第六章 二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
重点难点
二次型的研究与解析几何中化二次曲面的方程为标准形的问题有密切联系，其理论与方法在数学、物理学和工程中都有广泛的应用。本章着重讨论实二次型的标准形与正定性，空间曲线与曲面（特别是二次曲面）的方程与图形，最后将二次型的理论与方法用于研究二次曲面的方程。
§6.1 实二次型及其标准形
一、 二次型及其矩阵表示
在平面解析几何中，二次方程
$$ ax^{2}+2bxy+cy^{2}=d $$
表示一条二次曲线.为了便于研究该曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度 $ \theta $,作坐标变换
$$ \{\begin{aligned}x&=x^{\prime}\cos\theta-y^{\prime}\sin\theta,\\ y&=x^{\prime}\sin\theta+y^{\prime}\cos\theta,\end{aligned}. $$
将二次方程化为只含平方项的标准方程
$$ a^{\prime}x^{\prime2}+b^{\prime}y^{\prime2}=d. $$
由 $ a^{\prime} $ 和 $ b^{\prime} $ 的符号很快能判断出此二次曲线表示的是一个椭圆或者是双曲线.
上述二次方程的左端是一个二次齐次多项式，从代数学的观点来看，就是通过一个可逆线性变换将一个二次齐次多项式化为只含平方项的多项式。这样的问题，在许多理论问题或实际应用问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论 n 个变量的二次齐次多项式的问题。
定义 1 n 元二次齐次多项式
$$ \begin{aligned}f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=&a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots+2a_{1n}x_{1}x_{n}\\&+a_{22}x_{2}^{2}\quad+\cdots+2a_{2n}x_{2}x_{n}\\&+\cdots\end{aligned} $$
$$ +a_{nn}x_{n}^{2} $$
称为 n 元二次型，简称为二次型.
如果二次型中的系数 $ a_{ij} \in \mathbf{R} (i \leq j, i, j=1, 2, \cdots, n) $，则称二次型 $ f $ 为实二次型；如果 $ a_{ij} \in \mathbf{C} $，则称二次型 $ f $ 为复二次型。本章只讨论实二次型。
如果令 $ a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n) $，则二次型可记为
$$ \begin{aligned}f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})&=a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{1}x_{n}+\\&\quad a_{21}x_{2}x_{1}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots+a_{2n}x_{2}x_{n}+\\&\quad\cdots+\\&\quad a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2}\\&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},\end{aligned} $$
令
$$ \begin{aligned}A&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix},\end{aligned} $$
则二次型可表示为
$$ f\left(\boldsymbol{X}\right)=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}\quad\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}\right). $$
这一形式称为二次型 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 的矩阵形式，实对称矩阵 A 称为二次型 $ f(X) $ 的矩阵.
显然，二次型与其矩阵是互相惟一确定的。以后在实二次型的矩阵表达式 $ f(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^{\top}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} $ 中都假定 A 是实对称矩阵。
二次型 $ f(X)=X^{\top}AX $ 的矩阵 A 的秩称为二次型 $ f(X) $ 的秩.
例如，二次型
$$ \begin{align*}f(x_{1},x_{2},x_{3})&=2x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+4x_{1}x_{2}-6x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\\&=(x_{1},x_{2},x_{3})\begin{pmatrix}2&2&-3\\2&-1&\frac{1}{2}\\-3&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix},\end{align*} $$
这个二次型的矩阵是 $ A=\begin{pmatrix}2&2&-3\\2&-1&\frac{1}{2}\\-3&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix} $.
典型例题讲解二次型的矩阵与秩
由于 $ \det A = \frac{5}{2} $，故 A 的秩为 3，所以 $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) $ 的秩也是 3.
对于 n 元二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $，变换
$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=c_{11}y_{1}+c_{12}y_{2}+\cdots+c_{1n}y_{n},\\ x_{2}&=c_{21}y_{1}+c_{22}y_{2}+\cdots+c_{2n}y_{n},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x_{n}&=c_{n1}y_{1}+c_{n2}y_{2}+\cdots+c_{nn}y_{n}\end{aligned}. $$
称为从 $ y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} $ 到 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $ 的线性变换。如果线性变换的系数矩阵可逆，则称为可逆线性变换。
令 $ X=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{pmatrix},Y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\end{pmatrix} $，则线性变换可记为
$$ X=C Y. $$
将 n 元二次型 $ f(X)=X^{\top}AX $ 作可逆线性变换 X=CY，则
$$ f\left(\boldsymbol{X}\right)=\left(\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y}\right)^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y}\right)=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\right)\boldsymbol{Y}. $$
令 $ B=C^{T}AC $，则
$$ f\left(\boldsymbol{X}\right)=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=g\left(\boldsymbol{Y}\right). $$
二次型 $ f(X) = X^{\mathrm{T}}AX $ 通过线性变换 X = CY 后变成一个新二次型 $ g(Y) = Y^{\mathrm{T}}BY $，这两个二次型的系数矩阵 A 与 B 的关系是
$$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}. $$
定义2 设A, B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得
$$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}, $$
则称 A 与 B 合同.
矩阵之间的合同关系具有以下性质：
1° 反身性 任何 n 阶矩阵 A 都与自身合同；
$ 2^{\circ} $ 对称性 如果 A 与 B 合同，则 B 与 A 合同；
$ 3^{\circ} $ 传递性 如果 A 与 B 合同且 B 与 C 合同，则 A 与 C 合同.
这些性质的证明留给读者.
可逆线性变换 X = CY 把二次型 $ f(X) = X^{\top}AX $ 变为二次型 $ g(Y) = Y^{\top}BY $，这两个二次型的矩阵 A 与 B 合同，即 $ B = C^{\top}AC $，故 A 与 B 的秩相同。因此 $ f(X) $ 与 g(Y) 的秩相同。所以可逆线性变换不改变二次型的秩。
例1 设矩阵 $ A=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-2&0\\ 0&1\end{pmatrix} $，求实可逆矩阵 C，使 $ C^{T}AC=B $
解 矩阵 A 对应的二次型是
$$ f(x_{1},x_{2})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}, $$
矩阵B对应的二次型是
$$ g\left(y_{1},y_{2}\right)=\mathbf{Y}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\mathbf{Y}=-2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}. $$
作可逆线性变换
$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=0y_{1}+y_{2},\\ x_{2}&=\sqrt{2}y_{1}+0y_{2},\end{aligned}. $$
即令矩阵
$$ \mathbf{C}=\begin{pmatrix}0&1\\ \sqrt{2}&0\end{pmatrix},\quad\mathbf{X}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix},\quad\mathbf{Y}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\end{pmatrix}, $$
且 X=CY，则 $ f(x_{1},x_{2}) $ 与 $ g(y_{1},y_{2}) $ 的矩阵之间的关系为： $ C^{T}AC=B $
二、 用配方法化二次型为标准形
在各种二次型中，平方和形式
$$ d_{1}y_{1}^{2}+d_{2}y_{2}^{2}+\cdots+d_{n}y_{n}^{2} $$
无疑是最简单的.下面我们将介绍,任何一个二次型 $ f(X)=X^{T}AX $ 都可以通过可逆线性变换 X=CY 化为平方和形式,这种平方和形式的二次型称为标准形.
