第四章 线性方程组

第四章 线性方程组

本章考点

线性方程组有解和无解的判定 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解

本章知识框图

知识梳理与例题

一、 基本概念

我们称

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}&=b_{1},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}&=b_{2},\\ &\cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}. $$

是n个未知数m个方程的非齐次线性方程组，其中 $ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} $代表n个未知数，而 $ b_{1},b_{2},\cdots,b_{m} $是不全为0的常数.

利用矩阵乘法，方程组（Ⅰ）可表示为：

$$ \left[\begin{matrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{m n}}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{x_{1}}\\ {x_{2}}\\ {\vdots}\\ {x_{n}}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{b_{1}}\\ {b_{2}}\\ {\vdots}\\ {b_{m}}\\ \end{matrix}\right]. $$

于是方程组（Ⅰ）的矩阵形式为：

$$ A x=b, $$

称 A 为方程组（Ⅰ）的系数矩阵.

对矩阵 A 按列分块，记 $ A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}) $，则方程组（I）有向量形式

$$ x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{\beta}, $$

$$ \boldsymbol{\alpha}_{j}=(\boldsymbol{a}_{1j},\boldsymbol{a}_{2j},\cdots,\boldsymbol{a}_{mj})^{\mathrm{T}},\boldsymbol{j}=1,2,\cdots,n,\boldsymbol{\beta}=(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{m})^{\mathrm{T}}. $$

如果 $ \forall j=1,2,\cdots,m $ 恒有 $ b_{j}=0 $ ,则称

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\ &\cdots\\ a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0\end{aligned}. $$

为齐次线性方程组（也称（Ⅱ）是（Ⅰ）的导出组). 其矩阵形式为：

$$ A x=0. $$

而齐次方程组（Ⅱ）的向量形式，则是

$$ x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{0}. $$

若用一组数 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} $ 分别代替方程组 (I) (或 (II)) 中的 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $，使 (I) (或 (II)) 中 m 个等式都成立，则称 $ (c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n})^{\mathrm{T}} $ 是方程组 (I) (或 (II)) 的一个解.

解方程组就是要求出方程组的所有解.

学习笔记

线性方程组

求方程组的解就是要对所给方程组进行同解变形，同解变形的方法为：

（1）两个方程互换位置.

（2）用非零常数乘方程的两端.

（3）把某个方程的 k 倍加到另一个方程上.

同解变形所对应的矩阵语言就是矩阵的初等行变换.

二、 齐次线性方程组

对于齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\ &\cdots\\ a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{nm}x_{n}=0,\end{aligned}. $$

易见 $ x_{1}=0,x_{2}=0,\cdots,x_{n}=0 $ 必满足每一个方程. 故 $ (0,0,\cdots,0)^{\mathrm{T}} $ 一定是齐次线性方程组的一个解，称其为零解. 除去零解之外，如果齐次方程组还有其他的解，那些解就称为非零解.

基础解系 如果 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t} $ 是齐次方程组 Ax = 0 的解，而且满足

(1) $ \eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t} $ 线性无关.

(2)Ax=0 的任一个解 $ \eta $ 都可由 $ \eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t} $ 线性表出.

则称 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t} $ 是 Ax = 0 的一个基础解系.

解的性质 如果 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t} $ 是齐次方程组 Ax = 0 的解，则对任意常数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{t} $

$$ k_{1}\pmb{\eta}_{1}+k_{2}\pmb{\eta}_{2}+\cdots+k_{i}\pmb{\eta}_{i} $$

仍是该齐次方程组的解.

定理4.1 齐次方程组 $ A_{m \times n} x = 0 $ 有非零解 $ \Leftrightarrow r(A) \lt n $.

推论 1. 当 m < n 时，Ax = 0 必有非零解.

1. 当 m = n 时，Ax = 0 有非零解 $ \Leftrightarrow |A| = 0 $.

定理4.2 如齐次线性方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩 $ r(A)=r\lt n $，则(Ⅱ)有n-r个线性无关的解，且(Ⅱ)的任一个解都可由这n-r个线性无关的解线性表出（即(Ⅱ)的基础解系由n-r个解向量构成）.

