第2章 导数与微分
第2章
导数与微分
第一节 导数的基本概念
一、 导数的定义
定义1：函数 $ y=f(x) $在点 $ x_{0} $处的导数
$$ f^{\prime}(x_{0})=y^{\prime}\Big|_{x=x_{0}}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x=x_{0}}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}. $$
定义 2：函数 $ y = f(x) $ 的导函数（导数）
$$ f^{\prime}(x)=y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}. $$
由定义知： $ f'(x_0) = f'(x) \big|_{x=x_0} $
131 基础题 设函数 $ f(x)=1+2x+3x^{3} $，求 $ f'(1) $. 答案 →
132 基础题 设函数 $ f(x)=x(2x+1)(3x+2)(4x+3) $，求 $ f'(0) $. 答案 →
133 基础题 设函数 $ f(x) = x(x - 2)\sqrt{\frac{3x^3 + 1}{2x^2 + 1}} $，用导数定义求 $ f'(0) $， $ f'(2) $. 答案 →
134 基础题 设函数 $ f(x)=\begin{cases}\frac{\sin^{2}x}{2x}, & x\neq0 \\ 0, & x=0\end{cases} $，求 $ f(x) $ 在 x=0 处的导数 $ f'(0) $. 答案 →
135 中等题 设函数 $ f(x)=(x^2-1)\varphi(x-1) $，且函数 $ \varphi(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续，证明函数 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处可导，并求 $ f'(1) $. 答案 →
136 中等题 设函数 $ f(x) $ 在 x=0 处可导，且 $ f'(0)=\frac{1}{2} $。又对任意的 x 有 $ f(2+x)=2f(x) $，求 $ f'(2) $。 答案 →
137 中等题 设函数 $ f(x) $ 在点 x=0 处连续，且 $ \lim_{x\to0}\frac{f(x)+3}{x}=2 $，问函数 $ f(x) $ 在 答案 →
x=0处是否可导？若可导，求 $ f^{\prime}(0) $
138 基础题 设函数 $ f(x) $ 在点 $ x = x_{0} $ 处可导，求下列极限值. 答案 →
(1) $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + 5\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $
(2) $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - 3\Delta x)}{\Delta x} $
139 基礎設設函數 $ f(x) $ 在点 $ x = x_0 $ 处的导数 $ f'(x_0) $ 存在，求极限 $ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 4h) - f(x_0 + 2h)}{h} $. 答案 →
140 基础题 若函数 $ f(x) $ 可导，且 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(3) - f(3 - 3x^3)}{\ln(1 + x^3)} = 3 $，求 $ f'(3) $. 答案 →
141 基础题 设函数 $ f(x) $ 在 x=0 处可导，且 $ f(0)=0 $， $ f'(0)=1 $，求下列极限. 答案 →
(1) $ \lim_{x \to 0} \frac{f(3x) - f(-5x)}{x} $
(2) $ \lim_{x \to 0} \frac{f(2x^2) - xf(x)}{x^2} $
142 中等题 设 $ f(0)=0 $，则 $ f(x) $ 在 x=0 处可导的一个充分条件为（）. 答案 →
(A) $ \lim_{h\to0}\frac{f(3h)-f(h)}{2h} $ 存在
(B) $ \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(-h)}{2h} $ 存在
(C) $ \lim_{h\to0}\frac{f(h^{3})}{h^{3}} $ 存在
(D) $ \lim_{h\to0}\frac{f(h^{2})}{h^{2}} $ 存在
143 中等题 设函数 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处可导，且 $ f(1)=0 $， $ f'(1)=2 $，求极限 $ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+\sin3x)\cdot f(\cos x)}{x^3} $。 答案 →
二、 单侧导数
定义：左导数 $ f_{-}^{\prime}(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} = \lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} $；
右导数 $ f_{+}^{\prime}(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} = \lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} $.
定理：函数 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处可导的充要条件是左导数 $ f_{-}^{\prime}(x_{0}) $ 和右导数 $ f_{+}^{\prime}(x_{0}) $ 都存在且相等.
