第3章 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
一、 罗尔定理
定理：若函数 $ y = f(x) $ 满足 $ \{\begin{aligned}&(1) 在 [a, b] 上连续 \\ &(2) 在 (a, b) 内可导 \\ &(3) f(a) = f(b)\end{aligned}. $，则在 (a, b) 内至少存在一点 $\xi$。
使得 $ f'(\xi)=0 $
几何意义：连续曲线 $ y = f(x) $ 上的弧 $ \widehat{AB} $，除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线，且两个端点 $ A $、 $ B $ 处的纵坐标相等，则在弧 $ \widehat{AB} $ 上至少有一条水平切线。
259 基础题 以下函数中在指定区间上满足罗尔定理的有（）. 答案 →
(A) $ f(x)=|x|,[-1,1] $
(B) $ f(x)=x^2-1,[-1,1] $
(C) $ f(x)=xe^{-x},[0,1] $
(D) $ f(x)=\frac{1}{x},[-1,1] $
260 基础题 验证罗尔定理对函数 $ y = \ln \sin x $ 在 $ \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right] $ 上的正确性. 答案 →
261 基础题 设函数 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内可导，且 $ f(0)=0, f(1)=\frac{\pi}{4} $，试证明方程 $ (1+x^2)f'(x)=1 $ 在 $ (0,1) $ 内至少存在一个根。 答案 →
262 基础题 设 $ a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} $ 是满足 $ a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{3} + \cdots + \frac{a_{n}}{n+1} = 0 $ 的实数，证明方程 $ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{n}x^{n} = 0 $ 在 $ (0,1) $ 内至少有一个根. 答案 →
263 基础题 已知 $ f(x) $ 二阶可导，且 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0, f(1) = 0 $，证明：在 $ (0,1) $ 内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ f''(\xi) = 0 $。 答案 →
264 中等题 已知 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上三阶可导，且 $ f(0)=f(1)=0 $，设 $ F(x)=x^3f(x) $，证明：在 $ (0,1) $ 内存在一点 $ \xi $，使得 $ F''(\xi)=0 $。 答案 →
265 中等题 设函数 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内可导，且 $ f(0)=1, f(1)=\frac{1}{e} $，证明：方程 $ f'(x)+e^{-x}=0 $ 在 $ (0,1) $ 内至少存在一个根。 答案 →
266 中等题 设函数 $ f(x) $ 在 $ [0,a] $ 上连续，在 $ (0,a) $ 内可导，且 $ f(a)=0 $ 。证明：存在一点 $ \xi \in (0,a) $，使得 $ f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0 $ 。 答案 →
267 中等题 设函数 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内可导，且 $ f(1)=0 $ 。证明：至少存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f'(\xi)=-\frac{2f(\xi)}{\xi} $ 。 答案 →
268 中等题 设函数 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内可导，且 $ f(0)=0 $，对任意 $ x \in (0,1) $ 有 $ f(x) \neq 0 $。证明：存在 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ \frac{f'(\xi)}{f(\xi)} = \frac{f'(1-\xi)}{f(1-\xi)} $。 答案 →
269 综合题 设函数 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内可导，且 $ f(0) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $， $ f(1) = 2 $。证明：存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f'(\xi) = \frac{e^{\xi}}{2f(\xi)} $。 答案 →
270 综合题 设函数 $ y = f(x) $ 在 $ [0,3] $ 上连续，在 $ (0,3) $ 内可导，且 $ f(0) + f(1) + f(2) = 3 $， $ f(3) = 1 $。证明：必存在 $ \xi \in (0,3) $，使得 $ f'(\xi) = 0 $。 答案 →
271 综合题 设函数 $ y = f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内可导，且 $ f(0) = f(1) = 0 $， $ f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $。证明：(1) 存在 $ \eta \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) $，使得 $ f(\eta) = \eta $；(2) 对任意实数 $ \lambda $，必存在 $ \xi \in (0, \eta) $，使得 $ f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1 $。 答案 →
272 综合题 设抛物线 $ y = -x^2 + Bx + C $ 与 $ x $ 轴有两个交点 $ x = a, x = b $ ( $ a \lt b $)。又函数 $ y = f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上二阶可导，且 $ f(a) = f(b) = 0 $。若曲线 $ y = f(x) $ 与 $ y = -x^2 + Bx + C $ 在 $ (a, b) $ 内有一个交点，证明：在 $ (a, b) $ 内存在一点 $ \xi $ 使得 $ f''(\xi) + 2 = 0 $。 答案 →
二、 拉格朗日定理
定理：若函数 $ y = f(x) $ 满足 $ \{\begin{aligned}& \textcircled{1} 在 [a, b] 上连续 \\ & \textcircled{2} 在 (a, b) 内可导 \end{aligned}. $，则在 $ (a, b) $ 内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ f(b) - f(a) = f'(\xi) \cdot (b - a) $.
