第七章 解析函数在平面场的应用
第七章 解析函数在平面场的应用
在历史上，复变函数论的发生与发展是和应用相联系的。例如，达朗贝尔及欧拉由流体力学导出了著名的柯西-黎曼方程：茹科夫斯基应用复变函数证明了关于飞机翼升力的公式，并且这一重要结果反过来推动了复变函数的研究。复变函数论的发展还和电磁学、热学、弹性力学等学科以及数学中其他分支联系着。在这里，我们只讲述解析函数对平面场的应用，特别是对稳定平面流场及静电场的应用。
§7.1 复势的概念
§7.1.1 用复变函数表示平面向量场
物理上许多种不同的稳定平面场都可以用解析函数来描述. 这种平面场的物理现象, 可由相应解析函数的性质来描述.
设有向量场
$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_{x}(x,y,z,t)\boldsymbol{i}+\boldsymbol{A}_{y}(x,y,z,t)\boldsymbol{j}+\boldsymbol{A}_{z}(x,y,z,t)\boldsymbol{k}, $$
其中 i, j, k 是沿坐标轴的单位向量, t 是时间. 如果这个向量场中所有向量都与某个平面 P 平行, 而且在垂直于平面 P 的直线上每一点处, 于任一固定时刻 t, 场中向量彼此相等, 我们称此向量场为平面平行向量场 (图 7.1).
我们设 Oxy 平面平行于平面 P. 于是有 $ A_{z}(x,y,z,t)=0 $，并且
$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_{x}(x,y,t)\boldsymbol{i}+\boldsymbol{A}_{v}(x,y,t)\boldsymbol{j}. $$
因此，对于平面平行向量场的研究，可简化为对
P 平面或与 P 平行的任一平面上的平面向量场的研究.
如果平面平行向量场不随时间变化，我们称为平面定常向量场。本节只讨论平面定常向量场
$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_{x}(x,y)\boldsymbol{i}+\boldsymbol{A}_{y}(x,y)\boldsymbol{j}. $$
由于场中的点可用复数 $ z = x + iy $ 表示，则向量 $ A = A_x(x, y)i + A_y(x, y)j $ 可用 $ w = A_x(x, y) + iA_y(x, y) $ 表示。所以，如果给定了二个实函数 $ A_x(x, y) $ 和 $ A_y(x, y) $ 或给定了一个复变函数 $ w = \varphi(z) = A_x(x, y) + iA_y(x, y) $，则向量场 (7.1) 就给定了。
例如，一个平面定常流速场（如河水的表面）
$$ \boldsymbol{v}=v_{x}(x,y)\boldsymbol{i}+v_{y}(x,y)\boldsymbol{j} $$
$$ v=v(z)=v_{x}(x,y)+iv_{y}(x,y) $$
可以用复变函数
表示.
又如，垂直于均匀带电的无限长直导线的所有平面上，电场的分布是相同的，因而可以取其中某一平面为代表，当作平面电场来研究。由于电场强度向量为
$$ \boldsymbol{E}=E_{x}(x,y)i+E_{y}(x,y)j, $$
所以该平面电场也可用一个复变函数
$$ E=E(z)=E_{x}(x,y)+iE_{y}(x,y) $$
来表示.
平面向量场与复变函数的这种密切关系，不仅说明了复变函数具有明确的物理意义，而且使我们可以利用复变函数的方法来研究平面向量场的有关问题.
