第一章 复数与复变函数

第一章 复数与复变函数

复变函数论中所研究的函数的自变量与因变量均取复数，因此，读者首先对复数域以及复变量的函数要有清晰的认识。本章论述复数的基本概念、复数的四则运算、复数的三角表示、平面点集的一般概念及其复数表示，以及复变量连续函数、复数的概念、四则运算以及三角表示在现行中学数学课本中已经涉及，但可能有的读者未曾学到，因此这里仍从头开始。由于复数全体可以同平面上的点的全体作成一一对应，所以平面点集以后经常要用到，这里仅介绍平面点集的一般概念，学习将某些简单的平面点集用含复变量的等式或不等式来表示的方法。关于复变函数，本章主要讨论连续函数的性质，许多定义与结果从形式上看与微积分中所学的颇为相似，但意义已不尽相同。希望读者在开始学习时就特别留意。

\$1.1 复数

§1.1.1 复数的基本概念

我们将形如 $ z = x + iy $ 的数称为复数，其中 i 称为虚数单位，并规定 $ i^{2} = i \cdot i = -1 $，或 $ i = \sqrt{-1} $；x 与 y 是任意实数，依次称为 z 的实部（real part）与虚部（imaginary part），分别表示为

$$ \begin{array}{l}\operatorname{Re}z=x,\quad\operatorname{Im}z=y.\end{array} $$

例如，对复数 $ z = \sqrt{2} + i $，有

$$ \mathrm{Re}\ \overline{z}=\sqrt{2}\ ,\quad\mathrm{Im}\ z=1. $$

当 y=0 时， $ z=x+iy=x+i0 $，我们就认为它是实数 x；当 x=0 时， $ z=x+iy=0+iy $，我们称它为纯虚数，并且就写作 iy。例如， $ 2+0i $ 就是实数 2； $ 0+3i $ 是纯虚数，可以写成 $ 3i $；而 $ 0+0i $ 既可看作实数 0，也可以看作纯虚数 0i。

设 $ z_{1}=x_{1}+iy_{1} $ 与 $ z_{2}=x_{2}+iy_{2} $ 是两个复数. 如果 $ x_{1}=x_{2}, y_{1}=y_{2} $，则称 $ z_{1} $ 与 $ z_{2} $ 相等. 由此得出，对于复数 $ z=x+iy, z=0 $ 当且仅当 x=y=0.

设 $ z = x + iy $ 是一个复数，称 x-iy 为 z 的共轭复数，记作 $ \bar{z} $. 易知 $ \bar{z} = z $. 共轭复数有很多用处，后文将逐步介绍.

§1.1.2 复数的四则运算

设 $ z_{1}=x_{1}+\mathrm{i}y_{1}, z_{2}=x_{2}+\mathrm{i}y_{2} $ 是两个复数. 定义复数的加法为

$$ z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+\mathrm{i}(y_{1}+y_{2}). $$

复数的减法是加法的逆运算. 若存在复数 z 使 $ z_{1}=z_{2}+z $，则 $ z=z_{1}-z_{2} $. 因此得到

$$ z_{1}-z_{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)+\mathrm{i}\left(y_{1}-y_{2}\right). $$

定义复数的乘法为

$$ z_{1}\cdot z_{2}=\left(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\right)+\mathrm{i}\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right). $$

例如，

$$ \begin{aligned}&\left(2-3\mathrm{i}\right)\left(4+5\mathrm{i}\right)\\=&\left[2\cdot4-\left(-3\right)\cdot5\right]+\mathrm{i}\left[2\cdot5+\left(-3\right)\cdot4\right]=23-2\mathrm{i}.\end{aligned} $$

由乘法定义可验证

$$ \mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=\left(0+1\cdot\mathbf{i}\right)\left(0+1\cdot\mathbf{i}\right)=-1. $$

复数的除法是乘法的逆运算. 当 $ z_{2} \neq 0 $ 时, 我们说: “ $ z_{1} $ 除以 $ z_{2} $ 得到商 z”, 意思就是

$$ z_{1}=z_{2}*z. $$

从这个式子我们来求 z. 记 $ z = x + iy $. 由于

$$ x_{1}+\mathrm{i}y_{1}=\left(x_{2}+\mathrm{i}y_{2}\right)\left(x+\mathrm{i}y\right)=\left(x_{2}x-y_{2}y\right)+\mathrm{i}\left(x_{2}y+x y_{2}\right), $$

根据两个复数相等的定义，得到

$$ x_{1}=x_{2}x-y_{2}y,\quad y_{1}=x_{2}y+x y_{2}, $$

由此解出

$$ x=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}},\quad y=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}. $$

这就是说，当 $ x_{2}+iy_{2}\neq0 $（这相当于 $ x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\neq0 $）时，

$$ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+\mathrm{i}y_{1}}{x_{2}+\mathrm{i}y_{2}}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+\mathrm{i}\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}. $$

因可直接验证

$$ z_{2}\bar{z}_{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2},z_{1}\bar{z}_{2}=\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)+\mathrm{i}\left(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\right), $$

从而(1.4)式可缩写写成 $ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}z_{2}}{z_{2}\bar{z}_{2}} $。形式上看，这个等式是很自然的，它不过是指明分式 $ z_{1}/z_{2} $的分子分母同乘 $ \bar{z}_{2}(z_{2}\neq0) $，分式值不变。这一结论可用于复数

除法的实际演算，即

$$ \frac{x_{1}+\mathrm{i}y_{1}}{x_{2}+\mathrm{i}y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+\mathrm{i}y_{1}\right)\left(x_{2}-\mathrm{i}y_{2}\right)}{\left(x_{2}+\mathrm{i}y_{2}\right)\left(x_{2}-\mathrm{i}y_{2}\right)}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+\mathrm{i}\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}. $$

例如，

$$ \frac{3-2\mathrm{i}}{2+3\mathrm{i}}=\frac{\left(3-2\mathrm{i}\right)\left(2-3\mathrm{i}\right)}{\left(2+3\mathrm{i}\right)\left(2-3\mathrm{i}\right)}=\frac{\left(6-6\right)+\mathrm{i}\left(-4-9\right)}{2^{2}+3^{2}}=-\mathrm{i}. $$

同实数的四则运算一样，复数加法满足结合律与交换律，复数乘法也满足结合律与交换律，加法与乘法满足分配律。这些读者都可自行验证（作为练习）。

最后,我们顺便介绍有关共轭复数的几个运算性质,读者很容易自己去验证(作为练习).

$$ \overline{{z_{1}\pm z_{2}}}=\bar{z}_{1}\pm\bar{z}_{2},\overline{{z_{1}\cdot z_{2}}}=\bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2},\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\frac{\bar{z}_{1}}{\bar{z}_{2}}\quad(z_{2}\neq0) $$

$$ z\bar{z}=x^{2}+y^{2}=\left(\operatorname{Re}z\right)^{2}+\left(\operatorname{Im}z\right)^{2}, $$

$$ \mathrm{R e}z=\frac{1}{2}(z+\bar{z}),\quad\mathrm{I m}z=\frac{1}{2\mathrm{i}}(z-\bar{z}). $$

