第八章 傅里叶变换

人们在处理与分析工程实际中的一些问题时，常常采取某种手段将问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析，这就是所谓的变换。为此，变换的目的无非有两个：第一，使问题的性质更清楚，更便于分析问题；第二，使问题的求解更方便，更便于解决问题。但变换不同于化简，它必须是可逆的，即必须有与之匹配的逆变换。由于工程实际中的问题往往是复杂的，因此变换是一种常用的手法，而数学上则更是如此，直角坐标与极坐标之间是一种变换，它使我们能更灵活、更方便地处理一些问题；对数也是一种变换，它能将乘法运算化为加法运算，从而能用来求解一些复杂的代数方程。本章将要介绍的傅里叶(Fourier)变换，则是一种对连续时间函数的积分变换，即通过某种积分运算，把一个函数化为另一个函数，同时还具有对称形式的逆变换。它既能简化计算，如求解微分方程、化卷积为乘积等，又具有非常特殊的物理意义，因而在许多领域被广泛地应用。而在此基础上发展起来的离散傅里叶变换，在当今数字时代更是显得尤为重要。

§ 8.1 傅里叶变换的概念

在讨论傅里叶变换之前，我们有必要先来回顾一下傅里叶级数展开.

\$8.1.1 傅里叶级数

1804年，傅里叶首次提出“在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦 $ \underline{\text{之}} $和”，但并没有给出严格的证明.1829年，由德国数学家狄利克雷(Dirichlet)证明了下面的定理，为傅里叶级数奠定了理论基础.

定理 8.1 设 $ f_{T}(t) $ 是以 T 为周期的实值函数，且在 $ \left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right] $ 上满足狄利克雷条件（简称狄氏条件），即 $ f_{T}(t) $ 在 $ \left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right] $ 上满足

（1）连续或只有有限个第一类间断点；

（2）只有有限个极值点，

则在 $ f_{T}(t) $的连续点处有

$$ f_{T}(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}\cos n\omega_{0}t+b_{n}\sin n\omega_{0}t\right), $$

其中

$$ \omega_{0}=\frac{2\pi}{T}, $$

$$ a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f_{T}(t)\cos n\omega_{0}t\mathrm{d}t\quad(n=0,1,2,\cdots), $$

$$ b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f_{T}(t)\sin n\omega_{0}t\mathrm{d}t\quad(n=1,2,\cdots). $$

在 $ f_{T}(t) $ 的间断点处，(8.1) 式左端为 $ \frac{1}{2}[f_{T}(t+0)+f_{T}(t-0)] $.

由于正弦函数与余弦函数可以统一地由指数函数表出，因此我们可以得到另外一种更为简洁的形式。根据欧拉公式可知（其中 $ j^{①}=\sqrt{-1} $）：

$$ \cos n\omega_{0}t=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{0}t})\quad,\quad\sin n\omega_{0}t=\frac{\mathrm{j}}{2}(\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{0}t}-\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t})\quad. $$

代入（8.1）式得

$$ f_{T}(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{a_{n}-\mathrm{j}b_{n}}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}+\frac{a_{n}+\mathrm{j}b_{n}}{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{0}t}\right). $$

令

$$ c_{0}=\frac{a_{0}}{2},c_{n}=\frac{a_{n}-\mathrm{j}b_{n}}{2},c_{-n}=\frac{a_{n}+\mathrm{j}b_{n}}{2}\quad(n=1,2,\cdots), $$

可得

$$ f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}, $$

$$ c_{n}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f_{T}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{0}t}\mathrm{d}t\quad(n=0,\mathrm{~\pm1~},\mathrm{~\pm2~},\cdots). $$

这里系数 $ c_{n} $ 既可直接由(8.2)式以及函数族 $ \{\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}\} $ 的正交性得到，也可根据 $ c_{n} $ 与 $ a_{n}, b_{n} $ 的关系以及 $ a_{n}, b_{n} $ 的计算公式得到，且 $ c_{n} $ 具有唯一性.

我们称(8.1)式为傅里叶级数的三角形式，而称(8.2)式为傅里叶级数的复指数形式. 工程上一般采用后一种形式.

傅里叶级数有非常明确的物理含义. 事实上, 在(8.1)式中, 令

$$ A_{0}=\frac{a_{0}}{2},A_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}},\quad\cos\theta_{n}=\frac{a_{n}}{A_{n}},\quad\sin\theta_{n}=\frac{-b_{n}}{A_{n}}\quad(n=1,2,\cdots), $$

则(8.1)式变为

$$ \begin{aligned}f_{T}(t)&=A_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_{n}(\cos\theta_{n}\cos n\omega_{0}t-\sin\theta_{n}\sin n\omega_{0}t)\\&=A_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_{n}\cos\left(n\omega_{0}t+\theta_{n}\right).\end{aligned} $$

如果以 $ f_{T}(t) $ 代表信号，则上式说明，一个周期为 T 的信号可以分解为简谐波之和。这些谐波的（角）频率分别为一个基频 $ \omega_{0} $ 的倍数。换句话说，信号 $ f_{T}(t) $ 并不含有各种频率成分，而仅由一系列具有离散频率的谐波所构成，其中 $ A_{n} $ 反映了频率为 $ n\omega_{0} $ 的谐波在 $ f_{T}(t) $ 中所占的份额，称为振幅； $ \theta_{n} $ 则反映了频率为 $ n\omega_{0} $ 的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位。这两个指标完全刻画了信号 $ f_{T}(t) $ 的性态。

再来看看(8.2)式，由 $ c_{n} $与 $ a_{n} $及 $ b_{n} $的关系可得(图8.1)

$$ c_{0}=A_{0},\mathrm{a r g}c_{n}=-\mathrm{a r g}c_{-n}=\theta_{n}, $$

$$ |c_{n}|=|c_{-n}|=\frac{1}{2}\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}=\frac{A_{n}}{2}\quad(n=1,2,\cdots). $$

因此 $ c_{n} $ 作为一个复数，其模与辐角正好反映了信号 $ f_{T}(t) $ 中频率为 $ n\omega_{0} $ 的简谐波的振幅与相位，其中振幅 $ A_{n} $ 被平均分配到正负频率上，而

负频率的出现则完全是为了数学表示的方便，它与正频率一起构成同一个简谐波。由此可见，仅由系数 $ c_{n} $ 就可以完全刻画信号 $ f_{T}(t) $ 的频率特性。因此，称 $ c_{n} $ 为周期函数 $ f_{T}(t) $ 的离散频谱， $ \left|c_{n}\right| $ 为离散振幅谱， $ \arg c_{n} $ 为离散相位谱。为了进一步明确 $ c_{n} $ 与频率 $ n\omega_{0} $ 的对应关系，常常记 $ F(n\omega_{0})=c_{n} $。

例 8.1 求以 T 为周期的函数

$$ f_{T}(t)=\{\begin{aligned}&0,&-T/2

关于傅里叶

级数的几点

说明

傅里叶级数的物理意义

的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式.

