第5章 定积分
第5章
定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、 定积分的定义
定义：若函数 $ f(x) $在闭区间 $ [a,b] $上有定义，且 $ a=x_{0}\lt x_{1}\lt x_{2}\lt \cdots\lt x_{n}=b $，则数 $ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} $（其中 $ x_{i-1}\lt \xi_{i}\lt x_{i},\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\lambda=\max_{1\leq i\leq n}\{\Delta x_{i}\} $）称为函数 $ f(x) $在区间 $ [a,b] $上的定积分.
几何意义：若连续函数 $ f(x)\geqslant0 $，定积分 $ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x $表示由曲线 $ y=f(x) $，直线x=a，x=b(a<b)以及x轴所围成的曲边梯形面积S。即 $ S=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x $。
二、 定积分的性质
规定：(1) $ \int_{a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0 $; (2) $ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=-\int_{b}^{a}f(x)\mathrm{d}x $.
性质1：（线性性质） $ \int_{a}^{a}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x=\alpha\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x+\beta\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x $。（ $ a,\beta $均为常数）.
性质2：（区间可加性） $ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x $
性质3： $ \int_{a}^{b}1dx=\int_{a}^{b}dx=b-a $
性质4：若 $ f(x)\geqslant0 $， $ x\in[a,b] $，则 $ \int_{a}^{b}f(x)dx\geqslant0 $。
推论1：（比较性质）若 $ f(x)\leq g(x) $， $ x\in[a,b] $，则 $ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\leq\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x $
推论2： $ \left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leqslant\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx $
性质5：（估值定理）设M和m是 $ f(x) $在区间 $ [a,b] $上的最大值与最小值，则
$$ m(b-a)\leqslant\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\leqslant M(b-a). $$
性质6：（中值定理）设函数 $ f(x) $在区间 $ [a,b] $上连续，则在 $ [a,b] $上至少存在一个点 $ \xi $，使得 $ \int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b - a) $.
$ f(\xi)=\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x $ 称为函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上的平均值.
505 基础题 $ \left[\int_{a}^{b}\arcsin x dx\right]^{\prime} = (\quad) $. 答案 →
(A) $ \arcsin x $ (B)0 (C) $ \frac{1}{\sqrt{1-b^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{1-a^{2}}} $ (D) $ \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $
506 基础题 利用定积分的几何意义，求 $ \int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}dx $. 答案 →
507 基础题 利用定积分的定义，求极限 $ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n-1}{n^{2}}\right) $. 答案 →
508 基础题 利用定积分的定义，求极限 $ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right) $. 答案 →
509 基础题 利用定积分的定义，求极限 $ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right) $. 答案 →
510 基础题 下列各选项中满足 $ I_{1} \leqslant I_{2} $ 的是（）. 答案 →
(A) $ I_{1}=\int_{0}^{1}x^{2}dx,I_{2}=\int_{0}^{1}x^{3}dx $
(B) $ I_{1}=\int_{0}^{1}xdx,I_{2}=\int_{0}^{1}\tan xdx $
(C) $ I_{1}=\int_{1}^{2}\ln xdx,I_{2}=\int_{1}^{2}\ln^{2}xdx $
(D) $ I_{1}=\int_{0}^{1}e^{x}dx,I_{2}=\int_{0}^{1}(1+x)dx $
511 基础题 设 $ I_1 = \int_0^1 \sqrt{1 + x^2} \, dx $, $ I_2 = \int_0^1 \sqrt{1 + x^3} \, dx $，则 $ I_1 $ 与 $ I_2 $ 的大小关系是（ ）。 答案 →
(A) $ I_1 \gt I_2 $ (B) $ I_1 \geq I_2 $ (C) $ I_1 \lt I_2 $ (D) $ I_1 \leq I_2 $
512 基础题 估计定积分 $ I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}(1+\cos^{2}x)\,\mathrm{d}x $ 的值. 答案 →
513 中等题 估计定积分 $ I=\int_{0}^{1}\frac{x^{9}}{\sqrt{1+x}}dx $ 的值. 答案 →
514 综合题 设 $ I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{x}dx $，证明 $ \frac{\sqrt{2}}{4}\leqslant I\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2} $. 答案 →
515 中等题 设 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，且 $ \frac{2}{b-a}\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x) \, dx = f(b) $. 答案 →
证明在 $ (a, b) $ 内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ f'(\xi) = 0 $.
