第六章 向量代数与空间解析几何

第六章 向量代数与空间解析几何

在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数的方法来研究几何问题。我们已经看到，平面解析几何为一元函数微积分学提供了直观的几何背景。空间解析几何也将为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景。

本章首先介绍向量的概念与向量的线性运算，然后建立空间直角坐标系，在此基础上讨论空间解析几何。其中主要是以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线。

第一节 向量及其线性运算

一、 向量的基本概念

在自然科学及工程技术中，有些量如力、速度、电场强度等是既要考虑大

小又要考虑方向的量，这样的量叫做向量（或矢量）。即向量是既有大小，又有方向的量。向量通常用空间一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的指向就表示向量的方向。图6-1所示的是以A为起点、B为终点的一个向量，记作 $ \overrightarrow{AB} $，有时也用粗体字母或小写字母上加一箭头记一个向量，如a，b，c或 $ \overrightarrow{a} $， $ \overrightarrow{b} $， $ \overrightarrow{c} $。

向量 a 的大小称为向量的模. 记作 $ \left|a\right| $. 模为 1 的向量称为单位向量. 模为零的向量称为零向量, 记为 0, 零向量的方向是任意的.

若两个向量 a 与 b 的方向相同且模相等，则称这两个向量相等，记为 a = b。由此可知，向量可经过平行平移到空间任何位置，所得向量与原向量相等，即向量完全由它的大小与方向决定而与它的起点无关，这样的向量又叫做自由向量。本章研究的向量都是自由向量。

二、 向量的线性运算

1. 向量的加法

通过回忆物理学中力、速度的合成法，可引出下面的定义.

定义 6.1.1 对于向量 $ a $, $ b $, 任选一点 $ A $ 作向量 $ \overrightarrow{AB} $ 等于 $ a $, 作向量 $ \overrightarrow{BC} $ 等于 $ b $, 把 $ \overrightarrow{AC} $ 表示的向量 $ c $ 称为 $ a $ 与 $ b $ 的和, 记作 $ c = a + b $, 如图 6-2 所示.

这一规则叫做向量加法的三角形法则.

注：从同一始点 O 作 $ \overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a} $， $ \overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b} $，以 OA，OB 为邻边的平行四边形 OACB 的对角线 $ \overrightarrow{OC} $ 也表示向量 a 与 b 的和（如图 6-3），这叫做向量加法的平行四边形法则.

向量加法的运算律：

（1）交换律 $ a+b=b+a $

(2) 结合律 $ (a+b)+c=a+(b+c) $.

(3) $ a + 0 = a $

(4) $ a + (-a) = 0 $.

由向量加法的定义知交换律显然成立.

结合律的证明：作 $ \overrightarrow{OA} $等于 $ a $， $ \overrightarrow{AB} $等于 $ b $， $ \overrightarrow{BC} $等于 $ c $，

如图6-4所示，则 $ \overrightarrow{OB} $等于 $ a+b $， $ \overrightarrow{OC} $等于 $ (a+b)+c $；又

$ \overrightarrow{AC} $等于 $ b+c $， $ \overrightarrow{OC} $等于 $ a+(b+c) $，因此有 $ (a+b)+c=a+(b+c) $.

如果给出 $ n(n \geqslant 3) $ 个向量，由于向量的加法符合交换律与结合律，于是 n 个向量 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} (n \geqslant 3) $ 相加可写成

$$ \boldsymbol{a}_{1}+\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+\boldsymbol{a}_{n}, $$

按向量相加的三角形法则，可得 n 个向量相加的法则如下：以前一向量的终点作为次后一个向量的起点，接连相继作出向量 $ a_1, a_2, \cdots, a_n $，再以首个向量的起点为起点，向最后一个向量的终点作向量，这个向量即为所求的和，如图 6-5 所示.

$$ s=\boldsymbol{a}_{1}+\boldsymbol{a}_{2}+\boldsymbol{a}_{3}+\boldsymbol{a}_{4}+\boldsymbol{a}_{5}=\overrightarrow{O A}_{5}. $$

规定两个向量 b 与 a 的差

$$ \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}+(-\boldsymbol{a}). $$

如图 6-6 所示.

容易看出，对于任意向量a，b，都有

$$ |a\pm\boldsymbol{b}|\leqslant|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|, $$

这个不等式称为三角形不等式，它是用向量的形式表示三角形的一边不大于另两边的和.

2. 向量与数的乘法

定义 6.1.2 实数 $ \lambda $ 与向量 a 的乘积（数乘）是一个向量，记为 $ \lambda \boldsymbol{a} $，它的模与方向规定如下：

(1) $ \left|\lambda a\right|=\left|\lambda\right|\left|a\right| $;

（2）当 $ \lambda\gt 0 $ 时， $ \lambda a $ 与 a 方向相同；当 $ \lambda\lt 0 $ 时， $ \lambda a $ 与 a 方向相反；当 $ \lambda=0 $ 时， $ \lambda a $ 为零向量.

向量与数的乘法满足下列运算律：

对于任意向量 a, b 和任意实数 $ \lambda $, $ \mu $ 总有

(1) $ 1 \cdot a = a $.

(2) $ \lambda(\mu a)=\mu(\lambda a)=(\lambda\mu)a $.

(3) $ (\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a $.

(4) $ \lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b $.

对于非零向量 $ a $，取 $ \lambda = \frac{1}{|a|} $，则向量 $ \frac{1}{|a|}a $ 是与 $ a $ 同方向的单位向量，记为 $ a^\circ $。即有

$$ \boldsymbol{a}^{\circ}=\frac{1}{\mid\boldsymbol{a}\mid}\boldsymbol{a}. $$

由定义 6.1.2 知，如果 $ \lambda a=0 $，则 $ \lambda=0 $ 或 a=0。由于向量 $ \lambda a $ 与 a 平行，

因此常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系．即有

定理 6.1.1 设向量 $ a \neq 0 $，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 $ \lambda $，使 $ b = \lambda a $.

证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性.

若 a 与 b 同向，则 $ b^{\circ}=a^{\circ} $，从而有

$$ \boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{b}\right|\boldsymbol{b}^{\circ}=\left|\boldsymbol{b}\right|\boldsymbol{a}^{\circ}=\left|\boldsymbol{b}\right|\mathbf{\nabla}\cdot\left(\left|\boldsymbol{a}\right|^{-1}\boldsymbol{a}\right)=\left(\left|\boldsymbol{b}\right|\left|\boldsymbol{a}\right|^{-1}\right)\boldsymbol{a}, $$

取 $ \lambda = |b| |a|^{-1} $，即得 $ b = \lambda a $。

若a与b反向，证明类似．下面再证明 $ \lambda $的唯一性.

假如 $ b = \lambda a = \mu a $，则 $ (\lambda - \mu)a = 0 $，因为 $ a \neq 0 $，所以 $ \lambda - \mu = 0 $，即 $ \lambda = \mu $。

例1 如图6-7所示，设有平行四边形ABCD，记 $ \overrightarrow{AB}=a $， $ \overrightarrow{AD}=b $，试用a和b表示向量 $ \overrightarrow{MA} $， $ \overrightarrow{MB} $， $ \overrightarrow{MC} $和 $ \overrightarrow{MD} $，其中M是平行四边形对角线的交点.

解 由 $ a + b = \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM} $，得 $ \overrightarrow{MA} = -\frac{1}{2}(a + b) $；

由 $ \overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MA} $，得 $ \overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}(a+b) $；

由 $ -a+b=\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MD} $，得 $ \overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}(b-a) $；

由 $ \overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MD} $，得 $ \overrightarrow{MB}=-\frac{1}{2}(b-a)=\frac{1}{2}(a-b) $。

三、 数轴上的向量

由于单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，因此，只要给定一个点及一个单位向量就可确定一一数轴。记 $Ox$ 轴上的单位向量为 $e$，原点为 $O$，则不论点 $M$（对应坐标为 $u$）在数轴何处，如图6-8所示，由定理6.1.1知数轴上的向量$\overrightarrow{OM}$ 可以唯一地表示为$\overrightarrow{OM}=\lambda e$。

又因$|u|=|\lambda|=|\overrightarrow{OM}|$，且当 $\lambda\gt 0$ 时，$\overrightarrow{OM}$ 与 $e$ 同方向，故 $u\gt 0$，即 $\lambda=u$；而当 $\lambda\lt 0$ 时，$\overrightarrow{OM}$ 与 $e$ 反方向，从而 $u\lt 0$，也是 $\lambda=u$；当点 $M$ 与点 $O$ 重合，$\overrightarrow{OM}=0=0e$。

综上所述，不论 M 在数轴上何处，都有

$$ \overrightarrow{OM}=ue. $$

这样就建立了数轴 Ox 上的向量 $ \overrightarrow{OM} $ 与点 M 的坐标 u 之间的一一对应关系.

进一步，如果 $ M_{1} $， $ M_{2} $ 是 Ox 轴上坐标依次为 $ u_{1} $， $ u_{2} $ 的两个点，那么数轴

上的向量 $ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} $可以唯一地表示为

$$ \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=\left(u_{2}-u_{1}\right)e. $$

事实上，因为 $ \overrightarrow{OM_{1}}=u_{1}e $， $ \overrightarrow{OM_{2}}=u_{2}e $，而 $ \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=\overrightarrow{OM_{2}}-\overrightarrow{OM_{1}} $，于是 $ \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=u_{2}e-u_{1}e=\left(u_{2}-u_{1}\right)e $。

这表明在数轴上有可能使复杂的向量的几何运算转化为简单的代数运算.

习题6-1

1. 已知 $ \triangle ABC $及一点 $ O $，试证：点 $ O $是 $ \triangle ABC $的重心的充要条件是 $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0} $.

1. 在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$BC$与$CA$上，且$BD=\frac{1}{3}BC$，$CE=\frac{1}{3}CA$，$AD$与$BE$交于$R$．试证：$RD=\frac{1}{7}AD$，$RE=\frac{4}{7}BE$．

第二节 空间直角坐标系

解析几何就是用代数的方法来研究几何问题. 在上一节中我们已经将数轴上向量的几何运算转化为代数运算, 在本节利用空间直角坐标系进一步将向量的几何运算代数化, 从而使我们能够用代数的方法去研究空间的几何问题.

一、 空间直角坐标系

过空间一定点 O，作三条互相垂直的数轴 Ox，Oy，Oz 轴，它们都以 O 为原点且具有相同的长度单位，三条轴的正向符合右手规则，即以右手握住 z 轴，当右手的四指从 x 轴正方向逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 角而指向 y 轴正方向时，大拇指的指向就是 z 轴的正方向（如图 6-9），这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系．三条数轴的公共原点 O 称为坐标原点，三数轴统称为坐标系的坐标轴．Ox 轴称为

x 轴或横轴，Oy 轴称为 y 轴或纵轴，Oz 轴称为 z 轴或竖轴．习惯上把 x 轴和 y 轴放在水平面上，那么 z 轴就是铅直的，在右手规则前提下，根据需要确定它们的正方向．

空间直角坐标系中，任意两条坐标轴都确定一个平面，这样的平面称为坐标平面．其中由 x 轴和 y 轴确定的坐标平面简称为 xOy 面；由 y 轴和 z 轴确定的坐标平面叫做 yOz 面；由 z 轴与 x 轴确定的坐标平面叫做 zOx 面.

三个坐标平面将整个空间分为八个部门，每一部分叫做一个卦限。以三个

坐标轴的正半轴为棱的卦限叫做第一卦限，在 xOy 面的上方的其他三个卦限，按逆时针方向依次定为第二卦限、第三卦限、第四卦限．在 xOy 面的下方，规定在第一卦限之下的为第五卦限，其余按逆时针方向依次定为第六、七、八卦限．这八个卦限分别用罗马字母 I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、V、VI、Ⅶ、Ⅷ 表示（如图 6-10）.

二、 空间点的坐标

设 M 是直角坐标空间中任意一点，过点 M 作三个平面分别垂直于三个坐标轴，设这三个平面与 x 轴，y 轴，z 轴的交点（即垂足）依次为 P、Q、R（如图 6-11），这三个点在 x 轴，y 轴，z 轴的坐标依次为 x，y，z，于是，空间点 M 就唯一确定了一个有序数组 x，y，z. 这里点 P、Q、R 分别叫做点 M 在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影点.

反过来，对任意给定的一个有序数组 x，y，z，在 x 轴，y 轴和 z 轴上，依次取坐标为 x，y，z 的三个点 P，Q，R，过这三个点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，那么这三个平面的交点 M 就是数组 x，y，z 唯一确定的点.

这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间的点M和三元有序数组x，y，z之间的一一对应关系．称点M对应的有序数数x，y，z为点M的直角坐标，记为 $ M(x,y,z) $，x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标.

