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前言

本书是 A. V. 奥本海姆等所著《信号与系统》一书中前十章 338 个习题的详细解答。

A. V. 奥木海姆等所著《信号与系统》是作者继其所著《数字信号处理》之后又一本成功之作，颇受欢迎。我国已有部分重点院校直接采用英文原版及中译本作为本科生的教材、该书中的许多习题已被国内最近几年出版的多本《信号与系统》书籍所引用。

本书习题有以下特点：立题具有针对性，目的明确。它们或者要证明一个基本定理和重要结论，或者要建立某个新概念，或者要建立某一类型问题的一般分析方法。因而常常一个习题中包括许多小题，层层深入，耐人寻味。本书习题还作为理论联系实际，拓宽知识面的一种重要手段，其中有许多习题是将近几年来科技成果简化、抽象成基本理论问题而建立的，而且有大量习题的类型和内容都是国内同类书籍中未曾见过的，很有参考价值。本书习题很有启发性，许多习题粗看起来既此又彼，作题时起步较难，但稍加思考，就会发现解法并不难，并在其中得到不少启发。由此可知，本书为读者深化《信号与系统》的概念，掌握基本理论和分析方法，进而培养观察问题、分析和解决问题的能力，以及开拓读者的智力将会起到重要作用。

《信号与系统》是电子工程、无线电技术、通信、自动控制、生物电子学等学科不同专业本科生的主干课程，是硕士研究生、博士生入学考试的主要课程，也是成千上万电大生与成人自学者的主要课程之一。因此，本书将为上述不同学科各专业的教师、工程技术人员、学生以及成人自学者提供一本很有实用价值的参考书。

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需要说明，为了节省篇幅，我们在保持原书题号和图号不变的情况下，对原书习题中的一些文字叙述作了改写和删减。由于一个习题的解法往往有多种，考虑到篇幅所限，除个别有代表性的习题外，一般只选一种解法，且对不同小题采用不同解法。再则，个别习题原书引用了正文中的公式和图，为使本书能独立使用，我们将这些公式和图重新编号归在该题中。此外，考虑到为采用不同《信号与系统》书籍的读者使用，所以将原书中的主要公式汇集成第一章（原书第一章无习题），因而无原书的读者完全可独立使用本习题解答。

原书习题中有疏漏或错误之处，都作了更正。但由于习题量大，类型多，成书时间紧，加之我们水平有限，错误和不妥之处可能有之，恳请广大读者批评指正。

自1985年以来，我们在电子工程系不同专业的本科生中一直采用 A. V. 奥本海姆所著《信号与系统》为教材。在整理、加工本书的过程中，我们得到了不少同志的帮助和支持，其中，吕幼新、何述子为本书进行了校对工作，在此谨表谢意。

编者

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第一章全书主要公式和内容摘要

1. 单位冲激信号 $ \delta(t) $ 的基本特性

$$ \sigma\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t-t_{0})d t=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+t_{0})\delta(t)d t=x(t_{0}) $$

$$ \int_{a}^{b}\varphi\left(t\right)\delta\left(t\right)d t=\left\{\begin{aligned}&\varphi(0)&&ab<0\\ &0&&ab>0\\ & 无定义 &&ab=0\end{aligned}\right. $$

$$ \delta\left(a t\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\;\delta(t) $$

$$ d.~x(t)\delta(t-t_{0})=x(t_{0})\delta(t-t_{0}) $$

$$ \begin{aligned}{e\cdot\delta(-t)}&{{}=\delta(t),\delta^{\prime}(-t)=-\delta^{\prime}(t),\delta^{\prime\prime}(-t)=\delta^{\prime\prime}(t)}\\ {\delta^{\prime\prime\prime}(-t)}&{{}=-\delta^{\prime\prime\prime}(t),\cdots}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}t.\frac{du(t)}{dt}&=\delta(t)=u_{0}(t),\quad\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau=u(t)=u_{-1}(t)\\\delta^{\prime}(t)&=u_{1}(t),\quad u_{k}(t)=u_{1}(t)\underbrace{*\cdots*\underbrace{*}_{k 次 }}u_{1}(t)\end{aligned} $$

$$ u_{-k}(t)=u_{-1}(t)*\cdots*u_{-1}(t)=\int_{-\infty}^{t}u_{-(k-1)}(\tau)d\tau,(k>0) $$

$$ g,x(t)*\delta(t-t_{0})=x(t-t_{0}) $$

$$ h.\;\delta(t-t_{1})*\delta(t-t_{2})=\delta(t-t_{1}-t_{2}) $$

$$ i.\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^{\prime}(t)d t=0,\int_{-\infty}^{t}\delta^{\prime}(\tau)d\tau=\delta(t) $$

$$ \dot{q}.\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta^{(n)}(t)d t=(-1)^{n}x^{(n)}(0),x(t)*\delta^{(k)}(t)=x^{(k)}(t) $$

