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2027考研数学复习全书·基础篇·线性代数基础·严选题（李永乐）教材阅读
本册目录

第二章 矩阵

原书第 12 页

第二章 矩阵

例题优选

例1 若 $ \begin{bmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\end{bmatrix}-\mathbf{X}+\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 0\end{bmatrix}[2,0,-1]=3\begin{bmatrix}1&0&0\\ 2&2&0\\ 3&3&3\end{bmatrix} $，则 $ \mathbf{X}= $ ___. 学习册答案 →

学前预习

例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

原书第 13 页

例2 设 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $, $ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则 学习册答案 →

(1)AB - BA = ___.

(2) $ (AB)^{2} = \underline{\qquad} $.

(3) $ A^{2}B^{2}= $ ___.

学前预习 例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

例5 设 $ A = E - \xi\xi^{T} $，其中 $ \xi $ 是 n 维非零列向量。证明： $ A^{2} = A \Leftrightarrow \xi^{T}\xi = 1 $。 学习册答案 →

学前预习 例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

原书第 14 页

例6 若 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} $，则 $ A^{-1} = $ ___. 学习册答案 →

题

再做一遍，你真掌握了吗

例7 设 $ A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} $，其中 $ a_i \neq 0, i = 1, 2, \cdots, n $，则 $ A^* = $ ___. 学习册答案 →

带着问题去学

原书第 15 页

例8 设 $ \alpha = \left(\frac{1}{2}, 0, \cdots, 0, \frac{1}{2}\right)^{\mathrm{T}} $ 是 n 维列向量，矩阵 $ A = E - \alpha\alpha^{T} $， $ B = E + a\alpha\alpha^{T} $，若 B 是 A 的逆矩阵，则 a = ___. 学习册答案 →

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

例 9 A 是 n 阶矩阵，满足 $ A^{2}-3A-2E=O $，则 $ (A+E)^{-1}= $ ___. 学习册答案 →

学前预习 例题优选答案见学习册

带着问通去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

原书第 16 页

例10 设 A, B 都是三阶矩阵，且 学习册答案 →

$$ \begin{array}{r}{\mathbf{A}\mathbf{B}=2\mathbf{A}+\mathbf{B},}\end{array} $$

若 $ B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} $，则 $ (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1} = $ ___.

学前预习 例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

例12 设 $ f(x)=x^{100}+x^{99}+\cdots+x+1 $, $ A=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix} $, 求 $ f(A) $ 和 $ [f(A)]^{-1} $. 学习册答案 →

学前预习 例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

原书第 17 页

例15 已知A是三阶矩阵，将矩阵A的第1，3两行互换得到B，再将B的第2列的-1倍加到第3列，得到 $ C=\begin{bmatrix}7&8&1\\ 4&5&1\\ 1&2&1\end{bmatrix} $，则A= ___. 学习册答案 →

学前预习例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

例16 已知矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix} $ 和矩阵 $ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 6 & -3 \end{bmatrix} $ 等价，则 a = ___. 学习册答案 →

学前预习

例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

原书第 18 页

例18 已知 X = ABA，其中 学习册答案 →

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}{1}&{0}&{0}&{1}\\ {0}&{1}&{1}&{0}\\ {0}&{1}&{-1}&{0}\\ {1}&{0}&{0}&{-1}\end{matrix}\right],\boldsymbol{B}=\left[\begin{matrix}{0}&{0}&{0}&{1}\\ {0}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {1}&{0}&{0}&{0}\end{matrix}\right],}\end{array} $$

则 $ X = $ ___.

学前预习 例题优选答案见学习册

$$ 带着问题去学 $$

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

例 19 已知 A, B 是 n 阶矩阵. 学习册答案 →

(1) $ \begin{bmatrix}E&E\\O&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E&-E\\O&E\end{bmatrix}= $ ___.

(2) $ \begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = $ ___.

学前预习 例题优选答案见学习册

带着问题去学

___

学后优练

再做追你真掌

原书第 19 页

例20 设 A, B 均为 n 阶矩阵，| A | = 2，| B | = -3，则 | 2A·B^{-1} | = ___. 学习册答案 →

学前预习 例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

自测练习题

Image
  1. 若 $ \alpha = [1, 3, 2]^{\mathrm{T}} $, $ \beta = [1, 2, -1]^{\mathrm{T}} $, 则
    2. 答案 →

(1) $ \begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}[1,2,-1]= $ ___.

