第三章几何空间

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第三章几何空间

重点难点

在平面解析几何中，我们建立直角坐标系，将平面上的点 $ M_{0}(x_{0},y_{0}) $与有序数组 $ (x_{0},y_{0}) $一一对应，然后使用代数的方法研究几何问题。将数学中的两个研究对象“数”与“形”统一起来，这在数学史上是一次划时代的变革，这次变革的功劳应首先归于法国数学家笛卡儿（Descartes）。

本章我们将空间的点 $ M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 与有序数组 $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 一一对应，建立空间直角坐标系，用代数的方法研究几何问题。在本章的讨论中，将提出三维几何空间中的向量概念，而三维几何向量是我们在第四章讨论的 n 维向量的特例，几何空间的理论与方法是 n 维向量空间的基础。

§3.1 空间直角坐标系与向量

一、空间直角坐标系

笛卡儿的功绩是将数学中的两个研究对象“形”与“数”统一起来，完成了数学史上一项划时代的变革。将“形”与“数”、几何与代数联系起来的纽带是在空间建立坐标系，从而使几何问题代数化。在中学已介绍了平面直角坐标系，并用坐标方法解决了一些平面解析几何问题。需要指出，在平面上建立坐标系，两个坐标轴之间的夹角可以不是直角，只要在平面上取一定点O及两个相交的数轴，就可以构成平面上的一个坐标系，这种坐标系称为仿射坐标系。由于直角坐标系比较简明，能使许多计算简化，所以直角坐标系是最常用的坐标系之一。下面我们在平面直角坐标系Oxy基础上建立三维空间直角坐标系。

通过原点 O 作一条垂直于 Oxy 平面的直线，称为 z 轴。原点的 z 坐标为零，z 轴的方向按右手系法则确定，即当右手食指指向 x 轴正向、中指指向 y 轴正向时，拇指指向 z 轴的正向，这样我们就建立了空间直角坐标系 Oxyz（图 3.1）。O 为坐标原点，Ox，Oy，Oz 称为坐标轴，分别称为 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），每两条坐标轴所确定的平面称为坐标面，分别称为 Oxy，Oyz，Oz x 平面。

设 M 为空间任意点，过 M 分别作三个坐标面的平行平面，与 x, y, z 轴分别交于

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图3.1

A, B, C 三点（图 3.2），设这三点在三个坐标轴上的坐标分别是 $ x_{0}, y_{0}, z_{0} $，则有序数组 $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 就称为点 M 的坐标。反之，任给一个有序数组 $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $，在 x, y, z 轴分别找出坐标为 $ x_{0}, y_{0}, z_{0} $ 的点，不妨仍用 A, B, C 表示这三点，过 A, B, C 分别作平行于坐标面的平面，这三个平面的交点就是 M。这样，空间的点与有序数组 $ (x, y, z) $ 之间就建立了一一对应的关系。

显然，原点的坐标是 $ (0,0,0) $；在x,y,z轴上的点的坐标分别是 $ (x,0,0) $， $ (0,y,0) $， $ (0,0,z) $；在Oxy，Oyz，Oxz平面上的点的坐标分别是 $ (x,y,0) $， $ (0,y,z) $， $ (x,0,z) $。

建立空间直角坐标系以后，整个空间就被三个坐标面分为八个部分，每一部分称为一个卦限，共有八个卦限（图3.3）。其编号顺序是，Oxy平面上一、二、三、四象限的上方的四个部分分别称为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，而Oxy平面上一、二、三、四象限的下方的四个部分分别称为V，VI，Ⅶ，Ⅷ卦限。

图3.2

图3.3

图3.4分别画出了坐标为 $ (-2,3,2) $的点P与坐标为 $ (2,2,-1) $的点Q.

二、向量及其线性运算

我们知道在物理学中描述力、速度、加速度等类型的量，既要指出大小，还要明确方向。这种既有大小，又有方向的量称为向量。

在几何上，可以用有向线段AB表示向量，A，B分别表示这个向量的起点与终点。也常用黑体字a，b，c或 $ \alpha,\beta,\gamma $等表示向量。

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图 3.4

向量的大小（或长度）称为向量的模，记为 $ \parallel a\parallel $ 或 $ \parallel AB\parallel $. 模等于1的向量称为单位向量. 模等于零的向量称为零向量，记为0. 零向量没有确定的方向.

与 a 的模相同而方向相反的向量称为 a 的负向量（或反向向量），记为 -a 。显然，-a 的负向量就是 a，即 $ -(-a)=a $ 。

在许多几何与物理问题中，所讨论的向量常常与起点无关，这种不考虑其起点的向量称为自由向量。也就是说，自由向量可以在空间中自由平行移动；或者说，自由向量的起点可以放在空间任何位置。如果没有特别申明，本书所指的向量都是自由向量。

在平面上力 F 由其沿 x 轴、y 轴的两个分量完全确定。同理，在三维空间，力 F 由其沿 x 轴、y 轴、z 轴的三个分量完全确定，若三个分量分别是 $ a_{1}, a_{2}, a_{3} $，那么力 F 就可以用有序数组 $ (a_{1}, a_{2}, a_{3}) $ 表示（图 3.5）。

对空间向量 a 作平行移动，将其起点移到坐标原点 O，设其终点为 P，则向量 $ \overrightarrow{OP} $ 确定终点 P. 反过来，空间中任意一点 P 也确定了一个向量 $ \overrightarrow{OP} $，也就是说，空间的点与向量之间建立了一一对应关系.

点P的坐标 $ (a_{1},a_{2},a_{3}) $也称向量 $ \overrightarrow{OP} $的坐标或分量.向量 $ \overrightarrow{OP} $可表示为

$$ \overrightarrow{OP}=\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}). $$

这就是向量的坐标表示（图3.6）.

图3.5

图3.6

对于零向量我们用记号 $ \mathbf{0} = (0, 0, 0) $表示.

向量 a 的负向量 $ -a=(-a_{1},-a_{2},-a_{3}) $.

两个向量相等当且仅当它们的对应分量相同，即

$$ (a_{1},a_{2},a_{3})=(b_{1},b_{2},b_{3})\Leftrightarrow a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},a_{3}=b_{3}. $$

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定义（向量的线性运算）设向量 $ \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3) $，向量 $ \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3) $，则向量 $ \boldsymbol{a} $ 与向量 $ \boldsymbol{b} $ 的加法规定为

$$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}); $$

向量 $ a=(a_{1},a_{2},a_{3}) $ 与数 k 的乘法（简称数乘）规定为

$$ k\boldsymbol{a}=(k a_{1},k a_{2},k a_{3}). $$

显然，向量 a 的负向量 $ -a=(-1)a $，零向量 0=0a.

向量的减法定义为

$$ a-b=a+(-b). $$

容易证明向量的加法和数乘满足以下八条运算法则：

$$ 1^{\circ}\quad a+b=b+a; $$

$$ (a+b)+c=a+(b+c); $$

$$ 3^{\circ}\quad a+0=a; $$

$$ 4^{\circ}\quad a+(-a)=0; $$

$$ 5^{\circ}\quad1a=a: $$

$$ 6^{\circ}\quad\lambda\left(\mu a\right)=\left(\lambda\mu\right)a $$

$$ 7^{\circ}\quad\lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b $$

$$ 8^{\circ}\quad(\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a $$

其中 $ \lambda,\mu $为数.

在 x, y, z 轴上分别取三个单位向量 i, j, k（称为基向量），即

$$ i=\left(1,0,0\right),\quad j=\left(0,1,0\right),\quad k=\left(0,0,1\right), $$

则

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{a}&=(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\boldsymbol{a}_{3})=(\boldsymbol{a}_{1},0,0)+(\boldsymbol{0},\boldsymbol{a}_{2},0)+(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0},\boldsymbol{a}_{3})\\&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)=a_{1}\boldsymbol{i}+a_{2}\boldsymbol{j}+a_{3}\boldsymbol{k}.\end{aligned} $$

这时我们称向量 a 可由基向量 i, j, k 线性表出.

当 $ b\parallel a $时，向量a与b可平行移动到同一条直线上，故向量a与b平行，又称向量a与b共线.

当 $ b \parallel a $ 且 $ a \neq 0 $ 时，必存在 $ \lambda \in \mathbb{R} $，使 $ b = \lambda a $。这时称向量 $ b $ 可由向量 $ a $ 线性表出。当 $ \lambda > 0 $ 时， $ a $ 与 $ b $ 同向；当 $ \lambda < 0 $ 时， $ a $ 与 $ b $ 反向。且有下式成立：

$$ (b_{1},b_{2},b_{3})=\lambda(a_{1},a_{2},a_{3})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}), $$

$$ \frac{b_{1}}{a_{1}}=\frac{b_{2}}{a_{2}}=\frac{b_{3}}{a_{3}}=\lambda. $$

反之，若各分量的比例式成立，则可推出 $ b\parallel a $，故

$$ \boldsymbol{b}\parallel\boldsymbol{a}\quad\Leftrightarrow\frac{b_{1}}{a_{1}}=\frac{b_{2}}{a_{2}}=\frac{b_{3}}{a_{3}}. $$

两个向量 a 与 b 的夹角规定为使其中一个向量与另一个向量方向一致时所旋转

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的最小角度，记为 $ \langle a,b\rangle $。显然

$$ 0\leqslant\langle a,b\rangle\leqslant\pi. $$

同样可以定义向量与数轴，数轴与数轴的夹角.