对于离散时间单位冲激信号(序列) $ \delta[n] $也有许多类似的性

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质，主要有

$$ a.\ u_{-1}[n]=u[n]=\sum_{k=0}^{+\infty}\delta[n-k]\ 或 \ u[n]=\sum_{m=-\infty}^{n}\delta[m] $$

$$ u_{0}[n]=s[n]=u[n]-u[n-1] $$

$$ c.~u_{1}[n]=\delta[n]-\delta[n-1] $$

$$ \therefore u_{k}[n]=\underbrace{u_{1}[n]*u_{1}[n]*\cdots*u_{1}[n]}_{k 次 },\quad k>0 $$

$$ u_{-k}[n]=\underbrace{u_{1}[n]*u_{-1}[n]*\cdots*u_{-1}[n]}_{k 次 },\quad k>0 $$

$$ e.~x[n]*\delta[n]=x[n],x[n]*u_{1}[n]=x[n]-x[n-1] $$

$$ x[n]*u[n]=\sum_{m=-\infty}^{n}x[m] $$

$$ g.~x~[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k] $$

2. 线性时不变系统的主要特性

a. 线性

$$ a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)\to a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t) $$

$$ a_{1}x_{1}[n]\;+\;a_{2}x_{2}[n]\to a_{1}y_{1}[n]\;+\;a_{2}y_{2}[n] $$

b. 时不变性

$$ x\left(t-\tau_{0}\right)\to y\left(t-\tau_{0}\right),x\left[n-n_{0}\right]\to y\left[n-n_{0}\right] $$

c. 微(差)分特性

$$ d x(t)/d t\to d y(t)/d t,x[n-k]\to y[n-k] $$

d. 积分(累加)特性

$$ \int_{0}^{t}x(\tau)d\tau\to\int_{0}^{t}y(\tau)d\tau,\quad\sum_{k=0}^{N}\quad x[k]\to\sum_{k=0}^{N}\quad y[k] $$

e. 因果性

若 $ t < t_{0} $ 时， $ x(t) = 0 $，则 $ t < t_{0} $ 时， $ y(t) = 0 $

若 $ n < n_{0} $ 时， $ x[n] = 0 $，则 $ n < n_{0} $ 时， $ y[n] = 0 $

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1. 无记忆性

$$ y(t)=Kx(t),\ y[n]=Kx[n]\ K 为常数 $$

g. 可逆性

$$ h(t)*h_{1}(t)=\delta(t),h[n]*h_{1}[n]=\delta[n] $$

式中 $ h_{1}(t) $ 与 $ h_{1}[n] $ 分别为 $ h(t) $ 与 $ h[n] $ 的逆系统.

h. 稳定性

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\left|h(\tau)\right|d\tau<\infty,\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\left|h[k]\right|<\infty $$

i. 冲激响应与阶跃响应的关系

$$ s(t)=\int_{-\infty}^{t}h(\tau)d\tau,h(t)=d s(t)/d\tau $$

$$ s[n]=u[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}h[k],h[n]=s[n]-s[n-1] $$

i. 卷积特性

$$ \begin{aligned}{y(t)}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau}\\ {}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau=x(t)*h(t)}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}y[n]=&\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\\=&\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k]=x[n]*h[n]\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&x(t)*h(t)=h(t)*x(t),x[n]*h[n]=h[n]*x[n]\\&x(t)*[h_{1}(t)*h_{2}(t)]=[x(t)*h_{1}(t)]*h_{2}(t)\\&x[n]*(h_{1}[n]*h_{2}[n])=(x[n]*h_{1}[n])*h_{2}[n]\\&x(t)*[h_{1}(t)+h_{2}(t)]=[x(t)*h_{1}(t)]+[x(t)*h_{2}(t)]\\&x[n]*(h_{1}[n]+h_{2}[n])=(x[n]*h_{1}[n])+(x[n]*h_{2}[n])\\ \end{aligned} $$

3. 信号 $ x(t) $ 与其偶部 $ x_{e}(t) $ 及奇部 $ x_{0}(t) $ 的关系

$$ a.x(t)=x_{0}(t)+x_{e}(t),x[n]=x_{0}[n]+x_{e}[n] $$

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$$ x_{e}(-t)=x_{e}(t),x_{0}(-t)=-x_{0}(t) $$

$$ x_{e}[-n]=x_{e}[n],x_{0}[-n]=-x_{0}[n] $$

$$ c.x_{e}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2},x_{0}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2} $$

$$ x_{e}\left[n\right]=\frac{x\left[n\right]+x\left[-n\right]}{2},\quad x_{0}\left[n\right]=\frac{x\left[n\right]-x\left[-n\right]}{2} $$

d. 若 t<0 时 $ x(t)=0 $ ，则 $ x(t)=2x_{e}(t)=2x_{0}(t) $

若 n<0 时 $ x[n]=0 $，则 $ x[n]=2x_{[n]}=2x_{0}[n] $

$$ \begin{align*}e.\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}(t)dt&=\int_{-\infty}^{+\infty}x_{e}^{2}(t)dt+\int_{-\infty}^{+\infty}x_{0}^{2}(t)dt,\quad t>0\\\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x^{2}[n]&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{e}^{2}[n]+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{0}^{2}[n],\quad n>0\end{align*} $$