(2) $ \begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}[1,3,2]= $ ___.

(3) $ [1,2,-1]\begin{bmatrix}1\\ 3\\ 2\end{bmatrix}= $ ___.

$$ {\bf(4)}\left[1,3,2\right]\begin{bmatrix}1\\ 2\\ -1\end{bmatrix}=\underline{\quad\quad\quad.} $$

(5) $ \begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}[1,3,2]= $ ___.

(6)[1,2,-1] $ \begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}= $___。

原书第 20 页
  1. (1) $ [x_1, x_2]\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 5 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}= $ ___ . (2) $ [x_1, x_2, x_3]\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}= $ ___ .
    2. 答案 →
  1. 已知 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，若 $ f(x) = 2x^{2} - 5x + 3 $，则 $ f(A) = $ ___.
    2. 答案 →

4.（1991，数一）A，B，C均为n阶矩阵，且ABC=E，则必有 答案 →

(A)ACB=E. (B)CBA=E. (C)BAC=E. (D)BCA=E.

  1. 已知 $ \begin{bmatrix}1 & -5 \\ -1 & 4\end{bmatrix} $ $ \mathbf{X}=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{bmatrix} $，则 $ \mathbf{X}= $ ___.
    2. 答案 →

6.(1995,数一)已知 $ A^{-1}BA=6A+BA $，若 $ A=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&0&0\\0&\frac{1}{4}&0\\0&0&\frac{1}{7}\end{bmatrix} $，则 $ B= $ ___. 答案 →

原书第 21 页
  1. 已知 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} $，则 $ A^{-1} = $ ___.
    2. 答案 →
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$$ \begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}} \\{{{7}}}&{{{8}}}&{{{9}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}=\underline{\quad}.\quad $$ 答案 →

$$ \begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{1}}}&{{{4}}}&{{{2}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}=\underline{\quad}.\quad $$ 答案 →

10、设 A 是三阶矩阵，把 A 的第2、第3两列互换得到 B，把 B 的第3行的一1倍加到第1行得到 C，若 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $，则 C = ___. 答案 →

  1. 将 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & -6 \\ -1 & 3 & -4 & 9 \end{bmatrix} $ 化为行最简矩阵.
    2. 答案 →
原书第 22 页
  1. 设 $ A, B $ 均为四阶矩阵， $ |A| = 3 $， $ |B| = 2 $，则 $ \left| -A^{\mathrm{T}}B^{*} \right| = $ ___。
    2. 答案 →
  1. 设 $ A $ 是三阶矩阵且 $ |A| = 5 $，则 $ \left|A^* - \left(\frac{1}{2}A\right)^{-1}\right| = $ ___.
    2. 答案 →
  1. 已知 $ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -5 & 2 \end{bmatrix} $，化其为行最简矩阵 F，并求一个可逆矩阵 P，使 PA = F.
    2. 答案 →
  1. 已知 $ \boldsymbol{\alpha} = (1,2,3) $, $ \boldsymbol{\beta} = \left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) $，设 $ A = \alpha^{T}\beta $，其中 $ \alpha^{T} $ 是 $ \alpha $ 的转置，则 $ A^{n} = $ ___.
    2. 答案 →
  1. 设 $ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $, $ B = \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + a_{11} & a_{32} + a_{12} & a_{33} + a_{13} \end{bmatrix} $, $ P_{1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $, $ P_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $, 则必有
    2. 答案 →

(A) $ AP_{1}P_{2}=B. $ (B) $ AP_{2}P_{1}=B. $ (C) $ P_{1}P_{2}A=B. $ (D) $ P_{2}P_{1}A=B. $

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原书第 23 页
  1. 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ = C 的可逆矩阵 Q 为
    2. 答案 →

(A) $ \begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\1&0&1\end{bmatrix} $. (B) $ \begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{bmatrix} $. (C) $ \begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{bmatrix} $. (D) $ \begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix} $.

