第七章 线性空间与线性变换

第七章 线性空间与线性变换

重点难点

在第四章中，我们把有序数组称为向量，并且讨论了向量的线性相关性、向量组的极大无关组与秩等重要概念。在本章中，我们将这些概念推广，在更广泛的意义下讨论向量及有关性质，这就是线性空间的内容。在线性空间中，事物之间的联系表现为元素之间的对应关系，而线性变换就是反映线性空间的元素间最基本的线性联系。在某种意义上，线性代数就是研究线性空间与线性变换的学科。

§7.1 线性空间的概念

一、 线性空间

如果数集 P 中任意两个数作某一运算后的结果仍在 P 中，我们就称数集 P 对这个运算是封闭的。对加、减、乘、除四则运算封闭的数集 P 称为数域。

最常见的数域是有理数域 Q，实数域 R，复数域 C。除了这三个常见的数域外，还有其他很多数域，例如

$$ \boldsymbol{Q}(\sqrt{2})=\{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\sqrt{2}\mid\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in\mathbf{Q}\}, $$

不难验证， $ Q(\sqrt{2}) $ 也是一个数域。而全体整数组成的集合 Z 对于除法运算不封闭，故 Z 不是数域。

在解析几何中，我们讨论过向量的加法“+”与数乘“·”运算。设

$$ V=\{ 从原点出发的 \;3\; 维向量全体 \}, $$

R 为实数域，则 V, R, +, · 所组成的系统 (V, R, +, ·) 具有以下特点：

1. 加法运算在 V 中封闭. 即对任意的 $ \alpha, \beta \in V $，存在惟一的 $ \gamma \in V $ 与之对应，使 $ \gamma = \alpha + \beta $.

1. 数乘运算在 $ V $ 中封闭. 即对任意的 $ k \in \mathbb{R} $, $ \alpha \in V $, 存在唯一的 $ \delta \in V $ 与之对应, 使 $ \delta = k \cdot \alpha $ (简记为 $ k\alpha $).

1. 加法“+”与数乘“·”还满足以下八条运算规则：

$$ 1^{\circ}\quad\alpha+\beta=\beta+\alpha; $$

$$ 2^{\circ}\quad(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma); $$

$ 3^\circ $ 存在零元素 $ 0\in V $，对任意的 $ \alpha\in V $，都有 $ \alpha+0=\alpha $；

$ 4^{\circ} $ 对任意的 $ \alpha \in V $，存在 $ \alpha $ 的负元素 $ \beta \in V $，使 $ \alpha + \beta = 0 $；

$ 5^\circ $ $ 1\alpha = \alpha $;

$$ 6^{\circ}\quad k\left(l\boldsymbol{\alpha}\right)=\left(k l\right)\boldsymbol{\alpha} $$

$$ 7^{\circ}\quad k\left(\alpha+\beta\right)=k\alpha+k\beta; $$

$$ (k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}, $$

其中， $ \alpha, \beta, \gamma \in V, k, l \in \mathbb{R} $

值得注意的是，规则 $ 8^{\circ} $ 中，左端 $ k+l $ 的“+”是普通数的加法，而右端 $ k\alpha+l\alpha $ 的“+”是向量与向量的加法。虽然同一个记号表达了不同的意义，但是只要我们注意到了这一点，在具体问题中是不会发生混淆的。

对于次数小于 n 的实系数多项式全体及零多项式所组成的集合

$$ R_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\mid a_{i}\in\mathbf{R},i=0,1,\cdots,n-1\} $$

实数域 R 以及多项式的加法“+”，数与多项式的乘法“·”所组成的系统 $ (R_{n}[x], \mathbf{R}, +, \cdot) $ 也具有“+”与“·”在 $ R_{n}[x] $ 中封闭，且满足前面所列八条运算规则的特点.

在第四章中，n维实向量的全体

$$ \mathbf{R}^{n}=\{(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\mid a_{i}\in\mathbf{R},i=1,2,\cdots,n\} $$

对于 n 维向量的加法“+”与数乘“·”，系统 $ (R^n, R, +\cdot, \cdot) $ 也具有“+”与“·”在 $ R^n $ 中封闭，且满足前述八条运算规则的特点。

我们还可以举出许多具有以上特点的系统。舍去这些系统中具体元素的意义，将其运算的本质特点抽象出来，我们给出以下关于线性空间的定义：

定义1 设 V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果在 V 中定义了一个运算“+”，称为加法；在 P 与 V 之间定义了一个运算“·”，称为数乘。“+”，“·”在 V 中封闭，且满足前面所述的八条运算规则，则称系统 $ (V, P, + $，·) 为线性空间。

如果所论及的运算“+”与“·”在上下文中是清楚的，在不需要强调运算“+”与“·”的时候，我们也称V为数域P上的线性空间，并将线性空间(V，P，+，·)简记为 $ V(P) $.有时又称V为线性空间.在我们称V为线性空间的时候，一定要注意这只是一个简称，不要忘记相应的数域P与运算“+”，“·”及八条运算规则.

由定义 1 可知，前面所列举的系统 $ (V, \mathbf{R}, +, \cdot) $， $ (R_n[x], \mathbf{R}, +, \cdot) $ 以及 $ (\mathbf{R}^n, \mathbf{R}, +, \cdot) $ 都是线性空间。下面再看几个例子。

例1 设

$$ R^{m\times n}=\{m 氵行 n 列的实矩阵全体 \}, $$

P 为有理数域 Q，对于矩阵的加法“+”与数乘“·”，容易验证“+”与“·”在 $ R^{m \times n} $ 中封闭，且满足八条运算规则，所以系统 $ (R^{m \times n}, Q, +\cdot, \cdot) $ 构成线性空间。

例2 设

$$ C[a,b]=\{ 区间 [a,b] 上的连续函数全体 \}, $$

P 为实数域 $ \mathbb{R} $，对于函数的加法“+”以及实数与函数的乘法“·”，系统 $ (C[a,b], \mathbb{R}, +, \cdot) $ 构成线性空间。

例3 设 V 为复数域 C, P 为实数域 R, 对于复数的加法“+”与乘法“·”，系统 $ (C,R,+ $，·)是线性空间.

如果设 V 为实数域 R, P 为复数域 C, 对于复数的加法“+”与乘法“·”，由于乘法运算在 V 中不封闭，所以 $ (R, C, +\cdot, \cdot) $ 不是线性空间.

以上各例的运算都是我们以前所熟悉的.事实上，线性空间的运算可以是相当抽象的.

例4 设

$$ \mathbf{R}^{+}=\{ 所有正实数 \},\quad P= 实数域 \mathbf{R}, $$

定义加法“⊕”与数乘“∘”。如下：

$$ a\oplus b=ab\quad(a,b\in\mathbf{R}^{+}), $$

$$ k\circ a=a^{k}\quad(k\in\mathbf{R},a\in\mathbf{R}^{+}). $$

这样定义的运算满足以下条件：

（1）加法的封闭性：

$$ \forall a,b\in\mathbf{R}^{+},\quad a\oplus b=ab\in\mathbf{R}^{+}; $$

（2）数乘的封闭性：

$$ \forall k\in\mathbf{R},a\in\mathbf{R}^{+},\quad k\circ a=a^{k}\in\mathbf{R}^{+}; $$

（3）八条运算规则：

$$ \begin{array}{r l}{1^{\circ}}&{{}a\textcircled{+}b=a b=b a=b\textcircled{+}a\;;}\end{array} $$

$$ 2^{\circ}\quad(a\oplus b)\oplus c=(ab)\oplus c=(ab)c=a(bc)=a\oplus(b\oplus c)\;; $$

$ 3^\circ $ 存在零元素 $ 1 \in \mathbb{R}^+ $, $ \forall a \in \mathbb{R}^+ $, $ a \oplus 1 = a \neq a $;

$ 4^{\circ} $ $ \forall a \in \mathbb{R}^+ $，存在负元素 $ a^{-1} \in \mathbb{R}^+ $，使 $ a \oplus a^{-1} = aa^{-1} = 1 $;

$ 5^{\circ} $ $ 1^{\circ}a = a^{1} = a $;

$$ \begin{array}{r l}{6^{\circ}}&{{}k\circ(l\circ a)=k\circ a^{l}=(a^{l})^{k}=a^{k l}=(k l)\circ a\;;}\end{array} $$

$$ 7^{\circ}\quad k\circ(a\oplus b)=k\circ(a b)=(a b)^{k}=a^{k}b^{k}=a^{k}\oplus b^{k}=(k\circ a)\oplus(k\circ b)\;; $$

$$ \begin{array}{r l}{8^{\circ}}&{{}(k+l)^{\circ}a=a^{k+l}=a^{k}a^{l}=a^{k}\textcircled{+}a^{l}=(k\circ a)\textcircled{+}(l\circ a).}\end{array} $$

所以系统 $ (\mathbf{R}^{+},\mathbf{R},\oplus,\circ) $构成线性空间.

如果将例4的加法与数乘规定为普通实数的加法“+”与乘法“·”，则乘法运算在 $ R^{+} $中不封闭，于是 $ (R^{+},R,+ $，·)不是线性空间.

例 5 设 S 是双向无穷数列组成的集合，S 的元素为

$$ \{y_{k}\}=\{\cdots,y_{-2},y_{-1},y_{0},y_{1},y_{2},\cdots\}. $$

设 $ \{z_{k}\} $是S的另一个元素，规定S的加法“+”与数乘“·”如下：

$$ \begin{align*}\{y_{k}\}+\{z_{k}\}&=\{\cdots,y_{-2}+z_{-2},y_{-1}+z_{-1},y_{0}+z_{0},y_{1}+z_{1},y_{2}+z_{2},\cdots\},\\\lambda\cdot\{y_{k}\}&=\{\cdots,\lambda y_{-2},\lambda y_{-1},\lambda y_{0},\lambda y_{1},\lambda y_{2},\cdots\}.\end{align*} $$

容易验证，S 对以上规定的加法与数乘构成实数域上的线性空间.

S 的元素来自于工程技术，在任何时刻都可采样的信号，如电信号、光信号、机械信号等，可用 $ \{y_{k}\} $ 这样的元素描述。我们将 S 这样的线性空间称为信号空间。

由以上各例可见，线性空间所包含的内容十分广泛。线性空间中的元素也称为向量，这种向量可以是第三章中那种既有大小、又有方向的向量，也可以是n维向量 $ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) $，还可以是函数、矩阵、复数等。同时还看到，对于同一个集合V，由于所取的数域P不同，或者所定义的加法与数乘运算不同，有的可以构成线性空间，有的却不能构成线性空间。

线性空间 $ (V,P,+\,\cdot\,) $称为数域P上的线性空间.实数域上的线性空间称为实线性空间；复数域上的线性空间称为复线性空间.

