第一章 行列式

第一章 行列式

本章考点

行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理

线性方程组的克拉默（Cramer）法则

本章知识框图

以行为例，列有类似性质

学习笔记

知识梳理与例题

一、 行列式的概念

行列式是一个数，它是不同行不同列元素乘积的代数和.

例如，大家所熟悉的三阶行列式

$$ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l}\\ \hline a_{1}&a_{2}&a_{3}\cr b_{1}&b_{2}&b_{3}\cr c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}=\begin{array}{l}a_{1}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}-a_{2}b_{1}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2},\end{array} $$

其每一项都是3个数的乘积，从字母看a，b，c各有1个，说明这3个数一个在第1行，一个在第2行，一个在第3行；而从下标看数字1，2，3各有1个，说明这3个数分别来自第1列、第2列和第3列。

在这6项中，有3项带“+”号，3项带“-”号，大家可以用 $ \underset{\cdot}{对} $角线方法来记忆：

当三阶行列式的元素中有较多的“0”时，用对角线法来计算行列式的值是简便的。例如，

$$ \begin{vmatrix}{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{3}}}&{{{0}}}&{{{4}}} \\{{{5}}}&{{{6}}}&{{{0}}}\end{vmatrix}=0\times0\times0+1\times4\times5+2\times3\times6-2\times0\times5-1\times3\times $$

$$ 0-0\times4\times6=56. $$

$$ \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-2&1\\0&-3&4\end{vmatrix}=-8+0+6-0-0-(-3)=1. $$

一般地，我们应当用行列式的性质将其恒等变形化简，再通过展开公式（用降阶法）来计算行列式的值.

对于 n 阶行列式的概念，大家要有一个简单的了解。

n 阶行列式

$$ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} $$

是所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积

$$ \alpha_{1j_{1}}\alpha_{2j_{2}}\cdots\alpha_{nj_{n}} $$

的代数和，这里 $ j_{1}j_{2}\cdots j_{n} $ 是 1,2,\cdots,n 的一个排列。当 $ j_{1}j_{2}\cdots j_{n} $ 是偶排列时，该项的前面带正号；当 $ j_{1}j_{2}\cdots j_{n} $ 是奇排列时，该项的前面带负号，即

$$ \left|\begin{array}{c c c c}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{m}}\end{array}\right|=\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\mathfrak{r}(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}. $$

这里 $ \sum_{j_1, j_2, \cdots, j_n} $ 表示对所有 n 阶排列求和。式(1)称为 n 阶行列式的完全展开式。

【注】所谓排列是指由n个数1，2，⋯，n所构成的一个有序数组，通常用 $ j_{1}j_{2}\cdots j_{n} $表示n阶排列，显然共有n!个n阶排列.

一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。用 $ \tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n}) $表示排列 $ j_{1}j_{2}\cdots j_{n} $的逆序数。

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称之为奇排列.

例如，2413 是四级排列.2，1；4，1；4，3 是逆序，故逆序数 $ \tau(2413)=1+2=3 $ 是奇排列.

又如 35142 是五级排列. 3,1;3,2;5,1;5,4;5,2;4,2 是逆序，故逆序数 $ \tau(35142)=2+3+1=6 $ 是偶排列. 而自然排列 12345 没有逆序，逆序数为 0 是偶排列.

例如， $ a_{12}a_{24}a_{33}a_{41} $ 是四阶行列式中的一项，那么该项所带的符号由 $ \tau(2431)=1+2+1=4 $（即2有1个逆序，4有2个逆序，3有1个逆序）确定，是偶排列，故取正号.

又如， $ a_{13}a_{25}a_{31}a_{42}a_{54} $ 是五阶行列式中的一项，由 $ \tau(35124)=2+3=5 $ 是奇排列，故在行列式中应取负号.

例1 四阶行列式 $ \left| A \right| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 \\ d & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = $ ___. 答案解析 →

答案见13页

例2 （1）写出四阶行列式中含有因子 $ a_{12}a_{34} $ 且带负号的项 ___. 答案解析 →

(2) 多项式 $ f(x)=\left|\begin{matrix}x&2x&1&0\\ 2&x-1&1&3\\ 1&2&x&-1\\ x&5&6&2\end{matrix}\right| $ 中， $ x^{3} $ 的系数为 ___.