\$7.1.2 复势
应用数学研究实际问题时，往往需要把问题适当予以简化，化为数学问题；解决数学问题所得的结果还需要回到实际中进行检验。现考虑不可压缩流体的平面稳定流动。所谓不可压缩流体是指密度不因压力而改变的流体。一般液体可以看作是不可压缩的。所谓流体的平面流动就是指在这种流动中，垂直于某一平面的每一垂线上所有各质点的速度相同，且与已给平面平行。要研究这种流动，只要研究在这个平面上的流动就可以了。所谓流体的稳定流动就是指在这种流动中，各质点的速度只与各质点的位置有关，不随时间而改变。
由于解析函数的发展是与流体力学密切联系的，因此，在下面讲授的内容中我们所采用的流体力学中的术语，都是与各种不同物理特性的向量场相联系的。首先复习场论中的一些概念，以便研究复势函数的构造。
定义 7.1 曲线积分
$$ N_{c}=\int_{c}A_{n}\mathrm{d}s $$
称为向量场A通过闭或不闭的曲线C的流量，其中ds是曲线C的弧元素， $ A_{n} $是向量 $ A(x,y) $在曲线C上点 $ (x,y) $处法线的正方向上的投影.
设 $ \mathrm{d}n $ 为向量，其方向与曲线 C 上点 $ (x,y) $ 处的法线一致，大小等于切线方向向量 $ \mathrm{d}s = i\mathrm{d}x + j\mathrm{d}y $ 的模，则有
$$ \mathrm{d}\boldsymbol{n}=\pm\left(i\mathrm{d}y-j\mathrm{d}x\right), $$
将这等式右边括号前的两个符号选定一个之后，我们就规定了法线的正方向，以后我们规定选取“+”号。在这种规定下，对于逆时针方向绕行的闭路C来说，向量 $ \mathrm{d}n $指向闭路C的外法线方向（图7.2）.
由于 $ A_{n}ds = A \cdot dn = A_{x}(x, y) \, dy - A_{y}(x, y) \, dx $，所以
$$ \boldsymbol{N}_{c}=\int_{C}\boldsymbol{A}_{n}\mathrm{d}s=\int_{C}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{n}=\int_{C}\boldsymbol{A}_{x}(x,y)\mathrm{d}y-\boldsymbol{A}_{y}(x,y)\mathrm{d}x. $$
当流入 C 的内部的流体少于流出的流体时，即 $ N_{c}>0 $ 时，有源；当流入 C 的内部的流体多于流出的流体时，即 $ N_{c}<0 $ 时，有汇.
假定闭曲线 C 在区域 D 内，并且在 D 内的流体既无源又无汇，即在 D 内任何部分，都无流体放出，也无流体吸入，这时通过 C 的流量为
$$ N_{c}=\int_{C}A_{x}(x,y)\mathrm{d}y-A_{y}(x,y)\mathrm{d}x=0. $$
对于在 D 内的任意简单闭曲线 C 成立.
假定 D 是单连通区域，且假定 $ A_{x} $ 及 $ A_{y} $ 在 D 内有连续的偏导数。由微积分所学内容知
$$ \mathrm{div}\boldsymbol{A}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}=0, $$
即
$$ \frac{\partial A_{x}}{\partial x}=-\frac{\partial A_{y}}{\partial y}. $$
从而可知 $ -A_{y}(x,y)\mathrm{d}x+A_{x}(x,y)\mathrm{d}y $ 是某一个二元函数 $ v(x,y) $的全微分，即
$$ \mathrm{d}\left[v(x,y)\right]=-A_{y}\mathrm{d}x+A_{x}\mathrm{d}y. $$
由此得
$$ \frac{\partial v}{\partial x}=-\ A_{y},\quad\frac{\partial v}{\partial y}=A_{x}. $$
因为沿等值线 $ v(x,y)=C_{1} $ 有
$$ \mathrm{d}\left[v(x,y)\right]=-A_{y}\mathrm{d}x+A_{x}\mathrm{d}y=0, $$
所以 $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{A_{y}}{A_{x}} $。也就是说，向量场A在等值线 $ v(x,y)=C_{1} $上每一点处的向量A都与等值线相切，因而在流速场中等值线 $ v(x,y)=C_{1} $就是流线，所以 $ v(x,y) $称为向量场A的流函数。
定义 7.2 曲线积分
$$ \Gamma_{c}=\int_{c}A_{s}(x,y)\mathrm{d}s $$
称为向量场A沿闭曲线C的环量，其中 $ A_{s} $是向量A在曲线C上点 $ (x,y) $处的切线的正方向上的投影（切线的正方向对应着曲线C绕行的正方向），ds是曲线C的弧元素.