4. 信号的基本运算

a. 相加：任一瞬间的和信号等于同一瞬间相加信号瞬时值之和。

$$ y(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t),\quad y[n]=x_{1}[n]+x_{2}[n] $$

b. 相乘：任一瞬间的乘信号等于同一瞬间相乘信号瞬时值之积。

$$ y(t)=x_{1}(t)x_{2}(t),\quad y[n]=x_{1}[n]x_{2}[n] $$

c. 幅度加权：信号的幅值在每一时刻都乘以常数 a。

$$ y(t)=a x(t),~y[n]=a x[n] $$

d. 反褶：以变量 -t（或 -n）代替 $ x(t) $（或 x[n]）中的独立变量 t（或 n）。

$$ y(t)=x(-t),\ y[n]=x[-n] $$

e. 时移：以变量 $ t - t_{0} $（或 $ n - n_{0} $）代替 $ x(t) $（或 $ x[n] $）中的独立变量 t（或 n）。 $ t_{0} > 0 $（或 $ n_{0} > 0 $）时为右移， $ t_{0} < 0 $（或 $ n_{0} < 0 $）时为左移。

$$ y(t)=x(t-\iota_{0}),y[n]\leftrightarrow x[n-n_{0}] $$

f. 标度变换：以变量 at（或 n/k）代替 $ x(t) $（或 x[n]）中的独

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立变量 t (或 n).

$ y(t)=x(at)\left\{\begin{aligned}&|a|>1\text{时}, 表示 x(t) 在时间轴上被压缩\\&1/|a|\text{倍},\\&|a|<1\text{时}, 表示 x(t) 在时间轴上被扩展\\&|a|\text{倍}\end{aligned}\right. $

$ x_{k}[n]=\left\{\begin{aligned}&x[n/k], 若 n 是 k 的整倍数。\\&0\quad 若 n 不是 k 的整倍数。\end{aligned}\right. $

其中 $ x_{k}[n] $ 是从原信号 x[n] 的相继值之间加入 (k-1) 个零点而构成。

g. 微(差)分：

$$ y(t)=dx(t)/dt,y[n]=x[n]-x[n-1] $$

h. 积分(累加):

$$ y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau,y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k] $$

i. 卷积：

$$ \begin{aligned}y(t)&=x_{1}(t)*x_{2}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x_{1}(\tau)x_{2}(t-\tau)d\tau\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}x_{1}(t-\tau)x_{2}(\tau)d\tau\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}y[n]&=x_{1}[n]*x_{2}[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\dot{x}_{1}[n]x_{2}[n-k]\\&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_{2}[n]x_{1}[n-k]\end{aligned} $$

i. 相关

$$ \phi_{x x}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)x(\tau)d\tau=x(t)*x(-t) $$

$$ \phi_{x y}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)y(\tau)d\tau=x(t)*y(-t) $$

$$ \phi_{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]x[n+k]=x[n]*x[-n] $$

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$$ \phi_{x y}[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]y[n+k]=x[n]*y[-n] $$

5. 几何级数的求值公式

$$ \sum_{n=0}^{n_{2}}\alpha^{n}=\left\{\begin{aligned}&\frac{1-\alpha^{n_{2}+1}}{1-\alpha},&\alpha\neq1\\ &n_{2}+1,&\alpha=1\end{aligned}\right. $$

$$ b\sum_{n=n_{*}}^{n_{2}}\alpha^{n}=\left\{\begin{aligned}&\frac{\alpha^{n_{1}}-\alpha^{n_{2}+1}}{1-\alpha},&\alpha\neq1,\ 0

$$ c\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\alpha^{n}=\frac{1}{1-\alpha},\quad|\alpha|<1 $$

$$ \sum_{n=1}^{+\infty}\iota t^{n}=\frac{\alpha}{1-\alpha},\ \left|\alpha\right|<1 $$

$$ e\cdot\sum_{n=n_{+}}^{+\infty}\alpha^{n}=\frac{\alpha^{n_{1}}}{1-\alpha},\quad|\alpha|<1 $$

6. 傅氏变换、拉氏变换和变换

a. LTI 系统 $ ^{*} $对复指数的响应

(i)

$$ e^{s t}\to H(s)e^{s t},\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}e^{s k^{t}}\to\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}H(s_{k})e^{s k^{t}} $$

其中

$$ H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau $$

(ii)

$$ z^{n}\to H(z)z^{n},\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}z_{k}^{n}\to\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}H(z_{k})z_{k}^{n} $$

