第十四章 平稳随机过程

第十四章 平稳随机过程

平稳随机过程是一类应用相当广泛的随机过程。本章在介绍平稳过程概念之后，着重在二阶矩过程的范围内讨论平稳过程的各态历经性、相关函数的性质以及功率谱密度函数和它的性质。

§1 平稳随机过程的概念

在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的 $ n $（ $ n=1,2,\cdots $， $ t_1,t_2,\cdots,t_n\in T $ 和任意实数 $ h $，当 $ t_1+h,t_2+h,\cdots,t_n+h\in T $ 时， $ n $ 维随机变量

$$ \begin{aligned}&\left(X(t_{1}),X(t_{2}),\cdots,X(t_{n})\right)\\&\left(X(t_{1}+h),X(t_{2}+h),\cdots,X(t_{n}+h)\right)\end{aligned} $$

和

具有相同的分布函数，则称随机过程 $ \{X(t), t \in T\} $具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程.

平稳过程的参数集 T，一般为 $ (-∞,+∞) $、 $ [0,+∞) $、 $ \{0,±1,±2,…\} $ 或 $ \{0,1,2,…\} $. 当定义在离散参数集上时，也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列. 以下若无特殊声明，均认为参数集 $ T=(-∞,+∞) $.

在实际问题中，确定过程的分布函数，并用它来判定其平稳性，一般是很难办到的。但是，对于一个被研究的随机过程，如果前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化，则一般就可以认为是平稳的。

但温条件下的热噪声电压过程以及第十二章31例2、例3都是平稳过程的例子。强震阶段的地震波幅、船舶的颠簸过程、照明电网中电压的波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上都被认为是平稳的。

与平稳过程相反的是非平稳过程. 一般, 随机过程处于过渡阶段时总是非平稳的. 例如, 飞机控制在高度为 h 的水平面上飞行, 由于受到大气湍流的影响, 实际飞行高度 $ H(t) $ 应在 h 水平面上下随机波动, $ H(t) $ 可看作是平稳过程, 但论及的时间范围必须排除飞机的升降阶段(过渡阶段), 因为在升降阶段内由于飞行的主要条件随时间而发生变化, 因而 $ H(t) $ 的主要特征也随时间而变化着, 也就是说在升降阶段内过程 $ H(t) $ 是非平稳的. 不过在实际问题中, 当仅仅考虑过程

的平稳阶段时，为了数学处理的方便，我们通常把平稳阶段的时间范围取为 $ -\infty

接着，考察平稳过程数字特征的特点。

设平稳过程 $ X(t) $ 的均值函数 $ E[X(t)] $ 存在. 对 n=1 ，在 (1.1) 式中，令 $ h = -t_{1} $，由平稳性定义，一维随机变量 $ X(t_{1}) $ 和 $ X(0) $ 同分布. 于是 $ E[X(t)] = E[X(0)] $，即均值函数必为常数，记为 $ \mu_{X} $. 同样， $ X(t) $ 的均方值函数和方差函数亦为常数，分别记为 $ \Psi_{X}^{2} $ 和 $ \sigma_{X}^{2} $. 据此，依照图 12-4 的意义，可以知道，平稳过程的所有样本曲线都在水平直线 $ x(t) = \mu_{X} $ 上下波动，平均偏离度为 $ \sigma_{X} $.

又若平稳过程 $ X(t) $ 的自相关函数 $ R_{X}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})X(t_{2})] $ 存在，对 n=2，在(1.1)中，令 $ h=-t_{1} $，由平稳性定义，二维随机变量 $ (X(t_{1}),X(t_{2})) $ 与 $ (X(0),X(t_{2}-t_{1})) $ 同分布.于是，有

$$ R_{X}(t_{1},t_{2})=E\left[X(t_{1})X(t_{2})\right]=E\left[X(0)X(t_{2}-t_{1})\right]. $$

等式右端只与时间差 $ t_{2}-t_{1} $ 有关，记为 $ R_{X}(t_{2}-t_{1}) $，即有

$$ R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{2}-t_{1}) $$

或

$$ R_{X}(t,t+\tau)=E\left[X(t)X(t+\tau)\right]=R_{X}(\tau). $$

这表明：平稳过程的自相关函数仅是时间差 $ t_{2}-t_{1}=\tau $ 的单变量函数（换句话说，它不随时间的推移而变化）.

又由第十二章(2.7)式，协方差函数可以表示为

$$ C_{X}(\tau)=E\{[X(t)-\mu_{X}][X(t+\tau)-\mu_{X}]\}=R_{X}(\tau)-\mu_{X}^{2}. $$

特别地，令 $ \tau=0 $，由上式，有

$$ \sigma_{X}^{2}=C_{X}(0)=R_{X}(0)-\mu_{X}^{2}. $$

如前所述，要确定一个随机过程的分布函数，并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的。因此，通常只在二阶矩过程范围内，考虑如下一类广义平稳过程。

定义 给定二阶矩过程 $ \{X(t), t \in T\} $，如果对任意 $ t, t + \tau \in T $，

$$ E[X(t)]=\mu_{X}( 常数 ), $$

$$ E\left[X(t)X(t+\tau)\right]=R_{X}(\tau), $$

则称 $ \{X(t), t \in T\} $为宽平稳过程或广义平稳过程。相对地，前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程。

由于宽平稳过程的定义只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在，则它必定也是宽平稳的。但反过来，一般是不成立的。不过有一个重要的例外情形，即正态过程。因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度也不随时间的推移而变化。由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的。

今后，我们讲到平稳过程一词时，除特别指明以外，总是指宽平稳过程。

另外，当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，如果它们的互相关函数也只是时间差的单变量函数，记为 $ R_{XY}(\tau) $，即

$$ R_{XY}(t,t+\tau)=E\left[X(t)Y(t+\tau)\right]=R_{XY}(\tau), $$

那么我们就称 X(t) 和 Y(t) 是平稳相关的，或称这两个过程是联合（宽）平稳的.

易见，在第十二章中，§2例2、例3都是平稳过程，由于例3又是正态过程，所以它也是严平稳的。而§2例1以及§3中的泊松过程和维纳过程都是非平稳过程。下面再举例。

例1 设 $ \{X_{k}, k=1,2,\cdots\} $ 是互不相关的随机变量序列，且 $ E(X_{k})=0 $， $ E(X_{k}^{2})=\sigma^{2} $，则有

$$ R_{X}(k,l)=E(X_{k}X_{l})=\{\begin{aligned}&\sigma^{2},k=l,\\ &0,k\neq l.\end{aligned}. $$

即相关函数只与 k-l 有关，所以它是宽平稳的随机序列。如果 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{k}, \cdots $ 又是独立同分布的，则易证序列也是严平稳的。

例2 设 $ s(t) $ 是一周期为 T 的函数， $ \Theta $ 是在 $ (0,T) $ 上服从均匀分布的随机变量，称 $ X(t)=s(t+\Theta) $ 为随机相位周期过程。试讨论它的平稳性。

解 由假设，的概率密度为

$$ f(\theta)=\{\begin{aligned}&1/T,&0<\theta

于是， $ X(t) $ 的均值函数为

$$ E\left[X(t)\right]=E\left[s(t+\theta)\right]=\int_{0}^{T}s(t+\theta)\frac{1}{T}\mathrm{d}\theta=\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}s(\varphi)\mathrm{d}\varphi. $$

利用 $ s(\varphi) $ 的周期性，可知

$$ E\left[X(t)\right]=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s(\varphi)\mathrm{d}\varphi= 常数 . $$

而自相关函数

$$ \begin{aligned}R_{X}(t,t+\tau)&=E[s(t+\Theta)s(t+\tau+\Theta)]\\&=\int_{0}^{T}s(t+\theta)s(t+\tau+\theta)\cdot\frac{1}{T}\mathrm{d}\theta\\&=\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}s(\varphi)s(\varphi+\tau)\mathrm{d}\varphi.\end{aligned} $$

同样，利用 $ s(\varphi)s(\varphi+\tau) $ 的周期性，可知自相关函数仅与 $ \tau $ 有关，即

$$ R_{X}(t,t+\tau)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s(\varphi)s(\varphi+\tau)d\varphi\xlongequal{ 记成 }R_{X}(\tau) $$

所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位正弦波是平稳的(第十二章 §2 例2). ☐

例3 考虑随机电报信号. 信号 $ X(t) $由只取+I或-I的电流给出（图14-1

画出了 $ X(t) $的一条样本曲线).这里

$$ P\{X(t)=+I\}=P\{X(t)=-I\}=1/2, $$

而正负号在区间 $ (t,t+\tau) $内变化的次数 $ N(t,t+\tau) $是随机的，且假设 $ N(t,t+\tau) $服从泊松分布，亦即事件

$$ A_{k}=\{N(t,t+\tau)=k\} $$

的概率为

$$ P(A_{k})=\frac{(\lambda\tau)^{k}}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda x},\quad k=0,1,2,\cdots, $$

其中 $ \lambda>0 $是单位时间内变号次数的数学期望.试讨论 $ X(t) $的平稳性.

解 显然， $ E[X(t)]=0 $。现在来计算 $ E[X(t)X(t+\tau)] $，先设 $ \tau>0 $，我们注意，如果电流在 $ (t,t+\tau) $ 内变号偶数次，则 $ X(t) $ 和 $ X(t+\tau) $ 必同号且乘积为 $ I^{2} $；如果变号奇数次，则乘积为 $ -I^{2} $。因为事件

$$ \{X(t)X(t+\tau)=I^{2}\} $$

的概率为 $ P(A_{0}) + P(A_{2}) + P(A_{4}) + \cdots $，而事件

$$ \{X(t)X(t+\tau)=-I^{2}\} $$

的概率为 $ P(A_{1}) + P(A_{3}) + \cdots $，于是

$$ \begin{align*}E\big[X(t)X(t+\tau)\big]&=I^{2}\sum_{k=0}^{+\infty}P(A_{2k})-I^{2}\sum_{k=0}^{+\infty}P(A_{2k+1})\\&=I^{2}\mathrm{e}^{-\lambda\tau}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-\lambda\tau)^{k}}{k!}=I^{2}\mathrm{e}^{-2\lambda\tau}.\end{align*} $$

注意，上述结果与 t 无关。而若 $ \tau<0 $ 时，只需令 $ t^{\prime}=t+\tau $，则有

$$ \begin{aligned}E\big[X(t)X(t+\tau)\big]=&E\big[X(t^{\prime})X(t^{\prime}-\tau)\big]\\=&I^{2}\mathrm{e}^{2\lambda\tau}.\end{aligned} $$

故这一过程的自相关函数为

$$ \begin{aligned}R_{X}(\tau)&=E\big[X(t)X(t+\tau)\big]\\&=I^{2}\mathrm{e}^{-2\lambda|\tau|},\end{aligned} $$

它只与 $ \tau $有关.其图形如图14-2所示.因此随机电报信号 $ X(t) $是一平稳过程.

§2 各态历经性

本节主要讨论，根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的理论依据和方法.

首先注意，如果按照数学期望的定义来计算平稳过程 $ X(t) $的数字特征，就需要预先确定 $ X(t) $的一族样本函数或一维、二维分布函数，但这实际上是不易办到的。事实上，即使我们用统计实验方法，例如可以把均值和自相关函数近似地表示为

$$ \mu_{X}\approx\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}x_{k}(t_{1}) $$

$$ R_{X}(t_{2}-t_{1})\approx\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}x_{k}(t_{1})x_{k}(t_{2}), $$

和

那也需要对一个平稳过程重复进行大量观察，以便获得数量很多的样本函数 $ x_{k}(t), k=1,2,\cdots,N $，而这正是实际困难所在.

但是，平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化的，于是我们自然期望在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线，可以作为得到这个过程的数字特征的充分依据。本节给出的各态历经定理将证实：对平稳过程而言，只要满足一些较宽的条件，那么集平均（均值和自相关函数等）实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替。这样，在解决实际问题时就节约了大量的工作量。

在叙述各态历经性之前，我们先简要地介绍一下往后多处要碰到的有关随机过程积分的概念.

给定二阶矩过程 $ \{X(t), t \in T\} $，如果它的每一个样本函数在 $ [a, b] \subset T $上的积分都存在，我们就说随机过程 $ X(t) $在 $ [a, b] $上的积分存在，并记为

$$ Y=\int_{a}^{b}X(t)\mathrm{d}t, $$

显然，Y 是一随机变量.

但是，在某些情形下，对于随机过程的所有样本函数来说，在 $ [a,b] $上的积分未必全都存在.此时，引入所谓均方意义上的积分，即考虑 $ [a,b] $内的一组分点

$$ a=t_{0}

且记

$$ \Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1},\quad t_{i-1}\leqslant\tau_{i}\leqslant t_{i},\quad i=1,2\cdots,n, $$

如果有满足

$$ \lim_{\max\Delta t_{i}\to0}E\{\left[Y-\sum_{i=1}^{n}X(\tau_{i})\Delta t_{i}\right]^{2}\}=0 $$

的随机变量 Y 存在，我们就称 Y 为 X(t) 在 $ [a,b] $ 上的均方积分 $ ^{①} $，并仍以符号 (2.1) 记之。可以证明：二阶矩过程 X(t) 在 $ [a,b] $ 上均方积分存在的充分条件是自相关函数的二重积分，即

$$ \int_{a}^{b}\int_{a}^{b}R_{x}(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t $$

存在. 而且此时还成立有

$$ E[Y]=\int_{a}^{b}E[X(t)]\mathrm{d}t. $$

就是说，过程 X(t) 的积分的均值等于过程的均值函数的积分。

现在引入随机过程 $ X(t) $ 沿整个时间轴上的如下两种时间平均：

$$ \langle X(t)\rangle=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)\mathrm{d}t $$

和

$$ \langle X(t)X(t+\tau)\rangle=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)X(t+\tau)\mathrm{d}t $$

分别称为随机过程 X(t) 的时间均值和时间相关函数。我们可以沿用高等数学中的方法求积分和求极限，其结果一般来说是随机的。

以下就来讨论时间平均与集平均之间的关系. 先看一个例子.

