第一章 矩阵及其初等变换

第一章 矩阵及其初等变换

在自然科学和工程技术中有大量的问题与矩阵这一数学概念有关，并且这些问题的研究常常反映为对矩阵的研究。甚至有些表面上完全没有联系的、性质完全不同的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。这就使矩阵成为数学中一个极其重要的、应用广泛的工具，因而也就成为代数、特别是线性代数的一个主要研究对象，尤其是随着计算机的广泛应用，矩阵知识已成为现代科技人员必备的数学基础。

重点难点

本章主要介绍矩阵的运算、解线性方程组的高斯消元法与矩阵的初等变换、逆矩阵和分块矩阵。

§1.1 矩阵及其运算

一、 矩阵的概念

在物资调运中，某类物资有3个产地、5个销地，它的调运方案可在表1.1中反映。

单位：t

如果我们用 $ a_{ij} $ (i=1,2,3; j=1,2,3,4,5) 表示从第 i 个产地运往第 j 个销地的运量（如 $ a_{12}=3, a_{24}=0, a_{35}=6 $），这样就能把调运方案表简写成一个 3 行 5 列的数表

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}0&3&4&7&5\\8&2&3&0&2\\5&4&0&6&6\end{matrix}\right|\end{aligned}. $$

用这种数表来表达某种状态或数量关系，在自然科学、技术科学以及实际生活中都是常见的。这种数表我们称为矩阵。

重难点分析

矩阵的概念

定义 1 由 $ m \times n $ 个数排成的 m 行 n 列数表

$$ \begin{aligned}&\{\begin{aligned}\\ &a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\&a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\&\vdots&\vdots&&\vdots\\&a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ &\end{aligned}.\\ \end{aligned} $$

称为一个 m 行 n 列矩阵，简称为 $ m \times n $ 矩阵，其中 $ a_{ij} $ 表示第 i 行第 j 列处的元（或称元素），i 称为 $ a_{ij} $ 的行指标，j 称为 $ a_{ij} $ 的列指标.

元是实数的矩阵称为实矩阵，元是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。

通常用大写黑体字母 A, B, … 或者 $ (a_{ij}) $, $ (b_{ij}) $, … 表示矩阵。若需指明矩阵的行数和列数，常写为 $ A_{m \times n} $ 或 $ A = (a_{ij})_{m \times n} $。

例如， $ A=\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&2&3\end{pmatrix} $为一个 $ 2\times3 $矩阵.

n元线性方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{aligned}. $$

的系数可以组成一个 m 行 n 列矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}, $$

称为方程组的系数矩阵；而系数及常数项可以组成一个 m 行 n + 1 列矩阵

$$ \overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{pmatrix}, $$

称为方程组的增广矩阵。我们将利用矩阵这一工具来研究线性方程组。

元全为零的矩阵称为零矩阵，记作 $ O_{m\times n} $或O.如

$$ \mathbf{O}_{2\times2}=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix},\quad\mathbf{O}_{2\times3}=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}. $$

当 m=n 时，称 A 为 n 阶矩阵（或 n 阶方阵）.

只有1行 $ (1 \times n) $或1列 $ (m \times 1) $的矩阵

$$ \left(a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\right),\left(\begin{aligned}&a_{11}\\ &a_{21}\\ &\vdots\\ &a_{m1}\end{aligned}\right) $$

分别称为行矩阵和列矩阵.

若方阵 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n} $ 的元 $ a_{ij}=0(i\neq j) $，则称 A 为对角矩阵， $ a_{ii}(i=1,2,\cdots,n) $ 称为 A 的对角元，记作 $ A=\mathrm{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}) $。例如，

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&5\end{pmatrix}=diag(-1,5) $$

为二阶对角矩阵.

对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为 $ I_{n} $，在不致混淆时也记为I，即

$$ I=diag(1,1,\cdots,1)=\begin{bmatrix}1&&&\\ &1&&\\ &&\ddots&\\ &&&1\end{bmatrix}. $$

形如

$$ \begin{pmatrix}{{{a_{11}}}}&{{{a_{12}}}}&{{{\cdots}}}&{{{a_{1n}}}} \\{{{0}}}&{{{a_{22}}}}&{{{\cdots}}}&{{{a_{2n}}}} \\{{{\vdots}}}&{{{\vdots}}}&{{{\vdots}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\cdots}}}&{{{a_{nn}}}}\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}{{{a_{11}}}}&{{{0}}}&{{{\cdots}}}&{{{0}}} \\{{{a_{21}}}}&{{{a_{22}}}}&{{{\cdots}}}&{{{0}}} \\{{{\vdots}}}&{{{\vdots}}}&{{{\vdots}}} \\{{{a_{n1}}}}&{{{a_{n2}}}}&{{{\cdots}}}&{{{a_{nn}}}}\end{pmatrix} $$

的矩阵分别称为上三角形矩阵和下三角形矩阵.

二、 矩阵的线性运算

矩阵是线性代数的基本运算对象之一，为了讨论矩阵的运算，我们首先给出矩阵相等的概念.

如果 A 和 B 都是 $ m \times n $ 矩阵，就称 A 和 B 为同型矩阵.

两个矩阵 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij}) $ 和 $ \boldsymbol{B}=(b_{ij}) $，如果它们为同型矩阵，且对应元相等，即

$$ a_{ij}=b_{ij}\quad(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n), $$

就称 A 和 B 相等，记为 A=B.

例如，

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0&x&-1\\3&4&y\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}z&3&-1\\3&4&2\end{pmatrix}, $$

如果 A=B，则立即得 x=3, y=2, z=0.

现在我们介绍矩阵的加法运算及矩阵与数的乘积.

设有两种物资(单位:t)，要从三个产地运往四个销地，其调运方案分别为矩阵A和B：

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}{{{30}}}&{{{25}}}&{{{17}}}&{{{0}}} \\{{{20}}}&{{{0}}}&{{{14}}}&{{{23}}} \\{{{0}}}&{{{20}}}&{{{20}}}&{{{30}}}\end{pmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{pmatrix}{{{10}}}&{{{15}}}&{{{13}}}&{{{30}}} \\{{{0}}}&{{{40}}}&{{{16}}}&{{{17}}} \\{{{50}}}&{{{10}}}&{{{0}}}&{{{10}}}\end{pmatrix}, $$

那么，从各产地运往各销地两种物资的总运量是 A 与 B 的和，即

$$ \mathbf{A}+\mathbf{B}=\begin{pmatrix}40&40&30&30\\20&40&30&40\\50&30&20&40\end{pmatrix}. $$

定义 2（矩阵的加法） 设矩阵

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\quad 与 \quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

是两个 $ m \times n $ 矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的 $ m \times n $ 矩阵

$$ \mathbf{C}=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}, $$

则称矩阵 C 是矩阵 A 与 B 的和，记为 C=A+B.

值得注意的是，只有同型矩阵才能相加，且同型矩阵之和仍为同型矩阵。如

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, $$

A 与 B 不能相加.

设矩阵 $ A=(a_{ij}) $，若把它的每一元换为其相反数得到的矩阵

$$ \begin{bmatrix}-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\-a_{21}&-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\-a_{m1}&-a_{m2}&\cdots&-a_{mn}\end{bmatrix} $$

称为 A 的负矩阵，记为一 A. 显然有

$$ \boldsymbol{A}+(-\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}. $$

利用矩阵的加法与负矩阵的概念，我们可以定义两个 $ m \times n $ 矩阵 A 与 B 的差，即矩阵的减法：

$$ \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+(-\boldsymbol{B}) $$

就是把 A 与 B 的对应元相减.

显然，A-B=O 与 A=B 等价.

下面介绍矩阵与数的乘积.

设从某三个地区分别到另两个地区的距离（单位：km）可用下列 $ 3 \times 2 $ 的矩阵表示为

$$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}90&60\\ 120&70\\ 80&55\end{array}\right) 且。 $$

$$ 甲 \quad 乙 $$

已知货物的运费为2元/（吨·千米），那么，各地区之间每吨货物的运费只要将A中每一元都乘以2，即得

$$ \begin{pmatrix}180&120\\240&140\\160&110\end{pmatrix}\begin{array}{l}I\\ II.\\ III\end{array} $$

$$ 甲 \quad 乙 $$

矩阵与数的乘积的定义如下：

定义 3（矩阵的数乘） 设 $ A=(a_{ij})_{m\times n} $ 是一个 $ m\times n $ 矩阵，k 是一个数，则称矩阵

$$ \{{\begin{array}{ccccc} {k a}_{11}&{k a}_{12}&{\cdots}&{k a}_{1n} \\ {k a}_{21}&{k a}_{22}&{\cdots}&{k a}_{2n} \\ {\vdots}&{\vdots}&{⋰}&{\vdots} \\ {k a}_{m1}&{k a}_{m2}&{\cdots}&{k a}_{mn} \end{array}}] $$

为矩阵 A 与数 k 的乘积（简称矩阵的数乘），记为 kA.

矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算.

也就是说，用数 k 乘矩阵 A 就是将 A 中的每一元都乘以 k。

容易证明，设 A, B, C 为同型矩阵，k, l 为数，那么矩阵的线性运算满足下列八条性质：

$$ \begin{aligned}1^{\circ}\quad A+B&=B+A\text{；}\end{aligned} $$

$$ (A+B)+C=A+(B+C); $$

$$ 3^{\circ}\quad A+O=A; $$

$$ 4^{\circ}\quad\mathbf{A}+(-\mathbf{A})=\mathbf{O}; $$

$$ 5^{\circ}\quad1\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}; $$

$$ \begin{array}{r l}{6^{\circ}}&{{}k\left(l\mathbf{A}\right)=(k l)\mathbf{A};}\end{array} $$

$$ k\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)=k\mathbf{A}+k\mathbf{B}; $$

$$ 8^{\circ}(k+l)\mathbf{A}=k\mathbf{A}+l\mathbf{A}. $$

例1 设矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}3&-1&\quad2\\1&\quad5&\quad7\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}7&\quad5&-4\\5&\quad1&\quad9\end{pmatrix}, $$

且 $ A+2X=B $，求矩阵X.

解 由 $ A+2X=B $ 得

$$ \boldsymbol{X}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A})=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}7-3&5-(-1)&-4-2\\5-1&1-5&9-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3&-3\\2&-2&1\end{pmatrix}. $$

三、 矩阵的乘法

设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的计算机，月产量（单位：台）为

$$ \begin{aligned}I&\quad\mathrm{II}\quad\mathrm{III}\\ \left\lbrace25\quad20\quad18\right\rbrace& 甲 \\ \left\lbrace24\quad16\quad27\right\rbrace& 乙 \end{aligned} $$

如果生产这三种型号的计算机每台的利润（单位：万元/台）为

$$ \begin{pmatrix}0.5\\ 0.2\\ 0.7\end{pmatrix}\begin{array}{l}I\\ II\\ III\end{array}, $$

则这两家公司的月利润（单位：万元）应为

$$ \{\begin{aligned}25\times0.5+20\times0.2+18\times0.7\\ 24\times0.5+16\times0.2+27\times0.7\end{aligned}\}=\{\begin{aligned}29.1\\ 34.1\end{aligned}\} 甲 . $$

可见，甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司每月的利润为34.1万元。

矩阵的乘法的定义如下：

定义4 设 $ m \times p $ 矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times p} $， $ p \times n $ 矩阵 $ \boldsymbol{B} = (b_{ij})_{p \times n} $，则由元

$$ \begin{align*}c_{ij}=&a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}\\&(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)\end{align*} $$

构成的 $ m \times n $ 矩阵 $ C = (c_{ij})_{m \times n} $ 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB.

由定义可知：

（1）A 的列数必须等于 B 的行数，A 与 B 才能相乘；

（2）乘积 C 的行数等于 A 的行数，C 的列数等于 B 的列数；

（3）乘积 C 中第 i 行第 j 列元 $ c_{ij} $ 等于 A 的第 i 行元与 B 的第 j 列元对应乘积之和，即

$$ c_{i j}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{i p}b_{p j}. $$

例2 设 $ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix} $， $ B=\begin{pmatrix}1&3\\3&1\\2&2\end{pmatrix} $， $ D=\begin{pmatrix}1&0\\3&2\end{pmatrix} $，求 AB,AD.

解

$$ \begin{align*}\boldsymbol{AB}=\begin{pmatrix}1\times1+2\times3+3\times2&1\times3+2\times1+3\times2\\3\times1+2\times3+1\times2&3\times3+2\times1+1\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&11\\11&13\end{pmatrix}.\end{align*} $$

AD 无意义.

