第五章特征值与特征向量

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第五章特征值与特征向量

工程技术中的振动问题与稳定性问题，数学中矩阵的对角化与微分方程组的求解问题，还有其他一些实际问题，都可以归结为求矩阵的特征值与特征向量。

本章先介绍矩阵的特征值与特征向量的概念，再引入相似矩阵的概念，并讨论矩阵的相似对角化，最后介绍 n 维向量空间的正交性及实对称矩阵的相似对角化.

重点难点

§5.1 特征值与特征向量的概念与计算

在实际问题中，常常碰到这样的问题，即对于一个给定的 n 阶方阵 A，是否存在非零的 n 维向量 $ \alpha $，使得 $ A\alpha $ 与 $ \alpha $ 平行，即存在常数 $ \lambda $，使得 $ A\alpha = \lambda\alpha $ 成立。在数学上，这就是特征值与特征向量的问题。

定义设 A 是 n 阶方阵，如果存在数 $ \lambda $ 和 n 维非零向量 $ \alpha $，使

$$ A\alpha=\lambda\alpha. $$

则称 $ \lambda $ 为方阵 A 的一个特征值， $ \alpha $ 为方阵 A 对应于特征值 $ \lambda $ 的一个特征向量.

例1 设

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}3&-2\\ 1&0\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}, $$

有

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{pmatrix}3&-2\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=1\boldsymbol{\alpha}_{1}, $$

$$ \mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{pmatrix}3&-2\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}=2\boldsymbol{\alpha}_{2}, $$

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}3&-2\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{bmatrix}-1\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5\\ -1\end{bmatrix}\neq\lambda\begin{bmatrix}-1\\ 1\end{bmatrix}. $$

重难点分析

特征值与特征

向量的定义

由定义可知，1与2就是A的两个特征值， $ \alpha_{1} $与 $ \alpha_{2} $就是A分别对应于特征值1

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与2的特征向量；而 $ \beta $则不是A的特征向量.

从几何上看，矩阵 A 分别乘向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 与 $ \beta $ 的结果如图 5.1 所示， $ A\alpha_{2} $ 相当于将向量 $ \alpha_{2} $ 增大一倍。这说明，如果 $ \alpha $ 是 A 的特征向量，那么 $ A\alpha $ 相当于对 $ \alpha $ 作一次“伸缩”变换。

图5.1

例2 设方阵A满足 $ A^{2}=A $，试证：A的特征值只有0或1.

证设 $ \lambda $ 是 A 的特征值, $ \alpha $ 是 A 对应于 $ \lambda $ 的特征向量, 则 $ A\alpha = \lambda\alpha $ ( $ \alpha \neq 0 $). 于是

$$ \lambda\alpha=A\alpha=A^{2}\alpha=A(A\alpha)=A(\lambda\alpha)=\lambda(A\alpha)=\lambda^{2}\alpha, $$

所以

$$ (\lambda^{2}-\lambda)\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}. $$

因为 $ \alpha \neq 0 $，所以 $ \lambda^{2} - \lambda = \lambda (\lambda - 1) = 0 $，即 $ \lambda = 0 $ 或 $ \lambda = 1 $.

对于 n 阶方阵 A，如果 $ \alpha $ 是 A 对应于特征值 $ \lambda $ 的一个特征向量，则对任意的 $ k \neq 0 $，

$$ \mathbf{A}\left(k\boldsymbol{\alpha}\right)=k\left(\mathbf{A}\boldsymbol{\alpha}\right)=k\left(\lambda\boldsymbol{\alpha}\right)=\lambda\left(k\boldsymbol{\alpha}\right), $$

所以， $ k\alpha $ 也是 A 对应于特征值 $ \lambda $ 的特征向量.

设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 都是 A 对应于特征值 $ \lambda $ 的特征向量，且 $ k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{r}\alpha_{r} \neq 0 $，则

$$ \begin{align*}\boldsymbol{A}\left(k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{r}\boldsymbol{\alpha}_{r}\right)=&k_{1}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_{2}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+k_{r}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{r})\\=&k_{1}(\lambda\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_{2}(\lambda\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+k_{r}(\lambda\boldsymbol{\alpha}_{r})\\=&\lambda\left(k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{r}\boldsymbol{\alpha}_{r}\right).\end{align*} $$

所以 $ k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{r}\alpha_{r} $ 也是 A 对应于特征值 $ \lambda $ 的特征向量.

设 $ V_{\lambda} $ 是 n 阶方阵 A 对应于特征值 $ \lambda $ 的所有特征向量以及零向量所组成的集合，即

$$ V_{\lambda}=\{\alpha\mid\mathrm{A}\alpha=\lambda\alpha,\lambda\in\mathrm{C},\alpha\in\mathrm{C}^{n}\}. $$

由以上分析可知 $ V_{\lambda} $ 对向量的加法和数乘封闭. 故 $ V_{\lambda} $ 构成子空间. 我们称 $ V_{\lambda} $ 为 A 的特征子空间.

在例1中， $ A\alpha_{1}=\alpha_{1}, A\alpha_{2}=2\alpha_{2} $，不难证明：A对应于特征值 $ \lambda_{1}=1 $的所有特征向

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量都可以由 $ \alpha_{1} $ 线性表出，对应于 $ \lambda_{2}=2 $ 的所有特征向量都可以由 $ \alpha_{2} $ 线性表出。从几何上看， $ V_{\lambda_{1}} $ 对应于过原点与点 (1,1) 的

直线 $ l_{1},V_{\lambda_{2}} $ 对应于过原点与点(2,1)的直线 $ l_{2} $

(图5.2), 即

$$ V_{\lambda_{1}}=\{l_{1}. 上的所有向量 \}, $$

$$ V_{\lambda_{2}}=\{l_{2}\ 上的所有向量 \}. $$

下面讨论对于给定的方阵 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n} $，怎样求 A 的特征值与特征向量.

设 $ \alpha $ 是方阵 A 对应于特征值 $ \lambda $ 的特征向量，

即 $ A\alpha = \lambda\alpha $ ( $ \alpha \neq 0 $), ( $ \lambda I - A $) $ \alpha = 0 $. 于是, $ \alpha $ 是齐

次线性方程组 $ (\lambda I-A)X=0 $即

图5.2

$$ \{\begin{aligned}&(\lambda-a_{11})x_{1}-a_{12}x_{2}-\cdots-a_{1n}x_{n}=0,\\ &-a_{21}x_{1}+(\lambda-a_{22})x_{2}-\cdots-a_{2n}x_{n}=0,\\ &\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ &-a_{n1}x_{1}-a_{n2}x_{2}-\cdots+(\lambda-a_{nn})x_{n}=0\end{aligned}. $$

的非零解.因此， $ (\lambda I-A)X=0 $ 的解空间就是 A 的特征子空间，它的维数为

$$ \dim V_{\lambda}=n-R\left(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\right). $$

$ (\lambda I - A)X = 0 $ 的基础解系为 $ V_{\lambda} $ 的基.

因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，所以

$$ \det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0. $$

我们将方程 $ \det(\lambda I - A) = 0 $ 称为方阵 A 的特征方程。特征方程的根就是特征值，故有时又将特征值称为特征根。若 $ \lambda $ 是单根，则称 $ \lambda $ 为 A 的单特征根；若 $ \lambda $ 是 k 重根，则称 $ \lambda $ 为 A 的 k 重特征根。

由以上分析可得求方阵A的特征值与特征向量的计算步骤如下：

$ 1^{\circ} $ 求特征方程 $ \det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0 $ 的全部相异根 $ \lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{k}(k\leqslant n) $;

$ 2^{\circ} $ 分别求 $ (\lambda_{i}I-A)X=0(i=1,2,\cdots,k) $的基础解系 $ \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir_{i}} $，则 $ k_{1}\alpha_{i1}+k_{2}\alpha_{i2}+\cdots+k_{r_{i}}\alpha_{ir_{i}}(k_{1},k_{2},\cdots,k_{r_{i}} $不全为零)就是A对应于特征值 $ \lambda_{i} $的全部特征向量.

例3 求方阵 $ A=\begin{vmatrix}3&-2\\1&0\end{vmatrix} $的特征值与特征向量.

解 $ \det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{matrix}\lambda-3&2\\ -1&\lambda\end{matrix}\right|=\lambda^{2}-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2) $，A 的特征值为 $ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=2 $.

对于 $ \lambda_{1}=1 $，齐次线性方程组 $ (\lambda_{1}I-A)X=0 $的系数矩阵为

$$ \begin{pmatrix}{{{-2}}}&{{{2}}} \\{{{-1}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}, $$

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相应简化的齐次线性方程组为 $ x_{1}-x_{2}=0 $，其基础解系为

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, $$

故对应于 $ \lambda_{1}=1 $ 的 A 的全部特征向量为 $ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}(k_{1}\neq0) $.

对于 $ \lambda_{2}=2 $，齐次线性方程组 $ (\lambda_{2}I-A)X=0 $的系数矩阵为

$$ \begin{pmatrix}{{{-1}}}&{{{2}}} \\{{{-1}}}&{{{2}}}\end{pmatrix}, $$

相应简化的齐次线性方程组为 $ x_{1}-2x_{2}=0 $，其基础解系为

$$ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}, $$

故对应于 $ \lambda_{2}=2 $ 的 A 的全部特征向量为 $ k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}(k_{2}\neq0) $.

例4 求 $ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix} $ 的特征值与特征向量.

解

$$ \begin{aligned}\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})&=\left|\begin{matrix}\lambda-1&2&-2\\ 2&\lambda+2&-4\\ -2&-4&\lambda+2\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\lambda-1&2&-2\\ 2&\lambda+2&-4\\ 0&\lambda-2&\lambda-2\end{matrix}\right|\\&=\left|\begin{matrix}\lambda-1&4&-2\\ 2&\lambda+6&-4\\ 0&0&\lambda-2\end{matrix}\right|=(\lambda-2)\left|\begin{matrix}\lambda-1&4\\ 2&\lambda+6\end{matrix}\right|\\&=(\lambda-2)^{2}(\lambda+7)，\end{aligned} $$

A 的特征值为 $ \lambda_{1}=2 $（2 重）， $ \lambda_{2}=-7 $.

对于 $ \lambda_{1}=2 $，齐次线性方程组 $ (\lambda_{1}I-A)X=0 $的系数矩阵为

$$ \begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{-2}}} \\{{{2}}}&{{{4}}}&{{{-4}}} \\{{{-2}}}&{{{-4}}}&{{{4}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}, $$

相应简化的齐次线性方程组为 $ x_{1}=-2x_{2}+2x_{3} $，其基础解系为

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-2,1,0)^{\mathrm{T}},\quad\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0,1)^{\mathrm{T}}, $$

A 对应于 $ \lambda_{1}=2 $ 的全部特征向量为 $ k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}(k_{1},k_{2} $ 不全为零 $.$

对于 $ \lambda_{2}=-7 $，齐次线性方程组 $ (\lambda_{2}\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{X}=\boldsymbol{0} $的系数矩阵为

$$ \begin{pmatrix}-8&2&-2\\2&-5&-4\\-2&-4&-5\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}, $$

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相应简化的齐次线性方程组为 $ \{\begin{aligned}x_{1}&=-\frac{1}{2}x_{3}\\ x_{2}&=-x_{3}\end{aligned}. $，其基础解系为

$$ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,2,-2)^{\mathrm{T}}, $$

A 对应于 $ \lambda_{2} = -7 $ 的全部特征向量为 $ k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}(k_{3} \neq 0) $.

例 5 求方阵 $ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $ 的特征值与特征向量.

