第六章 共形映射

第六章 共形映射

前面儿章主要是运用分析的方法（如微分、积分、级数展开等）来讨论复变解析函数的性质和应用，而从几何的观点来看，一个复变函数 $ w=f(z) $实际上给出了z平面上的一个点集到w平面上一个点集的映射，研究这种映射关系，可以使我们对解析函数有更深刻的认识。本章主要讨论由解析函数构成的共形映射 $ ^{①} $及其一些重要特征，重点讨论由分式线性函数构成的映射，共形映射在解决流体力学、电磁学、传热学等实际问题中，发挥了重要的作用。

伸缩率与旋转角

§6.1 共形映射的概念

探讨复变函数映射的几何特性，首先是要弄清楚复平面上的一个点集（曲线或者区域）与它的像集之间的对应关系。我们知道，在单变量实函数中，导数被用来刻画因变量相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何意义。那么，一个复变函数的导函数将会刻画什么样的关系呢？又有什么样的几何意义呢？

§6.1.1 导函数的几何意义

在讨论导函数的几何意义之前，我们要先给出两个概念，用来描述像曲线与原曲线之间的变化特征.

1. 伸缩率与旋转角

如图6.1，C是z平面上过 $ z_{0} $点的曲线，经函数 $ w=f(z) $映射为w平面上过 $ w_{0} $点的曲线 $ \Gamma $，其中 $ w_{0}=f(z_{0}) $。在曲线C上 $ z_{0} $点附近任取一点 $ z=z_{0}+\Delta z=z_{0}+|\Delta z|\mathrm{e}^{i\theta} $，则在曲线 $ \Gamma $上有对应的点 $ w=w_{0}+\Delta w=w_{0}+|\Delta w|\mathrm{e}^{i\varphi} $。显然当 $ \left|z-z_{0}\right| $较小时， $ \left|w-w_{0}\right| $与 $ \left|z-z_{0}\right| $的比值近似地反映了曲线C在 $ z_{0} $点附近经函数 $ w=f(z) $映射后被拉伸或者被压缩的倍数。

特别地，当 z 沿曲线 C 趋于 $ z_{0} $ 点时，若 $ \lim_{z\to z_{0}}\frac{|w-w_{0}|}{|z-z_{0}|} $ 存在，则此极限值称为曲线 C 经函数 $ w=f(z) $ 映射后在 $ z_{0} $ 处的伸缩率.

另一方面，设曲线 C 在 $ z_{0} $ 处的切线倾角为 $ \theta_{0} $，曲线 $ \Gamma $ 在 $ w_{0} $ 处的切线倾角为 $ \varphi_{0} $，则 $ \lim_{z\to z_{0}} (\varphi-\theta)=\varphi_{0}-\theta_{0} $ 称为曲线 C 经函数 w=f(z) 映射后在 $ z_{0} $ 处的旋转角，它刻画了由曲线 C 在 $ z_{0} $ 处的切线转动到曲线 $ \Gamma $ 在 $ w_{0} $ 处的切线所需转过的角度.

可以看出，伸缩率与旋转角完全描述了在 $ w=f(z) $ 映射下曲线 $ \Gamma $ 相对于曲线 C 的变化特征。下面我们将看到，当函数 $ w=f(z) $ 解析时，这两个特征可以由导数的模与辐角定量给出。

2. 伸缩率不变性

现假设函数 $ w = f(z) $ 在区域 D 内解析， $ z_0 \in D $，且 $ f'(z_0) \neq 0 $。采用前面的记号，并由导数的定义可得

$$ f^{\prime}(z_{0})=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\left|\Delta w\right|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}}{\left|\Delta z\right|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\left|\Delta w\right|}{\left|\Delta z\right|}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\theta)}, $$

因此有

$$ \mid f^{\prime}(z_{0})\mid=\lim_{\Delta z\to0}\frac{|\Delta w|}{|\Delta z|}. $$

根据伸缩率的概念可知，导数的模 $ \left|f'(z_0)\right| $ 实际上就是曲线 C 经函数 $ w = f(z) $ 映射后在 $ z_0 $ 处的伸缩率。由于函数 $ w = f(z) $ 可导，因此 $ \left|f'(z_0)\right| $ 只与 $ z_0 $ 有关，而与曲线 C 本身的形状和方向无关，即对经过 $ z_0 $ 点的任何曲线 C，经 $ w = f(z) $ 映射后在 $ z_0 $ 点均有相同的伸缩率。因此称这种映射具有伸缩率不变性。

3. 旋转角不变性与保角性

由式(6.1)还可得

$$ \arg f^{\prime}(z_{0})=\lim_{\Delta z\to0}(\varphi-\theta)=\varphi_{0}-\theta_{0}. $$

同样根据旋转角的概念可知，导数的辐角 $ \arg f'(z_0) $ 就是曲线 C 经函数 $ w = f(z) $ 映射后在 $ z_0 $ 处的旋转角，它也与曲线 C 本身的形状与方向无关。因此称这种映射具有旋转角不变性。

另外，设在区域 D 内还有一条过 $ z_{0} $ 点的曲线 $ C^{\prime} $ (图 6.1)，经函数 $ w = f(z) $ 映射后的曲线为 $ \Gamma^{\prime} $，且 $ C^{\prime} $ 在 $ z_{0} $ 处的切线倾角为 $ \theta_{1} $， $ \Gamma^{\prime} $ 在 $ w_{0} $ 处的切线倾角为 $ \varphi_{1} $，则有

$$ \arg f^{\prime}(z_{0})=\varphi_{1}-\theta_{1}. $$

由式(6.2)与(6.3)得

$$ \varphi_{1}-\varphi_{0}=\theta_{1}-\theta_{0}. $$

即这种映射保持了两条曲线的交角的大小与方向不变，称此性质为保角性。特别指出的是， $ f'(z_0) \neq 0 $ 是必要的，否则保角性将不成立。

例 6.1 求函数 $ w = z^{3} $ 在 $ z_{1} = i $ 与 $ z_{2} = 0 $ 处的导数值，并说明其几何意义.

解 函数 $ w=f(z)=z^{3} $ 在整个复平面上是解析的，其导函数为 $ f'(z)=3z^{2} $

（1）对 $ z_{1}=i $, $ f^{\prime}(i)=-3=3e^{i\pi} $，因此映射 $ w=z^{3} $ 在 $ z_{1}=i $ 处具有保角性且伸缩率不变。其伸缩率为3，旋转角为 $ \pi $。

（2）对 $ z_{2}=0, f^{\prime}(0)=0 $ ，从图6.2中可以看出，映射 $ w=z^{3} $ 在 $ z_{2}=0 $ 处不具有保角性.

§6.1.2 共形映射的概念

定义 6.1 对于定义在区域 D 内的映射 $ w = f(z) $，若它在 D 内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称 $ w = f(z) $ 是第一类保角映射；若它在 D 内任意一点保持曲线的交角的大小不变但方向相反和伸缩率不变，则称 $ w = f(z) $ 是第二类保角映射.

根据前面的讨论,可得下面的定理.

定理 6.1 设函数 $ f(z) $ 在区域 D 内解析，且 $ f'(z) \neq 0 $，则它所构成的映射是第一类保角映射.

关于第二类保角映射，我们通过下面的例子给出简单的说明.