定理4.3 若 $ \eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t} $ 是齐次方程组（Ⅱ）的基础解系，则（Ⅱ）的通解是 $ k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+\cdots+k_{t}\eta_{t},k_{1},k_{2},\cdots,k_{t} $ 是任意常数.

例 1 求齐次方程组 答案解析 →

$$ \{\begin{aligned}&5x_{1}+7x_{2}+2x_{3}&=0,\\ &3x_{1}+5x_{2}+6x_{3}-4x_{4}&=0,\\ &4x_{1}+5x_{2}-2x_{3}+3x_{4}&=0\end{aligned}. $$

的基础解系和通解.

例 2 求齐次方程组 答案解析 →

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}&-x_{2}-7x_{3}+5x_{4}=0,\\ x_{1}&-2x_{2}-5x_{3}-2x_{4}=0,\\ x_{1}&+x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=0\end{aligned}. $$

的通解.

例3 (1997,数一) 设 $ A=\begin{bmatrix}1&2&-2\\4&t&3\\3&-1&1\end{bmatrix} $，B为三阶非零矩阵，且 AB=O，则 t= ___. 答案解析 →

例4 要使 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,2)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}} $ 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 A 可以为 答案解析 →

(A) $ \begin{bmatrix}-2&1&1\\4&-2&-2\end{bmatrix} $. (B) $ \begin{bmatrix}2&0&1\\0&1&1\end{bmatrix} $.

(C) $ \begin{bmatrix}-2&0&1\\4&0&-2\end{bmatrix} $. (D) $ \begin{bmatrix}-1&0&2\\0&1&-1\end{bmatrix} $.

例5 (2025, 数农) 若方程组 $ \{\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\ &x_{1}+ax_{2}-3x_{3}=0\\ &x_{1}+a^{2}x_{2}+9x_{3}=0\end{aligned}. $ 有非零解，则 a= 答案解析 →

(A)-3或1.

(B)-1或3.

(C)-3或-1.

(D)-1或1.

例6 已知 A 是 $ 5 \times 4 $ 矩阵， $ \eta_{1}, \eta_{2} $ 是 Ax = 0 的基础解系，则 $ A^{T}y = 0 $ 的基础解系 答案解析 →

(A) 不存在.

(B) 有一个非零解.

(C) 有 2 个线性无关的解.

(D) 有 3 个线性无关的解.

例 7 （2019，数二、数三）设 A 是四阶矩阵， $ A^{*} $ 为 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax=0 的基础解系只有 2 个向量，则 $ r(A^{*})= $ 答案解析 →

(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.

三、 非齐次线性方程组

解的性质（1）设 $ \xi_{1}, \xi_{2} $ 是方程组 Ax=b 的两个解，则 $ \xi_{1}-\xi_{2} $ 是导出组 Ax=0 的解.

（2）设 $ \xi $ 是方程组 Ax=b 的解， $ \eta $ 是导出组 Ax=0 的解，k 是任意常数，则 $ \xi+k\eta $ 是方程组 Ax=b 的解.

定理4.4 Ax = b 有解 $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline{A}) $

$ \Leftrightarrow b $ 可由 A 的列向量线性表出.

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} 无解 \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})+1=r(\overline{\boldsymbol{A}}). $$

【注】 $ \overline{A}=[A,b] $ 称为方程组 Ax=b 的增广矩阵.

定理4.5（解的结构）设 $ \alpha $是Ax=b的解， $ \eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t} $是导出组Ax=0的基础解系，则方程组Ax=b的通解为

$$ \boldsymbol{\alpha}+k_{1}\boldsymbol{\eta}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\eta}_{2}+\cdots+k_{t}\boldsymbol{\eta}_{t}, $$

其中 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{t} $ 是任意常数.