例1 计算随机相位正弦波 $ X(t)=a\cos(\omega t+\Theta) $ 的时间平均 $ \langle X(t)\rangle $ 和 $ \langle X(t)X(t+\tau)\rangle $.

解

$$ \begin{align*}\langle X(t)\rangle&=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}a\cos(\omega t+\Theta)\mathrm{d}t\\&=\lim_{T\to+\infty}\frac{a\cos\Theta\sin\omega T}{\omega T}=0.\end{align*} $$

$$ \begin{aligned}\langle X(t)X(t+\tau)\rangle&\\ =\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}a^{2}\cos(\omega t+\Theta)\cos[\omega(t+\tau)+\Theta]\mathrm{d}t\\ =&\frac{a^{2}}{2}\cos\omega\tau.\end{aligned} $$

将例1的结果与第十二章§2例2算得的结果比较，可知

$$ \begin{align*}\mu_{X}=&E\big[X(t)\big]=\langle X(t)\rangle,\\ R_{X}(\tau)=&E\big[X(t)X(t+\tau)\big]=\langle X(t)X(t+\tau)\rangle.\end{align*} $$

① 设 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots $ 是一随机变量序列，如果存在随机变量 $ X_{0} $，使

$$ \lim_{n\to+\infty}E\{[X_{n}-X_{0}]^{2}\}=0, $$

则称 $ X_{0} $ 是 $ X_{n} $ 的均方极限，记为 l.i.m. $ X_{n}=X_{0} $. 本章出现的涉及随机过程的极限和积分都应在均方意义下理解. 但我们约定仍以记号“lim”替代“l.i.m.”，请读者注意. 有关这方面的进一步知识（即随机分析的内容）超出本书的要求.

这表明：对于随机相位正弦波，用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的。这一特性并不是随机相位正弦波所独有的。下面引入一般概念。

定义 设 $ X(t) $ 是一平稳过程，

$ 1^{\circ} $ 如果

$$ \langle X(t)\rangle=E[X(t)]=\mu_{X} $$

以概率1成立，则称过程 $ X(t) $的均值具有各态历经性.

$ 2^{\circ} $ 如果对任意实数 $ \tau $，

$$ \langle X(t)X(t+\tau)\rangle=E[X(t)X(t+\tau)]=R_{X}(\tau) $$

以概率1成立，则称过程 $ X(t) $的自相关函数具有各态历经性。特别当 $ \tau=0 $时，称均方值具有各态历经性。

$ 3^{\circ} $ 如果 X(t) 的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称 X(t) 是（宽）各态历经过程，或者说 X(t) 是各态历经的.

定义中“以概率1成立”是对 $ X(t) $的所有样本函数而言的.

各态历经性有时也称作遍历性或埃尔古德性（ergodicity）.

按定义，例1中的随机相位正弦波是各态历经过程.

当然，并不是任意一个平稳过程都是各态历经的。例如平稳过程

$$ X(t)=Y, $$

其中 Y 是方差异于零的随机变量，就不是各态历经过程。事实上， $ \langle X(t)\rangle=\langle Y\rangle=Y $，亦即时间均值随 Y 取不同可能值而不同。因 Y 的方差异于零，这样 $ \langle X(t)\rangle $ 就不可能以概率 1 等于常数 $ E[X(t)]=E[Y] $。见图 14-3。

一个平稳过程应该满足怎样的条件才是各态历经的呢？下面两个定理从理论上回答了这一问题.

定理一（均值各态历经定理）平稳过程 $ X(t) $的均值具有各态历经性的充要条件是

$$ \lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{2T}\left(1-\frac{\tau}{2T}\right)\left[R_{X}(\tau)-\mu_{X}^{2}\right]\mathrm{d}\tau=0. $$

证 先计算 $ \langle X(t)\rangle $的均值和方差. 由(2.3)式

$$ E\{\langle X(t)\rangle\}=E\{\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)d t\}. $$

交换运算顺序，并注意到 $ E[X(t)]=\mu x $，即有

$$ E\{\langle X(t)\rangle\}=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}E[X(t)]\mathrm{d}t=\mu_{X}. $$

而 $ \langle X(t)\rangle $的方差为

$$ \begin{aligned}D[\langle X(t)\rangle]=&E\{[\langle X(t)\rangle-\mu_{X}]^{2}\}\\=&\lim_{T\rightarrow+\infty}E\Big\{[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)\mathrm{d}t]^{2}\Big\}-\mu_{X}^{2}\\=&\lim_{T\rightarrow+\infty}E\{\frac{1}{4T^{2}}\int_{-T}^{T}X(t_{1})\mathrm{d}t_{1}\int_{-T}^{T}X(t_{2})\mathrm{d}t_{2}\}-\mu_{X}^{2}\\=&\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{4T^{2}}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}E[X(t_{1})X(t_{2})]\mathrm{d}t_{1}\mathrm{d}t_{2}-\mu_{X}^{2}.\end{aligned} $$

由 $ X(t) $ 的平稳性， $ E[X(t_{1})X(t_{2})]=R_{X}(t_{2}-t_{1}) $，上式可改写为

$$ D\left[\left\langle X(t)\right\rangle\right]=\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{4T^{2}}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}R_{X}\left(t_{2}-t_{1}\right)dt_{1}dt_{2}-\mu_{X}^{2}. $$

为了简化上式右端的积分，引入变量替代 $ \tau_{1}=t_{1}+t_{2} $ 和 $ \tau_{2}=-t_{1}+t_{2} $. 此变换的雅可比 (Jacobi) 式是

$$ \left|\frac{\partial(t_{1},t_{2})}{\partial(\tau_{1},\tau_{2})}\right|=\frac{1}{2} $$

而积分区域按图14-4转换.于是(2.8)式中的二重积分用新变量可表成

$$ \int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}R_{x}(t_{2}-t_{1})\mathrm{d}t_{1}\mathrm{d}t_{2}=\iint_{\triangle}R_{x}(\tau_{2})\frac{1}{2}\cdot\mathrm{d}\tau_{1}\mathrm{d}\tau_{2}, $$

其中◇为图14-4(2)所示的正方形.注意到被积函数 $ R_{X}(\tau_{2}) $是 $ \tau_{2} $的偶函数(见下节性质 $ 2^{\circ} $),且与 $ \tau_{1} $无关,因而积分值为图14-4(2)中阴影区域G上积分值的4倍,即

$$ \begin{aligned}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}R_{X}(t_{2}-t_{1})\mathrm{d}t_{1}\mathrm{d}t_{2}&=4\iint\limits_{G}R_{X}(\tau_{2})\ \frac{1}{2}\mathrm{d}\tau_{1}\mathrm{d}\tau_{2}\\&=2\int_{0}^{2T}\mathrm{d}\tau_{2}\int_{0}^{2T-\tau_{2}}R_{X}(\tau_{2})\mathrm{d}\tau_{1}\ =2\int_{0}^{2T}(2T-\tau)R_{X}(\tau)\mathrm{d}\tau.\end{aligned} $$

把这个式子代入(2.8)式就有

$$ \begin{align*}D\big[\langle X(t)\rangle\big]&=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{2T}\Big(1-\frac{\tau}{2T}\Big)R_{X}(\tau)\mathrm{d}\tau-\mu_{X}^{2}\\&=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{2T}\Big(1-\frac{\tau}{2T}\Big)\big[R_{X}(\tau)-\mu_{X}^{2}\big]\mathrm{d}\tau.\end{align*} $$

由第四章§2方差的性质4°知道

$$ \langle X(t)\rangle=E\{\langle X(t)\rangle\} $$

以概率1成立的充要条件是

$$ D[\left\langle X(t)\right\rangle]=0. $$

但现已算得 $ E\{\langle X(t)\rangle\} = E[X(t)] $，故知

$$ \langle X(t)\rangle=E\big[X(t)\big] $$

以概率1成立的充要条件是

$$ D[\langle X(t)\rangle]=0. $$

而由(2.10)式，条件(2.11)即为

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{2T}\left(1-\frac{\tau}{2T}\right)\left[R_{X}(\tau)-\mu_{X}^{2}\right]\mathrm{d}\tau=0, $$

由此定理得证.

推论 在 $ \lim_{r\to+\infty}R_{X}(\tau) $ 存在条件下，若 $ \lim_{r\to+\infty}R_{X}(\tau)=\mu_{X}^{2} $，则(2.7)式成立，均值具有各态历经性；若 $ \lim_{r\to+\infty}R_{X}(\tau)\neq\mu_{X}^{2} $，则(2.7)式不成立，均值不具有各态历经性。(证略)

注意，对例1中的随机相位正弦波而言， $ \lim_{r\to+\infty}R_{x}(\tau) $ 不存在，但它的均值是各态历经的.

在定理一的证明中将 $ X(t) $ 换成 $ X(t)X(t+\tau) $，就可得

定理二（自相关函数各态历经定理）平稳过程 $ X(t) $ 的自相关函数 $ R_{X}(\tau) $ 具有各态历经性的充要条件是

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{2T}\left(1-\frac{\tau_{1}}{2T}\right)\left[B(\tau_{1})-R_{X}^{2}(\tau)\right]\mathrm{d}\tau_{1}=0, $$

其中 $ B(\tau_{1})=E[X(t)X(t+\tau)X(t+\tau_{1})X(t+\tau+\tau_{1})] $.

在(2.12)式中令 $ \tau=0 $，就可得到均方值具有各态历经性的充要条件.

如若在定理二中以 $ X(t)Y(t+\tau) $ 代替 $ X(t)X(t+\tau) $， $ R_{XY}(\tau) $ 代替 $ R_{X}(\tau) $ 来进行讨论，那么还可以相应地得到互相关函数的各态历经定理.

在实际应用中通常只考虑定义在 $ 0 \leq t < +\infty $ 上的平稳过程。此时上面的所有时间平均都应以 $ 0 \leq t < +\infty $ 上的时间平均来代替。而相应的各态历经定理可表示为下述形式：

定理三

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}X(t)dt=E[X(t)]=\mu_{X} $$

以概率1成立的充要条件是

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left(1-\frac{\tau}{T}\right)\left[R_{X}(\tau)-\mu_{X}^{2}\right]\mathrm{d}\tau=0. $$

定理四

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}X(t)X(t+\tau)\mathrm{d}t=E\left[X(t)X(t+\tau)\right]=R_{X}(\tau) $$

以概率1成立的充要条件是

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left(1-\frac{\tau_{1}}{T}\right)\left[B(\tau_{1})-R_{X}^{2}(\tau)\right]\mathrm{d}\tau_{1}=0. $$

各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程 $ X(t) $，若 $ 0

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt=\mu_{X} $$

和

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)x(t+\tau)dt=R_{X}(\tau). $$

这就是本节开头所预告的论断。

如果试验记录 $ x(t) $ 只在时间区间 $ [0, T] $ 上给出，则相应于 (2.13) 和 (2.14) 式有以下无偏估计式：

$$ \mu_{X}\approx\dot{\mu}_{X}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)\mathrm{d}t, $$

$$ \begin{align*}R_{X}(\tau)&\approx\hat{R}_{X}(\tau)=\frac{1}{T-\tau}\int_{0}^{T-\tau}x(t)x(t+\tau)\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{T-\tau}\int_{\tau}^{T}x(t)x(t-\tau)\mathrm{d}t,0\leqslant\tau

不过在实际中一般不可能给出 $ x(t) $ 的表达式，因而通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式(2.15)和(2.16).现介绍如下：

$ 1^{\circ} $ 模拟自相关分析仪. 这种仪器的功能是当输入样本函数 x(t) 时, X-Y 记录仪自动描绘出自相关函数的曲线. 它的方框图如图 14-5 所示. 另有一种求自相关函数的近代方法——遍历转换技术, 本书不作介绍.

2° 数字方法. 如图 14-6, 把 $ [0, T] $ 等分为 N 个长为 $ \Delta t = \frac{T}{N} $ 的小区间, 然后在时刻 $ t_{k} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\Delta t, k = 1, 2, \cdots, N $, 对 $ x(t) $ 取样, 得 N 个函数值 $ x_{k} = x(t_{k}) $, k = 1, 2, $ \cdots $, N ①. 把积分 (2.15) 近似表示为基本区间 $ \Delta t $ 上的和, 就有无偏估计

$$ \hat{\mu}_{X}=\frac{1}{T}\sum_{k=1}^{N}x_{k}\Delta t=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}x_{k}. $$

相应于(2.16)式，我们可以写出当 $ \tau_{r}=r\Delta t $时，自相关函数的无偏估计

$$ \begin{align*}\hat{R}_{X}(\tau_{r})&=\frac{1}{T-\tau_{r}}\sum_{k=1}^{N-r}x_{k} x_{k+r}\Delta t\\&=\frac{1}{N-r}\sum_{k=1}^{N-r}x_{k} x_{k+r},\end{align*} $$

$$ r=0,1,2,\cdots,m,\quad m

由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值，从而拟合出自相关函数的近似图形，见图14-7.

最后指出，各态历经定理的条件是比较宽的，工程中碰到的大多数平稳过程都能够满足。不过，要去验证它们是否成立却是十分困难的。因此在实践中，通常事先假定所研究的平稳过程具有各态历经性，并从这个假定出发，对由此而产生的各种资料进行分析、处理，看所得的结论是否与实际相符。如果不符，则要修改假设，另作处理。

§3 相关函数的性质

在第十二章§2中指出，用数字特征来描绘随机过程，比用分布函数（或概率密度）来得简便。上一节中又指出，对于具有各态历经性的平稳过程，可以根据各态历经定理，对随机过程的一个样本函数使用数学分析的计算手续去求它的均值和相关函数。在这种场合下，利用均值和相关函数去研究随机过程更是方便。特别是对于正态平稳过程，它的均值 $ \mu_{X} $和相关函数 $ R_{X}(\tau) $完全刻画了该过程的统计特性。因此，这两个数字特征的重要性更突出地显现出来。为了成功地使用数字特征去研究随机过程，下面着重研究一下相关函数的性质。以下假设 $ X(t) $和 $ Y(t) $是平稳相关过程， $ R_{X}(\tau) $， $ R_{Y}(\tau) $和 $ R_{XY}(\tau) $分别是它们的自相关函数和互相关函数。

$$ 1^{\circ}R_{X}(0)=E\left[X^{2}(t)\right]=\Psi_{X}^{2}\geqslant0. $$

这由(1.2)式即可得到. 在下一节将看到，量 $ R_{X}(0) $ 表示平稳过程 $ X(t) $ 的“平均功率”.