几何意义：连续曲线 $ y = f(x) $ 上的弧 $ \widehat{AB} $，除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线，则在弧 $ \widehat{AB} $ 上至少有一条切线平行于弦 AB 所在直线。
拉格朗日中值公式的几种等价等式：
$$ f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)\cdot(b-a)\Leftrightarrow\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\xi), $$
$$ f(b)=f(a)+f^{\prime}[a+\theta(b-a)]\cdot(b-a)(0\lt \theta\lt 1) $$
$$ f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0}+\theta\Delta x)\cdot\Delta x(0\lt \theta\lt 1) $$
两个推论：
(1) 若 $ f'(x) = 0, \forall x \in I $，则 $ f(x) \equiv C $；
(2) 若 $ f'(x) = g'(x) $, $ \forall x \in I $，则 $ f(x) = g(x) + C $（ $ C $ 为常数）。
273 基础题 以下函数在 $ [-1,1] $ 上满足拉格朗日中值定理的有（）. 答案 →
(A) $ f(x)=\ln(1+x^2) $
(B) $ f(x)=|x| $
(C) $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
(D) $ f(x)=\sin\frac{1}{x} $
274 基础题 设函数 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上有定义，在 $ (a,b) $ 内可导，则有（）. 答案 →
(A) 当 $ f(a)f(b) \lt 0 $ 时，存在 $ \xi \in (a, b) $，使得 $ f(\xi) = 0 $
(B) 当 $ f(a) = f(b) $ 时，存在 $ \xi \in (a, b) $，使得 $ f'(\xi) = 0 $
(C) 存在 $ \xi \in (a,b) $，使得 $ f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) $
(D) 对任意 $ \xi \in (a, b) $，有 $ \lim_{x \to \xi} [f(x) - f(\xi)] = 0 $
275 基础题 证明：当 $ 0 \lt x \lt \pi $ 时， $ \frac{\sin x}{x} \gt \cos x $ 答案 →
276 基础题 设 $ a \gt b \gt 0 $ 时，证明： $ \frac{a - b}{a} \lt \ln \frac{a}{b} \lt \frac{a - b}{b} $ 答案 →
277 基础题 设x>0时，证明： $ \frac{x}{1+x}\lt \ln(1+x)\lt x $ 答案 →
278 中等题 证明：当 x > 1 时， $ e^x \gt ex $。 答案 →
279 基础题 证明： $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $. 答案 →
280 中等题 证明： $ 2\arctan x + \arcsin \frac{2x}{1+x^2} = \pi (x \geq 1) $. 答案 →
281 中等题 设 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上连续，在 $ (a,b) $ 内可导，证明：在 $ (a,b) $ 内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ \frac{bf(b)-af(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f'(\xi) $. 答案 →
282 综合题 设 $ f(x) $ 在闭区间 $ [0,c] $ 上连续，其导数 $ f'(x) $ 在开区间 $ (0,c) $ 内存在且单调递减， $ f(0)=0 $ 。试应用拉格朗日中值定理证明不等式： 答案 →
$ f(a+b)\leq f(a)+f(b) $，其中常数a和b满足条件 $ 0\leq a\leq b\leq a+b\leq c $
三、 柯西中值定理
定理：若函数 $ y = f(x) $ 和 $ y = F(x) $ 满足 $ \{\begin{aligned}& \textcircled{1} 在 [a, b] 上连续；\\ & \textcircled{2} 在 (a, b) 上可导；\\ & \textcircled{3} F'(x) \neq 0, x \in (a, b) \end{aligned}. $。
则在 $ (a,b) $内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} $
说明：若 $ F(x)=x $，则 $ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f'(\xi)}{1}\Rightarrow f(b)-f(a)=f'(\xi)\cdot(b-a) $，即为拉格朗日中值公式。因此，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形。
283 基础题 对于函数 $ f(x)=\sin x, F(x)=1+\cos x $ 在区间 $ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上验证柯西中值定理的正确性. 答案 →
284 基础题 设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上可微， $ 0 \lt a \lt b $，试证明存在 $ \xi \in (a,b) $，使得 $ \frac{af(b) - bf(a)}{a - b} = f(\xi) - \xi f'(\xi) $。 答案 →
285 基础题 设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上连续，在 $ (a,b) $ 内可导， $ 0 \lt a \lt b $ 。证明：存在 $ \xi \in (a,b) $，使得 $ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = (a^2 + ab + b^2) \frac{f'(\xi)}{3\xi^2} $。 答案 →
286 中等题 证明： $ \sin 1 = \cos \ln \xi (1 \lt \xi \lt e) $ 答案 →
第二节 洛必达法则
一、 洛必达法则计算 “ $ \frac{0}{0} $” 或 “ $ \frac{\infty}{\infty} $” 不定式
定理（洛必达法则）：设函数 $ f(x), F(x) $ 满足如下条件.
(1) 当 $ x \to a $ 时， $ f(x) $ 和 $ F(x) $ 都趋于零（或无穷大）；
(2) 在点 a 的某去心邻域内， $ f'(x) $ 和 $ F'(x) $ 都存在，且 $ F'(x) \neq 0 $；
$$ \lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)} $$
$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)} $$
说明：(1) 洛必达法则用于 “ $ \frac{0}{0} $” 或 “ $ \frac{\infty}{\infty} $” 型不定式的计算；
(2) 对于自变量的其他变化过程如 $ x \to +\infty, x \to -\infty, x \to \infty $，也有类似结论；
(3) 若条件满足，可以反复使用洛必达法则求解；
(4) 洛必达法则不是万能的，当 $ \lim \frac{f'(x)}{F'(x)} $ 不存在也不是无穷大时，不能断定 $ \lim \frac{f(x)}{F(x)} $ 也不存在，此时洛必达法则失效，寻找其他方法求解.