  1. 设 A 为 $ n (n \geqslant 2) $ 阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, $ A^{*} $, $ B^{*} $ 分别为 A, B 的伴随矩阵，则
    2. 答案 →

（A）交换 $ A^{\cdot} $ 的第1列与第2列得 $ B^{*} $ （B）交换 $ A^{\cdot} $ 的第1行与第2行得 $ B^{\cdot} $

(C) 交换 $ A^{*} $ 的第1列与第2列得 $ -B^{*} $，(D) 交换 $ A^{*} $ 的第1行与第2行得 $ -B^{*} $

  1. 设 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} $，B 为三阶非零矩阵，且 AB = O，则 $ \iota = \underline{\quad} $.
    2. 答案 →
  1. 设 $ \alpha $ 为三维列向量, $ \alpha^{T} $ 是 $ \alpha $ 的转置, 若 $ \alpha\alpha^{T} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} $, 则 $ \alpha^{T}\alpha = \underline{\quad} $.
    2. 答案 →
  1. 设 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $，而 $ n \geqslant 2 $ 为正整数，则 $ A^n - 2A^{n-1} = $ ___.
    2. 答案 →
原书第 24 页
  1. 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有
    2. 答案 →

(A) 当 $ \left|A\right|=a(a\neq0) $ 时， $ \left|B\right|=a $

(B) 当 $ \left|A\right|=a(a\neq0) $ 时， $ \left|B\right|=-a $

(C) 当 $ \left|A\right|\neq0 $ 时， $ \left|B\right|=0 $

(D) 当 $ \left|A\right|=0 $ 时， $ \left|B\right|=0 $

  1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $, $ E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $，则逆矩阵 $ (\boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E})^{-1} = $ ___.
    2. 答案 →
  1. 设矩阵 A 满足 $ A^{2} + A - 4E = O $，其中 E 为单位矩阵，则 $ (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1} = $ ___.
    2. 答案 →
  1. 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵. 若 $ A^{3} = O $，则
    2. 答案 →

(A) $ E-A $ 不可逆, $ E+A $ 不可逆.

(B) $ E-A $ 不可逆, $ E+A $ 可逆.

(C)E-A 可逆, $ E+A $ 可逆.

(D)E-A 可逆, $ E+A $ 不可逆.

  1. 设 A 是 $ n (n \geqslant 3) $ 阶方阵， $ A^{*} $ 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 $ k \neq 0, \pm 1 $ ，则必有 $ (kA)^{*} $ =
    2. 答案 →

(A) $ kA^{*} $

(B) $ k^{n-1}A^{*} $

(C) $ k^{n}A^{*} $

(D) $ k^{-1}A^{*} $

原书第 25 页
  1. $ \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{-1} $ = ___.
    2. 答案 →
  1. 设 $ A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} $，其中 $ a_i \neq 0, i = 1, 2, \cdots, n $，则 $ A^{-1} = $ ___.
    2. 答案 →
  1. 设 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} $， $ A^* $ 是 A 的伴随矩阵，则 $ (A^*)^{-1} = $ ___.
    2. 答案 →
  1. 设 $ A = \begin{bmatrix} a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \cdots & a_{1}b_{n} \\ a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots & a_{2}b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & \cdots & a_{n}b_{n} \end{bmatrix} $，其中 $ a_{i} \neq 0, b_{i} \neq 0 (i = 1, 2, \cdots, n) $，则矩阵 A 的秩 $ r(A) = \underline{\quad} $.
    2. 答案 →
原书第 26 页
  1. 设 A 是 $ 4 \times 3 $ 矩阵，且 A 的秩 $ r(A) = 2 $，而 $ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix} $，则 $ r(AB) = $ ___.
    2. 答案 →
  1. 设四阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 $ A^{*} $ 的秩为 ___.
    2. 答案 →
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  1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k \end{bmatrix} $，且 $ r(A) = 3 $，则 k = ___.
    2. 答案 →
  1. 设矩阵 A 和 B 满足关系式 $ AB = A + 2B $，其中 $ A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} $，求矩阵 B.
    2. 答案 →
  1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} $，矩阵 X 满足 $ A^{*}X = A^{-1} + 2X $，其中 $ A^{*} $ 是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X.
    2. 答案 →
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