习题答案

习题答案与提示

第一章

习题1-1

1.（1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）定义域不同.

1. (1) $ [-4, -1) \cup (1, 2] $; (2) $ (-1, 1) $;

(3) $ [-2, -1) \cup (1, 2] $; (4) $ (-\infty, 1] \cup [2, 3] \cup [4, +\infty) $.

1. $ f(-x)=\frac{2-x}{2+x} $ ( $ x\neq-2 $); $ f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{2x+1}{2x-1}\left(x\neq0,\ x\neq\frac{1}{2}\right) $;

$ f(x+1)=\frac{3+x}{1-x} $ ( $ x\neq1 $).

1. (1) $ \frac{1-x}{1+x}e^{\frac{1-x}{1+x}}; $ (2) $ x^{2}+1; $ (3) $ \frac{1}{3}(x^{2}+2x-7). $

1. $ f(0) = 0 $; $ f(-1) = 0 $;

$$ f(x+a)=\{\begin{aligned}{x+a+1}&{{},}&{x\gt -a,}\\ {0}&{{},}&{x=-a,}\\ {-{(x+a+1)}}&{{},}&{x\lt -a;}\\ \end{aligned}. $$

$$ f(-x)=\{\begin{aligned}{}&{{}1-x,}&{x\lt 0,}\\ {}&{{}0,}&{x=0,}\\ {}&{{}x-1,}&{x\gt 0.}\\ \end{aligned}. $$

$$ f^{-1}(x)=\{\begin{aligned}{-\sqrt{\frac{1-x}{2}},}&{{}\qquad x\lt -1\;,}\\ {\sqrt[3]{x},}&{{}\qquad-1\leqslant x\leqslant8\;,}\\ {\frac{x+12}{10},}&{{}\qquad x\gt 8.}\\ \end{aligned}. $$

7.（1）偶；（2）奇；（3）非奇非偶；（4）偶.

1. 提示： $ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(-x)-f(-x)}{2} $

1. 提示： $ f(x) $ 关于直线 x=a 对称，有 $ f(a-x)=f(a+x) $，由此可证函数的周期 T=2(b-a).

1. (1) $ T = \pi $; (2) $ T = \frac{\pi}{3} $; (3) $ T = 12\pi $.

1. 提示：(1) 要 $ |1-3x| \gt M $，只要 $ 3|x|-1 \gt M $，即 $ |x| \gt \frac{M+1}{3} $；

(2) 对大于 1 的任给正数 M，取点 $ x_{n}=2\left[M\right]\pi+\frac{\pi}{2} $，则 $ \left|f\left(x_{n}\right)\right|=\left|x_{n}\right|\gt M $.

1. 提示： $ af(a) \leq af(a+b) $， $ bf(b) \leq bf(a+b) $.

1. $ f[\varphi(x)] = \begin{cases} 2 + \sin x, & x \geq 0, \\ 2 + \ln(1 + x^2), & x \lt 0. \end{cases} $

1. $ V = \frac{\pi r^2 h^3}{3[(h - r)^2 - r^2]} $, $ 2r \lt h \lt +\infty $.

习题1-2

1. 提示：(1) 收敛于 A=1， $ \left|u_{n}-1\right|\lt \frac{2}{n} $;

(2) 收敛于 A = 1, $ \left|u_{n} - 1\right| \lt \frac{1}{2n} $;

(3) 收敛于 A = 0, $ \left| u_{n} - A \right| \lt \frac{1}{n} $;

（4）收敛于A=0， $ \left|u_{n}-A\right|\lt \frac{1}{2\sqrt{n}} $;

1. 提示：(1) $ \left|\cos\frac{\pi}{n}-1\right|\lt \frac{\pi^{2}}{2n^{2}} $;

(2) $ |a^n - 0| = |a|^n \lt \varepsilon $（不妨设 $ 0 \lt \varepsilon \lt 1 $），解得 $ n \gt \frac{\ln \varepsilon}{\ln |a|} $；

（3）当 $ n \geqslant 2 $ 时， $ n^{2}-n \geqslant \frac{n^{2}}{2} $，于是 $ \left|\frac{4n^{2}}{n^{2}-n}-4\right| \leqslant \frac{8}{n} $;

(4) $ |u_n - 1| = \frac{1}{n+1} \lt \frac{1}{n} $.

1. 提示： $ \left|x_{n}-0\right|=\left|u_{n}-v_{n}\right|=\left|\left(u_{n}-A\right)-\left(v_{n}-A\right)\right| $

1. 提示： $ |u_n| - |A| | \leqslant |u_n - A| $.

习题1-3

1. 提示：(5) $ \left|\frac{2}{1+2^x}-2\right|=\frac{2^{x+1}}{1+2^x}\lt 2^{x+1}\lt \varepsilon(0\lt \varepsilon\lt 1) $ 可取 $ X=1-\log_2\varepsilon $.

1. 提示：(5) $ \arctan\frac{1}{x}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x}\leqslant\tan\left(\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x}\right)=\cot\left(\arctan\frac{1}{x}\right)=x. $

(6) $ \left|\frac{1}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}-1\right|=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}\lt \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} $

1. 提示： $ |\sqrt{f(x)}-\sqrt{A}|=-\frac{|f(x)-A|}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{A}}\leqslant\frac{|f(x)-A|}{\sqrt{A}}. $

1. 提示： $ \left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{A}\right|=\frac{|f(x)-A|}{A|f(x)|}\lt \frac{|f(x)-A|}{A\cdot\frac{A}{2}} $

1. 提示：取 $ \varepsilon=\frac{A-B}{2}\gt 0 $.

1. (1) $ f(2^{-}) = 5 $, $ f(2^{+}) = 5 $, $ \lim_{x \to 2} f(x) = 5 $;

(2) $ f(0^{-}) = 9 $, $ f(0^{+}) = 9 $, $ \lim_{x \to 0} f(x) = 9 $;

(3) $ f(0^{-}) = -1 $, $ f(0^{+}) = 1 $, $ \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} $ 不存在.

习题1-4

1. 提示：(1) 任给 $ M\gt 2 $，取 $ \delta=\frac{1}{M+2} $，则当 $ 0\lt |x|\lt \delta $ 时， $ \left|\frac{1+2x}{x}\right|\gt \left|\frac{1}{x}\right|-2\gt M $；

(2) 任给 M\gt 0，取 $ X=\sqrt{M^{2}+1} $，则当 $ |x|\gt X $ 时， $ \sqrt{x^{2}-1}\gt M $。

1. (1) 0; (2) 0; (3) 0; (4) 2; (5) 0;

（6）因 $ \frac{1-x^{2}}{1-x}-1=\frac{x-x^{2}}{1-x}\rightarrow0 $，故有 $ \frac{1-x^{2}}{1-x}\rightarrow1 $.