三、 向量的坐标

在空间直角坐标系 O-xyz 中，我们分别在 x 轴、y 轴、z 轴上取定同正向的单位向量 i, j, k。任给向量 a，有对应点 M，使得 $ \overrightarrow{OM} = \boldsymbol{a} $。以 OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 RHMK-OPNQ，如图 6-12 所示，则点 M 在 x

轴、y轴、z轴上的投影点分别为P，Q和R。设P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为 $ a_{x} $， $ a_{y} $， $ a_{z} $（即点M的坐标为 $ (a_{x} $， $ a_{y} $， $ a_{z}) $），则由数轴上的向量的表示知， $ \overrightarrow{OP} $， $ \overrightarrow{OQ} $， $ \overrightarrow{OR} $可以唯一地表示为

$$ \overrightarrow{O P}=a_{x}i,\qquad\overrightarrow{O Q}=a_{y}j,\qquad\overrightarrow{O R}=a_{z}k. $$

而按向量的加法有

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{a}=\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{N M}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}+\overrightarrow{O R},}\end{array} $$

因此

$$ \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{j}+\boldsymbol{a}_{z}\boldsymbol{k}. $$

上式称为向量 a 的坐标分解式， $ a_{x}i $， $ a_{y}j $， $ a_{z}k $ 称为向量 a 沿三个坐标轴方向的分向量.

给定向量 $ a $，由 $ a = \overrightarrow{OM} $ 就确定了点 $ M $ 及数轴上的向量 $ \overrightarrow{OP} $， $ \overrightarrow{OQ} $， $ \overrightarrow{OR} $（三个分向量），进而确定了有序数组 $ a_x $， $ a_y $， $ a_z $；反之，给定了有序数组 $ a_x $， $ a_y $， $ a_z $，由 $ a = a_x i + a_y j + a_z k $ 就确定了向量 $ a $。于是，向量 $ a $ 与有序数组 $ a_x $， $ a_y $， $ a_z $ 之间有一一对应关系。把有序数组 $ a_x $， $ a_y $， $ a_z $ 称为向量 $ a $ 的坐标，记为 $ a = \{a_x $， $ a_y $， $ a_z\} $。

空间任意一点 $ M(x, y, z) $，都对应一个向量 $ \boldsymbol{r} = \overrightarrow{OM} $ （点 O 为原点），称为点 M 的向径。由向量坐标的定义知， $ \boldsymbol{r} = \{x, y, z\} $。

四、 向量线性运算的坐标表示

引入了向量的坐标后，就可以把向量的几何运算化为向量坐标的代数运算.

设

$$ \boldsymbol{a}=\{a_{x},a_{y},a_{z}\},\quad\boldsymbol{b}=\{b_{x},b_{y},b_{z}\}. $$

即

$$ a=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k,\qquad b=b_{x}i+b_{y}j+b_{z}k. $$

由向量的加法运算与向量的数乘运算规律，有

$$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(\boldsymbol{a}_{x}+\boldsymbol{b}_{x})\boldsymbol{i}+(\boldsymbol{a}_{y}+\boldsymbol{b}_{y})\boldsymbol{j}+(\boldsymbol{a}_{z}+\boldsymbol{b}_{z})\boldsymbol{k}, $$

$$ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\left(a_{x}-b_{x}\right)\boldsymbol{i}+\left(a_{y}-b_{y}\right)\boldsymbol{j}+\left(a_{z}-b_{z}\right)\boldsymbol{k}, $$

$$ \lambda\boldsymbol{a}=\left(\lambda\boldsymbol{a}_{_{x}}\right)\boldsymbol{i}+\left(\lambda\boldsymbol{a}_{_{y}}\right)\boldsymbol{j}+\left(\lambda\boldsymbol{a}_{_{z}}\right)\boldsymbol{k}, $$

即

$$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\{\boldsymbol{a}_{x}+\boldsymbol{b}_{x},\quad\boldsymbol{a}_{y}+\boldsymbol{b}_{y},\quad\boldsymbol{a}_{z}+\boldsymbol{b}_{z}\}, $$

$$ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\{\boldsymbol{a}_{x}-\boldsymbol{b}_{x},\quad\boldsymbol{a}_{y}-\boldsymbol{b}_{y},\quad\boldsymbol{a}_{z}-\boldsymbol{b}_{z}\}, $$

$$ \lambda\boldsymbol{a}=\{\lambda\boldsymbol{a}_{x},\lambda\boldsymbol{a}_{y},\lambda\boldsymbol{a}_{z}\}. $$

有了向量的坐标表示，可以从第一节的定理6.1.1得到，向量b平行于非零向量a的充分必要条件为向量b与a对应的坐标成比例，即

$$ \frac{b_{x}}{a_{x}}=\frac{b_{y}}{a_{y}}=\frac{b_{z}}{a_{z}}^{*}. $$

现在，我们在空间任意地给出两点 A、B，由点的坐标可以写出向量 $ \overrightarrow{AB} $的坐标.

事实上，对于向量 $ \overrightarrow{AB} $，设 $ A(x_{1},y_{1},z_{1}) $， $ B(x_{2},y_{2},z_{2}) $，则向径

$$ \overrightarrow{O A}=\{x_{1},y_{1},z_{1}\},\quad\overrightarrow{O B}=\{x_{2},y_{2},z_{2}\}. $$

因为 $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} $，所以

$$ \overrightarrow{AB}=\{x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}\}. $$

这就是说，向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标.

例1 设有两点 $ A(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $ 及 $ B(x_{2}, y_{2}, z_{2}) $，又 $ \lambda $ 为一实数且 $ \lambda \neq 1 $，M为线段 AB 或其延长线上的一点，且满足

$$ AM:MB=\lambda. $$

求点 M 的坐标.

解 设 M 点的坐标为 $ (x, y, z) $，则

$$ \overrightarrow{A M}=\left|\begin{array}{l l l}{x-x_{1},}&{y-y_{1},}&{z-z_{1}}\end{array}\right|, $$

$$ \overrightarrow{MB}=\{x_{2}-x,\ y_{2}-y,\ z_{2}-z\}. $$

如图 6-13 所示，依题意有

$$ \overrightarrow{A M}=\lambda\overrightarrow{M B}, $$

故 $ \{x-x_{1}, y-y_{1}, z-z_{1}\}=\lambda\{x_{2}-x, y_{2}-y, z_{2}-z\} $

所以

$$ x-x_{1}=\lambda\left(x_{2}-x\right), $$

$$ y-y_{1}=\lambda\left(y_{2}-y\right), $$

$$ z-z_{1}=\lambda(z_{2}-z), $$

故得

$$ \{\begin{array}{l}x=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda},\\ y=\frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda},\\ z=\frac{z_{1}+\lambda z_{2}}{1+\lambda}.\end{array}. $$

点 M 称为有向线段 AB 的定比分点.

当 $ \lambda=1 $时，得有向线段AB的中点坐标为

$$ x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\quad y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\quad z=\frac{z_{1}+z_{2}}{2}. $$

五、 向量的模、方向角和投影

1. 向量的模与空间两点间的距离公式

设向量

$$ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{O M}=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k=\left|\begin{array}{c}a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z}\end{array}\right|, $$

如图 6-14 所示，由勾股定理得

$$ |\boldsymbol{a}|=|\overrightarrow{O M}|=\sqrt{|\boldsymbol{O P}|^{2}+|\boldsymbol{O Q}|^{2}+|\boldsymbol{O R}|^{2}}. $$

而 $ \overrightarrow{OP}=a_{x}i $, $ \overrightarrow{OQ}=a_{y}j $, $ \overrightarrow{OR}=a_{z}k $,

有 $ \left|\overrightarrow{OP}\right|=\left|a_{x}\right|,\left|\overrightarrow{OQ}\right|=\left|a_{y}\right|,\left|\overrightarrow{OR}\right|=\left|a_{z}\right| $，

于是向量 a 的模的坐标表示式为

$$ |a|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} $$

已知两点 $ A(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $， $ B(x_{2}, y_{2}, z_{2}) $，则点 A 与点 B 间的距离 $ \left|\overrightarrow{AB}\right| $ 就是向量 $ \overrightarrow{AB} $ 的模．而

$$ \overrightarrow{AB}=\{x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}\}, $$

故 $ \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}} $

因此，A，B 两点间的距离公式为

$$ d=\left|A B\right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}. $$

2. 方向角与方向余弦

首先引入两个非零向量夹角的概念.

设有两个非零向量 $ a $， $ b $，任取空间一点 $ O $，作 $ O\hat{A} = a $， $ O\hat{B} = b $，规定不超过 $ \pi $ 的 $ \angle AOB $ 称为向量 $ a $ 与 $ b $ 的夹角，如图 6-15 所示，记为 $ (a, \hat{b}) $ 或 $ (b, a) $。

此规定也适用于向量与一数轴的夹角或空间两数轴的夹角.

非零向量 a 与 x 轴、y 轴、z 轴的正向所成的夹角 $ \alpha $， $ \beta $， $ \gamma $ 称为 a 的方向角 $ (0 \leq \alpha, \beta, \gamma \leq \pi) $。如图 6-16 所示，方向角的余弦 $ \cos \alpha $， $ \cos \beta $， $ \cos \gamma $ 称为 a 的方向余弦。

向量 a 的方向由它的方向角或方向余弦唯一确定.

设 $ \boldsymbol{a} = \overrightarrow{OM} = \{a_x, a_y, a_z\} $，P，Q，R 分别为 M 点在 x 轴、y 轴、z 轴上的投影点，则 P，Q，R 在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为 $ a_x $， $ a_y $， $ a_z $，于是有

$$ a_{x}=|\pmb{a}|\cos\alpha,\qquad a_{y}=|\pmb{a}|\cos\beta,\qquad a_{z}=|\pmb{a}|\cos\gamma. $$

因此，若 $ |a| \neq 0 $，就有

$$ \cos\alpha=\frac{a_{x}}{|a|}=\frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, $$

$$ \cos\beta=\frac{a_{y}}{|a|}=\frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, $$

$$ \cos\gamma=\frac{a_{z}}{|a|}=\frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}. $$

这就是向量的方向余弦的坐标表示式．方向余弦满足关系式

$$ \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1. $$

与非零向量 a 同方向的单位向量 $ a^{\circ} $ 可以表示为

$$ \begin{aligned}{a^{\circ}}&{{}=\frac{a}{\mid a\mid}=\frac{a_{x}}{\mid a\mid}i+\frac{a_{y}}{\mid a\mid}j+\frac{a_{z}}{\mid a\mid}k}\\ {}&{{}=\cos\alpha i+\cos\beta j+\cos\gamma k}\\ {}&{{}=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}.}\\ \end{aligned} $$

这表明以 a 的方向余弦为坐标的向量正是与 a 同方向的单位向量.

1. 向量在数轴上的投影

设数轴 $u$ 由点 $O$ 及单位向量 $e$ 确定，任给向量 $\boldsymbol{a} = \overrightarrow{OM}$，如图 6-17 所示，过点 $M$ 作与 $u$ 轴垂直的平面，交 $u$ 轴于点 $M'$，则数轴 $u$ 上的向量 $\overrightarrow{OM'}$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 在 $u$ 轴上的分向量。设 $\overrightarrow{OM'} = \lambda \boldsymbol{e}$，则数 $\lambda$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 在 $u$ 轴上的投影，记为 $\operatorname{Prj}_u \boldsymbol{a}$。

按此定义可知，向量 a 的坐标 $ a_{x} $， $ a_{y} $， $ a_{z} $ 就是向量 a 分别是在 x 轴、y 轴、z 轴上的投影，即

$$ a_{x}=\mathrm{P r j}_{x}\boldsymbol{a},\qquad a_{y}=\mathrm{P r j}_{y}\boldsymbol{a},\qquad a_{z}=\mathrm{P r j}_{z}\boldsymbol{a}. $$

向量的投影具有下面的性质.

性质1 $ \Pr_{u}a=|a|\cos\varphi $，其中 $ \varphi $为向量a与u轴的夹角.

由直角三角形的解法易证．证明略．

性质2 $ \mathrm{Prj}_{u}(a+b)=\mathrm{Prj}_{u}a+\mathrm{Prj}_{u}b. $

证 建立空间直角坐标系 O-xyz，取 x 轴为 u 轴. 设

$$ \boldsymbol{a}=\{\boldsymbol{a}_{x},\quad\boldsymbol{a}_{y},\quad\boldsymbol{a}_{z}\},\quad\boldsymbol{b}=\{\boldsymbol{b}_{x},\quad\boldsymbol{b}_{y},\quad\boldsymbol{b}_{z}\} $$

则

$$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\{\boldsymbol{a}_{x}+\boldsymbol{b}_{x},\quad\boldsymbol{a}_{y}+\boldsymbol{b}_{y},\quad\boldsymbol{a}_{z}+\boldsymbol{b}_{z}\}. $$

所以有

$$ \Pr_{u}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}_{x}+\boldsymbol{b}_{x}=\Pr_{u}\boldsymbol{a}+\Pr_{u}\boldsymbol{b}. $$

性质3 $ \Pr_{j_{u}}(\lambda a)=\lambda\Pr_{j_{u}}a $

证 建立空间直角坐标系 O-xyz，取 x 轴为 u 轴. 设 $ a=\{a_{x}, a_{y}, a_{z}\} $，则

$$ \lambda\boldsymbol{a}=\{\lambda\boldsymbol{a}_{x},\lambda\boldsymbol{a}_{y},\lambda\boldsymbol{a}_{z}\}, $$

因此有

$$ \mathrm{Prj}_{u}(\lambda\boldsymbol{a})=\lambda\boldsymbol{a}_{x}=\lambda\mathrm{Prj}_{u}\boldsymbol{a}. $$

对于非零向量 b，把向量 a 在向量 b 的方向上的投影理解为向量 a 在向量 b 位于数轴 u（数轴 u 与 b 同向）上的投影，记为 $ \mathrm{Pr}_{b}a $。

例2 已知两点 $ A(4,0,5) $ 与 $ B(7,1,3) $，求与向量 $ \overrightarrow{AB} $方向一致的单位向量 $ a^{0} $.