线性空间具有以下性质：

（1）零元素是惟一的；

(2) 任一元素的负元素是惟一的 ( $ \alpha $ 的负元素记为 $ -\alpha $);

(3) $ 0\alpha=0 $, $ (-1)\alpha=-\alpha $, $ k\theta=0 $;

（4）若 k $ \alpha=0 $，则 k=0 或 $ \alpha=0 $。

我们只证明其中的性质(1)，而将其余性质的证明留给读者.

证（1）设 $ 0_{1}, 0_{2} $ 都是线性空间 $ (V, P, P + \cdot, \cdot) $ 的零元素，则 $ \forall \alpha \in V $，

$$ \alpha+0_{1}=\alpha,\quad\alpha+0_{2}=\alpha, $$

于是

$$ \mathbf{0}_{1}=\mathbf{0}_{1}+\mathbf{0}_{2}=\mathbf{0}_{2}+\mathbf{0}_{1}=\mathbf{0}_{2}. $$

二、 子空间

设 $ (V,P,+,\cdot) $是一个线性空间， $ W\subset V $，则有时 $ (W,P,+,\cdot) $也可以构成一个线性空间。例如，对于全体n阶实矩阵的集合 $ R^{n\times n} $以及矩阵的加法与数乘。 $ (R^{n\times n},R,+\,\cdot\,) $是线性空间。对于 $ R^{n\times n} $的子集合 $ W=\{A\mid A\in\mathbf{R}^{n\times n},A^{\top}=A\} $，容易验证： $ (W,R,+\,\cdot\,,\cdot) $也是一个线性空间。

定义2 设 $ (V,P,+\,\cdot\,) $是线性空间， $ W\subset V $，如果 $ (W,P,+\,\cdot\,\cdot\,) $也是线性空间，则称 $ (W,P,+\,\cdot\,\cdot\,) $为 $ (V,P,+\,\cdot\,\cdot\,) $的线性子空间.

线性子空间简称为子空间.故有时也称W为V的子空间.

如果 $ (V,P,+,\cdot) $是线性空间， $ W\subset V $，对系统 $ (W,P,+,\cdot) $而言，运算“+”与“·”所应满足的八条运算规则中， $ 1^{\circ},2^{\circ},5^{\circ},6^{\circ},7^{\circ},8^{\circ} $显然满足。如果“+”与“·”在W中封闭，则由 $ \alpha\in W $可得 $ (-1)\alpha=-\alpha\in W $，于是规则 $ 4^{\circ} $成立。又因 $ \alpha+(-\alpha)=0\in W $，于是规则 $ 3^{\circ} $成立。所以对于 $ (W,P,+,\cdot) $，只要“+”与“·”在W中封闭， $ (W,P,+,,\cdot) $就是线性空间，因而也就是 $ (V,P,+,,\cdot) $的子空间。由此可得

定理 设 $ W \subset V $，则系统 $ (W, P, + $, $ \cdot $) 是线性空间 $ (V, P, + $, $ \cdot $) 的子空间的充分必要条件是“+”与“·”在 W 中封闭.

例6 设 $ (V,P,+\,\cdot\,) $是一个线性空间， $ V_1=V,V_2=\{0\} $，则 $ V_1 $与 $ V_2 $都是V的子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间，V的其他子空间称为非平凡子

空间.

例7 设 $ \alpha_{1}=(1,2,3,4) $, $ \alpha_{2}=(0,2,1,3) $,

$$ L(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2})=\{k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}\mid k_{1},k_{2}\in\mathbf{R}\} $$

任取 $ \beta_{1}, \beta_{2} \in L(\alpha_{1}, \alpha_{2}) $，即

$$ \boldsymbol{\beta}_{1}=l_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+l_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2},\quad\boldsymbol{\beta}_{2}=t_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+t_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}, $$

则

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}=(l_{1}+t_{1})\boldsymbol{\alpha}_{1}+(l_{2}+t_{2})\boldsymbol{\alpha}_{2}\in L(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2}),\\&\boldsymbol{\lambda}\cdot\boldsymbol{\beta}_{1}=(\lambda l_{1})\boldsymbol{\alpha}_{1}+(\lambda l_{2})\boldsymbol{\alpha}_{2}\in L(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2}).\\ \end{aligned} $$

所以 $ L(\alpha_1, \alpha_2) $ 是 $ R^4 $ 的子空间.

一般地，设 $ V(P) $ 是线性空间， $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} \in V $，则

$$ L(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r})=\{k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{r}\boldsymbol{\alpha}_{r}\mid k_{i}\in P,i=1,2,\cdots,r\} $$

是V的子空间，称为由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r} $生成的子空间.

例8 设

$$ \boldsymbol{W}=\{(s,t,0)\mid s,t\in\mathbf{R}\} $$

则 W 又可表示为

$$ \mathbf{W}=\{s\boldsymbol{\alpha}_{1}+t\boldsymbol{\alpha}_{2}\mid\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,0),s,t\in\mathbf{R}\}, $$

所以 W 是由 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0) $ 与 $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,0) $ 所生成的 $ R^{3} $ 的子空间.

例9 设 $ W_{1} $ 是过坐标原点的直线 $ l_{1}:\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=z $ 上的向量全体组成的集合， $ W_{2} $ 是不过坐标原点的直线 $ l_{2}:\{\begin{aligned}&x+y+z=1,\\&x-y+z=1\end{aligned}. $ 上的向量全体组成的集合.

$ l_{1} $ 上任意二向量 $ \alpha_{1} $ 与 $ \alpha_{2} $ 的和 $ \alpha_{1} + \alpha_{2} $ 仍在 $ l_{1} $ 上，任一实数 $ \lambda $ 与 $ l_{1} $ 上的任一向量 $ \alpha $ 的乘积 $ \lambda \alpha $ 仍在 $ l_{1} $ 上，所以 $ W_{1} $ 是 $ R^{3} $ 的子空间.

$ l_{2} $ 上的向量 $ \alpha $ 与其负向量 $ -\alpha $ 的和 $ \alpha+(-\alpha)=0 $，因为 $ l_{2} $ 不经过原点，所以 0 不在 $ l_{2} $ 上，故 $ W_{2} $ 不是 $ R^{3} $ 的子空间.

例 10 设 $ V_{1}, V_{2} $ 是线性空间 V 的子空间，则

$$ V_{1}\bigcap V_{2}=\{\alpha\mid\alpha\in V_{1}\mathrm{ 且 }\alpha\in V_{2}\}, $$

$$ V_{1}+V_{2}=\{\alpha_{1}+\alpha_{2}\mid\alpha_{1}\in V_{1},\alpha_{2}\in V_{2}\} $$

分别称为 $ V_{1} $与 $ V_{2} $的交与和.

请读者自己证明， $ V_{1} \cap V_{2} $ 与 $ V_{1} + V_{2} $ 都是 V 的子空间.

根据向量组生成子空间的定义以及子空间的和的定义可知：设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 与 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 是数域 P 上线性空间 V 的两个向量组，则

$$ L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}\right)+L\left(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}\right)=L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r},\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}\right) $$

下面介绍有用的矩阵列空间和行空间以及 $ R^{n} $ 的正交子空间的概念.

定义3 设向量 $ \alpha \in \mathbb{R}^n $，W 是 $ \mathbb{R}^n $ 的一个子空间，如果对于任意的 $ \gamma \in W $，都有 $ (\alpha, \gamma) = 0 $，就称 $ \alpha $ 与子空间 W 正交，记作 $ \alpha \perp W $。

定义4 设 $ V $ 和 $ W $ 是 $ R^n $ 的两个子空间，如果对于任意的 $ \alpha \in V, \beta \in W $，都有 $ (\alpha, \beta) = 0 $，就称 $ V $ 和 $ W $ 正交，记作 $ V \perp W $。

例如， $ \mathbf{R}^{3} $ 中 Oxy 平面上的全体向量和 z 轴上的全体向量，分别是 $ \mathbf{R}^{3} $ 的二维和一维子空间，它们是两个正交的子空间。但是过原点互相垂直的两个平面上的全体向量构成的两个子空间不是正交的子空间（因为它们交线上的非零向量自身的内积不等于零）。

定义 5 矩阵 A 的列（行）向量组生成的子空间，称为矩阵 A 的列（行）空间.

若 $ A $ 为 $ m \times n $ 矩阵，则 $ A $ 的列向量组 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n \in \mathbb{R}^m $，行向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \in \mathbb{R}^n $，于是 $ A $ 的列空间为 $ L(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n) $ 是 $ \mathbb{R}^m $ 的一个子空间； $ A $ 的行空间为 $ L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m) $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 的一个子空间。

第四章讲过，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充要条件之一为：“b 是 A 的列向量组的线性组合”。根据矩阵列空间的定义，这个充要条件也可叙述为“b 属于 A 的列空间”。

齐次线性方程组 Ax=0，即

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0.\end{aligned}. $$

其每个解向量与系数矩阵 A 的每个行向量都正交，所以解空间与 A 的行空间是正交的.

定义 6 $ R^{\prime\prime} $ 中与子空间 V 正交的全部向量所构成的集合

$$ \mathbf{W}=\{\alpha\mid\alpha\perp\mathbf{V},\alpha\in\mathbf{R}^{n}\} $$

称为 V 的正交补，记作 $ W = V^{\perp} $

容易证明， $ R^{n} $ 的子空间 V 的正交补 $ V^{\perp} $ 是 $ R^{n} $ 的一个子空间（留作习题）.

例如：AX=0 的解空间是由与 A 的行向量都正交的全部向量构成，所以解空间是 A 的行空间的正交补。这是 AX=0 解空间的一个基本性质。

习题7.1

1. 下列各系统 $ (V,P,+ $， $ \cdot $)是否构成线性空间？

(1) $ V = \{(a, b, a, b, \cdots, a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}\} $, $ P = $ 实数域 $ \mathbb{R} $, “+” 与 “·” 为 $ \mathbb{R}^n $ 中的加法与数乘；

(2) $ V = \{ (a_1, a_2, \cdots, a_n) \mid \sum_{i=1}^{n} a_i = 1, a_i \in \mathbb{R} \} $, $ P $ = 有理数域 $ Q $, “+”与“·”为 $ R^n $ 中的加法与数乘；

（3） $ V=\{全体3阶实对称矩阵\},P= $实数域 $ R, $ “+”与“·”为矩阵的加法与数乘；

（4） $ V = \{ \text{全体 } n \text{ 阶实可逆矩阵}, P = \text{实数域 } \mathbb{R}, “+” 与 “·” 为矩阵的加法与数乘； $

(5) $ V = \{ f(x) \mid f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n \, x^n, a_n \neq 0, a_i \in \mathbb{R} \} $, $ P $ 有理数域 $ Q $, “+”与“·”为多项式的加法与数乘.

1. 下列各集合 W 是否构成 $ R^{n} $ 的子空间？

$$ \mathbf{W}=\{(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\mid a_{1}+a_{2}=0,a_{i}\in\mathbf{R}\}; $$

(2) $ W = \{(a_1, a_2, \cdots, a_n) | a_1 + a_2 \neq 0, a_i \in \mathbb{R}\} $;

(3) $ W = \{k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 \mid \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}^n, k_1, k_2 \in \mathbb{R}\} $，当 $ k_1, k_2 $ 不全为零时， $ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 \neq 0\} $.