定理1 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.
利用配方法和对变量个数 n 使用归纳法可证明这个定理（证明从略）。下面通过具体例子说明怎样用配方法化二次型为标准形。
例2 用配方法化二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3} $ 为标准形.
$$ \begin{aligned}f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)&=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}\right)+x_{2}^{2}+\\&\quad4x_{3}^{2}+4x_{2}x_{3}\\&=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}+(x_{2}+2x_{3})^{2},\end{aligned} $$
$$ \{\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3},\\ y_{2}&=\quad x_{2}+2x_{3},\\ y_{3}&=\quad x_{3},\end{aligned}. $$
作线性变换
典型例题讲解
配方法化二次型为标准形
则 $ f(x_{1},x_{2},x_{3}) $ 的标准形为
$$ f=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}. $$
如果用 $ y_{1}, y_{2}, y_{3} $ 表示 $ x_{1}, x_{2}, x_{3} $，则上述线性变换又可表示为
$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=y_{1}-y_{2}+y_{3},\\ x_{2}&=\quad y_{2}-2y_{3},\\ x_{3}&=\quad y_{3},\end{aligned}. $$
记
$$ \boldsymbol{Y}=\begin{pmatrix}{{{y_{1}}}} \\{{{y_{2}}}} \\{{{y_{3}}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}{{{x_{1}}}} \\{{{x_{2}}}} \\{{{x_{3}}}}\end{pmatrix}, $$
则上式又可记为 X=CY，即二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3}) $ 通过可逆线性变换 X=CY 变为标准形 $ f=y_{1}^{2}+y_{2}^{2} $.
例3 用配方法化二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}-6x_{2}x_{3} $ 为标准形.
解 作线性变换
$$ \{\begin{array}{l}x_{1}=y_{1}+y_{2}\\x_{2}=y_{1}-y_{2}\\x_{3}=\quad y_{3},\end{array}. $$
则
$$ \begin{aligned}f(x_{1},x_{2},x_{3})=&2(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})+2(y_{1}+y_{2})y_{3}-6(y_{1}-y_{2})y_{3}\\=&2y_{1}^{2}-2y_{2}^{2}-4y_{1}y_{3}+8y_{2}y_{3}\\=&2(y_{1}^{2}+y_{3}^{2}-2y_{1}y_{3})-2y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}+8y_{2}y_{3}\\=&2(y_{1}-y_{3})^{2}-2(y_{2}^{2}+4y_{3}^{2}-4y_{2}y_{3})+6y_{3}^{2}\\=&2(y_{1}-y_{3})^{2}-2(y_{2}-2y_{3})^{2}+6y_{3}^{2},\end{aligned} $$
再作线性变换
$$ \{\begin{aligned}z_{1}&=y_{1}&-y_{3},\\ z_{2}&=\quad y_{2}-2y_{3},\\ z_{3}&=\quad y_{3},\end{aligned}. $$
则
$$ f=2z_{1}^{2}-2z_{2}^{2}+6z_{3}^{2}. $$
如果再令
$$ \begin{cases}t_{1}=\sqrt{2}z_{1},\\t_{2}=\sqrt{6}z_{3},\\t_{3}=\sqrt{2}z_{2},\end{cases} $$
则
$$ f=t_{1}^{2}+t_{2}^{2}-t_{3}^{2}. $$
式(6.1)与式(6.2)所表示的二次型都是 $ f(x_{1},x_{2},x_{3}) $的标准形.由此可见，一个二次型的标准形不是惟一的.式(6.2)这样的标准形称为规范形.
n 元二次型的规范形的一般形式为
$$ y_{1}^{2}+\cdots+y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\cdots-y_{r}^{2}\quad(r\leqslant n). $$
定理2 任何一个二次型的规范形是惟一的.
我们将这个定理的证明思路叙述如下：
二次型 $ f(X) = X^{\top}AX $ 可以通过可逆线性变换化为标准形。经过适当的调整，将正项集中在前面，负项集中在后面，表示为如下形式：
$$ f\left(\boldsymbol{X}\right)=d_{1}y_{1}^{2}+\cdots+d_{p}y_{p}^{2}-d_{p+1}y_{p+1}^{2}-\cdots-d_{r}y_{r}^{2}, $$
其中 $ r \leqslant n, d_{i} > 0 (i = 1, 2, \cdots, r) $.
再令
$$ z_{i}=\sqrt{d_{i}}y_{i}\quad(i=1,2,\cdots,r), $$
则
$$ f(X)=z_{1}^{2}+\cdots+z_{p}^{2}-z_{p+1}^{2}-\cdots-z_{r}^{2}. $$
由于可逆线性变换不改变二次型的秩，故标准形中系数不为零的平方项的项数 r 是惟一确定的。在理论上还可以进一步证明，标准形中正项项数 p 与负项项数 r-p 也是惟一确定的，故任一二次型的规范形是惟一的。
二次型的标准形中，正项项数 p 称为正惯性指数，负项项数 r-p 称为负惯性指数，而正负惯性指数的差 2p-r 称为符号差。
可逆线性变换不改变二次型的秩与正负惯性指数，而秩与惯性指数在标准形中都是一目了然的，这正是我们要用可逆线性变换化二次型为标准形的目的之一。
例4 设二次型
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2ax_{1}x_{3} $$
的正负惯性指数都是1，求 $ f(x_{1},x_{2},x_{3}) $的规范形及常数a.
解 $ f(x_{1},x_{2},x_{3}) $ 的规范形为
$$ y_{1}^{2}-y_{2}^{2}. $$
因为 $ f(x_{1},x_{2},x_{3}) $ 的正负惯性指数都是 1，所以 $ f(x_{1},x_{2},x_{3}) $ 的秩为 2，其矩阵 A 的秩也为 2.
$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&-a\\1&a&-1\\-a&-1&1\end{pmatrix}. $$
由 $ R(A)=2 $可知：
$$ \det\boldsymbol{A}=\left|\begin{array}{ccc}1&1&-a\\1&a&-1\\-a&-1&1\end{array}\right|=-\left(a-1\right)^{2}(a+2)=0. $$
解得 a=1 或 a=-2.
若 a=1 则 $ R(A)=1 $，与 $ R(A)=2 $ 矛盾，所以 a=-2.
三、 用正交变换化二次型为标准形
如果线性变换 X=CY 中的系数矩阵 C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换.