解 因为 $ \overrightarrow{AB} = \{7-4, 1-0, 3-5\} = \{3, 1, -2\} $，

$$ \overrightarrow{AB}=\sqrt{3^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{14} $$

故 $ \boldsymbol{a}^{0}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\{\frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}\} $.

例 3 设 a 的模为 2，它在 x，y 轴上的投影分别为 -1，1，求 a 与 z 轴夹角的余弦.

解 设 $ a = -1 $，1， $ a_{z} $，由 $ \sqrt{(-1)^{2} + 1^{2} + a_{z}^{2}} = 2 $，得

$$ a_{z}=\pm\sqrt{2}, $$

故 $ \cos\gamma=\frac{a_{z}}{|a|}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2} $.

习题6-2

1. 已知两点 $ A(2,2,\sqrt{2}) $ 和 $ B(1,3,0) $，计算向量 $ \overrightarrow{AB} $ 的模和方向余弦.

1. 已知向量 m 与向量 {2, -1, 2} 平行，而 |m| = 2，求向量 m.

1. 设点 $ A $ 位于第 $ I $ 卦限，向径 $ \overrightarrow{OA} $ 与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴的夹角依次为 $ \frac{\pi}{3} $ 和 $ \frac{\pi}{4} $，且 $ |\overrightarrow{OA}| = 6 $，求点 $ A $ 的坐标.

1. 设向量 $ a = \{3, -2, 2\} $，向量 $ b = \{1, 3, 2\} $，向量 $ c = \{8, 6, -2\} $，求向量 $ 3a - 2b + \frac{1}{2}c $ 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量.

第三节 向量的数量积与向量积

一、 两向量的数量积

由力学可知，如果一个质点在常力 F 的作用下，从点 A 沿直线移动到点 B，记位移 $ s = \overrightarrow{AB} $，如图 6-18 所示，则外力所作的功为

$$ \begin{array}{r}{\mathbf{W}=|\mathbf{\nabla}F|\mid s\mid\cos\mathbf{\theta},}\end{array} $$

其中 $ \theta=(s, F) $ 。撇开问题的实际意义，由此抽象出两向量的数量积.

定义 6.3.1 两个向量 a 与 b 的数量积（记作 $ a \cdot b $）为一个实数：

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\left(\boldsymbol{a},\hat{\boldsymbol{b}}\right), $$

如果 a 与 b 中有一个为零，规定 $ a \cdot b = 0 $.

必须指出的是，两向量的数量积是一个数量而不再是向量．两向量的数量积也称两向量的内积或点乘.

根据定义 6.3.1，上述问题中力所作的功 W 是力 F 与位移 s 的数量积，即

$$ W=F\;\cdot\;s. $$

由向量的投影可知，当 $ a \neq 0 $ 时， $ b \cos(a, b) $ 是向量 $ b $ 在向量 $ a $ 的方向上的投影，便有

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\operatorname{Prj}_{a}\boldsymbol{b}. $$

同理，当 $ b\neq0 $时，有

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}|\operatorname{Prj}_{b}\boldsymbol{a}. $$

根据定义 6.3.1，可以由两向量的数量积给出向量的模和两非零向量的夹角．即对任意 a，其模

$$ |a|=\sqrt{a\cdot a} $$

这是因为由定义6.3.1有

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=\left|\boldsymbol{a}\right|^{2}\cos0=\left|\boldsymbol{a}\right|^{2}. $$

今后将 $ a \cdot a $ 记为 $ a^{2} $

对任意两个非零向量 a 和 b，有

$$ \cos\left(a,\widehat{b}\right)=\frac{a\cdot b}{|a||b|}, $$

由此可知非零向量 a 与 b 垂直的充分必要条件是 $ \alpha \cdot b = 0 $.

数量积符合下列运算规律：

(1) 交换律 $ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} $.

(2) 分配律 $ (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c $.

(3) $ (\lambda a) \cdot b = a \cdot (\lambda b) = \lambda (a \cdot b) $， $ \lambda $ 为实数.

（4） $ a \cdot a \geq 0 $，仅当 a = 0 时，等号成立.

下面对运算规律作简单的说明.

（1）的证明可由定义6.3.1立即得到.

（2）当 c=0 时，显然成立；当 $ c \neq 0 $ 时，

$$ (a+b)\cdot c=\lfloor c\rfloor\operatorname*{P r}_{c}(a+b), $$

由向量投影的性质2，有 $ |\boldsymbol{c}| \Pr_{c}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{c}| (\Pr_{c}\boldsymbol{a}+\Pr_{c}\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} $，故分配律得证.

（3）当 b=0 时，显然成立；当 $ b \neq 0 $ 时，

$$ (\lambda\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}=\{\boldsymbol{b}\mid\operatorname*{P r}_{\boldsymbol{b}}\lambda\boldsymbol{a},. $$

由向量投影性质3，有 $ \mathrm{Prj}_{b}\lambda a=\lambda\mathrm{Prj}_{b}a $，因此

$$ \left(\lambda\boldsymbol{a}\right)\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{b}\right|\cdot\lambda\operatorname{P r j}_{b}\boldsymbol{a}=\lambda\left|\boldsymbol{b}\right|\operatorname{P r j}_{b}\boldsymbol{a}=\lambda\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right). $$

同理可得

$$ a\left(\lambda b\right)=\lambda\left(ab\right). $$

故得证.

（4）由模表示式立即可得.

例 1 证明三角形的三条高交于一点.

证 $\triangle ABC$ 边 $AB$，$CA$ 上的高交于 $O$ 点，记 $a = \overrightarrow{OA}$，$b = \overrightarrow{OB}$，$c = \overrightarrow{OC}$，如图 6-19 所示。

由 $ CO \perp BA $ 得 $ c \cdot (a - b) = 0 $,

由 $ BO \perp AC $ 得 $ \boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=0 $

以上两式相加得 $ \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})=0 $

所以 $ OA \perp BC $，即 $ \triangle ABC $ 中 BC 边上的高通过 O 点，这样就证明了三角形的三条高交于一点.

下面推导数量积的坐标表示式.

设 $ a=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k $, $ b=b_{x}i+b_{y}j+b_{z}k $. 由于 i, j, k 互相垂直且均为单位向量. 所以

$$ i\cdot j=j\cdot k=k\cdot i=0,\quad j\cdot i=k\cdot j=i\cdot k=0,\quad i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1. $$

由数量积的运算规律可得

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left(a_{x}\boldsymbol{i}+a_{y}\boldsymbol{j}+a_{z}\boldsymbol{k}\right)\cdot\left(b_{x}\boldsymbol{i}+b_{y}\boldsymbol{j}+b_{z}\boldsymbol{k}\right)=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}.}\end{array} $$

这就是两个向量的数量积的坐标表示式.

两个非零向量夹角余弦的坐标表示式为

$$ \cos\left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)=\frac{\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{b}_{x}+\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{b}_{y}+\boldsymbol{a}_{z}\boldsymbol{b}_{z}}{\sqrt{\boldsymbol{a}_{x}^{2}+\boldsymbol{a}_{y}^{2}+\boldsymbol{a}_{z}^{2}}\sqrt{\boldsymbol{b}_{x}^{2}+\boldsymbol{b}_{y}^{2}+\boldsymbol{b}_{z}^{2}}}. $$

由此可知两非零向量 a，b 垂直的充分必要条件为 $ a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0 $.

例2 已知 $ A(-2,1,3) $, $ B(0,-1,2) $, $ C(1,1,1) $，求 $ \angle BAC $.

解 因为 $ \angle BAC $ 是 $ \overrightarrow{AB} $ 与 $ \overrightarrow{AC} $ 的夹角，又 $ \overrightarrow{AB} = \{2, -2, -1\} $， $ \overrightarrow{AC} = \{3, 0, -2\} $，故

$$ \cos\angle B A C=\frac{\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{A C}|}=\frac{8}{3\sqrt{13}}, $$

即

$$ \angle BAC=\arccos\frac{8}{3\sqrt{13}}. $$

例3 设液体流过平面 S 上面积为 A 的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为常向量 v。设 n 为垂直于 S 的单位向量，如图6-20（a）所示，计算单位时间内经过该区域流向 n 所指一侧的液体的体积 $ Q(m^{3}/s) $。

解 当液体的流速 v 与向量 n 的方向相同，即 $ (v, n) = 0 $ 时，单位时间内流过该区域流向 n 所指一方的液体组成一个底面积为 A、高为 |v| 的直柱体，该柱体的体积为

$$ A\mid v\mid=A v\cdot n. $$

当液体的流速 v 与向量 n 的方向相反，即 $ (v, n) = \pi $ 时，单位时间内流过该区域流向 n

所指一方的液体体积就为

$$ -\boldsymbol{A}\mid\boldsymbol{v}\mid=\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}. $$

当 $ 0 \lt (v, \ n) \lt \pi $ 时，单位时间内流过该区域的液体组成一个底面积为 $ A $、斜高为 $ |v| $ 的斜柱体，如图 6-20 (b) 所示。该柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是 $ v $ 与 $ n $ 的夹角 $ \theta $，所以该柱体的高为 $ |v|_{\cos \theta} $，体积为

$$ A\mid v\mid\cos\theta=A v\cdot n. $$

记 An=A （称 A 为面积向量），从而单位时间内经过该区域流向 n 所指一方的液体的体积为

$$ Q=A\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{v}\cdot(A\boldsymbol{n})=\boldsymbol{v}\cdot A. $$

二、 两向量的向量积

力学上研究物体转动时，要考虑物体的受力情况并分析这些力所产生的力矩。下面举例说明表达力矩的方法。

设 $O$ 为一根杠杆 $L$ 的支点，有一个力 $F$ 作用于该杠杆上的点 $A$ 处，$F$ 与 $\overrightarrow{OA}$ 的夹角为 $\theta$，如图 6-21 所示。由力学定律可知，力 $F$ 对支点 $O$ 的力矩是一向量 $M$。它由力 $F$ 与向量 $\overrightarrow{OA}$ 确定。力矩 $M$ 的大小 $|M|$ 应等于力的大小 $|F|$ 与力臂 $|OC|$ 的乘积，即 $|M|=|OC||F|$，而 $|OC|=|\overrightarrow{OA}|\sin \theta$，因此得到

$$ \mid M\mid=\mid\overrightarrow{O A}\mid\mid F\mid\sin\theta, $$

其中 $ \theta=(\overrightarrow{OA},\quad\overrightarrow{F}) $。力矩 M 的方向垂直于 $ \overrightarrow{OA} $ 与 F 所决定的平面，且 $ \overrightarrow{OA}, F, M $ 成右手系。

这种由两个已知向量按上面的方法确定出另一个向量的情况，在其他实际问题中也常出现，由此抽象出两个向量的向量积的概念.

定义 6.3.2 两个向量 a 与 b 的向量积仍是一个向量（记作 $ a \times b $），它的模为

$$ |a\times b|=|a||b|\sin(a,b), $$

而它的方向是：同时垂直于 $ a $ 和 $ b $（即 $ a \times b $ 垂直于 $ a $ 与 $ b $ 所确定的平面），并且 $ a $， $ b $， $ a \times b $ 成右手系，如图 6-22 所示。两个向量的向量积也称两向量的外积或叉乘。如果 $ a $， $ b $ 中有一个为零向量，则规定 $ a \times b = 0 $。

由此定义，上面的力矩 M 等于 $ \overrightarrow{OA} $ 与 F 的向量积，即

$$ \boldsymbol{M}=\overrightarrow{O A}\times\boldsymbol{F}. $$

两个向量的向量积模的几何意义为

$ |a \times b| $等于以a，b为邻边的平行四边形的面积.

从定义 6.3.2 可以看出，两非零向量 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 平行的充分必要条件为 $ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} $。向量积符合下列运算规律：

(1) $ b \times a = -a \times b $.

由定义 6.3.2 知， $ b \times a $ 与 $ a \times b $ 的模相等，方向相反，这是因为按右手规则从 b 转向 a 定出的方向恰好与按右手规则从 a 转向 b 定出的方向相反.

(2) 分配律 $ (a+b)\times c=a\times c+b\times c $; $ a\times(b+c)=a\times b+a\times c $.

（3）结合律 $ \lambda $ ( $ a \times b) = \lambda a \times b = a \times (\lambda b) $， $ \lambda $ 为实数.

（2）（3）证明略.

下面推导向量积的坐标表示式.