若引用向量 $ ds = i \, \mathrm{d}x + j \, \mathrm{d}y $（或写为 $ ds = dx + idy $），则
$$ \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{A}_{s}\mathrm{d}s=\boldsymbol{A}_{x}(x,y)\mathrm{d}x+\boldsymbol{A}_{v}(x,y)\mathrm{d}y, $$
而
$$ \Gamma_{c}=\int_{c}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\int_{c}A_{x}(x,y)\mathrm{d}x+A_{y}(x,y)\mathrm{d}y. $$
如果沿 C 的环量 $ \Gamma_{c} \neq 0 $，假如 $ \Gamma_{c} > 0 $，取正值的 $ A_{s} $ 的一部分积分，其数值大于另一部分，即流体好像沿着 C“旋转”.
若在单连通域 D 内沿任一简单闭曲线 C 的环量为零，即 $ \Gamma_{c}=0 $，这个流体的流动是无旋的，即 $ \mathrm{rot}_{n}A=0 $。因而
$$ \frac{\partial A_{y}}{\partial x}=\frac{\partial A_{x}}{\partial y}, $$
说明 $ A_{x}dx+A_{y}dy $ 是某一个二元函数 $ u(x,y) $ 的全微分，即
$$ \mathrm{d}\left[u(x,y)\right]=A_{x}\mathrm{d}x+A_{y}\mathrm{d}y. $$
由此得
$$ \frac{\partial u}{\partial x}=A_{x},\quad\frac{\partial u}{\partial y}=A_{y}, $$
所以
$$ grad u=A. $$
$ u(x,y) $ 称为向量场 A 的势函数（或位函数），等值线 $ u(x,y)=C_{2} $ 称为等势线（或等位线）.
根据以上讨论可知：如果在单连通域 D 内，向量场 A 是无源无旋场，则
(7.2)式和(7.3)式同时成立，将它们比较一下，即得
$$ \frac{\partial u}{\partial x}=A_{x}(x,y)=\frac{\partial v}{\partial y},\quad\frac{\partial u}{\partial y}=A_{y}(x,y)=-\frac{\partial v}{\partial x}. $$
而这就是 C-R 方程. 所以, 在无源无旋场中, 流函数 $ v(x, y) $ 是势函数 $ u(x, y) $ 的共轭调和函数, 因此可作一解析函数
$$ w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y), $$
称此解析函数 $ w=f(z) $ 为向量场 A 的复势函数，简称复势.
如果已知复势函数 $ f(z) = u(x, y) + \mathrm{i}v(x, y) $，那么它所对应的向量场 $ A = A_x(x, y) + \mathrm{i}A_y(x, y) $ 就很容易求出来。因为
$$ A_{x}(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}\Big(\mathrm{ 或 }\frac{\partial v}{\partial y}\Big)\ ,\quad A_{y}(x,y)=\frac{\partial u}{\partial y}\Big(\mathrm{ 或 }-\frac{\partial v}{\partial x}\Big)\ . $$
由于
$$ f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}=A_{x}(x,y)-\mathrm{i}A_{y}(x,y), $$
所以
$$ A=A_{x}(x,y)+\mathrm{i}A_{y}(x,y)=\overline{f^{\prime}(z)}. $$
于是 $ \left|A(x,y)\right|=\left|f'(z)\right| $，而向量 $ A(x,y) $ 的辐角与向量 $ f'(z) $ 的辐角只差一符号，因为 $ \arg\overline{f'(z)}=-\arg f'(z) $。函数 u 与 v 的等值线
$$ u(x,y)=C_{1},\quad v(x,y)=C_{2}. $$
易知这两曲线的斜率分别为 $ \frac{-u_{x}}{u_{y}} $与 $ \frac{-v_{x}}{v_{y}} $，且 u,v 满足 C-R 方程，则有
$$ \left(\frac{-u_{x}}{u_{y}}\right)\left(\frac{-v_{x}}{v_{y}}\right)=\left(\frac{-v_{y}}{u_{y}}\right)\left(\frac{u_{y}}{v_{y}}\right)=-1, $$
即 $ u(x,y)=C_{1} $ 与 $ v(x,y)=C_{2} $ 彼此正交.
