第二章 矩阵

第二章 矩阵

本章考点

矩阵的概念 单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算

本章知识框图

学习笔记

知识梳理与例题

一、 矩阵的概念及运算

1. 矩阵的概念

定义 $ m \times n $ 个数排成如下 m 行 n 列的一个表格

$$ \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{nm}\end{bmatrix}, $$

称为一个 $ m \times n $ 矩阵，当 m = n 时，矩阵 A 称为 n 阶矩阵或叫 n 阶方阵.

如果一个矩阵的所有元素都是0，即

$$ \begin{bmatrix}0&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0\end{bmatrix}, $$

则称这个矩阵是零矩阵，可简记为 O.

两个矩阵 $ A = [a_{ij}]_{m \times n} $， $ B = [b_{ij}]_{s \times t} $，如果 m = s, n = t，则称 A 与 B 是同型矩阵.

两个同型矩阵 $ A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n},B=\left[b_{ij}\right]_{m\times n} $，如果对应的元素都相等，即

$$ a_{i j}=b_{i j}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n), $$

则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B.

n 阶方阵 $ A = [a_{ij}]_{n \times n} $ 的元素所构成的行列式

$$ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} $$

称为 n 阶矩阵 A 的行列式，记成 $ \left| A \right| $ 或 $ \det A $.

【注】矩阵A是一个表格，而行列式 $ \left|A\right| $是一个数，这里的概念与符号不要混淆。A=O与 $ \left|A\right|=0 $是不同的，不能搞错。当 $ A\neq0 $时可能有 $ \left|A\right|=0 $，当然也可能有 $ \left|A\right|\neq0 $。这些基本常识要想清楚。

2. 矩阵的运算

定义（加法） 两个同型矩阵（行数与列数分别相等）可以相加，且

$$ \mathbf{A}+\mathbf{B}=[a_{i j}]_{m\times n}+[b_{i j}]_{m\times n}=[a_{i j}+b_{i j}]_{m\times n}. $$

定义（数量乘法，简称数乘）设 k 是数， $ A = [a_{ij}]_{m \times n} $ 是矩阵，则定义数与矩阵的乘法为

$$ k\mathbf{A}=k[a_{i j}]_{m\times n}=[k a_{i j}]_{m\times n}. $$

例如， $ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & -4 & 5 \end{bmatrix} $， $ B = \begin{bmatrix} 8 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & -6 \end{bmatrix} $，则

$$ \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\left[\begin{matrix}1+8&3+3&-2+5\\ 0+1&-4+2&5+(-6)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}9&6&3\\ 1&-2&-1\end{matrix}\right], $$

$$ \mathbf{3}\mathbf{A}=\begin{bmatrix}3\times1&3\times3&3\times(-2)\\ 3\times0&3\times(-4)&3\times5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&9&-6\\ 0&-12&15\end{bmatrix}. $$

定义（乘法）设A是一个 $ m\times s $矩阵，B是一个 $ s\times n $矩阵（A的列数=B的行数），则A，B可乘，且乘积AB是一个 $ m\times n $矩阵。记成 $ C=AB=\left[c_{ij}\right]_{m\times n} $，其中C的第i行、第j列元素 $ c_{ij} $是A的第i行s个元素和B的第j列的s个对应元素两两乘积之和，即

$$ c_{i j}=\sum_{k=1}^{i}a_{i k}b_{k j}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{i k}b_{s j}. $$

矩阵的乘法可图示如下：

$$ i\left[\begin{array}{c c c c}{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}\\ {\boxed{a_{i1}\quad a_{i2}\quad\cdots\quad a_{i i}}}&{}&{}&{}\\ {\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}\\ {}&{}&{}&{}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c c c c}{\vdots}&{\boxed{b_{1j}}}&{}&{}\\ {\vdots}&{b_{2j}}&{\vdots}&{}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{}\\ {}&{\boxed{b_{i j}}}&{}&{}\\ {.}&{}&{}&{}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c}{\vdots}&{}&{}\\ {\cdots}&{\boxed{c_{i j}}}&{\cdots}\\ {}&{\vdots}&{}\\ {}&{}&{j}\\ \end{array}\right]i $$

$$ m\times s $$

$$ m\times n $$

特别地，设 A 是一个 n 阶方阵，则记 $ \overbrace{A \cdot A \cdots A}^{k} $ = $ A^{k} $ 称为 A 的 k 次幂.

例如， $ A=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}10&-4\\ -5&2\end{bmatrix} $，则

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}&=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}10&-4\\ -5&2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1\times10+2\times(-5)&1\times(-4)+2\times2\\ 3\times10+6\times(-5)&3\times(-4)+6\times2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&0\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

$$ \mathbf{B}\mathbf{A}=\begin{bmatrix}10&-4\\ -5&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\ 3&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&-4\\ 1&2\end{bmatrix}. $$

$$ \mathbf{A}^{2}=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\ 3&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&14\\ 21&42\end{bmatrix}=7\mathbf{A}. $$

矩阵的乘法是基本的也是重要的，注意不要和数字运算相混淆：

（1）矩阵的乘法一般没有交换律.

(2) 矩阵有零因子，即当 $ A \neq O, B \neq O $ 时，有可能 AB = O（或者说当 AB = O 时 $ \nRightarrow A = O $ 或 B = O).

（3）矩阵没有消去律，即当 AB = AC， $ A \neq 0 $ 时 $ \nrightarrow B = C $

定义（转置）将 $ m \times n $ 型矩阵 $ A = [a_{ij}]_{m \times n} $ 的行列互换得到的 $ n \times m $ 矩阵 $ [a_{ji}]_{n \times m} $ 称为 A 的转置矩阵，记为 $ A^{T} $，即若

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}, 则 \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

定义（矩阵多项式）设 A 是 n 阶矩阵， $ f(x) = a_{m}x^{m} + \cdots + a_{1}x + a_{0} $ 是 x 的多项式，则称

$$ a_{m}\boldsymbol{A}^{m}+a_{m-1}\boldsymbol{A}^{m-1}+\cdots+a_{1}\boldsymbol{A}+a_{0}\boldsymbol{E} $$

为矩阵多项式，记为 $ f(A) $.