例 6.2 考察函数 w = $ \bar{z} $ 所构成的映射.

解 对于复平面上的任意一点 $ z_{0} $，有 $ \lim_{z \to z_{0}} \frac{|w - w_{0}|}{|z - z_{0}|} = \lim_{z \to z_{0}} \frac{|\bar{z} - \bar{z}_{0}|}{|z - z_{0}|} = 1 $（即极限存在），因此映射 $ w = \bar{z} $ 具有伸缩率不变性；又由于 $ w = \bar{z} $ 是关于实轴对称的映射，因此它使得曲线的交角的大小不变但方向相反（图 6.3）。根据定义可知，函数 $ w = \bar{z} $ 是第二类保角映射。

定义 6.2 设 $ w = f(z) $ 是区域 D 内的第一类保角映射

射. 若当 $ z_{1}\neq z_{2} $时，有 $ f(z_{1})\neq f(z_{2}) $，则称 $ f(z) $为共形映射.

例6.3 考察函数 $ w = e^{z} $ 构成的映射.

解 由于 $ w = e^{z} $ 在复平面上解析且 $ (e^{z})'\neq 0 $，因此它在任何区域内均构成第一类保角映射。但它不一定构成共形映射。例如在区域 $ 0 < \mathrm{Im}z < 4\pi $ 内，取 $ z_{1} = \frac{\pi}{2}\mathrm{i} $， $ z_{2} = \left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right)\mathrm{i} $，则 $ e^{z_{1}} = e^{z_{2}} = \mathrm{i} $，因此 $ w = e^{z} $ 不构成共形映射。而在区域 $ 0 < \mathrm{Im}z < 2\pi $ 内， $ w = e^{z} $ 是共形映射。

因此，共形映射的特点是双方单值且在区域内每一点具有保角性和伸缩率不变性.

§ 6.2 共形映射的基本问题

根据理论和实际应用的需要，对于共形映射，我们主要研究两个方面的问题.

问题一 对于给定的区域 D 和定义在 D 上的解析函数 $ w=f(z) $，求像集 G= $ f(D) $，并讨论 $ f(z) $ 是否将 D 共形地映射为 G.

问题二 给定两个区域 D 和 G，求一解析函数 $ w = f(z) $，使得 $ f(z) $ 将 D 共形地映射为 G.

其中第二个问题称为共形映射的基本问题，它更具有实用价值，但也更为困难。本节对这两个问题只给出一般性的理论描述，具体求解将在后面的几节中进行。另外，本节中所涉及的有关定理的证明均较为复杂，故从略。

实际上，对于问题二，我们只需考虑能把区域 D 变为单位圆内部即可.

这是因为如果存在函数 $ \xi = f(z) $ 把 D 变为 $ \left|\xi\right| < 1 $，而函数 $ \xi = g(w) $ 把 G 变为 $ \left|\xi\right| < 1 $，那么 $ w = g^{-1}(f(z)) $ 把 D 映射为 G（图 6.4）.

求像区域的

一般步骤

§6.2.1 解析函数的保域性与边界对应原理

定理 6.2 (保域性定理) 设函数 $ f(z) $ 在区域 D 内解析，且不恒为常数，则像集合 $ G = f(D) $ 是区域.

对于问题一，有下面两个定理.

定理 6.3（边界对应原理）设区域 D 的边界为简单闭曲线 C，函数 $ w = f(z) $ 在 $ \overline{D} = D \cup C $ 上解析，且将 C 双方单值地映射成简单闭曲线 $ \Gamma $。当 z 沿 C 的正向绕行时，相应的 w 的绕行方向定为 $ \Gamma $ 的正向，并令 G 是以 $ \Gamma $ 为边界的区域，则 $ w = f(z) $ 将 D 共形映射成 G。

在这两个定理中，定理6.2说明了解析函数把区域变为区域，而定理6.3则为像区域的确定给出了一个一般性的方法，即并不需要对整个区域D进行考虑，而是只需求出D的边界C所对应的曲线 $ \Gamma $及其方向，则以有向曲线 $ \Gamma $为边界的区域就是像区域。这一方法对于问题二的求解也是有用的。

这里应特别注意的是 $ \Gamma $ 的方向。如图6.5，区域D在曲线C的内部，在C上沿逆时针方向取三点 $ z_{1}, z_{2}, z_{3} $，函数 $ w = f(z) $将C与 $ z_{1}, z_{2}, z_{3} $分别映射为 $ \Gamma $和 $ w_{1}, w_{2}, w_{3} $。若 $ w_{1}, w_{2}, w_{3} $也按逆时针方向排列，则像区域G在 $ \Gamma $的内部，否则G在 $ \Gamma $的外部。

例 6.4 设区域 $ D = \{ z: 0 < \arg z < \frac{\pi}{2}, \, 0 < |z| < 1 \} $，求区域 D 在映射 $ w = z^3 $ 下的像区域 G.

解 如图 6.6，设区域 D 的边界为 $ C_{1}+C_{2}+C_{3} $，其中 $ C_{1} $ 的方程为 $ z=e^{i\theta} $ ( $ \theta $ 从 0 到 $ \frac{\pi}{2} $)，相应的像曲线 $ \Gamma_{1} $ 的方程为

$$ w=e^{i3\theta}=e^{i\varphi}\left(\varphi 从 0 到 \frac{3\pi}{2}\right) $$

$ C_{2} $ 的方程为 z=iy (y 从 1 到 0)，相应的像曲线 $ \Gamma_{2} $ 的方程为

$$ w=\mathrm{i}\left(-\ y^{3}\right)=\mathrm{i}v\ (v\ 从 -1\ 到 0); $$

$ C_{3} $ 的方程为 z=x (x 从 0 到 1)，相应的像曲线 $ \Gamma_{3} $ 的方程为

$$ w=x^{3}=u(u 从 0 到 1). $$

因此像区域为

$$ G=\{w:0<|w|<1,0<\arg w<\frac{3\pi}{2}\}. $$

§6.2.2 共形映射的存在唯一性

对于问题二，我们首先要探讨一下这样的函数是否存在，如果存在又是否唯一。关于这两点，可以先来看看下面的两个事实。

（1）关于存在性 当区域 D 为下面两种情况之一时，将不存在解析函数，使之共形地映射为单位圆内部。第一，区域 D 是扩充复平面；第二，区域 D 是扩充复平面除去一点 $ \left(\text{不妨设为 } \infty \text{ 点，如果是有限点 } z_{0}, \text{ 只需作一映射 } \xi = \frac{1}{z - z_{0}} \text{ 即可 }\right) $。无论哪一种情况，如果存在解析函数 $ w = f(z) $ 将它们共形映射为 $ \left|w\right| < 1 $，那么 $ f(z) $ 在整个复平面上解析，且 $ \left|f(z)\right| < 1 $。根据刘维尔定理

（见 §3.4） $ f(z) $ 必恒为常数. 这显然不是我们所要求的映射.

（2）关于唯一性 一般说来是不唯一的，例如，对任意给定的常数 $ \theta_{0} $，映射 $ w = z e^{i\theta_{0}} $ 均把单位圆内部映射为单位圆内部.

