第四章 n维向量空间

§4.1 n 维向量空间的概念

重难点分析 n 维向量空间的概念

一、 n 维向量空间的概念

在第三章几何空间中，如果点 P 对于坐标原点 O 的位置向量 $ \overrightarrow{OP} $ 是 a，那么 a 的分量就是点 P 的坐标，因此，向量也就记为 $ \boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) $。

我们还定义了向量的线性运算，即向量的加法

$$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_{1},a_{2},a_{3})+(b_{1},b_{2},b_{3})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}) $$

和向量的数乘

$$ k\boldsymbol{a}=\left(k a_{1},k a_{2},k a_{3}\right), $$

并且给出了向量的加法与数乘满足八条运算法则：

$$ 1^{\circ}\quad a+b=b+a; $$

$$ (a+b)+c=a+(b+c); $$

$$ 3^{\circ}\quad a+0=a; $$

$$ 4^{\circ}\quad a+(-a)=0; $$

$$ 5^{\circ}\quad1a=a; $$

$$ 6^{\circ} \quad \lambda\left(\mu a\right)=\left(\lambda\mu\right)a; $$

$$ 7^{\circ}\quad\lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b; $$

$$ 8^{\circ}\quad(\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a, $$

其中 $ \lambda,\mu $为数.

对于所有三维向量 $ (a_{1},a_{2},a_{3}) $组成的集合，按我们定义的向量的加法与数乘满足八条运算法则，我们称这个集合构成一个三维向量空间，记为 $ R^{3} $.

现在我们把 $ R^{3} $ 推广到 n 维向量空间.

n 个数 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $ 组成的有序数组称为 n 维向量，记为

$$ \boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right). $$

我们也称 $ \boldsymbol{\alpha}=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) $ 为 n 维行向量， $ a_{i} $ 称为向量 $ \alpha $ 的第 i 个分量；称

$$ \boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n}\end{pmatrix} $$

为 n 维列向量， $ b_{i} $ 称为向量 $ \beta $ 的第 i 个分量。分量为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。

设 $ \boldsymbol{\alpha}=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}) $, $ \boldsymbol{\beta}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}) $ 为 n 维向量，若它们的各个分量对应相等，则称 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 相等，记为 $ \alpha=\beta $.

定义零向量 $ \boldsymbol{0} = (0, 0, \cdots, 0) $，负向量 $ -\alpha = (-a_1, -a_2, \cdots, -a_n) $.

记 $ R^{n} $为具有n个实分量的一切n维向量的集合，且定义加法和数乘规则如下：

设 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) $, $ \boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \cdots, b_n) $, $ k \in \mathbb{R} $, 则

$$ \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}), $$

$$ k\boldsymbol{\alpha}=(k a_{1},k a_{2},\cdots,k a_{n}). $$

向量的加法与数乘满足下列运算规律：

设 $ \alpha, \beta, \gamma $ 都是 n 维向量, k, l 是数,

$$ \alpha+\beta=\beta+\alpha; $$

$$ 2^{\circ}\quad(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) $$

$$ 3^{\circ}\quad\alpha+0=\alpha; $$

$$ 4^{\circ}\quad\alpha+(-\alpha)=0; $$

$$ 5^{\circ}\quad1\alpha=\alpha; $$

$$ 6^{\circ}\quad k\left(l\boldsymbol{\alpha}\right)=\left(k l\right)\boldsymbol{\alpha} $$

$$ 7^{\circ}\quad k\left(\alpha+\beta\right)=k\alpha+k\beta; $$

$$ 8^{\circ}\quad(k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}. $$

R”称为n维实向量空间.

实际上，n 维行向量可以视为 $ 1 \times n $ 矩阵，n 维列向量可以视为 $ n \times 1 $ 矩阵。向量的加法及数乘实质上就是矩阵的加法及数乘。 $ 1^{\circ}-8^{\circ} $ 条运算规律就是矩阵的加法和数乘所满足的八条运算规律。

我们已经看到，对于给定的坐标系，可以把一个物理向量表示为 $ \mathbf{R}^{3} $ 中的向量。在 $ \mathbf{R}^{n} $ 中引进长度和角度的一般概念仍然是可能的和有用的，后面第五章中我们将这样做。早在 17 世纪，拉格朗日研究质点运动时，就曾用质点在空间的位置坐标 $ (x, y, z) $ 及时间 $ t $ 这四个有序数 $ (x, y, z, t) $ 来描述质点的运动，因而引入了四维向量及四维向量空间的概念。又如，在一个较复杂的控制系统中（如导弹、飞行器等），决定系统在 $ t $ 时刻的参数，假定最少需要 $ n $ 个： $ x_{1}(t), x_{2}(t), \cdots, x_{n}(t) $，那么这 $ n $ 个变量就称为系统的状态变量。 $ n $ 维向量 $ \mathbf{X} = (x_{1}(t), x_{2}(t), \cdots, x_{n}(t)) $ 就称为系统的状态向量。它的全体就称为系统的状态空间。状态空间中的任一点 $ \mathbf{X} $（向量）就表示系统的一个状态。

一个 $ m \times n $ 矩阵的每一行可看成是一个 n 维向量，每一列则可看成一个 m 维向量，它共有 m 个行向量，n 个列向量.

有了向量的运算，于是线性方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}&=b_{1},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}&=b_{2},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}. $$

可以写成以下简单形式：

$$ \begin{aligned}x_{1}\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{m2}\end{bmatrix}+\cdots+x_{n}\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{bmatrix},\end{aligned} $$

即

$$ x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{b}, $$

其中 $ \boldsymbol{\alpha}_{j}=(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj})^{\mathrm{T}}(j=1,2,\cdots,n) $， $ \boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{m})^{\mathrm{T}} $。还可写为如下更简单形式：

$$ (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})X=b, $$

其中 $ \boldsymbol{X}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{\mathrm{T}} $ 。满足上式的 X 称为方程组 AX=b 的一个解向量。

二、 R”的子空间

取 $ \varnothing \neq V \subset \mathbb{R}^n $，对于 $ R^n $的运算，V常常也构成一n维向量空间。

定义 设 $ \varnothing \neq V \subset \mathbb{R}^n $，如果 $ V $ 对于 $ R^n $ 的线性运算也构成一个向量空间，那么称 $ V $ 为 $ R^n $ 的一个子空间。

一个非空子集合要满足什么条件才能成为子空间呢？

非空子集合 $ V \subsetneqq \mathbb{R}^n $ 对于 $ R^n $ 中原有的运算， $ V $ 中的向量满足向量空间定义中的规则 $ 1^\circ, 2^\circ, 5^\circ—8^\circ $ 是显然的。如果 $ V $ 对于 $ R^n $ 中原有的运算具有封闭性，那么不难看出规则中的 $ 3^\circ, 4^\circ $ 自然也满足。因此，我们得到

定理1 设 V 为 $ R^{n} $ 的非空子集合.V 是 $ R^{n} $ 的一个子空间的充分必要条件为 V 对于 $ R^{n} $ 的加法和数乘运算是封闭的.

例1 设 $ V=\{(x_1,x_2)|x_2=2x_1\}\subset\mathbb{R}^2 $， $ (c,2c) $为V的任一元素， $ k\in\mathbb{R} $，则

$$ k\left(c,2c\right)=\left(kc,2kc\right)\in V. $$

设 $ (a,2a) $， $ (b,2b) $为V的任意两元素，则

$$ (a,2a)+(b,2b)=(a+b,2(a+b))\in V. $$

易见，V为 $ R^{2} $的子空间.

例2 在 $ R^{3} $ 中，由平行四边形法则，过坐标原点的平面上的任两向量的和向量仍在该平面上，其上的任一向量的数乘向量仍在该平面上，故该平面为 $ R^{3} $ 的一个子空

同理，过原点的空间直线也为 $ \pmb{R}^{3} $ 的一个子空间。但是，不过原点的平面或空间直线不是 $ \pmb{R}^{3} $ 的子空间，这是因为0不在它们之中，而任何子空间都应是包含零元的（对此，我们可以参见例3）。

例3 考虑 $ R^{3} $的子集

$$ W=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}\mid x+y-z=1\}. $$

容易验证，W 关于向量的线性运算不封闭。事实上， $ \boldsymbol{\alpha}=(1,0,0)\in W $，但 $ 2\boldsymbol{\alpha}\notin W $。故 W 不是 $ \mathbb{R}^3 $ 的子空间。

应用实例：矩阵、向量在计算机图形学中的应用

用几何的术语来说，用矩阵A乘向量v，则向量v变换为另一个向量w。我们可将Av看成函数 $ w=f(v)=Av $。例如，在计算机图形学中，这种变换用来在电视广告中产生文字与动画。这为一个向量被一个矩阵乘的效果提供了一种可视化的方法。

现在简单地把二维向量表示为平面上的点.考虑

$$ \boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}2\\ 0\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_{3}=\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_{4}=\begin{pmatrix}0\\ 2\end{pmatrix}, $$

$$ \begin{align*}\boldsymbol{v}_{5}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_{6}=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_{7}=\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_{8}=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix},\end{align*} $$

其中 $ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} $ 是一边长为2的正方形的顶点， $ v_{5}, v_{6}, v_{7}, v_{8} $ 是这个正方形各边的中点（图4.1(a)）.

设 $ w_{i}=Av_{i}(i=1,2,\cdots,8) $， $ A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} $，则变换后的正方形如图4.1(b)所示：

$$ \boldsymbol{w}_{1}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix},\boldsymbol{w}_{2}=\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix},\boldsymbol{w}_{3}=\begin{pmatrix}4\\ 0\end{pmatrix},\boldsymbol{w}_{4}=\begin{pmatrix}2\\ -2\end{pmatrix}, $$

$$ w_{5}=\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix},w_{6}=\begin{bmatrix}3\\ 1\end{bmatrix},w_{7}=\begin{bmatrix}3\\ -1\end{bmatrix},w_{8}=\begin{bmatrix}1\\ -1\end{bmatrix}. $$

原正方形中点 $ v_{5}, v_{6}, v_{7}, v_{8} $ 是如何变换为旋转后正方形的中点向量 $ w_{5}, w_{6}, w_{7}, w_{8} $ 的？如果 $ v_{1} $ 与 $ v_{2} $ 之间的线段不变换为 $ w_{1} $ 与 $ w_{2} $ 之间的线段，那么要确定 $ v_{1} $ 与 $ v_{2} $ 之间的线段上的点如何变换则是冗长乏味的。

下列定理具有重大的实际价值，正如上面提到的，因为我们只需计算出端点被映射到哪里，从而使计算机图形学中的计算得到简化。

以下我们证明，对于 $ 2 \times 2 $ 矩阵 A，任何把二维向量 v 变为二维向量 w 的变换 w = Av，总是把直线映成直线。这里给出的证明，用意是说明线性代数与几何之间的关系和线性代数的作用，证明的细节并不重要。

定理2 对于任何一个 $ 2 \times 2 $ 矩阵 A，二维向量空间的映射 $ v \rightarrow w = Av $ 把直线映成直线.把一条直线映射到一点的特殊情况除外.

证 向量 $ v_{1} $ 与 $ v_{2} $ 之间的线段 L 可表示为向量组

$$ L=\{u:u=v_{1}+c(v_{2}-v_{1}),0\leqslant c\leqslant1\}. $$

当c=0时，可得 $ w_{1} $.设 $ w_{1}=Av_{1},w_{2}=Av_{2} $.需证上述映射把L映射到线段

$$ L^{\prime}=\{\mathbf{y}:\mathbf{y}=\mathbf{w}_{1}+c(\mathbf{w}_{2}-\mathbf{w}_{1}),0\leqslant c\leqslant1\}. $$

下面我们证明：向量 $ u = v_{1} + c(v_{2} - v_{1}) $ 映射到向量 $ y = w_{1} + c(w_{2} - w_{1}) $，即 y = Au：

$$ \begin{aligned}\mathbf{A}\mathbf{u}=&\mathbf{A}\left(\mathbf{v}_{1}+c\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}\right)\right)=\mathbf{A}\mathbf{v}_{1}+c\mathbf{A}\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}\right)\\=&\mathbf{w}_{1}+c\left(\mathbf{A}\mathbf{v}_{2}-\mathbf{A}\mathbf{v}_{1}\right)=\mathbf{w}_{1}+c\left(\mathbf{w}_{2}-\mathbf{w}_{1}\right)=\mathbf{y},\end{aligned} $$

在 $ w_{1}=w_{2} $ 的特殊情况， $ L' $ 缩为点 $ w_{1} $

题4.1

1. 求满足下列条件的 $ x \in \mathbb{R}^3 $:

(1) $ 3x + \beta = \gamma $, $ \beta = (1, 0, 1) $, $ \gamma = (1, 1, -1) $;

(2) $ 2x+3\beta=3x+\gamma,\beta=(2,0,1),\gamma=(3,1,-1). $

1. 分别满足下列条件的集合 $ V=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)\} $ 是不是 $ R^n $ 的子空间？

(1) $ x_{1}\geqslant0 $; (2) $ x_{1}x_{2}=0 $; (3) $ x_{1}+x_{2}=3x_{3} $

4.2 向量组的线性相关性

一、 向量组的线性组合

同维数的向量所组成的集合称为向量组.

两个向量 $ \alpha, \beta $ 之间最简单的关系是对应分量成比例，即存在数 k，使得

$$ \alpha=k\beta $$

在多个向量之间，这一关系推广为线性组合。

定义 1 对于给定的向量组 $ \beta, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $，若存在一组数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $，使得

$$ \boldsymbol{\beta}=k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}, $$

则称向量 $ \beta $为向量组 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $的线性组合，或称向量 $ \beta $可由向量组 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $线性表出。所有 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $线性组合的集合用 $ L(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}) $表示。

例如，设 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,2,-1) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,0,4,1) $， $ \boldsymbol{\beta}=(-1,0,0,-3) $，由于

$$ \boldsymbol{\beta}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}. $$

事实上，设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 为任一向量组，有

因而 $ \beta $ 是 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 的线性组合.

