第三章 复变函数的积分

第三章 复变函数的积分

复变函数的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质都是通过复积分证明的。本章主要介绍柯西（Cauchy）定理和柯西积分公式，它是解析函数的重要理论基础之一。通过本章学习，读者可以认识并掌握解析函数用积分形式表现出来的种种特征，以及与之有关的一系列重要的定理和推论。这些内容是经典复变函数论的主要组成部分。

本章内容与实变量二元函数有紧密联系。特别是二元函数的第二型曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分及积分与路径无关的问题。格林公式，等等。希望读者能结合本章的学习适当复习微积分的有关知识。

\$3.1 复积分的概念

\$3.1.1 复积分的定义与计算

定义 3.1 设 C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为 A，终点为 B

（图3.1）. 函数 $ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) $ 在 C 上有定义. 把曲线 C 任意分成 n 个小弧段. 设分点为 $ A=z_{0}, z_{1}, \cdots, z_{n-1}, z_{n}=B $, 其中 $ z_{k}=x_{k}+iy_{k} $ (k=0,1,2,\cdots,n), 在每个弧段 $ \widehat{z_{k-1}z_{k}} $ 上任取一点 $ \zeta_{k}=\xi_{k}+i\eta_{k} $, 作和式

$$ \sum_{k=1}^{n}f(\zeta_{k})\Delta z_{k}, $$

其中 $ \Delta z_{k} = z_{k} - z_{k-1} = \Delta x_{k} + \mathrm{i} \Delta y_{k} $.

设 $ \lambda = \max_{1 \leq k \leq n} |\Delta z_k| $，当 $ \lambda \to 0 $ 时，如果和式的极

限存在，且此极限值不依赖于 $ \zeta_{k} $的选择，也不依赖对C的分法，那么就称此极限值为 $ f(z) $沿曲线C自A到B的复积分，记作

$$ \int_{C}f(z)\mathrm{d}z=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^{n}f(\zeta_{k})\Delta z_{k}. $$

沿 C 负方向（即由 B 到 A）的积分记作 $ \int_{C^{-}} f(z) dz $; 当 C 为闭曲线, 那么此闭曲线的积分就记作 $ \oint_{C} f(z) dz $ (C 的正向为逆时针方向).

定理 3.1 设 $ f(z) = u(x, y) + \mathrm{i}v(x, y) $ 在光滑曲线 C 上连续，则复积分 $ \int_{C} f(z) \, \mathrm{d}z $ 存在，而且可以表示为

$$ \int_{C}f(z)\mathrm{d}z=\int_{C}u(x,y)\mathrm{d}x-v(x,y)\mathrm{d}y+\mathrm{i}\int_{C}v(x,y)\mathrm{d}x+u(x,y)\mathrm{d}y. $$

证 将(3.1)式的实、虚部分开，得

$$ \begin{align*}&\sum_{k=1}^{n}f(\zeta_{k})\Delta z_{k}\\=&\sum_{k=1}^{n}\left[u(\xi_{k},\eta_{k})+iv(\xi_{k},\eta_{k})\right](\Delta x_{k}+i\Delta y_{k})\\=&\sum_{k=1}^{n}\left[u(\xi_{k},\eta_{k})\Delta x_{k}-v(\xi_{k},\eta_{k})\Delta y_{k}\right]+i\sum_{k=1}^{n}\left[v(\xi_{k},\eta_{k})\Delta x_{k}+u(\xi_{k},\eta_{k})\Delta y_{k}\right].\end{align*} $$

由于 $ f(z) $ 在 C 上连续，从而 u, v 在 C 上连续，当 $ \lambda \to 0 $ 时，有 $ \max_{1 \leq k \leq n} |\Delta x_k| \to 0 $ 及 $ \max_{1 \leq k \leq n} |\Delta y_k| \to 0 $。于是上式右端极限存在，且有

$$ \int_{C}f(z)\mathrm{d}z=\int_{C}u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+\mathrm{i}\int_{C}v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y. $$

即(3.3)式成立.

(3.3)式说明了两个问题：

（1）当 $ f(z) $是连续函数而C是光滑曲线时，积分 $ \int_{C}f(z)dz $一定存在.

(2) $ \int_{c}f(z)dz $可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.

利用(3.3)式还可把复积分化为普通的定积分，设曲线C的参数方程为

$$ z\left(t\right)=x\left(t\right)^{-}+\mathrm{i}y\left(t\right)\quad\left(a\leqslant t\leqslant b\right), $$

将它代入(3.3)式右端得

$$ \begin{aligned}&\int_{C}f(z)\mathrm{d}z\\ &=\int_{a}^{b}\left[u(x(t),y(t))x^{\prime}(t)-v(x(t),y(t))y^{\prime}(t)\right]\mathrm{d}t+\\ &\quad\mathrm{i}\int_{a}^{b}\left[v(x(t),y(t))x^{\prime}(t)+u(x(t),y(t))y^{\prime}(t)\right]\mathrm{d}t\\ \end{aligned} $$

复积分的计算

$$ \begin{aligned}&=\int_{a}^{b}\left[u\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)+\mathrm{i}v\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\right]\left[x^{\prime}\left(t\right)+\mathrm{i}y^{\prime}\left(t\right)\right]\mathrm{d}t\\&=\int_{a}^{b}f(z\left(t\right))z^{\prime}(t)\mathrm{d}t.\end{aligned} $$

例 3.1 计算 $ \int_{C}\bar{z}dz $，其中 $ C $（图 3.2）是

（1）从点1到i的直线段 $ C_{1} $;

（2）从点1到0的直线段 $ C_{2} $，再从点0到点i的直线段 $ C_{3} $所连接成的折线段 $ C_{2}+C_{3} $.

解 (1) $ C = C_{1} : z(t) = 1 - t + \mathrm{i}t $ ( $ 0 \leq t \leq 1 $)，依照 (3.4) 式有

$$ \int\limits_{C}\bar{z}\mathrm{d}z=\int_{0}^{1}\left(1-t-\mathrm{i}t\right)\left(-1+\mathrm{i}\right)\mathrm{d}t=\int_{0}^{1}\left(2t-1\right)\mathrm{d}t+\mathrm{i}\int_{0}^{1}\mathrm{d}t=\mathrm{i}. $$

(2) $ C_{2}: z_{1}(t) = 1 - t (0 \leq t \leq 1) $, $ C_{3}: z_{2}(t) = \mathrm{i}t (0 \leq t \leq 1) $, 依照(3.4)式有

$$ \int\limits_{C}\bar{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{C_{2}}\bar{z}\mathrm{d}z+\int\limits_{C_{3}}\bar{z}\mathrm{d}z=-\int_{0}^{1}(1-t)\mathrm{d}t+\int_{0}^{1}t\mathrm{d}t=0. $$

注 参看 §3.1.2 中复积分的基本性质(4).