运算法则

（1）加法. A, B, C 是同型矩阵，则

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}；\quad 交换律 \\&(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})；\quad 结合律 \\&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{O}=\boldsymbol{A}, 其中 \boldsymbol{O} 是元素全为零的同型矩阵；\\&\boldsymbol{A}+(-\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}.\end{aligned} $$

(2) 数乘矩阵. $ k(mA) = (km)A = m(kA); (k + m)A = kA + mA; $

$$ k(\mathbf{A}+\mathbf{B})=k\mathbf{A}+k\mathbf{B};\mathbf{1}\mathbf{A}=\mathbf{A},\mathbf{0}\mathbf{A}=\mathbf{O}. $$

（3）乘法.A,B,C满足运算条件时

$$ \begin{aligned}&(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C});\\&\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{C};\\&(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}.\end{aligned} $$

（4）转置： $ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}};\left(k\boldsymbol{A}\right)^{\mathrm{T}}=k\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}; $

$$ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}};(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}. $$

关于 $ \alpha\beta^{T},\beta\alpha^{T},\alpha^{T}\beta,\beta^{T}\alpha,\alpha\alpha^{T},\alpha^{T}\alpha $

如果有 $ \alpha = [a_{1}, a_{2}, a_{3}]^{\mathrm{T}}, \beta = [b_{1}, b_{2}, b_{3}]^{\mathrm{T}} $，则

$$ \alpha\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}\left[b_{1},b_{2},b_{3}\right]=\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\ a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\ a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{bmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}=\left[b_{1},b_{2},b_{3}\right]\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}, $$

$$ \beta\alpha^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}\left[a_{1},a_{2},a_{3}\right]=\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\\ a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\\ a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\end{bmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta}=\left[a_{1},a_{2},a_{3}\right]\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}, $$

$$ \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}\left[a_{1},a_{2},a_{3}\right]=\begin{bmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}a_{2}&a_{1}a_{3}\\ a_{2}a_{1}&a_{2}^{2}&a_{2}a_{3}\\ a_{3}a_{1}&a_{3}a_{2}&a_{3}^{2}\end{bmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}=\left[a_{1},a_{2},a_{3}\right]\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}, $$

【注】（1）如 $ A = \alpha\beta^{\mathrm{T}} $，则 $ A^{\mathrm{T}} = \beta\alpha^{\mathrm{T}} $ 且 $ r(A) = r(A^{\mathrm{T}}) = 1 $ 或 0.

(2) $ \alpha^{T}\beta=\beta^{T}\alpha=\operatorname{tr}(A). $

(3) $ \alpha\alpha^{T} $ 是对称矩阵, $ \alpha^{T}\alpha $ 是平方和.

3. 常见的矩阵

设 A 是 n 阶矩阵.

（1）单位阵. 主对角元素为1，其余元素为0的矩阵称为单位阵，记成 $ E_{n} $.

关于单位矩阵E

$$ \begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix},\cdots $$

$$ \begin{bmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\end{bmatrix}; $$

$$ \begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}}\end{bmatrix}. $$

（2）数量阵. 数 k 与单位阵 E 的积 kE 称为数量阵.

（3）对角阵. 非对角元素都是0的矩阵（即 $ \forall i\neq j $恒有 $ a_{ij}=0 $）称为对角阵，记成 $ \Lambda $.

$$ \boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left[a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right] $$

关于对角矩阵

$$ \begin{bmatrix}{{{a_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{a_{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{a_{3}}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{b_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{b_{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{b_{3}}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{a_{1}b_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{a_{2}b_{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{a_{3}b_{3}}}}\end{bmatrix}. $$

(1)

$$ \mathbf{\Lambda}_{1}\mathbf{\Lambda}_{2}=\mathbf{\Lambda}_{2}\mathbf{\Lambda}_{1}. $$

$$ \begin{bmatrix}{{{a_{1}}}} \\{{{a_{2}}}} \\{{{a_{3}}}}\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix}{{{a_{1}^{n}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{a_{2}^{n}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{a_{3}^{n}}}}\end{bmatrix}. $$

$$ \begin{aligned}(3)\begin{bmatrix}a_{1}&&\\ &a_{2}&\\ &&a_{3}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{a_{1}}&&\\ &\frac{1}{a_{2}}&\\ &&\frac{1}{a_{3}}\end{bmatrix}(a_{i}\neq0).\end{aligned} $$

（4）上（下）三角阵. 当 i > j (i < j) 时，有 $ a_{ij} = 0 $ 的矩阵称为上（下）三角阵.

（5）对称阵. 满足 $ A^{T}=A $，即 $ a_{ij}=a_{ji} $的矩阵称为对称阵.

（6）反对称阵. 满足 $ A^{T}=-A $，即 $ a_{ij}=-a_{ji} $， $ a_{ii}=0 $的矩阵称为反对称阵.

例1 若 $ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} - \mathbf{X} + \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix}[2,0,-1] = 3\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{bmatrix} $，则 答案解析 →

$ \mathbf{X}= $ ___.

例2 设 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $, $ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则 答案解析 →

(1)AB - BA = ___.

(2) $ (AB)^2 = \underline{\qquad} $.

(3) $ A^{2}B^{2}= $ ___.

练习区域

答案见45页

例3（1994，数一）已知 $ \boldsymbol{\alpha}=(1,2,3)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})^{\mathrm{T}} $，设 $ A=\alpha\beta^{T} $，则 $ A^{n}= $ ___. 答案解析 →

例4 (1991) 设 A, B 为 n 阶方阵，满足等式 AB = O，则必有 答案解析 →

(A) A = O 或 B = O.

(B) $ A + B = O $.

(C) $ \left| A \right| = 0 $ 或 $ \left| B \right| = 0 $.

(D) $ \left| A \right| + \left| B \right| = 0 $.

