第五章 特征值和特征向量

第五章 特征值和特征向量

本章考点

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

本章知识框图

学习笔记

知识梳理与例题

一、 特征值、特征向量

定义 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在一个数 $ \lambda $ 及非零的 n 维列向量 $ \alpha $，使得

$$ A\alpha=\lambda\alpha $$

成立，则称 $ \lambda $ 是矩阵 A 的一个特征值，称非零向量 $ \alpha $ 是矩阵 A 属于特征值 $ \lambda $ 的一个特征向量.

由定义 $ A\alpha = \lambda\alpha, \alpha \neq 0 $，即 $ (\lambda E - A)\alpha = 0, \alpha \neq 0 $ 可知特征向量 $ \alpha $ 是齐次方程组 $ (\lambda E - A)x = 0 $ 的非零解.

定义 设 $ A = [a_{ij}] $ 为一个 n 阶矩阵，则行列式

$$ \mid\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\mid=\left|\begin{array}{c c c c}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{m n}\end{array}\right| $$

称为矩阵 A 的特征多项式， $ \left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|=0 $ 称为 A 的特征方程.

求特征值，特征向量的方法：

（1）先利用 $ \left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|=0 $ 求矩阵 A 的特征值 $ \lambda_{i} $ (共 n 个). 再利用 $ (\lambda_{i}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} $ 求基础解系，即矩阵 A 属于特征值 $ \lambda_{i} $ 的线性无关的特征向量.

(2) 用定义 $ A\alpha = \lambda\alpha $ 推理分析.

定理 5.1 如果 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m} $ 是矩阵 A 的互不相同的特征值， $ \alpha_{1} $ $ \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 分别是与之对应的特征向量，则 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性无关.

定理 5.2 设 A 是 n 阶矩阵， $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $ 是矩阵 A 的特征值，则

(1) $ \sum \lambda_i = \sum a_{ii} $.

(2) $ \left| A \right| = \prod \lambda_i $.

【注】如果 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t} $ 都是矩阵 A 属于特征值 $ \lambda $ 的特征向量，那么当 $ k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{t}\alpha_{t} $ 非零时， $ k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{t}\alpha_{t} $ 仍是矩阵 A 属于特征值 $ \lambda $ 的特征向量.

如 $ A\alpha = \lambda\alpha, \alpha \neq 0, \forall k \neq 0 $，有 $ k\alpha \neq 0 $，则

$$ \boldsymbol{A}(k\boldsymbol{\alpha})=k\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=k(\lambda\boldsymbol{\alpha})=\lambda(k\boldsymbol{\alpha}). $$

即若 $ \alpha $是矩阵A对应于特征值 $ \lambda $的特征向量，那么 $ k\alpha(k\neq0 $时)仍是A对应于 $ \lambda $的特征向量.

类似地，如 $ A\alpha_{1}=\lambda\alpha_{1}, A\alpha_{2}=\lambda\alpha_{2} $ 且 $ \alpha_{1}\neq0, \alpha_{2}\neq0 $ ，那么 $ \forall k_{1}, k_{2} $，若 $ k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}\neq0 $ ，有

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}(k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2})&=\boldsymbol{A}(k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1})+\boldsymbol{A}(k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2})\\&=k_{1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}\\&=k_{1}(\lambda\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_{2}(\lambda\boldsymbol{\alpha}_{2})\\&=\lambda(k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}),\end{aligned} $$

即 $ k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2} $ 仍是 A 对应于 $ \lambda $ 的特征向量.

例1 求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 17 & -2 & -2 \\ -2 & 14 & -4 \\ -2 & -4 & 14 \end{bmatrix} $ 的特征值与特征向量. 答案解析 →

答案见120页

例2 求 $ A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量. 答案解析 →

答案见121页

例3 求 $ A = \begin{bmatrix} -2 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量. 答案解析 →

答案见121页

例 4 求 A 的特征值 答案解析 →

$$ (1)\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 2&3&0\\ 4&5&6\end{bmatrix}.\quad(2)\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\ 2&4&6\\ 3&6&9\end{bmatrix}. $$

例 5 设 $ \lambda $ 是 n 阶矩阵 A 的特征值，证明 答案解析 →

(1) $ \lambda+k $ 是 $ A+kE $ 的特征值.

(2) $ \lambda^{m} $ 是 $ A^{m} $ 的特征值.

例6 已知 A 是三阶矩阵，特征值是 -1,0,4，又知 $ A + B = 2E $，则矩阵 B 的特征值是 ___. 答案解析 →

例7 设 A 是三阶矩阵，有特征值 1，-1，2。则下列矩阵中是可逆矩阵的是 答案解析 →

(A) $ A+E. $ (B)A-E. (C) $ A+2E. $ (D)A-2E.

