第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

导数与微分是微分学的两个基本概念.

在科学技术领域中，对存在着函数关系的两个变量，常常要研究当自变量发生变化时，函数相对于自变量变化的快慢程度，这类问题称之为变化率问题。例如，物体运动的路程相对于时间的变化率，是物体的瞬时速度；流过导线横截面的电量相对于时间的变化率，是电流强度。

导数正是数学对实践中出现的各种变化率问题的抽象与概括，它以极限形式给予定义，通过理论的探究，又被广泛地应用到自然科学与工程技术的各个领域。微分是在寻找函数增量的近似值时产生的数学概念，当自变量只有微小改变时，函数的微分是函数改变量的主部。对于微分与导数两个不同的概念，它们之间存在必然的关系：导数正是函数微分与自变量微分之商。正因如此，导数与微分的理论和方法统称为微分学。

本章将从实际背景出发归纳、抽象出导数和微分的数学定义，推导出基本初等函数的导数与微分公式，再建立起一整套行之有效的运算法则。对这些公式和法则的熟练掌握是微分学应用的前提。

第一节 导数概念

一、 变化率问题实例

导数概念的产生来自两个实际问题，一个是运动学中的瞬时速度，另一个是几何学中的切线斜率。作为引例，我们将讨论这两个实际问题。

1. 非匀速运动的瞬时速度

设质点沿直线作变速运动，在该直线上建立数轴，取定某一个时刻作为测量时间的起点。这样，质点在运动过程中的每一个时刻 t，它的位置可用数轴上相应的坐标 s 表示，即 s 与 t 之间存在着函数关系：

$$ s=s\left(t\right). $$

此函数称为质点的位置函数. 求此变速直线运动中质点在某一时刻 $ t = t_{0} $ 的

速度.

设在 $ t_0 $ 时刻质点的位置为 $ s(t_0) $，质点处于运动之中，当质点运动到 $ t_0 + \Delta t $ 时刻，质点的相应位置为 $ s(t_0 + \Delta t) $.

我们考察质点从时刻 $ t_{0} $ 到 $ t_{0}+\Delta t $ 这样一段时间间隔 $ \Delta t $ 内，运动的平均速度：

$$ \overline{{v}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s\left(t_{0}+\Delta t\right)-s\left(t_{0}\right)}{\Delta t}. $$

很显然，当时间间隔 $ \Delta t $ 越小，平均速度 $ \bar{v} $ 就越接近于质点在 $ t = t_{0} $ 时刻的速度。可以看出，只要把 $ \Delta t $ 取的充分小，平均速度 $ \bar{v} $ 可以任意地逼近质点在 $ t = t_{0} $ 时刻的速度。因此，利用极限方法，当 $ \Delta t \to 0 $ 时，取（1）式的极限，如果这个极限存在，记为 v，即

$$ v=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{s\left(t_{0}+\Delta t\right)-s\left(t_{0}\right)}{\Delta t}. $$

这时就把这个极限值 v 称为质点在时刻 $ t_{0} $ 的瞬时速度 $ v(t_{0}) $.

总之，非匀速直线运动质点的瞬时速度是位置函数的增量与时间增量之比，当时间增量趋于零时的极限.

2. 切线的斜率

我们考虑光滑曲线在一点处的切线问题.

对于直线或圆周上点的切线的求法已有明确的解答. 对于任意光滑曲线在一点处的切线, 历史上莱布尼茨作出了解答, 有趣的是, 对这个几何问题的处理方法与上述牛顿在运动学问题的处理方法完全相似, 并且在数学上的表达式完全一致.

如图2-1所示，设曲线L是 $ (a,b) $上的连续函数 $ y=f(x) $的图形，点 $ M(x_{0},y_{0}) $是曲线上的一点，求曲线L在点 $ M(x_{0},y_{0}) $处切线的斜率.

为了求曲线 L 上过点 M 处切线的斜率，首先在曲线上另取一点 $ N(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y) $，则割线 MN 的斜率为

$$ k_{M N}=\tan\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}, $$

其中 $ \alpha $ 是割线 MN 与 x 轴正向的夹角. 当点 N 沿着曲线 L 趋近于点 M 时, 割线 MN 的极限位置 MT 就称为曲线 L 的切线.

当点 N 沿着曲线 L 趋近于点 M 时， $ \Delta x \to 0 $。那么曲线 L 在点 M 处的切线的斜率显然是割线 MN 的斜率当 $ \Delta x \to 0 $ 时的极限。设切线与 x 轴正向的夹角为

$ \beta $，则有

$$ \begin{aligned}{k=}&{{}\tan\beta=\lim_{\Delta x\to0}\tan\alpha=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}\\ {=}&{{}\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}.}\\ \end{aligned} $$

这就是说，切线的斜率问题归结为函数的增量与自变量的增量之比，当自变量的增量趋近于零时的极限.

上述两个例子在数学形式上都归结为相同类型的极限．撇开上述问题的具体意义，仅从数学上来考察，它们无非都是变化率问题，即函数的增量与自变量的增量之比，当自变量的增量趋近于零时的极限，通过这类增量比的极限引出重要的数学概念——导数．

二、 导数定义

定义 2.1.1 设函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点 $ x_{0} $ 处取得改变量 $ \Delta x $，且点 $ x_{0}+\Delta x $ 在上述邻域内时，相应地，函数的改变量为

$$ \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}), $$

如果极限

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$

存在，称函数 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可导（或存在导数），极限值称为函数在点 $ x_{0} $ 处的导数（或微商），记为

$$ f^{\prime}\left(x_{0}\right),\quad\left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}},\quad\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}},\quad\left. 或 \quad\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}, $$

即

$$ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}. $$

若极限（3）不存在，称函数 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处不可导.

不难看到，上述引例都是导数问题：

瞬时速度是位置函数对时间的导数，即

$$ v\left(t_{0}\right)=s^{\prime}\left(t_{0}\right). $$

曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ M(x_{0}, f(x_{0})) $ 处切线的斜率为

$$ k=f^{\prime}\left(x_{0}\right). $$

据此，由解析几何可知，若 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可导，曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ M(x_{0}, f(x_{0})) $ 处的切线方程为

$$ y-f(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}). $$

此结论称之为导数的几何意义.

由于函数的导数是由极限定义的，因此，它也就具备了极限的应有性质。为了方便，有时也可将极限形式（3）改写为下列形式：

$$ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\quad\left(\Delta x=h\right), $$

或

$$ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\quad\left(x=x_{0}+\Delta x\right). $$

我们知道，在导数定义中的极限是双侧极限．于是又有

定义 2.1.2 若单侧极限

$$ \lim_{\Delta x\to0^{+}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} $$

与

$$ \lim_{\Delta x\to0^{-}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} $$

都存在，分别称为函数 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处右可导与左可导，其极限分别称为函数 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处的右导数与左导数，且分别记为 $ f_{+}^{\prime}(x_{0}) $ 与 $ f_{-}^{\prime}(x_{0}) $.

显然，函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导 $ \Leftrightarrow $ 函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的左、右导数分别存在且相等，即 $ f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) $.

应当指出，并非所有函数在其定义域内都是可导的，也就是说，极限

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$

未必总存在．我们看下面的例子.

例1 函数 $ y=|x| $ 在 x=0 处存在左导数和右导数：

$$ f_{+}^{\prime}(0)=\lim_{\Delta x\to0^{+}}\frac{|\Delta x|-0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0^{+}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1, $$

$$ f_{-}^{\prime}(0)=\lim_{\Delta x\to0^{-}}\frac{|\Delta x|-0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0^{-}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1. $$

显然， $ f_{-}^{\prime}(0) \neq f_{+}^{\prime}(0) $，所以 $ y = |x| $ 在 x = 0 处不可导.

函数 $ y=|x| $ 的几何图像是一条折线，如图 2-2 函数 $ y=|x| $ 在 x=0 处不可导的几何意义是此折线在角尖点（0，0）处不存在切线.

特别地，如果不可导是由于 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \infty $所致，而此情形有确切的几何意义，为了叙述方便起见，也

说函数在点 $ x_{0} $ 的导数为无穷大.

例2 求函数 $ f(x)=\sqrt[3]{x} $ 在 x=0 处的导数.

解 $ f^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=\infty $

则 $ f(x)=\sqrt[3]{x} $ 在 x=0 处不可导.

而连续曲线 $ f(x)=\sqrt[3]{x} $在原点处存在垂直x轴的切线，且此切线的斜率 $ k=\tan\frac{\pi}{2}=\infty $。如图2-3.

定义 2.1.3 如果函数 $ y=f(x) $ 在开区间 $ (a, b) $ 内每个点 x 处都可导，我们称函数 $ y=f(x) $ 在开区间 $ (a, b) $ 内可导，即对任意 $ x \in (a, b) $，有

$$ f^{\prime}\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}. $$

也记作

$$ y^{\prime},\quad\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\quad 或 \quad\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}. $$

若函数 $ y=f(x) $ 在开区间 $ (a, b) $ 内可导，即对于 $ (a, b) $ 内的每一个 x 值，都对应着一个确定的导数值，即 $ f'(x) $ 是 x 的函数，称它为函数 $ y=f(x) $ 的导函数。而导数 $ f'(x_0) $ 便是导函数 $ f'(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的函数值，即

$$ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x\right)\mid_{x=x_{0}}. $$

由于在具体情况下，导数与导函数容易分辨，通常也就把导函数简称为导数.

若函数 $ y=f(x) $ 在开区间 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f_{+}^{\prime}(a) $ 与 $ f_{-}^{\prime}(b) $ 存在，则称函数 $ y=f(x) $ 在闭区间 $ [a, b] $ 上可导.

三、 求导举例

例3 求函数 $ f(x) = C $ （C为常数）的导数.

解 $ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C - C}{\Delta x} = 0 $,

即常数的导数为零： $ (C)^{\prime}=0 $.

例4 求函数 $ f(x)=\sin x $ 的导数.

解 $ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} $

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=\cos x $$

即

$$ \left(\sin x\right)^{\prime}=\cos x. $$

类似地，可得

$$ \left(\cos x\right)^{\prime}=-\sin x. $$

例5 求函数 $ f(x) = x^{\mu} $ 的导数.

解 幂函数的定义域与 $ \mu $ 有关，因此以下讨论总是在定义域内进行.

当 $ x \neq 0 $ 时，利用极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\mu}-1}{x} = \mu $，得

$$ \begin{align*}f^{\prime}\left(x\right)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\left(x+\Delta x\right)^{\mu}-x^{\mu}}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\mu}-1}{\frac{\Delta x}{x}}\cdot x^{\mu-1}=\mu x^{\mu-1}.\end{align*} $$

当x=0时，

$$ f^{\prime}(0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(\Delta x)^{\mu}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}(\Delta x)^{\mu-1}=\{\begin{aligned}&0,&\mu\gt 1,\\ &1,&\mu=1,\\ &\infty,&\mu\lt 1,\end{aligned}. $$

由此可知，幂函数 $ y = x^{\mu} $ 当 $ \mu \lt 1 $ 时，在 x = 0 点不可导，除此之外在定义域内处处可导，且

$$ \left(x^{\mu}\right)^{\prime}=\mu x^{\mu-1}. $$

利用幂函数的求导公式，可求得

$$ \left(x\right)^{\prime}=1,\quad\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=\left(x^{-1}\right)^{\prime}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}, $$

$$ \left(\sqrt{x}\right)^{\prime}=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}. $$

例6 求函数 $ f(x) = a^{x} $ 的导数.

解 利用极限 $ \lim_{x\to0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a $ 得

$$ f^{\prime}\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}=a^{x}\lim_{\Delta x\to0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^{x}\ln a. $$

特别地，当时 a=e，有

$$ \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x}. $$

例7 求函数 $ f(x) = \log_{a}x (x \gt 0) $ 的导数.

解 利用极限 $ \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e} $ 及对数函数的连续性，得

$$ \begin{align*}f^{\prime}\left(x\right)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_{a}\left(x+\Delta x\right)-\log_{a}x}{\Delta x}\\&=\frac{1}{x}\lim_{\Delta x\rightarrow0}\log_{a}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}=\frac{1}{x}\log_{a}e=\frac{1}{x\ln a}.\end{align*} $$

特别地，当 a=e 时，有

$$ \left(\ln x\right)^{\prime}=\frac{1}{x} $$

以上例3至例7所得结果作为导数公式，在今后求导时可以直接引用.

例8 求曲线 $ y=\frac{1}{x} $ 在点 $ M(1,1) $ 处的切线方程.

解 由于 $ y'=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}} $，点 $ M(1,1) $ 在曲线上，从而切线的斜率

$$ k=y^{\prime}(1)=-1, $$

因此所求切线方程是

$$ y-1=-\left(x-1\right), $$

即

$$ y=2-x. $$

四、 可导与连续的关系

定理2.1.1 如果函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可导，则它在该点 $ x_{0} $ 处连续.

证 因为函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可导，即极限

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_{0}\right) $$

存在.

又因为

$$ \lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\times\Delta x\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\Delta x=0, $$

所以，函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处连续.

定理指出了可导是连续的充分条件，但应当注意，如果函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处连续，则在 $ x_{0} $ 处未必可导．即函数在一点处连续只是它在该点处可导的必要条件，不是充分条件.

事实上，从例1我们得知函数 $ y=f(x)=|x| $ 在点 x=0 处连续，但是 $ f(x) $ 在 x=0 处不可导.

例 9 判断函数

$$ f(x)=\{\begin{aligned}x^{2},&\quad x\leq0,\\ x,&\quad x\gt 0\end{aligned}. $$

在 x=0 处的连续性与可导性.

解 因为

$$ f_{-}^{\prime}(0)=\lim_{\Delta x\to0^{-}}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\left(\Delta x\right)^{2}}{\Delta x}=0, $$

$$ f_{+}^{\prime}(0)=\lim_{\Delta x\to0^{+}}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1, $$

则 $ f_{-}^{\prime}(0) \neq f_{+}^{\prime}(0) $，故 $ f(x) $ 在 x=0 处不可导.

$$ f(0^{+})=\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}x=0, $$

而

$$ f(0^{-})=\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}x^{2}=0, $$

$$ f(0)=0^{2}=0, $$

所以 $ f(x) $ 在点 x=0 处连续.

下面分别把例1和例9中函数 $ f(x) $及其导数 $ f'(x) $的图像画出来，如图2-4和图2-5.

$$ f(x)=\mid x\mid,\quad f^{\prime}(x)=\{\begin{aligned}-1,&x\gt 0,\\1,&x\lt 0.\end{aligned}. $$

$$ f(x)=\{\begin{aligned}x^{2},&\quad x\leqslant0,\\ x,&\quad x\gt 0,\end{aligned}.\quad f^{\prime}(x)=\{\begin{aligned}2x,&\quad x\lt 0,\\ 1,&\quad x\gt 0.\end{aligned}. $$

从图中可以看出，两个函数的图形在不可导点 x=0 处都为角尖点，也即是不光滑点。在角尖点（x=0）处两个导函数均出现间断。

五、 经济学中的变化率问题

导数是数学对实践中各类变化率问题的本质概括．因此，经济学中凡涉及变化率问题就可应用导数模型进行讨论.