答案见13页

二、 行列式的性质

记 $ |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $， $ |A^{\mathrm{T}}| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $，

行列式 $ \left|A^{T}\right| $ 称为 $ \left|A\right| $ 的转置行列式.

性质1 经过转置，行列式的值不变，即 $ \left|A^{T}\right|=\left|A\right| $

$$ \begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}. $$

由此可知行列式行的性质与列的性质是对等的（为方便说明，行列式都以三阶为例）.

性质2 两行（或列）互换位置，行列式的值变号.

特别地，两行（或列）相同，行列式的值为0.

性质3 某行（或列）如有公因子k，则可把k提出行列式记号外（亦即用数k乘行列式|A|等于用k乘它的某行或列）.

特别地：（1）某行（或列）的元素全为0，行列式的值为0.

（2）若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为0.

性质4 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和.

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}a_{1}+b_{1}&a_{2}+b_{2}&a_{3}+b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\d_{1}&d_{2}&d_{3}\\\end{matrix}\right|&=\left|\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\d_{1}&d_{2}&d_{3}\\\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\d_{1}&d_{2}&d_{3}\\\end{matrix}\right|.\end{aligned} $$

性质5 把某行(或列)的 k 倍加到另一行(或列)，行列式的值不变.

$$ \begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}+k a_{1}&b_{2}+k a_{2}&b_{3}+k a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}. $$

例3 证明：对任意的 a, b, c 恒有 $ \begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}=0 $. 答案解析 →

例4 证明： $ \begin{vmatrix}b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix} $. 答案解析 →

答案见14页

例5 证明： $ D=\begin{vmatrix}0&a_{12}&a_{13}\\-a_{12}&0&a_{23}\\-a_{13}&-a_{23}&0\end{vmatrix}=0. $ 答案解析 →

三、 行列式按行（或列）展开公式

在 n 阶行列式

$$ D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{array}\right| $$

中划去 $ a_{ij} $ 所在的第 i 行、第 j 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 n-1 阶的行列式

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{a_{11}}&{\cdots}&{a_{1,j-1}}&{a_{1,j+1}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\{\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_{i-1,1}}&{\cdots}&{a_{i-1,j-1}}&{a_{i-1,j+1}}&{\cdots}&{a_{i-1,n}}\\{a_{i+1,1}}&{\cdots}&{a_{i+1,j-1}}&{a_{i+1,j+1}}&{\cdots}&{a_{i+1,n}}\\{\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_{n1}}&{\cdots}&{a_{n,j-1}}&{a_{n,j+1}}&{\cdots}&{a_{m}}\end{array}, $$

称其为 $ a_{ij} $ 的余子式，记为 $ M_{ij} $; 称 $ (-1)^{i+j}M_{ij} $ 为 $ a_{ij} $ 的代数余子式，记为 $ A_{ij} $，即

$$ A_{i j}=(-1)^{i+j}M_{i j}. $$

定理1.1 n阶行列式等于它的任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$$ \begin{aligned}\mid\boldsymbol{A}\mid&=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik},i=1,2,\cdots,n.\\\mid\boldsymbol{A}\mid&=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj},j=1,2,\cdots,n.\end{aligned} $$

前一个公式称 $ \left| A \right| $ 是按第 i 行展开的展开式，后一个公式称 $ \left| A \right| $ 是按第 j 列展开的展开式.

定理 1.2 行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为 0，即

$$ \begin{align*}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}&=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i\neq j,\\\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}&=a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0,i\neq j.\end{align*} $$

在用展开公式的时候，还要注意下面几个特殊情况的配合。

（1）上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积.

$$ \left|\begin{array}{c}a_{11}\quad a_{12}\cdots a_{1n}\\a_{22}\cdots a_{2n}\\\bigcirc\quad\ddots\quad\vdots\\a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_{11}&\bigcirc\\a_{21}&a_{22}\\\vdots&\vdots\quad\ddots\\a_{n1}&a_{n2}\cdots a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}. $$

（2）关于副对角线的行列式.

$$ \begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2,n-1}&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&0&\cdots&0&0\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}0&\cdots&0&a_{1n}\\0&\cdots&a_{2,n-1}&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,n-1}&a_{nn}\end{vmatrix}\\&=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}.\end{aligned} $$

（3）两个特殊的拉普拉斯展开式.

