第4章 不定积分

第4章

不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

一、 原函数

定义：在区间 $ I $ 上，若可导函数 $ F(x) $ 的导函数为 $ f(x) $，即对任一 $ x \in I $，有 $ F'(x) = f(x) $ 或 $ \mathrm{d}F(x) = f(x)\mathrm{d}x $，

则称 $ F(x) $ 为 $ f(x) $ 在区间 I 上的一个原函数.

定理1：如果 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则 $ F(x)+C $ 是 $ f(x) $ 的所有原函数（其中 C 为任意常数）.

定理2：（原函数存在定理）如果函数 $ f(x) $在区间I上连续，则 $ f(x) $在区间I上存在原函数.

380 基础题 设 $ f(x) $ 在 $ (1,+\infty) $ 上的一个原函数为 $ \ln(x+\sqrt{x^{2}-1}) $，求 $ f'(x) $. 答案 →

381 基础题 设 $ f(x) $ 的一个原函数为 $ \ln x (x \gt 0) $，则它的另一个原函数为（）. 答案 →

(A) $ \ln(ax)(a\gt 0,x\gt 0) $ (B) $ \frac{1}{a}\ln x(x\gt 0) $

(C) $ \ln(a+x)(a+x\gt 0) $ (D) $ \frac{1}{2}(\ln x)^2(x\gt 0) $

382 中等题 证明函数 $ \arcsin(2x-1) $ 和 $ 2\arcsin\sqrt{x} $ 是同一函数的原函数，并求出它们之间相差的常数. 答案 →

383 中等题 判断函数 $ F(x)=\{\begin{aligned}&x^{3}+x+1,x\gt 0\\&x^{2},\quad x\leqslant0\end{aligned}. $ 是否是 $ f(x)=\{\begin{aligned}&3x^{2}+1,x\gt 0\\&2x,\quad x\leqslant0\end{aligned}. $ 在 $ (-∞,+∞) $ 上的原函数并说明理由. 答案 →

384 基础题 设 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 上的原函数，则 $ f(x)+F(x) $ 在 $ (a,b) $ 上 ( ) 答案 →

(A) 可导 (B) 连续 (C) 存在原函数 (D) 是初等函数

385 中等题 设 $ f(x)=\begin{cases}x^2, & x \geq 0 \\ \cos x, & x \lt 0\end{cases} $， $ g(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases} $，则在 $ (-\infty, +\infty) $ 上 ( )。 答案 →

(A) $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 都存在原函数

(B) $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 都不存在原函数

(C) $ f(x) $ 存在原函数， $ g(x) $ 不存在原函数

(D) $ f(x) $ 不存在原函数， $ g(x) $ 存在原函数

二、 不定积分的定义与性质

定义：函数 $ f(x) $ 的所有原函数，称为 $ f(x) $ 的不定积分，记为 $ \int f(x)dx $。即如果 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则

$ \int f(x)dx = F(x) + C $（ $ C $ 为任意常数）.

评注

求不定积分 $ \int f(x)dx $时，结果切记要加上任意常数C。没有C，求出的只是一个原函数，而不是 $ f(x) $的不定积分。

性质1：积分运算与微分运算的互逆关系.

(1) $ \left( \int f(x) \, dx \right)' = f(x) $ 或 $ \mathrm{d}\int f(x) \, \mathrm{d}x = f(x) \, \mathrm{d}x $.

(2) $ \int f'(x)dx = f(x) + C $ 或 $ \int df(x) = f(x) + C $.

性质2：积分线性运算法则.

(1) $ \int[f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx $.

(2) $ \int kf(x)dx = k\int f(x)dx $ ( $ k \neq 0 $ 且为常数).