设 $ a = a_x i + a_y j + a_z k $， $ b = b_x i + b_y j + b_z k $，由于 $ i \times i = j \times j = k \times k = 0 $， $ i \times j = k $， $ j \times k = i $， $ k \times i = j $， $ j \times i = -k $， $ k \times j = -i $， $ i \times k = -j $，所以按向量积的运算规律有

$$ \begin{aligned}a\times\boldsymbol{b}&=\left(a_{x}\boldsymbol{i}+a_{y}\boldsymbol{j}+a_{z}\boldsymbol{k}\right)\times\left(b_{x}\boldsymbol{i}+b_{y}\boldsymbol{j}+b_{z}\boldsymbol{k}\right)\\&=a_{x}b_{x}(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{i})+a_{x}b_{y}(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j})+a_{x}b_{z}(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{k})+\\&\quad a_{y}b_{x}(\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{i})+a_{y}b_{y}(\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{j})+a_{y}b_{z}(\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k})+\\&\quad a_{z}b_{x}(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i})+a_{z}b_{y}(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{j})+a_{z}b_{z}(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{k})\\&=\left(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\right)\boldsymbol{i}+\left(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\right)\boldsymbol{j}+\left(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\right)\boldsymbol{k}.\end{aligned} $$

为了方便记忆，借用行列式记号表示为

$$ a{\times}b=\left|\begin{matrix}{a_{_{y}}}&{a_{_{z}}}\\ {b_{_{y}}}&{b_{_{z}}}\\ \end{matrix}\right|i+\left|\begin{matrix}{a_{_{z}}}&{a_{_{x}}}\\ {b_{_{z}}}&{b_{_{x}}}\\ \end{matrix}\right|j+\left|\begin{matrix}{a_{_{x}}}&{a_{_{y}}}\\ {b_{_{x}}}&{b_{_{y}}}\\ \end{matrix}\right|k, $$

或

$$ \begin{aligned}{a\times b=\left|\begin{array}{c c c}{i}&{j}&{k}\\ {a_{x}}&{a_{y}}&{a_{z}}\\ {b_{x}}&{b_{y}}&{b_{z}}\\ \end{array}\right|.}\\ \end{aligned} $$

将这个形式上的三阶行列式按第一行展开，即得 $ a \times b $ 的坐标表示式..

例4 $ \triangle ABC $ 的顶点为 $ A(3,0,2) $， $ B(5,3,1) $， $ C(0,-1,3) $，求垂直于三角形所在平面的单位向量和 $ \triangle ABC $ 的面积.

解 由 $ \overrightarrow{AB} = \{2, 3, -1\} $， $ \overrightarrow{AC} = \{-3, -1, 1\} $ 得

$$ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&3&-1\\-3&-1&1\end{array}\right|=2i+j+7k\ , 从而 $$

$$ \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+7^{2}}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}. $$

于是，垂直于三角形 $ \triangle ABC $所在平面的单位向量为

$$ \pm\frac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}=\pm\{\frac{2}{3\sqrt{6}},\ \frac{1}{3\sqrt{6}},\ \frac{7}{3\sqrt{6}}\}\,, $$

由向量的模的几何意义知$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\frac{3}{2}\sqrt{6}$。

三、 向量的混合积

定义 6.3.3 给定三个向量 $ a, b, c $，若先求向量积 $ a \times b $、再求 $ a \times b $ 与 c 的数量积，则得到的数 $ (a \times b) \cdot c $ 叫做向量 $ a, b, c $ 的混合积.

下面推导混合积的坐标表示式，设

$$ \boldsymbol{a}=\{a_{x},a_{y},a_{z}\},\boldsymbol{b}=\{b_{x},b_{y},b_{z}\},\boldsymbol{c}=\{c_{x},c_{y},c_{z}\}, $$

因为

$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{c c c}{i}&{j}&{k}\\ {a_{x}}&{a_{y}}&{a_{z}}\\ {b_{x}}&{b_{y}}&{b_{z}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c c}{a_{y}}&{a_{z}}\\ {b_{y}}&{b_{z}}\end{array}\right|\boldsymbol{i}-\left|\begin{array}{c c}{a_{x}}&{a_{z}}\\ {b_{x}}&{b_{z}}\end{array}\right|\boldsymbol{j}+\left|\begin{array}{c c}{a_{x}}&{a_{y}}\\ {b_{x}}&{b_{y}}\end{array}\right|\boldsymbol{k}, $$

故

$$ \left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)\cdot\boldsymbol{c}=\left|\begin{array}{c c}a_{_{y}}&a_{_{z}}\\ b_{_{y}}&b_{_{z}}\end{array}\right|c_{_{x}}-\left|\begin{array}{c c}a_{_{x}}&a_{_{z}}\\ b_{_{x}}&b_{_{z}}\end{array}\right|c_{_{y}}+\left|\begin{array}{c c}a_{_{x}}&a_{_{y}}\\ b_{_{x}}&b_{_{y}}\end{array}\right|c_{_{z}}=\left|\begin{array}{c c c}a_{_{x}}&a_{_{y}}&a_{_{z}}\\ b_{_{x}}&b_{_{y}}&b_{_{z}}\\ c_{_{x}}&c_{_{y}}&c_{_{z}}\end{array}\right|. $$

这就是混合积 $ (a \times b) \cdot c $ 的坐标表示式.

由混合积的定义及其坐标表示式容易验证

$$ (a\times b)\cdot c=a\cdot(b\times c). $$

将 $ (a \times b) \cdot c $ 和 $ a \cdot (b \times c) $ 简记为 $ (abc) $.

由行列式的性质知，混合积有如下置换规律：

$$ (a b c)=(b c a)=(c a b)=-(b a c)=-(c b a)=-(a c b). $$

下面讨论向量混合积的几何意义．给定平行六面体，如图6-23所示，设 $ \overrightarrow{OA}=a $， $ \overrightarrow{OB}=b $， $ \overrightarrow{OC}=c $，则六面体底面积S为 $ |a\times b| $，高h为c在 $ a\times b $上投影的绝对值，即

$$ h=\mathrm{~l~P r j}_{a\times b}\pmb{c}\mathrm{~l~}. $$

从而平行六面体的体积为

$$ \begin{aligned}{V}&{{}=\mid\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\mid\mid\operatorname*{P r j}_{a\times b}\boldsymbol{c}\mid=\mid\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\mid\mid\operatorname*{P r j}_{a\times b}\boldsymbol{c}\mid}\\ {}&{{}=\mid\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)\cdot\boldsymbol{c}\mid=\mid\left(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}\right)\mid.}\\ \end{aligned} $$

即向量 $ \pmb{a} $， $ \pmb{b} $， $ \pmb{c} $ 的混合积 $ (abc) $ 的绝对值表示以向量 $ \pmb{a} $， $ \pmb{b} $， $ \pmb{c} $ 为棱的平行六面体的体积.

定理 6.3.1 三个非零向量 a, b, c 共面的充分必要条件是 $ (abc)=0 $.

例 5 设空间中有四点 $ A(1, 1, 3) $, $ B(0, 1, 1) $, $ C(1, 0, 2) $, $ D(4, 3, 11) $，证明这四点共面.

证 因为 $ \overrightarrow{AB}=\{-1,0,-2\} $， $ \overrightarrow{AC}=\{0,-1,-1\} $， $ \overrightarrow{AD}=\{3,2,8\} $，而 $ (\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AD})=\begin{vmatrix}-1&0&-2\\0&-1&-1\\3&2&8\end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix}-1&-1\\2&8\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}0&-1\\3&2\end{vmatrix}=0 $。

习题6-3

1. 设 $ |a| = 2 $， $ |b| = 6 $，试求常数 k，使 $ (a + kb) \perp (a - kb) $.

1. 已知 $ |a| = 1 $， $ |b| = 5 $， $ a \cdot b = -3 $，求 $ |a \times b| $

1. 设 a, b 为两个非零向量，且 $ (a+b)\perp(3a-10b) $， $ (a-2b)\perp(6a+7b) $，求 $ \cos(\widehat{a, b}) $。

1. 证明 $ |a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2 $.

1. 已知三点 $ A(1,1,1) $, $ B(3,0,2) $ 和 $ C(-2,2,-1) $，求

(1) 以 $ \overrightarrow{AB} $， $ \overrightarrow{AC} $为邻边的平行四边形的面积；

(2) 同时垂直于 $ \overrightarrow{AB} $， $ \overrightarrow{AC} $的单位向量.

1. 已知空间四点的坐标 A(0, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 1, 1), D(1, 1, 1). 求四面体 ABDC 的体积.

1. 设 $ a = 3i - j - 2k $, $ b = i + 2j - k $, 求：

(1) $ \mathrm{Prj}_{a}b $; (2) $ \mathrm{Prj}_{b}a $; (3) $ \cos\left(a,\ \overline{b}\right) $.

第四节 平面的方程

从本节开始我们在空间直角坐标系中建立平面、直线、曲面、曲线的方程.

首先说明几何图形的方程的概念，在空间直角坐标系中，空间中的每一点都惟一地对应于一个三元有序实数组，在这种对应下，空间中的每个几何图形都惟一地对应着一个三元有序实数组集合，即构成该几何图形的全体点的坐标所组成的集合。描述这个三元有序实数组集合的数量关系就叫做该几何图形在直角坐标系下的方程（组）。

例如，Ox 轴对应于三元有序实数组的集合：

$$ \{\begin{array}{l l}{x,}&{y,}\end{array}.z)\quad\in\mathbb{R}^{3}\mid y=0,\quad z=0\}, $$

描述这个集合的数量关系（即 Ox 轴的方程）是 $ \{\begin{aligned}y=0,\\ z=0.\end{aligned}. $

再如，xOy 坐标面对应于三元有序实数组的集合： $ \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = 0\} $

xOy 坐标面的方程为 z=0.

几何图形在直角坐标系下的方程有如下两个性质：

（1）该几何图形上的每个点在此直角坐标系下的坐标都满足这个方程（组）；

（2）反过来，适合方程的数组 $ (x, y, z) $在此直角坐标系下的对应点都在此几何图形上．也就是说，不在此几何图形上的点的坐标一定不满足这个方程.

回顾一下构成平面的基本要素：不共线的三点确定一个平面；一条直线和此直线外的一点确定一个平面；两条相交直线确定一个平面；两条平行直线确定一个平面．现从点和向量出发来讨论研究平面的方程和性质.

一、 平面的点法式方程

如果一非零向量垂直于一平面，则称这个向量为该平面的法线向量（简称法向量）.

由于过空间一点只能作唯一平面 $ \Pi $ 垂直于已知直线，所以当平面 $ \Pi $ 上的一点 $ M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 及其法向量 $ \boldsymbol{n} = \{A, B, C\} $ 给定时，平面 $ \Pi $ 就被完全确定了，如图6-24所示. 下面建立它的方程.

设 $ M(x, y, z) $ 为所求平面 $ \Pi $ 上的任意一点，则 $ \overrightarrow{M_{0}M} \perp n $，故 $ \overrightarrow{M_{0}M} $ 与 n 的数量积为零：

$$ \overrightarrow{M_{0}M}\cdot\mathbf{\nabla}\mathbf{\nabla}\mathbf{n}=0. $$

由于 $ \overrightarrow{M_{0}M}=\{x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\}, n=\{A, B, C\} $，所以有

$$ \boldsymbol{A}\left(x-x_{0}\right)+\boldsymbol{B}\left(y-y_{0}\right)+\boldsymbol{C}\left(z-z_{0}\right)=0. $$

这就是平面 $ \Pi $ 上的任一点 $ M(x, y, z) $ 所满足的方程.

反过来，当向量 $ M_{0}M $不垂直n时，则点 $ M(x,y,z) $一定不在平面 $ \Pi $上，它的坐标显然不满足方程（1）. 所以，方程（1）表示的是平面 $ \Pi $.

由于方程（1）是由平面 $ \Pi $ 上的一点 $ M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 以及 $ \Pi $ 的一个法向量 $ \boldsymbol{n} = \{A, B, C\} $ 确定的，因此方程（1）叫做平面 $ \Pi $ 的点法式方程.

例 1 已知平面过 $ A(1,1,0) $, $ B(3,3,2) $, $ C(1,-1,-1) $ 三点，求此平面方程.

解 由于所求平面的法向量同时垂直于 $ \overrightarrow{AB} $与 $ \overrightarrow{AC} $，所以 $ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} $即为平面的

一个法向量. 而 $ \overrightarrow{AB}=\{2,2,2\},\quad\overrightarrow{AC}=\{0,-2,-1\} $，于是

$$ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&2&2\\0&-2&-1\end{array}|=\{2,2,-4\}. $$

可取 {1, 1, -2} 为平面的法向量，由平面的点法求方程（1）得所求平面方程为

$$ (x-1)+(y-1)-2(z-0)=0, $$

即

$$ x+y-2z-2=0. $$

二、 平面的一般式方程

空间任一平面都可以用其上的一点及其法向量通过点法式方程得出平面的方程为 $ A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0 $，这个方程可以化为

$$ Ax+By+Cz+D=0, $$

其中 $ D = -(Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0}) $。由此知空间任一平面的方程都是一个关于 x, y, z 的线性方程。

反过来，任意一个关于 x，y，z 的线性方程 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ (A，B，C 不同时为零) 必表示空间某个平面。事实上，对于任意给定的这样一个方程，任取某一个解 $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $，即 $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 满足

$$ Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0. $$

于是，方程 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的解都满足方程

$$ \boldsymbol{A}\left(x-x_{0}\right)+\boldsymbol{B}\left(y-y_{0}\right)+\boldsymbol{C}\left(z-z_{0}\right)=0. $$

因此， $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 表示一个通过点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 法向量是 $ \{A, B, C\} $ 的平面.

