第6章 定积分的应用

第6章

定积分的应用

第一节 定积分在几何学上的应用

一、 直角坐标系下平面图形的面积

1. X型区域：图形曲边是关于x的函数.

X型区域的面积计算口诀是“以上、下曲边的函数差作被积函数”，该分割时就分割.

由 $ y = f(x) $, $ y = g(x)(f(x) \geqslant g(x)) $, x = a, x = b (a < b) 所围成的平面区域（图 6-1）的面积 $ S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx $.

评注

(1) 当 $ g(x)=0 $ 时，由 $ y=f(x), y=0(f(x) \geqslant 0), x=a, x=b(a\lt b) $ 所围成的平面区域为曲边梯形（图 6-2），面积 $ S=\int_{a}^{b} f(x) dx $.

(2) 若在 $ [a,b] $ 上，图形的上曲边或者下曲边不能用同一个解析函数表示（图 6-3），则从 x = c 处分割，面积 $ S = \int_{a}^{c} [f(x) - g(x)] \, dx + \int_{c}^{b} [g(x) - f(x)] \, dx $。

1. Y型区域：图形曲边是关于y的函数.

Y型区域的面积计算口诀是：“以右、左曲边的函数差作被积函数”，该分割时就分割.

由 $ x=\psi(y),x=\varphi(y)(\psi(y)\geqslant\varphi(y)),y=c,y=d(c\lt d) $所围成的平面区域(图6-4(A))

的面积 $ S=\int_{c}^{d}\left[\psi(y)-\varphi(y)\right]dy $

评注

若区域的右曲边或左曲边不能用同一个解析函数表示，也需要将平面图形分割后再分别列式计算（图6-4(B)）。

1. 计算平面图形面积的步骤.

第1步：画出围成平面图形的曲线，确定平面区域.

第2步：计算出必要的交点坐标.

第3步：根据平面图形的特点，选择平面图形的区域类型（尽量不分割）.

第4步：确定平面图形的上、下曲边或者右、左曲边，列式计算.

601 基础题 求曲线 $ y = \sqrt{x} $, y = 0, x = 4 所围成的平面图形的面积. 答案 →

602 基础题 求曲线 $ x = \sqrt{y} $、直线 y = x + 1, y = 1 与 x 轴所围成的平面图形的面积. 答案 →

603 基础题 求曲线 $ y = x^{3} $ 与直线 y = x 所围成的平面图形的面积. 答案 →

604 基础版 求曲线 $ y = -x^{2} + 4 $ 与直线 y = -2x + 4 所围成的平面图形的面积. 答案 →

605 基础题 若曲线 $ y = \sqrt{ax} $ ( $ a \gt 0 $) 与 x 轴及直线 x = 3 所围成的图形面积等于 6，求常数 a. 答案 →

606 基础题 计算由曲线 $ y=2^x $ 和直线 $ x+2y=2 $, $ x=2 $ 所围成的平面图形的面积. 答案 →

607 中等题 求曲线 $ y = x^2 - x $ 与 x 轴所围成的平面图形及直线 $ y = 2x + 6 $、曲线 $ y = x^2 - x $、x 轴在 $ x \gt 1 $ 时所围成的平面图形的面积之和. 答案 →

608 中等题 求 $ y = x^{2} $ 在点 (2,4) 处的切线与 $ y = -x^{2} + 4x + 1 $ 所围图形的面积. 答案 →

609 中等题 计算由 $ y^{2}=9-x $，直线 x=2 及 y=-1 所围成的平面图形上面部分（面积大的那部分）的面积. 答案 →

610 中等题 计算由曲线 $ y = x\cos(2x)\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right) $ 和直线 y = 0 所围成的平面图形的面积. 答案 →

611 中等题 求由曲线 $ y = e^x (y \leq 1) $， $ y = e^{-x} (y \leq 1) $ 和直线 $ x = 1 $， $ x = -1 $， $ y = 0 $ 所围成的平面图形的面积. 答案 →

612 中等题 求由曲线 $ y = x \ln x $ 和直线 y = x，y = 0 所围成的平面图形的面积. 答案 →

613 中等题 求由曲线 $ y = \sin x $， $ y = \cos x $ 和直线 x = 0， $ x = 2\pi $ 所围成的平面图形的面积. 答案 →

