2027考研数学复习全书·基础篇·线性代数基础·严选题（李永乐）教材阅读

第四章线性方程组

原书第 40 页

第四章线性方程组

例题优选

例 1 求齐次方程组学习册答案 →

$$ \{\begin{aligned}&5x_{1}+7x_{2}+2x_{3}&=0,\\ &3x_{1}+5x_{2}+6x_{3}-4x_{4}&=0,\\ &4x_{1}+5x_{2}-2x_{3}+3x_{4}&=0\end{aligned}. $$

的基础解系和通解.

学前预习

例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍你真掌握了吗

原书第 41 页

例 2 求齐次方程组学习册答案 →

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}&-x_{2}-7x_{3}+5x_{4}=0,\\ x_{1}&-2x_{2}-5x_{3}-2x_{4}=0,\\ x_{1}&+x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=0\end{aligned}. $$

的通解.

学前预习

例题优选答案见学习册

学后优练

例6 已知 A 是 $ 5 \times 4 $ 矩阵， $ \eta_{1}, \eta_{2} $ 是 Ax = 0 的基础解系，则 $ A^{T}y = 0 $ 的基础解系 (A) 不存在. 学习册答案 →

(B) 有一个非零解.

(C) 有 2 个线性无关的解.

(D) 有 3 个线性无关的解.

学前预习

原书第 42 页

例 8 解方程组学习册答案 →

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=2,\\ 2x_{1}&+3x_{2}+x_{3}+x_{4}-3x_{5}=0,\\ x_{1}&+2x_{3}+3x_{4}+3x_{5}=4,\\ 4x_{1}&+5x_{2}+3x_{3}+2x_{4}+2x_{5}=6.\end{aligned}. $$

学前预习

例题优选答案见学习册

学后优练

例14 若 $ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}4 & 5 \\ 5 & 6\end{bmatrix} $，则 $ X = $ ___. 学习册答案 →

例题优选答案见学习册

学后优练

原书第 43 页

例15 已知向量组 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,3,1,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(-1,1,3,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,7,a,1)^{\mathrm{T}} $ 线性相关，则 a= ___. 学习册答案 →

学前预习例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

例 17 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为学习册答案 →

$$ \boldsymbol{\eta}_{1}=(4,3,1,2)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,3,-2)^{\mathrm{T}}. $$

学前预习例题优选答案见学习册

带着问题去学

学后优练

再做一遍，你真掌握了吗

原书第 44 页

自测练习题

齐次方程组 $ x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{4}=0 $ 的基础解系是 ___.

齐次方程组

$$ \{\begin{aligned}\lambda x_{1}&+x_{2}+x_{3}=0,\\ x_{1}&+\lambda x_{2}+x_{3}=0,\\ x_{1}&+x_{2}+x_{3}=0\end{aligned}. $$

只有零解，则 $ \lambda $ 应满足的条件是 ___.

设 A 是 $ 4 \times 5 $ 矩阵， $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 是齐次方程组 $ A^{T} x = 0 $ 的基础解系，则秩 $ r(A) = (\text{A})_{4} $. (B)3. (C)2. (D)1.

求齐次方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&-3x_{4}-x_{5}=0,\\ x_{1}-x_{2}+4x_{3}-x_{4}&=0,\\ 4x_{1}-2x_{2}+12x_{3}-2x_{4}-3x_{5}&=0.\end{aligned}. $ 的通解.

原书第 45 页

已知方程组 $ \begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} $ 有无穷多解，则 a = ___.

解方程组 $ \{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=1,\\5x_{1}+5x_{2}-3x_{3}-4x_{4}=4.\end{array}. $

已知方程组 $ \{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+2x_{3}=a,\\3x_{1}-x_{2}-6x_{3}=a+2,\\x_{1}+4x_{2}+11x_{3}=a+3.\end{array}. $

问 a 为何值时方程组有解，并在有解时求其通解.

设 A 为 $ m \times n $ 矩阵，则非齐次线性方程组 Ax = b 有解的一个充分条件为

(A) $ r(A)=m. $ (B) $ r(A)=n. $ (C) $ r(A,b)=m. $ (D) $ r(A,b)=n. $

原书第 46 页

已知线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{2}+a x_{3}=4,\\ -x_{1}&+a x_{2}+x_{3}=a^{2},\\ x_{1}&-x_{2}+2x_{3}=-4\end{aligned}. $$

有无穷多解，求a的值并求这些解.

已知四阶方阵 $ A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}) $， $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 均为四维列向量，其中 $ \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 线性无关， $ \alpha_{1} = 2\alpha_{2} - \alpha_{3} $，如果 $ \beta = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} + \alpha_{4} $，求线性方程组 Ax = $ \beta $ 的通解.

设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n-1，则线性方程组 Ax=0 的通解为 ___.

求齐次线性方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&+x_{5}=0,\\ x_{1}+x_{2}-x_{3}&=0,\\ x_{3}+x_{4}+x_{5}&=0\end{aligned}. $，的基础解系.

原书第 47 页

设有齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}(1+a)x_{1}&+\quad x_{2}+\cdots&\quad+x_{n}&=0,\\ 2x_{1}+(2+a)x_{2}&+\cdots&\quad+2x_{n}&=0,\\ &\vdots&\quad&(n\geqslant2)\\ nx_{1}&+\quad nx_{2}+\cdots+(n+a)x_{n}&=0,\end{aligned}. $$

已知 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 是线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，若 $ \beta_{1} = \alpha_{1} + t\alpha_{2}, \beta_{2} = \alpha_{2} + t\alpha_{3}, \beta_{3} = \alpha_{3} + t\alpha_{4}, \beta_{4} = \alpha_{4} + t\alpha_{1} $，讨论实数 t 满足什么关系时， $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4} $ 也是 Ax = 0 的一个基础解系.

