第三章 向量

第三章 向量

例题优选

例1 设 $ \alpha_{1}=(1,2,3),\alpha_{2}=(1,3,4),\alpha_{3}=(2,-1,1),\beta=(2,5,t) $，问t取何值时， 学习册答案 →

(1) 行向量 $ \beta $ 不能由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $

（2）行向量 $ \beta $ 能由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表出，并写出此表达式.

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例2 设 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1+\lambda,1,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1+\lambda,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,1,1+\lambda)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}=(0,\lambda,\lambda^{2})^{\mathrm{T}} $ 学习册答案 →

问当 $ \lambda $取什么值时：

(1) $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线表示，并写出该表示式.

(2) $ \beta $ 不能由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表示.

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例 5 判断向量组的线性相关性 学习册答案 →

(1) $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(3,4,2)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,1,-7)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,2,4)^{\mathrm{T}} $

(2) $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,4)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,6)^{\mathrm{T}} $

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$$ 带着问题去学 $$

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例 6 判断向量组的线性相关性 学习册答案 →

$$ (1)\boldsymbol{\alpha}_{:}=\left(1,3,-2\right),\boldsymbol{\alpha}_{:}=\left(0,2,5\right),\boldsymbol{\alpha}_{:}=\left(2,6,-4\right). $$

$$ (2)\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,0,0),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,3,5), $$

$$ (3)\boldsymbol{a}_{i}=(1,1,1,a),\boldsymbol{a}_{i}=(0,1,1,b),\boldsymbol{a}_{i}=(0,0,1,c). $$

$$ (4)\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1,1),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,0,0,1),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,0,1,0),\boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,1,0,0). $$

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再做 潘 你真拿握了吗

例日 慢 $ A=(\varpi_{1},\varpi_{2},\cdots,\varpi_{n}),\mathbb{B}=(\mathbb{E}_{1},\mathbb{E}_{2},\cdots,\mathbb{E}_{n}),AB=(\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{n}) $ 均是 n 阶矩阵，记向量组

$$ (Ⅰ )@_{1}\circ@_{0},\cdots,\circ@_{0},(Ⅱ )@_{1},@_{1},\cdots,@_{1},(Ⅲ )\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{o}, $$

若（Ⅲ）线性相关，则

(A)(Ⅰ)(Ⅱ)均线性相关。 (B)(Ⅰ)或(Ⅱ)至少有一个线性相关。 (C)(Ⅰ)必线性相关。 (D)(Ⅱ)必线性相关。

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百 善问题书学

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例13 向量组 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,2,4)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,3,1,2)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,0,7,14)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,-2,2,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{5}=(2,-1,5,2)^{\mathrm{T}} $ 的极大线性无关组是 ___. 学习册答案 →

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例16 设 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1,1,-1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,1,1,-1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{4}=(-1,1,-1,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{5}=(1,-1,-1,-1)^{\mathrm{T}} $，如 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k} $ 线性无关且 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k},\alpha_{k+1} $ 线性相关，则 $ k= $ ___. 学习册答案 →

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___

再做遍你宜掌握0

例21 与向量 $ \alpha_{1} = (1, 3, 2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2} = (1, 1, -2)^{\mathrm{T}} $ 都正交的单位向量是 ___. 学习册答案 →

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例22 已知 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(-1,0,-1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,2,3)^{\mathrm{T}} $，试用施密特正交化将这组向量正交规范化. 学习册答案 →

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自测练习题

1. 已知 $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2} = (2,a,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3} = (5,7,2)^{\mathrm{T}} $ 线性相关，则 a = ___.
答案 →

1. 已知 $ \boldsymbol{\beta} = (1, -4, a)^{\mathrm{T}} $ 可由 $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (1, 2, 3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2} = (2, 1, 0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3} = (4, -1, -6)^{\mathrm{T}} $ 线性表示，则 a = ___.
答案 →

1. 设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是
答案 →

(A) $ \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2} + \alpha_{3}, \alpha_{3} - \alpha_{1} $.

(B) $ \alpha_{1} - \alpha_{2}, \alpha_{2} - \alpha_{3}, \alpha_{3} - \alpha_{1} $.

(C) $ \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2} + \alpha_{3}, \alpha_{1} + 2\alpha_{2} + \alpha_{3} $.

(D) $ \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2} + \alpha_{3}, \alpha_{3} + \alpha_{1} $.