其中

$$ H\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h[n]z^{-n} $$

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b. 傅氏级数公式

(i)

$$ \begin{aligned}{x(t)}&{{}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}e^{i k\omega_{0}t}}\\ {}&{{}=a_{0}+2\sum_{k=1}^{+\infty}[B_{k}\cosk\omega_{0}t-C_{k}\sink\omega_{0}t]}\\ \end{aligned} $$

其中

$$ a_{0}=\frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}x(t)d\tau,~a_{k}=\frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}x(t)e^{-i k\omega_{0}t}d\tau $$

$$ B_{k}=\;\frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}x(t)\cos k\omega_{0}t d t, $$

$$ C_{k}=-\frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}x(t)\sin k\omega_{0}t d t $$

(ii) $ x[n] = \sum_{k=(N)} a_k e^{ik(2n/N)s} $

其中

$$ a_{k}=\frac{1}{N}\sum_{s=(N)}^{*}x[n]e^{-i k(2\pi/N)s} $$

c. 傅氏变换公式

非周期信号：

$$ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega $$

$$ X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-i\omega t}d t $$

（条件： $ \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt<\infty $ 或 $ \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^{2}dt<\infty $）

周期信号：

$$ X(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_{k}\delta(\omega-k\omega_{0}),\qquad\omega_{0}=2\pi/T_{0} $$

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$$ a_{k}=\frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}x(t)e^{-j k\omega_{0}t}d t $$

d. 拉氏变换公式

双边： $ X(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt $

$$ x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{s t}d s $$

单边： $ X_{1}(s)=\int_{0}^{+\infty}x(t)e^{-s}dt $

$$ x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+j\infty}X_{l}(s)e^{s t}d s $$

（双边条件： $ \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)e^{-\sigma t}|dt<\infty $）

e.e 变换公式

双边： $ X(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n} $

$$ \begin{aligned}x[n]&=\frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(z)z^{n-1}dz\\&=\sum_{m}[X(z)z^{n-1} 在 c 内极点的留数]\end{aligned} $$

单边： $ X_{1}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}x[n]z^{-n} $

$$ \begin{aligned}x[n]=&\frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X_{l}(z)z^{n-1}dz\\=&\sum_{i}[X_{l}(z)z^{n-1} 在 c 内极点的留数]\end{aligned} $$

（双边条件： $ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]r^{-n}|<\infty $）

f. 典型信号的三种变换公式

(i) $ \delta(t) \xleftarrow{\mathcal{F}} 1 $, $ \delta[n] \xleftarrow{\mathcal{F}} 1 $

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$$ \begin{array}{l}\delta(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}1~,\quad-\infty<\operatorname{R e}\{s\}<+\infty\\ \delta[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}1~,\quad0\leq|z|\leq+\infty\end{array} $$

(ii)

$$ \begin{aligned}&\mathcal{S}(\imath-\imath_{0})\xleftrightarrow{\mathcal{F}}e^{-j\omega\imath_{0}},\mathcal{S}[n-n_{0}]\xleftrightarrow{\mathcal{F}}e^{-j\mathcal{O}_{n_{0}}}\\\ &\mathcal{S}(\imath-\imath_{0})\xleftrightarrow{\mathcal{L}}e^{-i\imath_{0}},-\infty<\mathrm{R e}\{s\}<+\infty\\ &\mathcal{S}[n-n_{0}]\xleftrightarrow{\mathcal{X}}z^{-n_{0}},0\leqslant|z|\leqslant+\infty\\ \end{aligned} $$

（当 $ n_{0}>0 $时，除去原点）

(iii)

$$ \begin{aligned}{}&{{})~u(t)\xleftarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega),}\\ {}&{{}~u[n]\xleftarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{1-e^{-j\Omega}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\pi\delta(\mathcal{Q}-2\pi k)}\\ {}&{{}~u(t)\xleftrightarrow{\mathcal{L}}1/s,~0<\operatorname{R e}\{s\}}\\ {}&{{}~u[n]\xleftrightarrow{\mathcal{Z}}\frac{1}{1-z^{-1}},~1<|z|}\\ \end{aligned} $$

(iv)

$$ \begin{aligned}&e^{-a t}u(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{a+j\omega},\mathrm{~Re}\{a\}>0\\&a^{n}u[n]\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{1-ae^{-i Q}},\mid a\mid<1\\&e^{-a t}u(t)\xleftrightarrow{\mathcal{L}}\frac{1}{s+a},\mathrm{~Re}\{s\}>-a\\&a^{n}u[n]\xleftrightarrow{\mathcal{Z}}\frac{1}{1-az^{-1}},\mid z\mid>|a|\\ \end{aligned} $$