过空间点 A 作平面与轴 u 垂直相交于点 $ A^{\prime} $，则 $ A^{\prime} $ 称为 A 在轴 u 上的投影.

对于空间向量 $ \overrightarrow{AB} $与轴u，设A，B在轴u上的投影分别是 $ A^{\prime}, B^{\prime} $，则 $ \overrightarrow{AB} $在轴u上的投影用记号 $ \overrightarrow{P r j} $。 $ \overrightarrow{AB} $表示且定义为

$$ \operatorname{Prj}_{u}\overrightarrow{AB}=\{\begin{aligned}&\|\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}\|,\quad 当 \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} 与 u 同向时 ,\\ &-\|\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}\|, 当 \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} 与 u 反向时 .\end{aligned}. $$

其几何意义如图3.7所示.

由上述定义可得向量在轴上的投影具有以下性质：

$$ 1^{\circ}\ \operatorname{Prj}_{u}a=\parallel a\parallel\cos\langle a,u\rangle, $$

其中 $ \langle a,u\rangle $为向量a与轴u的夹角, $ 0\leq\langle a,u\rangle\leq\pi $;

$$ 2^{\circ}\quad\operatorname{Prj}_{u}(a+b)=\operatorname{Prj}_{u}a+\operatorname{Prj}_{u}b. $$

根据向量在轴上投影的概念，向量 $ \overrightarrow{OA} $的坐标 $ a_{1}, a_{2}, a_{3} $分别是向量 $ \overrightarrow{OA} $在三个坐标轴的投影。由图3.8可知

图 3.7

$$ \overrightarrow{OA}=\left\|\overrightarrow{a}\right\|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}, $$

$$ \left\| \mathbf{k} \mathbf{a} \right\|=\sqrt{(k a_{1})^{2}+(k a_{2})^{2}+(k a_{3})^{2}}= \left\| \mathbf{k} \right\| \left\| \mathbf{a} \right\|. $$

在物理学中我们已经知道，力与速度是向量，并且它们的加法符合平行四边形法则。下面我们将看到，按我们现在定义的向量的加法也是满足平行四边形法则的。

由于空间中任意两个向量可以通过平行移动将其起点移动到坐标原点，所以空间中任意两个向量的加法可以在平面上进行。下面以图3.9所示的向量为例说明向量的加法符合平行四边形法则。

图3.8

图3.9

设 $ \overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2}),\overrightarrow{OB}=(b_{1},b_{2}) $.以 $ (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}) $为向量 $ \overrightarrow{OP} $的终点，我们只需说明以O,A,P,B为顶点的四边形是平行四边形即可.

事实上，

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$$ \Pr_{j_{x}}\overrightarrow{BP}=a_{1}+b_{1}-b_{1}=a_{1},\quad\Pr_{j_{y}}\overrightarrow{BP}=a_{2}+b_{2}-b_{2}=a_{2}. $$

所以 $ \overrightarrow{BP} $在x,y轴上的投影分别是 $ a_{1},a_{2} $，即向量 $ \overrightarrow{BP} $经平行移动后可与向量 $ \overrightarrow{OA} $重合，故

$$ \overrightarrow{BP}\parallel\overrightarrow{OA}. $$

同理 $ \overrightarrow{AP} \parallel \overrightarrow{OB} $。所以四边形 OAPB 是平行四边形，即 $ \overrightarrow{OA} $与 $ \overrightarrow{OB} $的加法符合平行四边形法则：

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}. $$

由图3.9还可以看到， $ \overrightarrow{OB} $经平行移动与 $ \overrightarrow{AP} $重合，故

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}, $$

即向量的加法符合三角形法则.

例1 设 $ a \neq 0, e_{a} = \frac{1}{\|a\|} a $，则

$$ \parallel e_{a}\parallel=\left|\frac{1}{\parallel a\parallel}\right|\parallel a\parallel=\frac{1}{\parallel a\parallel}\parallel a\parallel=1. $$

$ e_{a} $ 是与 a 同方向的单位向量.

由以上讨论可知，向量a又可表示为 $ a=\|a\|e_{a} $

例2 利用向量的线性运算证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.

证如图3.10所示，设D，E分别是AB，AC的中点，即

$$ \begin{aligned}\overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}．\end{aligned} $$

所以 $ \overrightarrow{DE}\parallel\overrightarrow{BC} $，且 $ \parallel\overrightarrow{DE}\parallel=\frac{1}{2}\parallel\overrightarrow{BC}\parallel $

图 3.10

例 3 若 $ a \parallel c $, $ b \parallel c $, $ c \neq 0 $, 求证: a 与 b 的线性组合 $ k_1 a + k_2 b $ ( $ k_1, k_2 \in \mathbb{R} $) 也平行于 c.

证由 $ a \parallel c, b \parallel c $ 知，必存在常数 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $，使得 $ a = \lambda_{1} c, b = \lambda_{2} c $，于是

$$ k_{1}\boldsymbol{a}+k_{2}\boldsymbol{b}=k_{1}(\lambda_{1}\boldsymbol{c})+k_{2}(\lambda_{2}\boldsymbol{c})=(k_{1}\lambda_{1}+k_{2}\lambda_{2})\boldsymbol{c}, $$

故 $ k_{1}a+k_{2}b $ 与 c 平行.

例4 设 $ M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) $， $ M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) $是空间两点.

(1) 求 $ \parallel \overrightarrow{M_1M_2}\parallel $;

（2）设 M 为线段 $ M_{1}M_{2} $ 上一点，且 $ \frac{M_{1}M}{MM_{2}}=\lambda $ ，求 M 的坐标.

解（1）设 O 是 $ M_{1}, M_{2} $ 所在空间直角坐标系的原点，如图 3.11 所示.

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$$ \overrightarrow{OM_{1}}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\quad\overrightarrow{OM_{2}}=(x_{2},y_{2},z_{2}), $$

$$ \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=\overrightarrow{OM_{2}}-\overrightarrow{OM_{1}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}), $$

这就是空间两点 $ M_{1} $ 与 $ M_{2} $ 的距离公式。这是平面上两点的距离公式的推广。

（2）设 M 的坐标为 $ (x, y, z) $，则

$$ \overrightarrow{M_{1}M}=(x-x_{1},y-y_{1},z-z_{1}), $$

图3.11

$$ \overrightarrow{MM_{2}}=(x_{2}-x,y_{2}-y,z_{2}-z). $$

由 $ \overrightarrow{M_{1}M}=\lambda\overrightarrow{MM_{2}} $可得

$$ x-x_{1}=\lambda\left(x_{2}-x\right),\quad y-y_{1}=\lambda\left(y_{2}-y\right),\quad z-z_{1}=\lambda\left(z_{2}-z\right), $$

$$ x=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda},y=\frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda},z=\frac{z_{1}+\lambda z_{2}}{1+\lambda}. $$

最后介绍向量的方向余弦.

向量的主要特征是模与方向.设 $ \boldsymbol{a}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3}) $ ,则 $ \|\boldsymbol{a}\|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} $ .怎样用向量的坐标表示向量的另一个特征——方向呢？

向量 a 的方向由 a 与 x, y, z 轴的夹角 $ \alpha, \beta $，

$ \gamma $ 完全确定. $ \alpha,\beta,\gamma $ 称为 a 的方向角.由向量与轴

的夹角定义可知

$$ 0\leqslant\alpha\leqslant\pi,\ 0\leqslant\beta\leqslant\pi,\ 0\leqslant\gamma\leqslant\pi. $$

由图3.12可得

$$ \cos\alpha=\frac{a_{1}}{\parallel a\parallel},\cos\beta=\frac{a_{2}}{\parallel a\parallel},\cos\gamma=\frac{a_{3}}{\parallel a\parallel}, $$

图 3.12

即

$$ \cos\alpha=\frac{a_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},\ \cos\beta=\frac{a_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},\ \cos\gamma=\frac{a_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}. $$

$ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma $ 称为向量a的方向余弦.

向量 a 的方向余弦满足以下关系式：

$$ \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1. $$

与a同向的单位向量

$$ e_{a}=\frac{1}{\|a\|}a=\left(\frac{a_{1}}{\|a\|},\frac{a_{2}}{\|a\|},\frac{a_{3}}{\|a\|}\right)=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma). $$

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题3.1

在空间直角坐标系中，画出以下各点：

(1) $ M_{1}(2,1,3) $; (2) $ M_{2}(1,3,-1) $.

指出下列各点的特殊性质：

(1) $ M_{1}(3,0,0) $; (2) $ M_{2}(0,0,-2) $;

(3) $ M_{3}(0,-3,4) $; (4) $ M_{4}(5,0,-1) $.

