第二章 解析函数

解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用。本章先引入复变函数的导数概念，然后讨论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件，它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的。接着介绍几个初等函数，这些初等函数是最常用的函数，因而特别重要。

§2.1 解析函数的概念

\$2.1.1 复变函数的导数

定义 2.1 设函数 $ w = f(z) $ 在点 $ z_{0} $ 的某邻域内有定义， $ z_{0} + \Delta z $ 是邻域内任一点， $ \Delta w = f(z_{0} + \Delta z) - f(z_{0}) $， $ \Delta z = z - z_{0} $，若

$$ \lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z} $$

存在有限的极限值 A，则称 $ f(z) $ 在 $ z_{0} $ 处可导，A 记作 $ f'(z_{0}) $ 或 $ \frac{dw}{dz}\bigg|_{z=z_{0}} $，即

$$ f^{\prime}\left(z_{0}\right)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)}{\Delta z}, $$

或

$$ \Delta w=f^{\prime}\left(z_{0}\right)\Delta z+o\left(\left|\Delta z\right|\right)\quad\left(\Delta z\to0\right), $$

也称 $ \mathrm{d}f(z_{0})=f^{\prime}(z_{0})\Delta z $ 或 $ f^{\prime}(z_{0})\mathrm{d}z $ 为 $ f(z) $ 在 $ z_{0} $ 处的微分，故也称 $ f(z) $ 在 $ z_{0} $ 处可微.

由定义易知，若 $ f(z) $在 $ z_{0} $处可导（或可微），则 $ f(z) $在 $ z_{0} $处连续.

例 2.1 证明：函数 $ f(z)=\left|z\right|^{2} $ 在 z=0 点可导，且导数等于 0.

证 我们看商式

$$ \frac{f(z)\ -f(0)}{z-0}=\frac{\mid z\mid^{2}}{z}=\bar{z}, $$

当 $ z \to 0 $ 时， $ \bar{z} \to 0 $，故 $ f(z) $ 在 z = 0 可导且导数等于 0.

例 2.2 设 $ f(z) = \mathrm{Re}z $ 。证明： $ f(z) $ 在全平面处处没有导数。

证 因为对任意一点 $ z_{0} $，

解析函数的

概念

$$ \frac{f(z)\;-f(z_{0})}{z-z_{0}}=\frac{\mathrm{Re}\;z-\mathrm{Re}\;z_{0}}{z-z_{0}}=\frac{\mathrm{Re}(z-z_{0})}{z-z_{0}}. $$

考虑直线 $ \mathrm{Re}z=\mathrm{Re}z_{0} $ 及直线 $ \mathrm{Im}z=\mathrm{Im}z_{0} $。在前一直线上，上式恒等于 0；在后一直线上，上式恒等于 1。所以当 $ z\to z_{0} $ 时上式没有极限，即 $ f(z) $ 在 $ z_{0} $ 没有导数。由于 $ z_{0} $ 的任意性， $ f(z) $ 在全平面处处没有导数。

§2.1.2 解析函数的概念与求导法则

定义 2.2 若 $ f(z) $ 在 $ z_{0} $ 及 $ z_{0} $ 的邻域内处处可导，则称 $ f(z) $ 在 $ z_{0} $ 处解析；若 $ f(z) $ 在区域 D 内每一点解析，则称 $ f(z) $ 在 D 内解析，或说 $ f(z) $ 是 D 内的解析函数；若 $ f(z) $ 在 $ z_{0} $ 处不解析，则称 $ z_{0} $ 为 $ f(z) $ 的奇点。有时也说函数在一个闭区域上为解析，这是指函数在一个包含该闭区域的更大的区域上为解析。

总之，凡是说到函数解析，总是指函数在某个区域上处处有导数。解析性不是函数在一个孤立点上的性质，而是函数在一个区域上的性质。

若函数在一点处解析，则一定在该点可导，但反过来不一定成立。因此点可导与点解析是不等价的。但是函数在区域内解析与在区域内处处可导是等价的。

由于复变函数的导数定义在形式上类似于微积分中单元实函数导数的定义，因此用同微积分中类似的方法就可以证明下述各求导法则.

（1） 四则运算法则

设 $ f(z) $和 $ g(z) $都是区域D上的解析函数，则 $ f(z)\pm g(z) $， $ f(z)g(z) $以及 $ \frac{f(z)}{g(z)}(g(z)\neq0) $在D上为解析，且有

$$ \left[f(z)\pm g(z)\right]^{\prime}=f^{\prime}(z)\pm g^{\prime}(z), $$

$$ \left[f(z)g(z)\right]^{\prime}=f^{\prime}(z)g(z)+f(z)g^{\prime}(z)\;, $$

$$ \left[\frac{f(z)}{g(z)}\right]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(z)g(z)-f(z)g^{\prime}(z)}{\left[g(z)\right]^{2}}. $$

此外，很容易知道常数的导数是0，以及

$ (z^{n})^{\prime}=nz^{n-1}\quad $（n为正整数）， $ \left[kf(z)\right]^{\prime}=kf^{\prime}(z)\quad $（k为常数）.

（2） 复合函数的求导法则

设函数 $ \xi = f(z) $ 在区域 D 内解析，函数 $ w = g(\xi) $ 在区域 G 内解析，又 $ f(D) \subseteq G(f(D)) $ 表示函数 $ \xi = f(z) $ 的值域，也就是区域 D 的像，则复合函数

$ w = g(f(z)) = h(z) $ 在 D 内为解析，且有

$$ \boldsymbol{h}^{\prime}(z)=\left[\boldsymbol{g}(f(z))\right]^{\prime}=\boldsymbol{g}^{\prime}(f(z))f^{\prime}(z). $$

（3） 反函数的求导法则

设函数 $ w = f(z) $ 在区域 D 内为解析且 $ f'(z) \neq 0 $，又反函数 $ z = f^{-1}(w) = \varphi(w) $ 存在且为连续，则

$$ \varphi^{\prime}(w)=\frac{1}{f^{\prime}(z)}\bigg|_{z=\varphi(w)}=\frac{1}{f^{\prime}(\varphi(w))}. $$

例 2.3 求函数 $ f(z)=\frac{2z^{5}-z+3}{4z^{2}+1} $ 的解析性区域及该区域上的导函数.