例 8 解方程组 答案解析 →

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=2,\\ 2x_{1}&+3x_{2}+x_{3}+x_{4}-3x_{5}=0,\\ x_{1}&=+2x_{3}+3x_{4}+3x_{5}=4,\\ 4x_{1}&+5x_{2}+3x_{3}+2x_{4}+2x_{5}=6.\end{aligned}. $$

答案见 98 页

例 9 （1995，数四）对于线性方程组 答案解析 →

$$ \{\begin{aligned}\lambda x_{1}&+x_{2}+x_{3}=\lambda-3,\\ x_{1}&+\lambda x_{2}+x_{3}=-2,\\ x_{1}&+x_{2}+\lambda x_{3}=-2\end{aligned}. $$

讨论 $ \lambda $为何值时，方程组无解，有唯一解和有无穷解？在方程组有无穷解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。

例 10 （1995，数一）设线性方程组 答案解析 →

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=1,\\ x_{2}&+ax_{3}-ax_{4}=-1,\\ x_{1}&+2x_{2}\quad+3x_{4}=3,\end{aligned}. $$

问 a 为何值时方程组有解，并在有解时求出方程组的通解.

例11 （2025，数农）设A为三阶矩阵且 $ r(A)=2 $。若非零向量 $ \alpha,\beta $满足 $ A\alpha=0,A\beta=-\beta $，则方程组 $ Ax=\beta $的通解为x= ___。 答案解析 →

例12 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 是四元非齐次线性方程组 Ax = b 的 3 个解向量，且秩 $ r(A) = 3 $. $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (1, 2, 3, 4)^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3} = (0, 1, 2, 3)^{\mathrm{T}} $，则方程组 Ax = b 的通解是 ___. 答案解析 →

四、 公共解、同解

请在复习好方程组如何求解等基础知识后，再参看《线性代数辅导讲义》的相关内容.

五、 方程组的应用

例13 求和矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} $ 可交换的所有矩阵. 答案解析 →

例14 若 $ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}4 & 5 \\ 5 & 6\end{bmatrix} $，则 $ X = $ ___. 答案解析 →

例15 已知向量组 $ \alpha_{1}=(1,3,1,1)^{\mathrm{T}},\alpha_{2}=(-1,1,3,1)^{\mathrm{T}},\alpha_{3}=(5,7,a,1)^{\mathrm{T}} $ 线性相关，则 a= ___. 答案解析 →

例16 已知 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,3,3)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,0,3)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,5,a+2)^{\mathrm{T}} $，若 $ \boldsymbol{\beta}_{1}=(4,-3,15)^{\mathrm{T}} $ 可由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性表示，但 $ \boldsymbol{\beta}_{2}=(2,5,a)^{\mathrm{T}} $ 不能由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性表出，写出 $ \beta_{1} $ 由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性表示的表达式. 答案解析 →

$$ \boldsymbol{\eta}_{1}=(4,3,1,2)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,3,-2)^{\mathrm{T}}. $$

例题解析

学习笔记

二、 齐次线性方程组

例1 【解】对系数矩阵作初等行变换，有 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{bmatrix}5&7&2&0\\3&5&6&-4\\4&5&-2&3\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&4&-3\\3&5&6&-4\\4&5&-2&3\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&4&-3\\0&-1&-6&5\\0&-3&-18&15\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&4&-3\\0&1&6&-5\\0&0&0&0\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&-8&7\\0&1&6&-5\\0&0&0&0\end{bmatrix},\end{aligned} $$

得同解方程组：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&-8x_{3}+7x_{4}=0,\\ x_{2}&+6x_{3}-5x_{4}=0,\end{aligned}.\quad 即 \{\begin{aligned}x_{1}&=8x_{3}-7x_{4},\\ x_{2}&=-6x_{3}+5x_{4}.\end{aligned}. $$

$$ x_{3}=1,x_{4}=0\Rightarrow x_{2}=-6,x_{1}=8, $$

$$ x_{1}=0,x_{4}=1\Rightarrow x_{2}=5,x_{1}=-7, $$

故基础解系为 $ \boldsymbol{\eta}_{1}=(8,-6,1,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\eta}_{2}=(-7,5,0,1)^{\mathrm{T}} $

通解是： $ k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2},k_{1},k_{2} $ 是任意常数.

