可能性。“+”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，自感方向的磁场得到加强（增磁），称为同向耦合。工程上将同向耦合状态下的一对施感电流 $ (i_{1}, i_{2}) $的入端（或出端）定义为耦合电感的同名端，并用同一符号标出这对端子，例如图10-1（a）中用“·”号标出的一对端子（1,2），即为耦合电感的同名端（未标记的端子1′，2′亦为同名端）。同名端可用实验的方法判断。式中“-”号表示施感电流 $ (i_{1}, i_{2}) $的入端为异名端，互感磁通链总是与自感磁通链的方向相反，总有 $ \Psi_{1} < \Psi_{11} $， $ \Psi_{2} < \Psi_{22} $，称为反向耦合，总是使自感方向的磁场削弱，有可能使耦合电感之一的合成磁场为零，甚至为负值，其绝对值有可能超过原自感磁场。耦合电感的耦合状态将随施感电流方向的变化而变化。引入同名端的概念后，可以用带有互感M和同名端标记的电感（元件） $ L_{1} $和 $ L_{2} $表示耦合电感，如图10-1（b）所示，其中M表示互感。这样有

$$ \varPsi_{1}=L_{1}i_{1}+M i_{2} $$

$$ \varPsi_{2}=M i_{1}+L_{2}i_{2} $$

式中含有 M 的项之前取“+”号，表示同向耦合。耦合电感可以看作是一个具有 4 个端子的二端口电路元件。

当有两个以上电感彼此之间存在耦合时，同名端应当一对一对地加以标记，每一对宜用不同符号标记。每一个电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。同向耦合时互感磁通链求和时取“+”号，反向耦合时，则取“-”号。

例 10-1 图 10-1(b) 中 $ i_{1}=1\ A $ (直流), $ i_{2}=5\ \cos(10t)\ A $, $ L_{1}=2\ H $, $ L_{2}=3\ H $, M=1 H。求耦合电感中的磁通链。

解 因为施感电流 $ i_{1} $、 $ i_{2} $ 都是从标记的同名端流进线圈，为同向耦合，各磁通链计算如下：

$$ \Psi_{11}=L_{1}i_{1}=2\mathrm{~W b} $$

$$ \Psi_{22}=L_{2}i_{2}=15~\mathrm{c o s}(10t)~\mathrm{W b} $$

$$ \Psi_{_{12}}=M i_{2}=5~\cos(10t)~\mathrm{W b} $$

$$ \Psi_{21}=M i_{1}=1\mathrm{~\bf~W b~} $$

最后得（按右手螺旋法则指定磁通链的参考方向）

$$ \Psi_{1}=L_{1}i_{1}+M i_{2}=\left[2+5\cos(10t)\right]\mathrm{~W b} $$

$$ \Psi_{2}=M i_{1}+L_{2}i_{2}=\left[1+15\cos\left(10t\right)\right]\mathrm{~W b} $$

由上式可知，在 $ \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi<10t<\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k=0,1,\cdots\right) $区域内，耦合电感实际处于反向耦合状态，将会出现 $ \Psi_{1}<0 $和 $ \left|\Psi_{1}\right|>\Psi_{11} $的情况。

耦合电感中的磁通链 $ \Psi_{1} $、 $ \Psi_{2} $，不仅与施感电流 $ i_{1} $、 $ i_{2} $ 有关，还与由线圈的结构、相互位置和磁介质所决定的线圈耦合的紧疏程度有关，工程上通过耦合电感中互感磁通链与自感磁通链的比值来衡量耦合的紧疏程度，有

$$ \begin{aligned}&\frac{\mid\Psi_{12}\mid}{\Psi_{11}}=\frac{Mi_{2}}{L_{1}i_{1}}\quad&( 线圈 1)\\&\frac{\mid\Psi_{21}\mid}{\Psi_{22}}=\frac{Mi_{1}}{L_{2}i_{2}}\quad&( 线圈 2)\end{aligned} $$

当 $ i_{1}=i_{2}=1 $ (单位电流)时，上述比值越大，表示耦合越紧密。工程上取上述两比值的几何平均值（将消去比值中的电流）定义为耦合电感的耦合因数 k，即有

$$ k\xlongequal{def}\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}\leqslant1 $$

改变耦合线圈之间的位置，就可能改变耦合电感的耦合因数的大小，当 $ L_{1} $ 和 $ L_{2} $ 一定时，也就相应地改变了互感 M 的大小。如图 10-2 所示，图(a) 为紧耦合， $ k\approx1 $（称为全耦合），图(b) 为疏耦合（轴线垂直），可能使 $ k\approx0 $（无耦合）。耦合电感的互感系数 M 不会大于 $ \sqrt{L_{1}L_{2}} $。

如果耦合电感 $ L_{1} $ 和 $ L_{2} $ 中有变动的电流，耦合电感中的磁通链将跟随电流变动。根据法拉第电磁感应定律，耦合电感的两个端口将产生感应电压。设 $ L_{1} $ 和 $ L_{2} $ 端口的电压和电流分别为 $ u_{1} $、 $ i_{1} $ 和 $ u_{2} $、 $ i_{2} $，且都取关联参考方向，互感为 M，则式（10-1）微分后有

$$ \begin{aligned}&u_{1}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Psi}_{1}}{\mathrm{d}t}=L_{1}\ \frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}\pm M\ \frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}\\ &u_{2}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Psi}_{2}}{\mathrm{d}t}=\pm M\ \frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}+L_{2}\ \frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}\\ \end{aligned} $$

上式表示耦合电感的电压电流关系。令 $ u_{11}=L_{1}\frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t},u_{22}=L_{2}\frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t} $ 称为自感电压，令 $ u_{12}=M\frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t},u_{21}=M\frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t} $ 称为互感电压， $ u_{12} $ 是变动电流 $ i_{2} $ 在 $ L_{1} $ 中产生的互感电压， $ u_{21} $ 是变动电流 $ i_{1} $ 在 $ L_{2} $ 中产生的互感电压。所以耦合电感的电压是自感电压和互感电压叠加的结果。互感电压前的“+”或“-”号的正确取舍是写出耦合电感电压电流关系的关键，取舍方法可简明地表述如下：一种方法是根据耦合电感的耦合状态，当耦合电感同向耦合时，则互感电压在 KVL 方程中与

自感电压同号，反向耦合时，与自感电压异号。另一种方法是约定互感电压的“+”极性端的设定规则：总是使施感电流的入端与其互感电压（在另一线圈中）的“+”极性端（设定）为耦合电感的同名端（即一对同标记端），即当施感电流从同名端的标记端流进线圈（入端）时，则其互感电压的“+”极性端就设在同名端的标记端，反之亦然。如图10-1（b）中的 $ M\frac{di_1}{dt} $和 $ M\frac{di_2}{dt} $的“+”极性端都设在同名端标记的端子上。然后再根据编写KVL方程的取号方法，确定互感电压在方程中的取号，则上述互感电压 $ u_{12} $、 $ u_{21} $在KVL方程中，应当取“+”号（上述设置方法都符合右手螺旋法则）。

例 10-2 求例 10-1 中耦合电感的端电压 $ u_{1} $ 、 $ u_{2} $ 。

解 按图 10-1(b) 和式(10-2)，得

$$ u_{1}=L_{1}\ \frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}+M\ \frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}=-50\mathrm{sin}(10t)\ \mathrm{V} $$

$$ u_{2}=M{\frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}}+L_{2}{\frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}}=-150\mathrm{s i n}(10t)\mathrm{V} $$

电压 $ u_{1} $ 中只含有互感电压 $ u_{12} $，电压 $ u_{2} $ 中只含有自感电压 $ u_{22} $，这说明不变动的电流 $ i_{1} $（直流）虽产生自感和互感磁通链，但不产生自感电压和互感电压。

当施感电流为同频正弦量时，在正弦稳态情况下，电压、电流方程可用相量形式表示，以图10-1(b)所示电路为例，有

$$ \dot{U}_{1}=\mathrm{j}\omega L_{1}\dot{I}_{1}+\mathrm{j}\omega M\dot{I}_{2} $$

$$ \dot{U}_{2}=\mathrm{j}\omega M\dot{I}_{1}+\mathrm{j}\omega L_{2}\dot{I}_{2} $$

如令 $ Z_{M}=j\omega M, \omega M $ 称为互感抗。

还可以用电流控制电压源CCVS表示互感电压的作用。对图10-1(b)的耦合电感，用CCVS表示的等效电路（相量形式）如图10-3所示。

§10-2 含有耦合电感电路的计算

含有耦合电感电路（简称互感电路）的正弦稳态分析可采用相量法。但应注意耦合电感上的电压包含自感电压和互感电压两部分，在列KVL方程时，要正确使用同名端计入互感电压；必要时可引用CCVS表示互感电压的作用。耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还与其相耦合的其他支路电流有关，列结点电压方程时要另行处理。

图10-4(a)所示耦合电感电路是一种串联电路，由于是反向耦合，故称反向串联（另一种为同向串联，为同向耦合状态），按图示参考方向，KVL方程为

$$ u_{1}=R_{1}i+\left(L_{1}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}-M\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\right)=R_{1}i+(L_{1}-M)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} $$

$$ u_{2}=R_{2}i+\left(L_{2}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}-M\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\right)=R_{2}i+(L_{2}-M)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} $$

根据上述方程可以给出一个无耦合等效电路，如图10-4(b)所示。根据KVL有

$$ u=u_{1}+u_{2}=\left(R_{1}+R_{2}\right)i+\left(L_{1}+L_{2}-2M\right)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} $$

等效电路为电阻 $ R_{1} $、 $ R_{2} $ 和等效电感 $ L (= L_{1} + L_{2} - 2M) $ 的串联电路。对正弦稳态电路，可采用相量形式表示为

$$ \begin{aligned}\dot{U}_{1}&=\left[R_{1}+\mathrm{j}\omega\left(L_{1}-M\right)\right]\dot{I}\\\dot{U}_{2}&=\left[R_{2}+\mathrm{j}\omega\left(L_{2}-M\right)\right]\dot{I}\\\dot{U}=\left[R_{1}+R_{2}+\mathrm{j}\omega\left(L_{1}+L_{2}-2M\right)\right]\dot{I}\end{aligned} $$

电流i为

$$ \dot{I}=\frac{\dot{U}}{\left(R_{1}+R_{2}\right)+\mathrm{j}\omega\left(L_{1}+L_{2}-2M\right)} $$

每一条耦合电感支路的阻抗和电路的输入阻抗分别为

$$ Z_{1}=R_{1}+\mathrm{j}\omega(L_{1}-M) $$

$$ Z_{2}=R_{2}+\mathrm{j}\omega(L_{2}-M) $$

$$ Z=Z_{1}+Z_{2}=\left(R_{1}+R_{2}\right)+\mathrm{j}\omega\left(L_{1}+L_{2}-2M\right) $$

可以看出，反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比无互感时的阻抗小（电抗变小），这是由于互感的反向耦合作用，它类似于串联电容的作用，常称为互感的“容性”效应。每一耦合电感支路的等效电感分别为 $ (L_{1}-M) $和 $ (L_{2}-M) $，有可能其中之一为负值，但不可能都为负，整个电路仍呈感性 $ ^{①} $。

对同向串联电路，不难得出每一耦合电感支路的阻抗为

$$ Z_{1}=R_{1}+\mathrm{j}\omega(L_{1}+M) $$

$$ Z_{2}=R_{2}+\mathrm{j}\omega(L_{2}+M) $$

而

$$ Z=Z_{1}+Z_{2}=\left(R_{1}+R_{2}\right)+\mathrm{j}\omega\left(L_{1}+L_{2}+2M\right) $$

例 10-3 图 10-4(a) 所示电路中，正弦电压的 $ U=50 \, V, R_{1}=3 \, \Omega, \omega L_{1}=7.5 \, \Omega, R_{2}=5 \, \Omega, \omega L_{2}=12.5 \, \Omega, \omega M=8 \, \Omega $。求该耦合电感的耦合因数和该电路中各支路吸收的复功率 $ \bar{S}_{1} $ 和 $ \bar{S}_{2} $。

解 耦合因数 k 为

$$ k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}=\frac{\omega M}{\sqrt{\left(\omega L_{1}\right)\left(\omega L_{2}\right)}}=\frac{8}{\sqrt{(7.5\times12.5)}}=0.826 $$

求得支路的电流和阻抗，就能求得支路的复功率。支路的等效阻抗分别为

$$ Z_{1}=R_{1}+j\omega(L_{1}-M)=(3-j0.5)\Omega=3.04\underline{\angle-9.46^{\circ}}\Omega( 容性 ) $$

$$ Z_{2}=R_{2}+j\omega(L_{2}-M)=(5+j4.5)\Omega=6.73\frac{\sqrt{42^{\circ}}}{\Omega}( 感性 ) $$

输入阻抗 Z 为

$$ Z=Z_{1}+Z_{2}=\left(8+j4\right)\Omega=8.94\angle{26.57^{\circ}}\Omega $$

令 $ \dot{U}=50\ \frac{0^{\circ}}{V} $，解得电流 $ i $为

$$ \dot{I}=\frac{\dot{U}}{Z}=\frac{50/0^{\circ}}{8.94/26.57^{\circ}}\mathrm{~A}=5.59\frac{1}{26.57^{\circ}}\mathrm{~A} $$

各支路吸收的复功率分别为

$$ \mathbf{\bar{S}}_{1}=\mathbf{I}^{2}\mathbf{Z}_{1}=\left(93.75-\mathrm{j}15.63\right)\mathbf{V}\cdot\mathbf{A} $$

$$ \bar{S}_{2}=I^{2}Z_{2}=\left(156.25+\mathrm{j}140.63\right)\mathrm{V}\cdot\mathrm{A} $$

电源发出的复功率 $ \bar{S} $ 为

$$ \bar{\boldsymbol{S}}=\dot{U}\dot{\boldsymbol{I}}^{*}=\left(250+\mathrm{j}125\right)\mathrm{V}\cdot\mathrm{A}=\bar{\boldsymbol{S}}_{1}+\bar{\boldsymbol{S}}_{2} $$

图10-5(a)所示电路为耦合电感的一种并联电路，由于同名端连接在同一个结点上，称为同侧并联电路。当异名端连接在同一结点上时，则称为异侧并联电路，如图10-5(b)所示。正弦稳态情况下，对同侧并联电路有

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\dot{U}=\left(R_{1}+\mathrm{j}\omega L_{1}\right)\dot{I}_{1}+\mathrm{j}\omega M\dot{I}_{2}}\\ {}&{{}\dot{U}=\mathrm{j}\omega M\dot{I}_{1}+\left(R_{2}+\mathrm{j}\omega L_{2}\right)\dot{I}_{2}}\\ {}&{{}\dot{I}_{3}=\dot{I}_{1}+\dot{I}_{2}}\\ \end{aligned}\right\} $$

对异侧并联电路可类似地得出

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\dot{U}=\left(R_{1}+\mathrm{j}\omega L_{1}\right)\dot{I}_{1}-\mathrm{j}\omega M I_{2}}\\ {}&{{}\dot{U}=-\mathrm{j}\omega M\dot{I}_{1}+\left(R_{2}+\mathrm{j}\omega L_{2}\right)\dot{I}_{2}}\\ {}&{{}\dot{I}_{3}=\dot{I}_{1}+\dot{I}_{2}}\\ \end{aligned}\right\} $$

令 $ Z_{1}=R_{1}+\mathrm{j}\omega L_{1}, Z_{2}=R_{2}+\mathrm{j}\omega L_{2}, Z_{M}=\mathrm{j}\omega M $ ，式（10-3a）和式（10-3b）改写为

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}\dot{U}=Z_{1}\dot{I}_{1}\pm Z_{M}\dot{I}_{2}}\\ {}&{{}\dot{U}=\pm Z_{M}\dot{I}_{1}+Z_{2}\dot{I}_{2}}\\ {}&{{}\dot{I}_{3}=\dot{I}_{1}+\dot{I}_{2}}\\ \end{aligned}\right\} $$

式中“+”号对应同侧并联电路。根据上述的电路方程就可以对耦合电感的并联电路进行分析求解。

例 10-4 图 10-5(a)中，设正弦电压的 $ U=50~V, R_{1}=3~\Omega, \omega L_{1}=7.5~\Omega, R_{2}=5~\Omega, \omega L_{2}=12.5~\Omega, \omega M=8~\Omega $ (与例10-3相同)。求电路的输入阻抗及支路1、2的电流。

解 令 $ \dot{U}=50\ \frac{0^{\circ}}{V} $，根据式(10-3c)解得

$$ \dot{I}_{1}=\frac{Z_{2}-Z_{M}}{Z_{1}Z_{2}-Z_{M}^{2}}\dot{U}=\frac{5+\mathrm{j}4.5}{-14.75+\mathrm{j}75}\dot{U}=4.40\mathrm{\ \angle-59.14^{\circ}\ A} $$

$$ \dot{I}_{2}=\frac{Z_{1}-Z_{M}}{Z_{1}Z_{2}-Z_{M}^{2}}\dot{U}=\frac{3-\mathrm{j}0.5}{-14.75+\mathrm{j}75}\dot{U}=1.99\underline{\mathrm{/-110.59}^{\circ}}\mathrm{A} $$

求得输入阻抗 $ Z_{i} $ 为

$$ \begin{aligned}Z_{i}&=\frac{\dot{U}}{(\dot{I}_{1}+\dot{I}_{2})}=\frac{Z_{1}Z_{2}-Z_{M}^{2}}{Z_{1}+Z_{2}-2Z_{M}}=\frac{-14.75+\mathrm{j}75}{8+\mathrm{j}4}\Omega\\&=8.55\mathrm{~/}74.56^{\circ}\Omega=(2.28+\mathrm{j}8.24)\Omega\end{aligned} $$

如 $ R_{1}=R_{2}=0, Z_{i} $ 为输入电抗，有

$$ \begin{aligned}Z_{\mathrm{i}}&=\mathrm{j}X=\frac{\left(\mathrm{j}\omega L_{1}\right)\left(\mathrm{j}\omega L_{2}\right)-\left(\mathrm{j}\omega M\right)^{2}}{\left(\mathrm{j}\omega L_{1}\right)+\left(\mathrm{j}\omega L_{2}\right)-2\left(\mathrm{j}\omega M\right)}\\&=\mathrm{j}\omega\ \frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}=\mathrm{j}\omega L_{\mathrm{eq}}=\mathrm{j}7.44\Omega\end{aligned} $$

根据同侧并联耦合电路方程式(10-3a)可推导出去耦等效电路。用 $ \dot{I}_{2}=\dot{I}_{3}-\dot{I}_{1} $ 消去支路1方程中的 $ \dot{I}_{2} $，用 $ \dot{I}_{1}=\dot{I}_{3}-\dot{I}_{2} $ 消去支路2方程中的 $ \dot{I}_{1} $，有

$$ \dot{U}=\mathrm{j}\omega M\dot{I_{3}}+\left[R_{1}+\mathrm{j}\omega(L_{1}-M)\right]\dot{I}_{1} $$

$$ \dot{U}=\mathrm{j}\omega M\dot{I_{3}}+\left[R_{2}+\mathrm{j}\omega(L_{2}-M)\right]\dot{I}_{2} $$

根据上述方程可获得无耦合的等效电路，如图10-5(c)所示。无耦合等效电路又称去耦等效电路。同理，按式(10-3b)可得出异侧并联的去耦等效电路，其差别仅在于互感M前的“+”、“-”号。可以归纳出如下的去耦方法：如果耦合电感的两条支路各有一端与第3支路形成一个仅含3条支路的共同结点，则可用3条无耦合的电感支路等效替代，3条支路的等效电感分别为

$$ ( 支路 ~3)L_{3}=\pm M( 同侧取“+”, 异侧取“-”) $$

$$ \left(\begin{aligned}& 支路 1)L_{1}^{^{\prime}}=L_{1}\mp M\\&( 支路 2)L_{2}^{^{\prime}}=L_{2}\mp M\end{aligned}\right)\begin{aligned}M& 前所取符号与 L_{3} 中的相反 \end{aligned} $$

等效电感与电流参考方向无关。这3条支路中的其他元件不变。注意去耦等效电路中的结点[如图10-5(c)中①所示]不是原电路的结点①，原结点①移至 $ L_{3} $的前面。

例 10-5 图 10-6(a) 所示电路中 $ \omega L_{1} = \omega L_{2} = 10\Omega, \omega M = 5\Omega, R_{1} = R_{2} = 6\Omega, U_{s} = 12\ V $ 。求 $ Z_{L} $ 最佳匹配时获得的功率 P 。

解 求解本例的一般方法是用戴维宁(诺顿)等效电路。当一端口电路中含有耦合电感时，求解方法与含有受控源的一端口电路相同。现用一步法解本例。在端口1-1'置电流源 $ I_{替代}Z_{L} $，求外特性 $ \dot{U}_{11}=f(\dot{I}) $。列网孔(顺时针)方程及 $ \dot{U}_{11} $的表达式为

$$ \left(\boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{2}+\mathrm{j}\omega\boldsymbol{L}_{1}\right)\dot{\boldsymbol{I}}_{1}-\left(\boldsymbol{R}_{2}+\mathrm{j}\omega\boldsymbol{M}\right)\dot{\boldsymbol{I}}=\dot{\boldsymbol{U}}_{\mathrm{s}}( 左网孔 ) $$

$$ \dot{U}_{11}=-\left(R_{2}+\mathrm{j}\omega L_{2}\right)\dot{I}+\left(R_{2}+\mathrm{j}\omega M\right)\dot{I}_{1}( 右网孔 ) $$

解得

$$ \dot{U}_{11^{\prime}}=\frac{1}{2}\dot{U}_{s}-\left(3+\mathrm{j}7.5\right)\dot{I} $$

戴维宁等效电路参数为

$$ \dot{U}_{\mathrm{e x}}=\frac{1}{2}\dot{U}_{\mathrm{s}}=6\mathrm{~\angle~0~}^{\circ}\mathrm{~V~} $$

$$ Z_{\mathrm{e q}}=\left(3+\mathrm{j}7.5\right)\Omega $$

最佳匹配时 $ Z_{L}=Z_{eq}^{*}=(3-j7.5)\Omega $，求得功率

$$ P=\frac{U_{\infty}^{2}}{4R_{eq}}=\frac{36}{12}\mathrm{~W}=3\mathrm{~W} $$

本例的电路中，耦合电感的两条支路与 $ R_{2} $ 形成两个3支路结点 a 和 $ 1' $，所以可用去耦法求解。图10-6(b)所示为去耦等效电路，求得开路电压和等效阻抗分

别为

$$ \dot{U}_{11^{\prime}\infty}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{s}}}{2(6+\mathrm{j}5)}(6+\mathrm{j}5)=\frac{1}{2}\dot{U}_{\mathrm{s}} $$

$$ Z_{\mathrm{e q}}=\left[\frac{1}{2}(6+\mathrm{j}5)+\mathrm{j}5\right]\Omega=(3+\mathrm{j}7.5)\Omega $$

本例用去耦法显得容易。应当注意，不是所有含耦合电感的电路都有去耦等效电路。

§10-3 耦合电感的功率

当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。图10-7所示（开关S打开状态）为耦合电感同向串联电路。现将线圈2短接（图中开关S闭合），讨论两个线圈中电磁能的传送。如无互感耦合，则达到稳态时电流 $ i_{2} $必定为零。但在有耦合的情况下，只要 $ \frac{di_{1}}{dt} $不为零，则电流 $ i_{2} $就不会为零，电磁能将从线圈1传送到线圈2。根据图10-7所示参考方向，电路方程为

$$ R_{1}i_{1}+L_{1}\frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}=u_{\mathrm{s}} $$

$$ M\;\frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}+R_{2}i_{2}+L_{2}\;\frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}=0 $$