(v)

$$ \begin{aligned}{}&{{}{}_{t}e^{-a_{t}}u(_{t})\xleftrightarrow{\mathcal{F}}(\frac{1}{(a+j\omega)^{2}},\operatorname{R e}\{a\}>0}\\ {}&{{}n a^{n}u[n]\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\frac{a e^{-j\mathcal{O}}}{(1-a e^{-j\mathcal{O}})^{2}},\mid a\mid<1}\\ {}&{{}t e^{-a_{t}}u(_{t})\xleftrightarrow{\mathcal{L}}(\frac{1}{(s+a)^{2}},\operatorname{R e}\{s\}>-a}\\ \end{aligned} $$

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$$ n\sigma^{n}u[n]\xleftarrow{\tilde{\varepsilon}}\frac{a z^{-1}}{(1-a z^{-1})^{2}},|z|>|a| $$

(vi)

$$ \begin{aligned}{}&{{}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}e^{{i}k\omega_{0}t}\longleftrightarrow2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}\delta(\omega-k\omega_{0})}\\ {}&{{}\sum_{k=(\mathcal{N})}a_{k}e^{{i}k(2\pi/N)n}\longleftrightarrow2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}\delta(\mathcal{Q}-2\pi k/N)}\\ \end{aligned} $$

(vii)

$$ \begin{aligned}{}&{{}e^{j\omega_{0}t}\xleftarrow{\mathcal{G}}2\pi\delta(\mathbf{\mathit{\Omega}}-\mathbf{\mathit{\Omega}}_{0})}\\ {}&{{}e^{j\mathcal{Q}_{0}n}\xleftarrow{\mathcal{G}}2\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\delta(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{0}-2\pi l)}\\ \end{aligned} $$

(viii)

$$ \begin{aligned}{}&{{}\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}2\pi\delta(\omega)}\\ {}&{{}\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}2\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\delta(\mathcal{Q}-2\pi l)}\\ \end{aligned} $$

(ix)

$$ \begin{aligned})&\cos\omega_{0}t\xrightarrow{\mathcal{F}}\pi\left[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})\right]\\&\cos\mathcal{Q}_{0}n\xleftarrow{\mathcal{F}}\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\{\delta(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{0}-2\pi l)\\&\quad+\delta(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{0}-2\pi l)\}\\&\cos\omega_{0}t\cdot u(t)\xleftarrow{\mathcal{L}}\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}},\operatorname{Re}\{s\}>0\\&\cos\mathcal{Q}_{0}n\cdot u[n]\xleftarrow{\mathcal{Z}}\frac{1-\cos\mathcal{Q}_{0}\cdot z^{-1}}{1-2\cos\mathcal{Q}_{0}\cdot z^{-1}+z^{-2}}\mid z\mid>1\end{aligned} $$

(x)

$$ \sin\omega_{0}t\xleftarrow{\mathcal{G}}\frac{\pi}{j}\;[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})] $$

$$ \begin{aligned}{\sin\mathcal{Q}_{0}n\xleftarrow{\mathcal{F}}}&{{}\frac{\pi}{i}\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\{\delta(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{0}-2\pi l)}\\ {}&{{}-\delta(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{0}-2\pi l)\}}\\ \end{aligned} $$

$$ \sin\omega_{0}t\cdot u(t)\xleftarrow{\mathcal{L}}\overleftarrow{s^{2}}\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}},\mathrm{~R e}\{s\}>0 $$

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$$ \sin\mathcal{Q}_{0}n\cdot u[n]\xleftarrow{\mathcal{Z}}\frac{\sin\mathcal{Q}_{0}}{1-2\cos\mathcal{Q}_{0}}\frac{\cdot\ z^{-1}}{\cdot\ z^{-1}+z^{-2}},\quad|z|>1 $$

(xi)

$$ \begin{aligned}{}&{{}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-n T)\longleftrightarrow\frac{\mathcal{F}}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k/T)}\\ {}&{{}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta[n-k T]\longleftrightarrow\frac{\mathcal{F}}{N}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\mathcal{Q}-2\pi k/N)}\\ \end{aligned} $$

$$ \left(\mathrm{x i i}\right)\ x(t)=\left\{\begin{matrix}1,\quad|t|T_{1}\end{matrix}\right.\longleftrightarrow2T_{1}\sin c\left(\frac{\omega T_{1}}{\pi}\right)=\frac{2\sin\omega T_{1}}{\omega} $$

$$ x[n]=\left\{\begin{matrix}{1,}&{|n|\leqslant N_{1}}\\ {0,}&{|n|>N_{1}}\\ \end{matrix}\right.\xleftarrow{\mathcal{F}}\frac{\sin{[\mathcal{Q}(N_{1}+1/2)]}}{\sin{(\mathcal{Q}/2)}} $$