287 基础题 求 $ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x^3 - x^2 - x + 1} $ 答案 →
288 基础题 求 $ \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} $. 答案 →
289 基础题 求 $ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1 + \ln x}{e^x - e} $. 答案 →
290 基础题 求 $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^4 + e^x}{x e^x} $. 答案 →
291 基础题 求 $ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^2 \sin x} $. 答案 →
292 基础题 求 $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x \ln x)}{x^a} (a \gt 0) $ 答案 →
293 基础题 求 $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \sin x - 1}{1 - \sqrt{1 - x^2}} $. 答案 →
294 基础题 求 $ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - x}{\ln(1 + 2x^3)} $. 答案 →
295 中等题 求 $ \lim_{x\to0}\frac{\sin^{2}x-x^{2}\cos^{2}x}{\sin x(e^{2x}-1)\ln(1+\tan^{2}x)} $ 答案 →
296 中等题 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{a \tan x + b (1 - \cos x)}{c \ln (1 - 2x) + d (1 - e^{-x^2})} = 2 $，其中 $ a^2 + b^2 \neq 0 $，则必有（ ）。 答案 →
(A) $ b = 4d $ (B) $ b = -4d $ (C) $ a = 4c $ (D) $ a = -4c $
297 中等题 求 $ \lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)[x-\ln(1+\tan x)]}{\sin^{4}x} $ 答案 →
298 中等题 求 $ \lim_{x\to0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^{4}} $ 答案 →
二、 洛必达法则计算其他类型的不定式
基本思路：先将其他类型不定式转化为“ $ \frac{0}{0} $”或“ $ \frac{\infty}{\infty} $”型不定式，然后使用洛必达法则进行计算，常用的类型如下.
(1) “ $ \infty-\infty $” 型通分化成 “ $ \frac{0}{0} $” 或 “ $ \frac{\infty}{\infty} $” 型；
(2) “ $ 0\cdot\infty $”型，取其中一个因式的倒数放分母，化成“ $ \frac{0}{0} $”或“ $ \frac{\infty}{\infty} $”型；
(3) “ $ 0^0, \infty^0, 1^\infty $” 型，利用 $ \lim f(x)^{g(x)} = \lim e^{g(x)\ln f(x)} $ 进行恒等变形.
299 基础题 求 $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} \right) $. 答案 →
300 基础题 求 $ \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-\lambda x} $ （ $ n $ 为正整数， $ \lambda \gt 0 $） 答案 →
301 基础题 求 $ \lim_{x\to1}(1-x)\cdot\tan\frac{\pi}{2}x $ 答案 →
302 基础题 求 $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sec x - \tan x) $. 答案 →
303 中等题 求 $ \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right) $ 答案 →
304 中等题 求 $ \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x\tan x}\right) $. 答案 →
305 中等题 求 $ \lim_{x\to0^{+}}x^{x} $ 答案 →
306 中等题 求 $ \lim_{x\to1}x^{\frac{1}{1-x}} $ 答案 →
307 中等题 求 $ \lim_{x\to0}(1+3x)^{\frac{2}{\sin x}} $ 答案 →
308 中等题 求 $ \lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln(1+x^2)}} $ 答案 →
309 综合题 求 $ \lim_{x \to +\infty} \left( x^{\frac{1}{x}} - 1 \right)^{\frac{1}{\ln x}} $ 答案 →
310 综合题 若 $ a \gt 0, b \gt 0 $ 均为常数，求 $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{3}{x}} $. 答案 →
三、 洛必达法则的综合应用
311 综合题 设 $ x \to 0 $ 时， $ e^{\tan x} - e^x $ 与 $ x^n $ 是同阶无穷小，求 $ n $。 答案 →
312 综合题 若函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{\sin2x+\mathrm{e}^{2ax}-1}{x},x\neq0\\&a,\quad x=0\end{aligned}. $ 在 $ (-\infty,+\infty) $ 上连续，求 $ a $． 答案 →
313 综合题 已知 $ f(x)=\{\begin{aligned}&(\cos x)^{x-2},x\neq0\\ &a,\quad x=0\end{aligned}. $ 在 x=0 上连续，求 $ a $． 答案 →
314 综合题 设 $ f(x)=\frac{1}{\pi x}+\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi(1-x)} $， $ x\in[\frac{1}{2},1) $。试补充定义 $ f(1) $ 使得 $ f(x) $ 在 $ [\frac{1}{2},1] $ 上连续。 答案 →
315 综合题 设数列 $ \{x_n\} $ 满足 $ 0 \lt x_1 \lt \pi, x_{n+1} = \sin x_n (n=1,2,\cdots) $，(1) 证明： $ \lim_{n \to \infty} x_n $ 存在，并求该极限；(2) 求 $ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{x_{n+1}}{x_n} \right)^{\frac{1}{x_n^2}} $. 答案 →
第三节 泰勒公式
一、 泰勒中值定理
泰勒定理：如果函数 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 点具有直到 $ n+1 $ 阶导数，那么存在 $ x_0 $ 的某一邻域 $ U(x_0, \delta) $，使 $ \forall x \in U(x_0, \delta) $，有
$$ f(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)\textcircled{1} $$
其中 $ R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} $ （ $ \xi $ 在 $ x_{0} $ 与 x 之间）.