例3 对于线性方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{aligned}. $$

若令矩阵

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

则

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}&=\begin{bmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{pmatrix}=\boldsymbol{b}.\end{aligned} $$

即方程组(1.1)可表为如下矩阵形式：

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}. $$

矩阵乘法满足下列运算规律：

$ 1^{\circ} $ 结合律 (AB)C=A(BC);

$ 2^{\circ} $ 数乘结合律 $ k(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=(k\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(k\boldsymbol{B}),k $ 为数；

$ 3^{\circ} $ 分配律 $ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{C} $,

$$ (\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}. $$

这里只证明结合律，其他两条请读者自证。

设 A 是 $ m \times n $ 矩阵，B 是 $ n \times p $ 矩阵，C 是 $ p \times s $ 矩阵，则 AB 是 $ m \times p $ 矩阵，BC 是 $ n \times s $ 矩阵，故 (AB)C 与 A(BC) 都是 $ m \times s $ 矩阵，因而是同型矩阵。

现在比较它们的对应元.

矩阵(AB)C的第i行第j列元为

$$ \begin{align*}\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}\right)c_{kj}=\sum_{k=1}^{p}\sum_{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}c_{kj}.\end{align*} $$

矩阵 A（BC）的第 i 行第 j 列元为

$$ \sum_{l=1}^{n}a_{il}\left(\sum_{k=1}^{p}b_{lk}c_{kj}\right)=\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}a_{il}b_{lk}c_{kj}=\sum_{k=1}^{p}\sum_{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}c_{kj}. $$

上式成立是由于双重有限项求和符号可以交换次序，所以(AB)C 与 A(BC) 的对应元相等，故有

$$ (AB)C=A(BC). $$

例4 设 $ A=\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix} $， $ B=\begin{pmatrix}1&-1\\ -1&1\end{pmatrix} $，求 AB 和 BA.

解 显然

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&2\\ -2&-2\end{pmatrix}. $$

在例4中，我们已经看出矩阵乘法一般不满足交换律，即一般

$$ AB\neq BA. $$

当 $ AB \neq BA $时，称A与B不可交换；当AB = BA时，称A与B可交换.

从例4还可见，A，B都是非零矩阵，但AB=O.由此可知，矩阵的乘法不满足消去律，即 $ A\neq0 $时，由AB=AC不能推出B=C.事实上，由

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{C}\right)=\boldsymbol{O} $$

不能推出B-C=O.

矩阵乘法一般不满足交换律，但是，容易得到如下常用结果：

$$ \mathbf{I}_{m}\mathbf{A}_{m\times n}=\mathbf{A}_{m\times n},\quad\mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{I}_{n}=\mathbf{A}_{m\times n}. $$

可见，单位矩阵在矩阵乘法中的作用与数1在数的乘法中的作用类似。

我们称

$$ k\mathbf{I}=\mathrm{diag}(k,k,\cdots,k)=\begin{bmatrix}k&&&\\&k&&\\&&\ddots&\\&&&k\end{bmatrix}\quad(k\neq0) $$

为数量矩阵.

n 阶数量矩阵 kI 与任意 n 阶矩阵 A 也是可交换的.这是因为

$$ \left(k\mathbf{I}\right)\mathbf{A}=k\left(\mathbf{I}\mathbf{A}\right)=k\mathbf{A},\mathbf{A}\left(k\mathbf{I}\right)=k\left(\mathbf{A}\mathbf{I}\right)=k\mathbf{A}. $$

我们还可定义方阵的幂和方阵的多项式.

定义 5 设 A 是 n 阶方阵，k 为正整数，定义

$$ \{\begin{aligned}\boldsymbol{A}^{1}&=\boldsymbol{A},\\ \boldsymbol{A}^{k+1}&=\boldsymbol{A}^{k}\boldsymbol{A},\quad k=1,2,\cdots.\end{aligned}. $$

由定义可以证明：当 m, k 为正整数时，

$$ \mathbf{A}^{m}\mathbf{A}^{k}=\mathbf{A}^{m+k}, $$

$$ (A^{m})^{k}=A^{mk}. $$

但需注意，一般

$$ \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right)^{k}\neq\boldsymbol{A}^{k}\boldsymbol{B}^{k}. $$

当AB=BA时， $ (AB)^{k}=A^{k}B^{k}=B^{k}A^{k} $，但其逆不真.

定义 6 设 $ f(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0} $ 是 x 的 k 次多项式，A 是 n 阶方阵，则

$$ f\left(\mathbf{A}\right)=a_{k}\mathbf{A}^{k}+a_{k-1}\mathbf{A}^{k-1}+\cdots+a_{1}\mathbf{A}+a_{0}\mathbf{I} $$

称为方阵A的k次多项式.

由定义容易证明：若 $ f(x) $， $ g(x) $ 为多项式，A，B 均为 n 阶方阵，则

$$ f\left(\boldsymbol{A}\right)g\left(\boldsymbol{A}\right)=g\left(\boldsymbol{A}\right)f\left(\boldsymbol{A}\right). $$

例如

$$ (\mathbf{A}+3\mathbf{I})(2\mathbf{A}-\mathbf{I})=(2\mathbf{A}-\mathbf{I})(\mathbf{A}+3\mathbf{I})=2\mathbf{A}^{2}+5\mathbf{A}-3\mathbf{I}. $$

但是一般情况下

$$ f\left(\boldsymbol{A}\right)g\left(\boldsymbol{B}\right)\neq g\left(\boldsymbol{B}\right)f\left(\boldsymbol{A}\right). $$

这里要注意，一般来说

$$ \begin{aligned}&(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}\neq\boldsymbol{A}^{2}+2\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2},\\&(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})\neq(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\neq\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2},\end{aligned} $$

等等.但是,由于AI=IA,因而

$$ \begin{aligned}&\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}+\boldsymbol{I}^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I},\\&\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I}\right)\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{I}\right)=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{I}^{2}=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{I},\\ \end{aligned} $$

等等.

由于数量矩阵 $ \lambda I $与任意方阵可交换，下式可按二项式定理展开

$$ (\mathbf{A}+\lambda\mathbf{I})^{n}=\mathbf{A}^{n}+\mathbf{C}_{n}^{1}\lambda\mathbf{A}^{n-1}+\mathbf{C}_{n}^{2}\lambda^{2}\mathbf{A}^{n-2}+\cdots+\mathbf{C}_{n}^{n-1}\lambda^{n-1}\mathbf{A}+\lambda^{n}\mathbf{I}. $$

例 5 求与 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ 可交换的矩阵 B.

解 设 $ B=\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix} $，则

$$ \mathbf{A}\mathbf{B}=\left[\begin{matrix}{a_{1}+b_{1}}&{a_{2}+b_{2}}&{a_{3}+b_{3}}\\ {b_{1}}&{b_{2}}&{b_{3}}\\ {c_{1}}&{c_{2}}&{c_{3}}\\ \end{matrix}\right],\quad\mathbf{B}\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}{a_{1}}&{a_{1}+a_{2}}&{a_{3}}\\ {b_{1}}&{b_{1}+b_{2}}&{b_{3}}\\ {c_{1}}&{c_{1}+c_{2}}&{c_{3}}\\ \end{matrix}\right]. $$

由AB=BA得

$$ a_{1}+b_{1}=a_{1},a_{2}+b_{2}=a_{1}+a_{2},a_{3}+b_{3}=a_{3}, $$

$$ b_{1}=b_{1},\quad b_{2}=b_{1}+b_{2},\quad b_{3}=b_{3}, $$

$$ c_{1}=c_{1},\quad c_{2}=c_{1}+c_{2},\quad c_{3}=c_{3}. $$

所以 $ b_{1}=b_{3}=0, c_{1}=0, b_{2}=a_{1} $，于是与 A 可交换的矩阵

$$ \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&a_{1}&0\\0&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}, $$

其中 $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, c_{2}, c_{3} $ 为任意数.

例6 设

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&a\\0&0&1\end{pmatrix}, $$

求 $ A^{n} $ (n为正整数).

解

$$ \mathbf{A}^{2}=\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&a\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&a\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2a&a^{2}+2b\\0&1&2a\\0&0&1\end{pmatrix}, $$

$$ \mathbf{A}^{3}=\left[\begin{matrix}{1}&{2a}&{a^{2}+2b}\\ {0}&{1}&{2a}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{1}&{a}&{b}\\ {0}&{1}&{a}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{1}&{3a}&{(1+2)a^{2}+3b}\\ {0}&{1}&{3a}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{matrix}\right], $$

设

$$ \begin{align*}\boldsymbol{A}^k=\begin{bmatrix}1&ka&{[1+2+\cdots+(k-1)]a^2+kb\\0&1&ka\\0&0&1\end{bmatrix}\end{align*} }$$

成立，有

$$ \mathbf{A}^{k+1}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{ka}}}&{{{\left[1+2+\cdots+(k-1)\right]a^{2}+kb}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{ka}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{a}}}&{{{b}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{a}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix} $$

$$ =\left[\begin{matrix}{1}&{(k+1)a}&{(1+2+\cdots+k)a^{2}+(k+1)b}\\ {0}&{1}&{(k+1)a}\\ {0}&{0}&{1}\\ \end{matrix}\right]. $$

由数学归纳法知

$$ \mathbf{A}^{n}=\begin{pmatrix}1&na&[1+2+\cdots+(n-1)]a^{2}+nb\\0&1&na\\0&0&1\end{pmatrix}. $$

n 个变量 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $ 与 m 个变量 $ y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m} $ 之间的关系式

$$ \{\begin{aligned}y_{1}&=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n},\\ y_{2}&=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ y_{m}&=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}\end{aligned}. $$

称为从变量 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $ 到变量 $ y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m} $ 的线性变换，其中 $ a_{ij} $ 为常数。可以看出，上述变换可写为

$$ Y=A X, $$

其中

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{Y}=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots\\y_{m}\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

当 A=I 时，Y=AX=X 为恒等变换.

例7 在平面直角坐标系中，线性变换

$$ \begin{pmatrix}x^{\prime}\\ y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} $$

是将点 $ (x,y) $逆时针旋转 $ \theta $角得到新点 $ (x^{\prime},y^{\prime}) $的旋转变换.

应用实例：职工轮训

实例 某公司为了实现技术更新，计划对职工实行分批脱产轮训。现有职工中不脱产职工8000人，脱产轮训职工2000人。若每年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训，同时又有60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，若职工总数保持不变，一年后不脱产职工及脱产轮训职工各有多少？两年后又怎样？

解令

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}0.70&0.60\\ 0.30&0.40\end{pmatrix},\quad\mathbf{X}=\begin{pmatrix}8\ 000\\ 2\ 000\end{pmatrix}, $$

则一年后不脱产职工及脱产轮训职工人数可用 AX 表示：

$$ \mathbf{A}\mathbf{X}=\begin{pmatrix}0.70&0.60\\ 0.30&0.40\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8\ 000\\ 2\ 000\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\ 800\\ 3\ 200\end{pmatrix}. $$

两年后不脱产职工及脱产轮训职工人数可用 $ A^{2}X $表示：

$$ \boldsymbol{A}^{2}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}\right)=\left(\begin{aligned}&0.70&0.60\\ &0.30&0.40\end{aligned}\right)\left(\begin{aligned}&6\ 800\\ &3\ 200\end{aligned}\right)=\left(\begin{aligned}&6\ 680\\ &3\ 320\end{aligned}\right), $$

故两年后脱产轮训职工人数约占不脱产职工人数的一半。

四、 矩阵的转置

把一个矩阵 A 的行列互换，所得到的矩阵称为 A 的转置，记为 $ A^{T} $. 确切的定义如下：

定义7 设

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}, $$

则称

$$ \mathbf{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix} $$

为 A 的转置

显然， $ m \times n $ 矩阵的转置是 $ n \times m $ 矩阵.

矩阵的转置满足以下规律：

$$ 1^{\circ}\quad(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=\mathbf{A}； $$

$$ 2^{\circ}\quad(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} $$

$ 3^{\circ} $ $ (kA)^{\mathrm{T}}=kA^{\mathrm{T}}, k $ 为数；

$$ \begin{array}{r l}{4^{\circ}}&{{}(\mathbf{A}\mathbf{B})^{\mathrm{T}}=\mathbf{B}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}^{\mathrm{T}}.}\end{array} $$

$ 1^{\circ},2^{\circ},3^{\circ} $ 都容易证明.下面证明 $ 4^{\circ} $.设 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n},\boldsymbol{B}=(b_{ij})_{n\times s} $.因为AB是 $ m\times s $矩阵,所以 $ (\boldsymbol{AB})^{\mathrm{T}} $是 $ s\times m $矩阵,而 $ B^{T} $是 $ s\times n $矩阵, $ A^{T} $是 $ n\times m $矩阵,所以 $ B^{T}A^{T} $是 $ s\times m $矩阵,故 $ (\boldsymbol{AB})^{\mathrm{T}} $与 $ B^{T}A^{T} $是同型矩阵.