例9 已知 $ \alpha=(1,1,-1)^{\mathrm{T}} $ 是矩阵 $ A=\begin{bmatrix}2&-1&2\\ 5&a&3\\ -1&b&-2\end{bmatrix} $ 的一个特征向量，则 a= ___，b= ___. 答案解析 →

二、 相似矩阵

定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P，使得 $ P^{-1}AP = B $，则称 B 是 A 的相似矩阵，或 A 相似于 B，记成 $ A \sim B $.

若 $ A \sim \Lambda $，其中 $ \Lambda $ 是对角阵，则称 A 可相似对角化。 $ \Lambda $ 是 A 的相似标准形。

根据相似的定义，可知

性质（1） $ A \sim A $，反身性.

(2) 若 $ A \sim B \Rightarrow B \sim A $，对称性.

(3) 若 $ A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C $，传递性.

两个矩阵相似的必要条件

$ f\Rightarrow(1) $ 特征多项式相同，即 $ \left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|=\left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}\right| $

$ \Rightarrow $（2）A,B 有相同的特征值.

$ \Rightarrow (3) r(A) = r(B). $

A $ \sim $ B.

$$ \Rightarrow(4)\mid\boldsymbol{A}\mid=\mid\boldsymbol{B}\mid=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}。 $$

$$ \{\begin{array}{c}(5)\sum_{i=1}^{n}a_{i i}=\sum_{i=1}^{n}b_{i i}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}.\end{array}. $$

由 $ A \sim B $ 可以联想到

（1）如 $ A \sim B $，则 $ A^{2} \sim B^{2} $，进而 $ A^{n} \sim B^{n} $

因 $ A \sim B $，有 $ P^{-1}AP = B $，于是

$$ \boldsymbol{B}^{2}=(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})^{2}=(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}^{2}\boldsymbol{P}, $$

所以 $ A^{2}\sim B^{2} $

(2) 如 $ A \sim B $，则 $ A + kE \sim B + kE $.

因 $ A \sim B $，有 $ P^{-1}AP = B $，那么

$$ \begin{array}{r}{\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{A}+k\mathbf{E})\mathbf{P}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}+\mathbf{P}^{-1}(k\mathbf{E})\mathbf{P}=\mathbf{B}+k\mathbf{E},}\end{array} $$

所以 $ A + kE \sim B + kE $.

（3）如 $ A\sim B $且A可逆，则 $ A^{-1}\sim B^{-1} $

因 $ A \sim B $，有 $ \left| A \right| = \left| B \right| $。由 A 可逆知 $ \left| B \right| \neq 0 $，即 B 必可逆。

$$ \boldsymbol{B}^{-1}=(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})^{-1}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{P}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{P}, $$

所以 $ A^{-1}\sim B^{-1} $

定理5.3 n阶方阵A可对角化的充分必要条件是，A有n个线性无关的特征向量.

推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $，则 A 可相似对角化，且

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{A}\sim\begin{bmatrix}\lambda_{1}&&&\\&\lambda_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_{n}\end{bmatrix}.\\ \end{aligned} $$

定理 5.4 n 阶矩阵 A 可相似对角化的充分必要条件是，A 的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即

$ A \sim \Lambda \Leftrightarrow \lambda_{i} $ 是 A 的 $ n_{i} $ 重特征值，则 $ \lambda_{i} $ 有 $ n_{i} $ 个线性无关的特征向量

$ \Leftrightarrow r(\lambda_{i}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=n-n_{i},\lambda_{i} $ 为 $ n_{i} $ 重特征值.

“求可逆矩阵 P 使 $ P^{-1}AP = \Lambda $” 的解题步骤：

（1）求出矩阵 A（设为三阶）的特征值 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} $ （可以有重根）.

(2) 求出线性无关的特征向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $

（3）构造可逆矩阵 $ \boldsymbol{P} = (\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}) $，则有

$$ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&&\\ &\lambda_{2}&\\ &&\lambda_{3}\end{bmatrix}. $$

注意：若 $ A\alpha_{1}=\lambda_{1}\alpha_{1},A\alpha_{2}=\lambda_{2}\alpha_{2},A\alpha_{3}=\lambda_{3}\alpha_{3} $且 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $线性无关，则有

$$ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})=(\lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1},\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2},\lambda_{3}\boldsymbol{\alpha}_{3})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})\begin{bmatrix}\lambda_{1}&&\\ &\lambda_{2}&\\ &&\lambda_{3}\end{bmatrix}. $$