例 3.2 计算 $ \oint_{C}\frac{dz}{\left(z-z_{0}\right)^{n}} $，其中 n 为任意整数，C 为以 $ z_{0} $ 为中心，r 为半径的圆周.

解 C 的参数方程为

$$ z=z_{0}+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},\quad0\leqslant\theta\leqslant2\pi, $$

由(3.4)式得

$$ \begin{aligned}\oint_{C}\frac{\mathrm{d}z}{(z-z_{0})^{n}}&=\int_{0}^{2\pi}\frac{\mathrm{i}r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{r^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}}\mathrm{d}\theta=\frac{\mathrm{i}}{r^{n-1}}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(n-1)\theta}\mathrm{d}\theta\\&=\frac{\mathrm{i}}{r^{n-1}}\int_{0}^{2\pi}\cos(.n-1)\theta\mathrm{d}\theta+\frac{1}{r^{n-1}}\int_{0}^{2\pi}\sin(.n-1)\theta\mathrm{d}\theta\\&=\{\begin{aligned}&2\pi\mathrm{i},&\quad n=1,\\&0,&\quad n\neq1.\end{aligned}.\end{aligned} $$

此例的结果很重要，以后经常要用到。以上结果与积分路径圆周的中心和半径无关，应记住这一特点。

例 3.3 计算 $ \int_{C} z \, dz $，其中 C 为从原点到点 $ 3+4i $ 的直线段.

解 此直线方程可写作

$$ x=3t,y=4t,0\leq t\leq1\quad 或 \quad z=3t+i4t,0\leq t\leq1. $$

在 C 上, $ z = (3 + 4i)t $, $ \mathrm{d}z = (3 + 4i)\mathrm{d}t $, 于是

$$ \int_{C}z\mathrm{d}z=\int_{0}^{1}(3+4\mathrm{i})^{2}t\mathrm{d}t=\left(3+4\mathrm{i}\right)^{2}\int_{0}^{1}t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}(3+4\mathrm{i})^{2}. $$

因

$$ \int_{C}z\mathrm{d}z=\int_{C}\left(x+\mathrm{i}y\right)\left(\mathrm{d}x+\mathrm{i}\mathrm{d}y\right)=\int_{C}x\mathrm{d}x-y\mathrm{d}y+\mathrm{i}\int_{C}y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y, $$

易验证，右边两个线积分都与路线 C 无关，所以 $ \int_{C} z dz $ 的值，不论是对怎样的连接原点到 $ 3+4i $ 的曲线，都等于 $ \frac{1}{2}(3+4i)^{2} $.

3.1.2 复积分的基本性质

由(3.3)式知道，复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立.

(1) $ \int_{C} k f(z) \, dz = k \int_{C} f(z) \, dz $，其中 k 为复常数；

(2) $ \int_{c} f(z) \, dz = -\int_{c^{-}} f(z) \, dz $;

(3) $ \int_{C}\left[f(z) \pm g(z)\right]dz = \int_{C}f(z)dz \pm \int_{C}g(z)dz; $

(4) $ \int_{C} f(z) \, dz = \int_{C_1} f(z) \, dz + \int_{C_2} f(z) \, dz $，其中 $ C = C_1 + C_2 $；

$$ \begin{aligned}&\int_{C}f(z)\mathrm{d}z=\int_{C_{1}}f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_{2}}f(z)\mathrm{d}z\\ &\left|\int_{C}f(z)\mathrm{d}z\right|\leqslant\int_{C}\left|f(z)\right|\mathrm{d}s.\\ \end{aligned} $$

(5)

(3.5)式右端是实连续函数 $ \left|f(z)\right| $ 沿曲线 C 的第一型曲线积分.

性质(1)~(4)的证明很容易,只要利用复积分定义,或者把曲线积分的有关性质移过来就可以了.下面证明性质(5),事实上,由于

$$ \left|\sum_{k=1}^{n}f(\zeta_{k})\Delta z_{k}\right|\leqslant\sum_{k=1}^{n}\left|f(\zeta_{k})\right|\left|\Delta z_{k}\right|\leqslant\sum_{k=1}^{n}\left|f(\zeta_{k})\right|\Delta s_{k}, $$

其中， $ \Delta s_{k} $ 是小弧段 $ \widehat{z_{k-1}z_{k}} $ 的长， $ \left|\Delta z_{k}\right|=\sqrt{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}+\left(\Delta y_{k}\right)^{2}}\leqslant\Delta s_{k} $，将此不等式两边取极限得(3.5)式。注意到 $ \left|\mathrm{d}z\right|=\left|\mathrm{d}x+\mathrm{i}\mathrm{d}y\right|=\sqrt{\left(\mathrm{d}x\right)^{2}+\left(\mathrm{d}y\right)^{2}}=\mathrm{d}s $。因此

(3.5)式也可写成

$$ \left|\int_{c}f(z)\mathrm{d}z\right|\leqslant\int_{c}\left|\ f(z)\right.\left|\ \right|\mathrm{d}z\mid. $$

特别地，若在 C 上有 $ \left|f(z)\right| \leqslant M $，C 的长记为 L，则 (3.5) 式成为

$$ \left|\int_{c}f(z)\mathrm{d}z\right|\leq M L. $$

(3.5)式与(3.6)式以后常用作积分估计.

例 3.4 设 C 为从原点到点 $ 3+4i $ 的直线段，试求积分 $ \int_{C} \frac{1}{z-i} dz $ 绝对值的一个上界.

解 C 的方程为 $ z = (3 + 4i)t, 0 \leq t \leq 1 $. 由估值不等式 (3.6) 和

$$ \left|\int_{c}\frac{1}{z-\mathrm{i}}\mathrm{d}z\right|\leqslant\int_{c}\left|\frac{1}{z-\mathrm{i}}\right|\mathrm{d}s $$

知，在 C 上

$$ \left|\frac{1}{z-\mathrm{i}}\right|=\frac{1}{\left|3t+(4t-1)\mathrm{i}\right|}=\frac{1}{\sqrt{25\left(t-\frac{4}{25}\right)^{2}+\frac{9}{25}}}\leqslant\frac{5}{3}, $$

及

$$ \left|\int_{c}\frac{1}{z-i}\mathrm{d}z\right|\leq\frac{5}{3}\int_{c}\mathrm{d}s, $$

而 $ \int_{c}ds=5 $,所以

$$ \left|\int_{c}\frac{1}{z-i}\mathrm{d}z\right|\leqslant\frac{25}{3}. $$

例 3.5 试证： $ \lim_{r \to 0} \int_{|z| = r} \frac{z^3}{1 + z^2} dz = 0 $.