解

$$ det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{array}{ccc}{{{\lambda+1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{4}}}&{{{\lambda-3}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{\lambda-2}}}\end{array}\right|=(\lambda-2)(\lambda-1)^{2}, $$

A 的特征值为 $ \lambda_{1}=2,\lambda_{2}=1 $ (2 重).

对于 $ \lambda_{1}=2 $，对应的齐次线性方程组 $ (\lambda_{1}I-A)X=0 $为

$$ \{\begin{array}{l}3x_{1}-x_{2}=0,\\ 4x_{1}-x_{2}=0,\\ -x_{1}\quad=0,\end{array}. $$

其基础解系为

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(0,0,1)^{\mathrm{T}}. $$

A 对应于 $ \lambda_{1}=2 $ 的全部特征向量为 $ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}(k_{1}\neq0) $

注意，方程组(5.2)实质上是一个三元线性方程组，其中 $ x_{3} $的系数全部为零。取 $ x_{3} $为自由未知量，则当 $ x_{3}=1 $时， $ x_{1}=x_{2}=0 $。

对于 $ \lambda_{2}=1 $，相应的齐次线性方程组 $ (\lambda_{2}I-A)X=0 $为

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}&-&\quad x_{2}&=0,\\ 4x_{1}&-&\quad2x_{2}&=0,\\ -x_{1}&&&-x_{3}=0,\end{aligned}. $$

其基础解系为

$$ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,-1)^{\mathrm{T}}, $$

A 对应于 $ \lambda_{2}=1 $ 的全部特征向量为 $ k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}(k_{2}\neq0) $

在例4中， $ \lambda_{1}=2 $ 是A的2重特征根，A对应于 $ \lambda_{1} $ 的线性无关的特征向量有两个，即 $ (\lambda_{1}I-A)X=0 $ 的基础解系由两个解向量组成。在例5中， $ \lambda_{2}=1 $ 也是A的2重特征根，但A对应于 $ \lambda_{2}=1 $ 的线性无关的特征向量却只有一个，即 $ (\lambda_{2}I-A)X=0 $ 的基础解系只由一个解向量组成。

设 n 阶矩阵 A 的特征多项式为

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$$ f(\lambda)=\left|\lambda\mathbf{I}-\mathbf{A}\right|=(\lambda-\lambda_{1})^{k_{1}}(\lambda-\lambda_{2})^{k_{2}}\cdots(\lambda-\lambda_{r})^{k_{r}}, $$

其中 $ \lambda_{i}\neq\lambda_{j}(i\neq j) $， $ \sum_{i=1}^{r}k_{i}=n $，则 $ k_{i} $ 称为特征值 $ \lambda_{i} $ 的代数重数，而 $ \lambda_{i} $ 的特征子空间 $ V_{\lambda_{i}} $ 的维数称为 $ \lambda_{i} $ 的几何重数.

可以证明：特征值的几何重数不大于它的代数重数。即如果 $ \lambda_{i} $ 是 A 的 $ k_{i} $ 重特征值，则 A 对应于 $ \lambda_{i} $ 的线性无关的特征向量的个数不大于 $ k_{i} $，也就是 $ (\lambda_{i} I - A) X = 0 $ 的基础解系所含解向量个数不大于 $ k_{i} $。

例6 设 $ A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix} $，求 A 的特征值与特征向量.

解 $ \det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{matrix}\lambda-1&1\\ -1&\lambda-1\end{matrix}\right|=\lambda^{2}-2\lambda+2 $，A 的特征值为 $ \lambda_{1}=1+i $， $ \lambda_{2}=1-i $.

对于 $ \lambda_{1}=1+i,(\lambda_{1}I-A)X=0 $的系数矩阵为

$$ \begin{pmatrix}{{{\mathrm{i}}}}&{{{1}}} \\{{{-1}}}&{{{\mathrm{i}}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-\mathrm{i}}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix},\quad x_{1}=\mathrm{i}x_{2}, $$

其基础解系为

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{pmatrix}1\\ -i\end{pmatrix}. $$

A 对应于 $ \lambda_{1}=1+i $ 的全部特征向量为 $ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}(k_{1}\neq0) $

对于 $ \lambda_{2}=1-i,(\lambda_{2}I-A)X=0 $ 的基础解系为

$$ \boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix}, $$

A 对应于 $ \lambda_{2}=1-i $ 的全部特征向量为 $ k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}(k_{2}\neq0) $

我们将行列式 $ \det(\lambda I - A) $ 称为矩阵 A 的特征多项式，记为 $ f_{A}(\lambda) $，即

$$ f_{A}(\lambda)=\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}). $$

下面进一步讨论特征多项式 $ f_{A}(\lambda) $ 的性质.

$$ f_{A}(\lambda)=\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{array}{ccccc}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{array}\right|. $$

则 $ f_{A}(\lambda) $ 是 $ \lambda $ 的 n 次多项式：

$$ f_{A}(\lambda)=\lambda^{n}+\alpha_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+\alpha_{1}\lambda+\alpha_{0}. $$

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利用行列式性质将 $ \det(\lambda I - A) $ 展开可得

$$ \begin{align*}f_{A}(\lambda)=&\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\\=&\lambda^{n}-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}\det\boldsymbol{A}.\end{align*} $$

又设 $ f_{A}(\lambda) $ 的全部根（即 A 的全部特征值）为 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $，则

$$ \begin{align*}f_{A}(\lambda)=&(\lambda-\lambda_{1})(\lambda-\lambda_{2})\cdots(\lambda-\lambda_{n})\\=&\lambda^{n}-(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n})\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}.\end{align*} $$

比较（5.3），（5.4），（5.5）可得：

$$ \begin{aligned}&\alpha_{n-1}=-\left(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\right)=-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}\right),\\&\alpha_{0}=(-1)^{n}\det\mathbf{A}=(-1)^{n}\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}.\\ \end{aligned} $$

于是，矩阵A的特征值与A的主对角元及det A之间有以下关系：

$$ \begin{aligned}&\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=tr(\boldsymbol{A}),\\&\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}=det\boldsymbol{A}.\end{aligned} $$

因此，方阵的 n 个特征值之和等于方阵的主对角元之和；n 个特征值之积等于方阵的行列式；n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的所有特征值全不为零。

在多项式理论中可以证明：整系数多项式的整数根一定是常数项的整数因子。利用这个结论，可以确定某些矩阵是否有整数特征值。

例7 设 $ \lambda_{1}=12 $ 是矩阵 $ A=\begin{pmatrix}7&4&-1\\4&7&-1\\-4&a&4\end{pmatrix} $ 的一个特征值，求常数 a 及矩阵 A 的

其余特征值.

解因为 $ \lambda_{1}=12 $ 是矩阵 A 的一个特征值，所以，

$$ \det(\lambda_{1}\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{array}{ccc}5&-4&1\\-4&5&1\\4&-a&8\end{array}\right|=9a+36=0, $$

所以a=-4.设矩阵A的其余特征值是 $ \lambda_{2},\lambda_{3} $，则

$$ \lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=7+7+4=18, $$

$$ \lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}=det\boldsymbol{A}=108, $$

将 $ \lambda_{1}=12 $代入式(5.6)，(5.7)，可得 $ \lambda_{2}=\lambda_{3}=3 $.

习题5.1

求下列矩阵的特征值与特征向量：

(1)

$$ \begin{pmatrix}{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{5}}}&{{{2}}}\end{pmatrix}; $$

(2)

$$ \begin{pmatrix}{{{0}}}&{{{a}}} \\{{{-a}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}; $$

（3）

$$ \begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{2}}}&{{{1}}}&{{{3}}} \\{{{3}}}&{{{3}}}&{{{6}}}\end{pmatrix}; $$

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(4) $ \begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix} $; (5) $ \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} $; (6) $ \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix} $.

设 $ \lambda $ 是方阵 A 的特征值，证明： $ \lambda^{m} $ 是 $ A^{m} $ 的特征值.

设向量 $ \alpha $ 是方阵 A 对于 $ \lambda $ 的特征向量，试求 $ A^{m} $ 对于 $ \lambda^{m} $ 的特征向量.

设 $ \lambda $ 是方阵 A 的特征值， $ f(x) $ 是 x 的多项式，证明： $ f(\lambda) $ 是 $ f(A) $ 的特征值.

试讨论可逆矩阵 A 与 $ A^{-1} $ 的特征值与特征向量的关系.

设 A 可逆，讨论 A 与 $ A^{*} $ 的特征值（特征向量）之间的关系.

设 n 阶矩阵 A 的任何一行中 n 个元素的和都是 a，证明： $ \lambda = a $ 是 A 的特征值.

设 $ A^{2}=I $，证明：A 的特征值只能是 $ \pm1 $.

设 n 阶矩阵 A 满足 $ A^{T}A=I $, $ \det A=-1 $, 证明: -1 是 A 的一个特征值.

设 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $ 为 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n} $ 的 n 个特征值，证明：

$$ \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{\frac{2}{n}}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}a_{ji}. $$

设3阶矩阵A的特征多项式为 $ f_{A}(\lambda)=\lambda^{3}-3\lambda^{2}+5\lambda-3 $，则A的整数特征值可能是哪些数？这些数中有没有A的特征值？

§5.2 矩阵的相似对角化—

一、相似矩阵的基本概念

在习题 1.3 的第 13 题的练习中，我们已经知道，如果已知可逆矩阵 P，且 $ P^{-1}AP=\Lambda $（对角矩阵） $ \left(\begin{array}{cc}\lambda_{1} & \\ & \lambda_{2}\end{array}\right) $，则

$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}^{-1}, $$

且

$$ \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}^{k}\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}\begin{pmatrix}\lambda_{1}^{k}&&\\ &\lambda_{2}^{k}\end{pmatrix}\boldsymbol{P}^{-1}. $$

对于同阶方阵 A, B, 如果存在可逆矩阵 P, 使得 $ P^{-1}AP=B $, A 与 B 之间的这种关系, 我们给出如下定义:

定义对于 n 阶矩阵 A, B, 如果存在可逆矩阵 P, 使

$$ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}, $$

则称 A 与 B 相似，记为 $ A \sim B $.

矩阵之间的相似关系具有以下性质：

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$ 1^{\circ} $ 反身性 A~A;

$ 2^{\circ} $ 对称性若 $ A \sim B $，则 $ B \sim A $;

$ 3^{\circ} $ 传递性若 $ A \sim B $ 且 $ B \sim C $，则 $ A \sim C $

$ 1^{\circ} $ 和 $ 2^{\circ} $ 的证明是很显然的. $ 3^{\circ} $ 的证明如下：

设 $ A \sim B $，则存在可逆矩阵 P，使得 $ P^{-1}AP = B $，又 $ B \sim C $，则存在可逆矩阵 Q，使 $ Q^{-1}BQ = C $。所以

$$ Q^{-1}P^{-1}APQ=(PQ)^{-1}A(PQ)=C, $$

记 R=PQ，则 R 可逆，且 $ R^{-1}AR=C $。故 $ A\sim C $。

定理1 相似矩阵的特征值相同.

证设 $ A \sim B $，则存在可逆矩阵 P，使

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{B}&=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P},\\ \det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})&=\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})=\det\left[\boldsymbol{P}^{-1}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{P}\right]\\&=\det\boldsymbol{P}^{-1}\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\det\boldsymbol{P}=\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}),\end{aligned} $$

A 与 B 的特征多项式相同，因此 A 与 B 的特征值相同.