说明：公式 $ ^{①} $称为 $ f(x) $的n阶泰勒公式，公式 $ ^{②} $称为n阶泰勒公式的拉格朗日型余项。在不需要余项的精确表达时，泰勒公式可写为
$$ f(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o[(x-x_{0})^{n}] $$
其中 $ o[(x-x_{0})^{\prime}] $ 称为 n 阶泰勒公式的佩亚诺型余项.
麦克劳林公式：令 $ x_{n}=0 $，则得如下麦克劳林公式：
$ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1} $ ( $ \xi $ 在 0 与 x 之间) ③
上式中令 $ \xi=\theta x(0\lt \theta\lt 1) $，有等价形式如下：
$$ f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}(0\lt \theta\lt 1) $$
不需要余项的精确表达时，亦可写为
$$ f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+o(x^{n}) $$
函数 $ f(x) $ 的泰勒公式或麦克劳林公式的步骤：
(1) 求出函数的各阶导数： $ f'(x), f''(x), \cdots, f^{(n)}(x), f^{(n+1)}(x) $
(2) 求出函数及各阶导数在点 $ x_{0} $ （泰勒公式）或点 0 （麦克劳林公式）处的函数值；
(3) 根据题目要求及公式①③④⑤，写出所求.
316 基础题 求 $ f(x)=\mathrm{e}^{x} $ 的带有拉格朗日型和佩亚诺型余项的麦克劳林公式. 答案 →
二、 利用泰勒定理求极限
317 基础题 求 $ \lim_{x \to 0} \frac{x \ln(1+x)}{e^x - x - 1} $ 答案 →
318 基础题 求 $ \lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{\tan^{3}x} $ 答案 →
319 基础题 求 $ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}} $ 答案 →
320 基础题 设 $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - (ax + bx^2)}{x^2} = 2 $，则（ ）。 答案 →
(A) $ a = 1, b = -\frac{5}{2} $ (B) $ a = 0, b = -2 $
(C) $ a = 0, b = -\frac{5}{2} $ (D) $ a = 1, b = -2 $
321 中等题 求 $ \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{1}{2} x^2 - \sqrt{1 + x^2}}{(\cos x - e^{x^2}) \sin x^2} $. 答案 →
322 中等题 求 $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - e^{\frac{x^3}{2}}}{x^4} $. 答案 →
323 综合题 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x + xf(x)}{x^3} = 0 $，则 $ \lim_{x \to 0} \frac{6 + f(x)}{x^2} = (\quad) $. 答案 →
(A) 0 (B) 6 (C) 36 (D) $ \infty $
三、 利用泰勒公式进行无穷小的比较
324 基础题 设当 $ x \to 0 $ 时， $ e^x - (ax^2 + bx + 1) $ 是比 $ x^2 $ 高阶的无穷小，则（ ）。 答案 →
(A) $ a = \frac{1}{2}, b = 1 $ (B) $ a = 1, b = 1 $
(C) $ a = -\frac{1}{2}, b = 1 $ (D) $ a = -1, b = 1 $
325 基础题 试证明当 $ x \to 0 $ 时， $ \sqrt{1-2x}-\sqrt[3]{1-3x} $ 是 x 的几阶无穷小？ 答案 →
四、 利用泰勒定理求高阶导数
326 基础题 求函数 $ y = \ln(1 - 3x) $ 在 x = 0 处的 n 阶导数 $ y^{(n)}(0) $. 答案 →
五、 利用泰勒定理证明不等式和等式
327 基础题 证明 $ e^x \gt 1 + x $ ( $ x \ne 0 $). 答案 →
328 综合题 设函数 $ f(x) $ 在闭区间 $ [-1,1] $ 上具有三阶连续导数，且 $ f(-1)=0 $， $ f(1)=1 $， $ f'(0)=0 $，证明：至少存在一点 $ \xi \in (-1,1) $，使得 $ f''(\xi)=3 $。 答案 →
329 综合题 设函数 $ f(x) $ 在闭区间 $ [0,1] $ 上二阶可导，且 $ f(0) = f(1) = 0 $， $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上的最小值等于 -1，证明：至少存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f''(\xi) \geq 8 $。 答案 →
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、 函数的单调性
单调性的判定：如果函数 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续，在 $ (a,b) $ 内可导，
若 $ f'(x) \gt 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上单调递增；
若 $ f'(x) \lt 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上单调递减.
单调区间的分界点：单调区间的分界点只能出现在函数的不可导点或者导数为零的点（叫驻点）处.
函数的单调区间的判定步骤：
(1) 确定函数 $ y = f(x) $ 的定义域；
(2) 求 $ f'(x) $，找出使 $ f'(x)=0 $ 和 $ f'(x) $ 不存在的点；
(3) 用以上点将定义域分割为不同的小区间，在每个小区间上利用判定定理判断函数的单调性.
