第八章 假设检验

第八章 假设检验

1. 某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）

3.25 3.27 3.24 3.26 3.24

设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在 $ \alpha=0.01 $ 下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25.

解 按题意总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^{2}) $， $ \mu, \sigma^{2} $ 均未知，要求在显著性水平 $ \alpha = 0.01 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\mu=3.25,\quad H_{1}:\mu\neq3.25. $$

因 $ \sigma^{2} $ 未知，故采用 t 检验，取检验统计量为 $ t=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}} $ 。今 n=5, $ \bar{x}=3.252 $, s=0.013, $ \alpha=0.01 $, $ t_{\alpha/2}(n-1)=t_{0.005}(4)=4.604 $ 1，拒绝域为

$$ |t|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}\right|\geqslant t_{a/2}(n-1)=4.604 $$

因 $ \left|t\right| $ 的观察值 $ \left|t\right|=\left|\frac{3.252-3.25}{0.013/\sqrt{5}}\right|=0.344<4.604 $ 1，不落在拒绝域之内，故在显著性水平 $ \alpha=0.01 $ 下接受原假设 $ H_{0} $，即认为这批矿砂镍含量的均值为 3.25.

1. 如果一个矩形的宽度 w 与长度 l 的比 $ \frac{w}{l} = \frac{1}{2} (\sqrt{5} - 1) \approx 0.618 $，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代的建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩形。下面列出某工艺品工厂随机取的 20 个矩形的宽度与长度的比值。

$$ \begin{aligned}&0.693\quad0.749\quad0.654\quad0.670\quad0.662\quad0.672\quad0.615\quad0.606\\&0.690\quad0.628\quad0.668\quad0.611\quad0.606\quad0.609\quad0.601\quad0.553\\&0.570\quad0.844\quad0.576\quad0.933\end{aligned} $$

设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^{2} $， $ \mu $， $ \sigma^{2} $ 均未知。试检验假设（取 $ \alpha=0.05 $）

$$ H_{0}:\mu=0.618,\quad H_{1}:\mu\neq0.618. $$

解 本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下，检验正态总体均值的假设

$$ H_{0}:\mu=0.618,\quad H_{1}:\mu\neq0.618. $$

因 $ \sigma $未知，故采用t检验。因n=20, $ \bar{x}=0.6605,s=0.0925,\alpha=0.05,t_{\alpha/2}(n-1)= $

$ t_{0.025} $ (19)=2.093，拒绝域为

$$ \left|t\right|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}\right|\geqslant t_{0.025}(19)=2.093. $$

今观察值

$$ |t|=\left|\frac{0.6605-0.618}{0.0925/\sqrt{20}}\right|=2.055<2.093, $$

不落在拒绝域之内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下接受原假设 $ H_{0}:\mu=0.618 $.

1. 要求一种元件平均使用寿命不得低于 $ 1\ 000\ h $，生产者从一批这种元件中随机抽取 25 件，测得其寿命的平均值为 $ 950\ h $。已知该种元件寿命服从标准差为 $ \sigma = 100\ h $ 的正态分布。试在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下判断这批元件是否合格？设总体均值为 $ \mu $， $ \mu $ 未知。即需检验假设 $ H_0: \mu \geqslant 1\ 000 $， $ H_1: \mu < 1\ 000 $。

解 本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下，检验正态总体均值的假设

$$ H_{0}:\mu\geqslant1\ 000,\quad H_{1}:\mu<1\ 000. $$

因 $ \sigma^{2} $ 已知，故采用 Z 检验，取检验统计量为 $ Z=\frac{X-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}} $，今 n=25， $ \bar{x}=950 $， $ \sigma=100 $， $ \alpha=0.05 $， $ z_{0.05}=1.645 $，拒绝域为

$$ z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\leq-z_{a}=-1.645. $$

因 Z 的观察值为 $ z=\frac{950-1\ 000}{100/\sqrt{25}}=-2.5<-1.645 $，落在拒绝域内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下拒绝原假设 $ H_{0} $，认为这批元件不合格.

1. 下面列出的是某工厂随机选取的 20 只部件的装配时间(min):

设装配时间的总体服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^{2}) $， $ \mu, \sigma^{2} $ 均未知。是否可以认为装配时间的均值显著大于10（取 $ \alpha=0.05 $）？

解 我们取 $ H_{0} $ 为维持原状，即取 $ H_{0} $ 为 $ \mu \leqslant 10 $，取 $ H_{1} $ 为 $ \mu > 10 $（事实上我们关心的是 $ \mu $ 有没有大于 10），即需在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\mu\leqslant10,\quad H_{1}:\mu>10. $$

因为 $ \sigma $未知，故采用t检验，现在n=20, $ \bar{x}=10.2 $,s=0.5099, $ t_{0.05}(n-1)=t_{0.05}(19)=1.7291 $，拒绝域为

$$ t=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}>t_{a}(n-1)=1.7291. $$

因 t 的观察值

$$ t=\frac{10.2-10}{0.509\ 9/\sqrt{20}}=1.754>1.7291, $$

落在拒绝域内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下拒绝原假设 $ H_{0} $，认为装配时间的均值显著地大于10.

1. 按规定，100 g 罐头番茄汁中的平均维生素 C 含量不得少于 21 mg/g. 现从工厂的产品中抽取 17 个罐头，其 100 g 番茄汁中，测得维生素 C 含量 (mg/g) 记录如下：

设维生素含量服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^{2}) $， $ \mu, \sigma^{2} $ 均未知，问这批罐头是否符合要求（取显著性水平 $ \alpha = 0.05 $）.

解 本题需检验假设 $ \alpha=0.05 $，

$$ H_{0}:\mu\geqslant21,\quad H_{1}:\mu<21. $$

今 $ n=17,\overline{x}=20,s=3.984,t_{0.05}(16)=1.7459 $

$$ \frac{20-21}{3.984/\sqrt{17}}=-1.035>-1.7459. $$

故接受 $ H_{0} $，认为这批罐头是符合规定的.

1. 下表分别给出两位文学家马克·吐温(Mark Twain)的8篇小品文以及斯诺特格拉斯(Snodgrass)的10篇小品文中由3个字母组成的单字的比例：

设两组数据分别来自正态总体，且两总体方差相等，但参数均未知。两样本相互独立。问两位作家所写的小品文中包含由3个字母组成的单字的比例是否有显著的差异（取 $ \alpha=0.05 $）？

解 按题意总体 $ X \sim N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}) $， $ Y \sim N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}) $，两总体的方差相等，均等于 $ \sigma^{2} $， $ \sigma^{2} $ 未知，两样本相互独立，本题需在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2},\quad H_{1}:\mu_{1}\neq\mu_{2}. $$

采用 t 检验，取检验统计量为 $ t=\frac{X-Y-\delta}{S_{w}\sqrt{1/n_{1}+1/n_{2}}} $，今 $ n_{1}=8, n_{2}=10, \bar{x}= $ 0.2319, $ \bar{y}=0.2097, s_{1}^{2}=0.0146^{2}, s_{2}^{2}=0.0097^{2}, s_{w}^{2}=\frac{(8-1)s_{1}^{2}+(10-1)s_{2}^{2}}{8+10-2}=0.012^{2}, \delta=0, t_{0.025}(16)=2.1199 $。拒绝域为

$$ |t|=\left|\frac{\bar{x}-\bar{y}}{s_{w}\sqrt{1/n_{1}+1/n_{2}}}\right|\geqslant t_{a/2}(n_{1}+n_{2}-2)=2.1199. $$

因观察值

$$ |t|=\left|\frac{0.2319-0.2097}{0.012\sqrt{1/8+1/10}}\right|=3.900>2.119 $$

落在拒绝域之内，故拒绝 $ H_{0} $，认为两位作家所写的小品文中包含由3个字母组成的单字的比例有显著的差异.