以上讨论说明空间中的平面与关于 x, y, z 的线性方程有一一对应关系，我们将方程

$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

称为平面的一般式方程，其中未知量x，y，z的系数A，B，C所组成的向量为该平面的一个法向量，即法向量 $ n=\{A, B, C\} $.

对于一些特殊的三元一次方程，我们应该熟悉其对应的平面图形的特点。下面分别给予讨论。

当 D=0 时，平面 $ \mathit{II} $ 过原点 $ O(0,0,0) $，所以方程 $ Ax+By+Cz=0 $ 表示过原点的平面.

当 $A=0$ 时，平面 $\Pi$ 的法向量 $\boldsymbol{n}=\{0,\ B,\ C\}$ 与 $x$ 轴上的单位向量 $\boldsymbol{i}=\{1,\ 0,\ 0\}$ 垂直，即 $\boldsymbol{n}$ 垂直于 $x$ 轴，也就意味着平面 $\Pi$ 平行于 $x$ 轴。所以，方程 $By+Cz+D=0$ 表示平行于 $x$ 轴的平面。

同样，方程 $ Ax + Cz + D = 0 $ 表示平行于 y 轴的平面，而方程 $ Ax + By + D = 0 $ 表示平行于 z 轴的平面.

当 A=0, D=0 时，平面 $ \mathit{\Pi} $ 过 x 轴，所以方程 $ By+Cz=0 $ 表示经过 x 轴的平面.

同样，方程 $ Ax + Cz = 0 $ 和 $ Ax + By = 0 $ 分别表示经过 y 轴和 z 轴的平面.

当 A = B = 0, $ D \neq 0 $ 时，方程 $ Cz + D = 0 $ 表示平行于坐标面 xOy 的平面.

例2 求平行于y轴且经过 $ M_{1}(0,1,1) $ 和 $ M_{2}(1,0,-1) $ 的平面方程.

解 因平面平行于 y 轴，所以设这个平面的方程为

$$ Ax+Cz+D=0 $$

将 $ M_{1} $和 $ M_{2} $两点的坐标代入，得

$$ \{\begin{aligned}&C+D=0,\\ &A-C+D=0,\end{aligned}. $$

解得 C = -D, A = -2D,

代入所设方程并除以 $ D(D \neq 0) $，得所求平面方程为

$$ 2x+z-1=0. $$

例3 设一平面与三个坐标轴分别交于 $ P(a,0,0) $， $ Q(0,b,0) $， $ R(0,0,c) $三点，求这平面的方程 $ (a,b,c $都不为零 $.$

解 用待定系数法. 设所求平面方程为

$$ Ax+By+Cz+D=0. $$

用 P, Q, R 点的坐标代入，得

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}A a+D=0,}\\ {}&{{}B b+D=0,}\\ {}&{{}C c+D=0,}\\ \end{aligned}. $$

解得

$$ A=-\frac{D}{a},\ B=-\frac{D}{b},\ C=-\frac{D}{c}. $$

代入所设方程，有

$$ -D\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1\right)=0. $$

因 $ D \neq 0 $ （平面不过原点），故所求平面方程为

$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1. $$

这个方程叫做平面的截距式方程，而 a, b, c 依次是平面在 x 轴、y 轴、z 轴上的截距.

一般地，平面方程 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 在 $ ABCD \neq 0 $ 时，可化为截距式方程.

例4 设 $ P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 为平面 $ \Pi $： $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 外一点，求点 $ P_{0} $ 到

这个平面的距离 d.

解 设 $ P_{0} $ 到该平面的垂足为 N，那么所求距离 d 即是 $ P_{0} $ 到 N 的距离．又设 $ P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $ 为平面上任意一点，则 $ Ax_{1} + By_{1} + Cz_{1} + D = 0 $．显然由图 6-25 知 $ d = |\overrightarrow{P_{1}P_{0}}| \cos \theta| $，于是

$$ \begin{array}{r l}{d}&{=\frac{\vert\overrightarrow{P_{1}P_{0}}\cdot\mathbf{\nabla}\mathbf{n}\vert}{\vert\mathbf{n}\vert}}\\ &{=\frac{\vert A\left(x_{0}-x_{1}\right)+B\left(y_{0}-y_{1}\right)+C\left(z_{0}-z_{1}\right)\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\\ &{=\frac{\vert A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.}\end{array} $$

三、 两平面的夹角

两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常不取钝角）.

设平面 $ \Pi_{1} $ 和 $ \Pi_{2} $ 的方程分别为

$$ \begin{aligned}&A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\&A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.\\ \end{aligned} $$

它们的法线向量分别为 $ n_{1} = \{A_{1}, B_{1}, C_{1}\} $ 和 $ n_{2} = \{A_{2}, B_{2}, C_{2}\} $，如图 6-26 所示.

由于两个平面的夹角 $ \theta $ 是 $ n_{1} $ 与 $ n_{2} $ 的夹角而又不取钝角，故得

$$ \cos\theta=\frac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} $$

由两个向量垂直或平行的充分必要条件，立即可推导出下列结论：

（1）平面 $ \Pi_{1} $ 和 $ \Pi_{2} $ 互相垂直的充分必要条件是

$$ \boldsymbol{A}_{1}\boldsymbol{A}_{2}+\boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{B}_{2}+\boldsymbol{C}_{1}\boldsymbol{C}_{2}=\boldsymbol{0}； $$

（2）平面 $ \Pi_{1} $ 和 $ \Pi_{2} $ 互相平行的充分必要条件是

$$ \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}. $$

例5 求过 x 轴且与平面 $ \sqrt{5}x + 2y + z = 0 $ 的夹角为 $ \frac{\pi}{3} $ 的平面方程.

解 因所求平面过 x 轴，可设平面方程为

$$ B y+C z=0. $$

因题设可知， $ B \neq 0 $。因为 B = 0 时，所求平面方程为 $ Cz = 0 (C \neq 0) $，即 z = 0。这样，它与已知平面 $ \sqrt{5}x + 2y + z = 0 $ 所夹锐角的余弦为

$$ \frac{\left|0\times\sqrt{5}+0\times2+1\times1\right|}{\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\neq\cos\frac{\pi}{3}. $$

由此可知， $ B \neq 0 $．令 $ \frac{C}{B} = C' $，则有 $ y + C' z = 0 $．由题设有

$$ \cos\frac{\pi}{3}=\frac{\left|0\times\sqrt{5}+1\times2+C^{\prime}\times1\right|}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+C^{\prime2}}\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{2} $$

求得 $ C'=3 $ 或 $ C'=-\frac{1}{3} $. 于是，所求平面方程为

$$ y+3z=0 或 3y-z=0. $$

习题6-4

1. 求下列各平面的方程：

（1）平行于 x 轴且经过点（4，0，-2）和（5，-1，0）.

（2）过点 $ (-1, 1, 2) $ 且与两向量 $ \{0, 1, 1\} $ 和 $ \{1, 2, 1\} $ 都平行.

1. 已知平面过点 $ M_{1}(2,2,0) $， $ M_{2}(-1,-1,3) $ 和 $ M_{3}(2,0,3) $，求此平面方程.

1. 求通过 x 轴且与平面 x-4y-2z+1=0 垂直的平面方程.

1. 求过点（3，-2，-1）且垂直于两平面 $ 2x+y-z+3=0 $， $ x-y+2z+5=0 $ 的平面方程.

1. 求三平面 $ x+y-z-2=0 $, $ 2x-y-3z+3=0 $, $ 3x-2y+4z-3=0 $ 的交点，并求此交点到平面 $ 2x-2y+z-5=0 $ 的距离.

1. 设平面通过点 $ (-5, 4, 3) $ 且在 x, y, z 三轴上的截距相等，求此平面的方程.

1. 求平面 $ 2x-2y+z+5=0 $ 与各坐标面的夹角的余弦.

1. 平面通过 x 轴且与平面 y=x 成 $ \frac{\pi}{3} $ 的角，求此平面方程.

1. 在平面 $ 2x-3y+z-6=0 $ 和平面 $ 2x-3y+z-2=0 $ 间求一平面，使之将这两平面间的距离分成 1:3.

第五节 直线的方程

一、 直线的一般式方程

在平面上一条直线的方程是一个关于 x, y 的一次方程，但是空间上一条

直线的方程就要通过两个平面方程来描述，即直线 L 可以看作通过该直线的任意两个不平行平面的交线。设这两个平面分别是

$$ \varPi_{1}:\ A_{1}x+B_{1}y+C_{2}z+D_{1}=0, $$

$$ \varPi_{2}:\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0. $$

空间一点 $ (x, y, z) $ 在直线 L 上，当且仅当 x, y, z 同时满足 $ \Pi_{1} $ 与 $ \Pi_{2} $ 的方程，由此得出直线 L 的方程为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\;,}\\ {}&{{}A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\;,}\\ \end{aligned}. $$

其中 $ A_{1} $， $ B_{1} $， $ C_{1} $ 与 $ A_{2} $， $ B_{2} $， $ C_{2} $ 不成比例。方程

（1）叫做空间直线的一般式方程.

例如，方程

$$ \{\begin{aligned}x-3&=0,\\ y-4&=0\end{aligned}. $$

表示平面 x-3=0 与平面 y-4=0 的交线（如图6-27）.

二、 直线的参数方程和点向式方程

已知一点 $ M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $，又已知一个非零向量 $ s = \{m, n, p\} $。下面建立过点 $ M_{0} $ 且与向量 s 平行的直线 L 的方程。

由于空间一点 $ M(x, y, z) $ 在直线 L 上的充分必要条件是 $ \overrightarrow{M_{0}M} // s $，即存在实数 t，使得

$$ \begin{array}{c}\overrightarrow{M_{0}M}=t s,\\ x-x_{0}=t m,\quad y-y_{0}=t n,\quad z-z_{0}=t p,\end{array} $$

即

也就有

$$ \{\begin{aligned}{x=x_{0}+}&{{}t m,}\\ {y=y_{0}+}&{{}t n,}\\ {z=z_{0}+}&{{}t p,}\\ \end{aligned}. $$

或者有

$$ \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}. $$

方程组（2）叫做直线的参数方程，t为参数．方程（3）叫做直线的点向式方程或对称式方程．向量s叫做直线L的方向向量，m，n，p叫做直线的一组方向数，向量s的方向余弦叫做直线的方向余弦．

例 1 用点向式方程及参数方程表示直线

$$ \{\begin{aligned}&x-y-z+1=0,\\ &2x+y+2z+2=0.\end{aligned}. $$

解 先找出直线上的一点 $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $. 取 $ z_{0}=0 $, 代入方程, 解得 $ x_{0}=-1 $, $ y_{0}=0 $. 即 $ (-1,0,0) $ 为直线上的点.

再求出直线的一个方向向量 $ s $，由两平面的交线与两平面的法向量 $ n_{1} = \{1, -1, -1\} $， $ n_{2} = \{2, 1, 2\} $ 都垂直，所以可取

$$ \boldsymbol{s}=\boldsymbol{n}_{1}\times\boldsymbol{n}_{2}=|\begin{array}{c c c}{i}&{j}&{k}\\ {1}&{-1}&{-1}\\ {2}&{1}&{2}\end{array}|=\{\begin{array}{c c c}{-1,}&{-4,}&{3}\end{array}\}. $$

因此，直线的点向式方程为

$$ \frac{x+1}{-1}\approx\frac{y}{-4}=\frac{z}{3}, $$

参数方程为

$$ \{\begin{aligned}{x}&{{}=-1-t,}\\ {y}&{{}=-4t,}\\ {z}&{{}=3t.}\\ \end{aligned}. $$

三、 空间两直线的夹角及两直线的位置关系

已知空间两直线

$$ L_{1}:\frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}, $$

$$ L_{2}:\frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}. $$

显然， $ M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $ 为 $ L_{1} $ 上的点， $ L_{1} $ 的方向向量为 $ s_{1} = \{m_{1}, n_{1}, p_{1}\} $. $ M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}) $ 为 $ L_{2} $ 上的点， $ L_{2} $ 的方向向量为 $ s_{2} = \{m_{2}, n_{2}, p_{2}\} $.

两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（通常不取钝角），故两直线的夹角 $ \theta $可由公式

$$ \cos\theta=\frac{|m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}|}{\sqrt{m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}}\sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}} $$

来确定.