对稳定平面流场情形，由于向量 w 与流线的切线方向一致，流线恰好是流体质点运动的路线.
这样，设在单连通区域 D 内给定一稳定平面场，对于 D 内任一条简单闭曲线 C，通过 C 的流量及沿 C 的环量都是零，那么这一平面场对应一个在 D 内的解析函数，即场的复势。反之，给定一个在单连通区域 D 内的解析函数，就决定了一个满足上述条件的稳定平面场，以已给函数作为复势。
如果 D 是多连通区域，并且在 D 内任一个单连通区域内，平面场满足上
述条件，那么在每一个这样的单连通区域内可以从 u-iv 出发确定复势. 在整个区域 D 内，对流场情形，流函数及势函数既可能是单值的，也可能是多值的；而对静电场情形，力函数可能是多值的，而势函数一定是单值的. 这是因为保持静电场，不需要消耗能，所以单位正电荷沿着场内任一条简单闭曲线移动时，电场力所作的功是零. 因此在 D 是多连通区域时，无论对流场或静电场情形，复势既可能是单值函数，即（单值）解析函数；也可能是多值函数，即多值解析函数. 如果复势是多值解析函数，那么在整个区域 D 内，平面场或者不再是同时无源、无汇及无旋的，或者不再是无电荷的.
反之，设在多连通区域 D 内给定一多值解析函数，并设其各解析分支在 D 内任一点有相同的导数，就确定一个平面场，以已给函数作为复势。
§ 7.2 复势的应用
§7.2.1 在流体力学中的复势
设在无源又无汇的流体域内，有不可压缩的流体作稳恒的平面平行的运动，我们来讨论它的速度场 $ \boldsymbol{v}(x,y)=v_{x}(x,y)\boldsymbol{i}+v_{y}(x,y)\boldsymbol{j} $。在这种情形下，速度向量 $ \boldsymbol{v}(x,y) $ 通过某曲线 C 的流量 $ N_{C}=\int_{C}v_{n}\mathrm{d}s $ 的绝对值以适当的单位来计算就等于流体在单位时间内流过曲线 C 的量（更精确地说，是流体通过高度为 1，母线平行于 z 轴，且在 Oxy 平面上的投影为 C 的柱面的量）。若在闭曲线 C 所围的区域 D 内，没有源也没有汇，那么，由于该流体的不可压缩性，在 C 内部的量是不变的。从而可知，流体流入域 D 的量等于流出的量，即速度向量通过闭路 C 的流量为零。
如果速度场 v 又是无旋场，那么在此区域内可以构成一个解析函数 $ w = f(z) = \varphi(x, y) + \mathrm{i}\psi(x, y) $，即复势，向量曲线 $ \psi(x, y) = c $ 就是流体的流线，因为切于它的向量 v 是流体流动的速度向量.
例 7.1 试研究一平面流速场的复势为 $ f(z) = az (a > 0) $ 的速度、流函数和势函数.
解 因 $ f(z)=az $ 在全平面内解析, 所以可作为没有涡点、没有源、没有汇, 也没有其他奇点的平面流速场的复势.
因为 $ f'(z)=a $，所以场中任一点的速度 $ v=f'(z)=a>0 $，方向指向x轴正向.
流函数 $ \psi(x,y)=ay $，所以流线是直线 $ y=c_{1} $；势函数 $ \varphi(x,y)=ax $，所以等
势线是直线 $ x=c_{2} $
该场的流动图像如图7.3，它刻画了流体以等速度从左向右流动的情况。
例 7.2 试研究以 $ w = f(z) = z^{2} $ 为复势的平面定常流速场.