解 令 $ \omega_{0}=2\pi/T $，当 n=0 时，

$$ c_{0}=F(0)=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f_{T}(t)dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{T/2}2dt=1; $$

当 $ n\neq0 $时，

$$ \begin{aligned}c_{_{n}}&=F(n\omega_{0})=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f_{_{T}}(t)e^{^{-j n\omega_{0}t}}d t\\&=\frac{2}{T}\int_{0}^{T/2}e^{^{-j n\omega_{0}t}}d t=\frac{j}{n\pi}(e^{^{-j n\frac{\omega_{0}T}{2}}}-1)\\&=\frac{j}{n\pi}(e^{^{-j n\pi}}-1)=\{\begin{aligned}&0,& 当 n 为偶数 \\ &-\frac{2j}{n\pi},& 当 n 为奇数 \end{aligned}.\end{aligned} $$

$ f_{T}(t) $ 的傅里叶级数的复指数形式为

$$ f_{T}(t)=1+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{-2\mathrm{j}}{(2n-1)\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{j}(2n-1)\omega_{0}t}. $$

振幅谱为

$$ \mid F(n\omega_{0})\mid=\{\begin{aligned}&1,&&n=0,\\ &0,&&n=\pm2,\pm4,\cdots,\\ &\frac{2}{\mid n\mid\pi},&&n=\pm1,\pm3,\cdots.\\ \end{aligned}. $$

相位谱为

$$ \arg F(n\omega_{0})=\{\begin{aligned}&0,&&n=0,\pm2,\pm4,\cdots,\\&\frac{-\pi}{2},&&n=1,3,5,\cdots,\\&\frac{\pi}{2},&&n=-1,-3,-5,\cdots.\end{aligned}. $$

其图形如图 8.2 所示.

§8.1.2 傅里叶积分与傅里叶变换

通过前面的讨论，我们知道了一个周期函数可以展开为傅里叶级数，那么，对非周期函数是否同样适合呢？下面先直观地分析一下。从物理意义上讲，傅里叶级数展开说明了周期为T的函数 $ f_{T}(t) $仅包含离散的频率成分，即它可由一系列以 $ \omega_{0}=\frac{2\pi}{T} $为间隔的离散频率所形成的简谐波合成（求和），因而其频谱以 $ \omega_{0} $为间隔离散取值。当T越来越大时，取值间隔 $ \omega_{0} $越来越小；当T趋向于无穷大时，周期函数变成了非周期函数，其频谱将在 $ \omega $上连续取值，即一个非周期函数将包含所有的频率成分。这样离散函数的求和就变成连续函数的积分了。

1. 傅里叶积分公式

我们按照上面的分析方式（即令 $ T \to +\infty $），由周期函数的傅里叶级数来推导非周期函数的傅里叶积分公式。这里只是形式推导，并不是严格的证明。有关严格证明可参考数学分析方面的相关教材。

将非周期函数 $ f(t) $ 看成是由周期函数 $ f_{T}(t) $ 当 $ T \to +\infty $ 时转化来的，由(8.2)式与(8.3)式有

$$ f(t)=\lim_{T\to+\infty}f_{T}(t)=\lim_{T\to+\infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f_{T}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{0}\tau}\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}. $$

将间隔 $ \omega_{0} $ 记为 $ \Delta\omega $，节点 $ n\omega_{0} $ 记为 $ \omega_{n} $，并由 $ T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{2\pi}{\Delta\omega} $，得

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\lim_{\Delta\omega\to0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\frac{\pi}{\Delta\omega}}^{\frac{\pi}{\Delta\omega}}f_{T}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{n}\tau}\mathrm{d}\tau\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{n}t}\right]\Delta\omega. $$

这是一个和式的极限，按照积分定义，在一定条件下，上式可写为

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega. $$

由此得到下面的定理.

定理 8.2(傅里叶积分定理) 如果 $ f(t) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上的任一有限区间满足狄氏条件，且在 $ (-\infty, +\infty) $ 上绝对可积（即 $ \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt < +\infty $），那么

(8.4)式成立. 在 $ f(t) $的间断点处，(8.4)式的左端应为 $ \frac{1}{2}[f(t+0)+f(t-0)] $.

称（8.4）式为傅里叶积分公式或者傅氏积分表达式.

1. 傅里叶变换

从（8.4）式出发，令

$$ F\left(\omega\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t, $$

则有

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega. $$

上面两式中的反常积分是柯西意义下的主值，在 $ f(t) $的间断点处，(8.6)式左端应为 $ \left[f(t+0)+f(t-0)\right]/2 $.

可以看出，由(8.5)式与(8.6)式定义了一个变换对，即对于任一已知函数 $ f(t) $，通过特定的积分运算，可以得到一个与之对应的函数 $ F(\omega) $，而由 $ F(\omega) $通过类似的积分运算，可以回复到 $ f(t) $。它们具有非常优美的对称形式。后面我们将会看到，它们还具有明确的物理含义和极好的数学性质。由于它们是从傅氏级数得来的，因此我们给出如下定义。

定义 8.1 称(8.5)式为傅里叶变换(简称傅氏变换),其中函数 $ F(\omega) $称为 $ f(t) $的像函数,记为 $ F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)] $;称(8.6)式为傅里叶逆变换(简称傅氏逆变换),其中函数 $ f(t) $称为 $ F(\omega) $的像原函数,记为 $ f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] $.

这样， $ f(t) $ 与 $ F(\omega) $ 构成一个傅氏变换对。与傅氏级数一样，傅氏变换也有明确的物理含义。由(8.6)式，可以说明非周期函数与周期函数一样，也是由许多不同频率的正、余弦分量合成，所不同的是，非周期函数包含了从零到无穷大的所有频率分量。而 $ F(\omega) $ 是 $ f(t) $ 中各频率分量的分布密度，因此称 $ F(\omega) $ 为频谱密度函数（简称频谱或者连续频谱），称 $ \left|F(\omega)\right| $ 为振幅谱， $ \arg F(\omega) $ 为相位谱。由于傅氏变换这种特殊的物理含义，因而在工程实际中得到广泛的应用。

例 8.2 求矩形脉冲函数 $ f(t)=\{\begin{aligned}&1,&&|t|\leq\delta,\\ &0,&&|t|>\delta\end{aligned}. $ ( $ \delta>0 $) 的傅氏变换及傅

氏积分表达式.

解由（8.5）式有

$$ \begin{align*}\mathcal{F}\left[f(t)\right]&=F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-\delta}^{\delta}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{-\mathrm{j}\omega}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\bigg|_{-\delta}^{\delta}=-\frac{1}{\mathrm{j}\omega}(\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\delta}-\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega\delta})\\&=2\frac{\sin\delta\omega}{\omega}=2\delta\frac{\sin\delta\omega}{\delta\omega}.\end{align*} $$

振幅谱为

$$ \mid F(\omega)\mid=2\delta\mid\frac{\sin\delta\omega}{\delta\omega}\mid. $$

相位谱为

$$ \arg F(\omega)=\{\begin{aligned}&0,&\frac{2n\pi}{\delta}&\leq\mid\omega\mid\leq\frac{(2n+1)\pi}{\delta},\\ &&&\pi,&\frac{(2n+1)\pi}{\delta}<\mid\omega\mid<\frac{(2n+2)\pi}{\delta},\end{aligned}. $$

$$ n=0,1,2,\cdots. $$

其图形如图8.3所示.