那么，到底在什么情况下，共形映射函数存在且唯一呢？黎曼（Riemann）在1851年给出了下面的定理，它是共形映射的基本定理。

定理 6.4 (黎曼存在唯一性定理) 设区域 $D$ 与 $G$ 是任意给定的两个单连通区域，它们各自的边界都至少包含两点，则一定存在解析函数 $w = f(z)$ 把 $D$ 共形地映射为 $G$。如果在 $D$ 和 $G$ 内再分别任意指定一点 $z_0$ 和 $w_0$，并任给一实数 $\theta_0(-\pi < \theta_0 \leq \pi)$，要求函数 $w = f(z)$ 满足 $f(z_0) = w_0$ 且 $\arg f'(z_0) = \theta_0$，那么映射 $w = f(z)$ 是唯一的。

黎曼存在唯一性定理肯定了满足给定条件的函数的存在唯一性，但没有给出具体的求解方法。事实上，对一般情况而言，具体求解是比较困难的。因此，下面我们只是针对某些初等函数特别是分式线性函数所构成的映射进行讨论。

§6.3 分式线性映射

由分式线性函数

$$ w=\frac{az+b}{cz+d}\quad(a,b,c,d 为复数且 ad-bc\neq0) $$

构成的映射，称为分式线性映射。其逆映射也为分式线性映射。特别地，当c=0时，则称为（整式）线性映射。分式线性映射在理论和实际应用中都是非常重要的一类映射。

§6.3.1 分式线性函数的分解

要弄清分式线性函数的映射特征,我们只需对下面四种简单函数进行讨论.

（1） $ w=z+b $ （b为复数）；

(2) $ w = z e^{i\theta_0} $ （ $ \theta_0 $ 为实数）;

(3) w = rz (r > 0);

(4) $ w = \frac{1}{z} $.

这是因为任何分式线性函数总可以分解为这四种形式的复合. 即对(6.4)式, 我们有: 当 c=0 时,

$$ w=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}\left(z+\frac{b}{a}\right)\;; $$

当 $ c\neq0 $时，

$$ w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c(cz+d)}. $$

例 6.5 将分式线性映射 $ w = \frac{2z}{z + i} $ 分解为四种形式的复合.

解 $ w=\frac{2z}{z+i}=2+\frac{-2i}{z+i}=2+2\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}i}\left(\frac{1}{z+i}\right) $，其复合过程为

$$ z\xrightarrow[z+i\text{(1)}]{z_{1}}z_{1}\xrightarrow[z_{1}]{}\frac{1}{(4)}\xrightarrow[z_{2}]{}z_{2}\xrightarrow[z_{2}]{}e^{-\frac{\pi}{2}i}z_{3}\xrightarrow[z_{3}]{}2z_{3}z_{4}\xrightarrow[z_{4}]{}w. $$

因此，知道了这四种函数映射的几何性质，就可以知道一般分式线性函数所确定的映射的特征。另外，由(6.5)式还可以看出，前三种函数构成（整式）线性映射。因此，分式线性映射也可以分解为（整式）线性映射与 $ w=\frac{1}{z} $ 所构成的映射的复合。这样在后面的讨论中，有时会根据需要，只对（整式）线性映射与 $ w=\frac{1}{z} $ 进行讨论，而不必细分为四种形式。

1. 平移、旋转与相似映射

为了讨论方便，z 与 w 放在同一复平面上.

（1）平移映射：w=z+b.

令 $ z = x + iy $, $ b = b_1 + ib_2 $, $ w = u + iv $, 则有 $ u = x + b_1 $, $ v = y + b_2 $. 如图 6.7, 它将曲线 C 沿 b 的方向平移到曲线 $ \Gamma $.

（2）旋转映射： $ w=ze^{i\theta_{0}} $

令 $ z = re^{i\theta} $，则有 $ w = re^{i(\theta + \theta_0)} $。如图 6.8，它将曲线 C 绕原点旋转到曲线 $ \Gamma $。当 $ \theta_0 > 0 $ 时，逆时针旋转；当 $ \theta_0 < 0 $ 时，顺时针旋转。

（3）相似映射：w=rz.

令 $ z = \rho e^{i\theta} $，则有 $ w = r\rho e^{i\theta} $。如图6.9，它将曲线 C 放大（或缩小）到曲线 $ \Gamma $。相似映射的特点是对复平面上任意一点 z，保持辐角不变，而将模放大 $ (r > 1) $ 或者缩小 $ (r < 1) $。

2. 反演映射

映射 $ w = \frac{1}{z} $ 称为反演映射，令 $ z = re^{i\theta} $，则 w =

$ \frac{1}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(- \theta)} $，即 $ | w | = \frac{1}{| z |} $， $ \arg w = -\arg z $。由 $ | w | = \frac{1}{| z |} $ 可知，当 $ | z | < 1 $ 时， $ | w | > 1 $；当 $ | z | > 1 $ 时， $ | w | < 1 $。因此反演映射 $ w = \frac{1}{z} $ 的特点是将单位圆内部（或外部）的任一点映射到单位圆外部（或内部），且辐角反号。

从图6.10中可以清楚地看出，映射 $ w=\frac{1}{z} $实际上可以分两步进行。先将z映射为 $ w_{1} $，满足 $ \left|w_{1}\right|=\frac{1}{\left|z\right|} $且 $ \arg w_{1}=\arg z $；再将 $ w_{1} $映射为w，满足 $ \left|w\right|=\left|w_{1}\right| $且 $ \arg w=-\arg w_{1} $。从几何角度看，w与 $ w_{1} $是关于实轴对称的，那么z与 $ w_{1} $的几何关系是什么呢？

定义 6.3 设某圆的半径为 R, A, B 两点在从圆心出发的射线上, 且 $ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = R^{2} $, 则称 A 和 B 是关于圆周对称的 (图 6.11). 自然地, 规定圆心与无穷远点关于该圆周对称.

根据这一定义可知，z 与 $ w_{1} $ 是关于单位圆对称的。因此，映射 $ w=\frac{1}{z} $ 可由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成。事实上，如果我们将 $ w=\frac{1}{z} $ 写成

$ \xi=\frac{1}{z} $ 与 $ w=\xi $ 的复合，那么前者正好是单位圆对称映射，而后者正好是实轴对称映射.

为了方便地进行后面的讨论，对反演映射作如下的规定和说明。

（1）规定反演映射 $ w=\frac{1}{z} $ 将 z=0 映射成 $ w=\infty $，将 $ z=\infty $ 映射成 w=0.

（2）规定函数 $ f(z) $在 $ z=\infty $点及其邻域的性态可由函数 $ \varphi(\xi) $在 $ \xi=0 $点及其邻域的性态确定，其中 $ \xi=\frac{1}{z},\varphi(\xi)=\varphi\left(\frac{1}{z}\right)=f(z) $。按照此规定，当我们讨论函数 $ f(z) $在 $ z=\infty $点附近的性态时，可以先通过反演映射将 $ f(z) $化为 $ \varphi(\xi) $，再讨论 $ \varphi(\xi) $在原点附近的性态。例如，若 $ \varphi(\xi) $在 $ \xi=0 $处解析，且 $ \lim_{\xi\to0}\varphi(\xi)=\varphi(0)=A $，则可以认为 $ f(z) $在 $ z=\infty $点解析，且 $ \lim_{z\to\infty}f(z)=f(\infty)=A $。

§6.3.2 分式线性映射的保形性

首先对 $ w=\frac{1}{z} $ 进行讨论. 根据前面的规定它在整个扩充复平面上是双方

单值的.