例 1 零向量是任一向量组的线性组合.

$$ \mathbf{0}=0\boldsymbol{\alpha}_{1}+0\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+0\boldsymbol{\alpha}_{m}. $$

例2 在 $ R^{3} $中， $ L(i,j,k) $是所有形如

$$ x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k=(x_{1},x_{2},x_{3}) $$

重难点分析

向量组定义及其与矩阵的关系

的向量集合.因此 $ \mathbf{R}^{3} = L(i, j, k) $.同理，

$$ \mathbf{R}^{n}=L\left(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\right), $$

$$ \boldsymbol{\varepsilon}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),\quad\boldsymbol{\varepsilon}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),\quad\cdots\quad,\quad\boldsymbol{\varepsilon}_{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right). $$

其中

容易证明，设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 为 n 维向量组，则 $ L(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}) $ 是 $ R^{n} $ 的一个子空间，称之为由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 生成的子空间.

重难点分析

线性组合与线性表出定义

例3 向量组 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $中任一向量都可用这个向量组线性表出.

$$ \alpha_{i}=0\alpha_{1}+0\alpha_{2}+\cdots+0\alpha_{i-1}+1\alpha_{i}+0\alpha_{i+1}+\cdots+0\alpha_{m}, $$

所以 $ \alpha_{i}(i=1,2,\cdots,m) $ 可由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $ 线性表出.

因为

下面我们来看线性组合及矩阵的秩与非齐次线性方程组之间的联系.设向量组

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{m2}\end{pmatrix},\quad\cdots,\quad\boldsymbol{\alpha}_{n}=\begin{pmatrix}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{mn}\end{pmatrix}, $$

记

$$ \mathbf{A}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}),\quad\mathbf{X}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{\mathrm{T}},\quad\mathbf{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{m})^{\mathrm{T}}. $$

则非齐次线性方程组 AX = b 与线性组合及矩阵的秩有如下重要结果：

定理1 设有向量组(4.1)， $ \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}) $，则下列命题等价：

$$ 1^{\circ}\quad b\in L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right) $$

$ 2^{\circ} $ AX=b 有解；

$ 3^{\circ} $ $ R(A,b)=R(A) $

证 $ 1^{\circ} \Leftrightarrow 2^{\circ} $ : 向量 $ b $ 可由 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 线性表出，即有数 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $，使得

$$ x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{b}, $$

即有

$$ (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix}=\boldsymbol{b}, $$

即有 $ \boldsymbol{X}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{\mathrm{T}} $，使

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}， $$

也就是线性方程组 AX = b 有解 $ \boldsymbol{X} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^\mathrm{T} $. 上述步骤可逆，故 $ 1^\circ \Leftrightarrow 2^\circ $.

$ 2^{\circ}\Leftrightarrow 3^{\circ} $：设 $ R(A)=r $，因初等变换不改变矩阵的秩，于是对增广矩阵 $ (A,b) $ 作行初等变换可得

AX=b 与 BX=d 同解. 因此

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b} 有解 \Leftrightarrow d_{r+1}=0\Leftrightarrow R\left(\boldsymbol{B},d\right)=R\left(\boldsymbol{B}\right)=r, $$

即 Ax=b 有解等价于 $ R(A,b)=R(A)=r $.

故定理结论成立.

该定理中的 $ 2^{\circ} $ 与 $ 3^{\circ} $ 的等价性常被称作方程组 AX=b 有解的判别定理.

例4 线性方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}&=b_{1},\\ 5x_{1}+4x_{2}&=b_{2},\\ 2x_{1}+4x_{2}&=b_{3}\end{aligned}. $，有解的充要条件是 $ \boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathrm{T}} $ 可由 $ \alpha_{1}= $

$ (1,5,2)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,4,4)^{\mathrm{T}} $ 线性表出，其几何意义就是 b 在 $ \alpha_{1},\alpha_{2} $ 张成的平面上.

例5 证明：向量 $ \boldsymbol{\beta}=(-1,1,5)^{\mathrm{T}} $是向量 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,4)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3,6)^{\mathrm{T}} $的线性组合，并具体将 $ \beta $用 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $线性表出.

$$ \begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&3\\3&4&6\end{pmatrix}\mathbf{X}=\begin{pmatrix}-1\\&1\\&&5\end{pmatrix}, $$

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{A}}&=\begin{pmatrix}1&0&2&-1\\2&1&3&1\\3&4&6&5\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&1&-1&3\\0&4&0&8\end{pmatrix}\\&\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&1&-1&3\\0&0&1&-1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&-1\end{pmatrix},\end{aligned} $$

解得 $ x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=-1 $. 故 $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表出，且

$$ \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}. $$

定义2 设有两个向量组

$$ \left(\textrm{I}\right):\quad\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r},\quad\left(\textrm{II}\right):\quad\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}, $$

若向量组（Ⅰ）中每个向量都可由向量组（Ⅱ）中的向量线性表出，则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表出。若向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）可互相线性表出，则称它们等价。

不难证明，向量组等价关系有下述性质：

（1）反身性 每一个向量组都与其自身等价；

（2）对称性 如果向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价，则向量组（Ⅱ）与向量组（Ⅰ）等价；

（3）传递性 如果向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价，向量组（Ⅱ）与向量组（Ⅲ）等价，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅲ）等价.

二、 向量组的线性相关性

向量组的线性相关性是向量在线性运算下的一种性质，是线性代数中极重要的基本概念。我们先来讨论一下它在三维空间中的某些几何背景。

若两个向量 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 共线，则 $ \alpha_2 = l\alpha_1 (l \in \mathbb{R}) $。这等价于，存在不全为零的数 $ k_1 $， $ k_2 $，使 $ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0 $。

若 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 不共线，则 $ \forall l \in \mathbb{R} $，有 $ \alpha_2 \neq l\alpha_1 $。它等价于，只有当 $ k_1, k_2 $ 全为零时，才有 $ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0 $。

若三个向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 共面，则其中至少一个向量可用另两个向量线性表示，如图4.2中： $ \alpha_{3}=l_{1}\alpha_{1}+l_{2}\alpha_{2} $; 图4.3中： $ \alpha_{1}=0\alpha_{2}+l_{3}\alpha_{3} $，二者都等价于存在不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, k_{3} $，使

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3}\boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}. $$

若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 不共面（图4.4），则任一个向量都不能由另两个向量线性表示。即只有当 $ k_{1}, k_{2}, k_{3} $ 全为零时，才有 $ k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + k_{3}\alpha_{3} = 0 $。

上述三维向量在线性运算下的性质，即一组向量中是否存在一个向量可由其余向量线性表示，或是否有不全为零的系数使向量组的线性组合为零向量，就是向量组的线性相关性。n维向量组的线性相关性的一般定义如下：

定义3 设 n 维向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $，若存在一组不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $，使得

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}, $$

则称 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $ 线性相关；否则，称 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $ 线性无关，即仅当 $ k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{m}=0 $ 时，式(4.2)才成立.

根据定义 3，容易得到下列基本性质：

（1）对于只含一个向量 $ \alpha $ 的向量组，线性相关的充分必要条件是这个向量为零向量；线性无关的充分必要条件是这个向量不是零向量.

事实上，由定义3，若 $ \alpha $线性相关，则存在数 $ k\neq0 $，使得 $ k\alpha=0 $，因此， $ \alpha=0 $；反之，若 $ \alpha=0 $，取 $ k=1\neq0 $，即有 $ 1\alpha=0 $，因而 $ \alpha $线性相关。

（2）两个向量线性相关（无关）的充分必要条件是它们的各分量对应成（不成）比例.

事实上，若 $ k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}=0 $，且 $ k_{1}\neq0 $，则得

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=-\frac{k_{2}}{k_{1}}\boldsymbol{\alpha}_{2}, $$

因而 $ \alpha_{1} $ 各分量与 $ \alpha_{2} $ 各对应分量成比例；反之，若有数 k 使 $ \alpha_{1}=k\alpha_{2} $，即

$$ 1\boldsymbol{\alpha}_{1}-k\boldsymbol{\alpha}_{2}=\mathbf{0}, $$

因而 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 线性相关.

可见，在 $ R^{2} $ 和 $ R^{3} $ 中，两向量共线（或平行）的充分必要条件是它们线性相关。

设 $ X=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix},Y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\end{pmatrix} $ 是 $ R^{3} $ 中线性无关的向量，则点 $ (x_{1},x_{2},x_{3}) $ 和点 $ (y_{1},y_{2},y_{3}) $ 不在 $ R^{3} $ 中过坐标原点的同一直线上。因为三点 $ (0,0,0) $， $ (x_{1},x_{2},x_{3}) $， $ (y_{1},y_{2},y_{3}) $ 不共线，它们决定一平面。如果点 $ (z_{1},z_{2},z_{3}) $ 位于这平面上，向量 $ Z=(z_{1},z_{2},z_{3})^{\mathrm{T}} $ 可写成 X 和 Y 的线性组合，因而 X,Y 和 Z 线性相关。如果点 $ (z_{1},z_{2},z_{3}) $ 不位于这平面

上，则这三个向量线性无关.

例 6 n 维单位向量组 $ \pmb{\varepsilon}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\ \vdots\\0\end{array}\right),\pmb{\varepsilon}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\ \vdots\\0\end{array}\right),\cdots,\pmb{\varepsilon}_{n}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\ \vdots\\1\end{array}\right) $ 线性无关.

证 考察 $ x_{1}\varepsilon_{1}+x_{2}\varepsilon_{2}+\cdots+x_{n}\varepsilon_{n}=0 $，即

$$ x_{1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)+x_{2}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)+\cdots+x_{n}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right), $$

即 $ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix} $，于是 $ x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=0 $，即 $ \pmb{\varepsilon}_{1},\pmb{\varepsilon}_{2},\cdots,\pmb{\varepsilon}_{n} $线性无关.

特别地，在 $ R^{2} $中，i,j线性无关；在 $ R^{3} $中，i,j,k线性无关。

例 7 含有零向量的向量组线性相关.

证 设向量组为 $ 0, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $，因为

$$ 10+0\alpha_{1}+\cdots+0\alpha_{m}=0, $$

所以结论成立.

一般地，n个m维向量（用列向量形式表示）

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{m2}\end{pmatrix},\quad\cdots,\quad\boldsymbol{\alpha}_{n}=\begin{pmatrix}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{mn}\end{pmatrix} $$

是否线性相关的问题，也就是

$$ x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\mathbf{0}, $$

即

$$ \left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\right)\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix}=\mathbf{0}, $$

即 AX=0 有无非零解的问题，其中

$$ \mathbf{A}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix},\quad\mathbf{X}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}. $$

定理2 设有 m 维向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}, A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}) $，则下列三命题等价：

$ 1^{\circ} $ $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 线性相关；

$ 2^{\circ} $ AX=0有非零解；

$ 3^{\circ} $ $ R(A) < n $.

证 设向量组(4.3)线性相关，据定义3，有不全为零的数 $ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} $使式(4.4)成立，即方程组AX=0有非零解.上述步骤可逆，故 $ 1^{\circ} $与 $ 2^{\circ} $等价.

另一方面，将 A 作行初等变换可得

AX=0与BX=0同解，且 $ R(A)=R(B)=r $。由§1.2的定理2知，当 $ r

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{A}\rightarrow\begin{pmatrix}c_{11}&\cdots&c_{1s}&\cdots&c_{1n}\\&\ddots&\vdots&&\vdots\\&&c_{rs}&\cdots&c_{rn}\end{pmatrix}=\boldsymbol{B}.\end{aligned} $$

典型例题讲解向量数等于分量数时线性相关性的判定

特别地，若 m=n，即向量组中向量个数等于向量维数时，A 为方阵，由 $ \det A \neq 0 $ 当且仅当 $ R(A)=n $，有

推论1 设有 n 维向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}, A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}) $，则下列三命题等价：

$ 1^{\circ} $ $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 线性相关（无关）；

$ 2^{\circ} $ AX=0有非零解（只有零解）；

$ 3^{\circ} $ $ \det A = 0 (\neq 0) $.

对于向量个数大于向量维数的向量组（即 n > m）有

推论2 设 m 维向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}, n > m $，则 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 必线性相关.

证 设 $ \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})_{m\times n} $，由 n>m 知 $ R(\boldsymbol{A})\leqslant m

由推论1和推论2可知，三维向量空间 $ R^{3} $中任意四个向量必线性相关，而任意三个向量线性相关的充分必要条件是它们共面.

在 $ R^{n} $ 中，任意 $ n+1 $ 个向量都是线性相关的，因此，任一线性无关的 n 维向量组中最多含有 n 个向量.

例8 判断向量组 $ \alpha_{1}=(2,-1,7) $， $ \alpha_{2}=(1,4,11) $， $ \alpha_{3}=(3,-6,3) $ 的线性相关性.

解一 因为

$$ \det\boldsymbol{A}=\det(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}^{\mathrm{T}})=\left|\begin{array}{ccc}2&1&3\\ -1&4&-6\\ 7&11&3\end{array}\right|=0, $$

故 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关.

解二 由行初等变换，有

$$ \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}^{\mathrm{T}})=\begin{bmatrix}2&1&3\\ -1&4&-6\\ 7&11&3\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}-1&4&-6\\ 0&1&-1\\ 0&0&0\end{bmatrix}, $$

所以 $ R(A)=2<3 $ ，故 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关.