例1 设 n 阶方阵 $ A \sim \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} $，求 $ A^{k}(k $ 为正整数 $.$

解因为 $ A \sim \Lambda $，故存在可逆方阵 P，使 $ P^{-1}AP = \Lambda $，

$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}^{-1}, $$

所以

$$ \begin{align*}\boldsymbol{A}^{k}&=(\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1})(\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1})\cdots(\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1})=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}^{k}\boldsymbol{P}^{-1}\\&=\boldsymbol{P}\begin{bmatrix}\lambda_{1}^{k}&&&\\&\lambda_{2}^{k}&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_{n}^{k}\end{bmatrix}\boldsymbol{P}^{-1},\end{align*} $$

只需求出 $ P^{-1} $，再计算出 $ P\Lambda^{k}P^{-1} $ 就行了，当 k 比较大时，这比直接计算 $ A^{k} $ 要方便得多.

我们自然要提出的问题是，什么样的矩阵A可以与对角矩阵相似？或者说，对于给定的矩阵A，在什么条件下存在对角矩阵 $ \Lambda $与可逆矩阵P，使 $ P^{-1}AP=\Lambda $? 如果这样的矩阵 $ \Lambda $与P存在，又应该怎样求出？下面就讨论这些问题.

二、矩阵的相似对角化

定理2 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 $ \Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&&&\\ &\lambda_{2}&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_{n}\end{bmatrix} $ 相似，则 $ \lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n} $

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是A的全部特征值.

证因为 $ A \sim \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \ddots & \\ & & &\lambda_{n} \end{pmatrix} $，所以 A 与 $ \Lambda $ 的特征值相同.

又

$$ \det\left(\lambda\mathbf{I}-\boldsymbol{\Lambda}\right)=(\lambda-\lambda_{1})(\lambda-\lambda_{2})\cdots(\lambda-\lambda_{n}) $$

所以 $ \lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n} $ 是 A 的全部特征值，也就是 A 的全部特征值.

定理2指出，如果A与对角矩阵 $ \Lambda $相似，则 $ \Lambda $的主对角线上的元就是A的全部特征值，那么，使 $ P^{-1}AP=\Lambda $的矩阵P又是怎样构成的呢？

设 $ \boldsymbol{P}=(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}),\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n} $ 是 P 的列向量组，则

$$ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda},\quad\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}, $$

即

$$ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n})=(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n})\begin{pmatrix}\lambda_{1}&&&\\&\lambda_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_{n}\end{pmatrix}, $$

$$ (\mathbf{A}\mathbf{p}_{1},\mathbf{A}\mathbf{p}_{2},\cdots,\mathbf{A}\mathbf{p}_{n})=(\lambda_{1}\mathbf{p}_{1},\lambda_{2}\mathbf{p}_{2},\cdots,\lambda_{n}\mathbf{p}_{n}), $$

$$ \mathbf{A}\mathbf{p}_{i}=\lambda_{i}\mathbf{p}_{i}\quad(1,2,\cdots,n). $$

因为 P 可逆，故 $ p_i \neq 0 (i=1,2,\cdots,n) $，于是， $ p_1, p_2, \cdots, p_n $ 是 A 的 n 个线性无关的特征向量。

反之，若 A 有 n 个线性无关的特征向量 $ p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} $，即

$$ \mathbf{A}\mathbf{p}_{i}=\lambda_{i}\mathbf{p}_{i}\quad(i=1,2,\cdots,n), $$

设 $ \boldsymbol{P}=(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}) $，则 P 可逆，且

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}&=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_{n})=(\lambda_{1}\boldsymbol{p}_{1},\lambda_{2}\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\lambda_{n}\boldsymbol{p}_{n})\\&=(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n})\begin{bmatrix}\lambda_{1}&&&\\&\lambda_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_{n}\end{bmatrix}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda},\end{aligned} $$

所以

$$ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}, $$

即 A 与对角矩阵 A 相似.

由以上讨论可得

定理 3 n 阶矩阵 A 能与对角矩阵 A 相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.

原书第 176 页

由此定理可知，如果 n 阶矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量

$$ \mathbf{A}\boldsymbol{p}_{i}=\lambda_{i}\boldsymbol{p}_{i}\quad(i=1,2,\cdots,n), $$

令 $ \boldsymbol{P} = (p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}) $，则

$$ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&&&\\&\lambda_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_{n}\end{pmatrix}, $$

$ \lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n} $ 是 A 的全部特征值.

值得注意的是，P 中列向量 $ p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} $ 的排列顺序要与 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $ 的排列顺序一致.

由于 $ p_{i} $ 是 $ (\lambda, I-A)X=0 $ 的基础解系中的解向量，故 $ p_{i} $ 的取法不是惟一的，因此 P 也不是惟一的。而 $ f_{A}(\lambda)=\det(\lambda I-A)=0 $ 的根只有 n 个（重根按重数计算），所以如果不计 $ \lambda_{i} $ 的排列顺序，则 A 是惟一确定的。

例2 设 $ A=\begin{pmatrix}4&6&0\\-3&-5&0\\-3&-6&1\end{pmatrix} $，求 $ A^{10} $.

$$ det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{array}{ccc}{{{\lambda-4}}}&{{{-6}}}&{{{0}}} \\{{{3}}}&{{{\lambda+5}}}&{{{0}}} \\{{{3}}}&{{{6}}}&{{{\lambda-1}}}\end{array}\right|=(\lambda+2)(\lambda-1)^{2}, $$

A 的特征值为 $ \lambda_{1}=-2,\lambda_{2}=1 $ (2 重).

对于 $ \lambda_{1}=-2,(\lambda_{1}I-A)X=0 $的系数矩阵为

$$ \begin{pmatrix}{{{-6}}}&{{{-6}}}&{{{0}}} \\{{{3}}}&{{{3}}}&{{{0}}} \\{{{3}}}&{{{6}}}&{{{-3}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}, $$

对应的齐次线性方程组为 $ \{\begin{aligned}x_{1}&=-x_{3},\\ x_{2}&=\quad x_{3},\end{aligned}. $其基础解系为 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,1,1)^{\mathrm{T}} $

对于 $ \lambda_{2}=1,(\lambda_{2}I-A)X=0 $的系数矩阵为

$$ \begin{pmatrix}{{{-3}}}&{{{-6}}}&{{{0}}} \\{{{3}}}&{{{6}}}&{{{0}}} \\{{{3}}}&{{{6}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}, $$

对应的齐次线性方程组为 $ x_{1}=-2x_{2}+0x_{3} $，其基础解系为 $ \alpha_{2}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) $， $ \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) $。令

$$ \boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})=\begin{bmatrix}-1&-2&0\\ 1&1&0\\ 1&0&1\end{bmatrix}. $$

原书第 177 页

易见，P 是可逆矩阵，且

$$ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}{{{-2}}} \\{{{1}}} \\{{{1}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\begin{pmatrix}{{{-2}}} \\{{{1}}} \\{{{1}}}\end{pmatrix}\boldsymbol{P}^{-1},\quad\boldsymbol{P}^{-1}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}, $$

所以

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}^{10}&=\boldsymbol{P}\begin{pmatrix}(-2)^{10}&&&\\ &1&&\\ &&1\end{pmatrix}\boldsymbol{P}^{-1}\\&=\begin{pmatrix}-1&-2&0\\ 1&1&0\\ 1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1024&&&\\ &1&&\\ &&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&0\\ -1&-1&0\\ -1&-2&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-1022&-2046&0\\ 1023&2047&0\\ 1023&2046&1\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

重难点分析：

互异特征值的特

征向量线性无关

例3 设 $ A\neq O,A^{k}=O(k $为正整数 $ ) $，证明：A不能与对角矩阵相似.

证设 A 能与对角矩阵 $ \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}) $ 相似，则存在可逆矩阵 P，使

$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}^{-1}, $$

$$ \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}^{k}\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}\begin{pmatrix}\lambda_{1}^{k}&&&\\&\lambda_{2}^{k}&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_{n}^{k}\end{pmatrix}\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{O}, $$

于是可得 $ \mathrm{diag}(\lambda_{1}^{k},\lambda_{2}^{k},\cdots,\lambda_{n}^{k})=\boldsymbol{O} $. 从而， $ \lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0 $，即有 $ \Lambda=\boldsymbol{O} $. 由式(5.8)可得 A=O，与题设 $ A\neq O $ 矛盾. 故 A 不能与对角矩阵相似.

定理3给出了n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件，但是对于一个具体的n阶矩阵，要直接判断它是否有n个线性无关的特征向量一般是很困难的，下面我们进一步讨论什么样的n阶矩阵能与对角矩阵相似.

定理4 设 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m} $ 是矩阵A的互异特征值， $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 是A分别对应于这些特征值的特征向量，则 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性无关.

证用数学归纳法证明.

当 m=1 时，结论显然成立。因为特征向量 $ \alpha_{1}\neq0 $ ，一个非零向量是线性无关的。假设对 m-1 个互异特征值结论成立。

对 m 个互异特征值 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m} $ 以及它们所对应的特征向量 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $，设

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}, $$

用 A 左乘式(5.9)两端得

原书第 178 页

$$ \begin{align*}k_{1}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_{2}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+k_{m}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{m})=\boldsymbol{0},\\k_{1}(\lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_{2}(\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+k_{m}(\lambda_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m})=\boldsymbol{0}.\end{align*} $$

用 $ \lambda_{m} $乘式(5.9)两端得

$$ k_{1}(\lambda_{m}\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_{2}(\lambda_{m}\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+k_{m}(\lambda_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m})=0, $$

式（5.10）与式（5.11）两端相减可得

$$ k_{1}\left(\lambda_{1}-\lambda_{m}\right)\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\left(\lambda_{2}-\lambda_{m}\right)\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m-1}\left(\lambda_{m-1}-\lambda_{m}\right)\boldsymbol{\alpha}_{m-1}=\mathbf{0}, $$

由归纳假设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m-1} $ 线性无关，故

$$ k_{1}\left(\lambda_{1}-\lambda_{m}\right)=k_{2}\left(\lambda_{2}-\lambda_{m}\right)=\cdots=k_{m-1}\left(\lambda_{m-1}-\lambda_{m}\right)=0, $$

又因为 $ \lambda_{i}-\lambda_{m}\neq0(i=1,2,\cdots,m-1) $，故只有

$$ k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{m-1}=0, $$

代入式(5.9)得

$$ k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=0, $$

由 $ \alpha_{m}\neq0 $ 可得 $ k_{m}=0 $ ，于是 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $ 线性无关.

推论1 设 n 阶矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 能与对角矩阵相似.

证因为 A 的特征值都是 $ \det(\lambda I - A) = 0 $ 的单根，故 A 有 n 个互异特征值。互异特征值对应的特征向量是线性无关的，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因而 A 能与对角矩阵相似。

与定理4的证明类似，我们可以得到下面的推论：

推论2 设 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k} $ 是矩阵A 的互异特征值, $ \alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \cdots, \alpha_{ir_{i}} $ 是对应于特征值 $ \lambda_{i} $ 的线性无关的特征向量, 则 $ \alpha_{11}, \cdots, \alpha_{1r_{1}}, \cdots, \alpha_{k1}, \cdots, \alpha_{kr_{k}} $ 也线性无关.