对 n 维实向量 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^{\mathrm{T}} $，设 A 为 n 阶正交矩阵，作正交变换
典型例题讲解
正交变换化二次型为标准形
$$ X=A\alpha,\quad Y=A\beta, $$
则
$$ (X,Y)=(A\alpha,A\beta)=(A\alpha)^{\mathrm{T}}(A\beta)=\alpha^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}A\beta=\alpha^{\mathrm{T}}\beta=(\alpha,\beta). $$
即正交变换保持向量内积不变，因此也就保持向量的长度与夹角不变。于是，在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变。而这个特征是一般可逆线性变换所不具备的，这也是我们着重讨论正交变换的目的之一。
设 $ f(X) = X^{\top}AX $ 是实二次型，则 A 为实对称矩阵，由 §5.4 定理 3 可知，存在正交矩阵 C，使 $ C^{\top}AC = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n) $，其中 $ \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n $ 是 A 的全部特征值.
作正交变换 X = C Y，则
$$ f(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y}=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2}. $$
于是，我们已经证明了如下定理：
定理3 任何一个实二次型都可以通过正交变换化为标准形
由以上推导可知，用正交变换 X=CY 化二次型 $ f(X)=X^{\top}AX $ 为标准形的主要工作，在于求正交矩阵 C，使 $ C^{\top}AC=\mathrm{diag}(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}) $。这项工作在第五章中已经做了详细的讨论。
用正交变换化二次型 $ f(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} $ 为标准形，平方项的系数刚好是矩阵 A 的全部特征值，如果不计特征值的排列顺序，则这样的标准形是惟一的。
例 5 用正交变换化二次型
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-2x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}+8x_{2}x_{3} $$
为标准形.
解 $ f(x_{1},x_{2},x_{3}) $ 的矩阵为
$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{2}}} \\{{{-2}}}&{{{-2}}}&{{{4}}} \\{{{2}}}&{{{4}}}&{{{-2}}}\end{pmatrix}, $$
$$ det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1&2&-2\\2&\lambda+2&-4\\-2&-4&\lambda+2\end{array}\right|=(\lambda-2)^{2}(\lambda+7)， $$
特征值 $ \lambda_{1}=2(2 $ 重 $ ),\lambda_{2}=-7 $
对于 $ \lambda_{1}=2 $，线性方程组 $ (\lambda_{1}I-A)X=0 $的基础解系为 $ \boldsymbol{\alpha}_{1}=(-2,1,0)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0,1)^{\mathrm{T}} $。将 $ \alpha_{1},\alpha_{2} $正交化：
$$ \boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-2,1,0)^{\mathrm{T}} $$
$$ \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1\right)^{\mathrm{T}}=\frac{1}{5}(2,4,5)^{\mathrm{T}}, $$
再将 $ \beta_{1},\beta_{2} $单位化：
$$ \boldsymbol{\gamma}_{1}=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{1}\right\|}\boldsymbol{\beta}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0)^{\mathrm{T}}, $$
$$ \boldsymbol{\gamma}_{2}=\frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_{2}\|}\boldsymbol{\beta}_{2}=\frac{1}{3\sqrt{5}}(2,4,5)^{\mathrm{T}}. $$
对于 $ \lambda_{2}=-7 $，线性方程组 $ (\lambda_{2}I-A)X=0 $的基础解系为 $ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,2,-2)^{\mathrm{T}} $，将 $ \alpha_{3} $单位化：
$$ \gamma_{3}=\frac{1}{3}(1,2,-2)^{\mathrm{T}}. $$
令
$$ \boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}&\frac{2}{3}\\ 0&\frac{5}{3\sqrt{5}}&-\frac{2}{3}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{Y}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\end{pmatrix}, $$
则 X=CY 是正交变换，且 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=2y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}-7y_{3}^{2} $
习题6.1
- 写出二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = \sum_{i=1}^{3} (a_{i1} x_{1} + a_{i2} x_{2} + a_{i3} x_{3})^{2} $ 的矩阵.
- 用配方法化二次型为标准形：
(1)
$$ x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}-3x_{2}x_{3}； $$
$$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}x_{4}； $$
(3) $ 2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}-6x_{2}x_{3} $
- 确定下面二次型的秩与符号差：
$$ x_{1}x_{2n}+x_{2}x_{2n-1}+\cdots+x_{n}x_{n+1}. $$
- 用正交变换化二次型为标准形：
(1) $ 3x_{1}^{2}+3x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+8x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} $; (2) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} $.
- 已知二次型
$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2ax_{2}x_{3}\quad(a>0) $$
通过正交变换化为标准形 $ f=y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}+5y_{3}^{2} $，求参数 a 及所用的正交变换矩阵 C。
- 设 n 元二次型 $ f=X^{T}AX $，A 的特征值 $ \lambda_{1}\leqslant\lambda_{2}\leqslant\cdots\leqslant\lambda_{n} $，证明：对任意 n 维实向量 X，
$$ \lambda_{1}\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}\leqslant\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}\leqslant\lambda_{n}\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}. $$
- 设 A 是对称矩阵，且对任意 n 维向量 X，均有 $ X^{T}AX=0 $，证明：A=O.
- 证明：若 A, B 均为三阶实对称矩阵，且对一切 X 有 $ X^{T}AX = X^{T}BX $，则 A = B.
- 设 C 为可逆矩阵， $ \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\mathrm{diag}(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n}) $，问：对角矩阵的对角元是否一定是 A 的特征值？若成立，证明之，若不成立，举出反例.
- 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 $ r(r < n) $，证明：存在可逆矩阵 C，使得 $ C^{T}AC = \mathrm{diag}(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{r}, 0, \cdots, 0) $。其中 $ d_{i} \neq 0 (i=1,2, \cdots, r) $。
重难点分析
正定二次型
的概念
重难点分析
正定二次型
判定定理
36.2 正定二次型
二次型
$$ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} $$
具有如下特性：对任意一组不全为零的实数 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $，都有
$$ f(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}>0. $$
而二次型
$$ g\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)=x_{1}^{2}+\cdots+x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots-x_{n}^{2} $$
则不具备这样的性质.
定义1 如果任一非零实向量X，都使二次型 $ f(X)=X^{\mathrm{T}}AX>0 $，则称 $ f(X) $为正定二次型， $ f(X) $的矩阵A称为正定矩阵.
换句话说，如果任意一组不全为零的实数 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $，都使 $ f(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) > 0 $，则二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $ 是正定二次型。例如，式（6.3）所示的二次型就是正定二次型。对于一般的二次型，下面的定理可以判断它是否正定。
定理1 二次型 $ f(X)=X^{\top}AX $ 为正定二次型的充分必要条件是对称矩阵 A 的特征值全为正数.
证 设 A 的特征值为 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $，则通过正交变换 X = CY 可将 $ f(X) $ 化为
$$ f\left(\boldsymbol{X}\right)=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2}=g\left(\boldsymbol{Y}\right). $$
充分性：若 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $ 全为正数，则对任一非零实向量 $ Y \neq 0 $，均有 $ g(Y) > 0 $。故对任一非零实向量 X，可得非零实向量 $ Y = C^{-1}X $，使
$$ f\left(\boldsymbol{X}\right)=g\left(\boldsymbol{Y}\right)>0, $$
故 $ f(X) $ 是正定二次型.
