第7章 微分方程

第7章

微分方程

第一节 微分方程的基本概念

一、 微分方程的定义

定义1：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，叫作微分方程，有时也简称方程.

评注

方程中必须出现未知函数的导数或微分才能称为微分方程

定义2：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫作微分方程的阶

657 基础题 下列方程是微分方程的是（）. 答案 →

$$ x^{2}+x+1=0 $$

(B) $ y^{2}+2x+1=0 $

$$ x^{2}y^{2}+y=3 $$

(D) $ x^{2} + y' + y = 2 $

658 基础题 微分方程 $ y'' - 2x(y')^3 + y^2 = 0 $ 的阶数是（）. 答案 →

微分方程 $ x\mathrm{d}y + (x + y)\mathrm{d}x = 0 $ 的阶数是（）. 答案 →

二、 微分方程解的定义

定义1：满足微分方程的函数，称为微分方程的解.

定义2：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解.

评注

通解里所说的任意常数是独立的，也就是说，它们不能合并而使得任意常数的个数减少.

定义 3：微分方程的不含任意常数的解，称为特解.

定义4：由通解确定特解的条件，称为初始条件.

660 基础题 判断 $ y=5x^{2} $ 是否是微分方程 $ xy'-2y=0 $ 的解，是通解还是特解？ 答案 →

661 基础题 验证 $ y = C_1 \cos x + C_2 \sin x $ 是微分方程 $ y^n + y = 0 $ 的解，并求满足初始条件 $ y(0) = 2, y'(0) = 3 $ 的特解. 答案 →

662 中等题 已知函数 $ y=\frac{1}{2}x^2 + x + C $，微分方程 $ y'' - y' = -x $，下列说法正确的是 ( )。 答案 →

(A) y 是微分方程的通解

(B) y 是微分方程满足条件 $ y|_{x=0}=1 $ 的特解

(C) y 是微分方程的解

(D) 以上都不对

663 中等题 判断二元方程 $ y = \ln(xy) $ 所确定的函数是否为微分方程 $ (xy - x)y'' + x(y')^2 + yy' - 2y' = 0 $ 的解，是通解还是特解？ 答案 →

第二节 可分离变量的微分方程

一、 可分离变量微分方程的定义

定义：形如 $ \frac{dy}{dx}=f_1(x)f_2(y) $或 $ M_1(x)M_2(y)dx+N_1(x)N_2(y)dy=0 $的微分方程称为可分离变量的微分方程.

二、 可分离变量微分方程的求解方法

第1步：分离变量. 一般地，把方程中与y有关的项移到左边，与x有关的项移到右边得

$$ g(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x； $$

第2步：上式两边同时积分，得 $ \int g(y)dy = \int f(x)dx $，则方程的隐式通解为 $ G(y) = F(x) + C $。

第3步：化简整理. 将上面得到的隐式通解尽量化简，能整理出显函数的形式最好，不好整理的，微分方程的通解写成隐函数的形式也是可以的.

664 基础题 下列微分方程不是一阶变量可分离的微分方程的是（）. 答案 →

(A) $ y' + xy = 0 $

(B) $ y^{2}dx + (2x + 1)dy = 0 $

(C) $ y' = xy e^{x + y} $

(D) $ (x-y)\mathrm{d}x+(x+y)\mathrm{d}y=0 $

665 基础题 求微分方程 $ \frac{dy}{dx} = \frac{y(1-x)}{x} $ 的通解. 答案 →

666 基础题 求微分方程 $ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x \cos x}{y^2} $ 的通解. 答案 →

667 基础版 求微分方程 $ (1 + e^x)dy - ye^x dx = 0 $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 2 $ 的特解. 答案 →

668 基础题 求微分方程 $ (xy^2 + x)\mathrm{d}x + (y - x^2y)\mathrm{d}y = 0 $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 1 $ 的特解. 答案 →

669 中等题 求微分方程 $ e^{x-y}dx + ydy = 0 $ 满足初始条件 $ y\big|_{x=0} = 1 $ 的特解. 答案 →

670 中等题 已知曲线 $ y = y(x) $ 上任一点 $ P(x, y) $ 处的切线斜率为 $ \frac{y^2}{1+x^2} $，且曲线过 $ (0, -1) $ 点，求该曲线的方程. 答案 →