当 $ z \neq 0 $ 和 $ z \neq \infty $ 时， $ w = \frac{1}{z} $ 解析且 $ \frac{dw}{dz} = -\frac{1}{z^{2}} \neq 0 $，因此， $ w = \frac{1}{z} $ 在 $ z \neq 0 $ 和 $ z \neq \infty $ 时是共形映射。当 $ z = \infty $ 时，令 $ \xi = \frac{1}{z} $，则 $ w = \varphi(\xi) = \xi $。显然 $ \varphi(\xi) $ 在 $ \xi = 0 $ 处解析且 $ \varphi'(0) = 1 \neq 0 $，因此，映射 $ w = \frac{1}{z} $ 在 $ z = \infty $ 点是共形映射。同理，映射 $ z = \frac{1}{w} $ 在 $ w = \infty $ 点是共形映射，由此即得， $ w = \frac{1}{z} $ 在 z = 0 点是共形映射。

其次对 $ w = az + b (a \neq 0) $ 进行讨论，它显然是双方单值的.

当 $ z \neq \infty $ 时， $ w = az + b $ 解析且 $ \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z} = a \neq 0 $，因此映射 w = az + b 在 $ z \neq \infty $ 时是共形映射；当 $ z = \infty $ 时，令 $ \xi = \frac{1}{z}, \mu = \frac{1}{w} $，则 $ \mu = \varphi(\xi) = \frac{\xi}{b\xi + a} $，显然 $ \varphi(\xi) $ 在 $ \xi = 0 $ 解析且 $ \varphi'(0) = \frac{1}{a} \neq 0 $，因此映射 $ \mu = \varphi(\xi) $ 在 $ \xi = 0 $ 处是共形映射，且 $ \xi = 0 $ 时 $ \mu = 0 $。又由上面的讨论知道 $ w = \frac{1}{\mu} $ 在 $ \mu = 0 $ 处是共形映射，从而 $ w = az + b $ 在 $ z = \infty $ 处是共形映射。

分式线性映

射的保形性

这样，我们得到如下定理.

定理 6.5 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射.

§6.3.3 分式线性映射的保圆性

以下如无特别说明，我们均把直线作为圆的一个特例，即将直线看作是半径为无穷大的圆。在此意义下，分式线性映射能把圆映射成圆。

从前面的分析中，我们已经了解到，一个分式线性函数所确定的映射可以分解为平移、旋转、相似及反演映射的复合。前三种映射显然把圆映射成圆。因此只需证明反演映射 $ w=\frac{1}{z} $ 也把圆映射成圆。

令 $ z = x + \mathrm{i}y $， $ w = u + \mathrm{i}v $，则由 $ w = \frac{1}{z} $ 得到

$$ x=\frac{u}{u^{2}+v^{2}},\quad y=-\frac{v}{u^{2}+v^{2}}. $$

对于 z 平面上一个任意给定的圆

$$ A\left(x^{2}+y^{2}\right)+Bx+Cy+D=0\quad\left( 当 A=0 时为直线 \right), $$

分式线性映射

下圆(弧)的像

曲线求法

其像曲线满足方程

$$ D\left(u^{2}+v^{2}\right)+Bu-Cv+A=0\quad( 当 D=0 时为直线 ). $$

可以看出，它仍然是一个圆。因此我们可得如下定理。

定理 6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆.

值得注意的是，从式(6.6)和式(6.7)中还可以看出，由于当D=0时，所给的圆通过原点，经过反演映射后，原点被映射到无穷远点，因而像曲线变成直线，这是一个很重要的特性。

事实上，在分式线性映射下，若给定的圆上没有点映射为无穷远点，则它就映射成半径有限的圆；若有一点映射成无穷远点，则它就映射成直线。特别是后者，它实际上给出了一种从圆（或者弧）变到直线的方法，这对于我们构造简单区域间的共形映射函数是非常有用的。

由于三点可以确定一个圆，因此当我们求解分式线性映射下某圆域的像时，只要在圆周上取三点，分别求出对应的像点，即可得到相应的圆和圆域。但若区域的边界是由多个弧和直线段组成时，则必须在每一段弧上和直线段上各自取三点进行求解，且所取的三点中最好包含两个端点。

例 6.6 求实轴在映射 $ w=\frac{2\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}} $ 下的像曲线.

解法一 在实轴上取三点 $ z_{1}=\infty, z_{2}=0, z_{3}=1 $，则对应的三个像点为 $ w_{1}= $

0, $ w_{2}=2 $, $ w_{3}=1+i $.由此得到像曲线为 $ |w-1|=1 $.进一步还可得到，上半平面被映射到圆的内部，而下半平面被映射到圆的外部.

解法二 采用分解方式并结合几何特性求解

由 $ w=\frac{2\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}=2\left(\frac{1}{z+\mathrm{i}}\right)\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}\mathrm{i}} $ 可得，所给映射是由下列映射

$$ z_{1}=z+\mathrm{i},z_{2}=\frac{1}{z_{1}},z_{3}=2z_{2},w=z_{3}\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}\mathrm{i}} $$

相继实施的结果. 图6.12给出了变化过程. 其中 $ z_{2}=\frac{1}{z_{1}} $ 分为 $ \xi=\frac{1}{\bar{z}_{1}} $ 与 $ z_{2}=\bar{\xi} $ 两步进行,且它们也具有保圆性.

例 6.7 求区域 $ D = \{z: |z - 1| < \sqrt{2}, |z + 1| < \sqrt{2}\} $ 在映射 $ w = \frac{z - i}{z + i} $ 下的像区域.

解 如图6.13，区域D的边界为 $ C_{1}+C_{2} $。由于映射将-i与i分别变为 $ \infty $与0，且 $ C_{1} $与 $ C_{2} $在i点的夹角为 $ \frac{\pi}{2} $，因此由保形性（含保角性）与保圆性，像曲线 $ \Gamma_{1} $与 $ \Gamma_{2} $为从原点出发的两条射线，且在原点处的夹角为 $ \frac{\pi}{2} $。又由于它将原点映射为-1，因此很容易得出，虚轴上从i到-i的线段被映射为左半实轴。再由保角性即得结果。

本题也可直接在 $ C_{1} $与 $ C_{2} $上取三点进行，其中应包含两个端点i与-i.

分式线性映

射下求像曲

线举例

分式线性映

射下求像区

域举例

§6.3.4 分式线性映射的保对称点性

我们首先给出关于对称点的一个引理.

引理 6.1 扩充复平面上的两点 $ z_{1} $ 与 $ z_{2} $ 关于圆 C 对称的充要条件是通过 $ z_{1} $ 与 $ z_{2} $ 的任意圆都与圆 C 正交.

证 在下面两种情况下，结论是显然成立的：（1）C为直线；（2）C为半径有限的圆且 $ z_{1} $与 $ z_{2} $中有一个为无穷远点。因此，我们仅就C为 $ \left|z-z_{0}\right|=R(0

如图 6.14, L 为过 $ z_{1} $ 与 $ z_{2} $ 的直线, $ \Gamma $ 为

过 $ z_{1} $与 $ z_{2} $的圆. $ \Gamma $与C的交点为 $ z_{3} $.