614 中等题 求由曲线 $ y = x^{2} $， $ x^{2} + y^{2} = 2 $ 和直线 y = 0 所围成的平面图形的面积. 答案 →

615 中等题 设由抛物线 $ y = 4x - x^2 $， $ y $ 轴和直线 $ y = b (b \gt 0) $ 所围成的平面图形的面积是仅由抛物线 $ y = 4x - x^2 $ 及直线 $ y = b $ 所围图形面积的一半，求 $ b $。 答案 →

616 中等题 直线 y = x 将椭圆 $ x^{2} + 3y^{2} - 6y = 0 $ 分成两部分，求直线下方的面积 S. 答案 →

617 综合题 已知抛物线 $ y = px^2 + qx $（其中 $ p \lt 0, q \gt 0 $）在第一象限内与直线 $ x + y = 5 $ 相切，且抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 $ S $。 答案 →

(1) p 和 q 为何值时，S 达到最大值？

(2) 求出此最大值.

618 综合题 在抛物线 $ y = x^2 (0 \leq x \leq 1) $ 上找一点 $ P $，使过点 $ P $ 的水平直线与抛物线以及直线 $ x = 0 $， $ x = 1 $ 所围成的平面图形面积最小. 答案 →

619 综合题 求两抛物线 $ y = x^2 $， $ y = -x^2 + 4x - 4 $ 的公切线，并求此公切线与此二抛物线所围图形的面积. 答案 →

620 综合题 设抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 满足下列两个条件: (1) 过 $ (0,0) $ 和 $ (1,2) $ 两点，且 $ a \lt 0 $; (2) 与抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 围成的图形面积最小，求 $ a,b,c $. 答案 →

二、 极坐标系下平面图形的面积

计算公式

1. 若平面区域 D 是由曲线 $ r = r(\theta), \theta = \alpha, \theta = \beta (\alpha \lt \beta) $ 所围成（图 6-5），则面积 $ S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^{2} (\theta) d\theta $.

1. 若平面区域 D 是由曲线 $ r = r_{1}(\theta) $, $ r = r_{2}(\theta) $, $ \theta = \alpha $, $ \theta = \beta $ ( $ \alpha \lt \beta $) 所围成，如图 6-6，则面积 $ S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} (r_{2}^{2}(\theta) - r_{1}^{2}(\theta)) \, d\theta $.

评注

(1) 极坐标下计算平面图形的面积有两个关键：

第一是围成平面图形的曲边 $ r = r(\theta) $ 或 $ r = r_{1}(\theta) $， $ r = r_{2}(\theta) $ 等；

第二是平面图形的角度 $ \theta $的范围.

(2) 记住一些极坐标下的常见曲线的图形：心形线、双纽线、对数螺线和阿基米德螺线等.

621 基础题 求曲线 $ \rho = a\cos\theta + b $ ( $ b \geqslant a \gt 0 $) 所围图形的面积. 答案 →

622 中等题 求由曲线 $ \rho = a \sin \theta $， $ \rho = a (\cos \theta + \sin \theta) (a \gt 0) $ 所围图形公共部分的面积. 答案 →

三、 用参数方程表示的曲线所围平面图形的面积

计算公式

设曲线 L 的参数方程为 $ \{\begin{aligned}x&=x(t)\\ y&=y(t)\end{aligned}. $， $ \alpha\leqslant t\leqslant\beta $，其中 $ x(t) $， $ y(t) $ 都连续.

1、当 $ y(t) \geqslant 0 $， $ x(t) $ 可导， $ x'(t) \gt 0 $，且 $ x(\alpha) = a, x(\beta) = b $ 时，由 x = a, x = b, x 轴及曲线 L 所围图形的面积为 $ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} y(t) x'(t) \, dt $.

其中 $ y = f(x), x \in [a, b] $ 是 L 的直角坐标方程.

1. 当 $ x(t) \geqslant 0 $, $ y(t) $ 可导, $ y'(t) \gt 0 $, 且 $ y(\alpha) = c $, $ y(\beta) = d $ 时, 由 y = c, y = d, y 轴及曲线 L 所围图形的面积为 $ S = \int_{\alpha}^{\beta} x(t) y'(t) dt $.