$ 2^{\circ}R_{X}(-\tau)=R_{X}(\tau) $，即 $ R_{X}(\tau) $是 $ \tau $的偶函数。而互相关函数既不是奇函数，也不是偶函数，但满足 $ R_{XY}(-\tau)=R_{YX}(\tau) $。

这分别可由(1.2)和(1.3)式得到.依据这个性质，在实际问题中只需计算或测量 $ R_{X}(\tau) $， $ R_{Y}(\tau) $， $ R_{XY}(\tau) $和 $ R_{YX}(\tau) $在 $ \tau\geqslant0 $的值.

$ 3^{\circ} $ 关于自相关函数和自协方差函数有不等式：

$$ R_{X}(\tau)\mid\leqslant R_{X}(0) 和 \mid C_{X}(\tau)\mid\leqslant C_{X}(0)=\sigma_{X}^{2}. $$

这可根据自相关函数、自协方差函数的定义以及柯西—施瓦茨不等式直接推出.

此不等式表明：自相关（自协方差）函数都在 $ \tau=0 $处取到最大值 $ ^{①} $

类似地，可以推得以下有关互相关函数和互协方差函数的不等式：

$$ |R_{X Y}(\tau)|^{2}\leqslant R_{X}(0)R_{Y}(0) 和 |C_{X Y}(\tau)|^{2}\leqslant C_{X}(0)C_{Y}(0). $$

应用上还定义有标准自协方差函数和标准互协方差函数：

$$ \rho_{X}\left(\tau\right)=\frac{C_{X}\left(\tau\right)}{C_{X}\left(0\right)} 和 \rho_{XY}\left(\tau\right)=\frac{C_{XY}\left(\tau\right)}{\sqrt{C_{X}\left(0\right)C_{Y}\left(0\right)}} $$

由上述不等式性质知： $ \left|\rho_{X}(\tau)\right|\leqslant1 $ 和 $ \left|\rho_{XY}(\tau)\right|\leqslant1 $ 。且当 $ \rho_{XY}(\tau)=0 $ 时， $ X(t) $ 和 $ Y(t) $ 不相关。

$ 4^{\circ}R_{X}(\tau) $是非负定的，即对任意数组 $ t_{1},t_{2},\cdots,t_{n}\in T $和任意实值函数 $ g(t) $都有

$$ \sum_{i,j=1}^{n}R_{X}(t_{i}-t_{j})g(t_{i})g(t_{j})\geqslant0. $$

事实上，根据自相关函数的定义和均值运算性质，即有

$$ \begin{align*}\sum_{i,j=1}^{n}R_{X}(t_{i}-t_{j})g(t_{i})g(t_{j})&=\sum_{i,j=1}^{n}E\big{[}X(t_{i})X(t_{j})\big{]g(t_{i})g(t_{j})}\\&=E\Big{\{}\sum_{i,j=1}^{n}X(t_{i})X(t_{j})g(t_{i})g(t_{j})\Big{\}}\\&=E\Big{\{}\Big{\lbrack}\sum_{i=1}^{n}X(t_{i})g(t_{i})\Big{\rbrack}^{2}\Big{\}}\geqslant0.\end{align*} $$

对于平稳过程而言，自相关函数的非负定性是最本质的。这是因为理论上可以证明：任一连续函数，只要具有非负定性，那么该函数必是某平稳过程的自相关函数。

$ 5^{\circ} $ 如果平稳过程 X(t) 满足条件 $ P\{X(t+T_{0})=X(t)\}=1 $，则称它为周期是 $ T_{0} $ 的平稳过程。周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且其周期也是 $ T_{0} $。

事实上，由平稳性， $ E[X(t)-X(t+T_{0})]=0 $。又根据第四章§2方差的性质，条件 $ P\{X(t+T_{0})=X(t)\}=1 $与 $ E\{[X(t+T_{0})-X(t)]^{2}\}=0 $等价。于是，由柯西一施瓦茨不等式

$$ \begin{aligned}&\{E[X(t)(X(t+\tau+T_{0})-X(t+\tau))]\}^{2}\\ &\quad\leqslant E[X^{2}(t)]E\{[X(t+\tau+T_{0})-X(t+\tau)]^{2}\}\\ \end{aligned} $$

右端为零，推知

$$ E\{X(t)\big[X(t+\tau+T_{0})-X(t+\tau)\big]\}=0, $$

展开即得 $ R_{X}(\tau+T_{0})=R_{X}(\tau) $.

另外，在实际中，各种具有零均值的非周期性噪声和干扰一般当 $ \left|\tau\right| $值适当增大时， $ X(t+\tau) $和 $ X(t) $即呈现独立或不相关，干是有

$$ \lim_{\tau\to+\infty}R_{X}(\tau)=\lim_{\tau\to+\infty}C_{X}(\tau)=0. $$

下面讲一个应用的例子.

设某接收机输出电压 $ V(t) $ 是周期信号 $ S(t) $ 和噪声电压 $ N(t) $ 之和，即

$$ V(t)=S(t)+N(t). $$

又设 S(t) 和 N(t) 是两个互不相关（实际问题中一般都是如此）的各态历经过程，且 $ E[N(t)]=0 $。根据第十二章(2.12)式， $ V(t) $ 的自相关函数应为

$$ R_{V}(\tau)=R_{S}(\tau)+R_{N}(\tau). $$

由性质 $ 5^{\circ} $， $ R_{s}(\tau) $是周期函数，又因为一般噪声电压当 $ |\tau| $值适当增大时， $ X(t+\tau) $和 $ X(t) $呈现独立或不相关，即有

$$ \lim_{\tau\to\infty}R_{N}(\tau)=0. $$

于是，对于充分大的 $ \tau $值，我们有

$$ R_{V}(\tau)\approx R_{s}(\tau). $$

如果现在将 $ V(t) $ 作为自相关分析仪（图 14-5）的输入，则对于充分大的 $ \tau $ 值，分析仪记录到的是周期函数 $ R_{s}(\tau) $ 的曲线，如果只有噪声而无信号，则对充分大的 $ \tau $ 值，记录到的 $ R_{v}(\tau) \approx 0 $。所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周期成分就可以判断接收机的输出有无周期信号。这种探查信号的方法称为相关接收法。

例如，特别假设接收机输出电压中的信号和噪声过程的自相关函数分别为

$$ R_{S}\left(\tau\right)=\frac{a^{2}}{2}\cos\tau\omega,\quad R_{N}\left(\tau\right)=b^{2}\mathrm{e}^{-\alpha\left|\tau\right|}\quad\left(\alpha>0\right), $$

且噪声平均功率(见下一节(4.10)式) $ R_{N}(0)=b^{2} $ 远大于信号平均功率 $ R_{S}(0)=a^{2}/2 $. 此时，依关系式

$$ \begin{aligned}R_{V}(\tau)=&\frac{a^{2}}{2}\cos\tau\omega+b^{2}\mathrm{e}^{-a|\tau|}\\ \approx&\frac{a^{2}}{2}\cos\tau\omega,\quad\tau 充分大 (3.1)\end{aligned} $$

来看，自相关分析仪记录到的 $ R_{V}(\tau) $， $ \tau \geqslant 0 $ 的图形当 $ \tau $ 充分大后应呈现正弦曲线，亦即从强噪声中检测到微弱的正弦信号。如图14-8。

§4 平稳随机过程的功率谱密度

在很多理论和应用问题中，常常利用傅里叶(Fourier)变换这一有效工具来确立时间函数的频率结构。本节的目的就是讨论如何运用这一工具以确立平稳过程的频率结构——功率谱密度。

（一） 平稳过程的功率谱密度

设有时间函数 $ x(t), -\infty < t < +\infty $ ①, 我们知道，假如 $ x(t) $ 满足狄利克雷 (Dirichlet) 条件，且绝对可积，即

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\mid x(t)\mid\mathrm{d}t<+\infty, $$

那么 $ x(t) $ 的傅里叶变换存在或者说具有频谱

$$ F_{x}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t. $$

且同时有傅里叶逆变换

$$ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_{x}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}\omega. $$

$ F_{x}(\omega) $一般是复数量，其共轭函数 $ F_{x}^{*}(\omega)=F_{x}(-\omega) $. 在 $ x(t) $ 和 $ F_{x}(\omega) $ 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)等式

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mid F_{x}(\omega)\mid^{2}d\omega, $$

等式左边表示 $ x(t) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上的总能量，而右边的被积函数 $ \left|F_{x}(\omega)\right|^{2} $ 相应地称为 $ x(t) $ 的能谱密度。这样，帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式。

但是，在工程技术中，有很多重要的时间函数总能量是无限的，而且条件(4.1)也不满足。正弦函数就是一例，平稳过程的样本函数一般来说也是如此。这时，我们通常转而去研究 $ x(t) $在 $ (-\infty,+\infty) $上的平均功率，即

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^{2}(t)dt. $$

在以下的讨论中，我们都假定这个平均功率是存在的。

为了能利用傅里叶变换给出“平均功率的谱表示式”，我们首先由给定的 $ x(t) $构造一个截尾函数

$$ x_{T}(t)=\{\begin{aligned}x(t),\quad&|t|\leqslant T,\\ 0,\quad&|t|>T.\end{aligned}. $$

易知， $ x_{T}(t) $ 是满足条件(4.1)的.现记 $ x_{T}(t) $ 的傅里叶变换为

$$ F_{x}(\omega,T)=\int_{-\infty}^{+\infty}x_{T}(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-T}^{T}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t, $$

并写出它的帕塞瓦尔等式

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}x_{T}^{2}(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left|F_{x}(\omega,T)\right|^{2}d\omega. $$

将上式两边除以2T，并注意到(4.2)式，得

$$ \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^{2}(t)dt=\frac{1}{4\pi T}\int_{-\infty}^{+\infty}\mid F_{x}(\omega,T)\mid^{2}d\omega. $$

令 $ T \rightarrow +\infty, x(t) $ 在 $ (- \infty, + \infty) $ 上的平均功率即可表示为

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^{2}(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\mid F_{x}(\omega,T)\mid^{2}d\omega. $$

相应于能谱密度，我们把(4.5)式右端的被积式称作函数 $ x(t) $的平均功率谱密度，简称功率谱密度，并记为

$$ S_{x}(\omega)=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\left|F_{x}(\omega,T)\right|^{2}. $$

而式(4.5)右端就是平均功率的谱表示式.

现在我们把平均功率和功率谱密度的概念推广到平稳过程 $ X(t), -\infty < t < +\infty $.为此，相应于(4.3)和(4.4)式写出

$$ F_{X}(\omega,T)=\int_{-T}^{T}X(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t $$

和

$$ \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X^{2}(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{4\pi T}\int_{-\infty}^{+\infty}\mid F_{X}(\omega,T)\mid^{2}\mathrm{d}\omega. $$

显然，(4.7)和(4.8)式中诸积分都是随机的。这时，我们将(4.8)式左端的均值的极限，即量

$$ \lim_{T\to+\infty}E\{\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X^{2}(t)dt\} $$

定义为平稳过程 $ X(t) $ 的平均功率.

交换(4.9)式中积分与均值的运算顺序，并注意到平稳过程的均方值是常数 $ \Psi^{2} $，于是

$$ \lim_{T\to+\infty}E\{\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X^{2}(t)dt\}=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}E[X^{2}(t)]dt=\Psi_{X}^{2}, $$

即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或 $ R_{x}(0) $.

接着，把式(4.8)的右端代入(4.10)式的左端，交换运算顺序后可得

$$ \Psi_{X}^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{2T}E\{|F_{X}(\omega,T)|^{2}\}\mathrm{d}\omega. $$

相应于(4.5)—(4.6)式，我们把(4.11)式中的被积式称为平稳过程 $ X(t) $的功率谱密度，并记为 $ S_{XX}(\omega) $或 $ S_{X}(\omega) $，即

$$ S_{X}(\omega)=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}E\{|F_{X}(\omega,T)|^{2}\} $$

利用记号 $ S_{X}(\omega) $，(4.11) 式可简写为

$$ \Psi_{X}^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{X}(\omega)\mathrm{d}\omega, $$

此式称为平稳过程 $ X(t) $ 的平均功率的谱表示式.

功率谱密度 $ S_{X}(\omega) $ 通常也简称为自谱密度或谱密度 $ ^{①} $，它是从频率这个角度描述 $ X(t) $ 的统计规律的最主要的数字特征。由（4.13）式知，它的物理意义是表示 $ X(t) $ 的平均功率关于频率的分布。

如果我们已知平稳过程 $ X(t) $ 的谱密度，那么在任何特定频率范围 $ (\omega_{1}, \omega_{2}) $ 内的谱密度对平均功率的贡献为

$$ \left(\omega_{1},\omega_{2}\right)\Psi_{X}^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{\omega_{1}}^{\omega_{2}}S_{X}\left(\omega\right)\mathrm{d}\omega. $$

以上定义的谱密度 $ S_{X}(\omega) $ 又称为“双边谱密度”，意思是对 $ \omega $ 的正负值都是有定义的。但实际中负频率是无意义的，为了适应实际测量，考虑定义在 $ [0, +\infty) $ 上的平稳过程 $ X(t) $，并按前面的思想和步骤，定义“单边谱密度”：

$$ G_{X}(\omega)=\{\begin{array}{ll}2\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}E\{\mid F_{X}(\omega,T)\mid^{2}\},&\omega\geqslant0,\\0,&\omega<0,\end{array}. $$

此处 $ F_{X}(\omega, T) = \int_{0}^{T} X(t) e^{-i\omega t} dt. $

可以证明，单边谱密度与双边谱密度的关系是：

$$ G_{X}(\omega)=\{\begin{aligned}&2S_{X}(\omega),&\omega\geqslant0,\\ &0,&\omega<0,\end{aligned}. $$

见图14-9所示. 这相当于利用 $ S_{X}(\omega) $的偶函数性质 $ ^{①} $，把负频率范围内的谱密度折算到正频率范围内.