必要性：用反证法.设A的某个特征值 $ \lambda_{i}\leqslant0 $，不妨设 $ \lambda_{1}\leqslant0 $，则对于
$$ \mathbf{Y}=(1,0,\cdots,0)^{\top}, $$
有 $ X = CY \neq 0 $，而
$$ f\left(\boldsymbol{X}\right)=g\left(\boldsymbol{Y}\right)=\lambda_{1}\leqslant0, $$
这与 $ f(X) $ 是正定二次型矛盾，故 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $ 全为正数.
由此可得：
推论 1 二次型 $ f(X)=X^{\top}AX $ 是正定二次型的充分必要条件是 $ f(X) $ 的正惯性
指数为 n.
事实上，二次型 $ f(X) $ 通过正交变换可化为标准形
$$ \lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2}, $$
于是，由定理1可得推论1.
由于可逆线性变换不改变二次型的正负惯性指数，所以可逆线性变换也不会改变二次型的正定性.
如果 n 元二次型 $ f(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} $ 的正惯性指数为 n，则其规范形为
$$ g\left(\mathbf{Y}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}=\mathbf{Y}^{\mathrm{T}}\mathbf{I}\mathbf{Y}, $$
故 A 与 I 合同.
反之，如果 A 与 I 合同，则 $ f(X) $ 的规范形必然是式(6.4). 于是可得
推论2 二次型 $ f(X)=X^{\mathrm{T}}AX $ 是正定二次型的充分必要条件是对称矩阵 A 与单位矩阵 I 合同.
有时需要直接从二次型 $ f(\mathbf{X})=\mathbf{X}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{X} $ 的矩阵 A 判断 $ f(\mathbf{X}) $ 是否为正定二次型.为此,我们先引入顺序主子式的概念.
定义 2 对于 n 阶矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n} $，子式
$$ P_{k}=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{array}\right|\quad(k=1,2,\cdots,n) $$
称为 A 的顺序主子式.
有了这个概念，我们不加证明地给出下面的定理：
定理2 二次型 $ f(X)=X^{T}AX $ 是正定二次型的充分必要条件是对称矩阵A的所有顺序主子式全大于零.
例1 二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+2tx_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} $，当 t 取何值时，f 为正定二次型？
解 f 的矩阵为 $ A=\begin{pmatrix}1&t&-1\\t&4&2\\-1&2&4\end{pmatrix} $，A 的顺序主子式为
$$ P_{1}=1,\quad P_{2}=\left|\begin{matrix}1&t\\ t&4\end{matrix}\right|=4-t^{2}, $$
$$ P_{3}=\left|\begin{matrix}1&t&-1\\ t&4&2\\ -1&2&4\end{matrix}\right|=-4t^{2}-4t+8=-4(t-1)(t+2). $$
由于 $ P_{1}=1>0 $ ，故 f 正定的充分必要条件是 $ P_{2}>0 $ 且 $ P_{3}>0 $ ，即
$$ \{\begin{aligned}&4-t^{2}>0,\\ &-4(t-1)(t+2)>0,\end{aligned}. $$
解得-2<t<1. 故当-2<t<1时，f正定.
因为正定二次型 $ f(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} $ 的矩阵 A 称为正定矩阵，所以 $ f(\boldsymbol{X}) $ 正定的充要条件是 A 为正定矩阵。与二次型的正定性判断相平行，可得下面的结论：
定理3 对于实对称矩阵A，下列命题等价：
$ 1^{\circ} $ A 是正定矩阵；
$ 2^{\circ} $ A 的特征值全为正数；
$ 3^{\circ} $ A 与单位矩阵 I 合同；
$ 4^{\circ} $ A 的顺序主子式全大于零.
例2 证明：正定矩阵A的逆矩阵 $ A^{-1} $也是正定矩阵.
由于我们定义的正定矩阵 A 首先是一个实对称矩阵，而 $ (\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}}=(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1} $，故 $ A^{-1} $ 也是一个实对称矩阵.
下面我们用三种不同的方法来证明这个 $ A^{-1} $是正定矩阵.
证一 因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} $ 全为正数，且存在正交矩阵 C，使 $ C^{-1}AC = \mathrm{diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}) $，于是
$$ \mathbf{C}^{-1}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{C}=(\mathbf{C}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{C})^{-1}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},\cdots,\frac{1}{\lambda_{n}}\right), $$
所以 $ A^{-1} $ 的特征值 $ \frac{1}{\lambda_{1}}, \frac{1}{\lambda_{2}}, \cdots, \frac{1}{\lambda_{n}} $ 全为正数，故 $ A^{-1} $ 为正定矩阵.
证二 由于 A 是正定矩阵，所以 A 与单位矩阵 I 合同，即存在可逆矩阵 P，使
$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{I}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}. $$
所以
$$ \mathbf{A}^{-1}=(\mathbf{P}^{\mathrm{T}}\mathbf{P})^{-1}=\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{P}^{\mathrm{T}})^{-1}=\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{P}^{-1})^{\mathrm{T}}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{I}(\mathbf{P}^{-1})^{\mathrm{T}}. $$
于是， $ A^{-1} $与单位矩阵I合同.
证三 设 $ f(X)=X^{T}A^{-1}X $，作可逆线性变换 X=AY，得
$$ \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Y}, $$
可逆线性变换不改变二次型的正定性，而 $ Y^{T}AY $ 是正定二次型，故 $ X^{T}A^{-1}X $ 也是正定二次型，因此矩阵 $ A^{-1} $ 是正定矩阵.
与正定二次型相对应，我们还可以讨论负定二次型，半正定二次型，半负定二次型。
定义 3 对于二次型 $ f(X)=X^{\mathrm{T}}AX $ 及任一非零实向量 X，
1° 如果 $ f(X)=X^{\top}AX<0 $，则称 $ f(X) $ 是负定二次型；
$ 2^{\circ} $ 如果 $ f(X)=X^{\top}AX\geqslant0 $，则称 $ f(X) $ 是半正定二次型；
$ 3^{\circ} $ 如果 $ f(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}\leqslant0 $，则称 $ f(\boldsymbol{X}) $ 是半负定二次型；
$ 4^{\circ} $ 不是正定、半正定、负定、半负定的二次型称为不定二次型.
与正定二次型的判断相对应，有下面的结论：
定理4 对于二次型 $ f(X)=X^{\mathrm{T}}AX $，下列命题等价：
$ 1^{\circ} $ $ f(X) $ 为负定二次型；
$ 2^{\circ} $ $ f(X) $ 的特征值全为负数；
$ 3^{\circ} $ $ f(X) $ 的负惯性指数为 n;
$ 4^{\circ} $ $ f(X) $ 的矩阵 A 的顺序主子式满足 $ (-1)^{k}P_{k}>0 $ $ (k=1,2,\cdots,n) $
事实上，由正定二次型与负定二次型的定义可知， $ f(X)=X^{\mathrm{T}}AX $ 为负定二次型的充要条件是 $ -f(X)=-X^{\mathrm{T}}AX $ 为正定二次型.
