第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征
上一章介绍了随机变量的分布函数、概率密度和分布律，它们都能完整地描述随机变量，但在某些实际或理论问题中，人们感兴趣于某些能描述随机变量某一种特征的常数，例如，一篮球队上场比赛的运动员的身高是一个随机变量，人们常关心上场运动员的平均身高。一个城市一户家庭拥有汽车的辆数是一个随机变量，在考察城市的交通情况时，人们关心户均拥有汽车的辆数。评价棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大，偏离程度较小，质量就较好。这种由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。本章将介绍几个重要的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩。
§1 数学期望
无看一个例子. 一射手进行打靶练习, 规定射入区域 $ e_{2} $ (图4-1) 得2分, 射入区域 $ e_{1} $ 得1分, 脱靶, 即射入区域 $ e_{0} $, 得0分. 射手一次射击得分数 X 是一个随机变量. 设 X 的分布律为
$$ P\{X=k\}=p_{k},k=0,1,2. $$
现在射击N次，其中得0分的有 $ a_{0} $次，得1分的有 $ a_{1} $次，得2分的有 $ a_{2} $次， $ a_{0}+a_{1}+a_{2}=N $。他射击N次得分的总和为 $ a_{0}\times0+a_{1}\times1+a_{2}\times2 $。于是平均一次射击的得分数为
$$ \frac{a_{0}\times0+a_{1}\times1+a_{2}\times2}{N}=\sum_{k=0}^{2}k\frac{a_{k}}{N}. $$
这里， $ a_{k}/N $ 是事件 $ \{X=k\} $ 的频率。在第五章将会讲到，当 N 很大时， $ a_{k}/N $ 在一定意义下接近于事件 $ \{X=k\} $ 的概率 $ p_{k} $。就是说，在试验次数很大时，随机变量 X 的观察值的算术平均 $ \sum_{k=0}^{2}ka_{k}/N $ 在一定意义下接近于 $ \sum_{k=0}^{2}kp_{k} $。我们称 $ \sum_{k=0}^{2}kp_{k} $ 为随机变量 X 的数学期望或均值。一般，有以下的定义。
定义 设离散型随机变量 X 的分布律为
$$ P\{X=x_{k}\}=p_{k},\quad k=1,2,\cdots. $$
若级数
$$ \sum_{k=1}^{\infty}x_{k} p_{k} $$
绝对收敛，则称级数 $ \sum_{k=1}^{\infty}x_{k}p_{k} $ 的和为随机变量 X 的数学期望，记为 $ E(X) $. 即
$$ E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_{k} p_{k}. $$
设连续型随机变量 X 的概率密度为 $ f(x) $，若积分
$$ \int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\mathrm{d}x $$
绝对收敛，则称积分 $ \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x $的值为随机变量X的数学期望，记为 $ E(X) $.
即
$$ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\mathrm{d}x. $$
数学期望简称期望，又称为均值.
数学期望 E(X) 完全由随机变量 X 的概率分布所确定．若 X 服从某一分布，也称 E(X) 是这一分布的数学期望．
例1 某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分X是一个随机变量。据以往的资料表明X的分布律为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| p_k | 0.002 | 0.001 | 0.002 | 0.005 | 0.02 | 0.04 | 0.18 | 0.37 | 0.25 | 0.12 | 0.01 |
试求 X 的数学期望 E(X).
$$ \begin{aligned}E(X)=&0\times0.002+1\times0.001+2\times0.002+3\times0.005+4\times0.02\\&+5\times0.04+6\times0.18+7\times0.37+8\times0.25+9\times0.12+10\times0.01\\=&7.15( 分 )\end{aligned} $$
这意味着，若考察医院出生的很多新生儿，例如1000个，那么一个新生儿的平均得分约7.15分，1000个新生儿共得分约7150分。
例2 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命（以小时计） $ X_{k} $ (k=1,2) 服从同一指数分布，其概率密度为
$$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{\theta}\mathrm{e}^{-x/\theta},&x&>0,\\ &0,&x&\leqslant0,\end{aligned}.\quad\theta&>0. $$
若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）N 的数学期望.
解 $ X_{k}(k=1,2) $ 的分布函数为
$$ F(x)=\{\begin{aligned}&1-\mathrm{e}^{-x/\theta},x>0,\\ &0,&x\leqslant0.\end{aligned}. $$
由第三章§5的(5.12)式 $ N=\min\{X_{1},X_{2}\} $的分布函数为
$$ F_{\min}(x)=1-[1-F(x)]^{2}=\{\begin{aligned}&1-\mathrm{e}^{-2x/\theta},x>0,\\ &0,\quad x\leqslant0,\end{aligned}. $$
因而 N 的概率密度为
$$ f_{\min}(x)=\{\begin{aligned}&\frac{2}{\theta}\mathrm{e}^{-2x/\theta},x>0,\\&0,&x\leqslant0.\end{aligned}. $$
于是 N 的数学期望为
$$ E(N)=\int_{-\infty}^{\infty}x f_{\min}(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{\infty}\frac{2x}{\theta}\mathrm{e}^{-2x/\theta}\mathrm{d}x=\frac{\theta}{2}. $$
例 3 按规定，某车站每天 8:00～9:00，9:00～10:00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为
| 到站时刻 | 8:10 | 8:30 | 8:50 |
|---|---|---|---|
| 9:10 | 9:30 | 9:50 | |
| 概率 | $ \frac{1}{6} $ | $ \frac{3}{6} $ | $ \frac{2}{6} $ |
一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望.
解 设旅客的候车时间为 X（以分计）. X 的分布律为
| X | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| $ p_{k} $ | $ \frac{3}{6} $ | $ \frac{2}{6} $ | $ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} $ | $ \frac{1}{6} \times \frac{3}{6} $ | $ \frac{1}{6} \times \frac{2}{6} $ |
在上表中，例如
$$ P\{X=70\}=P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{6}\times\frac{3}{6}, $$
其中 A 为事件“第一班车在 8:10 到站”，B 为“第二班车在 9:30 到站”。候车时间的数学期望为
$$ \begin{aligned}E(X)&=10\times\frac{3}{6}+30\times\frac{2}{6}+50\times\frac{1}{36}+70\times\frac{3}{36}+90\times\frac{2}{36}\\&=27,22( 分 ).\end{aligned} $$
例 4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为 X（以年计），规定：
$ X \leqslant 1 $，一台付款1500元；
1<X≤2，一台付款2000元；
2<X≤3，一台付款2500元；
X>3，一台付款3000元.
