附录 2 拉普拉斯变换简表
原书第 220 页
附录2 拉普拉斯变换简表
| f(t) | F(s) | |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $ \frac{1}{s} $ |
| 2 | $ e^{a t} $ | $ \frac{1}{s-a} $ |
| 3 | $ t^{m} (m>-1) $ | $ \frac{\Gamma(m+1)}{s^{m+1}} $ |
| 4 | $ t^{m} e^{a t} (m>-1) $ | $ \frac{\Gamma(m+1)}{(s-a)^{m+1}} $ |
| 5 | $ \sin at $ | $ \frac{a}{s^{2}+a^{2}} $ |
| 6 | $ \cos at $ | $ \frac{s}{s^{2}+a^{2}} $ |
| 7 | $ \sinh at $ | $ \frac{a}{s^{2}-a^{2}} $ |
| 8 | $ \cosh at $ | $ \frac{s}{s^{2}-a^{2}} $ |
| 9 | $ t\sin at $ | $ \frac{2as}{(s^{2}+a^{2})^{2}} $ |
| 10 | $ t\cos at $ | $ \frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}} $ |
| 11 | $ t\sinh at $ | $ \frac{2as}{(s^{2}-a^{2})^{2}} $ |
| 12 | $ t\cosh at $ | $ \frac{s^{2}+a^{2}}{(s^{2}-a^{2})^{2}} $ |
| 13 | $ t^{m}\sin at (m>-1) $ | $ \frac{\Gamma(m+1)}{2j(s^{2}+a^{2})^{m+1}}[(s+ja)^{m+1}-(s-ja)^{m+1}] $ |
原书第 221 页
续表
| f(t) | F(s) | |
|---|---|---|
| 14 | $ t^{m} \cos at $ (m>-1) | $ \frac{\Gamma(m+1)}{2(s^{2}+a^{2})^{m+1}}[(s+ja)^{m+1}+(s-ja)^{m+1}] $ |
| 15 | $ e^{-b t} \sin at $ | $ \frac{a}{(s+b)^{2}+a^{2}} $ |
| 16 | $ e^{-b t} \cos at $ | $ \frac{s+b}{(s+b)^{2}+a^{2}} $ |
| 17 | $ e^{-b t} \sin(at+c) $ | $ \frac{(s+b) \sin c + a \cos c}{(s+b)^{2}+a^{2}} $ |
| 18 | $ \sin^{2}t $ | $ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+4}\right) $ |
| 19 | $ \cos^{2}t $ | $ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{s}+\frac{s}{s^{2}+4}\right) $ |
| 20 | $ \sin at \sin bt $ | $ \frac{2abs}{[s^{2}+(a+b)^{2}][s^{2}+(a-b)^{2}]} $ |
| 21 | $ e^{at} - e^{bt} $ | $ \frac{a-b}{(s-a)(s-b)} $ |
| 22 | $ ae^{at} - be^{bt} $ | $ \frac{(a-b)(s)}{(s-a)(s-b)} $ |
| 23 | $ \frac{1}{a} \sin at - \frac{1}{b} \sin bt $ | $ \frac{b^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})(s^{2}+b^{2})} $ |
| 24 | $ \cos at - \cos bt $ | $ \frac{(b^{2}-a^{2})(s)}{(s^{2}+a^{2})(s^{2}+b^{2})} $ |
| 25 | $ \frac{1}{a^{2}} (1-\cos at) $ | $ \frac{1}{s(s^{2}+a^{2})} $ |
| 26 | $ \frac{1}{a^{3}} (at-\sin at) $ | $ \frac{1}{s^{2}(s^{2}+a^{2})} $ |
| 27 | $ \frac{1}{a^{4}} (\cos at-1)+\frac{1}{2a^{2}} t^{2} $ | $ \frac{1}{s^{3}(s^{2}+a^{2})} $ |