解 设 $ P(z)=2z^{5}-z+3 $, $ Q(z)=4z^{2}+1 $, P 和 Q 都是 z 的多项式. 由函数 $ z^{n} $ (n 为任意自然数) 在全平面解析的事实以及乘积与和、差的求导法则知, P 和 Q 都在全平面解析. 而由商的求导法则知当 $ Q(z)\neq0 $ 时, $ f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} $ 为解析, 又方程 $ Q(z)=0 $, 即 $ 4z^{2}+1=0 $ 的解是 $ z=\sqrt{-\frac{1}{4}}=\pm\frac{i}{2} $. 因此在全平面除去点 $ \frac{i}{2} $ 与 $ -\frac{i}{2} $ 的区域内 $ f(z) $ 为解析. $ f(z) $ 的导数可如下计算:

$$ \begin{aligned}f^{\prime}(z)&=\frac{P^{\prime}(z)Q(z)-P(z)Q^{\prime}(z)}{\left[Q(z)\right]^{2}}\\&=\frac{\left(4z^{2}+1\right)\left(10z^{4}-1\right)-\left(2z^{5}-z+3\right)\left(8z\right)}{\left(4z^{2}+1\right)^{2}}\\&=\frac{24z^{6}+10z^{4}+4z^{2}-24z-1}{\left(4z^{2}+1\right)^{2}}.\end{aligned} $$

§2.1.3 函数解析的一个充分必要条件

设函数 $ w = f(z) $ 在区域 D 内为解析，根据复变函数与二元实变函数的联系，我们自然要问：作为解析函数的实部与虚部的两个二元函数有什么特性？下述定理回答了这个问题.

定理 2.1 函数 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $ 在 $ z = x + iy $ 处可导的充要条件是 $ u(x, y), v(x, y) $ 在点 $ (x, y) $ 处可微，而且满足柯西-黎曼 (Cauchy-Riemann) 方程（简称 C-R 方程）：

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. $$

证 先证必要性. 设 $ f(z) $ 在 z = x + iy 处可导, 记作 $ f'(z) = a + ib $, 则由 (2.2) 式有

$$ \begin{aligned}f(z+\Delta z)-f(z)&=\left(a+\mathrm{i}b\right)\Delta z+o(\left|\Delta z\right|)\\&=\left(a+\mathrm{i}b\right)\left(\Delta x+\mathrm{i}\Delta y\right)^{\prime}+o(\left|\Delta z\right|),\end{aligned} $$

其中 $ f(z+\Delta z)-f(z)=\Delta u+\mathrm{i}\Delta v,\Delta z=\Delta x+\mathrm{i}\Delta y $。分开实部和虚部，得

$$ \Delta u=u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y)=a\Delta x-b\Delta y+o(\left|\Delta z\right|), $$

$$ \Delta v=v(x+\Delta x,y+\Delta y)-v(x,y)=b\Delta x+a\Delta y+o(\left|\Delta z\right|), $$

可见 $ u(x,y) $ 及 $ v(x,y) $ 在点 $ (x,y) $ 处可微，并有

$$ a=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad 勻 b=\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. $$

再证充分性. 设 u, v 在 $ (x, y) $ 处可微, 且 (2.3) 式成立, 则有

$$ \Delta u=u_{x}^{\prime}(x,y)\Delta x+u_{y}^{\prime}(x,y)\Delta y+o(\left|\Delta z\right|), $$

$$ \Delta v=v_{x}^{\prime}(x,y)\Delta x+v_{y}^{\prime}(x,y)\Delta y+o(\left|\Delta z\right|). $$

于是由(2.3)式知

$$ \Delta w=\Delta u+\mathrm{i}\Delta v=\left[u_{x}^{\prime}(x,y)+\mathrm{i}v_{x}^{\prime}(x,y)\right](\Delta x+\mathrm{i}\Delta y)+o(\left|\Delta z\right|), $$

因而

$$ \lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=u_{x}^{\prime}(x,y)+\mathrm{i}v_{x}^{\prime}(x,y)=a+\mathrm{i}b. $$

由以上讨论可见，当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算 $ f'(z) $.

$$ \begin{aligned}f^{\prime}(z)&=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\\&=\frac{\partial u}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}.\end{aligned} $$

注意，C-R 方程只是函数 $ f(z) $ 可导的必要条件而并非充分条件。这个道理可以很简单地说明。因为，一个二元函数在某一点有偏导数甚至不能保证函数在该点为连续，更不要说在该点为可微了。例如，取两个函数 $ u(x,y) $ 与 $ v(x,y) $ 如下：

$$ u(x,y)=v(x,y)=\{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}},&x^{2}+y^{2}\neq0,\\ &0,&x^{2}+y^{2}=0,\end{aligned}. $$

再令 $ f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y) $，则 $ f(z) $ 在 z=0 这点满足

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0,\quad\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=0, $$

但 $ f(z) $在z=0处是不连续的，从而是不可导的.

如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论.

定理 2.2 函数 $ f(z) = u(x, y) + \mathrm{i}v(x, y) $ 在区域 D 内解析（即在 D 内可导）的充要条件是 $ u(x, y) $ 和 $ v(x, y) $ 在 D 内处处可微，而且满足 C-R 方程.

推论 设 $ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) $ 在区域 D 内有定义，若在 D 内 $ u(x,y) $ 和 $ v(x,y) $ 的四个偏导数 $ u_{x}^{\prime}, u_{y}^{\prime}, v_{x}^{\prime}, v_{y}^{\prime} $ 存在且连续，并且满足 C-R 方程，则 $ f(z) $ 在 D 内解析.

证 由于 $ u(x,y) $ 和 $ v(x,y) $ 具有一阶连续偏导数，因而 $ u(x,y) $ 和 $ v(x,y) $ 在 D 内可微。由定理 2.2 知 $ f(z) $ 在 D 内解析。

上述定理提供了判断函数 $ f(z) $ 在区域 D 内是否解析（或在某点是否可导）的方法，即 $ f(z) $ 在 D 内不满足 C-R 方程，则 $ f(z) $ 在 D 内不解析；若在 D 内 $ f(z) $ 满足 C-R 方程，而且 u 和 v 具有一阶连续偏导数，则 $ f(z) $ 在 D 内解析。并给出了一个简洁的导数公式(2.4).

例 2.4 讨论下列函数的可导性和解析性：

$$ f(z)=\operatorname{Re}z;(2)f(z)=\left|z\right|^{2};(3)f(z)=\mathrm{e}^{x}(\cos y+\mathrm{i}\sin y). $$

解 (1) 因为 u=x, v=0，且

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=1,\quad\frac{\partial u}{\partial y}=0,\quad\frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad\frac{\partial v}{\partial y}=0. $$

可知 $ f(z) $ 不满足 C-R 方程，所以 $ f(z)=\mathrm{Re}z $ 在复平面内处处不可导，从而也处处不解析.