值得注意的是， $ f(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} $ 是负定二次型的充要条件不是顺序主子式全小于零，而是按照子式阶数的奇偶性呈现出奇负偶正的特点.
例3 判断二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=-5x_{1}^{2}-6x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3} $ 是否为负定二次型.
解 f 的矩阵为
$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{-5}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{-6}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{0}}}&{{{-4}}}\end{pmatrix}. $$
因为
$$ (-1)P_{1}=-|-5|>0, $$
$$ (-1)^{2}P_{2}=\left|\begin{matrix}-5&2\\ 2&-6\end{matrix}\right|=26>0, $$
$$ \left(-1\right)^{3}P_{3}=-\left|\begin{array}{r r r}{{{-5}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{-6}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{0}}}&{{{-4}}}\end{array}\right|=80>0, $$
所以 f 是负定二次型.
例4 设矩阵 $ A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix} $， $ \boldsymbol{B}=(k\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A})^{2} $. 求对角矩阵 $ \Lambda $，使 $ B\sim\Lambda $，并确定 k 为何值时，B 为正定矩阵.
解
$$ det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left|\begin{array}{ccc}{{{\lambda-1}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{0}}}&{{{\lambda-2}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{\lambda-1}}}\end{array}\right|=\lambda(\lambda-2)^{2}. $$
A 的特征值为 $ \lambda_{1}=2(2 $ 重 $ ),\lambda_{2}=0 $. 因为 A 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使
$$ \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}, $$
$$ \mathbf{A}=(\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}})^{-1}\boldsymbol{D}\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{D}\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}, $$
于是
$$ \begin{aligned}\boldsymbol{B}&=(\boldsymbol{k}\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A})^{2}=(\boldsymbol{k}\boldsymbol{P}\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{D}\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}})^{2}\\&=\left[\boldsymbol{P}(\boldsymbol{k}\boldsymbol{I}+\boldsymbol{D})\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\right]\left[\boldsymbol{P}(\boldsymbol{k}\boldsymbol{I}+\boldsymbol{D})\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\right]\\&=\boldsymbol{P}(\boldsymbol{k}\boldsymbol{I}+\boldsymbol{D})^{2}\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\end{aligned} $$
$$ \begin{align*}=\boldsymbol{P}\begin{bmatrix}(k+2)^2&&\\ &(k+2)^2&\\ &&k^2\end{bmatrix}\boldsymbol{P}^\mathrm{T}.\end{align*} $$
令 $ \Lambda=\left(\begin{matrix}(k+2)^2&\\ &(k+2)^2&\\ &&k^2\end{matrix}\right) $，则 $ B\sim\Lambda $.
由此可知，当 $ k\neq-2 $ 且 $ k\neq0 $ 时，B的特征值全为正实数，此时B为正定矩阵.
题6.2
. 下列二次型是否为正定二次型？
(1) $ 5x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-8x_{1}x_{3}-4x_{2}x_{3} $;
(2) $ -5x_{1}^{2}-6x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3} $;
(3) $ 2x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3} $
- 证明：实对称矩阵 A 负定的充要条件是存在可逆矩阵 C，使 $ A = -C^{T}C $
- 设 A 是正定矩阵，C 是可逆矩阵，证明： $ C^{T}AC $ 是正定矩阵.
- 证明：若 A, B 是 n 阶正定矩阵，则 $ kA + lB $ 也是正定矩阵（其中 $ k \geqslant 0, l \geqslant 0, k + l > 0 $）.
- 设 A 是正定矩阵，证明 $ A^{*} $ 也是正定矩阵.
- t 取何值时，下列二次型是正定二次型？
(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}+2tx_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} $;
(2) $ x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2tx_{1}x_{2}+10x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3} $
- 证明：如果 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n} $ 是正定矩阵，则 $ a_{ii}>0(i=1,2,\cdots,n) $；如果 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n} $ 是负定矩阵，则 $ a_{ii}<0(i=1,2,\cdots,n) $.
- 对于 n 元二次型 $ X^{T}AX $，证明：
（1） $ X^{T}AX $ 是半正定二次型的充要条件是 $ X^{T}AX $ 的正惯性指数与秩相等，且秩小于 n；
（2） $ X^{T}AX $ 是半负定二次型的充要条件是 $ X^{T}AX $ 的负惯性指数与秩相等，且秩小于 n.
- 设 A 是 n 阶正定矩阵，I 是 n 阶单位矩阵，证明： $ \det(A+I)>1 $
- 证明：若 A 是 n 阶正定矩阵，则存在正定矩阵 B，使得 $ A = B^{2} $
- 设 A 是 n 阶实对称矩阵，且 $ A^{2}=A, R(A)=r(0
（1）证明： $ A+I $ 是正定矩阵；
（2）计算： $ \det(I+A+\cdots+A^{k}) $
3 曲面与空间曲线
前面我们研究了二次型，本节开始研究在空间 $ R^{3} $中三元二次方程表示什么曲面，最后利用二次型有关理论对三元二次方程进行化简，同时还介绍空间曲线的一般方程。
一、 曲面
在空间 $ R^{3} $ 中，满足三元方程
$$ F(x,y,z)=0 $$
的有序数组 $ (x,y,z) $所对应的点的集合
$$ S=\{(x,y,z)\mid F(x,y,z)=0\} $$
在空间 $ R^{3} $ 中表示曲面.
如果空间曲面 S 与三元方程 $ F(x,y,z)=0 $ 有下述关系：
- 曲面上的任何一点的坐标 $ (x,y,z) $都满足方程；
- 满足方程的 $ (x,y,z) $必是曲面S上某点的坐标，那么方程 $ F(x,y,z)=0 $称为曲面S的方程，曲面S就称为方程 $ F(x,y,z)=0 $的图形（图6.1）.
在空间解析几何中，关于曲面的研究，有下面两个基本问题：
- 已知曲面 S 建立它的方程；
- 已知方程 $ F(x,y,z)=0 $，研究它所表示的曲面的形状及性质.
下面我们举例说明如何解决这两个基本问题.
例1 求以点 $ M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) $为球心，以R为半径的球面的方程.
解 设 $ M(x,y,z) $ 是球面上任一点，则 $ M_{0} $ 与 M 的距离为 R，
$$ \sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}=R, $$
两边平方得
$$ (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}. $$
显然，坐标满足方程的点都在球面上，所以这个方程就是以 $ (x_{0},y_{0},z_{0}) $为球心，以R为半径的球面方程（图6.2）.