或者令 $ x_{3}=t,x_{4}=u $，得通解：

$$ \{\begin{aligned}{x_{1}}&{{}=8t-7u,}\\ {x_{2}}&{{}=-6t+5u,}\\ {x_{3}}&{{}=t,}\\ {x_{4}}&{{}=u,}\\ \end{aligned}. $$

亦即 $ x = t \begin{bmatrix} 8 \\ -6 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + u \begin{bmatrix} -7 \\ 5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $，基础解系为： $ \begin{bmatrix} 8 \\ -6 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $， $ \begin{bmatrix} -7 \\ 5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $。

例2 【解】对系数矩阵作初等行变换，有 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{bmatrix}2&-1&-7&5\\1&-2&-5&-2\\1&1&-2&-2\end{bmatrix}\xrightarrow{}\begin{bmatrix}1&1&-2&-2\\1&-2&-5&-2\\2&-1&-7&5\end{bmatrix}\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&-2&-2\\0&-3&-3&0\\0&-3&-3&9\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&-2&-2\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&-3&0\\&1&1&0\\&&1\end{bmatrix},\end{aligned} $$

得同解方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}-3x_{3}&=0,\\ x_{2}+x_{3}&=0,\\ x_{4}&=0,\end{aligned}. $ 即 $ \{\begin{aligned}x_{1}&=3x_{3},\\ x_{2}&=-x_{3},\\ x_{4}&=0.\end{aligned}. $

令 $ x_{3}=1 \Rightarrow x_{4}=0, x_{2}=-1, x_{1}=3. $

故基础解系为 $ \boldsymbol{\eta}=(3,-1,1,0)^{\mathrm{T}} $

通解为： $ k\eta $，k为任意常数.

或者，令 $ x_{3}=t $，解出

$$ \{\begin{aligned}{x_{1}}&{{}=3t,}\\ {x_{2}}&{{}=-t,}\\ {x_{3}}&{{}=t,}\\ {x_{4}}&{{}=0,}\\ \end{aligned}. $$

亦即 $ x = t(3, -1, 1, 0)^{\mathrm{T}} $

【注】在处理加减消元、求解等问题时，要重视基本计算.

对自由变量既可以用 $ (1,0,0) $， $ (0,1,0) $， $ (0,0,1) $来赋值，也可用t,u,v来赋值.

例 3 【分析】由 AB = O，对 B 按列分块， ← 原题

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{3})=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}_{3})=(\mathbf{0},\mathbf{0},\mathbf{0}), $$

即 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 都是齐次方程组 Ax = 0 的解.

又 $ B \neq O, \exists \beta_{i} \neq 0 $ , 那么 Ax = 0 有非零解 $ \beta_{i} $，从而 $ r(A) \lt 3, |A| = 0 $.

$$ \mid\boldsymbol{A}\mid=\left|\begin{matrix}1&2&-2\\ 4&t&3\\ 3&-1&1\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}1&0&-2\\ 4&t+3&3\\ 3&0&1\end{matrix}\right|=7(t+3)=0. $$

所以 t = -3.

例4 【分析】因为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 线性无关，所以 Ax = 0 有 2 个线性无关的解，于是 $ n - r(A) \geqslant 2 $ 。即知 $ r(A) \leqslant 1 $ ，可排除(B)(D). ← 原题

下面应排查 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 是不是 Ax = 0 的解。由在(C)中

$$ \mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{bmatrix}-2&0&1\\ 4&0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\ 2\end{bmatrix}\neq\mathbf{0} $$

线性方程组

可知， $ \alpha_{2} $ 不是(C)的解.故应选(A).

例 5 【分析】Ax = 0 有非零解 $ \Leftrightarrow r(A) \lt n \Leftrightarrow |A| = 0 $. ← 原题

$$ \begin{aligned}\left|\boldsymbol{A}\right|&=\left|\begin{matrix}1&1&1\\1&a&-3\\1&a^{2}&9\end{matrix}\right|\\&=(a-1)(-3-1)(-3-a)\\&=0,\end{aligned} $$

所以应选(A).

