第1章 函数与极限
第1章
函数与极限
第一节 函数
一、 函数的概念
定义：设 $D$ 是非空实数集，对于任一 $x \in D$，在对应规则 $f$ 下，有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则因变量 $y$ 是自变量 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$。
函数的运算：四则运算、复合运算、反函数
基本初等函数：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算，用一个式子表示的函数.
分段函数：在 x 的不同取值范围内，f 用不同式子表示的一个函数.
1 基础题 已知 $ f(x)=\arccos(2x+1)+\log_2(3x+2) $，求定义域 $ D_f $ 答案 →
2 基础题 已知 $ f(x)=\frac{x-1}{x+1} $，求 $ f(-2), f[f(x)] $. 答案 →
3 基础题 已知 $ f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{4}{x}+2x^{2}+1 $，求 $ f(x),f(x^{2}+1) $. 答案 →
4 基础题 已知 $ f(x)=\arcsin\frac{4}{x} $，求定义域 $ D_f $ 及 $ f(-4), f\left(\frac{8}{\sqrt{2}}\right), f\left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right) $. 答案 →
5 基础题 函数 $ f(x)=\sin\frac{\pi x}{2(1+x^2)} $ 的值域是（）. 答案 →
(A) $ [-1, 1] $ (B) $ [0, 1] $ (C) $ \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right] $ (D) $ \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] $
6 基础题 设 $ f(x)=\arccos 2x $, $ g(x)=\arctan x $, $ h(x)=\operatorname{arccot}\frac{x}{2} $ 答案 →
求 $ f\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\cdot g(-1)\cdot h(2) $ 的值.
7 基础题 已知 $ f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{4x^{2}}{x^{4}+1} $，求 $ f(x) $. 答案 →
8 基础题 已知 $ f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\pi}|\sin x|, & |x|\lt \frac{\pi}{3}\\0, & |x|\geqslant\frac{\pi}{3}\end{cases} $，求 $ f\left(\frac{\pi}{6}\right) $, $ f\left(-\frac{\pi}{4}\right) $, $ f(2) $. 答案 →
9 中等题 已知 $ f(x) = \tan 2x $, $ f[g(x)] = x^2 - 1 $，且 $ |g(x)| \leq \frac{\pi}{8} $，求 $ g(x) $ 及 $ g(x) $ 的定义域. 答案 →
10 中等题 已知 $ \varphi(x) = \max\{x, x^2, 1\} $，求定义域 $ D_\varphi $ 及 $ \varphi(-2), \varphi(-1), \varphi(0) $. 答案 →
11 中等题 已知 $ f(x)=\begin{cases}-1, & x\lt 0 \\ 1, & x \geq 0\end{cases} $， $ g(x)=2x-1 $，求 $ f[g(x)] $， $ g[f(x)] $。 答案 →
12 中等题 已知 $ f(x)=\begin{cases}2-x, & x\lt 0 \\ 2+x, & x\geqslant 0\end{cases} $， $ g(x)=\begin{cases}x, & x\lt 0 \\ x^2, & x\geqslant 0\end{cases} $，求 $ f[g(x)] $， $ g[f(x)] $。 答案 →
13 中等题 已知 $ f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\lt 0\\x^{2}+1,&x\geqslant0\end{cases} $， $ g(x)=\begin{cases}\sin x,&x\lt \pi\\ \cos x,&x\geqslant\pi\end{cases} $，求 $ f(x) $ 的值。 答案 →
求 $ f(x) + g(x) $， $ f(x)g(x) $
14 基础题 已知函数 $ f(x)=\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}} $，求反函数. 答案 →
二、 函数的性质
有界性：存在正常数 $ M $，对任意 $ x \in D $，都有 $ |f(x)| \leq M $，则 $ f(x) $ 在 $ D $ 上有界；否则无界，即对任意给定的正数 $ M $，存在 $ x_0 \in D $，使得 $ |f(x_0)| \gt M $。
单调性：对于D上的任意两点 $ x_{1} $和 $ x_{2} $，当 $ x_{1}\lt x_{2} $时， $ f(x_{1})\lt f(x_{2}) $，则 $ f(x) $在D上单增；当 $ x_{1}\lt x_{2} $时， $ f(x_{1})\gt f(x_{2}) $，则 $ f(x) $在D上单减.
奇偶性：D关于原点对称，对于任意 $ x\in D $，有 $ f(-x)=-f(x) $，则 $ f(x) $为奇函数；若 $ f(-x)=f(x) $，则 $ f(x) $为偶函数.
周期性：存在正常数 $ T $，对于任意 $ x\in D $，有 $ f(x+T)=f(x) $.