必要性：若 $ z_{1} $与 $ z_{2} $关于C对称，则L过 $ z_{0} $点，故L与C正交；又由定义有

$$ \mid z_{1}-z_{0}\mid\bullet\mid z_{2}-z_{0}\mid=R^{2}=\mid z_{3}-z_{0}\mid^{2}, $$

根据切割线定理, $ \Gamma $也与C正交.因此过 $ z_{1} $与 $ z_{2} $的任意圆都与C正交.

充分性：若过 $ z_{1} $ 与 $ z_{2} $ 的所有圆都与 C 正交，则 L 与 C 正交，故 L 过 $ z_{0} $ 点，即 $ z_{0}, z_{1}, z_{2} $ 三点共线；又 $ \Gamma $ 与 C 正交，故 $ z_{1} $ 与 $ z_{2} $ 在 $ z_{0} $ 的同一侧，且 $ \overline{z_{0}z_{3}} $ 为 $ \Gamma $ 的切线，根据切割线定理得

$$ \mid z_{1}-z_{0}\mid\bullet\mid z_{2}-z_{0}\mid=\mid z_{3}-z_{0}\mid^{2}=R^{2}. $$

因此 $ z_{1} $与 $ z_{2} $关于圆C对称.

定理 6.7 (保对称点定理) 设 $ z_{1}, z_{2} $ 关于圆 C 对称，则在分式线性映射下，它们的像点 $ w_{1}, w_{2} $ 关于 C 的像曲线 $ \Gamma $ 对称.

证 设 $ \Gamma' $ 是过 $ w_{1} $ 与 $ w_{2} $ 的任意一个圆，则其原像 $ C' $ 是过 $ z_{1} $ 与 $ z_{2} $

由 $ z_{1} $与 $ z_{2} $关于C对称，有 $ C' $与C正交，由保角性 $ \Gamma' $与 $ \Gamma $正交，即过 $ w_{1} $与 $ w_{2} $的任意圆与 $ \Gamma $正交。因此 $ w_{1} $与 $ w_{2} $关于 $ \Gamma $对称。

例 6.8 求一分式线性映射 $ w=\frac{az+b}{cz+d} $，将单位圆内部变为上半平面.

解 如图6.15，所求分式线性函数要把单位圆周C映射为实轴 $ \Gamma $，并将单位圆域D变为上半平面G。不妨设它将D内一点 $ z_{1}=0 $变为G内一点 $ w_{1}=i $，则由保对称性，它应将 $ z_{1}=\infty $映射为 $ w_{1}=-i $。由此可得

$$ \frac{a\cdot0+b}{c\cdot0+d}=\mathrm{i},\quad\lim_{z\to\infty}\frac{az+b}{cz+d}=-\mathrm{i}, $$

即得

$$ b=\mathrm{id},\quad a=-\mathrm{i}c. $$

再假设 C 上一点 $ z_{3}=-1 $ 被映射为 $ \Gamma $ 上一点 $ w_{3}=0 $，因此有

$$ \frac{-a+b}{-c+d}=0. $$

由(6.8)与(6.9)式可得 a=id, b=id, c=-d. 因此所求的分式线性映射为

$$ w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{\mathrm{i}d(z+1)}{d(-z+1)}=\mathrm{i}\left(\frac{1+z}{1-z}\right). $$

从这个例子可以看出，所给问题本身是不唯一的。随着点的取法不同将会得到不同的函数且均符合要求。但同时也看到，一旦给出三个条件，则分式线性映射就被唯一地确定下来，这就是下面我们要讨论的问题。

§6.3.5 唯一决定分式线性映射的条件

分式线性函数中看起来有四个系数 a, b, c, d，但由于比例关系，实际上只有三个是独立的，因此应该可以用三个条件来完全确定.

定理 6.8 在 z 平面上任给三个不同的点 $ z_{1}, z_{2}, z_{3} $，在 w 平面上也任给三个不同的点 $ w_{1}, w_{2}, w_{3} $，则存在唯一的分式线性映射，把 $ z_{1}, z_{2}, z_{3} $ 分别依次地映射为 $ w_{1}, w_{2}, w_{3} $.

证 设分式线性映射为

$$ w=\frac{az+b}{cz+d}, $$

则由条件有

$$ \{\begin{aligned}w_{1}&=\frac{a z_{1}+b}{c z_{1}+d},\\ w_{2}&=\frac{a z_{2}+b}{c z_{2}+d},\\ w_{3}&=\frac{a z_{3}+b}{c z_{3}+d}.\end{aligned}. $$

具体算出 $ w-w_{1}, w-w_{2}, w_{3}-w_{1}, w_{3}-w_{2} $，可得

$$ \frac{w-w_{1}}{w-w_{2}}:\frac{w_{3}-w_{1}}{w_{3}-w_{2}}=\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}:\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}. $$

将(6.10)式整理后便可得到形如 $ w=\frac{az+b}{cz+d} $ 的分式线性函数，它满足条件且不含未知系数，从而证明了存在性. 唯一性证明从略.

公式(6.10)称为对应点公式，在实际应用时，常常会利用一些特殊点（如 $ z=0,z=\infty $等）使公式得到简化.

推论1 若 $ z_{k} $或 $ w_{k} $中有一个为 $ \infty $，则只须将对应点公式中含有 $ \infty $的项换为1.

推论2 设 $ w = f(z) $ 是一分式线性映射，且有 $ f(z_{1}) = w_{1} $ 以及 $ f(z_{2}) = w_{2} $，则它可表示为

$$ \frac{w-w_{1}}{w-w_{2}}=k\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\quad(k 为复常数 )； $$

特别地，当 $ w_{1}=0 $， $ w_{2}=\infty $ 时，有

$$ w=k\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\quad(k 为复常数 ). $$

公式(6.11)在构造区域间的共形映射时非常有用，其特点是把过 $ z_{1} $与

$ z_{2} $ 点的弧映射成过原点的直线，而这正是我们在构造共形映射时常用的手法，其中 k 可由其他条件确定，如果是作为中间步骤，则 k 可直接设为 1.

例 6.9 已知区域 $ D = \{z: |z| < 1, \text{Im } z > 0\} $，求一个分式线性映射，将区域 D 映射为第一象限.

解 如图 6.16，先构造一分式线性函数使 -1 变为 0，使 1 变为 $ \infty $，从而将边界 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 映射为从原点出发的两条射线。其函数可为

$$ w_{1}=\frac{z+1}{z-1}, $$

很容易知道它将D映射为第三象限，再通过旋转映射即得结果.

$$ \begin{align*}w=w_1\mathrm{e}^{\pi i}={1\ +\ z\over1\ -z}.\end{align*} $$

§6.3.6 两个典型区域间的映射

上半平面与单位圆域是两个非常典型的区域，而一般区域间的共形映射的构造大都是围绕这两个区域来进行的，因此它们之间的相互转换显得非常重要。下面通过例子来给出它们之间的映射。

例 6.10 求一分式线性映射，把上半平面 $ \mathrm{Im} z > 0 $ 映射为单位圆内部 $ |w| < 1 $.