330 基础题 讨论函数 $ f(x)=x-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} $ 的单调性. 答案 →
331 基础题 当 $ 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} $ 时，证明不等式 $ \tan x \gt x + \frac{1}{3}x^3 $ 答案 →
332 基础题 当x>0时，证明不等式 $ \ln(1+x)\gt \frac{\arctan x}{1+x} $ 答案 →
333 基础题 设 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内可导，且对任意 $ x_1, x_2 $，当 $ x_1 \gt x_2 $ 时，都有 $ f(x_1) \gt f(x_2) $，则（）. 答案 →
(A) 对任意 $ x, f'(x) \gt 0 $
(B) 对任意 $ x, f'(-x) \leq 0 $
(C) 函数 $ f(-x) $ 单调递增
(D) 函数 $ -f(-x) $ 单调递增
334 中等题 在区间 $ (-∞, +∞) $ 内，方程 $ |x|^{\frac{1}{4}} + |x|^{\frac{1}{2}} - \cos x = 0 $ （ ） 答案 →
(A) 无实根
(B) 有且仅有一个实根
(C) 有且仅有两个实根
(D) 有无穷多根
335 中等题 当 $a$ 取（ ）时，函数 $f(x)=x^{3}-3x-a$ 恰好有两个不同的零点。 答案 →
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
336 中等题 若 $ 3a^{2}-5b\lt 0 $，则方程 $ x^{5}-2ax^{3}+3bx+4c=0 $（ ）. 答案 →
(A) 无实根
(B) 有唯一实根
(C) 有三个不同实根
(D) 有五个不同实根
337 综合题 设 $ f(x) $ 为可导函数，且 $ f''(x) \gt 0 $，则 $ F(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $ 在 $ (a, b] $ 内（）. 答案 →
(A)有极大值
(B)有极小值
(C)单调递减
(D)单调递增
338 综合题 设 x > 0，常数 a > e，证明 $ (a + x)^{a} \lt a^{a + x} $ 答案 →
339 综合题 设 $ e \lt a \lt b \lt e^2 $，证明 $ \ln^2 b - \ln^2 a \gt \frac{4}{e^2} (b - a) $ 答案 →
二、 曲线的凹凸性
凹凸性的判定：如果函数 $ f(x) $ 在区间 I 内二阶导数存在，则
(1) 区间 I 内 $ f''(x) \gt 0 $，则曲线 $ y = f(x) $ 在区间 I 上是凹的；
(2) 区间 I 内 $ f''(x) \lt 0 $，则曲线 $ y = f(x) $ 在区间 I 上是凸的.
凹凸区间的分界点：凹凸区间的分界点只可能出现在函数的二阶导数不存在的点或者二阶导数为零的点处。曲线上凹凸的分界点为拐点。
曲线的凹凸区间及拐点的判定步骤：
(1) 确定函数 $ y = f(x) $ 的定义域；
(2) 求 $ f''(x) $，找出使 $ f''(x)=0 $ 和 $ f''(x) $ 不存在的点（即可能的凹凸区间分界点）；
(3) 用以上点将定义域分割为不同的小区间，在每个小区间上判断曲线的凹凸性.
340 基础题 讨论曲线 $ f(x)=x^{\frac{8}{3}}-x^{\frac{5}{3}} $ 的凹凸区间，并求拐点. 答案 →
341 基础题 判断 $ f(x)=|1+\sin x| $ 在区间 $ \left(\pi,\frac{3}{2}\pi\right) $ 内的图形（ ）. 答案 →
(A) 单调递增，凹的
(B) 单调递减，凸的
(C) 单调递增，凸的
(D) 单调递减，凹的
342 基础题 证明：当 $ x \neq y $ 时， $ \frac{e^x + e^y}{2} \gt e^{\frac{x+y}{2}} $ 答案 →
343 中等题 设 $ f(x)=|x^{2}-3x+2| $，求曲线的凹凸区间和拐点. 答案 →
344 中等题 若点 (0,1) 是曲线 $ f(x)=ax^3+bx^2+c $ 的拐点，则（ ） 答案 →
(A) $ a=1, b=0, c $ 为任意值 (B) $ a\neq0 $ 的任意值, $ b=0, c=1 $
(C) $ a, b $ 为任意值, $ c=1 $ (D) $ a=1, b=-3, c=1 $
345 中等题 若 $ f(-x) = f(x) (-\infty \lt x \lt +\infty) $，且在 $ (-∞, 0) $ 内 $ f'(x) \gt 0 $， $ f''(x) \lt 0 $，则在 $ (0, +\infty) $ 内有（ ）。 答案 →
(A) $ f'(x) \gt 0 $, $ f''(x) \lt 0 $
(B) $ f'(x) \gt 0 $, $ f''(x) \gt 0 $
(C) $ f'(x) \lt 0 $, $ f^*(x) \lt 0 $
(D) $ f'(x) \lt 0 $, $ f''(x) \gt 0 $
346 综合题 设 $ f'(x_0) = f''(x_0) = 0 $, $ f'''(x_0) \gt 0 $，则下列选项正确的是（ ）。 答案 →
(A) $ f'(x_0) $ 是 $ f'(x) $ 的极大值
(B) $ f(x_0) $ 是 $ f(x) $ 的极大值
(C) $ f(x_0) $ 是 $ f(x) $ 的极小值
(D) $ (x_0, f(x_0)) $ 是曲线 $ y = f(x) $ 的拐点
347 综合题 设函数 $ f(x) $ 满足关系 $ f''(x) + [f'(x)]^2 = x $，且 $ f'(0) = 0 $，则下列选项正确的是（ ）。 答案 →
(A) $ f(0) $ 是 $ f(x) $ 的极大值
(B) $ f(0) $ 是 $ f(x) $ 的极小值
(C) $ f(0) $ 不是 $ f(x) $ 的极值， $ (0, f(0)) $ 也不是曲线 $ y = f(x) $ 的拐点
(D) $ (0, f(0)) $ 是曲线 $ y = f(x) $ 的拐点
348 综合题 设函数 $ f(x) $ 在定义域内可导， $ y = f(x) $ 的图形如图 3-3，则导数 $ y = f'(x) $ 的图形为（ ）。 答案 →
第五节 函数的极值和最值
一、 函数的极值
极值的定义：设函数 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 的某邻域 $ U(x_0) $ 内有定义，若对 $ \forall x \in \mathring{U}(x_0) $，有 $ f(x) \lt f(x_0) $（ $ f(x) \gt f(x_0) $），则称 $ f(x_0) $ 为函数 $ f(x) $ 的极大值（极小值）；点 $ x_0 $ 称为 $ f(x) $ 的极大值点（极小值点）。函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
极值存在的必要条件：若函数 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处可导，且在 $ x_{0} $ 处取得极值，则 $ f'(x_{0})=0 $ （即 $ x_{0} $ 是驻点）.