解 在任一点 $ z \neq 0 $ 的速度为 $ f'(z) = 2\bar{z} $，流函数是 $ \psi(x, y) = 2xy $，所以流线为 $ 2xy = c_1 $；势函数是 $ \varphi(x, y) = x^2 - y^2 $，所以等势线为 $ x^2 - y^2 = c_2 $。
两坐标轴属于流线，它们的交点（即原点）速度为零（图7.4）.
若不考虑全平面，只考虑一个象限（比如第一象限）可得结论：这个函数表示包含在第一象限内的流体运动的复势. 这时象限的边表示流体在其中运动的器皿的壁.
例 7.3 试研究以 $ w = f(z) = i \ln z $ 为复势的平面定常速度场.
解 z=0 为 $ w=\mathrm{i}\mathrm{Ln}z $ 的唯一奇点. 在任一点 $ z(z\neq0) $ 的速度为
$$ v=\overline{f^{\prime}\left(z\right)}=-\frac{\mathrm{i}}{\bar{z}}, $$
大小 $ \left|\overline{f'(z)}\right|=\left|-\frac{\mathrm{i}}{\bar{z}}\right|=\frac{1}{\left|z\right|} $， $ a=-\arg\frac{\mathrm{i}}{z}=-\frac{\pi}{2}+\arg z $。流函数 $ \psi(x,y)=\ln\left|z\right| $，所以流线为 $ \left|z\right|=c $。
势函数 $ \varphi(x,y) = -\arg z $，所以等势线为 $ \arg z = c_{1} $（图 7.5），坐标原点 z=0 是涡点，要想算出速度向量 A 沿着围绕涡点的闭路 C 的环量，最好是取中心在原点、任意半径 r 的圆周作为 C，则速度向量切于此圆，且
$ A_{s} = -|A| = -\frac{1}{r} $ （因为运动是逆时针方向），
$$ \Gamma=\int_{c}A_{s}\mathrm{d}s=-\int_{c}\frac{1}{r}\mathrm{d}s=-2\pi. $$
§7.2.2 热流场的复势
在热力学的热传导理论中，已经证明：介质传导的热量与温度梯度成正比，即
$$ Q=-\operatorname{kgrad}\varphi(x,y,z) $$
或平面情形
$$ Q=-\operatorname{k g r a d}\varphi(x,y), $$
其中，Q 是热流向量，其方向与等温面（线）正交，与等温面（线）的法线方向同向；k 为介质的热传导系数；取“-”号是因为热由高温流向低温时，与温度梯度 grad $ \varphi $ 的方向相反。
平面定常热流场在其单连通域 D 内通常是无源无旋的，即
$$ \mathrm{div}\boldsymbol{Q}=0,\quad\mathrm{rot}_{n}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{0}. $$
因此有
$$ \frac{\partial Q_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Q_{y}}{\partial y}=0,\quad\frac{\partial Q_{y}}{\partial x}-\frac{\partial Q_{x}}{\partial y}=0. $$
类似于复势的讨论，同样可构造一解析函数
$$ \begin{array}{r}{\dot{w}=f(z)=\varphi(x,y)+\mathrm{i}\psi(x,y),}\end{array} $$
其中
$$ \frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial y}=-\frac{1}{k}Q_{x},\quad\frac{\partial\varphi}{\partial y}=-\frac{\partial\psi}{\partial x}=-\frac{1}{k}Q_{y}. $$
$ w=f(z) $ 称为热流场的复势. $ \varphi(x,y) $ 称为温度函数（或势函数）， $ \varphi(x,y)=c_{1} $ （常数）称为等温线； $ \psi(x,y) $ 称为热流函数， $ \psi(x,y)=c_{2} $ （常数）是 Q 的向量线（即热量流动所沿曲线）. 热流向量
$$ \begin{aligned}\boldsymbol{Q}=&-k\mathrm{grad}\varphi=\boldsymbol{Q}_{x}+\mathrm{i}\boldsymbol{Q}_{y}=-k\frac{\partial\varphi}{\partial x}-\mathrm{i}k\frac{\partial\varphi}{\partial y}\\=&-k\Biggl(\frac{\partial\varphi}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\Biggr)=-k\overline{f^{\prime}(z)}.\end{aligned} $$
上式说明热流场可用复变函数 $ Q(z) = -kf'(z) $ 表示.