第1式乘 $ i_{1} $，第2式乘 $ i_{2} $，得到耦合电感电路的瞬时功率方程为

$$ R_{1}i_{1}^{2}+i_{1}L_{1}\frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}+i_{1}M\frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}=u_{\mathrm{S}}i_{1} $$

$$ i_{2}M\ \frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}+R_{2}i_{2}^{2}+i_{2}L_{2}\ \frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}=0 $$

式中 $ i_{1}M\frac{di_{2}}{dt} $ (在线圈1中) 和 $ i_{2}M\frac{di_{1}}{dt} $ (在线圈2中) 为一对通过互感电压耦合的功率(吸收)，通过它们与两个耦合的线圈实现电磁能的转换和传输。关于电磁能通过互感转换和传输的现象，暂不作一般性的理论论述，仅对正弦稳态下的电磁能通过互感转换和传输状态作简要的分析和说明。

当图10-7所示耦合电感电路中的电压、电流为同频正弦量时，则两个线圈的复功率 $ \bar{S}_{1} $和 $ \bar{S}_{2} $分别为

$$ \begin{aligned}\widetilde{S}_{1}&=\dot{U}_{\mathrm{s}}\ \dot{I}_{1}^{*}=\left(R_{1}+\mathrm{j}\omega L_{1}\right)I_{1}^{2}+\mathrm{j}\omega M\ \dot{I}_{2}\ \dot{I}_{1}^{*}\\\widetilde{S}_{2}&=0=\mathrm{j}\omega M\ \dot{I}_{1}\ \dot{I}_{2}^{*}+\left(R_{2}+\mathrm{j}\omega L_{2}\right)I_{2}^{2}\end{aligned} $$

两个互感电压耦合的复功率分别为 $ \mathrm{j}\omega M\dot{I}_{2}\dot{I}_{1}^{*} $ (线圈 1 中) 和 $ \mathrm{j}\omega M\dot{I}_{1}\dot{I}_{2}^{*} $ (线圈 2 中)，由于 $ (\dot{I}_{2}\dot{I}_{1}^{*}) $ 和 $ (\dot{I}_{1}\dot{I}_{2}^{*}) $ 互为共轭复数，两者的实部同号，而虚部异号，但乘以 j 以后，则变为虚部同号，而实部异号。这一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的。

互感 M 本身是一个非耗能的储能参数，它兼有储能元件电感和电容两者的特性，当 M 起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感中的磁能增加；当 M 起反向耦合作用时，它的储能特性与电容相同（容性效应），与自感储存的磁能彼此互补。也就是说，两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响、性质是相同的，这就是耦合功率中虚部同号的原因。无功功率是通过互感 M 的储能特性与耦合电感进行转换的。耦合功率中的有功功率是相互异号的，这表明有功功率从一个端口进入（吸收，正号），必须从另一端口输出（发出、负号），这是互感 M 非耗能特性的体现，有功功率是通过耦合电感的电磁场传播的。

下面通过示例作具体说明。

例 10-6 求图 10-7 所示电路的复功率，并说明互感在功率转换和传输中的作用。图中 $ U_{s}=50\ V $， $ R_{1}=3\Omega $， $ \omega L_{1}=7.5\Omega $， $ R_{2}=5\Omega $， $ \omega L_{2}=12.5\Omega $， $ \omega M=8\Omega $（与例 10-3 相同）。

解 电路的方程为(令 $ \dot{U}_{s}=50\ \frac{\Delta}{0^{\circ}} $ V)

$$ \left(3+\mathrm{j}7.5\right)\dot{I}_{1}+\mathrm{j}8\ \dot{I}_{2}=\dot{U}_{s} $$

$$ \mathrm{j}8\dot{I}_{1}+\left(5+\mathrm{j}12.5\right)\dot{I}_{2}=0 $$

解得

$$ \begin{aligned}\dot{I}_{1}=\frac{5+\mathrm{j}12.5}{\left(3+\mathrm{j}7.5\right)\left(5+\mathrm{j}12.5\right)+\left(\mathrm{j}8\right)^{2}}\dot{U}_{\mathrm{s}}=8.81\ \mathrm{\mu\Lambda/-32.93^{\circ}}\mathrm{A}\\\dot{I}_{2}=\frac{-\mathrm{j}8\ \dot{I}_{1}}{5+\mathrm{j}12.5}=5.24\ \mathrm{\mu\Lambda/168.87^{\circ}}\mathrm{A}\end{aligned} $$

复功率分别为

$$ \begin{aligned}\bar{\boldsymbol{S}}_{\mathrm{s}}&=\dot{\boldsymbol{U}}_{\mathrm{s}}\ \dot{\boldsymbol{I}}_{1}^{*}=\left(3+\mathrm{j}7.5\right)\boldsymbol{I}_{1}^{2}+\mathrm{j}8\ \dot{\boldsymbol{I}}_{2}\ \dot{\boldsymbol{I}}_{1}^{*}\\&=\left[\left(232.85+\mathrm{j}582.12\right)+\left(137.15-\mathrm{j}342.91\right)\right]\mathrm{V}\cdot\mathrm{A}\\\bar{\boldsymbol{S}}_{2}&=\mathrm{j}8\ \dot{\boldsymbol{I}}_{1}\ \dot{\boldsymbol{I}}_{2}^{*}+\left(5+\mathrm{j}12.5\right)\boldsymbol{I}_{2}^{2}\\&=\left[\left(-137.15-\mathrm{j}342.91\right)+\left(137.15+\mathrm{j}342.91\right)\right]\mathrm{V}\cdot\mathrm{A}\\&=0\end{aligned} $$

从上式可以看出，互感电压发出无功功率，分别补偿 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 中的无功功率，其中， $ L_2 $ 和 $ M $ 处于完全补偿状态。线圈 1 中的互感电压吸收的 137.15 W 有功功率，由线圈 2 中的互感电压发出，供给支路 2 中的电阻 $ R_2 $ 消耗。只要 $ \arg( \dot{I}_1 \dot{I}_2^* ) \neq 0 $，就会出现互感传递有功功率的现象。

例 10-7 对例 10-4 中的复功率的转换和传输作进一步分析。

解 复功率 $ \bar{S}_{1} $ 和 $ \bar{S}_{2} $ 分别为

$$ \begin{array}{c} \bar{S}_{1}=\dot{U}\dot{I}_{1}^{*}=\left(3+\mathrm{j}7.5\right)I_{1}^{2}+\mathrm{j}8\left(1.99~\underline{/-110.59^{\circ}}\times4.40~\underline{/59.14^{\circ}}\right)\\ \\ \bar{S}_{2}=\dot{U}\dot{I}_{2}^{*}=\mathrm{j}8(1.99\underline{/110.59^{\circ}}\times4.40\underline{/-59.14^{\circ}})+(5+\mathrm{j}12.5)I_{2}^{2} \end{array} $$

计算结果为

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{S}}_{1}&=\left[\left(58.08+\mathrm{j}145.2\right)+\left(54.78+\mathrm{j}43.65\right)\right]\mathrm{V}\cdot\mathbf{A}\\\overline{\boldsymbol{S}}_{2}&=\left[\left(-54.78+\mathrm{j}43.65\right)+\left(19.80+\mathrm{j}49.50\right)\right]\mathrm{V}\cdot\mathbf{A}\end{aligned} $$

从结果可以看出，互感 M 起同向耦合作用，耦合电感中的无功功率都增加了同一个值，而有功功率的传输情况是：线圈 1 多吸收的 54.78W 传输给线圈 2，并由线圈 2 发出，扣除线圈 2 中电阻 $ R_{2} $ 的消耗后，尚有 34.98W 多余功率，这部分有功功率又返回电源，表明系统对有功功率有过量吸收的情况，出现“过冲”现象。如果将图 10-4(a) 所示电路改接成图 10-8 的形式，而其中的参数值与

例10-4所述相同，而两边的电压源为 $ U_{1}=U_{2}=U $，这样计算结果完全相同，但可以看得更清楚。有功功率从左边的电压源发出，供给耦合电感中的电阻消耗后，又将多余部分传输给右边的电压源吸收。

最后应当指出，当 $ \arg(\hat{I}_{1}\hat{I}_{2}^{*})=0 $ 时，耦合电感中将不会出现有功功率的传播。此外，电路的状态是经过一段历史后的稳定状态，上述的分析不能反映耦合电感电路中电磁能的转换和传播的全过程，仅在正弦稳定的条件下反映耦合电感在电磁能的转换和传播中的作用和一些特点，当然，这也是耦合电感电磁性能的一种表现。

§10-4 变压器原理

变压器是电工、电子技术中常用的电气设备，是耦合电感工程实际应用的典型例子，在其他课程有专门的论述，这里仅对电路原理作简要的介绍。它由两个耦合线圈绕在一个共同的心子上制成，其中，一个线圈作为输入端口，接入电源后形成一个回路，称为一次回路（或一次侧，旧称原边回路、初级回路）；另一线圈作为输出端口，接入负载后形成一个回路，称为二次回路（或二次侧，旧称副边回路、次级回路）。变压器的心子是线性磁性（或工作在线性段）材料制成的，其电路模型如图10-9所示，图中的负载设为 $ Z_{L} $。变压器通过耦合作用，将输入一次侧中的一部分能量传递到二次侧输出。在正弦稳态下，变压器电路的方程（双网孔方程）为

$$ \left.\begin{aligned}&\left(\boldsymbol{R}_{1}+\mathrm{j}\omega\boldsymbol{L}_{1}\right)\dot{\boldsymbol{I}}_{1}+\mathrm{j}\omega\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{I}}_{2}=\dot{\boldsymbol{U}}_{1}\\ &\mathrm{j}\omega\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{I}}_{1}+\left(\boldsymbol{R}_{2}+\mathrm{j}\omega\boldsymbol{L}_{2}+\boldsymbol{Z}_{\mathrm{L}}\right)\dot{\boldsymbol{I}}_{2}=0\end{aligned}\right\} $$

上述方程是由一次侧和二次侧两个独立回路方程组成，它们通过互感的耦合联列在一起，是分析变压器性能的依据。令 $ Z_{11}=R_{1}+\mathrm{j}\omega L_{1} $，称为一次回路阻抗， $ Z_{22}=R_{2}+\mathrm{j}\omega L_{2}+Z_{1} $，称为二次回路阻抗， $ Z_{M}=\mathrm{j}\omega M $ 为互感抗，则上述方程式可简写为

$$ Z_{11}\dot{I}_{1}+Z_{M}\dot{I}_{2}=\dot{U}_{1}\qquad( 一次侧 ) $$

$$ Z_{M}\dot{I}_{1}+Z_{22}\dot{I}_{2}=0( 二次侧 ) $$

工程上根据不同的需要，采用不同的等效电路来分析研究变压器的输入端口或输出端口的状态及相互影响。由式(10-4)解得变压器一次电路中的电流 $ \dot{I}_{1} $为

$$ \dot{I}_{1}=\frac{\dot{U}_{1}}{Z_{11}-Z_{M}^{2}Y_{22}}=\frac{\dot{U}_{1}}{Z_{11}+\left(\omega M\right)^{2}Y_{22}}=\frac{\dot{U}_{1}}{Z_{\mathrm{i}}} $$

表明变压器一次等效电路的输入阻抗可由两个阻抗的串联组成，其中 $ -\mathrm{Z}_{M}^{2}\mathrm{Y}_{22}=(\omega M)^{2}\mathrm{Y}_{22} $称为引入阻抗，或反映阻抗，它是二次回路阻抗和互感抗通过互感反映到一次侧的等效阻抗。引入阻抗的性质与 $ Z_{22} $相反，即感性（容性）变为容性（感性）。等效电路如图10-10(a)所示。

变压器输入端口的工作状态已隐含了二次端口(输出)的工作状态,根据式(10-4)可以将输出端口的电流 $ \dot{I}_{1} $、 $ \dot{U}_{1} $，用输入电流 $ \dot{I}_{1} $，表示出来,即有

$$ \dot{I}_{2}=-\frac{Z_{M}}{Z_{22}}\dot{I}_{1} $$

$$ \dot{U}_{2}=-Z_{\mathrm{L}}\dot{I}_{2}=\frac{Z_{M}Z_{\mathrm{L}}}{Z_{22}}\dot{I}_{1} $$

也可以用二次等效电路从输出端来研究一、二次侧的关系。将上式电流 $ I_{2} $的表达式改写为

$$ \dot{I}_{2}=-\frac{Z_{M}}{Z_{22}}\frac{\dot{U}_{1}}{Z_{11}+(\omega M)^{2}Y_{22}}=-\frac{Z_{M}\dot{U}_{1}/Z_{11}}{Z_{22}+(\omega M)^{2}Y_{11}}=-\frac{\dot{U}_{\mathrm{o c}}}{Z_{\mathrm{e q}}+Z_{\mathrm{L}}} $$

上式电流 $ \dot{I}_2 $ 是戴维宁等效回路的解答[也可直接从式(10-4)解得]。式中分子是戴维宁等效电路的等效电压源，即端口 $ 2-2' $ 的开路电压 $ \dot{U}_{\infty} $，分母是等效电路的回路阻抗，它由 3 部分阻抗串联组成，即一次回路反映到二次回路的引入阻抗（ $ \omega M $) $ ^2 $ $ Y_{11} $、二次线圈的阻抗 $ R_2 + j\omega L_2 $ 以及负载阻抗 $ Z_L $，其中 $ (R_2 + j\omega L_2) + Z_{L} = Z_{22} $。而 $ Z_{eq} = (\omega M)^2 Y_{11} + R_2 + j\omega L_2 $ 是一端口 $ 2-2' $ 的戴维宁等效阻抗，其等效回路如图 10-10(b)所示。

根据变压器的电路方程可以获得各部分的复功率及相互转换情况，即有

$$ \begin{aligned}{Z_{11}I_{1}^{2}+Z_{M}\dot{I}_{2}\dot{I}_{1}^{*}}&{{}=\dot{U}_{1}\dot{I}_{1}^{*}}\\ {Z_{M}\dot{I}_{1}\dot{I}_{2}^{*}+Z_{22}I_{2}^{2}}&{{}=0}\\ \end{aligned} $$

可得

$$ \begin{aligned}{Z_{22}\:I_{2}^{2}}&{{}=-Z_{M}\:\dot{I}_{1}\:\dot{I}_{2}^{\ast}=\left(Z_{M}\:\dot{I}_{2}\:\dot{I}_{1}^{\ast}\right)^{\ast}}\\ {}&{{}\left(\omega M\right)^{2}Y_{22}\:I_{1}^{2}=Z_{M}\:\dot{I}_{2}\:\dot{I}_{1}^{\ast}}\\ \end{aligned} $$

例 10-8 图 10-9 所示电路中， $ R_{1}=R_{2}=0 $， $ L_{1}=5\ H $， $ L_{2}=3.2\ H $， $ M=4\ H $， $ u_{1}=100\ \cos(10t)\ V $，负载阻抗为 $ Z_{L}=R_{L}+jX_{L}=10\ \Omega $。求变压器的耦合因数 k 和一、二次电流 $ i_{1} $、 $ i_{2} $。

解 变压器的耦合因数 k 为

$$ k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}=1 $$

表明变压器为全耦合电感。

根据图 10-10(b) 所示二次等效电路求电流 $ \dot{I}_{2} $ 。二次戴维宁等效电路的参数开路电压 $ \dot{U}_{oc} $ 和等效阻抗 $ Z_{eq} $ 分别为

$$ \begin{aligned}\dot{U}_{\mathrm{oc}}(=\dot{U}_{22^{\prime}})&=\mathrm{j}\omega M Y_{11}\dot{U}_{1}=\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}}\dot{U}_{1}=0.8\dot{U}_{1}\\Z_{\mathrm{eq}}&=(\omega M)^{2}Y_{11}+\mathrm{j}\omega L_{2}=0\end{aligned} $$

表明二次输出端口2-2的戴维宁等效电路为理想电压源。二次电流 $ \dot{I}_{2} $为

$$ \dot{I}_{2}=-\frac{\dot{U}_{\infty}}{Z_{\mathrm{eq}}+R_{\mathrm{L}}}=-0.08\ \dot{U}_{1} $$

将上述结果代入一次回路方程为

$$ \mathrm{j}\omega L_{1}\ \dot{I}_{1}-\mathrm{j}\omega M\ \frac{1}{R_{L}}\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}}\ \dot{U}_{1}=\dot{U}_{1} $$

解得 $ i_{1} $为

$$ \dot{I}_{1}=\frac{\dot{U}_{1}}{\mathrm{j}\omega L_{1}}+\frac{\dot{U}_{1}}{R_{\mathrm{L}}\left(\frac{L_{1}}{L_{2}}\right)}=\left(0.064-\mathrm{j}0.02\right)\dot{U}_{1}=0.067\dot{U}_{1}\underline{\mathrm{/-17.35^{\circ}}}\mathrm{A} $$

上式表明一次等效电路可用电感 $ L_{1} $ 与 15.625 $ \Omega\left(=\frac{R_{L}L_{1}}{L_{2}}\right) $ 的电阻并联电路表示。电流 $ \dot{I}_{1}、\dot{I}_{2} $ 的时域形式为

$$ i_{1}=6.7\cos(10t-17.35^{\circ})\mathrm{~A~} $$

$$ i_{2}=-8\cos(10t)\mathrm{~A~} $$

读者可用一次等效电路求解。

§10-5 理想变压器

本节将要介绍的理想变压器，是实际变压器理想化的模型。理想变压器不是偶然想像的产物，而是科学思维的必然结果，因为分析研究耦合电感时，总会促使人们进一步思考，如果耦合电感无限增大和更紧密耦合时，将会出现怎样的结果。读者对下面的分析，不仅仅要关注最终的结果，更为重要的是关注获得结果的过程。

图10-11(a)所示为无损耗（第1个理想化条件）变压器的电路模型，根据图示的参考方向，磁通链方程为

$$ \begin{aligned}{\Psi_{1}}&{{}=L_{1}i_{1}+M i_{2}}\\ {\Psi_{2}}&{{}=M i_{1}+L_{2}i_{2}}\\ \end{aligned} $$

这是分析研究耦合电感的基本方程。在无损耗的条件下，直接对方程求导就能获得表述耦合电感端口特性的电压-电流方程（电压、电流为关联方向）为

$$ \begin{aligned}&u_{1}=\frac{\mathrm{d}\Psi_{1}}{\mathrm{d}t}=L_{1}\ \frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}+M\ \frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}\\&u_{2}=\frac{\mathrm{d}\Psi_{2}}{\mathrm{d}t}=M\ \frac{\mathrm{d}i_{1}}{\mathrm{d}t}+L_{2}\ \frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}\\ \end{aligned} $$

当耦合因数 $ k \neq 1 $ 时，只要给出耦合电感的初始状态，由上式联列求解就能获得耦合系统的唯一解。但当 k = 1 时（全耦合，第2个理想化条件），有 $ L_{1}L_{2} - M^{2} = 0 $，即方程组右侧的系数行列式的值为零。由数学理论可知，在此情况下，求解上述方程组将毫无结果，表明方程组对全耦合电感的描述是不充分的，尽管其中每一个方程都符合电路理论的要求，但已失去联列的意义。这说明耦合电感在 k = 1 时，一定存在尚未表述的新的约束关系。分别将式（10-5）和式（10-6）中的两个方程相比，就得到磁通链比、电压比方程为

$$ \frac{\Psi_{1}}{\Psi_{2}}=\frac{u_{1}}{u_{2}}=\frac{\sqrt{L_{1}}}{\sqrt{L_{2}}}( 常数 ) $$

这一关系是符合实际的，可以直接证明。令耦合电感的绕组匝数分别为 $ N_{1} $、 $ N_{2} $，k=1 时的耦合磁通为 $ \Phi $，则有

$$ \Psi_{1}=N_{1}\Phi\quad u_{1}=N_{1}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} $$

$$ \Psi_{2}=N_{2}\Phi\quad u_{2}=N_{2}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} $$

同样有

$$ \frac{\Psi_{1}}{\Psi_{2}}=\frac{u_{1}}{u_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}} $$

两种形式是相同的（因为电感与匝数的平方成正比）。上式表明，电压比方程与电流无关，而且 $ u_{1} $、 $ u_{2} $ 中只有一个为独立变量，当 $ u_{2}=0 $（短路）时，必有 $ u_{1}=0 $，所以，当 $ u_{1} $ 为独立的电压源时，二次侧不能短路。并要注意， $ u_{1} $、 $ u_{2} $ 的“+”极性都设在有标记的同名端。

由磁通链比和电压比方程可知，方程组式(10-5)和式(10-6)都是线性相关的方程组，方程组中只有一个独立方程，也就是说，无损耗全耦合电感不存在描述其端口性能的线性无关的方程组。下面将讨论进一步改变变压器的结构将出现的变化。将式(10-6)的第一式改写为如下形式：

$$ \begin{aligned}i_{1}&=\frac{1}{L_{1}}\int u_{1}\mathrm{d}t-\frac{M}{L_{1}}\int\frac{\mathrm{d}i_{2}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{L_{1}}\int u_{1}\mathrm{d}t-\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}}\int\mathrm{d}i_{2}\end{aligned} $$

使上式中的 $ L_{1} $、 $ L_{2} $ 同比趋于无穷大（即保持 $ \frac{\sqrt{L_{1}}}{\sqrt{L_{2}}} $ 为定值，这是第3个理想化条件），则有

$$ \frac{i_{1}}{i_{2}}=-\frac{\sqrt{L_{2}}}{\sqrt{L_{1}}} $$

这种理论上理想的变压器只有在理想化的条件下可能实现，一种方法是使磁性材料的磁导率 $ \mu \to \infty $，才能有 $ L_{1}(L_{2} $ 和 $ M) \to \infty $，实际上不存在这种磁性材料；另一种方法是使绕组的匝数 $ N_{1}(N_{2}) \to \infty $，这需要无限大空间，也是不现实的。工程实际中只能在允许的条件下，尽可能采用磁导率 $ \mu $ 较高的磁性材料作变压器的芯子，在 $ \frac{N_{1}}{N_{2}} $ 保持不变的情况下，尽可能增加变压器绕组的匝数，接近于理想的极限状态，使电流比方程近似成立。

电流比方程与电压无关，而且 $ i_{1} $、 $ i_{2} $中也只有一个为独立变量，当 $ i_{2}=0 $时，必有 $ i_{1}=0 $，所以，当 $ i_{1} $为独立电流源时，二次侧不能开路。注意： $ i_{1} $、 $ i_{2} $都设定为从同名端流入。设

$$ n=\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{\sqrt{L_{1}}}{\sqrt{L_{2}}} $$

式中 $ N_{1} $、 $ N_{2} $ 和 $ L_{1} $、 $ L_{2} $ 都认为是无限大，但比值是任意设定的常数。n 称为理想变压器的变比，现将电压比和电流比方程用变比 n 改写如下：

$$ \left.\begin{aligned}&u_{1}=n u_{2}\\ &i_{1}=-\frac{1}{n}i_{2}\\ \end{aligned}\right\} $$

上述两个方程是各自在不同条件下获得的独立关系，两者不是联列关系。

将上述两个方程相乘得

$$ u_{1}i_{1}+u_{2}i_{2}=0 $$

上式是理想变压器从两个端口吸收的瞬时功率。表明理想变压器将一侧吸收的能量全部传输到另一侧输出，在传输过程中，仅仅将电压、电流按变比作数值的变换，它既不耗能也不储能，是一个非动态无损耗的磁耦合元件。它的电路模型仍用带同名端的耦合电感表示，如图10-11(b)所示，图中标出它的参数变比n，而不能再标 $ L_{1} $、 $ L_{2} $和M，也不能用这些参数来描述理想变压器的电压电流关系。图10-11(c)是理想变压器用受控源表示的等效电路之一。