实用上，从定义单边谱密度的(4.14)式出发，设计有专门的仪器和计算方法用以模拟平稳过程的谱密度或进行数值计算.

（二） 谱密度的性质

谱密度 $ S_{x}(\omega) $ 有以下重要性质：

$ 1^{\circ}S_{X}(\omega) $ 是 $ \omega $ 的实的、非负的偶函数.

事实上，在(4.12)式中，量

$$ \left|F_{X}(\omega,T)\right|^{2}=F_{X}(\omega,T)F_{X}(-\omega,T) $$

是 $ \omega $ 的实的、非负的偶函数，所以它的均值的极限也必是实的、非负的偶函数.

$ 2^{\circ}S_{X}(\omega) $ 和自相关函数 $ R_{X}(\tau) $ 是一傅里叶变换对，即

$$ S_{X}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_{X}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau, $$

$$ R_{X}(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{X}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\omega. $$

它们统称为维纳—辛钦(Wiener-Khinchin)公式.

为了推导公式(4.15)，我们将(4.7)式代入(4.12)式，得

$$ S_{X}(\omega)=\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{2T}E\{\int_{-T}^{T}X(t_{1})e^{i\omega t_{1}}dt_{1}\int_{-T}^{T}X(t_{2})e^{-i\omega t_{2}}dt_{2}\}. $$

把括号内的积分乘积改写成重积分形式，交换积分与均值的运算顺序，并注意到 $ E\{X(t_{1})X(t_{2})\}=R_{X}(t_{2}-t_{1}) $，即有

$$ \begin{align*}S_{X}(\omega)&=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}E\{X(t_{1})X(t_{2})\}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(t_{2}-t_{1})}\mathrm{d}t_{1}\mathrm{d}t_{2}\\&=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}R_{X}(t_{2}-t_{1})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(t_{2}-t_{1})}\mathrm{d}t_{1}\mathrm{d}t_{2}.\end{align*} $$

接着，依照§2定理一的证明，作变量替代 $ \tau_{1}=t_{1}+t_{2} $ 和 $ \tau_{2}=-t_{1}+t_{2} $，可以得到

$$ \begin{align*}S_{X}(\omega)&=\lim_{T\to+\infty}\int_{-2T}^{2T}\Big(1-\frac{|\tau|}{2T}\Big)R_{X}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\\&=\lim_{T\to+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_{X}^{T}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau.\end{align*} $$

$$ R_{X}^{T}(\tau)=\{\begin{aligned}&\Big(1-\frac{|\tau|}{2T}\Big)R_{X}(\tau),&|\tau|\leqslant&2T,\\ &0,&|\tau|>&2T.\end{aligned}. $$

式中

当 $ T \rightarrow +\infty $ 时，注意到 $ R_{x}^{T}(\tau) \rightarrow R_{x}(\tau) $ 对每一个 $ \tau $ 都成立，于是由(4.17)式就可得到公式

$$ S_{X}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_{X}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau. $$

最后一步在理论上要求 $ \int_{-\infty}^{+\infty}\left|R_{X}(\tau)\right|d\tau<+\infty $.

如此，可以得出如下结论：平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下，谱密度就是自相关函数的傅里叶变换，即维纳—辛钦公式（4.15）成立。而公式（4.16）则是 $ S_{X}(\omega) $的傅里叶逆变换。

在(4.16)式中令 $ \tau=0 $，再次得到表示式(4.13).

此外，由于 $ R_{x}(\tau) $ 和 $ S_{x}(\omega) $ 都是偶函数，所以利用欧拉(Euler)公式，维纳—辛钦公式还可以写成如下的形式：

$$ S_{X}(\omega)=2\int_{0}^{+\infty}R_{X}(\tau)\cos\omega\tau\mathrm{d}\tau, $$

$$ R_{X}(\tau)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}S_{X}(\omega)\cos\omega\tau\mathrm{d}\omega. $$

维纳—辛钦公式又称为平稳过程自相关函数的谱表示式，它揭示了从时间角度描述平稳过程 $ X(t) $的统计规律和从频率角度描述 $ X(t) $的统计规律之间的联系。据此，在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方法或等价的频率域方法去解决实际问题。

维纳—辛钦公式的计算一般比较复杂，常要用到其他门类的数学知识，好在已经制备有傅里叶变换手册可供查用。表14.1列出了若干个自相关函数以及对应的谱密度。

例 1 已知平稳过程 $ X(t) $ 的自相关函数为

$$ R_{x}(\tau)=\mathrm{e}^{-\alpha|\tau|}\cos\omega_{0}\tau, $$

求 $ X(t) $ 的谱密度 $ S_{X}(\omega) $.

解 由公式(4.15)和欧拉公式，有

$$ \begin{align*}S_{X}(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-a|\tau|}\cos\omega_{0}\tau\cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-a|\tau|}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{0}\tau}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{0}\tau}}{2}\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\\&=\frac{1}{2}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-a|\tau|}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega-\omega_{0})\tau}\mathrm{d}\tau+\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-a|\tau|}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega+\omega_{0})\tau}\mathrm{d}\tau\right],\end{align*} $$

这两个积分分别是 $ e^{-a|\tau|} $ 的傅里叶变换在 $ \omega-\omega_{0},\omega+\omega_{0} $ 处的值（见表14.1第1栏），所以

$$ \begin{aligned}S_{X}(\omega)&=\frac{1}{2}\Big[\frac{2a}{a^{2}+(\omega-\omega_{0})^{2}}+\frac{2a}{a^{2}+(\omega+\omega_{0})^{2}}\Big]\\&=a\Big[\frac{1}{a^{2}+(\omega-\omega_{0})^{2}}+\frac{1}{a^{2}+(\omega+\omega_{0})^{2}}\Big],\end{aligned} $$

它的图形见表14-1第3栏.本题的解法，实际上是利用表14-1第1栏的对应关系，验证第3栏的对应关系.

续表

$$ S_{X}(\omega)=\frac{\omega^{2}+4}{\omega^{4}+10\omega^{2}+9}, $$

求平稳过程 $ X(t) $ 的自相关函数和均方值.

解 用查表方法. 先把 $ S_{X}(\omega) $ 改写成部分分式之和

$$ S_{X}\left(\omega\right)=\frac{\omega^{2}+4}{\left(\omega^{2}+1\right)\left(\omega^{2}+9\right)}=\frac{1}{8}\left(\frac{3}{\omega^{2}+1}+\frac{5}{\omega^{2}+3^{2}}\right). $$

由于傅里叶逆变换(4.16)也是线性变换，所以可对上式右端两项分别查表14-1第1栏后相加，经整理得所要求的自相关函数

$$ R_{x}(\tau)=\frac{1}{48}(9\mathrm{e}^{-|\tau|}+5\mathrm{e}^{-3|\tau|}). $$

而均方值为

$$ \Psi^{2}=R_{X}(0)=\frac{7}{24}. $$

形如(4.20)的谱密度属于有理谱密度. 根据谱密度性质 $ 1^{\circ} $，有理谱密度的一般形式应为

$$ S_{X}\left(\omega\right)=S_{0}\frac{\omega^{2n}+a_{2n-2}\omega^{2n-2}+\cdots+a_{0}}{\omega^{2m}+b_{2m-2}\omega^{2m-2}+\cdots+b_{0}} $$

式中 $ S_{0}>0 $; 又由于要求均方值有限，所以由(4.13)式还要求 m>n，且分母应无实数根. 有理谱密度是实用上最常见的一类谱密度.

另外，当我们已经算得平稳过程的自相关函数的估计 $ \bar{R}_{X}(\tau,r)=0,1,2,\cdots,m $时，那么经由维纳—辛钦公式可以得到谱密度的估计。这种估计式很多，例如，利用积分的梯形近似公式，相应于(4.18)式可以写出如下谱密度的原始估计：

$$ \dot{S}_{X}(\omega)=\Delta t\left[\dot{R}_{X}(0)+2\sum_{r=1}^{m-1}\dot{R}_{X}(\tau_{r})\cos\omega\tau_{r}+\dot{R}_{X}(\tau_{m})\cos\omega\tau_{m}\right], $$

$ 0 \leqslant \omega \leqslant \omega_{c} $（式中量 $ \tau_{r}, \Delta t $ 和 $ \omega_{c} $ 参见第 345 页的 $ 2^{\circ} $），在实际应用时，还需利用有关随机数据分析方法对原始估计作进一步的加工.

最后需要指出的是，在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程，它们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅里叶变换或逆变换是不存在的（例如随机相位正弦波的自相关函数），但与通常频谱分析中遇到的情况一样，如果允许谱密度和自相关函数含有 $ \delta $ 函数，则在新的意义下利用 $ \delta $ 函数的傅里叶变换性质，有关实际问题仍能得到圆满解决.

上面所说的 $ \delta $ 函数是单位冲激函数 $ \delta(t) $ 的简称，它是一种广义函数。狄拉克 (Dirac) 最早给出了 $ \delta(t) $ 的如下定义：

$$ \{\begin{array}{l}\delta(t)=0,t\neq0,\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm{d}t=1,\end{array}. $$

通常用图14—10中的单位有向线段来表示. $ \delta $ 函数的基本性质是：对任一在 $ \tau=0 $ 连续的函数 $ f(\tau) $，有

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\tau)f(\tau)\mathrm{d}\tau=f(0). $$

一般，若函数 $ f(\tau) $ 在 $ \tau = \tau_{0} $ 连续，就有

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\tau-\tau_{0})f(\tau)\mathrm{d}\tau=f(\tau_{0}) $$

据此，可以写出以下傅里叶变换对：

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau=1 $$

$$ \leftrightarrow\delta(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}1\cdot e^{i\omega\tau}d\omega, $$

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau=\delta(\omega)\quad\longleftrightarrow\quad\frac{1}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\omega. $$

(4.22)式表明：当自相关函数 $ R_{X}(\tau)=1 $时，谱密度 $ S_{X}(\omega)=2\pi\delta(\omega) $.其次，还可求得正弦型自相关函数 $ R_{X}(\tau)=a\cos\omega_{0}\tau $的谱密度为

$$ S_{X}(\omega)=a\pi\left[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})\right]. $$

事实上，

$$ \begin{align*}S_{X}(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}a\cos\omega_{0}\tau\mathrm{e}^{-i\omega\tau}\mathrm{d}\tau=\frac{a}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}(\mathrm{e}^{i\omega_{0}\tau}+\mathrm{e}^{-i\omega_{0}\tau})\mathrm{e}^{-i\omega\tau}\mathrm{d}\tau\\&=\frac{a}{2}\bigg[\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-i(\omega\tau-\omega_{0})\tau}\mathrm{d}\tau+\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-i(\omega\tau+\omega_{0})\tau}\mathrm{d}\tau\bigg],\end{align*} $$

利用变换式(4.22)即得(4.23)式.

由上可见，自相关函数为常数或正弦型函数的平稳过程，其谱密度都是离散的（见表14.1第5、7栏）.

例3 求自相关函数

$$ R_{V}(\tau)=\frac{a^{2}}{2}\cos\omega_{0}\tau+b^{2}\mathrm{e}^{-a|\tau|} $$

[见(3.1)式]所对应的谱密度 $ S_{V}(\omega) $

解 利用傅里叶变换的线性性质，并参照(4.23)式和表14.1第1栏，即可知道所要求的谱密度为

$$ S_{V}\left(\omega\right)=\frac{\pi}{2}a^{2}\left[\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)+\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)\right]+\frac{2ab^{2}}{a^{2}+\omega^{2}}. $$

相应的谱密度图如图14-11所示.此图说明了谱密度是如何表明噪声以外的周期信号的.

白噪声 均值为零而谱密度为正常数，即

$$ S_{x}\left(\omega\right)=S_{0},-\infty<\omega<+\infty\quad\left(S_{0}>0\right) $$

的平稳过程 X(t) 称为白噪声过程，简称白噪声。其名出于白光具有均匀光谱的

缘故.

利用变换式(4.22)，可算得白噪声的自相关函数为

$$ R_{X}(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{X}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\omega=\frac{S_{0}}{2\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\omega=S_{0}\delta(\tau). $$

见表14.1第6栏.由上式可知，白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为 $ \delta $函数的随机过程，且这个过程在 $ t_{1}\neq t_{2} $时， $ X(t_{1}) $和 $ X(t_{2}) $是不相关的.

白噪声是一种理想化的数学模型，它的平均功率 $ R_{x}(0) $ 是无限的。实用上，如果某种噪声（或干扰）在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内具有比较“平坦”的谱密度，那就可把它近似地当作白噪声来处理。白噪声在数学处理上具有简单、方便的优点。

与白噪声相关联的另一类所谓带限白噪声，其谱密度的特点是仅在某些有限频率范围内取异于零的常数。例如低通白噪声，它就是由下面的谱密度所定义的：

$$ S_{x}(\omega)=\{\begin{aligned}&S_{0},|\omega|\leqslant\omega_{1},\\ &0,|\omega|>\omega_{1},\end{aligned}. $$

相应的自相关函数为

$$ \begin{align*}R_{X}(\tau)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{X}(\omega)\mathrm{e}^{i\omega\tau}\mathrm{d}\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_{1}}^{\omega_{1}}S_{0}\mathrm{e}^{i\omega\tau}\mathrm{d}\omega\\&=\{\begin{aligned}&\frac{S_{0}\omega_{1}}{\pi},&\tau=0,\\&\frac{S_{0}}{2\pi}\bullet\frac{\mathrm{e}^{i\omega\tau}}{\mathrm{i}\tau}\bigg|_{-\omega_{1}}^{\omega_{1}}=\frac{S_{0}\omega_{1}}{\pi}\bigg(\frac{\sin\omega_{1}\tau}{\omega_{1}\tau}\bigg),&\tau\neq0.\end{aligned}.\end{align*} $$

当 $ \tau=\frac{k\pi}{\omega_{1}}, k=\pm1, \pm2, \cdots $ 时， $ R_{X}(\tau)=0 $ 。这表明低通白噪声 $ X(t) $ 在 $ t_{2}-t_{1}=\frac{k\pi}{\omega_{1}} $ 时， $ X(t_{1}) $ 和 $ X(t_{2}) $ 是不相关的。表14.1第4栏给出了 $ S_{0}=1 $ 的图形。

（三） 互谱密度及其性质

设 $ X(t) $ 和 $ Y(t) $ 是两个平稳相关的随机过程. 我们定义

$$ S_{XY}(\omega)=\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{2T}E\{F_{X}(-\omega,T)F_{Y}(\omega,T)\} $$

为平稳过程 X(t) 和 Y(t) 的互谱密度，式中 $ F_{X}(\omega,T) $ 依 (4.7) 式确定.