设寿命 X 服从指数分布，概率密度为
$$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{10}\mathrm{e}^{-x/10},&x>0,\\ &0,&x\leqslant0.\end{aligned}. $$
解 先求出寿命 X 落在各个时间区间的概率. 即有
$$ P\{X\leqslant1\}=\int_{0}^{1}\frac{1}{10}\mathrm{e}^{-x/10}\mathrm{d}x=1-\mathrm{e}^{-0.1}=0.0952, $$
$$ P\{1 $$ P\{2 $$ P\{X>3\}=\int_{3}^{\infty}\frac{1}{10}\mathrm{e}^{-x/10}\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{-0.3}=0.7408. $$ 一台家用电器收费 Y 的分布律为 $$ \begin{array}{r r|c r r r}{Y}&{1\ 500}&{2\ 000}&{2\ 500}&{3\ 000}\\ \hline {p_{k}}&{0.095\ 2}&{0.086\ 1}&{0.077\ 9}&{0.740\ 8}\\ \hline \end{array} $$ 得 $ E(Y)=2\ 732.15 $，即平均一台收费2732.15元. 例5 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方法进行.(i)将每个人的血分别去验，这就需验N次.(ii)按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次.若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验.这样，k个人的血总共要化验 $ k+1 $次.假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k取什么值时最适宜. 解 各人的血呈阴性反应的概率为 q=1-p. 因而 k 个人的混合血呈阴性反应的概率为 $ q^{k} $, k 个人的混合血呈阳性反应的概率为 $ 1-q^{k} $. 设以 k 个人为一组时，组内每人化验的次数为 X，则 X 是一个随机变量，其分布律为 X 的数学期望为 $$ E(X)=\frac{1}{k}q^{k}+\left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1-q^{k}\right)=1-q^{k}+\frac{1}{k}. $$ N 个人平均需化验的次数为 $$ N\left(1-q^{k}+\frac{1}{k}\right). $$ 由此可知，只要选择 k 使 $$ 1-q^{k}+\frac{1}{k}<1, $$ 则 N 个人平均需化验的次数 < N. 当 p 固定时，我们选取 k 使得 $$ L=1-q^{k}+\frac{1}{k} $$ 小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法. 例如，p=0.1，则 q=0.9，当 k=4 时， $ L=1-q^{k}+\frac{1}{k} $ 取到最小值。此时得到最好的分组方法。若 N=1000，此时以 k=4 分组，则按第二种方法平均只需化验 $$ 1000\left(1-0.9^{4}+\frac{1}{4}\right)=594( 次 ). $$ 这样平均来说，可以减少40%的工作量。 例6 设 $ X \sim \pi(\lambda) $，求 $ E(X) $. 解 X 的分布律为 $$ P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!},\quad k=0,1,2,\cdots,\quad\lambda>0. $$ X 的数学期望为 $$ E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}\cdot\mathrm{e}^{\lambda}=\lambda, $$ 即 $ E(X)=\lambda $ 例7 设 $ X \sim U(a, b) $，求 $ E(X) $. 解 X 的概率密度为 $$ f(x)=\{\begin{aligned}\frac{1}{b-a},\quad&a X 的数学期望为 $$ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}\frac{x}{b-a}\mathrm{d}x=\frac{a+b}{2}. $$ 即数学期望位于区间 $ (a,b) $的中点. 我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，例如飞机机翼受到压力 W= $ kV^{2} $ (V 是风速, k>0 是常数) 的作用, 需要求 W 的数学期望, 这里 W 是随机变量 V 的函数. 这时, 可以通过下面的定理来求 W 的数学期望. 定理 设 Y 是随机变量 X 的函数: $ Y = g(X) $ (g 是连续函数). （i）如果 X 是离散型随机变量，它的分布律为 $ P\{X=x_{k}\}=p_{k}, k=1,2,\cdots $，若 $ \sum_{k=1}^{\infty}g(x_{k})p_{k} $ 绝对收敛，则有 $$ E(Y)=E[g(X)]=\sum_{k=1}^{\infty}g(x_{k})p_{k}. $$ （ii）如果 X 是连续型随机变量，它的概率密度为 $ f(x) $，若 $ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) \, dx $ 绝对收敛，则有 $$ E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx. $$ 定理的重要意义在于当我们求 $ E(Y) $ 时，不必算出 Y 的分布律或概率密度，而只需利用 X 的分布律或概率密度就可以了，定理的证明超出了本书的范围。我们只对下述特殊情况加以证明。 证 设 X 是连续型随机变量，且 $ y=g(x) $ 满足第二章 §5 中定理的条件. 由第二章§5中的(5.2)式知道随机变量 $ Y=g(X) $的概率密度为 $$ f_{Y}(y)=\{\begin{aligned}&f_{X}[h(y)]\mid h^{\prime}(y)\mid,&\alpha<&y<\beta,\\ &0,&& 其他 ,\end{aligned}. $$ 于是 $$ E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y}(y)dy=\int_{a}^{\beta}yf_{X}\left[h(y)\right]\mid h^{\prime}(y)\mid dy. $$ 当 $ h'(y) $恒>0时 $$ E(Y)=\int_{a}^{\beta}y f_{X}\left[h(y)\right]h^{\prime}(y)d y=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)d x. $$ 当 $ h'(y) $恒<0时 $$ \begin{aligned}E(Y)&=-\int_{a}^{\beta}y f_{X}\big[h(y)\big]h^{\prime}(y)\mathrm{d}y\\&=-\int_{-\infty}^{-\infty}g(x)f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\mathrm{d}x.\end{aligned} $$ 综合上两式，(1.4)式得证. 上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况. 例如，设 Z 是随机变量 X, Y 的函数 $ Z = g(X, Y) $ (g 是连续函数)，那么，Z 是一个一维随机变量。若二维随机变量 $ (X, Y) $ 的概率密度为 $ f(x, y) $，则有 $$ E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy, $$ 这里设上式右边的积分绝对收敛. 又若 $ (X,Y) $为离散型随机变量，其分布律为 $ P\{X=x_{i},Y=y_{i}\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots $，则有 $$ E(Z)=E[g(X,Y)]=\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty}g(x_{i},y_{j})p_{ij}, $$ 这里设上式右边的级数绝对收敛. 例 8 设风速 V 在 $ (0,a) $ 上服从均匀分布，即具有概率密度 $$ f(v)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{a},&0<&v 又设飞机机翼受到的正压力 W 是 V 的函数: $ W = kV^{2} (k > 0 $ , 常数），求 W 的数学期望. 解 由(1.4)式有 $$ E(W)=\int_{-\infty}^{\infty}k v^{2}f(v)dv=\int_{0}^{a}k v^{2}\frac{1}{a}dv=\frac{1}{3}k a^{2}. $$ 例 9 设随机变量(X,Y)的概率密度 $$ f(x,y)=\{\begin{aligned}&\frac{3}{2x^{3}y^{2}},&\frac{1}{x}<&y 求数学期望 $ E(Y) $， $ E\left(\frac{1}{XY}\right) $. 解由(1.5)式得 $$ \begin{aligned}E(Y)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_{1}^{\infty}\int_{\frac{1}{x}}^{x}\frac{3}{2x^{3}y}\mathrm{d}y\mathrm{d}x\\&=\frac{3}{2}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\bigg[\ln y\bigg]_{\frac{1}{x}}^{x}\mathrm{d}x=3\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{3}}\mathrm{d}x\\&=\left[-\frac{3}{2}\frac{\ln x}{x^{2}}\right]_{1}^{\infty}+\frac{3}{2}\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x=\frac{3}{4}.\\ \end{aligned} $$ $$ E\left(\frac{1}{XY}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{xy}f(x,y)dy dx=\int_{1}^{\infty}dx\int_{\frac{1}{x}}^{x}\frac{3}{2x^{4}y^{3}}dy=\frac{3}{5}. $$ 例 10 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利 m 元，而积压一件产品导致 n 元的损失。再者，他们预测销售量 Y（件）服从指数分布，其概率密度为 $$ f_{Y}(y)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{\theta}\mathrm{e}^{-y/\theta},&y&>0,\\ &0,&y&\leqslant0.\end{aligned}.\quad\theta&>0, $$ 问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品 $ (m,n,\theta $ 均为已知 $ ) $？ 解 设生产 x 件，则获利 Q 是 x 的函数 $$ Q=Q(x)=\{\begin{aligned}&mY-n(x-Y),&Y Q 是随机变量，它是 Y 的函数，其数学期望为 $$ \begin{align*}E(Q)&=\int_{0}^{\infty}Qf_{Y}(y)\mathrm{d}y\\&=\int_{0}^{x}[my-n(x-y)]\frac{1}{\theta}\mathrm{e}^{-y/\theta}\mathrm{d}y\\&\quad+\int_{x}^{\infty}mx\frac{1}{\theta}\mathrm{e}^{-y/\theta}\mathrm{d}y\\&=(m+n)\theta-(m+n)\theta\mathrm{e}^{-x/\theta}-nx.