例9 若向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，则 $ \beta_{1} = \alpha_{1} + \alpha_{2}, \beta_{2} = \alpha_{2} + \alpha_{3}, \beta_{3} = \alpha_{3} + \alpha_{1} $ 也线性无关.

证 设有数 $ x_{1}, x_{2}, x_{3} $，使

$$ x_{1}\boldsymbol{\beta}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\beta}_{2}+x_{3}\boldsymbol{\beta}_{3}=\mathbf{0}, $$

即

$$ x_{1}(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2})+x_{2}(\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3})+x_{3}(\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1})=0, $$

整理得

$$ (x_{1}+x_{3})\boldsymbol{\alpha}_{1}+(x_{1}+x_{2})\boldsymbol{\alpha}_{2}+(x_{2}+x_{3})\boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}, $$

因为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，故仅有

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{3}=0,\\ x_{1}+x_{2}&=0,\\ x_{2}+x_{3}&=0.\end{aligned}. $$

由 $ \begin{vmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=2\neq0 $ 知方程组(4.5)只有零解 $ x_{1}=x_{2}=x_{3}=0 $，故 $ \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} $ 线性无关.

下面，我们再来介绍关于向量组线性相关性的几个基本结论。

定理3 向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则整个向量组线性相关.

证 设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 中有 $ r $ 个 $ (r \leqslant m) $ 向量的部分组线性相关，不妨设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 线性相关，则有不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r} $，使

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{r}\boldsymbol{\alpha}_{r}=0 $$

成立.改写上式为

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{r}\boldsymbol{\alpha}_{r}+0\boldsymbol{\alpha}_{r+1}+\cdots+0\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}, $$

显然， $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}, 0, \cdots, 0 $ 也是一组不全为零的数，故 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \alpha_{r+1}, \cdots, \alpha_{m} $ 也线性相关.

定理3常叙述为：线性无关的向量组的任何一部分组都线性无关，即所谓的：“若部分相关，则整体相关”；“若整体无关，则部分无关”。

定理4 向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} (m \geqslant 2) $ 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余 m-1 个向量线性表出.

证 必要性：设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性相关，即有不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $，使

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}, $$

因 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $ 中至少有一个不为零，不妨设 $ k_{1} \neq 0 $，则有

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(-\frac{k_{2}}{k_{1}}\right)\boldsymbol{\alpha}_{2}+\left(-\frac{k_{3}}{k_{1}}\right)\boldsymbol{\alpha}_{3}+\cdots+\left(-\frac{k_{m}}{k_{1}}\right)\boldsymbol{\alpha}_{m}, $$

即 $ \alpha_{1} $ 可由其余向量线性表出.

充分性：设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 中有一个向量（不妨设 $ \alpha_{1} $）能由其余向量线性表出，即有数 $ l_{2}, l_{3}, \cdots, l_{m} $，使得

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=l_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+l_{3}\boldsymbol{\alpha}_{3}+\cdots+l_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}, $$

即

$$ (-1)\boldsymbol{\alpha}_{1}+l_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+l_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}, $$

因-1, $ l_{2} $,⋯, $ l_{m} $不全为零，故 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $线性相关.

定理4也就是, $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $线性无关的充分必要条件是其中任一向量均不能由其余向量线性表出.

定理 5 若向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性无关，而 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, \beta $ 线性相关，则 $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性表出，且表示式惟一.

证 由于 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m},\beta $ 线性相关，即有不全为零的数 $ k_{1},k_{2},\cdots,k_{m},k $ ，使

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}+k\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}. $$

再证 $ k\neq0 $，否则得

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=0, $$

而 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $ 不全为零，此与 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性无关矛盾，故 $ k \neq 0 $。于是

$$ \beta=\left(-\frac{k_{1}}{k}\right)\alpha_{1}+\left(-\frac{k_{2}}{k}\right)\alpha_{2}+\cdots+\left(-\frac{k_{m}}{k}\right)\alpha_{m}, $$

即 $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性表出.

为了保证 $ \beta $ 由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性表出的表示式惟一，设有两种表示式

$$ \beta=l_{1}\alpha_{1}+l_{2}\alpha_{2}+\cdots+l_{m}\alpha_{m}, $$

$$ \boldsymbol{\beta}=s_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+s_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+s_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}, $$

两式相减得

$$ (l_{1}-s_{1})\boldsymbol{\alpha}_{1}+(l_{2}-s_{2})\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+(l_{m}-s_{m})\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}, $$

由于 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性无关，所以

$$ l_{1}-s_{1}=l_{2}-s_{2}=\cdots=l_{m}-s_{m}=0, $$

即 $ l_{i}=s_{i}(i=1,2,\cdots,m) $，故 $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $ 惟一地线性表出.

例10 设

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{aligned}1\\-1\\1\end{aligned}\right),\quad\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{aligned}-1\\0\\1\end{aligned}\right),\quad\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{aligned}1\\3\\-2\end{aligned}\right),\quad\boldsymbol{\alpha}_{4}=\left(\begin{aligned}0\\-5\\5\end{aligned}\right), $$

问：（1） $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 是否线性相关？（2） $ \alpha_{4} $ 可否由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性表出？若能，则求其表示式.

解（1）作矩阵

$$ \mathbf{A}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&0&3\\1&1&-2\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&-1&4\\0&0&5\end{pmatrix}, $$

因而 $ R(A)=3=n $，由定理2知 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性无关.

（2）由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，而 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 显然线性相关（向量个数4大于向量维数3），所以由定理5知 $ \alpha_{1} $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表出，且表示式惟一.设

$$ x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+x_{3}\boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{4}, $$

即

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{A}}&=\left(\begin{array}{ccc|c}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{3}}}&{{{-5}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{5}}}\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{4}}}&{{{-5}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{-3}}}&{{{5}}}\end{array}\right)\\&\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-4}}}&{{{5}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{array}\right),\end{aligned} $$

得惟一解 $ x_{1}=2, x_{2}=1, x_{3}=-1 $，故 $ \alpha_{4}=2\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3} $

题 4.2——

1. 把向量 $ \beta $ 表示成向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 的线性组合：

(1)

$$ \boldsymbol{p}=\left(0,2,0,-1\right),\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1,1,1,1\right),\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(1,1,1,0\right),\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(1,1,0,0\right), $$

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0,0); $$

（2）

$$ \begin{aligned}&2)\boldsymbol{\beta}=(0,1,0,1,0),\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1,1,1),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,1,3,1),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,1,0,1,0),\\&\quad\boldsymbol{\alpha}_{4}=(2,2,0,0,0).\\ \end{aligned} $$

1. 判断下列向量组的线性相关性：

(1)

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,3),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,6,3); $$

$$ (2)\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-4,1),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,14,7); $$

$$ (3)\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,3),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(-3,1),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,-2); $$

(4)

$$ \begin{aligned}& Ⅱ )\boldsymbol{\alpha}_{1}=(4,3,-1,1,-1),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,1,-3,2,-5),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,-3,0,1,-2),\\&\quad\boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,5,2,-1,6).\\ \end{aligned} $$

1. 已知 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3,c) $，问：

（1）当 c 取何值时， $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关？并将 $ \alpha_{3} $ 表示为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 的线性组合；

(2) 当 c 为何值时， $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关？

1. 若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 线性无关，问 $ \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2} + \alpha_{3}, \alpha_{3} + \alpha_{4}, \alpha_{4} + \alpha_{1} $ 是否线性无关？

1. 证明：若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 线性无关，则 $ \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{1} - \alpha_{2} $ 线性无关.

1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，问 l, m 满足什么条件时，向量组 $ l\alpha_{2}-\alpha_{1}, m\alpha_{3}-\alpha_{2}, \alpha_{1}-\alpha_{3} $ 也线性无关？

1. 证明：若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关，且 $ \alpha_{3} $ 不能用 $ \alpha_{1} $ 和 $ \alpha_{2} $ 线性表示，则向量 $ \alpha_{1} $ 和 $ \alpha_{2} $ 仅差一数值因子.

1. 设 $ \alpha $ 是向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 的线性组合，但不是 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m-1} $ 的线性组合。证明： $ \alpha_{m} $ 是 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m-1}, \alpha $ 的线性组合。

1. 证明：矩阵 $ \begin{pmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{pmatrix} $的列向量组线性相关的充要条件是对角元至少有一个为零.

1. 证明：r 维向量组的每个向量添上 n-r 个分量，成为 n 维向量组，若 r 维向量组线性无关，则 n 维向量组也线性无关.

§4.3 向量组的秩与极大无关组

一、 向量组的秩与极大无关组

m 个 n 维向量形成的向量组的线性相关性是就全体 m 个向量而言的.但是,其中最多有多少个向量是线性无关的呢?

例如，设 $ \alpha_{1}=(1,0,1) $， $ \alpha_{2}=(1,-1,1) $， $ \alpha_{3}=(2,0,2) $，可以验证， $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $， $ \alpha_{3} $ 线性相关。但其中部分向量 $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $ 及 $ \alpha_{2} $， $ \alpha_{3} $ 是线性无关的，它们都含有两个线性无关的向量。

从该例可以看出， $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $ 及 $ \alpha_{2} $， $ \alpha_{3} $ 这两个线性无关向量组中，如果再添加一个向量进去，它们就变成线性相关的了。可见它们在该向量组中作为一个线性无关向量组，所包含的向量个数达到了最多。为此，我们引出向量组的秩与极大无关组的概念。

定义 设向量组 T 满足

$ 1^{\circ} $ 在 T 中有 r 个向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 线性无关；

$ 2^{\circ} $ T 中任意 $ r+1 $ 个向量（如果 T 中有 $ r+1 $ 个向量）都线性相关；

则称 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 是向量组 T 的一个极大线性无关组，简称为极大无关组，数 r 称为向量组 T 的秩.

规定，只含零向量的向量组的秩为零.

例1 求向量组 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3,-1) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2,0) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,3,4,-2) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{4}=(4,-3,1,1) $ 的秩和一个极大无关组.

解 显然 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 线性无关，而

$$ \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}^{\mathrm{T}})=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{3}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{3}}} \\{{{3}}}&{{{2}}}&{{{4}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{-2}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{3}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{bmatrix}, $$

可见 $ R(A)=2

可知， $ \alpha_{1},\alpha_{3};\alpha_{1},\alpha_{4};\alpha_{2},\alpha_{3};\alpha_{2},\alpha_{4};\alpha_{3},\alpha_{4} $ 分别也都是向量组的极大无关组.

我们知道矩阵的最高阶非零子式可能不止一个，但矩阵的秩是惟一的；类似地，由定义及例1知，向量组的极大无关组也可能不止一个，但向量组的秩是惟一的。

由定义易知，一个向量组若线性无关，则其极大无关组就是它本身，秩就是向量组中向量的个数。从而，我们有

向量组线性无关（相关） $ \Leftrightarrow $向量组的秩等于（小于）向量组所含向量的个数

例2 $ R^{n} $ 的秩为 n，且任意 n 个线性无关的 n 维向量均为 $ R^{n} $ 的一个极大无关组.

事实上，因为任意 $ n+1 $ 个 n 维向量必线性相关，故任意 n 个线性无关的 n 维向量都是 $ R^{n} $ 的一个极大无关组.

定理1 若矩阵A经有限次行初等变换变成B，则A的任意 $ k(1\leqslant k\leqslant n) $个列向量与B的对应的k个列向量有相同的线性相关性.

证 设 A 为 $ m \times n $ 矩阵，任取 A 的 $ k (1 \leqslant k \leqslant n) $ 个列向量得矩阵 $ A_{k} $， $ A_{k} $ 经有限次行初等变换后化为 $ B_{k} $。由于行初等变换保持齐次线性方程组同解，因而齐次线性方程组 $ A_{k}X = 0 $ 与 $ B_{k}X = 0 $ 同时具有非零解或只有零解。故由 §4.2 的定理2知， $ A_{k} $ 的列向量组与 $ B_{k} $ 的列向量组有相同的线性相关性。

类似地，我们还可就列初等变换同样地得到相应的结果。

给定一个向量组，我们可以由它们作为一个矩阵的行（或列）向量组来确定一个矩阵；反之，给定一个矩阵 A，我们可以得到 A 的行（列）向量组。那么，向量组的秩与矩阵的秩有什么关系呢？

我们把矩阵A的列向量组的秩称为A的列秩，其行向量组的秩称为A的行秩.

关于矩阵 A 的秩、列秩和行秩，我们有

定理2 矩阵的行秩等于列秩，也等于矩阵的秩.

证 设 $ R(A)=r $，

$$ A\xrightarrow{ 行初等变换 }B（行阶梯形矩阵）， $$

则 B 中有且仅有 r 个非零行，由 §4.2 的定理 2 及定义知，B 的 r 个非零行的非零首元所在 r 个列向量是线性无关的，且为 B 的列向量组的一个极大无关组。根据定理 1，这个列向量与 A 中相对应的 r 个列向量也是 A 的列向量组的一个极大无关组。故 A 的列秩等于 r。

A 的行向量即 $ A^{T} $ 的列向量，于是由 $ R\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=R\left(\boldsymbol{A}\right) $ 知，A 的行秩也等于 r.

值得注意的是，定理2的证明实际上还给出了如何方便地利用行初等变换求出向量组的秩和极大无关组的方法。

例3 设向量组 $ \alpha_{1}=(1,3,1,4) $， $ \alpha_{2}=(2,12,-2,12) $， $ \alpha_{3}=(2,-3,8,2) $，求向量组的秩和一个极大无关组，并判断向量组的线性相关性.