例10-9 图10-12(a)所示理想变压器，变比为1:10，已知 $ u_{S}=10\cos(10t)\mathrm{V},R_{1}=1\Omega,R_{2}=100\Omega $求 $ u_{2} $

解 按图 10-12(a) 可以列出电路方程

$$ R_{1}i_{1}+u_{1}=u_{\mathrm{S}} $$

$$ R_{2}i_{2}+u_{2}=0 $$

根据理想变压器的 VCR, 有

$$ u_{1}=-\frac{1}{10}u_{2} $$

$$ i_{1}=10i_{2} $$

代入数据解得

$$ u_{2}=-5u_{\mathrm{s}}=-50\mathrm{c o s}(10t)\mathrm{V} $$

另一种解法是先用一次等效电路求 $ u_{1} $，再按电压比方程求 $ u_{2} $。端子 1-1' 右侧电路的输入电阻 $ R_{eq} $ 为

$$ R_{\mathrm{eq}}=\frac{u_{1}}{i_{1}}=\frac{-\frac{1}{10}u_{2}}{10i_{2}}=(0.1)^{2}\left(\frac{u_{2}}{-i_{2}}\right)=(0.1)^{2}R_{2}=1\Omega $$

等效电路如图10-12(b)所示，求得

$$ u_{1}=\frac{u_{s}}{R_{1}+R_{eq}}R_{eq}=\frac{1}{2}u_{s} $$

$$ u_{2}=-10u_{1}=-5u_{\mathrm{s}} $$

理想变压器对电压、电流按变比变换的作用，还反映在阻抗的变换上。在正弦稳态的情况下，当理想变压器二次侧终端2-2′接入阻抗 $ Z_{L} $时，则变压器一次侧 $ 1-1^{\prime} $的输入阻抗 $ Z_{11} $为

$$ Z_{11^{\prime}}=\frac{\dot{U}_{1}}{\dot{I}_{1}}=\frac{n\dot{U}_{2}}{-\frac{1}{n}\dot{I}_{2}}=n^{2}Z_{L} $$

$ n^{2}Z_{L} $ 即为二次侧折合至一次侧的等效阻抗，如二次侧分别接入 R、L、C 时，折合至一次侧将为 $ n^{2}R $、 $ n^{2}L $、 $ \frac{C}{n^{2}} $，也就是变换了元件的参数。

——习题——

10-1 试确定题 10-1 图所示耦合线圈的同名端。

10-2 两个耦合的线圈如题10-2图所示(黑盒子)。试根据图中开关S闭合时或闭合后再打开时，毫代表的偏转方向确定同名端。

10-3 若有电流 $ i_{1}=2+5\cos(10t+30^{\circ}) $ A, $ i_{2}=10e^{-5t} $ A, 各从图 10-1(a) 所示线圈的 1 端和 2 端流入，并设线圈 1 的电感 $ L_{1}=6 $H，线圈 2 的电感 $ L_{2}=3 $H，互感为 $ M=4 $H。试求：

（1）各线圈的磁通链；

（2）端电压 $ u_{11} $ 和 $ u_{22} $;

行须对上，因有两列宝宝进路中，尹李依器可李保

(3) 耦合因数 k。

10-4 题 10-4 图所示电路中(1) $ L_{1}=8H, L_{2}=2H, M=2H $; (2) $ L_{1}=8H, L_{2}=2H, M=4H $; (3) $ L_{1}=L_{2}=M=4H $。试求以上三种情况从端子1-1'看进去的等效电感。

10-6 题 10-6 图所示电路中 $ R_{1}=R_{2}=1\Omega,\omega L_{1}=3\Omega,\omega L_{2}=2\Omega,\omega M=2\Omega,U_{1}=100V $ 求：

(1)开关 S 打开和闭合时的电流 $ i_{1} $;

(2) S 闭合时各部分的复功率。

10-7 把两个线圈串联起来接到 50Hz、220V 的正弦电源上，同向串联时得电流 I = 2.7A，吸收的功率为 218.7W；反向串联时电流为 7A。求互感 M。

10-8 电路如题 10-8 图所示，已知两个线圈的参数为： $ R_{1}=R_{2}=100\Omega $, $ L_{1}=3H $, $ L_{2}=10H $, M=5H, 正弦电源的电压 U=220V, $ \omega=100rad/s $

（1）试求两个线圈端电压，并作出电路的相量图；

（2）证明两个耦合电感反向串联时不可能有 $ L_{1}+L_{2}-2M\leq0 $;

（3）电路中串联多大的电容可使 $ \dot{U} $、 $ \dot{I} $同相？

（4）画出该电路的去耦等效电路。

109 题 10-9 图所示电路中， $ L_{1}=0.2H, L_{2}=M=0.1H, u_{S}=10\sqrt{2}\cos(2t+30^{\circ}) $ V。求图中表 W 的读数，并说明该读数有无实际意义。

10-10 当题 10-10 图所示电路中的电流 $ \dot{I}_{1} $ 与 $ \dot{I}_{2} $ 正交时，试证明： $ R_{1}R_{2}=\frac{L_{2}}{C} $，并对此结果进行分析。

10 11 试求题 10-11 图所示电路中电压源的角频率为何值时，功率表 W 的读数为零（图中元件的参数已知）？

10-12 题 10-12 图所示电路中 $ R=1\Omega,\omega L_{1}=2\Omega,\omega L_{2}=32\Omega $ ，耦合因数 $ k=1,\frac{1}{\omega C}=32\Omega $ 。求电流 $ \dot{I}_{1} $ 和电压 $ \dot{U}_{2} $ 。

10-13 已知变压器如题10-13图(a)所示，一次侧的周期性电流源波形如题10-13图(b)所示（一个周期），二次侧的电压表读数（有效值）为25V。

(1) 画出一、二次端电压的波形，并计算互感 M；

(2) 给出它的等效受控源 (CCVS) 电路；

(3)如果同名端弄错，对(1)、(2)的结果有无影响？

10-14 题 10-14 图所示电路中 $ R = 50\Omega, L_1 = 70\ mH, L_2 = 25\ mH, M = 25\ mH, C = 1\mu F $，正弦电源的电压 $ \dot{U} = 500\ \mathrm{/0^\circ}\ \mathrm{V}, \omega = 10^4\ rad/s $。求各支路电流。

10-15 列出题10-15图所示电路的回路电流方程。

10-16 已知题 10-16 图中 $ u_{s}=100\sqrt{2}\cos(\omega t)\mathrm{V} $, $ \omega L_{2}=120\Omega $, $ \omega M=\frac{1}{\omega C}=20\Omega $。求负载 $ Z_{L} $ 为何值时获最大功率？并求出最大功率。

10-17 如果使 $ 10\Omega $ 电阻能获得最大功率，试确定题 10-17 图所示电路中理想变压

器的变比 n。

10-18 求题10-18图所示电路中的阻抗 Z。已知电流表的读数为10A，正弦电压有效值 U=10V。

10 19 已知题10-19图所示电路的输入电阻 $ R_{ab}=0.25\Omega $。求理想变压器的变比n。

10-20 题 10-20 图所示电路中开关 S 闭合时 $ u_{s}=10\sqrt{2}\cos t $ V，求电流 $ i_{1} $ 和 $ i_{2} $，并根据结果给出含理想变压器的等效电路。

10-21 已知题 10-21 图所示电路中 $ u_{s}=10\sqrt{2}\cos(\omega t) $ V, $ R_{1}=10\Omega $, $ L_{1}=L_{2}=0.1 $ mH, M=0.02 mH, $ C_{1}=C_{2}=0.01 $ μF, $ \omega=10^{6} $ rad/s。求 $ R_{2} $ 为何值时获最大功率？并求出最大功率。

10-22 题 10-22 图所示电路中 $ C_{1}=10^{-3}F $, $ L_{1}=0.3H $, $ L_{2}=0.6H $, M=0.2H, R

$ =10\Omega, u_1=100\sqrt{2}\cos(100t-30^\circ) $ V, C 可变动。试求 C 为何值时，R 可获得最大功率？并求出最大功率。

电路的频率响应

内容提要

本章以角频率 $ \omega $ 为变量，分析研究电路的频率特性。主要内容有：网络函数，RLC 串联、并联谐振及二阶网络函数的频率特性，最后简单介绍波特图和滤波器。

§11-1 网络函数

由于电路和系统中存在着电感和电容，当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化。当频率的变化超出一定的范围时，电路将偏离正常的工作范围，并可能导致电路失效，甚至使电路遭到损坏。此外，电路和系统还可能遭到外部的各种频率的电磁干扰，如雷电或太阳风暴对电路和系统的袭击而造成的破坏，所以，对电路和系统的频率特性的分析研究就显得格外重要。

电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。通常是采用单输入（一个激励变量）- 单输出（一个输出变量）的方式，在输入变量和输出变量之间建立函数关系，来描述电路的频率特性，这一函数关系就称为电路和系统的网络函数。本章仅对正弦稳态电路的频率特性作初步分析和研究。

电路在一个正弦电源激励下稳定时，各部分的响应都是同频率的正弦量，通过正弦量的相量，网络函数 $ H(j\omega) $ 定义为

$$ H(j\omega)\!=\!\frac{\dot{R}_{k}(j\omega)}{\dot{E}_{sj}(j\omega)}\! $$

此式定义的网络函数是描述正弦稳态下响应与激励之间的一种关系。式中 $ \dot{R}_{k}(j\omega) $ 为输出端口 k 的响应，为电压相量 $ \dot{U}_{k}(j\omega) $ 或电流相量 $ \dot{I}_{k}(j\omega) $; $ \dot{E}_{sj}(j\omega) $

为输入端口 j 的输入变量（正弦激励），为电压源相量 $ \dot{U}_{sj} $ (jω) 或电流源相量 $ \dot{I}_{sj} $ (jω)。显然，网络函数有多种类型，当 k=j 时（同一端口），网络函数就是第 9 章 §9-1 中定义的阻抗 $ Z(\frac{\dot{U}_{k}}{\dot{I}_{sk}}) $ 或导纳 $ Y(\frac{\dot{I}_{k}}{\dot{U}_{sk}}) $，称为驱动点阻抗或导纳。当 k≠j 时，即不同端口，统称为转移函数，分别为转移阻抗 $ (\frac{\dot{U}_{k}}{\dot{I}_{sj}}) $、转移电流比 $ (\frac{\dot{I}_{k}}{\dot{I}_{sj}}) $、转移导纳 $ (\frac{\dot{I}_{k}}{\dot{U}_{sj}}) $ 和转移电压比 $ (\frac{\dot{U}_{k}}{\dot{U}_{sj}}) $。

网络函数不仅与电路的结构、参数值有关，还与输入、输出变量的类型以及端口对的相互位置有关。这犹如从不同“窗口”来分析研究网络的频率特性，可以从不同角度寻找电路比较优越的频率特性和电路工作的最佳频域范围。网络函数是网络性质的一种体现，与输入、输出幅值无关。

网络函数是一个复数，它的频率特性分为两个部分。它的模（值） $ \left|H\left(\mathrm{j}\omega\right)\right| $ 是两个正弦量的有效值（或振幅）的比值，它与频率的关系 $ \left|H\left(\mathrm{j}\omega\right)\right| - \omega $ 称为幅频特性。它的幅角 $ \varphi\left(\mathrm{j}\omega\right) = \arg\left[H\left(\mathrm{j}\omega\right)\right] $ 是两个同频正弦量的相位差（又称相移），它与频率的关系 $ \varphi\left(\mathrm{j}\omega\right) - \omega $ 称为相频特性。这两种特性与频率的关系，都可以在图上用曲线表示，称为网络的频率响应曲线。即幅频响应和相频响应曲线。

网络函数可以用相量法中任一分析求解方法获得。

例 11-1 求图 11-1 所示电路的网络函数 $ \frac{\dot{I}_{2}}{\dot{U}_{s}} $ 和 $ \frac{\dot{U}_{L}}{\dot{U}_{s}} $。

解 列网孔方程解电流 $ \dot{I}_{2} $

$$ \begin{aligned}&\dot{I}_{2}\\&\left(2+\mathrm{j}\omega\right)\dot{I}_{1}-2\ \dot{I}_{2}=\dot{U}_{\mathrm{s}}\\&-2\ \dot{I}_{1}+\left(4+\mathrm{j}\omega\right)\dot{I}_{2}=0\end{aligned} $$

解得电流 $ I_{2} $为

$$ \dot{I}_{2}=\frac{2\dot{U}_{s}}{4+\left(\mathrm{j}\omega\right)^{2}+\mathrm{j}6\omega} $$

网络函数分别为

$$ \frac{\dot{I}_{2}}{\dot{U}_{s}}=\frac{2}{4-\omega^{2}+j6\omega}( 转移导纳 ) $$

$$ \frac{\dot{U}_{L}}{\dot{U}_{s}}=\frac{\mathrm{j}2\omega}{4-\omega^{2}+\mathrm{j}6\omega}( 电压比 ) $$

本例也可以求得 $ \frac{\dot{I}_{1}}{\dot{U}_{s}} $（驱动点导纳）。如果将 $ \dot{U}_{s} $改为 $ \dot{I}_{s} $，即可求得其他形式的网络函数。

以网络函数中 $ (j\omega) $的最高次方的次数来定义网络函数的阶数，如本例为2阶（与网络的阶数相同）。一旦获得端口对的网络函数，也就能求得网络在任意正弦输入时的端口正弦响应，即有

$$ \dot{U}_{k}( 或 \dot{I}_{k})=H(j\omega)\dot{U}_{sj}( 或 \dot{I}_{sj}) $$

网络函数等于单位激励 $ \left(\dot{U}_{sj}\right. $或 $ \dot{I}_{sj} $为1单位量 $的响应。

§11-2 RLC串联电路的谐振

图 11-2 所示为 RLC 串联电路，在可变频的正弦电压源 $ u_{s} $ 激励下，由于感抗、容抗随频率变动，所以，电路中的电压、电流响应亦随频率变动。本节将首先分析研究工程上特别关注的谐振状态。根据相量法，电路的输入阻抗 $ Z(j\omega) $ 可表示为

$$ Z(\mathrm{j}\omega)=R+\mathrm{j}\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right) $$

频率特性表示为

$$ \varphi(\mathrm{j}\omega)=\arctan\left(\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right) $$

$$ |Z(\mathrm{j}\omega)|=\frac{R}{\cos[\varphi(\mathrm{j}\omega)]} $$

可以看出，由于串联电路中同时存在着电感 L 和电容 C，两者的频率特性不仅相反（感抗与 $ \omega $ 成正比，而容抗与 $ \omega $ 成反比），而且直接相减（电抗角差 $ 180^{\circ} $）。可以肯定，一定存在一个角频率 $ \omega_{0} $，使感抗和容抗相互完全抵消，即 $ X(\mathrm{j}\omega_{0})= $

0。因此，阻抗 $ Z(j\omega) $ 以 $ \omega_{0} $ 为中心，在全频域内随频率变动的情况区分为 3 个频区描述如下：

$$ \omega<\omega_{0} $$

$$ X(j\omega)<0\ \varphi(j\omega)<0 $$

容性区

$$ \omega=\omega_{0} $$

$$ R<|Z(j\omega)| $$

$$ X(\mathrm{j}\omega)=0\ \varphi(\mathrm{j}\omega)=0 $$

$$ 且 \lim\limits_{\omega\to0}\left|Z(j\omega)\right|=\infty $$

电阻性

$$ Z(\mathrm{j}\omega_{0})=R $$

$$ \begin{aligned}\omega&>\omega_{0}\\X(j\omega)&>0\varphi(j\omega)>0\\ 感性区 \\R&<\mid Z(j\omega)\mid\\ 且 \lim_{\omega\to\infty}\mid Z(j\omega)&=\infty\end{aligned} $$

阻抗随频率变化的频响曲线如图11-3所示。

当 $ \omega = \omega_{0} $ 时， $ X(j\omega_{0}) = 0 $，电路的工作状况将出现一些重要的特征，现分述如下：

(1) $ \varphi(j\omega_{0})=0 $，所以 $ \dot{I}(j\omega_{0}) $ 与 $ \dot{U}_{s}(j\omega_{0}) $ 同相，工程上将电路的这一特殊状态定义为谐振，由于是在 RLC 串联电路中发生的谐振，又常称为串联谐振。由上述分析可知，谐振发生的条件为

$$ \mathrm{I m}[Z(\mathrm{j}\omega_{0})]=X(\mathrm{j}\omega_{0})=\omega_{0}L-\frac{1}{\omega_{0}C}=0 $$

这只有在电感、电容同时存在时，上述条件才能满足。由上式可知电路发生谐振的角频率 $ \omega_{0} $ 和频率 $ f_{0} $ 为

$$ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\qquad f_{0}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$

可以看出，RLC 串联电路的谐振频率只有 1 个，而且，仅与电路中 L、C 有关，与电阻 R 无关。 $ \omega_{0} $（或 $ f_{0} $）称为电路的固有频率（或自由频率）。因此，只有当输入信号 $ u_{s} $ 的频率与电路的固有频率 $ f_{0} $ 相同时（合拍），才能在电路中激起谐振。如果电路中 L、C 可调，改变电路的固有频率，则 RLC 串联电路就具有选择任

一频率谐振（调谐），或避开某一频率谐振（失谐）的性能，也可以利用串联谐振现象，判别输入信号的频率。

(2) $ Z(j\omega_{0})=R $ 为最小值（极小值），电路在谐振时的电流 $ I(j\omega_{0}) $ 为极大值（也是最大值），有

$$ I(\mathrm{j}\omega_{0})=\frac{U_{\mathrm{s}}(\mathrm{j}\omega_{0})}{R} $$

此极大值又称为谐振峰，这是 RLC 串联电路发生谐振时的突出标志，据此，可以判断电路是否发生了谐振。当 $ u_s $ 的幅值不变时，谐振峰仅与电阻 R 有关，所以，电阻 R 是唯一能控制和调节谐振峰的电路元件，从而控制谐振时的电感和电容的电压及其储能状态（下面有说明）。图 11-4 所示为两个参数不同的 RLC 串联电路 ( $ u_s $ 相同) 电流的幅频特性，即 $ |\dot{I}(j\omega)| = \omega $，从特性可以看出，两者在全频域内的变化走向是相同的，但曲线的整体形状差异很大，这将在下一节作重点分析比较。

(3) 电抗电压 $ U_{X}(j\omega_{0})=0 $ ，即有

$$ \begin{aligned}\dot{U}_{X}(\mathrm{j}\omega_{0})&=\mathrm{j}\Big(\omega_{0}L-\frac{1}{\omega_{0}C}\Big)\dot{I}\big(\mathrm{j}\omega_{0}\big)=\mathrm{j}\frac{\omega_{0}L}{R}\dot{U}_{\mathrm{s}}(\mathrm{j}\omega_{0})-\mathrm{j}\frac{1}{\omega_{0}CR}\dot{U}_{\mathrm{s}}(\mathrm{j}\omega_{0})\\&=\dot{U}_{L}\big(\mathrm{j}\omega_{0}\big)+\dot{U}_{C}\big(\mathrm{j}\omega_{0}\big)=0\end{aligned} $$

因此，L、C 串联端口相当于短路，但 $ \dot{U}_{L}(j\omega_{0}) $、 $ \dot{U}_{C}(j\omega_{0}) $ 分别都不等于零，两者模值相等且反相，相互完全抵消。根据这一特点，串联谐振又称为电压谐振。此外，工程上将式中的比值 $ \frac{\omega_{0}L}{R}=\frac{1}{\omega_{0}CR} $ 定义为谐振电路的品质因数 Q（称 Q 值），即

$$ Q{\stackrel{\mathrm{d e f}}{=}}{\frac{\omega_{0}L}{R}}={\frac{1}{\omega_{0}C R}}={\frac{1}{R}}\sqrt{\frac{L}{C}} $$

（注意：Q 在这里不表示无功功率）。下面进一步的分析可知 Q 值不仅综合反映了电路中三个参数对谐振状态的影响，而且，也是分析和比较谐振电路频率特

性的一个重要的辅助参数。用 Q 值表示 $ U_{L}(j\omega_{0}) $ 和 $ U_{C}(j\omega_{0}) $ 为

$$ U_{L}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=U_{C}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=Q U_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right) $$

显然，当 Q>1 时，电感和电容两端将分别出现比 $ U_{s}(j\omega_{0}) $ 高 Q 倍的过电压。在高电压的电路系统中（如电力系统），这种过电压非常高，可能会危及系统的安全，必须采取必要的防范措施。但在低电压的电路系统中，如无线电接收系统中，则要利用谐振时出现的过电压来获得较大的输入信号。

Q 值可通过测定谐振时的电感或电容电压求得，即

$$ Q=\frac{U_{C}(\mathrm{j}\omega_{0})}{U_{s}(\mathrm{j}\omega_{0})}=\frac{U_{L}(\mathrm{j}\omega_{0})}{U_{s}(\mathrm{j}\omega_{0})} $$

而谐振时电阻 R 的端电压 $ U_{R}(j\omega_{0}) $ 为

$$ \dot{U}_{R}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=\dot{U}_{s}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right) $$

这也是谐振峰，表明谐振时，电阻 R 上将获得全额的输入电压。图 11-5 为谐振时的电压相量图。

根据上述分析可知，RLC 串联电路中的三个元件都可以作为信号的输出端口，只要参数选配确当，输出信号的幅值就能大于或等于输入信号的幅值。

（4） $ Q(j\omega_{0})=0 $，即电路吸收的无功功率等于零，有

$$ Q\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=Q_{L}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)+Q_{C}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=\omega_{0}L I^{2}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)-\frac{1}{\omega_{0}C}I^{2}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=0 $$

上式表明，电感吸收的无功功率等于电容发出的无功功率，但各自不等于零。电路中储存的电磁能在 L 和 C 之间以两倍于谐振频率的频率做周期性的交换，相互完全补偿，自成独立系统，与外源无能量交换。储存的电磁能的总和为一常数，可根据 i 或 $ u_{s} $ 的最大值求得，即

$$ \begin{align*}W(\mathrm{j}\omega_{0})&=W_{L}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)+W_{C}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=\frac{1}{2}L I_{\mathrm{m}}^{2}(\mathrm{j}\omega_{0})=\frac{1}{2}C U_{\mathrm{Cm}}^{2}(\mathrm{j}\omega_{0})\\&=C Q^{2}U_{\mathrm{s}}^{2}(\mathrm{j}\omega_{0})\end{align*} $$

（式中 Q 为电路的品质因数）。此时，电压源 $ u_{s} $ 只发出有功功率 $ P(j\omega_{0}) $，供电阻 R 消耗，即

$$ \bar{S}_{s}(\mathrm{j}\omega_{0})=R I^{2}(\mathrm{j}\omega_{0})=\frac{U_{s}^{2}(\mathrm{j}\omega_{0})}{R}=P(\mathrm{j}\omega_{0}) $$

电路的 Q 值亦可根据谐振时，电感或电容的无功功率和电阻消耗的有功功率 $ P(j\omega_{0}) $ 的比值来表示

$$ Q=\frac{\omega_{0}L I^{2}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)}{R I^{2}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)}=\frac{\left|Q_{L}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)\right|}{P\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)}=\frac{\left|Q_{C}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)\right|}{P\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)} $$

例 11-2 图 11-2 所示电路中， $ U_{s}=0.1~V, R=1\Omega, L=2~\mu H, C=200~pF $ 时，电流 I=0.1 A。求正弦电压源 $ u_{s} $ 的频率 $ \omega $ 和电压 $ U_{C}, U_{L} $ 以及电路的 Q 值。

解 令 $ \dot{U}_{s}=0.1\ \frac{0^{\circ}}{} $ V，设电流为 $ \dot{I}=0.1\ \frac{\phi_{i}}{\Delta} $ A，则有

$$ 0.1\angle\phi_{i}=\frac{0.1\angle0^{\circ}}{1+\mathrm{j}X(\mathrm{j}\omega)} $$