1. 在20世纪70年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA).到了20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程.下面给出分别在新老两种过程中形成的NDMA含量(以10亿份中的份数计):

设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等，但参数均未知。两样本独立。分别以 $ \mu_{1}, \mu_{2} $ 记对应于老、新过程的总体的均值，试检验假设 ( $ \alpha = 0.05 $)

$$ H_{0}:\mu_{1}-\mu_{2}\leqslant2,\quad H_{1}:\mu_{1}-\mu_{2}>2. $$

解 本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\mu_{1}-\mu_{2}\leqslant2,\quad H_{1}:\mu_{1}-\mu_{2}>2. $$

采用 t 检验. 今 $ n_{1}=n_{2}=12,\bar{x}_{1}=5.25,\bar{x}_{2}=1.5,(n_{1}-1)s_{1}^{2}=10.25,(n_{2}-1)s_{2}^{2}=11,s_{w}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}=\frac{11s_{1}^{2}+11s_{2}^{2}}{22}=0.9828^{2},t_{a}(n_{1}+n_{2}-2)=t_{0.05}(22)=1.7171,\delta=2 $ 拒绝域为

$$ t=\frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}-2}{s_{w}\sqrt{1/n_{1}+1/n_{2}}}\geqslant t_{a}(n_{1}+n_{2}-2)=1.7171. $$

因 t 的观察值 $ t=\frac{5.25-1.5-2}{0.9828\sqrt{1/12+1/12}}=4.3616>1.7171 $ ，落在拒绝域内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下拒绝 $ H_{0} $，认为老新过程的均值差大于2.

1. 随机地选了8个人，分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高（cm），得到以下的数据：

设各对数据的差 $ D_{i}=X_{i}-Y_{i}(i=1,2,\cdots,8) $ 是来自正态总体 $ N(\mu_{D},\sigma_{D}^{2}) $ 的样本， $ \mu_{D},\sigma_{D}^{2} $ 均未知. 问是否可以认为早晨的身高比晚上的身高要高（取 $ \alpha=0.05 $）？

解题中的数据属成对数据，且可认为成对数据之差来自正态总体 $ N(\mu_{D}, \sigma_{D}^{2}) $，本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\mu_{D}\leq0,\quad H_{1}:\mu_{D}>0. $$

采用t检验，取检验统计量 $ t=\frac{\overline{D}-0}{S_{D}/\sqrt{n}} $，今n=8，各对数据之差 $ d_{i}=x_{i}-y_{i}\quad(i=1,2,\cdots,8) $依次为0,1,3,2,1,2,-1,2，由此得 $ \bar{d}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}d_{i}=1.25,s_{D}=1.2817,\alpha=0.05,t_{\alpha}(7)=t_{0.05}(7)=1.8946 $，拒绝域为

$$ t=\frac{\overline{d}-0}{s_{D}/\sqrt{n}}>t_{a}(n-1)=1.8946. $$

因 t 的观察值 $ t=\frac{1.25-0}{1.281\ 7/\sqrt{8}}=2.758>1.894\ 6 $，落在拒绝域之内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下拒绝 $ H_{0} $，认为早晨的身高比晚上的身高要高.

1. 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，选取了15名男子（他们的生活条件各不相同），每人穿一双新鞋，其中一只是以材料A做后跟，另一只以材料B做后跟，其厚度均为10 mm. 过了一个月再测量厚度，得到数据如下：

设 $ D_{i}=X_{i}-Y_{i} $ (i=1,2,\cdots,15) 是来自正态总体 $ N(\mu_{D},\sigma_{D}^{2}) $ 的样本， $ \mu_{D},\sigma_{D}^{2} $ 均未知. 问是否可以认为以材料 A 制成的后跟比材料 B 的耐穿（取 $ \alpha=0.05 $）?

解 题中的数据属成对数据. 本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\mu_{D}{\leqslant}0,\quad H_{1}:\mu_{D}>0. $$

采用t检验，取检验统计量同第8题。今n=15， $ d_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1,2,\cdots,15) $依次为-0.8,1.6,-0.5,0.2,-1.6,0.2,1.6,1.0,0.8,1.0,1.7,1.2,1.9,0,0, $ \bar{d}=0.5533 $, $ s_{D}=1.0225 $, $ \alpha=0.05 $, $ t_{\alpha}(n-1)=t_{0.05}(14)=1.7613 $ ，拒绝域为

$$ t=\frac{\overline{d}-0}{s_{D}/\sqrt{n}}\geqslant t_{a}(n-1)=1.7613. $$

因 t 的观察值 $ t=\frac{0.553\ 3-0}{1.022\ 5/\sqrt{15}}=2.0958>1.7613 $，所以在 $ \alpha=0.05 $ 下拒绝 $ H_{0} $，认为材料 A 的制品较材料 B 的耐穿.

1. 为了试验两种不同的某谷物的种子的优劣，选取了10块土质不同的土地，并将每块土地分为面积相同的两部分，分别种植这两种种子。设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的单位面积产量：

设 $ D_{i}=X_{i}-Y_{i}\quad(i=1,2,\cdots,10) $ 是来自正态总体 $ N(\mu_{D},\sigma_{D}^{2}) $ 的样本， $ \mu_{D},\sigma_{D}^{2} $ 均未知.问以这两种种子种植的谷物的产量是否有显著的差异（取 $ \alpha=0.05 $）？

解 题中的数据属成对数据，本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\mu_{_{D}}=0,\quad H_{1}:\mu_{_{D}}\neq0. $$

采用 t 检验，取检验统计量同第 8 题。今 n=10, $ d_{i}=x_{i}-y_{i} $ (i=1,2,\cdots,10) 依次为 -3, -4, -6, 2, 1, 5, 1, 7, -6, 1, $ \overline{d}=-0.2 $, $ s_{D}=4.44 $, $ \alpha=0.05 $, $ t_{\alpha/2}(n-1)=t_{0.025}(9)=2.262 $ 2. 拒绝域为

$$ t\mid\geqslant t_{a/2}(n-1)=2,262,2. $$

因 $ \left|t\right| $ 的观察值 $ \left|t\right|=\left|\frac{-0.2-0}{4.44/\sqrt{10}}\right|=0.142<2.262 $ 2，故在 $ \alpha=0.05 $ 下接受 $ H_{0} $，认为这两种种子的谷物的产量无显著差异.