由上可见在流体的流速场与热流场之间，有着完全的类似性。其区别仅在于：在流速场的情形，复势的两个部分可能是多值函数，而在热流场的情形，复势的实部即温度总是单值的（不考虑公式中无关紧要的差异）。
7.2.3 静电场的复势
在空间静电场中，由于许多电场具有对称性质，或关于轴对称，或关于平面对称，故只要掌握静电场中某一平面上的性质，即可得到整个电场的情况。所以这种电场又叫平面电场或二维电场。
平面静电场即强度向量场 $ E = E_{x}(x, y)i + E_{y}(x, y)j $ 是梯度场：
$$ E=-\operatorname{grad}\psi(x,y), $$
其中 $ \psi $ 是静电场的势函数，也可称为场的电势或电位。我们知道，只要场内没有带电物体，即没有电荷（电荷相当于流体力学中源和汇的作用），静电场既是无源场，又是无旋场。故我们可构造复势
$$ w=f(z)=\varphi(x,y)+\mathrm{i}\psi(x,y), $$
其中
$$ \mathrm{d}\psi=-\left[E_{x}(x,y)\mathrm{d}x+E_{y}(x,y)\mathrm{d}y\right],\quad\mathrm{d}\varphi=-\left.E_{y}(x,y)\mathrm{d}x+E_{x}(x,y)\mathrm{d}y.\right. $$
函数 $ \varphi(x,y) $ 称为力函数. 而 $ w=f(z)=\varphi(x,y)+\mathrm{i}\psi(x,y) $ 称为静电场的复势, 是一个解析函数.
因此场E可用复势表示为
$$ \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}(z)=-\frac{\partial\psi}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-\mathrm{i}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)=-\mathrm{i}\overline{f^{\prime}(z)}, $$
而
$$ f^{\prime}\left(z\right)=\frac{\partial\varphi}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}=-E_{y}-\mathrm{i}E_{x}=-\mathrm{i}\left(E_{x}+\mathrm{i}E_{y}\right), $$
因此可见静电场的复势和流速场的复势相差一个因子-i，这是电工学的习惯用法。并有
$$ \mid E\mid=\mid f^{\prime}(z)\mid,\quad\operatorname{Arg}E(z)=-\left[\frac{\pi}{2}+\operatorname{arg}f^{\prime}(z)\right]. $$
势函数 $ \psi(x,y) $ 的等值线叫做等位线，力函数 $ \varphi(x,y) $ 的等值线叫做力线.
强度向量 E 沿闭路 C 的环量
$$ \Gamma_{c}=\int_{c}E_{s}\mathrm{d}s $$
等于单位电荷沿闭路移动时所作的功，并且永远等于0.
根据著名的高斯(Gauss)定理，强度向量通过闭路C的流量
$$ N_{c}=\int_{c}E_{n}\mathrm{d}s, $$
等于分布在 C 内部的电荷的代数和乘以 $ 2\pi $.
例 7.4 求 $ w = f(z) = z^{2} $ 所表示的电场.
解 电力线方程为 $ \varphi(x,y)=x^{2}-y^{2}= $ 常数，是双曲线族（图7.4）. 等势线的方程为 $ \psi(x,y)=2xy $，它也是双曲线族.
这是由两个互相正交的甚大的带电平面所产生的电场，这两个带电平面都和z平面垂直，与z平面的交线是x轴和y轴。
例 7.5 说明复势函数 $ f(z) = i \ln z $ 所对应的静电场的性质.