15 基础题 下列函数中，是偶函数的是（）. 答案 →
(A) $ f(x)=(x^{2}+1)\sin^{3}x $
$$ g(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}) $$
(C) $ h(x)=\frac{2^{-x}-2^x}{2^{-x}+2^x} $ (D) $ \varphi(x)=x^2\sec x+\csc^2x $
16 基础题 设 $ f(x) $ 为奇函数， $ g(x) $ 为偶函数，则下列函数中，是奇函数的是（ ） 答案 →
(A) $ f[f(x)] $ (B) $ f[g(x)] $ (C) $ g[f(x)] $ (D) $ g[g(x)] $
17 基础题 设 $ f(x)=x^{3}+2x+3 $，判断 $ f(x) $ 在定义域内的单调性. 答案 →
18 基础题 函数 $ f(x)=\frac{1}{x-2} $ 分别在 $ x\in(2,3) $ 与 $ x\in(3,+\infty) $ 内是否有界？ 答案 →
19 基础题 求函数 $ f(x)=2+\cos^{2}(2x-1) $ 的周期. 答案 →
20 基础题 设[x]表示不超过x的最大整数，则 $ f(x)=x-[x] $是（）. 答案 →
(A) 无界函数
(B) 周期为 1 的周期函数
(C) 单调函数
(D) 偶函数
第二节 数列的极限
一、 数列极限的定义
定义 1：对于数列 $ \{x_{n}\} $，当 $ n \to \infty $ 时， $ x_{n} $ 无限接近常数 a，则 $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = a $
定义 2：数列 $ \{x_n\} $， $ a $ 为常数，对于任意给定的 $ \varepsilon \gt 0 $，存在正整数 $ N $，使得当 $ n \gt N $ 时，恒有 $ |x_n - a| \lt \varepsilon $，则 $ \lim_{n \to \infty} x_n = a $。
定义1是描述性定义，用于观察极限；定义2又称“ $ \varepsilon-N $”定义，侧重于证明极限及相关性质。
21 基础题 设 $ x_{n}=\frac{n}{2n+1} $，观察 $ x_{n} $ 的极限值，并证明之. 答案 →
22 基础题 讨论极限 $ \lim_{n\to\infty}x^n $. 答案 →
23 基础题 讨论极限 $ \lim_{n\to\infty}n^x $ 答案 →
二、 数列极限的性质
唯一性：若 $ \lim_{n\to\infty}x_n=a $，则 $ a $是唯一的.
有界性：若 $ \lim_{n\to\infty}x_n=a $，则 $ \{x_n\} $有界.
保号性：若 $ \lim_{n\to\infty}x_n=a,\quad a\gt 0(a\lt 0) $，则存在正整数 N，当 n>N 时，有 $ x_n\gt 0(x_n\lt 0) $.
若 $ \lim_{n\to\infty}x_n=a $，从某一项起，有 $x_n\geqslant0(x_n\leqslant0)$ 或 $x_n\gt 0(x_n\lt 0)$，则 $a\geqslant0(a\leqslant0)$。
数列收敛的充要条件： $ \lim_{n\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}x_{2n}=\lim_{n\to\infty}x_{2n+1}=a $
24 基础题 判断下列极限是否存在？若存在，求出极限值 $ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \cdots $ 答案 →
25 基础题 已知 $ x_{n}=\{\begin{aligned}&\frac{n+1}{n+2},&n为偶数\\&1,&n为奇数\end{aligned}. $，求 $ \lim_{n\to\infty}x_{n} $. 答案 →
26 基础题 已知 $ \lim_{n \to \infty} x_n = -1, \lim_{n \to \infty} y_n = 1 $，求数列 $ x_1, y_1, x_2, y_2, \cdots, x_n, y_n, \cdots $ 的极限（ ）。 答案 →
(A) -1 (B) 1 (C) 0 (D) 不存在
[27] 中等题 下列 4 个命题中正确的是 ( ). 答案 →
① 若 $ \lim_{n\to\infty}x_n=a $，则 $ \lim_{n\to\infty}|x_n|=|a| $。② 若 $ \lim_{n\to\infty}|x_n|=|a| $，则 $ \lim_{n\to\infty}x_n=a $。
③ 若 $ \lim_{n\to\infty}x_n=a $，则 $ \lim_{n\to\infty}x_{3n+1}=a $。④ 若 $ \lim_{n\to\infty}x_n=a $，则 $ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}=\frac{1}{a} $。
(A) ①② (B) ①③ (C) ①③④ (D) ③④
28 中等题 证明数列 $ \{(1+\frac{1}{n})\sin\frac{n\pi}{4}\} $ 的极限不存在. 答案 →
第三节 函数的极限
一、 函数极限的定义
对于函数 $ y = f(x) $，有如下定义.
定义1：当 $ x \to \infty $ 时， $ f(x) $ 无限接近于常数 A，则 $ \lim_{x \to \infty} f(x) = A $，否则 $ \lim_{x \to \infty} f(x) $ 不存在或发散.
定义2：对于任意给定的 $ \varepsilon\gt 0 $，存在 $ X\gt 0 $，当 $ |x|\gt X $时，恒有 $ |f(x)-A|\lt \varepsilon $，则 $ \lim_{x\to\infty}f(x)=A $。
定义 3：当 $ x \to x_{0} $ 时， $ f(x) $ 无限接近于常数 A，则 $ \lim_{x \to x_{0}} f(x) = A $，否则 $ \lim_{x \to x_{0}} f(x) $ 不存在或发散.
定义 4：对于任意给定的 $ \varepsilon \gt 0 $，存在 $ \delta \gt 0 $，当 $ 0 \lt |x - x_0| \lt \delta $ 时，恒有 $ |f(x) - A| \lt \varepsilon $，则 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，否则 $ \lim_{x \to x_0} f(x) $ 不存在或发散。
定义1和定义3是描述性的，定义2和定义4分别称“ $ \varepsilon-X $”定义和“ $ \varepsilon-\delta $”定义。定义3与定义4中， $ f(x) $在点 $ x_{0} $的去心邻域内有定义，与 $ f(x_{0}) $无关。
左极限： $ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0-0)=A $;
右极限： $ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0+0)=A $
$$ \lim_{x\to x_{0}}f(x)=A\overset{ 充要 }{\iff}\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{*}}f(x)=A. $$
$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=A\overset{ 充要 }{\Longleftrightarrow}\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=A. $$
29 基础题 利用函数极限的定义，证明 $ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 4x^2}{2x - 1} = -2 $。 答案 →
30 基础题 考察下列函数在 $ x \to -\infty, x \to +\infty $ 的变化趋势，并判断 $ \lim f(x) $ 是否存在. 答案 →
(1) $ f(x) = e^{2x-1} $; (2) $ f(x) = \operatorname{arccot}(1-x) $.