1. 证明：在线性空间 $ (V,P,+,\cdot) $中，若 $ k\alpha=0 $，则k=0或 $ \alpha=0(k\in P,\alpha\in V) $.

1. 证明：线性空间 V 的子空间 $ V_{1} $ 与 $ V_{2} $ 的交 $ V_{1} \cap V_{2} $ 和 $ V_{1} + V_{2} $ 都是 V 的子空间.

1. 设 W 为线性空间 V 的一个子空间. 证明 W 的正交补 $ W^{\perp} $ 是 V 的一个子空间.

7.2 线性空间的基、维数与坐标

在第四章所讨论的 $ R^{n} $ 中向量的线性组合、线性相关、线性无关等概念，只涉及线性运算的加法与数乘，这些概念都可以推广到线性空间中来。

例如，在线性空间 $ (R_n[x], \mathbf{R}, +, \cdot) $中

$$ a_{0}1+a_{1}x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1} $$

是 $ 1,x,\cdots,x^{n-1} $的一个线性组合. $ R_{n}[x] $的零元素是多项式零.由多项式理论可知，只有当 $ a_{0}=a_{1}=\cdots=a_{n-1}=0 $时，才有

$$ a_{0}1+a_{1}x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}=0, $$

于是，在线性空间 $ R_{n}[x] $中，1，x， $ \cdots $， $ x^{n-1} $是线性无关的.

一、 基与维数

$ R^{n} $ 中向量组的极大无关组与秩的概念推广到线性空间中，就是基与维数的概念.

定义 1 在线性空间 V 中，如果有 n 个向量 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 线性无关，而 V 中任意 $ n+1 $ 个向量线性相关，则称 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 为 V 的一组基，n 称为线性空间 V 的维数，记为 $ \dim V = n $。

维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空间.

可以证明：

（1） $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 是线性空间V的一组基的充分必要条件是 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 线性无关，且V中任一向量可由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 线性表出.

（2）n 维线性空间 V 中任意 n 个线性无关的向量都是 V 的一组基.

例1 设

$$ P_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\mid a_{i}\in P,i=0,1,\cdots,n-1\} $$

对于多项式的加法“+”与数乘“·”， $ (P_n[x], P, +\cdot, \cdot) $是线性空间。在这个线性空间中， $ 1, x, \cdots, x^{n-1} $是线性无关的，且系数在 $ P $上的任一次数不大于 $ n-1 $的多项式都可由它们线性表出，所以 $ 1, x, \cdots, x^{n-1} $是 $ P_n[x] $的一组基， $ P_n[x] $是 $ n $维线性空间。

例2 求线性空间 $ R^{2\times3} $的一组基与维数.

解 在 $ R^{2\times3} $中，令

$$ \boldsymbol{E}_{11}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{E}_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{E}_{13}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{E}_{21}=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{E}_{22}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{E}_{23}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}, $$

设

$$ k_{11}\mathbf{E}_{11}+k_{12}\mathbf{E}_{12}+\cdots+k_{23}\mathbf{E}_{23}=\mathbf{O}, $$

即

$$ \begin{align*}\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\end{align*} $$

于是 $ k_{11}=k_{12}=\cdots=k_{23}=0 $，由此可知 $ E_{11}, E_{12}, \cdots, E_{23} $ 线性无关。

任取

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}\in\boldsymbol{R}^{2\times3},\end{aligned} $$

则

$$ \mathbf{A}=\alpha_{11}\mathbf{E}_{11}+\alpha_{12}\mathbf{E}_{12}+\cdots+\alpha_{23}\mathbf{E}_{23}, $$

即 $ R^{2\times3} $ 中任一向量可由 $ E_{11}, E_{12}, \cdots, E_{23} $ 线性表出。故 $ E_{11}, E_{12}, \cdots, E_{23} $ 是 $ R^{2\times3} $ 的一组基， $ R^{2\times3} $ 的维数是 6。

线性空间 V 的子空间 W 也有基与维数的概念.

由于在有限维的线性空间 V 的子空间 W 中不可能有比 V 有更多数目的线性无关的向量组，所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数。即

$$ \dim(W)\leqslant\dim(V). $$

借助维数与基的定义，容易证明：

性质 设 W 是线性空间 V 的子空间， $ \dim(W)=\dim(V) $，则 W=V.

该性质的证明留作习题.

在线性空间 V 中，由向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 生成的子空间 $ L(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}) $ 的维数

等于 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s} $ 的秩， $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s} $ 的极大无关组为 $ L(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) $ 的基.

对于矩阵 A，

$$ \dim(A\ 的列空间 )=\dim(A\ 的行空间 )=R(A). $$

例 3 $ W = \{\alpha \mid A\alpha = 0, A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \alpha \in \mathbb{R}^n\}, W \subset \mathbb{R}^n, W $ 即为齐次线性方程组 $ AX = 0 $ 的解集合。由线性方程组的理论可知，若 $ \alpha_1, \alpha_2 \in W, k \in \mathbb{R} $，则

$$ \alpha_{1}+\alpha_{2}\in W\;,\quad k\alpha_{1}\in W. $$

故 W 是 $ R^{n} $ 的子空间. 这个子空间的基就是 AX=0 的基础解系，维数为 n-R(A). 所以

$$ \dim(A\ 的列 ( 行 ) 空间 )+\dim(AX=0\ 的解空间 )=n. $$

这是 AX=0 解空间的又一个基本性质.

例4 设 $ W=\{(x,y,z) \mid \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=z\} $，W 是 $ \mathbb{R}^3 $ 的子空间，求 W 的基与维数。

解 W 的元素即直线 $ \frac{x}{3} = \frac{y}{2} = z $ 上的向量，该直线上任一向量都可由 $ \alpha = (3, 2, 1) $ 线性表出。故 $ \alpha $ 是 W 的基，W 是 $ R^{3} $ 的 1 维子空间。

事实上，过原点的任一直线上的向量全体组成的集合是 $ R^{3} $的1维子空间，而过原点的任一平面上的向量全体组成的集合是 $ R^{3} $的2维子空间.

定理1 设 V 是 n 维线性空间，W 是 V 的 m 维子空间，且 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 是 W 的一组基，则 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 可以扩充为 V 的基，即在 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 的基础上可以添加 n-m 个向量成为 V 的一组基.

二、 坐标

在解析几何中，坐标是研究向量的有力工具，在线性空间中，同样可以利用坐标来研究向量.

定义2 设 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 是线性空间 $ (V, P, + $, $ \cdot $) 的一组基，对任 $ -\alpha \in V $，存在惟一的一组数 $ a_1, a_2, \cdots, a_n \in P $，使

$$ \boldsymbol{\alpha}=a_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}, $$

有序数组 $ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) $称为 $ \alpha $在基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $下的坐标.

例5 在线性空间 $ P_{4}[x] $ 中，1, x, $ x^{2} $, $ x^{3} $ 是一组基， $ f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} $ 在这组基下的坐标是 $ (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) $.

例6 在 $ \pmb{R}^{3} $ 中， $ \alpha_{1}=(1,0,0) $， $ \alpha_{2}=(0,1,0) $， $ \alpha_{3}=(0,0,1) $ 是一组基。设 $ \alpha=(0,2,-3) $，则

$$ \boldsymbol{\alpha}=0\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{2}-3\boldsymbol{\alpha}_{3}, $$

$ \alpha $ 在 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 下的坐标是 (0, 2, -3).

同样， $ \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\prime}=(1,0,0) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\prime}=(1,1,0) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{3}^{\prime}=(1,1,1) $也是 $ R^{3} $的一组基。为求出 $ \alpha= $

(0,2,-3)在 $ \alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\alpha_{3}^{\prime} $下的坐标，可设

$$ \boldsymbol{\alpha}=x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\prime}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\prime}+x_{3}\boldsymbol{\alpha}_{3}^{\prime}, $$

即

$$ (0,2,-3)=(x_{1},0,0)+(x_{2},x_{2},0)+(x_{3},x_{3},x_{3})=(x_{1}+x_{2}+x_{3},x_{2}+x_{3},x_{3}), $$

亦即

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+x_{3}&=0,\\ x_{2}+x_{3}&=2,\\ x_{3}&=-3,\end{aligned}. $$

解得 $ x_{1}=-2, x_{2}=5, x_{3}=-3 $. $ \alpha $ 在 $ \alpha_{1}^{\prime}, \alpha_{2}^{\prime}, \alpha_{3}^{\prime} $ 下的坐标是 $ (-2, 5, -3) $.

可见同一个向量在不同基下的坐标一般是不相同的.

例7 在线性空间 $ R^{2\times2} $中，试证：

$$ \boldsymbol{A}_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{A}_{2}=\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{A}_{3}=\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&-1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{A}_{4}=\begin{pmatrix}-1&1\\ 1&-1\end{pmatrix} $$

是一组基，并求 $ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} $ 在 $ A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} $ 下的坐标.

解 设 $ k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+k_{3}A_{3}+k_{4}A_{4}=O $，即

$$ \begin{pmatrix}k_{1}&k_{1}\\k_{1}&k_{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k_{2}&k_{2}\\-k_{2}&-k_{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k_{3}&-k_{3}\\k_{3}&-k_{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-k_{4}&k_{4}\\k_{4}&-k_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}, $$

亦即

$$ \begin{cases}k_{1}+k_{2}+k_{3}-k_{4}=0,\\k_{1}+k_{2}-k_{3}+k_{4}=0,\\k_{1}-k_{2}+k_{3}+k_{4}=0,\\k_{1}-k_{2}-k_{3}-k_{4}=0,\end{cases} $$

此方程组的系数行列式

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}} \\\end{matrix}\right|&=\left|\begin{matrix}{{{4}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}} \\\end{matrix}\right|\\&=4\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}} \\\end{matrix}\right|=16,\end{aligned} $$

所以方程组只有惟一零解 $ k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{4}=0 $，所以 $ A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} $ 线性无关。又因为 $ R^{2 \times 2} $ 的维数是 4，所以 $ A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} $ 是 $ R^{2 \times 2} $ 的一组基。

设 $ A=x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+x_{3}A_{3}+x_{4}A_{4} $，即

$$ \begin{aligned}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}&x_{1}\\x_{1}&x_{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_{2}&x_{2}\\-x_{2}&-x_{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_{3}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-x_{4}&x_{4}\\x_{4}&-x_{4}\end{pmatrix},\\\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=1,\\x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=2,\\x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=3,\\x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=4,\end{cases}\end{aligned} $$

解此方程组得： $ x_{1}=\frac{5}{2} $， $ x_{2}=-1 $， $ x_{3}=-\frac{1}{2} $， $ x_{4}=0 $。A 在 $ A_{1} $， $ A_{2} $， $ A_{3} $， $ A_{4} $ 下的坐标是 $ \left(\frac{5}{2},-1,-\frac{1}{2},0\right) $。

建立了坐标以后，就可以把 n 维线性空间 V 的任何一个向量 $ \alpha $ 与线性空间 $ R^n $ 的向量 $ (a_1, a_2, \cdots, a_n) $ 联系起来，并且还可以将 V 中的运算与 $ R^n $ 中的运算联系起来。

设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是实线性空间 V 的基, $ \alpha, \beta \in V $.