一般来说，三元二次方程
$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0 $$
经过配方后都可以化为
$$ (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=E. $$
当E>0时，表示实球面；
当E=0时，表示点球面；
当 E<0 时，表示虚球面，也就是方程不表示任何曲面.
例如：
$$ x^{2}+2x+y^{2}+z^{2}-2z-2=0 $$
$$ (x+1)^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=4. $$
这个方程表示球心在 $ (-1,0,1) $，半径为2的球面.
例2 已知方程 $ x^{2}+y^{2}=R^{2} $，研究它表示怎样的曲面.
解 方程 $ x^{2}+y^{2}=R^{2} $ 在 Oxy 平面上表示圆，但在空间直角坐标系中，它表示一个曲面。由于方程不含竖坐标 z，所以不管 z 是多少，只要点的坐标 x, y 满足方程，点就在曲面上。因此，凡是通过 Oxy 平面的圆上的点且平行于 z 轴的直线 l 都在曲面上，所以这曲面可以看成平行于 z 轴的直线沿 Oxy 平面上的圆 $ x^{2}+y^{2}=R^{2} $ 移动一周而成的，这曲面就是圆柱面，故方程 $ x^{2}+y^{2}=R^{2} $ 表示圆柱面（图 6.3）。
下面讨论两类特殊的曲面：柱面与旋转面。
1. 柱面
现在介绍一般的柱面及其方程.
若一动直线 l 沿已知曲线 c 移动，且始终与某一直线 l' 平行，则这样形成的曲面称为柱面。曲线 c 称为柱面的准线，而直线 l 称为柱面的母线（图 6.4）。
在例2中 Oxy 平面上的圆称为圆柱面的准线，平行于z轴的直线 l 称为圆柱面的母线.
例3 方程
(1) $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $; (2) $ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $; (3) $ x^{2}=2py $
表示怎样的曲面？
解 （1）与方程 $ x^{2}+y^{2}=R^{2} $ 类似地分析，方程 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $ 表示以 Oxy 平面上的椭圆为准线，以平行于 z 轴的直线为母线的柱面，称为椭圆柱面.
（2）方程 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $表示以Oxy平面上的双曲线为准线，以平行于z轴的直线为母线的柱面，称为双曲柱面（图6.5）.
（3）方程 $ x^{2}=2py $ 表示以 Oxy 平面上的抛物线为准线，以平行于 z 轴的直线为母线的柱面，称为抛物柱面（图 6.6）.
一般说来，在空间直角坐标系中，方程 $ F(x,y)=0 $ 表示柱面，它的母线平行于z轴，它的准线是Oxy平面上的曲线c: $ F(x,y)=0 $。这个方程的特点是缺少变量z，其母线就与z轴平行。
类似地，方程 $ F(y,z)=0 $ 表示母线平行于 x 轴的柱面，方程 $ F(x,z)=0 $ 表示母线平行于 y 轴的柱面.
一般说来，若曲面方程中缺少一个变量，则该曲面是一个柱面，且这个柱面的母线与这个变量对应的坐标轴平行。
例4 试讨论下列图形的特点：
$$ (1)\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1;\quad(2)\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1;\quad(3)y^{2}=2px. $$
解 （1）表示椭圆柱面，其准线是 Oxz 平面上的椭圆，母线平行于 y 轴；
（2）表示双曲柱面，其准线是Oyz平面上的双曲线，母线平行于x轴；
（3）表示抛物柱面，其准线是 Oxy 平面上的抛物线，母线平行于 z 轴。
2. 旋转曲面
一条空间曲线 c 绕一条定直线 l 旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面。曲线 c 称为该曲面的母线，定直线 l 称为旋转轴。
下面着重讨论坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所产生的曲面。
设曲线 c 是 Oyz 平面上的一条曲线：
$$ c:\{\begin{aligned}&f(y,z)=0,\\ &x=0,\end{aligned}. $$
将c绕z轴旋转一周得旋转曲面S，设 $ P_{0}(0,y_{0},z_{0}) $是曲线c上任意一点， $ P(x,y,z) $是c绕z轴旋转任一角度时 $ P_{0} $所处的位置。因为 $ P_{0}(0,y_{0},z_{0}) $在c上，所以
$$ f(y_{0},z_{0})=0, $$
又由图6.7可见
$$ O_{1}P=O_{1}P_{0}=\left|y_{0}\right|,z=z_{0}, $$
而 $ O_{1}P=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $，故
$$ x^{2}+y^{2}=y_{0}^{2},y_{0}=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}} $$
代入式 $ f(y_{0},z_{0})=0 $ 可得点 P 的坐标应满足
$$ f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0. $$
这个方程就是 Oyz 平面上的曲线 $ f(y, z) = 0 $ 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程.
同理，曲线 c 绕 y 轴旋转一周所成的旋转面方程应为
$$ f(y,\pm\sqrt{x^{2}+z^{2}})=0. $$
例 5 求 Oyz 平面上的曲线 $ c: \{ \begin{aligned} y &= kz, \\ x &= 0 \end{aligned} . $ 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程.
解 根据旋转面方程产生的方法，得 $ \pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}=kz $，即
$$ x^{2}+y^{2}=k^{2}z^{2}, $$
这个方程所表示的曲面称为圆锥面（图6.8）.
当 k=1 时，圆锥面方程为 $ x^{2}+y^{2}=z^{2} $，这时锥面关于 z 轴的张角为 $ \frac{\pi}{4} $.
有时已知某个旋转曲面的方程，要讨论这个曲面是由什么样的曲线绕哪一条坐标轴旋转而成的。
例6 研究曲面 S: $ z = x^{2} + y^{2} $
解 方程 $ z = x^{2} + y^{2} $ 可记为
$$ z-(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}=0, $$
故 S 可看作是 Oyz 平面上的曲线 $ \{\begin{aligned}z&=y^{2}\\ x&=0\end{aligned}. $，绕 z 轴旋转一周所形成的曲面。也可以看作是 Oxz 平面上的曲线 $ \{\begin{aligned}z&=x^{2}\\ y&=0\end{aligned}. $，绕 z 轴旋转一周所形成的曲面（图 6.9），这样的曲面称为旋转抛物面。
Oxz 平面上的曲线 $ c:\{\begin{aligned}&f(x,z)=0,\\&y=0\end{aligned}. $，绕 z 轴旋转所形成的曲面方程为
$$ f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0. $$
绕 x 轴旋转所形成的曲面方程为
$$ f(x,\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}})=0. $$
读者可仿此讨论 Oxy 平面上的曲线 $ c:\{\begin{aligned}&f(x,y)=0,\\&z=0\end{aligned}. $，绕 x 轴或 y 轴旋转所形成的曲面方程.
二、 空间曲线
1. 空间曲线的方程
空间曲线可以看做是两个曲面的交线。设 $ F_{1}(x,y,z)=0 $ 与 $ F_{2}(x,y,z)=0 $ 分别是曲面 $ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 的方程，将这两个方程联立起来
$$ \{\begin{aligned}F_{1}(x,y,z)=0,\\ F_{2}(x,y,z)=0,\end{aligned}. $$
就得到 $ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 的交线 c 的方程.式(6.5)称为曲线 c 的一般式方程.