例 1.1 设 $ z_{1}, z_{2} $ 是任意两个复数，求证：

$$ 2\mathrm{R e}(z_{1}\bar{z}_{2})=z_{1}\bar{z}_{2}+\bar{z}_{1}z_{2}. $$

证 利用公式 $ \mathrm{Re} z = \frac{1}{2}(z + \bar{z}) $ 可算得

$$ \begin{array}{r l r l}{{2}\mathrm{R e}\left(z_{1}\bar{z}_{2}\right)=z_{1}\bar{z}_{2}+\overline{{z_{1}}}\overline{{z_{2}}}=z_{1}\bar{z}_{2}+\bar{z}_{1}\overline{{\bar{z}}}_{2}=z_{1}\bar{z}_{2}+\bar{z}_{1}z_{2}.}\end{array} $$

学习了以上两段以后，读者可仔细体会，以加深对复数的认识。最初当给出复数概念时，我们所知道的复数是什么？复数无非是一个实数 x 同另一个实数 y 用“i”及“+”连接而写成“x+iy”这样一个形式的东西，“i”是什么，“+”是什么意思，都未加说明。后来，介绍了复数与实数的关系，复数与纯虚数的关系，又介绍了复数加法的定义。这样，我们也就可以把 x+iy 看成实数 x 同纯虚数 iy 相加。其后，又定义了复数乘法。利用复数的加法与乘法，现在已可将复数 z=x+iy 真正理解为虚数 i 乘 y，然后再加上 x 的结果（注意 x=x+0i，y=y+0i，i=0+1i）：

$$ z=\left(x+0i\right)+\left(0+1i\right)\left(y+0i\right)=x+i y. $$

历史上,当人们第一次引进-1的平方根并把它当作“数”的时候,是把它作为想像中的数,所以称为“虚数”.后来就把形如 $ x+iy $ 的数叫做复数,意思

是“复合”起来的数.

§1.1.3 复平面

一个复数 $ x+iy $ 可唯一地对应一个有序实数对 $ (x,y) $，而有序实数对与坐标平面上的点是一一对应的。所以，复数 z 全体与坐标平面上点的全体形成一一对应。现在我们直截了当地把坐标平面上的点写成 $ x+iy $（图 1.1），那么，横轴上的点就表示实数，纵轴上的点就表示纯虚数。整个坐标平面可称为复（数）平面。今后我们索性将复数与复平面上的点不加区分。这种点、数等同将给我们带来许多方便。在点、数等同的观点下，一个复数集合就是一个平面点集。因此，很自然地，某些特殊的平面点

集就可以用复数所满足的某种关系式来表示.

例如，

$$ \{z:\operatorname{Im}z\geq0\} $$

与

$$ \left\| \mathbf{z} \right\| \left\| \mathbf{0} \right\|\leqslant \operatorname{Re }z\leqslant1,0\leqslant Im z\leqslant1 $$

分别表示上半平面与以0,1,1+i,i为顶点的正方形.

§1.2 复数的三角表示

§1.2.1 复数的模与辐角

上面说过，复数与平面上的点成一一对应，这是将复数实部与虚部分别看作直角坐标系下点的横坐标与纵坐标。除此以外，复数还可以同平面向量成对应，只要将复数的实部与虚部分别看作向量的水平分量与铅垂分量就行了。所以我们也可以把复数与平面向量等同起来。不过要注意，向量具有平移不变性，即其起点可安放在任意一点。若把向量的起点放在（复平面的）坐标原点，则此向量及向量的终点在上述两种对应下恰好对应同一个复数（图1.2）。

如果 z 是一个不为 0 的复数，我们将它所对应向量 $ \overrightarrow{Oz} $ 的长度叫做 z 的模，记作 $ \left|z\right| $；将实轴正向与

复数的几何

表示

向量 $ \overrightarrow{Oz} $之间的夹角叫做z的辐角.辐角有无穷多个值,其中任意两个值相差 $ 2\pi $的整数倍.今后,我们用记号 $ \arg z $作为z的辐角的一般表示,意思是它可

以不受限制地取 $ z $ 的辐角的任意值。再用记号 $ \arg z $ 表示 $ z $ 的所有辐角中介于 $ -\pi $ 与 $ \pi $ 之间（包括 $ \pi $）的那一个角，并把它称为 $ z $ 的主辐角，即 $ -\pi < \arg z \leq \pi $（顺便指出，有的书上把 $ z $ 的所有辐角中的非负最小值作为主辐角，也用记号 $ \arg z $ 表示，这样便有 $ 0 \leq \arg z < 2\pi $）。所以

$$ \operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi, $$

k 是任意的整数 (图 1.3). 当 z=0 时, $ |z|=0 $, 这时辐角没有意义. 对于共轭复数, 我们有 $ |z|=|\bar{z}| $ 以及 $ \arg \bar{z} = -\arg z $ ( $ z \neq 0 $ 且不为负实数, 对负实数有 $ \arg \bar{z} = \arg z = \pi $). 对 z=x+iy 易验证

$$ \mid z\mid=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, $$

因此

$$ \left|z\right|^{\ 2}=x^{\ 2}+y^{\ 2}=z\bar{z}. $$

由此推出

$$ \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{\left|z\right|^{2}}. $$

对于一个不为0的复数 z=x+iy，它的实部与虚部同它的模与辐角之间有如下的关系. 一方面有

$$ x=\mid z\mid\cos\operatorname{Arg}z,\quad y=\mid z\mid\sin\operatorname{Arg}z; $$

另一方面，反过来有

$$ \left|z\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. $$

从而有明显的不等式

$$ \mid x\mid\leqslant\mid z\mid,\mid y\mid\leqslant\mid z\mid,\mid z\mid\leqslant\mid x\mid+\mid y\mid. $$

辐角的表示式稍微复杂些，要看z在哪个象限而定。对任意实数 $ \alpha $，用 $ \arctan\alpha $表示 $ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) $内其正切为 $ \alpha $的一个角，我们有（图1.4）

$$ \arg z=\{\begin{aligned}&\arctan\frac{\overline{y}}{x},&x>0,y& 为任意实数 ,\\&\frac{\pi}{2},&x=0,y>0,\\&\arctan\frac{y}{x}+\pi,&x<0,y\geqslant0,\\&\arctan\frac{y}{x}-\pi,&x<0,y<0,\\&-\frac{\pi}{2},&x=0,y<0.\end{aligned}. $$

最后，我们向读者做简短提示：由于复数可以表示平面向量。所以，有关平面向量的问题就有可能利用复变函数来研究。这样，复变函数论就逐渐被广泛地应用于理论物理、弹性力学、流体力学等学科，成为重要的数学工具。与此同时，人们也逐渐改变了对复数的看法，不再指责它是“虚无缥缈”的东西了。

§ 1.2.2 复数模的三角不等式

设 $ z_{1}=x_{1}+iy_{1} $， $ z_{2}=x_{2}+iy_{2} $，根据复数的加、减法则，有

$$ z_{1}\pm z_{2}=\left(x_{1}\pm x_{2}\right)+\mathrm{i}\left(y_{1}\pm y_{2}\right), $$