解法一 这两个区域的边界分别为实轴与单位圆周 $ \Gamma $，正好是从“圆”变到圆，根据唯一决定分式线性映射的条件，可在实轴上取三点 $ 0,1,\infty $，使其分别映射为圆周 $ \Gamma $ 上的三点 -1, -i, 1。由对应点公式有

$$ \frac{w+1}{w+i}:\frac{1+1}{1+i}=\frac{z-0}{z-1}:\frac{1}{1}, $$

整理后得

$$ \begin{align*}w\ =\frac{z\ -\ i}{z\ +\ i}.\end{align*} $$

求分式线性

映射举例

如果仅要求把上半平面映射为单位圆，而不作其他限制的话，上面的式子已经足够了。但必须清楚的是，这一问题本身可以有无穷多个解，它们与三对点的选取有关。下面给出的解法可以得到通解。

解法二 在上半平面任取一点 $ z_{0} $，使之映射到 w 平面上的原点 w=0。由于 $ z_{0} $ 与 $ \bar{z}_{0} $ 关于实轴对称，0 与 $ \infty $ 关于单位圆对称，根据保对称点性， $ \bar{z}_{0} $ 应映射为 $ \infty $，由推论 6.2，该映射具有如下形式：

$$ w=k\frac{z-z_{0}}{z-\bar{z}_{0}}\quad(k 为待定的复常数 ). $$

由于当 z 在实轴上取值时， $ \left|\frac{z-z_{0}}{z-\bar{z}_{0}}\right|=1 $，且对应的 w 满足 $ \left|w\right|=1 $，所以 $ \left|k\right|=1 $，即 $ k=e^{i\theta} $ ( $ \theta $ 为任意的实常数)。因此所求映射的一般形式为

$$ \begin{align*}w\;=\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\frac{z\;-\;z_0}{z\;-\;\bar z_0},\end{align*} $$

在上式中若取 $ z_{0}=i $, $ \theta=0 $, 则得到解法一的结果.

例 6.11 求一分式线性映射，把单位圆内部 $ \left|z\right|<1 $ 映射为单位圆内部 $ \left|w\right|<1 $.

解 在 $ \left|z\right|<1 $ 内任取一点 $ z_{0} $，使之映射为 $ w_{0}=0 $，由于 $ z_{0} $ 与 $ \frac{1}{z_{0}} $ 关于 $ \left|z\right|=1 $ 对称，0 与 $ \infty $ 关于 $ \left|w\right|=1 $ 对称，根据保对称点性， $ \frac{1}{z_{0}} $ 应被映射为 $ \infty $。因此，映射具有如下形式：

$$ w=k\frac{z-z_{0}}{z-\frac{1}{\bar{z}_{0}}}=k_{1}\frac{z-z_{0}}{1-\bar{z}_{0}z}\quad(k_{1}=-k\bar{z}_{0} 为待定复常数 ). $$

由于 $ \left|z\right|=1 $ 上的点映射为 $ \left|w\right|=1 $ 上的点，因而对于 z=1，其像点 w 满足 $ \left|w\right|=1 $，即有

$$ \mid w\mid=\left|\frac{1-z_{0}}{1-\bar{z}_{0}}\right|\mid k_{1}\mid=\mid k_{1}\mid=1, $$

于是 $ k_{1}=e^{i\theta} $ ( $ \theta $ 为任意的实常数). 因此所求映射的一般形式为

$$ w=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\frac{z-z_{0}}{1-\bar{z}_{0}z}. $$

上面所给的三个式子(6.12)、(6.13)与(6.14)是比较重要的式子，在将一些一般的区域映射为单位圆域时，常常会通过某些其他手段将它先变成上半平面，再借助(6.12)式变为单位圆域。而对于给出了附加条件的问题，

则可借助(6.13)与(6.14)来解决.

例 6.12 求一分式线性映射 $ w = f(z) $，将区域 $ \left|z\right| < 2 $ 映射为区域 $ \mathrm{Re}w > 0 $，且满足 $ f(0) = 1 $， $ \arg f'(0) = \frac{\pi}{2} $.

解 此题可借助例 6.10 来进行,我们已经知道如何将上半平面变成单位圆域,则其逆映射就将单位圆域映射为上半平面.因此,我们可以从区域 Re w>0 出发,构造映射使其变为 $ \left|z\right|<2 $,再求其逆映射便得结果.具体如下:

（1）旋转映射 $ w_{1}=we^{\frac{i\pi}{2}}=\mathrm{i}\omega $ 使右半平面变为上半平面.

(2) 映射 $ w_{2} = e^{i\theta} \frac{w_{1} - w_{0}}{w_{1} - \overline{w}_{0}} $ 使上半平面变为单位圆域（这里利用了(6.13)式）.

（3）相似映射 $ z=2w_{2} $ 使单位圆域变为圆心在原点、半径为2的圆域.

因此，将 $ \mathrm{Re} w > 0 $映射为 $ \left|z\right| < 2 $的分式线性映射为

$$ z=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\frac{\mathrm{i}w-w_{0}}{\mathrm{i}w-\bar{w}_{0}}, $$

对上式求逆，则得到将 $ \left|z\right|<2 $ 映射为 $ \mathrm{Re} w>0 $ 的分式线性映射

$$ w=\frac{\bar{w}_{0}z-2w_{0}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{\mathrm{i}z-2\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}=f(z), $$

由 $ f(0)=1 $得 $ w_{0}=i $，又由 $ f'(0)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-\theta)} $及 $ \arg f'(0)=\frac{\pi}{2} $，可得 $ \theta=-\frac{\pi}{2} $。从而所求映射为

$$ w=\frac{\mathrm{i}z-2\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}\mathrm{i}}}{\mathrm{i}z-2\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}\mathrm{i}}}=-\frac{z-2\mathrm{i}}{z+2\mathrm{i}}. $$

分式线性映射的确具有许多好的性质，但仅用分式线性映射构造共形映射显然是不够的，即使是将第一象限映射为上半平面这样简单的情况，分式线性映射也无能为力。因此下一节将介绍一些其他初等函数的映射特性，并将它们联合起来构成共形映射。

§6.4 几个初等函数构成的共形映射

§ 6.4.1 幂函数 $ w = z^n $ ( $ n \geq 2 $ 且为整数)

两个典型区域间的映射举例

函数 $ w = z^{n} $ 在复平面上解析，且当 $ z \neq 0 $ 时其导数不为零，因此在复平面上除去原点外，函数 $ w = z^{n} $ 所构成的映射是第一类保角映射，但它不一定构

成共形映射. 例如, 对 $ w = z^{4} $, 取 $ z_{1} = e^{\frac{\pi}{2}i} $, $ z_{2} = e^{\pi i} $, 则 $ z_{1}^{4} = z_{2}^{4} $, 不是双方单值的. 那么它在什么情况下构成共形映射呢? 我们来简单地分析一下.