144 基础题 下列函数中，在 x=0 处可导的是（）. 答案 →
(A) $ f(x)=\left|x\right| $ (B) $ f(x)=\sqrt[3]{x} $ (C) $ f(x)=x^{3} $ (D) $ f(x)=x\ln x $
145 基础题 设函数 $ f(x)=\begin{cases}\cos x,&x\gt 0\\x^2+1,&x\leq0\end{cases} $，求 $ f(x) $ 在 x=0 处的左导数 $ f'_\bot(0) $ 和右导数 $ f'_\pm(0) $，由此讨论 $ f(x) $ 在 x=0 处是否可导。若可导，求出 $ f'(0) $。 答案 →
146 中等题 设函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&x(1+e^{\frac{1}{x}}),&x\neq0\\ &0,&x=0\end{aligned}. $，则 $ f(x) $ 在 x=0 处（）. 答案 →
(A) 左导数存在，右导数不存在 (B) 右导数存在，左导数不存在
(C) 左、右导数都不存在 (D) 左、右导数都存在
147 基础题 设函数 $ f(x)=x^2|x-1| $，讨论函数 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处是否可导？若可导，求出 $ f'(1) $。 答案 →
148 基础题 函数 $ f(x)=(x^3-1)|x-1| $，讨论函数 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处是否可导？若可导，求出 $ f'(1) $. 答案 →
149 中等题 设函数 $ f(x)=|x-1|\varphi(x) $，其中 $ \varphi(x) $ 在 x=1 处连续，则 $ \varphi(1)=0 $ 是 $ f(x) $ 在 x=1 处可导的（）. 答案 →
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件
(C) 必要非充分条件 (D) 既非充分又非必要条件
150 中等题 函数 $ f(x)=(x^{2}+x-2)|x^{3}-4x| $ 不可导点的个数为（）. 答案 →
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
三、 导数的几何意义
导数的几何意义：导数 $ f'(x_0) $ 在几何上表示曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ M(x_0, y_0) $ 处的切线的斜率.
曲线在点 $ (x_0, y_0) $ 处的切线方程为 $ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) $.
曲线在点 $ (x_0, y_0) $ 处的法线方程为 $ y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)(f'(x_0) \neq 0) $.
特别地：当 $ f'(x_0) = 0 $ 时，切线方程为 $ y = y_0 $，法线方程为 $ x = x_0 $；当 $ f'(x_0) = \infty $ 时，切线方程为 $ x = x_0 $，法线方程为 $ y = y_0 $。
151 基础题 求曲线 $ y = 2x + \cos x $ 在点 $ (0,1) $ 处的切线方程和法线方程. 答案 →
152基础题 已知在横坐标 $ x = x_{0} $ 处，曲线 $ f(x) = x^{2} $ 与 $ g(x) = x^{3} $ 的切线互相垂直， 答案 →
求 $ x_{0} $的值.
153 基础题 设直线 $ L $ 与直线 $ 2x - 6y + 1 = 0 $ 垂直，且与曲线 $ y = x^3 + 3x^2 - 5 $ 相切，求直线 $ L $ 的方程. 答案 →
154 基础题 证明双曲线 xy = 1 上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积恒为 2. 答案 →
155 中等题 问 $a, b$ 为何值时，曲线 $L_1: y=1+\ln x$ 与抛物线 $L_2: y=x^2 + ax+b$ 在 $x=1$ 处有公共切线. 答案 →
156 中等题 已知函数 $ f(x) $ 是可导的偶函数，且 $ \lim_{x \to 0} \frac{x}{f(3+x) - f(3)} = -2 $，求曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (-3, f(-3)) $ 处的切线斜率 k。 答案 →
四、 可导与连续的关系
定理：若函数 $ y = f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处可导，则 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处必连续.
推论：若函数 $ y = f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处不连续，则 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处不可导.
连续是可导的必要条件，但不是充分条件．即可导一定连续，但连续不一定可导.