设 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r} $ 是 n 阶矩阵 A 的全部互异特征值， $ \lambda_{i} $ 是 A 的 $ k_{i} $ 重特征值 ( $ k_{i} \geqslant 1 $)，则

$$ k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{r}=n. $$

若对每一个特征值 $ \lambda_{i}(i=1,2,\cdots,r) $， $ (\lambda_{i}I-A)X=0 $ 的基础解系由 $ k_{i} $ 个解向量组成，即 $ \lambda_{i} $ 恰有 $ k_{i} $ 个线性无关的特征向量，则由推论 2 可知，A 有 n 个线性无关的特征向量。而 $ (\lambda_{i}I-A)X=0 $ 的基础解系所含解向量个数不大于 $ k_{i} $，故可得下面的定理：

定理 5 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于 A 的每一个 $ k_{i} $ 重特征根 $ \lambda_{i} $，齐次线性方程组 $ (\lambda, I - A)X = 0 $ 的基础解系由 $ k_{i} $ 个解向量组成.

$ \lambda_{i}I-A $ 是齐次线性方程组 $ (\lambda_{i}I-A)X=0 $ 的系数矩阵，由系数矩阵的秩与基础解系所含解向量的个数的关系可以得到定理5的一个推论.

推论3 n 阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 $ k_{i} $重特征根 $ \lambda_{i},R(\lambda_{i}\mathbf{I}-\mathbf{A})=n-k_{i} $

例4 下列矩阵能否与对角矩阵相似？

$$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-2}}} \\{{{-2}}}&{{{-2}}}&{{{1}}}\end{pmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{pmatrix}{{{3}}}&{{{-1}}}&{{{-2}}} \\{{{2}}}&{{{0}}}&{{{-2}}} \\{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}\end{pmatrix},\quad\mathbf{C}=\begin{bmatrix}{{{3}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{-4}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{4}}}&{{{-8}}}&{{{-2}}}\end{bmatrix}. $$

原书第 179 页

解

$$ det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1&-2&-2\\-2&\lambda-1&2\\2&2&\lambda-1\\\end{array}\right|=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-3)， $$

A 的特征值都是单根，故 A 能与对角矩阵相似.

$$ \det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})=\left|\begin{array}{ccc}{{{\lambda-3}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{-2}}}&{{{\lambda}}}&{{{2}}} \\{{{-2}}}&{{{1}}}&{{{\lambda+1}}}\end{array}\right|=\lambda(\lambda-1)^{2}, $$

对于2重特征根 $ \lambda_{2}=1 $

$$ \lambda_{2}\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}-2&1&2\\-2&1&2\\-2&1&2\end{pmatrix}, $$

$$ R\left(\lambda_{2}\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}\right)=1, $$

所以 B 能与对角矩阵相似.

$$ \left|\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{C}\right|=\left|\begin{matrix}{{{\lambda-3}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{4}}}&{{{\lambda+1}}}&{{{0}}} \\{{{-4}}}&{{{8}}}&{{{\lambda+2}}}\end{matrix}\right|=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2)， $$

典型例题讲解

可对角化

判定范例

对于2重特征根 $ \lambda_{1}=1 $

$$ \lambda_{1}\boldsymbol{I}-\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}-2&-1&0\\4&2&0\\-4&8&3\end{pmatrix}, $$

$$ R\left(\lambda_{1}I-C\right)=2, $$

所以 C 不能与对角矩阵相似.

例5 已知 $ \alpha=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} $ 是矩阵 $ A=\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&a&3\\-1&b&-2\end{pmatrix} $ 的特征向量，试确定 a,b 的值

与 $ \alpha $ 所对应的特征值，并讨论 A 能否与对角矩阵相似.

解设 $ \alpha $ 所对应的特征值为 $ \lambda $，则

$$ \left(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\right)\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}\lambda-2&1&-2\\-5&\lambda-a&-3\\1&-b&\lambda+2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\mathbf{0}, $$

解得a=-3,b=0, $ \lambda=-1 $.于是

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{2}}} \\{{{5}}}&{{{-3}}}&{{{3}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{-2}}}\end{pmatrix}, $$

原书第 180 页

$$ \det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2&1&-2\\-5&\lambda+3&-3\\1&0&\lambda+2\end{array}\right|=(\lambda+1)^{3}. $$

故 $ \lambda = -1 $ 是 A 的 3 重特征根. $ R(-I - A) = R\left(\begin{bmatrix}-3 & 1 & -2 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\right) = 2 $. 所以 A 不能与对角矩阵相似.

习题5.2

在习题 5.1 第 1 题中，哪些矩阵可与对角矩阵相似？对于能与对角矩阵相似者，求出可逆矩阵 P 与对角矩阵 $ \Lambda $，使 $ P^{-1}AP=\Lambda $.

设 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n} $ 是上三角形矩阵，A 的主对角线元相等，且至少有一个元素 $ a_{ij} \neq 0 $ ( $ i < j $)，证明：A 不能与对角矩阵相似.

设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 是矩阵 A 不同特征值的特征向量，证明 $ \alpha_{1} + \alpha_{2} $ 不是 A 的特征向量.

设 $ f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0} $， $ A\sim B $。证明： $ f(A)\sim f(B) $。

设 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix} $，求 $ A^{100} $.

设 A, B 都是 n 阶方阵且 $ \det A \neq 0 $，证明：AB $ \sim $ BA.

设 $ A=\begin{pmatrix}1&4&2\\0&-3&4\\0&4&3\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&x&6\\0&0&5\end{pmatrix} $，且 $ A\sim B $，求 x 的值.

设 3 阶方阵 A 的特征值 $ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=0,\lambda_{3}=-1 $，对应的特征向量为 $ \alpha_{1}=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix} $

$ \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right),\alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\2\end{array}\right) $，求 A.

设 $ A \sim B $, $ C \sim D $，证明： $ \begin{pmatrix} A & O \\ O & C \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} B & O \\ O & D \end{pmatrix} $.

设 A 是 3 阶矩阵，且 $ I + A, 3I - A, I - 3A $ 均不可逆。证明：

(1) A 是可逆矩阵；(2) A 与对角矩阵相似.

证明：相似矩阵的行列式相等.

设 $ A \sim \Lambda = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $，求 $ \det(A - I) $.

设矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & b & 1 \\ b & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $, $ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $，且 A 与 B 相似，求 a, b.

原书第 181 页

§5.3 n 维向量空间的正交性

重难点分析

内积、长度

与夹角

在几何空间中，我们讨论过向量的长度与向量间的夹角等度量概念，这些概念也可以引入到 n 维向量空间 $ R^{n} $ 中，而长度与夹角都可以用内积来定义。为此，我们先将几何空间中内积的概念推广到 n 维向量空间 $ R^{n} $，再进一步讨论向量的长度，夹角以及向量的正交性。

一、内积

定义1 设 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) $, $ \boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \cdots, b_n) $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 中的两个向量，则实数

$$ a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n} $$

称为 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的内积，记为 $ (\alpha, \beta) $.

在 $ R^{3} $中，也将 $ (\alpha,\beta) $记为 $ \alpha\cdot\beta $

利用矩阵的乘法，将 $ \alpha, \beta $ 看作行矩阵，则 $ (\alpha, \beta) $ 又可表示为 $ \alpha\beta^{T} $. 若将 $ \alpha, \beta $ 记为列向量的形式，则 $ (\alpha, \beta) $ 可表示为 $ \alpha^{T}\beta $.

根据内积的定义，容易证明内积具有以下性质：

$ 1^{\circ} $ 非负性 $ (\alpha,\alpha)\geqslant0 $ ，当且仅当 $ \alpha=0 $ 时等号成立；

$ 2^{\circ} $ 对称性 $ (\alpha,\beta)=(\beta,\alpha) $;

$ 3^{\circ} $ 线性性 $ (\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma) $

$$ (k\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=k(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}), $$

其中 $ \alpha,\beta,\gamma $ 为 $ R^{n} $ 中任意三个向量，k 为任意实数.

由上述性质与定义不难看出，内积还满足以下关系：

$$ \begin{array}{r}{(\alpha,l\beta)=l\left(\alpha,\beta\right),\quad l\in\mathbb{R},}\end{array} $$

$$ (\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma). $$

利用内积可以定义向量的长度.

定义2 设 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n $，则 $ \sqrt{(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} $ 称为 $ \alpha $ 的长度，记为 $ \|\boldsymbol{\alpha}\| $。

向量的长度具有以下性质：

$ 1^{\circ} $ 非负性 $ \|\alpha\|\geqslant0 $，当且仅当 $ \alpha=0 $时 $ \|\alpha\|=0 $；

$ 2^\circ $ 齐次性 $ \| k \boldsymbol{\alpha}\| = |k| \|\boldsymbol{\alpha}\|,\ k \in \mathbb{R}; $

$ 3^{\circ} $ 三角不等式 $ \|\alpha+\beta\|\leq\|\alpha\|+\|\beta\| $.

当 $ \|\alpha\|=1 $ 时，称 $ \alpha $ 为单位向量.

如果 $ \alpha \neq 0 $，则由

$$ \left(\frac{1}{\|\alpha\|}\alpha,\frac{1}{\|\alpha\|}\alpha\right)=\frac{1}{\|\alpha\|^{2}}(\alpha,\alpha)=1 $$

可知， $ \frac{1}{\|\alpha\|}\alpha $ 是单位向量.

原书第 182 页

向量的内积还满足以下关系式：

$$ (\alpha,\beta)^{2}\leqslant\|\alpha\|^{2}\|\beta\|^{2}, $$

当且仅当 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 线性相关时等号成立。这个不等式称为柯西-施瓦茨不等式。

事实上，若 $ \alpha,\beta $ 线性无关，则对任意实数 t，都有 $ t\alpha+\beta\neq0 $ ，于是

$$ (t\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta},t\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})t^{2}+2(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})t+(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta})>0. $$

这是关于 t 的二次函数，其函数值恒正，则其判别式必小于零，故有

$$ 2(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})]^{2}-4(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta})<0, $$

即

$$ (\alpha,\beta)^{2}<\parallel\alpha\parallel^{2}\parallel\beta\parallel^{2}. $$

当 $ \alpha, \beta $ 线性相关时，如果 $ \alpha, \beta $ 中有一个为0，显然等式成立。因而不妨设 $ \beta = k\alpha \neq 0 $，则有

$$ (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})^{2}=(\boldsymbol{\alpha},k\boldsymbol{\alpha})^{2}=k^{2}(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})^{2}=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})(k\boldsymbol{\alpha},k\boldsymbol{\alpha})=\|\boldsymbol{\alpha}\|^{2}\|\boldsymbol{\beta}\|^{2}, $$

根据柯西-施瓦茨不等式，对于任何非零向量 $ \alpha,\beta $，总有

$$ \frac{(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\|\beta\|}\leq1. $$

这样我们就可以定义 $ R^{n} $ 中向量的夹角.

定义 3 当 $ \alpha \neq 0 $ 且 $ \beta \neq 0 $ 时, $ \theta = \arccos \frac{(\alpha, p)}{\|\alpha\| \|\beta\|} $ 称为 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的夹角, 记为 $ \langle \alpha, \beta \rangle $.

二、 n维向量的正交性

定义4 如果向量 $ \alpha $与 $ \beta $的内积为零，即 $ (\alpha,\beta)=0 $，则称 $ \alpha $与 $ \beta $正交.

显然， $ R^{n} $ 中的零向量 0 与任一向量 $ \alpha $ 的内积 $ (0, \alpha) = 0 $，所以零向量与任何向量都正交.

定义 5 如果向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 中任意两个向量都正交且不含零向量，则称 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 为正交向量组.

正交向量组是 $ R^{n} $ 中十分重要的概念，下面讨论正交向量组的有关性质.

定理正交向量组是线性无关的.