令 $ \boldsymbol{P} = (\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}) $，则 P 可逆，记 $ \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \lambda_{3} \end{bmatrix} $，即有 AP =

$ P\Lambda $，得 $ P^{-1}AP=\Lambda $

故若 A 有 n 个线性无关的特征向量，则 $ A \sim \Lambda $

反之，若 $ P^{-1}AP = \Lambda \Rightarrow AP = P\Lambda $，

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})\begin{bmatrix}a_{1}&&\\ &a_{2}&\\ &&a_{3}\end{bmatrix}=(a_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1},a_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2},a_{3}\boldsymbol{\alpha}_{3})\\ &\Rightarrow\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}=a_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}=a_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{3}=a_{3}\boldsymbol{\alpha}_{3}.\\ \end{aligned} $$

因 $ \boldsymbol{P} = (\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}) $ 可逆 $ \Rightarrow \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，故 A 有 n 个线性无关的特征向量.

例10 已知 $ A \sim B $，若 $ A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix} $，则 $ \left| B + E \right| = $ ___. 答案解析 →

例11 已知矩阵A和B相似，若 $ B=\begin{bmatrix}1&2&3\\ 0&4&5\\ 0&0&6\end{bmatrix} $，则秩 $ r(A-E)= $ ___. 答案解析 →

例12 设 $ A = \alpha\beta^{T} $，其中 $ \alpha = (1,1,1)^{\mathrm{T}}, \beta = (1,3,a)^{\mathrm{T}}, B = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & b & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $，且 $ A \sim B $，则 a = ___. 答案解析 →

例13 (2023,数农) 若矩阵 $ \begin{bmatrix}2&4&-4\\a&-3&2\\0&0&b\end{bmatrix} $ 相似于 $ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-2\end{bmatrix} $，则 答案解析 →

(A) $ a=1,b=2. $

(B)a=-1,b=-2.

(C)a=1,b=-2.

(D)a=-1,b=2.

例14 判断下列矩阵能否相似对角化，如能相似对角化，则写出和其相似的对角矩阵. 答案解析 →

(1) $ \begin{bmatrix}1&3&5\\0&3&5\\0&0&5\end{bmatrix} $. (2) $ \begin{bmatrix}-1&0&2\\1&2&-1\\1&3&0\end{bmatrix} $.

例15 证明矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} $ 不能相似对角化. 答案解析 →

例16（2024，数农）设矩阵 $ A=\begin{bmatrix}2&a&-1\\ a&2&b\\ -1&b&2\end{bmatrix} $有特征向量 $ \begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix} $ 答案解析 →

(1) 求 a, b 的值.

(2) 求可逆矩阵 P，使得 $ P^{-1}AP $ 为对角矩阵.

例17（2014，数农）已知 $ A=\begin{bmatrix}0&2&1\\ 0&1&0\\ 1&a&0\end{bmatrix} $ 相似于对角矩阵 $ \Lambda $. 答案解析 →

(1) 求 a.

(2) 求可逆矩阵 P 和 $ \Lambda $，使 $ P^{-1}AP = \Lambda $ 并验算.

答案见127页

三、 实对称矩阵

定理 5.5 实对称矩阵必可相似对角化.

定理 5.6 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交.

定理5.7 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则必存在正交阵 Q，使得 $ Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \Lambda $.

“实对称矩阵用正交矩阵相似对角化”的解题步骤：

（1）求出矩阵 A（设为三阶）的特征值 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} $

(2) 求出相应的特征向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $

（3）改造特征向量.

① 如果特征值不同，特征向量已正交，只需单位化，记为 $ \gamma_{1} $， $ \gamma_{2} $， $ \gamma_{3} $。

②如果特征值有重根，要先判断特征向量是否已正交.

若已正交则只需单位化；若不正交则要正交化处理并单位化，记为 $ \gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3} $

（4）用上述特征向量 $ \gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3} $ 构成正交矩阵 $ Q=(\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3}) $

即有 $ Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ\begin{bmatrix}\lambda_{1}&&\\ &\lambda_{2}&\\ &&\lambda_{3}\end{bmatrix} $

【注】A 是实对称矩阵， $ A\alpha_{1}=\lambda_{1}\alpha_{1} $， $ A\alpha_{2}=\lambda_{2}\alpha_{2} $， $ \lambda_{1}\neq\lambda_{2} $

由 $ A\alpha_{1}=\lambda_{1}\alpha_{1}\Rightarrow\alpha_{1}^{T}A^{T}=\lambda_{1}\alpha_{1}^{T}\Rightarrow\alpha_{1}^{T}A=\lambda_{1}\alpha_{1}^{T} $，右乘 $ \alpha_{2} $，得

$$ \lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}(\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2})=\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{2}, $$

$$ (\lambda_{1}-\lambda_{2})\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{2}=0, $$

因 $ \lambda_{1} \neq \lambda_{2} $，故必有 $ \alpha_{1}^{T} \alpha_{2} = 0 $。

即 $ \alpha_{1} $ 与 $ \alpha_{2} $ 正交.