157 基础题 设函数 $ f(x) $ 在点 x=2 处可导，且 $ \lim_{x\to2}f(x)=5 $，求 $ f(2) $. 答案 →
158 基础题 设函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&x\cos\frac{1}{x^{2}},&x\neq0\\ &0,&x=0\end{aligned}. $，讨论 $ f(x) $ 在 x=0 处的连续性与可导性. 答案 →
159 基础题 设函数 $ f(x)=\begin{cases} xe^x, & x \geq 0 \\ x^3 + x, & x \lt 0 \end{cases} $，讨论 $ f(x) $ 在 x=0 处的连续性与可导性. 答案 →
160 基础题 设函数 $ f(x)=\begin{cases}x^3+\ln x, & x\geq1 \\ x^3\ln x, & 0\lt x\lt 1\end{cases} $，讨论 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处的连续性与可导性. 答案 →
161 中等题 试确定 $ a $ 和 $ b $ 的值，使函数 $ f(x)=\begin{cases}x\sin\pi x, & x\gt 1 \\ ax^2+b, & x\leq1\end{cases} $ 在 $ x=1 $ 处可导. 答案 →
162 中等题 设函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{\ln(1+2x^{3})}{x^{2}},&x\gt 0,\\ &x^{2}\varphi(x),&x\leqslant0\end{aligned}. $，其中 $ \varphi(x) $ 是有界函数，则 $ f(x) $ 在 x=0 处（ ）. 答案 →
(A) 极限不存在
(B) 极限存在但不连续
(C) 连续但不可导
(D) 可导
第二节 函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理：如果函数 $ u(x), v(x) $ 都可导，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点）也可导，且
(1) $ \left[u(x)\pm v(x)\right]^{\prime}=u^{\prime}(x)\pm v^{\prime}(x) $;
(2) $ \left[u(x)v(x)\right]^{\prime}=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x) $;
(3) $ \left[\frac{u(x)}{\nu(x)}\right]^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x)\nu(x)-u(x)\nu^{\prime}(x)}{\nu^{2}(x)}\quad(\nu(x)\neq0). $
特别地： $ [cu(x)]^{\prime}=cu^{\prime}(x) $（c为常数）， $ \left(\frac{1}{\nu(x)}\right)^{\prime}=-\frac{\nu^{\prime}(x)}{\nu^{2}(x)} $
和、差、积的求导法则可以推广到有限个函数的情形.
163 基础题 设 $ f(x)=3x^{3}+2e^{x}-5\ln x+\sin 1 $，求 $ f'(x) $ 和 $ f'(1) $. 答案 →
164 基础题 设 $ f(x)=x\cos x+3x^{2} $，求 $ f'(x) $， $ f'(\frac{\pi}{2}) $， $ f'(\pi) $. 答案 →
165 基础题 设 $ y = e^x (\cos x - 2 \sin x) $，求 $ y' $. 答案 →
166 基础题 设 $ y=(1+x^2)\arctan x - x\ln x $，求 $ y' $. 答案 →
167 基础题 设 $ y=\frac{\sqrt{x}+xe^{x}-3x^{3}\sin x}{x^{2}} $，求 $ y' $. 答案 →
168 基础版 设 $ y = \frac{\sin x}{x - \cos x} $，求 $ y' $. 答案 →
169 基础题 设 $ y=\frac{2\ln x+x^{3}}{3\ln x+x^{2}} $，求 $ y' $. 答案 →
170 基础题 设 $ y=\frac{e^{x}(x^{2}+1)}{x+1} $，求 $ y' $. 答案 →
171 中等题 设函数 $ f\left(x-\frac{1}{x}\right)=\frac{x^{4}+1}{x^{4}+x^{2}+1} $，求 $ f'(x) $. 答案 →
172 中等题 设函数 $ f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2x-1}, & x\lt 0 \\ e^x \sin x, & x\geq0\end{cases} $，求 $ f'(x) $. 答案 →
二、 反函数的求导法则
定理：设函数 $ y = f(x) $ 是单调的连续函数，若 $ y = f(x) $ 可导且 $ f'(x) \neq 0 $，则其反函数 $ x = \varphi(y) $ 也可导，且
$$ \varphi^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(x)} 或 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}. $$
即两个互为反函数的函数，它们的导数互为倒数
173 基础题 设可导函数 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = \varphi(y) $，并且有 $ f(1) = 2 $， $ f(2) = 3 $， $ f'(1) = 4 $， $ f'(2) = 5 $，求 $ \varphi'(2) $。 答案 →
174 基础题 设 $ y = f(x) = 3x^3 + 2x + 1 $，其反函数为 $ x = \varphi(y) $，求 $ \varphi'(1) $. 答案 →
三、 复合函数的求导法则
定理：若函数 $ y = f(u) $， $ u = \varphi(x) $ 都可导，则复合函数 $ y = f(\varphi(x)) $ 可导，且有链式法则
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=f^{\prime}(u)\cdot\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}[\varphi(x)]\cdot\varphi^{\prime}(x). $$
链式法则可以推广到多个函数复合的情形.