7. 傅氏变换、拉氏变换和Z变换的主要特性

6. 线性

$$ \begin{aligned}{}&{{}a x(t)+b y(t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}a X(\omega)+b Y(\omega)}\\ {}&{{}a x[n]+b y[n]\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}a X(\mathcal{Q})+b Y(\mathcal{Q})}\\ {}&{{}a x(t)+b y(t)\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}a X(s)+b Y(s),}\\ {}&{{}\operatorname*{m a x}\left(R_{x_{1}},R_{y_{1}}\right)<\operatorname{R e}\{s\}<\operatorname*{m i n}\left(R_{x_{2}},R_{y_{2}}\right)}\\ {}&{{}a x[n]+b y[n]\overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}a X(z)+b Y(z),}\\ {}&{{}\operatorname*{m a x}\left(R_{x_{1}},R_{y_{1}}\right)<|z|<\operatorname*{m i n}\left(R_{x_{2}},R_{y_{2}}\right)}\\ \end{aligned} $$

6. 时移

$$ \begin{aligned}{}&{{}\mathcal{F}}\\ {}&{{}x\left(t-t_{0}\right){\longleftrightarrow}e^{-j\omega t_{0}}X\left(\omega\right)}\\ {}&{{}x\left[n-n_{0}\right]{\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}}e^{-i\mathcal{Q}n_{0}}X\left(\mathcal{Q}\right)}\\ {}&{{}x\left(t-t_{0}\right){\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}}e^{-s t_{0}}X\left(\varsigma\right)}&{R_{x_{1}}}&{{}<\operatorname{R e}\{s\}

单边变换时

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$$ \begin{aligned}{}&{{}x[n-n_{0}]u[n]\overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}z^{-n_{0}}\left\{X_{l}(z)+\sum_{k=-n_{0}}^{-1}x[k]z^{-k}\right\}}\\ {}&{{}x[n+n_{0}]u[n]\overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}z^{n_{0}}\left\{X_{l}(z)-\sum_{k=0}^{n_{0}-1}x[k]z^{-k}\right\}}\\ \end{aligned} $$

c. 频移

$$ \begin{aligned}&e^{j\omega_{0}t}x(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}X(\omega-\omega_{0})\\&e^{j\mathcal{Q}_{0}n}x[n]^{\prime}\xleftrightarrow{\mathcal{F}}X(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{0})\\&e^{s_{0}t}x(t)\xleftrightarrow{\mathcal{L}}X(s-s_{0})&R_{x_{1}}<\operatorname{Re}\{s+s_{0}\}&

d. 反褶

$$ \begin{aligned}{}&{{}\mathcal{G}}\\ {x(-t)}&{{}\longleftrightarrow X(-\omega)}\\ {\mathcal{F}}\\ {x[-n]}&{{}\longleftrightarrow X(-\mathcal{Q})}\\ {\mathcal{L}}\\ {x(-t)}&{{}\longleftrightarrow X(-s)}&{R_{x_{2}}<\operatorname{R e}\{s\}

e. 标度变换

$$ x\left(a\right)\xleftarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{\left|a\right|}X\left(\omega/a\right) $$

$$ x_{(k)}[n]=\left\{\begin{aligned}&x[n/k],&n 为 k 的整倍数 \\ &0,&n 不是 k 的整倍数 \end{aligned}\right.\xleftarrow{\mathcal{F}}X(k_{\varrho}) $$

原书第 16 页

$$ x(a t)\xleftarrow{\mathcal{L}}\frac{1}{|a|}\;X(s/a)\qquad R_{x_{1}}<\mathrm{R e}\{s/a\}<\dot{R}_{x_{1}} $$

$$ a^{n}x[n]\overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}X(a^{-1}z)\qquad\quad|a|R_{x_{1}}<|z|<|a|R_{x_{2}} $$

f. 卷积

$$ x(t)*y(t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X(\omega)Y(\omega) $$

$$ x[n]*y[n]\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X(\mathcal{Q})Y(\mathcal{Q}) $$

$$ x(t)\ast y(t)\xleftarrow{\mathcal{L}}X(s)Y(s) $$

$$ \max\left(R_{x_{1}},R_{y_{1}}\right)<\operatorname{Re}\left\{s\right\}<\min\left(R_{x_{2}},R_{y_{2}}\right) $$

$$ x[n]\ast y[n]\longleftrightarrow X(z)Y(z) $$

$$ \max\left(R_{x_{1}},R_{y_{1}}\right)<|z|<\min\left(R_{x_{2}},R_{y_{2}}\right) $$

g. 微分(差分)

$$ \frac{d}{d t}x(t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}j\omega X(\omega) $$

$$ x[n]\stackrel{--x[n-1]\leftharpoonup}\longrightarrow(1-e^{-j\mathcal{Q}})X(\mathcal{Q}) $$

$$ \frac{d}{dt}\underset{}{\boldsymbol{x}(t)}{\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}}s\boldsymbol{X}(s)\qquad\mathrm{ 至少 }\boldsymbol{R}_{x_{1}}<\mathrm{Re}\{s\}<\boldsymbol{R}_{x_{2}} $$

$$ x[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}x[n-1]\longleftrightarrow(1-z^{-1})X(z) $$