1. 提示：(1) $ \frac{1}{f(x)}\rightarrow0 $;

(2) $ \frac{1}{f(x)g(x)} = \frac{\frac{1}{f(x)}}{g(x)} \to 0 $;

(3) $ \frac{1}{f(x) + g(x)} = \frac{1}{f(x)} \cdot \frac{1}{1 + g(x) / f(x)} \to 0 $;

(4) $ \frac{f(x)}{f(x)+g(x)}=\frac{1}{1+g(x)/f(x)}\rightarrow1. $

1. 提示： $ g(x) = f(x) \div \frac{f(x)}{g(x)} $.

1. 提示：取 $ x_{n}=2n\pi $， $ f(x_{n})\to\infty $，另取 $ y_{n}=\left(n\pi+\frac{x}{2}\right) $， $ f(y_{n})=0 $.

1. 提示：取 $ x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \in (0, 1] $， $ f(x_n) \to \infty $；

另取 $ y_{n}=\frac{1}{n\pi}\in(0,\ 1] $， $ f(y_{n})=0 $.

1. (1) $ f(x) = -1 + \frac{2x(2x+1)}{x^2 + 1} $;

(2) $ f(x) = 2 + \frac{(x-1)(x+3)}{x^2 + 1} $;

(3) $ f(x) = 3 + \frac{2x - 4}{x^{2} + 1} $.

习题1-5

1.（1）必不存在；（2）不一定存在；（3）必不存在；（4）不一定存在.

1. (1) 0; (2) $ \frac{1}{2} $; (3) $ \infty $; (4) $ \frac{1}{2} $; (5) $ \frac{7}{4} $; (6) $ \frac{1}{2\sqrt{a}} $; (7) $ \frac{4}{3} $; (8) $ \frac{12}{5} $.

1. (1) 1; (2) 0; (3) $ \frac{2}{3} $; (4) $ \infty $; (5) $ -\sqrt{2} $; (6) $ \frac{1}{3} $; (7) 0; (8) 0; (9) $ -\frac{1}{2} $.

1. $ a = \sqrt{2} $, $ b = -\frac{3}{2}\sqrt{2} $.

1. a=4, b=-2.

1. a=0, b=2.

7.（1）不存在；（2）2；（3）4.

习题1-6

1. (1) $ \pi $; (2) $ \frac{1}{2} $; (3) 1; (4) $ -\frac{1}{4} $; (5) 8; (6) $ -\sqrt{2} $.

1. (1) $ e^{-2} $; (2) $ e^{2} $; (3) $ e^{\frac{1}{2}} $; (4) $ e^{-1} $; (5) e; (6) 1; (7) 2; (8) $ 4(\ln 2 - 1) $.

1. (1) 0; (2) 0; (3) 1; (4) 1.

1. (1) $ \frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+4a}\right) $; (2) $ \frac{1}{2}(1+\sqrt{5}) $.

1. 提示：数列 $ \{x_{n}\} $ 单调减下方有界， $ \lim_{n\to\infty}x_{n}=0 $.

习题1-7

1. (1) $ \alpha $ 与 $ \beta $ 同阶；(2) $ \alpha = o(\beta) $; (3) $ \alpha $ 与 $ \beta $ 同阶.

2.（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）一阶；（5） $ \frac{1}{5} $阶.

1. (1) $ \pi^{2} $; (2) 1; (3) 2; (4) -4.

1. $ 3\ln2 $.

1. (1) $ A = 4 $, $ K = \frac{7}{3} $; (2) $ A = \frac{1}{2} $, k = 2; (3) $ A = \frac{3}{4} $, k = 1.

1. (1) $ \frac{1}{4}(x-3) $; (2) $ -5(x-\pi) $; (3) $ \frac{1}{e}(x-e) $.

1. (1) $ \frac{2}{3} $; (2) $ \frac{3}{2} $; (3) $ \frac{1}{12} $.

习题1-8

2.（1）1；（2）1；（3）0；（4）0.

1. (1) x=0 是第一类中的跳跃间断点；

(2) x=1 是第二类中的振荡间断点；

（3）x=2 是第一类中的跳跃间断点；

（4）x=-1 是第二类中的无穷间断点，x=0 是第一类中的跳跃间断点，x=1 是第一类中的可去间断点 $ \left( 补充定义 f(1)=\frac{1}{2} \right) $;

(5) x=0 是第一类中的跳跃间断点，x=1 是第二类中的无穷间断点.

1. (1) 1; (2) $ e^{\frac{x^{2}}{2}} $; (3) $ \frac{3}{2} $; (4) $ e^{\frac{1}{4}} $.

1. 提示：令 $ \varphi(x)=f(x+k)-f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上应用介值定理，其中 a 是 $ f(x) $ 的最大值点，b 是 $ f(x) $ 的最小值点.

总练习题一

1. (1) $ \left[0, \frac{1}{3}\right] $; (2) $ 3e^{x^{2}+1} $; (3) $ -1+|x+1| $; (4) a=2, b=-4; (5) a=-4;

(6) (2, 3) ∪ (3, +\infty).

1. (1) A; (2) B; (3) C; (4) C; (5) B; (6) B.

1. $ f[\varphi(x)] = \begin{cases} e^{x+2}, & x \lt -1, \\ x+2, & -1 \leq x \lt 0, \\ e^{x^2-1}, & 0 \leq x \lt \sqrt{2}, \\ x^2-1, & x \geq \sqrt{2}.\end{cases} $

1. (1) a = 1, b = -5; (2) a = 1, b = -1.

1. (1) $ \frac{\sqrt{2}}{2} $; (2) $ x e^{\beta_{x}^{2}} $; (3) -12; (4) $ -\frac{2\pi}{5} $; (5) $ -\frac{1}{2} $; (6) $ -\frac{\pi}{6} $.

1. $ A = \frac{2}{3}\sqrt{3} $, k = 1.

7.（1）在 $ x_{0} $处不连续（反证法）

（2）在 $ x_{0} $ 处不连续（反证法）；

（3）在 $ x_0 $ 处可能连续，也可能不连续。例如 $ f(x) = |\sin x| $， $ g(x) = \operatorname{sgn} x $，则 $ f(x) \cdot g(x) = \sin x $ 在 $ x_0 = 0 $ 处连续，再如 $ f(x) = \cos x $， $ g(x) = \frac{1}{x} $，则 $ f(x) \cdot g(x) = \frac{\cos x}{x} $，在 $ x_0 = 0 $ 处不连续。

1. 提示：令 $ f(x)=kx+b-\sin x $ 在区间 $ \left[\frac{-1-b}{k},\frac{1-b}{k}\right] $ 上应用零值定理.

1. 提示：令 $ \varphi(x)=f(x)-x $ 在 $ [a, b] $ 上应用介值定理，其中 $ b=f(a) $，则 $ f(b)=f[f(a)]=a $.

1. 提示：令 $ f(x) = x\cos x $，在 $ [0, +\infty) $ 连续，且 $ f(2n\pi) = 2n\pi $， $ f(2n\pi + \pi) = -(2n+1)\pi $，由 $ f(2n\pi + \pi) \lt 1 \lt f(2n\pi) $ 应用介值定理可证.

1. 提示：令 $ \varphi(x)=f(x+1)-f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上应用介值定理.