1. 一种混杂的小麦品种，株高的标准差为 $ \sigma_{0}=14 $ cm，经提纯后随机抽取 10 株，它们的株高（以 cm 计）为

$$ \begin{array}{l} 90 \quad 105 \quad 101 \quad 95 \quad 100 \quad 100 \quad 101 \quad 105 \quad 93 \quad 97 \end{array} $$

考察提纯后群体是否比原群体整齐？取显著性水平 $ \alpha=0.01 $，并设小麦株高服从 $ N(\mu,\sigma^{2}) $。

解 需检验假设 $ \alpha=0.01 $

$$ H_{0}:\sigma\geqslant\sigma_{0},\qquad H_{1}:\sigma<\sigma_{0}\quad(\sigma_{0}=14) $$

采用 $ \chi^{2} $检验法.拒绝域为

$$ \chi^{2}=\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\leqslant\chi_{1-\alpha}^{2}(9). $$

现在，n=10， $ \chi_{1-0.01}(9)=2.088 $， $ s^{2}=24.233 $。

$$ \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}=\frac{218.1}{14^{2}}=1.11<2.088. $$

故拒绝 $ H_{0} $，认为提纯后的群体比原群体整齐.

1. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过 $ 0.005 \, \Omega $，今在生产的一批导线中取样品9根，测得 $ s = 0.007 \, \Omega $，设总体为正态分布，参数均未知。问在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下能否认为这批导线的标准差显著地偏大？

解 本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\sigma\leqslant0.005,\quad H_{1}:\sigma>0.005. $$

采用 $ \chi^{2} $检验，取检验统计量为 $ \chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}} $。今 $ n=9,s^{2}=0.007^{2},\alpha=0.05,\chi_{a}^{2}(n-1)=\chi_{0.05}^{2}(8)=15.507 $，拒绝域为

$$ \chi^{2}=\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\geqslant\chi^{2}(n-1)=15.507. $$

因 $ \chi^{2} $的观察值 $ \chi^{2}=\frac{8\times(0.007)^{2}}{0.005^{2}}=15.68>15.507 $，落在拒绝域内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下拒绝 $ H_{0} $，即认为这批导线的标准差显著地偏大.

1. 在第2题中记总体的标准差为 $ \sigma $，试检验假设（取 $ \alpha=0.05 $）

$$ H_{0}:\sigma^{2}=0.11^{2},\quad H_{1}:\sigma^{2}\neq0.11^{2}. $$

解 本题为第2题的方差检验问题，即要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下，检验假设

$$ H_{0}:\sigma^{2}=0.11^{2},\quad H_{1}:\sigma^{2}\neq0.11^{2}. $$

采用 $ \chi^{2} $检验.今n=20, $ s^{2}=0.0925^{2} $, $ \alpha=0.05 $, $ \chi_{\alpha/2}^{2}(n-1)=\chi_{0.025}^{2}(19)=32.852 $, $ \chi_{1-\alpha/2}^{2}(n-1)=\chi_{0.975}^{2}(19)=8.907 $, 拒绝域为

$$ \chi^{2}=\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\geqslant\chi_{a/2}^{2}(n-1)=32.852, $$

或

$$ \chi^{2}=\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\leqslant\chi_{1-\alpha/2}^{2}(n-1)=8.907. $$

因 $ \chi^{2} $的观察值为 $ \chi^{2}=\frac{(20-1)\times0.092\ 5^{2}}{0.11^{2}}=13.44 $，又因为8.907<13.44<32.852，

即 $ \chi^{2} $的观察值不落在拒绝域之内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下接受 $ H_{0} $，即认为 $ \sigma^{2}=0.11^{2} $

1. 测定某种溶液中的水分，它的10个测定值给出 s=0.037%，设测定值总体为正态分布， $ \sigma^{2} $ 为总体方差， $ \sigma^{2} $ 未知。试在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\sigma\geqslant0.04\%,\quad H_{1}:\sigma<0.04\% $$

解 本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\sigma\geqslant0.04\%,\quad H_{1}:\sigma<0.04\% $$

采用 $ \chi^{2} $检验.今n=10,s=0.037%, $ \alpha=0.05 $, $ \chi_{1-\alpha}^{2}(n-1)=\chi_{0.95}^{2}(9)=3.325 $,拒绝域为

$$ \chi^{2}=\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\leqslant\chi_{1-a}^{2}(n-1)=3.325. $$

因 $ \chi^{2} $的观察值为 $ \chi^{2}=\frac{(10-1)\times0.037^{2}}{0.04^{2}}=7.701>3.325 $，不落在拒绝域内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下接受 $ H_{0}:\sigma\geqslant0.04\% $.

1. 在第6题中分别记两个总体的方差为 $ \sigma_{1}^{2} $ 和 $ \sigma_{2}^{2} $. 试检验假设(取 $ \alpha=0.05 $)

$$ H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2},\quad H_{1}:\sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}, $$

以说明在第6题中我们假设 $ \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} $是合理的.

解 本题为第6题的两总体方差的检验问题，即要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下，检验假设

$$ H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2},\quad H_{1}:\sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}. $$

采用 F 检验，取检验统计量为 $ F = S_{1}^{2} / S_{2}^{2} $. 今 $ n_{1} = 8, n_{2} = 10, s_{1}^{2} = 0.0146^{2} $, $ s_{2}^{2} = 0.0097^{2}, \alpha = 0.05, F_{\alpha/2}(n_{1} - 1, n_{2} - 1) = F_{0.025}(7, 9) = 4.20, F_{1-\alpha/2}(n_{1} - 1, n_{2} - 1) = 1/F_{\alpha/2}(n_{2} - 1, n_{1} - 1) = 1/F_{0.025}(9, 7) = 1/4.82 = 0.207 $. 拒绝域为

$$ F=s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\geqslant F_{a/2}(n_{1}-1,n_{2}-1)=4.20, $$

或

$$ F=s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\leqslant F_{1-a/2}(n_{1}-1,n_{2}-1)=0.207. $$

今 F 的观察值为 $ F=0.014\ 6^{2}/0.009\ 7^{2}=2.27 $，因 0.207<2.27<4.2，不落在拒绝域中，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下接受 $ H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} $，认为两总体方差相等.

注意：在采用 F 检验法检验双边假设 $ H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}, H_{1}:\sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2} $ 时，接受域为

$$ F_{1-a/2}(n_{1}-1,n_{2}-1)

易犯的错误是，将接受域误写成 $ s_{1}^{2}/s_{2}^{2}F_{1-a/2}(n_{1}-1,n_{2}-1) $.

1. 在第7题中分别记两个总体的方差为 $ \sigma_{1}^{2} $ 和 $ \sigma_{2}^{2} $. 试检验假设(取 $ \alpha=0.05 $)

$$ H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2},\quad H_{1}:\sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}. $$

以说明在第7题中我们假设 $ \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} $是合理的.

解 本题为第7题的两总体方差的检验问题，即要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ \begin{array}{l}H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2},\quad H_{1}:\sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}.\end{array} $$

采用 F 检验. 今 $ n_{1}=n_{2}=12, s_{1}^{2}=0.9318, s_{2}^{2}=1, \alpha=0.05, F_{a/2}(n_{1}-1, n_{2}-1)=F_{0.025}(11, 11)=3.48, F_{1-a/2}(n_{1}-1, n_{2}-1)=1/F_{a/2}(n_{2}-1, n_{1}-1)=1/F_{0.025}(11, 11)=1/3.48=0.287 $，拒绝域为

$$ F=s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\geqslant F_{a/2}(n_{1}-1,n_{2}-1)=3.48, $$

或

$$ F=s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\leqslant F_{1-\alpha/2}(n_{1}-1,n_{2}-1)=0.287. $$

今 F 的观察值为 F=0.9318，因 0.287<0.9318<3.48，不落在拒绝域之内，故

在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下接受 $ H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} $，认为两总体方差相等.