例5 设 $ A = E - \xi\xi^{T} $，其中 $ \xi $ 是 n 维非零列向量. 答案解析 →

证明： $ A^{2}=A\Leftrightarrow\xi^{T}\xi=1 $

二、 伴随矩阵、可逆矩阵

1. 伴随矩阵的概念与公式

伴随矩阵：由矩阵A的行列式 $ |A| $所有的代数余子式所构成的形如

$$ \begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix} $$

的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为 $ A^{\cdot} $

例如， $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} $，计算代数余子式，得

$$ A_{11}=\left|\begin{matrix}0&3\\ -2&1\end{matrix}\right|=6,A_{12}=-\left|\begin{matrix}-1&3\\ 1&1\end{matrix}\right|=4, $$

$$ A_{13}=\left|\begin{array}{cc}{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}\end{array}\right|=2, $$

$$ A_{21}=-\left|\begin{matrix}1&2\\ -2&1\end{matrix}\right|=-5,A_{22}=\left|\begin{matrix}2&2\\ 1&1\end{matrix}\right|=0, $$

$$ A_{23}=-\left|\begin{matrix}2&1\\ 1&-2\end{matrix}\right|=5, $$

$$ A_{31}=\left|\begin{matrix}1&2\\ 0&3\end{matrix}\right|=3,A_{32}=-\left|\begin{matrix}2&2\\ -1&3\end{matrix}\right|=-8, $$

$$ A_{33}=\left|\begin{matrix}2&1\\ -1&0\end{matrix}\right|=1, $$

按定义 $ A^{*}=\begin{bmatrix}6&-5&3\\ 4&0&-8\\ 2&5&1\end{bmatrix} $

伴随矩阵的公式：

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{A}=|\mathrm{~A~}|\mathrm{E}. $$

$$ (\mathbf{A}^{*})^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^{*}=\frac{1}{\left|\mathbf{A}\right|}\mathbf{A}\quad(\left|\mathbf{A}\right|\neq0). $$

$$ (k\mathbb{A})^{*}=k^{n-1}\mathbb{A}^{*}. $$

$$ (\mathbf{A}^{*})^{\mathrm{T}}=(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})^{\cdot}. $$

$$ \mid\mathbf{A}^{*}\mid=\mid\mathbf{A}\mid^{n-1}. $$

$$ (\boldsymbol{A}^{*})^{*}=\mid\boldsymbol{A}\mid^{n-2}\boldsymbol{A}(n\geqslant2). $$

$$ r(\boldsymbol{A}^{*})=\{\begin{aligned}&n, 如 r(\boldsymbol{A})=n,\\ &1, 如 r(\boldsymbol{A})=n-1,\\ &0, 如 r(\boldsymbol{A})\lt n-1.\end{aligned}. $$

2. 可逆矩阵的概念与定理

定义 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在 n 阶矩阵 B 使得

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}( 单位矩阵 ) $$

成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成 $ A^{-1}=B $

定理2.1 若 A 可逆，则 A 的逆矩阵唯一.

定理2.2 A可逆 $ \Leftrightarrow|A|\neq0 $.

定理2.3 设A和B是n阶矩阵且AB = E，则BA = E.

3. n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件

（1）存在 n 阶矩阵 B，使 AB = E（或 BA = E）.

(2) $ |A|\neq0 $，或秩 $ r(A)=n $，或A的列（行）向量线性无关.

（3）齐次方程组 Ax = 0 只有零解.

(4) $ \forall b $，非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解.

（5）矩阵A的特征值全不为0.

4. 逆矩阵的运算性质

若 $ k \neq 0, A $ 可逆，则 $ (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} $

若 A, B 可逆，则 $ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $，特别地 $ (A^{2})^{-1} = (A^{-1})^{2} $.

若 $ A^{T} $ 可逆，则 $ (\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}} $; $ (\boldsymbol{A}^{-1})^{-1} = \boldsymbol{A} $; $ \left|A^{-1}\right| = \frac{1}{\left|A\right|} $

注意 即使 A, B 和 A + B 都可逆，一般地 $ (A + B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1} $

5. 求逆矩阵的方法

方法一 用公式，若 $ \left|A\right|\neq0 $，则 $ A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A^{*} $

方法二 初等变换法. (A | E) $ \xrightarrow{\text{初等行变换}} $ (E | A $ ^{-1} $).

方法三 用定义求B，使AB=E或BA=E，则A可逆，且 $ A^{-1}=B $

方法四 用分块矩阵.

设 B, C 都是可逆矩阵，则

$$ \left[\begin{matrix}{\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{O}}\\ {\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}}\\ \end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}{\boldsymbol{B}^{-1}}&{\boldsymbol{O}}\\ {\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}^{-1}}\\ \end{matrix}\right];\left[\begin{matrix}{\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{B}}\\ {\boldsymbol{C}}&{\boldsymbol{O}}\\ \end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}{\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}^{-1}}\\ {\boldsymbol{B}^{-1}}&{\boldsymbol{O}}\\ \end{matrix}\right]. $$

例10 设 A, B 都是三阶矩阵，且 答案解析 →

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B},}\end{array} $$

若 $ B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} $，则 $ (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1} = $ ___.

例11 (2001, 数二) 已知 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $, $ B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} $，矩阵 X 满足 答案解析 →

$ AXA+BXB=AXB+BXA+E $

则 X = ___.

例12 设 $ f(x)=x^{100}+x^{90}+\cdots+x+1 $, $ A=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix} $, 求 $ f(A) $ 和 $ \left[f(A)\right]^{-1} $. 答案解析 →

例13 A 是 n 阶可逆矩阵，证明：非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解 $ A^{-1}b $. 答案解析 →

三、 初等变换、初等矩阵

【注】 初等矩阵记号各教材不同.

1. 初等变换与初等矩阵的概念

定义（初等变换）设A是 $ m \times n $矩阵.

（1）用某个非零常数 $ k (k \neq 0) $ 乘 A 的某行（列）的每个元素，

（2）互换 A 的某两行（列）的位置，

(3) 将 A 的某行(列)元素的 k 倍加到另一行(列),

称为矩阵的3种初等行（列）变换，且分别称为初等倍乘、互换、倍加行（列）变换，统称初等变换。

定义（初等矩阵）由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，它们分别是（以三阶为例）

（1）倍乘初等矩阵，记 $ E(i(k)) $

$$ \boldsymbol{E}(2(k))=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&k&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}, $$

$ E(2(k)) $ 表示由单位阵 E 的第二行（或第二列）乘 $ k(k \neq 0) $ 得到的矩阵.

(2) 互换初等矩阵，记 $ E(i,j) $.

$$ \boldsymbol{E}(1,2)=\left[\begin{matrix}{0}&{1}&{0}\\ {1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{matrix}\right], $$

$ E(1,2) $ 表示由单位阵 E 的第一，二行（或第一，二列）互换得到的矩阵.