例18 A是三阶实对称矩阵，特征值是1,2,3, $ \lambda_{1}=1 $和 $ \lambda_{2}=2 $的特征向量分别是 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}} $和 $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,a,-1)^{\mathrm{T}} $，则 $ \lambda_{3}=3 $的特征向量为___。 答案解析 →

答案见128页

例19 已知A是三阶实对称矩阵，满足 $ A^{2}=A $，若 $ r(A-E)=2 $，则A的特征值为___。 答案解析 →

例20 已知 $ A = \begin{bmatrix} 1 & a & -1 \\ a & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $，如果 $ r(A) = 2 $. 答案解析 →

(1) 求 a.

（2）求正交矩阵Q和对角矩阵 $ \Lambda $，使 $ Q^{-1}AQ=\Lambda $

例题解析

学习笔记

一、 特征值、特征向量

例 1 【解】由矩阵 A 的特征多项式 ← 原题

$$ \begin{aligned}\left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|&=\left|\begin{matrix}\lambda-17&2&2\\ 2&\lambda-14&4\\ 2&4&\lambda-14\end{matrix}\right|\\&=\left|\begin{matrix}\lambda-17&2&2\\ 2&\lambda-14&4\\ 0&18-\lambda&\lambda-18\end{matrix}\right|\\&=\left|\begin{matrix}\lambda-17&4&2\\ 2&\lambda-10&4\\ 0&0&\lambda-18\end{matrix}\right|\\&=(\lambda-18)(\lambda^{2}-27\lambda+162)=(\lambda-18)^{2}(\lambda-9)，\end{aligned} $$

得到矩阵 A 的特征值是 $ \lambda_{1} = \lambda_{2} = 18, \lambda_{3} = 9 $.

当 $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=18 $ 时，解方程 $ (18\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} $，即

$$ \begin{bmatrix}1&2&2\\ 2&4&4\\ 2&4&4\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&2&2\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix}, $$

得基础解系 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-2,1,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,0,1)^{\mathrm{T}} $

因此属于特征值 $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=18 $ 的特征向量是 $ k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}(k_{1},k_{2} $ 不全为 0).

当 $ \lambda_{3}=9 $时，由 $ (9\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} $，即

$$ \begin{aligned}\begin{bmatrix}{{{-8}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{-5}}}&{{{4}}} \\{{{2}}}&{{{4}}}&{{{-5}}}\end{bmatrix}&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{-5}}}&{{{4}}} \\{{{2}}}&{{{4}}}&{{{-5}}} \\{{{-8}}}&{{{2}}}&{{{2}}}\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{-5}}}&{{{4}}} \\{{{0}}}&{{{9}}}&{{{-9}}} \\{{{0}}}&{{{-18}}}&{{{18}}}\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{-5}}}&{{{4}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{-\frac{1}{2}}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix},\end{aligned} $$

得基础解系 $ \alpha_{3}=(1,2,2)^{\mathrm{T}} $

因此属于特征值 $ \lambda_{3}=9 $ 的特征向量是 $ k_{3}\alpha_{3}(k_{3}\neq0) $

例 2 【解】由特征多项式 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{aligned}\left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|&=\left|\begin{matrix}{{{\lambda+1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{4}}}&{{{\lambda-3}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{\lambda-2}}}\end{matrix}\right|=(\lambda-2)\left|\begin{matrix}{{{\lambda+1}}}&{{{-1}}} \\{{{4}}}&{{{\lambda-3}}}\end{matrix}\right|\\&=(\lambda-2)(\lambda^{2}-2\lambda+1),\end{aligned} $$

得到矩阵 A 的特征值 $ \lambda_{1} = \lambda_{2} = 1, \lambda_{3} = 2 $.

当 $ \lambda_{1} = \lambda_{2} = 1 $ 时，解方程 $ (E - A)x = 0 $

$$ \begin{bmatrix}2&-1&0\\ 4&-2&0\\ -1&0&-1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1\\ 0&1&2\\ 0&0&0\end{bmatrix}, $$

得基础解系 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,-2,1)^{\mathrm{T}} $. 所以特征值 $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=1 $ 的特征向量为 $ k_{1}\alpha_{1}(k_{1}\neq0) $.