现比较它们的对应元. $ (AB)^{\top} $ 的第 i 行第 j 列元，也就是 AB 的第 j 行第 i 列元，即为

$$ \sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}. $$

另一方面， $ B^{T} $ 的第 i 行第 k 列元是 $ b_{ki} $， $ A^{T} $ 的第 k 行第 j 列元是 $ a_{jk} $，因此， $ B^{T}A^{T} $ 的第 i 行第 j 列元为

$$ \sum_{k=1}^{n}b_{ki}a_{jk}=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}, $$

从而 $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}} $与 $ \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} $的对应元相等，故有 $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} $

例8 设

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&1&3\\1&2&1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\\1&-1\end{pmatrix}, $$

求 $ A^{T} $， $ B^{T} $，AB， $ B^{T}A^{T} $

解

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{3}}}&{{{1}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{-1}}}\end{pmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&1&3\\1&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\2&2\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-3\\5&-1\\8&4\end{pmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}{{{3}}}&{{{5}}}&{{{8}}} \\{{{-3}}}&{{{-1}}}&{{{4}}}\end{pmatrix}. $$

例 9 证明： $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} $

证 $ (ABC)^{\mathrm{T}} = [(AB)C]^{\mathrm{T}} = C^{\mathrm{T}}(AB)^{\mathrm{T}} = C^{\mathrm{T}}B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}} $.

对于有限多个矩阵乘积的转置，用数学归纳法容易证明：

$$ (\mathbf{A}_{1}\mathbf{A}_{2}\cdots\mathbf{A}_{k})^{\mathrm{T}}=\mathbf{A}_{k}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}_{k-1}^{\mathrm{T}}\cdots\mathbf{A}_{1}^{\mathrm{T}}. $$

定义8 若 $ A^{T}=A $，则称A为对称矩阵；若 $ A^{T}=-A $，则称A为反称矩阵.

显然，对称矩阵和反称矩阵都是方阵，对称矩阵A中的元之间有关系

$$ a_{i j}=a_{j i},\forall i,j. $$

反称矩阵A的元之间有关系

$$ a_{ii}=0,\quad a_{ij}=-a_{ji},\quad i\neq j. $$

例如， $ \begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix} $， $ \begin{pmatrix}1&0&3\\0&2&1\\3&1&4\end{pmatrix} $分别为反称矩阵和对称矩阵.

显然，数乘对称矩阵仍为对称矩阵；同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵。但是，对称矩阵的乘积未必是对称矩阵。

例如， $ \begin{pmatrix}0&-1\\-1&1\end{pmatrix} $ 和 $ \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} $ 均为对称矩阵，但

$$ \begin{pmatrix}0&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\0&0\end{pmatrix} $$

为非对称矩阵.

例 10 设 A 与 B 为两个 n 阶对称矩阵，证明：AB 为对称矩阵的充要条件是 AB = BA.

证 若 AB=BA，则 $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} $，即AB为对称矩阵.

反之，若 AB 为对称矩阵，即 $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} $，则 $ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} $，即 A 与 B 可交换.

容易证明，对任意矩阵 A， $ AA^{T} $ 和 $ A^{T}A $ 都是对称矩阵.

例 11 设 A, B 为同阶方阵，A 为反称矩阵，B 为对称矩阵，则 AB - BA 为对称矩阵.

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}&=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}-(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\\&=\boldsymbol{B}\left(-\boldsymbol{A}\right)-(-\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{A},\end{aligned} $$

即 AB-BA 为对称矩阵.

1. 设 $ A=\begin{pmatrix}5&-2&1\\ 3&4&-1\end{pmatrix} $， $ B=\begin{pmatrix}-3&2&0\\ -2&0&1\end{pmatrix} $，计算 A-B,2A+5B,3A-4B.

1. 求矩阵X：

$$ 2\left(\begin{matrix}{3}&{-1}&{1}\\ {-2}&{0}&{2}\\ \end{matrix}\right)-3\mathbf{X}+\left(\begin{matrix}{-2}&{-1}&{1}\\ {3}&{1}&{-1}\\ \end{matrix}\right)=\mathbf{O}. $$

1. 计算：

(1)

$$ \left(\begin{array}{r r r r}{3}&{-2}\\ {0}&{1}\\ {2}&{4}\\ {-1}&{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{r r r r}{2}&{1}&{-1}\\ {0}&{-1}&{2}\end{array}\right);\quad(2)(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\left(\begin{array}{r}{b_{1}}\\ {b_{2}}\\ {\vdots}\\ {b_{n}}\end{array}\right); $$

(3)

$$ \begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{pmatrix}(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}); $$

(4)

$$ \left(x_{1},x_{2}\right)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}; $$

（5）

$$ \begin{pmatrix}1&1&0\\1&-1&0\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-2&1\\-2&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&\frac{1}{2}\\1&-1&\frac{1}{2}\\0&0&1\end{pmatrix}. $$

1. A, B 皆为 n 阶方阵，问下列等式成立的条件是什么？

(1) $ (A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3} $;

(2） $ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}-(\boldsymbol{A}^{2}+2\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2})=\boldsymbol{O} $

1. 若 AB = BA, AC = CA，证明：A, B, C 是同阶矩阵，且

$$ \mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=(\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A},\quad\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})=(\mathbf{B}\mathbf{C})\mathbf{A}. $$

1. 计算(n 为正整数):

(1) $ \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}^{n} $; (2) $ \begin{pmatrix}a&1&0\\0&a&1\\0&0&a\end{pmatrix}^{n} $; (3) $ \begin{pmatrix}a&0&0\\0&-b&0\\0&0&c\end{pmatrix}^{n} $.

1. 求 $ \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}^{n} $，并对例7中的旋转变换说明此结果的几何意义.

1. 设 $ f(x)=x^{2}-x-1 $, $ A=\begin{pmatrix}3&1&1\\3&1&2\\1&-1&0\end{pmatrix} $，求 $ f(A) $.

1. 已知 $ \boldsymbol{\alpha}=(1,2,3) $, $ \boldsymbol{\beta}=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) $，且 $ A=\alpha^{T}\beta $，计算 $ A^{n} $.

1. 举反例说明下列命题是错误的：

（1）若 $ A^{2}=O $，则A=O；

(2) 若 $ A^{2}=A $，则 A=O 或 A=I；

(3) 若 $ AX = AY $，且 $ A \neq O $，则 X = Y.

1. 如果 A 是实对称矩阵，且 $ A^{2}=O $，证明：A=O.

1. 设 $ \boldsymbol{A} = \frac{1}{2} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{I}) $，证明： $ A^{2} = A $ 当且仅当 $ B^{2} = I $.

1. 设 X 是 $ n \times 1 $ 矩阵，且 $ X^{T}X=1 $，证明：S=I-2XX^{T} 是对称矩阵，且 S^{2}=I.

1. 利用等式

$$ \begin{pmatrix}17&-6\\35&-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\5&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-7&3\\5&-2\end{pmatrix}, $$

$$ \begin{pmatrix}{{{-7}}}&{{{3}}} \\{{{5}}}&{{{-2}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{5}}}&{{{7}}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}, $$

计算 $ \begin{pmatrix}17&-6\\35&-12\end{pmatrix}^{5} $

1. 求平方等于零矩阵的所有二阶矩阵.

1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换

在中学代数里，研究的中心问题之一是解方程，而其中最简单的便是线性（一次）方程及方程组。解线性方程组之所以重要，是因为一个复杂的实际问题往往可以简化或归结为一个线性方程组。

线性方程组在数学的许多分支（如微分方程、概率统计、计算方法）以及其他学科领域（如物理学、经济学、工程技术）中都有着广泛的应用。

实际问题提出的线性方程组往往是很复杂的，未知量的个数和方程的个数都很多。例如，水坝设计可以提出几十个，甚至几百个未知量和方程的线性方程组，数学物理问题中常常需要求解上万个甚至更多未知量的方程组，而且未知量的个数与方程的个数也不一定相等。

一般地，我们把有 n 个未知量 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $ 和 m 个方程的方程组写为

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{aligned}. $$

如果常数项 $ b_{i}(i=1,2,\cdots,m) $ 中至少有一个不为0，则称方程组为非齐次方程组；否则称为齐次方程组。满足方程组的一组数： $ x_{1}=c_{1},x_{2}=c_{2},\cdots,x_{n}=c_{n} $ 称为方程组的一个解。

对于一般线性方程组，我们要讨论的问题是：它在什么条件下有解？如果有解，有多少解？又如何求出其全部解？所谓解方程组，就是当方程组有解时求出它的全部解，当它无解时判明它无解。

一、 高斯消元法

在初等数学中，解二元、三元线性方程组用的是加减消元法和代入消元法。本节所讲的一般线性方程组的消元法，就是将中学所用的方法加以一般化和规范化。

我们先从一些例子来说明解线性方程组的消元法：

例1 解线性方程组

$$ \{\begin{aligned}3x_{1}-&x_{2}+5x_{3}=3,\\ x_{1}-&x_{2}+2x_{3}=1,\\ x_{1}-2x_{2}-&x_{3}=2.\end{aligned}. $$

解 将方程组中的第一个与第三个方程交换位置，得方程组：

$$ \{\begin{array}{l}x_{1}-2x_{2}-x_{3}=2,\\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}=1,\\ 3x_{1}-x_{2}+5x_{3}=3.\end{array}. $$

将方程组的第一个方程的 $ (-1) $倍加到第二个方程，然后将第一个方程的 $ (-3) $倍加到第三个方程，得方程组：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-2x_{2}-x_{3}&=&2,\\ x_{2}+3x_{3}&=-1,\\ 5x_{2}+8x_{3}&=-3.\end{aligned}. $$

再将方程组中第二个方程的 $ (-5) $倍加到第三个方程，得方程组：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-2x_{2}-x_{3}&=&2,\\ x_{2}+3x_{3}&=-1,\\ -7x_{3}&=&\quad2.\end{aligned}. $$

最后将方程组的第三个方程乘以 $ -\frac{1}{7} $，得方程组：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-2x_{2}-x_{3}&=&2,\\ x_{2}+3x_{3}&=&-1,\\ x_{3}&=-\frac{2}{7}.\end{aligned}. $$

这就是高斯消元过程.于是得方程组的惟一解为：

$$ \begin{cases}x_{1}=\dfrac{10}{7},\\x_{2}=-\dfrac{1}{7},\\x_{3}=-\dfrac{2}{7}.\end{cases} $$

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+3x_{2}+4x_{3}=-2,\\ 2x_{1}&+5x_{2}+9x_{3}=-3,\\ 3x_{1}&+7x_{2}+14x_{3}=-8,\\ &-x_{2}+x_{3}=-7.\end{aligned}. $$

解 将第一个方程的 $ (-2) $倍加到第二个方程，第一个方程的 $ (-3) $倍加到第三个方程，得方程组：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+3x_{2}+4x_{3}=-2,\\ &-x_{2}+x_{3}=7,\\ &-2x_{2}+2x_{3}=14,\\ &-x_{2}+x_{3}=7.\end{aligned}. $$

先将第二个方程乘以 $ (-1) $，再将第二个方程的2倍加到第三个方程，最后将第二个方程加到第四个方程，得方程组：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+3x_{2}+4x_{3}&=-2,\\ x_{2}-x_{3}&=-7,\\ 0&=0,\\ 0&=0.\end{aligned}. $$

即

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=&-2,\\ x_{2}-&x_{3}=-7.\end{aligned}. $$

为求方程组的解，将第二个方程改写为 $ x_{2}=x_{3}-7 $，再将它代入第一个方程，得 $ x_{1}=-7x_{3}+19 $。于是得

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=-7x_{3}+19,\\ x_{2}&=\quad x_{3}-7,\end{aligned}. $$

其中 $ x_{3} $ 可以任意取值.我们称 $ x_{3} $ 为自由未知量.由于 $ x_{3} $ 可以任意取值,所以方程组有无穷多个解.