评注

上述两个公式可以由定积分换元法得到.

623 基础题 求旋轮线 $ L: \begin{cases} x = a(t - \sin t) \\ y = a(1 - \cos t) \end{cases}, t \in [0, 2\pi], (a \gt 0) $ 与 x 轴所围平面图形的面积. 答案 →

624 中等题 设 $ P $ 为曲线 $ \begin{cases} x = \cos t \\ y = 2\sin^2 t \end{cases} $， $ t \in [0, \frac{\pi}{2}] $ 上一点，该曲线与直线 $ OP $ 及 $ x $ 轴所围成图形的面积为 $ S $，求函数 $ \frac{dS}{dt} $ 取得最大值时点 $ P $ 的坐标. 答案 →

四、 旋转体的体积

计算公式

1. 由 x = a, x = b (0 < a < b), y = f(x) (f(x) > 0), y = 0 所围成的曲边梯形（图 6-7）绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 $ V_x = \int_a^b \pi [f(x)]^2 \, dx $，绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 $ V_y = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx $。

1. 由 $ y = c $, $ y = d $ ( $ 0 \lt c \lt d $), $ x = \varphi(y) $ ( $ \varphi(y) \gt 0 $), x = 0 所围成的曲边梯形 (图 6-8) 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 $ V_y = \int_c^d \pi [\varphi(y)]^2 \, \mathrm{d}y $，绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 $ V_x = 2\pi \int_c^d y \varphi(y) \, \mathrm{d}y $.

1. 由 x=a, x=b(0<a<b), y=f_{1}(x), y=f_{2}(x), (f_{2}(x)>f_{1}(x)>0) 所围成的平面图形（图 6-9）

$$ V_{x}=\int_{a}^{b}\pi[f_{2}(x)]^{2}\mathrm{d}x-\int_{a}^{b}\pi[f_{1}(x)]^{2}\mathrm{d}x=\pi\int_{a}^{b}[f_{2}^{2}(x)-f_{1}^{2}(x)]\mathrm{d}x. $$

绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为

$$ V_{y}=2\pi\int_{a}^{b}x f_{2}(x)\mathrm{d}x-2\pi\int_{a}^{b}x f_{1}(x)\mathrm{d}x=2\pi\int_{a}^{b}x[f_{2}(x)-f_{1}(x)]\mathrm{d}x. $$

625 基础题 计算曲线 $ \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1, y=\pm3 $ 所围平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 答案 →

626 基础题 计算曲线 $ xy = 3, x + y = 4 $ 所围平面图形绕 x 轴旋转而成的立体体积. 答案 →

627 基础题 计算曲线 $ y = e^{-x} $ 在第一象限中的部分分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 答案 →

628 基础题 计算曲线 $ y = e^{-x^2} $, x = 0, x = -1 及 x 轴所围平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 答案 →

629 基础题 计算曲线 $ x^{2}+(y-2a)^{2}=a^{2}(a\gt 0) $ 所围平面图形绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积. 答案 →

630 中等题 过原点作曲线 $ y = \ln x $ 的切线，求由切线、曲线及 x 轴所围平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积. 答案 →

631 中等题 曲线 $ y = xe^{-x} (0 \leq x \lt +\infty) $ 绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积. 答案 →

632 综合题 求 $ y = \sqrt{1 - (x - 2)^2} $ 与 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 所围平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 $ V_x $ 和 $ V_y $. 答案 →

633 综合题 设曲线 $ \{\begin{aligned}x&=\cos^{3}t\\ y&=\sin^{3}t\end{aligned}. $，求曲线所围的平面图形绕直线 y=1 旋转所成旋转体的体积. 答案 →

634 综合题 过曲线 $ y = \sqrt{x} $ 上某点 $ A $ 做切线，使之与曲线及 $ y $ 轴围成的图形面积为 $ \frac{1}{12} $，求 (1) 切点 $ A $ 的坐标; (2) 过点 $ A $ 的切线方程; (3) 由上述图形绕 $ x $ 轴和绕 $ y $ 轴旋转所得旋转体的体积. 答案 →