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{\alpha}&=a_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n},\\\boldsymbol{\beta}&=b_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+b_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+b_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n},\end{aligned} $$

则有

$$ \begin{array}{r l}{\alpha}&{{}\leftrightarrow\quad(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}),}\end{array} $$

$$ \beta\quad\leftrightarrow\quad(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}). $$

又因为

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=(a_{1}+b_{1})\boldsymbol{\alpha}_{1}+(a_{2}+b_{2})\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+(a_{n}+b_{n})\boldsymbol{\alpha}_{n},\\&k\boldsymbol{\alpha}=(k a_{1})\boldsymbol{\alpha}_{1}+(k a_{2})\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+(k a_{n})\boldsymbol{\alpha}_{n},\\ \end{aligned} $$

所以

$$ \alpha+\beta\leftrightarrow(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}), $$

$$ k\boldsymbol{\alpha}\quad\leftrightarrow\quad k\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right). $$

由式(7.1),(7.2),(7.3),(7.4)可见，在n维实线性空间V中取定一组基后，V中的向量与 $ R^{n} $的向量之间存在一一对应的关系。如果V中的向量 $ \alpha $与 $ \beta $在 $ R^{n} $中分别对应 $ \boldsymbol{\alpha}^{\prime}=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}),\boldsymbol{\beta}^{\prime}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}) $，则 $ \alpha+\beta $与 $ k\alpha $在 $ R^{n} $中分别对应 $ \alpha^{\prime}+\beta^{\prime} $与 $ k\alpha^{\prime} $，我们称这种对应关系保持运算关系不变，同时称V与 $ R^{n} $同构。

任何一个 n 维实线性空间 V 都与 $ R^{n} $ 同构，而同构关系保持线性运算关系不变，因此，V 中抽象的线性运算就可以转化为 $ R^{n} $ 中的线性运算，并且 $ R^{n} $ 中凡是只涉及线性运算的性质都适用于 V.

三、 基变换与坐标变换

n 维线性空间中任意 n 个线性无关的向量都可以作为 V 的一组基，不同的基之间

有什么关系呢？

设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是 V 的一组基， $ \alpha_{1}^{\prime}, \alpha_{2}^{\prime}, \cdots, \alpha_{n}^{\prime} $ 是 V 的另一组基，为便于叙述与区别，我们将前者称为旧基，后者称为新基。新旧基之间有如下关系：

$$ \{\begin{aligned}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{^{\prime}}&=a_{11}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{21}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{n1}\boldsymbol{\alpha}_{n},\\\boldsymbol{\alpha}_{2}^{^{\prime}}&=a_{12}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{22}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{n2}\boldsymbol{\alpha}_{n},\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\\boldsymbol{\alpha}_{n}^{^{\prime}}&=a_{1n}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{2n}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{nn}\boldsymbol{\alpha}_{n},\end{aligned}. $$

记

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}, $$

利用矩阵乘法，式(7.5)可记为

$$ (\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\prime},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\prime},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\prime})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A}, $$

式(7.5)，(7.6)表示出新旧基之间的关系，称为基变换式。矩阵A称为从基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $到基 $ \alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\cdots,\alpha_{n}^{\prime} $的过渡矩阵。不难证明：过渡矩阵是可逆的。

由式(7.6)可得

$$ (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})=(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\prime},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\prime},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\prime})\boldsymbol{A}^{-1}, $$

所以从基 $ \alpha_{1}^{\prime}, \alpha_{2}^{\prime}, \cdots, \alpha_{n}^{\prime} $ 到基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 的过渡矩阵是 $ A^{-1} $

例8 在 n 维线性空间中，如果从基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 到基 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n} $ 的过渡矩阵是 A，从基 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n} $ 到基 $ \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n} $ 的过渡矩阵是 B，则从 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 到 $ \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n} $ 的过渡矩阵是 AB.

证由题意得

$$ (\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A}, $$

$$ (\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{n})=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})B, $$

因此

$$ \begin{align*}(\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{n})=&\left[\left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\right)\boldsymbol{A}\right]\boldsymbol{B}\\=&\left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\right)\left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right),\end{align*} $$

所以从基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 到基 $ \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n} $ 的过渡矩阵是 AB.

对于线性空间 $ R^{n} $ 的例子在 S 4.3 我们已经列举，下面我们再看一个例子

例9 在线性空间 $ P_{3}[x] $中，求从基1，x， $ x^{2} $到基 $ f_{1}=-1-2x+2x^{2} $， $ f_{2}=-2-x+2x^{2} $， $ f_{3}=3+2x-3x^{2} $的过渡矩阵.

解 $ \{\begin{aligned}f_{1}&=-1-2x+2x^{2},\\ f_{2}&=-2-x+2x^{2},\\ f_{3}&=3+2x-3x^{2},\end{aligned}. $ 即 $ (f_{1},f_{2},f_{3})=(1,x,x^{2})\begin{pmatrix}-1&-2&3\\ -2&-1&2\\ 2&2&-3\end{pmatrix} $，

基 $ 1,x,x^{2} $到基 $ f_{1},f_{2},f_{3} $的过渡矩阵为 $ \begin{pmatrix}-1&-2&3\\-2&-1&2\\2&2&-3\end{pmatrix} $

在 n 维线性空间中，同一个向量 $ \alpha $ 在不同基下的坐标一般是不相同的，它们之间有下面的关系.

定理2 设在 $n$ 维线性空间中，向量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与基 $\alpha_1', \alpha_2', \cdots, \alpha_n'$ 下的坐标分别是 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 与 $(a_1', a_2', \cdots, a_n')$，从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\alpha_1', \alpha_2', \cdots, \alpha_n'$ 的过渡矩阵是 $A$，则有下面的坐标变换式：

$$ \begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}a_{1}^{^{\prime}}\\a_{2}^{^{\prime}}\\\vdots\\a_{n}^{^{\prime}}\end{pmatrix},\quad 或 \quad\begin{pmatrix}a_{1}^{^{\prime}}\\a_{2}^{^{\prime}}\\\vdots\\a_{n}^{^{\prime}}\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}^{-1}\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{pmatrix}. $$

证 因为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{\alpha}&=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{pmatrix}=(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{^{\prime}},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{^{\prime}},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}^{^{\prime}})\begin{pmatrix}a_{1}^{^{\prime}}\\ a_{2}^{^{\prime}}\\ \vdots\\ a_{n}^{^{\prime}}\end{pmatrix}\\&=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}a_{1}^{^{\prime}}\\ a_{2}^{^{\prime}}\\ \vdots\\ a_{n}^{^{\prime}}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

由坐标的惟一性得

$$ \begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}a_{1}^{^{\prime}}\\a_{2}^{^{\prime}}\\\vdots\\a_{n}^{^{\prime}}\end{pmatrix},\quad 或 \quad\begin{pmatrix}a_{1}^{^{\prime}}\\a_{2}^{^{\prime}}\\\vdots\\a_{n}^{^{\prime}}\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}^{-1}\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{pmatrix}. $$

例 10 对于线性空间 $ P_{3}[x] $ 的两组基

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=-1-2x+2x^{2},\boldsymbol{\alpha}_{2}=-2-x+2x^{2},\boldsymbol{\alpha}_{3}=3+2x-3x^{2}; $$

$$ \boldsymbol{\beta}_{1}=1+x+x^{2},\boldsymbol{\beta}_{2}=1+2x+3x^{2},\boldsymbol{\beta}_{3}=2+x^{2}, $$

（1）求从基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 到基 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 的过渡矩阵；

（2）求坐标变换公式.

解（1）由

$$ (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})=(1,x,x^{2})\boldsymbol{A} $$

$$ (\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{3})=(1,x,x^{2})\boldsymbol{B}, $$

其中

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{-1}}}&{{{-2}}}&{{{3}}} \\{{{-2}}}&{{{-1}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{2}}}&{{{-3}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{3}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}, $$

得

$$ (\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{3})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}. $$

从基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 到基 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 的过渡矩阵为 $ A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 9 & 20 & 8 \\ 7 & 15 & 7 \end{pmatrix} $

（2）坐标变换公式为

$$ \begin{align*}\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4&3\\9&20&8\\7&15&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1^{\prime}\\a_2^{\prime}\\a_3^{\prime}\end{pmatrix}\end{align*} $$

下面以 $ R^{2} $ 为例对基变换与坐标变换作几何解释.

在 $ \mathbf{R}^{2} $ 中，任何两个线性无关的向量都可以作为 $ \mathbf{R}^{2} $ 的基。例如， $ \alpha_{1}=(1,0) $， $ \alpha_{2}=(0,1) $ 可以作为 $ \mathbf{R}^{2} $ 的基。这两个向量相互正交，且长度都是 1。以这两个向量的方向作为坐标轴 Ox 与 Oy 的正向，以它们的长度作为 x 轴与 y 轴的单位，就可以构成一个直角坐标系。 $ \mathbf{R}^{2} $ 中任一向量如 $ \boldsymbol{\alpha}=(2,3) $，可由 $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $ 线性表出，

$$ \boldsymbol{\alpha}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}+3\boldsymbol{\alpha}_{2}. $$

$ \alpha $ 在基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 下的坐标是 (2,3). 如果将 $ \alpha $ 作平行移动，使其起点与坐标原点重合，则其终点在 Oxy 坐标系下的坐标也是 (2,3) (如图 7.1).

同样， $ \boldsymbol{\beta}_{1}=(1,1) $， $ \boldsymbol{\beta}_{2}=(-1,2) $也是 $ R^{2} $的基。这两个向量不正交，长度也不相等。

以这两个向量的方向作为坐标轴 $ Ox', Oy' $ 的正向，以它们的长度分别作为 $ Ox', Oy' $ 的单位，也可以构成一个坐标系。这种坐标系称为仿射坐标系。仿射坐标系的坐标轴可以不垂直，每个坐标轴上的单位长度也可以不相等。 $ \alpha = (2, 3) $ 也可以由 $ \beta_1, \beta_2 $ 线性表出，

$$ \alpha=\frac{7}{3}\beta_{1}+\frac{1}{3}\beta_{2}. $$

$ \alpha $ 在 $ \beta_{1}, \beta_{2} $ 下的坐标是 $ \left(\frac{7}{3}, \frac{1}{3}\right) $. $ \alpha, \beta_{1}, \beta_{2} $ 的关系如图 7.2 所示.