证 不妨设 r<1，我们用估值不等式(3.6)式估计积分的模，因为在 $ \left|z\right|=r $ 上，

$$ \left|\int_{|z|=r}\frac{z^{3}}{1+z^{2}}\mathrm{d}z\right|\leqslant\int_{|z|=r}\left|\frac{z^{3}}{1+z^{2}}\right|\mathrm{d}z\leqslant\frac{2\pi r^{4}}{1-r^{2}}, $$

上式右端当 $ r \rightarrow 0 $ 时极限为0，故左端极限也为0，所以

$$ \lim_{r\to0}\int_{|z|=r}\frac{z^{3}}{1+z^{2}}\mathrm{d}z=0. $$

§3.2 柯西积分定理

从上一节所举的例子看来，复积分之值有时与积分路线有关（如例3.1），而有时又与积分路线无关（如例3.3）。因此产生一个重要问题：函数在什么条件下积分值与路线无关呢？

既然复变函数积分可以转化为实函数线积分，因此解决复变函数积分与路线无关的问题，自然要归结为线积分与路线无关的问题。而线积分与路线无关的条件与线积分沿任一简单闭曲线的值都为0的条件相同。于是研究复积分与路线无关的条件可以归结为研究沿任一简单闭曲线积分为0的条件。法国数学家柯西于1825年解决了这个问题，人们称之为柯西积分定理，它是复变函数解析理论的基石。

定理 3.2(柯西积分定理) 设函数 $ f(z) $ 在单连通区域 D 内解析，则 $ f(z) $ 在 D 内沿任意一条简单闭曲线 C 的积分

$$ \int_{c}f(z)\mathrm{d}z=0. $$

证 因 $ f(z) $ 在 D 内解析，故 $ f'(z) $ 存在。下面在 $ f'(z) $ 连续的假设下证明定理结论（完全的证明较难，从略）。因 u 与 v 的一阶偏导数存在且连续，故应用格林（Green）公式得

$$ \begin{align*}\int_{C}f(z)\mathrm{d}z&=\int_{C}u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+\mathrm{i}\int_{C}v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y\\&=-\iint_{G}\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\mathrm{i}\iint_{G}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\end{align*} $$

其中 G 为简单闭曲线 C 所围区域. 由于 $ f(z) $ 解析, C-R 方程成立, 因此

$$ \int_{c}f(z)\mathrm{d}z=0. $$

证毕

显然用格林公式来证明是很简便的，但必须加上“ $ f'(z) $ 连续”这条件。不过对于证明定理的真实性来说，这条件是不必要的。因为以后将证明，只要 f 解析，f' 必连续，即 f' 的连续性已包含在解析的假设中。法国数学家古尔

萨(Goursat)对柯西积分定理的证明中，不需要设 $ f' $连续，但比较复杂，人们这时称柯西积分定理为柯西-古尔萨定理.

注 可以证明, 如果 C 是区域 D 的边界, $ f(z) $ 在 D 内解析, 在闭区域 $ \overline{D} $ 上连续, 那么定理依然成立.

有了柯西积分定理，本节开始所提出的问题便可以回答了。即

定理3.3 设函数 $ f(z) $ 在单连通区域 D 内解析， $ z_{0} $ 与 $ z_{1} $ 为 D 内任意两点， $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 为连接 $ z_{0} $ 与 $ z_{1} $ 的积分路线， $ C_{1}, C_{2} $ 都含于 D（图3.3），则

$$ \int_{C_{1}}f(z)\mathrm{d}z=\int_{C_{2}}f(z)\mathrm{d}z, $$

即当 f 为 D 的解析函数时积分与路线无关，而仅由积分路线的起点 $ z_{0} $ 与终点 $ z_{1} $ 来确定.

证 依柯西积分定理

$$ \int_{c_{1}}f(z)\mathrm{d}z-\int_{c_{2}}f(z)\mathrm{d}z=\oint_{c_{1}+c_{\overline{2}}}f(z)\mathrm{d}z=0, $$

所以定理3.3成立.

例 3.6 计算积分 $ \int_{C}\sin z dz $，其中 C 是圆周 $ \left|z-1\right|=1 $ 的上半周，走向从 0 到 2.

解 因 $ \sin z $ 是全平面上的解析函数，由柯西积分定理，它的积分与路线无关，于是可以换一条路线。例如，取 $ C_{1} $ 为沿实轴从 0 到 2。这样便有

$$ \int_{c}\sin z\mathrm{d}z=\int_{c_{1}}\sin z\mathrm{d}z=\int_{0}^{2}\sin x\mathrm{d}x=1-\cos2. $$

下面把柯西积分定理推广到多连通区域.

定理3.4 设 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 是两条简单闭曲线， $ C_{2} $ 在 $ C_{1} $ 的内部. $ f(z) $ 在 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 所围的多连通域 D 内解析，而在 $ \overline{D}=D+C_{1}+C_{2}^{-} $上连续（图3.4），则

$$ \oint_{C_{1}}f(z)\mathrm{d}z=\oint_{C_{2}}f(z)\mathrm{d}z. $$

证 在 D 内作简单光滑弧 $ \widehat{AB} $，连接 $ C_{1} $ 和 $ C_{2} $ (图 3.4). $ D_{1} $ 为以 AEHABGPBA 为边界 (记作 C) 所围成的区域. 根据定理的条件， $ f(z) $ 在 $ \overline{D}_{1}=D_{1}+C $ 上连续，

且在 $ D_{1} $ 内解析，由定理3.2，得

$$ \oint_{c}f(z)\mathrm{d}z=0, $$

又由于

$$ \int_{\widehat{A B}}f(z)\mathrm{d}z+\int_{\widehat{B A}}f(z)\mathrm{d}z=0, $$

于是有

$$ \oint_{C_{1}}f(z)\mathrm{d}z+\oint_{C_{2}^{-}}f(z)\mathrm{d}z=0, $$

即(3.7)式成立.

(3.7)式说明，在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线

在区域内作连续变形而改变它的值. 这一事实称为闭路变形原理.