(2) $ f(z)=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2} $，所以 $ u=x^{2}+y^{2},v=0 $，且

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad\frac{\partial u}{\partial y}=2y,\quad\frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad\frac{\partial v}{\partial y}=0, $$

可见 $ f(z) $的C-R方程只在点 $ (0,0) $成立。由定理2.1知该函数在z=0处可导，且由 $ (2.4) $知 $ f'(0)=0 $。对于其他 $ z\neq0 $的点，函数 $ f(z) $不可导，所以函数 $ f(z) $在z=0处不解析，从而在复平面上处处不解析。

（3）因为 $ u = e^{x} \cos y $， $ v = e^{x} \sin y $，且

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\mathrm{e}^{x}\cos y,\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\mathrm{e}^{x}\sin y,\quad\frac{\partial v}{\partial x}=\mathrm{e}^{x}\sin y,\quad\frac{\partial v}{\partial y}=\mathrm{e}^{x}\cos y, $$

从而满足 C-R 方程，并且由于上面四个一阶偏导数均连续，所以 $ f(z) $ 在复平面内处处可导，故也处处解析。根据(2.4)式，有

解析函数的

充要条件

$$ f^{\prime}\left(z\right)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}=\mathrm{e}^{x}(\cos y+\mathrm{i}\sin y)=f(z). $$

例 2.5 若 $ f(z) $ 在区域 D 内解析，而且满足下列条件之一，则 $ f(z) $ 在 D 内为常数.

(1) $ f'(z) = 0 $; (2) $ \mathrm{Ref}(z) = $ 常数; (3) $ \left| f(z) \right| $ 为常数.

证 (1) 由 $ f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}=0 $ 知 $ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0 $，故 u, v 都是常数，从而 $ f(z) $ 在 D 内为常数.

（2）因为 u= 常数，故 $ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0 $ 。由 C-R 方程知 $ \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0 $ ，所以 $ f(z) $ 为常数。

(3) $ \left|f(z)\right|^{2}=u^{2}+v^{2} $ 常数，分别对 x,y 求偏导数得

$$ u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial v}{\partial y}=0, $$

由 C-R 方程得

$$ u\frac{\partial u}{\partial x}-v\frac{\partial u}{\partial y}=0,\quad v\frac{\partial u}{\partial x}+u\frac{\partial u}{\partial y}=0. $$

所以， $ (u^{2}+v^{2})\frac{\partial u}{\partial x}=0,(u^{2}+v^{2})\frac{\partial u}{\partial y}=0. $

当 $ u^{2}+v^{2}=0 $时，u=v=0，故 $ f(z)=0 $，因而得证.

当 $ u^{2}+v^{2}\neq0 $时， $ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0 $，故u=常数，再由(2)知 $ f(z) $在D内为常数.

§2.2 解析函数和调和函数的关系

§2.2.1 调和函数的概念

平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系。下面给出调和函数的定义。

定义 2.3 若二元实函数 $ \varphi(x,y) $ 在区域 D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace）方程

$$ \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}=0, $$

则称 $ \varphi(x,y) $ 为区域 D 内的调和函数，或说函数 $ \varphi(x,y) $ 在区域 D 内调和.

定理 2.3 设函数 $ f(z) = u(x, y) + \mathrm{i}v(x, y) $ 在区域 D 内解析，则 $ f(z) $ 的实部 $ u(x, y) $ 和虚部 $ v(x, y) $ 都是区域 D 内的调和函数.

证 因 $ f(z) $ 在区域 D 内解析，所以 u, v 在 D 内满足 C-R 方程

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. $$

当 $ f(z) $解析时，u,v有任意阶连续偏导数（这一事实本书后面将要指明）.

在上述二式中分别对 y 与 x 求偏导数，得

$$ \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}},\quad\frac{\partial^{2}u}{\partial y\partial x}=-\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}. $$

因 $ \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}u}{\partial y\partial x} $，于是

$$ \frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^{2}u}{\partial y\partial x}=0. $$

这就是说， $ v(x,y) $ 是区域 D 内的调和函数。同理， $ u(x,y) $ 也是区域 D 内的调和函数。

\$2.2.2 共轭调和函数

定义 2.4 设函数 $ \varphi(x,y) $ 及 $ \psi(x,y) $ 均为区域 D 内的调和函数，且满足 C-R 方程

$$ \frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial y},\quad\frac{\partial\psi}{\partial x}=-\frac{\partial\varphi}{\partial y}, $$

则称 $ \psi $是 $ \varphi $的共轭调和函数.

显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理（证明从略）回答了这个问题。

定理2.4 复变函数 $ f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y) $在区域D内解析的充分必要条件是在区域D内， $ f(z) $的虚部 $ v(x,y) $是实部 $ u(x,y) $的共轭调和函数.

根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数.

§2.2.3 解析函数与调和函数的关系

由于共轭调和函数的这种关系，若知道了其中的一个，则可根据 C-R 方

解析函数与

调和函数

程求出另一个，下面举例说明求法.这种方法可称为偏积分法.

例 2.6 验证 $ u(x,y)=x^{3}-3xy^{2} $ 是调和函数，并求以 $ u(x,y) $ 为实部的解析函数 $ f(z) $，使之适合 $ f(0)=i $.

解 因为

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2},\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy, $$

$$ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=6x,\quad\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-\bar{6x}, $$

所以

$$ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0. $$

而 u 的二阶偏导数显然连续，故 $ u(x,y) $ 为调和函数。

由于 $ \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2} $，得

$$ v=\int\left(3x^{2}-3y^{2}\right)\mathrm{d}y=3x^{2}y-y^{3}+\varphi\left(x\right), $$

及 $ \frac{\partial v}{\partial x}=6xy+\varphi'(x)=-\frac{\partial u}{\partial y}=6xy $，所以 $ \varphi'(x)=0 $，即 $ \varphi(x)=C $。因此

$$ v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}+C. $$

因而得到一个解析函数

$$ f(z)=x^{3}-3xy^{2}+\mathrm{i}(3x^{2}y-y^{3}+C), $$

因为 $ f(0)=\mathrm{i} $，故 C=1，所以 $ f(z)=z^{3}+\mathrm{i} $.

此例说明，已知解析函数的实部，就可以确定它的虚部，至多相差一个任意常数，下面的例子则说明可以类似地由解析函数的虚部确定它的实部（可能相差一个常数）.

例 2.7 已知一调和函数 $ v = \mathrm{e}^{x} (\gamma \cos y + x \sin y) + x + y $，求一解析函数 $ f(z) = u + iv $，使 $ f(0) = 0 $.