例3 解线性方程组

解 将方程组的第一个方程的 $ (-3) $倍加到第二个方程，将第一个方程的 $ (-2) $倍加到第三个方程，得方程组：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&-2x_{2}+3x_{3}-x_{4}+2x_{5}=2,\\ 3x_{1}-x_{2}&+5x_{3}-3x_{4}-x_{5}=6,\\ 2x_{1}+x_{2}&+2x_{3}-2x_{4}-3x_{5}=8.\end{aligned}. $$

重难点分析

初等变换与

高斯消元法

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&-2x_{2}+3x_{3}-x_{4}+2x_{5}=2,\\ &5x_{2}-4x_{3}\quad&-7x_{5}=0,\\ &5x_{2}-4x_{3}\quad&-7x_{5}=4.\end{aligned}. $$

再将方程组的第二个方程的 $ (-1) $倍加到第三个方程，得方程组：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-x_{4}+2x_{5}&=2,\\ 5x_{2}-4x_{3}&-7x_{5}=0,\\ 0x_{5}&=4.\end{aligned}. $$

前面三个例子在解方程组的过程中，我们总要先通过一些变换，将方程组化为容易求解的同解方程组，这些变换可以归纳为以下三种变换：

$ 1^{\circ} $ 交换两个方程的位置；

因方程组的第三个方程无解，从而所给方程组无解。

$ 2^{\circ} $ 用一个非零数乘某一个方程；

$ 3^{\circ} $ 把一个方程的适当倍数加到另一个方程上去.

为了后面叙述方便，我们称这三种变换为线性方程组的初等变换.

高斯消元法的过程就是反复施行初等变换的过程，且总是将方程组变成同解方程组。

二、 矩阵的初等变换

在解线性方程组的过程中，我们已经看到，如果线性方程组各个方程的系数和常数项定了，那么这个线性方程组的解就完全确定了。至于一个方程组的未知量用什么符号是无关紧要的。

既然线性方程组由多个方程的未知量的系数与常数项完全决定，因此可将方程组

的系数与常数项用矩阵表示，整个消元过程都可在矩阵上进行。为此，我们比照线性方程组的初等变换引入矩阵的初等变换的概念。

定义1 矩阵的行（列）初等变换指对矩阵施以下列三种变换：

$ 1^{\circ} $ 交换两行（列）的位置；

$ 2^{\circ} $ 用一非零数乘某一行（列）的所有元；

把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一行（列）上去.

现在解线性方程组可用对增广矩阵施以行初等变换来代替，这样在书写上更方便。

为方便计算，用 $ r_i $ 表示矩阵的第 $ i $ 行，交换 $ i, j $ 两行，记为 $ r_i \leftrightarrow r_j $；数 $ k $ 乘以第 $ i $ 行，记为 $ kr_i $；数 $ k $ 乘以第 $ i $ 行加到第 $ j $ 行，记为 $ kr_i + r_j $。

现在我们对前面三个例子用矩阵的行初等变换来求解.

先解例1的方程组

$$ \{\begin{aligned}3x_{1}-&x_{2}+5x_{3}=3,\\ x_{1}-&x_{2}+2x_{3}=1,\\ x_{1}-2x_{2}-&x_{3}=2.\end{aligned}. $$

对增广矩阵施以行初等变换：

$$ \overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix}3&-1&5&3\\1&-1&2&1\\1&-2&-1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_{1}\leftrightarrow r_{3}}\begin{pmatrix}1&-2&-1&2\\1&-1&2&1\\3&-1&5&3\end{pmatrix} $$

$$ \xrightarrow[ -3r_{1}+r_{3}]{-r_{1}+r_{2}}\begin{pmatrix}1&-2&-1&\vdots&2\\ 0&1&3&-1\\ 0&5&8&-3\end{pmatrix}\xrightarrow{-5r_{2}+r_{3}}\begin{pmatrix}1&-2&-1&\vdots&2\\ 0&1&3&-1\\ 0&0&-7&\vdots&2\end{pmatrix} $$

$$ \xrightarrow{-\frac{1}{7}r_{3}}\begin{pmatrix}1&-2&-1&2\\0&1&3&-1\\0&0&1&-\frac{2}{7}\end{pmatrix}\xrightarrow{-r_{3}+r_{1}}\begin{vmatrix}1&-2&0&\frac{12}{7}\\0&1&0&-\frac{1}{7}\\0&0&1&-\frac{2}{7}\end{vmatrix} $$

$$ \begin{array}{rcl}\xrightarrow{2r_{2}+r_{1}}&\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}&\begin{array}{c}\frac{10}{7}\\-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}\end{array}.\end{array} $$

于是得原方程组的解为

$$ \begin{cases}x_{1}=\dfrac{10}{7},\\x_{2}=-\dfrac{1}{7},\\x_{3}=-\dfrac{2}{7}.\end{cases} $$

注意，最后两步初等变换我们使用了高斯消元法的改进方法——高斯-若尔当消元法，即在行阶梯形矩阵基础上进一步化为简化行阶梯形矩阵.

如果一个矩阵每个非零行的非零首元都出现在上一行非零首元的右边，同时没有一个非零行出现在零行之下，则称这种矩阵为行阶梯形矩阵。如果行阶梯形矩阵的每一个非零行的非零首元都是1，且非零首元所在列的其余元都为0，则称这种矩阵为简化行阶梯形矩阵。

例如下面两个矩阵都是行阶梯形矩阵：

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}\end{pmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{3}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}, $$

且A为简化行阶梯形矩阵，而B不是简化行阶梯形矩阵.

显然，用有限次行初等变换可以把任何矩阵化为一个简化行阶梯形矩阵，以后还会知道，所得到的简化行阶梯形矩阵是惟一的。于是，这就为用行初等变换将增广矩阵化简的过程提供了一个明确的目标。

再解例2的方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+3x_{2}+4x_{3}=-2,\\ 2x_{1}&+5x_{2}+9x_{3}=-3,\\ 3x_{1}&+7x_{2}+14x_{3}=-8,\\ &-x_{2}+x_{3}=-7.\end{aligned}. $$

对增广矩阵施以行初等变换：

$$ \overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix}1&3&4&-2\\2&5&9&3\\3&7&14&8\\0&-1&1&7\end{pmatrix}\xrightarrow{-2r_{1}+r_{2}}\begin{pmatrix}1&3&4&-2\\0&-1&1&7\\0&-2&2&14\\0&-1&1&7\end{pmatrix} $$

$$ \xrightarrow{(-1)r_{2}}\left[\begin{matrix}1&3&4&-2\\ 0&1&-1&-7\\ 0&-2&2&14\\ 0&-1&1&7\end{matrix}\right]\xrightarrow{2r_{2}+r_{3}}\left[\begin{matrix}1&3&4&-2\\ 0&1&-1&-7\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{matrix}\right] $$

$$ \xrightarrow{-3r_{2}+r_{1}}\begin{bmatrix}1&0&7&\vdots&19\\ 0&1&-1&\vdots&-7\\ 0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{bmatrix}, $$

与矩阵对应的方程组为

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+7x_{3}=19,\\ x_{2}-x_{3}&=-7,\end{aligned}. $$

令 $ x_{3}=k $（k为任意数），则方程组的通解为

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=-7k+19,\\ x_{2}&=\quad k-7,\\ x_{3}&=\quad k.\end{aligned}. $$

最后解例3的方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&-2x_{2}+3x_{3}-x_{4}+2x_{5}=2,\\ 3x_{1}-x_{2}&+5x_{3}-3x_{4}-x_{5}=6,\\ 2x_{1}+x_{2}&+2x_{3}-2x_{4}-3x_{5}=8.\end{aligned}. $$

对增广矩阵施以行初等变换：

$$ \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{A}}=&\begin{pmatrix}1&-2&3&-1&2&\vdots2\\3&-1&5&-3&-1&6\\2&1&2&-2&-3&\vdots8\end{pmatrix}\xrightarrow{-3r_{1}+r_{2}}\begin{pmatrix}1&-2&3&-1&2&\vdots2\\0&5&-4&0&-7&\vdots0\\0&5&-4&0&-7&\vdots4\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{-r_{2}+r_{3}}\begin{pmatrix}1&-2&3&-1&2&\vdots2\\0&5&-4&0&-7&\vdots0\\0&0&0&0&0&\vdots4\end{pmatrix},\end{aligned} $$

与矩阵对应的方程组为

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-x_{4}+2x_{5}&=2,\\ 5x_{2}-4x_{3}&-7x_{5}=0,\\ 0x_{5}&=4,\end{aligned}. $$

由第三个方程知方程组无解.

从上面的三个例子可见，对于一般的线性方程组 AX=b，通过消元步骤，即对增广矩阵作三种行初等变换，可将其化为简化行阶梯形矩阵。为了便于作一般的讨论，不妨假设 $ \overline{A}=(A,b) $ 化为如下的简化行阶梯形矩阵：

$$ \bar{A}=(A,b)\rightarrow\left(\begin{array}{c c c c c c c|c}{c_{11}}&{0}&{\cdots}&{0}&{c_{1,r+1}}&{\cdots}&{c_{1n}}&{d_{1}}\\ {0}&{c_{22}}&{\cdots}&{0}&{c_{2,r+1}}&{\cdots}&{c_{2n}}&{d_{2}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{\cdots}&{c_{r r}}&{c_{r,r+1}}&{\cdots}&{c_{r n}}&{d_{r}}\\ {0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{d_{r+1}}\\ {0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}\\ \end{array}\right), $$

其中 $ c_{ii}=1(i=1,2,\cdots,r) $

与这个矩阵对应的非齐次线性方程组与 AX = b 是同解方程组。由矩阵易见，方程组有解的充分必要条件是 $ d_{r+1} = 0 $。因为当 $ d_{r+1} \neq 0 $ 时，式(1.2)中第 $ r+1 $ 行对应的方程

$$ 0x_{1}+0x_{2}+\cdots+0x_{n}=d_{r+1} $$

是无解的.

当 $ d_{r+1}=0 $时，即在有解的情况下，又分两种情况：

（1）当r=n时，有惟一解

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=d_{1},\\x_{2}&=d_{2},\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\\x_{n}&=d_{n};\end{aligned}. $$

(2) 当 r < n 时，有无穷多个解，求解时，把矩阵中每行第一个非零元 $ c_{ii} (i=1,2,\cdots,r) $ 所在列对应的未知量（这里是 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r} $ ）取为基本未知量，其余未知量（这里是 $ x_{r+1}, x_{r+2}, \cdots, x_{n} $ ）取为自由未知量，然后将 n - r 个自由未知量依次取任意常数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n-r} $ ，即可解得 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r} $，从而得到方程组的全部解.

将上述结果总结为如下定理：

定理1 设 n 元非齐次线性方程组 AX = b，对它的增广矩阵施以行初等变换，得到简化行阶梯形矩阵(1.2)，若 $ d_{r+1} \neq 0 $，则方程组无解；若 $ d_{r+1} = 0 $，则方程组有解，而且当 r = n 时有唯一解，当 r < n 时有无穷多解。

用不同的消元步骤，将增广矩阵化为阶梯形矩阵时，阶梯形矩阵的形式不是惟一的，但阶梯形矩阵的非零行的行数是惟一确定的。当方程组有解时，表明解中任意常数的个数是相同的，但解的表示式不是惟一的，然而每一种解的表示式中，包含的无穷多个解的集合又是相等的。这些重要的结论，在第四章研究了向量组的线性相关性理论后才能给以严格的论证。

关于齐次线性方程组 AX=0，我们知道它总有平凡解（零解）

$$ x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=0。 $$

当 $ r

是有如下定理：

定理2 设 m 个 n 元方程组成的齐次线性方程组 AX=0，若 m<n，则方程组必有非零解.

最后需要指出：初等变换是可逆变换。初等变换和它的逆变换对比如表1.2所示：

如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价，记作 $ A \cong B $。若使用的是行（列）初等变换，则称 A 与 B 行（列）等价。

不难证明：矩阵的等价关系具有：

（1）反身性 $ A \cong A $；

（2）对称性 若 $ A \cong B $，则 $ B \cong A $；

（3）传递性 若 $ A \cong B, B \cong C $，则 $ A \cong C $.

