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2027考研数学复习全书·基础篇·线性代数基础·严选题（李永乐）教材阅读
本册目录

第五章 特征值和特征向量

原书第 53 页

第五章 特征值和特征向量

例题优选

例2 求 $ A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量. 学习册答案 →

学前预习 例题优选答案见学习册

学后优练

原书第 54 页

例3 求 $ A = \begin{bmatrix} -2 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量. 学习册答案 →

学前预习

例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

例 4 求 A 的特征值 学习册答案 →

$$ (1)\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 2&3&0\\ 4&5&6\end{bmatrix}. $$

$$ (2)\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\ 2&4&6\\ 3&6&9\end{bmatrix}. $$

学前预习

例题优选答案见学习册

带着11题去学

学后优练

再做遍真掌握了吗
原书第 55 页

例 8 已知 A 是三阶矩阵，且 $ A^{2} + 2A - 3E = O $. 学习册答案 →

证明：矩阵A的特征值只能是1或-3.

学前预习

例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

例10 已知 $ A \sim B $，若 $ A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix} $，则 $ |B + E| = $ ___. 学习册答案 →

学前预习

例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

原书第 56 页

例12 设 $ A = \alpha\beta^{\mathrm{T}} $，其中 $ \alpha = (1,1,1)^{\mathrm{T}}, \beta = (1,3,a)^{\mathrm{T}}, B = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & b & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $，且 $ A \sim B $，则 $ a = $ ___. 学习册答案 →

学前预习 例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

例14 判断下列矩阵能否相似对角化，如能相似对角化，则写出和其相似的对角矩阵. 学习册答案 →

(1)

$$ \begin{bmatrix}1&3&5\\ 0&3&5\\ 0&0&5\end{bmatrix}. $$

(2)

$$ \begin{bmatrix}{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{3}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}. $$

学前预习

例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

_

再做一遍，你真掌握了吗

原书第 57 页

例18 A 是三阶实对称矩阵，特征值是 1,2,3, $ \lambda_{1}=1 $ 和 $ \lambda_{2}=2 $ 的特征向量分别是 $ \alpha_{1}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}} $ 和 $ \alpha_{2}=(1,a,-1)^{\mathrm{T}} $，则 $ \lambda_{3}=3 $ 的特征向量为 ___. 学习册答案 →

学后优练

侧20 已知 $ A = \begin{bmatrix} 1 & a & -1 \\ a & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $，如果 $ r(A) = 2 $.

(1) 求 a.

(2) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 $ \Lambda $，使 $ Q^{-1}\Lambda Q = \Lambda $.

学前预习 例题优选答案见学习册

学后优练

原书第 58 页

自测练习题

  1. 矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & -3 \end{bmatrix} $，则 A 有一个特征向量
    2. 答案 →

(A) $ (1,0,-1)^{\mathrm{T}} $. (B) $ (3,3,-6)^{\mathrm{T}} $. (C) $ (1,1,-2)^{\mathrm{T}} $. (D) $ (4,-1,2)^{\mathrm{T}} $.

  1. 设 A 是三阶可逆矩阵， $ A^{*} $ 是 A 的伴随矩阵，如果 A 的特征值是 1,2,3，那么 $ (A^{*})^{2} + E $ 的最大特征值是 ___.
    2. 答案 →
  1. 求矩阵 A = $ \begin{bmatrix}1&1&-1\\1&-2&-1\\-3&1&3\end{bmatrix} $ 的特征值，特征向量.
    2. 答案 →
  1. 求矩阵 A = $ \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix} $ 的特征值，特征向量.
    2. 答案 →
原书第 59 页
  1. 证明 A 和 $ A^{T} $ 有相同的特征值，用二阶矩阵举例说明 A 和 $ A^{T} $ 的特征向量可以不同.
    2. 答案 →
  1. 已知 $ A \sim B $，若 $ A^{2} = E $，则 $ B^{2} = $ ___.
    2. 答案 →
  1. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1, 2, 3，对应的特征向量依次为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $，若 $ P = (\alpha_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}) $，则 $ P^{-1}AP = $ ___。
    2. 答案 →
  1. 下列矩阵中不能相似对角化的矩阵一共有
    2. 答案 →

$$ \begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{2}}}&{{{2}}}\end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{-1}}}\end{bmatrix} $$