如果 $ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 是两个相交平面，则 c 是一条直线.
例7 方程组 $ \{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=1,\\&2x+2y+3z=6\end{aligned}. $表示怎样的空间曲线？
解 $ x^{2}+y^{2}=1 $ 是一个圆柱面，其准线是 Oxy 平面上的圆 $ x^{2}+y^{2}=1 $，母线与 z 轴平行。2x+2y+3z=6 即 $ \frac{x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1 $，这是一个在 x, y, z 轴上的截距分别为 3, 3, 2 的平面。这样一个圆柱面与平面的交线就是方程组表示的空间曲线（图 6.10）。
空间曲线也可以用参数式表示。将曲线上动点的坐标 x，y，z 都用一个参变量 t 表示，可得
$$ \begin{cases}x=x\left(t\right),\\y=y\left(t\right),\\z=z\left(t\right),\end{cases} $$
典型例题讲解
空间曲线的方程
这就是曲线的参数方程.
例8 方程 $ \{\begin{aligned}x&=a\cos t,\\ y&=a\sin t,\\ z&=bt\end{aligned}. $，所表示的曲线如图6.11所示，这条曲线称为圆柱螺线.
由例8的方程可知， $ x^{2}+y^{2}=a^{2} $ 是一个圆柱面方程.例8中的曲线在这个方程所示的圆柱面上.图6.11中所示的h称为圆柱螺线的螺距， $ h=2\pi b $.
2. 空间曲线在坐标面上的投影
以空间曲线 c 为准线，作母线平行于 z 轴的柱面 S，S 与 Oxy 平面的交线 $ c' $ 就是 c 在 Oxy 平面上的投影。曲面 S 称为投影柱面（图 6.12）。
同样可以讨论空间曲线 c 在 Oyz，Oxz 平面上的投影.
例9 求曲线 $ c:\{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\\ &x^{2}+y^{2}-ax=0\end{aligned}. $，在 Oxy 平面上的投影.
解 曲面 $ x^{2}+y^{2}-ax=0 $ 可写为
$$ \left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}, $$
这是一个母线与z轴平行的圆柱面，它就是投影柱面。c是球面与圆柱面的交线，这里c由Oxy平面上方与下方相互对称的两部分组成，它们在Oxy平面上的投影都是圆柱面与Oxy平面的交线，这条交线为
$$ c^{\prime}:\{\begin{aligned}&(x-\frac{a}{2})^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4},\\&z=0.\end{aligned}. $$
在 Oxy 平面上，这是一个以 $ \left(\frac{a}{2},0\right) $ 为圆心，以 $ \frac{a}{2} $ 为半径的圆（图 6.13）.
一般地，为求曲线
$$ c:\{\begin{aligned}&F_{1}(x,y,z)=0,\\ &F_{2}(x,y,z)=0\end{aligned}. $$
在 Oxy 平面的投影，可由方程组消去 z，得
$$ F(x,y)=0, $$
这就是投影柱面所满足的方程。再与z=0联立，得
$$ c^{^{\prime}}:\{\begin{aligned}&F(x,y)=0,\\ &z=0.\end{aligned}. $$
这就是 c 在 Oxy 平面上的投影曲线.
例 10 求曲线 $ c:\{\begin{aligned}&2x^{2}+y^{2}+z^{2}=16,\\&x^{2}-y^{2}+z^{2}=0\end{aligned}. $ 在 Oxy 平面上的投影.
解 由 c 的方程消去 z，可得
$$ x^{2}+2y^{2}=16. $$
于是 c 在 Oxy 平面上的投影为
$$ c^{^{\prime}}:\{\begin{aligned}&x^{2}+2y^{2}=16,\\ &z=0.\end{aligned}. $$
例 11 求曲线 $ c:\{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\\&x^{2}+y^{2}=3z\end{aligned}. $ 在 Oyz 平面上的投影.
解 由 c 的方程消去 x，可得
$$ z^{2}+3z-4=0, $$
这个方程表示两个平面
$$ \pi_{1}:z=1,\qquad\pi_{2}:z=-4, $$
$ \pi_{2} $ 显然不合题意，应舍去。故 c 在 Oyz 平面上的投影为
$$ c^{^{\prime}}:\{\begin{aligned}z&=1,\\ x&=0,\end{aligned}.\quad\mid y\mid\leqslant\sqrt{3}. $$
由于 $c$ 是球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 与旋转抛物面 $x^2 + y^2 = 3z$ 的交线，它是平面 $z = 1$ 上的圆。故 $c$ 在 Oyz 平面上的投影应为一线段，该线段在平面 $z = 1$ 与 $x = 0$ 的交线上，其纵坐标 $y \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$。
习题6.3
- 动点到二定点 $ M_{1}(0,0,a) $ 与 $ M_{2}(0,0,-a) $ 的距离平方和为定数 $ 4a^{2} $，求动点的轨迹方程，并指出方程表示空间的什么图形.
- 设动点与两定点 $ A(1,3,2) $, $ B(0,0,1) $ 等距，又与另两定点 $ C(3,0,3) $, $ D(0,-2,0) $ 等距，求动点的轨迹，并指出方程表示空间的什么图形.
- 求下列旋转曲面的方程：
(1) $ \{\begin{aligned}&x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1,\\&z=0\end{aligned}. $ 绕x轴，y轴旋转一周；(2) $ \{\begin{aligned}&y^{2}+z^{2}=9,\\&x=0\end{aligned}. $ 绕z轴旋转一周.
- 下列曲面中，哪些是旋转曲面？是怎样产生的？
(1) $ x^{2}+y^{2}=4 $; (2) $ \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1 $; (3) $ x^{2}+y^{2}=2z $;
(4) $ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{4}=1 $; (5) $ (z-a)^{2}=x^{2}+y^{2} $
- 一柱面的母线平行于 x 轴，且过曲线 $ \{\begin{aligned}&2x^{2}+y^{2}+z^{2}=16,\\&x^{2}-y^{2}+z^{2}=0,\end{aligned}. $ 求柱面方程.
- 下列方程各表示什么曲线？
(1) $ \{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}-25=0,\\&x^{2}+y^{2}=16;\end{aligned}. $ (2) $ \{\begin{aligned}x&=\cos t,\\y&=\sin t,\\z&=-1.\end{aligned}. $
- 分别写出 Oyz 平面上以原点为圆心的单位圆的直角坐标方程和参数方程.
- 求曲线 $ \{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\\ y=x\end{aligned}. $，在各坐标面上的投影.
- 求直线 $ l: \frac{x-1}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} $ 绕 y 轴旋转一周所得曲面的方程.
§6.4 二次曲面
一般二次方程
$ a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+c=0 $ 所表示的曲面称为二次曲面.