将仿射坐标系 $ Ox^{\prime}y^{\prime} $ 转变为直角坐标系 Oxy，也就是将基 $ \beta_{1}, \beta_{2} $ 换为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $，这就是前面所说的基变换的几何背景。

因为

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}\boldsymbol{\beta}_{1}=&\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2},\\\boldsymbol{\beta}_{2}=&-\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{2},\end{matrix}\right.\end{aligned} $$

所以从 $ \alpha_{1},\alpha_{2} $ 到 $ \beta_{1},\beta_{2} $ 的过渡矩阵为 $ A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix} $，相应的坐标变换式为

$$ \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\mathbf{A}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\ y^{\prime}\end{pmatrix}. $$

对于 $ \alpha=(2,3) $， $ \alpha $ 在两组基下的坐标分别为

$$ (x,y)=(2,3),\quad(x^{\prime},y^{\prime})=\left[\frac{7}{3},\frac{1}{3}\right]. $$

而

$$ \boldsymbol{A}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\ y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{7}{3}\\ \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}, $$

与前面关于 $ R^{n} $ 中基变换与坐标变换的讨论是一致的.

习题7.2

1. 确定习题7.1第1题中各线性空间的维数与一组基.

1. 确定习题7.1第2题中各子空间的维数与一组基.

1. 求 $ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 $ 的解空间的维数与一组基.

1. 设 $ \mathbf{R}^{+} = \{\text{所有正实数}\} $，定义 $ a \oplus b = ab $， $ k \circ a = a^{k} $， $ k \in \mathbf{R} $。确定线性空间 $ (\mathbf{R}^{+}, \mathbf{R}, \oplus, \circ) $ 的维数与一组基。

1. 证明：

(1) $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是线性空间 V 的一组基的充分必要条件是 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 线性无关且 V 中任一向量都可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 线性表出；

（2）n 维线性空间中任意 n 个线性无关的向量都是 V 的一组基.

1. 设 W 是线性空间 V 的子空间，且 $ \dim(W) = \dim(V) $，证明：W = V.

1. 在 $ \mathbb{R}^{3} $ 中求向量 $ \boldsymbol{\alpha}=(1,2,1) $ 在基 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,-1) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,-1,-1) $ 下的坐标.

1. 在 $ \mathbb{R}^n $ 中求向量 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) $ 在基 $ \boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 1, \cdots, 1) $, $ \boldsymbol{\alpha}_2 = (1, 1, \cdots, 1, 0) $, $ \cdots $, $ \boldsymbol{\alpha}_n = (1, 0, \cdots, 0) $ 下的坐标.

1. 设 $ E_{ij} $ 是第 i 行、第 j 列处的元为数 1，而其余元为零的 2 阶方阵.

（1）证明： $ E_{11}, E_{22}, E_{12} + E_{21}, E_{12} - E_{21} $ 是 $ R^{2 \times 2} $ 的一组基；

(2) 求 $ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $ 在这组基下的坐标.

1. 设 $ c_{1}\alpha+c_{2}\beta+c_{3}\gamma=0 $，且 $ c_{1}, c_{3} \neq 0 $。证明： $ L(\alpha, \beta)=L(\beta, \gamma) $。

1. 在 $ P^{4} $ 中，求向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 生成的子空间的基与维数. 设

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3,1),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0,1),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,-3,0),\boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,1,1,1); $$

(2) $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3,-1) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-1,1,-3,1) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(4,5,3,-1) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,5,-3,1) $.

1. 求由向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 生成的子空间 $ L(\alpha_{1}, \alpha_{2}) $ 与 $ \beta_{1}, \beta_{2} $ 生成的子空间的 $ L(\beta_{1}, \beta_{2}) $ 的交与和的基与维数.

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1,0),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(-1,1,1,1),\boldsymbol{\beta}_{1}=(2,-1,0,1),\boldsymbol{\beta}_{2}=(1,-1,3,7); $$

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1,1,0,0\right),\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(1,0,1,1\right),\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(0,0,1,1\right),\boldsymbol{\beta}_{2}=\left(0,1,1,0\right). $$

1. 在 $ R^{4} $ 中，求一非零向量 $ \alpha $，使 $ \alpha $ 在下面两组基下有相同的坐标：

$$ \{\begin{aligned}&\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0,0),\\&\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,0,0),\\&\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,0,1,0),\\&\boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,0,0,1);\end{aligned}.\quad\{\begin{aligned}&\boldsymbol{\eta}_{1}=(2,1,-1,1),\\&\boldsymbol{\eta}_{2}=(0,3,1,0),\\&\boldsymbol{\eta}_{3}=(5,3,2,1),\\&\boldsymbol{\eta}_{4}=(6,6,1,3).\end{aligned}. $$

1. 已知 $ 1, x, x^{2}, x^{3} $ 是线性空间 $ P_{4}[x] $ 的一组基.

（1）证明： $ 1,1+x,(1+x)^{2},(1+x)^{3} $ 也是 $ P_{4}[x] $ 的一组基；

（2）求由基 $ 1,x,x^{2},x^{3} $到 $ 1,1+x,(1+x)^{2},(1+x)^{3} $的过渡矩阵；

（3）求由基 $ 1,1+x,(1+x)^{2},(1+x)^{3} $到基 $ 1,x,x^{2},x^{3} $的过渡矩阵；

（4）求 $ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} $在基 $ 1,1+x,(1+x)^{2},(1+x)^{3} $下的坐标.

1. 设 $ \boldsymbol{\beta}_{1}=(-1,1) $， $ \boldsymbol{\beta}_{2}=(-1,-2) $ 是直角坐标系 Oxy 中的两个向量，以 $ \beta_{1} $， $ \beta_{2} $ 的方向为仿射坐标系 $ Ox'y' $ 中坐标轴 $ Ox' $ 与 $ Oy' $ 的正向，以 $ \beta_{1} $， $ \beta_{2} $ 的长度为 $ Ox' $ 与 $ Oy' $ 的单位长度，求向量 $ \boldsymbol{\beta}=(-2,5) $ 在 $ Ox'y' $ 下的坐标.

§7.3 欧氏空间

在讨论向量空间 $ R^n $ 时，我们曾经利用内积把 $ R^3 $ 中向量的长度与夹角等概念引入 $ R^n $ 中，现在我们同样可以利用内积把向量的长度与夹角引入实线性空间 $ (V, R, +\cdot) $，并讨论 $ V(R) $ 中向量组的规范正交化问题。

一、 内积

定义1 设 $ (V,R,+\,\cdot\,) $是线性空间，如果V中任意两个元素 $ \alpha,\beta $可进行某种运算，将这种运算记为 $ (\alpha,\beta) $，其运算结果是一个实数，且运算满足以下条件：

(1) $ (\alpha, \beta) = (\beta, \alpha) $;

(2) $ (\alpha + \beta, \gamma) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma) $;

(3) $ (\alpha, \alpha) \geqslant 0 $，当且仅当 $ \alpha = 0 $ 时等号成立，则称 $ (\alpha, \beta) $ 为线性空间 $ (V, R, + $， $ \cdot) $ 的一个内积.

定义了内积的实线性空间称为欧氏空间.

例1 设 $ \alpha, \beta \in \mathbb{R}^n $, $ \alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n) $, $ \beta = (b_1, b_2, \cdots, b_n) $, 则 $ (\alpha, \beta) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n $ 为 $ \mathbb{R}^n $ 的一个内积，这是我们在第五章所熟悉的内积。

设 A 是 n 阶正定矩阵，规定 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的运算如下：

$$ (\alpha,\beta)=\alpha A\beta^{\mathrm{T}}, $$

则由矩阵的乘法可知， $ \alpha A \beta^{T} $ 是一个实数，且

(1) $ (\alpha, \beta) = \alpha A \beta^{\mathrm{T}} = \beta A \alpha^{\mathrm{T}} = (\beta, \alpha) $;

$$ 2(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})=(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})\boldsymbol{A}\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\gamma})+(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}); $$

(3) $ (\alpha, \alpha) = \alpha A \alpha^{T} \geqslant 0 $，当且仅当 $ \alpha = 0 $ 时等号成立。

所以 $ (\alpha,\beta)=\alpha A\beta^{\mathrm{T}} $也是 $ R^{n} $的一个内积.

对于不同的内积， $ (R^{n}, R, + $, $ \cdot $) 构成不同的欧氏空间.

例2 $ (C[a,b], \mathbb{R}, +, \cdot) $ 是一个线性空间，对任意的 $ f(x), g(x) \in C[a,b] $，规定 $ f(x), g(x) $ 的运算

$$ (f(x),g(x))=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x, $$

则

$$ (1)\ (f(x),g(x))=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)f(x)dx=(g(x),f(x)); $$

(2)

$$ \begin{align*}(f(x)+g(x),h(x))&=\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]h(x)\mathrm{d}x\\&=\int_{a}^{b}f(x)h(x)\mathrm{d}x+\int_{a}^{b}g(x)h(x)\mathrm{d}x\\&=(f(x),h(x))+(g(x),h(x));\end{align*} $$

(3) $ (f(x),f(x))=\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\geqslant0 $，当且仅当 $ f(x)=0 $时等号成立，

所以 $ (f(x),g(x))=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x $ 是线性空间 $ (C[a,b],R,+\cdot,\cdot) $ 的一个内积.

二、 内积的性质

有了内积概念，可以定义欧氏空间 $ (V, \mathbb{R}, +, \cdot) $的向量长度.

设 $ (V,R,+\,\cdot\,) $是欧氏空间，则

$$ \alpha=\sqrt{(\alpha,\alpha)},\alpha\in V $$

称为向量 $ \alpha $的模（长度，范数）.

在欧氏空间中，有以下两个重要不等式：

1. 柯西不等式

$$ \left|\left(\alpha,\beta\right)\right|\leqslant\left|\left|\alpha\right|\right|\parallel\beta $$

或

$$ (\alpha,\beta)^{2}\leqslant(\alpha,\alpha)(\beta,\beta). $$

这个不等式的证明与 §5.3 中相应不等式的证明完全一致。有了这个不等式，就可以定义欧氏空间中两个向量的夹角：

$$ \langle\alpha,\beta\rangle=\arccos\frac{(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\|\beta\|}. $$

2. 三角不等式

$$ \left\|\alpha+\beta\right\|\leqslant\left\|\alpha\right\|+\left\|\beta\right\|. $$

例3 设 $ a, b, c \in \mathbb{R}^+ $ 且 $ a + b + c = 1 $，证明 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 $.

证 设 $ \boldsymbol{\alpha}=(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}),\boldsymbol{\beta}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{1}{\sqrt{b}},\frac{1}{\sqrt{c}}\right) $，则

$$ (\alpha,\beta)^{2}\leqslant\|\alpha\|^{2}\|\beta\|^{2}, $$

即

$$ (1+1+1)^{2}\leqslant(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}. $$

所以 $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant9 $

例4 设 $ f(x), g(x) \in C[a, b] $，证明：

$$ \left(\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right)^{2}\leqslant\int_{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm{d}x\int_{a}^{b}g^{2}(x)\mathrm{d}x. $$

这个题目在微积分中是一个技巧性比较强的题目，如果利用柯西不等式，则是一个直接结果.