解

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}^{\mathrm{T}})=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{3}}}&{{{12}}}&{{{-3}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{8}}} \\{{{4}}}&{{{12}}}&{{{2}}}\end{pmatrix}\\&\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{6}}}&{{{-9}}} \\{{{0}}}&{{{-4}}}&{{{6}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{-6}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{-3}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

所以 $ R(A)=2 $，即 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 的秩为2，因而 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关，且由定理2的证明知 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 的一个极大无关组.

例4 求向量组

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,4,2),\quad\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,0),\quad\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3,1),\quad\boldsymbol{\alpha}_{4}=(3,5,2) $$

的秩和一个极大无关组，判断向量组的线性相关性，并把其余向量用该极大无关组线性表出.

解作

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{4}^{\mathrm{T}})=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{4}}}&{{{1}}}&{{{3}}}&{{{5}}} \\{{{2}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}\end{pmatrix}\\&\rightarrow\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}=\boldsymbol{B},\end{aligned} $$

所以 $ R(A)=2 $，即 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 的秩为 2<4，因而 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 线性相关（事实上，由向量个数大于向量维数直接知 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 线性相关），且 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 的一个极大无关组。将 B 再施以行初等变换

$$ \boldsymbol{B}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{\frac{1}{2}}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}, $$

于是有

$$ \boldsymbol{\alpha}_{3}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2},\quad\boldsymbol{\alpha}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}. $$

例5 设数 $ a \neq b $，求 $ (1,2) $， $ (1,a) $， $ (1,b) $的一个极大无关组.

解 这三个二维向量一定线性相关. 又因 $ a \neq b $，所以 $ \begin{vmatrix}1 & 1 \\ a & b\end{vmatrix} \neq 0 $，从而 $ \begin{pmatrix}1 \\ a\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ b\end{pmatrix} $ 线性无关. 因而该向量组的秩为 2， $ \begin{pmatrix}1 \\ a\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ b\end{pmatrix} $ 为一个极大无关组.

由极大无关组的定义容易看出，向量组与其任一极大无关组等价，因而，一向量组的任意两个极大无关组都是等价的，任意两个极大无关组所含向量个数是相同的，均为向量组的秩。

下面我们来讨论两向量组的秩的关系，先证如下常用定理.

定理 3 若向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 可由向量组 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 线性表出，且 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 线性无关，则 $ r \leqslant s $.

证 不妨设讨论的是列向量（若是行向量，证明方法类似），记

$$ \mathbf{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\right),\quad\mathbf{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s}\right), $$

因 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r} $ 可由 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s} $ 线性表出，所以存在矩阵

$$ \mathbf{K}=\left(k_{i j}\right)_{s\times r}=\left(\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{r}\right), $$

其中 $ \boldsymbol{\gamma}_{j}=(k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{sj})^{\mathrm{T}}(j=1,2,\cdots,r) $，使得 A=BK。假设 r>s，则向量组 $ \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{r} $ 线性相关，于是有不全为零的数 $ x_{1},x_{2},\cdots,x_{r} $，使

$$ x_{1}\gamma_{1}+x_{2}\gamma_{2}+\cdots+x_{r}\gamma_{r}=0, $$

即

$$ \left(\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{r}\right)\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{r}\end{bmatrix}=\mathbf{K}\mathbf{X}=\mathbf{0}, $$

这里 $ \boldsymbol{X}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{r})^{\mathrm{T}} $ 。因此

$$ AX=BKX=B0=0. $$

即方程组 AX=0 有非零解，由 §4.2 的定理 2 知 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r} $ 线性相关，与定理假设矛盾。故 r>s 不成立，即 $ r\leq s $。

定理 3 的等价说法是，设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 可由向量组 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 线性表出，如果 r > s，那么 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 线性相关.

由定理3可得向量组秩的性质：设向量组（Ⅰ）的秩为 $ r_{1} $，向量组（Ⅱ）的秩为 $ r_{2} $，若（Ⅰ）能由（Ⅱ）线性表出，则 $ r_{1}\leq r_{2} $。

事实上，设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r_{1}} $ 为（I）的极大无关组， $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r_{2}} $ 为（Ⅱ）的极大无关组，因（I）可由（Ⅱ）线性表出，据向量组与其极大无关组的等价性知， $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r_{1}} $ 可由 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r_{2}} $ 线性表出，且由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r_{1}} $ 线性无关和定理 3，有 $ r_{1} \leqslant r_{2} $.

由此可知，任何两个等价的向量组必有相同的秩。

定理4 设 $ \alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_r} $ 是 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s $ 的线性无关部分组，它是极大无关组的充分必要条件是 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s $ 中每一个向量均可由 $ \alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_r} $ 线性表出.

证 充分性：若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 可由线性无关的部分组 $ \alpha_{j_{1}}, \alpha_{j_{2}}, \cdots, \alpha_{j_{r}} $ 线性表出，则据定理3知 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 中任何 $ r+1 $ 个向量都线性相关，因而 $ \alpha_{j_{1}}, \alpha_{j_{2}}, \cdots, \alpha_{j_{r}} $ 是极大无关组.

必要性：若 $ \alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_r} $ 是 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s $ 的一个极大无关组，则当 $ j \in \{j_1, j_2, \cdots, j_r\} $ 时，显然 $ \alpha_j (j=1,2,\cdots,s) $ 可由 $ \alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_r} $ 线性表出；当 $ j \notin \{j_1, j_2, \cdots, j_r\} $ 时， $ \alpha_j, \alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_r} $ 线性相关，又 $ \alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_r} $ 线性无关，因而 $ \alpha_j (j=1,2,\cdots,s) $ 可由 $ \alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_r} $ 线性表出。

定理2告诉我们，矩阵的秩和向量组的秩有着本质的联系，因而关于二者的问题常常相互转化。例如，对于如下关于矩阵秩的重要不等式，我们用向量组的理论可以容易地加以证明。

例6 设A, B分别为 $ m \times r $, $ r \times n $矩阵，证明：

$$ R(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\leqslant\min\{R(\boldsymbol{A}),R(\boldsymbol{B})\}. $$

证 设 $ C_{m\times n}=A_{m\times r}B_{r\times n} $，即

$$ \left(\boldsymbol{c}_{1},\cdots,\boldsymbol{c}_{k},\cdots,\boldsymbol{c}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\right)\begin{aligned}\left[\begin{matrix}b_{11}&\cdots&b_{1k}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&\cdots&b_{2k}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ b_{r1}&\cdots&b_{rk}&\cdots&b_{rn}\end{matrix}\right]\end{aligned}, $$

其中 $ c_{k}, \alpha_{j}(k=1,2,\cdots,n; j=1,2,\cdots,r) $ 分别为 C 和 A 的列向量. 由上式有

$$ \boldsymbol{c}_{k}=b_{1k}\boldsymbol{\alpha}_{1}+b_{2k}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+b_{rk}\boldsymbol{\alpha}_{r}\quad(k=1,2,\cdots,n). $$

即 AB 的列向量组 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} $ 可由 A 的列向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 线性表出，故有 $ R(C) \leq R(A) $.

另一方面，由以上结果便得

$$ \boldsymbol{R}\left(\boldsymbol{C}\right)=\boldsymbol{R}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\right)=\boldsymbol{R}\left(\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)\leqslant\boldsymbol{R}\left(\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)=\boldsymbol{R}\left(\boldsymbol{B}\right). $$

故 $ R(AB) \leqslant \min\{R(A), R(B)\} $.

大家可能已经注意到，我们在定理3的证明和例6的证明中两次用到：向量组 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_q $可由向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p $线性表出，也就是存在矩阵 $ K_{p \times q} $，使得

$$ (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p})K=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{q}), $$

这里假设向量是列向量.

如果设矩阵 $ A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p}) $, $ B=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{q}) $, 上式也就是矩阵方程 AX=B 有解. 于是, 由 §4.2 定理 1 我们便有如下结论:

向量组 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{q} $ 可由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p} $ 线性表出的充分必要条件是 $ R(A)=R(A,B) $;

两向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{p} $ 与 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{q} $ 等价的充分必要条件是

$$ R\left(\boldsymbol{A}\right)=R\left(\boldsymbol{B}\right)=R\left(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\right). $$

也就是说，我们把§4.2的定理1推广成了如下三命题等价：

$ 1^{\circ} $ 向量组 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{q} $ 可由向量组 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{p} $ 线性表出；

$ 2^{\circ} $ AX=B 有解；

$$ \mathbf{R}(\mathbf{A})=\mathbf{R}(\mathbf{A},\mathbf{B}). $$

有关例题不再列举，留作习题.

二、 R”的基、维数与坐标

$n$ 维向量的全体 $\mathbf{R}^n$ 的一个极大无关组也称为 $n$ 维向量空间 $\mathbf{R}^n$ 的一组基，其任一极大无关组所含向量个数又称为 $n$ 维向量空间 $\mathbf{R}^n$ 的维数，记为 $\dim \mathbf{R}^n$。显然 $\dim \mathbf{R}^n = n$。单位向量组 $\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_n$ 称为 $\mathbf{R}^n$ 的一个标准基。$i, j, k$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个标准基。可见，$\mathbf{R}^n$ 中任一向量均为其基的线性组合。即设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 为 $\mathbf{R}^n$ 的一组基，则

$$ \mathbf{R}^{n}=\mathbf{L}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\right). $$

如果在 $ R^{3} $ 中， $ \alpha, \beta, \gamma $ 线性无关，则它们构成 $ R^{3} $ 的一组基，且

$$ \mathbf{R}^{3}=L\left(\alpha,\beta,\gamma\right). $$

因此，任何第四个向量 $ (a, b, c)^{\mathrm{T}} \in L (\alpha, \beta, \gamma) $

设 $ \alpha \in \mathbb{R}^* $，

$$ \boldsymbol{\alpha}=x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}, $$

则称 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 为 $ \alpha $ 在基 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 下的坐标。由 §4.2 的定理 5 知坐标是惟一的。

对于 $ R^{n} $ 的子空间 V，也可类似地定义基、维数（记为 dimV）和坐标.

例7 设 $ \boldsymbol{\alpha} = (x_1, x_2, x_3)^T \neq \boldsymbol{0} $，则 $ \alpha $ 张成一个一维子空间 $ L(\boldsymbol{\alpha}) = \{k \boldsymbol{\alpha} \mid k \in \mathbb{R}\} $。一问量 $ (a, b, c)^\top \in L(\boldsymbol{\alpha}) $ 的充分必要条件是点 $ (a, b, c) $ 在由坐标原点 $ (0, 0, 0) $ 和点 $ (x_1, x_2, x_3) $ 决定的直线上，因此， $ \mathbb{R}^3 $ 的一维子空间可用过坐标原点的一直线表示。

设 $ \boldsymbol{\alpha}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}=(y_{1},y_{2},y_{3})^{\mathrm{T}} $ 线性无关，则

$$ L(\alpha,\beta)=\{k_{1}\alpha+k_{2}\beta\mid k_{1},k_{2}\in\mathbf{R}\} $$

是 $ \mathbb{R}^3 $ 的二维子空间。向量 $ (a, b, c)^\top \in L(\alpha, \beta) $ 的充分必要条件是点 $ (a, b, c) $ 位于由点 $ (0, 0, 0) $， $ (x_1, x_2, x_3) $ 和 $ (y_1, y_2, y_3) $ 决定的平面上。因此， $ \mathbb{R}^3 $ 的二维子空间可表为一过原点的平面。

例8 对于§4.2的例5中的向量, $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $为 $ R^{3} $的一组基, $ \beta $在该基下的坐标为1,2,-1.

任意 n 个线性无关的 n 维向量都是 $ R^{n} $ 的一组基，不同的基之间有什么关系呢？同一向量在不同基下的坐标一般是不相同的，它们之间的关系又是怎样的呢？这就是所谓的基变换和坐标变换的问题。

设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 和 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n} $ 分别为 $ R^{n} $ 的基，由于 $ R^{n} $ 的任两组基都是等价的，所以存在可逆矩阵 A，使得

$$ (\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A}, $$

我们称 A 为从基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 到基 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n} $ 的过渡矩阵.

设向量 $ \alpha \in \mathbb{R}^n $ 在两组基下的坐标分别为 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 和 $ x_1', x_2', \cdots, x_n' $，即

$$ \boldsymbol{\alpha}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{\alpha}=(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})\begin{pmatrix}x_{1}^{^{\prime}}\\ x_{2}^{^{\prime}}\\ \vdots\\ x_{n}^{^{\prime}}\end{pmatrix}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}x_{1}^{^{\prime}}\\ x_{2}^{^{\prime}}\\ \vdots\\ x_{n}^{^{\prime}}\end{pmatrix}, $$

由坐标的惟一性知

$$ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}x_{1}^{\prime}\\x_{2}^{\prime}\\\vdots\\x_{n}^{\prime}\end{pmatrix}. $$

这就是向量 $ \alpha $ 在两组基下的坐标变换公式.

例如，在 $ R^{3} $ 中，从基 $ \pmb{\varepsilon}_{1}, \pmb{\varepsilon}_{2}, \pmb{\varepsilon}_{3} $ 到基 $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (-1, -2, 2), \boldsymbol{\alpha}_{2} = (-2, -1, 2), \pmb{\alpha}_{3} = (3, 2, -3) $ 的过渡矩阵为 $ \begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ -2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} $.

例9 在 $ R^{3} $中取两组基

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,-2,2),\boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,-1,2),\boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,2,-3); $$

$$ \boldsymbol{\beta}_{1}=(1,1,1),\quad\boldsymbol{\beta}_{2}=(1,2,3),\quad\boldsymbol{\beta}_{3}=(2,0,1), $$

求从基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 到基 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 的过渡矩阵.