由(4.24)式可知互谱密度不再是 $ \omega $的实的、正的偶函数，但它具有以下特性：

$ 1^{\circ}S_{XY}(\omega)=S_{YX}^{*}(\omega) $. 即 $ S_{XY}(\omega) $ 和 $ S_{YX}(\omega) $ 互为共轭函数.

$ 2^{\circ} $ 在互相关函数 $ R_{XY}(\tau) $ 绝对可积的条件下，还有如下维纳—辛钦公式：

$$ S_{XY}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_{XY}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau, $$

$$ R_{X Y}(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{X Y}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\omega. $$

证明方法与公式(4.15)和(4.16)相同.

$ 3^{\circ} $ Re $ [S_{XY}(\omega)] $ 和 Re $ [S_{YX}(\omega)] $ 是 $ \omega $ 的偶函数，Im $ [S_{XY}(\omega)] $ 和 Im $ [S_{YX}(\omega)] $ 是 $ \omega $ 的奇函数。这里 Re[ ] 表示取实部，Im[ ] 表示取虚部。

事实上，把（4.25）式改写成

$$ S_{X Y}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_{X Y}(\tau)\cos\omega\tau\mathrm{d}\tau-\mathrm{i}\int_{-\infty}^{+\infty}R_{X Y}(\tau)\sin\omega\tau\mathrm{d}\tau $$

$ 4^{\circ} $ 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式

$$ |S_{XY}(\omega)|^{2}\leqslant S_{X}(\omega)S_{Y}(\omega). $$

证明略.

实际应用中，当考虑多个平稳过程之和的频率结构时，要运用互谱密度。例如，设 $ Z(t)=X(t)+Y(t) $，其中 $ X(t) $ 和 $ Y(t) $ 是平稳相关的。这时， $ Z(t) $ 的自相关函数是 $ R_{zz}(\tau)=R_{xx}(\tau)+R_{xy}(\tau)+R_{yx}(\tau)+R_{yy}(\tau) $，根据维纳—辛钦公式， $ Z(t) $ 的自谱密度为

$$ \begin{aligned}S_{ZZ}\left(\omega\right)&=S_{XX}\left(\omega\right)+S_{XY}\left(\omega\right)+S_{YX}\left(\omega\right)+S_{YY}\left(\omega\right)\\&=S_{XX}\left(\omega\right)+S_{YY}\left(\omega\right)+2\mathrm{Re}\left[S_{XY}\left(\omega\right)\right].\end{aligned} $$

互谱密度并不像自谱密度那样具有物理意义，引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性（例如，对具有零均值的平稳过程 $ X(t) $和 $ Y(t) $而言，根据性质 $ 2^{\circ},S_{XY}(\omega)=0 $与 $ X(t) $和 $ Y(t) $不相关是等价的）.

相关函数和谐密度的一个重要应用是分析线性系统对随机输入的响应，它的具体内容由有关专业课程加以介绍.

小结

本章讨论的平稳过程 $ \{X(t), t \in T\} $是指宽平稳过程，它的特点是均值为常数，自相关函数是时间差的单变量函数，即对于任意 $ t, t + \tau \in T $.

$$ E[X(t)]=\mu_{X}( 常数 ),\quad E[X(t)X(t+\tau)]=R_{X}(\tau) $$

与t无关；否则称过程不具有平稳性或为非平稳过程，参数集T取 $ (-∞,+∞),[0,+∞) $

如果两个平稳过程 X(t) 和 Y(t) 的互相关函数只是时间差的单变量函数，即

$$ E[X(t)Y(t+\tau)]=R_{XY}(\tau), $$

就称 $ X(t) $ 与 $ Y(t) $ 是平稳相关的，否则称两过程不平稳相关.

容易看出，判定平稳性、平稳相关性仅仅涉及随机过程的均值函数、自相关函数和互相关函数的计算.

随机过程的时间均值

$$ \langle X(t)\rangle=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)\mathrm{d}t $$

和时间相关函数

$$ \langle X(t)X(t+\tau)\rangle=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)X(t+\tau)\mathrm{d}t $$

一般来说具有随机性、它们的计算涉及随机过程的极限运算与积分运算，读者不必去追究它们的理论根据，完全可以按高等数学中的方法来计算，但在计算过程中出现的随机变量应视作常数（见 §2 例1）.

利用集平均来计算数字特征是十分困难的.为了考察是否可以从平稳过程 $ \{X(t),t\in T\} $的一个样本函数中获取该过程的统计信息,我们引入了各态历经性.例如

$$ P\{\langle X(t)\rangle=\mu_{X}\}=1 $$

成立时，称均值具有各态历经性；还有自相关函数的各态历经性、均方值的各态历经性以及各态历经过程等。

判断一个平稳过程（或其数字特征）是否具有各态历经性有两种方法：一种是根据各态历经性的定义，直接计算、作出比较、进行判断。一般来说若时间平均〈·〉带有随机性，则相应的数字特征一定没有各态历经性。一种是根据各态历经性定理及其推论来作判断。

对于各态历经过程，按定义可从一个样本函数 $ x(t) $ 获得数字特征（若参数集为 $ [0, +\infty) $）：

$$ \lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt,\quad R_{x}(\tau)=\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)x(t+\tau)dt. $$

相关函数是平稳过程在时间域上的主要数字特征，常用的性质有： $ R_{X}(0)=E[X^{2}(t)]\geqslant0,R_{X}(-\tau)=R_{X}(\tau),R_{XY}(-\tau)=R_{YX}(\tau) $ 以及 $ \left|R_{X}(\tau)\right|\leqslant R_{X}(0) $ 等.

$ \Psi_{x}^{2}=R_{x}(0) $ 表示平稳过程 $ X(t) $ 的平均功率，而由平均功率的谱表示式

$$ \Psi_{X}^{2}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}S_{X}\left(\omega\right)\mathrm{d}\omega, $$

我们引入了平稳过程 $ X(t) $ 在频率域上的数字特征——功率谱（谱密度） $ S_{x}(\omega) $

谱密度 $ S_{X}(\omega) $ 是 $ \omega $ 的实的、非负的偶函数，它与自相关函数 $ R_{X}(\tau) $ 构成傅里叶变换（FT）对，即

$$ S_{X}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_{X}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\quad(=2\int_{0}^{+\infty}R_{X}(\tau)\cos\omega\tau\mathrm{d}\tau), $$

$$ R_{X}(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{X}(\omega)e^{i\omega\tau}\mathrm{d}\omega\quad(=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}S_{X}(\omega)\cos\omega\tau\mathrm{d}\omega). $$

它们统称为维纳—辛钦公式. 理论书上, 常以第一式, 即 $ R_{X}(\tau) $ 的 FT 直接定义谱密度. 除了 $ S_{X}(\omega) \geqslant 0 $ 外, 读者可从维纳—辛钦公式自行导出 $ S_{X}(\omega) $ 的性质及平均功率谱表示式, 由此认识该公式的重要性. 维纳—辛钦公式揭示了时间域上相关函数与频率域上谱密度之间的转换关系.

互谱密度没有物理意义，它仅仅是作为频率域上的数字特征而引进的。我们主要掌握互谱密度的维纳—辛钦公式，并了解互谱密度的性质。

为了计算平稳过程的谱密度（或互谱密度），一般总是先求出相关函数，再进行FT（维纳—辛钦公式）得到谱密度.

重要术语及主题

（宽）平稳过程 平稳相关 时间均值和时间相关函数 各态历经性 各态历经过程

相关函数及其性质 功率谱（谱密度） 维纳—辛钦公式 白噪声 互谱密度

习题

1. 设有随机过程 $ X(t) = A \cos(\omega t + \theta), -\infty < t < +\infty $，其中 A 是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为

$$ f(a)=\{\begin{array}{ll}\frac{a}{\sigma^{2}}\mathrm{e}^{-a^{2}\big/(2\sigma^{2})},&a>0,\\0,&a\leqslant0,\end{array}. $$

∅是在 $ (0,2\pi) $上服从均匀分布且与A相互独立的随机变量， $ \omega $是一常数，问 $ X(t) $是不是平稳过程？

1. 设 $ X(t) $ 与 $ Y(t) $ 是相互独立的平稳过程. 试证以下随机过程也是平稳过程：

(1) $ Z_{1}(t)=X(t)Y(t) $. (2) $ Z_{2}(t)=X(t)+Y(t) $.

1. 设 $ \{X(t), -\infty < t < +\infty\} $ 是平稳过程， $ R_{X}(\tau) $ 是其自相关函数，a 是常数，试问随机过程

$$ Y(t)=X(t+a)-X(t) $$

是不是平稳过程？为什么？

1. 设 $ \{N(t), t \geqslant 0\} $ 是强度为 $ \lambda $ 的泊松过程，定义随机过程 $ Y(t) = N(t + L) - N(t) $，其中常数 L > 0。试求 $ Y(t) $ 的均值函数和自相关函数，并问 $ Y(t) $ 是否是平稳过程？

1. 设平稳过程 $ \{X(t), -\infty < t < +\infty\} $ 的自相关函数为 $ R_{X}(\tau) = e^{-a |\tau|} (1 + a | \tau |) $，其中常数 a > 0，而 $ E[X(t)] = 0 $。试问 $ X(t) $ 的均值是否具有各态历经性？为什么？

1. 第1题中的随机过程 $ X(t)=A\cos(\omega t+\theta) $ 是否是各态历经过程？为什么？

7.（1）设 $ C_{X}(\tau) $是平稳过程 $ X(t) $的协方差函数.试证：若 $ C_{X}(\tau) $绝对可积，即

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\left|C_{x}(\tau)\right|\mathrm{d}\tau<+\infty, $$

则 X(t) 的均值具有各态历经性.

(2) 证明第十四章 §1 例2 中的随机相位周期过程 $ X(t)=s(t+\Theta) $ 是各态历经过程.

1. 设 $ X(t) $ 是随机相位周期过程，下图表示它的一个样本函数 $ x(t) $，其中周期 T 和波幅 A 都是常数，而相位 $ t_{0} $ 是在 $ (0,T) $ 上服从均匀分布的随机变量.

(1) 求 $ \mu_{X} $， $ \Psi_{X}^{2} $. (2) 求 $ X(t) $ 和 $ X^{2}(t) $.

1. 设平稳过程 $ X(t) $ 的自相关函数为 $ R_{X}(\tau) $，证明：

$$ P\{\mid X(t+\tau)-X(t)\mid\geqslant a\}\leqslant2[R_{X}(0)-R_{X}(\tau)]/a^{2},\quad a>0. $$

1. 设 $ X(t) $ 为平稳过程，其自相关函数 $ R_{X}(\tau) $ 是以 $ T_{0} $ 为周期的函数。证明： $ X(t) $ 是周期为 $ T_{0} $ 的平稳过程。

1. 设 $ X(t) $ 是雷达的发射信号，遇目标后返回接收机的微弱信号是 $ aX(t-\tau_{1}) $, $ a\ll1 $, $ \tau_{1} $ 是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记噪声为 $ N(t) $，于是接收到的全信号为

$$ Y(t)=aX(t-\tau_{1})+N(t). $$

（1）若 X(t) 和 N(t) 是平稳相关，证明 X(t) 和 Y(t) 也平稳相关.

(2) 在(1)的条件下，假设 $ N(t) $ 的均值为零且与 $ X(t) $ 是相互独立的，求 $ R_{XY}(\tau) $ (这是利用互相关函数从全信号中检测小信号的相关接收法).

1. 平稳过程 $ \{X(t), -\infty < t < +\infty\} $ 的自相关函数为

$$ R_{x}(\tau)=4\mathrm{e}^{-|\tau|}\cos\pi\tau+\cos3\pi\tau, $$

求: (1) $ X(t) $ 的均方值. (2) $ X(t) $ 的谱密度.

1. 已知平稳过程 $ X(t) $ 的谱密度为

$$ S_{X}\left(\omega\right)=\frac{\omega^{2}}{\omega^{4}+3\omega^{2}+2} $$

求 $ X(t) $ 的均方值.

1. 已知平稳过程 $ X(t) $ 的自相关函数为

$$ R_{X}(\tau)=\{\begin{aligned}&1\ -\frac{|\tau|}{T},&|\tau|\leqslant T,\\ &0,&|\tau|>T,\end{aligned}. $$

求谱密度 $ S_{X}(\omega) $

1. 已知平稳过程 $ X(t) $ 的谱密度为

$$ S_{X}(\omega)=\{\begin{aligned}&8\delta(\omega)+20(1-\frac{|\omega|}{10}),&|\omega|<10,\\ &0,& 其他 ,\end{aligned}. $$

求 $ X(t) $ 的自相关函数.