4.（2024，数农）设向量 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(-a,1,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,-a,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,1,-a)^{\mathrm{T}} $，则向量组 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} $的秩为3的充分必要条件是 答案 →

(A) $ (a-2)(a+1)\neq0. $

(B) $ a(a+1)\neq0. $

(C) $ a \neq 2. $

(D) $ a \neq -1. $

1. 已知向量组 $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (1, -1, 0, 5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2} = (2, 0, 1, 4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3} = (3, 1, 2, 3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4} = (4, 2, 3, a)^{\mathrm{T}} $，其中 a 是参数。求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
答案 →

1. 设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = O，则 A 和 B 的秩
答案 →

(A) 必有一个等于 0.

(B) 都小于 n.

(C) 一个小于 n，一个等于 n.

(D) 都等于 n.

1. 设 A 是秩为 r 的 $ m \times n $ 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，B = AC. 若 $ r(B) = r_{1} $，则
答案 →

(A) $ r=r_{1} $. (B)r<r_{1}.

(C) $ r\gt r_{1} $. (D)r和 $ r_{1} $的关系与C有关.

1. 已知 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，证明： $ \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2} + \alpha_{3}, \alpha_{3} + \alpha_{1} $ 线性无关.
答案 →

1. 已知 A 是 $ m \times n $ 矩阵，B 是 $ n \times m $ 矩阵，且 AB = E. 证明： $ r(A) = r(B) = m $.
答案 →

1. 已知 n 维向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 是两两正交的非零列向量. 证明: $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性无关.
答案 →

1. 设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式 $ \left|A\right|=a\neq0 $，而 $ A^{*} $ 是 A 的伴随矩阵，则 $ \left|A^{*}\right| $ 等于
答案 →

(A)a. (B) $ \frac{1}{a} $. (C) $ a^{n-1} $. (D)a^{n}.

1. 已知 $ \alpha_{1} = (1,0,2,3) $, $ \alpha_{2} = (1,1,3,5) $, $ \alpha_{3} = (1,-1,a+2,1) $, $ \alpha_{4} = (1,2,4,a+8) $ 及 $ \boldsymbol{\beta} = (1,1,b+3,5) $.
答案 →

(1)a,b为何值时, $ \beta $不能表示成 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} $的线性组合?

(2)a,b为何值时, $ \beta $有 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} $的唯一线性表示式？写出该表示式.

1. 设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关，向量组 $ \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 线性无关，问：
答案 →

(1) $ \alpha_{1} $能否由 $ \alpha_{2},\alpha_{3} $线性表出？证明你的结论；

(2) $ \alpha_{4} $ 能否由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表出？证明你的结论.

1. 已知 $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (1, 4, 0, 2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2} = (2, 7, 1, 3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3} = (0, 1, -1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta} = (3, 10, b, 4)^{\mathrm{T}} $，问 (1) a, b 取何值时， $ \beta $ 不能由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表出？
答案 →

(2)a,b取何值时， $ \beta $可由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $线性表出？并写出此表示式.

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{bmatrix}1+\lambda\\ 1\\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{bmatrix}1\\ 1+\lambda\\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{\alpha}_{3}=\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1+\lambda\end{bmatrix},\boldsymbol{\beta}=\begin{bmatrix}0\\ \lambda\\ \lambda^{2}\end{bmatrix}. $$

15. 设有三维列向量 答案 →

问 $ \lambda $取何值时：

(1) $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表示，且表达式唯一？

(2) $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表示，但表达式不唯一？

(3) $ \beta $ 不能由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性表示？

1. 设向量 $ \beta $ 可由向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）： $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m-1} $ 线性表示，记向量组（Ⅱ）： $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m-1}, \beta $，则
答案 →

(A) $ \alpha_{m} $ 不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示.

(B) $ \alpha_{m} $ 不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示

(C) $ \alpha_{m} $ 可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示.

(D) $ \alpha_{m} $ 可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示.

1. 设向量组 $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (a, 2, 10)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2} = (-2, 1, 5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3} = (-1, 1, 4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta} = (1, b, c)^{\mathrm{T}} $. 试问：当 a, b, c 满足什么条件时，
答案 →

(1) $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表出，且表示唯一？

(2) $ \beta $ 不能由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性表出？

(3) $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.

1. n 维向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} (3 \leqslant s \leqslant n) $ 线性无关的充分必要条件是
答案 →

（A）存在一组不全为0的数 $ k_{1},k_{2},\cdots,k_{r} $，使 $ k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{r}\alpha_{r}\neq0 $

(B) $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s} $ 中任意两个向量都线性无关.

(C) $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.

(D) $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.

1. 设 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $ 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $，则 $ \alpha_{1}, A(\alpha_{1} + \alpha_{2}) $ 线性无关的充分必要条件是
答案 →

(A) $ \lambda_{1}\neq0. $ (B) $ \lambda_{2}\neq0. $ (C) $ \lambda_{1}=0. $ (D) $ \lambda_{2}=0. $

1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 均为 n 维列向量，A 是 $ m \times n $ 矩阵，下列选项正确的是
答案 →

(A) 若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性相关，则 $ A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, \cdots, A\alpha_{s} $ 线性相关.