386 基础题 设 $ f(x) $ 的导函数为 $ \sin x $，C 为任意常数，则不定积分 $ \int f(x)dx = $ ( ). 答案 →

(A) $ 1 + \sin x + C $ (B) $ 1 - \sin x + C $ (C) $ 1 + \cos x + C $ (D) $ 1 - \cos x + C $

387 中等题 设曲线经过点 (e,-1)，且其上任一点处切线的斜率为 $ \frac{\ln x}{x} $，求此曲线的方程. 答案 →

388 基础题 设函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上可微，则 $ \mathrm{d}\left(\int f'(x) \, \mathrm{d}x\right) = (\quad) $. 答案 →

(A) $ f(x) $ (B) $ f(x)dx $ (C) $ f(x) + C $ (D) $ f'(x)dx $

389 基础题 以下结论正确的是（ ）. 答案 →

(A) $ \mathrm{d}\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right) = f(x) $

(B) $ \left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)' = \int f'(x)\mathrm{d}x $

(D) $ \mathrm{d}\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)=f(x)\mathrm{d}x $

(C) $ \int f'(x) \, dx = f(x) $

390 中等题 在区间 $ (a,b) $ 内，若 $ f'(x) = g'(x) $，则下列各式中正确的是（ ） 答案 →

(A) $ f(x) = g(x) $

(B) $ f(x) = g(x) + 1 $

(C) $ \left( \int f(x) \, dx \right)' = \left( \int g(x) \, dx \right)' $

(D) $ \int df(x) = \int dg(x) $

391 中等题 $ \int d\left[\int df(x)\right]= $___. 答案 →

392 中等题 设 $ f'(\sin^2 x) = \cos(2x) + \tan^2 x $，当 0 < x < 1 时，则 $ f(x) = $ ___. 答案 →

三、 基本积分公式

基本积分公式是计算积分的基础，必须熟记

393 基础版 求不定积分 $ \int\frac{(x^{2}-1)\sqrt{1-x^{2}}-3x}{x\sqrt{1-x^{2}}}dx $. 答案 →

394 基础题 求不定积分 $ \int\frac{\cos2x}{\sin^{2}x\cos^{2}x}dx $. 答案 →

395 基础题 求不定积分 $ \int\frac{1-2\cos x}{1-\cos(2x)}dx $. 答案 →

396 基础题 求不定积分 $ \int\left(\frac{1}{5^{-x}e^{x}}+\frac{1-e^{2x}}{1+e^{x}}\right)dx $. 答案 →

397 基础题 求不定积分 $ \int\left(6\sqrt{x}+5e^{x}+\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx $. 答案 →

398 中等题 求不定积分 $ \int\left(\frac{x^{4}}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)dx $. 答案 →

第二节 换元积分法

一、 第一类换元积分法（凑微分法）

定理：若 $ \int f(u)du = F(u) + C $，且 $ u = \varphi(x) $可导，则

$$ \int g(x)\mathrm{d}x{=}\int f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)\mathrm{d}x{=}\int f[\varphi(x)]\mathrm{d}\varphi(x)\stackrel{\varphi(x)=u}{=}\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C\stackrel{u=\varphi(x)}{=}F[\varphi(x)]+C. $$

评注

用第一类换元积分法，首先要在被积函数表达式中确定一个复合函数 $ f[\varphi(x)] $，使函数 $ f $成为基本积分公式中的被积函数，然后观察剩余部分是否为 $ \varphi'(x)\mathrm{d}x $，若是，则可直接凑微分；若不是，则需要通过恒等变形凑出 $ \varphi'(x)\mathrm{d}x $。这类题目的难度弹性较大，务必熟记基本微分公式、基本积分公式以及常见的凑微分形式。