635综合题 设曲线方程 $ y = e^{-x}(x \geq 0) $，(1) 把曲线 $ y = e^{-x}(x \geq 0) $，x 轴，y 轴和直线 $ x = \xi (\xi \gt 0) $ 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周，得一旋转体，此旋转体的体积为 $ V(\xi) $，求满足 $ V(a) = \frac{1}{2} \lim_{\xi \to +\infty} V(\xi) $ 的 $ a $；(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求该面积 $ S $。 答案 →

五、 旋转体的侧面积（旋转曲面面积）

计算公式

1. 由曲线 $ y = f(x) $, $ a \leq x \leq b $ 绕 x 轴旋转而成的旋转体的侧面积

$$ S=2\pi\int_{a}^{b}\mid f(x)\mid\sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}\mathrm{d}x. $$

1. 由曲线 $ x = \varphi(y), c \leqslant y \leqslant d $ 绕 y 轴旋转而成的旋转体的侧面积

$$ S=2\pi\int_{c}^{d}\mid\varphi(y)\mid\sqrt{1+\left[\varphi^{\prime}(y)\right]^{2}}\mathrm{d}y. $$

1. 曲线方程为 $ \{\begin{aligned}x=x(t)\\ y=y(t)\end{aligned}. $， $ \alpha\leqslant t\leqslant\beta $，且 $ x'(t)\neq0 $，则该曲线绕 x 轴旋转而成的旋转体的侧面积 $ S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)|\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}dt $.

1. 曲线方程为 $ \{\begin{aligned}x=x(t)\\ y=y(t)\end{aligned}. $， $ \alpha\leqslant t\leqslant\beta $，且 $ y'(t)\neq0 $，则该曲线绕 y 轴旋转而成的旋转体的侧面积 $ S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}\left|x(t)\right|\sqrt{\left[x'(t)\right]^{2}+\left[y'(t)\right]^{2}}dt $.

636 基础题 摆线的参数方程为 $ x = a(t - \sin t) $, $ y = a(1 - \cos t) $, $ 0 \leq t \leq 2\pi $，常数 $ a \gt 0 $，计算 (1) 该弧段绕 x 轴旋转一周而成的旋转曲面的面积 $ S_x $；(2) 该弧段绕 y 轴旋转一周而成的旋转曲面的面积 $ S_y $。 答案 →

637 基础题 曲线 $ y^{2}=2x+3(0\leq x\leq3) $ 绕 x 轴旋转而成的旋转体的侧面积. 答案 →

六、 平面曲线的弧长

计算公式

1. 曲线 $ y = f(x), a \leqslant x \leqslant b $ 的弧长（其中 $ f'(x) $ 连续） $ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx $ （直角坐标）.

1. 曲线 $ \{\begin{aligned}x=x(t)\\ y=y(t)\end{aligned}. $， $ \alpha\leqslant t\leqslant\beta $ 的弧长（其中 $ x'(t),y'(t) $ 均连续，且不同时为零）

$ s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}\mathrm{d}t $ （参数方程）.

1. 曲线 $ r=r(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta $ 的弧长（其中 $ r(\theta), r'(\theta) $ 均连续，且不同时为零）

$ s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^{2}(\theta) + [r'(\theta)]^{2}} \, \mathrm{d}\theta $ （极坐标）.

638 基础题 计算曲线 $ y = x\sqrt{x} $ ( $ 0 \leq x \leq 4 $) 的弧长. 答案 →

639 基础题 计算曲线 $ y = \ln(\cos x), 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} $ 的弧长. 答案 →

640 基础题 计算曲线 $ y=\int_{0}^{x}\tan tdt,0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{4} $ 的弧长. 答案 →

641 基础题 计算圆的渐开线 $ \begin{cases} x = a(\cos t + t\sin t) \\ y = a(\sin t - t\cos t) \end{cases} $， $ 0 \leq t \leq 2\pi $ 的弧长 $ (a \gt 0) $. 答案 →