\end{align*} $$ 令 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}E(Q)=(m+n)\mathrm{e}^{-x/\theta}-n=0, $$ 得 $$ x=-\theta\ln\frac{n}{m+n}. $$ 而 $$ \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}E(Q)=\frac{-\left(m+n\right)}{\theta}\mathrm{e}^{-x/\theta}<0, $$ 故知当 $ x = -\theta \ln \frac{n}{m+n} $ 时 $ E(Q) $ 取极大值，且可知这也是最大值. 例如，若 $ f_{Y}(y)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{10\ 000}e^{-\frac{y}{10\ 000}},&y>0,\\ &0,&y\leqslant0,\end{aligned}. $ 且有 m=500 元，n=2000 元，则 $$ x=-10\ 000\ln\frac{2\ 000}{500+2\ 000}=2\ 231.4. $$ 取x=2231件. 例11 某甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜。若甲中标，他就将此项目以10千美元转让给他人。可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7～11千美元之间均匀分布。问甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大（若甲中标必须将此项目以他自己的报价买下）。 解 设 $ X_{1}, X_{2}, X_{3} $ 是其他三人的报价，按题意 $ X_{1}, X_{2}, X_{3} $ 相互独立，且在区间（7，11）上服从均匀分布。其分布函数为 $$ F(u)=\{\begin{aligned}&0,&u<7,\\ &\frac{u-7}{4},&7&\leqslant&u<&11,\\ &1,&u&\geqslant&11.\end{aligned}. $$ 以 Y 记三人最大出价，即 $ Y = \max\{X_{1}, X_{2}, X_{3}\} $. Y 的分布函数为 $$ F_{Y}(u)=\{\begin{aligned}&0,&u<7,\\ &(\frac{u-7}{4})^{3},7\leqslant u<11,\\ &1,&u\geqslant11.\end{aligned}. $$ 若甲的报价为 x，按题意 $ 7 \leqslant x \leqslant 10 $，知甲能赢得这一项目的概率为 $$ p=P\{Y\leqslant x\}=F_{Y}(x)=\left(\frac{x-7}{4}\right)^{3}\quad(7\leqslant x\leqslant10). $$ 以 $ G(x) $ 记甲的赚钱数， $ G(x) $ 是一个随机变量，它的分布律为 于是甲赚钱数的数学期望为 $$ E[G(x)]=\left(\frac{x-7}{4}\right)^{3}(10-x). $$ 令 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}E\left[G(x)\right]=\frac{1}{4^{3}}\left[(x-7)^{2}(37-4x)\right]=0 $ 得 x=37/4, x=7（舍去）. 又知 $ \frac{d^{2}}{dx^{2}}E[G(x)]\bigg|_{x=37/4}<0. $ 故知当甲的报价为 x=37/4 千美元时，他赚钱数的数学期望达到极大值，还可知这也是最大值. ☐ 现在来证明数学期望的几个重要性质 $ ^{①} $（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）. $ 1^{\circ} $ 设 C 是常数，则有 $ E(C)=C $ 2° 设 X 是一个随机变量，C 是常数，则有 $$ E\left(C X\right)=C E\left(X\right). $$ $ 3^{\circ} $ 设 X, Y 是两个随机变量，则有 $$ E(X+Y)=E(X)+E(Y). $$ 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况. $ 4^{\circ} $ 设 X, Y 是相互独立的随机变量，则有 $$ E(XY)=E(X)E(Y). $$ 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况. 证 $ 1^{\circ} $、 $ 2^{\circ} $ 由读者自己证明. 我们来证 $ 3^{\circ} $ 和 $ 4^{\circ} $. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 $ f(x,y) $. 其边缘概率密度为 $ f_{X}(x) $, $ f_{Y}(y) $. 由(1.5)式 $$ \begin{aligned}E(X+Y)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x+y)f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}y f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\&=E(X)+E(Y).\end{aligned} $$ 3°得证. 又若 X 和 Y 相互独立， $$ \begin{aligned}E(XY)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf_{X}(x)f_{Y}(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\&=\left[\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X}(x)\mathrm{d}x\right]\left[\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y}(y)\mathrm{d}y\right]=E(X)E(Y).\\ \end{aligned} $$ $ 4^{\circ} $得证. 例 12 一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以 X 表示停车的次数，求 $ E(X) $ （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各位旅客是否下车相互独立）。 解 引入随机变量 $$ X_{i}=\{\begin{aligned}&0,&& 在第 i 站没有人下车 ,\\ &1,&& 在第 i 站有人下车 ,\end{aligned}._{i=1,2,\cdots,10}. $$ 易知 $$ X=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{10}. $$ 现在来求 $ E(X) $. 按题意，任一旅客在第 i 站不下车的概率为 $ \frac{9}{10} $，因此 20 位旅客都不在第 i 站下车的概率为 $ \left(\frac{9}{10}\right)^{20} $，在第 i 站有人下车的概率为 $ 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^{20} $，也就是 $$ P\{X_{i}=0\}=\left(\frac{9}{10}\right)^{20},P\{X_{i}=1\}=1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20},i=1,2,\cdots,10. $$ 由此 $$ E(X_{i})=1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20},i=1,2,\cdots,10. $$ 进而 $$ \begin{aligned}E(X)&=E(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{10})\\&=E(X_{1})+E(X_{2})+\cdots+E(X_{10})\\&=10\left[1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\right]=8.784( 次 ).\end{aligned} $$ 本题是将 X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等 于随机变量数学期望之和来求数学期望的，这种处理方法具有一定的普遍意义. 例 13 设一电路中电流 $ I $（A）与电阻 $ R $（ $ \Omega $）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 $$ g(i)=\{\begin{aligned}&2i,&&0\leqslant i\leqslant1,\\ &0,&& 其他 ,\end{aligned}.\quad h(r)=\{\begin{aligned}&\frac{r^{2}}{9},&&0\leqslant r\leqslant3,\\ &0,&& 其他 .\end{aligned}. $$ 试求电压 V=IR 的均值. 解 $$ \begin{aligned}E(V)&=E(IR)=E(I)E(R)\\&=\left[\int_{-\infty}^{\infty}i g\left(i\right)\mathrm{d}i\right]\left[\int_{-\infty}^{\infty}r h\left(r\right)\mathrm{d}r\right]\\&=\left(\int_{0}^{1}2i^{2}\mathrm{d}i\right)\left(\int_{0}^{3}\frac{r^{3}}{9}\mathrm{d}r\right)=\frac{3}{2}(\mathrm{V}).\end{aligned} $$ 先从例子说起.例如,有一批灯泡,知其平均寿命是 $ E(X)=1000 $（小时）.仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏.事实上,有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在950~1050小时;也有可能其中约有一半是高质量的,它们的寿命大约有1300小时,另一半却是质量很差的,其寿命大约只有700小时.为要评定这批灯泡质量的好坏,还需进一步考察灯泡寿命X与其均值 $ E(X)=1000 $的偏离程度.若偏离程度较小,表示质量比较稳定.从这个意义上来说,我们认为质量较好.前面也曾提到在检验棉花的质量时,既要注意纤维的平均长度,还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度.由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到 $$ E\{\mid X{-}E(X)\mid\} $$ 能度量随机变量与其均值 E(X) 的偏离程度。但由于上式带有绝对值，运算不方便，为运算方便起见，通常用量 $$ E\{[X-E(X)]^{2}\} $$ 来度量随机变量 X 与其均值 E(X) 的偏离程度. 定义 设 X 是一个随机变量，若 $ E\{[X-E(X)]^{2}\} $ 存在，则称 $ E\{[X-E(X)]^{2}\} $ 为 X 的方差，记为 $ D(X) $ 或 $ \mathrm{Var}(X) $，即 $$ D(X)=\operatorname{Var}(X)=E\{[X-E(X)]^{2}\}. $$ 在应用上还引入量 $ \sqrt{D(X)} $，记为 $ \sigma(X) $，称为标准差或均方差. 按定义，随机变量 X 的方差表达了 X 的取值与其数学期望的偏离程度。若 $ D(X) $ 较小意味着 X 的取值比较集中在 $ E(X) $ 的附近，反之，若 $ D(X) $ 较大则表示 X 的取值较分散。因此， $ D(X) $ 是刻画 X 取值分散程度的一个量，它是衡量 X 取值分散程度的一个尺度。 由定义知，方差实际上就是随机变量X的函数 $ g(X)=(X-E(X))^{2} $的数学期望.于是对于离散型随机变量，按(1.3)式有 $$ D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}\left[x_{k}-E(X)\right]^{2}p_{k}, $$ 其中 $ P\{X=x_{k}\}=p_{k}, k=1,2,\cdots $ 是 X 的分布律. 