令 $ z = re^{\mathrm{i}\theta} $，则 $ w = r^n e^{\mathrm{i}n\theta} $。即 z 的模被扩大到 n 次幂，而辐角扩大 n 倍。为方便起见，我们仅对角形域（或扇形域）进行考虑。设有角形域 $ 0 < \theta < \theta_0 $，则对此域内任意一点 z，经映射后其像点 w 的辐角 $ \varphi $ 满足 $ 0 < \varphi < n\theta_0 $，因此要使双方单值， $ \theta_0 $ 应满足 $ \theta_0 \leq \frac{2\pi}{n} $。

由此我们得到，函数 $ w = z^n $ 将角形域 $ 0 < \theta < \theta_0\left(\theta_0 \leq \frac{2\pi}{n}\right) $ 共形映射为角形域 $ 0 < \varphi < n\theta_0 $（图 6.17）。因此通俗地讲，幂函数的特点是扩大角形域。相应地，根式函数 $ w = \sqrt[n]{z} $ 作为幂函数的逆映射，则是将角形域 $ 0 < \theta < n\theta_0\left(\theta_0 \leq \frac{2\pi}{n}\right) $ 共形映射为角形域 $ 0 < \varphi < \theta_0 $。同样，我们也通常说，根式函数的特点是缩小角形域。

需要注意的是，如果是扇形域（即模有限），那么模要相应地扩大或缩小，这一点往往容易忽略。

例 6.13 设区域 $ D = \{z: |z| < 1, \text{Im } z > 0, \text{Re } z > 0\} $，求一共形映射，将 D 变为上半平面.

解 如图 6.18，首先由 $ z_{1}=z^{2} $ 将 D 变为上半单位圆域，接着由分式线性

映射 $ z_{2}=\frac{1+z_{1}}{1-z_{1}} $ 将其变为第一象限，最后由映射 $ w=z_{2}^{2} $ 将其变为上半平面. 因此所求映射为

$$ w=\left(\frac{1+z^{2}}{1-z^{2}}\right)^{2}. $$

例 6.14 求一共形映射，将角形域 $ D = \{ z: 0 < \arg z < \frac{4}{5}\pi \} $ 变为单位圆内部 $ |w| < 1 $.

解 如图 6.19, 首先由根式映射 $ z_1 = \sqrt[4]{z} $ 将区域 $ D $ 变为角形域 $ 0 < \arg z < \frac{\pi}{5} $，再由 $ z_2 = z_1^5 $ 变成上半平面，最后由 $ w = \frac{z_2 - i}{z_2 + i} $ 变为 $ |w| < 1 $。因此所求映射为

$$ w=\frac{\left(\sqrt[4]{z}\right)^{5}-\mathrm{i}}{\left(\sqrt[4]{z}\right)^{5}+\mathrm{i}}. $$

§ 6.4.2 指数函数 $ w = e^{z} $

函数 $ w=e^{z} $ 在复平面上解析且导数不为零，因此它在复平面上构成的映射是第一类保角映射。注意到指数函数是周期函数，不是双方单值的，因而不一定构成共形映射。

令 $ z = x + iy $，则 $ w = e^{x}e^{iy} $，即 z 的实部通过指数关系构成 w 的模，而 z 的虚

部是 $ w $ 的辐角。为了讨论方便，我们仅对带形域（或者半带形域）进行考虑。设有带形域 $ 0 < \mathrm{Im}z < h $，则对此区域内的任意一点 $ z $，经映射后其像点 $ w $ 的辐角满足 $ 0 < \arg w < h $，因此要使双方单值， $ h $ 应满足 $ h \leq 2\pi $。

指数函数的

映射特点补充

由此我们得到，函数 $ w = e^z $ 将带形域 $ 0 < \text{Im } z < h $ ( $ h \leq 2\pi $) 共形映射为角形域 $ 0 < \arg w < h $ (图 6.20)。因此可以简单地说，指数函数的特点是将带形域变成角形域。相应地，对数函数 $ w = \ln z $ 作为指数函数的逆映射，则是将角形域 $ 0 < \arg z < h $ ( $ h \leq 2\pi $) 变为带形域 $ 0 < \text{Im } w < h $。

这里所提到的带形域的实部是取所有实数，但若实部是在某范围内取值的话，则应注意像区域内点的模的范围。

例如，对于左半带形域 $ D = \{ z: \text{Re } z < 0, \, 0 < \text{Im } z < h \} $，则在映射 $ w = e^z $ 下的像区域为扇形域 $ G = \{ w: 0 < |w| < 1, \, 0 < \arg w < h \} $，其中 $ h \leq 2\pi $。

例 6.15 求一共形映射, 将带形域 $ D = \{ z: \frac{\pi}{2} < \mathrm{Im} \, z < \pi \} $ 映射为上半平面.

解 如图 6.21，首先由平移映射 $ z_{1}=z-\frac{\pi}{2}i $ 将带形域 D 变为带形域 0<

$ \mathrm{Im}z_{1}<\frac{\pi}{2} $，再由相似映射 $ z_{2}=2z_{1} $ 变为带形域 $ 0<\mathrm{Im}z_{2}<\pi $，最后由指数函数 $ w=e^{z_{2}} $ 变为上半平面。因此所求的映射为

$$ \begin{array}{r}{w=\mathrm{e}^{2(z-\frac{\pi}{2}\mathrm{i})}.}\end{array} $$

§6.4.3 综合举例

在以下的例子中，为使行文简洁，将尽可能略去一些细节方面的叙述。

例 6.16 求一共形映射，将 $ |z|<2 $ 与 $ |z-1|>1 $ 所构成的区域映射为上半平面.

解 如图 6.22，区域的边界为 $ C_{1} $ ： $ |z|=2 $ 与 $ C_{2} $ ： $ |z-1|=1 $ 。首先的一步（也是最重要的一步）是将 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 的公共点 z=2 映射为无穷远点，从而使 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 都映射为直线，具体如下：

（1） $ z_{1}=\frac{z}{z-2} $，使原区域成为带形域。其中可利用保角性判断出 $ C_{1} $与 $ C_{2} $被映射为与实轴垂直的两条平行线，再由-2,0与-1三点判断出映射后的区域的位置。

(2) $ z_2 = z_1 e^{\frac{\pi}{2} i} = iz_1 $ (旋转映射).

(3) $ z_{3}=2\pi z_{2} $ (相似映射).

(4) $ w = e^{z_3} $ (指数映射).

因此所求的映射为

$$ w=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\cdot\frac{z}{z-2}}. $$

求共形映射

的一般方法

与主要步骤

例 6.17 如图 6.23，区域 D 由两个圆弧围成，其中 r>1。求一共形映射将其变成单位圆内部.

解 (1) 令 $ z_{1}=k\frac{z-i}{z+i} $，再设它将 z=1 映射为 $ z_{1}=1 $，则可求得 k=i，即得 $ z_{1}=\frac{z-i}{z+i} $. 此步是最关键的一步，它包含三个方面的考虑：第一，将 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 的一个公共点 -i 映射为无穷远点，从而使 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 变为两条直线；第二，将 i 点映射为原点，使 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 变成从原点出发且夹角为 $ \frac{\pi}{6} $ 的射线；第三，将 1 映射为 1，使 $ C_{2} $ 映射为右半实轴. 这样映射后的区域很容易就确定下来.

（2）由 $ z_{2}=(z_{1})^{6} $变为上半平面.

（3）由 $ w=\frac{z_{2}-i}{z_{2}+i} $ 变为单位圆内部（见例 6.10）.

最后得到所求映射为

$$ w=\frac{\left(\mathrm{i}\frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{6}-\mathrm{i}}{\left(\mathrm{i}\frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}\right)^{6}+\mathrm{i}}. $$

例 6.18 求一共形映射，使区域 $ D = \{z: \mathrm{Im} \, z > 0, \, |z| < 1\} $ 映射为单位圆内部（图 6.24）.

解 （1）参见例 6.13，映射 $ z_{1}=\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^{2} $ 可将区域 D 变为上半平面.