当 $ \lambda_{3}=2 $ 时，解方程 $ (2\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} $

$$ \begin{bmatrix}3&-1&0\\ 4&-1&0\\ -1&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{bmatrix}, $$

得基础解系 $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,0,1)^{\mathrm{T}} $. 所以特征值 $ \lambda_{3}=2 $ 的特征向量为 $ k_{2}\alpha_{2}(k_{2}\neq0) $.

【注】通过例1和例2大家应当注意到，当特征值是二重根时，有可能只有一个线性无关的特征向量，也可能有两个线性无关的特征向量，这一点在后面相似对角化问题上是重要的.

例 3 【解】由特征多项式 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{aligned}\left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|&=\left|\begin{matrix}{{{\lambda+2}}}&{{{1}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{\lambda+1}}}&{{{-4}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{\lambda-1}}}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}{{{\lambda+2}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\lambda+1}}}&{{{2\lambda-2}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{\lambda-1}}}\end{matrix}\right|\\&=\left|\begin{matrix}{{{\lambda+2}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{\lambda+1}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{\lambda-1}}}\end{matrix}\right|=(\lambda-1)(\lambda^{2}+3\lambda),\end{aligned} $$

得矩阵 A 的特征值: $ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=0,\lambda_{3}=-3 $

对 $ \lambda_{1}=1 $ ，由 $ (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} $

$$ \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3&1&-2\\ 0&2&-4\\ -1&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&-2\\ 0&0&0\end{bmatrix}, $$

得基础解系 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(0,2,1)^{\mathrm{T}} $

$ \lambda_{1}=1 $ 的所有特征向量： $ k_{1}\alpha_{1}=k_{1}(0,2,1)^{\mathrm{T}},k_{1}\neq0 $

$ \lambda_{2}=0 $，由 $ (0\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} $

$$ 0\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&1&-2\\ 0&1&-4\\ -1&0&-1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1\\ 0&1&-4\\ 0&0&0\end{bmatrix}, $$

得基础解系 $ \alpha_{2}=(-1,4,1)^{\mathrm{T}} $

$ \lambda_{2}=0 $ 的所有特征向量： $ k_{2}\alpha_{2}=k_{2}(-1,4,1)^{\mathrm{T}},k_{2}\neq0 $

对 $ \lambda_{3} = -3 $，由 $ (-3E - A)x = 0 $，

$$ -3\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-1&1&-2\\ 0&-2&-4\\ -1&0&-4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&4\\ 0&1&2\\ 0&0&0\end{bmatrix}, $$

得基础解系 $ \alpha_{3}=(-4,-2,1)^{\mathrm{T}} $

$ \lambda_{3}=-3 $ 的所有特征向量： $ k_{3}\alpha_{3}=k_{3}(-4,-2,1)^{\mathrm{T}},k_{3}\neq0 $

例4 【解】由特征多项式 ← 严选题题目 ← 原题

(1)

$$ \left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|=\left|\begin{matrix}{{{\lambda-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{-2}}}&{{{\lambda-3}}}&{{{0}}} \\{{{-4}}}&{{{-5}}}&{{{\lambda-6}}}\end{matrix}\right|=(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-6)， $$

得矩阵A的特征值为：1,3,6.

【注】上（下）三角矩阵的特征值就是主对角线元素 $ a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{m} $

(2)

$$ \begin{aligned}\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\mid&=\left|\begin{matrix}\lambda-1&-2&-3\\-2&\lambda-4&-6\\-3&-6&\lambda-9\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\lambda-1&-2&-3\\-2&\lambda-4&-6\\-3\lambda&0&\lambda\end{matrix}\right|\\&=\left|\begin{matrix}\lambda-10&-2&-3\\-20&\lambda-4&-6\\0&0&\lambda\end{matrix}\right|=\lambda\left|\begin{matrix}\lambda-10&-2\\-20&\lambda-4\end{matrix}\right|\\&=\lambda^{2}(\lambda-14)，\end{aligned} $$

得矩阵A的特征值为：14,0,0.

【注】如果 $ r(A)=1 $，则有公式 $ \left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|=\lambda^{n}-\sum a_{ii}\lambda^{n-1} $，即 $ r(A)=1 $ 时，A 的特征值为： $ \sum a_{ii},0,\cdots,0(n-1) $ 个。

例 5 【证】因 $ \lambda $ 是 A 的特征值，设 $ \alpha $ 是对应的特征向量. ← 原题

即 $ A\alpha = \lambda\alpha, \alpha \neq 0 $.

(1) $ (A+kE)\alpha=A\alpha+(kE)\alpha=\lambda\alpha+k\alpha=(\lambda+k)\alpha,\alpha\neq0 $

所以 $ \lambda+k $ 是 A+kE 的特征值.