1. 两种小麦品种从播种到抽穗所需的天数如下：

设两样本依次来自正态总体 $ N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}) $， $ N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}) $， $ \mu_{i} $， $ \sigma_{i} $ (i=1,2) 均未知，两样本相互独立.

（1）试检验假设 $ H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}, H_{1}:\sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2} $ （取 $ \alpha=0.05 $）.

（2）若能接受 $ H_{0} $，接着检验假设 $ H_{0}^{\prime}:\mu_{1}=\mu_{2},H_{1}^{\prime}:\mu_{1}\neq\mu_{2} $（取 $ \alpha=0.05 $）.

解 本题需检验

(1)

$$ H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2},\quad H_{1}:\sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}\quad(\alpha=0,05). $$

(2)

$$ \mathrm{H}_{0}^{\prime}:\mu_{1}=\mu_{2},\quad\mathrm{H}_{1}^{\prime}:\mu_{1}\neq\mu_{2}\quad(\alpha=0,0.05). $$

今 $ n_{1}=10,n_{2}=10,\overline{x_{1}}=99.2,s_{1}^{2}=0.84,\overline{x_{2}}=98.9,s_{2}^{2}=0.77 $

(1) $ s_{1}^{2}/s_{2}^{2}=1.09 $，而 $ F_{0.025}(9,9)=4.03 $， $ F_{0.975}(9,9)=\frac{1}{4.03} $

$$ \frac{1}{4.03}<1.09<4.03. $$

故接受 $ H_{0} $，认为两者方差相等.

(2)

$$ s_{w}^{2}=\frac{9\times0.84+9\times0.77}{18}=0.805. $$

$$ n=j\pi^{3}<0 $$

$$ |t|=\frac{99.2-98.9}{\sqrt{0.805}\left(\sqrt{1/10}+1/10\right)}=0.748

故接受 $ H_{0}^{\prime} $，认为所需天数相同.

1. 用一种叫“混乱指标”的尺度去衡量工程师的英语文章的可理解性，对混乱指标的打分越低表示可理解性越高。分别随机选取13篇刊载在工程杂志上的论文，以及10篇未出版的学术报告，对它们的打分列于下表：

设数据 I，Ⅱ分别来自正态总体 $ N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}) $， $ N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}) $， $ \mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} $ 均未知，两样本独立.

（1）试检验假设 $ H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}, H_{1}:\sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2} $ （取 $ \alpha=0.1 $）.

(2) 若能接受 $ H_{0} $，接着检验假设 $ H_{0}^{\prime}:\mu_{1}=\mu_{2}, H_{1}^{\prime}:\mu_{1}\neq\mu_{2} $ （取 $ \alpha=0.1 $）.

解 (1) $ n_{1}=13 $, $ n_{2}=10 $, $ s_{1}^{2}=0.034 $, $ s_{2}^{2}=0.0264 $, $ \alpha=0.1 $, $ F_{0.05}(12,9)=3.07 $, $ F_{1-0.05}(12,9)=\frac{1}{F_{0.05}(9,12)}=\frac{1}{2.80}=0.357 $, $ s_{1}^{2}/s_{2}^{2}=1.288 $. 由于

$ 0.357

故接受 $ H_{0} $，认为两总体方差相等.

（2）由（1）可认为 $ \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} $，接着来检验 $ H_{0}^{\prime}:\mu_{1}=\mu_{2},H_{1}^{\prime}:\mu_{1}\neq\mu_{2} $。经计算 $ \overline{x}_{1}=1.752,\overline{x}_{2}=2.507 $。

$$ s_{w}^{2}=\frac{12\times0.034+9\times0.0264}{13+10-2}=0.0307 $$

$$ |t|=\left|\frac{1.752-2.507}{\sqrt{0.0307}\sqrt{1/13+1/10}}\right|=10.244. $$

而 $ t_{0.05}(13+10-2)=t_{0.05}(21)=1.7207 $，故拒绝 $ H_{0}' $，认为杂志上刊载的论文与未出版的学术报告的可理解性有显著差异。

注意: 在采用 t 检验法检验有关两个正态总体均值差的假设时, 先要检查一下两总体的方差是否相等. 若在题目中未指明两总体方差相等时, 需先用 F 检验法来检验方差齐性, 只有当经 F 检验认为两总体方差相等时, 才能用 t 检验法来检验有关均值差的假设, 如上题所示.

1. 有两台机器生产金属部件. 分别在两台机器所生产的部件中各取一容量 $ n_{1}=60, n_{2}=40 $ 的样本，测得部件重量（以 kg 计）的样本方差分别为 $ s_{1}^{2}=15.46, s_{2}^{2}=9.66 $. 设两样本相互独立. 两总体分别服从 $ N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}), N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}) $ 分布. $ \mu_{i}, \sigma_{i}^{2} $ (i=1,2) 均未知. 试在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\sigma_{1}^{2}\leqslant\sigma_{2}^{2},\quad H_{1}:\sigma_{1}^{2}>\sigma_{2}^{2}. $$

解 本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\sigma_{1}^{2}\leqslant\sigma_{2}^{2},\quad H_{1}:\sigma_{1}^{2}>\sigma_{2}^{2}. $$

采用 F 检验. 今 $ n_{1}=60, n_{2}=40, s_{1}^{2}=15.46, s_{2}^{2}=9.66, \alpha=0.05, F_{a}(n_{1}-1, n_{2}-1) = F_{0.05}(59,39) = 1.64 $. 拒绝域为

$$ F=s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\geqslant F_{a}(n_{1}-1,n_{2}-1)=1.64. $$

因 F 的观察值 F=15.46/9.66=1.60<1.64，不落在拒绝域之内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下接受 $ H_{0} $，认为 $ \sigma_{1}^{2} $ 不大于 $ \sigma_{2}^{2} $.

1. 设需要对某一正态总体的均值进行假设检验

$$ H_{0}:\mu{\geqslant}15,\quad H_{1}:\mu<15. $$

已知 $ \sigma^{2}=2.5 $ 。取 $ \alpha=0.05 $ 。若要求当 $ H_{1} $ 中的 $ \mu\leq13 $ 时犯第Ⅱ类错误的概率不超过 $ \beta=0.05 $ ，求所需的样本容量。

解 在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验 $ H_{0}:\mu\geqslant15,H_{1}:\mu<15 $ ，且已知 $ \sigma^{2}=2.5 $ 因要求当 $ \mu\in H_{1} $ 且 $ \mu\leqslant13=15-\delta $ 时，犯第Ⅱ类错误的概率不超过 $ \beta=0.05 $ ，因

此, $ \delta=2 $，所要求的样本容量n所满足的关系式为

$$ \sqrt{n}\geqslant(z_{a}+z_{b})\sigma/\delta $$

其中， $ z_{a}=z_{0.05}=1.645 $， $ z_{\beta}=z_{0.05}=1.645 $， $ \sigma=\sqrt{2.5} $，故

$$ n\geqslant1.645^{2}\times2.5=6.765. $$

因此，取 $ n \geqslant 7 $ 就能满足题中的要求.