1. 记随机过程

$$ Y(t)=X(t)\cos\left(\omega_{0}t+\theta\right),\quad-\infty

其中 $ X(t) $ 是平稳过程， $ \Theta $ 为在区间 $ (0,2\pi) $ 上均匀分布的随机变量， $ \omega_{0} $ 为常数，且 $ X(t) $ 与 $ \Theta $ 相互独立。记 $ X(t) $ 的自相关函数为 $ R_{X}(\tau) $，功率谱密度为 $ S_{X}(\omega) $。试证：

(1) $ Y(t) $ 是平稳过程，且它的自相关函数

$$ R_{Y}(\tau)=\frac{1}{2}R_{X}(\tau)\cos\omega_{0}\tau. $$

(2) $ Y(t) $的功率谱密度为

$$ S_{Y}(\omega)=\frac{1}{4}\left[S_{X}(\omega-\omega_{0})+S_{X}(\omega+\omega_{0})\right]. $$

1. 设平稳过程 $ X(t) $ 的谱密度为 $ S_{X}(\omega) $，证明： $ Y(t)=X(t)+X(t-T) $ 的谱密度是

$$ S_{Y}(\omega)=2S_{X}(\omega)(1+\cos\omega T). $$

1. 设 $ X(t) $ 和 $ Y(t) $ 是两个平稳相关的过程，证明

$$ \mathrm{R e}S_{Y X}(\omega)=\mathrm{R e}S_{X Y}(\omega),\quad\mathrm{I m}S_{Y X}(\omega)=-\mathrm{I m}S_{X Y}(\omega). $$

19. 设两个平稳过程

$$ X(t)=a\cos\left(\omega_{0}t+\Theta\right),\quad Y(t)=b\sin\left(\omega_{0}t+\Theta\right),\quad-\infty

其中 a, b, $ \omega_{0} $ 均为常数，而 $ \Theta $ 是 $ (0, 2\pi) $ 上均匀分布的随机变量，试求互相关函数 $ R_{XY}(\tau) $， $ R_{YX}(\tau) $ 和互谱密度 $ S_{XY}(\omega) $， $ S_{YX}(\omega) $。

1. 设 $ X(t) $ 和 $ Y(t) $ 是两个相互独立的平稳过程，均值 $ \mu_{X} $ 和 $ \mu_{Y} $ 都不为零，定义

$$ Z(t)=X(t)+Y(t). $$

试计算 $ S_{XY}(\omega) $ 和 $ S_{XZ}(\omega) $.

选做习题

概率论部分

1. 一打靶场备有5支某种型号的枪，其中3支已经校正，2支未经校正。某人使用已校正的枪击中目标的概率为 $ p_{1} $，使用未经校正的枪击中目标的概率为 $ p_{2} $。他随机地取一支枪进行射击，已知他射击了5次，都未击中，求他使用的是已校正的枪的概率（设各次射击的结果相互独立）。

1. 某人共买了 11 个水果，其中有 3 个是二级品，8 个是一级品。随机地将水果分给 A、B、C 三人，各人分别得到 4 个、6 个、1 个。

（1）求 C 未拿到二级品的概率.

（2）已知 C 未拿到二级品，求 A，B 均拿到二级品的概率.

（3）求 A, B 均拿到二级品而 C 未拿到二级品的概率.

1. 一系统 L 由两个只能传输字符 0 和 1 的独立工作的子系统 $ L_{1} $ 与 $ L_{2} $ 串联而成（如题 3 图），每个子系统输入为 0 输出为 0 的概率为 p (0 < p < 1)；而输入为 1 输出为 1 的概率也是 p。今在图中 a 端输入字符 1，求系统 L 的 b 端输出字符 0 的概率。

1. 甲乙两人轮流掷一颗骰子，每轮掷一次，谁先掷得6点谁得胜，从甲开始掷，问甲、乙得胜的概率各为多少？

1. 将一颗骰子掷两次，考虑事件：A=“第一次掷得点数2或5”，B=“两次点数之和至少为7”，求 $ P(A) $， $ P(B) $，并问事件A，B是否相互独立.

1. A、B 两人轮流射击，每次每人射击一枪，射击的次序为 A, B, A, B, A, …，射击直至击中两枪为止。设每人击中的概率均为 p，且各次击中与否相互独立。求击中的两枪是由同一人射击的概率。（提示：分别考虑两枪是由 A 击中的与两枪是由 B 击中的两种情况，若两枪是由 A 击中的，则射击必然在奇数次结束。又当 $ |x| < 1 $ 时， $ 1 + 2x + 3x^{2} + \cdots = 1 / (1 - x)^{2} $。）

1. 有 3 个独立工作的元件 1, 元件 2, 元件 3, 它们的可靠性分别为 $ p_{1}, p_{2}, p_{3} $. 设由它们组成一个“3 个元件取 2 个元件的表决系统”, 记为 $ \frac{2}{3}[G] $.

这一系统的运行方式是当且仅当 3 个元件中至少有 2 个正常工作时这一系统正常工作. 求这一 $ \frac{2}{3}[G] $ 系统的可靠性.

1. 在如题8图所示的桥式结构的电路中，第i个继电器触点闭合的概率为 $ p_{i}, i=1,2,3,4,5 $。各继电器工作相互

独立. 求：

（1）以继电器触点1是否闭合为条件，求A到B之间为通路的概率.

（2）已知 A 到 B 为通路的条件下，继电器触点 3 是闭合的概率.

1. 进行非学历考试，规定考甲、乙两门课程，每门课程考试第一次未通过都只允许考第二次。考生仅在课程甲通过后才能考课程乙，如两门课程都通过可获得一张资格证书。设某考生通过课程甲的各次考试的概率为 $ p_{1} $，通过课程乙的各次考试的概率为 $ p_{2} $，设各次考试的结果相互独立。又设考生参加考试直至获得资格证书或者不准予再考为止。以 X 表示考生总共需考试的次数。求 X 的分布律。

10.（1）5只电池，其中有2只是次品，每次取一只测试，直到将2只次品都找到.设第2只次品在第 $ X(X=2,3,4,5) $次找到，求X的分布律（注：在实际上第5次检测可无需进行）.

（2）5只电池，其中2只是次品，每次取一只，直到找出2只次品或3只正品为止。写出需要测试的次数的分布律。

1. 向某一目标发射炮弹，设炮弹弹着点离目标的距离为 R（单位：10 m），R 服从瑞利分布，其概率密度为

$$ f_{R}(r)=\{\begin{aligned}&\frac{2r}{25}\mathrm{e}^{-r^{2/25}},&r>0,\\ &0,&r\leqslant0.\end{aligned}. $$

若弹着点离目标不超过5个单位时，目标被摧毁.

（1）求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.

（2）为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94，问最少需要独立发射多少枚炮弹.

1. 设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为 1/3，击伤的概率为 1/2，击不中的概率为 1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放 4 枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。（提示：先求击不沉的概率。）

1. 一盒中装有4只白球，8只黑球，从中取3只球，每次一只，作不放回抽样.

（1）求第1次和第3次都取到白球的概率.（提示：考虑第二次的抽取。）

（2）求在第1次取到白球的条件下，前3次都取到白球的概率.

1. 设元件的寿命 T（以小时计）服从指数分布，分布函数为

$$ F(t)=\{\begin{aligned}&1-\mathrm{e}^{-0.03t},t>0,\\ &0,&t\leqslant0,\end{aligned}. $$

（1）已知元件至少工作了30小时，求它能再至少工作20小时的概率.

（2）由3个独立工作的此种元件组成一个2/3[G]系统（参见第7题）。求这一系统的寿命X>20的概率。

15.(1) 已知随机变量 X 的概率密度为 $ f_{X}(x)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-|x|} $， $ -\infty

（2）已知随机变量 X 的分布函数为 $ F_{X}(x) $，另有随机变量

$$ Y=\{\begin{aligned}&1,&X&>0,\\ &-1,&X&\leqslant0,\end{aligned}. $$

试求 Y 的分布律和分布函数.

16.（1）设随机变量 X 服从泊松分布，其分布律为

$$ P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!},\quad k=0,1,2,\cdots, $$

问当 k 取何值时 $ P\{X=k\} $ 为最大.

（2）设随机变量 X 服从二项分布，其分布律为

$$ P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,\cdots,n. $$

问当 k 取何值时 $ P\{X=k\} $ 为最大.

1. 若离散型随机变量 X 具有分布律

称 X 服从取值为 $ 1,2,\cdots,n $ 的离散型均匀分布. 对于任意非负实数 x, 记 $ [x] $ 为不超过 x 的最大整数. 设 $ U \sim U(0,1) $, 证明 $ X = [nU] + 1 $ 服从取值为 1,2, $ \cdots,n $ 的离散型均匀分布.

1. 设随机变量 $ X \sim U(-1,2) $，求 $ Y = |X| $ 的概率密度.

1. 设随机变量 X 的概率密度

$$ f_{X}(x)=\{\begin{aligned}&0,&x<0,\\&\frac{1}{2},&0\leqslant x<1,\\&\frac{1}{2x^{2}},&1\leqslant x<\infty.\end{aligned}. $$

求 $ Y=\frac{1}{X} $ 的概率密度.

1. 设随机变量 X 服从以均值为 $ 1/\lambda $ 的指数分布. 验证随机变量 $ Y = [X] $ 服从以参数为 $ 1 - e^{-\lambda} $ 的几何分布. 这一事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.

1. 投掷一枚硬币直至正面出现为止，引入随机变量

X= 投掷总次数.

$$ \begin{aligned}Y=\{\begin{aligned}&1,&& 若首次投掷得到正面 ,\\&0,&& 若首次投掷得到反面 .\end{aligned}.\end{aligned} $$

（1）求 X 和 Y 的联合分布律及边缘分布律.

(2) 求条件概率 $ P\{X=1 \mid Y=1\} $, $ P\{Y=2 \mid X=1\} $.

1. 设随机变量 $ X \sim \pi(\lambda) $，随机变量 $ Y = \max\{X, 2\} $. 试求 X 和 Y 的联合分布律及边缘分布律.

1. 设 X, Y 是相互独立的泊松随机变量，参数分别为 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $，求给定 $ X + Y = n $ 的条件下

X 的条件分布.

1. 一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印。以 X, Y 分别表示第一篇和第二篇论文的印刷错误。设 $ X \sim \pi(\lambda) $, $ Y \sim \pi(\mu) $, X, Y 相互独立。

（1）求 X,Y 的联合分布律.

（2）求两篇论文总共至多1个错误的概率.

1. 一等边三角形 $ \triangle ROT $（如题 25 图）的边长为 1，在三角形内随机地取点 $ Q(X, Y) $（意指随机点 $ (X, Y) $ 在三角形 ROT 内均匀分布）.

（1）写出随机变量(X,Y)的概率密度.

（2）求点 Q 到底边 OT 的距离的分布函数.

1. 设随机变量(X,Y)具有概率密度

$$ f(x,y)=\{\begin{aligned}&x e^{-x(y+1)},&&x>0,y>0,\\ &0,&& 其他 .\end{aligned}. $$

$$ f_{X}(x),f_{Y}(y) $$

(2) 求条件概率密度 $ f_{X \mid Y}(x \mid y) $， $ f_{Y \mid X}(y \mid x) $.

1. 设有随机变量 U 和 V，它们都仅取 1，-1 两个值. 已知

$$ P\{U=1\}=1/2, $$

$$ P\{V=1\mid U=1\}=1/3=P\{V=-1\mid U=-1\}. $$

（1）求 U 和 V 的联合分布律.

（2）求 x 的方程 $ x^{2}+Ux+V=0 $ 至少有一个实根的概率.

（3）求 x 的方程 $ x^{2}+(U+V)x+U+V=0 $ 至少有一个实根的概率.

1. 某图书馆一天的读者人数 $ X \sim \pi(\lambda) $，任一读者借书的概率为 p，各读者借书与否相互独立。记一天读者借书的人数为 Y，求 X 和 Y 的联合分布律。

1. 设随机变量 X, Y 相互独立，且都服从均匀分布 U(0,1)，求两变量之一至少为另一变量之值之两倍的概率.

1. 一家公司有一份保单招标，两家保险公司竞标。规定标书的保险费必须在20万元至22万元之间。若两份标书保险费相差2千或2千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标。设两家保险公司的报价是相互独立的，且都在20万至22万之间均匀分布。试求招标公司需重新招标的概率。

1. 设随机变量 $ X \sim N(0, \sigma_{1}^{2}) $, $ Y \sim N(0, \sigma_{2}^{2}) $，且 X, Y 相互独立，求概率

$$ P\{0<\sigma_{2}X-\sigma_{1}Y<2\sigma_{1}\sigma_{2}\}. $$

1. NBA 篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为 1.5，方差为 6，并且假设四节的比分是相互独立的。问：

（1）主队胜的概率有多大？

（2）在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多大？

（3）在第一节主队赢5分的情况下，主队得胜的概率有多大.

1. 产品的某种性能指标的测量值 X 是随机变量，设 X 的概率密度为

$$ f_{X}(x)=\{\begin{aligned}&x e^{-\frac{1}{2}x^{2}},&x>0,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$

测量误差 $ Y \sim U(-\varepsilon, \varepsilon) $，X，Y 相互独立。求 $ Z = X + Y $ 的概率密度 $ f_{Z}(z) $，并验证

$$ P\{Z>\varepsilon\}=\frac{1}{2\varepsilon}\int_{0}^{2\varepsilon}\mathrm{e}^{-u^{2}/2}\mathrm{d}u. $$

1. 在一化学过程中，产品中有份额 X 为杂质，而在杂质中有份额 Y 是有害的，而其余部分不影响产品的质量。设 $ X \sim U(0,0.1) $， $ Y \sim U(0,0.5) $，且 X 和 Y 相互独立。求产品中有害杂质份额 Z 的概率密度。

1. 设随机变量(X,Y)的概率密度为

$$ f(x,y)=\{\begin{aligned}&e^{-y},&\quad&0

(1) 求 $ (X,Y) $ 的边缘概率密度.

(2) 问 X, Y 是否相互独立.

(3) 求 $ X + Y $ 的概率密度 $ f_{X + Y}(z) $.

（4）求条件概率密度 $ f_{X\mid Y}(x\mid y) $

(5) 求条件概率 $ P\{X>3 \mid Y<5\} $.

(6) 求条件概率 $ P\{X>3 \mid Y=5\} $.