（2）由 $ A\alpha=\lambda\alpha,\alpha\neq0 $，有

$$ \boldsymbol{A}^{2}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{A}(\lambda\boldsymbol{\alpha})=\lambda\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda^{2}\boldsymbol{\alpha}, $$

递推地， $ A^{m}\alpha=\lambda^{m}\alpha,\alpha\neq0 $，所以 $ \lambda^{m} $是 $ A^{m} $的特征值.

例6 【分析】设矩阵A属于特征值-1的特征向量是 $ \alpha_{1} $，即 $ A\alpha_{1}=-\alpha_{1} $. ← 原题

由 $ A+B=2E $有B=2E-A，那么

$$ \boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{\alpha}_{1}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}=3\boldsymbol{\alpha}_{1}, $$

所以，3是矩阵B的一个特征值， $ \alpha_{1} $是矩阵B关于特征值 $ \lambda=3 $的特征向量.

类似地，由 $ A\alpha_{2}=0\alpha_{2},A\alpha_{3}=4\alpha_{3} $知

$$ \mathbf{B}\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2\mathbf{E}-\mathbf{A})\boldsymbol{\alpha}_{2}=2\boldsymbol{\alpha}_{2},\mathbf{B}\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2\mathbf{E}-\mathbf{A})\boldsymbol{\alpha}_{3}=-2\boldsymbol{\alpha}_{3}. $$

可知矩阵B的特征值是3,2,-2.

例 7 【分析】因 A 的特征值是 1, -1, 2. 于是 ← 原题

$ A + E $ 的特征值是 2, 0, 3.

A-E 的特征值是 0, -2, 1.

$ A+2E $ 的特征值是 3, 1, 4.

A-2E 的特征值是 -1, -3, 0.

又 $ \left|A\right|=\prod\lambda_{i} $，故应选(C).

例8 【证】 设 $ \lambda $ 是 A 的特征值, $ \alpha $ 是对应于 $ \lambda $ 的特征向量, 则 $ A\alpha = \lambda\alpha $, $ \alpha \neq 0 $, 那么 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \boldsymbol{A}^{2}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{A}(\lambda\boldsymbol{\alpha})=\lambda\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda^{2}\boldsymbol{\alpha}. $$

由 $ A^{2}+2A-3E=O $ 得 $ (\boldsymbol{A}^{2}+2\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} $

即

$$ (\lambda^{2}+2\lambda-3)\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0},\boldsymbol{\alpha}\neq\mathbf{0}, $$

故 $ \lambda^{2}+2\lambda-3=(\lambda-1)(\lambda+3)=0 $

所以矩阵 A 的特征值只能是 1 或 -3.

【注】注意满足条件 $ A^{2}+2A-3E=O $的矩阵A是不唯一的.例如

$$ \begin{bmatrix}1&&\\ &1&\\ &&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-3&&\\ &-3&\\ &&-3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&&\\ &1&\\ &&-3\end{bmatrix}, $$

$$ \begin{bmatrix}{{{1}}} \\{{{-3}}} \\{{{-3}}}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{3}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix},\cdots. $$

例 9 【分析】设 $ \alpha $ 是对应于特征值 $ \lambda $ 的特征向量，即 $ A\alpha = \lambda\alpha $，那么 ← 原题

$$ \begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{2}}} \\{{{5}}}&{{{a}}}&{{{3}}} \\{{{-1}}}&{{{b}}}&{{{-2}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{1}}} \\{{{1}}} \\{{{-1}}}\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}{{{1}}} \\{{{1}}} \\{{{-1}}}\end{bmatrix}, $$

即 $ \{\begin{aligned}&2-1-2=\lambda,\\&5+a-3=\lambda,\\&-1+b+2=-\lambda,\end{aligned}. $ 得 a=-3, b=0.

二、 相似矩阵

例10 【分析】由 $ A \sim B $ 知 $ A + E \sim B + E $，那么 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \left|\begin{array}{c}{{{\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}\mid=\mid\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}\mid=\quad\left|\begin{array}{c c c}{{{0}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{0}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{2}}}&{{{0}}}\end{array}\right|=16.}}}\end{array}\right| $$

例11 【分析】由 $ A \sim B $知 $ A - E \sim B - E $，故 ← 原题

$$ r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=r(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})=2. $$

例12 【分析】 $ \boldsymbol{A} = \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ [1,3, $ a $] = $ \begin{bmatrix} 1 & 3 & a \\ 1 & 3 & a \\ 1 & 3 & a \end{bmatrix} $，且 $ r(\boldsymbol{A}) = 1 $. ← 严选题题目 ← 原题

由 $ A \sim B $ 知 $ r(B) = r \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & b & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} = 1 $，得 b = 3.