证 设 $ (f(x), g(x)) = \int_{a}^{x} f(x) g(x) \, dx $，则 $ (f(x), g(x)) $ 是欧氏空间 $ (C[a, b], \mathbb{R}, +, \cdot) $ 的一个内积，由柯西不等式可得

$$ \begin{aligned}(f(x),g(x))^{2}=&\left(\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right)^{2}\\ \leqslant&(f(x),f(x))(g(x),g(x))\\ =&\int_{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm{d}x\int_{a}^{b}g^{2}(x)\mathrm{d}x.\end{aligned} $$

三、 标准正交基

定义2 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是欧氏空间 $ V(R) $ 的一组基，且满足：

(1) $ (\alpha_{i}, \alpha_{j}) = 0 (i \neq j) $;

(2) $ \|\alpha_i\| = 1 $ (i=1,2, $ \cdots $,n),

则称 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 为欧氏空间 V(R) 的一组标准（规范）正交基.

例5 在线性空间 $ R_{3}[x] $中，规定 $ f(x), g(x) $的内积如下：

$$ (f(x),g(x))=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x. $$

将 $ 1,x,x^{2} $化为 $ R_{3}[x] $的标准正交基.

解 将线性无关向量组化为标准正交向量组的方法同 $ R^{n} $ 中的施密特正交化方法是一致的.

令

$$ \beta_{1}=1, $$

$$ \beta_{2}=x-\frac{(x,1)}{(1,1)}\cdot1=x-\frac{\int_{-1}^{1}x\mathrm{d}x}{\int_{-1}^{1}\mathrm{d}x}=x, $$

$$ \begin{aligned}\beta_{3}=&x^{2}-\frac{(x^{2},1)}{(1,1)}\cdot1-\frac{(x^{2},x)}{(x,x)}\cdot x\\=&x^{2}-\frac{\int_{-1}^{1}x^{2}\mathrm{d}x}{\int_{-1}^{1}\mathrm{d}x}-\frac{\int_{-1}^{1}x^{3}\mathrm{d}x}{\int_{-1}^{1}x^{2}\mathrm{d}x}\cdot x=x^{2}-\frac{1}{3},\end{aligned} $$

$$ \gamma_{1}=\frac{1}{\left\|\beta_{1}\right\|}\beta_{1}=\frac{1}{\sqrt{\int_{-1}^{1}\mathrm{d}x}}\cdot1=\frac{\sqrt{2}}{2}, $$

$$ \gamma_{2}=\frac{1}{\|\beta_{2}\|}\beta_{2}=\frac{1}{\sqrt{\int_{-1}^{1}x^{2}\mathrm{d}x}}\cdot x=\frac{\sqrt{6}}{2}x $$

$$ \begin{aligned}\gamma_{_{3}}&=\frac{1}{\left\|\beta_{_{3}}\right\|}\beta_{_{3}}=\frac{1}{\sqrt{\int_{-1}^{1}(x^{^{2}}-\frac{1}{3})^{2}dx}}\bullet(x^{^{2}}-\frac{1}{3})\\&=\frac{\sqrt{10}}{4}(3x^{^{2}}-1).\end{aligned} $$

$ \gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3} $ 是 $ R_{3}[x] $ 的一组标准正交基.

习题7.3

1. 证明欧氏空间中勾股定理成立，即若 $ \alpha \perp \beta $，则 $ \|\alpha + \beta\|^{2} = \|\alpha\|^{2} + \|\beta\|^{2} $

1. 设 $ \alpha, \beta $ 是 n 维欧氏空间 V 中两个不同的向量，且 $ \|\alpha\| = \|\beta\| = 1 $。证明： $ (\alpha, \beta) \neq 1 $。

1. 在线性空间 $ R_{3}[x] $ 中，规定内积 $ (f(x), g(x)) = \int_{a}^{b} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x $，问：1, x, $ x^{2} - \frac{1}{3} $ 是否是 $ R_{3}[x] $ 的一组正交基？

7.4 线性变换

线性空间 V 的元素之间的联系可以用 V 到自身的映射来表现。线性空间 V 到自身的映射称为变换，而线性变换是线性空间中最简单也是最基本的一种变换。

一、 线性变换的概念与性质

定义 1 设 V 是数域 P 上的线性空间， $ \sigma $ 是 V 的一个变换，且 $ \sigma $ 满足：

$$ 1^{\circ}\quad\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta),\quad\forall\alpha,\beta\in V; $$

$$ 2^{\circ}\quad\sigma(k\boldsymbol{\alpha})=k\sigma(\boldsymbol{\alpha}),\quad\forall k\in P,\boldsymbol{\alpha}\in V, $$

则称 $ \sigma $ 是线性空间 V 的线性变换.

例1 在线性空间 $ R^{3} $中，规定 $ \sigma $如下：

$$ \sigma\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)=\left(0,a_{1},a_{2}\right), $$

则 $ \sigma $ 显然是 $ \mathbb{R}^3 $ 的一个变换。对 $ \mathbb{R}^3 $ 的任意两个向量 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, a_3) $， $ \boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, b_3) $ 及任意的 $ k \in \mathbb{R} $，

(1)

$$ \begin{aligned}\sigma(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=&\sigma(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})=(0,a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\\=&(0,a_{1},a_{2})+(0,b_{1},b_{2})=\sigma(\boldsymbol{\alpha})+\sigma(\boldsymbol{\beta});\end{aligned} $$

(2)

$$ \begin{aligned}\sigma(k\boldsymbol{\alpha})=&\sigma(ka_{1},ka_{2},ka_{3})=(0,ka_{1},ka_{2})\\=&k\left(0,a_{1},a_{2}\right)=k\sigma(\boldsymbol{\alpha}).\end{aligned} $$

所以 $ \sigma $是 $ R^{3} $的线性变换.

例2 在线性空间 $ R^{3} $中，规定 $ \tau $如下：

$$ \tau(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1}^{2},a_{2}^{2},a_{3}^{2}), $$

则 $ \tau $是 $ R^{3} $的一个变换.对 $ R^{3} $中两个向量 $ \boldsymbol{\alpha}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\boldsymbol{\beta}=(b_{1},b_{2},b_{3}) $

$$ \begin{aligned}\tau(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})&=\tau(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})\\&=((a_{1}+b_{1})^{2},(a_{2}+b_{2})^{2},(a_{3}+b_{3})^{2});\\\tau(\boldsymbol{\alpha})+\tau(\boldsymbol{\beta})&=(a_{1}^{2},a_{2}^{2},a_{3}^{2})+(b_{1}^{2},b_{2}^{2},b_{3}^{2})\\&=(a_{1}^{2}+b_{1}^{2},a_{2}^{2}+b_{2}^{2},a_{3}^{2}+b_{3}^{2}).\end{aligned} $$

在一般情况下

$$ \tau\left(\alpha+\beta\right)\neq\tau\left(\alpha\right)+\tau\left(\beta\right). $$

$ \tau $ 不是 $ R^{3} $ 的线性变换.

例3 在线性空间 $ R_{n}[x] $中，规定 $ \sigma $如下：

$$ \sigma(f(x))=f^{\prime}(x), $$

则 $ \sigma $ 是 $ R_n[x] $ 的变换。对任意的 $ f(x), g(x) \in R_n[x] $ 以及 $ k \in \mathbb{R} $，

$$ \sigma(f(x)+g(x))=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=\sigma(f(x))+\sigma(g(x)) $$

(2) $ \sigma(kf(x)) = kf'(x) = k\sigma(f(x)) $,

所以在 $ R_{n}[x] $中，求导运算是线性变换.

例4 在数域 P 上的线性空间 V 中，规定 $ \tau $ 为

$$ \tau\left(\alpha\right)=k\alpha, $$

其中 k 为 P 中一常数， $ \alpha $ 为 V 中任意向量。则容易验证， $ \tau $ 是 V 的线性变换。这个线性变换称为数乘变换。

当 k=0 时， $ \tau(\boldsymbol{\alpha})=0\boldsymbol{\alpha}=0 $ 。即 $ \tau $ 将 V 中的所有向量都变成零向量，这个特殊的数乘变换 $ \tau $ 称为零变换，记为 0。

当 k=1 时， $ \tau(\alpha)=1\alpha=\alpha $ 。这个特殊的数乘变换称为恒等变换。

例 5 旋转变换—— $ \mathbf{R}^2 $ (Oxy 平面上以原点为始点的全体向量)中每个向量绕原点按逆时针方向旋转 $ \theta $ 角的变换 $ R_\theta $ 是 $ \mathbf{R}^2 $ 的一个线性变换（图 7.3）. 即 $ \forall \boldsymbol{\alpha} = (x, y) \in \mathbf{R}^2 $，

$$ R_{\theta}(x,y)=R_{\theta}(\alpha)=\alpha^{\prime}=(x^{\prime},y^{\prime}), $$

其中 $ \left|\alpha\right|=r $，而

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{x}^{\prime}=&r\cos(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\theta})=r\cos\boldsymbol{\beta}\cos\boldsymbol{\theta}-r\sin\boldsymbol{\beta}\sin\boldsymbol{\theta}\\&=x\cos\boldsymbol{\theta}-y\sin\boldsymbol{\theta},\\&\boldsymbol{y}^{\prime}=r\sin(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\theta})=r\sin\boldsymbol{\beta}\cos\boldsymbol{\theta}+r\cos\boldsymbol{\beta}\sin\boldsymbol{\theta}\\&=y\cos\boldsymbol{\theta}+x\sin\boldsymbol{\theta}.\end{aligned} $$

于是， $ \forall \boldsymbol{\alpha}_{1}=(x_{1},y_{1}),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2} $ 和 $ \forall\lambda,\mu\in\mathbb{R} $，由(7.8)式即得

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{R}_{\theta}(\lambda\boldsymbol{\alpha}_{1}+\mu\boldsymbol{\alpha}_{2})\\=&\boldsymbol{R}_{\theta}(\lambda x_{1}+\mu x_{2},\lambda y_{1}+\mu y_{2})\\=&((\lambda x_{1}+\mu x_{2})\cos\theta-(\lambda y_{1}+\mu y_{2})\sin\theta,(\lambda x_{1}+\mu x_{2})\sin\theta+(\lambda y_{1}+\mu y_{2})\cos\theta)\\=&\lambda(x_{1}\cos\theta-y_{1}\sin\theta,x_{1}\sin\theta+y_{1}\cos\theta)+\mu(x_{2}\cos\theta-y_{2}\sin\theta,x_{2}\sin\theta+y_{2}\cos\theta)\\=&\lambda\boldsymbol{R}_{\theta}(x_{1},y_{1})+\mu\boldsymbol{R}_{\theta}(x_{2},y_{2})=\lambda\boldsymbol{R}_{\theta}(\boldsymbol{\alpha}_{1})+\mu\boldsymbol{R}_{\theta}(\boldsymbol{\alpha}_{2}).\end{aligned} $$

故 $ R_{\theta} $是 $ R^{2} $的一个线性变换.