极值存在的充分条件：
（第一充分条件）设 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处连续，且在去心邻域 $ \mathring{U}(x_{0},\delta) $ 内可导，且 $ f'(x_{0})=0 $ 或 $ f'(x_{0}) $ 不存在.
(1) 当 $ x \in (x_0 - \delta, x_0) $ 时， $ f'(x) \gt 0 $；当 $ x \in (x_0, x_0 + \delta) $ 时， $ f'(x) \lt 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处取得极大值（左增右减 $ \Rightarrow $ 极大值）。
(2) 当 $ x \in (x_0 - \delta, x_0) $ 时， $ f'(x) \lt 0 $；当 $ x \in (x_0, x_0 + \delta) $ 时， $ f'(x) \gt 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处取得极小值（左减右增 $ \Rightarrow $ 极小值）。
(3) 当 $ x \in \tilde{U}(x_0, \delta) $ 时 $ f'(x) $ 不变号，则 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处没有极值.
（第二充分条件）设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处具有二阶导数，且 $ f'(x_{0})=0 $
(1) 若 $ f^{\prime\prime}(x_{0})\lt 0 $，则 $ f(x_{0}) $ 是极大值.
(2) 若 $ f''(x_{0}) \gt 0 $，则 $ f(x_{0}) $ 是极小值.
(3) 若 $ f''(x_{0})=0 $，则不能判断 $ f(x_{0}) $ 是否为极值.
求极值的步骤：
(1) 确定 $ y = f(x) $ 的定义域；
(2) 找出可能的极值点，即 $ f'(x) = 0 $ 及 $ f'(x) $ 不存在的点；
(3) 根据第一或第二充分条件进行判断.
349 基础题 设函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处二阶可导，且 $ f(x_0) $ 是 $ f(x) $ 的极大值，则以下结论正确的是（ ）。 答案 →
(A) $ f'(x_0) \lt 0 $ (B) $ f''(x_0) \gt 0 $ (C) $ f'(x_0) = 0 $ (D) $ f'(x_0) = 0 $ 且 $ f''(x_0) \gt 0 $
350 基础题 求函数 $ f(x)=2x-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+1 $ 的极值. 答案 →
351 基础题 当 $ x= $ ___ 时，函数 $ y=x\cdot2^x $ 取得极小值. 答案 →
352 中等题 设函数 $ f(x) $ 在定义域 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续，且其导函数的图像如图 3-4，则如下结论正确的是（ ）. 答案 →
(A) 函数 $ f(x) $ 有两个极大值和一个极小值
(B) 函数 $ f(x) $ 有两个极小值和一个极大值
(C) 函数 $ f(x) $ 有三个极大值和一个极小值
(D) 函数 $ f(x) $ 有两个极大值和两个极小值
353 中等题 设函数 $ f(x) $ 对一切 $ x $ 满足 $ xf''(x) + 3x[f'(x)]^2 = 1 - e^{-x} $，若 $ f'(x_0) = 0 $ $ (x_0 \neq 0) $，则（ ）。 答案 →
(A) $ f(x_{0}) $是函数 $ f(x) $的极小值
(B) $ f(x_{0}) $是函数 $ f(x) $的极大值
(C) $ (x_{0}, f(x_{0})) $ 是曲线 $ y = f(x) $ 的拐点
(D) $ f(x_{0}) $ 不是函数 $ f(x) $ 的极值， $ (x_{0}, f(x_{0})) $ 也不是曲线 $ y = f(x) $ 的拐点
354 中等题 设 $ f(x) $ 的导数在 x=a 处连续，又 $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x - a} = -1 $，则（ ）。 答案 →
(A) x = a 是函数 $ f(x) $ 的极小值点
(B) x = a 是函数 $ f(x) $ 的极大值点
(C) $ (a, f(a)) $ 是曲线 $ y = f(x) $ 的拐点
(D) x = a 不是函数 $ f(x) $ 的极值点， $ (a, f(a)) $ 也不是曲线 $ y = f(x) $ 的拐点
355 中等题 设 $ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^2} = -1 $，则在 x = a 点处（ ） 答案 →