三、 初等矩阵

初等变换在矩阵理论中具有十分重要的作用。根据矩阵乘法运算的特定涵义，我们可以把矩阵的初等变换表示为矩阵的乘法运算。先看几个矩阵的乘法运算。

设 $ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3n}\end{pmatrix} $，则

$$ \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3n}\end{pmatrix}, $$

$$ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&c&0\\0&\overline{0}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ca_{21}&ca_{22}&\cdots&ca_{2n}\\a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3n}\end{pmatrix}, $$

$$ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\c&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ca_{11}+a_{31}&ca_{12}+a_{32}&\cdots&ca_{1n}+a_{3n}\end{pmatrix}. $$

由此可见，上面左边三个三阶矩阵左乘A，分别使A作了三种行初等变换（第1，2行交换；A的第2行乘c；第1行乘c加到第3行）。这三个三阶矩阵本身又是单位矩阵作同样的行初等变换（即对A所作的三种行初等变换）而得到的，它们称为初等矩阵。上面三个式子表明A的行初等变换可以表示成相应的初等矩阵左乘A的运算。

下面给出初等矩阵的一般定义，并讨论矩阵的行（列）初等变换如何表示为矩阵与初等矩阵的乘法运算.

定义2 将单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.

对应于三种初等变换有三种类型的初等矩阵.

$$ 1^{\circ}\quad E_{ij}=\begin{bmatrix}1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&1&&&&\\ &&&0&\cdots&1&\\ &&&1&&&\\ &&&\vdots&\ddots&\vdots&\\ &&&1&&&\\ &&1&\cdots&0&&\\ &&&&&1&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&1\end{bmatrix}\quad 第 i 行 \quad\cdot\\ 第 j 行 $$

$ E_{ij} $ 是由单位矩阵第 i, j 行（或列）交换而得到的.

$$ 2^{\circ}\quad\boldsymbol{E}_{i}(c)=\{\begin{aligned}&1\quad&&\\ &\quad\ddots\quad&&\\ &\quad1\quad&&\\ &&c\quad&&\\ &&\quad1\quad&\\ &&\quad\ddots\quad&\\ &&\quad1\quad&\end{aligned}\} 第 i 行 , $$

其中 $ c \neq 0 $， $ E_{i}(c) $ 是由单位矩阵第 i 行（或列）乘 c 而得到的.

$$ \begin{aligned}&3^{\circ}\quad\boldsymbol{E}_{ij}\left(c\right)=\left|\begin{matrix}1&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&1&&&&\\ &&\vdots&\ddots&&&\\ &&c&\cdots&1&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&1\end{matrix}\right| 第 i 行 \\ &\quad j 行 \\ \end{aligned} $$

$ E_{ij} $ (c) 是由单位矩阵第 i 行乘 c 加到第 j 行而得到的，或由第 j 列乘 c 加到第 i 列而得到的.

由矩阵乘法定义立即可得如下定理：

定理3 对一个 $ m \times n $ 矩阵A 作一次行初等变换就相当于在A的左边乘上相应的 $ m \times m $ 初等矩阵；对A作一次列初等变换就相当于在A的右边乘上相应的 $ n \times n $ 初等矩阵.

如果矩阵 B 是由 A 经过有限次行初等变换得到的，则必存在有限个初等矩阵 $ E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{k} $，使得

$$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}_{k}\boldsymbol{E}_{k-1}\cdots\boldsymbol{E}_{1}\boldsymbol{A}. $$

如果矩阵 B 是由 A 经过有限次列初等变换得到的，则必存在有限个初等矩阵 $ E_{1}^{\prime} $， $ E_{2}^{\prime} $，…， $ E_{s}^{\prime} $，使得

$$ \mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{E}_{1}^{\prime}\mathbf{E}_{2}^{\prime}\cdots\mathbf{E}_{s}^{\prime}. $$

如果矩阵 B 是由 A 经过有限次初等变换得到的，则必存在有限个初等矩阵 $ P_{1} $， $ P_{2} $，…， $ P_{k} $ 与 $ Q_{1} $， $ Q_{2} $，…， $ Q_{l} $，使得

$$ \mathbf{B}=\mathbf{P}_{k}\mathbf{P}_{k-1}\cdots\mathbf{P}_{1}\mathbf{A}\mathbf{Q}_{1}\cdots\mathbf{Q}_{l-1}\mathbf{Q}_{l}. $$

例4 设

$$ \boldsymbol{P}_{1}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{3}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{P}_{2}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{c}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{P}_{3}=\begin{bmatrix}{{{1}}} \\{{{k}}} \\{{{1}}} \\{{{1}}}\end{bmatrix}, $$

典型例题讲解

初等矩阵与

初等变换

求 $ P_{1}P_{2}P_{3} $

解

$$ \begin{aligned}\mathbf{P}_{1}\mathbf{P}_{2}\mathbf{P}_{3}&=(\mathbf{P}_{1}\mathbf{P}_{2})\mathbf{P}_{3}=\begin{vmatrix}{{{1+c}}}&{{{0}}}&{{{3}}}&{{{1}}} \\{{{-c}}}&{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1+2c}}}&{{{2}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{2+c}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{vmatrix}\begin{pmatrix}{{{1}}} \\{{{k}}} \\{{{1}}} \\{{{1}}}\end{pmatrix}\\&=\begin{vmatrix}{{{1+c}}}&{{{0}}}&{{{3}}}&{{{1}}} \\{{{-c}}}&{{{2k}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1+2c}}}&{{{2k}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{2+c}}}&{{{k}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{vmatrix}.\end{aligned} $$

应用实例：计算机层析 X 射线

计算机层析扫描仪根据仅从患者头部外侧测得的X射线，来计算、描绘病人大脑的图像.

图1.1说明线性代数在计算机层析X射线照相术中的作用.在三角形中，3个小圆圈表示3个小的器官，分别表示为 $ x_{1} $， $ x_{2} $与 $ x_{3} $，而直线则表示X射线.这些小器官的位置尚属未知，这就使每根X射线不能仅对准一个器官.在这里，沿 $ L_{12} $通过的总质量为 $ x_{1}+x_{2} $，其中 $ x_{1} $， $ x_{2} $分别为器官的质量，它们吸收一定强度的X射线.通过测量吸收的强度，我们能求出射线通过的总质量，所以 $ x_{1}+x_{2} $是一个已知量 $ b_{1} $，即 $ x_{1}+x_{2}=b_{1} $.这同样也适用于其他的直线，于是我们可得下列方程组：

$$ \{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=b_{1},\\x_{2}+x_{3}=b_{2},\\x_{1}+x_{3}=b_{3},\end{array}. $$

用高斯消元法可求出质量 $ (x_{1},x_{2},x_{3}) $

为了医学诊断的需要，计算机层析不仅要在这三个位置，而且要在每一个器官的几千个点处计算组织的密度，而每条X射线要穿过许多这样的点，因此，我们可以得到含几千个未知数的几千个方程组成的线性方程组，在所选的第N个点具有未知的标记密度 $ x_{N} $（即“线性吸收系数”）。这种问题的解答不仅涉及线性代数，还涉及更进一步的数学知识。

题1.2

1. 解下列线性方程组：

(1)

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+2x_{2}+3x_{3}=8,\\ 2x_{1}&+5x_{2}+9x_{3}=16,\\ 3x_{1}&-4x_{2}-5x_{3}=32;\end{aligned}. $$

（2）

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+2x_{2}+3x_{3}=4,\\ 3x_{1}&+5x_{2}+7x_{3}=9,\\ 5x_{1}&+8x_{2}+11x_{3}=14;\end{aligned}. $$

（3）

$$ \{\begin{aligned}&2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=6,\\ &3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=1,\\ &5x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=27;\end{aligned}. $$

（4）

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+x_{2}+x_{3}=1,\\ x_{1}&+2x_{2}-5x_{3}=2,\\ 2x_{1}&+3x_{2}-4x_{3}=5;\end{aligned}. $$

（5）

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&\quad-\quad x_{2}&\quad+2x_{4}+\quad x_{5}&=0,\\ 3x_{1}&-3x_{2}&\quad+7x_{4}&=0,\\ x_{1}&\quad-\quad x_{2}+2x_{3}+3x_{4}+2x_{5}&=0,\\ 2x_{1}&-2x_{2}+2x_{3}+7x_{4}-3x_{5}&=0.\end{aligned}. $$

1. 用行初等变换将矩阵 A 变为单位矩阵：

(1)

$$ \begin{align*}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{pmatrix};\end{align*} $$

(2)

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}; $$

(3) $ A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ b & 2 \end{pmatrix} $, $ ab \neq 4 $.

1. 讨论 $ \lambda $ 为何值时， $ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 4 \\ \lambda & 4 & 10 & 1 \\ 1 & 7 & 17 & 3 \\ 2 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} $ 经行初等变换所得行阶梯形矩阵分别有两

个、三个非零行.

1. 设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，求矩阵 Q，使得 AQ=C.

1.3 逆矩阵

一、 逆矩阵的概念与性质

前面我们定义了矩阵的加法、减法和乘法三种运算。自然地，欲在矩阵中引入类似于“除法”的概念，其关键是要引入类似于数的倒数的概念。

对于任意方阵A，有

$$ AI=IA=A. $$

所以，从矩阵乘法的角度来看，单位矩阵Ⅰ类似于数1的作用。一个数 $ a\neq0 $的倒数 $ a^{-1} $可用

$$ \begin{aligned}aa^{-1}=1\quad 或 \quad a^{-1}a=1\end{aligned} $$

来刻画.类似地，我们引入逆矩阵的概念.

定义 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使得

$$ AB=BA=I， $$

则称 A 是可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 是 A 的逆矩阵.

定理1 设 A 是可逆矩阵，则它的逆矩阵是惟一的.

证 设 A 有两个逆矩阵 B 和 C，即

$$ \begin{aligned}AB=BA=I,AC=CA=I.\end{aligned} $$

于是

$$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{I}=\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\right)=\left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)\boldsymbol{C}=\boldsymbol{I}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}. $$

故可逆矩阵的逆矩阵是惟一的.

由定义可知，如果 B 是 A 的逆矩阵，则 A 亦是 B 的逆矩阵，它们互为逆矩阵。

如果 A 可逆，则 A 的逆矩阵存在，记为 $ A^{-1} $，且有 $ AA^{-1} = A^{-1}A = I $。

在后面的§2.2中我们将证明：如果A，B为n阶方阵，且AB=I（或BA=I），则 $ B=A^{-1} $。这样，检验矩阵可逆时，就不必按定义证明AB=I且BA=I，而只要证明AB=I（或BA=I）就行了。

显然， $ I^{-1}=I $。由逆矩阵的定义易得对角矩阵的逆矩阵。设

$$ \mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n}\right),d_{i}\neq0(i=1,2,\cdots,n), $$

则

$$ \mathbf{A}^{-1}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{d_{1}},\frac{1}{d_{2}},\cdots,\frac{1}{d_{n}}\right) $$

要注意的是，并非每个矩阵都有逆矩阵，例如矩阵 $ \begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix} $不可能有逆矩阵，因为它与任何二阶矩阵的乘积都不可能为单位矩阵.

例1 设 $ A=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix} $，求 A 的逆矩阵.

解 用待定系数法，令 $ A^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} $，则可得

$$ \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&2\end{pmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}=\mathbf{I}, $$

所以

$$ \begin{pmatrix}{{{c}}}&{{{d}}} \\{{{a+2c}}}&{{{b+2d}}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}. $$

因此可得线性方程组

$$ \begin{cases}c=1,\\d=0,\\a+2c=0,\\b+2d=1.\end{cases} $$

解得a=-2,b=1,c=1,d=0.

$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix}{{{-2}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}. $$

用待定系数法求 n 阶矩阵的逆矩阵，当 n 较大时，工作量很大，因此并不方便，后面将介绍简便的方法。在介绍其他方法之前，先研究逆矩阵的性质。

定理2 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，数 $ \lambda \neq 0 $，则

$ 1^{\circ} $ $ A^{-1} $ 可逆，且 $ (A^{-1})^{-1}=A $;

$ 2^{\circ} $ $ \lambda A $ 可逆，且 $ (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1} $;

$ 3^{\circ} $ AB 可逆，且 $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1} $

$ 4^{\circ} $ $ A^{T} $ 可逆，且 $ (A^{\mathrm{T}})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm{T}} $

证 我们证明其中的 $ 3^{\circ} $和 $ 4^{\circ} $.