因变量 $ \cdots $ 中间变量 $ \cdots $ 自变量
175 基础题 设 $ y=\left(1-x+2x^{3}\right)^{4} $，求 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} $， $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1} $. 答案 →
176 基础题 设 $ y = \ln \cos e^{-x} $，求 $ \frac{dy}{dx} $. 答案 →
177 基础题 设 $ f(x) = \arcsin \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} $，求 $ f'(x) $， $ f'(\frac{1}{2}) $. 答案 →
178 基础题 设 $ y=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} $，求 $ y' $. 答案 →
179 基础题 设 $ y=3^{x}+x^{3}+x^{2}+3^{3} $，求 $ y' $ 答案 →
180 基础题 设 $ y = \cos 3x \cdot \sin^3 x $，求 $ y' $. 答案 →
181 基础题 设 $ y = x\sqrt{1 - x^2} - \arccos x $，求 $ y' $. 答案 →
182 基础题 设 $ y = x^2 + x\sqrt{x^2 + 1} + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) $，求 $ y' $. 答案 →
183 基础题 设 $ y = x[\cos(\ln x) + \sin(\ln x)] $，求 $ y' $. 答案 →
184 基础题 设 $ y = -x + \frac{1}{2}\ln(1 + e^{2x}) - e^{-x} $ $ \operatorname{arccot} e^x $，求 $ y' $ 答案 →
185 中等题 设 $ f(x)=\lim_{t \to \infty} x \left( \frac{t - x}{t + 2x} \right)^{tx} $，求 $ f'(x) $. 答案 →
186 中等题 设函数 $ f(x) $ 可导，求下列函数的导数. 答案 →
(1) $ y = f(3^x + x^3) $ (2) $ y = f(x \ln x) $
187 中等题 已知函数 $ f(x) $ 可导，且 $ f'(1) = -2 $，设 $ g(x) = f(2x^3 - 3x) $，求 $ g'(-1) $. 答案 →
第三节 高阶导数
高阶导数
定义：函数 $ y = f(x) $ 的 $ (n-1) $ 阶导数的导数称为 $ f(x) $ 的 n 阶导数，即
$$ \frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}}=y^{(n)}=f^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{d}^{n}f}{\mathrm{d}x^{n}}=\left[f^{(n-1)}(x)\right]^{\prime}. $$
由定义知，求高阶导数就是多次求导数.
莱布尼茨公式：如果函数 $ u(x) $, $ v(x) $ 有 n 阶导数，则有
$$ \left[u(x)\cdot\nu(x)\right]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left[u(x)\right]^{(k)}\cdot\left[\nu(x)\right]^{(n-k)},\mathrm{~,~ 其 中 ~}C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. $$
188 基础出数 求下列函数的二阶导数. 答案 →
(1) $ y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} $
(2) $ y = 2x^3 \arctan x + \ln(1 + x^2) $
189 基础题 设 $ f(x) = e^{3x} \sin 2x $，求函数 $ f(x) $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处的二阶导数 $ f''(\frac{\pi}{2}) $. 答案 →
190 基础题 设函数 $ y = \ln \sqrt{\frac{1 + e^{2x}}{e^{2x}}} $，求 $ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0}, \left. \frac{d^2y}{dx^2} \right|_{x=0} $. 答案 →
191 基础题 设函数 $ y = \arcsin \frac{x}{3} $，求 $ y'''|_{x=\sqrt{5}} $. 答案 →
192 基础题 设函数 $ y = x \ln x $，则 $ y^{(10)} = (\quad) $. 答案 →
(A) $ -\frac{1}{x^{9}} $ (B) $ \frac{1}{x^{9}} $ (C) $ \frac{8!}{x^{9}} $ (D) $ -\frac{8!}{x^{9}} $
193 基础题 设函数 $ y = \left( \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right)^2 $，求 $ y^{(10)} $. 答案 →
(A) $ \cos x $ (B) $ \sin x $ (C) $ -\cos x $ (D) $ -\sin x $
194 基础题 设函数 $ f(x) = xe^{-x} $，则 $ f^{(n)}(x) = $ ( )。 答案 →
(A) $ (-1)^{n-1}(n-x)e^{-x} $ (B) $ (-1)^{n}(n-x)e^{-x} $
(C) $ (n-x)e^{-x} $ (D) $ (x-n)e^{-x} $
195 基础题 设函数 $ y=(x^{2}+1)^{5}(x^{5}+1)^{2} $，求 $ y^{(20)} $ 和 $ y^{(21)} $ 答案 →
196 中等题 设函数 $ f(x)=\sin^{4}x+\cos^{4}x $，求 $ f(x) $ 的 $ n(n\gt 1) $ 阶导数 $ f^{(n)}(x) $. 答案 →
197 中等题 设函数 $ f(x) = \ln(2 - 3x) $，则 $ f(x) $ 的 $ n $ 阶导数 $ f^{(n)}(x) = $ ( )。 答案 →
(A) $ \frac{3^n n!}{(2 - 3x)^n} $ (B) $ \frac{3^n (n - 1)!}{(2 - 3x)^n} $ (C) $ \frac{-3^n n!}{(2 - 3x)^n} $ (D) $ \frac{-3^n (n - 1)!}{(2 - 3x)^n} $
198 中等题 已知函数 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 的某邻域内可导，且 $ f'(x)=\left[f(x)\right]^2 $， $ f(1)=2 $ 求 $ f^m(1) $. 答案 →
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、 隐函数的导数
定义 由方程 $ F(x,y)=0 $ 所确定的函数 $ y=y(x) $ 称为隐函数，而形如 $ y=f(x) $ 的函数称为显函数.