516 中等题 设 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f'(x) \leq 0 $. 答案 →
证明 $ F(x) = \frac{1}{x - a} \int_{a}^{x} f(t) \, dt $ 在 $ (a, b) $ 内满足 $ F'(x) \leq 0 $.
517 基础题 求函数 $ f(x)=\sqrt{4-x^{2}} $ 在 $ [-2, 2] $ 上的平均值. 答案 →
第二节 微积分基本公式
一、 积分上限函数及其导数
设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上可积，则称
$$ \Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t\ ,x\in[a,b] $$
为积分上限函数或变上限积分函数.
定理1：如果函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上连续，则积分上限函数 $ \Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt $ 在 $ [a,b] $ 上可导，并且
$$ \Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x),x\in[a,b]. $$
定理2：（原函数存在定理）如果函数 $ f(x) $在区间 $ [a,b] $上连续，则函数 $ \Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt $是 $ f(x) $在 $ [a,b] $上的一个原函数.
518 基础题 设 $ f(x)=\int_{a}^{b}\sin x^{2}dx $，求 $ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} $， $ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}b} $， $ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}a} $. 答案 →
519 基础题 设 $ y=\int_{0}^{x^{2}}\sqrt{1+t^{2}}dt $，求 $ \frac{dy}{dx} $ 答案 →
520 基础题 设 $ y=\int_{x^{2}}^{x^{2}}\frac{dt}{\sqrt{1+t^{2}}} $，求 $ \frac{dy}{dx} $ 答案 →
521 中等题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \cos t^{2} dt}{x} $. 答案 →
522 中等题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \arctan t \, dt}{x^2} $. 答案 →
523 中等题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_{0}^{x} e^{t^2} dt \right)^2}{\int_{0}^{x} t e^{2t^2} dt} $. 答案 →
524 中等题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t)(x-t)dt}{x^2} $，其中 $ f(x) $ 是 $ (-\infty, +\infty) $ 内的连续函数. 答案 →
525 中等题 求极限 $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\int_{0}^{x} (\arctan t)^{2} dt}{\sqrt{1 + x^{2}}} $. 答案 →
526 基础题 求由 $ \int_{0}^{y} e^{t} dt + \int_{0}^{x} \cos t dt = 0 $ 所确定的隐函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $ 答案 →
527 中等题 设函数 $ f(x)=\int_{0}^{x}e^{-\frac{1}{2}t^{2}}dt $ （ $ -\infty\lt x\lt +\infty $），求 $ f(x) $ 的单调区间，并判断其奇偶性. 答案 →
528 中等题 设函数 $ f(x) $ 连续， $ \varphi(x)=\int_{0}^{x^{2}} xf(t)dt $ ，若 $ \varphi(1)=1 $ ， $ \varphi'(1)=5 $ ，求 $ f(1) $ 。 答案 →
529 综合题 设函数 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上连续，且 $ f(x) \gt 0 $. 答案 →
证明方程 $ \int_{a}^{x}f(t)dt+\int_{b}^{x}\frac{dt}{f(t)}=0 $在区间 $ (a,b) $内有且仅有一个实根.