对于连续型随机变量，按(1.4)式有 $$ D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}\left[x-E(X)\right]^{2}f(x)dx, $$ 其中 $ f(x) $ 是 X 的概率密度. 随机变量 X 的方差可按下列公式计算. $$ D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}. $$ 证 由数学期望的性质 $ 1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ} $ $$ \begin{aligned}D(X)=&E\{\left[X-E(X)\right]^{2}\}=E\{X^{2}-2XE(X)+\left[E(X)\right]^{2}\}\\=&E(X^{2})-2E(X)E(X)+\left[E(X)\right]^{2}\\=&E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}.\end{aligned} $$ 例1 设随机变量 X 具有数学期望 $ E(X)=\mu $，方差 $ D(X)=\sigma^{2}\neq0 $。记 $$ X^{*}=\frac{X-\mu}{\sigma}, $$ 则 $$ E(X^{*})=\frac{1}{\sigma}E(X-\mu)=\frac{1}{\sigma}\left[E(X)-\mu\right]=0; $$ $$ \begin{aligned}D(X^{*})=&E(X^{*^{2}})-[E(X^{*})]^{2}=E\bigg[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{2}\bigg]\\=&\frac{1}{\sigma^{2}}E[(X-\mu)^{2}]=\frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}}=1.\end{aligned} $$ 即 $ X^{*}=\frac{X-\mu}{\sigma} $ 的数学期望为 0，方差为 1. $ X^{*} $ 称为 X 的标准化变量. 例2 设随机变量 X 具有 (0-1) 分布，其分布律为 $$ P\{X=0\}=1-p,\quad P\{X=1\}=p. $$ 求 $ D(X) $. 解 $$ E(X)=0\cdot(1-p)+1\cdot p=p, $$ $$ E(X^{2})=0^{2}\cdot(1-p)+1^{2}\cdot p=p. $$ 由(2.4)式 $$ D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=p-p^{2}=p(1-p). $$ 例3 设随机变量 $ X \sim \pi(\lambda) $，求 $ D(X) $. 解 随机变量 X 的分布律为 $$ P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!},\quad k=0,1,2,\cdots,\quad\lambda>0. $$ 上节例6已算得 $ E(X)=\lambda $，而 $$ \begin{aligned}E(X^{2})&=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1)]+E(X)\\&=\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}+\lambda=\lambda^{2}\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda\\&=\lambda^{2}\mathrm{e}^{-\lambda}\mathrm{e}^{\lambda}+\lambda=\lambda^{2}+\lambda，\end{aligned} $$ 所以方差 $$ D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=\lambda. $$ 由此可知，泊松分布的数学期望与方差相等，都等于参数 $ \lambda $。因为泊松分布只含一个参数 $ \lambda $，只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了。 例4 设随机变量 $ X \sim U(a, b) $，求 $ D(X) $. 解 X 的概率密度为 $$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{b-a},&a<&x 上节例7已算得 $ E(X)=\frac{a+b}{2} $. 方差为 $$ \begin{aligned}D(X)&=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}\\&=\int_{a}^{b}x^{2}\frac{1}{b-a}\mathrm{d}x-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=\frac{(b-a)^{2}}{12}.\end{aligned} $$ 例 5 设随机变量 X 服从指数分布，其概率密度为 $$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{\theta}\mathrm{e}^{-x/\theta},&x&>0,\\ &0,&x&\leqslant0.\end{aligned}. $$ 其中 $ \theta>0 $，求 $ E(X) $， $ D(X) $. 解 $$ \begin{aligned}E(X)=&\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{\infty}x\frac{1}{\theta}\mathrm{e}^{-x/\theta}\mathrm{d}x\\=&-x\mathrm{e}^{-x/\theta}\bigg|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x/\theta}\mathrm{d}x=\theta,\end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}E(X^{2})=&\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{\infty}x^{2}\frac{1}{\theta}\mathrm{e}^{-x/\theta}\mathrm{d}x\\=&-x^{2}\mathrm{e}^{-x/\theta}\bigg|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}2x\mathrm{e}^{-x/\theta}\mathrm{d}x=2\theta^{2},\end{aligned} $$ 于是 $$ D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=2\theta^{2}-\theta^{2}=\theta^{2}. $$ 即有 $$ E(X)=\theta,\quad D(X)=\theta^{2}. $$ 现在来证明方差的几个重要性质（以下设所遇到的随机变量其方差存在）. 1° 设 C 是常数，则 $ D(C)=0 $. 2° 设 X 是随机变量，C 是常数，则有 $$ D(C X)=C^{2}D(X),\qquad D(X+C)=D(X). $$ $ 3^{\circ} $ 设 X, Y 是两个随机变量，则有 $$ D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\}. $$ 特别，若 X, Y 相互独立，则有 $$ D(X+Y)=D(X)+D(Y). $$ 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况. $ 4^{\circ} $ $ D(X)=0 $ 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 $ E(X) $，即 $$ P\{X=E(X)\}=1. $$ $$ 证 \quad1^{\circ}\quad D(C)=E\{[C-E(C)]^{2}\}=0. $$ $$ 2^{\circ}\quad D(C X)=E\{[C X-E(C X)]^{2}\}=C^{2}E\{[X-E(X)]^{2}\}=C^{2}D(X). $$ $$ D(X+C)=E\{[X+C-E(X+C)]^{2}\}=E\{[X-E(X)]^{2}\}=D(X). $$ $$ \begin{aligned}3^{\circ}\quad D(X+Y)=&E\{\left[(X+Y)-E(X+Y)\right]^{2}\}\\=&E\{\left[(X-E(X))+(Y-E(Y))\right]^{2}\}\\=&E\{(X-E(X))^{2}\}+E\{(Y-E(Y))^{2}\}\\&+2E\{\left[(X-E(X)][Y-E(Y)]\right\}\\=&D(X)+D(Y)+2E\{\left[X-E(X)\right][Y-E(Y)]\}.\end{aligned} $$ 上式右端第三项： $$ \begin{aligned}&2E\{[(X-E(X)][Y-E(Y)]\}\\ &=2E\{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)\}\\ &=2\{E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)\}\\ &=2\{E(XY)-E(X)E(Y)\}.\\ \end{aligned} $$ 若 X, Y 相互独立，由数学期望的性质 $ 4^{\circ} $ 知道上式右端为 0，于是 $$ D(X+Y)=D(X)+D(Y). $$ 4° 充分性. 设 $ P\{X=E(X)\}=1 $，则有 $ P\{X^{2}=\left[E(X)\right]^{2}\}=1 $，于是 $$ D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=0. $$ 必要性的证明写在切比雪夫不等式证明的后面. 例6 设随机变量 $ X \sim b(n, p) $，求 $ E(X) $， $ D(X) $. 解 由二项分布的定义知，随机变量 X 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，且在每次试验中 A 发生的概率为 p。引入随机变量 $$ X_{k}=\{\begin{aligned}&1,&&A 在第 k 次试验发生 ,\\ &0,&&A 在第 k 次试验不发生 ,\end{aligned}.k=1,2,\cdots,n. $$ 易知 $$ X=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}, $$ 由于 $ X_{k} $ 只依赖于第 k 次试验，而各次试验相互独立，于是 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $ 相互独立，又知 $ X_{k}, k=1,2, \cdots, n $ 服从同一（0-1）分布 $$ \begin{array}{c|c c}{X_{k}}&{0}&{1}\\ \hline{p_{k}}&{1-p}&{p}\\ \end{array} $$ (2.7)式表明以n,p为参数的二项分布变量，可分解成为n个相互独立且都服从p为参数的(0-1)分布的随机变量之和. 由例2知 $ E(X_{k})=p,D(X_{k})=p(1-p),k=1,2,\cdots,n $.故知 $$ E(X)=E\left(\sum_{k=1}^{n}X_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}E(X_{k})=np. $$ 又由于 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $ 相互独立，得 $$ D(X)=D\left(\sum_{k=1}^{n}X_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}D(X_{k})=np(1-p). $$ 即 $$ E(X)=np,\quad D(X)=np(1-p). $$ 例7 设随机变量 $ X \sim N(\mu, \sigma^{2}) $，求 $ E(X) $， $ D(X) $. 