隐函数求导的方法和步骤：设方程 $ F(x,y)=0 $ ，求 $ \frac{dy}{dx} $
第1步：方程 $ F(x,y)=0 $ 两边同时对 x 求导，建立 $ y' $ 的方程.
第2步：从上面得到的方程中解出 $ y' $
199 基础题 求由下列方程所确定的隐函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $. 答案 →
(1) $ \cos(xy) + \ln y - x = 1 $ (2) $ x^{3} + y^{3} = 6xy $
200 基础题 设方程 $ xy - \sin(\pi y^2) = 0 $ 确定 $ y $ 是 $ x $ 的函数 $ y = y(x) $，求 $ y'\big|_{x=0\ y=-1} $ 答案 →
201 基础题 求由隐函数 $ \tan\left(x+y+\frac{\pi}{4}\right)=y $ 确定的曲线在点 $ (-1,1) $ 处的切线方程与法线方程. 答案 →
202 基础题 求曲线 $ y^{2} + 2e^{xy} = 3y $ 在 x = 0 对应点处的切线方程. 答案 →
203 中等题 设函数 $ y = y(x) $ 由方程 $ xf(y) = e^y \ln y $ 确定，其中 $ f(x) $ 可导，且 $ f(1) = 1 $，求 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} $。 答案 →
204 中等题 已知曲线 $ y = x^2 + ax + b $ 与 $ 2y = xy^3 - 1 $ 在点 $ (1, -1) $ 处有公共切线，求常数 $ a $ 和 $ b $ 的值. 答案 →
205 中等题 设函数 $ y = y(x) $ 是由方程 $ \ln(x^2 + y^2) = 2\arctan\frac{y}{x} + \frac{\pi}{2} + \ln 2 $ 确定的隐函数，求 $ \frac{d^2 y}{dx^2} $. 答案 →
206 中等题 已知函数 $ y = y(x) $ 由方程 $ e^y + xy = e + 1 $ 确定，求 $ y'(1) $， $ y''(1) $ 答案 →
207 中等题 已知曲线 $ y = y(x) $ 过点 $ (1, -1) $ 且满足 $ x^3 + y^3 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = 1 $，则 $ \left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{\substack{x=1 \\ y=-1}} = $ ___。 答案 →
二、 对数求导法
对数求导法的步骤
第1步：函数 $ y = f(x) $ 的两边取自然对数，得到隐函数 $ \ln y = \ln f(x) $
第2步：利用隐函数求导方法，求出导数 $ y' $
对数求导法常用于多因子乘幂求导，或幂指函数求导
208 基础题 求函数 $ y = x^{\ln x} $ 的导数. 答案 →
209 基础题 设函数 $ y=(1+\sin x)^{x^2} $，求导数 $ y' $ 答案 →
210 基础题 设函数 $ y = x^{\sin x} \sqrt{e^x - 1} $，求 $ \frac{dy}{dx} $. 答案 →
211 基础题 设函数 $ y = \frac{(1 + 2x)^{\frac{1}{x^2}}}{e^{\frac{2}{x}}} $，求导数 $ y' $. 答案 →
212 基础题 设函数 $ y = \frac{(x+1)^2 \cdot \sqrt{2x+2}}{(x-1)^3 \cdot \sqrt[3]{3x-3}} $，求 $ \frac{dy}{dx} $ 答案 →
213 中等题 求函数 $ y = x^{x} $ ( $ x \gt 0 $) 的导数 $ y' $. 答案 →
214 中等题 求函数 $ y = x^{2x} $ 的二阶导数. 答案 →
215 中等题 设函数 $ y = y(x) $ 是由方程 $ x^{\frac{1}{y}} = y^{\frac{1}{x}} $ 所确定的函数，求 $ \frac{d^2 y}{dx^2} $. 答案 →
三、 由参数方程所确定的函数的导数
参数方程确定的函数的求导公式：设 $ y = y(x) $ 是由参数方程 $ \{\begin{aligned}x &= \varphi(t)\\ y &= \psi(t)\end{aligned}. $ 确定的函数，若 $ x = \varphi(t) $， $ y = \psi(t) $ 都可导，且 $ \varphi'(t) \neq 0 $，则 y 对 x 的导数为
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}. $$
216 基础题 求下列参数方程所确定的函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $ 答案 →
| ☑ | ☐ | ☐ | ☐ |