空间中两条直线的位置关系有异面和共面两种情况，在共面时又有相交和平行两种情形．对于直线 $ L_{1} $ 与 $ L_{2} $，下列结论成立：

（1） $ L_{1} $， $ L_{2} $ 是异面直线的充分必要条件为 $ s_{1} $， $ s_{2} $， $ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} $ 不共面，即

$$ \left(\boldsymbol{s}_{1}\times\boldsymbol{s}_{2}\right)\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{M}_{1}\boldsymbol{M}_{2}}=\left|\begin{array}{c c c}m_{1}&n_{1}&p_{1}\\ m_{2}&n_{2}&p_{2}\\ x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\end{array}\right|\neq0. $$

（2） $ L_{1} $， $ L_{2} $ 共面的充分必要条件为

$$ \left(\boldsymbol{s}_{1}\times\boldsymbol{s}_{2}\right)\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{M}_{1}\boldsymbol{M}_{2}}=\left|\begin{array}{c c c}m_{1}&n_{1}&p_{1}\\ m_{2}&n_{2}&p_{2}\\ x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\end{array}\right|=0. $$

（3） $ L_{1} $ 与 $ L_{2} $ 共线的充分必要条件为 $ \boldsymbol{s}_{1} \parallel \boldsymbol{s}_{2} $ 且 $ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} \parallel \boldsymbol{s}_{1} $，即

$$ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}} 且 \frac{x_{2}-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z_{2}-z_{1}}{p_{1}}. $$

（4） $ L_{1} $ 与 $ L_{2} $ 平行的充分必要条件为 $ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}} $ 且 $ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} $ 与 $ s_{1} $ 不平行.

（5）在 $ L_{1} $， $ L_{2} $ 共面的前提下， $ L_{1} $ 与 $ L_{2} $ 相交的充分必要条件为 $ m_{1}:n_{1}:p_{1}\neq m_{2}:n_{2}:p_{2} $.

四、 直线与平面的夹角及直线与平面的位置关系

已知直线 L 的方程为 $ \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} $，平面 $ \Pi $ 的方程为 $ Ax+By+Cz+D=0 $。

设直线 L 与平面 $ \Pi $ 不垂直，直线 L 与它所在平面 $ \Pi $ 上的投影直线所夹的锐角 $ \theta $，叫做直线 L 与平面 $ \Pi $ 的夹角，如图 6-28 所示。当直线 L 与平面 $ \Pi $ 垂直时，L 与 $ \Pi $ 的夹角规定为 $ \frac{\pi}{2} $。

平面 $II$ 的法向量 $n = \{A, B, C\}$，直线 $L$ 的方向向量 $s = \{m, n, p\}$，则 $\theta = \frac{\pi}{2} - (s, n)$ 或 $\theta =$

$ (s, \bigcap n) - \frac{\pi}{2} $，因此 $ \sin \theta = |\cos (s, \bigcap n)| $，即直线 L 与平面 $ \Pi $ 的夹角公式为

$$ \sin\theta=\frac{\left|A m+B n+C p\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}. $$

直线与平面的位置关系有相交、平行及直线在平面上三种情况，有下面的结论：

（1）直线 L 与平面 $ \Pi $ 垂直的充分必要条件是 $ n \parallel s $，即

$$ \frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}. $$

（2）直线 L 在平面 $ \Pi $ 上的充分必要条件是

$$ \begin{aligned}Am+Bn+Cp=0\ 且 \ Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0.\end{aligned} $$

（3）直线 L 不在平面 $ \Pi $ 上但 L 与 $ \Pi $ 平行的充分必要条件为

$$ A m+B n+C p=0\mathrm{~ 且 ~}A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\neq0. $$

例2 求直线 $ \frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-1}{1} $与平面 $ x+y-2z+1=0 $的交点和夹角.

解 显然直线的参数方程为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=1+t,}\\ {}&{{}y=-3-2t,}\\ {}&{{}z=1+t,}\\ \end{aligned}. $$

将其代入平面方程，有

$$ 1+t+\left(-3-2t\right)-2\left(1+t\right)+1=0, $$

解得 t = -1. 于是直线与平面的交点为 $ (0, -1, 0) $.

因直线的方向向量为 $ \{1, -2, 1\} $，平面的法向量为 $ \{1, 1, -2\} $，因此

$$ \sin\theta=\frac{\left|1\times1+\left(-2\right)\times1+1\times\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^{2}+\left(-2\right)^{2}+1^{2}}\sqrt{1^{2}+1^{2}+\left(-2\right)^{2}}}=\frac{1}{2}. $$

所以 $ \theta = \frac{\pi}{6} $.

五、 过直线的平面束

空间中过同一直线 L 的所有平面的集合，叫做通过该直线的平面束.

设直线 L 的方程为

$$ \{\begin{aligned}&A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\ &A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0,\end{aligned}. $$

对于任意两个不全为零的实数 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $ 方程

$$ \lambda_{1}(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\lambda_{2}(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0 $$

表示一个平面．若点 $ M(x, y, z) $ 在直线 L 上，则变量 x, y, z 满足方程组 (4)，从而也满足方程 (5)．因此，方程 (5) 表示通过 L 的平面．反之，任意给定一个通过直线 L 的平面，必存在两个不全为零的实数 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $，使该平面的方程为

$$ \lambda_{1}(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\lambda_{2}(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0 $$

方程（5）叫做通过直线 L 的平面束方程.

用过直线的平面束方程求解直线或平面问题，有时会给解决问题带来方便.

例3 过直线

$$ L\colon\{\begin{aligned}{}&{{}x+2y-z-6=0,}\\ {}&{{}x-2y+z=0}\\ \end{aligned}. $$

作平面，使其与已知平面 $ \mathit{\Pi} $: $ x+2y+z=0 $ 垂直.

解 通过 L 的平面方程可表示为

$$ \lambda_{1}(x+2y-z-6)+\lambda_{2}(x-2y+z)=0, $$

即

$$ \left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)x+\left(2\lambda_{1}-2\lambda_{2}\right)y+\left(-\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)z-6\lambda_{1}=0, $$

其中 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $ 为待定常数. 因为所求平面与 $ \mathit{\Pi} $ 垂直, 于是

$$ \left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\times1+\left(2\lambda_{1}-2\lambda_{2}\right)\times2+\left(-\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\times1=0, $$

解得

$$ \lambda_{2}=2\lambda_{1}, $$

因此，所求平面方程为

$$ 3x-2y+z-6=0. $$

例4 已知直线 $ L_{1} $: $ 1 - x = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{3} $, $ L_{2} $: $ \{\begin{aligned}&2x + y - 1 = 0,\\ &3x + z - 2 = 0,\end{aligned}. $ 试证： $ L_{1} \parallel L_{2} $，并求出由 $ L_{1} $ 和 $ L_{2} $ 所确定的平面方程.

解 因为 $ L_{2} $ 是平面 2x+y-1=0 和 3x+z-2=0 的交线，如果直线 $ L_{1} $ 与这两个平面都平行，那么 $ L_{1} $ 就平行于它们的交线 $ L_{2} $。因为 $ L_{1} $ 的方向向量为 $ \{-1, 2, 3\} $，两个平面的法向量分别为 $ \{2, 1, 0\} $ 和 $ \{3, 0, 1\} $，而

$$ |-1,2,3|\quad\cdot\quad\{2,1,0\}\quad=0, $$

$$ \{-1,2,3\}\quad\bullet\quad\{3,0,1\}\quad\approx0, $$

所以 $ L_{1} // L_{2} $

过 $ L_{2} $的平面方程可以表示为

$$ \lambda_{1}(2x+y-1)+\lambda_{2}(3x+z-2)=0, $$

由于 $ L_{1} $ 在这个平面上， $ L_{1} $ 上的点（1，-1，2）应满足方程，于是求解 $ \lambda_{2}=0 $，所以所求平面方程为

$$ 2x+y-1=0. $$

习题6-5

1. 将下列直线方程化为点向式方程及参数方程：

(1)

$$ \{\begin{aligned}x=3z-5,\\ y=2z-8;\end{aligned}. $$

(2)

$$ \{\begin{aligned}&x+y+z+1=0,\\ &2x-y+3z+4=0.\end{aligned}. $$

1. 求通过两相交直线 $ L_{1} $ : $ \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-1} $ 及 $ L_{2} $ : x=2+t, y=-1-t, z=3+2t 的平面方程.

1. 试求通过直线 $ \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2} $且垂直于平面 $ 3x+2y-z-7=0 $的平面方程.

1. 求直线 $ \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-5}{2} $与平面 $ x+y+4z-3=0 $的交点及夹角.

1. 问系数 C 和常数 D 取怎样的数值，才会使直线

$$ L\colon\{\begin{aligned}{}&{{}x-2y+2z-6=0,}\\ {}&{{}x-3y+C z+D=0}\\ \end{aligned}. $$

在坐标面 yOz 上？

1. 求点 $ (-1, 2, 0) $ 在平面 $ x + 2y - z + 3 = 0 $ 上的投影.

1. 求点（2，1，3）在直线 $ \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1} $上的投影.

1. 求过点 $ M(0,1,-1) $ 且与直线 L: x=5+t, y=2-t, z=2t 垂直相交的直线方程.

1. 设直线 L 通过点 $ P_{0} $ 且其方向向量为 s，证明：L 外一点 $ P_{1} $ 到 L 的距离 d 可表示为

$$ d=\frac{|\overrightarrow{P_{0}P_{1}}\times\boldsymbol{s}|}{|\boldsymbol{s}|}. $$

1. 直线 $ L_{1} $: $ \frac{x+17}{7}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{1} $ 与直线 $ L_{2} $: $ \frac{x+11}{4}=\frac{y-25}{-10}=\frac{z}{1} $ 是否共面？是否交于一点？

1. 求过点 $ M(1,1,1) $ 且过直线 $ L:\{\begin{aligned}&x+y+z+1=0,\\ &2y+z+2=0\end{aligned}. $ 的平面方程.

1. 求直线 $ L $: $ \{\begin{aligned}&2x+2y-2z+3=0,\\&x-y+z+5=0\end{aligned}. $，在平面 $ x+y+z-1=0 $ 上的投影直线方程.

1. 求过点 $ M(-1, 0, 4) $ 且平行于平面 $ 3x - 4y + z - 5 = 0 $，又与直线 $ \frac{x+1}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z}{2} $ 相交的直线方程.

第六节 曲面及其方程

一、 曲面方程的概念

首先通过一个简单的例子引入曲面方程的概念.

例1 试求球心在点 $ M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) $、半径为R的球面的方程.

解 球面上任一点 $ (x, y, z) $ 到球心的距离为 R，因此它满足方程

$$ \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}=R^{2}. $$

反过来，满足方程（1）的三元数组 $ (x, y, z) $所对应的点都在球面上.方程（1）称为以点 $ M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $为球心，以R为半径的球面方程.

如果球心在坐标原点，则半径为 R 的球面方程为

$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}. $$

下面给出一般的曲面方程的概念.

如果空间曲面 $ \Sigma $ 与一个三元方程

$$ F(x,\ y,\ z)=0 $$

有下述关系：

（1）曲面Σ上任一点的坐标都满足方程（2）；

（2）满足方程（2）的三元数组 $ (x, y, z) $ 所对应的点都在曲面 $ \Sigma $ 上。则方程（2）称为曲面 $ \Sigma $ 的方程，而曲面 $ \Sigma $ 称为方程（2）的图形。

在空间解析几何中，关于曲面的研究有下列两个基本问题：

（1）由动点所满足的特定的几何条件，建立曲面的代数方程；

（2）由曲面的代数方程，研究所表示曲面的几何形状和特性.

下面讨论几种常见的曲面.

二、 柱面

空间一直线 L 沿着一条定曲线 C 平行移动时所产生的轨迹称为柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线，如图 6-29 所示.

现在建立母线平行于 z 轴、准线是 xOy 面上的曲线

$$ C:\ \{\begin{aligned}&F(x,\ y)=0,\\ &z=0\end{aligned}. $$

的柱面方程.

设点 $ P(x, y, z) $ 是柱面上的任一点，过点 P 作柱面的母线（即平行于 z 轴的直线）必交准线 C 于点 $ P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $，这里 $ x = x_{1}, y = y_{1}, z_{1} = 0 $，如图 6-30 所示。而 $ x_{1}, y_{1} $ 适合等式 $ F(x_{1}, y_{1}) = 0 $。又因 z 任意，故点 $ P(x, y, z) $ 满足的方程为

$$ F(x,y)=0. $$

这就是所求的柱面方程.

如果只在 xOy 平面直角坐标系内，则这个方程所表示的图形是一条曲线，也就是柱面在 xOy 面上的准线.

一般地，只含 x，y 而缺 z 的方程 $ F(x, y) = 0 $ 表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 xOy 面上的曲线 $ F(x, y) = 0 (z = 0) $。只含 x，z 而缺 y 的方程 $ G(x, z) = 0 $ 与只含 y，z 而缺 x 的方程 $ H(y, z) = 0 $ 则分别表示母线平行于 y 轴与 x 轴的柱面。

例如， $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $ 表示母线平行 z 轴的椭圆柱面，如图 6-31（a）所示. $ x^{2}=2pz(p\gt 0) $ 表示母线平行于 y 轴的抛物柱面，如图 6-31（b）所示.