399 基础题 求下列不定积分 答案 →

(1) $ \int\frac{dx}{\sqrt{2x+3}} $

(2) $ \int\frac{x+1}{x^{2}+2x+5}dx $

(3) $ \int\frac{xdx}{(2x+3)^{2}} $

400 基础题 求下列不定积分 答案 →

(1) $ \int \frac{e^{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx $

(2) $ \int\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx $

(3) $ \int\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}} $

401 基础题 求下列不定积分 答案 →

(1) $ \int x^{2}e^{x^{2}}dx $

(2) $ \int\frac{xdx}{1+x^{4}} $

(3) $ \int \frac{x^{2} \mathrm{d}x}{(2x^{3}-1)^{n}} (n \neq 1) $

(4) $ \int x f(x^{2}) f'(x^{2}) dx $

402 基础版 求下列不定积分 答案 →

(1) $ \int \sin^{2} x \cos^{2} x dx $

(2) $ \int \sin^{5} x \cos^{2} x dx $

(3) $ \int \cot^{3} x \csc x \, dx $

(4) $ \int \sin(5x) \sin(3x) \, dx $

(1) $ \int \frac{dx}{a^2 + x^2} (a \neq 0) $

403 基础题 求下列不定积分 答案 →

(2) $ \int \frac{dx}{a^2 - x^2} (a \neq 0) $

(1) $ \int e^{unx} \sec^{2} x dx $

(2) $ \int\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx $

404 基础版 求下列不定积分 答案 →

405 基础题 求下列不定积分 答案 →

(1) $ \int \frac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2 x}} $

(2) $ \int \frac{dx}{x\ln x(1+\ln(\ln x))^2} $

(3) $ \int \frac{1+\ln x}{1+x^2 \ln^2 x} dx $

406 基础题 求下列不定积分. 答案 →

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2}}(\arcsin x)^{2}} $$

$$ \int\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}dx $$

$$ \int\frac{\arcsin(1-x)}{\sqrt{2x-x^{2}}}\mathrm{d}x $$

407 基础题 求不定积分 $ \int \frac{dx}{\sqrt{x - x^2}} $ 答案 →

408 基础题 求不定积分 $ \int\frac{\cos x}{9+\sin^{2}x}dx $. 答案 →

409 基础题 求不定积分 $ \int \frac{1-x}{\sqrt{9-4x^{2}}} dx $. 答案 →

410 中等题 求不定积分 $ \int\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt[3]{\sin x - \cos x}} \, dx $. 答案 →

411 中等题 求不定积分 $ \int\frac{x\tan(\sqrt{1-x^{2}})}{\sqrt{1-x^{2}}}dx $. 答案 →

412 中等题 求不定积分 $ \int\sqrt{\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})+1}{1+x^2}}\,dx $. 答案 →

413 中等题 求不定积分 $ \int\frac{e^{\sqrt{1+\sin x}}\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}dx $. 答案 →

414 中等题 求不定积分 $ \int\frac{x + (\arctan x)^2}{1 + x^2} \, dx $. 答案 →

415 中等题 求不定积分 $ \int\frac{\sin x\cos^{3}x}{1+\cos^{2}x}dx $. 答案 →

416 中等题 求不定积分 $ \int\frac{dx}{\sin^{2}x + 2\cos^{2}x} $. 答案 →

417 中等题 求不定积分 $ \int\frac{dx}{1+e^{x}} $ 答案 →

418 中等题 求不定积分 $ \int\frac{\ln(x+1)-\ln x}{x(x+1)} $ dx. 答案 →

419 中等题 求不定积分 $ \int\frac{\ln^{2}x}{x(1+\ln^{2}x)}dx $. 答案 →

420 中等题 求不定积分 $ \int \frac{xdx}{x - \sqrt{x^{2} - 1}} $. 答案 →

421 中等题 求不定积分 $ \int\frac{e^{\sin(2x)}\sin^{2}x}{e^{2x}}dx $. 答案 →

422 中等题 求不定积分 $ \int \frac{\ln(\tan x)}{\sin(2x)} \, dx $. 答案 →

423 中等题 求不定积分 $ \int\frac{x+\sin x\cos x}{(\cos x-x\sin x)^{2}}dx $. 答案 →

424 中等题 求不定积分 $ \int\frac{\cos^{2}x-\sin x}{\cos x(1+e^{\sin x}\cos x)}dx $. 答案 →