第二章

习题2-1

1. $ -\frac{\sqrt{3}}{18} $. 2. 0. 3. $ \varphi(a) $. 4. $ y=\frac{3}{2}x $.

5.（1）可导， $ f'(x_{0})=\varphi(x_{0}) $；（2）不一定，A=0，可导； $ A\neq0 $，不可导；

1. 连续不可导.

1. $ f'(x) = \{ \begin{array}{ll} \cos x, & x \lt 0, \\ 1, & x \geq 0. \end{array} . $

1. $ a = 2x_{0} $, $ b = -x_{0}^{2} $

1. 提示：当 $ -1 \leqslant x \leqslant 0 $时， $ f(x) = \frac{1}{2} f(x+1) $， $ f'_+(0) = 1 $， $ f'_-(0) = -1 $， $ f''_{(0)} $不存在；

1. (1) $ C'(Q) = 5 $; (2) $ R'(Q) = 125 - \frac{1}{4}Q $; (3) $ L'(Q) = 120 - \frac{1}{4}Q $.

1. $ L(Q) = PQ - C(Q) = 30Q - Q^{2} $, P = 25.

1. b.

习题2-2

1. (1) $ 2^x \ln 2 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \frac{1}{\sqrt{x}} $; (2) $ 3e^x (\sin x + \cos x) $;

(3) $ \frac{1}{x^{2}}(1-\ln x) $; (4) $ \frac{e^{x}}{x^{n+1}}(x-n) $;

(5) $ 2x\ln x\cos x+x\cos x-x^{2}\ln x\sin x $;

(6) $ \tan x + xsec^{2}x - 2sec xtan x $;

(7) $ \frac{-(1+t)}{\sqrt{t}(1-t)^2} $; (8) $ \frac{\arccos x + \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}\arccos x} $.

1. (1) $ -\frac{1}{18} $; (2) $ \frac{\sqrt{2}}{8}(\pi+4) $;

1. 切线方程 y=2x；法线方程 $ y=-\frac{1}{2}x $.

1. (1) $ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + e^x} $; (2) $ \frac{dx}{dy} = \frac{x}{x+1} $.

1. (1) $ \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}} $; (2) $ \frac{x}{(1-x)^{\frac{3}{2}}} $

(3) $ \mathrm{e}^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} $; (4) $ 2^{\sin x} \cdot \cos x \ln 2 $;

(5) $ 2\sec^{2}x\tan x $; (6) $ \frac{2}{x\ln x \cdot \ln\ln x} $;

$$ \left(\frac{b}{a}\right)^{x}\cdot\ln\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\left(\frac{x}{b}\right)^{a-1};\quad(8)\quad2\mathrm{e}^{-2x}\left[\cos\left(2x-3\right)-\sin\left(2x-3\right)\right]; $$

(9) $ \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{x} $; (10) $ \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} $.

1. (1) $ f'(e^x) \cdot e^x $; (2) $ 2xg'(x^2) - \sin 2x \cdot f'(\cos^2 x) $;

(3) $ \mathrm{e}^{x}f'(e^{x})e^{g(x)}+f(e^{x})e^{g(x)}\cdot g'(x) $;

(4) $ f'[\ln(1+\mathrm{e}^{2x})] \cdot \frac{2\mathrm{e}^{2x}}{1+\mathrm{e}^{2x}}. $

1. (1) $ f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & x \lt 0, \\ -1, & x = 0, \\ -\cos x, & x \gt 0; \end{cases} $

(2) $ x \neq 0 $ 时， $ f'(x) = \frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x}}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x(1 + e^{\frac{1}{x}})^2} $， $ f'(0) $ 不存在.

1. (1) $ \frac{e^{x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}; $ (2) $ (\cos x)^{\sin x}\left(\cos x\cdot\ln\cos x-\frac{\sin^{2}x}{\cos x}\right); $

(3) $ \sin x \cdot \ln \tan x $.

习题2-3

1. (1) $ \frac{y-xy}{xy-x} $; (2) $ \frac{-\sin(x+y)}{1+\sin(x+y)} $; (3) $ \frac{y\sin x+\cos(x-y)}{\cos x+\cos(x-y)} $.

1. (1) $ \left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}\left(\ln\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}\right) $;

(2) $ (\sin x \cos x)^{\tan x} $ $ [\sec^{2}x \ln(\sin x \cos x) + 1 - \tan^{2}x] $;

(3) $ \frac{1}{2}(x\sin x\sqrt{1-\mathrm{e}^{x}})^{\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{x}+\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{2(1-\mathrm{e}^{x})}\right] $;

(4) $ \frac{y\tan x+\ln\sin y}{\ln\cos x-x\cot y} $

1. $ x+2y=4 $; $ y=2x-\frac{1}{2} $.

1. $ y = -(x + 1) $.

1. (1) $ \frac{-2t}{1+t} $; (2) $ t $; (3) $ \frac{\cos\theta-\theta\sin\theta}{1-\sin\theta-\theta\cos\theta} $; (4) $ t+\frac{b}{a} $.

1. (1) $ y = x + \left(2 - \frac{\pi}{2}\right)a $, $ x + y = \frac{\pi}{2}a $;

(2) $ y = \frac{x}{\mathrm{e}} - 1 $, $ y = \mathrm{ex} - 1 $.

1. 先求交点 $ M_{1} $: $ \theta_{1} = \frac{\pi}{2} $, $ \rho = a $, $ M_{2} $: $ \theta_{2} = -\frac{\pi}{2} $, $ \rho = a $.

1. $ -\frac{\pi}{2}. $ 9. $ \frac{d\alpha}{dt}=0.14 rad/min. $

1. $ \frac{dv}{dt} = -12\pi cm^3/s $.

习题2-4

1. (1) $ -2e^{-x}\cos x $; (2) $ \frac{-a^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac{3}{2}}} $;

(3) $ 2\sec^{2}x\tan x $; (4) $ 2\arctan x+\frac{2x}{1+x^{2}} $;

(5) $ \frac{1}{x^{3}}e^{x}(x^{2}-2x+2) $; (6) $ -\frac{x}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}} $

1. (1) $ 4x^{2} \cdot f''(x^{2}) + 2f'(x^{2}) $; (2) $ \frac{f''(x)f(x) - [f'(x)]^{2}}{f^{2}(x)} $;

(3) $ \frac{2f''(x)f(x) - (f'(x))^2}{4(f(x))^{\frac{3}{2}}} $; (4) $ \frac{1}{x^3}f''\left(\frac{1}{x}\right) $.

1. (1) $ y' = \sin 2x $, $ y^{(n)} = 2^{n-1} \sin\left(2x + \frac{n-1}{2}\pi\right) $ ( $ n \geqslant 1 $);

(2) $ y = \frac{2}{1 + x} - 1 $, $ y^{(n)} = \frac{2 \cdot (-1)^n n!}{(1 + x)^{n+1}} $;

(3) $ y=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}\right) $

$$ y^{(n)}=\frac{\left(-1\right)^{n}n!}{b-a}\left[\frac{1}{\left(x+a\right)^{n+1}}-\frac{1}{\left(x+b\right)^{n+1}}\right] $$

(4) $ y^{(n)} = 2^{\frac{n}{2}} e^{x} \sin\left(x + \frac{n\pi}{4}\right) $

1. (1) $ -4e^{x}\cos x $;

(2) $ 2^{50} \cdot x^2 (-\sin 2x) + 50 \cdot 2^{50} \cdot x \cos^2 x + 2450 \cdot 2^{48} \sin 2x $.