$ 3^{\circ} $ 因为

$$ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})(\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1})=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{-1})\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{I}, $$

所以 AB 可逆，且 $ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $

$ 4^{\circ} $ 因为

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}}=(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{I}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{I}, $$

所以 $ A^{T} $ 可逆，且 $ (\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}} $

对于上述性质中的 $ 3^{\circ} $，由数学归纳法不难推广到 s 个矩阵的乘积。若 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{s} $ 均为同阶可逆矩阵，则

$$ (\mathbf{A}_{1}\mathbf{A}_{2}\cdots\mathbf{A}_{s})^{-1}=\mathbf{A}_{s}^{-1}\mathbf{A}_{s-1}^{-1}\cdots\mathbf{A}_{1}^{-1}. $$

例2 设方阵 $ B $ 为幂等矩阵（即 $ B^2 = B $，从而 $ \forall k \in \mathbb{N}^* $）， $ A = I + B $，证明： $ A $ 可逆，且

$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{2}(3\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}). $$

证

$$ \mathbf{A}\left(\frac{1}{2}(3\mathbf{I}-\mathbf{A})\right)=\frac{1}{2}(3\mathbf{A}-\mathbf{A}^{2}), $$

而

$$ \mathbf{A}^{2}=(\mathbf{I}+\mathbf{B})^{2}=\mathbf{I}+2\mathbf{B}+\mathbf{B}^{2}=\mathbf{I}+3\mathbf{B}=\mathbf{I}+3(\mathbf{A}-\mathbf{I})=3\mathbf{A}-2\mathbf{I}, $$

于是

$$ \mathbf{A}\left(\frac{1}{2}(3\mathbf{I}-\mathbf{A})\right)=\frac{1}{2}(3\mathbf{A}-3\mathbf{A}+2\mathbf{I})=\mathbf{I}, $$

故 A 可逆，且 $ A^{-1}=\frac{1}{2}(3I-A) $.

例3 设矩阵A满足 $ A^{2}-3A-10I=O $，证明：A，A-4I都可逆，并求它们的逆矩阵.

证 由 $ A^{2}-3A-10I=O $ 得 $ A(A-3I)=10I $，即

$$ \mathbf{A}\left(\frac{1}{10}(\mathbf{A}-3\mathbf{I})\right)=\mathbf{I}, $$

故由逆矩阵的定义知，A可逆，且 $ A^{-1}=\frac{1}{10}(A-3I) $.

再由 $ A^{2}-3A-10I=O $ 得 $ (A+I)(A-4I)=6I $ ，即

$$ \frac{1}{6}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})(\boldsymbol{A}-4\boldsymbol{I})=\boldsymbol{I}, $$

故 A-4I 可逆，且 $ (A-4I)^{-1}=\frac{1}{6}(A+I) $.

典型例题讲解

利用定义求

逆矩阵

由初等变换可逆及其与逆变换的对应关系可知，初等矩阵是可逆的，且逆矩阵仍为初等矩阵，事实上，

$$ \mathbf{E}_{ij}^{-1}=\mathbf{E}_{ij};\mathbf{E}_{i}^{-1}(c)=\mathbf{E}_{i}\left(\frac{1}{c}\right),c\neq0;\mathbf{E}_{ij}^{-1}(c)=\mathbf{E}_{ij}(-c). $$

定理3 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各命题是等价的.

$ 1^{\circ} $ A 是可逆的；

$ 2^{\circ} $ 齐次线性方程组 AX=0 只有零解；

$ 3^{\circ} $ A 与 I 行等价；

$ 4^{\circ} $ A 可表为有限个初等矩阵的乘积.

证 $ 1^{\circ}\Rightarrow2^{\circ} $ 设 A 是可逆的且 X 是 AX=0 的解，则

$$ \boldsymbol{X}=\boldsymbol{I}\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A})\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{X})=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0} $$

因此，AX=0 只有零解.

$ 2^{\circ} $→ $ 3^{\circ} $ 若齐次线性方程组 AX=0 只有零解.设

$$ \begin{aligned}A&\xrightarrow{ 行初等变换 }B\left(B\ 为行阶梯形矩阵 \right),\end{aligned} $$

则 AX=0 与 BX=0 同解。若 B 有一对角元为零，则 B 的最后一行元全为零，这样 AX=0 同解于未知量个数多于方程个数的线性方程组。于是 AX=0 有非零解，这与已知矛盾。因而行阶梯形矩阵 B 的对角元全为非零，从而 A 经过行初等变换可化为的简化行阶梯形矩阵是 I，即 A 与 I 行等价。

$ 3^{\circ}\Rightarrow4^{\circ} $ 因为 A 与 I 行等价.所以 A 经过行初等变换可以得到 I.又因对 A 施以行初等变换相当于用初等矩阵左乘 A，从而存在初等矩阵 $ P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{k} $，使得 $ P_{k} \cdots P_{2}P_{1}A=I $，又因初等矩阵可逆，故

$$ \mathbf{A}=\mathbf{P}_{1}^{-1}\mathbf{P}_{2}^{-1}\cdots\mathbf{P}_{k}^{-1}, $$

而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，所以A可表示为有限个初等矩阵的乘积.

$ 4^{\circ}\Rightarrow1^{\circ} $ 设存在初等矩阵 $ E_{1},E_{2},\cdots,E_{k} $，使得

$$ \mathbf{A}=\mathbf{E}_{1}\mathbf{E}_{2}\cdots\mathbf{E}_{k}, $$

由初等矩阵可逆及定理2中 $ 3^{\circ} $的推广知 $ E_{1}E_{2}\cdots E_{k} $也可逆.故A可逆.

推论 设 A 为 n 阶矩阵，则非齐次线性方程组 AX=b 有惟一解的充分必要条件是 A 可逆.

证 充分性: 若 A 可逆, 则 AX = b 有唯一解 $ X = A^{-1}b $.

必要性：设 AX = b 有惟一解 X，但 A 不可逆，则 AX = 0 有非零解 $ Z \neq 0 $。令

$$ Y=X+Z, $$

易知， $ Y \neq X $ 且

$$ \mathbf{A}\mathbf{Y}=\mathbf{A}\left(\mathbf{X}+\mathbf{Z}\right)=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{A}\mathbf{Z}=\mathbf{b}+\mathbf{0}=\mathbf{b}, $$

即Y也为AX=b的解，矛盾.故A可逆.

二、 用行初等变换求逆矩阵

现在我们介绍一个求 $ A^{-1} $ 的简便方法. 设 A 可逆，故存在初等矩阵 $ E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{k} $，使得

$$ \boldsymbol{E}_{k}\boldsymbol{E}_{k-1}\cdots\boldsymbol{E}_{1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}, $$

即

$$ \mathbf{A}^{-1}=\mathbf{E}_{k}\mathbf{E}_{k-1}\cdots\mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}_{k}\mathbf{E}_{k-1}\cdots\mathbf{E}_{1}\mathbf{I}. $$

因此，如果用一系列行初等变换将A化为I，则用同样的行初等变换就将I化为 $ A^{-1} $。这就给我们提供了一个计算 $ A^{-1} $的有效方法：若对（A，I）施以行初等变换将A变为I，则I就变为 $ A^{-1} $，即

$$ (A,I)\xrightarrow{ 行初等变换 }(I,A^{-1}). $$

例4 利用行初等变换求 $ A=\begin{pmatrix}0&2&-1\\1&1&2\\-1&-1&-1\end{pmatrix} $ 的逆矩阵 $ A^{-1} $.

解

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol{A},\boldsymbol{I})&=\begin{pmatrix}0&2&-1&1&0&0\\1&1&2&0&1&0\\-1&-1&-1&0&0&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_{1}\leftrightarrow r_{2}}\begin{pmatrix}1&1&2&0&1&0\\0&2&-1&1&0&0\\-1&-1&-1&0&0&1\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{r_{1}+r_{3}}\begin{pmatrix}1&1&2&0&1&0\\0&2&-1&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_{3}+r_{2}}\begin{pmatrix}1&1&2&0&1&0\\0&2&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&1\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{-2r_{3}+r_{1}}\begin{pmatrix}1&1&0&0&-1&-2\\0&2&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{\frac{1}{2}\bullet r_{2}}\begin{pmatrix}1&1&0&0&-1&-2\\0&1&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&1&0&1&1\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{-r_{2}+r_{1}}\begin{pmatrix}1&0&0&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}\\0&1&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&1&0&1&1\end{pmatrix},\end{aligned} $$

典型例题讲解

利用初等变换求逆矩阵

$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&1\end{pmatrix}. $$

值得注意的是，用行初等变换求逆矩阵时，必须始终用行初等变换，其间不能作任何初等变换。

例 5 问矩阵 $ A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\2&0&1\\0&4&-1\end{pmatrix} $ 是否可逆？

解

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol{A},\boldsymbol{I})&=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{-1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\\&\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{-1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

故 A 不可逆.

例6 解线性方程组 $ \{\begin{aligned}2x_{2}-x_{3}&=2,\\ x_{1}+x_{2}+2x_{3}&=1,\\ -x_{1}-x_{2}-x_{3}&=1.\end{aligned}. $

解 以前我们用高斯消元法求解，现在用逆矩阵求解。设原方程组为AX=b，其中

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0&2&-1\\1&1&2\\-1&-1&-1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}, $$

由例4知 $ A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&1&1\end{pmatrix} $，故原方程组有惟一解

$$ \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}=(-5,2,2)^{\mathrm{T}} $$

方程组 AX=B 可以认为是矩阵方程，若 A 可逆，则有解 $ X=A^{-1}B $。而对于矩阵方程 XA=B，若 A 可逆，则有解 $ X=BA^{-1} $。若 A，B 均可逆，对于矩阵方程 AXB=C，则有解

$$ \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}. $$

类似于前面关于“ $ (\boldsymbol{A}, \boldsymbol{I}) \xrightarrow{\text{行初等变换}} (\boldsymbol{I}, \boldsymbol{A}^{-1}) $”的推导方法，我们很容易知道可以用如下方法求 $ \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B} $（留给读者自证）：

$$ (A,B)\xrightarrow{ 行初等变换 }(I,A^{-1}B). $$

例7 设 $ (2I-C^{-1}B)A^{T}=C^{-1} $，其中I是4阶单位矩阵，

$$ \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{-3}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{-3}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}, $$

求A.

解 由题设有 $ \boldsymbol{C}(2\boldsymbol{I}-\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{I} $，即 $ (2\boldsymbol{C}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{I} $，也就是 $ \boldsymbol{A}(2\boldsymbol{C}-\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{I} $。由于

$$ 2\boldsymbol{C}-\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}, $$

且易知2C-B可逆，因而 $ (2\boldsymbol{C}-\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}} $ 也可逆，于是

$$ \boldsymbol{A}=\left((2\boldsymbol{C}-\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left((2\boldsymbol{C}-\boldsymbol{B})^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{pmatrix}. $$

例8 设

$$ \begin{array}{l}{\boldsymbol{P}_{1}=\begin{bmatrix}0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&1\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{P}_{2}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ c&0&0&1\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{P}_{3}=\begin{bmatrix}1&&&\\ &k&&\\ &&1&\\ &&&1\end{bmatrix},}\end{array} $$

求 $ (P_{1}P_{2}P_{3})^{-1} $

解

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{3})^{-1}&=\boldsymbol{P}_{3}^{-1}\boldsymbol{P}_{2}^{-1}\boldsymbol{P}_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}1&&&\\ &\frac{1}{k}&&\\ &&1&\\ &&&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ -c&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&&&\\ &\frac{1}{k}&&\\ &&1&\\ &&&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&-c&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\ 0&\frac{1}{k}&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&-c&1\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

应用实例：敏感度分析——扰动分析

实例 一个家具厂生产桌子、椅子和沙发，该厂一个月可用550单位木材，475单位劳力及222单位纺织品。家具厂要为每月用完这些资源制订生产计划表。不同产品所需资源的数量如下：

试确定：

（1）每种产品应生产出多少个？

（2）若纺织品的数量增加10个单位，所生产沙发的数量改变多少？

解（1）设每月生产桌子、椅子和沙发的数量分别为 $ x_{1}, x_{2}, x_{3} $

$$ \mathbf{X}=\begin{pmatrix}{{{x_{1}}}} \\{{{x_{2}}}} \\{{{x_{3}}}}\end{pmatrix},\quad\mathbf{A}=\begin{pmatrix}{{{4}}}&{{{2}}}&{{{5}}} \\{{{3}}}&{{{2}}}&{{{5}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{4}}}\end{pmatrix},\quad\mathbf{b}=\begin{pmatrix}{{{550}}} \\{{{475}}} \\{{{222}}}\end{pmatrix}, $$

则有 AX=b.