求点 $ M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 关于各坐标面，各坐标轴及原点的对称点.

设向量 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 不平行， $ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} $， $ \overrightarrow{BC} = -4\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $， $ \overrightarrow{CD} = -5\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} $，证明：四边形 ABCD 是梯形.

设等腰梯形的四个顶点为 A, B, C, D, AB 是底边, $ \overrightarrow{AB} = a $, $ \overrightarrow{AD} = b $, $ \langle a, b \rangle = \frac{\pi}{3} $, 试用向量 a, b 表示向量 $ \overrightarrow{DC} $, $ \overrightarrow{CB} $, $ \overrightarrow{AC} $, $ \overrightarrow{DB} $.

设向量 $ \alpha $ 与三坐标轴成相等的锐角，求 $ \alpha $ 的方向余弦. 若 $ \|\alpha\| = 2 $，求 $ \alpha $ 的坐标.

向量 $ \alpha $ 与 x 轴、y 轴成等角，与 z 轴所成的角是它们的 2 倍，求 a 的方向角.

设 $ A(2, -2, 5) $, $ B(-1, 6, 7) $，求：

(1) $ \overrightarrow{AB} $ 在三坐标轴上的投影； (2) $ \overrightarrow{AB} $ 的模；

(3) $ \overrightarrow{AB} $ 的方向余弦； (4) $ \overrightarrow{AB} $ 方向上的单位向量.

在 Oxy 平面上求向量 p，使它垂直于向量 $ \boldsymbol{q}=(5,-3,4) $，并与 q 有相等的长度.

设向量 $ \boldsymbol{a} $ 与三个基向量成相等的锐角，且 $ \|\boldsymbol{a}\| = 2\sqrt{3} $，求 $ \boldsymbol{a} $.

当 $ \lambda $ 与 $ \mu $ 为何值时，向量 $ \boldsymbol{a}=(-2,3,\lambda) $ 与 $ \boldsymbol{b}=(\mu,-6,2) $ 共线？

3.2 向量的乘法

一、内积

设质点在力 F 的作用下产生位移 s（见图 3.13），则力 F 所做的功为

$$ W=\mid\mid F\mid\mid\mid s\mid\mid\cos\theta, $$

其中 $ \theta $是向量F与s的夹角.

这样的运算在数学中称为内积.

定义 1 向量 a 与 b 的内积为

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle. $$

其中 $ \langle a,b\rangle $是a与b的夹角.

由定义 1 可知，两个向量的内积是一个实数，而内积运算符号用“·”表示，所以内积又称为数量积或点乘积。

图 3.13

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将向量 a 与自身的内积 $ \alpha \cdot a $ 记为 $ a^{2} $，于是，由定义 1 可得

$$ a^{2}=\|a\|\|a\|\cos\langle a,a\rangle=\|a\|^{2}. $$

由定义 1 还可以得到，若 $ a \neq 0 $ 且 $ b \neq 0 $，则

$$ \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|}. $$

向量的内积满足以下规则：

$$ 1^{\circ}\quad a\cdot b=b\cdot a; $$

$ 2^{\circ} $ $ (\lambda a) \cdot b = \lambda (a \cdot b) $;

$$ (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c $$

对规则 $ 3^{\circ} $ 给出证明.

$$ \begin{aligned}(a+b)\bullet c&=\left\|a+b\right\|\left\|c\right\|\cos\langle a+b,c\rangle\\&=\left\|c\right\|\operatorname{Prj}_{c}(a+b)\\&=\left\|c\right\|\operatorname{Prj}_{c}a+\left\|c\right\|\operatorname{Prj}_{c}b\\&=\left\|a\right\|\left\|c\right\|\cos\langle a,c\rangle+\left\|c\right\|\left\|b\right\|\cos\langle b,c\rangle\\&=a\bullet c+b\bullet c.\\ \end{aligned} $$

例1 设 $ \|a\| = 11 $, $ \|b\| = 23 $, $ \|a - b\| = 30 $, 求 $ \|a + b\| $.

解 $ \|a+b\|^2=(a+b)^2=a^2+2a\cdot b+b^2 $

$ =\|a\|^2+\|b\|^2+2a\cdot b=650+2a\cdot b, $

$$ \begin{aligned}\parallel\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\parallel^{2}&=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}\\&=\parallel\boldsymbol{a}\parallel^{2}+\parallel\boldsymbol{b}\parallel^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=650-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=900,\end{aligned} $$

由上式可得 $ 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = -250 $，故

$$ a+b\parallel^{2}=650-250=400, $$

$$ \left\|a+b\right\|=20. $$

由内积的定义容易得到，三个基向量 i, j, k 之间的内积有以下结果：

$$ i^{2}=j^{2}=k^{2}=1, $$

$$ i\bullet j=j\bullet k=k\bullet i=0. $$

设 $ \boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) $，则

$$ \begin{align*}a\bullet b=&(a_{1}\boldsymbol{i}+a_{2}\boldsymbol{j}+a_{3}\boldsymbol{k})\bullet(b_{1}\boldsymbol{i}+b_{2}\boldsymbol{j}+b_{3}\boldsymbol{k})\\=&a_{1}b_{1}\boldsymbol{i}^{2}+a_{1}b_{2}\boldsymbol{i}\bullet\boldsymbol{j}+a_{1}b_{3}\boldsymbol{i}\bullet\boldsymbol{k}+a_{2}b_{1}\boldsymbol{j}\bullet\boldsymbol{i}+a_{2}b_{2}\boldsymbol{j}^{2}\\&+a_{2}b_{3}\boldsymbol{j}\bullet\boldsymbol{k}+a_{3}b_{1}\boldsymbol{k}\bullet\boldsymbol{i}+a_{3}b_{2}\boldsymbol{k}\bullet\boldsymbol{j}+a_{3}b_{3}\boldsymbol{k}^{2}\\=&a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.\end{align*} $$

这是向量内积的坐标表示式.利用这个表示式,可得两个非零向量 a 与 b 夹角余弦的坐标表示式：

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$$ \begin{aligned}\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=&\frac{\boldsymbol{a}\bullet\boldsymbol{b}}{\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|}=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\\=&\frac{a}{\|\boldsymbol{a}\|}\bullet\frac{\boldsymbol{b}}{\|\boldsymbol{b}\|}=\boldsymbol{e}_{a}\bullet\boldsymbol{e}_{b}.\end{aligned} $$

若向量 a 与 b 的夹角为 $ \frac{\pi}{2} $，则称 a 与 b 正交（或垂直），记为 $ a \perp b $。由于零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量正交，且

$$ a\perp b\quad\Leftrightarrow\quad\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0. $$

例2 证明：如果向量 $ a $ 与 $ b $ 都与向量 $ c $ 垂直，则它们的线性组合 $ k_1a + k_2b $（ $ k_1, k_2 \in \mathbb{R} $）也与 $ c $ 垂直。

证由 $ a \perp c $ 且 $ b \perp c $，知 $ a \cdot c = 0 $ 且 $ b \cdot c = 0 $。于是

$$ (k_{1}\boldsymbol{a}+k_{2}\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=k_{1}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})+k_{2}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})=0, $$

故向量 $ k_{1}a+k_{2}b $与c垂直.

对两个向量的内积

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left\|\boldsymbol{a}\right\|\quad\|\boldsymbol{b}\|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle $$

两边取绝对值可得

$$ \left\| \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right\|\leqslant \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| $$

或

$$ (a\cdot b)^{2}\leqslant(a\cdot a)(b\cdot b). $$

以上两式称为柯西－施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.利用这个不等式可以证明以下的三角不等式：

$$ \left\| \mathbf{a}+\mathbf{b} \right\|\leqslant \left\| \mathbf{a} \right\|+ \left\| \mathbf{b} \right\|. $$

事实上，

$$ \begin{aligned}\|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|^{2}=&(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\bullet(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\\=&\boldsymbol{a}\bullet\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\bullet\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\bullet\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\bullet\boldsymbol{b}\\=&\|\boldsymbol{a}\|^{2}+2\boldsymbol{a}\bullet\boldsymbol{b}+\|\boldsymbol{b}\|^{2}\\\leqslant&\|\boldsymbol{a}\|^{2}+2|\boldsymbol{a}\bullet\boldsymbol{b}|+\|\boldsymbol{b}\|^{2}\\\leqslant&\|\boldsymbol{a}\|^{2}+2\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|+\|\boldsymbol{b}\|^{2}\\=&(\|\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{b}\|)^{2}.\end{aligned} $$

所以 $ \|a+b\|\leq\|a\|+\|b\| $.

二、外积

定义2 向量 $ a $ 与 $ b $ 的外积是一个向量，记为 $ a \times b $，其模与方向确定如下：

$ 1^\circ \parallel a \times b \parallel = \parallel a \parallel \parallel b \parallel \sin\langle a, b \rangle $；

重难点分析

外积的概念

原书第 107 页

$ 2^{\circ} $ $ a \times b $ 与 a, b 都垂直，且 a, b, $ a \times b $ 符合右手法则（图3.14）.