425 中等题 求不定积分 $ \int\frac{(1+\sin x)e^{x}}{1+\cos x}dx $. 答案 →

426 中等题 设 $ \int f(x)dx = \ln(\sin x) + C $，求 $ \int xf(1-x^{2})dx $。 答案 →

427 中等题 证明 $ \int\frac{xf'(x)-(1+x)f(x)}{x^{2}e^{x}}dx=\frac{f(x)}{x}e^{-x}+C $. 答案 →

二、 第二类换元法

定理：设 $ x = \varphi(t) $ 单调、可导，且 $ \varphi'(t) \neq 0 $， $ \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = F(t) + C $，则 $ \int f(x)dx = \int f[\varphi(t)]\mathrm{d}\varphi(t) = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t = F(t) + C = F[\varphi^{-1}(x)] + C $，其中， $ \varphi^{-1}(x) $ 是 $ x = \varphi(t) $ 的反函数.

常见类型

(1) 被积函数中含 $ \sqrt{a^2 - x^2} $、 $ \sqrt{x^2 + a^2} $、 $ \sqrt{x^2 - a^2} $ 之一，可分别采用三角代换 $ x = a \sin t $（或 $ x = a \cos t $）、 $ x = a \tan t $（或 $ x = a \cot t $）与 $ x = a \sec t $。

(2) 被积函数中的根式不具备平方和或平方差结构时，可试用根式代换：若只含 $ \sqrt[3]{ax+b} $ 或者 $ \sqrt[3]{c x+d} $，则直接令此根式等于 t；若同时含 $ \sqrt[3]{a x+b} $ 和 $ \sqrt[3]{a x+b} $，则令 $ k\sqrt{a x+b}=t $，其中 k 为 m 和 n 的最小公倍数.

(3) 被积函数是分式，其分母关于 x（或 x - a）的最高次数比分子的最次数至少高两次，可试用倒代换 $ x = \frac{1}{t} $，以降低分母次数.

(4) 被积函数含 $ a^x $ 及其幂时，可作指数代换 $ a^x = t $；若被积函数含 $ \sqrt{a^x \pm a} $，则令 $ \sqrt{a^x \pm a} = t $ 去掉根式。

$$ \int x^{3}\sqrt{4-x^{2}}\mathrm{d}x $$ 答案 →

$$ \int\frac{x^{2}\mathrm{d}x}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}} $$ 答案 →

$$ \int\frac{x^{2}\mathrm{d}x}{\sqrt{\left(x^{2}-a^{2}\right)^{3}}}\left(a\gt 0\right) $$ 答案 →

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt[3]{x+1}} $$ 答案 →

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^{2}}} $$ 答案 →

$$ \int\frac{1}{3-x}\sqrt{\frac{5-x}{x-1}}\mathrm{d}x $$ 答案 →

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2x}} $$ 答案 →

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}} $$ 答案 →

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{x(x^{6}+1)} $$ 答案 →

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{x^{4}\sqrt{x^{2}+1}} $$ 答案 →

$$ \int\frac{1+x}{x^{2}+x\ln x}\mathrm{d}x. $$ 答案 →

$$ \int\sqrt{2x-x^{2}}\mathrm{d}x $$ 答案 →

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2x}}} $$ 答案 →

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}} $$ 答案 →

第三节 分部积分法

分部积分公式

定理：设 $ u(x),v(x) $具有连续一阶导数，则

$$ \int u\mathrm{d}v=u v-\int v\mathrm{d}u\mathrm{~ 或 ~}\int u v^{\prime}\mathrm{d}x=u v-\int v u^{\prime}\mathrm{d}x\;. $$

选择 $u(x)$，$v(x)$ 的原则：一般按“反对幂指三”顺序，前为 $u$ 后为 $v'$。即

形如 $\int p_n(x) e^{ax} \, dx$，$\int p_n(x) \sin(ax) \, dx$，$\int p_n(x) \cos(ax) \, dx$ 的积分，把 $p_n(x)$ 当 $u(x)$，$e^{ax}$，$\sin(ax)$，$\cos(ax)$ 当 $v'(x)$，其中 $p_n(x)$ 是 $n$ 次多项式；