(B) 若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性相关，则 $ A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, \cdots, A\alpha_{s} $ 线性无关.

(C) 若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性无关，则 $ A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, \cdots, A\alpha_{s} $ 线性相关.

(D) 若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性无关，则 $ A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, \cdots, A\alpha_{s} $ 线性无关.

1. 设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
答案 →

(A) $ \alpha_{1}-\alpha_{2},\alpha_{2}-\alpha_{3},\alpha_{3}-\alpha_{1} $

(B) $ \alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{3}+\alpha_{1} $

(C) $ \alpha_{1}-2\alpha_{2},\alpha_{2}-2\alpha_{3},\alpha_{3}-2\alpha_{1} $

(D) $ \alpha_{1}+2\alpha_{2},\alpha_{2}+2\alpha_{3},\alpha_{3}+2\alpha_{1} $

1. 设 n 维列向量组 $ \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m} (m \lt n) $ 线性无关，则 n 维列向量组 $ \beta_{1}, \cdots, \beta_{m} $ 线性无关的充分必要条件为
答案 →

(A) 向量组 $ \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m} $ 可由向量组 $ \beta_{1}, \cdots, \beta_{m} $ 线性表示.

(B) 向量组 $ \beta_{1}, \cdots, \beta_{m} $ 可由向量组 $ \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性表示.

(C) 向量组 $ \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m} $ 与向量组 $ \beta_{1}, \cdots, \beta_{m} $ 等价.

(D) 矩阵 $ A = \left[\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right] $ 与矩阵 $ B = \left[\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\right] $ 等价.

1. 设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，向量 $ \beta_{1} $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表示，而向量 $ \beta_{2} $ 不能由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表示，则对于任意常数 k，必有
答案 →

(A) $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},k\beta_{1}+\beta_{2} $ 线性无关.

(B) $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},k\beta_{1}+\beta_{2} $ 线性相关.

(C) $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta_{1} + k\beta_{2} $ 线性无关.

(D) $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1}+k\beta_{2} $ 线性相关.

1. 设 n 阶方阵 A 的秩 $ r(A) = r \lt n $，那么在 A 的 n 个行向量中
答案 →

(A) 必有 r 个行向量线性无关.

(B) 任意 r 个行向量都线性无关.

(C) 任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组.

(D) 任意一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表出.

1. 设 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,3) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,3,t) $.
答案 →

(1) 问当 t 为何值时，向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关？

(2) 当 t 为何值时，向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关？

（3）当 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关时，将 $ \alpha_{3} $ 表示为 $ \alpha_{1} $ 和 $ \alpha_{2} $ 的线性组合.

1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 均为 n 维向量，下列结论不正确的是
答案 →

(A) 若对于任意一组不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s} $，都有 $ k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s} \neq 0 $，则 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性无关.

(B) 若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s} $，有 $ k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s} = 0 $.

(C) $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.

(D) $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s} $ 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

1. 设行向量组 $ (2,1,1,1) $， $ (2,1,a,a) $， $ (3,2,1,a) $， $ (4,3,2,1) $ 线性相关，且 $ a \neq 1 $，则 a = ___.
答案 →

1. 已知向量组 $ \alpha_{1} = (1, 2, 3, 4) $, $ \alpha_{2} = (2, 3, 4, 5) $, $ \alpha_{3} = (3, 4, 5, 6) $, $ \alpha_{4} = (4, 5, 6, 7) $，则该向量组的秩是 ___.
答案 →

1. 已知向量组 $ \alpha_{1} = (1, 2, -1, 1) $， $ \alpha_{2} = (2, 0, t, 0) $， $ \alpha_{3} = (0, -4, 5, -2) $ 的秩为 2，则 t = ___.
答案 →

1. 已知向量组 $ \beta_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $, $ \beta_{2} = \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $, $ \beta_{3} = \begin{pmatrix} b \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $ 与向量组 $ \alpha_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} $, $ \alpha_{2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $, $ \alpha_{3} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ -7 \end{pmatrix} $ 具有相同的秩，且 $ \beta_{3} $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表示，求 a, b 的值.
答案 →

1. 设四维向量组 $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (1 + a, 1, 1, 1)^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{\alpha}_{2} = (2, 2 + a, 2, 2)^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{\alpha}_{3} = (3, 3, 3 + a, 3)^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{\alpha}_{4} = (4, 4, 4, 4 + a)^{\mathrm{T}} $, 问 a 为何值时, $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 线性相关？当 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
答案 →