不难发现，线性变换 $ \sigma $ 具有以下性质：

(1) $ \sigma(0)=0,\sigma(-\alpha)=-\sigma(\alpha) $;

$$ \sigma(k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s})=k_{1}\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_{2}\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+k_{s}\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{s}) $$

（3）若 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha $ 线性相关，则 $ \sigma(\alpha_{1}),\sigma(\alpha_{2}),\cdots,\sigma(\alpha_{s}) $ 也线性相关.

值得注意的是，线性变换可能将线性无关的向量组变为线性相关的向量组。例如，在例3中，1，x， $ x^{2} $，…， $ x^{n-1} $是 $ R_{n}[x] $中n个线性无关的向量，

$$ \sigma(1)=0,\sigma(x)=1,\sigma(x^{2})=2x,\cdots,\sigma(x^{n-1})=(n-1)x^{n-2}, $$

而 $ \sigma(1) $, $ \sigma(x) $, $ \cdots $, $ \sigma(x^{n-1}) $ 是线性相关的.

这是因为 $ \sigma $作为V到自身的映射未必是一一映射.如果 $ \sigma $是V到自身的一一映射,则称 $ \sigma $为可逆线性变换.此时有下面的性质：

（4）若 $ \sigma $ 是可逆线性变换，则 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{x} $ 线性相关的充分必要条件是 $ \sigma(\alpha_{1}), \sigma(\alpha_{2}), \cdots, \sigma(\alpha_{x}) $ 线性相关.

二、 线性变换的运算

定义2 设 $ \sigma, \tau $ 是数域 P 上线性空间 $ V(P) $ 的线性变换， $ k \in P $，规定：

$$ 1^{\circ}\quad(\sigma+\tau)\boldsymbol{\alpha}=\sigma(\boldsymbol{\alpha})+\tau(\boldsymbol{\alpha}); $$

$$ 2^{\circ}\quad(k\sigma)\boldsymbol{\alpha}=k\sigma(\boldsymbol{\alpha}); $$

$$ 3^{\circ}\quad(\sigma\tau)\boldsymbol{\alpha}=\sigma(\tau(\boldsymbol{\alpha})). $$

以上运算分别称为线性变换的加法、数乘与乘法。 $ \sigma+\tau, k\sigma, \sigma\tau $ 也是线性变换。

例6 在 $ R^{2} $中，线性变换 $ \sigma $与 $ \tau $分别是

$$ \sigma(a,b)=(b,-a),\tau(a,b)=(a,-b), $$

计算 $ 2\sigma-3\tau,\tau\sigma $

解 $ (2\sigma-3\tau)(a,b)=2\sigma(a,b)-3\tau(a,b) $

$$ =2(b,-a)-3(a,-b)=(2b-3a,-2a+3b). $$

$$ (\tau\sigma)(a,b)=\tau(\sigma(a,b))=\tau(b,-a)=(b,a). $$

线性变换的加法与数乘满足以下运算规则：

$$ 1^{\circ}\quad\sigma+\tau=\tau+\sigma; $$

$$ 2^{\circ}\quad(\sigma+\tau)+\varphi=\sigma+(\tau+\varphi) $$

$$ 3^{\circ}\quad\sigma+0=\sigma; $$

$ 4^{\circ} $ $ \sigma + (-\sigma) = 0 $;

$ 5^{\circ} $ $ 1\sigma = \sigma $;

$ 6^{\circ} $ $ k(l\sigma) = (kl)\sigma $;

$ 7^{\circ} $ $ k(\sigma + \tau) = k\sigma + k\tau $;

$ 8^{\circ} $ $ (k + l)\sigma = k\sigma + l\sigma $,

其中 $ \sigma,\tau,\varphi $ 是线性空间 V 中任意的线性变换， $ 3^{\circ} $ 中的 0 表示零变换， $ 4^{\circ} $ 中的 $ -\sigma $ 表示 $ \sigma $ 的负变换， $ -\sigma=(-1)\sigma,k,l $ 是数域 P 中任意的数.

例7 设 $ W = \{ $数域 P 上线性空间 V 的所有线性变换 $ \} $，则对于线性变换的加法“+”与数乘“·”，系统 $ (W, P, +\cdot, \cdot) $ 构成线性空间.

线性变换的乘法满足以下运算规则：

$ 9^{\circ} $ $ (\sigma\tau)\varphi=\sigma(\tau\varphi) $;

$ 10^{\circ} $ $ \sigma(\tau+\varphi)=\sigma\tau+\sigma\varphi; $

$ 11^{\circ} $ $ (\sigma+\tau)\varphi=\sigma\varphi+\tau\varphi. $

一般地， $ \sigma\sigma $ 记为 $ \sigma^{2} $， $ \sigma\tau\neq\tau\sigma $。

三、 线性变换的矩阵

由前面的讨论可见，线性变换加法、数乘以及乘法所满足的运算规则与矩阵的相应运算所满足的运算规则完全是相同的，这一点并非偶然，因为线性变换与矩阵之间有着密切的关系。

定义 3 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是线性空间 $ V(P) $ 的一组基， $ \sigma $ 是 $ V(P) $ 的线性变换

$$ \{\begin{aligned}\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{1})&=a_{11}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{21}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{n1}\boldsymbol{\alpha}_{n},\\\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{2})&=a_{12}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{22}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{n2}\boldsymbol{\alpha}_{n},\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{n})&=a_{1n}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{2n}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{nn}\boldsymbol{\alpha}_{n},\end{aligned}. $$

则矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix} $$

称为 $ \sigma $ 在基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 下的矩阵.

利用矩阵的乘法，式（7.9）可记为

$$ (\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{1}),\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{2}),\cdots,\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{n}))=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A}, $$

或简记为

$$ \sigma(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A}. $$

由于 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 是 $ V(P) $ 的基，所以矩阵 A 的各个列向量作为 $ \sigma(\alpha_{1}) $

$ \sigma(\boldsymbol{\alpha}_{2}), \cdots, \sigma(\boldsymbol{\alpha}_{n}) $ 在基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 下的坐标是惟一确定的。这就是说，线性变换在确定的基下对应惟一的矩阵 A。反之，对于给定的矩阵 A 和确定的基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $，通过式(7.9)也可以惟一确定一个线性变换。所以在一组确定的基下，线性变换与其矩阵之间是一一对应的。

例8 在 $ R^{3} $中，求线性变换

$$ \sigma(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1}+a_{2},a_{2}+a_{3},a_{3}+a_{1}) $$

在基 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,0),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,0,1) $下的矩阵.

解 $ \sigma(\boldsymbol{\alpha}_{1})=(1,0,1)=1\cdot\boldsymbol{\alpha}_{1}+0\cdot\boldsymbol{\alpha}_{2}+1\cdot\boldsymbol{\alpha}_{3} $

$$ \sigma(\boldsymbol{\alpha}_{2})=(1,1,0)=1\cdot\boldsymbol{\alpha}_{1}+1\cdot\boldsymbol{\alpha}_{2}+0\cdot\boldsymbol{\alpha}_{3}, $$

$$ \sigma(\boldsymbol{\alpha}_{3})=(0,1,1)=0\cdot\boldsymbol{\alpha}_{1}+1\cdot\boldsymbol{\alpha}_{2}+1\cdot\boldsymbol{\alpha}_{3}, $$

故 $ \sigma $在 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $下的矩阵为

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}. $$

例9 在 $ R_{n}[x] $中，求线性变换 $ \sigma(f(x))=f'(x) $在基1，x， $ x^{2} $， $ \cdots $， $ x^{n-1} $下的矩阵.

解

$$ \sigma(1)=0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^{2}+\cdots+0\cdot x^{n-2}+0\cdot x^{n-1}, $$

$$ \sigma(x)=1\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^{2}+\cdots+0\cdot x^{n-2}+0\cdot x^{n-1}, $$

$$ \sigma(x^{2})=0\cdot1+2\cdot x+0\cdot x^{2}+\cdots+0\cdot x^{n-2}+0\cdot x^{n-1}, $$

$$ \sigma(x^{n-1})=0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^{2}+\cdots+(n-1)\cdot x^{n-2}+0\cdot x^{n-1}. $$

所以 $ \sigma $在基1,x,x^{2},\cdots,x^{n-1} $下的矩阵是$

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\0&0&2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&n-1\\0&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

定理1 设 $ \sigma, \tau $ 是线性空间 $ V(P) $ 的线性变换, $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是 $ V(P) $ 的一组基, $ \sigma, \tau $ 在这组基下的矩阵分别是 A, B, 则在这一组基下:

$ 1^{\circ} $ $ \sigma+\tau $ 的矩阵是 $ A+B $;

$ 2^{\circ} $ $ k\sigma $ 的矩阵是 kA;

$ 3^{\circ} $ $ \sigma\tau $ 的矩阵是 AB;

$ 4^{\circ} $ $ \sigma $ 是可逆线性变换的充要条件是 A 为可逆矩阵.

证 $ 1^{\circ} $ $ \sigma(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})A $

$$ \tau\left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\right)\boldsymbol{B}, $$

$$ \begin{aligned}(\sigma+\tau)(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})=&\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})+\tau(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\\=&(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{B}\\=&(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}),\end{aligned} $$

所以 $ \sigma+\tau $ 在基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 下的矩阵是 $ A+B $

$ 2^{\circ},3^{\circ},4^{\circ} $ 的证明留给读者.

同一个线性变换在不同基下的矩阵一般是不相同的，这些矩阵之间的关系由以下定理给出：

定理2 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 与 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n} $ 是线性空间V 的两组基，从 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 到 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n} $ 的过渡矩阵是P，线性变换 $ \sigma $ 在这两组基下的矩阵分别是A 与B，则 $ B = P^{-1}AP $.

