第五章 大数定律及中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理

1. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100 h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920 h的概率。

解 以 $ X_{i} $ （i=1,2,\cdots,16）记第 i 只元件的寿命，以 T 记 16 只元件寿命的总和： $ T = \sum_{i=1}^{16} X_{i} $，按题设 $ E(X_{i}) = 100, D(X_{i}) = 100^{2} $，由中心极限定理知 $ \frac{T-16 \times 100}{\sqrt{16} \sqrt{100^{2}}} $ 近似地服从 N(0,1) 分布，故所求概率为

$$ \begin{aligned}P\{T>1\ 920\}&=1-P\{T\leqslant1\ 920\}\\&=1-P\Big\{\frac{T-16\times100}{\sqrt{16}\ \sqrt{100^{2}}}\leqslant\frac{1\ 920-16\times100}{\sqrt{16}\ \sqrt{100^{2}}}\Big\}\\&\approx1-\Phi\Big(\frac{1\ 920-1\ 600}{400}\Big)=1-\Phi(0.8)\\&=1-0.788\ 1=0.211\ 9.\end{aligned} $$

2.（1）一保险公司有10 000个汽车投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额超过2 700 000美元的概率.

（2）一公司有50张签约保险单，各张保险单的索赔金额为 $ X_{i}, i=1,2,\cdots,50 $（以千美元计）服从韦布尔（Weibull）分布，均值 $ E(X_{i})=5 $，方差 $ D(X_{i})=6 $，求50张保险单索赔的合计金额大于300的概率（设各保险单索赔金额是相互独立的）.

解 （1）记第 i 人的索赔金额为 $ X_{i} $，则由已知条件

$$ E(X_{i})=280,\qquad D(X_{i})=800^{2}. $$

要计算

$$ p_{1}=P\left(\sum_{i=1}^{10}X_{i}>2\ 700\ 000\right) $$

因各投保人索赔金额是独立的，n=10000很大。故由中心极限定理，近似地有

$$ \bar{X}=\frac{1}{10\ 000}\sum_{i=1}^{10\ 000}X_{i}\sim N(280,\frac{800^{2}}{100^{2}}), $$

故

$$ \begin{aligned}p_{1}&=P(\bar{X}>270)\approx1-\Phi\Big(\frac{270-280}{8}\Big)=1-\Phi\Big(-\frac{5}{4}\Big)\\&=\Phi\Big(\frac{5}{4}\Big)=\Phi(1.25)=0.894\ 4.\end{aligned} $$

(2) $ E(X_{i})=5,D(X_{i})=6,n=50 $.故

$$ \begin{aligned}p&=P\big(\sum_{i=1}^{50}X_{i}>300\big)\approx1-\Phi\Big(\frac{300-50\times5}{\sqrt{50\times6}}\Big)\\&=1-\Phi\Big(\frac{50}{\sqrt{300}}\Big)=1-\Phi(2.89)=0.0019.\end{aligned} $$

这与情况(1)相反.(1)的概率为0.8944表明可能性很大.而(2)表明可能性太小了,大约500次索赔中出现>300的只有一次.

1. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在 $ (-0.5,0.5) $上服从均匀分布. $ (\cdots,1,1,1,1,1,1) $

（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

(2) 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?

解 设第 k 个加数的舍入误差为 $ X_{k}(k=1,2,\cdots,1\ 500) $，已知 $ X_{k} $ 在 $ (-0.5,0.5) $ 上服从均匀分布，故知 $ E(X_{k})=0, D(X_{k})=\frac{1}{12} $.

(1) 记 $ X = \sum_{k=1}^{1500} X_{k} $，由中心极限定理，当 n 充分大时有近似公式

$$ P\{\frac{\sum_{k=1}^{1500}X_{k}-1\ 500\times0}{\sqrt{1\ 500}\sqrt{1/12}}\leqslant x\}\approx\Phi(x). $$

于是

$$ \begin{aligned}P\{|X|>15\}&=1-P\{|X|\leqslant15\}=1-P\{-15\leqslant X\leqslant15\}\\&=1-P\{\frac{-15-0}{\sqrt{1500}\sqrt{1/12}}\leqslant\frac{X-0}{\sqrt{1500}\sqrt{1/12}}\leqslant\frac{15-0}{\sqrt{1500}\sqrt{1/12}}\}\\&\approx1-[\Phi\Big(\frac{15}{\sqrt{1500}\sqrt{1/12}}\Big)-\Phi\Big(\frac{-15}{\sqrt{1500}\sqrt{1/12}}\Big)]\\&=1-[2\Phi\Big(\frac{15}{\sqrt{1500/12}}\Big)-1]=1-[2\Phi(1.342)-1]\\&=2[1-0.909\ 9]=0.180\ 2.\end{aligned} $$

即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802.