例6 【分析】齐次方程组 Ax=0 的基础解系由 $ n-r(A) $ 个线性无关的解所构成. 因 A 是 $ 5\times4 $ 矩阵, 于是 ← 严选题题目 ← 原题

$$ 4-r(A)=2, $$

那么 $ r(A)=2 $ ，于是 $ r(A^{\mathrm{T}})=r(A)=2 $

又 $ A^{T} $是 $ 4\times5 $矩阵，从而 $ A^{T}y=0 $的基础解系由

$$ 5-r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=5-2=3 $$

个线性无关的解所构成，故应选(D).

例7 【分析】注意本题两个主要考点: (1) $ n-r(A) $，(2) $ r(A^{*}) $。由 $ n-r(A)=4-r(A)=2 $，得 $ r(A)=2 $。 ← 原题

又 $ r(A^{*})=\{\begin{aligned}&n,r(A)=n,\\&1,r(A)=n-1,\\&0,r(A)\lt n-1.\end{aligned}. $

现 $ r(\boldsymbol{A})=2\lt n-1=3 $ ，所以 $ r(\boldsymbol{A}^{*})=0 $ ，应选(A).

三、 非齐次线性方程组

例 8 【解】对增广矩阵作初等行变换，有 ← 严选题题目 ← 原题

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{A}}&=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&\vdots|2\\2&3&1&1&-3&0\\1&0&2&3&3&\vdots|4\\4&5&3&2&2&\vdots|6\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&\vdots|2\\&1&-1&-1&-5&-4\\&&1&-3&-2\\&&&0&0\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&0&4&\vdots|4\\&1&-1&0&-8&-6\\&&1&-3&-2\\&&&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&2&0&12&10\\&1&-1&0&-8&-6\\&&1&-3&-2\\&&&0&0\end{bmatrix},\end{aligned} $$

得同解方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+2x_{3}&+12x_{5}=10,\\ x_{2}-x_{3}&-8x_{5}&=-6,\\ x_{4}&-3x_{5}&=-2.\end{aligned}. $$

令 $ x_{3}=0, x_{5}=0 $ ，得方程组 Ax=b 的一个特解

$$ \boldsymbol{\alpha}=(10,-6,0,-2,0)^{\mathrm{T}}, $$

对应的齐次方程组为

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+2x_{3}&+12x_{5}=0,\\ x_{2}&-x_{3}&-8x_{5}=0,\\ &x_{4}&-3x_{5}=0,\end{aligned}. $$

得 Ax = 0 的同解方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=-2x_{3}-12x_{5},\\ x_{2}&=\quad x_{3}+8x_{5},\\ x_{4}&=\quad3x_{5},\end{aligned}. $$

分别令 $ x_{3}=1, x_{5}=0 $ 和 $ x_{3}=0, x_{5}=1 $ ，得 Ax=0 的基础解系

$$ \boldsymbol{\eta}_{1}=(-2,1,1,0,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\eta}_{2}=(-12,8,0,3,1)^{\mathrm{T}}. $$

所以方程组的通解为：

$ (10,-6,0,-2,0)^{\mathrm{T}}+k_{1}(-2,1,1,0,0)^{\mathrm{T}}+k_{2}(-12,8,0,3,1)^{\mathrm{T}} $

$ k_{1}, k_{2} $ 为任意常数.

或对同解方程组 $ ^{*} $，令 $ x_{3}=t,x_{5}=u $，解出

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=10-2t-12u,\\ x_{2}&=-6+t+8u,\\ x_{3}&=t,\\ x_{4}&=-2+3u,\\ x_{5}&=u.\end{aligned}. $$

亦得通解 $ \boldsymbol{x}=(10,-6,0,-2,0)^{\mathrm{T}}+t(-2,1,1,0,0)^{\mathrm{T}}+u(-12,8,0,3,1)^{\mathrm{T}} $ ,t,u 为任意常数.