如果 A 和 B 分别是 m 阶和 n 阶矩阵，则

$$ \begin{array}{r}{\left|\begin{array}{l l}{A}&{*}\\ {0}&{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{l l}{A}&{O}\\ {*}&{B}\end{array}\right|=|\mathbf{\nabla}A|\bullet|\mathbf{\nabla}B|,}\end{array} $$

$$ \left|\begin{array}{l l}{\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{A}}\\ {\boldsymbol{B}}&{*}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{l l}{*}&{\boldsymbol{A}}\\ {\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{O}}\end{array}\right|=(-1)^{m n}\mid\boldsymbol{A}\mid\bullet\mid\boldsymbol{B}\mid. $$

（4）范德蒙德行列式.

$$ \left|\begin{array}{c c c c}1&1&\cdots&1\\x_{1}&x_{2}&\cdots&x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&\cdots&x_{n}^{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\cdots&x_{n}^{n-1}\end{array}\right|=\prod_{1\leq j\lt i\leq n}(x_{i}-x_{j}). $$

例 6 计算行列式的值 答案解析 →

(1)

$$ \left|\begin{matrix}1&4&-1&4\\ 2&2&2&3\\ 3&-1&6&2\\ 4&0&5&3\end{matrix}\right|= $$

(2)

$$ \left|\begin{matrix}0&5&2&0\\ 8&3&5&4\\ 7&2&4&1\\ 0&4&1&0\end{matrix}\right|= $$

例 7 行列式 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = $ ___. 答案解析 →

例8 (1996, 数一) 行列式 $ \begin{vmatrix} a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4} \end{vmatrix} $ 答案解析 →

(A) $ a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}-b_{1}b_{2}b_{3}b_{4} $. (B) $ a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}+b_{1}b_{2}b_{3}b_{4} $.

(C) $ (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})(a_{3}a_{4}-b_{3}b_{4}) $. (D) $ (a_{1}a_{4}-b_{1}b_{4})(a_{2}a_{3}-b_{2}b_{3}) $.

答案见17页

例 9 计算行列式的值 答案解析 →

$$ D=\left|\begin{array}{c c c c}{a+x}&{a}&{a}&{a}\\ {a}&{a+x}&{a}&{a}\\ {a}&{a}&{a+x}&{a}\\ {a}&{a}&{a}&{a+x}\end{array}\right|=\underline{\quad\quad\quad}, $$

答案见17页

例10（1989，数五）行列式 $ \begin{vmatrix}1&-1&1&x-1\\1&-1&x+1&-1\\1&x-1&1&-1\\x+1&-1&1&-1\end{vmatrix}= $ 答案解析 →

例11 (2023，经联)已知 $ \left|A\right|=\left|\begin{matrix}1&2&-1&1\\ 0&2&t&1\\ 3&-1&2&2\\ -1&3&2&1\end{matrix}\right| $， $ A_{ij} $ 为元 答案解析 →

素 $ a_{ij} $ 的代数余子式，若 $ A_{31}-A_{32}+2A_{33}-A_{34}=0 $ ，则 t= ___.

例12（2024，经联）已知 答案解析 →

$$ \begin{vmatrix}x&-m&-1&0\\0&-x&m&1\\-1&0&x&-m\\m&1&0&-x\end{vmatrix}=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}， $$

则 $ a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}= $ ___.（注：原题是选择题）

四、 克拉默法则

定理1.3（克拉默法则）若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\ &\cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}&+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{m}x_{n}=b_{n}\end{aligned}. $$

的系数行列式 $ \left|A\right|\neq0 $，则方程组（1）有唯一解，且

$$ x_{i}=\frac{\mid\boldsymbol{A}_{i}\mid}{\mid\boldsymbol{A}\mid},i=1,2,\cdots,n, $$

其中 $ \left|A_{i}\right| $ 是 $ \left|A\right| $ 中第 i 列元素（即第 i 列的 $ x_{i} $ 的系数）替换成方程组右端的常数项 $ b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n} $ 所构成的行列式.