再根据(8.6)式(注意其中间断点的取值)可得到傅氏逆变换，即 $ f(t) $的傅氏积分表达式为

傅里叶逆变换举例——符号函数

$$ \begin{align*}f(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2\sin\delta\omega}{\omega}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2\sin\delta\omega}{\omega}\cos\omega t\mathrm{d}\omega+\frac{\mathrm{j}}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2\sin\delta\omega}{\omega}\sin\omega t\mathrm{d}\omega\\&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\delta\omega}{\omega}\cos\omega t\mathrm{d}\omega=\{\begin{aligned}&1,&&|t|<\delta,\\&1/2,&&|t|=\delta,\\&0,&&|t|>\delta.\end{aligned}.\end{align*} $$

上式中令 t=0 可得重要积分公式

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}. $$

例 8.3 已知 $ f(t) $ 的频谱为 $ F(\omega)=\{\begin{array}{ll}1, & |\omega| \leqslant \alpha \\ 0, & |\omega| > \alpha\end{array}. $ ( $ \alpha > 0 $), 求 $ f(t) $.

解

$$ \begin{align*}f(t)&=\mathcal{F}^{-1}\big[F(\omega)\big]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\alpha}^{\alpha}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega=\frac{\sin\alpha t}{\pi t}=\frac{\alpha}{\pi}\cdot\frac{\sin\alpha t}{\alpha t}.\end{align*} $$

记 $ Sa(t)=\frac{\sin t}{t} $，则 $ f(t)=\frac{\alpha}{\pi}Sa(\alpha t) $，当 t=0 时，定义 $ f(0)=\frac{\alpha}{\pi} $。信号 $ \frac{\alpha}{\pi}Sa(\alpha t) $（或者 $ Sa(t) $）称为抽样信号，由于它具有非常特殊的频谱形式，因而在连续时间信号的离散化、离散时间信号的恢复以及信号滤波中发挥了重要的作用。其图形如图8.4所示。

例 8.4 求单边指数衰减函数 $ f(t)=\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{-\alpha t},&t\geqslant0,\\ &0,&t<0\end{aligned}. $ ( $ \alpha>0 $) 的傅氏变换，并

画出频谱图.

解

$$ \begin{align*}F\big(\omega\big)&=\mathcal{F}\left[f\big(t\big)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}f\big(t\big)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\left(\alpha+\mathrm{j}\omega\right)t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\alpha+\mathrm{j}\omega}=\frac{\alpha-\mathrm{j}\omega}{\alpha^{2}+\omega^{2}}.\end{align*} $$

振幅谱为

$$ \mid F(\omega)\mid=\frac{1}{\sqrt{\alpha^{2}+\omega^{2}}}, $$

相位谱为

$$ \arg F(\omega)=-\arctan(\omega/\alpha), $$

其图形如图8.5所示.

§ 8.2 单位冲激函数（δ函数）

傅里叶级数与傅里叶变换以不同的形式反映了周期函数与非周期函数的频谱特性，是否可以借助某种手段将它们统一起来呢？更具体地说，是否能够将离散频谱以连续频谱的方式表现出来呢？这就需要引入下面将要介绍的单位冲激函数与广义傅氏变换，其中单位冲激函数本身有其实际背景。在工程实际问题中，有许多物理现象具有一种脉冲特征，它们仅在某一瞬间或者某一点出现，如瞬时冲击力、脉冲电流、质点的质量等，这些物理量都不能用通常的函数形式去描述。

例 8.5 设有长度为 $ \varepsilon $ 的均匀细杆放在 x 轴的 $ [0,\varepsilon] $ 上，其质量为 m，用 $ \rho_{\varepsilon}(x) $ 表示它的线密度，则有

$$ \rho_{\varepsilon}(x)=\{\begin{aligned}&\frac{m}{\varepsilon},&\quad0\leqslant x\leqslant\varepsilon,\\&0,&\quad 其他 .\end{aligned}. $$

单位冲激函数的引入

若有一个质量为 m 的质点放置在坐标原点，则可以认为它相当于上面的细杆取 $ \varepsilon \to 0 $ 的结果，按(8.7)式，则质点的密度函数 $ \rho(x) $ 为

$$ \rho(x)=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\rho_{\varepsilon}(x)=\{\begin{matrix}\infty&,&x=0,\\ 0&,&x\neq0.\\ \end{matrix}. $$

显然，仅用(8.8)式这种“常规”的函数表示方式，并不能反映出质点本身的质量，必须附加一个条件 $ \int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)\mathrm{d}x=m $，为此我们需要引入一个新的函数，即所谓的单位冲激函数，又称为狄拉克(Dirac)函数或者δ函数.

8.2.1 单位冲激函数的概念及其性质

依照上面的例子,我们可以简单地定义单位冲激函数 $ \delta(t) $ 是满足下面两个条件的函数:

（1）当 $ t\neq0 $时， $ \delta(t)=0 $;

(2)

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(t\right)\mathrm{d}t=1. $$

这是由狄拉克给出的一种直观的定义方式，按照此定义，则例8.5中的质点的密度函数为 $ \rho(x)=m\delta(x) $.

这里需要指出的是，上述定义方式在理论上是不严格的，它只是对 $ \delta $ 函数的某种描述。事实上， $ \delta $ 函数并不是经典意义上的函数，而是一个广义函数，因此，关于 $ \delta $ 函数的严格定义可参阅有关广义函数方面的书籍。另外， $ \delta $ 函数在现实生活中也是不存在的，它是数学抽象的结果。有时人们将 $ \delta $ 函数直观的理解为 $ \delta(t)=\lim_{\varepsilon\to0}\delta_{\varepsilon}(t) $，其中 $ \delta_{\varepsilon}(t) $ 是宽度为 $ \varepsilon $，高度为 $ 1/\varepsilon $ 的矩形冲激函数（图 8.6）。

下面我们不加证明地直接给出 $ \delta $ 函数的几个基本性质.

性质 8.1 设 $ f(t) $ 是定义在实数域 R 上的有界函数，且在 t=0 处连续，则

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)dt=f(0). $$

一般地，若 $ f(t) $ 在 $ t=t_{0} $ 点连续，则

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_{0})f(t)\mathrm{d}t=f(t_{0}). $$

此性质称为筛选性质. 其中(8.9)式给出了δ函数与其他函数的运算关

系，它也常常被人们用来定义 $ \delta $ 函数，即采用检验的方式来考察某个函数是否为 $ \delta $ 函数.

性质 8.2 $ \delta $ 函数为偶函数，即 $ \delta(t)=\delta(-t) $.