1. (1) $ \frac{6}{(x-2y)^3} $; (2) $ \frac{-2\cos^3(x+y)}{\sin^5(x+y)} $;

(3) $ \frac{-\frac{1}{2}\sin y}{\left(1-\frac{1}{2}\cos y\right)^{3}} $; (4) $ \frac{-2(1+\gamma^{2})}{y^{5}} $

1. (1) $ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(t-1)^3 (t+1)} $; (2) $ \frac{1+t^2}{4t} $;

(3) $ \frac{2+t^{2}}{a(\cos t-t\sin t)}; $ (4) $ \frac{1}{f''(t)}. $

1. $ a=\frac{1}{2} $, b=1, c=1.

习题2-5

1. (1) $ \Delta y = 0.0102 $, $ dy = 0.01 $, $ \Delta y - dy = 0.0002 $.

1. $ \frac{\pi}{36} \approx 0.0873 $.

1. (1) $ \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{2}}\right)dx $; (2) $ e^{-2x}(3x^{2}-2x^{3})dx $;

(3) $ \frac{1}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x $; (4) $ 8x\tan(2x^{2}+1)\cdot\sec^{2}(2x^{2}+1) $.

1. (1) $ -\frac{y}{x}\mathrm{d}x $; (2) $ -\frac{10x+8y}{7x+5y}\mathrm{d}x $;

(3) $ \frac{x+y}{x-y}\mathrm{d}x $; (4) $ \frac{2-\frac{y}{x}x^{y}}{1+x^{y}\ln x}\mathrm{d}x. $

1. (1) $ \frac{(1-x)\varphi'(x)+\varphi(x)}{(1-x)^2}\mathrm{d}x; $

(2) $ -\left[-2f'(1-2x)+\sin f(x)\cdot f'(x)\right]\mathrm{d}x; $

(3) $ \mathrm{e}^{f(x)} \left[ \frac{1}{x} f'(lnx) + f(lnx) \cdot f'(x) \right] \mathrm{d}x. $

1. (1) $ 2\sqrt{x} + C $; (2) $ \ln(1 + x) + C $;

(3) $ \frac{1}{3}\tan 3x + C $; (4) $ \frac{1}{2}(1 + \ln x)^{2} + C $;

(5) $ \frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}\cos2x+C $; (6) $ \frac{1}{3}\sin3x+C $.

1. (1) $ \mathrm{d}A = -\frac{1000\pi}{72} $ ( $ cm^{2} $); (2) $ \mathrm{d}A = \frac{100\pi}{3} $ ( $ cm^{2} $).

1. (1) $ \sin 29^{\circ}30' = \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{6} + \left( -\frac{\pi}{360} \right) \approx 0.4924 $;

(2) $ \arcsin 0.47 = \arcsin 0.5 + \frac{-0.03}{\sqrt{1-0.5^{2}}} \approx 0.489 $ 弧度；

(3) 0.002.

总练习题二

1. (1) $ \frac{3}{4}\pi $; (2) $ \sin x\ln\tan x $; (3) $ \frac{e^{f(y)}}{[1-f'(x)]e^y} $; (4) $ \frac{3}{7} $.

1. (1) $ \begin{cases} x=2a\sin\frac{1}{2}\theta\cos\frac{3}{2}\theta, \\ y=2a\sin\frac{3}{2}\theta\cos\frac{1}{2}\theta, \end{cases} $ $ \frac{dy}{dx}=\frac{3\sin\theta\cos^{2}\theta-\sin^{3}\theta}{\cos^{3}\theta-3\sin^{2}\theta\cos\theta}; $

(2) $ \begin{cases} x = ae^{m\theta} \cos \theta, \\ y = ae^{m\theta} \sin \theta, \end{cases} \frac{dy}{dx} = \frac{m \sin \theta + \cos \theta}{m \cos \theta - \sin \theta}. $

1. $ 2b\varphi'(a) $.

1. $ f(x) $ 在 x=0 处连续，但不可导.

1. (1) $ a = \varphi'(0) $; (2) $ f'(0) = \frac{1}{2}\varphi''(0) + \frac{1}{2} $,

$ x \neq 0 $ 时， $ f''_{(x)} = \frac{(\varphi'(x) + \sin x)x - [\varphi(x) - \cos x]}{x^2} $

1. (1) $ \frac{(n-1)!}{x} $; (2) $ \rho^n e^{\lambda x} \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{4} n\right) $,

其中 $ \rho = \sqrt{\lambda^{\frac{2}{2}} + \omega^{\frac{2}{2}}} $, $ \cos \varphi = \frac{\lambda}{\rho} $, $ \sin \varphi = \frac{\omega}{\rho} $;

(3) $ (-1)^{n} \cdot n! \left( \frac{4}{(x-3)^{n+1}} - \frac{3}{(x-2)^{n+1}} \right) $

1. 切点 $ (-3, 3) $ 或 $ (-15, \frac{3}{5}) $

切线方程 $ x+y=0 $ 或 $ x+25y=0 $.

1. $ 2f(0) $.

第三章

习题3-1

1. $ \xi = \frac{\sqrt{37} - 4}{3} $; 2. $ \xi = \sqrt{\frac{4}{\pi} - 1} $.

1. 由 $ \frac{\cos\xi}{1-\sin\xi}=\frac{2}{\pi-2} $解 $ \xi $ 有难度，可记 $ \varphi(x)=\frac{\cos x}{1-\sin x} $，在 $ \left[0,\frac{\pi}{3}\right] $ 上连续； $ \varphi(0)=1\lt \frac{2}{\pi-1}\lt \varphi\left(\frac{\pi}{3}\right)=2+\sqrt{3} $，故存在 $ \xi\in\left(0,\frac{\pi}{3}\right)\subset\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $，使 $ \varphi(\xi)=\frac{2}{\pi-2} $.

1. 提示：分别在 $ [0, c] $ 和 $ [c, 1] $ 上对 $ f(x) $ 运用拉格朗日中值定理，产生 $ [\xi_{1}, \xi_{2}] $，再在 $ [\xi_{1}, \xi_{2}] $ 上对 $ f'(x) $ 运用拉格朗日中值定理.

1. 提示：构造函数 $ F(x) = \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}} $ 证明 $ F(x) $ 为常值函数.

1. 提示：利用柯西中值定理.

习题3-2

1. (1) 2; (2) 2; (3) $ -\frac{1}{8} $; (4) $ \frac{1}{2} $; (5) $ \frac{m}{n}a^{m-n} $; (6) $ \frac{2}{a} $; (7) $ \infty $; (8) $ \infty $;

(9) -1; (10) $ -\frac{2}{3} $; (11) $ -\frac{e}{2} $; (12) 0; (13) $ e^{\frac{1}{6}} $; (14) 1; (15) 1; (16) $ e^{-1} $;

(17) $ \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} $.