这恰好同向量的加、减法一致。因为，复平面上从点 z=0 到点 $ z=z_{1} $ 的向量对应于复数 $ z_{1} $，从点 z=0 到点 $ z=z_{2} $ 的向量对应于复数 $ z_{2} $。两个向量相加相当于它们的水平分量与铅垂分量相加，所以复数加法可以用向量相加的三角形法则在图上作出（图 1.5(a)），复数减法也可以类似地在图上作出（图 1.5(b)）。这里，向量 $ \overrightarrow{Oz_{1}} $ 减去向量 $ \overrightarrow{Oz_{2}} $ 所得的差就是从点 $ z_{2} $ 到点 $ z_{1} $ 的向量。这个向量所对应的复数是 $ z_{1}-z_{2} $，注意到这个向量的长度就是复数 $ z_{1}-z_{2} $ 的模，我们就得出一个结论：对任意两个复数 $ z_{1} $ 与 $ z_{2} $， $ |z_{1}-z_{2}| $ 就是复平面上点 $ z=z_{1} $ 与点 $ z=z_{2} $ 之间的距离。这是一个很有用的结果。例如，复平面上以 $ z_{0} $ 为中心，以 r 为半径的圆盘，就是满足不等式 $ |z-z_{0}|

$$ \mid\mid z_{1}\mid-\mid z_{2}\mid\mid\leqslant\mid z_{1}-z_{2}\mid\leqslant\mid z_{1}\mid+\mid z_{2}\mid. $$

而从图1.5(a)得到类似的不等式

$$ \mid\mid z_{1}\mid-\mid z_{2}\mid\mid\leqslant\mid z_{1}+z_{2}\mid\leqslant\mid z_{1}\mid+\mid z_{2}\mid. $$

以上两个不等式串中有一处等号成立的充分必要条件是 $ z_{1} $ 与 $ z_{2} $ 位于通过原点的同一直线上.

(1.5)式与(1.6)式可以用共轭复数的性质来证明. 我们以(1.6)式为例.

$$ \begin{aligned}\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}&=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}\right)\\&=z_{1}\bar{z}_{1}+z_{2}\bar{z}_{2}+z_{1}\bar{z}_{2}+z_{2}\bar{z}_{1}\\&=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+2\mathrm{Re}\left(z_{1}\bar{z}_{2}\right),\end{aligned} $$

又因为

$$ \left|\mathrm{R e}(z_{1}\bar{z}_{2})\right|\leqslant\left|z_{1}\bar{z}_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\left|\bar{z}_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|, $$

所以有

$$ \mid z_{1}+z_{2}\mid^{2}\leqslant\mid z_{1}\mid^{2}+\mid z_{2}\mid^{2}+2\mid z_{1}\mid\mid z_{2}\mid=(\mid z_{1}\mid+\mid z_{2}\mid)^{2}, $$

以及

$$ \mid z_{1}+z_{2}\mid^{2}\geqslant\mid z_{1}\mid^{2}+\mid z_{2}\mid^{2}-2\mid z_{1}\mid\mid z_{2}\mid=(\mid z_{1}\mid-\mid z_{2}\mid)^{2}. $$

因此(1.6)式成立. 将(1.6)式中的 $ z_{2} $ 用 $ -z_{2} $ 替代, 就得到(1.5)式.

请读者留意: 不等式(1.5)及(1.6)都是对复数的模而言的. 复数本身不能比较大小, 故不存在形如 $ z_{1} \leqslant z_{2} $ 的不等式.

§1.2.3 复数的三角表示

设 z 是一个不为 0 的复数，r 是 z 的模， $ \theta $ 是 z 的任意一个辐角，则

$$ z=r\left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right). $$

上式右端称为复数的三角表示. 反过来, 对于任意的正数 r 与实数 $ \theta, r(\cos\theta + i\sin\theta) $ 一定是某个复数 z 的三角表示. 事实上, 该复数 $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $.

特别，当 r=1 时，有 $ z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta $ 。我们引出欧拉公式：

$$ \mathrm{e}^{i\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta, $$

利用上式，就可以将 $ z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) $ 改写成

$$ z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, $$

称上式为非零复数的指数形式.

一个复数的三角表示不是唯一的，因为其中的辐角有无穷多种选择。如果有两个三角表示相等，即：

$$ r_{1}(\mathrm{c o s}\theta_{1}+\mathrm{i}\sin\theta_{1})=r_{2}(\mathrm{c o s}\theta_{2}+\mathrm{i}\sin\theta_{2}), $$

那么可推出

$$ r_{1}=r_{2},\quad\theta_{1}=\theta_{2}+2k\pi, $$

其中 k 为某个整数.

例 1.2 写出复数 $ 1+i $ 的三角表示式.

解 因为 $ \left|1+i\right|=\sqrt{2} $， $ \arg(1+i)=\frac{\pi}{4} $，所以 $ 1+i $ 的三角表示式可以写成

$$ 1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). $$

如果取 $ 1+i $ 的另一辐角，例如，取 $ 2\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{9}{4}\pi $，那么 $ 1+i $ 的三角表示式也可写成

$$ 1~+~i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{9}{4}\pi~+~i\sin\frac{9}{4}\pi\right)\;. $$

例 1.3 写出复数 -1-3i 的三角表示式.

解 先算出 $ \left|-1-3i\right|=\sqrt{10} $，以及

$$ \arg(-\ 1-3\mathrm{i})=\arctan3-\pi, $$

故所求的三角表示式可写为

$$ -1-3\mathrm{i}=\sqrt{10}\left[\cos(\arctan3-\pi)+\mathrm{i}\sin(\arctan3-\pi)\right]. $$

例 1.4 设 $ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) $. 求 $ \frac{1}{z} $ 的三角表示.

解 因为 $ \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left|z\right|^{2}} $， $ \left|z\right|=r $， $ \bar{z}=r\left(\cos\theta-i\sin\theta\right) $，故

$$ \frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta)=\frac{1}{r}\left[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\right]. $$

最后的式子即是 $ \frac{1}{z} $的三角表示.

§ 1.2.4 用复数的三角表示作乘除法

§1.2.2 段已指出复数的加、减法则与向量的加、减法则相一致，但复数的乘法与向量的标量积或向量积都不相同. 不过，利用复数的三角表示可给复数的乘法和除法以新的解释.

设 $ z_{1}=r_{1}\left(\cos\theta_{1}+\mathrm{i}\sin\theta_{1}\right) $, $ z_{2}=r_{2}\left(\cos\theta_{2}+\mathrm{i}\sin\theta_{2}\right) $，这里， $ r_{j}=\left|z_{j}\right| $， $ \theta_{j} $ 是 $ z_{j} $ 的某一个辐角 (j=1,2). 由 (1.3) 式可知

$$ \begin{aligned}z_{1}\cdot z_{2}&=r_{1}r_{2}\big[\big(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\big)+\mathrm{i}\big(\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}+\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}\big)\big]\\&=r_{1}r_{2}\big[\cos\big(\theta_{1}+\theta_{2}\big)+\mathrm{i}\sin\big(\theta_{1}+\theta_{2}\big)\big].\tag{1.7}\end{aligned} $$

分别写出模与辐角的运算法则，就是

$$ \mid z_{1}\cdot z_{2}\mid=r_{1}r_{2}=\mid z_{1}\mid\mid z_{2}\mid, $$

$$ \mathrm{A r g}\left(z_{1}\cdot z_{2}\right)=\theta_{1}+\theta_{2}+2k\pi=\mathrm{A r g}z_{1}+\mathrm{A r g}z_{2}, $$

其中 k 可取任意整数.