性质 8.3 设 $ u(t) $ 为单位阶跃函数，即

$$ u(t)=\{\begin{aligned}&1,&\quad&t>0,\\ &0,&\quad&t<0,\end{aligned}. $$

则有 $ \int_{-\infty}^{t}\delta(t)\mathrm{d}t=u(t),\frac{\mathrm{d}[u(t)]}{\mathrm{d}t}=\delta(t). $

在图形上，人们常常采用一个从原点出发长度为1的有向线段来表示δ函数（图8.7），其中有向线段的长度代表δ函数的积分值，称为冲激强度.图8.8(a)与图8.8(b)则分别为函数 $ A\delta(t) $与 $ \delta(t-t_{0}) $的图形表示，其中A为 $ A\delta(t) $的冲激强度.

例 8.6 给出函数 $ F(\omega) = \pi \left[ \delta\left( \omega - \omega_{0} \right) - \delta\left( \omega + \omega_{0} \right) \right] $ 的图形表示，其中 $ \omega_{0} > 0 $.

解 函数 $ F(\omega) = \pi \left[ \delta(\omega - \omega_{0}) - \delta(\omega + \omega_{0}) \right] $ 在 $ \omega_{0} $ 与 $ -\omega_{0} $ 的冲激强度分别为 $ \pi $ 和 $ -\pi $，其图形如图8.9所示.

本例显示,利用单位冲激函数可以将离散值以连续形式表达,从而可以统一地进行处理.

§ 8.2.2 δ 函数的傅里叶变换

根据 $ \delta $ 函数的定义，我们可以容易地得出 $ \delta $ 函数的傅氏变换为

$$ \mathcal{F}\left[\delta\left(t\right)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(t\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\bigg|_{t=0}=1. $$

即单位冲激函数包含各种频率分量且它们具有相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。由此得出， $ \delta(t) $ 与1构成傅氏变换对，按逆变换公式有

$$ \mathcal{F}^{-1}\left[1\right]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega=\delta\left(t\right). $$

这是一个关于 $ \delta $ 函数的重要公式.

需要注意的是，这里 $ \delta(t) $ 的傅里叶变换仍采用傅里叶变换的古典定义，但此时的反常积分是根据 $ \delta $ 函数的定义和运算性质直接给出的，而不是普通意义下的积分值，故称 $ \delta(t) $ 的傅里叶变换是一种广义的傅里叶变换。运用这一概念，可以对一些常用的函数，如常数函数、单位阶跃函数以及正、余弦函数进行傅氏变换，尽管它们并不满足绝对可积条件。下面通过几个例子给予说明。

例 8.7 分别求函数 $ f_{1}(t)=1 $ 与 $ f_{2}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t} $ 的傅氏变换.

解 由傅氏变换的定义以及（8.11）式有

$$ F_{1}(\omega)=\mathcal{F}\left[f_{1}(t)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau=2\pi\delta(\omega), $$

$$ \mathrm{F}_{2}(\omega)=\mathcal{F}\left[f_{2}(t)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\omega_{0}-\omega\right)t}\mathrm{d}t=2\pi\delta(\omega_{0}-\omega)=2\pi\delta(\omega-\omega_{0}). $$

例 8.8 证明:单位阶跃函数 $ u(t) $ 的傅氏变换为 $ \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega) $.

证 设 $ F(\omega)=\frac{1}{\mathrm{j}\omega}+\pi\delta(\omega) $, $ f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] $, 则

$$ \begin{align*}f(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{1}{\mathrm{j}\omega}+\pi\delta(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\mathrm{j}\omega}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\omega t}{\omega}\mathrm{d}\omega,\end{align*} $$

由例 8.2 知 $ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2} $，所以有

$$ f(t)=u(t)=\{\begin{aligned}&1,&&t>0,\\ &0,&&t<0.\end{aligned}. $$

例 8.9 求 $ f(t) = \cos \omega_{0} t $ 的傅氏变换.

解 由傅氏变换的定义有

$$ F\left(\omega\right)=\mathcal{F}\left[f(t)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\cos\omega_{0}t\mathrm{d}t $$

$$ \begin{aligned}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_{0}t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{0}t}\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(\omega-\omega_{0}\right)t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(\omega+\omega_{0}\right)t}\right]\mathrm{d}t\\&=\pi\left[\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)+\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)\right].\end{aligned} $$

本例显示，在广义傅氏变换意义下，周期函数也可以进行傅氏变换，其频谱仍是离散的（图8.10），这一点与傅氏级数展开是一致的。所不同的是，这里是用冲激强度来表示各频率分量的幅值的相对大小。

事实上，对周期函数而言，有下面的定理.

定理 8.3 设 $ f(t) $ 是以 T 为周期的实值函数，

且在 $ \left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right] $上满足狄氏条件，则 $ f(t) $和 $ F(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}2\pi F(n\omega_{0})\delta(\omega-n\omega_{0}) $是一对傅氏变换，其中 $ \omega_{0}=\frac{2\pi}{T} $， $ F(n\omega_{0}) $是 $ f(t) $的离散频谱.

证 按傅氏级数展开式有

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega_{0})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}, $$

因此

$$ \begin{align*}\mathcal{T}\left[f(t)\right]&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega_{0})\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}2\pi F(n\omega_{0})\delta(\omega-n\omega_{0})=F(\omega),\end{align*} $$

$$ \begin{align*}\mathcal{T}^{-1}\left[F(\omega)\right]&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega_{0})\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\omega_{0})\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\\&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega_{0})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}=f(t),\end{align*} $$

即得 $ f(t) $ 与 $ F(\omega) $ 是一对傅氏变换.

§ 8.3 傅里叶变换的性质

为了叙述方便，假定在以下性质中，所涉及的函数的傅氏变换均存在，

且对一些运算（如求导、积分、求和等）的次序交换，均不另作说明。

§ 8.3.1 基本性质

1. 线性性质

设 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] $， $ G(\omega) = \mathcal{F}[g(t)] $， $ \alpha, \beta $ 为常数，则

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}\left[\alpha f(t)+\beta g(t)\right]=\alpha F(\omega)+\beta G(\omega),\\ &\\ &\mathcal{F}^{-1}\left[\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)\right]=\alpha f(t)+\beta g(t).\\ \end{aligned} $$

本性质可直接由积分的线性性质推出.

2. 位移性质

设 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] $， $ t_0, \omega_0 $ 为实常数，则

$$ \begin{array}{r}{\mathcal{F}\left[f\left(t-t_{0}\right)\right]=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}F(\omega),}\end{array} $$

$$ \mathcal{F}^{-1}\left[F(\mathbf{\omega}-\mathbf{\omega}_{0})\mathbf{\Omega}\right]=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\mathbf{\omega}_{0}t}f(t). $$

证 由定义有

$$ \mathcal{F}\left[f(t-t_{0})\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-t_{0})\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t, $$

作变量代换 $ t_{1}=t-t_{0} $ 得

$$ \mathcal{F}\left[f\big(t-t_{0}\big)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}f\big(t_{1}\big)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{1}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}\mathrm{d}t_{1}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}\mathcal{F}\left[f\big(t\big)\right]=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_{0}}F\big(\omega\big). $$

类似可证(8.13)式.

傅氏变换的这一性质有很好的物理意义. 其中(8.12)式说明,当一个函数(或信号)沿时间轴移动后,它的各频率成分的大小不发生改变,但相位发生变化;而(8.13)式则被用来进行频谱搬移,这一技术在通信系统中得到了广泛应用.