原书第 222 页
| f(t) | F(s) | |
|---|---|---|
| 28 | $ \frac{1}{a^{4}}(\cosh at-1)-\frac{1}{2a^{2}}t^{2} $ | $ \frac{1}{s^{3}(s^{2}-a^{2})} $ |
| 29 | $ \frac{1}{2a^{3}}(\sin at-at\cos at) $ | $ \frac{1}{(s^{2}+a^{2})^{2}} $ |
| 30 | $ \frac{1}{2a}(\sin at+at\cos at) $ | $ \frac{s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}} $ |
| 31 | $ \frac{1}{a^{4}}(1-\cos at)-\frac{1}{2a^{3}}t\sin at $ | $ \frac{1}{s(s^{2}+a^{2})^{2}} $ |
| 32 | $ (1-at)e^{-at} $ | $ \frac{s}{(s+a)^{2}} $ |
| 33 | $ t\left(1-\frac{a}{2}t\right)e^{-at} $ | $ \frac{s}{(s+a)^{3}} $ |
| 34 | $ \frac{1}{a}(1-e^{-at}) $ | $ \frac{1}{s(s+a)} $ |
| 35 | $ \frac{1}{ab}+\frac{1}{b-a}\left(\frac{e^{-bt}}{b}-\frac{e^{-at}}{a}\right) $ | $ \frac{1}{s(s+a)(s+b)} $ |
| 36 | $ e^{-at}-e^{\frac{at}{2}}\left(\cos\frac{\sqrt{3}at}{2}-\sqrt{3}\sin\frac{\sqrt{3}at}{2}\right) $ | $ \frac{3a^{2}}{s^{3}+a^{3}} $ |
| 37 | $ \sin at\cos at-\cos at\sin at $ | $ \frac{4a^{3}}{s^{4}+4a^{4}} $ |
| 38 | $ \frac{1}{2a^{2}}\sin at\sin at $ | $ \frac{s}{s^{4}+4a^{4}} $ |
| 39 | $ \frac{1}{2a^{3}}(\sinh at-\sinat) $ | $ \frac{1}{s^{4}-a^{4}} $ |
| 40 | $ \frac{1}{2a^{2}}(\cosh at-\cos at) $ | $ \frac{s}{s^{4}-a^{4}} $ |
| 41 | $ \frac{1}{\sqrt{\pi t}} $ | $ \frac{1}{\sqrt{s}} $ |
原书第 223 页
续表
| f(t) | F(s) | |
|---|---|---|
| 42 | $ 2\sqrt{\frac{t}{\pi}} $ | $ \frac{1}{s\sqrt{s}} $ |
| 43 | $ \frac{1}{\sqrt{\pi}t}e^{a t}(1+2at) $ | $ \frac{s}{(s-a)\sqrt{s-a}} $ |
| 44 | $ \frac{1}{2\sqrt{\pi t^{3}}}(e^{b t}-e^{a t}) $ | $ \sqrt{s-a}-\sqrt{s-b} $ |
| 45 | $ \frac{1}{\sqrt{\pi}t}\cos2\sqrt{at} $ | $ \frac{1}{\sqrt{s}}e^{-\frac{a}{s}} $ |
| 46 | $ \frac{1}{\sqrt{\pi}t}\cosh2\sqrt{at} $ | $ \frac{1}{\sqrt{s}}e^{\frac{a}{s}} $ |
| 47 | $ \frac{1}{\sqrt{\pi}t}\sin2\sqrt{at} $ | $ \frac{1}{s\sqrt{s}}e^{-\frac{a}{s}} $ |
| 48 | $ \frac{1}{\sqrt{\pi}t}\sinh2\sqrt{at} $ | $ \frac{1}{s\sqrt{s}}e^{\frac{a}{s}} $ |
| 49 | $ \frac{1}{t}(e^{b t}-e^{a t}) $ | $ \ln\frac{s-a}{s-b} $ |
| 50 | $ \frac{2}{t}\sinh at $ | $ \ln\frac{s+a}{s-a}=2\mathrm{A r t a n h}\frac{a}{s} $ |
| 51 | $ \frac{2}{t}(1-\cos at) $ | $ \ln\frac{s^{2}+a^{2}}{s^{2}} $ |