31 基础题 考察函数 $ f(x)=\begin{cases}(x+1)\sin x, & x\lt 0 \\ 1-\cos x, & x\geq0\end{cases} $ 在分段点处的极限是否存在. 若存在，求极限值. 答案 →
32 基础题 已知 $ f(x)=\begin{cases}\ln(1-x), & x\lt 1 \\ \frac{1}{\sqrt{2x+1}}, & x\geq1\end{cases} $，求 $ \lim_{x\to1}f(x) $， $ \lim_{x\to0}f(x) $， $ \lim_{x\to2}f(x) $， $ \lim_{x\to\infty}f(x) $。 答案 →
33 基础题 已知函数 $ y = f(x) $ 的图像如下： 答案 →
求 $ \lim_{x\to-1}f(x) $， $ \lim_{x\to0}f(x) $， $ \lim_{x\to1}f(x) $， $ \lim_{x\to2}f(x) $， $ \lim_{x\to-\infty}f(x) $， $ \lim_{x\to+\infty}f(x) $， $ \lim_{x\to\infty}f(x) $。
二、 函数极限的性质
唯一性：若 $ \lim_{x\to x_{0}}f(x)=A $，则A必唯一.
局部有界性：若 $ \lim_{x\to x_{0}}f(x)=A $ ，则在 $ x_{0} $ 点的某去心邻域内， $ f(x) $ 有界.
局部保号性：若 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=A $，且 A>0 (A<0)，则在 $ x_0 $ 点的某去心邻域内，有 $ f(x)\gt 0(f(x)\lt 0) $.
若 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=A $ ，在 $ x_0 $ 的去心邻域内 $ \{\begin{aligned}&f(x)\geqslant0(f(x)\leqslant0)\\ & 或 \\ &f(x)\gt 0(f(x)\lt 0)\end{aligned}. $，则 $ A\geqslant0(A\leqslant0) $.
由此得不出 A > 0 (A < 0).
海因定理：也称“海涅定理”。 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=A $ 的充要条件是对任意的 $ \{x_n\} $， $ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0(x_n\neq x_0) $，都有 $ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=A $，即 $ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{x\to x_0}f(x)=A $。
海因定理的主要作用：一是将数列的极限归结为函数的极限；二是用于证明函数的极限不存在。
34 基础题 已知 $ \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x} = -1 $，则下列选项正确的是（）. 答案 →
(A) 在 x=1 的任一去心邻域内，都有 $ f(x)\lt 0 $.
(B) 在 x=1 的某个去心邻域内，有 $ f(x)\lt 0 $.
(C) 在 x=1 的某个去心邻域内，有 $ f(x)\leq0 $.
(D) 在 x=1 的任一去心邻域内， $ f(x) $ 有界.
35 基础题 设 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $, $ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $, 下列选项正确的是(). 答案 →
(A) 若 $ f(x) \lt g(x) $，则必有 $ A \leq B $.
(B) 若 $ f(x) \lt g(x) $，则必有 A < B.
(C) 若 A < B，则对于任意的 x，都有 $ f(x) \lt g(x) $.
(D) 因为 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=A $，所以 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 必有定义.
36 基础题 证明 $ \lim_{x \to a \cup b} x \cos x $ 不存在. 答案 →
37 中等题 若 $ \lim_{x \to \pi} f(x) = A $，证明函数 $ f(x) $ 局部有界. 答案 →
第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小与无穷大的定义
定义1：若 $ \lim_{x\to x_0}y=0 $，则当 $ x\to x_0 $时，y为无穷小.
即“以零为极限的变量为无穷小”.
定义 2：若 $ \lim_{x\to x_0}y=\infty $，则当 $ x\to x_0 $ 时，y 为无穷大.
即“ $ |y| $无限大的变量为无穷大”.
评注
上述定义中“ $ x \to x_0 $”可换成“ $ x \to \infty $或 $ n \to \infty $”.
无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，若 $ f(x) $ 为无穷大，则 $ \frac{1}{f(x)} $ 为无穷小；若 $ f(x) $ 为非零的无穷小，则 $ \frac{1}{f(x)} $ 为无穷大.
38 基础题 证明：当 $ x \to 0 $ 时， $ y = 2x\sin\frac{1}{x} $ 是无穷小. 答案 →
39基础题 函数 $ y = x \cos x $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内是否无界？当 $ x \to +\infty $ 时， $ y $ 是否是无穷大？ 答案 →
40 基础题 函数 $ f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} $ 与 $ g(x)=x\arctan x $ 在哪个变化过程中是无穷小？在哪个变化过程中是无穷大？ 答案 →
41 基础题 对于函数 $ f(x)=\frac{2x}{x-2} $ 与 $ g(x)=\ln(x+1) $，下列结论错误的是（ ）。 答案 →
(A) 当 $ x \to 0 $ 时， $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 都是无穷小.