1. 经济学中边际的概念

在经济问题中，引入某些函数如产量函数 $ Q = Q(t) $、成本函数 $ c = c(x) $、利润函数 $ L = L(x) $ 等来描述这些变量之间的关系，为了进一步刻画当自变量微小变化时，所引起函数值变化的快慢，需引入边际的概念。以产量函数 $ Q = Q(t) $ 为例，当产量随时间均匀增加的情况下，经济上把生产时间每增加一个单位时产量的增加量称为边际产量。对于非均匀性生产，根据导数定义， $ \frac{dQ}{dt} $ 在数值上等于在时刻 t，以此时的生产速度均匀生产，时间每增加一个单位时，产量的增加量，称为在 t 时刻的边际产量。

一般地，在经济学中我们称某个函数 $ f(x) $ 的导数 $ f'(x) $ 为该函数在 x 处的边际.

例如，收入函数（即收益函数） $ R = R(x) $ 的导数 $ R'(x) $ 称为边际收入，记为 MR.

成本函数 $ c=c(x) $ 导数 $ c'(x) $ 称为边际成本，记为 Mc.

利润函数 $ L(x) $ 的导数 $ L'(x) $ 称为边际利润，记为 ML.

需求函数 $ Q(p) $ 的导数 $ Q'(p) $ 称为边际需求，记为 MQ.

价格函数 $ p(Q) $ 的导数 $ p'(Q) $ 称为边际价格，记为 $ M_{p} $.

例 10 设某产品每月生产 x 单位的收入函数 $ R(x) = 300x - 0.2x^{2} $ （元），成本函数 $ c(x) = 100 + 25x + 0.1x^{2} $ （元），求生产 30 个单位产品时的总利润、平均利润和边际利润.

解 利润函数

$$ L(x)=R(x)-c(x)=-100+275x-0.3x^{2}, $$

边际利润 $ L'(x) = 275 - 0.6x $.

所以生产30个单位的产品时，

$$ L(30)=-100+275 \times 30-0.3 \times 30^{2}=7880\quad( 元 )\quad( 总利润 ), $$

$ \bar{L}(30)=\frac{L(30)}{30}=262.7 $（元/单位）（平均利润），

$ L'(30)=275-0.6\times30=257 $（元/单位）（边际利润）.

例 11 设某市场对某种商品需求量 Q 是价格 p 的函数，Q = 100 - 3p (0 < p < +\infty)，求边际需求.

解 $ Q'(p) = -3 $，说明价格每上涨一个单位，市场对该商品的需求量减少

3 个单位.

一般地说，在同一问题中，需求函数 Q = f(p) 与价格函数 p = p(Q) 是互为反函数，由反函数求导公式，边际需求 f'(p) 与边际价格 p'(Q) 是互为倒数.

从例 3 知， $ Q'(p) = -3 $，则 $ p'(Q) = -\frac{1}{3} $.

2. 经济学中弹性的概念

在经济学中，把某一变量对另一变量的变化反应程度称为弹性，或弹性系数。例如，商品的需求量对价格变化的反应程度称为需求弹性，下面我们给出弹性的定义。

定义 2.1.4 设某个经济函数 $ y=f(x) $ 可导，自变量在 x 处的改变量为 $ \Delta x $，函数在 y 处相应的改变量为 $ \Delta y $， $ \frac{\Delta x}{x} $ 和 $ \frac{\Delta y}{y} $ 分别表示自变量在 x 处和函数在 y 处的相对改变量，当 $ \Delta x \to 0 $ 时，它们的比值的极限

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{\Delta y}{y}}{\frac{\Delta x}{x}}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{x\frac{\Delta y}{\Delta x}}{f(x)}=\frac{x f^{\prime}(x)}{f(x)}, $$

称之为y对x的弹性，记为 $ \eta $.

弹性 $ \eta $ 一般为 x 的函数，称之为弹性函数，弹性在点 $ x_{0} $ 处的值 $ \eta(x_{0}) $，称为在点 $ x_{0} $ 处的弹性点。弹性概念反映了函数对自变量的相对变化的快慢。设 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 的弹性为 $ \eta_{0} $，因为 $ \frac{\Delta y}{y_{0}} \approx \eta_{0} \frac{\Delta x}{x_{0}} $ （当 $ |\Delta x| $ 很小时），所以当 x 在 $ x_{0} $ 处增加 1%，即 $ \frac{\Delta x}{x_{0}} = 1\% $ 时，函数 y 相应地约增加 $ \eta_{0} \% $。

例 12 设某种商品需求量 Q 是价格 p 的函数， $ Q=f(p)=Ae^{-\frac{1}{2}p} $（最大需求量，且 A>0，p>0）。求：

（1）需求对价格的弹性；

（2）当 p=10 元时需求对价格的弹性.

解 因为 $ Q' = f'(p) = -\frac{1}{2} A e^{-\frac{1}{2} p} $,

$$ \eta=p\frac{f^{\prime}(p)}{f(p)}=p\frac{-\frac{1}{2}A\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}p}}{A\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}p}}=-\frac{1}{2}p, $$

当 p=10 元时， $ \eta(10)=-\frac{1}{2}\times10=-5 $．它说明当商品价格是10元时，若价格增加1%时，需求量减少约5%．

例 13 某产品销路呆滞，准备降价扩大销路，若该产品的需求弹性在 1.5~2 之间，问降价 10% 销售量能增加多少？

解 由弹性定义 $ \eta(P) \approx \frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta p}{p}} $ (Q 是销售量，p 是价格) 得

$$ 1.5\approx\frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{10\%},\quad 即 \frac{\Delta Q}{Q}\approx15\%. $$

$$ 2\approx\frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{10\%},\qquad 即 \frac{\Delta Q}{Q}\approx20\%. $$

所以降价10%后销售量能增加15%~20%.

类似地，我们还可以讨论供应函数 $ W = W(p) $ 的供应弹性，成本函数 $ c = c(x) $ 的成本弹性及利润函数的利润弹性等.

习题2-1

1. 按导数定义求函数 $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} $ 在点 x=3 处的导数.

1. 按导数定义求函数 $ f(x) = x \mid x \mid $ 在点 x = 0 处的导数.

1. 设函数 $ f(x) = (x - a)\varphi(x) $，其中 $ \varphi(x) $ 在 x = a 处连续，求 $ f'(a) $.

1. 设 $ f(x) $ 在 x=0 处连续，且 $ \lim_{x\to0}\frac{f(2x)}{3x}=1 $，求曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ (0, f(0)) $ 处的切线方程.

1. 设函数 $ \varphi(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处有定义，且 $ \lim_{\alpha\to\infty}\varphi(x)=A $，讨论下列函数在点 $ x_{0} $ 处可导性：

(1) $ f(x) = (x - x_0) \mid \varphi(x) \mid $; (2) $ g(x) = |x - x_0| \varphi(x) $.

1. 研究函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{x}},&x\gt 0,\\ 0,&x\leq0\end{aligned}. $ 在点 x=0 处的连续性与可导性.

1. 已知 $ f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x, & x\lt 0, \\ x, & x \geqslant 0,\end{array}. $ 求 $ f'(x) $.

1. 为使函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}x^{2},&\quad x\lt x_{0}\\ ax+b,&\quad x\geqslant x_{0}\end{aligned}. $ 在点 $ x=x_{0} $ 处可导，常数 a, b 应取何值？

1. 设 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内有定义，对任意 x 恒有 $ f(x+1) = 2f(x) $，且当 $ 0 \leq x \leq 1 $ 时， $ f(x) = x(1-x^2) $。试判断 $ f'(0) $ 是否存在。

1. 设某产品的需求函数和成本函数分别为

$$ Q(p)=1000-8p，c(Q)=1000+5Q， $$

（1）求该产品的边际成本函数；

（2）求边际收入函数；

（3）求边际利润函数.

1. 某个体户以每条10元的价格购进一批裤子，设该裤子的需求函数为

$$ Q=40-p. $$

问该个体户将销售价格定为多少时，才能获得最大利润？

1. 求函数 $ y = ax^{b} $ ( $ a \neq 0 $, b 为常数) 的弹性.

第二节 函数的求导法则

上一节我们应用导数定义得出了一些简单函数的导数．如果对于每个函数都按定义去求导，计算量会很大，有时也繁琐，不便于导数的应用．本节从导数的定义出发，结合极限运算的性质推导出求导的运算法则，从而使导数的计算公式化、法则化．

一、 函数和、差、积、商的导数

定理 2.2.1 若 $ u = u(x) $， $ v = v(x) $ 在点 x 处可导，则

(i) $ u(x) \pm v(x) $ 在点 x 处可导，且

$$ \left[\begin{array}{c}{u\left({~x~}\right)\pm v\left({~x~}\right)}\\ \end{array}\right]^{\prime}=u^{\prime}\left({~x~}\right)\pm v^{\prime}\left({~x~}\right). $$

(ii) $ u(x)v(x) $ 在点 x 处可导，且

$$ \left[\begin{array}{c}{u\left(x\right)v\left(x\right)}\\ \end{array}\right]^{\prime}=u^{\prime}\left(\begin{array}{c}{x}\\ \end{array}\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right). $$

(iii) 当 $ v(x) \neq 0 $ 时， $ \frac{u(x)}{v(x)} $ 在点 x 处可导，且

$$ \left[\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\right]^{\prime}=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{\left[v\left(x\right)\right]^{2}}. $$

证 (i) 设 $ f(x) = u(x) + v(x) $，则

$$ \begin{aligned}\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\left[u\left(x+\Delta x\right)+v\left(x+\Delta x\right)\right]-\left[u\left(x\right)+v(x)\right]}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\left[\frac{u\left(x+\Delta x\right)-u(x)}{\Delta x}+\frac{v\left(x+\Delta x\right)-v(x)}{\Delta x}\right]\\&=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x),\end{aligned} $$

故 $ f(x) $在点x处可导，且

$$ \left[\begin{array}{c}{u\left(x\right)+v\left(x\right)}\\ \end{array}\right]^{\prime}=u^{\prime}\left(x\right)+v^{\prime}\left(x\right). $$

这个结果可简单地写成 $ (u+v)'=u'+v' $.

类似地可证 $ (u-v)'=u'-v' $.

由此得函数和（差）的求导法则：两个可导函数和（差）的导数等于这两个函数的导数之和（差）.

上述法则可推广到任意有限个函数代数和的情形. 例如

$$ \left(\begin{array}{c}{u+v-w}\\ \end{array}\right)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}-w^{\prime}. $$

（ii）设 $ f(x)=u(x)v(x) $，则

$$ \begin{align*}\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u\left(x+\Delta x\right)v\left(x+\Delta x\right)-u\left(x\right)v\left(x\right)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\left[\frac{u\left(x+\Delta x\right)-u\left(x\right)}{\Delta x}\cdot v\left(x+\Delta x\right)+\frac{v\left(x+\Delta x\right)-v\left(x\right)}{\Delta x}\cdot u\left(x\right)\right]\\&=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right).\end{align*} $$

故函数 $ f(x) $ 在点 x 处可导，且

$$ \left[\begin{array}{c}{u\left(x\right)v\left(x\right)}\\ \end{array}\right]^{\prime}=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right). $$

由此得函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积.

特别地，若 $ v(x)=C $ （C 为常数），有

$$ \left(C u\right)^{\prime}=C u^{\prime}. $$

函数积的求导法则也可以推广到任意有限多个可导函数之积的情形. 例如

$$ (~u v w~)~^{\prime}=u^{\prime}v w+u v^{\prime}w+u v w^{\prime}. $$

（iii）设 $ f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} $， $ v(x)\neq0 $，则

$$ \begin{aligned}\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\cdot v(x)-u(x)\cdot\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}{v(x+\Delta x)v(x)}\\&=\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{\left[v(x)\right]^{2}}.\end{aligned} $$

故 $ f(x) $ 在点 x（分母为零的点除外）处可导，且

$$ \left[\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\right]^{\prime}=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)-v\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{\left[v\left(x\right)\right]^{2}}. $$

由此得函数商的求导法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分子与分母的导数的乘积，再除以分母的平方.

特别地，当 u=1 时有，

$$ \left(\frac{1}{v}\right)^{\prime}=-\frac{v^{\prime}}{v^{2}}. $$

例 1 求 $ y=10x^{5}\ln x+\sin x-\tan 5 $ 的导数.

$$ \begin{aligned}y^{\prime}&=\left(10x^{5}\ln x\right)^{\prime}+\left(\sin x\right)^{\prime}-\left(\tan5\right)^{\prime}\\&=10\left[\left(x^{5}\right)^{\prime}\ln x+x^{5}\left(\ln x\right)^{\prime}\right]+\cos x\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&=10\bigg(5x^{4}\ln x+x^{5}\cdot\frac{1}{x}\bigg)+\cos x\\&=50x^{4}\ln x+10x^{4}+\cos x.\end{aligned} $$

例2 求 $ y = \tan x $ 的导数.

解 因为 $ y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $,

所以 $ y' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^' = \frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)' \sin x}{(\cos x)^2} $

$ = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $,

即 $ \left(\tan x\right)^{\prime}=\sec^{2}x $

类似可得 $ (\cot x)' = -\csc^{2}x. $

例3 求 $ y = \csc x $ 的导数.

解 因为 $ y = \csc x = \frac{1}{\sin x} $,

所以

$$ y^{\prime}=\left(\frac{1}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{-\left(\sin x\right)^{\prime}}{\left(\sin x\right)^{2}}=\frac{-\cos x}{\left(\sin x\right)^{2}}=-\csc x\cot x, $$

即 $ \left(\csc x\right)^{\prime} = -\csc x \cot x $.

类似可得 $ \left(\sec x\right)^{\prime}=\sec x\tan x $

二、 反函数的求导法则

为了求出反三角函数（三角函数的反函数）的导数，首先给出反函数的求导法则.