(A)1 个.

$$ \begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{2}}} \\{{{5}}}&{{{-3}}}&{{{3}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{-2}}}\end{bmatrix} $$

(B)2 个。

$$ \begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{3}}}\end{bmatrix} $$

(C)3 个.

(D)0 个.

  1. 已知 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ a & -6 & 2 \end{bmatrix} $ 可以相似对角化，求 a 并求可逆矩阵 P 使 $ P^{-1}AP = \Lambda $.
    2. 答案 →
原书第 60 页
  1. 已知 A 是四阶实对称矩阵，且 $ A^{2}-3A+2E=O $。若齐次方程组 $ (E-A)x=0 $ 的每一个解均可由 $ \alpha $ 线性表出，则 A 的特征值是 ___。
    2. 答案 →
  1. 已知 A 是三阶实对称矩阵，秩为 2， $ \lambda_{1} = \lambda_{2} = 6 $ 是 A 的二重特征值，对应的特征向量是 $ \alpha_{1} = (1, 1, 0)^{\mathrm{T}} $ 和 $ \alpha_{2} = (2, 1, 1)^{\mathrm{T}} $，求 A 的另一特征值和对应的特征向量.
    2. 答案 →
  1. 已知 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} $，求正交矩阵 Q 使 $ Q^{-1} A Q = \Lambda $.
    2. 答案 →
  1. 假设 $ \lambda $ 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明：
    2. 答案 →

(1) $ \frac{1}{\lambda} $为 $ A^{-1} $的特征值.

(2) $ \frac{|A|}{\lambda} $为A的伴随矩阵 $ A^{*} $的特征值.

  1. 设 A 为 n 阶矩阵 $ \left| A \right| \neq 0 $，A' 为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 有特征值 $ \lambda $，则 $ (A^{*})^{2} + E $ 必有特征值 ___。
    2. 答案 →
原书第 61 页
  1. 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 ___.
    2. 答案 →
  1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1 - c & 0 & -a \end{bmatrix} $，其行列式 $ \left| A \right| = -1 $，又 A 的伴随矩阵 $ A^{*} $ 有一个特征值 $ \lambda_{0} $，属于 $ \lambda_{0} $ 的一个特征向量为 $ \boldsymbol{\alpha} = (-1, -1, 1)^{\mathrm{T}} $，求 a, b, c 和 $ \lambda_{0} $ 的值.
    2. 答案 →
  1. 设 A 为二阶矩阵, $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 为线性无关的二维列向量, $ A\alpha_{1} = 0 $, $ A\alpha_{2} = 2\alpha_{1} + \alpha_{2} $, 则 A 的非零特征值为 ___.
    2. 答案 →
  1. 矩阵 $ \begin{bmatrix}0&-2&-2\\ 2&2&-2\\ -2&-2&2\end{bmatrix} $的非零特征值是 ___.
    2. 答案 →
  1. 求矩阵
    2. 答案 →

$$ \mathbf{A}=\begin{bmatrix}{{{-3}}}&{{{-1}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{4}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix} $$

的实特征值及对应的特征向量.

原书第 62 页
  1. 设
    2. 答案 →

$$ \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{-2}}} \\{{{2}}}&{{{-2}}}&{{{-1}}}\end{bmatrix}. $$

（1）试求矩阵A的特征值.

(2) 利用(1) 小题的结果，求矩阵 $ E + A^{-1} $ 的特征值，其中 E 是三阶单位矩阵.