(2) 设最多有 n 个数相加，使误差总和 $ Y = \sum_{k=1}^{n} X_{k} $ 符合要求，即要确定 n，使

$$ P\{\mid Y\mid<10\}\geqslant0.90. $$

由中心极限定理，当 n 充分大时有近似公式

$$ P\{\frac{Y-0}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{1/12}}\leqslant x\}\approx\Phi(x). $$

$$ \begin{aligned}P\{&|Y|<10\}=P\{-10

因而 n 需满足

$$ 2\Phi\left(\frac{10}{\sqrt{n/12}}\right)-1\geqslant0.90, $$

亦即 n 需满足 $ \Phi\left(\frac{10}{\sqrt{n/12}}\right)\geqslant0.95=\Phi(1.645) $,

即 n 应满足

$$ \frac{10}{\sqrt{n/12}}\geqslant1.645, $$

$$ n\leqslant443.45. $$

由此得

因 n 为正整数，因而所求的 n 为 443。故最多只能有 443 个数加在一起，才能使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90。

1. 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 0.5 kg，均方差为 0.1 kg，问 5 000 个零件的总重量超过 2510 kg 的概率是多少？

解 以 $ X_{i} $ ( $ i=1,2,\cdots,5000 $) 记第 i 个零件的重量，以 W 记 5000 个零件的总重量： $ W=\sum_{i=1}^{5000}X_{i} $. 按题设 $ E(X_{i})=0.5, D(X_{i})=0.1^{2} $，由中心极限定理，可知 $ \frac{W-5000\times0.5}{\sqrt{5000}\times0.1} $ 近似地服从 N(0,1) 分布，故所求概率为

$$ P\{W>2510\}=1-P\{W\leqslant2510\} $$

$$ \begin{aligned}&=1-P\Big\{\frac{\overline{W}-5\ 000\times0.5}{\sqrt{5\ 000}\times0.1}\leqslant\frac{2\ 510-5\ 000\times0.5}{\sqrt{5\ 000}\times0.1}\Big\}\\&\approx1-\Phi\Big(\frac{2\ 510-5\ 000\times0.5}{\sqrt{5\ 000}\times0.1}\Big)=1-\Phi(\sqrt{2})\\&=1-0.921\ 3=0.078\ 7.\end{aligned} $$

1. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3 m，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30根短于3 m的概率.

解 按题意，可认为100根木柱是从为数甚多的木柱中抽取得到的，因而可当作放回抽样来看待。将检查一根木柱看它是否短于3 m看成是一次试验，检查100根木柱相当于做100重伯努利试验。以X记被抽取的100根木柱中长度短于3 m的根数，则 $ X \sim b(100, 0.2) $。于是由教材第五章§2定理三得 $ P\{X \geqslant 30\} = P\{30 \leqslant X < \infty\} $

$$ \begin{aligned}&=P\Big\{\frac{30-100\times0.2}{\sqrt{100\times0.2\times0.8}}\leqslant\frac{X-100\times0.2}{\sqrt{100\times0.2\times0.8}}<\frac{\infty-100\times0.2}{\sqrt{100\times0.2\times0.8}}\Big\}\\&\approx\Phi(\infty)-\Phi\Big(\frac{30-20}{\sqrt{16}}\Big)\\&=1-\Phi(2.5)=1-0.993\ 8=0.006\ 2.\end{aligned} $$

本题也可以这样做，引入随机变量：

$$ X_{k}=\{\begin{aligned}&1,& 若第 k 根木柱短于 3m,\\ &0,& 若第 k 根木柱不短于 3m,\end{aligned}\quad k=1,2,\cdots,100.. $$