二、 牛顿-莱布尼茨公式
定理3：（微积分基本定理）如果函数 $ F(x) $ 是连续函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上的一个原函数，则
$$ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\left.F(x)\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a). $$
此为牛顿-莱布尼茨公式，也称微积分基本公式
530 基础题 求定积分 $ \int_{0}^{\frac{1}{2}}e^{2x}dx $. 答案 →
531 基础题 求定积分 $ \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx $. 答案 →
532 基础题 求定积分 $ \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}+5x+6} $ 答案 →
533 基础题 求定积分 $ \int_{-1}^{3}|2-x|\mathrm{d}x $. 答案 →
534 基础题 求定积分 $ \int_{0}^{2\pi} |\sin x| dx $. 答案 →
535 中等题 设 $ f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant x\leqslant1\\2+x,&1\lt x\leqslant2\end{cases} $，求积分上限函数 $ P(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt $ 在 $ [0,2] $ 上的表达式. 答案 →
536 中等题 设 $ f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x $，求 $ \int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x $。 答案 →
537 中等题 设 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，且满足 $ f(x)=x\int_{0}^{1}f(t)dt-1 $，求 $ \int_{0}^{1}f(x)dx $ 及 $ f(x) $. 答案 →
538 中等题 设 $ f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^{3}}{1+x^{4}} $，求 $ \int_{2}^{2\sqrt{2}}f(x)dx $. 答案 →
第三节 定积分的换元积分法和分部积分法
一、 定积分的换元积分法
定理1：设函数 $ f(x) $在区间 $ [a,b] $上连续，若函数 $ x=\varphi(t) $满足条件：
(1) $ \varphi(\alpha) = a $, $ \varphi(\beta) = b $;
(2) $ \varphi(t) $ 在区间 $ [a, \beta] $ （或 $ [\beta, a] $）上单调且具有连续导数，则 $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi'(t) \, dt $.
(1) 设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [-a, a] $ 上连续，则
$ \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}[f(x)+f(-x)]dx=\{\begin{aligned}&0& 当 f(x) 为奇函数时 \\ &2\int_{0}^{a}f(x)dx& 当 f(x) 为偶函数时 \end{aligned}. $
(2) 设函数 $ f(x) $ 是以 T 为周期的连续函数，则
$$ \int_{a}^{a+T}f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{T}f(x)\mathrm{d}x\;;\quad\int_{a}^{a+T}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\mathrm{d}x\;. $$
539 基础题 计算 $ \int_{4}^{9}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx $. 答案 →
540 基础题 计算 $ \int_{0}^{1}x\sqrt{3-2x}dx $。 答案 →
541 基础题 计算 $ \int_{1}^{e}\frac{1}{x\sqrt{1+\ln x}}dx $. 答案 →
542 中等题 计算 $ \int_{-1}^{0}\frac{(1+x)e^{x}}{\sqrt{1+x e^{x}}}dx $. 答案 →
543 基础题 计算 $ \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{3}}\sqrt{2-9x^{2}}dx $ 答案 →
544 基础题 计算 $ \int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x\sqrt{1+x^{2}}} $ 答案 →
545 基础题 计算 $ \int_{1}^{2}\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}dx $. 答案 →
546 基础题 计算 $ \int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^{2}}} $ 答案 →
547 基础题 计算 $ \int_{0}^{1}\sqrt{2x-x^{2}}dx $。 答案 →
548 中等题 计算 $ \int_{0}^{-\ln2}\sqrt{1-e^{2x}}dx $. 答案 →
549中等题 设 $ f(x)=\begin{cases}1+x^2, & x\lt 0 \\ e^{-x}, & x\geq0\end{cases} $，求 $ \int_1^3 f(x-2)dx $。 答案 →
550 中等题 设 $ f(x)=\begin{cases}x\mathrm{e}^{x^2}, & -\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{1}{2} \\ -1, & x\geqslant\frac{1}{2}\end{cases} $，求 $ \int_{\frac{1}{2}}^{2}f(x-1)\mathrm{d}x $。 答案 →
551 中等题 设连续函数 $ f(x) $ 满足 $ \int_{0}^{x}f(x-t)dt=e^{-2x}-1 $，求定积分 $ \int_{0}^{1}f(x)dx $。 答案 →
552综合题 设 $ f(x) $是 $ (-\infty,+\infty) $内的连续函数，且满足 $ \int_{0}^{x}f(x-t)t\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{x}-x-1 $，求 $ f(x) $. 答案 →
553 基础题 计算 $ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{1+\cos x}dx $. 答案 →
554 基础题 计算 $ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\mathrm{d}x $. 答案 →
555 中等题 计算 $ \int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\left(\frac{1}{1+e^{x}}-\frac{1}{2}\right)dx $. 答案 →
556 中等题 求 $ \int_{-1}^{1} \cos x \arccos x \, dx $. 答案 →
557综合题 设 $ M = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\tan x}{1 + x^4} + x^8 \right) dx $， $ N = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \sin^8 x + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \right) dx $， $ P = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \tan^8 x + e^x \cos x - e^{-x} \cos x \right) dx $，则有（）. 答案 →
(A)P>N>M (B)N>P>M (C)N>M>P (D)P>M>N
558 中等题 计算 $ \int_{0}^{x\pi}\sqrt{1-\sin^{2}x}dx $. 答案 →
559 中等题 计算 $ \int_{a}^{a+\pi}\sin^{2}x(\tan x+1)dx $. 答案 →
560 综合题 设 $ f(x) $ 为连续函数，证明 (1) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \, dx $； 答案 →
(2) $ \int_{0}^{\pi} xf(\sin x) dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx $，并由此计算定积分
$ I_{n}=\int_{0}^{n}\frac{x\sin^{2n}x}{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}dx $ (n为正整数).