671 中等题 设 $ f(x) $ 为连续函数，且满足 $ f(x)=\int_{0}^{3x}f\left(\frac{t}{3}\right)dt+2 $，求 $ f(x) $. 答案 →

672 中等题 设当 $ x \geq 0 $ 时 $ f(x) $ 有一阶连续导数，并且满足 $ f(x) = 2 \int_{0}^{x} (x - t) f(t) f'(t) dt + x - 1 $，求当 $ x \geq 0 $ 时的 $ f(x) $. 答案 →

673 中等题 设函数 $ f(x) $ 连续，且满足 $ \int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} t f(x - t) dt + x $，求 $ f(x) $ 的表达式. 答案 →

674 中等题 设非零函数 $ f(x) $ 连续，且满足 $ f(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt+2\int_{0}^{1}tf^{2}(t)dt $，求 $ f(x) $ 的表达式. 答案 →

675 中等题 设函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty,+\infty) $ 内可导，且满足 $ f'(x)=\frac{x}{1+x^2}f(x) $， $ f(0)=a $。若 $ \int_0^{\sqrt{3}} x f(x) \, dx = 7 $，求 $ a $ 的值。 答案 →

676 中等题 求微分方程 $ y' = y^{2} + 2(\sin x - 1)y + \sin^{2}x - 2\sin x - \cos x + 1 $ 的通解、 答案 →

677 中等题 求微分方程 $ y(xy+1)\mathrm{d}x+x(1+xy+x^{2}y^{2})\mathrm{d}y=0 $ 的通解. 答案 →

第三节 齐次方程

一、 齐次方程的定义

定义：形如 $ \frac{dy}{dx}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right) $的微分方程称为齐次方程.

二、 齐次方程的求解方法

第1步：变量代换. 令 $ u = \frac{y}{x} $，则 $ y = xu $， $ \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx} $. $ \triangleleft $ 这一步最关键

第2步：代入方程并分离变量. $ u + x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \varphi(u) \Rightarrow \frac{1}{\varphi(u) - u} \mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x $.

第3步：两端积分得. $ \Phi(u) = \ln|x| + C $.

第4步：回代整理. 以 $ \frac{y}{x} $代替u，并化简整理，即可得原齐次方程的通解.

678 基础题 下列方程是齐次方程的是 ( ). 答案 →

(A) $ y' + y = 0 $ (B) $ y^{2}dx + xdy = 0 $

(C) $ y' + xy = e^{x} $ (D) $ x^{2}y' + xy = y^{2} $

679 基础题 求微分方程 $ \frac{dy}{dx}=2\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x} $ 的通解. 答案 →

680 基础题 求微分方程 $ \frac{dy}{dx} = \sec\frac{y}{x} + \frac{y}{x} $ 的通解. 答案 →

681 基础题 求微分方程 $ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} $ 满足初始条件 $ y|_{x=1} = 2 $ 的特解. 答案 →

682 基础题 已知曲线 $ y = y(x) $ 通过点 $ (1,0) $，且每一点 $ (x,y) $ 处切线的斜率等于 $ 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2 $，求该曲线的方程. 答案 →

683 中等题 求微分方程 $ y(x-y)\mathrm{d}x + x^{2}\mathrm{d}y = 0 $ 满足初始条件 $ y\big|_{x=1} = 1 $ 的特解. 答案 →

684 中等题 求微分方程 $ xy' + y(\ln x - \ln y) = 0 $ 满足初始条件 $ y(1) = e^{3} $ 的特解. 答案 →

685 中等题 求微分方程 $ (1+2\mathrm{e}^{\frac{x}{y}})\mathrm{d}x+2\mathrm{e}^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)\mathrm{d}y=0 $ 的通解. 答案 →

686 中等题 求微分方程 $ \left(2y\sin\frac{x}{y}+3x\cos\frac{x}{y}\right)\mathrm{d}y-3y\cos\frac{x}{y}\mathrm{d}x=0 $ 的通解. 答案 →

第四节 一阶线性微分方程

一、 一阶线性齐次方程的定义

定义：形如 $ \frac{dy}{dx}+P(x)y=0 $的微分方程称为一阶线性齐次方程.