于是 $ E(X_{k})=0.2, D(X_{k})=0.2 \times 0.8 $ 。以 X 表示 100 根木柱中短于 3 m 的根数，则 $ X=\sum_{k=1}^{100}X_{k} $ 。由中心极限定理有

$$ \begin{aligned}X\geqslant30\}&=P\{30\leqslant X<\infty\}\\&=P\{\frac{30-100\times0.2}{\sqrt{100}\sqrt{0.2\times0.8}}\leqslant\frac{\sum_{k=1}^{100}X_{k}-100\times0.2}{\sqrt{100}\sqrt{0.2\times0.8}}.\\&<\frac{\infty-100\times0.2}{\sqrt{100}\sqrt{0.2\times0.8}}\Biggr\},\\&\approx\Phi(\infty)-\Phi\Big(\frac{30-20}{\sqrt{16}}\Big)=1-\Phi(2.5)=0.006\end{aligned} $$

1. 一工人修理一台机器需两个阶段，第一阶段所需时间（小时）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立。现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成的概率。

解 设修理第 $ i (i=1,2,\cdots,20) $ 台机器，第一阶段耗时 $ X_{i} $，第二阶段为 $ Y_{i} $，则共耗时 $ Z_{i}=X_{i}+Y_{i} $，今已知 $ E(X_{i})=0.2, E(Y_{i})=0.3 $，故 $ E(Z_{i})=0.5 $。 $ D(Z_{i})=D(X_{i})+D(Y_{i})=0.2^{2}+0.3^{2}=0.13 $。20 台机器需要修理的时间可认为近似服从正态分布，即有

$$ \sum_{i=1}^{20}Z_{i}\sim N(20\times0.5,20\times0.13)=N(10,2.6). $$

所求概率

$$ \begin{aligned}p&=P\big(\sum_{i=1}^{20}Z_{i}\leqslant8\big)\approx\Phi\Big(\frac{8-20\times0.5}{\sqrt{20\times0.13}}\Big)\\&=\Phi\Big(-\frac{2}{1.6125}\Big)=\Phi(-1.24)=0.1075,\end{aligned} $$

即不大可能在8小时内完成全部工作.

1. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。若售出300只蛋糕。

（1）求收入至少400元的概率；

（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率.

解 设第 i 只蛋糕的价格为 $ X_{i}, i = 1, 2, \cdots, 300 $，则 $ X_{i} $ 有分布律为

由此得

$$ E(X_{i})=1\times0.3+1.2\times0.2+1.5\times0.5=1.29, $$

$$ E(X_{i}^{2})=1^{2}\times0.3+1.2^{2}\times0.2+1.5^{2}\times0.5=1.713, $$

故

$$ D(X_{i})=E(X_{i}^{2})-\left[E(X_{i})\right]^{2}=0.0489. $$

(1) 以 X 表示这天的总收入，则 $ X = \sum_{i=1}^{300} X_{i} $，由中心极限定理得

$$ \begin{aligned}P\{X\geqslant400\}&=P\{400\leqslant X<\infty\}\\&=P\{\frac{400-300\times1.29}{\sqrt{300}\sqrt{0.0489}}\leqslant\frac{\sum_{i=1}^{300}X_{i}-300\times1.29}{\sqrt{300}\sqrt{0.0489}}.\\&\quad<.\frac{\infty-300\times1.29}{\sqrt{300}\sqrt{0.0489}}\}\end{aligned} $$

$$ \approx1-\Phi(3.39)=1-0.999\ 7=0.000\ 3. $$

（2）以 Y 记 300 只蛋糕中售价为 1.2 元的蛋糕的只数，于是 $ Y \sim b(300, 0.2) $. $ E(Y) = 300 \times 0.2 $, $ D(Y) = 300 \times 0.2 \times 0.8 $，由棣莫弗-拉普拉斯定理得

$$ \begin{aligned}P\{Y>60\}&=1-P\{Y\leqslant60\}\\&=1-P\{\frac{Y-300\times0.2}{\sqrt{300\times0.2\times0.8}}\leqslant\frac{60-300\times0.2}{\sqrt{300\times0.2\times0.8}}\}\\&\approx1-\Phi\Big(\frac{60-300\times0.2}{\sqrt{300\times0.2\times0.8}}\Big)=1-\Phi(0)=0.5.\end{aligned} $$

1. 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10. 为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率.