证 由已知条件，

$$ \begin{aligned}&\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A},\\&\sigma(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})=(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})\boldsymbol{B},\\&(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{P},\\ \end{aligned} $$

所以

$$ \sigma(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}. $$

又

$$ \sigma(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})=\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}. $$

比较（7.10），（7.11）两式得

$$ PB=AP, $$

P 是过渡矩阵因而可逆，所以

$$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}. $$

由定理2可知，一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的。

设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是线性空间 $ V(P) $ 的一组基， $ \sigma $ 是 $ V(P) $ 的一个线性变换，若 $ \alpha \in V(P) $，且

$$ \boldsymbol{\alpha}=x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}, $$

则

$$ \sigma\left(\boldsymbol{\alpha}\right)=x_{1}\sigma\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}\right)+x_{2}\sigma\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)+\cdots+x_{n}\sigma\left(\boldsymbol{\alpha}_{n}\right). $$

因此，对于 $ \sigma $ 来讲，如果知道了 $ \sigma $ 关于 $ V(P) $ 的基的像 $ \sigma(\alpha_{1}), \sigma(\alpha_{2}), \cdots, \sigma(\alpha_{n}) $，则任一个向量 $ \alpha $ 的像 $ \sigma(\alpha) $ 就知道了。下面的定理又进一步说明一个线性变换完全被它在一组基上的像所确定。

定理3 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是 $ V(P) $ 的一组基，如果 $ V(P) $ 的两个线性变换 $ \sigma $ 和 $ \tau $ 关于这组基的像相同，即

$$ \sigma(\boldsymbol{\alpha}_{i})=\tau(\boldsymbol{\alpha}_{i}),\quad i=1,2,\cdots,n, $$

则 $ \sigma=\tau $

证 $ \sigma=\tau $ 的意义是每个向量在它们的作用下的像相同，即对于任意的 $ \alpha\in V $，有 $ \sigma(\alpha)=\tau(\alpha) $。设任一个 $ \alpha $ 为

$$ \boldsymbol{\alpha}=x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}, $$

那么

$$ \begin{align*}\sigma(\boldsymbol{\alpha})=&x_{1}\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{1})+x_{2}\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+x_{n}\sigma(\boldsymbol{\alpha}_{n})\\=&x_{1}\tau(\boldsymbol{\alpha}_{1})+x_{2}\tau(\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+x_{n}\tau(\boldsymbol{\alpha}_{n})=\tau(\boldsymbol{\alpha}).\end{align*} $$

自然地，反过来的问题是：给定 $ \mathbb{R}^n $ 的基 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $，对于任给的 $ n $ 个向量 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n $，是否存在惟一的一个线性变换 $ \sigma $，使得 $ \sigma(\alpha_i) = \beta_i, i=1,2,\cdots,n $？（见本章的思考题。）

题7.4

1. 下列各变换中，哪些是线性变换？

（1）在线性空间 V 中， $ \sigma(\xi)=\xi+\alpha $（ $ \alpha $ 为 V 中一个固定的向量）；

(2) 在线性空间 V 中， $ \sigma(\xi)=\alpha(\alpha $ 为 V 中一个固定的向量）；

（3）在 $ R^{3} $中， $ \sigma(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}^{2},x_{2}+x_{3},x_{3}^{2}) $;

（4）在 $ R^{3} $中， $ \sigma(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}-x_{2},x_{2}+x_{3},x_{3}) $;

（5）在 $ R^{n\times n} $中， $ \sigma(A)=BAC(B,C $是 $ R^{n\times n} $中两个固定的矩阵).

1. 证明： $ \sigma(x_{1}, x_{2}) = (x_{2}, -x_{1}), \tau(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, -x_{2}) $ 是 $ R^{2} $ 的两个线性变换，并求 $ \sigma + \tau, \sigma\tau, \tau\sigma $.

1. 求下列线性变换在给定基下的矩阵：

(1) $ \sigma(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (2x_{1} - x_{2}, x_{2} + x_{3}, x_{3}) $，基 $ \alpha_{1} = (1, 0, 0) $， $ \alpha_{2} = (0, 1, 0) $， $ \alpha_{3} = (0, 0, 1) $；

（2）设 $ R^{3} $中线性变换 $ \sigma $在基 $ \eta_{1}=(-1,1,1) $， $ \eta_{2}=(1,0,-1) $， $ \eta_{3}=(0,1,1) $下的矩阵是

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}, $$

求 $ \sigma $ 在 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,0),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,0,1) $下的矩阵；

（3）在 $ R^{3} $中，设 $ \eta_{1}=(-1,0,2),\eta_{2}=(0,1,1),\eta_{3}=(3,-1,0) $， $ \sigma $定义如下：

$$ \begin{cases}\sigma(\boldsymbol{\eta}_{1})=(-5,0,3),\\\sigma(\boldsymbol{\eta}_{2})=(0,-1,6),\\\sigma(\boldsymbol{\eta}_{3})=(-5,-1,9),\end{cases} $$

求 $ \sigma $ 在基 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,0),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,0,1) $下的矩阵；

（4）在 $ R^{2\times2} $中定义线性变换

$$ \sigma\left(\boldsymbol{A}\right)=\begin{bmatrix}{{{a}}}&{{{b}}} \\{{{c}}}&{{{d}}}\end{bmatrix}\boldsymbol{A},\quad\tau\left(\boldsymbol{A}\right)=\boldsymbol{A}\begin{bmatrix}{{{a}}}&{{{b}}} \\{{{c}}}&{{{d}}}\end{bmatrix}, $$

求 $ \sigma,\tau,\sigma+\tau,\sigma\tau $ 在基 $ E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} $（同习题7.2中题9）下的矩阵.

1. 设 $ \sigma $ 是线性空间 $ V $ 的线性变换， $ W $ 是 $ V $ 的子空间， $ \sigma(W) = \{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in W\} $，证明： $ \sigma(W) $ 也是 $ V $ 的子空间。

1. 在线性空间 $ R_{n+1}[x] $ 中， $ \sigma(f(x)) = f'(x) $，对于基 1, x, $ \frac{x^n}{2!}, \cdots, \frac{x^n}{n!} $，求 $ \sigma, \sigma^2, \cdots, \sigma^n $ 的矩阵.

习题七

1. 下列各集合对于给定的加法与数乘运算，是否构成实数域 R 上的线性空间？

(1) V = {主对角线上各元之和为零的实 n 阶矩阵全体}, 对于矩阵的加法与数乘;

(2) V = {n 阶实可逆矩阵全体}, 对于矩阵的加法与数乘;

(3) $ V=\{f(x)|\int_{0}^{1}f(x)dx=0.\} $，对于通常函数的加法与数乘.

1. 设 $ P^{n\times n}=\{ $数域 P 上的 n 阶方阵全体 $ \} $，对于矩阵的加法与数乘，下列哪些集合可构成 $ P^{n\times n} $ 的子空间？

(1) $ V_1 = \{A \mid \det A = 1, A \in P^{n \times n}\} $; (2) $ V_2 = \{O \mid O $ 是 $ P^{n \times n} $ 的零矩阵\};

(3) $ V_{3}=\{I|I $ 是 $ n $ 阶单位矩阵\}; (4) $ V_{4}=\{A|A^{T}=A,A\in P^{n\times n}\} $;

(5) $ V_{5} = \{A | A^{\mathrm{T}} A = I\} $; (6) $ V_{6} = \{A | a_{ii} = 0, i = 1, 2, \cdots, n\} $.

1. 设 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(7,-5,2,4) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,1,6,-2) $，求 $ \alpha_{3} $， $ \alpha_{4} $，使 $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $， $ \alpha_{3} $， $ \alpha_{4} $ 构成 $ R^{4} $ 的基.

1. 在 $ R^{4} $ 中，求齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}&2x_{1}+x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=0,\\ &x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=0,\\ &3x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0\end{aligned}. $$

解空间的基与维数.

1. 已知 $ R^{3} $ 的两组基为

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{aligned}1\\ 1\\ 1\end{aligned}\right),\quad\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{aligned}1\\ 0\\ -1\end{aligned}\right),\quad\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{aligned}1\\ 0\\ 1\end{aligned}\right); $$

$$ \boldsymbol{\beta}_{1}=\left(\begin{matrix}{1}\\ {2}\\ {1}\\ \end{matrix}\right),\qquad\boldsymbol{\beta}_{2}=\left(\begin{matrix}{2}\\ {3}\\ {4}\\ \end{matrix}\right),\qquad\boldsymbol{\beta}_{3}=\left(\begin{matrix}{3}\\ {4}\\ {3}\\ \end{matrix}\right). $$

（1）求由基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $到基 $ \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} $的过渡矩阵；

(2) 求 $ R^{3} $ 中任一向量 $ \alpha $ 在这两组基下的坐标之间的关系.

1. 在 $ R^{2\times2} $中取两组基：

$$ \boldsymbol{E}_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\boldsymbol{E}_{2}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\boldsymbol{E}_{3}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\boldsymbol{E}_{4}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}; $$

$$ \boldsymbol{F}_{1}=\begin{pmatrix}3&1\\ -1&1\end{pmatrix},\boldsymbol{F}_{2}=\begin{pmatrix}1&3\\ 1&1\end{pmatrix},\boldsymbol{F}_{3}=\begin{pmatrix}3&0\\ -2&1\end{pmatrix},\boldsymbol{F}_{4}=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&2\end{pmatrix}. $$

求：(1)由基 $ E_{1},E_{2},E_{3},E_{4} $到基 $ F_{1},F_{2},F_{3},F_{4} $的过渡矩阵；

(2) 向量 $ M = \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{pmatrix} $ 在基 $ \{E_{i}\} $ 和基 $ \{F_{i}\} $ 下的坐标；

(3) 求一非零向量 $ X \in R^{2 \times 2} $，使 X 在两组基下的坐标相等.

1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 和 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 是 $ R^{3} $ 的两组基， $ \beta_{1}=2\alpha_{1}+\alpha_{2}+3\alpha_{3}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3}, \beta_{3}=-\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} $; 线性变换 $ \sigma $ 在基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 下的矩阵

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}5&7&-5\\0&4&-1\\2&8&3\end{pmatrix}. $$

(1) 求 $ \sigma $ 在基 $ -\alpha_{2}, 2\alpha_{1}, \alpha_{3} $ 下的矩阵；

(2) 求 $ \sigma $ 在基 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 下的矩阵.

1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 是线性空间 V 的一组向量，T 是 V 的一个线性变换，证明：

$$ \mathrm{T}(L(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}))=L(T\alpha_{1},T\alpha_{2},\cdots,T\alpha_{s}). $$

1. 在 $ R_{4}[x] $ 中定义内积为 $ (f, g) = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x $，将 $ 1, x, x^{2}, x^{3} $ 化为 $ R_{4}[x] $ 的标准正交基.

思考题七

1. 对于第四章复习题中第21题，能否推广到线性空间V上的线性变换 $ \sigma $情形？即是否有：设 $ \sigma $是线性空间V上的线性变换，如果 $ \sigma^{k-1}(\alpha)\neq0 $，但 $ \sigma^{k}(\alpha)=0 $，那么 $ \alpha $， $ \sigma(\alpha) $， $ \sigma^{2}(\alpha) $， $ \cdots $， $ \sigma^{k-1}(\alpha) $线性无关（k为大于1的正整数）？

1. 给定 $ \mathbb{R}^n $ 的基 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $，对于任给的 $ n $ 个向量 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n $，是否存在惟一的一个线性变换 $ \sigma $，使得 $ \sigma(\alpha_i) = \beta_i, i=1,2,\cdots,n $?

1. 证明：对于可逆线性变换 $ \sigma, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性相关的充分必要条件是 $ \sigma(\alpha_{1}), \sigma(\alpha_{2}), \cdots, \sigma(\alpha_{s}) $ 线性相关。对于一般的线性变换，结论是如何的？

1. 在 $ R^{2} $ 中构造一个线性变换 $ \sigma $，使之为 $ R^{2} $ 中每个向量关于过原点的直线 l 相对称的

变换.

综合自测题七