评注

一阶线性齐次方程其实是特殊的变量可分离方程

二、 一阶线性齐次方程的求解方法

方法1：分离变量，两端积分，化简整理

方法2：套公式 $ y = Ce^{-\int P(x)dx} $，C为任意常数.

687 基础题 求微分方程 $ \frac{dy}{dx} + 2xy = 0 $ 的通解. 答案 →

688 基础题 求微分方程 $ \frac{dy}{dx} = y \tan x $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 1 $ 的特解. 答案 →

三、 一阶线性非齐次方程的定义

定义 形如 $ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $， $ Q(x)\neq0 $的微分方程称为一阶线性非齐次方程.

四、 一阶线性非齐次方程的求解方法

方法1：常数变易法．把齐次方程通解 $ y = Ce^{-\int P(x)dx} $ 中的 C 换成关于 x 的未知函数 $ C(x) $，将 $ y = C(x)e^{-\int P(x)dx} $ 代入方程 $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $ 中，求出 $ C(x) $ 即可.

方法2：套公式. $ y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right) $，C为任意常数.

689 基础题 下列方程是一阶线性微分方程的是（） 答案 →

(A) $ y' + y^{2} = 0 $

(B) $ \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=\sqrt{xy} $

(C) $ y' + xy = e^x y + x^2 $

(D) $ y' + \sin(xy) = 1 $

690 基础题 求微分方程 $ \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x $ 的通解. 答案 →

691 基础题 求微分方程 $ y' + y\cos x = e^{-\sin x} $ 的通解. 答案 →

692 基础题 求微分方程 $ (x+1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y=\mathrm{e}^{x}(x+1)^{2} $ 满足 $ y(0)=2 $ 的特解. 答案 →

693 基础题 求微分方程 $ y' + y\cos x - e^{-\sin x}\ln x = 0 $ 满足 $ y(1) = 0 $ 的特解. 答案 →

694 中等题 求微分方程 $ (y^{2}-6x)y'+2y=0 $ 的通解. 答案 →

695 中等题 求微分方程 $ y^3 dx + (2xy^2 - 1) dy = 0 $ 的通解. 答案 →

696 中等题 求微分方程 $ y \mathrm{d}x + (x - 3y^{2}) \mathrm{d}y = 0 $ 满足初始条件 $ y\big|_{x=1} = 1 $ 的特解. 答案 →

697 中等题 求微分方程 $ y' = \frac{1}{x + y} $ 的通解. 答案 →

698 中等题 求微分方程 $ ydx + (x + y)dy = 0 $ 的通解. 答案 →

699 中等题 已知曲线 $ y = f(x) $ 过 $ (0,1) $ 点，且它在任意一点 $ (x,y) $ 处的切线斜率等于 $ \sec x - f(x)\tan x $，求该曲线方程. 答案 →

700 中等题 已知 $ f(x) $ 为连续函数，且满足 $ f(x)=\int_{0}^{x}tf(t)dt-x^{2} $，求函数 $ f(x) $. 答案 →

701 中等题 设函数 $ f(x) $ 连续，且满足 $ \int_0^x f(x-t)dt = \int_0^x (x-t)f(t)dt + e^{-x} - 1 $，求 $ f(x) $ 的表达式. 答案 →

第五节 可降阶的高阶微分方程

一、 $ y^{(n)}=f(x) $型的微分方程的求解方法

解法：方程两边对 x 积分 n 次，即可求通解.

702 基础题 求微分方程 $ y^{(4)}=x $ 的通解. 答案 →

703 基础题 水程 $ y''=e^{3x}+\sin2x $ 的通解. 答案 →

704 基础题 求微分方程 $ y'' = x e^{x} $ 的通解. 答案 →

705 基础题 求微分方程 $ y''=\frac{1}{1+x^2} $ 的通解. 答案 →

706 中等题 求微分方程 $ y'' = e^{2x} $ 满足初始条件 $ y|_{x=1} = y'|_{x=1} = y''|_{x=1} = 0 $ 的特解. 答案 →

707 中等题 已知一曲线经过点 $ (0,1) $ 并在此点与直线 $ y = \frac{x}{2} + 1 $ 相切，且满足 $ y^n = x $，求此曲线方程. 答案 →

二、 $ y'' = f(x, y') $ 型的微分方程的求解方法

第1步：换元. 令 $ y'=p $，则 $ y''=p' $，则原方程变为 $ p'=f(x,p) $，此方程为一阶方程.