例 8.10 已知 $ G(\omega) = \frac{1}{\beta + \mathrm{j}(\omega + \omega_0)} $ ( $ \beta > 0 $, $ \omega_0 $ 为实常数), 求 $ g(t) = \mathcal{F}^{-1}[G(\omega)] $.

解 由（8.13）式并利用例8.4的结果，有

$$ g(t)=\mathcal{F}^{-1}[G(\omega)]=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_{0}t}\cdot\mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{\beta+\mathrm{j}\omega}]=\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{-(\beta+\mathrm{j}\omega_{0})t},&\quad&t\geqslant0,\\ &0,&\quad&t<0.\end{aligned}. $$

3. 相似性质

设 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] $，a 为非零常数，则

$$ \mathcal{F}\left[f(a t)\right]=\frac{1}{\mid a\mid}F\biggl(\frac{\omega}{a}\biggr). $$

证 $ \mathcal{F}[f(at)] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(at) e^{-j\omega t} dt $，令 x = at，则有：当 a > 0 时，

$$ \mathcal{F}\left[f(a t)\right]=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\frac{\omega}{a}x}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}F\left(\frac{\omega}{a}\right) $$

当a<0时，

$$ \mathcal{F}\left[f(a t)\right]=\frac{1}{a}\int_{+\infty}^{-\infty}f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega}{a}x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{a}F\left(\frac{\omega}{a}\right). $$

综合上述两种情况，得

$$ \mathcal{F}\left[f(\mathbf{\nabla}a t)\right]=\frac{1}{\mid a\mid}F\bigg(\frac{\omega}{a}\bigg). $$

此性质的物理意义非常明显. 它说明, 若函数(或信号)被压缩 $ (a>1) $, 则其频谱被扩展; 反之, 若函数被扩展 $ (a<1) $, 则其频谱被压缩.

例 8.11 已知抽样信号 $ f(t)=\frac{\sin 2t}{\pi t} $ 的频谱为

$$ F(\omega)=\{\begin{aligned}&1,\quad&\mid\omega\mid\leqslant2,\\ &0,\quad&\mid\omega\mid>2.\end{aligned}. $$

求信号 $ g(t)=f\left(\frac{t}{2}\right) $ 的频谱 $ G(\omega) $.

解 由（8.14）式可得

$$ G(\omega)=\mathcal{F}[g(t)]=\mathcal{F}[f\Big(\frac{t}{2}\Big)]=2F\big(2\omega\big)=\{\begin{aligned}&2,&|\omega|\leqslant1,\\ &0,&|\omega|>1.\end{aligned}. $$

从图8.11中可以看出，由 $ f(t) $扩展后的信号 $ g(t) $变得平缓，频率变低，即频率范围由原来的 $ |\omega|<2 $变为 $ |\omega|<1 $。

1. 微分性质

若 $ \lim_{t\to+\infty}f(t)=0 $，则

$$ \begin{array}{r}{\mathcal{F}\left[f^{\prime}(t)\right]=\mathrm{j}\omega\mathcal{F}\left[f(t)\right],}\end{array} $$

一般地，若 $ \lim_{t\to+\infty}f^{(k)}(t)=0 $ (k=0,1,2, $ \cdots $, n-1)，则

$$ \mathcal{F}\left[f^{\left(n\right)}\left(t\right)\right]=\left(\mathrm{j}\omega\right)^{n}\mathcal{F}\left[f(t)\right]. $$

证 当 $ \left|t\right|\to+\infty $ 时， $ \left|f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\right|=\left|f(t)\right|\to0 $，可得 $ f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\to0 $。因而

傅里叶变换

的微分性质

举例

$$ \begin{align*}\mathcal{F}[f^{\prime}(t)]&=\int_{-\infty}^{+\infty}f^{\prime}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\big|_{-\infty}^{+\infty}+\mathrm{j}\omega\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t.\\&=\mathrm{j}\omega\mathcal{F}[f(t)].\end{align*} $$

同样，还能得到像函数的导数公式为

反复运用上式即得（8.16）式.

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}F\left(\omega\right)=-\mathrm{j}\mathcal{F}\left[t f(t)\right], $$

一般地，有

$$ \frac{\mathrm{d}^{n}F(\omega)}{\mathrm{d}\omega^{n}}=\left(-\mathrm{j}\right)^{n}\mathcal{F}\left[t^{n}f(t)\right]. $$

当 $ f(t) $的傅氏变换已知时，上式可用来求 $ t^{n}f(t) $的傅氏变换.

1. 积分性质

设 $ g(t) = \int_{-\infty}^{t} f(t) \, dt $，若 $ \lim_{t \to +\infty} g(t) = 0 $，则

$$ \mathcal{F}\left[~g(\mathbf{\theta}(t))~\right]~=\frac{1}{\mathrm{j}\omega}\mathcal{F}\left[~f(\mathbf{\theta}(t))\right]. $$

证 由于 $ g'(t) = f(t) $，根据(8.15)式有

$$ \mathcal{F}\left[f({t})\right]=\mathcal{F}\left[g^{\prime}({t})\right]=\operatorname{j}\omega\mathcal{F}\left[g({t})\right], $$

即 $ \mathcal{F}[g(t)] = \frac{1}{\mathrm{j}\omega} \mathcal{F}[f(t)] $.

1. 帕塞瓦尔（Parseval）等式

设 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] $，则有

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f^{2}(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left|F(\omega)\right|^{2}\mathrm{d}\omega. $$

证 由 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt $，有

$$ \overline{F(\omega)}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t. $$

所以

$$ \begin{align*}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mid F(\omega)\mid^{2}\mathrm{d}\omega&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\overline{F(\omega)}\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\omega\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\right]\mathrm{d}t\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}f^{2}(t)\mathrm{d}t.\end{align*} $$

例 8.12 求积分 $ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^{2}\omega}{\omega^{2}}\mathrm{d}\omega $ 的值.

解 由例 8.2 可知函数

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&1,\quad|t|\leqslant\delta,\\ &0,\quad|t|>\delta\end{aligned}.\quad(\delta>0) $$

所对应的像函数为 $ F(\omega)=2\delta\frac{\sin\delta\omega}{\delta\omega} $. 令 $ \delta=1 $，并由(8.17)式得

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{2\sin\omega}{\omega}\right)^{2}\mathrm{d}\omega=2\pi\int_{-1}^{1}1^{2}\mathrm{d}t=4\pi, $$

由于被积函数为偶函数，故

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^{2}\omega}{\omega^{2}}\mathrm{d}\omega=\frac{\pi}{2}. $$

\$8.3.2 卷积与卷积定理

1. 卷积

定义 8.2 设实值函数 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内有定义。若反常积分 $ \int_{-\infty}^{+\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) \, \mathrm{d}\tau $ 对任何实数 t 收敛，则它定义了一个自变量为 t 的函数，称此函数为 $ f_{1}(t) $ 与 $ f_{2}(t) $ 的卷积，记为 $ f_{1}(t) * f_{2}(t) $，即