（3）倍加初等矩阵，记 $ E(ij(k)) $

$$ \boldsymbol{E}(13(k))=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ k&0&1\end{bmatrix}, $$

$ E(13(k)) $ 表示由单位阵 E 的第一行的 k 倍加到第三行得到的矩阵. 当看成列变换时, 应是 E 的第三列的 k 倍加到第一列得到的矩阵.

定义（等价矩阵）矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，则称 A 与 B 等价，记成 $ A \cong B $。若 $ A \cong \begin{bmatrix} E_{r} & O \\ O & O \end{bmatrix} $，则后者称为 A 的等价标准形（A 的等价标准形是与 A 等价的所有矩阵中的最简矩阵）。

2. 初等矩阵与初等变换的性质

（1）初等矩阵的转置仍是初等矩阵.

（2）初等矩阵均是可逆阵，且其逆矩阵仍是初等矩阵.

$$ \mathbf{E}(i,j)^{-1}=\mathbf{E}(i,j);\mathbf{E}(i(k))^{-1}=\mathbf{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right); $$

$$ \mathbf{E}(ij\left(k\right))^{-1}=\mathbf{E}(ij\left(-k\right)). $$

（3）用初等矩阵P左乘（右乘）A，其结果PA（AP），相当于对A作 $ \underset{\cdot}{相}\underset{\cdot}{应} $的初等行（列）变换.

定理2.4 矩阵A可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积.

3. 行阶梯矩阵，行最简矩阵

行阶梯矩阵

（1）如果矩阵中有零行（即这一行元素全是0），则零行在矩阵的底部.

（2）每个非零行的主元（即该行最左边的第1个非零元），它们的列指标随着行指标的递增而严格增大.

例如 $ \begin{bmatrix}2&1&3\\0&0&0\\0&0&5\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&3&-2\\0&1&4\\0&2&5\end{bmatrix} $都不是行阶梯矩阵.

例如 $ \begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&1&-1&5\\0&0&0&6\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3&0&1&-4\\0&0&2&7\\0&0&0&0\end{bmatrix} $是行阶梯矩阵.

行景简矩阵

一个行阶梯矩阵，如果还满足非零行的主元都是1，且主元所在的列的其他元素都是0，则称其为行最简矩阵.

例如 $ \begin{bmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} $， $ \begin{bmatrix}1&1&2&0\\0&1&3&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} $， $ \begin{bmatrix}1&-1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} $ 都不是行

最简矩阵.

例如 $ \begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&1&2&0\\0&0&0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0&0&2\\0&0&1&3\\0&0&0&0\end{bmatrix} $是行最简矩阵.

如 $ A\rightarrow\cdots\rightarrow B $，即 $ P_{t}\cdots P_{2}P_{1}A=B $。记 $ P=P_{t}\cdots P_{2}P_{1} $ 有 PA=B。

由 $ P_{t}\cdots P_{2}P_{1}A=B $ 和 $ P_{t}\cdots P_{3}P_{1}E=P $ 表明当 A 经行变换得到 B 时，E 在同样的行变换下得到 P，即 $ (A\mid E)\rightarrow(B\mid P) $.

例14 (1995, 教一) 设 $ A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} $ 答案解析 →

$ B=\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}+a_{11}&a_{31}+a_{12}&a_{33}+a_{13}\end{bmatrix},P_{1}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix},P_{2}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix} $，则必有

(A) $ AP_{1}P_{2}=B. $

(B) $ AP_{2}P_{1}=B. $

(C) $ P_{1}P_{2}A=B. $

(D) $ P_{2}P_{1}A=B. $

例15 已知A是三阶矩阵，将矩阵A的第1，3两行互换得到B，再将B的第2列的-1倍加到第3列，得到 $ C=\begin{bmatrix}7&8&1\\ 4&5&1\\ 1&2&1\end{bmatrix} $，则A= ___. 答案解析 →

例16 已知矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix} $ 和矩阵 $ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 6 & -3 \end{bmatrix} $ 等价，则 a = ___. 答案解析 →

四、 分块矩阵

1 \. 分块矩阵的概念

将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵（或子块），把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵.

由于不同的需要，同一个矩阵可以用不同的方法分块，构成不同的分块矩阵.

$$ \begin{align*}\boldsymbol{A}&=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_{1}\\ \boldsymbol{\alpha}_{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{\alpha}_{m}\end{bmatrix},\end{align*} $$

其中 $ \alpha_{i}=[a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}] $, i=1,2, $ \cdots $,m, 是 A 的子矩阵，A 是以行分块的分块矩阵.

$$ \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}\end{bmatrix}=[\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n}], $$

其中 $ \beta_{j}=[b_{1j},b_{2j},\cdots,b_{mj}]^{\mathrm{T}} $, j=1,2,\cdots,n, 是 B 的子矩阵, B 是以列分块的分块矩阵.

$$ \mathbf{C}=\left[\begin{matrix}{c_{11}}&{c_{12}}&{|}&{0}&{0}&{0}\\ {c_{21}}&{c_{22}}&{|}&{0}&{0}&{0}\\ {\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}\\ {c_{31}}&{c_{32}}&{|}&{c_{33}}&{c_{34}}&{c_{35}}\\ {c_{41}}&{c_{42}}&{|}&{c_{43}}&{c_{44}}&{c_{45}}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{C_{1}}&{O}\\ {C_{3}}&{C_{4}}\\ \end{matrix}\right], $$

其中 $ C_{1} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} $, $ O = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $, $ C_{3} = \begin{bmatrix} c_{31} & c_{32} \\ c_{41} & c_{42} \end{bmatrix} $, $ C_{4} = \begin{bmatrix} c_{33} & c_{34} & c_{35} \\ c_{43} & c_{44} & c_{45} \end{bmatrix} $, 均是 C 的子矩阵.