推论（复合闭路定理）设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭曲线， $ C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n} $ 是在 C 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以 C, $ C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n} $ 为边界的区域全含于 D（图 3.5）。如果 $ f(z) $ 在 D 内解析，则有

$$ \oint_{C}f(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^{n}\oint_{C_{k}}f(z)\mathrm{d}z, $$

其中 C 及 $ C_{k} $ 均取正方向；

$$ \oint_{r}f(z)\mathrm{d}z=0. $$

这里 $ \Gamma $ 为由 C 及 $ C_{k}^{-}(k=1,2,\cdots,n) $ 所组成的复合闭路（其方向是：C 按逆时针进行， $ C_{k}^{-} $ 按顺时针进行）.

柯西积分定理的应用

例 3.7 计算 $ \oint_{C}\frac{2z-1}{z^{2}-z}dz $，其中 C 为包含 0 与 1 的简单闭曲线.

解 设 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 是 C 内互不相交也互不包含的圆周. 函数 $ \frac{2z-1}{z^{2}-z} $ 有两个奇点: z=0 及 z=1.

$ C_{1} $ 只包围 z=0, $ C_{2} $ 只包围 z=1（图 3.6）. 则由(3.8)式得

$$ \begin{align*}\oint_{C}\frac{2z-1}{z^{2}-z}\mathrm{d}z&=\oint_{C_{1}}\frac{2z-1}{z^{2}-z}\mathrm{d}z+\oint_{C_{2}}\frac{2z-1}{z^{2}-z}\mathrm{d}z\\&=\oint_{C_{1}}\frac{1}{z}\mathrm{d}z+\oint_{C_{1}}\frac{\mathrm{d}z}{z-1}+\oint_{C_{2}}\frac{\mathrm{d}z}{z}+\oint_{C_{2}}\frac{\mathrm{d}z}{z-1}\\&=2\pi\mathrm{i}+0+\emptyset+2\pi\mathrm{i}=4\pi\mathrm{i}.\end{align*} $$

柯西积分定理实际已经给出了积分与路线无关的充分条件. 这就是说, 如果 $ f(z) $ 在单连通区域 D 内解析, 则沿区域 D 内的简单曲线 C 的积分

$$ \int_{c}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta $$

只与 C 的起点 $ z_{0} $ 和终点 z 有关，而与 C 的路径无关，对于这种积分，我们已约定写成

$$ \int_{z_{0}}^{z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta, $$

并把 $ z_{0} $和z分别称为积分的下限和上限.

当下限 $ z_{0} $ 固定而上限 z 在 D 内变动时，则由积分 $ \int_{z_{0}}^{z} f(\zeta) \, \mathrm{d}\zeta $ 定义了上限 z 的一个函数，且该函数为 D 内的单值函数，记为 $ F(z) $，即

$$ F(z)=\int_{z_{0}}^{z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta. $$

由上式给出的函数 $ F(z) $ 具有以下重要性质：

定理 3.5 如果 $ f(z) $ 是单连通区域 D 内的解析函数, 那么由变上限的积分所确定的函数

$$ F\left(z\right)=\int_{z_{0}}^{z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta $$

也是 D 内的解析函数，而且 $ F'(z) = f(z) $.

证 在 D 内再任取一点 $ z + \Delta z $ (图 3.7). 利用 $ \int_{z_{0}}^{z} f(\zeta) \, \mathrm{d}\zeta $ 与路线无关，则有

$$ \begin{aligned}&F\ (z+\Delta z)-F(z)\\ &=\int_{z_{0}}^{z+\Delta z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta-\int_{z_{0}}^{z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta\\ \end{aligned} $$

$$ =\int_{z}^{z+\Delta z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta, $$

其中积分路线假定是从 z 到 $ z+\Delta z $ 的直线段，所以

$$ \frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}-f(z)=\frac{1}{\Delta z}\int_{z}^{z+\Delta z}\left[f(\zeta)-f(z)\right]\mathrm{d}\zeta. $$

因为， $ f(z) $ 在 $ D $ 内连续，所以对于任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ \delta > 0 $，当 $ \left|\zeta - z\right| < \delta $ 时，就有 $ \left|f(\zeta) - f(z)\right| < \varepsilon $，所以，当 $ \left|\Delta z\right| < \delta $ 时，有

$$ \left|\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}-f(z)\right|<\frac{1}{\left|\Delta z\right|}\cdot\varepsilon\cdot\left|\Delta z\right|=\varepsilon, $$

于是 $ F'(z) = f(z) $.

由于点 z 在 D 内的任意性， $ F(z) $ 在 D 内处处存在导数 $ f(z) $，所以 $ F(z) $ 在 D 内解析。证毕。

基于定理3.5，我们引入原函数的概念.

定义 3.2 设在单连通区域 D 内，函数 $ F(z) $ 恒满足条件 $ F'(z) = f(z) $，则称 $ F(z) $ 是 $ f(z) $ 的原函数.

容易证明，若 $ G(z) $ 是 $ f(z) $ 的一个原函数，则对任意常数 C, $ G(z) + C $ 都是 $ f(z) $ 的原函数；而 $ f(z) $ 的任一原函数必可表示为 $ G(z) + C $，其中 C 是某一常数。利用这个关系，我们可以推得与牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式类似的解析函数的积分计算公式。

定理 3.6 设 $ f(z) $ 在单连通区域 D 内解析， $ G(z) $ 为 $ f(z) $ 的一个原函数，则

$$ \int_{z_{0}}^{z_{1}}f(z)\mathrm{d}z=G(z_{1})-G(z_{0}), $$

其中 $ z_{0}, z_{1} $为D内的点.

证 从定理3.5知道 $ F(z)=\int_{z_{0}}^{z}f(z)\,\mathrm{d}z $ 是 $ f(z) $ 的一个原函数. 现在 $ G(z) $ 又是 $ f(z) $ 的一个原函数,故存在一常数 C 使 $ F(z)=G(z)+C $,即

$$ \int_{z_{0}}^{z}f(z)\mathrm{d}z=G(z)+C. $$

但当 $ z = z_{0} $ 时，左端为 0，故 $ G(z_{0}) + C = 0 $，即 $ C = -G(z_{0}) $。从而

$$ \int_{z_{0}}^{z}f(z)\mathrm{d}z=G(z)-G(z_{0}). $$

有了(3.9)式，计算复积分就方便了. 微积分中求不定积分的一套方法可以移植过来.

例 3.8 计算 $ \int_{a}^{b} z^{n} \, \mathrm{d}z \, (n = 0, 1, 2, \cdots) $，a, b 均为有限复数.