形如 $ \int p_n(x)\ln x dx $, $ \int p_n(x)\arctan x dx $, $ \int p_n(x)\arcsin x dx $ 的积分，把 $ \ln x $, $ \arctan x $, $ \arcsin x $ 当 $ u(x) $, $ p_n(x) $ 当 $ v'(x) $，其中 $ p_n(x) $ 是 n 次多项式；

形如 $ \int e^{ax}\sin(bx)dx $, $ \int e^{ax}\cos(bx)dx $的积分，把 $ \sin(bx) $, $ \cos(bx) $当 $ u(x) $，连续两次把 $ e^{ax} $当 $ v'(x) $，分部积分后还原，求得原不定积分.

442 基础题 求下列不定积分. 答案 →

(1) $ \int x e^{2x} dx $ (2) $ \int x^{2} \cos x dx $ (3) $ \int (x^{2} - x) \sin x dx $

443 基础题 求下列不定积分 答案 →

(1) $ \int \frac{x}{\sin^{2}x} \, dx $

(2) $ \int \ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) \, dx $

444 基础题 求下列不定积分 答案 →

(1) $ \int e^{-x} \cos x \, dx $

(2) $ \int x \cot^{2} x \, dx $

(3) 设 $ \int f(x) \, dx = (1 + \sin x) \ln x + C $，求 $ \int x f'(x) \, dx $.

445 基础题 求不定积分 $ \int x \ln(x+1)dx $. 答案 →

446 基础题 求不定积分 $ \int\arcsin(x+1)dx $. 答案 →

447 基础题 求不定积分 $ \int \frac{x \cot x}{\sin^2 x} \, dx $. 答案 →

448 基础题 求不定积分 $ \int \frac{x\cos^{4}\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin^{3}x}dx $. 答案 →

449 基础题 求不定积分 $ \int \frac{\ln(\sin x)}{\sin^{2}x} \, dx $. 答案 →

450 基础题 求不定积分 $ \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} \, dx $. 答案 →

451 基础题 求不定积分 $ \int e^{2x} \sin(3x) \, dx $. 答案 →

452 基础题 求不定积分 $ \int \sqrt{x^{2} + a^{2}} \, dx $. 答案 →

453 基础题 求不定积分 $ \int\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx $. 答案 →

454 中等题 求不定积分 $ \int x\arcsin x\,dx $. 答案 →

455 中等题 求不定积分 $ \int\frac{1}{x^{2}}\arctan x\,dx $. 答案 →

456 中等题 求不定积分 $ \int\frac{\ln(1+x)}{(2-x)^2}dx $. 答案 →

457 中等题 求不定积分 $ \int \frac{xe^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} \, dx $. 答案 →

458 中等题 求不定积分 $ \int \frac{\ln x}{\sqrt{1+x}} \, dx $. 答案 →

459 中等题 求不定积分 $ \int \arctan \sqrt{x} dx $. 答案 →

460 中等题 求不定积分 $ \int\frac{x^{2}e^{x}}{(x+2)^{2}}dx $. 答案 →

461 中等题 求不定积分 $ \int\frac{(1+x)\sin x+\cos x}{(1+x)^{2}}dx $. 答案 →

462 中等题 设 $ f'(e^x) = \cos x $，求 $ f(x) $. 答案 →

463 中等题 设 $ n $ 为自然数， $ I_n = \int \sec^n x \, dx $， 答案 →

证明 $ I_n = \frac{\sin x}{(n-1)\cos^{n-1}x} + \frac{n-2}{n-1}I_{n-2}, n=2,3, \cdots $。

第四节 有理函数的积分

定义：形如 $ \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} $ 的函数称为有理函数，其中 $ P_{n}(x) $ 和 $ Q_{m}(x) $ 分别为 x 的 n 次多项式和 m 次多项式.