2. 分块矩阵的运算

想对矩阵适当地分块处理（要保证相对应子块的运算能够合理进行），可以遵循下面的运算法则：

$$ \left[\begin{array}{l l}{A_{1}}&{A_{2}}\\ {A_{3}}&{A_{4}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l l}{B_{1}}&{B_{2}}\\ {B_{3}}&{B_{4}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l l}{A_{1}+B_{1}}&{A_{2}+B_{2}}\\ {A_{3}+B_{3}}&{A_{4}+B_{4}}\end{array}\right]; $$

$$ \left[\begin{matrix}{A}&{B}\\ {C}&{D}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{X}&{Y}\\ {Z}&{W}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{A X+B Z}&{A Y+B W}\\ {C X+D Z}&{C Y+D W}\\ \end{matrix}\right]; $$

$$ \left[\begin{matrix}{\mathbf{A}}&{\mathbf{B}}\\ {\mathbf{C}}&{\mathbf{D}}\\ \end{matrix}\right]^{\top}=\left[\begin{matrix}{\mathbf{A}^{\top}}&{\mathbf{C}^{\top}}\\ {\mathbf{B}^{\top}}&{\mathbf{D}^{\top}}\\ \end{matrix}\right]. $$

若 B, C 分别是 m 阶与 s 阶矩阵，则

$$ \left[\begin{matrix}{\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{O}}\\ {\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}}\\ \end{matrix}\right]^{n}=\left[\begin{matrix}{\boldsymbol{B}^{n}}&{\boldsymbol{O}}\\ {\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}^{n}}\\ \end{matrix}\right]. $$

若 B, C 分别是 m 阶与 n 阶可逆矩阵，则

$$ \left[\begin{matrix}{\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{O}}\\ {\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}}\\ \end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}{\boldsymbol{B}^{-1}}&{\boldsymbol{O}}\\ {\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}^{-1}}\\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}{\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{B}}\\ {\boldsymbol{C}}&{\boldsymbol{O}}\\ \end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}{\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}^{-1}}\\ {\boldsymbol{B}^{-1}}&{\boldsymbol{O}}\\ \end{matrix}\right]. $$

例17 已知 B, C 分别是 m 阶与 n 阶可逆矩阵，证明： $ \begin{bmatrix} B & O \\ O & C \end{bmatrix} $ 可逆，且 答案解析 →

$$ \left[\begin{matrix}{\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{O}}\\ {\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}}\\ \end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}{\boldsymbol{B}^{-1}}&{\boldsymbol{O}}\\ {\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{C}^{-1}}\\ \end{matrix}\right]. $$

例18 已知 $ X = ABA $，其中 答案解析 →

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}{1}&{0}&{0}&{1}\\ {0}&{1}&{1}&{0}\\ {0}&{1}&{-1}&{0}\\ {1}&{0}&{0}&{-1}\\ \end{matrix}\right],\boldsymbol{B}=\left[\begin{matrix}{0}&{0}&{0}&{1}\\ {0}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {1}&{0}&{0}&{0}\\ \end{matrix}\right],}\end{array} $$

则 X = ___.

例19 已知 A, B 是 n 阶矩阵. 答案解析 →

(1) $ \begin{bmatrix}E&E\\O&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E&-E\\O&E\end{bmatrix}= $ ___.

(2) $ \begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = $ ___.

五、 方阵的行列式

抽象方阵的行列式公式

（1）若 A 是 n 阶矩阵， $ A^{T} $ 是 A 的转置矩阵，则 $ \left|A^{T}\right|=\left|A\right| $

（2）若 A 是 n 阶矩阵，则 $ \left|k A\right|=k^{n}\left|A\right| $

(3)(行列式乘法公式)若A、B都是n阶矩阵，则 $ \left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right| $

特别地 $ \left|A^{2}\right|=\left|A\right|^{2} $

（4）若 A 是 n 阶矩阵， $ A^{*} $ 是 A 的伴随矩阵，则 $ \left|A^{*}\right|=\left|A\right|^{n-1} $

(5) 若 A 是 n 阶可逆矩阵， $ A^{-1} $ 是 A 的逆矩阵，则 $ \left|A^{-1}\right|=\left|A\right|^{-1} $

（6）设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，则

$$ \left|\begin{array}{l l}{A}&{O}\\ {C}&{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{l l}{A}&{D}\\ {O}&{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{l l}{A}&{\bullet}\\ \end{array}\right|\left|\begin{array}{l l}{B}&{}\end{array}\right|; $$

$$ \left|\begin{array}{l l}{\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{A}}\\ {\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{C}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{l l}{\boldsymbol{D}}&{\boldsymbol{A}}\\ {\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{O}}\end{array}\right|=(-1)^{m}\left|\begin{array}{l l}{\boldsymbol{A}}\end{array}\right|\bullet\left|\begin{array}{l}{\boldsymbol{B}}\end{array}\right|. $$

【注】一般情况下， $ |A+B|\neq|A|+|B| $， $ |A-B|\neq|A|-|B| $， $ |kA|\neq k|A| $。

例20 设 A, B 均为 n 阶矩阵，| A | = 2，| B | = -3，则 | 2A^·B^{-1} | = ___. 答案解析 →

答案见53页

例22（2017，数农）设A是三阶矩阵，且 $ (A-E)^{-1}=A^{2}+A+E $，则 $ \left|A\right|= $ ___. 答案解析 →

例23（2012，数二、三）设A是三阶矩阵， $ |A|=3 $， $ A^{*} $是A的伴随矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，则 $ |BA^{*}|= $___。 答案解析 →

一、 矩阵的概念及运算

例 1 【分析】 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{X}&=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}} \\{{{7}}}&{{{8}}}&{{{9}}}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{{{1}}} \\{{{2}}} \\{{{0}}}\end{bmatrix}[2,0,-1]-3\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{3}}}&{{{3}}}&{{{3}}}\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}} \\{{{7}}}&{{{8}}}&{{{9}}}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{4}}}&{{{0}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}{{{3}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{6}}}&{{{6}}}&{{{0}}} \\{{{9}}}&{{{9}}}&{{{9}}}\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{4}}} \\{{{-2}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

例 2 【分析】 ← 严选题题目 ← 原题

(1)

$$ \begin{aligned}\mathbf{A}\mathbf{B}-\mathbf{B}\mathbf{A}&=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\ 0&-1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1&2\\ -3&-4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&-2\\ 3&-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&4\\ -6&0\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

(2)

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{2}&=\left(\begin{bmatrix}1&0\\ 0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}\right)^{2}=\begin{bmatrix}1&2\\ -3&-4\end{bmatrix}^{2}\\&=\begin{bmatrix}-5&-6\\ 9&10\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

(3)

$$ \begin{aligned}\mathbf{A}^{2}\mathbf{B}^{2}&=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&-1\end{bmatrix}^{2}\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7&10\\ 15&22\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}7&10\\ 15&22\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

例3 【分析】因 $ A = \alpha\beta^{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} $ ← 原题

$ = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 \end{bmatrix} $ 是三阶矩阵.