请注意，等式(1.9)是一个表达多值相等的式子。它的意义是：对于 $ \arg z_{1} $的任意一个取定的值与 $ \arg z_{2} $的任意一个取定的值之和，必有 $ \arg(z_{1} \cdot z_{2}) $的某一个值同它相等；反之，对于 $ \arg(z_{1} \cdot z_{2}) $的任意一个取定的值，必有 $ \arg z_{1} $与 $ \arg z_{2} $的各一值使它们的和同该取定的值相等。今后我们还会遇到这种多值相等的式子，对它们都可以作类似上面的解释。

根据(1.8)式及(1.9)式可知复数乘法有其几何意义. 这就是: 乘积 $ z_{1} \cdot z_{2} $ 所表示的向量可以从 $ z_{1} $ 所表示的向量旋转角度 $ \arg z_{2} $ 并伸长 $ \left|z_{2}\right| $ 倍获得 (图1.6(a)). 对特殊情形 iz, 其中 z 为任一复数, 由于复数 i (或 -i) 的模等于 1, 主辐角等于 $ \frac{\pi}{2}\left(\text{或}-\frac{\pi}{2}\right) $, 因此乘积 iz (或 -iz) 所表示的向量就是复数 z 所表示的向量逆时针 (或顺时针) 方向旋转一个角度 $ \frac{\pi}{2} $.

复数除法是乘法的逆运算，故当 $ z_{2}\neq0 $时有

$$ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right], $$

或者写成

$$ \left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{\mid z_{1}\mid}{\mid z_{2}\mid},\quad\operatorname{Arg}\frac{z_{1}}{z_{2}}=\operatorname{Arg}z_{1}-\operatorname{Arg}z_{2}. $$

由此，除法也有其几何意义（图1.6(b)）.

例 1.5 用三角表示计算 $ (1+\sqrt{3}i)(-\sqrt{3}-i) $.

解 因为

$$ \begin{aligned}1&+\sqrt{3}\mathrm{i}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right),\\&-\sqrt{3}-\mathrm{i}=2\left[\cos\left(-\frac{5}{6}\pi\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\frac{5}{6}\pi\right)\right],\\ \end{aligned} $$

所以

$$ \left(1+\sqrt{3}\mathrm{i}\right)\left(-\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)=4\left[\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]=-4\mathrm{i}. $$

例 1.6 用三角表示计算 $ (2+i)/(1-2i) $.

解 因为

$$ 2+i=\sqrt{5}\left(\cos\arctan\frac{1}{2}+i\sin\arctan\frac{1}{2}\right), $$

$$ 1-2\mathrm{i}=\sqrt{5}\left[\cos\arctan\left(-2\right)+\mathrm{i}\sin\arctan\left(-2\right)\right], $$

所以

$$ \begin{aligned}\frac{2+i}{1-2i}&=\cos\left[\arctan\frac{1}{2}-\arctan(-2)\right]+i\sin\left[\arctan\frac{1}{2}-\arctan(-2)\right]\\&=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.\end{aligned} $$

§1.2.5 复数的乘方与开方

设 $ z \neq 0 $ 是一复数，n 是一正整数， $ z^{n} $ 即是 n 个 z 相乘的积，故从乘法法则

立即可以推出乘方法则. 记 $ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) $，则

$$ {z}^{n}=\left[r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\right]^{n}=r^{n}(\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta). $$

公式(1.12)的一个特殊情形是 r=1，即

$$ \left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta. $$

(1.13)式称为棣莫弗(De Moivre)公式. 把此式的左端展开,再分开实部与虚部,就可以得到n倍角的正弦和余弦用单倍角的正弦和余弦来表达的公式. 我们以n=3,即以3倍角为例. 由

$$ \left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right)^{3}=\cos3\theta+\mathrm{i}\sin3\theta, $$

将左端展开得到

$$ \begin{aligned}&\cos^{3}\theta+3\mathrm{i}\cos^{2}\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^{2}\theta-\mathrm{i}\sin^{3}\theta\\ =&\cos3\theta+\mathrm{i}\sin3\theta.\\ \end{aligned} $$

分别比较等式两边的实部与虚部得到

$$ \cos3\theta=\cos^{3}\theta-3\cos\theta\sin^{2}\theta,\quad\sin3\theta=3\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta. $$

此两式就是在中学数学中学过的3倍角公式. 显然，这种方法比三角方法简便.

再考虑开方，开方是乘方的逆运算，对于任意一个复数 z 以及任意一个正整数 n，所谓 z 的 n 次方根，记作 $ z^{\frac{1}{n}} $，是指这样的复数 w，它满足

$$ w^{n}=z. $$

如果 z=0，显然有 w=0。因此，我们假定 $ z \neq 0 $。为了从上式解出 w，我们用三角表示。记

$$ z=r(\cos\theta+\mathrm{~i~}\sin\theta),\quad w=\rho(\cos\varphi+\mathrm{~i~}\sin\varphi). $$

于是有

$$ [\rho(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)]^{n}=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\;, $$

得到

$$ \rho^{^{n}}=r,\quad n\varphi=\theta+2k\pi\quad(k 为任意整数 ). $$

由此解出

$$ \rho=r^{\frac{1}{n}},\quad\varphi=\frac{1}{n}(\theta+2k\pi)\quad(k 为任意整数 ). $$

此处 $ r^{\frac{1}{n}} $ 是 r 在通常意义下（即实数意义下）的 n 次根，即算术根。故得

$$ w=r^{\frac{1}{n}}\bigg[\cos\bigg(\frac{1}{n}(\theta+2k\pi)\bigg)+\mathrm{~i~}\sin\bigg(\frac{1}{n}(\theta+2k\pi)\bigg)\bigg], $$

其中 k 可取任意整数. 我们注意到, 当 k 取连续的 n 个整数, 例如取 k=0,1,⋯, n-1 时, 得到 φ 的 n 个值, 其中 φ 的任意两个值相差不是 $ 2\pi $ 的整数倍. 因此, 由 (1.14) 式 w 实际上有 n 个不同的值. 为确定起见, 我们可写成

$$ \begin{align*}w=\mid z\mid^{\frac{1}{n}}\Biggl\{\cos\left[\frac{1}{n}(\arg z+2k\pi)\right]+\mathrm{i}\sin\left[\frac{1}{n}(\arg z+2k\pi)\right]\Biggr\},\\k=0,1,\cdots,n-1.\tag{1}\end{align*} $$

这样，任意一个不为0的复数开n次方有n个值（根）。在复平面上这n个点形成一个以原点为中心的正n边形的顶点，它们同原点的距离是 $ \left|z\right|^{\frac{1}{n}} $，其中一个点的辐角是 $ \frac{1}{n}\arg z $（图1.7）。

例1.7 用复数的三角表示计算 $ (1+\sqrt{3}i)^{3} $.

解由(1.12)式得

$$ \left(1+\sqrt{3}\mathrm{i}\right)^{3}=\left[2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)\right]^{3}=8\left(\cos\pi+\mathrm{i}\sin\pi\right)=-8. $$

例 1.8 求解方程 $ z^{3}-2=0 $.

解 方程 $ z^{3}-2=0 $ 即 $ z^{3}=2 $，用公式(1.15)计算得

$$ z=\left[2(\cos0+\mathrm{i}\sin0)\right]^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{2k\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2k\pi}{3}\right),\quad k=0,1,2. $$

所以方程 $ z^{3}=2 $有3个解，它们是

$$ \sqrt[3]{2},\quad\sqrt[3]{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right),\quad\sqrt[3]{2}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right). $$

注 在复数中，2开3次方根有3个值，它们的模都是2的3次方根中取正实数的那一个，即算术根.