解
$$ \varphi(x,y)=-\arg z,\quad\psi(x,\bar{y})=\ln|z|, $$
等势线是圆周 $ \left|z\right|=c_{1} $，力线是射线 $ \arg z=c_{2} $
$$ \mid E\mid=\mid f^{\prime}(z)\mid=\mid\frac{1}{z}\mid=\frac{1}{\mid z\mid}, $$
$$ \operatorname{Arg}E=-\left(\frac{\pi}{2}+\operatorname{Arg}\frac{\mathrm{i}}{z}\right)=-\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\operatorname{Arg}z\right)=\operatorname{Arg}z-\pi. $$
这就是说，强度向量的方向沿着射线 $ \arg z = c $（沿着力线）指向原点。
唯一的奇点是 z=0，在这个点处有电荷。要求出这个电荷的值，只需算出向量 E 通过绕点 z=0 一周的闭曲线 C 的流量就可得到。选取圆周 $ \left|z\right|=r $ 作为这个闭路，就可得到
$$ E_{_{n}}=-\left|E\right|=-\frac{1}{\left|z\right|}=-\frac{1}{r}, $$
由此得
$$ N_{c}=-\int_{c}^{}\frac{1}{r}\mathrm{d}s=-2\pi. $$
根据高斯定理, 可知电荷的值等于 $ -\frac{2\pi}{2\pi} = -1 $. 由此可知, 在点 z = 0 处对应电荷为 +1 的复势函数是
$$ f(z)=-\mathrm{i}\mathrm{Ln}z\quad\mathrm{ 或 }\quad f(z)=\mathrm{i}\mathrm{Ln}\frac{1}{z}. $$
§7.3 用共形映射的方法研究平面场
在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映射的方法求得复势函数。方法是将已给的平面区域映照为典型区域（或称为标准区域）。而这些典型区域各自对应着所考虑问题的类型。如速度场映射为上半平面或带形区域，静电场映射为圆域或带形区域等。现举例加以说明。
例 7.6 设曲线由射线 $ -\infty < x \leq -R $，中心在点 $ z = 0 $、半径为 R 上的半圆周
以及射线 $ R \leqslant |x| < +\infty $ 所组成，不可压缩流体（无源也无汇）在域 G （图7.6）内做无旋流动，又设无穷远点的速度为给
定的 $ v_{\infty} $（实数），且 $ f(\infty)=\infty $，求所产生的流速场.
解 求流速场的复势 $ w = f(z) $，就要把域 G 的边界映射为实轴，把域 G 映射为上半平面。可通过下述映射来完成（图 7.7）.
由于此映射不唯一，为了满足假设条件，我们知道上半平面映射为上半平面，应有
$$ \begin{aligned}w&=\frac{az_{2}+b}{cz_{2}+d}=\frac{a\bigg(\frac{z-R}{z+R}\bigg)^{2}+b}{c\bigg(\frac{z-R}{z+R}\bigg)^{2}+d}=\frac{a\left(z-R\right)^{2}+b\left(z+R\right)^{2}}{c\left(z-R\right)^{2}+d\left(z+R\right)^{2}}\\&=\frac{\left(a+b\right)z^{2}+2\left(b-a\right)Rz+\left(a+b\right)R^{2}}{\left(c+d\right)z^{2}+2\left(d-c\right)Rz+\left(c+d\right)R^{2}},\end{aligned} $$
这里 a, b, c, d 是实常量.
因为 $ z = \infty $ 时， $ \frac{dw}{dz} = v_{\infty} \neq 0 $，所以分母中多项式的次数应该低于分子中多项式的次数，于是 $ c + d = 0 $。
另外，当 $ c+d=0 $， $ a+b\neq0 $ 时，则条件 $ f(\infty)=\infty $ 就被满足，因此
$$ w=\frac{\left(a+b\right)z^{2}+2\left(b-a\right)R z+\left(a+b\right)R^{2}}{2\left(d-c\right)R z}=\alpha z+\beta+\frac{\alpha R^{2}}{z}, $$
这里 $ \alpha=\frac{a+b}{2(d-c)R} $， $ \beta=\frac{b-a}{d-c} $，由此可得
$$ \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=\alpha-\frac{\alpha R^{2}}{z^{2}}, $$
且因为 $ z = \infty $ 时， $ \frac{dw}{dz} = v_{\infty} $，所以 $ \alpha = v_{\infty} $.