第2步：解方程 $ p' = f(x, p) $ 。设其解为 $ p = \varphi(x, C_{1}) $ ，即 $ y' = \varphi(x, C_{1}) $ 。

第3步：两端积分．对 $ y'=\varphi(x,C_{1}) $ 两端积分即可得到原方程的通解为 $ y=\int\varphi(x,C_{1})dx+C_{2} $

708 基础题 求微分方程 $ y'' = y' + x $ 的通解. 答案 →

709 基础题 求微分方程 $ y'' + (y')^2 + 1 = 0 $ 的通解. 答案 →

710 基础题 求微分方程 $ xy'' + 3y' = 0 $ 的通解. 答案 →

711 基础题 求微分方程 $ y'' - 2y'^2 = 0 $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 0 $， $ y'^1|_{x=0} = -1 $ 的特解. 答案 →

712 基础题 求微分方程 $ (1 + x^2)y'' = 2xy' $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 1 $， $ y'|_{x=0} = 3 $ 的特解。 答案 →

三、 $ y'' = f(y, y') $ 型的微分方程的求解方法

第1步：换元. 令 $ y'=p $，则 $ y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy} $，则原方程变为 $ p\frac{dp}{dy}=f(y,p) $，此方程为一阶微分方程.

第2步：解方程 $ p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p) $. 设其解为 $ p=\varphi(y,C_{1}) $，即 $ y'=\varphi(y,C_{1}) $.

第3步：解方程 $ y' = \varphi(y, C_1) $。对 $ y' = \varphi(y, C_1) $ 分离变量可得 $ \frac{dy}{\varphi(y, C_1)} = dx $ 两端积分即可得到原方程的通解为 $ \int \frac{1}{\varphi(y, C_1)} \, dy = x + C_2 $。

评注

注意方程 $ y'' = f(y, y') $ 与 $ y'' = f(x, y') $ 的区别，前者最大的特点是不含 x，故换元时，令 $ y' = p $，要把 p 看成 y 的函数，从而 $ y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy} $.

713 基础题 求微分方程 $ yy'' + 2(y')^2 = 0 $ 的通解. 答案 →

714 基础题 求微分方程 $ yy''+(y')^2=0 $ 满足初始条件 $ y\big|_{x=0}=1 $， $ y'\big|_{x=0}=\frac{1}{2} $ 的特解. 答案 →

715 中等题 求微分方程 $ y^{3}y'' - 1 = 0 $ 的通解. 答案 →

716 中等题 求微分方程 $ y'' + (y')^2 = 1 $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 0 $， $ y'|_{x=0} = 0 $ 的特解. 答案 →

第六节 高阶线性微分方程

一、 二阶线性微分方程的定义

定义：形如 $ \frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x) $的方程称为二阶线性微分方程．当右端 $ f(x)\equiv0 $时，方程叫作齐次的；当 $ f(x)\not\equiv0 $时，方程叫作非齐次的.

二、 二阶线性微分方程解的结构

定理1：如果函数 $ y_{1}(x) $ 与 $ y_{2}(x) $ 是方程 $ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=0 $ 的两个解，则 $ y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x) $ 也是方程的解，其中 $ C_{1}, C_{2} $ 为任意常数.

定理2：如果函数 $ y_{1}(x) $ 与 $ y_{2}(x) $ 是方程 $ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=0 $ 的两个线性无关的解，则 $ y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x) $ （ $ C_{1},C_{2} $ 为任意常数）是方程的通解.

评注

(1) 注意定理1和定理2的区别：一个是解，一个是通解；

(2) 函数 $ y_{1}(x) $ 与 $ y_{2}(x) $ 线性无关 $ \Leftrightarrow \frac{y_{1}(x)}{y_{2}(x)} \neq $ 常数.

定理3：如果函数 $ y^{*}(x) $ 是二阶非齐次线性方程 $ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x)y = f(x) $ 的一个特解， $ Y(x) $ 是对应的齐次方程 $ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x)y = 0 $ 的通解，则 $ y = y^{*}(x) + Y(x) $ 是二阶非齐次线性方程的通解.