学习笔记

$$ \begin{aligned}\mathrm{A}^{n}&=(\alpha\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}})(\alpha\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}})\cdots(\alpha\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}})&(n 个 )\\&=\alpha(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})\cdots(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}&(n-1 个 )\end{aligned} $$

$$ \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}=(1\quad\frac{1}{2}\quad\frac{1}{3})\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}=3, 故 \boldsymbol{A}^{n}=3^{n-1}\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\ &2&1&\frac{2}{3}\\ &3&\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}. $$

例4 【分析】由行列式乘法公式 ← 原题

$$ \left|A\boldsymbol{B}\right|=\left|\boldsymbol{A}\right|\cdot\left|\boldsymbol{B}\right|. $$

因 $ AB = O \Rightarrow |A| \cdot |B| = 0 $，所以选(C).

若 $ A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ -1 & -1\end{bmatrix} $，有 AB=O，可知(A)，(B)错误.

若 $ A=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&0\end{bmatrix} $，可知(D)不正确.

例5 【证】 $ A^2 = (E - \xi\xi^{\mathrm{T}})(E - \xi\xi^{\mathrm{T}}) $ ← 严选题题目 ← 原题

$ = E - \xi\xi^{\mathrm{T}} - \xi\xi^{\mathrm{T}} + \xi\xi^{\mathrm{T}} \xi\xi^{\mathrm{T}} $

$ = A + \xi(\xi^{\mathrm{T}}\xi)\xi^{\mathrm{T}} - \xi\xi^{\mathrm{T}} $

$ = A + (\xi^{\mathrm{T}}\xi - 1)\xi\xi^{\mathrm{T}} $,

因为 $ \xi \neq 0 $，所以 $ \xi \xi^{T} \neq 0 $.

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}\Leftrightarrow(\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\xi}-1)\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{O}\\ \Leftrightarrow\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\xi}-1=0\\ \Leftrightarrow\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\xi}=1.\end{aligned} $$

【注】方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+2x_{2}-x_{3}+4x_{4}=2,\\ 2x_{1}&-x_{2}+x_{3}\quad+x_{4}=1,\\ x_{1}&+7x_{2}-4x_{3}+11x_{4}=5.\end{aligned}. $$

用矩阵可以表示为

$$ \begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{4}}} \\{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{7}}}&{{{-4}}}&{{{11}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{x_{1}}}} \\{{{x_{2}}}} \\{{{x_{3}}}} \\{{{x_{4}}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{2}}} \\{{{1}}} \\{{{5}}}\end{bmatrix}. $$

若记 $ A=\begin{bmatrix}1&2&-1&4\\ 2&-1&1&1\\ 1&7&-4&11\end{bmatrix} $，称为方程组的系数矩阵，未知数

$ x=\left[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right]^{\mathrm{T}} $，常数项 $ b=\left[2,1,5\right]^{\mathrm{T}} $，则方程组表示为Ax=b

如果对系数矩阵A按列分块.记 $ A=\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\right] $.由分块矩阵乘法,有

$$ \left[\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\alpha}_{4}\right]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\end{bmatrix}=\boldsymbol{b}, $$

得 $ x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+x_{3}\alpha_{3}+x_{4}\alpha_{4}=b $

那么用向量的语言：方程组问题就可转换为向量 b 由向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 线性表出的问题.

二、 伴随矩阵、可逆矩阵

例 6 【分析】用行变换 $ (A \mid E) \rightarrow (E \mid A^{-1}) $的方法： ← 严选题题目

$$ \begin{align*}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{|}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{1}}}&{{{|}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{3}}}&{{{|}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{|}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{|}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}&{{{|}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{|}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{|}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{|}}}&{{{-\frac{1}{2}}}}&{{{0}}}&{{{\frac{1}{2}}}}\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{|}}}&{{{\frac{3}{2}}}}&{{{0}}}&{{{-\frac{1}{2}}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{|}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{|}}}&{{{-\frac{1}{2}}}}&{{{0}}}&{{{\frac{1}{2}}}}\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{|}}}&{{{\frac{5}{2}}}}&{{{-1}}}&{{{-\frac{1}{2}}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{|}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{|}}}&{{{-\frac{1}{2}}}}&{{{0}}}&{{{\frac{1}{2}}}}\end{bmatrix},\end{align*} $$

故 $ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & -1 & -\frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $.

【注】这个方法是非常重要的基础计算，必须动手做题，千万别大意！当然，也可求 $ A_{ij} $，构造出 $ A^{*} $来求 $ A^{-1} $.

例7 【分析】 注意，利用 $ A^{*}=|A|A^{-1} $，通过 $ A^{-1} $来求 $ A^{*} $有时会更方便. ← 严选题题目

对A分块

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}{0}&{\mid a_{1}}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\mid\vdots}&{}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{\cdots}&{a_{n-1}}\\ {\mid\overbrace{a_{n}\mid0\cdots0}^{}}&{}&{}&{0}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{\boldsymbol{O}}&{\boldsymbol{A}_{1}}\\ {\mid\boldsymbol{A}_{2}\quad\boldsymbol{O}}\\ \end{matrix}\right],}\end{array} $$

则 $ \left| A \right| = (-1)^{n-1} a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \neq 0, A $ 可逆，且

$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}0&0&\cdots&0&\frac{1}{a_{n}}\\\frac{1}{a_{1}}&0&\cdots&0&0\\0&\frac{1}{a_{2}}&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&\frac{1}{a_{n-1}}&0\end{bmatrix}, $$

$$ 所以 \boldsymbol{A}^{*}=\mid\boldsymbol{A}\mid\boldsymbol{A}^{-1}=(-1)^{n-1}\prod a_{i}\begin{bmatrix}0&0&\cdots&0&\frac{1}{a_{n}}\\\frac{1}{a_{1}}&0&\cdots&0&0\\0&\frac{1}{a_{2}}&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&\frac{1}{a_{n-1}}&0\end{bmatrix}\cdot $$