1. 电池在货架上滞留的时间不能太长.下面给出某商店随机选取的8只电池的货架滞留时间(以天计):

$$ \begin{array}{l} 108 \quad 124 \quad 124 \quad 106 \quad 138 \quad 163 \quad 159 \quad 134 \end{array} $$

设数据来自正态总体 $ N(\mu,\sigma^{2}),\mu,\sigma^{2} $ 未知.

（1）试检验假设 $ H_{0}:\mu\leq125,H_{1}:\mu>125 $ ，取 $ \alpha=0.05 $

（2）若要求在上述 $ H_{1} $中 $ (\mu-125)/\sigma\geqslant1.4 $时，犯第Ⅱ类错误的概率不超过 $ \beta=0.1 $，求所需的样本容量.

解（1）本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下检验假设

$$ H_{0}:\mu{\leqslant}125,\quad H_{1}:\mu>125. $$

采用 t 检验，检验统计量为 $ t=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}} $。今 n=8, $ \bar{x}=132 $, $ s^{2}=21.08^{2} $, $ \alpha=0.05 $, $ t_{\alpha}(n-1)=t_{0.05}(7)=1.894 $ 6. 拒绝域为

$$ t\geqslant t_{a}(n-1)=1.8946. $$

因 t 的观察值 $ t=\frac{132-125}{21.08/\sqrt{8}}=0.939<1.894 $ 6，不落在拒绝域之内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下接受 $ H_{0}:\mu\leq125 $.

（2）查教材附表7，得 $ n\geqslant7 $

1. 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设

$$ H_{0}:\mu_{1}\leq2\mu_{2},\quad H_{1}:\mu_{1}>2\mu_{2}. $$

此处 $ \mu_{1}, \mu_{2} $ 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至起作用的时间间隔的总体的均值。设两总体均为正态且方差分别为已知值 $ \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} $。现分别在两总体中取一样本 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n_{1}} $ 和 $ Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n_{2}} $，设两个样本独立。试给出上述假设 $ H_{0} $ 的拒绝域，取显著性水平为 $ \alpha $。

解 本题是在显著性水平 $ \alpha $下，检验假设

$$ H_{0}:\mu_{1}\leqslant2\mu_{2},\quad H_{1}:\mu_{1}>2\mu_{2}. $$

已知 $ X_{i} \sim N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}) $, i=1,2, $ \cdots $, $ n_{1} $; $ Y_{i} \sim N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}) $, i=1,2, $ \cdots $, $ n_{2} $，且两样本 $ X_{1} $, $ X_{2} $, $ \cdots $, $ X_{n_{1}} $ 和 $ Y_{1} $, $ Y_{2} $, $ \cdots $, $ Y_{n_{2}} $ 独立. 记 $ \bar{X} = \frac{1}{n_{1}} \sum_{i=1}^{n_{1}} X_{i} $, $ \bar{Y} = \frac{1}{n_{2}} \sum_{i=1}^{n_{2}} Y_{i} $. 拒绝域的形式为

$$ \bar{x}-2\bar{y}\geqslant k. $$

下面来确定k.

$ P\{H_0 $ 为真拒绝 $ H_0\} = P_{H_0} \{ \overline{X} - 2\overline{Y} \geq k \} $

$$ \begin{aligned}H_{0}&=P_{H_{0}}\{\overline{X}-2\overline{Y}\geqslant k\}\\&=P_{\mu_{1}-2\mu_{2}\leqslant0}\{\frac{\overline{X}-2\overline{Y}}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+4\sigma_{2}^{2}/n_{2}}}\geqslant\frac{k}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+4\sigma_{2}^{2}/n_{2}}}\}\\&\leqslant P_{\mu_{1}-2\mu_{2}\leqslant0}\{\frac{(\overline{X}-2\overline{Y})-(\mu_{1}-2\mu_{2})}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+4\sigma_{2}^{2}/n_{2}}}\geqslant\frac{k}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+4\sigma_{2}^{2}/n_{2}}}\}\\&\quad( 因 \mu_{1}-2\mu_{2}\leqslant0),\end{aligned} $$

要控制 $ P\{H_0 $ 为真拒绝 $ H_0\} \leq \alpha $，只需令上式右边 $ =\alpha $。由于

$$ \frac{(\overline{X}-2\overline{Y})-(\mu_{1}-2\mu_{2})}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+4\sigma_{2}^{2}/n_{2}}}\sim N(0,1) $$

即得 $ \frac{k}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+4\sigma_{2}^{2}/n_{2}}}=z_{\alpha} $，因而 $ k=z_{\alpha}\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+4\sigma_{2}^{2}/n_{2}} $，故得在给定的显著性水平 $ \alpha $下，检验的拒绝域为

$$ \bar{x}-2\bar{y}\geqslant z_{a}\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+4\sigma_{2}^{2}/n_{2}} $$

即

$$ \frac{\bar{x}-2\bar{y}}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+4\sigma_{2}^{2}/n_{2}}}\geqslant z_{a}. $$

1. 检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为

问能否认为一页的印刷错误的个数服从泊松分布（取 $ \alpha=0.05 $）.

解 记一页的印刷错误数为 X，按题意需在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$ H_{0} $: X 的分布律为

$$ P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!},\quad k=0,1,2,\cdots. $$

因参数 $ \lambda $ 未知，应先根据观察值，用最大似然估计法来求 $ \lambda $ 的估计（在 $ H_{0} $ 下）。可知 $ \lambda $ 的最大似然估计值为 $ \hat{\lambda} = \bar{x} = 1 $。在 X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能取得的值为 $ \Omega = \{0,1,2,\cdots\} $，将 $ \Omega $ 分成如表 8.1 左起第一栏所示的两两不相交的子集： $ A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{7} $，接着根据估计式

$$ \hat{P}\{X=k\}=\frac{\hat{\lambda}^{k}\mathrm{e}^{-\hat{\lambda}}}{k!}=\frac{\mathrm{e}^{-1}}{k!},\quad k=0,1,2,\cdots $$

来计算有关概率的估计，得到

$$ \hat{p}_{0}=\hat{P}\{X=0\}=0.3679, $$

$$ \hat{p}_{1}=\hat{P}\{X=1\}=0.3679, $$

$$ \hat{p}_{2}=\hat{P}\{X=2\}=0.183\;9, $$

$$ \hat{p}_{3}=\hat{P}\{X=3\}=0.0613, $$

$$ \hat{p}_{4}=\hat{P}\{X=4\}=0.0153, $$

$$ \hat{p}_{5}=\hat{P}\{X=5\}=0.0031, $$

$$ \hat{p}_{6}=\hat{P}\{X=6\}=0.0005, $$

$$ \hat{p}_{7}=\hat{P}\{X>6\}=1-\sum_{i=0}^{6}\hat{p}_{i}=0.0001. $$

计算结果列表如下(表8.1中n=100):

$$ \Sigma=101.4606 $$

今 $ \chi^{2}=101.460\ 6-100=1.460\ 6 $，因估计了一个参数：r=1，又经并组后，只有4组，故 $ k=4,\alpha=0.05,\chi_{a}^{2}(k-r-1)=\chi_{0.05}^{2}(2)=5.911>1.460\ 6=\chi^{2} $，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下接受假设 $ H_{0} $，即认为样本来自泊松分布的总体.