例 9 【解】对增广矩阵作初等行变换，有 ← 原题

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{A}}&=\begin{bmatrix}\lambda&1&1&\vdots&\lambda-3\\1&\lambda&1&-2&\\1&1&\lambda&-2\end{bmatrix}\xrightarrow{}\begin{bmatrix}1&1&\lambda&:-2\\1&\lambda&1&-2\\\lambda&1&1&\lambda-3\end{bmatrix}\\&\xrightarrow{}\begin{bmatrix}1&1&\lambda&:-2\\0&\lambda-1&1-\lambda&0\\0&0&(\lambda+2)(\lambda-1)&3(1-\lambda)\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

当 $ \lambda = -2 $时， $ r(\boldsymbol{A}) = 2, r(\overline{\boldsymbol{A}}) = 3 $，方程组无解.

线性方程组

当 $ \lambda \neq 1 $ 且 $ \lambda \neq -2 $ 时， $ r(A) = r(\overline{A}) = 3 $，方程组有唯一解。

当 $ \lambda=1 $时， $ r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})=1 $，有无穷解。

同解方程组为： $ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2 $

特解 $ \boldsymbol{\alpha}=(-2,0,0)^{\mathrm{T}} $ ，基础解系 $ \boldsymbol{\eta}_{1}=(-1,1,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\eta}_{2}=(-1,0,1)^{\mathrm{T}} $ 。从而方程组通解

$$ \alpha+k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2},\forall k_{1},k_{2}. $$

或 $ \overline{A}=\begin{bmatrix}\lambda&1&1&\vdots&\lambda-3\\1&\lambda&1&-2\\1&1&\lambda&-2\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}\lambda&1&1&\vdots&\lambda-3\\1-\lambda&\lambda-1&0&1-\lambda\\1-\lambda&0&\lambda-1&1-\lambda\end{bmatrix} $.

$$ \begin{aligned} 如 \lambda\neq1,\overline{\boldsymbol{A}}\rightarrow&\begin{bmatrix}\lambda&1&1&\vdots&\lambda-3\\1&-1&0&\vdots&1\\1&0&-1&\vdots&1\end{bmatrix}\\ \rightarrow&\begin{bmatrix}\lambda+2&0&0&\vdots&\lambda-1\\1&-1&0&\vdots&1\\1&0&-1&\vdots&1\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

当 $ \lambda = -2 $，方程组无解.

当 $ \lambda \neq 1 $ 且 $ \lambda \neq -2 $，方程组有唯一解.

当 $ \lambda=1 $，同前略.

例10 【解】对增广矩阵作初等行变换，有 ← 原题

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{A}}&=\begin{bmatrix}1&3&2&1&1\\0&1&a&-a&-1\\1&2&0&3&3\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&3&2&1&1\\0&1&a&-a&-1\\0&-1&-2&2&2\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}1&3&2&1&1\\0&1&2&-2&-2\\0&0&a-2&2-a&1\end{bmatrix},\end{aligned} $$

当a=2时, $ r(A)=2,r(\overline{A})=3 $，方程组无解.

当 $ a\neq2 $时， $ r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})=3\lt 4 $，方程组有无穷多解，

$$ \begin{aligned}\overrightarrow{A}&\rightarrow\begin{bmatrix}1&3&2&1&1\\0&1&2&-2&-2\\0&0&1&-1&\frac{1}{a-2}\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&3&0&3&\vdots\frac{a-4}{a-2}\\0&1&0&0&\frac{2-2a}{a-2}\\0&0&1&-1&\frac{1}{a-2}\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0&3&\vdots\frac{7a-10}{a-2}\\0&1&0&0&\frac{2-2a}{a-2}\\0&0&1&-1&\frac{1}{a-2}\end{bmatrix},\end{aligned} $$

所以方程组的通解为

$ x=\left(\frac{7a-10}{a-2},\frac{2-2a}{a-2},\frac{1}{a-2},0\right)^{\mathrm{T}}+k(-3,0,1,1)^{\mathrm{T}} $，k为任意常数.

例 11 【分析】本题考查方程组解的结构，用推理分析方法求方程组的特解及相应齐次方程组的基础解系. ← 原题

由 $ n-r(A)=3-2=1 $ ，故 Ax=0 的非零解即是其基础解系.