解 将观察一个部件是否正常工作看成是一次试验，由于各部件是否正常工作是相互独立的，因而观察100个部件是否正常工作是做100重伯努利试验，以X表示100个部件中正常工作的部件数，则 $ X\sim b(100,0.9) $，按题意需求概率 $ P\{X\geqslant85\} $，由棣莫弗-拉普拉斯定理知 $ \frac{X-100\times0.9}{\sqrt{100\times0.9\times0.1}} $近似地服从标准正态分布 $ N(0,1) $，故所求概率为

$$ \begin{aligned}P\{X\geqslant85\}&=P\{85\leqslant X<\infty\}\\&=P\{\frac{85-100\times0.9}{\sqrt{100\times0.9\times0.1}}\leqslant\frac{X-100\times0.9}{\sqrt{100\times0.9\times0.1}}.\\&\leqslant\frac{\infty-100\times0.9}{\sqrt{100\times0.9\times0.1}}\\\approx&1-\Phi(-\frac{5}{3})=0.9525.\end{aligned} $$

1. 已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为2.2，标准差为1.4.

（1）以 X 表示一年（以 52 周计）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求 X 的近似分布，并求 $ P\{X < 2\} $.

(2) 求一年事故发生数小于100的概率.

解 (1) $ E(\bar{X}) = E(X) = 2.2 $

$$ D(\bar{X})=\frac{D(X)}{52}=\frac{1.4^{2}}{52}, $$

由中心极限定理，可认为 $ X\sim N(2.2,1.4^{2}/52) $

$$ \begin{aligned}P\{\bar{X}<2\}&=\Phi\Big(\frac{2-2.2}{1.4/\sqrt{52}}\Big)=\Phi\Big(\frac{-0.2\times\sqrt{52}}{1.4}\Big)=\Phi(-1.030)\\&=1-\Phi(1.030)=1-0.848\ 5=0.151\ 5.\end{aligned} $$

(2) 一年 52 周，设各周事故发生数为 $ X_1, X_2, \cdots, X_{52} $. 则需计算 $ p = P\{\sum_{i=1}^{52} X_i < 100\} $，即 $ P\{52X < 100\} $. 用中心极限定理可知所求概率为

$$ \begin{aligned}p&=P\{52\overline{X}<100\}=P\{\overline{X}<\frac{100}{52}\}\approx\Phi\left(\frac{\left(\frac{100}{52}-2.2\right)\sqrt{52}}{1.4}\right)\\&=\Phi(-1.426)=1-0.923\ 0=0.077\ 0.\end{aligned} $$

1. 某种小汽车氧化氮的排放量的数学期望为 0.9 g/km，标准差为 1.9 g/km，某汽车公司有这种小汽车 100 辆，以 $ \bar{X} $ 表示这些车辆氧化氮排放量的算术平均，问当 L 为何值时 $ \bar{X} > L $ 的概率不超过 0.01.

解 设以 $ X_{i} $ （i=1,2,\cdots,100）表示第 i 辆小汽车氧化氮的排放量，则

$$ \bar{X}=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}X_{i}. $$

由已知条件 $ E(X_{i})=0.9, D(X_{i})=1.9^{2} $ 得

$$ E(\bar{X})=0.9,\quad D(\bar{X})=\frac{1.9^{2}}{100}. $$

各辆汽车氧化氮的排放量相互独立，故可认为近似地有

$$ \bar{X}\sim N\left(0.9,\frac{1.9^{2}}{100}\right). $$

需要计算的是满足

$$ P\{\bar{X}>L\}\leqslant0.01 $$

的最小值 L. 由中心极限定理

$$ P\{\bar{X}>L\}=P\{\frac{\bar{X}-0.9}{0.19}>\frac{L-0.9}{0.19}\}\leqslant0.01. $$

L应为满足

$$ 1-\Phi\Big(\frac{L-0.9}{0.19}\Big)\leqslant0.01 $$

的最小值，即

$$ \Phi\Big(\frac{L-0.9}{0.19}\Big)\geqslant0.99=\Phi(2.33), $$

即

$$ \frac{L-0.9}{0.19}\geqslant2.33, $$

故

$$ L\geqslant0.9+0.19\times2.33=1.3427, $$

应取 L = 1.3427 g/km.