因 $ \sum a_{ii}=\sum b_{ii},1+3+a=3+3+3 $，所以a=5。

或由 $ \lambda_{A}=\lambda_{B} $ 得 $ 1+3+a=9 $.

例13 【分析】因 $ A \sim B $，有 $ \sum a_{ii} = \sum b_{ii} $， $ |A| = |B| $， ← 原题

$$ \{\begin{aligned}&2+(-3)+b=1+2+(-2),\\ &|\mathbf{A}|=b(-6-4a)=-4=|\mathbf{B}|,\end{aligned}. $$

所以a=-1,b=2.

例14 【解】（1）因 A 是上三角矩阵，特征值为 1,3,5，由有 3 个不同的特征值，故 $ A \sim \Lambda $. ← 严选题题目 ← 原题

$$ \boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix}1&&\\ &3&\\ &&5\end{bmatrix}. $$

(2) 由 $ \left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|=\left|\begin{matrix}\lambda+1&0&-2\\ -1&\lambda-2&1\\ -1&-3&\lambda\end{matrix}\right| $

$ =0\lambda-1\quad\lambda-2\quad\lambda-2\quad\lambda-1\quad\lambda-3\quad\lambda $

$ =(\lambda+1)(\lambda-1)^{2} $

A 的特征值为 1,1,-1.

对 $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=1 $ ，由 $ (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} $，因

$$ r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=r\begin{bmatrix}2&0&-2\\ -1&-1&1\\ -1&-3&1\end{bmatrix}=2,3-r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=1, $$

即 $ (E-A)x=0 $ 只有1个线性无关的解.

亦 $ \lambda_{1} = \lambda_{2} = 1 $ 只有 1 个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似

对角化.

例 15 【证】由特征多项式 ← 原题

$$ \begin{aligned}\left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|&=\left|\begin{matrix}{{{\lambda-1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{\lambda-3}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{\lambda-2}}}\end{matrix}\right|=(\lambda-2)\left|\begin{matrix}{{{\lambda-1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{\lambda-3}}}\end{matrix}\right|\\&=(\lambda-2)^{3}\end{aligned} $$

得到矩阵 A 的特征值 $ \lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 2 $.

于是 $ n-r(2\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=3-2=1 $，说明齐次方程组 $ (2\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}= $ 0 只有一个线性无关的解，亦即 $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=2 $ 只有 1 个线性无关的特征向量.

三重特征值2只有1个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化.

例16 【解】（1）设 $ \alpha = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ 是 A 关于 $ \lambda $ 的特征向量，即 ← 原题

$$ \begin{bmatrix}2&a&-1\\ a&2&b\\ -1&b&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}, $$

有 $ \{\begin{aligned}&a+1=\lambda,\\&a+b+2=\lambda,\\&b+1=\lambda,\end{aligned}. $ 解出 $ \lambda=0,a=b=-1 $.

（2）由特征多项式

$$ \mid\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\mid=\left|\begin{array}{c c c}{\lambda-2}&{1}&{1}\\ {1}&{\lambda-2}&{1}\\ {1}&{1}&{\lambda-2}\end{array}\right|=\lambda(\lambda-3)^{2}, $$

知A的特征值：3，3，0.

对 $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=3 $ ，由 $ (3\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} $ 得特征向量

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,1,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}. $$

对 $ \lambda_{3}=0 $ ，特征向量

$$ \boldsymbol{\alpha}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}. $$

令 $ P = \left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha\right] = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $，有 $ P^{-1} A P = \Lambda = \begin{bmatrix} 3 & & \\ & 3 & \\ & & 0 \end{bmatrix} $.

例 17 【解】由 A 的特征多项式 ← 原题

$$ \begin{aligned}\left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|&=\left|\begin{matrix}\lambda&-2&-1\\ 0&\lambda-1&0\\ -1&-a&\lambda\end{matrix}\right|=(\lambda-1)\left|\begin{matrix}\lambda&-1\\ -1&\lambda\end{matrix}\right|\\&=(\lambda-1)^{2}(\lambda+1)\end{aligned} $$

得 A 的特征值: 1, 1, -1.

（1）因 $ A \sim \Lambda $ ，而 $ \lambda_{1} = \lambda_{2} = 1 $ 是二重特征值，那么 $ \lambda_{1} = \lambda_{2} = 1 $ 应有 2 个线性无关的特征向量.