(B) 当 $ x \to 2 $ 时， $ f(x) $ 是无穷大， $ g(x) $ 局部有界.
(C) 当 $ x \to -1^+ $ 时， $ f(x) $ 局部有界， $ g(x) $ 是无穷大.
(D) 当 $ x \to +\infty $ 时， $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 都是无穷大.
42 基础题 设数列 $ \{x_n\}, \{y_n\} $ 满足 $ \lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0 $，则下列结论正确的是（）. 答案 →
(A) 若 $ x_{n} $ 发散，则 $ y_{n} $ 必收敛
(B) 若 $ x_{n} $ 无界，则 $ y_{n} $ 必有界
(C) 若 $ x_{n} $ 有界，则 $ y_{n} $ 必为无穷小
(D) 若 $ \frac{1}{x_{n}} $ 为无穷小，则 $ y_{n} $ 必为无穷小
二、 无穷小与无穷大的性质
（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
（2）有限个无穷小的乘积仍是无穷小.
（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小.
（4）有限个无穷大的乘积仍是不穷大.
（5）有界变量与无穷大的代数和是无穷大
（6）非零常数（或极限存在且非零）与无穷大的乘积是无穷大.
（7）极限与无穷小的关系：
$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha $ (其中 $ \lim_{x\to x_0}\alpha=0 $).
43 基础版 求下列极限 答案 →
(1) $ \lim_{x \to 0} \sin x \left(2 + \cos \frac{3}{x}\right) $; (2) $ \lim_{x \to \infty} \frac{\arctan |2x + 1|}{2x + 1} $.
44 基础题 在下列给定的变化过程中，是无穷小的为（） 答案 →
在下列给定的变化过程中，是无穷小的为（ ）
(A) $ \frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}} (x \to +\infty) $
(B) $ \frac{x^3-1}{2x^4+x^3} (3-2\sin x) (x \to \infty) $
(C) $ \frac{\sin 2x}{x\sqrt{x}} (x \to 0^+) $
(D) $ \frac{\ln(1+x)}{x} (x \to 0) $
45 中等题 设 $ \{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\} $ 均为非负数列，且 $ \lim_{n \to \infty} x_n = 0 $， $ \lim_{n \to \infty} y_n = 1 $， $ \lim_{n \to \infty} z_n = \infty $，则必有（ ）。 答案 →
(A) 对任意的 n，都有 $ x_n \lt y_n $
(B) 对任意的 n，都有 $ y_n \lt z_n $
(C) $ \lim_{n \to \infty} x_n z_n $ 不存在
(D) $ \lim_{n \to \infty} y_n z_n $ 不存在
46 中等题 已知 $ \lim_{x \to 0} \left(1 + 2x + \frac{f(x)}{x}\right) = 4 $，求 $ \lim_{x \to 0} f(x) $. 答案 →
第五节 极限的运算法则
一、 四则运算法则
法则：设 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $， $ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $，A, B 均为 $ \lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x) = A \pm B $； $ \lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = A \cdot B $； $ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x \to x_0} g(x)} = \frac{A}{B} $ ( $ B \neq 0 $)。
评注
“ $ x \to x_{0} $”可换为“ $ x \to \infty $”，及数列中的“ $ n \to \infty $”.
47 基础题 若 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty $, $ \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty $, 则必有(). 答案 →
(A) $ \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = \infty $
(B) $ \lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = 0 $
(C) $ \lim_{x \to x_0} k f(x) = \infty $ ( $ k \neq 0 $为常数)
(D) $ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x) + g(x)} = 0 $
48 基础题 求极限 $ \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)\left(2 + \frac{2}{x}\right)\left(3 - \frac{3}{x}\right) $. 答案 →
49 基础题 求极限 $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x + \frac{2\pi}{x}}{\cos 2x} $. 答案 →
50 基础题 求下列极限. 答案 →
(1) $ \lim_{x \to -1} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x^3 + 1} \right) $; (2) $ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 2\sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}}) $.
51 基础题 求下列函数的极限. 答案 →
(1) $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} $; (2) $ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x}{\sqrt{x + 1} - 1} $.
52 基础题 求 $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + x \cos x}{x^3 - x \sin x + 1} $. 答案 →
53 基础题 求下列数列的极限. 答案 →
(1) $ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 1} + \cdots + \frac{n}{n^2 + 1} \right) $; (2) $ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \cdots + \frac{1}{a^n} \right) $ (其中 $ a \gt 1 $ 为常数).
54 基础题 求下列数列的极限. 答案 →
(1) $ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \ln \frac{k+1}{k+2} $; (2) $ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{1+2+\cdots+(n+1)} - \sqrt{1+2+\cdots+n}) $.