由于向量的外积是一个向量，且外积的符号用“×”表示，所以外积又称为向量积或叉乘积.

外积具有以下性质：

$$ 1^{\circ}\quad a\times a=0; $$

$$ 2^{\circ}\quad a\times0=0; $$

$$ 3^{\circ}\quad a\times b=-b\times a; $$

$$ 4^{\circ}\quad(\lambda a)\times(\mu b)=\lambda\mu(a\times b)(\lambda,\mu\in\mathbf{R}); $$

$$ \begin{array}{l}5^{\circ}\quad a\times(b+c)=(a\times b)+(a\times c).\end{array} $$

图 $ \underline{3.14} $

以上性质中， $ 1^{\circ}-4^{\circ} $ 都可用定义2直接证明， $ 5^{\circ} $ 的证明比较复杂，这里都略去不证.

由外积的定义不难得到基向量 i, j, k 的外积有以下结果：

$$ i\times i=j\times j=k\times k=0, $$

$$ i\times j=k,\quad j\times k=i,\quad k\times i=j, $$

$$ \boldsymbol{j}\times\boldsymbol{i}=-\boldsymbol{k},\quad\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{j}=-\boldsymbol{i},\quad\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{k}=-\boldsymbol{j}. $$

设 $ \boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) $, $ \boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) $，利用外积运算规则与基向量 i,j,k 的外积可得

$$ \begin{align*}\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=&(a_{1}\boldsymbol{i}+a_{2}\boldsymbol{j}+a_{3}\boldsymbol{k})\times(b_{1}\boldsymbol{i}+b_{2}\boldsymbol{j}+b_{3}\boldsymbol{k})\\=&a_{1}b_{2}\boldsymbol{k}-a_{1}b_{3}\boldsymbol{j}-a_{2}b_{1}\boldsymbol{k}+a_{2}b_{3}\boldsymbol{i}+a_{3}b_{1}\boldsymbol{j}-a_{3}b_{2}\boldsymbol{i}\\=&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\boldsymbol{i}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\boldsymbol{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\boldsymbol{k}.\end{align*} $$

利用三阶行列式的展开式，上述结果可以记为

$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|, $$

由定义2可得外积的几何意义是： $ a \times b $ 的模是以 a 与 b 为邻边的平行四边形的面积（图3.15）.

例3 求以 $ A(2,1,3) $, $ B(1,4,5) $, $ C(1,-2,1) $为顶点的三角形面积.

解由向量外积的几何意义可得 $ \triangle ABC $的面积为

图3.15

$$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\parallel\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\parallel, $$

其中 $ \overrightarrow{AB}=(-1,3,2) $， $ \overrightarrow{AC}=(-1,-3,-2) $，故

$$ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left|\begin{matrix}{{{i}}}&{{{j}}}&{{{k}}} \\{{{-1}}}&{{{3}}}&{{{2}}} \\{{{-1}}}&{{{-3}}}&{{{-2}}}\end{matrix}\right|=-4\boldsymbol{j}+6\boldsymbol{k}, $$

原书第 108 页

$$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\parallel-4j+6k\parallel=\frac{1}{2}\sqrt{(-4)^{2}+6^{2}}=\sqrt{13}. $$

例4 设单位向量 $ \overrightarrow{OA} $与三个坐标轴的夹角相等，B是点 $ M(1,-3,2) $关于点 $ N(-1,2,1) $的对称点，求 $ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} $.

解设 $ \alpha, \beta, \gamma $ 是 $ \overrightarrow{OA} $ 的方向角，则

$$ \alpha=\beta=\gamma, $$

$$ \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=3\cos^{2}\alpha=1, $$

$$ \cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, $$

$$ \overrightarrow{OA}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1). $$

设点 B 的坐标是 $ (x, y, z) $，则点 N 是线段 MB 的中点。由中点坐标公式得

$$ \frac{x+1}{2}=-1,\quad\frac{y-3}{2}=2,\quad\frac{z+2}{2}=1, $$

$$ x=-3,\quad y=7,\quad z=0, $$

$$ \overrightarrow{OB}=(-3,7,0). $$

$$ \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\left|\begin{array}{ccc}{{{i}}}&{{{j}}}&{{{k}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{-3}}}&{{{7}}}&{{{0}}}\end{array}\right|=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}(-7i-3j+10k). $$

例 5 证明： $ \|a \times b\|^2 + (a \cdot b)^2 = \|a\|^2 \|b\|^2 $.

$$ \begin{aligned}\left\|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right\|^{2}+(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^{2}&=\left\|\boldsymbol{a}\right\|^{2}\left\|\boldsymbol{b}\right\|^{2}\sin^{2}\theta+\left\|\boldsymbol{a}\right\|^{2}\left\|\boldsymbol{b}\right\|^{2}\cos^{2}\theta\\&=\left\|\boldsymbol{a}\right\|^{2}\left\|\boldsymbol{b}\right\|^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=\left\|\boldsymbol{a}\right\|^{2}\left\|\boldsymbol{b}\right\|^{2}.\end{aligned} $$

证

定义 3 向量 $ a, b, c $ 的混合积定义为 $ (a \times b) \cdot c $.

三、混合积

由定义 3 可知，三个向量 $ a, b, c $ 的混合积是一个实数。有时也将 $ (a \times b) \cdot c $ 记为 $ [ab c] $。

设 $ \boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}),\boldsymbol{c}=(c_{1},c_{2},c_{3}) $，则

$$ \begin{aligned}&{\boldsymbol{a}}\times{\boldsymbol{b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\boldsymbol{i}}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\boldsymbol{j}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\boldsymbol{k}},\\&({\boldsymbol{a}}\times{\boldsymbol{b}})\bullet{\boldsymbol{c}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})c_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})c_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})c_{3}.\\ \end{aligned} $$

$$ \left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)\bullet\boldsymbol{c}=\left|\begin{array}{l l l}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|. $$

典型例题解

向量的运算

写成行列式的形式就是

重难点分析

混合积的

几何意义

原书第 109 页

典型例题讲解混合积的概念与性质

典型例题解析

混合积的几何意义

图 3.16

$$ \begin{aligned}V&=\|a\times b\|\|c\||\cos\theta|\\&=\left|\left(a\times b\right)\cdot c\right|.\end{aligned} $$

由混合积的定义及坐标表示式可得以下性质：

$$ \begin{aligned}1^{\circ}\quad(a\times b)\cdot c=(c\times a)\cdot b=(b\times c)\cdot a;\end{aligned} $$

$ 2^{\circ} $ 对任意实数 $ \lambda,\mu $，有

$$ (a\times b)\cdot(\lambda c_{1}+\mu c_{2})=\lambda(a\times b)\cdot c_{1}+\mu(a\times b)\cdot c_{2}; $$

$ 3^{\circ} $ 设 a, b, c 为三个非零向量， $ [a\ b\ c]=0\Leftrightarrow a, b, c $ 都平行于同一平面，即 a, b, c 共面.

例 6 设四面体的四个顶点为 $ A(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $, $ B(x_{2}, y_{2}, z_{2}) $, $ C(x_{3}, y_{3}, z_{3}) $, $ D(x_{4}, y_{4}, z_{4}) $, 求四面体 ABCD 的体积.

解由立体几何知，四面体 ABCD 的体积 V 等于以 $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} $ 为棱的平行六面体的体积的 $ \frac{1}{6} $，即

$$ V=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AD}\right|, $$

而 $ \overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}),\overrightarrow{AC}=(x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}),\overrightarrow{AD}=(x_{4}-x_{1},y_{4}-y_{1},z_{4}-z_{1}) $，故有

$$ V=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{c c c}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\ x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\ x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{array}\right|. $$

若向量 x 与 $ a = (2, 1, -1) $ 共线，且满足 $ a \cdot x = 3 $，求 x.

设 $ \|a\| = \|b\| = 5, \langle a, b \rangle = \frac{\pi}{4} $，计算以 a - 2b 和 3a + 2b 为邻边构成的三角形面积.

利用向量方法证明：

（1）三角形的余弦定理；（2）直径上的圆周角是直角.

原书第 110 页

设 a, b, c 中任意两个向量的夹角都是 $ \frac{\pi}{3} $，且 $ \|a\| = 4 $，\|b\| = 6，\|c\| = 2，计算 $ \|a + b + c\| $。

设 $ a=(1,2,3) $, $ b=(-2,1,1) $, $ c=(2,4,1) $，计算：

(1) $ (3a-2c)\cdot b $; (2) $ (b-2a)\times c $

设 $ u = 2a + 3b $, $ v = a - b $, 而 $ \|a\| = 1 $, $ \|b\| = 2 $, $ \langle a, b \rangle = \frac{\pi}{3} $, 求：

$$ Pr_{j_{v}}u $$

（2）以 u, v 为邻边的平行四边形面积.

设一平行四边形的对角线向量是 $ c = a + 2b $ 与 d = 3a - 4b，且 $ \|a\| = 1 $， $ \|b\| = 2 $， $ \langle a, b \rangle = \frac{\pi}{6} $，求此平行四边形的面积.