显然有 $ X(j\omega)=0,\phi_{i}=0^{\circ} $，所以电流 $ i $ 与电压 $ \dot{U}_{s} $ 同相，电路处于谐振状态。谐振频率 $ \omega_{0} $ 为

$$ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{2\times10^{-6}\times200\times10^{-12}}}\mathrm{rad/s}=50\times10^{6}\mathrm{rad/s} $$

$ \omega_{0} $ 即为电压源 $ u_{s} $ 的频率。电路的 Q 值为

$$ Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=100 $$

谐振时电压 $ U_{L} $ 和 $ U_{C} $ 为

$$ U_{L}=U_{C}=Q U_{s}=10\mathrm{~V} $$

§11-3 RLC串联电路的频率响应

上一节着重分析了 RLC 串联电路在谐振点 $ \omega_{0} $ 的状态。本节将分析下述网络函数(电压比)：

$$ \frac{\dot{U}_{R}(j\omega)}{\dot{U}_{s}(j\omega)}\cdot\frac{\dot{U}_{L}(j\omega)}{\dot{U}_{s}(j\omega)}=\frac{\dot{U}_{C}(j\omega)}{\dot{U}_{s}(j\omega)} $$

的频率特性。当输入信号 $ u_{s} $ 的幅值不变而 $ \omega $ 变动时，这犹如从输入端口输入变量 $ \omega $，而在不同“窗口”（输出端口）观察频率 $ \omega $ 的响应，所以，这些网络函数的频率特性又统称为电路的频率响应，为了便于比较不同参数的 RLC 串联电路的频率响应之间在性能上的差异，纵、横坐标都采用相对于谐振点的比值（倍率）作为绘制频率特性的坐标系。由于已设定 $ U_{s}(j\omega_{0}) = U_{s}(j\omega_{0}) $，所以上述电压比

的模就表示任一频率时的输出电压与其谐振点的输入电压之比值；而横坐标也用与谐振频率 $ \omega_{0} $ 的比值表示，即 $ \eta=\frac{\omega}{\omega_{0}} $， $ \omega=\eta\omega_{0} $。这样，所有的 RLC 电路都在 $ \eta=1 $ 处谐振，都在同一个相对尺度下来比较相互频率特性的差异，这一共同的尺度也表示各谐振电路的偏谐程度（偏离谐振点程度），下面用新坐标系来分析上述网络函数的频率特性，这样绘制的频率响应曲线，称为通用曲线。

（1）当以电阻电压 $ \dot{U}_{R}(j\eta) $作为输出变量，其网络函数 $ H_{R}(j\eta) $表示为

$$ H_{R}\left(\mathrm{j}\eta\right)=\frac{\dot{U}_{R}\left(\mathrm{j}\omega\right)}{\dot{U}_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{j}\omega\right)}=\frac{R}{R+\mathrm{j}\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}=\frac{1}{1+\mathrm{j}Q\left(\eta-\frac{1}{\eta}\right)} $$

频率响应分别为

$$ \begin{aligned}\phi(\mathrm{j}\eta)=&-\arctan[\boldsymbol{Q}(\eta-\frac{1}{\eta})]( 相频特性 )\\|\boldsymbol{H}_{R}(\mathrm{j}\eta)|=&\cos[\phi(\mathrm{j}\eta)]( 幅频特性 )\end{aligned} $$

从上式可以看出，不同参数的 RLC 串联电路在频响上的差异，可以通过各自的 Q 值体现出来。电路的谐振曲线如图 11-6(a)、(b) 所示，图中 $ Q_{1} \gg Q_{2} $。从幅频特性可以很清楚地看出，它们有如下的共同点及差异：

① 它们都在谐振点 $ \eta=1 $ 处出现峰值，在其邻域 $ \eta=1+\Delta\eta $ 内都有较大幅度的输出信号，这表明 RLC 串联电路都具有在全频域内选择各自谐振信号的性能，工程上称这一性能为“选择性”。

②当信号的频率偏离谐振频率 $ \left(\eta\neq1\right) $后，输出信号的幅度都从峰值开始下降，表明电路对非谐振频率的信号有抑制能力（简称抑非能力），电路的这种抑非能力取决下述比值：

$$ \left|Q\left(\eta-\frac{1}{\eta}\right)\right|_{\eta\neq1}=\left|\frac{X(1+\Delta\eta)}{R}\right|\qquad[R=Z(\mathrm{j}\omega_{0})] $$

该比值为信号偏离谐振频率后，电路电抗的增量[因为 $ X(j1)=0 $ ]与谐振时阻抗的比值，它与电路的 Q 值成正比，Q 值越大，该比值越大，电抗的相对增量就越大，电路的抑非能力越强，这也说明，电路的抑非能力主要是由非零电抗引起的。从曲线可以看出，由于 $ Q_{1} \gg Q_{2} $，曲线(1)代表的电路的抑非能力强于曲线(2)代表的电路，所以曲线(1)急速下降，显得十分陡峭，而曲线(2)下降很慢，顶部的变化显得比较平缓。曲线的整体形状显示了电路在抑非能力上的差异，而这一差异在谐振点附近显得尤为突出；当信号的频率远离谐振频率后，左侧趋同于 RC 电路，右侧趋同于 RL 电路，彼此的差异逐渐缩小，而趋于消失。

③电路在全频域内都有信号的输出，但只有在谐振点附近的邻域 $ \left(\eta=1+\Delta\eta\right) $内输出幅度较大，具有工程实际应用价值。为此，工程上设定一个输出幅度指标来界定频率范围，划分出谐振电路的通频带（简称通带）和阻带。通带限定

的频域范围称为带宽，记为 BW。工程上按下式决定通带的 BW，即

$$ |H_{R}(j\eta)|\geqslant\frac{1}{\sqrt{2}}=0.707( 设定的指标 ) $$

上式取等号时，根据 $ H_{R}(j\eta) $ 的表达式有

$$ Q\left(\eta-\frac{1}{\eta}\right)=\pm1 $$

根据该方程可求得两个频率点，作为通带 BW 的上下界，可分别设为 $ \eta_{i1}<1 $（谐振点左侧）称为下界（下截止频率）， $ \eta_{i2}>1 $（谐振点右侧）称为上界（上截止频率），分别为

$$ \eta_{j1}=-\frac{1}{2Q}+\sqrt{\left(\frac{1}{2Q}\right)^{2}+1}<1\quad 和 \quad\omega_{j1}=\eta_{j1}\omega_{0}( 下界 ) $$

$$ \eta_{i2}=\frac{1}{2Q}+\sqrt{\left(\frac{1}{2Q}\right)^{2}+1}>1\quad 和 \quad\omega_{i2}=\eta_{i2}\omega_{0}( 上界 ) $$

通带的 BW 为

$$ BW=\eta_{j2}-\eta_{j1}=\frac{1}{Q} 或 BW=\Delta\omega=\omega_{j2}-\omega_{j1}=\frac{\omega_{0}}{Q} $$

上述界定的通带位于频域中段，呈带状形，所以网络函数 $ H_{R}(j\eta) $ 称为带通函数。通带的频率范围为

$$ \omega_{j1}\leqslant\omega\leqslant\omega_{j2} $$

$ \omega_{j1} $、 $ \omega_{j2} $分别位于 $ \omega_{0} $两侧，因此 $ \omega_{0} $又常称为中心频率。

工程上对 $ \omega_{i1} $、 $ \omega_{i2} $ 常另有称谓，如 3dB 点 $ ^{①} $，半功率点（因为此时电阻上的功耗等于谐振时电阻功耗的一半），并有 $ \varphi(j\eta_{i1})=45^{\circ} $， $ \varphi(j\eta_{i2})=-45^{\circ} $。

工程上亦常用通带的 BW 来比较和评价电路的选择性，由上面的论述可以看出，BW 与 Q 值成反比，Q 值越大，BW 越窄，电路选择性越好，抑非能力越强，反之，Q 值越小，BW 就越宽，抑非能力越弱，选择性能越差，但宽带包含的信号多，信号流失少，有利于减少信号的失真。上述两种情况都有工程实用价值。BW 如图 11-6(a) 所示，读者可将曲线(1)和曲线(2)的 $ BW_{(1)} $ 和 $ BW_{(2)} $ 作一比较。

通过本节的分析可知，RLC 串联谐振电路是一种简单、易调和频响性能优良的谐振电路。

(2) 分别以电感电压 $ U_{L}(\mathrm{j}\eta) $ 和电容电压 $ U_{C}(\mathrm{j}\eta) $ 为输出变量的网络函数 $ H_{L}(\mathrm{j}\eta) $、 $ H_{C}(\mathrm{j}\eta) $ 分别为

$$ H_{c}(\mathrm{j}\eta)=\frac{\dot{U}_{c}(\mathrm{j}\eta)}{\dot{U}_{\mathrm{s}}(\mathrm{j}1)}=\frac{-\mathrm{j}Q}{\eta+\mathrm{j}Q(\eta^{2}-1)} $$

$$ H_{L}(\mathrm{j}\eta)=\frac{\dot{U}_{L}(\mathrm{j}\eta)}{\dot{U}_{\mathrm{s}}(\mathrm{j}1)}=\frac{\mathrm{j}Q}{\frac{1}{\eta}+\mathrm{j}Q\left(1-\frac{1}{\eta^{2}}\right)} $$

由于 $ \dot{U}_{c}(j\eta) $滞后 $ \dot{U}_{R}(j\eta)90^{\circ} $，而 $ \dot{U}_{L}(j\eta) $超前 $ 90^{\circ} $，所以，上述网络函数的相频特性可不予分析。而描绘幅频特性曲线时，必须首先确定函数的极值点。函数 $ H_{c}(j\eta) $的极值条件为

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\eta}\left[\frac{U_{c}(\mathrm{j}\eta)}{U_{\mathrm{s}}(\mathrm{j}1)}\right]=0 $$

可求得如下三个极值点 $ \eta_{C1} $， $ \eta_{C2} $ 和 $ \eta_{C3} $ 及对应的极值：

$$ \eta_{c1}=0\quad\frac{U_{c}(j\eta_{c1})}{U_{s}(j1)}=1 $$

$$ \begin{aligned}\eta_{c2}=&\sqrt{1-\frac{1}{2Q^{2}}}\quad\frac{U_{c}\left(\mathrm{j}\eta_{c2}\right)}{U_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{j}1\right)}=\frac{Q}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^{2}}}}>Q\quad( 当 Q>0.707 时 )\\\eta_{c3}=&\infty\quad\frac{U_{c}\left(\mathrm{j}\eta_{c3}\right)}{U_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{j}1\right)}=0\end{aligned} $$

对于 $ \frac{U_{L}(j\eta)}{U_{s}(j1)} $可作类似的分析，从表达式可知， $ \eta_{L}=\frac{1}{\eta_{C}} $，所以三个极值点 $ \eta_{L1},\eta_{L2} $和 $ \eta_{L3} $及对应的极值为

$$ \eta_{L1}=\frac{1}{\eta_{C3}}=0\quad\frac{U_{L}(\mathrm{j}\eta_{L1})}{U_{\mathrm{s}}(\mathrm{j}1)}=0 $$

$$ \eta_{L2}=\frac{1}{\eta_{C2}}=\sqrt{\frac{2Q^{2}}{2Q^{2}-1}}\quad\frac{U_{L}\left(j\eta_{L2}\right)}{U_{s}\left(j1\right)}=\frac{Q}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^{2}}}}>Q\quad( 当 Q>0.707 时 ) $$

$$ \eta_{L3}=\frac{1}{\eta_{\mathrm{C}1}}=\infty\quad\frac{U_{L}\left(\mathrm{j}\eta_{L3}\right)}{U_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{j}1\right)}=1 $$

两条幅频特性如图 11-7 所示，图中粗虚线表示 $ Q \leq 0.707 $ 时的幅频特性。从图中可以看出， $ H_C(j\eta) $ 为低通函数，当 $ Q \gg 1 $ 时，可求得上截止频率 $ \omega_i = 1.55\omega_0 $，其通频带域 $ 0 \leq \omega \leq \omega_i $；函数 $ H_L(j\eta) $ 为高通函数，当 $ Q \gg 1 $ 时，求得下截止频率 $ \omega_i = \frac{\omega_0}{1.55} = 0.664\omega_0 $，通频带域为 $ \omega_i \leq \omega < \infty $，当 $ Q > 0.707 $ 时，两者都有大于 Q 且相等的峰值，当 Q 增大时， $ \eta_{C2}, \eta_{L2} $ 都向 $ \eta = 1 $ 靠拢，峰值增高，图中 a, b, c 三点在抬高的同时，逐渐合拢，当 $ Q \to \infty $，三点合于无穷远。

例 11-3 RLC 串联电路中 $ U_{s}=200\ V $, $ C=6.34\ \mu F $，电路的固有频率 $ \omega_{0}=314\ rad/s $，带通函数的带宽 BW=6.28 rad/s。求 L、R 和 $ U_{L} $、 $ U_{C} $。

解 电路的 Q 值为

$$ Q=\frac{\omega_{0}}{BW}=\frac{314}{6.28}=50 $$

谐振时容抗等于感抗，则 L 为

$$ L=\frac{1}{\omega_{0}^{2}C}=\frac{1}{\left(314\right)^{2}\times6.34\times10^{-6}}\mathrm{H}=1.60\mathrm{H} $$

R 的值为

$$ R=\frac{\omega_{0}L}{Q}=\frac{314\times1.6}{50}\Omega=10\Omega $$

$ U_{L}(\mathrm{j}\omega_{0}) $、 $ U_{C}(\mathrm{j}\omega_{0}) $为

$$ U_{L}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=U_{C}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=Q U_{s}\left(\mathrm{j}\omega_{0}\right)=50\times200\mathrm{~V}=10\ 000\mathrm{~V} $$

§11-4 RLC 并联谐振电路

图11-8(a)所示 RLC 并联电路是与 RLC 串联电路相对应的另一种形式的谐振电路。

并联谐振的定义与串联谐振的定义相同，即端口上的电压 $ \dot{U} $与输入电流 $ \dot{I} $同时的工作状况称为谐振。由于发生在并联电路中，所以称为并联谐振。分析方法与RLC串联电路相同，并联谐振的条件为

$$ \mathrm{Im}\left[Y(\mathrm{j}\omega_{0})\right]=0 $$

因为 $ Y(j\omega_{0})=G+j\left(\omega_{0}C-\frac{1}{\omega_{0}L}\right) $，可解得谐振时的角频率 $ \omega_{0} $ 和频率 $ f_{0} $ 为

$$ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$

$$ f_{0}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$

该频率称为电路的固有频率。

并联谐振时，输入导纳 $ Y(j\omega_{0}) $ 为最小

$$ Y(\mathrm{j}\omega_{0})=G+\mathrm{j}\left(\omega_{0}C-\frac{1}{\omega_{0}L}\right)=G $$

或者说输入阻抗最大, $ Z(j\omega_{0})=R $,所以谐振时端电压达最大值

$$ U(\omega_{0})=\mid Z(\mathrm{j}\omega_{0})\mid I_{\mathrm{s}}=R I_{\mathrm{s}} $$

可以根据这一现象判别并联电路是否发生了谐振。

并联谐振时有 $ \dot{I}_{L}+\dot{I}_{C}=0 $（所以并联谐振又称电流谐振）：

$$ \dot{I}_{L}\left(\omega_{0}\right)=-\mathrm{j}\frac{1}{\omega_{0}L}\dot{U}=-\mathrm{j}\frac{1}{\omega_{0}L G}\dot{I}_{\mathrm{s}}=-\mathrm{j}Q\dot{I}_{\mathrm{s}} $$

$$ \dot{I}_{C}(\omega_{0})=\mathrm{j}\omega_{0}C\dot{U}=\mathrm{j}\frac{\omega_{0}C}{G}\dot{I}_{\mathrm{s}}=\mathrm{j}Q\dot{I}_{\mathrm{s}} $$

式中 Q 称为并联谐振电路的品质因数

$$ Q=\frac{I_{L}\left(\omega_{0}\right)}{I_{s}}=\frac{I_{C}\left(\omega_{0}\right)}{I_{s}}=\frac{1}{\omega_{0}L G}=\frac{\omega_{0}C}{G}=\frac{1}{G}\sqrt{\frac{C}{L}} $$

如果 $ Q \gg 1 $，则谐振时在电感和电容中会出现过电流，但从 L、C 两端看进去的等效电纳等于零，即阻抗为无限大，相当于开路。图 11-8(b) 为并联谐振时的电流相量图。

谐振时无功功率 $ Q_{L}=\frac{1}{\omega_{0}L}U^{2} $， $ Q_{C}=-\omega_{0}CU^{2} $，所以 $ Q_{L}+Q_{C}=0 $，表明在谐振时，电感的磁场能量与电容的电场能量彼此相互交换，完全补偿，两种能量的总和为

$$ \boldsymbol{W}\left(\omega_{0}\right)=\boldsymbol{W}_{L}\left(\omega_{0}\right)+\boldsymbol{W}_{C}\left(\omega_{0}\right)=L\boldsymbol{Q}^{2}\boldsymbol{I}_{s}^{2}= 常数 $$

工程中采用的电感线圈和电容并联的谐振电路，如图11-9(a)所示，其中电感线圈用R和L串联组合表示。谐振时，有

$$ \mathrm{I m}\left[\;Y(\mathrm{j}\omega_{0})\;\right]=0 $$

而

$$ Y(\mathrm{j}\omega_{0})=\mathrm{j}\omega_{0}C+\frac{1}{R+\mathrm{j}\omega_{0}L}=\mathrm{j}\omega_{0}C+\frac{R}{|Z(\mathrm{j}\omega_{0})|^{2}}-\mathrm{j}\frac{\omega_{0}L}{|Z(\mathrm{j}\omega_{0})|^{2}} $$

故有

$$ \omega_{0}C-\frac{\omega_{0}L}{\left|Z(j\omega_{0})\right|^{2}}=0 $$

由上式可解得

$$ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{1-\frac{CR^{2}}{L}} $$

显然，只有当 $ 1-\frac{CR^{2}}{L}>0 $，即 $ R<\sqrt{\frac{L}{C}} $时， $ \omega_{0} $才是实数，所以 $ R>\sqrt{\frac{L}{C}} $时，电路不会发生谐振。该电路调节电阻可改变电路的固有频率。

谐振时的输入导纳为

$$ Y(\mathrm{j}\omega_{0})=\frac{R}{\left|Z(\mathrm{j}\omega_{0})\right|^{2}}=\frac{CR}{L} $$

可以证明，该电路发生谐振时的输入导纳不是最小值（即输入阻抗不是最大值），所以谐振时的端电压不是最大值。这种电路只有当 $ R \ll \sqrt{\frac{L}{C}} $ 时，它发生谐振时的特点才与图11-8(a)所示GLC并联谐振的特点接近。

此并联电路发生电流谐振时的电流相量图如图11-9(b)所示，这时有

$$ I_{2}=I_{1}\sin\varphi_{1}=I_{\mathrm{s}}\tan\varphi_{1} $$

若电感线圈的阻抗角 $ \varphi_{1} $ 很大，谐振时有过电流出现在电感支路和电容中。

§11-5 波 特 图 $ ^{①} $

对电路和系统的频率特性进行分析时，为了直观地观察频率特性随频率变化的趋势和特征，需要准确地描绘频率响应曲线，这往往不是一件容易的事。工程上常采用对数坐标绘制频响曲线，这样做可以在不同频域内用直线近似代替曲线，使曲线局部直线化，整个曲线则折线化，从而使频响曲线变得易于描绘。这种用对数坐标描绘的频率响应图就称为频响波特图。

网络函数 $ H(j\omega) $ 是一个复数，其指数形式为

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\mathrm{j}\omega)} $$

对其取对数有

$$ \ln[H(\mathrm{j}\omega)]=\ln[\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid]+\mathrm{j}\varphi(\mathrm{j}\omega) $$

其实部为 $ H(j\omega) $ 的对数模，而虚部为 $ H(j\omega) $ 的相移函数，两者都是 $ \omega $ 的实函数。用对数坐标作图时，仍然要作两个图，一为对数模（用分贝表示）与对数频率的关系图形，称为幅频波特图，一为相移与对数频率的关系图形，称为相频波特图。作图时两者的横轴坐标都采用对数频率 $ \lg \omega $。幅频波特图用分贝 (dB) 表示对数模，记为 $ H_{dB} $，有

$$ H_{\mathrm{d B}}=20~\mathrm{l g}\left[\mid H(\mathrm{j}\omega)\mid\right] $$

对相频波特图，其纵坐标仍然用度表示。

下面，通过具体例子来说明绘制波特图的方法。

例 11-4 画出如下网络函数的波特图。

$$ H(j\omega)=\frac{200j\omega}{(j\omega+2)(j\omega+10)} $$

解 首先将 $ H(j\omega) $ 改写成如下形式：

$$ \begin{aligned}H(\mathrm{j}\omega)&=\frac{10\mathrm{j}\omega}{\left(1+\frac{\mathrm{j}\omega}{2}\right)\left(1+\frac{\mathrm{j}\omega}{10}\right)}\\&=\frac{10\left|\mathrm{j}\omega\right|}{\left|1+\frac{\mathrm{j}\omega}{2}\right|\cdot\left|1+\frac{\mathrm{j}\omega}{10}\right|}\frac{\left|90^{\circ}-\arctan\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\left(\frac{\omega}{10}\right)\right|}{\end{aligned} $$

因此对数模（单位分贝）和相位（单位度）分别为

$$ H_{\mathrm{dB}}=20\lg10+20\lg(|\mathrm{j}\omega|)-20\lg\left(\left|1+\mathrm{j}\frac{\omega}{2}\right|\right)-20\lg\left(\left|1+\mathrm{j}\frac{\omega}{10}\right|\right) $$

$$ \phi=90^{\circ}-\arctan\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\left(\frac{\omega}{10}\right) $$

注意到幅频波特图和相频波特图的横坐标均取对数频率 $ \lg \omega $，对 $ H_{dB} $ 各项的分析如下：

（1） $ 20\lg10=20\ \text{dB} $ 为常量，为 $ 20\text{dB} $ 的水平直线。

(2) $ 20\lg(|j\omega|) $ 为 20 dB/10 倍频的直线。当 $ \omega=0.1 $ 时， $ 20\lg(|j0.1|)=-20 $; 当 $ \omega=1 $ 时， $ 20\lg(|j1|)=0 $; 当 $ \omega=10 $ 时， $ 20\lg(|j10|)=20 $。

(3) $ -20\lg\left(\left|1+\mathrm{j}\frac{\omega}{2}\right|\right) $ 可由两段直线逼近。当 $ \omega\to0 $ 时， $ -20\lg1=0 $；当 $ \omega\to\infty $ 时， $ -20\lg\left(\left|1+\mathrm{j}\frac{\omega}{2}\right|\right)\approx-20\lg\left(\frac{\omega}{2}\right) $。这样，以 $ \omega=2 $ 为分界点，在 $ \omega<2 $ 区间，该项可用斜率为零的直线逼近；在 $ \omega>2 $ 区间，该项用斜率为 $ -20\mathrm{dB}/10 $ 倍频的直线逼近。

(4) $ -20\lg\left(\left|1+j\frac{\omega}{10}\right|\right) $ 的分析与 (3) 类似，以 $ \omega = 10 $ 为分界点，在 $ \omega < 10 $ 区间，该项用斜率为零的直线逼近；在 $ \omega > 10 $ 区间，该项用斜率等于 $ -20\ \text{dB}/10 $ 倍频的直线逼近。