【注】若 $ \left|A\right|=0 $，方程组可能无解，也可能有无穷多解，但一定不是有唯一解.

推论 若包含 n 个方程 n 个未知量的齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\ &\cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}&+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=0\end{aligned}. $$

的系数行列式 $ \left|A\right|\neq0 $，则方程组（2）只有零解.

反之，若齐次线性方程组(2)有非零解，则其系数行列式必为0，即 $ \left|A\right|=0 $。

例 13 方程组 答案解析 →

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+&x_{3}=1,\\ 2x_{1}-x_{2}-3x_{3}&=0,\\ 4x_{1}+x_{2}+9x_{3}&=0\end{aligned}. $$

的解中， $ x_{1}= $ ___.

例14 已知 $ A(1,2) $, $ B(4,0) $ 是平面上的两个点，则经过 A, B 两点的直线方程是 ___. 答案解析 →

例题解析

一、 行列式的概念

例1 【分析】因为行列式 $ \left|A\right| $ 的一般项为 $ a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}a_{4j_{4}} $，由于有较多的 $ a_{ij}=0 $，易分析只有 $ a_{14}a_{23}a_{32}a_{41} $ 这一项非 0，而逆序数 $ \tau(4321)=3+2+1=6 $，所以行列式 $ \left|A\right|=abcd $. ← 严选题题目 ← 原题

【注】这也提示我们，三阶行列式的 $ \underset{\cdot}{对}\underset{\cdot}{角}\underset{\cdot}{线}\underset{\cdot}{法} $在四阶行列式中失灵.计算四阶行列式必须用 $ \underset{\cdot}{展}\underset{\cdot}{开}\underset{\cdot}{公}\underset{\cdot}{式} $法.

例2 【分析】（1）一般项 $ a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}a_{4j_{4}} $， $ j_{1}j_{2}j_{3}j_{4} $是1到4的排列.现 $ j_{1}=2,j_{3}=4 $.于是 $ j_{2},j_{4} $只能取自1和3. ← 原题

$ \tau(2143)=1+1 $，偶排列；

$ \tau(2341)=1+1+1 $，奇排列.

所以仅 $ a_{12}a_{23}a_{34}a_{41} $ 为所求.

（2）不同行不同列元素乘积的代数和.

若 $ x^{3} $ 中的 x 出现在 $ a_{1j} $，则只有两种可能： $ a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} $ 和 $ a_{12}a_{24}a_{33}a_{41} $；若 $ x^{3} $ 中的 x 不出现在 $ a_{1j} $，则只有 $ a_{14}a_{22}a_{33}a_{41} $ 一项。因 $ a_{14}=0 $，故只有两项出现 $ x^{3} $。

学习笔记

由 $ \tau(1234)=0,\tau(2431)=4 $，均为偶排列，带正号，可知有 $ x(x-1)x\cdot2 $和 $ 2x\cdot3\cdot x\cdot x $含 $ x^{3} $

所以 $ x^{3} $ 的系数为 8.

二、 行列式的性质

例 3 【证】由行列式性质，有 ← 原题

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{a}}}&{{{b}}}&{{{c}}} \\{{{b+c}}}&{{{c+a}}}&{{{a+b}}}\end{matrix}\right|&=\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{a}}}&{{{b}}}&{{{c}}} \\{{{a+b+c}}}&{{{a+b+c}}}&{{{a+b+c}}}\end{matrix}\right|\\&( 第 2 行加到第 3 行 )\\&=(a+b+c)\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{a}}}&{{{b}}}&{{{c}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right|\\&( 第 3 行提公因式 a+b+c)\\&=0.\quad( 两行相同行列式为 0)\end{aligned} $$