定理2.2.2 若函数 $ x=\varphi(y) $ 在区间 I 上严格单调、可导，且 $ \varphi'(y)\neq0 $，则它的反函数 $ y=f(x) $ 在对应区间内也可导，且

$$ f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)},\qquad 或 \quad\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}. $$

证 因 $ x=\varphi(y) $ 在区间 I 上严格单调、连续，从而它的反函数 $ y=f(x) $ 在对应区间上也严格单调、连续. 设 x 有增量 $ \Delta x\neq0 $，由 $ y=f(x) $ 的单调性知

$$ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\neq0, $$

于是

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}, $$

且当 $ \Delta x \to 0 $ 时， $ \Delta y \to 0 $ 。又

$$ \lim_{\Delta y\to0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=\varphi^{\prime}(y)\neq0, $$

所以

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta y\to0}\frac{1}{\underbrace{\Delta x}_{\Delta y}}=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}. $$

这表明反函数 $ y = f(x) $ 在点 x 处可导，并且

$$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}, $$

即

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}. $$

从而得反函数的求导法则：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

例4 证明反正弦函数的导数公式： $ \left(\arcsin x\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $

证 设 $ x = \sin y $ 为直接函数，则 $ y = \arcsin x $ 为它的反函数。函数 $ x = \sin y $ 在区间 $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ 内单调增、可导，且

$$ \left(\sin y\right)^{\prime}=\cos y\gt 0, $$

故由反函数的求导法则知，在对应区间 $ (-1,1) $内，有

$$ \left(\arcsin x\right)^{\prime}=\frac{1}{\left(\sin y\right)^{\prime}}=\frac{1}{\cos y}. $$

而

$$ \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}, $$

故

$$ \left(\arcsin x\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. $$

用类似的方法可证反余弦函数的导数：

$$ \left(\operatorname{a r c c o s}x\right)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\qquad(-1\lt x\lt 1). $$

例5 证明反正切函数的导数公式： $ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} $

证 设 $ x = \tan y $ 为直接函数，则 $ y = \arctan x $ 为它的反函数。函数 $ x = \tan y $ 在区间 $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ 内单调增、可导，且

$$ \left(\tan y\right)^{\prime}=\sec^{2}y\neq0, $$

故由反函数求导法则知，在对应区间 $ (-∞, +∞) $ 内，有

$$ \left(\arctan x\right)^{\prime}=\frac{1}{\left(\tan y\right)^{\prime}}\approx\frac{1}{\sec^{2}y}, $$

而

$$ \sec^{2}y=1+\tan^{2}y=1+x^{2}. $$

故

$$ \left(\arctan x\right)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}. $$

用类似的方法可证反余切函数的导数：

$$ \left(\operatorname{arccot} x\right)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}. $$

例6 求函数 $ y=a^{x}(a\gt 0, a\neq1) $ 的导数.

解 因为 $ y=a^{x} $ 是 $ x=\log_{a}y $ 的反函数，且

$$ x^{\prime}{}_{,}=\frac{1}{y\ln a}\neq0, $$

所以

$$ \begin{aligned}y^{\prime}&=\left(a^{x}\right)^{\prime}=\frac{1}{\left(\log_{a}y\right)^{\prime}}=\frac{1}{\frac{1}{y\ln a}}\\&=y\ln a=a^{x}\ln a.\\&\quad\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x}\ln a.\end{aligned} $$

即

此结果与第一节例6中求得的指数函数的求导公式一致.

三、 复合函数的求导法则

定理 2.2.3 设函数 $ u = \varphi(x) $ 在点 x 处可导，函数 $ y = f(u) $ 在对应点 u 处可导，则复合函数 $ y = f[\varphi(x)] $ 在点 x 处可导，且

$$ \{f[\varphi(x)]\}^{\prime}=f^{\prime}(u)\varphi^{\prime}(x), $$

或

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}. $$

证 已知 $ y=f(u) $ 在点 u 处可导，即有极限

$$ \lim_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}=f^{\prime}(u). $$

根据极限与无穷小的关系，当 $ \Delta u \neq 0 $，有

$$ \frac{\Delta y}{\Delta u}=f^{\prime}\left(u\right)+o\left(\Delta u\right), $$

其中， $ \lim_{\Delta u\to0}o(\Delta u)=0 $，即有

$$ \Delta y=f^{\prime}\left(u\right)\Delta u+\Delta u\cdot o\left(\Delta u\right). $$

由 $ u = \varphi(x) $ 可导必连续，当 $ \Delta x \to 0 $ 时，有 $ \Delta u \to 0 $.

应当指出：在 $ \Delta x \to 0 $ 的过程中，尽管 $ \Delta x \neq 0 $，但仍然有可能出现 $ \Delta u = 0 $ 的情况。当 $ \Delta u = 0 $，事实上此时的

$$ \Delta y=f(\mathbf{\nabla}u+\Delta u)-f(\mathbf{\nabla}u)=f(\mathbf{\nabla}u)-f(\mathbf{\nabla}u)=0, $$

故无论 $ \Delta u $ 是否等于 0，总有

$$ \Delta y=f^{\prime}\left(u\right)\Delta u+\Delta u\cdot o\left(\Delta u\right) $$

成立．用 $ \Delta x $除上式两边，得

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(u\right)\frac{\Delta u}{\Delta x}+o\left(\Delta u\right)\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}, $$

又因 $ \lim_{\Delta u\to0}o(\Delta u)=0 $，只要规定 $ o(0)=0 $，结合式（1）即有

$$ o(\Delta u)=\{\begin{aligned}\frac{\Delta y}{\Delta u}-f^{\prime}(u),&\quad\Delta u\neq0,\\ 0,&\quad\Delta u=0,\end{aligned}. $$

则函数 $ o(\Delta u) $ 在 $ \Delta u=0 $ 处连续.

由连续函数的极限运算，有

$$ \lim_{\Delta x\to0}o\left(\Delta u\right)=\lim_{\Delta u\to0}o\left(\Delta u\right)=0, $$

故由式（2），有

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(u\right)\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}o\left(\Delta u\right)\frac{\Delta u}{\Delta x}=f^{\prime}\left(u\right)\varphi^{\prime}\left(x\right), $$

所以

$$ \{f[\varphi(x)]\}^{\prime}=f^{\prime}(u)\varphi^{\prime}(x), $$

或

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}. $$

上述复合函数的求导法则称为链式法则．它告诉我们：复合函数 y 对自变量 x 的导数等于 y 对中间变量 u 的导数乘中间变量 u 对自变量 x 的导数.

链式法则可以推广到多个中间变量的情形．例如，若 $ y=f(u) $， $ u=\varphi(v) $， $ v=h(x) $，则复合函数 $ y=f|\varphi[h(x)]| $ 的导数为

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}. $$

例7 求函数 $ y = \sin(3x + 1) $ 的导数.

解 函数 $ y=\sin(3x+1) $ 是由 $ y=\sin u $，u=3x+1 复合而成. 故

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\cos u\cdot3=3\cos(3x+1). $$

例8 求函数 $ y = e^{-x} $ 的导数.

解 $ y=e^{-x} $ 是由 $ y=e^{u} $，u=-x 复合而成，故

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\mathrm{e}^{u}\cdot(-1)=-\mathrm{e}^{-x}. $$

链式法则告诉我们，求复合函数的导数，首先分解复合函数，要善于选择中间变量 u，使 $ y = f(u) $ 和 $ u = \varphi(x) $ 都能作为简单函数求出导数，而且在熟练函数分解过程以后，中间变量可以不写出来，而直接写出函数对中间变量的求导结果.

例 9 证明： $ (\ln|x|)^{\prime}=\frac{1}{x}\quad(x\neq0) $.

证 当 x>0 时， $ (\ln|x|)^{\prime}=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} $;

当 x<0 时， $ (\ln|x|)^{\prime}=[\ln(-x)]^{\prime}=\frac{1}{-x}(-x)^{\prime}=\frac{1}{x} $.

故 $ \left(\ln|x|\right)^{\prime}=\frac{1}{x}\quad(x\neq0) $成立.

例10 求函数 $ y = e^{\arcsin\sqrt{x}} $ 的导数.

$$ \begin{aligned} 解 \quad y^{\prime}&=\mathrm{e}^{\arcsin\sqrt{x}}\cdot\left(\arcsin\sqrt{x}\right)^{\prime}( 第一层中间变量是 \arcsin\sqrt{x})\\&=\mathrm{e}^{\arcsin\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\cdot\left(\sqrt{x}\right)^{\prime}\quad( 第二层中间变量是 \sqrt{x})\\&=\frac{\mathrm{e}^{\arcsin\sqrt{x}}}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\mathrm{e}^{\arcsin\sqrt{x}}}{2\sqrt{x\left(1-x\right)}}.\end{aligned} $$

四、 初等函数的导数

根据导数定义和求导法则得到了基本初等函数的导数，它们是求初等函数导数的基础．把它们集中起来抄录如下，就是导数公式表：

(1) $ (x^{\mu})^{\prime}=\mu x^{\mu-1} $;

(2) $ (\sin x)' = \cos x $;

(3) $ (\cos x)' = -\sin x $;

(4) $ (\tan x)' = \sec^{2}x $;

(5) $ (\cot x)' = -\csc^{2}x $;

$$ \left(\sec x\right)^{\prime}=\sec x\tan x; $$

(7) $ (\csc x)' = -\csc x \cot x $;

(8) $ (a^{x})'=a^{x}\ln a $;

(9) $ (\mathrm{e}^{x})^{'}=\mathrm{e}^{x} $;

(10) $ (\log_{a}x)' = \frac{1}{x \ln a}; $

(11) $ (\ln|x|)^{\prime} = \frac{1}{x} $;

$ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}; $

(13) $ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}; $

(14) $ (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}; $

(15) $ (\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1 + x^2} $

双曲函数与反双曲函数是一类重要的函数，现将它们的导数公式推导出来.

例 11 求双曲函数 sh x, ch x, th x 的导数.

解 $ (\text{sh } x)' = \left( \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2} \right)^' = \frac{1}{2} (\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}) = \mathrm{ch} x; $

$$ \mathrm{(~c h~}x\mathrm{~)}^{\prime}=\left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\mathrm{(~e}^{x}-\mathrm{e}^{-x})=\mathrm{s h}x; $$

$$ \left(\mathrm{~t h~}x\right)^{\prime}=\left(\frac{\mathrm{s h}x}{\mathrm{c h}x}\right)^{\prime}=\frac{\left(\mathrm{~s h~}x\right)^{\prime}\mathrm{c h}x-\mathrm{s h}x\left(\mathrm{~c h~}x\right)^{\prime}}{\left(\mathrm{~c h~}x\right)^{2}}=\frac{\mathrm{c h}^{2}x-\mathrm{s h}^{2}x}{\mathrm{c h}^{2}x}=\frac{1}{\mathrm{c h}^{2}x}. $$

例 12 设 $ y=f(\sin^{2}x) $，其中 f 可导，求 $ \frac{dy}{dx} $.

解 $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime}\left(\sin^{2}x\right)\cdot\left(\sin^{2}x\right)^{\prime}=f^{\prime}\left(\sin^{2}x\right)\sin2x. $

例 13 求 $ y = x^{\sin x} $ （x > 0）的导数.

解 $ y' = \left( e^{\sin x \cdot \ln x} \right)' = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right). $

应该指出，有的初等函数在某些点处的导数不能由导数公式与求导法则求得，而只能按导数的定义直接去计算.

例 14 求初等函数 $ f(x) = \cos \sqrt[3]{x^2} $ 的导数.

解 $ f'(x) = (\cos\sqrt[3]{x^2})' = -\sin\sqrt[3]{x^2} \cdot (\sqrt[3]{x^2})' = -\frac{2\sin\sqrt[3]{x^2}}{3\sqrt[3]{x}} $.

显然，上式只在 $ x \neq 0 $ 的点处成立.

在点 x=0 处， $ f(x) $ 是否可导，必须按导数定义直接计算.

$$ f^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos\sqrt[3]{x^{2}}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}}{x}=0, $$

故

$$ f^{\prime}(x)=\{\begin{aligned}-\frac{2\sin\sqrt[3]{x^{2}}}{3\sqrt[3]{x}},&\quad x\neq0,\\ 0,&\quad x=0\end{aligned}. $$

为所求.

由本例可见，初等函数的导函数未必还是初等函数.

例 15 曲线 $ y=\frac{1}{\sqrt{x}} $ 的切线与 x 轴和 y 轴围成直角三角形，记切点的横坐标为 a，试求切线方程和此直角三角形的面积. 当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？

解 由 $ y=\frac{1}{\sqrt{x}} $，得 $ y'=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} $，则切点 $ P\left(a,\frac{1}{\sqrt{a}}\right) $ 处的切线方程为

$$ y-\frac{1}{\sqrt{a}}=-\frac{1}{2\sqrt{a^{3}}}\left(x-a\right). $$

切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 Q(3a, 0) 和 $ R\left(0, \frac{3}{2\sqrt{a}}\right) $. 于是， $ \triangle ORQ $ 的面积，如图 2-6 所示，为

$$ A=\frac{1}{2}\cdot3a\cdot\frac{3}{2\sqrt{a}}=\frac{9}{4}\sqrt{a}. $$

当切点沿 x 轴正方向趋于无穷远时，有

$$ \lim_{a\to+\infty}A=+\infty; $$

当切点沿 y 轴正方向趋于无穷远时，有

$$ \lim_{a\to0^{+}}A=0. $$

例16 设某产品的总成本函数为 $ c(x) = 400 + 3x + \frac{1}{2}x^{2} $，而需求函数 $ p = \frac{100}{\sqrt{x}} $，其中 x 为产量（假定等于需求量），p 为价格，试求：

（1）边际成本；（2）边际收益；（3）边际利润；（4）收益的价格弹性.

解 （1）边际成本为 $ \frac{\mathrm{d}c(x)}{\mathrm{d}x}=3+x $;

(2) 因收益 $ R(x) = px = 100\sqrt{x} $，故边际收益为

$$ \frac{\mathrm{d}R\left(x\right)}{\mathrm{d}x}=\frac{50}{\sqrt{x}}; $$

（3）因利润 $ L(x)=R(x)-c(x) $，故边际利润为

$$ \frac{\mathrm{d}L(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x}-\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}=\frac{50}{\sqrt{x}}-3-x; $$

（4）因收益 R=px，而由 $ p=\frac{100}{\sqrt{x}} $ 可知 $ x=\frac{100^{2}}{p^{2}} $，于是 $ R(p)=\frac{100^{2}}{p} $。故收益对价格的弹性为

$$ \eta=\frac{p}{R}\cdot\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}=\left(\frac{p}{100}\right)^{2}\left(-\frac{100^{2}}{p^{2}}\right)=-1. $$

习题2-2

1. 证明下列导数公式：

$$ \left(\cot x\right)^{\prime}=-\csc^{2}x; $$

(2) $ (\sec x)' = \sec x \tan x $.