将以上四项叠加，就得到如图11-10(a)中实线所示的幅频波特图。

对 $ \phi $ 各项的分析如下：

（1） $ 90^{\circ} $为常量，在相频波特图上是值为 $ 90^{\circ} $的水平直线。

(2) $ -\arctan\left(\frac{\omega}{2}\right)=\begin{cases}0,&\omega=0\\-45^\circ,&\omega=2\\-90^\circ,&\omega\to\infty\end{cases} $

在 $ 0 \leq \omega \leq 0.2 $ 区间， $ -\arctan\left(\frac{\omega}{2}\right) \approx 0 $，该项用值为 $ 0^{\circ} $ 的水平直线逼近；当 $ \omega = 2 $ 时， $ -\arctan 1 = -45^{\circ} $；当 $ \omega = 20 $ 时， $ -\arctan 10 \approx -90^{\circ} $。即在 $ 0.2 \leq \omega \leq 20 $ 区间， $ -\arctan\left(\frac{\omega}{2}\right) $ 可用斜率为 $ -45^{\circ}/10 $ 倍频的直线逼近。在 $ \omega \geq 20 $ 区间，该项用值为 $ -90^{\circ} $ 的水平直线逼近。三段逼近直线的交点在 $ \omega = 0.2 $ 处和 $ \omega = 20 $ 处。

(3) $ -\arctan\left(\frac{\omega}{10}\right) $ 的分析与 (2) 类似，即在 $ 1 \leqslant \omega \leqslant 100 $ 区间， $ -\arctan\left(\frac{\omega}{10}\right) $ 用斜率为 $ -45^\circ/10 $ 倍频的直线逼近；在 $ 0 \leqslant \omega \leqslant 1 $ 区间，该项用值为 $ 0^\circ $ 的水平直线逼近；在 $ \omega \geqslant 100 $ 区间，该项用值为 $ -90^\circ $ 的水平直线逼近。

将以上三条折线叠加，就得到如图11-10(b)实线所示的相频波特图。

§11-6 滤波器简介

工程上根据输出端口对信号频率范围的要求，设计专门的网络，置于输入—输出端口之间，使输出端口所需要的频率分量能够顺利通过，而抑制不需要的频率分量，这种具有选频功能的中间网络，工程上称为滤波器。通常将希望保留的频率范围称为通带，将希望抑制的频率范围称为阻带。根据通带和阻带在频率范围中的相对位置，滤波器分为低通、高通、带通和带阻四种类型。

工程上利用电感 L 和电容 C 彼此相反而又互补的频率特性，先设计具有一定滤波功能的“单元电路”，然后再用搭“积木”方式（如并联、级联等），连接成各种各样的滤波器网络。如图 11-11(a) 所示为 L 形低通滤波器，图 11-11(b)、

(c)所示 T 形和 $ \pi $ 形电路又是 L 形电路的一种镜像连接电路。图 11-12(a)所示为高通滤波器的单元电路(与图 11-11 类似)。图 11-13 所示为 LC 串并联谐振电路构成的带通滤波器，它利用谐振电路的频率特性，只允许谐振频率邻域内的信号通过。图 11-14 所示电路为带阻滤波器，它阻止谐振频率邻域内的信号通过。

上述无损耗 LC 滤波器中的电感元件体积较大，难以使滤波器小型化和集成化。

日前，在滤波器的设计中，已大量使用小型的片式电路元件，可以使滤波器小型化。随着电路和系统集成化的发展，滤波器的设计中，已广泛采用运算放大器，或其他VCVS有源器件，不再使用电感元件，称为RC有源滤波器，实现了滤波器的集成化，有关这方面的初步知识，读者可参阅本章后面的有关习题。滤波器的设计需要专门的理论知识，本书不作论述。

11-1 求题11-1图所示电路端口1-1的驱动点阻抗 $ \frac{U}{I_{1}} $、转移电流比 $ \frac{I_{c}}{I_{1}} $和转移阻抗 $ \frac{U}{I_{1}} $。

112 2 求题 11-2 图所示电路的转移电压比 $ \frac{\dot{U}_{2}}{\dot{U}_{1}} $ 和驱动点导纳 $ \frac{\dot{I}_{1}}{\dot{U}_{1}} $ 。

11-3 RLC 串联电路中 $ R = 1\ \Omega $, L = 0.01 H, $ C = 1\ \mu F $。求：

（1）输入阻抗与频率 $ \omega $的关系；

（2）画出阻抗的频率响应；

(3) 谐振频率 $ \omega_{0} $;

（4）谐振电路的品质因数 Q：

(5) 通频带的宽度 BW。

11-4 RLC 并联电路中 $ R = 10 \, k\Omega, L = 1 \, mH, C = 0.1 \, \mu F $。求习题 11-3 中所列各项。

11-5 已知 RLC 串联电路中, $ R = 5\ k\Omega $, $ L = 400\ mH $, 谐振角频率 $ \omega_0 = 5000\ rad/s $, $ U_s = 1\ V $。求电容 C 及各元件电压的瞬时表达式。

11-6 求题 11-6 图所示电路在哪些频率时短路或开路？

11-7 RLC 串联电路中， $ L = 50\ \mu\text{H} $，C = 100 pF， $ Q = 50\sqrt{2} = 70.71 $，电源 $ U_s = 1\ \text{mV} $。求电路的谐振频率 $ f_0 $、谐振时的电容电压 $ U_C $ 和通带 $ BW $。

11-8 RLC 串联电路谐振时, 已知 BW = 6.4 kHz, 电阻的功耗 10 mW, $ u_{S}(t) = 100\cos(\omega_{0}t) $ mV 和 C = 400 pF。求: L、谐振频率 $ f_{0} $ 和谐振时电感电压 $ U_{L} $。

11-9 RLC 串联电路中， $ U_{s}=1\ V $，电源频率 $ f_{s}=1\ MHz $，发生谐振时 $ I(j\omega_{0})=100\ mA $， $ U_{C}(j\omega_{0})=100\ V $，试求 R、L 和 C 的值，Q 值和通带 BW。

11-10 RLC 并联谐振时， $ f_{0}=1\ \text{kHz}, Z(j\omega_{0})=100\ \text{k}\Omega, BW=100\ \text{Hz} $，求 R、L 和 $ C_{0} $

11-11 求题 11−11 图所示电路的谐振频率及各频段的电抗性质。

11-12 题 11−12 图所示电路中 $ I_{s}=20\ mA $, $ L=100\ \mu H $, C=400 pF, R=10 Ω。求：电路谐振时的通带 BW 和 $ R_{L} $ 等于何值时能获得最大功率，并求最大功率。

1113 题 11-13 图所示电路中 R=10 Ω, C=0.1 μF, 正弦电压 $ u_{s} $ 的有效值 $ U_{s}=1 $ V, 电路的 Q 值为 100, 求: 参数 L 和�振时的 $ U_{L} $ 。

11-14 题 11-14 图中 $ C_{2}=400\ pF, L_{1}=100\ \mu H $

求下列两种条件下，电路的谐振频率 $ \omega_{0} $ :

(1)

$$ R_{1}=R_{2}\neq\sqrt{\frac{L_{1}}{C_{2}}}; $$

(2)

$$ R_{1}=R_{2}=\sqrt{\frac{L_{1}}{C_{2}}}。 $$

11-15 求题 11-15 图所示电路的转移电压比 $ \frac{\dot{U}_{2}}{\dot{U}_{1}} $。

11-16 求题 11-16 图所示电路的转移电压比 $ \frac{\dot{U}_{2}}{\dot{U}_{1}} $。

11-17 题 11-17 图所示电路中 RC=1 s。求： $ \frac{\dot{U}_{2}}{\dot{U}_{1}} $ 和 $ \frac{U_{2}}{U_{1}} - \omega $。

11-18 题 11-18 图(a)所示系统的网络函数 $ H(j\omega)=\frac{U_{2}}{\dot{U}_{s}} $，其幅频特性 $ \left|H(j\omega)\right|-\omega $ 和相频特性 $ \varphi(j\omega)-\omega $ 如题 11-18 图(b)所示。求：当 $ u_{s}=10-6.4\sin t-3.2\sin(2t)-2.1\sin(3t)+\cdots $ 时，输出 $ u_{2} $。

11-19 作下列网络函数 $ H(j\omega) $ 的波特图。

$$ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{10+\mathrm{j}\omega} $$

(2) $ H(\mathrm{j}\omega)=\frac{5(\mathrm{j}\omega+2)}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}\omega+10)} $

三 相电路

内容提要

本章主要内容有：对称三相电源，对称三相电路的组成及其电压和电流的相值和线值之间的关系；对称三相电路归结为一相计算方法；简要介绍不对称三相电路的计算；三相电路的功率和测量。

§12-1 三相电路

目前，世界各国的电力系统中电能的生产、传输和供电方式绝大多数都采用三相制。它是世界上规模最大的生产系统，系统的结构为适应工业化生产的需要，已经标准化或规范化，它主要是由三相电源、三相负载和三相输电线路三部分组成。

对称三相电源是由3个同频率、等幅值、初相依次滞后 $ 120^{\circ} $的正弦电压源连接成星形(Y)或三角形( $ \Delta $)组成的电源，如图12-1(a)、(b)所示。这3个电源依次称为A相、B相和C相，它们的电压瞬时表达式及其相量分别为

$$ \begin{aligned}&u_{\mathrm{A}}=\sqrt{2}U\cos(\omega t)\quad&\dot{U}_{\mathrm{A}}=U\frac{\omega}{0^{\circ}}\\&u_{\mathrm{B}}=\sqrt{2}U\cos(\omega t-120^{\circ})\quad&\dot{U}_{\mathrm{B}}=U\frac{\omega}{120^{\circ}}=a^{2}\dot{U}_{\mathrm{A}}\\&u_{\mathrm{C}}=\sqrt{2}U\cos(\omega t+120^{\circ})\quad&\dot{U}_{\mathrm{C}}=U\frac{\omega}{120^{\circ}}=a\dot{U}_{\mathrm{A}}\end{aligned} $$

式中以 A 相电压 $ u_{A} $ 作为参考正弦量。 $ a=1\ \left/\frac{120^{\circ}}{}\right. $，它是工程中为了方便而引入的单位相量算子。

上述三相电压的相序(次序)A、B、C称为正序或顺序。与此相反，如B相超前A相 $ 120^{\circ} $，C相超前B相 $ 120^{\circ} $，这种相序称为负序或逆序。相位差为零的相序称为零序。电力系统一般采用正序。

对称三相电压各相的波形和相量图如图 12-1(c)、(d) 所示。对称三相电压满足：

$$ u_{\mathrm{A}}+u_{\mathrm{B}}+u_{\mathrm{C}}=0\quad 或 \quad\dot{U}_{\mathrm{A}}+\dot{U}_{\mathrm{B}}+\dot{U}_{\mathrm{C}}=0 $$

对称三相电压源是由三相发电机提供的(我国三相系统电源频率 f=50 Hz, 入户电压为 220 V, 而日、美、欧洲等国为 60 Hz, 110 V)。

图12-1(a)所示为三相电压源的星形连接方式，简称星形或Y形电源。从3个电压源正极性端子A、B、C向外引出的导线称为端线，从中性点N引出的导线称为中性线（旧称零线）。把三相电压源依次连接成一个回路，再从端子A、B、C引出端线，如图12-1(b)所示，就成为三相电源的三角形联结，简称三角形或 $ \Delta $形电源。三角形电源不能引出中性线。

3 个阻抗连接成星形（或三角形）就构成星形（或三角形）负载，如图 12-2

所示。当这3个阻抗相等时，就称为对称三相负载。

从对称三相电源的3个端子引出具有相同阻抗的3条端线（或输电线），把一些对称三相负载连接在端线上就形成了对称三相电路。图12-2(a)、(b)为两个对称三相电路的示例。图(a)中的三相电源为星形电源，负载为星形负载，称为Y-Y连接方式（实线所示部分）；图(b)中，三相电源为星形电源，负载为三角形负载，称为Y- $ \Delta $连接方式。还有 $ \Delta-Y $和 $ \Delta-\Delta $连接方式。

在 Y-Y 连接中，如把三相电源的中性点 N 和负载的中性点 N' 用一条具有阻抗为 $ Z_{N} $ 的中性线连接起来，如图 12-2(a) 中虚线所示，这种连接方式称为三相四线制方式。上述其余连接方式均属三相三线制。

实际三相电路中，三相电源是对称的，3条端线阻抗是相等的，但负载则不一定是对称的。

§12-2 线电压(电流)与相电压(电流)的关系

三相系统中，流经输电线中的电流称为线电流，如图12-2(a)、(b)所示

的 $ \dot{I}_{A} $、 $ \dot{I}_{B} $、 $ \dot{I}_{C} $， $ \dot{I}_{N} $ 称为中性线电流。各输电线线端之间的电压，如图 12-2 (a)、(b) 中所示电源端的 $ \dot{U}_{AB} $、 $ \dot{U}_{BC} $、 $ \dot{U}_{CA} $ 和负载端的 $ \dot{U}_{AB} $、 $ \dot{U}_{BC} $、 $ \dot{U}_{CA} $，都称为线电压。三相电源和三项负载中每一相的电压、电流称为相电压和相电流。三相系统中的线电压和相电压、线电流和相电流之间的关系都与连接方式有关。

对于对称星形电源、依次设其线电压为 $ \dot{U}_{AB} $， $ \dot{U}_{BC} $， $ \dot{U}_{CA} $，相电压为 $ \dot{U}_{A} $、 $ \dot{U}_{B} $、 $ \dot{U}_{C} $（或 $ \dot{U}_{AN} $、 $ \dot{U}_{BN} $、 $ \dot{U}_{CN} $），如图12-1(a)所示，根据KVL，有

$$ \left.\begin{array}{l}\dot{U}_{\mathrm{AB}}=\dot{U}_{\mathrm{A}}-\dot{U}_{\mathrm{B}}=(1-a^{2})\dot{U}_{\mathrm{A}}=\sqrt{3}\dot{U}_{\mathrm{A}}\underline{30^{\circ}}\\ \dot{U}_{\mathrm{BC}}=\dot{U}_{\mathrm{B}}-\dot{U}_{\mathrm{C}}=(1-a^{2})\dot{U}_{\mathrm{B}}=\sqrt{3}\dot{U}_{\mathrm{B}}\underline{30^{\circ}}\\ \dot{U}_{\mathrm{CA}}=\dot{U}_{\mathrm{C}}-\dot{U}_{\mathrm{A}}=(1-a^{2})\dot{U}_{\mathrm{C}}=\sqrt{3}\dot{U}_{\mathrm{C}}\underline{30^{\circ}}\end{array}\right\} $$

另有 $ \dot{U}_{AB} + \dot{U}_{BC} + \dot{U}_{CA} = 0 $。所以式(12-1)中，只有两个方程是独立的。对称的星形三相电源端的线电压与相电压之间的关系，可用一种特殊的电压相量图表示，如图12-3(a)所示 $ ^{①} $。它是由式(12-1)三个公式的相量图拼接而成，图中实线所示部分表示 $ \dot{U}_{AB} $ 的图解方法，它是以 B 为原点画出 $ \dot{U}_{AB} = (-\dot{U}_{BN}) + \dot{U}_{AN} $，其他线电压的图解求法类同。从图中可以看出，线电压与对称相电压之间的关系可以用图示电压正三角形说明，相电压对称时，线电压也一定依序对称，它是相电压的 $ \sqrt{3} $倍，依次超前 $ \dot{U}_{A}、\dot{U}_{B}、\dot{U}_{C} $ 相位30°，实际计算时，只要算出 $ \dot{U}_{AB} $，就可以依序写出 $ \dot{U}_{BC} = a^{2}\dot{U}_{AB} $， $ \dot{U}_{CA} = a\dot{U}_{AB} $。

对于三角形电源[如图12-1(b)所示]，有

$$ \dot{U}_{\mathrm{AB}}=\dot{U}_{\mathrm{A}},\dot{U}_{\mathrm{BC}}=\dot{U}_{\mathrm{B}},\dot{U}_{\mathrm{CA}}=\dot{U}_{\mathrm{C}} $$

所以线电压等于相电压，相电压对称时，线电压也一定对称。

以上有关线电压和相电压的关系也适用于对称星形负载端和三角形负载端。

对称三相电源和三相负载中性线电流和相电流之间的关系叙述如下。

对于星形连接，线电流显然等于相电流，对三角形连接则不是如此。以图12-2(b)所示三角形负载为例，设每相负载中的对称相电流分别为 $ \dot{I}_{A'B'} $、 $ \dot{I}_{BC} $（ $ =a^{2}\dot{I}_{A'B'} $）、 $ \dot{I}_{C'A'} $（ $ =a\dot{I}_{A'B'} $），3个线电流依次分别为 $ \dot{I}_{A} $、 $ \dot{I}_{B} $、 $ \dot{I}_{C} $，电流的参考方向

如图所示。根据 KCL，有

$$ \left.\begin{array}{l}\dot{I}_{\mathrm{A}}=\dot{I}_{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}-\dot{I}_{\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{A}^{\prime}}=(1-\alpha)\dot{I}_{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}=\sqrt{3}\dot{I}_{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}\angle/-\mathrm{30}^{\circ}\\ \dot{I}_{\mathrm{B}}=\dot{I}_{\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}}-\dot{I}_{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}=(1-\alpha)\dot{I}_{\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}}=\sqrt{3}\dot{I}_{\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}}\angle/-\mathrm{30}^{\circ}\\ \dot{I}_{\mathrm{C}}=\dot{I}_{\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{A}^{\prime}}-\dot{I}_{\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}}=(1-\alpha)\dot{I}_{\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{A}^{\prime}}=\sqrt{3}\dot{I}_{\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{A}^{\prime}}\angle/-\mathrm{30}^{\circ}\end{array}\right\} $$

另有 $ \dot{I}_{A} + \dot{I}_{B} + \dot{I}_{C} = 0 $。所以，上述3个方程中，只有2个方程是独立的。线电流与对称相电流之间的关系，也可以用一种特殊的电流相量图表示，如图12-3(b)所示，图中实线部分表示 $ \dot{I}_{A} $ 的图解求法，其他线电流的图解求法类同。从图中可以看出，线电流与对称的三角形负载相电流之间的关系，可以用一个电流正三角形说明，相电流对称时，线电流也一定对称，它是相电流的 $ \sqrt{3} $倍，依次滞后 $ \dot{I}_{A'B'} \cup \dot{I}_{BC'} \cup \dot{I}_{CA'} $ 的相位为 $ 30^{\circ} $。实际计算时，只要计算出 $ \dot{I}_{A} $，就可依次写出 $ \dot{I}_{B} = a^{2} \dot{I}_{A}, \dot{I}_{C} = a \dot{I}_{A} $。

上述分析方法也适用于三角形电源。

最后还必须指出，所有关于电压、电流的对称性以及上述对称相值和对称线值之间关系的论述，只能在指定的顺序和参考方向的条件下，才能以简单有序的形式表达出来，而不能任意设定(理论上可以)，否则将会使问题的表述变得杂乱无序。

§12-3 对称三相电路的计算

对称三相电路是一类特殊类型的正弦电流电路。因此，分析正弦电流电路的相量法对对称三相电路完全适用。但本节根据对称三相电路的一些特点，来简化对称三相电路分析计算。

现在，以对称三相四线制电路为例来进行分析，如图12-2(a)所示，其中 $ Z_{1} $为线路阻抗， $ Z_{N} $为中性线阻抗。N和N'为中性点。对于这种电路，一般可用结点法先求出中性点N'与N之间的电压。以N为参考结点，可得

$$ \left(\frac{1}{Z_{\mathrm{N}}}+\frac{3}{Z+Z_{1}}\right)\dot{U}_{\mathrm{N}\mathrm{N}}=\frac{1}{Z_{1}+Z}\left(\dot{U}_{\mathrm{A}}+\dot{U}_{\mathrm{B}}+\dot{U}_{\mathrm{C}}\right) $$

由于 $ \dot{U}_{A} + \dot{U}_{B} + \dot{U}_{C} = 0 $，所以 $ \dot{U}_{N'N} = 0 $，各相电源和负载中的相电流等于线电流，它们是

$$ \dot{I}_{\mathrm{A}}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{A}}-\dot{U}_{\mathrm{NN}}}{Z+Z_{1}}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{A}}}{Z+Z_{1}} $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{B}}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{B}}}{Z+Z_{1}}=a^{2}\dot{I}_{\mathrm{A}} $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{c}}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{c}}}{Z+Z_{1}}=a\dot{I}_{\mathrm{A}} $$

可以看出，各线（相）电流独立， $ \dot{U}_{N'N}=0 $ 是各线（相）电流独立，彼此无关的

必要和充分条件，所以，对称的 Y-Y 电路可分列为三个独立的单相电路。又由于三相电源、三相负载的对称性，所以线(相)电流构成对称组。因此，只要分析计算三相中的任一相，而其他两线(相)的电流就能按对称顺序写出。这就是对称的 Y-Y 三相电路归结为一相的计算

方法。图12-4为一相计算电路(A相)。注意，在一相计算电路中，连接N、N'的短路线是 $ \dot{U}_{N'N}=0 $的等效线，与中性线阻抗 $ Z_{N} $无关。另外，中性线的电流为

$$ \dot{I}_{\mathrm{N}}=\dot{I}_{\mathrm{A}}+\dot{I}_{\mathrm{B}}+\dot{I}_{\mathrm{C}}=0 $$

这表明，对称的 Y-Y 三相电路，在理论上不需要中性线，可以移去。而在

任一时刻， $ i_{A} $、 $ i_{B} $、 $ i_{C} $ 中至少有一个为负值，对应此负值电流的输电线则作为对称电流系统在该时刻的电流回线。

对于其他连接方式的对称三相电路，可以根据星形和三角形的等效互换，化成对称的 Y-Y 三相电路，然后用一相计算法求解。

例 12-1 对称三相电路如图 12-2(a) 所示，已知： $ Z_1 = (1 + j2)\Omega $， $ Z = (5 + j6)\Omega $， $ u_{AB} = 380\sqrt{2}\cos(\omega t + 30^\circ)V $。试求负载中各电流相量。

解 可设一组对称三相电压源与该组对称线电压对应。根据前面式(12-1)的关系，有

$$ \dot{U}_{A}=\frac{\dot{U}_{AB}}{\sqrt{3}}\underline{\angle-30^{\circ}}=220\ \underline{/0^{\circ}}\mathrm{V} $$

据此可画出一相(A相)计算电路，如图12-4所示。可以求得

$$ \dot{I}_{\mathrm{A}}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{A}}}{Z+Z_{1}}=\frac{220\angle0^{\circ}}{6+\mathrm{j}8}\mathrm{A}=22\angle-53.1^{\circ}\mathrm{A} $$

根据对称性可以写出

$$ \dot{I}_{\mathrm{B}}=a^{2}\dot{I}_{\mathrm{A}}=22\underbrace{-173.1^{\circ}\mathrm{A}}\quad\dot{I}_{\mathrm{C}}=a\dot{I}_{\mathrm{A}}=22\underbrace{66.9^{\circ}\mathrm{A}} $$

对称三相电路的相量图，可将 A 线（相）的相量图依序顺时针旋转 $ 120^{\circ} $ 合成。

例 12-2 对称三相电路如图 12-2(b) 所示。已知： $ Z = (19.2 + j14.4)\Omega $， $ Z_{1} = (3 + j4)\Omega $，对称线电压 $ U_{AB} = 380\ V $。求负载端的线电压和线电流。

解 该电路可以变换为对称的 Y-Y 电路，如图 12-5 所示。图中 $ Z' $ 为（三角形变换为星形）

$$ Z^{\prime}=\frac{Z}{3}=\frac{19.2+\mathrm{j}14.4}{3}\Omega=\left(6.4+\mathrm{j}4.8\right)\Omega $$