证设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 是正交向量组，且

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}. $$

用 $ \alpha_{1} $与上式两端作内积，则

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol{\alpha}_{1},\mathbf{0})&=(\boldsymbol{\alpha}_{1},k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m})\\&=(\boldsymbol{\alpha}_{1},k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1})+(\boldsymbol{\alpha}_{1},k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+(\boldsymbol{\alpha}_{1},k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m})\\&=k_{1}(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_{2}(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+k_{m}(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{m})\end{aligned} $$

原书第 183 页

$$ =k_{1}(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{1})=0. $$

因为 $ \alpha_{1}\neq0 $ ，所以 $ (\alpha_{1},\alpha_{1})>0 $ ，于是 $ k_{1}=0 $

同理, $ k_{2}=\cdots=k_{m}=0 $.所以 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $线性无关.

但是，线性无关向量组未必是正交向量组。如 $ \alpha_{1}=(1,0,0) $， $ \alpha_{2}=(1,1,0) $， $ \alpha_{3}=(1,1,1) $ 线性无关，但其中任何两个向量都不正交。

例1 在 $ \pmb{R}^{3} $ 中， $ \alpha_{1}=(1,1,1) $， $ \alpha_{2}=(1,-2,1) $，求向量 $ \alpha_{3} $，使 $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $， $ \alpha_{3} $ 为正交向量组.

解显然 $ (a_{1},a_{2})=0 $，设 $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(x_{1},x_{2},x_{3}) $，则应有

$$ \{\begin{aligned}(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{3})&=x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\ (\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})&=x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0,\end{aligned}. $$

其基础解系为 $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,0,1) $. $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 为正交向量组.

因为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 是正交向量组，所以 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关，于是 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 是 $ R^{3} $ 的一组基.

例2 在 $ \mathbb{R}^{n} $ 中，设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} (r < n) $ 线性无关，且向量组 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} $ 中每一个向量都与 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 中每一个向量正交，且 $ s + r > n $。证明： $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} $ 线性相关。

证设 $ \alpha_{i}(i=1,2,\cdots,r) $， $ \beta_{j}(j=1,2,\cdots,s) $ 均为列向量，则

$$ (\boldsymbol{\alpha}_{i},\boldsymbol{\beta}_{j})=\boldsymbol{\alpha}_{i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta}_{j}=0(i=1,2,\cdots,r,j=1,2,\cdots,s). $$

又设矩阵 $ A=\begin{pmatrix}\alpha_{1}^{T}\\ \alpha_{2}^{T}\\ \vdots\\ \alpha_{r}^{T}\end{pmatrix} $，则

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}_{j}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta}_{j}\\\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta}_{j}\\\vdots\\\boldsymbol{\alpha}_{r}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta}_{j}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}, $$

即 $ \beta_{j} $ 是齐次线性方程组 AX=0 的解向量。而 AX=0 的基础解系由 $ n-R(A)=n-r $ 个解向量组成，所以

$$ \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{r} 的秩 \leqslant n-r, $$

由已知条件 $ s+r>n $ 可得 s>n-r，所以 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s} $ 线性相关.

在正交向量组中，如果每一个向量的长度都是1，这样的正交向量组在相关讨论中特别重要.

定义 6 设 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s $ 是 $ n $ 维向量空间 $ \mathbb{R}^n $ 的正交向量组，且 $ \|\alpha_i\| = 1 $ ( $ i=1,2,\cdots,s $)，则称 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s $ 为标准正交向量组。若 $ s=n $，则称 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 为

原书第 184 页

R”的标准正交基.

标准正交向量组又称为规范正交向量组。

例如， $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,0) $， $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,0,1) $与 $ \beta_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $， $ \beta_{2}=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) $， $ \beta_{3}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $都是 $ R^{3} $的标准正交基.

例3 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是 $ R^{n} $ 的一组标准正交基，求 $ R^{n} $ 中向量 $ \beta $ 在该基下的坐标.

解设 $ \beta=x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{n}\alpha_{n} $，将此式两边对 $ \alpha_{j}(j=1,2,\cdots,n) $ 分别求内积，得

$$ \begin{align*}(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}_{j})&=(x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n},\boldsymbol{\alpha}_{j})\\&=\sum_{i=1}^{n}x_{i}(\boldsymbol{\alpha}_{i},\boldsymbol{\alpha}_{j})=x_{j}(\boldsymbol{\alpha}_{j},\boldsymbol{\alpha}_{j})=x_{j}.\end{align*} $$

故 $ \beta $ 在基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 下的坐标为

$$ x_{j}=(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}_{j}),j=1,2,\cdots,n. $$

在 $ R^{3} $中，取i,j,k为标准正交基，这里的 $ x_{1},x_{2},x_{3} $就是 $ \beta $在i,j,k上的投影.

三、施密特正交化方法

$n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 都可以作为 $\mathbb{R}^n$ 的一组基，这组基未必是标准正交基。但是，任何一组线性无关的向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$，都可以通过适当的方法化为一组任意两个向量都正交的单位向量 $\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_s$，且 $\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_s$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 等价。这种方法就是施密特（Schmidt）正交化方法。

我们首先考虑由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 组成的线性无关向量组.

令 $ \beta_{1}=\alpha_{1},\beta_{2}=\alpha_{2}+k\beta_{1} $，选择适当的 k，使得 $ (\beta_{2},\beta_{1})=0 $，即

$$ (\boldsymbol{\alpha}_{2}+k\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})=(\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\beta}_{1})+k(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})=0, $$

由此推出 $ k = -\frac{(\alpha_{2}, \beta_{1})}{(\beta_{1}, \beta_{1})} $

$$ \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}. $$

令 $ \boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+k_{1}\boldsymbol{\beta}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\beta}_{2} $，为使 $ (\boldsymbol{\beta}_{3},\boldsymbol{\beta}_{1})=0,(\boldsymbol{\beta}_{3},\boldsymbol{\beta}_{2})=0 $，则可推出

$$ k_{1}=-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})},\quad k_{2}=-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{2})}{(\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{2})}, $$

于是

$$ \boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}-\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{1}\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1}\right)}\boldsymbol{\beta}_{1}-\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{2}\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{2}\right)}\boldsymbol{\beta}_{2}. $$

一般地，把线性无关向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 化为与之等价的标准正交向量组的施

原书第 185 页

密特正交化过程如下：

$$ \boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}, $$

$$ \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}, $$

$$ \boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{2})}{(\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{2})}\boldsymbol{\beta}_{2}, $$

……

$$ \boldsymbol{\beta}_{s}=\boldsymbol{\alpha}_{s}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\beta}_{2})}{(\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{2})}\boldsymbol{\beta}_{2}-\cdots-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\beta}_{s-1})}{(\boldsymbol{\beta}_{s-1},\boldsymbol{\beta}_{s-1})}\boldsymbol{\beta}_{s-1}. $$

再令

典型例题解析

施密特正交化方法的计算范例

$$ \boldsymbol{\gamma}_{i}=\frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_{i}\|}\boldsymbol{\beta}_{i}\quad(i=1,2,\cdots,s), $$

则 $ \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{s} $ 是一组与 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s} $ 等价的标准正交向量组.

例4 设 $ \alpha_{1}=(1,1,1) $，在 $ R^{3} $ 中求 $ \alpha_{2}, \alpha_{3} $，使 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 为正交向量组.

解由 $ (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2})=0,(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{3})=0 $ 可知， $ \alpha_{2},\alpha_{3} $ 都应满足方程

$$ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, $$

其基础解系为 $ \boldsymbol{\xi}_{1}=(1,0,-1) $， $ \boldsymbol{\xi}_{2}=(0,1,-1) $。将 $ \xi_{1} $， $ \xi_{2} $ 正交化：

$$ \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(1,0,-1\right), $$

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{\alpha}_{3}&=\boldsymbol{\xi}_{2}-\frac{(\boldsymbol{\xi}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{2})}{(\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{2})}\boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,-1)-\frac{1}{2}(1,0,-1)\\&=\frac{1}{2}(-1,2,-1).\end{aligned} $$

$ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 为所求的正交向量组.

例5 在 $ \pmb{R}^{3} $ 中，将基 $ \alpha_{1}=(1,1,1) $， $ \alpha_{2}=(1,2,1) $， $ \alpha_{3}=(0,-1,1) $ 化为标准正交基.

解先正交化，令

$$ \boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1), $$

$$ \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,2,1)-\frac{4}{3}(1,1,1)=\frac{1}{3}(-1,2,-1) $$

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{\beta}_{3}&=\boldsymbol{\alpha}_{3}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{2})}{(\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{2})}\boldsymbol{\beta}_{2}\\&=(0,-1,1)-\frac{0}{3}(1,1,1)+\frac{1}{2}(-1,2,-1)=\frac{1}{2}(-1,0,1).\end{aligned} $$

再单位化，令

$$ \gamma_{1}=\frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_{1}\|}\boldsymbol{\beta}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), $$

$$ \gamma_{2}=\frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_{2}\|}\boldsymbol{\beta}_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,-1), $$

原书第 186 页

$$ \gamma_{3}=\frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_{3}\|}\boldsymbol{\beta}_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1). $$

$ \gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3} $ 就是 $ R^{3} $ 的一组标准正交基.

四、正交矩阵

将例5中的 $ \gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3} $作为一个矩阵的行向量组

$$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{3}}&\quad\frac{1}{\sqrt{3}}&\quad\frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}&\quad\frac{2}{\sqrt{6}}&\quad-\frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}&\quad0&\quad\frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}\right)。 $$

则不难验证 $ A^{T}A = AA^{T} = I $.

定义7 如果 n 阶实矩阵 A 满足

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{I}, $$

则称 A 为正交矩阵.

由定义7可知正交矩阵必为方阵且具有以下性质：

$$ 1^{\circ}\quad\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}. $$

于是， $ A^{T}A=I $ 与 $ AA^{T}=I $ 中只要有一个成立，则 A 就是正交矩阵.

$ 2^{\circ} $ $ \det A = \pm 1 $.

事实上， $ \det(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A})=(\det\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})(\det\boldsymbol{A})=(\det\boldsymbol{A})^{2}=\det\boldsymbol{I}=1 $，故有 $ \det\boldsymbol{A}=\pm1 $

$ 3^{\circ} $ 若 A, B 都是 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵.

这个性质的证明留给读者.

$ 4^{\circ} $ n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的行（列）向量组是标准正交向量组.

事实上，设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是 A 的行向量组：

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_{1}\\ \boldsymbol{\alpha}_{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{\alpha}_{n}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=(\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}), $$

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{\alpha}_{1}\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{\alpha}_{1}\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}\\\boldsymbol{\alpha}_{2}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{\alpha}_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{\alpha}_{2}\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{\alpha}_{n}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{\alpha}_{n}\boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{\alpha}_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}^{\mathrm{T}}\end{pmatrix}, $$

由上式可知， $ AA^{T}=I $ 的充分必要条件是

$$ \boldsymbol{\alpha}_{i}\boldsymbol{\alpha}_{i}^{\mathrm{T}}=1,\quad\boldsymbol{\alpha}_{i}\boldsymbol{\alpha}_{j}^{\mathrm{T}}=0\quad(i\neq j,i,j=1,2,\cdots,n), $$

原书第 187 页

即 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是标准正交向量组.

例6 设

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}. $$

A 的行向量组是标准正交向量组，故 A 是正交矩阵，B 的各行向量虽然两两正交，但 $ \alpha_{1}=(2,0,0) $ 不是单位向量，故 B 不是正交矩阵.