1. 求下列函数的导数：

(1)

$$ y=2^{x}+\sqrt{x}\ln x; $$

$$ y=3\mathrm{e}^{x}\sin x; $$

$$ y=\frac{\ln x}{x}; $$

(5) $ y = x^{2} \ln x \cos x $; (6) $ y = x \tan x - 2 \sec x $;

$$ x=\frac{1}{1+\sqrt{t}}-\frac{1}{1-\sqrt{t}}; $$

(8) $ y = \frac{\arcsin x}{\arccos x} $

1. 求下列函数在给定点处的导数：

(1) $ f(t)=\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}} $，在点 t=4 处；

(2) $ \rho(\theta) = \theta \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta $，在点 $ \theta = \frac{\pi}{4} $ 处.

1. 求曲线 $ y=2\sin x+x^{2} $ 在横坐标 x=0 点处的切线方程和法线方程.

1. 求下列函数的反函数 $ x = f^{-1}(y) $ 的导数：

(I) $ y = x + e^{x} $;

$$ y=x+\ln x. $$

1. 求下列函数的导数：

(1) $ y=\sqrt{x+\sqrt{x}} $;

(2) $ y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $;

(3) $ y = e^{\arctan\sqrt{x}} $;

(4) $ y = 2^{\sin x} $;

(5) $ y = \sec^{2} x $;

(6) $ y = \ln[\ln^{2}(\ln^{3} x)] $;

(7) $ y = \left( \frac{b}{a} \right)^x + \left( \frac{x}{b} \right)^a $;

(8) $ y = e^{-2x} \sin(2x - 3) $;

(9) $ y = \sqrt{x^2 - a^2} - \arccos \frac{a}{x} $ ( $ x \gt a \gt 0 $); (10) $ y = \arcsin \sqrt{\frac{x}{x+1}} $.

1. 设 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 可导，求下列函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $

(1) $ y = f(e^x) $; (2) $ y = g(x^2) + f(\cos^2 x) $;

(3) $ y = f(e^x) e^{g(x)} $; (4) $ y = f[\ln(1 + e^{2x})] $.

1. 求下列函数的导数 $ f'(x) $:

(1) $ f(x)=\{\begin{array}{ll}\ln(1-x), & x\lt 0, \\ 0, & x=0, \\ -\sin x, & x\gt 0;\end{array}. $

(2) $ f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}, & x\neq0, \\ 1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & \text{其他}.\end{array}. $

1. 设函数 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处都不可导，举例说明函数 $ F(x)=f(x)+g(x) $ 与 $ G(x)=f(x)\cdot g(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可能可导，也可能不可导.

1. 求下列函数的导数：

(1) $ y = \ln \left( e^x + \sqrt{1 + e^{2x}} \right) $; (2) $ y = \left( \cos x \right)^{\sin x} $; (3) $ y = \ln \tan \frac{x}{2} - \cos x \ln \tan x $.

第三节 隐函数及参数方程确定的函数的导数

一、 隐函数的导数

用解析法表示的函数通常有两种表示方式，一种是未知函数可以明显的解出来，例如 $ y = x^2 + \sin\sqrt{x-1} $， $ y = x^{\cos x} \log_a x $ 等等，这种函数称为显函数；另一种是未知函数隐含在一个方程或方程组之中，例如由方程 $ 5x - 2y - 1 = 0 $ 可以确定 $ y $ 是 $ x $ 的函数，但这个函数并没有被明显的解出来，这种函数称为隐函数。

一般地，假设有方程 $ F(x, y) = 0 $，如果在某区间 I 上存在一个函数 $ y = f(x) $，当 $ x \in I $ 时，有 $ F(x, f(x)) \equiv 0 $，那么，称 $ y = f(x) $ 是 x 的由方程 $ F(x, y) = 0 $ 在 I 上所确定的隐函数.

在什么条件下，由方程 $ F(x, y) = 0 $ 可确定 y 是 x 的隐函数？如果可以确定 y 是 x 的隐函数，这个函数又具有哪些性质？例如连续性、可微性等等，我们将在以后讨论。这里只讨论假设由方程 $ F(x, y) = 0 $ 已确定 y 是 x 的隐函数，并且是可导的，该如何求它的导数。

值得注意的是，由方程确定的隐函数并不都能将它显化．例如 $ y + x - e^{y} = 0 $ 可以确定 y 是 x 的隐函数，但此隐函数就不能表成显函数．因此研究隐函数的求导方法是有意义的.

假设 $ y=f(x) $ 是由方程 $ F(x,y)=0 $ 所确定的隐函数. 且 $ y=f(x) $ 可导. 为了求 $ \frac{dy}{dx} $，把 $ y=f(x) $ 代入方程得恒等式

$$ F(x,f(x))\equiv0, $$

将上式两端同时对 x 求导.

由于左端是将 $ y = f(x) $ 代入 $ F(x, y) $ 得到复合函数，因此应该按复合函数的链式法则对 x 求导，关键是在求导过程中，必须认定 y 是 x 的函数 $ y = f(x) $。在两端同时对 x 求导后，再从关于 $ y' $ 方程中解出 $ y' $。下面通过例子说明隐函数的这种求导方法。

例1 设方程 $ xy - e^{x} + e^{y} = 0 $ 确定了函数 $ y = y(x) $，求 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} $.

解 注意到方程中 y 是 x 的隐函数，用 $ y=y(x) $ 代入方程得恒等式

$$ x\cdot y(x)-\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y(x)}\equiv0. $$

利用链式法则，将方程两端同时对自变量 x 求导：

$$ \gamma\left(x\right)+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{\gamma\left(x\right)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0, $$

由此解出 $ \frac{dy}{dx} $得

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{e}^{x}-y(x)}{\mathrm{e}^{y(x)}+x}=\frac{\mathrm{e}^{x}-y}{\mathrm{e}^{y}+x}, $$

当 x=0 时，由原方程得 y=0，于是

$$ \left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0}=\frac{\mathrm{e}^{0}-0}{\mathrm{e}^{0}+0}=1. $$

例2 求椭圆 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\neq0,b\neq0) $在点 $ \left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}b}{2}\right) $处的切线的斜率.

解 方程确定了 y 是 x 的函数，方程的两边对 x 求导，得

$$ \frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y}{b^{2}}y^{\prime}=0, $$

解出 $ y' $ 即得所求的导数

$$ y^{\prime}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}, $$

所以椭圆在点 $ \left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}b}{2}\right) $处切线的斜率：

$$ y^{\prime}\left|\begin{array}{l}x=\frac{a}{2}\\ y=\frac{\sqrt{3}b}{2}\end{array}=-\frac{b}{\sqrt{3}a}.\right. $$

一般地，在隐函数的导数表达式中既含 x 也含有 y，其中，y 是原方程确定的关于 x 的隐函数，因而导数表达式中的 x 与 y 必须满足原方程，利用这一点，有时可将求导结果简化.

例3 证明抛物线 $ \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} $（0<x<a）上任意点处的切线在两个坐标轴上截距之和等于a.

证 在抛物线上任取一点 $ (x_{0}, y_{0}) $，即 $ \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}} = \sqrt{a} $。求抛物线在点 $ (x_{0}, y_{0}) $ 处的切线的斜率 k。由隐函数的求导法则，有

$$ \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}y^{\prime}=0\ 或 \ y^{\prime}=-\sqrt{\frac{y}{x}}. $$

从而斜率 $ k = -\sqrt{\frac{y_{0}}{x_{0}}} $，在点 $ (x_{0}, y_{0}) $ 处的切线方程为

$$ y-y_{0}=-\sqrt{\frac{y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0}\right). $$

它在 x 轴与 y 轴上的截距分别为 $ x_{0}+\sqrt{x_{0}y_{0}} $ 与 $ y_{0}+\sqrt{x_{0}y_{0}} $ 。于是，二截距之和为 $ (x_{0}+\sqrt{x_{0}y_{0}})+(y_{0}+\sqrt{x_{0}y_{0}})=(\sqrt{x_{0}}+\sqrt{y_{0}})^{2}=(\sqrt{a})^{2}=a $ 。

例4 设方程 $ xy - \ln x = 1 $ 确定了隐函数 $ x = x(y) $. 试证：函数 $ x(y) $ 满足关系式

$$ x^{2}+(x y-1)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=0. $$

证 认定 $ xy - \ln x = 1 $ 中的 x 是关于 y 的函数，将恒等式两边对 y 求导，应用复合函数求导法则，得

$$ \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\cdot y+x\right)-\frac{1}{x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=0, $$

去分母，整理便可得

$$ x^{2}+(x y-1)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=0. $$

由此得证.

事实上，在方程 $ F(x, y) = 0 $ 中，视问题的实际需要只要将其中一个当作

自变量，则另一个就是因变量．若能确定隐函数，它们的函数关系就隐含于方程 $ F(x, y)=0 $ 之中.

二、 对数求导法

对某些函数直接求它的导数比较繁琐，这时可将它化为隐函数，用隐函数的求导法则求其导数，将显函数化为隐函数常用的方法是将等号两端取对数，称其为对数求导法.

例5 求 $ y=\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{x-a}} $ 的导数 $ y^{\prime} $,

解 将两端同时取对数：

$$ \ln\mid y\mid=\frac{2}{3}\ln\mid x\mid-\frac{1}{3}\ln\mid x-a\mid, $$

由隐函数的求导法则，得

$$ \frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-a}=\frac{x-2a}{3x(x-a)}, $$

即

$$ y^{\prime}=\frac{x-2a}{3x(x-a)}\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{x-a}}. $$

例6 设 $ y = x^{\cos x} (x \gt 0) $，求 $ y' $.

解 将两边取自然对数，即

$$ \ln y=\cos x\cdot\ln x. $$

方程两端同时对 x 求导：

$$ \frac{y^{\prime}}{y}=(-\sin x)\ln x+\frac{\cos x}{x}, $$

于是 $ y' = y\left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right) = x^{\cos x}\left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right) $.

对一般的幂指函数 $ y = u^{v}(u \gt 0) $，其中 u，v 都是 x 的函数，如果 $ u(x) $， $ v(x) $ 均可导，则可采用对数求导法。但也常将它写为指数函数的复合形式，然后求导更为灵活。

由

$$ y=x^{\cos x}=\mathrm{e}^{\cos x\ln x}, $$

所以

$$ y^{\prime}=\left(x^{\cos x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{\cos x\ln x}\left(-\sin x\cdot\ln x+\frac{\cos x}{x}\right)=x^{\cos x}\left(\frac{\cos x}{x}-\sin x\ln x\right). $$

例7 设 $ x^{y}-y^{x}=0 $，求 $ \frac{dy}{dx} $.

解 把方程写为

$$ x^{y}=y^{x}, $$

两边取对数，得

$$ y\ln\mid x\mid=x\ln\mid y\mid. $$

上式两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数，得

$$ y^{\prime}\ln\mid x\mid+\frac{y}{x}=\ln\mid y\mid+\frac{x}{y}y^{\prime}, $$

解出 $ y' $ 即为所求

$$ y^{\prime}=\frac{y(x\ln|y|-y)}{x(y\ln|x|-x)}. $$

三、 参数方程确定函数的导数

由平面解析几何知道，有些曲线用参数方程表示比较方便．由参数方程给出的平面曲线就是通过含有参数t的方程

$$ \{\begin{aligned}x&=\varphi(t),\\ y&=\psi(t)\end{aligned}.\quad(\alpha\leqslant t\leqslant\beta) $$

确定 y 是 x 的函数，我们称此函数 y 是由参数方程所确定的函数.

那么，如何求由参数方程所确定函数的导数．简单的方法是：消去参数t，确立x与y的直接函数关系式 $ y=f(x) $，再求导．但这样做有时很繁琐，下面介绍由参数方程直接求 $ \frac{dy}{dx} $的法则.

定理2.3.1 若 $ x=\varphi(t) $， $ y=\psi(t) $ 均可导，且 $ \varphi'(t)\neq0 $，又 $ x=\varphi(t) $ 存在反函数 $ t=\varphi^{-1}(x) $，则函数 $ y=y(x) $ 可导，且有

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}. $$

证 由 $ x=\varphi(t) $ 存在反函数，其反函数用 $ t=\varphi^{-1}(x) $ 表示. 而 y 是 t 的函数， $ y=\psi(t) $，将 $ t=\varphi^{-1}(x) $ 代入得到关系式 $ y=\psi(\varphi^{-1}(x)) $，即 y 通过 t 而成为 x 的函数. 由复合函数求导法则，得

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\psi^{\prime}(t)\frac{1}{\varphi^{\prime}(t)}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}, $$

或写成

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}. $$

这就是参数方程所确定函数的导数公式.

例 8 求参数方程 $ \{\begin{aligned}x&=\ln\sqrt{1+t^{2}},\\ y&=\arctan t\end{aligned}. $，所确定函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $.

解 由 $ \frac{dx}{dt}=\left[\frac{1}{2}\ln(1+t^{2})\right]^{\prime}=\frac{t}{1+t^{2}},\quad\frac{dy}{dt}=(\arctan t)^{\prime}=\frac{1}{1+t^{2}} $

可得

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{\frac{1}{1+t^{2}}}{\frac{t}{1+t^{2}}}=\frac{1}{t}. $$

例 9 已知炮弹运动的轨迹在不计空气阻力的情况下，可用参数方程表示为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=v_{1}t,}\\ {}&{{}y=v_{2}t-\frac{1}{2}g t^{2},}\\ \end{aligned}. $$

式中， $ v_{1} $， $ v_{2} $ 分别是初速度在水平与铅直方向的分量，g 是重力加速度，t 是时间．求炮弹在时刻 t 运动速度的大小与方向.

解 由运动学知，在时刻 t，速度的水平分量是水平位移 x 对时间 t 的导数，即

$$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_{1}, $$

速度的铅直分量是铅直位移 y 对时间 t 的导数即

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=v_{2}-gt. $$

于是，炮弹在时刻 t 运动速度的大小为

$$ |v(t)|=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2}}=\sqrt{v_{1}^{2}+\left(v_{2}-gt\right)^{2}}. $$

下面求速度 $ v(t) $ 的方向，即求运动轨迹的切线方向。设切线的倾角为 $ \alpha(t) $，由导数几何意义可知

$$ \tan\alpha=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}=\frac{v_{2}-gt}{v_{1}}. $$

由此可见（如图2-7），当炮弹刚射出时 $ (t=0) $，

$$ \tan\alpha\bigg|_{\iota=0}=\frac{v_{2}-gt}{v_{1}}\bigg|_{\iota=0}=\frac{v_{2}}{v_{1}}; $$

而令 $ \tan\alpha=0 $，由 $ \frac{v_{2}-gt}{v_{1}}=0 $，解得

$$ t=\frac{v_{2}-v_{1}}{g}, $$

这个时刻运动方向是水平的，也即炮弹飞行达到最高点的时刻.

例 10 已知椭圆的参数方程为

$$ \{\begin{aligned}{x=}&{{}a\cost,}\\ {y=}&{{}b\sint,}\\ \end{aligned}. $$

求椭圆在 $ t=\frac{\pi}{4} $ 相应点处的切线方程和法线方程.