55 基础题 已知函数 $ f(x)=2^x $，求 $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln[f(1) \cdot f(2) \cdots f(n)] $. 答案 →
56 中等题 求 $ \lim_{n \to \infty}(1+a)(1+a^2)(1+a^4)\cdots(1+a^{2^n}) $ （其中 $ |a|\lt 1 $ 为常数）. 答案 →
57 中等题 当 $ x \to -1 $ 时，函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} e^{\frac{1}{x + 1}} $ 极限是否存在？ 答案 →
58 中等题 求 $ \lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^{2}+x+3}-\sqrt{x^{2}-x+3}) $ 答案 →
| ☐ | ☐ | ☐ | ☐ |
二、 幂指函数的运算法则
法则：有一幂指函数 $ f(x)^{g(x)} $
若 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=A\gt 0,\lim_{x\to x_0}g(x)=B $ ，A,B 均为常数，则
$$ \lim_{x\to x_{0}}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to x_{0}}f(x)^{\lim_{x\to x_{0}}g(x)}=A^{B}； $$
若 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=A\gt 0,\lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty $，则 $ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=\begin{cases}0,& 当 0\lt A\lt 1 时\\\infty,& 当 A\gt 1 时\end{cases} $
评注
A,B 的其他情形属于“不定式”，需后续内容“洛必达法则”。
59 基础题 求极限 $ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (1 + \sin 2x)^{\ln(\tan x)} $. 答案 →
60 中等题 设 $ f(x)=\left(\frac{x^{2}+x\cos x-1}{2x^{2}-x\sin x}\right)^{x^{2}+1} $， $ g(x)=\left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)^{\xi^{2}} $，则 $ \lim_{x\to\infty}f(x) $ 与 $ \lim_{x\to\infty}g(x) $ 的极限分别为（）. 答案 →
(A) 0, 0 (B) 0, $ \infty $ (C) $ \infty $, 0 (D) $ \infty $, $ \infty $
三、 已知极限求参数——极限的反问题
61 基础题 已知 $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 4} = 3 $，求 $ a $ 和 $ b $ 的值. 答案 →
62 基础题 已知 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\ln(a+x)}(\cos x - b) = 4 $，求 a 和 b 的值. 答案 →
63 中等题 已知 $ \lim_{x \to -\infty} (4x + \sqrt{ax^2 - bx - 1}) = 1 $，a > 0，求 a 和 b 的值. 答案 →
64 中等题 试确定常数 a 和 b 的值，使得 $ \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{1 - x^6} - ax^2 - b) = 0 $。 答案 →
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、 极限存在准则
准则1（夹逼准则）：设函数 $ f(x), g(x), h(x) $ 满足以下条件.
(1) 当 $ 0 \lt |x - x_0| \lt \delta $ (或 $ |x| \gt X $) 时，有 $ g(x) \leq f(x) \leq h(x) $.
(2) $ \lim_{{x \to x_0}} \limits_{(x \to \infty)} g(x) = \lim_{{x \to x_0} \atop{(x \to \infty)}} h(x) = A $.
则 $ \lim_{{x \to x_0} \atop{(x \to \infty)}} f(x) = A $.
评注
上述夹逼准则对于数列也成立。即当 $n$ 足够大时，满足 $y_n \leqslant x_n \leqslant z_n$，且 $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} z_n = A$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$。
准则2：单调有界数列必有极限.
65 基础题 求极限 $ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!} \sin \frac{1}{n} $. 答案 →
66 基础题 证明 $ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + 2n + 1} + \frac{2}{n^2 + 2n + 2} + \ldots + \frac{n}{n^2 + 2n + n} \right) = \frac{1}{2} $. 答案 →
67 中等题 求 $ \lim_{x \to +\infty} (\cos \sqrt{x+1} - \cos \sqrt{x}) $. 答案 →
68 中等题 设 $ x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{4}{x_n} \right) $，其中 $ x_n \gt 0 $，判断数列 $ \{x_n\} $ 是否收敛，若收敛，求 $ \lim_{n \to \infty} x_n $。 答案 →
69 综合题 设数列 $ \{x_n\} $ 满足： $ x_1 \gt 0, x_n e^{x_n} = e^{x_n} - 1 (n=1,2,\cdots) $。证明 $ \{x_n\} $ 收敛，并求 $ \lim_{n \to \infty} x_n $。 答案 →
70 综合题 设 $ a_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1 - x^2} \, dx $ ( $ n = 0,1,2,\cdots $). 答案 →
(1) 证明：数列 $ \{a_{n}\} $ 单调递减，且 $ a_{n}=\frac{n-1}{n+2}a_{n-2}(n=2,3,\cdots) $; (2) 求 $ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} $.
二、 两个重要极限
第一重要极限： $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $。典式： $ \lim_{\varphi(x) \to 0} \frac{\sin \varphi(x)}{\varphi(x)} = 1 $（其中， $ \varphi(x) \neq 0 $）。
评注
第一重要极限是求一类商的极限 $ \lim \frac{f(x)}{g(x)} $， $ f(x) \to 0 $， $ g(x) \to 0 $，不符合第五节中求极限的运算法则，属于“ $ \frac{0}{0} $”型不定式.
71 基础题 设 $ f(x)=\frac{\sin 2x}{5x} $，求：(1) $ \lim_{x \to 0} f(x) $ 与 (2) $ \lim_{x \to \infty} f(x) $. 答案 →
72 基础题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{4x} $ 答案 →
73 基础题 求下列极限. 答案 →
(1) $ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{x} $; (2) $ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{2x} $.
74 基础题 求下列极限. 答案 →
(1) $ \lim_{x \to 0} \frac{2x - \sin 3x}{2x + \sin 4x} $; (2) $ \lim_{x \to \infty} \frac{2x - \sin 3x}{2x + \sin 4x} $.