解 $ z^{n}(n=0,1,2,\cdots) $ 在复平面内处处解析. 所以

$$ \int_{a}^{b}z^{n}\mathrm{d}z=\frac{1}{n+1}z^{n+1}\bigg|_{a}^{b}=\frac{1}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1}). $$

例 3.9 计算 $ \int_{C}\ln(1+z)dz $，其中 C 是从 -i 到 i 的直线段.

解 因为 $ \ln(1+z) $ 在全平面除去负实轴上一段 $ x \leqslant -1 $ 的区域 D 内为（单值）解析，又因为所考虑的区域 D 是单连通的，故定理 3.6 适用，所以在 D 内有

$$ \begin{aligned}&\int_{c}\ln(1+z)\mathrm{d}z\\&=z\ln(1+z)\bigg|_{\substack{\mathrm{i}\\ -\mathrm{i}}}-\int_{-\mathrm{i}}^{\mathrm{i}}\frac{z}{1+z}\mathrm{d}z\\&=\mathrm{i}\ln(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}\ln(1-\mathrm{i})-\int_{-\mathrm{i}}^{\mathrm{i}}\left(1-\frac{1}{1+z}\right)\mathrm{d}z\\&=\mathrm{i}\ln(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}\ln(1-\mathrm{i})-\left[z-\ln(1+z)\right]_{-i}^{\mathrm{i}}\\&=\mathrm{i}\ln(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}\ln(1-\mathrm{i})-2\mathrm{i}+\ln(1+\mathrm{i})-\ln(1-\mathrm{i})\\&=\left(-2+\ln2+\frac{\pi}{2}\right)\mathrm{i}.\end{aligned} $$

§3.3 柯西积分公式

设 $ f(z) $ 在以圆 $ C: |z-z_0| = \rho_0 $ ( $ 0 < \rho_0 < +\infty $) 为边界的闭圆盘上解析。由柯西积分定理， $ f(z) $ 沿 C 的积分为零。考虑积分

$$ I=\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z, $$

由于被积函数在 C 上连续, 积分 I 必然存在; 但因 $ \frac{f(z)}{z-z_{0}} $ 在上述闭圆盘上不是

解析的，I 的值不一定为零。例如，由例 3.2 知，在 $ f(z) \equiv 1 $ 时， $ I = 2\pi i $。

现考虑 $ f(z) $ 为解析函数的情况. 作以 $ z_{0} $ 为中心, 以 $ \rho(0<\rho<\rho_{0}) $ 为半径的圆 $ C_{\rho} $. 由定理 3.4 知,

$$ \oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\oint_{C_{p}}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z. $$

上式对满足 $ 0<\rho<\rho_{0} $ 的任何 $ \rho $ 成立. 由此可见, I 的值只与 $ f(z) $ 在 $ z_{0} $ 点邻近的值有关. 我们有如下定理.

定理3.7 设 $ f(z) $ 在简单闭曲线 C 所围成的区域 D 内解析，在 $ \overline{D}=D\cup C $ 上连续， $ z_{0} $ 是 D 内任一点，则

$$ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\mathrm{C}}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z. $$

证 $ F(z)=\frac{f(z)}{z-z_{0}} $ 在 D 内除点 $ z=z_{0} $ 外均解析. 现以点 $ z_{0} $ 为中心，以充分小的 $ \rho>0 $ 为半径作圆 $ L: |z-z_{0}|=\rho $，使 L 及其内部均含于 D 内（图 3.8）. 在 C 与 L 所围的区域上应用定理 3.4，得

$$ \int_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\int_{L}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z. $$

因 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处连续，则对任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ \delta > 0 $，使当 $ \left| z - z_0 \right| = \rho < \delta $ 时，就有 $ \left| f(z) - f(z_0) \right| < \varepsilon $。由此

$$ \begin{align*}\int_{L}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z&=\int_{L}\frac{f(z)-f(z_{0})+f(z_{0})}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\\&=f(z_{0})\int_{L}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z+\int_{L}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\mathrm{d}z.\end{align*} $$

而

$$ f(z_{0})\int_{L}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}f(z_{0}), $$

$$ \left|\int_{L}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\right|<\frac{\varepsilon}{\rho}2\pi\rho=2\pi\varepsilon, $$

故

$$ \left|\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z-2\pi\mathrm{i}f(z_{0})\right|<2\pi\varepsilon, $$

即(3.10)式成立.

公式(3.10)称为柯西积分公式. 这个公式说明: 如果一个函数在简单闭曲线 C 的内部解析, 在 C 上连续, 则函数在 C 内部的值完全可由 C 上的值而定. 它不仅提供了计算某些复变函数沿简单闭曲线积分的一种方法, 而且可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质.

推论1(平均值公式) 设 $ f(z) $在 $ \left|z-z_{0}\right|

$$ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\mathrm{d}\theta. $$

推论2 设 $ f(z) $ 在由简单闭曲线 $ C_{1}, C_{2} $ 所围成的多连通域 D 内解析，并在 $ \overline{D}=C_{1}+C_{2}+D $ 上连续， $ C_{2} $ 在 $ C_{1} $ 的内部， $ z_{0} $ 为 D 内一点，则

$$ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{c_{1}}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{c_{2}}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z. $$

我们可以把 $ z_{0} $作变数看待，(3.10)式写成如下形式：

$$ f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{c}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta, $$

柯西积分公

式应用举例

其中z在C的内部.

例 3.10 求下列积分的值：

(1) $ \oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z}\mathrm{d}z;\quad(2)\oint_{|z|=2}\frac{z}{(9-z^{2})(z+\mathrm{i})}\mathrm{d}z $

解由(3.10)式得

(1)

$$ \oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z}\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\sin z\bigg|_{z=0}=0. $$

(2)

$$ \begin{align*}\oint_{|z|=2}\frac{z}{\left(9-z^{2}\right)\left(z+\mathrm{i}\right)}\mathrm{d}z&=\oint_{|z|=2}\frac{\frac{z}{9-z^{2}}}{z-\left(-\mathrm{i}\right)}\mathrm{d}z\\&=2\pi\mathrm{i}\frac{z}{9-z^{2}}\bigg|_{z=-\mathrm{i}}=\frac{\pi}{5}.\end{align*} $$

由平均值公式还可推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.

解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常重要的原理。它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数。

定理 3.8 (最大模原理) 设函数 $ f(z) $ 在区域 D 内解析，又 $ f(z) $ 不是常数，则 $ \left|f(z)\right| $ 在 D 内没有最大值.