解 因为

$$ \frac{\partial v}{\partial x}=\mathrm{e}^{x}(y\cos y+x\sin y+\sin y)+1, $$

$$ \frac{\partial v}{\partial y}=\mathrm{e}^{x}(\cos y-y\sin y+x\cos y)+1, $$

由

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=\mathrm{e}^{x}(\cos y-y\sin y+x\cos y)+1, $$

得

$$ \begin{aligned}u&=\int[\mathrm{e}^{x}(\cos y-y\sin y+x\cos y)+1]\mathrm{d}x\\&=\mathrm{e}^{x}(x\cos y-y\sin y)+x+g(y).\end{aligned} $$

由 $ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} $，得

$$ \mathrm{e}^{x}(y\cos y+x\sin y+\sin y)+1=\mathrm{e}^{x}(x\sin y+y\cos y+\sin y)-g^{\prime}(y). $$

故 $ g(y) = -y + C $，因此

$$ u=\mathrm{e}^{x}(x\cos y-y\sin y)+x-y+C, $$

从而

$$ \begin{aligned}f(z)&=\mathrm{e}^{x}(x\cos y-y\sin y)+x-y+C+\mathrm{i}\left[\mathrm{e}^{x}(y\cos y+x\sin y)+x+y\right]\\&=x\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{\mathrm{i}y}+\mathrm{i}y\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{\mathrm{i}y}+x(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}y(1+\mathrm{i})+C.\end{aligned} $$

它可以写成

$$ f(z)=z\mathrm{e}^{\mathrm{i}}+(1+\mathrm{i})z+C. $$

由 $ f(0)=0 $ , 得 C=0 ，故所求的解析函数为

$$ f(z)=z\mathrm{e}^{z}+(1+\mathrm{i})z. $$

设 $ u(x,y) $ 为单连通区域 D 内的一个调和函数，下面介绍利用曲线积分求 $ u(x,y) $ 共轭调和函数的方法.

我们从 C-R 方程知道，函数 u 决定了函数 v 的全微分，即

$$ \mathrm{d}v=\frac{\partial v}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{d}y=-\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}y. $$

在微积分课程中知道，当D为单连通区域时，上式右端的积分（指第二型曲线积分）与路径无关，而v即可表示为

$$ v(x,y)=\int_{(x_{0},y_{0})}^{(x,y)}-\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}y+C, $$

其中 $ (x_{0},y_{0}) $为D内一定点，C为任意实常数.

类似地，可以从 $ v(x,y) $ 求出 $ u(x,y) $.

例 2.8 求解析函数 $ f(z) = u + \mathrm{i}v $，已知 $ u = x^{2} - y^{2} + xy $， $ f(i) = -1 + i $.

解 容易验证 u 是全平面上的调和函数. 利用 C-R 方程, 先求出 v 的两个偏导数

$$ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=2y-x,\quad\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=2x+y, $$

则

$$ \begin{aligned}v\left(x,y\right)&=\int\limits_{\left(0,0\right)}^{\left(x,y\right)}\left(2y-x\right)\mathrm{d}x+\left(2x+y\right)\mathrm{d}y+C\\&=\int_{0}^{x}\left(-x\right)\mathrm{d}x+\int_{0}^{y}\left(2x+y\right)\mathrm{d}y+C\\&=-\frac{1}{2}x^{2}+2xy+\frac{1}{2}y^{2}+C.\end{aligned} $$

所以

$$ \begin{align*}f(z)&=(x^{2}-y^{2}+xy)+\mathrm{i}\bigg(-\frac{1}{2}x^{2}+2xy+\frac{1}{2}y^{2}+C\bigg)\\&=\left(x+\mathrm{i}y\right)^{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}(x+\mathrm{i}y)^{2}+\mathrm{i}C=\left(1-\frac{\mathrm{i}}{2}\right)z^{2}+\mathrm{i}C.\end{align*} $$

又因为 $ f(i)=-1+i $，所以 $ C=\frac{1}{2} $，结果得到

$$ f(z)=\left(1-\frac{\mathrm{i}}{2}\right)z^{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}. $$

§2.3 初等函数

与初等实变函数一样，初等复变函数也是一种最简单、最基本而常用的函数类，在复变函数论及其应用中有很大的重要性。在初等数学里曾用初等方法（几何的、代数的）讨论过初等函数，揭示了它们的一些性质，在微积分里我们曾用分析的方法讨论过，并得到许多新的有用的重要性质。但是，那时受实数范围的限制，看不到它们的“新貌”。现在，我们即将看到，当初等函数推广到复数域时，又揭示出许多重要性质。如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性，特别是多值函数的本质，这里才能得到完满阐述和充分揭示。

指数函数及其重要性质

\$2.3.1 指数函数

定义 2.5 对于复数 $ z = x + iy $，称

$$ w=\mathrm{e}^{z}=\exp z=\mathrm{e}^{x}(\cos y+\mathrm{i}\sin y) $$

为指数函数.

由此，对于任意的实数 y 有

$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i}y}=\cos y+\mathrm{i}\sin y, $$

这个式子即为欧拉(Euler)公式.

指数函数 $ w=e^{z} $ 显然在全平面上有定义. 又在例 2.4(3) 中已证明了它在全平面上为解析, 且

$$ \left(\mathrm{e}^{z}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{z}, $$

再注意: 当 y=0 时, 有 $ e^{z}=e^{x} $. 可见, 复变量的指数函数 $ e^{z} $ 其实是实变量的指数函数 $ e^{x} $ 在复平面上的解析拓广.

指数函数的性质

我们自然要问：从实的指数函数拓广到复的指数函数以后，函数的性质发生了什么变化？这里指出四点。

（1）从指数函数的定义及欧拉公式可知

$$ \mathrm{e}^{z}=\mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y}=\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{\mathrm{i}y}, $$

所以

$$ \mathbf{e}^{z}=\mathbf{e}^{x},\operatorname{Arg}\mathbf{e}^{z}=y+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\cdots. $$

由于 $ e^{x}\neq0 $，故总有 $ e^{z}\neq0 $。

（2）考察指数的运算法则，设

$$ z_{1}=x_{1}+\mathrm{i}y_{1},\quad z_{2}=x_{2}+\mathrm{i}y_{2}. $$

由定义有

$$ \begin{aligned}\mathrm{e}^{z_{1}}\cdot\mathrm{e}^{z_{2}}&=\mathrm{e}^{x_{1}}(\cos y_{1}+\mathrm{i}\sin y_{1})\cdot\mathrm{e}^{x_{2}}(\cos y_{2}+\mathrm{i}\sin y_{2})\\&=\mathrm{e}^{x_{1}+x_{2}}[\cos(y_{1}+y_{2})+\mathrm{i}\sin(y_{1}+y_{2})]\\&=\mathrm{e}^{z_{1}+z_{2}},\\ \end{aligned} $$

这就得到

$$ \mathrm{e}^{z_{1}}\mathrm{e}^{z_{2}}=\mathrm{e}^{z_{1}+z_{2}}. $$

（3）从欧拉公式可知，对于任意整数 k 有

$$ \mathrm{e}^{2k\pi\mathrm{i}}=\cos(2k\pi)+\mathrm{i}\sin(2k\pi)=1, $$

再由指数运算法则得到

$$ \mathrm{e}^{z+2k\pi\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{z}\mathrm{e}^{2k\pi\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{z}. $$

因此 $ e^{z} $ 是以 $ 2k\pi i (k = \pm 1, \pm 2, \cdots) $ 为周期的函数，这个性质是实变量指数函数所没有的.