§1.3 平面点集的一般概念

\$1.3.1 开集与闭集

在 §1.1 中已经说过，对于一个复数与它所对应的平面上的点我们将不加区分，因此点可以用复数表示，而复数可看作点。对于一些特殊的平面点集，我们将采用复数所满足的等式或不等式来表示。

平面上以 $ z_{0} $ 为中心， $ \delta $（任意的正数）为半径的开圆表示为

$$ \left|z-z_{0}\right|<\delta, $$

称它为 $ z_{0} $ 的邻域，而称由不等式 $ 0 < |z - z_{0}| < \delta $ 所确定的点集为 $ z_{0} $ 的去心邻域.

设 G 为一平面点集：

（1） $ z_{0} $ 为 G 中任意一点。如果存在 $ z_{0} $ 的一个邻域，该邻域内的所有点都属于 G，那么称 $ z_{0} $ 为 G 的内点。如果 G 内的每个点都是它的内点，那么称 G 为开集。

（2）平面上不属于 G 的点的全体称为 G 的余集，记作 $ [G $，开集的余集称为闭集.

（3） $ z_{0} $ 是一点，若在 $ z_{0} $ 的任一邻域内既有 G 的点又有 $ [G $ 的点，则称 $ z_{0} $ 是 G 的一个边界点；G 的边界点全体称为 G 的边界.

(4) $ z_{0}\in G $，若在 $ z_{0} $的某一邻域内除 $ z_{0} $外不含G的点，则称 $ z_{0} $是G的一个孤立点。G的孤立点一定是G的边界点。

（5）如果存在一个以点 z=0 为中心的圆盘包含 G，称 G 为有界集，否则称 G 为无界集.

例 1.9 $ G = \{z : |z| < R\} $ 是一开集。因为对于任意的 $ z_0 \in G, z_0 $ 的邻域 $ \{z : |z - z_0| < R - |z_0|\} $ 在 $ G $ 中。

例 1.10 $ G = \{z : |z| \geq R\} $ 是闭集. 因为它的余集 $ \complement G = \{z : |z| < R\} $ 是开集.

例 1.11 $ G = \{z : |z| < R\} $，圆周 $ |z| = R $ 的每一点均为 G 的边界点，且 G 没有别的边界点。因此 $ |z| = R $ 是 G 的边界。

§1.3.2 区域

复变函数的严密理论是建立在平面点集的理论基础上的。正像单变量实函数理论建立在直线点集理论基础上一样。同实变量一样，每一个复变量都有自己的变化范围。在今后的讨论中，变化范围主要是指区域。

平面点集 D 称为一个区域，如果它满足

下列两个条件：

(1) D 是一个开集；

(2) D 是连通的, 就是说 D 中任何两点都可以用完全属于 D 的一条折线连接起来 (图 1.8).

换言之，区域就是连通开集。

区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域，记作 $ \overline{D} $.

注 区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是区域又是闭区域这一特例外，区域与闭区域是两种不同的点集，闭区域并非区域。

例 1.12 试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域：

(1) $ z + \bar{z} > 0 $; (2) $ \left| z + 2 - i \right| \geq 1 $; (3) $ 0 < \arg z < \frac{\pi}{3} $.

解（1）记 $ z = x + iy $，则 $ z + \bar{z} = 2x $。 $ z + \bar{z} > 0 $ 即是 x > 0，它表示右半平面（图 1.9）。这是一个区域。

（2）写 $ z + 2 - \mathrm{i} = z - (-2 + \mathrm{i}) $，则 $ \left| z + 2 - \mathrm{i} \right| \geqslant 1 $ 即 $ \left| z - (-2 + \mathrm{i}) \right| \geqslant 1 $，它表示以 $ -2 + \mathrm{i} $ 为中心，以 1 为半径的圆周连同其外部区域（图1.10）。它是一个闭区域。

(3) 这是介于两射线 $ \arg z = 0 $ 及 $ \arg z = \frac{\pi}{3} $ 之间的一个角形区域 (图 1.11).

§1.3.3 平面曲线

在微积分课程中已经知道，平面曲线可以用一对连续函数

$$ x=x(t),y=y(t)\quad(a\leqslant t\leqslant b) $$

来表示(称为曲线的参数方程表示). 我们现在用实变量的复值函数 $ z(t) $来表示, 即

$$ z\left(t\right)=x\left(t\right)+\mathrm{i}y\left(t\right)\quad\left(a\leqslant t\leqslant b\right). $$

例如，以坐标原点为中心，以a为半径的圆周，其参数方程可表示为

$$ x=a\cos t,y=a\sin t\quad\left(0\leqslant t\leqslant2\pi\right), $$

写成复数的形式即为

$$ z=a\left(\cos t+\mathrm{i}\sin t\right)\quad(0\leqslant t\leqslant2\pi). $$

又如，平面上连接点 $ (x_{1},y_{1}) $与 $ (x_{2},y_{2}) $的直线段，其参数方程可表示为

$$ x=x_{1}+\left(x_{2}-x_{1}\right)t,\quad y=y_{1}+\left(y_{2}-y_{1}\right)t\quad\left(0\leqslant t\leqslant1\right). $$

从复平面上看，这就是连接点 $ z_{1}=x_{1}+iy_{1} $ 与点 $ z_{2}=x_{2}+iy_{2} $ 的直线段。故其复数形式的参数方程可表示为

$$ z=z_{1}+\left(z_{2}-z_{1}\right)t\quad\left(0\leqslant t\leqslant1\right). $$

除了参数表示以外，通常我们还用动点 z 所满足的关系式来表示曲线。例如，把以 z=0 为中心，以 a 为半径的圆周，表示成为 $ \left| z \right| = a $；平行于虚轴且通过点 z=1 的直线，从 1-i 到 1+i 的一段可表示成 $ \mathrm{Re} z = 1 (-1 \leq \mathrm{Im} z \leq 1) $ 等。

如果在区间 $ a \leq t \leq b $ 上， $ x'(t) $ 和 $ y'(t) $ 都是连续的，且对于 t 的每一个值，有

$$ \left[x^{\prime}(t)\right]^{2}+\left[y^{\prime}(t)\right]^{2}\neq0, $$

那么这曲线称为光滑的，由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.

设 $ C: z = z(t) (a \leq t \leq b) $ 为一条连续曲线, $ z(a) $ 与 $ z(b) $ 分别称为 C 的起点与终点, 对于满足 $ a < t_1 < b $, $ a \leq t_2 \leq b $ 的 $ t_1 $ 与 $ t_2 $, 当 $ t_1 \neq t_2 $ 而有 $ z(t_1) = z(t_2) $ 时, 点 $ z(t_1) $ 称为曲线 C 的重点. 没有重点的连续曲线 C 称为简单曲线或若尔当 (Jordan) 曲线. 如果简单曲线 C 的起点与终点重合, 即 $ z(a) = z(b) $, 那么曲线 C 称为简单闭曲线 (图 1.12(a)). 由此可知, 简单曲线自身不会相交. 图 1.12(c) 与 1.12(d) 都不是简单曲线.

简单、闭

简单、不闭

不简单、闭

不简单、不闭

若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域. 它们都以该曲线为边界, 其中一个为有界区域, 称为该简单闭曲线的内部; 另一个为无界区域, 称为外部.

根据简单闭曲线的这个性质，我们可以区别区域的连通状况。

设 D 是一区域. 如果对 D 内的任一简单闭曲线, 曲线的内部总属于 D, 则称 D 是单连通区域, 不是单连通区域的区域称为多(复)连通区域.

一条简单闭曲线的内部是单连通区域(图1.13(a)). 单连通区域D具

有这样的特征:属于 D 的任何一条简单闭曲线,在 D 内可以经过连续的变形而缩成一点,而多连通区域就不具有这个特征(图 1.13(b)).