解 设 A 是从 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 到 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 的过渡矩阵. 则

$$ (\boldsymbol{\beta}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}_{2}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}_{3}^{\mathrm{T}})=(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}^{\mathrm{T}})\boldsymbol{A}, $$

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}^{\mathrm{T}})^{-1}(\boldsymbol{\beta}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}_{2}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}_{3}^{\mathrm{T}})=\begin{bmatrix}-1&-2&3\\ -2&-1&2\\ 2&2&-3\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}1&1&2\\ 1&2&0\\ 1&3&1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1&0&1\\ 2&3&4\\ 2&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&2\\ 1&2&0\\ 1&3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4&3\\ 9&20&8\\ 7&15&7\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

题4.3

1. 若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关，问 $ \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2} + \alpha_{3}, \alpha_{3} + \alpha_{1} $ 是否线性相关？

1. 设 n 维单位向量组 $ \pmb{\varepsilon}_{1}, \pmb{\varepsilon}_{2}, \cdots, \pmb{\varepsilon}_{n} $ 可由 n 维向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 线性表出，证明： $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 线性无关.

1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是一组 n 维向量，证明：它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表出.

1. 求下列向量组的秩和一个极大无关组，判定向量组的线性相关性，并将其余向量用极大无关组线性表出.

(1) $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0,1) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,0,1) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1,0,-1) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{4}=(2,-1,1,0) $;

(2) $ \alpha_{1}=(1,2,1,3),\alpha_{2}=(4,-1,-5,-6),\alpha_{3}=(1,-3,-4,-7) $;

(3) $ \alpha_{1}=(1,1,0),\alpha_{2}=(0,2,0),\alpha_{3}=(0,0,3) $

1. s 维向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性无关，且可由向量组 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} $ 线性表出，证明：向量组 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} $ 的秩为 s.

1. 设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，求 $ \alpha_{1}-\alpha_{2}, \alpha_{2}-\alpha_{3}, \alpha_{3}-\alpha_{1} $ 的一个极大无关组.

1. 设 A, B 为同型矩阵，证明如下常用不等式：

$$ R\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\right)\leqslant R\left(\boldsymbol{A}\right)+R\left(\boldsymbol{B}\right). $$

1. 设 A, B 均为有 m 行的矩阵，证明：

$$ \max\{R(A),R(B)\}\leqslant R[(A,B)]\leqslant R(A)+R(B). $$

1. 证明： $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,0) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,1,3) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,1,2) $为 $ R^{3} $的一组基，并求 $ \beta_{1}=(5,0,7) $， $ \beta_{2}=(-9,-8,-13) $在该基下的坐标.

1. 在 $ R^{3} $ 中

$$ \{\begin{aligned}\boldsymbol{\alpha}_{1}&=(1,2,1),\\\boldsymbol{\alpha}_{2}&=(2,3,3),\\\boldsymbol{\alpha}_{3}&=(3,7,1);\end{aligned}.\quad\{\begin{aligned}\boldsymbol{\beta}_{1}&=(3,1,4),\\\boldsymbol{\beta}_{2}&=(5,2,1),\\\boldsymbol{\beta}_{3}&=(1,1,-6).\end{aligned}. $$

（1）证明： $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 与 $ \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} $ 都是 $ R^{3} $

(2) 求从 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 到 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 的过渡矩阵；

(3) 求 $ \alpha=(2,1,1) $ 在 $ \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} $ 下的坐标；

（4）求 $ \alpha $ 在 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 下的坐标.

§4.4 线性方程组解的结构

在第一章和 §2.4 中，我们已利用矩阵和向量组的理论陆续得到了线性方程组的一些重要结论，在这一节对线性方程组解的结构作进一步研究。

一、 齐次线性方程组

齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0,\end{aligned}. $$

重难点分析

齐次线性方程组解的性质

即

$$ AX=0, $$

显然有一组平凡解

$$ x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=0, $$

即X=0，称为零解.

关于齐次线性方程组 AX=0 的解，我们已经得到下列重要结论：

设 A 为 $ m \times n $ 矩阵，则下面三命题等价：

$ 1^{\circ} $ AX=0 只有零解；

$ 2^{\circ} $ $ R(A)=n $;

$ 3^{\circ} $ A 的列向量组线性无关.

即下面三命题等价：

$ 1^{\circ} $ AX=0有非零解；

$ 2^{\circ} $ $ R(A) < n $;

$ 3^{\circ} $ A 的列向量组线性相关.

特别地，当 A 为 n 阶方阵时，下面三命题等价：

$ 1^{\circ} $ AX=0 只有零解（有非零解）；

$$ 2^{\circ}\quad R(A)=n(R(A)

$ 3^{\circ} $ $ \det A \neq 0 (\det A = 0) $.

关于 AX=0 的解，有如下性质：

性质1 若 $ \xi_{1}, \xi_{2} $ 为齐次线性方程组 AX=0 的解，则 $ X=\xi_{1}+\xi_{2} $ 也是 AX=0 的解.

证 由于 $ A(\xi_{1}+\xi_{2})=A\xi_{1}+A\xi_{2}=0+0=0 $，因而 $ \xi_{1}+\xi_{2} $ 也是 AX=0 的解.

性质2 若 $ \xi $ 为齐次线性方程组 AX=0 的解，k 为数，则 $ X=k\xi $ 也是 AX=0 的解.

证 由 $ A(k\xi)=kA\xi=k0=0 $ 知结论成立.

由性质1,2立即得

性质3 齐次线性方程组 AX=0 解向量的线性组合也为 AX=0 的解。即设 $ \xi_{1} $， $ \xi_{2} $， $ \cdots $， $ \xi_{s} $ 为 AX=0 的解，则对任意 s 个数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}, k_{1}\xi_{1} + k_{2}\xi_{2} + \cdots + k_{s}\xi_{s} $ 也是 AX=0 的解。

将齐次线性方程组 AX=0 的解的全体记为 W，即

$$ \mathbf{W}=\{\mathbf{X}\in\mathbf{R}^{n}\mid\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{0}\}. $$

由性质1,2知W为 $ R^{n} $的一个子空间,称为AX=0的解空间,其任一组基称为AX=0的一个基础解系.

于是，设 $ \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s} $ 是 AX=0 的一组解向量，则 $ \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s} $ 是 AX=0 的基础解系当且仅当 $ \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s} $ 线性无关，且 AX=0 的任一解向量都可表为 $ \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s} $ 的线性组合.

易见，仅当 AX=0 有非零解时才有基础解系.

定理 设齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 的秩 $ R(A)=r

知数的个数.

证 设系数矩阵 A 的秩为 r，不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是由 A 经行初等变换可得

$$ \boldsymbol{B}=\left[\begin{matrix}{1}&{\cdots}&{0}&{b_{11}}&{\cdots}&{b_{1,n-r}}\\ {\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {0}&{\cdots}&{1}&{b_{r1}}&{\cdots}&{b_{r,n-r}}\\ {0}&{\cdots}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {0}&{}&{0}&{0}&{}&{0}\\ \end{matrix}\right], $$

与B对应，有方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=-b_{11}x_{r+1}-\cdots-b_{1,n-r}x_{n},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x_{r}&=-b_{r1}x_{r+1}-\cdots-b_{r,n-r}x_{n}.\end{aligned}. $$

方程组 AX=0 与方程组 (4.8) 同解，在方程组 (4.8) 中，任给 $ x_{r+1}, \cdots, x_n $ 一组值，则惟一确定 $ x_1, x_2, \cdots, x_r $ 的值，就得方程组 (4.8) 的一个解，也就是方程组 AX=0 的解。令 $ x_{r+1}, \cdots, x_n $ 取下列 n-r 组数

$$ \begin{align*}\begin{array}{l}\left[\begin{matrix}x_{r+1}\\x_{r+2}\\\vdots\\x_{n}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\0\\\vdots\\0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}0\\1\\\vdots\\0\end{matrix}\right],\cdots,\left[\begin{matrix}0\\0\\\vdots\\1\end{matrix}\right].\end{array}\end{align*} $$

由方程组（4.8）依次可得

$$ \begin{aligned}\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots\\x_{r}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-b_{11}\\\vdots\\-b_{r1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-b_{12}\\\vdots\\-b_{r2}\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}-b_{1,n-r}\\\vdots\\-b_{r,n-r}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

从而求得方程组 AX=0 的 n-r 个解：

$$ \boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{aligned}-b_{11}\\ \vdots\\ -b_{r1}\\ 1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{aligned}\right),\boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{aligned}-b_{12}\\ \vdots\\ -b_{r2}\\ 0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{aligned}\right),\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}=\left(\begin{aligned}-b_{1,n-r}\\ \vdots\\ -b_{r,n-r}\\ 0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{aligned}\right). $$

下面证明 $ \xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r} $ 就是基础解系.

首先，因 $ (x_{r+1},x_{r+2},\cdots,x_{n})^{\mathrm{T}} $所取的n-r个n-r维向量

$$ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),\cdots,\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right) $$

线性无关，所以在每个向量前面添加 r 个分量而得到的 n-r 个 n 维向量 $ \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n-r} $ 也线性无关（参见习题 4.2 的题 10）.

其次，证明方程组 AX = 0 的任一解 $ \boldsymbol{X} = (l_1, \cdots, l_r, l_{r+1}, \cdots, l_n)^{\mathrm{T}} $ 都可由 $ \xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r} $ 线性表出。为此，作向量

$$ \begin{array}{r}{\eta=l_{r+1}\xi_{1}+l_{r+2}\xi_{2}+\cdots+l_{n}\xi_{n-r},}\end{array} $$

由性质3知 $ \eta $也是AX=0的解.比较 $ \eta $与X,它们的后面n-r个分量对应相等,由于它们都满足方程组(4.8),从而有它们的前面r个分量也必对应相等,因此 $ X=\eta $,即

$$ \mathbf{X}=l_{r+1}\boldsymbol{\xi}_{1}+l_{r+2}\boldsymbol{\xi}_{2}+\cdots+l_{n}\boldsymbol{\xi}_{n-r}, $$

于是由定义知， $ \xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r} $ 为 AX=0 的基础解系.

值得注意的是，定理1的证明实际上就是一个具体求基础解系的方法。因为齐次线性方程组的基础解系实质上就是向量组W的一个极大无关组，因而一般不惟一，但是基础解系中向量个数必为n-r.

例如，任取 n-r 个线性无关的 n-r 维向量，并使 $ \begin{pmatrix} x_{r+1} \\ x_{r+2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} $ 分别等于这些向量，再

通过方程组(4.8)求出 $ x_{1},x_{2},\cdots,x_{r} $ 便得一个基础解系.

设求得 $ \xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r} $ 为 AX=0 的一个基础解系，则该方程组的任一解可表示为

$$ \mathbf{X}=k_{1}\boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\xi}_{2}+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}, $$

其中 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n-r} $为任意数，上式称为AX=0的通解.

例1 求齐次线性方程组 $ \{\begin{aligned}&2x_{1}+x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=0,\\&3x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0,\\&x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=0\end{aligned}. $，的通解.

典型例题讲解

齐次线性方程组求解基础范例

解 对系数矩阵作行初等变换

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{vmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{3}}} \\{{{3}}}&{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{vmatrix}\rightarrow\begin{vmatrix}{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{-4}}}&{{{5}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{-4}}}&{{{5}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{vmatrix}\\&\rightarrow\begin{vmatrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{-4}}}&{{{5}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{vmatrix}\rightarrow\begin{vmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{-4}}}&{{{5}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{vmatrix}\rightarrow\begin{vmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{-3}}}&{{{4}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{4}}}&{{{-5}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{vmatrix},\end{aligned} $$

得同解方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}&=3x_{3}-4x_{4},\\ x_{2}&=-4x_{3}+5x_{4}.\end{aligned}. $因此基础解系为

$$ \boldsymbol{\xi}_{1}=\left[\begin{matrix}3\\ -4\\ 1\\ 0\end{matrix}\right],\quad\boldsymbol{\xi}_{2}=\left[\begin{matrix}-4\\ 5\\ 0\\ 1\end{matrix}\right]. $$

故原方程组的通解为

$ X=k_{1}\xi_{1}+k_{2}\xi_{2},\quad k_{1},k_{2} $ 为任意数.

例2 求齐次线性方程组 $ \{\begin{aligned}&2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=0,\\&x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=0,\\&3x_{1}+8x_{2}-2x_{3}=0,\\&4x_{1}-x_{2}+9x_{3}=0\end{aligned}. $ 的通解.

解 对系数矩阵 A 作行初等变换

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{3}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{4}}} \\{{{3}}}&{{{8}}}&{{{-2}}} \\{{{4}}}&{{{-1}}}&{{{9}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{4}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{pmatrix}\\&\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{4}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

得同解方程组 $ \{\begin{aligned}x_{1}&=-2x_{3},\\ x_{2}&=\quad x_{3}.\end{aligned}. $ 取 $ x_{3}=1 $ 得基础解系

$$ \xi=(-2,1,1)^{\mathrm{T}}. $$

故原方程组的通解为 $ X=k\xi, k $ 为任意数.

例 3 试证：与 AX=0 基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系.

证 两个等价的线性无关的向量组所含向量个数是相等的.

设 $ \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s} $ 是 AX = 0 的一个基础解系， $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 与之等价，则 $ \alpha_{i} (i=1,2,\cdots,s) $ 可由 $ \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s} $ 线性表出，从而 $ \alpha_{i} (i=1,2,\cdots,s) $ 也是 AX = 0 的解.

因齐次线性方程组任一解 $ \beta $ 均可由基础解系 $ \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s} $ 线性表出，从而由题设知 $ \beta $ 也可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性表出，又 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性无关，于是由定义知 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 为一个基础解系.