三、 旋转曲面

平面上的曲线 C 绕该平面上一条定直线 l 旋转所产生的曲面叫做旋转曲面，曲线 C 叫做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲面的轴.

设在 yOz 面上曲线 C 的方程为

$$ F(y,z)=0\qquad(x=0). $$

C 绕着 z 轴旋转一周得一旋转曲面，如图 6-32 所示，求该旋转曲面的方程.

设 $ M(x, y, z) $ 是旋转曲面上任意一点，则点 M 必位于由 C 上一点 $ M_{0}(0, y_{0}, z_{0}) $ 绕 z 轴旋转一周而得的圆周上，因此点 $ M_{0} $ 到 z 轴的距离等于点 M 到 z 轴的距离，即 $ \left|y_{0}\right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ 或 $ y_{0} = \pm\sqrt{x^{2} + y^{2}} $，而 $ z_{0} = z $。

又因为点 $ M_{0}(0, y_{0}, z_{0}) $ 在曲面 C 上，满足 $ F(y_{0}, z_{0}) = 0 $，因此就有

$$ F\left(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ , z\right)=0. $$

这就是所求旋转曲面的方程.

同理，若曲线 C 绕 y 轴旋转，则所成旋转曲面的方程为

$$ F(y,\ \pm\sqrt{x^{2}+z^{2}})=0. $$

其他情况由读者自己类推可得出.

例2 由 yOz 坐标面上的抛物线 $ y^{2}=2pz(p\gt 0) $ 绕 z 轴旋转所形成的旋转曲

面的方程为

$$ x^{2}+y^{2}=2p z. $$

该曲面叫做旋转抛物面，如图6-33所示.

例 3 由 yOz 坐标面上的直线 L: z = ky (k \gt 0) 绕 z 轴旋转所形成的旋转曲面的方程为

$$ z=\pm k\sqrt{x^{2}+y^{2}}, $$

或

$$ z^{2}=k^{2}(x^{2}+y^{2}). $$

该曲面叫做圆锥面，如图 6-34 所示. $ \alpha = \arctan \frac{1}{k} $ 叫做圆锥面的半顶角.

一般地，直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周所得的旋转曲面叫做圆锥面，两直线的交点叫做圆锥面的顶点.

四、 二次曲面

在空间解析几何中，一个三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。前面已经介绍了一些常见的二次曲面，如球面、椭圆柱面、抛物柱面、旋转抛物面、圆锥面等。这一部分继续对几种常见的二次曲面加以讨论。根据方程来研究它的形状，采用的方法是用坐标面或一系列平行于坐标面的平面去截二次曲面，考察其截痕（即交线），然后再对截痕加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。

1. 椭球面

方程 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a\gt 0,b\gt 0,c\gt 0) $表示的曲面叫做椭球面．从方程可看出椭球面有下述性质：

（1）有界性 由方程可知

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}\leqslant1,\quad\frac{y^{2}}{b^{2}}\leqslant1,\quad\frac{z^{2}}{c^{2}}\leqslant1, $$

即

$$ \mid x\mid\leqslant a,\quad\mid y\mid\leqslant b,\quad\mid z\mid\leqslant c, $$

因此椭球面包含在一个以原点为中心的长方体中，这一长方体的六个面的方程是 $ x = \pm a $, $ y = \pm b $, $ z = \pm c $.

（2）对称性 椭球面关于各坐标平面、各坐标轴以及原点都是对称的.

（3）椭球面与三个坐标的截痕

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1~,}&{\quad}&{{}\{\begin{aligned}{}&{{}\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1~,}&{\quad}&{{}\{\begin{aligned}{}&{{}\frac{z^{2}}{c^{2}}+\frac{x^{2}}{a^{2}}=1~,}&{\quad}&{{}\quad}\\ {}&{{}y=0}&{\quad}&{{}\quad}\\ \end{aligned}.}\\ \end{aligned}.}\\ {}&{{}z=0~,}&{x=0~,}&{{}}\\ \end{aligned}. $$

都是椭圆.

再用平行于 xOy 面的平面 $ z = z_{1} (0 \lt |z_{1}| \lt c) $ 去截椭球面，所得截痕为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1~,}\\ {}&{{}z=z_{1}~,}\\ \end{aligned}. $$

即

$$ \{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{a^{2}(c^{2}-z_{1}^{2})}+\frac{y^{2}}{b^{2}(c^{2}-z_{1}^{2})}=1,\\ c^{2}(c^{2}-z_{1}^{2})\frac{b^{2}}{c^{2}(c^{2}-z_{1}^{2})}\end{array}.,\\ z=z_{1}, $$

这是平面 $ z = z_{1} $ 上的一个椭圆，其中心在 z 轴上，两个半轴分别为

$$ \frac{a}{c}\sqrt{c^{2}-z_{1}^{2}} 及 \frac{b}{c}\sqrt{c^{2}-z_{1}^{2}}. $$

当 $ \left|z_{1}\right| $由0变到c时，椭圆由大变小，最后缩成一点 $ (0,0,\pm c) $.

同样，用 $ x = x_1 (0 \lt |x_1| \lt a) $ 或 $ y = y_1 (0 \lt |y_1| \lt b) $ 去截椭球面，也有类似的结果。

综合上面的讨论，可知椭球面的形状如图6-35所示.

在椭球面方程中，a，b，c 按其大小，分别叫做椭球面的长半轴、中半轴、短半轴，当 a=b=c 时即为球面，当 a，b，c 中有两个相等时即为旋转椭球面.

2. 椭圆抛物面

方程

$$ \frac{x^{2}}{p}+\frac{y^{2}}{q}=2z\qquad(p\ 与 \ q\ 同号 ) $$

表示的曲面叫做椭圆抛物面.

不妨设 p\gt 0, q\gt 0. 下面用截痕法考察它的形状.

这个曲面与 xOy 面只交于原点，它与 xOz 面、yOz 面的截痕都是开口向上的抛物线：

$$ \{\begin{aligned}x^{2}&=2p z,\\ y&=0,\end{aligned}.\quad 和 \quad\{\begin{aligned}y^{2}&=2q z,\\ x&=0.\end{aligned}. $$

当 $ z_{1}\lt 0 $时，这个曲面与平面 $ z=z_{1} $不相交；当 $ z_{1}\gt 0 $时，交线为椭圆：

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}\frac{x^{2}}{2p z_{1}}+\frac{y^{2}}{2q z_{1}}=1~,}\\ {}&{{}z=z_{1}~.}\\ \end{aligned}. $$

且当 $ z_{1} $增大时，椭圆随着增大.

综上所述，可知椭圆抛物面的形状如图6-36所示.

当 p=q 时，方程变为 $ x^{2}+y^{2}=2pz $，这就是旋转抛物面.

1. 双曲抛物面

方程

$$ \frac{x^{2}}{p}-\frac{y^{2}}{q}=2z\quad\left(p\ 与 \ q\ 同号 \right) $$

表示的曲面叫做双曲抛物面.

不妨设 p\gt 0, q\gt 0. 这个曲面与 xOy 面的截痕是

$$ \{\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{p}-\frac{y^{2}}{q}=0,\\ &z=0,\end{aligned}. $$

这是一对在原点相交的直线．双曲抛物面与 xOz 面、yOz 面的交线分别是

$$ \{\begin{aligned}{x^{2}}&{{}=2p z,}\\ {y}&{{}=0,}\\ \end{aligned}.\quad\{\begin{aligned}{y^{2}}&{{}=-2q z,}\\ {x}&{{}=0.}\\ \end{aligned}. $$

两者都是抛物线，前者的对称轴是z轴的正半轴，后者的对称轴是z轴的负半轴．用平面 $ z=z_{1}(z_{1}\neq0) $去截此曲面，得到的截痕为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}\frac{x^{2}}{2p z_{1}}-\frac{y^{2}}{2q z_{1}}=1~,}\\ {}&{{}z=z_{1}~,}\\ \end{aligned}. $$

这是双曲线．当 $ z_{1}\gt 0 $时，实轴平行于x轴；当 $ z_{1}\lt 0 $时，实轴平行于y轴．用平面 $ x=x_{1} $和 $ y=y_{1} $去截此曲面，截痕也为抛物线，分别为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}y^{2}=-2q\bigg(z-\frac{x_{1}^{2}}{2p}\bigg),}&{\quad\bigg\{x^{2}=}&{{}2p\bigg(z+\frac{y_{1}^{2}}{2q}\bigg),}\\ {}&{{}x=x_{1},}&{y=}&{{}y_{1}.}\\ \end{aligned}. $$

它们的对称轴均与z轴平行，前者开口向下，后者开口向上，这个曲面可以向上、下、左、右四面伸展出去，在原点附近两边高、中间低，形状像马鞍，所以双曲抛物面也形象地称为“马鞍面”，如图6-37所示.

4. 双曲面

由方程

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $$

所表示的曲面叫做单叶双曲面.

由方程

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 $$

所表示的曲面叫做双叶双曲面.

用截痕法考察它们的形状，可知单叶双曲面的形状如图 6-38 所示，双叶双曲面的形状如图 6-39 所示.

1. 一动点与两定点 $ A(1, -1, 0) $ 和 $ B(0, 1, -2) $ 等距离，求该动点的轨迹.

1. 指出下列方程表示哪种曲面，并作出它们的简图.

(1)

$$ x^{2}-y^{2}=0； $$

(2)

$$ x^{2}-y^{2}=1 $$

(3)

$$ x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1； $$

(4)

$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az; $$

(5) $ z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2} $; (6) $ x^2 + y^2 = 2Rx $;

(7) z=xy.

1. 求下列旋转曲面的方程，并作出它们的简图.

（1）曲线 $ \{\begin{aligned}x^{2}+z^{2}=1\\ y=0\end{aligned}. $，绕z轴旋转；

（2）曲线 $ \{\begin{aligned}&4x^{2}+9y^{2}=36,\\ &z=0\end{aligned}. $，绕x轴旋转；

(3) 曲线 $ \{\begin{aligned}&y^{2}-z^{2}=1,\\&x=0\end{aligned}. $，绕 y 轴旋转；

（4）曲线 $ \{\begin{aligned}&z^{2}=5x,\\&y=0\end{aligned}. $，绕x轴旋转.

1. 在球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} $ 上作通过点 $ A(0,0,R) $ 的弦，求动弦的中点的轨迹.

1. 画出下列各曲面所围成的立体的图形：

(1) $ x + z = 1 $, $ x^{2} + y^{2} = 1 $, z = 0;

（2） $ z=x^{2}+y^{2} $，x+y=1，x=0，y=0，z=0 在第一卦限部分；

(3) $ \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4} $, $ z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $, z=0.

第七节 空间曲线及其方程

一、 空间曲线的一般式方程

本章第五节曾将空间直线作为空间两个平面的交线．类似地，空间曲线可以看作两个空间曲面的交线．

设 $ F(x, y, z) = 0 $ 和 $ G(x, y, z) = 0 $ 分别是空间两个曲面的方程，它们的交线是 $ \Gamma $（如图6-40），那么 $ \Gamma $ 上点的坐标应同时满足这两个曲面的方程．反之，若一数组 $ x, y, z $ 同时满足这两个曲面的方程，那么点 $ M(x, y, z) $ 必然同在这两个曲面上，因此点 $ M $ 在这两曲面的交线上．所以，空间曲线 $ \Gamma $ 的方程可以用方程组

$$ \{\begin{aligned}&F(x,\ y,\ z)=0,\\ &G(x,\ y,\ z)=0\end{aligned}. $$

表示，方程组（1）叫做空间曲线的一般式方程.

例 1 研究下列方程组所表示的曲线：

(1)

$$ \varGamma_{1}:\begin{cases}z=x^{2}+y^{2},\\ z=1;\end{cases} $$

(2)

$$ \varGamma_{2}:\begin{cases}z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\\ z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}};\end{cases} $$

(3) $ \Gamma_3 $: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 2z. \end{cases} $

解 （1） $ \Gamma_{1} $ 是旋转抛物面 $ z=x^{2}+y^{2} $ 与平面 z=1 的交线，它是平面 z=1 上的圆周曲线，其圆心在点（0，0，1）处，半径等于1.

（2） $ \Gamma_{2} $ 是上半圆锥面 $ z^{2}=x^{2}+y^{2}(z\geqslant0) $ 与上半球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(z\geqslant0) $ 的交线，是位于平面 z=1 上的圆周曲线，其圆心在点 $ (0,0,1) $ 处，半径等于 1.

（3） $ \Gamma_{3} $ 是圆柱面 $ x^{2}+y^{2}=1 $ 与球面 $ x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 $ 的交线，它恰是球面 $ x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 $ 上的一个大圆，圆心位于球心 $ (0,0,1) $ 处，半径等于球半径，也等于1，且此圆也在平面 z=1 上.

从例 1 可以看出，用两个曲面方程联立得到的方程组表示一条空间曲线的方式不是唯一的.