例4 【证】 方法一 把第2列、第3列均加至第1列，并提第1列的公因数2，得 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{aligned}&\left|\begin{matrix}b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\ b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\ b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{matrix}\right|=2\left|\begin{matrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\ a_{3}+b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{matrix}\right|\\ &\xlongequal{c_{2}-c_{1}}2\left|\begin{matrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}&-b_{1}&-c_{1}\\ a_{2}+b_{2}+c_{2}&-b_{2}&-c_{2}\\ a_{3}+b_{3}+c_{3}&-b_{3}&-c_{3}\end{matrix}\right|\\ \end{aligned} $$

（把第1列的-1倍分别加至第2列和第3列）

$ \frac{c_{1}+c_{2}+c_{3}}{2}\left|\begin{matrix}a_{1}&-b_{1}&-c_{1}\\ a_{2}&-b_{2}&-c_{2}\\ a_{3}&-b_{3}&-c_{3}\end{matrix}\right| $ （把第2列、第3列均加至第1列）

$ =2\left|\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}\right| $. （从第2列、第3列中分别提出公因数-1）

【注】倍加性质是行列式计算中常用的.

方法二 本题也可用一些读者不太熟悉的拆开性质(性质4)来处理，由于行列式每一列都是2个数的和，那么用拆开性质时，该行列式可表示成8个行列式之和。但因两列相等的行列式的值为0，所以这里有6个行列式的值为0。

例如，当第1列选 $ \left(\begin{matrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{matrix}\right) $时，若第2列选 $ \left(\begin{matrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{matrix}\right) $，则第3列不论如何选择，

其行列式的值必为0.故

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\ b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\ b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{matrix}\right|&=\left|\begin{matrix}b_{1}&c_{1}&a_{1}\\ b_{2}&c_{2}&a_{2}\\ b_{3}&c_{3}&a_{3}\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}c_{1}&a_{1}&b_{1}\\ c_{2}&a_{2}&b_{2}\\ c_{3}&a_{3}&b_{3}\end{matrix}\right|\\ &\xlongequal{*}&\left|\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}\right|\\ &=2\left|\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}\right|.\end{aligned} $$

$ ^{*} $处前者先将1、3两列互换，然后再将2、3两列互换；后者先将1、2两列互换，然后再将2、3两列互换。

例 5 【证】由行列式性质可知， ← 原题

$$ \begin{aligned}D&=\left|\begin{matrix}0&-a_{12}&-a_{13}\\a_{12}&0&-a_{23}\\a_{13}&a_{23}&0\end{matrix}\right|\quad( 经转置 , 行列式的值不变 )\\&=(-1)^{3}\left|\begin{matrix}0&a_{12}&a_{13}\\-a_{12}&0&a_{23}\\-a_{13}&-a_{23}&0\end{matrix}\right|\quad( 每行提取公因数 -1)\\&=-D,\end{aligned} $$

所以D=0.

三、 行列式按行（或列）展开公式

例6 【分析】计算行列式要用展开公式，在用展开公式之前 ← 严选题题目 ← 原题

一般先用行列式的性质把该行列式的某一行（或列）化出较多的0.

（1）例如，把第2行的一2倍加至第1行，然后把第3行的2倍加至第2行，得

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{4}}}&{{{-1}}}&{{{4}}} \\{{{2}}}&{{{2}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{3}}}&{{{-1}}}&{{{6}}}&{{{2}}} \\{{{4}}}&{{{0}}}&{{{5}}}&{{{3}}}\end{matrix}\right|&=\left|\begin{matrix}{{{-3}}}&{{{0}}}&{{{-5}}}&{{{-2}}} \\{{{8}}}&{{{0}}}&{{{14}}}&{{{7}}} \\{{{3}}}&{{{-1}}}&{{{6}}}&{{{2}}} \\{{{4}}}&{{{0}}}&{{{5}}}&{{{3}}}\end{matrix}\right|\\&=(-1)\times(-1)^{3+2}\left|\begin{matrix}{{{-3}}}&{{{-5}}}&{{{-2}}} \\{{{8}}}&{{{14}}}&{{{7}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{3}}}\end{matrix}\right|\\&=\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{8}}}&{{{14}}}&{{{7}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{3}}}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{8}}}&{{{14}}}&{{{-1}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{-1}}}\end{matrix}\right|\\&=1\times(-1)^{1+1}\left|\begin{matrix}{{{14}}}&{{{-1}}} \\{{{5}}}&{{{-1}}}\end{matrix}\right|=-9.\end{aligned} $$

（2）除用（1）的思路在第4行再构造出一个0，用展开公式之外，还应有用拉普拉斯展开式的设想.