75 基础题 求极限 $ \lim_{x \to 3} \frac{\sin(x^2 - 2x - 3)}{x - 3} $. 答案 →
76 基础题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} $. 答案 →
77 中等题 求极限 $ \lim_{n\to\infty}n^2\sin\frac{x^2+1}{n^2} $ 答案 →
第二重要极限： $ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e $； $ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e $； $ \lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e $。
典式：(1+无穷小)无穷大，且无穷小×无穷大=1，则极限=e。
第二重要极限是求一类幂指函数的极限 $ \lim f(x)^{g(x)} $， $ f(x) \to 1 $， $ g(x) \to \infty $，属于“ $ 1^\infty $”型不定式，不属于第五节幂指函数求极限的运算法则。
78 基础题 求极限 $ \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{2x+100} $ 答案 →
79 基础题 求极限 $ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^{2x} $. 答案 →
80 基础题 求极限 $ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^2 - 1}{2x^2 + 1} \right)^{x^2} $. 答案 →
81 基础题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\ln(1 + kx)}(k \neq 0) $. 答案 →
82 基础题 求极限 $ \lim_{x \to 0} (1 + \tan 2x)^{-\frac{3}{x}} $ 答案 →
83 中等题 求下列极限. 答案 →
(1) $ \lim_{x \to 0} (\cos x)^{-\frac{1}{\sin x}} $; (2) $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan x}{x} \right)^{\frac{1}{x^3}} $.
84 中等题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} $ (其中， $ a \gt 0, b \gt 0 $). 答案 →
85 中等题 设常数 $ a \neq \frac{1}{2} $，求 $ \lim_{n \to \infty} \ln\left(\frac{n-2an-1}{n(1-2a)}\right)^n $. 答案 →
86 中等题 常数 a, b 满足什么条件时，使得 $ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{(x-a)(x+b)} \right)^x = e^2 $？ 答案 →
第七节 无穷小的比较
一、 无穷小的阶
定义：设 $ \lim\alpha = \lim\beta = 0 $ 且 $ \alpha \neq 0 $ ( $ \alpha, \beta $ 是函数)，若
$ \lim_{\alpha}\frac{\beta}{\alpha}=\{\begin{aligned}&0,&称\beta是较\alpha的高阶无穷小，记作\underbrace{\beta=o(\alpha)}{\alpha};\\ &\infty,&称\beta是较\alpha的低阶无穷小；\\ &c\neq0,&称\beta与\alpha是同阶无穷小；\\ &1,&称\beta与\alpha是等价无穷小，记作\underbrace{\beta\sim\alpha}_{\alpha}(或\alpha\sim\beta).\end{aligned}. $
若 $ \lim_{\alpha^k}\frac{\beta}{\alpha^k}=c\neq0(k\gt 0) $，称 $ \beta $ 是关于 $ \alpha $ 的 k 阶无穷小，或 $ \beta $ 与 $ \alpha^k $ 是同阶无穷小.
二、 等价无穷小代换定理
若 $ \alpha \sim \alpha_{1}, \beta \sim \beta_{1} $，且 $ \lim_{\alpha_{1}} \frac{\beta_{1}}{\alpha} = A $，则 $ \lim_{\alpha} \frac{\beta}{\alpha} = \lim_{\alpha_{1}} \frac{\beta_{1}}{\alpha_{1}} = A $。
评注
等价无穷小代换适用于分子或分母中的因式替换，加减之间满足一定的条件也能代换，需慎用。
常用的等价无穷小：当 $ x\to0 $时，有
$$\sin x \sim x; \; \tan x \sim x; \; \arcsin x \sim x; \; \arctan x \sim x; \; 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}; \; \ln(1 + x) \sim x;$$
$$\mathrm{e}^{x} - 1 \sim x; \; a^{x} - 1 \sim x \ln a (a \gt 0, a \neq 1); \; \sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{2}x; \; (1 + x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x \, (\alpha \neq 0);$$
$$\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x} \sim x; \; x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.$$
87 基础题 当 $ x \to 0^{+} $ 时，下列无穷小中与 $ \sqrt{x} $ 不等价的是（）. 答案 →
(A) $ \mathrm{e}^{\sqrt{x}} - 1 $ (B) $ \ln(1 + \sqrt{x}) $ (C) $ 1 - \cos \sqrt{x} $ (D) $ \arctan \sqrt{x} $
88 基础版 当 $ x $ 一时，下列 4 个无穷小中比其他 3 个更高阶的无穷小是（ ）。 答案 →
(A) $ \arctan 2x $
(B) $ \sqrt[3]{1+x} - 1 $
(C) $ 1 - \cos 2x $
(D) $ \tan x - \sin x $
89 基础题 求 $ \lim_{x\to\infty}x\tan\frac{2x-3}{x^{2}-x+1} $ 答案 →
90 中等题 当 $ x \to 0 $ 时， $ e^{x\cos x^2} - e^x $ 与 $ x^n $ 是同阶无穷小，则 $ n = (\ ) $. 答案 →
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
91 中等题 证明：当 $ x \to 0 $ 时， $ \tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3 $。 答案 →
92 中等题 证明：当 $ x \to 0 $ 时， $ (2^{x^2}-1)\arctan 2x = o(x^2) $. 答案 →
93 中等题 当 $ x \to \infty $ 时， $ \frac{1}{ax^3 + bx^2 + c} \sim \frac{1}{2x^2 + 1} $，求 a, b, c 的值. 答案 →
94 中等题 当 $ x \to 0 $ 时， $ (\sqrt{1 + x^2} - 1)\ln(1 + x^3) $ 是 $ x(\arcsin x)^k $ 的高阶无穷小，求 $ k $ 的取值范围. 答案 →