注：本题中的原假设 $ H_{0} $ 所给出的分布律为

$$ P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{-x}}{k!},\quad k=0,1,2,\cdots, $$

其中参数 $ \lambda>0 $ 未给出，这里要求检验的是印刷错误数 X 的分布的形式是否属于泊松分布类，而不是某一特定的泊松分布。当接受 $ H_{0} $ 时，我们就认为 X 的分布的形式属于泊松分布类；当拒绝 $ H_{0} $ 时就认为 X 的分布的形式不属于泊松分布。

布类.

24. 在一批灯泡中抽取 300 只作寿命试验，其结果如下

取 $ \alpha=0.05 $，试检验假设

$ H_{0} $: 灯泡寿命服从指数分布

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&0.005\mathrm{e}^{-0.005t},&t\geqslant0,\\ &0,&t<0.\end{aligned}. $$

解 本题是在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下，检验假设： $ H_{0} $：灯泡寿命X服从指数分布，其概率密度为

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&0.005\mathrm{e}^{-0.005t},&t\geqslant0,\\ &0,&t<0.\end{aligned}. $$

$n=300$. 在 $H_0$ 为真的假设下, $X$ 可能取值的范围为 $\Omega = [0, \infty)$. 将 $\Omega$ 分成互不相交的 4 个部分: $A_1, A_2, A_3, A_4$ 如表 8.2. 以 $A_i$ 记事件 $\{X \in A_i\}$. 若 $H_0$ 为真, $X$ 的分布函数为

$$ F(t)=\{\begin{aligned}&1-\mathrm{e}^{-0.005t},&t\geqslant0,\\ &0,&t<0.\end{aligned}. $$

得知

$$ \begin{aligned}p_{i}=&P(A_{i})=P\{a_{i}

于是

$$ p_{1}=P(A_{1})=F(100)-F(0)=1-\mathrm{e}^{-0.5}=0.3935, $$

$$ p_{2}=P(A_{2})=F(200)-F(100)=\mathrm{e}^{-0.5}-\mathrm{e}^{-1}=0.2387, $$

$$ p_{3}=P(A_{3})=F(300)-F(200)=\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-1.5}=0.1447, $$

$$ p_{4}=1-\sum_{i=1}^{3}p_{i}=0.2231. $$

计算结果列表如下(表8.2中n=300)

公益的主题不失领袖亦公的7成对范恒。H学班芒：类市公的干∑=301.8393

今 $ \chi^{2}=301.839\ 3-300=1.839\ 3 $。由 $ \alpha=0.05 $, $ k=4 $, $ r=0 $知 $ \chi_{a}^{2}(k-r-1)=\chi_{0.05}^{2}(3)=7.815>1.839\ 3=\chi^{2} $。故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下，接受假设 $ H_{0} $，认为这批灯泡寿命服从指数分布，其概率密度为

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&0.005\mathrm{e}^{-0.005t},&t\geqslant0,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$

1. 下面给出了随机选取的某大学一年级学生(200名)一次数学考试的成绩.

（1）画出数据的直方图.

（2）试取 $ \alpha=0.1 $检验数据来自正态总体 $ N(60,15^{2}) $

解（1）将区间[20,100]等分为8个小区间，每个小区间的长度为 $ \Delta=10 $。写出落在每个小区间内的数据频数 $ f_{i} $，算出频率 $ f_{i}/n $（ $ n=200,i=1,2,\cdots,8 $），列表如表8.3。在第i个区间上以 $ \Delta $为底，以 $ (f_{i}/n)/\Delta $为高作小长方形，得直方图如题8.25图。

(2) 本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.1 $ 下检验假设

$ H_{0} $：数据 X 来自正态总体

$$ X\sim N(60,15^{2}). $$

即需检验 X 的概率密度为

$$ f(x)=\frac{1}{15\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-60)^{2}}{2\times15^{2}}},\quad-\infty

将在 $ H_{0} $ 下 X 可能取值的区间 $ (-\infty, \infty) $ 分为 8 个两两不相交的小区间 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{8} $. 用 $ A_{i} $ 记事件“X 的观察值落在 $ A_{i} $ 内”. 以 $ f_{i}(i=1,2,\cdots,8) $ 记样本观察值 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{200} $ 中落在 $ A_{i} $ 的个数. 现取 $ A_{i} $ 如表 8.4 中第一列所示, 其中 $ A_{1}=(-\infty, 30], A_{8}=(90, \infty) $, 其他与表 8.3 中所列的相同.

此处 n=200，若 $ H_{0} $ 为真，则有

$$ \begin{aligned}p_{1}&=P\{-\infty

$$ \begin{aligned}p_{2}&=P\{30

$$ \begin{aligned}p_{3}&=P\{40

\[\begin{aligned}p_{4}&=P\{50<X\leqslant60\}=\Phi(0)-\Phi\left(\frac{50-60}{15}\right)\\&=0.5-\Phi(-0.67)=\Phi(0.67)-0.5=0.748-0.5=0.248-0.5=\Phi(0.67)-0.5=0.248-0.5=\Phi(0.67)-0.5=0.248-0.5=0.248-0.5=0.248-0

$$ \begin{aligned}p_{5}&=P\{60

$$ \begin{aligned}p_{6}&=P\{70

$$ \begin{aligned}p_{7}&=P\{80

$$ p_{8}=P\{90

计算结果列于表8.4：

因此 $ \chi^{2}=205.216\ 6-200=5.216\ 6 $。因 $ \alpha=0.1,k=6,r=0 $，有

$$ \chi_{a}^{2}(k-r-1)=\chi_{0.1}^{2}(5)=9.236>5.2166, $$

故在显著性水平 $ \alpha=0.1 $ 下接受 $ H_{0} $，即认为考试成绩的数据来自正态总体 $ N(60,15^{2}) $。

1. 袋中装有8只球，其中红球数未知.在其中任取3只，记录红球的只数X，然后放回，再任取3只，记录红球的只数，然后放回.如此重复进行了112次，其结果如下：

：05阀出进中源鱼—在前平0I求—.75

试取 $ \alpha=0.05 $检验假设

$ H_{0} $: X 服从超几何分布

$$ P\{X=k\}=\binom{5}{k}\binom{3}{3-k}\bigg/\binom{8}{3},\quad k=0,1,2,3. $$

即检验假设 $ H_{0} $: 红球的只数为 5.