2.（1）提示： $ \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\sin x}=\mathrm{e}^{\sin x}(\mathrm{e}^{x-\sin x}-1) $;

（2）提示： $ 1-\cos^{2}x=\sin^{2}x\sim x^{2} $， $ \sqrt{1+x}-1\sim\frac{1}{2}x $；

(3) $ \sin x \sim x $, $ \ln(1 + x^3) \sim x^3 $;

(4) $ -\frac{1}{3} $; (5) 分子有理化;

(6) $ \frac{\sin^{2}x-x^{2}\cos^{2}x}{x^{2}\sin^{2}x} \sim \frac{\sin x+x\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\sin x-x\cos x}{x^{3}} $

3.（1）0；（2）1；（3）1.

1. 提示： $ \frac{f(1-\cos x)}{\tan^{2}x}=\frac{f(1-\cos x)-f(0)}{1-\cos x}\cdot\frac{1-\cos x}{\tan x^{2}}\rightarrow\frac{f'(0)}{2} $

$$ f^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}=\cdots=0,\quad\lim_{x\to0}f^{\prime}(x)=\lim_{x\to0}\frac{2\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}=\cdots=0=f^{\prime}(0). $$

习题3-3

1. $ f(x) = -6 + 12(x + 1) - 7(x + 1)^2 + 2(x + 1)^3 + o((x + 1)^3) $.

1. $ f(x) = -1 - (x + 1) - (x + 1)^2 - \cdots - (x + 1)^n + \frac{(-1)^n}{\xi^{n+2}} (x + 1)^{n+1} $ （ $ \xi $ 介于 -1 与 x 之间）.

1. $ f(x)=x+x^{2}+\frac{x^{3}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{(n-1)!}+\frac{(\xi+n+1)\mathrm{e}^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1} $ （ $ \xi $介于0与x之间）.

1. (1) $ f(x) = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x - 1)^n + o((x - 1)^n) $;

(2) $ f(x) = 1 + (2x) + \frac{1}{2!}(2x)^2 + \cdots + \frac{\alpha^n}{n!}x^n + o(x^n) $.

1. (1) -1; (2) $ \frac{1}{3} $; (3) $ -\frac{1}{12} $; (4) $ \frac{149}{720} $.

1. 提示：将 $ f(x) $ 在动点 x 处展开.

1. 提示：设 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处取得最小值，则 $ f'(x_{0})=0 $.

1. 2.7182818; 9. 0.996192, $ R\lt 2.5\times10^{-6} $

1. $ R \lt \frac{1}{24} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 \sqrt{e} \lt \frac{1}{192} \lt 0.01 $; $ \sqrt{e} \approx 1.646 $.

习题3-4

1.（1）在 $ (-∞,0] $与 $ [2,+∞) $上单增，在 $ [0,1) $与 $ (1,2) $上单减；

(2) 在 $ (-∞, -\sqrt{2}] $ 与 $ [0, \sqrt{2}] $ 上单增；在 $ [- \sqrt{2}, 0] $ 与 $ [\sqrt{2}, + ∞) $ 上单减；

（3）在 $ (-∞,0) $与 $ (0,\sqrt[3]{3}] $上单减；在 $ [\sqrt[3]{3},+∞) $上单增.

（4）在 $ \left(0,\ \frac{1}{2}\right] $上单减，在 $ \left[\frac{1}{2}+\infty\right) $上单增.

1. 当 $ a \gt \frac{1}{e} $，方程无实根；当 $ a = \frac{1}{e} $，方程有唯一实根， $ x = e $；当 $ 0 \lt a \lt \frac{1}{e} $ 时，方程有 2 个实根。

1. 提示：取 $ b = a - \frac{f(a)}{k} $，证明 $ f(a)f(b) \lt 0 $.

1. （1）极小值 $ f(0)=0 $， $ f(a)=0 $，极大值 $ f\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{1}{16}a^{2} $；

（2）极小值 $ f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}} $;

（3）在 $ x=2k\pi+\frac{3}{4}\pi $ 处取极大值 $ \frac{1}{\sqrt{2}}e^{2k\pi+\frac{3}{4}\pi} $，

在 $ x=(2k-1)\pi+\frac{1}{4}\pi $ 处取极小值 $ -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{2k\pi-\frac{\pi}{2}} $;

(4) x=1 时取极大值 $ f(1)=1 $;

(5) 无极值；

(6) $ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} $ 时取极大值 $ \frac{2}{3\sqrt{3}} $，在 x = 0， $ x = \pm 1 $ 时取得极小值 0.

1. a=0, b=-3, 极小值 $ f(1)=-2 $, 极大值 $ f(-1)=2 $.

8.（1）最小值 $ y(0)=0 $，最大值 $ y(4)=8 $；

(2) 最小值 $ f(-3)=27 $，无最大值；

（3）最大值 $ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 $，无最小值；

（4）最小值 $ f(1)=f(2)=0 $，最大值 $ f(-10)=132 $.

1. 提示：建议先求斜高一定（等于 r）时体积最大的锥体体积，割下角 $ \alpha = 2\pi\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right) $，约合 $ 66^{\circ} $.

1. $ h = \frac{a}{\sqrt{2}} $;

1. $ x = \sqrt{30} $

习题3-5

1.（1）在 $ (-∞,0) $ 内向下凸，在 $ (0,+∞) $ 内向下凸；

(2) 当 $ x \lt ae^{\frac{3}{2}} $ 曲线向上凸，当 $ x \gt ae^{\frac{3}{2}} $ 曲线向下凸，拐点 $ \left(ae^{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}}\right) $;

(3) $ \left[-1,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right] $ 曲线向上凸， $ \left[-\frac{1}{\sqrt{2}},1\right] $ 曲线向下凸，拐点 $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{4}}\right) $;

（4） $ (-\infty, -1] $ 曲线向上凸，[ -1, 1 ] 曲线向下凸，[1, +\infty ) 曲线向上凸；拐点 $ (-1, \ln 2) $ 和 $ (1, \ln 2) $;

(5) $ (-∞, b) $ 曲线向上凸， $ [b, +∞) $ 曲线向下凸，拐点 $ (b, a) $;

（6）曲线向上凸，无拐点.

1. $ a = -\frac{3}{2} $, $ b = \frac{9}{2} $.

1. 三个拐点： $ M_{0} $（-1，1）， $ M_{1}\left(2+\sqrt{3},\frac{-1+\sqrt{3}}{4}\right) $，

$$ M_{2}\left(2-\sqrt{3},-\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{3}\right)\right);\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{y_{2}-y_{0}}{x_{2}-x_{0}}=\frac{1}{4} $$

1. $ f(x) = x^{6} - 3x^{4} + 3x^{2} $.

1. $ k = \pm \frac{5}{48} \sqrt{\frac{5}{3}} $.

7.（1）在 $ (-∞, +∞) $内曲线向下凸；

（2）在 $ (0, +\infty) $内曲线向下凸 $ (n \geqslant 2) $;

（3）在 $ (0, +\infty) $内曲线向下凸.