评注

(1) 由上述定理可得，二阶非齐次线性方程的通解 = 它的一个特解 + 对应齐次方程的通解，而要找二阶齐次方程的通解，需找到它的两个线性无关的解.

(2) 上面的结论可推广到 n 阶线性微分方程.

定理4：（叠加性）设 $ y_{1}^{*}(x) $与 $ y_{2}^{*}(x) $分别是方程 $ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f_{1}(x) $与 $ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f_{2}(x) $的特解，则 $ y_{1}^{*}(x)+y_{2}^{*}(x) $是 $ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x) $的特解.

717 基础题 下列函数组，在其定义区间内线性无关的是（ ）。 答案 →

(A) $ x^2, 2x^2 $

(B) $ \sin x, \cos x $

(C) $ \sin 2x, \sin x \cos x $

(D) $ e^{2x}, 3e^{2x} $

718基础题 方程 $ (x-1)y^n - xy' + y = 0 $的两个线性无关的解是（ ）. 答案 →

(A) $ x, 2x $

(B) $ e^x, 8e^x $

(C) $ x, x^2 $

(D) $ x, e^x $

719 基础题 已知 $ y_1(x) $ 是一阶线性非齐次方程 $ y' + p(x)y = f(x) $ 的一个解， $ y_2(x) \neq 0 $ 是对应的齐次方程的一个解，则方程 $ y' + p(x)y = f(x) $ 的通解是（）. 答案 →

(A) $ y = Cy_1(x) + y_2(x) $ (B) $ y = Cy_1(x) - y_2(x) $

(C) $ y = y_1(x) - Cy_2(x) $ (D) $ y = y_1(x) + y_2(x) + C $

720 基础题 已知 $ y_1(x) $ 与 $ y_2(x) $ 是方程 $ y' + p(x)y = 0 $ 的两个不同的解，则该方程的通解是（ ）。 答案 →

(A) $ y = C y_1(x) $ (B) $ y = C y_2(x) $

(C) $ y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) $ (D) $ y = C(y_1(x) - y_2(x)) $

721 基础题 已知 $ f_1(x) $ 与 $ f_2(x) $ 是方程 $ y^n + py' + qy = 0 $ 的两个不同的非零解， $ C_1, C_2 $ 为任意常数，则 $ y = C_1 f_1(x) + C_2 f_2(x) $ 是该方程通解的充分条件是（ ） 答案 →

(A) $ f_1(x) f_2'(x) - f_2(x) f_1'(x) = 0 $ (B) $ f_1(x) f_2'(x) + f_2(x) f_1'(x) = 0 $ (C) $ f_1(x) f_2'(x) - f_2(x) f_1'(x) \neq 0 $ (D) $ f_1(x) f_2'(x) + f_2(x) f_1'(x) \neq 0 $

722 基础题 验证 $ y_1 = \cos ax $， $ y_2 = \sin ax $ 都是方程 $ y^n + a^2y = 0 $ ( $ a \ne 0 $) 的解，并写出该方程的通解. 答案 →

723 基础题 验证 $ y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \frac{1}{12} e^{5x} $ （ $ C_1 $， $ C_2 $ 为任意常数）是方程 $ y^n - 3y' + 2y = e^{5x} $ 的通解. 答案 →

724 基础题 设 $ y_1(x) $， $ y_2(x) $， $ y_3(x) $ 是方程 $ y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) $ 的三个线性无关的解， $ C_1 $， $ C_2 $ 为任意常数，证明 $ y = 2C_1y_1 + (C_2 - C_1)y_2 + (1 - C_1 - C_2)y_2 $ 是该方程的通解. 答案 →

第七节 常系数齐次线性微分方程

一、 二阶常系数齐次线性微分方程的定义

定义：形如 $ y'' + py' + qy = 0 $ （其中 p, q 为常数）的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.

二、 二阶常系数齐次线性微分方程的解法

第1步：写出特征方程 $ r^{2}+pr+q=0 $

第2步：求出特征方程的两个根（特征根） $ r_{1}, r_{2} $

第3步：根据特征方程的两个根的不同情形，按照下表写出通解.