无穷远点

§ 1.4 无穷大与复球面

§1.4.1 无穷远点

为了使复数系统在许多场合是方便的，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的“复数”——无穷大，记为 $ \infty $，它是由下式

$$ \infty=\frac{1}{0} $$

来定义的. 它和有限数的四则运算定义如下:

$$ \begin{array}{l}a+\infty=\infty+a=\infty\end{array} $$

$$ (a\neq\infty), $$

（减法） $ \infty - a = \infty $， $ a - \infty = \infty $ $ (a \neq \infty) $，

（乘法） $ a \cdot \infty = \infty \cdot a = \infty $

$$ (a\neq0), $$

（除法）

$$ \frac{a}{\infty}=0,\frac{\infty}{a}=\infty $$

$$ (a\neq\infty). $$

在这种定义下，一向不能以0为除数的除法，现在可能了。但要注意，

$$ \infty\pm\infty,\quad0\cdot\infty,\quad\infty\cdot0,\quad\frac{\infty}{\infty},\quad\frac{0}{0} $$

都无意义.

对于复数 $ \infty $而言，其模规定为 $ +\infty $，而实部、虚部和辐角均没有意义。对于其他的每一个复数z，都有 $ |z|<+\infty $，相比较而言称z为有限复数。

在复平面上没有一点与 $ \infty $相对应，但我们可设想复平面上有一理想点与它对应，此点称为无穷远点。复平面加上无穷远点称为扩充复平面。扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点。

注 包括无穷远点自身在内且满足 $ |z|>M $ 的所有点的集合，其中实数

M>0，称为无穷远点的邻域。换言之，无穷远点的邻域是包括无穷远点自身在内的圆周 $ |z|=M $ 的外部。不包括无穷远点自身在内，仅满足 $ |z|>M $ 的所有点的集合，称为无穷远点的去心邻域，它可表示为 $ M<|z|<+\infty $。

§1.4.2 复球面

我们知道，把复数表示成复平面上的点或向量，都是由于实际需要而采取的表示方法（正如数学是从实践中产生）。由于实际需要还可以用其他方法表示复数，例如，在地图制图学中考虑到球面与平面上点的对应关系，即把地球投影到平面上进行研究。这种方法叫做测地投影法。我们利用这种方法，建立全体复数与球面上的点之间的一一对应关系，于是用球面上的点来表示复数，进而确立了 $ \infty $的几何意义。

取一个在原点 O 与平面相切的球面（图 1.14），并通过点 O（南极 S）作一垂直于平面的直线与球面交于 N 点（北极），我们称 N 点为极点，分别用直线段将点 N 与球面上的点 Z 相连，其延长线交平面于一点 z，这就建立起球面上的点（不包括 N 点）与平面上的点（有限点）之间的一一对应关系，点 z 是点 Z 在平面上的投影，点 Z 可以看作是复数 z 的球面图形，这球面就叫作复数球面。现在研究平面上与极点 N 相对应的点。对于平面上一个以原点 O 为中心的圆周 C，在球面上相应的图形也是一个圆周 $ \Gamma $（所谓纬线）。当圆周 C 的半径越来越大时，圆周 $ \Gamma $ 便越来越趋近于极点 N。因此，点 N 可看作是平面上无穷远点在球面上的图形。这样，球面上的点与扩充复平面上的点之间就完全一一对应了。

以前，我们曾设想复平面上有一个“理想点”与 $ \infty $相对应，现在可以形象地把这个点表示出来。因此“理想点”的设想是合理的，是有其客观依据的。

应该注意：在实变量的情况下，+ $ \infty $ 与 - $ \infty $ 是有区别的，它们分别是表示

“点列”无穷增大与无穷减小的记号. 而在复变量的情形下, $ \infty $是没有符号的!

§1.5 复变函数

\$1.5.1 复变函数的概念

设 D 是复平面上一点集。如果对于 D 中任意的一点 z，有确定的（一个或多个）复数 w 同它对应，则称在 D 上定义了一个复变函数，记作 $ w = f(z) $（定义域与值域等名称都可从微积分中移植过来，不再一一叙述）。如果对每个 $ z \in D $，有唯一的 w 同它对应，则称 $ w = f(z) $ 为单值函数，不是单值函数的函数称为多值函数。在一般情形，我们提到的“函数”都是指单值函数，若 D 是实轴上的一个闭区间，则 $ w = f(z) $ 就是实变量的复值函数。曲线的参数方程 $ z = z(t) (a \leq t \leq b) $ 就是这种函数的一个例子。

设 $ z = x + iy $，则 $ w = f(z) $ 可以写成下列形式：

$$ w=f(z)=u+\mathrm{i}v=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y), $$

其中 $ u(x,y) $ 与 $ v(x,y) $ 为实值函数. 分开上式的实部与虚部，得到

$$ u=u\left(x,y\right),\quad v=v\left(x,y\right). $$

这样，一个复变函数 $ w = f(z) $ 就相当于一对二元实变函数. $ w = f(z) $ 的性质就取决于 $ u = u(x, y) $ 与 $ v = v(x, y) $ 的性质.

例 1.13 将定义在全平面上的复变函数 $ w = z^{2} + 1 $ 化为一对二元实变函数.

解 记 $ z = x + iy $, $ w = u + iv $, 代入 $ w = z^{2} + 1 $ 得

$$ u+\mathrm{i}v=\left(x+\mathrm{i}y\right)^{2}+1=x^{2}-y^{2}+1+2\mathrm{i}x y. $$

分开实部与虚部即得

$$ u=x^{2}-y^{2}+1,\quad v=2xy. $$

例 1.14 将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实变函数

$$ u=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},\quad v=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\quad(x^{2}+y^{2}\neq0) $$

化为一个复变函数.

解 记 $ x + iy = z $, $ u + iv = w $, 则

$$ w=u+\mathrm{i}v=\frac{2x+\mathrm{i}y}{x^{2}+y^{2}}, $$

将 $ x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) $， $ y=\frac{1}{2\mathrm{i}}(z-\bar{z}) $ 以及 $ x^{2}+y^{2}=z\bar{z} $ 代入上式，经整理后得

$$ w=\frac{3}{2\bar{z}}+\frac{1}{2z}\quad\left(z\neq0\right). $$

一个复变函数也可看作一个映射（或变换）。设 $ f(z) $的定义域为 $ D, f(z) $的值的集合（即值域）为 $ G $，则 $ f(z) $将点集 $ D $的点映射为点集 $ G $的点。设 $ f(z) $将 $ D $中的点 $ z $映射为 $ G $中的点 $ w $，点集 $ D $映射为点集 $ G $，则称点 $ w $为点 $ z $的像，点 $ z $为点 $ w $的原像。同样称 $ G $为 $ D $的像， $ D $为 $ G $的原像。因 $ x, y, u $和 $ v $均为变量，为避免采用四维空间的困难，我们用两个平面，一个是 $ z $平面，将 $ D $的点描在 $ z $平面上；另一个是 $ w $平面，将其像描在 $ w $平面上（图1.15(a)）。例如，函数 $ w = z^2 $，将点 $ z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i $映射为点 $ w = \frac{1}{2}i $；将区域 $ D: \text{Im } z > 0, \text{Re } z > 0, |z| < 1 $映射为 $ w $平面上的区域 $ G: \text{Im } w > 0, |w| < 1 $（图1.15(b)）。

§ 1.5.2 复变函数的极限与连续性

定义 1.1 设函数 $ w = f(z) $ 在 $ z_0 $ 的去心邻域 $ 0 < |z - z_0| < \rho $ 内有定义。若有确定的复数 $ A (A \neq \infty) $ 存在，对于任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，总存在一个正数 $ \delta $，使得对满足 $ 0 < |z - z_0| < \delta $ ( $ 0 < \delta \leq \rho $) 的一切 $ z $，都有 $ |f(z) - A| < \varepsilon $，则称 $ A $ 为函数 $ f(z) $ 当 $ z $ 趋于 $ z_0 $ 时的极限。记作 $ \lim f(z) = A $ 或 $ f(z) \to A $（当 $ z \to z_0 $）。

这个定义的几何意义是：当变点 z 在 $ z_{0} $ 的一个充分小的 $ \delta $ 邻域时，它们的像点就在 A 的一个给定的 $ \varepsilon $ 邻域.