9.（1）铅直渐近线 x=5 与 x=-1，水平渐近线 y=0；

(2) 铅直渐近线 $ x = -\frac{1}{e} $，斜渐近线 $ y = x + \frac{1}{e} $;

（3）铅直渐近线 x=0，斜渐近线 $ y=x+3 $；

（4）斜渐近线 $ y=\frac{\pi}{2}x-1 $，与 $ y=-\frac{\pi}{2}x-1 $；

（5）铅直渐近线 x = -1，斜渐近线 $ y = \frac{x}{2} - 1 $；

（6）斜渐近线 y=x+2.

习题3-6

1. k = 0.

1. k = 2.

1. $ k = \frac{1}{2\sqrt{2}} $.

1. $ \frac{2+\pi^{2}}{a(1+\pi^{2})^{\frac{3}{2}}} $. 5. k=1. 6. $ x=\frac{\sqrt{2}}{2} $.

1. $ k = \frac{1}{5} \left( = \frac{1}{R} \right) $.

1. 拱桥方程 y=0.25-\frac{x^{2}}{400}, k=\frac{1}{200}, \rho=200.

总练习题三

1. 提示： $ Q(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\sqrt{x^{2}+x}-x) $，讨论 x=0 时 $ \theta=\frac{1}{4} $，x\gt 0 时， $ 0\leq\sqrt{x^{2}+x}-x\lt \frac{1}{2} $.

1. $ \xi = \frac{1}{2} $ 或 $ \xi = \sqrt{2} $.

1. (1) $ \frac{1}{2}(n+1) $; (2) $ -\frac{1}{2} $; (3) $ \frac{a^{2}}{2} $; (4) 1.

1. (1) $ f(0) = 0 $, $ f'(0) = 0 $, $ f''(0) = 4 $; (2) $ \mathrm{e}^{2} $.

1. 提示：运用拉格朗日中值定理与连续函数的性质.

1. 构造函数，运用罗尔定理.

1. 提示：构造函数 $ f(x)=(1+a+x)\ln(1+a+x)-(1+x)\ln(1+x) $ 在 $ [0,b] $ 运用拉格朗日中值定理.

1. 提示：令 $ F(x)=f(x_{0}+xh)-f(x_{0}-xh) $ 在 $ [0,1] $ 上应用拉格朗日中值定理.

1. 反证法：反例 $ f(x)=\sin\frac{1}{x} $ 在 $ \left(0,\ \frac{1}{2}\right) $ 内有界，但 $ f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}\cos\frac{1}{x} $ 无界.

1. 提示：将 $ f(x) $ 在 c 处展开成一阶泰勒公式.

第四章

习题4-1

1. (1) $ -\frac{1}{x} + \arctan x + C $; (2) $ \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2}x^{2} - 2\sqrt{x} + x + C $;

(3) $ 4^x \ln 4 + 9^x \ln 9 + 2 \cdot 6^x \ln 6 + C $; (4) $ \tan x - \sec x + C $;

(5) $ \tan x - \cot x + C $; (6) $ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x + C $;

(7) $ \sin x - \cos x + C $; (8) $ \frac{1}{x} - \frac{1}{3x^{3}} + \arctan x + C $;

$$ -\frac{2}{\ln^{3}\left(\frac{1}{3}\right)},\frac{1}{9\ln^{2}\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}+C;\quad(10)\quad x+\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}+\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+C; $$

(11) $ \tan x + x + C $.

1. (1) $ \frac{\ln\sin x}{\sin x}\cos xdx $; (2) $ \frac{1}{2}\left[\frac{\cos x-\sin^{2}x}{\left(1+x\sin x\right)^{2}}\right]^{2}+C $.

1. $ \frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}} $

习题4-2

1. (1) $ -\frac{1}{8}(3-2x)^{4}+C $; (2) $ \frac{1}{2}\ln|1+2x|+C $;

(3) $ \frac{5}{3}e^{3x} + C $; (4) $ -\cos e^{x} + C $;

(5) $ -\sin \frac{1}{x} + C $; (6) $ \ln |\ln x| + C $;

(7) $ \frac{2}{9}(1+x^{3})^{\frac{3}{2}}+C $; (8) $ e^{x+\frac{1}{x}}+C $;

(9) $ \frac{1}{3}\arcsin\frac{3}{2}x+C $; (10) $ \frac{1}{3}\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right|+C $;

(11) $ \frac{1}{2}\arcsin\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\sqrt{9-4x^{2}}+C $; (12) $ \frac{1}{2}\left(\cos x-\frac{1}{5}\cos5x\right)+C $;

(13) $ \sin x - \frac{1}{3}\sin^{3}x + C $; (14) $ \frac{1}{3}\sec^{3}x - \sec x + C $;

(15) $ \frac{1}{2}\arctan(\sin^2 x) + C $; (16) $ -\frac{1}{\arcsin x} + C $;

(17) $ \frac{1}{4}\left(\ln|x|-\frac{1}{6}\ln\left(x^{6}+4\right)\right)+C $; (18) $ x-\ln\left(e^{x}+1\right)+C $;

(19) $ -\frac{1}{x\ln x} + C $; (20) $ (\arctan\sqrt{x})^2 + C $;

(21) $ \mathrm{e}^{\arctan x} + \frac{1}{4}\ln^{2}(1+x^{2}) + C $; (22) $ \ln\left|\frac{\sin x}{1+\sin x}\right| + C $.

1. $ -x^{2}-\ln|1-x|+C $

1. (1) $ \arccos\frac{1}{x}+C $; (2) $ \{\begin{aligned}&\sqrt{x^{2}-1}+\arccos\frac{1}{x}+C,\quad 当 x\lt -1,\\&\sqrt{x^{2}-1}-\arccos\frac{1}{x}+C,\quad 当 x\gt 1;\end{aligned}. $

(3) $ \arcsin x - \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} + C $;

(4) $ \frac{1}{2}(\arcsin x + \ln |x| + \sqrt{1 - x^2}| + C) $;

(5)

$$ \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+C; $$

(6) $ a\arcsin\frac{x}{a}-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C $;

(7) $ \frac{4}{3}\sqrt[4]{x^{3}} - \frac{4}{3}\ln(1 + \sqrt[4]{x^{3}}) + C $;

(8) $ 2\ln(\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}-1)-x+C; $

(9) $ \ln|x-1|+\sqrt{x^{2}-2x-3}|+C $;

(10) $ -\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}+C. $

习题4-3

1. (1) $ (x^{2}-2x+2)\mathrm{e}^{x}+C $; (2) $ \frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\sin x-2x\cos x+2\sin x+C $;

$$ x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\sqrt{1+x^{2}}+C;\quad(4)\quad x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C; $$

(5) $ x\tan x + \ln|\cos x| - \frac{1}{2}x^2 + C $; (6) $ x\tan x + \ln|\cos x| + C $;

(7) $ -\frac{1}{2}e^{-x^2}(x^2+1)+C $; (8) $ -\cos x\ln\tan x-\ln|\csc x-\cot x|+C $;

$$ \sqrt{1+x^{2}}\arctan x-\ln|x+\sqrt{1+x^{2}}|+C;\quad(10)\quad-\frac{1}{13}\mathrm{e}^{-3x}(3\sin2x+2\cos2x+C); $$

(11) $ 3\mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}}(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+2)+C $; (12) $ 2x\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}-4\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}+4\arctan\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}+C $;

(13) $ -2\sqrt{1-x}\arcsin\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C $.