【注】这里用到了

$$ \left[\begin{matrix}{O}&{A}\\ {B}&{O}\\ \end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}{O}&{B^{-1}}\\ {A^{-1}}&{O}\\ \end{matrix}\right];\left[\begin{matrix}{a_{1}}&{}&{}&{}\\ {}&{a_{2}}&{}&{}\\ {}&{}&{\ddots}&{}\\ {}&{}&{}&{a_{n}}\\ \end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}{\frac{1}{a_{1}}}\\ {}&{\frac{1}{a_{2}}}\\ {}&{}&{\ddots}\\ {}&{}&{}&{\frac{1}{a_{n}}}\\ \end{matrix}\right]. $$

$$ \begin{aligned} 例 \begin{bmatrix}8&\\\end{bmatrix}\quad【分析】\quad AB&=(E-\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}})(E+a\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}})\\&=E+a\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}-a\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\\&=E+(a-1-a\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}.\end{aligned} $$ ← 严选题题目

又 $ \alpha^{T}\alpha=\left(\frac{1}{2},0,\cdots,0,\frac{1}{2}\right)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}=\frac{1}{2} $，故

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}+\left(a-1-\frac{1}{2}a\right)\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}a-1\right)\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{O}, $$

所以a=2.

例 9 【分析】本题矩阵 A 没有具体元素，应考虑用定义法. ← 严选题题目

例 9 【分析】本题矩阵 A 没有具体元素，应考虑用

由 $ (A+E)(A-4E)+2E=A^{2}-3A-2E=O $

即 $ (A+E)(A-4E)=-2E $

即 $ (A+E)\cdot\frac{1}{2}(4E-A)=E $

故 $ (A+E)^{-1}=\frac{1}{2}(4E-A). $

例10 【分析】由AB = 2A + B，有 ← 严选题题目 ← 原题

$ AB - B - 2A + 2E = 2E $，即 $ (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})(\boldsymbol{B} - 2\boldsymbol{E}) = 2\boldsymbol{E} $

$$ (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{B}-2\boldsymbol{E})=\begin{bmatrix}0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{bmatrix}. $$

例11 【分析】 $ AXA + BXB - AXB - BXA = E $, ← 原题

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{X}\boldsymbol{A}-(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{X}\boldsymbol{B}&=\boldsymbol{E},\ $ \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{X}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})&=\boldsymbol{E},\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{X}&=\left[(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})^{-1}\right]^{2}=\left(\begin{bmatrix}1&-1&-1\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\end{bmatrix}^{-1}\right)^{2}\\&=\begin{bmatrix}1&1&2\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}1&2&5\\ 0&1&2\\ 0&0&1\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

例12 【解】因 $ A^{2}=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix} $，又 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{A}^{2}\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}=\boldsymbol{A}^{2}. $$

知 $ A^{m}=A^{2} $ （当 $ m \geqslant 2 $ 时），故

$$ \begin{aligned}f(\boldsymbol{A})&=\boldsymbol{A}^{100}+\cdots+\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=99\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}\\&=\begin{bmatrix}99&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}101&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix},\end{aligned} $$

$$ \left[f(\boldsymbol{A})\right]^{-1}=\begin{bmatrix}101&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{101}&0&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\end{bmatrix}. $$

例 13 【证】 先证 Ax = b 有解. 因为 ← 原题

$$ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1})\boldsymbol{b}=\boldsymbol{E}\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}, $$

所以 $ A^{-1}b $ 是方程组的解，故方程组 Ax=b 有解.

再证唯一性. 设 $ \alpha $ 是 Ax = b 的任一个解，则 $ A\alpha = b $. 那么

$$ \boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}, $$

$$ (\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}, $$

$ \Rightarrow\alpha=A^{-1}b $，即Ax=b的解唯一.

【注】以三元一次方程组

$$ \{\begin{aligned}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1},\\ &a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2},\\ &a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{aligned}. $$

为例，注意到：唯一解 $ \boldsymbol{\alpha} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{\mathrm{T}} $，即

$$ \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{b}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\\ A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{matrix}\right], $$

$$ x_{1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}(b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{31})=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\left|\begin{array}{l l l}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\ b_{2}&a_{22}&a_{23}\\ b_{3}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|, $$

$ x_{2}, x_{3} $ 证明略. 这就是克拉默法则的矩阵法证明.

三、 初等变换、初等矩阵

例 14 【分析】由下标观察到矩阵 A 经过两次初等行变换可 ← 原题

得到矩阵B，按初等矩阵的性质应该是左乘初等矩阵，排除(A)(B).

$ P_{1}P_{2}A $ 表示先把 A 的第一行加至第三行，然后再把第一、二两行互换，这正是矩阵 B，所以应当选 (C).

而 $ P_{2}P_{1}A $ 表示先把 A 的第一、二两行互换，然后再把第一行加至第三行，那么这时的矩阵是

$$ \begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}+a_{21}&a_{32}+a_{22}&a_{33}+a_{23}\end{bmatrix}. $$

例 15 【分析】由已知 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B},\boldsymbol{P}_{1}=\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{B}\boldsymbol{P}_{2}=\boldsymbol{C},\boldsymbol{P}_{2}=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\end{bmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_{2}=\boldsymbol{C}, $$

$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}_{1}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{P}_{2}^{-1}=\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{7}}}&{{{8}}}&{{{1}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}} \\{{{7}}}&{{{8}}}&{{{9}}}\end{bmatrix}. $$

明显 $ r(\boldsymbol{B}) = 2 $ 。而

$$ \mid\boldsymbol{A}\mid=\left|\begin{array}{l l l}{a}&{1}&{1}\\ {1}&{a}&{1}\\ {1}&{1}&{a}\end{array}\right|=(a+2)(a-1)^{2}, $$

当a=1时, $ r(A)=1 $

当a=-2时，A中 $ \left|\begin{matrix}-2&1\\ 1&-2\end{matrix}\right|\neq0 $，而 $ \left|A\right|=0 $，从而 $ r(A)=2 $。

∴A 和 B 等价 $ \Leftrightarrow a = -2 $.