单边拉氏变换

$$ \frac{d}{d t}x(t)\xleftrightarrow{\mathscr{L}}s X_{t}(s)-x(0^{-}) $$

$$ \frac{d^{n}}{d t^{n}}x(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}s^{n}X_{l}(s)-\sum_{i=0}^{n-1}s^{n-1-i}x^{(i)}(0^{-}) $$

h“频”域微分

$$ {}_{t x}(_{t}){\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}}j\frac{d}{d\omega}X(\omega),(-j t)^{n}x(_{t}){\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}}\frac{d^{n}}{d\omega^{n}}X(\omega) $$

原书第 17 页

$$ -t x(t){\stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}}\frac{d}{d s}X(s),\quad t^{n}x(t){\stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}}(-1)^{n}\frac{d^{n}}{d s^{n}}X(s) $$

$$ n x[n]\xleftarrow{\mathcal{Z}}-z\frac{d}{d z}X(z), $$

$$ n^{k}x\left[n\right]\xleftrightarrow{\mathcal{Z}}-z\underbrace{\frac{d}{d z}\left\{\begin{aligned}-z&\quad\frac{d}{d z}\cdots\left[-z\quad\frac{d}{d z}\quad X\right]\\ &\quad\end{aligned}\right\}}_{k 次 } $$

i. 积分(累加)

$$ \begin{aligned}{}&{{}\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\xleftarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{j\omega}X(\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)}\\ {}&{{}\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\xleftarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{1-e^{-i\mathcal{Q}}}X(\mathcal{Q})+\pi X(0)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\mathcal{Q}-2\pi k)}\\ {}&{{}\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\xleftarrow{\mathcal{L}}\frac{1}{s}X(s)}\\ {}&{{}\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\xleftarrow{\mathcal{X}}\frac{1}{1-z^{-1}}X(z)}\\ \end{aligned} $$

1. 调制（“频”域卷积）

$$ \begin{aligned}&x(t)y(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{2\pi}\ X(\omega)*Y(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(u)Y(\omega-u)du\\&x[n]y[n]\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(\theta)Y(\mathcal{Q}-\theta)d\theta\\&x(t)y(t)\xleftrightarrow{\mathcal{L}}\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(p)Y(s-p)dp\\&R_{x_{1}}R_{y_{1}}<\operatorname{Re}\{s\}

k. 对偶

若 $ g(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} f(\omega) $，则 $ f(t) \xleftarrow{\mathcal{F}} 2\pi g(-\omega) $

若 $ g[n] \longleftrightarrow f[k] $，则 $ f[n] \xleftarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{N} g[-k] $

原书第 18 页

1. 初始值定理和终值定理

若 $ x(t)=0,t<0 $，则

$$ x(0^{+})=\lim_{s\to\infty}s X(s) $$

$$ \lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}s X(s) $$

若 x[n]=0, n<0，则

$$ x[0]=\lim_{x\to\infty}X(x) $$

$$ \lim_{n\to\infty}x[n]=\lim_{z\to1}[(z-1)X(z)] $$

m. 帕斯米尔关系式

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\left|x(t)\right|^{2}dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left|X(\omega)\right|^{2}d\omega $$

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(\mathcal{Q})|^{2}d\mathcal{Q} $$

对于周期信号，有

$$ \frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}|\tilde{x}(t)|^{2}d t=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|a_{k}|^{2} $$

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left|\tilde{x}(n)\right|^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\left|X(\mathcal{Q})\right|^{2}d\mathcal{Q} $$

8. 系统函数

$$ \begin{aligned}{a.}&{{}\sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{d^{k}y(t)}{d t^{k}}=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{d^{k}x(t)}{d t^{k}}}\\ {}&{{}H(\omega)=\left.Y(\omega)/X(\omega\right)=\sum_{k=0}^{M}b_{k}(j\omega)^{k}\bigg/\sum_{k=0}^{N}a_{k}(j\omega)^{k}}\\ {}&{{}H(s)=\left.\sum_{k=0}^{M}b_{k}s^{k}\bigg/\sum_{k=0}^{N}a_{k}s^{k}\right.}\\ \end{aligned} $$

原书第 19 页

$$ h(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}H(\omega)e^{j\omega t}d\omega $$

$$ h(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+j\infty}H(s)e^{s t}d s $$

$$ b_{*}\sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k] $$

$$ H(\mathcal{Q})=\mathrm{Y}(\mathcal{Q})/X(\mathcal{Q})=\sum_{k=0}^{M}\left.b_{k}e^{i k\mathcal{Q}}\middle/\sum_{k=0}^{N}a_{k}e^{i k\mathcal{Q}}\right. $$

$$ H(\mathbf{z})=\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}\bigg/\sum_{k=0}^{N}a_{k}z^{-k} $$

$$ \boldsymbol{h}[\boldsymbol{n}]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{\mathcal{Q}})e^{i\mathcal{Q}\boldsymbol{n}}d\boldsymbol{\mathcal{Q}} $$

$$ h[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint_{c}H(z)z^{n-1}d z $$