1. (1) $ \cos x - 2 \frac{\sin x}{x} + C $; (2) $ x \ln x + C $.

习题4-4

1. (I) $ \ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^{2}}}+C $;

$$ \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+x+1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2\sqrt{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)}{3}; $$

(3) $ \ln|x+1|-\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-x+1\right)+\sqrt{3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C $;

(4) $ x^{2}-x+\frac{1}{6}\ln\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C; $

(5) $ \frac{1}{20}\ln\frac{\left|x^{10}-2\right|}{x^{10}}+C $;

(6) $ \ln\frac{e^{x}+1}{e^{x}+2}+C $;

(7) $ \frac{1}{3}\ln\frac{1-\sin x}{2+\sin x}+C $;

(8) $ -\frac{1}{6}\left(\frac{2-x}{x}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\left(\frac{2-x}{x}\right)^{\frac{1}{2}}+C $;

(9) $ \frac{4}{3}[x^{\frac{3}{4}}-\ln(1+x^{\frac{3}{4}})]+C $;

(10) $ -\frac{6}{7}t^7 + \frac{6}{5}t^5 + \frac{3}{2}t^4 - 2t^3 - 3t^2 + 6t + 3\ln(1+t^2) - 6\arctan t + C $，其中 $ t = \sqrt[6]{x-1} $；

(11) $ \frac{1}{4}\ln\left|\frac{2+\tan\frac{x}{2}}{2-\tan\frac{x}{2}}\right|+C $;

(12) $ \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\right|+C $;

(13) $ -\ln|\cot x|-\frac{1}{2}\cot^{2}x+C $;

(14) $ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C $;

(15) $ \frac{1}{2}(x-\ln|\sin x+\cos x|+C) $.

总练习题四

1. (1) B; (2) B; (3) C.

1. (1) $ x + e^{x} + C $; (2) $ -\frac{1}{3}\sqrt{(1 - x^{2})^{3}} + C $; (3) $ \mathrm{e}^{-x}(x + 1) + C $.

1. $ \frac{1}{8}\tan^{2}\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C. $

1. $ -\frac{\arctan x}{x}-\frac{1}{2}(\arctan x)^2+\frac{1}{2}\ln\frac{x^2}{1+x^2}+C. $

1. $ \mathrm{e}^{2x}\tan x+C $

1. $ \frac{1}{2}\ln^{2}x $

1. $ \{\begin{array}{l}x\ln x-x+C,\ x\geqslant1,\\\frac{x}{2}-\arctan x+\frac{\pi}{4}-\frac{3}{2}+C,\ x\lt 1.\end{array}. $

1. $ A = -\frac{b}{a^{2} - b^{2}}, B = \frac{a}{a^{2} - b^{2}}. $

1. $ (x^{2}-5)\cos x-\frac{2}{x}(2x^{2}-1)\sin x+C $

第五章

习题5-1

1. (1) 0; (2) 0; (3) $ \frac{1}{2}\pi $.

1. (1) $ \int_{0}^{1} x^{2} \, dx \geqslant \int_{0}^{1} x^{3} \, dx $; (2) $ \int_{3}^{4} \ln x \, dx \leqslant \int_{3}^{4} \ln^{2} x \, dx $;

(3) $ \int_{-1}^{0} e^{x} \, dx \leqslant \int_{0}^{1} e^{x} \, dx $; (4) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \, dx $.

1. $ [-2e^{2}, -2e^{-\frac{1}{4}}] $.

1. $ \frac{8}{3} $

1. $ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx $

1. (1) 0; (2) 0.

1. 提示：用反证法.

习题5-2

1. (1) $ 2x\sqrt{1+x^{4}} $; (2) $ \frac{-3x^{2}}{\sqrt{1+x^{6}}} $;

(3) $ -\sin xe^{\cos^{2}x}-\cos xe^{\sin^{2}x} $

1. (1) $ \frac{\pi}{6} $; (2) $ \arctan 3 - \frac{\pi}{6} $; (3) $ 1 - \frac{\pi}{4} $; (4) 4; (5) $ \frac{8}{3} $.

1. (1) 1; (2) 0.

1. $ \phi(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{3}x^{3},&0\leqslant x\lt 1,\\&\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{6},&1\leqslant x\leqslant2.\end{aligned}. $

1. 提示：设 $ F(x) = (a + x) \int_{a}^{x} f(t) \, dt - 2 \int_{a}^{x} t f(t) \, dt. $

习题5-3

1. (1) $ \sqrt{2}(\pi+2) $; (2) $ 1-\frac{\pi}{4} $; (3) $ \frac{\pi a^{4}}{16} $; (4) $ \sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3} $; (5) $ \frac{5}{3} $; (6) $ \ln\frac{2e}{1+e} $;

(7) $ 2(\sqrt{3}-1) $; (8) $ \frac{\pi}{4}-\frac{2}{3} $; (9) $ \frac{4}{3} $; (10) $ 2\left(1-\frac{1}{e}\right) $; (11) $ \frac{\pi^{3}}{6}-\frac{\pi}{4} $; (12) $ \frac{1}{2} $ ( $ \sin 1-\cos 1+1 $); (13) 0; (14) $ 0\left(提示：换元令 x=\frac{\pi}{2}-t\right) $.

1. $ \ln(e+1) $.

1. $ 200\sqrt{2} $.

1. $ x + \frac{2}{\pi + 1} $.

1. $ \frac{1}{110} $.

1. 提示： $ \int_{2}^{4}f(x)dx=\int_{2}^{3}f(x)-f(2)dx+\int_{3}^{4}f(x)-f(4)dx. $

1. (2) 提示：利用 $ F(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上有界，得 $ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} F(x) = 0 $.

习题5-4

1. (1) $ 4 \frac{1}{2} $; (2) $ \frac{3}{2} - \ln 2 $; (3) $ \frac{2}{3} $; (4) $ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} $; (5) $ 3 \pi a^{2} $.

1. (1) $ \frac{\pi}{4}a^{2} $; (2) $ \frac{5}{4}\pi $.

1. $ a = -\frac{1}{2} $.

1. (1) $ 12\pi $; (2) $ \pi\ln 3 $; (3) $ \frac{128}{7}\pi $; $ \frac{6}{5}\pi $.

1. $ \frac{32}{105}\pi $

1. $ 7\pi^{2}a^{3} $

1. $ \frac{4}{3}\sqrt{3}R^{3} $

1. (1) $ \frac{1}{4}(e^{2}+1) $; (2) $ \left(1-\frac{1}{e}\right)\sqrt{e^{2}+1}+\ln\frac{e+\sqrt{e^{2}+1}}{1+\sqrt{e^{2}+1}}+1 $.