解 $ t=\frac{\pi}{4} $ 对应椭圆上的点 $ M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a, \frac{\sqrt{2}}{2}b\right) $.

椭圆上点 M 处切线的斜率 $ k=\frac{dy}{dx}\bigg|_{M} $，于是

$$ k=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg|_{\iota=\frac{\pi}{4}}=\frac{\left(b\sin t\right)^{\prime}}{\left(a\cos t\right)^{\prime}}\bigg|_{\iota=\frac{\pi}{4}}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}\bigg|_{\iota=\frac{\pi}{4}}=-\frac{b}{a}, $$

所求切线方程：

$$ y-\frac{\sqrt{2}}{2}b=-\frac{b}{a}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}a\right). $$

法线方程：

$$ y-\frac{\sqrt{2}}{2}b=\frac{a}{b}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}a\right). $$

例 11 求心形线 $ r = a(1 + \cos\theta)(a \gt 0) $ 在 $ \theta = \frac{\pi}{2} $ 处的切线方程.

解 心形线方程由极坐标给出，可利用直角坐标与极坐标的关系，将曲线化为以极角 $ \theta $为参数的参数方程：

$$ \{\begin{aligned}{x=r\cos\theta=}&{{}a(1+\cos\theta)\cos\theta,}\\ {y=r\sin\theta=}&{{}a(1+\cos\theta)\sin\theta.}\\ \end{aligned}. $$

在 $ \theta=\frac{\pi}{2} $ 处，心形线上相应点切线的斜率为

$$ \left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{\theta=\frac{\pi}{2}}=\left.\frac{y^{\prime}\left(\theta\right)}{x^{\prime}\left(\theta\right)}\right|_{\theta=\frac{\pi}{2}}=\left.\frac{a\left(\cos\theta+\cos2\theta\right)}{-a\left(\sin\theta+\sin2\theta\right)}\right|_{\theta=\frac{\pi}{2}}=1, $$

$ \theta=\frac{\pi}{2} $对应心形线上的点为 $ (0,a) $，于是，心形线在点 $ (0,a) $处的切线方程为

$$ y-a=(x-0), $$

即 y=x+a 为所求.

四、 相关变化率

在应用中会碰到这样一类实际问题：变化过程中相互依赖的两个变量 x 和

y 都同时随另一个变量 t 而变化，即 $ x = x(t) $， $ y = y(t) $，而当两个变化率 $ \frac{dx}{dt} $ 与 $ \frac{dy}{dt} $ 分别存在时，它们之间也相互联系着，我们就把两个相互依赖的变化率 $ \frac{dx}{dt} $ 与 $ \frac{dy}{dt} $ 称为相关变化率。根据问题的实际意义，可以从其中已知的一个变化率求得另一个变化率。这类问题称之为相关变化率问题。

例 12 将水注入正圆锥形容器中，容器上顶圆的直径恰与容器高相等，都为 8 m，水注入容器的速度是 $ 4 \, m^3/min $。求当水深为 5 m 时，水面上升的速度。

解 如图 2-8 所示，当水深为 h 时，水面直径为 h，此时，水的体积为

$$ V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{2}\right)^{2}h=\frac{\pi}{12}h^{3}. $$

水的体积 V 和水面上升的高度 h 都同时随时间 t 而变化，上式两边对 t 求导，得

$$ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\frac{\pi}{12}\cdot3h^{2}\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=\frac{\pi}{4}h^{2}\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}, $$

由题设知 $ \frac{dV}{dt}=4\ m^{3}/min $，于是，当 $ h=5\ m $时

$$ \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=\frac{4}{25\pi}\cdot4=\frac{16}{25\pi}\quad(\mathrm{~m/min})~, $$

即当水深为5 m时，水面上升速率为 $ \frac{16}{25\pi}m/min $.

求解相关变化率问题，首先应根据问题的实际意义，建立起相关两个变量 x 和 y 的函数关系式 $ F(x, y) = 0 $。由于这两个相关变量同时都是另一变量 t 的函数，可将 $ F(x, y) = 0 $ 两边同时对 t 求导。注意到 x 是 t 的函数，y 也是 t 的函数（未必找出这两个函数式!），求导后得出的是关于两个变化率 $ \frac{dx}{dt} $ 与 $ \frac{dy}{dt} $ 的关系式。最后从这一关系式中不难由其中的一个求出另外一个变化率。

习题2-3

1. 求由下列函数所确定的隐函数 $ y(x) $ 的导数：

(1) $ xy = e^{x+y} $

(2) $ y = \cos(x + y) $;

(3) $ y\cos x=\sin(x-y) $.

1. 求下列函数的导数：

(1)

$$ y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}; $$

(2)

$$ \gamma=\left(\begin{array}{c c c}{\sin x}&{\cdot}&{\cos x}\end{array}\right)^{\tan x} $$

(3) $ y = \sqrt{x \sin x \sqrt{1 - e^x}} $; (4) $ (\cos x)^y = (\sin y)^x $.

1. 求椭圆 $ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 $在点 $ M(1,\frac{3}{2}) $处的切线方程和法线方程.

1. 已知曲线方程为 $ e^{xy}-2x-y=3 $，求此曲线在 y=0 所对应的点处的切线方程.

1. 求由下列参数方程所确定的函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $

(1)

$$ \{\begin{aligned}{x}&{{}=\frac{1}{1+t},}\\ {y}&{{}=(\frac{t}{1+t})^{2};}\\ \end{aligned}. $$

(2)

$$ \{\begin{aligned}{x}&{{}=\frac{1+\lnt}{t^{2}},}\\ {y}&{{}=\frac{3+2\lnt}{t};}\\ \end{aligned}. $$

(3)

$$ \{\begin{aligned}{x=\theta(1-\sin\theta)}\\ {y=\theta\cos\theta;}\\ \end{aligned}. $$

(4)

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=a t+b\;,}\\ {}&{{}y=\frac{1}{2}a t^{2}+b t.}\\ \end{aligned}. $$

1. 求下列曲线在给定点处的切线与法线方程：

(1) $ \{\begin{aligned}x&=a(t-\sin t),\\ y&=a(1-\cos t)\end{aligned}. $ 在 $ t=\frac{\pi}{2} $ 处； (2) $ \{\begin{aligned}x+t(1-t)&=0,\\ t\mathrm{e}^{y}+y+1&=0\end{aligned}. $ 在 t=0 处.

1. 证明：两条心形线 $ r=a(1+\cos\theta) $ 与 $ r=a(1-\cos\theta) $ 正交.

1. 已知参数方程 $ \{\begin{array}{l}x=at\cos t,\\y=at\sin t,\end{array}. $ 求 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac{\pi}{2}} $

1. 气球在距观察者 $ 500 \, m $ 处的地面上铅直上升，其上升速率为 $ 140 \, m/min $，当气球高度在 $ 500 \, m $ 时，问观察者视线的仰角增加率为多少？（观察者身高忽略不计）

1. 一圆柱体因侧面受压而伸长，其底半径 r 以变化率 2 cm/s 减少，其高 h 以变化率 5 cm/s 增加，求 r = 6 cm，h = 8 cm 时，其体积 V 的变化率.

第四节 高阶导数

我们知道，函数 $ y=f(x) $ 的导数 $ y'=f'(x) $ 仍然是 x 的函数，因此还可以再求导数．从而引入了高阶导数的定义．

定义 2.4.1 如果函数 $ y=f(x) $ 的导函数 $ f'(x) $ 在点 x 处可导，则称 $ f'(x) $ 在点 x 处的导数为函数 $ y=f(x) $ 在点 x 处的二阶导数，记作

$$ f^{\prime \prime}(x)\quad 或 \ y^{\prime \prime},\quad\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}},\quad\frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}x^{2}}, $$

即

$$ f^{\prime \prime}(x)=(f^{\prime}(x))^{\prime}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f^{\prime}(x+\Delta x)-f^{\prime}(x)}{\Delta x}. $$

类似地，如果函数 $ y=f(x) $ 的二阶导数 $ f''(x) $ 在点 x 处可导，则称 $ f''(x) $ 的导数为函数 $ y=f(x) $ 的三阶导数，记为

$$ f^{\prime \prime \prime}(x)\ 或 \ y^{\prime \prime \prime},\quad\frac{\mathrm{d}^{3}y}{\mathrm{d}x^{3}},\quad\frac{\mathrm{d}^{3}f}{\mathrm{d}x^{3}}. $$

一般地，如果函数 $ y=f(x) $ 的 n-1 阶导数在点 x 处可导，则称它的导数为函数 $ y=f(x) $ 的 n 阶导数，记为

$$ f^{\left(n\right)}\left(x\right) 或 y^{\left(n\right)},\quad\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}},\quad\frac{\mathrm{d}^{n}f}{\mathrm{d}x^{n}}. $$

二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数.

相应地，把函数 $ y=f(x) $ 的导数 $ f'(x) $ 称为一阶导数.

有时为了统一起见，也把函数本身称为零阶导数，记作

$$ f(x)=f^{(0)}(x). $$

在物理学中，二阶导数十分重要。设质点作直线运动，位置函数为 $ s = s(t) $，则 $ s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2} $ 就是质点在时刻 t 的加速度。

由函数的高阶导数的定义，求函数的 n 阶导数就是按求导法则和求导公式逐阶求导，直到 n 阶导数.

例1 设 $ y = \sin x $，求 $ y^{(n)} $ （其中 n 为正整数）.

解

$$ y^{\prime}=\left(\sin x\right)^{\prime}=\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) $$

$$ y^{\prime \prime}=\left[\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{\prime}=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\frac{2\pi}{2}\right) $$

$$ y^{\prime\prime\prime}=\left[\;\sin\left(x+\frac{2\pi}{2}\right)\;\right]^{\prime}=\cos\left(x+\frac{2\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)~, $$

$$ y^{(n)}=\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right). $$

类似地，可推得

$$ \left(\cos x\right)^{\left(n\right)}=\cos\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right). $$

例2 设 $ y=\ln(x+1) $，求 $ y^{(n)} $ （其中 n 为正整数）.

解

$$ y^{\prime}=\left[\ln\left(x+1\right)\right]^{\prime}=\frac{1}{x+1}=\left(x+1\right)^{-1}, $$

$$ y^{\prime \prime}=\left[\left(x+1\right)^{-1}\right]^{\prime}=\left(-1\right)\left(x+1\right)^{-2}, $$

$$ y^{\prime \prime}=\left[\left(-1\right)\left(x+1\right)^{-2}\right]^{\prime}=\left(-1\right)\left(-2\right)\left(x+1\right)^{-3}, $$

$$ y^{(n)}=\left(-1\right)\left(-2\right)\left(-3\right)\cdots\left[-\left(n-1\right)\right]\left(x+1\right)^{-n}=\left(-1\right)^{n}\frac{\left(n-1\right)!}{\left(1+x\right)^{n}}. $$

用类似方法，可推得以下公式：

(1) $ (x^{\mu})^{(n)} = \mu (\mu - 1)(\mu - 2) \cdots (\mu - n + 1) x^{\mu - n} $ (x > 0, $ \mu $ 为实数).

特别地，当 $ \mu=n $（正整数）时，有

$$ \left(x^{n}\right)^{(n)}=n!,{\quad\qquad}\left(x^{n}\right)^{(n+1)}=0,\quad\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)}=\frac{\left(-1\right)^{n}n!}{x^{n+1}}. $$

(2) $ (a^{x})^{(n+1)} = a^{x}(\ln a)^{n+1} (a \gt 0, a \neq 1) $,

特别地，有 $ (\mathrm{e}^{x})^{(n)}=\mathrm{e}^{x} $

以上两例可以看出，求函数的 n 阶导数的基本方法是先求出前二、三阶导数，然后找出规律，再运用归纳法得到 n 阶导数公式．在求高阶导数时，有以下运算法则：

（1）线性法则

设 $ \lambda $， $ \mu $ 为常数，函数 $ u(x) $， $ v(x) $ 均 n 阶可导，则有

$$ \left(\lambda u\pm\mu v\right)^{\left(n\right)}=\lambda u^{\left(n\right)}\pm\mu v^{\left(n\right)}. $$

（2）乘积法则——莱布尼茨公式

设函数 $ u(x) $， $ v(x) $ 均 n 阶可导，则有

$$ \begin{aligned}{}&{{}\left({{u}}v\right)^{\left(n\right)}={u}^{\left(n\right)}v+n{u}^{\left(n-1\right)}v^{\prime}+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}{u}^{\left(n-2\right)}v^{\prime\prime}+\cdots}\\ {}&{{}\qquad+\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}{u}^{\left(n-k\right)}v^{\left(k\right)}\cdots+u v^{\left(n\right)},}\\ \end{aligned} $$

这是两个函数乘积的 n 阶导数公式，称为莱布尼茨公式．如果把此公式右边的 u，v 看作 u，v 对 x 的零阶导数 $ u^{(0)} $， $ v^{(0)} $，那么莱布尼茨公式可简记为

$$ \left(\begin{array}{c}{u v}\\ \end{array}\right)^{\left(\begin{matrix}{n}\\ \end{matrix}\right)}=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{\boldmath~C~}_{n}^{k}u^{\left(\begin{matrix}{n-k}\\ \end{matrix}\right)}v^{\left(\begin{matrix}{k}\\ \end{matrix}\right)}. $$

例3 设 $ y=\frac{1}{x^{2}-1} $，求 $ y^{(n)} $

解 $ y=\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{(x-1)}-\frac{1}{x+1}\right] $

根据高阶导数的线性法则，可得

$$ \begin{align*}y^{(n)}&=\frac{1}{2}\bigg[\left(\frac{1}{x-1}\right)^{(n)}-\left(\frac{1}{x+1}\right)^{(n)}\bigg]=\frac{1}{2}\bigg[\frac{\left(-1\right)^{n} n!}{\left(x-1\right)^{n+1}}-\frac{\left(-1\right)^{n} n!}{\left(x+1\right)^{n+1}}\bigg]\\&=\frac{\left(-1\right)^{n} n!}{2}\bigg[\frac{1}{\left(x-1\right)^{n+1}}-\frac{1}{\left(x+1\right)^{n+1}}\bigg].\end{align*} $$

例4 设 $ y=x^{2}\cos ax $，求 $ y^{(50)} $

解 设 $ u = \cos ax $， $ v = x^{2} $，则

$$ u^{(k)}=a^{k}\cos\left(a x+\frac{k\pi}{2}\right)\qquad\left(k=1,2,\cdots,50\right), $$

$$ v^{\prime}=2x,\quad v^{\prime \prime}=2,\quad v^{(k)}=0\qquad(k=3,\quad4\quad,\quad\cdots,\quad50)~, $$

代入莱布尼茨公式，除前三项外，其余各项为零，所以

$$ \begin{aligned}\gamma^{(50)}&=\left(x^{2}\cos ax\right)^{(50)}\\&=x^{2}a^{50}\cos\left(ax+\frac{50\pi}{2}\right)+50.2x\cdot a^{49}\cos\left(ax+\frac{49\pi}{2}\right)\\&\quad+\frac{50.49}{2!}\cdot2\cdot a^{48}\cos\left(ax+\frac{48\pi}{2}\right)\\&=a^{48}\left[\left(2450-a^{2}x^{2}\right)\cos ax-100ax\sin ax\right].\end{aligned} $$

例 5 $ y=\arctan x $，求 $ y^{(n)}(0) $.