642 基础题 当 $ 0 \leq \theta \leq \pi $ 时，求对数螺线 $ r = e^\theta $ 的弧长 $ s $. 答案 →

643 中等题 计算曲线 $ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 $ 的弧长. 答案 →

644 中等题 计算曲线 $ y = x^{\frac{3}{2}} $, y = 2 - x 及 y 轴围成的平面图形边界曲线的周长. 答案 →

645综合题 设 $ \rho = \rho(x) $ 是抛物线 $ y = \sqrt{x} $ 上任一点 $ M(x, y) (x \geq 1) $ 处的曲率半径， $ s = s(x) $ 是该抛物线上介于点 $ A(1,1) $ 与 $ M $ 之间的弧长，计算 $ 3\rho\frac{d^2\rho}{ds^2} - \left(\frac{d\rho}{ds}\right)^2 $ 的值（直角坐标系下曲率公式为 $ K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}} $）。 答案 →

七、 平行截面面积为已知的立体体积

计算公式

1. 夹在两平行平面 $ x=a, x=b $ ( $ a \lt b $) 间的立体的截面面积函数 $ A(x) $ 已知，且是 $ x \in [a, b] $ 上的连续函数，则该立体体积为 $ V = \int_{a}^{b} A(x) \, dx $.

1. 夹在两平行平面 $ y = c, y = d (c \lt d) $ 间的立体的截面面积函数 $ A(y) $ 已知，且是 $ y \in [c, d] $ 上的连续函数，则该立体体积为 $ V = \int_{c}^{d} A(y) \, \mathrm{d}y $.

646 中等题 设平面图形 $ A $ 由 $ x^2 + y^2 \leq 2x $ 与 $ y \geq x $ 所确定，求图形 $ A $ 绕直线 $ x = 2 $ 旋转一周所成旋转体的体积. 答案 →

647 中等题 求曲线 $ y = 3 - |x^2 - 1| $ 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y = 3 旋转一周所成旋转体的体积. 答案 →

648 中等题 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 $ 2a, 2b $，用过此柱体底面的短轴与底面成 $ \alpha\left(0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}\right) $ 角的平面截此柱体，得一楔形体（如图 6-10），求此楔形体的体积 $ V $。 答案 →

649 中等题 过坐标原点作曲线 $ y = \ln x $ 的切线，该切线与曲线 $ y = \ln x $ 及 x 轴围成的平面图形 D. 求 (1) D 的面积 A; (2) D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 答案 →

第二节 定积分在物理学上的应用

660 基础题 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 $ v|_{m=0} = v_{0} $。已知阻力与速度成正比（比例常数为 1），问 t 为多少时此质点的速度为 $ \frac{v_{0}}{3} $？并求到此时刻该点所经过的路程。 答案 →

651 综合题 为消除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图6-11）。已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起污泥重 200N，提升速度为 3m/s。在提升过程中，污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功（说明：① $ 1N \times 1m = 1J $； $ m, N_{s}, J $ 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度、位于井口上方的缆绳长度忽略不计）？ 答案 →

652 综合题 某闸门的形状与大小如图 6-12 所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5:4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m（米）？ 答案 →

653 综合题 某建筑工程打地基时，需用气锤将桩打进土层。气锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 $ k, k \gt 0 $）。气锤第一次击打将桩打进地下 $ a $ m。根据设计方案，要求气锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 $ r (0 \lt r \lt 1) $。 答案 →

(1) 求气锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

(2) 若击打次数不限，气锤至多能将桩打进地下多深？

654 综合题 一个高为 $ l $ 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 $ 2a $，短轴为 $ 2b $ 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 $ \frac{3}{2}b $ 时（图 6-13），计算油的质量（长度单位为 $ m $，质量单位为 $ kg $，油的密度为常数 $ \rho kg/m^3 $）。 答案 →

655 综合题 一容器的内侧是由图 6-14 中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 $ x^2 + y^2 = 2y $ ( $ y \geq \frac{1}{2} $) 与 $ x^2 + y^2 = 1 $ ( $ y \leq \frac{1}{2} $) 连接而成。 答案 →

(1) 求容器的容积.

(2) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽走，至少需要做多少功（长度单位为 m，重力加速度为 g m/s²，水的密度为 10³kg/m³）？

656 综合题 设曲线 $ L $ 的方程为 $ y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}\ln x $ ( $ 1 \leq x \leq e $). 答案 →

(1) 求 L 的弧长.

(2) 设 D 是由曲线 L，直线 x=1, x=e 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标.