（4）复变量指数函数 $ e^{z} $ 当 z 趋向于 $ \infty $ 时没有极限. 这是因为：当 z 沿实轴正向趋于 $ \infty $ 时，有

$$ \lim_{\substack{z\to\infty\\ z=x>0}}\mathrm{e}^{z}=\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty; $$

而当z沿实轴负向趋于 $ \infty $时，有

$$ \begin{aligned}\lim_{\substack{z\to\infty\\ z=x<0}}e^{z}&=\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0.\end{aligned} $$

这个性质值得我们注意.

例2.9 计算 $ e^{-3+\frac{\pi}{4}i} $ 的值.

解 根据指数定义算出

$$ \begin{aligned}\textrm{e}^{-3+\frac{\pi}{4}\mathrm{i}}&=\textrm{e}^{-3}\left(\cos\frac{\pi}{4}+\textrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)=\textrm{e}^{-3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)\\&=\frac{1}{2}\textrm{e}^{-3}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\textrm{e}^{-3}\sqrt{2}\mathrm{i}.\end{aligned} $$

例 2.10 利用复数的指数表示计算 $ \left(\frac{-2+i}{1+2i}\right)^{\frac{1}{3}} $.

解 因为

$$ \left(\frac{-2+\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left[\frac{\sqrt{5}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-\arctan\frac{1}{2})}}{\sqrt{5}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\arctan2}}\right]^{\frac{1}{3}}=\left[\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-\arctan\frac{1}{2}-\arctan2)}\right]^{\frac{1}{3}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{3}\mathrm{i}(\frac{\pi}{2}+2k\pi)},\quad k=0,1,2. $$

故所求之值有3个，即 $ e^{\frac{\pi}{6}} $， $ e^{\frac{5}{6}\pi i} $及 $ e^{-\frac{\pi}{2}i} $。也就是

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2},\quad-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2},-\mathrm{i}. $$

\$2.3.2 对数函数

对数函数的

性质

复变量的对数函数也是定义为指数函数的反函数.

定义 2.6 满足方程 $ \mathrm{e}^{w}=z(z\neq0) $ 的函数 $ w=f(z) $ 称为对数函数，记作 $ w=\ln z $.

令 $ z = re^{\mathrm{i}\theta} $, $ w = u + \mathrm{i}v $, 则方程 $ e^{w} = z $ 变为 $ e^{u + \mathrm{i}v} = re^{\mathrm{i}\theta} $, 由此推出

$$ \mathrm{e}^{u}=r,v=\theta+2k\pi\quad(k=0,\pm1,\pm2,\cdots). $$

从而解得

$$ u=\ln r,v=\theta+2k\pi\quad(k=0,\pm1,\pm2,\cdots). $$

这里 u 是单值的，而 v 可取无穷多个值。由于 $ r = |z| $， $ \theta $ 是 z 的辐角，故恰有 $ v = \arg z $。由此

$$ w=\mathrm{Ln}z=\ln|z|+\mathrm{i}\arg z,\quad z\neq0, $$

其中 $ \ln|z| $ 是通常正数 $ |z| $ 的自然对数。但 $ \arg z $ 为多值函数，所以对数函数

$ w = \ln z $ 为多值函数，并且每两个值相差 $ 2\pi i $ 的整数倍。如果规定 $ \arg z $ 取主值 $ \arg z $，就得 $ \ln z $ 的一个单值“分支”，记作 $ \ln z $，把它称为 $ \ln z $ 的主值。这样，我们就有

$$ \ln z=\ln|z|+\mathrm{i}arg z. $$

而其余各个值可由

$$ \ln z=\ln z+2k\pi\mathrm{i}\quad(k=\pm1,\pm2,\cdots) $$

表达，对于每一个固定的 k，上式为一单值函数，称为 $ \mathrm{Ln}z $ 的一个分支.

特别地，当 z=x>0 时， $ \ln z $ 的主值 $ \ln z = \ln x $，就是实变量对数函数.

例 2.11 求 $ \mathrm{Ln}(-1) $.

解 因为 $ \left| -1 \right| = 1 $, $ \arg(-1) = \pi $, 故

$$ \mathrm{Ln}\left(-1\right)=\ln1+\mathrm{i}\left(\pi+2k\pi\right)=\left(2k+1\right)\pi\mathrm{i}\quad\left(k=0,\pm1,\cdots\right). $$

例2.12 求 $ \mathrm{Ln}(2-3i) $.

解 因为

$$ \left|2-3\mathrm{i}\right|=\sqrt{13},\quad\arg(2-3\mathrm{i})=-\arctan\frac{3}{2}, $$

所以

$$ \mathrm{Ln}\left(2-3\mathrm{i}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ln}13-\mathrm{i}\left(\arctan\frac{3}{2}+2k\pi\right)\quad(k=0,\ \pm1,\ \pm2,\cdots). $$

例2.13 计算 $ \ln i $及 $ \ln(-2+3i) $.

解 根据定义

$$ \ln\mathrm{~i~}=\ln\left|\mathrm{~i~}\right|+\mathrm{~i~}\arg\mathrm{~i~}=\frac{\pi}{2}\mathrm{i}, $$

$$ \begin{aligned}\ln(-\ 2+3\mathrm{i})&=\ln\mid-\ 2+3\mathrm{i}\mid+\mathrm{iarg}(-\ 2+3\mathrm{i})\\&=\frac{1}{2}\ln13+\mathrm{i}\Big(\pi-\arctan\frac{3}{2}\Big).\end{aligned} $$

至此，我们遇见了三种对数函数：第一种是实变量的对数函数 $ \ln x $，它对一切正数x有定义，且是单值的；第二种是复变量的对数函数 $ \ln z $，它对一切不为0的复数z有定义，且每个z对应无穷多个值；第三种是复变量对数函数的主支 $ \ln z $，它对一切不为0的复数z有定义，且为单值，即取 $ \ln z $的无穷多值中的一个，这个复数的虚部等于z的主辐角。特别地，当z为正实数时，主值 $ \ln z $恰与实数的对数相一致。因此这里采用的各种记号不会发生混乱。不过读者在初学时需要留意正确的书写。

对数函数的性质

利用辐角相应性质，容易验证，对数函数具有下列性质：

（1） 运算性质

$$ \mathrm{Ln}\left(z_{1}z_{2}\right)=\mathrm{Ln}z_{1}+\mathrm{Ln}z_{2}; $$

$$ \mathrm{Ln}\frac{z_{1}}{z_{2}}=\mathrm{Ln}z_{1}-\mathrm{Ln}z_{2}. $$

这两个等式与实变量对数性质相同. 但必须这样理解: 对于左端的多值函数的任意取定的一值, 一定有右端的两多值函数的各一值, 其和与该值对应, 使等式成立; 反过来也是这样. 还应当注意的是: 等式 $ \ln z^n = n\ln z $ 不再成立, 其中 n 为大于 1 的正整数.