解 本题要求在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$ H_{0} $: X 服从超几何分布

$$ \therefore\overrightarrow{a}=0\text{,}\overrightarrow{b}=2\frac{3}{2} $$

$$ P\{X=k\}=\binom{5}{k}\binom{3}{3-k}\bigg/\binom{8}{3},\quad k=0,1,2,3. $$

此处 n=112. 若 $ H_{0} $ 为真，则可按所给分布律计算，得如下的概率

$$ X:\iota_{H} $$

$$ p_{1}=P\{X=0\}=\binom{5}{0}\binom{3}{3}\bigg/\binom{8}{3}=\frac{1}{56}, $$

$$ p_{2}=P\{X=1\}=\binom{5}{1}\binom{3}{2}\bigg/\binom{8}{3}=\frac{15}{56}, $$

$$ p_{3}=P\{X=2\}=\binom{5}{2}\binom{3}{1}\bigg/\binom{8}{3}=\frac{30}{56}, $$

$$ p_{4}=P\{X=3\}=\binom{5}{3}\binom{3}{0}\bigg/\binom{8}{3}=\frac{10}{56}. $$

计算结果列于表8.5：

$ \sum = 113.6667 $

因此 $ \chi^{2}=113.666\ 7-112=1.666\ 7 $。因 $ \alpha=0.05 $,k=3,r=0，有 $ \chi_{a}^{2}(k-r-1)=\chi_{0.05}^{2}(2)=5.991>1.666\ 7 $，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下接受 $ H_{0} $，即认为X服从超几何分布

$$ P\{X=k\}=\binom{5}{k}\binom{3}{3-k}\bigg/\binom{8}{3},\quad k=0,1,2,3. $$

1. 一农场 10 年前在一鱼塘中按比例 20:15:40:25 投放了四种鱼：鲑鱼、鲈鱼、竹夹鱼和鲇鱼的鱼苗，现在在鱼塘里获得一样本如下：

试取 $ \alpha=0.05 $，检验各类鱼数量的比例较10年前是否有显著的改变.

解 以 X 记鱼种类的序号，按题意需检验假设

$ H_{0} $: X 的分布律为

现在获得一样本如下：

将在 $ H_{0} $下，X可能取值的全体分成4个两两不相交的子集 $ A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} $（以一鱼种作为一个子集）。所需计算列表如下（表8.6中n=600）.

Ω称， $ \{\cdots, \xi_i\} $，=Ω伏斯的源源可容而的又，可提的准公同几从细 $ \Sigma=611.14 $

现在 $ \chi^{2}=611.14-600=11.14,k=4,r=0,\chi_{0.05}^{2}(k-r-1)=\chi_{0.05}^{2}(3)=7.815<11.14 $.故拒绝 $ H_{0} $，认为各鱼类数量之比相对于10年前有显著的改变.

1. 某种鸟在起飞前，双足齐跳的次数 X 服从几何分布，其分布律为

$$ P\{X=x\}=p^{x-1}(1-p),\quad x=1,2,\cdots. $$

今获得一样本如下：

(1) 求 p 的最大似然估计值.

（2）取 $ \alpha=0.05 $，检验假设： $ H_{0} $：数据来自总体

$$ P\{X=x\}=p^{x-1}(1-p),x=1,2,\cdots $$

解（1）设 $ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} $是一个样本值，似然函数为

$$ L=L(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};p)=\prod_{i=1}^{n}\left[p^{x_{i}-1}(1-p)\right]=(1-p)^{n}p^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}-n}, $$

$$ \ln L=n\ln(1-p)+(\sum_{i=1}^{n}x_{i}-n)\ln p, $$

令 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\ln L = \frac{-n}{1-p} + \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} - n}{p} = 0 $,

得 $ p $ 的最大似然估计值为 $ \hat{p} = (\sum_{i=1}^{n} x_{i} - n) / \sum_{i=1}^{n} x_{i} = 1 - \frac{1}{x} $. Top Sage.com

本题中 $ n=48+31+20+9+6+5+4+2+1+1+2+1=130 $

$$ \begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}x_{i}&=1\times48+2\times31+3\times20+4\times9+5\times6+6\times5+7\times4\\&=363.\\\overline{x}&=\frac{363}{130}.\end{aligned}+8\times2+9\times1+10\times1+11\times2+12\times1\\,(008=n 中 \ 8.8 泰 )& 可吸毒此囊书需酒 ,( 囊干个一饮非畅重 \\0.8 泰 \end{aligned} $$

得 p 的最大似然估计值为

$$ \hat{p}=1-\frac{1}{x}=1-\frac{130}{363}=0.6419. $$

(2) 检验假设 $ \alpha=0.05 $

$ H_{0} $: 数据来自总体

$$ P\{X=x\}=p^{x-1}(1-p),\quad x=1,2,\cdots, $$

在 X 服从几何分布的假设下，X 的所有可能取的值为 $ \Omega=\{1,2,\cdots\} $，将 $ \Omega $ 分成两两不相交的 7 个部分： $ A_{1}=\{1\} $， $ A_{2}=\{2\} $， $ \cdots $， $ A_{6}=\{6\} $， $ A_{7}=\{7,8,\cdots\} $，利用估计式

$$ \hat{p}_{i}=\hat{P}\{X=i\}=\hat{p}^{i-1}(1-\hat{p}),\quad i=1,2,\cdots,6 $$

来计算有关概率的估计，得到

$$ \hat{p}_{1}=0.3581,\quad\hat{p}_{2}=0.2299,\quad\hat{p}_{3}=0.1475,\quad\hat{p}_{4}=0.0947, $$

$$ \hat{p}_{5}=0.0608,\quad\hat{p}_{6}=0.0390,\quad\hat{p}_{7}=1-\sum_{i=1}^{6}\hat{p}_{i}=0.0700. $$

所需计算列表如下(表8.7中n=130)

于是 $ \chi^{2}=131.868-130=1.868 $，因为 $ \chi_{0.05}^{2}(k-r-1)=\chi_{0.05}^{2}(7-1-1)=\chi_{0.05}^{2}(5) $，查表 $ \chi_{0.05}^{2}(5)=11.071>1.868 $，从而接受 $ H_{0} $。

1. 分别抽查了两球队部分队员行李的重量(kg)为：

设两样本独立且1,2两队队员行李重量总体的概率密度至多差一个平移.

记两总体的均值分别为 $ \mu_{1}, \mu_{2} $，且 $ \mu_{1}, \mu_{2} $ 均未知. 试检验假设: $ H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2} $, $ H_{1}: \mu_{1} < \mu_{2} $ (取 $ \alpha = 0.05 $).

解 本题需利用秩和检验法在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2},\quad H_{1}:\mu_{1}<\mu_{2}. $$

为此将两队行李的重量放在一起自小到大排队，在1队的数据下加“_”表示之，得到

$ n_{1}=5,n_{2}=6,\alpha=0.05 $，由附表9知当 $ (n_{1},n_{2})=(5,6) $时，有 $ C_{U}(5,6)=20 $，知拒绝域为

$$ r_{1}\leqslant20. $$

今 $ R_{1} $ 的观察值 $ r_{1}=1+3+4+8.5+11=27.5>20 $，不落在拒绝域内，故在显著性水平 $ \alpha=0.05 $ 下接受 $ H_{0} $.