(1) $ \{\begin{array}{l} x=\frac{2t}{1+t^{2}} \\ y=\frac{2t^{2}}{1+t^{2}} \end{array}. $
(2) $ \begin{cases} x = \cos^{3} t \\ y = \sin^{3} t \end{cases} $
217 基础题 已知函数 $ y = y(x) $ 的参数方程为 $ \begin{cases} x = t^2 e^{2t} \\ y = (t^2 + 1) e^t \end{cases} $，求 $ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{t = -2} $ 答案 →
218 基础题 求曲线 $ \{\begin{aligned} x &= \sqrt{t^{2} + 3} \\ y &= \ln(t + \sqrt{t^{2} + 3}) \end{aligned}. $ 在 t=1 相应的点处的切线方程. 答案 →
219 基础题 求曲线 $ \{\begin{aligned}x&=e^{t}\sin2t\\ y&=e^{t}\cos t\end{aligned}. $ 在点 $ (0,1) $ 处的切线方程与法线方程. 答案 →
220 中等题 设 $ \{\begin{aligned}x&=\cos t\\ y&=t\cos t-\sin t\end{aligned}. $ （t 为参数），求 $ \frac{dy}{dx} $， $ \frac{d^2y}{dx^2} $. 答案 →
221 中等题 设 $ \begin{cases} x = \arctan t \\ y = 3t + t^3 \end{cases} $，求 $ \left. \frac{d^2 y}{dx^2} \right|_{t=1} $. 答案 →
222 中等题 已知函数 $ y = y(x) $ 的参数方程为 $ \{\begin{aligned}x &= e^t + t\\ y &= \sin t\end{aligned}. $，求 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0} $， $ \left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=0} $ 答案 →
第五节 函数的微分
函数的微分
定义：若 $ y = f(x) $ 的增量 $ \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $ 可表示为 $ \Delta y = A\Delta x + o(\Delta x) $，则称 $ y = f(x) $ 可微，而 $ \Delta y $ 的线性主部 $ A\Delta x $ 称为 $ y = f(x) $ 的微分，即
$$ \mathrm{d}y=\mathrm{d}f(x)=A\Delta x\;. $$
定理： $ y = f(x) $ 可微的充要条件是 $ y = f(x) $ 可导，且 $ A = f'(x) $，即
$$ \mathrm{d}y=f^{\prime}(x)\Delta x=f^{\prime}(x)\mathrm{d}x\;. $$
223 基础题 设函数 $ y = f(x) = x^3 + x $，计算在 $ x = 3 $ 处当 $ \Delta x $ 分别为 0.1 和 0.01 时的微分 dy 及增量 $ \Delta y $. 答案 →
224 基础题 已知函数 $ y = f(x) $ 在任意点 $ x $ 处的增量 $ \Delta y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^3}} \Delta x + \alpha $，且 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha}{\Delta x} = 0 $，求 $ f'(2) $。 答案 →
225 基础题 设函数 $ f(x) $ 可导，且 $ f'(x_0) = 1 $，则当 $ \Delta x \to 0 $ 时， $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的微分 $ dy $ 是 $ \Delta x $ 的（ ）。 答案 →
(A) 高阶的无穷小
(B) 低阶的无穷小
(C) 等价的无穷小
(D) 同阶但非等价的无穷小
226 基础题 求下列函数的微分. 答案 →
(1) $ y = e^{\sin^{2}\frac{1}{x}} $ (2) $ y = x\arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{4 - x^{2}} $
227 基础题 求下列函数在给定点处的微分. 答案 →
(1) $ y = \sqrt{2 + \sin x} $，求 $ \mathrm{d}y\big|_{x=0} $，(2) $ y = \ln(1 + 2^{-2x}) $，求 $ \mathrm{d}y\big|_{x=1} $.