二、 空间曲线的参数方程

在物理学中，曲线一般是作为空间动点的轨迹。因此，曲线常用参数方程来描述。

把空间曲线 $ \Gamma $ 上的点的坐标 x, y, z 表示为某个参数 t 的函数；

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=\varphi(t),}\\ {}&{{}y=\psi(t),}\\ {}&{{}z=\omega(t)}\\ \end{aligned}.\qquad(\alpha\leqslant t\leqslant\beta). $$

上任意取定一个值时，由方程组（2），x，y，z 有确定

的对应值，也就是有以 $ (x,y,z) $为坐标的点P与t的值对应. 当t取遍 $ [\alpha,\beta] $上的所有值时，点P就在空间描出曲线Γ. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.

例2 如果空间一点 M 在圆柱面 $ x^{2}+y^{2}=a^{2} $ 上以角速度 $ \omega $ 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 $ \omega $，v 都是正常数），那么点 M 运动的轨迹叫做螺旋线．试建立此曲线的方程.

解 取时间 t 为参数. 当 t=0 时, 动点位于 x 轴的点 A(a,0,0) 处. 经过时间 t 动点由 A 运动到 M(x,y,z), 如图 6-41 所示. 记点 M 在 xOy 面上的投影点为 $ M'(x,y,0) $, 由于动点在圆柱面上以等角速 $ \omega $ 绕 z 轴

旋转，所以 $ \angle AOM' = \omega t $。从而

$$ x=\mid O M^{\prime}\mid\cos\angle A O M^{\prime}=a\cos\omega t, $$

$$ y=|O M^{\prime}|\sin\angle A O M^{\prime}=a\sin\omega t. $$

又由于动点同时以线速度 v 沿平行于 z 轴的正向匀速上升，所以

$$ z=|\boldsymbol{M}^{\prime}\boldsymbol{M}|=v t. $$

因此，螺旋线的参数方程为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=a\cos\omega t,}\\ {}&{{}y=a\sin\omega t,}\\ {}&{{}z=v t.}\\ \end{aligned}. $$

若令 $ \theta = \omega t $，则螺旋线的参数方程可写为

$$ \{\begin{aligned}{}&{{}x=a\cos\theta,}\\ {}&{{}y=a\sin\theta,}\\ {}&{{}z=b\theta,}\\ \end{aligned}. $$

其中 $ b=\frac{v}{\omega} $，参数为 $ \theta $.

螺旋线是一种常见的曲线. 例如, 机用螺丝的外缘曲线就是螺旋线. 当 $ \theta $ 从 $ \theta_{0} $ 变到 $ \theta_{0}+2\pi $ 时, 动点 M 沿螺旋线上升的高度 $ h=2\pi b $. 这个高度 $ h=2\pi b $ 在工程技术上叫做螺距.

三、 空间曲线在坐标面上的投影

已知空间曲线 $ \Gamma $ 及平面 $ \Pi $，过 $ \Gamma $ 上的每一点作平面 $ \Pi $ 的垂线，则垂足在平面 $ \Pi $ 上描出曲线 C，曲线 C 叫做 $ \Gamma $ 在平面 $ \Pi $ 上的投影曲线；所有垂线构成了以 $ \Gamma $（或 C）为准线而母线平行于平面 $ \Pi $ 的法向量的柱面，这个柱面叫做曲线 $ \Gamma $ 关于平面 $ \Pi $ 的投影柱面。投影曲线 C 可以看作是平面 $ \Pi $ 与投影柱面的交线。因此，知道了投影柱面的方程，也就容易写出投影曲线 C 的一般式方程。

设空间曲线 $ \Gamma $ 的一般式方程为

$$ \{\begin{aligned}&F(x,y,z)=0,\\ &G(x,y,z)=0.\end{aligned}. $$

下面建立 $ \Gamma $ 关于 xOy 面的投影柱面 $ \Sigma $ 的方程.

因为柱面 $ \Sigma $ 的母线与 $ z $ 轴平行，故 $ \Sigma $ 的方程不含 $ z $。又因为 $ \Sigma $ 以曲线 $ \Gamma $ 为准线，即 $ \Gamma \subseteq \Sigma $，因此满足方程组（3）的 $ x, y, z $ 必定满足 $ \Sigma $ 的方程。由方程组（3）消去变量 $ z $ 后，得方程

$$ H(x,\ y)=0. $$

则方程（4）所表示的柱面满足：①母线平行于z轴；②满足方程组（3）的

x，y，z也满足方程（4）. 所以，方程（4）就是空间曲线Γ关于xOy面的投影柱面方程，相应的投影曲线方程为

$$ \{\begin{aligned}&H(x,y)=0,\\ &z=0.\end{aligned}. $$

类似地，消去方程组（3）中的变量 x，得

$$ R\left(y,z\right)=0, $$

这就是曲线 $ \Gamma $ 关于 yOz 面的投影柱面方程，相应的 $ \Gamma $ 在 yOz 面上的投影曲线方程为

$$ \{\begin{aligned}&R(y,\ z)=0,\\ &x=0.\\ \end{aligned}. $$

从方程组（3）中消去变量y，得

$$ T(x,z)=0, $$

这就是曲线 $ \Gamma $ 关于 xOz 面的投影柱面方程，相应的 $ \Gamma $ 在 xOz 面上的投影曲线方程为

$$ \{\begin{aligned}&T(x,z)=0,\\ &y=0.\end{aligned}. $$

例 3 求空间曲线

$$ \varGamma:\;\{\begin{aligned}{z}&{{}=x^{2}+2y^{2},}\\ {z}&{{}=4-x^{2}}\\ \end{aligned}. $$

（如图 6-42）分别在三个坐标面上的投影曲线.

解 由已知方程组消去 z，得 $ \Gamma $ 关于 xOy 坐标面的投影柱面方程

$$ x^{2}+y^{2}=2, $$

故 $ \Gamma $ 在 xOy 面上的投影曲线为

$$ C_{1}:\begin{cases}x^{2}+y^{2}=2,\\ z=0,\end{cases} $$

这是 xOy 平面上以原点为圆心、以 $ \sqrt{2} $为半径的

圆，如图6-3（a）所示.

由于原方程组中 $ z=4-x^{2} $ 本身已不含有变量 y，故 $ z=4-x^{2} $ 就是 $ \Gamma $ 关于 xOz 面上投影柱面方程. $ \Gamma $ 在 xOz 面上的投影曲线为

$$ C_{2}:\quad\{\begin{aligned}{z=4-x^{2},}\\ {y=0}\\ \end{aligned}.\quad(.-\sqrt{2}\leqslant x\leqslant\sqrt{2}\mathrm{~,~} $$

这是 xOz 面中的一段抛物线，如图 6-43（b）所示.

由已知方程组中消去 x，得 $ \Gamma $ 关于 yOz 面的投影柱面方程

$$ z=2+y^{2}, $$

故 $ \Gamma $ 在 yOz 面上的投影曲线为

$$ C_{3}:\begin{cases}z=2+y^{2},\\ x=0\end{cases}\quad(-\sqrt{2}\leqslant y\leqslant\sqrt{2}), $$

这是 yOz 面上的一段抛物线，如图 6-43（c）所示.

在重积分和曲面积分的计算中，往往需要确定空间中一个立体区域或一块曲面在坐标面上的投影，这就要借助于投影柱面和投影曲线来确定.

例4 一个立体由锥面 $ z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $ 及旋转

抛物面 $ z=6-x^{2}-y^{2} $ 所围成，如图 6-44 所示，

求它在 xOy 面上的投影.

解 锥面和旋转抛物面的交线

$$ \varGamma:\ \begin{cases}z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\\ z=6-x^{2}-y^{2}\end{cases} $$

在 xOy 面的投影为

$$ C\colon\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4,\\ z=0.\end{cases} $$

它是所求立体在 xOy 面上的投影区域的边界曲线，于是所求立体在 xOy 面上的投影就是 xOy 面上的圆周曲线 $ x^{2}+y^{2}=4 $ 所围的部分，即圆域： $ x^{2}+y^{2}\leq4 $.

习题6-7

1. 指出下列方程组表示什么曲线，并画简图.

(1)

$$ \{\begin{aligned}{x^{2}+y^{2}}&{{}=a^{2},}\\ {z}&{{}=\sqrt{x^{2}+y^{2}};}\end{aligned}. $$

(2)

$$ \{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\ 2x+3y+3z&=6;\end{aligned}. $$

(3)

$$ \{\begin{aligned}z&=\sqrt{25}-(x-1)^{2}-(y+4)^{2},\\ y&=x；\end{aligned}. $$

(4)

$$ \{\begin{aligned}&\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{4}=1,\\ &x-3=0.\end{aligned}. $$

1. 一动点与 xOz 面相距为 4 个单位，与点 $ A(2, 5, -1) $ 相距为 3 个单位，求它的几何轨迹.

1. 求母线平行于 x 轴且通过曲线

$$ \{\begin{aligned}&y^{2}+2z^{2}-3x=4,\\ &2y^{2}+3z^{2}+6x=0\end{aligned}. $$

的柱面方程.

1. 求曲线

$$ \{\begin{aligned}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}&{{}=R^{2},}\\ {x^{2}+y^{2}}&{{}=R x}\\ \end{aligned}.\quad(\begin{aligned}{R\gt 0}\\ \end{aligned}) $$

在 xOy 面和 xOz 面上的投影.

1. 已知曲线的参数方程为

$$ \{\begin{aligned}{x=}&{{}a\cost,}\\ {y=}&{{}a\sint,}\\ {z=}&{{}a\sint,}\\ \end{aligned}. $$

试将其化为一般式方程，并指出它表示什么曲线.

1. 将下列曲线的一般式方程化为参数方程：

(1)

$$ \{\begin{aligned}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}&{{}=4\;,}\\ {y}&{{}=x\;;}\\ \end{aligned}. $$

(2)

$$ \{\begin{aligned}&(x-1)^{2}+y^{2}+\quad(z+1)^{2}=4\ ,\\ &z=0.\end{aligned}. $$

1. 求旋转抛物面 $ z = x^{2} + y^{2} $ （ $ 0 \leq z \leq 4 $）分别在三个坐标面上的投影，并画简图.

总练习题六

1. 填空题

（1）设 $ a = \{3, 2, 1\} $， $ b = \{2, \frac{4}{3}, k\} $，若 $ a \perp b $，则 $ k = $ ___；若 $ a \parallel b $，则 $ k = $ ___。

(2) 设 $ (a \times b) \cdot c = 2 $，则 $ [(a + b) \times (b + c)] \cdot (c + a) = $ ___.

（3）设 $ a $, $ b $, $ c $ 都是单位向量，且满足 $ a + b + c = 0 $，則 $ a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = $ ___.

1. 设有向量 $ \boldsymbol{a}=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k} $，求与 $ \boldsymbol{a} $ 共线且满足 $ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x}=-18 $ 的向量 $ \boldsymbol{x} $.

1. 设 $ a \neq 0 $，试问

(1) 若 $ a \cdot b = a \cdot c $，能否推知 b = c?

(2) 若 $ a \times b = a \times c $，能否推知 b = c？

（3）若 $ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} $ 且 $ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c} $，能否推知 $ \boldsymbol{b} = \boldsymbol{c} $？

1. 设 $ a=\{2, -3, 1\} $, $ b=\{1, -2, 3\} $, $ c=\{2, 1, 2\} $, 向量 $ r $ 满足条件: $ r \perp a $, $ r \perp b $,

$ Prj_{c}r=14 $，求r.

1. 设 $ a=\{2, -1, -2\} $， $ b=\{1, 1, z\} $，问 z 为何值时 $ (a, b) $ 最小？并求出此最小值.

1. 设 $ a = \{-1, 3, 2\} $， $ b = \{2, -3, -4\} $， $ c = \{-3, 12, 6\} $，证明三向量 $ a, b, c $ 共面，并用 $ a $ 和 $ b $ 表示 c.

1. 设 $ a=\{2, -1, 1\} $， $ b=\{1, 3, -1\} $。试在 $ a, b $ 所决定的平面内，求一个与 a 垂直的单位向量。

1. 求过点（1，0，1）且与直线 $ L:\{\begin{aligned}&x=3z+2,\\ &y=2z\end{aligned}. $ 垂直相交的直线方程.

1. 求通过两平面 $ \Pi_{1} $: $ 2x+y-z-2=0 $ 和 $ \Pi_{2} $: $ 3x-2y-2z+1=0 $ 的交线，且与平面 $ \Pi_{3} $: $ 3x+2y+3z-6=0 $ 垂直的平面方程.

1. 判断下列两直线： $ L_1: \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2} $， $ L_2: \frac{x}{1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{4} $ 是否在同一平面上；若不在同一平面上，求两直线间的距离。

1. 已知点 $ A(1, 0, 0) $ 及点 $ B(0, 2, 1) $，试在 z 轴上求一点 C，使 $ \triangle ABC $ 的面积最小.

1. 求通过两曲面 $ x^{2}+y^{2}+4z^{2}=1 $ 和 $ x^{2}=y^{2}+z^{2} $ 的交线，而母线平行于 z 轴的柱面方程.

1. 求直线 $ \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{0}=\frac{z}{1} $分别绕x轴及z轴旋转所得旋转面方程.