二、 定积分的分部积分法
定理2：设 $ u=u(x) $， $ v=v(x) $在区间 $ [a,b] $上连续可导，则
$$ \int_{a}^{b}u\nu^{\prime}\mathrm{d}x=u\nu\Big|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u^{\prime}\nu\mathrm{d}x\mathrm{ 或 }\int_{a}^{b}u\mathrm{d}\nu=u\nu\Big|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\nu\mathrm{d}u\;. $$
561 基础题 计算 $ \int_{0}^{1}\ln(1+x^{2})dx $. 答案 →
562 基础题 计算 $ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\arcsin xdx $. 答案 →
563 基础题 计算 $ \int_{-1}^{1}x\arccos xdx $. 答案 →
564 中等题 计算 $ \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{(2-x)^{2}}dx $. 答案 →
565 中等题 计算 $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \sin(2x) dx $。 答案 →
566 中等题 计算 $ \int_{0}^{1}e^{-\sqrt{x}}dx $ 答案 →
567 中等题 计算 $ \int_{0}^{1}\frac{x^{2}\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx $. 答案 →
568 中等题 计算 $ \int_{1}^{16}\arctan\sqrt{\sqrt{x}-1}dx $ 答案 →
569 中等题 计算 $ \int_{1}^{2}\frac{1}{x^{3}}e^{\frac{1}{x}}dx $ 答案 →
570 中等题 计算 $ \int_{0}^{\pi^{2}}\sqrt{x}\cos\sqrt{x}dx $. 答案 →
571 基础题 设 $ f(0)=1 $, $ f(2)=3 $, $ f'(2)=5 $, 求 $ \int_{0}^{2} x f''(x) dx $. 答案 →
572 中等题 设 $ F(x)=\int_{x}^{x+2x} e^{\sin t} \sin t \, dt $，则 $ F(x) $ 为（）. 答案 →
(A) 正常数 (B) 负常数 (C) 恒为零 (D) 非常数
573 中等题 已知 $ f(x) $ 的一个原函数为 $ e^{x^{2}} $，求 $ \int_{1}^{e}\frac{\ln x f'(\ln x)}{x}dx $. 答案 →
574 综合题 设 $ f(x) $ 连续，且 $ f(x)=x+2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\cos xdx $，求 $ \int_{0}^{1}f(x)dx $. 答案 →
575 综合题 设 $ f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{\pi-t}dt $，计算 $ \int_{0}^{\pi}f(x)dx $。 答案 →
576 综合题 设 $ f(x)=\int_{1}^{x}e^{-y^{2}}dy $，求 $ \int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx $. 答案 →
577 综合题 设 $ f(x) $ 一阶连续可导，且 $ f(x)=x-\int_{0}^{x}f'(t)\cos t dt $，求 $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx $. 答案 →
第四节 反常积分
一、 无穷限的反常积分
定义1：设 $ f(x) $在 $ [a,+\infty) $上有定义，且在任意有界区间 $ [a,b] $上存在定积分 $ \int_{a}^{b}f(x)dx $，定义
$$ \int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x; $$
定义 2：设 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, b] $ 上有定义，且在任意有界区间 $ [a, b] $ 上存在定积分 $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $，定义
$$ \int_{-\infty}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x； $$
定义 3：设 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上有定义，定义
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{0}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}f(x)\mathrm{d}x+\lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b}f(x)\mathrm{d}x. $$
定义 1 和定义 2 中若右端极限存在，则称该反常积分收敛，否则称为发散；定义 3 中要求右端的两个反常积分都收敛，则 $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx $ 收敛。有一个发散，则 $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx $ 发散。
二、 无穷限积分的性质
性质1： $ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx $ 与 $ \int_{b}^{+\infty}f(x)dx $ 具有相同的敛散性.