证 记 $ \max_{z\in D}\left|f(z)\right|=M $。若 $ M=+\infty $，则定理结论成立。现设 $ M<+\infty $，用反证法。若D内有一点 $ z_{0} $使 $ \left|f\left(z_{0}\right)\right|=M $，则由推论1（平均值公式），只要圆盘 $ |z-z_{0}|

$$ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\mathrm{d}\theta\quad\left(0\leqslant r\leqslant R\right). $$

最大模原理

成立，于是

$$ M=\left|f(z_{0})\right|\leqslant\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(z_{0}+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\right|\mathrm{d}\theta\leqslant M. $$

由此推出

$$ \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\mid f(z_{0}+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\mid\mathrm{d}\theta=M. $$

可以证明，在 $ |z-z_0|0 $ 使 $ |f(z')|=M-\varepsilon $。由于 $ |f(z)| $ 在 $ |z-z_0|0 $，使当 $ |\theta-\theta'|<\delta $ 时，

$$ \mid\mid f(z_{0}+r^{\prime}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\mid-\mid f(z_{0}+r^{\prime}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta^{\prime}})\mid\mid<\frac{\varepsilon}{2}, $$

从而有

$$ \mid f(z_{0}^{-}+r^{\prime}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\mid

因此有下面的估计

$$ \begin{align*}|f(z_{0})|&\leqslant\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(z_{0}+r^{\prime}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})|\mathrm{d}\theta\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{\theta^{\prime}-\delta}^{\theta^{\prime}+\delta}|f(z_{0}+r^{\prime}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})|\mathrm{d}\theta+\frac{1}{2\pi}\int_{[0,2\pi]-[\theta^{\prime}-\delta,\theta^{\prime}+\delta]}|f(z_{0}+r^{\prime}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})|\mathrm{d}\theta\\&\leqslant\left(M-\frac{\varepsilon}{2}\right)\frac{\delta}{\pi}+M\frac{\pi-\delta}{\pi}

但这与 $ \left|f(z_{0})\right|=M $ 相矛盾！所以 $ \left|f(z)\right|\equiv M $ 在 $ \left|z-z_{0}\right|

以上证明了，若 D 内有一点 $ z_{0} $ 使 $ \left|f\left(z_{0}\right)\right|=M $，则只要圆盘 $ \left|z-z_{0}\right|

设 $ z^* $ 是 $ D $ 内任意一点。由 $ D $ 的连通性，在 $ D $ 内有一折线 $ l $ 连接 $ z_0 $ 和 $ z^* $（图 3.9）。记 $ l $ 与 $ D $ 的边界的距离为 $ d $。在 $ l $ 上从 $ z_0 $ 到 $ z^* $ 依次插入分点 $ z_0 $， $ z_1 $， $ \cdots $， $ z_n = z^* $，使 $ |z_k - z_{k+1}| < d $（ $ k=0,1,\cdots,n-1 $），则每个圆盘 $ |z - z_k| < d $ 一定含于 $ D $ 内，且包含着点 $ z_{k+1} (k=0,1,\cdots,n-1) $。根据上述证明的结果，在 $ |z - z_0| < d $ 内， $ f(z) \equiv M e^{i\alpha} $，而 $ z_1 $ 在此圆盘内，故 $ f(z_1) = M e^{i\alpha} $。再从 $ |f(z_1)| = M $ 出发，用上述证明的结果知在 $ |z - z_1| < d $ 内， $ f(z) \equiv M e^{i\alpha} $，而 $ z_2 $ 在此圆盘内，故 $ f(z_2) = M e^{i\alpha} $。经过 $ n-1 $ 步，就可证明 $ f(z^*) = M e^{i\alpha} $。由于 $ z^* $ 的任意性，知在 $ D $ 内 $ f(z) \equiv M e^{i\alpha} $。但这与原来给定 $ f(z) $ 不为常数的条件相矛盾，故 $ |f(z)| $ 在 $ D $ 内没有最大值。

推论1 在区域D内解析的函数, 若其模在D的内点达到最大值, 则此函数必恒为常数.

推论2 若 $ f(z) $ 在有界区域 D 内解析，在 $ \overline{D} $ 上连续，则 $ \left|f(z)\right| $ 必在 D 的边界上达到最大模.

证 若 $ f(z) $ 在 D 内为常数，推论显然正确：若 $ f(z) $ 在 D 内不恒为常数，由连续函数性质及本定理立即得证.

最大模原理不仅是复变函数论一个很重要的原理，而且在实际上也是很有用的原理，它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域（参看§7.1节）内流速的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非

它是等速流动.

例 3.11 设函数 $ f(z) $ 在全平面为解析，又对任意 r > 0，令 $ M(r) = \max_{|z| = r} |f(z)| $。求证： $ M(r) $ 是 r 的单调增函数。

证 因为对于任意的 $ r>0 $, $ f(z) $ 在 $ |z| \leq r $ 上为解析, 所以由最大模原理及其推论 2 知, $ |f(z)| $ 在 $ |z| \leq r $ 上的最大值必在 $ |z| = r $ 上取得. 就是说,

$$ M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|=\max_{|z|\leq r}|f(z)|, $$

因此，当 $ r_{1}

$$ M(r_{1})=\max_{|z|\leq r_{1}}|f(z)|\leq\max_{|z|\leq r_{2}}|f(z)|=M(r_{2}). $$

即 $ M(r) $ 是 r 的单调增函数.

§3.4 解析函数的高阶导数

在实函数中，一阶导数的存在并不能保证高阶导数的存在。而复变函数只要在某区域内可导便有特别好的性质：解析函数的导数仍然是解析的，即解析函数的任意阶导数都存在。下面先考察解析函数的导数公式的可能形式，然后再加以证明。

从柯西积分公式

$$ f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{c}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta $$

出发，假设求导运算和积分运算可以交换，则 $ f(z) $ 的一阶导数 $ f'(z) $ 的可能形式是

$$ f^{\prime}(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\right)\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{c}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^{2}}\mathrm{d}\zeta. $$

对上式作同样的运算，则得 $ f''(z) $的可能形式是

$$ f^{\prime \prime}(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^{2}}\right]\mathrm{d}\zeta=\frac{2!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{c}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^{3}}\mathrm{d}\zeta, $$

依次类推，n 阶导数 $ f^{(n)}(z) $ 的可能形式是

$$ f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta. $$

这是在求导与积分这两种运算允许交换的条件下推出的，要证明这两种运算的交换性却比较困难。下面我们从另一个角度直接引用导数定义来

推证上述 n 阶导数公式.