解 由 $ y=\arctan x $，有 $ y'=\frac{1}{1+x^{2}} $，可写为

$$ y^{\prime}\left(1+x^{2}\right)=1. $$

对于上式两端取 n 阶导数，利用莱布尼茨公式，有

$$ \left(1+x^{2}\right)y^{\left(n+1\right)}+2n x y^{\left(n\right)}+n\left(n-1\right)y^{\left(n-1\right)}=0, $$

令 x=0，得 $ y^{(n+1)}(0)=-n(n-1)y^{(n-1)}(0) $.

由 $ y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=1,\quad y^{\prime\prime}(0)=0 $ 利用递推公式得

$$ y^{(2m)}\quad(0)=0\qquad(m=1,~2,~3,~\cdots)~, $$

$$ y^{(2m+1)}(0)=\left(-1\right)^{m}(2m)!\qquad(m=1,2,3,\cdots). $$

例6 求方程 $ xe^{y}-y+e=0 $ 所确定的隐函数 $ y(x) $ 的二阶导数 $ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $

解 将方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数，应用复合函数求导法则，得

$$ \mathrm{e}^{y}+x\mathrm{e}^{y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0, $$

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{e}^{y}}{1-x\mathrm{e}^{y}}. $$

再将上式两边对 x 求导，注意到其中的 y 是 x 的函数，可得

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{y}y^{\prime}(1-x\mathrm{e}^{y})-\mathrm{e}^{y}(-x\mathrm{e}^{y}y^{\prime})}{(1-x\mathrm{e}^{y})^{2}}, $$

把 $ y' = \frac{e^{y}}{1 - xe^{y}} $ 代入，得

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{2y}(2-x\mathrm{e}^{y})}{(1-x\mathrm{e}^{y})^{3}}. $$

应该指出，求隐函数 $ y = y(x) $ 的二阶导数，可在题设方程

$$ x\mathrm{e}^{y}-y+\mathrm{e}=0 $$

两边对 x 求导，在所得 $ e^{y} + xe^{y}y' - y' = 0 $ 的基础上，两边再对 x 求导，得

$$ \mathrm{e}^{y}y^{\prime}+\mathrm{e}^{y}y^{\prime}+x\mathrm{e}^{y}\left(y^{\prime}\right)^{2}+x\mathrm{e}^{y}y^{\prime\prime}-y^{\prime\prime}=0, $$

联立以上三个式子，解出

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{2y}(2-x\mathrm{e}^{y})}{(1-x\mathrm{e}^{y})^{3}}. $$

例7 设函数 $ y = y(x) $ 是由参数方程 $ \{\begin{aligned} x = a(t - \sin t), \\ y = a(1 - \cos t) \end{aligned}. $ 所确定的函数，求 $ \left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=a\pi} $.

解 $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\cot\left(\frac{t}{2}\right) $，于是，可以得出

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=a(t-\sint),}\\ {}&{{}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^{\prime}=\operatorname{c o t}(\frac{t}{2}).}\\ \end{aligned}. $$

这是一个新的参数方程所确定的函数。再按参数方程求导方法，有

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\!=\!\frac{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{\prime}}{x^{\prime}\left(t\right)}=\frac{\left(\operatorname{c o t}\frac{t}{2}\right)^{\prime}}{\left[a\left(t-\sint\right)\right]^{\prime}}\!=\!\frac{-\operatorname{c s c}^{2}\frac{t}{2}\cdot\frac{1}{2}}{a\left(1-\cost\right)}\!=\!-\frac{1}{a\left(1-\cost\right){}^{2}}. $$

而 $ x=a\pi $，对应于 $ t=\pi $，因此

$$ \left.\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\right|_{x=a\pi}=-\frac{1}{a\left(1-\cos t\right)^{2}}\bigg|_{t=\pi}=-\frac{1}{4a}. $$

本例求参数方程所确定函数的二阶导数的方法，可推广到一般情形中去.

设 $ x=\varphi(t) $， $ y=\psi(t) $ 具有二阶导数，于是

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^{\prime}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}, $$

则有

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\left[\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}\right]^{\prime}}{\varphi^{\prime}(t)}=\frac{\psi^{\prime\prime}(t)\varphi^{\prime}(t)-\psi^{\prime}(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^{3}}. $$

上式可作为参数方程所确定函数求二阶导数的公式，但切不可死记硬背公式，重要的是在理解原理的基础上掌握方法.

1. 求下列函数的二阶导数：

$$ (1)\quad y=\mathrm{e}^{-x}\sin x;\quad(2)\quad y=\sqrt{a^{2}-x^{2}};\quad(3)\quad y=\tan x; $$

(4)

$$ y=\left(1+x^{2}\right)\arctan x; $$

(5)

$$ y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}； $$

(6)

$$ y=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right). $$

1. 若函数 $ f(x) $ 二阶可导，求下列函数的二阶导数 $ \frac{d^2y}{dx^2} $:

(1) $ y = f(x^2) $;

(2) $ y = \ln[f(x)] $;

(3) $ y = \sqrt{f(x)} $;

(4) $ y = xf\left(\frac{1}{x}\right) $.

1. 已知 $ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{y'} $，证明：(1) $ \frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{y''}{(y')^3} $; (2) $ \frac{d^3x}{dy^3}=\frac{3(y'')^2-y'y''}{(y')^5} $.

1. 验证函数 $ y = \sqrt{2x - x^{2}} $ 满足关系式： $ y^{3}y'' + 1 = 0 $.

1. 求下列函数 n 阶导数的一般表达式：

(1) $ y = \sin^{2} x $; (2) $ y = \frac{1 - x}{1 + x} $;

(3) $ y = \frac{1}{(a+x)(b+x)} \quad (a \neq b) $; (4) $ y = e^{x} \sin x $

1. 求下列函数所指定阶的导数：

(1) $ y = e^x \cos x $ 求 $ y^{(4)} $

(2) $ y = x^2 \sin 2x $ 求 $ y^{(50)} $

1. 求由下列方程所确定的隐函数 $ y(x) $ 的二阶导数：

1. 求出下列方程所确定的隐函数 $ y(x) $ 的二阶导数

(1) $ x^{2}-xy+y^{2}=1 $; (2) $ y=\tan(x+y) $;

(3) $ x - y + \frac{1}{2}\sin y = 0 $; (4) $ x + \arcsin y = y $.

1. 设 $ f(x) $ 具有 n 阶导数， $ y=f(ax+b) $，证明： $ \frac{d^n y}{dx^n}=a^n f^{(n)}(ax+b) $.

1. 求由下列参数方程所确定函数的二阶导数 $ \frac{d^2y}{dx^2} $;

(1) $ \begin{cases} x=t^3-3t, \\ y=2t^3-3t^2-12t; \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x=\ln(1+t^2), \\ y=t-\arctan t; \end{cases} $ (3) $ \begin{cases} x=at\cos t, \\ y=at\sin t; \end{cases} $

(4) $ \{\begin{aligned}x&=f^{\prime}(t),\\ y&=tf^{\prime}(t)-f(t)\end{aligned}. $ （其中 $ f^{\prime\prime}(t) $ 存在且不等于零）.

1. 设 $ f(x)=\{\begin{aligned}e^{x},&\quad x\lt 0,\\ax^{2}+bx+c,&\quad x\geqslant0\end{aligned}. $ 且 $ f''(0) $ 存在，试确定常数 a, b, c.

第五节 函数的微分

微分是通过研究函数增量而引出的数学概念．与导数有着及其密切的关系．微分的方法——局部线性化，是数值逼近的基本思想方法，具有重要的理论意义和实际应用价值.

一、 微分的概念

对于线性函数 $ y=f(x)=kx+b $，当自变量在点 $ x_{0} $ 处有增量 $ \Delta x $ 时，相应地，函数有增量

$$ \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\left[\begin{array}{l}k(x_{0}+\Delta x)+b\end{array}\right]-(kx_{0}+b)=k\cdot\Delta x. $$

可以看出： $ \Delta y $ 是关于 $ \Delta x $ 的齐次线性函数，其表达形式简单；而且常数 k 恰好为直线 $ y = kx + b $ 的斜率（也即导数值 $ f'(x_0) $），这时 $ \Delta y $ 的计算简便快捷。

然而对大量的非线性函数而言，计算函数的增量较为麻烦，有些甚至十分困难．下面通过对具体例子的分析，寻求计算函数增量近似值的好方法.

$$ x_{()} $$

$$ x_{0} $$

$$ x_{0}+ $$

$$ \Delta x $$

我们知道，正方体的体积 $ V=x^{3} $，当棱长由 $ x_{0} $ 变到 $ x_{0}+\Delta x $ 时，正方体体积的增量为

$$ \Delta V=\left(x_{0}+\Delta x\right)^{3}-x_{0}^{3}=3x_{0}^{2}\cdot\Delta x+3x_{0}\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta x\right)^{3}, $$

体积的增量 $ \Delta V $ 可以分为两部分之和，其中第一部分 $ 3x_0^2 \cdot \Delta x $，它是关于 $ \Delta x $ 的线性函数；第二部分 $ 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 $ 是关于 $ \Delta x $ 的三次多项式。并且，当 $ \Delta x \to 0 $ 时，第二部分是较 $ \Delta x $ 的高阶无穷小，即体积增量可表示为

$$ \Delta V=3x_{0}^{2}\mathrm{\boldmath~\cdot~}\Delta x+o\left(\Delta x\right). $$

因此，当棱长在 $ x_0 $ 只有微小的改变，即 $ |\Delta x| $ 很小时，其体积 $ V $ 的增量 $ \Delta V $ 可用第一部分来近似代替，即

$$ \Delta V\approx3x_{0}^{2}\cdot\Delta x. $$

因此，在金属块只受温度变化的影响，棱长 $ x_0 $ 只有微小的增量，即 $ \Delta x \to 0 $ 时，体积的增量 $ \Delta V $ 约等于 $ \Delta x $ 的 $ 3x_0^2 $ 倍。

通过上述实例对函数增量进行的具体分析，必须指出以下几点：

（1）近似计算式 $ 3x_{0}^{2}\cdot\Delta x $，只是关于 $ \Delta x $ 的线性函数，是最为简单的一类函数表达式；

（2）不仅表达式简单，实际计算也简便快捷。因为我们发现

$$ V^{\prime}=\left(x^{3}\right)^{\prime}=3x^{2}, $$

即有

$$ \Delta V\approx V^{\prime}(x_{0})\mathrm{\boldmath~\cdot~}\Delta x; $$

（3）虽是近似计算式，但具有特性：当 $ \Delta x \to 0 $ 时，略去的只是比 $ \Delta x $ 高阶的无穷小．在 $ |\Delta x| $ 较小时，已具有一定的精确度.

把 $ 3x_0^2 \cdot \Delta x $ 称为函数增量 $ \Delta V $ 关于 $ \Delta x $ 的线性主要部分，简称线性主部，它与自变量的增量 $ \Delta x $ 成正比，且比例系数正好是函数 $ V = x^3 $ 在 $ x_0 $ 处的导数值 $ V'(x_0) $；以它作为函数增量 $ \Delta V $ 的近似值，误差是较 $ \Delta x $ 高阶的无穷小量。

撇开实例中问题的具体意义，抽象出数学的本质，在数学上，由此引入微分的定义：

定义 2.5.1 设函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 的某邻域内有定义，当 x 在点 $ x_{0} $ 处获得增量 $ \Delta x $ 时，如果相应的函数增量 $ \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) $ 可以表示为

$$ \Delta y=A\;\cdot\;\Delta x+o\left(\Delta x\right), $$

其中，常数 A 与 $ \Delta x $ 无关（仅与 $ x_0 $ 有关），而 $ o(\Delta x) $ 是较 $ \Delta x(\Delta x \to 0) $ 的高阶无穷小，则称函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可微。且称 $ A \cdot \Delta x $ 为函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处对应于自变量增量 $ \Delta x $ 的微分，记作 $ \mathrm{d}y $，即

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{A}\cdot\Delta\boldsymbol{x}, $$

也常把 $ A \cdot \Delta x $ ( $ A \neq 0 $) 称为函数增量 $ \Delta y $ 的线性主部.

在 $ \Delta y $ 的分解式中，由于其值主要取决于线性主部 $ A \cdot \Delta x $，因此，当 $ \Delta x \to 0 $ 时，我们可以写

$$ \Delta y\approx\mathrm{d}y=A\mathrm{\cdot}\Delta x. $$

二、 函数可微性与可导性之间的关系

并不是任意一个函数都是可微的．下面定理给出函数可微的条件，且同时给出求函数微分的方法.

定理2.5.1 函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可微的充分必要条件是：函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可导，且当 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可微时，其微分是

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\ \Delta x. $$

证 必要性：设函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可微，由微分定义有

$$ \Delta y=A\cdot\Delta x+o\left(\Delta x\right), $$

式中， $ A $ 是与 $ \Delta x $ 无关的常数，上式两边同时除以 $ \Delta x (\Delta x \neq 0) $，得

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o\left(\Delta x\right)}{\Delta x}. $$

于是，当 $ \Delta x \to 0 $ 时，由上式可得

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\left(A+\frac{o\left(\Delta x\right)}{\Delta x}\right)=A, $$

$$ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=A. $$

亦即

所以，如果函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可微，那么 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可导，且

$$ f^{\prime}(x_{0})=A. $$

充分性：设函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处有导数 $ f^{\prime}(x_{0}) $，即

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_{0}\right), $$

也就是

$$ \lim_{\Delta x\to0}\biggl(\frac{\Delta y}{\Delta x}-f^{\prime}\left(x_{0}\right)\biggr)=0, $$

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y-f^{\prime}(x_0)\Delta x}{\Delta x}=0. $$

故

$$ \Delta y{-}f^{\prime}\left(x_{0}\right)\Delta x=o\left(\Delta x\right)\qquad\quad\left(\Delta x{\longrightarrow}0\right), $$

即

$$ \Delta y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\Delta x+o\left(\Delta x\right)\qquad\quad\left(\Delta x\to0\right). $$

由微分定义可知，函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可微。其微分为

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\Delta x. $$

这个定理说明，函数 $ y=f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可微与可导是等价的.