例4 设 n 阶矩阵 A, B 满足 AB = O, 证明：

$$ R\left(\boldsymbol{A}\right)+R\left(\boldsymbol{B}\right)\leqslant n. $$

证 将 B 分块为 $ \boldsymbol{B}=(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}) $，其中 $ b_{1},b_{2},\cdots,b_{n} $ 为 B 的列向量组，则

$$ \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\left(\mathbf{A}b_{1},\mathbf{A}b_{2},\cdots,\mathbf{A}b_{n}\right)=\mathbf{O}, $$

典型例题讲解 AB=O 导出的秩关系

即

即 $ b_{i}(i=1,2,\cdots,n) $ 为 AX=0 的解，因而 $ b_{i}(i=1,2,\cdots,n) $ 可由 AX=0 的基础解系 $ \xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r} $ 线性表出，这里 $ r=R(A) $. 于是

典型例题讲解伴随矩阵的秩

$$ \mathbf{A}\mathbf{b}_{i}=\mathbf{0}\quad(i=1,2,\cdots,n), $$

$$ R\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\leqslant R\left(\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r}\right)=n-R\left(A\right), $$

即 $ R(\boldsymbol{B}) \leqslant n - R(\boldsymbol{A}) $，也就是 $ R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B}) \leqslant n $。

定理1揭示了A的秩和AX=0的解的关系，它不仅对求解AX=0具有重要意义，而且如例4所表明的那样，常常可以通过研究齐次线性方程组的解来讨论系数矩阵的秩.

例5 设 n 阶矩阵 A 的秩 $ R(A)=n-1(n \geqslant 2) $，证明 $ R(A^{*})=1 $.

证 由 $ R(A)=n-1 $ 知 $ \det A=0 $，于是 $ AA^{*}=(\det A)I=O $。便有

$$ R\left(\boldsymbol{A}\right)+R\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)\leqslant n. $$

所以 $ R(A^{*})\leqslant n-R(A)=1 $ 。又由 $ R(A)=n-1 $ 知 A 中有 n-1 阶子式不为零，因而 $ A^{*}\neq O $ ，便有 $ R(A^{*})\geqslant1 $ 。这样我们就证得 $ R(A^{*})=1 $ 。

综合例5和§2.5的例5，我们证明了如下常用结果：若A为n阶矩阵，则

$$ R(\boldsymbol{A}^{*})=\{\begin{aligned}&n,&R(\boldsymbol{A})=n,\\ &1,&R(\boldsymbol{A})=n-1(n\geqslant2),\\ &0,&R(\boldsymbol{A})

用线性方程组的理论可以讨论空间平面的位置关系.

例6 对于三个过原点的平面

$$ \begin{cases}\pi_{1}:&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0,\\\pi_{2}:&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0,\\\pi_{3}:&a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=0,\end{cases} $$

根据系数矩阵 $ A=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix} $ 的秩 r 的大小分别讨论如下：

(1) r=3 时，由 §4.2 的定理 2，这时线性方程组只有零解，即三平面相交于一点的充分必要条件是 $ R(A)=3 $，即 $ \det A \neq 0 $.

(2) r=2 时，三平面有两平面相交于一直线，另一平面或通过这一交线，或与其中一平面重合。这是因为假如 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 是 A 的行向量，由 $ R(A)=2 $ 知 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关，而其中有两个向量线性无关。假设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 线性无关，那么 $ a_{1}, b_{1}, c_{1} $ 与 $ a_{2}, b_{2}, c_{2} $ 不成比例，因此平面 $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 交于一条直线。由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性相关，可知 $ \alpha_{3}=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2} $，当 $ k_{1}k_{2}\neq0 $ 时，平面 $ \pi_{3} $ 通过 $ \pi_{1}, \pi_{2} $ 两平面的交线；当 $ k_{1}k_{2}=0 $ 时，若 $ k_{1}=0 $，则 $ \alpha_{3}=k_{2}\alpha_{2} $，这时 $ \pi_{2}, \pi_{3} $ 平行，又因为它们都过原点，所以 $ \pi_{2}, \pi_{3} $ 两平面重合。

(3) r=1 时，A 的三个行向量两两线性相关，从而三平面两两平行，又因为它们

都过原点，因而重合.

二、 非齐次线性方程组

对于非齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{aligned}. $$

设

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{aligned}&a_{11}\\ &a_{21}\\ &\vdots\\ &a_{m1}\end{aligned}\right),\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{aligned}&a_{12}\\ &a_{22}\\ &\vdots\\ &a_{m2}\end{aligned}\right),\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}=\left(\begin{aligned}&a_{1n}\\ &a_{2n}\\ &\vdots\\ &a_{mn}\end{aligned}\right),\boldsymbol{b}=\left(\begin{aligned}&b_{1}\\ &b_{2}\\ &\vdots\\ &b_{m}\end{aligned}\right), $$

则方程组(4.9)可记为 $ x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{n}\alpha_{n}=b $，即

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}. $$

关于非齐次线性方程组 AX = b，在本章 §4.2 中我们已得到如下重要结果：

AX=b 有解⇔b 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 线性表出⇔ $ R(\overline{A})=R(A) $

下面来讨论 AX = b 解的结构. 方程组 (4.10) 对应的齐次线性方程组 AX = 0 称为方程组 (4.10) 的导出组. 非齐次线性方程组的解有如下性质：

性质4 设 $ \eta_{1}, \eta_{2} $ 为非齐次线性方程组 AX = b 的两个解，则 $ \eta_{2} - \eta_{1} $ 为其导出组的解.

证 因为 $ A(\boldsymbol{\eta}_{2}-\boldsymbol{\eta}_{1})=A\boldsymbol{\eta}_{2}-A\boldsymbol{\eta}_{1}=b-b=0 $，所以 $ \eta_{2}-\eta_{1} $ 为导出组的解.

性质5 设 $ \eta $ 为 AX = b 的解， $ \xi $ 为 AX = 0 的解，则 $ \eta + \xi $ 为 AX = b 的解.

证 由 $ A(\eta+\xi)=A\eta+A\xi=b+0=b $ ，知 $ \eta+\xi $ 为 AX=b 的解.

AX=b 的任意一个解，我们都称之为 AX=b 的一个特解. 于是由以上两个性质得：

性质6 如果 $ \gamma_{0} $为AX=b的一个特解，则AX=b的任一解 $ \gamma $都可表示成

$$ \gamma=\gamma_{0}+\xi, $$

其中 $ \xi $ 为 AX=0 的一个解. 因此, 对于 AX=b 的任一特解 $ \gamma_{0} $, 当 $ \xi $ 取遍它的导出组的全部解时, 式 (4.11) 就给出 AX=b 的全部解.

证 显然

$$ \boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\gamma}_{0}+(\boldsymbol{\gamma}-\boldsymbol{\gamma}_{0}), $$

由性质4, $ \gamma-\gamma_{0} $是AX=0的一个解，令 $ \xi=\gamma-\gamma_{0} $，就得性质的结论。既然AX=b的任一解都能表示成式(4.11)的形式，当然在 $ \xi $取遍AX=0的全部解时，

$$ \gamma=\gamma_{0}+\xi $$

就取遍 AX=b 的全部解.

性质6说明，为了找出非齐次线性方程组的全部解，我们只要找到它的一个特解以及它的导出组的全部解就行了。如果 $ \gamma_{0} $是非齐次方程组的一个特解， $ \xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r} $是其导出组的一个基础解系，则非齐次方程组的任意一个解都可以表示成

$$ \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\gamma}_{0}+k_{1}\boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\xi}_{2}+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r},\quad k_{1},k_{2},\cdots,k_{n-r} 为任意数 . $$

上式称为AX=b的通解.

例7 求非齐次线性方程组 $ \{\begin{aligned}&x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=&1,\\&x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=&0,\\&x_{1}-x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=&-\frac{1}{2}\end{aligned}. $，的通解.

解

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{A}}&=\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&1\\1&-1&-1&1&0\\1&-1&-2&2&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\xrightarrow{}\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&1\\0&0&-2&2&-1\\0&0&-3&3&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{}\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&1\\0&0&1&-1&\frac{1}{2}\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow{}\begin{pmatrix}1&-1&0&0&\frac{1}{2}\\0&0&1&-1&\frac{1}{2}\\0&0&0&0&0\end{pmatrix},\end{aligned} $$

所以 $ R(\boldsymbol{A}) = R(\bar{\boldsymbol{A}}) = 2 $，因而原方程组有解，且得同解方程组

$$ \begin{cases}x_{1}=\dfrac{1}{2}+x_{2},\\x_{3}=\dfrac{1}{2}+x_{4}.\end{cases} $$

（1）求对应齐次线性方程组的一个基础解系.

由方程组(4.12)的对应齐次线性方程组分别取 $ x_{2}=1,x_{4}=0 $和 $ x_{2}=0,x_{4}=1 $得基础解系

$$ \boldsymbol{\xi}_{1}=(1,1,0,0)^{\mathrm{T}},\quad\boldsymbol{\xi}_{2}=(0,0,1,1)^{\mathrm{T}} $$

（2）求非齐次线性方程组的一个特解.

由式(4.12)取 $ x_{2}=x_{4}=0 $得

$$ \gamma_{0}=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},0\right)^{\mathrm{T}}. $$

故原方程组的通解为

$$ \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\gamma}_{0}+k_{1}\boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\xi}_{2},\quad k_{1},k_{2} 为任意数 . $$

例8 问 $ \lambda $ 为何值时，方程组 $ \{\begin{aligned}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}&=1,\\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}&=\lambda,\\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}&=\lambda^{2}\end{aligned}. $ 有惟一解？有无穷多解？无

解？有解时并求解.

解

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{A}}=&\begin{pmatrix}\lambda&1&1&1\\1&\lambda&1&\lambda\\1&1&\lambda&\lambda^{2}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&\lambda&\lambda^{2}\\1&\lambda&1&\lambda\\\lambda&1&1&1\end{pmatrix}\\ \rightarrow&\begin{pmatrix}1&1&\lambda&\lambda^{2}\\0&\lambda-1&1-\lambda&\lambda(1-\lambda)\\0&1-\lambda&1-\lambda^{2}&1-\lambda^{3}\end{pmatrix}\\ \rightarrow&\begin{pmatrix}1&1&\lambda&\lambda^{2}\\0&\lambda-1&1-\lambda&\lambda(1-\lambda)\\0&0&2-\lambda-\lambda^{2}&1-\lambda^{2}+\lambda-\lambda^{3}\end{pmatrix}\\ \rightarrow&\begin{pmatrix}1&1&\lambda&\lambda^{2}\\0&\lambda-1&1-\lambda&\lambda(1-\lambda)\\0&0&(1-\lambda)(\lambda+2)&(1+\lambda)^{2}(1-\lambda)\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

(1) $ \lambda=1 $时, $ R(A)=R(\bar{A})=1

$$ \begin{array}{l}{\overline{{\boldsymbol{A}}}\rightarrow\left(\begin{matrix}{1}&{1}&{1}&{1}\\ {0}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{0}\\ \end{matrix}\right),}\\ \end{array} $$

得同解方程组 $ x_{1}=1-x_{2}-x_{3} $. 由其对应的齐次线性方程组取 $ x_{2}=1, x_{3}=0 $ 和 $ x_{2}=0 $, $ x_{3}=1 $ 得对应齐次线性方程组的基础解系

$$ \boldsymbol{\xi}_{1}=(-1,1,0)^{\mathrm{T}},\quad\boldsymbol{\xi}_{2}=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}. $$

取 $ x_{2}=x_{3}=0 $ 得非齐次线性方程组的特解

$$ \boldsymbol{\gamma}_{0}=(1,0,0)^{\mathrm{T}}. $$

故原方程组的通解为

$$ \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\gamma}_{0}+k_{1}\boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\xi}_{2},\quad k_{1},k_{2} 为任意数 . $$

(2) $ \lambda=-2 $时， $ R(A)=2\neq R(\bar{A})=3 $，无解.

(3) $ \lambda\ne1,-2 $时， $ R(\boldsymbol{A})=R(\bar{\boldsymbol{A}})=3=n $，所以有惟一解。此时由式(4.13)直接得

$$ \begin{cases}x_{1}=\dfrac{-\lambda-1}{\lambda+2},\\x_{2}=\dfrac{1}{\lambda+2},\\x_{3}=\dfrac{(\lambda+1)^{2}}{\lambda+2}.\end{cases} $$

例9 判断方程组 $ \{\begin{array}{l}x_{1}+ \quad x_{2}=1, \\a x_{1}+ \quad b x_{2}=c, \\a^{2}x_{1}+ b^{2}x_{2}=c^{2}\end{array}. $，是否有解，其中a,b,c互不相等.

解因

$$ \det\overline{\boldsymbol{A}}=\left|\begin{matrix}1&1&1\\ a&b&c\\ a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{matrix}\right|=(b-a)(c-a)(c-b), $$

由题设知 $ \det\bar{A}\neq0 $ ，因而 $ R(\bar{A})=3 $ ，而 $ R(A)=2 $ ，故 $ R(A)\neq R(\bar{A}) $ ，于是方程组无解.

例 10 已知方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}&+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{aligned}. $$

的系数矩阵A的秩等于 $ B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&b_{n}\\b_{1}&b_{2}&\cdots&b_{n}&0\end{pmatrix} $的秩，证明方程组（4.14）有解.