习题5.3

在 $ \mathbb{R}^4 $ 中求下列向量 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的夹角：

(1) $ \alpha = (2,1,3,2) $， $ \beta = (1,2,-2,1) $；(2) $ \alpha = (1,2,2,3) $， $ \beta = (3,1,5,1) $；

(3) $ \alpha = (1,1,1,2) $， $ \beta = (3,1,-1,0) $。

在 $ \pmb{R}^{4} $ 中求一与 $ \alpha_{1}=(1,1,-1,1) $， $ \alpha_{2}=(1,-1,-1,1) $， $ \alpha_{3}=(2,1,1,3) $ 正交的单位向量 $ \alpha $.

设 $ \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3} $ 是 $ R^{3} $ 的一组标准正交基，且 $ \alpha = 3\gamma_{1} + 2\gamma_{2} + 4\gamma_{3}, \beta = \gamma_{1} - 2\gamma_{2} $

（1）求与 $ \alpha,\beta $ 都正交的全部向量；（2）求与 $ \alpha,\beta $ 都正交的单位向量.

设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是 $ R^{n} $ 的一组基，证明：

（1）如果 $ \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n $，且 $ (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_i) = 0 $ ( $ i = 1, 2, \cdots, n $)，则 $ \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{0} $；

（2）如果 $ \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2} \in \mathbb{R}^{n} $，使 $ (\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{i}) = (\boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{i}) $ ( $ i = 1, 2, \cdots, n $)，则 $ \boldsymbol{\beta}_{1} = \boldsymbol{\beta}_{2} $

用施密特正交化方法将下列向量组分别标准正交化：

(1) $ \alpha_{1}=(1,1,1),\quad\alpha_{2}=(1,2,3),\quad\alpha_{3}=(1,4,9); $

$$ (2)\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,-1,1),\quad\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1,0,1),\quad\boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,1,0). $$

设 $ \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3} $ 是 $ R^{3} $ 的一组标准正交基，证明：

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{\gamma}_{1}+2\boldsymbol{\gamma}_{2}-\boldsymbol{\gamma}_{3}),\boldsymbol{\alpha}_{2}=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{\gamma}_{1}-\boldsymbol{\gamma}_{2}+2\boldsymbol{\gamma}_{3}),\boldsymbol{\alpha}_{3}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{\gamma}_{1}-2\boldsymbol{\gamma}_{2}-2\boldsymbol{\gamma}_{3}) $$

也是 $ R^{3} $ 的一组标准正交基.

设 A, B 是同阶正交矩阵，证明：AB 也是正交矩阵.

设 A 为正交矩阵，证明： $ A^{*} $ 也是正交矩阵.

设 $ \alpha $ 为 n 维列向量， $ \alpha^{T}\alpha=1, H=I-2\alpha\alpha^{T} $，证明：H 是对称的正交矩阵.

设 $ A = \begin{pmatrix} a & -\frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ b & c & d \\ -\frac{3}{7} & \frac{2}{7} & e \end{pmatrix} $ 为正交矩阵，试求 a, b, c, d, e 的值.

设 A 是奇数阶正交矩阵且 $ \det A = 1 $，证明： $ \lambda = 1 $ 是 A 的特征值.

原书第 188 页

§5.4 实对称矩阵的相似对角化

在 §5.2 中所讨论的一般 n 阶矩阵相似对角化的结论对于实对称矩阵当然成立。而实对称矩阵的相似对角化又有其自身的特殊性。实对称矩阵的一个重要特性就是它的特征值都是实数。为了证明这个结论，我们先介绍复矩阵的共轭矩阵概念及其基本性质。

设 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n} $， $ a_{ij} \in \mathbb{C} $（ $ \mathbb{C} $ 为复数集），我们把 $ \overline{\boldsymbol{A}} = (\overline{a}_{ij})_{m \times n} $ 称为 $ \boldsymbol{A} $ 的共轭矩阵，其中 $ \overline{a}_{ij} $ 是 $ a_{ij} $ 的共轭复数。

由共轭矩阵的定义及共轭复数的运算性质，容易证明共轭矩阵有以下性质：

$$ 1^{\circ}\quad\overline{(A^{\mathrm{T}})}=(\overline{A})^{\mathrm{T}};\quad2^{\circ}\quad\overline{k A}=\overline{k}\overline{A};\quad3^{\circ}\quad\overline{A B}=\overline{A}\overline{B}. $$

现在我们利用上述性质证明以下定理.

定理1 实对称矩阵的特征值都是实数

证设 $ \lambda $ 是实对称矩阵 A 的任一特征值，则有非零向量 $ \alpha $，使得 $ A\alpha = \lambda\alpha $。

欲证 $ \lambda $ 是实数，只需证明 $ \overline{\lambda} = \lambda $。在 $ A\alpha = \lambda\alpha $ 两端取共轭，得 $ A\alpha = \lambda\alpha $，由共轭矩阵的性质 $ 2^{\circ} $ 及性质 $ 3^{\circ} $，有 $ \overline{A}\overline{\alpha} = \overline{\lambda}\overline{\alpha} $，因为 A 是实对称矩阵，所以 $ \overline{A} = A $， $ A^{T} = A $，于是有

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}, $$

上式两端再取转置，有

$$ \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\lambda\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}。 $$

再用 $ \alpha $右乘上式两端，得

$$ \boldsymbol{\alpha}^{\top}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\quad\boldsymbol{\alpha}^{\top}\boldsymbol{\alpha}, $$

$$ \lambda\boldsymbol{\alpha}^{\top}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}^{\top}\boldsymbol{\alpha}, $$

移项，有 $ \left(\lambda-\bar{\lambda}\right)\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}=0 $，因为 $ \alpha\neq0 $，所以

$$ \overline{\boldsymbol{\alpha}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}=(\overline{a_{1}},\overline{a_{2}},\cdots,\overline{a_{n}})\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{pmatrix}=\sum_{i=1}^{n}\overline{a}_{i}a_{i}>0, $$

故 $ \lambda - \overline{\lambda} = 0, \lambda = \overline{\lambda} $，即 $ \lambda $ 为实数.

任一 n 阶矩阵的不同特征值的特征向量是线性无关的，对于实对称矩阵则有下面更进一步的结论.

定理2 设 A 为一个实对称矩阵，那么对应于 A 的不同特征值的特征向量彼此正交.

证设 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $ 是 A 的两个不同的特征值, $ \alpha_{1}, \alpha_{2} $ 是 A 分别属于 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $ 的特征向量, 于是有

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}=\lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1},\quad\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}, $$

原书第 189 页

上面第一个等式两端取转置可得

$$ \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}, $$

用 $ \alpha_{2} $右乘上式两端得

$$ \lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\lambda_{2}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{2}, $$

即 $ \left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_{2}=0 $，又因为 $ \lambda_{1}\neq\lambda_{2} $，所以有 $ \alpha_{1}^{T}\alpha_{2}=0 $，即 $ \alpha_{1} $与 $ \alpha_{2} $正交.

一般 n 阶矩阵未必能与对角矩阵相似，而实对称矩阵则一定能够与对角矩阵相似，这个结论可由下面的定理得到.

定理3 对任意 n 阶实对称矩阵 A，都存在一个 n 阶正交矩阵 C，使得

典型例题讲解

正交对角化的

计算范例

为对角矩阵.

由定理3可知实对称矩阵的对角化问题，实质上是求正交矩阵C的问题。计算C的步骤如下：

$$ C^{\top}A C=C^{-1}A C $$

证明从略.

$ 1^{\circ} $ 求出实对称矩阵 A 的全部特征值 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r} $;

$ 2^{\circ} $ 对于各个不同的特征值 $ \lambda_{i} $，求出齐次线性方程组 $ (\lambda_{i}I-A)X=0 $ 的基础解系。对基础解系进行正交化和单位化，得到 A 对于 $ \lambda_{i} $ 的一组标准正交的特征向量。由 §5.2 的推论 3 可知，这个向量组所含向量的个数恰好是 $ \lambda_{i} $ 作为 A 的特征值的重数；

$ 3^{\circ} $ 将 $ \lambda_{i}(i=1,2,\cdots,r) $ 的所有标准正交的特征向量构成一组 $ R^{n} $ 的标准正交基 $ \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{n} $;

$ 4^{\circ} $ 取 $ \boldsymbol{C}=(\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{n}) $，则 C 为正交矩阵且使得 $ \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=(\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}) $ 为对角矩阵，对角线上的元为相应特征向量的特征值.

例1 设 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{pmatrix} $，求正交矩阵 C，使 $ C^{-1} AC $ 为对角矩阵.

解

$$ \begin{align*}\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})&=\left|\begin{array}{ccc}{{{\lambda-2}}}&{{{-2}}}&{{{2}}} \\{{{-2}}}&{{{\lambda-5}}}&{{{4}}} \\{{{2}}}&{{{4}}}&{{{\lambda-5}}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{{{\lambda-2}}}&{{{-2}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{\lambda-1}}}&{{{\lambda-1}}} \\{{{2}}}&{{{4}}}&{{{\lambda-5}}}\end{array}\right|\\&=\left|\begin{array}{ccc}{{{\lambda-2}}}&{{{-2}}}&{{{4}}} \\{{{0}}}&{{{\lambda-1}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{4}}}&{{{\lambda-9}}}\end{array}\right|=(\lambda-1)\left|\begin{array}{cc}{{{\lambda-2}}}&{{{4}}} \\{{{2}}}&{{{\lambda-9}}}\end{array}\right|=(\lambda-1)^{2}(\lambda-10).\end{align*} $$

对于 $ \lambda_{1}=1 $（2重），由 $ (\lambda_{1}I-A)X=0 $，即

$$ \begin{pmatrix}{{{-1}}}&{{{-2}}}&{{{2}}} \\{{{-2}}}&{{{-4}}}&{{{4}}} \\{{{2}}}&{{{4}}}&{{{-4}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{x_{1}}}} \\{{{x_{2}}}} \\{{{x_{3}}}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{{{0}}} \\{{{0}}} \\{{{0}}}\end{pmatrix}, $$

原书第 190 页

解得基础解系为 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-2,1,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0,1)^{\mathrm{T}} $ 。将 $ \alpha_{1},\alpha_{2} $ 正交化：

$$ \boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-2,1,0)^{\mathrm{T}}, $$

再将 $ \beta_{1},\beta_{2} $单位化：

$$ \gamma_{1}=\frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_{1}\|}\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right)^{\mathrm{T}}, $$

$$ \gamma_{2}=\frac{1}{\parallel\boldsymbol{\beta}_{2}\parallel}\boldsymbol{\beta}_{2}=\left(\frac{2}{3\sqrt{5}},\frac{4}{3\sqrt{5}},\frac{5}{3\sqrt{5}}\right)^{\mathrm{T}} $$

对于 $ \lambda_{2}=10 $，由 $ (\lambda_{2}\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{X}=\boldsymbol{0} $解得 $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,2,-2)^{\mathrm{T}} $，将 $ \alpha_{3} $单位化：

$$ \gamma_{3}=\frac{1}{\parallel\boldsymbol{\alpha}_{3}\parallel}\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)^{\mathrm{T}} $$

令

$$ \boldsymbol{C}=(\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},\boldsymbol{\gamma}_{3})=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}&\frac{2}{3}\\0&\frac{5}{3\sqrt{5}}&-\frac{2}{3}\end{array}\right), $$

则 C 为正交矩阵，且 $ C^{-1}AC=\begin{pmatrix}1&&\\ &1&\\ &&10\end{pmatrix} $.

例2 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵，证明：A 与 B 相似的充要条件是 A 与 B 有相同的特征值.

证充分性：设 A 与 B 有相同的特征值： $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $，则存在可逆矩阵 P, Q，使

$$ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}=\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Q}, $$

其中 $ \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n) $. 由矩阵相似的传递性可知 A 与 B 相似.