如果函数 $ y=f(x) $ 在某区间的每一点处都可微，则说函数 $ y=f(x) $ 在该区间可微。函数 $ y=f(x) $ 在任意点 x 处的微分，称为函数的微分，记作 $ \mathrm{d}y $ 或 $ \mathrm{d}f(x) $，即

$$ \mathrm{d}f(x)=f^{\prime}(x)\Delta x. $$

对于特殊的函数 y=x，因为 $ y'=1 $，所以

$$ \mathrm{d}y=\mathrm{d}x=1\cdot\Delta x, $$

把 x 看成是函数时，它的微分就是自变量的改变量．我们定义自变量的微分就是自变量的改变量．因此有

$$ \mathrm{d}x=\Delta x. $$

于是函数 $ y=f(x) $ 的微分 dy 又可表示为

$$ \mathrm{d}f(x)=f^{\prime}(x)\mathrm{d}x\mathrm{ 或 }\mathrm{d}y=f^{\prime}(x)\mathrm{d}x, $$

从而有

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime}\left(x\right). $$

由此可见，在引进微分之后，作为整体的导数记号 $ \frac{dy}{dx} $，可以看成是函数微分 dy 与自变量微分 dx 之商，故导数 $ \frac{dy}{dx} $也称为微商，即有

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{f^{\prime}(x)\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=f^{\prime}(x). $$

把导数当作分式来处理，这将给运算带来方便。通常把有关导数与微分的运算统称为微分法。

例1 当 x=10， $ \Delta x=0.1 $ 时求函数 $ y=f(x)=x^{3} $ 的增量 $ \Delta y $ 与微分 $ \mathrm{d}y $:

解 函数在点 x 处的增量为

$$ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\left(x+\Delta x\right)^{3}-x^{3}=3x^{2}\Delta x+3x\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta x\right)^{3}, $$

函数的微分为

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}\left(x\right)\Delta x=3x^{2}\cdot\Delta x=3x^{2}\mathrm{d}x. $$

当 x=10， $ \Delta x=0.1 $ 时，

$$ \Delta y=300\times0.1+(30\times0.1^{2}+0.1^{3})=30.301, $$

$$ \mathrm{d}y=300\times0.1=30. $$

此处如果用 dy 近似代替 $ \Delta y $，所产生的误差为 0.301.

例2 求函数 $ y=f(x)=\arctan x $ 的微分.

解 $ \mathrm{d}y=f^{\prime}(x)\mathrm{d}x=(\arctan x)^{\prime}\mathrm{d}x=\frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x $，即

$$ \arctan x=\frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x. $$

三、 微分基本公式和运算法则

从微分与导数的关系

$$ \mathrm{d}f(x)=f^{\prime}(x)\mathrm{d}x $$

可以看出，要计算函数的微分，只要计算出该函数的导数，再乘自变量的微分．因此，由导数公式和求导法则就可以得到相应的微分公式和微分法则.

1. 基本初等函数的微分公式

由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，现列出表2-1：

1. 函数和、差、积、商的微分法则

由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则.

现在来证明函数乘积的微分法则.

设 $ u = u(x) $， $ v = v(x) $ 均可微，则

$$ \mathrm{d}\left(u v\right)=\left(u v\right)^{\prime}\mathrm{d}x=\left(u^{\prime}v+u v^{\prime}\right)\mathrm{d}x=u^{\prime}v\mathrm{d}x+u v^{\prime}\mathrm{d}x, $$

而

$$ u^{\prime}\mathrm{d}x=\mathrm{d}u,\quad v^{\prime}\mathrm{d}x=\mathrm{d}v, $$

所以

$$ \mathrm{d}\left(uv\right)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v. $$

其他法则类似可证.

为了便于对照，现列出表2-2：

1. 复合函数的微分法则

由复合函数的求导法则，可推出相应的微分法则.

设 $ y=f(u) $， $ u=\varphi(x) $ 均可微，则复合函数 $ y=f(\varphi(x)) $ 的微分为

$$ \mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=f^{\prime}(u)\varphi^{\prime}(x)\mathrm{d}x. $$

而

$$ \varphi^{\prime}(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}u, $$

所以，复合函数 $ y=f(\varphi(x)) $ 的微分公式也可写成

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}\left(u\right)\mathrm{d}u. $$

由此可见，无论 u 是自变量还是中间变量，函数 $ y=f(u) $ 的微分总可保持同一形式：

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}\left(u\right)\mathrm{d}u. $$

这一性质称为一阶微分的形式不变性．但需注意，u 为自变量时， $ du = \Delta u $；而 u 为函数时，du 和 $ \Delta u $ 一般来说是不同的.

利用这一性质可以较方便的求解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.

例3 求函数 $ y = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) $ 的微分.

解 令 $ u = x + \sqrt{1 + x^{2}} $ 则 $ y = \ln u $，于是

$$ \mathrm{d}y=\frac{1}{u}\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x+\mathrm{d}\sqrt{1+x^{2}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^{2}}}. $$

例4 设函数 $ y(x) $ 由方程 $ xy = e^{x+y} $ 所确定，利用微分运算求导数 $ \frac{dy}{dx} $.

解 将方程两边分别微分

$$ \mathrm{d}\left(x y\right)=\mathrm{d}\mathrm{e}^{x+y}, $$

$$ y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=\mathrm{e}^{x+y}\mathrm{d}(x+y), $$

$$ y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=\mathrm{e}^{x+y}\left(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y\right), $$

移项整理得

$$ \left(x-\mathrm{e}^{x+y}\right)\mathrm{d}y=\left(\mathrm{e}^{x+y}-y\right)\mathrm{d}x, $$

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{e}^{x+y}-y}{x-\mathrm{e}^{x+y}}. $$

可利用题设等式化简，得

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y(x-1)}{x(1-y)}. $$

四、 函数的局部线性化

为了对微分有直观的了解，我们利用几何图形来说明函数微分的意义，进

而阐述函数局部线性化的思想方法.

设函数 $ y=f(x) $ 的图形如图2-9所示，过曲线上点 $ M(x_{0}, y_{0}) $ 的切线为 MP，它的倾角为 $ \alpha $。我们知道，导数 $ f'(x_{0}) $ 就是切线 MP 的斜率，即

$$ \tan\alpha=f^{\prime}\left(x_{0}\right). $$

当自变量 x 在 $ x_{0} $ 处有增量 $ \Delta x $ 时，函数相应的增量 $ \Delta y = QN $。而在点 $ M(x_{0}, y_{0}) $ 处

切线 MP 上纵坐标的增量 $ QP = \tan \alpha \cdot MQ = f'(x_0) \Delta x = dy $.

由此可见，函数 $ y=f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处的微分 dy 就是曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ M(x_{0}, y_{0}) $ 处的切线上纵坐标对应于 $ \Delta x $ 的增量。这就是微分的几何意义。

所以，当 $ \left|\Delta x\right| $很小（即 $ |x-x_0| $很小）时，用 $ dy $近似代替 $ \Delta y $所产生的误差 $ |\Delta y-dy| $（在图形上就是线段PN的长）要比 $ |\Delta x| $小得多。因此，当 $ |\Delta x| $很小时，在切点M的附近，切线逼近于曲线。这样就可以用切线（直线）段

$$ y=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) $$

近似代替曲线段 $ y=f(x) $，即用线性函数近似代替非线性函数

$$ f(x)\approx f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}). $$

这就是函数局部线性化的思想方法.

例5 把函数 $ f(x)=\sqrt{1+x} $ 在 x=1 的局部线性化.

解 当 x=1 时， $ f(1)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} $；由 $ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} $，有

$$ f^{\prime}(1)=\frac{1}{2\sqrt{2}}; $$

由局部线性化表达式

$$ f(x)\approx f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) $$

可知，在 x=1 附近，函数 $ f(x)=\sqrt{1+x} $ 可用线性函数（切线）

$$ L(x)=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}(x-1) $$

近似代替.

例6 计算 $ \arctan 1.002 $ 的近似值.

解 设 $ f(x) = \arctan x $，取 $ x_0 = 1 $， $ \Delta x = 0.002 $，有 $ |\Delta x| = |0.002| $ 较小，由

$$ \arctan x\approx\arctan x_{0}+\frac{1}{1+x_{0}^{2}}\left(x-x_{0}\right) $$

可得 $ \arctan 1.002 \approx \arctan 1 + \frac{1}{2} \times 0.002 = \frac{\pi}{4} + 0.001 \approx 0.7864 $

在函数 $ f(x) $ 局部线性化表达式

$$ f(x)\approx f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) $$

中，如果取 $ x_{0}=0 $，那么当 $ |x| $ 很小时，有

$$ f(x)\approx f(0)+f^{\prime}(0)x. $$

利用此式可以推出常用的几个线性近似公式：

(1) $ \mathrm{e}^{x} \approx 1 + x $; (2) $ \ln(1 + x) \approx x $;

（3） $ (1+x)^{a}\approx1+\alpha x $ （ $ \alpha $为常数）；（4） $ \sin x\approx x $ （x用弧度表示）；

(5) $ \tan x \approx x $ (x用弧度表示).

下面证明公式（2），其余类似可证.

设 $ f(x)=\ln(1+x) $，则 $ f'(x)=\frac{1}{1+x} $，有 $ f'(0)=1 $， $ f(0)=0 $，代入

$$ f(x)\approx f(0)+f^{\prime}(0)x, $$

于是，在 $ \left|x\right| $很小时（即在x=0的邻近）可得近似公式

$$ \ln(1+x)\approx x. $$

五、 高阶微分

我们知道，函数 $ y=f(x) $ 的微分

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}(x)\mathrm{d}x $$

应是 x 的函数. 而其中 $ dx = \Delta x $ 是与 x 无关的，即 $ dx $ 是独立的. 因此，当函数 $ y = f(x) $ 二阶可导时，还可以对微分 $ dy $ 再求它的微分，即有

$$ \mathrm{d}\left(\mathrm{d}y\right)=\mathrm{d}\left[f^{\prime}\left(x\right)\mathrm{d}x\right]=\mathrm{d}\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]\mathrm{d}x=\left[f^{\prime \prime}\left(x\right)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}x=f^{\prime \prime}\left(x\right)\left(\mathrm{d}x\right)^{2}, $$

称它为函数 $ y=f(x) $ 的二阶微分，记作 $ d^{2}y $ 或 $ d^{2}f $.

若把 $ (dx)^{2} $ 记作 $ dx^{2} $，则有

$$ \mathrm{d}^{2}y=f^{\prime \prime}(x)\mathrm{d}x^{2}, $$

此时，也称函数 $ y=f(x) $ 二阶可微.

一般地，n 阶微分是 n-1 阶微分的微分，记作 $ d^n y $，即

$$ \mathrm{d}^{n}y=\mathrm{d}\left[\mathrm{d}^{n-1}y\right]=f^{\left(n\right)}\left(x\right)\mathrm{d}x^{n}. $$

若把上式写作

$$ \frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}}=f^{(n)}(x), $$

这恰好与 n 阶导数的记号一致，二阶与二阶以上的微分称为高阶微分.

一阶微分具有微分形式不变性，但对于高阶微分来说，没有微分形式不变性。应当注意这一重要区别。

事实上，设函数 $ y=f(u) $，而 $ u=\varphi(x) $，根据一阶微分的形式不变性。有

$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}(u)\mathrm{d}u. $$

由于 $ \mathrm{d}u=\varphi'(x)\mathrm{d}x $ 是 x 的函数，若用乘积的微分法则，再求微分时应有

$$ \begin{align*}\mathrm{d}^{2}y=&\mathrm{d}\left(f^{\prime}\left(u\right)\mathrm{d}u\right)=\mathrm{d}\left(f^{\prime}\left(u\right)\right)\mathrm{d}u+f^{\prime}\left(u\right)\mathrm{d}\left(\mathrm{d}u\right)\\=&f^{\prime \prime}\left(u\right)\left(\mathrm{d}u\right)^{2}+f^{\prime}\left(u\right)\mathrm{d}^{2}u=f^{\prime \prime}\left(u\right)\mathrm{d}u^{2}+f^{\prime}\left(u\right)\mathrm{d}^{2}u.\end{align*} $$

一般情况下，对于中间变量 u 而言， $ \mathrm{d}^{2}u\neq0 $，故

$$ \mathrm{d}^{2}y\neq f^{\prime \prime}(u)\mathrm{d}u^{2}, $$

也就是说，对高阶微分，不存在微分形式不变性.

例7 设 $ y=f(u)=\ln u $，而 $ u=\varphi(x)=\sin x $，求 $ \mathrm{d}^{2}y $

解 方法一 由 $ y = \ln \sin x $，可得 $ y'' = -\csc^{2}x $，所以

$$ \mathrm{d}^{2}\gamma=y^{\prime \prime}\mathrm{d}x^{2}=-\csc^{2}x\mathrm{d}x^{2}. $$

方法二 $ dy = y'_{x} dx = \cot x dx $，于是

$$ \mathrm{d}^{2}y=\mathrm{d}\left(\cot x\mathrm{d}x\right)=\mathrm{d}\left(\cot x\right)\mathrm{d}x=\left(-\csc^{2}x\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x=-\csc^{2}x\mathrm{d}x^{2}. $$

当然也可以直接套用复合函数的二阶微分公式. 由于 $ f'(u)=\frac{1}{u} $, $ f''(u)=-\frac{1}{u^2} $, 而

$$ \mathrm{d}u=\mathrm{d}\sin x=\cos x\mathrm{d}x,\quad\mathrm{d}^{2}u=-\sin x\mathrm{d}x^{2}, $$

所以 $ \mathrm{d}^{2}y = f''(u)(du)^{2} + f'(u)d^{2}u = -\frac{1}{u^{2}}(\cos xdx)^{2} + \frac{1}{u}(-\sin xdx^{2}) $

$$ \begin{aligned}&=-\frac{1}{\sin^{2}x}(\cos^{2}x\mathrm{d}x^{2})+\frac{1}{\sin x}(-\sin x\mathrm{d}x^{2})=-\cot^{2}x\mathrm{d}x^{2}-\mathrm{d}x^{2}\\&=-\left(\cot^{2}x+1\right)\mathrm{d}x^{2}=-\csc^{2}x\mathrm{d}x^{2}.\end{aligned} $$

注意下面的解法是错误的：

$$ \mathrm{d}^{2}y=f^{\prime \prime}(u)\mathrm{d}u^{2}=-\frac{1}{u^{2}}(\cos x\mathrm{d}x)^{2}=-\frac{1}{\sin^{2}x}(\cos^{2}x\mathrm{d}x^{2})=-\cot^{2}x\mathrm{d}x^{2}. $$

错误在于 u 不是自变量，而是中间变量，高阶微分不具备形式不变性，上式第一个等号就不成立.