(A) $ f(x) $ 的导数存在，且 $ f'(a) \neq 0 $
(B) $ f(x) $ 取得极大值
(C) $ f(x) $ 取得极小值
(D) $ f(x) $ 的导数不存在
356 综合题 已知函数 $ f(x)=\begin{cases} x^{2x}, & x\gt 0 \\ x\mathrm{e}^{x}+1, & x\leq0 \end{cases} $，求 $ f'(x) $，并求 $ f(x) $ 的极值. 答案 →
357 综合题 设函数 $ y = y(x) $ 是由方程 $ 2y^3 - 2y^2 + 2xy - x^2 = 1 $ 确定的，试求 $ y = y(x) $ 的驻点，并判断是否为函数的极值点。 答案 →
358 综合题 求 $ a $ 的取值范围，使函数 $ f(x) = x^3 + 3ax^2 - ax - 1 $ 无极值. 答案 →
二、 求函数的最值
最值的定义：设函数 $ f(x) $ 在区间 I 内有定义， $ x_0 \in I $，若对 $ \forall x \in I $，有 $ f(x) \leq f(x_0) $（ $ f(x) \geq f(x_0) $），则称 $ f(x_0) $ 为函数 $ f(x) $ 在区间 I 上的最大值（最小值）；点 $ x_0 $ 称为 $ f(x) $ 在区间 I 上的最大值点（最小值点）。函数的最大值与最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。
求最值的一般步骤：设函数 $ f(x) $ 在闭区间 $ [a,b] $ 上连续，在 $ (a,b) $ 内可导.
(1) 求 $ f'(x) $，找到 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 内的驻点和不可导点.
(2) 计算 $ f(x) $ 在以上驻点及不可导点处的函数值，以及端点处的函数值 $ f(a) $ 和 $ f(b) $.
(3) 比较以上函数值的大小，求出最大值与最小值.
特别地: (1) 连续函数 $ f(x) $ 在闭区间 $ [a, b] $ 上单调，则最值必在端点处取得；
(2) 可导函数 $ f(x) $ 在区间 I 内仅有一个极大（小）值，则该极大（小）值就是最大（小）值；
(3) 在应用题中，根据实际情况可以判断最值存在，且仅存在一个驻点（没有不可导点），则此驻点就是所求的最值点。
359 基础题 求函数 $ f(x)=x+\sqrt{1-x} $ 在 $ [-5,1] $ 上的最大值和最小值. 答案 →
360 中等题 作半径为 r 的球的外切正圆锥，求此圆锥的高 h 为何值时，其体积 V 最小，并求出该最小值. 答案 →
361 中等题 某企业在一个月内生产某产品 Q 个单位时，总成本 $ C(Q)=6Q+200 $ （万元），得到的总收益 $ R(Q)=12Q-0.01Q^{2} $ （万元），问在一个月内生产多少单位的产品获得的利润最大？最大利润是多少？ 答案 →
362 中等题 已知某企业的总收入函数为 $ R(x)=26x-2x^2-4x^3 $，总成本函数为 $ C(x)=8x+x^2 $，其中 x 表示产品的产量。求利润函数、边际收入函数、边际成本函数以及企业获得最大利润时的产量和最大利润。 答案 →
三、 利用函数的最值证明不等式
363 基础题 设 $ p $ 和 $ q $ 是大于 1 的常数，且 $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $。证明：对于任意 $ x \gt 0 $，有 $ \frac{1}{p} x^p + \frac{1}{q} \geq x $。 答案 →
364 综合题 设 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 $，且 $ f''(x) \gt 0 $。证明 $ f(x) \geq x $。 答案 →
第六节 函数图形的描绘
一、 函数的渐近线
水平渐近线：若 $ \lim_{x\to\infty}f(x)=A $ （或 $ \lim_{x\to-\infty}f(x)=A $ 或 $ \lim_{x\to+\infty}f(x)=A $），则直线 y=A 为曲线 $ y=f(x) $ 的水平渐近线.
几何意义：曲线 $ y = f(x) $ 向左（或向右，或同时向左右）无限延伸时， $ f(x) $ 无限接近于直线 y = A。
铅垂渐近线：若 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $ （或 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $ 或 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $），则直线 $ x=x_0 $ 为曲线 $ y=f(x) $ 的铅垂渐近线（其中 $ \infty $ 亦可以为 $ +\infty $ 或 $ -\infty $）.