定理 3.9 设函数 $ f(z) $ 在简单闭曲线 C 所围成的区域 D 内解析，而在 $ \overline{D}=D\cup C $ 上连续，则 $ f(z) $ 的各阶导函数均在 D 内解析，对 D 内任一点 z，有

$$ f^{\left(n\right)}\left(z\right)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{c}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\quad\left(n=1,2,\cdots\right). $$

证 先考虑 n=1 的情形. 根据柯西积分公式有

$$ \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{1}{2\pi i\Delta z}\oint_{C}f(\zeta)\left[\frac{1}{\zeta-z-\Delta z}-\frac{1}{\zeta-z}\right]\mathrm{d}\zeta, $$

因此

$$ \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{c}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}}\mathrm{d}\zeta=\frac{\Delta z}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{c}\frac{f(\zeta)\mathrm{d}\zeta}{(\zeta-z)^{2}(\zeta-z-\Delta z)}. $$

对上式右端的积分值，作如下的估计。因 $ f(\zeta) $在C上连续，可设M是 $ \left|f(\zeta)\right| $在C上的最大值，又设 $ \delta $为点z到C上的最短距离，于是当 $ \zeta $在C上时，有 $ \left|\zeta-z\right|\geq\delta $，先取 $ \left|\Delta z\right|<\frac{\delta}{2} $（图3.10），则有

$$ \mid\zeta-z-\Delta z\mid\geqslant\mid\zeta-z\mid-\mid\Delta z\mid>\frac{\delta}{2}. $$

由(3.6)式得

$$ \oint_{C}\frac{f(\zeta)\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z-\Delta z\right)\left(\zeta-z\right)^{2}}\bigg|\leq\frac{M}{\frac{\delta}{2}\delta^{2}}L=\frac{2ML}{\delta^{3}}, $$

其中 L 表示 C 的长度，于是有

$$ \left|\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}-\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(\zeta)\mathrm{d}\zeta}{(\zeta-z)^{2}}\right|\leq\frac{2M L}{\delta^{3}}\frac{|\Delta z|}{2\pi}. $$

由此可知

$$ f^{\prime}(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^{2}}\mathrm{d}\zeta, $$

即 n=1 时(3.11)式成立.

现在假定当 $ n=k(k>1) $ 时 (3.11) 式成立，再来推证当 n=k+1 时 (3.11) 式也成立。为此将 $ f^{(k)}(z) $ 看作 $ f(z) $，用类似于 n=1 情形的推证方法可证得

n=k+1时(3.11)式也成立.故由数学归纳法知(3.11)式成立.

（3.11）式叫做解析函数的高阶导数公式. 可从两方面应用这个公式：一方面用求积分来代替求导数；另一方面则是用求导的方法来计算积分. 即

$$ \oint_{c}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}f^{(n)}(z), $$

从而为某些积分的计算开辟了新的途径.

例 3.12 求下列积分的值：

(1) $ \oint_{|z-i|=1}\frac{\cos z}{(z-i)^{3}}\mathrm{d}z; $ (2) $ \oint_{|z|=4}\frac{\mathrm{e}^{z}}{z^{2}(z-1)^{2}}\mathrm{d}z. $

解 （1）函数 $ \cos z $ 在 $ \left|z-i\right|\leqslant1 $ 上解析，由（3.11）式得

$$ \begin{aligned}\oint_{|z-i|=1}\frac{\cos z}{(z-i)^{3}}\mathrm{d}z&=\frac{2\pi\mathrm{i}}{2!}(\cos z)^{\prime \prime}\bigg|_{z=i}\\&=-\left.\pi\mathrm{i}\cos i=-\frac{\pi\mathrm{i}}{2}(\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e})\right..\end{aligned} $$

（2）函数在 $ \{z \mid z = 4 $ 内有两个奇点: $ z = 0, 1 $。由复合闭路定理有

$$ \begin{array}{c}\oint_{|z|=4}\frac{\mathrm{e}^{z}}{z^{2}(z-1)^{2}}\mathrm{d}z\\=\oint_{|z|=\frac{1}{2}}\frac{\frac{\mathrm{e}^{z}}{(z-1)^{2}}}{z^{2}}\mathrm{d}z+\oint_{|z-1|=\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{e}^{z}/z^{2}}{(z-1)^{2}}\mathrm{d}z.\end{array} $$

高阶导数公

式的应用

再根据公式(3.11)有

$$ \begin{aligned}\oint_{|z|=4}\frac{\mathrm{e}^{z}}{z^{2}(z-1)^{2}}\mathrm{d}z&=2\pi\mathrm{i}\left[\frac{\mathrm{e}^{z}}{(z-1)^{2}}\right]^{\prime}\bigg|_{z=0}+2\pi\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{e}^{z}}{z^{2}}\right)^{\prime}\bigg|_{z=1}\\&=6\pi\mathrm{i}-2\pi\mathrm{e}\mathrm{i}=2\pi(3-\mathrm{e})\mathrm{i}.\end{aligned} $$

从高阶导数公式可以推导出一系列重要的结果.

定理 3.10 设函数 $ f(z) $ 在 $ \mid z-z_{0}\mid < R $ 内解析，又 $ \mid f(z)\mid \leqslant M $ （ $ \mid z-z_{0}\mid < R $），则以下不等式成立

$$ \mid f^{\left(n\right)}\left(z_{0}\right)\mid\leqslant\frac{n\mid!M}{R^{n}}\quad(n=1,2,\cdots). $$

这个不等式称为柯西不等式.

证 对于任意的 $ R_1:0

$$ f^{(n)}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{|z-z_{0}|=R_{1}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\mathrm{d}z\quad(n=1,2,\cdots), $$

估计右端的模得到

$$ \left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leqslant\frac{n!}{2\pi}\oint_{|z-z_{0}|=R_{1}}\frac{\left|f(z)\right|}{\left|z-\overline{z_{0}}\right|^{n+1}}\mathrm{d}z\leqslant\frac{n!}{R_{1}^{n}} $$

令 $ R_{1}\to R $便得

$$ \left|f^{\left(n\right)}\left(z_{0}\right)\right|\leqslant\frac{n $!M{R^{n}}\quad\left(n=1,2,\cdots\right). $$

从柯西不等式可以推出另一重要的定理.

定理 3.11(刘维尔(Liouville)定理) 设函数 $ f(z) $ 在全平面上为解析且有界，则 $ f(z) $ 为一常数.