$ (E-A)x=0 $ 应有2个线性无关的解，故

$$ n-r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=3-r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=2, 即 r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=1. $$

$$ \mathbf{E}-\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}{1}&{-2}&{-1}\\ {0}&{0}&{0}\\ {-1}&{-\alpha}&{1}\\ \end{matrix}\right]\to\left[\begin{matrix}{1}&{-2}&{-1}\\ {0}&{\alpha+2}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ \end{matrix}\right], $$

所以a=-2.

（2）把a=-2代入A中.

对 $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=1 $ ，由 $ (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} $

$$ \begin{bmatrix}1&-2&-1\\ 0&0&0\\ -1&2&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&-2&-1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix} $$

得特征向量 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,0,1)^{\mathrm{T}} $

对 $ \lambda_{3} = -1 $，由 $ (-E - A)x = 0 $，得特征向量 $ \alpha_{3} = (-1, 0, 1)^{\mathrm{T}} $

令 $ \boldsymbol{P} = (\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}) = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $，则 $ \boldsymbol{P}^{-1} A \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & -1 \end{bmatrix} $.

验算如下：

$$ \begin{aligned}\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}&=\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\\&=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\\&=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{-1}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\\&=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{{{2}}} \\{{{2}}} \\{{{-2}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{1}}} \\{{{1}}} \\{{{-1}}}\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

三、 实对称矩阵

例18 【分析】因 $ \lambda_{1} \neq \lambda_{2} $，知 $ \alpha_{1} $ 与 $ \alpha_{2} $ 正交， ← 严选题题目 ← 原题

$$ (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2})=(-1)\cdot1+(-1)\cdot a+1\cdot(-1)=0, $$

所以a=-2.

设 $ \lambda_{3}=3 $ 的特征向量 $ \boldsymbol{\alpha}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{\mathrm{T}} $，则

$$ \{\begin{aligned}(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha}_{1})&=-x_{1}-x_{2}+x_{3}=0,\\ (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha}_{2})&=x_{1}-2x_{2}-x_{3}=0,\end{aligned}. $$

$$ \begin{bmatrix}{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{-1}}}\end{bmatrix}\xrightarrow{}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}, $$

则 $ \alpha = k(1,0,1)^{\mathrm{T}}, k \neq 0. $

例19【分析】设 $ A\alpha=\lambda\alpha $，则 $ A^{n}\alpha=\lambda^{n}\alpha $，于是由 $ A^{2}=A $得 $ A^{2}\alpha=A\alpha $即 $ (\lambda^{2}-\lambda)\alpha=0 $. ← 原题

知矩阵A的特征值为1或0.

因 A 是实对称矩阵，知 $ A \sim \Lambda $，那么 $ A - E \sim \Lambda - E $.

故 $ r(\boldsymbol{\Lambda}-\boldsymbol{E})=r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=2 $，所以 $ \Lambda=\begin{bmatrix}1&&\\ &0&\\ &&0\end{bmatrix} $，即矩阵 A 的

特征值为:1,0,0.

【注】注意和例8的区别.例8中不能求出A的具体特征值.

例20 【解】（1）因 A 中有二阶子式非零，于是 ← 原题

$$ r(\boldsymbol{A})=2\Leftrightarrow\mid\boldsymbol{A}\mid=0, $$

而 $ \left|\begin{matrix}1&a&-1\\ a&3&1\\ -1&1&1\end{matrix}\right|=-(a+1)^{2} $，所以a=-1。

（2）由 A 的特征多项式

$$ \mid\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\mid=\left|\begin{array}{c c c}{\lambda-1}&{1}&{1}\\ {1}&{\lambda-3}&{-1}\\ {1}&{-1}&{\lambda-1}\end{array}\right|=\lambda(\lambda-1)(\lambda-4), $$

得到 A 的特征值: 1, 4, 0.

对 $ \lambda_{1}=1 $，由 $ (E-A)x=0 $ 得特征向量 $ \alpha_{1}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}} $

对 $ \lambda_{2}=4 $ ，由 $ (4E-A)x=0 $ 得特征向量 $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-1,2,1)^{\mathrm{T}} $

对 $ \lambda_{3}=0 $ ，由 $ (0E-A)x=0 $ 得特征向量 $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,0,1)^{\mathrm{T}} $

因实对称矩阵的特征值不同，特征向量已相互正交，单位化后有

$$ \boldsymbol{\gamma}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}-1\\ -1\\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{\gamma}_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}-1\\ 2\\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{\gamma}_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 1\end{bmatrix}. $$

令 $ \boldsymbol{Q} = (\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}) = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} $，则 $ Q^{-1}AQ = \Lambda = \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 4 & \\ & & 0 \end{bmatrix} $.

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