现 $ \alpha \neq 0, A\alpha = 0 $ ，故 $ \alpha $ 是 Ax = 0 的基础解系.

又 $ A\beta = -\beta $ 即 $ A(-\beta) = \beta $，于是 $ -\beta $ 是 Ax = $ \beta $ 的解，所以方程组 $ Ax = \beta $ 的通解 $ x = -\beta + k\alpha, \forall k $.

例12【分析】由 $ n-r(A)=4-3=1 $，所以方程组的通解形式为 $ \alpha+k\eta $，现在特解已知可取 $ \alpha_{1} $，下面就是应找出导出组Ax=0的一个非零解. ← 原题

因为 $ A\alpha_{i}=b(i=1,2,3) $，所以有 $ A\left[2\alpha_{1}-(\alpha_{2}+\alpha_{3})\right]=0 $。即

$$ 2\boldsymbol{\alpha}_{1}-(\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3})=(2,3,4,5)^{\mathrm{T}} $$

是 Ax = 0 的一个非零解. 于是方程组的通解为 $ (1, 2, 3, 4)^{\mathrm{T}} + k(2, 3, 4, 5)^{\mathrm{T}} $, k 是任意常数.

五、 方程组的应用

例13 【解】设 $ X=\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\\ x_{3}&x_{4}\end{bmatrix} $和矩阵A可交换，即AX=XA， ← 原题

$$ \begin{bmatrix}1&2\\ -1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\\ x_{3}&x_{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\\ x_{3}&x_{4}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\ -1&3\end{bmatrix}, $$

得 $ \{\begin{aligned}x_{2}+2x_{3}&=0,\\ 2x_{1}+2x_{2}&-2x_{4}=0,\\ -x_{1}&+2x_{3}+x_{4}=0,\\ x_{2}+2x_{3}&=0,\end{aligned}. $

$$ \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{-2}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}, $$

4-r(B)=2，取 $ x_{3},x_{4} $为自由变量.

令 $ x_{3}=t,x_{4}=u $ , 得 $ x_{1}=2t+u,x_{2}=-2t $ , 所以 $ X=\left[\begin{array}{cc}2t+u & -2t \\ t & u\end{array}\right] $

t,u 为任意常数.

例14 【分析】设 $ X=\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}\\ x_{2}&y_{2}\\ x_{3}&y_{3}\end{bmatrix} $，则有 ← 严选题题目 ← 原题

$ \{\begin{aligned}&x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=4,\\&2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=5;\end{aligned}.\quad\{\begin{aligned}&y_{1}+2y_{2}+3y_{3}=5,\\&2y_{1}+3y_{2}+4y_{3}=6.\end{aligned}. $

两个方程组的系数矩阵一样，故可

$$ \begin{align*}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{5}}} \\{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}}\end{bmatrix}&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{5}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{-2}}}&{{{-3}}}&{{{-4}}}\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{-2}}}&{{{-3}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}\end{bmatrix},\end{align*} $$

解出 $ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + k_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} + k_{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, $

故 $ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{cc}-2+k_{1}&-3+k_{2}\\3-2k_{1}&4-2k_{2}\\k_{1}&k_{2}\end{array}\right],k_{1},k_{2} $ 是任意常数.

例15【分析】 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性相关 $ \Leftrightarrow\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=0 $ 有非零解. ← 严选题题目 ← 原题

$$ \left[\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{5}}} \\{{{3}}}&{{{1}}}&{{{7}}} \\{{{1}}}&{{{3}}}&{{{a}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\xrightarrow{}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{5}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{-8}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{a-5}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{-4}}}\end{bmatrix}\xrightarrow{}\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{5}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{a+3}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}, $$

得a=-3.