将 $ M_{1}(7,-4,1) $, $ M_{2}(-2,2,4) $ 的连线 $ M_{1}M_{2} $ 三等分，求分点坐标.

设四面体的顶点为 $ A(2,1,-1) $, $ B(3,0,1) $, $ C(2,-1,3) $, D 在 y 轴上，其体积为 5，求顶点 D 的坐标.

§3.3 平面

为讨论平面的有关性质以及平面间的位置关系，我们先建立平面的方程.

一、平面的方程

1. 点法式方程

一张平面 $ \pi $可以由 $ \pi $上任意一点和垂直于 $ \pi $的任意一个向量完全确定.垂直于 $ \pi $的任一向量都称为 $ \pi $的法向量.

图 3.17

如图3.17所示，设 $ M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) $是平面 $ \pi $上一个确定的点， $ M(x,y,z) $是 $ \pi $上任一点，向量 $ \boldsymbol{n}=(A,B,C) $与 $ \pi $垂直，则

$$ \overrightarrow{n\cdot M_{0}M}=(A,B,C)\cdot(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0, $$

即

$$ \boldsymbol{A}(x-x_{0})+\boldsymbol{B}(y-y_{0})+\boldsymbol{C}(z-z_{0})=0. $$

显然，平面 $ \pi $ 上任一点的坐标都满足这个方程。而坐标满足方程的点都在 $ \pi $ 上。于是这个方程就是过点 $ M(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 且与向量 $ \boldsymbol{n} = (A, B, C) $ 垂直的平面 $ \pi $ 的方程，称为平面的点法式方程。

例1 求过不共线的三点 $ M_{1}(2,-1,4) $， $ M_{2}(-1,3,-2) $， $ M_{3}(0,2,3) $的平面 $ \pi $的方程.

解 $ \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(-3,4,-6) $, $ \overrightarrow{M_{1}M_{3}}=(-2,3,-1) $, 平面 $ \pi $ 的法向量为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{n}&=\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\times\overrightarrow{M_{1}M_{3}}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ -3&4&-6\\ -2&3&-1\end{vmatrix}=14\boldsymbol{i}+9\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k},\end{aligned} $$

原书第 111 页

平面 $ \pi $的方程为

$$ 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, $$

即

$$ 14x+9y-z-15=0. $$

2. 一般式方程

平面的点法式方程可改写为

$$ \begin{align*}Ax+By+Cz+D=0\,,\end{align*} $$

其中 $ D = -Ax_{0} - By_{0} - Cz_{0} $

这个方程称为平面的一般式方程.

利用一般式方程可以讨论一些比较特殊的平面的特性.

（1）当D=0时，平面 $ Ax+By+Cz=0 $经过坐标原点.

（2）当 $ A=0(D\neq0) $ 时，平面 $ By+Cz+D=0 $ 的法向量 $ \boldsymbol{n}=(0,B,C) $， $ \boldsymbol{n} $ 与 $ \boldsymbol{i}=(1,0,0) $ 垂直，由此可得平面与 x 轴平行.

同样，平面 $ Ax+Cz+D=0 $ 与 y 轴平行，平面 $ Ax+By+D=0 $ 与 z 轴平行.

（3）当 A=B=0(D≠0)时，平面 $ Cz+D=0 $ 与 Oxy 平面平行.

同样，平面 $ Ax+D=0 $ 与 Oyz 平面平行，平面 $ By+D=0 $ 与 Oxz 平面平行。而 A=B=D=0 时，平面 z=0 即为 Oxy 平面。

例2 画出下列平面的图形：

(1) 2x - y - z = 0; (2) $ -x + 3y + 6 = 0 $; (3) 3z - 7 = 0.

解（1）此平面过原点，且与 Oxy 平面的交线为 Oxy 平面上的直线 2x-y=0，与 Oxz 平面的交线为 Oxz 平面上的直线 2x-z=0，其图形为图 3.18(a).

（2）此平面与z轴平行，且与x轴的交点坐标为(6,0,0)，与y轴的交点坐标为(0,-2,0)，其图形为图3.18(b).

（3）平面 $ z=\frac{7}{3} $ 与 Oxy 平面平行，与 z 轴的交点坐标为 $ \left(0,0,\frac{7}{3}\right) $，其图形为图3.18(c).

值得注意的是，在平面解析几何中，线性方程 $ ax + by + c = 0 $ 表示直线。而在空间解析几何中，线性方程 $ Ax + By + Cz + D = 0 $， $ Ax + By + D = 0 $， $ Ax + D = 0 $ 都表示平面。

3. 截距式方程

设平面 $ \pi $的一般式方程为

$$ Ax+By+Cz+D=0, $$

且 $ ABCD \neq 0 $，则上式可化为

$$ \frac{x}{-\frac{D}{A}}+\frac{y}{-\frac{D}{B}}+\frac{z}{-\frac{D}{C}}=1. $$

原书第 112 页

(a)

(b)

图3.18

(c)

设 $ a = -\frac{D}{A} $, $ b = -\frac{D}{B} $, $ c = -\frac{D}{C} $，则

$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1. $$

这个方程称为平面的截距式方程。这个平面与 x 轴、y 轴、z 轴的交点分别是 $ (a, 0, 0) $， $ (0, b, 0) $， $ (0, 0, c) $。a, b, c 称为平面 $ \pi $ 在坐标轴上的截距。

二、平面与平面的位置关系

对于两个平面

$$ \pi_{1}:\quad A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0, $$

$$ \pi_{2}:\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0. $$

它们的法向量为 $ \boldsymbol{n}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1}) $， $ \boldsymbol{n}_{2}=(A_{2},B_{2},C_{2}) $。则有

(1) $ \pi_{1} $与 $ \pi_{2} $平行 $ \Leftrightarrow $ $ \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}\neq\frac{D_{1}}{D_{2}} $;

(2) $ \pi_{1} $与 $ \pi_{2} $重合 $ \Leftrightarrow $ $ \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{D_{1}}{D_{2}} $;

(3) $ \pi_{1} $与 $ \pi_{2} $相交 $ \Leftrightarrow\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}} $不成立.

两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角. 设 $ n_{1} $ 与 $ n_{2} $ 的夹角为 $ \theta $，则

$$ \cos\theta=\frac{\boldsymbol{n}_{1}\cdot\boldsymbol{n}_{2}}{\|\boldsymbol{n}_{1}\|\|\boldsymbol{n}_{2}\|}=\frac{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}, $$

由此可得

$$ \pi_{1}\perp\pi_{2}\quad\Leftrightarrow\quad A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0. $$

例3 求过点 $ M_{0}(-1,3,2) $且与平面2x-y+3z-4=0和 $ x+2y+2z-1=0 $都垂直的平面 $ \pi $的方程.

原书第 113 页

解一两个已知平面的法向量分别为 $ \boldsymbol{n}_{1}=(2,-1,3) $, $ \boldsymbol{n}_{2}=(1,2,2) $，故平面 $ \pi $ 的法向量为

$$ \boldsymbol{n}=\boldsymbol{n}_{1}\times\boldsymbol{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc}{{{i}}}&{{{j}}}&{{{k}}} \\{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{3}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{2}}}\end{array}\right|=-8i-j+5k, $$

故平面 $ \pi $的方程为

$$ -8(x+1)-(y-3)+5(z-2)=0, $$

即

$$ 8x+y-5z+15=0. $$

解二设平面 $ \pi $的方程为

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}+\boldsymbol{C}\boldsymbol{z}+\boldsymbol{D}=\boldsymbol{0}, $$

其法向量 $ \boldsymbol{n}=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}) $，由 $ \pi $ 与两个已知平面都垂直可知， $ n $ 与 $ n_1=(2,-1,3) $， $ n_2=(1,2,2) $ 垂直，即

$$ \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}_{1}=2A-B+3C=0, $$

$$ \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}_{2}=\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{B}+2\boldsymbol{C}=0. $$

又由点 $ M_{0}(-1,3,2) $在平面 $ \pi $上，可得

$$ \begin{aligned}-A+3B+2C+D=0.\end{aligned} $$

联立求解

$$ \{\begin{array}{l l}{2A-B+3C}&{=0,}\\ {A+2B+2C}&{=0,}\\ {-A+3B+2C+D}&{=0,}\end{array}. $$

可得 $ A=\frac{8}{15}D, B=\frac{1}{15}D, C=-\frac{1}{3}D. $ 故平面 $ \pi $ 的方程为

$$ \frac{8}{15}Dx+\frac{1}{15}Dy-\frac{1}{3}Dz+D=0, $$

即

$$ 8x+y-5z+15=0. $$

例4 求点 $ P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离.