| 52 | $ \frac{2}{t}(1-\cosh at) $ | $ \ln\frac{s^{2}-a^{2}}{s^{2}} $ |
| 53 | $ \frac{1}{t}\sin at $ | $ \arctan\frac{a}{s} $ |
| 54 | $ \frac{1}{t}(\cosh at-\cos bt) $ | $ \ln\sqrt{\frac{s^{2}+b^{2}}{s^{2}-a^{2}}} $ |
| 55① | $ \frac{1}{\pi t}\sin(2a\sqrt{t}) $ | $ \mathrm{erf}\left(\frac{a}{\sqrt{s}}\right) $ |
原书第 224 页
| f(t) | F(s) | |
|---|---|---|
| 56 $ ^{(1)} $ | $ \frac{1}{\sqrt{\pi t}}e^{-2a\sqrt{t}} $ | $ \frac{1}{\sqrt{s}}e^{\frac{a^{2}}{s}}erfc\left(\frac{a}{\sqrt{s}}\right) $ |
| 57 | erfc $ \left(\frac{a}{2\sqrt{t}}\right) $ | $ \frac{1}{s}e^{-a\sqrt{s}} $ |
| 58 | erf $ \left(\frac{t}{2a}\right) $ | $ \frac{1}{s}e^{\frac{a^{2}s^{2}}{s}}erfc(as) $ |
| 59 | $ \frac{1}{\sqrt{\pi t}}e^{-2\sqrt{at}} $ | $ \frac{1}{\sqrt{s}}e^{\frac{a}{s}}erfc\left(\sqrt{\frac{a}{s}}\right) $ |
| 60 | $ \frac{1}{\sqrt{\pi(t+a)}} $ | $ \frac{1}{\sqrt{s}}e^{as}erfc(\sqrt{as}) $ |
| 61 | $ \frac{1}{\sqrt{a}}erf(\sqrt{at}) $ | $ \frac{1}{s\sqrt{s+a}} $ |
| 62 | $ \frac{1}{\sqrt{a}}e^{at}erf(\sqrt{at}) $ | $ \frac{1}{\sqrt{s}(s-a)} $ |
| 63 | u(t) | $ \frac{1}{s} $ |
| 64 | tu(t) | $ \frac{1}{s^{2}} $ |
| 65 | $ t^{m}u(t) $ (m>-1) | $ \frac{1}{s^{m+1}}\Gamma(m+1) $ |
| 66 | $ \delta(t) $ | 1 |
| 67 | $ \delta^{(n)}(t) $ | $ s^{n} $ |
| 68 | sgn t | $ \frac{1}{s} $ |
| 69 $ ^{(2)} $ | $ J_{0}(at) $ | $ \frac{1}{\sqrt{s^{2}+a^{2}}} $ |
原书第 225 页
| $ f(t) $ | F(s) | |
|---|---|---|
| 70 $ ^{②} $ | $ I_{0}(at) $ | $ \frac{1}{\sqrt{s^{2}-a^{2}}} $ |
| 71 | $ J_{0}(2\sqrt{at}) $ | $ \frac{1}{s}e^{-\frac{a}{s}} $ |
| 72 | $ e^{-bt}I_{0}(at) $ | $ \frac{1}{\sqrt{(s+b)^{2}-a^{2}}} $ |
| 73 | $ tJ_{0}(at) $ | $ \frac{s}{(s^{2}+a^{2})^{3/2}} $ |
| 74 | $ tI_{0}(at) $ | $ \frac{s}{(s^{2}-a^{2})^{3/2}} $ |
| 75 | $ J_{0}(a\sqrt{t(t+2b)}) $ | $ \frac{1}{\sqrt{s^{2}+a^{2}}}e^{b(s\sqrt{s^{2}+a^{2}})} $ |
① $ \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{d}t $，称为误差函数； $ \mathrm{erf}(\xi) = 1 - \mathrm{erf}(\xi) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{d}t $，称为余误差函数.
② $ I_{n}(x) = \mathrm{j}^{-n}J_{n}(\mathrm{j}x) $. $ J_{n} $ 称为第一类 n 阶贝塞尔 (Bessel) 函数; $ I_{n} $ 称为第一类 n 阶变形的贝塞尔函数, 或称为虚变量的贝塞尔函数.