四、 分块矩阵

例17 【证】由B，C均可逆，有 $ \begin{vmatrix} B & O \\ O & C \end{vmatrix} = |B| \cdot |C| \neq 0 $，所以 $ \begin{bmatrix} B & O \\ O & C \end{bmatrix} $可逆。 ← 原题

设 $ \begin{bmatrix} B & O \\ O & C \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix} $，则

$ \begin{bmatrix} B & O \\ O & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E & O \\ O & E \end{bmatrix} $，

即 $ \begin{cases} B X = E, & (1) \\ BY = O, & (2) \\ C Z = O, & (3) \\ CW = E, & (4) \end{cases} $

由(1)有 $ X = B^{-1} $。

由(2)，因B可逆，有 $ Y = B^{-1}O = O $。

类似地 $ Z = O, W = C^{-1} $。所以 $ \begin{bmatrix} B & O \\ O & C \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} B^{-1} & O \\ O & C^{-1} \end{bmatrix} $。

例如 $ \begin{bmatrix} 5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} $。

因为 $ \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $。

例18 【分析】把A,B各分成4个 $ 2 \times 2 $的小矩阵，即 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{\hline0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{\boldsymbol{E}}}}&{{{\boldsymbol{C}}}} \\{{{\boldsymbol{C}}}}&{{{-\boldsymbol{E}}}}\end{bmatrix},\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{\hline0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{\boldsymbol{O}}}}&{{{\boldsymbol{C}}}} \\{{{\boldsymbol{C}}}}&{{{\boldsymbol{O}}}}\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

由于 $ C^{2}=\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\end{bmatrix}=E $，就有

$$ \mathbf{X}=\left[\begin{matrix}{\mathbf{E}}&{\mathbf{C}}\\ {\mathbf{C}}&{-\mathbf{E}}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\mathbf{O}}&{\mathbf{C}}\\ {\mathbf{C}}&{\mathbf{O}}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\mathbf{E}}&{\mathbf{C}}\\ {\mathbf{C}}&{-\mathbf{E}}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{\mathbf{E}}&{\mathbf{C}}\\ {-\mathbf{C}}&{\mathbf{E}}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\mathbf{E}}&{\mathbf{C}}\\ {\mathbf{C}}&{-\mathbf{E}}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{2\mathbf{E}}&{\mathbf{O}}\\ {\mathbf{O}}&{-2\mathbf{E}}\\ \end{matrix}\right], $$

即 $ X = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} $.

例 19 【分析】 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{align*}(1)\begin{bmatrix}\boldsymbol{E}&\boldsymbol{E}\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{E}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{B}&\boldsymbol{A}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{E}&-\boldsymbol{E}\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{E}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{B}&\boldsymbol{A}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{E}&-\boldsymbol{E}\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{E}\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}&\boldsymbol{O}\\ \boldsymbol{B}&\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\end{bmatrix},\end{align*} $$

$$ \begin{array}{r}{\left|\begin{array}{l l}{\boldsymbol{A}}&{\boldsymbol{B}}\\ {\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{A}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c c}{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{O}}\\ {\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{l}{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}}\end{array}\right|\bullet\left|\begin{array}{l}{\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}}\end{array}\right|.}\end{array} $$

五、 方阵的行列式

例20 【分析】 $ |2A\cdot B^{-1}|=2^n|A\cdot B^{-1}|=2^n|A\cdot|B^{-1}| $ ← 严选题题目 ← 原题

$ =2^n|A|^{n-1}|B|^{-1}=-\frac{2^{2n-1}}{3}. $

本题用到的公式依次是

$$ \mid k\mathbb{A}\mid=k^{n}\mid\mathbb{A}\mid,\mid\mathbb{A}\mathbb{B}\mid=\mid\mathbb{A}\mid\mid\mathbb{B}\mid, $$

$$ \mid\boldsymbol{A}^{*}\mid=\mid\boldsymbol{A}\mid^{n-1},\mid\boldsymbol{A}^{-1}\mid=\frac{1}{\mid\boldsymbol{A}\mid}. $$

例21 【分析】因 $ A^{*}=|A|A^{-1}=-\frac{2}{3}A^{-1} $，又 $ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=-\frac{3}{2} $，则有 ← 原题

$$ \begin{aligned}\mid3\boldsymbol{A}^{*}+4\boldsymbol{A}^{-1}\mid&=|-2\boldsymbol{A}^{-1}+4\boldsymbol{A}^{-1}\mid=\mid2\boldsymbol{A}^{-1}\mid\\&=2^{4}\mid\boldsymbol{A}^{-1}\mid=-3\times2^{3}=-24.\end{aligned} $$

例22 【分析】因 $ (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E} $，有 ← 原题

$$ \left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}\right)\left(\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}\right)=\boldsymbol{E}, $$

得

$$ \boldsymbol{A}^{3}=2\boldsymbol{E}. $$

那么 $ \left|A^{3}\right|=\left|2E\right| $

于是 $ \left|A\right|^{3}=2^{3}\left|E\right|=8 $

所以 $ \left| A \right| = 2 $.

【注】 $ \left|k\boldsymbol{A}\right|=k^{n}\left|\boldsymbol{A}\right| $ 不要记错.

例23 【分析】由行列式性质，知 $ |B| = -|A| $. ← 原题

由 $ \left|AB\right|=\left|A\right|\cdot\left|B\right| $ 和 $ \left|A^{*}\right|=\left|A\right|^{n-1} $ 立即有

$$ \left|B A^{*}\right|=\left|B\right|\bullet\left|A^{*}\right|=-\left|A\right|\bullet\left|A\right|^{2}=-27. $$

或，因 $ \begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} $，有

$$ \begin{array}{r}{\mathbf{B}\mathbf{A}^{\star}=\left[\begin{matrix}{0}&{1}&{0}\\ {1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{matrix}\right]\mathbf{A}\mathbf{A}^{\star}=\mid\mathbf{\nabla}\mathbf{A}\mid\left[\begin{matrix}{0}&{1}&{0}\\ {1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{matrix}\right]=3\left[\begin{matrix}{0}&{1}&{0}\\ {1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{matrix}\right],}\\ \end{array} $$

所以 $ \left| B A^{\cdot} \right| = 3^{3} \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| = -27 $.

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