六、 微分在实际中的应用

对于线性函数 $ y = kx + b $； $ \Delta y = \mathrm{d}y = k\mathrm{d}x $，而对于可导的非线性函数 $ y = f(x) $，在定点 $ x_0 $ 处， $ \Delta y = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x) $，这里 $ \Delta y $ 并非随 $ \Delta x $ 均匀变化，而微分 $ \mathrm{d}y = f'(x_0) \Delta x $，可见微分 $ \mathrm{d}y $ 随 $ \Delta x $ 均匀变化。利用微分的思想方法，可以将中学物理、化学、几何、经济等方面均匀变化的简单规律推广到非均匀变化的更一般的情形。现举例说明微分在实际应用中的意义。

用微分近似代替函数增量，本质上是将非线性函数在局部用线性函数来逼近，而线性函数均匀变化，故也可以说是用均匀变化来近似代替非均匀变化.

（1）运动学中，若质点作匀速运动，速度为 $ v_{0} $，则在一段长为 $ \Delta t $ 的时间内，质点所经过的路程为 $ \Delta s = v_{0} \cdot \Delta t $（路程 = 速度 × 时间）.

对于变速运动，位置函数 $ s = s(t) $ 是非线性函数，从 $ t_0 $ 到 $ t_0 + \Delta t $ 一段时间内质点所走过的路程显然不能套用上述公式，即随 $ \Delta t $ 变化将不是均匀的，但由

$$ \mathrm{d}s=s^{\prime}\left(t_{0}\right)\Delta t=v\left(t_{0}\right)\Delta t, $$

也就是说，在微分的意义下有

$$ 路程的微分 = 速度 \times 时间的微分 $$

（2）设有高为 H、底半径为 R 的直圆锥体，如果用距离顶点为 x 且平行于底面的平面去截圆锥体，所截下的小圆锥体的体积为

$$ \begin{array}{c}{{V=\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot x\,,}}\\ {{{}}}\\ {{{r=\displaystyle\frac{R}{H}x\,,}}}\\ {{{(x)=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{R^{2}}{H^{2}}x^{3}\,.}}}\end{array} $$

式中，半径

故

令 x 有微小增量 $ \Delta x $（设 $ \Delta x \gt 0 $）。相应地， $ V(x) $ 有增量 $ \Delta V $——一个厚度为 $ \Delta x $ 的圆台体的体积。而

$$ \mathrm{d}V=V^{\prime}\left(x\right)\mathrm{d}x=\pi\frac{R^{2}}{H^{2}}x^{2}\mathrm{d}x=\pi r^{2}\mathrm{d}x. $$

这一结果表明：在体积计算中，若求柱体的体积，则因柱体的截（底）面积 A 不变，厚为 $ \Delta x $ 的柱体薄片的体积 $ \Delta V = A \cdot \Delta x $，即

$$ 柱体体积 = 截面积 \times 厚度 . $$

虽然圆台体不同于柱体，上述体积公式不适用。但在微分的意义下却仍有体积的微分=截面积×高度x的微分（厚度dx）。

（3）在均匀做功的情形下，功率 P 为常数，从时间 $ t_{0} $ 到 $ t_{0} + \Delta t $ 所耗的功为

$$ \Delta W=P\cdot\Delta t\quad( 功 = 功率 \times 时间 ). $$

如果是非均匀耗功， $ W = W(t) $ 是非线性函数，上述公式已不适用。然而

$$ \mathrm{d}W=W^{\prime}\left(t_{0}\right)\Delta t=P\left(t_{0}\right)\cdot\Delta t. $$

在微分的意义下，仍有

$$ 功的微分 = 功率 \times 时间的微分 . $$

（4）曲边梯形面积的微分.

如图2-10（a）所示，由曲线 $ CMP(y=f(x)) $、y轴、x轴以及动直线X=x所围成的图形（叫做曲边梯形）的面积A是x的函数，记为 $ A=A(x) $。如果 $ y=f(x) $是一个常数H，则所围图形为矩形，如图2-10（b）所示。当x从 $ x_{0} $增加到 $ x_{0}+\Delta x $时，面积的增量 $ \Delta A=H\cdot\Delta x $（长方形面积=高×底）。

但对于一般函数 $ y=f(x) $，如图2-10（a）所示，此时 $ \Delta A $ 是小曲边梯形 ABPM 不再是矩形，它的面积（为分析方便，不妨设在 $ (x_{0}, x_{0}+\Delta x) $ 段上 $ f(x) $ 是单调增加）应是下列两部分面积的和：

① 长方形 ABNM. 它的面积是 $ f(x_{0}) \cdot \Delta x $

② 曲边三角形 MNP，它的面积 $ \alpha \leqslant MN \cdot NP = \Delta y \cdot \Delta x $。只要 $ y = f(x) $ 连续，当 $ \Delta x \to 0 $ 时， $ \Delta y \to 0 $。于是 $ \Delta y \cdot \Delta x $ 是比 $ \Delta x $ 高阶的无穷小，亦即 $ \alpha $ 是比 $ \Delta x $ 高阶的无穷小。

由此可知， $ \Delta A = f(x_0)\Delta x + \alpha $，而其中 $ \alpha = o(\Delta x) $。依微分定义 $ \mathrm{d}A = $

$$ f(x_{0})\,\Delta x. $$

故用微分代替增量在本问题中的意义是用长方形替代小曲边梯形.

（5） 弧微分

在物理中，如果质点作平面曲线运动，运动的轨迹是一条平面曲线，它的运动路程就是它轨迹曲线的一段曲线长（叫做弧长）。如果用参数方程

$$ \{\begin{aligned}{x=x(t),}\\ {y=y(t)}\end{aligned}. $$

表示这种曲线运动的运动规律，在任意时刻 $ t, v_{x}=x'(t) $ 表示水平方向的分速度（沿 x 轴方向）； $ v_{y}=y'(t) $ 表示垂直方向（沿 y 轴方向）的分速度；则合速度的大小为 $ v(t)=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} $。依导数概念，有

$$ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v(t)=\sqrt{\left[x^{\prime}(t)\right]^{2}+\left[y^{\prime}(t)\right]^{2}}, $$

或

$$ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2}}. $$

若取 s 增大的方向与 t 增大的方向一致，即 dt > 0，则有弧长的微分

$$ \mathrm{d}s=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2}}\mathrm{d}t=\sqrt{\left(\mathrm{d}x\right)^{2}+\left(\mathrm{d}y\right)^{2}}. $$

回到图2-9，MQ=dx，QP=dy．故

$$ \Delta s=\widehat{M N},\quad\mathrm{d}s=\sqrt{M Q^{2}+Q P^{2}}=M P. $$

这又一次表明，用微分代替增量，几何上是用切线段 $ \widehat{MP} $代替曲线段 $ \widehat{MN} $.

如曲线方程为 $ y=y(x) $，则弧长微分

$$ \mathrm{d}s=\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}}\mathrm{d}x\qquad\left(\mathrm{d}x\gt 0\right). $$

如曲线方程为 $ x=x(y) $，则弧长微分

$$ \mathrm{d}s=\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^{2}}\mathrm{d}y\qquad\left(\mathrm{d}y\gt 0\right). $$

综上所述，在均匀变化的前提下，所导出的以乘法作为计算公式的规律，对非均匀变化的情形已经不再合适。但在微分的意义下，则仍可适用。这样的推广，即微分法的应用，今后将直接给出结果，不必再逐个进行分析。

例8 计算 $ \sqrt[10]{1000} $的近似值.

$$ \sqrt[10]{1000}=\sqrt[10]{1024-24}=\sqrt[10]{2^{10}-24}=2\sqrt[10]{1-\frac{24}{2^{10}}}. $$

取 $ x = -\frac{24}{2^{10}} $，由于 $ \left| -\frac{24}{2^{10}} \right| $ 较小，可利用线性近似公式

$$ \left(1+x\right)^{a}\approx1+ax, $$

于是

$$\sqrt[10]{1000}=2\sqrt[10]{1-\frac{24}{2^{10}}}\approx2\left(1-\frac{1}{10}\frac{24}{2^{10}}\right)\approx2-0.0047=1.9953.$$

例9 计算 $ \sin5^{\circ} $ 的近似值.

解 应把角度转化为弧度，因

$$ 5^{\circ}=5\times\frac{\pi}{180}\left( 弧度 \right). $$

取 $ x=\frac{5\pi}{180} $，由于 $ |x|=\left|\frac{5\pi}{180}\right| $ 较小，可利用线性近似公式

$$ \sin x\approx x, $$

于是

$$ \sin~5^{\circ}=\sin~\frac{5\pi}{180}\approx\frac{5\pi}{180}\approx0.08727. $$

习题2-5

1. 设函数 $ y=2x^{2}-x $，解答下例各题：

（1）试计算在 x=1 处，当 $ \Delta x=0.01 $ 时的 $ \Delta y $，dy 及 $ \Delta y - dy $；

（2）将点 x 处的函数增量 $ \Delta y $，微分 dy 以及 $ \Delta y - dy $ 在函数的图形上标出.

1. 设 $ y = \sin x $，当 $ x = \frac{\pi}{3} $， $ \Delta x = \frac{\pi}{18} $ 时，求 dy.

1. 求下列函数的微分 dy:

(1)

$$ y=2\sqrt{x}-\frac{1}{x}； $$

(2)

$$ y=x^{3}\mathrm{e}^{-2x} $$

(3)

$$ y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}; $$

(4)

$$ y=\tan^{2}(1+2x^{2}) $$

1. 利用微分形式不变性求函数 $ y = y(x) $ 的微分 dy:

(1)

$$ xy=a^{2} $$

(2)

$$ \left(x+y\right)^{2}\left(2x+y\right)^{3}=1 $$

(3) $ \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x} $; (4) $ x^{y}-2x+y=0 $.

1. 已知 $ \varphi $ 与 f 可微，求函数的微分 $ \mathrm{d}y $:

(1)

$$ y=\frac{\varphi(x)}{1-x}; $$

(2)

$$ \gamma=f(1-2x)+\cos f(x) $$

(3) $ y = f(\ln x) e^{f(x)} $

1. 将适当的函数填入下面的括号内，使等式成立：

(1)

$$ \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x； $$

(2)

$$ \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x； $$

$$ \mathrm{d}(\quad)=\sec^{2}3x\mathrm{d}x； $$

(4) d() = $ \frac{1 + \ln x}{x} $ dx;

$$ \mathrm{d}(\quad)=(x^{3}+\sin2x)\mathrm{d}x; $$

$$ \mathrm{d}(\quad)=\cos3x\mathrm{d}x. $$

1. 证明下列函数在 x=0 处的局部线性近似公式：

(1)

(2)

$$ \tan x\approx x； $$

$$ \arccos x\approx\frac{\pi}{2}-x; $$

(3) $ (1+x)^{a} \approx 1 + \alpha x $; (4) $ \mathrm{e}^{x} \approx 1 + x $.

1. 设扇形的圆心角 $ \alpha = 60^{\circ} $，半径 $ R = 100 \, cm $（图 2-11）。如果 R 不变， $ \alpha $ 减少 $ 30' $，问扇形面积大约改变了多少？又如果 $ \alpha $ 不变，R 增加 $ 1 \, cm $，问扇形面积大约改变了多少？

1. 在电阻电容串联电路中（图 2-12），开关 K 合上时，直流电源 E 对电容器充电．已知电容器上电压 $ u_{c} $ 的变化规律为

$$ u_{c}(t)\approx E(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{R C}}). $$

试证明：当电阻 R 与电容 C 的乘积 RC 比 t 大得多时， $ u_{c}(t) $ 可以用时间 t 的线性函数来近似表达

$$ u_{c}(t)\approx\frac{E}{R C}t. $$

1. 利用微分计算下列各式的近似值（计算到小数点后4位）：

(1) $ \sin 29^{\circ}30' $; (2) $ \arcsin 0.47 $; (3) $ \ln 1.002 $;

总练习题二

1. 求下列各导数：

（1）已知 $ y=f\left(\frac{3x-2}{3x+2}\right) $， $ f'(x)=\arctan x^{2} $，求 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} $；

（2）设 $ y = \ln \tan \frac{x}{2} - \cos x\ln \tan x $，求 $ y' $；

（3）设函数 $ y=y(x) $ 由方程 $ xe^{f(y)}=e^{y} $ 确定，其中 f 具有二阶导数，且 $ f'\neq1 $ ，求 $ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $ ；

（4）设函数 $ y=y(x) $ 由 $ \{\begin{array}{l}x^{2}+5xt+4t^{3}=0, \\ \mathrm{e}^{y}+y(t-1)+\ln t=1\end{array}. $ 所确定，求 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=1} $

1. 求 $ \frac{dy}{dx} $，设

（1） $ r^{2}=2a^{2}\cos2\theta $（双扭线）；

(2) $ r = ae^{m\theta} $ （对数螺线），其中 $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ 及 $ \theta = \arctan \frac{y}{x} $ 为极坐标.

1. 设 $ f(x) = \varphi(a + bx) - \varphi(a - bx) $，其中 $ \varphi(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内有定义，且 $ \varphi(x) $ 在点 x = a 处可导，求 $ f'(0) $.

1. 讨论函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}},& 当 x\neq0,\\ &0,& 当 x=0\end{aligned}. $ 在 x=0 处的连续性和可导性.

1. 已知 $ f(x)=\{\begin{aligned}\frac{\varphi(x)-\cos x}{x},&\text{当}x\neq0,\\a,&\text{当}x=0,\end{aligned}. $ 其中 $ \varphi $ 具有二阶连续导数，且 $ \varphi(0)=1 $.

（1）求常数 a 的值，使 $ f(x) $ 在 x=0 处连续；（2）求 $ f'(x) $.

1. 求下列高阶导数：

(1) $ (x^{n-1}\ln x)^{(n)} $; (2) $ \left(\mathrm{e}^{\lambda x}\sin wx\right)^{(n)} $; (3) $ \left(\frac{x+1}{x^{2}-5x+6}\right)^{(n)} $.

1. 试求经过原点且与曲线 $ y=\frac{x+9}{x+5} $ 相切的直线方程.

1. 设函数 $ f(x) $ 在 $ (-∞, +∞) $ 上有定义，且满足下列性质：

(1) $ f(a+b)=f(a) \cdot f(b) $，a，b 为任意实数；

(2) $ f(0)=1 $; (3) $ f(x) $ 在 x=0 处可导.

证明：对任意 $ x \in (-\infty, +\infty) $，都有 $ f'(x) = f'(0) \cdot f(x) $.

1. 设函数 $ g(x) = (\sin 2x)f(x) $，其中函数 $ f(x) $ 在 x=0 处连续，问： $ g(x) $ 在 x=0 处是否可导，求出 $ g'(0) $.