解 先求标准正态变量 $$ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} $$ 的数学期望和方差. Z 的概率密度为 $$ \varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}, $$ 于是 $ E(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}te^{-t^{2}/2}dt=\frac{-1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\bigg|_{-\infty}^{\infty}=0, $ $$ \begin{aligned}D(Z)&=E(Z^{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}t^{2}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t\\&=\frac{-1}{\sqrt{2\pi}}t\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\bigg|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t=1.\end{aligned} $$ 因 $ X=\mu+\sigma Z $，即得 $$ \begin{array}{l}E(X)=E(\mu+\sigma Z)=\mu,\\ D(X)=D(\mu+\sigma Z)=D(\sigma Z)=\sigma^{2}D(Z)=\sigma^{2}.\end{array} $$ 这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 分别就是该分布的数学期望和均方差，因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定. 再者，由上一章§5中例1知道，若 $ X_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2}),i=1,2,\cdots,n $，且它们相互独立，则它们的线性组合： $ C_{1}X_{1}+C_{2}X_{2}+\cdots+C_{n}X_{n} $（ $ C_{1},C_{2},\cdots,C_{n} $是不全为0的常数）仍然服从正态分布，于是由数学期望和方差的性质知道 $$ C_{1}X_{1}+C_{2}X_{2}+\cdots+C_{n}X_{n}\sim N\left(\sum_{i=1}^{n}C_{i}\mu_{i},\sum_{i=1}^{n}C_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}\right) $$ 这一重要结果. 例如，若 $ X \sim N(1,3) $， $ Y \sim N(2,4) $ 且 X, Y 相互独立，则 Z = 2X - 3Y 也服从正态分布，而 $ E(Z) = 2 \times 1 - 3 \times 2 = -4 $， $ D(Z) = D(2X - 3Y) = 4D(X) + 9D(Y) = 48 $。故有 $ Z \sim N(-4, 48) $。 例8 设活塞的直径（以 cm 计） $ X \sim N(22.40, 0.03^{2}) $，气缸的直径 $ Y \sim N(22.50, 0.04^{2}) $，X，Y 相互独立。任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。 解 按题意需求 $ P\{X $$ X-Y\sim N(-0.10,0.0025)， $$ $$ \begin{aligned}P\{X 下面介绍一个重要的不等式. 定理 设随机变量 X 具有数学期望 $ E(X)=\mu $，方差 $ D(X)=\sigma^{2} $，则对于任意正数 $ \varepsilon $，不等式 $$ P\{\mid X-\mu\mid\geqslant\varepsilon\}\leqslant\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}} $$ 成立. 这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式. 证 我们只就连续型随机变量的情况来证明. 设 X 的概率密度为 $ f(x) $，则有（如图 4-2） $$ \begin{aligned}P\{\mid X-\mu\mid\geqslant\varepsilon\}=&\int_{\mid x-\mu\mid\geqslant\varepsilon}f(x)\mathrm{d}x\leqslant\int_{\mid x-\mu\mid\geqslant\varepsilon}\frac{\mid x-\mu\mid^{2}}{\varepsilon^{2}}f(x)\mathrm{d}x\\ \leqslant&\frac{1}{\varepsilon^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}.\end{aligned} $$ 切比雪夫不等式也可以写成如下的形式： $$ P\{\mid X-\mu\mid<\varepsilon\}\geqslant1-\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}. $$ 切比雪夫不等式给出了在随机变量的分布未知，而只知道 $ E(X) $和 $ D(X) $的情况下估计概率 $ P\{|X-E(X)|<\varepsilon\} $的界限.例 如在(2.9)式中分别取 $ \varepsilon=3\sqrt{D(X)} $, $ 4\sqrt{D(X)} $ 得到 $$ P\{|X-E(X)|<3\sqrt{D(X)}\}\geqslant0,8889 $$ $$ P\{|X-E(X)|<4\sqrt{D(X)}\geqslant0,937\ 5. $$ 这个估计是比较粗糙的 $ ^{①} $，如果已经知道随机变量的分布时，那么所需求的概率可以确切地计算出来，也就没有必要利用这一不等式来作估计了。 方差性质 $ 4^{\circ} $ 必要性的证明： 设 $ D(X)=0 $，要证 $ P\{X=E(X)\}=1 $. 证 用反证法 假设 $ P\{X=E(X)\}<1 $，则对于某一个数 $ \varepsilon>0 $，有 $ P\{|X-E(X)|\geq\varepsilon\}>0 $，但由切比雪夫不等式，对于任意 $ \varepsilon>0 $，由(2.9)式因 $ \sigma^{2}=0 $，有 $$ P\{\mid X-E(X)\mid\geqslant\varepsilon\}=0, $$ 矛盾，于是 $ P\{X=E(X)\}=1 $ 在书末附表1中列出了多种常用的随机变量的数学期望和方差，供读者查用. 对于二维随机变量 $ (X,Y) $，我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。本节讨论有关这方面的数字特征。 在本章§2方差性质 $ 3^{\circ} $的证明中，我们已经看到，如果两个随机变量X和Y是相互独立的，则 $$ E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=0. $$ 这意味着当 $ E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}\neq0 $ 时，X 与 Y 不相互独立，而是存在着一定的关系的. 定义 $ \underline{\text{量E\{X-E(X)\}[Y-E(Y)\}}} $ 称为随机变量X与Y的协方差.记为 $ \text{Cov}(X,Y) $，即 $$ \mathrm{Cov}(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}. $$ 而 $$ \rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} $$ 称为随机变量 X 与 Y 的相关系数. 由定义，即知 $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X),\quad\operatorname{Cov}(X,X)=D(X). $$ 由上述定义及(2.5)式知道，对于任意两个随机变量X和Y，下列等式成立： $$ D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y). $$ 将 $ \mathrm{Cov}(X,Y) $ 的定义式展开，易得 $$ \operatorname{C o v}(X,Y)=E(X Y)-E(X)E(Y). $$ 我们常常利用这一式子计算协方差. 协方差具有下述性质： $$ \begin{aligned}&1^{\circ}Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y),a,b 是常数 .\\ &2^{\circ}Cov(X_{1}+X_{2},Y)=Cov(X_{1},Y)+Cov(X_{2},Y).\\ \end{aligned} $$ （证明由读者自己来完成。） 下面我们来推导 $ \rho_{XY} $ 的两条重要性质，并说明 $ \rho_{XY} $ 的含义. 考虑以 X 的线性函数 $ a + bx $ 来近似表示 Y. 我们以均方误差 $$ \begin{aligned}e=&E\big[(Y-(a+bX))^{2}\big]\\=&E(Y^{2})+b^{2}E(X^{2})+a^{2}-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)\end{aligned} $$ 来衡量以 $ a+bX $ 近似表达 Y 的好坏程度. e 的值越小表示 $ a+bX $ 与 Y 的近似程度越好. 这样, 我们就取 a, b 使 e 取到最小. 下面就来求最佳近似式 $ a+bX $ 中的 a, b. 为此, 将 e 分别关于 a, b 求偏导数, 并令它们等于零, 得 $$ \{\begin{aligned}\frac{\partial e}{\partial a}&=2a+2bE(X)-2E(Y)=0,\\ \frac{\partial e}{\partial b}&=2bE(X^{2})-2E(XY)+2aE(X)=0.\end{aligned}. $$ 解得 $$ b_{0}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{D(X)}, $$ $$ a_{0}=E(Y)-b_{0}E(X)=E(Y)-E(X)\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{D(X)}. $$ 将 $ a_{0},b_{0} $代入(3.3)式得 $$ \begin{aligned}\min_{a,b}E\{[Y-(a+bX)]^{2}\}&=E\{[Y-(a_{0}+b_{0}X)]^{2}\}\\&=(1-\rho_{XY}^{2})D(Y)\textcircled{1}.\end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \textcircled{1} \quad E[(Y-(a_{0}+b_{0}X))^{2}]&=D[Y-a_{0}-b_{0}X]+[E(Y-a_{0}-b_{0}X)]^{2}\\&=D(Y-b_{0}X)-\left[\left.\frac{1}{2}\frac{\partial e}{\partial a}\right|_{a=a_{0}\atop b=b_{0}}\right]^{2}=D(Y-b_{0}X)+0\\&=D(Y)+b_{0}^{2}D(X)-2b_{0}\mathrm{Cov}(X,Y)=D(Y)+\frac{\mathrm{Cov}^{2}(X,Y)}{D(X)}-2\ \frac{\mathrm{Cov}^{2}(X,Y)}{D(X)}\\&=D(Y)\big[1-\frac{\mathrm{Cov}^{2}(X,Y)}{D(X)D(Y)}\big]=(1-\rho_{XY}^{2})D(Y).\end{aligned} $$ 由（3.4）式容易得到下述定理： 定理 $ 1^{\circ}\left|\rho_{XY}\right|\leqslant1 $ $ 2^{\circ}\left|\rho_{XY}\right|=1 $ 的充要条件是，存在常数 a, b 使 $ \dot{P}\{Y=a+bX\}=1 $ 证 $ 1^{\circ} $ 由(3.4)式与 $ E\{[Y-(a_{0}+b_{0}X)]^{2}\} $ 及 $ D(Y) $ 的非负性，得知 $ 1-\rho_{XY}^{2}\geqslant0 $，亦即 $ \left|\rho_{XY}\right|\leqslant1 $. 