当 $ m \leqslant n $时， $ \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} $称为假分式；当 $ m \gt n $时， $ \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} $称为真分式.

评注

(1) 因为假分式总能化为整式和真分式之和，整式可以逐项积分，所以讨论有理函数的积分，只需讨论真分式的积分.

(2) 对于有理真分式，常用下述命题先将有理真分式化为部分分式之和，再用待定系数法或赋值法确定部分分式之和的待定系数，最后分项积分求出积分结果.

命题1：若分母中含k重一次因式 $ (x-a)^{k} $，则有理真分式的分解中对应有k项的和 $ \frac{A_{1}}{x-a}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{2}}+\cdots+\frac{A_{k}}{(x-a)^{k}} $；当k=1时，只有一项 $ \frac{A}{x-a} $.

若分母中含 k 重二次因式 $ (x^{2} + px + q)^{k} $，则有理真分式的分解中对应有 k 项的和 $ \frac{B_{1}x + C_{1}}{x^{2} + px + q} + \frac{B_{2}x + C_{2}}{(x^{2} + px + q)^{2}} + \cdots + \frac{B_{k}x + C_{k}}{(x^{2} + px + q)^{k}} $；当 k=1 时，只有一项 $ \frac{Bx + C}{x^{2} + px + q} $.

命题2：任一有理真分式的积分都可化为下述4种类型的积分：

(1) $ \int \frac{A}{x-a} \, \mathrm{d}x $; (2) $ \int \frac{A}{(x-a)^k} \, \mathrm{d}x $; (3) $ \int \frac{Bx + C}{x^2 + px + q} \, \mathrm{d}x $; $ \int \frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^k} \, \mathrm{d}x $.

其中 $ A, B, C $ 为待定系数， $ k \gt 1 $, $ p^2 - 4q \lt 0 $.

464 基础题 求不定积分 $ \int \frac{x^{3}}{x^{2}+1} dx $. 答案 →

465 基础题 求不定积分 $ \int\frac{3x-2}{x^{2}+3x-4}dx $. 答案 →

466 基础题 求不定积分 $ \int\frac{2x^{2}-x+1}{(x+1)(x-3)(x+2)}\mathrm{d}x $. 答案 →

467 基础题 求不定积分 $ \int\frac{1}{x(x-1)^{2}}dx $. 答案 →

468 基础题 求不定积分 $ \int\frac{x^{2}+1}{(x+1)(x^{2}-1)}\mathrm{d}x $. 答案 →

469 基础题 求不定积分 $ \int\frac{dx}{(x^{2}+1)(1+2x)} $. 答案 →

470 基础题 求不定积分 $ \int \frac{3x + 1}{x^2 + 2x + 5} \, dx $. 答案 →

471 基础题 求不定积分 $ \int\frac{dx}{(x^{2}+2x+5)^{2}} $ 答案 →

472 中等题 求不定积分 $ \int \frac{2x^{3} + 2x^{2} + 5x + 5}{x^{4} + 5x^{2} + 4} dx $ 答案 →

473 中等题 求不定积分 $ \int\frac{x^{2}}{(x^{2}+2x+2)^{2}}dx $. 答案 →

474 中等题 求不定积分 $ \int\frac{x^{4}+1}{1+x^{6}}dx $. 答案 →

475 中等题 求不定积分 $ \int\frac{dx}{x^{4}-x^{6}} $ 答案 →

476 中等题 求不定积分 $ \int\frac{1+2x^{4}}{x^{3}(1+x^{4})^{2}}dx $. 答案 →

477 中等题 求不定积分 $ \int\frac{dx}{x^{4}+1} $ 答案 →

综合提高题

(78) 综合题 下列说法不正确的是（）.