令 $ \dot{U}_{A}=220\ \frac{0^{\circ}}{V} $。根据一相计算电路有

$$ \dot{I}_{A}=\frac{\dot{U}_{A}}{Z_{1}+Z}=17.1\quad\angle-43.2^{\circ}\mathrm{A} $$

而：

$$ \dot{I}_{\mathrm{B}}=a^{2}\dot{I}_{\mathrm{A}}=17.1\mathrm{~\big/}-163.2^{\circ}\mathrm{A} $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{c}}=a\dot{I}_{\mathrm{A}}=17.1~\underline{{/76.8^{\circ}}}\mathrm{A} $$

此电流即为负载端的线电流。再求出负载端的相电压，利用线电压与相电压的关系就可得负载端的线电压。 $ \dot{U}_{AN} $为

$$ \dot{U}_{A^{\prime}N^{\prime}}=\dot{I}_{A}Z^{\prime}=136.8\underbrace{-6.3^{\circ}V} $$

根据式(12-1)，有

$$ \dot{U}_{A^{\prime}B^{\prime}}=\sqrt{3}\dot{U}_{A^{\prime}N^{\prime}}\underline{{/30^{\circ}}}=236.9\ \underline{{/23.7^{\circ}}}\mathrm{V} $$

根据对称性可写出

$$ \dot{U}_{B^{\prime}C^{\prime}}=a^{2}\dot{U}_{A^{\prime}B^{\prime}}=236.9\underline{{/-96.3^{\circ}}}\mathrm{V} $$

$$ \dot{U}_{C^{\mathrm{A^{\prime}}}}=a\dot{U}_{A^{\prime}B^{\prime}}=236.9\mathrm{\quad/}\mathrm{143.7^{\circ}V} $$

根据负载端的线电压[如图12-2(b)所示]可以求得负载中的相电流，有

$$ \dot{I}_{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{\dot{U}_{A^{\prime}B^{\prime}}}{Z}=9.9\angle-13.2^{\circ}\mathrm{A} $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{B^{\prime}C^{\prime}}}=a^{2}\dot{I}_{\mathrm{A^{\prime}B^{\prime}}}=9.9\underline{/-133.2^{\circ}}\mathrm{A} $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{C^{\prime}A^{\prime}}}=a\dot{I}_{\mathrm{A^{\prime}B^{\prime}}}=9.9\mathrm{\Omega/106.8^{\circ}A} $$

也可以利用式 $ （12-2） $计算负载的相电流。

§12-4 不对称三相电路的概念

在三相电路中，只要有一部分不对称就称为不对称三相电路，例如，对称三相电路的某一条端线断开，或某一相负载发生短路或开路，它就失去了对称性，成为不对称的三相电路。对于不对称三相电路的分析，一般情况下，不能引用上一节介绍的一相计算方法，而要用其他方法求解。本节只简要地介绍由于负载不对称而引起的一些特点。

图12-6(a)的Y-Y连接电路中三相电源是对称的，但负载不对称。先讨论开关S打开（即不接中性线）时的情况。用结点电压法，可以求得结点电压

$ U_{N'N} $为

$$ \dot{U}_{\mathrm{N^{\prime}N}}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{A}}Y_{\mathrm{A}}+\dot{U}_{\mathrm{B}}Y_{\mathrm{B}}+\dot{U}_{\mathrm{C}}Y_{\mathrm{C}}}{Y_{\mathrm{A}}+Y_{\mathrm{B}}+Y_{\mathrm{C}}} $$

由于负载不对称，一般情况下 $ \dot{U}_{NN} \neq 0 $，即 $ N' $ 点和 $ N $ 点电位不同了。从图 12-6 (b) 的相量关系可以清楚看出， $ N' $ 点和 $ N $ 点不重合，这一现象称为中性点位移。在电源对称的情况下，可以根据中性点位移的情况判断负载端不对称的程度。当中性点位移较大时，会造成负载端的电压严重的不对称，从而可能使负载的工作不正常。另一方面，如果负载变动时，由于各相的工作相互关联，因此彼此都互有影响。

合上开关 S（接上中性线），如果 $ Z_{N} \approx 0 $，则可强使 $ \dot{U}_{N N} = 0 $。尽管电路是不对称，但在这个条件下，可强使各相保持独立性，各相的工作互不影响，因而各相可以分别独立计算。能确保各相负载在相电压下安全工作，这就克服了无中性线时引起的缺点。因此，在负载不对称的情况下中性线的存在是非常重要的，它能起到保证安全供电的作用。

由于线(相)电流的不对称，中性线电流一般不为零，即

$$ \dot{I}_{\mathrm{N}}=\dot{I}_{\mathrm{A}}+\dot{I}_{\mathrm{B}}+\dot{I}_{\mathrm{C}}\neq0 $$

例 12-3 图 12-6(a) 所示电路中，若 $ Z_{A} = -j \frac{1}{\omega C} $（电容），而 $ Z_{B} = Z_{C} = R $，并且 $ R = \frac{1}{\omega C} $，则电路是一种测定相序的仪器，称为相序指示器（图中电阻 R 用两个相同的白炽灯代替）。试说明在相电压对称的情况下，当 S 打开时，如何根据两个白炽灯的亮度确定电源的相序。

解 图12-6(a)所示电路中性点电压 $ \dot{U}_{N} $为

$$ \dot{U}_{\mathrm{N^{\prime}N}}=\frac{\mathrm{j}\omega C\dot{U}_{\mathrm{A}}+G\left(\dot{U}_{\mathrm{B}}+\dot{U}_{\mathrm{C}}\right)}{\mathrm{j}\omega C+2G} $$

令 $ \dot{U}_{A} = U \left/0^{\circ}\right. V $，代入给定的参数关系后，有

$$ \dot{U}_{N^{\prime}N}=\left(-0.2+\mathrm{j}0.6\right)U=0.63U\left/\overline{108.4}\right.^{\circ} $$

B 相白炽灯承受的电压 $ \dot{U}_{BN} $ 为

$$ \dot{U}_{\mathrm{B N}}=\dot{U}_{\mathrm{B N}}-\dot{U}_{\mathrm{N^{\prime}N}}=1.5U\underline{/-101.5^{\circ}} $$

所以

$$ U_{BN^{\prime}}=1.5U $$

而

$$ \dot{U}_{\mathrm{C N}}=\dot{U}_{\mathrm{C N}}-\dot{U}_{\mathrm{N N}}=0.4U\mathrm{\underline{{/}}133.4^{\circ}} $$

即

$$ U_{CN}=0.4U $$

根据上述结果可以判断： $ U_{CN} $ 最小，则白炽灯较暗的一相为 C 相。

§12-5 三相电路的功率

在三相电路中，三相负载吸收的复功率等于各相复功率之和，即

$$ \bar{S}=\bar{S}_{\mathrm{A}}+\bar{S}_{\mathrm{B}}+\bar{S}_{\mathrm{C}} $$

在对称的三相电路中有 $ \bar{S}_{A}=\bar{S}_{B}=\bar{S}_{C} $，因而 $ \bar{S}=3\bar{S}_{A} $。

三相电路的瞬时功率为各相负载瞬时功率之和。如对图 12-2(a) 所示的对称三相电路，有

$$ \begin{aligned}p_{\mathrm{A}}&=u_{\mathrm{AN}}i_{\mathrm{A}}=\sqrt{2}U_{\mathrm{AN}}\cos(\omega t)\times\sqrt{2}I_{\mathrm{A}}\cos(\omega t-\varphi)\\&=U_{\mathrm{AN}}I_{\mathrm{A}}[\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi)]\\p_{\mathrm{B}}&=u_{\mathrm{BN}}i_{\mathrm{B}}=\sqrt{2}U_{\mathrm{AN}}\cos(\omega t-120^{\circ})\times\sqrt{2}I_{\mathrm{A}}\cos(\omega t-\varphi-120^{\circ})\\&=U_{\mathrm{AN}}I_{\mathrm{A}}[\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi-240^{\circ})]\\p_{\mathrm{C}}&=u_{\mathrm{CN}}i_{\mathrm{C}}=\sqrt{2}U_{\mathrm{AN}}\cos(\omega t+120^{\circ})\times\sqrt{2}I_{\mathrm{A}}\cos(\omega t-\varphi+120^{\circ})\\&=U_{\mathrm{AN}}I_{\mathrm{A}}[\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi+240^{\circ})]\end{aligned} $$

它们的和为

$$ p=p_{\mathrm{A}}+p_{\mathrm{B}}+p_{\mathrm{C}}=3U_{\mathrm{A N}}I_{\mathrm{A}}\cos\varphi=3P_{\mathrm{A}} $$

此式表明，对称三相电路的瞬时功率是一个常量，其值等于平均功率。这是对称三相电路的一个优越的性能。习惯上把这一性能称为瞬时功率平衡。

在三相三线制电路中，不论对称与否，都可以使用两个功率表的方法测量三

相功率（称为二瓦计法）。两个功率表的一种连接方式如图12-7所示。使线电流从*端分别流入两个功率表的电流线圈（图示为 $ \dot{I}_{A}, \dot{I}_{B} $），它们的电压线圈的非*端共同接到非电流线圈所在的第3条端线上（图示为C端线）。可以看出，这种测量方法中功率表的接线只触及端线，而与负载和电源的连接方式无关。

可以证明图中两个功率表读数的代数和为三相三线制中右侧电路吸收的平均功率。

设两个功率表的读数分别用 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 表示，根据功率表的工作原理，有

$$ P_{1}=\mathrm{R e}\big[\dot{U}_{\mathrm{A C}}\dot{I}_{\mathrm{A}}^{*}\big]\qquad P_{2}=\mathrm{R e}\big[\dot{U}_{\mathrm{B C}}\dot{I}_{\mathrm{B}}^{*}\big] $$

所以

$$ P_{1}+P_{2}=\mathrm{R e}\big[\dot{U}_{\mathrm{A C}}\dot{I}_{\mathrm{A}}^{*}+\dot{U}_{\mathrm{B C}}\dot{I}_{\mathrm{B}}^{*}\big] $$

因为 $ \dot{U}_{AC} = \dot{U}_{A} - \dot{U}_{C}, \dot{U}_{BC} = \dot{U}_{B} - \dot{U}_{C}, \dot{I}_{A}^{*} + \dot{I}_{B}^{*} = -\dot{I}_{C}^{*} $，代入上式有

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{P}_{1}+\boldsymbol{P}_{2}&=\mathrm{Re}[\dot{U}_{\mathrm{A}}\dot{I}_{\mathrm{A}}^{*}+\dot{U}_{\mathrm{B}}\dot{I}_{\mathrm{B}}^{*}+\dot{U}_{\mathrm{C}}\dot{I}_{\mathrm{C}}^{*}]=\mathrm{Re}[\bar{S}_{\mathrm{A}}+\bar{S}_{\mathrm{B}}+\bar{S}_{\mathrm{C}}]\\&=\mathrm{Re}[\bar{S}]\end{aligned} $$

而 $ \mathrm{Re}[\bar{S}] $ 则表示右侧三相负载的有功功率。在对称三相制中令 $ \dot{U}_{A} = U_{A} / 0^{\circ} $， $ \dot{I}_{A} = I_{A} / -\varphi $，则有

$$ \left.\begin{aligned}{}&{{}P_{1}=\operatorname{R e}[\;\dot{U}_{\mathrm{A C}}\dot{I}_{\mathrm{A}}^{*}\;]=U_{\mathrm{A C}}I_{\mathrm{A}}\operatorname{c o s}(\varphi-30^{\circ})}\\ {}&{{}P_{2}=\operatorname{R e}[\;\dot{U}_{\mathrm{B C}}\dot{I}_{\mathrm{B}}^{*}\;]=U_{\mathrm{B C}}I_{\mathrm{B}}\operatorname{c o s}(\varphi+30^{\circ})}\\ \end{aligned}\right\} $$

式中 $ \varphi $ 为负载的阻抗角。应当注意，在一定的条件下，（例如 $ \left|\varphi\right|>60^{\circ} $）两个功率表之一的读数可能为负，求代数和时该读数应取负值。一般来讲，单独一个功率表的读数是没有意义的。

不对称的三相四线制不能用二瓦计法测量三相功率，这是因为在一般情况下， $ \dot{I}_{A} + \dot{I}_{B} + \dot{I}_{C} \neq 0 $。

例 12-4 若图 12-7 所示电路为对称三相电路，已知对称三相负载吸收的功率为 2.5 kW，功率因数 $ \lambda = \cos \varphi = 0.866 $（感性），线电压为 380 V。求图中两个功率表的读数。

解 对称三相负载吸收的功率是一相负载所吸收功率的3倍，令 $ \dot{U}_{A}=U_{A}\angle0^{\circ},\dot{I}_{A}=I_{A}\angle-\varphi $，则

$$ P=3\mathrm{R e}\left[\dot{U}_{\mathrm{A}}\dot{I}_{\mathrm{A}}^{*}\right]=\sqrt{3}U_{\mathrm{A B}}I_{\mathrm{A}}\cos\varphi $$

求得电流 $ I_{A} $为

$$ I_{\mathrm{A}}=\frac{P}{\sqrt{3}U_{\mathrm{AB}}\cos\ \varphi}=4.386\ \mathrm{A} $$

又

$$ \varphi=\arccos\lambda=30^{\circ}( 感性 ) $$

则图中功率表相关的电压、电流相量为

$$ \dot{I}_{\mathrm{A}}=4.386\angle-\overline{30^{\circ}}\mathrm{A},\dot{U}_{\mathrm{AC}}=380\angle-\overline{30^{\circ}}\mathrm{V} $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{B}}=4.386\angle-150^{\circ}\mathrm{A},\dot{U}_{\mathrm{BC}}=380\angle-90^{\circ}\mathrm{V} $$

则功率表的读数如下：

$$ P_{1}=\mathrm{Re}[\dot{U}_{\mathrm{AC}}\dot{I}_{\mathrm{A}}^{*}]=\mathrm{Re}[380\times4.386\left/\mathrm{0^{\circ}}\right]\mathrm{W}=1666.68\mathrm{W} $$

$$ P_{2}=\mathrm{Re}[\dot{U}_{\mathrm{BC}}\dot{I}_{\mathrm{B}}^{*}]=\mathrm{Re}[380\times4.386\sqrt{60^{\circ}}]\mathrm{W}=833.34\mathrm{W} $$

其实，只要求得两个功率表之一的读数，另一功率表的读数等于负载的功率减去该表的读数，例如，求得 $ P_{1} $后， $ P_{2}=P-P_{1} $。

——习题——

12-1 已知对称三相电路的星形负载阻抗 $ Z = (165 + j84)\Omega $，端线阻抗 $ Z_1 = (2 + j1)\Omega $，中性线阻抗 $ Z_N = (1 + j1)\Omega $，线电压 $ U_1 = 380\,\text{V} $。求负载端的电流和线电压，并作电路的相量图。

12-2 已知对称三相电路的线电压 $ U_{1}=380\ V $ (电源端)，三角形负载阻抗 $ Z=(4.5+j14)\Omega $，端线阻抗 $ Z_{1}=(1.5+j2)\Omega $。求线电流和负载的相电流，并作相量图。

123 将题12-2中负载Z改为三角形联结（无中性线）。比较两种连接方式中负载所吸收的复功率。

124 题 12-4 图所示对称三相耦合电路接于对称三相电源，电源频率为 50 Hz，线电压 $ U_{1}=380\ V, R=30\ \Omega, L=0.29\ H, M=0.12\ H $。求相电流和负载吸收的总功率。

12-5 题12-5图所示对称Y-Y三相电路中，电压表的读数为1143.16 V， $ Z=(15+j15\sqrt{3})\Omega,Z_{1}=(1+j2)\Omega $ 求：

（1）图中电流表的读数及线电压 $ U_{AB} $;

(2) 三相负载吸收的功率：

（3）如果 A 相的负载阻抗等于零（其他不变），再求(1)、(2)；

（4）如果 A 相负载开路，再求(1)、(2)。

（5）如果加接零阻抗中性线 $ Z_{N}=0 $ ，则(3)、(4)将发生怎样的变化？

12-6 题 12-6 图所示对称三相电路中， $ U_{AB}=380\ V $，三相电动机吸收的功率为 1.4 kW，其功率因数 $ \lambda=0.866 $（滞后）， $ Z_{1}=-j55\Omega $。求 $ U_{AB} $ 和电源端的功率因数 $ \lambda^{\prime} $。

12-7 题12-7图所示对称Y- $ \Delta $三相电路中， $ U_{AB}=380\ V $，图中功率表的读数为 $ W_{1}:782, W_{2}:1976.44 $。求：

（1）负载吸收的复功率 $ \bar{S} $ 和阻抗 Z;

(2) 开关 S 打开后，功率表的读数。

12-8 题 12-8 图所示电路中，对称三相电源端的线电压 $ U_{1}=380\ V, Z=(50+j50)\Omega, Z_{1}=(100+j100)\Omega, Z_{A} $ 为 R、L、C 串联组成， $ R=50\ \Omega, X_{L}=314\ \Omega, X_{C}=-264\ \Omega $ 。试求：

（1）开关 S 打开时的线电流；

(2) 若用二瓦计法测量电源端三相功率，试画出接线图，并求两个功率表的读数(S闭合时)。

12+9 题 12-9 图所示电路中，电源为对称三相电源，试求：

(1) L、C 满足什么条件时，线电流对称？

(2) 若 $ R = \infty $ (开路)，再求线电流。

12-10 已知对称三相电路中性线电压为 380 V, f = 50 Hz, 负载吸收的功率为 2.4 kW (参阅图 12-7), 功率因数为 0.4 (感性)。试求：

(1) 两个功率表的读数(用二瓦计法测量功率时);

(2) 怎样才能使负载端的功率因数提高到 0.8？并再求出两个功率表的读数。

12-11 题 12-11 图所示三相（四线）制电路中， $ Z_{1} = -j10\ \Omega, Z_{2} = (5 + j12)\Omega $，对称三相电源的线电压为 380 V，图中电阻 R 吸收的功率为 24 200 W（S 闭合时）。试求：

（1）开关 S 闭合时图中各表的读数。根据功率表的读数能否求得整个负载吸收的总功率？

(2) 开关 S 打开时图中各表的读数有无变化，功率表的读数有无意义？

12-12 题 12-12 图所示为对称三相电路，线电压为 380 V, R = 200 Ω，负载吸收的无功功率为 $ 1\ 520\sqrt{3} $ var。试求：

（1）各线电流；

（2）电源发出的复功率。

12-13 题 12-13 图所示为对称三相电路，线电压为 380 V，相电流 $ I_{AB}=2A $ 。求图中功率表的读数。

12-14 题 12-14 图所示电路中的 $ \dot{U}_{s} $ 是频率 f=50 Hz 的正弦电压源。若要使 $ \dot{U}_{so} $、 $ \dot{U}_{bo} $、 $ \dot{U}_{co} $ 构成对称三相电压，R、L、C 之间应当满足什么关系？设 R=20 $ \Omega $，求 L 和 C 的值。

非正弦周期电流电路和信号的频谱

内容提要___

本章主要介绍非正弦周期电流电路的一种分析方法——谐波分析法，它是正弦电流电路分析方法的推广。其次介绍信号频谱的初步概念。主要内容有：周期函数分解为傅里叶级数和信号的频谱，周期量的有效值、平均值，非正弦周期电流电路的计算和平均功率，三相电路中的高次谐波，傅里叶积分简介。

§13-1 非正弦周期信号

在生产实践和科学实验中，通常会遇到按非正弦规律变化的电源和信号。例如，通信工程方面传输的各种信号，如收音机、电视机收到的信号电压或电流，它们的波形都是非正弦波。在自动控制、电子计算机等技术领域中用到的脉冲信号也都是非正弦波。本章表13-1所示非正弦周期波形都是工程中常见的例子。

另外，如果电路存在非线性元件，即使在正弦电源的作用下，电路中也将产生非正弦周期的电压和电流。

非正弦电流、电压又可分为周期的和非周期的两种。本章主要讨论在非正弦周期电源或信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法，并简要地介绍信号频谱的初步概念。首先应用数学中的傅里叶级数（傅氏级数）展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列频率为周期函数频率的正整倍数的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算每一频率的正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；最后，把所得分量按时域形式叠加，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。这种方法称为谐波分析法。它实质上是把非正弦周期电流电路的计算转化为一系列不同频

率的正弦电流电路的计算。

§13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数

非正弦周期电流、电压、信号等都可以用周期函数表示，即

$$ f(t)=f(t+nT) $$

式中 T 为周期函数 $ f(t) $ 的周期，n 为自然数 0,1,2, $ \cdots $。

如果给定的周期函数 $ f(t) $ 满足狄里赫利条件，即(1)周期函数的极值点的数目为有限个；(2)间断点的数目为有限个；(3)在一个周期内绝对可积，即有

$$ \int_{0}^{T}\mid f(t)\mid d t<\infty( 有界 ) $$

它就能展开成一个收敛的傅里叶级数，即

$$ \begin{aligned}f(t)&=\frac{a_{0}}{2}+\left[a_{1}\cos(\omega_{1}t)+b_{1}\sin(\omega_{1}t)\right]+\left[a_{2}\cos(2\omega_{1}t)+b_{2}\sin(2\omega_{1}t)\right]+\cdots+\\&\quad\left[a_{k}\cos(k\omega_{1}t)+b_{k}\sin(k\omega_{1}t)\right]+\cdots\\&=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k}\cos(k\omega_{1}t)+b_{k}\sin(k\omega_{1}t)\right]\tag{13-1}\end{aligned} $$

式(13-1)中， $ a_{k} $ 项为偶函数， $ b_{k} $ 项为奇函数。还可合并成另一种形式（式中 $ \omega_{1} = \frac{2\pi}{T} $）

$$ \begin{aligned}f(t)&=\frac{A_{0}}{2}+A_{1\mathrm{m}}\cos(\omega_{1}t+\phi_{1})+A_{2\mathrm{m}}\cos(2\omega_{1}t+\phi_{2})+\cdots+\\&\quad A_{k\mathrm{m}}\cos(k\omega_{1}t+\phi_{k})+\cdots\\&=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}A_{k\mathrm{m}}\cos(k\omega_{1}t+\phi_{k})\end{aligned} $$

不难得出上述两种形式系数之间有如下关系：

$$ \begin{aligned}a_{0}&=A_{0}\\a_{k}=A_{k\mathrm{m}}\cos\phi_{k}&\\b_{k}=-A_{k\mathrm{m}}\sin\phi_{k}&\\A_{k\mathrm{m}}=\sqrt{a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}\\\phi_{k}=\arctan\left(\frac{-b_{k}}{a_{k}}\right)&\\A_{k\mathrm{m}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{k}}&=a_{k}-\mathrm{j}b_{k}\end{aligned} $$

傅里叶级数是一个无穷三角级数。式(13-2)的第1项 $ \frac{A_{0}}{2} $称为周期函数 $ f(t) $的恒定分量（或直流分量）；第2项 $ (k=1)A_{1m}\cos(\omega_{1}t+\phi_{1}) $称为1次谐波

(或基波分量)，其周期或频率与原周期函数 $ f(t) $相同，其他各项 $ (k>1) $统称为高次谐波，即2次、3次、4次、…谐波。这种将一个周期函数展开或分解为一系列谐波之和的傅里叶级数称为谐波分析。

式 $ (13-1) $中的系数，可按下列积分获得：

$$ \begin{align*}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left\{\frac{a_{0}}{2}+\sum[a_{k}\cos(k\omega_{1}t)+b_{k}\sin(k\omega_{1}t)]\right\}\cos(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t\\\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left\{\frac{a_{0}}{2}+\sum[a_{k}\cos(k\omega_{1}t)+b_{k}\sin(k\omega_{1}t)]\right\}\sin(n\omega_{1}t)\mathrm{d}t\end{align*} $$