评注

二阶常系数齐次线性微分方程的概念、求解方法和通解的形式，可推广到n阶常系数齐次线性微分方程

725 基础题 下列函数可以作为方程 $ y'' + 2y' = 0 $ 的特解的是（）. 答案 →

(A) $ y = e^{x} $ (B) $ y = e^{2x} $ (C) $ y = 1 + e^{-2x} $ (D) $ y = xe^{-2x} $

726 基础题 通解为 $ y = C_1 e^{6x} + C_2 e^{-8x} $ 的二阶常系数齐次线性微分方程为 ( ), 答案 →

(A) $ y'' + 2y' + 48y = 0 $

(B) $ y'' + 2y' - 48y = 0 $

(C) $ y'' - 2y' + 48y = 0 $

(D) $ y'' - 2y' - 48y = 0 $

727 基础题 以 $ y_1 = e^{2x} \sin 3x $， $ y_2 = e^{2x} \cos 3x $ 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为（ ）。 答案 →

(A) $ y^n + 4y' + 13y = 0 $

(B) $ y^n - 4y' - 13y = 0 $

(C) $ y^n + 4y' - 13y = 0 $

(D) $ y^n - 4y' + 13y = 0 $

728 基础题 已知 $ y = xe^{2x} $ 是二阶常系数齐次线性微分方程 $ y'' + py' + qy = 0 $ 的一个特解，求 p 和 q 的值. 答案 →

729 基础题 求方程 $ y'' + 5y' + 4y = 0 $ 的通解. 答案 →

730 基础题 求方程 $ y'' + 4y' + 3y = 0 $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 2 $， $ y'|_{x=0} = 6 $ 的特解. 答案 →

731 基础题 求方程 $ 4y'' - 12y' + 9y = 0 $ 的通解. 答案 →

732 基础题 求方程 $ \frac{d^2s}{dt^2} + 2\frac{ds}{dt} + s = 0 $ 满足初始条件 $ s\big|_{t=0} = 2 $， $ s'\big|_{t=0} = -1 $ 的特解. 答案 →

733 基础题 求方程 $ y'' + 8y' + 17y = 0 $ 的通解. 答案 →

734 基础题 求方程 $ y'' + 10y' + 29y = 0 $ 满足初始条件 $ y|_{x=0} = 1 $， $ y'|_{x=0} = -1 $ 的特解. 答案 →

735 基础题 求方程 $ y'' + y'' - y' - y = 0 $ 的通解. 答案 →

736 基础题 求方程 $ y^{(4)} - y^{m} - y^{n} - y^{r} - 2y = 0 $ 的通解. 答案 →

737 中专题 已知函数 $ f(x) $ 满足 $ f'(x) = f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $，且 $ f(0) = f'(0) = 1 $，求 $ f(x) $. 答案 →

738 中等题 已知函数 $ f(x) $ 满足方程 $ f''(x) + f'(x) - 2f(x) = 0 $ 及 $ f''(x) + f(x) = 2\mathrm{e}^x $，求 $ f(x) $. 答案 →

第八节 常系数非齐次线性微分方程

一、 二阶常系数非齐次线性微分方程的定义

定义：形如 $ y'' + py' + qy = f(x) $ （其中 p, q 为常数）的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程.

二、 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

第1步：求 $ y'' + py' + qy = f(x) $ 的一个特解 $ y^{*}(x) $

第2步：求出对应齐次方程的通解 $ Y(x) $

第3步：写出方程 $ y'' + py' + qy = f(x) $ 的通解 $ y = y^*(x) + Y(x) $.

三、 二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法

情形一：若 $ f(x)=P_{n}(x) $， $ P_{n}(x) $ 是 x 的 n 次多项式，则

(1) 当 0 不是特征方程的根时，设

$$ y^{*}={R}_{n}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}; $$

(2) 当 0 是特征方程的单根时，设

$$ \boldsymbol{y}^{*}=\boldsymbol{x}\boldsymbol{R}_{n}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{a}_{0}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}_{1}\boldsymbol{x}^{2}+\boldsymbol{a}_{2}\boldsymbol{x}^{3}+\cdots+\boldsymbol{a}_{n}\boldsymbol{x}^{n+1}； $$

(3) 当 0 是特征方程的重根时，设

$$ y^{*}=x^{2}R_{n}(x)=a_{0}x^{2}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{4}+\cdots+a_{n}x^{n+2}. $$