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau. $$

根据定义，很容易知道卷积满足

$$ f_{1}(t)*f_{2}(t)=f_{2}(t)*f_{1}(t),\qquad\quad( 交换律 ) $$

$$ f_{1}(t)*\left[f_{2}(t)*f_{3}(t)\right]=\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]*f_{3}(t),\quad( 结合律 ) $$

$$ f_{1}(t)*\left[f_{2}(t)+f_{3}(t)\right]=f_{1}(t)*f_{2}(t)+f_{1}(t)*f_{3}(t).\quad( 分配律 ) $$

如何计算卷积——举例与解释

例 8.13 求下列函数的卷积：

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{-\alpha t},&t\geqslant0,\\ &0,&t<0;\end{aligned}.\quad g(t)=\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{-\beta t},&t\geqslant0,\\ &0,&t<0.\end{aligned}. $$

其中 $ \alpha>0,\beta>0 $ 且 $ \alpha\neq\beta $

解 由定义有

$$ f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau, $$

由图8.12，可得：当t<0时， $ f(t)\cdot g(t)=0 $；当 $ t\geqslant0 $时，

$$ \begin{align*}f(t)*g(t)&=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau=\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{-\alpha\tau}\mathrm{e}^{-\beta(t-\tau)}\mathrm{d}\tau\\&=\mathrm{e}^{-\beta t}\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{-(\alpha-\beta)\tau}\mathrm{d}\tau=\frac{1}{\alpha-\beta}(\mathrm{e}^{-\beta t}-\mathrm{e}^{-\alpha t}).\end{align*} $$

综合得

$$ f(t)*g(t)=\{\begin{aligned}&0,&t<0,\\&\frac{1}{\alpha-\beta}(\mathrm{e}^{-\beta t}-\mathrm{e}^{-\alpha t}),\quad&t\geqslant0.\end{aligned}. $$

例 8.14 求下列函数的卷积

$$ f(t)=t^{2}u(t),\quad g(t)=\{\begin{aligned}&1,&\quad\mid t\mid\leqslant1,\\ &0,&\quad\mid t\mid>1.\end{aligned}. $$

解 由定义有

$$ f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}g(\tau)f(t-\tau)d\tau, $$

由图8.13，可得：当t<-1时，

$$ f(t)*g(t)=0; $$

当 $ -1 \leqslant t \leqslant 1 $时，

$$ f(t)*g(t)=\int_{-1}^{t}1\cdot(t-\tau)^{2}\mathrm{d}\tau=\frac{1}{3}(t+1)^{3}; $$

利用交换律

计算卷积举例

当t>1时，

$$ f(t)*g(t)=\int_{-1}^{1}1\cdot(t-\tau)^{2}\mathrm{d}\tau=\frac{1}{3}(6t^{2}+2). $$

综合得

$$ f(t)*g(t)=\{\begin{aligned}&0,&\quad&t<-1,\\ &(t+1)^{3}/3,&\quad&-1\leqslant t\leqslant1,\\ &(6t^{2}+2)/3,&\quad&t>1.\end{aligned}. $$

通过上述例子可知，卷积由反褶、平移、相乘、积分几个部分组成。即将 $ g(\tau) $反褶平移得 $ g(t-\tau)=g(-(\tau-t)) $，再与 $ f(\tau) $相乘求积分，因此卷积又称为褶积或卷乘。若采用图解方式，则很容易确定积分限。

1. 卷积定理

定理 8.4 设 $ F_{1}(\omega) = \mathcal{F}[f_{1}(t)] $, $ F_{2}(\omega) = \mathcal{F}[f_{2}(t)] $, 则有

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]=F_{1}(\omega)*F_{2}(\omega),\\ &\\&\mathcal{F}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]=\frac{1}{2\pi}\overline{F_{1}}(\omega)*F_{2}(\omega).\\ \end{aligned} $$

证 由卷积与傅氏变换定义有

$$ \begin{aligned}\mathcal{F}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]&=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(t)*f_{2}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(\tau)\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f_{2}(t-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\tau\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f_{2}(t-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega(t-\tau)}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\tau\\&=F_{1}(\omega)\cdot F_{2}(\omega).\\ \end{aligned} $$

同理可得(8.18)式.

利用卷积定理可以简化卷积计算及某些函数的傅氏变换.

例 8.15 求下列函数的卷积

$$ f(t)=\frac{\sin\alpha t}{\pi t},\qquad g(t)=\frac{\sin\beta t}{\pi t}, $$

其中 $ \alpha>0,\beta>0 $

解 设 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] $， $ G(\omega) = \mathcal{F}[g(t)] $，由例 8.3 知

$$ F(\omega)=\{\begin{aligned}&1,&&|\omega|\leqslant\alpha,\\ &0,&&|\omega|>\alpha;\end{aligned}.\quad G(\omega)=\{\begin{aligned}&1,&&|\omega|\leqslant\beta,\\ &0,&&|\omega|>\beta.\end{aligned}. $$

因此有

$$ F(\omega)\cdot G(\omega)=\{\begin{aligned}&1,&|\omega|\leqslant\gamma,\\ &0,&|\omega|>\gamma\end{aligned}.( 其中 \gamma=\min(\alpha,\beta)), $$

由卷积定理有

$$ f(t)*g(t)=\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\cdot G(\omega)\right]=\frac{\sin\gamma t}{\pi t}. $$

例 8.16 设 $ f(t) = \mathrm{e}^{-\beta t} u(t) \cos \omega_{0} t $ ( $ \beta > 0 $)，求 $ \mathcal{F}[f(t)] $.

解由（8.18）式得

$$ \mathcal{F}\left[f({t})\right]=\frac{1}{2\pi}\mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-\beta{t}}u({t})\right]*\mathcal{F}\left[\cos\omega_{0}{t}\right]. $$

又由例 8.4 与例 8.9 可知

$$ \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-\beta t}u\left(t\right)\right]=\frac{1}{\beta+\mathrm{j}\omega}, $$

$$ \begin{array}{r}{\mathcal{F}\left[\cos\omega_{0}t\right]=\pi\left[\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)\right.+\left.\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)\right].}\end{array} $$

因此有

$$ \begin{aligned}&\mathcal{F}\left[f(t)\right]\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\pi}{\beta+\mathrm{j}\tau}\left[\delta(\omega+\omega_{0}-\tau)+\delta(\omega-\omega_{0}-\tau)\right]\mathrm{d}\tau\\ &=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\beta+\mathrm{j}(\omega+\omega_{0})}+\frac{1}{\beta+\mathrm{j}(\omega-\omega_{0})}\right]=\frac{\beta+\mathrm{j}\omega}{(\beta+\mathrm{j}\omega)^{2}+\omega_{0}^{2}}.\\ \end{aligned} $$

§8.3.3 综合举例

例 8.17 设 $ f(t) $ 是以 T 为周期的实值函数，且在 $ \left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right] $ 上满足狄利克雷条件，证明

$$ \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f^{2}(t)dt=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left|F(n\omega_{0})\right|^{2}. $$

其中, $ \omega_{0}=\frac{2\pi}{T} $， $ F(n\omega_{0}) $为 $ f(t) $的离散频谱.

