第六章 二次型
第六章 二次型
例题优选
例 1 求二次型的秩. 学习册答案 →
(1) $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}. $
(2) $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-3x_{2}+2x_{3})^{2}. $
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再做一遍，你真掌握了吗
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-8x_{2}x_{3}-4x_{3}x_{1} $$
为标准形，写出所用坐标变换 x = C y，并验证 $ C^{T} A C = \Lambda $.
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例3 二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}+x_{2})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}+(x_{3}+x_{1})^{2} $ 的标准形是 学习册答案 →
(A) $ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} $. (B) $ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2} $.
(C) $ y_{1}^{2}+y_{2}^{2} $. (D) $ y_{1}^{2}-y_{2}^{2} $.
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例 7 用正交变换化二次型 学习册答案 →
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-8x_{1}x_{3}-4x_{2}x_{3} $$
为标准形，并写出所用坐标变换.
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例 9 已知二次型 学习册答案 →
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=5x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+cx_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}-6x_{2}x_{3} $$
的秩为2.
(1) 求 c 的值.
（2）求该二次型的正惯性指数、负惯性指数.
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例11 与矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $ 合同的矩阵是 学习册答案 →
(A) $ \begin{bmatrix}1&&\\ &1&\\ &&0\end{bmatrix} $. (B) $ \begin{bmatrix}1&&\\ &1&\\ &&-1\end{bmatrix} $. (C) $ \begin{bmatrix}1&&\\ &-1&\\ &&-1\end{bmatrix} $. (D) $ \begin{bmatrix}1&&\\ &-1&\\ &&0\end{bmatrix} $.
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例 13 下列矩阵中，正定矩阵是 学习册答案 →
(A)
$$ \begin{bmatrix}1&2&0\\ 2&3&0\\ 0&0&5\end{bmatrix}. $$
(B)
(C)
$$ \begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{5}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-3}}}\end{bmatrix}. $$
$$ \begin{bmatrix}{{{3}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{4}}}\end{bmatrix}. $$
(D)
$$ \begin{bmatrix}{{{3}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{5}}}\end{bmatrix}. $$
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再做一写 这又觉报了吗
例 15 已知二次型 学习册答案 →
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+2tx_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} $$
正定，求 t 的取值范围.
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自测练习题
- 二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ax_{3}^{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} $ 的秩为 2，则 a= ___. 答案 →
- 二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{2}^{2}+2x_{1}x_{3} $ 的规范形是 ___. 答案 →
- 矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $ 的合同标准形是 ___. 答案 →
- 已知二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 4x_{1}x_{3} - 2x_{2}x_{3} $，用正交变换法化其为标准形，并写出所用正交变换. 答案 →
- 判断二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{2} - x_{3})^{2} + (x_{3} - x_{1})^{2} $ 的正定性. 答案 →
- 用配方法化二次型 答案 →
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} $$
为标准形，并写出所用可逆变换。
- 求一个正交变换化二次型 答案 →
$$ f=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3} $$
为标准形。
- 已知二次型 答案 →
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2ax_{2}x_{3}(a\gt 0) $$
通过正交变换化成标准形 $ f = y_{1}^{2} + 2y_{2}^{2} + 5y_{3}^{2} $，求参数 a 及所用的正交变换矩阵。
- 已知二次型 答案 →
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=5x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+cx_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}-6x_{2}x_{3} $$
的秩为2. 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.
- 已知实二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) + 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3} + 4x_{2}x_{3} $ 经正交变换 x = Py 可化成标准形 $ f = 6y_{1}^{2} $，则 a = ___. 答案 →
- 已知二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (1 - a)x_{1}^{2} + (1 - a)x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} + 2(1 + a)x_{1}x_{2} $ 的秩为 2. 答案 →
(1) 求 a 的值;
(2) 求正交变换 x = Qy，把 $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) $ 化成标准形；
（3）求方程 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=0 $ 的解.
- 已知二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 4x_{2}^{2} - 3x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} - 4x_{1}x_{3} + 8x_{2}x_{3} $ 答案 →
(1) 写出二次型 f 的矩阵表达式.
（2）用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵.
13. 设二次型 答案 →
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=a x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-2x_{3}^{2}+2b x_{1}x_{3}(b\gt 0), $$
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.
(1) 求 a, b 的值.
(2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
- 二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}+x_{2})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}+(x_{3}+x_{1})^{2} $ 的秩为 ___. 答案 →
- 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $，矩阵 $ \boldsymbol{B} = (k\boldsymbol{E} + \boldsymbol{A})^{2} $，其中 k 为实数，E 为单位矩阵。求对角矩阵 A，使 B 与 A 相似，并求 k 为何值时，B 为正定矩阵。 答案 →
- 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix} $, $ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $，则 A 与 B 答案 →
(A) 合同且相似.
(B) 合同，但不相似.
(C) 不合同，但相似.
(D) 既不合同，也不相似.
- 设 A, B 为同阶可逆矩阵，则 答案 →
(A) AB = BA.
(B) 存在可逆矩阵 P，使 $ P^{-1}AP = B $.
(C) 存在可逆矩阵 C，使 $ C^{T}AC = B $.
(D) 存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ = B.
- 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} $. 答案 →
（1）已知 A 的一个特征值为 3，试求 y.
(2) 求可逆矩阵 P，使 $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}) $ 为对角矩阵.