  1. 设向量 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^{\mathrm{T}} $ 都是非零向量，且满足条件 $ \alpha^{T} \beta = 0 $，记 n 阶矩阵 $ A = \alpha \beta^{T} $. 求：
    2. 答案 →

(1) $ A^{2} $

（2）矩阵A的特征值和特征向量.

  1. 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵。已知 n 维列向量 $ \alpha $ 是 A 的属于特征值 $ \lambda $ 的特征向量，则矩阵 $ (\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})^{\mathrm{T}} $ 属于特征值 $ \lambda $ 的特征向量是
    2. 答案 →

(A) $ P^{-1}\alpha. $ (B) $ P^{T}\alpha. $ (C) $ P\alpha $ (D) $ (P^{-1})^{\mathrm{T}}\alpha $

  1. 已知向量 $ \alpha = (1, k, 1)^{\mathrm{T}} $ 是矩阵
    2. 答案 →

$$ \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{2}}}\end{bmatrix} $$

的逆矩阵 $ A^{-1} $ 的特征向量，试求常数 k 的值.

原书第 63 页
  1. 设三阶矩阵 A 的特征值为 $ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=3 $，对应的特征向量依次为 $ \xi_{1}=\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix} $， $ \xi_{2}=\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 4\end{bmatrix},\xi_{3}=\begin{bmatrix}1\\ 3\\ 9\end{bmatrix} $，又向量 $ \beta=\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 3\end{bmatrix} $.
    2. 答案 →

（1）将 $ \beta $ 用 $ \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} $ 线性表出；

(2) 求 $ A^{n}\beta(n $ 为自然数 $.$

  1. 已知 $ \xi = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} $ 是矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2 \end{bmatrix} $ 的一个特征向量.
    2. 答案 →

（1）试确定参数a,b及特征向量 $ \xi $所对应的特征值；

(2) 问 A 能否相似于对角阵？说明理由.

  1. 已知三阶矩阵 A 与三维向量 x，使得向量组 x, Ax, A^{2}x 线性无关，且满足 $ A^{3}x = 3Ax - 2A^{2}x $.
    2. 答案 →

（1）记 $ P=\left[x,Ax,A^{2}x\right] $，求三阶矩阵B，使 $ A=PBP^{-1} $;

(2) 计算行列式 $ \left|A+E\right| $.

原书第 64 页

27、设矩阵 $ A=\begin{bmatrix}1&2&-3\\ -1&4&-3\\ 1&a&5\end{bmatrix} $的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化. 答案 →

  1. 若矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & a \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} $ 相似于对角矩阵 $ \Lambda $，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 $ P^{-1}AP = \Lambda $.
    2. 答案 →
  1. 若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 $ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5} $，则行列式 $ \left|B^{-1}-E\right|= $ ___.
    2. 答案 →
  1. 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 $ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=-2 $ ，且 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}} $ 是 A 的属于 $ \lambda_{1} $ 的一个特征向量，记 $ B=A^{5}-4A^{3}+E $ ，其中 E 为三阶单位矩阵.
    2. 答案 →

（1）验证 $ \alpha_{1} $ 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；

（2）求矩阵B.

原书第 65 页
  1. 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3；矩阵 A 的属于特征值 1, 2 的特征向量分别是 $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (-1, -1, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2} = (1, -2, -1)^{\mathrm{T}} $.
    2. 答案 →

（1）求 A 的属于特征值 3 的特征向量.

  1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{bmatrix} $, $ \beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} $，已知线性方程组 $ Ax = \beta $ 有解但不唯一.
    2. 答案 →

试求：(1)a 的值；

(2) 求矩阵 A.

(2) 正交矩阵 Q，使 $ Q^{T}AQ $ 为对角矩阵.

  1. 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2, $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=6 $ 是 A 的二重特征值. 若 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,0)^{\mathrm{T}} $ $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,1,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,2,-3)^{\mathrm{T}} $ 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量.
    2. 答案 →

（1）求 A 的另一特征值和对应的特征向量；

(2) 求矩阵 A.

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