95 综合题 求 $ \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x - \tan x)(e - e^{\cos x})}{(2x + 1)\sin^5 x} $. 答案 →
96综合题 当 $ x \to 0 $ 时， $ f(x) = x - \sin ax $ 与 $ g(x) = x^2 \ln(1 - bx) $ 是等价无穷小，且 $ ab \ne 0 $，求 $ a, b $ 的值. 答案 →
97综合题 已知 $ \lim_{x\to0}\frac{\ln\left(1+\frac{f(x)}{\sin^2 x}\right)}{a^x-1}=A $（其中， $ a\gt 0,a\neq1 $），求 $ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^3} $. 答案 →
98综合题 已知 $ \lim_{x\to0}\frac{\sin6x+xf(x)}{x^{3}}=0 $，求 $ \lim_{x\to0}\frac{6+f(x)}{x^{2}} $. 答案 →
99 综合题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{4 \sin x + 3x^2 \cos \frac{1}{x^2}}{(1 + \cos x) \ln(1 + 2x)} $. 答案 →
100综合题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x \ln(1 + x) - x^2} $. 答案 →
101 综合题 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - e^{2 - 2\cos x}}{x^3 \sin x} $. 答案 →
102 综合题 求 $ \lim_{x\to0}\frac{\ln(\sin^{2}x+\mathrm{e}^{2x})-2x}{\ln(x^{2}+\mathrm{e}^{3x})-3x} $ 答案 →
103 综合题 求 $ \lim_{x \to \infty} x \left[ \sin \ln \left(1 + \frac{4}{x}\right) - \sin \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) \right] $. 答案 →
104综合题 当 $ x \to 0^+ $ 时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）。 答案 →
(A) $ \int_0^x (e^{t^2} - 1) dt $ (B) $ \int_0^x \ln(1 + \sqrt{t^3}) dt $ (C) $ \int_0^{\sin x} \sin t^2 dt $ (D) $ \int_0^{1 - \cos x} \sqrt{\sin^3 t} dt $
105 综合题 已知 $ f(x)=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x} $，记 $ a=\lim_{x\to0}f(x) $. 答案 →
(1) 求 a 的值;
(2) 当 $ x \to 0 $ 时， $ f(x) - a $ 与 $ x^k $ 是同阶无穷小，求常数 k 的值.
106 综合题 确定常数 a, b, c 的值，使 $ \lim_{x \to 0} \frac{ax - \sin x}{\int_b^x \frac{\ln(1 + t^3)}{t} dt} = c $ ( $ c \neq 0 $). 答案 →
第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数的连续性
定义：若 $ \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $，则 $ f(x) $ 在点 $ x = x_0 $ 处连续。若 $ f(x) $ 在区间 I 上的每一点都连续，则 $ f(x) $ 在区间 I 上连续。
I 可开区间，也可闭区间，若 $ I=[a,b] $，则需在 x=a 处右连续，在 x=b 处左连续，即 $ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a),\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b) $.
若 $ \lim_{x\to\infty}f(x)=f(x_0) $，则 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处左连续；
若 $ \lim_{x\to a}f(x)=f(x_0) $，则 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处右连续.
$ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处连续 $ \Leftrightarrow $ 既左连续又右连续，即 $ \lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}) $
107 基础题 已知 $ f(x) $ 在 x=1 处连续，且 $ \lim_{x\to1}\frac{f(x)-4}{x-1}=A $ (常数)，求 $ f(1) $. 答案 →
108 基础题 证明 $ f(x)=2x^{2}-x+1 $ 在 $ (-\infty,+\infty) $ 内连续. 答案 →
109 基础题 已知 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{e^{2x}-1}{\sin4x},x\neq0\\&k,x=0\end{aligned}. $ 在 $ (-∞,+∞) $ 内连续，求 k 的值. 答案 →
110 基础题 判断 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{\sin 2x}{\tan x}(x^{2}+1),x\gt 0\\&2,x=0\\&\ln(1-2x)^{\frac{1}{x}},x\lt 0\end{aligned}. $ 在分段点 x=0 处的连续性. 答案 →
111 基础题 讨论 $ f(x)=\{\begin{aligned}&(x-1)^2\cos\frac{1}{x-1},x\lt 1\\&(x+1)\ln x,x\geqslant1\end{aligned}. $ 的连续性. 答案 →
112 基础题 给 $ f(0) $ 补充定义，使得 $ f(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x\arcsin x} $ 在 $ x=0 $ 处连续. 答案 →
113 中等题 已知 $ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(e^n+x^n)}{n} $ (x>0). (1) 求 $ f(x) $; (2) 判断 $ f(x) $ 在定义域内是否连续. 答案 →
114 中等题 已知 $ f(x) $ 连续，且 $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos[\sqrt{x}f(x)]}{(e^{2x} - 1)f(x)} = \frac{1}{2} $，求 $ f(0) $. 答案 →
二、 函数的间断点及其分类
定义：函数 $ f(x) $ 的不连续点称为 $ f(x) $ 的间断点.
若 $ x=x_{0} $ 是 $ f(x) $ 的间断点，则满足下列三个条件之一：
(1) $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处没有定义; (2) $ \lim_{x\to x_0}f(x) $ 不存在; (3) $ \lim_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0) $. 间断点分类:
第一类间断点——左、右极限都存在
跳跃间断点： $ \lim_{x\to x_0}f(x)\neq\lim_{x\to x_0}f(x) $
可去间断点： $ \lim_{x\to x_0}f(x) $ 存在 $ \neq f(x_0) $
或 $ f(x_{0}) $不存在.