当 $ n \neq k $ 时，上述积分全为零，当 n = k 时，第1积分式中只有 $ a_{k} $ 项（偶函数）积分不为零，第2积分式中只有 $ b_{k} $ 项（奇函数）不为零，因此可获得求解 $ a_{k} $、 $ b_{k} $ 的下列积分公式：

$$ \left.\begin{aligned}a_{k}&=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(k\omega_{1}t)\mathrm{d}t=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(k\omega_{1}t)\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)\cos(k\omega_{1}t)\mathrm{d}(\omega_{1}t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(k\omega_{1}t)\mathrm{d}(\omega_{1}t)\\b_{k}&=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(k\omega_{1}t)\mathrm{d}t=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(k\omega_{1}t)\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)\sin(k\omega_{1}t)\mathrm{d}(\omega_{1}t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(k\omega_{1}t)\mathrm{d}(\omega_{1}t)\\A_{k m}&\mathrm{e}^{j\phi_{k}}=a_{k}-\mathrm{j}b_{k}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{e}^{-j k\omega_{1}t}\mathrm{d}t\end{aligned}\right\} $$

上述计算公式中 k=0,1,2,\cdots

为了直观、形象地表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，用线段的高度表示各次谐波振幅，画出 $ A_{km} - k\omega_1 $ 的图形，如图 13-1 所示。这种图形称为 $ f(t) $ 的频谱（图）。这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称为幅度频谱。如果用同样的方法画出 $ \phi_k - k\omega_1 $ 的图形就可以得到相位频谱。如无特别说明，一般所说频谱是专指幅度频谱而言。由于各谐波的角频率是 $ \omega_1 $ 的正整数倍，所以这种频谱是离散的，有时又称为线频谱。频谱图提供一种从谐波的幅度和谱线密度两个方面研究函数 $ f(t) $ 的频率特性的图像方法。函数 $ A_{km} e^{j\phi_k} $ 就称为频谱函数。

例 13-1 求图 13-2(a) 所示周期性矩形信号 $ f(t) $ 的傅里叶级数展开式及其频谱。

解 $ f(t) $ 在第一个周期内的表达式为

$$ \left\{\begin{aligned}&f(t)=E_{m}&&0\leqslant t\leqslant\frac{T}{2}\\ &f(t)=-E_{m}&&\frac{T}{2}\leqslant t\leqslant T\end{aligned}\right. $$

根据式 $ (13-3) $求得所需要的系数为

$$ \begin{array}{l}A_{k\mathrm{m}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}d_{k}}\;=\;a_{k}-\mathrm{j}b_{k}\;=\;\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\mathrm{d}t\\=\;\frac{2}{T}\left[\int_{0}^{\frac{T}{2}}E_{\mathrm{m}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\mathrm{d}t\right.\left.-\int_{\frac{T}{2}}^{T}E_{\mathrm{m}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}k}\mathrm{d}t\right]\\=\;\frac{E_{\mathrm{m}}}{-\mathrm{j}k\pi}\left[\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\pi}\;-\;1\;-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2k\pi}\;+\;\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\pi}\right]\\=\;\frac{E_{\mathrm{m}}}{\mathrm{j}k\pi}(1\;-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\pi})^{2}\;.\end{array} $$

当 k 为偶数时，上述结果为零，当 k 为奇数时，上述结果为

$$ A_{k\mathrm{m}}\mathrm{e}^{j\phi_{k}}=\frac{4E_{\mathrm{m}}}{\mathrm{j}k\pi} $$

即

$$ A_{km}=\frac{4E_{m}}{k\pi}\quad\phi_{k}=-90^{\circ} $$

由此求得

$$ f(t)=\frac{4E_{m}}{\pi}\left[\sin(\omega_{1}t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega_{1}t)+\frac{1}{5}\sin(5\omega_{1}t)+\cdots\right] $$

图13-2(b)中虚线所示曲线是取展开式中前3项，即取到5次谐波时画出的合成曲线。图13-2(c)是取到11次谐波时合成的曲线。比较两个图形可见，谐波项数取得越多，合成曲线就越接近于原来的波形。图13-2(d)、(e)为 $ f(t) $的

频谱。

表 13−1 是工程中常用到的几个典型的周期函数的傅里叶级数展开式。

| f(t)的波形图 | f(t)分解为傅里叶级数 | A (有效值) | A_{av} (平均值) |

| --- | --- | --- | --- |

| | f(t)=A_{m}cos( \omega_{1}t) | A_{m} / \sqrt{2} | 2A_{m} / \pi |

| | f(t)=A_{max} / \left[sin(3a)sin(5\omega_{1}t)+\frac{1}{25}\sin(5a)sin(5\omega_{1}t)+\cdots+\frac{1}{k^{2}}\sin(ka)sin(k\omega_{1}t+\cdots)\right] (式中a=\frac{2\pi d}{T},k为奇数) | A_{max} / \sqrt{1-\frac{4a}{3\pi}} | A_{max} / (1-\frac{a}{\pi}) |

| | f(t)=A_{max} / \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\left[\sin(\omega_{1}t)+\frac{1}{2}\sin(2\omega_{1}t)+\cdots+\frac{1}{3}\sin(3\omega_{1}t+\cdots)\right]\right] | A_{max} / \sqrt{3} | A_{max} / \frac{2}{3} |

| | f(t)=A_{max} / a+\frac{2}{\pi}\left[\sin(a\pi)\cos(\omega_{1}t)+\frac{1}{2}\sin(2a\pi)\cos(2\omega_{1}t)+\frac{1}{2}\sin(3a\pi)\cos(3\omega_{1}t+\cdots)\right] | \sqrt{a}A_{max} | aA_{max} |

| f(t)的波形图 | f(t)分解为傅里叶级数 | A (有效值) | A_{av} (平均值) |

| --- | --- | --- | --- |

| | f(t)= $ \frac{8A_{\max}}{\pi^2}\left[\sin(\omega_1 t)-\frac{1}{9}\sin(3\omega_1 t)+\frac{1}{25}\sin(5\omega_1 t)-\cdots+\frac{(-1)^k\frac{k-1}{2}}{k^2}\sin(k\omega_1 t)+\cdots\right] $ (k为奇数) | $ \frac{A_{\max}}{\sqrt{3}} $ | $ \frac{A_{\max}}{2} $ |

| | f(t)= $ \frac{4A_{\max}}{\pi}\left[\sin(\omega_1 t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega_1 t)+\frac{1}{5}\sin(5\omega_1 t)+\cdots+\frac{1}{k}\sin(k\omega_1 t)+\cdots\right] $ (k为奇数) | A_{max} | A_{max} |

| f(t)\uparrow O \frac{T}{4} \frac{T}{2} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \frac{T}{T} \ | | | |

电工技术中遇到的周期函数常具有某种对称性，利用函数的对称性可使系数 $ a_{k} $、 $ b_{k} $ 的求解简化。

图 13-3 所示偶函数有纵轴对称的性质，即

$$ f(t)=f(-t) $$

故

$$ b_{k}=0\quad\phi_{k}=0 $$

即级数展开式中不含 sine 项(奇函数)。

图 13-4 所示奇函数有原点对称的性质，即

$$ f(t)=-f(-t) $$

故

$$ a_{k}=0 $$

即级数展开式中不含 cosine 项(偶函数)。

图 13-5 所示奇谐波函数有镜像对称性质，即该波形移动半周期后与横轴对称（如图 13-5 中虚线所示）。

$$ f(t)=-f\left(t+\frac{T}{2}\right) $$

故

$$ a_{2k}=b_{2k}=0 $$

即级数展开式中不含偶次谐波。

任意一个非正弦周期函数 $ f(t) $，不管其奇偶性如何，都可以分解为一个偶函数 $ f_{e}(t) $（偶部）与一个奇函数 $ f_{o}(t) $（奇部）之和，即有

$$ f(t)=f_{e}(t)+f_{o}(t) $$

并有

$$ f_{e}(t)=\frac{1}{2}\left[f(t)+f(-t)\right] $$

$$ f_{。}(t)=\frac{1}{2}\left[f(t)-f(-t)\right] $$

应当指出式(13-2)中的系数 $ A_{km} $ 与计时起点无关，而 $ \phi_{k} $ 与计时起点有关，这是因为构成非正弦周期函数的各谐波的振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，并不会因计时起点的变动而变动；因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作相应地改变。由于系数 $ a_{k} $ 和 $ b_{k} $ 与初相 $ \phi_{k} $ 有关，所以它们也随时起点变动而改变。

由于 $ a_{k} $ 和 $ b_{k} $ 与计时起点的选择有关，所以函数的奇、偶性质与计时起点的选择有关，例如，图13-3(b)和图13-4(b)所示波形由于计时起点的选择不同，所以函数的奇、偶性质也不同。但是，函数是否为奇谐波函数与计时起点无关。因此适当选择计时起点有时会使函数的级数展开式简化。

傅里叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分解为傅里叶级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地代表原有函数。从实际运算看，只能截取有限的项数，因此就产生了误差问题。截取项数的多少，要根据级数的收敛速度和电路的频率特性两个方面的情况来定。级数收敛的快慢问题可定性地判断；通常，函数的波形越光滑和越接近于正弦形（相继项系数的比值越小），其展开级数就收敛得越快（可以分析表13-1所列各种函数）。而像例13-1(a)所示矩形波，其级数的收敛较慢。例如，如取 $ \omega_{1}t=\frac{\pi}{2} $，或 $ t=\frac{T}{4} $，则

$$ f\left(\frac{T}{4}\right)=\frac{4E_{\mathrm{m}}}{\pi}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right) $$

当取无穷多项时，将有 $ f\left(\frac{T}{4}\right)=E_{m} $，这是准确值。但是如取到11次谐波时，合成的结果约为 $ 0.95E_{m} $；取到13次谐波时约为 $ 1.05E_{m} $；取到35次谐波时，将得 $ 0.98E_{m} $，这时尚有 2% 的误差。在电路的频率特性方面，要注意某些频段内，响应的幅度特别大。例如，谐振点附近的频段，就要专门分析。综合上述两个方面的情况后，才能确定级数的截取项数。

§13-3 有效值、平均值和平均功率

前已指出，任一周期电流i的有效值I已经定义为

$$ I=\int_{0}^{\frac{1}{T}}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}dt $$

当然可以用非正弦周期函数直接按上述定义的积分求有效值。这里主要是寻找有效值与各次谐波有效值之间的关系。

假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数

$$ i~=~I_{0}~+~\sum_{k=1}^{\infty}I_{k\mathrm{m}}\mathrm{c o s}(k\omega_{1}t~+~\phi_{k}) $$

将 i 代入有效值公式，则得此电流的有效值为

$$ I=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left[I_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}I_{k\mathrm{m}}\cos(k\omega_{1}t+\phi_{k})\right]^{2}\mathrm{d}t} $$

设 $ I_{k}=\frac{I_{km}}{\sqrt{2}} $，则上式中 i 的展开式平方后将含有下列各项：

$$ \begin{aligned}&\frac{1}{T}\int_{0}^{T}I_{0}^{2}\mathrm{d}t\;=\;I_{0}^{2}\\ &\frac{1}{T}\int_{0}^{T}I_{km}^{2}\cos^{2}(k\omega_{1}t+\phi_{k})\mathrm{d}t\;=\;I_{k}^{2}\\ &\frac{1}{T}\int_{0}^{T}2I_{0}\cos(k\omega_{1}t+\phi_{k})\mathrm{d}t\;\doteq\;0\\ &\frac{1}{T}\int_{0}^{T}2I_{km}\cos(k\omega_{1}t+\phi_{k})I_{qm}\cos(q\omega_{1}t+\phi_{q})\mathrm{d}t\;=\;0\quad k\neq q\\ \end{aligned} $$

这样可以求得 i 的有效值为

$$ I=\sqrt{I_{0}^{2}+I_{1}^{2}+I_{2}^{2}+I_{3}^{2}+\cdots}=\sqrt{I_{0}^{2}+\sum_{k=1}^{\infty}I_{k}^{2}} $$

即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。此结论可推广用于其他非正弦周期量。

在实践中还用到平均值的概念，以电流i为例，其定义由下式表示：

$$ I_{av}\xlongequal{\mathrm{def}}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\mid i\mid\mathrm{d}t $$

即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。按上式可求得正弦电流的平均值为

$$ \begin{align*}I_{\mathrm{av}}&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\mid I_{\mathrm{m}}\cos(\omega t)\mid\mathrm{d}t=\frac{4I_{\mathrm{m}}}{T}\int_{0}^{\frac{T}{4}}\cos(\omega t)\mathrm{d}t\\&=\frac{4I_{\mathrm{m}}}{\omega T}[\sin(\omega t)]\bigg|_{0}^{\frac{T}{4}}=0.637I_{\mathrm{m}}=0.898I\end{align*} $$

它相当于正弦电流经全波整波后的平均值(如图13-6所示)，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。

对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果。例如用磁电系仪表(直流仪表)测量，所得结果将是电流的恒定分量，这是因为磁电系仪表的偏转角 $ \alpha \propto \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i \, dt $。用电磁系仪表测得的结果为电流的有

效值，因为这种仪表的偏转角 $ \alpha\propto\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}dt $ 。如用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值，因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择合适的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义（关于仪表的知识可参阅实验指导书）。

现在讨论非正弦周期电流电路的功率问题。任意一端口的瞬时功率(吸收)为

$$ p~=~u i~=~\Big[~U_{0}~+~\sum_{k=1}^{\infty}U_{k\mathrm{m}}\mathrm{c o s}\big(k\omega_{1}t~+~\phi_{u k}\big)~\Big]\times~\Big[~I_{0}~+~\sum_{k=1}^{\infty}I_{k\mathrm{m}}\mathrm{c o s}\big(k\omega_{1}t~+~\phi_{i k}\big)~\Big] $$

式中 u、i 取关联参考方向。它的平均功率（有功功率）仍定义为

$$ P\;=\;\frac{1}{T}{\int_{0}^{T}}p\mathrm{d}t $$

不同频率的正弦电压与电流乘积的上述积分为零(即不产生平均功率);同频的正弦电压、电流乘积的上述积分不为零。这样不难证明

$$ P=U_{0}I_{0}+U_{1}I_{1}\cos\varphi_{1}+U_{2}I_{2}\cos\varphi_{2}+\cdots+U_{k}I_{k}\cos\varphi_{k}+\cdots $$

式中

$$ U_{k}=\frac{U_{k\mathrm{m}}}{\sqrt{2}},I_{k}=\frac{I_{k\mathrm{m}}}{\sqrt{2}},\varphi_{k}=\phi_{u k}-\phi_{i k},k=1,2,\cdots $$

即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。

非正弦周期电流电路无功功率的情况较为复杂，本书不予讨论。有时候也定义非正弦周期电流电路的视在功率，即有

$$ S=U I $$

§ 13-4 非正弦周期电流电路的计算

在 § 13-1 中已指出非正弦周期电流电路的谐波分析法的计算原则。

下面通过具体例子说明计算步骤。

例 13-2 图 13-7 所示电路中， $ R=3\Omega,\frac{1}{\omega_{1}C}=21\Omega,\omega_{1}L=0.429\Omega $ 输入电源为矩形波[参阅图 13-6(b)]，其级数展开式为

$$ \begin{aligned}u_{\mathrm{S}}=&\left[280.11\cos\left(\omega_{1}t\right)+93.37\cos\left(3\omega_{1}t\right)+56.02\cos\left(5\omega_{1}t\right)+\right.\\&\left.40.03\cos\left(7\omega_{1}t\right)+31.12\cos\left(9\omega_{1}t\right)+\cdots\right]\mathrm{V}\end{aligned} $$

求电流 i 和电阻吸收的平均功率 P。

解 电路中的非正弦周期电压已分解为傅里叶级数形式，现写出电流相量的一般表达式（振幅相量）

$$ \dot{I}_{\mathrm{m}(k)}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{sm}(k)}}{Z\left(k\omega_{1}\right)}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{sm}(k)}}{R+\mathrm{j}k\omega_{1}L-\mathrm{j}\frac{1}{k\omega_{1}C}} $$

式中 $ I_{m(k)} $ 为 k 次谐波电流的振幅。根据叠加定理，按 k=1,2,\cdots 的顺序，逐一求解。现将计算式改写为

$$ Z(k\omega_{1})=3+\mathrm{j}\left(0.429k-\frac{21}{k}\right)=3\left[1+\mathrm{j}\left(0.143k-\frac{7}{k}\right)\right] $$

则有

$$ \left\{\begin{aligned}\varphi_{(k)}&=\arctan\left(0.143k-\frac{7}{k}\right)\quad( 阻抗角 )\\ \dot{I}_{\mathrm{m}(k)}&=\frac{1}{3}\cos\varphi_{(k)}\dot{U}_{\mathrm{sm}(k)}\underline{/-\varphi_{(k)}}\\ P_{(k)}&=\frac{1}{2}I_{\mathrm{m}(k)}^{2}\bullet R=1.5I_{\mathrm{m}(k)}^{2}\end{aligned}\right. $$

计算结果如下：

$$ k=1 $$

$$ \varphi_{(1)}=-81.70^{\circ}( 容性 ) $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{m}(1)}=13.47\mathrm{\underline{~{81.70^\circ}~}A} $$

$$ P_{(1)}=272.33\mathrm{~W~} $$

$$ k=3 $$

$$ \varphi_{(3)}=-62.30^{\circ}( 容性 ) $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{m}(3)}=14.47\sqrt{62.30^{\circ}}\mathrm{A} $$

$$ P_{(3)、}=314.06\mathrm{~W~} $$

$$ k=5 $$

$$ \varphi_{(s)}=-34.41^{\circ}( 容性 ) $$

$$ \dot{I}_{m(5)}=15.41~\underline{{/34.41^{\circ}}}\mathrm{A} $$

$$ P_{(5)}=356.00\mathrm{~W~} $$

$$ k=7 $$

$$ \varphi_{(7)}=0^{\circ}( 谐振 ) $$

$$ \dot{I}_{m(7)}=13.34\angle/0^{\circ}\mathrm{A} $$

$$ P_{_{(7)}}=267.07\mathrm{~W~} $$

$$ k=9 $$

$$ \varphi_{9}=26.99^{\circ}( 感性 ) $$

$$ \dot{I}_{m(9)}=9.24\angle-26.99^{\circ}\mathrm{A} $$

$$ P_{(9)}=128.17\mathrm{~W} $$

叠加后为

$$ i=13.47\mathrm{c o s}(\omega_{1}t+81.70^{\circ})+14.47\mathrm{c o s}(3\omega_{1}t+62.30^{\circ})+ $$

$$ 15.41\mathrm{c o s}(5\omega_{1}t+34.41^{\circ})+\cdots $$

$$ P=P_{(1)}+P_{(3)}+P_{(5)}+\cdots+P_{(9)}=1\ 337.63\mathrm{W} $$

通过本例可以看出，对于电路中 $ u_{s} $ 的各次谐波的振幅与 k 成反比衰减，电路对 7 次谐波谐振，由于 Q 值较小 (Q = 1)，所以，总体看来各次谐波的电流振幅衰减非常缓慢。截取 k = 9 是不够的。

例 13-3 图 13-8(a) 所示电路中 L = 5H, C = 10 μF, 负载电阻 R = 2 kΩ, $ u_{s} $ 为正弦全波整流波形, 如图 13-8(b) 所示。设 $ \omega_{1} = 314 rad/s $, $ U_{sm} = 157 V $。求负载两端电压的各谐波分量。

解 参阅表 13-1，将给定的 $ u_{s} $ 分解为傅里叶级数，得

$$ u_{\mathrm{s}}=\frac{4}{\pi}\times157\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cos(2\omega_{1}t)-\frac{1}{15}\cos(4\omega_{1}t)+\cdots\right] $$

设负载两端电压的第 k 次谐波为 $ \dot{U}_{1m(k)} $ （采用复振幅相量），用结点电压法有

$$ \begin{aligned}\bigg[\frac{1}{\mathrm{j}k\omega_{1}L}+\frac{1}{R}+\mathrm{j}k\omega_{1}C\bigg]\dot{U}_{\mathrm{1m}(k)}&=\frac{1}{\mathrm{j}k\omega_{1}L}\dot{U}_{\mathrm{sm}(k)}\\\dot{U}_{\mathrm{1m}(k)}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{sm}(k)}}{\left(\frac{1}{R}+\mathrm{j}k\omega_{1}C\right)\mathrm{j}k\omega_{1}L+1}&=\frac{\dot{U}_{\mathrm{sm}(k)}}{1-k^{2}\omega_{1}^{2}L C+\mathrm{j}k\frac{\omega_{1}L}{R}}\end{aligned} $$

令 k=0,2,4,\cdots，并代入数据，可分别求得

$$ \begin{aligned}&k=0\quad&&\varphi_{(0)}=0\quad&&U_{1m(0)}=100V( 直流分量 )\\&k=2\quad&&\varphi_{(2)}=175.21^{\circ}\quad&&U_{1m(2)}=3.55\angle-175.21^{\circ}V\\&k=4\quad&&\varphi_{(4)}=177.69^{\circ}\quad&&U_{1m(4)}=-0.171\angle-177.69^{\circ}V\end{aligned} $$

图13-8(a)所示电路为一全波整流电路的滤波电路。它利用了电感对高频电流的抑制作用，电容对高频电流的分流作用，使得输入电压中的2次和4次谐波分量大大削弱，而负载两端的电压接近直流电压，但尚有3.5%的2次谐波。

$ ^{*} $§13-5 对称三相电路中的高次谐波

三相发电机磁极磁场的波形如表13-1中第2项所示，其产生的电压波形或多或少与正弦波有些差别，因此，含有一定的谐波分量；变压器的励磁电流是非正弦周期波，含有高次谐波分量。所以，一般在对称三相电路中，电压、电流都可能含有高次谐波分量。

对于对称的三相制，3个对称的非正弦周期相电压在时间上依次滞后 $ \frac{1}{3} $周期（正序），但其变化规律则相同；如果A相电压可表示为

$$ u_{A}=u(t) $$

则 B 相和 C 相电压为

$$ u_{\mathrm{B}}=u\left(t-\frac{T}{3}\right),\qquad u_{\mathrm{C}}=u\left(t-\frac{2T}{3}\right) $$

如果把上述对称的相电压展开成傅里叶级数(发电机的每相电压为奇谐波函数)，则有

A 相

B相

$$ \begin{aligned}{u_{\mathrm{A}}=\sum U_{\mathfrak{m}(k)}\operatorname{c o s}\bigl(k\omega_{1}t+\phi_{k}\bigr)}\\ {u_{\mathrm{B}}=\sum U_{\mathfrak{m}(k)}\operatorname{c o s}\biggl(k\omega_{1}t+\phi_{k}-\frac{2k\pi}{3}\biggr)}\\ {u_{\mathrm{C}}=\sum U_{\mathfrak{m}(k)}\operatorname{c o s}\biggl(k\omega_{1}t+\phi_{k}+\frac{2k\pi}{3}\biggr)}\\ \end{aligned} $$

C相

式中 k 取奇数，即 1,3,5, $ \cdots $。下面分别对各次谐波电压，通过比较电压的相位

差来讨论各次谐波电压的对称性。

（1）令 $ k=6n+1, n=0,1,2, \cdots $ （自然数），即 k=1,7,13, $ \cdots $。各相中该系列谐波电压的初相分别为

A 相： $ (\phi_{k}) $ B 相： $ \left(\phi_{k}-4n\pi-\frac{2}{3}\pi\right) $ C 相： $ \left(\phi_{k}+4n\pi+\frac{2}{3}\pi\right) $

显然，去掉式中的 $ \pm4n\pi $ 整周期的因子后，这些谐波中的每一次谐波都构成正序对称的三相电压源。

（2）令 k=6n+3 ，即 k=3,9,15，…。各相中该系列谐波电压的初相分别为

A 相： $ \left(\phi_{k}\right) $ B 相： $ \left[\phi_{k}-(2n+1)2\pi\right] $ C 相： $ \left[\phi_{k}+(2n+1)2\pi\right] $