1. 随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH. 各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3，以 $ \bar{X} $， $ \bar{Y} $分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均.

(1) 求 $ P\{4, 9 < \bar{X} < 5, 1\} $.

(2) 求 $ P\{-0.1 < \bar{X} - \bar{Y} < 0.1\} $.

解 由题设 $ E(\bar{X})=5, D(\bar{X})=D(\bar{Y})=0.3/80. $

（1）由中心极限定理知 X 近似服从 $ N(5,0.3/80) $，故

$$ \begin{aligned}P\{4.9&<\overline{X}<5.1\}\\=&P\{\frac{4.9-5}{\sqrt{0.3/80}}<\frac{\overline{X}-5}{\sqrt{0.3/80}}<\frac{5.1-5}{\sqrt{0.3/80}}\}\\ \approx&\Phi\Big(\frac{5.1-5}{\sqrt{0.3/80}}\Big)-\Phi\Big(\frac{4.9-5}{\sqrt{0.3/80}}\Big)\\=&2\Phi(1.63)-1=2\times0.948\ 4-1=0.8\end{aligned} $$

(2) 因 $ E(\bar{X}-\bar{Y})=E(\bar{X})-E(\bar{Y})=0,D(\bar{X}-\bar{Y})=D(\bar{X})+D(\bar{Y})=0.3/40 $，由中心极限定理

$$ P\{-0.1<\bar{X}-\bar{Y}<0.1\} $$

$$ \begin{aligned}&=P\{\frac{-0.1-0}{\sqrt{0.3/40}}<\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-0}{\sqrt{0.3/40}}<\frac{0.1-0}{\sqrt{0.3/40}}\}\\&\approx\Phi\Big(\frac{0.1-0}{\sqrt{0.3/40}}\Big)-\Phi\Big(\frac{-0.1-0}{\sqrt{0.3/40}}\Big)\\&=2\Phi(1.15)-1=2\times0.874\ 9-1=0.749\ 8.\end{aligned} $$

1. 一公寓有 200 户住户，一户住户拥有汽车辆数 X 的分布律为

问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为0.95.

解 设需要车位数为 n，且设第 $ i (i = 1, 2, \cdots, 200) $ 户有车辆数为 $ X_{i} $，则由 $ X_{i} $ 的分布律知

$$ E(X_{i})=0\times0.1+1\times0.6+2\times0.3=1.2, $$

$$ E(X_{i}^{2})=0^{2}\times0.1+1^{2}\times0.6+2^{2}\times0.3=1.8, $$

故

$$ D(X_{i})=E(X_{i}^{2})-\left[E(X_{i})\right]^{2}=1,8-1,2^{2}=0,36. $$

因共有200户，各户占有车位数相互独立。从而近似地有

$$ \sum_{i=1}^{200}X_{i}\sim N(200\times1.2,\quad200\times0.36). $$

今要求车位数 n 满足

$$ 0.95\leqslant P\left(\sum_{i=1}^{200}X_{i}\leqslant n\right), $$

由正态近似知，上式中 n 应满足

$$ 0.95\leqslant\Phi\left(\frac{n-200\times1.2}{\sqrt{200\times0.36}}\right)=\Phi\left(\frac{n-240}{\sqrt{72}}\right) $$

因 $ 0.95 = \Phi(1.645) $，从而由 $ \Phi(x) $ 的单调性知

$$ \frac{n-240}{\sqrt{72}}\geqslant1.645, $$

故 $ n \geqslant 240 + 1.645 \times \sqrt{72} = 253.96 $. 由此知至少需 254 个车位.