性质2： $ \int_{a}^{+\infty}kf(x)\mathrm{d}x(k\neq0 $ 为常数）与 $ \int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x $ 具有相同的敛散性.
性质3：若 $ \int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x $与 $ \int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x $均收敛，则 $ \int_{a}^{+\infty}[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x $收敛，且 $ \int_{a}^{+\infty}[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\pm\int_{a}^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x $
常用结论： $ \int_{a}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{p}}\{\begin{aligned}&p\gt 1,\\ &p\leqslant1,\end{aligned}. $ 收敛 $ (a\gt 0) $; $ \int_{a}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln^{p}x}\{\begin{aligned}&p\gt 1,\\ &p\leqslant1,\end{aligned}. $ 收敛 $ (a\gt 1) $
在实际计算中，反常积分可按照定积分 $ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(x)\big|_{a}^{b} $ 的计算方法进行，只不过要将 $ F(b) $ 或 $ F(a) $ 改作 $ \lim_{x\to+\infty}f(x) $ 或 $ \lim_{x\to-\infty}f(x) $ 即可．定积分的换元法和分部积分法在反常积分的计算中也适用.
三、 无穷限积分敛散性的判别
比较判别法：设 $ 0 \leq f(x) \leq g(x) $，则有：
(1) 当 $ \int_{a}^{+\infty} g(x) dx $ 收敛时， $ \int_{a}^{+\infty} f(x) dx $ 收敛；
(2) 当 $ \int_{a}^{+\infty} f(x) dx $ 发散时， $ \int_{a}^{+\infty} g(x) dx $ 发散.
578 基础题 下列反常积分中收敛的是（）. 答案 →
(A) $ \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx $ (B) $ \int_{2}^{+\infty}\frac{\ln x}{x}dx $ (C) $ \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx $ (D) $ \int_{2}^{+\infty}\frac{x}{e^{x}}dx $
579 基础题 计算 $ \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^{2}x}dx $ 答案 →
580 基础题 计算 $ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}+4x+5}dx $. 答案 →
581 基础题 计算 $ \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+x} $ 答案 →
582 中等题 计算 $ \int_{3}^{+\infty}\frac{1}{(x-1)^{4}\sqrt{x^{2}-2x}}dx $. 答案 →
583 基础题 计算 $ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx $ 答案 →
584 中等题 计算 $ \int_{0}^{+\infty} \min \{ e^{-x}, \frac{1}{2} \} dx $. 答案 →
585 中等题 计算 $ \int_{1}^{+\infty}\frac{\ln x}{(1+x)^{2}}dx $ 答案 →
586 中等题 计算 $ \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx $. 答案 →
587 中等题 计算 $ \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{2x^{2}-1}} $ 答案 →
588 综合题 计算 $ \int_{0}^{+\infty}\frac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}dx $. 答案 →
589 中等题 关于 $ \int_{-\infty}^{+\infty}\sin(2x)\cdot e^{|x|}dx $，下列结论正确的是（ ）. 答案 →
(A) 取值为 0 (B) 取正值 (C) 发散 (D) 取负值
590 基础题 判别 $ \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\ln x}dx $ 的敛散性. 答案 →
591 中等题 判别 $ \int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx $ 的敛散性. 答案 →
592 综合题 求 $c$ 的值，使 $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + c}{x - c} \right)^x = \int_{-\infty}^{c} t e^{2t} \, dt$. 答案 →
四、 无界函数的反常积分
如果函数 $ f(x) $在点 $ x=x_{0} $的任一邻域内都无界，则称点 $ x=x_{0} $为函数 $ f(x) $的瑕点，无界函数的反常积分又称为瑕积分.