(A) 一切初等函数在其定义区间内都存在原函数 答案 →

(B) 不连续的函数也可能存在原函数

(C) 奇函数的原函数都是偶函数

(D) 偶函数的原函数都是奇函数

479 综合题 设 $ f(x) $ 在闭区间 $ [a,b] $ 上连续，则在开区间 $ (a,b) $ 内， $ f(x) $ 必有（） 答案 →

(A) 导函数 (B) 原函数 (C) 最大值或最小值 (D) 极值

480 综合题 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}2(x-1),&x\lt 1\\\ln x,&x\geq1\end{cases} $，则 $ f(x) $ 的一个原函数是（ ）。 答案 →

(A) $ F(x)=\begin{cases}(x-1)^2,&x\lt 1\\x(\ln x-1),&x\geq1\end{cases} $ (B) $ F(x)=\begin{cases}(x-1)^2,&x\lt 1\\x(\ln x+1)-1,&x\geq1\end{cases} $

(C) $ F'(x)=\begin{cases}(x-1)^2,&x\lt 1\\x(\ln x+1)+1,&x\geq1\end{cases} $ (D) $ F'(x)=\begin{cases}(x-1)^2,&x\lt 1\\x(\ln x-1)+1,&x\geq1\end{cases} $

481 综合题 求不定积分 $ \int\frac{\arctan e^x}{e^{2x}}dx $。 答案 →

482 综合题 求不定积分 $ \int\frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}dx $。 答案 →

483 综合题 求不定积分 $ \int\frac{1+x}{x(1+xe^x)}dx $。 答案 →

484 综合题 求不定积分 $ \int\frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}dx $。 答案 →

485 综合题 求不定积分 $ \int e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1}dx $。 答案 →

486 综合题 求不定积分 $ \int\frac{x+\sin x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}dx $。 答案 →

487 综合题 求不定积分 $ \int\frac{dx}{\sin(2x)+2\sin x} $。 答案 →

488 综合题 求不定积分 $ \int\frac{1}{1+\sin x+\cos x}dx $。 答案 →

489 综合题 求不定积分 $ \int\frac{1}{2+\cos x}dx $。 答案 →

490 综合题 求不定积分 $ \int\frac{3\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}dx $。 答案 →

491 综合题 求不定积分 $ \int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx $。 答案 →

492 综合题 求不定积分 $ \int\frac{1}{2x+\sqrt{1-x^2}}dx $。 答案 →

493 综合题 求不定积分 $ \int\frac{x^{3}+1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx $. 答案 →

494 综合题 求不定积分 $ \int\frac{xe^{\arctan x}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx $. 答案 →

495 综合题 求不定积分 $ \int\frac{dx}{1+e^{\frac{x}{2}}+e^{\frac{x}{3}}+e^{\frac{x}{6}}} $. 答案 →

496 综合题 求不定积分 $ \int\frac{1}{(2+\cos x)\sin x}dx $. 答案 →

497 综合题 求不定积分 $ \int \frac{x^{3} \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx $. 答案 →

498 综合题 设 $ y(x-y)^2 = x $，求不定积分 $ \int \frac{1}{x-3y} \, dx $。 答案 →

499 综合题 设 $ f(\sin^2 x) = \frac{x}{\sin x} $，求 $ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} f(x) \, dx $。 答案 →

500 综合题 设 $ \int f(x) \, dx = e^{x^2} + C $，求 $ \int x f''(x) \, dx $。 答案 →

设 $ \int xf(x)dx=\arcsin x+C $，求 $ \int f(x)dx $。 答案 →

502 综合题 设 $ \int f'(e^x) \, \mathrm{d}x = -(1+x)e^{-x} + C $， $ f(1) = 0 $，求 $ f(x) $. 答案 →

503 综合题 已知 $ f''(x) $ 连续， $ f'(x) \neq 0 $， 答案 →

证明 $ \int\left[\frac{f(x)}{f'(x)}-\frac{f^2(x)f''(x)}{(f'(x))^3}\right]dx=\frac{1}{2}\left(\frac{f(x)}{f'(x)}\right)^2+C $

504 综合题 证明 $ \int\frac{1}{(a\sin x+b\cos x)^2}dx = -\frac{1}{a^2+b^2}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x} + C $. 答案 →