解如图 3.19 所示，在平面上任取一点 $ P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $，过 $ P_{0} $ 作平面的法向量

$$ \boldsymbol{n}=(A,B,C), $$

则 $ P_{0} $ 到平面的距离 d 就是向量 $ \overrightarrow{P_{1}P_{0}} $ 在 n 上的投影的绝对值，即

$$ d=|\mathrm{Prj}_{n}\overrightarrow{P_{1}P_{0}}|=\left|\frac{n\cdot\overrightarrow{P_{1}P_{0}}}{\parallel n\parallel}\right|=\frac{|n\cdot\overrightarrow{P_{1}P_{0}}|}{\parallel n\parallel} $$

原书第 114 页

$$ \frac{\left|A\left(x_{0}-x_{1}\right)+B\left(y_{0}-y_{1}\right)+C\left(z_{0}-z_{1}\right)\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. $$

因为 $ -Ax_{1}-By_{1}-Cz_{1}=D $，故

$$ d=\frac{\left|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. $$

图3.19

题3.3

写出下列平面的方程：

（1）过点 $ M(1,1,1) $且平行于平面 $ \pi:-2x+y-z+1=0 $;

（2）过点 $ M_{1}(1,2,0) $和 $ M_{2}(2,1,1) $且垂直于平面 $ \pi:y-x-1=0 $

（3）过z轴且与平面 $ 2x+y-\sqrt{5}z=0 $的夹角为 $ \frac{\pi}{3} $

下列图形有何特点？画出其图形.

(1) $ 2z - 3 = 0 $; (2) y = 0;

(3) $ 3x + 4y - z = 0 $; (4) $ x + y + 2z = 0 $.

由原点向平面作垂线，垂足为 $ (x_{0},y_{0},z_{0} $，求此平面的方程.

求过点 $ A(-2,3,0) $, $ B(1,-1,2) $ 且与向量 $ \boldsymbol{a}=(4,5,1) $ 平行的平面方程.

求过三点 $ A(4,2,1) $, $ B(-1,-2,2) $ 和 $ C(0,4,-5) $ 的平面方程.

求以平面 $ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $ 与三坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.

平面 $ \pi $ 过点 $ M(2,0,-8) $ 且与平面 $ x-2y+4z-7=0,3x+5y-2z+3=0 $ 都垂直，求平面 $ \pi $ 的方程.

求由平面 $ \pi_{1}: x-3y+2z-5=0 $ 与 $ \pi_{2}: 3x-2y-z+3=0 $ 所成二面角的平分面的方程.

§3.4 空间直线

与平面的讨论类似，我们先给出空间直线的方程。

一、空间直线的方程

1. 点向式方程

给定点 $ M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) $ 和非零向量 $ \boldsymbol{s}=(m,n,p) $，那么通过点 $ M_{0} $ 且平行于 s 的直线 l 在空间的位置就可以完全确定。向量 s 称为直线 l 的方向向量。

如图 3.20 所示，任取 $ M(x, y, z) \in l $，则

$$ \overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}), $$

重难点分析

直线的点向

式方程

原书第 115 页

且 $ \overrightarrow{M_0M} \parallel s $。于是存在 $ \lambda \in \mathbb{R} $，使 $ \overrightarrow{M_0M} = \lambda s $，即

$$ (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=(\lambda m,\lambda n,\lambda p) $$

所以

图 3.20

$$ \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}. $$

显然，直线 l 上任一点的坐标都满足方程组；反之，坐标满足方程组的点必在直线 l 上。因此这个方程组称为直线 l 的点向式方程，又称为标准方程。

若点向式方程中某个分母为零，比如 m=0，则由式(3.1)可知 $ x-x_{0}=0 $，这表明直线 l 在平面 $ x=x_{0} $ 上。也就是说，

$$ \frac{x-x_{0}}{0}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} $$

应理解为

$$ \begin{cases}x-x_{0}=0,\\\dfrac{y-y_{0}}{n}=\dfrac{z-z_{0}}{p}.\end{cases} $$

例1 设直线 l 经过点 $ M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $ 与 $ M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}) $，求 l 的方程.

解 l 的方向向量 $ \boldsymbol{s} = \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}) $，故 l 的方程为

$$ \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}. $$

2. 参数式方程

由点向式方程可得

$$ \begin{cases}x=\lambda m+x_{0},\\y=\lambda n+y_{0},\\z=\lambda p+z_{0}.\end{cases} $$

这就是直线 l 的参数式方程， $ \lambda $ 称为参数。不同的 $ \lambda $ 对应于 l 上不同的点。

例2 设直线 l 过点 $ M(3,4,-4) $，s 是 l 的方向向量，s 的方向角为 $ \frac{\pi}{3} $， $ \frac{\pi}{4} $， $ \frac{2\pi}{3} $，求 l 的方程.

解 $ e_{s}=\left(\cos\frac{\pi}{3},\cos\frac{\pi}{4},\cos\frac{2\pi}{3}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2}\right) $，可取 $ s=(1,\sqrt{2},-1) $，则 l 的方程为

原书第 116 页

$$ \begin{cases}x=\lambda+3,\\y=\sqrt{2}\lambda+4,\\z=-\lambda-4.\end{cases} $$

3. 一般式方程

一条空间直线可以看作两个平面的交线，于是直线方程可表示为

$$ \{\begin{aligned}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}&=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}&=0.\end{aligned}. $$

这个方程组称为直线的一般式方程.

例3 将直线 l 的一般式方程 $ \{\begin{aligned}&4x+3y-z+5=0,\\ &3x+2y+2z+1=0\end{aligned}. $ 化为点向式方程.

解一由一般式方程可得

$$ \{\begin{aligned}4x+3y&=z-5,\\ 3x+2y&=-2z-1,\end{aligned}. $$

取 z=1，解得 x=-1, y=0。于是， $ M(-1,0,1) $ 是 l 上一点。

两个平面的法向量分别是 $ \boldsymbol{n}_{1}=(4,3,-1) $, $ \boldsymbol{n}_{2}=(3,2,2) $，故 l 的方向向量为

$$ s=\boldsymbol{n}_{1}\times\boldsymbol{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc}{{{i}}}&{{{j}}}&{{{k}}} \\{{{4}}}&{{{3}}}&{{{-1}}} \\{{{3}}}&{{{2}}}&{{{2}}}\end{array}\right|=8i-11j-k, $$

所以 l 的方程为

$$ \frac{x+1}{8}=\frac{y}{-11}=\frac{z-1}{-1}. $$

解二取 z=1，由一般式方程可得 l 上的点 $ M(-1,0,1) $；取 z=0 可得 l 上的点 $ N(7,-11,0) $。由此可得 l 的方向向量 $ \boldsymbol{s}=\overrightarrow{MN}=(8,-11,-1) $，故 l 的方程为

$$ \frac{x+1}{8}=\frac{y}{-11}=\frac{z-1}{-1}. $$

解三在一般式方程中消去 x 可得 $ z=\frac{y+11}{11} $，消去 y 可得 $ z=\frac{x-7}{-8} $。于是，l 的方程为

$$ \frac{x-7}{-8}=\frac{y+11}{11}=\frac{z}{1}. $$

解二与解三的结果表现形式不同，但容易看出都是同一条直线 l 的方程.

二、直线与直线的位置关系

对于两条空间直线

原书第 117 页

$$ l_{1}:\frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}},\quad l_{2}:\frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}. $$

它们的方向向量 $ \boldsymbol{s}_{1}=(m_{1},n_{1},p_{1}) $， $ \boldsymbol{s}_{2}=(m_{2},n_{2},p_{2}) $ 分别过点 $ M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) $， $ M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) $，则有

(1) $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 平行 $ \Leftrightarrow $ $ \mathbf{s}_1 \parallel \mathbf{s}_2 $ $ \times $ $ \overrightarrow{M_1M_2} $;

(2) $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 重合 $ \Leftrightarrow $ $ s_1 \parallel s_2 \parallel M_1 M_2 $;

(3) $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 相交 $ \Leftrightarrow $ $ s_1 \not\subset s_2 $ 且 $ [s_1 \quad s_2 \quad \overrightarrow{M_1M_2}]=0 $;

(4) $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 异面 $ \Leftrightarrow $ $ s_1 \parallel s_2 $ 且 $ [s_1 \quad s_2 \quad \overrightarrow{M_1M_2}] \neq 0 $.

两直线的方向向量的夹角 $ \theta $称为两直线的夹角，有

$$ \cos\theta=\frac{\boldsymbol{s}_{1}\bullet\boldsymbol{s}_{2}}{\|\boldsymbol{s}_{1}\|\|\boldsymbol{s}_{2}\|}=\frac{m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}}{\sqrt{m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}}\sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}}, $$

由此可得

$$ \begin{array}{r}{\begin{array}{l l}{l_{1}\perp l_{2}}&{\iff\quad m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}=0.}\end{array}}\end{array} $$

例4 判定直线 $ l_{1}:x=y=z-4 $与 $ l_{2}:-x=y=z $的位置关系.

解因为 $ \boldsymbol{s}_{1}=(1,1,1) $， $ \boldsymbol{s}_{2}=(-1,1,1) $，所以 $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 不平行.

点 $ M_{1}(0,0,4) $在直线 $ l_{1} $上，点 $ M_{2}(0,0,0) $在直线 $ l_{2} $上.

$$ \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(0,0,-4), $$

混合积

$$ [\boldsymbol{s}_{1}\quad\boldsymbol{s}_{2}\quad\overrightarrow{M_{1}M_{2}}]=-8\neq0, $$

故 $ l_{1} $与 $ l_{2} $为异面直线.