由于 $ z_{0} $ 是复平面上的点，因此 z 可以任意方式趋于 $ z_{0} $，但不论怎样趋近， $ f(z) $ 的值总是趋于 A.

这个定义形式上与微积分中的一元实函数的情况相同，因此，复变函数极限有类似于实函数极限的性质。例如，当

$$ \lim_{z\to z_{0}}f(z)=A,\quad\lim_{z\to z_{0}}(z)=B $$

复变函数的

映射

时有

$$ \lim_{z\to z_{0}}\left[f(z)\right.\left.\pm g(z)\right]=A\pm B,\quad\lim_{z\to z_{0}}f(z)g(z)=AB, $$

$$ \lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B}\quad(B\neq0). $$

复变函数极限的计算，可归结为实数对极限的计算，具体来说，有下面的定理：

定理 1.1 设函数 $ f(z) = u(x, y) + \mathrm{i}v(x, y) $， $ A = u_0 + \mathrm{i}v_0 $， $ z_0 = x_0 + \mathrm{i}y_0 $，则 $ \lim_{z \to z_0} f(z) = A $ 的充要条件是

$$ \lim_{x\to x_{0}}u(x,y)=u_{0},\quad\lim_{x\to x_{0}}v(x,y)=v_{0}. $$

证 必要性. 若 $ \lim_{z\to\infty}f(z)=A $, 根据极限定义, 当

$$ 0<\left|z-z_{0}\right|=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta $$

时，则有

$$ \mid f(z)-A\mid=\mid(u+\mathrm{i}v)-(u_{0}+\mathrm{i}v_{0})\mid=\sqrt{(u-u_{0})^{2}+(v-v_{0})^{2}}<\varepsilon. $$

于是显见，当 $ 0 < \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}} < \delta $ 时，则有

$$ \left|u-u_{0}\right|<\varepsilon,\quad\left|v-v_{0}\right|<\varepsilon, $$

即

$$ \lim_{x\to x_{0}}\allowbreak(x,y)=u_{0},\allowbreak\allowbreak\lim_{\allowbreak x\to x_{0}}\allowbreak(x,y)=v_{0}. $$

充分性. 当上面两式成立, 即当 $ 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta $ 时, 就有 $ \left| u - u_0 \right| < \frac{\varepsilon}{2} $, $ \left| v - v_0 \right| < \frac{\varepsilon}{2} $. 于是便有当 $ 0 < \left| z - z_0 \right| < \delta $ 时,

$ |f(z) - A| = |(u - u_0) + \mathrm{i}(v - v_0)| \leqslant |u - u_0| + |v - v_0| < \varepsilon $，即 $ \lim_{z \to z_0} f(z) = A $。

关于含 $ \infty $的极限可作如下定义：

$$ \lim_{t\to0}f\Big(\frac{1}{t}\Big)=a\Longleftrightarrow\lim_{z\to\infty}f(z)=a\quad(a 为有限复数 )； $$

$$ \lim_{z\to z_{0}}\frac{1}{f(z)}=0\Longleftrightarrow\lim_{z\to z_{0}}f(z)=\infty; $$

$$ \lim_{t\to0}\frac{1}{f\left(\frac{1}{t}\right)}=0\Longleftrightarrow\lim_{z\to\infty}f(z)=\infty. $$

定义 1.2 如果 $ \lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) $成立，则称 $ f(z) $在 $ z_0 $处连续。如果 $ f(z) $在区域D中每一点连续，则称 $ f(z) $在D内连续。

例 1.15 问函数 $ f(z)=\frac{\bar{z}}{z} $ 在 z=0 有无极限？

解 $ f(z) $ 的定义域是全平面除去 z=0 的区域. 当 $ z\neq0 $ 时, 设 $ z=r(\cos\theta+\sin\theta) $, 则

$$ f(z)=\cos(-2\theta)+\mathrm{i}\sin(-2\theta). $$

考虑从 z=0 出发方向角为 $ \theta_{0} $ 的射线 $ l_{\theta_{0}} $，我们有

$$ \lim\limits_{z\to0\atop z\in\mathcal{I}_{\theta_{0}}}f(z)=\cos(-\ 2\theta_{0}\ )+\mathrm{i}\ \sin(-\ 2\theta_{0}). $$

显然，对于不同的 $ \theta_0 $，上述极限不相同。所以在 $ z=0, f(z) $ 不存在极限。

例 1.16 求证： $ f(z) = \arg z (z \neq 0) $ 在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续。

证 设 $ z_0 $ 为全平面除去原点和负实轴的

区域上任意一点。考虑充分小的正数 $ \varepsilon $，使角形

区域 $ \arg z_0 - \varepsilon < \theta < \arg z_0 + \varepsilon $ 与负实轴不相交

（图 1.16），从图上立即可以看出，以 $ z_0 $ 为中心，

$ z_0 $ 到射线 $ \theta = \arg z_0 \pm \varepsilon $ 的距离为半径所作的圆

盘，一定落在上述角形区域内，这就是说，只要

取 $ \delta $ 满足 $ 0 < \delta \leq |z_0| \sin \varepsilon $，那么当 $ |z - z_0| < \delta $

时，就有 $ |\arg z - \arg z_0| < \varepsilon $。因此 $ \arg z $ 在 $ z_0 $ 为连

续，再由 $ \frac{f(x)}{\sqrt{x}} = \frac{f'(x)}{x^2} $，在所求区间

再由 $ z_{0} $ 的任意性，知 $ f(z)=\arg z $ 在所述区域内为连续.

设 $ x_{1} $ 是负实轴上任意一点，则

$$ \lim_{\substack{z\to x_{1}\\ Im z\geq0}}arg z=\pi\quad 及 \quad\lim_{\substack{z\to x_{1}\\ Im z<0}}arg z=-\pi. $$

故 $ \arg z $ 在负实轴上为不连续.

由定义 1.2 与定理 1.1 知

定理 1.2 函数 $ f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y) $ 在 $ z_{0}=x_{0}+\mathrm{i}y_{0} $ 处连续的充要条件是 $ u(x,y) $ 与 $ v(x,y) $ 在 $ (x_{0},y_{0}) $ 处连续.

上面引进的复变函数极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同，因此微积分中证明的关于连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合函数仍连续的定理依然成立. 由此可知幂函数 $ w = z^{n} $ (n为正整数) 与更一般的多项式

$$ P(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n} $$

是复平面上的连续函数，而有理函数

$$ R\left(z\right)=\frac{a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n}}{b_{0}z^{m}+b_{1}z^{m-1}+\cdots+b_{m}} $$

除分母为0的点外在复平面上也处处连续.