必要性的证明与§5.2定理1的证明相同.

例3 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 T，使 $ T^{-1}AT, T^{-1}BT $ 都是对角矩阵，则 AB 是实对称矩阵.

证由 $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} $ 可知，AB 对称的充要条件是 AB 可交换。因此只需证 $ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} $。据已知，设

$$ \mathbf{T}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{T}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right),\quad\mathbf{T}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{T}=\operatorname{diag}\left(\mu_{1},\mu_{2},\cdots,\mu_{n}\right), $$

则

原书第 191 页

$$ \left(\mathbf{T}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{T}\right)\left(\mathbf{T}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{T}\right)=\left(\mathbf{T}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{T}\right)\left(\mathbf{T}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{T}\right)=\mathrm{diag}\left(\lambda_{1}\mu_{1},\cdots,\lambda_{n}\mu_{n}\right), $$

所以 AB=BA. 故 AB 是实对称矩阵.

应用实例

实例一( $ CO_{2} $ 分子振动) 求一个振动分子的固有频率问题实质上是一个特征值问题.我们考虑 $ CO_{2} $ 分子.这是一个所谓的线性分子，即当这一分子处于平衡状态时，它的所有原子都在一条直线上.

考虑纵向振动.假定这一分子的所有运动都很小.

设 $ x_{1} $ 与 $ x_{3} $ 表示当这一系统作纵向振动时，两个氧原子偏离平衡位置的位移，而 $ x_{2} $ 表示碳原子偏离平衡位置的位移。假设恢复力是偏离平衡位置的位移的线性函数，并设碳原子和一个氧原子之间的力常数为 k，而两个氧原子之间的力常数为 $ k' $。一个氧原子的质量用 m 表示，碳原子的质量用 M 表示，则

运动方程为

$$ \{\begin{array}{l}m\frac{\mathrm{d}^{2}x_{1}}{\mathrm{d}t^{2}}=k(x_{2}-x_{1})+k^{\prime}(x_{3}-x_{1}),\\M\frac{\mathrm{d}^{2}x_{2}}{\mathrm{d}t^{2}}=-k(x_{2}-x_{1})+k(x_{3}-x_{2}),\\m\frac{\mathrm{d}^{2}x_{3}}{\mathrm{d}t^{2}}=-k(x_{3}-x_{2})-k^{\prime}(x_{3}-x_{1}).\end{array}. $$

图 5.3 $ CO_{2} $ 分子的纵向运动

求解该微分方程组.

解方程组的矩阵形式为

$$ \ddot{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{X},\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-\left(p+q\right)&\boldsymbol{p}&\boldsymbol{q}\\ \boldsymbol{r}&-2\boldsymbol{r}&\boldsymbol{r}\\ \boldsymbol{q}&\boldsymbol{p}&-\left(p+q\right)\end{bmatrix}, $$

其中 $ p=\frac{k}{m}, q=\frac{k'}{m}, r=\frac{k}{M} $

$$ \det\left(\lambda\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)=\lambda\left(\lambda+p+2q\right)\left(\lambda+p+2r\right). $$

A 的特征值是 $ \lambda=0,-(p+2q),-(p+2r) $. 对应的特征向量分别为

$$ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-\frac{2m}{M}\\1\end{pmatrix}. $$

作可逆矩阵 $ C=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&-\frac{2m}{M}\\1&-1&1\end{pmatrix} $，令 X=CY，则

原书第 192 页

$$ \begin{align*}\mathbf{C}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{C}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&-(\emph{p}+2\emph{q})&0\\0&0&-(\emph{p}+2\emph{r})\end{bmatrix}.\end{align*} $$

这样，运动方程化简为 $ \dot{Y}=(C^{-1}AC)Y $，即

$$ \begin{cases}\ddot{y}_{1}=0,\\\ddot{y}_{2}+(p+2q)y_{2}=0,\\\ddot{y}_{3}+(p+2r)y_{3}=0.\end{cases} $$

通解为 $ \{\begin{aligned}y_{1}&=c_{1}t+d,\\ y_{2}&=c_{2}\sin(\sqrt{p+2q}t+\alpha),\\ y_{3}&=c_{3}\sin(\sqrt{p+2r}t+\beta).\end{aligned}. $

三类规范（标准）方式分别是当 i=1,2,3 时由 $ y_{i}\neq0,y_{j}=0(j\neq i) $ 所给出的. 由 X=CY，这三类规范方式分别对应于

(1) $ x_{1}=x_{2}=x_{3}=c_{1}t+d $

(2) $ x_{2}=0, x_{1}=-x_{3}=c_{2}\sin(\sqrt{p+2q}t+\alpha) $

$$ x_{1}=x_{3}=c_{3}\sin(\sqrt{p+2r}t+\beta),x_{2}=-\left(\frac{2m}{M}\right)x_{1}. $$

第一类规范方式（对应特征值 $ \lambda=0 $）只是一个平移。其余两类规范方式都是在平衡位置附近的振动，其周期分别是 $ \frac{2\pi}{\sqrt{p+2q}} $ 与 $ \frac{2\pi}{\sqrt{p+2r}} $.

实例二（人口流动问题）设某城市有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，根据社会调查得到以下数据：

（1）在这30万就业人员中，目前从事农、工、商工作的人数分别是15万，9万，6万；

（2）农业人员中每年有20%改为从工，10%改为从商；

（3）工业人员中每年有20%改为从农，10%改为从商；

（4）商业人员中每年有10%改为从农，10%改为从工.

预测一二年后从事各业人员的人数以及多年后从事各业人员总数的发展趋势.

解设 $ \boldsymbol{X}_{i}=(\boldsymbol{x}_{i1},\boldsymbol{x}_{i2},\boldsymbol{x}_{i3})^{\mathrm{T}} $ 表示第 i 年后从事农、工、商人员的数量，则

$$ \boldsymbol{X}_{0}=(15,9,6)^{\mathrm{T}}. $$

分别用1,2,3表示农、工、商三种行业，用 $ a_{ij} $表示每年从第i种行业改为第j种行业的人数占第i种行业人数的百分比， $ a_{ij} $表示第i种行业人员继续从事该行业的百分比，则矩阵 $ A=(a_{ij}) $就表示从事各业人员间的转移比例，

$$ \begin{align*}\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0.7&0.2&0.1\\0.2&0.7&0.1\\0.1&0.1&0.8\end{bmatrix}.\end{align*} $$

由题目条件可得

原书第 193 页

$$ \boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}_{0}=\begin{pmatrix}12.9\\ 9.9\\ 7.2\end{pmatrix},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}_{1}=\begin{pmatrix}11.73\\ 10.23\\ 8.04\end{pmatrix}. $$

事实上，

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{X}_{2}=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{A}^{2}\boldsymbol{X}_{0},\cdots,\boldsymbol{X}_{n}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}_{n-1}=\boldsymbol{A}^{2}\boldsymbol{X}_{n-2}=\cdots=\boldsymbol{A}^{n}\boldsymbol{X}_{0},\\&\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\cdots=(\lambda-1)(\lambda-0.7)(\lambda-0.5).\end{aligned} $$

A 的特征值为 $ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=0.7,\lambda_{3}=0.5 $. 故存在可逆矩阵 P，使 $ A=P\Lambda P^{-1} $，其中 $ \Lambda=\mathrm{diag}(1,0.7,0.5) $.

$$ \begin{align*}\boldsymbol{A}^n&=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}^n\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}\begin{pmatrix}1^n&&\\ &(0.7)^n&\\ &&(0.5)^n\end{pmatrix}\boldsymbol{P}^{-1}.\end{align*} $$

当 $ n \to \infty $ 时， $ \Lambda^{n} $ 趋近于 $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $.

设 $ n \to \infty $ 时， $ X_{n} \to X^{*} $，则 $ X_{n-1} \to X^{*} $，由 $ X_{n} = AX_{n-1} $ 可得

$$ A X^{*}=X^{*}. $$

若 $ X^{*}\neq0 $，则 $ X^{*} $是A对应于特征值 $ \lambda_{1}=1 $的特征向量.

解方程组 $ \left[\lambda_{1}I-A\right]X=0 $可得基础解系为 $ \boldsymbol{\alpha}=(1,1,1)^{\mathrm{T}} $.故 $ X^{*} $可由 $ \alpha $线性表出，设 $ X^{*}=k\boldsymbol{\alpha}=(k,k,k)^{\mathrm{T}} $，则由 $ k+k+k=30 $，可得k=10.即多年之后，从事农、工、商工作的人数将趋于相等，即都趋于10万人.

此问题还可以用以下方法求解：

由前面分析可知：

$$ \boldsymbol{X}_{n}=\boldsymbol{A}^{n}\boldsymbol{X}_{0},\boldsymbol{A}^{n}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}^{n}\boldsymbol{P}^{-1}, $$

且A的特征值为 $ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=0.7,\lambda_{3}=0.5 $。将 $ \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} $代入齐次线性方程组

$$ [\lambda,I-\mathrm{A}]\boldsymbol{X}=\boldsymbol{0}, $$

可求出 $ \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} $ 所对应的特征向量分别为 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,-2)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,-1,0)^{\mathrm{T}} $. 所以

$$ \boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{0}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{P}^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{-2}}} \\{{{3}}}&{{{-3}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}, $$

$$ \mathbf{A}^{n}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}^{n}\mathbf{P}^{-1}=\left[\begin{aligned}&2+(0,7)^{n}+3(0,5)^{n}&2+(0,7)^{n}-3(0,5)^{n}&2-2(0,7)^{n}\\ &2+(0,7)^{n}-3(0,5)^{n}&2+(0,7)^{n}+3(0,5)^{n}&2-2(0,7)^{n}\\ &2-2(0,7)^{n}&2-2(0,7)^{n}&2+4(0,7)^{n}\end{aligned}\right]. $$

于是，

原书第 194 页

$$ \begin{align*}\mathbf{X}_{n}=\mathbf{A}^n\mathbf{X}_0=\begin{cases}10+2(0.7)^n+3(0.5)^n\\10+2(0.7)^n-3(0.5)^n\\10-4(0.7)^n\end{cases}.\end{align*} $$

由上式可以得到第 n 年从事农、工、商人员的人数情况，且当 $ n \to \infty $ 时， $ X_{n} $ 趋近于 $ \boldsymbol{X}^{*} = (10, 10, 10)^{\mathrm{T}} $ 。即经过很多年后，从事农、工、商人员的数目都趋近于 10 万人。

实例三（最小二乘近似）在科学工程中经常会进行预测，在两个变量 x 和 y 之间存在线性关系 $ y = mx + b $，而常数 m 和 b 是未知的，为了求出 m 和 b，测得实验数据：

x	$ x_{1} $	$ x_{2} $	$ \cdots $	$ x_{n} $
y	$ y_{1} $	$ y_{2} $	$ \cdots $	$ y_{n} $

如果点 $ (x_1, y_1) $， $ (x_2, y_2) $， $ \cdots $， $ (x_n, y_n) $落在 $ \mathbb{R}^2 $的一条直线上，那么容易确定由实验得到的 $ m $和 $ b $的预测值：它们是过这 $ n $个点的直线的斜率和在 $ y $轴上的截距。然而，通常点 $ (x_1, y_1) $， $ (x_2, y_2) $， $ \cdots $， $ (x_n, y_n) $不在同一直线上，于是问题化为求一条直线，使得在某种意义下，该直线距离这 $ n $个点最近。

怎样才叫一点到一直线最近，有各种不同的度量标准.我们可以用这些点沿垂直方向到直线 $ y=mx+b $ 的距离的平方和

$$ S=\left[y_{1}-(mx_{1}+b)\right]^{2}+\cdots+\left[y_{n}-(mx_{n}+b)\right]^{2} $$

来度量这些点与直线的接近程度.平方放大了较大的误差在 S 中的比重.