第二类间断点——左或右极限不存在
无穷间断点： $ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $ 或 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $
或 $ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $
振荡间断点： $ \lim_{x\to x_0}f(x) $振荡发散.
115 基础题 已知 $ f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2} $，求 $ f(x) $ 的间断点，并判断其类型. 答案 →
116 中等题 设 $ f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{x-1}}}-1 $，则关于 $ f(x) $ 的间断点的正确选项是（ ）。 答案 →
(A) $ x=0, x=1 $ 都是第一类间断点
(B) $ x=0, x=1 $ 都是第二类间断点
(C) $ x=0 $ 是第一类间断点， $ x=1 $ 是第二类间断点
(D) $ x=0 $ 是第二类无穷间断点， $ x=1 $ 是第一类跳跃间断点
117 中等题 已知 $ x=0 $ 是 $ f(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{2x}, & x\lt 0 \\ b, & x=0 \end{cases} $ 的可去间断点，求 $ a $ 和 $ b $ 的值. $ a+\frac{\ln(1+3x)}{x} $, $ x\gt 0 $ 答案 →
118 中等题 已知 $ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}} $，求 $ f(x) $ 的连续区间；若有间断点，指出间断点的类型. 答案 →
119 综合题 (1) 证明： $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} = \max_{1 \leq i \leq m} \{a_i\} (a_i \gt 0, i = 1, 2, \cdots, m) $; 答案 →
(2) 利用 (1) 的结论，求 $ f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+x^n+\left(\frac{x^2}{2}\right)^n} $ ( $ x\geq0 $)，并讨论其连续性.
120 综合题 已知 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{\ln(1+ax^{3})}{x-\arcsin x},&x\lt 0\\&6,&x=0\end{aligned}. $，问 $ a $ 为何值时， $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续？ $ a $ 为何值时， $ x=0 $ 为 $ f(x) $ 的可去间断点. 答案 →
121 综合题 设 $ f(x)=\lim_{t\to x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}} $，求 $ f(x) $ 的间断点并指出其类型. 答案 →
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
法则：连续函数的和、差、积、商（分母非零）仍为连续函数；连续函数经过复合运算后仍为连续函数；连续函数的反函数仍是连续函数。
结论：基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续。
122 基础题 已知 $ f(x)=\frac{\lg(100+x^2)}{a^x+\arcsin 2x} $，求 $ \lim_{x\to0}f(x) $. 答案 →
123 基础题 已知 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内连续，且 $ f(x) \neq 0 $， $ \varphi(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的是（）. 答案 →
(A) $ \varphi[f(x)] $ 必有间断点
(B) $ f[\varphi(x)] $ 必有间断点
(C) $ \varphi^{2}(x) $ 必有间断点
(D) $ \frac{\varphi(x)}{f(x)} $ 必有间断点
第十节 闭区间上连续函数的性质
有界性：若 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续，则 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上有界.
最值性：若 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续，则 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上有最小值和最大值.
介值性：若 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续， $ m,M $ 分别是 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上的最小值与最大值，则对介于 $ m $ 与 $ M $ 之间的任意常数 $ C(m\lt C\lt M) $，至少存在一点 $ \xi\in(a,b) $，使得 $ f(\xi)=C $。
若常数 $ C(m \leqslant C \leqslant M) $，则至少存在一点 $ \xi \in [a, b] $，使得 $ f(\xi) = C $。
零点定理：若 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续，且 $ f(a) \cdot f(b) \lt 0 $，则至少存在一点 $ \xi \in (a,b) $，使得 $ f(\xi) = 0 $。
若 $ f(x) $ 在开区间 $ (a,b) $ 内连续，且 $ \lim_{x\to a^-}f(x) $ 与 $ \lim_{x\to b^+}f(x) $ 都存在，则 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 内有界.
124 基础题 证明方程 $ x^{3}-9x-2=0 $ 恰有 3 个实根. 答案 →
125 基础题 证明方程 $ x = \frac{1}{2} \cos x $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内存在唯一实根. 答案 →
126 中等题 设函数 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，且 $ f(0)=f(1) $，证明在 $ [0,1) $ 内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ f\left(\xi+\frac{1}{2}\right)=f(\xi) $. 答案 →
127 中等题 已知 $ f(x) $ 在 $ [a,+\infty) $ 上连续，且 $ \lim_{x \to +\infty} f(x) $ 存在，证明 $ f(x) $ 在 $ [a,+\infty) $ 上有界. 答案 →
128 中等题 已知 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续， $ a\lt x_1\lt x_2\lt x_3\lt b $，证明在 $ (a,b) $ 内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ f(x_1)+2f(x_2)+3f(x_3)=6f(\xi) $。 答案 →
129 综合题 函数 $ f(x)=\frac{x\sin(x-2)}{|x|(x-1)(x-2)^2} $ 在区间（ ）内有界. 答案 →
(A) $ (-1, 0) $ (B) $ (0, 1) $ (C) $ (1, 2) $ (D) $ (2, 3) $
130 综合题 设 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续， $ f(0)=f(1) $。证明对于任意正整数 $ n $，存在 $ x_0\in[0,1] $，使得 $ f(x_0)=f\left(x_0+\frac{1}{n}\right) $。 答案 →