2° 若 $ \left|\rho_{XY}\right|=1 $ 由(3.4)式得 $$ E\{[Y-(a_{0}+b_{0}X)]^{2}\}=0. $$ $$ 0=E\{\left\lceil Y-(a_{0}+b_{0}X)\right\rceil^{2}\}=D\left[Y-(a_{0}+b_{0}X)\right]+\left[E(Y-(a_{0}+b_{0}X))\right]^{2}, $$ $$ D[Y-(a_{0}+b_{0}X)]=0, $$ 故有 $$ E[Y-(a_{0}+b_{0}X)]=0. $$ 又由方差的性质 $ 4^{\circ} $知 $$ P\{Y-(a_{0}+b_{0}X)=0\}=1, 即 P\{Y=a_{0}+b_{0}X\}=1. $$ 反之，若存在常数 $ a^{*} $， $ b^{*} $ 使 $$ P\{Y=a^{*}+b^{*}X\}=1, 即 P\{Y-(a^{*}+b^{*}X)=0\}=1, $$ 于是 $$ P\{[Y-(a^{*}+b^{*}X)]^{2}=0\}=1. $$ 即得 $$ E\{[Y-(a^{*}+b^{*}X)]^{2}\}=0. $$ 故有 $ 0 = E\{[Y - (a^{*} + b^{*}X)]^{2}]\} \geqslant \min_{a,b} E\{[Y - (a + bX)]^{2}\} $ $$ E\{[Y-(a_{0}+b_{0}X)]^{2}\}=(1-\rho_{XY}^{2})D(Y). $$ 即得 $$ |\rho_{XY}|=1. $$ 由(3.4)知，均方误差 e 是 $ \left|\rho_{XY}\right| $ 的严格单调减少函数，这样 $ \rho_{XY} $ 的含义就很明显了。当 $ \left|\rho_{XY}\right| $ 较大时 e 较小，表明 X, Y (就线性关系来说) 联系较紧密。特别当 $ \left|\rho_{XY}\right|=1 $ 时，由定理中的 $ 2^{\circ} $，X, Y 之间以概率 1 存在着线性关系。于是 $ \rho_{XY} $ 是一个可以用来表征 X, Y 之间线性关系紧密程度的量。当 $ \left|\rho_{XY}\right| $ 较大时，我们通常说 X, Y 线性相关的程度较好；当 $ \left|\rho_{XY}\right| $ 较小时，我们说，X, Y 线性相关的程度较差。 当 $ \rho_{XY}=0 $时，称X和Y不相关. 假设随机变量 X,Y 的相关系数 $ \rho_{XY} $ 存在. 当 X 和 Y 相互独立时, 由数学期望的性质 $ 4^{\circ} $ 及 (3.2) 式知 $ \mathrm{Cov}(X,Y)=0 $, 从而 $ \rho_{XY}=0 $, 即 X,Y 不相关. 反之, 若 X,Y 不相关, X 和 Y 却不一定相互独立 (见例 1). 上述情况, 从 “不相关” 和 “相互独立” 的含义来看是明显的. 这是因为不相关只是就线性关系来说的, 而相互独立是就一般关系而言的. 不过，从例2可以看到，当 $ (X,Y) $服从二维正态分布时，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的. 例1 设(X,Y)的分布律为 易知 $ E(X)=0, E(Y)=5/2, E(XY)=0 $，于是 $ \rho_{XY}=0, X, Y $ 不相关。这表示 X, Y 不存在线性关系。但， $ P\{X=-2, Y=1\}=0 \neq P\{X=-2\} P\{Y=1\} $，知 X, Y 不是相互独立的。事实上，X 和 Y 具有关系： $ Y=X^{2} $，Y 的值完全可由 X 的值所确定。 例2 设 $ (X,Y) $服从二维正态分布，它的概率密度为 $$ \begin{array}{l}f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}\exp\{\frac{-1}{2(1-\rho^{2})}[\frac{(x-\mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}}..\\ ..-2\rho\frac{(x-\mu_{1})(y-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}}+\frac{(y-\mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}}]\},\\ \end{array} $$ 我们来求 X 和 Y 的相关系数. 在第三章 §2 例 3 中已经知道 $ (X,Y) $ 的边缘概率密度为 $$ f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{1}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu_{1})^{2}}{2\sigma_{1}^{2}}},-\infty $$ f_{Y}(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{2}}\mathrm{e}^{-\frac{(y-\mu_{2})^{2}}{2\sigma_{2}^{2}}},-\infty 故知 $ E(X)=\mu_{1}, E(Y)=\mu_{2}, D(X)=\sigma_{1}^{2}, D(Y)=\sigma_{2}^{2} $. 而 $$ \begin{align*}\mathrm{Cov}(X,Y)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu_{1})(y-\mu_{2})f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\&=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu_{1})(y-\mu_{2})\\&\quad\times\exp\left[\frac{-1}{2(1-\rho^{2})}\left(\frac{y-\mu_{2}}{\sigma_{2}}-\rho\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)^{2}-\frac{(x-\mu_{1})^{2}}{2\sigma_{1}^{2}}\right]\mathrm{d}y\mathrm{d}x.\end{align*} $$ 令 $ t=\frac{1}{\sqrt{1-\rho^{2}}}\left(\frac{y-\mu_{2}}{\sigma_{2}}-\rho\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right) $， $ u=\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}} $，则有 $$ \begin{align*}\mathrm{Cov}(X,Y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}tu+\rho\sigma_{1}\sigma_{2}u^{2})\mathrm{e}^{-(u^{2}+t^{2})/2}\mathrm{d}t\mathrm{d}u\\&=\frac{\rho\sigma_{1}\sigma_{2}}{2\pi}\Big(\int_{-\infty}^{\infty}u^{2}\mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}}\mathrm{d}u\Big)\Big(\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}}\mathrm{d}t\Big)\\&\quad+\frac{\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}{2\pi}\Big(\int_{-\infty}^{\infty}u\mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}}\mathrm{d}u\Big)\Big(\int_{-\infty}^{\infty}t\mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}}\mathrm{d}t\Big)\end{align*} $$ $$ =\frac{\rho\sigma_{1}\sigma_{2}}{2\pi}\sqrt{2\pi}\cdot\sqrt{2\pi}, $$ 即有 $$ \mathrm{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_{1}\sigma_{2}. $$ $$ \rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=\rho. $$ 于是 这就是说，二维正态随机变量 $ (X,Y) $的概率密度中的参数 $ \rho $就是X和Y的相关系数，因而二维正态随机变量的分布完全可由X，Y各自的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定. 在第三章§4中已经讲过，若 $ (X,Y) $服从二维正态分布，那么X和Y相互独立的充要条件为 $ \rho=0 $。现在知道 $ \rho=\rho_{XY} $，故知对于二维正态随机变量 $ (X,Y) $来说，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的。 本节先介绍随机变量的另外几个数字特征. 设 $ (X,Y) $是二维随机变量. 定义 设 X 和 Y 是随机变量，若 $$ E(X^{k}),\quad k=1,2,\cdots $$ 存在，称它为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩. 若 $$ E\{[X-E(X)]^{k}\},k=2,3,\cdots $$ 存在，称它为 X 的 k 阶中心矩. 若 $$ E(X^{k}Y^{l}),\quad k,l=1,2,\cdots $$ 存在，称它为 X 和 Y 的 $ k+l $ 阶混合矩. 若 $$ E\{[X-E(X)]^{k}[Y-E(Y)]^{l}\},\quad k,l=1,2,\cdots $$ 存在，称它为 X 和 Y 的 $ k+l $ 阶混合中心矩. 显然，X 的数学期望 $ E(X) $ 是 X 的一阶原点矩，方差 $ D(X) $ 是 X 的二阶中心矩，协方差 $ \mathrm{Cov}(X,Y) $ 是 X 和 Y 的二阶混合中心矩. 下面介绍 n 维随机变量的协方差矩阵. 先从二维随机变量讲起. 二维随机变量 $ (X_{1},X_{2}) $有四个二阶中心矩（设它们都存在），分别记为 $$ \begin{aligned}&c_{11}=E\{[\left[X_{1}-E(X_{1})\right]^{2}]\},\\&c_{12}=E\{[\left[X_{1}-E(X_{1})\right][X_{2}-E(X_{2})]\},\\&c_{21}=E\{[\left[X_{2}-E(X_{2})\right][X_{1}-E(X_{1})]\},\\&c_{22}=E\{[\left[X_{2}-E(X_{2})\right]^{2}].\\ \end{aligned} $$ 将它们排成矩阵的形式 $$ \begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\*&&\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}. $$ 这个矩阵称为随机变量 $ (X_{1}, X_{2}) $的协方差矩阵. 设 n 维随机变量 $ (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) $ 的二阶混合中心矩 $$ c_{ij}=\mathrm{Cov}(X_{i},X_{j})=E\{[X_{i}-E(X_{i})][X_{j}-E(X_{j})]\},i,j=1,2,\cdots,n $$ 都存在，则称矩阵 $$ \mathbf{C}=\left(\begin{matrix}{c_{11}}&{c_{12}}&{\cdots}&{c_{1n}}\\ {c_{21}}&{c_{22}}&{\cdots}&{c_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {c_{n1}}&{c_{n2}}&{\cdots}&{c_{m}}\\ \end{matrix}\right) $$ 为 n 维随机变量 $ (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) $ 的协方差矩阵. 