这些谐波中的每一次谐波都是等幅同相的3相电压源，工程上称为零序对称的三相电压源。

（3）令 k=6n+5 ，即 k=5,11,17 ，…。 各相中该系列谐波电压的初相分别为

A 相： $ \left(\phi_{k}\right) $ B 相： $ \left[\phi_{k}-(2n+2)2\pi+\frac{2}{3}\pi\right] $

C相： $ \left[\phi_{k}+(2n+2)2\pi-\frac{2}{3}\pi\right] $

这些谐波中的每一次谐波都构成负序对称的三相电压源。

总之，三相对称的正序非正弦周期量(奇谐波)的级数展开式中的谐波组合为3类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。

在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三相电路的分析计算，按3类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第12章§12-3的方法和有关结论，零序组电源对称三相电路的作用，与系统的连接方式有关，下面根据不同的情况单独对零序组 $ (k=6n+3) $分量的响应进行分析。

（1）对称的三角形电源。

由于零序组电压源是等幅同相的电源，即有 $ \dot{U}_{A(k)}=\dot{U}_{B(k)}=\dot{U}_{C(k)}=\dot{U}_{s(k)} $，所以在三角形电源的回路中将产生零序环流，设为 $ i_{0(k)} $有

$$ \begin{aligned}\dot{I}_{0(k)}( 零序 )&=\frac{3\dot{U}_{s(k)}}{3Z_{0}}=\frac{\dot{U}_{s(k)}}{Z_{0}}( 零序 )\\\dot{U}_{AB(k)}=\dot{U}_{BC(k)}&=\dot{U}_{CA(k)}=\dot{U}_{s(k)}-\dot{I}_{0(k)}Z_{0}=0\end{aligned} $$

式中 $ Z_{0} $ 为电源的（一相）内阻抗。在环流的作用下零序线电压为零。所以，不论负载端的连接形式如何，整个系统中除电源中有零序组环流外，其余部分的电压、电流中均不含零序组分量。即电源的三角形接法将消除零序组电压源对系统的影响。

（2）星形对称电源（无中性线对称系统）。

电路总可以简化为 Y-Y 形式求解，如图 13-9 所示（S 打开时）。可求得零序组电压、电流为

$$ \dot{U}_{N^{\prime}\mathbb{N}(k)}( 零序 )=\dot{U}_{s(k)}( 零序 ) $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{A}(k)}=\dot{I}_{\mathrm{B}(k)}=\dot{I}_{\mathrm{C}(k)}=\frac{\dot{U}_{\mathrm{s}(k)}-\dot{U}_{\mathrm{N}^{\mathrm{N}}}}{Z}=0 $$

$$ \dot{U}_{\mathrm{A B}(k)}=\dot{U}_{\mathrm{A}(k)}-\dot{U}_{\mathrm{B}(k)}=0 $$

$$ \dot{U}_{\mathrm{B C}(k)}=\dot{U}_{\mathrm{C A}(k)}=0 $$

结果表明，在无中性线的 Y-Y 系统中，除了中性点电压和电源相电压中含有零序组电压分量外，系统的其余部分的电压、电流都不含零序组分量。

（3）三相四线制对称系统（有中性线对称系统）

电路参阅图13-9（S闭合时）。可求得零序组电压、电流为

$$ \dot{U}_{\mathrm{N N}}=\frac{3Z_{\mathrm{n}}\dot{U}_{\mathrm{s}(k)}}{Z+3Z_{\mathrm{n}}} $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{A}(k)}=\dot{I}_{\mathrm{B}(k)}=\dot{I}_{\mathrm{C}(k)}=\dot{I}_{1(k)}=\frac{\dot{U}_{s(k)}-\dot{U}_{N N}}{Z}=\frac{\dot{U}_{s(k)}}{Z+3Z_{n}} $$

$$ \dot{U}_{\mathrm{A N}^{\prime}(k)}=\dot{U}_{\mathrm{B N}^{\prime}(k)}=\dot{U}_{\mathrm{C N}^{\prime}(k)}=\dot{I}_{1(k)}Z $$

$$ \dot{I}_{\mathrm{n}(k)}=-3\dot{I}_{1(k)} $$

仍有

$$ \dot{U}_{\mathrm{A B}(k)}=\dot{U}_{\mathrm{B C}(k)}=\dot{U}_{\mathrm{C A}(k)}=0 $$

当 $ Z_{n}=\infty $ 时（无中性线），上述结果与(2)相同，结果表明，除线电压外，电路中其余部分的电压、电流中都含零序组分量。

上述3种情况中，线电压都不含零序组分量，所以有

$$ U_{1}<\sqrt{3}U_{Pb} $$

式中 $ U_{Ph} $ 为相电压。3 种情况中，只有三相四线制系统中的电流才含有零序组分量。

$ ^{*} $§13-6 傅里叶级数的指数形式

傅里叶级数可以用指数形式表示。非正弦周期信号 $ f(t) $ 的傅里叶级数的三角函数形式为

$$ f(t)\;=\;\frac{A_{0}}{2}+\;\sum_{k=1}^{\infty}A_{k\mathrm{m}}\mathrm{c o s}(k\omega_{1}t\;+\;\phi_{k}) $$

利用欧拉公式有

$$ \begin{align*}A_{k\mathrm{m}}\mathrm{cos}(k\omega_{1}t+\phi_{k})&=\frac{1}{2}\big[A_{k\mathrm{m}}\big(\mathrm{e}^{\mathrm{j}(k\omega_{1}t+\phi_{k})}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(k\omega_{1}t+\phi_{k})}\big)\big]\\&=\frac{1}{2}A_{k\mathrm{m}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{k}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{1}t}+\frac{1}{2}A_{k\mathrm{m}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\phi_{k}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\\&=c_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{1}t}+c_{k}^{*}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\end{align*} $$

式中 $ c_{k}=\frac{1}{2}A_{km}e^{j\phi_{k}} $, $ c_{k}^{*}=\frac{1}{2}A_{km}e^{-j\phi_{k}} $。于是有

$$ f(t)~=~\frac{A_{0}}{2}~+~\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{1}t}~+~\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}^{*}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t} $$

上式中 $ c_{k}e^{jk\omega_{1}t} $ 可以看作具有 $ k\omega_{1} $ 角速度的逆时针旋转向量， $ c_{k}^{*}e^{-jk\omega_{1}t} $ 为具有同样角速度的顺时针旋转向量，每一次谐波为两项之和。

由于 $ a_{k}=A_{km}\cos\phi_{k} $， $ b_{k}=-A_{km}\sin\phi_{k} $，故 $ A_{km}e^{j\phi_{k}}=a_{k}-jb_{k} $，将根据式（13-3）得出的 $ a_{k} $ 和 $ b_{k} $ 代入，有

$$ \begin{align*}c_{k}&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(k\omega_{1}t)\mathrm{d}t-\mathrm{j}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(k\omega_{1}t)\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)[\cos(k\omega_{1}t)-\mathrm{j}\sin(k\omega_{1}t)]\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\mathrm{d}t\end{align*} $$

同理，可求得

$$ c_{k}^{\star}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{e}^{j k\omega_{1}t}\mathrm{d}t $$

可见，若令 $ c_{k} $ 中的“k”等于“-k”，则将等于 $ c_{k}^{*} $。所以式(13-4)可改写为

$$ f(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{1}t}+\sum_{k=-1}^{+\infty}c_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{1}t} $$

当 k=0 时， $ \frac{A_{0}}{2}=c_{0} $，最后可得出傅氏级数的指数形式的表达式（函数对）

$$ \left.\begin{array}{r}{c_{k}=\displaystyle\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\mathrm{d}t}\\ {\mathcal{N}f(t)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{1}t}}\end{array}\right\} $$

在画傅里叶级数指数形式的频谱时，要画出 $ \left|c_{k}\right| $ 对正、负 k 的关系。由于指数形式中的 k 的取值是正、负整数，所以画出的幅度频谱图对于纵轴对称。同样，画出 $ c_{k} $ 的辐角与 k 的关系，就能获得相位频谱。具体画法参阅下面的例题。

注意，指数形式表述的幅度频谱除了上述特点外，其谱线“高度”是傅氏频谱的一半，另一方面由于正、负 k 完全对称，所以只要研究“半边”即可。

例 13-4 试将例 13-1 的矩形波展开为指数形式的傅氏级数，并画出幅度频谱和相位频谱。

解 根据例 13-1 的结果, 可求得 $ c_{k} $ 为

$$ c_{k}=\frac{1}{2}A_{k\mathrm{m}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi_{k}}=\frac{E_{\mathrm{m}}}{\mathrm{j}2k\pi}(1-2\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\pi}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2k\pi}) $$

所以

$$ c_{k}=\left\{\begin{aligned}&\frac{E_{\mathrm{m}}}{\mathrm{j}2k\pi}\times4=\frac{2E_{\mathrm{m}}}{\mathrm{j}k\pi}& 当 k 为奇数时 \\ &0& 当 k 为偶数时 \end{aligned}\right. $$

这样，可以得到指数形式的傅氏级数为

$$ \begin{aligned}{f(t)=\frac{2E_{\mathrm{m}}}{\pi}(}&{{}\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega_{1}t-\frac{\pi}{2})}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\omega_{1}t-\frac{\pi}{2})})+\frac{2E_{\mathrm{m}}}{3\pi}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}(3\omega_{1}t-\frac{\pi}{2})}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(3\omega_{1}t-\frac{\pi}{2})})+}\\ {\frac{2E_{\mathrm{m}}}{5\pi}(}&{{}\mathrm{e}^{\mathrm{j}(5\omega_{1}t-\frac{\pi}{2})}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(5\omega_{1}t-\frac{\pi}{2})})+\cdots}\\ \end{aligned} $$

所得结果与例13-1相比完全一致。图13-10(a)所示为矩形波的傅氏级数的指数形式的幅度频谱[注意与图13-2(d)、(e)比较]，其相位频谱如图13-10(b)所示。由于 $ c_{k} $、 $ c_{k}^{*} $为一对共轭复数，所以， $ \left|c_{k}\right|=\left|c_{k}^{*}\right| $，其线谱“高度”是傅氏频谱的一半，而 $ \arg(c_{k}^{*})=-\arg(c_{k}) $。

例 13-5 图 13-11(a) 所示为常用于电视、雷达、计算机等方面的一种重复性矩形脉冲波。试画出其频谱。

解

$$ \begin{aligned}c_{k}&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{T}\left(-\frac{1}{\mathrm{j}k\omega_{1}}\right)(\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}\frac{\tau}{2}}-\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{1}\frac{\tau}{2}})\end{aligned} $$

$$ =\frac{\tau}{T}\frac{\sin\left(k\frac{\omega_{1}\tau}{2}\right)}{k\frac{\omega_{1}\tau}{2}} $$

$ \tau $ 为脉冲的宽度，并有 $ \omega_{1}=\frac{2\pi}{T} $，令 $ p=\frac{T}{\tau} $，则有

$$ c_{k}=\frac{1}{p}\frac{\sin\left(\frac{k\pi}{p}\right)}{\frac{k\pi}{p}} $$

根据式 $ (13-5) $可写出重复性矩形脉冲的傅里叶级数为

$$ f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{p}\frac{\sin\left(\frac{k\pi}{p}\right)}{\frac{k\pi}{p}}e^{j k\omega_{1}t} $$

由 $ c_{k} $ 式可知， $ c_{0}=\frac{1}{p}=\frac{\tau}{T} $，当 $ \frac{k}{p} $ 为整数时， $ \left|c_{k}\right|=0 $。

图13-11(b)所示频谱是在 p=5 的情况下画出的。5次谐波及所有5k次谐波的幅值都等于零。如令 $ x=\frac{k\pi}{p} $，则谱线的包络线大体上具有函数 $ \left|\frac{\sin x}{x}\right| $ 的形式[如图13-11(b)中虚线所示]。

$ ^{*} $§13-7 傅里叶积分简介

本章前面关于谐波分析法的论述，都是针对非正弦周期函数 $ f(t) $ 展开的，理论上仅要求函数 $ f(t) $ 满足狄里赫利条件，对函数 $ f(t) $ 周期的长短并无限制。本节将在前面论述的基础上，对函数 $ f(t) $ 的周期 T 无限增长，在 $ T \to \infty $ 的极限

情况下，从理论上说明 $ f(t) $ 的傅里叶级数是如何展开的。根据式(13-5)

$$ f(t)\;=\;\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}\mathrm{e}^{j k\omega_{1}t} $$

其中

$$ \begin{align*}c_{k}&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\mathrm{d}t\end{align*} $$

在式(13-6)中，表述的频谱函数 $ c_{k} $ 是离散的线状频谱，相邻谱线之间的频差 $ \Delta\omega $ 为

$$ \Delta\omega=\omega_{1}=\frac{2\pi}{T}( 基波频率 ) $$

当 $ T \to \infty $ 时， $ c_k $ 在此极限情况下将发生如下变化：其一，相邻谱线之间的频差 $ \Delta\omega $ 将无限缩小，谱线将无限密集，最后 $ \Delta\omega \to \mathrm{d}\omega \to 0 $，而 $ k\omega_1 \to \omega $，离散的线状频谱将变为连续的频谱，即 $ c_k $ 为 $ \omega $ 的连续函数；其二，如果函数 $ f(t) $ 在周期内的积分有界（满足狄里赫利条件），则由式（13-5）可知， $ |c_k|_{T \to \infty} \to 0 $。综上所述，频谱函数 $ c_k $ 在全频域内是一个无限小的连续函数，这种极限形式，仅能从理论上说明其极限存在，并可定性地加以描述函数 $ f(t) $ 的频域特性，而失去了定量表述的意义 [如画不出频谱（图）]。但从式（13-6） $ c_k $ 的表达式可知，式中的积分部分才是真正反映函数 $ f(t) $ 频域特性的频域函数，因此，从式（13-6）可以定义一个新的函数

$$ F(\mathrm{j}k\omega_{1})=T c_{k}=\frac{2\pi c_{k}}{\Delta\omega}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t}\mathrm{d}t $$

当 $ T \rightarrow \infty $ 时， $ \Delta \omega \rightarrow d\omega, k\omega_{1} \rightarrow \omega $ 。因此，取极限时式(13-7)变为

$$ F(\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t $$

上式称为傅里叶积分或傅里叶正变换，工程上也常称为频谱密度函数，它把一个时间函数变换成一个频率函数。实际上，它是将无限小的连续的频谱函数 $ c_{k} $ 放大了无穷倍，将函数 $ f(t) $ 被掩盖的频域特性的真相揭示出来，以利于从频域分析研究。

另外，从式(13-7)有

$$ c_{k}=\frac{F(\mathrm{j}k\omega_{1})}{T}=\frac{\Delta\omega F(\mathrm{j}k\omega_{1})}{2\pi} $$

把上式代入13-5得

$$ f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta\omega F(j k\omega_{1})}{2\pi}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}t} $$

当 $ T \to \infty $ 时， $ \Delta\omega \to d\omega, k\omega_1 \to \omega $。上式的求和变成积分，可以写为

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega $$

上述积分式称为傅里叶逆变换，为了便于分析对照，将傅里叶正、逆变换重写如下：

$$ F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}d t\quad\left( 正变换 \right) $$

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega\quad( 逆变换 ) $$

上述一对积分称为傅里叶变换对， $ f(t) $（时域）与 $ F(j\omega) $（频域）通过上述积分在时域和频域之间建立了一一对应的关系。上述变换对表明，函数 $ f(t) $在 $ T\to\infty $的极限条件下，由离散形式频谱函数 $ c_{k} $，变换为连续形式的频谱密度函数 $ F(j\omega) $， $ f(t) $的傅里叶级数形式（离散形式）的展开式，变换为连续函数形式的展开式，以积分形式表示。这一变换在理论上和应用上都有十分重要的意义，因为任一非周期信号 $ f(t) $（任意信号），都可以看作周期为无限长的周期信号，所以傅里叶变换对为分析研究任意信号奠定了理论基础。在线性电路中，任一形式激励的零状态响应，都可以通过傅里叶变换对，用谐波分析法进行分析研究。

现在可以对例 13-5 作进一步的分析。当 $ T \to \infty $ 时，图 13-11(a) 所示的周期函数 $ f(t) $，将变成图 13-12(a) 所示的单一的矩形脉冲， $ f(t) $ 变成了非周期函数；而图 13-11(b) 所示的幅频特性，由于 $ \Delta\omega_1 \to d\omega $，包络线内的谱线数随之增多，谱线好像从 $ -\infty $ 和 $ \infty $ 两个方向向 $ \omega = 0 $ 方向靠拢，无限密集，离散的频谱逐渐过渡为连续的频谱。与此同时，谱线的幅度逐渐降低，并随 $ T \to \infty $，使 $ |c_k| \to 0 $，这就是函数 $ f(t) $ 在 $ T \to \infty $ 时趋向极限的一种情景。如果将这一无限小的量 $ c_k $ 放大无穷 ( $ \infty $) 倍，即有

$$ F\left(\mathrm{j}\omega\right)=\left(T c_{k}\right)\left|_{T\rightarrow\infty}\right.=\tau\left.\frac{\sin\left(\frac{k\omega_{1}\tau}{2}\right)}{\frac{k\omega_{1}\tau}{2}}\right|_{k\omega_{1}\rightarrow\omega}=\tau\frac{\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)}{\frac{\omega\tau}{2}} $$

由上式可知，在 $ \frac{\omega\tau}{2}=n\pi,n=1,2,3,\cdots $的频率点上 $ F(j\omega)=0,F(j\omega)|_{\omega=0}=\tau $，根据这些点和表达式，就可以画出幅频特性 $ \left|F(j\omega)\right| $，如图13-12(b)所示。它与图13-11(b)的包络线相似。现由读者思考如下问题：(1)如何画出 $ F(j\omega) $的相频特性？(2)当脉冲宽度 $ \tau $变窄了，或者变宽了，幅频特性将如何变化？

例 13-6 求 $ f(t)=20\mathrm{e}^{-5t}(t \geqslant 0) $ 的傅里叶变换 $ F(j\omega) $，并画出其频谱图。

$$ \begin{align*}F(\mathrm{j}\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}20\mathrm{e}^{-5t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}20\mathrm{e}^{-(\mathrm{j}\omega+5)t}\mathrm{d}t\\&=\frac{20}{\mathrm{j}\omega+5}\end{align*} $$

频谱分别为

$$ \varphi(\mathrm{j}\omega)=-\arctan\left(\frac{\omega}{5}\right) $$

$$ |F(\mathrm{j}\omega)|=\frac{20}{\sqrt{5^{2}+\omega^{2}}}=4\cos[\varphi(\mathrm{j}\omega)] $$

幅频特性和相频特性如图13-13所示。

——习题——

13-1 求下列非正弦周期函数 $ f(t) $ 的频谱函数（傅里叶级数系数），并作频谱图。

(1) $ f(t) = \cos(4t) + \sin(6t) $;

(2) $ f(t) $ 如题 13-1 图(a)、(b)、(c) 所示。

13-2 设非正弦周期函数 $ f(t) $ 的频谱函数为 $ A_{km}e^{jk_k} = a_k - jb_k $。试表述下列与 $ f(t) $ 相关函数的频谱函数。

(1) $ f(t - t_0) $;

(2) $ f(t) = f(-t) $;

(3) $ f(t) = -f(-t) $;

(4) $ f(t) = -f(t + t/2) $;

(5) $ \frac{d}{dt}f(t) $.

13-3 已知某信号半周期的波形如题13-3图所示。试在下列各不同条件下画出整个周期的波形：

(1) $ a_{0}=0 $;

(2) 对所有 k, $ b_{k}=0 $;

（3）对所有 k, $ a_{k}=0 $;

（4）当 k 为偶数时， $ a_{k} $ 和 $ b_{k} $ 为零。

13-4 一个 RLC 串联电路，其 $ R=1\Omega,\omega_{1}L=10\Omega,\frac{1}{\omega_{1}C}=90\Omega $ ，外加电压为 $ u_{S}(t)=f\left(t-\frac{T}{2}\right)+\frac{U_{m}}{2},f(t) $ 的波形如题 13-1 图(b) 所示。 $ U_{m}=100V,\omega_{1}=10rad/s $

试求电路中的电流 i(t) 和电路消耗的功率。

13-5 电路如题13-5图所示（实线部分），为了在端口1-0获得关于 $ u_{5}(t) $的最佳的传输信号，可在端口1-0并联RC串联支路（图中虚线所示），使输出电压 $ u_{10}(t) $为

$$ u_{10}(t)=k u_{\mathrm{S}}(t) $$

式中 $ u_{s}(t) $ 为任意频率的输入信号。求：参数 R、C 和 k（实数）。

13-6 有效值为100 V的正弦电压加在电感L两端时，得电流I=10 A。当电压中有3次谐波分量，而有效值仍为100 V时，得电流I=8 A。试求这一电压的基波和3次谐波

的有效值。

13-7 已知一 RLC 串联电路的端口电压和电流为

$$ u\left(t\right)=\left[100\mathrm{c o s}(314t)+50\mathrm{c o s}(942t-30^{\circ})\right]\mathrm{V} $$

$$ i(t)=\left[10\mathrm{c o s}(314t)+1.755\mathrm{c o s}(942t+\theta_{3})\right]\mathrm{~A~} $$

试求: (1) R、L、C 的值;

(2) $ \theta_{3} $ 的值；

(3) 电路消耗的功率。

13-8 题13-8图所示为滤波电路，要求负载中不含基波分量，但 $ 4\omega_{1} $的谐波分量能全部传送至负载。如 $ \omega_{1}=1\ 000\ rad/s $， $ C=1\ \mu F $，求 $ L_{1} $和 $ L_{2} $。

13-9 题 13-9 图所示电路中 $ u_{s}(t) $ 为非正弦周期电压，其中含有 $ 3\omega_{1} $ 及 $ 7\omega_{1} $ 的谐波分量。如果要求在输出电压 u(t) 中不含这两个谐波分量，问 L、C 应为多少？

13-10 题 13-10 图所示电路中 $ i_{S1} = [5 + 10\cos(10t - 30^\circ) - 5\sin(30t + 60^\circ)] $ A, $ u_{S2}(t) = 300\sin(10t) + 150\cos(30t - 30^\circ) $ V, $ L_1 = L_2 = 2 $H, $ M = 0.5 $H。求图中交流电表的读数和电源发出的功率 P。

13-11 题 13-11 图所示电路中 $ u_{SI} = [1.5 + 5\sqrt{2}\sin(2t + 90^{\circ})] $ V，电流源电流 $ i_{S2} = 2\sin(1.5t) $ A。求 $ u_{R} $ 及 $ u_{SI} $ 发出的功率。

13-12 对称三相星形联结的发电机的 A 相电压为 $ u_{A}=\left[215\sqrt{2}\cos\left(\omega_{1}t\right)-\right. $

30 $ \sqrt{2}\cos(3\omega_1t)+10\sqrt{2}\cos(5\omega_1t) $ V，在基波频率下 RL 串联负载阻抗为 $ Z=(6+j3)\Omega $，中性线阻抗 $ Z_N=(1+j2)\Omega $。试求各相电流、中性线电流以及负载消耗的功率。如不接中性线，再求各相电流及负载消耗的功率；这时中性点电压 $ U_{N'N} $ 为多少？

13-13 如果将上题中三相电源改为三角形联结并计及每相电源的阻抗，

（1）试求测相电压的电压表 $ V_{1} $ 的读数，但三角形电源没有插入电压表 $ V_{2} $ ；

（2）打开三角形电源接入电压表 $ V_{2} $，如题13-13图所示，试求此时两个电压表的读数。