739 基础题 求方程 $ y'' - 4y' + 3y = x $ 的一个特解. 答案 →

740 基础题 求方程 $ y'' + 5y' + 4y = 3 - 2x $ 的通解. 答案 →

741 基础题 求方程 $ 2y'' + 5y' = 5x^2 - 2x - 1 $ 的通解. 答案 →

742 中等题 若二阶常系数线性齐次微分方程 $ y'' + ay' + by = 0 $ 的通解为 $ y = (C_1 + C_2 x) e^x $，求非齐次方程 $ y'' + ay' + by = x $ 满足初始条件 $ y(0) = 2 $， $ y'(0) = 0 $ 的特解. 答案 →

情形二：若 $ f(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}P_{n}(x) $， $ P_{n}(x) $ 是 x 的 n 次多项式，则

(1) 当 $ \alpha $ 不是特征方程的根时，设

$$ y^{*}=\mathrm{e}^{ax}R_{n}(x)=\mathrm{e}^{ax}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}); $$

(2) 当 $ \alpha $ 是特征方程的单根时，设

$$ y^{*}=x\mathrm{e}^{ax}R_{n}(x)=\mathrm{e}^{ax}(a_{0}x+a_{1}x^{2}+a_{2}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n+1}) $$

(3) 当 $ \alpha $ 是特征方程的重根时，设

$$ y^{*}=x^{2}\mathrm{e}^{\alpha x}R_{n}(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}(a_{0}x^{2}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{4}+\cdots+a_{n}x^{n+2}). $$

743 基础题 设 $a, b, c$ 为常数，则微分方程 $y'' - 5y' + 6y = 3x + 2e^{2x}$ 的特解形式为（ ）。 答案 →

(A) $e^{2x}(ax + b)$

(B) $xe^{2x}(ax + b)$

(C) $ax + b + ce^{2x}$

(D) $ax + b + cxe^{2x}$

744 基础题 求方程 $ y'' - 3y' + 2y = xe^{2x} $ 的通解. 答案 →

745 基础题 已知 $ y = e^{-2x} + (x^2 + 2)e^x $ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $ y'' + ay' + by = (cx + d)e^x $ 的一个解，求 $ a, b, c, d $ 的值. 答案 →

746 中等题 已知 $ y_1 = e^{2x} + xe^x $， $ y_2 = e^{-x} + xe^x $， $ y_3 = e^{2x} - e^{-x} + xe^x $ 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程. 答案 →

情形三：若 $ f(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}\left[P_{l}(x)\cos\beta x+Q_{n}(x)\sin\beta x\right] $，则

(1) 当 $ \alpha \pm \beta i $ 不是特征方程的根时，设 $ y^{*} = e^{\alpha x} (R_{m}^{(1)} \cos \beta x + R_{m}^{(2)} \sin \beta x) $;

(2) 当 $ \alpha \pm \beta i $ 是特征方程的根时，设 $ y^* = x e^{\alpha x} (R_m^{(1)} \cos \beta x + R_m^{(2)} \sin \beta x) $，其中， $ R_m^{(1)} $、 $ R_m^{(2)} $ 是 $ m $ 次多项式， $ m = \max\{l, n\} $。

747 基础题 微分方程 $ y'' - 2y' + 5y = e^x \cos 2x $ 有特解（）. 答案 →

(A) $ y^* = xe^x (\cos 2x + \sin 2x) $

(B) $ y^* = e^x (\cos 2x + \sin 2x) $

(C) $ y^* = \frac{1}{4}xe^x \cos 2x $

(D) $ y^* = \frac{1}{4}xe^x \sin 2x $

748 基础题 设 $a, b, c$ 为常数，微分方程 $y'' + 4y = \cos^2 x$ 有特解（ ）。 答案 →

(A) $y^* = a \cos^2 x$ (B) $y^* = x(a + b \cos 2x + c \sin 2x)$

(C) $y^* = b \sin^2 x$ (D) $y^* = a + x(b \cos 2x + c \sin 2x)$

749 基础题 求方程 $ y'' + 4y = x\cos x $ 的通解. 答案 →

750 中等题 求方程 $ y'' - y = e^x + 4\cos x $ 的通解. 答案 →