几何意义：曲线 $ y = f(x) $ 向上（或向下，或同时向上下）无限延伸时， $ f(x) $
无限接近于（不能相交、不能穿越）直线 $ x=x_{0} $
斜渐近线：若 $ \lim_{x\to\infty}[f(x)-(ax+b)]=0 $，则直线y=ax+b为曲线 $ y=f(x) $的斜渐近线。其中， $ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} $， $ b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax] $， $ \infty $亦可以为 $ +\infty $或 $ -\infty $。
几何意义：曲线 $ y = f(x) $ 无限接近于（不能相交、不能穿越）直线 $ y = ax + b $
365 基础题 求曲线 $ y=\frac{x+1}{x} $ 的水平渐近线. 答案 →
366 基础题 求曲线 $ y=\frac{1}{1-x^{2}} $ 的铅垂渐近线. 答案 →
367 基础题 求曲线 $ y=\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-1} $ 的水平渐近线和铅垂渐近线. 答案 →
368 基础题 求曲线 $ y=\frac{x^{2}}{x-1} $ 的斜渐近线. 答案 →
369 中等题 求曲线 $ y=(2x-1)e^{\frac{1}{x}} $ 的渐近线. 答案 →
370 中等题 当 x > 0 时，曲线 $ y = x \sin \frac{1}{x} $ （ ）。 答案 →
(A) 有且仅有水平渐近线
(B) 有且仅有铅垂渐近线
(C) 既有水平渐近线，又有铅垂渐近线
(D) 既无水平渐近线，又无铅垂渐近线
371 中等题 曲线 $ f(x)=xe^{\frac{1}{x^{2}}} $（）. 答案 →
(A) 仅有水平渐近线
(B) 仅有铅垂渐近线
(C) 既有水平渐近线，又有铅垂渐近线
(D) 既有铅垂渐近线，又有斜渐近线
372 综合题 曲线 $ f(x)=\frac{1}{x}+\ln(1+e^x) $ 的渐近线的条数为（ ）. 答案 →
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
373 综合题 曲线 $ f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2}}\arctan\frac{x^2-x+2}{(x-1)(x+2)} $ 的渐近线的条数为（）. 答案 →
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
二、 函数作图
作图步骤：
(1) 求出函数 $ f(x) $ 的定义域或者明确题目指定的区域；
(2) 判断函数的奇偶性、周期性（由此可以缩小作图范围）；
(3) 求渐近线；
(4) 求 $ f'(x) $, $ f''(x) $，找出作图的关键点：可能的极值点与可能的拐点；
(5) 列表讨论函数的单调性和极值点及凹凸性和拐点；
(6) 补充一些特殊点，如边界点、无意义点、与坐标轴的交点等；
(7) 根据上面所获取信息作图.
374 基础题 作函数 $ y = \frac{(x-1)^3}{(x+1)^2} $ 的图形. 答案 →
375 基础题 作函数 $ y=\frac{\cos x}{\cos 2x} $ 的图形. 答案 →
第七节 曲率
一、 曲率
定义：曲线上一点处的曲率是曲线在该点处弯曲程度的量度。
曲率在3种不同方程下的计算公式：
(1) 曲线方程为 $ y = y(x) $ 时，曲率 $ K = \frac{|y''|}{(1 + y'^{2})^{\frac{3}{2}}} $；
(2) 曲线方程为 $ \{\begin{aligned} x &= \varphi(t) \\ y &= \psi(t) \end{aligned}. $ 时，曲率 $ K = \frac{|\varphi'(t)\psi''(t) - \varphi''(t)\psi'(t)|}{[\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)]^{\frac{3}{2}}} $;
(3) 曲线方程为 $ \rho = \rho(\theta) $，曲率 $ K = \frac{|\rho^2(\theta) + 2\rho'^2(\theta) - \rho(\theta)\rho''(\theta)|}{[\rho^2(\theta) + \rho'^2(\theta)]^{\frac{3}{2}}} $.
376 基础题 计算曲线 xy = 1 在点 (1,1) 处的曲率. 答案 →
二、 曲率半径与曲率圆
曲率半径：曲线在某点处的曲率半径 $ \rho $ 为曲线在该点处的曲率 K 的倒数，即 $ \rho = \frac{1}{K} $.
曲率中心：曲线 $ y = y(x) $ 在某点处的曲率中心坐标 $ (\alpha, \beta) $ 为
$$ \alpha=x-\frac{y^{\prime}(1+y^{\prime2})}{y^{\prime \prime}}\;,\;\beta=y+\frac{1+{y^{\prime}}^{2}}{y^{\prime \prime}} $$
曲率圆：曲线 $ y = y(x) $ 在某点处的曲率圆为 $ (x - \alpha)^{2} + (y - \beta)^{2} = \rho^{2} $
377 基础题 计算曲线 $ \{\begin{aligned}x&=a\cos^{3}t\\ y&=a\sin^{3}t\end{aligned}. $ 在点 $ t_{0} $ 处的曲率及曲率半径. 答案 →
378 基础题 求抛物线 $ y=2x^{2}-3x+3 $ 在 $ M(1,2) $ 处的曲率圆方程. 答案 →
379 综合题 设 $ \rho = \rho(x) $ 是抛物线 $ y = \sqrt{x} $ 上任一点 $ M(x, y) (x \geq 1) $ 处的曲率半径， $ s = s(x) $ 是该抛物线上介于点 $ A(1,1) $ 与 $ M $ 之间的弧长，计算 $ 3\rho \frac{\mathrm{d}^2\rho}{\mathrm{d}s^2} - \left(\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}s}\right)^2 $ 的值。 答案 →