1. 下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间(h):

设两样本独立且数据所属的两总体的概率密度至多差一个平移，试问能否认为型号 A 的计算器平均使用时间比型号 B 来得长 ( $ \alpha=0.01 $)？

解 本题需利用秩和检验法在显著性水平 $ \alpha=0.01 $ 下检验假设

$$ H_{0}:\mu_{A}=\mu_{B},\quad H_{1}:\mu_{A}>\mu_{B}. $$

为此，将数据混合自小到大的次序排队，在型号 A 的数据下加“___”表示之，得到

$ n_{1}=11, n_{2}=12, n=23, r_{1}=9.5+13+14+15.5+17+18+19+20+21+22+23=192, \mu_{R_{1}}=\frac{1}{2}n_{1}(n_{1}+n_{2}+1)=132 $. 现有 k=3 个秩相同的组， $ R_{1} $ 的方差应加以修正. 今 k=3, $ t_{1}=t_{2}=t_{3}=2 $，即有 $ \sum_{i=1}^{3}t_{i}(t_{i}^{2}-1)=3\times2\times(2^{2}-1)=18 $，故经修正的方差为

$$ \sigma_{R_{1}}^{2}=\frac{11\times12\left[23\left(23^{2}-1\right)-18\right]}{12\times23\times(23-1)}=16.236^{2} $$

当 $ H_{0} $为真时，近似地有

$$ R_{1}\sim N(132,16.236^{2}). $$

拒绝域为

$$ \frac{r_{1}-132}{16.236}\geqslant z_{0.01}=2.327. $$

今 $ R_{1} $ 的观察值 $ r_{1}=192 $，得 $ \frac{r_{1}-132}{16.236}=\frac{192-132}{16.236}=3.695>2.327 $，落在拒绝域内，故在显著性水平 $ \alpha=0.01 $ 下拒绝 $ H_{0} $，认为 $ \mu_{A} > \mu_{B} $.

1. 下面给出两个工人五天生产同一种产品每天生产的件数：

设两样本独立且数据所属的两总体的概率密度至多差一个平移. 问能否认为工人 A、工人 B 平均每天完成的件数没有显著差异 ( $ \alpha=0.1 $)？

解 以 $ \mu_{A}, \mu_{B} $ 分别记工人 A，工人 B 平均每天完成的产品件数。本题需利用秩和检验法在显著性水平 $ \alpha=0.1 $ 下，检验假设

$$ H_{0}:\mu_{A}=\mu_{B},\quad H_{1}:\mu_{A}\neq\mu_{B}. $$

将数据混合自小到大的次序排队，在工人 A 的数据下加“___”表示之，得到

$ n_{1}=5,n_{2}=5,\alpha=0.1 $，由教材附表9知，当 $ (n_{1},n_{2})=(5,5) $时有 $ C_{U}\left(\frac{\alpha}{2}\right)= $

$ C_{U}(0.05)=19, C_{L}\left(\frac{\alpha}{2}\right)=C_{L}(0.05)=36 $，故拒绝域为

$ r_{1}\leq19 $ 或 $ r_{1}\geq36 $

今 $ R_{1} $的观察值为

$$ r_{1}=2+4+5+6+7=24, $$

因 19<24<36，故在显著性水平 $ \alpha=0.1 $ 下接受 $ H_{0} $，认为差异不显著。

1. (1) 设总体服从 $ N(\mu, 100) $， $ \mu $ 未知，现有样本： $ n = 16, \bar{x} = 13.5 $，试检验假设 $ H_0: \mu \leq 10, H_1: \mu > 10 $，(i) 取 $ \alpha = 0.05 $，(ii) 取 $ \alpha = 0.10 $，(iii) 求 $ H_0 $ 可被拒绝的最小显著性水平.

（2）考察生长在老鼠身上的肿块的大小. 以 X 表示在老鼠身上生长了 15 天的肿块的直径（以 mm 计），设 $ X \sim N(\mu, \sigma^{2}) $， $ \mu, \sigma^{2} $ 均未知. 今随机地取 9 只老鼠（在它们身上的肿块都长了 15 天），测得 $ \bar{x} = 4.3, s = 1.2 $，试取 $ \alpha = 0.05 $，用 p 值检验法检验假设 $ H_{0}: \mu = 4.0, H_{1}: \mu \neq 4.0 $，求出 p 值.

（3）用 p 值检验法检验 §2 例 4 的检验问题.

（4）用 p 值检验法检验第 27 题中的检验问题.

解 （1）用 Z 检验法. 检验问题的拒绝域为

$$ Z=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\geqslant z_{a}. $$

现在 n=16, $ \mu_{0}=10,\bar{x}=13.5,\sigma=10 $, 得拒绝域为

$$ z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}=1.4\geqslant z_{a}. $$

（i）当 $ \alpha=0.05 $时， $ z_{\alpha}=1.645>1.4 $，故接受 $ H_{0} $

（ii）当 $ \alpha=0.1 $时， $ z_{a}=1.28<1.4 $，故拒绝 $ H_{0} $

（iii）p值= $ P\{Z\geqslant1.4\}=1-\Phi(1.4)=1-0.919\ 2=0.080\ 8 $。因而拒绝 $ H_{0} $的最小显著性水平为0.0808。

（2）用 t 检验法，检验统计量为

$$ t=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}. $$

当 $ H_{0} $ 为真时, $ t \sim t(n-1) $, 现在 n=9, $ \overline{x}=4.3 $, s=1.2, 得检验统计量的观察值为

$$ t_{0}=\frac{4.3-4}{1.2/\sqrt{9}}=0.75. $$

此为双边检验，由计算机得

$$ p\ 值 =2\times P\{t>0.75\}=0.474\ 7>\alpha=0.05, $$

故接受 $ H_{0} $

（3）用 t 检验法，检验统计量为

$$ t=\frac{\bar{D}-0}{s_{D}/\sqrt{n}}. $$

当 $ H_{0} $ 为真时, $ t \sim t(n-1) $, 现在 n=8, $ \bar{d} = -0.0625 $, $ s_{d} = 0.0765 $, 得统计量的

观察值为

$$ \therefore\overrightarrow{r}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{c} $$

$$ t_{0}=-2.311. $$

此为单边检验，由计算机得

$ p $值 $ =P\{t<-2.311\}=P\{t>2.311\}=0.0271<\alpha=0.05.01\geq x_{1}\leq H $

故拒绝 $ H_{0} $.

(4) 用 $ \chi^{2} $检验法，检验统计量为

若当只p项加则令，联未改 $ \chi^{2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{f_{i}^{2}}{np_{i}}-n $。(1mm)至直由共的直，0.0=。项，S.1=2.3.4.n.当 $ H_{0} $为真时， $ \chi^{2}\sim\chi^{2}(3) $。以数据代入得检验统计量的观察值为

$$ \chi_{0}^{2}=11.14. $$

此为右边检验，由计算机得

$$ p值 =P\{\chi^{2}\geqslant11.14\}=0.011<0.05. $$

故拒绝 $ H_{0} $

已知函数$f(x)=\ln(x+1)$

$$ \therefore s\leq t,l=\frac{s\sqrt{t}}{11}\leq s $$

$ H $受数站， $ A $. $ 1<2\pm\theta $. $ 1=1 $，即 $ 20.0=n $答(i)

H类硅站， $ f>8\Sigma,f=3 $，即 $ f,0=n $当(h)

.8080.0=Sef0.0-I=(1.1)Φ-I={4.1≤S}q=首q(iii)

.8080.0试平次抖音显小量怕H美团而因

找量书推维斜，去弹斜：用(S)

$$ 1\over x=2\sqrt[m]{2} $$

宜察取销量十龄金铁，S.1=2，3.1=x，0=x五题，(1-x)y-1，相真试，且当

$$ \tau^{o}=\frac{1.5\sqrt{e}}{4.3-4}=0.12. $$

即算十面，肆斜或这式

$$ \frac{0-a}{\pi\sqrt{1-a^{2}}}=1 $$

苗量为2870.0=2.2500.0-=5.8=n.