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}{{{0}}}&{{{5}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{8}}}&{{{3}}}&{{{5}}}&{{{4}}} \\{{{7}}}&{{{2}}}&{{{4}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{1}}}&{{{0}}}\end{matrix}\right|=&-\left|\begin{matrix}{{{0}}}&{{{5}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{7}}}&{{{2}}}&{{{4}}}&{{{1}}} \\{{{8}}}&{{{3}}}&{{{5}}}&{{{4}}}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}{{{2}}}&{{{5}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{4}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{4}}}&{{{2}}}&{{{7}}}&{{{1}}} \\{{{5}}}&{{{3}}}&{{{8}}}&{{{4}}}\end{matrix}\right|\\=&\left|\begin{matrix}{{{2}}}&{{{5}}} \\{{{1}}}&{{{4}}}\end{matrix}\right|\bullet\left|\begin{matrix}{{{7}}}&{{{1}}} \\{{{8}}}&{{{4}}}\end{matrix}\right|=60.\end{aligned} $$

例 7 【分析】第1行的-1倍分别加至第2行和第3行，再用展开式 ← 原题

$$ \begin{aligned}D&=\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right|\\&=\left|\begin{matrix}{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}{{{-1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}\end{matrix}\right|=-3,\end{aligned} $$

或每行都加至第1行，提出公因数

$$ \begin{aligned}D&=\left|\begin{matrix}{{{3}}}&{{{3}}}&{{{3}}}&{{{3}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right|=3\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right|\\&=3\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{matrix}\right|=3\bullet(-1)^{\frac{1}{2}\bullet\cdot3}(-1)^{3}( 副对角线 )\\&=-3.\end{aligned} $$

例 8 【分析】按第1行展开 ← 原题

$$ \begin{aligned}D&=a_{1}\left|\begin{matrix}{{{a_{2}}}}&{{{b_{2}}}}&{{{0}}} \\{{{b_{3}}}}&{{{a_{3}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{a_{4}}}}\end{matrix}\right|-b_{1}\left|\begin{matrix}{{{0}}}&{{{a_{2}}}}&{{{b_{2}}}} \\{{{0}}}&{{{b_{3}}}}&{{{a_{3}}}} \\{{{b_{4}}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{matrix}\right|\\&=a_{1}a_{4}\left|\begin{matrix}{{{a_{2}}}}&{{{b_{2}}}} \\{{{b_{3}}}}&{{{a_{3}}}}\end{matrix}\right|-b_{1}b_{4}\left|\begin{matrix}{{{a_{2}}}}&{{{b_{2}}}} \\{{{b_{3}}}}&{{{a_{3}}}}\end{matrix}\right|\\&=(a_{1}a_{4}-b_{1}b_{4})(a_{2}a_{3}-b_{2}b_{3}),\end{aligned} $$

或二、四两行互换，再二、四两列互换

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{D}=&-\left|\begin{matrix}{{{a_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{b_{1}}}} \\{{{b_{4}}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{a_{4}}}} \\{{{0}}}&{{{b_{3}}}}&{{{a_{3}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{a_{2}}}}&{{{b_{2}}}}&{{{0}}}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}{{{a_{1}}}}&{{{b_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{b_{4}}}}&{{{a_{4}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{a_{3}}}}&{{{b_{3}}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{b_{2}}}}&{{{a_{2}}}}\end{matrix}\right|\quad( 拉普 \\\mathbf{\Lambda}&=\left|\begin{matrix}{{{a_{1}}}}&{{{b_{1}}}} \\{{{b_{4}}}}&{{{a_{4}}}}\end{matrix}\right|\bullet\left|\begin{matrix}{{{a_{3}}}}&{{{b_{3}}}} \\{{{b_{2}}}}&{{{a_{2}}}}\end{matrix}\right|=(a_{1}a_{4}-b_{1}b_{4})(a_{2}a_{3}-b_{2}b_{3}).\end{aligned} $$