228 基础题 设函数 $ y = y(x) $ 由方程 $ 2y + \sin(x + y) = 0 $ 确定，求微分 dy. 答案 →
229 基础题 设 $ y = y(x) $ 是由方程 $ e^y + xy - e = 0 $ 确定的函数，求微分 $ \mathrm{d}y\big|_{x=0} $. 答案 →
230 中等题 设函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{\cos x-1}{x},&x\neq0\\ &0,&x=0\end{aligned}. $，求 $ f(x) $ 在 x=0 处的微分. 答案 →
231 中等题 设 $ y = (1 + e^x)^x $，则微分 $ \mathrm{d}y = $ ( )。 答案 →
(A) $ (1 + e^x)^x \left( \ln(1 + e^x) + \frac{xe^x}{1 + e^x} \right) \mathrm{d}x $
(B) $ (1 + e^x)^x \left( \ln(1 + e^x) + \frac{x}{1 + e^x} \right) \mathrm{d}x $
(C) $ (1 + e^x)^x \left( \ln(1 + e^x) + \frac{e^x}{1 + e^x} \right) \mathrm{d}x $
(D) $ \left( \ln(1 + e^x) + \frac{xe^x}{1 + e^x} \right) \mathrm{d}x $
[232] 中等题 在下列括号内填入适当的函数，使等式成立. 答案 →
(1) d( ) = x²dx (2) d( ) = cos3xdx
(3) d( ) = $ \frac{1}{x\ln x} $dx (4) d( ) = $ \frac{e^x}{1 + e^{2x}} $dx
综合提高题
233综合题 设函数 $ f(x) $ 在点 x=0 的某邻域内有定义，且 $ |f(x)| \leqslant x^2 $，则 $ f(x) $ 在点 x=0 处（）. 答案 →
(A) 不一定连续
(B) 连续但不一定可导
(C) 可导，且 $ f'(0)=0 $
(D) 可导，且 $ f'(0) \neq 0 $
234 综合题 求 | 可数在给定点处的导数. 答案 →
(1) $ f(x)=3x+\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\arctan\frac{2x}{1+x} $，求 $ f'(0) $.
(2) $ f(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-99)(x-100) $，求 $ f'(100) $.
(3) $ y = \frac{(x^{3} + 1)\sqrt{3x + 1}}{(x + 1)^{2} e^{2x}} $，求 $ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} $.
235 综合题 已知函数 $ f(x) $ 可导，且当 $ h \to 0 $ 时， $ f(x_0 + 3h) - 3f(x_0 - h) $ 是 $ h $ 的等价无穷小量，求 $ f'(x_0) $. 答案 →
236 综合题 设函数 $ f(x) $ 在点 x=0 处连续可导，且 $ f(0)=1 $， $ f'(0)=4 $，则 $ \lim_{x\to0}[f(\sin x)]^{\frac{1}{2x}}=(\quad) $. 答案 →
(A)1 (B)e (C) $ e^{\frac{1}{2}} $ (D) $ e^{2} $
237 综合题 设曲线 $ y = f(x) = \frac{1}{1 + x^{3n}} $ 在点 $ \left(1, \frac{1}{2}\right) $ 处的切线与 x 轴的交点为 $ (\xi_n, 0) $，求极限 $ \lim_{n \to \infty} f(\xi_n) $. 答案 →
238 综合题 设函数 $ f(x) $ 连续可导，且 $ \lim_{x \to 1} \frac{f(3x-1)+3}{x-1} = 3 $，求曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (2, f(2)) $ 处的法线方程. 答案 →
239 综合题 设函数 $ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{\sqrt[n]{1+x^{2n}}} $，则 $ f(x) $ 在 $ (-\infty,+\infty) $ 内（ ）。 答案 →
(A) 处处可导
(B) 有一个不可导点
(C) 有两个不可导点
(D) 有三个不可导点
240 综合题 设函数 $ f(x) $ 有连续的导函数，且 $ f(1)=0 $， $ f'(1)=1 $，若函数 $ g(x)=\{\begin{aligned}&\frac{f(e^{2x})+\ln(1-4x)}{x},&x\neq0\\&b,&x=0\end{aligned}. $ 在 x=0 处连续，则常数 $ b= $___。 答案 →
241 综合题 设函数 $ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^3\mathrm{e}^{n(x-1)}+3ax+b}{\mathrm{e}^{n(x-1)}+1} $，试解答下列问题. 答案 →
(1) 求函数 $ f(x) $ 的解析式；
(2) 讨论 a 和 b 为何值时，函数 $ f(x) $ 在 x=1 处可导；
(3) 求导函数 $ f'(x) $.