对点 $ (x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n},y_{n}) $的最小二乘线性近似就是直线y=mx+b，它使得S尽可能的小。我们将用线性代数方法求出使S达到最小的m和b。

如果 $ (x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n},y_{n}) $共线，则有

$$ \{\begin{aligned}&mx_{1}+b=y_{1},\\ &mx_{2}+b=y_{2},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\\ &mx_{s}+b=y_{n},\end{aligned}. 即 \quad\begin{aligned}&m\mathbf{X}+be=\mathbf{Y},\\ \end{aligned} $$

其中 $ \boldsymbol{X} = (\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots, \boldsymbol{x}_n)^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{e} = (1, 1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{Y} = (y_1, y_2, \cdots, y_n)^{\mathrm{T}} $. 可见 n 个给定点在 $ \mathbb{R}^n $ 中的同一直线 l 上的充分必要条件是 Y 是 X 和 e 的线性组合，系数分别是 l 的斜率和 y 轴上的截距.

如果 $ (x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n},y_{n}) $不共线，考虑求m和b，使得 $ mX+be $尽可能接近Y.我们求m和b，使得

$$ \left\| \mathbf{Y} - (m \mathbf{X} + b \mathbf{e}) \right\|^{2} = \left[ y_{1} - (m x_{1} + b) \right]^{2} + \cdots + \left[ y_{n} - (m x_{n} + b) \right]^{2} = \mathbf{S} $$

最小，恰好与所求点 $ (x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n},y_{n}) $的最小二乘近似相同.

由于此时方程组 $ mX + be = Y $ 无解，即 $ \forall \notin L(X, e) $。因在 $ L(X, e) $ 中的向量最接近

原书第 195 页

Y的是Y在 $ L(X,e) $上的正交投影（图5.4）.这样，

最小二乘近似问题的解就是方程组

$$ m\boldsymbol{X}+b\boldsymbol{e}=\operatorname{Prj}_{L(X,e)}\boldsymbol{Y} $$

的解.求其中的 m 和 b 可以采用如下方法：

因

图5.4

$ Y - \Pr{j_{L(X,e)}}Y = [\mathbf{Y} - (m\mathbf{X} + b\mathbf{e})] \perp $ 平面 $ L(X, e) $

又 $ X \in L(X, e), e \in L(X, e) $，于是必有

$$ \{\begin{aligned}&(\boldsymbol{X},[\boldsymbol{Y}-(m\boldsymbol{X}+b\boldsymbol{e})])=0,\\ &(e,[\boldsymbol{Y}-(m\boldsymbol{X}+b\boldsymbol{e})])=0.\end{aligned}. $$

即

$$ \{\begin{aligned}&(\boldsymbol{X},\boldsymbol{X})m+(\boldsymbol{X},\boldsymbol{e})b=(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}),\\ &(\boldsymbol{e},\boldsymbol{X})m+(\boldsymbol{e},\boldsymbol{e})b=(\boldsymbol{e},\boldsymbol{Y}).\end{aligned}. $$

由克拉默法则得

$$ \begin{cases}m=\frac{(e,e)(X,Y)-(e,X)(e,Y)}{(e,e)(X,X)-(e,X)^{2}},\\b=\frac{(X,X)(e,Y)-(X,Y)(e,X)}{(e,e)(X,X)-(e,X)^{2}}.\end{cases} $$

实例四求点 $ (-1,1) $， $ (1,-1) $， $ (3,-4) $， $ (5,-4) $的最小二乘线性近似.

解令 $ X=(-1,1,3,5), Y=(1,-1,-4,-4) $，则

$$ \{\begin{aligned}m=&\frac{4(-34)-8(-8)}{4\times36-8^{2}}=-\frac{9}{10},\\ b=&\frac{36(-8)-(-34)\times8}{4\times36-8^{2}}=-\frac{1}{5},\end{aligned}. $$

直线为 $ y = -\frac{9}{10}x - \frac{1}{5} $.

实例五某小镇的人口在20年间缓慢地增长如下表：

年	1960	1970	1980
人口数	2000	2050	2080

试预测2010年时这个小镇的人口数.

解没有其他的信息可用来找到别的方法，用直线作为人口增长规律的近似表示是可取的.令 $ X=(1960,1970,1980) $， $ Y=(2\ 000,2\ 050,2\ 080) $. 利用公式可求得 m=4, b=-5 836.67. 所以这些数据的最小二乘近似为 y=4x-5 836.67. 将 x=2010 代入得 y=2 163.33. 故我们预测 2010 年时人口数为 2 163.

最小二乘线性近似也可用来对实验数据作非线性函数拟合。最常见的例子是幂函数和指数函数。

如果在正的变量 x 和 y 之间有确定的理论关系 $ y=ax^{b} $，那么取对数得出 $ \lg x $ 和

原书第 196 页

$ \lg y $ 之间的线性关系式

$$ \lg y=b\lg x+\lg a, $$

于是同样可用最小二乘近似法.

如果在理论上 x 和 y 之间存在形如 $ y=ac^{x} $ 的关系，其中 y, a, c>0. 取对数得 x 和 lg y 之间的线性关系式

$$ \lg\;y=(\lg\;c)x+\lg\;a. $$

所以也可用最小二乘近似法.

习题5.4

设 $ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 4 & -4 \\ 2 & -4 & 4 \end{pmatrix} $，求正交矩阵 P 及对角矩阵 $ \Lambda $，使 $ P^{-1} A P = \Lambda $.

设 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & a & 3 \end{pmatrix} $，有正交矩阵 C，使 $ C^{T} A C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $，求常数 a 与矩阵 C.

设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3，矩阵 A 对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是 $ \boldsymbol{\alpha}_{1} = (-1, -1, 1)^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{\alpha}_{2} = (1, -2, -1)^{\mathrm{T}} $.

（1）求 A 对应于特征值 3 的特征向量；（2）求矩阵 A.

设 A 是 3 阶实矩阵，且有 3 个相互正交的特征向量。证明：A 是实对称矩阵。

设 A 是 n 阶实对称矩阵， $ A^{2}=A $，证明：存在正交矩阵 T，使得

$$ T^{-1}AT=diag(1,1,\cdots,1,0,\cdots,0). $$

复习题五

求矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $ 的特征值与特征向量.

求方阵 $ A = \begin{pmatrix} a & a & \cdots & a \\ a & a & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & a \end{pmatrix} $ （ $ a \neq 0 $）的特征值和特征向量.

设 $ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix} $.

原书第 197 页

（1）求A的特征值；

（2）求 $ I+A^{-1} $的特征值.

设 $ A = \begin{pmatrix} 7 & 4 & -1 \\ 4 & 7 & -1 \\ -4 & -4 & x \end{pmatrix} $ 的特征值 $ \lambda_{1} = 3 $ (二重), $ \lambda_{2} = 12 $, 求 x 的值，并求其特征向量.

设3阶矩阵A的特征值为 $ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=3 $，对应的特征向量依次为

$$ \xi_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}},\xi_{2}=(1,2,4)^{\mathrm{T}},\xi_{3}=(1,3,9)^{\mathrm{T}} $$

向量 $ \boldsymbol{\beta}=(1,1,3)^{\mathrm{T}} $

（1）将 $ \beta $用 $ \xi_{1},\xi_{2},\xi_{3} $线性表出；

(2) 求 $ A^{n}\beta(n $ 为正整数 $.$

设矩阵 A 与 B 相似，其中 $ A=\begin{pmatrix}-2&0&0\\2&x&2\\3&1&1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&y\end{pmatrix} $

(1) 求 x 与 y 的值：

（2）求可逆矩阵P，使 $ P^{-1}AP=B $

设 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值 0,1,2,\cdots,n-1，且矩阵 $ B \sim A $，求 $ \det(I + B) $.

设 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & a \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \sim \Lambda $（对角矩阵），求常数 a，并求可逆矩阵 P，使 $ P^{-1} A P = \Lambda $.

求齐次线性方程组 $ \{\begin{array}{l}2x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}-3x_{5}=0,\\x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{5}=0\end{array}. $，的解空间的一组标准正交基.

如果实对称矩阵 A 满足关系式 $ A^{2}+6A+8I=O $，证明： $ A+3I $ 是正交矩阵.

若实矩阵 A 满足 $ A^{T} = -A $，则称 A 为反称实矩阵。证明：反称实矩阵的特征值为 0 或纯虚数。

已知三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1, 1, -2，且 $ (1, 1, -1)^{\mathrm{T}} $ 是对应于 -2 的特征向量，求 A.

设3阶矩阵A与3维向量X使X, AX, $ A^{2}X $ 线性无关，且

$$ \boldsymbol{A}^{3}\boldsymbol{X}=3\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}-2\boldsymbol{A}^{2}\boldsymbol{X}. $$

（1）记 $ P=(X,AX,A^{2}X) $，求3阶矩阵B，使 $ A=PBP^{-1} $

(2) 求 $ \det(A+I) $.

设 $ \xi=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} $ 是 $ A=\begin{pmatrix}a&-1&2\\5&b&3\\-1&0&-2\end{pmatrix} $ 的特征向量，求 A，并证明 A 的任一特征向量均能由 $ \xi $ 线性表出.

设 $ A=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&3&2\\2&2&3\end{pmatrix},P=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix},B=P^{-1}A^{*}P $，求 $ B+2I $ 的特征值和特征向量.

设 $ A \sim \text{diag}(4, 3, 6) $. 求 $ \det(A^{2} - I) $.

原书第 198 页

17.3 阶矩阵 A 有特征值 -1, 1, 2. 证明： $ \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{A}^{*} + \boldsymbol{I})^{2} $ 可相似对角化，并求 B 的相似对角矩阵.

某生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 $ \frac{1}{6} $熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补充。新、老非熟练工经培训及年终考核有 $ \frac{2}{5} $成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 $ x_{n} $和 $ y_{n} $，记为向量 $ \begin{pmatrix}x_{n}\\ y_{n}\end{pmatrix} $。

(1) 求 $ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} $ 与 $ \begin{pmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix} $ 的关系并写成矩阵形式： $ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix} $;

（2）验证 $ \eta_{1}=\begin{pmatrix}4\\ 1\end{pmatrix},\eta_{2}=\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix} $ 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；

（3）当 $ \left(\begin{aligned}x_{1}\\ y_{1}\end{aligned}\right)=\left(\begin{aligned}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{aligned}\right) $时，求 $ \left(\begin{aligned}x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{aligned}\right) $.

思考题五

命题“若 $ \frac{1}{3} $不是矩阵A的特征值，则3I-A为可逆矩阵”是否成立？为什么？

2 设矩阵 $ A\sim R $

设矩阵 $ A \sim B $，

(1) $ \det A $ 与 $ \det B $ 有何关系？

(2) A 与 B 的特征向量有何关系？

(3) $ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A}) $ 与 $ \mathrm{tr}(\boldsymbol{B}) $ 有何关系？

（4） $ A^{k} $ 与 $ B^{k} $ 有何关系 (k 为正整数)?

(5) $ f(A) $与 $ f(B) $有何关系( $ f(x) $为多项式)?

设 A, B 为 n 阶矩阵，在什么情况下， $ A \sim B \Leftrightarrow A $ 与 B 有相同的特征值？

能否用初等变换将 A 化为与之相似的对角矩阵？

知识点注释五

综合自测题五

第五章 特征值与特征向量