例 5 求过点 $ M(2,0,-1) $ 且与直线 $ l:\{\begin{aligned}&2x-3y+z-6=0,\\ &4x-2y+3z+9=0\end{aligned}. $ 平行的直线方程.

解 l 的方向向量为

$$ s=\boldsymbol{n}_{1}\times\boldsymbol{n}_{2}=\left|\begin{array}{c c c}{i}&{j}&{k}\\ {2}&{-3}&{1}\\ {4}&{-2}&{3}\end{array}\right|=-7i-2j+8k, $$

所以 l 的方程为 $ \frac{x-2}{-7}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{8} $.

下面讨论空间任一点 $ M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) $ 到直线 $ l:\frac{x-x_{1}}{m}=\frac{y-y_{1}}{n}=\frac{z-z_{1}}{p} $ 的距离.

如图3.21所示，设 $ s=\overrightarrow{M_{1}M}=(m,n,p) $，则以s和 $ \overrightarrow{M_{1}M_{0}} $为邻边所作的平行四边形的面积

$$ A=\parallel\boldsymbol{s}\times\overrightarrow{M_{1}M_{0}}\parallel=d\parallel\boldsymbol{s}\parallel, $$

原书第 118 页

故点 $ M_{0} $到直线l的距离

$$ d=\frac{\|s\times\overrightarrow{M_{1}M_{0}}\|}{\|s\|}. $$

图 3.21

例6 求点 $ M_{0}(1,2,1) $到直线l：

$ \{\begin{aligned}&x+y=0,\\&x-y+z-2=0\end{aligned}. $ 的距离.

解 l 的方向向量

$$ s=\left|\begin{array}{ccc}{{{i}}}&{{{j}}}&{{{k}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}\end{array}\right|=i-j-2k=(1,-1,-2). $$

在 l 的方程中取 z=0，得 l 上的点 $ M_{1}(1,-1,0) $.

$$ \overrightarrow{M_{1}M_{0}}=(0,3,1), $$

$$ s\times\overrightarrow{M_{1}M_{0}}=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&-2\\0&3&1\end{array}\right|=5i-j+3k=(5,-1,3). $$

$$ d=\frac{\left\|\boldsymbol{s}\times\overrightarrow{M_{1}M_{0}}\right\|}{\left\|\boldsymbol{s}\right\|}=\frac{\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}=\sqrt{\frac{35}{6}}. $$

三、直线与平面的位置关系

$$ l:\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} $$

对于直线

与平面

$$ \pi:A x+B y+C z+D=0, $$

直线的方向向量为 $ \boldsymbol{s}=(m,n,p) $，平面的法向量为 $ \boldsymbol{n}=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}) $，则有

重难点分析

直线与平面的位置关系

(1) $ l $ 与 $ \pi $ 平行 $ \Leftrightarrow $ $ s \cdot n = 0 $ 但 $ Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \neq 0 $

(2) l 在 $ \pi $ 上 $ \Leftrightarrow $ $ s \cdot n = 0 $ 且 $ Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D = 0 $;

(3) l 与 $ \pi $ 相交 $ \Leftrightarrow s \cdot n \neq 0 $.

过 l 作一平面 $ \pi' $ 与 $ \pi $ 垂直，则 $ \pi' $ 与 $ \pi $ 的交线 $ l' $ 称为 l 在 $ \pi $ 上的投影.

l 与 $ l' $ 的夹角（锐角）称为 l 与 $ \pi $ 的夹角（图3.22）。由图3.22还可得

图 3.22

原书第 119 页

$$ \theta=\{\begin{aligned}&\frac{\pi}{2}-\langle s,n\rangle,&\langle s,n\rangle\leqslant\frac{\pi}{2},\\ &\langle s,n\rangle-\frac{\pi}{2},&\langle s,n\rangle>\frac{\pi}{2},\end{aligned}. $$

由此式可得

$$ \begin{align*}\sin\theta=&\frac{\left|\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{s}\right|}{\|\boldsymbol{n}\|\|\boldsymbol{s}\|}\\=&\frac{\left|\boldsymbol{A}\boldsymbol{m}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{n}+\boldsymbol{C}\boldsymbol{p}\right|}{\sqrt{\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{B}^{2}+\boldsymbol{C}^{2}}\sqrt{\boldsymbol{m}^{2}+\boldsymbol{n}^{2}+\boldsymbol{p}^{2}}}.\end{align*} $$

例7 判定直线 $ l: \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z}{2} $ 与平面 $ \pi: x + 4y - z - 1 = 0 $ 的位置关系，若相交则求出交点与夹角.

解

$$ s=\left(1,-2,2\right),\quad n=\left(1,4,-1\right), $$

由 $ s\cdot n=-9\neq0 $，知直线与平面相交.

直线 l 的参数方程为

$$ \{\begin{aligned}x=&\quad\lambda+1,\\ y=&-2\lambda-2,\\ z=&\quad2\lambda,\end{aligned}. $$

代入 $ \pi $ 的方程，可得 $ \lambda = -\frac{8}{9} $. $ \lambda = -\frac{8}{9} $ 在 l 上所对应的点 $ M\left(\frac{1}{9}, -\frac{2}{9}, -\frac{16}{9}\right) $ 为 l 与 $ \pi $ 的交点.

故 l 与 $ \pi $ 的夹角

$$ \theta=\arcsin\frac{\left|\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{s}\right|}{\|\boldsymbol{n}\|\|\boldsymbol{s}\|}=\arcsin\frac{\left|1-8-2\right|}{\sqrt{18}\sqrt{9}}=\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4}. $$

例8 直线 l 过点 $ M(2,5,-2) $ 且与直线 $ l_{1}:\{\begin{aligned}x-y+2z-4=0,\\3x+4y+z=0\end{aligned}. $ 垂直相交，求 l 的方程.

解 $ l_{1} $ 的方向向量为

$$ s_{1}=n_{1}\times n_{2}=\left|\begin{array}{ccc}{{{i}}}&{{{j}}}&{{{k}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{2}}} \\{{{3}}}&{{{4}}}&{{{1}}}\end{array}\right|=-9i+5j+7k. $$

过 $ M(2,5,-2) $ 作与 $ l_{1} $ 垂直的平面 $ \pi $，则 $ \pi $ 的方程为

$$ -9(x-2)+5(y-5)+7(z+2)=0, $$

即 9x-5y-7z-7=0. 与 $ l_{1} $ 的方程联立求解：

$$ \{\begin{aligned}&9x-5y-7z-7=0,\\ &x-y+2z-4=0,\\ &3x+4y+z=0,\end{aligned}. $$

原书第 120 页

得直线 $ l_{1} $ 与平面 $ \pi $ 的交点 N(1, -1, 1). 点 M(2, 5, -2) 与 N(1, -1, 1) 所确定的直线就是 l（见图 3.23）.

l 的方向向量为 $ \boldsymbol{s} = \overrightarrow{MN} = (-1, -6, 3) $，所以 l 的

方程为

$$ \frac{x-2}{-1}=\frac{y-5}{-6}=\frac{z+2}{3}. $$

图 3.23

设直线 l 的方程是

$$ \{\begin{array}{l}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.\end{array}. $$

则除方程(3.3)所表示的平面外，经过直线 l 的所有平面都可以由下式表示：

$$ \boldsymbol{A}_{1}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{y}+\boldsymbol{C}_{1}\boldsymbol{z}+\boldsymbol{D}_{1}+\lambda\left(\boldsymbol{A}_{2}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}_{2}\boldsymbol{y}+\boldsymbol{C}_{2}\boldsymbol{z}+\boldsymbol{D}_{2}\right)=0. $$

经过直线 l 的平面全体称为过 l 的平面束. 这个方程称为经过直线 l 的平面束方程.

例9 求直线 $ l: \frac{x-4}{4} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-2}{3} $ 在平面 $ \pi: 2x + 2y + z - 11 = 0 $ 上的投影直线 $ l' $.

解一过直线 l 作一平面 $ \pi' $ 与 $ \pi $ 垂直，则 $ \pi' $ 与 $ \pi $ 的交线就是 l 在 $ \pi $ 上的投影直线 $ l' $.

将 l 的方程改写为一般式，则由

$$ \begin{cases}\dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y-5}{-1},\\\dfrac{y-5}{-1}=\dfrac{z-2}{3}\end{cases} $$

可得

$$ \{\begin{aligned}x+4y&{-24=0,\\ 3y&+z-17=0.\end{aligned}. }$$

过 l 的平面束方程为 $ x+4y-24+\lambda(3y+z-17)=0 $，即

$$ x+(4+3\lambda)y+\lambda z-(24+17\lambda)=0, $$

其法向量为 $ \boldsymbol{n}^{\prime}=(1,4+3\lambda,\lambda) $. 由 $ \pi^{\prime}\perp\pi $ 可得

$$ n\cdot n^{\prime}=2\cdot1+2\cdot(4+3\lambda)+1\cdot\lambda=7\lambda+10=0, $$

$$ \lambda=-\frac{10}{7}, $$

故 $ \pi^{\prime} $的方程为

原书第 121 页

$$ x+\left(4-\frac{30}{7}\right)y-\frac{10}{7}z-\left(24-\frac{170}{7}\right)=0, $$

即 7x-2y-10z+2=0.l 在 $ \pi $ 上的投影直线为

$$ l^{\prime}:\{\begin{aligned}&7x-2y-10z+2=0,\\ &2x+2y+z-11=0.\end{aligned}. $$

解二作过 l 且与 $ \pi $ 垂直的平面 $ \pi' $，则 l 上的点 $ M(4,5,2) $ 在 $ \pi' $ 上.