（拉普拉斯）

例 9 【分析】 方法一 把每一行都加至第1行，有 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{aligned}D&=\left|\begin{matrix}{{{4a+x}}}&{{{4a+x}}}&{{{4a+x}}}&{{{4a+x}}} \\{{{a}}}&{{{a+x}}}&{{{a}}}&{{{a}}} \\{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a+x}}}&{{{a}}} \\{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a+x}}} \\\end{matrix}\right|\\&=(4a+x)\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{a}}}&{{{a+x}}}&{{{a}}}&{{{a}}} \\{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a+x}}}&{{{a}}} \\{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a+x}}} \\\end{matrix}\right|\end{aligned} $$

$$ =\left(4a+x\right)\left|\begin{matrix}{1}&{1}&{1}&{1}\\ {0}&{x}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{x}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{x}\\ \end{matrix}\right|=\left(4a+x\right)x^{3}. $$

方法二 把第1行的-1倍分别加到其他各行，有

$$ D=\left|\begin{matrix}{{{a+x}}}&{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a}}} \\{{{-x}}}&{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{-x}}}&{{{0}}}&{{{x}}}&{{{0}}} \\{{{-x}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{x}}}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}{{{4a+x}}}&{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a}}} \\{{{0}}}&{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{x}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{x}}}\end{matrix}\right|=(4a+x)x^{3}. $$

方法三 先把第3行的一1倍加到第4行，然后把第2行的-1倍加到第3行，最后把第1行的-1倍加到第2行，有

$$ \begin{aligned}D&=\left|\begin{matrix}{{{a+x}}}&{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a}}} \\{{{-x}}}&{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-x}}}&{{{x}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-x}}}&{{{x}}}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}{{{4a+x}}}&{{{a}}}&{{{a}}}&{{{a}}} \\{{{0}}}&{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-x}}}&{{{x}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-x}}}&{{{x}}}\end{matrix}\right|\\&=(4a+x)\left|\begin{matrix}{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{-x}}}&{{{x}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-x}}}&{{{x}}}\end{matrix}\right|=(4a+x)x^{3}.\end{aligned} $$

方法四 $ D=\begin{vmatrix}a+x&a+0&a+0&a+0\\a+0&a+x&a+0&a+0\\a+0&a+0&a+x&a+0\\a+0&a+0&a+0&a+x\end{vmatrix} $ 用拆开性质应该

是16个行列式的和，你能写出不为0的那5个行列式吗？

例10 【分析】 方法一 把每一列都加到第1列，并提出公因式x， ← 原题

$$ \begin{aligned}D&=x\left|\begin{matrix}1&-1&1&x-1\\1&-1&x+1&-1\\1&x-1&1&-1\\1&-1&1&-1\end{matrix}\right|=x\left|\begin{matrix}1&-1&1&x-1\\0&0&x&-x\\0&x&0&-x\\0&0&0&-x\end{matrix}\right|\\&=x\left|\begin{matrix}0&x&-x\\x&0&-x\\0&0&-x\end{matrix}\right|=x^{4}．\end{aligned} $$

方法二 第1列分别加到第2列，第4列，第1列的-1倍加到

第3列，

$$ \begin{aligned}D&=\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{x}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{x}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{x+1}}}&{{{x}}}&{{{-x}}}&{{{x}}}\end{matrix}\right|=x^{3}\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{x+1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right|\\&=x^{3}\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{matrix}\right|=x^{4}.\end{aligned} $$

方法三 拆开法.

$$ D=\left|\begin{matrix}{0+1}&{0-1}&{0+1}&{x-1}\\ {0+1}&{0-1}&{x+1}&{0-1}\\ {0+1}&{x-1}&{0+1}&{0-1}\\ {x+1}&{0-1}&{0+1}&{0-1}\\ \end{matrix}\right|. $$