1. 6a.

习题5-5

1. $ (\sqrt{2}-1) $ cm. 2. $ \frac{1}{4}eg\pi R^{4} $. 3. $ \frac{2}{3}egR^{2} $. 4. $ eg\int_{a}^{b}xf(x)dx $. 5. $ \frac{GMm}{a(a+l)} $. 6. $ \frac{\pi}{4}a $.

1. 12 m/s. 8. $ \frac{2}{\pi}I_{m} $

习题5-6

1. (1) $ \frac{1}{2} $; (2) 发散; (3) $ \frac{1}{1+\alpha^{2}} $; (4) $ \frac{1}{2} $; (5) 发散; (6) 1; (7) $ \frac{8}{3} $; (8) $ \frac{\pi}{2} $;

(9) 发散；(10) $ \frac{\pi}{2} + \ln(2 + \sqrt{3}) $.

1. 当 k \gt 1 时，收敛于 $ \frac{1}{(k-1)(\ln 2)^{k-1}} $；当 $ k \leq 1 $ 时发散.

1. n!

总练习题五

1. (1) (D); (2) (A); (3) (B).

1. (1) $ \sin x^{2} $; (2) $ \frac{\pi}{4} $; (3) $ \ln 3 $; (4) 2.

1. $ xf(x^{2}) $

1. $ x + \frac{2}{3} $.

1. (1) $ \frac{\pi}{6} $; (2) $ 2\ln 2 - 1 $.

1. $ 4\sqrt{2} $. 10. $ \frac{16}{3}\pi - 2\sqrt{3} $.

1. $ \frac{\pi}{4} $

1. 提示：将不等式 $ \int_{a}^{b}\left(f(x)+tg(x)\right)^{2}dx\geqslant0 $ 左端的被积函数展开为参数 t 的二次三项式.

1. 提示：用13题的不等式.

1. 提示：用 Taylor 公式和介值定理证明.

第六章

习题6-2

1. 模2；方向余弦 $ -\frac{1}{2} $， $ \frac{1}{2} $， $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

1. $ m = \pm \frac{2}{3} \{2, -1, 2\} $.

1. $ A(3, 3\sqrt{2}, 3) $.

1. 11; -9j.

习题6-3

$$ k=\pm\frac{1}{3}. $$

1. 4.

1. $ \frac{2\pi}{3} $

1. $ \sqrt{3} $; $ \pm\{\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}\} $.

1. $ \frac{1}{6} $

1. (1) $ \frac{3}{\sqrt{14}} $; (2) $ \frac{3}{\sqrt{6}} $; (3) $ \frac{3}{\sqrt[2]{21}} $.

习题6-4

1. (1) $ 2y + z + 2 = 0 $; (2) $ x - y + z = 0 $.

1. x-3y-2z+4=0.

1. y-2z=0.

1. x-5y-3z-16=0.

5.（1，2，1）；2.

1. $ x + y + z - 2 = 0 $.

1. $ \frac{1}{3} $, $ \frac{2}{3} $, $ \frac{2}{3} $.

1. $ y + z = 0 $ 或 y - z = 0.

1. 2x-3y+z-5=0 或 2x-3y+z-3=0.

习题6-5

1. (1) $ \frac{x-4}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{1} $,

$ x=4+3t,\ y=-2+2t,\ z=3+t. $

(2）$\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}$，

x = 1 + 4t, y = -t, z = -2 - 3t.

1. x-5y-3z+2=0.

1. x - 8y - 13z + 9 = 0.

1. $ (-3, 2, 1) $; $ \frac{\pi}{4} $.

1. C=3, D=-9.

1. $ (-2, 0, 1) $.

1. $ \left(\frac{2}{7},\frac{13}{7},\frac{-3}{7}\right) $.

1. $ \frac{x}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1} $.

1. 5x - 3y + z - 3 = 0.

1. $ \{\begin{aligned}&4y-4z-7=0,\\&x+y+z-1=0.\end{aligned}. $

1. $ \frac{x+1}{16}=\frac{y}{19}=\frac{z-4}{28} $.

习题6-6

1. $ 2x - 4y + 4z + 3 = 0 $.

2.（1）两个平面；（2）双曲柱面；（3）椭圆柱面；（4）球面；（5）以（0，0，1）为顶点，半顶角为 $ \frac{\pi}{4} $的下半锥面；（6）以 $ \{\begin{aligned}&(x-R)^{2}+y^{2}=R^{2},\\ &z=0\end{aligned}. $为准线，母线平行于z轴的圆柱面；（7）双曲抛物面.

1. (1) $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $; (2) $ 4x^{2}+9(y^{2}+z^{2})=36 $;

(3) $ y^{2}-(x^{2}+z^{2})=1 $; (4) $ 5x=z^{2}+y^{2} $

1. $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = Rz $

习题6-7

1.（1）圆；（2）椭圆；（3）半圆弧；（4）双曲线.

1. $ \{\begin{array}{l}(x-2)^{2}+(y-5)^{2}+(z+1)^{2}=9,\\ y=4.\end{array}. $

1. $ 4y^{2}+7z^{2}=8 $

1. $ \{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=Rx,\\z=0;\end{array}. $ $ \{\begin{array}{l}z^{2}+Rx-R^{2}=0,\\y=0.\end{array}. $

1. $ \{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=a^{2},\\y=z;\end{array}. $ 椭圆.

1. (1) $ \begin{cases} x = \sqrt{2} \cos t, \\ y = \sqrt{2} \cos t, \\ z = 2 \sin t \end{cases} $ (0 ≤ t ≤ 2π);

(2) $ \begin{cases} x = 1 + \sqrt{3} \cos t, \\ y = \sqrt{3} \sin t, \\ z = 0 \end{cases} \quad (0 \leqslant t \leqslant 2\pi) $.

1. $ x^{2}+y^{2}\leq4 $; $ x^{2}\leq z\leq4 $; $ y^{2}\leq z\leq4 $.

总练习题六

1. (1) $ -\frac{26}{3} $, $ \frac{2}{3} $; (2) 4; (3) $ -\frac{3}{2} $.

1. $ -4 $, 2, -4.

1. (1) 不能；(2) 不能；(3) 能，因为 $ a \perp (b-c) $，且 $ a \parallel b-c $，故 b-c=0.

1. {14, 10, 2}.

1. z = -4, $ \theta_{\min} = \frac{\pi}{4} $.

1. $ c = 5a + b $

1. $ \pm\frac{1}{\sqrt{93}}|5,8,-2| $.

$$ \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{-4}. $$

1. 17x - 9y - 11z + 3 = 0.

1. 异面； $ d=\frac{\sqrt{3}}{3} $.

11.

$$ \left(0,0,\frac{1}{5}\right) $$

12.

$$ 5x^{2}-3y^{2}=1. $$

1. $ x^{2}+y^{2}=(2z+1)^{2}+1 $;

$$ y^{2}+z^{2}=1+\frac{\left(x-1\right)^{2}}{4}. $$