如前面介绍的椭圆柱面 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $与旋转抛物面 $ z=x^{2}+y^{2} $都是特殊的二次
曲面.
在通常情况下，从一般二次方程讨论曲面的几何特征是比较困难的，但是，通过适当的坐标变换（正交变换或平移变换），可以将一般二次方程化为形式比较简单的标准方程。下面先讨论三类典型的二次曲面的标准方程，再通过具体例子介绍怎样把一般二次方程化为二次曲面的标准方程。
一、 椭球面
方程
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\quad(a,b,c>0) $$
所确定的曲面称为椭球面.它可以看作是球面
$$ x^{\prime2}+y^{\prime2}+z^{\prime2}=1 $$
经变换
$$ x=a x^{^{\prime}},\quad y=b y^{^{\prime}},\quad z=c z^{^{\prime}} $$
所得到的.即球心在坐标原点的球面在坐标轴方向按不完全相同的比例放大或缩小后所变成的.
下面从二次曲面在空间的范围、对称性以及平面与曲面相交所产生的截痕等三方面讨论椭球面的几何特征.
（1）范围
$$ \left|x\right|\leqslant a,\quad\left|y\right|\leqslant b,\quad\left|z\right|\leqslant c, $$
即椭球面在 $ x=\pm a, y=\pm b, z=\pm c $ 六个平面所围成的长方体内.
（2）对称性 曲面关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都是对称的.
（3）截痕形状 用平面 $ z=z_{0}(-c $$ \begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1-\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}},\\z=z_{0},\end{cases} $$ 这是平面 $ z=z_{0} $上的椭圆. 同样，用平面 $ x=x_{0} $，y=y_{0} $ 去截椭球面所得截痕分别为椭圆$ $$ \{\begin{aligned}&\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1-\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}},\\&x=x_{0},\end{aligned}.\quad\{\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}},\\&y=y_{0},\end{aligned}. $$ 椭球面的图形如图 6.14 所示. 当 a=b（或 a=c 或 b=c）时，曲面是一个旋转椭球面. 方程 $$ z=\frac{x^{2}}{2p}+\frac{y^{2}}{2q}\quad(pq>0) $$ 所确定的曲面称为椭圆抛物面。其几何特征如下： （1）范围 若 p,q 同为正，则曲面在 Oxy 平面上方；若 p,q 同为负，则曲面在 Oxy 平面下方. （2）对称性 曲面关于z轴以及Oyz，Oxz平面对称. （3）截痕形状用平面 $ z=z_{0}(z_{0} $与p,q同号)去截曲面所得的截痕为 $$ \{\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{2p z_{0}}+\frac{y^{2}}{2q z_{0}}=1,\\ &z=z_{0},\end{aligned}. $$ 这是平面 $ z = z_{0} $ 上的椭圆. 用平面 $ x=x_{0} $ 与 $ y=y_{0} $ 去截曲面，所得截痕分别是 $$ \{\begin{aligned}z=&\frac{x_{0}^{2}}{2p}+\frac{y^{2}}{2q},\\ x=&x_{0}\end{aligned}.\quad 与 \quad\{\begin{aligned}z=&\frac{x^{2}}{2p}+\frac{y_{0}^{2}}{2q},\\ y=&y_{0},\end{aligned}. $$ 它们是平面 $ x=x_{0} $ 与 $ y=y_{0} $ 上的抛物线. 椭圆抛物面的图形如图 6.15. 当 p=q 时，曲面是旋转抛物面. 方程 $$ z=\frac{x^{2}}{2p}-\frac{y^{2}}{2q}\quad(pq>0) $$ 所确定的曲面称为双曲抛物面。其几何特征如下： （1）范围 $ x, y, z \in \mathbb{R} $，曲面可向各方向无限延伸。 （2）对称性 曲面关于z轴和Oyz，Oxz平面对称. （3）截痕形状 用平面 $ z = z_{0} \neq 0 $ 截曲面所得截痕为双曲线 $$ \{\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{2p z_{0}}-\frac{y^{2}}{2q z_{0}}=1,\\ &z=z_{0}；\end{aligned}. $$ 用 z=0 去截曲面，截痕为两条相交直线 $$ \{\begin{aligned}&\frac{x}{\sqrt{|p|}}+\frac{y}{\sqrt{|q|}}=0,\\ &z=0\end{aligned}.,\quad 与 \quad\{\begin{aligned}&\frac{x}{\sqrt{|p|}}-\frac{y}{\sqrt{|q|}}=0,\\ &z=0;\end{aligned}. $$ 用平面 $ x=x_{0} $ 与 $ y=y_{0} $ 截曲面所得截痕分别为 $$ \{\begin{aligned}z=&\frac{x_{0}^{2}}{2p}-\frac{y^{2}}{2q},\\ x=&x_{0}\end{aligned}.\quad 与 \quad\{\begin{aligned}z=&\frac{x^{2}}{2p}-\frac{y_{0}^{2}}{2q},\\ y=&y_{0},\end{aligned}. $$ 它们是平面 x=x_{0} 与 y=y_{0} 上的抛物线. 双曲抛物面的图形如图6.16所示，由于曲面的形状恰似一个马鞍，所以又称为马鞍面. 方程 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\quad(a,b,c>0) $$ 所表示的曲面称为单叶双曲面。其几何特征如下： （1）范围 因为 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\geqslant1 $，所以曲面在椭圆柱面 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $的外部. （2）对称性 曲面关于三条坐标轴、三个坐标面以及坐标原点都对称. （3）截痕形状 用平面 $ z=z_{0} $ 截曲面所得截痕为 $$ \{\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1+\frac{z_{0}^{2}}{c^{2}},\\&z=z_{0},\end{aligned}. $$ 这是平面 $ z = z_{0} $ 上的椭圆. 用平面 $ x=x_{0} $ 与 $ y=y_{0} $ 去截面： 当 $ \left|x_{0}\right|\neq a,\left|y_{0}\right|\neq b $时，交线分别是双曲线： $$ \{\begin{aligned}&\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1-\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}},\\ &x=x_{0}\quad(|x_{0}|\neq a)\end{aligned}. $$ 与 $$ \begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}},\\y=y_{0}\quad(|y_{0}|\neq b).\end{cases} $$ 当 $ \left|x_{0}\right|=a,\left|y_{0}\right|=b $时，交线是两条相交直线： $$ \{\begin{aligned}z&=\pm\frac{c}{b}y,\\ x&=\pm a\end{aligned}.\quad 与 \quad\{\begin{aligned}z&=\pm\frac{c}{a}x,\\ y&=\pm b.\end{aligned}. $$ 单叶双曲面的图形如图6.17所示.图6.18给出当 $ x_{0}a $三种情况所截曲面的情形.
二、 抛物面
1. 椭圆抛物面
2. 双曲抛物面
三、 双曲面
1. 单叶双曲面