（2） 解析性

我们再来讨论对数函数的解析性. 就主值 $ w=\ln z $ 而言, 在除去原点及负实轴的复平面上是解析的, 且 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\ln z)=\frac{1}{z} $.

因为 $ w = \ln z = \ln |z| + \mathrm{iarg} z $ ( $ -\pi < \arg z \leq \pi $). 当 $ z = 0 $ 时, $ \ln |z| $ 与 $ \arg z $ 均没有定义, 而且当 $ x < 0 $ 时, $ \lim_{y \to 0^+} \arg z = -\pi $, $ \lim_{y \to 0^+} \arg z = \pi $, 可见 $ w = \ln z $ 在原点及负实轴上是不连续的, 因而不可导, 另外 $ z = e^w $ 在区域 $ -\pi < v = \arg z < \pi $ 内的反函数 $ w = \ln z $ 是单值的. 由反函数的求导法则 (见 §2.1) 知

$$ \frac{\mathrm{d}(\ln z)}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}\mathbf{e}^{w}}{\mathrm{d}w}}=\frac{1}{z}. $$

所以， $ \ln z $ 在除去原点及负实轴的平面内解析。又由于 $ \ln z = \ln z + 2k\pi i $（ $ k $ 为整数），因此 $ \ln z $ 的各分支在除去原点及负实轴的平面内也解析，并且有相同的导数值。

§2.3.3 幂函数

定义 2.7 函数 $ w = z^{\alpha} $ 规定为

$$ z^{\alpha}=e^{\alpha Ln z}\quad(\alpha 为复常数 ,z\neq0) $$

称为复变量z的幂函数. 规定: 当 $ \alpha $为正实数且z=0时, $ z^{\alpha}=0 $.

由于 $ \ln z $ 是多值函数，所以 $ e^{\alpha \ln z} $ 一般也是多值函数.

当 $ \alpha $为正整数n时，

$$ w=z^{n}=\mathrm{e}^{n\ln z}=\mathrm{e}^{n\left[\ln|\mathrm{~z~}|+\mathrm{i}\left(\arg z+2k\pi\right)\right]}=\left|\mathrm{~z~}\right|^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\arg z} $$

是一个单值函数.

当 $ \alpha = \frac{1}{n} $ (n 为正整数) 时，

$$ z^{\frac{1}{n}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{n}\ln z}=\mid z\mid^{\frac{1}{n}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\arg z+2k\pi}{n}}\quad(k=0,1,\cdots,n-1) $$

是一个n值函数.

当 $ \alpha $为零时，

$$ z^{0}=\mathrm{e}^{0\cdot\operatorname{L n}z}=\mathrm{e}^{0}=1. $$

当 $ \alpha $ 为有理数 $ \frac{p}{q} $ (p 与 q 为互素的整数, q>0) 时,

$$ z^{\frac{p}{q}}=\mathrm{e}^{\frac{p}{q}\mathrm{Ln}z}=\mathrm{e}^{\frac{p}{q}\mathrm{ln}z+\frac{p}{q}\mathrm{i}2k\pi},\quad k\ 为整数 . $$

由于 p 与 q 互素，当 k 取 0,1, $ \cdots $,q-1 时，

$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i}2k\pi\frac{p}{q}}=(\mathrm{e}^{\mathrm{i}2k\pi p})^{\frac{1}{q}} $$

是 q 个不同的值. 但若 k 再取其他整数值时, 将重复出现上述 q 个值之一, 所以 $ w = z^{\frac{p}{q}} $ 是 q 值函数, 有 q 个不同的分支.

当 $ \alpha $ 是无理数或复数 (Im $ \alpha \neq 0 $) 时，易知 $ z^{\alpha} $ 是无穷多值函数。例如，

$$ \mathrm{i}^{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left[\ln1+\mathrm{i}\left(\arg\mathrm{i}+2k\pi\right)\right]}=\mathrm{e}^{-(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}\quad(k=0,\pm1,\pm2,\cdots). $$

$$ \begin{aligned}1&=\mathrm{e}-\mathrm{e}^{(1+\mathrm{i})-\ln2}=\mathrm{e}^{1+\mathrm{i}}\\2^{1+\mathrm{i}}&=\mathrm{e}^{(1+\mathrm{i})\ln2}=\mathrm{e}^{(1+\mathrm{i})\left[\ln2+\mathrm{i}(\arg2+2k\pi)\right]}\\&=\mathrm{e}^{\ln2+2k\pi\mathrm{i}+\mathrm{i}\ln2-2k\pi}=\mathrm{e}^{\ln2-2k\pi+\mathrm{i}\left(\ln2+2k\pi\right)}\\&=2\mathrm{e}^{-2k\pi}(\cos\ln2+\mathrm{i}\sin\ln2)\quad(k=0,\pm1,\pm2,\cdots).\end{aligned} $$

由于 $ \mathrm{Ln}z $ 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，因而不难知道 $ w=z^{\alpha} $ 的相应分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的.

§2.3.4 三角函数

怎样定义复变量的三角函数呢？我们的目的是寻求一个复变量的解析函数，当自变量取实数值时同原来的三角函数相一致。

回忆欧拉公式，它把三角函数与指数函数联系起来，即有

$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i}y}=\cos y+\mathrm{i}\sin y. $$

将上式中 y 改为 -y，又可得

$$ \mathrm{e}^{-iy}=\cos y-\mathrm{i}\sin y. $$

从这二式可以解出

$$ \cos y=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}y}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}y}), $$

$$ \sin y=\frac{1}{2\mathrm{i}}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}y}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}y}). $$

这两个式子表明：正弦和余弦可以用指数函数来表示。若将这两个等式右端

的实数 y 改为复数 z，它们仍有意义。因此就可以用它们来作为复变量正弦函数和余弦函数的定义。

定义 2.8 函数 $ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} $ 与 $ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} $ 分别称为复变量 z 的余弦函数与正弦函数，记做 $ \cos z $ 与 $ \sin z $，即

$$ \cos z=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}), $$

$$ \sin z=\frac{1}{2\mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}\right). $$

余弦函数和正弦函数的性质

（1） $ \cos z $ 及 $ \sin z $ 均为单值函数；

(2) $ \cos z $ 及 $ \sin z $ 均为以 $ 2\pi $ 为周期的周期函数；

(3) $ \cos z $ 为偶函数, $ \sin z $ 为奇函数;

(4) $ \cos(z_1 \pm z_2) = \cos z_1 \cos z_2 \mp \sin z_1 \sin z_2 $,

$$ \sin\left(z_{1}\pm z_{2}\right)=\sin z_{1}\cos z_{2}\pm\cos z_{1}\sin z_{2}; $$

(5)

$$ \sin^{2}z+\cos^{2}z=1. $$

上述性质，利用余弦函数、正弦函数的定义容易证得. 例如，

$$ \begin{align*}\cos\left(z+2\pi\right)&=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(z+2\pi\right)}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\left(z+2\pi\right)}}{2}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z+\mathrm{i}2\pi}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z-\mathrm{i}2\pi}}{2}\\&=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2}=\cos z,\end{align*} $$

这就验明了 $ \cos z $ 的周期性.