试问 a 取何值时，该方程组有非零解？并求出其通解。

设 A 为 $ m \times n $ 矩阵，齐次线性方程组 Ax = 0 仅有零解的充分条件是

(A)A 的列向量线性无关.

(B)A 的列向量线性相关.

(C)A 的行向量线性无关.

(D)A 的行向量线性相关.

原书第 48 页

已知三阶矩阵 $ B \neq O $，且 B 的每一个列向量都是以下方程组的解

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+2x_{2}-2x_{3}=0,\\ 2x_{1}&-x_{2}+\lambda x_{3}=0,\\ 3x_{1}&+x_{2}-x_{3}=0.\end{aligned}. $$

(1) 求 $ \lambda $ 的值; (2) 证明 $ \left|B\right|=0 $.

问 a, b 为何值时，线性方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&+x_{3}+x_{4}=0,\\ x_{2}&+2x_{3}+2x_{4}=1,\\ -x_{2}+(a-3)x_{3}-2x_{4}&=b,\\ 3x_{1}+2x_{2}&+x_{3}+ax_{4}=-1\end{aligned}. $ 有唯一解，无解，有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解.

问 $ \lambda $ 为何值时，线性方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{3}=\lambda,\\ 4x_{1}&+x_{2}+2x_{3}=\lambda+2,\\ 6x_{1}&+x_{2}+4x_{3}=2\lambda+3\end{aligned}. $ 有解？并求出通解.

原书第 49 页

已知 $ \beta_{1}, \beta_{2} $ 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， $ k_{1}, k_{2} $ 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是

(A) $ k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1 + \alpha_2) + \frac{\beta_1 - \beta_2}{2} $. (B) $ k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1 - \alpha_2) + \frac{\beta_1 + \beta_2}{2} $. (C) $ k_1\alpha_1 + k_2(\beta_1 + \beta_2) + \frac{\beta_1 - \beta_2}{2} $. (D) $ k_1\alpha_1 + k_2(\beta_1 - \beta_2) + \frac{\beta_1 + \beta_2}{2} $.

设线性方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}&=1,\\ x_{2}+ax_{3}-ax_{4}&=-1,\\ x_{1}+2x_{2}&+3x_{4}=3.\end{aligned}. $ 问 a 为何值时方程组有解，并在有解时求出方程组的通解.

已知方程组 $ \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 3\\ 0\end{bmatrix} $ 无解，则 a= ___.

原书第 50 页

已知非齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1,\\ 4x_{1}&+3x_{2}+5x_{3}-x_{4}=-1,\\ ax_{1}&+x_{2}+3x_{3}+bx_{4}=1\end{aligned}. $$

有3个线性无关的解.

（1）证明方程组系数矩阵 A 的秩 $ r(A)=2 $;

(2) 求 a, b 的值及方程组的通解.

23. $ \lambda $ 取何值时，方程组答案 →

$$ \{\begin{aligned}&2x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=1,\\ &\lambda x_{1}-x_{2}+x_{3}=2,\\ &4x_{1}+5x_{2}-5x_{3}=-1\end{aligned}. $$

无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。

解线性方程组 $ \{\begin{aligned}2x_{1}-x_{2}+4x_{3}-3x_{4}&=-4,\\ x_{1}&+x_{3}-x_{4}&=-3,\\ 3x_{1}+x_{2}+x_{3}&=1,\\ 7x_{1}&+7x_{3}-3x_{4}=3.\end{aligned}. $

原书第 51 页

已给线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=1,\\ x_{1}&+3x_{2}+6x_{3}\quad+x_{4}=3,\\ 3x_{1}&-x_{2}-k_{1}x_{3}+15x_{4}=3,\\ x_{1}&-5x_{2}-10x_{3}+12x_{4}=k_{2},\end{aligned}. $$

问 $ k_{1} $ 和 $ k_{2} $ 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在方程组有无穷多组解的情形下，试求出一般解。

已知线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=a,\\ 3x_{1}&+2x_{2}+x_{3}+x_{4}-3x_{5}=0,\\ &x_{2}+2x_{3}+2x_{4}+6x_{5}=b,\\ 5x_{1}&+4x_{2}+3x_{3}+3x_{4}-x_{5}=2.\end{aligned}. $$

(1)a,b为何值时，方程组有解？

（2）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系.

（3）方程组有解时，求出方程组的全部解.

k 为何值时，线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{2}+kx_{3}=4,\\ -x_{1}&+kx_{2}+x_{3}=k^{2},\\ x_{1}&-x_{2}+2x_{3}=-4\end{aligned}. $$

有唯一解、无解、有无穷多组解？在有解情况下，求出其全部解。

原书第 52 页

设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 是四元非齐次线性方程组 Ax = b 的三个解向量，且 $ r(A) = 3, \alpha_{1} = (1, 2, 3, 4)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2} + \alpha_{3} = (0, 1, 2, 3)^{\mathrm{T}} $，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax = b 的通解 x =

(A)

$$ \begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}. $$

(B)

$$ \begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}. $$

(C)

$$ \begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{bmatrix}. $$

(D)

$$ \begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}3\\ 4\\ 5\\ 6\end{bmatrix}. $$

设 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,a+2,-3a)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,-b-2,a+2b)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}=(1,3,-3)^{\mathrm{T}} $. 试讨论当 a,b 为何值时，

(1) $ \beta $ 不能由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性表示；

(2) $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 唯一地线性表示，并求出表示式；

(3) $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.

← 第三章向量第五章特征值和特征向量 →