上面各式中，若 $ a_{k}=0(k\neq0) $，则系统函数表示式是非递归型的，对应的冲激响应为 FIR（有限冲激响应）型式；若 $ a_{k}\neq0 $，则系统函数表示式是递归型的，对应的冲激响应为 IIR（无限冲激响应）型式。

c. 因果系统的 $ H(s) $ 的极点位置与稳定性判断准则

若 $ H(s) $ 的所有极点都位于左半 S 平面内，则系统是稳定的；

若只有一个一阶极点位于 $ i\omega $ 轴上，而其余极点都在左半 S 平面内，则系统是条件稳定的；

若有一个或一个以上的极点位于右半 S 平面内，则系统是不稳定的。

若沿 $ j\omega $ 轴具有多重极点，则由于时间函数内出现了包含有 $ t^{*}(n>0) $ 的项，系统也是不稳定的。

d. 因果系统的 $ H(z) $ 的极点位置与稳定性判断准则

若 $ H(z) $ 的全部极点都在单位圆内，则系统是稳定的；

原书第 20 页

若只有一个一阶极点位于单位圆上，而其余极点都在单位圆内，则系统是条件稳定的；

若有一个或一个以上的极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。

上述判断准则是对因果系统而言的，对于非因果系统，主要看它们的收敛域是否包含 $ 1\omega $轴或单位圆来判定是否稳定。

9. 滤波、调制和采样

a. 理想的低通滤波器

连续时间理想低通滤波器的冲激响应和阶跃响应为

$$ h_{l p}(t)=\frac{\omega_{c}}{\pi}\sin c\left(\frac{\omega_{c}t}{\pi}\right) $$

$$ s_{l_{p}}(t)=h_{l_{p}}(t)*u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}s_{i}(w_{e}t) $$

其中

$$ \sin c(x)=\frac{\sin\pi x}{\pi x} $$

$$ s_{i}\left(y\right)=\int_{0}^{y}\frac{\sin x}{x}dx $$

离散时间理想低通滤波器情况，有

$$ h_{l_{p}}[n]=\frac{\mathcal{Q}_{c}}{\pi}\sin c\left(\frac{\mathcal{Q}_{c}n}{\pi}\right) $$

$$ s_{l_{p}}[n]={\frac{1}{2}}+{\frac{1}{\pi}}s_{i}(\mathcal{Q}_{c}n) $$

b. 正弦和复指数调制

$$ x(t)\cos\omega_{0}t\longleftrightarrow\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})] $$

$$ x(t)\sin\omega_{0}t\longleftrightarrow\frac{1}{2j}[X(\omega-\omega_{0})-X(\omega+\omega_{0})] $$

$$ x(t)e^{\pm j\omega_{c}t}\longleftrightarrow X(\omega\mp\omega_{c}) $$

c. 采样

(i) 冲激串采样： $ x_{p}(t)=x(t)p(t) $

原书第 21 页

$$ p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-n T)\longleftrightarrow P(\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-k\omega_{s}) $$

则

$$ x_{p}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t-nT) $$

$$ X_{p}(\omega)=\frac{1}{2\pi}[X(\omega)*P(\omega)]=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(\omega-k\omega_{t}) $$

（ii）采样定理：若 $ x(t) $ 为带限信号，即

$$ X(\omega)=0,\mid\omega\mid>\omega_{M} $$

则在 $ \omega_{s} \geqslant 2\omega_{M} $ 时， $ x(t) $ 可由其样本 $ x(nT) $ 唯一确定。

（iii）离散时间信号的冲激串采样：

$$ x_{p}[n]=x[n]p[n]=\left\{\begin{aligned}&x[n],& 若 n 是 N 的整倍数 \\ &0,& 若 n 不是 N 的整倍数 .\end{aligned}\right. $$

其中

$$ p[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta[n-k N]\longleftrightarrow P(\mathcal{Q})=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\mathcal{Q}-k\mathcal{Q}_{s}) $$

则

$$ x_{p}[n]=x[n]p[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k N]\delta[n-k N] $$

$$ \begin{aligned}{X_{p}(\mathcal{Q})}&{{}=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}P(\theta)X(\mathcal{Q}-\theta)d\theta}\\ {}&{{}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(\mathcal{Q}-k\mathcal{Q}_{i})\qquad\mathcal{Q}_{i}=2\pi/N}\\ \end{aligned} $$

同样，若满足 $ Q_{s} \geqslant 2Q_{M} $，则无频谱混叠。

原书第 22 页

目 录

前言

第一章 全书主要公式和内容摘要