1. 某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望 $ \mu $ (未知)，方差 $ \sigma^{2} = 400 $。为了估计 $ \mu $，随机地取 n 只这种器件，在时刻 t = 0 投入测试（测试是相互独立的）直到失效，测得其寿命为 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $，以 $ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} $ 作为 $ \mu $ 的估计，为使 $ P\{|\bar{X} - \mu| < 1\} \geqslant 0.95 $，问 n 至少为多少？

解 由教材第五章 §2 定理一可知，当 n 充分大时，

$$ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) $$

即

$$ \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\stackrel{ 近似地 }{\sim}N(0,1). $$

由题设 $ D(X_{i})=400(i=1,2,\cdots,n) $，即有 $ \sigma=\sqrt{400} $，于是 $ \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{400}/\sqrt{n}}=\frac{\bar{X}-\mu}{20/\sqrt{n}} $

近似地服从 N(0,1) 分布，即有

$$ \begin{aligned}P\{\mid\bar{X}-\mu\mid<1\}&=P\{-1<\bar{X}-\mu<1\}\\&=P\Biggl\{\frac{-1}{20/\sqrt{n}}<\frac{\bar{X}-\mu}{20/\sqrt{n}}<\frac{1}{20/\sqrt{n}}\Biggr\}\\&\approx\Phi\Biggl(\frac{1}{20/\sqrt{n}}\Biggr)-\Phi\Biggl(\frac{-1}{20/\sqrt{n}}\Biggr)=2\Phi\Biggl(\frac{1}{20/\sqrt{n}}\Biggr)-1.\end{aligned} $$

现在要求 $ P\{|\bar{X}-\mu|<1\}\geqslant0.95 $，即要求

$$ 2\Phi\left(\frac{1}{20/\sqrt{n}}\right)-1\geqslant0.95, $$

亦即要求

$$ \Phi\Big(\frac{1}{20/\sqrt{n}}\Big)\geqslant0.975=\Phi(1.96), $$

故需要

$$ \frac{1}{20/\sqrt{n}}\geqslant1.96, $$

即

$$ n\geqslant(20\times1.96)^{2}=1\ 536.64. $$

因n为正整数，故n至少为1 537.

1. $ \underset{\cdot}{某} $药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为0.8，医院任意抽查100个服用此药品的病人，若其中多于75人治愈，就接受此断言，否则就拒绝此断言.

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8. 问接受这一断言的概率是多少?

（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？

解 由药厂断言来看 100 人中治愈人数 $ X \sim b(100,0.8) $.

（1）在治愈率与实际情况相符合条件下，接受药厂断言的概率即为 P(X >

75). 由中心极限定理知近似地有 $ X \sim N(100 \times 0.8, 100 \times 0.8 \times 0.2) = N(80, 4^2) $，于是

$$ \begin{aligned}p_{1}&=P(X>75)\approx1-\Phi\Big(\frac{75-80}{4}\Big)=1-\bar{\Phi}(\frac{-5}{4})\\&=\Phi(1.25)=0.8944.\end{aligned} $$

（2）若实际上治疗率为0.7，即 $ X\sim b(100,0.7) $，则治愈人数X近似地服从正态分布，即有

$$ X\sim N(100\times0.7,100\times0.7\times0.3). $$

所求概率

$$ \begin{aligned}p_{2}&=P(X>75)\approx1-\Phi\Big(\frac{75-100\times0.7}{\sqrt{100\times0.7\times0.3}}\Big)\\&=1-\Phi\Big(\frac{5}{\sqrt{21}}\Big)=1-\Phi(1.09)\\&=1-0.862\ 1=0.137\ 9.\\ \end{aligned} $$

东菱坦+20.0≤1>14-X19东要查

$$ \mathrm{,~}20\mathrm{~,~}0\mathrm{~}\leq\mathrm{~f~}-\left(\frac{\mathrm{~I~}}{\mathrm{~a~v~h~o~s~}}\right)\mathrm{.~}\emptyset\mathrm{S~} $$

$$ \cos\left(\Phi\right)=2\Delta\theta,0\leqslant\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\Phi $$

$$ .20.1\leq\frac{1}{\pi\sqrt{3}}\cdot $$

$$ \begin{aligned}n\leqslant(50\times1.30)=1.236.01\end{aligned} $$

非愈前治麻斯血病强特一者因干饭品药某某的气主丁愈，有调不药果，41

受数，愈人35，干途中其各，人府的品药血困个001查意玉药2.0式

言油九药原否，言油

期言调一交同8.0县库备出输关林品加工利实营(1)

县津府南一交受数例.1.0.成率愈常的融资伸效品药出土同类春(S)

$$ (8,0,001)\dot{\alpha}-7. 嫚人愈治中人 001 舄来言谢门巷由 $$

2)9次明率融言融广蓝资，不料条合将脉皆福美丰率愈部