证 增广矩阵

$$ \overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&b_{n}\end{pmatrix}, $$

显然， $ \overline{A} $ 的行向量组是 B 的行向量组的部分组，因而 $ \overline{A} $ 的行向量组可以由 B 的行向量组线性表出，从而 $ \overline{A} $ 的行向量组的秩小于等于 B 的行向量组的秩，所以

$$ R\left(\bar{A}\right)\leqslant R\left(B\right). $$

又已知 $ R(A)=R(B) $，于是

$$ R\left(\boldsymbol{A}\right)=R\left(\boldsymbol{B}\right)\geqslant R\left(\bar{A}\right). $$

又因 A 的列向量组可由 $ \overline{A} $ 的列向量组线性表出，因此

$$ R\left(\boldsymbol{A}\right)\leqslant R\left(\bar{\boldsymbol{A}}\right). $$

由式(4.15)，(4.16)得 $ R(A)=R(\bar{A}) $。故方程组(4.14)有解。

例 11 讨论两平面

$$ \begin{aligned}&\pi_{1}:\quad a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1},\\&\pi_{2}:\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\end{aligned} $$

之间的关系.设

$$ \begin{align*}\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\end{bmatrix},\quad\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1&d_1\\ a_2&b_2&c_2&d_2\end{bmatrix}.\end{align*} $$

当 $ R(A)=2 $时，非齐次线性方程组有解，但 $ R(A)=R(\overline{A})=2

当 $ R(A)=1,R(\bar{A})=2 $时，非齐次线性方程组无解，所以两平面平行；

当 $ R(A)=R(\overline{A})=1 $时，显然 $ \overline{A} $的两个行向量线性相关，即 $ a_{1},b_{1},c_{1},d_{1} $与 $ a_{2},b_{2},c_{2},d_{2} $成比例，所以两平面相重合.

例 12 讨论空间三个平面

$$ \pi_{1}:\quad a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}, $$

$$ \pi_{2}:\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}, $$

$$ \pi_{3}:\quad a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3} $$

的位置关系.设

$$ \begin{aligned}\mathbf{A}&=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix},\quad\overline{\mathbf{A}}=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

现在我们利用向量组的线性相关性及线性方程组的理论来讨论这三个平面的位置关系.

1. $ R(A)=3 $

这时 $ R(\overline{\boldsymbol{A}})=3 $ ，根据克拉默法则知，上面方程组有惟一解，所以三个平面交于一点（见图4.5(1)）.

1. $ R(A)=2, R(\bar{A})=3 $

此时万程组无解，所以三个平面不相交。又因为 $ R(A)=2 $，所以 A 的三个行向量 $ \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3} $（它们也是三个平面的法向量）线性相关，即存在不全为零的实数 $ k_{1}, k_{2}, k_{3} $，使得 $ k_{1}\boldsymbol{a}_{1} + k_{2}\boldsymbol{a}_{2} + k_{3}\boldsymbol{a}_{3} = \boldsymbol{0} $。当 $ k_{1}, k_{2}, k_{3} $ 都不为零时，有 $ a_{i} \times a_{j} \neq 0 (i \neq j) $，即任意两个平面相交，且由

$$ \boldsymbol{a}_{1}\cdot(\boldsymbol{a}_{2}\times\boldsymbol{a}_{3})=[\boldsymbol{a}_{1}\quad\boldsymbol{a}_{2}\quad\boldsymbol{a}_{3}]=\det\boldsymbol{A}=0 $$

知 $ \pi_{2} $ 和 $ \pi_{3} $ 的交线与 $ \pi_{1} $ 平行. 同理可知， $ \pi_{1} $ 和 $ \pi_{3} $ 的交线与 $ \pi_{2} $ 平行； $ \pi_{1} $ 和 $ \pi_{2} $ 的交线

与 $ \pi_{3} $平行.因此三个平面形成一个三棱柱（见图4.5(2)）.当 $ k_{1},k_{2},k_{3} $中有一个为零时，三个平面中有两个平面平行，另一平面与这两个平面相交（见图4.5(3)）.

3. $ R(A)=2, R(\bar{A})=2 $

这时方程组有解，且解里仅含一个参数，故三个平面相交于一条直线。又因为 $ R(\overline{A})=2 $，所以 $ \overline{A} $的三个行向量 $ b_{1}, b_{2}, b_{3} $线性相关，即存在不全为零的实数 $ k_{1}, k_{2}, k_{3} $，使得 $ k_{1}b_{1}+k_{2}b_{2}+k_{3}b_{3}=0 $。当 $ k_{1}, k_{2}, k_{3} $都不为零时，三个平面互异（见图4.5（4））。当 $ k_{1}, k_{2}, k_{3} $中有一个为零时，三平面中有两个平面重合（见图4.5（5））。

$$ 4.R(A)=1,R(\bar{A})=2. $$

此时方程组无解，所以三个平面不相交。又因为 $ R(A)=1 $，所以三个平面平行；而由 $ R(\overline{A})=2 $ 知三个平面中至少有两个平面互异。即三个平面平行，并且互异（见图4.5(6)）；或三个平面平行，其中有两个平面重合（见图4.5(7)）。

$$ 5.R(A)=1,R(\bar{A})=1. $$

这时方程组有解，且解里含两个参数，故这些解所对应的点必在一个平面内，即三个平面重合（见图4.5(8)）。

三个平面总共有上述八种不同的位置.

应用实例：投入产出模型

现代生产高度专业化的特点，使得一个经济系统内众多的生产部门之间紧密关联，相互依存。每个部门在生产过程中都要消耗各个部门提供的产品或服务，称之为投入；每个部门也向各个部门及社会提供自己的产品或服务，称之为产出。投入产出数学模型就是应用线性代数理论所建立的，研究经济系统各部门之间投入产出综合平衡关系的经济数学模型。

若从事的是生产活动，产出就是生产的产品。这里我们只讨论价值型投入产出模型，投入和产出都用货币数值来度量。

在一个经济系统中，每个部门（企业）作为生产者，它既要为自身及系统内其他部门（企业）进行生产而提供一定的产品，又要满足系统外部（包括出口）对它的产品需求。另一方面，每个部门（企业）为了生产其产品，又必然是消耗者，它既有物资方面的消耗（消耗本部门（企业）和系统内其他部门（企业）所生产的产品，如原材料、设备、运输和能源等），又有人力方面的消耗。消耗的目的是为了生产，生产的结果必然要创造新的价值，以用于支付劳动者的报酬、缴付税金和获取合理的利润。显然，对每个部门（企业）来讲，在物资方面的消耗和新创造的价值等于它的总产品的价值，这就是“投入”与“产出”之间的总的平衡关系。

（一） 分配平衡方程组

我们从产品分配的角度讨论投入产出的一种平衡关系。即讨论：在经济系统内每个部门（企业）的产品产量与系统内部对产品的消耗及系统外部对产品的需求处于平衡的情况下，如何确定各部门（企业）的产品产量。

设某个经济系统由 n 个企业组成，为帮助理解，列表 4.1 如下：

其中 $ x_{i} $ 表示第 i 个企业的总产值, $ x_{i} \geqslant 0 $; $ d_{i} $ 表示系统外部对第 i 个企业的产值的需求量, $ d_{i} \geqslant 0 $; $ c_{ij} $ 表示第 j 个企业生产单位产值需要消耗第 i 个企业的产值数, 称为第 j 个企业对第 i 个企业的直接消耗系数, $ c_{ij} \geqslant 0 $.

表中编号相同的生产企业和消耗企业是指同一个企业。如“1”号表示煤矿，“2”号表示电厂， $ c_{21} $ 表示煤矿生产单位产值需要直接消耗电厂的产值数， $ c_{22} $ 表示电厂生产单位产值需要直接消耗自身的产值数， $ d_{2} $ 表示系统外部对电厂产值的需求量， $ x_{2} $ 表示电厂的总产值。

第i个企业分配给系统内各企业生产性消耗的产值数为

$$ c_{i1}x_{1}+c_{i2}x_{2}+\cdots+c_{in}x_{n}, $$

提供给系统外部的产值数为 $ d_{i} $，这两部分之和就是第 i 个企业的总产值 $ x_{i} $。于是可得分配平衡方程组

$$ x_{i}=\left(\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_{j}\right)+d_{i},\quad i=1,2,\cdots,n, $$

记

$$ \mathbf{C}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{pmatrix},\quad\mathbf{X}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix},\quad\mathbf{d}=\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\\\vdots\\d_{n}\end{pmatrix}, $$

于是式(4.17)可表示成矩阵形式

$$ X=C X+d, $$

即

$$ (I-C)X=d, $$

式(4.18)或式(4.19)是投入产出数学模型之一，这是一个含 n 个未知量 $ x_{i} $ (i=1,2,\cdots,n) 和 n 个方程的线性方程组.

C称为直接消耗系数矩阵，X称为生产向量，d称为外部需求向量。显然它们的元

均非负.

若设 $ x_{ij} $ 表示第 j 部门在生产过程中消耗第 i 部门的产品数量，一般称为中间产品，如 $ x_{12} $ 表示第 2 部门在生产过程中消耗第 1 部门的生产数量。于是显然第 j 部门对第 i 部门的直接消耗系数

$$ c_{ij}=\frac{x_{ij}}{x_{j}},\quad i,j=1,2,\cdots,n. $$

由上式可知，直接消耗系数矩阵 C 具有以下性质：

$$ (1)0\leqslant c_{ij}\leqslant1,\quad i,j=1,2,\cdots,n;\quad(2)\sum_{i=1}^{n}c_{ij}<1,\quad j=1,2,\cdots,n. $$

可以证明 I-C 是可逆的，且其逆的元均非负。从而，分配平衡方程组 $ (I-C)X=d $ 一定有唯一解 $ \boldsymbol{X}=(I-C)^{-1}\boldsymbol{d} $。

实例一 某工厂有三个车间，设在某一生产周期内，车间之间直接消耗系数及总产值如表4.2：

为使各车间与系统内外需求平衡，求：(1)各车间的最终产品 $ d_{1}, d_{2}, d_{3} $; (2)各车间之间的中间产品 $ x_{ij} $ (i, j=1,2,3).

解（1）

$$ \boldsymbol{d}=\begin{bmatrix}d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3}\end{bmatrix}=(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{C})\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}0.75&-0.10&-0.10\\ -0.20&0.80&-0.10\\ -0.10&-0.10&0.80\end{pmatrix}\begin{bmatrix}400\\ 250\\ 300\end{bmatrix}=(245,90,175)^{\mathrm{T}}, $$

即 $ d_{1}=245,d_{2}=90,d_{3}=175 $

（2）由 $ x_{ij}=c_{ij}x_{j} $，i,j=1,2,3，得

$$ x_{11}=0.25\times400=100,\quad x_{12}=0.1\times250=25,\quad x_{13}=0.1\times300=30, $$

同理得

$$ x_{21}=80,\quad x_{22}=50,\quad x_{23}=30, $$

$$ x_{31}=40,\quad x_{32}=25,\quad x_{33}=60. $$

实例二 设某一经济系统在某生产周期内的直接消耗系数矩阵 C 和外部需求向量如下：

$$ \mathbf{C}=\begin{pmatrix}0.25&0.1&0.1\\0.2&0.2&0.1\\0.1&0.1&0.2\end{pmatrix},\quad\mathbf{d}=\begin{pmatrix}235\\125\\210\end{pmatrix}, $$

求该系统在这一生产周期内的总产值向量X.

解 由分配平衡方程组 $ (I-C)X=d $ 的增广矩阵

$$ \begin{aligned}&\left(\begin{matrix}0.75&-0.1&-0.1&\vdots&235\\-0.2&0.8&-0.1&\vdots&125\\-0.1&-0.1&0.8&\vdots&210\end{matrix}\right)\rightarrow\left(\begin{matrix}0&-0.85&5.9&\vdots&1\ 810\\0&1&-1.7&\vdots&-295\\1&1&-8&\vdots&-2\ 100\end{matrix}\right)\\\rightarrow&\left(\begin{matrix}1&1&-8&\vdots&-2\ 100\\0&1&-1.7&\vdots&-295\\0&-0.85&5.9&\vdots&1\ 810\end{matrix}\right)\rightarrow\left(\begin{matrix}1&0&-6.3&\vdots&-1\ 805\\0&1&-1.7&\vdots&-295\\0&0&4.455&\vdots&1\ 559.25\end{matrix}\right)\\\rightarrow&\left(\begin{matrix}1&0&0&\vdots&400\\0&1&0&\vdots&300\\0&0&1&\vdots&350\end{matrix}\right)\end{aligned} $$

知， $ \mathbf{X} = (400, 300, 350)^{\mathrm{T}} $

（二） 消耗平衡方程组

这里我们从消耗的角度讨论投入产出的另一种平衡关系，它是在系统内各个部门（企业）的总产值应与生产性消耗及新创造的价值（净产值）相等（相平衡）的情况下，讨论系统内各部门（企业）的总产值与新创造的价值（净产值）之间的相互关系。

某个经济系统的几个企业之间的直接消耗系数仍如前所述，那么第 j 个企业生产产值 $ x_{j} $ 需要消耗自身和其他企业的产值数（在原材料、运输、能源、设备等方面的生产性消耗）为 $ c_{1j}x_{j} + c_{2j}x_{j} + \cdots + c_{nj}x_{j} $，如果生产产值 $ x_{j} $ 所获得的净产值为 $ z_{j} $，则 $ x_{j} = c_{1j}x_{j} + c_{2j}x_{j} + \cdots + c_{nj}x_{j} + z_{j} $，即

$$ x_{j}=\left(\sum_{i=1}^{n}c_{ij}\right)x_{j}+z_{j},\quad j=1,2,\cdots,n, $$

$$ (1-\sum_{i=1}^{n}c_{ij})x_{j}=z_{j},\quad j=1,2,\cdots,n. $$

方程组（4.20）称为消耗平衡方程组.式（4.20）可写成

记

$$ \begin{array}{r}{\mathbf{D}=\left(\begin{matrix}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}c_{i1}}&&&\\ &{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}c_{i2}}&&&\\ &&{\ddots}&\\ &&&{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}c_{i n}}\\ \end{matrix}\right),\quad\mathbf{Z}=\left(\begin{matrix}{\mathfrak{Z}_{1}}\\ {\mathfrak{Z}_{2}}\\ {\vdots}\\ {\mathfrak{Z}_{n}}\\ \end{matrix}\right),}\\ \end{array} $$

于是式(4.20)，(4.21)的矩阵形式为

$$ X=D X+Z, $$

即

$$ (I-D)X=Z. $$

式(4.22)，(4.23)是投入产出模型之二，它揭示了经济系统的生产向量X、净产值向量Z与企业消耗矩阵D之间的关系.