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}^{-1}&=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{6}}}&{{{-8}}}&{{{\frac{5}{2}}}} \\{{{-3}}}&{{{4}}}&{{{-1}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}{{{75}}} \\{{{55}}} \\{{{28}}}\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

（2）在许多实际问题中，求出满足已知需求的量，只是全过程的一半。人们还对如下问题感兴趣：需求微小改变对解 X 有怎样的影响？这个课题称为敏感度分析——扰动分析。

纺织品数量增加10个单位，使得b改变 $ \Delta b=\begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix} $.研究 $ \Delta b $对解的影响，我们建立新的关系式 $ AX^{*}=b+\Delta b $，则

$$ \boldsymbol{X}^{*}=\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{b}+\Delta\boldsymbol{b})=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{A}^{-1}\Delta\boldsymbol{b}=\boldsymbol{X}+\Delta\boldsymbol{X}. $$

于是，

$$ \Delta\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}\Delta\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\&6&-8&\frac{5}{2}\\-3&4&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\25\\-10\end{pmatrix}, $$

故所生产沙发的数量减少10个.

习题1.3

1. 设 $ A=\begin{pmatrix}1&2\\-3&4\end{pmatrix} $， $ B=\begin{pmatrix}\frac{4}{10}&x\\\frac{3}{10}&y\end{pmatrix} $，确定 x,y，使 B 成为 A 的逆矩阵.

1. 若 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，问 A - B, AB, AB^{-1} 是否一定为可逆矩阵？若不是，请举例说明.

1. 已知 $ A^{-1}=\begin{bmatrix}1&2&1\\ 0&1&3\\ 1&2&4\end{bmatrix} $， $ B^{-1}=\begin{bmatrix}2&1&0\\ -1&2&1\\ -2&3&1\end{bmatrix} $，求 $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1},(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B})^{-1},[(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}]^{-1} $.

1. 利用行初等变换求矩阵的逆：

（1）

$$ \begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&0\end{pmatrix}; $$

(2)

$$ \begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}; $$

（3）

$$ \begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}; $$

（4）

$$ \begin{pmatrix}0&0&1&-1\\0&3&1&4\\2&7&6&-1\\1&2&2&-1\end{pmatrix}. $$

1. 设 A 是 n 阶矩阵，

（1）若 A 满足矩阵方程 $ A^{2}-A+I=O $，证明：A 和 I-A 都可逆，并求它们的逆矩阵；

（2）若 A 满足矩阵方程 $ A^{2}-2A-4I=O $，证明： $ A+I $ 和 A-3I 都可逆，并求它们的逆矩阵.

1. 设 n 阶矩阵 A 满足条件 $ A^{k}=O $, k 为正整数，证明：I-A 可逆，且

$$ \left(\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)^{-1}=\mathbf{I}+\mathbf{A}+\mathbf{A}^{2}+\cdots+\mathbf{A}^{k-1}. $$

1. 设 $ f(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_{0}, a_{0}\neq0 $，A 为 n 阶矩阵，证明：若 $ f(A)=O $，则 A 可逆，并写出 $ A^{-1} $.

1. 求下列各矩阵方程中的 X：

(1)

$$ \begin{pmatrix}1&1&-1\\0&2&2\\1&-1&0\end{pmatrix}\mathbf{X}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\\2&1\end{pmatrix}; $$

$$ \mathbf{X}\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&2&2\\1&-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&0\end{pmatrix}； $$

(3)

$$ \begin{pmatrix}1&1&-1\\0&2&2\\1&-1&0\end{pmatrix}\mathbf{X}+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\\2&1\end{pmatrix}. $$

1. 设

$$ \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{1}}}&{{{3}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}\end{pmatrix}, $$

且 A 满足 $ \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{B}\right)^{\mathrm{T}}\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{I} $，求 A.

1. 设 A, B 都是可逆矩阵，证明：

（1）若AX=AY，则X=Y；（2）若XA=YA，则X=Y.

1. 证明可逆对称矩阵 A 的逆矩阵 $ A^{-1} $ 也是对称矩阵.

1. 设 $ A = PBP^{-1} $，证明 $ f(A) = Pf(B)P^{-1} $，其中 f 是一个多项式.

1. 设 $ P^{-1}AP=B $, $ P=\begin{pmatrix}-1 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $, $ B=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $, 求 $ A^{11} $.

1.4 分块矩阵

有时候，我们用几条纵线与横线将矩阵分割，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，构成一个分块矩阵，从而把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算，使运算更为简明。这是处理阶数较高的矩阵的重要方法。

若将 A 分块为

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\vdots a_{13}\\a_{21}&a_{22}&\vdots a_{23}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{31}&a_{32}&\vdots a_{33}\end{pmatrix}, $$

则得四个子矩阵

$$ \boldsymbol{A}_{11}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{A}_{12}=\begin{pmatrix}a_{13}\\ a_{23}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{A}_{21}=(a_{31}\quad a_{32}),\quad\boldsymbol{A}_{22}=(a_{33}). $$

这样，A 就能表为

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{11}&\mathbf{A}_{12}\\ \\\mathbf{A}_{21}&\mathbf{A}_{22}\end{pmatrix}. $$

于是，A 被看作是以矩阵为元的 $ 2 \times 2 $ 型矩阵。这样就能将行与列较多的矩阵根据需要简单地表出。

又如，对矩阵 A 进行如下形式分块：

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&0&0&0&2\\0&1&0&1&-3\\0&0&1&-1&0\\\hline0&0&0&4&1\end{pmatrix}, $$

记

$$ \boldsymbol{I}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{A}_{1}=\begin{pmatrix}0&2\\1&-3\\-1&0\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{O}=(0\quad0\quad0),\quad\boldsymbol{A}_{2}=(4\quad1), $$

则

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}&\mathbf{A}_{1}\\ \mathbf{O}&\mathbf{A}_{2}\end{pmatrix}. $$

当考虑一个矩阵的分块时，一个重要的原则是使分块后的子矩阵中有便于利用的特殊矩阵，如单位矩阵、零矩阵、对角矩阵、三角形矩阵等。

常用的分块矩阵，除了上面的 $ 2 \times 2 $ 分块矩阵，还有以下几种形式.

将 $ m \times n $ 矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n} $ 按行分块为 $ m \times 1 $ 分块矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_{1}\\ \boldsymbol{\alpha}_{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{\alpha}_{m}\end{pmatrix}, $$

其中 $ \alpha_{i}=(a_{i1}\quad a_{i2}\quad\cdots\quad a_{in})\quad(i=1,2,\cdots,m) $

将 $ m \times n $ 矩阵 $ \mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n} $ 按列分块为 $ 1 \times n $ 分块矩阵

$$ \mathbf{A}=(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n}), $$

其中 $ \boldsymbol{\beta}_{j}=(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj})^{\mathrm{T}}\quad(j=1,2,\cdots,n) $

当矩阵 $ \mathbf{A} = (a_{ij})_{n \times n} $ 中非零元都集中在主对角线附近时可将 A 分块成下面的块对角矩阵（又称为准对角矩阵）：

$$ \mathbf{A}=\operatorname{diag}(\mathbf{A}_{1},\mathbf{A}_{2},\cdots,\mathbf{A}_{t})=\begin{bmatrix}\mathbf{A}_{1}&&&\\ &\mathbf{A}_{2}&&\\ &&\ddots&\\ &&&\mathbf{A}_{t}\end{bmatrix}, $$

其中 $ A_{i}(i=1,2,\cdots,t) $ 是 $ r_{i} $ 阶方阵 $ \left(\sum_{i=1}^{t}r_{i}=n\right) $

例如

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{3}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}&{{{5}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{{{\boldsymbol{A}_{1}}}} \\{{{\boldsymbol{A}_{2}}}} \\{{{\boldsymbol{A}_{3}}}}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

其中

$$ \mathbf{A}_{1}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{3}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}\end{pmatrix},\quad\mathbf{A}_{2}=(-1),\quad\mathbf{A}_{3}=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{5}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}\end{pmatrix}. $$

下面讨论分块矩阵的运算.

设分块矩阵

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}&\cdots&\boldsymbol{A}_{1s}\\\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{A}_{r1}&\cdots&\boldsymbol{A}_{rs}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{B}_{11}&\cdots&\boldsymbol{B}_{1s}\\\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{B}_{r1}&\cdots&\boldsymbol{B}_{rs}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

若 A, B 分块的办法相同，即相应小矩阵 $ A_{ij} $ 和 $ B_{ij} $ 的行数、列数对应相等，则

$$ \begin{align*}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}_{11}+\boldsymbol{B}_{11}&\cdots&\boldsymbol{A}_{1s}+\boldsymbol{B}_{1s}\\&\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{A}_{r1}+\boldsymbol{B}_{r1}&\cdots&\boldsymbol{A}_{rs}+\boldsymbol{B}_{rs}\end{bmatrix}.\end{align*} $$

例1 设 $ A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&-1&-4\\3&-1&-2&2\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2&5&-6&-1\\4&7&3&-2\\-1&2&4&5\end{pmatrix} $，则

$$ \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}+\boldsymbol{B}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}+\boldsymbol{B}_{12}\\ \boldsymbol{A}_{21}+\boldsymbol{B}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}+\boldsymbol{B}_{22}\end{pmatrix}, $$

其中

$$ \boldsymbol{A}_{11}+\boldsymbol{B}_{11}=\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 6\end{pmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{A}_{12}+\boldsymbol{B}_{12}=\begin{pmatrix}2&3&4\\3&-1&-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&-6&-1\\7&3&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&-3&3\\10&2&-6\end{pmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{A}_{21}+\boldsymbol{B}_{21}=(3)+(-1)=(2), $$

$$ \mathbf{A}_{22}+\mathbf{B}_{22}=(-\mathrm{1\quad-2\quad2})+(\mathrm{2\quad4\quad5})=(\mathrm{1\quad2\quad7}). $$

设分块矩阵 $ \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{A}_{ij})_{s \times t} $，k 是一个数，则分块矩阵的数乘为

$$ k\mathbf{A}=(\boldsymbol{k}\mathbf{A}_{i j})_{s\times t}. $$

对于分块矩阵 A 与 B 的乘法 AB，若 A 的列的分法与 B 的行的分法相同，就可以将子块看成“数”那样按乘法的规则进行运算，至于 A 的行的分法及 B 的列的分法没有任何要求.

设 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n},\boldsymbol{B}=(b_{ij})_{n\times p} $，如果把 A，B 分别分块为 $ r\times s $ 和 $ s\times t $ 分块矩阵，且 A

的列的分法与B的行的分法相同，则

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}&\cdots&\boldsymbol{A}_{1s}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{A}_{r1}&\boldsymbol{A}_{r2}&\cdots&\boldsymbol{A}_{rs}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\boldsymbol{B}_{11}&\cdots&\boldsymbol{B}_{1t}\\\boldsymbol{B}_{21}&\cdots&\boldsymbol{B}_{2t}\\\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{B}_{s1}&\cdots&\boldsymbol{B}_{st}\end{pmatrix}=\boldsymbol{C},\end{aligned} $$

其中 C 是 $ r \times t $ 分块矩阵，且

$$ \begin{aligned}\mathbf{C}_{kl}=&\mathbf{A}_{k1}\mathbf{B}_{1l}+\mathbf{A}_{k2}\mathbf{B}_{2l}+\cdots+\mathbf{A}_{ks}\mathbf{B}_{sl}\\=&\sum_{i=1}^{s}\mathbf{A}_{ki}\mathbf{B}_{il}\quad(k=1,2,\cdots,r;l=1,2,\cdots,t).\end{aligned} $$

可以证明：用分块矩阵乘法求得的 AB 与不分块作乘法求得的 AB 是相同的（略）.

例2 设 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $， $ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $，求 AB.