就上述性质而言，复变量三角函数与实变量三角函数并无区别。但要注意，在实数域内成立的不等式 $ \left|\sin x\right|\leq1 $ 及 $ \left|\cos x\right|\leq1 $ 在复数域内不再成立，而且 $ \sin z $ 和 $ \cos z $ 都是无界的。例如，当 z=iy 时，

$$ \cos z=\cos i y=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{-y}+\mathrm{e}^{y}) $$

随 $ y \to \infty $ 而模 $ \left|\cos i y\right| $ 也无限增大。另外， $ \cos^{2} z $ 及 $ \sin^{2} z $ 不总是非负的，可能取任何复数值。例如

$$ \sin^{2}(-\ 3\mathrm{i})=\left[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-3\mathrm{i})}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(-3\mathrm{i})}}{2\mathrm{i}}\right]^{2}=\left(\frac{\mathrm{e}^{3}-\mathrm{e}^{-3}}{2\mathrm{i}}\right)^{2}=-\frac{(\mathrm{e}^{3}-\mathrm{e}^{-3})^{2}}{4} $$

就是一个负数. 读者还可验证 $ \cos^{2}(1-i) $ 是一个复数.

（6） 解析性

$ \cos z, \sin z $ 在复平面上均为解析函数，且 $ (\cos z)' = -\sin z, (\sin z)' = \cos z $，以 $ \sin z $ 为例证明如下：

设 z 为复平面内的任一点，则

$$ \begin{align*}(\sin z)^{\prime}&=\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2\mathrm{i}}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}\mathrm{i}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}(-\mathrm{i})\right]\\&=\frac{1}{2\mathrm{i}}\mathrm{i}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z})=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z})=\cos z.\end{align*} $$

这说明 $ \sin z $ 在复平面内任一点均可导，因而 $ \sin z $ 在复平面内处处解析.

其他复变量三角函数的定义如下：

$$ \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\quad\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\quad\sec z=\frac{1}{\cos z},\quad\csc z=\frac{1}{\sin z}. $$

§2.3.5 反三角函数

反三角函数作为三角函数的反函数定义如下：

定义 2.9 若 $ \cos w = z $，则 w 叫做复变量 z 的反余弦函数，记为 $ \operatorname{Arccos} z $，即

$$ w=\operatorname{A r c c o s}z. $$

将 $ z = \cos w = \frac{1}{2} (\mathrm{e}^{\mathrm{iw}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{iw}}) $ 两端同乘 $ 2 \mathrm{e}^{\mathrm{iw}} $，得

$$ 2z\mathrm{e}^{i w}=\mathrm{e}^{2i w}+1, $$

或

$$ \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}w}\right)^{2}-2z\mathrm{e}^{\mathrm{i}w}+1=0. $$

于是有 $ e^{in}=z+\sqrt{z^{2}-1} $，再由对数函数的定义即得

$$ i w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right), $$

所以

$$ w=-\operatorname{i L n}\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right), $$

由此可见，反余弦函数是多值函数。

用同样方法可定义反正弦函数 $ \arcsin z $ 及反正切函数 $ \arctan z $，并且它们与对数函数有如下关系：

$$ \operatorname{A r c s i n}z=-\operatorname{i L n}(\operatorname{i}z+\sqrt{1-z^{2}}),\quad\operatorname{A r c t a n}z=\frac{\operatorname{i}}{2}\operatorname{L n}\frac{\operatorname{i}+z}{\operatorname{i}-z}, $$

它们均为多值的.

§2.3.6 双曲函数与反双曲函数

定义 2.10 $ \sinh z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2} $, $ \cosh z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} $,

$$ \tanh z=\frac{\mathrm{e}^{z}-\mathrm{e}^{-z}}{\mathrm{e}^{z}+\mathrm{e}^{-z}},\quad\coth z=\frac{\mathrm{e}^{z}+\mathrm{e}^{-z}}{\mathrm{e}^{z}-\mathrm{e}^{-z}} $$

分别称作复变量 z 的双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数及双曲余切函数.

双曲函数与三角函数之间有如下关系：

$$ \sinh z=-\textrm{i}\sin\textrm{i}z,\quad\cosh z=\cos\textrm{i}z, $$

$$ \tanh z=-\textrm{i}\tan\textrm{i}z,\quad\coth z=\textrm{i}\cot\textrm{i}z, $$

由这些关系式也可看出双曲函数是单值的且以虚数 $ 2\pi i $ 为周期的周期函数. $ \sinh z $ 为奇函数, $ \cosh z $ 为偶函数, 而且均在复平面内解析, 且

$$ \left(\sinh z\right)^{\prime}=\cosh z,\quad\left(\cosh z\right)^{\prime}=\sinh z. $$

由于双曲函数的周期性决定了它们的反函数的多值性，现把相应的反双曲函数分列如下：

反双曲正弦函数 $ \mathrm{Arsinh} z = \mathrm{Ln}(z + \sqrt{z^{2} + 1}) $，

反双曲余弦函数 $ \operatorname{Arcosh} z = \ln(z + \sqrt{z^{2} - 1}) $,

反双曲正切函数 $ \operatorname{Artanh} z = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + z}{1 - z} $,

反双曲余切函数 $ \operatorname{Arcoth} z = \frac{1}{2} \ln \frac{z+1}{z-1} $.

本章小结

解析函数是复变函数的主要研究对象。本章的重点是正确理解复变函数的导数与解析函数等基本概念，掌握判断复变函数可导与解析的方法，熟悉复变量初等函数的定义和主要性质，特别要注意在复数范围内，实变量初等函数的哪些性质不再成立，以及显现出哪些在实数范围内所没有的性质。

本章学习重点如下：

1. 解析函数具有很好的性质. C-R 方程是判断函数可导和解析的主要条件, 函数 $ f(z) $ 在区域 D 内可导, 等价于函数 $ f(z) $ 在 D 内解析; 但 $ f(z) $ 在一点 $ z_{0} $ 可导, 却不等价于 $ f(z) $ 在 $ z_{0} $ 解析.