由式(4.17)和式(4.20)可得 $ \sum_{i=1}^{n}\left[\left(\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_{j}\right)+d_{i}\right]=\sum_{j=1}^{n}\left[\left(\sum_{i=1}^{n}c_{ij}x_{j}\right)+z_{j}\right] $

$$ \sum_{i=1}^{n}d_{i}=\sum_{j=1}^{n}z_{j}. $$

式(4.24)表明，系统外部对各企业产值的需求量总和等于系统内部各企业净产值之总和.

习题4.4

1. 求下列齐次线性方程组的基础解系：

$$ (1)\{\begin{aligned}x_{1}+&x_{2}+2x_{3}-x_{4}=0,\\ 2x_{1}+&x_{2}+x_{3}-x_{4}=0,\\ 2x_{1}+2x_{2}+&x_{3}+4x_{4}=0;\end{aligned}.\quad(2)\{\begin{aligned}2x_{1}+3x_{2}-x_{3}+5x_{4}=0,\\ 3x_{1}+x_{2}+2x_{3}-7x_{4}=0,\\ 4x_{1}+x_{2}-3x_{3}+6x_{4}=0,\\ x_{1}-2x_{2}+4x_{3}-7x_{4}=0.\end{aligned}. $$

1. 当 $ \lambda $ 为何值时，齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}&(\lambda-2)x_{1}&-3x_{2}&-2x_{3}=0,\\ &-x_{1}+(\lambda-8)x_{2}&-2x_{3}=0,\\ &2x_{1}&+14x_{2}+(\lambda+3)x_{3}=0\end{aligned}. $$

有非零解？并求出它的通解.

1. 设 $ \xi_{1}, \xi_{2} $ 为某齐次线性方程组的基础解系，问 $ \xi_{1} + \xi_{2}, 2\xi_{1} - \xi_{2} $ 是否可构成该方程组的基础解系？为什么？

1. 设线性方程组 AX=0 只有零解，证明：对任意正整数 k， $ A^{k}X=0 $ 也只有零解.

1. 求下列非齐次线性方程组的通解：

(1)

$$ \{\begin{aligned}4x_{1}&+2x_{2}-x_{3}=2,\\ 3x_{1}-x_{2}&+2x_{3}=10,\\ 11x_{1}&-3x_{2}\quad=8;\end{aligned}. $$

（2）

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-x_{2}&+x_{4}=1,\\ 2x_{1}&+x_{3}=2,\\ 3x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}&=0;\end{aligned}. $$

(3)

$$ \{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-3x_{3}-x_{4}=1,\\3x_{1}-x_{2}-3x_{3}+4x_{4}=4,\\x_{1}+5x_{2}-9x_{3}-8x_{4}=0.\end{array}. $$

1. a, b 为何值时，方程组 $ \{\begin{array}{l}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-x_{4}=b,\\-x_{1}+x_{2}+4x_{4}=3-b,\\2x_{1}+3x_{2}+5x_{3}+ax_{4}=1\end{array}. $ 有解？有解时求出解.

1. 设

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}&\\ \hline{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}&{\vdots}\\{\vdots}&{\vdots}&&{\vdots}&{}\\a_{n1}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}&\\\end{array}\neq0, $$

问方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1,n-1}x_{n-1}&=a_{1n},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2,n-1}x_{n-1}&=a_{2n},\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{n,n-1}x_{n-1}&=a_{nn}\end{aligned}. $$

是否有解？

1. 试求下列方程组有解的充分必要条件：

$$ \begin{cases}x_{1}-x_{2}=a_{1},\\x_{2}-x_{3}=a_{2},\\\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\x_{n-1}-x_{n}=a_{n-1},\\x_{n}-x_{1}=a_{n}.\end{cases} $$

1. 设 $ \eta^{*} $ 是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解， $ \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n-r} $ 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：

(1) $ \eta^{*} $， $ \xi_{1} $， $ \xi_{2} $， $ \cdots $， $ \xi_{n-r} $线性无关；

(2) $ \eta^{*},\eta^{*}+\xi_{1},\eta^{*}+\xi_{2},\cdots,\eta^{*}+\xi_{n-r} $ 线性无关.

1. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3} $ 是它的三个解向量，且

$$ \boldsymbol{\eta}_{1}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}. $$

求该方程组的通解.

复习题四

1. 下列命题是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：

(1) $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} (m > 2) $ 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关；

(2) $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}(m>2) $ 线性相关的充要条件是有m-1个向量线性相关；

（3）若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 线性相关， $ \beta_{1}, \beta_{2} $ 线性相关，则有不全为零的数 $ k_{1} $ 和 $ k_{2} $，使 $ k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} = 0 $ 且 $ k_{1}\beta_{1} + k_{2}\beta_{2} = 0 $，从而使 $ k_{1}(\alpha_{1} + \beta_{1}) + k_{2}(\alpha_{2} + \beta_{2}) = 0 $，故 $ \alpha_{1} + \beta_{1}, \alpha_{2} + \beta_{2} $ 线性相关；

（4）若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，则 $ \alpha_{1}-\alpha_{2}, \alpha_{2}-\alpha_{3}, \alpha_{3}-\alpha_{1} $ 线性无关；

（5）若 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} $ 线性无关，则 $ \alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{3}+\alpha_{4},\alpha_{4}+\alpha_{1} $ 线性无关；

(6) 若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} (n > 2) $ 线性相关，则 $ \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2} + \alpha_{3}, \cdots, \alpha_{n-1} + \alpha_{n}, \alpha_{n} + \alpha_{1} $ 线性相关.

1. 对任意向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $，证明： $ \alpha_{1}-\alpha_{2}, \alpha_{2}-\alpha_{3}, \alpha_{3}-\alpha_{1} $ 线性相关.

1. 如果 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性相关，那么其中每一向量是否都可以是其余向量的线性组合？

1. 如果存在一组不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $，使 $ k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{m}\alpha_{m} \neq 0 $，那么 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 是否一定线性无关？

1. 对于平面或空间中的向量，线性相关与线性无关的概念有何几何意义？

1. 设 $ \alpha_{1}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{pmatrix},\alpha_{2}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{pmatrix},\alpha_{3}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3}\end{pmatrix} $，则平面上三条直线

$$ \begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0,\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0,&(a_{i}^{2}+b_{i}^{2}\neq0,i=1,2,3)\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0\end{cases} $$

交于一点的充要条件是什么？

1. 设 $ \gamma $ 是 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 的线性组合，而 $ \beta_{i} (i=1,2,\cdots,s) $ 又都是 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 的线性组合，证明： $ \gamma $ 必为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 的线性组合.

1. 设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性无关，向量组 $ \beta, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} (\beta \neq 0) $ 线性相关，则 $ \beta, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 中有且仅有一个向量 $ \alpha_{i} $ 可由其前面的向量线性表出.

1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 线性无关，

$$ \{\begin{aligned}\boldsymbol{\beta}_{1}&=a_{11}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{12}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{1s}\boldsymbol{\alpha}_{s},\\\boldsymbol{\beta}_{2}&=a_{21}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{22}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{2s}\boldsymbol{\alpha}_{s},\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\\boldsymbol{\beta}_{s}&=a_{s1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{s2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{ss}\boldsymbol{\alpha}_{s},\end{aligned}\quad\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1s}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2s}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{ss}\end{pmatrix},. $$

证明： $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s} $ 线性无关的充要条件是 $ \det A\neq0 $.

1. 设向量 $ \beta $ 可由向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 线性表出，但不能由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1} $ 线性表出.

证明：

(1) $ \alpha_{r} $ 不能由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r-1} $ 线性表出；

(2) $ \alpha_{r} $ 能由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r-1},\beta $ 线性表出.

1. 设 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-2,1,0,3) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-3,2,4) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,0,2,-1) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{4}=(2,-2,4,6) $，判定向量组 $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $， $ \alpha_{3} $， $ \alpha_{4} $ 的线性相关性。若线性相关，试将其中一个向量表示为其

余向量的线性组合.

1. 设 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(3,1,2,5) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,1,2) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,0,1,3) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,-1,0,1) $, $ \boldsymbol{\alpha}_{5}=(4,2,3,7) $, 求此向量组的一个最大无关组，并用它表示其余向量.

1. 已知 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,2,3) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,5) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,-1,a+2,1) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,2,4,a+8) $， $ \boldsymbol{\beta}=(1,1,b+3,5) $，问：

(1) a, b 为何值时， $ \beta $ 不能表示成 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 的线性组合？

(2) a, b 为何值时， $ \beta $ 可由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 惟一线性表示？并写出该表示式.

1. 判断下面两个向量组是否等价，并说明理由：

$$ \left(\mathrm{~I~}\right):\boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix},\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix};\quad\left(\mathrm{~II~}\right):\boldsymbol{\beta}_{1}=\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{\beta}_{2}=\begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{\beta}_{3}=\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}. $$

1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 为齐次方程组 AX=0 的基础解系， $ \beta_{1}=t_{1}\alpha_{1}+t_{2}\alpha_{2} $， $ \beta_{2}=t_{1}\alpha_{2}+t_{2}\alpha_{3}, \cdots, \beta_{s}=t_{1}\alpha_{s}+t_{2}\alpha_{1} $，其中 $ t_{1}, t_{2} $ 为常数。试问 $ t_{1}, t_{2} $ 满足什么条件时， $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 也为 AX=0 的一个基础解系。

1. 设 A 为 n 阶方阵，且 $ A^{2}-A=2I $，证明： $ R(2I-A)+R(I+A)=n $.

1. 设 $ \beta_{1}, \beta_{2} $ 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同的解， $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 是对应齐次线性方程组的基础解系， $ k_{1}, k_{2} $ 为任意常数，证明：方程组 AX=b 的通解为

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}(\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}). $$

1. 问 $ \lambda $ 为何值时，方程组 $ \{\begin{aligned}\lambda x_{1}-x_{2}-x_{3}=1,\\-x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=-\lambda,\\-x_{1}-x_{9}+\lambda x_{2}=\lambda^{2}\end{aligned}. $ 有解，并求出解的一般形式.

1. 设四元齐次线性方程组（Ⅰ） $ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=0,\\ x_{2}-x_{4}&=0,\end{aligned}. $ 又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为

$$ k_{1}(0,1,1,0)^{\mathrm{T}}+k_{2}(-1,2,2,1)^{\mathrm{T}}\quad(k_{1},k_{2}\in\mathbf{R}). $$

（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系：

(2) 问(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由.

1. 设 $ A $ 是 $ \mathbb{N} \times m $ 矩阵, $ B $ 是 $ m \times n $ 矩阵, $ n < m $, 若 $ AB = I $, 证明 $ B $ 的列向量组线性无关.

1. 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 $ A^{k}X=0 $ 有解向量 $ \alpha $，且 $ A^{k-1}\alpha\neq0 $. 证明：向量组 $ \alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha $ 线性无关.

1. 设有向量组（Ⅰ）： $ \alpha_{1}=(1,0,2) $， $ \alpha_{2}=(1,1,3) $， $ \alpha_{3}=(1,-1,a+2) $ 和向量组（Ⅱ）： $ \beta_{1}=(1,2,a+3) $， $ \beta_{2}=(2,1,a+6) $， $ \beta_{3}=(2,1,a+4) $。试问：a 为何值时，组（Ⅰ）与组（Ⅱ）等价？何时不等价？

1. 试讨论三个平面 $ \pi_{1} $: $ x - y + 2z + a = 0 $, $ \pi_{2} $: $ 2x + 3y - z - 1 = 0 $, $ \pi_{3} $: $ x - 6y + 6z + 10 = 0 $ 的相互位置关系.

1. 设矩阵 $ \begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix} $满秩，则直线 $ l_{1}:\frac{x-a_{3}}{a_{1}-a_{2}}=\frac{y-b_{3}}{b_{1}-b_{2}}=\frac{z-c_{3}}{c_{1}-c_{2}} $与直线 $ l_{2}:\frac{x-a_{1}}{a_{2}-a_{3}}=\frac{y-b_{1}}{b_{2}-b_{3}}=\frac{z-c_{1}}{c_{2}-c_{3}} $的位置关系是何种情况？

1. 若向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，则 $ \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2} + \alpha_{3}, \alpha_{3} + \alpha_{1} $ 线性无关。问：其逆是否成立？为什么？

1. 设向量 $ \beta $ 可以由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性表出. 若 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，则表达式惟一. 问：其逆是否成立？为什么？

4.“两个同型矩阵等价的充要条件是它们的秩相等”和“两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等”这两个说法是否都是正确的？说明理由。

1. $ V=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\} $ 是否是 $ R^{3} $ 的子空间？若是，求它的基和维数。

1. 齐次线性方程组 AX = 0 解向量的线性组合仍为 AX = 0 的解。试探讨：设 $ \eta_{1} $， $ \eta_{2} $，…， $ \eta_{t} $ 是非齐次线性方程组 AX = b 的解向量，那么 $ \eta_{1} $， $ \eta_{2} $，…， $ \eta_{t} $ 的线性组合是否也是 AX = b 的解？若不是，则成立的条件是什么？充要条件是什么？

知识点注释四

综合自测题四