证 设 $ z_0 $ 是平面上任意一点，对任意正数 $ R $， $ f(z) $ 在 $ |z-z_0|

$$ \mid f^{\prime}(z_{0})\mid\leq\frac{M}{R}, $$

令 $ R \to +\infty $，即得 $ f'(z_0) = 0 $。由 $ z_0 $ 的任意性，知在全平面上有 $ f'(z) \equiv 0 $。故 $ f(z) $ 为一常数。

本章小结

本章研究了解析函数的积分理论。在引入复变函数积分概念与积分基本性质的基础上，对解析函数积分及运算性质等一系列特性进行了讨论。给出了柯西积分定理，从而揭示了区域与沿其内任一闭曲线积分的联系，进而得到柯西积分公式，使得闭区域上一点的函数值与其边界上的积分相联系，从而揭示了解析函数的一些内在联系。

从柯西积分公式又得出一系列推论，如平均值公式、最大模原理等，每一推论都有独立的应用和理论价值。其中最大模原理就是复变函数论一个很重要而且具有实用价值的原理，它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流速的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流动。

从本章的讨论可知高阶导数是柯西积分公式的发展，它是一个十分重要的结果。它证明了解析函数的导数仍是解析函数，它显示了解析函数的导数可用函数本身的某种积分来表达，这样就有可能从函数的积分性质推出导数的积分性质。

在对本章理论体系作系统分析的同时，必须注意与积分理论密切结合的积分计算问题。除了将复积分化为二元函数的曲线积分或利用积分曲线的方程进行实际计算外，在绝大多数情况下，都是应用某些定理、公式来计算复积分的。只有弄清楚了在各种情况下，何时用单连通区域的柯西定理，何时用多连通区域的柯西定理，柯西积分公式适用于计算怎样的积分，高阶导数公式又适用于计算怎样的积分，怎样选择最方便的方法计算可用多种方法计算的积分等这些问题，我们才能真正掌握计算积分的技能。

目思考题

3.1 复变函数积分和实平面曲线积分有什么不同？又有什么联系？ $ \int_{c} dz $ 与 $ \int_{c} ds $ 的含义和结果是否相同？ $ \int_{c} |dz| $ 与 $ \int_{c} ds $ 的含义和结果是否相同（其中 ds 是曲线 C 的弧元素）？

3.2 柯西积分定理的条件和结论是什么？复合闭路定理的条件和结论又是什么？后者是如何证明的？

3.3 柯西积分定理与柯西积分公式有什么联系？

题目习题三

3.1 计算积分 $ \int_{0}^{1+i} \left[ (x - y) + i x^{2} \right] dz $. 积分路径为：

（1）自原点至 $ 1+i $的直线段；

（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至 $ 1+i $；

（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至 $ 1+i $

3.2 计算积分 $ \oint_{C} \frac{\bar{z}}{|z|} dz $ 的值，其中 C 为：(1) $ |z| = 2 $; (2) $ |z| = 4 $.

3.3 求证： $ \left|\int_{C}\frac{\mathrm{d}z}{z^{2}}\right|\leq\frac{\pi}{4} $，其中 C 是从 1-i 到 1 的直线段.

第三章单元

自测题

3.4 试用观察法确定下列积分的值，并说明理由，其中 C 为 $ \left|z\right|= $

(1) $ \oint_{c}\frac{1}{z^{2}+4z+4}dz; $

(2) $ \oint_{c}\frac{1}{\cos z}dz; $

(3) $ \oint_{c}\frac{1}{z-\frac{1}{2}}dz. $

3.5 求积分 $ \int_{C}\frac{\mathrm{e}^{z}}{z}\mathrm{d}z $ 的值，其中 C 为由正向圆周 $ \left|z\right|=2 $ 与负向圆周 $ \left|z\right|=1 $ 所组成.

3.6 计算 $ \oint_{C} \frac{1}{z^{2} - z} dz $，其中 C 为圆周 $ \left| z \right| = 2 $.

3.7 计算 $ \oint_{|z|=3}\frac{1}{(z-\mathrm{i})(z+2)}\mathrm{d}z $.

3.8 计算下列积分值：

(1) $ \int_{0}^{\pi i} \sin z \, dz $; (2) $ \int_{1}^{1+i} z e^{z} \, dz $; (3) $ \int_{0}^{i} (3 e^{z} + 2z) \, dz $.

3.9 计算 $ \int_{C} \frac{1}{z^{2}} dz $，其中 C 为圆周 $ |z+i|=2 $ 的右半周，走向为从 -3i 到 i.

3.10 计算下列积分：

(1) $ \oint_{|z-2|=1}\frac{\mathrm{e}^{z}}{z-2}\mathrm{d}z $; (2) $ \oint_{|z|=2}\frac{2z^{2}-z+1}{z-1}\mathrm{d}z $;

(3) $ \oint_{|z-i|=1}\frac{\mathrm{d}z}{z^{2}-i} $; (4) $ \oint_{|z|=r}\frac{\mathrm{d}z}{(z-1)^{n}}\quad(r\neq1) $.

3.11 计算 $ I = \oint_{C} \frac{z \, dz}{(2z + 1)(z - 2)} $，其中 $ C $ 是： $ (1) \quad |z| = 1 $; $ (2) \quad |z - 2| = 1 $; $ (3) \quad |z - 1| = \frac{1}{2} $; $ (4) \quad |z| = 3 $.

3.12 若 $ f(z) $ 是区域 G 内的非常数解析函数，且 $ f(z) $ 在 G 内无零点，则 $ f(z) $ 不能在 G 内取到它的最小模. $ [ $ 提示：考虑函数 $ g(z)=\frac{1}{f(z)} $，利用最大模原理. ]

3.13 计算下列积分：

(1) $ \oint_{|z|=1}\frac{e^{z}}{z^{100}}dz; $

(2) $ \oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^{2}}dz; $

(3) $ \oint_{C=C_{1}+C_{2}} \frac{\cos z}{z^{3}} dz $，其中 $ C_{1}: |z| = 2 $， $ C_{2}: |z| = 3 $.

3.14 设 $ f(z) $ 在 $ \left|z\right| \leqslant 1 $ 上解析，且在 $ \left|z\right| = 1 $ 上有 $ \left|f(z) - z\right| < \left|z\right| $，试证： $ \left|f''\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leqslant 8 $.

3.15 设 $ f(z) $ 与 $ g(z) $ 在区域 D 内处处解析，C 为 D 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于 D。如果 $ f(z) = g(z) $ 在 C 上所有的点处成立，试证：在 C 内所有的点处 $ f(z) = g(z) $ 也成立。