1. 设某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为 p，借阅乙种图书的概率为 $ \alpha $，设每人借阅甲、乙图书的行动相互独立，读者之间的行动也相互独立.

（1）某天恰有 n 个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望.

(2) 某天恰有 n 个读者，求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望.

1. 某种鸟在某时间区间 $ (0, t_{0}] $下蛋数为1~5只，下r只蛋的概率与r成正比. 一个收拾鸟蛋的人在时刻 $ t_{0} $去收集鸟蛋，但他仅当鸟窝中多于3只蛋时才从中取走一只蛋. 在某处有这种鸟的鸟窝6个（每个鸟窝保存完好，各鸟窝中蛋的只数相互独立）.

（1）写出一个鸟窝中鸟蛋只数 X 的分布律.

（2）对于指定的一个鸟窝，求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率.

（3）求拾蛋人在6个鸟窝中拾到蛋的总数Y的分布律及数学期望.

(4) 求 $ P\{Y<4\} $, $ P\{Y>4\} $.

（5）当一个拾蛋人在这6个鸟窝中拾过蛋后，紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋，也仅当鸟窝中多于3只蛋时，拾取一只蛋，求第二个拾蛋人拾得蛋数Z的数学期望.

1. 设袋中有 r 只白球，N-r 只黑球。在袋中取球 n ( $ n \leqslant r $) 次，每次任取一只作不放回抽样，以 Y 表示取到白球的个数，求 E(Y). (提示：引入随机变量：

$$ X_{i}=\{\begin{aligned}&1, 若第 i 次取到白球 ,\\ &0, 若第 i 次取到黑球 ,\end{aligned}.i=1,2,\cdots,n, $$

则 $ Y = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n} $

1. 抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止，求所需投掷次数 Y 的数学期望。（提示：令 $ X_{1}=1, X_{2}= $ 第一次得到后，等待第二个不同点所需的等待次数， $ X_{3}= $ 第一二两点得到后，等待第三个不同点所需的等待次数， $ X_{4}, X_{5}, X_{6} $ 类似，则 $ Y=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{6} $ 。又几何分布

$ P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,\cdots $ 的数学期望 $ E(X)=\frac{1}{p} $.

1. 设随机变量 X, Y 相互独立. 且 X, Y 分别服从以 $ 1/\alpha $, $ 1/\beta $ 为均值的指数分布. 求 $ E(X^{2} + Ye^{-X}) $.

1. 一酒吧间柜台前有6张凳子，服务员预测，若两个陌生人进来就座的话，他们之间至少相隔两张凳子。（提示：先列出两人之间至少隔两张凳子的不同情况。）

（1）若真有两个陌生人入内，他们随机地就座，问服务员预言为真的概率是多少？

（2）设两位顾客是随机就座的，求顾客之间凳子数的数学期望.

1. 设随机变量 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{100} $ 相互独立，且都服从 $ U(0,1) $，又设 $ Y = X_{1} \cdot X_{2} \cdot \cdots \cdot X_{100} $，求概率 $ P\{Y < 10^{-40}\} $ 的近似值.

1. 来自某个城市的长途电话呼唤的持续时间 X（以分计）是一个随机变量，它的分布函数是

$$ F(x)=\{\begin{aligned}&1-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}{3}}-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-[\frac{x}{3}]},&\quad x\geqslant0,\\ &0,&\quad x<0,\end{aligned}. $$

（其中 $ \left[\frac{x}{3}\right] $是不大于 $ \frac{x}{3} $的最大整数）.

（1）画出 $ F(x) $ 的图形.

（2）说明 X 是什么类型的随机变量.

(3) 求 $ P\{X=4\} $, $ P\{X=3\} $, $ P\{X<4\} $, $ P\{X>6\} $. (提示: $ P\{X=a\}=F(a)-F(a-0) $.)

1. 一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况. 据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数 X 占 10%. 写出 X 的分布，并求 X>250 $ \times 0.12 $ (即 X>30) 的概率. 设各客户是否提出索赔相互独立.

1. 在区间(0,1)随机地取一点 X. 定义 $ Y = \min\{X, 0.75\} $.

（1）求随机变量Y的值域.

（2）求 Y 的分布函数，并画出它的图形.

（3）说明Y不是连续型的随机变量，Y也不是离散型的随机变量.

数理统计部分

1. 设 $ X_{1}, X_{2} $ 是数学期望为 $ \theta $ 的指数分布总体 X 的容量为 2 的样本，设 $ Y = \sqrt{X_{1} X_{2}} $，试证明 $ E\left(\frac{4Y}{\pi}\right) = \theta $.

1. 设总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^{2}) $， $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $ 是一个样本. X, $ S^{2} $ 分别为样本均值和样本方差，试证 $ E[(\overline{X}S^{2})^{2}] = \left(\frac{\sigma^{2}}{n} + \mu^{2}\right)\left(\frac{2\sigma^{4}}{n-1} + \sigma^{4}\right) $. (提示：注意到 $ \overline{X} $ 与 $ S^{2} $ 相互独立，且有 $ \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-1) $.)

48. 设总体 X 具有概率密度

$$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{\theta^{2}}x\mathrm{e}^{-x/\theta},&x>0,\\ &0,&x\leqslant0,\end{aligned}. $$

其中 $ \theta>0 $ 为未知参数， $ X_{1},X_{2},\cdots,X_{n} $ 是来自 X 的样本， $ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} $ 是相应的样本观察值.

（1）求 $ \theta $的最大似然估计量.

(2) 求 $ \theta $ 的矩估计量.

（3）问求得的估计量是否是无偏估计量.

1. 设 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n_{1}} $ 以及 $ Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n_{2}} $ 为分别来自总体 $ N(\mu_{1}, \sigma^{2}) $ 与 $ N(\mu_{2}, \sigma^{2}) $ 的样本，且它们相互独立. $ \mu_{1}, \mu_{2}, \sigma^{2} $ 均未知，试求 $ \mu_{1}, \mu_{2}, \sigma^{2} $ 的最大似然估计量.

1. 为了研究一批贮存着的产品的可靠性，在产品投入贮存时，即在时刻 $ t_{0}=0 $ 时，随机地选定 n 件产品，然后在预先规定的时刻 $ t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{k} $ 取出来进行检测（检测时确定已失效的去掉，将未失效的继续投入贮存），今得到以下的寿命试验数据：

这种数据称为区间数据。设产品寿命 T 服从指数分布，其概率密度为

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&\lambda\mathrm{e}^{-\lambda},&t>0,\\ &0,& 其他 ,\end{aligned}.\quad\lambda>0\ 未知 . $$

（1）试基于上述数据写出 $ \lambda $的对数似然方程。（提示：考虑事件“n只产品分别在区间 $ (0,t_{1}] $， $ (t_{1},t_{2}] $，…， $ (t_{k-1},t_{k}] $失效 $ d_{1},d_{2},\cdots,d_{k} $只，而直至 $ t_{k} $还有s只未失效”的概率。）

（2）设 $ d_{1}

$$ \hat{\lambda}=\frac{1}{t_{1}}\ln\left(1+\frac{n-s}{\sum_{i=2}^{k}(i-1)d_{i}+sk}\right) $$

1. 设某种电子器件的寿命（以小时计）T 服从指数分布，概率密度为

$$ f(t)=\{\begin{aligned}&\lambda\mathrm{e}^{-\lambda},&t>0,\\ &0,& 其他 ,\end{aligned}. $$

其中 $ \lambda>0 $ 未知. 从这批器件中任取 n 只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验. 试验进行到预定时间 $ T_{0} $ 结束. 此时，有 k $ (0

1. 设系统由两个独立工作的成败型元件串联而成（成败型元件只有两种状态：正常工作或失效）。元件1、元件2的可靠性分别为 $ p_{1} $， $ p_{2} $，它们均未知。随机地取N个系统投入试验，

$$

当系统中至少有一个元件失效时系统失效，现得到以下的试验数据： $ n_{1} $—仅元件1失效的系统数； $ n_{2} $—仅元件2失效的系统数； $ n_{12} $—元件1，元件2至少有一个失效的系统数；s—未失效的系统数。 $ n_{1}+n_{2}+n_{12}+s=N $。这里 $ n_{12} $为隐蔽数据，也就是只知系统失效，但不能知道是由元件1还是元件2单独失效引起的，还是由元件1，2均失效引起的，设隐蔽与系统失效的真正原因独立。

（1）试写出 $ p_{1}, p_{2} $ 的似然函数.

（2）设有系统寿命试验数据 N=20, $ n_{1}=5 $, $ n_{2}=3 $, $ n_{12}=1 $, s=11. 试求 $ p_{1} $, $ p_{2} $ 的最大似然估计.（提示： $ p_{1} $ 应满足方程 $ (p_{1}-1)(12p_{1}^{2}+11p_{1}-14)=0 $.）

53.（1）设总体X具有分布律

$ \theta>0 $ 未知，今有样本

$$ \begin{array}{l} 1113213221223112 \end{array} $$

试求 $ \theta $的最大似然估计值和矩估计值.

（2）设总体X服从 $ \Gamma $分布，其概率密度为

$$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{\beta^{\alpha}\ \Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta},&x>0,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$

其形状参数 $ \alpha>0 $ 为已知，尺度参数 $ \beta>0 $ 未知。今有样本值 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $，求 $ \beta $ 的最大似然估计值.

54.（1）设 $ Z=\ln X\sim N(\mu,\sigma^{2}) $，即X服从对数正态分布，验证 $ E(X)=\exp\left(\mu+\frac{1}{2}\sigma^{2}\right) $.

（2）设自(1)中总体X中取一容量为n的样本 $ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} $，求 $ E(X) $的最大似然估计。此处设 $ \mu,\sigma^{2} $均为未知.

（3）已知在文学家萧伯纳的《An Intelligent Woman's Guide To Socialism》一书中，一个句子的单词数近似地服从对数正态分布，设 $ \mu $ 及 $ \sigma^{2} $ 为未知. 今自该书中随机地取 20 个句子. 这些句子中的单词数分别为

问这本书中，一个句子单词数均值的最大似然估计值等于多少？

1. 考虑进行定数截尾寿命试验，假设将随机抽取的 n 件产品在时间 t=0 时同时投入试验。试验进行到 m 件 (m<n) 产品失效时停止，m 件失效产品的失效时间分别为

$$ 0\leqslant t_{1}\leqslant t_{2}\leqslant\cdots\leqslant t_{m}. $$

$ t_{m} $ 是第 m 件产品的失效时间。设产品的寿命分布为韦布尔分布，其概率密度为

$$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{\beta}{\eta^{\beta}}x^{\beta-1}e^{-(\frac{x}{\eta})^{\beta}},&x>0,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$

其中参数 $ \beta $ 已知. 求参数 $ \eta $ 的最大似然估计.

1. 设某大城市郊区的一条林荫道两旁开设了许多小商店，这些商店的开设延续时间（以月计）是一个随机变量，现随机地取30家商店，将它们的延续时间按自小到大排序，选其中前8家商店，它们的延续时间分别是

$$ \begin{array}{l} 3,2 \quad 3,9 \quad 5,9 \quad 6,5 \quad 16,5 \quad 20,3 \quad 40,4 \quad 50,9 \end{array} $$

假设商店开设延续时间的长度是韦布尔随机变量. 其概率密度为

$$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{\beta}{\eta^{\beta}}x^{\beta-1}e^{-(\frac{x}{\eta})^{\beta}},&\quad x>0,\\ &0,&& 其他 ,\end{aligned}. $$

其中， $ \beta=0.8 $

（1）试用上题结果，写出 $ \eta $的最大似然估计.

（2）按（1）的结果求商店开设延续时间至少为2年的概率的估计.

1. 设分别自总体 $ N(\mu_1, \sigma^2) $ 和 $ N(\mu_2, \sigma^2) $ 中抽取容量 $ n_1, n_2 $ 的两独立样本，其样本方差分别为 $ S_1^2, S_2^2 $。试证，对于任意常数 a, b ( $ a + b = 1 $), $ Z = aS_1^2 + bS_2^2 $ 都是 $ \sigma^2 $ 的无偏估计，并确定常数 a, b，使 $ D(Z) $ 达到最小。

1. 设总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^{2}) $， $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $ 是来自 X 的样本。已知样本方差 $ S^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X})^{2} $ 是 $ \sigma^{2} $ 的无偏估计。验证样本标准差 S 不是标准差 $ \sigma $ 的无偏估计。（提示：记 $ Y = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} $，则 $ Y \sim \chi^{2}(n-1) $，而 $ S = \frac{\sigma}{\sqrt{n-1}} \sqrt{Y} $ 是 Y 的函数，利用 $ \chi^{2}(n-1) $ 的概率密度可得 $ E(S) = \frac{1}{(\sqrt{2})^{n}} \sqrt{\frac{2}{n-1}} \frac{\Gamma(n/2) \sigma}{\Gamma(n-1)/2} \neq \sigma $。）

1. 设总体 X 服从指数分布，其概率密度为

$$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},&x&>0,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$

$ \theta>0 $ 未知. 从总体中抽取一容量为 n 的样本 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $

（1）证明 $ \frac{2n\overline{X}}{\theta}\sim\chi^{2}(2n) $.

(2) 求 $ \theta $ 的置信水平为 $ 1-\alpha $ 的单侧置信下限.

（3）某种元件的寿命（以 h 计）服从上述指数分布，现从中抽得一容量 n=16 的样本，测得样本均值为 5010 h，试求元件的平均寿命的置信水平为 0.90 的单侧置信下限.

1. 设总体 $ X \sim U(0, \theta) $, $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 是来自 X 的样本.

（1）验证 $ Y=\max\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\} $的分布函数为

$$ F_{Y}(y)=\{\begin{aligned}&0,&y<0,\\ &y^{n}/\theta^{n},&0\leqslant y<\theta,\\ &1,&y\geqslant\theta.\end{aligned}. $$

（2）验证 U = Y/ $ \theta $ 的概率密度为

$$ f_{U}(u)=\{\begin{aligned}&nu^{n-1},&&0\leqslant u\leqslant1,\\ &0,&& 其他 .\end{aligned}. $$

（3）给定正数 $ \alpha, 0 < \alpha < 1 $，求 U 的分布的上 $ \alpha/2 $ 分位点 $ h_{\alpha/2} $ 以及上 $ 1 - \alpha/2 $ 分位点 $ h_{1 - \alpha/2} $

(4) 利用(2)，(3) 求参数 $ \theta $ 的置信水平为 $ 1 - \alpha $ 的置信区间.