证 由题意有

$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega_{0})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t},\quad F(n\omega_{0})=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega_{0}t}\mathrm{d}t. $$

由上式有

$$ \overline{{F(\textit{n}\omega_{0})}}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\textit{n}\omega_{0}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{0}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\textit{n}\omega_{0}t}\mathrm{d}t+\frac{1}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\textit{n}\omega_{0}t}\mathrm{d}t. $$

对上式中右端第一个积分作变量代换 $ t_{1}=t+T $，并利用 $ f(t) $ 与 $ \mathrm{e}^{jn\omega_{0}t} $ 的周期性有

$$ \overline{{F\left(\begin{array}{l l}n&\omega_{0}\end{array}\right)}}=\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T}f(t_{1})\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t_{1}}\mathrm{d}t_{1}+\frac{1}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}\mathrm{d}t\\ =-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_{0}t}\mathrm{d}t. $$

从而有

$$ \begin{align*}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f^{2}(t)\mathrm{d}t&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega_{0})\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega_{0}t}\mathrm{d}t\\&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega_{0})\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega_{0}t}\mathrm{d}t\\&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega_{0})\cdot\overline{F(n\omega_{0})}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left|F(n\omega_{0})\right|^{2}.\end{align*} $$

例 8.18 设 $ f(t) $ 是定义在 $ (-\infty, +\infty) $ 上的实值函数，且存在傅氏变换 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] $，证明：

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\left|F\left(\omega\right)\right|^{2}}{\left|\omega\right|}\mathrm{d}\omega=\int_{-\infty}^{0}\frac{\left|F\left(\omega\right)\right|^{2}}{\left|\omega\right|}\mathrm{d}\omega. $$

证 由 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt $，有

$$ F(-\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{j\omega t}d t=\overline{F(\omega)}. $$

因此

$$ \begin{aligned}\int_{0}^{+\infty}\frac{\left|F\left(\omega\right)\right|^{2}}{\left|\omega\right|}d\omega&=\int_{0}^{+\infty}\frac{F\left(\omega\right)\cdot\overline{F\left(\omega\right)}}{\left|\omega\right|}d\omega=\int_{0}^{+\infty}\frac{F\left(\omega\right)\cdot F\left(-\omega\right)}{\left|\omega\right|}d\omega\\ &\xlongequal{ 令 \omega_{1}=-\omega}\int_{-\infty}^{0}\frac{F\left(-\omega_{1}\right)\cdot F\left(\omega_{1}\right)}{\left|\omega_{1}\right|}d\omega_{1}=\int_{-\infty}^{0}\frac{\left|F\left(\omega\right)\right|^{2}}{\left|\omega\right|}d\omega.\end{aligned} $$

例 8.19 试证明：

$$ \frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\omega^{2}+2}{\omega^{4}+4}\cos\omega t\mathrm{d}\omega=\mathrm{e}_{*}^{-|_{t}|}\cos t. $$

证 令 $ f(t)=\mathrm{e}^{-|t|}\cos t $, $ F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)] $, 则

$$ \begin{align*}F(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\mid t\mid}\cos t\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\&=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\cos t\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t+\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^{t}\cos t\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t.\end{align*} $$

对上式第二个积分作变量代换 $ t_{1}=-t $，有

$$ \begin{align*}F\big(\omega\big)&=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\cos t\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t+\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t_{1}}\cos t_{1}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(-\omega\right)t_{1}}\mathrm{d}t_{1}\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}u\big(t\big)\cos t\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t+\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}u\big(t\big)\cos t\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t.\end{align*} $$

令 $ f_{1}(t)=\mathrm{e}^{-t}u(t)\cos t $， $ F_{1}(\omega)=\mathcal{F}[f_{1}(t)] $，则

$$ F\left(\omega\right)=F_{1}\left(\omega\right)+\overline{F_{1}\left(\omega\right)}=2\mathrm{Re}F_{1}\left(\omega\right). $$

由例 8.16 可知

$$ F_{1}(\omega)=\frac{1+\mathrm{j}\omega}{\left(1+\mathrm{j}\omega\right)^{2}+1}, $$

因此, $ F(\omega)=2Re F_{1}(\omega)=2\frac{\omega^{2}+2}{\omega^{4}+4} $.对 $ F(\omega) $求逆变换有

$$ \begin{align*}\mathcal{F}^{-1}\big[\boldsymbol{F}(\omega)\big]&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2\frac{\omega^{2}+2}{\omega^{4}+4}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega.\\&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\omega^{2}+2}{\omega^{4}+4}(\cos\omega t+\mathrm{j}\sin\omega t)\mathrm{d}\omega\\&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\omega^{2}+2}{\omega^{4}+4}\cos\omega t\mathrm{d}\omega=f(t).\end{align*} $$

即得

$$ \frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\omega^{2}+2}{\omega^{4}+4}\cos\omega t\ d\omega=e^{-\left|\tau\right|}\cos\tau. $$

例 8.20 已知 $ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}} dt = \sqrt{\pi} $，求 $ f(t) = e^{-t^{2}} $ 的傅氏变换.

解 设 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] $，则

$$ F(2\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^{2}}\mathrm{e}^{-2\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-\omega^{2}}\mathrm{e}^{-\left(t+\mathrm{j}\omega\right)^{2}}\mathrm{d}t, $$

令 $ z=t+j\omega $，得

$$ F(2\omega)=\mathrm{e}^{-\omega^{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z=\mathrm{e}^{-\omega^{2}}\lim_{\beta\to+\infty}\int_{-\beta+\mathrm{j}\omega}^{\beta+\mathrm{j}\omega}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z. $$

如图 8.14，矩形闭曲线 $ C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4} $

由于 $ e^{-z^{2}} $在z平面上解析，有

$$ \oint_{C}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z=\oint_{C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4}}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z=0. $$

其中

$$ \begin{aligned}\int_{C_{4}}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z&=\int_{0}^{\omega}\mathrm{e}^{-(\beta+\mathrm{j}y)^{2}}\mathrm{j}\mathrm{d}y\\&=\mathrm{e}^{-\beta^{2}}\int_{0}^{\omega}\mathrm{e}^{y^{2}}\mathrm{e}^{-2\mathrm{j}y\beta}\mathrm{j}\mathrm{d}y\to0\quad\left( 当 \beta\to+\infty 时 \right),\end{aligned} $$

同理 $ \int_{C_{2}}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z\rightarrow0 $（当 $ \beta\rightarrow+\infty $时）. 又由已知条件，有

$$ \int_{c_{3}}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z=\int_{-\beta}^{\beta}\mathrm{e}^{-x^{2}}\mathrm{d}x\rightarrow\sqrt{\pi}\quad(\beta\rightarrow+\infty) $$

因此

$$ \lim_{\beta\to+\infty}\int_{C_{1}}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z+\sqrt{\pi}=0. $$

即

$$ \lim_{\beta\to+\infty}\int_{\beta+\mathrm{j}\omega}^{-\beta+\mathrm{j}\omega}\mathrm{e}^{-z^{2}}\mathrm{d}z=-\sqrt{\pi}. $$

代入(8.19)式得 $ F(2\omega)=\mathrm{e}^{-\omega^{2}}\sqrt{\pi} $，故

$$ \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-t^{2}}\right]=F(\omega)=\sqrt{\pi}\mathrm{e}^{-\omega^{2}/4}. $$

本章小结

本章从周期函数的傅氏级数出发，导出非周期函数的傅氏积分公式，并由此得到傅氏变换，进而讨论了傅氏变换的一些基本性质及应用.