直线 l 的方向向量 $ \boldsymbol{s} = (4, -1, 3) $ 与平面 $ \pi $ 的法向量 $ \boldsymbol{n} = (2, 2, 1) $ 的外积 $ s \times n $ 就是 $ \pi' $ 的法向量 $ n' $.

$$ \boldsymbol{n}^{\prime}=\boldsymbol{s}\times\boldsymbol{n}=\left|\begin{array}{c c c}{i}&{j}&{k}\\ {4}&{-1}&{3}\\ {2}&{2}&{1}\end{array}\right|=-7i+2j+10k, $$

故 $ \pi^{\prime} $的方程为

$$ -7(x-4)+2(y-5)+10(z-2)=0, $$

即 7x-2y-10z+2=0，所以直线 l 在平面 $ \pi $ 上的投影直线为

$$ l^{\prime}:\{\begin{aligned}&7x-2y-10z+2=0,\\ &2x+2y+z-11=0.\end{aligned}. $$

例10 设平面 $ \pi $与 $ \pi':5x-y+3z-2=0 $垂直, $ \pi $与 $ \pi' $的交线落在Oxy平面上，求平面 $ \pi $的方程.

解一设 $ \pi $ 的方程为

$$ Ax+By+Cz+D=0, $$

则 $ \pi $与 $ \pi^{\prime} $的交线就是 $ \pi^{\prime} $与Oxy平面的交线：

$$ l:\{\begin{aligned}5x-y+3z-2&=0,\\ z&=0.\end{aligned}. $$

上的两个点 $ M_{1}(1,3,0) $， $ M_{2}(0,-2,0)\in\pi $

将 $ M_{1}, M_{2} $的坐标代入 $ \pi $的方程可得：

$$ \{\begin{aligned}&A+3B+D=0,\\ &-2B+D=0.\end{aligned}. $$

又由 $ \pi \perp \pi' $ 可知其法向量垂直：

$$ (A,B,C)\bullet(5,-1,3)=5A-B+3C=0. $$

联立求解式(3.4)，(3.5)，(3.6)可得A=15,B=-3,C=-26,D=-6. $ \pi $的方程为

$$ \begin{array}{l} 15x-3y-26z-6=0.\end{array} $$

原书第 122 页

解二 $ \pi $ 与 $ \pi' $ 的交线即 $ \pi' $ 与 Oxy 平面的交线：

$$ l:\{\begin{aligned}5x-y+3z-2&=0,\\ z&=0.\end{aligned}. $$

过 l 的平面束方程为

$$ 5x-y+3z-2+\lambda z=0, $$

即 $ 5x - y + (3 + \lambda)z - 2 = 0 $，其法向量为 $ \boldsymbol{n} = (5, -1, 3 + \lambda) $

由 $ \pi $与 $ \pi' $垂直可知n与 $ \pi' $的法向量垂直：

$$ \boldsymbol{n}\cdot(5,-1,3)=35+3\lambda=0,\lambda=-\frac{35}{3}. $$

将 $ \lambda = -\frac{35}{3} $ 代入平面束方程 (3.7)，得 $ \pi $ 的方程为

$$ \begin{array}{l}15x-3y-26z-6=0.\end{array} $$

题3.4

对于直线

$$ l_{1}:\{\begin{aligned}x&=1+\lambda,\\ y&=-1+2\lambda,\\ z&=\lambda\end{aligned}.,\quad 与 \quad l_{2}:\{\begin{aligned}2x&-y-5=0,\\ y&-2z+3=0,\end{aligned}. $$

（1）证明： $ l_{1}\parallel l_{2} $；（2）求 $ l_{1} $与 $ l_{2} $的距离；（3）求 $ l_{1} $与 $ l_{2} $所确定的平面方程.

证明直线 $ l_{1} $: $ \{\begin{aligned}&2x-y+3z+3=0,\\&x+10y-21=0\end{aligned}. $ 与 $ l_{2} $: $ \{\begin{aligned}&2x-y=0,\\&7x+z-6=0\end{aligned}. $ 相交，并求出 $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 的交点、夹角以及 $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 所确定的平面.

求与平面 2x-3y-6z-14=0 平行，且与坐标原点的距离为 5 的平面方程.

求点 $ M(3,1,-4) $ 关于直线 l: $ \{\begin{aligned}&x-y-4z+12=0,\\ &2x+y-2z+3=0\end{aligned}. $ 的对称点.

平面 $ \pi $ 过三点 $ A(1,0,0) $， $ B(0,1,0) $， $ C(0,0,1) $，求过原点的直线l，使l在平面x=y上，且与 $ \pi $成 $ 45^{\circ} $角.

求点 $ P(3,1,2) $ 在直线 l: x=3t, y=t-1, z=t+1 上的投影 $ P' $，并求点 P 到 l 的距离 d.

求直线 $ l: \{ \begin{aligned} &x + 2y - 3z - 5 = 0, \\ &2x - y + z + 2 = 0 \end{aligned} . $ 的标准方程和在三个坐标面上的投影.

证明直线 $ l_{1}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-5}{4} $ 与 $ l_{2}:\frac{x-7}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{-2} $ 位于同一平面内，并求此平面及两直线间的夹角.

对于直线 $ l_{1} $: $ \frac{x+7}{3}=\frac{y+4}{4}=\frac{z+3}{-2} $ 与 $ l_{2} $: $ \frac{x-21}{6}=\frac{y+5}{-4}=\frac{z-2}{-1} $,

原书第 123 页

（1）证明它们不在同一平面上：

（2）写出过 $ l_{2} $且平行于 $ l_{1} $的平面方程.

习题三

设 a, b 均为非零向量，且 $ \|b\| = 1, \langle a, b\rangle = \frac{\pi}{4} $，求

$$ \lim_{x\to0}\frac{\|a+x b\|-\|a\|}{x}. $$

设向量 r 与 a=i-2j-2k 共线，与 j 成锐角，且 $ \|r\|=15 $，求 r.

在顶点为 $ A(1,-1,2) $， $ B(5,-6,2) $ 和 $ C(1,3,-1) $ 的三角形中，求 AC 边上的高 h.

设向量 p 和向量 q = 3i + 6j + 8k 与 x 轴都垂直，且 $ \| p \| = 2 $，求向量 p.

设向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 两两垂直，且符合右手系规则， $ \|\alpha_{1}\| = 4 $， $ \|\alpha_{2}\| = 2 $， $ \|\alpha_{3}\| = 3 $，计算 $ (\alpha_{1} \times \alpha_{2}) \cdot \alpha_{3} $.

平面 $ \pi $ 过 $ M_{1}(1,1,1) $ 和 $ M_{2}(0,1,-1) $ 且与平面 $ x+y+z=0 $ 垂直，求 $ \pi $ 的方程.

平面 $ \pi $ 过 $ \pi_{1}: 2x - 3y - z + 1 = 0 $ 与 $ \pi_{2}: x + y + z = 0 $ 的交线且与平面 $ \pi_{2} $ 垂直，求 $ \pi $ 的方程.

在直线 $ l: \{ \begin{aligned} &3x + 2y + 4z - 11 = 0, \\ &2x + v - 3z - 1 = 0 \end{aligned} . $ 上求与点 $ Q(1,1,1) $ 的距离为 1 的点 P.

求点 $ A(1, -2, 1) $ 到直线 $ l: \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z + 2}{4} $ 的距离.

求过点 A(-1,2,3) 与向量 $ \boldsymbol{\alpha}=(4,3,1) $ 垂直，并与直线 l: $ \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{1} $ 相交的直线方程.

求直线 $ l: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1} $ 在平面 $ \pi: x - y + 2z - 1 = 0 $ 上的投影直线 $ l' $ 的方程.

思考题三

对于向量 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $，试解释为什么称 $ \|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\| \leqslant \|\boldsymbol{a}\| + \|\boldsymbol{b}\| $ 为三角不等式？

设直线 l 的方程是 $ \{\begin{array}{l}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.\end{array}. $，用

$$ \lambda_{1}(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\lambda_{2}(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0 $$

表示经过直线 l 的平面束方程与用

原书第 124 页

表示经过直线 l 的平面束方程，有何差异？你认为它们的优缺点各在何处？试用式（*）求例 9 中投影直线 $ l' $ 的方程.

试推导两条空间异面直线的距离公式.

知识点注释三

综合自测题三

第三章 几何空间