解 令 $ A_{1}=\begin{pmatrix}-1&2\\ 1&1\end{pmatrix} $，则

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}&\mathbf{O}\\ \mathbf{A}_{1}&\mathbf{I}\end{pmatrix}. $$

$$ \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\\\cdots&\cdots&\\1&0\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{B}_{1}\\ \boldsymbol{B}_{2}\end{pmatrix}. $$

典型例题解析

利用分块矩阵乘法求矩阵乘积

再将B分块为

于是

$$ \mathbf{A}\mathbf{B}=\left(\begin{matrix}\mathbf{I}&\mathbf{O}\\ \mathbf{A}_{1}&\mathbf{I}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\mathbf{B}_{1}\\ \mathbf{B}_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\mathbf{B}_{1}\\ \mathbf{A}_{1}\mathbf{B}_{1}+\mathbf{B}_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\ -1&2\\ -2&4\\ -1&1\end{matrix}\right). $$

$$ \mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(\mathbf{A}_{1},\mathbf{A}_{2},\cdots,\mathbf{A}_{t}\right),\quad\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(\mathbf{B}_{1},\mathbf{B}_{2},\cdots,\mathbf{B}_{t}\right), $$

例3 若 n 阶矩阵 A，B 为同型块对角矩阵，即

其中 $ A_{i} $ 和 $ B_{i} $ 是同阶方阵 $ (i=1,2,\cdots,t) $，则

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{1}\boldsymbol{B}_{1}&&&\\&\boldsymbol{A}_{2}\boldsymbol{B}_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&\boldsymbol{A}_{t}\boldsymbol{B}_{t}\end{pmatrix}. $$

设块对角矩阵 $ A = \mathrm{diag}(A_1, A_2, \cdots, A_r) $，其中 $ A_i (i=1,2,\cdots,t) $ 可逆。因为

$$ \begin{aligned}&\left[\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{1}&&&\\&\boldsymbol{A}_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&\boldsymbol{A}_{t}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{1}^{-1}&&&\\&\boldsymbol{A}_{2}^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&\boldsymbol{A}_{t}^{-1}\end{matrix}\right]\\ &=\left[\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{1}\boldsymbol{A}_{1}^{-1}&&&\\&\boldsymbol{A}_{2}\boldsymbol{A}_{2}^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&\boldsymbol{A}_{t}\boldsymbol{A}_{t}^{-1}\end{matrix}\right]=\boldsymbol{I}，\end{aligned} $$

于是便有

$$ \mathbf{A}^{-1}=\operatorname{diag}(\mathbf{A}_{1}^{-1},\mathbf{A}_{2}^{-1},\cdots,\mathbf{A}_{t}^{-1}). $$

同理，若 $ A_{i}(i=1,2,\cdots,t) $可逆，则

$$ \left(\begin{matrix}&{}&{}&{A_{1}}\\&{}&{A_{2}}&{}\\&{\ddots}&{}&{}\\&{}&{}&{}\\{A_{t}}&{}&{}&{}\\&\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}&{}&{}&{A_{t}^{-1}}\\&{}&{\ddots}&{}\\&{A_{2}^{-1}}&{}&{}\\&{}&{}&{A_{1}^{-1}}&{}\\&\end{matrix}\right). $$

若分块矩阵

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}&\cdots&\boldsymbol{A}_{1s}\\\boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}&\cdots&\boldsymbol{A}_{2s}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{A}_{r1}&\boldsymbol{A}_{r2}&\cdots&\boldsymbol{A}_{rs}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

则不难验证

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}_{11}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{A}_{21}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{A}_{r1}^{\mathrm{T}}\\\boldsymbol{A}_{12}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{A}_{22}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{A}_{r2}^{\mathrm{T}}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{A}_{1s}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{A}_{2s}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{A}_{rs}^{\mathrm{T}}\end{bmatrix},\end{aligned} $$

即除了把子块的行与列对换外，每个子块还要进行转置。

例4 设乘法 AB 有意义，B 按列分块， $ \boldsymbol{B}=(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}) $，则

$$ \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\left(\mathbf{A}b_{1},\mathbf{A}b_{2},\cdots,\mathbf{A}b_{n}\right). $$

可见，若AB=O，则

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{i}=\boldsymbol{O},\quad i=1,2,\cdots,n. $$

即 B 的每一列 $ b_{i}(i=1,2,\cdots,n) $ 都是齐次线性方程组 AX=O 的解.

例5 设 $ m \times n $ 矩阵 $ \mathbf{A} = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) $，则

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\\\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}\\\vdots\\\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}\end{pmatrix}=\boldsymbol{\alpha}_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}, $$

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\\\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}\\\vdots\\\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}\end{pmatrix}(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{1}&\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{2}&\cdots&\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{n}\\\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{1}&\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{2}&\cdots&\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{1}&\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{2}&\cdots&\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{n}\end{pmatrix}. $$

题1.4

1. 将下列矩阵适当分块后进行计算：

(1)

$$ \begin{align*}&\begin{pmatrix} \\{{{-2}}}&{{{3}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}&{{{5}}} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{3}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{3}}}&{{{4}}} \\\end{pmatrix};\quad(2)\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{3}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{4}}} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{-2}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{3}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{4}}}&{{{3}}} \\\end{pmatrix};\\&\begin{pmatrix} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{-2}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\{{{3}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{3}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\\end{pmatrix}.\end{align*} $$

(3)

1. 利用矩阵分块求 A 的逆矩阵 $ A^{-1} $

(1)

$$ \textcircled{r}A=\begin{pmatrix}{2}&{0}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{-1}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1}&{1}&{-1}\\ {0}&{0}&{2}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{1}&{-1}&{0}\\ \end{pmatrix};\quad\text{(2)}A=\begin{pmatrix}{0}&{0}&{0}&{0}&{-3}\\ {0}&{0}&{0}&{2}&{0}\\ {2}&{2}&{3}&{0}&{0}\\ {1}&{-1}&{0}&{0}&{0}\\ {-1}&{2}&{1}&{0}&{0}\\ \end{pmatrix}; $$

（3）

$$ \mathbf{A}=\{\begin{aligned}&0\quad a_{1}\quad0\quad\cdots\quad0\\&0\quad0\quad a_{2}\quad\cdots\quad0\\&\vdots\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\\&0\quad0\quad0\quad\cdots\quad a_{n-1}\\&a_{n}\quad0\quad0\quad\cdots\quad0\end{aligned}\},\prod_{i=1}^{n}a_{i}\neq0. $$

1. 设 A, B, C, D 都是 n 阶矩阵，A 可逆，

$$ \boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{I}&\boldsymbol{O}\\ -\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}^{-1}&\boldsymbol{I}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{Y}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{C}&\boldsymbol{D}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{Z}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{I}&-\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{I}\end{pmatrix}, $$

求 XYZ.

1. 设

$$ \begin{aligned}&\mathbf{A}=\begin{bmatrix}a_{1}\mathbf{I}_{1}&&&\\&a_{2}\mathbf{I}_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&a_{r}\mathbf{I}_{r}\end{bmatrix},\quad a_{i}\neq a_{j}(i\neq j),\\ \end{aligned} $$

$ I_{i} $ 是 $ n_{i} $ 阶单位矩阵， $ \sum_{i=1}^{n}n_{i}=n $ . 证明：与 A 可交换的矩阵只能是如下形式的分块对角矩阵

$$ \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{1}&&&\\&\boldsymbol{A}_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&\boldsymbol{A}_{r}\end{pmatrix}, $$

其中 $ A_{i} $ 是 $ n_{i} $ 阶方阵 (i=1,2,\cdots,r).

1. 解矩阵方程 AX = B，其中

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{3}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{3}}}&{{{6}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{4}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{3}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{7}}}&{{{5}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{-3}}}&{{{6}}}&{{{15}}}&{{{-6}}}&{{{3}}} \\{{{8}}}&{{{0}}}&{{{4}}}&{{{12}}}&{{{-4}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{-3}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{3}}}&{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{4}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

复习题

1. 设 A, B, C 和 D 都是二阶矩阵, AB = CD, 试问: 是否可以推出, 对所有二阶矩阵 X, 有 $ AXB = CXD $?

1. 已知 n 阶矩阵 A 与 B 可交换（即 AB = BA），证明：

$$ (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})^{3}=\boldsymbol{A}^{3}-3\boldsymbol{A}^{2}\boldsymbol{B}+3\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}^{2}-\boldsymbol{B}^{3}, $$

当 A 与 B 不能交换时， $ (A-B)^{3} $ 的正确展开式是什么？

1. 设 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n} $， $ A^{T} A = O $，证明：A = O.

1. 证明：任意方阵可以写成对称矩阵与反称矩阵的和.

1. 证明：

$$ \begin{pmatrix}{{{\lambda}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{\lambda}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{\lambda}}}\end{pmatrix}^{n}=\begin{pmatrix}{{{\lambda^{n}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{n\lambda^{n-1}}}}&{{{\lambda^{n}}}}&{{{0}}} \\{{{\displaystyle\frac{n\left(n-1\right)}{2}\lambda^{n-2}}}}&{{{n\lambda^{n-1}}}}&{{{\lambda^{n}}}}\end{pmatrix}. $$

1. 设 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $，求所有与 A 可交换的矩阵.

1. 设 $ \boldsymbol{\alpha}=(1,2) $, $ \boldsymbol{\beta}=(-2,3) $, 求 $ \alpha\beta^{T} $, $ \alpha^{T}\beta $, $ (\alpha^{T}\beta)^{100} $

1. 证明：两个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵.

1. 已知 A 是一个 n 阶对称矩阵，B 是一个反称矩阵.

（1）问 $ A^{k} $， $ B^{k} $是否为对称或反称矩阵？（k为正整数。）

（2）证明： $ AB+BA $ 是一个反称矩阵.

1. 设 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $， $ n \geqslant 2 $ 为正整数，求 $ A^{n} - 2A^{n-1} $.

1. 设 $ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 8 & 2 \\ -4 & 2 & 5 \end{pmatrix} $，证明：A 满足方程 $ A^{2} - 9A = O $，并由此证明 A 不可逆.

1. 设 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $ 互不相同， $ A = \mathrm{diag}(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) $，证明：所有与 A 可交换的矩阵 B 只能是对角矩阵.

1. 下列矩阵是否可逆？若可逆，则求其逆矩阵：

(1)

$$ \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}； $$

$$ \begin{pmatrix}{{{3}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{5}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{pmatrix} $$

$$ \begin{aligned}\begin{bmatrix}3&-2&0&-1\\0&2&2&1\\1&-2&-3&-2\\0&1&2&1\end{bmatrix}.\end{aligned} $$

1. 设 $ A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $，计算： $ (A + 2I)^{-1}(A^{2} - 4I) $ 及 $ (A + 2I)^{-1}(A - 2I) $.

1. 已知 $ A B A^{T} = 2 B A^{T} + I $，求 B. 其中 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $.

1. 设矩阵 A 和 B 满足关系 $ AB = A + 2B $, $ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} $, 求矩阵 B.

1. 设 n 阶矩阵 A 和 B 满足条件 $ A + B = AB $.

（1）证明 A-I 为可逆矩阵；（2）已知 $ B=\begin{pmatrix}1&-3&0\\2&1&0\\0&0&2\end{pmatrix} $，求 A.

1. 设 A 为 n 阶矩阵，

（1）若 $ A^{2}=A $，证明： $ I+A $可逆，并求 $ (I+A)^{-1} $

（2）若 $ A^{3}=3A(A-I) $，证明：I-A可逆，并求 $ (I-A)^{-1} $

1. 设 A 是 n 阶可逆矩阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B.

（1）证明B可逆；（2）求 $ AB^{-1} $

1. 设 A 是 $ m \times n $ 矩阵，B 是 $ n \times s $ 矩阵，X 是 $ n \times 1 $ 矩阵，证明：AB = O 的充分必要条件是 B 的每一列都是齐次线性方程组 AX = O 的解.

1. 设 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij}) $ 是 n 阶矩阵，其对角元的和称为 A 的迹，记为 $ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A}) $，即 $ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A}) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} $。证明 $ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = \mathrm{tr}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}) $，其中 A, B 为 n 阶方阵。

1. 证明：无论对怎样的矩阵 A, B，关系式 AB - BA = I 都不成立.

1. 设 C 是 n 阶可逆矩阵，D 是 $ 3 \times n $ 矩阵，且 $ D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} $，求一个 $ n \times (n+3) $

矩阵A，使得 $ A\binom{C}{D}=I_{n} $

1. 求方阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^{2} & a^{3} & \cdots & a^{n} \\ 0 & 1 & a & a^{2} & \cdots & a^{n-1} \\ 0 & 0 & 1 & a & \cdots & a^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} $ 的逆矩阵.

思考题

1. n 阶可逆上三角形矩阵的逆矩阵 $ A^{-1} $ 是否仍为上三角形矩阵？若是，证明之。

1. 设 $ A = \begin{pmatrix} a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \cdots & a_{1}b_{n} \\ a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots & a_{2}b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & \cdots & a_{n}b_{n} \end{pmatrix} $. 试问：如何求 $ A^{k} $ (k 为正整数)?

1. 设 B 是元全为 1 的 n 阶 (n ≥ 2) 矩阵，证明：

(1) $ \boldsymbol{B}^{k}=n^{k-1}\boldsymbol{B}(k\geqslant2 $ 为正整数 $ ) $; (2) $ (\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{I}-\frac{1}{n-1}\boldsymbol{B} $

1. 以 $ 2 \times 2 $ 分块矩阵 $ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} $ 为例，我们是否可以同样定义它的三类行初等变换和列初等变换，并相应地定义三类分块初等矩阵？若能，如何定义？对于你所定义的分块初等矩阵，在保证可乘的情况下，其作用与本章所述初等矩阵左乘（或右乘）矩阵的作用是否是相同的？

知识点注释一

综合自测题一