242 综合题 设函数 $ f(x) $ 可导， $ y = f(\sin^2 x) + f(\cos^2 x) $，求 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=\frac{\pi}{2}} $。 答案 →
243 综合题 设函数 $ f(x) $ 可导， $ y = f[f(1 + 3x^2)] $，求 $ \frac{dy}{dx} $ 答案 →
244 综合题 已知两曲线 $ y = f(x) $ 与 $ y = \frac{3 + \ln x}{x} $ 在点 x = 1 处的切线相同，设 $ F(x) = f^2(\mathbf{e}^x) $，求 $ F'(0) $. 答案 →
245 综合题 设函数 $ f(x) $ 在点 x=0 处二阶可导，且 $ \lim_{x \to 0} \frac{e^{f(x)} - 1}{1 - \cos x} = 2 $，求 $ f''(0) $. 答案 →
246 综合题 设函数 $ f(x) $ 可导， $ y = f(x^2) $，求 $ \left.\frac{d^3y}{dx^3}\right|_{-0} $ 答案 →
247 综合题 已知函数 $ f(x) $ 任意阶可导，且 $ f'(x) = e^{f(x)} $，则 $ f(x) $ 的 $ n (n \gt 1) $ 阶导数 $ f^{(n)}(x) = \left(\begin{array}{ll} & \end{array}\right) $. 答案 →
(A) $ e^{f(x)} $ (B) $ e^{n f(x)} $ (C) $ (n-1)! $ $ e^{n f(x)} $ (D) $ n!e^{n f(x)} $
248 综合题 设函数 $ f(x)=(x+1)^{n}e^{-x^{2}} $，求 $ f(x) $ 在 x=-1 处的 n 阶导数 $ f^{(n)}(-1) $. 答案 →
249 综合题 设 $ x = \varphi(y) $ 是函数 $ y = x + \ln x $ 的反函数，求二阶导数 $ \frac{d^2 x}{dy^2} $. 答案 →
250 综合题 设函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}x^{3}\sin\frac{1}{x}+\sin x+1,&x\neq0\\1,&x=0\end{aligned}. $ 答案 →
(1) 讨论 $ f(x) $ 在 x=0 处的连续性与可导性；
(2) 求 $ f'(x) $，并讨论 $ f'(x) $ 在 x=0 处的连续性与可导性；
(3) 求 $ f''(x) $.
251 综合题 设函数 $ y = f(x) $ 由方程 $ \ln(x^2 + y) = x^3y + \sin x $ 确定，求极限 $ \lim_{x \to \infty} x \left(1 - f\left(\frac{2}{x}\right)\right) $. 答案 →
252 综合题 已知函数 $ f(x) $ 二阶可导，且 $ f'(1)=1 $，函数 $ y=y(x) $ 由方程 $ xy - e^x + e^y = 0 $ 确定。设函数 $ z = f(e^x - \sin x) $，求 $ \left.\frac{d^2z}{dx^2}\right|_{x=0} $。 答案 →
253 综合题 设函数 $ y = y(x) $ 由参数方程 $ \begin{cases} x = 2t^3 + 3t + 1 \\ e^y \sin t - y + 2 = 0 \end{cases} $ 确定，求 $ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{t=0} $ 答案 →
254 综合题 求由参数方程 $ \begin{cases} x = t - \ln\sqrt{1 + e^{2t}} \\ y = \arctan e^t \end{cases} $ 确定的函数 $ y = y(x) $ 的三阶导数 $ \frac{d^3y}{dx^3} $. 答案 →
255 综合题 求阿基米德螺线 $ \rho = \theta $ 在点 $ (\rho, \theta) = \left( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ 处的切线方程与法线方程（用直角坐标表示）. 答案 →
256 综合题 设函数 $ f(u) $ 可微，函数 $ y = f(e^{2x}) $ 在 $ x = 0 $ 处当自变量取得增量 $ \Delta x = -0.1 $ 时，相应的函数增量 $ \Delta y $ 的线性主部也为 -0.1．求导数 $ f'(1) $． 答案 →
257 综合题 已知函数 $ f(x) $ 可导，且 $ f'(x) = \arctan \frac{1}{x} $。设 $ y = f\left(\frac{2x-1}{x+1}\right) $，则微分 $ \mathrm{d}y|_{x=2} = $ ___。 答案 →
258 综合题 已知函数 $ f(x) $ 可导，且 $ f'(0) \neq 0 $。设 $ y = y(x) $ 是由参数方程 $ \begin{cases} x = f(\ln t) \\ y = f(t^3 - 1) \end{cases} $ 确定的函数，求函数在 $ t = 1 $ 时的微分 $ \mathrm{d}y|_{t=1} $。 答案 →