（5）设某人上班的等车时间 $ X \sim U(0, \theta) $， $ \theta $ 未知。现在有样本 $ x_{1} = 4.2, x_{2} = 3.5, x_{3} = 1.7, x_{4} = 1.2, x_{5} = 2.4 $，求 $ \theta $ 的置信水平为 0.95 的置信区间。

1. 设总体 X 服从指数分布，概率密度为

$$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},&x&>0,\\ &0,& 其他 ,\end{aligned}.\quad\theta&>0. $$

设 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $ 是来自 X 的一个样本。试取第 59 题中当 $ \theta = \theta_{0} $ 时的统计量 $ \chi^{2} = \frac{2nX}{\theta_{0}} $ 作为检验统计量，检验假设 $ H_{0}: \theta = \theta_{0}, H_{1}: \theta \neq \theta_{0} $。取显著性水平为 $ \alpha $（注意： $ E(\overline{X}) = \theta $）。

设某种电子元件的寿命（以小时计）服从均值为 $ \theta $的指数分布，随机取12只元件测得它们的寿命分别为

340 430 560 920 1380 1520 1660 1770 2100 2320 2350 2650

试取显著性水平 $ \alpha=0.05 $，检验假设 $ H_{0}:\theta=1450,H_{1}:\theta\neq1450 $

1. 经过十一年的试验，达尔文于1876年得到15对玉米样品的数据如下表，每对作物除授粉方式不同外，其他条件都是相同的。试用逐对比较法检验不同授粉方式对玉米高度是否有显著的影响( $ \alpha=0.05 $)。问应增设什么条件才能用逐对比较法进行检验？

1. 一内科医生声称，如果病人每天傍晚聆听一种特殊的轻音乐会降低血压（舒张压，以 mmHg 计）。今选取了 10 个病人在试验之前和试验之后分别测量了血压，得到以下的数据：

设 $ D_{i}=X_{i}-Y_{i}(i=1,2,\cdots,10) $ 为来自正态总体 $ N(\mu_{D},\sigma_{D}^{2}) $ 的样本， $ \mu_{D},\sigma_{D}^{2} $ 均未知。试检验是否可以认为医生的意见是对的（取 $ \alpha=0.05 $）。

试检验顾客对这些颜色是否有偏爱，即检验销售情况是否是均匀的（取 $ \alpha=0.05 $）.

试取 $ \alpha=0.05 $ 检验一盏灯损坏的电池数 $ X\sim b(4,\theta) $ ( $ \theta $ 未知).

1. 下面分别给出了某城市在春季(9周)和秋季(10周)发生的案件数.

试取 $ \alpha=0.03 $ 用秩和检验法检验春季发生的案件数的均值是否较秋季的为多.

1. 临界闪烁频率（cff）是人眼对于闪烁光源能够分辨出它在闪烁的最高频率（以 Hz 计）。超过 cff 的频率，即使光源实际是在闪烁的，而人看起来是连续的（不闪烁的）。一项研究旨在判定 cff 的均值是否与人眼的虹膜颜色有关，所得数据如下：

试在显著性水平0.05下，检验各种虹膜颜色相应的cff的均值有无显著的差异。设各个总体服从正态分布，且方差相等，不同颜色下的样本之间相互独立。

1. 下面列出了挪威人自1938—1947年间年人均脂肪消耗量与患动脉粥样硬化症而死亡的死亡率之间相关的一组数据.

设对于给定的 x,Y 为正态变量，且方差与 x 无关.

(1) 求回归直线方程 $ y = a + bx $.

（2）在显著性水平 $ \alpha=0.05 $下检验假设 $ H_{0}:b=0,H_{1}:b\neq0 $

(3) 求 $ \hat{y}\big|_{x=13} $

（4）求 x=13 处 $ \mu(x) $ 置信水平为0.95的置信区间.

（5）求 x=13 处 Y 的新观察值 $ Y_{0} $ 的置信水平为0.95的预测区间.

1. 下面给出 1924—1992 年奥林匹克运动会女子 100 米仰泳的最佳成绩（以 s 计），（其中 1940 年及 1944 年未举行奥运会）

（1）画出散点图.

（2）求成绩关于年份的线性回归方程.

（3）检验回归效果是否显著（取 $ \alpha=0.05 $）.

随机过程部分

1. 设在时间区间 $ (0, t] $ 内来到某商店的顾客数 $ N(t) $ 是强度为 $ \lambda $ 的泊松过程。每个来到商店的顾客购买某些货物的概率是 p，不买货物就离去的概率是 1 - p，且各个顾客是否购买货物是相互独立的。令 $ Y(t) $ 为 $ (0, t] $ 内购买货物的顾客数。试证 $ \{Y(t), t \geqslant 0\} $ 是强度为 $ \lambda p $ 的泊松过程。

71. 设随机过程

$$ X(t)=a\cos(\Omega t+\Theta),\quad-\infty

其中 a 是常数，随机变量 $ \Theta \sim U(0,2\pi) $，随机变量 $ \Omega $ 具有概率密度 $ f(x) $，设 $ f(x) $ 连续且为偶函数， $ \Theta $ 与 $ \Omega $ 相互独立。试证 $ X(t) $ 是平稳过程，且其谱密度为 $ S_{X}(\omega) = a^{2}\pi f(\omega) $。（提示：要运用 $ \delta $ 函数的筛选性。）

参读材料 随机变量样本值的产生

（一） 随机数和伪随机数

在概率统计的应用中，常需要模拟各种分布的随机变量，即需要产生各种分布随机变量的简单随机样本的样本值。某一分布随机变量的样本值，就称为这一分布的随机数。例如指数分布随机变量的样本值就称为指数分布随机数。特别，区间（0，1）上均匀分布的随机变量的样本值称为均匀分布随机数，简称随机数。我们先来考虑如何产生均匀分布随机数，其他分布随机数，一般可以由均匀分布随机数通过变换得到。

产生均匀分布随机数的方法很多——目前使用最广泛的方法是在计算机上利用数学的递推公式来产生。这种按确定性算法得到的序列，不可能是真正来自区间(0,1)上均匀分布的独立同分布样本值序列，我们称它为伪随机数。

在大多数计算机中都装有产生伪随机数序列的算法程序，我们都是假设由这些程序产生的伪随机数序列能通过独立性和均匀分布检验，可作为随机数序列来使用，需要时用特定的命令加以调用就是。

（二） 产生离散型随机变量样本值的方法

设离散型随机变量 X 具有分布律

$$ P\{X=x_{i}\}=p_{i},\quad i=1,2,\cdots,\quad\sum_{i=1}^{\infty}p_{i}=1. $$

现在来产生 X 的随机数.

先产生伪随机数u，令

$$ X=\{\begin{aligned}&x_{1},&u

由于

$$ \begin{aligned}P\{X=x_{i}\}&=P\Big\{\sum_{j=1}^{i-1}p_{j}\leqslant U<\sum_{j=1}^{i}p_{j}\Big\}\\&=\sum_{j=1}^{i}p_{j}-\sum_{j=1}^{i-1}p_{j}=p_{i},i=1,2,\cdots,\end{aligned} $$

所以 X 具有给定的分布律.

产生随机变量 X 的样本值也叫做对随机变量 X 进行模拟或抽样，上述模拟离散型随机变量的方法的算法为：

产生伪随机数u.

若 $ u < p_{1} $，令 $ X = x_{1} $，停止.

若 $ u < p_{1} + p_{2} $，令 $ X = x_{2} $，停止.

若 $ u < p_{1} + p_{2} + p_{3} $，令 $ X = x_{3} $，停止.

例 1 设随机变量 X 具有分布律

试产生 X 的样本值.

解 取算法为：产生伪随机数 u.

若 u<0.20，令 X=1，停止.

若 u<0.35，令 X=2，停止.

若 u<0.60，令 X=3，停止.

否则，令X=4.

例2 设随机变量 X 具有分布律

$$ P\{X=i\}=\frac{1}{n},\quad i=1,2,\cdots,n, $$

$$ \left(\begin{array}{c} *\_{3} \end{array}\right) $$

试产生 X 的样本值（X 称为取值为 1,2, $ \cdots $,n 的离散型均匀分布随机变量）.

解 在 $ (*_{1}) $式中，令 $ x_{i}=i,i=1,2,\cdots,n;p_{1}=p_{2}=\cdots=p_{n}=\frac{1}{n} $，就得到 $ (\ast_{3}) $式。再由 $ (\ast_{2}) $式的最后一个式子，得

若 $ \frac{i-1}{n}\leqslant u<\frac{i}{n} $，则令 X=i，

即若 $ i-1 \leqslant n \quad u < i $，则令 $ X = i = [n \quad u] + 1, i = 1, 2, \cdots, n $.

因此，若 u 是伪随机数，那么 $ X=[n u]+1 $ 就是分布 $ (*_{3}) $ 的样本值.

例3 试产生以n,p为参数的二项分布 $ b(n,p) $的样本值.

解 设 $ U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{n} $ 相互独立. 且它们都在区间（0，1）上服从均匀分布. 令

$$ X_{i}=\{\begin{aligned}&1,&&U_{i}

则有 $ P\{X_{i}=1\}=P\{U_{i}

（三） 产生连续型随机变量样本值的方法

先证明一个定理.

定理 设随机变量 $ U \sim U(0,1) $， $ F(x) $ 是某一随机变量的分布函数，且 $ F(x) $ 为严格单调增加且连续的函数，则随机变量 $ F^{-1}(U) $ 具有分布函数 $ F(x) $，其中 $ F^{-1}(x) $ 是 $ F(x) $ 的反函数.

证 由于 $ F(x) $ 严格单调增加且连续，因此其反函数 $ F^{-1}(x) $ 存在（即有 $ F[F^{-1}(x)]=x $），且严格单调增加连续，即得随机变量 $ F^{-1}(U) $ 的分布函数为

$$ \begin{aligned}P\{F^{-1}(U)\leqslant x\}&=P\{F[F^{-1}(U)]\leqslant F(x)\}\\&=P\{U\leqslant F(x)\}=F(x).\end{aligned} $$

由定理，若要产生以 $ F(x)(F(x) $严格单调增加且连续)为分布函数的随机变量X，只需产生 $ U\sim U(0,1) $，令 $ X=F^{-1}(U) $就行了。又若要产生X的样本值x，只需产生U的样本值u，令 $ x=F^{-1}(u) $即得。这一产生X的样本值的方法，称为逆变换法。这种方法在随机变量具有严格单调增加且连续的分布函数 $ F(x) $且 $ F^{-1}(x) $能够用显式表示时，都能使用。

要说明在上述定理中对 $ F(x) $ 在 $ (-\infty, \infty) $ 上的严格单调连续的要求可放宽为 $ F(x) $ 在某一区间（有限或无限）上取值从 0 到 1，且在此区间上严格单调增加且连续即可.

例4 设随机变量 X 具有指数分布，其分布函数为

$$ F(x)=\{\begin{aligned}&1-e^{-x/\theta},&x&>0,\\ &0,& 其他 ,\end{aligned}.\quad\theta&>0, $$

试产生随机变量 X.

解 设 $ U \sim U(0,1) $，令 $ U = 1 - e^{-X/\theta} $，解得

$$ X=-\theta\ln(1-U). $$

因为当 $ U\sim U(0,1) $时，也有 $ 1-U\sim U(0,1) $，从而

$$ X=-\theta\ln U $$

就是所要产生的指数分布的随机变量. 若有伪随机数 u, 就有 X 的随机数 $ -\theta \ln u $.

例 5 设随机变量 X 具有韦布尔 (Weibull) 分布，其分布函数为

$$ F(x)=\{\begin{aligned}&1-e^{-(x/\eta)^{\beta}},&x>0,\\ &0,& 其他 ,\end{aligned}.\quad\beta>0,\eta>0. $$

试产生随机变量X.

解 设 $ U \sim U(0,1) $，令 $ U = 1 - e^{-(X/\eta)^{\beta}} $ 解得

$$ X=\eta[-\ln(1-U)]^{1/\beta}. $$

因为 $ 1-U\sim U(0,1) $，故

$$ X=\eta[-\ln U]^{1/\beta}. $$

就是所要产生的韦布尔分布随机变量.

例6 正态随机变量的产生

标准正态变量的分布函数 $ \Phi(x) $ 的反函数不存在显式，故不能用逆变换法产生标准正态变量。下面介绍一种近似方法。

设 $ U_{i} \sim U(0,1), i=1,2,\cdots,n $，且它们相互独立，由于 $ E(U_{i}) = 1/2, D(U_{i}) = 1/12 $，由中心极限定理，当 n 较大时近似地有

$$ Z=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}U_{i}-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}\sqrt{\frac{1}{12}}}\sim N(0,1), $$

取n=12，知近似地有

$$ Z=\sum_{i=1}^{12}U_{i}-6\sim N(0,1), $$

这就是说，只需产生12个伪随机数 $ u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{12} $，将它们加起来，再减去6，就能近似地得到标准正态变量的样本值了。这样做是很方便的。

又若 $ X \sim N(\mu, \sigma^{2}) $, $ Z \sim N(0, 1) $，利用关系式

$$ X=\mu+\sigma Z $$

就能得到一般的正态随机变量 X 的样本值.

续表

续表

$$ \Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t $$

$$ P(X\leqslant x)=\sum_{k=0}^{x}\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!} $$

续表

$$ P\{t(n)>t_{a}(n)\}=a $$

$$ P\{\chi^{2}(n)>\chi^{2}_{a}(n)\}=a $$

当 n > 40 时， $ \chi_{a}^{2}(n) \approx \frac{1}{2} \left( z_{a} + \sqrt{2n-1} \right)^{2} $