由于 $ c_{ij} = c_{ji} $ ( $ i \neq j; i, j = 1, 2, \cdots, n $), 因而上述矩阵是一个对称矩阵. 一般，n维随机变量的分布是不知道的，或者是太复杂，以致在数学上不易处理，因此在实际应用中协方差矩阵就显得重要了. 本节的最后，介绍 n 维正态随机变量的概率密度。我们先将二维正态随机变量的概率密度改写成另一种形式，以便将它推广到 n 维随机变量的场合中去。二维正态随机变量 $ (X_{1}, X_{2}) $ 的概率密度为 $$ f(x_{1},x_{2})=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}\exp\{\frac{-1}{2(1-\rho^{2})}[\frac{(x_{1}-\mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}}....+2\rho\frac{(x_{1}-\mu_{1})(x_{2}-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}}+\frac{(x_{2}-\mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}}]\}. $$ 现在将上式中花括号内的式子写成矩阵形式，为此引入下面的列矩阵 $$ \mathbf{X}=\binom{x_{1}}{x_{2}},\quad\boldsymbol{\mu}=\binom{\mu_{1}}{\mu_{2}}. $$ $ (X_{1},X_{2}) $ 的协方差矩阵为 $$ C=\left(\begin{array}{c c}{c_{11}}&{c_{12}}\\ {c_{21}}&{c_{22}}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c}{\sigma_{1}^{2}}&{\rho\sigma_{1}\sigma_{2}}\\ {\rho\sigma_{1}\sigma_{2}}&{\sigma_{2}^{2}}\\ \end{array}\right), $$ 它的行列式 $ \det C = \sigma_{1}^{2} \sigma_{2}^{2} (1 - \rho^{2}) $，C 的逆矩阵为 $$ C^{-1}=\frac{1}{\det\mathbf{C}}\left(\begin{array}{cc}\sigma_{2}^{2}&-\rho\sigma_{1}\sigma_{2}\\ -\rho\sigma_{1}\sigma_{2}&\sigma_{1}^{2}\end{array}\right). $$ 经过计算可知（这里矩阵 $ (\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^{\mathrm{T}} $ 是 $ (\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu}) $ 的转置矩阵） $$ \begin{align*}&(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^{\mathrm{T}}\boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})\\&=\frac{1}{\det\boldsymbol{C}}(x_{1}-\mu_{1}\quad x_{2}-\mu_{2})\begin{pmatrix}\sigma_{2}^{2}&-\rho\sigma_{1}\sigma_{2}\\-\rho\sigma_{1}\sigma_{2}&\sigma_{1}^{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}-\mu_{1}\\x_{2}-\mu_{2}\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{1-\rho^{2}}\Big[\frac{(x_{1}-\mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}}-2\rho\frac{(x_{1}-\mu_{1})(x_{2}-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}}+\frac{(x_{2}-\mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\Big].\end{align*} $$ 于是 $ (X_{1},X_{2}) $的概率密度可写成 $$ f(x_{1},x_{2})=\frac{1}{(2\pi)^{2/2}(\det\mathbf{C})^{1/2}}\exp\{-\frac{1}{2}(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^{\mathrm{T}}\mathbf{C}^{-1}(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})\}. $$ 上式容易推广到 n 维正态随机变量 $ (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) $ 的情况. 引入列矩阵 $$ \mathbf{X}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix} 和 \quad\boldsymbol{\mu}=\begin{pmatrix}\mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \vdots\\ \mu_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E(X_{1})\\ E(X_{2})\\ \vdots\\ E(X_{n})\end{pmatrix}. $$ n 维正态随机变量 $ (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) $ 的概率密度定义为 $$ \begin{array}{l}f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\\=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}(\det\mathbf{C})^{1/2}}\exp\{-\frac{1}{2}(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^{\mathrm{T}}\mathbf{C}^{-1}(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})\},\end{array} $$ 其中 C 是 $ (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) $ 的协方差矩阵. n 维正态随机变量具有以下四条重要性质(证略): $ 1^{\circ} $ n 维正态随机变量 $ (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) $ 的每一个分量 $ X_{i}, i=1,2,\cdots,n $ 都是正态随机变量；反之，若 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $ 都是正态随机变量，且相互独立，则 $ (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) $ 是 n 维正态随机变量. $ 2^{n} $ 维随机变量 $ (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) $ 服从 n 维正态分布的充要条件是 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $ 的任意的线性组合 $$ l_{1}X_{1}+l_{2}X_{2}+\cdots+l_{n}X_{n} $$ 服从一维正态分布（其中 $ l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n} $ 不全为零）. $ 3^{\circ} $ 若 $ (X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}) $ 服从 n 维正态分布，设 $ Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{k} $ 是 $ X_{j} $ (j=1,2,\cdots,n) 的线性函数，则 $ (Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{k}) $ 也服从多维正态分布. 这一性质称为正态变量的线性变换不变性. $ 4^{\circ} $ 设 $ (X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}) $服从n维正态分布，则“ $ X_{1},X_{2},\cdots,X_{n} $ 相互独立”与“ $ X_{1},X_{2},\cdots,X_{n} $ 两两不相关”是等价的. n 维正态分布在随机过程和数理统计中常会遇到. 随机变量的数字特征是由随机变量的分布确定的，能描述随机变量某一个方面的特征的常数．最重要的数字特征是数学期望和方差．数学期望 $ E(X) $ 描述随机变量 X 取值的平均大小，方差 $ D(X)=E\{[X-E(X)]^{2}\} $ 描述随机变量 X 与它自己的数学期望 $ E(X) $ 的偏离程度．数学期望和方差在应用和理论上都非常重要． 要掌握随机变量的函数 $ Y=g(X) $ 的数学期望 $ E(Y)=E[g(X)] $ 的计算公式(1.3)和 (1,4). 这两个公式的意义在于当我们求 E(Y) 时，不必先求出 $ Y=g(X) $ 的分布律或概率密度，而只需利用 X 的分布律或概率密度就可以了，这样做的好处是明显的. 要掌握数学期望和方差的性质．提请读者注意的是： （1）当 $ X_{1},X_{2} $独立或 $ X_{1},X_{2} $不相关时，才有 $ E(X_{1}X_{2})=E(X_{1})E(X_{2}) $; （2）设 C 为常数，则有 $ D(CX)=C^{2}D(X) $，右边的系数是 $ C^{2} $，不是 C； (3) $ D(X_{1}+X_{2})=D(X_{1})+D(X_{2})+2\mathrm{Cov}(X_{1},X_{2}) $，当 $ X_{1},X_{2} $独立或 $ X_{1},X_{2} $不相关时才有 $$ D(X_{1}+X_{2})=D(X_{1})+D(X_{2}). $$ 例如，若 $ X_{1}, X_{2} $ 独立，则有 $ D(2X_{1}-3X_{2})=4D(X_{1})+9D(X_{2}) $ 相关系数 $ \rho_{XY} $ 有时也称为线性相关系数，它是一个可以用来描述随机变量 $ (X,Y) $ 的两个分量 X,Y 之间的线性关系紧密程度的数字特征。当 $ |\rho_{XY}| $ 较小时 X,Y 的线性相关的程度较差；当 $ \rho_{XY}=0 $ 时称 X,Y 不相关。不相关是指 X,Y 之间不存在线性关系，X,Y 不相关，它们还可能存在除线性关系之外的关系（参见 §3 例1）。又由于 X,Y 相互独立是指 X,Y 的一般关系而言的，因此有以下的结论：X,Y 相互独立则 X,Y 一定不相关；反之，若 X,Y 不相关则 X,Y 不一定相互独立。 特别，对于二维正态随机变量 $ (X,Y) $，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的。而二元正态随机变量的相关系数 $ \rho_{XY} $就是参数 $ \rho $。于是，用“ $ \rho=0 $”是否成立来检验X，Y是否相互独立是很方便的。 切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知，只知道 $ E(X) $和 $ D(X) $的情况下，对事件 $ \{|X-E(X)|\leq\varepsilon\} $概率的下限的估计. 数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 方差 标准差 方差的性质 标准化的随机变量 协方差 相关系数 相关系数的性质 X,Y 不相关 切比雪夫不等式 几种重要分布的数学期望和方差 矩 协方差矩阵 1.