1. 要求掌握从已知的调和函数 $ u(x, y) $ 求共轭调和函数 $ v(x, y) $ 以组成解析函数的方法. 已知两个共轭调和函数 u 与 v, 便可构成解析函数 $ u + iv $; 反之已知解析函数, 则它的实

部与虚部均为调和函数，且虚部是实部的共轭调和函数；随便给两个调和函数并不一定组成解析函数。对这些关系要有清晰的了解和深刻的认识。

1. 要清楚地认识复变量初等函数其实是相应的实变量初等函数在复平面上的推广，其关键所在是推广后的函数所必须具备的解析性。如幂函数 $ z^n $（ $ n $ 为正整数）、指数函数、正余弦函数在复平面上解析；幂函数 $ z^\alpha $（ $ \alpha $ 非正整数）及对数函数在单值分支 $ -\pi < \arg z < \pi $ 内连续且解析等。

1. 要注意每一个函数的基本特性，如周期性及一些运算法则。对函数 $ \sqrt{z} $ 及 $ \ln z $ 的多值性，单值分支的取法，特别是主值如何作为普通单值函数来运用等问题，要有清楚的认识。

目思考题

2.1 复变函数 $ f(z) $ “在 $ z_{0} $ 处可导” 与 “在 $ z_{0} $ 处解析” 有什么不同？

2.2 能否说“实部与虚部满足 C-R 方程的复变函数是解析函数”？

2.3 若 $ \psi $ 是 $ \varphi $ 的共轭调和函数， $ \varphi $ 是不是 $ \psi $ 的共轭调和函数？

2.4 在 $ \mathrm{Ln}(z_{1}z_{2})=\mathrm{Ln}z_{1}+\mathrm{Ln}z_{2} $ 中，当 $ z_{1}=z_{2}=z $ 时， $ \mathrm{Ln}(z_{1}z_{2}) $ 能否写成 $ \mathrm{Ln}z^{2} $? $ \mathrm{Ln}z+\mathrm{Ln}z $ 能否写成 $ 2\mathrm{Ln}z $?

题目习题二

2.1 用导数定义求下列函数的导数：

(1) $ f(z) = \frac{1}{z} $; (2) $ f(z) = z \mathrm{Re} z $.

2.2 下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？

(1) $ f(z) = \bar{z} z^{2} $;

(2) $ f(z) = x^{2} + \mathrm{i} y^{2} $;

(3) $ f(z) = x^{3} - 3xy^{2} + \mathrm{i}(3x^{2}y - y^{3}) $;

(4) $ f(z) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y $.

2.3 确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：

$ \frac{1}{z^{2}-1} $; (2) $ \frac{az+b}{cz+d} $ (c,d至少有一个不为零).

2.4 若函数 $ f(z) $ 在区域 D 内解析，并满足下列条件之一，试证： $ f(z) $ 必为常数.

(1) $ \overline{f(z)} $在D内解析；(2) $ v=u^{2} $;

（3） $ \arg f(z) $ 在 D 内为常数；（4） $ au+bv=c $（a,b,c 为不全为零的实常数）.

2.5 设 $ f(z) $ 在区域 D 内解析. 试证：

第二章单元

自测题

$$ \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right)\ \left|\ f(z)\ \right|^{2}=4\ \left|\ f^{\prime}(z)\ \right|^{2}. $$

2.6 试证 C-R 方程的极坐标形式为

$$ \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta},\quad\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}. $$

并且有

$$ \begin{array}{r l r l}{f^{\prime}\left(z\right)}&{=\mathrm{\quad}\frac{r}{z}\Bigg(\mathrm{\quad}\frac{\partial u}{\partial r}+\mathrm{\quad i\quad}\frac{\partial v}{\partial r}\Bigg)}&{=\mathrm{\quad}\frac{1}{z}\Bigg(\mathrm{\quad}\frac{\partial v}{\partial\theta}-\mathrm{\quad i\quad}\frac{\partial u}{\partial\theta}\Bigg).}\end{array} $$

2.7 试证： $ u=x^{2}-y^{2} $， $ v=\frac{y}{x^{2}+y^{2}} $都是调和函数，但 $ u+iv $不是解析函数.

2.8 如果 $ f(z)=u+iv $ 为解析函数，试证：-u 是 v 的共轭调和函数.

2.9 由下列条件求解析函数 $ f(z) = u + iv $.

(1) $ u = (x - y)(x^2 + 4xy + y^2) $; (2) $ v = 2xy + 3x $;

$ =2(x-1)y, f(0) = -\mathrm{i}; $ (4) $ u = \mathrm{e}^{x} (x \cos y - y \sin y), f(0) = 0. $

2.10 设 $ v = e^{px} \sin y $，求 p 的值使 v 为调和函数，并求出解析函数 $ f(z) = u + iv $.

2.11 证明：一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数.

2.12 如果 $ f(z)=u+iv $ 是一解析函数，试证： $ \mathrm{i}\overline{f}(z) $ 也是解析函数.

2.13 试解方程：

$$ \mathrm{e}^{z}=1+\sqrt{3}\mathrm{i} $$

$$ \ln z=\frac{\pi i}{2}; $$

(3) $ \sin z = i \sinh 1 $; (4) $ \sin z + \cos z = 0 $.

2.14 求下列各式的值：

(1) $ \cos i $; (2) $ \ln(-3+4i) $;

(3) $ (1-\mathrm{i})^{1+\mathrm{i}} $; (4) $ 3^{3-\mathrm{i}} $.

2.15 证明：

(1) $ \sin z = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y $;

(2) $ \cos(z_1 + z_2) = \cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2 $;

$$ \sin^{2}z+\cos^{2}z=1; $$

(4) $ \sin 2z = 2\sin z \cos z $;

(5) $ \left|\sin z\right|^{2}=\sin^{2}x+\sinh^{2}y; $

(6) $ \sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos z. $

2.16 证明：

(1) $ \cosh^{2}z - \sinh^{2}z = 1 $; (2) $ \cosh 2z = \sinh^{2}z + \cosh^{2}z $;

(4) $ \sinh(z_{1}+z_{2})=\sinh z_{1}\cosh z_{2}+\cosh z_{1}\sinh z_{2} $

$$ \tanh\left(z+\pi i\right)=\tanh z; $$

2.17 证明：$\cos h\,z$ 的反函数 $\operatorname{Arcosh} z = \ln(z + \sqrt{z^2 - 1})$.

2.18 由于 $ \ln z $ 为多值函数，指出下列错误：

(1)

$$ \mathrm{Ln}z^{2}=2\mathrm{Ln}z; $$

$$ \begin{align*}\textrm{Ln}\ 1=\textrm{Ln}\ \frac{z}{z}=\textrm{Ln}\ z-\textrm{Ln}\ z=0.\end{align*} $$

2.19 试问：在复数域中 $ (a^{b})^{c} $ 与 $ a^{bc} $ 一定相等吗？

2.20 下列各命题是否成立？

(1) $ \mathrm{e}^{\mathrm{z}} = \mathrm{e}^{\mathrm{z}} $;

(2) $ \overline{p(z)} = p(\bar{z}) $ (p(z)为多项式);

(3) $ \sin z = \sin \bar{z} $;

(4) $ \mathrm{Ln}\ z = \mathrm{Ln}\ \bar{z} $