(2) $ w = \frac{z_{1} - i}{z_{1} + i} $ 将上半平面变为单位圆内部.

因此所求映射为

$$ w=\frac{\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^{2}-\mathrm{i}}{\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^{2}+\mathrm{i}}. $$

例 6.19 设区域 $ D=\{z:-\frac{\pi}{2}<\operatorname{Re}z<\frac{\pi}{2},\,\operatorname{Im}z<0\} $，求一共形映射，使 D 映射为上半平面（图 6.25）.

解 （1）由旋转映射 $ z_{1}=ze^{-\frac{\pi}{2}}=-\mathrm{i}z $ 将区域 D 变为左半带形域 $ \{z_{1}:-\frac{\pi}{2}<\mathrm{Im}z_{1}<\frac{\pi}{2},\mathrm{Re}z_{1}<0\} $

（2）由 $ z_{2}=e^{z_{1}} $变为右半单位圆域.

（3）由 $ z_{3}=e^{\frac{\pi}{2}i}z_{2}=iz_{2} $ 变为上半单位圆域.

（4）由 $ w=\left(\frac{1+z_{3}}{1-z_{3}}\right)^{2} $ 变为上半平面（参见例 6.13）.

因此所求映射为

$$ \begin{align*}w=\left({1\ +\ \mathrm{i}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}\over1\ -\ \mathrm{i}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}\right)^2.\end{align*} $$

$ ^{*} $例 6.20 设区域 $ D=\{z:\mathrm{Im}z>0,|z-\frac{1}{2}|>\frac{1}{2},|z+\frac{1}{2}|>\frac{1}{2}\} $，求一共形映射，将 D 映射为上半平面.

解 如图 6.26，区域 D 的边界由 $ C_{1}, C_{2}, C_{3} $ 与 $ C_{4} $ 组成，考虑到 $ C_{1} $ 与 $ C_{4} $ 在实轴上，其延长线过原点，而 $ C_{2} $ 与 $ C_{3} $ 也过原点，因此首先使用反演映射使边界均变为直线（段）或者射线.

具体过程如下：

（1）由 $ z_{1}=\frac{1}{z} $ 使区域 D 映射为下半带形域.

(2) 由相似映射 $ z_2 = \frac{\pi}{2} z_1 $ 变为区域 $ D_1 = \{ z_2: -\frac{\pi}{2} < \mathrm{Re} \, z_2 < \frac{\pi}{2}, \, \mathrm{Im} \, z_2 < 0 \} $

（3）利用例6.19的结果，将 $ D_{1} $变为上半平面的映射为

$$ w=\left(\frac{1+\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z_{2}}}{1-\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z_{2}}}\right)^{2}. $$

因此所求映射为

$$ w=\left(\frac{1+\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\frac{\pi\mathrm{i}}{2z}}}{1-\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\frac{\pi\mathrm{i}}{2z}}}\right)^{2}. $$

本章小结

本章通过对导函数的几何特性的分析，引入共形映射的概念，并借助这一概念来进一步认识解析函数的映射特征与应用.

事实上，保形性是解析函数所特有的性质。共形映射所研究的基本问题是构造解析函数使一个区域保形地映射到另一个区域，而要解决这一问题，必须首先从正面了解一个给定的解析函数会把一个给定的区域变成什么样的区域。因此本章主要是围绕这两个问题展开，其中重点讨论由分式线性函数所构成的映射。

分式线性函数具有保形性、保对称点性以及保圆性等一些性质。而其中保圆性最具特色。当然，如果这里所说的圆只是一般意义上的半径有限的圆，则似乎还不能体现它的独到之处。它最关键的地方在于能在直线与圆之间相互转换，这就使得我们在处理那些以直线和圆弧组成边界的区域时非常方便，而这样的区域又是最常见的。因此从某种意义上也许可以这样说，分式线性映射最具魅力的特点在于它统一了直线和圆。

幂函数与根式函数、指数函数与对数函数也是在构造共形映射时非常有用的两对初等函数。前者在角形域之间进行转换，而后者在角形域与带形域之间进行转换。因此它们在使用上具有非常固定的模式。

单位圆域与上半平面是两个典型的区域，同时它们也是连接区域之间共形映射的纽带。我们在构造一般区域之间的共形映射时，常常是先将区域都向上半平面或者单位圆域映射，再求出所要的共形映射函数。

目习题六

6.1 试求映射 $ w = z^{2} $ 在 $ z_{0} $ 处的旋转角与伸缩率：

(1) $ z_{0}=1 $; (2) $ z_{0}=-\frac{1}{4} $;

(3) $ z_{0}=1+i; $ (4) $ z_{0}=-3+4i $

第六章单元

自测题

6.2 在映射 $ w = \frac{1}{z} $ 下，求下列曲线的像曲线：

(1) $ x^{2}+y^{2}=4 $; (2)y=x;

(3) x=1; (4) $ (x-1)^{2}+y^{2}=1 $.

6.3 下列函数将下列区域映射成什么区域？

(1) x>0, y>0, $ w=\frac{z-i}{z+i} $;

(2) $ \mathrm{Im}\ z>0 $, $ w=(1+\mathrm{i})z $;

(3) $ 0 < \arg z < \frac{\pi}{4} $, $ w = \frac{z}{z-1} $;

(4) $ \mathrm{Re} z > 0 $, $ 0 < \mathrm{Im} z < 1 $, $ w = \frac{\mathrm{i}}{z} $.

6.4 映射 $ w = z^2 $ 把上半单位圆域 $ |z| $ $ <1 $, $ \mathrm{Im} z > 0 $ 映射成什么区域？

6.5 求将点 $ -1, \infty $，i分别依次映射为下列各点的分式线性映射：

(1) i,1,1+i; (2) $ \infty $,i,1; (3) 0, $ \infty $,1.

6.6 求以下各区域到上半平面的共形映射：

(1) $ \left| z + \mathrm{i} \right| < 2 $, $ \mathrm{Im} z > 0 $; (2) $ \left| z + \mathrm{i} \right| > \sqrt{2} $, $ \left| z - \mathrm{i} \right| < \sqrt{2} $.

6.7 求分式线性映射 $ w = f(z) $，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件：

(1) $ f(i) = 0 $, $ f(-1) = 1 $; (2) $ f(i) = 0 $, $ \arg f'(i) = 0 $;

(3) $ f(1) = 1 $, $ f(i) = \frac{1}{\sqrt{5}} $; (4) $ f(i) = 0 $, $ \arg f'(i) = \frac{\pi}{2} $.

6.8 求将 $ \left|z\right|<1 $ 映射为 $ \left|w\right|<1 $ 的分式线性映射 $ w=f(z) $，并满足条件：

(1) $ f\left(\frac{1}{2}\right)=0 $, $ f(-1)=1 $; (2) $ f\left(\frac{1}{2}\right)=0 $, $ \arg f''\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2} $.

6.9 求将下列区域映射为上半平面的共形映射：

(1) $ |z|<2 $, Im $ z>1 $; (2) $ 0<\arg z<\frac{\pi}{2} $, $ |z|<2 $;

(3) $ a < \text{Re } z < b $; (4) $ |z| > 2 $, $ 0 < \arg z < \frac{3\pi}{2} $;

(5) $ |z|<1 $, 沿 0 到 1 有割缝.