定义1：设 $ f(x) $在 $ (a,b] $上有定义，且在任一区间 $ [a+\varepsilon,b] $上可积，其中 $ \varepsilon\gt 0 $，且 $ \lim_{x\to a^+}f(x)=\infty $，定义
$$ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\mathrm{d}x； $$
定义2：设 $ f(x) $在 $ [a,b) $上有定义，且在任一区间 $ [a,b-\varepsilon] $上可积，其中 $ \varepsilon\gt 0 $，且 $ \lim_{x\to b^-}f(x)=\infty $，定义
$$ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{x\to0^{+}}\int_{a}^{b-x}f(x)\mathrm{d}x; $$
定义3：设 $ f(x) $在 $ [a,c) $及 $ (c,b] $上都有定义，且在任一区间 $ [a,c-\varepsilon] $及 $ [c+\varepsilon,b] $上可积，其中 $ \varepsilon\gt 0 $，且 $ \lim_{x\to c}f(x)=\infty $，定义
$$ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon_{1}\to0^{+}}\int_{a}^{c-\varepsilon_{1}}f(x)\mathrm{d}x+\lim_{\varepsilon_{2}\to0^{+}}\int_{c+\varepsilon_{2}}^{b}f(x)\mathrm{d}x. $$
定义1和定义2中若右端极限存在，则称该瑕积分收敛，否则称为发散；定义3中要求右端的两个瑕积分都收敛，则 $ \int_{a}^{b}f(x)dx $收敛。有一个发散，则 $ \int_{a}^{b}f(x)dx $发散。
瑕积分的性质、计算方法及敛散性的判别均与无穷限积分相类似。
593 基础题 下列积分（）是反常积分. 答案 →
(A) $ \int_{0}^{1}\frac{\sin x}{x}dx $ (B) $ \int_{0}^{1}x\ln xdx $ (C) $ \int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}}} $ (D) $ \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{-2}}dx $
594 基础题 $ I=\int_{0}^{1}x\ln^{2}x dx $ 是（）， 答案 →
(A) 定积分且值为 $ \frac{1}{3} $
(B) 定积分且值为 $ \frac{1}{4} $
(C) 反常积分且发散
(D) 反常积分且值为 $ \frac{1}{2} $
595 基础题 计算 $ \int_{0}^{a}\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} $. 答案 →
596 基础题 计算 $ \int_{0}^{\frac{1}{e}}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} $. 答案 →
597 中等题 讨论现积分 $ \int_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^{p}} $ 的敛散性. 答案 →
598 中等题 计算 $ \int_{0}^{+\infty}\frac{\ln x}{x^{2}+1}dx $. 答案 →
599 综合题 设函数 $ f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{(x-1)^{\alpha-1}},&1\lt x\lt e\\\dfrac{1}{x\ln^{\alpha+1}x},&x\geq e\end{cases} $，若反常积分 $ \int_{1}^{+\infty}f(x)dx $ 收敛，则 ( )。 答案 →
(A) $ \alpha \lt -2 $ (B) $ \alpha \gt 2 $ (C) $ -2 \lt \alpha \lt 0 $ (D) $ 0 \lt \alpha \lt 2 $
600 综合题 下列计算正确的是（） 答案 →
(A) $ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{1-x^{2}}dx=0 $
(B) $ \int_{-\infty}^{+\infty}\sin xdx=\lim_{b\to+\infty}\int_{-b}^{b}\sin xdx=\lim_{b\to+\infty}\left(-\cos x\Big|_{-b}^{b}\right)=\lim_{b\to+\infty}[\cos(-b)-\cos b]=0 $
(C) $ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}\bigg|_{-1}^{1}=-2 $
(D) $ \int_{0}^{+\infty}x^{\frac{3}{2}}e^{-x}dx=\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\sqrt{\pi} $