例16【解】 $ \beta_{1} $ 可由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性表示，即方程组 $ x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+x_{3}\alpha_{3}=\beta_{1} $ 有解. ← 原题

$ \beta_{2} $ 不能由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表示，即方程组 $ y_{1}\alpha_{1} + y_{2}\alpha_{2} + y_{3}\alpha_{3} = \beta_{2} $ 无解.

$$ \left[\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3}\mid\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2}\right]=\begin{bmatrix}2&1&3&\vdots&4&2\\ 3&0&5&-3&5\\ 3&3&a+2&15&a\end{bmatrix} $$

$$ \begin{aligned}&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{\vdots}}}&{{{7}}}&{{{-3}}} \\{{{3}}}&{{{0}}}&{{{5}}}&{{{\vdots}}}&{{{-3}}}&{{{5}}} \\{{{0}}}&{{{3}}}&{{{a-3}}}&{{{\vdots}}}&{{{18}}}&{{{a-5}}}\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{\vdots}}}&{{{-7}}}&{{{3}}} \\{{{0}}}&{{{3}}}&{{{-1}}}&{{{\vdots}}}&{{{18}}}&{{{-4}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{a-2}}}&{{{\vdots}}}&{{{0}}}&{{{a-1}}}\end{bmatrix},\end{aligned} $$

$ \forall\alpha $，方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}-x_{2}&+2x_{3}=-7,\\ 3x_{2}&-x_{3}=18,\\ (a-2)x_{3}&=0\end{aligned}. $，一定有解，即 $ \beta_{1} $一定能

$ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性表出.

当且仅当 a=2 时 $ \{\begin{aligned}y_{1}-y_{2}+2y_{3}&=3,\\ 3y_{2}-y_{3}&=-4,\\ 0y_{3}&=1\end{aligned}. $，无解，即 $ \beta_{2} $ 不能由 $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $， $ \alpha_{3} $ 线性表示.

当a=2时，

$$ \begin{bmatrix}1&-1&2&-7\\&3&-1&18\\&&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&5&0&\vdots&29\\&-3&1&\vdots&-18\\&&0&\vdots&0\end{bmatrix}, $$

得方程组通解 $ \boldsymbol{x}=(29,0,-18)^{\mathrm{T}}+k(-5,1,3)^{\mathrm{T}} $ ，那么

$$ \boldsymbol{\beta}_{1}=(29-5k)\boldsymbol{\alpha}_{1}+k\boldsymbol{\alpha}_{2}+(-18+3k)\boldsymbol{\alpha}_{3},k\text{ 为任意常数 } $$

例17【解】设所求齐次方程组为Ax=0. ← 严选题题目

由 $ n-r(A)=2 $，且 n=4，知 $ r(A)=2 $。

又 $ A(\eta_{1},\eta_{2})=O $ , 转置得

$$ \left[\begin{matrix}{\pmb{\eta}_{1}^{\mathrm{T}}}\\ {\pmb{\eta}_{2}^{\mathrm{T}}}\\ \end{matrix}\right]\mathbf{A}^{\mathrm{T}}=\mathbf{O}. $$

考查齐次方程组 $ Bx = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}_{1}^{T} \\ \boldsymbol{\eta}_{2}^{T} \end{bmatrix} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} $.

由 $ n-r(\boldsymbol{B})=4-2=2 $ 可知，Bx=0 的基础解系是 $ A^{T} $ 的列向量.

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{B}&=\begin{bmatrix}{{{\boldsymbol{\eta}_{1}^{\mathrm{T}}}}} \\\boldsymbol{\eta}_{2}^{\mathrm{T}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{4}}}&{{{3}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{3}}}&{{{-2}}} \\\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}{{{4}}}&{{{0}}}&{{{-8}}}&{{{8}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{3}}}&{{{-2}}} \\\end{bmatrix}\\&\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{3}}}&{{{-2}}} \\\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

令 $ x_{3}=1,x_{4}=0 $，解出 $ x_{1}=2,x_{2}=-3 $。

令 $ x_{3}=0,x_{4}=1 $，解出 $ x_{1}=-2,x_{2}=2 $。

于是 Bx = 0 的基础解系为

$$ (2,-3,1,0)^{\mathrm{T}},(-2,2,0,1)^{\mathrm{T}}. $$

故 $ A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} $.

那么所求齐次方程组是

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}&-3x_{2}+x_{3}&=0,\\ -2x_{1}&+2x_{2}&+x_{4}&=0.\end{aligned}. $$

【注】所求方程组是不唯一的.

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