傅氏级数展开被称为是最辉煌、最大胆的思想。从分析角度看，它是用简单函数去逼近（或代替）复杂函数；从几何观点看，它是以一族正交函数为基向量，将函数空间进行正交分解，相应的系数即为坐标；从变换角度看，它建立了周期函数与序列之间的对应关系；

而从物理意义上看，它将信号分解为一系列简谐波的复合，从而建立了频谱理论。

傅氏变换是傅氏级数由周期函数向非周期函数的演变，它通过特定形式的积分建立了函数之间的对应关系。一方面，它仍然具有明确的物理含义；另一方面，它成为一种非常有用的数学工具。因此它既能从频谱的角度来描述函数（或信号）的特征，又能简化运算，方便问题的求解。傅里叶变换一般要求函数绝对可积，但在引入了δ函数并提出了广义傅氏积分的概念后，放宽了对函数的要求。特别是周期函数也可以进行傅氏变换，从而使傅氏级数与傅氏变换统一起来，前者成为后者的一个特例。

需要指出的是，本章所讨论的傅氏变换均是针对实值函数的。事实上，傅氏变换对于复值函数也是成立的。这时，我们可以将傅氏变换写成如下的对称形式：

$$ \overline{F(\omega)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f(t)}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t, $$

$$ f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega. $$

这种优美的数学形式，加上真实的物理含义以及极好的变换性质，使之被誉为“一首优美的数学诗”.

随着信息数字化的发展，在傅氏变换之后，又出现了用于处理离散时间函数的离散傅氏变换及有限离散傅氏变换（DFT）。特别是20世纪60年代出现的针对DFT的快速算法（FFT），使得傅氏变换在数字领域也同样发挥着巨大的作用。

目习题八

8.1 根据(8.4)式，推出函数 $ f(t) $的傅氏积分公式的三角形式：

第八章单元

自测题

$$ f(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\cos\omega(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{d}\omega. $$

8.2 试证：若 $ f(t) $ 满足傅氏积分定理的条件，则有

$$ f(t)=\int_{0}^{+\infty}A(\omega)\cos\omega t\mathrm{d}\omega+\int_{0}^{+\infty}B(\omega)\sin\omega t\mathrm{d}\omega, $$

其中

$$ A(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\cos\omega\tau\mathrm{d}\tau,\quad B(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\sin\omega\tau\mathrm{d}\tau. $$

8.3 试求 $ f(t) = \left| \sin t \right| $ 的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式.

8.4 求下列函数的傅氏变换：

(1)

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&-1,&-1

(2)

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{t},&t\leqslant0,\\ &0,&t>0;\end{aligned}. $$

(3)

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&1-t^{2},&|t|\leqslant1,\\ &0,&|t|>1;\end{aligned}. $$

(4)

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{-t}\sin2t,&t\geqslant0,\\ &0,&t<0.\end{aligned}. $$

8.5 求下列函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式.

(1) $ f(t)=\{\begin{aligned}&1,&|t|\leqslant1,\\ &0,&|t|>1,\end{aligned}. $ 证明

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\omega\cos\omega t}{\omega}\mathrm{d}\omega=\{\begin{aligned}\pi/2,\quad&|t|<1,\\ \pi/4,\quad&|t|=1,\\ 0,\quad&|t|>1;\end{aligned}. $$

(2) $ f(t)=\{\begin{aligned}&\sin t,&&|t|\leqslant\pi,\\ &0,&&|t|>\pi,\end{aligned}. $ 证明

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\omega\pi\sin\omega t}{1-\omega^{2}}\mathrm{d}\omega=\{\begin{aligned}&\frac{\pi}{2}\sin t,&&|t|\leqslant\pi,\\ &0,&&|t|>\pi.\end{aligned}. $$

8.6 求下列函数的傅氏变换：

(1) $ \mathrm{sgn} t = \{ \begin{array}{ll} -1, & t < 0, \\ 1, & t > 0; \end{array} . $

(2) $ f(t) = \cos t \sin t $;

(3) $ f(t) = \sin^{3} t $; (4) $ f(t) = \sin\left(5t + \frac{\pi}{3}\right) $.

8.7 画出单位阶跃函数 u(t) 的频谱图.

8.8 证明：若 $ \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(t)}\right]=F(\omega) $，其中 $ \varphi(t) $ 为一实函数，则

$$ \mathcal{T}\left[\cos\varphi(t)\right]=\frac{1}{2}\big[F(\omega)+\overline{{F(-\omega)}}\big], $$

$$ \mathcal{F}\left[\sin\varphi(t)\right]=\frac{1}{2\mathrm{j}}\big[F(\omega)-\overline{{F(-\omega)}}\big]. $$

8.9 设 $ F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] $，证明：

$$ \begin{array}{r l}{f(\mathrm{~\boldmath~t~}\omega)}&{=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\mathrm{~\boldmath~\mp~}t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t.}\end{array} $$

8.10 试求如图 8.15 与图 8.16 所示的周期函数的频谱.

8.11 已知 $ F(\omega)=\pi[\delta(\omega+\omega_{0})+\delta(\omega-\omega_{0})] $ 为函数 $ f(t) $ 的傅氏变换，求 $ f(t) $.

8.12 求函数

$$ f(t)=\frac{1}{2}\left[\delta(t+a)+\delta(t-a)+\delta\bigg(t+\frac{a}{2}\bigg)+\delta\bigg(t-\frac{a}{2}\bigg)\right] $$

的傅氏变换.

8.13 证明下列各式：

(1) $ f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) = f_{2}(t) \cdot f_{1}(t) $;

(2) $ a[f_1(t) * f_2(t)] = [af_1(t)] * f_2(t) $ (a 为常数);

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[f_{1}(t)*f_{2}(t)\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_{1}(t)*f_{2}(t)=f_{1}(t)*\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f_{2}(t). $$

8.14 设

$$ f_{1}(t)=\{\begin{aligned}&0,&t<0,\\ &1,&t\geqslant0;\end{aligned}.\qquad f_{2}(t)=\{\begin{aligned}&0,&t<0,\\ &\mathrm{e}^{-t},&t\geqslant0,\end{aligned}. $$

求 $ f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) $.

8.15 设 $ F_{1}(\omega) = \mathcal{F}[f_{1}(t)] $, $ F_{2}(\omega) = \mathcal{F}[f_{2}(t)] $, 证明：

$$ \mathcal{F}\left[f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)\right]=\frac{1}{2\pi}F_{1}(\omega)*F_{2}(\omega). $$

8.16 求下列函数的傅氏变换：

(1) $ f(t) = \sin \omega_0 t \cdot u(t) $; (2) $ f(t) = e^{j\omega_0 t} tu(t) $.