D 可以分解成 $ 2^{4}=16 $ 个行列式之和，若行列式中有 2 个或 2 个以上的行（或列）相等或成比例，其行列式的值必为 0，不为 0 的只有 5 个，即

$$ \begin{aligned}D&=\left|\begin{matrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{x}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{x}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{x}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{x}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{x}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{x}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{x}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{matrix}\right|+\\&\quad\left|\begin{matrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{x}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{x}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{x}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{x}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{x}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{x}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}\end{matrix}\right|\\&=x^{4}+x^{3}-x^{3}+x^{3}-x^{3}=x^{4}.\end{aligned} $$

例11 【分析】由于 $ A_{ij} $与 $ a_{ij} $的数值大小正负无关，故可构造一新的行列式 $ |B| $，即 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \mid\boldsymbol{B}\mid=\left|\begin{array}{c c c c}{1}&{2}&{-1}&{1}\\ {0}&{2}&{t}&{1}\\ {1}&{-1}&{2}&{-1}\\ {-1}&{3}&{2}&{1}\end{array}\right|. $$

【注意】

$ |A| $与 $ |B| $虽不一样，但第3行元素的代数余子式 $ A_{3} $是完全相同的。

则 $ \left|B\right|=A_{31}-A_{32}+2A_{33}-A_{34}=0 $

$$ \mid\boldsymbol{B}\mid=\left|\begin{array}{c c c c}{1}&{2}&{-1}&{1}\\ {0}&{2}&{t}&{1}\\ {0}&{-3}&{3}&{-2}\\ {0}&{2}&{4}&{0}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c c c}{2}&{\iota}&{1}\\ {-3}&{3}&{-2}\\ {2}&{4}&{0}\end{array}\right|=-4\iota-2. $$

所以 $ t = -\frac{1}{2} $.

例12【分析】为方便，记行列式为 $ f(x) $，则 $ f(1)=a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0} $. ← 原题

对行列式 $ f(1) $ 恒等变形，有

$$ \begin{aligned}f(1)&=\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{-m}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{m}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-m}}} \\{{{m}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{-m}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{m}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{-m}}}&{{{0}}}&{{{-m}}} \\{{{0}}}&{{{1+m^{2}}}}&{{{m}}}&{{{-1}}}\end{matrix}\right|\\&=\left|\begin{matrix}{{{-1}}}&{{{m}}}&{{{1}}} \\{{{-m}}}&{{{0}}}&{{{-m}}} \\{{{1+m^{2}}}}&{{{m}}}&{{{-1}}}\end{matrix}\right|=m^{2}\left|\begin{matrix}{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{1+m^{2}}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{matrix}\right|\\&=m^{2}\left|\begin{matrix}{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{m^{2}+2}}}&{{{0}}}&{{{-2}}}\end{matrix}\right|=-m^{4}-4m^{2}.\end{aligned} $$

四、 克拉默法则

例 13 【分析】系数行列式是范德蒙德行列式，故 ← 严选题题目 ← 原题

$$ D=\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{-3}}} \\{{{4}}}&{{{1}}}&{{{9}}}\end{matrix}\right|=(-1-2)(-3-2)[-3-(-1)]=-30, $$

又 $ D_{1}=\left|\begin{matrix}1&1&1\\ 0&-1&-3\\ 0&1&9\end{matrix}\right|=-6 $ ，故 $ x_{1}=\frac{1}{5} $

例14【分析】设所求直线方程为 $ ax + by + c = 0, P(x, y) $ 是该直线上任意一点，则 $ (x, y) $， $ (1, 2) $， $ (4, 0) $ 应满足直线方程，即有 ← 原题

$$ \{\begin{aligned}&a x+b y+c=0,\\ &a+2b+c=0,\\ &4a+c=0.\end{aligned}. $$

因存在经过 A, B 两点的直线，那么 a, b, c 不全为 0，即齐次方程组（1）必有非零解，从而

$$ \left|\begin{array}{l l l}{x}&{y}&{1}\\ {1}&{2}&{1}\\ {4}&{0}&{1}\end{array}\right|=0. $$

所以 $ 2x + 3y - 8 = 0 $ 为所求.

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