（1）在下列句子中随机地取一个单词，以 X 表示取到的单词所包含的字母个数，写出 X 的分布律并求 E(X). $$ \text{“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT”}. $$ （2）在上述句子的 30 个字母中随机地取一个字母，以 Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出 Y 的分布律并求 E(Y). （3）一人掷骰子，如得6点则掷第2次，此时得分为 $ 6+ $第二次得到的点数；否则得分为他第一次掷得的点数，且不能再掷，求得分X的分布律及 $ E(X) $. 空的，第3个盒子至少有一只球)，试求 $ E(X) $. 4.（1）设随机变量 X 的分布律为 $ P\{X=(-1)^{j+1}\frac{3^{j}}{j}\}=\frac{2}{3^{j}}, j=1,2,\cdots $，说明 X 的数学期望不存在. （2）一盒中装有一只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次从盒中随机摸一只球，若摸到白球，则游戏结束，摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸一只球。试说明要游戏结束的摸球次数 X 的数学期望不存在。 $$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{1\ 500^{2}}x,&0\leqslant x\leqslant1\ 500,\\&\frac{-1}{1\ 500^{2}}(x-3\ 000),&1\ 500 求 $ E(X) $. 6.（1）设随机变量X的分布律为 求 $ E(X) $, $ E(X^{2}) $, $ E(3X^{2}+5) $. （2）设 $ X\sim\pi(\lambda) $，求 $ E\left[1/(X+1)\right] $ 7.（1）设随机变量X的概率密度为 $$ f(x)=\{\begin{aligned}&\mathrm{e}^{-x},&x>0,\\ &0,&x\leqslant0.\end{aligned}. $$ 求(i) $ Y=2X $; (ii) $ Y=e^{-2X} $的数学期望. （2）设随机变量 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $ 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布（i）求 $ U = \max\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\} $ 的数学期望，（ii）求 $ V = \min\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\} $ 的数学期望. (1) 求 $ E(X) $, $ E(Y) $. （2）设 $ Z=Y/X $，求 $ E(Z) $. （3）设 $ Z=(X-Y)^{2} $，求 $ E(Z) $ 9.（1）设随机变量（X，Y）的概率密度为 $$ f(x,y)=\{\begin{aligned}&12y^{2},&0\leqslant y\leqslant x\leqslant1,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$ 求 $ E(X) $, $ E(Y) $, $ E(XY) $, $ E(X^{2}+Y^{2}) $. （2）设随机变量 X,Y 的联合密度为 $$ f(x,y)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{y}e^{-(y+x/y)},&x>0,y>0,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$ 求 $ E(X) $, $ E(Y) $, $ E(XY) $. 10.（1）设随机变量 $ X\sim N(0,1) $， $ Y\sim N(0,1) $且X，Y相互独立。求 $ E\left[X^{2}/\left(X^{2}+Y^{2}\right)\right] $ （2）一飞机进行空投物资作业，设目标点为原点 $ O(0,0) $，物资着陆点为 $ (X,Y) $，X，Y相互独立，且设 $ X\sim N(0,\sigma^{2}) $， $ Y\sim N(0,\sigma^{2}) $，求原点到点 $ (X,Y) $间距离的数学期望. $$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-x/4},&x>0,\\ &0,&x\leqslant0.\end{aligned}. $$ 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 $$ f_{1}(x)=\{\begin{array}{ll}2\mathrm{e}^{-2x},&x>0,\\0,&x\leqslant0,\end{array}.\quad f_{2}(x)=\{\begin{array}{ll}4\mathrm{e}^{-4x},&x>0,\\0,&x\leqslant0.\end{array}. $$ (1) 求 $ E(X_{1}+X_{2}) $, $ E(2X_{1}-3X_{2}^{2}) $. （2）又设 $ X_{1},X_{2} $相互独立，求 $ E(X_{1}X_{2}) $ （1）写出 X 的分布律. （2）不写出 X 的分布律. $$ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{x}{\sigma^{2}}\mathrm{e}^{-x^{2}\big/(2\sigma^{2})},&x>0,\\ &0,&x\leqslant0,\end{aligned}. $$ 其中 $ \sigma>0 $是常数.求 $ E(X) $， $ D(X) $. $$ f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-x/\beta},&x>0,\\0,&x\leqslant0,\end{array}. $$ 其中 $ \alpha>0,\beta>0 $ 是常数. 求 $ E(X),D(X) $. $$ P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},\quad k=1,2,\cdots, $$ 其中 0 < p < 1 是常数. 求 $ E(X) $, $ D(X) $. （2）设随机变量 X, Y 相互独立，且 $ X \sim N(720, 30^{2}) $， $ Y \sim N(640, 25^{2}) $，求 $ Z_{1} = 2X + Y $， $ Z_{2} = X - Y $ 的分布，并求概率 $ P\{X > Y\} $， $ P\{X + Y > 1400\} $. （1）求五家商店两周的总销售量的均值和方差. （2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？ (1) 求 $ E(XY) $, $ E(X/Y) $, $ E[\ln(XY)] $, $ E[|Y-X|] $. （2）以 X,Y 为边长作一长方形，以 A,C 分别表示长方形的面积和周长，求 A 和 C 的相关系数. （2）设 X, Y 是随机变量，且有 $ E(X)=3, E(Y)=1, D(X)=4, D(Y)=9 $，令 Z=5X-Y+15，分别在下列 3 种情况下求 E(Z) 和 D(Z). (i) X, Y 相互独立，(ii) X, Y 不相关，(iii) X 与 Y 的相关系数为 0.25. (1) $ X \sim U(0,1), Y = X^{2} $ (2) $ X \sim U(-1,1), Y = X^{2} $ (3) $ X = \cos V, Y = \sin V, V \sim U(0, 2\pi). $ 若 $ (X,Y) $的概率密度为 $ f(x,y) $ $$ (4)f(x,y)=\{\begin{aligned}&x+y,&0<&x<1,0<&y<1,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$ (5) $ f(x,y)=\{\begin{aligned}&2y,&0 $$ f(x,y)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{\pi},&x^{2}+y^{2}\leqslant&1,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$ 试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. $$ \boldsymbol{X}=\{\begin{aligned}&1,&& 若 A 发生 ,\\ &0,&& 若 A 不发生 ,\end{aligned}.\quad\boldsymbol{Y}=\{\begin{aligned}&1,&& 若 B 发生 ,\\ &0,&& 若 B 不发生 .\end{aligned}. $$ 证明若 $ \rho_{XY}=0 $，则 X 和 Y 必定相互独立. $$ f(x,y)=\{\begin{aligned}&1,&|y| 求 $ E(X),E(Y),\mathrm{Cov}(X,Y) $ $$ f(x,y)=\{\begin{aligned}&\frac{1}{8}(x+y),&0\leqslant x\leqslant2,0\leqslant y\leqslant2,\\ &0,& 其他 .\end{aligned}. $$ $$ E(X),E(Y),\operatorname{Cov}(X,Y),\rho_{XY},D(X+Y). $$ （2）设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且有 $ D(X)=\sigma_{X}^{2},D(Y)=\sigma_{Y}^{2} $. 证明当 $ a^{2}=\sigma_{X}^{2}/\sigma_{Y}^{2} $时，随机变量W=X-aY与 $ V=X+aY $相互独立. $$ [E(V W)]^{2}\leqslant E(V^{2})E(W^{2}). $$ 这一不等式称为柯西—施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式. 提示: 考虑实变量 t 的函数 $$ q(t)=E\left[(V+tW)^2\right]=E(V^2)+2tE(VW)+t^2E(W^2). $$ 对于任意随机变量 X，满足以下两式 $$ P\{X\leqslant x\}\geqslant\frac{1}{2},\quad P\{X\geqslant x\}\leqslant\frac{1}{2} $$ 的 x 称为 X 的中位数，记为 $ x_{\frac{1}{2}} $ 或 M. 它是反映集中位置的一个数字特征，中位数总是存在的. 画出 X 的分布函数 F(x) 的图. 如果 F(x) 连续，那么 $ x_{\frac{1}{2}} $ 是方程 $ F(x)=\frac{1}{2} $ 的解（如题 38 图(1)），如果 F(x) 有跳跃点（见题 38 图(2)），用垂直于横轴的线段联结后，得一连续曲线，它与直线 y=1/2 的交点的横坐标即为 $ x_{\frac{1}{2}} $. （1）设 X 的概率密度为 $$ f(x)=\{\begin{aligned}&2e^{-2x},&\quad x\geqslant0,\\ &0,&\quad 其他 .\end{aligned}. $$ 试求 X 的中位数 M. （2）设 X 服从柯西分布，其概率密度为 $$ f(x)=\frac{b}{\pi[(x-a)^{2}+b^{2}]},b>0. $$ 试求 X 的中位数 M.X $ \frac{1}{k} $ $ \frac{k+1}{k} $ p_k q^k 1-q^k G(x) 10-x 0 概率 $ \left(\frac{x-7}{4}\right)^{3} $ 1- $ \left(\frac{x-7}{4}\right)^{3} $ §2 方 差
§3 协方差及相关系数
X Y -2 -1 1 2 P\{Y=i\} 1 0 1/4 1/4 0 1/2 4 1/4 0 0 1/4 1/2 P\{X=i\} 1/4 1/4 1/4 1/4 1 §4 矩、协方差矩阵
小结
重要术语及主题
习题
X -2 0 2 $ p_{k} $ 0.4 0.3 0.3
Y\X 1 2 3 -1 0.2 0.1 0.0 0 0.1 0.0 0.3 1 0.1 0.1 0.1
X\nY -1 0 1' -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