同二元实函数一样，在有界闭区域上的复连续函数，具有下列几个性质：

1. 有界闭区域 $ \bar{D} $ 上的连续函数 $ f(z) $ 是有界的.

1. 有界闭区域 $ \bar{D} $ 上的连续函数 $ f(z) $，在 $ \bar{D} $ 上其模 $ \left|f(z)\right| $ 至少取得最大值与最小值各一次.

1. 有界闭区域 $ \bar{D} $ 上的连续函数 $ f(z) $ 在 $ \bar{D} $ 上是一致连续的，即对任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ \delta > 0 $，对任何满足 $ |z - z'| < \delta $ 的 $ z, z' \in \bar{D} $ 有 $ |f(z) - f(z')| < \varepsilon $。

本章小结

本章学习了复数概念、复数运算及其表示，复变函数概念及其极限、连续等内容，这些内容是学习全书的基础。因为今后研究的问题均在复数范围内讨论，所以我们对复数的性质必须要有清楚的认识，并需牢固掌握复数运算的方法。由于复数全体与平面上点的全体可作成一一对应，故一个复数集可视为一个平面点集，而用复数表示复平面上的点，较之解析几何中用直角坐标表示点，有时要方便得多。当我们研究复变函数的性质即研究两个复数集之间的一种对应关系时，清晰地了解平面点集是很重要的前提。

学习本章的要点如下：

1. 必须熟练地掌握用复数的三角表示式进行运算的技能. 要正确理解辐角的多值性, 掌握根据由给定非零复数 z 在复平面上的位置确定辐角主值的方法.

1. 因复数可用平面上的点和向量来表示，故应注意掌握用复数形式的方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。例如，向量的旋转即可用该向量所表示的复数乘上一个模为1的复数来实现。

1. 注意复数与实数的不同点.

（1）复数与实数运算不一样的一个新问题是复数的开方，任一异于零的复数总可以开方，而所得结果是多值的。开 n 次方就有 n 个值。这一点用复数的三角表示式一目了然。

（2）实数能比较大小，但在本课程讲述的范围内，复数却不能比较大小.

第一章单元

自测题

（3）复数模的概念与实数中绝对值的概念在几何上都是描述点与点之间的距离，两者可统称为绝对值。但由于复数有辐角的概念，故作为复数域中的实数也都有一个辐角（0或 $ \pi $），这显然与实数域中的实数是不同的。

1. 正确理解复变函数及与之有关的概念；正确理解区域、单连通区域、多连通区域、简单曲线等概念.

目 思考题

1.1 一个复数的实部和虚部是否唯一确定？又其模和辐角是否唯一确定？复数0的辐角是否确定？为什么？

1.2 如何运用复数的代数表示式进行四则运算？要注意什么？

1.3 下面的表示式或说法是否成立：

(1) 0 < i;

(2) $ 2i < 3i $;

（3）因为3>2，所以3-i>2-i；

(4) 由 $ z = x + iy $ 得 $ \arg z = \arctan \frac{y}{x} $.

题目 习题一

1.1 计算下列各式.

(1) $ (1 + \mathrm{i}) - (3 - 2\mathrm{i}) $; (2) $ (a - \mathrm{i}b)^{3} $;

(3) $ \frac{\mathrm{i}}{(\mathrm{i}-1)(\mathrm{i}-2)}; $ (4) $ \frac{z-1}{z+1}\quad(z=x+\mathrm{i}y\neq-1). $

1.2 证明下列关于共轭复数的运算性质：

(1) $ \overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2 $; (2) $ \overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2 $; (3) $ \left( \frac{\overline{z_1}}{z_2} \right) = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} $ ( $ z_2 \neq 0 $).

1.3 解方程组 $ \{\begin{array}{l}2z_{1}-z_{2}=i,\ $ 1+i)z_{1}+iz_{2}=4-3i.\end{array}\right. $$

1.4 将直线方程 $ ax + by + c = 0 $ ( $ a^{2} + b^{2} \neq 0 $) 写成复数形式. [提示: 记 $ x + iy = z $.]

1.5 将圆周方程 $ a(x^{2}+y^{2})+bx+cy+d=0 $ ( $ a\neq0 $) 写成复数形式（即用 z 与 $ \bar{z} $ 来表示，其中 $ z=x+iy $）.

1.6 求下列复数的模与辐角主值：

(1) $ \sqrt{3} + i $; (2) -1 - i; (3) -2 - i; (4) -1 + 3i.

1.7 证明下列各式：

(1) $ \left| z_1 - z_2 \right|^2 = \left| z_1 \right|^2 + \left| z_2 \right|^2 - 2\mathrm{Re}(z_1\bar{z}_2) $;

(2) $ \left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right) $，并说明此式的几何意义；

(3) $ \frac{1}{\sqrt{2}}(\left|x\right|+\left|y\right|)\leq\left|z\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right| $（其中 $ z=x+iy $）.

1.8 将下列各复数写成三角表示式：

(1) $ -3 + 2i $; (2) $ \sin \alpha + i \cos \alpha $; (3) $ -\sin \frac{\pi}{6} - i \cos \frac{\pi}{6} $.

1.9 利用复数的三角表示计算下列各式：

(1) $ (1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i}) $; (2) $ (-2+3\mathrm{i})/(3+2\mathrm{i}) $;

(3) $ \left(\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{3} $; (4) $ \sqrt[4]{-2+2i} $.

1.10 解方程： $ z^{3}+1=0 $.

1.11 指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？

(1) $ 2 < |z| < 3 $; (2) $ \left| \frac{1}{z} \right| < 3 $;

(3) $ \frac{\pi}{4} < \arg z < \frac{\pi}{3} $，且 $ 1 < |z| < 3 $; (4) $ \operatorname{Im} z > 1 $，且 $ |z| < 2 $;

(5) $ \mathrm{Re}\,z^{2}<1 $;

(6) $ \left| z-1 \right| + \left| z+1 \right| \leq 4 $;

(7) $ \left| \arg z \right| < \frac{\pi}{3} $; (8) $ \left| \frac{z-1}{z+1} \right| > a $ (a>0).

1.12 指出满足下列各式的点 z 的轨迹是什么曲线？

(1) $ \left| z + i \right| = 1 $;

(2) $ \left|z-a\right|+\left|z+a\right|=b $，其中a,b为正实常数；

(3) $ \left|z-a\right|=\mathrm{Re}(z-b) $，其中a,b为实常数；

(4) $ z\bar{z} + a\bar{z} + \bar{a}z + b = 0 $，其中 a 为复常数，b 为实常数；

(5) $ \bar{a}z + a\bar{z} + b = 0 $，其中 a 为复常数，b 为实常数.

1.13 用复参数方程表示下列各曲线：

（1）连接 $ 1+i $与-1-4i的直线段；

（2）以0为中心，焦点在实轴上，长半轴为a，短半轴为b的椭圆周.

1.14 试将函数 $ x^{2}-y^{2}-\mathrm{i}(xy-x) $ 写成 z 的函数 $ (z=x+\mathrm{i}y) $.

1.15 试证： $ \lim_{z\to0}\frac{\mathrm{Re}z}{z} $ 不存在.

1.16 设

$$ f(z)=\{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}},&z&\neq0,\\ &0,&z&=0,\end{aligned}. $$

试证： $ f(z) $ 在 z=0 处不连续.