因为流动速度是由复势函数的导数确定的,所以确定复势时差一个常数项是没有关系的.于是可取 $ \beta=0 $,最后得到
$$ w=v_{_\infty}\left(z+\frac{R^{2}}{z}\right). $$
由于 $ \frac{dw}{dz}=v_{\infty}\left(1-\frac{R^{2}}{z^{2}}\right) $，所以速度向量的模由等式
$$ \mid A\mid=v_{\infty}\left(1-\frac{R^{2}}{z^{2}}\right) $$
确定. 在点 $ z=\pm R $ 处速度为零, 这种点称为临界点.
将(7.4)式的实部与虚部分出来之后，就确定了流函数.
$$ u+\mathrm{i}v=v_{\infty}\left(x+\mathrm{i}y+\frac{R^{2}}{x+\mathrm{i}y}\right)=v_{\infty}\left[x+\mathrm{i}y+\frac{R^{2}(x-\mathrm{i}y)}{x^{2}+y^{2}}\right], $$
由此得到
$$ v=y-\frac{R^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, $$
于是流线方程为
$$ v=c=y-\frac{R^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, $$
或由 $ (x^{2}+y^{2}-R^{2})y=c(x^{2}+y^{2}) $ 确定.
例 7.7 设在射线 x=0, $ y \geqslant a $ (>0) 上电势为 $ v_{0} $，而在实轴上为零，求所产生的静电势.
解 求静电场的复势，就是找一函数 $ w=f(z) $，使已知区域 D 共形映射为 w 平面上的带形区域 $ 0 所以， $ w=\frac{v_{0}}{\pi}\ln\frac{\sqrt{z^{2}+a^{2}}-z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}+z} $ 为所求的复势，它是区域 D 内的单值函数，用它可求出静电场中的各量. 复变函数的理论和方法，对于物理和许多其他科学技术领域的研究，都起着重要的作用，并且是解决有关问题的有效工具。本章介绍了解析函数在平面场中的一些应用（平面场的复势及其应用）。通过本章的学习应认识到： 7.1 怎样从流体流动的客观现象抽象出解析函数的概念？ 7.2 平面运动、稳定流动、不可压缩的流体的意义是怎样的？ 7.3 在流体流动的区域内，没有流源和旋涡是指区域中每一点的散量和旋量都等于0吗？这种现象对于速度的共轭函数（复速度）来说，它的实部和虚部满足什么条件？ 7.4 流函数和复速度是不是流体流动区域内的解析函数？ 7.5 复势和复速度是不是流体流动区域内的解析函数？ 7.1 根据下列已给的复势，确定流速场的速度，并求出流函数、势函数、流线与等势线： (1) $ w = (z + \mathrm{i})^2 $; (2) $ w = \frac{1}{z^2 + 1} $; (3) $ w = z + \frac{1}{z} $; (4) $ w = (1 + \mathrm{i}) \ln z $. 7.2 某流动的复数为 $ w = f(z) = \frac{1}{z^2 - 1} $，试分别求出沿下列圆周的流量与环量： (1) $ \left| z - 1 \right| = \frac{1}{2} $; (2) $ \left| z + 1 \right| = \frac{1}{2} $; (3) $ \left| z \right| = 3 $. 7.3 已知扇形域 $ 0 < \arg z < \frac{\pi}{2} $， $ |z| > 1 $ 的射线边界上电位为 0，圆周段上的电位为 1（连接处绝缘）. 求此静电场的复势. 7.4 平面静电场的等势线为圆 $ x^{2}+y^{2}=2ax $ (a 为实数). 求在点 $ (2a,0) $ 与点 $ (a,a) $ 的电场强度的大小之比. 7.5 有一条很深的河流. 河底有一高度为 h 的河堤, 在远离河堤的流源处的流速 $ V_{w}>0 $ 是已知的, 问此河流中, 流速的分布情况如何?
本章小结
目思考题
目习题七